UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO MESQUITA FILHO”

FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

Alocação de perdas e custos pelo uso do sistema de transmissão

DELBERIS ARAUJO LIMA

Orientador:

ANTONIO PADILHA FELTRIN

Co-orientador:

JAVIER CONTRERAS SANZ

Ilha Solteira, 8 de fevereiro de 2007.



Delberis Araujo Lima

Alocação de perdas e custos pelo uso do sistema de

transmissão

Tese de doutorado submetida ao Programa de Pós-Graduação em

Engenharia Elétrica da Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira

da UNESP, como parte dos requisitos para a obtenção do tı́tulo de

Doutor em Engenharia Elétrica.

Área de Concentração: Automação

UNESP - Ilha Solteira

Fevereiro/2007



Agradecimentos

Agradeço a Deus pela oportunidade de fazer este trabalho e conduzi-lo com muita digni-

dade.

Agradeço a meus pais e minha famı́lia pelo carinho, respeito e apoio durante toda a minha.

Agradeço a Vanessa, minha noiva, pela companhia, amor e ajuda nos momentos difı́ceis.

Agradeço ao professor Padilha pela dedicação e orientação em todos os trabalhos desenvol-

vidos nos últimos nove anos. Aos professores da Universidade de Castilla La Mancha (UCLM),

em especial ao professor Javier Contreras Sanz, orientador do trabalho durante meu estágio na

UCLM, e professor Antonio Conejo, um importante colaborador do trabalho. Agradeço aos co-

legas do Lapsee pelo companherismo e pelas boas discussões que contribuiram para a melhora

do trabalho. A todos os professores e funcionários do departamento de engenharia de elétrica

da Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira.

Agradeço a Unesp, ao departamento de Engenharia Elétrica da FEIS e a UCLM pela estru-

tura oferecida para o desenvolvimento do trabalho. A FEPISA e seus parceiros, assim como ao

CNPq pelo apoio financeiro.



Resumo

Nesta tese busca-se encontrar soluções para dois problemas que surgiram com a formação

dos mercados de energia elétrica. Em particular, pretende-se resolver o problema da alocação de

perdas elétricas e alocação de custos pelo uso do sistema de transmissão de energia elétrica. Para

isso, é feita uma análise exaustiva comparando os principais métodos de alocação de perdas em

sistemas de transmissão de energia elétrica. Também é apresentada uma proposta, que utiliza a

teoria de jogos, para identificar as dificuldades de encontrar a solução ótima para alocação de

perdas. No Brasil existe um subproblema para os estudos da alocação de perdas, que são os

submercados. Assim, nesta tese, também são apresentadas soluções para alocar perdas elétricas

levando-se em conta os diferentes submercados de energia em uma estrutura com um único

operador do sistema. Além disso, também é apresentado um estudo sobre alocação de custos

pelo uso do sistema de transmissão de energia elétrica.

Para alcançar todos os objetivos, primeiro, faz-se uma introdução, discutindo as motivações

que fazem o estudo da alocação de perdas e custos pelo uso do sistema de transmissão impres-

cindı́veis para a nova estrutura de mercados de energia elétrica que está surgindo. Em seguida

é mostrado, utilizando a teoria de jogos, porque a solução ótima do problema da alocação de

perdas é tão difı́cil de ser encontrada. Para essa demonstração, utiliza-se a teoria de jogos coo-

perativos. Depois, são apresentados os principais métodos de alocação de perdas no estado da

arte (Pro rata, Divisão Proporcional, método baseado em fatores incrementais (ITL) e Z-bus)

e os métodos para o subproblema da alocação de perdas elétricas em submercados (ITLsub e

método baseado em equivalentes bilaterais EBEperdas). Cada método é apresentado detalha-

damente, destacando suas vantagens e desvantagens. Para discutir e apresentar cada um dos

métodos utiliza-se um sistema de 4 barras e o sistema IEEE 24 barras RTS .

Para alocação de custos pelo uso do sistema de transmissão é apresentado um método,

baseado na matriz Z-bus. Esse método é comparado com outros métodos (Pro rata, Divisão

proporcional e EBE) e apresenta a vantagem do efeito proximidade. O efeito proximidade

indica que barras eletricamente próximas a uma determinada linha de transmissão devem ter



um custo maior alocado a ela pelo uso desta linha de transmissão comparado com outras barras

do sistema (eletricamente distantes). O conceito de distância elétrica e do efeito proximidade

são detalhados na tese.

O método Z-bus é comparado com método Nodal (método de alocação de custos pelo uso

da rede usado no Brasil). A comparação com o método Z-bus e a visualização do efeito pro-

ximidade são feitas incrementando os custos de cada linha de transmissão e analisando como

se distribui o custo extra destas linhas por todas as barras do sistema. As barras eletricamente

próximas a esta linha devem ter uma maior parcela da alocação de custos com relação as barras

eletricamente distantes.

Finalmente, uma conclusão do trabalho é apresentada indicando que o método PS (divisão

proporcional) apresenta maior estabilidade e melhores resultados dentre os métodos de alocação

de perdas e pode ser utilizado na maior parte dos sistemas de energia elétrica, principalmente

nos casos onde a alocação negativa de perdas não é desejada. Nos sistemas onde alocação nega-

tiva de perdas é desejada e o sistema é dividido em submercados indica-se o método EBE perdas,

porém sua utilização pode ser questionada em sistemas onde exista grandes variações de fluxos

nas linhas. Neste caso (grandes variações de fluxos nas linhas) o método ITLsub pode ser uti-

lizado. Para alocar custos pelo uso do sistema de transmissão indica-se o método Z-bus, que

apresenta maior transparência no processo de alocação de custos e um desejável efeito proxi-

midade.

Dentre as principais contribuições desta tese, destacam-se os estudos detalhados dos prin-

cipais métodos de alocação de perdas, um estudo da alocação de perdas do ponto de vista da

teoria de jogos, a adaptação do método EBE para o método EBEperdas para ser utilizado, prin-

cipalmente, em sistemas com submercados de energia elétrica e a adaptação do método Z-bus

para alocação de custos pelo uso da rede de transmissão.



Abstract

This thesis is intended to find solutions for solving two problems that came up with the

introduction of the electric energy market. In particular, the objective is to solve the problem of

loss allocation in transmission systems and network cost allocation. In this way, an exhaustive

analysis is done comparing the main methods of loss allocation in transmission systems. Also

it is presented a proposal based on game theory, to identify the difficulty in finding an optimal

solution for the loss allocation problem. In Brazil there is a subproblem to study the loss allo-

cation: the submarkets. Consequently, in this work, it is presented solutions for loss allocation

taking into account the different submarkets of energy in a structure with a unique system ope-

rator. In addition, it is also presented a study about network cost allocation. To achieve all these

objectives, first, an introduction is presented, discussing the motivation that make studies of loss

allocation and network cost allocation very important for the new market structure. Moreover,

it is showed, using the game theory, why it is so difficult to find the optimal solution of the

loss allocation problem. For this demonstration, it is used the cooperative game theory. Then,

the most important state-of-the-art methods for loss allocation (Pro rata, Proportional Sharing,

method based on loss factors (ITL) e Z-bus) and the methods for the submarket problem (ITLsub

and method based on Equivalente bilateral exchanges, EBElosses) are presented. Each method

is presented in detail, highlighting the advantages and drawbacks. To discuss and to present

each method it is used a 4-bus system and the IEEE RTS 24-bus system. For the network cost

allocation, a method based on Z-bus matrix is presented. This method is compared to other

methods (Pro rata, Proportional Sharing and EBE), presenting the advantage of the proximity

effect. The proximity effect indicates that buses electrically close to a given transmission line

should have a higher cost for using that line compared to other buses of the system. The concept

of electric distance and proximity effect are presented in detail. Additionally, the Z-bus method

is compared to the Nodal method (used in Brazil for network cost allocation). In this case, the

comparison to the Z-bus method and the visualization of the proximity effect is performed by

increasing the cost of each transmission line and analyzing how the extra-costs to these lines



are distributed to all the buses. Electrically-close buses to this line should have a larger share of

the costs compared to those electrically-distant buses. Finally, conclusions are drawn indicating

that the PS method presents more stable results than other methods and could be used in most of

electrical energy systems, mainly in those cases where negative loss allocation is not desirable.

In the systems where negative loss allocation is desirable, the EBElosses method can be used.

The EBElosses method could also be applied in those systems with submarkets, however its uti-

lization could be controversial where large variation of power flows exist. For the latter case,

the ITLsub method could be used. For network cost allocation, the Z-bus method is highlighted

since presents more transparency and suitable proximity effect. Among the main contributions

of this thesis, it is emphasized: the detailed studies of the main loss allocation methods; a study

of loss allocation from the point of view of game theory; the adaptation of the EBE method to

the EBElosses method, to be mainly used in power systems with submarkets; and, the adaptation

of the Z-bus method for network cost allocation.



Sumário

Folha de rosto p. i

Agradecimentos p. ii

Resumo p. iii

Resumo p. v

Abstract p. v

Lista de Figuras p. xi

Lista de Tabelas p. xiv

Nomenclatura p. xviii

1 Introdução p. 23

1.1 Formação dos mercados de energia elétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 23

1.2 Motivação para estudo da alocação de perdas em sistemas de transmissão . . p. 26

1.3 Motivação para estudo da alocação de custos pelo uso da rede em sistemas

de transmissão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 27

1.4 Revisão da literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 28

1.4.1 Principais trabalhos para o problema da alocação de perdas . . . . . . p. 28

1.4.2 Principais trabalhos para estudos da teoria de jogos . . . . . . . . . . p. 29

1.4.3 Principais trabalhos para estudos do problema do uso da rede . . . . . p. 29

1.5 Organização dos Capı́tulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 30



2 Métodos de alocação de Perdas p. 32

2.1 Método Pro Rata (selo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 32

2.1.1 Procedimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 32

2.1.2 Exemplo de aplicação do Método Pro Rata . . . . . . . . . . . . . . p. 33

2.2 Método da Divisão Proporcional (PS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 34

2.2.1 Procedimento PS aplicado para alocar perdas às cargas (algoritmo

águas acima) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 38

2.2.2 Exemplo de aplicação do Método PS para alocar perdas às cargas . . p. 40

2.2.3 Procedimento PS aplicado para alocar perdas aos geradores (algo-

ritmo águas abaixo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 43

2.2.4 Exemplo de aplicação do Método PS para alocar perdas aos geradores p. 45

2.3 Método Incremental de perdas (ITL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 47

2.3.1 Procedimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 47

2.3.2 Exemplo de aplicação do método ITL . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 54

2.4 Método Zbus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 56

2.4.1 Procedimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 56

2.4.2 Exemplo de aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 59

3 Análise do problema da alocação de perdas utilizando teoria de jogos p. 61

3.1 Alocação de Fluxos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 62

3.2 Alocação de perdas com teoria de jogos cooperativos . . . . . . . . . . . . . p. 63

3.3 Exemplo de aplicação (sistema 4-barras) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 65

3.4 Caso de Estudo (sistema 14-barras) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 73

4 Métodos de alocação de perdas em sistemas com submercados p. 77

4.1 Método ITL aplicado a estruturas com submercados (ITLsub) . . . . . . . . . p. 77

4.1.1 Procedimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 77

4.1.2 Exemplo de aplicação do método ITLsub . . . . . . . . . . . . . . . . p. 80



4.2 Método EBE para alocação de perdas elétricas em submercados (EBEperdas) . p. 84

4.2.1 Procedimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 85

4.2.2 Exemplo de aplicação do método EBEperdas . . . . . . . . . . . . . . p. 88

5 Análise comparativa dos métodos de alocação de Perdas p. 92

5.1 Dependência da rede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 92

5.2 Dispersão de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 97

5.3 Variação das perdas com relação a potência injetada . . . . . . . . . . . . . . p. 98

5.4 Alocação de perdas considerando diferentes nı́veis de carregamento . . . . . p. 109

5.5 Discussão dos métodos de alocação de perdas . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 115

6 Uso da rede p. 117

6.1 Método Zbus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 117

6.1.1 Custo da transmissão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 119

6.1.2 Efeito da direção dos fluxos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 120

6.1.3 Exemplo de aplicação (sistema 4-barras) . . . . . . . . . . . . . . . p. 121

6.1.4 Estudo de caso (sistema IEEE 24-barras RTS) . . . . . . . . . . . . p. 124

6.2 Método Zavg
bus x Método Nodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 132

7 Conclusões p. 146

Referências Bibliográficas p. 148

Apêndice A -- Fator de distribuição p. 151

Apêndice B -- Conceitos da teoria de jogos p. 153

B.1 Core . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 154

B.2 O Valor Shapley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 155

B.3 O Valor Shapley Bilateral (BSV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 155

