
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
“JÚLIO DE MESQUITA FILHO”

INSTITUTO DE GEOCIÊNCIAS E CIÊNCIAS
EXATAS

RIVÂNIA MARIA DO NASCIMENTO TEIXEIRA

Crises de Fronteira em Aceleradores de Fermi

Rio Claro

2013


UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO
DE MESQUITA FILHO”

Instituto de Geociências e Ciências Exatas Câmpus de
Rio Claro

RIVÂNIA MARIA DO NASCIMENTO TEIXEIRA

CRISES DE FRONTEIRA EM ACELERADORES
DE FERMI.

Dissertação de Mestrado apresentada ao

Instituto de Geociências e Ciências Exatas

do Câmpus de Rio Claro, da Universidade

Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”,

como parte dos requisitos para obtenção do

t́ıtulo de Mestre em F́ısica.

Área de Concentração: F́ısica Aplicada

Orientador: Edson Denis Leonel

VERSÃO ORIGINAL

Rio Claro

2013


RIVÂNIA MARIA DO NASCIMENTO TEIXEIRA

Crises de Fronteira em Aceleradores de Fermi

Dissertação de Mestrado apresentada ao

Instituto de Geociências e Ciências Exatas

do Câmpus de Rio Claro, da Universidade

Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho,

como parte dos requisitos para obtenção do

t́ıtulo de Mestre em F́ısica.

Comissão Examinadora

Edson Denis Leonel

Ricardo Paupitz Barbosa dos Santos

Diego Fregolente Mendes de Oliveira

VERSÃO ORIGINAL

Rio Claro

2013


Dedico esta dissertação à minha famı́lia.


AGRADECIMENTOS

Agradeço ao professor Raimundo Nogueira Costa Filho por ter inicialmente apresen-

tado à mim o Programa de Pós-Graduação em F́ısica da Universidade Estadual Paulista

“Júlio de Mesquita Filho”Câmpus de Rio Claro-SP, Instituição que me acolheu dando-me

suporte para que este trabalho fosse posśıvel.

Ao professor Edson Denis Leonel, pela orientação, amizade, dedicação e paciência.

Pelo excelente trabalho realizado com o Grupo de Estudos de Sistemas Complexos e Di-

nâmica Não-Linear - UNESP sob sua liderança e pelas discussões motivadoras. Obrigada

por ter acreditado em mim!

Aos meus professores da Universidade Estadual do Ceará - UECE e aos professores

da UNESP que contribúıram para minha formação. Em especial, agradeço ao professor

Dante Chinaglia pelo enorme aprendizado em suas aulas durante o estágio de docência.

Ao Orlando Saraiva que me ajudou a resgatar arquivos importantes desse trabalho

e pela solicitude de todas as horas. À Mariana Baptistella pela atenção e o cuidado nos

procedimentos operacionais do Departamento de F́ısica.

Aos meus preciosos amigos que me acolheram em Rio Claro-SP, que me ajudaram

em muitos momentos dif́ıceis e tornaram-se ao longo desses dois anos a minha famı́lia:

Vinicius Santana, Rafael Bizão, Everton Cortez, Amanda Prina, Rodrigo Moreira, Júlia

Inforzato, Juliano Antônio, Tiago Botari, André Livoratti, João Fonseca e Carlos Awano.

Muito obrigada pela companhia e pelos melhores momentos que aqui vivi!

Ao Geraldo Pasquoto Júnior por estar ao meu lado nesse peŕıodo, pelo incetivo e

pela força. À sua famı́lia que me sempre me recebeu carinhosamente em muitos finais

de semana e datas comemorativas, em especial: Amanda Pasquoto, Nair Gatti, Geraldo

Pasquoto, Solange, Sussi, Sandra e Aline Pasquoto.

À minha famı́lia que me apoiou quando resolvi sair de Fortaleza para fazer mestrado

tão longe de casa, principalmente a minha mãe que aguentou firme essa distância.

Aos meus amigos irmãos de Fortaleza que me apoiaram psicológico e até finan-

ceiramente para que eu estivesse aqui: Antenor Costa, Falcão Júnior, Cândido Rolim,

Walnysse, Poliana Falcão e Irene. Aos amigos que fiz na Marinha do Brasil que sempre

estiveram dispostos quando precisei: Cordeiro, Jucivaldo, Keylla, Clairton Caldas e João

Brito.

A PROPG/Reitoria pelo apoio financeiro.


“Faz-se ciência com os fatos, como se faz

uma casa com pedras; mas uma acumulação

de fatos não é ciência, assim como um monte

de pedras não é uma casa.”.

JULES HENRI POINCARÉ, matemá-

tico, f́ısico e filósofo francês.


Resumo

Teixeira, R. M. N. Crises de Fronteira em Aceleradores de Fermi. 2013 57 p.

Dissertação (Mestrado em F́ısica Aplicada) - Instituto de Geociências e Ciências Exatas,

Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Rio Claro, 2013.

Em 1949, na tentativa de explicar a aceleração dos raios cósmicos, Enrico Fermi propõe

um modelo que tem recebido ampla atenção dos cientistas. O modelo consiste de uma

part́ıcula clássica colidindo entre duas paredes ŕıgidas, na qual uma pode movimentar-se

periodicamente no tempo enquanto que a outra está fixa. Vários modelos foram propos-

tos no intuito de investigar a dinâmica decorrente desses modelos e suas propriedades.

Trabalhamos aqui com o modelo Fermi-Ulam e com uma de suas variações após introdu-

zida uma força externa do tipo biela-manivela, tanto para os casos conservativo quanto

dissipativo. O foco principal do nosso trabalho foi a caracterização do evento de crise de

fronteira no modelo Fermi-Ulam.

Palavras-chave: Sistemas Dinâmicos. Sistemas Conservativos e Dissipativos. Acelera-

dor de Fermi. Crise de fronteira.


Abstract

Teixeira, R. M. N. Boundary Crisis in the Fermi’s Acceleration 2012 57 p. Disser-

tation (Master in Applied Physics) - Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Univer-

sidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Rio Claro, 2013.

In 1949, as an attempt to explain the acceleration of cosmic rays, Enrico Fermi proposed a

model which has largely received the attention of scientists. The model consists of a clas-

sical particle colliding between two rigid walls, in which one of then can move periodically

in time while the other is fixed. Different models were proposed in order to investigate the

dynamics resulting from them and their properties. In this work we consider the dynamics

of the Fermi-Ulam model and an alternative version with an external force of type crank

drive, for the conservative as well as dissipative cases. The main focus of our study was

to characterize event of a boundary crisis in Fermi-Ulam model.

Keywords: Dynamical Systems. Conservative and Dissipative Systems. Fermi accelera-

tor. Boundary crisis.


LISTA DE FIGURAS

2.1 Ilustração do modelo Fermi-Ulam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 20

2.2 Figura ilustrando o referencial fixo, que corresponde às coordenadas x,y e as coordenas

x′,y′ correspondem ao referencial da parede móvel. . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 21

2.3 Espaço de fase para o modelo Fermi-Ulam conservativo. O parâmetro de controle ε

utilizado foi ε = 0,001. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 27

2.4 Pontos fixos para o modelo Fermi-Ulam conservativo. O parâmetro de controle ε

utilizado foi ε = 0,001. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 30

2.5 Expoentes de Lyapunov para o modelo Fermi-Ulam conservativo. O parâmetro de

controle ε utilizado foi ε = 0,001, para uma condição inicial dada no mar de caos

(V0 = 0,0021, φ0 = 6,0) e iterada 106. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 34

2.6 Expoentes de Lyapunov para o modelo Fermi-Ulam conservativo. O parâmetro de

controle utilizado foi ε = 0,001, para seis condições iniciais e foram realizadas 107

iterações. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 35

2.7 Espaço de fase para o modelo Fermi-Ulam dissipativo utilizando ε = 0,04, α = 1 e

β = 0,93. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 36

2.8 Expoentes de Lyapunov para o modelo Fermi-Ulam dissipativo. Foram utilizadas cinco

condições iniciais distintas para ε = 0,04 e 105 iterações. . . . . . . . . . . . . . . p. 38

2.9 Variedades estáveis e instáveis utilizando m = 1, ε = 0,04, α = 0,93624 e β = 1. As

variedades estáveis estão representadas pelas cores amarelo e vermelho; as variedades

instáveis pelas cores verde e azul. O gráfico foi constrúıdo imediatamente antes da

crise de fronteira. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 40

2.10 Variedades estáveis e instáveis utilizando m = 1, ε = 0,04, α = 0,9385 e β = 1. O

mesmo padrão de cores para as variedades foi mantida em relação à figura (2.9). O

gráfico foi constrúıdo após a crise de fronteira. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 41

3.1 Ilustração do modelo Fermi-Ulam com perturbação do tipo biela-manivela. . . . . . . p. 43


3.2 Espaço de fase para o modelo Fermi-Ulam conservativo com perturbação do tipo biela-

manivela. Os parâmetros utilizados foram r = 0,01 e ε = 0,001. . . . . . . . . . . . p. 45

3.3 Espaço de fase para o modelo Fermi-Ulam conservativo com perturbação do tipo biela-

manivela para ε = 0,001. (a) r = 0,3, (b) r = 0,6 e (c) r = 0,9. . . . . . . . . . . . p. 46

3.4 Comparação entre os modelos a)Fermi-Ulam e b)biela-manivela para r = 0,5. Para a

construção das duas figuras foi utilizado o mesmo parâmetro de controle ε = 0,001. . p. 48

3.5 Atrator caótico para o modelo Fermi-Ulam com perturbação do tipo biela-manivela e

para o modelo Fermi-Ulam, respectivamente. Os parâmetros de controle estão mos-

trados nas figuras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 51


SUMÁRIO

1 Introdução p. 13

2 Modelo Fermi-Ulam p. 19

2.1 O Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 19

2.1.1 Colisões Sucessivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 20

2.1.2 Colisões Simples ou Indiretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 22

2.2 O Mapa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 24

2.3 Propriedades Dinâmicas para o Caso Conservativo . . . . . . . . . . . . . p. 24

2.3.1 Matriz Jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 25

2.3.2 Espaço de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 27

2.3.3 Análise dos Pontos Fixos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 28

2.3.4 Cálculo dos Expoentes de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . p. 30

2.4 Caso dissipativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 35

2.4.1 Matriz Jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 36

2.4.2 Expoentes de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 37

2.4.3 Ponto fixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 38

2.5 Crise de Fronteira no modelo Fermi-Ulam . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 39

3 Modelo Fermi-Ulam com Perturbação do Tipo Biela-Manivela p. 42

3.1 O Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 42

3.1.1 O Mapa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 43

3.2 Propriedades Dinâmicas para o Caso Conservativo . . . . . . . . . . . . . p. 44

3.2.1 Matriz Jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 46

3.3 Caso Dissipativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 50

3.3.1 Matriz Jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 51


4 Conclusões e Perspectivas p. 54

Referências Bibliográficas p. 56


13

CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO

Os fenômenos naturais, em sua essência, são não-lineares. Em virtude disso,

encontrou-se a motivação necessária para uma investigação aprimorada desses fenômenos.

Mas há de se ressaltar que fora bastante evitado uma maior progressão nessa área,

principalmente pelo domı́nio vigente das ideias deterministas[1].

