Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” Instituto de Geociências e Ciências Exatas Câmpus de Rio Claro Diego Miranda Gonçalves Equações Diferenciais sob Ação de Funções Forçantes Descontínuas ou Impulsos via Transformadas de Laplace com Aplicações Rio Claro 2022 Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” Instituto de Geociências e Ciências Exatas Câmpus de Rio Claro Equações Diferenciais sob Ação de Funções Forçantes Descontínuas ou Impulsos via Transformadas de Laplace com Aplicações Diego Miranda Gonçalves Dissertação apresentada como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Matemática, junto ao Programa de Pós-Graduação em Matemática, mestrado profissional, do Instituto de Geociências e Ciências Exa- tas da Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Câmpus de Rio Claro. Orientador Prof. Dr. Lucas Antonio Caritá Rio Claro 2022 G635e Gonçalves, Diego Miranda Equações Diferenciais sob Ação de Funções Forçantes Descontínuas ou Impulsos via Transformada de Laplace com Aplicações / Diego Miranda Gonçalves. -- Rio Claro, 2022 175 p. Dissertação (mestrado profissional) - Universidade Estadual Paulista (Unesp), Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Rio Claro Orientador: Lucas Antonio Caritá 1. Transformadas de Laplace. 2. Equações Diferenciais. 3. Descontinuidade. 4. Impulso. 5. Métodos Matemáticos. I. Título. Sistema de geração automática de fichas catalográficas da Unesp. Biblioteca do Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Rio Claro. Dados fornecidos pelo autor(a). Essa ficha não pode ser modificada. TERMO DE APROVAÇÃO Diego Miranda Gonçalves Equações Diferenciais sob Ação de Funções Forçantes Descontínuas ou Impulsos via Transformadas de Laplace com Aplicações Dissertação aprovada como requisito parcial para a obtenção do grau de Mestre no Curso de Pós-Graduação em Matemática, mes- trado profissional, do Instituto de Geociências e Ciências Exatas da Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, pela se- guinte banca examinadora: Prof. Dr. Lucas Antonio Caritá Orientador Prof. Dr. Vinicius Francisco Wasques Centro Nacional de Pesquisa em Energia e Materiais - CNPEM Profa. Dra. Rosemeire Aparecida Rosa Oliveira Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP Rio Claro, 07 de junho de 2022 Dedico este trabalho a Jesus Cristo. Agradecimentos Primeiramente eu agradeço ao Senhor Jesus Cristo, que é minha vida, ajudou e deu forças em momentos de angústia. Como disse o salmista: “Então clamei pelo nome do Senhor: Livra-me, Senhor!” (Salmos 116:4). Este trabalho foi para a glória Dele! Em segundo lugar, dedico este trabalho à minha digníssima esposa, Larissa Fernandes Franco, por presenciar tais momentos de angústias e ter suportado junto comigo minhas aflições, ela sempre terá minha eterna gratidão! Eu te amo! Tenho profunda gratidão à minha mãe, Elizeth Miranda da Silva, e ao meu pai, Antô- nio Gonçalves da Silva, que sempre deram apoio quando mais precisei. Eu amo vocês! Também agradeço ao meu querido amigo, Gabriel Antonio Caritá, que sempre acre- ditou na minha capacidade de concluir este grande passo na minha carreira acadêmica. Ao meu grande orientador, Prof. Dr. Lucas Antonio Caritá, enviado de Deus, para me auxiliar, incentivar e guiar na construção e desenvolvimento deste grande trabalho. Aos grandes orientadores Prof. Dr. Adilson José Vieira Brandão e Prof. Dr. Daniel Luiz da Silva que me acompanharam na graduação e estimularam minha progressão na carreira acadêmica. Agradeço a banca pela disponibilidade e as grandes contribuições sugeridas que fo- mentaram significativamente o meu trabalho. Agradeço ao grupo de pesquisa GPMCC em que presenciei inúmeras discussões de suma importância para a minha formação. Ao programa de pós-graduação e ao corpo docente pela oportunidade de ter ingressado e pelas experiências vividas. A todos que contribuíram, Deus os abençoe ricamente! Homens inteligentes andaram na lua, homens ousados andaram no fundo do oceano, mas homens sábios andam com Deus. Leonard Ravenhill Prefácio Para a redação desta dissertação, muitas referências bibliográficas foram consultadas. Os resultados não foram simplesmente extraídos ou recortados destes textos, mas sim foram estudados, compreendidos, reescritos e muitas vezes tiveram suas demonstrações revisitadas e refeitas. A principal contribuição deste trabalho está na forma da apre- sentação de resultados clássicos com outros pouco difundidos sobre a temática estudada, compondo assim, um texto inédito em sua natureza e formulação. Os conteúdos que aqui estão presentes foram cuidadosamente escolhidos e trabalhados de forma detalhada, trazendo inclusive demonstrações para resultados que nenhuma bibliografia que pudemos encontrar trazia (por exemplo os teoremas da seção 2.6.2) ou propondo demonstrações diferentes das apresentadas por todas as bibliografias que consultamos (por exemplo o Teorema 4.4). No início de cada capítulo, apontamos as referências que foram consultadas para a sua elaboração. Essa foi uma forma que encontramos para creditar as bibliografias que estudamos, porém sem extrair diretamente conteúdos específicos das mesmas. Todavia, em algumas partes, quando se fez necessário se dar crédito para conteúdos diretamente ligados a algumas obras, as citações foram feitas nas partes do texto que lhes cabem, informando as páginas onde são encontrados tais conteúdos nas obras originais, a fim de que o leitor tenha uma maior elucidação dos conceitos apresentados. Na parte de aplicações, analisamos alguns sistemas físicos que não foram tão explorados na literatura, como o galvanômetro, um circuito utilizado dentro de um amperímetro ou voltímetro com a finalidade de medir corrente ou tensão. Além disso, também foi estudado um circuito R-L-C (Resistor, Indutor e Capacitor), em que foi utilizado Transformada de Laplace para encontrar a tensão do Capacitor, demonstrando uma forma extremamente útil para resoluções de circuitos elétricos em série ou em paralelo. As figuras e gráficos que foram inseridos no trabalho tem como objetivo de facilitar a intelecção do que está sendo estudado. Todas elas (com exceção apenas das que aparecem na Introdução) foram elaboradas pelo autor. Utilizou-se softwares como o GeoGebra e o CircuitLab para a criação de todas as ilustrações. Para finalizar, ressalta-se que o leitor deverá ter alguns conhecimentos prévios como, por exemplo, Análise Real, Análise Complexa, Mecânica e Eletromagnetismo, para uma leitura mais fluída. Resumo O propósito deste trabalho é estudar a solução de equações diferenciais sob ação de funções forçantes descontínuas ou impulsos, contextualizadas em problemas Físicos ou de Engenharia, utilizando Transformadas de Laplace. Para tanto, a metodologia utilizada se dá no desenvolvimento teórico, rico em detalhes, dessa transformada. Os conceitos abor- dados incluem integrais impróprias com parâmetro complexo, transformadas integrais, definição e propriedades das Transformadas de Laplace (direta e inversa), convolução, equações diferenciais sob ação de funções forçantes descontínuas ou impulsos e, por fim, aplicações contextualizadas. Palavras-chave: Transformadas de Laplace, Equações Diferenciais, Descontinuidade, Impulso, Métodos Matemáticos. Abstract This work studies the solution of differential equations under the action of disconti- nuous forcing functions or impulses, contextualized in Physical or Engineering problems, using Laplace Transforms. Therefore, the methodology used is a theoretical development, rich in detail, of this transform. The concepts covered include improper integrals with complex parameters, integral transforms, definition and properties of Laplace Transforms (direct and inverse), convolution, differential equations under the action of discontinuous forcing functions or impulses and, finally, contextualized applications. Keywords: Laplace Transforms, Diferential Equations, Descontinuity, Impulse, Mathe- matical Methods. Lista de Figuras 1 Exemplos de funções forçantes descontínuas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 Exemplo de função forçante com impulso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.1 Exemplo de função contínua por partes com saltos de descontinuidade. . . 48 4.1 Função Gamma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.2 Função erro e erro complementar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.3 Função Bessel de ordem zero de primeira espécie com a = 1. . . . . . . . . 110 5.1 Procedimento para solucionar PVIs com Transformada de Laplace. . . . . 114 5.2 Exemplos de função degrau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.3 Gráfico de f(t) = u1(t)(t− 1)2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.4 Gráfico de f(t) = u2(t)eat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.5 Gráfico de f(t) = uπ(t) cos (t− π). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5.6 Gráfico de f(t) = uπ 2 (t) sen(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5.7 Exemplos de ondas quadradas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 5.8 Exemplos de ondas triangulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 5.9 Exemplos de ondas senoidais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 5.10 Gráfico de f(t) = cos (4t)− cos (4t)uπ(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 5.11 Gráfico de f(t) = sen (t)u2π(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 5.12 Gráfico de f(t) = uπ(t)− u2π(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 5.13 Exemplos Funções Impulso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 6.1 Exemplo de um galvanômetro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 6.2 Dois vagões presos a uma mola de constante elástica K. . . . . . . . . . . . 147 6.3 Resistor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 6.4 Capacitor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 6.5 Indutor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 6.6 Gerador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 6.7 Circuito com uma malha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 6.8 Circuito com duas malhas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 6.9 Corrente no circuito com duas malhas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 6.10 Circuito R-C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 6.11 Gráficos de q(t) e i(t) para circuito R-C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 6.12 Circuito R-L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 6.13 Gráfico de i(t) para R-L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 6.14 Tensão do resistor no domínio de s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 6.15 Tensão do indutor no domínio de s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 6.16 Tensão do capacitor no domínio de s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6.17 Circuito R-L-C no domínio t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 6.18 Circuito R-L-C no domínio s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 A.1 Regiões RP formada pelo quadrado OACE, R1 formada pelo quarto de círculo OAE e R2 formada pelo quarto de círculo OBD. . . . . . . . . . . 167 Lista de Tabelas 2.1 Exemplos de transformadas integrais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 C.1 Transformadas calculadas no trabalho (parte 1). . . . . . . . . . . . . . . . 173 C.2 Transformadas calculadas no trabalho (parte 2). . . . . . . . . . . . . . . . 174 C.3 Transformadas calculadas no trabalho (parte 3). . . . . . . . . . . . . . . . 