Dissertações - Matemática em Rede Nacional - IGCE

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Abordagens sobre a Matemática Financeira em sala de aula
(Universidade Estadual Paulista (Unesp), 2022-11-22) Silva, Francine Ferreira da; Capelato, Erika [UNESP]; Universidade Estadual Paulista (Unesp)
A Matemática Financeira é uma das formas de conectar a matemática vista como ciência abstrata pelos estudantes à vida cotidiana. Ela é ainda uma das possibilidades de formar um estudante crítico e apto para exercer sua cidadania. Buscando fortalecer o potencial da ciência matemática em contribuir com o desenvolvimento socioeconômico e a redução das desigualdades do país, trazemos para esta pesquisa a temática da Educação Financeira na sala de aula. Este trabalho tem três partes. Na primeira apresentamos alguns norteadores que acreditamos serem importantes quando se pretende introduzir o Ensino da Educação Financeira nas escolas. Estes norteadores são a matriz de referência de Letramento Financeiro utilizada pelo Programme for International Student Assessment (PISA) para avaliação do desempenho dos estudantes; as diretrizes da Estratégia Nacional de Educação Financeira para a sala de aula e a proposta do ensino-aprendizagem da Matemática Financeira a partir da Educação Matemática Crítica. Na segunda parte, apresentamos alguns tópicos de Matemática Financeira como juros, taxas equivalentes e proporcionais, descontos e sistemas de amortização. Finalmente, propomos duas atividades que podem contribuir com o Letramento Financeiro dos estudantes do Ensino Médio.
Existem infinitos maiores que outros infinitos?
(Universidade Estadual Paulista (Unesp), 2022-10-04) Moreira, Talita; Rizziolli, Elíris Cristina [UNESP]; Universidade Estadual Paulista (Unesp)
Em todas as épocas, a ideia de um infinito persegue e desafia a compreensão da humanidade. O objetivo deste trabalho é apresentar formalmente o conceito de conjuntos finitos e infinitos, noções de enumerabilidade e não enumerabilidade, a fim de mostrar a ideia de infinitos maiores que outros infinitos através da apresentação de versões do paradoxo do Hotel de Hilbert, além de trazer outras abordagens do infinito. Apresentaremos uma proposta pedagógica para tratar a ideia de infinito no ensino médio, para que o estudante compreenda o conceito e estimule sua criatividade a respeito desse assunto.
A inversa generalizada de uma matriz e aplicações
(Universidade Estadual Paulista (Unesp), 2022-10-14) Reinprecht, José Norberto; Gadotti, Marta Cilene [UNESP]; Universidade Estadual Paulista (Unesp)
A resolução de sistemas lineares tem aplicação nos mais diversos campos da ciência. Em geral, as resoluções de sistemas lineares envolvendo a inversa de uma matriz estão restritas às matrizes quadradas e não singulares. O objetivo deste trabalho é abordar a busca de soluções de sistemas lineares envolvendo matrizes não quadradas, ou mesmo matrizes quadradas mas singulares, através do uso de matrizes inversas generalizadas ou das inversas de Moore-Penrose, também denominadas de pseudo-inversas.
Um estudo sobre polinômios aplicado a reticulados e à resolução de problemas no Ensino Médio
(Universidade Estadual Paulista (Unesp), 2022-09-21) Massarioli, Flávio Faria; Alves, Carina [UNESP]; Universidade Estadual Paulista (Unesp)
O presente trabalho mostra como o estudo dos Polinômios nos fornece resultados importantes para a modelagem e resolução de problemas diversos. Dentre esses resultados estão a Divisão Euclidiana, as Relações de Girard, as Equações Polinomiais de 2º e 3º graus e suas fórmulas resolutivas. Mostramos aplicações desses resultados no desenvolvimento de um método alternativo às fórmulas de Cardano e na construção de reticulados densos e reticulados bem arredondados estabelecendo assim uma interessante relação entre a Álgebra e a Geometria. Apresentamos ainda a sugestão de diversos problemas e atividades para serem desenvolvidos com os alunos do Ensino Médio.
