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Universidade Estadual Paulista

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO IFT-D.002/06

Formalismo de Hamilton-Jacobi para Ações de Primeira Ordem

Mario Cezar Ferreira Gomes Bertin

Orientador

Prof. Dr. Bruto Max Pimentel Escobar

Fevereiro de 2006


Ao meu amigo José Cláudio, que ao falecer enquanto eu
escrevia essas linhas nos deixou com um grande problema:

Como mudar o mundo sem ele?

i


Agradecimentos

À minha famı́lia, a principal provedora.

À minha mãe, pela amizade e companheirismo que nos une.

Aos meus amigos João Belther Júnior e Júlio Marny Hoff, pelo tempo de convivência e
pelas conversas enriquecedoras sobre a f́ısica que não conhecemos.

Ao meu orientador, o professor Bruto Max Pimentel, que me acompanha pela minha
aventura cient́ıfica.

Ao meu amigo Pedro José Pompéia.

Ao CNPq, pelo suporte integral de mais da metade do meu mestrado.

ii


Resumo

Neste trabalho desenvolvemos o tratamento geral de sistemas singulares pelo formalismo
de Hamilton-Jacobi, desenvolvido primeiro por Caratheódory para sistemas regulares. Dare-
mos ênfase a sistemas cuja ação é de primeira ordem, ou seja, cuja Lagrangiana é uma função
linear nas velocidades. O objetivo principal é, além de apresentar o formalismo de forma
apropriada, mostrar a existência da estrutura simplética no espaço de fase desses sistemas ao
encontrar parênteses generalizados apropriados, com os quais a quantização canônica se dará
de forma natural.

Palavras Chave: Sistemas singulares, formalismo de Hamilton-Jacobi.

Área do conhecimento: 1.05.03.01-3

iii


Abstract

In this work we develop the general treatment of singular systems via Hamilton-Jacobi
formalism, first developed by Caratheódory for regular systems. We will give emphasis on
first order action systems, whose Lagrangian is a linear function of the velocities. The main
objective is, besides presenting the formalism in an appropriate form, to show the existence of
a simplectic structure in the phase space of these systems by finding appropriate generalized
brackets, with which the canonic quantization will be given in a natural way.

iv


Sumário

Introdução 1

1 Mecânica e Geometria 4
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Formalismo Lagrangiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1 Vı́nculos na Dinâmica de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Prinćıpio de D´Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3 Equações de Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.4 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.5 Covetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.6 Formas Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.7 A Derivada de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.8 Forma das Equações de Euler-Lagrange Independente das Coordenadas 16
1.2.9 Transformação de Coordenadas em Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3 Formalismo Hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.1 Formalismo Simplético Hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.2 Os Parênteses de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.3 Transformações em T∗Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.4 Propriedades dos Parênteses de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2 O Formalismo de Hamilton-Jacobi 27
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 O Problema Variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 Condições para Extremos da Ação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3.1 Sistemas Regulares em Qn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.2 Sistemas Singulares Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.3 Análise das Condições de Extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4 Equações Caracteŕısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4.1 Integrabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.5 Equações de Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.5.1 Caso Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.5.2 Caso Singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

v


2.6 O Espaço de Fase Generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3 Ações de Primeira Ordem 51
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 Formalismo de HJ para Lagrangianas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2.1 Caso Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2.2 Caso Singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.3 Campos Relativ́ısticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4 O Campo de Proca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.5 O Campo Eletromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Considerações Finais 69

A O Formalismo Hamiltoniano 71

B Campo Eletromagnético de 1a Ordem a la Dirac 79
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

vi


Introdução

Em quatro artigos monumentais publicados em 19261, Schrödinger inaugura a Mecânica
Ondulatória, que trata o problema da quantização como um problema de autovalores. Em
conjunto com a mecânica de Heisenberg e os trabalhos de Dirac, esses artigos edificam as
bases teóricas da mecânica quântica. Assim como fez Hamilton quase um século antes ao
desenvolver seu formalismo para a mecânica clássica, Schrödinger baseou-se na analogia
óptico-mecânica, que relaciona a ótica geométrica à mecânica anaĺıtica, e assim foi capaz de
criar uma nova disciplina que mudaria a história das ciências naturais. Escreve Schrödinger,
sobre o trabalho de Hamilton, ao introduzir seu segundo artigo:

”Unfortunately this powerful and momentous conception of Hamilton is deprived,
in most modern reproductions, of its beautiful raiment as a superfluous accessory,
in favour of a more colourness representation of the analitical correspondence.”

Schrödinger refere-se justamente à analogia óptico-mecânica e podemos arriscar dizer o
mesmo sobre os trabalhos de Schrödinger : essa relação, importante tanto para a mecânica
clássica quanto para a quântica, é oculta nos livros modernos de mecânica quântica.

Este trabalho dedica-se em última palavra à investigação de uma parte da analogia óptico-
mecânica na mecânica clássica, o Formalismo de Hamilton-Jacobi, (HJ). Hamilton fez
abundante uso dessa analogia ao desenvolver a mecânica Hamiltoniana e o fez de forma
deliberada. A conexão entre a teoria de propagação da luz e a mecânica é antiga e está
pautada nos problemas variacionais. O primeiro prinćıpio variacional foi introduzido por
Fermat, entre 1657 e 1662, o prinćıpio de tempo mı́nimo. A trajetória do raio de luz é
tal que o tempo medido entre dois pontos do caminho é mı́nimo. Hamilton percebeu que
seu prinćıpio é equivalente ao de Fermat quando as trajetórias dos raios de luz em R3 são
entendidas como as trajetórias dinâmicas no espaço de configuração Q.

Schrödinger fez uso da mesma associação, mas percebeu que ela não era imediata para
a teoria quântica. A mecânica clássica é, no sentido dessa correspondência, análoga à ótica
geométrica, mas não à teoria ondulatória da luz. O limite está na capacidade da definição
de trajetórias, que só é posśıvel na ótica geométrica, onde consideramos que a trajetória tem
dimensões muito maiores que o comprimento de onda. O conceito de trajetória não faz sentido
na teoria de Huygens, onde o comprimento de onda é grande em relação ao ”caminho da

1E. Schrödinger - Collected Papers on Wave Mechanics - Quantisation as a Problem of Proper Values I,

II, III e IV. - Chelsea Pub. Co. New York (1978).

1


luz”. Schrödinger considerou natural que nos sistemas micro-mecânicos a mecânica clássica
funcionasse tão bem quanto a ótica geométrica funcionava para os problemas de difração.
Haveria, então, uma nova mecânica cuja correspondência óptico-mecânica se dava com a
ótica ondulatória. Nasce assim a mecânica ondulatória.

Os prinćıpios variacionais são o elo mais profundo entre a ótica, a mecânica clássica e a
mecânica quântica. E o formalismo que liga as três disciplinas na mecânica é o Formalismo de
Hamilton-Jacobi. É este o ponto de partida de Schrödinger, não o formalismo Hamiltoniano,
como faz pensar a maioria dos textos atuais em mecânica quântica.

O formalismo de HJ é baseado na analogia entre três disciplinas matemáticas que por
algum tempo foram tidas como independentes: a teoria das equações diferenciais or-
dinárias (EDO), a teoria das equações diferenciais parciais (EDP) e o cálculo varia-
cional, e essa analogia, como veremos, tem como pano de fundo a geometria diferencial em
variedades. Esse quadro de relações que envolve as três disciplinas em um contexto onde reina
a geometria faz do formalismo de HJ não só um formalismo para a mecânica, mas também
um formalismo matemático, como mostra Carathéodory2, ao deduzir os principais teoremas
pertinentes às teorias de EDO e EDP. Carathéodory chamou este sistema de relações pelo
sugestivo nome de quadro completo (complete figure).

Na mecânica anaĺıtica o formalismo de HJ é baseado na conhecida equação de mesmo
nome. Esta equação é resultado dos trabalhos de Hamilton e Jacobi na teoria das trans-
formações canônicas. É natural neste ponto de vista que a literatura corrente sobre este
formalismo vincule a equação de HJ ao formalismo Hamiltoniano através das transformações
canônicas. Nessa ótica a equação de HJ surge ao se considerar o problema de se encontrar
uma transformação no espaço de fase T∗Q capaz de levar a resolução das equações dinâmicas
de Hamilton à forma mais elementar posśıvel. O formalismo então é tratado meramente
como um meio de encontrar soluções para as equações de Hamilton. No quadro completo, as-
sim mostraremos, a análise de HJ é independente da abordagem Hamiltoniana da mecânica,
mesmo da definição de qualquer tipo de transformação, consistindo em uma teoria completa,
autosuficiente e com resultados muito gerais.

O quadro completo nos permite, e esse é o principal ponto de todo o trabalho, tratar sis-
temas singulares, que consistem em sistemas cuja Lagrangiana possui uma matriz Hessiana
singular. Esse tipo de sistema viola a condição necessária para que a formulação Hamil-
toniana apareça de forma natural a partir da Lagrangiana, pois torna-se necessária uma
análise de v́ınculos. Como já é bem conhecido, a mecânica quântica é baseada em uma es-
trutura simplética e essa estrutura não pode ser obtida pelos métodos usuais3 se o sistema
for singular. Assim, por muito tempo desde a fundação da mecânica quântica não houve um
formalismo unificado que tratasse de sistemas singulares. Dirac4 foi o primeiro a dar uma

2C. Caratheodory - Calculus of Variations and Partial Differential Equations of the First Order - Holden

Day, Inc (1967).
3Por exemplo usando os Parênteses de Poisson habituais.
4P. A. M. Dirac - Canad. J. Math. 2, 129 (1950),

P. A. M. Dirac - Canad. J. Math. 3, 1 (1951),

P. A. M. Dirac - Proc. Roy. Soc. A246, 326 (1958).

2


solução satisfatória para este problema, usando um formalismo Hamiltoniano5.
A busca por uma estrutura simplética geral para sistemas singulares é naturalmente emer-

gente pelo Formalismo de HJ. Portanto, a importância dessa estrutura teórica não é evidente
apenas na discussão heuŕıstica sobre as origens da mecânica quântica, mas também na reso-
lução de problemas que afligem a quantização das teorias de campo relativ́ısticas, que são
naturalmente singulares. Podemos arriscar dizer que a estrada que leva sistemas clássicos a
sistemas quânticos passa inevitavelmente pelo quadro completo que abordaremos aqui.

Escolhemos por apresentar o formalismo sem excessivo rigor matemático, mas ainda as-
sim consideramos a importância da utilização da matemática moderna, que inclui elementos
da geometria diferencial em variedades, como ferramenta importante para a śıntese e a com-
preensão mais profunda da teoria tal como será apresentada. Portanto, o trabalho terá
ênfase no aspecto geométrico e, para tanto, muitos objetos da geometria devem ser intro-
duzidos. O primeiro caṕıtulo serve a este propósito, além de realizar uma breve śıntese das
formulações que compõem a disciplina da mecância clássica. Introduziremos a Variedade
de Configuração, o Espaço de Fase, vetores, covetores e formas diferenciais, bem
como outros objetos que consideramos importantes para a compreensão do conteúdo e que
também serão úteis no formalismo.

No segundo caṕıtulo apresentaremos a forma mais geral do formalismo de HJ. Em primeiro
lugar apresentaremos a dedução do sistema de equações de HJ, a partir do prinćıpio varia-
cional de Hamilton. Trabalharemos com sistemas singulares e mostraremos como é posśıvel
fazer a análise de v́ınculos sob esta ótica, encontrando inclusive as estruturas simpléticas
apropriadas para escrever as equações de movimento.

No terceiro e último caṕıtulo aplicaremos o formalismo desenvolvido no caṕıtulo anterior
para tratar sistemas cuja ação é de primeira ordem nas velocidades generalizadas. Embora
pareçam uma particularização, sistemas de ações de primeira ordem são na verdade bastante
gerais em Teoria de Campos, pois todos os campos conhecidos podem ser levados a estes por
transformações apropriadas. Esses sistemas mostram-se também muito mais simples para
a utilização do formalismo de HJ, como veremos. Usaremos o método para encontrar as
equações de movimento de dois campos conhecidos: o eletromagnético e o de Proca. Para os
dois usaremos Lagrangianas na forma de Palatini.

As referências bibliográficas serão indicadas por caṕıtulo, não apenas no fim do trabalho,
e em notas de rodapé, com a finalidade de tornar a leitura mais dinâmica.

Finalmente, teceremos considerações finais sobre este trabalho. Devem conter, portanto,
uma śıntese dos principais resultados e direções para posśıveis linhas de pesquisa futura. Apre-
sentaremos também dois apêndices. O primeiro contém o formalismo de Dirac para sistemas
singulares, no qual procuramos utilizar o modelo operacional que motivou a introdução no
formalismo de HJ da matriz M . O segundo apêndice consiste em um um exemplo, o campo
eletromagnético livre de primeira ordem, da aplicabilidade do método de Dirac. Embora
não seja objetivo desse trabalho a comparação entre os métodos, esperamos que algumas
semelhanças possam ser notadas de imediato, e assim um futuro estudo mais detalhado de
correspondência possa ser iniciado.

5Ver apêndice A

3


Caṕıtulo 1

Mecânica e Geometria

1.1 Introdução

Neste caṕıtulo temos o objetivo de introduzir os elementos e a linguagem que serão uti-
lizados durante todo o texto. Uma passagem pelos formalismos que compõem o cenário da
mecânica clássica vem a ser uma maneira de cumprir essa meta. A linguagem é essencial-
mente geométrica e os elementos são objetos básicos da geometria diferencial como variedades
diferenciáveis, funções escalares, vetores e formas diferenciais, que consistem na parte básica
de álgebra tensorial em variedades. Passaremos pelos formalismos clássicos, o Lagrangiano
e o Hamiltoniano, evidenciando seus aspectos geométricos, principalmente na procura de
expressões intŕınsecas, independentes de sistemas de coordenadas. A passagem entre os for-
malismos também será feita em vista de introduzir as variedades e os espaços vetoriais que
constituem a estrutura formal dessas teorias.

