Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” Instituto de Geociências e Ciências Exatas Câmpus de Rio Claro Cálculo de Áreas de Figuras Planas e Espaciais com aplicações ao Ensino Fundamental e Médio Alessandro Luis Custodio Dissertação apresentada ao Programa de Pós- Graduação – Mestrado Profissional em Mate- mática em Rede Nacional como requisito par- cial para a obtenção do grau de Mestre Orientadora Profa. Dra. Marta Cilene Gadotti 2015 Custodio, Alessandro Luis Cálculo de áreas de figuras planas e espaciais com aplicações ao ensino fundamental e médio / Alessandro Luis Custódio. - Rio Claro, 2015 115 f. : il., figs., gráfs., tabs., fots. Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista, Instituto de Geociências e Ciências Exatas Orientador: Marta Cilene Gadotti 1. Geometria. 2. Figuras espaciais. 3. Geoplano. I. Título. 516 C987c Ficha Catalográfica elaborada pela STATI - Biblioteca da UNESP Campus de Rio Claro/SP 2 TERMO DE APROVAÇÃO Alessandro Luis Custodio Cálculo de Áreas de Figuras Planas e Espaciais com aplicações ao Ensino Fundamental e Médio Dissertação aprovada como requisito parcial para a obtenção do grau de Mestre no Curso de Pós-Graduação Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional do Instituto de Geociências e Ciências Exatas da Uni- versidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, pela seguinte banca examinadora: Profa. Dra. Marta Cilene Gadotti Orientadora Prof. Dr. Wladimir Seixas Departamento de Física, Química e Matemática - UFSCar Profa. Dra. Renata Zotin Gomes de Oliveira Departamento de Matemática - IGCE - Unesp Rio Claro, 31 de Julho de 2015 Dedico este trabalho aos meus familiares e amigos. Agradecimentos À Deus pela vida, saúde, trabalho e força que me faz lutar a cada dia. À minha orientadora Professora Doutora Marta Cilene Gadotti que me ajudou, orientou e aperfeiçoou este trabalho. À UNESP e a todos os professores do PROFMAT que me ensinaram com muita dedicação e carinho. Aos professores monitores e auxiliares do PROFMAT que nos ajudaram no decorrer das disciplinas. Aos meus pais Joaquim Custódio e Conceição Aparecida Varussa Custódio que sempre me ajudaram e me orientaram dando a devida educação para que eu conseguisse alcançar meus objetivos. À minha esposa Luciane Andrade dos Anjos Custódio que me apoiou nos momentos difíceis e soube entender a importância desse Mestrado. Ao meu irmão André Luiz Custódio, sua esposa Andrea Teles de Meneses Custódio e ao meu sobrinho que veio ao mundo para nos dar alegria; ao meu sogro Eronides Soares dos Anjos e minha sogra Luziene dos Santos Anjos e minhas cunhadas Érica dos Santos Anjos e Elaine dos Santos Anjos, que sempre rezavam e incentivavam nas vésperas das provas difíceis. Aos meus amigos do PROFMAT Matheus, Marcílio Maeda, Franck, Gabriel, Paulo entre outros, que me auxiliaram nos estudos e que foram companheiros durante o curso. À Professora Mestre Mariana Pecorari que me emprestou alguns livros e apostilas, me incentivou e me ajudou durante boa parte do mestrado. À Professora Tereza Meirelles que me doou vários livros de matemática. À direção, Elaine, Adriana e Cecília e à coordenação, Roade e Meire da Escola Odilon Corrêa que me apoiaram sempre em minhas atividades desenvolvidas em sala de aula. Aos meus alunos da Escola Odilon Corrêa da turma de 2015 que contribuíram na aplicação das atividades. Aos vários professores que trabalham comigo, principalmente as professoras Danu- bia, Sheila, Rosângela, Patrícia, Cristiane, Érika C., Érica S., Maria Ângela, Adalgisa, Maria de Aparecida, Rafaela, Maria Alzira entre outras e aos professores Fernando, Rafael, Ruben, Paulo, Rogério entre outros. À CAPES pelo apoio financeiro para realização deste estudo. E a todas as demais pessoas da minha família, comunidade, trabalho e convívio que sempre torceram pelo meu sucesso. Um sonho que se sonha só, é só um sonho. Um sonho que se sonha junto é realidade. Raul Seixas Resumo Este trabalho tem por objetivo auxiliar o professor de Matemática através do es- tudo detalhado sobre área das figuras planas e espaciais vistas no Ensino Fundamental e Médio. Para isto apresentaremos um relato histórico muito breve, além de uma aná- lise de livros didáticos e apostilas utilizados no Estado de São Paulo, tanto no Ensino Fundamental como no Médio. Será apresentado um embasamento teórico com as de- monstrações dos principais resultados e finalmente algumas atividades do assunto para o Ensino Fundamental e o Ensino Médio serão realizadas. Palavras-chave: Geometria, Figuras Espaciais, Geoplano. Abstract The purpose of this work is to assist the mathematics teacher through the detailed study about area of the plane figures and spatial figures seen in high schools. We present a very short historical account, as well as an analysis about text books and handouts of State São Paulo used in high school. There will be a theoretical foundation in which we will prove of the results about area and finally we will present some activities of the theme for high school. Keywords: Geometry, Figures space, Geoplano. Lista de Figuras 2.1 Ilustração do Problema 51: Papirus de Rhind. . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2 Ilustração do Problema 52: Papirus de Rhind. . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3 Ilustração do Problema 50: Papirus de Rhind. . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4 Ilustração do Problema 14: Papirus de Moscou. . . . . . . . . . . . . . 25 2.5 Ilustração da demonstração do problema lunas no triângulo retângulo. . 28 2.6 Ilustração do problema lunas no trapézio isósceles. . . . . . . . . . . . . 29 2.7 Ilustração do primeiro problema lunas de Alexandre. . . . . . . . . . . 29 2.8 Ilustração do segundo problema lunas de Alexandre. . . . . . . . . . . . 30 2.9 Ilustração de um exemplo de curva que Arquimedes estudou. . . . . . . 31 3.1 Polígonos em malhas quadriculadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2 Ilustração de exemplos de polígonos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.3 Figuras curvas em malhas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.4 Regiões circulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.1 Exemplo de um polígono convexo e um não convexo. . . . . . . . . . . 44 4.2 Ilustração de polígono convexo, com n = 7. . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.3 Ilustração do paralelogramo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.4 Ilustração do triângulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.5 Ilustração dos triângulos acutângulo, retângulo e obtusângulo. . . . . . 49 4.6 Ilustração do triângulo equilátero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.7 Ilustração do losango. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.8 Ilustração do trapézio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.9 Ilustração do polígono regular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.10 Ilustração do hexágono regular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.11 Ilustração do círculo e da cirncunferência. . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.12 Ilustração do círculo inscrito num hexágono regular. . . . . . . . . . . . 54 4.13 Ilustração da coroa circular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.14 Ilustração do setor circular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.15 Ilustração do incentro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.16 Ilustração do triângulo e círculo inscrito. . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.17 Ilustração para a demonstração de Heron. . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.18 Ilustração do segmento circular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.19 Ilustração do prisma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.20 Ilustração de diedro e triedro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.21 Ilustração de pirâmide ilimitada e uma secção. . . . . . . . . . . . . . . 63 4.22 Ilustração da pirâmide convexa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.23 Ilustração geral do cilindro de diretriz C. . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.24 Ilustração do cilindro circular ilimitado e cilindro circular. . . . . . . . 65 4.25 Ilustração do cilindro e sua planificação. . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.26 Ilustração geral do cone. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.27 Ilustração do cone e sua planificação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.28 Ilustração do cone e seu tronco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.29 Ilustração do tronco do cone e sua planificação. . . . . . . . . . . . . . 69 4.30 Ilustração da esfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.31 Ilustração da área da esfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.32 Ilustração do triângulo retângulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.1 Fotos de alguns dos ambientes observados. . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.2 Atividade 1 desenvolvida em sala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.3 Atividade 2 desenvolvida em sala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5.4 Atividade 2 desenvolvida em sala com o Geoplano. . . . . . . . . . . . . 82 5.5 Atividade 3 desenvolvidas em sala com o Geoplano. . . . . . . . . . . . 84 5.6 Atividade 3 desenvolvida em sala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 5.7 Exemplo de construção para a Atividade 4. . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.8 Atividade 4 desenvolvida em sala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.9 Exemplos para a Atividade 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.10 Atividade 5 desenvolvida em sala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5.11 Exemplos para a atividade 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 5.12 Atividade 6 desenvolvida em sala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.13 Atividade 7 desenvolvida em sala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 5.14 Atividade 8 desenvolvida em sala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 A.1 Gráfico da função f(x) = 2x+ 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 A.2 Gráfico da função f(x) = 1 x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 A.3 Ilustração da interpretação geométrica da derivada. . . . . . . . . . . . 110 A.4 Ilustração da região S sob o gráfico de uma função. . . . . . . . . . . . 111 A.5 Ilustração do região S sob o gráfico de uma função constante. . . . . . 112 A.6 Ilustração da Soma de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Lista de Tabelas 3.1 Fórmulas das áreas de alguns polígonos ou figuras vistas no EF. . . . . 39 3.2 Fórmulas das áreas de algumas figuras vistas no EM. . . . . . . . . . . 42 5.1 Nome de alguns polígonos vistos no EF. . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.2 Avaliação da Atividade 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.3 Avaliação da Atividade 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5.4 Avaliação da Atividade 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.5 Avaliação da Atividade 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 5.6 Avaliação da Atividade 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5.7 Avaliação da Atividade 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.8 Algumas fórmulas para a Atividade 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5.9 Avaliação da Atividade 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 5.10 Avaliação da Atividade 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 B.1 Propriedades da soma dos números reais. . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 B.2 Propriedades do produto dos números reais. . . . . . . . . . . . . . . . 117 Sumário 1 Introdução 21 2 Um pouco da História da Matemática em relação à Geometria 23 2.1 Egito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Mesopotâmia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3 Grécia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4 China . