
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA JÚLIO DE MESQUITA FILHO

CAMPUS DE SÃO JOÃO DA BOA VISTA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

BRUNA DIAS PIRES DE SOUZA

Diretrizes para redução do ńıvel de lóbulo lateral em arranjos de antenas

ópticas lineares integradas

São João da Boa Vista

2021


BRUNA DIAS PIRES DE SOUZA

Diretrizes para redução do ńıvel de lóbulo lateral em arranjos de antenas

ópticas lineares integradas

Versão original

Dissertação apresentada à Universidade
Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho
- Campus de São João da Boa Vista para
obtenção do t́ıtulo de Mestre em Engenharia
Elétrica pelo Programa de Pós-graduação em
Engenharia Elétrica.

Área de concentração: Sinais e Comu-
nicação

Orientador: Prof. Dr. Ivan Aritz Aldaya
Garde

Coorientador: Prof. Dr. Rafael Abrantes Pen-
chel

São João da Boa Vista

2021


S729d
Souza, Bruna Dias Pires de

    Diretrizes para redução do nível de lóbulo lateral em arranjos de

antenas ópticas lineares integradas / Bruna Dias Pires de Souza. -- São

João da Boa Vista, 2021

    61 f. : il., tabs.

    Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista (Unesp),

Câmpus Experimental de São João da Boa Vista, São João da Boa

Vista

    Orientador: Ivan Aritz Aldaya Garde

    Coorientador: Rafael Abrantes Penchel

    1. Antenas (eletrônica). 2. Sistemas de comunicação sem fio. 3.

Comunicações ópticas. 4. Fotônica. I. Título.
Sistema de geração automática de fichas catalográficas da Unesp. Biblioteca do Câmpus

Experimental de São João da Boa Vista. Dados fornecidos pelo autor(a).

Essa ficha não pode ser modificada.


Dedico este trabalho à minha avó, Luisa de Fátima Jesus Dias, que tão cedo nos deixou,

mas que está eternizada em nossos corações.


Agradecimentos

Agradeço, primeiramente, à Deus. Ao longo da minha vida Ele me presentou

com grandes oportunidades, me fazendo alcançar conquistas das quais jamais imaginaria

desfrutar.

Agradeço à minha famı́lia, em especial aos meus pais, Eliseu e Glaucia, que desde

criança me incentivaram a buscar meus sonhos e sempre me apoiaram nas minhas escolhas.

Agradeço à todos os professores que um dia passaram pelo meu caminho, desde a

minha infância até este momento. Relato aqui minha profunda admiração por todos.

Por fim, agradeço imensamente aos meus orientadores, Prof. Dr. Ivan Aldaya e

Prof. Dr. Rafael Penchel. Este trabalho, certamente, é fruto da dedicação dos senhores no

meu aprendizado.

Gratidão por esse momento!


”Bem-aventurado o homem que acha sabedoria, e o homem que adquire conhecimento”.

(Provérbios 3:13)


Resumo

SOUZA, Bruna Dias Pires de. Diretrizes para redução do ńıvel de lóbulo lateral
em arranjos de antenas ópticas lineares integradas. 2021. 61 f. Dissertação
(Mestrado em Engenharia Elétrica) – Universidade Estadual Paulista (UNESP), Campus
Experimental de São João da Boa Vista, São João da Boa Vista, 2020.

Antenas ópticas têm atráıdo uma atenção cada vez maior nos últimos anos, devido
às suas aplicações em áreas tão diversas como espectroscopia, comunicações ópticas e
detecção e alcance de luz (LIDAR). Semelhante às homólogas de radiofrequência (RF),
antenas de arranjo de fase óptica (OPA) foram propostas para melhorar as propriedades
de radiação e, simultaneamente, alcançar o controle dinâmico do padrão de radiação.
No entanto, em contraste com os arranjos de fase de RF, a maioria das OPAs estão
sujeitas a restrições f́ısicas, as quais limitam a distância mı́nima entre os elementos,
o que levam a arranjos denominados esparsos. Este é o caso, por exemplo, de OPAs
compat́ıveis com semicondutores de óxido metálico complementar (CMOS). Arranjos
esparsos uniformemente distribúıdos apresentam lóbulos laterais fortes que podem causar
interferência severa ou até mesmo falhas de segurança. A fim de reduzir o ńıvel do lóbulo
lateral (SLL), a distribuição não uniforme dos elementos tem sido amplamente empregada.
No entanto, a relação entre o número de elementos, o espaçamento mı́nimo entre os
elementos e a faixa de direcionamento do feixe não foram analisadas sistematicamente em
um arranjo esparso linear sujeito a restrições f́ısicas. Neste trabalho, primeiro foi analisado
o efeito do direcionamento do feixe sobre o valor do SLL, mostrando que o SLL aumenta
à medida que o feixe é apontado para direções distantes do broadside. Posteriormente,
os arranjos foram otimizados com diferentes números de elementos, e distâncias médias
e mı́nimas entre os elementos. Essas otimizações revelam vários pontos: primeiro, para
a mesma distância média e separação mı́nima, a redução do SLL é mais proeminente
à medida que o número de elementos aumenta. Em segundo lugar, o SLL é altamente
dependente da relação entre a distância mı́nima e a média entre os elementos. Finalmente,
quando as restrições f́ısicas são impostas, há uma distância média entre os elementos ótima
que resulta em um SLL menor.

Palavras-chaves: Arranjo óptico esparso linear, ńıvel de lóbulo lateral, direcionamento de
feixe.


Abstract

souza, Bruna Dias Pires de. Design guidelines for side-lobe level reduction in
linear integrated optical phased arrays. 2021. 61 p. Dissertation (Master of Eletric
Engineering) – São Paulo State University (UNESP), Campus of São João da Boa Vista,
São João da Boa Vista, 2020.

Optical antennas has attracted an increasing attention in last years due to its applications
in areas as diverse as spectroscopy, optical communications, and light detection and ranging
(LIDAR). Similar to the radio-frequency (RF) counterparts, optical phase array (OPA)
antennas has been proposed to improve radiation properties and simultaneously achieve
dynamical control of the radiation pattern. However, in contrast to RF phased-arrays, most
OPAs are subject to physical constraints that limit the minimum distance between elements
leading to denominated sparse arrays. This is the case, for instance, of complimentary
metal-oxide-semiconductor (CMOS)-compatible OPAs. Uniformly distributed sparse arrays
present strong side lobes that may cause severe interference or even security faults. In
order to reduce the side-lobe level (SLL), the non-uniform distribution of elements has
been extensively employed. However, the relationship between the number of elements, the
minimum inter-element spacing, and the beam steering range has not been systematically
analyzed in a linear sparse array subject to physical constraints. In this work, we first
analyze the effect of beam steering on the value of SLL, showing that the SLL increases as
the beam is directed toward directions far from the broadside direction. Afterwards, we
optimize arrays with different number of elements, and mean and minimum inter-element
distances. These optimizations reveal several points: first, for the same mean and minimum
separation, the SLL reduction is more prominent as the number of element increases.
Second, the SLL is highly dependent on the relation between the minimum and the mean
inter-element distance. Finally, when physical constraints are imposed, there is an optimum
mean inter-element distance that result in lowest SLL.

Keywords: Optical sparse linear array, side lobe level, beam steering.


Lista de figuras

Figura 1 – Representação tridimensional de uma OPA (a) no plano ao lado do

corte no plano azimutal do padrão de radiação e (b) fora do plano ao

lado do corte no plano de elevação do padrão de radiação. . . . . . . . 20

Figura 2 – Configuração dos elementos irradiantes incluindo os critérios para os

ângulos de elevação e azimutal considerados e a representação gráfica

da aproximação para campo distante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Figura 3 – Direcionamento de feixe em antenas de arranjo por médio de controle

das fases de alimentação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Figura 4 – Corte do módulo do AF de um arranjo de antenas uniforme com

espaçamento d = λ/4 entre os elementos, operando sob direcionamento

de feixe em: (a) θBS = 90, (b) θBS = 135 e (c) θBS = 180. . . . . . . . . 31

Figura 5 – Corte do módulo do AF de um arranjo de antenas uniforme com

espaçamento d = λ entre os elementos, operando sob direcionamento

de feixe em: (a) θBS = 90, (b) θBS = 135 e (c) θBS = 180. . . . . . . . . 32

Figura 6 – Interferência construtiva em diferentes direções dos campos de radiação

de arranjos uniformes com elementos idênticos: (a) arranjo de antena

compacto e (b) arranjo de antena esparso. O ângulo de elevação θ é

referenciado a partir do eixo z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Figura 7 – Aparecimento de lóbulos de grade em um arranjo de antenas uniforme

com separação entre os elementos idênticos d = λ/2, operando (a) sem

direcionamento de feixe, (b) sob direcionamento de feixe em π/4 e

(c) sob direcionamento de feixe em π/2, ambos em relação ao eixo de

referência, sob o qual os elementos estão dispostos. . . . . . . . . . . . 34

Figura 8 – Esquema de um arranjo de antena esparso linear com representação ilus-

trativa do AF polar e cartesiana indicando a nomenclatura empregada.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Figura 9 – Fluxograma dos operadores do algoritmo DE . . . . . . . . . . . . . . . 38

Figura 10 – Evolução da função de custo do melhor elemento da geração para cada

subpopulação considerando um ângulo de direcionamento de feixe de

45º para um arranjo de (a) 4 elementos, (b) 8 elementos e (c) 16 elementos. 44


Figura 11 – (a) Posições dos elementos obtidas na otimização do arranjo de 8

elementos, com separação mı́nima de 2λ e distância média de 6λ, para

ângulos de direcionamento de feixe de 90º, 67,5º e 45º. (b) SLL em

termos de ângulo de direcionamento de feixe, e (c-e) norma do AF em

termos do ângulo de direcionamento de feixe e ângulo azimutal θ para

os três casos otimizados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Figura 12 – SLL em termos do ângulo de direcionamento de feixe de (a) 90°, (b)

78,75°, (c) 67,50°, (d) 56,25° e (e) 45° para um arranjo de 8 elementos,

com distância média entre os elementos de 4λ sem restrição f́ısica, e

posteriormente com separação mı́nima de 2λ. . . . . . . . . . . . . . . 48

Figura 13 – SLL em termos de distância média entre os elementos e faixa de dire-

cionamento de feixe, retratado para diferentes números de elementos

radiantes e diferentes distância mı́nima entre os elementos. (a-c) 4 ele-

mentos, (d-f) 8 elementos, e (g-i) 16 elementos, todos apresentados para

distâncias mı́nimas de 1 λ, 2 λ e 3 λ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Figura 14 – (a) Distância média ótima entre os elementos e (b) Valor do SLL obtido

para as distâncias médias ótimas, para as diferentes combinações de

número de elementos e distâncias mı́nimas de separação entre os elementos. 51

Figura 15 – SLL em termos do comprimento de onda de operação para (a) 4 elemen-

tos radiantes com distância mı́nima de 1λ e distância média ótima de

1, 5λ, (b) 8 elementos radiantes com distância mı́nima de 2λ e distância

média ótima de 3λ e (c) 16 elementos radiantes com distância mı́nima

de 3λ e distância média ótima de 5λ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52