Em meados do século XV, a consolidação da Mecânica Newtoniana nos ofereceu

um grande avanço filosófico e cient́ıfico, sobretudo, através do desenvolvimento do Cál-

culo Diferencial e Infinitesimal, onde os sistemas poderiam ser compreendidos e descritos

como equações diferenciais[2]. A existência de uma lei da natureza que descrevia o que

acontecia na Terra e no Sistema Solar era sólida e fantástica! A segurança da previ-

sibilidade e o domı́nio das leis newtonianas provocaram uma limitação na comunidade

cient́ıfica por alguns séculos, onde a preocupação restringia-se em descrever fenômenos

“bem comportados”.

Investigando sobre o problema de três corpos1 no final do século XIX, Poincaré ob-

servou uma grande complexidade nos resultados. As leis da f́ısica pareciam não prever o

tanto quanto esperava-se; o mundo poderia até ser bem determinado, mas era bem senśıvel

às condições iniciais. Refutando ao que houvera dito Laplace[3]: “Devemos considerar o

estado presente do universo como efeito dos seus estados passados e como causa dos que se

vão seguir. Suponha-se uma inteligência que pudesse conhecer todas as forças pelas quais

a natureza é animada e o estado em um instante de todos os objetos - uma inteligência

suficientemente grande que pudesse submeter todos esses dados à análise - ela englobaria

1Um problema não linear e não integrável.


14

na mesma fórmula os movimentos dos maiores corpos do universo e também dos meno-

res átomos: nada lhe seria incerto e o futuro, assim como o passado, estaria presente

ante aos seus olhos (Laplace)” (a “inteligência” descrita nessa afirmação ficou conhecida

como “O Demônio de Laplace”)[4]. Poincaré, após seus estudos sobre esse problema[5],

afirma: “Se conhecessemos perfeitamente as leis da natureza e a situação do universo

no instante inicial, estaŕıamos aptos a predizer a situação do mesmo universo em um

instante subsequente. Mas mesmo quando as leis da natureza não são um segredo para

nós, podemos conhecer a situação inicial apenas aproximadamente. Se tal nos permitisse

prever a situação subsequente com o mesmo grau de aproximação, isto seria tudo o que

desejaŕıamos e diŕıamos que o fenômeno foi previsto, que ele é regido por leis. Mas não é

sempre assim; pode acontecer que pequenas diferenças na situação inicial produzam gran-

des diferenças nos fenômenos finais; um erro antecedente pode produzir um erro enorme

depois. A predição se torna imposśıvel e temos um fenômeno fortuito (Poincaré)”. No

caso do problema de três corpos havia uma perturbação planetária intensa que não era

tão relevante ao problema de dois corpos. Então, levantou Poincaré uma questão: Será

que essas interações podem ser eliminadas? Concluiu ele que isso não era posśıvel pelo

aparecimento de ressonâncias2 entre as frequências do sistema dinâmico, levando os re-

sultados ao aparecimento de divergências. Esse resultado era, na época, no máximo uma

curiosidade.

O trabalho de Poincaré mostra uma diferença essencial entre sistemas em que as

interações podem ser eliminadas e os que não podem - esses sistemas foram classifica-

dos como integráveis e não integráveis3, respectivamente. Com a formulação da teoria

KAM[6] (iniciais dos nomes dos cientistas soviéticos Kolmogorov, Arnol’d e Moser) onde

um dos principais resultados foi demonstrar que levando em consideração as ressonâncias

aparecem dois tipos de trajetórias: as regulares deterministas e as irregulares “imprevi-

śıveis” causadas em decorrência da ressonância. A teoria KAM classifica as trajetórias

mas não oferece uma solução para o problema da integrabilidade. Hoje, com o advento

de modernos computadores, o problema continua sem solução anaĺıtica, porém fact́ıvel

através dos métodos de integração numérica. O problema apresentado por Poincaré é

uma manifestação clara do anseio determinista em associar o ideal da f́ısica clássica com

as divergências apresentadas pelo observado, buscando soluções simétricas na direção do

tempo.

A partir de meados da década de 60, com os trabalhos de Lorenz[7] sobre problemas

atmosféricos, observou-se que uma pequena variação nas condições iniciais poderia acar-

retar grandes diferenças na evolução do sistema. Esse trabalho baseava-se na descrição

2Tendência de um sistema a oscilar em certas frequências ou comprimentos de onda com amplitudes
máximas.

3Um sistema é dito ser integrável quando o número de constantes de movimento do sistema é igual ao
número de graus de liberdade.


15

matemática através de equações diferenciais ordinárias modelando os rolos de convecção

existentes na atmosfera. As equações diferencias estudadas por Lorenz representadas em

um gráfico tridimensional mostravam que essas órbitas convergiam à um atrator para as

quais nunca se cruzavam entre si. O atrator é um ponto (ou um conjunto de pontos) para

o qual uma órbita evolui após um tempo suficientemente longo. A saber, este fenômeno,

descrito outrora, ficou conhecido como efeito borboleta [8], fazendo alusão a forma do

atrator de Lorenz, cuja aparência lembrava uma borboleta. E não só a forma: a sensibi-

lidade às condições inicias remetiam ao fato de que, segundo a cultura popular, se uma

borboleta batesse as asas em um lugar isso poderia provocar um tufão no outro lado do

mundo. O trabalho de Lorenz[7] de 1963, dá origem a nova teoria f́ısica - A Teoria do

Caos. A ideia de que os sistemas clássicos deterministas podiam levar à uma aleatoriedade

intrigavam os cientistas, agregando assim, à nova teoria, cada vez mais um número maior

de seguidores. E não só isso: a comunidade cient́ıfica em diversos ramos parecia cercada

por fenômenos dessa natureza - na f́ısica, na economia, na biologia - de forma tal forma

que ficou evidente que uma nova ciência estava surgindo.

Os cientistas começaram a ser cercados com as não linearidades cada vez mais

evidentes e emergentes em todas as áreas incluindo: dinâmica de populações[9],

atmosfera[10], economia[11], sistemas f́ısicos[12], entre vários outros. Embora a pre-

visibilidade da teoria linear fosse bem sucedida ficava mais dif́ıcil negar a evidência da

não linearidade. E os cientistas de meados do século XX começaram a se debruçar sobre

esses problemas e a ferramenta que fornecia uma melhor análise e compreensão disso era

o computador e seus avanços numéricos.

O caos pode ser associado à imprevisibilidade dos resultados e sensibilidade do

sistema às condições iniciais e é uma possibilidade de comportamento de um sistema não-

linear dentre inúmeras outras. Entende-se por sistema dinâmico um conjunto de equações

que envolve os mesmos conjuntos de variáveis evoluindo ao longo do tempo. Para a

descrição de sistemas não-lineares e caóticos, são utilizados dois modelos matemáticos: as

equações diferenciais e os mapas[13]. As equações diferenciais são cont́ınuas no tempo e

normalmente são não lineares. Os mapas descrevem uma evolução temporal discreta em

função das iterações anteriores das variáveis relevantes ao sistema, definindo assim o seu

estado. Para uma maior compreensão de sistemas desse tipo, faz-se necessária a utilização

de simulações computacionais, onde serão verificadas as propriedades e variações desses

sistemas senśıveis às suas condições iniciais e aos seus parâmetros de controle. Ao conjunto

de estados acesśıveis formados pela evolução temporal das variáveis relevantes ao sistema

chamamos de espaço de fase, do qual observamos as órbitas, ou seja, um conjunto de

estados formados a partir de uma dada condição inicial, evolúıdos no tempo. Portanto,

o espaço de fase exibe o comportamento dinâmico de um sistema, permitindo assim a

caracterização de sua estrutura. Nele podem ser observados os comportamentos que vão


16

desde o regular ao complexo.

Se há uma sensibilidade às condições iniciais significando que o sistema é caó-

tico, existe uma importante ferramenta que mede esse caos chamada de Expoentes de

Lyapunov[14]. Tendo em vista que duas condições iniciais muito próximas podem se afas-

tar exponencialmente dizemos que há caos e esse expoente é positivo; se essas órbitas não

se afastarem ou se esse afastamento for linear dizemos que o comportamento é regular e

o expoente de Lyapunov é negativo ou nulo.

A motivação inicial para o estudo do acelerador de Fermi remete ao trabalho de

Enrico Fermi em 1949[15], onde há uma tentativa de explicar a aceleração dos raios cós-

micos que viajam no meio interestelar através de um modelo interativo destes com campos

magnéticos oscilantes. Então, é proposto um sistema dinâmico em que uma part́ıcula co-

lida elasticamente (sem perdas de energia nos choques) com uma parede ŕıgida que oscile

periodicamente com o tempo, exercendo assim o papel dos raios cósmicos e dos campos

magnéticos oscilantes, respectivamente. Como mecanismo de retorno, é introduzida uma

parede ŕıgida a uma certa distância da parede móvel. Esse modelo foi proposto por Sta-

nislaw Ulam [16] e ficou conhecido como Modelo Fermi-Ulam (FUM - Fermi-Ulam model),

Modelo de Fermi ou Acelerador de Fermi. Desde então, os cientistas tem dedicado-se a

estudar esses modelos com diversas variações, em que trataremos aqui do próprio modelo

Fermi-Ulam e o modelo com perturbação do tipo biela-manivela[17, 18].

Estudamos o modelo Fermi-Ulam (FUM) unidimensional nos casos conservativo e

dissipativo. O modelo consiste de uma part́ıcula clássica confinada entre duas paredes

ŕıgidas: uma delas oscila periodicamente no tempo enquanto a outra está fixa. Con-

sideramos colisões do tipo elásticas, indicado como caso conservativo e colisões do tipo

inelásticas4 para o caso dissipativo. Consideramos ainda ausência de campo gravitacio-

nal ou quaisquer outros campos. No caso conservativo, encontramos um espaço de fase

misto, coexistindo uma região de mar de caos, ilhas de KAM e curvas invariantes tipo

spanning limitando esse mar de caos. Observamos também no espaço de fase a transição

de integrabilidade para não integrabilidade quando mudamos o parâmetro de controle ε
que controla a intensidade da não linearidade da equação de ε = 0 para ε �= 0. Quando

esse parâmetro é nulo, as constantes de movimento são iguais ao número de graus de li-

berdade do sistema. No entanto, se aumentarmos esse parâmetro, percebemos a formação

do espaço de fase misto, contendo ilhas de estabilidade, mares de caos e curvas invariantes

do tipo spanning. As variáveis dinâmicas as quais representamos no espaço de fase são a

velocidade e a fase (v,φ), respectivamente.

Veremos que ao introduzir as colisões inelásticas, ou seja, tornando o caso dissipa-

tivo, a dinâmica será afetada drasticamente, verificada pela presença de um atrator caótico

4Onde há uma perda fracional de energia a cada colisão.


17

no espaço de fase. Consequentemente, observamos uma contração de área no espaço de

fase e atratores são observados. Portanto, um conjunto de condições iniciais é levado a

um mesmo conjunto de órbitas após um tempo suficientemente longo.

Embora o modelo Fermi-Ulam tenha sido proposto no intuito de verificar a acele-

ração de Fermi veremos que esse fenômeno não é observado no modelo, isto é, não há um

ganho ilimitado de energia da part́ıcula. Tal fenômeno não é observado devido ao movi-

mento suave da fronteira móvel devido a correlação entre os choques no regime de alta

energia. Porém, se a perturbação da fronteira for aleatória, o fenômeno da aceleração de

Fermi será observado. Desde então, os cientistas tem dedicado-se a estudar esses modelos

com diversas variações.