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.5 Índia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3 Abordagem no Ensino Fundamental e Médio 35 3.1 Ensino Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2 Ensino Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4 Desenvolvimento Teórico: Áreas 43 4.1 Áreas de Figuras no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.2 Áreas de Figuras no Espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5 Atividades Didáticas 73 5.1 Descrição da Escola e Alunos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.2 Atividades para o Ensino Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5.2.1 ATIVIDADE 1: Polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5.2.2 ATIVIDADE 2: Classificação de triângulos . . . . . . . . . . . . 78 5.2.3 ATIVIDADE 3: Quadriláteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.2.4 ATIVIDADE 4: Cálculo de áreas através do Geoplano . . . . . 85 5.2.5 ATIVIDADE 5: Cálculo de áreas através da malha quadriculada 87 5.2.6 ATIVIDADE 6: Cálculo de áreas de qualquer figura através da malha quadriculada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5.2.7 ATIVIDADE 7: Aplicação de fórmulas para calcular áreas em exercícios simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.2.8 ATIVIDADE 8: Aplicação de fórmulas para calcular áreas em problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 5.3 Atividades para o Ensino Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5.3.1 ATIVIDADE 1: Área de Polígonos Regulares . . . . . . . . . . 95 5.3.2 ATIVIDADE 2: Área de polígonos regulares inscritos na circun- ferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 6 Considerações Finais 99 Referências 101 A Algumas Noções de Cálculo Diferencial e Integral 103 A.1 Noção de limite de uma função real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 A.1.1 Limites no Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 A.2 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 A.3 Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 A.3.1 Conceito de Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 A.3.2 Função Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 A.3.3 Regras de Derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 A.4 Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 A.4.1 Teorema Fundamental do Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 B O Conjunto dos Números Reais 117 B.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 B.2 Limitantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 1 Introdução Com o intuito de auxiliar o leitor e principalmente o professor de Matemática em sua contínua formação, este trabalho apresenta um estudo detalhado sobre área das principais figuras planas e espaciais vistas no Ensino Fundamental e Médio. Apresentaremos no Capítulo 2 alguns fatos históricos importantes sobre o estudo de áreas na Antiguidade, iniciando uma "viagem"pelo Egito, passando pela Mesopotâ- mia, Grécia, Índia e China. Nesta parte histórica teremos alguns detalhes importantes sobre o número π. No Capítulo 3 será apresentado uma análise de como alguns livros didáticos e as apostilas (caderno dos alunos) do Estado de São Paulo abordam o conteúdo sobre áreas. Com o objetivo de fazer o leitor relembrar ou até mesmo aprender alguns conceitos, o Capítulo 4 nos traz várias definições, teoremas e demonstrações. Praticamente serão vistas todas as fórmulas apresentadas nas escolas e suas respectivas demonstrações. Muitas dessas demonstrações podem ser realizadas com os alunos do Ensino Médio, enquanto que algumas não serão possíveis por envolverem conceitos que são vistos ape- nas no Ensino Superior. Após esta importantíssima parte teórica, teremos no Capítulo 5 várias propostas de atividades para o professor, onde começaremos com o reconhecimento da nomenclatura de polígonos, depois um estudo sobre triângulos e os principais quadriláteros. As ati- vidades tem como objetivo fazer com que os alunos calculem áreas de forma intuitiva através do Geoplano e malhas quadriculadas. Finalmente, serão realizadas atividades nas quais são apresentadas algumas fórmulas para calcular as áreas de figuras planas através de exercícios simples e problemas mais elaborados serão realizados. No final de cada atividade aplicada nos 6os anos uma avaliação e os resultados dessas aplicações são discutidos. Todas as figuras apresentadas neste trabalho foram feitas pelo autor através do software GeoGebra 1. Apresentaremos no final deste trabalho dois Apêndices que têm como objetivo de- 1www.geogebra.org 21 22 Introdução senvolver certas teorias necessárias para algumas demonstrações, definições e teoremas. Os principais assuntos vistos no Apêndice A são: limite, derivada e integral. Já o Apên- dice B, descreve uma importante característica do conjunto dos números reais (R) de ser um corpo ordenado completo. Esperamos que seja uma leitura prazerosa e que o leitor desse trabalho possa apro- veitar o máximo. Bons estudos! 2 Um pouco da História da Matemática em relação à Geometria Este capítulo foi escrito tendo como referência o livro História da Matemática de Carl Benjamin Boyer [1], sendo que uma demonstração é baseada na referência [2]. É difícil ter certeza quanto ao surgimento da geometria, pois acredita-se que a ma- temática surgiu bem antes da escrita e por isso não temos muitas provas concretas sobre o assunto. O historiador Heródoto e o filósofo Aristóteles acreditavam que a ge- ometria surgiu no Egito, com os agrimensores, que tinham que recalcular as dimensões dos terrenos após cada inundação que acontecia anualmente no vale do rio Nilo. Para isso, os egípcios utilizavam cordas como instrumento de medida. Também os sacerdotes, que utilizavam a geometria como lazer, usavam as cordas para traçarem as bases dos seus templos. Os homens neolíticos, que viveram entre 10000 a.C. a 3000 a.C., tinham a necessidade de relações espaciais, devido às constru- ções de potes, tecidos e cestas. Os resultados mais antigos de geometria encontrados nas Índias tratam das "regras das cordas", que mostram relações simples aplicadas às construções de templos e altares. Com tudo isso acredita-se que a geometria surgiu por necessidades práticas de construções e demarcações de terras. Agora vamos ter uma visão geral de como o tema áreas e volumes foi se desenvol- vendo em determinadas épocas e lugares específicos como, por exemplo, Egito, Meso- potâmia, Grécia, China e Índia. 2.1 Egito Os dados mais importantes registrados sobre o Egito encontram-se em diversos Papirus. Um dos mais importante é o Papirus de Rhind, que mede cerca de 0,30 metros de altura por 5 metros de comprimento. Foi comprado em 1858 pelo esco- cês Henry Rhind (daí o seu nome) e que também é conhecido por Papirus de Ahmes (em honra ao escriba que o copiou por volta de 1650 a.C). Vamos destacar alguns pro- 23 24 Um pouco da História da Matemática em relação à Geometria blemas contidos no Papirus que tratam de áreas e veremos em seguida alguns exemplos. Com respeito a notação nos parágrafos seguintes omitiremos em vários trechos a palavra medida, como por exemplo em vez de medida da altura, escreveremos simples- mente altura, para ficar de acordo com a notação presente na referência utilizada. O problema 51 fornece uma maneira para se calcular a área de um triângulo isóceles multiplicando a metade da base pela altura. Isso era feito pensando no triângulo isósce- les como sendo dois triângulos retângulos, onde um completa o outro, formando assim um retângulo. Esse problema está ilustrado na Figura 2.1 onde temos um triângulo isósceles de base b, os lados congruentes com medida l e altura h, que se transforma num retângulo de base b 2 e altura h. Figura 2.1: Ilustração do Problema 51: Papirus de Rhind. O problema 52 mostra como calcular a área do trapézio isósceles e como exemplo ele nos traz um trapézio cuja base menor mede 4 unidades, base maior 6 unidades e altura 20 unidades. Os egípcios multiplicavam a medida da altura pela metade da medida da soma das bases, que é o mesmo que calcular a área de um retângulo. A seguir temos a Figura 2.2 que ilustra o problema. Figura 2.2: Ilustração do Problema 52: Papirus de Rhind. Egito 25 O problema 50 retrata que a área de um campo circular com diâmetro de nove uni- dades é a mesma de um quadrado com lado de oito unidades, implicando que o valor de π era igual a 3 1 6 . A Figura 2.3 apresenta um círculo de raio 4, 5 e um quadrado de lado 8 que, quando sobrepostos, fica fácil observar que os valores de suas áreas ficam bem próximos. Figura 2.3: Ilustração do Problema 50: Papirus de Rhind. Apesar do estudo principal deste trabalho ser sobre áreas temos um problema inte- ressante sobre volume que está descrito no Papirus de Golonishev ou de Moscou, comprado em 1893, que é quase do tamanho do Papirus de Rhind porém com um quarto de largura. Este traz o problema 14 que mostra uma figura similar a um tronco de pirâmide de bases quadradas, porém aparenta um trapézio. A figura indica que a medida da base menor é 2 unidades, a da base maior é 4 unidades, a sua altura é 6 unidades , e temos dentro da mesma o número 56.(veja a Figura 2.4). Figura 2.4: Ilustração do Problema 14: Papirus de Moscou. Os egípcios determinavam o volume tomando a soma do quadrado de 2 com o quadrado de 4 e somando esse resultado com o produto de 2 por 4. Na sequência, 26 Um pouco da História da Matemática em relação à Geometria multiplicavam esse novo resultado por um terço de 6 chegando no valor 56. O vo- lume encontrado equivale à fórmula moderna para calcular o tronco de uma pirâmide V = h.(a 2+ab+b2 3 ), onde a e b são as respectivas medidas das arestas das bases do tronco da pirâmide e h é a medida da altura. Uma curiosidade é a unidade de medida utilizada pelos egípcios, o cúbito (apro- ximadamente 45 cm), que era utilizada para medir comprimento vertical e também a mão, igual a um sétimo do cúbito e que era utilizada para medir o comprimento horizontal. 2.2 Mesopotâmia Enquanto no Egito utilizavam os papirus para armazenarem informações, na Me- sopotâmia era utilizada a escrita cuneiforme, ou seja, as escritas em forma de cunha, que eram incisas em tabletas de barro mole que posteriormente eram cozidas em forno ou ao sol. Este método ou material era muito mais resistente que os papirus usados no Egito. Só na antiga Nipur, antiga cidade suméria, encontra-se aproximadamente 50.000 tabletas. Também encontra-se essas tabletas nas bibliotecas universitárias em Columbia, Pensylvania e Yale (EUA) entre outras. Um fato curioso é que a escrita egípcia começou a ser decifrada nos tempos mo- dernos enquanto que a mesopotâmica só no começo do século XIX, porém a parte matemática apenas no segundo quarto do século XX. Com isso foi descoberto que os mesopotâmicos tinham um sistema de numeração de base sessenta. Acredita-se que era base sessenta, pois 60 unidades pode ser facilmente dividida por 2,3,4,5,6,10,12,15,20 e 30, fornecendo assim dez possíveis subdivisões. Por exemplo, para escrever o numero 46 o escriba mesopotâmico podia representar numa tableta de barro por 10 marcas de cunhas, sendo 4 cunhas largas colocadas de lado e cada uma representando 10 unidades e 6 cunhas verticais finas, cada uma valendo uma unidade e todas justapostas num grupo bem arrumando. Mais a frente veremos como os mesopotâmicos representavam números com representações sexagesimais. Até pouco tempo atrás acreditava-se que os babilônios eram melhores que os egíp- cios em relação à álgebra, porém contribuiram pouco com a geometria. Um exemplo geométrico é que a área do círculo era encontrada normalmente tomando 3 vezes o quadrado do raio e isso era bem inferior à medida egípcia. Se voltarmos ao problema 50 do Papirus de Rhind, veremos que a área do círculo de raio 4,5 era próxima de 64. Se o mesmo problema fosse resolvido pelos babilônios teria como resultado o valor 60,75. Grécia 27 Em 1936 na cidade de Susa, distante aproximadamente 300 km da Babilônia, foi desenterrado um grupo de tabletas matemáticas que continha resultados matemáticos significativos. Uma dessas tabletas compara as áreas e os quadrados dos lados de po- lígonos regulares com três, quatro, cinco, seis e sete lados. Por exemplo, a razão da área do pentágono para o quadrado do lado é 1;40. Lem- brando que a base do sistema de numeração em questão é 60, o número antes do símbolo (;) representa 1 mesmo, mas o número que está depois do símbolo(;)representa 40 60 . Concluindo assim que 1;40 é o mesmo que 1,6666... no sistema de numeração decimal. Outra razão encontrada numa dessas tabletas é que para o hexágono regular a razão entre sua área e o quadrado do lado é 2;37,30, que no sistema decimal fica 2 + 37 60 + 30 3600 que é igual a 2,625. Já para o heptágono regular a razão entre sua área e o quadrado do lado é 3;41, que para nós hoje é 3,68333.... Na mesma tableta temos 0;57,36 como a razão entre o perímetro do hexágono regu- lar e a circunferência do círculo circunscrito. Com isso temos que o valor aproximado de π era tomado por 3;7,30 ou 3 1 8 , ou seja, 3 + 7 60 + 30 3600 = 3, 125. Também a área de um quadrilátero era determinada através do produto das médias aritméticas dos pares de lados opostos, chegando na maioria dos casos numa aproximação grosseira. 