
FLÁVIO HELENO GRACIANO

INVESTIGAÇÃO DE ESTRUTURAS AUTO-SIMILARES E 
STICKINESS EM UM POÇO DE POTENCIAL DEPENDENTE 

DO TEMPO

2024

- SP


UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA

“Júlio de Mesquita Filho”

Instituto de Geociências e Ciências Exatas
Câmpus de Rio Claro

Flávio Heleno Graciano

Investigação de Estruturas Auto-Similares e Stickiness
em um Poço de Potencial Dependente do Tempo

Tese de Doutorado apresentada ao Instituto

de Geociências e Ciências Exatas do Cam-

pus de Rio Claro, da Universidade Estadual

Paulista “Júlio de Mesquita Filho” como

parte dos requisitos para obtenção do t́ıtu-

lo de Doutor em F́ısica.

Orientador: Prof. Dr. Juliano Antônio de Oliveira

Co-orientador: Prof. Dr. Diogo Ricardo da Costa

Rio Claro - SP

2024


G731i
Graciano, Flávio Heleno

    Investigação de estruturas auto-similares e stickiness em um poço

de potencial dependente do tempo / Flávio Heleno Graciano. -- Rio

Claro, 2024

    87 p.

    Tese (doutorado) - Universidade Estadual Paulista (UNESP),

Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Rio Claro

    Orientador: Juliano Antônio De Oliveira

    Coorientador: Diogo Ricardo Da Costa

    1. Sistemas Dinâmicos. 2. Caos. 3. Reflexões Múltiplas. 4.

Stickiness. I. Título.

Sistema de geração automática de fichas catalográficas da Unesp. Biblioteca da Universidade
Estadual Paulista (UNESP), Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Rio Claro. Dados

fornecidos pelo autor(a).

Essa ficha não pode ser modificada.


UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA

“Júlio de Mesquita Filho”

Instituto de Geociências e Ciências Exatas
Câmpus de Rio Claro

Flávio Heleno Graciano

Investigação de Estruturas Auto-Similares e Stickiness
em um Poço de Potencial Dependente do Tempo

Tese de Doutorado apresentada ao Instituto

de Geociências e Ciências Exatas do Cam-

pus de Rio Claro, da Universidade Estadual

Paulista “Júlio de Mesquita Filho” como

parte dos requisitos para obtenção do t́ıtu-

lo de Doutor em F́ısica.

Comissão Examinadora

Prof. Dr. JULIANO ANTÔNIO DE OLIVEIRA

UNESP/São João da Boa Vista (SP)

Prof. Dr. EDSON DENIS LEONEL

UNESP/Rio Claro (SP)

Prof. Dr. ANTÔNIO MARCOS BATISTA

UEPG/Ponta Grossa (PR)

Prof. Dr. DENIS GOUVEA LADEIRA

UFSJ/Ouro Branco (MG)

Prof. Dr. RENE MEDRANO ORLANDO TORRICOS

UNIFESP/Diadema (SP)

Conceito: Aprovado

Rio Claro (SP), 6 de março de 2024


Agradecimentos

Como cristão, primeiramente agradeço a Deus por me dar forças e disposição durante

todos esses anos de estudos enfrentando as estradas de Minas Gerais e São Paulo. Agra-

deço a minha esposa Rose e aos meus filhos Ruan e Laura pela paciência e por aceitarem

minha ausência nos dias de viagem. Agradeço a minha mãe Belchiolina pelas orações e

incentivo. Ao meu pai José Graciano que já se foi, mas está sempre comigo. Aos meus

irmãos e sobrinhos que sempre perguntavam: como está a que bolinha fica batendo na

parede? Aos amigos de curso Joelson, Valdir e Kadu, por cada palavra de motivação em

nossas conversas durante nossas longas viagens, além das valiosas ajudas para o trabalho,

feitas principalmente pelo Joelson. Ao Professor Denis que me motivou a retornar aos es-

tudos em busca do t́ıtulo de doutor. Aos Professores Juliano e Diogo, por terem aceitado

a me orientar e pelos ensinamentos durante meu doutoramento. Por fim, aos Professores

Danilo e Batistas, e ao colega Matheus pelas colaborações que foram fundamentais para

a finalização deste trabalho.


Resumo

Neste trabalho consideramos estruturas de auto-similaridade para o modelo poço de

potencial dependente do tempo, que consiste da dinâmica de uma part́ıcula clássica de

massa m, confinada no interior de uma caixa com potencial infinito nas bordas e com um

poço que possui o fundo oscilante. O modelo é descrito por um mapeamento bidimensio-

nal discreto, nas variáveis energia da part́ıcula, fase do movimento do poço de potencial

e os parâmetros de controle r, δ e Nc. O mapeamento tradicionalmente conhecido na

literatura é considerado, e uma nova proposta da seção de Poincaré é considerada para

reescrever o mapeamento, com o intuito de facilitar a análise dos pontos fixos e espaços

de fases. O espaço de fases para análise do comportamento do sistema é constitúıdo de

um mar de caos em volta de ilhas periódicas e limitado por curvas invariantes spanning.

A dispersão de primeira ordem é investigada para encontrar as regiões de colisões simples

e colisões múltiplas, onde sub-regiões, de acordo o número de colisões múltiplas são desta-

cadas. São realizados o estudo do número de colisões múltiplas em função do parâmetro

de controle Nc e o estudo da área da região de colisões múltiplas em função do parâmetro

Nc. A investigação das estruturas no plano eoe1, é realizada para encontrar as estrutu-

ras auto-similares. Foram estudadas algumas propriedades dinâmicas do modelo, onde

conclúımos que o sistema é conservativo também para a nova proposta da seção de Poin-

caré. Investigamos o comportamento de stickiness para o modelo através do Expoente de

Lyapunov de Tempo Finito e também por recorrência dinâmica.

Palavras Chaves: Estruturas Auto-Similares, Reflexões Múltiplas, Stickiness.


Abstract

In this work we consider self-similar structures for the time-dependent potential well

model, which consists of the dynamics of a classical particle of mass m, confined inside a

box with infinite potential at the edges and with a well with an oscillating bottom . The

model is described by a discrete two-dimensional mapping in the variables energy of the

particle, phase of movement of the potential well and the control parameters r, δ and Nc.

The mapping traditionally known in the literature is considered and, we propose a new

Poincaré section and we rewrite the mapping, in order to facilitate the analysis of fixed

points and phase spaces. The phase space for analyzing the behavior of the system is

constituted by a sea of chaos around islands of periodics and limited by invariant curves

spanning. First-order scattering is investigated to find the regions of single collisions and

multiple collisions, where sub-regions according to the number of multiple collisions are

highlighted. The study of the number of multiple collisions as a function of the control

parameter Nc and the study of the area of the region of multiple collisions as a function

of the parameter Nc are carried out. The investigation of structures in the eoe1 plane is

performed to find the self-similar structures. Some dynamic properties of the model were

studied, where we concluded that the system is conservative also for the new proposal of

the Poincaré section. We investigated the behavior of stickiness for the model through

the Finite Time Lyapunov Exponent and also through dynamic recurrence.

Key Words: Self-Similar Structures, Multiple Reflections, Stickiness.


Lista de Figuras

2.1 (a) Uma sequência contendo um número infinito de poços de potenciais

dependentes do tempo, onde b é a distância entre os poços de potenciais,

a é a largura do poço móvel, V0 é a profundidade do poço de potencial e o

fundo do poço se move de acordo F (t) = V1 cos(ωt). Em (b)temos algumas

simetrias onde pode-se tomar um único potencial dependente do tempo, e

com um potencial infinito em ambos os lados, obtemos (c). Em (d), usamos

outra simetria, onde dividimos o poço ao meio. Os dois últimos poços de

potencial dependente do tempo são nossos objetos de estudo. . . . . . . . 19

2.2 figura representativa do poço de potencial dependente do tempo. . . . . . . 20

2.3 Espaços de fase do poço de potencial dependente do tempo com r = 1 e

δ = 0, 5 para (a), (b) e (c), e Nc = 13 para (a), Nc = 33 para (b) e Nc = 53

para (c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4 Espaços de fase do poço de potencial dependente do tempo com Nc = 33 e

δ = 0, 5 para as figuras (a), (b) e (c), e r = 0, 1 para (a), r = 1 para (b) e

r = 1, 9 para (c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.5 Espaços de fase do poço de potencial assimétrico com r = 1 e Nc = 33 para

(a), (b) e (c) e δ = 0, 2 para (a), δ = 0, 5 (b) e δ = 0, 8 (c). . . . . . . . . . 25

2.6 Em (a) temos o espaço de fase do mapeamento para Nc = 33, r = 1 e

δ = 0, 5. Em (b) temos o plot do observável d(e, ϕ), onde pintamos de preto

os valores tais que d(e, ϕ) −→ 0. Em (a) e (b), temos os plots dos pontos

fixos dos tipos P1 e P2 encontrados analiticamente através das equações dos

pontos fixos de primeira ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.7 Dispersão de primeira ordem do poço de potencial para r = 1, Nc = 3 e

δ = 0, 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.8 Curvas que separam as regiões coloridas da figura 2.7. Em (a) temos as

curvas que separam as cores da figura 2.7(a) em (b) a ampliação de (a)

para e ∈ [1, 8, 2] e ϕ ∈ [0, 4, 1, 1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.9 Em(a) temos o espaço de fase gerado com r = 1, δ = 0, 5 e Nc = 3. Em(b)

temos, na cor vermelha, a região onde ocorrem as reflexões múltiplas, na

cor amarela, a região onde não ocorre as reflexões múltiplas. Em cor preta

mostra as curvas que separam essas duas regiões. . . . . . . . . . . . . . . 32


2.10 Análise da região onde ocorrem as reflexões múltiplas. Em (a), usamos

ϕ ∈ [0, 2π] e e ∈ [1, 2, 1]. Em (b) mostramos uma ampliação de (a) no

intervalo ϕ ∈ [4, 8, 2π] e e ∈ [1, 1, 8] para destacar melhor a divisão da cores. 33

2.11 Histograma do número de reflexões múltiplas para quatro valores diferentes

de Nc. Usamos r = 1 e δ = 0, 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.12 Ajuste em lei do potência do decaimento de número reflexões múltiplas em

função de Nc para H = 103. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.13 Sobreposição das curvas do histograma do número de reflexões múltiplas

em função de Nc, confirmando a invariância de escala. . . . . . . . . . . . . 35

3.1 Modelo do poço de potencial assimétrico com o fundo oscilante. . . . . . . 36

3.2 Espaços de fase do poço de potencial assimétrico com Nc = 3 e δ = 0, 5 em

(a), (b) e (c), r = 0, 65 para (a), r = 1 para (b) e r = 1, 35 para (c). . . . . 40

3.3 Espaços de fase do poço de potencial assimétrico com r = 1 e δ = 0, 5 para

(a), (b) e (c), e Nc = 2, 3 para (a), Nc = 3 para (b) e Nc = 3, 7 para (c). . . 41

3.4 Espaços de fase do poço de potencial assimétrico com r = 1 e Nc = 0, 5

para (a), (b) e (c) e δ = 0, 1 para (a), δ = 0, 5 para (b) e δ = 0, 9 para (c). . 42

3.5 Em (a) mostramos um espaço de fase do modelo para r = 1, δ = 0, 5 e

Nc = 3, em (b) mostramos o comportamento de ∇. Nesta figura temos os

pontos fixos de primeira ordem dados pela equações (3.16), (3.17), (3.18),

(3.19) e (3.20), encontrados numericamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.6 Dispersão das condições iniciais após a primeira iteração. Em (a) temos o

estudo da dispersão de primeira ordem para ϕ ∈ [0, 2π] e e ∈ [1, 7]. Em (b)

temos esse estudo para ϕ ∈ [3, 5, 5] e e ∈ [1, 6, 2, 2], mostrando com mais

detalhes as divisões das cores próximo de F (∞). . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.7 Nesta figura mostramos as linhas para valores inteiros de σ. Em (a), temos

uma analogia da com a figura 3.6(b), destacando as linhas que separam

as cores. Em (b) uma ampliação da parte central da figura(a), mostrando

mais detalhes da aglomeração das linhas quando σ −→ ∞ . . . . . . . . . . 47

3.8 Em (a) temos um espaço de fase gerado com os parâmetros de controle

Nc = 0, 1, r = 1 e δ = 0, 5. Em (b) temos em vermelho a região de

reflexões múltiplas e em amarelo a região de reflexões simples. A figura (b)

foi gerada com os mesmos parâmetros de controle da figura (a). . . . . . . 48

3.9 Estudo detalhado no número de reflexões múltiplas dentro da região onde

G(1) < 0 feito através da equação (3.24). Em (a) temos as regões separa-

das por cores de acordo com o número de reflexões e em (b) temos uma

ampliação de (a), e as curvas que separam as regiões coloridas. . . . . . . . 49

3.10 Análise da região de reflexões múltiplas para Nc = 0, 2 em (a), Nc = 0, 5

em (b) e Nc = 1 em (c), com r = 1 e δ = 0, 5 nas três figuras. . . . . . . . . 50