175 Sumário Introdução 23 1 Integrais Impróprias 27 1.1 Funções Complexas de uma Variável Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.1.1 Limite e Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.1.2 Diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.1.3 Integrabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.2 Integrais Impróprias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.2.1 Definições e Primeiros Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.2.2 Alguns Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.3 Convergência de Integrais Impróprias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.3.1 O Critério da Comparação (para Integrais Impróprias de Funções Reais) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.3.2 O Critério de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.3.3 Convergência Condicional e Absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.4 A Convergência de ∫ +∞ 0 e−stf(t) dt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1.4.1 Funções de Ordem Exponencial γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1.4.2 Continuidade por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 1.4.3 Condições Suficientes para a Convergência . . . . . . . . . . . . . . 50 2 Transformadas de Laplace 53 2.1 Transformadas Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.1.1 Exemplos de Transformadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.2 Transformadas de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.2.1 Definição e Convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.2.2 Funções Admissíveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.3 Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.4 Primeiro Teorema de Translação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.5 Transformada de Laplace das Derivadas e da Integral de uma Função . . . 65 2.5.1 Transformada das Derivadas de Primeira e Segunda Ordem . . . . . 65 2.5.2 Transformada da n-ésima Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.5.3 Transformada da Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.6 Resultados para s ∈ R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.6.1 Derivação e Integração de Transformadas de Laplace . . . . . . . . 71 2.6.2 Teoremas do Valor Inicial e do Valor Final . . . . . . . . . . . . . . 76 3 Transformadas Inversas de Laplace 79 3.1 Definição e o Teorema de Lerch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.2 Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.3 Frações Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.3.1 Decomposição de Frações Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.3.2 Pólos Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4 A Função Gamma 93 4.1 Convolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.2 Função Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.2.1 Função Erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.2.2 Função Erro Complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.2.3 Função Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.2.4 Funções Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 5 Equações Diferenciais com Funções Forçantes Descontínuas ou Impulsos113 5.1 Solucionando PVIs com Transformadas de Laplace . . . . . . . . . . . . . . 113 5.2 Função Degrau Unitário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.3 Segundo Teorema de Translação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.4 Funções Periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.4.1 Ondas Quadradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.4.2 Ondas Triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.4.3 Ondas Senoidais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 5.5 Funções Forçantes Descontínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 5.6 Impulso Unitário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 5.6.1 Função Delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 6 Aplicações 143 6.1 Discutindo a 2ª Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 6.1.1 Força Impulsiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 6.1.2 Galvanômetro Balístico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6.2 Sistemas Acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 6.2.1 Sistema Massa-Mola com Dois Vagões . . . . . . . . . . . . . . . . 147 6.3 Circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 6.3.1 Componentes de um Circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 6.3.2 As leis de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 6.3.3 Circuito R-C em Série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 6.3.4 Circuito R-L em Série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 6.3.5 Circuito R-L-C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 7 Considerações Finais 163 Referências 165 A Apêndice: Cálculo de ∫ +∞ 0 e−t 2 dt 167 B Apêndice: Equação de Bessel 169 C Apêndice: Tabela das Transformadas 173 Introdução As equações diferenciais podem descrever a maneira como certas quantidades variam com o tempo, por exemplo, sistemas massa-mola, circuitos elétricos em série, oscilações de membranas vibrantes ou fluxos de calor por meio de condutores isolados [25]. Em geral essas equações estão vinculadas a condições iniciais que apresentam o estado inicial de tais sistemas. Segundo [33], equações diferenciais do tipo m d2x dt2 + β dx dt + kx = f(t) ou L d2q dt2 +R dq dt + 1 C q = E(t) são exemplos de modelos de sistemas que possuem “funções forçantes” que podem repre- sentar tanto uma força externa f(t) como uma tensão aplicada E(t). É muito comum essas funções forçantes serem descontínuas e, assim, os métodos mais tradicionais para solucionar esse tipo de equação podem se tornar muito laborosos. Por exemplo, a tensão aplicada em um circuito pode ser contínua por partes e periódica, e se comportar como as funções “degrau” ou “dente de serra”, exemplificadas na Figura 1. Figura 1: Exemplos de funções forçantes descontínuas. (a) Função Degrau (b) Função Dente de Serra Fonte: Zill [32]. Também é comum equações diferenciais estarem sob a influência de funções forçantes que sofrem algum tipo de “impulso”, como o exemplificado na Figura 2. 23 24 Introdução Figura 2: Exemplo de função forçante com impulso. Fonte: Zill [32]. Em casos como esses, em que as equações estão sob ação de funções forçantes descon- tínuas ou com impulsos, solucionar a equação diferencial pode ser trabalhoso. A Transformada de Laplace fornece uma ajuda importante na resolução de problemas deste tipo. O nome se deve ao matemático Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827) que trabalhou com Mecânica Celeste e Teoria das Probabilidades. Na história, de acordo com [31], o desenvolvimento das transformadas integrais se inicia com a busca de soluções de certos tipos de equações diferenciais na forma de integrais reais definidas, contudo, mais tarde, foi descoberto que essas transformadas são integrais de contorno no plano complexo. O primeiro a estudar transformadas integrais como ferramentas para solucionar equa- ções diferenciais foi Euler (1707 - 1783) [23]. Os resultados obtidos por Euler foram incorporados por Laplace em um artigo chamado Théorie Analytique des Probabilités no início do século XIX [31]. Segundo [25], foi Spitzer (1737 - 1880) quem associou o nome de Laplace à transformada Y (s) = ∫ b a esty(t)dt que foi elaborada por Euler, mas bastante usada por Laplace. Também, de acordo com [25], em 1910, Bateman (1882 - 1946) aplicou a seguinte transformada Y (s) = ∫ +∞ 0 e−sty(t)dt mais tarde batizada de Transformada de Laplace por Berntein (1880 - 1968), na equação de decaimento radioativo de Rutherford (1871 - 1937) dy dt = −λy Tal transformada passou a ser discutida para justificar de forma precisa algumas regras operacionais, as quais foram utilizadas por Heaviside (1850 - 1925) no final do século XIX, com o intuito de resolver as equações da Teoria Eletromagnética de Maxwell (1831 - 1879) [31]. Com isso, contribuiu fortemente para a Teoria Eletromagnética de Maxwell diminuindo as 38 equações para apenas 4 equações fundamentais de tal teoria [31]. Introdução 25 No início do século XX, depois de muitas tentativas, essa forma de resolver equações obteve sucesso após muito trabalho e dedicação de matemáticos como Bromwich (1875 - 1929), Carson (1886 - 1940) e Van der Pol (1889 - 1959) [29]. A Transformada de Laplace é uma transformada integral com núcleo K(s, t) = e−st e constitui uma ferramenta fundamental para solucionar problemas de valor inicial em equações diferenciais. Por este motivo é muito utilizada como ferramenta nos estudos de Circuitos Elétricos, Sistemas e Sinais, Controle e Automação, Probabilidade e Estatística, Bioengenharia, Engenharia Mecânica e outras áreas [23]. O método funciona basicamente transformando uma equação diferencial complicada na variável t em uma equação algébrica, mais simples de lidar, na variável complexa s. Por exemplo, considerando as notações F (s) = L(f(t)) e Y (s) = L(y(t)) para as Transformadas de Laplace das funções f e y na variável t, o Problema de Valor Inicial (PVI): y′′ + 4y′ + 5y = f(t) com y(0) = 0 e y′(0) = 0, é levado em Y (s) = F (s) s2 + 4s+ 5 . Conseguir a solução y(t) do PVI de forma explícita é possível por meio da aplicação do conceito de transformada inversa, uma vez que y(t) = L−1(Y (s)). O propósito deste trabalho é estudar a solução de equações diferenciais sob ação de funções forçantes descontínuas ou impulsos, contextualizadas em problemas típicos da Física ou Engenharia, utilizando Transformadas de Laplace. Estudaremos a Transformada de Laplace a partir da sua definição e calcularemos a transformada de inúmeras funções em detalhes, além de demonstrarmos alguns dos prin- cipais teoremas relacionados. Para isso, este texto está dividido da seguinte forma: No Capítulo 1 é feito um estudo sobre integrais impróprias, incluindo parâmetros comple- xos. Este capítulo é finalizado com alguns teoremas sobre a convergência da integral que define a Transformada de Laplace. No Capítulo 2, apresenta-se a definição formal de Transformada de Laplace, bem como seus principais teoremas. No Capítulo 3, define-se a transformada inversa, de forma simples e sem o uso da Fórmula da Inversão Complexa. No Capítulo 4 apresenta-se a convolução e algumas funções especiais oriundas da Função Gamma. Já o Capítulo 5 versa sobre as funções degrau unitário e delta de Dirac, trazendo PVI’s com equações diferenciais sob ação de funções forçantes descontínuas ou impulso, sendo solucionadas com auxílio da Transformada de Laplace. Por fim, o Capítulo 6 trás algumas aplicações em Física ou Engenharias do conteúdo estudado no capítulo anterior. Para a leitura deste texto, considera-se que o leitor possua familiaridade com resul- tados de Mecânica Clássica e Eletromagnetismo, além de Cálculo Diferencial e Integral (com funções de uma ou múltiplas variáveis reais), Equações Diferenciais, Análise Real e Complexa. 1 Integrais Impróprias Este capítulo possui o propósito de fundamentar conceitos matemáticos essenciais para o desenvolvimento da dissertação. Resultados aqui estabelecidos serão amplamente requisitados ao longo do trabalho. Para a elaboração deste capítulo, foram consultadas as seguintes referências: [5],[10], [14], [15], [16], [25], [27] e [30]. 