Lista de tabelas

Tabela 1 – Parâmetros usados nas otimizações para avaliar o efeito dos parâmetros

gerais da OPA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42


Lista de abreviaturas e siglas

AF Fator de Arranjo

CMOS Semicondutor-Óxido-Metal Complementar

DE Evolução Diferencial

FSOC Comunicação Óptica no Espaço Livre

LAN Rede de Área Local

LIDAR Detecção e Alcance de Imagem a Laser

LOS Linha de Visada

OPA Arranjo de Antena Óptica

RADAR Detecção e Alcance de radio

RF Radio Frequência

SLL Nı́vel de Lóbulo Lateral


Sumário

1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.1 Arranjos de Antenas Fotônicas Esparsos . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.1.1 Definições de Antenas Fotônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.1.2 Tipos de Antenas Fotônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.3 Aplicações de Antenas Fotônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.1.4 Arranjo de Antenas Fotônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.1.5 Redução de Lóbulos Laterais em Arranjos Esparsos . . . . . . . . . 21

1.1.6 Definição do Problema e Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2 Métodos para Redução dos Lóbulos Laterais em Arranjos Esparsos . . 22

1.2.1 Otimização das Posições dos Elementos em Arranjos Esparsos Lineares 22

1.2.2 Análise dos Efeitos dos Parâmetros de Arranjo no SLL . . . . . . . 25

1.3 Contribuições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.4 Organização do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2 Arranjos Esparsos e Lóbulos de Grade . . . . . . . . . . . . . . 28

2.1 Prinćıpio de Multiplicação de Padrão e Fator de Arranjo . . . . . . . 28

2.2 Direcionamento de feixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3 Arranjos uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4 Supressão de lóbulos de grade mediante posicionamento não uniforme 34

3 Evolução Diferencial para Posicionamento dos Elementos de

Antena em Arranjos Esparsos Lineares . . . . . . . . . . . . . . 36

3.1 Métodos de Otimização e Justificativa de Evolução Diferencial . . . . 36

3.2 Otimização por Evolução Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3 Otimização das Posições dos Elementos de Antena . . . . . . . . . . . 40

3.3.1 Parâmetros de Controle e Gerais e Variáveis de Otimização . . . . . 40

3.3.2 Função de Custo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3.3 Restrições de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3.4 Condição de Parada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4 Configuração das Otimizações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42


4 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.1 Efeito do Direcionamento de Feixe no SLL . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2 Efeito da Restrição F́ısica no SLL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.3 Efeito dos Parâmetros Gerais da OPA no SLL . . . . . . . . . . . . . 47

4.4 Análise de Varredura de Frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5 Considerações Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54


14

1 Introdução

Neste primeiro Caṕıtulo inicialmente, na Seção 1.1, será apresentado o problema

de pesquisa abordado nesta dissertação. Na Seção 1.2 será apresentada uma revisão

bibliográfica descrevendo os principais métodos utilizados para otimizar as posições dos

elementos em arranjos esparsos, assim como as principais conclusões destes trabalhos. As

principais contribuições do presente trabalho são apresentadas na Seção 1.3 e, finalmente,

na Seção 1.4 é descrita a organização do trabalho.

1.1 Arranjos de Antenas Fotônicas Esparsos

1.1.1 Definições de Antenas Fotônicas

Conforme a carta escrita por Edward Hutchison Synge destinada a Albert Einstein,

o primeiro registro de um experimento de propagação de luz em escala nanométrica foi

realizado em abril de 1928 (SYNGE, 1928). Em sua carta, Synge descreve um método

microscópio no qual o campo espalhado a partir de uma nanopart́ıcula metálica poderia

ser usado como fonte de luz. Nesse experimento, a part́ıcula converteria a radiação

óptica de propagação no espaço livre em um campo localizado que interagiria com uma

superf́ıcie de amostra (BHARADWAJ; DEUTSCH; NOVOTNY, 2009), fazendo com que

a nanopart́ıcula funcionasse como uma antena óptica. Assim como neste experimento,

nos primeiros trabalhos realizados na área a definição comumente adotada para antenas

fotônicas é de um dispositivo que concentra a luz, a fim de obter alta intensidade de luz

em uma pequena area (FISCHER; POHL, 1989; MALMQVIST; HERTZ, 1994; INOUYE;

KAWATA, 1994).

Posteriormente, as antenas fotônicas passaram a ser estudadas para aplicações mais

semelhantes das antenas que operam em Rádio Frequência (RF), onde adotou-se uma

definição alternativa. Nesta, uma antena fotônica é considerada um dispositivo de interface

entre um meio guiado e um meio não guiado (WESSEL, 1985). Ambas as definições de

antenas fotônicas são amplamente aceitas pela comunidade. Porém neste trabalho, foi

considerada a segunda, a qual é mais consistente com a definição geralmente utilizada em

sistemas de telecomunicações (BALANIS, 2005).


15

As antenas fotônicas operam em frequências compreendidas na faixa viśıvel ou

infravermelho do espectro eletromagnético e por isso, esses dispositivos são também

denominados de antenas ópticas. Em termos de frequência, a faixa de operação das

antenas fotônicas se estende de 300 GHz à 750 THz, o que corresponde a uma faixa de

comprimentos de onda entre 1 mm e 0,4 µm1. Por ter uma frequência de operação muito

maior, as antenas fotônicas geralmente apresentam uma banda significativamente maior e

um tamanho consideravelmente menor do que as antenas operando a frequências de RF,

fazendo deste tipo de antenas uma opção atrativa para sistemas de banda larga compactos.

1.1.2 Tipos de Antenas Fotônicas

As primeiras antenas fotônicas foram implementadas em metal por suportarem res-

sonâncias plasmônicas (OZBAY, 2006; KRASNOK et al., 2012; BHARADWAJ; DEUTSCH;

NOVOTNY, 2009). Em particular, a primeira nano antena foi constrúıda com ouro (WES-

SEL, 1985). Contudo, as antenas metálicas apresentaram grandes problemas ao operarem

em frequências ópticas. Um dos principais desafios são as perdas ôhmicas. A condutividade

dos materiais metálicos diminui ao aumentar a frequência, fazendo com que o metal

utilizado não possa ser considerado um bom condutor elétrico, o que afeta drasticamente

a resposta das antenas ópticas nanométricas (OZBAY, 2006). Além disso, a dificuldade na

rede de alimentação e a dependência significativa do padrão de radiação com o comprimento

de onda também comprometem a eficiência das nano antenas metálicas operando em

frequências ópticas (BHARADWAJ; DEUTSCH; NOVOTNY, 2009).

Como alternativa às antenas metálicas no domı́nio óptico, surgiram as antenas

completamente dielétricas (SUN et al., 2013). Os materiais dielétricos apresentam duas

grandes vantagens quando comparados aos metálicos na banda de frequências ópticas.

Primeiro, as perdas são menores, e segundo, a alimentação pode conseguir um casamento

de impedância mais eficiente. Dentre os materiais dielétricos, o siĺıcio é particularmente

atrativo para antenas fotônicas. Devido a sua compatibilidade com a tecnologia de proces-

samento padrão de semicondutor-óxido-metal complementar (CMOS - Complementary

Metal–Oxide–Semiconductor), a fotônica de siĺıcio pode se beneficiar de toda a infraestru-

1 Vale ressaltar que não significa que uma antena em particular tenha essa banda de operação, mas
que antenas com as suas bandas de operação compreendidas nessa faixa são consideradas antenas
fotônicas.


16

tura de fabricação já consolidada. Além disso, os dispositivos ópticos podem ser integrados

diretamente nos circuitos eletrônicos na mesma plataforma, facilitando o processamento

de dados (RUIZ et al., 2018).

As antenas ópticas integradas podem ser divididas conforme a direção em que

apresentam a máxima transmissão de energia, isto é o lóbulo principal. Assim podemos

distinguir o acoplamento no plano e o acoplamento fora do plano (CHROSTOWSKI;

HOCHBERG, 2015). No método de acoplamento no plano, o lóbulo principal está orientado

em um plano paralelo ao plano do substrato. Esse método só pode ser implementado na

borda do dispositivo óptico e, por isso, é também conhecido como acoplamento de borda.

Essa forma de acoplamento da luz entre os dispositivos ópticos possui alta eficiência de

acoplamento, permite uma grande largura de banda e é pouco senśıvel à polarização da luz.

As principais desvantagem são a baixa tolerância ao desalinhamento entre os dispositivos

acoplados, e a limitada flexibilidade por estar localizado na borda do chip. Além disso,

essa solução necessita de um cuidadoso pós processamento, como corte e polimento de

alta precisão (KASAYA et al., 1993; MITOMI; KASAYA; MIYAZAWA, 1994; DOYLEND;

KNIGHTS, 2006; YANG et al., 2009).

No método de acoplamento fora do plano, também chamado de acoplamento de

superf́ıcie, o lóbulo principal é orientado em um plano ortogonal ao do substrato, com

direção inclinada em relação ao substrato. Esse método permite que o dispositivo óptico

possa ser implementado em qualquer posição no chip e, por isso, é mais flex́ıvel do que o

acoplamento no plano. Outra vantagem do acoplamento fora do plano é que não necessita

de pós-processamento2. Dentre as desvantagens deste método estão a largura de banda mais

estreita, a sensibilidade ao estado de polarização da luz e sua menor eficiência (VIVIEN et

al., 2006; ACOLEYEN et al., 2009; HECK, 2017). O maior desafio deste tipo de antenas é

conseguir mudar a direção da onda incidente no guia de alimentação de forma eficiente.

A fim de solucionar este problema existem diversas alternativas, a maioria baseada em

grades com peŕıodos menores que o comprimento de onda de operação (TAILLAERT;

BOGAERTS; BAETS, 2003; HALIR et al., 2013). Nestas antenas, uma grade de difração

é projetada para que todas as contribuições de espalhamento do sinal se interferiram

construtivamente na direção desejada.

2 Alguns grupos usam pós-processamento para melhorar as propriedades de radiação, mas geralmente
não precisam.


17

Resumindo, a forma mais direta de implementar uma antena é utilizando acopla-

mento no plano. Porém, ocasionalmente, os requerimentos particulares de uma aplicação

espećıfica faz com que o uso de acoplamento fora do plano seja mais fact́ıvel ou a única

possibilidade.

1.1.3 Aplicações de Antenas Fotônicas

Nos últimos anos, as antenas fotônicas tem sido amplamente estudadas devido ao

seu papel cŕıtico em aplicações que vão desde espectroscopia (LANGGUTH et al., 2017) e

comunicações em espaço livre (ALÙ; ENGHETA, 2010; DING et al., 2015) à detecção e

alcance de imagens a laser (LIDAR - Laser Imaging Detection and Ranging) (PHARE et

al., 2018). Nesta seção serão brevemente tratadas as aplicações mais comuns em que as

antenas ópticas desempenham um papel importante e crescente.

