Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” Faculdade de Engenharia Método Primal-Dual Previsor-Corretor de Pontos Interiores e Exteriores com Estratégias de Correção de Inércia e Suavização Hiperbólica Aplicado ao Problema de Despacho Econômico com Ponto de Carregamento de Válvula e Representação da Transmissão Diego Nunes da Silva Bauru – SP Dezembro – 2014 Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” Faculdade de Engenharia Método Primal-Dual Previsor-Corretor de Pontos Interiores e Exteriores com Estratégias de Correção de Inércia e Suavização Hiperbólica Aplicado ao Problema de Despacho Econômico com Ponto de Carregamento de Válvula e Representação da Transmissão Diego Nunes da Silva Orientador: Prof. Dr. Antonio Roberto Balbo Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da Fa- culdade de Engenharia de Bauru da Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” − Campus de Bauru, como um dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Engenharia Elé- trica. Bauru – SP Dezembro – 2014 Silva, Diego Nunes da. Método primal-dual previsor-corretor de pontos interiores e exteriores com estratégias de correção de inércia e suavização hiperbólica aplicado ao problema de despacho econômico com ponto de carregamento de válvula e representação da transmissão / Diego Nunes da Silva, 2014 261f. Orientador: Antonio Roberto Balbo. Dissertação (Mestrado) - Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenharia, Bauru, 2014 1. Despacho econômico com ponto de carregamento de válvula. 2. Otimização não-linear. 3. Método de pontos interiores. 4. Função barreira logarítmica modificada. 5. Suavização hiperbólica. I. Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenharia. II. Título. iv vii Aos meus pais, Darci e Eunice, por me apoiarem em todas as minhas decisões, ao meu irmão, Danilo, e minha cunhada, Isabela, por compreenderem as ausências, e aos meus sobrinhos, Gustavo, Davi e Pedro, por serem alegria na minha vida. Dedico. Agradecimentos Primeiramente, agradeço à Deus por me dar saúde, paciência e perseverança para conse- guir terminar este trabalho. Agradecer a todas as pessoas que contribuíram para este trabalho é relativamente difícil. Por isso, quero começar agradecendo àqueles que me ajudaram e incentivaram durante o mestrado, mas que devido à minha curta memória não forem citados a seguir. Ao professor Dr. Antonio Roberto Balbo, pela orientação precisa, amizade e ensinamentos. Muito mais do que um exemplo de ser humano e de profissional, o senhor me ajudou a levantar em um momento em que nem eu acreditava em mim mesmo, mostrando-me um novo caminho. À minha família, por me incentivarem a prosseguir e continuar tentando, mesmo quando as coisas não davam certo. À professora Dra. Edméa Cássia Baptista, ao professor Dr. Leonardo Nepomuceno e ao professor Dr. Guilherme Guimarães Lage, por participarem das bancas de avaliação, pelos ensinamentos e sugestões que tanto enriqueceram este trabalho. Às minhas duas irmãs acadêmicas, Elis e Gabriela. Obrigado pelas discussões e sugestões e, acima de tudo, pelos passeios no shopping e idas ao cinema, quando precisávamos refrescar as ideias. Aos amigos do LOEESP e do “Labore”, tanto os que já terminaram o mestrado quanto os que continuam na luta, por propiciarem um agradável ambiente de trabalho. Aos professores do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e da Licenciatura em Matemática da UNESP - Bauru, que contribuíram para minha formação acadêmica. Aos funcionários da Seção Técnica de Pós-Graduação da Faculdade de Engenharia e do Departamento de Matemática, pela presteza e atenção concedida. À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (Capes), pelo apoio financeiro. xi “Foi o tempo que você dedicou à sua rosa, que a fez tão importante.” Antoine de Saint-Exupéry “Duas estradas bifurcavam numa árvore, Eu trilhei a menos percorrida, E isto fez toda a diferença.” Robert Lee Frost Resumo Em um problema de despacho econômico, objetiva-se determinar a geração de potência ativa das unidades geradoras, de modo que a demanda seja atendida e os custos dos com- bustíveis utilizados na geração sejam minimizados, ao mesmo tempo que as restrições de operação do sistema sejam atendidas. A função objetivo de custo deste problema pode ser modelada de diversas maneiras, porém uma forma mais realista da mesma inclui os efeitos dos pontos de carregamento de válvula. Quando os pontos de carregamento de válvula são considerados, a função objetivo se torna não-diferenciável, o que impossibilita a aplicação direta de métodos clássicos de otimização na resolução do problema. Por este motivo, a maioria dos trabalhos disponíveis na literatura para a resolução do Problema de Despacho Econômico com Ponto de Carregamento de Válvula (PDE-PV) são baseados em heurísticas. Neste trabalho, apresenta-se um método Primal-Dual Previsor-Corretor Barreira Logarítmica Modificada (PDPCBLM) associado a uma estratégia de correção de inércia e uma técnica de suavização hiperbólica para a resolução de problemas de despa- cho econômico com ponto de carregamento de válvula. A estratégia de correção de inércia visa garantir a convergência do método para mínimos locais do problema. A técnica de suavização hiperbólica, quando aplicada ao PDE-PV e suas variantes – o Problema de Despacho Econômico com representação das Perdas e Ponto de Carregamento de Válvula (PDE-PPV) e o Problema de Despacho Econômico com Ponto de Carregamento de Vál- vula e Representação da Transmissão (PDE-PV-RT) –, possibilita a utilização do método PDPCBLM para sua resolução. Uma implementação desses métodos, realizada em Ma- tlab, mostra que tais métodos são eficientes na resolução do PDE-PV e suas variantes, obtendo resultados de boa qualidade, quando comparados aos disponíveis na literatura. Palavras-chave: despacho econômico com ponto de carregamento de válvula, otimi- zação não-linear, método de pontos interiores, função barreira logarítmica modificada, suavização hiperbólica. xv Abstract In the economic dispatch problem, the objective is to determine the active power output of the generating units in order to supply the demand and minimize the fuel costs associated with power generation, while taking into account system operational constraints. The cost objective function of this problem can be defined in many different ways, but a more realis- tic form of representation includes valve-point load effects. When valve-point load effects are considered, the objective function becomes non-differentiable, which precludes the di- rect application of classical optimization methods to solve the problem. For this reason, most proposals to solve the Economic Dispatch Problem with Valve-Point Load Effects (EDP-VPE) available in the literature are based on heuristics. In this work, we present a Primal-Dual Predictor-Corrector Modified Logarithmic Barrier method (PDPCMLB) associated with an inertia correction strategy and a hyperbolic smoothing technique to solve economic dispatch problems with valve-point load effects. The purpose of the inertia correction is to ensure that the proposed method converges to a local minimum of the problem. The hyperbolic smoothing technique, when applied to the EDP-VPE and its variations – the Economic Dispatch Problem with Loss Representation and Valve-Point Load Effects (EDP-LVPE) and the Network Constrained Economic Dispatch with Valve- Point Load Effects (NC-EDP-VPE) –, allows the use of the PDPCMLB method to solve it. An implementation of these methods, performed in Matlab, shows that they are effi- cient to solve the EDP-VPE and its variations, obtaining good results when compared to others available in the literature. Keywords: economic dispatch with valve-point load effects, non-linear optimization, interior point methods, modified logarithmic barrier function, hyperbolic smoothing. xvii Sumário 1 Introdução 1 2 Geração Termelétrica 5 2.1 Eletricidade e suas formas de geração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.1 Geração termelétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.2 Geração nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.3 Geração hidrelétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1.4 Geração eólica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1.5 Geração solar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.6 Bioeletricidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Geração termelétrica: Brasil e mundo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.1 Geração termelétrica no Brasil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.2 Geração termelétrica no mundo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Aspectos técnicos e econômicos da geração termelétrica . . . . . . . . . . . 16 3 Despacho Econômico 19 3.1 Geração termelétrica: custos e perdas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2 Despacho Econômico e problemas relacionados . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2.1 Fluxo de Potência Ótimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2.2 Unit Commitment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2.3 Despacho Hidrotérmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.3 Modelos Matemáticos do PDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.3.1 Função Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.3.2 Problema de Despacho Econômico com Ponto de Carregamento de Válvula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3.3 Problema de Despacho Econômico com Representação das Perdas e Ponto de Carregamento de Válvula . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.3.4 Problema de Despacho Econômico com Ponto de Carregamento de Válvula e Representação da Transmissão . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.4 Revisão Bibliográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 xix 4 Métodos de Otimização Restrita 47 4.1 Introdução à otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.2 Métodos de otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.2.1 Método Dual-Lagrangiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.2.2 Método de Penalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.2.3 Método de Barreira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.2.4 Método de Rescalamento Não-Linear e de Barreira Modificada . . . 57 4.2.4.1 Função Barreira Logarítmica Modificada . . . . . . . . . . 60 4.2.4.2 Sobre a atualização dos estimadores dos multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5 Metodologia de Resolução 65 5.1 O Método Primal-Dual Previsor-Corretor Barreira Logarítmica Modificada com Correção de Inércia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.1.1 O sistema de direções de busca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.1.1.1 Linearização da equação (5.8a) . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.1.1.2 Linearização da equação (5.8b) . . . . . . . . . . . . . . . 70 5.1.1.3 Linearização da equação (5.8c) . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.1.1.4 Linearização da equação (5.8d) . . . . . . . . . . . . . . . 72 5.1.1.5 O sistema de direções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5.1.2 Correção de Inércia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.1.2.1 Decomposição de Matrizes Simétricas Indefinidas . . . . . 75 5.1.2.2 Algoritmo da Correção de Inércia . . . . . . . . . . . . . . 78 5.1.3 Cálculo das Direções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.1.3.1 Procedimento Previsor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.1.3.2 Procedimento Corretor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.1.4 Atualização do parâmetro de barreira, cálculo do novo ponto e do comprimento do passo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 5.1.5 Critério de parada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.1.6 Algoritmo do Método PDPCBLM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5.2 Suavização Hiperbólica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5.2.1 A técnica de suavização hiperbólica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5.2.2 Propriedades da suavização hiperbólica . . . . . . . . . . . . . . . . 