3.11 Análise da região de reflexões múltiplas para Nc = 5 em (a), Nc = 10 em

(b) e Nc = 50 em(c), com r = 1 e δ = 0, 5 nas três figuras. . . . . . . . . . 51

3.12 Histograma H em função do número de reflexões múltiplas i para diferentes

valores de M com Nc = 3, r = 1 e δ = 0, 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.13 Histograma H em função de i usando uma reescala no eixo vertical dada

por H −→ H/M2, onde todas das curva são sobrepostas resultando em

comportamento universal em uma única curva mostrando a invariância de

escala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.14 Histograma H em função de i para vários valores de Nc, mostrando que

as mudanças nos valores de de Nc não interferem na área ocupada pela

condições inicias na região onde i > 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.15 Histograma no número de reflexões múltiplas no poço de potencial assimé-

trico para quatro valores diferentes de Nc. Usamos r = 1 e δ = 0, 5 . . . . 54

3.16 Ajuste em lei do potência do decaimento de número reflexões múltiplas em

função de Nc para H = 103 para o poço de potencial assimétrico. . . . . . 55

3.17 Sobreposição das curvas do histograma de frequência do número de refle-

xões múltiplas em função de Nc, confirmando a invariância de escala. . . . 55

3.18 Densidade de pontos no plano e0e1, onde as cores representam 0 número ξ

dado pela equação (3.25). Foram usados Nc = 3 para (a) e Nc = 5 para

(b). Os outros parâmetros foram mantidos fixos com r = 1 e δ = 0, 5. . . . 56

3.19 Densidade de pontos no plano e0e1, onde as cores representam a número ξ

dado pela equação (3.25). Foram usados Nc = 10 para (a) e Nc = 50 para

(b). Os outros parâmetros foram mantidos fixos com r = 1 e δ = 0, 5. . . . 57

3.20 Densidade de pontos no plano e0e1 onde os pontos coloridos mostram os

valores de ξ dados pela equação (3.25). Usamos δ = 0, 2 em (a), δ = 0, 4

em (b), δ = 0, 7 em (c) e δ = 1 em (d). Os outros parâmetros de controle

permaneceram fixos com r = 1 e Nc = 0, 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.21 Densidade de pontos e0e1 onde as cores mostram os valores de ξ dados pela

equação (3.25). Usamos r = 1, Nc = 0, 5 and (d) δ = 0, 7. . . . . . . . . . . 59

3.22 Densidade de pontos no plano e0e1 com e0 ∈ (1, 1, 4) e e1 ∈ (1, 1, 4). Em

(a) temos uma cenário para todo valor de i e em (b) para i = 1. . . . . . . 60

3.23 Densidade de pontos no plano e0e1 com e0 ∈ (1, 1, 4) e e1 ∈ (1, 1, 4). Em

(a) temos o cenário para i = 2 e em (b) para i = 3. . . . . . . . . . . . . . 60

3.24 Densidade de pontos no plano e0e1 com e0 ∈ (1, 1, 4) e e1 ∈ (1, 1, 4). Em

(a) temos o cenário para i = 4 e em (b) para i = 5. . . . . . . . . . . . . . 61

3.25 Em (a) temos o expoente de Lyapunov em função do número de iterações

para Nc = 3, r = 1 e δ = 0, 5. Em (b) temos a ampliação da parte inicial

de (a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63


4.1 Espaço de e vs ϕ para os parâmetros de controle r = 1, δ = 0, 5 e Nc = 3. . 64

4.2 Em (a) temos o gráfico do FTLE com n = 100 e 107 iterações. Em (b)

temos a ampliação da região R1 e em (c) temos a ampliação da região R2.

As setas vermelhas destacam onde o FTLE é próximo de zero. Nós usamos

r = 1, δ = 0, 5 e Nc = 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.3 Em (a) mostramos o intervalo de n ≈ 1, 1226×108 à n ≈ 1, 1241×108, onde

o valor de FTLE próximo de zero e em (c) temos o stickiness do espaço de

referente à (a). Em (b) mostramos que o FTLE é próximos de zero para

o intervalo de n ≈ 3, 25926 × 107 à n ≈ 3, 27609 × 107. Em (c) temos o

stickiness no espaço de referente a figura (b). Nós consideramos r = 1,

δ = 0, 5 e Nc = 30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.4 Espaço de parâmetro em função do número de iterações para r = 1, δ = 0, 5

e Nc = 60. Mostramos o comportamento das interações no intervalo de

n ≈ 6, 49975×108 até n ≈ 6, 50518×108, onde o valor de FTLE é próximo

de zero e observamos o comportamento de stickiness. . . . . . . . . . . . . 68

4.5 Histogramas do FTLE para vários valores n com r = 1, δ = 0, 5 e Nc = 30. 69

4.6 Histograma do FTLE para vários valores do tempo finito n com r = 1,

δ = 0, 5 e Nc = 30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.7 Espaço de fase para três intervalos diferentes de FTLE com tempo finito

100 para Nc = 60, r = 0, 5 e δ = 0, 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.8 Espaço de fase para um intervalo mais curto centrado no primeiro pico do

histograma FTLE com tempo finito 100 Nc = 60, r = 0, 5 e δ = 0, 5. . . . . 72

4.9 Em (a) temos a amplificação da região 1 da figura 4.8, em (b) da região 2

e em (c) da região 3 da mesma figura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.1 Em (a) temos o espaço de fase normalizado para o nosso modelo onde

usamos r = 1, δ = 0, 5 e Nc = 3. Em (b) temos os plots de recorrência para

as órbitas destacadas em (a), onde usamos ϵ = 0, 01. . . . . . . . . . . . . 76

5.2 Em (a) temos a taxa de recorrência considerandoM = 103 condições inciais,

variando ϕ0 e mantendo fixo e0 = 1.10. O maior valor de RR é relativo

à condição inicial ϕ∗
0 destacada em verde. Em (b) temos um espaço de

fase que destaca a evolução da condição inicial (e0, ϕ
∗
0) encontrada em (a) e

sucessivas ampliações das regiões que apresentam stickiness. Usamos r = 1,

δ = 0, 5 e Nc = 2, 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.3 Em (a) temos a série temporal da órbita da condição inicial (e0, ϕ
∗
0), encon-

trada na figura 5.2 (a). Em (b) temos o plot de recorrência dessa mesma

órbita.Usamos r = 1, δ = 0, 5 e Nc = 2, 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78


5.4 Em (a) temos a taxa de recorrência considerandoM = 103 condições inciais,

variando ϕ0 e mantendo fixo e0 = 1, 10. O maior valor de RR é relativo

à condição inicial ϕ∗
0 destacada em verde. Em (b) temos um espaço de

fase que destaca a evolução da condição inicial (e0, ϕ
∗
0) encontrada em (a) e

sucessivas ampliações das regiões que apresentam stickiness. Usamos r = 1,

δ = 0, 5 e Nc = 3, 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.5 Em (a) temos a série temporal da órbita da condição inicial (e0, ϕ
∗
0), encon-

trada na figura 5.4 (a). Em (b) temos o plot de recorrência dessa mesma

órbita. Usamos r = 1, 0, δ = 0, 5 e Nc = 3, 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.6 Em (a) temos a taxa de recorrência considerandoM = 103 condições inciais,

variando ϕ0 e mantendo fixo e0 = 1, 10. O maior valor de RR é relativo

à condição inicial ϕ∗
0 destacada em verde. Em (b) temos um espaço de

fase que destaca a evolução da condição inicial (e0, ϕ
∗
0) encontrada em (a) e

sucessivas ampliações das regiões que apresentam stickiness. Usamos r = 1,

δ = 0, 5 e Nc = 3, 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.7 Em (a) temos a série temporal da órbita da condição inicial (e0, ϕ
∗
0), encon-

trada na figura 5.4 (a). Em (b) temos o plot de recorrência dessa mesma

órbita. Usamos r = 1, δ = 0, 5 e Nc = 3, 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81


SUMÁRIO

1 Introdução 13

2 O Modelo do Poço de Potencial Dependente Periodicamente do Tempo e suas

Propriedades 18

2.1 Definição dos Modelos Estudados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 O Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3 O Espaço de Fase Para o Modelo do Poço de Potencial Oscilante . . . . . . 22

2.4 Os Pontos Fixos do Mapeamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5 Dispersão de Primeira Ordem Para o Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.6 As Reflexões Múltiplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.7 Número de Reflexões Múltiplas em Função do Parâmetro Nc. . . . . . . . . 34

3 O modelo do poço de potencial com nova seção de Poincaré 36

3.1 O Modelo do Poço Potencial com o Fundo Dependente Periodicamente do

Tempo com Nova Seção de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2 Espaços de Fase do Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3 Os Pontos Fixos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.4 Dispersão de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.5 As Reflexões Múltiplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.6 Alguns Estudos em Relação ao Parâmetro Nc . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.7 Estruturas de Auto-Similaridade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.8 Propriedades Dinâmicas Para a Nova Proposta do Poço de Potencial . . . 61

3.8.1 A Matriz Jacobiana e seu Determinante . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.8.2 O Expoente de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4 Stickiness Através do Expoente de Lyapunov a Tempo Finito 64

4.0.1 O Expoente de Lyapunov a Tempo Finito (FTLE) . . . . . . . . . . 65

4.1 Histogramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.1.1 Histogramas do FTLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5 Stickiness Via Recorrência Dinâmica 74

5.1 Recorrência Dinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74


6 Conclusões e Perspectivas 82


Caṕıtulo 1

Introdução

Ao longo do desenvolvimento da ciência, os estudos em sistemas dinâmicos sempre

foram muito atraentes, uma vez que eles podem descrever matematicamente vários siste-

mas naturais[1]. Estudos importantes para descrever os comportamentos dos pêndulos,

planos inclinados e lançamentos de projéteis foram realizados por Galileu Galilei [2]. Isaac

Newton [3] foi um dos primeiros a conseguir descrever sistemas f́ısicos por meio de um

conjunto de leis que, através delas, foi posśıvel extrair equações que regem esses sistemas.

Acreditava-se que, em sistemas determińısticos, dadas as condições iniciais e conhecendo

as equações do movimento, podia-se prever toda uma órbita de um sistema. Mas, como

tratamento anaĺıtico das equações não lineares que descrevem as propriedades caóticas de

um sistema eram extremamente complicados, muitas caracteŕısticas dos sistemas dinâmi-

cos foram ignoradas até o século XX. Essas caracteŕısticas estavam contidas em equações

diferenciais conhecidas a séculos.

Os primeiros estudos relacionados a dinâmica não linear foram feitos por Poincaré [4].

Através de técnicas geométricas e topológicas, ele foi capaz de mostrar que a evolução

de sistemas não lineares é senśıvel às condições iniciais. Em outras palavras, mostrou

que leves perturbações nas condições iniciais, podem levar a grandes mudanças no estado

final, ou seja, duas condições iniciais extremamente próximas podem levar a estados fu-

turos extremamente distantes. No século passado, tivemos trabalhos de Birkhoff [5] que

seguiam essa mesma linha de estudos e serviram de motivação para estudos de bilhares

[6], além de outros trabalhos importantes como o de Kolmogorov [7] nos anos 50 e Smale

[8] nos anos 60. Porém, no que diz respeito ao caos determińıstico, somente a partir

da integração numérica de equações diferenciais não lineares, que foi possibilitada com

a chegada dos computadores, os resultados passaram a ter destaque. Após o trabalho

de Lorenz [9], surgiu um grande número de resultados sobre comportamentos caóticos

fornecendo propriedades da dinâmica caótica e sua descrição, e de como a dinâmica se

instala em sistemas f́ısicos. Como exemplo, podemos destacar os resultados de Feigen-

baum [10], Kaplan [11], Chirikov[12] e May[13]. Nesses trabalhos foram feitas descrições

13


da dinâmica temporal de sistemas f́ısicos, analisando universalidades no comportamento

dinâmico desses sistemas e confirmando a presença de propriedades caóticas.

Nos dias de hoje, temos vários estudos na área de sistemas dinâmicos, sendo a grande

parte deles feitos através de métodos numéricos e também anaĺıticos. Encontramos estudos

sobre a teoria de caos em diversas áreas de conhecimento, como Biologia, Astrof́ısica,

Engenharia, Qúımica e Medicina [14, 15].

Um sistema f́ısico pode ter sua dinâmica descrita de forma Hamiltoniana, que muitas

das vezes nos leva a trabalhar com mapas [16], sistemas que evoluem de forma discreta

[17]. A partir de uma condição inicial, podemos evoluir um sistema, formando uma órbita.

Ao conjunto de todas as órbitas posśıveis damos o nome de espaços de fase. A estrutura de

um espaço de fase pode apresentar basicamente três tipos de comportamentos: periódico,

quase periódico ou caótico [16].

Ao estudar assuntos relacionados a caos e a sistemas dinâmicos, podemos encontrar

uma grande quantidade de modelos que investigam as colisões ou reflexões múltiplas.

Consideramos como colisão a interação de curta duração entre dois ou mais corpos, cau-

sando simultaneamente a mudança de movimento dos corpos envolvidos devido às forças

internas agindo entre eles durante o evento. Por outro lado uma reflexão ocorre quando

acontece uma mudança da direção de propagação de energia.

Um dos mais estudados é o modelo de Fermi-Ulam [18, 19, 20, 21], que foi proposto em

1949. Este modelo consiste em uma part́ıcula de massa m confinada entre duas paredes

ŕıgidas sendo uma delas fixa e a outra móvel, sofrendo colisões. A parede móvel obedece

uma função do tipo x = h cos(αt), onde x é a posição da parede móvel, h a amplitude

de oscilação, α a frequência de oscilação e t o tempo. A região onde a parede oscila

é denominada de zona de colisão e quando a part́ıcula se encontra nesta região ela está

sujeita a sofrer colisões múltiplas, ou seja, mais de uma colisão com a parede móvel antes de

colidir com a parede fixa. Um outro modelo em que podemos encontrar colisões múltiplas

é o Modelo Bouncer [22]. Este modelo é considerado uma versão alternativa do modelo

de Fermi-Ulam, onde consideramos uma part́ıcula de massa m, movendo verticalmente

sob a ação do campo gravitacional e colidindo com uma parede horizontal que oscila de

acordo com uma função, definindo uma zona de colisão. Assim, quando a part́ıcula sofre

mais de uma colisão com a superf́ıcie oscilante antes de sair da zona de colisão, dizemos

que a part́ıcula sofreu colisões múltiplas.

