Universidade Estadual Paulista �Júlio de Mesquita Filho� Instituto de Geociências e Ciências Exatas Campus de Rio Claro Um estudo sobre equações polinomiais dedicado ao Ensino Básico Patrícia Casaroto Dissertação apresentada ao Programa de Pós- Graduação em Matemática em Rede Nacio- nal como requisito parcial para a obtenção do grau de Mestre Orientadora Profa. Dra. Suzete Maria Silva Afonso 2013 2 TERMO DE APROVAÇÃO Patrícia Casaroto Um estudo sobre equações polinomiais dedicado ao Ensino Básico Dissertação aprovada como requisito parcial para a obtenção do grau de Mestre no Curso de Pós-Graduação em Matemática em Rede Nacional do Instituto de Geociências e Ciências Exatas da Universidade Estadual Paulista �Júlio de Mesquita Filho�, pela seguinte banca examinadora: Profa. Dra. Suzete Maria Silva Afonso Orientadora Prof. Dr. Everaldo de Mello Bonotto ICMC/USP - São Carlos - SP Profa. Dra. Eliris Cristina Rizziolli IGCE/ UNESP - Rio Claro - SP Rio Claro, 20 de agosto de 2013 À minha família, aos meus amigos e aos meus alunos. Agradecimentos À Deus por me acompanhar em todos os momentos. À minha família, em especial os meus pais, João Batista e Maria Helena que, através dos seus esforços, me deram oportunidade de estudos, permitindo a realização desse sonho. Às minhas irmãs, Alessandra e Cristiane, pelos conselhos e companheirismo. Ao meu marido, Heraldo, o qual dedicou os seus �ns de semana a me acompanhar nessa jornada com muita paciência, sempre me incentivando. À minha �lha, Alice, e meu sobrinho, João Victor, que tornam os meus dias mais felizes. Aos meus amigos do PROFMAT, pela troca de experiências e a amizade. À CAPES pelo suporte �nanceiro. Aos meus alunos, fonte de inspiração na busca por um ensino melhor. Aos professores do Departamento de Matemática da Unesp Rio Claro, em especial a minha professora orientadora, Dra. Suzete Maria Silva Afonso, por me transmitir segurança, tranquilidade, sabedoria, com muita paciência e dedicação. "Os que se apaixonam pela prática, sem se valer da ciência, são como os navegadores que embarcam num navio sem timão e bússola e nunca têm certeza para onde vão. Sempre a prática deve ter seu pensamento na teoria."(Leonardo da Vinci). Resumo A grande di�culdade de ensinar Matemática aos alunos do Ensino Básico se dá pela falta de interesse dos alunos com os conteúdos, que muitas vezes são ensinados de forma descontextualizada. Na maioria dos livros didáticos, os conceitos relacionados a polinômios são apresentados na forma de algoritmos, visando a �xação na forma de repetição sem desenvolver uma situação do dia-a-dia para ilustrar o problema. Diante dessa realidade, pretendemos estimular a curiosidade e incentivar o conhecimento sobre os conceitos básicos de polinômios e sobre as técnicas para resolver equações polinomi- ais. A proposta didática contempla um plano de aula que relaciona os conteúdos com Física, Economia e Administração. Palavras-chave: Polinômios, Equações polinomiais, Ensino Básico. Abstract The di�culty of teaching Mathematics to students of Basic Education is given by the lack of interest of the students with the contents, which are often taught in a decon- textualized way. In many books, the concepts related to polynomials are presented in the form of algorithms, without developing a situation of the daily routine to illustrate the problem. Given this reality, we want to stimulate the curiosity and encourage the knowledge about the basics of polynomials and on techniques for solving polynomial equations. The proposal comprises a didactic lesson plan that lists the contents with Physics, Economics and Administration. Keywords: Polynomials, Polynomial equations, High School. Sumário Introdução 17 Notas históricas sobre equações polinomiais 19 1 Polinômios com coe�cientes reais 23 1.1 Polinômios e operações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.1.1 Adição de polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.1.2 Multiplicação de Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.2 Divisão de polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.3 Raiz de um polinômio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.4 Dispositivo de Briot-Ru�ni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2 Equações polinomiais 45 2.1 Relações entre coe�cientes e raízes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.2 Resolução de equações polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3 Propostas de atividades didáticas 59 3.1 Financiamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.2 Problemas de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.3 Matemágicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Referências 73 Introdução No Capítulo VIII do Regimento do ProfMat, consta: "Artigo 28 - O Trabalho de Conclusão de Curso deve versar sobre temas especí�cos pertinentes ao currículo de Matemática Ensino Básico e que tenham impacto na prática didática em sala de aula". Dentro dessas diretrizes, o tópico desenvolvido neste trabalho foi: Equações po- linomiais. O conteúdo especí�co do trabalho foi desenvolvido a partir de conceitos, proprie- dades e resultados essenciais sobre polinômios até chegar nas técnicas de resolução de equações de segundo, terceiro e quarto grau. Os métodos apresentados para resolução de