1.1 Funções Complexas de uma Variável Real 1.1.1 Limite e Continuidade Definição 1.1. Uma função do tipo f : A ⊂ R −→ C pode ser representada como f(t) = u(t) + iv(t) onde u : A −→ R e v : A −→ R são funções chamadas de componentes de f . A componente u é a parte real de f e a componente v é a parte imaginária de f . Definição 1.2. Seja f : A ⊂ R −→ C. Dizemos que f possui limite L ∈ C quando t ∈ A tende a t0 ∈ R, e escrevemos lim t→t0 f(t) = L, quando: ∀ ε > 0,∃ δ > 0 | 0 < |t− t0| < δ =⇒ |f(t)− L| < ε. Definição 1.3. Seja f : A ⊂ R −→ C uma função com o conjunto A ilimitado superior- mente. Dizemos que f possui limite L ∈ C quando t ∈ A tende à infinito, e escrevemos lim t→+∞ f(t) = L, quando: ∀ ε > 0,∃ k > 0 | t > k =⇒ |f(t)− L| < ε. Observação 1.4. As Definições 1.2 e 1.3 nos fornecem as seguintes equivalências: lim t→t0 f(t) = L ⇐⇒ lim t→t0 |f(t)− L| = 0 e lim t→+∞ f(t) = L ⇐⇒ lim t→+∞ |f(t)− L| = 0. Teorema 1.5. Sejam f : A ⊂ R −→ C uma função em que f(t) = u(t) + iv(t) e L = u0+iv0 ∈ C. Temos que lim t→t0 f(t) = L se, e somente se, lim t→t0 u(t) = u0 e lim t→t0 v(t) = v0. Demonstração. De forma direta: lim t→t0 f(t) = L ⇐⇒ lim t→t0 f(t) = u0 + iv0 ⇐⇒ lim t→t0 (u(t) + iv(t)) = u0 + iv0 27 28 Integrais Impróprias ⇐⇒ lim t→t0 u(t) + i lim t→t0 v(t) = u0 + iv0 ⇐⇒ lim t→t0 u(t) = u0 e lim t→t0 v(t) = v0 Exemplo 1.6. Sendo s = x + iy ∈ C e a ∈ R, provemos que lim t→+∞ −e −(s−a)t s− a = 0 para Re(s) = x > a. Demonstração. Pela Observação 1.4: lim t→+∞ −e −(s−a)t s− a = 0 ⇐⇒ lim t→+∞ − 1 (s− a) e(s−a)t = 0 ⇐⇒ lim t→+∞ ∣∣∣∣− 1 (s− a) e(s−a)t − 0 ∣∣∣∣ = 0 ⇐⇒ lim t→+∞ ∣∣∣∣ 1 (s− a) e(s−a)t ∣∣∣∣ = 0. Note que: ∣∣∣∣ 1 (s− a) e(s−a)t ∣∣∣∣ s=x+iy= ∣∣∣∣ 1 (x− a+ iy) e((x−a)+iy)t ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ 1 (x− a+ iy) eiyt e(x−a)t ∣∣∣∣ = 1 |x− a+ iy| |eiyt| |e(x−a)t| = 1 |x− a+ iy| | cos (yt) + i sen (yt)| e(x−a)t = 1 e(x−a)t √ (x− a)2 + y2 √ cos2 (yt) + sen2 (yt) = 1 e(x−a)t √ (x− a)2 + y2 . Assim, se x > a: lim t→+∞ ∣∣∣∣ 1 (s− a) e(s−a)t ∣∣∣∣ = lim t→+∞ 1 e(x−a)t √ (x− a)2 + y2 = 0 já que e−(x−a)t → 0 quando t→ +∞. Definição 1.7. Seja f : A ⊂ R −→ C. Dizemos que f é contínua em t0 ∈ A quando lim t→t0 f(t) = f(t0). Dizemos que f é contínua, quando for contínua em todos os pontos de A. Teorema 1.8. Seja f : A ⊂ R −→ C função em que f(t) = u(t) + iv(t). Então f é contínua em t0 ∈ A se, e somente se, u e v são contínuas em t0 ∈ A. Demonstração. f contínua em t0 Def. 1.7⇐⇒ lim t→t0 f(t) = f(t0) = u(t0)+iv(t0) Teo. 1.5⇐⇒ lim t→t0 u(t) = u(t0) e lim t→t0 v(t) = v(t0) ⇐⇒ u e v são contínuas em t0 As regras operatórias de limite e continuidade para funções complexas são semelhantes as para as funções reais. O leitor pode conferir nas referências [5] e [27]. Funções Complexas de uma Variável Real 29 1.1.2 Diferenciabilidade Definição 1.9. Seja f : A ⊂ R −→ C. Dizemos que f é diferenciável em t0 ∈ A caso exista o limite lim t→t0 f(t)− f(t0) t− t0 = lim ∆t→0 f(t0 + ∆t)− f(t0) ∆t onde ∆t = t − t0. Esse limite chama-se derivada de f em t0 e possui notação f ′(t0) ou df dt (t0). Teorema 1.10. Se f : A ⊂ R −→ C é diferenciável em t0 ∈ A, então f é contínua em t0 ∈ A. Demonstração. De fato, temos: lim t→t0 |(f(t)− f(t0))| = lim t→t0 ( |f(t)− f(t0)| t− t0 (t− t0) ) = lim t→t0 |f(t)− f(t0)| t− t0 · lim t→t0 (t− t0) Da diferenciabilidade da f em t0 e sabendo que lim t→t0 (t − t0) existe e é igual a zero. Logo obtemos, lim t→t0 |(f(t)− f(t0))| = f ′(t0) · 0 = 0 o que nos mostra, pela Observação 1.4, que f é contínua em t0. Teorema 1.11. Sejam f : A ⊂ R −→ C uma função com f(t) = u(t) + iv(t) e t0 ∈ A. Então f é diferenciável em t0 se, e somente se, f ′(t0) = u′(t0) + iv′(t0). Demonstração. Note que: f(t)− f(t0) t− t0 = u(t) + iv(t)− (u(t0) + iv(t0)) t− t0 = u(t)− u(t0) t− t0 + i ( v(t)− v(t0) t− t0 ) . Pela Definição 1.9, f ′(t0) = lim t→t0 f(t)− f(t0) t− t0 ⇐⇒ f ′(t0) = lim t→t0 [ u(t)− u(t0) t− t0 + i ( v(t)− v(t0) t− t0 )] ⇐⇒ f ′(t0) = lim t→t0 u(t)− u(t0) t− t0 + i lim t→t0 v(t)− v(t0) t− t0 ⇐⇒ f ′(t0) = u′(t0) + iv′(t0). As regras de derivação para funções complexas são semelhantes as para as funções reais. O leitor pode conferir nas referências [5] e [27]. 30 Integrais Impróprias 1.1.3 Integrabilidade Definição 1.12. Sejam f : [a, b] ⊂ R −→ C uma função e P = {t0, t1, ..., tn−1, tn} uma partição de [a, b], em que ti ∈ [a, b], 0 ≤ i ≤ n, com a = t0 < t1 < t2 < ... < tn−1 < tn = b. Considere, aleatoriamente, ci ∈ [ti−1, ti] e denote ∆ti = ti − ti−1, 1 ≤ i ≤ n. a) A soma n∑ i=1 f(ci)∆ti é chamada soma de Riemann de f em relação à partição P . b) O limite lim max ∆ti→0 n∑ i=1 f(ci)∆ti, quando existe, é chamado de integral de f em [a, b]. Nesse caso, usamos a notação ∫ b a f(t) dt = lim max ∆ti→0 n∑ i=1 f(ci)∆ti e dizemos que f é integrável em [a, b]. Teorema 1.13. Seja f : [a, b] ⊂ R −→ C função em que f(t) = u(t) + iv(t). Então f é integrável em [a, b] se, e somente se, u e v são integráveis em [a, b]. Além disso:∫ b a f(t) dt = ∫ b a u(t) dt+ i ∫ b a v(t) dt. Demonstração. Por hipotése f(t) = u(t)+iv(t) é integrável em [a, b]. Assim, nas condições da Definição 1.12: ∫ b a f(t) dt = lim max ∆tj→0 n∑ j=1 f(cj)∆tj = lim max ∆tj→0 n∑ j=1 (u(cj)∆tj + iv(cj)∆tj) = lim max ∆tj→0 n∑ j=1 u(cj)∆tj + i lim max ∆tj→0 n∑ j=1 v(cj)∆tj = ∫ b a u(t) dt+ i ∫ b a v(t) dt As regras de integração para funções complexas são semelhantes as para as funções reais. O leitor pode conferir nas referências [5] e [27]. Devido a proposta deste trabalho, selecionamos alguns teoremas interessantes sobre integrabilidade complexa para demonstrar. Teorema 1.14. Dada f : [a, b] ⊂ R −→ C uma função integrável em [a, b] em que f(t) = u(t) + iv(t). Então |f | é integrável em [a, b] e∣∣∣∣∣∣ ∫ b a f(t) dt ∣∣∣∣∣∣ ≤ ∫ b a |f(t)| dt. Demonstração. Por hipótese, f é integrável em [a, b], então, pelo Teorema 1.13, as funções u e v também são integráveis em [a, b]. Assim, u2 + v2 é integrável em [a, b]. Como a composição de funções reais integráveis é integrável, segue também que |f | = √ u2 + v2 é integrável. Agora vamos demonstrar a desigualdade proposta no enunciado. Se ∫ b a f(t) dt = 0 não há o que demonstrar. Então suponha que ∫ b a f(t) dt = x+iy 6= 0. Na forma polar: Funções Complexas de uma Variável Real 31 ∫ b a f(t) dt = ∣∣∣∣∣∣ ∫ b a f(t) dt ∣∣∣∣∣∣ · (cos (θ)) + i sen (θ)) =⇒ ∣∣∣∣∣∣ ∫ b a f(t) dt ∣∣∣∣∣∣ = (cos (θ) + i sen (θ))−1 · ∫ b a f(t) dt (1.1) em que θ é o argumento principal de x+ iy. Denotemos k = (cos (θ) + i sen (θ))−1, então∣∣∣∣∣∣ ∫ b a f(t) dt ∣∣∣∣∣∣ = Re (∫ b a k f(t) dt ) , pois Re (∫ b a k f(t) dt ) = Re ( k ∫ b a f(t) dt ) = Re (cos (θ) + i sen (θ))−1 · ∣∣∣∣∣∣ ∫ b a f(t) dt ∣∣∣∣∣∣ · (cos (θ) + i sen (θ))  = Re ∣∣∣∣∣∣ ∫ b a f(t) dt ∣∣∣∣∣∣  = ∣∣∣∣∣∣ ∫ b a f(t) dt ∣∣∣∣∣∣. Dessa maneira, como Re (∫ b a k f(t) dt ) = ∫ b a Re (k f(t)) dt, segue que: ∣∣∣∣∣∣ ∫ b a f(t) dt ∣∣∣∣∣∣ = ∫ b a Re(k f(t)) dt Re(z)≤|z| ∀ z ∈C ≤ ∫ b a |k f(t)| dt = ∫ b a |k| |f(t)| dt. Sabendo1 que |k| = ∣∣∣∣∣∣ cos (θ)− i sen (θ) cos2 (θ) + sen2 (θ) ∣∣∣∣∣∣ = | cos (−θ) + i sen (−θ)| = 1, obtemos:∣∣∣∣∣∣ ∫ b a f(t) dt ∣∣∣∣∣∣ ≤ ∫ b a |f(t)| dt. Teorema 1.15. Se f : [a, b] ⊂ R −→ C é integrável em [a, x] para todo x ∈ [a, b], então F (x) = ∫ x a f(t) dt é diferenciável e F ′(x) = d dx [∫ x a f(t) dt ] = f(x) para cada x ∈ [a, b]. Demonstração. Sendo f(t) = u(t) + iv(t), com f integrável em [a, x], então u e v também são integráveis em [a, x] pelo Teorema 1.14. Assim, F (x) = ∫ x a f(t) dt = ∫ x a (u(t) + iv(t)) dt = ∫ x a u(t) dt+ i ∫ x a v(t) dt. 1Note que (cos(θ) + i sen(θ))(cos(θ)− i sen(θ)) = cos(θ)2 + sen(θ)2. 32 Integrais Impróprias Sabemos2 da teoria de integrais em uma variável real que ∫ x a u(t) dt e ∫ x a v(t) dt são deriváveis e que d dx [∫ x a u(t) dt ] = u(x) e d dx [∫ x a v(t) dt ] = v(x). Então, F ′(x) = d dx [∫ x a f(t) dt ] = d dx [∫ x a u(t) dt+ i ∫ x a v(t) dt ] = d dx [∫ x a u(t) dt ] + i d dx [∫ x a v(t) dt ] = u(x) + iv(x) = f(x). Teorema 1.16. Se f : [a, b] ⊂ R −→ C é diferenciável e f ′ é integrável em [a, b], então∫ b a f ′(t) dt = f(b)− f(a). Demonstração. Sendo f(t) = u(t) + iv(t) diferenciável, temos f ′(t) = u′(t) + iv′(t). Sendo f ′ integrável em [a, b], pelo Teorema 1.14, u′ e v′ também são integráveis. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo3 temos ∫ b a u′(t) dt = u(b)−u(a) e ∫ b a v′(t) dt = v(b)−v(a), assim: ∫ b a f ′(t) dt = ∫ b a (u′(t) + iv′(t)) dt = ∫ b a u′(t) dt+ i ∫ b a v′(t) dt = (u(b)− u(a)) + i(v(b)− v(a)) = u(b) + iv(b)− (u(a) + iv(a)) = f(b)− f(a). Com base nos Teoremas 1.15 e 1.16, calcular integrais de funções complexas de uma variável real é um processo muito similar ao cálculo de integrais de funções reais. Podemos, por exemplo, levar em conta o que conhecemos sobre integração por primitivas e o Teorema Fundamental do Cálculo. Observação 1.17. Considere I ⊂ R um intervalo real e Ω ⊂ C. Ao longo deste trabalho, muitas vezes será útil considerar uma função f : I ⊂ R −→ C, complexa de uma variável real, dada da seguinte forma f(t) = K(s, t)g(t) em que g é uma função real ou complexa e K : Ω × I −→ C é uma função onde s ∈ Ω ⊂ C é um parâmetro fixado. Neste caso, dizemos que uma integral da forma G(s) = ∫ I K(s, t)g(t) dt está indexada pelo parâmetro s e, com certa frequência, será de nosso interesse apontar as possibilidades de s para os quais a integral exista. 2O leitor pode conferir o Teorema 8, página 255, do livro [14]. 3O leitor pode conferir o Teorema 9, página 256, do livro [14]. Integrais Impróprias 33 1.2 Integrais Impróprias 1.2.1 Definições e Primeiros Resultados Para as definições e resultados dessa seção, considere f uma função do tipo f : A ⊂ R −→ C. Definição 1.18. Seja a ∈ R. Se ∫ u a f(t) dt existe para todo u ≥ a, definimos:∫ +∞ a f(x) dx = lim u→+∞ ∫ u a f(t) dt desde que o limite exista e seja finito. Definição 1.19. Seja b ∈ R. Se ∫ b −u f(t) dt existe para qualquer −u ≤ b, definimos:∫ b −∞ f(t) dt = lim u→+∞ ∫ b −u f(t) dt desde que o limite exista e seja finito. As integrais ∫ +∞ a f(t) dt e ∫ b −∞ f(t) dt, apresentadas nas Definições 1.18 e 1.19, são chamadas impróprias e serão ditas convergentes caso os limites existam e, caso contrário, as integrais serão divergentes. Teorema 1.20. Sejam a e b reais arbitrários. Se ∫ +∞ a f(t) dt, ∫ a −∞ f(t) dt , ∫ +∞ b f(t) dt e ∫ b −∞ f(t) dt são convergentes então:∫ a −∞ f(t) dt+ ∫ +∞ a f(t) dt = ∫ b −∞ f(t) dt+ ∫ +∞ b f(t) dt. Demonstração. Suponha a < b, sem perda de generalidade. Pelas Definições 1.18 e 1.19: ∫ a −∞ f(t) dt+ ∫ +∞ a f(t) dt = lim u→+∞ ∫ a −u f(t) dt+ lim u→+∞ ∫ u a f(t) dt = lim u→+∞ ∫ a −u f(t) dt+ lim u→+∞ [∫ b a f(t) dt+ ∫ u b f(t) dt ] = lim u→+∞ ∫ a −u f(t) dt+ ∫ b a f(t) dt+ lim u→+∞ ∫ u b f(t) dt = lim u→+∞ [∫ a −u f(t) dt+ ∫ b a f(t) dt ] + ∫ +∞ b f(t) dt = lim u→+∞ ∫ b −u f(t) dt+ ∫ +∞ b f(t) dt = ∫ b −∞ f(t) dt+ ∫ +∞ b f(t) dt. Definição 1.21. Considere a ∈ R. Se as integrais impróprias ∫ +∞ a f(t) dt e ∫ a −∞ f(t) dt são convergentes, definimos:∫ +∞ −∞ f(t) dt = ∫ a −∞ f(t) dt+ ∫ +∞ a f(t) dt. 34 Integrais Impróprias Pelo Teorema 1.20, a Definição 1.21 independe da escolha do a ∈ R. Teorema 1.22. Considere u > 0 e f uma função integrável em [−u, u]. Então∫ +∞ −∞ f(t) dt = lim u→+∞ ∫ u −u f(t) dt. Demonstração. Sabemos pela Definição 1.21 que: ∫ +∞ −∞ f(t) dt = ∫ 0 −∞ f(t) dt+ ∫ +∞ 0 f(t) dt = lim u→+∞ ∫ 0 −u f(t) dt + lim u→+∞ ∫ u 0 f(t) dt = lim u→+∞ [∫ 0 −u f(t) dt+ ∫ u 0 f(t) dt ] = lim u→+∞ ∫ u −u f(t) dt. 1.2.2 Alguns Exemplos Agora vejamos alguns exemplos para aplicarmos os conceitos anteriores. Exemplo 1.23. Provemos que ∫ +∞ 0 e−st dt = 1 s (Re(s) > 0), onde s ∈ C. ∫ +∞ 0 e−st dt = lim u→+∞ ∫ u 0 e−st dt. Temos: ∫ u 0 e−st dt = −1 s ( e−st ) ∣∣∣∣u 0 = −1 s ( e−su − 1 ) . Aplicando o limite: lim u→+∞ [ −1 s ( e−su − 1 )] = 1 s para Re(s) > 0, pois e−su → 0 conforme u→ +∞. Portanto, ∫ +∞ 0 e−st dt = 1 s quando Re(s) > 0. Integrais Impróprias 35 Exemplo 1.24. Provemos que ∫ +∞ 0 e−st t dt = 1 s2 (Re(s) > 0), onde s ∈ C. Por definição, ∫ +∞ 0 e−st t dt = lim u→+∞ ∫ u 0 e−st t dt. Utilizando integração por partes: ∫ u 0 e−st t dt = − t s ( e−st ) ∣∣∣∣u 0 + 1 s ∫ u 0 e−st dt = − t s ( e−st ) ∣∣∣∣u 0 − 1 s2 ( e−st ) ∣∣∣∣u 0 = −u s ( e−su ) − 1 s2 ( e−su − 1 ) . Aplicando o limite: lim u→+∞ [ −u s ( e−su ) − 1 s2 ( e−su − 1 )] = 1 s2 para Re(s) > 0, pois e−su → 0 e −u s (e−su)→ 0 conforme u→ +∞. Portanto, ∫ +∞ 0 e−st t dt = 1 s2 quando Re(s) > 0. Exemplo 1.25. Provemos que ∫ +∞ 0 tne−st dt = n! sn+1 (s > 0), onde n ∈ N e s ∈ R . Neste caso iremos demonstrar pelo Princípio da Indução4. 1. Para n = 1:∫ +∞ 0 e−st t dt = 1 s2 , conforme Exemplo 1.24. 2. Supondo válido para n: ∫ +∞ 0 tne−st dt = n! sn+1 . 3. Provando para n+ 1: ∫ +∞ 0 tne−st dt = lim u→+∞ ∫ u 0 tne−st dt. 4O leitor pode conferir a seção 1 do Capítulo 1, página 2, do livro [16]. 