B.4 Kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 156



Apêndice C -- Sistema de 4 barras p. 158

Apêndice D -- Sistema 14-barras p. 160

Apêndice E -- Sistema IEEE 24-barras RTS p. 162



Lista de Figuras

1.1 Transição de um modelo verticalizado para um sistema desverticalizado. . . . p. 24

2.1 Sistema de 4 barras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 33

2.2 Princı́pio da divisão proporcional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 35

2.3 Resultado do fluxo de potência (ativa) AC para o sistema de 4 barras. . . . . . p. 36

2.4 Fluxo de potência ativa DC para o sistema de 4 barras. . . . . . . . . . . . . p. 37

2.5 Fluxo de potência ativa AC para o sistema de 4 barras. . . . . . . . . . . . . p. 41

3.1 Sistema de 4 barras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 65

3.2 Coalizão entre o EBE1 e o EBE2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 69

3.3 Valor Shapley Bilateral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 71

3.4 Kernel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 72

3.5 Coalizão entre EBE1 e EBE4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 72

3.6 Coalizão entre EBE2 e EBE3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 73

3.7 Sistema 14-barras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 74

4.1 Sistema de 4 barras dividido por submercados. . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 80

5.1 Fatores de Rede para geração. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 97

5.2 Fatores de Rede para demanda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 97

5.3 Variação das perdas em função da variação do gerador 1. . . . . . . . . . . . p. 99

5.4 Variação das perdas em função da variação do gerador 2. . . . . . . . . . . . p. 100

5.5 Variação das perdas em função da variação do gerador 7. . . . . . . . . . . . p. 100

5.6 Variação das perdas em função da variação do gerador 16. . . . . . . . . . . p. 101

5.7 Variação das perdas em função da variação do gerador 18. . . . . . . . . . . p. 101

5.8 Variação das perdas em função da variação do gerador 21. . . . . . . . . . . p. 102



5.9 Variação das perdas em função da variação do gerador 22. . . . . . . . . . . p. 102

5.10 Variação das perdas em função da variação do gerador 23. . . . . . . . . . . p. 103

5.11 Variação das perdas em função da variação da carga 3. . . . . . . . . . . . . p. 103

5.12 Variação das perdas em função da variação da carga 4. . . . . . . . . . . . . p. 104

5.13 Variação das perdas em função da variação da carga 5. . . . . . . . . . . . . p. 104

5.14 Variação das perdas em função da variação da carga 6. . . . . . . . . . . . . p. 105

5.15 Variação das perdas em função da variação da carga 8. . . . . . . . . . . . . p. 105

5.16 Variação das perdas em função da variação da carga 9. . . . . . . . . . . . . p. 106

5.17 Variação das perdas em função da variação da carga 10. . . . . . . . . . . . . p. 106

5.18 Variação das perdas em função da variação da carga 14. . . . . . . . . . . . . p. 107

5.19 Variação das perdas em função da variação da carga 15. . . . . . . . . . . . . p. 107

5.20 Variação das perdas em função da variação da carga 19. . . . . . . . . . . . . p. 108

5.21 Variação das perdas em função da variação da carga 20. . . . . . . . . . . . . p. 108

5.22 Alocação de perdas do método PR para os geradores considerando diferentes

cenários. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 110

5.23 Alocação de perdas do método PR para as cargas considerando diferentes

cenários. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 110

5.24 Alocação de perdas do método PS para os geradores considerando diferentes

cenários. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 111

5.25 Alocação de perdas do método PS para as cargas considerando diferentes

cenários. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 111

5.26 Alocação de perdas do método ITL para os geradores considerando diferentes

cenários. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 112

5.27 Alocação de perdas do método ITL para as cargas considerando diferentes

cenários. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 112

5.28 Alocação de perdas do método Zbus para os geradores considerando diferen-

tes cenários. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 113

5.29 Alocação de perdas do método Zbus para as cargas considerando diferentes

cenários. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 113



5.30 Alocação de perdas do método EBEperdas para os geradores considerando

diferentes cenários. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 114

5.31 Alocação de perdas do método EBEperdas para as cargas considerando dife-

rentes cenários. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 114

6.1 Equivalente π da linha jk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 117

6.2 Sistema de 4 barras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 121

6.3 Sistema IEEE 24-barras RTS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 125

6.4 Custo pelo uso da rede alocado aos geradores usando o método Zavg
bus antes e

depois do aumento do custo da linha 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 143

6.5 Custo pelo uso da rede alocado as cargas usando o método Zavg
bus antes e depois

do aumento do custo da linha 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 143

6.6 Custo pelo uso da rede alocado aos geradores usando o Nodal antes e depois

do aumento do custo da linha 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 143

6.7 Custo pelo uso da rede alocado as cargas usando o método Nodal antes e

depois do aumento do custo da linha 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 144

6.8 Custo pelo uso da rede alocado aos geradores usando o método Zavg
bus antes e

depois do aumento do custo da linha 23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 144

6.9 Custo pelo uso da rede alocado as cargas usando o método Zavg
bus antes e depois

do aumento do custo da linha 23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 144

6.10 Custo pelo uso da rede alocado aos geradores usando o método Nodal antes

e depois do aumento do custo da linha 23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 145

6.11 Custo pelo uso da rede alocado as cargas usando o método Nodal antes e

depois do aumento do custo da linha 23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 145

C.1 Sistema de 4 barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 158

E.1 Sistema de 24 barras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 163



Lista de Tabelas

2.1 Resultado da alocação de perdas pelo método Pro Rata. . . . . . . . . . . . . p. 34

3.1 Dados de barras do sistema de 4 barras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 65

3.2 Dados de linhas do sistema de 4 barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 66

3.3 Fluxo de potência ativa nas linhas do sistema de 4 barras. . . . . . . . . . . . p. 66

3.4 Fluxo de potência ativa nas linhas devido a cada EBE. . . . . . . . . . . . . . p. 67

3.5 Função caracterı́stica das coalizões de EBEs. . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 67

3.6 Racionalidade de existência de um Core. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 68

3.7 Alocação de perdas com o Valor Shapley. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 69

3.8 Alocação de perdas com o Valor Shapley normalizado. . . . . . . . . . . . . p. 70

3.9 Alocação de perdas com diferentes métodos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 70

3.10 Função caracterı́stica das coalizões de EBEs. . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 75

3.11 Racionalidade do Core para sistema 14-barras. . . . . . . . . . . . . . . . . p. 75

3.12 Alocação de perdas com diferentes métodos. . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 76

4.1 Perdas elétricas nos submercados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 81

4.2 Fatores finais de perdas (com linha 1 no mercado 1). . . . . . . . . . . . . . p. 83

4.3 Fatores finais de perdas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 84

4.4 Contribuição de cada EBE para o fluxo de potência nas linhas de transmissão p. 88

4.5 Termo cruzado de cada EBE na linha 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 89

4.6 Termo cruzado de cada EBE na linha 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 89

4.7 Termo cruzado de cada EBE na linha 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 89

4.8 Termo cruzado de cada EBE na linha 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 89

4.9 Termo cruzado de cada EBE na linha 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 90



4.10 Contribuição de cada EBE para as perdas elétricas em cada linha de trans-

missão do sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 90

4.11 Contribuição de cada agente (gerador/demanda) para as perdas elétricas em

cada submercado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 91

5.1 Alocação de perdas considerando o caso base. . . . . . . . . . . . . . . . . p. 95

5.2 Fatores de Rede*100. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 96

5.3 Desvio Médio dos fatores de Rede. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 98

5.4 Caracterı́sticas positivas (sim) e negativas (não) dos métodos de alocação de

perdas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 116

6.1 Custo de transmissão da linha 1 (1,2) para cada barra. . . . . . . . . . . . . p. 122

6.2 Custo de transmissão da linha 2 (1,3) para cada barra. . . . . . . . . . . . . p. 122

6.3 Custo de transmissão da linha 3 (1,4) para cada barra. . . . . . . . . . . . . p. 122

6.4 Custo de transmissão da linha 4 (2,4) para cada barra. . . . . . . . . . . . . p. 123

6.5 Custo de transmissão da linha 5 (3,4) para cada barra. . . . . . . . . . . . . p. 123

6.6 Custo total da transmissão alocado à cada barra. . . . . . . . . . . . . . . . . p. 124

6.7 Custo de transmissão da linha 23 alocado aos geradores. . . . . . . . . . . . p. 126

6.8 Custo de transmissão da linha 23 alocado às demandas. . . . . . . . . . . . . p. 127

6.9 Custo de transmissão da linha 11 alocado aos geradores. . . . . . . . . . . . p. 128

6.10 Custo de transmissão da linha 11 alocado às cargas. . . . . . . . . . . . . . p. 129

6.11 Custo total de transmissão alocado aos geradores. . . . . . . . . . . . . . . . p. 130

6.12 Custo total de transmissão alocado às cargas. . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 131

6.13 Custo pelo uso da rede para cada barra, considerando o caso base. . . . . . . p. 133

6.14 Custo pelo uso da rede, quando se eleva em 100% o custo da linha 1 (1,2),

para cada barra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 134

6.15 Custo pelo uso da rede, quando se eleva em 100% o custo da linha 2 (1,3),

para cada barra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 134

6.16 Custo pelo uso da rede, quando se eleva em 100% o custo da linha 3 (1,4),

para cada barra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 135



6.17 Custo pelo uso da rede, quando se eleva em 100% o custo da linha 4 (2,4),

para cada barra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 135

6.18 Custo pelo uso da rede, quando se eleva em 100% o custo da linha 5 (3,4),

para cada barra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 136

6.19 Custo total do uso da transmissão alocado para os geradores. . . . . . . . . . p. 137

6.20 Custo total do uso da transmissão alocado as cargas. . . . . . . . . . . . . . p. 138

6.21 Custo total do uso da transmissão alocado para os geradores considerando

aumento de 100% no custo da linha 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 139

6.22 Custo total do uso da transmissão alocado para as cargas considerando au-

mento de 100% no custo da linha 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 140

6.23 Custo total do uso da transmissão alocado para os geradores considerando

aumento de 100% no custo da linha 23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 141

6.24 Custo total do uso da transmissão alocado para as cargas considerando au-

mento de 100% no custo da linha 23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 142

C.1 Dados de barras do sistema de 4 barras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 158

C.2 Dados de linhas do sistema de 4 barras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 159

C.3 Resultado do fluxo de potência para cada barra. . . . . . . . . . . . . . . . . p. 159

C.4 Resultados do fluxo de potência para cada linha. . . . . . . . . . . . . . . . . p. 159

D.1 Resultado do fluxo de potência nas barras do sistema 14-barras. . . . . . . . p. 160

D.2 Resultado do fluxo de potência nas linhas do 14-barras. . . . . . . . . . . . . p. 161

E.1 Resultado do fluxo de potência nas barras do sistema IEEE 24-barras RTS

para o caso base (carregamento médio). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 164

E.2 Resultado do fluxo de potência nas linhas do sistema IEEE 24-barras RTS

para o caso base. (carregamento médio) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 165

E.3 Resultado do fluxo de potência nas barras do sistema IEEE 24-barras RTS

para o caso de baixo carregamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 166

E.4 Resultado do fluxo de potência nas linhas do sistema IEEE 24-barras RTS

para baixo carregamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 167

E.5 Resultado do fluxo de potência nas barras do sistema IEEE 24-barras RTS

para o caso de alto carregamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 168



E.6 Resultado do fluxo de potência nas linhas do sistema IEEE 24-barras RTS

para alto carregamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 169



Nomenclatura

Au Matriz que relaciona os fluxos iniciais nas linhas de transmissão com as respectivas potências

injetadas nas barras.

Ad Matriz que relaciona os fluxos finais nas linhas de transmissão com as respectivas potências

injetadas nas barras.

B Matriz de suceptância nodal.

Bkm Elemento k−m da matriz de suceptância.

C Matriz de conexão (nlxnb) do sistema .

ci j Elemento que relaciona o fluxo de potência na linha j− i com a injeção de potência na barra

j.

Cjk Custo da linha jk.

D Matriz diagonal de suceptância do sistema .

Ek Tensão nodal na barra k.

EBE Equivalente de troca bilateral.

F0 Vetor de fluxo de potência ativa para um determinado ponto de operação.

Fluxok Parcela da injeção de potência da barra k para suprir as cargas do sistema.

Fmax
l Vetor de fluxo de potência nos pontos de máximo fluxo nas linhas de transmissão.

Fu
k Fluxo na linha k devido a todos os EBEs (com injeção unitária e extração unitária) do

sistema.

F�k Fluxo de potência ativa na linha k devido ao EBE �.



Fk Fluxo de potência ativa na linha k.

Fmin Vetor de Fluxo de potência ativa, considerando fluxos no final das linhas de transmissão.