equações de terceiro e quarto grau não costumam ser abordadas no Ensino Básico, mas as ferramentas são conhecidas pelos alunos, sendo essa a justi�cativa por incluir tais métodos no trabalho. Para aplicação do conteúdo, propomos, no último capítulo, um plano de aula com situações-problema envolvendo Física, Administração e Economia. A �m de diversi�- car e dinamizar as aulas, sugerimos o uso da calculadora e do recurso computacional Winplot. A �nalidade desse material é estimular e auxiliar o aluno a adquirir o conhecimento sobre o tema desenvolvido. Partindo do princípio que a Matemática levou milênios para ser construída, espera-se que o leitor-aluno não desista de aprendê-la, se encontrar di�culdades. Informamos que, mesmo que nem todas tenham sido citadas ao longo do texto, todas as referências presentes ao �nal do trabalho foram utilizadas para a construção do mesmo. 17 Notas históricas sobre equações polinomiais À medida que o homem começou a calcular, contando rebanhos, trocando produtos, contabilizando impostos ou construindo os primeiros monumentos e obras de engenha- ria, as formas mais simples das chamadas equações algébricas apresentaram-se quase que de forma natural aos antigos matemáticos. Equações algébricas são aquelas em que a incógnita aparece apenas submetida às chamadas operações algébricas, a saber soma ou adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação inteira (que é um caso particular de multiplicação de n fatores iguais) e radiciação. Como exemplos de equações algébricas, temos: ax+ b = c, ax2 + bx+ c = 0, x5 + √ 4x5 + 9 = 10x, x4 + 3x−2 = 3 √ x5 + 14. Por outro lado, x2 + 5x+ 3 = e−x, cosx+ x2 cos 2x = 8, arctg x = π 4 , não são equações algébricas. Quando uma equação algébrica é colocada sob a forma a0 + a1x+ · · ·+ an−1x n−1 + anx n = 0 (n número inteiro positivo), diz-se que ela está em sua forma canônica e é denominada equação polinomial. O maior expoente da incógnita x em uma equação algébrica em sua forma canônica é denominado grau da referida equação, como veremos no Capítulo2. Embora as equações algébricas já tenham merecido a atenção dos egípcios, cerca de 2000 anos a.C. na busca de soluções de problemas práticos, como os relacionados com a divisão de terras e heranças, foram os estudos puramente teóricos realizados pelos 19 20 gregos, cerca de 300 anos a.C., que criaram as condições para que se encontrasse um método geral para resolução das equações de 1◦ grau. Tal método foi deduzido a partir dos postulados enunciados na conhecida obra Os Elementos, de Euclides. A fórmula que conhecemos como Fórmula de Bhaskara, na verdade, não foi desco- berta por Bhaskara (1114-1185), ela foi publicada pelo matemático Sridhara um século antes de Bhaskara em uma obra que não chegou até nós. Foi a partir da Fórmula de Bhaskara que surgiram duas curiosidades importantes: i. Equações de grau maior do que 1 poderiam ter mais de uma solução; ii. Em alguns casos, a fórmula fornecia a raiz quadrada de um número negativo, o que na época não fazia sentido, pois ainda não se conheciam os números complexos. Nesses casos, tais situações eram interpretadas como a não existência de solução para a equação. Conforme registros de 1510, Scipione del Ferro, um matemático italiano, encontrou uma fórmula para resolver as equações de 3◦ grau, mas ele morreu antes que pudesse publicar sua descoberta. Porém, ele a revelou ao seu aluno Antônio Maria Fior que, por sua vez, tentou se apropriar do mérito do seu mestre. Sendo frequente o lançamento de desa�os entre os sábios naquela época, Fior elegeu o talentoso matemático italiano Niccolò Fontana (1500-1557), conhecido como Tarta- glia. O desa�o consistia na solução de diversos problemas que um deveria propor ao outro e Fior, naturalmente, pretendia apresentar questões que dependessem da- quele tipo de equação de 3◦ grau, da qual ele já detinha a solução. Porém, Tartaglia, com sua genialidade, além de resolver todas as questões propostas pelo desleal opo- nente, desa�ou-o a apresentar a solução geral para as equações do 3◦ grau do tipo x3 + px2 + q = 0. Fior, ao contrário de Tartaglia, não foi capaz de apresentar tal solução. Na mesma época, o matemático italiano Girolamo Cardano (1501-1576), estava escrevendo uma obra que envolvia conceitos de Álgebra, Aritmética e Geometria, então procurou Tartaglia e pediu que ele revelasse o método para ser publicado. Tartaglia não aceitou a proposta, mas após juras de �delidade, Cardano conseguiu que ele revelasse o segredo. Cardano traiu os juramentos feitos a Tartaglia e, em 1545, publicou na Ars Magna a sua fórmula. Tartaglia denunciou Cardano e publicou a sua versão dos fatos. Após trocar ofensas, o que prevaleceu foi a Fórmula de Tartaglia, embora ela seja conhecida como Fórmula de Cardano. Anos depois, dentro do costume vigente entre os matemáticos de proporem proble- mas uns aos outros, um certo Zuanne de Tonini da Coi propôs a Cardano uma questão que envolvia a equação: x4 + 6x2 − 60x+ 36 = 0. Introdução 21 Cardano tentou resolver mas não obteve êxito, então passou a questão para o jovem Ludovico Ferrari (1522 - 1560), que encontrou uma fórmula geral para a equação de 4◦ grau. Após esses resultados, os matemáticos começaram a suspeitar que as equações do 2◦ grau poderiam ter duas soluções e as de 4◦ grau, quatro soluções e assim por diante. Foi em 1799 que o brilhante alemão Carl Fredich Gauss (1777-1855) apresentou, em sua tese de doutorado, o famoso Teorema Fundamental da Álgebra, con�rmando o que fora suspeitado. O desa�o dos matemáticos passou a ser buscar um método para resolução de equa- ções de grau 5. Muitas foram as tentativas do matemático Norueguês Niels Henrik Abel (1802- 1829), mas, em 1823, ele demonstrou que, exceto em casos particulares, é impossível resolver equações do 5◦ grau utilizando apenas operações algébricas. Evariste Galois (1811-1832) provou em sua teoria que as equações de grau superior a 4 não podem ser resolvidas, em geral, por métodos algébricos e porquê as de grau inferior a 5 podem ser resolvidas por tais métodos. 