Um outro modelo amplamente estudado é modelo bouncer [19], que consiste em uma

part́ıcula clássica sob ação da gravidade, em movimento unidimensional, que colide em

uma plataforma que movimenta-se periodicamente com o tempo. Ao colidir, a part́ıcula

retorna à plataforma através da ação do campo gravitacional. Uma diferença entre o

modelo Fermi-Ulam e o modelo bouncer é que dependendo da combinação das condições

iniciais e parâmetros de controle, o fenômeno da aceleração de Fermi é observado - um

crescimento ilimitado de energia da part́ıcula.

O modelo Fermi-Ulam com perturbação do tipo biela-manivela[17] é descrito tal

qual o modelo Fermi-Ulam, exceto o mecanismo que faz a parede móvel oscilar, associada

a uma biela-manivela. Nesse caso, haverá o acréscimo de um parâmetro r, que está

diretamente associado à não linearidade das equações. Veremos que para determinados

valores do parâmetro r o modelo poderá apresentar o fenômeno da aceleração de Fermi.

Estudamos este modelo nos casos conservativo e dissipativo.

O principal objetivo deste trabalho é a caracterização de evento de crises de fronteira

[20],[21] em aceleradores de Fermi. A crise ocorre quando há uma variação no parâmetro

de controle e os atratores mudam repentinamente ou são destrúıdos abruptamente. De

fato, três tipos de crise:

(i) a crise de fronteira[20, 21, 22, 23],

(ii) a crise interior[20], e

(iii) a crise unindo atratores[24].

A crise de fronteira ocorre quando uma órbita periódica instável cruza um atrator

provocando a destruição deste, sendo substitúıdo por um transiente caótico. A crise

interior ocorre quando um atrator colide com uma órbita instável posicionada ao interior

desse atrator. Antes da crise esse atrator era formado por três bandas e, após a crise, o


18

atrator é formado por uma única banda. A crise unindo atratores ocorre quando dois ou

mais atratores colidem com uma órbita instável resultando em atratores comuns.

Esta dissertação está organizada da seguinte forma: no caṕıtulo 2, apresentamos

e discutimos com riqueza de detalhes todos os passos necessários para a construção do

modelo do Acelerador de Fermi. Os casos conservativo e dissipativo são discutidos em

seções distintas ao longo do mesmo caṕıtulo. O modelo Fermi-Ulam como perturbação

do tipo biela-manivela é apresentado no caṕıtulo 3, para o qual apresentamos os casos

conservativo e dissipativo. No caṕıtulo 4 apresentamos as conclusões e perspectivas e no

caṕıtulo 5 as referências bibliográficas.


19

CAPÍTULO 2

MODELO FERMI-ULAM

Abordaremos neste caṕıtulo o modelo do acelerador de Fermi-Ulam para ambos os

casos conservativo e dissipativo.

2.1 O Modelo

Em 1949, Enrico Fermi[15] propõe uma explicação sobre a aceleração dos raios

cósmicos. Segundo ele, part́ıculas carregadas que viajam no meio interestelar seriam

aceleradas pela presença de campos eletromagnéticos oscilantes provindos de estrelas e

galáxias. Baseado nessa proposta, vários cientistas se dispuseram ao estudo modelando

a ideia inicial de Fermi em vários contextos. Stanislaw Ulam[16] propos um modelo em

que uma part́ıcula estaria confinada entre duas paredes ŕıgidas, colidindo entre elas, sendo

uma delas periódica no tempo e a outra fixa. A part́ıcula é clássica e de massa unitária;

as paredes possuem massa, muito maiores que a da part́ıcula de modo que no momento

das colisões não hajam deformações nas mesmas, de acordo com a figura 2.1.

A parede móvel está localizada em x = l em relação à parede fixa quando esta

estiver na posição de equiĺıbrio. A parede que oscila periodicamente com o tempo tem o

seu movimento definido por xw = ε ′ cosωt, onde ε é a amplitude de oscilação da parede

móvel e ω é a frequência angular da oscilação. Não há presença de campo gravitacional ou

quaisquer outros campos. Isso implica que a part́ıcula se move com velocidade constante

entre os choques.


20

Figura 2.1: Ilustração do modelo Fermi-Ulam

Os termos α e β correspondem aos coeficientes de restituição e denotam a dissipação

introduzida nas paredes, sendo que α é o coeficiente de dissipação na parede fixa e pertence

ao intervalo [0,1] e β é o coeficiente de dissipação na parede móvel, pertencendo ao

intervalo entre [0,1].

A dinâmica do modelo pode ser descrita utilizando um mapeamento discreto nas

variáveis velocidade v e no instante da colisão t. Para isso, partiremos do prinćıpio que

a part́ıcula já houvera colidido com a parede num instante tn. Então, para esse instante,

xw(tn) = xp(tn), onde xp é a posição em que se encontra a part́ıcula nesse instante inicial e

xw representa a posição da parede móvel. No entanto, a part́ıcula poderá, após partirmos

do prinćıpio que houve uma colisão, ainda ter dois tipos posśıveis de colisões:

(i) Colisões múltiplas ou diretas: ocorrem quando a part́ıcula colide com a parede móvel

e, antes de sair da zona de colisão, sofre outras colisões; ou

(ii) Colisões simples ou indiretas: ocorrem quando a part́ıcula abandona a zona de

colisão, colide com a parede fixa e retorna à zona de colisão.

A zona de colisão é o intervalo compreendido entre x ∈ [−ε ′,ε ′] a part́ıcula poderá

sofrer colisões com a parede móvel. Primeiramente, descreveremos o caso para as colisões

sucessivas.

2.1.1 Colisões Sucessivas

Neste caso, após uma colisão, a part́ıcula não abandona a zona de colisão, colidindo

com a parede móvel outras vezes. Como em t = tn já houve uma colisão e a part́ıcula

não saiu ainda da zona de colisão, então podemos concluir que na próxima colisão, num

instante tn+1 a posição da parede e da part́ıcula será: xp(tn+1) = x0 + vn(Δ t), para os

quais x0 = xp(tn), vn é a velocidade da part́ıcula e Δ t o instante em que ocorre a colisão.


21

Figura 2.2: Figura ilustrando o referencial fixo, que corresponde às coordenadas x,y e as coordenas x′,y′
correspondem ao referencial da parede móvel.

Δ t = t− tn, t ≥ tn. Portanto:

xw(tn+1) = xp(tn+1),

ε ′ cos(ωtn+1) = ε ′ cos(ωtn)+ vntc,

para o qual tc é obtido da solução numérica de:

g(tc) = ε ′ cos[ω(tn + tc)]− ε ′ cos(ωtn)− vntc = 0. (2.1)

Quando g(tc) = 0 conclúımos que no tempo tc houve uma colisão. A função g(tc) tem

solução no intervalo tc ∈ (0, 2π
ω ]. Se a equação Eq.(2.1) não admitir solução nesse intervalo,

significa que a part́ıcula abandonou a zona de colisão sem sofrer colisões múltiplas com a

parede móvel e uma colisão indireta irá ocorrer.

A velocidade da part́ıcula é obtida considerando a conservação do momentum e da

energia no referencial da parede móvel, de acordo com a figura 2.2.

A posição da part́ıcula em relação ao referencial fixo é representada por �R, a posição

da parede em relação ao referencial inercial é dada por�r e a posição da part́ıcula em relação

ao referencial da parede (não-inercial) é �r′. Portanto:

�R = �r+�r′.


22

Derivando em relação tempo, temos:

d�R
dt

=
d�r
dt

+
d�r′

dt
,

�V = �v+�v′,
�v′p = �vp− �vw, (2.2)

em que da Eq.(2.2) temos que �v′p, �vp e �vw são, respectivamente, a velocidade da part́ıcula

no referencial da parede móvel, a velocidade da part́ıcula em relação ao referencial fixo e

a velocidade da parede móvel.

Após a colisão, pela condição de reflexão, temos que:

v′p(depois) = −βv′p(antes),

(vn+1− vw) = −β (vn− vw),

vn+1 = −βvn +(1+β )vw. (2.3)

Da Eq.(2.3), vn é a velocidade da part́ıcula antes da colisão e vn+1 é a velocidade da

part́ıcula após a colisão.

A velocidade da parede móvel é dada pela derivada de sua posição, ou seja

vw =
dxw

dt
=−ε ′ω sin(ωt). (2.4)

Substituindo a Eq.(2.4) na Eq.(2.3) obteremos:

vn+1 = −βvn− (1+β )ε ′ω sin(ωtn+1). (2.5)

Como a part́ıcula não abandona a zona de colisão, o tempo em que o próximo choque

(tn+1) ocorrerá é dado por tn+1 = tn + tc.

Portanto, constrúımos o mapa Tm para o caso de colisões múltiplas dado por:

Tm :

{
vn+1 =−βvn− (1+β )ε ′ sin(ωtn+1)

tn+1 = tn + tc
, (2.6)

onde Tm é um operador que conduz a dinâmica das variáveis (vn, tn) ao estado (vn+1, tn+1)

através de uma evolução temporal.

2.1.2 Colisões Simples ou Indiretas

Para este tipo de colisão, consideramos que a part́ıcula sofre apenas uma colisão com

a parede móvel e retorna à parede fixa, onde é refletida, sofrendo assim outra colisão com


23

a parede móvel. Portanto, consideraremos aqui o tempo necessário para que a part́ıcula

realize esse percurso. Para isso, tomamos em consideração o ponto inicial dessa trajetória

sendo pressuposto que a part́ıcula já houvera colidido em um tempo tn. Então, xw(tn) =

xp(tn) = ε ′ cos(ωtn). De acordo com a figura 2.1, ela viaja para a direita (td), colide com

a parede fixa, viaja para a esquerda te e adentra a zona de colisão. O instante do choque

será designado por tc. Lembramos ainda que há o coeficiente de dissipação α na parede

fixa. Descrevendo em equações o tempo de viagem para a direita, teremos que:

td =
l− ε ′ cos(ωtn)

vn
. (2.7)

Por outro lado, o tempo de viagem para a esquerda, temos:

te =
l− ε ′

αvn
. (2.8)

Quando a part́ıcula entra na zona de colisão, sua posição será xp = ε ′ −αvntc. Logo:

xw(tn+1) = xp(tn+1), (2.9)

ε ′ cos[ω(tn + td + te + tc)] = ε ′ −αvntc. (2.10)

Assim, podemos definir f (tc) como:

f (tc) = ε ′ cos[ω(tn + td + te + tc)]− ε ′+αvntc. (2.11)

Pela Eq.(2.11), quando f (tc) = 0 a part́ıcula sofreu um choque, cujo instante tc ∈ [0, 2π
ω ).

Fazendo o mesmo procedimento de conservação do momentum e da energia no

referencial da parede móvel, obteremos:

v′p(depois) = −βv′p(antes),

(vn+1− vw) = −β (−αvn− vw),

vn+1 = βαvn +(1+β )vw. (2.12)

Considerando a expressão da velocidade da fronteira, temos que:

vn+1 = βαvn +(1+β )ε ′ sin(ωtn+1). (2.13)

O instante tn+1 é dado por tn+1 = tn + td + te + tc. Então, o mapa Ts é escrito como:

Ts :

{
vn+1 = αβvn− (1+β )ε ′ sin(ωtn+1)

tn+1 = tn + td + te + tc
, (2.14)

onde Ts é o operador que conduz as variáveis (vn, tn) através de uma evolução temporal às

novas variáveis (vn+1, tn+1).