2.3 Grécia A matemática na Grécia apareceu de forma significativa durante o sexto século a.C. com Tales e Pitágoras. Porém não se tem nenhuma obra deles e alguns fatos desses matemáticos foram reconstruídos com base na tradição, o que não pode ser totalmente confiável. Tales de Mileto (624-548 a.C., aproximadamente) e Pitágoras de Samos (580-500 a.C., aproximadamente) se inspiraram nos egípcios e mesopotâmicos. Mas a diferença principal entre os gregos e os dois povos anteriores é que os gregos atacavam os problemas de matemática tentando demonstrá-los. Na Grécia, por volta da segunda metade do século V a.C., surge a "Idade Heróica da Matemática", pois alguns matemáticos, mesmo sem muitos recursos, pensaram em problemas com significados matemáticos interessantes. A seguir temos os nomes de alguns desses matemáticos: Arquitas de Tarento (nasceu aproximadamente em 428 a.C.), Hiposus de Metapontum (viveu por volta de 400 a.C.), Demócrito (nasceu apro- ximadamente em 460 a.C.), Hípias de Elis (nasceu aproximadamente em 460 a.C.), Hipócrates de Chios (viveu por volta de 430 a.C.), Anaxágoras de Clazomene (morreu em 428 a.C) e Zeno de Elea (viveu por volta de 450 a.C.). 28 Um pouco da História da Matemática em relação à Geometria Seguindo as escolas de Tales e Pitágoras, Anaxágoras pensou no problema de qua- drar o círculo e mais tarde tentaram resolvê-lo utilizando régua e compasso. Não se tem certeza de que um discípulo de Anaxágoras, chamado Perícles tenha pensado no segundo problema de geometria famoso, o da "duplicação do cubo": dada a aresta de um cubo, deve-se construir, utilizando apenas régua e compasso, a aresta de um segundo cubo, sendo que o volume deste deve ser o dobro do volume do primeiro. Mais de 2200 anos se passaram e foi provado que esses dois problemas são impossíveis de serem resolvidos só com régua e compasso. Hipócrates trabalhou com a quadratura le lunas, que são figuras limitadas por dois arcos circulares de raios diferentes. Possivelmente este problema se originou a partir da quadratura do círculo. Hipócrates elaborou o seguinte teorema: "segmentos de círcu- los semelhantes estão na mesma razão que os quadrados de suas bases."A partir desse teorema Hipócrates deduziu a primeira quadratura de uma área curvílinea com rigor. E uma quadratura estudada por Hipócrates, foi a de um semicírculo circunscrito a um triângulo retângulo isósceles e sobre a hipotenusa construiu um segmento semelhante aos segmentos circulares sobre os dois lados conguentes. ... Hipócrates deduziu a primeira quadratura rigorosa de uma área curvilínea, da histó- ria da matemática. Começou com um semicírculo circunscrito a um triângulo isósceles retângulo e sobre a base (hipotenusa) construiu um segmento semelhante aos segmentos circulares sobre os lados do triângulo. Como os segmentos estão entre si como os quadra- dos de suas bases, resulta, usando o teorema de Pitágoras para o triângulo retângulo, que a soma dos dois segmentos circulares menores é igual ao segmento maior. Portanto, a diferença entre o semicírculo sobre AC e o segmento ADCE é igual ao triângulo ABC. Logo a luna ABCD é exatamente igual ao triângulo ABC, como o triângulo ABC é igual ao quadrado sobre a metade de AC, conseguiu-se a quadratura da luna.[BOYER, 1974, p.49] Figura 2.5: Ilustração da demonstração do problema lunas no triângulo retângulo. Grécia 29 Uma demonstração para este problema será descrita a seguir. Considere uma cin- cunferência com um quadrado inscrito ABCD, como na Figura 2.5. Seja o triângulo isósceles ABC reto em B , já que é vértice de um quadrado. Utilizando o Teorema de Pitágoras segue que (AB)2 + (BC)2 = (AC)2 e como BC = AB vale (AC)2 = 2(AB)2. Com isso chegamos nas seguintes proporções, AB AC = (AB)2 (AC)2 = AB2 2(AB)2 = 1 2 . Desde que a área do arco do segmento 2 seja igual ao dobro das áreas dos arcos de segmento 1 segue que a área do triângulo é (área 3) + (área 2) = (área 3) + 2 (área 1) = LUNA. A seguir teremos mais três exemplos de quadraturas de lunas. Eudemo (viveu por volta de 320 a.C.) relata uma quadratura de luna de Hipócrates baseando-se em um trapézio isósceles ABCD inscrito em um semicírculo, tal que o quadrado sobre o lado maior AB seja igual à soma dos quadrados sobre os três lados menores e congruentes, AD, BC e CD. Então, construindo sobre o maior lado um segmento circular AEBF semelhante aos que estão sobre os três lados menores congruentes, a área da luna será igual a área do trapézio. Figura 2.6: Ilustração do problema lunas no trapézio isósceles. Alexandre de Afrodisias (que viveu por volta de 200 a.C.) descreveu mais duas quadraturas, além das duas anteriores. A primeira se considerarmos um triângulo re- tângulo e isósceles e construirmos semicírculos sobre a hipotenusa e cada lado menor. Então, a soma das áreas das lunas criadas sobre os lados menores será igual a área do triângulo. Figura 2.7: Ilustração do primeiro problema lunas de Alexandre. 30 Um pouco da História da Matemática em relação à Geometria O segundo problema de quadraturas de lunas descrito por Alexandre consiste em construirmos sobre o diâmetro de um semicírculo um trapézio isósceles com os três lados menores iguais (onde o lado maior é o próprio diâmetro do semicírculo) e sobre cada lado menor construirmos um semicírculo, então a área do trapézio será igual à soma de três áreas curvilíneas. Figura 2.8: Ilustração do segundo problema lunas de Alexandre. Os dados a seguir, são um pouco mais confiáveis que os anteriores, já que são base- ados nos trabalhos de dois grandes líderes do quarto século a.C., Platão e Aristóteles. Temos nesta época outro importante matemático, Eudoxo de Cnido (que morreu em 355 a.C. aproximadamente). Alguns matemáticos que precederam a Eudoxo, tentaram inscrever e circunscrever figuras retilíneas por dentro e por fora de uma figura curva e tentaram multiplicar indefinidamente o número de lados, para poderem comparar as respectivas áreas das figuras, curvas e retilíneas. Porém não sabiam concluir o problema, pois não conheciam o conceito de limite. Arquimedes de Siracusa estudou um tempo em Alexandria com os estudantes de Euclides, diz que foi Eudoxo quem criou o lema que hoje leva o nome de Arquimedes, e às vezes também é chamado axioma de Arquimedes e serviu como base para o método de exaustão. O axioma de Arquimedes diz que dadas duas grandezas que tem uma razão, ambas diferentes de zero, pode-se achar um múltiplo de qualquer delas que seja maior que a outra. E desse axioma é fácil provar, por redução ao absurdo, uma proposição que era base do método de exaustão dos gregos. Se de uma grandeza qualquer subtrairmos uma parte não menor que sua metade e do resto novamente subtrai-se não menos que a metade e se esse processo de subtração é continuado, finalmente restará uma grandeza menor que qualquer grandeza de mesma espécie.[BOYER, 1974, p.67] Grécia 31 Esta proposição equivale à seguinte formulação de hoje: se N é uma grandeza dada e ε uma grandeza de mesma espécie prefixada e uma razão, onde 1 2 ≤ l ≤ 1, então podemos achar um inteiro M tal que N(1− l)n < ε para todo inteiro n > M , ou seja lim n→∞ N(1− l)n = 0. Essa propriedade era usada pelos gregos para provar o teorema sobre áreas e volumes de figuras curvilíneas. Arquimedes relatou que Eudoxo provou pela primeira vez, que o volume do cone é um terço do volume do cilindro de mesma base e mesma altura. E também, provalvel- mente foi Eudoxo quem provou os teoremas sobre áreas de círculos e volumes de esferas. Descreveremos agora alguns resultados importantes que Arquimedes estudou. Mui- tos tentantam dar uma aproximação para π contudo a melhor foi a de Arquimedes, pois este chegou que π pode ser expresso pela desigualdade 310 71 < π < 310 70 . Arquimedes trabalhou com espirais em especial a que tem coordenadas polares r = aθ, onde a é um número qualquer e θ > 0. Por exemplo, a curva polar r = 1 4 θ está exemplificada na Figura 2.9. Figura 2.9: Ilustração de um exemplo de curva que Arquimedes estudou. Um de seus trabalhos mostra que a área varrida pelo raio (vetor) na primeira rota- ção completa, equivale a um terço da área do "1o círculo". Hoje este resultado pode ser verificado facilmente se utilizarmos o cálculo da integral definida 1 2 ∫ 2π 0 r2dθ que gera a mesma área estuda por Arquimedes. Os árabes dizem que a fórmula para a área de um triângulo qualquer, onde é 32 Um pouco da História da Matemática em relação à Geometria conhecido o valor de seus lados, descrita como fórmula de Heron, era conhecida por Arquimedes vários séculos antes de Heron nascer. Esta fórmula será apresentada um pouco mais a frente, porém a prova mais antiga é a de Heron. 2.4 China O povo chinês é mais antigo que o grego, porém não mais que povos egípcio e me- sopotâmico. O primeiro império chinês para alguns historiadores surge por volta de 2750 a.C.. Um importante documento matemático chinês é o Chou Pei Suang Ching, escrito por vários autores num período de 1000 anos. Alguns historiadores dizem que este documento surge aproximadamente em 1200 a.C., enquanto que outros, dizem ser dos anos 300 d.C.. Outro documento importante datado por volta de 250 a.C. é o Chiu Chang Suan-Shu, cuja a tradução quer dizer: Nove Capítulos Sobre a Arte Matemática. Este contém 246 problemas envolvendo mensuração de terras, agricultura, engenharia, impostos, sociedade, cálculos, soluções de equações e problemas com triângulos retân- gulos. Para os chineses a geometria também surge da mensuração e eles desenvolvem vá- rios exercícios de aritmética e álgebra. Um cuidado que devemos ter em relação aos relatos chineses, é que estes contém exercícios e fórmulas corretas e incorretas. Segue agora um exemplo que envolve o cálculo de área. Os chineses usavam regras corretas para as áreas de triângulos, retângulos e tra- pézios. Enquanto que a área do círculo era determinada tomando três quartos do quadrado sobre o seu diâmetro ou um doze avos do quadrado da circunferência. A área do segmento é aproximadamente s(s+ c) 2 , onde s é a seta (raio menos apótema) e c a corda. Um dado triste é que, em 213 a.C., o imperador da China mandou queimar livros. Algumas obras escaparam através de cópias ou por transmissão oral. Com isso os valo- res encontrados para π na China são: 3; 3, 1547; √ 10; 92 29 e 142 45 . No terceiro século d.C. Liu Hui, um importante comentador do Nove Capítulos, chegou no valor 3, 14 para π utilizando um polígono de 96 lados. Considerando um polígono de 3072 lados obteve a aproximação 3, 14159. A fascinação dos chineses pelo valor de π, leva Tsu Ch’ung-chih ( 430-501 d.C.) obter o valor 22 7 descrito como "inexato", e 355 113 para o valor "preciso". Tsu Ch’ung continuou indo mais a fundo em seus estudos chegando a 3, 1415927 como sendo um valor "em excesso"e 3, 1415926 como valor "em falta". Índia 33 2.5 Índia Segundo as escavações arqueológicas em Mohenjo Daro (Paquistão), temos provas de uma civilização antiga e de alta cultura na Índia, na mesma época das construções das pirâmides egípcias, mas não existem documentos matemáticos dessa época. Uma obra hindu chamada Paulisha Siddhantas, datada por volta de 380 d.C., usa π como sendo 3 177 1250 . Acredita-se que este valor aproximado para π teve influência grega. Depois da composição dos Siddhantas, surgem dois matemáticos hindus impor- tantes. O primeiro foi Aryabhata que escreveu Arybhatiya, em 499 d.C.. Esta obra consiste num pequeno volume, contendo astronomia e matemática. Dizem que Arybha- tiya é muito semelhante à obra Os Elementos