A espectroscopia trata da análise do domı́nio da frequência, geralmente aplicada ao

estudo de materiais (HATAB et al., 2010). A fim de atingir a resolução ou sensibilidade

requerida (AHMED et al., 2012), as antenas fotônicas desempenham, basicamente, dois

papeis dentro da espectroscopia. Por um lado, uma das funções consiste em iluminar uma

área bem definida, o que permite ter uma boa resolução espacial. Por outro lado, as antenas

fotônicas são usadas, na espectroscopia linear e não-linear, para aumentar a intensidade

com que a amostra é iluminada (WUYTENS; SKIRTACH; BAETS, 2017). No caso linear,

o aumento da intensidade da luz melhora a relação sinal rúıdo. No caso não-linear, por

exemplo na espectroscopia estimulada Raman, são necessárias altas intensidades de luz,

o que pode ser atingido aumentando a potência total radiada, ou reduzindo a área de

radiação por meio da utilização de uma antena fotônica (FROMM et al., 2006).

As comunicações ópticas no espaço livre (FSOC - Free Space Optical Communicati-

ons) são sistemas de transmissão de dados por propagação da luz no espaço livre 3 em linha

de visada (LOS - Line of Sight) (MALIK; SINGH, 2015). Os sistemas FSOC consistem em

transceptores ópticos, os quais podem ser integrados se tornando uma solução em escala de

chip. A alta direcionalidade dos feixes ópticos garante uma comunicação mais segura com

relação às tecnologias de transmissão RF e reduz o efeito da interferência eletromagnética

(POULTON et al., 2017a). Os sistemas FSOC também possuem a vantagem de ter alta

3 Apesar dos sistemas FSOC não operarem estritamente no espaço livre mas na atmosfera, o termo
FSOC é amplamente adotado.


18

largura de banda e de não necessitar de licença de espectro. Como desvantagem, os sistemas

FSOC possuem alta dependência das condições climáticas do meio em que são aplicados.

Por exemplo, chuva, névoa ou turbulências atmosféricas podem afetar drasticamente o

desempenho da comunicação (FADHIL et al., 2013), fazendo com que o alcance do sinal

transmitido sofra variações de centenas de metros até alguns quilômetros. A comunicação

FSOC possui diversas aplicações (WILLEBRAND; GHUMAN, 2001), como o acesso na

última milha e a extensão de redes metropolitanas. Dado o custo de instalação da fibra

óptica, sistemas FSOC são utilizados como alternativa para facilitar a conexão de novas

redes. Outro exemplo é a utilização de FSOC em conectividades corporativas. A facilidade

de instalação deste sistema favorece a interconexão de segmentos de redes de área locais

(LAN - Local Area Network).

A tecnologia LIDAR também é uma aplicação das antenas fotônicas bastante

relevante. Usando o mesmo prinćıpio de detecção e alcance de rádio (RADAR - Radio

Detection and Ranging), o LIDAR é um sistema de medição capaz de detectar e localizar

objetos usando a luz de um laser (BAUHAHN; FRITZ; KRAFTHEFER, 2009). As antenas

fotônicas são usadas para direcionar o feixe na direção desejada fazendo uma varredura para

obter um mapa tridimensional da superf́ıcie do alvo a detectar (BHARADWAJ; DEUTSCH;

NOVOTNY, 2009). Devido ao comprimento de onda das frequências ópticas, o LIDAR

oferece uma faixa maior de operação do que o RADAR, além de poder proporcionar melhor

resolução e apresentar maior imunidade a interferências eletromagnéticas. Nas tecnologias

mais recentes de véıculos autônomos e robóticas, o LIDAR tem sido amplamente apli-

cado (POULTON et al., 2017b). Outra aplicação potencial do LIDAR é em aeronaves, onde,

dentre as inúmeras possibilidades, o LIDAR pode ser utilizado para identificar a altura da

aeronave em relação ao solo ou evitar colisões (BAUHAHN; FRITZ; KRAFTHEFER, 2009).

Todavia, ainda há alguns desafios relacionados à dimensões f́ısicas, custo e estabilidade de

fabricação para que essa tecnologia se torne comercializável (MALHOUITRE et al., 2018).

1.1.4 Arranjo de Antenas Fotônicas

Um arranjo de antena é formado por um conjunto de antenas operando de forma

coerente. No arranjo, as antenas são usualmente chamadas de elementos irradiantes, os

quais combinados formam uma única configuração elétrica e geométrica (BALANIS, 2016).


19

Assim como no domı́nio RF, o uso de arranjos de antenas ópticas (OPAs - Optical Phased

Arrays4) tem sido proposto para melhorar as caracteŕısticas de radiação e permitir o

controle dinâmico do diagrama de radiação (MCMANAMON et al., 1996).

Um caso particular de controle dinâmico do diagrama de radiação é o denominado

direcionamento de feixe (tradução do inglês beam steering). No direcionamento de feixe as

fases de alimentação dos diferentes elementos são controladas de forma que os campos

emitidos por estes se somem em fase na direção desejada. Em OPAs, as fases de alimentação

são controladas usando deslocares de fase que podem ser implementados de diferentes

formas. Um dos mecanismos mais amplamente utilizado é o efeito de dispersão de plasma

em que o ı́ndice de refração de um segmento de guia pode ser modulado por meio da

concentração de portadores (PÉREZ-GALACHO et al., 2016). O efeito termo-óptico

também tem sido bastante utilizado como mecanismo para deslocar a fase do sinal de

alimentação dos elementos (SUN et al., 2013). Ainda outras técnicas mais sofisticadas tem

sido propostas e analisadas, como por exemplo, o uso de micro-discos (CARDENAS et al.,

2010) e a exploração de efeitos paramétricos em guias de siĺıcio (DAI et al., 2009).

A configuração geométrica é um fator determinante ao se projetar um arranjo de

antena. As duas principais configurações geometrias mais exploradas na literatura são a

linear e a planar. Uma antena de arranjo linear tem uma geometria unidimensional, onde

todos os elementos são dispostos ao longo de um único eixo. Já o arranjo planar possui

uma configuração bidimensional, com os elementos dispostos em um plano. Comparando as

duas configurações, os arranjos lineares apresentam menor complexidade de implementação,

possuem uma rede de alimentação, em geral, mais simples e eficiente, e precisam de um

menor número de elementos (GROSS; VOLAKIS, 2005; YOSHIMOTO; HECKLER, 2019).

Além disso, algumas aplicações requerem a varredura do feixe Dessa forma, os arranjos

lineares tem uma grande área de aplicação, e neste trabalho o estudo foi limitado ao caso

destes arranjos. Considerando o caso de antenas fotônicas implementadas em fotônica

integrada, pode-se identificar duas arquiteturas: a Figura 1(a) mostra um exemplo de uma

OPA linear com emissão no plano, e a Figura 1(b) mostra uma OPA linear composta por

elementos irradiantes baseados em grades com emissão fora do plano.

Além da configuração dos elementos em arranjos lineares ou planares, outro fator

que afeta significativamente a forma do diagrama de radiação da antena de arranjo é a

4 Na literatura podem-se encontrar diversas formas de denominar os arranjos de antenas ópticas. Por
analogia com as antenas de RF, um termo amplamente utilizado é OPA.


20

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Figura 1 – Representação tridimensional de uma OPA (a) no plano ao lado do corte no
plano azimutal do padrão de radiação e (b) fora do plano ao lado do corte no
plano de elevação do padrão de radiação.

separação entre os elementos. Este fator é particularmente importante em OPAs integrados

por dois motivos (PITA et al., 2017): por um lado, os elementos irradiantes geralmente

tem dimensões que excedem amplamente o comprimento de onda de operação. Por outro

lado, se a rede de alimentação é implementada no mesmo ńıvel que os elementos radiantes,

a separação mı́nima entre os elementos pode ser ainda maior do que a limitação imposta

pelo tamanho dos elementos irradiantes. Consequentemente, a distância mı́nima entre os

elementos irradiantes é geralmente de alguns comprimentos de onda, λ.


21

1.1.5 Redução de Lóbulos Laterais em Arranjos Esparsos

Os arranjos em que os elementos irradiantes estão espaçados com uma distância

mı́nima de λ/2 são conhecidos como arranjos esparsos. Como será apresentado no Caṕıtulo 2,

os arranjos esparsos apresentam lóbulos secundários de alta intensidade quando os elementos

são dispostos de forma uniforme, isto é, quando a separação entre elementos é a mesma.

Estes lóbulos secundários, denominados de lóbulos de grade, são extremamente cŕıticos

nos sistemas de comunicações, pois representam uma grande perda de eficiência, além de

causarem interferência, diafonia e falhas de segurança, uma vez que o sinal é transmitido

para direções não desejadas. A solução mais amplamente adotada para suprimir estes

lóbulos de grade é a disposição não uniforme dos elementos. Porém, a seleção das posições

ótimas dos elementos para a redução do ńıvel de lóbulos laterias (SLL - Side Lobe Level)

em arranjos esparsos representa um problema complexo que, como será visto na seção

seguinte, tem sido amplamente estudado. Mesmo que grande parte dos trabalhos não

considerem antenas fotônicas, mas antenas de RF, ou até arranjos de microfones, do ponto

de vista matemático o problema constitúıdo é similar. Consequentemente, os métodos de

otimização das posições dos elementos em arranjos esparsos genéricos podem ser a priori

aplicados às OPAs.

1.1.6 Definição do Problema e Objetivos

O uso de métodos de otimização para obter as posições ótimas do arranjo, assim

como a determinação dos algoritmos mais eficientes para esta aplicação, são, certamente,

problemas de pesquisa importantes a serem explorados. Contudo, outra questão igualmente

relevante que este trabalho busca explicar é a dependência do SLL com os parâmetros

estruturais do arranjo (número de elementos e distâncias médias e mı́nimas entre elementos),

e com o ângulo de direcionamento de feixe. Neste sentido, formula-se a pergunta de pesquisa

nos seguintes termos: qual é o comportamento do SLL em função do número de elementos,

distâncias médias e mı́nimas entre elementos, e do ângulo de direcionamento de feixe?

Baseado nessa problemática foram constrúıdas as seguintes hipóteses:

1. A otimização da posição dos elementos em arranjos esparsos na redução do SLL

depende do ângulo de direcionamento de feixe;


22

2. Restringindo a distância mı́nima entre os elementos do arranjo existe uma distância

média ótima;

3. Aumentando o comprimento de onda o valor do SLL diminui (dimensões f́ısicas

constantes).

Será considerada a faixa de direcionamento de feixe entre 90° e 45°, partindo do broadside,

a fim de satisfazer os requisitos de uma ampla gama de aplicações. Cabe enfatizar que, em

prinćıpio, a escolha do método de otimização é indiferente para abordar tal questão.

Dessa forma, os objetivos desse trabalho consiste em:

• Analisar e entender melhor o efeito do direcionamento de feixe no SLL em arranjos

não uniformes com as restrições aplicadas;

• Quantificar o efeito da distância mı́nima no SLL;

• Encontrar a distância média ótima para os arranjos propostos; e

• Analisar a dependência do SLL com o comprimento de onda.

1.2 Métodos para Redução dos Lóbulos Laterais em Arranjos Esparsos

Nesta seção serão revisados os diferentes métodos dispońıveis na literatura para

otimizar as posições dos elementos em arranjos de antenas esparsos, identificando quais

consideram operação de direcionamento de feixe e distância mı́nima entre os elementos.