93 6 Resultados Numéricos 95 6.1 PDE-PV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 6.1.1 Caso 3 Geradores – Parte I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 6.1.2 Caso 3 Geradores – Parte II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 6.1.3 Caso 3 Geradores – Parte III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 xx 6.1.4 Caso 13 Geradores – Parte I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 6.1.5 Caso 13 Geradores – Parte II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 6.1.6 Caso 19 Geradores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 6.2 PDE-PPV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 6.2.1 Sistema 6 Barras de Wood e Wollenberg . . . . . . . . . . . . . . . 124 6.2.2 Sistema IEEE-14 Barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 6.2.3 Sistema IEEE-30 Barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 6.3 PDE-PV-RT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 6.3.1 Sistema 6 Barras de Wood e Wollenberg – Parte I . . . . . . . . . . 139 6.3.2 Sistema 6 Barras de Wood e Wollenberg – Parte II . . . . . . . . . 140 6.3.3 Sistema IEEE-14 Barras – Parte I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 6.3.4 Sistema IEEE-14 Barras – Parte II . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 6.3.5 Sistema IEEE-30 Barras – Parte I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 6.3.6 Sistema IEEE-30 Barras – Parte II . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 7 Conclusões e Perspectivas Futuras 169 8 Trabalhos Publicados 173 A Cálculo dos Coeficientes-B 191 B Revisão da Teoria de Otimização 199 B.1 Otimização irrestrita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 B.1.1 Conceitos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 B.1.2 Convexidade e suas implicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 B.1.3 Condições de otimalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 B.2 Otimização restrita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 B.2.1 Restrições de igualdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 B.2.1.1 Condições de otimalidade para restrições de igualdade . . 210 B.2.2 Restrições de desigualdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 B.2.2.1 Condições de otimalidade para restrições de desigualdade . 216 B.2.3 Restrições de igualdade e desigualdade . . . . . . . . . . . . . . . . 218 B.3 A função Lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 B.3.1 Jogos e a noção de dualidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 B.3.2 Dualidade Lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 C Banco de Dados dos Sistemas 229 C.1 Sistema de 6 Barras de Wood e Wollenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 C.2 IEEE-14 Barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 C.3 IEEE-30 Barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 xxi Lista de Figuras 2.1 Potência gerada pelos diversos tipos de equipamentos. . . . . . . . . . . . . 6 2.2 Diagrama de funcionamento de um sistema de potência com geração hidre- létrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3 Participação das diversas formas de geração de eletricidade, no mundo, em 2011. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.4 Curva de entrada-saída idealizada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.1 Possibilidades para representação das curvas da taxa de calor incremental. 26 3.2 Funções custo e suas derivadas, com representação de ponto de carrega- mento de válvula e sem representação de ponto de carregamento válvula. . 27 3.3 Modelo de um transformador em-fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 5.1 Função ϑ para diferentes valores de η. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5.2 Gráfico da função f(x1, x2) com suas curvas de nível, em suas versões sua- vizadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 6.1 Sequência de potências geradas pelo método PDPCBLM para o PDE-PV de 3 geradores (Parte I). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 6.2 Evolução dos multiplicadores de Lagrange das restrições de igualdade e desigualdade no caso PDE-PV de 3 geradores (Parte I) . . . . . . . . . . . 100 6.3 Sequência de parâmetros de correção de inércia no método PDPCBLM para o PDE-PV de 3 geradores (Parte I). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 6.4 Trajetória dos pontos (PG,1, PG,2) – PDE-PV: 3 geradores (Parte II). . . . . 104 6.5 Sequência de potências geradas pelo método PDPCBLM para o PDE-PV de 3 geradores (Parte II). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 6.6 Evolução dos multiplicadores de Lagrange das restrições de igualdade e desigualdade no caso PDE-PV de 3 geradores (Parte II) . . . . . . . . . . . 105 6.7 Sequência de parâmetros de correção de inércia no método PDPCBLM para o PDE-PV de 3 geradores (Parte II). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 6.8 Sequência de potências geradas pelo método PDPCBLM para o PDE-PV de 3 geradores (Parte III). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 xxiii 6.9 Evolução dos multiplicadores de Lagrange das restrições de igualdade e desigualdade no caso PDE-PV de 3 geradores (Parte III) . . . . . . . . . . 108 6.10 Sequência de parâmetros de correção de inércia no método PDPCBLM para o PDE-PV de 3 geradores (Parte III). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 6.11 Sequência de potências geradas pelo método PDPCBLM para o PDE-PV de 13 geradores (Parte I). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 6.12 Evolução dos multiplicadores de Lagrange das restrições de igualdade e desigualdade no caso PDE-PV de 13 geradores (Parte I) . . . . . . . . . . 112 6.13 Sequência de parâmetros de correção de inércia no método PDPCBLM para o PDE-PV de 13 geradores (Parte I). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 6.14 Sequência de potências geradas pelo método PDPCBLM para o PDE-PV de 13 geradores (Parte II). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 6.15 Evolução dos multiplicadores de Lagrange das restrições de igualdade e desigualdade no caso PDE-PV de 13 geradores (Parte II) . . . . . . . . . . 116 6.16 Sequência de parâmetros de correção de inércia no método PDPCBLM para o PDE-PV de 13 geradores (Parte II). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 6.17 Sequência de potências geradas pelo método PDPCBLM para o PDE-PV de 19 geradores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 6.18 Evolução dos multiplicadores de Lagrange das restrições de igualdade e desigualdade no caso PDE-PV de 19 geradores. . . . . . . . . . . . . . . . 120 6.19 Sequência de parâmetros de correção de inércia no método PDPCBLM para o PDE-PV de 19 geradores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 6.20 Esquema de resolução do PDE-PPV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 6.21 Sequência de potências geradas pelo método PDPCBLM para o PDE-PPV de 6 Barras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 6.22 Evolução dos multiplicadores de Lagrange das restrições de igualdade e desigualdade no caso PDE-PPV de 6 Barras. . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 6.23 Sequência de parâmetros de correção de inércia no método PDPCBLM para o PDE-PPV de 6 Barras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 6.24 Sequência de potências geradas pelo método PDPCBLM para o PDE-PPV de 14 Barras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 6.25 Evolução dos multiplicadores de Lagrange das restrições de igualdade e desigualdade no caso PDE-PPV de 14 Barras. . . . . . . . . . . . . . . . . 132 6.26 Sequência de parâmetros de correção de inércia no método PDPCBLM para o PDE-PPV de 14 Barras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 6.27 Sequência de potências geradas pelo método PDPCBLM para o PDE-PPV de 30 Barras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 6.28 Evolução dos multiplicadores de Lagrange das restrições de igualdade e desigualdade no caso PDE-PPV de 30 Barras. . . . . . . . . . . . . . . . . 136 xxiv 6.29 Sequência de parâmetros de correção de inércia no método PDPCBLM para o PDE-PPV de 30 Barras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 6.30 Sequência de potências geradas pelo método PDPCBLM para o PDE-PV- RT de 6 Barras (Parte I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 6.31 Sequência de ângulos de tensão nas barras (diferentes da slack) geradas pelo método PDPCBLM para o PDE-PV-RT de 6 Barras (Parte I). . . . . 142 6.32 Evolução dos multiplicadores de Lagrange das restrições de igualdade e desigualdade no caso PDE-PV-RT de 6 Barras (Parte I). . . . . . . . . . . 143 6.33 Sequência de parâmetros de correção de inércia no método PDPCBLM para o PDE-PV-RT de 6 Barras (Parte I). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 6.34 Sequência de potências geradas pelo método PDPCBLM para o PDE-PV- RT de 6 Barras (Parte II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6.35 Sequência de ângulos de tensão nas barras (diferentes da slack) geradas pelo método PDPCBLM para o PDE-PV-RT de 6 Barras (Parte II). . . . . 145 6.36 Evolução dos multiplicadores de Lagrange das restrições de igualdade e desigualdade no caso PDE-PV-RT de 6 Barras (Parte II). . . . . . . . . . . 146 6.37 Sequência de parâmetros de correção de inércia no método PDPCBLM para o PDE-PV-RT de 6 Barras (Parte II). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 6.38 Comparação entre os preços de energia obtidos ao resolver o PDE-PPV, PDE-PV-RT (Parte I) e PDE-PV-RT (Parte II) para o sistema 6 Barras. . 147 6.39 Sequência de potências geradas pelo método PDPCBLM para o PDE-PV- RT de 14 Barras (Parte I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 6.40 Sequência de ângulos de tensão nas barras (diferentes da slack) geradas pelo método PDPCBLM para o PDE-PV-RT de 14 Barras (Parte I). . . . 151 6.41 Evolução dos multiplicadores de Lagrange das restrições de igualdade e desigualdade no caso PDE-PV-RT de 14 Barras (Parte I). . . . . . . . . . 151 6.42 Sequência de parâmetros de correção de inércia no método PDPCBLM para o PDE-PV-RT de 14 Barras (Parte I). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 6.43 Sequência de potências geradas pelo método PDPCBLM para o PDE-PV- RT de 14 Barras (Parte II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 6.44 Sequência de ângulos de tensão nas barras (diferentes da slack) geradas pelo método PDPCBLM para o PDE-PV-RT de 14 Barras (Parte II). . . . 154 6.45 Evolução dos multiplicadores de Lagrange das restrições de igualdade e desigualdade no caso PDE-PV-RT de 14 Barras (Parte II). . . . . . . . . . 155 6.46 Sequência de parâmetros de correção de inércia no método PDPCBLM para o PDE-PV-RT de 14 Barras (Parte II). . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 6.47 Comparação entre os preços de energia obtidos ao resolver o PDE-PPV, PDE-PV-RT (Parte I) e PDE-PV-RT (Parte II) para o sistema 14 Barras. 157 xxv 6.48 Sequência de potências geradas pelo método PDPCBLM para o PDE-PV- RT de 30 Barras (Parte I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 6.49 Sequência de ângulos de tensão nas barras (diferentes da slack) geradas pelo método PDPCBLM para o PDE-PV-RT de 30 Barras (Parte I). . . . 160 6.50 Evolução dos multiplicadores de Lagrange das restrições de igualdade e desigualdade no caso PDE-PV-RT de 30 Barras (Parte I). . . . . . . . . . 160 6.51 Sequência de parâmetros de correção de inércia no método PDPCBLM para o PDE-PV-RT de 30 Barras (Parte I). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 6.52 Sequência de potências geradas pelo método PDPCBLM para o PDE-PV- RT de 30 Barras (Parte II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 6.53 Sequência de ângulos de tensão nas barras (diferentes da slack) geradas pelo método PDPCBLM para o PDE-PV-RT de 30 Barras (Parte II). . . . 164 6.54 Evolução dos multiplicadores de Lagrange das restrições de igualdade e desigualdade no caso PDE-PV-RT de 30 Barras (Parte II). . . . . . . . . . 165 6.55 Sequência de parâmetros de correção de inércia no método PDPCBLM para o PDE-PV-RT de 30 Barras (Parte II). . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 6.56 Comparação entre os preços de energia obtidos ao resolver o PDE-PPV, PDE-PV-RT (Parte I) e PDE-PV-RT (Parte II) para o sistema 30 Barras. 167 B.1 Representação geométrica do teorema B.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 B.2 Curva da região factível e vetores tangentes em (0, 1)t, no exemplo B.3. . . 