36 Integrais Impróprias Com a utilização da integração por partes: ∫ u 0 tne−st dt = 1 n+ 1 ( e−sttn+1 ) ∣∣∣∣u 0 + s n+ 1 ∫ u 0 e−sttn+1 dt = 1 n+ 1 ( e−suun+1 ) + s n+ 1 ∫ u 0 e−sttn+1 dt. Aplicando o limite quando u→ +∞: lim u→+∞ ∫ u 0 tne−st dt = ∫ +∞ 0 tne−st dt = s n+ 1 ∫ +∞ 0 tn+1e−st dt para s > 0, pois 1 n+ 1 ( e−suun+1 ) → 0 quando u→ +∞. Como ∫ +∞ 0 e−sttn dt = n! sn+1 , temos: n! sn+1 = s n+ 1 ∫ +∞ 0 tn+1e−st dt Isolando ∫ +∞ 0 tn+1e−st dt, obtemos: ∫ +∞ 0 tn+1e−st dt = (n+ 1)n! s(sn+1) = (n+ 1)! sn+2 . Por indução, segue o resultado. Exemplo 1.26. Provemos que ∫ +∞ 0 e−st eαt dt = 1 s− α (Re(s) > α), onde α ∈ R e s ∈ C. ∫ +∞ 0 e−st eαt dt = lim u→+∞ ∫ u 0 e−st eαt dt. Usando substituição ∫ u 0 e−st eαt dt = ∫ u 0 e(α−s)t dt = 1 α− s ∫ u 0 ew dw = 1 α− s [ e(α−s)u − 1 ] . Aplicando o limite: Integrais Impróprias 37 lim u→+∞ { 1 α− s [ e(α−s)u − 1 ]} = 1 s− α para Re(s) > α, pois e−(s−α)u → 0 conforme u→ +∞. Portanto, ∫ +∞ 0 e−st eαt dt = 1 s− α quando Re(s) > α. Exemplo 1.27. Provemos que ∫ +∞ 0 e−st cos (αt) dt = s s2 + α2 (Re(s) > 0), onde α ∈ R e s ∈ C. ∫ +∞ 0 e−st cos (αt) dt = lim u→+∞ ∫ u 0 e−st cos (αt) dt. Com a utilização da integração por partes, realizada duas vezes, segue que: ∫ u 0 e−st cos (αt) dt = e−st sen (αt) α ∣∣∣∣u 0 + s α ∫ u 0 e−st sen (αt) dt = e−st sen (αt) α ∣∣∣∣u 0 + s α ( −e −st cos (αt) α ∣∣∣∣u 0 − s α ∫ u 0 e−st cos (αt) dt ) = e−st sen (αt) α ∣∣∣∣u 0 − s α2 ( e−st cos (αt) ) ∣∣∣∣u 0 − s2 α2 ∫ u 0 e−st cos (αt) dt = α α2 + s2 ( e−su sen (αu) ) + s α2 + s2 − s α2 + s2 ( e−su cos (αu) ) . Aplicando o limite: lim u→+∞ [ α α2 + s2 ( e−su sen (αu) ) + s α2 + s2 − s α2 + s2 ( e−su cos (αu) )] = s α2 + s2 para Re(s) > 0, pois e−su → 0 conforme u→ +∞. Portanto, ∫ +∞ 0 e−st cos (αt) dt = s α2 + s2 quando Re(s) > 0. Exemplo 1.28. Provemos que ∫ +∞ 0 e−st sen (αt) dt= α α2 + s2 (Re(s) > 0), onde α ∈ R e s ∈ C. ∫ +∞ 0 e−st sen (αt) dt = lim u→+∞ ∫ u 0 e−st sen (αt) dt. 38 Integrais Impróprias Com a utilização da integração por partes, realizada duas vezes, segue que:∫ u 0 e−st sen (αt) dt = −e −st cos (αt) α ∣∣∣∣u 0 − s α ∫ u 0 e−st cos (αt) dt = −e −st cos (αt) α ∣∣∣∣u 0 − s α ( e−st sen (αt) α ∣∣∣∣u 0 + s α ∫ u 0 e−st sen (αt) dt ) = −e −st cos (αt) α ∣∣∣∣u 0 − s α2 ( e−st sen (αt) ) ∣∣∣∣u 0 − s2 α2 ∫ u 0 e−st sen (αt) dt = − α α2 + s2 ( e−su cos (αu) ) + α α2 + s2 − s α2 + s2 ( e−su sen (αu) ) . Aplicando o limite: lim u→+∞ [ − α α2 + s2 ( e−su cos (αu) ) + α α2 + s2 − s α2 + s2 ( e−su sen (αu) )] = α α2 + s2 para Re(s) > 0, pois e−su → 0 conforme u→ +∞. Portanto, ∫ +∞ 0 e−st sen (αt) dt = α α2 + s2 quando Re(s) > 0. 1.3 Convergência de Integrais Impróprias 1.3.1 O Critério da Comparação (para Integrais Impróprias de Funções Reais) Teorema 1.29. Dada f : [a,+∞[⊂ R −→ R integrável em [a, x], para qualquer x ≥ a com f(t) ≥ 0 no intervalo [a,+∞[, considere a função F (x) = ∫ x a f(t) dt, x ≥ a. Então: a) F (x) é crescente em [a,+∞[; b) lim x→+∞ F (x) existe se, e somente se, existir M > 0 tal que F (x) ≤ M para todo x ≥ a. Demonstração. a) Considere x1 e x2 dois números reais tais que a ≤ x1 < x2, então: F (x2)− F (x1) = ∫ x2 a f(t) dt− ∫ x1 a f(t) dt = ∫ x2 x1 f(t) dt ≥ 0 uma vez que f(t) ≥ 0 para t ≥ a. Assim, para quaisquer x1, x2 em [a,+∞[, com x1 < x2, temos que: x1 < x2 =⇒ F (x1) ≤ F (x2). Portanto F (x) é crescente. Convergência de Integrais Impróprias 39 b) (=⇒) Se lim x→+∞ F (x) = A, então: ∀ ε > 0, ∃ k > 0 | x > k =⇒ |F (x)− A| < ε. Em particular, para ε = 1: ∃ k > 0 | x > k =⇒ |F (x)− A| < 1. Ou seja: A− 1 < F (x) < A+ 1, ∀x > k. Então, F é limitada para x > k. Podemos dizer que existeM > 0 tal que F (x) ≤M , ∀x > k. Se k > a: F (x) ≤M, ∀x > k > a. Se k ≤ a: F (x) ≤M, ∀x > a > k. De todo modo: ∃M > 0 tal que F (x) ≤ M,∀x > a. No caso em que x = a, F (x) = ∫ a a f(t) dt = 0. Logo, F (x) ≤M para este caso também. Portanto, existe M > 0 tal que F (x) ≤M para todo x ≥ a. (⇐=) Se a > 0, defina I = {F (x) | x ≥ a} e se, a ≤ 0, defina I = {F (x) | x > 0}. De todo modo, o conjunto I é limitado superiormente, pois existe M > 0 tal que F (x) ≤M , ∀x ≥ a. Denote A = sup I e provemos que lim x→+∞ F (x) = A. Como A = sup I, temos que: ∀ ε > 0, ∃ω ∈ I | A− ε < ω ≤ A. Como ω ∈ I, então ω = F (k), para algum k ≥ 0. Dessa maneira: ∀ ε > 0,∃ k > 0 | A− ε < F (k) ≤ F (x) (1.2) onde x > k, pois como F é crescente (Teorema 1.29 (a)): x > k =⇒ F (x) ≥ F (k). (1.3) Assim, pelas Equações (1.2) e (1.3): ∀ ε > 0,∃ k > 0 | x > k =⇒ A− ε Eq. (1.2) < F (k) Eq. (1.2) ≤ F (x) ≤ A < A+ ε. Isto é, ∀ ε > 0, ∃ k > 0 | x > k =⇒ |F (x)− A| < ε. 40 Integrais Impróprias Portanto, lim x→+∞ F (x) = A. Observação 1.30. Uma consequência do item b) do Teorema 1.29 é: Considere f : [a,+∞[⊂ R −→ R positiva e integrável em [a, x], para qualquer x ≥ a. Então ∫ ∞ a f(t) dt é convergente se, e somente se, existir M > 0 tal que ∫ x a f(t) dt ≤M para todo x ≥ a. Teorema 1.31 (Critério da Comparação). Sejam duas funções f, g : [a,+∞[⊂ R −→ R positivas e integráveis em [a, x], para qualquer x ≥ a, em que f(t) ≤ g(t) para todo t ≥ a. Se ∫ +∞ a g(t) dt é convergente, então ∫ +∞ a f(t) dt também é convergente. Demonstração. Por hipótese ∫ +∞ a g(t) dt é convergente. Logo ∫ +∞ a g(t) dt = M > 0, pois g(t) ≥ 0 para t ≥ a. Uma vez que f(t) ≤ g(t) para qualquer t ≥ a:∫ x a f(t) dt ≤ ∫ x a g(t) dt ≤ ∫ +∞ a g(t) dt = M. Da Observação 1.30, segue que ∫ +∞ a f(t) dt é convergente. Observação 1.32. Pelo Teorema 1.31 é possível escrever: Sejam duas funções f, g : [a,+∞[⊂ R −→ R positivas e integráveis em [a, x], para qualquer x ≥ a, em que f(t) ≤ g(t) para todo t ≥ a. Se ∫ +∞ a f(t) dt é divergente, então ∫ +∞ a g(t) dt também é divergente. Teorema 1.33. São verdadeiras as afirmações: a) ∫ +∞ 1 1 tα dt é convergente se α > 1 e divergente se α ≤ 1. b) ∫ +∞ 0 e−αt dt é convergente se α > 0 e divergente se α ≤ 0. Demonstração. a) Para α = 1, calculemos a integral: ∫ +∞ 1 1 t dt = lim u→+∞ (∫ u 1 1 t dt ) . Sabendo que ∫ u 1 1 t dt = ln |t| ∣∣∣u 1 = ln |u| − ln (1) u≥1= ln (u) . Portanto, Convergência de Integrais Impróprias 41 ∫ +∞ 1 1 t dt = lim u→+∞ ln (u) = +∞ e a integral diverge. Para α 6= 1 temos: ∫ u 1 1 tα dt = 1 1− α [ t1−α ] ∣∣∣∣u 1 = 1 1− α [ u1−α − 1 ] = 1 1− α [ 1 uα−1 − 1 ] . Dessa maneira, efetuando o limite quando u→ +∞, lim u→+∞ [ 1 1− α ( 1 uα−1 − 1 )] =  1 α− 1 , α > 1 +∞ , α < 1 Uma vez que: lim u→+∞ 1 uα−1 =  0 , α > 1 +∞ , α < 1 Consequentemente, a integral ∫ +∞ 1 1 tα dt converge para o valor 1 α− 1 se α > 1 e diverge se α ≤ 1. b) Para α = 0, temos: ∫ +∞ 0 e−0t dt = ∫ +∞ 0 dt = lim u→+∞ ∫ u 0 dt = lim u→+∞ u = +∞ e a integral diverge. Se α 6= 0, ∫ u 0 e−αt dt = − 1 α ( e−αt ) ∣∣∣u 0 = − 1 α ( e−αu − 1 ) = 1 α ( 1− 1 eαu ) . 42 Integrais Impróprias Por conseguinte, ∫ +∞ 0 e−αt dt = lim u→+∞ ∫ u 0 e−αt dt = lim u→+∞ [ 1 α ( 1− 1 eαu )] =  1 α , α > 0 +∞ , α < 0 Uma vez que: lim u→+∞ 1 eαu = { 0 , α > 0 +∞ , α < 0 Dessa maneira, a integral ∫ +∞ 0 e−αt dt converge para o valor 1 α se α > 0 e diverge se α ≤ 0. Teorema 1.34. Seja f : [a,+∞[⊂ R −→ R integrável no intervalo [a, x], para qualquer x > a, com f(t) ≥ 0 em [a,+∞[. Suponha que exista um número real α e uma função g : [a,+∞[⊂ R −→ R tais que, para todo t ≥ a ocorra f(t) = 1 tα g(t). Além disso, considere que lim t→+∞ g(t) = L com L > 0. Então ∫ +∞ a f(t) dt é convergente quando α > 1 e divergente quando α ≤ 1. Demonstração. Da hipótese lim t→+∞ g(t) = L, então: ∀ ε > 0,∃ k > 0 | t > k =⇒ |g(t)− L| < ε. Abrindo o módulo, |g(t)− L| < ε ⇐⇒ L− ε < g(t) < L+ ε. Tomando ε = L 2 obtemos: L 2 < g(t) < 3L 2 . Por hipótese que f(t) = 1 tα g(t), para t ≥ a, então: L 2tα < f(t) < 3L 2tα . Integrando esta última desigualdade em [a,+∞[, L 2 ∫ +∞ a 1 tα dt < ∫ +∞ a f(t) dt < 3L 2 ∫ +∞ a 1 tα dt. Do Teorema 1.33 a integral 3L 2 ∫ +∞ a 1 tα dt é convergente para α > 1 e pelo Teorema 1.31 (Critério da Comparação), a integral ∫ +∞ a f(t) dt é convergente nesse caso. Convergência de Integrais Impróprias 43 Do mesmo modo, do Teorema 1.33, a integral L2 ∫ +∞ a 1 tα dt é divergente para α ≤ 1 e pela Observação 1.32, a integral ∫ +∞ a f(t) dt é divergente nesse caso. 1.3.2 O Critério de Cauchy Teorema 1.35 (Critério de Cauchy). Seja f : [a,+∞[⊂ R→ C integrável em [a, x], para todo x ≥ a. Então ∫ +∞ a f(t) dt é convergente se, e somente se, para qualquer ε > 0, existe A > 0 tal que b, c > A resulta ∣∣∣∣ ∫ c b f(t) dt ∣∣∣∣ < ε. Demonstração. (=⇒) Denotemos F (x) = ∫ x a f(t) dt. Sendo ∫ +∞ a f(t) dt convergente, podemos dizer que lim x→+∞ F (x) = L, para algum L ∈ C. Dessa maneira, ∀ ε > 0,∃A > 0 | x > A =⇒ |F (x)− L| < ε 2 . Sejam b, c > A, assim: ∣∣∣∣ ∫ c b f(t) dt ∣∣∣∣ = |F (c)− F (b)| = |F (c)− L+ L− F (b)| ≤ |F (c)− L|+ |F (b)− L| b,c>A < ε 2 + ε 2 = ε. (⇐=) Seja (yn) uma sequência de números reais tal que lim yn = +∞. Pela hipótese: ∀ ε > 0,∃A > 0 | yn, ym > A =⇒ |F (ym)− F (yn)| < ε. Note que a sequência (F (yn)) é de Cauchy e portanto convergente5. Logo limF (yn) = L, para algum L ∈ C. Provemos agora que qualquer sequência (zn) com lim zn = +∞, temos limF (zn) = L, com o mesmo L. Suponha que exista uma sequência (zn) com lim zn = +∞ e limF (zn) = L2 6= L. Pela hipótese: ∀ ε > 0,∃A > 0 | b, c > A =⇒ |F (c)− F (b)| < ε. Em particular, para ε = |L− L2| 3 : ∃A > 0 | b, c > A =⇒ |F (c)− F (b)| < |L− L2| 3 . (1.4) Tomando n1 ∈ N tal que: n > n1 =⇒ yn > A e zn > A, temos pela Equação (1.4): n > n1 =⇒ |F (zn)− F (yn)| < |L− L2| 3 . (1.5) Como L = limF (yn) e L2 = limF (zn), então: 5O leitor pode conferir o Teorema 4.8, página 119, do livro [27]. 44 Integrais Impróprias ∀ ε > 0,∃n2 ∈ N | n > n2 =⇒ |F (yn)− L| < ε e |F (zn)− L2| < ε. Em particular, para ε = |L− L2| 3 : n > n2 =⇒ |F (yn)− L| < |L− L2| 3 e |F (zn)− L2| < |L− L2| 3 (1.6) Tomando n0 = max {n1, n2}, segue das Equações (1.5) e (1.6): n > n0 =⇒ |L− L2| = |L− F (yn) + F (yn)− F (zn) + F (zn)− L2| ≤ |F (yn)− L|+ |F (zn)− F (yn)|+ |F (zn)− L| Eq. (1.5) e (1.6) < |L− L2| 3 + |L− L2| 3 + |L− L2| 3 = |L− L2|. Isto é: |L−L2| < |L−L2| que é um absurdo! Portanto não existe (zn) com lim zn = +∞ e limF (zn) = L2 6= L. Logo, toda sequência (zn) com lim zn = +∞ possui limF (zn) = L. Por fim, provemos que lim x→+∞ F (x) = L. Suponha que lim x→+∞ F (x) 6= L. Então existe uma sequência (zn) com lim zn = +∞ e limF (zn) 6= L. Mas isso é impossível, uma vez que provamos que nessas condições limF (zn) = L. Sendo assim, lim x→+∞ F (x) = L, em outras palavras, ∫ +∞ a f(t) dt = lim x→+∞ F (x) é convergente. 1.3.3 Convergência Condicional e Absoluta Definição 1.36. A integral ∫ +∞ a f(t) dt é chamada de absolutamente convergente se a integral ∫ +∞ a |f(t)| dt é convergente. Se ∫ +∞ a f(t) dt é convergente, mas ∫ +∞ a |f(t)| dt é divergente, então ∫ +∞ a f(t) dt é chamada condicionalmente convergente. Teorema 1.37. Se ∫ +∞ a f(t) dt é absolutamente convergente, então também é conver- gente. Demonstração. Se ∫ +∞ a |f(t)| dt converge, pelo Teorema 1.35 (Critério de Cauchy): ∀ε > 0,∃A > 0 | b, c > A =⇒ ∣∣∣∣ ∫ c b |f(t)| dt ∣∣∣∣ < ε. Como ∣∣∣∣ ∫ c b |f(t)| dt ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ ∫ c b f(t) dt ∣∣∣∣, então ∀ ε > 0, ∃A > 0 | b, c > A =⇒ ∣∣∣∣ ∫ c b f(t) dt ∣∣∣∣ < ε. (1.7) Da Equação (1.7), novamente pelo Teorema 1.35 (Critério de Cauchy), ∫ +∞ a f(t) dt é convergente. A Convergência de ∫ +∞ 0 e−stf(t) dt 45 1.4 A Convergência de ∫ +∞ 0 e−stf (t) dt Para toda essa seção, considere a função f : [0,+∞[⊂ R −→ C e s ∈ C. 1.4.1 Funções de Ordem Exponencial γ Definição 1.38. Uma função f tem ordem exponencial γ se existirem constantes M > 0 e γ > 0 tais que para algum t0 ≥ 0, |f(t)| ≤Meγt, ∀ t ≥ t0. Para alguns teoremas, precisaremos garantir que uma função f e algumas de suas derivadas tenham ordem exponencial. Isto, quando for necessário, precisa estar explícito nas hipóteses, uma vez que o primeiro fato não implica o segundo, conforme pode ser conferido no próximo exemplo. Exemplo 1.39. f(t) = sen (et3) possui ordem exponencial, mas f ′(t) = 3t2et3 cos (et3) não possui. Demonstração. O lim t→+∞ | sen (et3)e−γt| = 0, já que lim t→+∞ e−γt = 0 e sen (et3) é limitado. Então, existem constantes γ > 0 e M > 0 tais que para algum t > 0, | sen (et3)| eγt ≤M. Da mesma forma, o lim t→+∞ |3t2et3 cos (et3)e−γt| = +∞. Assim, não existem constantes γ > 0 e M > 0 tais que para algum t > 0, |3t2et3 cos (et3)| eγt ≤M. Dessa forma, concluímos que f(t) = sen (et3) é de ordem exponencial e a função f ′(t) = 3t2et3 cos (et3) não é de ordem exponencial. Teorema 1.40. Seja f : [0,+∞[⊂ R −→ C derivável. Se f ′ é contínua em [0,+∞[ e de ordem exponencial γ, segue que o mesmo vale para a função f . Demonstração. Da hipótese, f ′ é de ordem exponencial, então: |f ′(t)| ≤Meγt, t ≥ t0. Como f ′ é contínua, do Teorema 1.16, ∫ t t0 f ′(τ) dτ = f(t)− f(t0) =⇒ f(t) = ∫ t t0 f ′(τ) dτ + f(t0) (1.8) onde ∫ t t0 f ′(τ) dτ é contínua pelo Teorema 1.15. Dessa forma, da Equação (1.8), também concluímos que f é contínua. Portanto 46 Integrais Impróprias |f(t)| = ∣∣∣∣ ∫ t t0 f ′(τ) dτ + f(t0) ∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣ ∫ t t0 f ′(τ) dτ ∣∣∣∣+ |f(t0)| Ord Exp. ≤ M ∫ t t0 eγt + |f(t0)| = M γ eγτ ∣∣∣t t0 + |f(t0)| = M γ ( eγt − eγt0 ) + |f(t0)| ≤ M γ eγt + |f(t0)| M γ =L = Leγt + |f(t0)|. Assim, |f(t)| ≤ Leγt + |f(t0)| e assim é possível encontrar K suficientemente grande tal que |f(t)| ≤ Keγt. Portanto f é de ordem exponencial γ. 1.4.2 Continuidade por Partes Definição 1.41. Uma função f possui um salto de descontinuidade em um ponto t0 se os limites, lim t→t−0 f(t) = f(t−0 ) e lim t→t+0 f(t) = f(t+0 ) existem (como números) e são distintos, isto é, f(t−0 ) 6= f(t+0 ). Definição 1.42. Seja F (s) = ∫ +∞ 0 K(s, t)f(t) dt. Dizemos que F converge uniforme- mente em algum domínio Ω no plano complexo se para todo ε > 0 existe τ0 ∈ R tal que ∣∣∣∣∣∣F (s)− ∫ τ 0 K(s, t)f(t) dt ∣∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣∣ ∫ +∞ τ K(s, t)f(t) dt ∣∣∣∣∣∣ < ε (1.9) para todo τ > τ0 e s ∈ Ω. Teorema 1.43. Considere a, b, c ∈ R com a < b e 0 < c. Se f(x, t) é contínua em cada retângulo a ≤ x ≤ b, 0 ≤ t ≤ c, exceto por possivelmente um número finito de saltos de descontinuidade, e se ∫ +∞ 0 f(x, t) dt converge uniformemente para todo x em [a, b], então∫ b a ∫ +∞ 0 f(x, t) dt dx = ∫ +∞ 0 ∫ b a f(x, t) dx dt. Demonstração.