de Euclides. Porém há mais diferenças que analogias entre as obras. O Arybhatiya contém 123 estrofes que fornecem regras de cálculo usada na astrono- mia e matemática voltada para a mensuração. Nesta obra encontramos a área de um triângulo como sendo a metade do produto da base pela altura, o que é correto, mas como os chineses, os hindus também erravam, já que esta mesma fórmula era usada para determinar a área do triângulo e também era aplicada no cálculo do volume da pirâmide. A área do círculo também está correta como sendo o produto do comprimento da circunferência pela metade do raio, ou seja, S = 2π r r 2 . Em relação ao cálculo de áreas de quadriláteros, também aparecem regras corretas e incorretas. Por exemplo a área do trapézio é dada pela metade das somas das bases e multiplicado pelo segmento per- pendicular às bases, ou seja, é a mesma fórmula que utilizamos hoje. Um erro cometido pelos hindus, foi afirmar que a área de qualquer figura plana é obtida multiplicando-se os dois lados determinados da figura. O segundo matemático importante foi Brahmagupta (viveu em 628 d.C.). Ele diz que π tem o "valor prático"3 e o "valor bom" √ 10. Brahmagupta escreveu a obra Brahmasphuta Siddhanta, novamente com resultados certos e errados. Brahmagupta traz que a área do triângulo isósceles é encontrada fazendo o produto da metade da base por um dos lados iguais. Para o triângulo escaleno de lados 13 e 15 e base 14, ele encontra a sua área como sendo a metade de 14 multiplicada pela média aritmética entre 13 e 15. O resultado mais belo de sua obra talvez seja a gene- ralização da "fórmula de Heron", que determina a área de um quadrilátero. A fórmula é apresentada da seguinte maneira: K = √ (s− a)(s− b)(s− c)(s− d), onde a, b, c e d são os lados e s = a+b+c+d 2 . Todavia esta fórmula só é válida para os quadriláteros 34 Um pouco da História da Matemática em relação à Geometria cíclicos, ou seja, quadriláteros cujos os vértices estão sobre uma circunferência e os ân- gulos opostos são suplementares. A fórmula correta para um quadrilátero qualquer é K = √ (s− a)(s− b)(s− c)− a b c d cos2 α, onde α é a metade de dois ângulos opostos. O último matemático hindu importante foi Bháskara. Este escreveu um livro que leva o nome de sua filha, Lilavati. Este livro contém muitos problemas de Brahma- gupta, mas Bháskara fazia suas próprias anotações e observações. Em um dos seus problemas a área do círculo está correta e é calculada multiplicando um quarto da circunferência pelo diâmetro, ou seja, S = 1 4 2 π rD, sendo r o raio e D o diâmetro. Após esta análise histórica sobre a geometria, principalmente com o tema áreas na antiguidade, no próximo capítulo teremos uma visão geral sobre como este tema é abordado no nosso cotidiano através de materiais didáticos que podem serem utilizados pelos professores de matemática. 3 Abordagem no Ensino Fundamental e Médio Após termos "viajado"no capítulo anterior por alguns lugares importantes do mundo, que fornecem uma visão geral do desenvolvimento do cálculo de áreas no decorrer de 6.000 anos, vamos agora ter uma ideia de como hoje é apresentado esse mesmo con- teúdo para os alunos do Ensino Fundamental (EF) e do Ensino Médio (EM) das escolas públicas. O objetivo deste capítulo é apresentar uma análise dos principais textos que abor- dam o conteúdo a fim de, no próximo capítulo, apresentá-lo com mais detalhes e tam- bém as demonstrações dos resultados principais. As áreas do retângulo, do quadrado, do paralelogramo, do triângulo, do losango, do trapézio, do círculo e em algumas vezes a área de um polígono regular estão apre- sentadas nos livros e apostilas analisados neste texto. A forma de calcular as áreas das superfícies de alguns sólidos como prismas, pirâmides, cones, cilindros e esferas também é dada. As fórmulas presentes nos livros (que são do PNLD) e apostilas, são praticamente as mesmas, mudando apenas a nomenclatura das medidas dos lados e a sequência didá- tica. Vamos analisar separadamente o EF e o EM, dando destaque para cada ano/série. Todas as fórmulas que serão mencionadas estão apresentadas, de forma sucinta, no final de cada uma dessas seções através de uma tabela. 3.1 Ensino Fundamental Consideramos em nossa análise para o EF as seguintes coleções : • A conquista da Matemática - veja a referência [3]. • Praticando Matemática - veja [4]. 35 36 Abordagem no Ensino Fundamental e Médio • Apostilas do Aluno e do Professor (EF) do Estado de São Paulo - veja [5]. Foi possível observar os seguintes fatos: 6o ano: No 6o ano (antiga 5a série) as três coleções trabalham com polígonos sobre- postos em malha quadriculada, facilitando o entendimento do cálculo de algumas áreas de polígonos ou até mesmo outros tipos de figuras fechadas e curvas. Em especial, a apostila desta série apresenta o Geoplano, que se assemelha a uma malha quadricu- lada facilitando a compreensão e visualização do aluno no cálculo de áreas de polígonos. O Geoplano pode ser construído com vários materiais, mas os que são fornecidos pelo governo às escolas públicas, são feitos com uma base de madeira e com vários pinos também de madeira, perpendiculares a esta base formando uma malha quadriculada. O aluno, utilizando vários elásticos, consegue formar a figura desejada e contando a quantidade total de quadrados encontra o valor total da área. Se, por exemplo, a figura contem dois triângulos, onde cada um é exatamente a metade do quadrado da malha, então soma-se estas duas partes formando assim um quadrado, que somado ao restante dos quadrados da figura determinam a área total. A Figura 3.1 fornece exemplos de dois polígonos A e B sobrepostos numa malha quadriculada, onde alunos de 6o ano podem determinar contando a quantidade de quadrados, que as áreas dos polígonos A e B são 15 e 14 unidades quadradas, respec- tivamente. Figura 3.1: Polígonos em malhas quadriculadas. Após o aluno trabalhar com vários exercícios em que precisa encontrar as áreas de polígonos sobrepostos em malha quadriculada, a apostila do aluno desta série não trata mais do conteúdo em questão. Por outro lado, além de desenvolver o tema através de malhas, o livro A conquista da Matemática também apresenta as fórmulas para calcu- lar as áreas de retângulos, quadrados, paralelogramos, triângulos e trapézios. O livro Praticando Matemática acrescenta apenas as áreas de retângulos e quadrados. Ensino Fundamental 37 Na sequência temos cinco exemplos de polígonos apresentados no livro A conquista da Matemática. A Figura 3.2 ilustra um retângulo de comprimento c e largura l, um quadrado de lado l, um paralelogramo de base b e altura h, um triângulo de base b e altura h e um trapézio de altura h, base maior B e base menor b, respectivamente. Figura 3.2: Ilustração de exemplos de polígonos. 7o ano: Para o 7o ano (antiga 6a série) encontramos algumas divergências em rela- ção ao material pesquisado. Enquanto que nas apostilas dos alunos não encontramos nenhum conteúdo sobre áreas, o livro A conquista da Matemática trabalha o assunto através de problemas de equação de 1o grau e proporção. O livro Praticando Mate- mática trabalha novamente com as malhas, relacionando o tema com raiz quadrada e apresenta as fórmulas para o cálculo das áreas de retângulos, quadrados, paralelogra- mos, triângulos, losangos, trapézios através de problemas e exercícios simples. 8o ano: No 8o ano (antiga 7a série) a apostila do aluno apresenta as fórmulas para calcular as áreas de paralelogramos, losango, triângulo, trapézio. No livro A conquista da Matemática não temos nada sobre o assunto e no livro Praticando Matemática o conteúdo de áreas é relacionado com trinômio quadrado perfeito. 9o ano: O processo de utilização de malha avança no 9o ano (antiga 8a série). O aluno não trata apenas com polígonos, também trabalha com outros tipos de figuras, incluindo várias curvas fechadas, fazendo com que o aluno trabalhe com aproximações. A Figura 3.3 ilustra exemplos de duas curvas fechadas sobrepostas numa malha qua- driculada, onde podemos verificar que as áreas das mesmas são aproximadamente 19 e 22 unidades quadradas, respectivamente. 38 Abordagem no Ensino Fundamental e Médio Figura 3.3: Figuras curvas em malhas. No livro Praticando Matemática temos o cálculo de áreas de retângulos e quadrados contendo lados com medidas irracionais, relacionando com exercícios de equação do 2o grau. Surge uma novidade para o aluno que é a fórmula para calcular o comprimento e a área do círculo. As malhas são aplicadas para cálculo de áreas de círculos com apro- ximações. Após o aluno trabalhar com essas aproximações é apresentada a fórmula para calcular a área de círculos, e na sequência o mesmo aprende a calcular o volume do cilindro, assim como a área da superfície cilíndrica. Já o livro A conquista da Matemática recorda como calcular as áreas de triângulos, paralelogramos, losangos e trapézios da mesma forma que foi visto no 6oano e também utiliza as malhas quadriculadas para determinar a área de uma figura qualquer. Depois de apresentada a fórmula para calcular a área do círculo são sugeridos vários exercícios para se determinar a área de regiões circulares como as ilustradas na Figura 3.4. Figura 3.4: Regiões circulares. Para finalizar esta seção apresentaremos um breve relato sobre a Apostila do Estado de São Paulo, que faz uma comparação de áreas de algumas figuras a partir da am- pliação ou redução e calcula a área de círculo primeiramente através de aproximações Ensino Médio 39 por falta ou por excesso, utilizando malhas quadriculadas e, posteriormente, são apre- sentadas as fórmulas para calcular as áreas do círculo e do setor circular. Finalmente é apresentada a fórmula para calcular a área da superfície de um cilindro. Podemos notar que são apresentadas várias fórmulas para os alunos aplicarem em problemas ou em exercícios simples. A malha quadriculada é um instrumento muito utilizado, fazendo com que o aluno pense em áreas aproximadas e depois compare com os resultados "exatos" utilizando as fórmulas. Um grande problema é a sequência di- dática, pois esta é diferente nas três referências vistas. O ideal é que o professor nunca se apoie em um único material e sim prepare suas aulas aproveitando o melhor de cada material. A tabela apresentada na sequência traz todas as fórmulas das áreas citadas ante- riormente. Utilizaremos S para denotar a área. A primeira coluna contém o nome da figura em questão, a segunda coluna traz as dimensões utilizadas nas referências e na terceira coluna as respectivas fórmulas. Polígonos ou Figu- ras: Medidas: Fórmulas: Quadrado lado l S = l2 Paralelogramo comprimento c e altura h S = ch Retângulo comprimento c e largura l S = cl Losango diagonal maior D e diagonal menor d S = Dd 2 Trapézio altura h, base maior B e base menor b S = (B+b)h 2 Círculo raio r S = πr2 Triângulo base b e altura h S = bh 2 Setor Circular α em graus e raio r S = α 360 πr2 Tabela 3.1: Fórmulas das áreas de alguns polígonos ou figuras vistas no EF. 3.2 Ensino Médio As coleções abordadas para o Ensino Médio foram: • Matemática Contexto e Aplicações - veja [6]. • Matemática Aula por Aula - veja [7]. • Apostilas do Aluno e do Professor (EM) do Estado de São Paulo - veja [8]. 40 Abordagem no Ensino Fundamental e Médio Após a leitura podemos observar que todas as fórmulas vistas no Ensino Fundamen- tal são revistas no Ensino Médio, além de serem inseridas várias fórmulas novas, como por exemplo, a área do triângulo é apresentada de três formas diferentes. Também temos a fórmula para calcular a área da coroa circular, setor circular (de duas formas diferentes) e a área do segmento circular, a definição de segmento circular (Definição 4.13) está na página 55 deste trabalho. Analisando as referências e separando por ano podemos descrever o resumo abaixo: 1o ano. No Livro Matemática Contexto e Aplicações encontramos o cálculo de áreas através de malha quadriculada. Também encontramos as fórmulas vistas para o calculo das áreas do quadrado, retângulo, paralelogramo, triângulo, trapézio, losango, polígonos regulares, círculo, setor circular e a fórmula de Heron. Já no livro Mate- mática Aula por Aula e nas apostilas dos alunos não é apresentado nenhum conteúdo sobre áreas. 