UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO” FACULDADE DE ENGENHARIA CÂMPUS DE ILHA SOLTEIRA Anthony Eric Pezo Mayta Otimização Multiobjetivo Híbrida para o Fluxo de Potência Ótimo com Controle de Variáveis Discretas Utilizando Busca Tabu e Programação Não Linear Ilha Solteira 2025 UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO” Campus de Ilha Solteira Anthony Eric Pezo Mayta Otimização Multiobjetivo Híbrida para o Fluxo de Potência Ótimo com Controle de Variáveis Discretas Utilizando Busca Tabu e Programação Não Linear Dissertação apresentada à Faculdade de Engenharia da Universidade Estadual Paulista–UNESP, Câmpus de Ilha Solteira, como parte dos requisitos para a obtenção do título de Mestre em Engenharia Elétrica. Área de Conhecimento: Automação. Orientador: Prof. Dr. Ruben Romero Ilha Solteira 2025 Mayta Hybrid multi-objective optimization for optimal power flow with discrete variable control using tabu search and nonlinear programmingIlha Solteira2026 135 Sim Dissertação (mestrado)Engenharia ElétricaSistemas Elétricos de PotênciaSim . FICHA CATALOGRÁFICA Desenvolvida pela Diretoria Técnica de Biblioteca e Documentação Pezo Mayta, Anthony Eric. Hybrid multi-objective optimization for optimal power flow with discrete variable control using tabu search and nonlinear programming / Anthony Eric Pezo Mayta. -- Ilha Solteira: [s.n.], 2026 135 f. : il. Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira. Área de conhecimento: Sistemas Elétricos de Potência, 2026 Orientador: Ruben Romero Coorientador: Leonardo Macedo Possagnolo Inclui bibliografia 1. Optimal power flow. 2. Multi-objective optimization. 3. Tabu search. 4. Hybrid optimization. P521h Elaborada por Raiane da Silva Santos - CRB-8/9999 IMPACTO POTENCIAL DESTA PESQUISA O impacto primordial desta pesquisa reside na entrega de uma ferramenta de decisão para operadores de sistemas elétricos, capaz de determinar o conjunto ótimo de variáveis contínuas e discretas essenciais para a gestão da rede. No âmbito técnico-científico e inovador, a metodologia permite equilibrar a minimização de custos de geração, perdas na transmissão e emissão de gases poluentes. Essa otimização multiobjetivo impulsiona o desenvolvimento sustentável e a eficiência econômica, maximizando recursos energéticos em conformidade com critérios ambientais. A validação dos algoritmos reforça a inserção nacional e internacional da pesquisa, contribuindo para o conhecimento sobre redes inteligentes e servindo de referência educacional para soluções que harmonizam economia e meio ambiente. POTENTIAL IMPACT OF THIS RESEARCH The primary impact of this research lies in providing a decision-support tool for power system operators, determining the optimal set of continuous and discrete variables essential for grid management. From a technical-scientific and innovative standpoint, the methodology enables balancing the minimization of generation costs, transmission losses, and pollutant emissions. This multi- objective optimization drives sustainable development and economic efficiency, maximizing energy resources in compliance with environmental criteria. The validation of these algorithms reinforces the research's national and international standing, contributing to knowledge on smart grid operation and serving as an educational reference for solutions that harmonize economic viability with the environment.. Faculdade de Engenharia - Câmpus de Ilha Solteira Avenida Brasil Centro 56, 15385000 https://www.feis.unesp.br/#!/ppgee - CNPJ: 48.031.918/0015-20. UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA Câmpus de Ilha Solteira CERTIFICADO DE APROVAÇÃO TÍTULO DA DISSERTAÇÃO: Otimização multiobjetivo híbrida para o fluxo de potência ótimo com controle de variáveis discretas utilizando busca tabu e programação não linear AUTOR: ANTHONY ERIC PEZO MAYTA ORIENTADOR: RUBEN AUGUSTO ROMERO LAZARO COORIENTADOR: LEONARDO HENRIQUE FARIA MACEDO POSSAGNOLO Aprovado como parte das exigências para obtenção do Título de Mestre em Engenharia Elétrica, área: Automação pela Comissão Examinadora: Prof. Dr. RUBEN AUGUSTO ROMERO LAZARO (Participaçao Presencial) Departamento de Engenharia Elétrica / UNESP / Câmpus de Ilha Solteira - FEIS Prof. Dr. JOSE ROBERTO SANCHES MANTOVANI (Participaçao Presencial) Departamento de Engenharia Elétrica / UNESP / Câmpus de Ilha Solteira - FEIS Prof. Dr. EDUARDO NOBUHIRO ASADA (Participaçao Virtual) Departamento de Engenharia Elétrica e de Computação / Escola de Engenharia de São Carlos - USP Ilha Solteira, 23 de janeiro de 2026. Dedico este trabalho à minha família, a minha mãe e meu pai que em paz descanse e deus cuide dele por seu apoio infinito AGRADECIMENTOS Primeiramente a Deus que me capacitou, deu me saúde e forças para que tudo isso fosse possível. Aos meus pais amados, Angelica e Martin que sempre acreditaram em mim e aos meus demais familiares. A meu orientado professor Dr. Ruben Romero por aceitar me orientar nesse tra- balho, pelos ensinamentos, ao meu co-orientador Leonardo H. Macedo por compartilhar comigo seus conhecimentos acadêmicos, pela paciência, pelas sugestões a esse trabalho, por acreditar em mim e no meu potencial e tornar esse trabalho um aprendizado pra- zeroso. Se cheguei até aqui foi porque tive pessoas iguais a você que acreditaram em mim. Aos amigos do Laboratório LAPSEE que de forma direta ou indiretamente me ajudaram. A todos os meus amigos que tive a oportunidade de conhecer durante a minha vida acadêmica, por terem me motivado a prosseguir, dividirem comigo seus conhecimentos e tornarem essa jornada mais alegre e prazerosa. A todos que direta ou indiretamente fizeram parte da minha formação, o meu muito obrigado. O presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - Brasil (CAPES) - Código de Financiamento 001. "O que fazemos em vida ecoa pela eternidade" (Marco Aurelio) RESUMO Neste trabalho, apresenta-se uma metodologia de otimização híbrida para resolver o pro- blema de Fluxo de Potência Ótimo Multiobjetivo, considerando os objetivos conflitantes de custo de geração, perdas de potência ativa e emissão de poluentes. A abordagem pro- posta emprega uma estratégia de decomposição mestre-escravo, na qual a meta-heurística Busca Tabu Multiobjetivo é responsável por otimizar as variáveis de controle discretas (taps de transformadores e compensadores shunt), que definem a topologia operacional do sistema. Para cada configuração discreta candidata, um subproblema de Programação Não Linear é resolvido pelo solver Knitro, através de uma interface com a linguagem de modelagem AMPL, para determinar o estado ótimo das variáveis contínuas. A eficácia da metodologia foi validada nos sistemas-teste NESTA IEEE 30(modificado) , 118 e 300 barras, cujos modelos incorporam parâmetros mais realistas que os casos tradicionais. Os resultados demonstram a capacidade do algoritmo em gerar frentes de Pareto robustos e bem distribuídos, compostos por centenas de soluções não dominadas. A comparação dos pontos extremos do frente com soluções obtidas por otimização mono-objetivo PNL in- teiro misto revelou uma excelente aderência, validando a precisão da abordagem híbrida. A ferramenta computacional desenvolvida constitui um valioso instrumento de apoio à de- cisão, fornecendo aos operadores do sistema um conjunto diversificado de soluções ótimas de compromisso entre os critérios econômicos, técnicos e ambientais. Palavras-chave: Fluxo de Potência Ótimo. Otimização Multiobjetivo. Busca Tabu. Oti- mização Híbrida. ABSTRACT This work presents a hybrid optimization methodology to solve the Multi-objective Op- timal Power Flow problem, considering the conflicting objectives of generation cost, ac- tive power losses, and pollutant emissions. The proposed approach employs a master- slave decomposition strategy, in which the Multi-objective Tabu Search metaheuristic is responsible for optimizing the discrete control variables (transformer taps and shunt compensators), which define the operational topology of the system. For each candidate discrete configuration, a Nonlinear Programming subproblem is solved by the solver Kni- tro, through an interface with the AMPL modeling language, to determine the optimal state of the continuous variables. The effectiveness of the methodology was validated on the NESTA IEEE 30(altered), 118 e 300-bus test systems, whose models incorporate more realistic parameters than traditional cases. The results demonstrate the algorithm’s ability to generate robust and well-distributed Pareto fronts, composed of hundreds of non-dominated solutions. The comparison of the front’s extreme points with solutions obtained by mono-objective Mixed Integer NLP optimization revealed an excellent ad- herence, validating the accuracy of the hybrid approach. The developed computational tool constitutes a valuable decision-support instrument, providing system operators with a diverse set of optimal trade-off solutions among economic, technical, and environmental criteria. Keywords: Optimal Power Flow; Multi-objective Optimization; Tabu Search; Hybrid Optimization. LISTA DE ILUSTRAÇÕES Figura 1 – Diagrama de Fluxo da Metodologia Híbrida Proposta . . . . . . . . . . 41 Figura 2 – Tentativa de representação do Frente de Pareto 3D obtido para o Sis- tema de 30 Barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Figura 3 – Representação proposta do Frente de Pareto 3D para o Sistema de 30 Barras, visto lateralmente (emissões de poluentes vs. custo de geração) 59 Figura 4 – Representação proposta do Frente de Pareto 3D para o Sistema de 30 Barras, visto lateralmente (perdas na transmissão vs. custo de geração) 59 Figura 5 – Representação proposta do Frente de Pareto 3D para o Sistema de 30 Barras, visto lateralmente (Perdas na transmissão vs. emissões de poluentes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Figura 6 – Perfil de Tensão para as Soluções Extremas minimos do FP e Obtidas por PNLIM no Sistema de 30 Barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Figura 7 – Perfil de Tensão para solução compromisso de nosso FP no Sistema de 30 Barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Figura 8 – Proposta de representação do Frente de Pareto 3D obtido para o Sis- tema de 118 Barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Figura 9 – Representação proposta do Frente de Pareto 3D para o Sistema de 118 Barras, visto lateralmente (emissões de poluentes vs. custo de geração) 69 Figura 10 – Representação proposta do Frente de Pareto 3D para o Sistema de 118 Barras, visto lateralmente (Perdas na transmissão vs. custo de geração) 70 Figura 11 – Representação proposta do Frente de Pareto 3D para o Sistema de 118 Barras, visto lateralmente (Perdas na transmissão vs emissões de poluentes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Figura 12 – Perfil de Tensão para as Soluções Extremas minimos do nosso FP y Obtidas por PNLIM no Sistema de 118 Barras . . . . . . . . . . . . . . 74 Figura 13 – Perfil de Tensão para uma Solução de Compromisso do FP no Sistema de 118 Barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Figura 14 – Perfil de Tensão para as Soluções Extremas de custo PNLIM e MOTS no Sistema de 300 Barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Figura 15 – Perfil de Tensão para as Soluções Extremas de perdas PNLIM e MOTS no Sistema de 300 Barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Figura 16 – Perfil de Tensão para as Soluções Extremas de Poluição PNLIM e MOTS no Sistema de 300 Barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Figura 17 – Perfil de Tensão para a Solução de compromisso da proposta FP no Sistema de 300 Barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Figura 18 – Sistema de 30 Barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 LISTA DE TABELAS Tabela 1 – Aprimoramentos dos Casos de Teste NESTA em Relação aos Modelos Tradicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Tabela 2 – Características dos Sistemas de Teste NESTA . . . . . . . . . . . . . . 54 Tabela 3 – Parâmetros de Configuração do Algoritmo MOTS . . . . . . . . . . . . 55 Tabela 4 – Distribuição de Iterações por Fase de Busca para cada Sistema Teste . 