1 Polinômios com coe�cientes reais 1.1 Polinômios e operações Seja R o conjunto dos números reais e seja x um símbolo não necessariamente pertencente ao conjunto R, denominado indeterminada ou variável sobre R. Para cada número natural j ≥ 1, designaremos a j−potência de x por xj e escre- veremos x1 = x. De�nição 1.1. Um polinômio com coe�cientes em R (ou com coe�cientes reais) é uma expressão do tipo p(x) = a0 + a1x+ · · ·+ an−1x n−1 + anx n = 1 n∑ j=0 ajx j, onde n é um número natural e aj ∈ R, para j ∈ {0, 1, 2, · · · , n}. Para j ∈ {0, 1, 2, · · · , n}, os elementos aj são denominados coe�cientes, as parce- las ajx j são denominadas termos e os termos ajx j tais que aj 6= 0 são denominados monômios de grau j do polinômio p(x). O coe�ciente a0 é denominado termo constante. Para cada número natural n, o polinômio 0(x) = 0 + 0x + 0xn−1 + · · · + 0xn será dito identicamente nulo e será denotado por 0(x) = 0. Um polinômio será dito constante quando p(x) = a0. Informamos ao leitor que, ao longo do texto, faremos as seguintes convenções: 1) Desprezando a ordem dos fatores, escreveremos o polinômio p(x) com as j−ésimas potências de x em ordem crescente ou em ordem decrescente, a saber p(x) = a0 + a1x+ · · ·+ an−1x n−1 + anx n ou p(x) = anx n + an−1x n−1 + · · ·+ a1x+ a0. 2) Por não ser necessário, não escreveremos o termo ajxj sempre que aj = 0, quando houver algum termo não-nulo no polinômio. Note que o polinômio p(x) = a0 + a1x + · · · + an−1x n−1 + anx n também pode ser expresso da forma p(x) = a0 + a1x+ · · ·+ an−1x n−1 + anx n + 0xn+1 + 0xn+2 + 0xn+3 + 1Lê-se o símbolo ∑ como somatória ou soma e convenciona-se escrever a0x 0 = a0. 23 24 Polinômios com coe�cientes reais · · ·+ 0xn+m, onde m é um número natural maior do que ou igual a 1. Por conseguinte, quando compararmos dois polinômios p(x) e q(x), poderemos assumir que os termos de ambos têm as mesmas potências de x. De�nição 1.2. Os polinômios p(x) = a0 + a1x + · · · + an−1x n−1 + anx n e q(x) = b0 + b1x + · · · + bn−1x n−1 + bnx n serão iguais se, e somente se, aj = bj, para todo j ∈ {0, 1, · · · , n}. Neste caso, escreveremos p(x) = q(x). Ou seja, a igualdade entre dois polinômios p(x) e q(x) se dará apenas quando todos os coe�ciente das correspondentes potências de x em p(x) e q(x) forem iguais. Então, observe que se p(x) e q(x) não forem iguais, existirá algum número natural j, com j ∈ {0, 1, · · · , n}, tal que aj 6= bj. Neste caso, diremos que p(x) e q(x) são diferentes e escreveremos p(x) 6= q(x). Exemplo 1.1. Os polinômios p(x) = 5− x2 + 4x− 5x3 + 6x4 + x5 e q(x) = x5− 5x3 + 5 + 4x − x2 + 6x4 são iguais, porque os seus coe�cientes aj da j−ésima potência xj, com j ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}, são: a0 = 5, a1 = 4, a2 = −1, a3 = −5, a4 = 6, a5 = 1. Se escrevermos os polinômios acima com as potências de x em ordem crescente, visualizaremos imediatamente a igualdade entre eles, pois p(x) = q(x) = 5 + 4x− x2 − 5x3 + 6x4 + x5. Exemplo 1.2. Os polinômios p(x) = −x+4x2−3x3+5x4 e q(x) = 4−x+4x2−3x3+5x4 são diferentes, visto que os coe�cientes dos termos constantes dos polinômios p(x) e q(x) são diferentes, a0 = 0 e b0 = 4. Em todo polinômio não identicamente nulo, p(x) 6≡ 0, 2 algum coe�ciente deverá ser diferente de zero, portanto haverá um maior número natural n tal que an 6= 0. De- �niremos o grau do polinômio por n e, neste caso, an será denominado coe�ciente líder de p(x). Os polinômios de grau n com coe�ciente líder an = 1 serão denominados polinô- mios mônicos. Observação 1.1. Não se de�ne o grau do polinômio identicamente nulo (0(x) ≡ 0). 3 Usaremos o símbolo grau(p(x)) para denotar o grau do polinômio p(x). Exemplo 1.3. O polinômio constante p(x) = 7 não é identicamente nulo e grau(p(x)) = 0. O polinômio w(x) = 5− x2 + 4x− 5x3 + 6x4 + x5 tem grau 5 e é mônico, enquanto que o polinômio v(x) = 4− x+ 4x2 − 3x3 + 5x4 tem grau 4 e coe�ciente líder a4 = 5. Levando em conta a Observação 1.1, salientamos que: grau(p(x)) = 0 se, se somente se, f(x) = a0 6= 0, a0 ∈ R . 2O símbolo 6≡ lê-se como não é idêntico. 