24

2.2 O Mapa

Notamos da construção do mapeamento que existem três parâmetros de controle e

que nem todos eles são relevantes para descrever a dinâmica do sistema. Assim, podemos

ainda definir variáveis adimensionais e portanto mais convenientes à dinâmica, como Vn =
vn
ωl (fazendo o mesmo também para Vn+1), ε = ε ′

l e φn = ωtn (fazendo o mesmo para φn+1,

φd, φe e φc) tornando-as adimensionais e diminuindo assim a quantidade de parâmetros

de controle.

O mapeamento para as colisões múltiplas e simples poderá ser condensado em um

único mapa, de modo que:

T :

{
Vn+1 =V ∗n − (1+β )ε sin(φn+1)

φn+1 = [φn +ΔT ∗n ] mod (2π)
, (2.15)

de modo que as variáveis V ∗n e ΔT ∗n do mapa (2.15) correspondem ao tipo de colisão

ocorrida. Quando a colisão for múltipla, essas variáveis serão: V ∗n =−βVn e ΔT ∗n = φc. A

Eq.(2.1) será dada por

G(φc) = ε cos(φn+1)− ε cos(φn)−Vnφc = 0, (2.16)

cuja solução é obtida quando φc ∈ (0,2π]. Quando a ocorrerem colisões simples, as variá-

veis serão: V ∗n = αβVn e ΔT ∗n = φd +φe +φc. A Eq.(2.11) tornar-se-á

F(φc) = ε cos(φn+1)− ε +αVnφc = 0, (2.17)

cuja solução é obtida quando φc ∈ [0,2π).

2.3 Propriedades Dinâmicas para o Caso Conserva-

tivo

Discutiremos nesta seção a dinâmica do modelo Fermi-Ulam unidimensional para

o caso conservativo. Esse modelo considera apenas colisões elásticas com as paredes, e a

velocidade da part́ıcula entre elas é determinada após cada choque e mantida constante

entre as viagens, pois não há perdas fracionais de energia.

Quando α = β = 1 recuperamos o caso conservativo. Portanto, o mapa para este

caso será:

T :

{
Vn+1 =V ∗n −2ε sin(φn+1)

φn+1 = [φn +ΔT ∗n ] mod (2π)
, (2.18)


25

para os quais V ∗n e ΔT ∗n dependem do tipo de colisão ocorrida.

Para as múltiplas colisões, V ∗n =−Vn e ΔT ∗n = φc, onde φc é obtido da menor solução

de

G(φc) = ε cos(φn+1)− ε cos(φn)−Vnφc = 0, (2.19)

para φc ∈ (0,2π].

Caso o tipo de colisão ocorrida seja a indireta, V ∗n =Vn e ΔT ∗n = φd +φe+φc, no qual

φc é obtido da menor solução de

F(φc) = ε cos(φn+1)− ε +Vnφc = 0, (2.20)

com φc ∈ [0,2π).

2.3.1 Matriz Jacobiana

A matriz jacobiana pode ser utilizada para a obtenção dos expoentes de Lyapunov

[14] e estudo da dinâmica de um sistema linearizado, ou seja, cujo comportamento é

estudado em torno de soluções periódicas, ou conhecido também como ponto fixo [13].

Para o mapeamento definido pela Eq.(2.18) ela é escrita:

J =

(
J11 J12

J21 J22

)
=

(∂Vn+1
∂Vn

∂Vn+1
∂φn

∂φn+1
∂Vn

∂φn+1
∂φn

)
, (2.21)

considerando o tipo de colisão ocorrida. Considerando inicialmente as colisões múltiplas,

os coeficientes da matriz jacobiana serão:

J11 =
∂Vn+1
∂Vn

=−1−2ε cos(φn+1)
∂φn+1

∂Vn
,

J12 =
∂Vn+1
∂φn

=−2ε cos(φn+1)
∂φn+1
∂φn

,

J21 =
∂φn+1

∂Vn
= ∂φc

∂Vn
,

J22 =
∂φn+1
∂φn

= 1+ ∂φc
∂φn

.

Podemos obter ∂φc
∂Vn

e ∂φc
∂φn

derivando implicitamente a Eq.(2.19), na qual obtemos:

∂φc

∂Vn
=

−φc

Vn + ε sin(φn+1)
e

∂φc

∂φn
=

ε sin(φn+1)− ε sin(φn)

−ε sin(φn+1)−Vn
.

O determinante da matriz jacobiana tem como principal caracteŕıstica mostrar o que

acontece com a área no espaço de fase depois de uma evolução temporal. Sabemos,

pelo Teorema de Liouville [25], que em sistemas conservativos a área no espaço de fase


26

deve ser preservada, para o qual devemos obter det(J) = ±1. Porém, considerando que

as variáveis em questão não são canônicas (as variáveis canônicas seriam a energia e o

tempo), o determinante não será igual à 1, mas preservará uma certa medida. De fato, o

determinante é dado por

det(J) =
Vn + ε sin(φn)

Vn+1 + ε sin(φn+1)
. (2.22)

Para colisões simples, os coeficientes da matriz jacobiana serão dados por:

J11 =
∂Vn+1
∂Vn

=−2ε cos(φn+1)
∂φn+1

∂Vn
,

J12 =
∂Vn+1
∂φn

=−2ε cos(φn+1)
∂φn+1
∂φn

,

J21 =
∂φn+1

∂Vn
= ∂φd

∂Vn
+ ∂φe

∂Vn
+ ∂φc

∂Vn
,

J22 =
∂φn+1
∂φn

= 1+ ∂φd
∂φn

+ ∂φe
∂φn

+ ∂φc
∂φn

.

Lembrando que φd = 1−ε cos(φn)
Vn

e φe =
1−ε
Vn

, para as quais ∂φd
∂Vn

= −1+ε cos(φn)
V 2

n
, ∂φd

∂φn
=

ε sin(φn)
Vn

e ∂φe
∂Vn

= −1+ε
V 2

n
, ∂φe

∂φn
= 0.

Os termos ∂φc
∂Vn

e ∂φc
∂φn

são obtidos derivando implicitamente a Eq.(2.20) e são expressos

por:

∂φc

∂Vn
=
−φc + ε sin(φn+1)

ε(1+cos(φn)−2)
V 2

n

Vn− ε sin(φn+1)
e

∂φc

∂φn
=

ε sin(φn+1)[1+
ε sin(φn)

Vn
]

Vn− ε sin(φn+1)
.

O determinante da matriz jacobiana para este caso será:

det(J) =
Vn + ε sin(φn)

Vn+1 + ε sin(φn+1)
. (2.23)

Considerando que a área no espaço de fase evolui do instante n para n+1, de acordo
com o determinante da matriz jacobiana, temos que

dAn+1 =

[
Vn + ε sin(φn)

Vn+1 + ε sin(φn+1)

]
dAn,

dAn+1[Vn+1 + ε sin(φn+1)] = [Vn + ε sin(φn)]dAn,

dμn+1 = dμn, (2.24)

onde dμ = (V + ε sinφ)dV dφ .


27

Figura 2.3: Espaço de fase para o modelo Fermi-Ulam conservativo. O parâmetro de controle ε utilizado
foi ε = 0,001.

2.3.2 Espaço de Fase

O espaço de fase é uma representação das variáveis dinâmicas relevantes ao sistema

dinâmico. É o conjunto de todos os estados acesśıveis que evoluem no tempo a partir de

um estado inicial do sistema. Para tal evolução, o sistema percorre pontos do espaço de

fase, dando origem às órbitas. Portanto, o espaço de fase também é o conjunto de todas as

órbitas posśıveis. O espaço de fase pode exibir estruturas de formas diversas, contendo or-

ganizações diferentes e arranjos. Falaremos sobre o espaço de fase do modelo Fermi-Ulam

conservativo e as estruturas observadas. A fig.(2.3) mostra o espaço de fase para o modelo

Fermi-Ulam considerando ε = 0,001. Para a construção da figura 2.3 foram utilizadas 200

condições iniciais através da iteração do mapa Eq.(2.18). A grade de condições iniciais

constrúıdas para a fase φ0 ∈ [0,2π) foi dividida em 20 incrementos igualmente espaçados

ao passo que para a grade constrúıda para a velocidade V , foi realizada uma divisão de

10 incrementos também igualmente espaçados iniciando em V0 ∈ [0,0175,0,085]. Cada

condição inicial foi iterada 103 vezes.

Analisando o espaço de fase, percebemos a presença de uma rica estrutura, onde

curvas invariantes tipo spanning coexistem com ilhas de estabilidade e mares de caos. As

curvas invariantes são assim ditas por serem invariantes por iteradas. Elas são observadas

num regime de altas energias e a curva invariante de mais baixa energia limita o mar de

caos. Observamos ainda que essas curvas separam um caos global (mar de caos) de um


28

caos local (região de caos acima da primeira curva spanning). As ilhas de estabilidade são

caracterizadas por comportamentos periódicos ou quase-periódicos. Pelas propriedades

do determinante da matriz jacobiana, uma condição inicial dada no interior de uma ilha

jamais sairá dela e, da mesma maneira, uma dada condição inicial gerada no mar de

caos não visitará uma ilha. Fisicamente, essas ilhas de periodicidade representam um

movimento periódico entre os choques da part́ıcula e a fase da parede móvel. Veremos

mais adiante que nessas ilhas localizar-se-á pontos de estabilidade ou pontos fixos. O

mar de caos aparece em regime de baixas energias, representando fisicamente uma certa

aleatoriedade entre a fase da parede móvel e os choques.

2.3.3 Análise dos Pontos Fixos

Os pontos fixos são obtidos através da condição Vn+1 =Vn =V ∗ e φn+1 = φn = φ∗+
2mπ, onde m = 1,2, .... Então, substituindo tais condições no mapa (2.18), encontramos:

φ∗ =

{
0
π

, (2.25)

para o qual v∗ = 1−ε cos(φ∗)
mπ . Substituindo Eq.(2.25), teremos dois pontos fixos:

(V ∗1 ,φ
∗
1 ) =

(
1− ε
mπ

,0
)
, (2.26)

e

(V ∗2 ,φ
∗
2 ) =

(
1+ ε
mπ

,π
)
. (2.27)

Para analisar a estabilidade desses pontos fixos devemos substitúı-los na matriz

jacobiana. Então, os elementos da matriz jacobiana avaliada no ponto fixo da Eq.(2.26)

serão:

J∗11 =
∂Vn+1
∂Vn

= 1−2(2mπ)2 ε(ε−1)
(1−ε)2 ,

J∗12 =
∂Vn+1
∂φn

=−2ε ,

J∗21 =
∂φn+1

∂Vn
= 2(mπ)2 (ε−1)

(1−ε)2 ,

J∗22 =
∂φn+1
∂φn

= 1.

Para encontrar os autovalores da matriz jacobiana, usamos a propriedade[13]:

det(J∗ −νI) = 0, (2.28)

onde J∗ é a matriz jacobiana avaliada no ponto fixo; ν é o autovalor e I é a matriz


29

identidade. A partir da Eq.(2.28), o ponto fixo da Eq.(2.26) resulta no polinômio

det(J∗ −νI) = ν2−ν
[
(2mπ)2 ε(1− ε)

(1− ε)2 +2
]
+1, (2.29)

onde chamamos de traço da matriz jacobiana o termo

Tr(J∗) =
[
(2mπ)2 ε(1− ε)

(1− ε)2 +2
]
> 0. (2.30)

Portanto:

ν2 +ν(TrJ∗)+1 = 0,

ν± =
TrJ∗ ±

√
(TrJ∗)2−4
2

. (2.31)

A partir da análise de TrJ∗, podemos classificar os pontos fixos em:

(i) Se |TrJ∗|< 2→ Ponto fixo eĺıptico;

(ii) Se |TrJ∗|= 2→ Ponto fixo parabólico;

(iii) Se |TrJ∗|> 2→ Ponto fixo hiperbólico.