No objetivo principal dessa dissertação está a idéia de buscar estruturas simpléticas em
determinados sistemas dinâmicos, e, por esta razão, um formalismo básico envolvendo a
geometria do espaço de fase, inclusive a definição daquilo que vem a ser uma estrutura
simplética, deve ser desenvolvido. Ainda evitaremos a abordagem do cálculo variacional, que
introduziremos como parte do formalismo de Hamilton-Jacobi no caṕıtulo 2.

1.2 Formalismo Lagrangiano

Encontrar equações de movimento é o objetivo primeiro da Mecânica Clássica, cuja base
teórica foi lançada por Newton (1686), no cenário que descrevemos como o Espaço Euclidi-
ano R3. As equações de movimento de Newton, considerando-se um sistema de N part́ıculas
descritas em coordenadas cartesianas, tomam a forma1

mI ẍI = FI , {I} = {1, . . . , N}. (1.1)
1Ver [1], pp. 48-64.

4


São 3N equações de segunda ordem nas coordenadas. As equações (1.1) são definidas apenas
para referenciais inerciais2, o que vem a ser uma caracteŕıstica de todo formalismo clássico
não relativ́ıstico, mas também têm a indesejável caracteŕıstica de não serem covariantes ao
sistema de coordenadas escolhido, o que vem a ser uma caracteŕıstica deste formalismo em
particular. Todas as coordenadas das part́ıculas são independentes desde que não existam
v́ınculos no sistema. Caso estes v́ınculos existam e possam ser escritos por forças impressas,
as equações de movimento resultarão em relações entre algumas das coordenadas, de modo
que estas não serão dinâmicas, ou posto de outra forma, não serão de segunda ordem nessas
coordenadas.

1.2.1 Vı́nculos na Dinâmica de Newton

Na mecânica Newtoniana um sistema é completamente descrito com um conjunto de 3N
informações, três coordenadas cartesianas de N part́ıculas. Este mesmo sistema pode ser
redesenhado em um espaço euclidiano de n = 3N dimensões Rn, com o uso de coordenadas
generalizadas. O cenário no qual as coordenadas generalizadas estão inseridas é a chamada
Variedade de Configuração Q. Novamente os v́ınculos do sistema representam papel
importante na definição dessa variedade. Se existirem v́ınculos, eles podem ser escritos como
K relações entre as coordenadas generalizadas de modo que os graus de liberdade do sistema
são diminúıdos para P = n−K. A dimensão da variedade de configuração corresponde aos
graus de liberdade do sistema. Assim, com K v́ınculos, a variedade de configuração será QP ,
munida de uma métrica Riemanniana. Na ausência de v́ınculos esta variedade coincide com
o espaço euclidiano Rn.

Na presença de v́ınculos, o sistema descrito por (1.1) perde a liberdade de se mover por
todo o espaço Rn. Sua variedade de configuração Q é reduzida a uma região de Rn. Um
exemplo de v́ınculo é aquele no qual o sistema de N part́ıculas mencionado é restrito a se
mover em uma superf́ıcie de Rn. Podemos escrever essa superf́ıcie por equações do tipo

fz(xI , t) = 0 {z} = {1, . . . ,K < n}. (1.2)

A prinćıpio, podemos pensar que estes v́ınculos podem ser mantidos por forças impressas.
Neste caso, as equações (1.1) tornam-se

mI ẍI = FI + CI , (1.3)

onde CI são as forças que mantém cada part́ıcula mI restrita à superf́ıcie descrita por (1.2).
Para conhecer o movimento do sistema é necessário conhecer o conjunto das 3N componentes
das forças externas e, ainda, as 3N componentes das forças que mantêm os v́ınculos, mas
uma observação atenta mostra que dipomos apenas de 3N equações (1.3) e de K equações
(1.2) tal que K < 3N . Esta é uma dificuldade que pode ser contornada observando-se um
caso de part́ıcula única com um único v́ınculo. Nesse caso, podemos ignorar o ı́ndice I,

2Neste contexto, os referenciais inerciais são aqueles que são relacionados por transformações de Galilei.

5


f(x, t) = 0. (1.4)

O espaço mais geral desse exemplo é o R3. As equações de movimento tornam-se

mẍ = F + C, (1.5)

que, com a condição (1.4), somam quatro equações para seis incógnitas, as compontentes
de F e C. Embora nesse tipo de problema o conhecimento de F seja presumido, não o é o
conhecimento das componentes de C.

Figura 1.1: Part́ıcula restrita a uma superf́ıcie f(x, t).

Observe que nesse caso não existe apenas uma força capaz de manter a relação (1.4). De
fato, apenas forças normais ponto a ponto à superf́ıcie contribuem para manter a part́ıcula
presa a ela. Assim, duas das componentes tangenciais de C são irrelevantes. Podemos escolher
C de modo que tenha apenas componentes normais à superf́ıcie definida por f . O argumento
pode ser estendido a N part́ıculas. Devemos, então, escolher as forças CI de modo que sejam
normais à superf́ıcie (1.2). Uma escolha bastante natural seria3

CI =
K∑

z=1

λz∇Ifz, (1.6)

onde ∇I significa o gradiente com respeito à posição xI da I-ésima part́ıcula e λ é uma
constante nas coordenadas, mas possivelmente dependente do tempo. Assim,

mI ẍI = FI +
K∑

z=1

λz∇Ifz. (1.7)

Se as forças impressas forem não dissipativas, existe um potencial tal que FI= −∇IV ,
onde V = V (xI , t). As equações de movimento tomam uma forma final em

3Dada uma funçao de N variáveis f(xN ), o gradiente ∇f calculado em algum ponto de f é um vetor normal

à superf́ıcie neste ponto.

6


mI ẍI = −∇IV +
K∑

z=1

λz∇Ifz = −∇I

(
V −

K∑
z=1

λzfz

)
. (1.8)

Aqui, vemos a motivação elementar do método dos Parâmetros de Lagrange (PL) para
o tratamento de v́ınculos. Esses v́ınculos, descritos por (1.2) são chamados integráveis.
Nessa dedução, usamos o fato de que os v́ınculos integráveis podem ser escritos por uma
relação entre as coordenadas e implicitamente mostramos que as forças responsáveis por
manter um sistema de part́ıculas preso a esses v́ınculos são não-dissipativas. Vı́nculos não
integráveis, que não podem ser escritos por uma relação entre as coordenadas, são mantidos
por forças dissipativas. Nesses casos não podemos escrever (1.6) ou (1.7), mas pode-se mostrar
que o método dos PL ainda pode ser utilizado4.

No caso espećıfico do nosso problema, somos levados a interpretar os termos
∑

z λzfz

como os potenciais responsáveis pelas forças que mantêm o sistema sobre a superf́ıcie.
Note que, ao procedermos o produto escalar de (1.8) por ẋI e somando em I,

N∑
I=1

mI ẍI · ẋI = −
N∑

I=1

∇IV · ẋI +
N∑

I=1

∑
z

λz∇Ifz · ẋI . (1.9)

Usaremos agora as identidades

N∑
I=1

mI ẍI · ẋI =
d

dt

(
N∑

I=1

mI ẋ2
I

2

)
, (1.10)

dφ

dt
=
∂φ

∂t
+
∑

i

∇iφ · ẋi. (1.11)

Tanto V quanto
∑

z λzfz podem ser colocados em lugar de φ em (1.11), de modo que

d

dt

(∑
I

mI ẋ2
I

2
+ V

)
=
∂V

∂t
−
∑

z

λz
∂fz

∂t
, (1.12)

onde usamos o fato de que λ é uma função expĺıcita apenas de t e de que df/dt = 0 na
superf́ıcie. Esta equação dá lugar à conservação da energia do sistema part́ıcula-superf́ıcie:

dE

dt
=
∂V

∂t
−
∑

z

λz
∂fz

∂t
. (1.13)

Ora, a equação (1.13) nos mostra que mesmo um único v́ınculo explicitamente dependente
do tempo executa trabalho sobre a part́ıcula mesmo quando o potencial V é independente do
tempo. Por conseqüência a energia E da part́ıcula não é mais conservada. Isto significa que
a própria superf́ıcie executa trabalho na part́ıcula, o que pode ser bem compreendido quando
se observa que, se a superf́ıcie se move, as velocidades não são mais tangentes às próprias
superf́ıcies e, neste caso, não são ortogonais às forças CI .

4Ver [2], pp. 25-7 e 43-9.

7


1.2.2 Prinćıpio de D´Alembert

Temos, então, as equações

mI ẍI = FI +
K∑

z=1

λz∇Ifz, (1.14)

fz(xI , t) = 0, (1.15)

que devemos resolver pela eliminação dos parâmetros λz de (1.14). Sabemos que
∑

z λz∇Ifz

é um conjunto de N vetores normais à superf́ıcie definida por (1.15). Então, podemos definir
um conjunto de N vetores τI tangentes à superf́ıcie em cada ponto. Estes vetores obedecem
a

N∑
I=1

τI · λz∇Ifz = 0. (1.16)

São K equações para 3N componentes de τI . Assim, somente 3N −K das componentes são
independentes. A relação (1.16) pode ser reescrita com o aux́ılio de (1.14):

∑
I

(mI ẍI − FI) · τI = 0. (1.17)

Esta equação é chamada por Prinćıpio de D´Alembert5. Assim, ficamos com 3N −K
relações independentes em (1.17), de modo que transferimos nosso problema de um sistema em
R3N condicionado a uma superf́ıcie (1.15) para um sistema livre em Q3N−K com as equações
de movimento (1.17). Para encontrarmos as 3N componentes de xI dispomos dessas equações
e das condições auxiliares (1.15).

1.2.3 Equações de Euler-Lagrange

Os vetores tangentes τ são funções vetoriais das coordenadas de Q e possivelmente do
tempo. Suas τ componentes definem um vetor em Rn, assim como as n coordenadas xI

definem igualmente um sistema de coordenadas nesse mesmo espaço. Vamos agora introduzir
coordenadas generalizadas qi onde {i} = {1, . . . , n}, relacionadas às coordenadas xI pelas
relações mutuamente inverśıveis6

qi = qi(xI , t) {i} = {1, . . . , n} (1.18)
5Historicamente a dedução deste prinćıpio é, obviamente, diferente. Mas uma inspeção mais detalhada

mostra que a formulação
P

I(mI ẍI − FI) · δRI = 0 é equivalente a (1.17), pois já que os vetores τ não

apresentam ”realidade f́ısica”, no sentido de que são elementos de uma variedade de configuração que não é o

espaço R3, estes podem ser compreendidos como variações virtuais das posições, conceito com o qual o cálculo

variacional chega ao mesmo prinćıpio. Esta abordagem está em [2], Cap. IV.
6A inversibilidade é atestada pela exigência de que a matriz formada pelos elementos ∂qi/∂xj seja não

singular, onde xj são as 3N componentes dos vetores xI .

8


xI = xI(qi, t) {I} = {1, . . . , N}. (1.19)

Além disso, assumimos que qi sejam funções cont́ınuas e pelo menos duplamente dife-
renciáveis. Ainda, as derivadas parciais de xI com relação às coordenadas generalizadas são
tangentes à superf́ıcie, de modo que podemos escrever τI como combinações lineares7

τI = εi
∂xI

∂qi
. (1.20)

Usando (1.20), podemos escrever (1.17) por

∑
I

(mI ẍI − FI) ·
∂xI

∂qi
= 0. (1.21)

Temos:

−
∑

I

FI ·
∂xI

∂qi
=
∑

I

∇IV ·
∂xI

∂qi
=
∂V

∂qi
, (1.22)

onde usamos a condição de que as forças impressas são conservativas8. Também podemos
calcular

∑
I

mI ẍI ·
∂xI

∂qi
=
∑

I

mI
d

dt

(
ẋI ·

∂xI

∂qi

)
−
∑

I

mI ẋI ·
d

dt

∂xI

∂qi
, (1.23)

onde

d

dt

∂xI

∂qi
=

∂2xI

∂qi∂qj
q̇j +

∂2xI

∂t∂qi
=
∂ẋI

∂qi
. (1.24)

Para o segundo termo à direita de (1.23), usaremos (1.24):

∑
I

mI ẋI ·
d

dt

∂xI

∂qi
=
∑

I

mI ẋI
∂ẋI

∂qi
=

∂

∂qi

(∑
I

1
2
mI ẋ2

I

)
=
∂T

∂qi
, (1.25)

onde definimos a função

T (ẋI) =
∑

I

1
2
mI ẋ2

I , (1.26)

que vem a ser a energia cinética do sistema. Para o primeiro termo da direita de (1.23),

∑
I

mI
d

dt

(
ẋI ·

∂xI

∂qi

)
, (1.27)

lembremos que
7A partir deste ponto passaremos a empregar a convenção de soma, na qual a ocorrência de ı́ndices duplos

pressupõem a soma nos valores do ı́ndice, salvo em situações como a equação (1.17), em que será expĺıcita a

não utilização da convenção.
8Encontramos o Prinćıpio de D´Alembert a partir de uma análise sobre forças conservativas, mas na

verdade ele tem um caráter universal. Vale também para forças não conservativas. No entanto, os prinćıpios

variacionais mais modernos exigem que as forças tenham caráter monogênico. Assim, a condição de que as

forças impressas sejam conservativas consiste, aqui, em um passo fundamental.