Fmax Vetor de Fluxo de potência ativa, considerando fluxos no inı́cio das linhas de transmissão.

g jk condutância da linha jk.

G Matriz de condutância nodal.

Gkm Elemento k−m da matriz de condutância.

GD� Equivalente de troca bilateral (EBE) � entre o gerador i e a demanda j. Também pode ser

chamado GDi j.

GDnovo
� Equivalente de troca bilateral (EBE) � considerando o excesso de geração i e o excesso

de demanda da barra j. Também pode ser chamado GDnovo
i j .

Ik Injeção de corrente nodal na barra k.

In Vetor linha em que cada posição contém o elemento 1.

Lk Parcela da injeção de potência da barra k para suprir as perdas no sistema.

n Número de barras do sistema.

nl Número de linhas do sistema.

nEBE Número de EBEs do sistema.

Ptotal
i Somatório de todas as injeções de potência na barra i.

∣∣Pj−i
∣∣ Fluxo de potência na linha j− i calculado como a média dos fluxos final e inicial.∣∣∣Pmax

i j

∣∣∣ Fluxo de potência na linha i− j no inı́cio da linha de transmissão (onde seu valor é

máximo). Também chamado Ptotal
i− j .∣∣∣Pmin

i j

∣∣∣ Fluxo de potência na linha i− j no inı́cio da linha de transmissão (onde seu valor é

mı́nimo). Também chamado Pparcial
i− j .

P Vetor de potência injetada.

P0 Vetor de potência injetada para um determinado ponto de operação.

PD Vetor de demanda de potência.

Ptotal
D Demanda total do sistema.



Pnovo
D Vetor de potência lı́quida negativo.

Ptotal
Di Potência demandada, na barra i, considerando que não há perdas no sistema.

PD j Potência ativa da demanda j.

Pnovo
D j Potência lı́quida consumida na barra j.

PG Vetor de geração de potência ativa do modelo AC.

PDC
G Vetor de geração de potência ativa do modelo DC.

PGi Potência ativa do gerador i.

Pnovo
Gi Potência lı́quida gerada na barra i.

Pparcial
Gi Potência que seria gerada na barra i para consumo das demandas considerando que não

há perdas.

Pparcial Vetor de potência injetada calculado considerando fluxos no final da linha.

Ptotal Vetor de potência injetada calculado considerando fluxos no inı́cio da linha.

Pk Injeção de potência ativa na barra k.

PerdasDC
TOT Perdas elétricas do sistema (modelo DC).

PerdasDC
Linhak

Perdas elétricas da linha k (modelo DC).

PerdasDC
subi

Perdas elétricas no submercado i (modelo DC).

PerdasAC
TOT Perdas elétricas do sistema (modelo AC).

PerdasAC
subi

Perdas elétricas no submercado i (modelo AC).

Perdas Vetor de perdas elétricas alocadas à cada barra.

Perdask Perdas elétricas alocadas à cada barra k.

PerdasGk Perdas alocadas ao gerador k.

PerdasDk Perdas alocadas à demanda k.

PerdasDC
EBE�k

Perdas elétricas na linha k alocadas ao EBE � (modelo AC).

PerdasEBE�k Perdas elétricas na linha k alocadas ao EBE � (modelo AC).

PerdasDC
EBE�

Perdas elétricas alocadas ao EBE �, antes da normalização.



PerdasDC
EBE�

Perdas elétricas alocadas ao EBE �, após a normalização.

Perdasm
EBE�

Perdas elétricas ocorridas no mercado m alocadas ao EBE �.Também pode ser cha-

mada Perdasm
EBEi j

.

Perdasm
Gi Perdas elétricas ocorridas no mercado m alocadas ao gerador i.

Perdasm
D j Perdas elétricas ocorridas no mercado m alocadas à demanda j.

Qk Injeção de potência reativa na barra k.

R Matriz diagonal de resistência.

Rsubi Matriz diagonal de resistência (nlxnl), com valor zero nas posições referentes às linhas

que não pertencem ao mercado i

Rbus Matriz de resistência nodal.

Rk Resistência da linha k.

Rbus
k j Elemento k− j da matriz de resistência nodal.

Sk Injeção de potência complexa na barra k.

vi Função caracterı́stica de perdas elétricas para o EBE i atuando isoladamente na rede.

vk(T ) Função caracterı́stica de uma coalizão T referente à linha k.

v(T ) Soma de todas as funções caracterı́sticas de cada coalizão T em cada linha do sistema.

v(N) Função caracterı́stica de perdas elétricas obtidas considerando a coalizão de todos os

EBEs do sistema.

Vk Magnitude de tensão na barra k.

X̄ Vetor de pagamento de perdas a cada EBE.

X Matriz de reatância nodal (nb−1xnb−1) do sistema .

Xbus Matriz de reatância nodal.

Xbus
k j Elemento k− j da matriz de reatância nodal.

Y Matriz de admitância nodal.

Yk j Elemento k− j da matriz admitância nodal.

Zbus Matriz de impedância nodal.



Zbus
k j Elemento k− j da matriz de impedância nodal.

αu
i é o conjunto de barras que estão conectadas, e fornecem potência à barra i.

αd
i é o conjunto de barras que estão conectadas, e que recebem potência da barra i.

β�hk Fator de proporção de fluxo entre o EBE � e o EBE h, associado ao EBE � e correspondente

a linha k.

φ Vetor inicial dos fatores incrementais de perdas elétricas.

φ AC Vetor final dos fatores incrementais de perdas elétricas após ajustes.

φsubi Vetor de fatores incrementais iniciais de perdas elétricas para o submercado i.

φ f inal
subi

Vetor final de fatores incrementais de perdas elétricas para o submercado i.

γi jk Fator de distribuição de fluxo referente a linha k devido a uma injeção unitária na barra i e

uma extração unitária na barra j. Também pode ser chamado γ�k.

η Matriz de sensibilidade do fluxo de potência com relação a injeção de potência do sistema.

θkm Ângulo de tensão entre as barra k−m.

Ωk Conjunto de barras vizinhas à barra k do sistema.

ΩD Conjunto de todas as demandas do sistema.

ΩG Conjunto de todos os geradores do sistema.

ΩEBE Conjunto de todos os EBEs do sistema.

ΩT Conjunto de EBEs que pertencem a coalizão T .

Ωm
L Conjunto de todas as linhas do mercado m.

ψGk Fator de relação da potência gerada na barra k e a potência gerada no sistema.

ψDk Fator de relação da potência consumida na barra k e a potência consumida no sistema.

ℜ Parte real de um número complexo.



23

1 Introdução

O complexo mundo dos sistemas de energia elétrica está dividido em três grandes grupos:

Geradores, Consumidores e a Transmissão. Os geradores são responsáveis pela produção da

energia elétrica. Do outro lado estão os consumidores, que demandam energia elétrica para

múltiplos usos e aplicações. A energia elétrica é transferida dos geradores aos consumidores

através de um terceiro grupo, o agente transmissor.

Para que geradores e consumidores possam exercer suas atividades de venda e compra de

eletricidade é necessário que existam agentes que regulamentem e que permitam o adequado

funcionamento do sistema elétrico. O operador do sistema elétrico é o agente responsável

pelo controle e por garantir a segurança no suprimento da energia elétrica. No Brasil o agente

responsável por essa tarefa é o ONS (Operador Nacional do Sistema do Sistema Elétrico)(ONS,

outubro de 2006). A energia pode ser comprada diretamente do produtor de energia elétrica,

caracterizando os contratos bilaterais de compra, ou adquirida na forma de leilão pelo governo

e repassada às distribuidoras e consumidores cativos. O agente responsável pelo mercado de

energia elétrica no Brasil é o CCEE (Câmara de Comercialização de Energia Elétrica)(CCEE,

outubro de 2006). Já do ponto de vista jurı́dico e administrativo, o agente responsável por

regulamentar as atividades do setor elétrico, bem como sua fiscalização é o agente regulador

do sistema. No Brasil o agente responsável pela regulação e fiscalização do setor elétrico é a

ANEEL (Agência Nacional de Energia Elétrica) (ANEEL, outubro de 2006).

1.1 Formação dos mercados de energia elétrica

No inı́cio do século XX, o desenvolvimento da indústria de energia elétrica deveu-se, funda-

mentalmente, à indústria privada para apoiar seu desenvolvimento industrial, mineiro e urbano.

Dessa forma começam a surgir, nos paı́ses em desenvolvimento, sistemas elétricos ilhados co-

nectando pequenos geradores a grupos consumidores. Com a crise econômica dos anos 30, os

governos, em muitos paı́ses, assumem a liderança no que concerne às atividades relacionadas

à indústria de energia elétrica. Assim, nestes paı́ses, o fornecimento de energia elétrica, desde



1.1 Formação dos mercados de energia eĺetrica 24

sua produção, passando pela transmissão e distribuição, passa a ser de total responsabilidade do

Estado. Com isso os sistemas de energia elétrica passam a atuar em uma estrutura verticalizada

e submetida ao poder do Estado, que se converte em “empresário” do sistema elétrico.

Outros paı́ses, como Alemanha, Estados Unidos e Japão, também escolheram uma estrutura

verticalizada para formação de sua indústria de energia elétrica. Entretanto, empresas privadas

eram responsáveis por toda cadeia de produção, transporte e distribuição de energia elétrica.

Estas empresas tinham exclusividade em certas áreas geográficas do paı́s.

No final do século passado, e seguindo uma tendência de outros setores da economia -

como telecomunicações, gás e petróleo, também o setor elétrico passava a ser visto como um

serviço público que deveria deixar de ser prestado de forma verticalizada, seja pelo Estado ou

por empresas privadas. Além disso, notava-se falhas no fornecimento adequado da energia

elétrica em termos de quantidade, preço, qualidade e continuidade. Nesse momento um novo

paradigma se produz em nı́vel mundial na indústria do setor elétrico.

Pode-se dizer que a mudança exigida pelo novo paradigma criado para o setor elétrico con-

sistia em: atrair capital privado; melhorar a eficiência com redução de custos. Para atingir os

objetivos exigidos pelo novo paradigma do setor elétrico, deveria haver uma mudança na estru-

tura que era controlado os sistemas de energia elétrica, no qual a cadeia de geração, transmissão

e distrição era de propriedade de um único empresário (estrutura verticalizada), para uma estru-

tura desverticalizada, em que geração, transmissão e distribuição deveriam ser gerenciadas por

empresas distintas (estrutura desverticalizada). Além disso, deveria haver forte competição em

alguns pontos da cadeia fornecedora de energia elétrica (geração e comercialização de energia

elétrica). Neste momento, o agente comercializador foi criado para intermediar negociaciações

de compra e venda de energia elétrica até chegar ao consumidor final, sendo a transmissão e

distribuição consideradas monopólios naturais. A Figura 1.1 ilustra como deveria ocorrer a

transição do antigo modelo (sistema verticalizado) para o novo modelo (sistema desverticali-

zado).

Geração 

Transmissão

Distribuição

Geração 

Transmissão

Distribuição

Desverticalização 

Comercialização  

(Competição) 

(Competição) 

(Monopólio natural)

(Monopólio natural)

Figura 1.1: Transição de um modelo verticalizado para um sistema desverticalizado.

A primeira experiência, prática e de abrangência mundial, em mercados competitivos de



1.1 Formação dos mercados de energia eĺetrica 25

eletricidade ocorreu no Chile, no inı́cio da década de 80 introduzindo a competição na geração.

Mas, as experiências mais bem sucedidas ocorreram posteriormente na Inglaterra e Paı́s de Ga-

les, em 1990 (GREEN, 1999). O processo de mercantilização do sistema elétrico no Reino

Unido consistiu em estabelecer concorrência na geração e comercialização de energia elétrica,

de forma que todos os geradores pudessem vender e todos os consumidores pudessem comprar

energia elétrica sem discriminação no acesso ao sistema de transmissão. Um “pool” de eletrici-

dade foi criado para coordenar a competição na geração e determinar o preço da energia elétrica.

Outros paı́ses motivados pelo êxito alcançado pelo mercado do Reino Unido, que nos primeiros

anos reduziu o preço da energia elétrica em aproximadamente 30% para os consumidores finais,

iniciaram os processos de liberalização e desregulamentação do setor.

No Brasil, no inı́cio da década de 90, iniciou-se o processo de desverticalização comercial

do mercado de energia elétrica, seguindo, em parte, o modelo inglês. Para isso foi criado o

agente responsável pela comercialização da energia com o objetivo de introduzir a competição

no setor elétrico. As privatizações de uma parte das empresas de geração e distribuição de ener-

gia elétrica também contribuı́ram para o processo de transição para o novo modelo de mercado.