2o ano. O livro Matemática Aula por Aula associa a área de um trapézio com Progressão Aritmética, enquanto que a área de triângulo é determinada de quatro ma- neiras diferentes (todas apresentadas na tabela 3.2 ). A primeira fórmula em relação ao triângulo é a mesma vista no EF, a segunda é associada à trigonometria, a terceira é dada pela fórmula de Heron onde conseguimos determinar a sua área conhecendo os seus três lados e o seu semiperímetro e a quarta fórmula é dada através da Geometria Analítica. Através da Geometria Analítica os alunos aprendem a calcular a área de um triân- gulo qualquer, cujos vértices são A = (xA, yA) , B = (xB, yB) e C = (xC , yC) através da fórmula S = 1 2 |D|, onde D é seguinte determinante: D = ∣∣∣∣∣∣∣ xA yA 1 xB yB 1 xC yC 1 ∣∣∣∣∣∣∣ . Ainda no livro Matemática Aula por Aula, também no 2o ano, são apresentadas as fórmulas para calcular a área de paralelogramo, trapézio, quadrado, retângulo, losango, círculo, superfície total de um prisma reto. Os sólidos estudados são as pirâmides, os cones e os cilindros, calculando suas respectivas áreas. Para a esfera surge a fórmula para calcular a área da superfície e do fuso (área da cunha esférica). Segundo esta referência temos as definições de fuso e cunha esférica. Ensino Médio 41 "Fuso esférico é a figura gerada pela rotação menor que 360o de uma semicircunfe- rência em torno do eixo que contém o seu diâmetro". "Cunha esférica é um sólido gerado pela rotação menor que 360o de um semicírculo em torno do eixo que contém o seu diâmetro." O cone e o tronco de cone são outros dois sólidos estudados, onde se tem a fórmula para calcular a geratriz, a área da base, as áreas lateral e total. Por fim, para a esfera temos a fórmula para calcular a área da superfície. 3o ano. Nos livros Matemática Contexto e Aplicações, Matemática Aula por Aula e nas apostilas dos alunos apenas é mencionado o cálculo da área de triângulo através da Geometria Analítica. Podemos verificar que em todas as referências são apresentadas várias fórmulas para calcular áreas através de problemas e exercícios simples, mudando apenas a sequência didática. Novamente, o ideal é o professor preparar a sua aula considerando o melhor de cada referência e nunca se apoiar em apenas uma coleção. Analisando duas coleções de livros didáticos para o EF, outras duas coleções para o EM e também as coleções das apostilas que os alunos e professores utilizam nas escolas públicas do Estado de São Paulo, tanto no EF como no EM, podemos observar de uma maneira geral, que a maioria dos livros e apostilas apresenta o cálculo de áreas através de malhas quadriculadas, resolução de problemas e até mesmo exercícios que simplesmente exigem que o aluno calcule uma determinada área. Para finalizar este capítulo, fica a sugestão após estes comentários e também levando em conta a experiência do professor e do autor em sala de aula, que seria necessário trabalhar este tema em todos os anos dos EF e não apenas nos 6os e 9os anos como podemos observar nos livros e apostilas. Também se faz necessário fixar bem as defi- nições e nomenclaturas dos diversos polígonos estudados, já que hoje em dia os alunos têm muita dificuldade em guardar conceitos e nomes de figuras. Outra proposta é trabalhar o tema em questão de uma forma lúdica utilizando o Geoplano e malha quadriculada, por exemplo. No próximo capítulo teremos uma fun- damentação teórica importante para a formação contínua do professor de matemática e logo em seguida serão apresentadas algumas propostas de atividades utilizando o Geoplano. 42 Abordagem no Ensino Fundamental e Médio Polígonos: Medidas: Fórmulas das Áreas: Triângulo (Fór- mula de Heron) lados a,b e c semiperímetro p S = √ p(p− a)(p− b)(p− c) Triângulo Equilá- tero lado l S = l2 √ 3 4 Triângulo (Trigo- nometria) lados a, b S = 1 2 bc senC Hexágono Regular lado l S = 3l2 √ 3 2 Polígono Regular lado n e apótema a S = nla 2 Setor Circular α em graus e raio r S = α 360 πr2 Segmento Circu- lar α comprimento do arco do setor circular e raio r S = r2 2 (α− senα) Coroa Circular raio maior R e raio menor r S = π(R2 − r2) Área lateral do Cilindro raio da base r e altura h Sl = 2πrh Área total do Ci- lindro altura h raio da base r St = 2πr(h+ r) Superfície Esférica raio R S = 4πR2 Área lateral do Cone raio da base r e geratriz g Sl = πrg Área total do Cone raio da base r e geratriz g St = πr(g + r) Área lateral do Tronco de cone raio da base menor, raio da base maior R e geratriz g r Sl = πg(R + r) Tabela 3.2: Fórmulas das áreas de algumas figuras vistas no EM. 4 Desenvolvimento Teórico: Áreas Neste capítulo desenvolveremos a teoria sobre áreas, com detalhes, justificando cada fórmula apresentada. Porém, algumas ferramentas utilizadas neste capítulo como, por exemplo, cálculo de limites estarão detalhadas no Apêndice A deste trabalho. Na maior parte deste capítulo usaremos as referências [9], [10] e [11]. 4.1 Áreas de Figuras no Plano Inicialmente daremos duas definições importantes para o desenvolvimento do tra- balho. Lembremos que um segmento com início no ponto A e término no ponto B é de- notado por AB e sua medida por |AB|. Além disso, a reta passando por A e B será denotada por ←→ AB . Denotaremos também o conjunto dos números naturais por N = {1, 2, 3, 4, ...}. Definição 4.1. Sejam n > 3 um número natural e A1, A2, ..., An pontos distintos de um plano, onde três pontos consecutivos não são colineares, isto é, não pertencem a uma mesma reta. Chama-se polígono à reunião dos segmentos A1A2, A2A3, ... An−1An e AnA1. Em seguida, veremos a definição de polígono com uma propriedade que é a de convexidade. Definição 4.2. Uma região R do plano é convexa quando, para todos os pontos A,B ∈ R, o segmento AB ⊂ R. Caso contrário, diremos que R é uma região não convexa. Definição 4.3. Sejam n > 3 um natural e A1, A2, ..., An pontos distintos do plano. Dizemos que a reunião dos segmentos que unem os pontos A1, A2, ..., An formam um polígono convexo se, cada reta da forma ←−−−→ AiAi+1 para 1 ≤ i ≤ n − 1 e ←−−→ AnA1, não contém nenhum outro ponto Aj, mas deixa todos eles em um mesmo semiplano, dentre os que ela determina, veja Figura 4.2. 43 44 Desenvolvimento Teórico: Áreas Figura 4.1: Exemplo de um polígono convexo e um não convexo. Teremos a seguir alguns exemplos dos polígonos convexos mais utilizados em sala de aula. 1. Triângulo: polígono convexo com três lados e três ângulos. 2. Quadriláteros: polígonos convexos com quatro lados e quatro ângulos. Alguns quadriláteros podem ser classificados em paralelogramos e trapézios, onde os paralelogramos possuem dois pares de lados opostos paralelos e são classificados em paralelogramos, retângulos, losangos e quadrados. Já os trapézios tem apenas um par de lados opostos paralelos. 3. Pentágonos: polígonos convexos com cinco lados e cinco ângulos. Mais geralmente, para em número n (n > 3) qualquer de lados dizemos que o polígono é um n-látero. Figura 4.2: Ilustração de polígono convexo, com n = 7. Para cada polígono citado há muitos pontos interessantes que podem ser estudados, com respeito aos ângulos, às diagonais, semelhanças, entre outros. Veja as referências Áreas de Figuras no Plano 45 [12] e [13], por exemplo. Porém, nosso trabalho tem por objetivo o estudo de áreas de figuras planas e espaciais, assunto que será tratado a seguir. Podemos afirmar intuitivamente que a área de uma região limitada no plano é um número positivo associado à mesma e que quantifica a região por ela ocupado. Em todo trabalho a área será denotada por S. A seguir temos quatro axiomas que nos ajudarão nas futuras construções. 1. Polígonos congruentes 1 têm áreas iguais. 2. Se um polígono convexo é particionado em um número finito de outros polígonos convexos, então a área do polígono maior é a soma das áreas dos polígonos. Observe que o polígono é a reunião de um número finito de outros polígonos convexos, tais que dois quaisquer deles partilham somente um vértice ou uma aresta. 3. Se a região delimitada por um polígono convexo contém a região delimitada por outro polígono então a área da primeira região é maior que a da segunda. 4. A área de um quadrado de lado 1cm é igual a 1cm2. Teorema 4.1. Um quadrado cuja a medida do lado é l tem área l2. Demonstração. Considerando os Axiomas de 1 a 4 e separando em três casos, onde o lado do quadrado é um número natural, um número racional positivo e por fim um número irracional positivo, temos: 1. Quadrado de lado n ∈ N. Particione um quadrado de lado n em n2 quadrados de lados 1 cada. Denotando a área do quadrado maior por Sn, devemos ter Sn igual à soma das áreas desses n2 quadrados de lado 1, de maneira que: Sn = n2. 2. Quadrado de lado m n ∈ Q∗+. Considere agora um quadrado de lado m n , com m, n ∈ N , e área Sm n . Arranje n2 cópias do mesmo, empilhando n quadrados de lado m n por fila, em n filas, formando assim um quadrado de lado m n .n = m. Tal quadrado maior terá, como já sabemos, área m2. Por outro lado, como ele está particionado em n2 quadrados, cada um dos quais de lado m n , sua área é igual à soma das áreas desses n2 quadrados, isto é, m2 = n2.Sm n . 1A noção de congruência para polígonos é a mesma que para triângulos: podemos deslocar um deles no espaço, sem deformá-lo, até coincidir com o outro. Ver referêcia [9]. 46 Desenvolvimento Teórico: Áreas Portanto Sm n = m2 n2 = ( m n )2 . 3. Quadrado de lado l ∈ R−Q, l > 0. Tomamos agora números racionais 2 xk e yk tais que xk < l < yk e yk − xk < 1 k . Agora, construímos quadrados de lados xk e yk, o primeiro contido no quadrado dado e o segundo o contendo. Como sabemos calcular área de quadrados de lado racional, e utilizando o Axioma 3, temos a garantia qua a área Sl do quadrado de lado l deve satisfazer as desigualdades x2 k < Sl < y2 k, mas, como x2 k < l2 < y2 k deve pertencer ao intervalo (x2 k, y 2 k) de maneira que: | Sl − l2 |< y2 k − x2 k = (yk − xk)(yk + xk) = (yk − xk)(yk + xk − xk + xk) < 1 k (yk − xk + 2xk) < 1 k ( 1 k + 2l ) . Assim | Sl − l2 |< 1 k ( 1 k + 2l ) . E, aplicando limite 3 lim k→∞ 1 k ( 1 k + 2l ) = 0. Portanto, | Sl − l2 |= 0⇒ Sl = l2. Teorema 4.2. Um retângulo de lados medindo a e b tem área ab. Demonstração. Vamos utilizar um argumento análogo à demonstração da área do qua- drado para provar este resultado. Considere um retângulo de lados m e n naturais e vamos particioná-lo em mn quadrados de lado 1 para mostrar que sua área é mn. Agora tomamos um retângulo de lados m1 n1 e m2 n2 , com m1, m2, n1 e n2 naturais. Com n1n2 cópias do mesmo, montamos um retângulo de lados m1 e m2. Somando áreas iguais, concluimos que a área do retângulo dado originalmente é igual a m1m2 n1n2 = m1 n1 m2 n2 . Por fim, tomamos um retângulo de lados a e b ∈ R∗+ e para um k ∈ N e racionais xk, yk, uk, vk tais que xk < a < yk, uk < b < vk, yk−xk < 1 k e vk−uk < 1 k . Sendo S a área 2Veja Apêndice B, Teorema B1. 3Ver a definição de limite no Apêndice A. Áreas de Figuras no Plano 47 do retângulo de lados a e b, um argumento análogo ao feito para quadrados garante que S e ab pertencem ambos ao intervalo (ukxk, vkyk) e, daí, para todo k natural, | S − ab | < vkyk − ukxk = (vk − uk)yk + (yk − xk)uk < 1 k (yk + uk) < 1 k ((yk − xk) + 2xk + (vk − uk) + 2uk) < 1 k ( 2 k + 2a+ 2b ) . Portanto | S − ab | < 1 k ( 2 k + 2a+ 2b ) . Aplicando limite lim k→∞ 1 k ( 2 k + 2a+ 2b ) = 0, obtemos 0 6| S − ab |6 0⇒ S = ab. Teorema 4.3. A área do paralelogramo cuja a medida da base é a e a da altura é h é igual a ah. Demonstração. Sejam ABCD um paralelogramo de diagonais |AC| e |BD| e E e F respectivamente os pés das perpendiculares baixadas de D e C à reta ←→ AB. Agora suponha que E ∈ ←→ AB, como ilustra a Figura 4.3. Podemos verificar que os triângulos ADE e o triângulo BCF são congruentes (LAL) de modo que |AE| = |BF | e pelo Axioma 1 tem-se S(ADE) = S(BCF ). Então temos: S(ABCD) = S(ADE) + S(BEDC) = S(BCF ) + S(BEDC) = S(CDEF ). Mas CDEF é um retângulo de altura h e base |EF | e |EF | = |EB|+ |BF | = |EB|+ |AE| = |AB| = a . Portanto S(ABCD) = S(EFCD) = ah. 48 Desenvolvimento Teórico: Áreas Figura 4.3: Ilustração do paralelogramo. Teorema 4.4. Seja ABC um triângulo cujas medidas dos lados sejam |AB| = c, |AC| = b e |BC| = a, e alturas ha, hb e hc, respectivamente relativas aos lados a, b e c. Então: S(ABC) = aha 2 = bhb 2 = chc 2 . Em particular aha = bhb = chc. Demonstração. Sejam S = S(ABC) e D a interseção da paralela a reta ←→ BC por A com a paralela a reta ←→ AB por C, veja a Figura 4.4. Então ABC ' CDA, isto é, são semelhantes por (ALA) já que BÂC = DĈA; AC lado comum e BĈA = BÂC. E pelo Axioma 1 segue que S(ABC) = S(CDA). Como ABCD é um paralelogramo de base a e altura aha. Segue da demonstração da área do paralelogramo que: 2S = S(ABC) + S(CDA) = S(ABCD) = a ha. Portanto, S(ABC) = S = 1 2 a ha. Analogamente, obtemos S = 1 2 b hb e S = 1 2 c hc. Figura 4.4: Ilustração do triângulo. Áreas de Figuras no Plano 49 A Figura 4.5 abaixo contém três triângulos. O primeiro é um triângulo acutângulo, isto é, um triângulo que possui os três ângulos agudos (ângulos entre 0o e 90o graus) e será utilizado na parte 1 da demonstração do próximo resultado. O segundo é um triângulo retângulo, ou seja, triângulo que possui um ângulo reto (ângulo medido 90o graus) e será utilizado na segunda parte da demonstração. O terceiro é um triângulo obtusângulo, ou seja, com um de seus ângulos obtuso (ângulo maior que 90o graus e menor que 180o graus) e será utilizado na parte 3 da demonstração. Figura 4.5: Ilustração dos triângulos acutângulo, retângulo e obtusângulo. Teorema 4.5. Em qualquer triângulo, a sua área é igual ao semiproduto de dois lados multiplicado pelo seno do ângulo que eles formam. Demonstração. 