3O símbolo ≡ lê-se como é idêntico. Polinômios e operações 25 1.1.1 Adição de polinômios De�nição 1.3. De�niremos a adição dos polinômios p(x) = n∑ j=0 a j xj e q(x) = m∑ j=0 b j xj por p(x) + q(x) = M∑ j=0 (aj + bj)x j, onde M = 4 max {grau( p(x)), grau (q(x))}. Para o aluno, é importante lembrar que, para quaisquer a, b ∈ R, a− b = a+ (−b). Vejamos os seguintes exemplos. Exemplo 1.4. Sejam p(x) = 4x4 − 3x2 + 7x + 1, q(x) = 5x4 − 6x − 1 e w(x) = −3x4 + 6x3 + 2x2 + 3. Então, p(x) + q(x) = (4 + 5)x4 + (−3 + 0)x2 + (7− 6)x+ (1− 1) = 9x4 − 3x2 + x, p(x)+w(x) = (4−3)x4+(0+6)x3+(−3+2)x2+(7+0)x+(1+3) = x4+6x3−x2+7x+4, q(x)+w(x) = (5−3)x4+(0+6)x3+(0+2)x2+(−6+0)x+(−1+3) = 2x4+6x3+2x2−6x+2. Exemplo 1.5. Sejam p(x) = 4x4 − 3x2 + 7x + 1, q(x) = 5x2 − 6x − 1 e w(x) = 4x5 + 6x3 + 2x2 + 3. Então, p(x) + q(x) = (4 + 0)x4 + (−3 + 5)x2 + (7− 6)x+ (1− 1) = 4x4 + 2x2 + x, p(x)+w(x) = (0+4)x5+(4+0)x4+(0+6)x3+(−3+2)x2+(7+0)x+(1+3) = 4x5+4x4+6x3−x2+7x+4, q(x)+w(x) = (0+4)x5+(0+6)x3+(5+2)x2+(−6+0)x+(−1+3) = 4x5+6x3+7x2−6x+2. No Exemplo 1.4, somamos polinômios que possuem o mesmo grau (grau(p(x)) = grau(q(x)) = grau(w(x)) = 4), enquanto que, no Exemplo 1.5, somamos polinômios que possuem graus diferentes (grau(p(x)) = 4, grau(q(x)) = 2, grau(w(x)) = 5). Na adição de polinômios, vale a seguinte propriedade do grau: Proposição 1.1. Sejam p(x) = n∑ j=0 ajx j, com an 6= 0, e q(x) = m∑ j=0 b j xj, com bm 6= 0. Se p(x) + q(x) 6= 0, então grau (p(x) + q(x)) ≤ max{grau (p(x)), grau (q(x))} = max{n,m}. A igualdade será válida sempre que grau (p(x)) 6= grau (q(x)). 4O símbolo max{a, b} signi�ca o máximo entre os números a e b, com a, b ∈ R. 26 Polinômios com coe�cientes reais No Exemplo 1.5, a veracidade da Proposição 1.1 é facilmente constatada. A adição de polinômios tem diversas propriedades, que são consequências das pro- priedades da adição no conjunto R, conforme veremos a seguir. Propriedades da adição Consideremos os polinômios p(x) = n∑ j=0 ajx j, q(x) = m∑ j=0 b j xj e w(x) = l∑ j=0 cjx j. A1. Comutativa: p(x) + q(x) = q(x) + p(x), pois, para quaisquer aj, bj ∈ R, com 0 ≤ j ≤ max{n,m}, temos aj + bj = bj + aj. A2. Associativa: (p(x) + q(x)) + w(x) = p(x) + (q(x) + w(x)), pois, para quaisquer aj, bj, cj ∈ R, com 0 ≤ j ≤ max{n,m, l}, temos (aj + bj) + cj = aj + (bj + cj). A3. Existência de elemento neutro: O polinômio identicamente nulo 0 = ∑n j=0 0xj satisfaz p(x) + 0 = 0 + p(x) pois, para 0 ≤ j ≤ n e aj ∈ R, temos aj = 0 + aj. A4. Existência de simétrico Dado p(x) = ∑n j=0 ajx j, o polinômio −p(x) = ∑n j=0(−aj)xj é o simétrico de p(x), sendo p(x) + (−p(x)) = n∑ j=0 0xj, pois (aj) + (−aj) = 0, para qualquer aj ∈ R, 0 ≤ j ≤ n. Exemplo 1.6. Consideremos os polinômios p(x) = 4x4−3x2+7x+1, q(x) = 5x2−6x−1 e w(x) = 4x5 + 6x3 + 2x2 + 3 do Exemplo 1.5. No Exemplo 1.5, determinamos p(x) + q(x) = 4x4 + 2x2 + x. Assim, (p(x) + q(x)) + w(x) = (4x4 + 2x2 + x) + (4x5 + 6x3 + 2x2 + 3) = (0 + 4)x5 + (4 + 0)x4 + (0 + 6)x3 + (2 + 2)x2 + (1 + 0)x+ 3 = 4x5 + 4x4 + 6x3 + 4x2 + x+ 3. Determinamos, também, q(x) + w(x) = 4x5 + 6x3 + 7x2 − 6x+ 2. Assim, p(x) + (q(x) + w(x)) = (4x4 − 3x2 + 7x+ 1) + (4x5 + 6x3 + 7x2 − 6x+ 2) = (0 + 4)x5 + (4 + 0)x4 + (0 + 6)x3 + (−3 + 7)x2 + (7− 6)x+ (2 + 1) = 4x5 + 4x4 + 6x3 + 4x2 + x+ 3. Polinômios e operações 27 Ou seja, (p(x) + q(x)) + w(x) = p(x) + (q(x) + w(x)), como nos diz a propriedade associativa. As outras propriedades também são facilmente veri�cadas considerando os polinômios acima. 1.1.2 Multiplicação de Polinômios De�nição 1.4. De�niremos a multiplicação dos polinômios p(x) = n∑ j=0 ajx j e q(x) = m∑ j=0 bjx j por p(x).q(x) = n+m∑ j=0 cjx j, sendo c0 = a0.b0 c1 = a0.b1 + a1.b0 c2 = a0.b2 + a1.b1 + a2.b0 ... cj = a0.bj + a1.bj−1 + · · ·+ aj.b0 = ∑ λ+µ=j aλ.bµ ... cn+m = an.bm. Na multiplicação de polinômios, vale a seguinte propriedade do grau: Proposição 1.2. Sejam p(x) = n∑ j=0 a j xj, com an 6= 0, e q(x) = m∑ j=0 b j xj, com bm 6= 0. Então, grau (p(x).q(x)) = n+m, pois o coe�ciente líder de p(x).q(x) é cn+m = an.bm 6= 0. A multiplicação de polinômios tem as seguintes propriedades: Propriedades da Multiplicação Sejam p(x) = n∑ j=0 ajx j, q(x) = m∑ j=0 bjx j e w(x) = l∑ j=0 cjx j polinômios com coe�ci- entes em R. 28 Polinômios com coe�cientes reais M1. Comutativa: p(x).q(x) = q(x).p(x), pois, para todo j ∈ {0, 1, · · · , n+m}, vale a identidade:∑ λ+µ=j aλbµ = ∑ λ+µ=j bµ.aλ. M2. Associativa: (p(x).q(x)).w(x) = p(x).(q(x).w(x)). Cabe observar que, em virtude da de�nição da operação de multiplicação, temos: • Para quaisquer j, k ∈ N, vale a identidade: xj.xk = xj+k. • Se p(x) = a0 e q(x) = b0 + b1.x+ · · ·+ bm.x m, então p(x).q(x) = a0.q(x) = a0. m∑ j=0 bjx j = m∑ k=0 a0bkx k = (a0.b0) + (a0.b1)x+ · · ·+ (a0.bm)xm, pois, neste caso, n = 0 e cj = a0bj, para todo j ∈ N. Em particular, considerando p(x) = 1, a multiplicação de polinômios tem a seguinte propriedade: M3. Existência de elemento neutro multiplicativo: 1. q(x) = q(x), para qualquer polinômio q(x). O elemento neutro multiplicativo é também denominado unidade. Combinando as propriedades da multiplicação com o fato da adição de polinômios corresponder a adicionar os coe�cientes das potências de x de mesmo expoente em ambos os polinômios, obtemos mais uma propriedade, a qual envolve as duas operações. Propriedade de adição e multiplicação Sejam p(x) = n∑ j=0 ajx j, q(x) = m∑ j=0 bjx j e w(x) = l∑ j=0 cjx j polinômios com coe�ci- entes em R. AM. Distributiva: (p(x) + q(x)).w(x) = p(x).w(x) + q(x).w(x). Para o aluno, é importante lembrar que a adição e a multiplicação em R têm a propriedade distributiva, ou seja, (a+ b).c = a.c+ b.c, para quaisquer a, b, c ∈ R. Finalizamos esta seção vendo um exemplo que aborda a multiplicação e a adição de polinômios. Divisão de polinômios 29 Exemplo 1.7. Sejam p(x) = 4x3 − 3x2 + 4x + 5 e q(x) = 2x2 − 5x − 2 . Então, utilizando as propriedades das duas operações, obtemos: p(x).q(x) = (4x3 − 3x2 + 4x+ 5).