Entretanto, o processo de formação do mercado de energia elétrica foi interrompido devido a

falta de investimentos no setor elétrico. O governo se viu obrigado a financiar parte dos investi-

mentos do setor e garantir receitas mı́nimas de compra de energia elétrica aos investidores, em

detrimento do processo natural de competição exigido pela evolução de um sistema de merca-

dos.

Apesar do paı́s, ainda hoje, encontrar-se em fase inicial na formação de seu mercado de

energia elétrica, o processo de desverticalização do setor elétrico brasileiro trouxe consigo pro-

blemas que devem ter uma atenção imediata na definição da nova estrutura do setor elétrico

que está surgindo. Dentre os principais desafios que surgem com a desregulamentação do setor

elétrico, destaca-se o problema da alocação de perdas e custos pelo uso do sistema de trans-

missão.

O problema da alocação de perdas na nova estrutura de mercado ocorre porque, agora,

como os geradores existentes no sistema pertencem a diferentes proprietários, estes devem ser

remunerados pelo excesso de energia que produzem e não é consumida (perdas elétricas). Na

estrutura verticalizada, as perdas elétricas eram parte dos custos variáveis do único empresário

do sistema elétrico. Na nova estrutura deve haver uma compensação por parte do sistema para

remunerar este excesso de energia. Além disso, a alocação de perdas pode ser bastante útil para

novas empresas por emitir sinais econômicos importantes para as novas instalções de geração.

Resulta que um bom método de alocação de perdas aloca maiores valores de perdas para gera-

dores que estão mal localizados na rede e menores perdas (ou perdas negativas) para geradores



1.2 Motivação para estudo da alocação de perdas em sistemas de transmissão 26

bem posicionados na rede. A expressão “mal posicionado” indica que o gerador (ou carga) con-

tribui para o aumento relativamente excessivo das perdas elétricas no sistema. Significa que ao

se alocar o gerador (ou carga) em um ponto diferente da rede, estando agora “bem posicionado”,

este gerador (ou carga) contribui para uma diminuição relativa das perdas elétricas do sistema,

o que reduz investimentos em transmissão e economiza energia primária. Portanto, os métodos

de alocação de perdas devem incentivar que os novos investimentos em geração ocorram em

locais considerados de bom posicionamento.

O problema da alocação de custos pelo uso da transmissão, na nova estrutura de mercado,

ocorre porque o sistema de transmissão deixou de ser propriedade de um único agente e passou

a ser uma via de acesso para efetuar as transações ocorridas no mercado. Assim sendo, torna-se

necessário a sua adequada remuneração por parte dos agentes (geradores e cargas), envolvidos

nas transações. A alocação de custos pelo uso da rede deve, como no problema da alocação de

perdas, emitir sinais econômicos para incentivar geradores e cargas a estarem bem posicionados

na rede. O bom posicionamento, neste caso, indicaria a necessidade de investimentos menores

em transmissão.

Nesta tese, são estudadas diferentes formas de compensar os geradores elétricos pelas per-

das na transmissão. Este problema é chamado problema da alocação de perdas. Também são

estudadas diferentes formas de abordar o problema do uso da rede transmissão. Este problema

é conhecido como alocação de custos pelo uso da transmissão ou “pedágio” pelo uso da rede.

1.2 Motivação para estudo da alocação de perdas em siste-
mas de transmissão

As perdas elétricas podem ser definidas como o excedente de potência gerada no sistema

de energia elétrica que não é consumido pelas cargas. A alocação de perdas elétricas tem como

objetivo atribuir custos aos geradores e cargas para cobrir o custo extra dos geradores pela

potência que é gerada mas não é aproveitada.

O principal problema da alocação de perdas está associado à natureza não-linear das perdas

elétricas. Ou seja, trata-se de uma grandeza que não está relacionada, linearmente, a nenhuma

outra grandeza fı́sica (por exemplo: potências, tensões, correntes, etc.) do sistema elétrico.

Entretanto, sabe-se que a localização de geradores e cargas na rede pode contribuir, de forma

significativa, para o aumento ou diminuição das perdas elétricas do sistema. Além disso, a

influência desses agentes (geradores e cargas), no aumento ou diminuição das perdas elétricas

pode variar de acordo com sua potência gerada ou consumida. A partir dessas afirmações,

criou-se um conjunto de restrições que sinalizam para uma adequada, mas não ideal, alocação



1.3 Motivação para estudo da alocação de custos pelo uso da rede em sistemas de transmiss̃ao 27

das perdas elétricas dos sistemas de transmissão. São elas (CONEJO; GALIANA; KOCKAR,

2001):

1. refletir a posição relativa de cada barra na rede;

2. levar em conta a magnitude da injeção de potência em cada barra;

3. ser consistentes com a topologia e o estado da rede;

4. emitir sinais ecônomicos para geradores e cargas com respeito às suas localizações e

magnitudes;

5. ser consistente com o resultado do fluxo de potência;

6. Procurar ser simples de entender e de implementar.

As perdas elétricas em sistemas de transmissão representam cerca de 4% da potência gerada

deste sistema. Em (LIMA, 2003) estimou-se um custo anual das perdas elétricas para o sistema

sul-sudeste e centro-oeste brasileiro, considerando um carregamento médio, de 204,6 milhões

de reais.

1.3 Motivação para estudo da alocação de custos pelo uso da
rede em sistemas de transmissão

Os custos pelo uso da rede, pagos pelos geradores e/ou cargas, podem ser definidos como

o custo necessário para manter e expandir o sistema de transmissão. O custo do uso da trans-

missão é formado, dentre outras coisas, pelo custo de cada equipamento do sistema de trans-

missão (linhas de transmissão, transformadores, dispositivos FACTS, etc.). O custo de cada

linha de transmissão é obtido considerando o tamanho dessa linha, ou seja, a partir dos valores

de sua reatância.

Vários são os problemas relacionados à alocação de custos pelo uso da rede. O primeiro

deles é definir uma medida ( potência, corrente, tensão, localização, etc.) em cada barra para

associar os custos do uso de cada linha, transformador, ou qualquer equipamento do sistema de

transmissão. A soma dos custos do uso de cada elemento da transmissão resulta no custo pelo

uso da rede. Há muitos trabalhos que utilizam o resultado do fluxo de potência e a localização

fı́sica dos agentes na rede para determinar uma medida de sensibilidade para alocação dos custos

pelo uso do sistema de transmissão a cada um dos agentes (geradores/cargas). A forma com que



1.4 Revisão da literatura 28

se define o uso da rede é o que distingue um método do outro e contribui para determinar as

vantagens e desvantagens acerca de suas aplicações.

De acordo com (MARANGON, 1996) os métodos de alocação de custos pelo uso da

rede devem, além de assegurar a qualidade do serviço de transmissão (controle de tensão, es-

tabilidade estática e dinâmica, etc.), satisfazer um conjunto de restrições para sua adequada

aplicação:

1. não alocar valores negativos de custo aos agentes pelo uso da rede;

2. transparência no procedimento de alocação de custos;

3. Facilidade para promover a regulação;

4. assegurar uma adequada remuneração no presente e em futuros investimentos de trans-

missão;

5. emitir sinais econômicos com respeito a localização dos agentes na rede;

6. manter a continuidade tarifárica do sistema.

No Brasil, o custo do uso da transmissão para sistemas acima de 230 kV, TUST-RB (ele-

mentos da rede básica, com tensões acima de 230 kV), no perı́odo de 2005-2006, segundo

(ANEEL, outubro de 2006), ultrapassa os 6,4 bilhões de reais.

1.4 Revisão da literatura

Nesta seção apresentam-se os principais trabalhos utilizados nesta tese.

1.4.1 Principais trabalhos para o problema da alocação de perdas

Nos últimos anos surgiram muitos métodos para alocação de perdas, em mercados do tipo

pool e mercados baseados em contratos bilaterais. Em (EXPÓSITO et al., 2000), os fluxos

nas linhas são formados, a partir da contribuição individual de cada gerador ou demanda, e

várias alternativas são apresentadas para dividir as perdas elétricas ocasionadas por esses flu-

xos. Métodos de alocação de perdas, para mercados do tipo pool, baseando-se em matrizes

de rede são apresentados em (CONEJO; GALIANA; KOCKAR, 2001) , (UNSIHUAY; SA-

VEDRA, 2006) e (SALGADO R. S.; DANIELS, 2005). Um esquema que calcula o valor

exato das perdas correspondente a uma transação bilateral infinitesimal é apresentado em (GA-

LIANA; PHELAN, 2000). Em (GROSS; TAO, 2000), apresenta-se um método baseado em



1.4 Revisão da literatura 29

aproximações das equações fı́sicas de fluxo de potência para alocação de perdas com múltiplas

transações. Em (KIRSCHEN; ALLAN; STRBAC, 1997), usando o princı́pio da divisão pro-

porcional, é determinada a contribuição individual de cada gerador e demanda para os fluxos

e perdas na rede. Outro método baseado no princı́pio da divisão proporcional de fluxos pode

ser encontrado em (BIALEK, 1996). Em (FERNANDES; ALMEIDA, 2002) é apresentada uma

proposta para alocação de perdas baseada no cálculo do fluxo de potência ótimo e nas transações

bilaterais entre os agentes. Propostas para alocação de perdas usando a idéia dos equivalentes

de trocas bilaterais (EBE) são apresentadas em (CUERVO; SANCHEZ, 2005). Aplicações de

métodos de alocação de perdas para utilização em submercados podem ser encontradas em

(LIMA; CONEJO; CONTRERAS, 2006) e (LEITE-SILVA; COSTA, 2003b). Métodos basea-

dos em fatores incrementais de perdas podem ser encontrados em (GALIANA; CONEJO; KOC-

KAR, 2002) e (LEITE-SILVA; COSTA, 2003a). Uma comparação entre o cálculo dos fatores

incrementais de perdas usando o modelo AC e DC pode ser encontrada em (MENEZES; CAS-

TRO; SILVA, 2006). Uma proposta baseada em fatores incrementais de perdas levando-se em

conta os limites operacionais do sistema pode ser encontrada em (BELATI; SOUSA; COSTA,

2005). Uma aplicação do método Pro Rata pode ser encontrada em (ILIC; GALIANA; FINK,

1998). Comparações entre vários dos métodos apresentados podem ser encontradas em (LIMA;

PADILHA-FELTRIN, 2004) e (CONEJO et al., 2002).

1.4.2 Principais trabalhos para estudos da teoria de jogos

Noções importantes sobre a teoria de jogos podem ser encontradas em (NEWMANN;

MORGENSTERN, 1944). Para utilização de conceitos relacionados à teoria de jogos, nos estu-

dos de alocação de perdas, utiliza-se a mesma notação apresentada em (KAHAN; RAPOPORT,

1984). Para adicionar conceitos de racionalidade aos estudos de teoria de jogos, é necessário

definir um Core como solução de um jogo. Detalhes sobre este conceito podem ser vistos em

(GILLIESKAHAN, 1953). No caso do Core ser muito grande, ou mesmo não existir, pode-se

explorar outras soluções, como Valor Shapley, Valor Shapley Bilateral (BSV) e Kernel. Deta-

lhes sobre o Valor Shapley podem ser vistos em (SHAPLEY, 1953). Detalhes sobre o método

BSV podem ser encontrados em (CONTRERAS et al., 1997) e (CONTRERAS; WU, 1999).

Finalmente um estudo detalhado sobre Kernel pode ser encontrado em (DAVIS; M., 1965).

1.4.3 Principais trabalhos para estudos do problema do uso da rede

No contexto de uso da rede, o tradicional método Pro Rata, revisado em (ILIC; GALI-

ANA; FINK, 1998) e (KIRSCHEN; STRBAC, 2004), considera custos alocados para geradores

e cargas pelo uso de cada linha de transmissão de acordo com o montante de potência ativa



1.5 Organização dos Capı́tulos 30

produzido/consumido por cada gerador/carga.

Outros métodos, mais complexos, alocam custos pelo uso da rede baseando-se no fluxo de

potência ativa provocado por geradores e cargas nas linhas de transmissão. Estes métodos utili-

zam o princı́pio da divisão proporcional, em que os fluxos atribuı́dos a cada gerador e carga nas

linhas a “montante” determinam os fluxos das linhas a “jusante”. Estes fluxos serão associados

às suas origens, ou seja, geradores e cargas. Exemplos deste método podem ser encontrados em

(MARANGON, 1996), (BIALEK, 1996), (BIALEK, 1997), (KIRSCHEN; ALLAN; STRBAC,

1997). Neste caso, a lei de Kirchhoff para corrente é satisfeita, mas não a lei de Kirchhoff para

tensão.

O método de uso da rede apresentado em (GALIANA; CONEJO; GIL, 2003) e (GIL; GA-

LIANA; CONEJO, 2005), utiliza os Equivalentes de Trocas Bilaterais (EBEs) para alocar cus-

tos pelo uso da transmissão. Para construir um EBE atribui-se a cada demanda uma fração da

geração e, da mesma forma, a cada geração atribui-se uma fração de cada demanda.