Como TrJ > 2 para o ponto fixo (2.26), conclúımos que eles são pontos fixos hiber-

bólicos.

Fazendo o mesmo procedimento para Eq.(2.27), os elementos da matriz jacobiana

serão dados por:

J∗11 =
∂Vn+1
∂Vn

= 1− ε(2mπ)2

(1+ε) ,

J∗12 =
∂Vn+1
∂φn

= 2ε ,

J∗21 =
∂φn+1

∂Vn
= −2(mπ)2

(1−ε) ,

J∗22 =
∂φn+1
∂φn

= 1.

Usando a Eq.(2.28), o polinômio será:

det(J∗ −νI) = ν2 +ν
[

ε(2mπ)2

(1+ ε)
−2
]
+1, (2.32)

onde chamamos de traço da matriz jacobiana o termo

Tr(J∗) =
[

ε(2mπ)2

(1+ ε)
−2
]
. (2.33)


30

Figura 2.4: Pontos fixos para o modelo Fermi-Ulam conservativo. O parâmetro de controle ε utilizado
foi ε = 0,001.

Utilizando a Eq.(2.31) para o ponto fixo (V ∗2 ,φ
∗
2 ) = (1+ε

mπ ,π), a expressão para m será

dada por:

m =
1
π

√
1+ ε

ε
. (2.34)

Substituindo a Eq.(2.34) em V ∗ = 1+ε
mπ para o parâmetro de controle ε = 0,001:

m∼= 10,07

{
V ∗ ∼= 0,031
φ∗ = π

, (2.35)

logo se m > 10 temos ponto fixo hiperbólico e se m≥ 10 temos ponto fixo eĺıptico.

A figura 2.4 representa a localização dos pontos fixos encontrados analiticamente.

2.3.4 Cálculo dos Expoentes de Lyapunov

A presença de expoentes de Lyapunov positivo é um importante indicador da pre-

sença de caos em um sistema dinâmico. A relação consiste em verificar se a partir de duas

condições iniciais próximas haverá uma divergência exponencial entre elas para tempos

suficientemente longos. Caso o afastamento entre essas órbitas seja linear, podemos dizer

que o sistema é regular e não há perdas de previsibilidade; se o afastamento for exponen-


31

cial, o sistema poderá ter componentes que indiquem a existência de caos. Vejamos como

isso ocorre.

Inicialmente, suponhamos que a dinâmica seja dada por um mapeamento tipo

xn+1 = F̃(xn) (2.36)

para o qual F̃ seja uma função não linear qualquer de duas variáveis. Utilizando uma

condição inicial x0 e uma condição inicial próxima x0 + δ0 e iterando o mapa Eq.(2.36)

após n iterações, teremos:

δn = |F̃(n)(x0 +δ0)− F̃(n)(x0)| (2.37)

para o qual δn é a distância entre as órbitas e n identifica a enésima composição de F(x0).

Supondo que o afastamento entre as órbitas seja exponencial, então

δn ∼= δ0eλn. (2.38)

Aplicando o logaŕıtmo em ambos os lados da equação (2.38) temos:

lnδn = (λn)lnδ0,

λ =
1
n
[lnδn− lnδ0] ,

λ =
1
n

ln
[

δn

δ0

]
. (2.39)

Podemos substituir a Eq.(2.37) na Eq.(2.38) obtendo

λ =
1
n

ln

∣∣∣∣∣ F̃
(n)(x0 +δ0)− F̃(n)(x0)

δ0

∣∣∣∣∣ . (2.40)

Tomando o limite quando δ0 → 0 da Eq.(2.40) temos:

eλn = lim
δ0→0

∣∣∣∣∣ F̃
(n)(x0 +δ0)− F̃(n)(x0)

δ0

∣∣∣∣∣ . (2.41)

Se λ for negativo (λ < 0), as órbitas serão regulares (periódicas ou quase periódicas); se

λ for positivo (λ > 0), a órbita é dita ser caótica. Isolando λ ,

λ =
1
n

ln
∣∣∣F̃ ′(n)(x0)

∣∣∣ . (2.42)

O lado direito da Eq.(2.41) é a própria definição de derivada. Aplicando a regra da cadeia:

λ =
1
n

ln
∣∣(F̃ ′(xn−1).F̃ ′(xn−2).F̃ ′(xn−3).....F̃ ′(x0))

∣∣ . (2.43)


32

Usando a propriedade logaŕıtmica, a Eq.(2.43) tornar-se-á:

λ =
1
n

(
ln|F̃ ′(xn−1)|+ ln|F̃ ′(xn−2)|+ ln|F̃ ′(xn−3)|+ ...+ ln|F̃ ′(x0)|

)
,

λ =
1
n

n−1

∑
i=0

ln|F ′(xi)|. (2.44)

Para a realização da simulação, tomamos λ quando n→ ∞. Então, λ será o expoente de

Lyapunov calculado para mapas unidimensionais pela equação:

λ = lim
n→∞

1
n

n−1

∑
i=0

ln|F ′(xi)|. (2.45)

Aplicando o formalismo para o mapeamento bidimensional, de um mapa qualquer

dado por {
xn+1 =C(xn,yn)

yn+1 = D(xn,yn)
, (2.46)

onde C e D são funções não lineares de suas variáveis. Os expoentes de Lyapunov são

dados por [14]:

λ j = lim
n→∞

ln|Λ (n)
j |; j = 1,2. (2.47)

para o qual Λ (n)
j identifica os autovalores da matriz

M =
n

∏
i=1

Ji(xi,yi),

M = Jn(xn,yn)Jn−1(xn−1,yn−1)...J1(x1,y1)J0(x0,y0). (2.48)

onde J representa a matriz jacobiana do mapeamento avaliada ao longo da órbita. O

produto dessas matrizes da Eq.(2.48) pode tornar-se grande, acarretando uma ocorrência

numérica conhecida como overflow. Para evitar o produto dessas matrizes e encontrar

os autovalores, reescrevemos a matriz J como o produto de duas matrizes sendo uma

triangular superior T e a outra ortogonal θ , de tal modo que

J = θT. (2.49)

Os autovalores serão T11 e T22 da matriz T . Assim, para obtermos as expressões dos

autovalores, escolhemos a matriz diagonal do tipo

θ =

(
cosθ −sinθ
sinθ cosθ

)
, (2.50)


33

e a matriz triangular superior como

T =

(
T11 T12

0 T22.

)
. (2.51)

Usando a propriedade θ−1 = θ t , ou seja, a matriz inversa de rotação da Eq.(2.50) é igual a

sua transposta e o produto da matriz inversa de rotação por ela mesma resulta na matriz

identidade I, θ−1θ = I, reescrevemos a matriz M

M = JnJn−1Jn−2...J2J1θ0θ−1
0 J0. (2.52)

Aplicando na Eq.(2.49) a matriz inversa, temos:

θ−1J = θ−1θT ;

θ−1J = T ; (2.53)

ao que chamamos os produtos J1θ0 = J̃1 e θ−1
0 J0 = T0. Reescrevendo a Eq.(2.52) em termos

da Eq.(2.53), resulta

M = JnJn−1Jn−2...J2J1T0. (2.54)

Escrevendo a Eq.(2.53) em forma de matriz:(
T11 T12

0 T22

)
=

(
cosθ0 sinθ0

−sinθ0 cosθ0

)(
J11 J12

J21 J22

)
, (2.55)

⎧⎨
⎩T11 = J11 cosθ0 + J21 sinθ0

T22 =−J12 sinθ0 + J22 cosθ0

, (2.56)

Para obter a relação de θ0 em função de J, podemos usar:

− sinθ0J11 + cosθ0J21 = 0
sinθ0

cosθ0
=

J21

J11
. (2.57)

Podemos escrever a razão trigonométrica de modo

sin(θ) =
J21√

J2
21 + J2

11

,

cos(θ) =
J11√

J2
21 + J2

11

. (2.58)


34

Figura 2.5: Expoentes de Lyapunov para o modelo Fermi-Ulam conservativo. O parâmetro de controle ε
utilizado foi ε = 0,001, para uma condição inicial dada no mar de caos (V0 = 0,0021, φ0 = 6,0) e iterada
106.

Substituindo a Eq.(2.58) na Eq.(2.56) temos:

T11 =
J2

11 + J2
21√

J2
21 + J2

11

, (2.59)

T22 =
J11J22− J12J21√

J2
21 + J2

11

. (2.60)

O procedimento é repetido para J̃2, ..., de modo que com esta atualização, o algoŕıtimo

pode ser continuado e os expoentes de Lyapunov calculados por

λ j = lim
n→∞

1
n

n

∑
i=0

ln|T (i)
j j |; j = 1,2. (2.61)

Portanto, a partir desses resultados poderemos calcular os expoentes de Lyapunov nume-

ricamente para um órbita caótica do modelo Fermi-Ulam.

O grafico 2.6 mostra os expoentes de Lyapunov positivo e negativo para uma única

condição inicial dada na região do mar de caos, iterada 106 vezes. Por se tratar de um

sistema conservativo dado por um mapeamento bidimensional e, portanto o sistema é

hamiltoniano, temos que λ1+λ2 = 0, isto é, a soma do expoente positivo com o expoente

negativo é nula. Isso se deve ao fato desses sistemas preservarem área no espaço de fase.

A figura 2.6 foi constrúıda para seis condições iniciais distintas, ecolhidas na região

do mar de caos e iteradas 107. O parâmetro de controle utilizado é ε = 0,001. O ex-


35

Figura 2.6: Expoentes de Lyapunov para o modelo Fermi-Ulam conservativo. O parâmetro de controle
utilizado foi ε = 0,001, para seis condições iniciais e foram realizadas 107 iterações.

poente de Lyapunov flutua inicialmente convergindo à um platô constante para tempos

suficientemente longos.

2.4 Caso dissipativo

Neste caso, consideraremos que as colisões ocorridas são do tipo inelásticas e, para

tal, introduz-se um coeficiente α na parede fixa e β na parede móvel. Em termos dos

coeficientes de dissipação α e β as possibilidades da dinâmica são:

i) α = β = 1: caso conservativo;

ii) α = 1 e β = 0: a part́ıcula, inicialmente vinda de uma colisão, viajando em direção à

parede fixa, cola nesta pondo fim à dinâmica. O caso deixa assim de ser interessante;

iii) quando α = 0 e β = 1: a part́ıcula colide com a parede fixa e entra na zona de

colisão, cola a esta e, quando a fase para o qual a energia da fronteira é máxima, ou

seja, em x = 0, a part́ıcula é relançada com a velocidade máxima da fronteira. Este

efeito é conhecido na literatura como locking [26];

(iv) para α = β = 0 chegamos ao caso segundo caso descrito acima;

(v) restando ainda a situação α �= 1 e β �= 1.


36

Figura 2.7: Espaço de fase para o modelo Fermi-Ulam dissipativo utilizando ε = 0,04, α = 1 e β = 0,93.

Então, o mapa que descreve caso dissipativo será dado pela Eq.(2.15), obedecendo

as Eq.(2.16) para as colisões sucessivas e Eq.(2.17) para as colisões simples.