1. Seja ABC um triângulo com o ângulo α menor que 90o. No triân- gulo ADB que é retângulo, temos: |DB| = c senα. Então: S = |AC||DB| 2 = bc 2 senα. 2. Seja ABC um triângulo retângulo em A e com seus catetos medindo b e c e sua hipotenusa medindo a. Observe que h = c, então S = bc 2 , como neste caso senα = sen 90o = 1 segue que a área do triângulo retângulo será S = bc 2 .senα 3. Seja ABC um triângulo com 90o < α < 180o. No triângulo ABD que é retân- gulo, temos: |DB| = c sen (180o − α) = c senα. Então, S = |AC||DB| 2 = bc 2 senα. Analogamente, demonstra-se para os casos 1 e 3 em relação aos ângulos β e θ. Definição 4.4. Um triângulo que possui seus três lados e seus três ângulos congruentes recebe o nome de triângulo equilátero. 50 Desenvolvimento Teórico: Áreas Da geometria sabemos que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180o, logo cada ângulo do triângulo equilátero mede 60o. Também a altura, a bissetriz e a mediatriz são representados pela mesma reta. Teorema 4.6. Seja ABC um triângulo equilátero com cada lado medindo l, então a área deste triângulo é S = l2 √ 3 4 . Figura 4.6: Ilustração do triângulo equilátero. Demonstração. Como vimos pelo Teorema 4.5 a área de um triângulo qualquer pode ser representada por S = bc 2 senα e como o lado do triângulo mede l e o ângulo 60o segue que S = l.l 2 sen 60o, ou seja, S = l2 √ 3 4 . Teorema 4.7. Em qualquer triângulo, a área é igual ao produto dos três lados dividido pelo quádruplo do raio da circunferência circunscrita. Demonstração. Segundo a Lei dos Senos 4, temos a senα = 2R⇒ senα = a 2R . Pelo Teorema 4.5 segue que S = bc 2 senα. Logo, substituindo senα = a 2R em S = bc 2 senα, obtemos S = a b c 4R . Teorema 4.8. Se ABCD é um losango de diagonais |AC| e |BD| então S(ABCD) = 1 2 ( |AC||BD| ) . Demonstração. Observando a Figura 4.7 temos: S(ABC)+S(ACD) = 1 2 |AC||BM |+1 2 |AC||DM | = 1 2 |AC|(|BM |+|MD|) = 1 2 (|AC||BD|). 4Veja a referência [10], p.158,159-C. Áreas de Figuras no Plano 51 Figura 4.7: Ilustração do losango. Teorema 4.9. Se ABCD é um trapézio cujas as medidas das bases são |AB| = a, |CD| = b e a medida da altura é h, então: S(ABCD) = (a+ b)h 2 . Figura 4.8: Ilustração do trapézio. Demonstração. Suponha sem perda de generalidade que a > b. Se E ∈ AB for tal que |AE| = b, então o quadrilátero AECD tem dois lados paralelos e iguais, de modo que é um paralelogramo, veja a Figura 4.8 . Como |BE| = a− b, temos: S(ABCD) = S(AECD) + S(EBC) = bh+ (a− b)h 2 = 2bh 2 + (a− b)h 2 = (2bh+ ah− bh) 2 = (ah+ bh) 2 = (a+ b)h 2 . 52 Desenvolvimento Teórico: Áreas Definição 4.5. Um polígono regular é todo polígono convexo que possui todos os lados e ângulos congruentes, ou seja, com medidas iguais. Lembremos que o apótema de um polígono regular é o segmento com uma extre- midade no centro e a outra no ponto médio de um lado. O apótema de um polígono regular é o raio da circunferência inscrita. Teorema 4.10. Sejam n > 3 e o polígono regular definido pela união dos pontos A1, A2, ...., An. Então, a área S desse polígono é dada por S = p.a, onde a é o compri- mento do apótema do polígono e p o semiperímetro do polígono. Demonstração. Considere um polígono regular de n lados, como na Figura 4.9. Observe que teremos n triângulos OAiA(i+1) onde a área de cada um desses triângulos é dada por St = l.a 2 . Logo a área total do polígono de n lados será a soma das áreas desses triângulos, ou seja, S = n. la 2 . Note que n.l é o perímetro do polígono, isto é, n.l = 2p. Assim, a área de um polígono regular pode ser determinada por S = p.a. Figura 4.9: Ilustração do polígono regular. Definição 4.6. Um hexágono regular possui todos os seus 6 lados e 6 ângulos con- gruentes. Teorema 4.11. Um hexágono regular pode ser decomposto em 6 triângulos equiláteros com cada lado medindo l. Esse hexágono regular tem área S = 3 l2 √ 3 2 . Áreas de Figuras no Plano 53 Figura 4.10: Ilustração do hexágono regular. Demonstração. Como vimos a área de um triângulo equilátero de lado medindo l é S = l2 √ 3 4 . Como o hexágono regular é formado por 6 triangulos equiláteros, então a sua área será S = 6 l2 √ 3 4 , ou seja, S = 3 l2 √ 3 2 . Para concluir a seção temos o próximo resultado que mostra como é o cálculo da área de um círculo. Embora não seja um polígono, para se obter este resultado utilizamos o método de exaustão que é baseado na ideia de aproximarmos a figura do círculo por uma família de polígonos e então sua área é obtida através de um limite. Definição 4.7. Dada uma propriedade P relativa a pontos do plano o lugar geomé- trico (LG) dos pontos que possuem a propriedade P é o subconjunto L do plano que satisfaz as duas condições a seguir: (a) Todo ponto de L possui a propriedade P . (b) Todo ponto do plano que possui a propriedade P pertence a L. Definição 4.8. Dados um real positivo r e um ponto O do plano, o LG dos pontos do plano que estão à distância menor ou igual a r do ponto O é o círculo de centro O e raio r, denotado por Γ(O; r), isto é, AO 6 r ⇔ A ∈ Γ(O; r). Definição 4.9. Dados um real positivo r e um ponto O do plano, o LG dos pontos do plano que estão à distância r do ponto O é a circunferência de centro O e raio r, denotado por Γ(O; r), isto é, AO = r ⇔ A ∈ Γ(O; r). 54 Desenvolvimento Teórico: Áreas Figura 4.11: Ilustração do círculo e da cirncunferência. Teorema 4.12. Seja Γ um círculo de raio r, então a área S de Γ é dada por S = πr2. Demonstração. Para esta demonstração utilizaremos conceitos básicos de Geometria e limites. Já vimos anteriormente que a área de um polígono regular é S = n.( l.a 2 ). Agora, dado um círculo inscrito a um polígono regular, o raio deste círculo é igual ao apótema do polígono. (ver Figura 4.12). Também temos que π é a razão entre o comprimento C da circunferência e o diâmetro D do círculo, isto é, π = C D . Figura 4.12: Ilustração do círculo inscrito num hexágono regular. Com os dados acima construímos um círculo de raio r inscrito a um polígono regular de n lados. O apótema deste polígono é igual ao raio do círculo. Seja Sc a área do círculo e Sp a área do polígono. Então Sp é aproximadamente Sc, isto é, Sp = r.n.l 2 ∼= Sc e o perímetro P do polígono é aproximadamente o comprimento C da circunferência, isto é, P = n.l ∼= C. Além disso, se n tender ao infinito, o polígono de n lados tende ao círculo e obtemos os limites lim n→∞ r.n.l 2 = Sc e lim n→∞ n.l = C. Uma vez que π é a razão do comprimento da circunferência pelo seu diâmetro, segue que π = C D = C 2r e considerando o segundo limite acima obtemos: π = lim n→∞ n.l 2r . Áreas de Figuras no Plano 55 Agora considerando o primeiro limite e multiplicando a fração por r r temos: Sc = lim n→∞ r.n.l 2 . r r = lim n→∞ r2.n.l 2r = r2 lim n→∞ n.l 2r . Logo Sc = r2 lim n→∞ n.l 2r = πr2. Omitiremos a prova para o caso do círculo circunscrito a um polígono regular, por ser muito semelhante a do círculo inscrito. A seguir estabelecemos a área de figuras obtidas através de círculos, a coroa circular e o setor circular. Definição 4.10. Sejam dois círculos de mesmo centro O porém o maior com raio R e o menor com raio r, veja a Figura 4.13. O lugar geométrico dos pontos do plano que estão à distância menor ou igual que R de O e à distância maior ou igual que r de O, é chamada de coroa circular. Figura 4.13: Ilustração da coroa circular. Teorema 4.13. A área de uma coroa circular correspondente aos círculos concêntricos onde o maior tem raio R e o menor tem raio r é dada pela diferença entre a área do maior círculo e a área do menor círculo, ou seja, S = π (R2 − r2). Demonstração. Pelo Teorema 4.12 segue que a área de um círculo de raio r é S = πr2. Logo a área do círculo de raio R será SR = πR2 e a área do círculo de raio r será Sr = πr2. Fazendo a diferença entre as duas áreas obtemos S = πR2−πr2 e colocando π em evidência temos S = π (R2 − r2). Definição 4.11. Dado um círculo Γ de raio r. Um setor circular é uma parte desse círculo limitado por dois raios e um arco central α (em radianos) - veja a Figura 4.14. Teorema 4.14. Seja Γ um círculo de raio r. A área de um setor circular corresponde ao ângulo α (em radianos 5) é dada por S = αr2 2 . 5Veja referência [10] 56 Desenvolvimento Teórico: Áreas Demonstração. A área do setor circular vai depender da medida do ângulo α e do raio r da circunferência. Como uma volta completa na circunferência equivale a 360o ou melhor 2π radianos utilizaremos a regra de três simples para determinar a área do setor circular: 2π −→ πr2 α −→ S Com isso, S = αr2 2 . Figura 4.14: Ilustração do setor circular. Definição 4.12. Dado um ângulo AÔB, a bissetriz de AÔB é a semirreta −→ OC que divide AÔB em dois ângulos iguais. Neste caso, dizemos ainda que −→ OC bissecta AÔB. Assim, −→ OC bissecta AÔB ⇔ AÔC = BÔC. Seja ABC um triângulo qualquer, o en- contro das bissetrizes internas desse triângulo é chamado de incentro. (veja a Figura 4.15). Figura 4.15: Ilustração do incentro. Áreas de Figuras no Plano 57 Teorema 4.15. Seja ABC um triângulo de lados |BC| = a, |AC| = b, |AB| = c e semiperímetro p, como na Figura 4.16. Se r é o raio do círculo inscrito em ABC, então a área do triângulo é dada por S = p r. Demonstração. Seja I o incentro de ABC, uma vez que as alturas dos triângulos AIB, AIC e BIC, respectivamente relativas aos lados |AB|, |AC| e |BC|, são todas iguais a r, temos S(ABC) = S(AIB) + S(AIC) + S(BIC) = cr 2 + br 2 + ar 2 = r 2 (a+ b+ c) = ( r 2 ) 2p = p r. Figura 4.16: Ilustração do triângulo e círculo inscrito. Teorema 4.16. Sejam ABC triângulo qualquer e a, b e c seus respectivos lados. Con- sidere também p o semiperímetro, ou seja, p = a+b+c 2 . Então a área S desse triângulo é dada por S = √ p(p− a)(p− b)(p− c) conhecida pela fórmula de Heron. Demonstração. A Figura 4.17 ilustra um triângulo ABC qualquer e uma circunferência de raio R e centro O inscrita no triângulo ABC. Segue que |AC| = b, |AB| = c e |BC| = a. Note que as medidas dos segmentos |OA′| = |OB′| = |OC ′| = R além disso o segmento OA′ é perpendicular ao lado BC, OB′ é perpendicular ao lado AC e OC ′ é perpendicular ao lado AB. Segue também que os ângulos A′ĈO = OĈB′ = θ, B′ÔA = AÔC ′ = α, C ′ÔB = BÔA′ = β e |AC ′| = |AB′| = x, |C ′B| = |BA′| = y, |A′C| = |CB′| = z. Logo a = z + y , b = x + z, c = x + y e que o semiperímetro é p = x + y + z, assim p = x+ a, p = y + b e p = z + c. Sabemos pelo Teorema 4.15 que: S = pR⇒ R = S p . São conhecidas as igualdades 6 tgα = R x ; tg β = R y ; tg θ = R z . 