UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO” Campus de São José do Rio Preto Análise de Estabilidade de Sistemas Dinâmicos Híbridos e Descontínuos Modelados por Semigrupos Ismael da Silva Pena Dissertação de Mestrado Pós-Graduação em Matemática Rua Cristóvão Colombo, 2265 15054-000 - São José do Rio Preto - SP - Brasil Telefone: (017) 3221-2444 Fax: (017) 3221-2445 Ismael da Silva Pena Análise de Estabilidade de Sistemas Dinâmicos Híbridos e Descontínuos Modelados por Semigrupos Dissertação a ser apresentada no Instituto de Bi- ociências, Letras e Ciências Exatas da Univer- sidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Fi- lho”, Campus de São José do Rio Preto, São Paulo, para a obtenção do título de Mestre em Matemática. Orientador: Prof. Dr. Geraldo Nunes Silva Co-orientador: Prof. Dr. Luís Antônio Fernandes de Oliveira MESTRADO EM MATEMÁTICA INSTITUTO DE BIOCIÊNCIAS, LETRAS E CIÊNCIAS EXATAS UNESP - CAMPUS DE SÃO JOSÉ DO RIO PRETO São José do Rio Preto – SP 2008 Pena, Ismael da Silva. Análise de estabilidade de sistemas dinâmicos híbridos e descontínuos modelados por semigrupos / Ismael da Silva Pena. - São José do Rio Preto : [s.n.], 2008. 93 f. : il. ; 30 cm. Orientador: Geraldo Nunes Silva Co-orientador: Luís Antônio Fernandes de Oliveira Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista, Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas 1. Sistemas dinâmicos. 2. Sistemas dinâmicos descontínuos. 3. Semigrupos. 4. Análise de estabilidade. 5. Equações diferenciais com retardo. I. Silva, Geraldo Nunes. II. Oliveira, Luís Antônio Fernandes de. III. Universidade Estadual Paulista, Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas. IV. Título. CDU – 517.93 Ismael da Silva Pena Análise de Estabilidade de Sistemas Dinâmicos Híbridos e Descontínuos Modelados por Semigrupos Dissertação apresentada para obtenção do título de Mestre em Matemática, junto ao Programa de Pós- Graduação em Matemática do Instituto de Biociên- cias, Letras e Ciências Exatas da Universidade Esta- dual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Campus de São José do Rio Preto. BANCA EXAMINADORA Prof. Dr. Geraldo Nunes Silva UNESP - São José do Rio Preto Orientador Prof. Dr. Carlos Alberto Raposo da Cunha Departamento de Matemática - UFSJ Prof. Dr. Waldemar Donizete Bastos Departamento de Matemática - IBILCE - UNESP São José do Rio Preto, 26 de fevereiro de 2008. À minha namorada, Tássia, companheira em todos os momentos. Aos meus pais, Clarismindo e Benedita, cujos ensinamentos moldaram meu caráter. Aos meus irmãos, Luciano e Priscila. Ao professor Luís Antônio, por me mostrar o que minha inexperiência não permitia ver. Agradecimentos Ao meu orientador, Prof. Geraldo Nunes Silva, agradeço pela orientação, incentivo e so- bretudo confiança, ao me propiciar através das circunstâncias, a oportunidade de adquirir e valorizar maior independência. Ao meu co-orientador, Prof. Luís Antônio F. Oliveira, pelo apoio, paciência, confiança e incentivo desde a iniciação científica, sendo para mim exemplo na matemática e fora dela. À minha namorada, Tássia, fonte de inspiração e motivação, pelo companheirismo, incen- tivo, paciência, compreensão e pelo amor com que ouviu minhas dúvidas e ajudou nas várias decisões tomadas durante o mestrado. À minha família, pelo apoio incondicional, por compreender minha ausência constante e pelo amor dedicado em todas as fases da minha vida. Aos amigos, em especial aos de Carneirinho, pelo incentivo e pelos momentos de descon- tração que me ajudaram a renovar o ânimo. Aos colegas de mestrado, pela troca de informações, pela agradável convivência e pelo apoio sempre manifestado. Estes, por navegarem no mesmo barco, foram os mais solidários nas inúmeras discussões e confissões. Aos professores de graduação e de mestrado, que me ajudaram a construir conhecimento, além de contribuir cada um com uma fração, para a forma com que penso e escrevo academica- mente. Ao Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada, pelo suporte oferecido, e à todos os funcionários do DCCE e da seção de pós-graduação que de alguma maneira contribuíram para a realização deste trabalho. À CAPES, pelo auxílio financeiro. “Na maior parte das ciências, uma geração põe abaixo o que a outra construiu, e o que a outra estabeleceu a outra desfaz. Somente na Matemática é que cada geração constrói um novo andar sobre a antiga estrutura.” Hermann Hankel Resumo Sistemas dinâmicos híbridos se diferenciam por exibir simultaneamente variados tipos de com- portamento dinâmico (contínuo, discreto, eventos discretos) em diferentes partes do sistema. Neste trabalho foram estudados resultados de estabilidade no sentido de Lyapunov para siste- mas dinâmicos híbridos gerais, que utilizam uma noção de tempo generalizado, definido em um espaço métrico totalmente ordenado. Mostrou-se que estes sistemas podem ser imersos em sistemas dinâmicos descontínuos definidos em R+, de forma que sejam preservadas suas propriedades qualitativas. Como foco principal, estudou-se resultados de estabilidade para sis- temas dinâmicos descontínuos modelados por semigrupos de operadores, em que os estados do sistema pertencem à espaços de Banach. Neste caso, de forma alternativa à teoria clássica de estabilidade, os resultados não utilizam as usuais funções de Lyapunov, sendo portanto mais fáceis de se aplicar, tendo em vista a dificuldade em se encontrar tais funções para muitos sis- temas. Além disso, os resultados foram aplicados à uma classe de equações diferenciais com retardo. Palavras-chave: Sistemas dinâmicos híbridos; Sistemas dinâmicos descontínuos; Semigrupos; Estabilidade de Lyapunov; Equações diferenciais funcionais; Aplicação de imersão. Abstract Hybrid dynamical systems are characterized for showing simultaneously a variety of dy- namic behaviors (continuous, discrete, discrete events) in different parts of the System. This work discusses stability results in the Lyapunov sense for general hybrid dynamical systems that use a generalized notion of time, defined in a completely ordered metric space. It has been shown that these systems may be immersed in discontinuous dynamical systems defined in R+, so that their quality properties are preserved. As the main focus, it is studied stability results for discontinuous dynamical systems modeled by semigroup operators, in which the states belong to Banach spaces. In this case, an alternative to the classical theory of stability, the results do not make use of the usual Lyapunov functions, and therefore are easier to apply, in view of the difficulty in finding such functions for many systems. Furthermore, the results were applied to a class of time-delay discontinuous differential equations. Keywords: Hybrid dynamical systems; Discontinuous dynamical systems; Semigroups; Lya- punov stability; Functional differential equations; Embedding mapping. Sumário Lista de Figuras 1 Introdução p. 11 2 Sistemas Dinâmicos Híbridos p. 15 2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 15 2.2 Caracterizações Qualitativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 15 2.3 Imersão de um SDH em um Sistema Dinâmico Descontínuo . . . . . . . . . p. 19 2.4 Aplicações que Preservam Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 25 2.5 Teoremas de Estabilidade de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 32 3 Sistemas Dinâmicos Descontínuos Modelados por Semigrupos p. 46 3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 46 3.2 SDD Determinados por Semigrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 47 3.2.1 SDC Modelados por Semigrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 48 3.2.2 SDD Determinados por Co-semigrupos . . . . . . . . . . . . . . . . p. 48 3.2.3 SDD Determinados por Semigrupos Não-Lineares . . . . . . . . . . p. 49 3.3 Estabilidade de Semigrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 50 3.3.1 Caracterizações Qualitativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 50 3.3.2 Estabilidade de Co-semigrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 51 3.3.3 Estabilidade de Semigrupos Não-lineares . . . . . . . . . . . . . . . p. 54 4 Aplicações p. 62 4.1 Equações Diferenciais Ordinárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 62 4.2 Equações Diferenciais Funcionais com Retardo . . . . . . . . . . . . . . . . p. 64 4.2.1 Resultados Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 64 4.2.2 SDD Determinados por Semigrupos Não-Lineares . . . . . . . . . . p. 67 4.2.3 SDD Determinados por Co-semigrupos . . . . . . . . . . . . . . . . p. 69 5 Considerações Finais p. 72 Referências Bibliográficas p. 74 Apêndice A -- Semigrupos p. 77 A.1 A Equação Funcional de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 77 A.2 Teoria de Semigrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 79 A.3 Semigrupos Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 79 A.3.1 Semigrupos Fortemente Contínuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 80 A.4 Semigrupos Não-Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 84 Apêndice B -- Os Principais Teoremas de Lyapunov p. 87 Lista de Figuras 2.1 Representação gráfica de T para o Exemplo 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 19 2.2 Representação da aplicação de imersão de um deslocamento. . . . . . . . . . . . . p. 20 2.3 Representação gráfica do espaço tempo na imersão do SDH para o Exemplo 2.2. . . p. 25 11 1 Introdução Neste trabalho, estudamos resultados de estabilidade para sistemas dinâmicos híbridos e sistemas dinâmicos descontínuos modelados por semigrupos de operadores. No primeiro caso, os resultados são abordados através de aplicações que preservam estabilidade (ou funções de Lyapunov); no segundo, os resultados tomam como base a teoria de semigrupos e não envolvem as usuais funções de Lyapunov. Os resultados são bastante abrangentes e podem considerar sistemas de dimensão finita e infinita; para exemplificar, aplicamos os resultados a classes de equações diferenciais com retardo lineares e não-lineares. A análise qualitativa de sistemas dinâmicos tem sido objeto de estudos há muitos anos e apresenta resultados consistentes e muito utilizados em várias áreas da ciência. Contudo, com o avanço da tecnologia, tem-se evidenciado o aparecimento de sistemas dinâmicos com elevado grau de complexidade, cujos tratamentos diferem dos processos tradicionais. Tais sis- temas se diferenciam por exibir simultaneamente variados tipos de comportamento dinâmico (contínuo, discreto, eventos discretos) em diferentes partes do sistema, envolvendo, portanto, diferentes noções de "tempo", de tal forma que a descrição do sistema pode envolver um misto de equações, como equações diferencias ordinárias, equações diferenciais funcionais, equações integro-diferenciais de Volterra e assim por diante. Sistemas com esta característica são conhe- cidos como sistemas dinâmicos híbridos (trabalhos como (1, 2, 3) abordam esse conceito de forma específica). As pesquisas envolvendo estes sistemas motivaram a publicação de vários trabalhos em que a escolha do modelo do sistema híbrido depende do objetivo da análise. Sendo assim, os resultados apresentados referem-se a modelos específicos destinados a aplicações es- pecíficas. Em particular citamos (4, 5, 6, 7, 8, 9, 10). Recentemente, com o intuito de tornar mais ampla a análise qualitativa destes sistemas, alguns autores desenvolveram um modelo para sistemas dinâmicos híbridos gerais, utilizando uma noção de tempo generalizado, definido em um espaço métrico totalmente ordenado. Este conceito foi inicialmente abordado em (11, 12), e posteriormente foram publicados vários tra- balhos que tratam da análise qualitativa desses sistemas, como (13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20). Para esse novo modelo, utiliza-se também o conceito de aplicações que preservam estabilidade, 1 Introdução 12 no lugar das funções de Lyapunov, na análise qualitativa dos sistemas. Dentre os trabalhos pi- oneiros que abordam esse conceito destacamos (21, 22, 23). Destacam-se também os trabalhos (24, 25), que reúnem vários dos trabalhos anteriores e expõem os resultados obtidos. Os trabalhos citados anteriormente (em particular (12, 16, 18)) mostram que sistemas di- nâmicos híbridos definidos em um espaço tempo generalizado podem ser imersos em sistemas definidos em R +, com deslocamentos que geralmente são descontínuos com relação ao tempo. Neste contexto, a análise de estabilidade de sistemas dinâmicos descontínuos era inicialmente tratada para sistemas de dimensão finita, modelados por equações diferenciais ordinárias. A abordagem destes sistemas em espaços métricos com dimensão infinita foi estabelecida pe- los trabalhos citados anteriormente (em particular (24, 25)). Ainda assim, considerando-se as aplicações, algumas vezes os resultados obtidos necessitavam de uma análise adicional, mais específica. Nesse sentido, surgiram recentemente dois trabalhos que consideram a análise de es- tabilidade para sistemas dinâmicos descontínuos de dimensão infinita modelados por equações diferencias com retardo,(26), e semigrupos lineares e não-lineares, (27). Posteriormente, em (28), os autores apresentaram resultados de estabilidade para sistemas dinâmicos descontínuos de dimensão infinita determinados por problemas abstratos de Cauchy em espaços de Banach. Reunindo os resultados anteriores, em (29) os autores apresentam resultados de estabilidade para sistemas dinâmicos contínuos, discretos e descontínuos, mostrando que os resultados clás- sicos para sistemas dinâmicos contínuos podem ser obtidos dos resultados para sistemas des- contínuos, observando assim que os resultados obtidos em (11, 18) são mais gerais do que se esperava. Apresentamos agora uma breve descrição do trabalho. O trabalho está dividido em cinco capítulos e dois apêndices. No Capítulo 2 tratamos da teoria de sistemas dinâmicos híbridos e dos resultados de estabilidade de Lyapunov. O capítulo está dividido em cinco seções. Na Seção 2.1, fazemos uma breve introdução citando trabalhos relevantes da área; na Seção 2.2, definimos sistemas dinâmicos híbridos em espaços métricos equivalentes fazendo uso de um conceito de tempo generalizado, e apresentamos as noções de estabilidade no sentido de Lya- punov, sendo que as definições de estabilidade são dadas com relação a conjuntos invariantes; na Seção 2.3, fazemos uma discussão da teoria que mostra que todo sistema dinâmico híbrido pode ser imerso em um sistema dinâmico descontínuo definido em R+ através de uma aplica- ção de imersão adequada, no sentido de que eles podem ser comparados e de forma que esta imersão preserve as propriedades qualitativas do sistema; na Seção 2.4, apresentamos uma teo- ria alternativa para a análise qualitativa de sistemas dinâmicos híbridos e descontínuos, que faz uso das aplicações que preservam a estabilidade do sistema, de forma que estudo qualitativo possa se dar no contexto da teoria da comparação. Tais aplicações generalizam as funções de 1 Introdução 13 Lyapunov, e recebem este nome por estabelecer a equivalência entre as propriedades qualitati- vas de conjuntos invariantes de sistemas distintos, possibilitando concluir sobre a estabilidade do conjunto invariante de um sistema desde que se conheça previamente as propriedades qua- litativas do outro; na Seção 2.5, estabelecemos os principais resultados do capítulo, no que se refere a estabilidade de conjuntos invariantes. Os teoremas derivam dos resultados existentes para sistemas de tempo contínuo, porém são mais abrangentes que estes, uma vez que conside- ram as informações nos pontos de descontinuidade do sistema, exigindo que sejam satisfeitas condições menos restritivas, podendo ser aplicados a sistemas de dimensão finita e infinita. São apresentados quatro teoremas que fornecem condições suficientes para invariância, estabilidade uniforme, estabilidade uniforme assintótica, estabilidade exponencial e instabilidade. No Capítulo 2 os resultados apresentados fazem uso das funções de Lyapunov no estudo da estabilidade. A desvantagem desse método é que nem sempre é possível, com um esforço aceitável, encontrar funções desse tipo para determinados sistemas. No entanto, para uma classe de sistemas em que os deslocamentos determinam semigrupos, é possível estabelecer resultados que não fazem uso das funções de Lyapunov, mas são amparados pela teoria de semigrupos. Portanto, no Capítulo 3, nosso objetivo foi estudar os resultados para esta classe. O capítulo está dividido em três seções; na Seção 3.1, fazemos uma introdução e damos uma idéia geral do tipo de sistemas dinâmicos descontínuos que estamos interessados. Estes sistemas são obtidos através de uma família de sistemas determinados por problemas abstratos de Cauchy em um espaço de Banach X ; na Seção 3.2, definimos os casos particulares de SDD determinados por semigrupos lineares e não-lineares, para os quais são estudados os teoremas de estabilidade; na Seção 3.3, apresentamos os principais resultados do capítulo, considerando os sistemas dados na Seção 3.2, e estabelecemos resultados de estabilidade para as soluções triviais dos sistemas que não fazem uso das funções de Lyapunov e podem ser aplicados à uma grande classe de sistemas de dimensão finita e infinita. No Capítulo 4, aplicamos os resultados da Seção 3.2 para uma classe de equações dife- renciais ordinárias e para equações diferenciais funcionais com retardo lineares e não-lineares, desde que estas classes determinam sistemas em que os deslocamentos geram semigrupos de operadores. No Capítulo 5 discutimos brevemente os conceitos e resultados abordados no trabalho e apresentamos algumas sugestões de trabalhos futuros. Como forma de complementação, no Apêndice A apresentamos aspectos básicos da teoria de semigrupos necessários ao desenvolvimento do trabalho. Neste apêndice, fizemos uma in- trodução sobre o desenvolvimento de semigrupos e apresentamos, sem demonstrações, os prin- 1 Introdução 14 cipais resultados desta teoria. No Apêndice B, enunciamos novamente os teoremas principais de Lyapunov, desta vez demonstrando-os de forma direta a partir das definições de estabilidade, desde que, no Capítulo 2, as demonstrações destes teoremas são feitas por meio de sistemas de comparação adequados, ou seja, através da teoria de comparação. O processo é interessante pois ajuda a elucidar os conceitos e definições apresentados no início do Capítulo 2. Por todo o trabalho falamos de sistemas dinâmicos de dimensão finita e infinita, bem como sistemas dinâmicos contínuos (SDC) e sistemas dinâmicos descontínuos (SDD). Nesse sentido, um sistema possui dimensão finita se a dimensão do espaço estado for finita, caso contrário, o sistema possui dimensão infinita. Dizemos que o sistema dinâmico é contínuo quando todos os deslocamentos são contínuos com relação ao tempo; quando algum dos deslocamentos é descontínuo com relação ao tempo, temos um sistema dinâmico descontínuo. À medida que se fez necessário a notação foi definida ao longo do trabalho. Para facilitar a leitura, todavia, apresentamos aqui a notação mais empregada. Para este trabalho R denota o conjunto dos números reais, R+ o conjunto dos números reais não-negativos, N o conjunto dos inteiros não-negativos. R n denota o espaço n-dimensional e se x ∈R n, então xT = (x1,x2, ...,xn) denota a transposta de x. Denotamos por R n×m o conjunto das matrizes reais n×m, e se B = [bi, j]n×m ∈ R n×m, então BT denota a transposta de B. Denotamos um espaço métrico X com métrica d por (X ,d), e por d(a,M) a distância de um elemento a ∈ X ao subconjunto M ⊂ X . Dados os conjuntos X e Y , denotamos por C[X ,Y ] o conjunto de todas as aplicações contí- nuas de X para Y , e por Ck[X ,Y ] o conjunto das aplicações com derivadas contínuas de ordem k. Denotamos por f : U →W a aplicação de U para W e por {U →W} o conjunto de todas as aplicações de U para W . Seja ψ : [0,r1]→R + (respectivamente ψ : R +→R +). Dizemos que a função ψ ∈C[[0,r1]→ R +] (respectivamente ψ ∈C[R+ → R +]) pertence à classe K (ou seja, ψ ∈ K), se ψ(0) = 0 e se ψ é estritamente crescente em [0,r1] (respectivamente, em R +). Se ψ :→ R +, se ψ ∈ K e limr→∞(r) = ∞, então dizemos que ψ pertence à classe KR. Dadas duas funções f ,g∈C[R,R], dizemos que f (r) = o(g(r)) quando r→ 0, se limr→0 f (r) g(r) = 0. Dada uma função x : R→ X , denotamos x(τ−) := limθ→0+ x(τ−θ). 15 2 Sistemas Dinâmicos Híbridos 2.1 Introdução Na introdução do trabalho comentamos sobre o modelo geral de sistemas dinâmicos hí- bridos que vem sendo estudado. Dedicamos este capítulo ao estudo destes sistemas, mais es- pecificamente ao estudo da teoria de estabilidade para conjuntos invariantes em tais sistemas. No entanto, mostraremos nas seções seguintes que estes sistemas podem ser abordados como sistemas dinâmicos descontínuos definidos em R e, a partir daí, desenvolveremos o restante do trabalho considerando sistemas do último tipo. Como uma primeira etapa do trabalho, nosso objetivo neste capítulo é fazer um estudo ge- neralizado. Assim, a teoria desenvolvida aqui tem um caráter geral e reúne algumas tendências recentes em análise qualitativa de estabilidade apresentadas em (11, 12, 16, 18, 25, 24, 30). Em uma segunda etapa, consideraremos no capítulo seguinte o caso especial em que os sistemas dinâmicos descontínuos são modelados por semigrupos de operadores, estabelecendo assim re- sultados mais particulares da teoria. 2.2 Caracterizações Qualitativas Nesta seção, definimos sistemas dinâmicos híbridos em espaços métricos equivalentes fa- zendo uso de um conceito de tempo generalizado e apresentamos as noções de estabilidade no sentido de Lyapunov, sendo que as definições de estabilidade são dadas com relação a conjuntos invariantes. Antes de definir um sistema dinâmico híbrido, precisamos definir os conceitos de espaço tempo, espaços métricos equivalentes e deslocamento. Definição 2.1. Um espaço métrico (T,ρ) é chamado um espaço tempo se, (i) T é completamente ordenado com relação de ordem ≺; (ii) T possui um elemento tmin ∈ T , ou seja, todo t ∈ T satisfaz tmin ≺ t; 2.2 Caracterizações Qualitativas 16 (iii) Para todo t1, t2, t3 ∈ T tal que t1 ≺ t2 ≺ t3, tem-se ρ(t1, t3) = ρ(t1, t2)+ρ(t2, t3); (iv) T é ilimitado superiormente, equivalentemente, para todo M > 0, existe t ∈ T tal que ρ(tmin, t) > M. Quando estiver claro no contexto, denotaremos por T , no lugar de (T,ρ), o espaço tempo. Definição 2.2. Dois espaços tempo T e T̂ são equivalentes se existe uma aplicação isométrica h : T → T̂ , tal que h preserva as relações de ordem em T e T̂ . Neste caso diz-se que T e T̂ são equivalentes com respeito a h. Para simplificar, usaremos a notação T ∼ T̂ para dizer que T e T̂ são equivalentes. Da mesma forma, quando To ⊂ T, T̂o ⊂ T̂ , usaremos a notação (T,To)∼ (T̂ , T̂o) para dizer que T e T̂ são equivalentes (com respeito a h), e também To e T̂o são equivalentes (com respeito a hTo , a restrição de h à To), sendo que To denotará um conjunto de tempos iniciais. Definição 2.3. Sejam (X ,d) um espaço métrico e A ⊂ X. Seja (T,ρ) um espaço tempo com To ⊂ T . Dados a ∈ A, to ∈ To, a aplicação p̃(·,a, to) : T̃ p̃ a,to → X é chamada um deslocamento em T se (i) T̃ p̃ a,to é um subconjunto de um espaço tempo T̃ e (T̃ , T̃ p̃ a,to) é equivalente a (T,T p̃ a,to) com respeito a h : T → T̃ , sendo que T p̃ a,to = {t ∈ T : to � t, ρ(t, to) < lp̃} é um subconjunto de T e lp̃ > 0 é finito ou infinito, dependendo de p̃(·,a, to); (ii) p̃(h(to),a, to) = a. Podemos agora definir o conceito de sistema dinâmico híbrido. Definição 2.4. Uma família de deslocamentos em T é definida como sendo o subconjunto S⊂{p̃(·,a, to)∈Λ : p̃(h(to),a, to) = a}, sendo Λ =∪(a,to)∈A×To {T̃ p̃ a,to → X}, p̃ um deslocamento com condição inicial (a, to) e domínio T̃ p̃ a,to e sendo h unicamente determinada pelo desloca- mento específico p̃(·,a, to). Nós denominamos a quíntupla {T,X ,A,S,To} um sistema dinâmico híbrido (SDH). Resguardadas as devidas considerações, usaremos T̃a,to no lugar de T̃ p̃ a,to , embora para des- locamentos p̃1(·,a, to) diferente de p̃2(·,a, to), possamos ter T̃ p̃1 a,to diferente de T̃ p̃2 a,to . Observamos ainda que o deslocamento p̃(·,a, to) : T̃a,to → X está definido em T̃a,to ⊂ T̃ , e que o espaço tempo T̃ depende do deslocamento particular p̃(·,a, to) e pode variar com deslocamentos diferentes. Porém, cada T̃ é equivalente a um espaço tempo T pré-especificado, sendo assim, qualquer deslocamento p̃(·,a, to) : T̃a,to → X pode ser tratado como uma aplicação p(·,a, to) : Ta,to → X definida em Ta,to ⊂ T . 