9


∂xI

∂qi
=
∂ẋI

∂q̇i
(1.28)

e, portanto, esse termo equivale a

∑
I

mI
d

dt

(
ẋI ·

∂ẋI

∂q̇i

)
=

d

dt

(∑
I

mI ẋI ·
∂ẋI

∂q̇i

)
=

d

dt

(
∂T

∂qi

)
. (1.29)

Com os resultados acima, (1.21) toma a forma

d

dt

∂T

∂q̇i
− ∂T

∂qi
+
∂V

∂qi
= 0, (1.30)

onde introduziremos a Função de Lagrange ou Lagrangiana

L(q, q̇, t) = T (q̇)− V (q, t), (1.31)

com a qual as equações (1.30) ficam

d

dt

∂L

∂q̇i
− ∂L

∂qi
= 0. (1.32)

As equações (1.32) são escritas como as equações de Euler-Lagrange. A familiaridade
entre esta equação e a segunda lei de Newton pode ser mais bem explicitada com a forma

∂L

∂qi
− ∂2L

∂t∂q̇i
− ∂2L

∂qj∂q̇i
q̇j − ∂2L

∂q̇j∂q̇i
q̈j = 0. (1.33)

Aqui, definimos

aij =
∂2L

∂q̇i∂q̇j
, (1.34)

e

bi = bi(q, q̇, t) =
∂L

∂qi
− ∂2L

∂t∂q̇i
− ∂2L

∂qj∂q̇i
q̇j , (1.35)

para escrever (1.33) como

aij q̈
j = bi, (1.36)

que vem a ser uma forma das Equações de Newton em coordenadas generalizadas.
A equação (1.36) tem uma representação matricial. Neste caso podemos escrevê-la

A · Q̈ = B,

em que A, Q e B são matrizes. A matriz mais importante desse conjunto é A, chamada
Matriz Hessiana. Seus elementos são aij de (1.36). Note que a solução para esta equação
é direta se A tiver inversa. Neste caso o sistema é dito Regular. Para ser regular, a
Lagrangiana do sistema deve satisfazer a condição

detA 6= 0. (1.37)

10


Sistemas regulares são integrados diretamente com (1.36):

q̈j = (a−1)jibi. (1.38)

Contudo, na inexistência da inversa da matriz Hessiana, caso em que detA = 0, algumas
coordenadas não serão dinâmicas, pois as equações de Euler-Lagrange dessas coordenadas não
serão de segunda ordem. Nessas coordenadas as equações de movimento resultarão, como no
caso do formalismo Newtoniano, em relações entre coordenadas. Se a matriz Hessiana tem
posto P 9, o número de equações relacionando as coordenadas, v́ınculos, será K = n − P .
Estes são chamados Sistemas Singulares10.

Vamos precisar de alguns objetos geométricos a partir deste ponto. Até agora tudo que
foi usado em geometria foi a definição da Variedade de Configuração Q a partir do espaço
Euclidiano Rn. De fato, variedades diferenciáveis podem ser sempre tomadas como sub-
variedades de algum Rm, embora nem sempre seja evidente o valor de m para cada caso. No
entanto, há um meio consistente de construir variedades a partir de Q sem levar em conta
o fato de que esta é imersa em alguma variedade de dimensão superior. Isto será necessário
principalmente porque usaremos objetos geométricos definidos em espaços diferentes de Q,
embora a f́ısica se dê completamente nesta variedade.

Outro fato é que tanto a função de Lagrange quanto as Equações de Euler-Lagrange não
dependem da escolha de um particular sistema de coordenadas. Esta é a razão da utilização
de coordenadas generalizadas. No entanto, as equações (1.32) não são escritas explicitamente
independente das coordenadas. Desejamos por argumentos geométricos chegar a uma forma
das Equações de Euler-Lagrange independente do sistema de coordenadas.

1.2.4 Vetores

Em Q podemos definir sistemas de coordenadas. Por ser uma variedade diferenciável não
é posśıvel, no geral, construir um único sistema de coordenadas que cubra todo o espaço.
O melhor que se pode fazer é definir regiões em Q e atribuir sistemas de coordenadas para
cada região. Para cobrir toda a variedade os diferentes sistemas de coordenadas podem
ser relacionados por transformações de coordenadas. O conjunto de coordenadas que se
pode atribuir a Q são as coordenadas generalizadas, representadas por qi. Genericamente,
quando usarmos as coordenadas generalizadas para representar um sistema de coordenadas
já escolhido para a variedade, essas serão representadas pelo conjunto {qi}11.

Para cada ponto de Q podemos definir um Espaço Vetorial que chamaremos TqQ, cujos
elementos são vetores12. No sistema de coordenadas {qi}, um vetor em TqQ se escreve

9O posto da matriz Hessiana corresponde ao número de graus de liberdade livres do sistema, ou seja, ao

número de seus autovalores não nulos.
10Trataremos os sistemas singulares a apartir do próximo caṕıtulo pelo método de Hamilton-Jacobi. Existem

outros formalismos bem conhecidos para os casos singulares. O pioneiro foi Dirac, [3], que utiliza o formalismo

Hamiltoniano. Ver apendice A.
11Os argumentos que seguem podem ser automaticamente generalizados para uma variedade M geral. Ver

[5] Cap. 1.
12Ou vetores contravariantes, na literatura clássica.

11


como13

u = ui ∂

∂qi
= ui∂i , (1.39)

onde ui são as componentes de u nesse sistema de coordenadas14. Os vetores são explici-
tamente descritos por suas componentes quando definimos o sistema de coordenadas e sua
base. A base escrita dessa forma é chamada base coordenada e, no caso de (1.39), é definida
pelo conjunto de vetores {∂i}.

Definidos dessa forma, os vetores são operadores do espaço tangente que atuam em funções
da variedade em determinado ponto q e resultam em números reais. Os vetores obedecem à
regra de Leibniz,

u(fg) = f |q u(g) + g|q u(f) (1.40)

e são lineares.
Dada uma curva suave C(t) em Q, podemos definir o vetor

v ≡ d

dt
=
dqi

dt
∂i (1.41)

onde reconhecemos as componentes da velocidade generalizada

q̇i =
dqi

dt
. (1.42)

Assim, as velocidades são vetores em TqQ e são tangentes a Q a cada ponto da curva C(t).
As Equações de Euler-Lagrange são equações diferenciais ordinárias de segunda ordem

nas coordenadas, como se mostra explicitamente em (1.33), onde as variáveis dinâmicas, ou
as posições generalizadas, são elementos de Q. É posśıvel escrever essas equações na forma
de equações de primeira ordem se considerarmos equivalência entre as coordenadas e as
velocidades generalizadas. No entanto, as velocidades não são elementos de Q, mas do espaço
TqQ. Podemos construir uma variedade diferenciável cujas coordenadas são as componentes
das velocidades. A esta variedade daremos o mesmo śımbolo de seu correspondente espaço
vetorial, TqQ. Suas coordenadas serão genericamente representadas pelo conjunto {q̇i}.

A função Lagrangiana, por exemplo, que é função das coordenadas e das velocidades, é
uma função na variedade definida por (TqQ ⊗ Q), a Variedade Tangente TQ e nela estão
contidas as coordenadas e as velocidades15. Assim, as coordenadas de TQ serão o conjunto
{qi, q̇i}.

As Equações de Euler-Lagrange escritas em TQ são
13Usaremos a partir deste ponto a notação abreviada ∂i ≡ ∂/∂qi.
14Uma transformação de coordenadas modifica as componentes de um vetor de forma bem definida. Dada

a transformação {q} −→ {q′} que vem a ser um mapa do tipo q′ = q′(q), temos ∂′
i = (∂qj/∂q′i)∂j e, por

conseqüência, u′j = (∂q′j/∂qi)ui.
15O tempo continua no papel de parâmetro das curvas em TQ, mas é direta a generalização do formalismo

para o tempo como variável dinâmica. Por enquanto vamos ignorar qualquer dependência expĺıcita no tempo

da Lagrangiana.

12


q̇i =
dqi

dt
(1.43)

dq̇i

dt
=
(
a−1
)ji
bj , (1.44)

onde (1.43) é simplesmente a definição das componentes das velocidades e (1.44) é apenas a
equação (1.38), em que pode-se perceber as componentes da matriz Hessiana definidas em
(1.34) e as componentes vetoriais de B definidas por (1.35)16.

Na dinâmica em TQ não há diferença entre as coordenadas e as velocidades como há na
descrição em Q. Assim, é mais conveniente escrever as coordenadas de forma unificada. Para
tanto usaremos as variáveis η, onde introduziremos ı́ndices gregos que correm de 1 a 2n. A
variável ηα com α ∈ {1, . . . , n} correspondem aos qi e α ∈ {n+ 1, . . . , 2n} correspondem aos
q̇i:

{ηα} = {qi, q̇i} α ∈ {1, . . . , 2n}. (1.45)

Ou seja, η são as coordenadas de TQ. Com essas variáveis é posśıvel escrever as equações
(1.43) e (1.44) na forma

dηα

dt
= fα(η). (1.46)

A equação (1.46) define um Campo Vetorial em TQ, que chamaremos ∆. Este campo
faz parte de um espaço vetorial definido a partir de TQ ponto a ponto, assim como TqQ é
definido a partir de Q. Este espaço também é tangente à variedade de origem (tangente da
tangente), de modo que o chamaremos T2

ηQ. O campo ∆ é definido por

∆ ≡ fα ∂

∂ηα
= fα∂α. (1.47)

Vamos analisar a evolução de uma variável dinâmica F (η). Ela pode ser escrita em TQ
por

Ḟ (η) = η̇α∂αF . (1.48)

Com o aux́ılio de (1.46):

Ḟ (η) = fα∂αF . (1.49)

Podemos escrever finalmente, em vista da definição (1.47),

Ḟ = ∆(F ) , (1.50)

onde ∆(F ) significa o vetor ∆ aplicado em F . Assim, a equação (1.46) pode ser escrita como

dηα

dt
= ∆(ηα). (1.51)

16Ver [1], Sec. 2.4.

13


1.2.5 Covetores

Um covetor17 u∗ é linear e age em campos vetoriais em T2
ηQ levando-os a funções em

TQ. Assim como para cada ponto η de TQ definimos um espaço vetorial, também podemos
definir um espaço do qual são elementos os covetores de TQ, o Espaço Dual T2∗

η Q.
T2

ηQ e T2∗
η Q são ambos espaços vetoriais relacionados a TQ. Assim, dado um sistema

de coordenadas {ηα} em TQ, induz-se uma base coordenada {∂α} em T2
ηQ. O espaço dual

também tem uma base, {dηα}, definida por

dηα∂β = δα
β , (1.52)

onde à direita de (1.52) temos a delta de Kronecker. Assim, podemos escrever um covetor u∗

por18

u∗ = uαdη
α. (1.53)

A diferencial de uma função F (η) em TQ é um covetor:

dF = ∂αFdη
α. (1.54)

A ação de um covetor em um campo vetorial vem a ser uma generalização de um produto
escalar. Por exemplo, podemos escrever

dF (∆) = ∂αFf
β · dηα∂β = fα∂αF =

dηα

dt
∂αF, (1.55)

ou,

Ḟ = ∆(F ) = dF (∆). (1.56)

1.2.6 Formas Diferenciais

As formas diferenciais são generalizações dos covetores. Consistem em objetos tenso-
riais de forma19

T = Tij...m dqidqj . . . dqm. (1.57)

Por exemplo, uma forma de segunda ordem, ou 2-forma, é escrita por

A = aijdq
idqj . (1.58)

17Na literatura clássica, vetores covariantes.
18As componentes dos covetores, a exemplo dos vetores, também se transformam de forma bem definida

sob uma transformação de coordenadas. Dada a transformação q′ = q′(q), temos dq′i = (∂q′i/∂qj)dqj e, por

conseqüência, u′
j = (∂qi/∂q′j)ui.

19As leis de transformação para esses objetos podem ser facilmente obtidas a partir das leis de transformações

dos covetores.

14


Ser de segunda ordem indica que essa forma é escrita, definido um sistema de coordenadas,
por um polinômio de segundo grau em dq. A forma (1.57) tem ordem n se as componentes de
T tiverem n ı́ndices. Formam um polinômio de grau n em dq. Assim como os covetores, as
formas atuam sobre vetores. n-formas são operadores n-lineares. Vamos tomar um exemplo
de uma forma de 3a ordem:

Q = Qijk dq
idqjdqk. (1.59)

Essa 3-forma pode atuar em 3 vetores de componentes xi, yi, zi:

Q(X,Y, Z) = Qijk x
iyjzk, (1.60)

operação que resulta em um escalar. Então, uma 3-forma mapeia trios de vetores em funções
em Q. No entanto, podemos fazê-la agir em duplas de vetores:

Q(X,Y, •) = Qijk x
iyjdqk, (1.61)

que vem a ser um covetor. Se agir sobre um único vetor:

Q(X, •, •) = Qijk x
idqjdqk, (1.62)

temos uma 2-forma.
Assim, n-formas atuam sobre m vetores, tal que m ≤ n, e resultam em formas de ordem

n−m. Covetores são formas diferenciais de primeira ordem e funções escalares são 0-formas.

1.2.7 A Derivada de Lie

A derivada temporal de um objeto ao longo de um campo vetorial recebe o nome de
Derivada de Lie20. Vimos pela equação (1.56) que sendo este objeto uma função em TQ,
esta derivada é simplesmente a aplicação de um campo vetorial na função. O resultado neste
caso é uma função em TQ. Definiremos a derivada de Lie por

LX(f) = X(f), (1.63)

onde f é uma função e X um campo vetorial. Sejam S e T funções, vetores ou covetores
ligados a uma variedade diferenciávelM e F uma função emM, as propriedades da derivada
de Lie são:

1. LX é um operador linear: LX(λ1S + λ2T ) = λ1LX(S) + λ2LX(T ) onde λ ∈ R.

2. LX obedece à regra de Leibniz: LX(T × S) = LX(T )× S + T × LX(S).

3. LX(dF ) = d(LXF ).
20A definição mais formal pode ser encontrada na referência [5], Cap. 4. Entretanto, nos contentaremos

com uma definição mais intuitiva, apresentada aqui e em [1], Sec. 3.4.

15


4. LX(∂/∂x)F = −(∂/∂x)(LXF )21.

Seja um covetor u∗ = uαdη
α. A derivada de Lie deste covetor com relação a um campo

vetorial ∆ = vβ∂β é dada por

L∆(u∗) = L∆(uαdη
α) = L∆(uα)dηα + uαL∆(dηα) =

= ∆(uα)dηα + uαd[∆(ηα)]. (1.64)

Ou seja,

L∆(u∗) = vβ(∂βuα)dηα + uα(∂βv
α)dηβ , (1.65)

que constitui um covetor.
Agora consideremos um campo vetorial definido por

Λ = wα∂α. (1.66)

A derivada de Lie deste campo com relação a ∆ é dada por

L∆(Λ)F = L∆(wα∂α)F = L∆(wα)∂αF + wαL∆(∂α)F =

= ∆(wα)∂αF − wα∂α(∆F ) . (1.67)

Dessa forma,

L∆(Λ)F = vβ(∂βw
α)∂αF − wα(∂αv

β)∂βF. (1.68)

Esta equação pode ainda ser escrita por

L∆(Λ)F = L∆LΛF − LΛL∆F = [∆,Λ]F. (1.69)

A estrutura que aparece à direita de (1.69) é o comutador de Lie. É definido por

LX(Y ) = [X,Y ] = XY − Y X , (1.70)

com X e Y campos vetoriais.