6Veja a referência [10], p.146-C 58 Desenvolvimento Teórico: Áreas Como α + β + θ = 90o, então tgα tg β + tg β tg θ + tgα tg θ = 1. De fato, como α+β = 90o−θ ⇒ tg (α+β) = tg (90o−θ) = cotg θ = 1 tg θ ⇒ 1 tg θ = tgα + tg β 1− tgα tg β . Assim, 1 tg θ = tgα + tg β 1− tgα tg β ⇒ 1− tgα tg β = (tgαtg θ) + (tg βtg θ) ⇒ tgα tg β + tg β tg θ + tgα tg θ = 1. (4.1) Com essa informação e observando a Figura 4.17 temos: p = x+ y + z = x+ a = y + b = z + c e tgα = R x ; tg β = R y e tg θ = R z . Finalmente, considerando (4.1) obtemos: R x R y + R y R z + R x R z = 1⇒ R2(x+ y + z) x y z = R2 p x y z = S2 p x y z = 1⇒ S2 = p x y z = p(p− a)(p− b)(p− c). Portanto S = √ p(p− a)(p− b)(p− c). Figura 4.17: Ilustração para a demonstração de Heron. Áreas de Figuras no Espaço 59 Definição 4.13. Em um círculo de centro O e raio r, qualquer corda |AB| divide o círculo em dois segmentos circulares. O menor deles está indicado na Figura 4.18 (parte azul). Sendo α o ângulo central AÔB a área S do menor dos dois segmentos circulares é a diferença entre a área do setor AOB e a área do triângulo AOB. Figura 4.18: Ilustração do segmento circular. Teorema 4.17. A área de um segmento circular com α sendo o comprimento do arco do setor circular e r a medida do raio do círculo é dada por S = r2 2 (α− senα). Demonstração. Pela Definição 4.13 vimos que a área do menor segmento circular é dada pela diferença entre a área do setor AOB e a área do triângulo AOB. Assim pelos Teoremas 4.14 e 4.5 temos S = α r2 2 − r2 2 senα, ou seja, S = r2 2 (α− senα). 4.2 Áreas de Figuras no Espaço Nesta seção apresentaremos as demonstrações do cálculo das áreas envolvendo al- guns sólidos vistos no ensino médio, que são o prisma, a pirâmide, o cilindro, o cone e a esfera. Usaremos na maior parte do texto as referências [14] e [15]. Definição 4.14. Superfície poliédrica limitada convexa é a reunião de um nú- mero finito de polígonos planos e convexos, tais que: a) dois polígonos não estão num mesmo plano; b) cada lado de um polígono está exatamente em dois polígonos; 60 Desenvolvimento Teórico: Áreas c) havendo lados de polígonos que estão em um só polígono, estes devem formar uma única poligonal fechada, plana ou não, chamada contorno; d) o plano de cada polígono deixa os demais num mesmo semiespaço (condição de con- vexidade). As superfícies poliédricas limitadas convexas possuem os seguintes elementos: Faces: são os polígonos; Arestas: são os lados dos polígonos; Vértices: são os vértices dos polígonos; Ângulos: são os ângulos dos polígonos. Definição 4.15. Consideremos um número finito n (n > 4) de polígonos planos con- vexos tais que: a) dois polígonos não estão num mesmo plano; b) cada lado de polígono é comum a dois e somente dois polígonos; c) o plano de cada polígono deixa os demais polígonos num mesmo semiespaço. Nestas condições, ficam determinados n semiespaços, cada um dos quais tem origem no plano de um polígono e contém os restantes. A interseção destes semiespaços é chamado poliedro convexo. Definição 4.16. Considere um polígono convexo (ou região poligonal) A1A2...An em um plano α e um segmento PQ, cuja reta suporte intercepta α. Chama-se prisma à reunião de todos os segmentos congruentes e paralelos a PQ, com uma extremidade nos pontos do polígono e situados no mesmo semiespaço determinado por α. Vamos agora descrever a construção de um prisma de base sendo uma região poligo- nal A1A2...An, contida em um plano α. Escolha um ponto A′1 qualquer não pertencente a α. Por A′1 trace o plano β paralelo a α. Pelos demais pontos A2 até An trace retas paralelas ao segmento A1A′1 que cortam β nos pontos A′2 até A′n. Essas retas são para- lelas entre si. Considere dois segmentos consecutivos assim determinados, por exemplo A1A′1 e A2A′2. O quadrilátero A1A ′ 1A ′ 2A2 é plano, pois seus lados A1A′1 e A2A′2 são paralelos. Isso implica que A1A2 e A′1A′2 também são paralelos, já que estão contidos em retas coplanares que não se intersectam por estarem contidas em planos paralelos, e com isso, o quadrilátero A1A ′ 1A ′ 2A2 é um paralelogramo. As regiões limitadas por paralelogramos assim determinados, juntamente com as regiões poligonais A1A2...An e A′1A′2...A′n, determinam o prisma de bases A1A2...An e A′1A′2...A′n, veja a Figura 4.19. Áreas de Figuras no Espaço 61 Figura 4.19: Ilustração do prisma. A região do espaço ocupada por um prisma é formada pelos pontos dos segmentos nos quais cada extremidade está em uma das bases. As arestas A1A′1, A2A′2 e A3A′3 são chamadas arestas laterais e todos as arestas laterais são paralelas e de mesmo comprimento. Arestas laterais consecutivas determinam regiões que têm a forma de paralelogramos e são chamadas de faces laterais do prisma. As bases A1A2A3 e A′1A ′ 2A ′ 3 são congruentes. A altura do prisma é a distância entre as bases. Para determinarmos a área da superfície de um prisma, temos que considerar a superfície lateral que é formada pelas faces laterais (paralelogramos) e com isso, a área lateral será a soma de todas as áreas das faces. Observe que se a base do prisma for triangular teremos 3 faces laterais, se for um quadrilátero, teremos 4 faces laterais e assim por diante. Já para determinarmos a área da superfície total de um prisma, temos que somar a área lateral com as áreas das bases. Definição 4.17. Ângulo diedro ou diedro ou ângulo diédrico é a reunião de dois semiplanos de mesma origem não contidos num mesmo plano. Definição 4.18. Dadas três semirretas Va, Vb, Vc, de mesma origem V , não coplanares, consideremos os semiespaços E1, E2 e E3 como segue: E1, com origem no plano (bc) e contendo Va; E2, com origem no plano (ac) e contendo Vb; E3, com origem no plano (ab) e contendo Vc. Triedro determinado por Va, Vb e Vc é a interseção dos semiespaços E1, E2 e E3. A Figura 4.20 nos traz um exemplo de diedro e um de triedro. 62 Desenvolvimento Teórico: Áreas Figura 4.20: Ilustração de diedro e triedro. Definição 4.19. Considere uma região poligonal plana convexa A1A2...An de n lados e um ponto V fora de seu plano. Chama-se pirâmide convexa indefinida à reunião das semirretas de origem em V e que passam pelos pontos da região poligonal dada. Figura 4.21: Ilustração de pirâmide ilimitada e uma secção. Uma pirâmide ilimitada convexa possui: n arestas, n diedros (ângulos ou setores angulares planos) e n faces. A superfície de uma pirâmide ilimitada convexa é a reunião das faces desta pirâmide. A secção é uma região poligonal plana com um só vértice em cada aresta, veja um exemplo (na página anterior) de secção na Figura 4.21. Definição 4.20. Pirâmide convexa limitada ou pirâmide convexa definida é a parte da pirâmide ilimitada que contém o vértice quando se divide esta pirâmide pelo plano de uma secção, reunida com esta secção. Áreas de Figuras no Espaço 63 Figura 4.22: Ilustração da pirâmide convexa. A seguir temos a definição de pirâmide vista no ensino médio. Definição 4.21. Considere um polígono convexo A1A2...An situado num plano α e um ponto V fora de α. Chama-se pirâmide ou pirâmide convexa à reunião dos segmentos com extremidade em V e a outra nos pontos do polígono, onde V é o vértice e o polígono A1A2...An a base da pirâmide. Uma pirâmide possui: uma base (polígono da base), n faces laterais (triângulos), n+ 1 faces (polígono da base mais as faces laterais), n arestas laterais, 2n arestas, 2n diedros, n+1 vértices, n+1 ângulos poliédricos e n triedros. A altura de uma pirâmide é a distância h entre o vértice V e o plano da base. A superfície lateral é a reunião das faces laterais da pirâmide, logo a área desta superfície é chamada área lateral e geralmente indicada por Sl. A superfície total é a reunião da superfície lateral com a superfície da base da pirâmide, com isso a área desta superfície é chamada área total e geralmente indicada por St. Dependendo do polígono da base, uma pirâmide será triangular, quadrangular, pentagonal, etc. Para a superfície cilindro temos várias definições, onde a primeira dada no EM e as demais são encontradas nas referências citadas no início dessa seção e serão definidas aqui por que são interessantes para a formação contínua do professor. Definição 4.22. Considere um círculo de centro O em um plano α e raio r e um segmento PQ, não nulo, não paralelo nem contido em um plano α. Chama-se cilindro circular ou cilindro à reunião dos segmentos congruentes e paralelos a PQ, com extremidade nos pontos do círculo e situados num mesmo semiespaço dos determinados por α, veja a Figura 4.24. Definição 4.23. Considere uma curva plana C no espaço, e AB um segmento trans- versal (não paralelo) ao plano da curva. O cilindro de diretriz C e geratrizes paralelas a AB é a reunião das retas que passam por um ponto de C e são paralelas a AB. Ou 64 Desenvolvimento Teórico: Áreas seja, é o conjunto dos pontos P que podem ser escritos na forma P = Q + sAB em que Q ∈ C e s ∈ R. Figura 4.23: Ilustração geral do cilindro de diretriz C. Definição 4.24. Considere um círculo de centro O e raio r e uma reta s não paralela nem contida no plano do círculo. Chama-se cilindro circular ilimitado ou cilindro circular indefinido à reunião das retas paralelas a s e que passam pelos pontos do círculo, veja a Figura 4.24. Figura 4.24: Ilustração do cilindro circular ilimitado e cilindro circular. Áreas de Figuras no Espaço 65 Definição 4.25. Cilindro é a reunião da parte do cilindro circular ilimitado, com- preendida entre os planos de duas secções circulares paralelas e distintas, com estas secções. O cilindro limitado, geralmente possui duas bases que são círculos congruentes situados em planos paralelos; as geratrizes são os segmentos com uma extremidade nos pontos do círculo de centro O e raio r, onde r é o raio da base; a altura de um cilindro é a distância h entre os planos das bases; a superfície lateral é a reunião das geratrizes; superfície total é a reunião da superfície lateral com os círculos das bases. Se as geratrizes são oblíquas aos planos das bases temos um cilindro circular oblíquo; se as geratrizes são perpendiculares aos planos das bases temos um cilindro circular reto; o cilindro circular reto também é chamado de cilindro de revolução, já que é gerado pela rotação de um retângulo em torno de um eixo que contém um dos seus lados. A Figura 4.25 auxiliará na demonstração do próximo teorema. Figura 4.25: Ilustração do cilindro e sua planificação. Teorema 4.18. Considere um cilindro de raio r e altura h, então a área lateral desse cilindro é dada por Sl = 2π r h e a área total St = 2π r (h+ r). Demonstração. Como podemos notar pela Figura 4.25 a planificação de um cilindro de raio r e altura h gera três figuras planas. Um retângulo de altura h e base 2 π r que corresponde ao comprimento do círculo das bases do cilindro e dois círculos idênticos correspondentes às duas bases do cilindro. Logo, para determinarmos a área lateral do cilindro, basta calcular a área do retângulo de altura h e base 2π r e como já sabemos calcular a área do retângulo pelo Teorema 4.2, segue que a área lateral do cilindro será Sl = 2π r h. 66 Desenvolvimento Teórico: Áreas Agora para determinarmos a área total deste cilindro, basta somarmos a área do retângulo anterior com as áreas dos dois círculos. Como sabemos pelo Teorema 4.12 calcular a área de um círculo, então a área total do cilindro será St = 2π r h+ 2π r2 = 2π r (h+ r). Para o cone também teremos várias definições, onde a primeira é vista no EM e as demais também são encontradas nas referências citadas no início dessa seção e que podem auxiliar na formação contínua do professor. Definição 4.26. Considere um círculo de centro O e raio r num plano α e um ponto V fora de α. Chama-se cone circular ou cone à reunião dos segmentos de retas com uma extremidade em V e a outra nos pontos do círculo. Definição 4.27. Seja C uma curva plana no espaço e V um ponto não pertencente ao plano da curva. O cone de diretriz C e vértice V é a reunião das retas passando por V e por um ponto da curva C. Figura 4.26: Ilustração geral do cone. Definição 4.28. Considere um círculo de centro O e raio r e um ponto V fora de seu plano. Chama-se cone circular ilimitado ou cone circular indefinido à reunião das semirretas de origem em V e passam pelos pontos do círculo. Definição 4.29. Cone é a parte do cone circular ilimitado, que contém o vértice quando se divide este cone pelo plano de uma secção circular, reunida com esta secção. O cone limitado possui uma base que é um círculo de centro O e raio r; as gera- trizes são os segmentos com uma extremidade em V e a outra nos pontos do círculo da base; vértice é o ponto V já citado anteriormente; a altura de um cone é a dis- tância h entre o plano da base e o vértice V ; a superfície lateral é a reunião das Áreas de Figuras no Espaço 67 geratrizes; superfície total é a reunião da superfície lateral com o círculo da base; se a reta ←→ V O é oblíqua ao plano da base temos um cone circular oblíquo; se a reta ←→ V O é perpendicular ao plano da base temos um cone circular reto; o cone circular reto também é chamado de cone de revolução, já que é gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um eixo que contém um dos seus catetos. Teorema 4.19. Considere um cone circular reto com raio da base r, altura h e geratriz g, então a área lateral do cone será Sl = π r g enquanto que a área total será St = π r (g + r). Demonstração. Através da Figura 4.27 podemos observar que a planificação do cone gera um setor circular e um círculo. O setor circular tem raio igual a geratriz, ou seja, raio igual a g e o comprimento do arco igual a 2 π g. Logo, para calcularmos a área lateral do cone devemos calcular a área do setor circular e para isso vamos utilizar uma regra de três simples envolvendo o comprimento do arco e a área do setor: 2π g −→ π g2 2 π r −→ Sl Portanto, 2π g 2π r = π g2 Sl ⇒ Sl = π g r. Logo a área total do cone será a área lateral mais a área do círculo da base, ou seja, St = π g r + π r2 ⇒ St = π r(g + r). Figura 4.27: Ilustração do cone e sua planificação. Teorema 4.20. Dado um tronco de cone circular reto de raio da base menor r e raio da base maior R e geratriz igual a gt. Então sua área lateral será Sl = πgt(R + r). 