2.2 Caracterizações Qualitativas 17 Definição 2.5. Seja {T,X ,A,S,To} um SDH, dizemos que o conjunto M ⊂ A é invariante com respeito ao sistema S, se a ∈ M implica p(·,a, to) ∈ M para todo t ∈ Ta,to , todo to ∈ To e todo p(·,a, to) ∈ S. Por simplicidade, usaremos apenas "M é um conjunto invariante de S", ou então "(S,M) é invariante", no lugar de "o conjunto M é invariante com respeito a S". A mesma terminologia será adotada nos conceitos de estabilidade. Definição 2.6. Seja {T,X ,A,S,To} um SDH, dizemos que xo ∈ A é um equilíbrio (ou ponto de equilíbrio) do sistema se o conjunto {xo} é invariante com respeito a S. Definição 2.7. Seja {T,X ,A,S,To} um SDH, dizemos que (S,M) é estável se para todo ε > 0 e todo to ∈ To, existe um δ = δ (ε, to) > 0 tal que d(p(t,a, to),M) < ε para todo t ∈ Ta,to e todo p(·,a, to)∈ S, sempre que d(a,M) < δ . Quando δ = δ (ε), dizemos que (S,M) é uniformemente estável. Definição 2.8. Seja {T,X ,A,S,To} um SDH, dizemos que (S,M) é assintoticamente estável se (S,M) é estável e atrativo, ou seja, é estável e para qualquer to ∈ To, existe um η = η(to) > 0 tal que limt→∞ d(p(t,a, to),M) = 0 para todo p(·,a, to) ∈ S, sempre que d(a,M) < η . Observação 2.1. O conjunto dos pontos a ∈ A que satisfazem a definição acima é chamado Domínio de Atração de (S,M) para o tempo to. Definição 2.9. Seja {T,X ,A,S,To} um SDH, dizemos que (S,M) é uniformemente assintotica- mente estável se (S,M) é uniformemente estável e uniformemente atrativo, ou seja, é uniforme- mente estável e existe um δ > 0 (independente de to) e para todo ε > 0 existe um τ = τ(ε) > 0 (independente de to) tal que d(p(t,a, to),M) < ε para todo t ∈ {t ∈ Ta,to : ρ(t, to) ≥ τ} e todo p(·,a, to) ∈ S, sempre que d(a,M) < δ . Observação 2.2. O conjunto dos pontos a ∈ A que satisfazem a definição acima é chamado Domínio de Atração de (S,M). Definição 2.10. Seja {T,X ,A,S,To} um SDH, dizemos que (S,M) é exponencialmente está- vel se existe um α > 0, e para todo ε > 0 e todo to ∈ To, existe um δ = δ (ε, to) > 0 tal que d(p(t,a, to),M) < εe−α.ρ(t,to), para todo t ∈ Ta,to e todo p(·,a, to) ∈ S, sempre que d(a,M) < δ . Por todo este capítulo, adotaremos os seguintes conceitos de instabilidade. Definição 2.11. Seja {T,X ,A,S,To} um SDH, dizemos que (S,M) é instável se para todo δ > 0, existe um p(·,a, to) ∈ S, com to independente de δ , e um t1 ∈ Ta,to , tal que d(a,M) < δ e d(p(t1,a, to),M)≥ εo, para algum εo > 0 que é independente de δ . 2.2 Caracterizações Qualitativas 18 Definiremos também o conceito de instabilidade completa, antes porém, necessitamos dos seguintes conceitos. Definição 2.12. Seja {T,X ,A,S,To} um SDH e seja M ⊂ A. Dizemos que o conjunto M é próprio com respeito a S, se para todo δ > 0, existe um p(·,a, to) ∈ S com Ta,to = /0 e 0 < d(a,M) < δ . Definição 2.13. Um SDH {T,X1,A1,S1,To} é chamado um subsistema de um SDH {T,X ,A,S,To} se X1 ⊂ X, A1 ⊂ A e S1 ⊂ S. Definição 2.14. Seja {T,X ,A,S,To} um SDH, dizemos que (S,M) é completamente instável se para todo subsistema S̃ de S tal que M é próprio com respeito a S̃, (S̃,M) é instável. Exemplo 2.1. Os SDH da forma como foram definidos aqui envolvem uma classe bastante ampla de sistemas. Para o caso de dimensão finita, o sistema a seguir pode ser usado para exemplificar os conceitos definidos anteriormente. Consideremos o sistema descrito por ẋ(t) = f (x(t))+Bu(k), k ≤ t < k +1 u(k +1) = Cu(k)+Dx(k), k ∈ N, } (2.1) sendo t ∈R+, x(t)∈R n, u(k)∈R m, f ∈C1[Rn,Rn], f (0) = 0, B∈R n×m, C∈R m×m e D∈R m×n. O sistema acima constitui um caso particular de SDH, em que o espaço tempo é dado por T := {(t,k) ∈ R 2 : t ≥ 0, k = [t]}, sendo que [t] denota a parte inteira de t. O espaço T é munido da métrica ρ , satisfazendo, para todo r1 = (t1,k1)∈ T , r2 = (t2,k2)∈ T , com ti ∈ [ki,ki + 1), i = 1,2, a propriedade ρ(r1,r2) = |t2− t1|. Além disso, T é comple- tamente ordenado, de forma que r1 ≺ r2 se, e somente se, t1 < t2. Neste caso temos To = {(k,k) ∈ R 2 : k ∈ N}, e os deslocamentos do sistema são da forma p(r) = [x(t)T ,u(k)T ]T , com r = (t,k) ∈ T . Além disso, o espaço estado é X = R n×R m e A⊂ X. Observamos ainda que este sistema pode ser visto como a interconexão de dois subsistemas, um regido por uma equação diferencial ordinária, definida em R + (tempo contínuo), e outro regido por uma equação de diferença ordinária, definido em N (tempo discreto). Mas o sistema inteiro está definido em T ⊂ R +×N. Esboçamos uma representação gráfica para o espaço T deste exemplo. 2.3 Imersão de um SDH em um Sistema Dinâmico Descontínuo 19 Figura 2.1: Representação gráfica de T para o Exemplo 2.1 2.3 Imersão de um SDH em um Sistema Dinâmico Descontí- nuo Existem algumas dificuldades em se trabalhar com sistemas dinâmicos híbridos com espaço tempo da forma como foi definido, como o fato de que estes sistemas em geral são complexos e envolvem convergência com relação ao tempo generalizado. No entanto, é sempre possível transformar um sistema desse tipo em outro com propriedades idênticas, definido em um sub- conjunto de R, de forma que seja facilitada sua análise e que se possa utilizar os resultados bem conhecidos para sistemas definidos em R. Esta transformação é feita, na verdade, por uma aplicação de imersão adequada, no sentido de que eles podem ser comparados e de forma que esta imersão preserve certas propriedades. Para isso, definimos a aplicação g : T → R+ tal que (i) g(tmin) = 0, sendo tmin o menor elemento em T ; (ii) g(t) = ρ(t, tmin) para t = tmin. Note que g é uma bijeção de T em R1 = g(T ). Além disso, para quaisquer t1, t2 ∈ T tais que t1 ≺ t2, tem-se ρ(t1, t2) = g(t2)−g(t1), uma vez que g(t2) = ρ(tmin, t2) = ρ(tmin, t1)+ρ(t1, t2) = g(t1)+ρ(t1, t2). 2.3 Imersão de um SDH em um Sistema Dinâmico Descontínuo 20 Antes de definirmos a imersão de um SDH, necessitamos definir a imersão de um desloca- mento. Definição 2.15. Sejam {T,X ,A,S,To} um SDH e x um elemento fixo de A, seja g : T → R + a aplicação de imersão definida anteriormente. Suponha que p(·,a, to) ∈ S é um deslocamento definido em Ta,to . Seja R + ro = {r ∈ R + : r ≥ ro} e seja p̃(·,a,ro) : R + ro → X uma função com as seguintes propriedades: (i) ro = g(to); (ii) p̃(r,a,ro) = p(g−1(r),a, to), se r ∈ R1 = g(T ); e (iii) p̃(r,a,ro) = x, se r /∈ R1. Chamamos o deslocamento p̃(·,a,ro) de imersão de p(·,a, to) de T para R + com respeito a x. Figura 2.2: Representação da aplicação de imersão de um deslocamento. Definição 2.16. Sejam {T,X ,A,S,To} um SDH e x um elemento fixo de A. O SDH {R+,X ,A, S̃,R+ o } é chamado a imersão de {T,X ,A,S,To} de T para X com respeito a x, sendo R + o = g(To) e S̃ = {p̃(·,a,ro) : p̃(·,a,ro) é a imersão de p(·,a, to) com respeito a x, p(·,a, to) ∈ S }. Observação 2.3. Através das definições anteriores é possível afirmar que todo SDH definido em tempo generalizado pode ser imerso em um SDH definido em tempo real, de forma que sejam preservadas as propriedades de estabilidade. Porém, o processo de imersão produz sistemas dinâmicos que em geral não são contínuos com respeito ao tempo. Sendo assim, é interessante enxergar um SDH definido em tempo generalizado como sendo (pelo processo de imersão) um sistema dinâmico descontínuo (SDD) definido em tempo real. 2.3 Imersão de um SDH em um Sistema Dinâmico Descontínuo 21 Observação 2.4. As definições de estabilidade apresentadas anteriormente para sistemas di- nâmicos híbridos são facilmente redefinidas para sistemas do tipo {R+,X ,A, S̃,R+ o }. Note que na definição de imersão de um deslocamento, se r /∈R1 = g(T ), tem-se p̃(r,a,ro) = x. Supondo então que x ∈ M, tem-se d(x,M) = 0. Com isso em mente é possível ver, por exemplo, que a definição de estabilidade do conjunto M para o SDH {T,X ,A,S,To} , pode ser redefinida da seguinte forma: "Considere o sistema {R+,X ,A, S̃,R+ o } , dizemos que (S̃,M) é estável se para todo ε > 0 e todo ro ∈ R + o , existe um δ = δ (ε,ro) > 0, tal que d(p̃(r,a,ro),M) < ε para todo r ∈ R + a,ro e todo p̃(·,a,ro) ∈ S̃, sempre que d(a,M) < δ ." O resultado a seguir formaliza as afirmações feitas nesta seção. Proposição 2.1. Considere o SDH {T,X ,A,S,To}, sejam M ⊂ A um subconjunto invariante para S e x um elemento fixo em M. Seja {R+,X ,A, S̃,R+ o } a imersão de {T,X ,A,S,To} de T para R + com respeito a x. Então M é também um subconjunto invariante para o sistema S̃, além disso (S,M) e (S̃,M) possuem propriedades de estabilidade idênticas. Demonstração: (i) Mostremos inicialmente que as invariâncias de (S,M) e (S̃,M) são equiva- lentes. Suponhamos que (S,M) é invariante, então dado a ∈M, temos que p(t,a, to) ∈M para todo t ∈ Ta,to , todo to ∈ To e todo p(·,a, to) ∈ S. Mas, para todo p̃(r,a,ro) ∈ S̃, temos p̃(r,a,ro) = { x, se r /∈ R1; p(g−1(r),a,g−1(ro)), se r ∈ R1. com r ∈ R + a,ro e ro ∈ R + o . Como x ∈M, segue que (S̃,M) é invariante. Agora suponha que (S̃,M) é invariante, então dado a ∈M, temos que p̃(r,a,ro) ∈M para todo r ∈ R + a,ro , todo ro ∈ R + o e todo p̃(·,a,ro) ∈ S̃. Uma vez que para todo p(t,a, to) ∈ S, temos p(t,a, to) = p̃(g(t),a,g(to)), segue que p(t,a, to) ∈M, ou seja, (S,M) é invariante. (ii) Mostremos agora que a estabilidade uniforme de (S,M) é equivalente à de (S̃,M). Supo- nhamos que (S,M) é uniformemente estável, por definição, para todo ε > 0 existe um δ (ε) > 0 tal que para todo to ∈ To, tem-se d(p(t,a, to),M) < ε sempre que d(a,M) < δ , para todo a ∈ A, todo t ∈ Ta,to e todo p(t,a, to) ∈ S. Desde que para todo p̃(r,a,ro) ∈ S̃, temos d(p̃(r,a,ro),M) = { 0, se r /∈ R1; d(p(g−1(r),a,g−1(ro)),M), se r ∈ R1, (2.2) com r ∈ R + a,ro e ro ∈ R + o , quando d(a,M) < δ , temos d(p̃(r,a,ro),M) = 0 < ε , se r /∈ R1, e 2.3 Imersão de um SDH em um Sistema Dinâmico Descontínuo 22 d(p̃(r,a,ro),M) = d(p(g−1(r),a,g−1(ro)),M) < ε , se r ∈R1, portanto (S̃,M) é uniformemente estável. Suponhamos agora que (S̃,M) é uniformemente estável, então para todo ε > 0 existe um δ (ε) > 0 tal que para todo ro ∈R + o , tem-se d(p̃(r,a,ro),M) < ε sempre que d(a,M) < δ , para todo a ∈ A, todo ro ∈R + o e todo p̃(·,a,ro)∈ S̃. Dessa forma, para todo p(t,a, to)∈ S tal que d(a,M) < δ , temos d(p(t,a, to),M) = d(p̃(g(t),a,g(to)),M) < ε . Portanto (S,M) é uniformemente estável. (iii) Provemos que a estabilidade assintótica uniforme de (S,M) é equivalente à de (S̃,M). Suponhamos que (S,M) é uniformemente assintoticamente estável, conseqüentemente (S,M) é uniformemente estável, e pelo que provamos anteriormente, (S̃,M) é também uniformemente estável. Além disso, existe um δ > 0 e para todo ε > 0 existe um τ = τ(ε) > 0 tal que d(p(t,a, to),M) < ε para todo t ∈ {t ∈ Ta,to : ρ(t, to) ≥ τ} e todo p(·,a, to) ∈ S, sempre que d(a,M) < δ , com a ∈ A. Agora, para todo p̃(r,a,ro) ∈ S̃ tal que d(a,M) < δ , temos que (2.2) vale, além disso, desde que r− ro = ρ(g−1(r),g−1(ro)) e ρ(t, to) ≥ τ , temos r− ro ≥ τ . Por- tanto, d(p̃(r,a,ro),M) < ε , para todo r ∈ {r ∈ R + o : r− ro ≥ τ}. Concluímos assim que (S̃,M) é uniformemente assintoticamente estável. Suponhamos agora que (S̃,M) é uniformemente assintoticamente estável, então (S̃,M) é uni- formemente estável, logo (S,M) é uniformemente estável, e mais, existe um δ > 0 e para todo ε > 0 existe um τ = τ(ε) > 0 tal que d(p̃(r,a,ro),M) < ε para todo r ∈ {r ∈R + o : r− ro ≥ τ} e todo p̃(r,a,ro) ∈ S, sempre que d(a,M) < δ , com a ∈ A. Dessa forma, para todo p(t,a, to) ∈ S tal que d(a,M) < δ , desde que r− ro ≥ τ implica ρ(t, to) = g(t)− g(to) = r− ro ≥ τ , temos d(p(t,a, to),M) = d(p̃(g(t),a,g(to)),M) < ε , para todo t ∈ {t ∈ Ta,to : ρ(t, to) ≥ τ}. Portanto (S,M) é uniformemente assintoticamente estável. (iv) Provemos ainda que a estabilidade exponencial de (S,M) é equivalente à de (S̃,M). Pri- meiramente, suponhamos que (S,M) é exponencialmente estável, então existe um α > 0, e para todo ε > 0 e todo to ∈ To, existe um δ = δ (ε, to) > 0 tal que d(p(t,a, to),M) < εe−α.ρ(t,to) para todo t ∈ Ta,to e todo p(·,a, to) ∈ S, sempre que d(a,M) < δ . Para todo p̃(r,a,ro) ∈ S̃ tal que d(a,M) < δ , temos que (2.2) vale, portanto d(p̃(r,a,ro),M) = d(p(g−1(r),a,g−1(ro)),M) < εe−α.ρ(t,to) = εe−α.(g(t)−g(to)) = εe−α.