Um estudo sobre reticulados algébricos bem arredondados

Abstract

Um reticulado de posto completo em um espaço euclidiano é bem arredondado se o conjunto formado por seus vetores de norma mínima constitui uma base para este espaço. Recentemente, um estudo provou que a imagem do anel de inteiros de corpos quadráticos pelo homomorfismo canônico é um reticulado bem arredondado apenas para dois corpos quadráticos imaginários. Neste trabalho, provamos que existem corpos quadráticos reais cuja imagem de seus respectivos anéis de inteiros, por meio de perturbações no homomorfismo canônico, também produzem reticulados bem arredondados. Em particular, apresentamos uma família infinita de elementos nesses corpos que definem perturbações no homomorfismo canônico, as quais produzem reticulados bem arredondados, além de outros exemplos por meio dessas perturbações. Também investigamos as relações entre reticulados bem arredondados e reticulados algébricos obtidos através do anel de inteiros de corpos ciclotômicos. Além disso, caracterizamos quais elementos, em uma família de ideais no anel de inteiros desses corpos, atingem a norma mínima do reticulado correspondente.

A lattice of full rank in a Euclidean space is well-rounded if its set of minimal vectors spans the whole space. Recently, a study showed that the image of the ring of integers of quadratic fields by canonical homomorphism is a well-rounded lattice only for two imaginary quadratic fields. In this work, we proved that there are real quadratic fields, whose image of their respective rings of integers, by twisted homomorphism also yield well-rounded lattices. In particular, we presented an infinite family of elements in these fields, which define twisted homomorphism that yield well-rounded lattices, besides, we presented other examples through these twists. We also investigated the relationships between well-rounded lattices and algebraic lattices obtained by the ring of integers of cyclotomic fields. Moreover, we characterized which elements, in a family of ideals in the ring of integers of these fields, reach the minimum norm of the corresponding lattice.