Os sistemas de bilhares são sistemas que consistem de uma part́ıcula clássica de massa

m, movendo dentro de uma região fechada e colidindo com a fronteira dessa região, po-

dendo essa fronteira ter a forma circular, eĺıptica ou oval entre outras [23]. Neles temos as

colisões múltiplas quando suas fronteiras são dependentes do tempo, ou seja, a fronteira

se move com o passar do tempo [24, 25, 26].

Também encontramos colisões múltiplas quando investigamos o movimento de part́ı-

culas confinadas dentro de um poço ou barreira de potencial dependente do tempo. Na

14


literatura existem alguns trabalhos que investigam o movimento de part́ıculas nesses sis-

temas [27, 28, 29, 30, 31, 32]. Podemos encontrar aplicações desses modelos em mecânica

clássica, mecânica quântica e eletromagnetismo [33, 34, 35]. Na ref. [35] temos um tra-

balho em que os autores investigam uma part́ıcula interagindo com um, dois ou infinitos

poços de potenciais oscilando periodicamente no tempo. A dinâmica desses sistemas ge-

ralmente é descrita por mapas bidimensionais [36, 37] que produzem espaços de fase do

tipo misto, ou seja, com mar de caos, ilhas de estabilidade e curvas invariantes do tipo

spanning.

Em [32] foi investigada a probabilidade de sobrevivência de um ensemble de part́ıculas

que evoluem no tempo, onde foi encontrado um excelente resultado dado por um histo-

grama de escape mostrando que o mesmo é invariante de escala [38, 39]. É considerado

que uma part́ıcula escapou se a energia for maior que um dado valor. O histograma cresce

rapidamente até atingir um valor máximo e depois tende a zero para tempos longos. Um

estudo sobre propriedades de escala, considerando o desvio da energia média também foi

realizado [40], onde foram encontrados expoentes de escalas denominados expoentes de

aceleração, saturação e de crossover. Com uso de uma reescala apropriada dos eixos,

todas as curvas que descreveram o comportamento do desvio padrão foram plotadas em

uma única curva universal [40], mostrando uma invariância de escala. Na Ref. [41] foi

investigado o comportamento de uma part́ıcula dentro de uma barreira de potencial. Os

autores mostraram que uma part́ıcula clássica de massa m sofre colisões múltiplas para

algumas condições iniciais.

Inspirados em trabalhos citados anteriormente, propomos investigar as colisões múlti-

plas no modelo do poço de potencial dependente do tempo considerando seções de Poin-

caré diferentes para descrever o mapeamento discreto. Consideramos o modelo tradicional,

onde temos uma região central com fundo oscilante e, consequentemente variando o po-

tencial, e duas regiões externas com potencial fixo. A região que fica do lado esquerdo

da região oscilante, é limitada por um potencial infinito à esquerda e de modo análogo,

a região que se encontra do lado direito da região oscilante é limitada à direita por um

potencial infinito [28]. Avançamos nossos estudos considerando o modelo obtido através

de dois cortes no modelo anterior. Um corte dividindo a região oscilante ao meio e outro

corte dividindo a região de potencial fixo do lado direito ao meio. A análise da seção

de Poincaré que propomos neste trabalho, favorece a interpretação dos pontos fixos no

espaço de fase.

Quando observamos um espaço de fase de um sistema hamiltoniano descrito por um

mapa bidimensional, frequentemente encontramos comportamentos regulares e caóticos.

Porém, é posśıvel observar trajetórias que, ao passarem por uma região caótica, ficam

presas em uma determinada área (geralmente uma ilha de estabilidade) por um tempo

longo, mas finito. Então, elas escapam retornando à órbita caótica. Contopoulos fez os

primeiros estudos sobre esses aprisionamentos [42] na década de 70, seguido por outros

15


estudos feitos por Sirts, Reinhardt, Karney e Menjuk [43, 44, 45, 46] na década de 80,

sendo nomeado Stickiness por Karney.

Os espaços de fase dos sistemas hamiltonianos não-lineares não são totalmente regula-

res nem completamente caóticos, podendo ser observadas dinâmicas regulares e caóticas.

A dinâmica regular é notada nas órbitas periódicas e quase periódicas. Por outro lado,

as órbitas caóticas preenchem as outras partes do espaço de fase [36]. Sistemas não in-

tegráveis exibem aprisionamentos dinâmicos [47] que são o resultado de uma combinação

de movimentos caóticos e regulares; como consequência, o sistema apresenta propriedades

incomuns na região caótica do espaço de fase de uma órbita [44, 48, 49].

As armadilhas dinâmicas em órbitas caóticas acontecem devido à stickiness das órbi-

tas para alguns domı́nios do espaço de fase, onde a dinâmica pode permanecer por um

tempo consideravelmente longo. Este comportamento de órbita pode ocorrer devido ao

aprisionamento de ilha hierárquicas, aprisionamento de rede ou aprisionamento de camada

estocástica [47]. Nesses domı́nios do espaço de fase, partes das órbitas são quase perió-

dicas, embora as órbitas completas sejam caóticas. Estudos atuais mostram que alguns

sistemas hamiltonianos podem exibir espaços de fase com propriedades fractais ou multi-

fractais, onde trajetórias regulares e caóticas são muito próximas umas das outras [50].

Mesmo quando o espaço de fase parece caótico, pode-se encontrar um número infinito de

pequenas ilhas onde as trajetórias são regulares [51, 52].

Para encontrar regiões onde ocorre o fenômeno de stickiness podemos usar o número

de rotação [53], análise de recorrência [54, 55] ou Expoente de Lyapunov de Tempo Finito

(FTLE) [56, 57], sendo esses dois útimos métodos muito importantes para nosso trabalho.

É importante destacar que Expoente de Lyapunov [58, 59] é um indicador de caos direto e

valioso. Em sistemas unidimensionais, uma trajetória é caótica se o Expoente de Lyapunov

for positivo e regular se o mesmo for negativo. Em sistemas bidimensionais, existem dois

Expoentes de Lyapunov. Temos caos se pelo menos um deles for positivo, e se o sistema

for conservativo, ou seja, obedecer ao Teorema de Liouville [60, 61], os dois Expoentes de

Lyapunov são simétricos.

Motivados por [56], utilizamos o FTLE para investigar regiões de stickiness para a

versão do poço de potencial. Através do FTLE, podemos detectar intervalos de aprisio-

namento ao longo da órbita de uma condição inicial e estimar o tempo que a órbita fica

aprisionada. Em [62], foi mostrado que valores baixos de FTLE estão correlacionados

com a existência de jatos de longa duração em um modelo bidimensional para mistura e

transporte de fluidos. Do ponto de vista dinâmico, estes jatos estão relacionados com o

stickiness da órbita de uma condição inicial.

Também, com o objetivo de encontrar regiões que apresentam comportamento de

stickiness para nosso modelo, usamos os resultados encontrados em [54] e [55], onde

regiões com esse comportamento foram encontrados através da recorrência dinâmica. Uma

recorrência dinâmica acontece quando, uma certa condição inicial da região caótica de um

16


espaço de fase é evolúıda no tempo, e retorna para sua vizinhança com uma precisão

ϵ, após um certo número de iterações. De acordo com [55], o fato da órbita de uma

condição inicial que apresentar um alto ı́ndice de recorrência, é suficiente para que a

mesma apresente comportamento de stickiness.

Para melhor expressar nossas intenções, organizamos esse trabalho da seguinte forma:

No caṕıtulo 2, apresentamos e estudamos o poço de potencial no seu modelo tradicional

já conhecido na literatura. Encontrado o mapeamento, constrúımos o espaço de fase,

investigando dispersão de primeira ordem, a região de colisões múltiplas e constrúımos

um histograma do número de colisões múltiplas em função do parâmetro de controle Nc.

No caṕıtulo 3, apresentamos uma nova versão do poço de potencial onde fizemos para essa

nova versão todos os estudos feitos para a versão anterior e acrescentamos um estudo da

área da região de colisões múltiplas em função de Nc, o estudo das estruturas encontradas

no plano e0e1 e mostramos algumas propriedades dinâmicas do modelo. No caṕıtulo 4

investigamos comportamentos de stickiness para nosso modelo através do FTLE e no

caṕıtulo 5 investigamos o mesmo comportamento através da recorrência dinâmica. Por

fim, apresentamos nossas conclusões e perspectivas.

17


Caṕıtulo 2

O Modelo do Poço de Potencial

Dependente Periodicamente do Tempo e

suas Propriedades

Neste caṕıtulo, definiremos os modelos estudados neste trabalho, apresentaremos uma

breve revisão do modelo do tradicional poço de potencial dependente periodicamente do

tempo, bem como a construção detalhada do seu mapeamento. Construiremos e discuti-

remos o espaço de fase para o modelo, destacando os efeitos causados pela variação dos

parâmetros de controle. Embora nossos principais resultados não estejam exatamente

nesse modelo, ele foi a inspiração para nossos principais resultados.

2.1 Definição dos Modelos Estudados

Consideramos uma part́ıcula clássica movendo-se sob a influência de uma energia po-

tencial V (x, t). A figura 2.1(a) considera uma cadeia de infinitos poços potenciais de-

pendentes do tempo, onde os fundos estão se movendo sincronicamente de acordo com

F (t) = V1 cos (ωt). É relevante mencionar que os poços quadrados podem representar a

banda de condução definida por um ponto quântico ou a heteroestrutura AlxGa1−xAs-

GaAs. O fundo oscilante pode representar a interação elétron-fônon ou a presença de um

eletromagnético monocromático ou acústico [35].

De acordo com a figura 2.1(a), consideramos V0 como a altura do poço de potencial.

Observe que a part́ıcula pode se mover livremente ao longo do eixo x, e a dinâmica leva

à difusão no espaço. Ressaltamos que os diferentes tipos de formas potenciais levam a

dinâmicas semelhantes no plano de energia e tempo.

Pode-se também supor um único poço quadrado oscilante com condições de contorno

periódicas, como mostrado na figura 2.1(b), onde a e b são as larguras do poço de potencial.

Nesta nova figura, podemos imaginar uma part́ıcula se movendo da esquerda para a direita.

18


F (t)
a

b

V0

a

b

a

F (t)

b/2

a

b/2

F (t)

b/2

a

b/2

V0

a/2

b/2

F (t)

(a)

(b) (c) (d)

0 a

2

a+b

2

x

Figura 2.1: (a) Uma sequência contendo um número infinito de poços de potenciais dependentes
do tempo, onde b é a distância entre os poços de potenciais, a é a largura do poço
móvel, V0 é a profundidade do poço de potencial e o fundo do poço se move de acordo
F (t) = V1 cos(ωt). Em (b)temos algumas simetrias onde pode-se tomar um único
potencial dependente do tempo, e com um potencial infinito em ambos os lados,
obtemos (c). Em (d), usamos outra simetria, onde dividimos o poço ao meio. Os
dois últimos poços de potencial dependente do tempo são nossos objetos de estudo.

Se esta part́ıcula atinge a linha pontilhada vertical à direita, e é instantaneamente refletida

para a linha pontilhada esquerda, ou a part́ıcula continuar movendo da esquerda para a

direita, terá, condições de contorno periódica análogas. Observe que é análogo ao caso

mostrado na figura 2.1(a). Com isso em mente, pode-se alterar as condições de contorno

mostradas na figura 2.1(b), onde podemos considerar um potencial infinito como contorno.

Como exemplo, vamos admitir uma part́ıcula que viaja da esquerda para a direita. Se

atingir o potencial infinito do lado direito, experimenta uma reflexão elástica, ou seja,

passa a se mover na direção oposta após o choque sem perder energia, mudando de direção

e viajando para trás (da direita para a esquerda) [35].

O potencial mostrado na figura 2.1(c) apresenta uma importante simetria. Observe

que podemos dividi-lo em duas metades, onde uma dessas metades é mostrada na figura

2.1(d). Consideramos um potencial infinito em x = 0. A dinâmica mostrada na figura

2.1(d) é exatamente a mesma mostrada na figura 2.1(a,b,c) no plano de energia e tempo.

Neste trabalho usamos modelo da figura 2.1(c) para os estudos do caṕıtulo 2 e o da figura

2.1(d) para o caṕıtulo 3.

2.2 O Modelo

O modelo do poço de potencial dependente periodicamente é dado por uma caixa com

potencial infinito nas bordas e com um poço que possui o fundo oscilante, como mostra a

19


figura 2.2

Figura 2.2: figura representativa do poço de potencial dependente do tempo.

Para esse modelo, a energia potencial V (x, t) é dada por

V (x, t) =


∞ se x ≤ 0 ou x ≥ (a+ b)

V0 se 0 < x ≤ b
2
ou
(
a+ b

2

)
≤ x < (a+ b)

V1 cos (wt) se b
2
< x <

(
a+ b

2

) , (2.1)

onde a, b , V0 , V1 e w são constantes reais sendo que w é a frequência de oscilação do

fundo que se move periodicamente ao longo do tempo.

Notemos que uma part́ıcula de massa m confinada no interior da caixa da figura 2.2,

pode estar submetida a diferentes potenciais, dependendo da posição onde se encontra.

Assim a part́ıcula pode ter ganhos ou perdas de energia cinética.

Para encontrarmos um mapeamento para o sistema, vamos considerar que em um

certo instante t = tn, a part́ıcula está prestes a entrar no poço com uma energia E = En,

na posição x = b
2
. Neste instante temos que

En = V0 +Kn, (2.2)

onde Kn = mv2n
2

é a energia cinética.

