Recorrências lineares de primeira e segunda ordem e algumas conexões com equações diferenciais

Abstract

Nesta dissertação, estudamos recorrências lineares, com ênfase tanto nos casos homogêneos quanto nos não homogêneos. Nosso objetivo principal é apresentar e demonstrar teoremas que facilitam a resolução dessas recorrências, evitando abordagens puramente por inspeção. A análise abrange recorrências lineares de primeira e segunda ordem. Ao longo do trabalho, destacamos também diversas sequências clássicas definidas por recorrência, como as sequências de Fibonacci, Lucas, Pell e a sequência associada ao problema da Torre de Hanói, ilustrando a aplicação dos métodos desenvolvidos. Além disso, realizamos uma análise comparativa entre recorrências e equações diferenciais ordinárias lineares de coeficientes constantes, destacando a equivalência de seus operadores e equações características. Nesse sentido, a dissertação oferece não apenas ferramentas para resolver recorrências lineares, mas também uma compreensão integrada de sua estrutura e relação com a teoria das equações diferenciais.

In this master’s thesis, we study linear recurrences, focusing on both homogeneous and non-homogeneous cases. The primary objective is to present and prove theorems that facilitate the resolution of such recurrences, avoiding approaches based purely on inspection. The analysis covers linear recurrences of first and second order. Throughout the work, we also highlight several classical sequences defined by recurrences, such as the Fibonacci, Lucas, Pell sequences, and the sequence associated with the Tower of Hanoi problem, illustrating the application of the developed methods. Moreover, we conduct a comparative analysis between linear recurrences and linear ordinary differential equations with constant coefficients, emphasizing the equivalence of their operators and characteristic equations. In this sense, the thesis not only provides tools for solving linear recurrences but also offers an integrated understanding of their structure and their relationship with the theory of differential equations.