209 B.3 Gráfico da função L∗(λ) no exemplo B.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 xxvi Lista de Tabelas 2.1 Produção de hidreletricidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Consumo mundial de gás natural (milhões de tep) . . . . . . . . . . . . . . 15 6.1 Características do sistema – PDE-PV: 3 geradores . . . . . . . . . . . . . . 97 6.2 Inicialização – PDE-PV: 3 geradores (Parte I) . . . . . . . . . . . . . . . . 97 6.3 Resultados (Iterações) – PDE-PV: 3 geradores (Parte I) . . . . . . . . . . . 98 6.4 Resultados – PDE-PV: 3 geradores (Parte I) . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 6.5 Inicialização – PDE-PV: 3 geradores (Parte II) . . . . . . . . . . . . . . . . 101 6.6 Resultados (Iterações) – PDE-PV: 3 geradores (Parte II) . . . . . . . . . . 103 6.7 Resultados – PDE-PV: 3 geradores (Parte II) . . . . . . . . . . . . . . . . 104 6.8 Resultados (Iterações) – PDE-PV: 3 geradores (Parte III) . . . . . . . . . . 107 6.9 Resultados – PDE-PV: 3 geradores (Parte III) . . . . . . . . . . . . . . . . 108 6.10 Características do sistema – PDE-PV: 13 geradores . . . . . . . . . . . . . 109 6.11 Inicialização – PDE-PV: 13 geradores (Parte I) . . . . . . . . . . . . . . . 110 6.12 Resultados (Iterações) – PDE-PV: 13 geradores (Parte I) . . . . . . . . . . 111 6.13 Resultados – PDE-PV: 13 geradores (Parte I) . . . . . . . . . . . . . . . . 113 6.14 Inicialização – PDE-PV: 13 geradores (Parte II) . . . . . . . . . . . . . . . 114 6.15 Resultados (Iterações) – PDE-PV: 13 geradores (Parte II) . . . . . . . . . 115 6.16 Resultados – PDE-PV: 13 geradores (Parte II) . . . . . . . . . . . . . . . . 117 6.17 Características do sistema – PDE-PV: 19 geradores . . . . . . . . . . . . . 118 6.18 Inicialização – PDE-PV: 19 geradores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 6.19 Resultados (Iterações) – PDE-PV: 19 geradores . . . . . . . . . . . . . . . 121 6.20 Resultados – PDE-PV: 19 geradores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 6.21 Características do sistema – PDE-PPV: 6 Barras . . . . . . . . . . . . . . 125 6.22 Inicialização – PDE-PPV: 6 Barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 6.23 Resultados (Iterações) – PDE-PPV: 6 Barras . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 6.24 Resultados – PDE-PPV: 6 Barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 6.25 Magnitudes e Ângulos de Tensão – PDE-PPV: 6 Barras . . . . . . . . . . . 128 6.26 Características do sistema – PDE-PPV: 14 Barras . . . . . . . . . . . . . . 129 6.27 Inicialização – PDE-PPV: 14 Barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 6.28 Resultados (Iterações) – PDE-PPV: 14 Barras . . . . . . . . . . . . . . . . 131 xxvii 6.29 Resultados – PDE-PPV: 14 Barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 6.30 Magnitudes e Ângulos de Tensão – PDE-PPV: 14 Barras . . . . . . . . . . 133 6.31 Características do sistema – PDE-PPV: 30 Barras . . . . . . . . . . . . . . 134 6.32 Inicialização – PDE-PPV: 30 Barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 6.33 Resultados (Iterações) – PDE-PPV: 30 Barras . . . . . . . . . . . . . . . . 135 6.34 Resultados – PDE-PPV: 30 Barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 6.35 Magnitudes e Ângulos de Tensão – PDE-PPV: 30 Barras . . . . . . . . . . 138 6.36 Inicialização – PDE-PV-RT: 6 Barras (Parte I) . . . . . . . . . . . . . . . . 140 6.37 Resultados (Iterações) – PDE-PV-RT: 6 Barras (Parte I) . . . . . . . . . . 141 6.38 Resultados – PDE-PV-RT: 6 Barras (Parte I) . . . . . . . . . . . . . . . . 143 6.39 Resultados (Iterações) – PDE-PV-RT: 6 Barras (Parte II) . . . . . . . . . 144 6.40 Resultados – PDE-PV-RT: 6 Barras (Parte II) . . . . . . . . . . . . . . . . 146 6.41 Inicialização – PDE-PV-RT: 14 Barras (Parte I) . . . . . . . . . . . . . . . 148 6.42 Resultados (Iterações) – PDE-PV-RT: 14 Barras (Parte I) . . . . . . . . . 149 6.43 Resultados – PDE-PV-RT: 14 Barras (Parte I) . . . . . . . . . . . . . . . . 152 6.44 Resultados (Iterações) – PDE-PV-RT: 14 Barras (Parte II) . . . . . . . . . 153 6.45 Resultados – PDE-PV-RT: 14 Barras (Parte II) . . . . . . . . . . . . . . . 156 6.46 Inicialização – PDE-PV-RT: 30 Barras (Parte I) . . . . . . . . . . . . . . . 158 6.47 Resultados (Iterações) – PDE-PV-RT: 30 Barras (Parte I) . . . . . . . . . 159 6.48 Resultados – PDE-PV-RT: 30 Barras (Parte I) . . . . . . . . . . . . . . . . 161 6.49 Resultados (Iterações) – PDE-PV-RT: 30 Barras (Parte II) . . . . . . . . . 163 6.50 Resultados – PDE-PV-RT: 30 Barras (Parte II) . . . . . . . . . . . . . . . 166 C.1 Dados de Barra – 6 Barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 C.2 Dados de Linha – 6 Barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 C.3 Dados de Barra – 14 Barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 C.4 Dados de Linha – 14 Barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 C.5 Dados de Barra – 30 Barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 C.6 Dados de Linha – 30 Barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 xxviii Capítulo 1 Introdução A ideia de estabelecer a representação de algum fenômeno ou problema por meio da linguagem matemática tem possibilitado a análise e a compreensão dos mesmos, além de permitir a aproximação da matemática e das situações do mundo real. Esta abordagem aos problemas reais, utilizando recursos matemáticos, é o que comumente denominamos de modelagem matemática. Modelos matemáticos permitem o planejamento e auxiliam na tomada de decisões em diversas áreas, desde a engenharia até a medicina. Na última década, o campo da programação matemática, e juntamente a ele a área de otimização, evoluiu de maneira significativa, impulsionado pelas transformações e exigên- cias sócio-econômico-culturais. Novas abordagens e a implementação eficiente de algo- ritmos permitiram o tratamento e solução de problemas cada vez mais complexos, espe- cialmente aqueles para os quais a obtenção de soluções analíticas é inviável. Devido às diversas características de tais problemas (como não-linearidade, não-convexidade, não- diferenciabilidade ou integralidade de variáveis), o desenvolvimento de métodos numéricos eficientes e com convergência satisfatória se tornou um importante campo de pesquisa. Em engenharia elétrica, diversos problemas podem ser modelados matematicamente, em particular aqueles relacionados à área de sistemas de energia. No Brasil, a matriz energé- tica elétrica se ampara, essencialmente, nas usinas hidrelétricas, que correspondem a cerca de 80% de toda energia elétrica produzida em território nacional (Brasil, 2012). Contudo, o racionamento de energia elétrica ocorrido no ano de 2001, em virtude da escassez de chuvas e da precariedade dos investimentos em geração e transmissão de energia, levou o governo brasileiro a investir mais em usinas que não dependem do ciclo de águas, em particular termelétricas, movidas a gás, carvão e óleo. Além disso, a situação brasileira difere bastante da maioria dos países no mundo. Um relatório da International Energy Agency (2013) indica que mais de 60% da geração de energia elétrica mundial é obtida através de termelétricas convencionais. 1 Dessa forma, o aumento da demanda por energia elétrica é uma questão que tem pre- ocupado diversas nações, uma vez que isso gera novos desafios no que diz respeito ao aumento das perdas e dos custos de geração, bem como à segurança e confiabilidade do sistema elétrico. Uma maneira de auxiliar na tomada de decisão em geração de energia é a resolução do Problema de Despacho Econômico (PDE), que consiste na programação ótima das unidades geradoras de modo que a demanda por energia elétrica seja atendida e as restrições do sistema sejam respeitadas, ao mesmo tempo que o custo associado ao uso de combustíveis empregados na geração termelétrica é minimizado. O PDE pode ser modelado de diversas maneiras, e o seu grau de complexidade depende das características do modelo. Em sua formulação clássica, o PDE é modelado como um problema de programação quadrática convexa, sendo que a resolução deste modelo já foi amplamente abordada na literatura, como nos trabalhos de Samed (2004), Rodrigues (2007), Balbo et al. (2012) e Stanzani et al. (2014). Apesar da exploração exaustiva na literatura, o PDE clássico, proposto por Steinberg & Smith (1943), não inclui em sua modelagem outras características intrínsecas às unidades geradoras e ao sistema elétrico, dentre as quais pode-se citar os efeitos de ponto de carregamento de válvula, as perdas na transmissão e restrições de segurança relativas ao fluxo máximo de potência nos ramos do sistema. Neste trabalho, a atenção será dirigida a três variantes do PDE clássico, obtidas conside- rando as características supracitadas: • Problema de Despacho Econômico com Ponto de Carregamento de Válvula (PDE- PV): obtido a partir do PDE ao introduzir na função objetivo termos que modelam os pontos de válvula das unidades geradoras. Estes termos tornam a função objetivo não-convexa e não-diferenciável; • Problema de Despacho Econômico com Perdas e Ponto de Carregamento de Vál- vula (PDE-PPV): o qual é obtido a partir do PDE-PV, ao introduzir na restrição de atendimento de demanda termos quadráticos que modelam as perdas. Os coefi- cientes da função de perdas são os coeficientes-B do sistema para algum estado da rede, de modo a representar a transmissão de maneira implícita; • Problema de Despacho Econômico com Ponto de Carregamento de Válvula e Re- presentação da Transmissão (PDE-PV-RT): obtido a partir do PDE-PV, de modo a considerar a representação explícita da transmissão. Neste caso, a restrição de atendimento de demanda é substituída pelas equações de balanço de potência ativa por barra do sistema. Além disso, acrescentam-se restrições de fluxo, relativas ao fluxo máximo de potência nos ramos. Os controles reativos são fixados e as variáveis de controle estão relacionadas à potência ativa (geração ativa e ângulos de tensão). 2 Todos os problemas dos quais este trabalho trata (PDE-PV, PDE-PPV e PDE-PV-RT) são, portanto, caracterizados pela não-convexidade e não-diferenciabilidade. Devido ao inconveniente causado pela não-diferenciabilidade, métodos clássicos de otimização não podem ser aplicados diretamente para a resolução destes problemas. Isto porque tais mé- todos usualmente empregam informações relacionadas ao gradiente e à matriz hessiana das funções, a fim de calcular as direções de busca. Além disso, a não-convexidade é outro fator que limita o uso de métodos determinísticos, uma vez que estes usualmente convergem para mínimos locais. Por estes motivos, tais problemas e outras variantes do PDE-PV foram predominantemente explorados na literatura utilizando métodos heu- rísticos ou heurísticas hibridizadas com métodos determinísticos, como os trabalhos de Walters & Sheble (1993), Bhagwan Das & Patvardhan (1998), Sinha et al. (2003), Samed (2004), Victoire & Jeyakumar (2004), Victoire & Jeyakumar (2005), Ravi et al. (2006), Rodrigues (2007), Oliveira et al. (2008), He et al. (2008), Arul et al. (2011), Yasar & Özyön (2011), Hardiansyah (2013). Assim, tendo em vista a escassez de abordagens determinísticas para resolução do PDE- PV, o objetivo deste trabalho é apresentar um método de otimização determinístico, para a sua resolução. A metodologia proposta consiste de um procedimento que utiliza o método primal-dual de pontos interiores barreira logarítmica modificada, bem como duas estratégias auxiliares – suavização hiperbólica e correção de inércia. O método de pontos interiores aqui apresentado foi desenvolvido com base nos trabalhos de métodos primais-duais propostos por Kojima et al. (1989a), Monteiro et al. (1990) e Mizuno (1994), e no procedimento previsor-corretor apresentado nos trabalhos de Meh- rotra (1992) e Wu et al. (1994), além de se explorar a esparsidade da matriz do sistema de direções, conforme proposto por Karmarkar (1984). Além disso, o método de pontos interiores desenvolvido utiliza a função barreira modifi- cada, apresentada no trabalho de Polyak (1992) e que veio, posteriormente, a se tornar parte dos métodos de rescalamento não-linear (Polyak & Teboulle, 1997; Polyak, 2002; Griva & Polyak, 2006). Visando tornar o algoritmo mais robusto e que o mesmo convirja para mínimos locais, desenvolveu-se ainda uma estratégia de