Estudos sobre o índice de valor-ideal de Fadell-Husseini com aplicações à teoria do ponto fixo em espaços homogêneos

Abstract

Neste trabalho, estudamos a teoria de índice de valor-ideal de Fadell-Husseini, apresentando métodos e soluções para o cálculo de específicos índices de valor-ideal. Exploramos sua conexão com a questão de existência de aplicação equivariante, a qual se relaciona com o problema do ponto fixo de espaços homogêneos. Utilizando a teoria de índice de valor-ideal, apresentamos uma demonstração alternativa da propriedade do ponto fixo do espaço projetivo de dimensão par (a variedade Grassmanniana dos subespaços unidimensionais do espaço euclidiano de dimensão par). Dentro do contexto das variedades Grassmannianas discutimos as dificuldades em aplicar a metodologia desenvolvida, a fim de explorar o problema em aberto da propriedade do ponto fixo das variedades Grassmannianas dos subespaços bidimensionais do espaço euclidiano de dimensão cinco e dos subespaços de dimensão quatro do espaço euclidiano de dimensão nove.

This work explores the Fadell-Husseini ideal-valued index theory, presenting methods and solutions for the calculation of specific ideal-valued indices. We investigate its connection to the existence of equivariant maps, a question which relates to the fixed-point property of homogeneous spaces. Using the ideal-valued index theory, we provide an alternative proof of the fixed-point property for the even-dimensional real projective space (the Grassmannian manifold of one-dimensional subspaces of an odd-dimensional Euclidean space). Within the context of Grassmannian manifolds, we discuss the difficulties of applying the developed methodology to explore the open problem regarding the fixed-point property of the Grassmannian manifolds of two-dimensional subspaces in five-dimensional Euclidean space and four-dimensional subspaces in nine-dimensional Euclidean space.