55 Tabela 5 – Parâmetros do Algoritmo e Fundamentação Técnica . . . . . . . . . . . 56 Tabela 6 – Soluções Representativas do Frente de Pareto para o Sistema de 30 Barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Tabela 7 – Configuração das Variáveis Discretas para as Soluções Representativas 62 Tabela 8 – Comparação entre Extremos do Frente de Pareto e Soluções PNLIM . 64 Tabela 9 – Comparação das Métricas de Desempenho . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Tabela 10 – Soluções Representativas do Frente de Pareto para o Sistema de 118 Barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Tabela 11 – Comparação entre Extremos do Frente de Pareto e Soluções PNLIM . 75 Tabela 12 – Comparação dos Ajustes de Variáveis Discretas: Sistema IEEE 118 Barras 77 Tabela 13 – Comparação de Variáveis Contínuas: Frente de Pareto vs PNLIM . . . 79 Tabela 14 – Comparação de Soluções Extremas (300 Barras): PNLIM vs. MOTS . . 84 Tabela 15 – Comparación de Variables Discretas (Parte 1: Taps 1-50) . . . . . . . . 87 Tabela 16 – Comparación de Variables Discretas (Parte 2: Taps 51-62 e Shunts) . . 88 Tabela 17 – Comparação de Variáveis Contínuas: Frente de Pareto vs PNLIM . . . 90 Tabela 18 – Resultados de tensão e ângulo nas barras pelo algoritmo MOTS (caso 30 barras - Mínimo Custo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Tabela 19 – Fluxo de potência ativa e reativa, perdas e ângulos pelo algoritmo MOTS.(caso 30 barras - Mínimo Custo) . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Tabela 20 – Resumo dos resultados pelo algoritmo MOTS.(caso 30 barras - Minimo Costo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Tabela 21 – Resultados de tensão e ângulo nas barras pela PNLIM (caso 30 barras - Mínimo Custo PNLIM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Tabela 22 – Fluxo de potência ativa e reativa, perdas e ângulos pelo algoritmo PNLIM KNITRO (Caso 30 barras - Mínimo Custo PNLIM). . . . . . . 100 Tabela 23 – Resumo dos resultados pelo algoritmo PNLIM KNITRO (Caso 30 bar- ras - Mínimo Custo PNLIM). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Tabela 24 – Resultados de tensão e ângulo nas barras pelo algoritmo MOTS (Caso 30 barras - Perdas Mínimas). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Tabela 25 – Fluxo de potência ativa e reativa, perdas e ângulos pelo algoritmo MOTS (Caso 30 barras - Perdas Mínimas). . . . . . . . . . . . . . . . 102 Tabela 26 – Resumo dos resultados pelo algoritmo MOTS (caso 30 barras - Perdas Mínimas). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Tabela 27 – Resultados de tensão e ângulo nas barras (Caso 30 barras - Perdas Mínimas PNLIM). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Tabela 28 – Fluxo de potência ativa e reativa, perdas e ângulos (Caso 30 barras - Perdas Mínimas PNLIM). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Tabela 29 – Resumo dos resultados (Caso 30 barras - Perdas Mínimas PNLIM). . . 104 Tabela 30 – Resultados de tensão e ângulo nas barras pelo algoritmo MOTS (caso 30 barras - Mín Poluição) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Tabela 31 – Fluxo de potência ativa e reativa, perdas e ângulos pelo algoritmo MOTS.(caso 30 barras - Mín Poluição) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Tabela 32 – Resumo dos resultados (Caso 30 barras - Mín Poluição MOTS). . . . . 106 Tabela 33 – Resultados de tensão e ângulo nas barras pelo algoritmo AMPL PNLIM (caso 30 barras - Mín Poluição) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Tabela 34 – Fluxo de potência ativa e reativa, perdas e ângulos pelo algoritmo AMPL PNLIM (caso 30 barras - Mín Poluição) . . . . . . . . . . . . . 108 Tabela 35 – Resumo dos resultados (Caso 30 barras - Poluição Mínima PNLIM). . 108 Tabela 36 – Resultados completos de tensão e ângulo nas barras pelo algoritmo MOTS (Caso 118 barras - Mínimo Custo). . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Tabela 37 – Resultados completos de tensão e ângulo nas barras pelo algoritmo MOTS (Caso 118 barras - Mínimo Custo). . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Tabela 38 – Fluxo completo de potência ativa e reativa pelo algoritmo MOTS (Caso 118 barras - Mínimo Custo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Tabela 39 – Fluxo completo de potência ativa e reativa pelo algoritmo MOTS (Caso 118 barras - Mínimo Custo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Tabela 40 – Fluxo completo de potência ativa e reativa pelo algoritmo MOTS (Caso 118 barras - Mínimo Custo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Tabela 41 – Resumo dos resultados pelo algoritmo MOTS (Caso 118 barras - Mí- nimo Custo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Tabela 42 – Resultados de tensão e ângulo nas barras pelo algoritmo MOTS (Caso 118 barras - Mínimas Perdas). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Tabela 43 – Resultados de tensão e ângulo nas barras pelo algoritmo MOTS - (Caso 118 barras - Mínimas Perdas). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Tabela 44 – Fluxo de potência ativa e reativa, perdas e ângulos pelo algoritmo MOTS - (Caso 118 barras - Mínimas Perdas). . . . . . . . . . . . . . . 117 Tabela 45 – Fluxo de potência ativa e reativa, perdas e ângulos pelo algoritmo MOTS - (Caso 118 barras - Mínimas Perdas). . . . . . . . . . . . . . . 118 Tabela 46 – Fluxo de potência ativa e reativa, perdas e ângulos pelo algoritmo MOTS - (Caso 118 barras - Mínimas Perdas). . . . . . . . . . . . . . . 119 Tabela 47 – Resumo dos resultados pelo algoritmo MOTS (Caso 118 barras - Mí- nimo Perdas). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Tabela 48 – Resultados de tensão e ângulo nas barras pelo algoritmo MOTS (Caso 118 barras - Mínima Poluição). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Tabela 49 – Resultados de tensão e ângulo nas barras pelo algoritmo MOTS (Caso 118 barras - Mínima Poluição). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Tabela 50 – Fluxo de potência ativa e reativa, perdas e ângulos pelo algoritmo MOTS (Caso 118 barras - Mínima Poluição) - Parte 1. . . . . . . . . . 123 Tabela 51 – Fluxo de potência ativa e reativa, perdas e ângulos pelo algoritmo MOTS (Caso 118 barras - Mínima Poluição) - Parte 2. . . . . . . . . . 124 Tabela 52 – Fluxo de potência ativa e reativa, perdas e ângulos pelo algoritmo MOTS (Caso 118 barras - Mínima Poluição) - Parte 3. . . . . . . . . . 125 Tabela 53 – Resumo dos resultados pelo algoritmo MOTS (Caso 118 barras - Mí- nima Poluição). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Tabela 54 – Relação de barras no sistema IEEE-NESTA de 30 barras. . . . . . . . 129 Tabela 55 – Relação de ramos no sistema IEEE-NESTA de 30 barras. . . . . . . . . 130 Tabela 56 – Relação de geradores no sistema IEEE-NESTA de 30 barras. . . . . . . 131 Tabela 57 – Coeficientes de custo por tipo de gerador no sistema de 30 barras . . . 131 Tabela 58 – Coeficientes de poluição para o caso de 30 barras . . . . . . . . . . . . 131 Tabela 59 – Relação de barras no sistema IEEE-NESTA de 118 barras - Parte 1. . 132 Tabela 60 – Relação de barras no sistema IEEE-NESTA de 118 barras - Parte 2. . 133 Tabela 61 – Relação de ramos no sistema IEEE-NESTA de 118 barras - Parte 1. . . 134 Tabela 62 – Relação de ramos no sistema IEEE-NESTA de 118 barras - Parte 2. . . 135 Tabela 63 – Relação de ramos no sistema IEEE-NESTA de 118 barras - Parte 3. . . 136 Tabela 64 – Coeficientes de custo por tipo de gerador no sistema de 118 barras . . 137 Tabela 65 – Coeficientes de poluição para o caso de 118 barras . . . . . . . . . . . . 138 LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS AMPL A Modeling Language for Mathematical Programming MOTS Multiobjective Tabu Search BT Busca Tabu ED Evolução Diferencial FP Frente de Pareto FPO Fluxo de Potência Ótimo FPO-MO Fluxo de Potência Ótimo Multiobjetivo IEEE Institute of Electrical and Electronics Engineers MINLP Mixed-Integer Nonlinear Programming (ver PNLIM) MOPs Multiobjective Optimization Problems MOEA Algoritmo Evolutivo Multiobjetivo NESTA NICTA Energy System Test Case Archive NLP Nonlinear Programming (ver PNL) NOx Óxidos de Nitrogênio NSGAII Non-dominated Sorting Genetic Algorithm II PNL Programação Não Linear PNLIM Programação Não Linear Inteira Mista POM Problema de Otimização Multiobjetivo PSO Otimização por Enxame de Partículas SEP Sistema Elétrico de Potência SOx Óxidos de Enxofre NOx Óxidos de Nitrogênio API Interface de Programação de Aplicações MOTS–Knitro Multiobjective Tabu Search e olver Knitro LISTA DE SÍMBOLOS Símbolos do Modelo Matemático (Capítulo 2) 𝑐0𝑖, 𝑐1𝑖, 𝑐2𝑖 Coeficientes da função de custo do gerador 𝑖. 𝑓(𝑥, 𝑢) Função objetivo geral do problema de otimização. 𝑓𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜 Função objetivo de custo total de geração (US$/h). 𝑓𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠 Função objetivo de perdas totais de potência ativa (MW). 𝑓𝑝𝑜𝑙𝑢𝑖𝑐𝑎𝑜 Função objetivo de emissão total de poluentes (ton/h). 𝑔(𝑥, 𝑢) Vetor de restrições de igualdade (equações de fluxo de potência). ℎ(𝑥, 𝑢) Vetor de restrições de desigualdade (limites operacionais). 𝑃 𝑑𝑒 𝑖𝑗 Fluxo de potência ativa no ramo 𝑖− 𝑗 no sentido "de". 𝑃 𝑔 𝑖 Potência ativa gerada na barra 𝑖 (p.u.). 𝑃 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑗𝑖 Fluxo de potência ativa no ramo 𝑖− 𝑗 no sentido "para". 𝑄𝑔 𝑖 Potência reativa gerada na barra 𝑖 (p.u.). 𝑢 Vetor de variáveis de controle (independentes). 𝑉𝑖 Magnitude da tensão na barra 𝑖 (p.u.). 𝑥 Vetor de variáveis de estado (dependentes). 𝛼𝑖, 𝛽𝑖, 𝛾𝑖, 𝜉𝑖, 𝜆𝑖 Coeficientes da função de emissão do gerador 𝑖. 𝜃𝑖 Ângulo da tensão na barra 𝑖 (graus ou radianos). Símbolos da Metodologia Proposta (Capítulo 3) 𝐹𝑀𝑂 Função objetivo multiobjetivo combinada e normalizada. 𝑓𝑛𝑎𝑑𝑖𝑟 𝑜𝑏𝑗 Ponto nadir da função objetivo 𝑜𝑏𝑗. 𝑓 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒 𝑜𝑏𝑗 Faixa de variação da função objetivo 𝑜𝑏𝑗. Ω𝑏 Conjunto de barras Ω𝑙 conjunto de ramos (linhas) Ω𝑔 Conjunto de barras geradoras 𝑓𝑢𝑡𝑜𝑝𝑖𝑎 𝑜𝑏𝑗 Ponto utópico da função objetivo 𝑜𝑏𝑗. 𝑔𝑃𝑖, 𝑔𝑄𝑖 Geração artificial de potência ativa e reativa na barra 𝑖. 𝑁𝑠ℎ𝑢𝑛𝑡 Número total de compensadores shunt. 𝑁𝑡𝑎𝑝 Número total de transformadores com tap. 𝑛𝑡𝑘 Posição do tap do k-ésimo transformador. 𝑆 Vetor de solução representando as variáveis discretas. 𝑆𝑎𝑡𝑢𝑎𝑙 Solução corrente na iteração da Busca Tabu. 𝑆𝑣𝑖𝑧𝑖𝑛ℎ𝑜 Solução vizinha gerada a partir da solução corrente. 𝑤𝑜𝑏𝑗 Peso associado à função objetivo 𝑜𝑏𝑗 na função combinada. 𝜌 Fator de penalidade para infactibilidade da solução. 𝜔𝑠ℎ𝑗 Estado de operação (0 ou 1) do j-ésimo compensador shunt. SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.1 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2 OBJETIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.1 Objetivo Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.2 Objetivos Específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3 CONTRIBUÇÕES DO TRABALHO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.4 ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA E REVISÃO BIBLIOGRÁ- FICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1 O PROBLEMA DE FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO EM SISTEMAS DE POTÊNCIA MODERNOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.1 A Formulação Clássica e Seus Desafios . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 REVISÃO DE ABORDAGENS META-HEURÍSTICAS PARA O FPO MULTIOBJETIVO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.1 Contexto histórico e evolução das abordagens para o FPO mul- tiobjetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.2 Análise Comparativa de Métodos do Estado da Arte . . . . . . 27 2.3 A META-HEURÍSTICA BUSCA TABU MULTIOBJETIVO . . . . . . 29 2.3.1 Princípios Fundamentais da Busca Tabu . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3.2 Adaptação para Otimização Multiobjetivo . . . . . . . . . . . . . 30 2.4 O PARADIGMA MULTIOBJETIVO: COMPROMISSOS E A FRON- TEIRA DE PARETO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4.1 Funções Objetivo Analisadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.5 JUSTIFICATIVA DOS CASOS DE TESTE NESTA . . . . . . . . . . . 33 2.5.1 Deficiências dos Casos de Teste Tradicionais . . . . . . . . . . . . 