convergência através da cor- reção da inércia da matriz do sistema de direções, mediante a investigação dos trabalhos de Shanno & Vanderbei (2000), Benson et al. (2004), Nocedal & Wright (2006) e Pinheiro (2012). Ademais, uma técnica de suavização hiperbólica de funções baseada em Junior (2010), Souza (2010) e Xavier & Xavier (2011) também é apresentada como forma de tra- tar a não-diferenciabilidade da função objetivo do PDE-PV. O método previsor-corretor primal-dual de pontos interiores com as estratégias apresentadas foi, então, implementado em Matlab e aplicado à resolução do PDE-PV, PDE-PPV e PDE-PV-RT. O presente trabalho encontra-se dividido da seguinte forma: no Capítulo 2 são apresen- 3 tados alguns aspectos da geração termelétrica, no Brasil e no mundo, a fim de destacar a relevância que os problemas de despacho econômico assumem. No Capítulo 3 descre- vemos a formulação matemática dos problemas de despacho econômico com ponto de carregamento de válvula e suas variantes (PDE-PV, PDE-PPV e PDE-PV-RT), os pro- blemas a ele relacionado, bem como uma revisão da literatura sobre os métodos para a sua resolução. No Capítulo 4 é feita uma revisão dos métodos de otimização usualmente empregados em otimização não-linear e que apresentam forte relação com este trabalho. O Capítulo 5 dedica-se ao desenvolvimento de um método Primal-Dual Previsor-Corretor Barreira Logarítmica Modificada (PDPCBLM) para a resolução do PDE-PV. No mesmo capítulo, é apresentada uma estratégia de correção de inércia, que visa auxiliar o método na geração de direções de descida. Ainda no Capítulo 5, apresenta-se a técnica de suaviza- ção hiperbólica, utilizada no tratamento da função objetivo do PDE-PV. No Capítulo 6, aplicamos o método desenvolvido na resolução do PDE-PV e suas variantes. Finalmente, no Capítulo 7, são apresentadas as conclusões e delineadas algumas propostas de melhoria e continuidade deste trabalho. Os apêndices A, B e C incluem, respectivamente, o método para cálculo dos coeficientes-B, uma revisão teórica sobre otimização e os bancos de dados dos sistemas elétricos utilizados. 4 Capítulo 2 Geração Termelétrica Desde os primórdios, a humanidade busca maneiras de evoluir e melhorar sua qualidade de vida. Essa busca incessante levou o homem a atingir patamares antes inimagináveis, através de conhecimentos que foram produzidos desde o início de sua existência. Dentre esses conhecimentos, a noção de energia, antes puramente empírica e de compreensão extremamente limitada, se consolidou e adquiriu caráter científico. Naturalmente, assim que percebeu o potencial energético existente na natureza, o homem passou a buscar meios para utilizá-lo, de modo a atender suas necessidades de sobrevivência. Ao longo do tempo, o homem descobriu novas formas de energia e de como aproveitá-la. Na antiguidade, ela era obtida essencialmente através do sol e queima de biomassa (ener- gia térmica e luminosa), moinhos, rodas d’água e força motriz animal (formas de energia mecânica). Entretanto, o consumo de energia ainda era relativamente baixo se comparado aos padrões de hoje. Foi com o advento da máquina a vapor, durante a Revolução Indus- trial que a forma de obtenção de energia mudou significativamente; o esforço muscular humano e/ou animal passou a ser progressivamente substituído por máquinas visando aumentar a produtividade em uma sociedade voltada cada vez mais para o capital. Essa transição, contudo, foi marcada por uma intensa dependência dos combustíveis fósseis, em especial do carvão mineral, necessários para o funcionamento do maquinário e que passaram a substituir a energia advinda da biomassa. Pouco tempo depois, o mundo assistiu a introdução da energia elétrica, quando em 1882 foram autorizadas as primeiras estações de geração elétrica, movidas a queima de carvão. A flexibilidade da energia elétrica fez com que ela logo se destacasse entre as demais formas de energia. Desde então, diversas nações têm utilizado grandes parcelas de suas reservas de combustíveis fósseis para produção de eletricidade, bem como pesquisado o desenvolvimento de novas formas de obtenção da mesma – hidrelétricas, fissão nuclear, turbinas eólicas e células fotovoltaicas (Smil, 2004). 5 O desenvolvimento da energia elétrica teve grande impacto na vida humana. Na indús- tria, os motores elétricos significaram uma grande revolução e logo substituíram as antigas máquinas a vapor dotadas de diversas engrenagens e correias e que, consequentemente, apresentavam maiores chances de defeitos e acidentes. Nesse mesmo período também se desenvolveu o motor a combustão que, em conjunto com a energia elétrica, permitiu o surgimento dos primeiros automóveis, elevando a importância do petróleo enquanto com- bustível fóssil. Todos estes fatos culminaram na formação da sociedade contemporânea, marcada pelo alto consumo energético, em especial na forma de energia elétrica proveni- ente da queima de combustíveis fósseis. A Figura 2.1 apresenta a evolução da potência produzida através de alguns equipamentos ao longo do tempo. Figura 2.1: Potência gerada pelos diversos tipos de equipamentos. Fonte: Smil (2004) As consequências do consumo desenfreado dos combustíveis fósseis são várias. A primeira é o fato de que as reservas conhecidas de combustíveis fósseis estão se esgotando de maneira acelerada, impactando significativamente sobre o preço e disponibilidade dos mesmos. A segunda é de cunho ambiental: ainda que os combustíveis fósseis fossem recursos infindáveis, sua extração e queima podem causar impactos ambientais e para a vida humana, que vão de derramamentos de petróleo e aumento das concentrações de gases responsáveis pelo efeito estufa ao aumento da incidência de doenças, principalmente respiratórias. Diante desse cenário, a questão dos custos envolvidos na geração de energia em termelé- tricas, a partir da queima de combustíveis fósseis, assume um papel socioeconômico de grande relevância. Assim, o objetivo deste capítulo é abordar aspectos da geração de eletricidade, em especial a termelétrica, que servirão como pano de fundo para os modelos 6 a serem apresentados no próximo capítulo. 2.1 Eletricidade e suas formas de geração A energia elétrica pode ser gerada de diversas maneiras, através da conversão de outras formas de energia. Algumas formas de geração já estão bem consolidadas, enquanto outras ainda requerem pesquisas a fim de se tornarem viáveis. A seguir, apresenta-se algumas dessas formas de geração. 2.1.1 Geração termelétrica É a forma mais comum de geração de energia elétrica no mundo. O funcionamento das usinas termelétricas consiste na queima de um combustível fóssil, como o carvão, óleo ou gás natural, visando transformar a água em vapor com o calor gerado na caldeira. Esse vapor, em alta pressão, movimenta a turbina que, por sua vez, aciona o rotor do gerador elétrico, convertendo energia mecânica em energia elétrica. A energia é, então, conduzida através de cabos, dos terminais do gerador até o transformador elevador, a fim de ter a tensão gerada aumentada para transmissão. Quando chega aos centros de consumo, a tensão é reduzida nos alimentadores primários do sistema de distribuição, e depois reduzida para níveis de consumo (alimentadores secundários). Por fim, na usina, o vapor é condensado, fechando o ciclo. Uma discussão mais detalhada acerca da geração termelétrica será realizada na Seção 2.2. 2.1.2 Geração nuclear Pode ser considerada um tipo de geração termelétrica, uma vez que o calor produzido no processo de fissão nuclear é utilizado para produzir vapor, como nas usinas termelétricas convencionais. O combustível utilizado para geração do calor é que a difere das usinas termelétricas tradicionais: o urânio-235. A fissão é iniciada pelo bombardeamento com nêutrons e continua espontaneamente, numa reação em cadeia, uma vez que na divisão de um átomo de urânio-235 ocorre a liberação de 2 a 3 nêutrons, que atingirão outros núcleos de urânio-235. O minério de urânio é encontrado em pouca quantidade, de modo que é necessário um longo processo de extração e beneficiamento, até que ele possa ser utilizado nas usinas. Na América Latina, a única mina de urânio em funcionamento está em Caetité, na Bahia. 7 Dentre suas vantagens, estão: a operação das usinas é livre de emissões diretas de gases do efeito estufa, lançam poucos resíduos na atmosfera e o processo é bem conhecido do ponto de vista teórico. Por outro lado, como desvantagens, a geração nuclear tem altos custos de construção e operação devido aos sistemas de segurança necessários, não há solução definitiva sobre a alocação do resíduo radioativo e, em caso de acidentes, os resultados podem ser catastróficos. Outra forma de geração de energia nuclear que vem sendo pesquisada é através da fusão nuclear, o mesmo fenômeno que ocorre no Sol, e que poderia gerar uma quantidade muito grande de energia limpa, por utilizar o hidrogênio como combustível. As dificuldades relacionadas à geração de energia nuclear por fusão residem no fato de que o processo ainda consome mais energia do que libera. Associado a isso, tem-se o problema da con- tenção eletromagnética do plasma gerado no processo de fusão, que exige equipamentos de tecnologia sofisticada. 2.1.3 Geração hidrelétrica Consiste em utilizar a vazão dos rios e seus desníveis para a geração de energia. Uma usina hidrelétrica é composta, fundamentalmente, pela barragem, pelo sistema de captação e adução de água, casa de força, canal de fuga, que conduz a água captada até o leito do rio, e um vertedouro para evitar o comprometimento da segurança da usina, caso a água ultrapasse o limite máximo de volume armazenado. A Figura 2.2 ilustra de modo simplificado um sistema de potência com uma usina hidrelétrica. De modo geral, a água é conduzida até a casa de força através de canais, a fim de passar por uma turbina hidráulica, onde a energia hidráulica é convertida em energia mecânica e, por conseguinte, em energia elétrica. O restante do processo de produção da energia elétrica é semelhante ao das usinas termelétricas. Quanto ao reservatório, existem dois tipos: acumulação e fio d’água. Os de acumulação se caracterizam pelo alagamento de uma grande área, que é represada com auxílio da barragem, podendo estocar água para períodos de seca. Devido a essa característica, são construídas a montante das demais usinas, de modo a regular a vazão de água que fluirá para usinas a jusante. Já as usinas a fio d’água, salvo algumas exceções, em geral não represam água, de modo que possuem baixa capacidade regulatória. Este tipo de usina, contudo, pode represar a água para criar um maior desnível entre os espelhos d’água a montante e jusante, uma vez que a geração hidrelétrica depende da vazão e da altura de queda. Apesar de causarem impactos ambientais durante suas construções, usinas hidrelétricas 8 Figura 2.2: Diagrama de funcionamento de um sistema de potência com geração hidrelétrica. Fonte: Furnas (2014) são consideradas formas limpas de geração de eletricidade. Para tanto, porém, é necessá- ria a retirada da matéria orgânica no local da construção da usina, já que a decomposição dessa matéria no fundo dos reservatórios pode liberar gases estufa. A eficiência de con- versão da energia potencial em energia elétrica varia de 90% a 95%. No Brasil, a geração hidrelétrica é a mais desenvolvida e de maior proeminência. Dados de 2011 indicam que o Brasil era o segundo maior produtor de energia elétrica através desse tipo de geração (Tabela 2.1). 2.1.4 Geração eólica De acordo com a ANEEL (2008), a energia eólica é caracterizada pela captação da energia cinética decorrente da migração de massas de ar causada por variações térmicas. O vento, “combustível” dessa forma de energia, faz girar as pás da turbina, produzindo a conversão de energia mecânica em eletricidade, através de um aerogerador. A geração de eletricidade a partir da energia eólica está sujeita a diversos fatores. Dentre eles, podemos citar: • a densidade do ar, já que a energia cinética de um corpo depende de sua massa; • a área de varrimento do rotor que determina quanta energia a turbina pode captar; • a distribuição da pressão no rotor, já que conforme o ar se aproxima do rotor, sua 9 Tabela 2.1: Produção de hidreletricidade Produtores TWh % do total mundial China 699 19,6 Brasil 428 12,0 Canadá 376 10,5 Estados Unidos 345 9,7 Rússia 168 4,7 Índia 131 3,7 Noruega 122 3,4 Japão 92 2,6 Venezuela 84 2,3 Suécia 67 1,9 Restante do Mundo 1054 29,6 Mundo 3566 100,0 Fonte: International Energy Agency (2013) pressão aumenta pois o rotor é uma barreira para a passagem do vento; • Lei de Betz, segundo a qual um aerogerador somente pode converter menos de 16/27 (59%) da energia cinética em mecânica; • variações do vento ao longo do tempo; • tempo de início da geração do aerogerador, uma vez que ventos com baixa veloci- dade não têm energia suficiente para o acionamento das máquinas eólicas (somente funcionam a partir de uma determinada velocidade). 