Construções de reticulados algébricos bem-arredondados

Abstract

A classe de reticulados bem-arredondados é considerada uma das mais importantes dentre os reticulados, pois sua base de vetores com norma mínima traz vantagens nas aplicações práticas em criptografia e áreas de codificação. Este trabalho trata do estudo desses reticulados, de condições de existência de reticulados bem-arredondados e de métodos para construí-los, sobretudo aqueles provenientes de corpos de números algébricos. É provado que um reticulado gerado algebricamente através do mergulho de Minkowski a partir de anéis de inteiros de corpos de números só é bem-arredondado quando o corpo é ciclotômico. Em particular, concluímos que só há dois casos de corpos quadráticos em que isso ocorre. Investigaremos outras situações e formas de gerar tais reticulados, tais como formas torcidas de reticulados algébricos que têm se mostrado presente na literatura atual. Mostra-se que, com versões torcidas de reticulados, é possível gerar outros reticulados bem-arredondados a partir de anéis de inteiros de corpos diferentes dos ciclotômicos.

Well-rounded lattices are considered one of the most important classes, as their bases of minimal vectors yield advantages in practical applications in cryptography and coding theory. This work is devoted to the general study of these lattices, as well as to the conditions under which an arbitrary lattice becomes wellrounded. It is proved that a lattice generated algebraically via the Minkowski embedding from the ring of integers of number fields is well-rounded only when the field is cyclotomic. In particular, there are only two cases when the quadratic field provides well-rounded lattices. We investigate other situations and methods for generating such lattices; among them, twisted forms of algebraic lattices that have appeared in recent literature. It is shown that, using twisted versions of lattices, it is possible to generate another well-rounded lattice from rings of integers of fields other than the cyclotomic ones.