(r−ro), para todo r ∈ R + o . Logo (S̃,M) é exponencialmente estável. Agora, se (S̃,M) é exponencialmente estável, existe um α > 0, e para todo ε > 0 e todo ro ∈R + o , existe um δ = δ (ε,ro) > 0 tal que d(p̃(r,a,ro),M) < εe−α.(r−ro) para todo r ∈ R + o e todo 2.3 Imersão de um SDH em um Sistema Dinâmico Descontínuo 23 p̃(r,a,ro) ∈ S̃, sempre que d(a,M) < δ . Para todo p(t,a, to) ∈ S tal que d(a,M) < δ , temos d(p(t,a, to),M) = d(p̃(g(t),a,g(to)) < εe−α.(r−ro) = εe−α.(g(t)−g(to)) = εe−α.ρ(t,to), para todo t ∈ Ta,to . Portanto (S,M) é exponencialmente estável. � A demonstração acima é bastante repetitiva para os vários tipos de estabilidade, porém esse desenvolvimento ajuda a elucidar o processo de imersão. Daqui por diante, simplificaremos ainda mais a notação, haja vista a familiarização com os conceitos até aqui apresentados. Sem perda de generalidade, vamos supor que R + o = R +, T = To e S = S̃. Também omitiremos a referência a R + o , escrevendo {R+,X ,A,S} no lugar de {R+,X ,A,S,R+ o }. Exemplo 2.2. Já apresentamos um exemplo de SDH, observamos no entanto que muitos destes sistemas podem ser descritos por equações da forma ẋ(t) = f (x(t),u(τk)), τk ≤ t < τk+1, u(τk+1) = g(x(τ−k+1),u(τk)), k ∈ N, } (2.3) sendo t ∈R +, k ∈N, x(t)∈R n, u(τk)∈R m, f ,g ∈C1[Rn×R m,Rn] e E = {τo,τ1, ... : τo < τ1 < ...} um conjunto fechado, discreto e ilimitado. Para este sistema, supomos que f (0,0) = 0 e g(0,0) = 0, além disso lembramos que x(τ−) := limθ→0+ x(τ−θ). Para exemplificar o processo de imersão, consideremos o sistema de controle descrito por equações da forma ẋ(t) = Akx(t)+Bku(τk), τk ≤ t < τk+1, u(τk+1) = Cku(τk)+Dkx(τ−k+1), k ∈ N, } (2.4) sendo t ∈ R +, k ∈ N, x(t) ∈ R n, u(τk) ∈ R m e Ak, Bk, Ck, Dk matrizes reais de dimensões apropriadas. Assim definida, a equação (2.4) determina um SDH {T,X ,A,S,To} , para o qual X = R n×R m, T = {(t,τk) ∈ R 2 : τk ≤ t < τk+1, k ∈ N} e To = {(τk,τk) ∈ R 2 : k ∈ N}. Supondo A = X, as soluções de (2.4) determinam o conjunto S de deslocamentos p(r,a,ro), sendo r = (t,τk)∈ T ⊂R 2, τk ≤ t < τk+1, k ∈N , ro = (τko,τko), ko ∈N, e a = (x(τko) T ,u(τko) T )T . Dessa forma, os deslocamentos em S são da forma p(r,a,ro) = (x(t)T ,u(τk) T ). Observamos ainda que o conjunto T é munido da métrica ρ , satisfazendo, para todo r1 = (t1,τ1)∈ T , r2 = (t2,τ2)∈ T , 2.3 Imersão de um SDH em um Sistema Dinâmico Descontínuo 24 com ti ∈ [τki,τki+1), i = 1,2, a propriedade ρ(r1,r2) = |t2− t1|. Além disso, T é completamente ordenado, de forma que r1 ≺ r2 se, e somente se, t1 ≤ t2. Com a notação utilizada acima, usaremos uma aplicação para imergir o sistema deter- minado por (2.4) em um sistema dinâmico híbrido definido em R +. Para isso definimos a aplicação g(r) = ρ(r,rmin). Dessa forma, tomando rmin = (0,0) temos g(r) = ρ(r,rmin) = |t−0|= |t|. Os deslocamentos relativos ao novo sistema S̃ são então definidos por p̃(t) = (x̃(t)T , ũ(t)T )T , sendo x̃(t) = x(t), t ≥ τko ∈ N ũ(t) = u(τk), τk ≤ t < τk+1, k ≥ ko ∈ N então, x̃(t) = x̃(t−), t = τk ũ(t−) = u(τk), t = τk+1 dũ(t) dt = 0, τk ≤ t < τk+1, para todo k ≥ ko Denotamos y(t) = (x̃(t)T , ũ(t)T )T , assim o conjunto de deslocamentos S̃ pode ser determi- nado pelas soluções das equações diferenciais ẏ(t) = ( Ak Bk 0 0 ) y(t), τk ≤ t < τk+1, k ∈ N, y(t) = ( I 0 Dk Ck ) y(t−), t = τk+1. ⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭ (2.5) Portanto o SDH {R+,X ,A, S̃,R+ o } é uma imersão de {T,X ,A,S,To} de T para R+, sendo R + o = g(To). Fazendo Fk = ( Ak Bk 0 0 ) , Hk = ( I 0 Dk Ck ) , obtemos o sistema equivalente ẏ(t) = Fky(t), τk ≤ t < τk+1, y(t) = Hky(t−), t = τk+1, k ∈ N. } (2.6) Para ilustrar, apresentamos um esboço do gráfico do espaço tempo para este exemplo. Finalizando esta seção, lembramos que as descontinuidades dos sistemas que trabalharemos 2.4 Aplicações que Preservam Estabilidade 25 Figura 2.3: Representação gráfica do espaço tempo na imersão do SDH para o Exemplo 2.2. surgem de variadas formas, em particular, pelo processo de imersão do SDH. Para garantirmos resultados que sejam razoáveis, é necessário impor algumas restrições sobre estas descontinui- dades. Assim, suporemos neste trabalho que para um dado deslocamento p ∈ S, o conjunto dos pontos de descontinuidades é fechado, discreto e ilimitado e denotamos Ep = {τ p o ,τ p 1 , ... : 0≤ τ p o < τ p 1 < ...}. Quando Ep é idêntico para todo p ∈ S, denotamos E = {τo,τ1, ... : 0≤ τo < τ1 < ...}. 2.4 Aplicações que Preservam Estabilidade Na análise de sistemas dinâmicos, é comum o uso do Método Direto de Lyapunov, que faz uso de funções auxiliares chamadas funções de Lyapunov. Estas funções geralmente estão associadas ao conceito de energia ou distância generalizada, em que o estudo qualitativo de um sistema é feito analisando-se o comportamento destas funções ao longo dos deslocamentos deste sistema. Este método tem sido muito estudado e conta com uma vasta teoria desenvol- vida ao longo de muitos anos. Porém, no que diz respeito a sistemas dinâmicos híbridos ou descontínuos, a teoria apresentada envolve somente algumas classes especiais, sendo que um procedimento mais sistemático do estudo de estabilidade de sistemas dinâmicos híbridos ou 2.4 Aplicações que Preservam Estabilidade 26 descontínuos mais gerais surgiu recentemente em trabalhos como (11, 12, 13, 14, 16, 18). Nesta seção, apresentamos uma teoria alternativa para a análise qualitativa de SDH e SDD, que faz uso das aplicações que preservam a estabilidade do sistema, de forma que o estudo qualitativo possa se dar no contexto da teoria da comparação. Tais aplicações generalizam as funções de Lyapunov, e recebem este nome por estabelecer a equivalência entre as propriedades qualitativas de um conjunto invariante M1 associado ao sistema S1 e um conjunto M2 associado ao sistema S2. Sendo assim, supondo bem conhecidas as propriedades qualitativas de (S2,M2), é possível determinar as propriedades de (S1,M1). Os primeiros trabalhos envolvendo aplicações que preservam estabilidade foram desenvol- vidos por (21, 22). Para sistemas dinâmicos do tipo que estão sendo tratados aqui, essas aplica- ções foram exploradas de forma inovadora em trabalhos como (19, 20, 25, 24, 30). Reunimos então os principais resultados sobre estas aplicações que serão utilizados como suporte nos te- oremas de estabilidade de Lyapunov a serem apresentados na próxima seção. O conteúdo está apresentado de forma resumida tendo em vista o objetivo de sua utilização como ferramenta no restante do trabalho. Antes de definirmos aplicações que preservam estabilidade, apresentamos alguns conceitos que serão constantemente utilizados. Definição 2.17. Dizemos que uma função contínua ψ : [0,r1] → R + pertence à classe K se ψ(0) = 0 e se ψ é estritamente crescente em [0,r1]. Se ψ : R +→R +, se ψ ∈K e limr→∞(r) = ∞, então dizemos que ψ pertence à classe KR. Na definição anterior, o intervalo [0,r1] pode ser substituído por R + = [0,∞). Definição 2.18. Um deslocamento p de um SDD {R+,X ,A,S} pertence à classe W se p(t,a, t p o ) é diferenciável com respeito a Ωp−Ep e diferenciável à direita em todo ponto de Ep, sendo Ep o conjunto dos pontos de descontinuidades do deslocamento considerado, o qual supomos ser fechado, discreto e ilimitado, e sendo Ωp o domínio de definição de p, que aceitamos ser da forma [t p o ,∞). Agora, sejam (X1,d1) e (X2,d2) dois espaços métricos e {R+,X1,A1,S1} um SDD. Seja V : X1×R + → X2 uma aplicação com a propriedade de que para todo deslocamento p(·,a, to) ∈ S, a função q(·,b, to) = V (p(·,a, to), ·), b = V (a, to), é também um deslocamento com Ra,to = Rb,to e b ∈ A2, sendo A2 um subconjunto apropriado de X2 e Ra,to = {t ∈ R + : t ≥ to}. Além disso, o conjunto de pontos de descontinuidades de p e 2.4 Aplicações que Preservam Estabilidade 27 q satisfazem Eq ⊂ Ep e S2 é o conjunto dos deslocamentos q obtidos variando a em A1 e to em R +. Nestas condições, tem-se que {R+,X2,A2,S2} também é um SDD. A aplicação V da forma como foi descrita, induz ainda uma aplicação de S1 para S2, que denotaremos por V , sendo que S2 = V (S1). Sejam ainda M1 ⊂ A1 e M2 ⊂ A2 tais que (S1,M1) e (S2,M2) são invariantes, sendo M2 = {x2 ∈ X2 : x2 = V (x1, t ′ ) para algum x1 ∈M1 e algum t ′ ∈ R +}. Definição 2.19. Sejam {R+,X1,A1,S1} e {R+,X2,A2,S2} dois SDD com conjuntos invariantes M1 ⊂ A1 e M2 ⊂ A2 respectivamente. Dizemos que V : X1×R + → X2 é uma aplicação que preserva estabilidade de S1 para S2, se V satisfaz (i) O conjunto S2 é dado por S2 = V (S1) := {q(·,b, to) : q(t,b, to) = V (p(t,a, to), t), p(·,a, to) ∈ S1, com b = V (a, to) e Rb,to = Ra,to, a ∈ A1, to ∈ R +} (ii) O conjunto M2 é dado por M2 = V (M1×R +) = {x2 ∈ X2 : x2 = V (x1, t ′), para algum x1 ∈M1, t ′ ∈ R +}; (iii) A invariância de (S1,M1) é equivalente à invariância de (S2,M2), ou seja, (S1,M1) é invariante se, e somente se (S2,M2) é invariante; (iv) A estabilidade de (S1,M1) é equivalente à estabilidade de (S2,M2). Dizemos que V é uma aplicação que preserva estabilidade fortemente de (S1,M1) para (S2,M2) se V satisfaz (i),(ii),(iii) e (iv) e ainda satisfaz (v) A estabilidade assintótica, estabilidade uniforme, e estabilidade assintótica uniforme de (S1,M1) e (S2,M2) são equivalentes, respectivamente. Dizemos que V é uma aplicação que preserva estabilidade exponencialmente de (S1,M1) para (S2,M2) se V satisfaz as propriedades (i)− (iv) e ainda satisfaz (vi) A estabilidade exponencial de (S1,M1) e (S2,M2) são equivalentes. Do que foi definido acima, a seguinte observação torna-se natural. Observação 2.5. Seja V uma aplicação que preserva estabilidade de (S1,M1) para (S2,M2), então (S1,M1) é instável se, e somente se (S2,M2) é instável. 2.4 Aplicações que Preservam Estabilidade 28 Teorema 2.1. Sejam {R+,Xi,Ai,Si}, i = 1,2, dois SDD e Mi ⊂ Ai, i = 1,2 dois conjuntos fechados. Suponha que exista uma aplicação V : X1×R + → X2 satisfazendo: (i) V (S1) = S2; (ii) Existem ψ1, ψ2 ∈ K, definidas em R +, tais que ψ1(d1(x,M1))≤ d2(V (x, t),M2)≤ ψ2(d1(x,M1)) (2.7) para todo x ∈ X1, e todo t ∈R +, sendo d1 e d2 métricas definidas em X1 e X2, respectiva- mente. Então, (a) A invariância de (S1,M1) é equivalente à invariância de (S2,M2); (b) V é uma aplicação que preserva estabilidade fortemente; (c) Se em (2.7), ψi(r) = cirα , ci > 0, α > 0, i = 1,2, então a estabilidade exponencial de (S1,M1) é equivalente à estabilidade exponencial de (S2,M2). O teorema apresentado acima constitui uma forte afirmação dentro da teoria de comparação, porém em aplicações práticas suas hipóteses são muito restritivas, pois geralmente os sistemas não satisfazem a relação V (S1) = S2. No entanto, é muito mais geral a situação em que V (S1)⊂ S2 ou V (S1)⊃ S2, sendo assim, quando a intenção é provar que as propriedades qualitativas de (S1,M1) implicam as propriedades qualitativas de (S2,M2), supõe-se que V (S1)⊃ S2, e para o caso inverso supõe-se que V (S1)⊂ S2. Dessa forma o teorema anterior pode ser modificado de modo a se tornar mais abrangente nas aplicações. Teorema 2.2. Sejam {R+,Xi,Ai,Si}, i = 1,2, dois SDD e Mi ⊂ Ai, i = 1,2 dois conjuntos fechados. Suponha que exista uma aplicação V : X1×R + → X2 satisfazendo: (i) V (S1)⊂ S2; (ii) Existem ψ1, ψ2 ∈ K, definidas em R +, tais que ψ1(d1(x,M1))≤ d2(V (x, t),M2)≤ ψ2(d1(x,M1)), (2.8) para todo x ∈ X1, e todo t ∈R +, sendo d1 e d2 métricas definidas em X1 e X2, respectiva- mente. Então, 2.4 Aplicações que Preservam Estabilidade 29 (a) A invariância de (S2,M2) implica a invariância de (S1,M1); (b) A estabilidade, estabilidade uniforme, estabilidade assintótica e estabilidade assintótica uniforme de (S2,M2) implica os mesmos correspondentes tipos de estabilidade de (S1,M1); (c) Se em (2.8), ψ1(r) = crα , c > 0, α > 0 então a estabilidade exponencial de (S2,M2) implica a estabilidade exponencial de (S1,M1). Demonstração: (a) Suponhamos que (S2,M2) é invariante, então para todo a ∈ M1 e todo p(·,a, to) ∈ S1, desde que S2 ⊃ V (S1) := {q(·,b, to) : q(t,b, to) = V (p(t,a, to), t), p(·,a, to) ∈ S1, com b = V (a, to) e Rb,to = Ra,to, a ∈ A1, to ∈R +} temos que q(·,b, to) = V (p(·,a, to), t) ∈ S2. Como (S2,M2) é invariante, segue que q(t,b, to) =V (p(t,a, to), t)∈M2 para todo t ∈Rb,to = Ra,to . Dessa forma, por (2.8), temos ψ1(d1(p(t,a, to),M1))≤ 0≤ ψ2(d1(p(t,a, to),M1)). Desde que ψ1,ψ2 ∈K, temos d1(p(t,a, to),M1) = 0, e como M1 é fechado, segue que p(t,a, to)∈ M1 para todo