Finalmente, com o método Zbus (CONEJO et al., 2007), é apresentada uma solução baseada

na matriz de rede Zbus e considera a injeção de corrente em cada barra.

1.5 Organização dos Capı́tulos

Este texto esta organizado como segue:

O capı́tulo introdutório mostra um breve relato histórico dos mercados de energia elétrica.

Também é apresentada a motivação para estudar o problema da alocação de custos da rede de

transmissão (perdas e uso da transmissão) e uma revisão da literatura utilizada no desenvolvi-

mento do trabalho.

No capı́tulo 2 são apresentados os principais métodos de alocação de perdas encontrados

na literatura. Os métodos estudados podem ser classificados nas seguintes categorias: Pro rata,

baseado na potência ativa gerada e/ou consumida em uma barra; Divisão Proporcional (PS),

baseado na teoria do transporte e considerando fluxos de potências nas linhas de transmissão;

Incrementais, que são baseados nos fatores incrementais de perdas; Método baseado na matriz

de rede, que utiliza a matriz de impedância nodal da rede. Os métodos são apresentados com

exemplos ilustrativos utilizando um sistema de 4 barras.

No capı́tulo 3 é apresentada uma análise do problema da alocação de perdas do ponto de

vista da teoria de jogos. São explorados os conceitos de Core, Valor Shapley, Valor Shapley

Bilateral e Kernel. Os sistemas de 4 barras e o sistema de 14 barras são usados para auxiliar nas

análises.



1.5 Organização dos Capı́tulos 31

No capı́tulo 4 os métodos de alocação de perdas são apresentados considerando submer-

cados de energia elétrica e um único operador do sistema, que é o caso do sistema elétrico

brasileiro. Os submercados de energia elétrica são caracterizados por regiões que praticam

diferentes preços de energia elétrica. No Brasil os submercados de energia elétrica estão divi-

didos em quatro regiões (Norte, Nordeste, Sul e Sudeste/Centro-Oeste). Os métodos estudados

podem ser classificados como: Método baseado nos fatores incrementais; Método Baseado em

equivalentes de trocas bilaterais (EBE). Os métodos são apresentados com exemplos ilustrativos

utilizando o sistema de 4 barras.

No capı́tulo 5 os métodos de alocação de perdas são avaliados em diferentes situações: De-

pendência da rede; dispersão de resultados, comportamento marginal e nı́veis de carregamento.

Nesse caso, utiliza-se o sistema IEEE 24-barras RTS para avaliar os métodos.

No capı́tulo 6 apresenta-se uma nova proposta para alocar os custos pelo uso da rede. O

método é baseado na matriz Zbus. Além disso, apresenta-se uma comparação em termos quan-

titativos dos diferentes métodos usados na literatura (Pro Rata, Proporcional ao Fluxo e EBE)

com o método Zbus. Nesse capı́tulo utiliza-se um sistema de 4 barras e o sistema IEEE 24-barras

RTS.

No capı́tulo 7 são apresentadas as conclusões do trabalho, indicando os melhores métodos

para alocação de perdas e para o uso da rede, juntamente com as propostas para futuros traba-

lhos.

Finalmente, este trabalho apresenta seis apêndices. Os fatores de distribuição, utilizados

nos EBEs, são explicados em detalhes no apêndice A. Uma descrição detalhada dos conceitos

utilizados da teoria de jogos é apresentada nos apêndices B, B1, B2, B3 e B4 . O sistema de

4 barras , o sistema de 14 barras e o sistema IEEE 24-barras RTS , bem como os resultados de

seus respectivos fluxos de potência são apresentados no apêndice C, D e E, respectivamente.



32

2 Métodos de alocação de Perdas

Neste capı́tulo são apresentados os principais métodos de alocação de perdas propostos na

literatura para sistema do tipo “pool”.Os métodos serão discutidos e avaliados considerando as

restrições apresentadas anteriormente.

2.1 Método Pro Rata (selo)

O método Pro rata, também conhecido como método selo, se caracteriza por alocar perdas

elétricas proporcionalmente à potência de cada gerador ou de cada carga. Mas, para fazer

a alocação de perdas deve-se arbitrar a proporção de perdas elétricas que serão alocadas aos

geradores e às cargas, por exemplo, 50% respectivamente. Essa proporção pode variar de acordo

com os interesses e regras preestabelecidas em cada sistema de energia elétrica.

2.1.1 Procedimento

Considerando um sistema de n barras que, a partir do resultado do fluxo de potência con-

vergido, conhecem-se as potências geradas e consumidas em cada barra k do sistema, PGk e PDk,

respectivamente, as perdas elétricas do sistema podem ser calculadas como a diferença entre o

somatório das potências geradas e o somatório das potências consumidas. Assim:

PerdasAC
TOT =

n

∑
k=1

PGk −
n

∑
k=1

PDk (2.1)

Para calcular a parcela de contribuição das perdas elétricas para cada gerador e cada carga

do sistema, utilizam-se os fatores ψGk e ψDk, respectivamente:

ψGk =
PGk

∑n
k=1 PGk

(2.2)



2.1 Método Pro Rata (selo) 33

ψDk =
PDk

∑n
k=1 PDk

(2.3)

Finalmente, utilizando-se uma relação de 50% de perdas alocadas aos geradores e 50%

às cargas, pode-se obter o valor das perdas alocadas a cada gerador e cada carga do sistema.

Assim:

PerdasGk =
PerdasAC

TOT

2
ψGk (2.4)

PerdasDk =
PerdasAC

TOT

2
ψDk (2.5)

2.1.2 Exemplo de aplicação do Método Pro Rata

Para ilustrar o método Pro Rata utiliza-se um sistema de 4 barras, como mostra a figura

2.1. Os dados das barras e linhas, bem como o resultado completo do fluxo de potência, são

apresentados no Apêndice C. No cálculo do fluxo de potência, o gerador da barra 1 foi adotado

como referência do sistema.

linha 3 

  250.0 250.0

250.0

linha 2 

linha 5 

linha 1 

linha 4 

   258.4

1 2

43

Figura 2.1: Sistema de 4 barras.

As perdas elétricas calculadas para este sistema são 8,44 MW. Os valores de ψG e ψD

(fatores de geradores e cargas, respectivamente), bem como o valor das perdas elétricas alocados

aos geradores (PerdasG) e cargas (PerdasD) deste sistema, são apresentados na tabela 2.1.



2.2 Método da Divisão Proporcional (PS) 34

Tabela 2.1: Resultado da alocação de perdas pelo método Pro Rata.

Barras ψG PerdasG ψD PerdasD

1 0,51 2,15 - -

2 0,49 2,07 - -

3 - - 0,50 2,11

4 - - 0,50 2,11

Total 1,0 4,22 1,0 4,22

A vantagem de utilizar o método Pro-Rata é o fato de ser simples de entender e de imple-

mentar. Entretanto, um grave problema deste método é o fato dos resultados não refletirem a

localização dos geradores e cargas na rede. Refletir a localização de geradores e cargas signi-

fica promover efeitos de incentivos (diminuir as perdas alocadas) aos geradores e cargas que

promovem diminuição de perdas no sistema, ou não contribuem para seu aumento. Os métodos

apresentados a seguir têm como objetivo principal corrigir essa deficiência apresentada pelo

método Pro Rata e introduzir o efeito da rede, e não só da potência gerada ou consumida, nos

resultados da alocação de perdas.

2.2 Método da Divisão Proporcional (PS)

A proposta do método de alocação de perdas baseado na técnica de divisão proporcional,

também conhecida como MW-milha, foi desenvolvida considerando-se a topologia da rede que

é, em geral, o objetivo do problema do transporte. Em outras palavras, essa técnica busca

identificar como estão distribuı́dos os fluxos na rede de transmissão e associá-los a geradores e

cargas. Para entender melhor o método, assume-se que a rede possui n barras conectadas através

de m ligações (linhas de transmissão ou transformadores). Segundo (BIALEK, 1996) a lei de

Kirchhoff para corrente deve ser satisfeita, sendo que a lei de Kirchhoff para tensão pode ser

desprezada, visto que isso não introduziria nenhum erro, pois o resultado do fluxo de potência

foi calculado anteriormente.

A Figura 2.2 ilustra a idéia do princı́pio da divisão proporcional. Nesse caso, quatro linhas

estão conectadas ao nó i, duas com fluxos entrando e duas com fluxos saindo do nó i. O fluxo de

potência total que chega ao nó i é Pi = 40+60 = 100 MW, dos quais 40% provém do nó j e 60%

provém do nó k. Considerando 70 MW saindo do nó i para o nó m, então, através do princı́pio

da divisão proporcional, obtém-se que 42 MW (70*60/100) representam a contribuição do fluxo

da linha k− i para linha i−m e 28 MW (70*40/100) representam o restante dos 70 MW da linha



2.2 Método da Divisão Proporcional (PS) 35

i−m advindos da linha j− i. Note que as perdas elétricas não são levadas em conta.

40 MW

60 MW 30 MW l

m

k

j
i

70 MW

Figura 2.2: Princı́pio da divisão proporcional.

O procedimento para alocação de perdas utilizando a técnica de divisão proporcional deve

ser separado em duas partes: na primeira parte alocam-se perdas às cargas, e na segunda parte

alocam-se perdas aos geradores, ou vice-versa. Posteriormente, pode-se atribuir um percentual

de perdas a ser alocado para todos geradores e um percentual de perdas alocado a todas as

cargas, por exemplo, 50% para geradores e 50% para cargas.

Método PS utilizando o fluxo médio na linha de transmissão

Suponha, inicialmente, uma barra i qualquer do sistema. O fluxo de potência ativa que

passa pela barra i, denotado por Pi, é igual a geração de potência na barra i mais os fluxos de

potência ativa que chegam à barra i. Assim,

Pi = PGi + ∑
j∈αu

i

∣∣Pi− j
∣∣ para i = 1,2, · · · ,n (2.6)

Em que αu
i é o conjunto de barras que estão conectadas, e fornecem potência, à barra i.

Pi− j é o fluxo de potência que chega à barra i proveniente da linha j − i. Como, no método

PS, as perdas não são levadas em conta, tem-se que
∣∣Pi− j

∣∣ =
∣∣Pj−i

∣∣. Para calcular Pj−i usa-se a

seguinte expressão:

∣∣Pj−i
∣∣ =

∣∣Pi− j
∣∣ =

∣∣∣Pmax
i j

∣∣∣+ ∣∣∣Pmin
i j

∣∣∣
2

(2.7)

Em que Pmax
i j é o fluxo de potência calculado no nó inicial (local de origem do fluxo de

potência) da linha de transmissão i− j, e com maior intensidade. O fluxo de potência Pmin
i j , por

sua vez, é calculado no nó final (local de destino do fluxo de potência) da linha de transmissão

i− j, e, conseqüentemente, com menor intensidade. Ou seja, toma-se a média dos fluxos de



2.2 Método da Divisão Proporcional (PS) 36

potências, inicial e final em uma linha de transmissão. Adota-se essa média (
∣∣Pj−i

∣∣ =
∣∣Pi− j

∣∣)
como sendo o fluxo que atravessa a linha de transmissão i− j, sem perdas. Para entender

melhor a metodologia, utiliza-se o sistema de 4 barras mostrado na figura 2.3. Essa figura

ilustra o resultado do fluxo de potência (ativa) AC para a rede de 4 barras.

linha 3 

  300

115

200

114

linha 2 

linha 5 

173

83

  225 

59
linha 1 

linha 4 

   400

1 2

43 82

60

112

171
  218 

Figura 2.3: Resultado do fluxo de potência (ativa) AC para o sistema de 4 barras.

Para considerar os fluxos de potências nas linhas de transmissão constantes, calculados

como uma média dos fluxos iniciais e finais nas linhas de transmissão, deve-se modificar,

também, as potências geradas e consumidas para que a lei de Kirchhoff das correntes seja

satisfeita. Assim, a Figura 2.4 mostra como fica o resultado do fluxo de potência (sem perdas)

após as modificações dos fluxos de potência nas linhas, e das potências geradas e consumidas

nas barras. A partir dessas modificações, utiliza-se esse sistema (Figura 2.4) como base para o

cálculo da contribuição individual de cada gerador para cada carga (aplicação do método PS).