1.2.8 Forma das Equações de Euler-Lagrange Independente das Coorde-

nadas

Vamos partir da equação (1.33):

∂L

∂qi
− ∂2L

∂t∂q̇i
− ∂2L

∂qj∂q̇i
q̇j − ∂2L

∂q̇j∂q̇i
q̈j = 0.

21Esta propriedade pode ser deduzida pela aplicação da derivada de Lie em um produto escalar, usando as

propriedades 2 e 3. Note a diferença entre LX(∂/∂x)F e LX(∂F/∂x).

16


Podemos escrevê-la na forma

∂L

∂qi
dqi +

∂L

∂t
dt− ∂

∂q̇i

{
∂L

∂t
+
∂L

∂qj
q̇j +

∂L

∂q̇j
q̈j

}
dqi = 0. (1.71)

Vamos escrever o campo vetorial definido por (1.47) na forma

∆(L) = η̇α∂αL =
∂L

∂t
+ q̇i ∂L

∂qi
+ q̈i ∂L

∂q̇i
= L∆(L) . (1.72)

Assim, (1.71) fica

∂L

∂qi
dqi +

∂L

∂t
dt− ∂

∂q̇i
{L∆(L)} dqi = 0. (1.73)

No entanto,

∂

∂q̇i
{L∆(L)} dqi = L∆

(
∂L

∂q̇i

)
dqi = L∆

(
∂L

∂q̇i
dqi

)
− ∂L

∂q̇i
dq̇i. (1.74)

Desta forma temos a equação

∂L

∂qi
dqi +

∂L

∂t
dt+

∂L

∂q̇i
dq̇i − L∆

(
∂L

∂q̇i
dqi

)
= 0. (1.75)

O objeto alvo da ação da derivada de Lie na equação (1.75) é um covetor, o momento
conjugado. Ele é definido por p = pidq

i cujas componentes são

pi ≡ aij q̇
j =

∂L

∂q̇i
. (1.76)

Por uma simples diferenciação da equação (1.76) com relação a q̇ notamos que aij são as
componentes da matriz Hessiana. É hora de elucidar um pouco melhor o papel da matriz
Hessiana. Na representação matricial podeŕıamos escrever P = A · Q̇ no lugar de (1.76). No
entanto, em nosso ponto de vista geométrico, os elementos da matriz Hessiana podem ser
vistos como componentes de uma 2-forma. A forma Hessiana é definida por

A = aijdq
idqj . (1.77)

A transformação (1.76) é escrita em sua versão geométrica como

p = A(•,∆). (1.78)

Também podemos identificar nos três primeiros termos de (1.75) a diferencial de L. Assim,
as Equações de Euler-Lagrange tornam-se

dL− L∆(p) = 0. (1.79)

Fomos, portanto, capazes de escrever as equações de movimento de forma independente
do sistema de coordenadas em TQ.

17


1.2.9 Transformação de Coordenadas em Q

O motivo pelo qual a derivada de Lie é importante vem a ser o fato de que ela traz
informações sobre as simetrias que existem em uma variedade diferenciável, e as simetrias
estão sempre ligadas, no caso de sistemas dinâmicos, a constantes do movimento. Por exem-
plo, dado o campo vetorial ∆ cujas componentes são definidas pelas equações de movimento
(1.46) e uma função escalar F em TQ, se L∆(F ) = 0, F é uma constante do movimento. Ser
uma constante de movimento significa geometricamente que a função F não sofre alteração
sobre a trajetória em TQ definida pelo campo ∆.

O campo dinâmico ∆ não é o único que pode gerar uma dinâmica em TQ. Um campo
genérico X = xα∂α gera sua própria dinâmica, representada pela curvas que são soluções da
equação

dηα

dε
= xα. (1.80)

Se LX(F ) = 0, a função F não varia sobre a curva que é solução de (1.80). X não define
o movimento do sistema, mas representa um grupo de transformações na variedade. Por
exemplo, o grupo de transformações representado por ∆ é definido por

ψ∆
t η(0) = η(t), (1.81)

e é o grupo que determina a evolução temporal das variáveis22 η. Assim, ser constante do
movimento é na verdade ser invariante ao grupo de transformações definido por (1.81).

Se LX(F ) = 0 para algum campo vetorial X, então F é invariante ao grupo de trans-
formações definido por

ψX
ε η = η(ε). (1.82)

Portanto, ψX
ε é o grupo de transformações que gera em TQ a curva solução de (1.80)

parametrizada por ε.
Se a Lagrangiana L(η) for invariante sob um grupo de transformações ψX

ε , ou seja, se

LX(L) = 0, (1.83)

é posśıvel mostrar que

L∆[p(X)] = 0 , (1.84)

em que p é o covetor definido por (1.78). Então, a função p(X) é uma constante do movimento.
Esta é a forma geométrica do Teorema de Noether . Encontrar o vetor X solução de

(1.84) significa encontrar as curvas pelas quais a Lagrangiana não se altera. No caso da
dinâmica Lagrangiana esse campo é aquele para o qual ψX

ε é o grupo de Transformações

22Os ı́ndices ∆ e t indicam respectivamente o campo vetorial gerador da transformação e o parâmetro da

transformação.

18


de Ponto, que são transformações de coordenadas em Q. Essas transformações geram na
Lagrangiana uma modificação funcional sempre da forma

L̄ = L−∆(F ), (1.85)

em que F é uma função escalar que depende da forma expĺıcita da transformação.

1.3 Formalismo Hamiltoniano

Tratar a dinâmica em TQ é interessante do ponto de vista geométrico, mas traz poucas
vantagens práticas. Uma delas é que as equações de movimento são de primeira ordem, além
do fato de as trajetórias em TQ serem saparadas, o que significa que apenas uma trajetória
passa por cada ponto da variedade. As soluções formam campos de curvas. No entanto, a
forma das equações de movimento depende da Lagrangiana de forma complicada e não há,
no geral, uma forma de fα(η) expĺıcita em η.

Outra grande desvantagem do ponto de vista geométrico é que as Equações de Euler-
Lagrange escritas na forma (1.71) dependem do covetor p definido em (1.78) e este depende
apenas de parte das coordenadas de TQ.

As equações de movimento tomam, contudo, uma forma adequada no Formalismo
Hamiltoniano. Este formalismo descreve a dinâmica a partir das variáveis (qi, pi). Não há
meios de chegar ao formalismo Hamiltoniano sem passar pelo Lagrangiano. A passagem con-
siste em mapear as coordenadas de TqQ em uma outra variedade, denominada Variedade
Cotangente T∗

qQ. Esta consiste em uma Transformação de Legendre. Essa trans-
formação relaciona as velocidades aos momentos pela ação da 2-forma Hessiana no campo
∆

p = A(•,∆) −→ pi = aij q̇
j . (1.86)

A partir de (1.86) podemos escrever as velocidades em função dos momentos, mas para tal
a Hessiana precisa possuir uma inversa. A condição é dada por (1.37) e é chamada condição
Hessiana. Se esta condição for satisfeita pela Lagrangiana podemos escrever

q̇i = (a−1)ijpj = φi(q, p). (1.87)

Neste caṕıtulo vamos supor que a condição Hessiana é satisfeita. Revisitando as equações
(1.43) e (1.44), estas podem ser escritas por

dqi

dt
= φi(qj , pj) , (1.88)

dpi

dt
=

∂

∂qi
L(qj , φj) . (1.89)

Devemos substituir as velocidades pelos momentos usando a equação (1.84). Para tanto
precisamos calcular

19


∂

∂qi
L(qj , pj) =

∂

∂qi
L(qj , φj) +

∂φj

∂qi

∂

∂φj
L(qj , φj) =

∂

∂qi
L(qj , φj) + pj

∂φj

∂qi
. (1.90)

Assim,

∂

∂qi
L(qj , φj) =

∂

∂qi
L(qj , pj)− pj

∂φj

∂qi
=

∂

∂qi

[
L(qj , pj)− pjφ

j
]
. (1.91)

Aqui introduz-se a Função de Hamilton ou Função Hamiltoniana H(q, p):

H(qi, pi) ≡ piφ
i − L(qi, pi) . (1.92)

A equação (1.91) torna-se

dpi

dt
= − ∂

∂qi
H(qj , pj). (1.93)

Esta é a equação que resulta diretamente das Equações de Euler-Lagrange . Há, no entanto,
uma segunda equação, e para esta precisamos calcular

∂

∂pi
L(qj , pj) =

∂φj

∂pi

∂

∂φj
L(qj , φj) = pj

∂φj

∂pi
, (1.94)

ou,

∂

∂pi

[
L(qj , pj , t)− pjφ

j
]

= −φi. (1.95)

Usando (1.88) e (1.92):

dqi

dt
=

∂

∂pi
H(qj , pj). (1.96)

A equação (1.96) é uma identidade, assim como era a equação (1.43). Temos assim o
sistema de equações

q̇i =
∂H

∂pi
(1.97)

ṗi = −∂H
∂qi

, (1.98)

que são as Equações Canônicas de Hamilton. Elas possuem a forma desejável para um
sistema de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Assim, há mais uma vez a
introdução de 2n variáveis, desta vez qi e pi, em vez das originais n variáveis qi de Q.

1.3.1 Formalismo Simplético Hamiltoniano

A função de Hamilton desempenha o mesmo papel da Lagrangiana na dinâmica. Mas
diferentemente de L, H é uma função em uma variedade que agrega as coordenadas gene-
ralizadas e os momentos generalizados. Esta variedade é o produto direto (T∗

qQ ⊗ Q),

20


Figura 1.2: A variedade de configuração Q e suas variedades tangente TQ e contangente
T∗Q para um ponto q . A função f que leva pontos de TQ em T∗Q é representação da
transformação de Legendre. A inversa f−1 nem sempre é definida para todos os pontos de
T∗Q, situação que ocorre quando o sistema possui v́ınculos.

chamado Espaço de Fase T∗Q. Esta variedade tem como pontos as coordenadas e os
momentos generalizados.

Assim como na dinâmica Lagrangiana, se os momentos e as coordenadas são simplesmente
coordenadas em T∗Q, não há motivos para tratá-los de modo distinto. Introduzimos então
as variáveis ξ,

{ξα} = {qi, pi} α ∈ {1, . . . , 2n}. (1.99)

Ou seja, ξ são as coordenadas do espaço de fase e abrigam q e p. Com essas variáveis é
posśıvel escrever as equações de Hamilton na forma

ωαβ ξ̇
β = ∂αH. (1.100)

O objeto cujas componentes são os elementos ωαβ constituem uma forma de segunda
ordem em T∗Q. É a forma simplética definida por

Ω = ωαβ dξ
αdξβ . (1.101)

As propriedades da forma simplética são:

1. Antissimetria: Ω(X,Y ) = −Ω(Y,X), ou, ωαβ = −ωβα.

2. Não degenerescência: Ω(X,Y ) = 0 para qualquer X se e somente se Y = 0.

3. ΩΩ∗ = Ω2 = −1, ou nas componentes, ωαβ ω
βγ = δγ

α.

4. Ω é dita fechada: dΩ = 023.
23A operação d é, neste caso, uma derivação exterior, que não definimos no texto pela razão de que ela

só aparecerá aqui. A diferencial de um escalar é um caso particular da derivada exterior.

21


As propriedades acima qualificam uma estrutura como simplética. A propriedade 2 per-
mite definir o dual da 2-forma simplética por

Ω∗ = ωαβ ∂α × ∂β, (1.102)

que vem a ser um tensor do tipo (2, 0). Com Ω∗ a equação (1.100) pode ser reescrita:

ξ̇α = ωαβ∂βH . (1.103)

Ora, as equações dinâmicas escritas com a forma (1.103) definem um campo vetorial no
espaço de fase T∗Q. Chamaremos este campo de ∆ e ele é descrito nas coordenadas {ξα}
por

∆ = ωαβ∂βH ∂α = ξ̇α∂α . (1.104)

Note que podemos escrever as equações (1.100) com o aux́ılio de Ω:

Ω( • ,∆)− dH = 0, (1.105)

onde dH = ∂αHdξ
α. A equação (1.105) representa as equações canônicas escritas indepen-

dentes das coordenadas.

1.3.2 Os Parênteses de Poisson

Mesmo sem resolver as equações de movimento é posśıvel escrever a evolução de uma
variável dinâmica f(ξα) em T∗Q:

L∆(f) = ˙ξα∂αf = ∆(f).