Ao entrar no poço, a part́ıcula sofre uma mudança brusca na velocidade devido à

variação da energia cinética em função da mudança de potencial e conservação da energia

total, então

K ′
n = En − V1 cos(wtn) =

mv′2n
2

, (2.3)

portanto

|v′n| =
√

2K ′
n

m
. (2.4)

20


Temos que |v′n| é constante, pois consideramos que não existem forças de quaisquer natu-

reza atuando na part́ıcula. Apenas teremos variações na velocidade nos pontos x = b
2
e

x = a+ b
2
, devido às variações abruptas de enegia potencial nestes pontos. Ao chegar em

x = a+ b
2
, a energia do sistema será dada por

E ′
n = K ′

n + V1 cos[w(tn +∆t′n)], (2.5)

onde ∆t′n = a
|v′n|

. Caso a energia E ′
n seja maior que V0, a part́ıcula escapa do poço de

potencial indo em direção ao potencial infinito localizado em a + b, caso contrário, será

refletida de volta até que tenha energia suficiente para sair do poço, ou seja, até que a

condição En ≥ V0 seja satisfeita e a part́ıcula possa escapar do poço. Quando a part́ıcula

escapa do poço, teremos que

E ′
n > K ′

n + V1 cos[w(tn + i∆t′n)], (2.6)

onde i é o menor número inteiro que satisfaz En ≥ V0.

Combinando as equações (2.3) e (2.6) temos que, ao sair do poço, a energia da part́ıcula

é dada por

E ′
n > En + V1 cos[w(tn + i∆t′n)]− V1 cos(wtn). (2.7)

Devido a mudança de potencial ao sair do poço, a part́ıcula sofrerá novamente uma mu-

dança abrupta na energia cinética, saindo do poço com energia cinética K ′′ e, consequen-

temente, terá uma nova velocidade v′′n.

Uma vez que a part́ıcula escapou do poço, ela se dirige até ao potencial infinito loca-

lizado em a+ b e é refletida de volta em direção ao poço. O tempo gasto para isso é dado

por

∆t′′n =
b

|v′′n|
, (2.8)

onde

|v′′n| =
√

2K ′′
n

m
, (2.9)

e

K ′′
n = En+1 − V0, (2.10)

onde En+1 é a energia da part́ıcula imediatamente após a sáıda do poço, uma vez que a

energia ao sair do poço, permanece constante até imediatamente antes de entrar no poço

novamente.

Com as equações encontradas até aqui, podemos escrever o mapeamento do modelo

21


da seguinte forma

Tx :

{
En+1 = En + V1 cos[w(tn + i∆t′n)]− V1 cos(wtn)

tn+1 = tn + i∆t′n +∆t′′n
, (2.11)

onde i é o menor inteiro tal que

En + V1 cos[w(tn + i∆t′n)]− V1 cos(wtn) > V0,

que é a condição necessária para que a part́ıcula escape do poço.

Da forma como esse mapeamento está escrito, temos uma quantidade elevada de pa-

râmetros de controle, que pode ser diminúıda sem afetar a dinâmica do sistema. Então,

a fim de diminuir essa quantidade de parâmetros de controle, vamos dividir a equação

(2.11) por V0 e redefinir os parâmetros da seguinte forma: δ = V1

V0
, r = a

b
, en = En

V0
,

Nc =
w

(2π)(a/
√

2V0/m)
e finalmente a medida do tempo em função do número de oscilações

da poço como ϕ = wt. O valor de Nc fornece o número de oscilações completadas pelo

poço em um tempo t = a√
2V0/m

, que é o tempo que uma part́ıcula com energia cinética

igual a V0 levaria para percorrer a distância a, caso o poço fosse estático. Assim, podemos

reescrever o mapeamento como:

T :

{
en+1 = en + δ[cos (ϕn + i∆ϕa)− cosϕn]

ϕn+1 = [ϕn + i∆ϕa +∆ϕb] mod 2π
, (2.12)

onde i é o menor inteiro tal que

en+1 = en + δ[cos (ϕn + i∆ϕa)− cosϕn] > 1, (2.13)

sendo ∆ϕa e ∆ϕb dados por

∆ϕa =
2πNc√

en − δ cos (ϕn)
, (2.14)

e

∆ϕb =
2πNcr√
en+1 − 1

, (2.15)

onde r, Nc e δ são parâmetros de controle.

2.3 O Espaço de Fase Para o Modelo do Poço de Potencial

Oscilante

Nas figuras 2.3, 2.4 e 2.5 mostramos os espaços de fase obtidos com o mapeamento do

poço de potencial. Em todas elas, dependendo dos valores dos parâmetros de controle,

22


encontramos espaços de fase do tipo misto, onde se observa a presença de caos, compor-

tamentos periódicos e comportamentos quasi-periódicos. Uma condição inicial no mar de

caos pode se difundir no espaço de fase na região e ∈ (1, efisc), onde efisc corresponde à

energia da primeira curva invariante do tipo spanning, curva esta que limita o tamanho

do mar de caos. As ilhas de estabilidade circulam pontos fixos do tipo eĺıpticos[16]. As

regiões quasi-periódicas correspondem às curvas invariantes, sejam elas nas ilhas ou atra-

vessando o espaço de fase, as quais são chamadas de curvas invariantes do tipo spanning.

Se uma órbita tiver a condição inicial dada no mar de caos, ela jamais cruza a primeira

curva invariante spanning e, além disso, jamais adentra às ilhas de estabilidade.

A figura 2.3, mostra os espaços de fase do modelo do poço de potencial para três

valores diferentes do parâmetro de controle Nc. Para gerar essas figuras usamos r = 1 e

δ = 0, 5 para as três figuras. Para os valores de Nc, usamos Nc = 13 para a figura(a),

Nc = 33 para a figura(b) e Nc = 53 para a figura(c). Observando essas figuras, podemos

perceber claramente que o valor de Nc influencia diretamente na estrutura do espaço de

fase do modelo. A figura 2.3(a), mostra um espaço de fase com um mar caótico menor

e um número maior de regiões periódicas e quasi-periódicas. A figura 2.3(b) mostra que

com um aumento no valor de Nc, o mar de caos é um pouco maior e temos um número

menor de curvas invariantes. A figura 2.3(c), mostra que, aumentando o valor de Nc,

aumenta o mar de caos e diminui o tamanho das ilhas de estabilidade.

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6

e

φ φ φ
(a) (b) ()

Figura 2.3: Espaços de fase do poço de potencial dependente do tempo com r = 1 e δ = 0, 5
para (a), (b) e (c), e Nc = 13 para (a), Nc = 33 para (b) e Nc = 53 para (c).

Uma explicação matemática que podemos dar para esse aumento do mar de caos,

decorrente do aumento de Nc, pode ser dado pelas equações (2.12) e (2.14). Temos que

∆ϕa é diretamente proporcional a Nc na equação (2.14). Isso faz com que ϕn+1 perca a

23


correlação com ϕn e en+1 perca a correlação com en na equação (2.12).

A figura 2.4 mostra três espaços de fase onde foram mantidos fixos os valores de

Nc = 33 e δ = 0, 5 para os três espaços de fase. Agora, alteramos o valor do parâmetro

r, onde usamos r = 0, 1 para o caso (a), r = 1 para o caso (b) e r = 1, 9 para o

caso (c). Novamente, podemos observar uma variação na estrutura dos espaços de fase,

agora em função da variação do parâmetro r. Na figura 2.4(a), para um valor menor do

parâmetro de controle, temos um espaço de fase com maior número de curvas invariantes e

ilhas de estabilidade, consequentemente um mar de caos de tamanho reduzido. Na figura

2.4(b), com um aumento de 0, 9 unidades no parâmetro r, podemos perceber o aumento

no tamanho da região caótica e diminuição das regiões de estabilidade. Na figura 2.4(c),

onde temos mais um aumento de 0, 9 unidades no valor de r, podemos observar um mar de

caos ainda maior e um número ainda menor de regiões de estabilidade. Observamos ainda

que a estrutura do espaço de fase é mais senśıvel ao parâmetro r do que ao parâmetro

Nc, pois com uma variação muito menor em r do que em Nc podemos perceber maiores

modificações na estrutura do espaço de fase. Uma explicação para o aumento do tamanho

da região caótica mostrado na figura 2.4, pode dado pelas equações (2.12) e (2.15), pois

podemos perceber que ∆ϕb é proporcional à r na equação (2.15) fazendo com que ϕn+1

perca a correlação com ϕn na equação (2.12) provocando um aumento da região caótica.

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6

e

φ φ φ
(a) (b) ()

Figura 2.4: Espaços de fase do poço de potencial dependente do tempo com Nc = 33 e δ = 0, 5
para as figuras (a), (b) e (c), e r = 0, 1 para (a), r = 1 para (b) e r = 1, 9 para (c).

Por fim, temos na figura 2.5 uma análise do espaço de fase em função do parâmetro

δ. Para a construção desta figura, mantemos fixos os valores de Nc = 33 e r = 1 para os

três casos. Usamos δ = 0, 2 para o caso (a), δ = 0, 5 para o caso (b) e δ = 0, 8 para o caso

(c). Podemos perceber o aumento no tamanho do mar de caos de acordo do aumento do

24


parâmetro de controle, que neste caso é δ. Na figura 2.5(a) podemos notar uma grande

região com comportamentos que podemos considerar mais estáveis e um estreito mar de

caos. Na figura 2.5(b), observamos que, com uma variação de apenas 0, 3 unidades, o

espaço de fase sofre uma grande mudança aumentando significativamente o mar de caos

e diminuindo a área de estabilidade. Com mais um aumento de 0, 3 unidades, podemos

observar, na figura 2.5(c), que o mar de caos cobre quase toda a figura e existem poucas

regiões de estabilidade. Dessa forma, podemos perceber que o espaço de fase desse modelo

é ainda mais senśıvel ao parâmetro δ, pois pequenas variações no valor desse parâmetro,

promovem grandes variações no espaço de fase. Essa maior sensibilidade ocorre devido ao

fato de δ ter maior influências nas equações do mapeamento provocando maiores perdas

de correlação entre en+1 e en e também entre ϕn+1 e ϕn.

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6

e

φ φ φ
(a) (b) ()

Figura 2.5: Espaços de fase do poço de potencial assimétrico com r = 1 e Nc = 33 para (a), (b)
e (c) e δ = 0, 2 para (a), δ = 0, 5 (b) e δ = 0, 8 (c).

2.4 Os Pontos Fixos do Mapeamento

Nesta seção, encontraremos as expressões dos pontos fixos para o mapeamento e cal-

cularemos os pontos fixos de primeira ordem de forma anaĺıtica e numérica.

Para encontrarmos os pontos fixos para este modelo, usaremos a equação (2.12), fa-

zendo en+1 = en = e∗ e ϕn+1 = ϕn + 2mπ = ϕ∗ + 2mπ, sendo m um número inteiro

positivo.

Usando en+1 = en = e∗ na primeira sentença da equação (2.12), teremos a equação

δ[cos(ϕ∗ +∆ϕa)− cos(ϕ∗)] = 0. (2.16)

25


Para resolvermos a equação (2.16) temos duas opções: Primeiro fazendo δ = 0, o que

não é um valor de δ interessante para nosso trabalho. Segundo fazendo [cos(ϕ∗ +∆ϕa)−
cos(ϕ∗)] = 0, onde teremos

cos(ϕ∗ +∆ϕa) = cos(ϕ∗), (2.17)

o que nos leva a

∆ϕa = 2kπ, k ∈ N∗ (2.18)

ou de forma análoga

∆ϕa = 2kπ − 2ϕ∗, k ∈ N∗. (2.19)

Denominaremos de pontos fixos do tipo P1, os pontos fixos que encontraremos através

da equação (2.18) e do tipo P2 os que encontraremos através da equação (2.19).

Vamos iniciar o processo para encontrar os pontos fixos do tipo P1 utilizando a segunda

linha da equação (2.12), onde temos ϕn+1 = ϕn+ i∆ϕa+∆ϕb. Vamos substituir a equação

(2.15) no lugar de ∆ϕb e a equação (2.18) no lugar de ∆ϕa, o que nos levará a

ϕ∗ + 2mπ = ϕ∗ + 2kπ +
2πNcr√
e∗ − 1

. (2.20)

Resolvendo essa equação, teremos que

e∗ = 1 +

(
Ncr

m− k

)2

. (2.21)

Agora vamos substituir a equação (2.18) na equação de ∆ϕa, dada pela equação (2.14),

onde teremos

2kπ =
2πNc√

e∗ − δ cos (ϕ∗)
, (2.22)

o que nos leva a

ϕ∗ = arcos

[
1

δ

[
e∗ −

(
Nc

k

)2
]]

, (2.23)

ou

ϕ∗ = 2π − arcos

[
1

δ

[
e∗ −

(
Nc

k

)2
]]

, (2.24)

Para facilitar a identificação dos pontos fixos do tipo P1, vamos nomear de P ′
1 os pontos

fixos encontrados com as equações (2.21) e (2.23), e P ′′
1 os pontos fixos encontrados com

as equações (2.21) e (2.24).