t ∈ Ra,to , ou seja, (S1,M1) é invariante. (b) Faremos a demonstração da estabilidade e estabilidade assintótica, as outras seguem de forma análoga. � Suponhamos que (S2,M2) é estável, então para todo ε2 > 0 e todo to ∈ R +, existe um δ2 = δ2(ε2, to) > 0 tal que d2(q(t,b, to),M2) < ε2 para todo q(·,b, to) ∈ S2 e todo t ∈ Rb,to , sempre que d2(b,M2) < δ2. Mostremos então que (S1,M1) é estável. Para todo ε1 > 0 e todo to ∈ R +, escolhemos ε2 = ψ1(ε1) e δ1 = ψ−1 2 (δ2), então se d1(a,M1) < δ1, novamente por (2.8), vale d2(b,M2) = d2(V (a, to),M2)≤ ψ2(d1(a,M1)) < ψ2(δ1) = δ2. Portanto para todo q(·,b, to) ∈ S2 e todo t ∈ Rb,to , tem-se d2(q(t,b, to,M2) < ε2. Dessa forma, para todo p(·,a, to) ∈ S1 e todo t ∈ Rb,to = Ra,to , (2.8) implica que d1(p(t,a, to),M1)) ≤ ψ−1 1 (d2(V (p(t,a, to), t),M2)) = ψ−1 1 (d2(q(t,b, to),M2)) < ψ−1 1 (ε2) = ε1, sempre que d1(a,M1) < δ1. Portanto (S1,M1) é estável. A estabilidade uniforme prova-se da mesma maneira, tomando-se δ2 independente de to. � Mostremos agora que (S1,M1) é assintoticamente estável. Para isso, basta mostrarmos que (S1,M1) é atrativo. Suponhamos que (S2,M2) é atrativo, assim, para todo to ∈ R +, existe um 2.4 Aplicações que Preservam Estabilidade 30 η2 = η2(to) > 0 de forma que para todo ε2 > 0, existe um τ = τ(ε2, to,q) > 0 tal que para todo t ∈ Rb,to+τ , se d2(b,M2) < η2 então d2(q(t,b, to),M2) < ε2. Agora, para todo p(·,a, to) ∈ S1, com b =V (a, to), desde que V (S1)⊂ S2 temos que q(·,b, to) =V (p(·,a, to), t)∈ S2. Assim, para todo ε1 > 0, escolhemos ε2 = ψ1(ε1) e fazemos η1 = ψ−1 2 (η2), então para todo p(·,a, to) ∈ S1, se t ∈ Ra,to+τ = Rb,to+τ , temos por (2.8) d2(b,M2) = d2(V (a, to),M2)≤ ψ2(d1(a,M1)) < ψ2(η1) = η2, sempre que d1(a,M1) < η1, o que implica que d2(q(t,b, to),M2) < ε2 = ψ1(ε1) para todo t ∈ Ra,to+τ . Então vale d1(p(t,a, to),M1)) ≤ ψ−1 1 (d2(q(t,b, to),M2)) < ψ−1 1 (ε2) = ψ−1 1 (ψ1(ε1)) = ε1. Portanto (S1,M1) é atrativo, logo assintoticamente estável. Novamente, a demonstração da estabilidade uniforme assintótica de (S1,M1), segue-se fa- cilmente escolhendo-se η2 independente de to. (c) Suponhamos que (S2,M2) é exponencialmente estável, então existe um α2 > 0 e para todo ε2 > 0, existe um δ2 = δ2(ε2) > 0 tal que para todo q(·,b, to) = V (p(·,a, to), t)∈ S2, tem-se d2(q(t,b, to),M2) < ε2e−α2(t−to) para todo t ∈ Rb,to , sempre que d2(b,M2) < δ2. Agora, para todo p(·,a, to) ∈ S1, com b = V (a, to), como V (S1)⊂ S2 temos que q(·,b, to) = V (p(·,a, to), t) ∈ S2. Assim, para todo ε1 > 0, escolhemos ε2 = (cε1) b e fazemos α1 = α2 b e δ1 = ψ−1 2 (δ2). Então para todo p(·,a, to) ∈ S1, e todo t ∈ Ra,to , temos por (2.8) d2(b,M2)≤ ψ2(d1(a,M1)) < ψ2(δ1) = δ2, sempre que d1(a,M1) < δ1, o que implica que d2(q(t,b, to),M2) < ε2e−α2(t−to) para todo t ∈ Ra,to . Como ψ1(r) = crα , temos c(d1(x,M1)) α ≤ d2(V (x, t),M2), 2.4 Aplicações que Preservam Estabilidade 31 logo d1(p(t,a, to),M1)) ≤ [1 c (d2(q(t,b, to),M2)) ] 1 α < [1 c (ε2e−α2(t−to)) ] 1 α = (ε2 c ) 1 α e− α2 α (t−to) = ε1e−α1(t−to). Portanto (S1,M1) é exponencialmente estável. � Encerramos esta seção com duas observações importantes sobre aplicações que preservam estabilidade. Observação 2.6. Como comentamos no início da seção, existem várias definições para funções de Lyapunov. Além disso, da forma como utilizamos, é natural questionar a relação entre aplicações que preservam estabilidade e funções de Lyapunov. Na verdade, toda função de Lyapunov é uma aplicação que preserva estabilidade, mas a recíproca não é verdadeira. Como exemplo, consideramos a aplicação V : X → X dada por V (x) = x para todo x ∈ X. Então para todo sistema dinâmico {R+,X ,A,S} a aplicação V é do tipo que preserva estabilidade deste sistema para ele mesmo. No entanto, esta não é uma função de Lyapunov sobre qualquer uma das definições existentes. Observação 2.7. É interessante ressaltar que para um dado sistema dinâmico {R+,X1,A1,S1} e um subconjunto M1 ⊂ A1, é sempre possível encontrar um outro sistema dinâmico {R+,X2,A2,S2}, um subconjunto M2 ⊂ A2 e uma aplicação V : X1 → X2 tal que V preserva as propriedades qualitativas de (S1,M1) para (S2,M2). Para isso, tomamos X2 = R e M2 = {0}. Provemos esta afirmação por meio de um teorema. Teorema 2.3. Considere o sistema dinâmico {R+,X1,A1,S1}. Sejam M1 ⊂ A1 e M2 = {0}. Então existem um sistema dinâmico {R+,R,A2,S2} e uma aplicação V : X1 → R tal que se M1 é fechado, a invariância de (S1,M1) é equivalente à de (S2,M2) e V é uma aplicação que preserva a estabilidade fortemente. Demonstração: Definimos V (x) = d1(x,M1), para todo x ∈ X1, sendo d1 a métrica em X1. Além disso, seja S2 = V (S1) := {q(·,b, to) : q(t,b, to) = V (p(t,a, to)), p(·,a, to) ∈ S1, com b = V (a) e Rb,to = Ra,to, a ∈ A1, to ∈ R +}. 2.5 Teoremas de Estabilidade de Lyapunov 32 Sejam A2 = V (A1) e M2 = {0} = V (M1), assim, {R+,R,V (A1),S2} é um sistema dinâmico. Agora, aplicando o Teorema 2.1, considerando ψ1(r) = ψ2(r) = r, concluímos que a afirmação do teorema é verdadeira. Como dissemos anteriormente, a importância das aplicações que preservam estabilidade está diretamente ligada à teoria da comparação. Nesse sentido, a aplicação dos resultados apre- sentados nesta seção se dará na demonstração dos principais teoremas da seção seguinte, embora eles possam ser demonstrados de forma direta, algumas vezes exigindo, todavia, um trabalho mais árduo. 2.5 Teoremas de Estabilidade de Lyapunov Esta seção é dedicada aos principais teoremas de estabilidade no sentido de Lyapunov, em que os resultados são garantidos de acordo com as restrições impostas às aplicações que preser- vam estabilidade (ou funções de Lyapunov) associadas ao sistema estudado. Estes resultados constituem a parte essencial deste capítulo no que se refere à estabilidade de conjunto invari- antes. Os teoremas derivam dos resultados existentes para sistemas de tempo contínuo, porém são mais abrangentes que estes, uma vez que consideram as informações nos pontos de descon- tinuidade do sistema, exigindo que sejam satisfeitas condições menos restritivas, podendo ser aplicados a sistemas de dimensão finita e infinita. São apresentados quatro teoremas que fornecem condições suficientes para invariância, es- tabilidade uniforme, estabilidade uniforme assintótica, estabilidade exponencial e instabilidade. Teorema 2.4. Seja {R+,X ,A,S} um SDD e seja M ⊂ A um conjunto fechado. Suponha que exista uma função V : X×R + → R + satisfazendo as seguintes condições: (i) para todo deslocamento p(·,a, t p o ) ∈ S, tem-se V (p(·,a, t p o ), ·) ∈W, com EV (p) ⊂ Ep, sendo EV (p) o conjunto de pontos de descontinuidades de V (p(·,a, t p o ), ·) e Ep = {τ p o ,τ p 1 , ... : 0≤ τ p o < τ p 1 < ...} o conjunto de pontos de descontinuidades de p(·,a, t p o ), o qual é suposto ser fechado, discreto e ilimitado; (ii) Existem ψ1, ψ2 ∈ K, definidas em R +, tais que ψ1(d(x,M))≤V (x, t)≤ ψ2(d(x,M)) (2.9) para todo x ∈ X, e todo t ∈ R +. Então as seguintes afirmações são verdadeiras: 2.5 Teoremas de Estabilidade de Lyapunov 33 (a) se para qualquer p ∈ S, V (p(t,a, to), t) é não-crescente para todo t ≥ t p o ≥ 0, então (S,M) é invariante e uniformemente estável; (b) se existe ψ3 ∈ K definida em R +, tal que para todo p ∈ S, V̇ (p(t,a, t p o ), t)≤−ψ3(d(p(t,a, t p o ),M)), τ p k ≤ t < τ p k+1, V (p(t,a, t p o ), t)≤V (p(t−,a, to), t−), t = τ p k+1, k ∈ N, } (2.10) então (S,M) é uniformemente assintoticamente estável; (c) se em particular, na parte (b) tivermos ψi(r) = cirb, ci > 0, b > 0, i = 1,2,3, então (S,M) é exponencialmente estável. Demonstração: (a) Primeiramente, por hipótese temos que V : X×R +→R +, logo V (x, t)≥ 0, ∀ (x, t) ∈ X ×R +, e como ψ1,ψ2 ∈ K, temos ψ1(0) = ψ2(0) = 0. Mostremos então que (S,M) é invariante. Seja a ∈M, como V (p(τ p o ,a,τ p o ),τ p o ) = V (a,τ p o ), por (2.9) temos 0 = ψ1(d(a,M))≤V (a,τ p o )≤ ψ2(d(a,M)) = 0 logo V (a,τ p o ) = 0. Além disso, como V (p(t,a,τ p o ), t) é não-crescente para todo t ≥ τ p o temos 0≤V (p(t,a,τ p o ), t)≤V (p(τ p o ,a,τ p o ),τ p o ) = V (a,τ p o ) = 0, logo V (p(t,a,τ p o ), t) = 0 para todo t ≥ τ p o . Assim, novamente por (2.9), temos d(p(t,a,τ p o ),M)≤ ψ−1 1 (V (p(t,a,τ p o ), t)) = 0. Desde que M é fechado, temos que p(t,a,τ p o ) ∈M, ou seja, (S,M) é invariante. Mostremos que (S,M) é uniformemente estável. Para todo ε > 0, todo t ≥ τ p o e todo p(t,a,τ p o ), escolhemos δ > 0 tal que δ = ψ−1 2 (ψ1(ε)). Se d(a,M) < δ , como V (p(t,a,τ p o ), t)≤ V (p(τ p o ,a,τ p o ),τ p o ) = V (a,τ p o ) para todo t ≥ τ p o , temos por (2.9) d(p(t,a,τ p o ),M) ≤ ψ−1 1 (V (p(t,a,τ p o ), t)) ≤ ψ−1 1 (V (a,τ p o )) ≤ ψ−1 1 (ψ2(d(a,M)) < ψ−1 1 (ψ2(ψ −1 2 (ψ1(ε))) = ε. Portanto (S,M) é uniformemente estável. (b) Mostramos em (a) que (S,M) é uniformemente estável; para que seja uniformemente 2.5 Teoremas de Estabilidade de Lyapunov 34 assintoticamente estável, basta mostrarmos que (S,M) é uniformemente atrativo. Por simplifi- cação, usaremos a notação y(t) = V (p(t,a,τ p o ), t), dessa forma temos por (2.10) ẏ(t)≤−ψ3(d(p(t,a, t p o ),M)), τ p k ≤ t < τ p k+1, y(t)≤ y(t−), t = τ p k+1, k ∈ N, } logo, usando (2.9) e o fato de y ser não-crescente e ψ2,ψ3 serem funções crescentes, temos ẏ(t) ≤ −ψ3(d(p(t,a, t p o ),M)) ≤ −ψ3(ψ −1 2 (y(t))) ≤ −ψ3(ψ −1 2 (y(τk+1))) = −ψ3oψ−1 2 (y(τk+1)). Agora, integrando de τ p k a τ p− k+1, usando a última desigualdade, temos y(τ p k+1)− y(τ p k ) ≤ y(τ p− k+1)− y(τ p k ) ≤ −ψ3oψ−1 2 (y(τ p k+1))(τ p k+1− τ p k ). (2.11) Se denotarmos ψ = ψ3oψ−1 2 , então ψ ∈ K, e reescrevemos a última desigualdade como y(τ p k+1)− y(τ p k )≤−ψ(y(τ p k+1))(τ p k+1− τ p k ). (2.12) Assim, por (2.12), e como y(τ p k ) é não-crescente para todo k ∈ N, vale y(τ p n+1)− y(τ p n ) ≤ −ψ(y(τ p n+1))(τ p n+1 − τ p n ) ≤ −ψ(y(τ p k ))(τ p n+1 − τ p n ), para todo n ≤ k− 1. Como y(τ p k )− y(τ p o ) = y(τ p k )− y(τ p k−1)+ y(τ p k−1)− y(τ p k−2)+ y(τ p k−2)− . . .+ y(τ p 1 )− y(τ p o ) ≤ [−ψ(y(τ p k ))(τ p k − τ p k−1)]+ . . .+[−ψ(y(τ p k ))(τ p 1 − τ p o )] = −ψ(y(τ p k ))[τ p k − τ p k−1 + τ p k−1− τ p k−2 + . . .+ τ p 1 − τ p o ] = −ψ(y(τ p k ))(τ p k − τ p o ), para todo k ≥ 0, vale y(τ p k )≤ ψ−1 (y(τ p o )− y(τ p k ) τ p k − τ p o ) ≤ ψ−1 ( y(τ p o ) τ p k − τ p o ) . (2.13) Dessa forma, para todo ε > 0, existe um δ = δ (ε)> 0 e um τ = τ(ε)> 0, tais que ψ−1 1 (ψ−1(ψ2(δ ) τ ))< ε , além disso, para todo t ≥ τ p o + τ existe um k ∈ N tal que t ∈ [τ p k−1,τ p k ), logo τ p k − τ p o > τ . 2.5 Teoremas de Estabilidade de Lyapunov 35 Assim, para todo a ∈ A tal que d(a,M) < δ , segue que ψ2(d(a,M)) < ψ2(δ ), e por (2.13), y(t)≤ y(τ p k )≤ ψ−1 ( y(τ p o ) τ p k − τ p o ) = ψ−1 (V (a,τ p o ) τ p k − τ p o ) ≤ ψ−1 (ψ2(d(a,M)) τ ) ≤ ψ−1 (ψ2(δ ) τ ) . Portanto, d(p(t,a,τ p o ), t)≤ ψ−1 1 (y(t))≤ ψ−1 1 ( ψ−1 (ψ2(δ ) τ )) < ε, logo (S,M) é uniformemente assintoticamente estável. (c) Substituindo ψi(r) = cirb, ci > 0, b > 0, i = 1,2,3, em (2.9) e em (2.10) temos c1(d(x,M))b ≤V (x, t)≤ c2(d(x,M))b, (2.14) e V̇ (p(t,a, t p o ), t)≤−c3(d(p(t,a, t p o ),M))b, τ p k ≤ t < τ p k+1, V (p(t,a, t p o ), t)≤V (p(t−,a, to), t−), t = τ p k+1, k ∈ N. } (2.15) Novamente fazendo y(t) = V (p(t,a,τ p o ), t), e repetindo o desenvolvimento usado em (b), de (2.11) temos y(τ p k+1)− y(τ p k )≤− c3 c2 (y(τ p k+1))(τ p k+1− τ p k ), que podemos escrever como y(τ p k+1)≤ [1−μ(τ p k+1− τ p k )]y(τ p k+1), sendo μ = c3 c2 . Se [1−μ(τ p k+1−τ p k )]≤ 0 para algum k ∈N, então y(τ p n ) = 0 e conseqüentemente 0 ≤ y(t) ≤ y(τ p n ) = 0 para todo t ∈ (τ p n ,τ p n+1) e todo n > k + 1. Logo d(p(t,a,τ p o ),M) = 0. Suponhamos então que [1− μ(τ p k+1− τ p k )] > 0 para todo k ∈ N. Observamos que do fato de e−μx ≥ 1−μx, temos y(τ p k+1)≤ e−μ(τ p k+1−τ p k )y(τ p k+1), como y(τ p k+1)≤ y(τ p k ) para todo k ∈ N, vale y(τ p k )≤ e−μ(τ p k −τ p k−1)y(τ p k−1). (2.16) Usando a relação acima temos y(τ p k )≤ e−μ(τ p k −τ p k−1)e−μ(τ p k−1−τ p k−2)...e−μ(τ p 1−τ p o )y(τ p o ), de onde obtemos y(t)≤ y(τ p k )≤ e−μ(t−τ p o )y(τ p o ). (2.17) Agora, de (2.14) temos V (p(τ p o ,a,τ p o ),τ p o )≤ c2d(p(τ p o ,a,τ p o ),M)b, ou seja y(τ p o )≤ c2d(a,M)b. 2.5 Teoremas de Estabilidade de Lyapunov 36 Logo, por (2.17) e (2.14), temos d(p(t,a,τ p o ),M) ≤ (y(t) c1 ) 1 b ≤ (e−μ(t−τ p o )y(τ p o ) c1 ) 1 b ≤ (c2 c1 ) 1 b d(a,M)e− μ b (t−τ p o ). (2.18) Finalmente, para todo ε > 0, tomamos α = μ b e δ = ε ( c2 c1 ) 1 b , assim se d(a,M) < δ , então d(p(t,a,τ p o ),M) ≤ (c2 c1 ) 1 b d(a,M)e− μ b (t−τ p o ) < (c2 c1 ) 1 b δe−α(t−τ p o ) = (c2 c1 ) 1 b ε (c2 c1 ) 1 b e−α(t−τ p o ) = εe−α(t−τ p o ). (2.19) Portanto (S,M) é exponencialmente estável. � Como dissemos no início da seção, estamos interessados nas restrições que devem ser im- postas à função V para garantir estabilidade. Nesse sentido, observamos que no Teorema 2.4 é exigido que V seja não-crescente em todos os pontos de definição dos deslocamentos do sistema e que possua derivada negativa, condições fortes que tornam este teorema muito restritivo. Os próximos teoremas são mais sensíveis às descontinuidades dos deslocamentos, e exigem que V seja não-crescente nos pontos de descontinuidades e que tenha certas limitações no interior dos intervalos determinados por estes pontos, sendo portanto menos restritivos que o primeiro. Teorema 2.5. Seja {R+,X ,A,S} um SDD e seja M ⊂ A um conjunto fechado. Suponha que exista uma função V : X×R + → R + e funções ψ1, ψ2 ∈ K, definidas em R +, tais que ψ1(d(x,M))≤V (x, t)≤ ψ2(d(x,M)), (2.20) para todo x ∈ X, e todo t ∈ R +. (a) Suponha que para todo p(·,a,τ p o ) ∈ S, V (p(t,a,τ p o ), t) é contínua em toda parte em R+ τ p o = {t ∈ R + : t ≥ τ p o }, exceto no conjunto de descontinuidades EV (p) ⊂ Ep. Suponha ainda que exista uma vizinhança U de M tal que V (p(τk,a,τ p o ),τk) é não-crescente para todo a ∈U e todo k ∈ N, e que existe uma função h ∈C[R+,R+], independente de p ∈ S, tal 2.5 Teoremas de Estabilidade de Lyapunov 37 que h(0) = 0, V (p(t,a,τ p o ), t)≤ h(V (p(τ p k ,a,τ p o ),τ p k )), t ∈ (τ p k ,τ p k+1), k ∈ N. } (2.21) Então (S,M) é invariante e uniformemente estável; (b) Se além das hipóteses dadas em (a), existe uma função ψ3 ∈ K definida em R + tal que DV (p(τ p k ,a,τ p o ),τ p k )≤−ψ3(d(p(τ p k ,a,τ p o ),M)), (2.22) para todo a ∈U, k ∈ N, sendo DV (p(τ p k ,a,τ p o ),τ p k ) := 1 τ p k+1− τ p k [ V (p(τ p k+1,a,τ p o ),τ p k+1)−V (p(τ p k ,a,τ p o ),τ p k ) ] . Então (S,M) é uniformemente assintoticamente estável. Demonstração: Seja y(t) = V (p(t,a,τ p o ), t) e consideremos o sistema de comparação deter- minado por y(t)≤ h(y(τ p k )), τ p k ≤ t < τ p k+1, y(τ p k+1)≤ w(y(τ p k ),τ p k ,τ p k+1), k ∈ N, } (2.23) sendo h ∈C[R+,R+] com h(0) = 0. Seja S(2.23) o sistema dinâmico descontínuo determinado por (2.23) e Ep seu conjunto de pontos de descontinuidade. Por simplificação supomos que as soluções de (2.23) existem para todo t ≥ τ p o ≥ 0. Fazemos X1 = X , A1 = A, S1 = S, X2 = R, A2 = V (A×R +), S2 = S((2.23)) e tomamos M2 = {0}, além disso, desde que y(t) = V (p(t,a,τ p o ), t) temos V (S1) ⊂ S2. Observamos ainda que (2.20) é equivalente à (2.8), uma vez que V : X ×R + → R +, X2 = R e M2 = {0}, por- tanto d2(V (x, t),M2) = |V (x, t)− 0| = V (x, t). Aplicamos então o Teorema 2.2 aos sistemas {R+,X ,A,S} e {R+,R,V (A×R +),S(2.23)}, de onde concluímos que a invariância, a estabili- dade uniforme e a estabilidade uniforme assintótica de (S(2.23),{0}) implicam a invariância e os mesmos correspondentes tipos de estabilidade de (S,M). Resta-nos mostrar que (S(2.23),{0}) é: (a) invariante e uniformemente estável; (b) uniforme- mente assintoticamente estável. Para isso supomos na parte (a) que w(y(τ p k ),τ p k ,τ p k+1) = y(τ p k ), resultando na desigualdade y(τ p k+1)≤ y(τ p k ), (2.24) e na parte (b) que w(y(τ p k ),τ p k ,τ p k+1) = y(τ p k )−ψ(y(τ p k ))(τ p k+1− τ p k ), com ψ = ψ3oψ−1 2 ∈ K, que resulta em y(τ p k+1)≤ y(τ p k )−ψ(y(τ p k ))(τ p k+1− τ p k ). (2.25) 2.5 Teoremas de Estabilidade de Lyapunov 38 (a) Se y(τ p k ) = w(y(τ p k ),τ p k ,τ p k+1), então y(τ p k+1) ≤ y(τ p k ), assim se a = 0 tem-se y(τ p o ) = V (p(τ p o ,0,τ p o ),τ p o ) = 0, e desde que y(τk) é não-crescente, tem-se y(τ p k ) = 0 para todo k ∈ N, e por (2.23) y(t)≤ h(y(τ p k )) = h(0) = 0. Portanto y(t) = 0 para todo t ≥ τ p o , ou seja, (S(2.23),{0}) é invariante. Mostremos agora que (S(2.23),{0}) é uniformemente estável. Como h(0) = 0 e h é contínua, para todo ε > 0 existe um δ > 0 tal que se y < δ então h(y)−h(0) = h(y) < ε . Suponhamos, sem perda de generalidade, que δ < ε . Dessa forma, se y(τ p o ) < δ , por (2.23) temos y(t)≤ h(y(τ p k )) < ε, se τ p k ≤ t < τ p k+1, e y(τ p k+1)≤ y(τ p k )≤ y(τo) < δ < ε. Portanto y(t) < ε para todo t ≥ τ p o , sempre que y(τ p o ) < δ , ou seja, (S(2.23),{0}) é uniforme- mente estável. (b) Tomamos agora w(y(τ p k ),τ p k ,τ p k+1) = y(τ p k )−ψ(y(τ p k ))(τ p k+1− τ p k ). Usando um argu- mento análogo ao item (a), temos que (S(2.23),{0}) é uniformemente estável também para este caso, resta mostrar então que é uniformemente atrativo. Por (2.25) temos y(τ p k+1)− y(τ p k )≤−ψ(y(τ p k ))(τ p k+1− τ p k ), além disso, como y(τ p k ) é não-crescente, temos y(τ p n+1)− y(τ p n )≤−ψ(y(τ p n ))(τ p n+1− τ p n )≤−ψ(y(τ p k ))(τ p n+1− τ p n ), para todo n≤ k. Uma vez que y(τ p k+1)− y(τ p o ) = y(τ p k+1)− y(τ p k )+ y(τ p k )− y(τ p k−1)+ y(τ p k−1)− . . .+ y(τ p 1 )− y(τ p o ) ≤ [−ψ(y(τ p k ))(τ p k+1− τ p k )]+ [−ψ(y(τ p k ))(τ p k − τ p k−1)]+ . . .+[−ψ(y(τ p k ))(τ p 1 − τ p o )] = −ψ(y(τ p k ))[τ p k+1− τ p k + τ p k − τ p k−1 + . . .+ τ p 1 − τ p o ] = −ψ(y(τ p k ))(τ p k+1− τ p o ), para todo k ≥ 0, temos y(τ p k )≤ ψ−1 ( y(τ p o )− y(τ p k+1) τ p k+1− τ p o ) ≤ ψ−1 ( y(τ p o ) τ p k+1− τ p o ) . (2.26) Agora, para todo ε > 0, pela continuidade de h, existe um δ > 0 tal que h(y) < ε , sempre que 2.5 Teoremas de Estabilidade de Lyapunov 39 y < δ . Para ε e δ considerados acima, é sempre possível encontrar τ > 0 tal que ψ−1 (δ τ ) < ε. (2.27) Além disso, para todo t ≥ τ p o + τ , existe um k ∈ N tal que t ∈ [τ p k+1,τ p k ), dessa forma temos τ p k+1− τ p o > τ . Portanto, se y(τ p o ) < δ , segue que y(τ p k )≤ y(τ p o ) < δ e por (2.26), y(τ p k )≤ ψ−1 ( y(τ p o ) τ p k+1− τ p o ) ≤ ψ−1 (δ τ ) < ε, conseqüentemente y(t)≤ h(y(τ p k )) < ε, ou seja, y(t)< ε para todo t ≥ τ p o +τ , sempre que y(τ p o )< δ . Concluímos assim que (S(2.23),{0}) é uniformemente estável e uniformemente atrativo, ou seja, uniformemente assintoticamente es- tável, e a prova do teorema está completa. � Teorema 2.6. Seja {R+,X ,A,S} um SDD e seja M ⊂ A um conjunto fechado e limitado. Supo- nha que exista uma função V : X×R + → R + e três constantes c1,c2,b > 0 tais que c1(d(x,M))b ≤V (x, t)≤ c2(d(x,M))b, (2.28) para todo x ∈U ⊂ X, e todo t ∈ R +, sendo U uma vizinhança de M. (i) Suponha que para todo p(·,a,τ p o ) ∈ S, V (p(t,a,τ p o ), t) é contínua em toda parte em R + τ p o = {t ∈ R + : t ≥ τ p o }, exceto no conjunto de descontinuidades EV (p) ⊂ Ep. Supo- nha ainda que existe uma função h ∈C[R+,R+] independente de S tal que h(0) = 0, V (p(t,a,τ p o ), t)≤ h(V (p(τ p k ,a,τ p o ),τ p k )), t ∈ (τ p k ,τ p k+1), k ∈ N, } (2.29) e tal que para alguma constante positiva q, h satisfaz h(r) = o(rq) com r→ 0, ou seja, limr→0 h(r) rq = 0; (ii) Suponha que exista uma constante c3 > 0 tal que DV (p(τ p k ,a,τ p o ),τ p k )≤−c3[d(p(τ p k ,a,τ p o ),M)]b, k ∈ N, (2.30) para todo p(·,a,τ p o ) ∈ S e todo a ∈U, sendo DV (p(τ p k ,a,τ p o ),τ p k ) definida como anteri- ormente. 2.5 Teoremas de Estabilidade de Lyapunov 40 Então (S,M) é exponencialmente estável. Demonstração: Aplicaremos o Teorema 2.2 utilizando um sistema de comparação para obter os resultados exigidos. Seja y(t) = V (p(t,a,τ p o ), t), faremos uso do sistema de comparação determinado pelo sistema dinâmico dado por y(t)≤ h(y(τ p k )), τ p k ≤ t < τ p k+1, y(τk+1)≤ y(τ p k )− c3 c2 y(τ p k )(τ p k+1− τ p k ), k ∈ N. } (2.31) Denotamos então S((2.31)) o sistema de comparação determinado pelas soluções de (2.31), com pontos de descontinuidades τ p o , τ p 1 , .... Além disso, supomos que o sistema possui solução para t ≥ τ p o ≥ 0. Seguindo a notação utilizada, fazemos X1 = X , A1 = A, S1 = S, X2 = R, A2 =V (A× R +) e S2 = S((2.31)). Dessa forma temos V (S1)⊂ S2, portanto, pelo Teorema 2.2 a invariância e a estabilidade exponencial de (S((2.31)),{0}) implicam a invariância e a estabilidade exponencial de (S,M). Mostremos então que (S((2.31)),{0}) é invariante e exponencialmente estável. Note que por (2.31) {y(τ p k )} é não-crescente para todo a∈A, assim quando a = 0 temos y(τ p o ) = 0, que implica que 0 = y(τ p k ) ≤ y(τ p o ) = 0. Além disso, temos y(t) ≤ h(y(τ p k )) = h(0) = 0, portanto y(t) = 0 para todo t ≥ τ p o , ou seja, S((2.31)) é invariante. Mostremos então que (S,M) é exponencialmente estável. Pela desigualdade do sistema (2.31), temos y(τ p k+1)≤ y(τ p k )− c3 c2 y(τ p k )(τ p k+1− τ p k ), que implica que y(τ p k+1)≤ [1−μ(τ p k+1− τ p k )]y(τ p k ), sendo μ = c3 c2 . Se [1− μ(τ p k+1− τ p k )] ≤ 0, para algum k ∈ N, então y(τ p n ) = 0 para todo n > k, uma vez que y(τ p k+1) ≤ [1− μ(τ p k+1− τ p k )]y(τ p k ), logo y(t) ≤ h(y(τ p n )) = 0 para todo t ∈ (τ p k ,τ p k+1) e todo n > k. Então, por (2.28), segue que d(p(t,a,τ p o ),0) = 0. Suponhamos então que [1−μ(τ p k+1− τ p k )] > 0 para todo k ∈ N. Analisemos agora limitações para y(t) quando t ∈ (τ p k ,τ p k+1) e quando t = τ p k , k ∈ N. Conside- rando o fato que e−μx ≥ 1−μx, segue que y(τ p k+1)≤ e−μ(τ p k+1−τ p k )y(τ p k ), e como y(τ p k ) é não-crescente, procedendo da mesma forma como fizemos para (2.16) no item 2.5 Teoremas de Estabilidade de Lyapunov 41 (c) do Teorema 2.4, temos que y(τ p k )≤ e−μ(τ p k −τ p o )y(τ p o ), (2.32) é verdadeira para todo k ∈ N. Agora, como h(r) = o(rq), ou seja, limr→0 h(r) rq = 0, temos h(r) rq ∈C[R+,R+]. Tomando então Δy(τ p o ) = supr∈[0,c2d(a,0)b) h(r) rq , temos, h(r)≤ Δy(τ p o )r q, para todo r ∈ [0,c2d(a,0)b]. Por esta desigualdade e por (2.31), temos y(t) ≤ h(y(τ p k )) ≤ Δy(τ p o )(y(τ p k ))q ≤ Δy(τ p o )e −μq(τ p k −τ p o )(y(τ p o ))q ≤ Δy(τ p o )e μq(t−τ p k )e−μq(t−τ p o )(y(τ p o ))q, mas, como supomos [1−μ(τ p k+1−τ p k )] > 0, temos t−τ p k ≤ τ p k+1−τ p k < 1 μ , ou seja, μ(t−τ p k ) < 1, logo y(t)≤ Δy(τ p o )e qe−μq(t−τ p o )(y(τ p o ))q. (2.33) Resta agora determinar constantes adequadas de forma que (2.32) e (2.33) satisfaçam a definição de estabilidade exponencial simultaneamente. Antes, porém, observamos que desde que limr→0 h(r) rq = 0, podemos supor que Δy(τ p o ) ≤ 1. Assim, para todo ε > 0 e todo τ p o ≥ 0 tal que y(τ p o ) < δ , sejam α = min{μ,μq}, δ = min {ε e , ε 1 q e } . Então y(τ p k ) ≤ e−μ(τ p k −τ p o )y(τ p o ) < δe−α(τ p k −τ p o ) ≤ (ε e ) e−α(τ p k −τ p o ) ≤ εe−α(τ p k −τ p o ), 2.5 Teoremas de Estabilidade de Lyapunov 42 e y(t) ≤ Δy(τ p o )e qe−μq(t−τ p o )(y(τ p o ))q < δ qΔy(τ p o )e qe−α(t−τ p o ) ≤ (ε 1 q e )q eqe−α(t−τ p o ) = εe−α(t−τ p o ), ou seja, y(t) < εe−α(t−τ p o ), para todo p(·,a,τ p o ) ∈ S e todo t ∈ R + τ p o . Portanto (S,{0}) é exponencialmente estável. � Exemplo 2.3. Aplicaremos os resultados anteriores para um sistema de dimensão finita em que o espaço estado do sistema é R n e o conjunto invariante M é a solução trivial do sistema, ou seja M = {0}. Consideremos o sistema determinado por equações da forma ẋ(t) = Akx(t), τ p k ≤ t < τ p k+1, x(t) = Bk+1x(t−), t = τ p k+1, k ∈ N, } (2.34) sendo x(t) ∈ R n, Ak,Bk ∈ R n×n. Denotaremos por S(2.34) o sistema determinado por (2.34). Falaremos mais como são constituídos esses sistemas no capítulo seguinte, por hora, aceitamos a existência e unicidade das soluções, para todo (τ p o ,a) ∈ R +×R n. Se em (2.34) supormos que para cada k ∈ N, todos os autovalores de Ak possuem a parte real positiva, então foi mostrado em (25) que é impossível encontrar uma função de Lyapunov V satisfazendo (2.10), sendo portanto impossível aplicar o Teorema 2.4. No entanto, é possível garantir o seguinte resultado. Proposição 2.2. Para o sistema S(2.34), suponha que são válidas as condições: (i) existe uma constante κ > 0 tal que, para todo k ∈ N, ||Ak||< κ; (ii) supk∈N{λk : λk := τk+1− τk} ≤ λ < ∞; (iii) para todo k ∈ N, tem-se ||Bk+1eAkλk || ≤ ξ < 1. (2.35) Então (S(2.34),{0}) é uniformemente assintoticamente estável e exponencialmente estável. Demonstração: Para este sistema, escolhemos V (x) = ||x|| e ψ1,ψ2 ∈ K dadas por ψ1(r) = ψ2(r) = r, dessa forma temos que (2.20) (respectivamente (2.28)) é satisfeita. Além disso, 2.5 Teoremas de Estabilidade de Lyapunov 43 denotando por p(t,a,τ p o ) os deslocamentos de S(2.34), temos p(τ p k+1,a,τ p