2.1.5 Geração solar Tendo em vista as diversas preocupações ambientais, outra forma de energia renovável que também tem sido discutida é a solar fotovoltaica. Para a geração de energia elétrica a partir da energia solar, é necessária a utilização de elementos semicondutores fotossen- síveis, cujos elétrons se excitam na presença de luz solar (ANEEL, 2008). Para tanto, usualmente são utilizadas células fotovoltaicas feitas de silício monocristalino. Outra forma de produzir eletricidade a partir da energia solar é a criação de usinas solares. Este tipo de usina é composta por uma série de espelhos móveis, visando refletir a luz solar para um receptor. Tubos contendo água são aquecidos pela luz refletida, produzindo vapor que movimenta uma turbina. As vantagens da energia solar são, basicamente, o fato de não haver consumo de combus- tível, de ser uma forma de energia limpa, de requerer pouca manutenção, além de evitar a volatilidade dos preços em mercados de combustíveis fósseis. Por outro lado, é uma forma de geração que somente funciona durante o dia, ainda é pouco eficiente e o custo 10 de instalação é elevado. 2.1.6 Bioeletricidade De acordo com a ANEEL (2008), a bioeletricidade é uma forma de energia limpa e re- novável, obtida em sistemas de cogeração a partir da biomassa, que pode ser de resíduos da cana-de-açúcar, restos de madeira, carvão vegetal, dentre outros. No Brasil, ainda que em pequena escala, a bioeletricidade é obtida essencialmente a partir do bagaço da cana-de-açúcar. O Plano Nacional de Energia 2030 aponta que, em 2007, a potência instalada no Bra- sil para a produção de eletricidade a partir da biomassa da cana era de 2822MW, em mais de 250 usinas. Entretanto, a tecnologia de geração utilizada compreende ciclos de contrapressão, com caldeiras de baixa pressão e baixa eficiência (Brasil, 2007). A recu- peração de parte da palha da cana também poderia contribuir para elevar a produção de bioeletricidade no Brasil. 2.2 Geração termelétrica: Brasil e mundo Dentre as formas de geração apresentadas na Seção 2.1, as que mais têm sido estudadas através de modelos de despacho são a termelétrica, a hidrelétrica e a eólica. Nesta seção, apresentamos alguns aspectos da geração termelétrica no Brasil e no mundo. 2.2.1 Geração termelétrica no Brasil O Brasil é um país com grande quantidade de recursos hídricos, de modo que ao longo dos anos conseguiu explorar boa parte desse potencial para geração de eletricidade, através de usinas hidrelétricas. As vantagens das hidrelétricas são, basicamente, os baixos custos operacionais tendo em vista que a água é um recurso gratuito, o fato da água ser uma fonte renovável de energia, a não produção de resíduos poluentes e a conversão relativamente eficiente da energia potencial gravitacional em energia elétrica nas usinas. De acordo com Matsumura (2003), a reforma do setor elétrico ocorrida na década de 90 no Brasil visava criar incentivos ao investimento privado. Com isso, esperava-se que um número expressivo de termelétricas entrassem no mercado, uma vez que seus custos de produção eram competitivos quando comparados aos custos de novas hidrelétricas. Tais termelétricas seriam fundamentais para redução do risco de déficits energéticos futuros. 11 Entretanto, em 1999, concluiu-se que os investimentos em termelétricas esperados não estavam ocorrendo, levantando-se a possibilidade de um futuro racionamento de eletrici- dade. As causas para essa falta de investimento estavam vinculadas, essencialmente, às incertezas regulatórias, à variação cambial no preço dos combustíveis, bem como o risco hidrológico do sistema elétrico nacional. As usinas hidrelétricas requerem planejamento uma vez que seu “combustível”, a água, é um recurso relacionado à sazonalidade das chuvas. Devido à natureza caótica dos fenômenos meteorológicos, o planejamento inadequado das hidrelétricas pode ocasionar a redução do nível dos reservatórios e, conseqüentemente, a quedas drásticas na geração de eletricidade. Essa foi a situação vivenciada pelo Brasil em 2001, durante o raciona- mento de energia, ocorrido tanto pela falta de planejamento quanto pela insuficiência dos investimentos em geração e transmissão. Além da questão do planejamento, outras desvantagens das hidrelétricas são: os inves- timentos de grande monta e o tempo necessário para sua construção; a morte de várias espécies da fauna e flora, bem como a ruptura da cadeia alimentar e agressão às condições de abrigo, alimentação e reprodução animais; a necessidade de reassentamento de núcleos urbanos e ribeirinhos que se situam na zona afetada pela construção da usina; a perda de patrimônio cultural, bens históricos, arqueológicos e paisagísticos; e a distância das hi- drelétricas aos centros consumidores, causando grandes perdas de energia na transmissão. Soma-se a isso o fato que, segundo o Plano Nacional de Energia (PNE) 2030, os prazos para obtenção das licenças ambientais tornam-se cada vez mais longos (Brasil, 2007). Tendo em vista a crescente demanda e as experiências oferecidas pela crise pela qual passou, o Brasil tem buscado ampliar e diversificar sua matriz energética elétrica. Uma das possibilidades, em curto prazo, para efetuar a expansão do setor elétrico e suprir a demanda é a instalação de usinas termelétricas tradicionais, que funcionam através da queima de diesel ou gás natural. Daí o fato de que, nos anos 2000, o governo introduziu o Programa Estratégico Emergencial de Energia Elétrica (PEEE), dentro do qual se situava o Programa Prioritário de Termelétricas (PPT). Dentre os objetivos do PEEE, estavam a expansão da oferta de energia, a maximização da produtividade das fontes geradoras instaladas e a diversificação da matriz energética elétrica nacional, de modo a reduzir a dependência do regime hidrológico (Brasil, 2001). O PPT visava ampliar a participação das termelétricas tradicionais no parque energético, aumentando de 12,2% em 2001 para 19,4% em 2003. A participação percentual deveria diminuir para 18,1% em 2005, não pela redução da produtividade das termelétricas, mas sim devido ao aumento proporcional de outras fontes. A principal dificuldade para a efetivação das ações do PPT estava relacionada ao preço 12 do gás e do petróleo, cotado em dólar norte-americano e sujeito às operações de câmbio, e como reajustá-lo visando as tarifas do consumidor, fixadas em moeda nacional. Esse impasse veio a ser resolvido através de uma medida provisória que, pouco tempo depois, foi transformada em lei (Brasil, 2001). O cenário previsto pelo plano decenal de expansão de energia 2022, é de que a capacidade instalada para produção de energia elétrica irá se expandir no Brasil, com destaque para a ampliação percentual das fontes renováveis de energia – biomassa, PCH e eólica. A concretização do plano, entretanto, está sujeita à obtenção de licenças prévias ambientais. Caso contrário, uma expansão concentrada em projetos termelétricos, preferencialmente movidos a gás natural, poderá constituir alternativa de atendimento à demanda, frente eventuais atrasos dos projetos (Brasil, 2007). Naturalmente, como toda forma de geração de eletricidade, a implantação de termelétricas apresenta vantagens e desvantagens. Suas principais desvantagens estão relacionadas ao elevado custo dos combustíveis fósseis, bem como a emissão de gases do efeito estufa e material particulado, que podem causar danos à saúde humana, à fauna e à flora. Em contrapartida, as usinas termelétricas também possuem aspectos vantajosos. Dentre eles, pode-se citar o fato de que podem ser construídas próximas dos centros consumidores, evitando grandes perdas da energia elétrica produzida. Além disso, sua construção é mais simples e rápida quando comparada a hidrelétricas. No que tange ao aspecto social, unidades termelétricas podem contribuir para a introdução da energia elétrica em regiões isoladas, não atendidas pelo sistema interligado (Stanzani, 2012). A geração termelétrica a carvão sempre foi pouco expressiva no Brasil. Uma das razões para isso são as características do carvão nacional, de baixa qualidade, de modo que sua aplicação para fins de geração de energia elétrica é bastante limitada. Devido a esse motivo, muitos estudos e prospecção desse recurso foram interrompidos. Mesmo assim, o Brasil é o país com a décima maior reserva do mundo. Quanto ao gás natural, as reservas nacionais eram vistas como pouco expressivas para o atendimento do potencial de mercado, situação essa que mudou com a importação de gás boliviano. Devido às vantagens da geração termelétrica a gás, propôs-se que metade do gás importado da Bolívia fosse empregado na geração de energia elétrica. Essa decisão também foi incentivada pela crise de energia em 2001. Dessa forma, o ritmo de consumo nacional de gás natural tem crescido nos últimos anos. De acordo com a ANEEL (2005), no Brasil, a principal função das usinas termelétricas é a de atendimento da demanda de pico do sistema elétrico e o suprimento de eletricidade para municípios e comunidades isoladas. Caso a hidrologia não seja favorável, as usinas termelétricas podem operar na base de carga, de modo que sua capacidade tende a se 13 aproximar do fator de disponibilidade máximo. Por outro lado, em situações de hidrologia favorável, o despacho das usinas termelétricas tende a ser mínimo, porém limitado pelas condições operativas/comerciais mínimas. 2.2.2 Geração termelétrica no mundo A realidade brasileira, contudo, difere significativamente da maioria das outras nações. Ao redor do mundo, a principal forma de geração de energia elétrica para suprir a base da demanda ainda é através de termelétricas tradicionais, conforme indica a Figura 2.3. Figura 2.3: Participação das diversas formas de geração de eletricidade, no mundo, em 2011. Fonte: International Energy Agency (2013) Nota-se, portanto, que as formas de geração térmica tradicionais, através de carvão, pe- tróleo e gás natural somam mais de 65% da geração de eletricidade mundial. Isto significa que, do ponto de vista econômico, estratégias que permitam a redução do custo dos com- bustíveis queimados são de grande valia. No que diz respeito à geração termelétrica, o petróleo perdeu grande parte de sua im- portância, cedendo espaço para o carvão e, principalmente, para o gás natural. Este fato fica evidenciado, considerando que em 1973 o petróleo era o combustível responsável pela geração de 24,6% da eletricidade no mundo e, em 2011, por apenas 4,8%. Em contrapar- tida, o gás natural aumentou sua participação, passando de 12,2% para 21,9%, ao passo que o carvão aumentou de 38,3% para 41,3%, no mesmo período (International Energy Agency , 2013). A justificativa para esse acontecimento é simples: com a crise do petróleo na década de 14 70, o carvão assumiu maior expressividade no cenário de geração de eletricidade. Fontes alternativas, como o gás natural, também passaram a se mostrar como uma possibilidade viável para substituição das usinas movidas a derivados do petróleo. A partir daí, a capa- cidade instalada de termelétricas a óleo foi reduzida e diversas plantas foram modificadas para empregar outros combustíveis, principalmente gás natural. Com o encarecimento do petróleo, esse tipo de usina passou, na maioria dos países, a ser utilizada para suprir a demanda de pico (ANEEL, 2005). Na produção de energia elétrica, apesar das diversas pressões ambientais, o carvão ainda é o principal insumo utilizado para geração de eletricidade, e essa realidade não deverá mudar muito cedo, mesmo com a introdução e desenvolvimento de fontes renováveis. Isso porque o carvão é a fonte de energia primária mais abundante no planeta. Dados do PNE 2030 apontam que, apesar de concentradas principalmente em três regiões (Ásia e Oceania, Eurásia e América do Norte), as reservas provadas de carvão são suficientes para suportar o consumo mundial por mais de 160 anos (Brasil, 2007). Ademais, os preços do carvão apresentam volatilidade significativamente menor do que outros combustíveis fósseis. Nos países desenvolvidos tem-se verificado uma maior restrição à expansão da geração termelétrica a carvão, devido às questões ambientais, em especial as emissões de dióxido de carbono. Contudo, essa realidade não é acompanhada por diversos outros países, principalmente aqueles em desenvolvimento, como a China, a Índia e a Rússia. O segundo combustível mais utilizado para produzir energia elétrica é o gás natural. Se- gundo a ANEEL (2005), o desenvolvimento das turbinas a gás ocorreu depois da Segunda Guerra Mundial, o que significa que esse tipo de forma de geração é recente. Apesar disso, é uma forma de geração de eletricidade que apresentou grande expansão nos últimos anos, conforme se verifica na Tabela 2.2. Tabela 2.2: Consumo mundial de gás natural (milhões de tep) 1973 2003 Δ ao ano Oferta Total (energia primária) 979,1 2244,1 2,8% Geração de Energia Elétrica 160,0 468,6 3,7% Cogeração 50,9 275,4 5,8% Geração de Calor 0,7 87,7 17,5% Outros Usos 96,1 220,5 2,8% Uso Final 671,4 1191,9 1,9% Fonte: Brasil (2007) Devido à crise do petróleo da década de 70 e com a introdução das usinas de ciclo com- binado, o gás natural tornou-se um recurso estratégico e economicamente atrativo. De acordo com Samed (2004), as turbinas a gás são compactas, leves, baratas e de instalação mais simples, além de se encontrarem em estágio maduro de confiabilidade e eficiência. 