Posteriormente, será discutido as diferentes conclusões que deriva de cada trabalho em

relação ao efeito dos parâmetros do arranjo.

1.2.1 Otimização das Posições dos Elementos em Arranjos Esparsos Lineares

Tanto métodos determińısticos como estocásticos tem sido empregados para otimizar

a posição dos elementos de antenas em arranjos esparsos. A Tabela 1.1. lista alguns dos

trabalhos mais significativos, os quais são discutidos a seguir.

Entre os trabalhos propondo o uso de algoritmos determińısticos cabe citar (CARA-

TELLI; VIGANÓ, 2011) e (SUÁREZ et al., 2012), que utilizam a discretização da integral

de radiação para achar as posições dos elementos. Em (SUÁREZ et al., 2012) um SLL de -8

dB é atingido quando o feixe está orientado na direção broadside. Em (SANDI; ZULKIFLI;

RAHARDJO, 2016) também é utilizado um método determińıstico de otimização, onde


23

partindo de um arranjo uniforme, alguns dos elementos são suprimidos para reduzir o SLL.

Neste caso se atingiu um SLL de -13,6 dB, também na direção broadside. Outro método

determińıstico é proposto em (SOUZA et al., 2018), mas neste caso é considerada uma

separação entre elementos que aumenta geometricamente, sendo a razão da progressão um

parâmetro que pode ser otimizado por busca exaustiva. Com esse método se atingiu uma

redução em torno de 5 dB para arranjos operando sob altos ângulos de direcionamento de

feixe, onde os feixes são orientados até a direção end-fire. Estes métodos determińısticos

apresentam um custo computacionalmente baixo mas resultam em desempenhos relati-

vamente baixos. Além disso, é importante ressaltar que, com exceção de (SOUZA et al.,

2018), os citados métodos determińısticos não podem considerar uma distância mı́nima

entre os elementos e, consequentemente, não são os mais apropriados para projetar OPAs.


24

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25

Diferentes métodos estocásticos tem sido propostos e analisados a fim de achar

as posições dos elementos para otimizar o SLL. Pode-se citar, por exemplo, (TRUCCO;

MURINO, 1999), onde a simulação de anelamento é proposta, atingindo um SLL de

-14.45 dB na direção broadside. Otimização por enxame de part́ıculas, tanto a versão

original (KHODIER; CHRISTODOULOU, 2005) como a versão modificada (ZHANG;

ZHANG, 2017), também foram utilizadas para otimizar as posições dos elementos em

arranjos esparsos. Na versão original, atingiu-se uma supressão de -5 a -7 dB do SLL

convencional. A otimização baseada em algoritmos genéticos tem atráıdo uma atenção

significativa na comunidade. Por exemplo, em (BRAY et al., 2002), (BAROTT; STEFFES,

2008) e (HAWES; LIU, 2012) algoritmos genéticos clássicos são utilizados, enquanto que em

(HAWES; LIU, 2014a) e (HAWES; LIU, 2014b) este algoritmo é empregado em combinação

com amostragem compressiva e em (RAJI; ZHAO; MONDAY, 2019) e (LI; REN; GUO,

2020) a otimização baseada em algoritmo genético é aprimorada usando funções de Green

e explorando a convexidade da função de objetivo, respectivamente. Em (BRAY et al.,

2002) obteve-se uma redução de -10 dB com o lóbulo principal orientado a 60° da direção

broadside. Finalmente, Evolução Diferencial (DE - Differential Evolution) tem emergido

como alternativa aos algoritmos genéticos. Em (GOUDOS et al., 2011), o desempenho

da otimização por algoritmo genético e DE é comparada, concluindo que esta última

apresenta um desempenho ligeiramente superior. Todas as variações do algoritmo DE

testas nesse trabalho resultaram em um SLL superior a -23 dB. Assim como ocorrido na

otimização baseada em algoritmos genéticos, diferentes melhorias tem sido propostas para

a DE clássica. Por exemplo, em (ZHANG; JIA; YAO, 2013) DE é aprimorada utilizando

procura harmônica e em (WANG et al., 2018), DE é modificado para poder considerar

limitações f́ısicas.

1.2.2 Análise dos Efeitos dos Parâmetros de Arranjo no SLL

Grande parte dos trabalhos discutidos na Subsecção 1.2.1 limitam-se a avaliar o

desempenho de um determinado algoritmo fixando parâmetros como o número de elementos

e distância média entre eles, de forma que não pode ser avaliado o efeito dos parâmetros do

arranjo no valor do SLL. Além disso, muitos deles não consideram direcionamento de feixe

ou não asseguram uma distância mı́nima entre os elementos, requerimentos indispensáveis


26

na otimização de OPAs. Porém, alguns deles exploram parcialmente a dependência do SLL

de alguns dos parâmetros do arranjo. Em particular, em (SOUZA et al., 2018), se estuda

o efeito do direcionamento do feixe no valor do SLL, mostrando que o valor deste piora

conforme o feixe é orientado em direções próximas ao eixo do arranjo. Esta observação

vai ao encontro com os resultados apresentados em (BRAY et al., 2002). De fato, neste

último trabalho é apresentado não somente a dependência do SLL em relação ao ângulo de

direcionamento de feixe, mas também em relação ao número de elementos. Assim, quanto

maior for o número de elementos no arranjo melhor é o SLL, o que também pode ser

encontrado em (COMAN; LAGER; LIGTHART, 2006). Porém, nestes trabalhos, não são

consideradas limitações f́ısicas. As restrições f́ısicas são consideradas em (HAWES; LIU,

2012), mas não é discutido o efeito no SLL.

Finalmente, em (BAROTT; STEFFES, 2008), tanto operação de direcionamento

de feixe como limitações f́ısicas são consideradas. Contudo, este trabalho oferece algumas

diretrizes mas não considera muitos casos, de forma que não consegue estudar a complexa

relação entre os diferentes parâmetros e o efeito combinado no valor de SLL.

1.3 Contribuições

Neste trabalho será estudado o efeito do direcionamento de feixe no SLL em arranjos

de antenas com restrições f́ısicas, i.e. distância mı́nima entre elementos, assim como o efeito

tanto do número de elementos como da distância média entre elementos. Para obter os

valores de SLL correspondentes, cada configuração será otimizada utilizando DE, por ter

demonstrado um bom equiĺıbrio entre desempenho e custo computacional para otimização

neste tipo de problemas (GOUDOS et al., 2011). As principais contribuições do presente

trabalho são:

1. Quantificar o efeito do direcionamento do feixe no SLL e, consequentemente, da

faixa de direcionamento de feixe desejada; assim como entender a forma do SLL em

função do ângulo do direcionamento de feixe;

2. Quantificar o efeito do número de elementos, distância mı́nima e média entre ele-

mentos e ângulo de direcionamento do feixe no SLL de arranjo esparso;


27

3. Identificar a existência de uma distância média ótima entre os elementos em função

da distância mı́nima entre eles; e Analisar a dependência do SLL com o comprimento

de onda.

Tais contribuições são importantes pois permitem selecionar parâmetros gerais antes de

otimizar as posições dos elementos, resultando em um melhor desempenho.

1.4 Organização do trabalho

O restante do documento consiste em mais 4 Caṕıtulos. No Caṕıtulo 2 se introduz

a fundamentação teórica, incluindo os conceitos de termo de elemento e fator de arranjo, o

efeito das fases de alimentação, a definição matemática do SLL e a aparição de lóbulos de

grade em arranjos esparsos uniformes. No Caṕıtulo 3 o algoritmo DE utilizado para calcular

os SLL de cada configuração é justificado e seu funcionamento explicado. Os resultados são

apresentados e discutidos no Caṕıtulo 4. Finalmente, as principais conclusões do trabalho

são apresentadas no Caṕıtulo 5, indicando também algumas posśıveis implicações no

projeto de OPAs.


28

2 Arranjos Esparsos e Lóbulos de Grade

Neste Caṕıtulo é desenvolvida a fundamentação teórica relativa aos arranjos esparsos.

Usando o prinćıpio de multiplicação de padrão é feita a derivação do fator de arranjo, o qual

é particularizado para arranjos uniformes. Em seguida, são estudados os efeitos associados

à modificação da separação entre elementos, mostrando o surgimento de lóbulos laterais

de alta intensidade, denominados lóbulos de grade, quando a separação é suficientemente

grande. Finalmente, discute-se o posicionamento não uniforme como estratégia de mitigação

destes lóbulos de alta intensidade.

2.1 Prinćıpio de Multiplicação de Padrão e Fator de Arranjo

Aplicando o prinćıpio da superposição, o campo total radiado na região de campo

distante por um arranjo de N elementos irradiantes coerentes pode ser expressado como

(BALANIS, 2005):

~ET (θ, φ) =
N∑

n=1

~En(θ, φ) exp j(kr̂ · ~rn + ψn), (1)

sendo ~En o campo elétrico irradiado pelo n-éssimo elemento se este estivesse localizado na

origem do sistema de coordenadas, ψn a fase de alimentação relativa e k o número de onda

(k = 2π/λ). ~rn é o vetor posição do n-ésimo elemento, e r̂ é o vetor unitário dado por:

r̂ = sin θ cosφx̂+ sin θ sinφŷ + cos θẑ, (2)

em que θ e φ são os ângulos de elevação e azimutal, definidos conforme aos critérios

de (BALANIS, 2005) e mostrados na Figura 2.

Para arranjos lineares com elementos irradiantes idênticos (sendo o campo radiado

~E(θ, φ)) posicionados ao longo do eixo z nas posições zn, a Equação 1 é simplificada a:

~ET (θ, φ) = ~E(θ, φ) ·
N∑

n=1

exp j(k zn cos θ + ψn), (3)

sendo k zn cos θ a defasagem por diferença de percurso (CARDAMA et al., 2004).

O campo descrito pela Equação 3 pode ser expressado como produto de dois termos:

o campo radiado pelo elemento irradiante isolado, ~E(θ, φ), e um termo correspondente a

uma somatória que considera a interferência dos campos gerados pelos N elementos de

antenas:

~ET (θ, φ) = ~E(θ, φ) · AF (θ). (4)


29

ẑ

ŷ

xŷ

θ

ϕ

rŷ

cos θ

sin θ ·sin ϕ

sin θ ·cos ϕ

ẑ

ŷ

xŷ

zn

z3

z2

z1

rŷ

z n·c
os 
θ 

θ

Figura 2 – Configuração dos elementos irradiantes incluindo os critérios para os ângulos
de elevação e azimutal considerados e a representação gráfica da aproximação
para campo distante.

O termo AF (θ) é chamado de fator de arranjo (AF - Array Factor) e adquire a seguinte

forma (BALANIS, 2005):

AF (θ) =
N∑

n=1

exp j(k zn cos θ + ψn). (5)

Como pode ser observado, o AF leva em consideração a dependência do campo total

radiado com a posição dos elementos irradiantes, assim como a alimentação dos mesmos,

em particular, a fase de alimentação ψn. Cabe destacar que em caso de elementos alinhados

na direção do eixo z, o AF tem simetria de revolução em torno a este eixo, não apresentando

dependência com o ângulo azimutal φ.