68 Desenvolvimento Teórico: Áreas Figura 4.28: Ilustração do cone e seu tronco. Demonstração. Analisando a Figura 4.28 segue que se g é a geratriz do cone menor e G a geratriz do cone maior, então a diferença G− g é a geratriz do tronco do cone que será denotada por gt. Agora considere os triângulos semelhantes ABC e AEF , logo: G g = R r ⇒ G g − 1 = R r − 1 ⇒ G− g g = R− r r ⇒ gt g = R− r r ⇒ gt R− r = g r . A área lateral do tronco será a diferença entre a área do cone maior e o cone menor, veja a Figura 4.29. Logo Sl = πRG− πrg = πR gR r − πr2g r = πg r (R2 − r2) = πgt R− r (R + r)(R− r) = πgt(R + r). Figura 4.29: Ilustração do tronco do cone e sua planificação. Definição 4.30. Dados um real positivo R e um ponto O do espaço, o LG dos pontos do espaço que estão à distância menor ou igual a R do ponto O é a esfera de centro O e raio R. Áreas de Figuras no Espaço 69 Teorema 4.21. Seja Φ uma esfera de raio R então a área dessa superfície esférica é dada por S = 4π R2. Figura 4.30: Ilustração da esfera. Demonstração. Considere uma esfera e um anel dessa esfera medindo l como ilustra a Figura 4.31. A largura desse anel pode ser descrita pensando na fórmula do arco l = r dθ, onde r é o raio da circunferência e dθ a variação infinitesimal (a variação é tão pequena quanto se queira) do ângulo central. Porém, se estes anéis tiverem larguras infinitesimais, os raios se confundem e o perímetro do anel de largura infinitesimal é dado por P (x) = 2π x. Observe que o perímetro P está em função do raio x. Vamos fazer agora uma transformação para coordenadas polares, vejam a Figura 4.32. Figura 4.31: Ilustração da área da esfera. 70 Desenvolvimento Teórico: Áreas Figura 4.32: Ilustração do triângulo retângulo. Segue que cos θ = x r ⇒ x = r cos θ e substituindo esta última igualdade na equação P (x) = 2π x obtemos P (θ) = 2π r cos θ e portanto o perímetro passa a ser função do ângulo central θ. Então, a área da superfície do anel de largura infinitesimal será dada pelo produto do seu perímetro P por sua altura l, isto é, S(θ) = P (θ) l⇒ S(θ) = 2π r cos θ r∆θ ⇒ S(θ) = 2 π r2 cos θ∆θ, com, 0 6 θ 6 π 2 . Como 0 6 θ 6 π 2 , obtemos anéis da esfera somente na parte superior do eixo x e consequentemente somente a metade da área da sua superfície. Para encontrar a área total, basta multiplicar por 2. Aplicando então a integral 7 definida. S(r) = 2 ∫ π 2 0 2πr2 cos θ dθ ⇒ S(r) = 4πr2 ∫ π 2 0 cos θ dθ ⇒ S(r) = 4πr2[senθ] π 2 0 ⇒ S(r) = 4πr2[sen π 2 − sen0]⇒ S(r) = 4πr2[1− 0]⇒ S(r) = 4πr2. Concluído o embasamento teórico do tema áreas, iremos, no próximo capítulo, apresentar atividades envolvendo o tema que podem ser utilizada pelos professores como sugestões de aulas práticas e como motivação para introduzir o assunto. 7Ver Apêndice A o conceito de integral definida. 5 Atividades Didáticas Neste capítulo apresentaremos algumas sugestões de atividades envolvendo áreas de figuras planas, geralmente vistas ao longo do Ensino Fundamental (Ciclo II), ou seja, do 6o ao 9o ano. As atividades apresentadas para o EF foram aplicadas nos quatro 6os anos da Escola Estadual Odilon Corrêa, na cidade de Rio Claro − SP, no ano de 2015. Apresentaremos algumas atividades, onde no início de cada uma delas, descreve- remos o objetivo da mesma e no final teremos uma avaliação e uma tabela com a quantidade de alunos que realizaram a atividade com as porcentagens de acertos ou erros em relação a cada questão. Nesta tabela foram separadas as questões em correta, parcialmente correta e incorreta. Consideraremos uma questão parcialmente correta se o aluno resolver corretamente alguns dos itens que compõe a mesma questão. Algumas atividades para o EM também estão apresentadas nesse capítulo, porém não foram aplicadas. Para confeccionar as atividades que serão apresentadas na sequên- cia, foram utilizados os livros didáticos citados no Capítulo 3, o caderno do professor e aluno do Estado de São Paulo e algumas foram elaboradas pelo autor. 5.1 Descrição da Escola e Alunos A escola E.E. Prof. Odilon Corrêa está localizada no bairro Jd. Claret que fica numa região entre o centro e a periferia da cidade de Rio Claro. A escola atinge pra- ticamente a área de um quarteirão inteiro, sendo que a maioria dos quarteirões desta cidade são quadriláteros e o comprimento de seu perímetro é de aproximadamente 200 metros. O bairro Jd. Claret é formado praticamente por residências e terrenos ainda sem construções. Nossa diretoria de ensino é a DE de Limeira. A maioria dos alunos desta escola é de bairros que ficam na periferia da cidade, por exemplo Jd. Bom Sucesso, Jd. Novo Wenzel, Bom Retiro, Santa Eliza, etc. A distância destes bairros à escola é de aproximadamente 3 km. Por isso, uma grande parte de alunos utiliza o ônibus escolar que é disponibilizado sem custo algum, enquanto que 71 72 Atividades Didáticas outros se locomovem de bicicletas ou carro próprio. Alguns alunos chegam para cursar o 6o ano sem saber ler e escrever e a maioria com muita dificuldade de aprendizagem, geralmente os alunos estudam os anos iniciais do EF em escolas do município localizadas próximas aos bairros de suas residências. A escola Odilon também é uma das únicas da cidade que é adaptada para receber alunos com deficiências visuais, cadeirantes, etc. A escola contém um laboratório de informática que foi restaurado e começou a funcionar no 1o semestre de 2015. O índice do IDESP desta escola em 2012 foi de 3,05, em 2013 3,24, já no ano de 2014 o índice recuou para 2,84, as tabelas completas destes índices estão disponibili- zadas no site idesp.edunet.sp.gov.br. Todos os que trabalham nesta escola se esforçam para melhorar estes índices. A grande dificuldade é que poucos alunos são organizados e tem o material em ordem e poucos estudam fora da sala de aula. A participação dos pais também é baixa e a maioria deles trabalham o dia todo deixando a educação para um segundo momento. 5.2 Atividades para o Ensino Fundamental Para o desenvolvimento das atividades que foram aplicadas, escolhemos trabalhar com o Geoplano, pois é um material que está disponível na escola, porém nunca foi utilizado pelos professores de matemática desta escola. Não foram feitas avaliações diagnósticas, mas pelas observações feitas nos anos anteriores pelo autor, verificamos que geralmente os alunos chegam para cursar o 6o ano com muita dificuldade e quase sempre não sabem nem o que é um quadrado. Por isso as três primeiras atividades têm como objetivo principal fazer com que o aluno assimili alguns nomes e conceitos. 5.2.1 ATIVIDADE 1: Polígonos Objetivo: Fazer com que os alunos aprendam o significado da palavra e conceito polígono e a nomenclatura dos principais polígonos estudados durante o ano. Parte teórica : A palavra Polígono vem do grego e significa muitos ângulos ou muitos lados, já que poli equivale a muitos e gonos equivale a lados ou ângulos. Polí- gono é uma figura geométrica plana limitada apenas por segmentos de retas, chamados lados do polígono. A Tabela 5.1 apresenta o nome de alguns polígonos convexos. Atividades para o Ensino Fundamental 73 Número de lados Nome do polígono 3 triângulo 4 quadrilátero 5 pentágono 6 hexágono 7 heptágono 8 octogono 9 eneágono 10 decágono 12 dodecágono Tabela 5.1: Nome de alguns polígonos vistos no EF. Parte prática: Após estabelecer a teoria com os alunos (por texto ou lousa) ire- mos levá-los para fora da sala de aula, ou seja, refeitório, quadra poli esportiva e pátio em geral e pedir para que eles observem todos os objetos e ambientes encontrados pelo caminho. Com isso os alunos deverão anotar o nome do objeto ou ambiente em seus respectivos cadernos fazendo uma análise com qual figura geométrica a superfície do objeto se parece. Retornando para a sala, os alunos receberão uma folha com a qual eles deverão, de forma individual, responder as seguintes questões: 1. Quais objetos ou ambientes você observou no pátio? 2. Com quais figuras geométricas eles se parecem? 3. Cite pelo menos 5 objetos que você pode encontrar na rua ou em sua casa, dife- rentes dos encontrados na escola, escrevendo o nome desse objeto e com qual polígono ele se parece. 4. Entre os polígonos representados na figura abaixo, indique quais são: a) triângulos b) quadriláteros c) pentágonos d) hexágonos e) heptágonos f) octogonos g) eneágonos h) decágonos 74 Atividades Didáticas i) dodecágonos 5. Construa, utilizando uma régua, um polígono com: a) 3 lados b) 4 lados c) 5 lados d) 6 lados e) 7 lados f) 8 lados g) 9 lados h) 10 lados i) 12 lados Importante que o professor durante o decorrer da aula, principalmente no momento em que os alunos estão resolvendo os exercícios, passe de mesa em mesa e converse com os alunos verificando suas dúvidas e com isso auxilie os alunos que ainda estão com dificuldades. Avaliação da aplicação: Foram utilizadas duas aulas de 50 minutos cada, po- rém o ideal seria utilizar pelo menos três aulas, já que os alunos neste ano (6o) tem dificuldade em se concentrar, em escrever corretamente e também em utilizar a régua. Os alunos gostaram de fazer as observações fora da sala de aula e comentaram que a maior parte dos objetos observados são formados por quadriláteros. Para facilitar a análise da avaliação temos a Tabela 5.2. Nesta atividade estavam presentes 105 alunos, porém 3 não quiseram realizar (2,8 % do total). Atividades para o Ensino Fundamental 75 Questões Porcentagemde corretas Porcentagemde parcialmente corretas Porcentagemde erradas Questão 1 89,2 8,8 1,9 Questão 2 43,1 14,7 42,1 Questão 3 38,2 46 15,6 Questão 4 56,8 26,4 16,6 Questão 5 63,7 11,7 24,5 Tabela 5.2: Avaliação da Atividade 1. A Figura 5.1 nos traz alguns ambientes e objetos observados pelos alunos antes de realizar a atividade. Figura 5.1: Fotos de alguns dos ambientes observados. Segue a Figura 5.2 que apresenta duas atividades desenvolvidas em sala de aula. As duas primeiras imagens são de um mesmo aluno que terminou tudo e esta foi bem desenvolvida, ou seja, o aluno atingiu os objetivos da atividade enquanto que a terceira imagem é de outro aluno que não conseguiu terminar a atividade. 76 Atividades Didáticas Figura 5.2: Atividade 1 desenvolvida em sala. 5.2.2 ATIVIDADE 2: Classificação de triângulos Objetivo: Ajudar os alunos a guardar a classificação e nomenclaturas dos triân- gulos em relação aos lados e aos ângulos. Também fazer com que o aluno conheça e aprenda a trabalhar com o Geoplano. Atividades para o Ensino Fundamental 77 Parte teórica: Um triângulo é um polígono que possui três lados e três ângulos. É considerado uma figura rígida, ou seja, não deforma. Os triângulos são classificados em seis categorias, onde três em relação a seus lados e três em relação a seus ângulos. É importante o professor explicar com antecedência a definição de ângulo e como se utiliza o Geoplano. Classificação em relação aos lados: EQUILÁTERO: Chama-se triângulo equilátero todo triângulo que possui três lados congruentes, ou seja, seus três lados tem a mesma medida. ISÓSCELES: Chama-se triângulo isósceles todo triângulo que possui pelo menos dois lados congruentes. ESCALENO: Chama-se triângulo escaleno todo triângulo que possui os três la- dos com medidas diferentes. Classificação em relação aos ângulos: ACUTÂNGULO: Chama-se triângulo acutângulo todo triângulo