Usando (1.103),

L∆(f) = (∂αf)ωαβ(∂βH). (1.106)

A estrutura que aparece no lado direito de (1.106) é chamada Parênteses de Poisson, (PP),
definido por

{f,H} = (∂αf)ωαβ(∂βH). (1.107)

Desta feita,

L∆(f) = {f,H}. (1.108)

A equação (1.108) descreve a variação da variável dinâmica f(ξ) na curva integral solução
da equação

ξ̇α = ωαβ∂βH. (1.109)

22


Mas de modo análogo à dinâmica Lagrangiana, o campo ∆ não é o único gerador de curvas
em T∗Q. Dado um campo vetorial X = xα∂α, ele também gera trajetórias descritas por

dξα

dε
= xα. (1.110)

Para que X seja Hamiltoniano, deve existir uma função g(ξ) no espaço de fase tal que
suas componentes sejam dadas por

xα = ωαβ∂βg(ξ). (1.111)

A variação de uma função dinâmica f sobre a curva é dada por

LX(f) = X(f) = xα∂αf = (∂αf)ωαβ(∂βg). (1.112)

Reconhecemos à direta os PP

{f, g} = (∂αf)ωαβ(∂βg). (1.113)

Assim,

LX(f) = {f, g}. (1.114)

1.3.3 Transformações em T∗Q

Toda função escalar em T∗Q é ligada a um campo vetorial através de uma equação
dinâmica com a forma

dξα

dε
= ωαβ∂βg = {ξ, g}. (1.115)

Como já mostrado no caso Lagrangiano, as trajetórias ξ = C(ε) definidas por (1.115)
podem ser constrúıdas com transformações infinitesimais de coordenadas no espaço de fase.
O campo vetorial Xg que é tangente a C em cada ponto está relacionado a um dado grupo
de transformações que mapeia pontos de T∗Q em si mesmo. Algebricamente este trabalho é
feito pela operação

ψ
Xg
ε f = f +

df

dε
dε = ξ + {f, g}dε, (1.116)

onde f é uma função escalar.
Dizemos, em função de (1.116), que g é geradora do grupo de transformações infinitesimais

ψXg . Portanto, toda função escalar é geradora de um grupo de transformações em T∗Q. A
Hamiltoniana em particular é geradora da evolução temporal:

ψ∆
t f = f + {f,H}dt. (1.117)

A versão finita desses operadores vem a ser

23


ψ
Xg
ε = exp{ • , g}ε . (1.118)

Assim, as equações (1.116) e (1.117) são aproximações de primeira ordem em ε da exponencial
(1.118).

A ação de uma transformação altera, no geral, a forma de campos vetoriais, covetores e
2-formas24. Dado o grupo definido por (1.118), a transformação de um vetor se dá por

X̄ = ψXψ−1. (1.119)

Para um covetor:

v̄(•) = ψ v (ψ−1 • ψ). (1.120)

Uma 2-forma se transforma como

Γ̄(•, •) = ψΓ(ψ−1 • ψ,ψ−1 • ψ) ≡ φΓ. (1.121)

Vamos supor que a Hamiltoniana seja invariante a um grupo de transformações cujo
gerador é uma função escalar g. Assim,

ψ
Xg
ε H = H ou {H, g} = 0. (1.122)

Isto também significa que

ψ∆
t g = g, (1.123)

ou seja, g é uma constante do movimento. Esta é a forma Hamiltoniana do teorema de
Noether.

Há um grupo especial de transformações para o qual

φΩ = Ω, (1.124)

ou seja, não altera a estrutura simplética. É o grupo de Transformações Canônicas, (TC).
A condição (1.124) reflete-se nos PP e atesta que transformações canônicas mantêm invari-
antes os PP de quaisquer duas variáveis dinâmicas. Note que essa classe de transformações
é mais ampla que as transformações de ponto na dinâmica Lagrangiana, visto que estas per-
mitem apenas transformações nas variáveis q. Já as transformações que deixam a dinâmica
Hamiltoniana invariante permitem transformações de coordenadas em T∗Q, por exemplo a
troca de coordenadas por momentos e vice-versa.

Uma TC implica em uma nova função de Hamilton, que difere da original pela adição de
uma derivada parcial temporal de uma função de T∗Q. Assim,

K = H + ∂tS(t, q). (1.125)
24Ver [1], Sec. 5.3.2.

24


A função S é a geradora das transformações canônicas. Esta função tem papel funda-
mental no formalismo de Hamilton-Jacobi, de modo que estudaremos suas propriedades no
próximo caṕıtulo.

1.3.4 Propriedades dos Parênteses de Poisson

Relacionando funções escalares a campos vetoriais podemos reconhecer a relação entre a
matriz 2-forma simplética e os PP

Ω(Yf , Xg) = {f, g}. (1.126)

Esta relação é de importância fundamental. É nela que reconhecemos a estrutura simplética
no espaço de fase. A partir das propriedades da 2-forma deduzimos as propriedades dos PP.
As mais importantes são:

1. Antissimetria: {f, g} = −{g, f}.

2. Não degenerescência: {f, g} = 0 se e somente se f = 0 ou g = 0.

3. Identidade de Jacobi25: {{f, g}, h}+ {{h, f}, g}+ {{g, h}, f} = 0.

Se uma dada variedade possuir uma estrutura que obedeça as três propriedades acima dizemos
que ela é imbuida de uma estrutura simplética.

Um resumo apropriado para este caṕıtulo deve enfatizar dois aspectos. O primeiro é que
uma trajetória de um sistema Hamiltoniano tem uma forma espećıfica nas equações para o
campo tangente (1.103), e que esta forma nos faz reconhecer uma estrutura simplética no
espaço de fase. Para sistemas regulares a trajetória no espaço de configuração é diretamente
reconhećıvel a partir da trajetória no espaço de fase, ou seja, as formulações Lagrangiana e
Hamiltoniana são completamente equivalentes para esses sistemas.

O segundo aspecto é o papel das transformações canônicas. No próximo caṕıtulo estu-
daremos o formalismo de Hamilton-Jacobi e, embora não tenhamos de utilizar a teoria de TC
para este propósito, a descrição histórica desse formalismo, e a encontrada em quase todos
os livros em mecânica clássica, passa pelo estudo dessas transformações.

Agora estamos preparados para estudar sistemas cuja matriz Hessiana é singular, ou seja,
sistemas cujas relações (1.87) não podem ser escritas para todas as velocidades. Veremos que
esses sistemas são vinculados, obrigados a se mover apenas em determinados sub-espaços de
Q.

25Esta propriedade vem diretamente do fato de que dΩ = 0.

25


Referências Bibliográficas

[1] J. V. José, E. J. Saletan - Classical Dynamics, A Contemporary Approach - Cambridge
Un. Press, (1998).

[2] C. Lanczos - The Variational Principles of Mechanics - Fourth Edition, Dover Pub.
Inc. New York (1986).

[3] P. A. M. Dirac - Lectures in Quantum Mechanics - Yeshiva University, New York (1964).

[4] L Faddeev, R. Jackiw, - Phys. Rev. Lett. 60, 1692 (1988).

[5] T. Frankel - The Geometry of Physics, an Introduction - Cambridge Un. Press (1997).

26


Caṕıtulo 2

O Formalismo de Hamilton-Jacobi

2.1 Introdução

Nesta parte apresentaremos o formalismo de Hamilton-Jacobi tal como é desenvolvido por
Carathéodory1, mas de forma generalizada para sistemas singulares. A forma mais comum
de se encontrar a teoria de HJ na literatura é a partir da teoria das transformações canônicas
desenvolvida por Jacobi. Nesta versão2, o formalismo Hamiltoniano é um ponto de partida,
mas o método é freqüentemente confundido como uma técnica para integrar as equações de
Hamilton. Este procedimento pode ser ilusivo quanto ao poder de śıntese que de fato tem
o formalismo de HJ na mecânica clássica. O procedimento de Carathéodory é baseado em
considerações muito mais profundas, notadamente nos problemas variacionais, e sua natureza
mostra claramente a conexão entre as teorias das EDP, das EDO e do cálculo variacional.
O método de Carathéodory é freqüentemente tratado como o quadro completo do cálculo
variacional, justamente porque clarifica todo este sistema de teorias.

A partir do quadro completo pretendemos, neste e no próximo caṕıtulo, estabelecer o
tratamento para sistemas singulares. Como já vimos, tais sistemas possuem Lagrangianas
cuja matriz Hessiana é singular. Esse tipo de sistema viola a condição (1.37), anulando todo
o desenvolvimento do primeiro caṕıtulo entre a mecância de Lagrange e a de Hamilton. Os
métodos até então conhecidos para a análise de v́ınculos são os de Dirac3, na década de 1950,
e Faddeev e Jackiw4, na década de 1980. Pretendemos mostrar também que a análise de
v́ınculos, pelo menos para ações de primeira ordem, tende a ser mais simples e menos obscura
com o método de HJ.

1Em [1] e [2]
2Ver, por exemplo, [3], [4] e [5].
3Ver [6].
4Ver [7].

27


2.2 O Problema Variacional

As trajetórias de sistemas dinâmicos no espaço de configuração são dadas por curvas em
Qn que são determinadas por campos vetoriais tangentes. Como vimos no caṕıtulo 1, esses
campos são denominados campos Lagrangianos se as componentes dos campos forem dadas
por equações de Euler-Lagrange, expressos na forma (1.46). Neste caṕıtulo usaremos outra
abordagem para definir um campo Lagrangiano. É a abordagem dos prinćıpios variacionais.

O prinćıpio variacional no qual nos apoiaremos é o Prinćıpio de Hamilton . Conside-
remos uma curva C ∈ Qn, cuja forma paramétrica é dada por

qi = qi(t). (2.1)

Consideraremos t como o parâmetro da curva e este é relacionado com o tempo na mecânica
clássica. Vimos que essa curva é determinada por um campo vetorial dado por

∆ ≡ q̇i∂i , (2.2)

cujas componentes q̇ são as velocidades, definidas por equações do tipo

q̇i = φi(t, q). (2.3)

Consideremos também uma função Lagrangiana L(t, q, q̇). Entre dois pontos de C, dados
pelos parâmetros t1 e t2, podemos calcular a integral

I[C] =
∫ t2

t1

L(t, q, q̇)dt. (2.4)

Os colchetes indicam que o valor da integral depende da curva na qual é calculada, ou seja,
I é um funcional: relaciona curvas de Qn a números reais. A integral (2.4) é chamada de
integral fundamental ou ação. Dizemos que ∆ constitui um campo Lagrangiano se a curva
C for um extremo da integral fundamental, ou seja, δI = 0 deve ser satisfeita5.

Antes de partir para uma solução do problema variacional é conveniente, para a nossa
abordagem, expressá-lo de forma independente do parâmetro. Vamos incluir o tempo como
uma variável dinâmica definindo um espaço de configuração estendido Qn+1 de dimensão
n+1, coberto pelo sistema de coordenadas {qα} com {α} = {0, . . . , n}. Nesse sistema t = q0

e as demais coordenadas são expressas por qi = qα6=0.
Vamos definir um novo parâmetro, desta vez arbitrário, τ , de modo que a curva C em

Qn+1 tenha equações paramétricas

qα = qα(τ), (2.5)

e o campo vetorial que dá origem a C seja escrito por

∆ ≡ dqα

dτ
∂α , (2.6)

5Ver [2], pp. 198-9, para uma definicão rigorosa de extremos de um funcional.

28


em que

dqα

dτ
= φα(q). (2.7)

Ao introduzir uma nova variável q0 = t, assumimos que o tempo pode ser escrito em
função do parâmetro τ através da equação inverśıvel

t = t(τ). (2.8)

Assim, a partir de (2.4) escrevemos

I =
∫
L(qα, q′ατ̇)dt, (2.9)

em que a linha indica derivação com relação a τ . Vamos exigir que a Lagrangiana seja uma
função homogênea de primeiro grau em q′6, ou seja,

L(q, λq′) = λL(q, q′). (2.10)

Somente assim podemos escrever

I =
∫
L(qα, q′ατ̇)dt =

∫
dτ

dt
L(qα, q′α)dt =

∫
L(qα, q′α)dτ (2.11)

e assim temos a nova integral fundamental

I[C] =
∫ τ2

τ1

L(q, q′)dτ. (2.12)

O fato de a Lagrangiana ser homogênea de primeiro grau em Qn+1 leva a uma conseqüência
muito importante. Há o teorema de Euler para funções homogêneas, para o qual uma função
homogênea de primeira ordem deve obedecer à condição

∂L

∂q′α
q′α = L. (2.13)

Note que as derivadas ∂L/∂q′ são funções homogêneas de grau zero, que são caracterizadas
por obedecer à relação:

F (q, λq′) = F (q, q′).

A reaplicação do teorema de Euler, desta vez considerando funções homogêneas de grau zero,
mostra que

∂L

∂q′α∂q′β
q′β = 0. (2.14)

Aqui podemos definir a forma Hessiana para Qn+1:

A = aαβdq
αdqβ , (2.15)

6Sem essa exigência não seremos capazes de definir uma integral fundamental no parâmetro τ .

29


com componentes

aαβ =
∂L

∂q′α∂q′β
. (2.16)

A identidade (2.14) requer a singularidade da matriz formada com os elementos da forma
Hessiana para este sistema em Qn+1. Assim, para Lagrangianas homogêneas de primeiro
grau temos

detA = 0. (2.17)

Essa condição implica na existência de graus de liberdade vinculados na Lagrangiana. Vere-
mos as conseqüências desse fato mais adiante.

A partir da nova ação (2.12) podemos escrever

I =
∫
L
(
qα, q′α

)
dτ =

∫
. . .

∫
L (qα, dqα) =

∫
ds, (2.18)

Note que definimos um elemento de linha ds que corresponde ao elemento de linha do
espaço de configuração estendido Qn+1. Assim, o prinćıpio de ação estacionária procura por
geodésias (curvas de distância mı́nima) entre dois pontos de Qn+1. Esse elemento de linha
denuncia a presença de uma métrica,

ds2 ≡ g = gαβdq
αdqβ. (2.19)

Nessa formulação a ação é independente da escolha do parâmetro, mas ainda pode depen-
der explicitamente do tempo, caso (2.4) possua essa dependência. Ainda estamos lidando com
o caso geral em que t seja um parâmetro privilegiado. Nas teorias de campo relativ́ısticas essa
distinção não pode mais ser assumida, pois a integral fundamental não depende do tempo
nessas teorias. A formulação independente do parâmetro é natural para as teorias de campo.
Já na mecânica clássica, em que o tempo adquire státus absoluto, acabamos por mostrar que
uma formulação independente do parâmetro, que preserve o prinćıpio de Hamilton, é posśıvel
desde que a Lagrangiana seja uma função homogênea de primeiro grau nas velocidades. Tais
sistemas são, como demonstrado, condenados a serem singulares.