26


Agora vamos encontrar os pontos fixos do tipo P2. Primeiramente vamos substituir a

equação (2.19) na equação (2.14), onde encontraremos

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6

e

φ φ

0

1

2

3

4

5

6

7

(a) (b)

Figura 2.6: Em (a) temos o espaço de fase do mapeamento para Nc = 33, r = 1 e δ = 0, 5.
Em (b) temos o plot do observável d(e, ϕ), onde pintamos de preto os valores tais
que d(e, ϕ) −→ 0. Em (a) e (b), temos os plots dos pontos fixos dos tipos P1 e P2

encontrados analiticamente através das equações dos pontos fixos de primeira ordem.

e∗ = δcos(ϕ∗) +

(
πNc

kπ − ϕ∗

)2

. (2.25)

Fazendo ϕn+1 = ϕ∗ +m2π na segunda sentença da equação (2.12) e substituindo (2.19)

no lugar ∆ϕa e (2.15) no lugar de ∆ϕb também na segunda sentença da equação (2.12),

teremos

1− e∗ +

(
πNcr

π(m− k) + ϕ∗

)2

= 0. (2.26)

Para finalizar, vamos substituir o valor de e∗ encontrado na equação (2.25), na equação

(2.26), encontrando

27


1 +

(
πNcr

π(m− k) + ϕ∗

)2

− δcos(ϕ∗)−
(

πNc

kπ − ϕ∗

)2

= 0. (2.27)

Notemos que a equação (2.27) é transcendental, portanto só pode ser resolvida de

forma numérica.

Na figura 2.6 podemos fazer uma observação muito interessante em relação aos pontos

fixos. Em (a), temos um espaço de fase do mapeamento gerado para Nc = 33, r = 1 e

δ = 0, 5. Em (b), usamos o observável d(e, ϕ), que é definido como

d(e, ϕ) =
√

(ϕn+1 − ϕn)2 + (en+1 − en)2. (2.28)

onde ϕn+1 é mod 2π. Para gerarmos a figura 2.6(b), criamos uma grade de 1000× 1000,

gerando 106 condições iniciais diferentes, com e ∈ [1, 25] e ϕ ∈ [0, 2π]. Iteramos, cada

uma dessas condições iniciais (ϕn, en), apenas uma vez, encontrando o par (ϕn+1, en+1)

correspondente a cada uma dessas condições inicias e calculamos d(e, ϕ). Feito isso, usa-

mos a cor preta para representar as condições iniciais tais que d(ϕ, e) −→ 0, ou seja, os

condições iniciais em que a distância entre (ϕn, en) e (ϕn+1, en+1) tende a zero, que são

exatamente os pontos fixos de primeira ordem do mapeamento. Notemos que a coluna de

cores da figura 2.6(b) representa o valor de d(ϕ, e), sendo assim, as cores na parte inferior,

representam condições iniciais que se evolúıram para uma posição próxima, e as cores

mais acima, as condições iniciais que se evolúıram para uma posição mais distante. A

vantagem de usarmos esse método é que podemos visualizar pontos fixos que não podem

ser vistos apenas observando os espaço de fase.

Para termos uma confirmação de que o método usado para encontrar os pontos fixos

da figura 2.6(b) é robusto, encontramos novamente esses pontos fixos, porém através das

equações anaĺıticas para os pontos fixos do tipo P1, que estão destacados nas cores azul e

vermelho, sendo P ′
1 na cor azul e P ′′

1 na cor azul, e os pontos fixos do tipo P2 que estão

destacados na cor preta. Podemos ver que elas sobrepuseram perfeitamente os pontos

fixos encontrados numericamente. Notemos ainda que fica fácil observar na figura 2.6(a)

os pontos fixos eĺıpticos que ficam dentro das ilhas de estabilidade.

2.5 Dispersão de Primeira Ordem Para o Modelo

Nesta seção estudaremos a dispersão de primeira ordem das condições inciais após

uma única iteração, ou seja, onde a fase ϕ1 se encontrará após uma única iteração ao

retirarmos da equação (2.12) a função mod 2π. Em outras palavras, vamos estudar

onde ϕ1 se encontrará após iterarmos (ϕ0, e0) uma única vez. Para essa análise, vamos

definir para este mapeamento a função

28


ν =
ϕn+1

2π
, (2.29)

onde ν ∈ R.
Pela equação (2.29), temos que, se 0 < ν ≤ 1, ϕn se encontra no intervalo de (0, 2π],

se 1 < ν ≤ 2, ϕn se encontra no intervalo de ]2π, 4π], se 2 < ν ≤ 3, ϕn se encontra no

intervalo de ]4π, 6π], e assim sucessivamente.

1

1, 2

1, 4

1, 6

1, 8

2

2, 2

2, 4

0 1 2 3 4 5 6
1, 7

1, 75

1, 8

1, 85

1, 9

1, 95

2

2, 05

2, 1

0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1 1, 2

e

φ

2

4

6

8

10

12

14

16
ν ∈ (4, 5)

F

(

5

)

ν ∈ (5, 6)

F

(

6

)

ν
∈
(6, 7)

F

(

7

)

ν
∈
(7
, 8)

F(8)

ν
∈
(7, 8)

F

(

8

)

ν
∈
(8, 9)

F

(

9

)

F

(

1

0

)

F
(
∞
)

(a) (b) φ

2

4

6

8

10

12

14

16
ν ∈ (4, 5)

F

(

5

)

ν ∈ (5, 6)

F

(

6

)

ν
∈
(6, 7)

F

(

7

)

ν
∈
(7
, 8)

F(8)

ν
∈
(7, 8)

F

(

8

)

ν
∈
(8, 9)

F

(

9

)

F

(

1

0

)

F
(
∞
)

(a) (b)

Figura 2.7: Dispersão de primeira ordem do poço de potencial para r = 1, Nc = 3 e δ = 0, 5.

Podemos ver na figura 2.7(a) o comportamento da dispersão de primeira ordem para

esse modelo. Na cor cinza mostram as condições iniciais que forneceram ν ∈ (4, 5), em

preto as condições inicias que forneceram ν ∈ (5, 6), em vermelho as condições iniciais

que forneceram ν ∈ (6, 7), em amarelo as condições iniciais que forneceram ν ∈ (7, 8),

e assim sucessivamente. Devemos chamar a atenção para a região em branco, que é a

região onde temos ν −→ ∞. Os dados numéricos sugerem que, as condições iniciais que se

encontram nessa região fornecem reflexões múltiplas e trataremos delas logo adiante com

mais detalhes. A figura 2.7(b) mostra uma ampliação da região próxima de onde temos

ν −→ ∞. Para construir a figura 2.7, utilizamos uma grande de 2000 × 2000 sendo 2000

29


valores diferentes de e no intervalo de [1, 2, 4] e 2000 valores de ϕ no intervalo de [0, 2π]

gerando um total de 4 × 106 de condições iniciais que foram iteradas apenas uma vez.

Analisando a figura 2.7 podemos observar que a região de cor cinza que mostra os

valores de ν ∈ (4, 5) faz fronteira com a região de cor preta que mostra a região onde

ν ∈ (5, 6). Então podemos perceber que existe uma linha que separa as regiões cinza e

preta, que é a linha onde ν = 5. De forma análoga, podemos concluir que a linha que

separa as regiões vermelha e amarela é a linha onde ν = 7, que é fronteira das regiões

onde ν ∈ (6, 7) que é a região vermelha e onde ν ∈ (7, 8) que é a região amarela. Sendo

assim, fica claro que existe uma curva de separação entre cada cor, que é obtida quando

ν é inteiro.

1

1, 2

1, 4

1, 6

1, 8

2

2, 2

2, 4

0 1 2 3 4 5 6

1, 8

1, 82

1, 84

1, 86

1, 88

1, 9

1, 92

1, 94

1, 96

1, 98

2

0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8 0, 9 1 1, 1

e

φ φ(a) (b)

Figura 2.8: Curvas que separam as regiões coloridas da figura 2.7. Em (a) temos as curvas que
separam as cores da figura 2.7(a) em (b) a ampliação de (a) para e ∈ [1, 8, 2] e
ϕ ∈ [0, 4, 1, 1].

A figura 2.8 mostra as curvas que separam as regiões coloridas da figura 2.7. Podemos

perceber que, se sobrepor as figuras 2.7(a) e 2.8(a), as curvas da figura 2.8(a) ficarão

localizadas exatamente na divisão das cores da figura 2.7(a). A figura 2.8(b), mostra uma

ampliação da figura 2.8(a) para e ∈ [1, 8, 2] e ϕ ∈ [0, 4, 1, 1], onde podemos ver com

30


mais detalhes as curvas para valores inteiros de ν próximo da região onde ν −→ ∞. Para

construirmos essa figura, substitúımos a segunda sentença da equação (2.12) na equação

(2.29), encontrando a equação

F (ν) = ϕn + i∆ϕa +∆ϕb − 2νπ, (2.30)

onde resolvemos F (ν) = 0 para cada valor de ν. Na simulação numérica, usamos uma

grade de 50.000 valor de e e 50.000 valores de ϕ totalizando 2, 5 × 109 condições inicias

para 100 valores diferentes de ν, ou seja, geramos 100 curvas diferentes.

2.6 As Reflexões Múltiplas

Nesta seção, estudaremos as condições iniciais que fornecem as reflexões múltiplas, ou

seja, as condições inicias que fazem com que a part́ıcula fique aprisionada dentro do poço

por algum tempo, o que implica em i > 1. Para que possamos separar a região onde

temos as reflexões múltiplas, precisamos ter ν −→ ∞. Observando as equações (2.29) e

(2.12), notamos que para ν −→ ∞, é necessário que ϕn+1 −→ ∞. Para que isso aconteça,

temos duas opções na segunda linha da equação (2.12), onde uma é ∆ϕa −→ ∞ e a outra

é ∆ϕb −→ ∞. Podemos observar na equação (2.15) que, se en+1 −→ 1, teremos ∆ϕb −→ ∞.

Então, na primeira linha da equação (2.12), podemos fazer en+1 = 1 e encontrar a equação

G(i) = en − 1 + δ[cos(ϕn + i∆ϕa)− cos(ϕn)]. (2.31)

onde G(i) = 0.

31


1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6

1

1, 2

1, 4

1, 6

1, 8

2

0 1 2 3 4 5 6

e

φ φ

−0, 1

−0, 05

0

0, 05

0, 1

(a) (b)

G

(

1

)

=

0

Figura 2.9: Em(a) temos o espaço de fase gerado com r = 1, δ = 0, 5 e Nc = 3. Em(b) temos, na
cor vermelha, a região onde ocorrem as reflexões múltiplas, na cor amarela, a região
onde não ocorre as reflexões múltiplas. Em cor preta mostra as curvas que separam
essas duas regiões.

A figura 2.9(b) mostra as regiões onde acontecem as reflexões múltiplas. Comparando

a figura 2.9(b) com a figura 2.7, podemos observar que a parte amarela da figura 2.9(b) é

a mesma onde se encontra a parte colorida da figura 2.7, ou seja, região onde não ocorrem

as reflexões múltiplas. A parte vermelha da figura 2.9(b) é a mesma onde se encontra

a parte branca da figura 2.7, que é a região onde ocorrem as reflexões múltiplas. Na

figura 2.9(a) temos um espaço de fase para o modelo usando os parâmetros de controle

r = 1, Nc = 3 e δ = 0, 5. Plotamos também, na figura 2.9(b), a curva que separa as

duas regiões, ou seja a curva G(1) = 0. Como podemos ver, ela sobrepôs perfeitamente

na divisão das duas regiões. Para G(1) > 0, temos a região onde não ocorrem as reflexões

múltiplas e, para G(1) < 0, temos a região onde ocorrem as reflexões múltiplas.

32


1

1, 2

1, 4

1, 6

1, 8

2

0 1 2 3 4 5 6

1

1, 1

1, 2

1, 3

1, 4

1, 5

1, 6

1, 7

1, 8

4, 8 5 5, 2 5, 4 5, 6 5, 8 6 6, 2

e

φ φ

1

2

3

4

5

6

7

8

(a) (b)

Figura 2.10: Análise da região onde ocorrem as reflexões múltiplas. Em (a), usamos ϕ ∈ [0, 2π]
e e ∈ [1, 2, 1]. Em (b) mostramos uma ampliação de (a) no intervalo ϕ ∈ [4, 8, 2π]
e e ∈ [1, 1, 8] para destacar melhor a divisão da cores.

Agora vamos fazer um estudo da região das reflexões múltiplas, ou seja, a região que

está pintada de vermelho na figura 2.9(b). Nosso objetivo é encontrar as condições iniciais

que fornecem uma reflexão múltipla, duas reflexões múltiplas, três reflexões múltiplas e

assim sucessivamente. Esse estudo está retratado na figura 2.10(a). Nesta figura, mostra-

mos em cor branca as regiões onde não ocorre reflexões múltiplas e nas regiões coloridas

temos as reflexões múltiplas. Na região de reflexões múltiplas, pintamos de preto a região

onde se encontram as condições iniciais que fornecem apenas uma reflexão múltipla, de

vermelho as que tem duas reflexões múltiplas, de verde as condições inicias com três re-

flexões múltiplas, de azul as que tem quatro reflexões múltiplas, e assim sucessivamente.

Observamos ainda que as regiões de cor preta estão entre as curvas G(1) = 0 e G(2) = 0,

as de cor vermelha entre as curvas G(2) = 0 e G(3) = 0, as de cor verde entre as curvas

G(3) = 0 e G(4) = 0, as de cor azul entre as curvas G(4) = 0 e G(5) = 0, e assim

sucessivamente.

33


2.7 Número de Reflexões Múltiplas em Função do Parâme-

tro Nc.

Nesta seção, estudaremos o número de reflexões múltiplas em função do parâmetro

de controle Nc. Já vimos que esse parâmetro é dado por Nc =
w

(2π)(a/
√

2V0/m)
e fica fácil

percebermos que, de acordo com a expressão esse parâmetro, é diretamente proporcional

à frequência w e inversamente proporcional à largura do poço. Então, a variação do

parâmetro Nc altera, expressivamente, a dinâmica deste modelo.

Figura 2.11: Histograma do número de reflexões múltiplas para quatro valores diferentes de Nc.
Usamos r = 1 e δ = 0, 5.