(2x2 − 5x− 2) 1 = 4x3.(2x2 − 5x− 2) + (−3x2).(2x2 − 5x− 2) + 4x.(2x2 − 5x− 2) + 5.(2x2 − 5x− 2) 2 = (8x5 − 20x4 − 8x3) + (−6x4 + 15x3 + 6x2) + (8x3 − 20x2 − 8x) + (10x2 − 25x− 10) 3 = 8x5 + (−20− 6)x4 + (−8 + 15 + 8)x3 + (6− 20 + 10)x2 + (−8− 25)x− 10 4 = 8x5 − 26x6 + 15x3 − 4x2 − 33x− 10. Observamos que as igualdades acima foram obtidas das seguintes formas: 1. Distribuindo as parcelas de p(x) na multiplicação por q(x); 2. Distribuindo a multiplicação de cada termo de p(x) por q(x); 3. Utilizando a de�nição de adição de polinômios; 4. Fazendo a adição dos coe�cientes das potências de x de mesmo expoente. 1.2 Divisão de polinômios Nas próximas seções, aprenderemos o conceito de divisibilidade e o algoritmo eu- clidiano para polinômios. Veremos, também, o conceito de raiz real de um polinômio com coe�cientes reais e relacionaremos a existência de uma raiz real α com a divisibi- lidade por x − α. Mais ainda, relacionaremos a existência de n raízes reais distintas α1, α2, · · · , αn, quando o polinômio tiver grau maior do que ou igual a n, com a divisi- bilidade por (x− α1) · · · (x− αn). Por �m, mostraremos como determinar as possíveis raízes racionais de um polinômio com coe�cientes inteiros. No conjunto dos polinômios com coe�cientes reais, temos o seguinte conceito de divisibilidade. De�nição 1.5. Sejam p(x)e q(x) polinômios com coe�cientes em R, com q(x) 6= 0. Diremos que q(x) divide p(x) se existir um polinômio h(x) tal que p(x) = q(x).h(x). Diremos também que p(x) é múltiplo de q(x) ou que p(x) é divisível por q(x). Exemplo 1.8. 1. Como x2 − 16 = (x− 4)(x + 4), pela De�nição 1.5, x− 4 divide x2 − 16. Neste caso, h(x) = x + 4. Note que, da mesma forma, x + 4 divide x2 − 16. 2. O polinômio x4 + 5x5 + 6 pode ser escrito como x4 + 5x2 + 6 = (x2 + 3)(x2 + 2). Portanto, x2 + 3 e x2 + 2 dividem x4 + 5x2 + 6. 30 Polinômios com coe�cientes reais 3. Dados números naturais m ≤ n, o polinômio xm divide xn pois, tomando r = n−m ≥ 0, podemos escrever xn = xm+r = xm.xr. Na subseção precedente, mais precisamente na Proposição 1.2, vimos que se p(x) e q(x) forem polinômios não nulos, então grau (p(x).q(x)) = grau (p(x)) + grau (q(x)). Em virtude desta propriedade, temos o seguinte resultado. Proposição 1.3. Se p(x) e q(x) forem polinômios não nulos e q(x) dividir p(x), então grau (p(x)) ≥ grau (q(x)). Demonstração: Com efeito, como q(x) divide p(x) e ambos são não nulos, existe um polinômio h(x) não nulo tal que p(x) = q(x).h(x). Pela propriedade do grau supracitada, temos grau (p(x)) = grau (q(x).h(x)) = grau q(x) + grauh(x) ≥ grau q(x), como queríamos demonstrar. Que �que claro que nem sempre um polinômio é múltiplo de um outro polinômio qualquer de grau inferior. Veremos, a seguir, um exemplo onde essa a�rmação será constatada. Informamos, de antemão, que a estratégia usada para responder a per- gunta do exemplo seguinte é a Redução ao Absurdo. Embora essa estratégia não seja explicitamente contada aos alunos do ensino secundário, não identi�camos problemas ao apresentá-la aos mesmos. Além disso, julgamos que a apresentação do método de Redução ao Absurdo seja bem pertinente ao ensino de Matemática em todas as escolas. Exemplo 1.9. O polinômio q(x) = x+ 4 divide o polinômio p(x) = x2 + 3x+ 2? Ou seja, há algum polinômio h(x) tal que x2 + 3x+ 2 = (x+ 4)h(x)? Ora, suponha que exista o tal polinômio h(x). Como grau (x2 + 3x + 2) = 2 e grau (x + 4) = 1, este polinômio h(x) deve ter grau igual a 1. Então, podemos dizer que h(x) = ax+ b, a 6= 0 e a, b ∈ R. Assim, x2 + 3x+ 2 = (x+ 4)(ax+ b) = ax2 + 4ax+ bx+ 4b = ax2 + (4a+ b)x+ 4b. Devemos, pois, ter: a = 1, 4a+ b = 3, 4b = 2 ( b = 1 2 ) . Como a = 1 e b = 1 2 , a equação 4a+ b = 3 nos diz que 3 = 4a+ b = 4.1 + 1 2 = 9 2 , o que é absurdo. Concluímos, dessa forma, que x+ 4 não divide x2 + 3x+ 2. Divisão de polinômios 31 O próximo resultado nos apresenta o Algoritmo de Euclides. Parte da demons- tração do mesmo será feita por indução sobre o grau de um determinado polinômio. Sendo a Indução Matemática um método restrito ao ensino superior de Matemática, informamos que apresentamos a prova deste resultado apenas para auxiliar o leitor - professor de Matemática do Ensino Básico, já familiarizado com tal método, na revisão da teoria de polinômios. Indicamos a referência [8], para o leitor-aluno interessado em entender no que consiste uma prova por indução. Teorema 1.1 (Divisão euclidiana). Sejam p(x) e q(x) polinômios com coe�cientes em R, com q(x) 6= 0. Então, existem polinômios h(x) e r(x), unicamente determinados, tais que p(x) = h(x)q(x) + r(x), (1.1) onde r(x) = 0 ou grau (r(x)) < grau (q(x)). Demonstração: Como q(x) 6= 0, podemos dizer que q(x) = b0 + b1x + · · · + bm−1x m−1 + bmx m, onde m = grau q(x). Devemos, então, mostrar a existência e a unicidade dos polinômios h(x) e r(x) para os quais tenhamos (1.1). Pois bem, começaremos mostrando a existência. (Existência) Se p(x) = 0, basta tomar h(x) = r(x) = 0. Suponhamos que p(x) 6= 0. Sejam n = grau p(x) e p(x) = a0+a1x+· · ·+an−1xn−1+ anx n, com an 6= 0. • Se n < m, tome h(x) = 0 e r(x) = p(x). • Suponhamos que n ≥ m. Neste caso, a �m de concluirmos o desejado, argumen- taremos por indução sobre n = grau p(x). Com efeito, se n = 0, então 0 = n ≥ m = grau q(x) e, portanto, m = 0, p(x) = a0 e q(x) = b0. Assim, p(x) = a0b −1 0 q(x), com h(x) = a0b −1 0 e r(x) = 0. Suponhamos que o resultado seja válido para polinômios de grau menor do que n = grau (p(x)) e vamos mostrar que vale para p(x), que tem grau n. De�namos p1(x) = p(x)− anb−1m xn−mq(x). (1.2) Observe que grau (p1(x)) < grau (p(x)), uma vez que o polinômio anb−1m xn−mq(x) tem grau n e coe�ciente líder an. Por hipótese de indução, existem polinômios h1(x) e r1(x) tais que p1(x) = h1(x).q(x) + r1(x), (1.3) com r1(x) = 0 ou grau (r1(x)) < grau (q(x)). Por (1.2) e (1.3), temos p(x) = p1(x) + anb −1 m xn−mq(x) = (h1(x)q(x) + r1(x)) + anb −1 m xn−mq(x) = (h1(x) + anb −1 m xn−m)q(x) + r1(x). 