2.3 Condições para Extremos da Ação

Para investigar as condições para que seja obedecido o prinćıpio de Hamilton δI = 0,
vamos considerar no espaço de configuração a existência de uma famı́lia de superf́ıcies definida
pela equação

S(q) = σ, (2.20)

em que σ ∈ R é o parâmetro que define cada superf́ıcie da famı́lia e S é uma função das
coordenadas pelo menos duplamente diferenciável e com derivadas cont́ınuas. A curva C

30


intercepta a famı́lia S e por cada ponto de Qn+1 passa apenas um de seus membros. Em
primeiro lugar, vamos impor que

∆(S) = q′α∂αS 6= 0, (2.21)

ou seja, em nenhum ponto a famı́lia é tangente a C.
Vamos supor agora uma segunda curva genérica C̄ dada pelas equações

qα = q̄α(τ), (2.22)

pertencente a uma vizinhança fechada7 de C. Essa curva é freqüentemente chamada curva de
comparação. Com relação a C, a integral fundamental calculada sobre C̄ sofre um acréscimo
diferencial dado por

dI = Ldτ. (2.23)

Ocorre também um incremento dσ, de modo que

dσ = ∆(S)dτ. (2.24)

Uma condição necessária para que C seja um extremo é a de que dI/dσ seja um extremo
em q′α. Essa condição se expressa por

∂

∂q′α

(
dI

dσ

)
=

∂

∂q′α

(
L

∆(S)

)
= 0. (2.25)

Usamos na segunda parte da equação as relações (2.23) e (2.24). A razão L/∆(S) é indepen-
dente das velocidades. De fato essa razão é uma função escalar que depende do parâmetro
da famı́lia σ. Por esta razão escrevemos L/∆(S) = f(σ). Note que

∂

∂q′α

(
L

∆(S)

)
=

1
∆(S)

∂L

∂q′α
− L

∆(S)2
∂∆(S)
∂q′α

=
1

∆(S)
∂L

∂q′α
− L

∆(S)2
∂αS = 0,

em que usamos (2.21) no último passo. Assim,

∂L

∂q′α
=

L

∆(S)
∂αS . (2.26)

7Dada a curva C definida por (2.1), uma segunda curva C̄, cujas equações paramétricas são qi = q̄i(t)

pertence a uma vizinhança fechada (ε, η) de C se, primeiro, para todos os valores de t no intervalo t1 ≤ t ≤ t2,

forem satisfeitas as condições

�
�
�q̄

i(t)− qi(t)
�
�
� ≤ ε

e, para todo valor de t no mesmo intervalo para os quais existam as derivadas dq̄i/dt, forem também satisfeitas

�
�
�
�
dq̄i

dt
− q̇i

�
�
�
� ≤ η.

31


Esta condição é suficiente apenas para garantir que C é um extremo da integral I =∫
f(σ)dσ. Para um extremo da integral (2.12) precisamos de uma condição mais forte. Obser-

ve que uma reparametrização da famı́lia σ pode ser efetuada por uma função monotônica Ψ.
Por ser monotônica podemos escrever

Ψ(S) = Ψ(σ) (2.27)

e definir

∆(Ψ) = q′α∂αΨ = q′α∂αS
dΨ
dσ

=
dΨ
dσ

∆(S) . (2.28)

Podemos escolher Ψ com a forma

Ψ =
∫ σ

σ0

f(σ′)dσ′ −→ dΨ
dσ

= f(σ)

e assim temos no problema correspondente à famı́lia equivalente (2.28),

L

∆(Ψ)
=

L

f(σ)∆(S)
= 1. (2.29)

Com isso demonstramos que existe uma representação da famı́lia σ na qual

L = ∆(S). (2.30)

Note que esta escolha em particular reduz a condição (2.26) a

∂L

∂q′α
= ∂αS . (2.31)

No espaço estendido também podemos definir o campo de covetores dos momentos, cujas
componentes são

pα ≡ aαβq
′β =

∂L

∂q′α
. (2.32)

As equações (2.26) ficam então

pα = ∂αS. (2.33)

A partir de (2.30) podemos escrever

L− q′α∂αS = 0.

Usando as equações (2.33) chegamos à equação

pαq
′α − L = 0. (2.34)

Acabamos de mostrar uma relação muito geral, que vale para Lagrangianas homogêneas
de 1o grau. A função de Hamilton desse sistema, definida por H ≡ pαq

′α−L, é sempre nula.

32


2.3.1 Sistemas Regulares em Qn

Como caso particular, vamos analisar o cenário da mecânica clássica em que a Lagrangiana
é regular e dependente da parametrização. O posto da Hessiana é n e, assim, podemos escrever

p0q
′0 + piq

′i − L = 0. (2.35)

Nossa escolha de parâmetros é livre. Portanto, vamos fazer a escolha τ = q0 = t. A
equação (2.35) fica, então,

p0 + piq̇
i − L(t, q, q̇) = 0. (2.36)

Temos também as condições

p0 = ∂tS (2.37)

e

pi = ∂iS. (2.38)

Com este procedimento voltamos a analisar a dinâmica a partir de Qn. Nesta variedade
voltamos a usar os momentos conjugados

pi = aij q̇
j =

∂L

∂q̇i
, (2.39)

cujo Jacobiano é a matriz Hessiana com elementos

aij =
∂2L

∂q̇i∂q̇j
. (2.40)

O posto dessa matriz é n e, portanto, podemos escrever

q̇i = ηi(t, q, p) , (2.41)

pois todas as relações (2.39) são inverśıveis. Usando (2.39) e (2.41) a equação (2.36) é então
reescrita por

∂tS + ηi(t, q, ∂iS)∂iS − L(t, q, ∂iS) = 0. (2.42)

A expressão

ηi(t, q, ∂iS)∂iS − L(t, q, ∂iS)

é função de t, q, e ∂iS e podemos definir a função de Hamilton

H(t, q, ∂iS) ≡ ηi(t, q, ∂iS)∂iS − L(t, q, ∂iS). (2.43)

Com essa nova função temos a condição

33


∂tS +H(t, q, ∂iS) = 0. (2.44)

Esta é a equação diferencial parcial de Hamilton-Jacobi para sistemas regulares.
É importante ressaltar o fato de que a classificação regular refere-se ao espaço Qn. No espaço
de configuração estendido o sistema não é regular. Neste caso o único grau de liberdade
vinculado está ligado à coordenada q0. Podemos interpretar a equação (2.44) como um
v́ınculo, escrevendo

p0 = ∂0S, (2.45)

em que p0 = −H. O fato de as demais coordenadas serem livres implica na possibilidade
da definição da função de Hamilton (2.43) e, portanto, para encontrar a função S que define
a famı́lia (2.20), precisamos resolver uma única EDP. Note também que a existência de um
v́ınculo em Qn+1 reduz a análise a Qn, que tem uma dimensão a menos. Veremos que esta
é uma caracteŕıstica geral dos sistemas singulares, o de permitir a análise em um espaço de
configuração reduzido.

2.3.2 Sistemas Singulares Gerais

Vamos generalizar o resultado acima para sistemas singulares. Suponha que L(qα, q′α) é
uma Lagrangiana homogênea de primeiro grau em q′. Estamos considerando o sistema no
espaço de configuração estendido, em que o tempo é incluso como coordenada. Estamos à
procura de uma função S(q) que define uma famı́lia de superf́ıcies em Qn+1, constrúıda a
partir da trajetória do sistema supondo-a conhecida. Chegamos por um prinćıpio variacional
às seguintes condições que devem ser obedecidas pela função S:

pα = ∂αS, (2.46)

Φ0 ≡ pαq
′α − L(q, q′) = 0 (2.47)

Se a Lagrangiana é homogênea de primeiro grau, a matriz Hessiana cujos elementos são
dados por (2.16) é singular, ou seja, detA = 0, como mostrado na seção 2.2. Como vimos,
basta que um dos momentos não possa ser escrito em função das velocidades para que a
condição Hessiana seja violada. No caso de sistemas regulares, por exemplo, mostramos que
esses sistemas são singulares em Qn+1 porque não podemos escrever

q′0 = f(q, p), (2.48)

e portanto p0 não depende da velocidade q′0.
A solução foi definir uma equação de v́ınculo e reduzir o espaço de tal forma a encontrar-

mos uma Hessiana inverśıvel. Este espaço reduzido resultou ser de dimensão n, 1 dimensão
menor que Qn+1. A Hessiana definida em Qn é uma submatriz da Hessiana mais geral definida
em Qn+1.

34


Com base nesse fato, vamos supor no espaço Qn+1 uma matriz Hessiana singular. Vamos
definir o posto dessa matriz como o número da dimensão do espaço no qual precisamos
chegar para tornar o sistema regular. Essa dimensão é dada pelo número de autovalores não
nulos da Hessiana. Como submatriz da Hessiana original temos uma matriz regular de ordem
m que diz respeito aos graus de liberdade f́ısicos da Lagrangiana. Dizemos que seu posto é
m. Assim, m velocidades podem ser escritas como funções de q e p:

pa = aab q
′b =⇒ q′b = ηb(qx, qa, pa). (2.49)

Os coeficientes aab são elementos da submatriz inverśıvel contida na Hessiana. Os ı́ndices
minúsculos do ińıcio do alfabeto latino serão usados de agora em diante para representar
graus de liberdade dessa submatriz. Assim, {a, b} = {1, . . . m}.

As demais relações não podem ser invertidas. Isto significa que n+ 1−m momentos não
guardam dependência com as velocidades vinculadas. Temos:

px = axyq
′y = −Hx(qα, ηa) = −Hx(qα, pa). (2.50)

Índices minúsculos do fim do alfabeto latino serão usados para representar graus de liberdade
que não pertencem à submatriz inverśıvel: {x, y} = {0,m+ 1, . . . n}.

As equações (2.50) são EDP de primeira ordem se usarmos as relações (2.46):

Φx ≡ ∂xS +Hx(qα, ∂aS) = 0. (2.51)

Aparentemente a definição das funções Hx não sofre problemas. Podemos simplesmente
encontrá-las a partir da Lagrangiana pelas relações

Hx = − ∂L

∂q′x
. (2.52)

Contudo, note a equação para a coordenada q0

H0 = − ∂L

∂q′0
.

Se quisermos definir t como parâmetro e voltar ao espaço Qn, esta equação torna-se

H0 = − ∂L

∂q′0
= − ∂L

∂q̇0
= −∂L

∂ṫ

que não tem sentido. Não podemos encontrar H0 por este caminho.
Vamos voltar a analisar a condição (2.47). Para encontrar H0 precisamos voltar a Qn

onde o tempo é o parâmetro. Assim podemos escrever8

p0 + paq̇
a + pz q̇

z − L(t, qi, q̇a, q̇z) = 0. (2.53)

Observando essa última relação e o conjunto de relações (2.51), px+Hx = 0, a escolha natural
seria

8Apenas nessa dedução usaremos o ı́ndice z tal que {z} = {m + 1, . . . , n}, sem o ı́ndice temporal.

35


H0 = paη
a(t, qi, pb) + pz q̇

z − L(t, qi, pa, q̇
z) = H0(t, qi, pa, q̇

z). (2.54)

A dependência de q̇z em H0 definida em (2.54) nos faria desistir dessa escolha, mas o fato
é que H0 não depende de q̇z:

∂H0

∂q̇z
= pz −

∂L

∂q̇z
= 0. (2.55)

Assim, podemos escolher H0 como

H0(qα, pa) = piq̇
i − L (2.56)

e esta deve ser a Hamiltoniana canônica. Temos então os v́ınculos descritos em Qn+1 de
forma unificada por

Φx ≡ px +Hx = 0, (2.57)

em que {x} = {0,m+ 1, . . . , n}.
Os v́ınculos são n−m+ 1 equações. Combinadas com as condições

pα = ∂αS, (2.58)

temos

∂xS +Hx(qα, ∂aS) = 0. (2.59)

A este sistema de n+ 1−m equações damos o nome de EDP de Hamilton-Jacobi .

2.3.3 Análise das Condições de Extremos

Existem, portanto, duas condições para que a integral fundamental seja estacionária sobre
a trajetória C. A primeira consiste no sistema de n + 1 equações (2.58), que relaciona as
componentes do momento conjugado

p ≡ A(•,∆) = pαdq
α (2.60)

com as componentes do covetor

dS = ∂αSdq
α. (2.61)

A diferencial dS aplicada em um ponto P sobre uma superf́ıcie define uma direção a partir
P . É a direção do gradiente geodésico de S. O sistema (2.58) reflete nas componentes a
condição

p = dS. (2.62)

Com o termo gradiente geodésico estamos indicando que curvas que passam pela famı́lia σ
na direção de seu gradiente, representando extremos da integral fundamental, são curvas

36


geodésicas em Qn+1. Essa terminologia está de acordo com o fato de que o prinćıpio de
ação estacionária requer a nulidade da primeira variação da integral (2.18), que representa
uma ”distância”em Qn+1. Ou seja, curvas de extremos representam geodésias no espaço de
configuração estendido.

Figura 2.1: Representação da trajetória e das superf́ıcies transversais em Qn+1.

Em razão da presença de v́ınculos, somos obrigados a separar as equações (2.58) de acordo
com o posto da matriz Hessiana. Temos portanto m relações

pa = ∂aS (2.63)

e n+ 1−m relações

px = ∂xS. (2.64)

Podemos inverter (2.63) pois a Hessiana reduzida de elementos aab é inverśıvel. Escreve-
mos então,

q′a = (a−1)ab∂bS = ηa(qα, ∂bS). (2.65)

As demais relações não podem ser invertidas. Em vez disso elas se transformam no sistema
de EDP de HJ:

Φx(qy, qa, ∂xS, ∂aS) = 0, (2.66)

em que Φx = ∂xS +Hx.
A partir de (2.65) podemos definir uma famı́lia de curvas em Qn+1 que chamaremos de

congruência K. Essa congruência varre os pontos do espaço de maneira que somente uma
curva passa por cada ponto. Todas as curvas são extremos do problema variacional, pois seus

37


campos tangentes satisfazem (2.62). Dito em outras palavras, essas curvas são soluções de
(2.65). A congruência é relacionada à existência da famı́lia σ, de modo que dizemos se tratar
de uma congruência pertencente a uma famı́lia de superf́ıcies.