15 A principal dificuldade relacionada à utilização do gás natural em turbinas operando em ciclo simples é a baixa eficiência do ciclo termodinâmico e a perda de energia nos gases de exaustão. Por isso, as usinas mais modernas que utilizam gás natural operam em ciclo combinado: os gases de escape da turbina a gás, devido à temperatura, aquecem a água transformando-a em vapor, assim como ocorre numa usina termelétrica convencional. Dessa forma, combinam-se os ciclos de turbina a gás e turbina a vapor. Normalmente, usinas de ciclo simples apresentam rendimento de até 35% enquanto as de ciclo combinado podem apresentar rendimento superior a 45% (Brasil, 2007). 2.3 Aspectos técnicos e econômicos da geração terme- létrica Os conceitos apresentados nessa seção se baseiam no trabalho de Samed (2004). Segundo Miller (1987), a relação ou taxa entre a entrada de combustível e a saída de energia elétrica em uma unidade térmica, medida sob diversas situações de carga, permite a obtenção de curvas que expressam a eficiência das mesmas. Tais curvas são denominadas curvas de entrada-saída. Comumente, as curvas de entrada-saída são idealizadas como convexas e suaves, como a Figura 2.4. Em geral, cada unidade geradora possui uma curva de entrada-saída, que é obtida através de cálculos de projetos ou testes de taxa de calor. Entretanto, se testes de taxa de calor são utilizados, os pontos encontrados para determinar a curva não resultam em uma curva suave. Pmin P Pmax Saída de Potência (MW) E nt ra da de C om bu st ív el (B tu /h ) Figura 2.4: Curva de entrada-saída idealizada. Fonte: Samed (2004) A fim de calcular o custo de combustíveis empregados por uma unidade geradora, multiplica- 16 se a entrada de combustível, expressa em Btu/h, pelo equivalente custo de combustível, em $/Btu, em que $ é a unidade monetária. Tendo em vista que o carregamento das unidades geradoras afeta o custo dos combustíveis, pode-se considerar que existe uma função que relaciona o custo e a potência gerada. Outros fatores que afetam o custo dos combustíveis são a combinação de usinas hidráulicas e térmicas, as variações na carga e a compra e venda de energia. Neste trabalho, o foco principal está nas usinas termelétricas, e a questão dos custos envolvidos na aquisição de combustíveis será abordada no próximo capítulo. 17 Capítulo 3 Despacho Econômico Neste capítulo, apresenta-se o Problema de Despacho Econômico (PDE) e suas variantes. É feita, ainda, uma revisão bibliográfica desse problema e suas estratégias de resolução. O PDE é um problema de otimização que permite minimizar o custo dos combustíveis empregados na geração termelétrica tendo em vista as restrições operativas e, portanto, é de grande valia para os operadores do sistema elétrico. 3.1 Geração termelétrica: custos e perdas O problema de despacho econômico, proposto por Steinberg & Smith (1943), pode ser definido como o processo de alocação ótima das demandas de eletricidade entre as unidades geradoras disponíveis, de modo que as restrições operacionais sejam satisfeitas ao mesmo tempo em que se minimizam os custos de geração. O PDE clássico é modelado como um problema de otimização matemática não-linear, cujas restrições estão relacionadas essencialmente aos limitantes de potência gerada para cada uma das unidades geradoras e à satisfação da demanda. Modelos mais complexos do PDE podem incluir outras restrições, como restrições de transmissão, relacionadas ao fluxo de potência nos ramos do sistema. A questão econômica da geração, entretanto, não é recente. De acordo com Happ (1977), o despacho econômico data do início dos anos 1920, ou até mesmo antes, quando engenheiros preocupavam-se com a alocação econômica da geração ou como dividir adequadamente a carga entre as unidades geradoras disponíveis. Até o período anterior ao ano de 1930, vários métodos para despacho eram utilizados. Dentre eles, destaca-se o carregamento por ordem de mérito, que se baseava no carrega- 19 mento sucessivo das unidades mais eficientes (Happ, 1977). Isto é, segundo esse critério para despacho, solicita-se potência do gerador mais eficiente até que este atinja o limite de geração e, então, se passa para o próximo gerador mais eficiente. A falha deste método para minimizar os custos reside no fato de que se desconsidera que a eficiência de uma unidade geradora é uma função da potência gerada. No início de 1930, entretanto, o método supracitado passou a ser substituído pelo critério dos custos incrementais iguais, devido aos resultados mais econômicos que este último apresentava. A utilização do custo incremental considera que a eficiência é função da potência gerada, e que o ponto de menor custo é aquele em que os custos incrementais de todas as unidades geradoras são iguais. Isto é, a ideia do método dos custos incrementais é que o carregamento das unidades geradores seja realizado de modo que o próximo aumento incremental de carga no sistema deve ser feito alocando-o na unidade geradora com menor custo incremental, o qual é determinado medindo a derivada da curva de custo. Por volta de 1931, a ideia do critério dos custos incrementais iguais já estava bem es- tabelecida, de modo que se concluiu que para que a geração fosse econômica, os custos incrementais de todas as unidades geradoras deveria ser igual. No intuito de compreender do ponto de vista teórico essa escolha para as unidades geradoras, um passo foi dado no trabalho de Steinberg & Smith (1934), quando investigaram e mostraram que este critério era válido para a obtenção do custo mínimo, no caso de duas unidades geradoras. Com o propósito didático, a demonstração desse fato será reproduzida abaixo. Para tanto, é necessário assumir as hipóteses apresentadas por Steinberg & Smith (1934): • As curvas de entrada-saída são contínuas e diferenciáveis; • As derivadas de tais curvas são contínuas; • O valor das taxas incrementais (derivadas) sempre aumenta conforme a saída au- menta. Critério dos Custos Incrementais Iguais para 2 geradores Mostrar-se-á que a entrada mínima para uma saída obtida através da combinação de 2 unidades geradoras é obtida quando as taxas incrementais são iguais. Para tanto, considera-se a seguinte notação: Ot é saída total das duas unidades (valor fixo); O1 é saída da unidade número 1; O2 é saída da unidade número 2; It é entrada total das duas unidades; I1 é entrada da unidade número 1; 20 I2 é entrada da unidade número 2; Conforme visto na Seção 2.3, pode-se assumir que a entrada é uma função da saída desejada, isto é, I1 = F1(O1) e I2 = F2(O2) são curvas de entrada-saída para as unidades geradoras. Por hipótese, as derivadas dI1 dO1 e dI2 dO2 são contínuas e aumentam conforme O1 e O2 aumen- tam, respectivamente. Portanto, pode-se concluir que as funções I1 e I2 são convexas1. Dessa forma a entrada total, It = I1+ I2, é uma função convexa. A saída total é expressa por Ot = O1 +O2. O objetivo, portanto, é minimizar It de modo que a saída total seja obtida. Isto é, devemos ter O2 = Ot − O1. Logo, It = F1(O1) + F2(Ot − O1) é uma função apenas de O1. Tendo em vista a convexidade de It, tal função assume valor mínimo quando dIt dO1 = 0. Desde que dIt dO1 = dI1 dO1 + dI2 dO1 , pela regra da cadeia tem-se que dIt dO1 = dI1 dO1 + dI2 dO2 · dO2 dO1 . Além disso, dO2 dO1 = d dO1 (Ot−O1) = −1, de modo que dIt dO1 = dI1 dO1 − dI2 dO2 . Desde que para obtenção do mínimo deve-se ter dIt dO1 = 0, segue que dI1 dO1 − dI2 dO2 = 0 se, e somente se, dI1 dO1 = dI2 dO2 . Entretanto, os autores destacam no mesmo artigo que caso as hipóteses apresentadas não sejam válidas, pode ser que exista mais de um mínimo dentro dos limites de operação, de modo que a computação de todos é necessária para concluir qual é o melhor. A compreensão acerca desse critério veio a ser aprofundada pelos mesmos autores, em 1943 (Steinberg & Smith, 1943). A questão das perdas na transmissão também foi outra preocupação que desde cedo passou a ser considerada no despacho de geração. Em Steinberg & Smith (1934) é apresentada uma forma de considerar as perdas em termos da eficiência incremental. Entretanto, o cálculo das perdas era lento e tinha que ser repetido para cada situação nova do sistema. Um grande avanço no sentido de computar as perdas foi obtido por George (1943). Em seu trabalho, o autor apresentou uma forma de calcular as perdas, bem como hipóteses subjacentes a esses cálculos. A expressão quadrática e as hipóteses por ele apresentadas são, com poucas modificações, utilizadas até os dias de hoje. O trabalho de George veio a ser aperfeiçoado, nas duas décadas seguintes, em uma série de quatro artigos produzidos por Kron. Nestes trabalhos, Kron apresentou uma modelagem das perdas de modo que as hipóteses em que se baseava eram bastante claras, originando a representação quadrática das perdas através dos coeficientes-B, também conhecida como Fórmula de Kron. Outros 1A definição de convexidade de funções é apresentada no apêndice B. Este resultado decorre de um teorema de Análise, segundo o qual uma função real diferenciável em um intervalo aberto (a, b) é convexa se, e somente se, sua derivada f ′ é crescente em (a, b). 21 métodos para tratar as perdas além dos coeficientes-B foram desenvolvidos, mas essa fórmula para representação das perdas continuou sendo a predominante (Happ, 1977). Com a introdução e resolução dos problemas de fluxo de carga em computadores, no final dos anos 1950, a representação das perdas também evoluiu. Antes representadas por formas quadráticas, passaram a ser expressas através de equações não-lineares e não- convexas, dependentes das magnitudes e ângulos de tensão nas barras do sistema. O fluxo de carga visa determinar as magnitudes e ângulos de tensão nas barras, de modo que as equações de balanço de potência ativa e reativa sejam satisfeitas. Para tanto, considera a existência de três tipos de barra: barras de carga, barras de geração e barra slack. Em uma barra de carga, a potência ativa e reativa injetadas são conhecidas, enquanto a magnitude de tensão e o ângulo de tensão são desconhecidos; em uma barra de geração, a potência ativa injetada e a magnitude de tensão são conhecidas, enquanto a injeção de potência reativa e o ângulo de tensão devem ser determinados; por fim, na barra slack, a magnitude de tensão e o ângulo de tensão são conhecidos, restando determinar as injeções de potência ativa e reativa. Juntamente com a resolução do problema de fluxo de carga, surgiu outro problema de otimização denominado Fluxo de Potência Ótimo (FPO). 3.2 Despacho Econômico e problemas relacionados O PDE pode ser entendido como um subproblema de determinados problemas mais com- plexos da área de sistemas de potência. Dentre eles, destacam-se o FPO, o Unit Commit- ment e o Despacho Hidrotérmico. A seguir, abordaremos de modo sucinto estes problemas. 