32 Polinômios com coe�cientes reais Então, basta tomar h(x) = h1(x) + anb −1 m xn−m e r(x) = r1(x). Agora, mostraremos a unicidade. (Unicidade) Sejam h1(x), r1(x), h2(x), r2(x) polinômios tais que p(x) = h1(x)q(x) + r1(x) (?) = h2(x).q(x) + r2(x), (1.4) onde { r1(x) = 0 ou grau (r1(x)) < grau (q(x)) e r2(x) = 0 ou grau (r2(x)) < grau (q(x)). (? ?) De (?), segue que (h1(x)− h2(x))q(x) = r2(x)− r1(x). Se h1(x) 6= h2(x), então h1(x) − h2(x) 6= 0, logo r2(x) − r1(x) 6= 0 e, pela Proposição1.2, concluímos que grau (q(x)) ≤ grau (r2(x)− r1(x)) (??) < grau (q(x)). Eis, pois, uma contradição. Então, h1(x) = h2(x) e, por conseguinte, r2(x) = r1(x). De�nição 1.6. Sejam p(x), q(x), h(x) e r(x) como no teorema anterior. Chamaremos p(x) de dividendo, q(x) de divisor, h(x) de quociente e r(x) de resto. Devemos prestar atenção aos graus do dividendo, do divisor e do resto para efetuar a divisão. Veremos como determinar o quociente h(x) e o resto r(x) da divisão euclidiana do polinômio p(x) por q(x) 6= 0. Elaboraremos uma tabela, ilustrando os cálculos passo a passo. Os exemplos a seguir consistem de armar e efetuar, conforme o modelo: p(x) q(x) ... h(x) r(x) Exemplo 1.10. Sejam p(x) = 5x+2 e q(x) = x3+2x+1. Como grau (p(x)) = 1 < 3 = grau (q(x)), nada temos a fazer. O quociente é h(x) = 0 e o resto é r(x) = p(x) = 5x+2. 5x+ 2 x3 + 2x+ 1 −0 0 5x+ 2 Exemplo 1.11. Sejam p(x) = 2x2 + 4x+ 3 e q(x) = x2 + 3x+ 1. 1. O monômio de maior grau de p(x) é 2x2 e o monômio de maior grau de q(x) é x2. O quociente da divisão de 2x2 por x2 é h1(x) = 2. 2. Fazendo o cálculo, obtemos: r1(x) = p(x)− h1(x)q(x) = (2x2 + 4x+ 3)− 2x2 − 6x− 2 = −2x+ 1 2x2 + 4x+ 3 x2 + 3x+ 1 −2x2 − 6x− 2 2 −2x+ 1 Divisão de polinômios 33 3. Como grau (r1(x)) = 1 < 2 = grau (q(x)), não podemos continuar a divisão e, portanto, paramos os cálculos. 4. Obtemos, pois, h(x) = h1(x) = 2 e r(x) = r1(x) = −2x+ 1. Exemplo 1.12. Sejam p(x) = 3x4 + 5x3 + x2 + 2x− 3 e q(x) = x2 + 3x+ 1. 1. O monômio de maior grau de p(x) é 3x4 e o monômio de maior grau de q(x) é x2. O quociente da divisão de 3x4 por x2 é h1(x) = 3x2. 2. Fazendo o cálculo, obtemos: r1(x) = p(x)−h1(x)q(x) = (3x4+5x3+x2+2x−3)−3x4−9x3−3x2 = −4x3−2x2+2x−3. 3x4 + 5x3 + x2 + 2x− 3 x2 + 3x+ 1 −3x4 − 9x3 − 3x2 3x2 −4x3 − 2x2 + 2x− 3 3. Como grau (r1(x)) = 3 > 2 = grau (q(x)), devemos continuar a divisão, dividindo r1(x) por q(x), pois r1(x) não é o resto da divisão euclidiana. 4. O monômio de maior grau de r1(x) é −4x3 e o monômio de maior grau de q(x) é x2. O quociente da divisão de −4x3 por x2 é h2(x) = −4x. 5. Fazendo o cálculo, obtemos: r2(x) = r1(x)−h2(x)q(x) = (−4x3−2x2+2x−3)+4x3+12x2+4x = 10x2+6x−3. 3x4 + 5x3 + x2 + 2x− 3 x2 + 3x+ 1 −3x4 − 9x3 − 3x2 3x2 − 4x −4x3 − 2x2 + 2x− 3 4x3 + 12x2 + 4x 10x2 + 6x− 3 6. Como grau (r2(x)) = 2 = grau (q(x)), devemos continuar a divisão, dividindo r2(x) por q(x), pois r2(x) não é o resto da divisão euclidiana. 7. O monômio de maior grau de r2(x) é 10x2 e o monômio de maior grau de q(x) é x2. O quociente da divisão de 10x2 por x2 é h3(x) = 10. 8. Fazendo o cálculo, obtemos: r3(x) = r2(x)− h3(x)q(x) = (10x2 + 6x− 3)− 10x2 − 30x− 10 = −24x− 13. 3x4 + 5x3 + x2 + 2x− 3 x2 + 3x+ 1 −3x4 − 9x3 − 3x2 3x2 − 4x+ 10 −4x3 − 2x2 + 2x− 3 4x3 + 12x2 + 4x 10x2 + 6x− 3 −10x2 − 30x− 10 −24x− 13 34 Polinômios com coe�cientes reais 9. Como grau (r3(x)) = 1 < 2 = grau (q(x)), não podemos continuar a divisão e, portanto, paramos os cálculos. 10. Obtemos, pois, h(x) = h1(x) + h2(x) + h3(x) = 3x2 − 4x + 10 e r(x) = r3(x) = −24x− 13. 1.3 Raiz de um polinômio Seja α um número real. A avaliação de um polinômio p(x) = a0 + a1x + · · · + an−1x n−1 + anx n em α é de�nida por p(α) = a0 + a1α + · · ·+ an−1α n−1 + anα n ∈ R, o que equivale a substituição da variável x do polinômio p(x) por α. De�nição 1.7. Seja p(x) = a0 + a1x + · · · + an−1x n−1 + anx n um polinômio com coe�cientes em R tal que grau (p(x)) ≥ 1. Diremos que um número real α é uma raiz de p(x) quando p(α) = 0. Exemplo 1.13. 