Na figura 2.11 temos um histograma do número de reflexões múltiplas para quatro

valores diferentes de Nc. Para construirmos essa figura, iteramos uma condição inicial

dada no mar de caos 108 vezes e contamos quantas vezes uma certa quantidade de reflexões

múltiplas aconteceu. Podemos observar que, à medida que o valor de Nc aumenta, o gráfico

se desloca para esquerda. Para facilitar a compreensão, traçamos uma linha horizontal

em 103, e observando essa linha, podemos notar que o número reflexões múltiplas que

aconteceram 103 vezes diminui quando Nc aumenta, mostrando um comportamento t́ıpico

de escala.

34


Figura 2.12: Ajuste em lei do potência do decaimento de número reflexões múltiplas em função
de Nc para H = 103.

A figura 2.12, mostra o comportamento do número de reflexões múltiplas em função de

Nc. Um ajuste em lei de potência para o decaimento, fornece um expoente α = −0, 218(1).

Figura 2.13: Sobreposição das curvas do histograma do número de reflexões múltiplas em função
de Nc, confirmando a invariância de escala.

Encontrado o ajuste da figura 2.11, aplicamos uma reescala apropriada no eixo das

abscissas fazendo i −→ iNα
c para cada uma das curvas de Nc, unindo todos os gráficos da

figura em um único gráfico universal, confirmando invariância de escala em função de Nc,

como mostra a figura 2.13.

35


Caṕıtulo 3

O modelo do poço de potencial com nova

seção de Poincaré

Neste caṕıtulo apresentaremos o modelo do poço de potencial com o fundo osci-

lante dependente periodicamente do tempo com uma nova seção de Poincaré e uma nova

estrutura. Mostraremos, de forma detalhada, o procedimento usado para encontrar o

mapeamento para o mesmo e, além disso, apresentaremos e discutiremos o espaço de fase

para o modelo em questão.

3.1 O Modelo do Poço Potencial com o Fundo Dependente

Periodicamente do Tempo com Nova Seção de Poincaré

O modelo do poço de potencial que vamos apresentar agora, surgiu a partir do modelo

do poço de potencial com o fundo oscilante apresentado no caṕıtulo anterior. Propomos

esse modelo pelo fato dele apresentar um espaço de fase com pontos fixos simétricos, o

que facilitou nossas investigações, uma vez que apresentou resultados mais fáceis se serem

compreendidos. Essa nova proposta do modelo do poço de potencial com o fundo oscilante

é dado pela figura 3.1

Figura 3.1: Modelo do poço de potencial assimétrico com o fundo oscilante.

36


Nessa nova versão, o potencial é dado por

V (x, t) =


∞ se x ≤ 0 ou x ≥ a+b

2

V0 se a
2
< x ≤ b

2

V1 cos (wt) se 0 < x <
(
a
2

) , (3.1)

onde a, b , V0 , V1 e w são constantes, sendo w a frequência de oscilação do fundo do

poço que se move periodicamente no tempo com a função F (t) = V1 cos(wt). Podemos

observar que uma part́ıcula de massa m confinada ao interior do poço da figura 3.1 pode

estar submetida a diferentes potenciais, dependendo da posição onde se encontra. Isso

implica em ganhos ou perdas de energia cinética.

Para encontrarmos o mapeamento para o modelo, vamos considerar uma part́ıcula

de massa m, iniciando sua dinâmica em x = a+b
2
, com uma energia En > V0 em um

instante inicial t = tn, com uma velocidade inicial v0 e, consequentemente, com uma

energia cinética que denominaremos de K0.

Ao dar ińıcio a dinâmica do sistema, a part́ıcula viaja da direita para a esquerda com

velocidade v0 =
√

2K0/m e energia cinética K0 = En − V0. O tempo gasto para que a

part́ıcula viaje de x = a+b
2

até a
2
, ou seja, a distância b

2
, é dado por ∆tb =

b
2υ0

.

Ao alcançar a posição x = a
2
, a part́ıcula adentra o poço, sofrendo uma variação brusca

da velocidade uma vez que teremos uma mudança de potencial e a energia En permanece

constante. Dentro do poço, terá uma nova energia cinética Ka e uma nova velocidade υa,

onde υa =
√

2Ka/m, logo teremos que

Ka = En − V1 cos[ω(tn +∆tb)]. (3.2)

A part́ıcula viajará a distância a com velocidade va, alcançando o potencial infinito

em x = 0 e será refletida para a direita com a mesma velocidade, uma vez que o sistema

não sofre a influência de forças externas. Ao alcançar novamente a posição x = a
2
, em um

tempo ∆ta =
a
υa
, a energia mecânica Ea da part́ıcula será dada por

Ea = Ka + V1 cos[ω(tn +∆tb +∆ta)]. (3.3)

Neste ponto, se Ea ≤ V0, a part́ıcula é refletida para x = 0 ficando confinada dentro do

poço até que a part́ıcula tenha energia suficiente para sair do poço, ou seja, a part́ıcula

ficará confinada até que Ea > V0. Dessa forma, a part́ıcula escapará do poço quando

Ea = Ka + V1 cos[ω(tn +∆tb + i∆ta)] > V0, (3.4)

onde i é o menor inteiro que faz com que a equação acima seja verdadeira.

Ao sair do poço, a part́ıcula novamente sofrerá uma variação abrupta na velocidade,

pois, mudará o potencial e a energia Ea permanecerá constante. Agora, a part́ıcula

37


viaja a distância b
2
até alcançar a posição x = a+b

2
, ponto onde fixamos nossa seção de

Poincaré, com uma energia cinética Kb e velocidade constante υb =
√

2Kb/m. Nesta

parte da dinâmica, Kb = Ea − V0 e ∆t′b = b
2υb

, onde ∆t′b é o tempo necessário para

a part́ıcula percorrer a distância b
2
, após ter sáıdo do poço. Desse modo, temos que a

energia En+1 = Ea. Então, substituindo a equação (3.2) na (3.3) temos que

En+1 = En − V1 cos[ω(tn +∆tb)] + V1 cos[ω(tn +∆tb + i∆ta)]. (3.5)

Além disso, temos que

tn+1 = tn +∆tb + i∆ta +∆t′b. (3.6)

Da forma em que escrevemos o mapeamento do sistema até agora, temos um grande

número de parâmetros de controle. Com o objetivo de diminuir esse número e usarmos

variáveis adimensionais. Vamos fazer, também para esse novo modelo, algumas mudanças

de variáveis. Primeiramente, vamos definir e = E
V0

como sendo uma energia adimensional

e ϕ = ωt o tempo em função no número de oscilações do fundo do poço. Vamos definir

também as seguintes razões: r = a
b
, δ = V 1

V0
e Nc =

ωa
2π

√
m
2V0

. É importante observarmos

que devemos ter 0 < δ < 1, pois caso δ seja um valor maior que 1, não teremos mais um

poço de potencial oscilante, já que o poço alcançará um potencial maior que V0. Como

já foi visto, o valor de Nc fornece o número de oscilações do fundo do poço em um tempo

t = a
√

m
2V0

, que é o tempo necessário para a part́ıcula atravessar a distância a
2
com energia

cinética igual a V0. Agora, esse tempo é encontrado através da razão da distância a
2
, pela

velocidade v =
√

2V0

m
.

Dividindo a equação (3.5) por V0 e multiplicando a equação (3.6) por ω teremos

En+1

V0

=
En

V0

− V1 cos[(ωtn + ω∆tb)]

V0

+
V1 cos[(ωtn + ω∆tb + iω∆ta)]

V0

, (3.7)

e

ωtn+1 = ωtn + ω∆tb + iω∆ta + ω∆t′b. (3.8)

Aplicando as mudanças de variáveis propostas nas equações (3.7) e (3.8) teremos

en+1 = en − δ cos[(ϕn +∆ϕb)] + δ cos[(ϕn +∆ϕb + i∆ϕa)], (3.9)

e

ϕn+1 = ϕn +∆ϕb + i∆ϕa +∆ϕ′
b. (3.10)

Agora, precisamos encontrar as expressões de ∆ϕb, ∆ϕa e ∆ϕ′
b. Podemos encontrar a

expressão de ϕb por meio do seguinte processo: sabendo-se que ∆tb =
b

2v0
, que v0 =

√
2K0

m

38


e que K0 = En − V0, podemos multiplicar toda equação de ∆tb por ω e substituir nela

as equações de v0 e K0. Usando novamente as mudanças de variáveis que propomos,

chegaremos em ∆ϕb =
ωb
2

√
m

2(En−V0)
. Multiplicando e dividindo essa última equação por

πa e dividindo o numerador e o denominador da fração dentro do radical por V0, poderemos

encontrar embutida nela a equação de Nc, concluindo que ∆ϕb =
rNcπ√
en−1

. De forma análoga,

podemos encontrar as expressões de ∆ϕa e ∆ϕ′
b, concluindo que o mapeamento do modelo

é dado por

T :

{
en+1 = en − δ cos[(ϕn +∆ϕb)] + δ cos[(ϕn +∆ϕb + i∆ϕa)]

ϕn+1 = ϕn +∆ϕb + i∆ϕa +∆ϕ′
b mod 2π

, (3.11)

onde i o menor inteiro tal que en+1 > 1. As variáveis auxiliares são dados por

∆ϕb =
r.Ncπ√
en − 1

, (3.12)

∆ϕa =
2πNcπ√

en − δcos(ϕn +∆ϕb)
(3.13)

e

∆ϕ′
b =

r.Ncπ√
en+1 − 1

. (3.14)

3.2 Espaços de Fase do Modelo

Usando o mapeamento encontrado na seção anterior, constrúımos os espaços de fase

para essa nova proposta de seção de Poincaré para modelo do poço de potencial. As

figuras 3.2, 3.3 e 3.4 mostram os espaços de fase para o modelo em questão, bem como

o comportamento da estrutura dos mesmos em função da variação dos parâmetros de

controle r, Nc e δ. Ao analisarmos a mudança estrutural causada por essa variação,

usamos como referência o espaço de fase gerado com valores de r = 1, Nc = 3 e δ = 0, 5,

que estará sempre na parte central da figura.

Podemos observar que, de modo geral, os espaços de fase são simétricos em relação a

ϕ = π e são do tipo misto, uma vez que apresentam uma região caótica, ilhas estabilidade

e curvas invariantes, sendo algumas do tipo spanning. Nestes espaços de fase, os mares de

caos são limitados pela primeira curva invariante do tipo spanning. Temos também um

número grande de ilhas de estabilidade e, dentro de cada uma delas, há um ponto fixo do

tipo eĺıptico.

Na figura 3.2, mostramos três casos de espaços de fase do modelo onde mantemos

fixos os valores dos parâmetros de controle Nc = 3 e δ = 0, 5, usando três o valores

diferentes para r, sendo r = 0, 65 para figura 3.2 (a), r = 1 para a figura 3.2 (b) e

r = 1, 35 para figura 3.2 (b). Podemos observar que os espaços de fase são simétricos

para os três valores de r. Também podemos notar, de forma clara, que temos nos três

39


casos uma grande ilha de estabilidade com centro em ϕ = π. Nota-se que, para um

valor ligeiramente menor do parâmetro r, temos um espaço de fase com um número

maior de curvas invariantes e um mar caótico um pouco menor. Temos também um

deslocamento para baixo, ou seja, uma diminuição do valor de energia do ponto fixo

eĺıptico que se encontra no centro da grande ilha de estabilidade, além de uma redução

do tamanho da mesma. Ao aumentarmos ligeiramente o valor de r, temos um efeito

contrário, o mar caótico se torna maior. Observamos a diminuição do número de ilhas de

estabilidade e, além disso, podemos ver que a grande ilha foi deslocada para cima e teve

seu tamanho aumentado. O deslocamento vertical dessa ilha poderá ser matematicamente

compreendido ainda nessa seção quando mostraremos que a energia de um ponto fixo é

dada em função de r.

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6

e

φ φ φ
(a) (b) ()

Figura 3.2: Espaços de fase do poço de potencial assimétrico com Nc = 3 e δ = 0, 5 em (a), (b)
e (c), r = 0, 65 para (a), r = 1 para (b) e r = 1, 35 para (c).

Na figura 3.3 temos novamente três espaços de fase, onde mantemos os valores dos

parâmetros r = 1 e δ = 0, 5 para os três casos, e alteramos o valor de Nc usando Nc = 2, 3

para figura 3.3(a), Nc = 3 para figura 3.3(b) e Nc = 3, 7 para a figura 3.3(c). Embora os

espaços de fase tenham estruturas bem diferentes do que vimos no caso da variação de

r, podemos tirar conclusões semelhantes em relação aos efeitos causados pela variação do

parâmetro de controle Nc. Ao diminuirmos o valor de Nc, novamente temos uma redução

no tamanho do mar de caos e um aumento no número de curvas invariantes. Percebemos

também que a grande ilha de estabilidade mais uma vez foi deslocada para baixo. Fazendo

o contrário, tivemos um aumento da região caótica e uma diminuição no número de curvas

invariantes. A grande ilha de estabilidade foi descolocada para cima, de forma semelhante

ao que aconteceu quando variamos o valor de r. A explicação para a variação vertical

40


da posição dessa ilha é a mesma do caso anterior, o valor da energia para esse ponto

fixo também é dada em função de Nc, como veremos logo adiante. Além disso, podemos

observar que a simetria em relação a linha ϕ = π foi mantida.

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6

e

φ φ φ
(a) (b) ()

Figura 3.3: Espaços de fase do poço de potencial assimétrico com r = 1 e δ = 0, 5 para (a), (b)
e (c), e Nc = 2, 3 para (a), Nc = 3 para (b) e Nc = 3, 7 para (c).