3.2.1 Fluxo de Potência Ótimo De acordo com Soler (2011), o objetivo da resolução do problema de FPO é determinar o ponto de operação do sistema elétrico, de modo a otimizar um critério da rede, ao mesmo tempo em que suas restrições físicas e operacionais não sejam violadas. O critério a ser otimizado pode variar, sendo alguns deles: minimização do desvio de tensão, minimiza- ção das perdas ativas na transmissão, minimização do corte de carga, maximização da capacidade de transferência simultânea entre áreas do sistema elétrico e, naturalmente, a minimização dos custos. Daí o fato de o PDE ser considerado um subproblema do FPO. O FPO foi introduzido por Carpentier (1962) como uma generalização para o PDE. A principal contribuição do trabalho de Carpentier é a formulação do problema em bases matemáticas sólidas (Happ, 1977). Em seus trabalhos sobre FPO, Carpentier propôs a 22 solução do problema através da utilização das condições de otimalidade de Karush-Kuhn- Tucker. De acordo com Samed (2004), o problema de FPO pode ser representado matematica- mente por: minimizar f(x) sujeito a g(x) = 0 h(x) � 0 (3.1) em que: x é o vetor das variáveis de estado (magnitudes de tensão, ângulos de tensão, taps dos transformadores); f(x) é a função objetivo, que traduz o critério a ser otimizado; g(x) são as equações de balanço de potência ativa e reativa; h(x) são as restrições funcionais e os limites operacionais. O procedimento de resolução empregado por Carpentier foi o método de Gauss-Seidel. Entretanto, segundo Happ (1977), o comportamento de convergência mostrou-se difícil e mais irregular do que se pensava inicialmente. As formulações mais modernas do FPO são ainda mais complexas e também incluem variáveis discretas (Soler, 2011). 3.2.2 Unit Commitment O PDE é um problema que supõe que as unidades geradoras ligadas e desligadas em cada usina são conhecidas a priori. Em contrapartida, os problemas de Unit Commitment devem não apenas determinar a potência a ser gerada pelas unidades, mas também aquelas que deverão ser ligadas e desligadas. Comumente, isso é feito em base horária, num horizonte de 24 horas, a fim de garantir que o despacho realizado seja capaz de atender às flutuações da demanda ao longo do dia. Para tanto, modelos de Unit Commitment incluem, além das restrições de satisfação de demanda presentes no Despacho Econômico, o custo de ligamento e desligamento das unidades geradoras na função objetivo (start-up e shut-down), além de resitrições intertemporais (restrições de rampa). A escolha do estado ligado/desligado usualmente é modelada através de variáveis binárias – on (1) e off (0) –, o que torna o Unit Commitment um problema de programação in- teira mista (sendo ele NP-difícil, segundo Viana & Pedroso (2013)). Devido à sua natureza combinatória, esse problema freqüentemente é linearizado, a fim de que métodos de pro- gramação linear inteira, como branch-and-bound e branch-and-cut, possam ser utilizados. Métodos heurísticos também são empregados em sua resolução. 23 O Despacho Econômico, portanto, pode ser entendido como uma “fotografia”, isto é, um único intervalo do Unit Commitment multiperíodo, em que as unidades geradoras ligadas e desligadas são conhecidas a priori. 3.2.3 Despacho Hidrotérmico O Despacho Hidrotérmico é a extensão do Despacho Econômico, de modo a incluir a geração hidrelétrica. Este tipo de despacho possui grande relevância para países como o Brasil, cuja produção de eletricidade é fundamentada na geração hidrelétrica. Um sistema hidrotérmico de geração pode ser definido como o sistema elétrico em que usinas termelétricas e hidrelétricas funcionam em conjunto com o propósito de suprir a demanda. A resolução do despacho hidrotérmico é mais complexa que o de apenas termelétricas pois, conforme já destacado, a água é um insumo para geração de energia cuja disponibilidade é desconhecida em um horizonte de planejamento. Além disso, uma vez que muitas usinas estão conectadas à mesma cascata hidráulica, decisões tomadas em uma usina a montante pode afetar outras usinas a jusante. No caso do despacho hidrotérmico, deve ocorrer o balanço entre a geração hidrelétrica e termelétrica, visando atender a demanda. Usualmente, esse balanço é expresso através da restrição de igualdade ∑ i∈T PG,i + ∑ j∈H PG,j = D (3.2) em que: PG,i é a potência ativa produzida pela unidade geradora i; PG,j é a potência ativa produzida pela unidade geradora j; T é o conjunto das unidades termelétricas de geração; H é o conjunto das unidades hidrelétricas de geração; D é a potência demandada. Diferentemente das termelétricas, os geradores hidrelétricos não possuem uma função de custo bem definida, uma vez que a água é um recurso gratuito. Por isso, diversos trabalhos são apresentados na literatura como forma de precificar a água, como a função custo de oportunidade apresentada em Vergílio (2011) que mede, economicamente, o quanto uma usina hidrelétrica pode perder quando não estiver operando em seu ponto de máxima produtividade. 24 3.3 Modelos Matemáticos do PDE Como já foi dito, o PDE consiste em atribuir os níveis de produção adequados às unidades geradoras, de modo que a demanda seja suprida e as condições operacionais respeitadas, ao mesmo tempo em que se minimiza os custos associados ao consumo de combustível. Nesta seção, apresentamos os modelos de despacho econômico de interesse para esse trabalho. No que segue, iremos considerar que os modelos estão relacionados apenas à geração termelétrica. 3.3.1 Função Objetivo Em sistemas elétricos, a demanda comumente é atendida por diversas unidades geradoras, cujos custos de combustíveis e manutenção são expressos por diferentes funções. Assim, a função de custo total é obtida pela soma dos custos individuais das unidades geradoras. Devido às dificuldades inerentes aos problemas não-lineares, a maioria das pesquisas reali- zadas para resolução de problemas de despacho econômico aproximam as funções de custo dos geradores através de uma função quadrática, isto é, uma função convexa e suave, de modo que a função objetivo de custo total assume a forma apresentada em (3.3): CT (PG) = ∑ k∈G Ck(PG,k) = ∑ k∈G (akP 2 G,k + bkPG,k + ck) (3.3) em que: CT (PG) é a função objetivo de custo total; PG,k é a potência gerada pela unidade geradora k; G é o conjunto das unidades geradoras; Ck(PG,k) é a função custo individual da unidade geradora k; ak, bk, ck são os coeficientes de custo da unidade geradora k. Entretanto, de acordo com Samed (2004), algumas formas diferentes foram utilizadas para representar as curvas de entrada-saída de unidades geradoras. Os dados obtidos em tes- tes da taxa de calor foram ajustados de diversas maneiras: curvas polinomiais (incluindo quadráticas), segmentos de reta e segmentos quadráticos. Estas diferentes representações, naturalmente, resultam em distintas características de taxa de calor incremental e, con- sequentemente, diferentes funções de custo. A Figura 3.1 apresenta uma representação polinomial linear e linear por partes hipotética da taxa de calor incremental associada à saída de potência. Na Figura 3.1, a linha contínua representa uma curva de taxa de calor incremental asso- 25 Saída de Potência (MW) T ax a de C al or In cr em en ta l Δ H Δ P (B tu /M W h) Figura 3.1: Possibilidades para representação das curvas da taxa de calor incremental. Fonte: Samed (2004) ciada a uma curva de entrada-saída quadrática (uma vez que a derivada de uma função quadrática é uma função linear). A linha tracejada representa uma curva de taxa de calor incremental associada a uma curva de entrada-saída linear por partes. Conclui-se, portanto, que as diferentes representações das taxas de calor incrementais conduzem a diferentes curvas de entrada-saída, de modo que métodos de resolução diferentes podem ser necessários para realizar o despacho. No caso supracitado, apenas o da linha contínua é caracterizado pela suavidade da função custo. No caso de geradores com turbinas a vapor, entretanto, a representação das curvas de entrada-saída através de uma função quadrática não é a mais adequada. Nestes tipos de geradores existem válvulas de admissão de vapor, cuja abertura influencia na saída da uni- dade. De acordo com Happ (1977), no problema de despacho econômico clássico os custos incrementais são representados como monotonicamente crescentes. Esta caracterização ignora as perdas que ocorrem na passagem de vapor através de válvulas parcialmente abertas. O ponto de carregamento de válvula pode ser definido como o ponto imediata- mente anterior ao levantamento da próxima válvula. Em tais pontos, teoricamente, não ocorrem estrangulamentos e, portanto, não há perdas a eles associadas. A fim de obter uma função de custo total mais representativa e que considere os efeitos dos pontos de carregamento de válvula, a equação (3.3) pode ser modificada de modo a obter a função apresentada em (3.4): CT (PG) = ∑ k∈G Ck(PG,k) = ∑ k∈G [akP 2 G,k + bkPG,k + ck + ∣∣∣ek sen(fk(PG,k − PG,k)) ∣∣∣] (3.4) em que: CT (PG) é a função objetivo de custo total; PG,k é a potência gerada pela unidade geradora k; G é o conjunto das unidades geradoras termelétricas; 26 Ck(PG,k) é a função custo individual da unidade geradora k; ak, bk, ck, ek, fk são os coeficientes da função custo da unidade geradora k; PG,k é o limite mínimo de saída de potência para a unidade geradora k. Os termos senoidais que aparecem na função de custos totais (3.4) são responsáveis por modelar os pontos de carregamento de válvula. Ao mesmo tempo em que esta nova função objetivo é mais completa, ela também introduz novas dificuldades ao problema de otimi- zação que deve ser resolvido: diferentemente da função quadrática apresentada em (3.3), a função de custos totais (3.4) é não-convexa e não-diferenciável. Estas características podem ser notadas na Figura 3.2, em que PG,k denota o limite máximo de potência da unidade geradora k. PG,kPG,kPG,k PG,kPG,kPG,k ∂Ck(PG,k) ∂PG,k Ck(PG,k) Figura 3.2: Funções custo e suas derivadas, com representação de ponto de carregamento de válvula (linha contínua) e sem representação de ponto de carregamento de válvula (linha tracejada). Fonte: o autor. Assim, como se pode notar, quanto à função objetivo do despacho econômico com ponto de carregamento de válvula, a principal dificuldade reside na não-diferenciabilidade da função objetivo, que não permite a aplicação direta de métodos clássicos de otimização. Os pontos de não-diferenciabilidade são aqueles em que fk(PG,k − PG,k) = pπ se, e somente se PG,k = PG,k − pπ fk , com p ∈ . 27 3.3.2 Problema de Despacho Econômico com Ponto de Carrega- mento de Válvula Tendo em vista a função custo apresentada em (3.4), o modelo de otimização para o Problema de Despacho Econômico com Ponto de Carregamento de Válvula (PDE-PV) é expresso por: minimizar CT (PG) = ∑ k∈G Ck(PG,k) = ∑ k∈G [akP 2 G,k + bkPG,k + ck + ∣∣∣ek sen(fk(PG,k − PG,k)) ∣∣∣] (3.5a) sujeito a ∑ k∈G PG,k = D (3.5b) PG,k � PG,k � PG,k, ∀k ∈ G (3.5c) em que: CT (PG) é a função objetivo de custo total; PG,k é a potência gerada pela unidade geradora k; G é o conjunto das unidades geradoras termelétricas; Ck(PG,k) é a função custo individual da unidade geradora k; ak, bk, ck, ek, fk são os coeficientes de custo da unidade geradora k; PG,k, PG,k são os limites mínimo e máximo, respectivamente, de saída de potência para a unidade geradora k; D é a demanda de potência ativa. A equação (3.5a) representa a função objetivo de custo total, incluindo efeitos de pontos de carregamento de válvula. Se esta função objetivo for substituída pela da equação (3.3), obtém-se o PDE clássico. A restrição de igualdade (3.5b) é a equação de balanço de potência ativa, isto é, visa garantir que as potências geradas consigam suprir a potência demandada. Por fim, as restrições de desigualdade em (3.5c) são restrições operacionais cujo objetivo é garantir o funcionamento das unidades geradoras dentro de seus limites mínimo e máximo de geração. Cabe ressaltar que, neste modelo, a transmissão não é representada. O sistema é entendido de forma condensada, isto é, como se todas as unidades geradoras e cargas estivessem situadas em uma única barra e não houvesse nenhum tipo de perda. 