De 2.6, sabe-se que fluxo total que entra na barra i pode ser calculado como a soma entre

a potência injetada pelo gerador PGi e a soma de todos os fluxos que chegam à barra i. Assim,

o fluxo
∣∣Pj−i

∣∣ associado diretamente à barra j pode ser calculado aplicando-se a expressão∣∣Pi− j
∣∣ = c jiPj, em que c ji =

∣∣Pj−i
∣∣/Pj. Dessa forma:

Pi = PGi + ∑
j∈αu

i

c jiPj. (2.8)

Rearranjando a expressão (2.8), tem-se:



2.2 Método da Divisão Proporcional (PS) 37

linha 3 

  304 203

112,5

linha 2 

linha 5 

59,5

linha 1 

linha 4 

   394,5

1 2

43 82,5

113,5

172  221,5 

Figura 2.4: Fluxo de potência ativa DC para o sistema de 4 barras.

PGi = Pi − ∑
j∈αu

i

c jiPj. (2.9)

Matricialmente, a expressão (2.9) pode ser escrita como:

PG = AuP (2.10)

Em que a matriz de distribuição Au, é a matriz que relaciona os fluxos que chegam a uma

barra com as respectivas potências injetadas nas barras de origem dos fluxos. P é vetor de

injeções de potência em uma barra e PG é o vetor de potência gerada. Os elementos (i, j) da

matriz Au são,

[Au]i j =

⎧⎪⎪⎨
⎪⎪⎩

1 para i = j

−c ji = − ∣∣Pj−i
∣∣/Pj para j ∈ αu

i

0 nas demais posições

A matriz Au é esparsa e não-simétrica. Se A−1
u existir, então, P = PGA−1

u e o elemento i do

vetor P é dado por,

Pi =
n

∑
k=1

[
A−1

u

]
ik PGk (2.11)

A expressão
[
A−1

u

]
ik PGk descreve a contribuição de potência ativa do gerador k na injeção



2.2 Método da Divisão Proporcional (PS) 38

de potência nodal da barra i. Note que Pi é igual a soma dos fluxos que deixam a barra i. Ao

considerar um fluxo em uma linha i− l, saindo da barra i, e aplicando o princı́pio da divisão

proporcional, tem-se:

|Pi−l| = |Pi−l|
Pi

Pi =
|Pi−l|

Pi

n

∑
k=1

[
A−1

u

]
ik PGk para todo l ∈ αd

i (2.12)

Em que
[
A−1

u

]
ik PGk representa a contribuição da potência do gerador k na linha i− l, e αd

i

representa o conjunto das barras que estão conectadas e supridas diretamente pela barra i.

Similarmente, pode-se calcular a carga PDi, a partir de Pi, como:

PDi =
PDi

Pi
Pi =

PDi

Pi

n

∑
k=1

[
A−1

u

]
ik PGk para i = 1, ...,n (2.13)

A contribuição de um gerador k para a carga i é igual a PDi
Pi

[
A−1

u

]
ik PGk. Assim, a partir

desses resultados, pode-se traçar o caminho do fluxo de potência de um determinado gerador

para alimentar uma determinada carga.

2.2.1 Procedimento PS aplicado para alocar perdas às cargas (algoritmo
águas acima)

Na seção anterior foi apresentado o algoritmo de contribuição individual de cada gerador

para cada demanda, utilizando os fluxos médios nas linhas de transmissão. Uma nova versão

para esse problema, e que permite determinar a responsabilidade de cada carga nas perdas

elétricas do sistema, consiste em manter o valor original da potência gerada do sistema, como

na Figura 2.3 e calcular os valores de novas cargas do sistema, considerando que não há perdas

na rede. Isso permite saber quanto de potência de cada gerador deveria chegar a cada carga, caso

não houvesse perdas elétricas no sistema. Entretanto, para aplicar o método, deve-se ajustar os

fluxos de potências de forma que a potência gerada nas barras se mantenha a mesma (de acordo

com o resultado do fluxo de potência AC). Os fluxos de potências nas linhas são alterados de

forma que sempre se leve em conta o efeito do fluxo a “montante” da linha, em um sistema sem

perdas.

Para entender como é feito esse ajuste, considera-se, novamente, a figura 2.3. A linha 4

transporta 173 MW da barra 2 para barra 4, que recebe 171 MW. Portanto, 2 MW são perdidos

nessa linha. Para o caso do algoritmo águas acima, considera-se que o fluxo de 173 MW

percorrerá toda a linha de transmissão. Esse procedimento pode ser repetido para todas as

linhas do sistema. O resultado, entretanto, não satisfaz a lei de Kirchhoff para corrente. Para



2.2 Método da Divisão Proporcional (PS) 39

entender esse fenômeno considera-se novamente a linha 4. Os 173 MW que chegam à barra 4

não podem ser considerados o fluxo total, já que 1 MW também foi perdido na linha 1 (linha

à montante da linha 4). Assim, o fluxo total na linha 4 não é 173 MW, mas sim 173 + 1 =

174 MW. No exemplo da Figura 2.3 é possı́vel encontrar todos os fluxos por inspeção, mas em

sistemas maiores deve-se buscar um método mais formal. Uma vez encontrados todos os fluxos

nas linhas, satisfazendo a lei de Kirchhoff, aplica-se o método apresentado na seção anterior e

calculam-se as novas cargas. As novas cargas devem ser obtidas para que o balanço de potência

seja satisfeito em cada barra do sistema. Como não há perdas no sistema, o fluxo de potência

chegará às cargas com valor maior que o fluxo de potência original, daı́ a necessidade de calcular

as novas cargas.

Para aplicar o método da divisão proporcional, considerando os fluxos nas barras iniciais,

define-se o vetor de injeção, P(total), que é o vetor de injeções no qual as gerações possuem

seu valor real (obtido através do fluxo de potência AC). Além disso, considera-se que não há

perdas no sistema e a lei de Kirchhoff para corrente é satisfeita para toda rede. Similarmente

P(total)
i− j é o fluxo que atravessaria a linha i− j, partindo da barra i, se não houvesse perdas na

rede. Obviamente
∣∣∣P(total)

i− j

∣∣∣ =
∣∣∣P(total)

j−i

∣∣∣. Por exemplo, usando-se a figura 2.3, determina-se que

P(total)
1 = 400, porque não existe fluxo alimentando a barra 1.

∣∣∣P(total)
1−2

∣∣∣ =
∣∣∣P(total)

2−1

∣∣∣ = 60, e,

conseqüentemente, P(total)
2 = P(total)

1−2 +PG2 = 60+114 = 174, etc.

Similarmente a 2.6, o elemento i do novo vetor de injeção nodal pode ser expresso por:

P(total)
i = PGi + ∑

j∈αu
i

∣∣∣P(total)
i− j

∣∣∣ para i = 1,2, · · · ,n (2.14)

Como
∣∣∣P(total)

i− j

∣∣∣ =
∣∣∣P(total)

j−i

∣∣∣, o fluxo P(total)
i− j pode ser substituı́do por c(total)

ji P(total)
j em que

c(total)
ji =

∣∣∣P(total)
j−i

∣∣∣/P(total)
j . Normalmente, as perdas em uma linha de transmissão são tão pe-

quenas, em relação ao fluxo de potência nas linhas de transmissão, que se pode assumir que∣∣∣P(total)
j−i

∣∣∣/P(total)
j ≈ ∣∣Pj−i

∣∣/Pj, em que Pj−i é o fluxo de potência que sai da barra j para linha

j− i e Pj é a injeção de fluxo na barra j. A partir dessas considerações, e utilizando a equação

2.14, tem-se:

PGi = P(total)
i − ∑

j∈αu
i

∣∣Pj−i
∣∣

Pj
P(total)

j . (2.15)

Ou, matricialmente:

PG = AuP(total) (2.16)



2.2 Método da Divisão Proporcional (PS) 40

Em que P(total) é o vetor desconhecido de injeções nodais, Au é a matriz de distribuição

que relaciona os fluxos nas linhas com a potência injetada em cada barra, calculada na seção

anterior. Como PG e Au são conhecidos, pode-se calcular o vetor P(total) usando a equação 2.16.

Uma vez calculado P(total), os fluxos nas linhas e as demandas podem também ser encon-

trados aplicando-se o princı́pio da divisão proporcional. Assim, o fluxo total em uma linha i− l

é dado por,

∣∣∣P(total)
i−l

∣∣∣ =

∣∣∣P(total)
i−l

∣∣∣
P(total)

i

P(total)
i ≈ |Pi−l|

Pi

n

∑
k=1

[
A−1

u

]
ik PGk para todo l ∈ αd

i (2.17)

A demanda em uma barra i pode ser calculada como:

P(total)
Di =

P(total)
Di

P(total)
i

P(total)
i ≈ PDi

Pi

n

∑
k=1

[
A−1

u

]
ik PGk (2.18)

Essa equação (2.18) é especialmente importante porque mostra qual é o valor da potência

que uma carga atrairia de todos os geradores, caso não houvesse perdas no sistema. Dessa

forma, a diferença entre a carga P(total)
Di e a carga real PDi é o valor das perdas elétricas que a

barra i provocaria no sistema caso houvesse perdas.

PerdasDi = P(total)
Di −PDi (2.19)

Finalmente, pode-se concluir que PerdasDi são as perdas do sistema alocadas à cargas i.

2.2.2 Exemplo de aplicação do Método PS para alocar perdas às cargas

Para ilustrar o método PS aplicado às cargas utiliza-se, novamente, o sistema de 4 barras,

com uma nova configuração de geração e cargas, como mostra a figura 2.5, em que os valores

de potência são apresentados em MW.

Para resolver o problema matricialmente, consideram-se o vetor de potências geradas, PG,

e a matriz Au, que relaciona os fluxos de potência das linhas de transmissão (na origem) com as

respectivas potências extraı́das de cada barra.



2.2 Método da Divisão Proporcional (PS) 41

linha 3 

  250.0

127.1

250.0

250.0

linha 2 

linha 5 

197.5

70.4

  183.6

52.5
linha 1 

linha 4 

   258.4

1 2

43 69.8

52.3

125.9

194.6180.2

Figura 2.5: Fluxo de potência ativa AC para o sistema de 4 barras.

PG =

⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎣

258,4

250,0

0,0

0,0

⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎦

O vetor de injeção de potência, P é dado por:

Pj =

⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎣

310,7

250,0

250,0

320,5

⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎦

O vetor de fluxo de potência nas linhas de transmissão, F max, com nl (número de linhas),

considera os fluxos na origem das linhas de transmissão. Dessa forma:

Fmax =

⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

52,5

183,6

127,1

197,5

70,4

⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

A partir dos vetores acima, pode-se calcular a matriz Au:



2.2 Método da Divisão Proporcional (PS) 42

Au =

⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1,0 −52,5
250,0 0,0 0,0

0,0 1,0 0,0 0,0
−183,6
310,7 0,0 1,0 −70,4

320,5
−127,1
310,7

−197,5
250,0 0,0 1,0

⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎦

A inversa da matriz Au:

A−1
u =

⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1,0 0,21 0,0 0,0

0,0 1,0 0,0 0,0

0,6807 0,3164 1,0 0,2196

0,4091 0,8759 0,0 1,0

⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎦

O vetor P(total) é calculado como P(total) = A−1
u PG. Assim:

P(total) =

⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎣

310,95

250,0

255,05

324,71

⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎦

O consumo de potência do sistema considerado, sem perdas, é:

P(total)
D3 =

250,0
250,0

255,05 = 255,1

P(total)
D4 =

250,0
320,5

324,71 = 253,3

Finalmente, as perdas alocadas às cargas são:

PerdasD3 = 255,1−250,0 = 5,1MW

PerdasD4 = 253,3−250,0 = 3,3MW

Caso seja adotado um critério de repartição de 50% das perdas para geradores e cargas, as

perdas alocadas às cargas devem ser divididas por 2.



2.2 Método da Divisão Proporcional (PS) 43

2.2.3 Procedimento PS aplicado para alocar perdas aos geradores (algo-
ritmo águas abaixo)

A diferença do método PS aplicado aos geradores é que, agora, consideram-se os fluxos de

potência calculados no final das linhas de transmissão do sistema. Nesse caso, consideram-se

as cargas do modelo AC e calcula-se qual deveria ser o valor da geração para alimentá-las caso

não houvesse perdas no sistema. Isso, obviamente, requer a mudança no vetor de geração.

Para entender o método, novamente, utiliza-se a linha 4 da figura 2.3. Para aplicar o pro-

cedimento, eliminam-se as perdas do sistema e considera-se que o fluxo que passa pela linha 4

é 171 MW (fluxo no final da linha). Entretanto, 171 MW não é o verdadeiro fluxo que passa

pela linha 4 já que este fluxo contém um componente que será perdido na linha 5 (a jusante).