33 2.5.2 A Vantagem do Arquivo NESTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3 METODOLOGIA HÍBRIDA PROPOSTA (MOTS-KNITRO) . 36 3.1 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2 VISÃO GERAL DA ABORDAGEM HIBRIDA . . . . . . . . . . . . . . 40 3.3 REPRESENTAÇÃO DA SOLUÇÃO E TRATAMENTO DAS VARIÁ- VEIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.4 ETAPA DE NORMALIZAÇÃO DOS OBJETIVOS . . . . . . . . . . . 42 3.5 Estratégia de Pré-processamento e Inicialização Híbrida . . . . . . . . . 43 3.5.1 Tratamento Específico para Espaços de Busca de Alta Dimen- sionalidade (Caso IEEE 300 Barras) . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.6 A META-HEURÍSTICA BUSCA TABU MULTIOBJETIVO (MOTS) PROPOSTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.6.1 Estratégia de Busca em Fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.6.2 Geração de Vizinhança . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.6.3 Avaliação da Função Objetivo e Tratamento das Restrições . . 47 3.6.4 Mecanismos de Memória e Atualização do Frente . . . . . . . . . 48 3.6.5 Estratégias de Intensificação e Diversificação (Reinicialização) . 49 3.6.6 Consolidação Final do Frente de Pareto . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.7 TOMADA DE DECISÃO FUZZY PARA SELEÇÃO DA SOLUÇÃO DE COMPROMISSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.7.1 Formulação Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.7.2 Critério de Seleção da BCS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.8 RESOLUÇÃO DO SUBPROBLEMA DE PNL COM KNITRO . . . . . 51 3.9 DETALHES DA IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL . . . . . . . 52 4 TESTES E RESULTADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.1 CONFIGURAÇÃO DOS EXPERIMENTOS . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.1.1 Sistemas de Teste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.1.2 Parâmetros da Meta-heurística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.2 RESULTADOS PARA O SISTEMA NESTA IEEE 30 BARRAS . . . . 55 4.2.1 Análise do Frente de Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.2.2 Análise de Soluções Representativas . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.2.3 Análise das Estratégias de Controle (Taps e Shunts) . . . . . . . 62 4.2.4 Análise do Perfil de Tensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.2.4.1 Convergência no Cenário de Perdas: O Determinismo Físico . . . . . . . 62 4.2.4.2 Divergência em Custo e Poluição: A Natureza Multimodal . . . . . . . . 63 4.2.4.3 Robustez da Solução de Compromisso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.2.5 Análise Comparativa entre PNLIM e MOTS 30B . . . . . . . . . 64 4.2.6 Análise Comparativa das Métricas Globais de Operação 30 Barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.3 RESULTADOS PARA O SISTEMA NESTA IEEE 118 BARRAS . . . . 67 4.3.1 Análise do Frente de Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.3.2 Análise das Soluções Representativas . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.3.3 Análise Comparativa da Topologia de Tensão: Meta-heurística versus Solver Determinístico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.3.3.1 Divergência nos Cenários de Custo e Poluição: A Multimodalidade do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.3.3.2 Convergência no Cenário de Perdas: O Determinismo da Física . . . . . 73 4.3.3.3 Análise da Solução de Compromisso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.3.4 Análise Comparativa entre PNLIM e MOTS 118 Barras . . . . 75 4.3.5 Análise da Configuração das Variáveis Discretas de Controle . 76 4.3.6 Análise de Métricas de Desempenho Operativo 118 Barras . . 78 4.4 RESULTADOS PARA O SISTEMA NESTA IEEE 300 BARRAS . . . . 79 4.4.1 Análise Comparativa dos Perfis de Tensão: Sistema IEEE 300 Barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.4.1.1 Divergência nos Cenários de Custo e Poluição: A Multimodalidade do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.4.1.2 Convergência no Cenário de Perdas: O Determinismo da Física . . . . . 81 4.4.1.3 Análise da Solução de Compromisso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.4.2 Validação e Superação dos Extremos na Fronteira de Pareto . . 84 4.4.2.1 Aderência no Custo e Refinamento nas Perdas . . . . . . . . . . . . . . 84 4.4.2.2 A Superação Expressiva no Cenário de Poluição . . . . . . . . . . . . . 85 4.4.3 Análise da Configuração das Variáveis Discretas no Sistema de 300 Barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.4.4 Análise das Métricas de Rendimento Global: Sistema IEEE 300 Barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.4.4.1 A Ineficiência Sistêmica do Mínimo Custo Determinístico . . . . . . . . 88 4.4.4.2 Estresse de Reativos e Segurança de Tensão . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.4.4.3 Divergência no Cenário de Poluição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5 CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS . . . . . . . . . . . 91 5.1 CONCLUSÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.2 TRABALHOS FUTUROS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 APÊNDICES 96 ANEXOS 127 21 1 INTRODUÇÃO A operação de Sistemas Elétricos de Potência (SEP) modernos é uma tarefa de crescente complexidade, impulsionada pela desregulamentação dos mercados de energia, pela crescente preocupação com a sustentabilidade ambiental e pela necessidade contínua de garantir um fornecimento de energia seguro e econômico (Araujo, 2018). Nesse cenário, o problema de Fluxo de Potência Ótimo (FPO), introduzido por Carpentier na década de 1960, consolidou-se como uma ferramenta fundamental para o planejamento e a operação de redes elétricas (Oriondo; Alonso, 2016). Originalmente, o FPO focava-se primordial- mente no despacho econômico, buscando minimizar os custos de geração de combustível (Monticelli, 1983). Contudo, a visão puramente econômica tornou-se insuficiente para contemplar os múltiplos desafios contemporâneos. A operação de um SEP envolve um delicado equi- líbrio entre objetivos que são, por natureza, conflitantes. A minimização dos custos de geração, por exemplo, pode levar ao despacho de unidades termelétricas mais poluentes, aumentando o impacto ambiental (Gong; Zhang; Qi, 2010). De forma análoga, a busca pela máxima eficiência técnica, através da minimização das perdas ativas nas linhas de transmissão, pode exigir um perfil de geração mais oneroso. Esta realidade transformou o FPO de um problema mono-objetivo para um paradigma de otimização multiobjetivo, no qual o operador do sistema deve navegar por um espaço de soluções de compromisso (trade-offs). A complexidade do problema é acentuada pela necessidade de controlar não ape- nas variáveis contínuas, como a geração de potência ativa, mas também um conjunto de variáveis de controle discretas, como as posições dos comutadores de taps de transforma- dores e o estado de operação de bancos de capacitores e reatores shunt (Oriondo; Alonso, 2016). A inclusão dessas variáveis transforma o FPO em um problema de Programação Não Linear Inteira Mista (PNLIM), uma classe de problemas de otimização notoriamente difíceis de resolver devido à sua natureza não convexa e ao espaço de busca combinatório. Adicionalmente, a validação de novas metodologias de otimização depende critica- mente da qualidade e do realismo dos modelos de sistemas utilizados. Muitos dos casos de teste tradicionalmente empregados na literatura, como os sistemas IEEE clássicos, foram desenvolvidos com foco em estudos de fluxo de potência e carecem de dados essenciais para análises de otimização robustas. Em resposta a essa lacuna, o arquivo NESTA (NICTA Energy System Test Case Archive) foi desenvolvido, oferecendo modelos de sistemas mais completos e com parâmetros mais realistas, que representam de forma mais fidedigna os desafios operacionais das redes elétricas atuais (Coffrin; Gordon; Scott, 2014). Capítulo 1. INTRODUÇÃO 22 1.1 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA Este trabalho aborda o problema de FPO sob a ótica da otimização multiobjetivo, buscando encontrar um conjunto de soluções de operação que representem os melhores compromissos possíveis entre três critérios fundamentais e concorrentes: 1. Custo de Geração: A minimização do custo total de combustível das unidades geradoras, modelado por uma função de custo quadrática. 2. Perdas de Potência Ativa: A minimização das perdas totais de energia nas linhas de transmissão do sistema, que representa um objetivo de eficiência técnica. 3. Emissão de Poluentes: A minimização da emissão de gases poluentes (como 𝑁𝑂𝑥 e 𝑆𝑂𝑥) provenientes das usinas termelétricas, um objetivo de sustentabilidade am- biental modelado por uma combinação de funções polinomiais e exponenciais. Para resolver este complexo problema PNLIM multiobjetivo, propõe-se uma me- todologia de otimização híbrida que desacopla o tratamento das variáveis discretas e con- tínuas. A estratégia consiste em utilizar a meta-heurística Busca Tabu (BT), reconhecida por sua eficácia em explorar espaços de busca combinatórios (Yamamoto et al., 2024), para determinar a configuração ótima das variáveis discretas (taps e shunts). Para cada configuração discreta candidata, o subproblema de otimização das variáveis contínuas é então resolvido como um problema de Programação Não Linear (PNL) através do solver de alta performance Knitro. A validação da metodologia é realizada nos sistemas-teste NESTA IEEE 30 , 118 e 300 barras. 1.2 OBJETIVOS 1.2.1 Objetivo Geral O objetivo geral desta dissertação é desenvolver e validar uma metodologia de otimização multiobjetivo híbrida, fundamentada na meta-heurística Busca Tabu e em programação não linear, para a resolução do problema de Fluxo de Potência Ótimo com controle de variáveis discretas, visando o equilíbrio ótimo entre custos operacionais, perdas técnicas e emissões de poluentes. 1.2.2 Objetivos Específicos Para alcançar o objetivo geral, os seguintes objetivos específicos foram definidos: • Modelar matematicamente o problema de FPO, incorporando as três funções obje- tivo conflitantes e as restrições operacionais e físicas do sistema. Capítulo 1. INTRODUÇÃO 23 • Desenvolver e implementar um algoritmo de Busca Tabu Multiobjetivo (MOTS) para gerenciar a busca no espaço combinatório das variáveis de controle discretas (taps e shunts). • Integrar a meta-heurística com o solver de PNL Knitro, estabelecendo uma interface robusta para a avaliação de cada configuração discreta candidata. • Aplicar a metodologia híbrida proposta aos sistemas-teste NESTA IEEE 30 , 118 e 300 barras para gerar os frentes de Pareto, que representam o conjunto de soluções ótimas de compromisso. • Analisar as soluções não dominadas obtidas, com foco nas estratégias de controle e nos trade-offs entre os diferentes objetivos, fornecendo uma ferramenta de apoio à decisão para a operação do sistema. 1.3 CONTRIBUÇÕES DO TRABALHO As principais contribuições desta pesquisa para a área de otimização de sistemas de potência são: 1. Proposição de uma Metodologia Híbrida Eficaz: A combinação da Busca Tabu para o tratamento das variáveis discretas com o solver Knitro para as variá- veis contínuas representa uma abordagem robusta que explora as sinergias entre a capacidade de busca global de uma meta-heurística e a eficiência de convergência de um solver determinístico para problemas de PNL. 2. Validação em Modelos Realistas: A utilização dos casos de teste do arquivo NESTA para a validação dos resultados confere maior relevância prática aos resul- tados, uma vez que estes modelos incluem restrições e dados mais completos que os tradicionalmente utilizados. 3. Análise Abrangente de Soluções Multiobjetivo: A geração e análise detalhada dos frentes de Pareto para os critérios de custo, perdas e poluição oferecem uma visão aprofundada sobre as complexas relações de compromisso na operação de sistemas elétricos, fornecendo um conjunto valioso de soluções ótimas para apoiar a tomada de decisão dos operadores do sistema. 