Geometria esférica: uma abordagem matricial para os teoremas do cosseno e do seno nos triângulos esféricos
(Universidade Estadual Paulista (Unesp), 2022-09-28) Virgili, Walter Hugo; Melo, Thiago de [UNESP]; Universidade Estadual Paulista (Unesp)
Este trabalho tem por objetivo introduzir uma forma alternativa de se demonstrar o teorema dos cossenos (Lei dos cossenos) e o teorema dos senos (Lei dos senos) para triângulos esféricos através de um modelo de matriz de rotação. Inicialmente, fizemos uma retomada histórica sobre as geometrias não Euclidianas e também sobre coordenadas esféricas. Na sequência, definimos conceitos básicos de geometria esférica e os principais teoremas que a envolvem, culminando no modelo matricial para a demonstração dos dois principais teoremas citados. Além disso, mostramos alguns exemplos de aplicação para professores do ensino básico baseados na teoria e aplicações.
Palavras de Fibonacci e seus fractais
(Universidade Estadual Paulista (Unesp), 2022-09-26) Brogna, Valdirene Dias Arrabal; Melo, Thiago de [UNESP]; Universidade Estadual Paulista (Unesp)
O foco principal deste trabalho é o estudo das propriedades combinatórias de sequências chamadas de palavras que são geradas a partir de elementos de um conjunto chamado alfabeto, em especial a palavra binária de Fibonacci que possibilita a construção de curvas fractais através da aplicação de uma regra de desenho chamada de “Regra par–ímpar”. Além disso, vamos estudar as propriedades geométricas desses fractais e ao mesmo tempo, fazer uso da linguagem de programação Python para a construção dos fractais da palavra de Fibonacci, ou seja, faremos alguns desenhos de linhas poligonais obtidas através de sequências de 0 e 1.
Decomposição de números fatoriais em fatores primos: algoritmos para situações complementares ao Teorema de Legendre
(Universidade Estadual Paulista (Unesp), 2022-04-05) Carvalho, Leonardo Henrique Melo de; Pereira, Jamil Viana [UNESP]; Universidade Estadual Paulista (Unesp)
O principal objetivo desse trabalho é desenvolver um algoritmo baseado no Teorema de Legendre, que conta quantos fatores primos existem na decomposição do fatorial de um número natural n, bem como, descrever uma atividade que envolvesse Teoria dos Números e programação computacional básica, voltada para estudantes da educação básica. Detalhamos a construção dos objetos do Teorema de Legendre sobre o ponto de vista das duas funções envolvidas. Em seguida, descrevemos dois algoritmos que tratam situações complementares ao Teorema de Legendre, sendo um deles apresentado no livro “Aritmética” da coleção PROFMAT HEFEZ (2016), que teve sua base teórica explicitada detalhadamente, complementando o que foi apresentado na referência e outro desenvolvido de forma independente pelos autores do trabalho, com sua respectiva base teórica construída em detalhes. Por fim, foi construída uma atividade voltada aos estudantes de educação básica que integrasse aspectos da Teoria do Números, aprendidos durante essa fase de ensino, bem como, ideias de programação básica usando o “VisualG”.
Uma introdução à Análise de Fourier: construindo sons através de funções trigonométricas
(Universidade Estadual Paulista (Unesp), 2022-03-18) Padilha, André Calcagniti; Araújo, Rawlilson de Oliveira [UNESP]; Universidade Estadual Paulista (Unesp)
O presente trabalho tem, como proposta principal, apresentar um estudo introdutório de Análise de Fourier, unindo alguns dos conceitos estudados na teoria ao ensino de funções trigonométricas realizado no Ensino Básico. Inicialmente estudaremos a teoria fundamental das Séries de Fourier, e os principais resultados básicos. Após esta exposição inicial, estudaremos alguns tópicos mais avançados de Análise de Fourier, relacionados à convergência pontual e uniforme das séries de Fourier. Tais tópicos nos mostrarão como o estudo das séries de Fourier na história da Matemática permitiu diversos avanços, principalmente no ramo da Análise. Veremos também uma aplicação destas na resolução de uma Equação Diferencial Parcial: a equação da corda vibrante, com o intuito de estimular o leitor a procurar tópicos mais avançados na disciplina e em áreas correlatas. Finalmente, como proposta de aplicação ao Ensino Básico, relacionaremos o ensino da disciplina de Trigonometria no Ensino Médio de uma forma interdisciplinar ao ensino da Música e da Física, relacionando as funções trigonométricas com ondas sonoras musicais, através da utilização de programas como o Geogebra e Audacity.