o ) = Bk+1eAk(τ p k+1−τ p k )p(τ p k ,a,τ p o ), que implica que V (p(τ p k+1,a,τ p o ),τ p k+1) = ||Bk+1eAk(τ p k+1−τ p k )p(τ p k ,a,τ p o )|| ≤ ξV (p(τ p k ,a,τ p o ),τ p k ). Assim, V (p(τ p k+1,a,τ p o ),τ p k+1)−V (p(τ p k ,a,τ p o ),τ p k ) (τ p k+1− τ p k ) ≤ ξV (p(τ p k ,a,τ p o ),τ p k )−V (p(τ p k ,a,τ p o ),τ p k ) (τ p k+1− τ p k ) = (ξ −1)V (p(τ p k ,a,τ p o ),τ p k ) (τ p k+1− τ p k ) ≤ − 1−ξ λ ||p(τ p k ,a,τ p o )||, logo (2.22) (respectivamente (2.30)) é satisfeita fazendo ψ3(r) = 1−ξ λ r. Mais ainda, fazendo h(r) = eκλ r, temos V (p(t,a,τ p o ),τ p k )≤ h(V (p(τ p k ,a,τ p o ),τ p k )) = eκλ p(τ p k ,a,τ p o ), para todo t ∈ (τk,τk+1), k ∈N. Assim, 2.21 (respectivamente 2.29) é satisfeita. Portanto, segue do Teorema 2.5 (respectivamente Teorema 2.6) que (S(2.34),{0}) é uniformemente assintotica- mente estável (respectivamente exponencialmente estável). Teorema 2.7. Seja {R+,X ,A,S} um SDD e seja M ⊂ A um conjunto fechado. Suponha que exista uma função V : X×R + → R + e uma função φ ∈ KR tais que V (x, t)≤ φ(d(x,M)), (2.36) para todo x ∈ X, e todo t ∈ R +. Suponha também que: (i) Para todo p(·,a,τ p o ) ∈ S, V (p(t,a,τ p o ), t) é contínua em toda parte em R+ τ p o = {t ∈ R + : t ≥ τ p o }, exceto no conjunto de descontinuidades EV (p) ⊂ Ep. Suponha ainda que existe uma função ψ ∈ K tal que DV (p(τ p k ,a,τ p o ),τ p k )≥ ψ(d(p(τ p k ,a,τ p o ),M)), k ∈ N, (2.37) sendo DV (p(τ p k ,a,τ p o ),τ p k ) definida como anteriormente; 2.5 Teoremas de Estabilidade de Lyapunov 44 (ii) Para toda vizinhança de M exista x tal que V (x,τ p o ) > 0. Então M é instável com respeito a S. Se além das hipóteses anteriores, valer V (x,τ p o ) > 0 para todo x /∈M, então (S,M) é com- pletamente instável. Demonstração: Pela hipótese (ii), para todo to ∈ R +, e todo δ > 0, existe um a ∈ A tal que d(a,M) < δ e V (a, to) > 0. Mostraremos que d(p(τ p k ,a,τ p o ),M) é ilimitada, ou seja, nas condições acima, para todo εo > 0, sempre existirá t1 ∈ R + a,to tal que d(p(t p 1 ,a,τ p o ),M)≥ εo. Observamos que por (2.37), {V (p(τ p k ,a,τ p o ),τ p k )} é crescente para todo p(·,a,τ p o ) e assim V (p(τ p k ,a,τ p o ),τ p k ) ≥ V (p(τ p k−1,a,τ p o ),τ p k−1)+(τ p k − τ p k−1)ψ(d(p(τ p k−1,a,τ p o ),M)) ≥ V (p(τ p k−1,a,τ p o ),τ p k−1)+(τ p k − τ p k−1)ψoφ−1(V (p(τ p k−1,a,τ p o ),τ p k−1)) ≥ V (p(τ p o ,a,τ p o ),τ p o )+(τ p k − τ p o )ψoφ−1(V (p(τ p o ,a,τ p o ),τ p o )) ≥ (τ p k − τ p o )ψoφ−1(V (a,τ p o )). Dessa forma, como φ−1 ∈ KR, quando τ p k → ∞ temos V (p(τ p k ,a,τ p o ),τ p k )→ ∞, e conseqüente- mente d(p(τ p k−1,a,τ p o ),M)→ ∞, uma vez que d(p(τ p k−1,a,τ p o ),M)≥ φ−1(V (p(τ p k ,a,τ p o ),τ p k )). Portanto (S,M) é instável. Como por hipótese V (a,τo) > 0 para todo a /∈M, basta observarmos que o argumento de- monstrado acima é válido para todo p(τ p k ,a,τ p o ) e todo a /∈ M, ou seja, d(p(τ p k−1,a,τ p o ),M)→ ∞ quando τ p k → ∞. Portanto (S,M) é completamente instável. � Exemplo 2.4. Se considerarmos o sistema S(2.34), veremos que dependendo das propriedades da matriz Bk+1, (S(2.34),{0}) é instável. Proposição 2.3. Para o sistema S(2.34), suponha que são válidas as condições: (i) existe uma constante κ > 0 tal que, para todo k ∈ N, ||Ak||< κ; (ii) supk∈N{τk+1− τk} ≤ λ < ∞; (iii) para todo k ∈ N Bk+1 é não-singular e ||B−1 k+1||e κλk ≤ ξ < 1. (2.38) Então (S(2.34),{0}) é instável, na verdade, completamente instável. 2.5 Teoremas de Estabilidade de Lyapunov 45 Demonstração: Da mesma forma como fizemos no exemplo anterior, escolhemos V (x) = ||x|| e φ ∈ KR dada por φ(r) = r, que implica que (2.36) é satisfeita. Denotamos novamente por p(t,a,τ p o ) os deslocamentos de S(2.34) para (τ p o ,a) ∈ R +×R n. Desde que ||eAk(τk+1−τk)|| ≤ e||Ak||(τk+1−τk) ≤ eκ(τk+1−τk), segue que DV (y(τk)) = V (p(τ p k+1,a,τ p o ),τ p k+1)−V (p(τ p k ,a,τ p o ),τ p k ) (τ p k+1− τ p k ) = ||Bk+1eAk(τ p k+1−τ p k )p(τ p k ,a,τ p o )||− ||p(τ p k ,a,τ p o )|| (τ p k+1− τ p k ) ≥ 1 ||e−Ak(τk+1−τk)B−1 k+1|| ||p(τ p k ,a,τ p o )||− ||p(τ p k ,a,τ p o )|| τk+1− τk ≥ 1 ||B−1 k+1||e κλk ||p(τ p k ,a,τ p o )||− ||p(τ p k ,a,τ p o )|| τk+1− τk ≥ 1 ξ −1 λ ||y(τk)||. Tomando então ψ(r) = 1 α−1 λ r, claramente (2.37) é satisfeita, e como V (p(t,a,τ p o )) > 0, sempre que p(t,a,τ p o ) = 0, todas as hipóteses do Teorema 2.7 são satisfeitas. Portanto (S(2.34),{0}) é instável, na verdade, completamente instável. Para finalizar, lembramos que dedicamos este capítulo à teoria de sistemas dinâmicos hí- bridos, com o intuito de apresentar os conceitos e resultados básicos do estudo qualitativo de estabilidade destes sistemas. Observamos que a teoria envolvendo os conceitos expostos aqui, permite estudar uma grande variedade de sistemas que muitas vezes envolvem um comporta- mento dinâmico complexo. Todavia, este estudo pode ser simplificado pelo processo de imersão de um sistema dinâmico híbrido definido em tempo generalizado em um sistema dinâmico des- contínuo definido em R+, possibilitando o uso de conceitos e resultados bem conhecidos da teoria de sistemas dinâmicos. No que se refere ao nosso interesse principal, o estudo de estabi- lidade destes sistemas, os resultados apresentados para SDD são mais gerais que os resultados usuais da teoria básica de sistemas dinâmicos. O Teorema 2.5 e o Teorema 2.6 são baseados nos resultados para SDC, no entanto, são menos restritivos e mais abrangentes que estes, conside- rando informações sobre os possíveis pontos de descontinuidade do sistema. Além disso, o uso de aplicações que preservam estabilidade, podem simplificar o estudo de estabilidade, dentro da teoria de comparação, estendendo o conceito de funções de Lyapunov. Assim, tendo realizado um estudo básico da teoria, encerramos este capítulo. 46 3 Sistemas Dinâmicos Descontínuos Modelados por Semigrupos 3.1 Introdução No capítulo anterior estudamos resultados gerais da teoria de estabilidade de SDH (respec- tivamente SDD). Todos os resultados lá apresentados faziam uso das funções de Lyapunov para estudar a estabilidade do sistema. A desvantagem desse método é que nem sempre é possí- vel, com um esforço aceitável, encontrar funções desse tipo para determinados sistemas. No entanto, para uma classe de sistemas em que os deslocamentos determinam semigrupos, é pos- sível estabelecer resultados que não fazem uso das funções de Lyapunov, mas são amparados pela teoria de semigrupos. Portanto, nesse capítulo, nosso objetivo é estudar os resultados para esta classe. A teoria apresentada aqui é bastante abrangente, haja vista a amplitude da classe de sistemas deste tipo. Além disso, enfatizamos que, mais do que propiciar uma teoria alterna- tiva para estabilidade, o uso de semigrupos é também motivado pelo fato de que os resultados podem ser mais facilmente aplicados a sistemas de dimensão finita e infinita. Para ter uma idéia geral do tipo de sistemas que estamos interessados, iniciamos com uma classe de sistemas dinâmicos descontínuos obtida através de uma família de sistemas determina- dos por problemas abstratos de Cauchy em um espaço de Banach X . A partir daí, os resultados são estabelecidos para uma subclasse desta, fazendo uso da teoria de semigrupos. Consideramos a família de problemas de valor inicial de Cauchy da forma ẏ(t) = Fk(t,y), t ≥ τk, y(τk) = yk, } (3.1) sendo k ∈ N, Fk : R +×X → X e S(k) (3.1) os sistemas gerados pela família de problemas acima. Além disso, supomos que para todo (τk,yk)∈R +×X , S(k) (3.1) possui uma única solução y(k)(t,yk,τk), que existe para todo t ∈ [τk,∞) e é contínua com respeito as condições iniciais, e supomos tam- bém que Fk(0) = 0. 3.2 SDD Determinados por Semigrupos 47 Podemos, então, considerar o problema de valor inicial descontínuo no espaço de Banach X , dado por ẏ(t) = Fk(t,y), τk ≤ t < τk+1, y(τk+1) = gk(y(τ − k+1)), k ∈ N, } (3.2) sendo que para cada k ∈ N, Fk possui as mesmas propriedades que em (3.1), S(3.2) é o sistema determinado por (3.2), e suponhamos que gk ∈C[X ,X ] e satisfaz gk(0) = 0. Claramente, para todo (to,yo) ∈ R +×X , S(3.2) possui uma única solução y(t,yo, to) que existe para todo t ∈ [to,∞). Esta solução é tomada como a família de soluções y(k)(t,yk,τk), definidas em [τk,τk+1), k ∈ N, com condições iniciais (τk,y(τk)). Assim as soluções de (3.2) são funções contínuas por parte, sendo contínuas em cada intervalo [τk,τk+1) e tendo possíveis pontos de descontinuidades {τ1,τ2, ...}. Além disso S(3.2) admite a solução trivial y(t,0, to) = 0, t ≥ to. Particularmente, apresentaremos nas próximas seções modelos de SDD em que os desloca- mentos determinam semigrupos. Observação 3.1. Em concordância com a notação utilizada no capítulo anterior para (SDD), obviamente (3.2) determina um sistema dinâmico descontínuo {R+,X ,A,S}, em que A = X e a métrica em X é determinada pela norma definida em X. Além disso, S denota o conjunto de todas as soluções de (3.2) correspondendo a todas as condições iniciais (to,yo) ∈ R +×X. 3.2 SDD Determinados por Semigrupos Nesta seção definimos os casos particulares de SDD determinados por semigrupos lineares e não-lineares, tendo como base o modelo de sistema apresentado em (27). Por todo o capítulo utilizaremos a notação T = {Ti(t)} para denotar uma família de semi- grupos definidos em um espaço de Banach X , para o caso de semigrupos lineares, ou em um subconjunto C ⊂ X , para o caso de semigrupos não-lineares. Utilizaremos também a notação H = {Hj} para denotar uma família de operadores contínuos lineares Hj : X → X , ou uma família de operadores contínuos não-lineares Hj : C → C. Além disso, como anteriormente, E = {to = τo,τ1,τ2, ... : τo < τ1 < τ2 < ...} ⊂ R + denotará um conjunto fechado, discreto e ilimitado. Para evitar confusão, vamos supor que quando T consistir de semigrupos lineares, então H consistirá de operadores lineares, além disso as famílias T e H poderão possuir um número finito ou infinito de elementos. No Apêndice A catalogamos conceitos e resultados básicos da teoria de semigrupos para facilitar a leitura para os que não estão familiarizados com esta teoria. 3.2 SDD Determinados por Semigrupos 48 3.2.1 SDC Modelados por Semigrupos Antes de definir SDD determinado por semigrupos, apresentamos a definição de SDC mo- delado por semigrupos lineares e não-lineares, uma vez que o primeiro toma como base o se- gundo. SDC Determinados por Co-semigrupos Para um dado Co-semigrupo T (t), definimos o deslocamento y(·,yo, to), com tempo inicial to ∈ R + e estado inicial yo ∈ X , por y(t,yo, to) = T (t− to)yo, t ≥ to, (3.3) e definimos o sistema dinâmico contínuo determinado pelo Co-semigrupo T (t) como sendo a família de deslocamentos SCo = {y = y(·,x, to) : y(t,x, to) = T (t− to)x, to ∈ R +, t ≥ to, x ∈ X}. (3.4) Observamos que da forma como foi definido, y(to,yo, to) = T (to− to)yo = yo. SDC Determinados por Semigrupos Não-lineares De forma análoga como fizemos para Co-semigrupos, definimos o deslocamento y(·,yo, to), com tempo inicial to ∈ R + e estado inicial yo ∈C ⊂ X , por y(t,yo, to) = T (t− to)(yo), t ≥ to, (3.5) e conseqüentemente, definimos o sistema dinâmico contínuo determinado pelo semigrupo não- linear T (t) como sendo a família de deslocamentos SN = {y = y(·,x, to) : y(t,x, to) = T (t− to)(x), to ∈ R +, t ≥ to, x ∈C}. (3.6) Novamente y(to,yo, to) = T (to− to)yo = yo, além disso, para este sistema, supomos que x = 0 pertence ao interior de C. 3.2.2 SDD Determinados por Co-semigrupos Para definir os sistemas determinados por Co-semigrupos, consideramos a classe de sis- temas dinâmicos cujos deslocamentos y(·,yo, to), com tempo inicial to ∈ R + e estado inicial 3.2 SDD Determinados por Semigrupos 49 y(to) = yo ∈ X , são dados por y(t,yo, to) = Tk(t− τk)y(τk), τk ≤ t < τk+1, y(t) = Hky(t−), t = τk+1, k ∈ N. } (3.7) Assim, definimos o SDD determinado por Co-semigrupos como S = {y = y(·,x, to) : y(t,x, to) = Tk(t− τk)y(τk), τk ≤ t < τk+1, y(t) = Hky(t−), t = τk+1, k ∈ N, to ∈ R +, y(to) = x ∈ X}. (3.8) Note que o sistema definido acima toma como base o sistema correspondente definido na sub- seção anterior. Observação 3.2. Algumas considerações podem ser feitas a respeito dos deslocamentos y(·,yo, to) de (3.8), como o fato de que são únicos, com y(to,x, to) = x, existem para todo t ≥ to, são con- tínuos em [to,∞)−{τ1,τ2, ...