∫ b a ∫ +∞ 0 f(x, t) dt dx = ∫ b a ∫ τ 0 f(x, t) dt dx+ ∫ b a ∫ +∞ τ f(x, t) dt dx. (1.10) A Convergência de ∫ +∞ 0 e−stf(t) dt 47 Uma vez que ∫ +∞ 0 f(x, t) dt é uniformemente convergente, dado qualquer ε > 0, existe τ0 > 0 tal que para todo τ ≥ τ0,∣∣∣∣∣∣ ∫ +∞ τ f(x, t) dt ∣∣∣∣∣∣ < ε b− a para todo x em [a, b]. Portanto, para τ ≥ τ0,∣∣∣∣∣∣(b− a) ∫ +∞ τ f(x, t) dt ∣∣∣∣∣∣ < ε =⇒ ∣∣∣∣∣∣ ∫ b a ∫ +∞ τ f(x, t) dt dx ∣∣∣∣∣∣ < ε isto é, lim τ→+∞ ∫ b a ∫ +∞ τ f(x, t) dt dx = 0. Tomando τ → +∞ na Equação (1.10),∫ b a ∫ +∞ 0 f(x, t) dt dx = lim τ→+∞ ∫ b a ∫ τ 0 f(x, t) dt dx. Dada a hipótese de continuidade da f e a teoria de integração dupla6:∫ τ 0 ∫ b a f(x, t) dx dt = ∫ b a ∫ τ 0 f(x, t) dt dx. Portanto, ∫ b a ∫ +∞ 0 f(x, t) dt dx = ∫ +∞ 0 ∫ b a f(x, t) dx dt Teorema 1.44. Considere a, b, c ∈ R com a < b e 0 < c. Suponha que f(x, t) e ∂ ∂x f(x, t) sejam contínuas em cada retângulo a ≤ x ≤ b, 0 ≤ t ≤ c, exceto por possivelmente um número finito de saltos de descontinuidade. Considere também que das integrais F (x) = ∫ +∞ 0 f(x, t) dt e ∫ +∞ 0 ∂ ∂x f(x, t) dt a primeira é convergente e a segunda é uniformemente convergente. Então d dx F (x) = ∫ +∞ 0 ∂ ∂x f(x, t) dt (a < x < b). Demonstração. Seja G(u) = ∫ +∞ 0 ∂ ∂u f(u, t) dt. A função G é contínua7. Empregando o Teorema 1.43 temos: 6O leitor pode conferir o Teorema 4, página 43, do livro [15]. 7O leitor pode conferir a Proposição 6.7, página 57, do livro [15]. 48 Integrais Impróprias ∫ x a G(u) du = ∫ x a ∫ +∞ 0 ∂ ∂u f(u, t) dt du = ∫ +∞ 0 ∫ x a ∂ ∂u f(u, t) du dt = ∫ +∞ 0 [f(x, t)− f(a, t)] dt = F (x)− F (a). Assim8, como d dx ∫ x a G(u)du = G(x), d dx F (x) = G(x) = ∫ +∞ 0 ∂ ∂x f(x, t) dt. Definição 1.45. Uma função f é contínua por partes no intervalo [0,+∞[ se, 1) lim t→0+ f(t) = f(0); 2) f é contínua em todo intervalo [0, x[, para todo x > 0, exceto, possivelmente, por um número finito de pontos τ1, τ2, . . . , τn em [0, x[, nos quais f possui um salto de descontinuidade. Observação 1.46. Na Definição 1.45 estamos assumindo a continuidade de f em t = 0, embora não seja totalmente necessário. De fato, basta que lim t→0+ f(t) = f(0+) exista (como número) para que a Definição 1.45 funcione e os Teoremas 2.26, 2.27 e 2.30 continuariam verdadeiros mesmo trocando f(0) por f(0+) (ou análogo para as derivadas). No entanto, optamos pela continuidade em t = 0 para reduzir e simplificar as notações. A Figura 1.1 mostra um exemplo de uma função f contínua por partes com alguns pontos que apresentam saltos de descontinuidade. Figura 1.1: Exemplo de função contínua por partes com saltos de descontinuidade. Fonte: O autor. 8O leitor pode conferir o Teorema 8, página 255, do livro [14]. A Convergência de ∫ +∞ 0 e−stf(t) dt 49 Observação 1.47. Uma consequência interessante da continuidade por partes de uma função f é que em cada possível subintervalo produzido pelo item 2) da Definição 1.45, f é também limitada. Isto é, para cada subintervalo ]τi, τi+1[, existe Mi > 0 tal que |f(t)| < Mi, τi < t < τi+1, onde i ∈ {1, 2, . . . , n− 1}. Sendo f contínua por partes em [0,+∞[, para integrar f de 0 à x, onde x > 0, basta simplesmente calcular a integral em cada possível subintervalo produzido pelo item 2) da Definição 1.45 e somar os resultados. Ou seja,∫ x 0 f(t)dt = ∫ τ1 0 f(t)dt+ ∫ τ2 τ1 f(t)dt+ . . .+ ∫ x τn f(t)dt. Teorema 1.48. Sejam f, g : [0,+∞[⊂ R −→ C funções contínuas por partes e de ordem exponencial γ1 e γ2, respectivamente. Então: (i) c1f + c2g é contínua por partes e possui ordem exponencial max{γ1, γ2}, para c1 e c2 constantes arbitrárias, (ii) fg é contínua por partes e possui ordem exponencial γ1 + γ2. Demonstração. Como a soma e o produto de funções contínuas são contínuas e f e g possuem finitos saltos de descontinuidade, segue que a soma e o produto também terão essas mesmas características, isto é, c1f + c2g e fg serão também contínuas por partes. Em relação a ordem exponencial: (i) Note que |f(t)| ≤ M1e γ1t e |g(t)| ≤ M2e γ2t. Para γ = max{γ1, γ2}, segue que |f(t)| ≤M1e γt e |g(t)| ≤M2e γt. Então |(c1f + c2g)(t)| = |c1f(t) + c2g(t)| ≤ |c1f(t)|+ |c2g(t)| = |c1||f(t)|+ |c2||g(t)| ≤ |c1|M1e γt + |c2|M2e γt = (|c1|M1 + |c2|M2)eγt = Meγt ondeM = |c1|M1+|c2|M2. Portanto c1f+c2g possui ordem exponencial max{γ1, γ2}. (ii) Também, |(fg)(t)| = |f(t)g(t)| = |f(t)||g(t)| ≤M1e γ1t ·M2e γ2t = M1M2e (γ1+γ2)t = Me(γ1+γ2)t onde M = M1M2. Portanto fg possui ordem exponencial γ1 + γ2. 50 Integrais Impróprias 1.4.3 Condições Suficientes para a Convergência A seguinte observação será muito importante ao longo do texto, pois será utilizada diversas vezes. Observação 1.49. Considere s = x+ iy. Então: 1) ∣∣∣e−iyt∣∣∣ = ∣∣∣ cos (−yt) + i sen (−yt) ∣∣∣ = ∣∣∣ cos (yt)− i sen (yt) ∣∣∣ = √ cos2 (yt) + sen2 (yt) = √ 1 = 1 2) ∣∣∣e−st∣∣∣ = ∣∣∣e(−x−iy)t ∣∣∣ = ∣∣∣e−xt∣∣∣∣∣∣e−iyt∣∣∣ 1)= e−xt Teorema 1.50. Seja f de ordem exponencial γ e contínua por partes em [0, x] para todo x > 0. Então ∫ +∞ 0 e−stf(t) dt é absolutamente convergente (e também convergente) para Re(s) > γ. Demonstração. Sendo f de ordem exponencial γ, temos: ∃M1 > 0, t0 > 0 e γ > 0 | |f(t)| ≤M1e γt ∀ t ≥ t0. (1.11) Como f é contínua por partes em [0, t0], da Observação 1.47, segue ∃M2 > 0 | |f(t)| ≤M2 0 < t < t0. (1.12) Uma vez que eγt é sempre positivo, podemos dizer da Equação (1.12) que ∃M3 > 0 | |f(t)| ≤M3e γt 0 < t < t0. (1.13) Das Equações (1.11) e (1.13) fica garantido que ∃M > 0 | |f(t)| ≤Meγt ∀t > 0. (1.14) Considerando s = x + iy, provemos agora que ∫ +∞ 0 f(t)e−st dt é absolutamente con- vergente para Re(s) = x > γ ∫ +∞ 0 |e−stf(t)| dt = lim u→+∞ ∫ u 0 |e−stf(t)| dt A Convergência de ∫ +∞ 0 e−stf(t) dt 51 ∫ u 0 |e−stf(t)| dt Obs. 1.49= ∫ u 0 e−xt|f(t)| dt Eq. (1.14) ≤ M ∫ u 0 e−xteγt dt = M ∫ u 0 e−(x−γ)t dt = Me−(x−γ)t −(x− γ) ∣∣∣∣u 0 = M x− γ − Me−(x−γ)u x− γ . Logo ∫ +∞ 0 |e−stf(t)| dt ≤ lim u→+∞ ( M x− γ − Me−(x−γ)u x− γ ) = lim u→+∞ M x− γ ( 1− 1 e(x−γ)u ) = M x− γ desde que Re(s) = x > γ. Portanto ∫ +∞ 0 e−stf(t) dt é absolutamente convergente, e pelo Teorema 1.37, concluí- mos que ∫ +∞ 0 e−stf(t) dt também é convergente para Re(s) > γ. Teorema 1.51. Seja f de ordem exponencial γ e contínua por partes em [0, x] para todo x > 0. Então ∫ +∞ 0 e−stf(t) dt é uniformemente convergente para Re(s) > γ. Demonstração. Sendo f de ordem exponencial γ, segue que: ∃M > 0, τ > 0 e γ > 0 | |f(t)| ≤Meγt, t ≥ τ. Considerando que s = x+ iy, temos: ∣∣∣∣∣∣ ∫ +∞ τ e−stf(t) dt ∣∣∣∣∣∣ Obs. 1.49 ≤ ∫ +∞ τ e−xt|f(t)| dt ≤M ∫ +∞ τ e−(x−γ)t dt = lim u→+∞ Me−(x−γ)t −(x− γ) ∣∣∣∣∣∣ u τ = lim u→+∞ ( Me−(x−γ)τ x− γ − Me−(x−γ)u x− γ ) = Me−(x−γ)τ x− γ , 52 Integrais Impróprias desde que x = Re(s) > γ. Supondo x > γ, para qualquer ε > 0, sempre pode ser tomado τ suficientemente grande, de forma que Me−(x−γ)τ x− γ < ε. Sendo assim, dado qualquer ε > 0, sempre existe um valor τ0 > 0 tal que∣∣∣∣∣∣ ∫ +∞ τ e−stf(t) dt ∣∣∣∣∣∣ < ε, τ ≥ τ0 para x = Re(s) > γ. Pela Definição 1.42, ∫ +∞ 0 e−stf(t) dt é uniformemente convergente. 2 Transformadas de Laplace Neste capítulo definiremos a Transformada de Laplace e, a partir dele, calcularemos a transformada de diversas funções. Um resumo de todas as transformadas calculadas nesse texto pode ser encontrado nas Tabelas C.1, C.2 e C.3 no Apêndice C. Para a elaboração deste capítulo, foram consultadas as seguintes referências: [2], [6], [9], [16], [25] e [29]. 2.1 Transformadas Integrais Definição 2.1. Dada uma função f : I ⊂ R −→ C, onde I é um intervalo real, uma transformada integral de f é uma função definida por F (s) = ∫ I K(s, t)f(t)dt (2.1) em que F (s) é denominada transformada integral da função f , K(s, t) é chamado de núcleo da transformada e s é um parâmetro complexo. 2.1.1 Exemplos de Transformadas Considerando uma função f : I ⊂ R −→ C, a Tabela 2.1 nos mostra alguns exemplos de transformadas de f , em que mudamos apenas o núcleo e o intervalo I (domínio da f): Tabela 2.1: Exemplos de transformadas integrais. Núcleo I Fórmula Transformada K(s, t) = e−st I = [0,+∞[ F (s) = ∫ +∞ 0 f(t) e−st dt Laplace K(s, t) = tJn(st) I = [0,+∞[ F (s) = ∫ +∞ 0 f(t) t Jn(st) dt Hankel K(s, t) = ts−1 I = [0,+∞[ F (s) = ∫ +∞ 0 f(t) ts−1 dt Mellin K(s, t) = 1 π 1 t− s I = R F (s) = ∫ +∞ −∞ f(t) 1 π 1 t− s dt Hilbert K(s, t) = 1√ 2π eist I = R F (s) = ∫ +∞ −∞ f(t) 1√ 2π eist dt Fourier Na Tabela 2.1, Jn(t) é chamada de Função de Bessel de primeira espécie de ordem n e é representada, para n = 0, 1, 2, . . . como Jn(t) = ∞∑ k=0 (−1)k k!(n+ k)! ( t 2 )2k+n . 53 54 Transformadas de Laplace 2.2 Transformadas de Laplace Na Seção 1.4 do Capítulo 1, estudamos a convergência de integrais do tipo ∫ +∞ 0 e−stf(t) dt. Como o leitor pode conferir na Seção 2.1.1, tal integral trata-se da Transformada de La- place de uma função f , definida para valores não negativos de t. Agora, vamos nos aprofundar nos estudos desta transformada. 2.2.1 Definição e Convergência Definição 2.2. Sejam f : [0,+∞[⊂ R −→ C uma função e s um parâmetro real ou complexo. Definimos a Transformada de Laplace de f como: F (s) = L(f(t)) = ∫ +∞ 0 e−stf(t) dt (2.2) quando a integral imprópria for convergente. Podemos fazer um paralelo com o Capítulo 1, onde, na Seção 1.2.2, calculamos alguns exemplos de integrais do mesmo tipo da integral da Definição 2.2. Exemplo 2.3. No Capítulo 1 calculamos as seguintes Transformadas de Laplace. Sendo α ∈ R: a) L(1) = ∫ +∞ 0 e−st dt = 1 s (Re(s) > 0) b) L(t) = ∫ +∞ 0 e−st t dt = 1 s2 (Re(s) > 0) c) L(tn) = ∫ +∞ 0 e−sttn dt = n! sn+1 n ∈ N (s > 0) d) L(eαt) = ∫ +∞ 0 e−st eαt dt = 1 s− α (Re(s) > α) e) L(cos(αt)) = ∫ +∞ 0 e−st cos (αt) dt = s s2 + α2 (Re(s) > 0) f) L(sen(αt)) = ∫ +∞ 0 e−st sen (αt) dt = α α2 + s2 (Re(s) > 0) Além dessas transformadas, no Capítulo 1, Seção 1.4.3, também foram demonstrados alguns teoremas sobre a convergência da Transformada de Laplace. Teorema 2.4. Seja f de ordem exponencial γ contínua por partes em [0, x] para todo x > 0. Então F (s) = L(f(t)) = ∫ +∞ 0 e−stf(t) dt é absolutamente convergente (e também convergente) para Re(s) > γ. Demonstração. A demonstração segue do Teorema 1.50. Transformadas de Laplace 55 Teorema 2.5. Seja f de ordem exponencial γ e contínua por partes em [0, x] para todo x > 0. Então F (s) = L(f(t)) = ∫ +∞ 0 e−stf(t) dt é uniformemente convergente para Re(s) > γ. Demonstração. A demonstração segue do Teorema 1.51. Um fato interessante, que pode ser verificado no exemplo a seguir, é que diferentes funções podem ter a mesma transformada. Exemplo 2.6. Seja g(t) =  sen (αt), t > 0 1, t = 0 visto que um único ponto não altera o valor da integral da Transformada de Laplace, segue que: L(g(t)) = α s2 + α2 resultando exatamente na mesma transformada de f(t) = sen (αt). 