2.2 Direcionamento de feixe

Como pode-se observar na Equação 5, o AF considera tanto parâmetros estruturais,

i.e. posição dos elementos, como operacionais, i.e. fases de alimentação. Na maioria dos

casos, as posições dos elementos não podem ser controladas após a fabricação. As fases de

alimentação dos elementos, por outro lado, podem ser modificadas dinamicamente. Assim,

o lóbulo principal, também chamado de feixe principal ou simplesmente, feixe, pode ser

orientado na direção desejada selecionando os valores apropriados das fases de alimentação,

Φn. Ao longo deste trabalho denotaremos esta operação como direcionamento de feixe1.

1 O direcionamento de feixe se traduz em inglês como beam steering, termo que muitas vezes é utilizado,
mesmo em outras ĺınguas.


30

Para que o máximo de radiação ocorra na direção θBS, um plano de fase constante,

ortogonal a esta direção, deve ser estabelecido. Em outra palavras, a fase de todos os

elementos deve ser a mesma nessa direção. Matematicamente, escreve-se:

Ψ = k zn cos θBS + ψn. (6)

Ψ é a fase do campo de qualquer um dos elementos do conjunto na direção θBS a uma

distância correspondente a um número inteiro de comprimentos de onda. Cabe relembrar

que ψn é a fase de excitação do elemento n-éssimo e k zn cos θBS a desfasagem por diferença

de caminho do campo irradiado pelo elemento n-éssimo. A expressão 6 pode ser simplificada

se deslocarmos o arranjo de modo que o primeiro elemento esteja posicionado na origem,

z1 = 0, e a fase de alimentação do n-ésimo elemento seja referenciada em relação ao

primeiro elemento, φ1 = 0. Desta forma, para a direção de máximo θBS, temos que:

0 = k zn cos θBS + ψn +m · 2π com m ∈ Z (7)

e, em consequência, considerando um valor de m = 0, as fases de alimentação devem ser:

ψn = −k zn cos θBS. (8)

A Figura 3 mostra o direcionamento de feixe de um arranjo de antenas mediante

controle da fase de alimentação.

Figura 3 – Direcionamento de feixe em antenas de arranjo por médio de controle das fases
de alimentação.


31

2.3 Arranjos uniformes

A equação 7 adquire uma forma simplificada quando os elementos são distribúıdos

uniformemente, isto é, quando a separação entre os elementos é a mesma. Este tipo de

arranjo é denominado de arranjo uniforme. Definindo a separação entre elementos como d,

as posições dos elementos são dadas por zn = (n − 1) · d e a condição de fase para que

todos os elementos interfiram construtivamente na direção θBS é:

0 = k (n− 1)d cos θBS + ψn +m · 2π com m ∈ Z. (9)

Para esta configuração é fácil ver que a diferença de fase de alimentação entre elementos

consecutivos é constante e depende de θBS, conforme expresso em:

∆ψ = −k d cos θBS +m · 2π. (10)

Para os arranjos uniformes o AF é descrito por:

AF (θ) =
sin

[
N
2

(k d cos(θ) + ∆ψ)
]

sin
[
1
2

(k d cos(θ) + ∆ψ)
] . (11)

Na Figura 4 a expressão 11 é representada para um valor de d = λ/4 e diferentes valores

de θBS. Como pode se observar, o AF apresenta um único lóbulo principal na direção

desejada. Se a mesma expressão 11 for representada graficamente, considerando uma

separação entre elementos de d = λ, como apresentado na Figura 5, observa-se um lóbulo

na direção desejada, porém, aparecem outros lóbulos em direções não desejadas com a

mesma intensidade. Estes lóbulos de alta intensidade são denominados de lóbulo de grade.

A presença de lóbulos de grade pode, alternativamente, ser explicada de um ponto

de vista mais f́ısico, a partir da Equação 13, se consideramos valores de m não nulos. Uma

(a) (b) (c)

180º0º

150º30º

60º 120º

90º

180º0º

150º30º

60º 120º

90º

180º0º

150º30º

60º 120º

90º

Figura 4 – Corte do módulo do AF de um arranjo de antenas uniforme com espaçamento
d = λ/4 entre os elementos, operando sob direcionamento de feixe em: (a)
θBS = 90, (b) θBS = 135 e (c) θBS = 180.


32

(a) (b) (c)

180º0º

150º30º

60º 120º

90º

180º0º

150º30º

60º 120º

90º

180º0º

150º30º

60º 120º

90º

Figura 5 – Corte do módulo do AF de um arranjo de antenas uniforme com espaçamento
d = λ entre os elementos, operando sob direcionamento de feixe em: (a)
θBS = 90, (b) θBS = 135 e (c) θBS = 180.

representação gráfica da interferência construtiva dos diferentes elementos em direções

não desejadas é mostrada na Figura 6. Como pode-se observar, em arranjos uniformes

com separação entre elementos pequena, Figura 6(a), existe somente uma direção em que

os elementos interferem construtivamente. Porém, quando a distancia entre elementos

aumenta é posśıvel ocorrer interferência construtiva, não somente em uma, mas em várias

direções, pois os campos desfasados por um número inteiro de comprimentos de onda

também resultam em interferência construtiva. Desta forma, se as fases da alimentação

dos elementos irradiantes forem configuradas para emitir na direção θBS, nos ângulos θGL

também se verifica a condição de interferência construtiva de todos os elementos:

−k d cos θGL = −k d cos θBS +m · 2π, (12)

θGL = arccos
[
cos θBS +

m · 2π
k d

]
. (13)

z

y y

z

max
λ/4

θ

(a) (b)

d = 0 

d1 = 0 

d2 = m 

λ 

λ 

λ
max

max

m
λ

θ

Figura 6 – Interferência construtiva em diferentes direções dos campos de radiação de
arranjos uniformes com elementos idênticos: (a) arranjo de antena compacto e
(b) arranjo de antena esparso. O ângulo de elevação θ é referenciado a partir
do eixo z.


33

Para m = 0, tem-se a solução trivial, em que θGL = θBS, enquanto que para valores

de m 6= 0 somente tem-se θGL reais se:∣∣∣∣cos θBS +
m · 2π
k d

∣∣∣∣ ≤ 1. (14)

Alternativamente, pode-se escrever está inequação em termos do comprimento de onda λ,

lembrando que k = 2π/λ (para sistemas de comunicação no espaço livre, λ assume o valor

do comprimento de onda no espaço livre):∣∣∣∣∣cos θBS +
λ

d
m

∣∣∣∣∣ ≤ 1. (15)

Esta expressão é importante porque não somente indica quantos lóbulos de grade aparecem,

mas também a dependência deste número com a direção θBS. Um ponto interessante a

ser observado é que quanto maior o valor d em relação à λ, maior número de lóbulos de

grade verificarão a condição. Consequentemente, pode-se introduzir dmax, o qual indica a

máxima distância entre elementos sem que haja lóbulos de grade. Assim, usando m = 1,

chega-se a:

cos θBS +
λ

dmax

1 = ±1⇒ dmax =
λ

1 + | sin θBS|
. (16)

Observando a expressão 16, podemos identificar diferentes cenários:

• Configuração end-fire2: o AF tem o máximo na direção ortogonal ao eixo z, corres-

pondendo a θBS = 0. Neste caso, o valor de dmax corresponde a λ/2.

• Configuração broadside2: o AF tem o máximo na direção do eixo z, correspondendo

a θBS = 0 e um valor de dmax de λ.

• Para casos com o ângulo de direcionamento do feixe entre 0 e π/2, tem-se um valor

de dmax que varia entre λ/2 e λ.

Os arranjos nos quais podem existir lóbulos de grade denominam-se de arranjos

esparsos. Considerando o pior caso posśıvel do ponto de vista da presença de lóbulos de

grade, i.e. θBS = ±π/2, os arranjos com distância entre elementos igual ou superior a λ/2

recebem essa classificação.

Outro ponto importante a ser destacado no comportamento dos arranjos esparsos é

que o efeito dos lóbulos de grade é mais significativo na medida em que o feixe é direcionado

para ângulos extremos, i.e. θBS = 0 ou θBS = π. Este comportamento pode ser observado

na Figura 7, onde mostra-se a norma do AF para um arranjo uniforme com espaçamento

de d = λ/2 com direcionamento de feixe de (a) 0, (b) π/4 e (c) π/2.
2 Neste trabalho serão usadas as expressões em inglês, por não haver tradução dos termos bem definidas.


34

(a) (b) (c)

180º0º

150º30º

60º 120º

90º

180º0º

150º30º

60º 120º

90º

180º0º

150º30º

60º 120º

90º

Figura 7 – Aparecimento de lóbulos de grade em um arranjo de antenas uniforme com se-
paração entre os elementos idênticos d = λ/2, operando (a) sem direcionamento
de feixe, (b) sob direcionamento de feixe em π/4 e (c) sob direcionamento de
feixe em π/2, ambos em relação ao eixo de referência, sob o qual os elementos
estão dispostos.

2.4 Supressão de lóbulos de grade mediante posicionamento não uniforme

Uma maneira de evitar os lóbulos de grade é posicionar não uniformemente os

elementos do arranjo, isto é, com uma separação entre as antenas que não seja constante.

Desta forma, todos os elementos somente interferem de forma construtiva na direção θBS

desejada. Em outras direções tem-se interferência parcialmente construtiva, dando lugar

a lóbulos de menor amplitude espalhados em diferentes direções. Uma figura de mérito

amplamente utilizada para quantificar o efeito da interferência parcial é o ńıvel de lóbulo

lateral (SLL - Side-Lobe Level). Em arranjos esparsos o SLL pode ser calculado de formas

distintas:

1. Considerando apenas o elemento radiante;

2. Considerando o arranjo como um todo (o que inclui considerar o padrão de radiação

do elemento); e

3. Considerando apenas o fator de arranjo.

Neste trabalho foi escolhida a terceira abordagem, pois independe do elemento radiante.

Essa abordagem é frequentemente adotada porque torna o processo de otimização in-

dependente do elemento de radiação. Além disso, o cálculo do SLL do AF é uma boa

aproximação de todo a OPA quando o diagrama de radiação do elemento tem um amplo

lóbulo principal. Uma vez escolhia a abordagem, o SLL pode ser calculado da seguinte

forma (BALANIS, 2016):

SLL =

∣∣∣∣∣AF (θSL)

AF (θBS)

∣∣∣∣∣ , (17)


35

sendo AF (θSL) e AF (θBS) os valores de AF na direção do lóbulo lateral de maior intensidade

e do lóbulo principal, respectivamente.

O SLL também é comumente utilizado em escala logaŕıtmica, sendo definido como:

SLL = 10 log

∣∣∣∣∣AF (θSL)

AF (θBS)

∣∣∣∣∣ , (18)

A intensidade dos lóbulos e, consequentemente, do SLL, depende tanto do posicionamento

dos elementos como das suas fases de alimentação. Como o ângulo do direcionamento de

feixe depende das fases de alimentação, pode-se inferir que as posições dos elementos que

minimiza o SLL dependerá do ângulo do direcionamento θBS. A Figura 8 mostra de forma

gráfica a definição de SLL e sua dependência com o ângulo de direcionamento.

Figura 8 – Esquema de um arranjo de antena esparso linear com representação ilustrativa
do AF polar e cartesiana indicando a nomenclatura empregada.


