Aplicações da teoria qualitativa das equações diferenciais ordinárias no estudo de problemas epidemiológicos

Abstract

As equações diferenciais têm sido muito utilizadas para modelagem matemática da contaminação de populações por doenças infecciosas, objetivando obter uma previsão, mesmo que aproximada, de como determinadas doenças evoluem e se propagam na população, constituindo um ramos da matemática conhecido como estudo de modelos epidemiológicos. Os sistemas de Equações Diferenciais Ordinárias são muito utilizados para modelar e analisar a propagação de certas doenças, como gripes, malária, dengue e, mais recentemente, a Covid-19, e para explorar o efeito provável de medidas que possam conter a disseminação das infecções, como vacinação, isolamento, uso de máscaras, higiene pessoal, etc.. De modo geral, em tais modelos divide-se a população em categorias (como indivíduos saudáveis, infectados, recuperados, suscetíveis), chamadas compartimentos, e busca-se descrever a evolução das frações de população em tais compartimentos ao longo do tempo. Um dos mais conhecidos modelos deste tipo, chamados modelos compartimentais, é o modelo SIR, no qual divide-se a população em três categorias básicas: suscetíveis, infectados e recuperados. Então, constrói-se um sistema de equações diferenciais considerando-se a taxa de variação de cada uma destas categorias e, com base no estudo qualitativo de tal sistema, busca-se entender a dinâmica da doença na população, para poder combatê-la. No contexto acima, apresentamos neste texto alguns dos principais resultados da teoria qualitativa e das bifurcações das equações diferenciais ordinárias, e mostramos como tais resultados são utilizados no estudo de modelos epidemiológicos compartimentais. Em seguida, com base nestes resultados, fazemos um estudo específico sobre modelos relacionados à Covid-19, doença causada pelo Sars-Cov2, que é um tipo de corona vírus, que submeteu recentemente o mundo a uma pandemia.

Differential equations have been widely used to mathematically model the contamination of populations by infectious diseases, with the aim of obtaining a prediction, even if approximate, of how certain diseases evolve and spread in the population, constituting a branch of mathematics known as the study of epidemiological models. The systems of Ordinary Di erential Equations are widely used to model and analyze the spread of certain diseases, such as in uenza, malaria, dengue and, more recently, Covid-19, and to explore the likely e ect of measures that can contain the spread of infections, such as vaccination, isolation, wearing masks, personal hygiene, etc. In general, such models divide the population into categories (such as healthy, infected, recovered, susceptible), called compartments, and seek to describe the evolution of the population fractions in these compartments over time. One of the best-known models of this type, called compartmental models, is the SIR model, in which the population is divided into three basic categories: susceptible, infected and recovered. A system of di erential equations is then constructed considering the rate of change of each of these categories and, based on the qualitative study of this system, an attempt is made to understand the dynamics of the disease in the population in order to combat it. In the above context, we present in this text some of the main results of the qualitative theory and bifurcations of ordinary di erential equations, and show how these results are used in the study of compartmental epidemiological models. Then, based on these results, we make a speci c study of models related to Covid-19, a disease caused by Sars-Cov2, which is a type of coronavirus that has recently subjected the world to a pandemic.