A presença da dissipação afeta drasticamente a dinâmica desse modelo, conforme

mostra a figura 2.7. Ocorre a destruição do espaço de fase misto podendo ser substitúıdo

por um atrator caótico. Atrator é um ponto ou um conjunto de pontos para os quais as

órbitas convergem no espaço de fase para tempos suficientemente longos.

2.4.1 Matriz Jacobiana

A matriz jacobiana será dada pela Eq.(2.21) cujos coeficientes para colisões múlti-

plas serão dados por:

J11 =
∂Vn+1
∂Vn

=−β − (1+β )ε cos(φn+1)
∂φn+1

∂Vn
,

J12 =
∂Vn+1
∂φn

=−(1+β )ε cos(φn+1)
∂φn+1
∂φn

,

J21 =
∂φn+1

∂Vn
= ∂φc

∂Vn
,

J22 =
∂φn+1
∂φn

= 1+ ∂φc
∂φn

,

para os quais podemos extrair ∂φc
∂Vn

e ∂φc
∂φn

derivando implicitamente a função (2.16), na qual

obtivemos:

∂φc

∂Vn
=

−φc

Vn + ε sin(φn+1)
e

∂φc

∂φn
=

ε sin(φn+1)− ε sin(φn)

−Vn− ε sin(φn+1)
.


37

O determinante dessa matriz para esse tipo de colisão é

det(J) = β 2 Vn + ε sin(φn)

Vn+1 + ε sin(φn+1)
. (2.62)

Os coeficientes da matriz jacobiana para as colisões simples, serão dados por:

J11 =
∂Vn+1
∂Vn

= βα− (1+β )ε cos(φn+1)
∂φn+1

∂Vn
,

J12 =
∂Vn+1
∂φn

=−(1+β )ε cos(φn+1)
∂φn+1
∂φn

,

J21 =
∂φn+1

∂Vn
= ∂φd

∂Vn
+ ∂φe

∂Vn
+ ∂φc

∂Vn
,

J22 =
∂φn+1
∂φn

= 1+ ∂φd
∂φn

+ ∂φe
∂φn

+ ∂φc
∂φn

,

em que φe =
1−ε
αVn

e φd = 1−ε cos(φn)
Vn

. As derivadas de φd e φe são:

∂φe
∂Vn

= −(1−ε)
αV 2

n
, ∂φe

∂φn
= 0, ∂φd

∂Vn
= −[1−ε cos(φn)]

V 2
n

e ∂φd
∂φn

= ε sin(φn)
Vn

.

Podemos extrair ∂φc
∂Vn

e ∂φc
∂φn

derivando implicitamente a função (2.17), na qual obti-

vemos:

∂φc

∂Vn
=

ε sin(φn+1)
[

1−ε cos(φn)
V 2

n
+ (1−ε)

αV 2
n

]
+αφc

ε sin(φn+1)−αVn
e

∂φc

∂φn
=

ε sin(φn+1)
[
1+ ε sin(φn)

Vn

]
−ε sin(φn+1)+αVn

.

O determinante da matriz jacobiana para colisões simples é:

det(J) = β 2α2
[

Vn + ε sin(φn)

Vn+1 + ε sin(φn+1)

]
. (2.63)

Conclúımos que os resultados das Eqs.(2.62) e (2.63) mostram que a área no espaço

de fase sofre uma contração quando a dissipação é introduzida. Se α = β = 1 recuperamos

os resultados do determinante para o caso conservativo.

2.4.2 Expoentes de Lyapunov

Considerando a discussão da subseção (2.3.5), podemos também utilizar o algoritmo

de triangularização para obter o comportamento do expoente de Lyapunov positivo. A

figura (2.8) mostra a convergência do expoente de Lyapunov positivo para 5 condições

iniciais distintas escolhidas ao longo do atrator caótico mostrado na Fig.(2.8). A média

das convergências fornece λ = 1,58(1), onde 0,01 corresponde ao desvio padrão.


38

Figura 2.8: Expoentes de Lyapunov para o modelo Fermi-Ulam dissipativo. Foram utilizadas cinco
condições iniciais distintas para ε = 0,04 e 105 iterações.

2.4.3 Ponto fixo

O ponto fixo é um ponto para o qual a solução não varia com o tempo. Neste

modelo, é obtido através do mapa para colisões simples e atendendo a dois critérios:

Vn+1 = Vn =V ∗ (2.64)

φn+1 = φn = φ∗+2mπ, onde m = 1,2, ... , (2.65)

onde m denota o número de oscilações completas da parede móvel. Os ı́ndices n+1 indicam

que o ponto fixo encontrado possui peŕıodo 1, e de maneira generalizada, poderemos dizer

que para o ı́ndice n+ i, i denota o peŕıodo do ponto ponto fixo. Substituindo as Eqs.(2.64)

e (2.65) no mapa (2.15), encontraremos V ∗:

V ∗ =
(1+β )
(βα−1)

ε sin(φ∗), (2.66)

φ∗ =±arccos

[
ε± γ

√
ε2 + γ2−1

ε2 + γ2

]
, (2.67)

onde γ é uma termo auxiliar definido como γ = 2εαmπ
(α+1)

[
(1+β )
(βα−1)

]
. Existem quatro expressões

posśıveis valores para φ∗. Duas delas são soluções matemáticas e duas são soluções f́ısicas.

Assim, a expressão que produz um ponto de sela é dado por:

φ∗ =−arccos

[
ε− γ

√
ε2 + γ2−1

ε2 + γ2

]
, (2.68)


39

ao passo que

φ∗ =−arccos

[
ε + γ

√
ε2 + γ2−1

ε2 + γ2

]
, (2.69)

leva a um ponto fixo assintoticamente estável (sink).

O ponto de sela é um ponto fixo instável, para o qual os autovalores obedecem o

critério |ν1| > 1 e ν2 < 1 ou vice-versa. A partir do ponto de sela é que constrúımos as

variedades estáveis e instáveis, conforme discutiremos na próxima seção.

2.5 Crise de Fronteira no modelo Fermi-Ulam

Investigado pela primeira vez por Celso Grebogi [20], em 1982, a crise de fronteira

ocorre quando uma órbita instável cruza uma região caótica. Inicialmente, foi observado

no mapa quadrático (mapa que pode ser obtido através de uma transformação linear do

mapa loǵıstico), onde mudando o parâmetro de controle obtinha-se esse cruzamento. Até

então, não havia explicações para o fenômeno, denominando-o assim de crise.

Existem pelo menos três tipos de crise [20]:

i) Crise de fronteira: ocorre quando uma órbita periódica cruza um atrator caótico. O

resultado dessa colisão é uma repentina e abrupta destruição do atrator caótico;

ii) Crise interior: ocorre quando um atrator caótico colide com uma órbita instável

posicionada ao interior do atrator, resultando na expansão desse atrator; e

iii) Crise unindo atratores: neste evento de crise, dois ou mais atratores colidem simul-

taneamente entre si e com uma órbita instável, tornando-se comuns.

Veremos que nos aceleradores de Fermi a crise de fronteira ocorre quando as rami-

ficações estáveis de um ponto de sela colidem com as bordas do atrator caótico [22]. Do

ponto de sela partem ramificações que se afastam, sendo chamadas de variedades instá-

veis e ramificações que se aproximam, sendo chamadas de variedades estáveis. A partir

da localização do ponto de sela, é posśıvel determinar essas variedades, que são mostradas

na fig.(2.9).

A figura 2.9 mostra a evolução dessas variedades. As variedades instáveis são cons-

trúıdas pela iteração do mapa T , onde as condições iniciais são dadas a partir de auto-

vetores do ponto de sela e evolúıdos no tempo. As variedades estáveis foram constrúıdas

iterando o mapa inverso T−1. O operador T−1 conduz as variáveis (Vn+1,φn+1) ao estado

(Vn,φn) e, para tal transformação, usamos a expressão da velocidade obtida da Eq.(2.15),


40

Figura 2.9: Variedades estáveis e instáveis utilizando m= 1, ε = 0,04, α = 0,93624 e β = 1. As variedades
estáveis estão representadas pelas cores amarelo e vermelho; as variedades instáveis pelas cores verde e
azul. O gráfico foi constrúıdo imediatamente antes da crise de fronteira.

isolando Vn, logo:

Vn =
1

βα
[Vn+1 +(1+β )ε sin(φn+1)] , (2.70)

e φn é obtida da solução da função h(φn) = 0 na qual é escrita como:

h(φn) = [Vn+1 +(1+β )ε sin(φn+1)](φn−φn+1)+β (1+α)

−βεα cos(φn)−βε cos(φn+1). (2.71)

A solução da Eq.(2.71) é obtida numericamente pelo método de Newton com uma precisão

de 10−12.

As órbitas em azul e verde representam as variedades instáveis, para as quais ob-

servamos que o ramo em azul evolui para um ponto fixo atrativo (sink) e o ramo em

verde evolui para um atrator caótico. As órbitas em amarelo e vermelho mostram as

variedades estáveis e formam a fronteira entre a bacia de atração do atrator caótico e de

ponto fixo atrativo. Na figura 2.9 temos a construção dessas variedades imediatamente

antes do evento de crise de fronteira; para a figura 2.10, imediatamente após. Para tal,

aumentamos o valor de α , o que corresponde a diminuir o coeficiente de dissipação. As


41

Figura 2.10: Variedades estáveis e instáveis utilizando m = 1, ε = 0,04, α = 0,9385 e β = 1. O mesmo
padrão de cores para as variedades foi mantida em relação à figura (2.9). O gráfico foi constrúıdo após
a crise de fronteira.

variedades estáveis tocam as bordas do atrator caótico, causando sua destruição. Temos

então um cruzamento homocĺınico das órbitas pois as ramificações que se cruzam provêm

do mesmo ponto de sela, caracterizando assim um evento de crise de fronteira.


42

CAPÍTULO 3

MODELO FERMI-ULAM COM

PERTURBAÇÃO DO TIPO

BIELA-MANIVELA

O modelo Fermi-Ulam serviu de inspiração aos cientistas e foi um ponto de partida

para o estudo de muitas variações desse modelo. A versão do modelo Fermi-Ulam que

estudaremos neste caṕıtulo inclui uma perturbação do tipo biela-manivela e foi proposta

pela primeira vez na literatura por Leonel e Silva [17] em 2008.

3.1 O Modelo

O modelo consiste em introduzir um mecanismo que movimenta a parede móvel

através de uma perturbação do tipo biela-manivela, que transforma um movimento circu-

lar em translação. Observaremos que a dinâmica gerada pela presença desse mecanismo

altera em comparação com o que observamos para o espaço de fase do modelo Fermi-

Ulam, revelando o fenômeno da aceleração de Fermi para alguns parâmetros de controle

espećıficos. Descreveremos a dinâmica desse modelo através de um mapeamento discreto

bidimensional. A figura 3.1 ilustra o modelo. Uma part́ıcula clássica colide entre essas

paredes ŕıgidas,em que a parede fixa está localizada em x = l enquanto que a parede móvel

tem sua posição dada por s(t) = Rcos(ωt)+
√

L2−R2 sin2(ωt), onde R é o raio da biela,

ωt que representa a fase φ da parede móvel e L que é o comprimento da haste ligada à


43

Figura 3.1: Ilustração do modelo Fermi-Ulam com perturbação do tipo biela-manivela.

biela. Não há presença de campo gravitacional ou qualquer outro tipo de campo. Além

disso, consideramos ainda que os choques entre a part́ıcula e as paredes são inelásticos,

cujo coeficiente de dissipação para a parede fixa é α e para a parede móvel β , ambos

pertencendo ao intervalo [0,1].