36

3 Evolução Diferencial para Posicionamento dos Elementos de Antena em
Arranjos Esparsos Lineares

O presente Caṕıtulo está dividido em três seções. Na Seção 3.1, introduze-se os

diferentes tipos de algoritmos de otimização e justifica-se o uso de DE para otimizar a

posição dos elementos em arranjos esparsos. As diferentes etapas do algoritmo DE são

apresentadas na Seção 3.2 e, finalmente, as configurações das otimizações são descritas e

justificadas na Seção 3.3.

3.1 Métodos de Otimização e Justificativa de Evolução Diferencial

A otimização é o processo de minimizar ou maximar uma função para encontrar

o valor ótimo para uma determinada aplicação. A função que se procura otimizar pode

ser chamada de função objetivo, função de custo (nos casos de minimização), função de

utilidade (nos casos de maximização), ou, em certos campos, função de energia ou energia

funcional (MARTINEZ; SANTOS, 1995). Neste trabalho a função a qual se deseja otimizar

será tratada como função de custo, uma vez que se busca a sua minimização.

Os métodos de otimização podem ser classificados em duas grandes classes: métodos

determińısticos e métodos estocásticos. Os métodos de otimização determińısticos, também

conhecidos como clássicos, são métodos em que o algoritmo não tem nenhum componente

aleatório. Isto é, dada as condições iniciais, o algoritmo evolui sempre da mesma maneira.

Este tipo de algoritmos é útil em problemas onde a função de custo é convexa, cont́ınua e

diferenciável (QUING, 2009). Como alternativa aos métodos determińısticos, existem os

métodos estocásticos, os quais utilizam alguma variável aleatória ao longo do processo

de optimização. Os algoritmos estocásticos são mais adequados para funções de custos

descontinuas ou não diferenciáveis, assim como em casos onde a função de custo apresenta

múltiplos mı́nimos locais, i.e. a função não é convexa em todo o domı́nio de otimização.

Comparando as duas classes de algoritmos mencionadas, os métodos determińısticos

geralmente requerem um menor custo computacional do que os algoritmos estocásticos.

Contudo, os métodos determińısticos tendem a convergir para soluções piores. Além

disso, os algoritmos estocásticos são menos senśıveis às condições iniciais, simplificando o

processo de inicialização. Dessa forma, os algoritmos estocásticos estão se popularizando

na solução de problemas complexos em que a função de custo não verifica as propriedades


37

de convexidade, continuidade e diferencialidade. Este tipo de algoritmos também é adotado

quando não se pode verificar que tais propriedades sejam atingidas, ou quando, atingindo-as,

o cálculo dos componentes do gradiente é complicado.

Os métodos de otimização estocásticos podem ser divididos em duas sub-classes: os

denominados algoritmos f́ısicos e os algoritmos evolutivos. Os algoritmos f́ısicos emulam

processos f́ısicos. Dentro dessa sub-classe, os métodos de otimização mais conhecidos

são os algoritmos de Montecarlo (LEE; LEE; KIM, 2005; DEISSLER; THIELECKE,

2010; RENGARAJAN; ZAWADZKI; HODGES, 2010) e os algoritmos de simulação de

anelamento (GONZALEZ-VALDES et al., 2013; RATTAN; PATTERH; SOHI, 2009). Por

sua vez, os métodos de otimização evolutivos replicam fenômenos evolutivos naturais.

Entre os algoritmos evolutivos mais utilizados encontram-se os algoritmos de enxame

de part́ıculas (ROBINSON; RAHMAT-SAMII, 2004; KENNEDY; EBERHART, 1995;

TAHERI; MALLAHZADEH; FOUDAZI, 2012; TOLFO, 2016; LEMES et al., 2017) e os al-

goritmos genéticos (HOLLAND et al., 1992; HAUPT, 1994; JOHNSON; RAHMAT-SAMII,

1999; CHEN et al., 2007; DING et al., 2010; SCHLOSSER et al., 2014). Os algoritmos

evolutivos se baseiam na evolução das espécies, incluindo no processo de otimização etapas

de seleção, mutação e cruzamento. Nas primeiras implementações de algoritmos evolu-

tivos o processo de mutação era binário, denominando-se estes métodos de Algoritmos

Genéticos. Posteriormente, estes métodos foram modificados para ter um processo de

mutação cont́ınuo e baseado na combinação de três indiv́ıduos. Este tipo de algoritmo

se chamou de Evolução Diferencial (DE) e, conforme a vários trabalhos (PANDURO et

al., 2009; CHOWDHURY et al., 2010; DEB; ROY; GUPTA, 2014; ROCCA; OLIVERI;

MASSA, 2011), apresenta uma convergência mais rápida do que os Algoritmos Genéticos

anteriores.

Devido à sua boa relação entre desempenho de otimização e custo computacional,

além do número reduzido de parâmetros de controle (QUING, 2009), o algoritmo DE tem

sido aplicado em uma vasta gama de problemas. Em (QING, 2009) pode-se encontrar

uma extensa revisão de trabalhos que usam DE. Em particular, este método tem sido

eficientemente utilizado em problemas de eletromagnetismo, mais concretamente no desen-

volvimento de antenas. Em (DEB; ROY; GUPTA, 2014), DE foi utilizado como método de

otimização de antenas. O mesmo método foi aplicado em (GOUDOS et al., 2011)(ZHANG;

JIA; YAO, 2013)(WANG et al., 2018) para otimizar elementos irradiantes em arranjos

esparsos.


38

Ao longo do tempo diferentes variantes de DE foram implementadas para se

adaptar a problemas espećıficos. De forma geral, estas variações podem ser classificadas

em (QUING, 2009): DE Clássica, DE Dinâmica, DE Modificada e DE Hı́brida. Neste

trabalho foi utilizado um algoritmo de DE Modificada, o qual utiliza múltiplas populações

iniciais. O uso de várias populações iniciais é amplamente utilizado quando a função de

custo apresenta múltiplos ótimos locais. Além disso, esta alternativa permite a paralelização

do processo.

3.2 Otimização por Evolução Diferencial

DE é um algoritmo de otimização multi-objetivo desenvolvido por Rainer Storn e

Kenneth Price (STORN; PRICE, 1995; STORN; PRICE, 1997). Na versão clássica de DE,

cujo diagrama é mostrado na Figura 9, um conjunto de soluções aleatórias inicias, geradas

aleatoriamente, é sucessivamente refinado até verificar a condição de parada. Desta forma,

a cada iteração se produz uma nova geração constitúıda por um conjunto de soluções

tentativas para o qual se realizam as seguintes operações (QING, 2009):

1. Seleção: No primeiro passo, o desempenho de cada indiv́ıduo (solução tentativa)

é avaliado em termos da função de custo, o que permite selecionar os ”melho-

res”indiv́ıduos. Esta etapa é denominada de ”seleção”.

2. Cruzamento: Após a seleção dos melhores indiv́ıduos, estes são recombinados na

etapa de cruzamento, de forma que troquem suas informações genéticas, assim como

População

inicial

Operador

seleção

Operador

cruzamento
Operador

mutação

Critério de 

parada 

satisfeito?

Mostrar 

resultados

SIM

NÃO

Figura 9 – Fluxograma dos operadores do algoritmo DE


39

na reprodução animal. A particularidade de DE com relação a Algoritmos Genéticos

se estabelece nesta etapa, pois a combinação entre as soluções é realizada usando três

pais distintos. Assim, três indiv́ıduos selecionados são escolhidos de forma aleatória e

combinados para gerar um filho, isto é, em uma nova solução. A solução obtida só será

incorporada à população se ao gerar um número aleatório entre 0 e 1 este for menor

que a probabilidade de cruzamento. Caso não seja, o filho não é considerado. Sendo

menor do que a probabilidade de cruzamento e obtendo um melhor desempenho

em termos da função de custo quando comparado a solução anterior, o filho gerado

substitui um dos pais.

3. Mutação: Os novos indiv́ıduos gerados na etapa de cruzamento são submetidos ao

operador mutação. Nem todos os indiv́ıduos serão submetidos a este operador, só

aqueles que atingirem o critério de probabilidade de mutação. Novamente, um número

aleatório entre 0 e 1 é gerado. Se este número for menor ou igual a probabilidade de

mutação, a mutação ocorre. O operador mutação possibilita o continuo enriquecimento

genético durante o processo de otimização, minimizando a probabilidade de que a

população genética fique confinada em um mı́nimo local. Todos os filhos são testados

à condição de mutação.

O algoritmo finaliza o processo de interação quando a geração atinge o critério de

parada. Este pode ser absoluto, por exemplo, um determinado valor da função de custo

requerido para uma aplicação particular; diferencial, quando se avalia a melhora de nova

geração com relação à anterior, ou limitado pelo número de iterações. Neste trabalho o

critério de parada é limitado pelo número de iterações.

Como discutido anteriormentee, os métodos estocásticos são mais robustos às

condições iniciais, porém não significa que estas não tenham efeito no desempenho do

algoritmo. No caso particular de DE, a sensibilidade às condições iniciais depende da riqueza

genética da população inicial, a qual pode ser melhorada de diferentes formas (QUING,

2009): i) incrementar o tamanho populacional; ii) usar um conjunto seletivo de indiv́ıduos,

descartando elementos que são semelhantes e que não agregam muita variação genética; e

iii) usar diferentes gerações iniciais aleatórias e realizar vários processos DE paralelos. Esta

alternativa é denominada de subpopulação e está classificada como DE multi-população

que, por sua vez, é considerada um tipo de DE modificada. Neste trabalho foi escolhida

a última alternativa, pois é simples de implementar, facilmente paralelizável e permite


40

monitorar o desempenho das diferentes subpopulações, possibilitando uma estimação do

número destas para um desempenho aceitável.

3.3 Otimização das Posições dos Elementos de Antena

Nesta seção será descrito a configuração do algoritmo DE para otimizar as posições

dos elementos de antena em arranjos esparsos, a fim de minimizar o SLL.

3.3.1 Parâmetros de Controle e Gerais e Variáveis de Otimização

Os parâmetros de controle são parâmetros intŕınsecos do algoritmo. Em DE, existem

três parãmetros de controle: o tamanho da população, Np, a intensidade de mutação, Fy, e a

probabilidade de cruzamento, pc. Cabe destacar que, mesmo, às vezes, sendo recomendado

um valor de Np correspondente a 10 vezes o número de variáveis de otimização, o tamanho

populacional deve ser selecionado conforme os requerimentos do problema, ainda mais no

caso de DE multi-populacional (QUING, 2009).

Os parâmetros gerais da OPA são parâmetros do arranjo de antena que não variam

ao longo da simulação. Neste trabalho pode-se dividir esses parâmetros em dois. Por um

lado, em parâmetros estruturais, que são o número de elementos irradiantes, N , a distância

média entre os elementos, d̄, e a distância mı́nima entre os elementos dmin. Por outro lado,

em parâmetro operacional, que é o ângulo de direcionamento de feixe θBS.

Finalmente, as variáveis de otimização são as variáveis modificadas ao longo do

processo de simulação. Neste trabalho, as variáveis de otimização são as posições dos

elementos zi com i ∈ [1, N ]. De fato, estritamente as variáveis de otimização utilizadas

foram as distâncias de separação entre elementos sucessivos, isto é, di = zi+1 − zi com

i ∈ [1, N − 1].