A segunda condição é a igualdade

L = ∆(S). (2.67)

Enquanto a primeira condição define unicamente a direção da trajetória do sistema em
Qn+1, consistindo por isso em uma condição puramente geométrica, a última condição car-
rega a informação sobre a dinâmica do sistema. Somente com ela podemos definir a função
Hamiltoniana canônica, (2.56), referente ao espaço reduzido Qm. Esta função, como mostra
a equação de HJ correspondente à coordenada temporal,

∂0S +H0 = 0, (2.68)

é a que se liga à equação de evolução temporal do sistema. Lembremo-nos que o problema
variacional original era dependente do tempo, de modo que mesmo em uma formulação
independente do parâmetro a equação (2.68) é diferente em essência dos demais v́ınculos.
Essa é a manifestação do caráter especial do tempo com relação às demais coordenadas na
mecânica clássica. A equação temporal pode ser vista como um v́ınculo, mas um v́ınculo com
realidade e importância f́ısicas.

Dada a curva C, solução do problema variacional e das equações (2.65), a integral funda-
mental calculada sobre dois pontos de C que interceptam duas superf́ıcies S = σ1 e S = σ2 é
dada por

I =
∫ P2

P1

Ldτ =
∫ σ2

σ1

∆(S)dτ =
∫ σ2

σ1

dσ = σ2 − σ1, (2.69)

e este valor é o mesmo para todos os membros da congruência entre as mesmas superf́ıcies.
Chamamos as superf́ıcies que se caracterizam por esta condição de geodesicamente equi-
distantes.

Assim se dá a redução do espaço de configuração para um espaço de m graus de liberdade
Qm. As equações (2.65) representam as componentes de um campo vetorial tangente em Qm

e a solução das EDO (2.65) são as representações paramétricas de C neste espaço. Contudo
essas equações estão vinculadas às EDP (2.66). Então temos o seguinte cenário: para que
uma trajetória C em Qn+1 satisfaça o prinćıpio de ação estacionária, é necessário que ela
pertença a uma congruência K de curvas que interceptem de forma transversal (p = dS) uma
famı́lia de superf́ıcies σ geodesicamente equidistantes, L = ∆(S).

2.4 Equações Caracteŕısticas

Somente para uma famı́lia de superf́ıcies que obedece ao sistema de equações (2.66) pode-
mos definir um campo de trajetórias que lhe seja ortogonal. Assim, precisamos nos preocupar
com a resolução desse sistema em busca da forma do campo de velocidades (2.65). As equações

38


de HJ são EDP de primeira ordem e assim nos é permitido utilizar o procedimento de Cauchy9

para encontrar sua solução geral. Devemos também nos perguntar se este realmente consiste
em um sistema completamente integrável.

Apenas para tornar o formalismo mais abrangente, vamos tratar de um sistema de EDP
de primeira ordem um pouco mais geral, supondo que as funções Hx sejam também funções
explicitamente dependente de S. Temos então as equações

Φx(qy, qa, py, pa, z) = 0, (2.70)

em que 
z = S(qy, qa)

pa = ∂aS(qy, qb)

. (2.71)

Procedendo dessa forma, as funções Φx passam a depender de k = n−m+ 1 parâmetros qy.
Novamente expandimos o espaço de configuração para comportar mais uma variável, z = S,
mas esse artif́ıcio é apenas uma forma de generalização.

Vamos construir as diferenciais

dz = ∂aSdq
a + ∂ySdq

y, (2.72)

e

dpa = ∂a∂ySdq
y + ∂a∂bSdq

a, (2.73)

a partir de (2.71). De (2.70) podemos tomar a derivada parcial com relação a qa. Como
resultado,

∂aΦx +
∂Φx

∂py
∂y∂aS +

∂Φx

∂pa
∂a∂bS +

∂Φx

∂z
∂aS = 0. (2.74)

No entanto, sabemos que Φx só depende linearmente de py: ∂Φx/∂py = δy
x. Surge então

∂a∂xS = −∂aΦx −
∂Φx

∂pa
∂a∂bS −

∂Φx

∂z
∂aS. (2.75)

Usando (2.75) em (2.73),

dpa = −
(
∂aΦy +

∂Φy

∂pa
∂a∂bS +

∂Φy

∂z
∂aS

)
dqy + ∂a∂bSdq

a. (2.76)

Agora, sabemos a partir das equações de HJ que as funções Hy podem ser escritas por

Hy =
∂

∂q′y
L(qi, pb, q′x) . (2.77)

Temos com essa expressão

∂Hy

∂pa
dqy =

∂2L

∂pa∂q′y
dqy =

∂

∂q′y
∂L

∂pa
dqy = dqa.

9Ver [1], Cap. 3.

39


Podemos, por conseqüência, escrever como uma identidade o sistema de EDO

dqa =
∂Hy

∂pa
dqy =

∂Φy

∂pa
dqy. (2.78)

Assim, com a nulidade de dois termos, as equações (2.76) ficam

dpa = −
(
∂aΦx +

∂Φx

∂z
∂aS

)
dqy. (2.79)

Uma terceira equação pode ser obtida por (2.72). Tomando (2.78),

dz =
(
∂aS

∂Φy

∂pa
+ ∂yS

)
dqy =

(
pa

∂Φy

∂pa
−Hy

)
dqy. (2.80)

Definimos então como as equações caracteŕısticas do sistema de HJ as 2m+1 equações

dqa = ∂Φy

∂pa
dqy ,

dpa = −
(
∂aΦx + ∂Φx

∂z ∂aS
)
dqy ,

dz =
(
pa

∂Φy

∂pa
−Hy

)
dqy.

(2.81)

Utilizando-se de um formalismo simplético e usando o fato de que os v́ınculos que nos
interessam na verdade não dependem de z, escrevemos as duas primeiras equações como

dξa = ωab∂bΦydq
y = {ξa,Φy}dqy, (2.82)

em que a estrutura simplética é a mesma daquela que encontramos no caṕıtulo 110. Assim
notamos a existência de um espaço de fase T∗Qm e a mesma estrutura dos parênteses de
Poisson:

Ω(Xf , Yg) = {f, g} = (∂af)ωab(∂bg). (2.83)

O sistema (2.82) consiste em um sistema de Equações Diferenciais Totais (EDT).
Pode-se facilmente mostrar que para sistemas regulares as equações caracteŕısticas coincidem
com as equações canônicas de Hamilton. Assim, no quadro completo de Carathéodory, en-
contramos a ligação que existe entre a teoria das EDP e a teoria das equações diferenciais
ordinárias.

2.4.1 Integrabilidade

As equações de HJ e as caracteŕısticas, bem como suas soluções, desenham o quadro
completo. A solução do conjunto de EDP (2.51) é, se única, uma função dependente de
parâmetros arbitrários que representa uma famı́lia de superf́ıcies. Já as soluções das EDT
(2.82) definem toda uma famı́lia de curvas dependentes das condições iniciais, que chamamos

10Quando usarmos o formalismo simplético, os ı́ndices das variáveis dobram de valor, ou seja, {a, b, c} =

{1, . . . , 2m} em (2.82).

40


por uma congruência de curvas. As soluções estão ligadas pelo fato de toda curva da con-
gruência ser normal a todo vetor tangente a qualquer superf́ıcie da famı́lia em qualquer ponto.
Queremos que a solução S exista para um dado campo vetorial definido pelas EDT e procu-
raremos agora pela condições que nos garantem esse quadro. A questão fundamental é, dada
uma congruência gerada por um campo vetorial conhecido, é posśıvel encontrar pelo menos
uma famı́lia de superf́ıcies que lhe seja ortogonal?

Um exemplo em R3 pode ser ilustrativo. Dada uma curva C, assumiremos que existe uma
famı́lia de superf́ıcies S(x) = σ cortada pela curva e que esta seja transversa à famı́lia. Dado
um ponto x(τ0) ≡ x0 sobre a trajetória, podemos definir um plano, Γ0, gerado a partir de dois
vetores linearmente independentes Xz = χi

z ∂i. Sobre este mesmo ponto passa uma superf́ıcie
σ0 de modo que o plano Γ0 é tangente a esta superf́ıcie em x0. Neste caso {i} = {1, 2, 3} e
{z} = {1, 2}. Esses vetores devem ser ortogonais a um vetor n0 tangente a C em x0, ou seja,

n0 ·Xz = 0 . (2.84)

Contudo, queremos não apenas que um plano seja ortogonal a C, mas toda uma famı́lia
de planos Γ. Neste caso n0 é um membro de um campo vetorial n e devemos ter que em
qualquer ponto sobre a curva a construção acima seja válida. Chamaremos esta famı́lia de
planos por uma distribuição11 Γ. Neste caso, o campo n deve obedecer à condição

n · ∇ × n = 0, (2.85)

que é a condição de integrabilidade de Euler12. Esta condição é necessária para garantir
a existência de uma famı́lia de superf́ıcies S(x) = σ que seja ortogonal a C.

Por exemplo, consideremos o campo vetorial dado por

n = x2∂1 − x1∂2 + ∂3 . (2.86)

Para este vetor, ∇ × n = −2∂3 e n · ∇ × n = −2, o que indica que não há uma famı́lia
de superf́ıcies que obedeça (2.85). Por outro lado, se o vetor tiver componentes constantes,
o rotacional sempre se anula e, portanto, a condição (2.85) é sempre satisfeita. Podemos
mostrar que se a trajetória for uma reta há sempre uma famı́lia de superf́ıcies em R3 que lhe
seja normal.

Temos também o covetor dual a n, que chamaremos de p. No exemplo acima ele é dado
por

p = x2dx
1 − x1dx

2 + dx3 .

Caso (2.85) não seja satisfeita, não será posśıvel encontrar a partir da trajetória a distribuição
Γ ortogonal a C em todo ponto. Não há, por conseguinte, um conjunto completo de campos
vetoriais que satisfaçam as equações

p(Xz) = piχ
i
z = 0. (2.87)

11Ver [8] p. 166.
12Ver [8], Cap. 6.

41


Figura 2.2: A trajetória C, uma superf́ıcie σ0 e o respectivo plano tangente Γ0. O vetor
tangente a C é ortogonal aos vetores de base que geram a distribuição. A condição de
integrabilidade é satisfeita se a figura for estendida a toda famı́lia σ e a toda congruência de
curvas K, do qual C é membro.

Há também a famı́lia σ, que sendo transversal a C obedece à condição p = dS. Assim,
temos de (2.87) o conjunto de EDP

Φz ≡ χi
z∂iS = 0, (2.88)

que são as condições para que os vetores Xz sejam tangentes à famı́lia σ. A condição de
integrabilidade de Euler é necessária e suficiente para que a base Xz possa ser completa.

Visto que a partir do plano Γ0 podemos encontrar qualquer outro membro da distribuição
a partir das equações (2.87), podemos tratar os vetores Xz como bases da distribuição Γ. De-
sejamos agora que essas condições de integrabilidade sejam estendidas para toda a congruência
K, do qual C é membro. Para tanto, os vetores base tangentes a σ tornam-se também campos
vetoriais e estes adquirem a qualidade de geradores de curvas no espaço. As curvas geradas
pela base da distribuição são definidas também por parâmetros, tantos quantos forem as
equações (2.88), no nosso caso consistindo em duas equações. As caracteŕısticas do sistema
(2.88) são dadas por

dxi = χi
zdu

z, (2.89)

em que u1 e u2 são os parâmetros mencionados. Se as caracteŕısticas consistirem em um
conjunto completo de EDT, e este é o caso por construção, as curvas geradas pelos vetores de

42


base da distribuição permanecem sempre sobre uma superf́ıcie de σ. Isto também significa
que a derivada de Lie LXy(Xz) é um vetor que permanece em σ0. Assim, este sistema obedece
à condição

[Xy,Xz] ⊂ Γ. (2.90)

Portanto o comutador de Lie entre dois vetores da distribuição é também um vetor perten-
cente a Γ. Dizemos que este sistema está em involução. Assim, a condição necessária e
suficiente para que as caracteŕısticas consistam em um sistema completo é a involução da
distribuição, e esta é também a condição para que a congruência K e a famı́lia σ sejam
transversais. Esta condição é conhecida como o Teorema de Frobenius13.

A estensão para sistemas dinâmicos em espaços de ordem geral é imediata. No formalismo
de HJ, as equações (2.88):

χi
z∂iS = 0 (2.91)

são os v́ınculos da teoria no espaço de fase, e estas estão ligadas ao conjunto de caracteŕısticas

dξa = χa
zdq

z. (2.92)

O ı́ndice z adquire então o conjunto de valores do número de v́ınculos existentes. A integra-
bilidade exige que o comutador de Lie dos campos vetoriais presentes em (2.92) obedeçam à
equação

[Xx,Xy]S = C z
xy Xz(S) . (2.93)

Ou seja, esses campos devem obedecer a uma álgebra de Lie.
Estamos interessados no caso em que χa

z = {ξa,Φz}, e então podemos escrever

Xz(S) = {ξa,Φz}∂aS = {S,Φz}, (2.94)

em que usamos (2.83). Assim,

[Xx,Xy]S = XxXy(S)−XyXx(S)
= Xx{S,Φy} −Xy{S,Φx}
= {{S,Φy},Φx} − {{S,Φx},Φy}
= {{S,Φy},Φx}+ {{Φy, S},Φx}+ {{Φx,Φy}, S} ,

ou seja,

[Xx,Xy]S = {{Φx,Φy}, S} . (2.95)

As condições de integrabilidade vêm a ser

{{Φx,Φy}, S} = C z
xy Xz(S) = C z

xy {S,Φz} = − {C z
xy Φz, S}, (2.96)

13Ver [8], Sec. 6.1d.

43


ou,

{Φx,Φy} = − C z
xy Φz = 0. (2.97)

Tomando a diferencial dos v́ınculos e usando as equações (2.82),

dΦx = {Φx,Φy}dqy. (2.98)

Para que o sistema de equações (2.82) seja completamente integrável devemos exigir, por fim,
que

dΦx = 0. (2.99)

Portanto, encontramos as condições suficientes para que o sistema de EDP de HJ seja
integrável completamente e, por conseqüência, essas são as mesmas condições que garantem
a existência de uma famı́lia de superf́ıcies transversa à trajetória do sistema. Vimos da
comparação com o caso em R3 que se justifica o fato de as coordenadas ligadas à parte não
inverśıvel da Hessiana serem utilizadas como parâmetros. O próximo passo é exigir a validade
de (2.99) para todos os v́ınculos e verificar as conseqüências dessa imposição na dinâmica em
T∗Qm.