1.4 ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO Este trabalho está organizado em cinco capítulos. Após esta introdução, o Capí- tulo 2 apresenta a fundamentação teórica, detalhando o problema de Fluxo de Potência Ótimo, as técnicas de otimização, com ênfase na Busca Tabu, e os conceitos de otimização Capítulo 1. INTRODUÇÃO 24 multiobjetivo. O Capítulo 3 descreve em profundidade a metodologia híbrida proposta, detalhando a implementação da Busca Tabu, a integração com o solver Knitro e a estru- tura geral do algoritmo. O Capítulo 4 apresenta os resultados obtidos com a aplicação da metodologia nos sistemas-teste, incluindo a análise dos frentes de Pareto e a compara- ção de soluções representativas. Finalmente, o Capítulo 5 sistematiza as conclusões do trabalho e sugere direções para pesquisas futuras. 25 2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA E REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Este capítulo estabelece a base teórica e contextualiza o presente trabalho na lite- ratura existente. Inicia-se com a formulação do problema de FPO, expandindo-o para o domínio multiobjetivo. Em seguida, realiza-se uma revisão crítica das abordagens meta- heurísticas empregadas para sua solução, culminando na apresentação detalhada da meta- heurística Busca Tabu Multiobjetivo, a metodologia central deste estudo. Finalmente, justifica-se a escolha do sistema de teste NESTA IEEE 30 e 118 barras como um bench- mark realista e desafiador para a validação dos resultados. 2.1 O PROBLEMA DE FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO EM SISTEMAS DE PO- TÊNCIA MODERNOS O FPO é um dos problemas de otimização mais importantes na operação de siste- mas elétricos de potência. Formalmente, consiste em determinar um ponto de operação de estado estacionário para uma rede elétrica que seja, ao mesmo tempo, factível do ponto de vista físico e ótimo em relação a um ou mais critérios pré-definidos. Matematicamente, o FPO é classificado como um problema de PNLIM, caracterizado por ser de grande porte, não convexo e multimodal. 2.1.1 A Formulação Clássica e Seus Desafios Minimizar 𝑓(𝑥, 𝑢) (1) Sujeito a: 𝑔(𝑥, 𝑢) = 0 (2) ℎ(𝑥, 𝑢) ≤ 0 (3) Onde 𝑓(𝑥, 𝑢) representa a função objetivo a ser minimizada; 𝑔(𝑥, 𝑢) é o conjunto de restrições de igualdade, que correspondem às equações de balanço de potência ativa e reativa em cada barra do sistema (as equações de fluxo de potência); e ℎ(𝑥, 𝑢) é o conjunto de restrições de desigualdade, que representam os limites operacionais da rede . As variáveis de decisão do problema são divididas em: • Variáveis de estado (x): Tipicamente, as magnitudes de tensão (𝑉𝑖) e os ângulos de fase (𝜃𝑖) nas barras de carga. • Variáveis de controle (u): São as variáveis relacionadas com dispositivos que o operador do sistema pode ajustar para otimizar a operação. Elas se dividem em: Capítulo 2. Fundamentação Teórica e Revisão Bibliográfica 26 – Contínuas: Geração de potência ativa (𝑃𝑔𝑒𝑟) das unidades geradoras e mag- nitudes de tensão (𝑉𝑔) nas barras de geração. – Discretas: Posições dos comutadores de taps dos transformadores (𝑛𝑡) e o estado de operação dos bancos de capacitores/reatores shunt (𝜔𝑠ℎ), que são ajustados em passos discretos. O principal desafio na resolução do problema de FPO reside em sua natureza ma- temática. As equações de fluxo de potência introduzem termos quadráticos (magnitudes de tensão) e transcendentais (senos e cossenos dos ângulos), tornando a região factível do problema não convexo. Modelos de otimização de problemas não convexos podem apresentar múltiplos ótimos locais. Métodos de otimização clássicos, que frequentemente dependem de gradientes para guiar a busca, são suscetíveis a convergir para um desses ótimos locais, sem garantia de encontrar a solução ótima global. Esta característica in- trínseca da formulação do FPO motivou a comunidade de pesquisa a explorar técnicas de otimização mais robustas, como as meta-heurísticas, que são projetadas para navegar em espaços de busca complexos e multimodais de forma mais eficaz. 2.2 REVISÃO DE ABORDAGENS META-HEURÍSTICAS PARA O FPO MULTIOB- JETIVO A complexidade do problema FPO-MO, com sua natureza não linear, não convexa e multimodal, tornou as meta-heurísticas uma classe de técnicas de solução predominante na literatura. Esses algoritmos, inspirados em processos naturais ou físicos, utilizam me- canismos estocásticos e/ou determinísticos para explorar o espaço de soluções de forma mais eficaz do que os métodos clássicos, sendo particularmente adequados para evitar ótimos locais e lidar com variáveis discretas. 2.2.1 Contexto histórico e evolução das abordagens para o FPO multiobjetivo A otimização do Fluxo de Potência (FPO) tem evoluído significativamente desde suas formulações iniciais, que se concentravam em um único objetivo de despacho econô- mico. A crescente preocupação com o impacto ambiental e a necessidade de maior eficiên- cia e confiabilidade do sistema transformaram o problema em um domínio de Otimização Multiobjetivo (MOOPF). No MOOPF, objetivos conflitantes, como a minimização do custo de combustível e a minimização das emissões de poluentes (ex: 𝑆𝑂𝑥, 𝑁𝑂𝑥), são tratados simultaneamente. Com o contínuo desenvolvimento dos sistemas de potência, o problema expandiu-se para um FPO de Múltiplos Objetivos (MaOOPF), que considera quatro ou mais objetivos, incluindo custo, emissões, perdas de potência ativa (APL), desvio de magnitude da tensão (VMD) e índice de estabilidade da tensão (VSI). Esta transição para o MaOOPF introduz desafios substanciais, notadamente a necessidade de Capítulo 2. Fundamentação Teórica e Revisão Bibliográfica 27 navegar em espaços de busca de alta dimensão, caracterizados por paisagens não-convexas e grandes regiões inviáveis que dificultam a convergência dos otimizadores tradicionais. 2.2.2 Análise Comparativa de Métodos do Estado da Arte Com o avanço da pesquisa em otimização, outras meta-heurísticas baseadas em inteligência de enxame e outros paradigmas foram desenvolvidas e aplicadas com sucesso ao FPO-MO. • PSO Multiobjetivo (MOPSO): Inspirada no comportamento social de bandos de pássaros ou cardumes de peixes, a PSO é uma técnica baseada em população onde cada "partícula"(solução) se move pelo espaço de busca. O movimento de cada partícula é influenciado por sua própria melhor posição encontrada até o momento (local best) e pela melhor posição encontrada por todo o enxame (global best). Para a adaptação multiobjetivo (MOPSO), conforme proposto por (Abido, 2009) os conceitos de local best e global best são redefinidos. Em vez de uma única melhor solução global, o algoritmo mantém um arquivo externo de soluções não-dominadas (a aproximação da Fronteira de Pareto), e o global best é selecionado a partir deste arquivo para guiar o enxame. Técnicas como agrupamento (clustering) são frequen- temente usadas para gerenciar o tamanho do arquivo de soluções Pareto e garantir a diversidade. • NSGA-II: Os Algoritmos Genéticos (AGs) foram uma das primeiras e mais popula- res meta-heurísticas aplicadas ao FPO. Baseados nos princípios da evolução natural de Darwin, como seleção, recombinação e mutação, os AGs operam sobre uma po- pulação de soluções candidatas, evoluindo-as ao longo de gerações para encontrar soluções de alta qualidade. O NSGA-II é um algoritmo evolutivo multiobjetivo que aplica operadores genéticos clássicos (cruzamento e mutação) sobre uma população, utilizando ordenação por não-dominância para hierarquizar soluções e incorporando elitismo ao combinar populações pais e filhas para preservar diversidade sem parâ- metros externos, o NSGA-II emprega a crowding distance, que favorece soluções em regiões mais esparsas do espaço de objetivo, garantindo assim um espalhamento uniforme na fronteira de Pareto (Deb et al., 2002). Um trabalho de referência nesta área é a tese de Araujo (2018), que propõe um algoritmo baseado no Non-dominated Sorting Genetic Algorithm II (NSGA-II) para resolver um modelo FPO-MO não li- near e inteiro misto. O NSGA-II é um algoritmo genético multiobjetivo elitista que utiliza um mecanismo de ordenação baseado em dominância para classificar a popu- lação em diferentes frentes não-dominadas. Adicionalmente, emprega uma métrica de distância de aglomeração (crowding distance) para manter a diversidade das so- luções ao longo da Fronteira de Pareto, evitando a convergência prematura para Capítulo 2. Fundamentação Teórica e Revisão Bibliográfica 28 uma única região do espaço de soluções. A literatura revisada por (Araujo, 2018) demonstra a longa e bem-sucedida aplicação dos AGs ao FPO, citando trabalhos pioneiros como (Lai et al., 1997) e (Bakirtzis et al., 2002), que estabeleceram a viabilidade e eficácia desta abordagem. • Strength Pareto Evolutionary Algorithm 2(SPEA2):O SPEA2 é uma melho- ria do SPEA original, o SPEA2 é um algoritmo elitista contemporâneo ao NSGA-II que utiliza um arquivo externo (archive) de tamanho fixo para manter as soluções não-dominadas. Sua principal característica é o mecanismo de ’atribuição de apti- dão’ (fitness assignment). O SPEA2 atribui um valor de aptidão explícito a cada indivíduo (tanto na população principal quanto no arquivo) com base em sua ’força’ (Strength): a força de uma solução é definida pelo número de soluções que ela do- mina. A aptidão bruta de um indivíduo é então calculada somando-se as forças de todos os indivíduos que o dominam. Além da dominância, o SPEA2 incorpora uma medida de ’densidade’, baseada na distância ao 𝑘-ésimo vizinho mais próximo, para diferenciar soluções com o mesmo valor de aptidão. Esta abordagem de (Força + Densidade) promove uma forte pressão de seleção em direção à fronteira de Pa- reto, mantendo uma boa distribuição das soluções. O SPEA2 revelou-se capaz de gerar uma distribuição mais uniforme de soluções na fronteira de Pareto do que o NSGA-II, atingindo soluções de compromisso com menores perdas de potência e de- sempenho comparável ao melhor encontrado por MOPSO (Jain; Lalwani; Lalwani, 2018) . • Tabu Search Multiobjetivo (MOTS): O Tabu (TS) é uma heurística de busca local baseada em trajetória, que utiliza memória (lista tabu) para evitar ciclicidade e escapar de ótimos locais.O Tabu Search multiobjetivo estende o tabu search clássico para trabalhar diretamente com múltiplas soluções não-dominadas, nesta adaptação multiobjetivo, conforme proposto por (Baykasoglu; Owen; Gindy, 1999), não se baseia em uma população, mas redefine os estágios de seleção e atualização. Para lidar com múltiplos objetivos, o MOTS introduz duas listas dinâmicas além da lista tabu: a ’Lista Pareto’ (Pareto list) e a ’Lista Candidata’ (Candidate list). A ’Lista Pareto’ armazena as soluções não-dominadas de elite selecionadas (análogo a um arquivo externo). A ’Lista Candidata’ armazena outras soluções não-dominadas que foram geradas, mas não selecionadas, ajudando como um reservatório de diversidade. A seleção da próxima solução semente é feita a partir da ’Lista Candidata’. Se a busca estagnar, a solução mais antiga da ’Lista Candidata’ é escolhida como semente, forçando a diversificação da busca para novas regiões da fronteira. • Three-Population Based Constrained Many-Objective Co-evolutionary Algorithm(TPCMaO): O TPCMaO é um algoritmo projetado especificamente para problemas de Otimização Restrita de Múltiplos Objetivos, como o MaOOPF, Capítulo 2. Fundamentação Teórica e Revisão Bibliográfica 29 onde o desafio principal são as grandes regiões inviáveis no espaço de busca de alta dimensão. Proposto por (Tian et al., 2023), sua estrutura coevolucionária decompõe o problema ao evoluir três populações com propósitos distintos: (1) A População 1 (P1) otimiza o problema original usando o ’princípio de dominância restrita’, fo- cando na fronteira viável. (2) A População 2 (P2) resolve um problema auxiliar ’não restrito’, ignorando restrições para convergir rapidamente à fronteira de Pa- reto teórica, servindo como um ’explorador’ para atravessar regiões inviáveis. (3) A População 3 (P3) resolve um problema de ’restrição relaxada’ (usando 𝜖-constraint dominance), agindo como um ’navegador’ que explora a borda entre as regiões viá- veis e inviáveis. A cooperação entre as três populações permite ao TPCMaO encon- trar soluções viáveis e Pareto-ótimas em paisagens de otimização complexas onde os algoritmos MOO tradicionais falham. A progressão de meta-heurísticas individuais para abordagens híbridas e evolutivas evidencia um desafio central e persistente na otimização: o equilíbrio entre a exploração global (a busca por novas regiões promissoras no espaço de soluções) e a exploração local (a busca refinada em torno das melhores soluções já encontradas). Este cenário valida a investigação de outras meta-heurísticas poderosas, como a Busca Tabu, que em- prega mecanismos fundamentalmente diferentes, baseados em memória, para gerenciar esse equilíbrio, alem de sua natureza de controle das variaveis discretas de problema(taps de transformadores e bancos de capacitores). A Busca Tabu, sendo baseada em trajetoria, permite uma exploração sistemática, determinística e cirúrjica da vizinhança imediata das variaveis inteiras. Isso permite que a perturbação na topologia da rede seja gradual e con- trolada, mantendo a viabilidade física do sistema com maior frequência. A BT tem uma memoria dupla (Lista de candidatos e Arquivo Pareto) com mecanismos de reinicialização estratégica, baseados na detecção de estagnação, o que emula a diversidade populacional sem o custo computacional de manter e avaliar uma população inteira via Knitro a cada geração, o que seria proibitivo. 