3.3.2 Função de Custo

A função de custo será o SLL do fator de arranjo, o qual é dado pela Equação 5.

Assim, relembrando, podemos escrever a função de custo como:


41

SLL(θBS, X) =

∣∣∣∣∣AF (θsec, X)

AF (θBS, X)

∣∣∣∣∣ . (19)

A otimização do SLL do AF, como já mencionado no Caṕıtulo 2, para ângulos

de direcionamento de feixe próximos ao broadside, pode ser considerada como o pior

caso posśıvel, pois os elementos radiantes geralmente apresentam a direção de máxima

transmissão de energia na direção perpendicular ao eixo em que estes elementos estão

alinhados.

3.3.3 Restrições de Otimização

A otimização da posição dos elementos está sujeita a duas restrições. Por um lado

o comprimento total do arranjo deve corresponder a L = (N − 1) · d̄. Esta restrição pode

ser escrita alternativamente em termos de distâncias entre elementos como:

L = (N − 1) · d̄ =
N−1∑
i=1

di. (20)

Por outro lado, a segunda restrição é trivial, pois a distância entre elementos tem que ser

maior que a distância mı́nima dmin:

di > dmin com i ∈ [1, N − 1]. (21)

3.3.4 Condição de Parada

Na hora de decidir a condição de parada, o critério absoluto não é válido pois não

se sabe a priori o valor do SLL que pode ser atingido. Por outro lado, o comportamento

em forma de escada apresentado pela função de custo faz com que o critério diferencial

também não seja válido, pois o melhor SLL pode ficar constante por varias iterações

antes de reduzir subitamente. Desta forma, o critério adotado é o número de iterações

máxima. Simulações preliminares mostraram que o número de iterações para atingir um

valor estável do SLL depende principalmente do número de elementos do arranjo. Assim,

foi fixado um número de iterações diferente para cada número de elementos.


42

Tabela 1 – Parâmetros usados nas otimizações para avaliar o efeito dos parâmetros gerais
da OPA.

Parâmetro Valor

Tamanho populacional (Np) 50× 40

Parâmetros de controle Intensidade de mutação (Fy) 0.5

Probabilidade de cruzamento (pc) 0.1

Número de elementos do arranjo (N) 4, 8, 16

Parâmetros Distância mı́nima entre elementos (dmin) 1λ, 2λ, 3λ

gerais da OPA Distância média entre elementos (d̄) 1λ–4λ

Ângulo de direcionamento θBS 90º, 77.5º, 45º

Condição de parada Número de iterações (Niter) 500 (4), 1.000 (8), 3.000 (16)

3.4 Configuração das Otimizações

A fim de avaliar e quantificar o efeito dos parâmetros gerais no valor do SLL, foram

realizadas otimizações considerando um tamanho populacional total de 2.000 indiv́ıduos

divididos em 50 subpopulações independentes de 40 indiv́ıduos. Essas duas variáveis

representam o melhor resultado em relação custo-beneficio computacional obtido de

otimizações que variaram de 50 a 200 subpopulações individuais, e 10 a 80 indiv́ıduos. A

intensidade de mutação, Fy, e a probabilidade de cruzamento, pc, foram fixadas a 0,5 e

0,1, respectivamente. Uma vez que o interesse deste trabalho é quantificar o efeito dos

parâmetros gerais da OPA, assim como a interação entre eles, foram realizadas otimizações

de arranjos com 4, 8 e 16 elementos, considerando distâncias mı́nimas de 1λ, 2λ e 3λ

assim como separações médias que variavam desde 1λ até 6 λ. Arranjos com 32 e 64

elementos também foram simulados. Porém, para obter uma alta resolução na otimização é

necessário um alto custo computacional. Esta análise foi realizada considerando ângulos de

direcionamento de feixe partindo da direção broadside, i.e. θBS = 90, até 45º, representando

uma faixa de direcionamento de feixe de 90º (135º –45º). Como já mencionado, a condição

de parada está governada pelo parâmetro Niter o qual depende do número de elementos.

Assim, para 4 elementos se estabeleceu um número máximo de 500 iterações, para 8

elementos de 1.000 e, finalmente, para 16 elementos se incrementou até 3.000 iterações. A

Tabela 1 resume os valores utilizados para os diferentes parâmetros.


43

Para justificar as configurações adotadas na otimizações, a Figura 10 apresenta a

evolução da função de costo do melhor indiv́ıduo da geração de cada subpopulação em cada

iteração, para três casos diferentes: (a) 4 elementos radiantes, (b) 8 elementos radiantes e

(c) 16 elementos radiantes, todos para θdes = 45º. Assim, cada curva representa a melhor

função de custo, para uma determinada sub-população. Como esperado, o melhor SLL decai

até convergir para valores que dependem dos indiv́ıduos iniciais de cada sub-população.

Em relação ao número de iterações, pode-se observar que após a interação 100, 400 e

1.000, nos arranjos com 4, 8 e 16 elementos, respectivamente, as curvas apresentam uma

estabilização. Porém, para garantir uma margem de segurança, o número de iterações Niter

foi fixado em 500 para 4 elementos de antena, 1.000 para 8 e 3.000 para 16 elementos.


44

Itera ões

F
u

ç
ã
o

 d
C

u
st

o

Figura 10 – Evolução da função de custo do melhor elemento da geração para cada
subpopulação considerando um ângulo de direcionamento de feixe de 45º para
um arranjo de (a) 4 elementos, (b) 8 elementos e (c) 16 elementos.


45

4 Resultados

No presente Caṕıtulo se apresentam os resultados. Por um lado, na Seção 4.1,

foi analisado o efeito do ângulo de direcionamento de feixe no valor do SLL para um

determinado número de elementos. Uma vez comprovada a dependência do SLL com

relação ao ângulo de direcionamento de feixe, foi apresentado e analisado o valor do

SLL quando se varia simultaneamente o ângulo de direcionamento de feixe, o número de

elementos e as distâncias mı́nima e média entre elementos.

4.1 Efeito do Direcionamento de Feixe no SLL

Inicialmente, foi analisado o efeito do direcionamento de feixe no valor do SLL.

A Figura 11 (a) mostra as posições dos elementos para um arranjo de 8 elementos,

com separação mı́nima de 2λ e distância média de 6λ entre os elementos, resultando em

um comprimento total do arranjo de 42λ. O arranjo foi otimizado para três ângulos de

direcionamento de feixe diferentes: 90º, 67,5º e 45º. A partir desta figura nota-se que as

posições dos elementos para minimizar o ńıvel do SLL de um arranjo dependem do ângulo

de direcionamento de feixe para o qual é projetado. A Figura 11(b) mostra o valor do SLL

dos arranjos apresentados na Figura 11(a). Em 90º, a configuração otimizada para a ângulo

de direcionamento de feixe de 90º supera as configurações otimizadas para as ângulos

de direcionamento de feixe de 67,5º e 45º. Porém, considerando a faixa compreendida

entre 90º e 67,5º, o arranjo otimizado para o ângulo de direcionamento de 67,5º apresenta

o melhor desempenho. O mesmo ocorre para faixa de direcionamento de feixe de 90º

até 45º. Vale ressaltar que, conforme previsto, o SLL piora a medida que o ângulo de

direcionamento de feixe aumenta. Assim, da Figura 11 pode-se evidenciar que otimizar o

arranjo para uma faixa de direcionamento de feixe inteira é equivalente a otimizar para a

direção de feixe mais distante de 90º, ou seja, para o valor extremo da faixa de direção

projetada. De fato, o SLL apresenta uma forma de escada monotonicamente crescente,

que pode ser entendida observando a evolução do diagrama de radiação, Figura 11 (c,e),

conforme o ângulo de direcionamento de feixe se separa da direção broadside, i.e. 90º.

Dessa forma, a otimização para grandes faixas de direcionamento de feixe evita que os

lóbulos de alta potência apareçam quando o feixe é direcionado dentro desta faixa. Porém,

a redução do SLL é alcançada à custa da presença de lóbulos menores, que resultam


46

em uma penalidade de desempenho quando comparados ao direcionamento de feixe mais

estreitos, com otimização de banda menor.

-6

-4

-2

0

-5

-3

-1

(b)

(a)

(c)

(d)

(e)

Figura 11 – (a) Posições dos elementos obtidas na otimização do arranjo de 8 elementos,
com separação mı́nima de 2λ e distância média de 6λ, para ângulos de
direcionamento de feixe de 90º, 67,5º e 45º. (b) SLL em termos de ângulo
de direcionamento de feixe, e (c-e) norma do AF em termos do ângulo de
direcionamento de feixe e ângulo azimutal θ para os três casos otimizados.


47

4.2 Efeito da Restrição F́ısica no SLL

A figura 12 apresenta o SLL de um arranjo de 8 elementos, com distância média

de separação entre os elementos de 4λ, em termos do ângulos e direcionamento de feixe

para dois casos distintos, sem e com restrição f́ısica. As linha cont́ınuas representam o

arranjo otimizado para os ângulos de direcionamento de feixe na faixa de 90° à 45º sem

restrição f́ısica, isso é, sem distância mı́nima de separação entre os elementos. E a linha

tracejada mostra o mesmo arranjo otimizado com uma distância mı́nima de separação

entre os elementos de 2λ, sendo este último um arranjo esparso.

Analisando a figura 12 é notório que, na maioria dos ângulos simulados, sem

restrição f́ısica (linha cont́ınua) o SLL obtido é menor do que quando a restrição f́ısica

é aplicada. Para o ângulo de direcionamento de feixe desejado de 67,50° a diferença de

SLL obtida é de cerca de 3 dB, sendo o menor SLL obtido quando não há restrição f́ısica

aplicada ao arranjo. Para o ângulo de 56,25°, o arranjo otimizado sem uma distância

mı́nima de separação imposta apresenta uma redução de mais de 5dB em relação ao arranjo

com distância mı́nima de separação entre os elementos de 2λ. Esse comportamento só

não ocorre no ângulo de direcionamento de feixe de 78,75°, onde na direção desejada o

arranjo com restrição f́ısica apresentou um melhor resultado de SLL, aproximadamente de

menos 3 dB em relação ao SLL obtido no caso sem restrição f́ısica. Todavia, este é o único

caso onde o SLL não tem um aumento expressivo logo após o feixe ser direcionado para

um ângulo maior do que o projetado. Neste caso espećıfico, o ângulo de direcionamento

projetado é de 78,75° e o aumento do SLL ocorre apenas quando o lóbulo principal está

sendo direcionamento para um ângulo próximo de 50°. Assim, fica evidente que ao simular

um arranjo esparso a distância mı́nima de separação entre os elementos deve ser estipulada,

pois sem aplicar uma restrição f́ısica no posicionamento dos elementos os resultados obtidos

não serão adequado com o arranjo f́ısico.