2.2.2 Funções Admissíveis Definição 2.7. Definimos L como o conjunto de todas as funções do tipo f : [0,+∞[⊂ R −→ C tais que a transformada de Laplace existe para algum valor de s. Definição 2.8. Uma função f : [0,+∞[⊂ R −→ C é dita admissível se ela for contínua por partes em [0, x] para todo x > 0 e possuir ordem exponencial γ. Pelo Teorema 2.4, funções admissíveis pertencem a L. No entanto, certamente existem funções em L que não satisfazem uma ou ambas das condições para ser admissível. Confira o Exemplo 2.9. Exemplo 2.9. Considere f(t) = 2t et2 cos (et2). Para todo γ > 0, como o lim t→+∞ |2t et2 cos (et2)e−γt| = +∞, não existe M > 0 tal que para algum t0 ≥ 0, |f(t)| eγt ≤M, ∀ t > t0. Dessa maneira, concluímos que a função f(t) = 2t et2 cos (et2) não é de ordem expo- nencial γ para nenhum γ > 0. Assim f é contínua por partes em [0,+∞[, mas não é de ordem exponencial. Contudo, a transformada de Laplace de f , L(f(t)) = ∫ +∞ 0 e−st 2t et2 cos (et2) dt, existe, uma vez que da integração por partes tem-se 56 Transformadas de Laplace L(f(t)) = lim a→+∞ e−st sen (et2) ∣∣∣a 0 + s ∫ +∞ 0 e−st sen (et2) dt = − sen (1) + sL(sen (et2)) (Re(s) > 0). Agora perceba que L(sen (et2)) existe, pois g(t) = sen (et2) é admissível. Para todo γ > 0, como o lim t→+∞ | sen (et2) e−γt| = 0, existe M > 0 tal que para algum t0 ≥ 0, |g(t)| eγt ≤M, ∀ t > t0. Desse modo concluímos que a função g(t) = sen (et2) é de ordem exponencial. Obviamente g(t) = sen (et2) é contínua e, portanto, contínua por partes em [0,+∞[. A Transformada de Laplace de g(t) existe pelo Teorema 2.4. Logo, L(2t et2 cos (et2)) = − sen (1)+sL(sen (et2)), onde L(sen (et2)) certamente existe. Teorema 2.10. Se f ∈ L e L(f(t)) = F (s) então lim Re(s)→+∞ F (s) = 0. Demonstração. Sendo s = x + iy e f admissível, temos que existem γ > 0 e M > 0 tais que ∣∣∣∣∣∣ ∫ +∞ 0 e−stf(t) dt ∣∣∣∣∣∣ Teo. 1.14 ≤ ∫ +∞ 0 |e−stf(t)| dt Teo. 1.50 ≤ M x− γ para x > γ. Assim: ∣∣∣∣∣∣ ∫ +∞ 0 e−stf(t) dt ∣∣∣∣∣∣ ≤ M x− γ =⇒ − M x− γ ≤ ∫ +∞ 0 e−stf(t) dt ≤ M x− γ =⇒ =⇒ − M x− γ ≤ F (s) ≤ M x− γ =⇒ − lim x→+∞ ( M x− γ ) ≤ lim x→+∞ F (s) ≤ lim x→+∞ ( M x− γ ) . Como lim x→+∞ ( M x− γ ) = 0, segue que lim x→+∞ F (s) = 0. Para os casos em que f ∈ L, mas não é admissível, o leitor pode encontrar uma demonstração no Teorema 23.2, na página 141, na referência [6]. Observação 2.11. Como consequência do Teorema 2.10, podemos afirmar que qualquer função F (s) que não tende a zero conforme Re(s) tende a infinito, não pode ser a Trans- formada de Laplace de nenhuma função f : [0,+∞[⊂ R −→ C. Linearidade 57 2.3 Linearidade Teorema 2.12 (Linearidade). Se f1 ∈ L para Re(s) > α e f2 ∈ L para Re(s) > β, então c1f1 + c2f2 ∈ L para Re(s) > max {α, β}, e L(c1f1 + c2f2) = c1L(f1) + c2L(f2) para constantes c1 e c2 arbitrárias. Demonstração. Pela Definição 2.2 de Transformada de Laplace, obtemos: L(c1f1(t) + c2f2(t)) = ∫ +∞ 0 (c1 f1(t) + c2 f2(t)) e−st dt. Usando a linearidade das integrais, L(c1 f1(t) + c2 f2(t)) = c1 ∫ +∞ 0 f1(t) e−st dt+ c2 ∫ +∞ 0 f2(t) e−st dt = c1 L(f1(t)) + c2 L(f2(t)), Re(s) > max {α, β} . Exemplo 2.13. Calculemos L(cosh(ωt)). A função cosseno hiperbólico é: cosh(ωt) = eωt + e−ωt 2 . Pelo Teorema 2.12, L(cosh(ωt)) = 1 2 [ L(eωt) + L(e−ωt) ] = 1 2 ( 1 s− ω + 1 s+ ω ) = s s2 − ω2 desde que Re(s) > 0. Exemplo 2.14. Calculemos L(senh(ωt)). A função seno hiperbólico é: senh(ωt) = eωt − e−ωt 2 . Pelo Teorema 2.12, L(senh(ωt)) = 1 2[L(eωt)− L(e−ωt)] = 1 2 ( 1 s− ω − 1 s+ ω ) = ω s2 − ω2 desde que Re(s) > 0. Exemplo 2.15. Calculemos L(sen2 (ωt)). Da trigonometria segue que sen2 (ωt) = 1 2 − 1 2 cos (2ωt). Pelo Teorema 2.12: 58 Transformadas de Laplace L(sen2 (ωt)) = 1 2L(1)− 1 2L(cos (2ωt)) = 1 2 (1 s ) − 1 2 ( s 4ω2 + s2 ) = 1 2 (1 s − s 4ω2 + s2 ) = 1 2 ( 4ω2 + s2 − s2 s(4ω2 + s2) ) = 2ω2 s(4ω2 + s2) desde que Re(s) > 0. Exemplo 2.16. Calculemos L(cos2 (ωt)). Da trigonometria segue que cos2 (ωt) = 1 2 + 1 2 cos (2ωt). Pelo Teorema 2.12: L(cos2 (ωt)) = 1 2L(1) + 1 2L(cos (2ωt)) = 1 2 (1 s ) + 1 2 ( s 4ω2 + s2 ) = 1 2 (1 s + s 4ω2 + s2 ) = 1 2 ( 4ω2 + s2 + s2 s(4ω2 + s2) ) = 1 2 ( 4ω2 + 2s2 s(4ω2 + s2) ) = 2ω2 + s2 s(4ω2 + s2) desde que Re(s) > 0. Exemplo 2.17. Calculemos L(cosh2 (ωt)). Sabemos que: cosh (ωt) = 1 2 ( eωt + e−ωt ) . Elevando os dois lados da igualdade anterior ao quadrado: cosh2 (ωt) = 1 4 ( eωt + e−ωt )2 = 1 4 ( e2ωt + 2eωte−ωt + e−2ωt ) = 1 4 ( e2ωt + e−2ωt + 2 ) . Aplicando a Transformada de Laplace e usando o Teorema 2.12: Linearidade 59 L(cosh2 (ωt)) = 1 4L ( e2ωt + e−2ωt + 2 ) = 1 4 ( L(e2ωt) + L(e−2ωt) + 2L(1) ) = 1 4 ( 1 s− 2ω + 1 s+ 2ω + 21 s ) = 1 4 ( s(s+ 2ω) + s(s− 2ω) + 2(s2 − 4ω2) s(s− 2ω)(s+ 2ω) ) = 1 4 ( 2s2 + 2s2 − 8ω2 s(s2 − 4ω2) ) = s2 − 2ω2 s(s2 − 4ω2) desde que Re(s) > 0. Exemplo 2.18. Calculemos L(senh2 (ωt)). Sabemos que: senh (ωt) = 1 2 ( eωt − e−ωt ) . Elevando os dois lados da igualdade anterior ao quadrado: senh2 (ωt) = 1 4 ( eωt − e−ωt )2 = 1 4 ( e2ωt − 2eωte−ωt + e−2ωt ) = 1 4 ( e2ωt + e−2ωt − 2 ) . Aplicando a Transformada de Laplace e usando o Teorema 2.12: L(senh2 (ωt)) = 1 4L ( e2ωt + e−2ωt − 2 ) = 1 4 ( L(e2ωt) + L(e−2ωt)− 2L(1) ) = 1 4 ( 1 s− 2ω + 1 s+ 2ω − 21 s ) = 1 4 ( s(s+ 2ω) + s(s− 2ω)− 2(s2 − 4ω2) s(s− 2ω)(s+ 2ω) ) = 1 4 ( 2s2 − 2s2 + 8ω2 s(s2 − 4ω2) ) = 2ω2 s(s2 − 4ω2) desde que Re(s) > 0. 60 Transformadas de Laplace Exemplo 2.19. Seja f(t) = a0 +a1t+ . . .+ant n um polinômio de grau n com coeficientes arbitrários. Calculemos sua Transformada de Laplace. L(f(t)) = L(a0 + a1t+ . . .+ an t n). Pelo Teorema 2.12, L(a0 + a1t+ . . .+ ant n) = a0L(1) + a1L(t) + . . .+ anL(tn) = n∑ k=0 akL(tk) = n∑ k=0 ak k! sk+1 desde que Re(s) > 0. Teorema 2.20. Se f(t) = +∞∑ n=0 ant n onde ai são coeficientes arbitrários, converge para t ≥ 0, com |an| ≤ kαn n! para todo n suficientemente grande, α > 0 e k > 0, então L(f(t)) = +∞∑ n=0 anL(tn) = +∞∑ n=0 ann! sn+1 (Re(s) > α) com s = x+ iy. Demonstração. Como f é representada por uma série de potências convergente, então, f é contínua em [0,+∞[. Para mostrar que L(f(t)) = +∞∑ n=0 anL(tn) podemos provar que para N → +∞, a diferença ∣∣∣∣∣∣L(f(t))− N∑ n=0 anL(tn) ∣∣∣∣∣∣ converge para zero. Note que Linearidade 61 ∣∣∣∣∣∣L(f(t))− N∑ n=0 anL(tn) ∣∣∣∣∣∣ Teo. 2.12= ∣∣∣∣∣∣L ( (f(t))− N∑ n=0 an t n ) ∣∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣∣ ∫ +∞ 0 ( f(t)− N∑ n=0 an t n ) e−st dt ∣∣∣∣∣∣ Teo. 1.14 ≤ ∫ +∞ 0 ∣∣∣∣∣∣ ( f(t)− N∑ n=0 an t n ) e−st ∣∣∣∣∣∣ dt Obs. 1.49= ∫ +∞ 0 ∣∣∣∣∣∣ ( f(t)− N∑ n=0 an t n ) e−xt ∣∣∣∣∣∣ dt. Isto é, ∣∣∣∣∣∣L(f(t))− N∑ n=0 anL(tn) ∣∣∣∣∣∣ ≤ ∫ +∞ 0 ∣∣∣∣∣∣ ( f(t)− N∑ n=0 an t n ) e−xt ∣∣∣∣∣∣ dt. (2.3) Definindo Lx(h(t)) = ∫ +∞ 0 h(t) e−xt dt, e tomando h(t) = f(t) − N∑ n=0 an t n, temos da Equação (2.3): ∣∣∣∣∣∣L(f(t))− N∑ n=0 anL(tn) ∣∣∣∣∣∣ ≤ Lx ∣∣∣∣∣∣f(t)− N∑ n=0 an t n ∣∣∣∣∣∣  . Agora, provemos que Lx ∣∣∣∣∣∣f(t)− N∑ n=0 an t n ∣∣∣∣∣∣  → 0 conforme N → +∞. Para isso, notemos que: ∣∣∣∣∣∣f(t)− N∑ n=0 an t n ∣∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣∣ +∞∑ n=0 an t n − N∑ n=0 an t n ∣∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣∣ +∞∑ n=N+1 an t n ∣∣∣∣∣∣ ≤ +∞∑ n=N+1 ∣∣∣an tn∣∣∣ = +∞∑ n=N+1 ∣∣∣an∣∣∣ ∣∣∣tn∣∣∣ t≥0= +∞∑ n=N+1 ∣∣∣an∣∣∣ tn Hip. ≤ +∞∑ n=N+1 kαn n! t n = k +∞∑ n=N+1 (αt)n n! = k (+∞∑ n=0 (αt)n n! − N∑ n=0 (αt)n n! ) = k ( eαt − N∑ n=0 (αt)n n! ) . Então: 62 Transformadas de Laplace ∣∣∣∣∣∣f(t)− N∑ n=0 an t n ∣∣∣∣∣∣ ≤ k ( eαt − N∑ n=0 (αt)n n! ) Teo. 1.29 (a)=⇒ Lx ∣∣∣∣∣∣f(t)− N∑ n=0 an t n ∣∣∣∣∣∣  ≤ Lx ( k ( eαt − N∑ n=0 (αt)n n! )) = k ( Lx(eαt)− Lx ( N∑ n=0 (αt)n n! )) = k ( 1 x− α − N∑ n=0 αn n! n! xn+1 ) = k ( 1 x− α − 1 x N∑ n=0 ( α x )n) . Observe que N∑ n=0 ( α x )n é uma série geométrica de razão α x , a qual converge quando x > α, quando N → +∞. Neste caso: Lx ∣∣∣∣∣∣f(t)− N∑ n=0 an t n ∣∣∣∣∣∣  ≤ k ( 1 x− α − 1 x 1 1− α x ) = k  1 x− α − 1 x 1( x−α x )  = k · 0 = 0. Assim, para N → +∞ e Re(s) = x > α:∣∣∣∣∣∣L(f(t))− N∑ n=0 anL(tn) ∣∣∣∣∣∣ ≤ Lx ∣∣∣∣∣∣f(t)− N∑ n=0 an t n ∣∣∣∣∣∣ → 0. Portanto, ∣∣∣∣∣∣L(f(t))− N∑ n=0 anL(tn) ∣∣∣∣∣∣→ 0 quando N → +∞ e Re(s) = x > α. Ou seja: L(f(t)) = +∞∑ n=0 anL(tn) = +∞∑ n=0 an n! sn+1 quando Re(s) = x > α. Exemplo 2.21. Calculemos L ( sen(t) t ) . Temos que: f(t) = sen(t) t = +∞∑ n=0 (−1)nt2n (2n+ 1)! . Linearidade 63 Considere xn = (−1)n t2n (2n+ 1)! . Então, pelo Teste de d’Alembert1: ∣∣∣∣∣∣xn+1 xn ∣∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣∣ (−1)n+1 t2(n+1) (2(n+ 1) + 1)! · (2n+ 1)! (−1)n t2n ∣∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣∣(−1)n (−1) t2n t2 (2n+ 3)! · (2n+ 1)! (−1)n t2n ∣∣∣∣∣∣ = t2 ∣∣∣∣∣∣ 1 (2n+ 3)(2n+ 2) ∣∣∣∣∣∣. Aplicando o limite quando n→ +∞: t2 · ( lim n→+∞ 1 (2n+ 3)(2n+ 2) ) = t2 · 0 = 0 < 1. Então, pelo Teste de d’Alembert, a série +∞∑ n=0 (−1)n t2n (2n+ 1)! é absolutamente convergente e, portanto, é convergente para todo t ≥ 0. Também, note que, denotando a2n = (−1)n (2n+ 1)! |a2n| = 1 (2n+ 1)! < 1 (2n)! n = 0, 1, 2, . . . , Dessa maneira, podemos utilizar o Teorema 2.20. Assim: L ( sen(t) t ) = +∞∑ n=0 (−1)nL(t2n) (2n+ 1)! = +∞∑ n=0 (−1)n(2n)! (2n+ 1)!s2n+1 = +∞∑ n=0 (−1)n (2n+ 1)s2n+1 = arctg (1 s ) , |s| > 1. Nesta última igualdade usamos o fato2 de que: 1O leitor pode conferir a página 41 do livro [16]. 2Podemos expandir 1 1 + x2 por série de potências. Se |x| < 1 temos: 1 1 + x2 = 1− x2 + x4 − x6 + x8 + . . .+ (−1)nx2n + . . . = +∞∑ n=0 (−1)nx2n Desse modo, como ∫ x 0 1 1 + t2 dt = arctg(x) e 1 1 + t2 = +∞∑ n=0 (−1)nt2n, ao integrarmos a série termo a termo, obtemos: arctg(x) = x− x3 3 + x5 5 − . . .+ (−1)n x 2n+1 2n+ 1 + . . . = +∞∑ n=0 (−1)n x 2n+1 2n+ 1 . 64 Transformadas de Laplace arctg(x) = ∫ x 0 dt 1 + t2 = ∫ x 0 +∞∑ n=0 (−1)nt2n = +∞∑ n=0 (−1)nx2n+1 2n+ 1 , |x| < 1 com x = 1 s , integrando a série termo a termo. 2.4 Primeiro Teorema de Translação Provemos no seguinte teorema que a translação horizontal da Transformada de Laplace de uma determinada função coincide com a Transformada do produto dessa mesma função por uma exponencial. Teorema 2.22 (1º Teorema de Translação). Seja f ∈ L com F (s) = L(f(t)) para Re(s) > 0, então para a ∈ R F (s− a) = L(eatf(t)), Re(s) > a. Demonstração. F (s− a) = ∫ +∞ 0 e−(s−a)t f(t) dt = ∫ +∞ 0 e−st eat f(t) dt = L(eat f(t)) desde que Re(s− a) > 0, isto é, Re(s) > a. Exemplo 2.23. Uma vez que, para n ∈ N, L(tn) = n! sn+1 (Re(s) > 0) então L(tn eat) = n! (s− a)n+1 (Re(s) > a). Exemplo 2.24. Uma vez que, para Re(s) > 0, L(sen (ωt)) = ω s2 + ω2 e L(cos (ωt)) = s s2 + ω2 então Transformada de Laplace das Derivadas e da Integral de uma Função 65 L(eat sen (ωt)) = ω (s− a)2 + ω2 e L(eat cos (ωt)) = s− a (s− a)2 + ω2 para Re(s) > a. Exemplo 2.25. Uma vez que, para Re(s) > 0, L(senh (ωt)) = ω s2 − ω2 e L(cosh (ωt)) = s s2 − ω2 então L(eat senh (ωt)) = ω (s− a)2 − ω2 e L(eat cosh (ωt)) = s− a (s− a)2 − ω2 para Re(s) > a. 2.5 Transformada de Laplace das Derivadas e da In- tegral de uma Função 2.5.1 Transformada das Derivadas de Primeira e Segunda Or- dem Nesta seção e na próxima também, estudaremos ferramentas que são de grande uti- lidade para a resolução de Problemas de Valor Inicial, quando se conhece as condições iniciais. Teorema 2.26. Seja f uma função diferenciável de ordem exponencial γ, com f ′ contínua por partes em [0, x] para todo x > 0. Então L(f ′(t)) = sL(f(t))− f(0) para Re(s) > γ. Demonstração. Sabendo que, L(f ′(t)) = ∫ +∞ 0 e−stf ′(t) dt = lim u→+∞ (∫ u 0 e−stf ′(t) dt ) basta calcularmos a integral dentro do parênteses e aplicarmos o limite. Usando integração por partes: 66 Transformadas de Laplace ∫ u 0 e−stf ′(t) dt = e−stf(t) ∣∣∣∣u 0 + s ∫ u 0 e−stf(t) dt = e−suf(u)− f(0) + s ∫ u 0 e−stf(t) dt. Aplicando o limite, lim u→+∞ ( e−suf(u)− f(0) + s ∫ u 0 e−stf(t) dt ) = s ∫ +∞ 0 e−stf(t) dt− f(0) para Re(s) > γ pois, assim3, (e−suf(u))→ 0 conforme u→ +∞. Temos: ∫ +∞ 0 e−stf ′(t) dt = s ∫ +∞ 0 e−stf(t) dt− f(0) para Re(s) > γ, ou seja, L(f ′(t)) = sL(f(t))− f(0). Teorema 2.27. Sejam f e f ′ funções diferenciáveis e de ordem exponencial γ, com f ′′ contínua por partes em [0, x], para todo x > 0. Então: L(f ′′(t)) = s2L(f(t))− sf(0)− f ′(0) para Re(s) > γ. Demonstração. Utilizando a mesma linha de raciocínio do Teorema 2.26, obtemos:∫ +∞ 0 e−stf ′′(t) dt = lim u→+∞ (∫ u 0 e−stf ′′(t) dt ) . Usando integração por partes ∫ u 0 e−stf ′′(t) dt = e−stf ′(t) ∣∣∣u 0 + s ∫ u 0 e−stf ′(t) dt = e−suf ′(u)− f ′(0) + s ∫ u 0 e−stf ′(t) dt Re(s)>γ= e−suf ′(u)− f ′(0) + s ( e−suf(u)− f(0) + s ∫ u 0 e−stf(t) dt ) = e−suf ′(u)− f ′(0) + s e−suf(u)− sf(0) + s2 ∫ u 0 e−stf(t) dt. Aplicando o limite, lim u→+∞ ( e−suf ′(u)− f ′(0) + s e−suf(u)− sf(0) + s2 ∫ u 0 e−stf(t) dt ) = s2 ∫ +∞ 0 e−stf(t) dt− sf(0)− f ′(0) 3Isso ocorre porque: |e−suf(u)| = |e(x+iy)u||f(u)| = |e−xu||e−iyu||f(u)| Obs.1.49= e−xu|f(u)| Ord. Exp. ≤ e−xuMeγu = Me−(x−γ)u → 0 se u→ +∞ para x− γ > 0. Transformada de Laplace das Derivadas e da Integral de uma Função 67 para Re(s) > γ pois, assim4, (e−suf(u))→ 0 e (e−suf ′(u))→ 0 conforme u→ +∞. Portanto: ∫ +∞ 0 e−stf ′′(t) dt = s2 ∫ +∞ 0 e−stf(t) dt− sf(0)− f ′(0) para Re(s) > γ, ou seja, L(f ′′(t)) = s2L(f(t))− sf(0)− f ′(0). Exemplo 2.28. Calculemos L(sen3 (ωt)). Com a utilização do Teorema 2.27, temos: L(f ′′(t)) = s2L(f(t))− sf(0)− f ′(0) (2.4) em que f(t) = sen3 (ωt) =⇒ f(0) = 0 f ′(t) = 3ω sen2 (ωt) cos (ωt) =⇒ f ′(0) = 0 f ′′(t) = 3ω2(cos (ωt) sen (2ωt)− sen3 (ωt)). Substituindo as expressões acima na Equação (2.4) L(3ω2(cos (ωt) sen (2ωt)− sen3 (ωt))) = s2L(sen3 (ωt)) L(3ω2(2 sen (ωt) cos (ωt) cos (ωt)− sen3 (ωt))) = s2L(sen3 (ωt)) L(3ω2(2 sen (ωt) cos2 (ωt)− sen3 (ωt))) = s2L(sen3 (ωt)) L(3ω2(2 sen (ωt)(1− sen2 (ωt))− sen3 (ωt))) = s2L(sen3 (ωt)) L(3ω2(2 sen (ωt)− 2 sen3 (ωt))− sen3 (ωt))) = s2L(sen3 (ωt)) L(6ω2 sen (ωt)− 6ω2 sen3 (ωt)− 3ω2 sen3 (ωt)) = s2L(sen3 (ωt)). Pelo Teorema 2.12, 6ω2L(sen (ωt))− 6ω2L(sen3 (ωt))− 3ω2L(sen3 (ωt)) = s2L sen3 (ωt) s2L(sen3 (ωt)) + 9ω2L(sen3 (ωt)) = 6ω2L sen (ωt) L(sen3 (ωt)) = 6ω2 s2 + 9ω2L sen (ωt). Como a L(sen (ωt)) = ω s2 + ω2 , obtemos L(sen3 (ωt)) = 6ω3 (s2 + 9ω2)(s2 + ω2) . 4Isso ocorre porque: |e−suf ′(u)| = |e−(x+iy)u||f ′(u)| = |e−xu||e−iyu||f ′(u)| Obs.1.49= e−xu|f ′(u)| Ord. Exp. ≤ e−xuMeγu = Me−(x−γ)u → 0 se u→ +∞ para x− γ > 0. 68 Transformadas de Laplace Após frações parciais5 L(sen3 (ωt)) = − 3ω 4(s2 + 9ω2) + 3ω 4(s2 + ω2) . Exemplo 2.29. Calculemos L(cos3 (ωt)). Com a utilização do Teorema 2.27, temos: L(f ′′(t)) = s2L(f(t))− sf(0)− f ′(0) (2.5) em que f(t) = cos3 (ωt) =⇒ f(0) = 1 f ′(t) = −3ω cos2 (ωt) sen (ωt) =⇒ f ′(0) = 0 f ′′(t) = −3ω2(− sen (ωt) sen (2ωt) + cos3 (ωt)). Substituindo as expressões acima na Equação (2.5) L(−3ω2(− sen (ωt) sen (2ωt) + cos3 (ωt))) = s2L(cos3 (ωt))− s L(−3ω2(−2 sen (ωt) sen (ωt) cos (ωt) + cos3 (ωt))) = s2L(cos3 (ωt))− s L(−3ω2(−2 sen2 (ωt) cos (ωt) + cos3 (ωt))) = s2L(cos3 (ωt))− s L(−3ω2(−2(1− cos2 (ωt)) cos (ωt) + cos3 (ωt))) = s2L(cos3 (ωt))− s L(−3ω2(−2 cos (ωt) + 2 cos3 (ωt)) + cos3 (ωt))) = s2L(cos3 (ωt))− s L(6ω2 cos (ωt)− 9ω2 cos3 (ωt)) = s2L(cos3 (ωt))− s. Pelo Teorema 2.12, 6ω2L(cos (ωt))− 9ω2L(cos3 (ωt)) = s2L cos3 (ωt)− s s2L(cos3 (ωt)) + 9ω2L(cos3 (ωt)) = 6ω2L cos (ωt) + s L(cos3 (ωt)) = 6ω2 s2 + 9ω2L cos (ωt) + s s2 + 9ω2 . Como a L(cos (ωt)) = s s2 + ω2 , obtemos L(cos3 (ωt)) = 6ω2s (s2 + 9ω2)(s2 + ω2) + s s2 + 9ω2 . Após frações parciais6 L(cos3 (ωt)) = s 4(s2 + 9ω2) + 3s 4(s2 + ω2) . 5O leitor pode conferir o Capítulo 3 dessa dissertação. 6O leitor pode conferir o Capítulo 3 dessa dissertação. Transformada de Laplace das Derivadas e da Integral de uma Função 69 2.5.2 Transformada da n-ésima Derivada Teorema 2.30. Suponha que f, f ′, . . . , f (n−1) sejam diferenciáveis em [0,+∞[ e de ordem exponencial γ com f (n) contínua por partes em [0, x] para todo x > 0. Então, L(f (n)(t)) = snL(f(t))− sn−1f(0)− sn−2f ′(0)− . . .− f (n−1)(0). Demonstração. A prova será por indução finita. • Para n = 1, L(f ′(t)) = ∫ +∞ 0 e−stf ′(t)dt Teo. 2.26= sL(f(t))− f(0). • Suponha que a expressão seja válida para n, L(f (n)(t)) = snL(f(t))− sn−1f(0)− sn−2f ′(0)− sn−3f ′′(0)− . . .− f (n−1)(0). • Provando para n+ 1: Usando integração por partes e aplicando a hipotése de indução, L ( f (n+1)(t) ) = ∫ +∞ 0 e−stf (n+1)(t)dt = lim b→+∞ [ e−stf (n)(t) ] ∣∣∣∣∣ b 0 + s ∫ +∞ 0 e−stf (n)(t)dt = −f (n)(0) + sL(f (n)(t)) = −f (n)(0) + s(snL(f(t))− sn−1f(0)− sn−2f ′(0)− sn−3f ′′(0)− . . .− f (n−1)(0)) = sn+1L(f(t))− snf(0)− sn−1f ′(0)− sn−2f ′′(0)− . . .− sf (n−1)(0)− f (n)(0) o que termina a demonstração pelo princípio de indução finita. Exemplo 2.31. Discutiremos a Transformada de Laplace dos Polinômios de Laguerre7, definidos por, Ln(t) = et n! dn dtn (tne−t), n = 0, 1, 2, . . . Seja y(t) = tne−t. Então L(Ln(t)) = L ( et 1 n!y (n) ) . Como y(0), y′(0), y′′(0), . . . , y(n−1)(0) são todos nulos, do Teorema 2.30, temos: 7O leitor pode encontrar um estudo sobre estes polinômios em [9]. 70 Transformadas de Laplace L(y(n)) = snL(y) = snn! (s+ 1)n+1 uma vez que L(tne−t) = n! (s+ 1)n+1 . Assim, do Teorema 2.22, segue que: L(Ln(t)) = L ( et 1 n!y (n) ) = 1 n!L(ety(n)) = 1 n! [ (s− 1)nn! (s− 1 + 1)n+1 ] = (s− 1)n sn+1 (Re(s) > 1). 2.5.3 Transformada da Integral Teorema 2.32. Se f é admissível e g(t) = ∫ t 0 f(u) du, então L (g(t)) = 1 s L (f(t)) (Re(s) > γ). Demonstração. Uma vez que g′(t) = f(t), exceto nos possíveis saltos de descontinuidade de f , integrando por partes, temos: ∫ +∞ 0 e−stg(t) dt = lim τ→+∞ [ g(t)e−st −s ∣∣∣∣∣ τ 0 + 1 s ∫ τ 0 e−stf(t) dt ] . (2.6) Como g(0) = ∫ 0 0 f(u) du = 0, para provar que L (g(t)) = 1 s L (f(t)), da Equação (2.6), precisamos apenas mostrar que lim τ→+∞ g(τ)e−sτ −s = 0. Para este fim, veja que |g(τ)e−sτ | = |g(τ)||e−sτ | Obs. 1.49= |g(τ)|e−xτ = e−xτ ∣∣∣∣∣∣ ∫ τ 0 f(u) du ∣∣∣∣∣∣ Teo. 1.14 ≤ e−xτ ∫ τ 0 |f(u)| du Ord. Exp. ≤ Me−xτ ∫ τ 0 eγu du = M γ ( e−(x−γ)τ − e−xτ ) Resultados para s ∈ R 71 que tende à zero quando τ → +∞ para x = Re(s) > γ. Dessa forma lim τ→+∞ g(τ)e−sτ −s = 0, para Re(s) > γ. Portanto, L (g(t)) = 1 s L(f(t)) para Re(s) > γ. Exemplo 2.33. Usando o Teorema 2.32, note que: L(Si(t)) = L (∫ t 0 sen (u) u du ) = 1 s L ( sen (t) t ) = 1 s arctg (1 s ) conforme Exemplo 2.21. A função Si(t) é chamada seno integral. Exemplo 2.34. Sendo L (sen (ωt)) = ω s2 + ω2 , obtemos: L (∫ t 0 sen (ωu) du ) = ω s(s2 + ω2) . Bem como, sendo L (cos (ωt)) = s s2 + ω2 , obtemos: L (∫ t 0 cos (ωu) du ) = s s(s2 + ω2) = 1 s2 + ω2 conforme Teorema 2.32. 2.6 Resultados para s ∈ R 2.6.1 Derivação e Integração de Transformadas de Laplace Teorema 2.35. Seja f : [0,+∞[⊂ R −→ R uma função admissível e L(f(t)) = F (s) com s um parâmetro real. Então dn dsn F (s) = L((−1)ntnf(t)) (s > γ) onde n = 1, 2, 3, . . . Demonstração. A prova será por indução. • Para n = 1: Sendo s > γ, pelo Teorema 1.44, temos: d ds F (s) = d ds ∫ +∞ 0 e−st f(t) dt = ∫ +∞ 0 ∂ ∂s e−st f(t) dt = ∫ +∞ 0 −te−stf(t) dt = L(−t f(t)). 72 Transformadas de Laplace • Supondo que vale para n: dn dsn F (s) = ∫ +∞ 0 (−1)ntnf(t) e−st dt = L((−1)ntnf(t)) (s > γ). • Provando para n+ 1: dn+1 dsn+1F (s) = d ds ( dn dsn F (s) ) = d ds ∫ +∞ 0 (−1)ntnf(t) e−st dt Teo. 1.44= ∫ +∞ 0 ∂ ∂s ( (−1)ntnf(t) e−st ) dt = ∫ +∞ 0 (−1)n(−t) tnf(t) e−st dt = ∫ +∞ 0 (−1)n+1 tn+1f(t) e−st dt = L((−1)n+1tn+1f(t)) para s > γ. Exemplo 2.36. Pelo Teorema 2.35 L(t cos (ωt)) = − d ds L(cos (ωt)) = − d ds ( s s2 + ω2 ) = − ( s2 + ω2 − s(2s) (s2 + ω2)2 ) = 2s2 − (s2 + ω2) (s2 + ω2)2 = s2 − ω2 (s2 + ω2)2 bem como L(t sen (ωt)) = − d ds L(sen (ωt)) = − d ds ( ω s2 + ω2 ) = − ( −ω(2s) (s2 + ω2)2 ) = 2ωs (s2 + ω2)2 . Resultados para s ∈ R 73 Exemplo 2.37. Pelo Teorema 2.35 L(t cosh (ωt)) = − d ds L(cosh (ωt)) = − d ds ( s s2 − ω2 ) = − ( s2 − ω2 − s(2s) (s2 − ω2)2 ) = − ( s2 − ω2 − 2s2 (s2 − ω2)2 ) = − ( −s2 − ω2 (s2 − ω2)2 ) = s2 + ω2 (s2 − ω2)2 bem como L(t senh (ωt)) = − d ds L(senh (ωt)) = − d ds ( ω s2 − ω2 ) = − ( −ω(2s) (s2 − ω2)2 ) = 2ωs (s2 − ω2)2 . Exemplo 2.38. Pelo Teorema 2.35 L(t2 cos (ωt)) = d2 ds2L(cos (ωt)) = d2 ds2 ( s s2 + ω2 ) = d ds ( s2 + ω2 − s(2s) (s2 + ω2)2 ) = d ds ( ω2 − s2 (s2 + ω2)2 ) = −2s(s2 + ω2) + 4s(s2 − ω2)(s2 + ω2) (s2 + ω2)4 = 2s(s2 + ω2)[−s2 − ω2 + 2(s2 − ω2)] (s2 + ω2)4 = 2s(−s2 − ω2 + 2s2 − 2ω2) (s2 + ω2)3 = 2s(s2 − 3ω2) (s2 + ω2)3 74 Transformadas de Laplace bem como L(t2 sen (ωt)) = d2 ds2L(sen (ωt)) = d2 ds2 ( ω s2 + ω2 ) = d ds ( −2sω (s2 + ω2) ) = − ( 2ω(s2 + ω2)2 − 8s2ω(s2 + ω2) (s2 + ω2)4 ) = 8s2ω(s2 + ω2)− 2ω(s2 + ω2)2 (s2 + ω2)4 = 2ω(s2 + ω2)[4s2 − (s2 + ω2)] (s2 + ω2)4 = 2ω(3s2 − ω2) (s2 + ω2)3 . Exemplo 2.39. Pelo Teorema 2.35, temos: L ( teαt ) = − d ds ( 1 s− α ) = 1 (s− α)2 L ( t2eαt ) = d2 ds2 ( 1 s− α ) = − 2 (s− α)3 . Nesse caso, por indução, chegamos em: L ( tneαt ) = (−1)n+1n! (s− α)n+1 n = 1, 2, 3, 4, . . . De fato, • Para n = 1: L ( teαt ) = (−1)21! (s− α)2 = 1 (s− α)2 . • Suponha que valha para n: L ( tneαt ) = (−1)n+1k! (s− α)n+1 . • Provando para n+ 1: Resultados para s ∈ R 75 L ( tn+1eαt ) = d ds ( (−1)n+1n! (s− α)n+1 ) = (−1)n+1n! ( − n+ 1 (s− α)(n+1)+1 ) = (−1)n+1(−1)n! n+ 1 (s− α)(n+1)+1 = (−1)(n+1)+1 (n+ 1)(n)(n− 1)! (s− α)(n+1)+1 = (−1)(n+1)+1 (n+ 1)! (s− α)(n+1)+1 . Portanto, é válida para todo n ∈ N. Teorema 2.40. Se f é admissível com F (s) = L(f(t)), sendo s parâmetro real, e tal que lim t→0+ f(t) t existe, então ∫ +∞ s F (x) dx = L ( f(t) t ) (s > γ). (2.7) Demonstração. Sendo F (x) = ∫ +∞ 0 e−xtf(t) dt (x ∈ R). Segue que ∫ +∞ s F (x) dx = lim ω→+∞ ∫ ω s (∫ ∞ 0 e−xt f(t) dt ) dx. Do Teorema 1.51, a integral ∫ +∞ 0 e−xt f(t) dt converge uniformemente para γ < s ≤ x ≤ ω, assim podemos inverter a ordem de integração conforme Teorema 1.43, o que nos dá ∫ +∞ s F (x) dx = lim ω→+∞ ∫ +∞ 0 (∫ ω s e−xt f(t) dx ) dt = lim ω→+∞ ∫ +∞ 0 [ e−xt −t f(t) ] ∣∣∣∣∣∣ ω s dt = lim ω→+∞ ∫ ω 0 e−st f(t) t dt− lim ω→+∞ ∫ +∞ 0 e−ωt f(t) t dt = ∫ +∞ 0 e−st f(t) t dt− 0 = L ( f(t) t ) − 0 = L ( f(t) t ) . 76 Transformadas de Laplace Exemplo 2.41. Note que lim t→0+ sen (ωt) t = ω. Assim, podemos usar o Teorema 2.40: L ( sen (ωt) t ) = ∫ +∞ s ω x2 + ω2 dx = lim u→+∞ ∫ u s ω x2 + ω2 dx = lim u→+∞ arctg ( x ω ) ∣∣∣∣u s = lim u→+∞ ( arctg ( u ω ) − arctg ( s ω )) = π 2 − arctg ( s ω ) = arctg ( s ω ) (s > 0). Também, note que lim t→0+ senh (ωt) t = ω. Então, pelo Teorema 2.40: L ( senh (ωt) t ) = ∫ +∞ s ω x2 − ω2 dx = lim u→+∞ ∫ u s ω x2 − ω2 dx = lim u→+∞ 1 2 ∫ u s ( 1 x− ω − 1 x+ ω ) dx = lim u→+∞ (1 2 ln |x− ω| − 1 2 ln |x+ ω| ) ∣∣∣∣u s = lim u→+∞ (1 2 ln ∣∣∣∣x− ωx+ ω ∣∣∣∣) ∣∣∣∣u s = lim u→+∞ (1 2 ln ∣∣∣∣u− ωu+ ω ∣∣∣∣− 1 2 ln ∣∣∣∣s− ωs+ ω ∣∣∣∣) = 1 2 · 0− 1 2 ln ∣∣∣∣s− ωs+ ω ∣∣∣∣ = −1 2 ln ∣∣∣∣s− ωs+ ω ∣∣∣∣ = 1 2 ln ∣∣∣∣s+ ω s− ω ∣∣∣∣ (s > |ω|). Observação 2.42. Como lim t→0+ cos (ωt) t e lim t→0+ cosh (ωt) t divergem, não podemos utilizar o Teorema 2.40 para calcular L ( cos (ωt) t ) e L ( cosh (ωt) t ) . 2.6.2 Teoremas do Valor Inicial e do Valor Final Os próximos teoremas fornecem informações sobre a função f , para t→ 0 ou t→ +∞, através da transformada de f , mesmo desconhecendo explicitamente a função. Teorema 2.43 (Teorema de Valor Inicial). Seja f uma função diferenciável de ordem exponencial γ, com f ′ contínua por partes em [0, x] para todo x > 0 e F (s) = L (f(t)). Então, Resultados para s ∈ R 77 f(0) = lim t→0 f(t) = lim s→+∞ sF (s) (s ∈ R). Demonstração. Conforme os Teoremas 2.10 e 2.26, sabemos que para s > γ lim s→+∞ (sF (s)− f(0)) = 0. O que implica f(0) = lim s→+∞ s F (s). Sendo f contínua por partes, lim t→0+ f(t) = f(0), segue o resultado. Exemplo 2.44. Se L (f(t)) = s+ 1 (s− 1)(s+ 2) , então f(0) = lim s→+∞ s s+ 1 (s− 1)(s+ 2) = 1. Teorema 2.45 (Teorema do Valor Final). Seja f uma função diferenciável de ordem exponencial γ, com f ′ contínua por partes em [0, x] para todo x > 0 e suponha que lim t→+∞ f(t) exista. Então, o valor do limite é dado por lim t→+∞ f(t) = lim s→0 s F (s) (s ∈ R) em que F (s) = L (f(t)). Demonstração. Sendo f de ordem exponencial γ, pelo Teorema 2.26, para s > γ L (f ′(t)) = sF (s)− f(0). Aplicando o limite, lim s→0 (sF (s)− f(0)) = lim s→0 ∫ +∞ 0 e−st f ′(t) dt = ∫ +∞ 0 f ′(t) dt = lim u→+∞ ∫ u 0 f ′(t) dt = lim u→+∞ (f(u)− f(0)) . Desse modo, obtemos: lim s→0 (sF (s)− f(0)) = lim u→+∞ (f(u)− f(0)) =⇒ lim u→+∞ f(u) = lim s→0 sF (s). Teorema 2.46 (Generalização do Teorema do Valor Inicial). Sejam f e g funções dife- renciáveis de ordem exponencial γ, com derivadas contínuas por partes em [0, x] para todo x > 0 onde F (s) = L (f(t)) e G(s) = L (g(t)), com s parâmetro real. Se lim t→0+ f(t) g(t) = 1, então lim s→+∞ F (s) G(s) = 1. 