} e podem ser descontínuos em t = τk, k = 1,2, ... Além disso, de- notamos por E1 = {τ1,τ2, ..} o conjunto dos pontos de descontinuidades para o deslocamento y(·,yo, to). No sistema (3.8), a família T consiste de Co-semigrupos e a família H consiste de ope- radores lineares, de forma que por conveniência, denotaremos o sistema (3.8) por SDCo . Além disso, como os operadores Tk(t), Hk, t ∈ R +, são lineares, temos y(t,0, to) = Tk(t− τk)0 = 0, para todo t ≥ τo. Portanto x = 0 é ponto de equilíbrio para o SDD SDCo . 3.2.3 SDD Determinados por Semigrupos Não-Lineares De forma análoga como fizemos para Co-semigrupos, definimos o sistema determinado por semigrupos não-lineares considerando sistemas cujos deslocamentos y(·,yo, to), com condições iniciais (to,yo) ∈ R +×C, C ⊂ X , são dados por y(t,yo, to) = Tk(t− τk)(y(τk)), τk ≤ t < τk+1, y(t) = Hk(y(t−)), t = τk+1, k ∈ N. } (3.9) Definimos então o SDD determinado por semigrupos não-lineares como S = {y = y(·,x, to) : y(t,x, to) = Tk(t− τk)(y(τk)), τk ≤ t < τk+1, y(t) = Hk(y(t −)), t = τk+1, k ∈ N, to ∈ R +, y(to) = x ∈C ⊂ X}. (3.10) A Observação 3.2 feita para o sistema (3.8) também se aplica ao sistema (3.10), o qual denotaremos por SDN . Desde que operadores Tk(t), Hk, t ∈R +, são não-lineares, para o sistema 3.3 Estabilidade de Semigrupos 50 SDN vamos supor que x = 0 pertence ao interior de C e que Tk(t)(0) = 0 para todo t ≥ to. Supomos também que Hk(0) = 0 para todo k ∈ N, dessa forma, temos y(t,0, to) = 0, para todo t ≥ to. Portanto x = 0 é ponto de equilíbrio para o SDD SDN . Observação 3.3. Por todo o capítulo estaremos nos referindo aos sistemas SDN e SDCo ; porém, em alguns conceitos e resultados, não haverá necessidade de distinção entre esses sistemas, visto que os resultados serão satisfeitos por ambos. Nestes casos, denotaremos por S o sistema geral que pode ser interpretado como SDN ou SDCo . 3.3 Estabilidade de Semigrupos 3.3.1 Caracterizações Qualitativas No capítulo anterior estudamos noções de estabilidade no sentido de Lyapunov para con- juntos invariantes, nesta seção apresentaremos estes conceitos para SDD determinados por se- migrupos, para o caso mais particular em que o conjunto invariante M é o ponto de equilíbrio y = 0 de SDN e SDCo , que supomos pertencer ao interior de C ⊂ X . Definição 3.1. Dizemos que o equilíbrio y = 0 de S é estável, se para todo ε > 0 e todo to ≥ 0, existe um δ = δ (ε, to) > 0 tal que ||y(t,yo, to)|| < ε para todo t ≥ to e todo y(·,yo, to) de S, sempre que ||yo|| < δ (e yo ∈ C). Quando δ = δ (ε), diremos que o equilíbrio y = 0 de S é uniformemente estável. Definição 3.2. Dizemos que o equilíbrio y = 0 de S é atrativo se existe um η = η(to) > 0 tal que lim t→∞ ||y(t,yo, to)||= 0, para todo y(·,yo, to) de S, sempre que ||yo||< η (e yo ∈C). Definição 3.3. Dizemos que o equilíbrio y = 0 de S é assintoticamente estável se é estável e atrativo. Definição 3.4. Dizemos que o equilíbrio y = 0 de S é uniformemente atrativo, se para todo ε > 0 e todo to ≥ 0 existe um δ > 0 (independente de to e ε) e um μ = μ(ε) > 0, independente de to, tal que ||y(t,yo, to)||< ε para todo t > to + μ e todo y(·,yo, to) de S, sempre que ||yo||< δ (e yo ∈C). Definição 3.5. Dizemos que o equilíbrio y = 0 de S é uniformemente assintoticamente estável se é uniformemente estável e uniformemente atrativo. 3.3 Estabilidade de Semigrupos 51 Definição 3.6. Dizemos que o equilíbrio y = 0 de S é exponencialmente estável se existe um α > 0, e para todo ε > 0 e todo to ≥ 0, existe um δ = δ (ε, to) > 0 tal que ||y(t,yo, to)||< εe−α(t−to), para todo t ≥ to e todo y(·,yo, to) de S, sempre que ||yo||< δ (e yo ∈C). Definição 3.7. Dizemos que o equilíbrio y = 0 de S é globalmente assintoticamente estável, se é estável e se para todo y(·,yo, to) de S e todo (to,yo)∈R +×X, tem-se limt→∞ ||y(t,yo, to)||= 0, ou seja, tem-se que para todo ε > 0 existe um tε ≥ to tal que ||y(t,yo, to)||< ε sempre que t > tε . Definição 3.8. Dizemos que o equilíbrio y = 0 de S é globalmente uniformemente assintotica- mente estável, se (i) é uniformemente estável; (ii) para todo α > 0, todo ε > 0 e todo to ≥ 0, existe um μ = μ(ε,α) > 0 (independente de to) tal que se ||yo|| < α , então para todo y(·,yo, to) de S, ||y(t,yo, to)|| < ε para todo t ≥ to + μ . Definição 3.9. Dizemos que o equilíbrio y = 0 de S é globalmente exponencialmente estável, se existem α > 0, γ > 0, e para todo β > 0 existe k(β ) > 0 tal que ||y(t,yo, to)||< k(β )||yo|| γe−α(t−to), para todo t ≥ to e todo y(·,yo, to) de S, sempre que ||yo||< β . Definição 3.10. Dizemos que o equilíbrio y = 0 de S é instável se para todo δ > 0, existe um y(·,yo, to) de S, com to independente de δ , e um t1 ≥ to, tal que ||yo||< δ e ||y(t1,yo, to)|| ≥ εo, para algum εo > 0 que é independente de δ . 3.3.2 Estabilidade de Co-semigrupos Nesta subseção apresentamos resultados específicos para sistemas modelados por Co-semigrupos. Na subseção seguinte estabeleceremos resultados semelhantes a estes, mas referentes a sistemas modelados por semigrupos não-lineares. Para o próximo resultado, lembramos duas propriedades importantes de semigrupos line- ares. Pelo Teorema A.6, para qualquer Co-semigrupo Tk(t), existem μk ≥ 0, Pk ≥ 1, tais que ||Tk(t)|| ≤ Pkeμkt , t ≥ 0. (3.11) 3.3 Estabilidade de Semigrupos 52 Além disso, pelo Teorema A.9, se Tk(t) é diferenciável para t > r (Tk(t)x é continuamente diferenciável em r < t < ∞, para cada x), sendo Ak seu gerador infinitesimal, e se Re λk ≤−αko para todo λk ∈ σ(Ak), então dada qualquer constante positiva αk < αko , existe uma constante K(αk) > 0 tal que ||Tk(t)|| ≤ K(αk)e −αkt , t ≥ 0. (3.12) Resumiremos estas duas propriedades utilizando a desigualdade ||Tk(t)|| ≤Mkewkt , t ≥ 0, (3.13) sendo que, dependendo da conveniência, as constantes Mk e wk são obtidas de (3.11) ou (3.12). Com o objetivo de sintetizar as equações, faremos uso de algumas notações adicionais. Para um dado lo ∈ N e lk ∈ N + lo+1 := {lo +1, lo +2, ...}, definimos o produto finito πlk,lo = k−1 ∏ i=0 ( ||Hli||Mlie wli λli ) , alk,lo = Mlke (wlk + |wlk | 2 ) λlk πlk,lo k ∈ N + 1 = {1,2, ...}, ⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭ (3.14) sendo πlo,lo = 1, λlk = τlk+1 − τlk e ||Hk|| a norma do operador linear limitado definido anterior- mente. Estamos agora em condições de apresentar um importante resultado de estabilidade de sis- temas modelados por semigrupos do tipo definido por (3.8). Diferentemente dos resultados de estabilidade apresentados anteriormente, este teorema não faz uso das funções de Lyapunov, o que simplifica consideravelmente sua aplicação, considerando-se as dificuldades muitas vezes encontradas em se determinar estas funções. Teorema 3.1. (a) Para o sistema SDCo, considere (3.13). Suponha que para qualquer lo ∈ N existe uma constante ν(lo) > 0 tal que alk,lo ≤ ν(lo), (3.15) para todo k ∈N, sendo alk,lo definido como em (3.14). Então o equilíbrio y = 0 de SDCo é estável. (b) Se na parte (a), ν(lo) = ν , então o equilíbrio y = 0 de SDCo é uniformemente estável. (c) Se na parte (b), (3.15) é trocada por lim k→∞ alk,lo = 0, (3.16) 3.3 Estabilidade de Semigrupos 53 para todo lo ∈N, então o equilíbrio y = 0 de SDCo é globalmente assintoticamente estável. (d) Se a parte (a) é satisfeita e se na parte (c) a relação (3.16) é satisfeita uniformemente com respeito a lo ∈N (equivalentemente, se para todo ε > 0 e todo lo ∈N existe um K(ε)∈N, independente de lo ∈ N, tal que alk,lo < ε para todo k ≥ K(ε)), então o equilíbrio y = 0 de SDCo é globalmente uniformemente assintoticamente estável. (e) Suponha que na parte (a) (3.15) é trocada por alk,lo < aρ lk−lo, lo,k ∈ N, (3.17) sendo a > 0 e 0 < ρ < 1. Suponha ainda que λk = τk+1− τk < θ , (3.18) sendo θ > 0 uma constante. Então o equilíbrio y = 0 de SDCo é globalmente exponenci- almente estável. Como conseqüência do Teorema 3.1, apresentamos um resultado que apesar de ser mais conservativo que o teorema, possui maiores vantagens quanto a aplicações. Enunciamos este resultado em forma de corolário. Corolário 3.1. (a) Para o sistema SDCo, suponha que as seguintes afirmações são verdadeiras: (i) A condição (3.13) é verificada com parâmetros (Mk,wk); (ii) Para todo k ∈ N, λk = τk+1− τk ≤ θ < ∞; (iii) Para todo k ∈ N, Mk ≤M < ∞ e wk ≤ w < ∞, sendo M ≥ 1 e w≥ 0 constantes; (iv) Para todo k ∈ N, ||Hk||Mkewkλk ≤ 1. (3.19) Então o equilíbrio y = 0 de SDCo é estável e uniformemente estável. (b) Se na parte (a) a hipótese (iv) é trocada por ||Hk||Mkewkλk ≤ δ < 1, (3.20) para todo k ∈ N, sendo δ > 0. Então o equilíbrio y = 0 de SDCo é globalmente assin- toticamente estável, globalmente uniformemente assintoticamente estável e globalmente exponencialmente estável. Tendo em vista a semelhança entre os atuais e os próximos resultados a serem apresentados, omitimos as demonstrações do Teorema 3.1 e Corolário 3.1, uma vez que as demonstrações des- 3.3 Estabilidade de Semigrupos 54 tes seguem os mesmos procedimentos utilizados nas provas dos referidos teoremas da subseção seguinte. 3.3.3 Estabilidade de Semigrupos Não-lineares É possível estabelecer resultados semelhantes aos Teorema 3.1 e Corolário 3.1, desta vez aplicados ao SDD SDN . Para isso, devido a não linearidade dos operadores, são necessárias algumas modificações nas hipóteses. Iniciamos estabelecendo algumas limitações aos opera- dores das famílias T e H . Suponhamos que para cada semigrupo não-linear Tk(t) existem constantes Mk ≥ 1 e wk ∈R, e para cada operador Hk : C→C existe uma constante ck tais que ||Tk(t)(y)|| ≤Mkewkt ||y||, (3.21) e ||Hk(y)|| ≤ ck||y||, (3.22) para todo y ∈C, t ≥ 0, k ∈ N. A desigualdade (3.21) é sempre satisfeita quando o semigrupo Tk(t) é quase-contrativo, neste caso Mk ≥ 1 e wk ∈ R, e quando Tk(t) é contrativo, (3.21) é satisfeita com Mk ≥ 1 e wk ≤ 0. Da mesma forma como fizemos para Co-semigrupos, definimos πlk,lo = k−1 ∏ i=0 ( cliMlie wli λli ) , alk,lo = Mlke (wlk + |wlk | 2 ) λlk πlk,lo, k ∈ N + 1 = {1,2, ...}, ⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭ (3.23) Com essas considerações, enunciamos o resultado que estabelece condições suficientes para estabilidade de sistemas determinados por semigrupos não-lineares. Teorema 3.2. (a) Para o sistema SDN, considere (3.21) e (3.22). Suponha que para qualquer lo ∈ N existe uma constante ν(lo) > 0 tal que alk,lo ≤ ν(lo), (3.24) para todo k ∈ N, sendo alk,lo definido como em (3.23). Então o equilíbrio y = 0 de SDN é estável; (b) Se na parte (a), ν(lo) = ν , então o equilíbrio y = 0 de SDN é uniformemente estável; 3.3 Estabilidade de Semigrupos 55 (c) Se na parte (a), (3.24) é trocada por lim k→∞ alk,lo = 0, (3.25) para todo lo ∈ N, então o equilíbrio y = 0 de SDN é assintoticamente estável; (d) Se a parte (a) é satisfeita e se na parte (c) a relação (3.25) é satisfeita uniformemente com respeito a lo ∈N (equivalentemente, se para todo ε > 0 e todo lo ∈N existe um K(ε)∈N, independente de lo ∈ N, tal que alk,lo < ε para todo k ≥ K(ε)), então o equilíbrio y = 0 de SDN é uniformemente assintoticamente estável; (e) Suponha que na parte (a) (3.24) é trocada por alk,lo < aρ lk−lo, lo,k ∈ N, (3.26) sendo a > 0 e 0 < ρ < 1. Suponha ainda que λk = τk+1− τk < θ , (3.27) sendo que θ > 0 é uma constante. Então o equilíbrio y = 0 de SDN é exponencialmente estável; (f) Se nas partes (c)− (e) as condições (3.21) e (3.22) são válidas para todo y ∈ X, então o equilíbrio y = 0 de SDN é globalmente assintoticamente estável, globalmente uniforme- mente assintoticamente estável, globalmente exponencialmente estável, respectivamente. Lema 3.1. Para o sistema SDN, se as desigualdades (3.21) e (3.22) são satisfeitas, então para todo to ≥ 0, yo ∈C e todo t ≥ to, existe lo ∈ N tal que ||y(t)|| ≤ alk,lo||yo||, (3.28) para todo t ∈ [τlk ,τlk+1 ), k ∈ N, sendo alklo definida como em (3.23). Demonstração: Para o sistema SDN , com E = {τo,τ1,τ2, ...} ⊂R +, associamos cada intervalo [τk,τk+1) com o índice k∈N. Para não haver risco de confusão, empregamos algumas alterações na notação para que seja identificada com a notação empregada em (3.23). Assim, tomamos lo = [to] = [τo], sendo que [x] denota a parte inteira de x ∈ R, e fazemos lk+1 = lk + 1, k ∈ N. Dessa forma, o conjunto E altera-se para E = {τlo,τl1,τl2, ...}, e o intervalo [τk,τk+1) torna-se [τlk ,τlk+1). Agora, se y(