Para lidar com esse problema introduz-se o elemento i do vetor desconhecido de injeção de

potência P(parcial)
i e P(parcial)

i−l , como um fluxo, também desconhecido, da linha i− l, ambos sa-

tisfazendo a lei de Kirchhoff para corrente. Obviamente
∣∣∣P(parcial)

i−l

∣∣∣ =
∣∣∣P(parcial)

l−i

∣∣∣. Tomando,

novamente, a figura 2.3, por inspeção P(parcial)
3 = 300 pois não existem fluxos saindo da barra

3,
∣∣∣P(parcial)

4−3

∣∣∣ =
∣∣∣P(parcial)

3−4

∣∣∣ = 82 e P(parcial)
4 = 200+82 = 282

Para aplicar o procedimento (PS) para esse problema, considera-se que P(parcial)
i é igual a

soma dos fluxos que deixam a barra i mais a carga da barra i. Assim:

P(parcial)
i = ∑

l∈αd
i

∣∣∣P(parcial)
l−i

∣∣∣+PDi para i = 1,2, · · · ,n (2.20)

Em que αd
i é o conjunto de barras que estão conectadas, e são supridas pela barra i. P(parcial)

i−l

é o fluxo de potência que chega à barra i proveniente da linha l − i. Lembrando que como não

há perdas no sistema,
∣∣∣P(parcial)

i−l

∣∣∣ =
∣∣∣P(parcial)

l−i

∣∣∣.
Pode-se relacionar o fluxo P(parcial)

i−l diretamente à injeção de potência em uma barra l

usando a expressão
∣∣∣P(parcial)

i−l

∣∣∣ = c(parcial)
li P(parcial)

l , em que c(parcial)
li =

∣∣∣P(parcial)
l−i

∣∣∣/P(parcial)
l .

Como as perdas nas linhas de transmissão são pequenas em relação ao fluxo de potência nas

linhas, pode-se considerar que
∣∣∣P(parcial)

l−i

∣∣∣/P(parcial)
l ≈ |Pl−i|/Pl. Dessa forma, pode-se escrever:

P(parcial)
i = PDi + ∑

l∈αd
i

|Pl−i|
Pl

P(parcial)
l . (2.21)

Rearranjando a expressão 2.21, tem-se:



2.2 Método da Divisão Proporcional (PS) 44

PDi = Pi − ∑
j∈αd

i

cliP
(parcial)
l . (2.22)

Matricialmente, a expressão 2.22 pode ser escrita como:

PD = AdP(parcial) (2.23)

Em que a matriz de distribuição Ad , é a matriz que relaciona os fluxos que chegam a uma

barra com as respectivas potências injetadas das barras finais, P(parcial) é o vetor de injeções de

potência e PD é o vetor de potência consumida. O elemento (i, l) da matriz Ad é:

[Ad]il =

⎧⎪⎪⎨
⎪⎪⎩

1 para i = j

−cli = −|Pl−i|/Pl para l ∈ αd
i

0 nas demais posições

A matriz Ad é esparsa e não-simétrica. Se A−1
d existir, então, P(parcial) = PDA−1

d . O elemento

i do vetor P é dado por:

P(parcial) =
n

∑
k=1

[
A−1

d

]
ik PDk (2.24)

A expressão
[
A−1

d

]
ik PDk descreve a quantidade de potência consumida pela carga k devido

a uma injeção de potência nodal da barra i. Note que Pi é igual a soma das gerações PGi mais

os fluxos que entram na barra i. Ao considerar um fluxo em uma linha i− l, saindo da barra i, e

aplicando o princı́pio da divisão proporcional, tem-se:

|Pi−l| = |Pi−l|
Pi

Pi =
|Pi−l|

Pi

n

∑
k=1

[
A−1

d

]
ik PDk para todo l ∈ αd

i (2.25)

Em que
[
A−1

d

]
ik PDk representa a quantidade de potência consumida da carga k que passa

pela linha i− l, e αd
i representa o conjunto de barras que suprem diretamente a barra i.

Similarmente, pode-se calcular a geração P(parcial)
Gi , a partir de P(parcial)

i , como:

P(parcial)
Gi =

P(parcial)
Gi

P(parcial)
i

P(parcial)
i ≈ PGi

Pi

n

∑
k=1

[
A−1

d

]
ik PDk para i = 1, ...,n (2.26)

O consumo de potência da carga k proveniente do gerador i é igual a PGi
Pi

[
A−1

d

]
ik PDk. As-



2.2 Método da Divisão Proporcional (PS) 45

sim, a partir desses resultados, pode-se traçar o caminho do fluxo de potência que sai de um

determinado gerador para uma determinada demanda.

A expressão 2.26 é especialmente importante porque mostra quanto de potência gerada

seria necessária para alimentar as cargas, caso não houvesse perdas. Portanto, a diferença entre

a geração real (obtida através do fluxo de potência AC) e a geração obtida pelo método (PS) é:

PerdasGi = PGi −P(parcial)
Gi (2.27)

O valor acima representa as perdas elétricas atraı́das pelo gerador i quando este alimenta

todas as cargas, ou, em outras palavras, as perdas alocados ao gerador i.

2.2.4 Exemplo de aplicação do Método PS para alocar perdas aos gera-
dores

Para ilustrar o método PS para alocar perdas aos geradores utiliza-se, novamente, o sistema

de 4 barras, como mostra a figura 2.5, com valores de potência expressos em (MW).

Para resolver o problema matricialmente, consideram-se o vetor de potências consumidas,

PD, e a matriz Ad , que relaciona os fluxos de potência nas linhas de transmissão (no destino)

com suas respectivas injeções de potências nas barras:

PD =

⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎣

0,0

0,0

250,0

250,0

⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎦

O vetor de injeção de potência, P é dado por:

P =

⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎣

310,71

250,0

250,0

320,43

⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎦

O vetor de fluxo de potência nas linhas de transmissão, F min, com nl (número de linhas),

considerando os fluxos no destino das linhas de transmissão:



2.2 Método da Divisão Proporcional (PS) 46

Fmin =

⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

52,26

180,22

125,88

194,55

69,78

⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

A partir dos vetores acima, pode-se calcular a matriz Ad:

Ad =

⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1,0 0,0 −180,22
250,0

−125,88
320,43

−52,3
310,71 1,0 0,0 −194,55

320,43

0,0 0,0 1,0 0,0

0,0 0,0 −69,78
250,0 1,0

⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎦

A inversa da matriz Ad é:

A−1
d =

⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1,0 0,0 0,8305 0,3928

0,1682 1,0 0,3092 0,6733

0,0 0,0 1,0 0,0

0,0 0,0 0,2791 1,0

⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎦

O vetor P(parcial)
i é calculado como P(parcial)

i = A−1
d PD. Assim:

P(parcial)
i =

⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎣

305,83

245,61

250,0

319,78

⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎦

A potência gerada do sistema, sem perdas, é:

P(parcial)
G1 =

258,4
310,7

305,83 = 254,35

P(parcial)
G2 =

250,0
250

245,61 = 245,61

Finalmente, as perdas alocadas aos geradores são:



2.3 Método Incremental de perdas (ITL) 47

PerdasG1 = 258,4−254,35 = 4,05MW

PerdasG2 = 250,0−245,61 = 4,39MW

Caso seja adotado um critério de divisão de 50% das perdas para geradores e cargas, as

perdas alocadas aos geradores devem ser divididas por 2.

2.3 Método Incremental de perdas (ITL)

Os métodos baseados em fatores incrementais de perdas são definidos utilizando a sensi-

bilidade das perdas elétricas quando a potência injetada em cada barra é marginalmente incre-

mentada. Os principais métodos baseados em fatores incrementais são apresentados em (GA-

LIANA; CONEJO; KOCKAR, 2002) e (LEITE-SILVA; COSTA, 2003a). Aqui, descreve-se

o modelo linear para obtenção dos fatores incrementais de perdas como é feito em (LEITE-

SILVA; COSTA, 2003a).

2.3.1 Procedimento

Para demonstrar como são obtidos os fatores incrementais, considera-se o modelo linear

(modelo DC) para cálculo das perdas elétricas:

PerdasDC
TOT =

nl

∑
i=1

RiF
2

i (2.28)

Matricialmente, 2.28 pode ser escrita como:

PerdasDC
TOT = FT RF (2.29)

Em que F é o vetor (nlx1) de fluxos de potência ativas dos circuitos, R é a matriz diagonal

(nl x nl) de resistências das linhas. No caso do modelo linear para cálculo das perdas, a tensão

nas barras do sistema é igual a 1,0 p.u e, portanto, o fluxo de potência nas linhas de transmissão

é igual ao fluxo de corrente.

Linearizando 2.29 em torno de um ponto P0 tem-se:



2.3 Método Incremental de perdas (ITL) 48

PerdasDC
TOT (P) = PerdasDC

TOT (P0)+

[
∂PerdasDC

TOT

∂P

]
P0

[P−P0] (2.30)

Em que:
∂PerdasDC

TOT

∂P
=

∂PerdasDC
TOT

∂F
∂F
∂P

= 2FT Rη (2.31)

A matriz η representa a sensibilidade do fluxo de potência, F , com relação a potência inje-

tada, P. Assim, pode-se expressar o fluxo de potência em uma linha de transmissão em função

das potências injetadas em cada barra, por F = ηP (BERGER; VITTAL, 1999) e (EXPÓSITO,

2002). A matriz de sensibilidade do sistema, η , pode ser calculada como,

η = D C X (2.32)

Em que D é a matriz diagonal de suceptâncias, de dimensão (nlxnl), C é a matriz de conec-

tividade (ramo x barra), de dimensão (nl x nb−1), sem a barra de referência, e X é a matriz

de reatâncias nodal, de dimensão (nb−1 x nb−1), sem a linha e coluna referente à barra de

referência.

Substituindo 2.31 em 2.30 tem-se:

PerdasDC
TOT (P) = PerdasDC

TOT (P0)+2FT
0 Rη [P−P0] (2.33)

Desenvolvendo a equação 2.33 tem-se:

PerdasDC
TOT (P) = PerdasDC

TOT (P0)+2FT
0 RηP−2FT

0 RηP0 (2.34)

Mas, de 2.29, as perdas elétricas no ponto de operação P0 podem ser expressas como:

PerdasDC
TOT (P0) = FT

0 RF0 = FT
0 RηP0 (2.35)

Substituindo 2.35 em 2.34 pode-se obter a equação linearizada de perdas em torno do ponto

P0:

PerdasDC
TOT (P) = −PerdasDC

TOT (P0)+2FT
0 RηP (2.36)

Definindo o vetor de sensibilidade φ como:



2.3 Método Incremental de perdas (ITL) 49

φ = 2FT
0 RηP (2.37)

Em que o elemento i do vetor φ pode ser interpretado por:

φi =
Variação das perdas do sistema
Variação de potência da barra i

(2.38)

Observa-se que, a partir da equação 2.38, o fator de perdas φi para a barra de referência é

igual a zero. Isso ocorre porque qualquer variação na injeção de potência na barra de referência

é compensada nela mesma. Por esse motivo, o vetor φ reflete a variação das perdas em cada

barra com relação à barra de referência. Deve-se destacar que a mudança na barra de referência

implica na mudança dos valores dos fatores e o fator para a nova barra de referência é igual a

zero.

Finalmente, pode-se expressar as perdas elétricas em função do vetor de sensibilidade φ .

Assim,

PerdasDC
TOT (P) = −PerdasDC

TOT (P0)+φP (2.39)

Método de divisão das perdas entre Geração e Demanda

A idéia dos métodos incrementais para alocação de perdas é ratear as perdas entre os agen-

tes (geradores/cargas) proporcionalmente à variação das perdas totais quando se eleva marginal-

mente a injeção de potência nas barras em que essa injeção é considerada. Como se verificou

anteriormente, não existe sensibilidade de perdas com relação a variação de injeção na barra

de referência, o que significa que o agente conectado à barra de referência não pagaria pelas

perdas elétricas. Com o método de divisão das perdas entre geradores e cargas pode-se, além de

definir a proporção de perdas destinada aos geradores e cargas, alocar perdas, também, à barra

de referência. Esse procedimento é descrito a seguir:

Considera-se o vetor constante φk de dimensão (1 x nb):

φk = [k k k . . . k] (2.40)

No fluxo de potência DC, o somatório das injeções (entrando ou saindo da barra) de potência

em todas as barras é igual a zero, pois não há perdas. Dessa forma pode-se afirmar que φkP = 0.