28 3.3.3 Problema de Despacho Econômico com Representação das Perdas e Ponto de Carregamento de Válvula Uma maneira de introduzir, de modo implícito, a transmissão do sistema elétrico no PDE- PV é a representação das perdas através da fórmula de Kron, que utiliza os coeficientes- B. Isto é, a potência gerada tem que ser suficiente para suprir a demanda, bem como as perdas, as quais são inerentes a qualquer sistema elétrico. Neste caso, obtém-se o seguinte problema, denominado Problema de Despacho Econômico com Perdas e Ponto de Carregamento de Válvula (PDE-PPV): minimizar CT (PG) = ∑ k∈G Ck(PG,k) = ∑ k∈G [akP 2 G,k + bkPG,k + ck + ∣∣∣ek sen(fk(PG,k − PG,k)) ∣∣∣] (3.6a) sujeito a ∑ k∈G PG,k = D + LP ref(PG) (3.6b) PG,k � PG,k � PG,k, ∀k ∈ G (3.6c) em que: LP ref(PG) é a função quadrática que representa as perdas. Apesar de incomum, utilizaremos a notação LP ref(PG) para denotar a função de perdas. Isto porque as perdas dependem das potências geradas (PG), bem como de uma situação possível de referência para o sistema elétrico (P ref), utilizada no cálculo dos coeficientes-B. Neste caso, as perdas são representadas pela fórmula de Kron, conforme a equação (3.7) LP ref(PG) = ∑ k∈G ∑ m∈G PG,kBk,mPG,m + ∑ k∈G B0,kPG,k + B0,0 (3.7) em que: Bk,m, B0,k, B0,0 são os coeficientes-B relacionados às perdas, calculados a partir de uma situação factível para o sistema elétrico, com geração P ref. Na literatura, diversos métodos são apresentados para o cálculo dos coeficientes-B. O cálculo destes coeficientes depende do conhecimento de um estado da rede elétrica, que pode ser determinado, por exemplo, através de um algoritmo de fluxo de potência. Neste trabalho, apresentamos uma maneira de realizar o cálculo dos coeficientes-B, baseada em Saadat (1999), a qual se encontra no Apêndice A. Outras formas de calcular tais coeficientes estão disponíveis nos trabalhos de Kothari & Dhillon (2006) e Dopazo et al. (1967). 29 3.3.4 Problema de Despacho Econômico com Ponto de Carrega- mento de Válvula e Representação da Transmissão Até agora, os modelos apresentados ou não se preocupavam com a transmissão, ou repre- sentavam suas perdas de modo simplificado, através dos coeficientes-B. Isto significa que, apesar de realizarem o despacho de modo a suprir a demanda e, possivelmente, as perdas, o despacho realizado pode não ser factível no sentido de satisfazer as equações de balanço de potência por barra, expressas pelas Leis de Kirchhoff. Para tanto, é necessário que as equações de balanço de potência ativa sejam introduzidas como restrições do problema de otimização. Além disso, o fluxo de potência nos ramos do sistema não pode violar os limites mínimo ou máximo operacionais. A seguir, apresenta-se um modelo de despacho, que visa incluir estas restrições. Tendo em vista que o problema está relacionado ao despacho de ativos, a parte reativa do problema será desconsiderada. Assume-se que as magnitudes de tensão estão fixas, e que o sistema possui suporte de reativos para manter as magnitudes de tensão constantes. Assim, o objetivo é determinar o valor da potência ativa a ser gerada pelas unidades, bem como os ângulos de tensão nas barras diferentes da slack. Assim, no intuito de considerar a transmissão, de modo que a solução obtida se aproxime mais da realidade, tem-se o Problema de Despacho Econômico com Ponto de Carrega- mento de Válvula e Representação da Transmissão (PDE-PV-RT): minimizar CT (PG,θ) = ∑ k∈G [akP 2 G,k + bkPG,k + ck + ∣∣∣ek sen(fk(PG,k − PG,k)) ∣∣∣] (3.8a) sujeito a PG,k − PL,k = ∑ m∈Ωk Pkm, ∀k ∈ B (3.8b) −fkm � Pkm � fkm, ∀k ∈ B, ∀m ∈ Ωk (3.8c) PG,k � PG,k � PG,k, ∀k ∈ G (3.8d) em que: CT (PG,θ) é a função custo total, incluindo efeitos de ponto de carregamento de válvula; PG é o vetor de potências ativas geradas; θ é o vetor de ângulos de tensão; G é o conjunto das unidades geradoras termelétricas; B é o conjunto das barras do sistema; Ωk é o conjunto das barras vizinhas à barra k; PG,k é a potência ativa gerada na barra k; PL,k é a demanda de potência ativa na barra k; 30 ak, bk, ck, ek, fk são os coeficientes de custo da unidade geradora k; Pkm é o fluxo de potência ativa da barra k para a barra m; fkm é o valor absoluto do fluxo de potência ativa máxima permitido na linha km; PG,k, PG,k são os limites mínimo e máximo, respectivamente, de saída de potência para a unidade geradora k. Assumindo que o ramo km tenha transformador em-fase, que o lado do transformador seja a barra k, com relação de transformação 1 : akm, e que o lado da impedância série que representa as perdas do transformador seja a barra m, conforme a Figura 3.32, as expressões de fluxo de potência ativa entre essas barras são dadas por: Pkm = (akmVk) 2gkm − akmVkVm[gkm cos(θk − θm) + bkm sen(θk − θm)] (3.9) Pmk = V 2 mgkm − akmVkVm[gkm cos(θm − θk) + bkm sen(θm − θk)] (3.10) Ėk = Vke jθk Ėm = Vme jθm k m p Ėp 1 : akm ykmİkm İmk Figura 3.3: Modelo de um transformador em-fase. Fonte: Monticelli (1983). No caso do ramo km ser uma linha de transmissão, as expressões (3.9) e (3.10) continuam válidas, bastando tomar akm = 1. A equação (3.8a) é a função objetivo de custos de geração, incluindo o efeito de pontos de carregamento de válvulva, (3.8b) são restrições relativas ao balanço de potência ativa para as barras do sistema, (3.8c) são restrições relativas ao limite mínimo e máximo para fluxo de potência ativa nos ramos do sistema e (3.8d) são restrições relativas aos limitantes mínimo e máximo de geração de potência ativa das unidades geradoras. 3.4 Revisão Bibliográfica Nesta seção descrevemos alguns trabalhos que foram desenvolvidos visando solucionar o PDE e/ou problemas a ele relacionados, destacados na seção 3.2. O objetivo é apresentar 2Aqui, utilizamos o modelo de tranformador apresentado em Monticelli (1983). Entretanto, os taps apresentados nos bancos de dados consideram tranformadores em que a relação de transformação é akm : 1, de modo que na implementação realizada o valor do banco de dados teve que ser invertido. 31 algumas metodologias – determinísticas, heurísticas e híbridas – que já foram aplicadas à resolução deste problema. Conforme destacado, já em 1934, Steinberg & Smith (1934) apresentaram um método para alocar a geração de forma econômica entre as unidades geradoras, demonstrando com isso o critério dos custos incrementais iguais. Os autores, então, aplicaram o critério para divisão de carga em caldeiras e turbinas geradoras. Posteriormente, Carpentier (1962) apresentou suas contribuições para formulação do PDE e FPO. Neste trabalho, o autor solucionou o problema de FPO através das condições de Karush-Kuhn-Tucker (KKT). O problema restrito é convertido em um problema irrestrito através da função lagrangiana. As condições de otimalidade foram aplicadas ao problema irrestrito, gerando um sistema não-linear que foi resolvido através do método de Gauss- Seidel. No trabalho de Fahmideh-Vojdani & Galiana (1980), é apresentada uma maneira de resolver problemas de despacho econômico com função objetivo quadrática, com restrição de atendimento de demanda e limites de geração. Os autores apresentam um contra- exemplo mostrando que o procedimento de despacho realizado à época, fixando as variáveis que violam os limites no valor mínimo ou máximo, de acordo com a violação ocorrida, pode levar a um despacho de geração inadequado. Os autores ainda apresentam um teorema e um método que permite a realização do despacho de maneira ótima, bem como uma modificação do mesmo para o caso em que as perdas também são consideradas. Em Aoki & Satoh (1984), três algoritmos para resolução do PDE clássico são apresen- tados, a saber: Programação Quadrática Paramétrica (PQP), Programação Quadrática Paramétrica Modificada (PQPM) e Programação Quadrática Recursiva (PQR). Enquanto o método PQP pode ser aplicado à função objetivo de custo aproximada por segmentos lineares, os outros dois métodos, PQPM e PQR, podem tratar de aproximações da função objetivo por segmentos quadráticos. Os autores aplicaram os métodos propostos a um sistema com 120 barras, 150 ramos e 31 geradores, sendo que utilizaram cinco segmentos para aproximar a função custo dos geradores. Além disso, os autores apresentam breves considerações a respeito dos autovalores da matriz de coeficientes-B utilizada. No trabalho de Shaw et al. (1985), é apresentado um método para resolução de problemas de unit commitment e de despacho de grande porte. O modelo apresentado é caracterizado por ser um problema de programação inteira mista não-linear, com mais de 16800 variáveis inteiras, para um sistema que possui 100 unidades de geração termelétrica e 6 unidades de geração hidrelétrica, sob um horizonte de planejamento de uma semana. A formulação do problema inclui restrições de reserva e a função objetivo inclui os custos de start-up e shut-down para as unidades termelétricas. O problema é decomposto em problemas 32 menores, envolvendo um problema de programação dinâmica e um problema de controle ótimo. Em Lee et al. (1988), um método para operação ótima de sistemas de grande porte, vi- sando minimizar o custo dos combustíveis é apresentado. Os autores apresentam uma formulação ativa-reativa do FPO e propõem a decomposição do mesmo em dois proble- mas: o problema-P e o problema-Q. O problema-P é equivalente ao despacho econômico convencional, visando alocar de maneira ótima a geração de potência ativa entre os gera- dores. O problema-Q visa determinar, de maneira ótima, o despacho de potência reativa, bem como o estado de outras variáveis de controle, como os taps dos transformadores. O problema-P apresentado pelo autor, é semelhante ao PDE-PV-RT. Para resolver os problemas, o autor emprega o método do gradiente projetado. Dois anos depois, Somuah & Khunaizi (1990) resolveram o problema de despacho econô- mico dinâmico. A formulação dos autores propunha a utilização de limites de rampa como restrições intertemporais, restrições de reserva girante e restrições de segurança visando evitar a sobrecarga de algumas linhas monitoradas e de maior importância. Para resolver o problema, os autores relaxaram as restrições de rampa, solucionando um problema de despacho econômico estático para cada intervalo, através de programação quadrática. Em seguida, um problema de programação linear é formado e resolvido, de modo a considerar as restrições de limite de rampa, mediante a linearização em torno das soluções do caso estático, baseando-se na decomposição de Dantzig-Wolfe. Lin et al. (1992) apresentaram um método para resolver o despacho econômico em tempo real, utilizando uma formulação alternativa para a matriz Jacobiana considerando restri- ções do sistema. Uma aproximação para as perdas na transmissão é feita e as restrições de desigualdade são tratadas de modo direto, de modo que se o valor do redespacho vi- olar algum limite, então ele é mantido nesse limitante crítico. O problema é resolvido pelo método de Newton-Raphson e as perdas na transmissão são consideradas de forma aproximada. No trabalho de Walters & Sheble (1993), o problema de despacho econômico com ponto de carregamento de válvula e perdas representadas através de coeficientes-B é resolvido através de um algoritmo genético. Para minimizar a função, os autores empregaram os operadores genéticos de reprodução, crossover e mutação. Os autores destacam que a escolha adequada dos parâmetros é importante para a execução do algoritmo, a fim de que ele possa explorar adequadamente o espaço de busca. Em particular, o tamanho da população deve ser grande o suficiente para que haja informações genéticas que permitam uma varredura eficiente desse espaço. No ano seguinte, Granville (1994) resolveu o problema de despacho ótimo de reativos, 33 utilizando um método primal-dual de pontos interiores. Para tanto, o autor fixou os controles de ativos, visando otimizar a injeção de reativos e o custo das perdas de potência ativa do sistema, nas variáveis relacionadas a potência reativa – magnitudes de tensão, taps e banco de capacitores. O método proposto foi aplicado a dois sistemas teste de grande porte: um com 1832 barras (o sistema Sul/Sudeste Brasileiro) e outro com 3467 barras (derivado do sistema de transmissão norte-americano). No mesmo período, Wu et al. (1994) propuseram um método primal-dual previsor-corretor para resolução do problema de FPO. Técnicas de esparsidade são aplicadas para resolver o sistema derivado das condições necessárias de KKT. Os autores empregaram duas funções objetivo para o FPO: minimização dos custos de geração de ativos e mini