2.3 A META-HEURÍSTICA BUSCA TABU MULTIOBJETIVO A Busca Tabu (BT) é uma meta-heurística baseada em trajetória que utiliza estru- turas de memória para guiar a busca de forma inteligente e evitar a estagnação em ótimos locais. Diferentemente de algoritmos puramente estocásticos como AG e PSO, a BT em- prega uma busca local determinística, mas com mecanismos que lhe permitem escapar de vales de atração e explorar o espaço de soluções de forma mais sistemática. Capítulo 2. Fundamentação Teórica e Revisão Bibliográfica 30 2.3.1 Princípios Fundamentais da Busca Tabu A BT opera a partir de uma única solução corrente, chamada de "solução semente", e explora sua vizinhança a cada iteração. Os seus componentes fundamentais são (Bay- kasoglu; Owen; Gindy, 1999) : • Estrutura de vizinhança: Define o conjunto de todas as soluções que podem ser alcançadas a partir da solução corrente através de um único "movimento". Um mo- vimento é uma pequena perturbação na solução, como alterar o valor de uma variável de controle. • Lista Tabu: É o mecanismo de memória de curto prazo da BT. Ela armazena os atributos dos movimentos recentes (por exemplo, a variável que foi alterada e seu valor anterior). Movimentos que revertem uma ação recente são declarados "tabu"ou proibidos por um determinado número de iterações (o tabu tenure). Isso impede que a busca retorne imediatamente a soluções já visitadas, forçando-a a explorar novas áreas e evitando ciclos curtos. • Critério de Aspiração: É uma condição que permite que uma proibição tabu seja ignorada. O critério de aspiração mais comum é permitir um movimento tabu se ele levar a uma solução melhor do que a melhor solução encontrada até agora em toda a busca (best-so-far). Isso evita que regras rígidas impeçam o progresso em direção a soluções de alta qualidade. 2.3.2 Adaptação para Otimização Multiobjetivo A adaptação da BT para problemas multiobjetivo, conforme proposto por (Bay- kasoglu; Owen; Gindy, 1999), requer uma redefinição fundamental das etapas de seleção e atualização para lidar com o conceito de dominância de Pareto. A Busca Tabu Multi- objetivo (BT-MO) introduz uma estrutura de memória mais sofisticada. • Redefinição da seleção: base na não-dominância: Em um contexto multiobjetivo, não existe um único "melhor"vizinho. Em vez disso, a seleção é baseada na não- dominância. A partir da vizinhança da solução semente, o algoritmo identifica um conjunto de "soluções semente candidatas". Uma solução é considerada candidata se ela não for dominada por nenhuma outra solução na vizinhança atual, nem por nenhuma solução já armazenada nas listas de memória do algoritmo. A partir deste conjunto de candidatos, uma nova solução semente é selecionada, muitas vezes de forma aleatória, para promover a diversidade. • Estrutura de Memória Dupla: Além da Lista Tabu tradicional, a BT-MO utiliza duas listas adicionais para gerenciar as soluções não-dominadas encontradas: Capítulo 2. Fundamentação Teórica e Revisão Bibliográfica 31 1. Lista de Pareto: Funciona como um arquivo de elite, armazenando o conjunto das melhores soluções não-dominadas encontradas ao longo de todo o pro- cesso de busca. Esta lista representa a aproximação da Fronteira de Pareto que o algoritmo constrói iterativamente. A cada iteração, novas soluções não- dominadas podem ser adicionadas à lista, e quaisquer soluções na lista que se tornem dominadas pelas novas são removidas. 2. Lista de Candidatos: Este é um mecanismo de memória secundário crucial para a diversificação da busca. Ela armazena outras soluções não-dominadas que foram geradas na vizinhança, mas que não foram selecionadas como a pró- xima solução semente. Se, em uma iteração, a busca não conseguir encontrar nenhuma nova solução semente candidata (indicando uma possível estagna- ção), o algoritmo pode selecionar uma solução da Lista de Candidatos como a nova semente. Este "salto"para uma região diferente e promissora do espaço de busca é um poderoso mecanismo de diversificação que ajuda a garantir uma exploração mais completa da Fronteira de Pareto. A estrutura de memória dupla da BT-MO oferece uma abordagem mais estruturada para equilibrar a intensificação e a diversificação. A Lista de Pareto foca na intensificação, refinando a busca em torno das melhores soluções conhecidas. A Lista de Candidatos, por sua vez, institucionaliza a diversificação, fornecendo um reservatório de pontos de partida alternativos para quando a busca local se esgota. Esta combinação torna a BT-MO uma técnica particularmente promissora para encontrar um conjunto bem distribuído e de alta qualidade de soluções na Fronteira de Pareto. Os conceitos fundamentais da otimização multiobjetivo são : • Dominância: Uma solução x1 domina uma solução x2 se x1 for estritamente melhor que x2 em pelo menos um objetivo e não for pior em nenhum dos outros objetivos. • Soluções Não-Dominadas: São as soluções para as quais não existe nenhuma outra solução factível que as domine. Todas as soluções não-dominadas são consideradas igualmente ótimas do ponto de vista da otimização multiobjetivo. • Fronteira de Pareto: É o conjunto de todas as soluções não-dominadas no espaço de objetivos. Esta fronteira representa a superfície de compromisso (trade-off) ótima, ilustrando como a melhoria em um objetivo inevitavelmente leva à degradação de pelo menos um outro. O objetivo final da resolução de um problema FPO-MO não é encontrar uma única res- posta, mas sim aproximar a Fronteira de Pareto da forma mais precisa e abrangente pos- sível. Isso fornece ao operador do sistema um conjunto valioso de alternativas operacio- Capítulo 2. Fundamentação Teórica e Revisão Bibliográfica 32 nais, cada uma representando um equilíbrio ótimo diferente entre os critérios econômicos, técnicos e ambientais, permitindo uma tomada de decisão mais informada e estratégica. 2.4 O PARADIGMA MULTIOBJETIVO: COMPROMISSOS E A FRONTEIRA DE PARETO A operação de sistemas de potência modernos transcende a simples minimização de custos. Fatores como a eficiência da rede, a estabilidade e, cada vez mais, o impacto ambiental, tornaram-se critérios operacionais cruciais. Esta realidade transforma o FPO em um problema de Fluxo de Potência Ótimo Multiobjetivo (FPO-MO), onde múltiplos objetivos, frequentemente conflitantes, devem ser otimizados simultaneamente. 2.4.1 Funções Objetivo Analisadas Neste trabalho, o FPO-MO é formulado com três objetivos centrais: • Minimização do Custo de Geração (fcusto): O objetivo econômico tradicional, que busca despachar as unidades geradoras da forma mais barata possível 𝑓custo = ∑︁ 𝑖∈𝑁𝐺(𝑃 𝑜𝑙𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑦) (︁ 𝑐2𝑖 · 𝑃 2 ger,𝑖 + 𝑐1𝑖 · 𝑃ger,𝑖 + 𝑐0𝑖 )︁ (4) • Minimização das Perdas de Potência Ativa (fperdas): Um objetivo técnico que visa maximizar a eficiência da transmissão de energia, reduzindo a quantidade de energia dissipada na rede, busca reduzir as perdas por efeito Joule na rede de transmissão. As perdas totais são calculadas como a soma das perdas em todos os ramos do sistema. 𝑓perdas = ∑︁ (𝑖,𝑗)∈𝑁𝑅 (𝑃de,𝑖𝑗 + 𝑃para,𝑖𝑗) (5) • Minimização da Emissão de Poluentes (fpoluicao): A crescente conscientiza- ção sobre o impacto ambiental da geração de energia elétrica modificou as estratégias operacionais dos sistemas de potência, elevando a minimização de emissões a um objetivo de alta prioridade. O foco principal recai sobre os poluentes atmosféri- cos gerados pela queima de combustíveis fósseis, notadamente os óxidos de enxofre (SOx) e os óxidos de nitrogênio (NOx). A relação entre a potência ativa despachada por uma unidade térmica e a quantidade de poluentes que ela emite é complexa e altamente não linear. Para modelar este fenômeno, a literatura consolidou o uso de uma função que combina termos polinomiais e exponenciais, como extensivamente aplicado nos trabalhos de Abido (Abido, 2009). A emissão total é, portanto, a soma das contribuições de cada gerador Capítulo 2. Fundamentação Teórica e Revisão Bibliográfica 33 𝑓poluição = ∑︁ 𝑖∈𝑁𝐺(𝐶𝑙𝑒𝑎𝑛𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑦) (0.01(𝛾𝑖𝑃 2 ger,𝑖 + 𝛽𝑖𝑃ger,𝑖 + 𝛼𝑖) + 𝜉𝑖𝑒 𝜆𝑖𝑃ger,𝑖) (6) Nesta equação, a componente quadrática: (𝛾𝑖𝑃 2 ger,𝑖 + 𝛽𝑖𝑃ger,𝑖 + 𝛼𝑖) (7) representa a característica base de emissão da unidade, enquanto o termo exponencial: 𝜉𝑖𝑒 𝜆𝑖𝑃ger,𝑖 (8) é frequentemente incluído para modelar com maior precisão os efeitos de "ponto de válvula"(valve-point effects), que causam picos de emissão em determinados níveis de operação. Os coeficientes 𝛼𝑖, 𝛽𝑖, 𝛾𝑖, 𝜉𝑖, 𝜆𝑖 são específicos para cada unidade geradora e de- terminados empiricamente. A natureza conflitante desses objetivos é evidente. Por exemplo, a minimização do custo pode favorecer geradores térmicos mais antigos e baratos, que, no entanto, são mais poluentes. Por outro lado, a minimização das emissões pode exigir o uso de fontes mais limpas, mas potencialmente mais caras. Devido a esses conflitos, não existe uma única solução que seja a "melhor"para todos os objetivos simultaneamente. Em vez disso, a otimização multiobjetivo busca um conjunto de soluções de compromisso, conhecidas como soluções ótimas de Pareto. 2.5 JUSTIFICATIVA DOS CASOS DE TESTE NESTA A validação de um novo algoritmo de otimização depende criticamente da qualidade e do realismo do sistema de teste utilizado. A escolha do benchmark não é apenas uma questão de dados, mas uma decisão metodológica que impacta diretamente a credibilidade e a generalização dos resultados obtidos. Por esta razão, este trabalho opta por utilizar os casos de teste do NICTA Energy System Test Case Archive (NESTA) (Coffrin; Gordon; Scott, 2014), especificamente as versões aprimoradas dos sistemas IEEE de 30, 118 e 300 barras. 