Substituindo φkP = 0 na equação 2.39, de forma que a igualdade da expressão não seja alterada,

tem-se:



2.3 Método Incremental de perdas (ITL) 50

PerdasDC
TOT (P) = −PerdasDC

TOT (P0)+ [φ −φk]P (2.41)

Aplicando a esta expressão os vetores de potência gerada e consumida tem-se:

PerdasDC
TOT (P) = −PerdasDC

TOT (P0)+ [φ −φk]PDC
G (2.42)

PerdasDC
TOT (P) = −PerdasDC

TOT (P0)+ [φ −φk]PD (2.43)

Igualando-se os resultados das expressões 2.42 e 2.43 (essa consideração é feita porque se

considera que geradores e cargas pagam igualmente pelas perdas elétricas do sistema), pode-se

calcular o valor k como:

k =
1

[GDC +C]
φ [PDC

G +PD] (2.44)

Em que, GDC é a geração total do sistema e C a carga total do sistema. Com isso, o novo

fator de perdas é definido por φ∗ = φ −φk, e assim:

PerdasDC
TOT (P) = −PerdasDC

TOT (P0)+φ∗P (2.45)

Determinação de um fator de perdas

Para distribuir o termo −PerdasDC
TOT (P0) na mesma proporção para todas as barras, define-

se a variável ρ , de forma que ρφ∗P = PerdasDC
TOT (P). Para isso, assume-se que P = P0, e ,

portanto:

ρφ∗P = 2PerdasDC
TOT (P) (2.46)

A parcela de perdas para a barra i passa a ser 1
2φ∗P. Assim, a equação linear de perdas em

torno do ponto P0 é:

PerdasDC
TOT (P) = φ nP (2.47)

Em que φ n = 1
2φ∗. Dessa forma, a parcela de perdas, do modelo DC, atribuı́da a uma barra

i é dada por φ n
i Pi.



2.3 Método Incremental de perdas (ITL) 51

Perdas elétricas AC

O desenvolvimento prévio (a partir do modelo DC) para a obtenção dos fatores incrementais

de perdas parte do princı́pio de que a soma de todas as potências geradas e todas as potências

consumidas são as mesmas, o que não é verdade. Mas, essa aproximação é particularmente

importante porque permite utilizar o conceito de Centro de Perdas. O centro de perdas é definido

como uma barra fictı́cia, onde todos os geradores enviam suas potências geradas e todas as

cargas retiram suas potências consumidas. Obviamente, para que isso ocorra, a soma de todas as

potências geradas deve ser igual a soma de todas as potências consumidas. Se a diferença entre a

geração e o consumo é considerada, as perdas podem ser alocadas mas o balanço de potência no

centro de perdas não é alcançado, já que a geração é maior que a demanda no centro de perdas.

Para solucionar este problema resolve-se o fluxo de potência DC considerando as perdas, em

que as perdas, calculadas com o fluxo de potência AC em cada linha, são representadas por

cargas fictı́cias em cada extremidade desta linha (metade das perdas na origem da linha e a outra

metade no final da linha). Assim, um novo vetor de injeção de potência, Pnovo
0 que considera as

perdas elétricas como cargas, é usado. A função do vetor Pnovo
0 será calcular o novo vetor φk.

Entretanto, com esse novo modelo (perdas como barras fictı́cias), parte das perdas será alocada

às novas cargas fictı́cias, produzindo um desbalanço entre as perdas divididas aos geradores e

às cargas. Este problema é evitado se as cargas fictı́cias não forem representadas no vetor de

injeções P. Apesar de que, agora, a equação φkP = 0 não seja mais válida, trata-se de uma

aproximação tão pequena que pode ser negligenciada.

Finalmente, para recuperar o valor das perdas do fluxo de potência AC, deve-se introduzir

um novo fator de ajuste ,ς , de forma que ςφ nP = PerdasAC
TOT . Considerando o ponto de operação

PAC
0 , o valor de ς pode ser calculado como:

ς =
PerdasAC

TOT

φ nPAC
0

(2.48)

As perdas elétricas AC alocadas a uma barra i são φAC
i Pi, em que φ AC

i = ςφ n. Incluindo as

perdas no modelo, há uma diferença entre a quantidade de perdas alocadas aos geradores e às

cargas. Para eliminar esta diferença utiliza-se o seguinte artifı́cio:

PerdasG = φ AC
i PG (2.49)

PerdasD = −φ AC
i PD (2.50)



2.3 Método Incremental de perdas (ITL) 52

Calcula-se:

∆ =
PerdasG−PerdasD

2
(2.51)

Os fatores de perdas para geradores e cargas , respectivamente, são:

φ f inal
Gi = φ AC

i (1− ∆
PerdasG

) (2.52)

φ f inal
Di = φ AC

i (1− ∆
PerdasD

) (2.53)

Finalmente, as perdas alocadas aos geradores e cargas, respectivamente, são:

PerdasGi = φ f inal
Gi PGi (2.54)

PerdasDi = φ f inal
Di PDi (2.55)

Algoritmo para obtenção dos fatores incrementais ITL (AC)

Para melhor entendimento do método ITL descreve-se um algoritmo com os principais

passos para obtenção dos fatores incrementais de perdas do modelo AC.

1. Com o cálculo do fluxo de potência AC, determinar as perdas elétricas em cada linha e as

perdas totais do sistema;

2. Substituir as perdas das linhas de transmissão por cargas fictı́cias localizadas nas barras

no começo e no final das linhas;

3. Calcular o vetor Pnovo
0 :

Pnovo
0 = PAC

G −PD −PAC
FIC

Em que:

Pnovo
0 é o vetor de potências injetadas nas barras (1 x nb);

PAC
G é o vetor de potências geradas nas barras (1 x nb);

PD é o vetor de potências consumidas nas barras (1 x nb);

PAC
FIC é o vetor de cargas fictı́cias nas barras (1 x nb).



2.3 Método Incremental de perdas (ITL) 53

A carga fictı́cia em uma barra i qualquer é dada por:

PAC
FICi

=
n

∑
j=1

Perdasi j

2

Em que:

Perdasi j são as perdas na linha i− j, conectada à barra i;

4. Determinar a matriz de sensibilidade η .

η = DCX

Em que:

D - Matriz diagonal de suceptância (nlxnl) do sistema .

C - Matriz de conexão (nlxnb−1) do sistema .

X - Matriz de reatâncias nodal (nb−1xnb−1) do sistema .

5. Obter os vetores:

φ = 2RF0η

k =
1

[G+C +PerdasAC
TOT ]

φ [PG +PD +PAC
FIC]

φk = [k k k . . . k]

φ∗ = φ −φk

φ n =
1
2

φ∗ para P0 = Pnovo
0

Do fluxo de potência AC, tem-se:

PAC
0 = PAC

G −PD

6. Cálculo do fator de perdas:

Considerando,

InPAC
0 = PerdasTOT

AC



2.3 Método Incremental de perdas (ITL) 54

Em que In é o vetor linha em que cada posição contém o elemento 1.

Tem-se que:

ς =
PerdasAC

TOT

φ nPAC
0

Finalmente, o fator incremental de perdas associado à barra i é dado por:

φ AC
i = ςφ n

2.3.2 Exemplo de aplicação do método ITL

Para ilustrar o método ITL para alocar perdas utiliza-se, novamente, o sistema de 4 barras

mostrado na Figura 2.5. Com valores em p.u tem-se:

1. As perdas elétricas do sistema, calculadas a partir do resultado do fluxo de potência, são:

PerdasAC
TOT = 0,845

2. O vetor de potências Pnovo
0 , calculado como PAC

G −PAC
D −PAC

FIC, é:

Pnovo
0 =

⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎣

2,584

2,50

0,0

0,0

⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎦−

⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎣

0,0

0,0

2,50

2,50

⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎦−

⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎣

0,0245

0,0159

0,0202

0,0237

⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎦ =

⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎣

2,56

2,484

−2,520

−2,524

⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎦

3. A matriz η , calculado como DCX bus, é:

S =

⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

20,0 0,0 0,0 0,0 0,0

0,0 19,8 0,0 0,0 0,0

0,0 0,0 26,9 0,0 0,0

00,0 0,0 0,0 26,9 0,0

0,0 0,0 0,0 0,0 15,7

⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1 −1 0 0

1 0 −1 0

1 0 0 −1

0 1 0 −1

0 0 −1 1

⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎣

0,0 0,0 0,0 0,0

0,0 0,0283 0,0054 0,0122

0,0 0,0054 0,0323 0,0094

0,0 0,0122 0,0094 0,0212

⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎦ =

⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

0,0 −0,566 −0,108 −0,243

0,0 −0,107 −0,640 −0,186

0,0 −0,327 −0,252 −0,570

0,0 −0,434 −0,108 −0,243

0,0 0,107 0,360 −0,186

⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦



2.3 Método Incremental de perdas (ITL) 55

4. Cálculo dos vetores de sensibilidade de perdas.

O vetor φ , calculado como 2FT
0 Rη:

φ = 2

⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

−0,5356

1,7990

1,2389

1,9620

0,7010

⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

T ⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

0,01 0,0 0,0 0,0 0,0

0,0 0,1008 0,0 0,0 0,0

0,0 0,0 0,00744 0,0 0,0

0,0 0,0 0,0 0,00744 0,0

0,0 0,0 0,0 0,0 0,01275

⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

0,0 −0,566 −0,108 −0,243

0,0 −0,107 −0,640 −0,186

0,0 −0,327 −0,252 −0,570

0,0 0,434 −0,108 −0,243

0,0 0,107 −0,360 0,186

⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

=

⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎣

0,0

0,01076

−0,03628

−0,01843

⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎦

O vetor constante φk, em que cada elemento é dado por, k = 1
[G+C+PerdasAC

TOT ]
φ [PG +PD +

PAC
FIC]:

φk =

⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎣

−0,01090

−0,01090

−0,01090

−0,01090

⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎦

O vetor φ ∗, calculado como φ −φk:

φ∗ =

⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎣

0,01090

−0,02167

−0,02538

−0,007525

⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎦

E, finalmente, considerando P = P0, o vetor φ n, calculado como φ n = 1
2φ∗:

φ n =

⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎣

0,005451

0,01083

−0,01269

−0,003762

⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎦

5. Cálculo do fator incremental de perdas para o fluxo de potência AC.

Considerando que PAC
0 = PG − PD, busca-se um vetor de fatores incrementais,φ AC de

forma que φ ACPAC
0 = PerdasAC

TOT . Para recuperar essa igualdade, calcula-se o fator ς



2.4 Método Zbus 56

de forma que ς = PerdasAC
TOT

φnPAC
0

. Assim,

ς = 1,026

Finalmente, o vetor φ AC é dado por:

φ AC =

⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎣

0,005595

0,01112

−0,01303

−0,003862

⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎦

A vantagem do método ITL é que a idéia por trás do método elimina a dependência da barra

de referência, comum nos métodos que se baseiam em fatores incrementais de perdas. Nesse

caso (LEITE-SILVA; COSTA, 2003a), qualquer que seja a escolha da barra de referência, as

perdas elétricas sempre serão alocadas da mesma forma. A desvantagem do método incremen-

tal, apresentado no referido trabalho, é a necessidade de constantes ajustes, ainda que de pouca

influência no resultado final, para recuperar as perdas elétricas do modelo AC. Os ajustes po-

dem compromoter a fidelidade do modelo proposto pelo método, que é alocar perdas apartir da

sensibilidade das perdas com relação a potência injetada em cada barra.

2.4 Método Zbus

O método Zbus para alocação de perdas consiste em expressar as perdas elétricas do sis-

tema, PerdasAC
TOT , a partir da matriz de impedância nodal Zbus, e, posteriormente, alocar as

perdas a cada barra do sistema com a equação que relaciona as injeções de corrente em cada

barra e a matriz de impedância nodal.

2.4.1 Procedimento

A potência complexa injetada em uma barra k pode ser expressa em função da tensão nodal

na barra k e a injeção de corrente na barra k. Assim:

Sk = Pk + jQk = EkI∗k (2.56)

Em que Sk é a injeção de potência complexa em uma barra k e Pk e Qk são as injeções de

potência ativa e reativa em uma barra k, respectivamente. Ek é a tensão nodal da barra k e Ik a

injeção de corrente na barra k. As injeções de potência Pk e Qk podem ser expressas como:



2.4 Método Zbus 57

Pk = Vk

n

∑
k=1

Vm(Gkmcosθkm +Bkmsenθkm) (2.57)

Qk = Vk

n

∑
k=1

Vm(Gkmsenθkm −Bkmcosθkm) (2.58)

Sendo:

Vk e Vm - Magnitudes de tensões na barra k e m, respectivamente.

Gkm e Bkm - Elemento k−m da matriz de condutância e suceptância, respectivamente.

θkm - Ângulo de tensão entre as barra k−m.

n - Número de barras do sistema.

Desenvolvendo a expressão Pk, tem-se:

Pk = V 2
k Gkk +Vk ∑

m∈Ωk

Vm(Gkmcosθkm)+Vk ∑
m∈Ωk

Vm(Bkmsenθkm) (2.59)

Em que, Ωk é o conjunto de barras com ligação à barra k.

A equação 2.59 pode ser decomposta em duas partes. A primeira parte (Lk) pode ser in-

terpretada como a parcela responsável por suprir as perdas elétricas devido a uma injeção de

potência da barra k. A segunda (Fluxok) é a parcela de injeção de potência na barra k res-

ponsável pela injeção de potência nas barras adja