Para finalizar a análise da estrutura do espaço de fase em relação a alteração dos

parâmetros de controle, analisaremos o comportamento da estrutura do espaço de fase

com a variação do parâmetro δ. Para isso, na figura 3.4 mostramos os espaços de fase

com os parâmetros r = 1 e Nc = 3 constantes para os três casos e alteramos δ usando

os valores δ = 0, 1 para a figura 3.4(a), δ = 0, 5 para a figura 3.4(b) e δ = 0, 9 para a

figura 3.4(c). Para valores menores de δ, mais uma vez temos uma elevação no número de

curvas invariantes e uma região caótica menor. Elevando esse valor, temos menos curvas

invariantes e uma região caótica maior. A simetria em relação a linha ϕ = π se manteve

mais uma vez.

41


1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6

e

φ φ φ
(a) (b) ()

Figura 3.4: Espaços de fase do poço de potencial assimétrico com r = 1 e Nc = 0, 5 para (a),
(b) e (c) e δ = 0, 1 para (a), δ = 0, 5 para (b) e δ = 0, 9 para (c).

O grande diferencial do comportamento com a variação de δ em relação as variações

dos parâmetros r e Nc é que o valor da energia do ponto fixo da grande ilha de estabilidade

não varia. Podemos ver que nos três casos temos o mesmo valor de energia e fase para o

ponto fixo eĺıptico localizando no centro desta ilha. Veremos logo adiante que isso acontece

porque o valor da energia do ponto fixo independe do valor de δ.

3.3 Os Pontos Fixos

Para encontrarmos os pontos fixos, vamos usar a equação (3.11) onde usaremos a

definição ϕn+1 = ϕn + 2πm e en+1 = en = e∗, onde m é um número inteiro. Denotaremos

um ponto fixo por (ϕ∗, e∗). Resolvendo a equação en+1 = en = e∗, teremos

cos(ϕn +∆ϕb) = cos(ϕn +∆ϕb + i∆ϕa), (3.15)

onde deveremos considerar duas possibilidades de soluções:(i) i∆ϕa = 2kπ e (ii) i∆ϕa =

2kπ − 2(ϕ∗ +∆ϕb).

Pelo caso (i), onde i∆ϕa = 2kπ, temos através das equações (3.11), (3.12) e (3.14) que

e∗ = 1 +

(
Ncr

m− k

)2

. (3.16)

Agora, pela equação (3.13) podemos encontrar

42


ϕ∗ = arcos

{
1

δ

[
e∗ −

(
Nc

k

)2
]}

− πNcr√
e∗ − 1

, (3.17)

ou

ϕ∗ = 2π − arcos

{
1

δ

[
e∗ −

(
Nc

k

)2
]}

+
πNcr√
e∗ − 1

. (3.18)

Denotaremos por A(k,m), o par ordenado que nos fornecerá pontos fixos (ϕ∗, e∗) de

peŕıodo 1 obtido analiticamente através das equações (3.16) e (3.17). Usaremos a notação

A∗(k,m) o par ordenado que nos fornecerá os pontos fixos (ϕ∗, e∗) obtidos pelas equações

(3.16) e (3.18).

Agora, no caso (ii), onde i∆ϕa = 2kπ − 2(ϕ∗ + ∆ϕb) usamos novamente as equações

(3.11), (3.12) e (3.14) e obtemos que

ϕ∗ = π(k −m). (3.19)

Aplicando o resultado encontrado na equação (3.19) na equação (3.13) encontramos

e∗ − δ cos[π(k −m) + ∆ϕb]−
(

πNc

πm−∆ϕb

)2

= 0. (3.20)

Vamos denominar por N(k,m) os pontos fixos de peŕıodo 1 obtidos através das equações

(3.19) e (3.20).

Através da equação (3.16), podemos compreender os deslocamentos da grande ilha

de estabilidade dos espaços de fase mostrados nas figuras 3.2, 3.3 e 3.4. Como podemos

ver claramente, a energia do ponto fixo depende de r e Nc, portanto ao variarmos esses

parâmetros, temos o deslocamento da ilha propriamente dita.

As figuras 3.5(a) e 3.5(b) mostram uma observação muito interessante, pois nela pode-

mos ver todos os pontos fixos de primeira ordem encontrados pelas equações (3.16), (3.17),

(3.18), (3.19) e (3.20) de forma numérica, inclusive aqueles que não podem ser observados

apenas olhando diretamente para o espaço de fase. Na construção dessa figura, usamos a

grandeza denotada por ∇, de

∇ =
√

(ϕn+1 − ϕn)2 + (en+1 − en)2, (3.21)

onde ϕn+1 é mod 2π. Foi considerada uma grade de (2000 por 2000), ou seja, 2000 valores

diferentes de ϕ (eixo horizontal) e 2000 valores diferentes de e (eixo vertical), totalizando

4 × 106 condições iniciais. Essas condições iniciais foram iteradas apenas uma vez a

partir de (ϕn, en), obtendo (ϕn+1, en+1), onde ∇ representa a distância entre cada uma

das condições iniciais e o ponto gerado pela iteração de cada uma dessas condições iniciais.

43


1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6

e

φ φ

0

1

2

3

4

5

6

7

(a) (b)

N(3,3)

N(4,4)

N(5,5)

N(3,3)

N(4,4)

N(5,5)

N(5,3)

N(6,4)

N(7,5)

N(5,3)

N(6,4)

N(7,5)

N(4,3)

N(5,4)

N(6,5)

N(7,6)

N(4,3)

N(5,4)

N(6,5)

N(7,6)

A*(2,5) A(2,5) A*(2,5) A(2,5)

Figura 3.5: Em (a) mostramos um espaço de fase do modelo para r = 1, δ = 0, 5 e Nc = 3, em
(b) mostramos o comportamento de ∇. Nesta figura temos os pontos fixos de pri-
meira ordem dados pela equações (3.16), (3.17), (3.18), (3.19) e (3.20), encontrados
numericamente.

Na figura 3.5 podemos fazer uma comparação entre um espaço de fase onde vemos

facilmente os pontos fixos do tipo N(k,m) (vale lembrar que os pontos fixos dos tipos

A(K,m) e A∗(k,m) também estão no espaço de fase mas não podem ser visualizados

apenas olhando para espaço de fase) com pontos fixos encontrados numericamente. Na

figura 3.5(a), podemos ver os pontos fixos de peŕıodo 1 do tipo N(k,m). Na reta ϕ = 0

temos os pontos fixos N(3, 3), N(4, 4) e N(5, 5). Na reta ϕ = 2π temos os pontos fixos

N(7, 5), N(6, 4) e N(5, 3), e na reta ϕ = π temos os pontos N(7, 6), N(6, 5), N(5, 4)

e N(4, 3). Além desses pontos fixos, temos dois pontos pontos fixos, sendo um do tipo

A(k,m) e outro do tipo A∗(k,m) que se encontram imersos no mar de caos e não podem ser

vistos apenas olhando o espaço de fase, no caso eles são A(2, 5) e A∗(2, 5). A figura 3.5(b),

mostra todos esses pontos fixos encontrados de forma numérica. Para isso, pintamos de

preto os condições iniciais tais que ∇ −→ 0.

44


3.4 Dispersão de Primeira Ordem

Vamos agora, estudar como fica a dispersão da fase após a primeira iteração, ou seja,

onde a fase se encontrará no eixo ϕ depois da primeira iterada quando a função mod não

é aplicada. Porém, é importante lembrar que a função mod 2π na expressão da fase

na equação (3.11), faz com que a fase seja sempre reduzida ao intervalo [0, 2π], mesmo

assumindo um valor maior que 2π. Para isso, vamos definir a grandeza σ, que vamos usar

para estudar como a fase se dispersará ao longo eixo ϕ. Definiremos σ como

Figura 3.6: Dispersão das condições iniciais após a primeira iteração. Em (a) temos o estudo da
dispersão de primeira ordem para ϕ ∈ [0, 2π] e e ∈ [1, 7]. Em (b) temos esse estudo
para ϕ ∈ [3, 5, 5] e e ∈ [1, 6, 2, 2], mostrando com mais detalhes as divisões das
cores próximo de F (∞).

σ =
ϕn+1

2π
, (3.22)

onde σ ∈ R.
A figura 3.6(a) mostra o comportamento da dispersão das condições iniciais, após a

primeira iteração, de acordo com os valores de σ. Pintamos de preto a região tais que as

45


condições iniciais (ϕn, en) nos fornecem σ ∈ (2, 3), de vermelho a região que nos fornece

σ ∈ (3, 4), de cinza a região que nos fornece σ ∈ (4, 5), e assim sucessivamente. Uma

região que precisamos destacar, é a região que está pintada de branco, uma vez que essa

é a região onde i > 1, ou seja, a região onde ocorrem as reflexões múltiplas. Faremos

um estudo mais aprofundado dessa região nas próximas seções. Na figura 3.6(b) temos

uma ampliação da região onde σ −→ ∞, nela podemos observar com maiores detalhes essa

aproximação da região de reflexões múltiplas, uma vez que os dados numéricos sugerem

que para σ −→ ∞ temos curva que separa a região de reflexões múltiplas da região reflexões

simples. Para gerarmos essa figura, constrúımos uma grande de 2000 × 2000 sendo 2000

valores diferentes de e no intervalo de [1, 7] e 2000 valores de ϕ no intervalo de [0, 2π]

gerando um total de 4 × 106 de condições iniciais que foram iteradas apenas uma vez.

Ainda observando a figura 3.6, podemos notar, de maneira clara, que existem curvas

que separam as regiões coloridas. Como já vimos, a região preta é gerada pelas condições

iniciais que fornecem σ ∈ [2, 3) e a região vermelha é gerada pelas condições iniciais que

fornecem σ ∈ [3, 4). Então, não é dif́ıcil percebermos que a linha que separa essas duas

cores é dada para σ = 3. De forma análoga, podemos perceber que a linha que separa a

cor vermelha da cinza é dada por σ = 4, a que separa a cinza da verde por σ = 5, e assim

sucessivamente. Substituindo a equação (3.11) na equação (3.22) chegamos na equação

F (σ) = ϕn − 2πσ +∆ϕb + i∆ϕa +∆ϕ′
b, (3.23)

onde devemos encontrar F (σ) = 0 para que tenhamos as curvas para cada valor de σ, ou

seja, para σ = 3, encontramos a curva que separa as cores preta e vermelha, para σ = 4

encontramos a curva que separa as cores vermelha e cinza, para σ = 5 a curva que separa

as cores cinza e verde, e assim sucessivamente. Essas linhas podem ser observadas de

forma mais clara na figura 3.7. Na figura 3.7(a), podemos observar as linhas que separam

as cores da figura 3.6 (b), e na figura 3.7(b), temos uma ampliação da área onde ocorre

as reflexões múltiplas.

Podemos notar que a medida que os valores de σ aumentam, tendendo ao infinito,

temos uma aglomeração das curvas que se acumulam ao se aproximarem da região onde a

acontecem as reflexões múltiplas. A borda dessa região é encontrada quando temos F (∞).

Tal aglomeração pode ser vista claramente na figura 3.7 (a), e de forma mais detalhada

na 3.7(b), onde temos uma ampliação da parte central da figura 3.7(a) e podemos visua-

lizar algumas linhas para valores inteiros de σ mais próximas de F (∞). Para gerarmos a

figura 3.7, constrúımos uma grade de 70.000 por 70.000, ou seja, 70.000 valores diferentes

de e no intervalo de [1, 7] e 70.000 valores de ϕ no intervalo de [0, 2π] gerando um total de

4, 9× 109 condições iniciais que foram iteradas apenas uma vez, usando para σ os valores

de 1 à 100.

46


1, 6

1, 7

1, 8

1, 9

2

2, 1

2, 2

0 1 2 3 4 5

1, 8

1, 85

1, 9

1, 95

2

2, 05

2, 1

3 3, 1 3, 2 3, 3 3, 4 3, 5 3, 6 3, 7

e

φ φ(a) (b)

Figura 3.7: Nesta figura mostramos as linhas para valores inteiros de σ. Em (a), temos uma
analogia da com a figura 3.6(b), destacando as linhas que separam as cores. Em (b)
uma ampliação da parte central da figura(a), mostrando mais detalhes da aglome-
ração das linhas quando σ −→ ∞

3.5 As Reflexões Múltiplas

Para que reflexões múltiplas ocorram, ou seja, i > 1, é necessário que σ −→ ∞. Anali-

sando as equações (3.11) e (3.22) conclúımos que para isso acontecer, temos as seguintes

opções: ∆ϕb −→ ∞, ∆ϕa −→ ∞ ou ∆ϕb′ −→ ∞. A primeira opção, ∆ϕb −→ ∞ não seria

viável, pois pela equação (3.12) é necessário que en −→ 1, porém, dessa forma a part́ıcula

nunca escaparia do poço. A segunda opção, ∆ϕa −→ ∞, também não seria viável pelo

mesmo motivo, de acordo com a equação (3.13). Além disso, é matematicamente impos-

śıvel para o denominador desta equação ser zero, uma vez que temos en > 1 e como já

foi dito, é necessário que 0 < δ < 1. Então, só nos resta a terceira opção, ∆ϕ′
b −→ ∞,

que é a única que tem sentido f́ısico e matemático. Pela equação (3.14), pode-se concluir

que ∆ϕ′
b −→ ∞ quando en+1 −→ 1, para isso, usamos a equação (3.11), fazendo en+1 = 1.

Assim, podemos definir a equação

G(i) = en − 1− δ cos[(ϕn +∆ϕb)] + δ cos[(ϕn +∆ϕb + i∆ϕa)]. (3.24)

Através da equação (3.24) podemos encontrar a separação de duas regiões importantes,

47


sendo elas: (i) a região de reflexões simples e (ii), a região de reflexões múltiplas, na qual

pretendemos aprofundar nossos estudos. Para encontrarmos a curva que separa essas duas

regiões, precisamos resolver a equação G(1) = 0, essa é a mesma curva que encontramos

numericamente quando temos F (∞). Na figura 3.8(b), podemos ver de forma clara, essas

duas regiões: de vermelho a região de reflexões múltiplas e de amarelo é a região de

reflexões simples, bem como a curva que separa essas duas regiões.