2.5 Equações de Movimento

Não há razão para esperar que todo sistema satisfaça (2.99) identicamente, ou seja, que os
PP dos v́ınculos sejam nulos. Então as condições de integrabilidade estabelecem na verdade
uma relação de dependência entre os parâmetros ligados à parte não inverśıvel da Hessiana.
Isto pode ser visto explicitamente se fizermos uma escolha de parâmetro: vamos separar
o tempo dos demais parâmetros e definir os ı́ndices {x′, y′, z′} = {m + 1, . . . , n}. Assim a
condição de integrabilidade nos leva ao sistema de equaçõesdΦx′ = {Φx′ ,Φy}dqy = {Φx′ ,Φ0}dt+ {Φx′ ,Φy′}dqy′

= 0,

dΦ0 = {Φ0,Φy}dqy = {Φ0,Φy′}dqy′
= 0.

(2.100)

A partir da primeira condição de (2.100) temos

{Φx′ ,Φy′}dqy′
= −{Φx′ ,Φ0}dt. (2.101)

Note que esta escolha ressalta uma vez mais o caráter diferenciado do tempo com relação aos
demais parâmetros, assim como do v́ınculo Φ0 com relação aos Φx′ . Em uma representação
matricial das equações (2.96), podemos definir a matriz M cujos elementos são dados por

Mx′y′ = {Φx′ ,Φy′}. (2.102)

44


2.5.1 Caso Regular

Se M for regular, ou seja, det(M) 6= 0, existe uma matriz M−1 inversa de M e assim a
condição (2.101) pode ser reescrita:

dqy′
= −(M−1)y′x′{Φx′ ,Φ0}dt. (2.103)

Note que a segunda condição de integrabilidade, dΦ0 = 0, é identicamente satisfeita se
M for regular, com a ajuda de (2.103):

dΦ0 = {Φ0,Φy′}dqy′
= −{Φ0,Φy′}(M−1)y′x′{Φx′ ,Φ0}dt, (2.104)

em que M−1 é antissimétrica e está contráıda com a quantidade simétrica em x′ e y′,
{Φ0,Φy′}{Φx′ ,Φ0}.

As condições de integrabilidade reduzem-se, portanto, à condição (2.103) para det(M) 6=
0. Voltemos nossa atenção para as equações de movimento

dξa = {ξa,Φy}dqy = {ξa,Φ0}dt+ {ξa,Φy′}dqy′
. (2.105)

Usando a condição (2.103),

dξa =
(
{ξa,Φ0} − {ξa,Φy′}(M−1)y′x′{Φx′ ,Φ0}

)
dt. (2.106)

Vamos analisar a diferencial de uma função dinâmica F (ξα):

dF = {F,Φy}dqy = {F,Φ0}dt+ {F,Φy′}dqy′
. (2.107)

Com (2.103),

dF =
(
{F,Φ0} − {F,Φy′}(M−1)y′x′{Φx′ ,Φ0}

)
dt. (2.108)

É evidente em (2.108) a existência de uma estrutura. Vamos chamá-la de Parênteses
Generalizados (PG) e defińı-la por

{F,G}∗ ≡ {F,G} − {F,Φy′}(M−1)y′x′{Φx′ , G}. (2.109)

A evolução dinâmica pode então ser escrita pelo PG:

dF = {F,Φ0}∗dt. (2.110)

Especificamente as equações de movimento podem ser escritas por

dξa = {ξa,Φ0}∗dt. (2.111)

45


2.5.2 Caso Singular

No caso mais geral em que M é singular, as condições de integrabilidade não são satisfeitas
pelo conjunto de v́ınculos estabelecido pela Lagrangiana. Ou seja, os colchetes de Lie dos
campos vetoriais não serão combinações dos campos. Se esta situação ocorrer, devemos
procurar por um espaço no qual as equações de movimento sejam completamente integráveis.
Se não for posśıvel encontrar este espaço, estaremos lidando com um sistema não integrável.

Neste trabalho desejamos que os sistemas sejam integráveis. Assim admitiremos a exis-
tência de uma submatriz de M que seja inverśıvel, ou seja, trabalharemos com a hipótese de
que M tenha um posto diferente de zero. Vamos em primeiro lugar relembrar o conjunto de
ı́ndices que usamos até agora e definir um novo conjunto, referente às partes inverśıvel e não
inverśıvel de M : 

{α, β, γ, . . .} = {0, . . . , n}

{i, j, k} = {1, . . . , n}

{a, b, c} = {1, . . . ,m}

{x, y, z} = {0,m+ 1, . . . , n}

{x′, y′, z′} = {m+ 1, . . . , n}

{a′, b′, c′} = {m+ 1, . . . ,m+ p}

{x′′, y′′, z′′} = {m+ p+ 1, . . . , n}

{α′, β′, γ′} = {0,m+ p+ 1, . . . , n},

em que p é o posto de M . Assim podemos escrever (2.101) por

Mx′y′dqy′
= −{Φx′ ,Φ0}dt (2.112)

ou,

Mx′a′dqa′
+Mx′y′′dqy′′

= −{Φx′ ,Φ0}dt. (2.113)

Dois conjuntos de equações podem ser obtidos de (2.113). O primeiro,

Mb′a′dqa′
+Mb′y′′dqy′′

= −{Φb′ ,Φ0}dt. (2.114)

Mb′a′dqa′
= −Mb′y′′dqy′′ − {Φb′ ,Φ0}dt
= −{Φb′ ,Φy′′}dqy′′ − {Φb′ ,Φ0}dt
= −{Φb′ ,Φα′}dqα′

.

Com a inversibilidade de (Ma′b′), temos

dqa′
= −(M−1)a′b′{Φb′ ,Φα′}dqα′

. (2.115)

A partir das equações caracteŕısticas obtemos

46


dξa = {ξa,Φy}dqy

= {ξa,Φ0}dt+ {ξa,Φy′}dqy′

= {ξa,Φ0}dt+ {ξa,Φy′′}dqy′′
+ {ξa,Φa′}dqa′

= {ξa,Φα′}dqα′
+ {ξa,Φa′}dqa′ ←− usando (2.110),

=
(
{ξa,Φα′} − {ξa,Φa′}(M−1)a′b′{Φb′ ,Φα′}

)
dqα′

,

ou,

dξa = {ξa,Φα′}∗dqα′
, (2.116)

com novos PG definidos por

{F,G}∗ = {F,G} − {F,Φa′}(M−1)a′b′{Φb′ , G}. (2.117)

Portanto, a evolução temporal de F pode ser escrita por

dF = {F,Φα′}∗dqα′
. (2.118)

O segundo conjunto de (2.113) consiste nas equações

Mx′′a′dqa′
+Mx′′y′′dqy′′

= −{Φx′′ ,Φ0}dt. (2.119)

com algumas operações:

Mx′′a′dqa′
= −Mx′′y′′dqy′′ − {Φx′′ ,Φ0}dt
= −{Φx′′ ,Φy′′}dqy′′ − {Φx′′ ,Φ0}dt
= −{Φx′′ ,Φα′}dqα′

.

No lado direito introduziremos (2.115) e o fato de que Mx′′a′ = {Φx′′ ,Φa′}:

{Φx′′ ,Φa′}(M−1)a′b′{Φb′ ,Φα′}dqα′
= {Φx′′ ,Φα′}dqα′

. (2.120)

A equação (2.120), dada a independência dos parâmetros qα′
, dá a condição para que o espaço

reduzido exista de fato. As condições de integrabilidade tornam-se assim,

{Φx′′ ,Φα′} = {Φx′′ ,Φa′}(M−1)a′b′{Φb′ ,Φα′}, (2.121)

ou, separando o tempo dos demais parâmetros:{Φx′′ ,Φ0} = {Φx′′ ,Φa′}(M−1)a′b′{Φb′ ,Φ0},

{Φx′′ ,Φy′′} = {Φx′′ ,Φa′}(M−1)a′b′{Φb′ ,Φy′′}.
(2.122)

A segunda equação de (2.122) mostra simplesmente a relação linear entre linhas e colu-
nas da parte não inverśıvel de M , ou seja, mostra que M é singular, o que a torna uma
identidade. No entanto a primeira equação tem conteúdo dinâmico. Ela fixa condições sobre
os parâmetros e seleciona quais são os graus de liberdade do sistema que não têm conteúdo
f́ısico.

47


2.6 O Espaço de Fase Generalizado

As equações caracteŕısticas nos dizem a prinćıpio quais são as variáveis dinâmicas do
sistema. Elas estabelecem uma separação no espaço de configuração através da separação das
variáveis com conteúdo dinâmico daquelas que seriam apenas parâmetros da teoria, ou seja,
existe um espaço Qm no qual as variáveis dinâmicas dependem de k = n+ 1−m parâmetros
qy. O espaço dos parâmetros é estabelecido pelo sistema de HJ. A relação entre as equações
caracteŕısticas e os v́ınculos mostra que Qm e o espaço dos parâmetros são complementares.
Vamos nos referir ao espaço dos parâmetros como o espaço complementar de Qm, ou seja,
CQk.

A estrutura das caracteŕısticas mostra que existe um espaço de fase que pode ser cons-
trúıdo a partir de Qm e sua estrutura simplética é aquela dos parênteses de Poisson. No
entanto esta estrutura não é aquela que dá a dinâmica do sistema. Existe, como vimos, um
outro espaço de fase relacionado a um outro setor de Qn, ao qual pertence Qm, e a estrutura
simplética deste espaço deve ser a dos parênteses generalizados que encontramos em (2.109)
e (2.117).

Mostra-se que a estrutura dos PG é antissimétrica, não degenerada e que obedece à
identidade de Jacobi, obedecendo portanto as condições para que a forma

ω∗(XF , XG) = {F,G}∗

defina uma estrutura simplética, existindo por conseqüência um espaço de fase generalizado.
Neste espaço as equações de movimento são condições sobre as componentes do campo tan-
gente ∆, exatamente como vimos no caṕıtulo 1. Suas soluções serão curvas em T∗Q genera-
lizado.

Qual é a dimensão do espaço de fase generalizado? As equações caracteŕısticas não são as
únicas equações de movimento, pois vimos que as condições de integrabilidade sobre o espaço
complementar, CQk, resultam na descoberta de outras variáveis dinâmicas além daquelas
que repousam em Qm. O papel central das condições de integrabilidade é o de reduzir o
espaço complementar e revelar todas as variáveis dinâmicas livres do problema. Depois de
descobrir as demais coordenadas livres, dadas pelas equações (2.103) e (2.115), e no segundo
caso depois de descobrir as condições de redução de CQk, (2.122), a dimensão do espaço
generalizado fica evidente.

Para que a idéia torne-se mais clara, temos então as equações caracteŕısticas que valem
para o caso geral em que o posto de M é p ≤ k:

dξa = {ξa,Φα′}∗dqα′
, (2.123)

em conjunto com as equações

dξa′
= {ξa′

,Φα′}∗dqα′
, (2.124)

que foram generalizadas para o formalismo simplético a partir das equações (2.115). Estas
devem ser resolvidas sob a condição

48


{Φx′′ ,Φ0} = {Φx′′ ,Φa′}(M−1)a′b′{Φb′ ,Φ0}. (2.125)

O primeiro conjunto, (2.123), consiste em 2m equações e sua solução nos fornece 2m
variáveis dinâmicas. O segundo conjunto, (2.124), nos fornece 2p equações adicionais. Assim,
as variáveis dinâmicas do problema são em número de 2(m + p) e o espaço de configuração
das variáveis dinâmicas é Qm+p. Usaremos T∗Qm+p como śımbolo para o espaço de fase
generalizado.

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Referências Bibliográficas

[1] C. Caratheodory - Calculus of Variations and Partial Differential Equations of the First
Order - Part I - Holden Day, Inc (1967).

[2] C. Caratheodory - Calculus of Variations and Partial Differential Equations of the First
Order - Part II - Holden Day, Inc (1967).

[3] C. Lanczos - The Variational Principles of Mechanics - Fourth Edition, Dover Pub. Inc.
New York (1986).

[4] I. M. Gelfand, S. V. Fomin - Calculus of Variations - Dover Pub. Inc. New York (2000).

[5] J. V. José, E. J. Saletan - Classical Dynamics, A Contemporary Approach - Cambridge
Un. Press, (1998).

[6] P. A. M. Dirac - Lectures in Quantum Mechanics - Yeshiva University, New York (1964).

[7] L Faddeev, R. Jackiw, - Phys. Rev. Lett. 60, 1692 (1988).

[8] T. Frankel - The Geometry of Physics, an Introduction - Cambridge Un. Press (1997).

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Caṕıtulo 3

Ações de Primeira Ordem

3.1 Introdução

Ações de primeira ordem aparecem em muitas teorias na f́ısica, especialmente nas teorias
relativ́ısticas. Esses sistemas são descritos por Lagrangianas lineares nas velocidades

L(q, q′) = aα(q)q′α, (3.1)

em que {α} = {0, . . . , n} e q′ ≡ dq′/dτ com τ um parâmetro qualquer. Os coeficientes aα são
funções apenas das coordenadas de Qn+1 e reforçamos o fato de que o tempo nessa formulação
é inclúıdo como variável dinâmica. A integral fundamental desse sistema é simplesmente

I =
∫
aαq

′αdτ =
∫ ∫

. . .

∫
aαdq

α. (3.2)

É evidente que esta Lagrangiana é homogênea de primeira ordem em q′. Assim ela constitui
um sistema singular por natureza.

Os exemplos encontrados na natureza mostram que todos os campos conhecidos podem ser
transformados em ações de primeira ordem. Schwinger1 mostra que essa caracteŕıstica vem
da própria estrutura homogênea dessas Lagrangianas, ou seja, Lagrangianas homogêneas em
primeiro grau na variável q′ são redut́ıveis por transformações de equivalência a Lagrangianas
lineares nessas variáveis.

Como exemplos desses campos, podemos citar os campos fermiônicos2, que são