A geometria fractal para o ensino de diversos tópicos de matemática no Ensino Médio
(Universidade Estadual Paulista (Unesp), 2022-01-21) Souza, Soraia Perez de; Santos, Ariane Luzia dos [UNESP]; Rodrigues, Tatiana Miguel [UNESP]; Universidade Estadual Paulista (Unesp)
O presente trabalho tem como objetivo utilizar a Geometria Fractal como motivadora no ensino de áreas e perímetros de figuras geométricas Euclidianas. Além disso, com o intuito de contribuir para um ensino mais prazeroso e dinâmico da Matemática aliado ao uso das tecnologias propõe-se, por meio do Software Geogebra a criação de atividades a serem desenvolvidas no contexto da sala de aula do Ensino Médio no desenvolvimento de conceitos matemáticos como Progressão Geométrica, Geometria, Trigonometria, Logaritmo e noções de limites entre outros temas. Apresentam-se os fractais clássicos : Tapete de Cantor, Tapete de Sierpinski, Ilha de Koch, Esponja de Menger, Fractal Hexagonal de Dürer, Fractal Octagonal de Dürer e os fractais circulares: Fractal Circuntexto , Fractal Tetracírculo, Fractal Antena Circular, Fractal Peneira de Apolônio e Fractal Flor da Vida. Concluí-se que a Geometria Fractal possibilita ao aluno contemplar o belo e descobrir a harmonia existente nestas figuras sem deixar de formalizar o seu conhecimento.
Equações e inequações lineares: uma proposta para o Ensino Médio através de Problemas de Programação Linear e de um software livre
(Universidade Estadual Paulista (Unesp), 2021-10-22) Pinho, Ana Paula Bueno de Camargo; Oliveira, Renata Zotin Gomes de [UNESP]; Universidade Estadual Paulista (Unesp)
Este trabalho visa apresentar uma proposta para aplicar e aprofundar os conheci mentos sobre equações e inequações lineares no Ensino Médio, buscando contemplar as competências e habilidades específicas de Matemática e suas tecnologias, apontadas pela BNCC. Usando um software educacional livre da coleção Matemática Multimídia (pro duzido pela Unicamp), serão apresentadas situações que serão modeladas por equações e inequações, obtendo problemas de Programação Linear, que serão resolvidos pela análise de sua representação gráfica, através da inspeção dos vértices do conjunto viável para a solução.
Polinômios em uma variável: propriedades e operações
(Universidade Estadual Paulista (Unesp), 2021-10-29) Santos, Silvana Alves dos; Pereira, Jamil Viana [UNESP]; Universidade Estadual Paulista (Unesp)
Esta dissertação aborda o estudo das estruturas algébricas relacionadas aos polinô mios. Apresentaremos a estrutura dos anéis de polinômios de forma generalizada, e as operações a eles relacionadas, tais como divisibilidade, fatoração e igualdade. Abor daremos também as propriedades particulares de polinômios, em que seus coe cientes estão no conjunto dos inteiros, racionais, reais e complexos, uma vez que quase toda aplicação matemática na Educação Básica efetua-se sobre tais conjuntos. O trabalho também aborda as equações algébricas e métodos de resolução. Apresentamos algu mas análises de atividades propostas em materiais didáticos utilizados na Educação Básica, no que concerne ao estudo de polinômios e nalizamos este trabalho apresen tando algumas atividades a serem propostas aos estudantes, relacionadas a aplicações das propriedades dos polinômios e analisamos resultados que esperamos obter a m de contribuir ao ensino de álgebra.
Teorema da Função Implícita e da Função Inversa e abordagens de funções reais de várias variáveis no ensino médio
(Universidade Estadual Paulista (Unesp), 2021-09-14) Lima, Leandro Luiz de; Capelato, Érika [UNESP]; Universidade Estadual Paulista (Unesp)
Neste trabalho estudamos o Teorema da Função Inversa e da Função Implícita. Para que pudéssemos apresentar o enunciado, demonstração e aplicações destes resultados, exploramos os seguintes conceitos: determinantes, topologia do espaço euclidiano e funções reais de várias variáveis. Finalmente, propomos atividades para que o estudo de funções reais de várias variáveis seja introduzido na sala de aula do ensino médio.
Aplicações do cálculo diferencial e integral: temperatura, calor e dilatação térmica
(Universidade Estadual Paulista (Unesp), 2021-08-23) Freitas, Roseli Scaranello de Paula; Rizziolli, Elíris Cristina [UNESP]; Universidade Estadual Paulista (Unesp)
O cerne deste trabalho consiste em apresentar uma grande variedade de aplicações do Cálculo Diferencial e Integral na Termodinâmica. Para tanto foi necessário abordar definições clássicas do Cálculo. Exploramos inúmeros exemplos envolvendo: temperatura, calor e dilatação térmica. Além disso, elaboramos experiências para apresentar a dilatação térmica em sala de aula.