4.3 Efeito dos Parâmetros Gerais da OPA no SLL

Uma vez provado que a faixa de direcionamento de feixe tem impacto significativo no

valor do SLL do arranjo, foi feita a quantificação do SLL em termos do número de elementos,

da distância mı́nima e da distância média entre os elementos. Foram considerados arranjos


48

78,75 67,5 56,25

90
90

90

78,75 67,5 56,2590

78,75

78,75

67,5

67,5

78,75 67,5 56,2590

56,25
56,25

78,75 67,5 56,2590

78,75 67,5 56,2590

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

Figura 12 – SLL em termos do ângulo de direcionamento de feixe de (a) 90°, (b) 78,75°,
(c) 67,50°, (d) 56,25° e (e) 45° para um arranjo de 8 elementos, com distância
média entre os elementos de 4λ sem restrição f́ısica, e posteriormente com
separação mı́nima de 2λ.

com 4, 8 e 16 elementos e separações mı́nimas de 1λ, 2λ e 3λ. Devido ao elevado número de


49

parâmetros que interagem entre si, a Figura 13 apresenta diferentes gráficos de contornos

do SLL em termos do alcance do direcionamento de feixe e das distâncias mı́nimas entre os

elementos. Cada linha corresponde a um número de elementos: (a-c) são para 4 elementos

radiantes, (d-f) são para 8 e (g-h) são para 16, enquanto cada coluna representa uma

distância mı́nima entre elementos: (a, d, g) 1λ, (b, e, h) 2λ, e (c, f, i) 3λ.

Comparando o SLL para diferentes números de elementos e mantendo fixa a

separação mı́nima entre os elementos, pode-se ver que quanto maior o número de elementos,

menor é o valor do SLL. Este resultado corrobora o indicado em (COMAN; LAGER;

LIGTHART, 2006). Por outro lado, fixando o número de elementos e aumentamos a

distância mı́nima entre eles, nota-se um aumento do valor do SLL. Essa tendência pode

ser interpretada em termos do compromisso entre o grau de liberdade na posição dos

elementos do arranjo e a limitação f́ısica inerente. O grau de liberdade pode ser aumentado

incrementando o número de elementos ou a razão entre a distância média e a distância

mı́nima. A mesma argumentação pode ser aplicada para explicar porque para cada

configuração existe um valor de distância média que minimiza o SLL. Assim, se a distância

média é similar à distância mı́nima, o grau de liberdade para o posicionamento é pequeno,

resultando em um SLL alto. De fato, pode-se notar que quando a distância mı́nima de

separação é igual a distância média, ou seja, em um arranjo uniforme, o SLL obtido é

sempre um valor alto, próximo a zero, para toda a faixa de direcionamento de feixe. Por

outro lado, se a separação média for muito grande, a maior liberdade no posicionamento

dos elementos não compensa a grande separação entre os elementos. Assim, a presença de

uma distância média ótima indica que há um comprimento de arranjo ideal para minimizar

o SLL. Este comportamento ocorre apenas quando restrições f́ısicas são introduzidas

e, segundo o conhecimento dos autores, não foi relatado anteriormente, uma vez que

em (BAROTT; STEFFES, 2008) a analise não compara configurações com diferentes

distâncias médias e distâncias mı́nimas.

O comprimento ideal de um arranjo esparso é um parâmetro de projeto importante

e, portanto, foi analisado com mais detalhes. Sua dependência dos restantes parâmetros

gerais da OPA, i.e. número de elementos, distância mı́nima entre elementos e ângulo de

direcionamento de feixe, é mostrado na Figura 14(a). Como pode ser observado, a distância

média ótima depende principalmente da separação mı́nima entre os elementos, aumentando

a medida que esta aumenta, sendo quase independente do número de elementos e do

ângulo de direcionamento de feixe. A Figura 14(b) mostra os valores do SLL quando o


50

Distância
média 

 Â
ng

ul
o 

de
 d

ir
ec

io
na

m
en

to
 

de
 f

ei
xe

 (
de

g)

 9
0

 6
7,

5
 4

5

 9
0

 6
7,

5
 4

5

 9
0

 6
7,

5
 4

5

 Â
ng

ul
o 

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m
en

to
 

de
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 (
de

g)

 9
0

 6
7,

5
 4

5

 9
0

 6
7,

5
 4

5

 9
0

 6
7,

5
 4

5

 Â
ng

ul
o 

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 d

ir
ec

io
na

m
en

to
 

de
 f

ei
xe

 (
de

g)

 9
0

 6
7,

5
 4

5

 9
0

 6
7,

5
 4

5

 9
0

 6
7,

5
 4

5

 4   2 3

 5   3 4

 6  4 5

Distância
média 

Distância
média 

 16 elementos 8 elementos 4 elementos
 D

is
tâ

nc
ia

 m
ín

im
a:

 1
 D

is
tâ

nc
ia

 m
ín

im
a:

 2
 D

is
tâ

nc
ia

 m
ín

im
a:

  3

 -
2

 -
3

 -
4

 -
1

 -
6

 -
7

 -
8

 -
5

 -
8

 -
9

 -
10 -
7

 -
11

 SLL  SLL  SLL

 4  2 3  4  2 3

 5  3 4  5  3 4

 6  4 5  6  4 5

 (
a)

 (
b)

 (
c)

 (
d)

 (
e)

 (
f)

 (
g)

 (
h)

 (
i)

F
ig

u
ra

13
–

S
L

L
em

te
rm

os
d
e

d
is

tâ
n
ci

a
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éd
ia

en
tr

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el
em

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ix

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p
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ú
m

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n
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m

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im

a
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tr
e

os
el

em
en

to
s.

(a
-c

)
4

el
em

en
to

s,
(d

-f
)

8
el

em
en

to
s,

e
(g

-i
)

16
el

em
en

to
s,

to
d
os

ap
re

se
n
ta

d
os

p
ar

a
d
is

tâ
n
ci

as
m

ı́n
im

as
d
e

1
λ

,
2
λ

e
3
λ

.


51

espaçamento entre elementos é ideal para os diferentes números de elementos e separações

mı́nimas, revelando que, em geral, na distância ideal a penalidade do SLL devido à extensão

da faixa de direcionamento de feixe é relativamente pequena. No entanto, para o caso

particular de uma distância de separação de 1λ, uma deterioração significativa do SLL

pode ser observada para faixas de direcionamento de feixe não nulas.

Faixa de direcionamento de feixe (deg)

4556,2567,578,7590

0

-4

-8

-12

S
L

L
 n

a
 d

is
tâ

n
ci

a

m
é
d
ia

ó
ti

m
a
 (

d
B

)

1

D
is

tâ
n
c
ia

 m
é
d
ia

ó
ti

m
a

Nº de elementos: 4 8 16 Separação mínima: 1 2 3

2

3

4

5

(b)

(a)

Figura 14 – (a) Distância média ótima entre os elementos e (b) Valor do SLL obtido para
as distâncias médias ótimas, para as diferentes combinações de número de
elementos e distâncias mı́nimas de separação entre os elementos.

4.4 Análise de Varredura de Frequência

Por fim, foi analisado como o desempenho do arranjo esparso linear muda em função

da frequência. A Figura 15 apresenta o valor do SLL em termos do comprimento de onda

de operação, variando entre 0, 5λ à 1, 5λ, para 4, 8 e 16 números de elementos dispostos

com distância mı́nima de separação entre 1λ, 2λ e 3λ e distância média ótima encontrada

na análise anterior de 1, 5λ, 3λ e 5λ, respectivamente.

Analisando a figura 15, tem-se que quanto menor o comprimento de onda utilizado

na projeção do arranjo, maior é o valor do SLL obtido. Isso ocorre porque para um

comprimento de onda menor, a distância de separação entre os elementos é maior, e


52

consecutivamente, o comprimento do arranjo também é maior, acarretando, então, em um

SLL maior. A partir dos resultados obtidos na figura 15, entende-se que o comprimento de

onda de operação do sistema deve ser maior do que o comprimento de onda utilizado na

otimização do arranjo. Se for utilizado um comprimento de onda de operação menor do

que o projetado, os resultados em relação a redução do SLL não são obtidos. Por exemplo,

para um sistema operando na banda de 1,4 nm à 1,6 nm, o arranjo deve ser otimizado

para o comprimento de onda de no mı́nimo 1,4 nm, o que representa o pior cenário. A

figura 15 também mostra que aumentando o ângulo de direcionamento desejado, maior

ainda deve ser o comprimento de onda de operação em relação ao comprimento de onda

utilizado na otimização do arranjo. Uma vez que as posições do elementos são obtidas, é

posśıvel escala-las de forma que o comprimento de onda também será escalável, o que é

importante ao se projetar um sinal broad band.

Comprimento de onda (  )

S
L

L
 (

d
B

)

des. = 90°

(a) N=4

(b) N=8

(c) N=16

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5
10

-5

0

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5
10

-5

0

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5
10

-5

0

des. = 67,5° des. = 45°

Figura 15 – SLL em termos do comprimento de onda de operação para (a) 4 elementos
radiantes com distância mı́nima de 1λ e distância média ótima de 1, 5λ, (b)
8 elementos radiantes com distância mı́nima de 2λ e distância média ótima
de 3λ e (c) 16 elementos radiantes com distância mı́nima de 3λ e distância
média ótima de 5λ.


53

5 Considerações Finais

Neste trabalho de dissertação foram analisados os efeitos sobre o SLL dos diferentes

parâmetros gerais de uma OPA. Em particular, estudaram-se o ângulo de direcionamento,

o número de elementos, e as distâncias médias e mı́nimas entre estes.

Por meio de otimizações das posições dos elementos realizadas usando DE, foi

observado que as posições ótimas dos elementos dependem do ângulo de direcionamento

de feixe desejado. O valor do SLL também depende do ângulo do direcionamento de feixe

pois a intensidade dos lóbulos laterais aumenta a medida que este se desvia da direção

broadside. De fato, foi comprovado que os arranjos devem ser otimizados para o valor de

ângulo de direcionamento de feixe mais distante da direção broadside, pois esta representa

o pior caso posśıvel.

Por outro lado, foram realizadas otimizações considerando diferentes combinações

do número de elementos, separação mı́nima e média de elementos, assim como do ângulo

de direcionamento de feixe. Os resultados revelam que para valores fixos de distâncias

e direcionamento de feixe, um maior número de elementos resulta em uma diminuição

do SLL. Enquanto ao efeito das distâncias média e mı́nima, pode-se observar que quanto

maior é a distância média, maior é o SLL para um determinado número de elementos.

Uma menor distância mı́nima, porém, resulta em valores de SLL menores. Em particular,

pode-se dizer que a razão entre distância mı́nima e distância média é um parâmetro

importante.

Finalmente, a análise sistemática da interação entre os diferentes parâmetros da

OPA mostrou que quando são consideradas limitações f́ısicas, i.e. distância mı́nima entre

elementos, existe uma distância média ótima que minimiza o SLL. Cabe destacar que esta

distância média ótima depende principalmente da distância mı́nima de separação, enquanto

que é praticamente independente do número de elementos e do ângulo de direcionamento

de feixe.

Concluindo, neste trabalho se apresentam algumas diretrizes para a projeção de

OPAs lineares com restrições f́ısicas operando sob direcionamento de feixe. Entre as

possibilidades para trabalho futuro pode-se mencionar:

• Consideração do padrão de radiação do elemento irradiante e

• Extensão do estudo para arranjos planares.


54

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KHODIER