2.5.1 Deficiências dos Casos de Teste Tradicionais Muitos dos casos de teste padrão da IEEE, embora amplamente utilizados na lite- ratura, foram desenvolvidos décadas atrás com o objetivo principal de validar algoritmos de fluxo de potência, e não de otimização. Conforme detalhado no relatório técnico do arquivo NESTA, esses casos clássicos apresentam deficiências significativas para estudos de FPO: Capítulo 2. Fundamentação Teórica e Revisão Bibliográfica 34 • Restrições Inativas ou Ausentes: Em muitos casos, os limites térmicos das linhas de transmissão são omitidos ou definidos com valores extremamente altos (e.g., 9900 MVA), o que impede a ocorrência de congestionamento na rede. Isso torna uma das principais restrições do FPO inativa e, consequentemente, o problema de otimização menos desafiador e menos representativo da realidade operacional. • Dados Econômicos Genéricos: As funções de custo dos geradores são frequen- temente omitidas ou modeladas com coeficientes genéricos e idênticos para todas as unidades, o que não reflete a diversidade econômica de um parque gerador real, onde diferentes tecnologias e combustíveis resultam em custos operacionais distintos. • Modelagem Incompleta dos Geradores: Os limites de potência reativa dos ge- radores são, muitas vezes, simplificados, não representando a curva de capabilidade completa que relaciona a produção de potência ativa e reativa de forma interdepen- dente. O uso desses casos de teste simplificados pode levar a conclusões otimistas sobre o desempenho de um algoritmo, pois o espaço de busca que ele explora pode ser arti- ficialmente menos complexo do que o de um sistema real. A inadequação destes casos para estudos de otimização robustos é um tema recorrente na literatura, onde trabalhos como o (Beach et al., 2024; Coffrin; Hijazi; Hentenryck, 2015) demonstram a necessidade de benchmarks mais desafiadores para avaliar corretamente o desempenho de diferentes relaxações convexas do problema de FPO. 2.5.2 A Vantagem do Arquivo NESTA O projeto NESTA foi criado para superar essas limitações, aprimorando os casos de teste clássicos com dados mais realistas, derivados de fontes públicas e modelos estatísti- cos. A utilização dos casos nesta case 30, case 118 e case 300 IEEE NESTA neste trabalho é uma decisão metodológica deliberada para garantir que a avaliação da meta-heurística seja realizada em um cenário que se aproxima mais fielmente dos desafios encontrados na operação de sistemas de potência reais. As principais vantagens e inovações dos modelos NESTA estão resumidas na Tabela 1 Capítulo 2. Fundamentação Teórica e Revisão Bibliográfica 35 Tabela 1 – Aprimoramentos dos Casos de Teste NESTA em Relação aos Modelos Tradicionais Componente do Sistema Problema nos Casos Tradi- cionais Aprimoramento no NESTA Limites Térmicos Ausentes ou irreais (ex: 9900 MVA).tornando o congestiona- mento da rede improvável. Modelo estatístico TL-Stat que estima limites com base nos parâmetros elétricos da linha (r, x, V), resultando em valores heterogêneos e realistas que permitem o congestionamento. Custos de Geração Ausentes ou genéricos, com co- eficientes idênticos para todos os geradores, não refletindo a diversidade econômica. Modelo AC-Stat baseado em preços de combustíveis para di- ferentes tipos de usinas (car- vão, gás, nuclear, etc.), criando um cenário de despacho econô- mico mais realista. Curvas de Capabili- dade P-Q Simplificadas ou inexistentes. Modelos RG-AM50 e AG-Stat que geram curvas de capabili- dade P-Q mais completas e re- alistas para os geradores, re- presentando melhor suas res- trições operacionais. Limites de Ângulo de Fase Omissão total. Inclusão de limites de diferença de ângulo de fase entre barras adjacentes (e.g., 30°), uma res- trição que pode impactar sig- nificativamente a factibilidade e o custo da solução. Como resultado dessas melhorias, os casos NESTA frequentemente exibem "lacunas de otimalidade"(optimality gaps) significativas quando resolvidos por relaxações convexas, indicando que os problemas são genuinamente não convexos e difíceis de se resolver. Isso os torna benchmarks ideais para avaliar rigorosamente o desempenho de algoritmos de otimização avançados. A necessidade de benchmarks tão rigorosos é ainda mais acentuada quando se avaliam métodos de otimização para PNLIM não convexos, como as técnicas de relaxação e discretização propostas por Beach et al. (2023). Em tais cenários, a presença de restrições ativas e um espaço de busca realista, como os fornecidos pelo NESTA, é indispensável para uma validação científica robusta 36 3 METODOLOGIA HÍBRIDA PROPOSTA (MOTS-KNITRO) Este capítulo detalha a arquitetura e os componentes da metodologia de otimização desenvolvida para resolver o problema de FPO multiobjetivo. A abordagem proposta é um método híbrido que integra uma MOTS, responsável pela otimização das variáveis de controle discretas, com o solver de PNL Knitro, que lida com as variáveis contínuas. Esta estratégia de decomposição mestre-escravo foi projetada para explorar eficientemente o espaço de busca complexo do problema PNLIM. 3.1 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA O problema de FPO é modelado conforme apresentado nas Equações (9)–(33): Objetivo 1: Minimizar o Custo Total de Geração obj1 = ∑︁ 𝑖∈Ω𝑔 (︁ 𝑐2,𝑖(𝑃 g 𝑖 )2 + 𝑐1,𝑖𝑃 g 𝑖 + 𝑐0,𝑖 )︁ + 𝜌 ∑︁ 𝑖∈Ω𝑏∖Ω𝑔 (𝑔𝑝 𝑖 + 𝑔𝑞 𝑖 ) (9) Objetivo 2: Minimizar Perdas Ativas na Transmissão obj2 = ∑︁ (𝑘,𝑖,𝑗)∈RAM (𝑃 de 𝑖𝑗 + 𝑃 para 𝑗𝑖 ) + 𝜌 ∑︁ 𝑖∈Ω𝑏∖Ω𝑔 (𝑔𝑝 𝑖 + 𝑔𝑞 𝑖 ) (10) Objetivo 3: Minimizar Emissão de Poluentes obj3 = ∑︁ 𝑖∈Ω𝑔 [︁ 0.01(𝛾𝑖(𝑃 g 𝑖 )2 + 𝛽𝑖(𝑃 g 𝑖 ) + 𝛼𝑖) + 𝜉𝑖𝑒 𝜆𝑖𝑃 g 𝑖 ]︁ + 𝜌 ∑︁ 𝑖∈Ω𝑏∖Ω𝑔 (𝑔𝑝 𝑖 + 𝑔𝑞 𝑖 ) (11) Objetivo 4 :Minimização Bi-objetivo: Custo e Perdas Esta função combina os aspectos econômicos e de eficiência técnica, excluindo a componente ambiental. min (︃ obj1 − co_utopian co_range )︃ + (︃ obj2 − losses_utopian losses_range )︃ (12) Objetivo 5 :Minimização Bi-objetivo: Custo e Poluição Nesta formulação, busca-se o equilíbrio entre a economicidade e a sustentabilidade ambiental, ignorando as perdas de transmissão. min (︃ obj1 − co_utopian co_range )︃ + (︃ obj3 − pollution_utopian pollution_range )︃ (13) Capítulo 3. METODOLOGIA HÍBRIDA PROPOSTA (MOTS-KNITRO) 37 Objetivo 6 :Minimização Bi-objetivo: Perdas e Poluição Esta função prioriza exclusivamente a eficiência técnica e ambiental ("Green Efficient"), sem considerar diretamente o custo operacional. min (︃ obj2 − losses_utopian losses_range )︃ + (︃ obj3 − pollution_utopian pollution_range )︃ (14) Objetivo 7 : Minimização Multiobjetivo Composta (Normalizada) min (︃ obj1 − co_utopian co_range )︃ + (︃ obj2 − losses_utopian losses_range )︃ + (︃ obj3 − pollution_utopian pollution_range )︃ (15) Sujeito a: 𝑃 𝑔 𝑖 − 𝑃 𝑙 𝑖 − ∑︁ 𝑗𝑖∈Ω𝑙 𝑃 Re 𝑗𝑖 − ∑︁ 𝑖𝑗∈Ω𝑙 𝑃 Se 𝑖𝑗 − 𝑉 2 𝑖 𝐺sh 𝑖 + 𝑔𝑝 𝑖 = 0, ∀𝑖 ∈ Ω𝑏 (16) 𝑄𝑔 𝑖 −𝑄𝑙 𝑖 − ∑︁ 𝑗𝑖∈Ω𝑙 𝑄Re 𝑗𝑖 − ∑︁ 𝑖𝑗∈Ω𝑙 𝑄Se 𝑖𝑗 + 𝑉 2 𝑖 𝐵sh 𝑖 𝜔𝑖 + 𝑔𝑞 𝑖 = 0, ∀𝑖 ∈ Ω𝑏 (17) 𝑃 de 𝑖𝑗 = 𝐺𝑖𝑗 (︃ 1 + 𝑟% 𝑖𝑗 𝑡𝑖𝑗 𝑡𝑖𝑗 )︃2 𝑉 2 𝑖 − (︃ 1 + 𝑟% 𝑖𝑗 𝑡𝑖𝑗 𝑡𝑖𝑗 )︃ 𝑉𝑖𝑉𝑗 · [︂ 𝐺𝑖𝑗 cos(𝜃𝑖 − 𝜃𝑗 + 𝜑𝑖𝑗) + 𝐵𝑖𝑗 sin(𝜃𝑖 − 𝜃𝑗 + 𝜑𝑖𝑗) ]︂ , ∀𝑖𝑗 ∈ Ω𝑙 (18) 𝑃 para 𝑖𝑗 = 𝐺𝑖𝑗𝑉 2 𝑗 − (︃ 1 + 𝑟% 𝑖𝑗 𝑡𝑖𝑗 𝑡𝑖𝑗 )︃ 𝑉𝑖𝑉𝑗 · [︂ 𝐺𝑖𝑗 cos(𝜃𝑖 − 𝜃𝑗 + 𝜑𝑖𝑗) −𝐵𝑖𝑗 sin(𝜃𝑖 − 𝜃𝑗 + 𝜑𝑖𝑗) ]︂ , ∀𝑖𝑗 ∈ Ω𝑙 (19) Capítulo 3. METODOLOGIA HÍBRIDA PROPOSTA (MOTS-KNITRO) 38 𝑄de 𝑖𝑗 = − (︁ 𝐵𝑖𝑗 + 𝐵sh 𝑖𝑗 )︁(︃ 1 + 𝑟% 𝑖𝑗 𝑡𝑖𝑗 𝑡𝑖𝑗 )︃2 𝑉 2 𝑖 + (︃ 1 + 𝑟% 𝑖𝑗 𝑡𝑖𝑗 𝑡𝑖𝑗 )︃ 𝑉𝑖𝑉𝑗 · [︂ 𝐵𝑖𝑗 cos(𝜃𝑖 − 𝜃𝑗 + 𝜑𝑖𝑗) −𝐺𝑖𝑗 sin(𝜃𝑖 − 𝜃𝑗 + 𝜑𝑖𝑗) ]︂ , ∀𝑖𝑗 ∈ Ω𝑙 (20) 𝑄para 𝑖𝑗 = − (︁ 𝐵𝑖𝑗 + 𝐵sh 𝑖𝑗 )︁ 𝑉 2 𝑗 + (︃ 1 + 𝑟% 𝑖𝑗 𝑡𝑖𝑗 𝑡𝑖𝑗 )︃ 𝑉𝑖𝑉𝑗 · [︂ 𝐵𝑖𝑗 cos(𝜃𝑖 − 𝜃𝑗 + 𝜑𝑖𝑗) + 𝐺𝑖𝑗 sin(𝜃𝑖 − 𝜃𝑗 + 𝜑𝑖𝑗) ]︂ , ∀𝑖𝑗 ∈ Ω𝑙 (21) 𝑉 ≤ 𝑉𝑖 ≤ 𝑉 , ∀𝑖 ∈ Ω𝑏 (22) 𝑃 𝑔 𝑖 ≤ 𝑃 𝑔 𝑖 ≤ 𝑃 𝑔 𝑖 , ∀𝑖 ∈ Ω𝑔 (23) 𝑄𝑔 𝑖 ≤ 𝑄𝑔 𝑖 ≤ 𝑄 𝑔 𝑖 , ∀𝑖 ∈ Ω𝑔 (24) (𝑃 de 𝑖𝑗 )2 + (𝑄de 𝑖𝑗 )2 ≤ 𝑆 2 𝑖𝑗, ∀𝑖𝑗 ∈ Ω𝑙 (25) (𝑃 para 𝑖𝑗 )2 + (𝑄para 𝑖𝑗 )2 ≤ 𝑆 2 𝑖𝑗, ∀𝑖𝑗 ∈ Ω𝑙 (26) 𝑔𝑝 𝑖 , 𝑔𝑞 𝑖 ≥ 0, ∀𝑖 ∈ Ω𝑏 (27) 𝑔𝑝 𝑖 , 𝑔𝑞 𝑖 = 0, ∀𝑖 ∈ Ω𝑔 (28) −𝑡𝑖𝑗 ≤ 𝑡𝑖𝑗 ≤ 𝑡𝑖𝑗, ∀𝑖𝑗 ∈ Ω𝑙 (29) 𝜃𝑖 = 0, 𝑖 = barra de referência (30) 𝜃𝑚 ≤ 𝜃𝑖 − 𝜃𝑗 ≤ 𝜃𝑀 , ∀𝑖𝑗 ∈ Ω𝑙 (31) 𝜔𝑖 ∈ {0, 1}, ∀𝑖 ∈ Ω𝑏 (32) 𝑡𝑖𝑗 ∈ Z, ∀𝑖𝑗 ∈ Ω𝑙 (33) As Equações (9)–(15) representam as funções objetivo fundamentais consideradas neste trabalho. Cada uma dessas expressões será utilizada de forma isolada durante dife- rentes estágios do processo de busca da função multiobjetivo. Ao focar-se em uma função específica por vez, é possível explorar nichos distintos no espaço de soluções, gerando di- ferentes vizinhanças e promovendo uma diversificação efetiva na construção da Fronteira de Pareto. Nas equações (9)–(33), os conjuntos são definidos como: Ω𝑏 é o conjunto de barras (nós), Ω𝑔 é o subconjunto de barras com geração e Ω𝑙 o conjunto de ramos (linhas). Os parâmetros são os seguintes: 𝑐2 𝑖 , 𝑐1 𝑖 , 𝑐0 𝑖 : coeficientes do custo de geração; 𝜌: pena- lidade para geração artificial(configurado com o valor 106); 𝐺𝑖𝑗, 𝐵𝑖𝑗: condutância e suscep- Capítulo 3. METODOLOGIA HÍBRIDA PROPOSTA (MOTS-KNITRO) 39 tância do ramo; 𝐵sh 𝑖𝑗 , 𝐺sh 𝑖 , 𝐵sh 𝑖 : parâmetros shunt; (𝑟% 𝑖𝑗 ) é tamanho de passo de regulação para o tap do transformador no ramo i j, 𝑡𝑖𝑗 o número de taps do transformador no ramo i j, 𝜑𝑖𝑗 o valor do ângulo de defasagem introduzido pelo transformador defasador no ramo i j; 𝑉 , 𝑉 , 𝑃 𝑔 𝑖 , 𝑃 𝑔 𝑖 , 𝑄𝑔 𝑖 , 𝑄 𝑔 𝑖 : limites de operação; 𝑃 𝑙 𝑖 , 𝑄𝑙 𝑖: demandas nas barras; 𝑆𝑖𝑗: limite de potência aparente. As variáveis de decisão incluem: 𝑃 𝑔 𝑖 , 𝑄𝑔 𝑖 : geração ativa e reativa; 𝑉𝑖, 𝜃𝑖: magnitude e ângulo da tensão; 𝑃 de 𝑖𝑗 , 𝑃 para 𝑖𝑗 , 𝑄de 𝑖𝑗 , 𝑄para 𝑖𝑗 : fluxos de potência; 𝑡𝑖𝑗: posição do tap do trans- formador; 𝜔𝑖: estado do dispositivo shunt; 𝑔𝑝 𝑖 , 𝑔𝑞 𝑖 : variáveis de corte de carga. A restrição angular (31) com 𝜃𝑚 = −30∘ e 𝜃𝑀 = 30∘ não visa forçar o modelo a convergir para um ótimo local artificial, mas sim reproduzir condições operacionais realistas. Em sistemas de potência reais, diferenças angulares superiores a 30∘ podem indicar instabilidade de tensão ou riscos de colapso. A escolha dos valores ±30∘ baseia-se em estudos de estabilidade transitória para sistemas de grande porte (Coffrin; Gordon; Scott, 2014). A abordagem híbrida ETS–KNITRO combina exploração meta-heurística de variá- veis discretas com programação não linear contínua. Cada solução é avaliada por meio da resolução do subproblema FPO contínuo e da verificação das restrições (22)–(33). O mé- todo garante a viabilidade ao mesmo tempo que minimiza os custos de geração definidos em (15). Capítulo 3. METODOLOGIA HÍBRIDA PROPOSTA (MOTS-KNITRO) 40 3.2 VISÃO GERAL DA ABORDAGEM HIBRIDA A lógica central da metodologia é separar o problema de otimização em dois níveis hierárquicos. O nível superior, ou "mestre", é governado pela meta-heurística Busca Tabu, que explora o espaço de busca combinatório definido pelas variáveis discretas (posições de taps e estados dos shunts). O nível inferior, ou "escravo", consiste na resolução de um subproblema de FPO puramente contínuo, onde os valores das variáveis discretas são fixados conforme determinado pelo algoritmo mestre. Para cada nova configuração de variáveis discretas gerada pela Busca Tabu, o subproblema de PNL é modelado na linguagem AMPL e resolvido pelo solver Knitro. O resultado desta otimização — os valores das três funções objetivo (custo, perdas e poluição) e o status de factibilidade — é então retornado ao algoritmo mestre, que utiliza essa informação para avaliar a qualidade da configuração e guiar o processo de busca. A comunicação entre a implementação da Busca Tabu (em Python) e o solver é gerenciada por uma Interface de Programação de Aplicações (API), permitindo um fluxo de trabalho automatizado. O fluxograma geral da metodologia é ilustrado na Figura 1. Capítulo 3. METODOLOGIA HÍBRIDA PROPOSTA (MOTS-KNITRO) 41 Carregar dados do sistema e parâmetros Inicializar FPOModel  e calcular pontos utópicos / nadir Gerar solução inicial factível (taps, shunts)  e verificar criterio de penalidade Definir objetivo / mudar  fase (Min Custo, Min Perdas, Min Polução, MultiObj) Gerar vizinhança da solução atual (taps e shunts) inmediatamente se avalia com lista tabu  se ja foram testados Avaliar vizinhos restantes com KNITRO (subproblema PNL) obter Custo,Perdas e Pollution Identificar a dominância entre as soluções, de modo que apenas aquelas não  dominadas sejam selecionadas como candidatas potenciais Os candidatos potenciais serão avaliados para verificar se não são dominados por soluções  presentes na fronteira de Pareto e na lista de candidatos. Aquelas que não forem dominadas serão selecionadas para a lista final Uma solução é escolhida aleatoriamente entre os candidatos  da lista final e definida como current_Solution.  O contador no_improvement_counter +1.  Uma solução é então selecionada aleatoriamente da lista potenciais candidatos para ser a current_solution. Atualizar frente de Pareto e lista Tabu no_improvement_counter = 0 (Ajusta-se o raio de busca do TAP para ±7) Consolidar Pareto global e finalizar Escolhe-se uma current_solution da fronteira de Pareto ou candidate_list Ajusta-se o raio de busca do TAP para ±2  Não Sim Sim Não Final_list = ∅? no_improvement_counter = max_no_improvement? iterations = max_iterations? num_iterações_objetivo_atual = limite_fase? Definir o número de iterações atribuídas a cada fase do processo de otimização Não Não Sim A Sim B B Próxima Iteração  A Figura 1 – Diagrama de Fluxo da Metodologia Híbrida Proposta Capítulo 3. METODOLOGIA HÍBRIDA PROPOSTA (MOTS-KNITRO) 42 3.3 REPRESENTAÇÃO DA SOLUÇÃO E TRATAMENTO DAS VARIÁVEIS Uma solução candidata no espaço de busca da MOTS é representada por um vetor de inteiros. Este vetor, 𝑆, representa o estado de todas as variáveis de controle discretas do sistema, sendo sua dimensão definida pelo número total de taps de transformadores (𝑁tap) e compensadores shunt (𝑁shunt): 𝑆 = [𝑡1, 𝑡2, . . . , 𝑡𝑁TP , 𝑠1, 𝑠2, . . . , 𝑠𝑁SH ] (34) onde: • 𝑡𝑖 ∈ [−16, 16]: valores inteiros representando a posição dos taps; • 𝑠𝑗 ∈ {0, 1}: representando o estado desligado/ligado para shunts. Esse vetor é a entrada do modelo AMPL, via parâmetros nt (taps) e w (shunts). 