1 é raiz do polinômio p(x) = x5 − 3x2 + 2x, pois p(1) = 0. Como consequência da divisão euclidiana, temos o seguinte resultado. Proposição 1.4. Seja p(x) um polinômio não nulo tal que grau (p(x)) ≥ 1. Então, α ∈ R será uma raiz de p(x) se, e somente se, (x− α) dividir p(x). Demonstração: (⇒) Suponhamos que p(α) = 0. Fazendo a divisão euclidiana de p(x) por (x− α) (veja Teorema 1.1), obtemos p(x) = (x− α)h(x) + r(x), onde r(x) ≡ 0 ou 0 ≤ gr(r(x)) < 1. Assim, podemos escrever r(x) = c ∈ R e p(x) = (x− α)h(x) + c. Avaliando p(x) em α, temos 0 = p(α) = h(α)(α− α) + c, ou seja, r(x) = c = 0, o que mostra que (x− α) divide p(x). (⇐) Suponhamos que (x−α) divida p(x). Então, existe um polinômio h(x) tal que p(x) = h(x)(x− α). Logo, p(α) = h(α)(α− α) = 0. A seguir, veremos que o grau de um polinômio limita o seu número de raízes reais. A demonstração deste resultado utiliza o método de Indução Matemática. De acordo com argumentos anteriores, esta não convém ser apresentada aos alunos do ensino secundário, a menos que o professor julgue por bem explicar tal método aos alunos, uma vez que o entendimento da Indução Matemática no Ensino Médio é possível. Raiz de um polinômio 35 Proposição 1.5. Seja p(x) um polinômio não nulo. Se p(x) tiver grau n, então p(x) terá, no máximo, n raízes reais. Demonstração: A demonstração será feita por indução sobre n = grau (p(x)). Se n = 0, então p(x) = a0 6= 0 não terá raízes reais e o resultado será válido. Suponhamos que o resultado seja verdadeiro para polinômios de grau n ≥ 0 e consideremos p(x) um polinômio tal que grau (p(x)) = n+ 1. Se p(x) não tiver raízes em R, não temos nada a demonstrar. Então, digamos que p(x) tenha uma raiz α ∈ R. Pela proposição anterior, x − α divide p(x). Daí, existe um polinômio h(x) tal que p(x) = h(x)(x− α), onde grau (h(x)) = n. Por hipótese de indução, h(x) tem, no máximo, n raízes. Observemos que: β ∈ R é raiz de p(x) ⇐⇒ 0 = p(β) = h(β)(β − α) ⇐⇒ h(β) = 0 ou β = α ⇐⇒ β ∈ R é raiz de h(x) ou β = α. Portanto, p(x) tem, no máximo, n+ 1 raízes. Proposição 1.6. Um polinômio p(x) será divisível por (x−α1) · · · (x−αj) · · · (x−αn), onde α1, · · · , αj, · · · , αn são números reais distintos se, e somente se, α1, · · · , αj, · · · , αn forem raízes distintas de p(x). Demonstração: (=⇒) Se (x−α1) · · · (x−αj) · · · (x−αn) dividir p(x), existirá um polinômio h(x) com coe�cientes em R tal que p(x) = (x− α1)(x− α2) · · · (x− αj) · · · (x− αn)h(x). Dessa igualdade segue que p(α1) = p(α2) = · · · = p(αj) = · · · = p(αn) = 0. Logo, α1, · · · , αj, · · · , αn são raízes reais distintas de p(x), já que α1, · · · , αj, · · · , αn são números reais distintos. (⇐=) Sejam α1, α2, ..., αn raízes reais distintas de p(x). Como α1 é raiz de p(x), podemos escrever p(x) = (x− α1)q1(x). Como α2 também é uma raiz de p(x), substituindo x por α2 na igualdade anterior, obtemos: 0 = p(α2) = (α2 − α1)q1(α2). Como (α2 − α1) 6= 0, pois α1 e α2 são raízes distintas e o produto de dois números reais é zero se, e somente se, um dos fatores é zero, devemos ter q1(α2) = 0. Portanto, α2 é raiz do polinômio q1(x), donde podemos dizer que q1(x) = (x − α2)q2(x) e, por conseguinte, p(x) = (x− α1)(x− α2)q2(x). 36 Polinômios com coe�cientes reais Como α3 também é uma raiz de p(x) = (x− α1)(x− α2)q2(x), então 0 = p(α3) = (α3 − α1)(α3 − α2)q2(α3). Sabendo que (α3 − α1) 6= 0 e (α3 − α2) 6= 0, concluímos que q2(α3) = 0, ou seja, α3 é raiz do polinômio q2(x). Daí, podemos escrever q2(x) = (x− α3)q3(x) e p(x) = (x− α1)(x− α2)(x− α3)q3(x). Continuando o processo para j = 4, 5, · · · , n, obteremos p(x) = (x− α1)(x− α2)...(x− αn)q(x). Exemplo 1.14. Pela Proposição 1.5, o polinômio p(x) = x5 − 3x2 + 3x − 1 tem, no máximo, 5 raízes reais. Exemplo 1.15. Seja p(x) = x3 − 7x + 6. Note que p(1) = 0, p(2) = 0 e p(−3) = 0. Então, pela Proposição 1.6, podemos concluir que p(x) = (x− 1)(x− 2)(x+ 3). De�nição 1.8. Diremos que um número real α será uma raiz de p(x) de multiplicidade r se, e somente se, (x−α)r dividir p(x) mas (x−α)r+1 não dividir p(x), onde r é um número natural maior do que ou igual a 1. Neste caso, r é a maior potência de x− α que divide p(x) e p(x) = (x− α)rq(x), com q(α) 6= 0. Diremos que α será uma raiz simples de p(x) quando r = 1, e será uma raiz múltipla de p(x) quando r ≥ 2. Exemplo 1.16. Sejam p(x) = x2 − 2x+ 1 e q(x) = x3 − 3x+ 2. 1. A�rmamos que x = 1 é uma raiz múltipla de p(x) de multiplicidade 2. • Considerando p(x) = x2 − 2x + 1 e w(x) = x − 1, vemos que o monômio de maior grau de p(x) é x2 e o monômio de maior grau de w(x) é x. O quociente da divisão de x2 por x é h1(x) = x. • Fazendo o cálculo, obtemos: r1(x) = p(x)− h1(x)w(x) = (x2 − 2x+ 1)− x2 + x = −x+ 1. x2 − 2x+ 1 x− 1 −x2 + x x −x+ 1 Raiz de um polinômio 37 • Como grau (r1(x)) = 1 = grau (w(x)), devemos continuar a divisão, dividindo r1(x) por w(x), pois r1(x) não é o resto da divisão euclidiana. • O monômio de maior grau de r1(x) é −x e o monômio de maior grau de w(x) é x. O quociente da divisão de −x por x é h2(x) = −1. • Fazendo o cálculo, obtemos: r2(x) = r1(x)− h2(x)w(x) = (−x+ 1)− (−1)(x− 1) = −x+ 1 + x− 1 = 0. x2 − 2x+ 1 x− 1 −x2 + x x− 1 −x+ 1 +x− 1 0 • Pelo Teorema 1.1, obtemos p(x) = h(x)w(x), onde h(x) = h1(x) + h2(x), ou seja, p(x) = (x− 1)(x− 1) = (x− 1)2, comprovando a a�rmação feita. 