1

1, 1

1, 2

1, 3

1, 4

1, 5

0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6

e

φ φ

−0, 1

−0, 05

0

0, 05

0, 1

(a) (b)

G

(

1

)

=

0

Figura 3.8: Em (a) temos um espaço de fase gerado com os parâmetros de controle Nc = 0, 1,
r = 1 e δ = 0, 5. Em (b) temos em vermelho a região de reflexões múltiplas e
em amarelo a região de reflexões simples. A figura (b) foi gerada com os mesmos
parâmetros de controle da figura (a).

Agora vamos trabalhar de forma um pouco mais detalhada a região de reflexões su-

cessivas. Na figura 3.8(a), temos um espaço de fase do modelo para Nc = 0, 1, r = 1 e

δ = 0, 5. Podemos observar um espaço de fase bem diferente dos que foram gerados nas

figuras 3.2, 3.3 e 3.4, pois tem um valor de Nc bem menor. Neste caso, temos um espaço

de fase com um mar caótico bem reduzido, algumas curvas de estabilidade e também

podemos observar várias curvas invariantes do tipo spanning. Assim como anteriormente,

a figura 3.8(b) destaca a região de reflexões múltiplas, ou seja, região onde i > 1 que no

48


caso está colorida de vermelho. Para encontrarmos a linha que separa as duas regiões,

constrúımos uma grade usando 1000 valores de ϕ e também 1000 valores de e0 igualmente

espaçados no espaço de fase, totalizando 106 condições iniciais e calculamos G(1) através

da equação (3.24) e salvamos os valores tais que G(1) = 0. Esses pontos nos dão a curva

que separa a região de reflexões simples da região de reflexões múltiplas.

1

1, 1

1, 2

1, 3

1, 4

1, 5

0 1 2 3 4 5 6

1

1, 2

1, 4

1, 6

1, 8

2

0 0, 5 1 1, 5 2

e

φ φ

1

2

3

4

5

6

7

8

(a) (b)

G

(

2

)

=

0

G

(

3

)

=

0

G

(

4

)

=

0

G

(

5

)

=

0

G

(

6

)

=

0

Figura 3.9: Estudo detalhado no número de reflexões múltiplas dentro da região onde G(1) < 0
feito através da equação (3.24). Em (a) temos as regões separadas por cores de
acordo com o número de reflexões e em (b) temos uma ampliação de (a), e as curvas
que separam as regiões coloridas.

Agora, vamos dar uma atenção especial onde i > 1, ou seja, a região de reflexões

múltiplas. A figura 3.9(a) mostra um estudo da quantidade de reflexões múltiplas dentro

da região onde G(1) > 0. A região de cor preta que fica entre as curvas G(1) = 0 e

G(2) = 0, nos fornece as condições iniciais que levam à reflexões múltiplas. A região em

de vermelho entre as curvas G(2) = 0 e G(3) = 0 nos mostra as condições iniciais com

duas reflexões múltiplas. Na região verde, que está entre as curva G(3) = 0 e G(4) = 0,

temos as condições iniciais com três reflexões múltiplas. Na azul, entre as curvas G(4) = 0

e G(5) = 0, as condições com quatro reflexões múltiplas. Na região de cor bege, que está

49


localizada entre as curvas G(5) = 0 e G(6) = 0, as condições iniciais com cinco reflexões

múltiplas. Assim sucessivamente. A figura 3.9(b) mostra uma ampliação da região de

reflexões múltiplas, bem como as linhas que separam as regiões de acordo com o número

de reflexões.

3.6 Alguns Estudos em Relação ao Parâmetro Nc

Nesta seção, faremos alguns estudos que mostram consequências das alterações no

parâmetro de controle Nc. Primeiramente, vamos falar sobre o que ocorre com a área

da região de reflexões múltiplas quando alteramos o valor de Nc e depois vamos refazer,

para este modelo, o estudo feito para o modelo do caṕıtulo anterior, sobre o número de

reflexões múltiplas quando alteramos o valor de Nc.

1

1, 2

1, 4

1, 6

1, 8

2

2, 2

2, 4

0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 60 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6

e

φ φφ φ

−0, 1

−0, 05

0

0, 05

0, 1

(a) (b) ()

Figura 3.10: Análise da região de reflexões múltiplas para Nc = 0, 2 em (a), Nc = 0, 5 em (b) e
Nc = 1 em (c), com r = 1 e δ = 0, 5 nas três figuras.

Para darmos ińıcio ao estudo da área da região de reflexões múltiplas em função de

Nc, refizemos o mesmo plot da figura 3.8(b) para vários valores de Nc. Na figura 3.10

50


fizemos esses plots para os valores Nc = 0, 2, Nc = 0, 5 e Nc = 1, mantendo constantes

os valores de r = 1 e δ = 0, 5. Já na figura 3.11, temos os plots para Nc = 5, Nc = 10 e

Nc = 50.

Podemos perceber claramente que, com o aumento do valor do parâmetro Nc, as

curvas se tornam bem mais complexas. Notemos que a região de reflexões múltiplas

vai se estendendo a longo do espaço de fase a medida que aumentamos o valor de Nc.

Podemos observar também que a deformação da área onde (i > 1) é bastante rápida com

o aumento do valor desse parâmetro de controle, mas está sempre abaixo do valor de 2,4

para a energia e. Já foi mostrado anteriormente que, na figura 3.3, uma pequena variação

no valor do parâmetro Nc provoca um grande aumento no tamanho do mar de caos no

espaço de fase.

1

1, 2

1, 4

1, 6

1, 8

2

2, 2

2, 4

0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6

e

φ φ φ

−0, 1

−0, 05

0

0, 05

0, 1

(e) (f) (g)

Figura 3.11: Análise da região de reflexões múltiplas para Nc = 5 em (a), Nc = 10 em (b) e
Nc = 50 em(c), com r = 1 e δ = 0, 5 nas três figuras.

Mostraremos agora um estudo feito sobre a área ocupada pelas condições iniciais que

produzem reflexões múltiplas, ou seja, queŕıamos saber se ao alterarmos o valor de Nc e

a região onde (i > 0) ser distorcida, a área ocupada pelas condições iniciais que geram

reflexões múltiplas sofre variações de valores. Para isso, computamos a área ocupada pe-

51


las condições iniciais, com i > 1, usando o seguinte procedimento: tomamos uma grade

de M × M condições iniciais com ϕ ∈ (0, 2π) e e0 ∈ (1, 2, 5). Para cada combinação

(ϕ0, e0), verificamos o número de reflexões múltiplas i para uma única iteração, e então,

acumulamos em um histograma H. Dessa forma, nosso histograma conta o número de

condições iniciais que começam na região onde i > 1, ou seja, a região de reflexões múlti-

plas. Esse procedimento nos permite medir, de uma forma indireta, a área ocupada por i,

ou seja, quanto maior o valor de H, maior será o valor da área. Na figura 3.12 mostramos

esse histograma para três valores diferentes de M . Como podemos ver, quanto maior o

valor de M , mais o histograma se desloca para a direita mostrando o aumento da área.

Naquela figura também mostramos um ajuste em lei de potência, onde encontramos um

decaimento ϵ próximo de -3.

Figura 3.12: Histograma H em função do número de reflexões múltiplas i para diferentes valores
de M com Nc = 3, r = 1 e δ = 0, 5.

A figura 3.13 mostra o resultado obtido quando aplicamos uma reescala no eixo ver-

tical, onde fizemos H −→ H/M2 e todas as curvas com diferentes valores de M foram

sobrepostas com o mesmo decaimento ϵ = −3. Isso mostra que H é invariante de escala

em função de M , ou seja, independente do valor de M , sempre poderemos sobrepor as

curvas em uma única curva universal.

Na figura 3.14 temos um histograma usando um valor constante para M = 105 e

quatro valores diferentes de Nc, sendo eles Nc = 1, Nc = 101, Nc = 102 e Nc = 103.

Esta figura mostra claramente que a mudança nos valores desse parâmetro de controle

não interfere no posicionamento da curva no gráfico. Isso mostra que a área ocupada pela

região, onde i > 1, não muda com a alteração de Nc. Sendo assim, podemos concluir que

52


Figura 3.13: Histograma H em função de i usando uma reescala no eixo vertical dada por
H −→ H/M2, onde todas das curva são sobrepostas resultando em comportamento
universal em uma única curva mostrando a invariância de escala.

nas figuras 3.10 e 3.11 a região de cor vermelha se expande ou contrai no espaço da fase

com a variação de Nc, mas a área de cor vermelha é sempre constante.

Figura 3.14: Histograma H em função de i para vários valores de Nc, mostrando que as mudan-
ças nos valores de de Nc não interferem na área ocupada pela condições inicias na
região onde i > 1.

53


Agora, vamos fazer para esse modelo o mesmo estudo feito na seção 2.7, quando

estudamos o número de reflexões múltiplas em função do parâmetro de controle Nc para

o modelo tradicional do poço de potencial. O objetivo era verificar se o expoente de

decaimento seria o mesmo e se também encontraŕıamos um comportamento de escala.

Figura 3.15: Histograma no número de reflexões múltiplas no poço de potencial assimétrico para
quatro valores diferentes de Nc. Usamos r = 1 e δ = 0, 5

De maneira análoga ao que já havia sido feito, escolhemos uma condição inicial no

mar de caos e iteramos 108 vezes, onde contamos quantas vezes um certo número de

reflexões múltiplas ocorria. Com esses dados, constrúımos o histograma da figura 3.15

para quatro valores diferentes de Nc. Mais uma vez, podemos notar que, a medida que os

valores desse parâmetro aumentam, o gráfico é deslocado, sugerindo um comportamento

de escala. Para melhor compreensão, traçamos uma linha horizontal em H = 103, ficando

fácil percebermos que o número reflexões múltiplas que ocorrem 103 vezes fica menor a

medida que Nc aumenta.

A figura 3.16, mostra um ajuste em lei de potência para o decaimento do número

de reflexões múltiplas em função do parâmetro Nc para esse caso. Para esse ajuste,

encontramos um expoente α = −0, 216(5), que se aproxima de forma satisfatória do valor

encontrado na seção 2.7 que foi α = −0, 21802(1).

Com o ajuste da figura 3.16, aplicamos uma reescala apropriada ao eixo das abscissas,

fazendo i −→ iNα
c para cada um dos valores de Nc, unindo todos os gráficos da figura 3.15

em um único gráfico universal, confirmando invariância de escala em função de Nc, como

mostra a figura 3.17.

54


Figura 3.16: Ajuste em lei do potência do decaimento de número reflexões múltiplas em função
de Nc para H = 103 para o poço de potencial assimétrico.

Figura 3.17: Sobreposição das curvas do histograma de frequência do número de reflexões múl-
tiplas em função de Nc, confirmando a invariância de escala.

55


3.7 Estruturas de Auto-Similaridade

Nesta seção, mostraremos algumas estruturas interessantes que surgem ao analisar o

plano e0e1. Analisaremos o comportamento dessas estruturas quando variamos os valores

dos parâmetros Nc e δ, e do número de reflexões múltiplas i. Para realizarmos esses

estudos, mais uma vez, usamos uma grade de M ×M condições iniciais diferentes onde

ϕ0 ∈ (0, 2π) e a energia e0 ∈ (1, 5). Para cada condição inicial (ϕ0, e0), encontramos um

correspondente e1 após uma única iteração, onde usamos M = 104, ou seja, 108 condições

iniciais. Para obtermos melhores resultados, consideremos a densidade de pontos, onde

contamos a quantidade de pontos que visitam uma caixa da grade 1000×1000 de intervalos

igualmente espaçados no plano e1e0 quando iteramos as M ×M condições iniciais. Para

facilitar nosso estudo, definimos a quantidade ξ como sendo o logaritmo do número Σ,

que é o número de trajetórias que visitam uma caixa.

ξ = log(Σ). (3.25)

O uso do logaritmo, tem o objetivo de reduzir os valores de números muito elevados de

contagem.

Na figura 3.18 podemos ver o plot no plano e1e0 para Nc valendo 3 e 5 e na figura 3.19

para Nc valendo 10 e 50. Para as duas figuras, usamos r = 1 e δ = 0, 5. Em ambas as

figuras foi posśıvel observar um comportamento cada vez mais complexo a medida que o

valor de Nc é aumentado. Ainda é preciso extrair mais detalhes do comportamento.

1

1, 5

2

2, 5

3

3, 5

4

4, 5

5

1 1, 5 2 2, 5 3 3, 5 4 4, 5 5 1 1, 5 2 2, 5 3 3, 5 4 4, 5 5

e
1

e0 e0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

(a) (b)

Figura 3.18: Densidade de pontos no plano e0e1, onde as cores representam 0 número ξ dado
pela equação (3.25). Foram usados Nc = 3 para (a) e Nc = 5 para (b). Os outros
parâmetros foram mantidos fixos com r = 1 e δ = 0, 5.

56


1

1, 5

2

2, 5

3

3, 5

4

4, 5

5

1 1, 5 2 2, 5 3 3, 5 4 4, 5 5 1 1, 5 2 2, 5 3 3, 5 4 4, 5 5

e
1

e0 e0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

(a) (b)

Figura 3.19: Densidade de pontos no plano e0e1, onde as cores representam a número ξ dado
pela equação (3.25). Foram usados Nc = 10 para (a) e Nc = 50 para (b). Os outros
parâmetros fora