3.4 ETAPA DE NORMALIZAÇÃO DOS OBJETIVOS Para garantir que todos os objetivos sejam tratados com igual importância, o algo- ritmo inicia com uma etapa de pré-processamento para calcular fatores de normalização. O processo consiste em determinar os pontos utópicos (melhor valor alcançável para cada objetivo) e os pontos nadir (pior valor de um objetivo quando outro é otimizado). Com estes valores, calcula-se a faixa de variação (𝑓 range obj ) para cada objetivo. Estes parâ- metros são então utilizados para formular uma função objetivo combinada e normalizada, conforme a Equação (35). min 𝐹MO =𝑓custo − 𝑓utopia custo 𝑓 range custo + 𝑓perdas − 𝑓utopia perdas 𝑓 range perdas + 𝑓poluicao − 𝑓utopia poluicao 𝑓 range poluicao + 𝜌 · ∑︁ (𝑔𝑃𝑖 + 𝑔𝑄𝑖) (35) Os valores de 𝑓range são definidos como a diferença entre o valor nadir (o pior valor obtido na fase de pré-processamento) e o valor utópico (o melhor valor obtido nessa mesma fase), conforme a seguinte expressão: 𝑓range = 𝑓nadir − 𝑓utopic Capítulo 3. METODOLOGIA HÍBRIDA PROPOSTA (MOTS-KNITRO) 43 Nos casos em que o valor nadir se apresenta excessivamente elevado, adota-se o segundo pior valor obtido, com o intuito de evitar que o método Tabu apresente completo desinteresse na busca por algum dos objetivos. Essa medida visa manter o equilíbrio na exploração do espaço de busca, assegurando que o algoritmo continue a procurar soluções de melhor qualidade de forma equitativa entre todos os objetivos considerados. 3.5 Estratégia de Pré-processamento e Inicialização Híbrida A eficiência de algoritmos meta-heurísticos, como a Busca Tabu Multiobjetivo (MOTS), é fortemente dependente da qualidade da solução inicial. Em problemas de alta complexidade combinatória, como o FPOM com variáveis discretas, iniciar a busca a partir de um ponto aleatório pode resultar em um esforço computacional excessivo apenas para alcançar a região de viabilidade. Para mitigar esse risco e acelerar a convergência, desenvolveu-se uma estratégia de warm-start (inicialização a quente) baseada em Programação Não Linear Inteira Mista (MINLP). Esta etapa de pré-processamento é executada antes do ciclo iterativo principal da meta-heurística e visa identificar uma configuração robusta para as variáveis de controle discretas (taps de transformadores e compensadores shunt). O módulo de pré-processamento, integrado via scripting em Python e AMPL, for- mula um problema de otimização mono-objetivo agregado. Diferentemente da abordagem clássica de soma ponderada, utiliza-se uma normalização baseada em pontos utópicos e nadir pré-calculados para cada sistema teste, garantindo que nenhum objetivo domine a busca inicial. A função objetivo composta é definida conforme a Equação 36: min 𝐹𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑜𝑏𝑗 = (︃ 𝐹𝐶(𝑥, 𝑢)− 𝐹 𝑢𝑡𝑜𝑝𝑖𝑎 𝐶 𝑅𝐶 )︃ + (︃ 𝐹𝐿(𝑥, 𝑢)− 𝐹 𝑢𝑡𝑜𝑝𝑖𝑎 𝐿 𝑅𝐿 )︃ + (︃ 𝐹𝑃 (𝑥, 𝑢)− 𝐹 𝑢𝑡𝑜𝑝𝑖𝑎 𝑃 𝑅𝑃 )︃ (36) onde 𝑅𝑖 representa o intervalo de variação (𝑅𝑎𝑛𝑔𝑒) de cada objetivo. O solver KNITRO é empregado para resolver esta formulação relaxada. Após a convergência, o algoritmo captura o vetor de variáveis discretas otimizadas 𝑢⃗𝑖𝑛𝑖𝑡 = [𝑇𝑎𝑝1, . . . , 𝑇𝑎𝑝𝑁𝑇 𝑃 , 𝑆ℎ𝑢𝑛𝑡1, . . . , 𝑆ℎ𝑢𝑛𝑡𝑁𝑆𝐻 ]. Este vetor é então fixado como a solução se- mente para a lista Tabu, garantindo que a exploração inicie a partir de um ponto opera- cional de alta performance e equilibrado entre os objetivos conflitantes. Capítulo 3. METODOLOGIA HÍBRIDA PROPOSTA (MOTS-KNITRO) 44 3.5.1 Tratamento Específico para Espaços de Busca de Alta Dimensionali- dade (Caso IEEE 300 Barras) A aplicação da metodologia ao sistema IEEE 300 barras impõe desafios adicionais devido à explosão combinatória do espaço de busca, composto por 62 transformadores com 33 posições discretas e 14 elementos shunt (3362×214 combinações possíveis). Nestas con- dições, uma única solução inicial, mesmo que otimizada, pode não garantir a diversidade necessária para a construção de uma Fronteira de Pareto densa. Para superar essa limitação, implementou-se um mecanismo de **Injeção de So- luções Extremas (Extreme Solution Injection - ESI)**. Este procedimento estende o pré- processamento padrão através das seguintes etapas sequenciais automatizadas no script de controle: 1. Resolução Dedicada de Extremos: O algoritmo invoca o solver MINLP para resolver três modelos distintos e independentes, focados exclusivamente na minimi- zação individual de Custo, Perdas e Poluição. 2. Estratégia Fix-and-Reevaluate: Devido à natureza não linear do problema, a simples extração das variáveis discretas pode levar a inconsistências no cálculo dos fluxos de potência AC. Para garantir a integridade dos dados, o algoritmo aplica uma técnica de fixação: • As variáveis inteiras ótimas (𝑛𝑡 e 𝑤) encontradas pelo MINLP são fixadas no modelo. • O problema é re-resolvido como um NLP contínuo puro para ajustar as variá- veis de estado (𝑉, 𝜃, 𝑃𝑔, 𝑄𝑔) à configuração discreta imposta. 3. Povoamento do Arquivo: As três soluções resultantes, que representam os vérti- ces teóricos (âncoras) da Fronteira de Pareto, são injetadas diretamente na memória do algoritmo Tabu e no arquivo de soluções não dominadas antes da primeira ite- ração estocástica. Esta abordagem assegura que o algoritmo meta-heurístico possua "pontos de re- fúgio"de alta qualidade. Caso a busca local estagne em ótimos locais de baixa qualidade durante o processo evolutivo, o mecanismo de reinício (restart mechanism) pode utilizar essas soluções injetadas como base para explorar novas regiões promissoras do hiperes- paço de busca, aumentando significativamente a probabilidade de convergência para o verdadeiro ótimo global. Capítulo 3. METODOLOGIA HÍBRIDA PROPOSTA (MOTS-KNITRO) 45 3.6 A META-HEURÍSTICA BUSCA TABU MULTIOBJETIVO (MOTS) PROPOSTA Após a normalização, o algoritmo inicia a busca iterativa, caracterizada por uma estratégia de busca em fases para garantir uma exploração diversificada do frente de Pareto. 3.6.1 Estratégia de Busca em Fases O número total de iterações é dividido em fases, cada uma focada em um objetivo específico (MinimizeCost, MinimizeLosses, MinimizeCost+Losses, MinimizeLosses, MinimizeLosses+Pollution, MinimizePollution MinimizeCost+Pollution e a função Multiobjetivo com- binada(15)). Esta abordagem garante que o algoritmo explore intensivamente tanto as regiões extremas quanto as de compromisso da Fronteira de Pareto. O procedimento geral é apresentado no Algoritmo 1. Para todos os sistemas analisados (IEEE 30, 118 e 300 barras), adotou-se uma sequência de busca padronizada e determinística, projetada para realizar uma varre- dura topológica completa do espaço de soluções. Imediatamente após a etapa de pré- processamento e injeção da solução inicial, o ciclo iterativo principal direciona a explora- ção seguindo a ordem definida pelo vetor de fases custom_phase_iterations: 1. Exploração de Âncoras Mono-objetivo: O algoritmo inicia focando exclusiva- mente na minimização do Custo (MinimizeCost), seguido pela transição para Perdas (MinimizeLosses) e, posteriormente, Poluição (MinimizePollution). 2. Exploração de Arestas Bi-objetivo: Intercaladas entre os objetivos puros, executam- se fases de transição híbrida (MinimizeCost+Losses, MinimizeCost+Pollution, etc.), que forçam a população a navegar pelas "arestas"do hiperplano de Pareto. 3. Consolidação Multiobjetivo: A fase final é dedicada à função Multiobjetivo glo- bal, visando preencher a região central de compromisso (soluções knee-point). É fundamental ressaltar que, embora a arquitetura sequencial seja comum a todos os casos de estudo, a alocação do esforço computacional (número de iterações por fase) foi parametrizada individualmente para respeitar a complexidade de cada sistema. Por exemplo, no sistema IEEE 30 barras, de um total de 900 iterações, alocaram-se 100 iterações específicas para a fase de custo, enquanto sistemas maiores, como o de 300 barras, exigiram janelas de exploração ajustadas para garantir a convergência em cada subespaço. Esta estratégia de reorientação dinâmica do gradiente de busca a cada 𝑁 iterações provou-se crucial para a qualidade da solução final. Ao forçar o algoritmo a visitar sequen- cialmente os extremos e as combinações pares antes da otimização global, maximiza-se a Capítulo 3. METODOLOGIA HÍBRIDA PROPOSTA (MOTS-KNITRO) 46 diversidade populacional e garante-se o preenchimento eficaz da superfície tridimensional da Fronteira de Pareto, evitando a convergência prematura para regiões que favoreçam apenas um dos objetivos conflitantes. Algorithm 1 Fluxo geral do algoritmo MOTS–KNITRO com Pré-processamento Híbrido Input: Modelo AMPL ℳ, número máximo de iterações 𝑁max, lista de objetivos 𝒪 Output: Frente de Pareto final 𝒫 // Inicialização e Configuração 1 Inicializar FPOModel, calcular pontos utópicos e nadir (baseado no sistema) Calcular fatores de normalização e atualizar parâmetros no AMPL // Etapa 1: Pré-processamento Híbrido (Warm-Start) 2 Resolver MINLP com função objetivo composta normalizada (Eq. 15) → 𝑆init if 𝑆init é factível then 3 Inserir 𝑆init em 𝒫 e na lista Tabu 𝑆corrente ← 𝑆init 4 else 5 Gerar solução aleatória factível → 𝑆corrente 6 end // Etapa 2: Injeção de Soluções Extremas (Alta Complexidade) 7 if Sistema de Grande Porte (e.g., 300 barras) then 8 foreach objetivo 𝑘 ∈ {Custo, Perdas, Poluição} do 9 Resolver MINLP mono-objetivo para 𝑘 → 𝑆tmp Fix & Re-evaluate: Fixar variáveis discretas (taps/shunts) de 𝑆tmp Re-otimizar fluxo de potência (NLP contínuo) → 𝑆ext Inserir 𝑆ext em 𝒫 e na lista Tabu (Âncoras) 10 end 11 end // Etapa 3: Ciclo Principal de Busca Tabu em Fases 12 for cada fase/objetivo 𝑜 ∈ 𝒪 do 13 Atualizar função objetivo ativa no AMPL para 𝑜 Definir contador no_improvement ← 0 for 𝑖𝑡𝑒𝑟 ← 1 até 𝑁max/|𝒪| do 14 Gerar vizinhança 𝑉 a partir de 𝑆corrente (com perturbação adaptativa) Avaliar cada 𝑣 ∈ 𝑉 usando o KNITRO (NLP) Filtrar candidatos não dominados locais (intra- vizinhança) Filtrar candidatos globais contra 𝒫 e CandidateList 15 if lista FinalCandidates ̸= ∅ then 16 Selecionar candidato 𝑆novo (estratégia de diversificação) Atualizar 𝒫 com 𝑆novo (Alg. 3) Inserir 𝑆novo na lista Tabu e CandidateList 𝑆corrente ← 𝑆novo Reini- ciar no_improvement ← 0 17 else 18 Recuperar solução antiga de CandidateList ou manter 𝑆corrente Incrementar no_improvement ← no_improvement + 1 19 end 20 if no_improvement ≥ max_no_improvement then // Mecanismo de Reinício (Restart) 21 Selecionar 𝑆restart aleatório de 𝒫 ou CandidateList Ativar modo de intensificação (vizinhança reduzida) 𝑆corrente ← 𝑆restart Reiniciar no_improvement ← 0 22 end 23 end 24 end 25 Consolidar e filtrar o Frente de Pareto final 𝒫 Capítulo 3. METODOLOGIA HÍBRIDA PROPOSTA (MOTS-KNITRO) 47 3.6.2 Geração de Vizinhança A vizinhança de uma solução corrente 𝑆𝑎𝑡𝑢𝑎𝑙 é o conjunto de todas as soluções que podem ser alcançadas a partir de 𝑆𝑎𝑡𝑢𝑎𝑙 através de um único "movimento". Para este problema, um movimento é definido como a alteração de uma única variável discreta. Por exemplo: • Incrementar ou decrementar a posição do tap de um transformador em um passo (e.g., 𝑛𝑡𝑘 → 𝑛𝑡𝑘 + 1). • Mudar o estado de um compensador shunt (e.g., 𝜔𝑠ℎ𝑗 → 1− 𝜔𝑠ℎ𝑗 ). Uma lista de vizinhos é gerada através de um mecanismo probabilístico. A estra- tégia foca na modificação de um único elemento do vetor de solução, conforme detalhado no Algoritmo 2. Algorithm 2 Geração de vizinhança para MOTS Input: Solução corrente 𝑆corrente, probabilidade de mudança de tap 𝑝𝑡, probabilidade de au- mento de tap 𝑝𝑎, probabilidade de mudança de shunt 𝑝𝑠 Output: Lista de vizinhos 𝑉 1 𝑉 ← ∅ Copiar 𝑆corrente para 𝑆modificado 2 for cada tap 𝑡𝑖 do 3 if rand() < 𝑝𝑡 then 4 if rand() < 𝑝𝑎 then 5 𝑡𝑖 ← max(−16, 𝑡𝑖 − 1) 6 else 7 𝑡𝑖 ← min(16, 𝑡𝑖 + 1) 8 end 9 Adicionar solução modificada em 𝑉 . Atualizar 𝑆modificado[𝑖]← 𝑡𝑖 10 end 11 end 12 for cada shunt 𝑠𝑗 do 13 if rand() < 𝑝𝑠 then 14 𝑠𝑗 ← 1− 𝑠𝑗 . Adicionar solução modificada em 𝑉 . Atualizar 𝑆modificado[𝑗]← 𝑠𝑗 . 