Considerando que no instante t = tn a part́ıcula sofra uma colisão, sua posição será

dada por xw(tn) = xp(tn) para vn > 0. Então, poderão ocorrer dois tipos de colisões:

(i) Colisões múltiplas; ou

(ii) Colisões simples.

As colisões múltiplas ocorrem quando a part́ıcula, após colidir com a parede móvel,

colide outras vezes com a mesma, sem abandonar a zona de colisão, definida em x∈ [−R,R].

Se a part́ıcula colide apenas uma vez com a parede móvel, saindo da zona de colisão,

viajando até à parede fixa e retornando novamente à zona de colisão, dizemos que ela

sofreu um choque simples.

Os parâmetros de controle para este modelo são R, L, l e ω . De modo mais con-

veniente, podemos definir variáveis adimensionais, tais como Vn = vn
ωl , ε = R

l , r = R/L e

φn = ωtn. Assim, temos que ε , r, α e β são os quatro parâmetros de controle relevantes

para a dinâmica do sistema.

3.1.1 O Mapa

O mapa bidimensional T que conduz as variáveis (Vn,φn) através de uma evolução

temporal às novas variáveis Vn+1,φn+1 é:

T :

⎧⎪⎨
⎪⎩

Vn+1 =V ∗n − (1+β )ε sin(φn+1)

[
1+

r cos(φn+1)√
1− r2 sin2(φn+1)

]

φn+1 = [φn +ΔTn] mod (2π)
, (3.1)


44

em que V ∗n e ΔTn dependem do tipo de colisão ocorrida. Para o caso (i), V ∗n = −βVn e

ΔTn = φc. O valor de φc é obtido numericamente da menor solução da equação G(φc) = 0,
para φc ∈ (0,2π], onde:

G(φc) = ε cos(φn +φc)+
ε
r

√
1− r2 sin2(φn +φc)− ε cos(φn)− ε

r

√
1− r2 sin2(φn)−Vnφc.(3.2)

Para o caso (ii), devemos levar em consideração o tempo gasto pela part́ıcula ao

viajar para a direita, colidindo com a parede fixa, e para a esquerda, entrando na zona de

colisão. Assim,

φd =
r[1− ε cos(φn)]− ε

√
1− r2 sin2(φn)

rVn
e φe =

r[1− ε]− ε
αrVn

. (3.3)

Então, o tempo total para a part́ıcula completar seu percurso, será φT = φn + φd + φd.

Portanto, a variáveis V ∗n e ΔTn serão escritas: V ∗ = Vn e ΔTn = φT +φc, onde φc é obtido

numericamente da solução de F(φc) = 0, cuja função é dada por:

F(φc) = ε cos(φn+1)+
ε
r

√
1− r2 sin2(φn+1)− ε

r
(1+ r)+αVnφc, (3.4)

para a qual φc ∈ [0,2π).

3.2 Propriedades Dinâmicas para o Caso Conserva-

tivo

O caso conservativo é recuperado quando os coeficientes de restituição são α = β = 1
e o mapa descrito na Eq.(3.1) irá tornar-se:

T :

⎧⎪⎨
⎪⎩

Vn+1 =V ∗n −2ε sin(φn+1)

[
1+

r cos(φn+1)√
1− r2 sin2(φn+1)

]

φn+1 = [φn +ΔTn] mod (2π)
. (3.5)

Para colisões múltiplas, V ∗n = −Vn e ΔTn = φc, em que φc é obtido numericamente da

função G(φc), dada pela Eq.(3.2), para φc ∈ (0,2π]. Se as colisões forem do tipo simples,

então: V ∗n =Vn e ΔTn = φd +φe+φc, em que φc é obtido também numericamente da função

F(φc) = 0 onde:

F(φc) = ε cos(φn +φd +φe +φc)+
ε
r

√
1− r2 sin2(φn +φd +φe +φc)− ε

r
− ε−Vnφc, (3.6)

em que φc ∈ [0,2π).

A partir disso, constrúımos o espaço de fase desse modelo, iterando o mapa (3.5)


45

Figura 3.2: Espaço de fase para o modelo Fermi-Ulam conservativo com perturbação do tipo biela-
manivela. Os parâmetros utilizados foram r = 0,01 e ε = 0,001.

e os resultados estão dispostos na figura (3.2). Para construirmos essa figura, utilizamos

uma grade de 200 condições iniciais, na qual φ ∈ [0,2π] dividido em 20 incrementos igual-

mente espaçados e V0 ∈ [0,0869, 0,86] divididos em 10 incrementos igualmente espaçados,

iteradas 103 vezes.

Para três valores distintos de r e parâmetro de controle ε = 0,001, os resultados

obtidos estão indicados na figura 3.3, para uma grade de 200 condições iniciais e iteradas

103 vezes.

Podemos perceber um espaço de fase misto, com a presença de mares de caos, curvas

invariantes tipo spanning e ilhas de periodicidade limitando o mar de caos. À medida que

o parâmetro de controle r aumenta, observamos que a posição da primeira curva invariante

também aumenta, contudo, quando r → 1 notamos o fenômeno da aceleração de Fermi,

para o qual a part́ıcula tem um ganho ilimitado de energia pois não há presença de

curvas invariantes no espaço de fase. As curvas invariantes limitam a região do mar de

caos, indicando ausência da aceleração de Fermi. Isso se deve ao fato de a derivada da

função s(t) apresentar descontinuidade quando r = 1. Por outro lado, podemos observar


46

Figura 3.3: Espaço de fase para o modelo Fermi-Ulam conservativo com perturbação do tipo biela-
manivela para ε = 0,001. (a) r = 0,3, (b) r = 0,6 e (c) r = 0,9.

da Eq.(3.5) que quando r→ 0 os resultados tendem a recuperar o modelo Fermi-Ulam, de

modo que quando r = 0 o recuperamos.

A figura 3.4 mostra a comparação entre os dois modelos. Para o modelo com

perturbação do tipo biela-manivela utilizamos r = 0,5. Em comparação, o modelo biela-

manivela mostra a formação de mais ilhas de periodicidade para a região de baixa energia

além da posição da primeira curva invariante aparecendo acima da primeira curva no

modelo Fermi-Ulam.

3.2.1 Matriz Jacobiana

A partir da matriz jacobiana dada por

J =

(
J11 J12

J21 J22

)
=

(∂Vn+1
∂Vn

∂Vn+1
∂φn

∂φn+1
∂Vn

∂φn+1
∂φn

.

)
(3.7)


47

podemos obter seus elementos para o caso conservativo considerando que o tipo de colisão

ocorrida seja múltipla serão:

J11 =
∂Vn+1

∂Vn
= 1−2ε cos(φn+1)

∂φn+1

∂Vn
−2ε cos(φn+1)

∂φn+1

∂Vn
Γ

− 2ε sin(φn+1)
∂Γ
∂Vn

(3.8)

J12 =
∂Vn+1

∂φn
= 1−2ε cos(φn+1)

∂φn+1

∂φn
−2ε cos(φn+1)

∂φn+1

∂φn
Γ

− 2ε sin(φn+1)
∂Γ
∂φn

(3.9)

J21 =
∂φn+1

∂Vn
=

∂φc

∂Vn
, (3.10)

J22 =
∂φn+1

∂φn
= 1+

∂φc

∂φn
, (3.11)

em que Γ corresponde ao termo

Γ =
r cos(φn+1)√

1− r2 sin2(φn+1)
, (3.12)

facilitando os cálculos.

Podemos obter as derivadas parciais ∂φc
∂Vn

e ∂φc
∂φn

derivando implicitamente a função

(3.2). Portanto:

∂φc

∂Vn
=

−φc

ε sin(φn+1)+
εr sin(φn+1)cos(φn+1)√

1−r2 sin2(φn+1)
+Vn

, (3.13)

∂φc

∂φn
=

ε sinφn+1− ε sin(φn)+
εr sinφn+1 cos(φn+1)√

1−r2 sin2 φn+1

−sinφn+1− εr sinφn+1 cosφn+1√
1−r2 sin2 φn+1

−Vn
. (3.14)

Então, após alguns arranjos algébricos, o determinante da matriz jacobiana será

dado por:

det(J) =
Vn + ε sin(φn)

[
1+ r cos(φn)√

1−r2 sin2(φn)

]

Vn+1 + ε sin(φn+1)

[
1+ r cos(φn+1)√

1−r2 sin2(φn+1)

] . (3.15)

A área no espaço de fase se preserva após uma evolução temporal, pois o sistema é con-

servativo. E, de fato, observamos pela Eq.(3.15) que há preservação de uma quantidade

de medida, para o qual

dμn+1 = dμn (3.16)


48

Figura 3.4: Comparação entre os modelos a)Fermi-Ulam e b)biela-manivela para r = 0,5. Para a cons-
trução das duas figuras foi utilizado o mesmo parâmetro de controle ε = 0,001.


49

onde

dμ = (V + ε sinφ)

⎡
⎣1+

r cosφ√
1− r2 sin2 φ

⎤
⎦dV dφ . (3.17)

Os elementos da matriz jacobiana quando o tipo de colisão ocorrida for simples

serão dados por:

J11 =
∂Vn+1

∂Vn
= 1−2ε cos(φn+1)

∂φn+1

∂Vn
−2ε cos(φn+1)

∂φn+1

∂Vn
Γ

− 2ε sin(φn+1)
∂Γ
∂Vn

(3.18)

J12 =
∂Vn+1

∂φn
= 1−2ε cos(φn+1)

∂φn+1

∂φn
−2ε cos(φn+1)

∂φn+1

∂φn
Γ

− 2ε sin(φn+1)
∂Γ
∂φn

(3.19)

J21 =
∂φn+1

∂Vn
=

∂φd

∂Vn
+

∂φe

∂Vn
+

∂φc

∂Vn
, (3.20)

J22 =
∂φn+1

∂φn
= 1+

∂φd

∂φn
+

∂φe

∂φn
+

∂φc

∂φn
, (3.21)

em que chamamos de Γ = r cos(φn+1)√
1−r2 sin2(φn+1)

e suas derivadas parciais ∂Γ
∂Vn

e ∂Γ
∂φn

serão:

∂Γ
∂Vn

= r sin(φn+1)
∂φn+1

∂Vn

[
r2 cos2(φn+1)

[1− r2 sin2(φn+1)]
3
2
− 1

[1− r2 sin2(φn+1)]
1
2

]
(3.22)

e
∂Γ
∂φn

= r sin(φn+1)
∂φn+1

∂φn

[
r2 cos2(φn+1)

[1− r2 sin2(φn+1)]
3
2
− 1

[1− r2 sin2(φn+1)]
1
2

]
, (3.23)

e as derivadas parciais de φd e φe em relação à Vn e φn compõem as expressões:

∂φd

∂Vn
=

ε
√

1− r2 sin2(φn)− r[1− ε cos(φn)]

rV 2
n

,

∂φd

∂φn
=

ε sin(φn)− εr sin(φn)cos(φn)√
1−r2 sin2(φn)

Vn
,

∂φe

∂Vn
=

ε− r(1− ε)
rV 2

n
,

∂φe

∂φn
= 0.