Fluxogramas: uma nova linguagem para trabalhar divisibilidade no Ensino Básico
(Universidade Estadual Paulista (Unesp), 2020-12-16) Silva, Ana Flavia Urbano da; Santos, Ariane Luzia dos [UNESP]; Universidade Estadual Paulista (Unesp)
Este trabalho pretende contribuir para o ensino da divisibilidade nas escolas, conteúdo no qual os alunos apresentam maior dificuldade em relação as outras operações matemáticas. Esse conteúdo será abordado com uma nova linguagem, os fluxogramas, implementados pela Base Nacional Comum Curricular (BNCC). Em seu decorrer, falaremos sobre a BNCC, sobre os fluxogramas como habilidades da BNCC e sobre a estrutura e conceitos que envolvem essa linguagem algorítmica. Traremos exemplos e análise de fluxogramas oriundos de livros do Programa Nacional do Livro e Material Didático (PNLD), como também, exemplos para serem aplicados em sala de aula. Relacionado a divisibilidade traremos um capítulo em que todo o conteúdo é reescrito em forma de fluxograma, com o objetivo de ajudar na compreensão tanto dos algoritmos, quanto dos conceitos envolvidos. Além disso, abordaremos a importância do resto em resoluções de atividades, por esse motivo, transformamos o conteúdo de congruências lineares em fluxogramas, para aplicação em sala de aula e na orientação de resolução de exercícios de Olimpíadas de Matemática. Concluímos que trabalhar com fluxogramas faz com que o aluno crie estratégias de resolução, fixe os processos em sua memória, otimize seu tempo, ganhe confiança em seus raciocínios, além de ser uma forma mais dinâmica e visual de se trabalhar algoritmos matemáticos.
Equações diofantinas associadas a funções aritméticas
(Universidade Estadual Paulista (Unesp), 2020-10-27) Duarte, José Roberto; Pereira, Jamil Viana [UNESP]; Universidade Estadual Paulista (Unesp)
Esta dissertação de mestrado trata do conceito de equações diofantinas, funções aritméticas e uma relação entre as equações diofantinas que se utilizam de funções Aritméticas. A parte inicial é dedicada a um levantamento histórico percorrido pela Teoria dos Números desde a Antiguidade até a atualidade e uma abordagem sobre um proeminente matemático que viveu provavelmente no século III, em Alexandria, a quem agora chamamos de "Pai da Álgebra". Apenas algumas informações sobre sua vida sobreviveram, mas não podemos dizer com certeza se são verdadeiras, nem se sabe ao certo o nome exato deste matemático - existem várias mutações possíveis, nomeadamente: Diofanto, Diofante ou Diophantus. Para maior clareza, apresentaremos o nome deste matemático na forma de Diophantus. Foi esse matemático que lidou, entre outras coisas, com equações indefinidas, que em sua homenagem são chamadas equações diofantinas. No entanto, o tópico da equação diofantina é relativamente extenso e normalmente aborda-se a teoria básica, como observamos após pesquisarmos no site do PROFMAT. Por isso, não nos ativemos a demonstrar os vários métodos de resolução e discutirmos sobre os mais variados tipos de equações diofantinas, uma vez que os mesmos já foram extenuadamente apresentados e discutidos. Portanto nesse trabalho, fizemos uma abordagem de certas equações diofantinas envolvendo fatoriais e algumas funções aritméticas bem conhecidas : $\phi$ a função totiente de Euler, $\sigma$ a função soma dos divisores e $\tau$ a função número de divisores, bem como as mesmas se relacionam, além do exame e da análise de funções da forma $\dfrac{f(n!)}{m!}= a $, onde $f$ é uma das funções aritméticas $\phi \,\,ou\,\, \sigma,$ e incorporando alguns problemas que fazem uso das funções aritméticas aqui estudadas. O objetivo deste trabalho é criar um material que sirva de motivação para os leitores, para continuar a trabalhar no campo da pesquisa, e por conseguinte poder dar contribuições ao campo da Matemática. Que os professores possam usar este trabalho como um bom lembrete das equações diofantinas para sua preparação durante as aulas regulares e adicionais e que possa servir como um "trampolim" para o estudo de equações diofantinas mais complexas.
