Tratamento quântico do modelo de Fermi-Ulam

Abstract

Este trabalho investiga a correspondência entre a mecânica clássica e a mecânica quântica, focando no modelo de Fermi-Ulam, um sistema dinâmico não linear. O objetivo central é analisar o comportamento quântico deste modelo, descrito como uma partícula em um poço de potencial infinito com uma de suas barreiras em movimento oscilatório, e comparar seus resultados com os mapeamentos clássicos. Dada a natureza probabilística da mecânica quântica e o princípio da incerteza, uma comparação direta das trajetórias clássicas no espaço de fases não é viável. A abordagem metodológica parte das autofunções do estado estacionário do poço, introduzindo a dependência temporal na barreira móvel. Isso resulta em um sistema de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem que definem os coeficientes da função de onda. Para resolver este sistema numericamente, foi utilizada uma aproximação por truncamento, limitando a expansão da função de onda a um número finito de autoestados instantâneos. A implementação computacional foi validada comparando-a com o caso analiticamente solúvel do poço em contração constante. No espaço de posições, a densidade de probabilidade da partícula se mantém máxima próximo ao centro do poço, com oscilações ao seu redor. Para realizar a comparação com o modelo clássico, o estudo aplicou a transformada de Fourier à função de onda, mapeando-a para o espaço de momentos. Este mapeamento quântico, visualizado como um mapa de calor da densidade de probabilidade do momento em relação ao tempo, permitiu uma comparação direta com o diagrama de fase clássico. A conclusão principal é que o mapeamento quântico exibe estruturas análogas às observadas no domínio clássico. Foram identificadas características notavelmente similares, como as ilhas de estabilidade, os satélites e a região caótica. O estudo confirma, assim, a viabilidade de estabelecer correspondências entre sistemas dinâmicos clássicos e quânticos.

This work investigates the correspondence between classical mechanics and quantum mechanics, focusing on the Fermi-Ulam model, a non-linear dynamical system. The central objective is to analyze the quantum behavior of this model, described as a particle in an infinite potential well with one of its barriers in oscillatory motion, and compare its results with classical mappings. Given the probabilistic nature of quantum mechanics and the uncertainty principle, a direct comparison of classical phase-space trajectories is not feasible. The methodological approach begins with the stationary state eigenfunctions of the well, introducing time-dependence in the moving barrier. This results in a system of first-order ordinary differential equations that define the wave function coefficients. To solve this system numerically, a truncation approximation was used, limiting the wave function's expansion to a finite number of instantaneous eigenstates. The computational implementation was validated by comparing it with the analytically solvable case of the constantly contracting well. In position space, the particle's probability density remains maximal near the center of the well, with oscillations around it. To perform the comparison with the classical model, the study applied the Fourier transform to the wave function, mapping it into momentum space. This quantum mapping, visualized as a heatmap of the momentum probability density versus time, allowed for a direct comparison with the classical phase diagram. The main conclusion is that the quantum mapping exhibits structures analogous to those observed in the classical domain. Notably similar features were identified, such as stability islands, satellites, and the chaotic region. The study thus confirms the feasibility of establishing correspondences between classical and quantum dynamical systems.