50

Derivando implicitamente a função F(φc) podemos obter ∂φc
∂Vn

e ∂φc
∂φn

. Logo:

∂φc

∂Vn
=

ε sin(φn+1)
[

∂φd
∂Vn

+ ∂φe
∂Vn

]
− εr sin(φn+1)√

1−r2 sin2(φn+1)

[
∂φd
∂Vn

+ ∂φe
∂Vn

]
−φc

εr sin(φn+1)√
1−r2 sin2(φn+1)

− ε sin(φn+1)+Vn
, (3.24)

∂φc

∂φn
=

ε sinφn+1

[
1+ ∂φe

∂Vn

]
− εr sinφn+1√

1−r2 sin2 φn+1

[
1+ ∂φe

∂Vn

]
−sinφn+1 +

εr sinφn+1 cosφn+1√
1−r2 sin2 φn+1

+Vn
. (3.25)

Substituindo as Eqs.(3.35) e (3.36) nos elementos da matriz jacobiana e calculando

o determinante dessa matriz, encontraremos o mesmo resultado da Eq.(3.15), mostrando

realmente que o sistema é conservativo e preserva área no espaço de fase.

3.3 Caso Dissipativo

Consideraremos que os choques entre as paredes sejam inelásticos. Isto significa

introduzir uma dissipação nas paredes que, para a parede fixa chamaremos de α e para

a parede móvel chamaremos de β . A análise preliminar baseada nos posśıveis valores

que α e β podem assumir, está descrita no segundo caṕıtulo, seção 2.4, nos itens (i),

(ii), (iii) e (iv) na qual podemos aplicá-la também neste caso. Portanto, α e β são

coeficientes de dissipação e podem assumir valores pertencentes ao intervalo [0,1]. Este

será o objeto de nosso estudo nessa seção. O mapeamento bidimensional dado pela Eq.

(3.1), considerando que o tipo de choque influencia diretamente nesse mapa, através de V ∗n
e ΔTn. Para colisões simples, o valor é obtido numericamente da Eq.(3.2) para φc ∈ [0,2π);
caso não haja solução para a G(φc), uma nova solução é procurada através da iteração

do mapa (3.1) para a função F(φc) (3.4) para φc ∈ (0,2π]. Os resultados obtidos estão

mostrados na figura 3.5 em comparação ao atrator do acelerador de Fermi. Foram usados

os mesmos parâmetros de controle, ε = 0,04 e o mesmo coeficiente de dissipação β = 0,93
em ambas as figuras, constrúıdas para 200 condições iniciais.

Como r = 0,01, observamos o mesmo comportamento em ambos atratores. De fato,

quando r→ 0, o modelo do acelerador de Fermi tende a ser recuperado.


51

Figura 3.5: Atrator caótico para o modelo Fermi-Ulam com perturbação do tipo biela-manivela e para o
modelo Fermi-Ulam, respectivamente. Os parâmetros de controle estão mostrados nas figuras.

3.3.1 Matriz Jacobiana

Os elementos da matriz jacobiana para o caso dissipativo foram obtidos através da

matriz (3.7). Para colisões múltiplas, estes elementos são:

J11 =
∂Vn+1

∂Vn
=−β − (1+β )ε cos(φn+1)

∂φn+1

∂Vn
− (1+β )ε cos(φn+1)

∂φn+1

∂Vn
Γ

− (1+β )ε sin(φn+1)
∂Γ
∂Vn

(3.26)

J12 =
∂Vn+1

∂φn
=−(1+β )ε cos(φn+1)

∂φn+1

∂φn
− (1+β )ε cos(φn+1)

∂φn+1

∂φn
Γ

− (1+β )ε sin(φn+1)
∂Γ
∂φn

(3.27)

J21 =
∂φn+1

∂Vn
=

∂φc

∂Vn
, (3.28)

J22 =
∂φn+1

∂φn
= 1+

∂φc

∂φn
, (3.29)

onde Γ é a expressão dada pela equação Eq. (3.12). Os elementos ∂φc
∂Vn

e ∂φc
∂φn

são obti-

dos derivando-se implicitamente a função G(φc) dada pela Eq.(3.2), para a qual temos

obteremos os mesmos resultados das equações Eq.(3.13) e Eq.(3.14).


52

Calculamos também o determinante da matriz jacobiana, cujo resultado é

det(J) = β 2
Vn + ε sin(φn)

[
1+ r cos(φn)√

1−r2 sin2(φn)

]

Vn+1 + ε sin(φn+1)

[
1+ r cos(φn+1)√

1−r2 sin2(φn+1)

] , (3.30)

Podemos perceber que neste caso o determinante da matriz jacobiana não preserva área

no espaço de fase, pois β < 1.

Para as colisões simples, os elementos da matriz jacobiana dada por(3.7) são:

J11 =
∂Vn+1

∂Vn
= αβ − (1+β )ε cos(φn+1)

∂φn+1

∂Vn
− (1+β )ε cos(φn+1)

∂φn+1

∂Vn
Γ

− (1+β )ε sin(φn+1)
∂Γ
∂Vn

(3.31)

J12 =
∂Vn+1

∂φn
=−(1+β )ε cos(φn+1)

∂φn+1

∂φn
− (1+β )ε cos(φn+1)

∂φn+1

∂φn
Γ

− (1+β )ε sin(φn+1)
∂Γ
∂φn

(3.32)

J21 =
∂φn+1

∂Vn
=

∂φd

∂Vn
+

∂φe

∂Vn
+

∂φc

∂Vn
, (3.33)

J22 =
∂φn+1

∂φn
= 1+

∂φd

∂φn
+

∂φe

∂φn
+

∂φc

∂φn
, (3.34)

onde Γ é Eq.(3.12). As derivadas parciais de φd e φe em relação à Vn e φn são:

∂φd

∂Vn
=

ε
√

1− r2 sin2(φn)− r(1− ε cos(φn))

rV 2
n

,

∂φd

∂φn
=

ε sin(φn)− εr sin(φn)cos(φn)√
1−r2 sin2(φn)

Vn
,

∂φe

∂Vn
=

ε− r(1− ε)
αV 2

n
,

∂φe

∂φn
= 0.

Os termos ∂φc
∂Vn

e ∂φc
∂φn

são obtidos derivando-se implicitamente a função (3.6) da qual

obtemos:

∂φc

∂Vn
=

ε sin(φn+1)
[

∂φd
∂Vn

+ ∂φe
∂Vn

]
− εr sin(φn+1)√

1−r2 sin2(φn+1)

[
∂φd
∂Vn

+ ∂φe
∂Vn

]
−αφc

εr sin(φn+1)√
1−r2 sin2(φn+1)

− ε sin(φn+1)+αVn
, (3.35)


53

∂φc

∂φn
=

ε sinφn+1

[
1+ ∂φe

∂Vn

]
+ εr sinφn+1√

1−r2 sin2 φn+1

[
1+ ∂φe

∂Vn

]
−sinφn+1− εr sinφn+1 cosφn+1√

1−r2 sin2 φn+1
−αVn

. (3.36)

O determinante da matriz jacobiana para colisões simples é

det(J) = β 2α2
Vn + ε sin(φn)

[
1+ r cos(φn)√

1−r2 sin2(φn)

]

Vn+1 + ε sin(φn+1)

[
1+ r cos(φn+1)√

1−r2 sin2(φn+1)

] , (3.37)

para o qual percebemos contração na área no espaço de fase, uma vez que α < 1 e β < 1.


54

CAPÍTULO 4

CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS

Ao longo deste trabalho estudamos o modelo do acelerador de Fermi e o modelo

Fermi-Ulam com a introdução de uma força externa do tipo biela-manivela, para os casos

conservativo e dissipativo.

O modelo Fermi-Ulam ou acelerador de Fermi é constitúıdo por uma part́ıcula confi-

nada entre duas paredes ŕıgidas. Uma dessas paredes pode se movimentar periodicamente

com o tempo enquanto que a outra está fixa. Para considerarmos o sistema conservativo

ou dissipativo, devemos ter em vista o tipo de colisão ocorrida entre as paredes. Caso a

colisão seja do tipo elástica, o caso é conservativo; para colisões do tipo inelástica, o caso

é dissipativo. Para o caso conservativo, descrevemos o mapeamento para dois casos de

colisões que podem ocorrer com a parede móvel: as colisões do tipo múltiplas ou suces-

sivas e as colisões do tipo simples ou indiretas. Constrúımos o espaço de fase iterando o

mapeamento bidimensional. Analisamos também a estrutura mista que os compõem. Ob-

tivemos analiticamente os elementos da matriz jacobiana e seu determinante. Conclúımos

que existe preservação de uma medida no espaço de fase para o caso conservativo. Através

do método da triangularização, obtivemos numericamente os expoentes de Lyapunov para

a região do mar de caos. Encontramos também analiticamente os pontos fixos de peŕıodo

1, analisando sua estabilidade e localizando-os no espaço de fase. Para o caso dissipativo

mostramos a existência o atrator caótico. Portanto, a introdução da dissipação altera

drasticamente a dinâmica do modelo. Obtivemos a matriz jacobiana e verificamos atra-

vés do seu determinante que este caso não preserva área no espaço de fase. Calculamos

também os expoentes de Lyapunov. Foram obtidos os pontos fixos analiticamente para


55

este caso, no qual encontramos um ponto fixo assintoticamente estável (sink) e um ponto

de sela, para o peŕıodo 1 para uma combinação de parâmetros de controle. A partir disso,

foi posśıvel construir as variedades estáveis e instáveis para o ponto de sela, que, para

parâmetros espećıficos geram o evento de crise de fronteira, um dos principais objetos de

nosso estudo nesse trabalho.

No modelo com a força externa do tipo biela-manivela descrevemos o mapeamento

para colisões sucessivas e simples tanto para o caso conservativo quanto para o caso dis-

sipativo e seus respectivos espaços de fase. Investigamos comparativamente este modelo

com o modelo Fermi-Ulam, analisando o parâmetro da segunda não linearidade em seus

casos limites. Obtivemos os elementos da matriz jacobiana analiticamente e seus deter-

minantes, verificando que para o caso conservativo temos a preservação de área no espaço

de fase enquanto que para o caso dissipativo temos uma contração devido à formação do

atrator caótico. O modelo com perturbação do tipo biela-manivela mostra uma caracte-

ŕıstica importante em relação ao modelo Fermi-Ulam - para alguns valores do parâmetro

r observamos a presença da aceleração de Fermi. Isto se deve ao fato do parâmetro r

interferir diretamente na não linearidade do sistema, explicitando uma generalização do

modelo.

Como perspectivas deste trabalho, pretendemos estudar algumas propriedades de

transporte ao longo do mar de caos. Ao que é conhecido da literatura, a existência de ilhas

de estabilidade podem provocar nas part́ıculas um efeito de aprisionamento temporário

conhecido como stickiness [27, 28]. Este efeito afeta as propriedades médias do espaço de

fase incluindo os expoentes de Lyapunov. A compreensão deste fenômeno e sua influência

causada pela variação dos parâmetros de controle é de grande importância para a área

de pesquisa, podendo gerar técnicas e formalismo que podem ser aplicadas em outros

sistemas.


56

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	CAPA
	FOLHA DE ROSTO
	COMISSÃO EXAMINADORA
	DEDICATÓRIA
	AGRADECIMENTOS
	EPÍGRAFE
	RESUMO
	ABSTRACT
	LISTA DE FIGURAS
	SUMÁRIO
	1. INTRODUÇÃO
	2. MODELO FERMI-ULAM
	3. MODELO FERMI-ULAM COM PERTURBAÇÃO DO TIPO BIELA-MANIVELA
	CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS
	REFERÊNCIAS