Números construtíveis e construções geométricas
(Universidade Estadual Paulista (Unesp), 2020-08-25) Alves, Jefferson David; Melo, Thiago de [UNESP]; Universidade Estadual Paulista (Unesp)
Este trabalho trata das construções geométricas e dos números construtíveis, que são obtidos utilizando-se apenas régua não graduada e compasso. Apresentamos a demonstração de diversas propriedades destes números juntamente com a descrição para suas construções. A motivação para este estudo é devido aos problemas clássicos da Grécia antiga, que são: a duplicação do cubo, a quadratura do círculo, a tri-secção de um ângulo qualquer e a construção de polígonos regulares.
A proporção divina: estudando a beleza do Número de Ouro na Matemática
(Universidade Estadual Paulista (Unesp), 2020-08-13) Andrade, Tiego de Moraes; Capelato, Erika [UNESP]; Universidade Estadual Paulista (Unesp)
O Número de Ouro, também conhecido, por exemplo como, Número Áureo, Razão Áurea, Seção Áurea, Proporção Áurea e Média e Extrema Razão é o número irracional 1,6180339887... Este número que fascinou muitos matemáticos ao longo da história da humanidade como Pitágoras, Platão, Euclides, Fibonacci e o matemático italiano Luca Pacioli ainda hoje, desperta a curiosidade de muitos estudantes de matemática. Assim, o objetivo deste trabalho é estudar o número de ouro destacando seu contexto histórico; as propriedades geométricas da divina proporção (como o triângulo e o retângulo áureo, o pentágono regular e a sequência de Fibonacci) e a descrição de exemplos encontrados na literatura, da presença da Razão Áurea na natureza, arte e arquitetura. A metodologia escolhida foi a revisão bibliográfica de materiais relacionados ao tema e, uma pergunta norteadora foi, como este tema pode contribuir no ensino da matemática para os alunos da Educação Básica. Assim, finalizamos esse trabalho apresentando um conjunto de atividades didáticas que podem ser usadas por professores da Educação Básica para trabalhar, juntamente com o software GeoGebra, o Número de Ouro na sala de aula.
O decolar de um avião: uma proposta didática sobre números e funções complexas
(Universidade Estadual Paulista (Unesp), 2020-07-01) Novais, Roberta Paula Brandão de; Gadotti, Marta Cilene [UNESP]; Universidade Estadual Paulista (Unesp)
Neste trabalho apresentamos o conjunto dos números complexos, os três tipos de representações e introduzimos funções elementares tratando como transformações no plano. Apresentamos a parte básica do cálculo abordando limite, continuidade e derivada de funções de uma variável complexa. Por fim, apresentamos uma proposta de aula experimental, utilizando a geometria do aerofólio como motivação para introduzir os números complexos e suas operações.
O triângulo e o tetraedro aritméticos: os teoremas binomial e multinomial e seus padrões geométricos
(Universidade Estadual Paulista (Unesp), 2020-02-03) Faria, Vagner Figueira de; Capelato, Érika [UNESP]; Universidade Estadual Paulista (Unesp)
Neste trabalho, com o objetivo de adquirir diferentes conhecimentos e novas formas de abordagem, estudamos diversas demonstrações para os teoremas binomial e multinomial. Estas demonstrações possibilitaram explorar técnicas matemáticas como a indução matemática, análise combinatória, probabilidades e cálculo diferencial. Resultados interessantes foram apresentados neste trabalho com relação à expansão do triângulo de Pascal para outras dimensões como o tetraedro aritmético formado por todas as camadas triangulares associadas às expansões trinomiais e os tetraedros que são associados às expansões tetranomiais.
Estudo da evolução de modelos de crescimento populacional e métodos para obtenção de parâmetros
(Universidade Estadual Paulista (Unesp), 2019-12-13) Dentamaro, Alex Alves; Pereira, Jamil Viana [UNESP]; Universidade Estadual Paulista (Unesp)
Neste trabalho, será abordada a teoria matemática utilizada no estudo de quatro modelos clássicos de crescimento populacional: Malthus, Verhulst, Gompertz e Montroll. Serão apresentadas e/ou discutidas algumas de suas características, propriedades, diferenças e diferentes métodos para obtenção de seus parâmetros. Posteriormente, estes modelos e métodos serão aplicados a um conjunto de dados relativos ao crescimento populacional do Brasil. Também foi elaborada uma atividade para ser aplicada no Ensino Médio, na qual se explora, por tabelas e gráficos, a forma como os alunos observam certos fenômenos de crescimento, bem como, construtivamente e com auxílio de dados, a forma como ocorrem esses crescimentos de fato.

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