78 Transformadas de Laplace Demonstração. lim s→+∞ F (s) G(s) = lim s→+∞ sF (s) sG(s) = lim s→+∞ sF (s) lim s→+∞ sG(s) Teo. 2.43= lim t→0+ f(t) lim t→0+ g(t) = lim t→0+ f(t) g(t) = 1. Teorema 2.47 (Generalização do Teorema do Valor Final). Sejam f e g funções dife- renciáveis de ordem exponencial γ, com derivadas contínuas por partes em [0, t] para todo t > 0 onde F (s) = L (f(t)) e G(s) = L (g(t)), com s parâmetro real. Se lim t→+∞ f(t) g(t) = 1, então lim s→0 F (s) G(s) = 1. Demonstração. lim s→0 F (s) G(s) = lim s→0 sF (s) sG(s) = lim s→0 sF (s) lim s→0 sG(s) Teo. 2.45= lim t→+∞ f(t) lim t→+∞ g(t) = lim t→+∞ f(t) g(t) = 1. 3 Transformadas Inversas de Laplace Estudamos anteriormente a Transformada de Laplace de uma função f definida em t ∈ [0,+∞[, transformando-a, quando possível, em uma função F definida em s ∈ Ω ⊂ C. De agora em diante, faremos o inverso, conhecendo a priori uma função F (s) encontraremos f(t), se possível. A Transformada de Laplace Inversa é muito importante para o método de solução de Problemas de Valor Inicial (PVI) que estudaremos mais adiante. Tal ferramenta nos auxiliará a solucionar problemas que modelam situações dinâmicas. Existem duas formas para se abordar a transformada inversa. Uma delas é por meio da Fórmula da Inversão Complexa, que pode ser conferida, por exemplo, no capítulo 4 do livro [25]. Não é nosso intuito usar tal abordagem aqui, pois o conteúdo é extenso e uma dissertação inteira poderia ser redigida sobre ele. Aqui abordaremos simplesmente como, sendo F (s) = L(f(t)), então definimos f(t) = L−1(F (s)). Tal definição faz sentido se pudermos garantir a unicidade. Isto faremos sob determinadas condições pelo Teorema de Lerch. Vimos no Teorema 2.10 que sendo F (s) = L(f(t)), então lim Re(s)→+∞ F (s) = 0. Desse modo, só faz sentido procurar L−1(F (s)) quando a função F (s) → 0 conforme Re(s) → +∞, caso contrário F (s) não pode ser a transformada de nenhuma f(t). Para a elaboração deste capítulo, foram consultadas as referências [8] e [25]. 3.1 Definição e o Teorema de Lerch Definição 3.1. Considere f : [0,+∞[⊂ R −→ C com s um parâmetro complexo. Sendo F (s) = L (f(t)), definimos a Transformada Inversa de Laplace de f como: L−1 (F (s)) = f(t) Um problema para ponderar na Definição 3.1 é que L−1(F (s)) pode resultar em mais de uma função1. Todavia, sob determinadas condições, o Teorema a seguir garante unicidade. Teorema 3.2 (Teorema de Lerch). Sejam f, g : [0,+∞[⊂ R −→ C funções contínuas com L(f(t)) = F (s) e L(g(t)) = G(s) tais que F (s) = G(s), Re(s) > α. Então f(t) = g(t). Demonstração. Defina h : [0,+∞[⊂ R −→ C, contínua, por h(t) = f(t) − g(t). Para provarmos que f(t) = g(t), basta provarmos que h(t) = 0. Note, primeiramente, que: H(s) = L(h(t)) = L(f(t))− L(g(t)) = F (s)−G(s) = 0 1Veja o Exemplo 2.6 do Capítulo 2. 79 80 Transformadas Inversas de Laplace ou seja, H(s) = 0, para Re(s) > α. Com isso, para n ∈ N: H(α + n) = ∫ +∞ 0 e−(α+n)th(t) dt = 0 =⇒ ∫ +∞ 0 e−nte−αth(t) dt = 0. Usando integração por partes, temos: u(t) = e−nt dv = e−αth(t) dt du = −ne−nt dt v(t) = ∫ t 0 e−αyh(y) dy. Logo lim a→+∞ e−ntv(t) ∣∣∣∣a 0 + n ∫ +∞ 0 e−ntv(t) dt = 0 lim a→+∞ e−nav(a)− lim a→+∞ v(0) + n ∫ +∞ 0 e−ntv(t) dt = 0 lim a→+∞ e−na ∫ a 0 e−αyh(y) dy − 0 + n ∫ +∞ 0 e−ntv(t) dt = 0. Como lim a→+∞ e−nav(a) = 0 e v(0) = 0, segue que: n ∫ +∞ 0 e−ntv(t) dt = 0 para todo n ∈ N. Desse modo, ∫ +∞ 0 e−ntv(t) dt = 0 (3.1) Queremos provar que h(t) = 0. Note que h é contínua e que dv(t) dt = e−αth(t). Se provarmos que v(t) = 0, teremos dv(t) dt = 0 = e−αth(t) e, uma vez que, e−αt 6= 0, concluiremos que h(t) = 0. Provemos que v(t) = 0. Na Equação (3.1) considere a mudança de variável t = − ln (x) e m(x) = v(− ln (x)). Então: ∫ 1 0 xnm(x) dx = 0, ∀ n ∈ N. Como todo polinômio é uma combinação linear finita de x0, x1, x2, x3, . . . , xn, . . . e usando a linearidade das integrais, segue que:∫ 1 0 p(x)m(x) dx = 0 (3.2) para qualquer polinômio p(x). Por outro lado, pelo Caso Complexo do Teorema da Aproximação de Weierstrass2, para todo ε > 0, existe um polinômio pε(x) tal que |m(x)− pε(x)| < ε, ∀ x ∈ [0, 1]. 2O leitor pode conferir o Corolário 1.4 página 8 da dissertação [17]. Definição e o Teorema de Lerch 81 Da Equação (3.2), para todo ε > 0, temos: ∫ 1 0 pε(x)m(x) dx = 0. (3.3) Assim: |m(x)− pε(x)| < ε =⇒ |m(x)− pε(x)|2 < ε2 =⇒ |m(x)− pε(x)|2 < ε2 + pε(x)2 =⇒ =⇒ ∫ 1 0 |m(x)− pε(x)|2 dx < ∫ 1 0 (ε2 + pε(x)2) dx Eq. (3.3)=⇒ =⇒ ∫ 1 0 m(x)2 dx− 2 · 0 + ∫ 1 0 pε(x)2 dx < ε2 ∫ 1 0 dx+ ∫ 1 0 pε(x)2 dx =⇒ =⇒ ∫ 1 0 m(x)2 dx < ε2, ∀ ε > 0 =⇒ =⇒ ∫ 1 0 (m(x))2 dx = 0 =⇒ m(x) = 0,∀ x ∈ [0, 1]. Desse modo, v(t) = 0, ∀ t ∈ [0,+∞[ e, portanto, h(t) = 0, como queríamos provar. Exemplo 3.3. Do Exemplo 2.3, segue que: a) L−1 (1 s ) = 1 b) L−1 ( 1 s2 ) = t c) L−1 ( n! s(n+1) ) = tn, n ∈ N d) L−1 ( 1 s− α ) = eαt e) L−1 ( s s2 + α2 ) = cos (αt) f) L−1 ( α s2 + α2 ) = sen (αt). 82 Transformadas Inversas de Laplace 3.2 Linearidade Teorema 3.4 (Linearidade). Considere f, g : [0,+∞[⊂ R −→ C. Se F (s) = L (f(t)) e G(s) = L (g(t)), então L−1 (aF (s) + bG(s)) = a f(t) + b g(t) com a e b constantes quaisquer. Demonstração. De fato, L−1 (aF (s) + bG(s)) = L−1 (L (a f(t)) + L (b g(t))) = L−1 (L(a f(t) + b g(t))) = a f(t) + b g(t). Exemplo 3.5. L−1 ( 1 2(s− 1) + 1 2(s+ 1) ) = 1 2L −1 ( 1 s− 1 + 1 s+ 1 ) Teo. 3.4= 1 2e t + 1 2e −t = cosh (t). Exemplo 3.6. Do Exemplo 2.23, vimos que L(tneat) = n! (s− a)n+1 , n = 0, 1, 2, . . . (Re(s) > a) Então: L−1 ( 1 (s− a)n+1 ) = 1 n!t neat. Exemplo 3.7. L−1 ( s s2 + 4s+ 1 ) = L−1 ( s (s+ 2)2 − 3 ) = L−1 ( s+ 2− 2 (s+ 2)2 − 3 ) = L−1 ( s+ 2 (s+ 2)2 − 3 ) − L−1 ( 2 (s+ 2)2 − 3 ) Ex. 2.25= e−2t cosh ( √ 3t)− 2√ 3 e−2t senh ( √ 3t). Exemplo 3.8. Usando o Teorema 2.35 e considerando n = 1, obtemos a seguinte fórmula: f(t) = −1 t L−1 ( d ds F (s) ) . (3.4) Frações Parciais 83 Essa fórmula é útil, por exemplo, com ela podemos calcular f onde f(t) = L−1 ( ln ( s+ a s+ b )) . De fato, uma vez que, d ds ( ln ( s+ a s+ b )) = 1 s+ a − 1 s+ b obtemos da Equação (3.4), que: f(t) = −1 t L−1 ( 1 s+ a − 1 s+ b ) = 1 t ( e−bt − e−at ) . 3.3 Frações Parciais Em muitos casos, quando L(f(t)) = F (s) é uma função racional, as frações parciais podem ser primordiais para encontrar a inversa de uma determinada transformada F (s). 3.3.1 Decomposição de Frações Parciais Neste tópico estaremos preocupados com o caso em que F (s) é o quociente entre dois polinômios, chamado de função racional F (s) = P (s) Q(s) em que o grau do polinômio Q(s) é maior que o grau do polinômio P (s) e ambos não possuem fatores comuns. Neste caso, F (s) pode ser expresso como uma soma finita de frações parciais, onde: • Cada fator linear na forma as + b de Q(s), corresponde a uma fração parcial na forma A as+ b em que A é uma constante. • Cada fator linear repetido na forma (as + b)n, corresponde a uma soma de frações parciais na forma A1 as+ b + A2 (as+ b)2 + . . .+ An (as+ b)n em que A1, A2, . . . , An são constantes. • Cada fator quadrático irredutível na forma as2 + bs + c, corresponde a uma fração parcial na forma As+B as2 + bs+ c em que A eB são constantes. 84 Transformadas Inversas de Laplace • Cada fator quadrático irredutível repetido na forma (as2 + bs + c)n, corresponde a uma soma de frações parciais na forma A1s+B1 as2 + bs+ c + A2s+B2 (as2 + bs+ c)2 + . . .+ Ans+Bn (as2 + bs+ c)n em que A1, . . . , An, B1, . . . , Bn são constantes. O objetivo é encontrar as constantes, uma vez que, o polinômio P (s) Q(s) tem sido repre- sentado por uma decomposição de frações parciais. Isso pode ser alcançado por diferentes formas, como ilustraremos nos Exemplos que seguem. Exemplo 3.9. Para encontrar L−1 ( 1 (s− a)(s− b) ) é necessário aplicarmos frações parciais 1 (s− a)(s− b) = A s− a + B s− b = A(s− b) +B(s− a) (s− a)(s− b) = As− Ab+Bs−Ba (s− a)(s− b) = (A+B)s− Ab−Ba (s− a)(s− b) . O que implica:  A+B = 0 −Ab−Ba = 1 Depois de algumas manipulações algébricas, obtemos: A = 1 a− b B = − 1 a− b Aplicando a transformada inversa L−1 ( 1 (s− a)(s− b) ) = AL−1 ( 1 s− a ) +BL−1 ( 1 s− b ) = ( 1 a− b ) L−1 ( 1 s− a ) + ( − 1 a− b ) L−1 ( 1 s− b ) = ( 1 a− b ) eat − ( 1 a− b ) ebt. Frações Parciais 85 Exemplo 3.10. Para encontrar L−1 ( s (s2 + a2)(s2 + b2) ) (a 6= b) utilizamos frações parciais s (s2 + a2)(s2 + b2) = As+B s2 + a2 + Cs+D s2 + b2 = (As+B)(s2 + b2) + (Cs+D)(s2 + a2) (s2 + a2)(s2 + b2) = As3 + Asb2 +Bs2 +Bb2 + Cs3 + Csa2 +Ds2 +Da2 (s2 + a2)(s2 + b2) = (A+ C)s3 + (B +D)s2 + (Ab2 + Ca2)s+Bb2 +Da2 (s2 + a2)(s2 + b2) . Logo  A+ C = 0 B +D = 0 Ab2 + Ca2 = 1 Bb2 +Da2 = 0 Após algumas manipulações algébricas encontramos A = − 1 a2 − b2 B = 0 C = 1 a2 − b2 D = 0 Aplicando a transformada inversa L−1 ( s (s2 + a2)(s2 + b2) ) = AL−1 ( s s2 + a2 ) +BL−1 ( 1 s2 + a2 ) + + CL−1 ( s s2 + b2 ) +DL−1 ( 1 s2 + b2 ) = ( − 1 a2 − b2 ) L−1 ( s s2 + a2 ) + ( 1 a2 − b2 ) L−1 ( s s2 + b2 ) = ( − 1 a2 − b2 ) cos (at) + ( 1 a2 − b2 ) cos (bt). Exemplo 3.11. Para encontrar L−1 ( s (s2 + a2)(s2 − b2) ) 86 Transformadas Inversas de Laplace utilizamos frações parciais s (s2 + a2)(s2 − b2) = s (s2 + a2)(s+ b)(s− b) = As+B s2 + a2 + C s+ b + D s− b = (As+B)(s+ b)(s− b) + C(s2 + a2)(s− b) +D(s2 + a2)(s+ b) (s2 + a2)(s+ b)(s− b) . Assim: s = (As+B)(s2 − b2) + C(s2 + a2)(s− b) +D(s2 + a2)(s+ b). (3.5) Tomando s = b na Equação (3.5) temos: D(b2 + a2)2b = b =⇒ D = 1 2(a2 + b2) . Tomando s = −b na Equação (3.5) temos: C(b2 + a2)(−2b) = −b =⇒ C = 1 2(a2 + b2) . Expandindo um pouco mais a Equação (3.5) e reordenando os termos, s = (A+ C +D)s3 + (B − Cb+Db)s2 + (Ca2 − Ab2 +Da2)s−Bb2 − Ca2b+Da2b. O que implica:  A+ C +D = 0 B − Cb+Db = 0 Ca2 − Ab2 +Da2 = 1 −Bb2 − Ca2b+Da2b = 0 Sabendo que C = D = 1 2(a2 + b2) , chegamos em A = − 1 a2 + b2 e B = 0. Aplicando a transformada inversa: L−1 ( s (s2 + a2)(s2 − b2) ) = AL−1 ( s s2 + a2 ) +BL−1 ( 1 s2 + a2 ) + + CL−1 ( 1 s+ b ) +DL−1 ( 1 s− b ) = ( 1 2(a2 + b2) ) ebt + ( 1 2(a2 + b2) ) e−bt + ( −1 a2 + b2 ) cos (at) = ( 1 a2 + b2 ) (cosh (bt)− cos (at)) . Frações Parciais 87 Exemplo 3.12. L−1 ( s 2s2 + s− 1 ) . Aplicando frações parciais, s 2s2 + s− 1 = 1 2 ( s (s− 1/2)(s+ 1) ) s (s− 1/2)(s+ 1) = A s− 1/2 + B s+ 1 = A(s+ 1) +B(s− 1/2) (s− 1/2)(s+ 1) = As+ A+Bs−B/2 (s− 1/2)(s+ 1) = (A+B)s+ A−B/2 (s− 1/2)(s+ 1) . O que implica  A+B = 1 A−B/2 = 0 Depois de algumas manipulações algébricas, obtemos A = 1 3 B = 2 3 Aplicando a transformada inversa L−1 ( s 2s2 + s− 1 ) = 1 2 ( AL−1 ( 1 s− 1/2 ) +BL−1 ( 1 s+ 1 )) = 1 6e t/2 + 1 3e −t. Exemplo 3.13. Para encontrar L−1 ( s+ 1 s2(s− 1) ) escrevemos s+ 1 s2(s− 1) = A s + B s2 + C s− 1 ou ainda s+ 1 = As(s− 1) +B(s− 1) + Cs2 88 Transformadas Inversas de Laplace que é uma identidade para qualquer que seja s. Tomando s = 0 encontramos B = −1, s = 1 encontramos C = 2. Com os valores de B e C encontramos A = −2. Aplicando a transformada inversa L−1 ( s+ 1 s2(s− 1) ) = AL−1 (1 s ) +BL−1 ( 1 s2 ) + CL−1 ( 1 s− 1 ) = −2L−1 (1 s ) − L−1 ( 1 s2 ) + 2L−1 ( 1 s− 1 ) = −2− t+ 2et. Exemplo 3.14. Para encontrar L−1 ( 2s2 (s2 + 1)(s− 1)2 ) temos 2s2 (s2 + 1)(s− 1)2 = As+B s2 + 1 + C s− 1 + D (s− 1)2 ou ainda 2s2 = (As+B)(s− 1)2 + C(s2 + 1)(s− 1) +D(s2 + 1). Tomando s = 1 encontramos D = 1. Da mesma forma, tomando s = 0 encontramos B − C +D = 0, o que dá B − C = −1. (3.6) Além disso, considerando os coeficientes de s3 e s, temos A+ C = 0 A− 2B + C = 0 Estas duas últimas equações implicam em B = 0. Logo da Equação (3.6), C = 1; finalmente, encontramos A = −1. Aplicando a transformada inversa, obtemos L−1 ( 2s2 (s2 + 1)(s− 1)2 ) = AL−1 ( s s2 + 1 ) +BL−1 ( 1 s2 + 1 ) + + CL−1 ( 1 s− 1 ) +DL−1 ( 1 (s− 1)2 ) = −L−1 ( s s2 + 1 ) + L−1 ( 1 s− 1 ) + L−1 ( 1 (s− 1)2 ) = − cos (t) + et + tet. Exemplo 3.15. L−1 ( s2 + 1 s(s− 1)3 ) . Por frações parciais, Frações Parciais 89 s2 + 1