15 end 16 end 17 if 𝑆modificado /∈ 𝑉 e 𝑆modificado ̸= 𝑆corrente then 18 Adicionar 𝑆modificado em 𝑉 19 end 3.6.3 Avaliação da Função Objetivo e Tratamento das Restrições A avaliação de um vizinho 𝑆𝑣𝑖𝑧𝑖𝑛ℎ𝑜 é realizada pelo AMPL. O vetor de variáveis discretas de 𝑆𝑣𝑖𝑧𝑖𝑛ℎ𝑜 é passado para o modelo AMPL, que resolve o subproblema de PNL correspondente com o Knitro. O resultado é um vetor de objetivos [𝑓𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜, 𝑓𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠, 𝑓𝑝𝑜𝑙𝑢𝑖𝑐𝑎𝑜]. Capítulo 3. METODOLOGIA HÍBRIDA PROPOSTA (MOTS-KNITRO) 48 Se o Knitro não conseguir encontrar uma solução factível para uma dada configuração discreta, o vizinho é considerado infactível e descartado do processo de seleção. Cada vizinho é submetido a um rigoroso processo de avaliação e filtragem para selecionar a próxima solução corrente: 1. Avaliação de Factibilidade: Cada vizinho é avaliado através da função evaluate do FPO_Model. Uma solução é considerada factível se a penalidade 𝜌, associada à geração artificial, for nula ou próxima de zero. Soluções infactíveis são descartadas. 2. Verificação Tabu: Vizinhos factíveis são verificados contra a TabuList. Soluções presentes na lista são descartadas, a menos que satisfaçam um critério de aspiração (não implementado nesta versão). 3. Candidatos Potenciais: Os vizinhos restantes são comparados entre si. Um vizi- nho torna-se um "Candidato Potencial"se ele não for dominado por nenhum outro vizinho. 4. Candidatos Finais: Os Candidatos Potenciais são então comparados com as solu- ções já armazenadas no ParetoFront e na CandidateList. Um candidato potencial avança para a lista de "Candidatos Finais"apenas se não for dominado por nenhuma solução em ambos os arquivos. Se a lista de Final_Candidates não estiver vazia, uma solução é escolhida alea- toriamente para ser a próxima 𝑆corrente. A aleatoriedade na escolha entre soluções mutua- mente não dominadas é uma estratégia para evitar viés e promover uma exploração mais uniforme do frente. 3.6.4 Mecanismos de Memória e Atualização do Frente O algoritmo emprega três estruturas de memória para guiar a busca: • Lista Tabu (TabuList): Armazena as soluções completas que foram selecionadas como 𝑆corrente. Esta abordagem de memória baseada em solução, em vez de atribu- tos, é eficaz para problemas com avaliações de função objetivo computacionalmente caras, como o FPO. • Frente de Pareto (ParetoFront): Funciona como um arquivo de elite, armaze- nando o conjunto das melhores soluções não dominadas encontradas. A cada vez que uma nova 𝑆corrente é selecionada, o frente é atualizado conforme o procedimento do Algoritmo 3. Capítulo 3. METODOLOGIA HÍBRIDA PROPOSTA (MOTS-KNITRO) 49 • Lista de Candidatos (CandidateList): Armazena soluções de alta qualidade (Candidatos Finais) que não foram selecionadas como a próxima 𝑆corrente. Esta lista serve como uma memória de diversificação, fornecendo um reservatório de pontos de partida alternativos. Algorithm 3 Atualização da Frente de Pareto Input: Nova solução 𝑆nova, frente atual 𝒫 Output: Frente de Pareto atualizado 𝒫 ′ 1 dominada← false 2 for cada 𝑆existente ∈ 𝒫 do 3 if 𝑆existente domina 𝑆nova then 4 dominada← true break // Interrompe pois a nova solução é dominada 5 end 6 end 7 if dominada = false then 8 𝒫 ′ ← {𝑆nova} for cada 𝑆existente ∈ 𝒫 do 9 if 𝑆nova não domina 𝑆existente then 10 𝒫 ′ ← 𝒫 ′ ∪ {𝑆existente} 11 end 12 end 13 return 𝒫 ′ 14 end 15 else 16 return 𝒫 17 end 3.6.5 Estratégias de Intensificação e Diversificação (Reinicialização) Para evitar a estagnação da busca, o algoritmo implementa um mecanismo de reinicialização adaptativo: • Contador de Estagnação (no_improvement_counter): Incrementado a cada ite- ração em que nenhuma nova solução é adicionada ao ParetoFront. • Fase de Reinício (is_in_restart_phase): Se o contador atinge o limite de es- tagnação, max_no_improvement, o algoritmo entra em uma fase de reinício. Uma nova solução 𝑆corrente é selecionada aleatoriamente a partir do ParetoFront ou da CandidateList. • Intensificação: Durante a fase de reinício, a geração de vizinhança para os taps dos transformadores é restrita a um intervalo menor (por exemplo, [−2, 2]). Esta estratégia intensifica a busca local em torno de soluções de elite já conhecidas, com o objetivo de encontrar melhorias refinadas. Capítulo 3. METODOLOGIA HÍBRIDA PROPOSTA (MOTS-KNITRO) 50 Se, em uma iteração normal, não houver Final_Candidates, o algoritmo tenta diversificar a busca selecionando uma nova 𝑆corrente da CandidateList ou, caso esta esteja vazia, da lista de Potencial_Candidates gerada na iteração atual. 3.6.6 Consolidação Final do Frente de Pareto Ao final de todas as fases de busca, o algoritmo terá gerado múltiplos frentes de Pareto, um para cada fase objetiva. A etapa final consiste em consolidar esses resultados: todos os frentes são unidos em um único conjunto. Em seguida, este conjunto consolidado é filtrado para remover soluções duplicadas e, finalmente, submetido a um último pro- cesso de ordenação por não dominância para gerar o frente de Pareto absoluto e final do problema. 3.7 TOMADA DE DECISÃO FUZZY PARA SELEÇÃO DA SOLUÇÃO DE COM- PROMISSO A otimização multiobjetivo do fluxo de potência resulta em um conjunto de solu- ções ótimas não dominadas, conhecido como Frente de Pareto. Embora todas as soluções neste conjunto sejam matematicamente eficientes, o operador do sistema necessita de um único ponto operativo para o despacho de geração. Devido à natureza conflituosa dos ob- jetivos (por exemplo, custo versus emissões) e à incomensurabilidade das suas unidades (dólares, toneladas, p.u.), a seleção direta torna-se complexa(Avvari; DM, 2022). Para superar a subjetividade dos métodos de soma ponderada, nesta dissertação adotou-se uma metodologia baseada na Teoria dos Conjuntos Difusos (Fuzzy Set The- ory), conforme fundamentado por Abido e estendido para cenários estocásticos por Av- vari(Avvari; DM, 2022). Esta abordagem permite quantificar o grau de satisfação de cada objetivo individualmente e identificar a Melhor Solução de Compromisso (Best Compro- mise Solution - BCS). 3.7.1 Formulação Matemática A metodologia converte os valores dos objetivos crisp em funções de pertinência (membership functions) normalizadas. Considerando que o algoritmo metaheurístico gerou um Conjunto de Pareto Ω com 𝑀 soluções, para cada 𝑘-ésima solução e 𝑖-ésimo objetivo, define-se primeiramente o universo de discurso através dos limites empíricos encontrados na otimização atual (Abido, 2002): 𝐹 𝑚𝑖𝑛 𝑖 = min 𝑋∈Ω 𝑓𝑖(𝑋) e 𝐹 𝑚𝑎𝑥 𝑖 = max 𝑋∈Ω 𝑓𝑖(𝑋) (37) Capítulo 3. METODOLOGIA HÍBRIDA PROPOSTA (MOTS-KNITRO) 51 A função de pertinência linear 𝜇𝑘 𝑖 , que representa o grau de otimalidade do 𝑖- ésimo objetivo na 𝑘-ésima solução, é calculada da seguinte forma para problemas de minimização(Avvari; DM, 2022): 𝜇𝑖(𝑋𝑘) = ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩ 1 se 𝑓𝑖(𝑋𝑘) ≤ 𝐹 𝑚𝑖𝑛 𝑖 𝐹 𝑚𝑎𝑥 𝑖 −𝑓𝑖(𝑋𝑘) 𝐹 𝑚𝑎𝑥 𝑖 −𝐹 𝑚𝑖𝑛 𝑖 se 𝐹 𝑚𝑖𝑛 𝑖 < 𝑓𝑖(𝑋𝑘) < 𝐹 𝑚𝑎𝑥 𝑖 0 se 𝑓𝑖(𝑋𝑘) ≥ 𝐹 𝑚𝑎𝑥 𝑖 (38) Nesta formulação, um valor de 𝜇𝑖(𝑋𝑘) = 1 indica total satisfação (o objetivo atingiu o mínimo encontrado), enquanto 𝜇𝑖(𝑋𝑘) = 0 indica insatisfação total. A vantagem desta normalização é eliminar as discrepâncias de escala entre os objetivos, permitindo uma comparação justa entre custo financeiro e índices técnicos. 3.7.2 Critério de Seleção da BCS Após a "fuzzificação"de todos os objetivos, calcula-se a Função de Pertinência Nor- malizada (𝜇𝑘) para cada solução 𝑘. Esta métrica atua como uma prioridade cardinal, agregando as satisfações individuais: 𝜇𝑘 = ∑︀𝑁𝑜𝑏𝑗 𝑖=1 𝜇𝑖(𝑋𝑘)∑︀𝑀 𝑗=1 ∑︀𝑁𝑜𝑏𝑗 𝑖=1 𝜇𝑖(𝑋𝑗) (39) Onde 𝑁𝑜𝑏𝑗 é o número de funções objetivo e 𝑀 é o número total de soluções no arquivo externo. A Melhor Solução de Compromisso (BCS) é, portanto, aquela que maximiza este índice de cardinalidade: 𝐵𝐶𝑆 = arg max 𝑘∈Ω (𝜇𝑘) (40) Geometricamente, a solução selecionada por este método é aquela que apresenta o melhor equilíbrio equidistante entre os objetivos conflitantes, evitando extremos que favoreçam apenas um aspecto da operação em detrimento severo dos demais (Abido, 2009). 3.8 RESOLUÇÃO DO SUBPROBLEMA DE PNL COM KNITRO O algoritmo desenvolvido em AMPL é responsável por resolver o subproblema de FPO PNL, considerando as variáveis discretas previamente fixadas e enviadas pela meta- heurística implementada em Python. O Knitro resolverá o problema PNL inicialmente com foco na minimização do custo (Eq.9). Após a conclusão de 200 iterações, o solver passará a priorizar a minimização das perdas (Eq.10). De forma análoga ao caso anterior, Capítulo 3. METODOLOGIA HÍBRIDA PROPOSTA (MOTS-KNITRO) 52 após outras 200 iterações, o critério de otimização será alterado para a minimização da poluição (Eq.11). Finalmente, após mais 200 iterações, a função objetivo utilizada para resolver o problema será o FPO multiobjetivo, composto por uma combinação das três funções objetivo mencionadas (Eq.35), permanecendo desta forma ao longo das iterações restantes que, no nosso caso, correspondem a mais 600 iterações. O modelo matemático fornecido ao Knitro é apresentado a seguir: Minimizar 𝑓𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜(𝑃𝑔𝑒𝑟) Minimizar 𝑓𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠(𝑉, 𝜃) Minimizar 𝑓𝑝𝑜𝑙𝑢𝑖𝑐𝑎𝑜(𝑃𝑔𝑒𝑟) Minimizar 𝐹MO = 𝑓custo − 𝑓utopia custo 𝑓 range custo + 𝑓perdas − 𝑓utopia perdas 𝑓 range perdas + 𝑓poluicao − 𝑓utopia poluicao 𝑓 range poluicao + 𝜌 ∑︁ 𝑖 (𝑔𝑃𝑖 + 𝑔𝑄𝑖) Sujeito a: • Equações de balanço de potência (com 𝑛𝑡 e 𝜔𝑠ℎ como parâmetros fixos). • Limites de geração de potência ativa e reativa. • Limites de magnitude de tensão nas barras. • Limites de fluxo de potência nos ramos (limites térmicos). Este é um problema de PNL clássico, para o qual o Knitro é particularmente adequado devido aos seus robustos algoritmos de pontos interiores e gradiente conjugado, capazes de lidar com problemas de grande escala e não linearidades complexas de forma eficiente . 3.9 DETALHES DA IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL A implementação e validação da metodologia proposta foram realizadas em uma estação de trabalho de alto desempenho, integrando diferentes ambientes de programação e otimização. As especificações técnicas e configurações dos solvers são detalhadas a seguir: • Ambiente de Desenvolvimento: A lógica principal da meta-heurística (MOTS) e o gerenciamento das estruturas de dados foram implementados na linguagem Python. A modelagem matemática do problema de fluxo de potência ótimo (equa- ções algébricas e diferenciais) foi realizada na linguagem de modelagem algébrica AMPL. Capítulo 3. METODOLOGIA HÍBRIDA PROPOSTA (MOTS-KNITRO) 53 • Interface de Comunicação: Utilizou-se a biblioteca amplpy para estabelecer a ponte entre o Python e o motor de otimização do AMPL, permitindo a manipulação dinâmica de parâmetros e a extração de resultados em tempo de execução. • Hardware: Os experimentos foram conduzidos em um processador Intel Core i7- 8700 CPU (3.20 GHz) com 32 GB de memória RAM. • Parâmetros da Meta-heurística: Os parâmetros operacionais do algoritmo MOTS foram ajustados empiricamente: Probabilidade de mudança de tap/shunt, tamanho da Lista Tabu, critério de parada por estagnação (max_no_improvement) e número de iterações por fase. • Calibração do Solver (Knitro): A parametrização do solver não-linear foi dis- tinta para cada abordagem, visando atender aos requisitos específicos de precisão e desempenho: – Resolução PNLIM (Benchmark): Para obter as soluções exatas de referência, o Knitro foi configurado com tolerâncias rigorosas para minimizar o gap de integridade e garantir a viabilidade estrita das restrições. As opções utilizadas foram: outlev=0 feastol=1e-8 opttol=1e-8 mip_integral_gap_abs=1e-8 – Modelo Híbrido MOTS: Para a obtenção das variáveis discretas dentro do al- goritmo proposto, as opções foram relaxadas para permitir que o solver atue de maneira heurística, priorizando a velocidade de exploração sobre a precisão absoluta decimal. Utilizou-se o algoritmo de Conjunto Ativo (Active Set) com múltipla inicialização (Multi-start) para escapar de ótimos locais rapidamente: outlev=0 algorithm=3 honorbnds=1 ms_enable=1 54 4 TESTES E RESULTADOS Neste capítulo, são apresen