2. A�rmamos que x = 1 é uma raiz múltipla de q(x) de multiplicidade 2 e x = 2 é uma raiz simples de q(x). • Vejamos que p(x) divide q(x). Com efeito, o monômio de maior grau de q(x) é x3 e o monômio de maior grau de p(x) é x2. O quociente da divisão de x3 por x2 é h1(x) = x. Fazendo o cálculo, obtemos: r1(x) = q(x)− h1(x)p(x) = (x3 − 3x+ 2)− x(x2 − 2x+ 1) = 2x2 − 4x+ 2. x3 − 3x+ 2 x2 − 2x+ 1 −x3 + 2x2 − x x 2x2 − 4x+ 2 Como grau (r1(x)) = 2 = grau (q(x)), devemos continuar a divisão, dividindo r1(x) por q(x), pois r1(x) não é o resto da divisão euclidiana. O monômio de maior grau de r1(x) é 2x2 e o monômio de maior grau de q(x) é x2. O quociente da divisão de 2x2 por x2 é h2(x) = 2. Fazendo o cálculo, obtemos: r2(x) = r1(x)− h2(x)q(x) = (2x2 − 4x+ 2)− 2x2 + 4x− 2 = 0. x3 − 3x+ 2 x2 − 2x+ 1 −x3 + 2x2 − x x+ 2 2x2 − 4x+ 2 −2x2 + 4x− 2 0 38 Polinômios com coe�cientes reais Pelo Teorema 1.1, obtemos q(x) = h(x)p(x), onde h(x) = h1(x) + h2(x), ou seja, q(x) = (x+ 2)(x2− 2x+ 1). Mas, vimos acima que (x2− 2x+ 1) = (x− 1)2. Portanto, q(x) = (x+ 2)(x− 1)2, donde x = 1 é uma raiz múltipla de q(x) de multiplicidade 2 e x = −2 é uma raiz simples de q(x). Determinar, se existirem, as raízes reais de um polinômio com coe�cientes reais pode ser, por vezes, uma tarefa árdua, principalmente se as raízes forem números irracionais. Quando o polinômio tiver coe�cientes inteiros, saberemos exatamente onde procurar essas raízes, caso elas existam. Sem mágica alguma, podemos a�rmar, por exemplo, que as possíveis raízes racionais do polinômio p(x) = 4x3 − 16x2 + 13x − 3 estão no conjunto { −1, 1,−3, 3,−1 2 , 1 2 ,−1 4 , 1 4 ,−3 2 , 3 2 ,−3 4 , 3 4 } . Avaliando p(x) nos valores desse conjunto, vemos que as suas raízes são 3 e 1 2 , sendo 1 2 uma raiz de multiplicidade 2. Como �zemos essa a�rmação com tanta convicção, ou melhor, como encontramos esse conjunto de possíveis raízes de p(x)? Isso é o que veremos a seguir; aprenderemos como determinar as possíveis raízes de um polinômio qualquer com coe�cientes inteiros. Inicialmente, observamos que todo polinômio não nulo p(x) = a0 + a1x+ a2x+ · · ·+ an−1x n−1 + anx n, com coe�cientes reais e a0 = 0, tem a raiz α = 0, pois p(0) = a10 + a20 2 + · · ·+ an−10 n−1 + an0n = 0. Teorema 1.2. Seja w(x) = a0 + a1x+ a2x+ · · ·+ an−1x n−1 + anx n um polinômio não nulo com coe�cientes inteiros. Suponhamos que o número racional p q , onde p e q são primos entre si, seja uma raiz de w(x). Então, p divide a0 e q divide an. Demonstração: Consideremos a equação polinomial de coe�cientes inteiros: anx n + an−1x n−1 + · · ·+ a1x+ a0 = 0. Supondo que o número p q (com p e q primos entre si) seja raiz da equação anterior, temos: an ( p q )n + an−1 ( p q )n−1 + · · ·+ a1 ( p q ) + a0 = 0. Multiplicando a igualdade acima por qn, obtemos: anp n + an−1p n−1q1 + · · ·+ a1pq n−1 + a0q n = 0, (1.5) ou seja, anp n + an−1p n−1q1 + · · ·+ a1pq n−1 = −a0qn. Raiz de um polinômio 39 Colocando p em evidência no lado esquerdo dessa igualdade, obtemos: p(anp n−1 + an−1p n−2q1 + · · ·+ a1q n−1) = −a0qn. (1.6) O primeiro membro da Equação (1.6) é um número inteiro, pois p, q, an, an−1, · · · , a2, a1 são números inteiros. Portanto, a0qn deve ser um número inteiro e também múltiplo de p, uma vez que p é fator do primeiro membro de (1.6). Digamos que kp = a0q n, com k ∈ Z. Então, a0q n p = k. Como p e q são números primos entre si, p e qn também o são. Logo, p é divisor de a0. Agora, observemos que, da Equação (1.5), obtemos também: an−1p n−1q1 + · · ·+ a1pq n−1 + a0q n = −anpn. Colocando q em evidência no lado esquerdo dessa igualdade, obtemos: q(an−1p n−1 + · · ·+ a1pq n−2 + a0q n−1) = −anpn. Através de argumentos anteriores, concluímos que q é divisor de an. Convém ressaltar que o teorema anterior apenas nos permite fazer uma previsão sobre as possíveis raízes racionais de uma equação algébrica com coe�cientes inteiros, não garante a existência de raízes racionais. Mas, no caso de elas existirem, mostra como obtê-las. Mais precisamente, este resultado nos conduz a formar um conjunto de possíveis raízes racionais obtidas dos divisores de an e a0. Se nenhum elemento desse conjunto for raiz da equação, então esta não admitirá raízes racionais. Note que se o polinômio w(x) com coe�cientes inteiros tiver coe�ciente líder an = 1 e uma raiz racional α 6= 0, escrevendo α como uma fração irredutível, ou seja, α = p q , com p e q primos entre si, saberemos que q divide 1, pelo Teorema 1.2. Portanto, q = 1 ou q = −1 e α = ±p. Este fato nos permite formalizar o seguinte resultado. Corolário 1.1. Seja p(x) um polinômio mônico com coe�cientes inteiros. Então, toda raiz racional de p(x) é um número inteiro. Exemplo 1.17. Como encontrar as possíveis raízes racionais do polinômio w(x) = 5x3 − 4x2 − 3x + 2? Para isso, vamos utilizar o teorema anterior. As possíveis raízes de w(x) são escritas sob a forma α = p q , onde p pertence ao conjunto dos divisores de a0 = 2 e q pertence ao conjunto dos divisores de a3 = 5, ou seja, p ∈ {−1, 1,−2, 2} e q ∈ {−1, 1,−5, 5}. Portanto, α = p q ∈ { −1, 1,−2, 2,−1 5 , 1 5 ,−2 5 , 2 5 } . Avaliando w(x) nos valores do conjunto acima, temos: α −2 −1 −2 5 −1 5 1 5 2 5 1 2 w(α) −48 −4 56 25 12 5 32 25 12 25 0 20 Então, 1 é a única raiz racional de w(x). 40 Polinômios com coe�cientes reais 1.4 Dispositivo de Briot-Ru�ni O Dispositivo de Briot-Ru�ni é um algoritmo e�ciente e prático para deter- minar o quociente h(x) e o resto r(x) da divisão euclidiana de um polinômio p(x) por (x− α). Atentamos para o seguinte fato: p(x) = (x− α)h(x) + r, onde r(x) = r ∈ R e grau (h(x)) = grau (p(x))− 1. Para entendermos esse algoritmo, vamos considerar a divisão de um polinômio de grau 3, p(x) = a3x 3 + a2x 2 + a1x + a0, por x − α. Neste caso, r(x) = r ∈ R e h(x) = q2x 2 + q1x 1 + q0. Então, p(x) = (x− α)h(x) + r(x) = q2x 3 + q1x 2 + q0x− αq2x2 − αq1x1 − αq0 + r = q2x 3 + (q1 − αq2)x2 + (q0 − αq1)x+ (r − αq0). Portanto, a3x3 + a2x 2 + a1x+ a0 = q2x 3 + (q1 − αq2)x2 + (q0 − αq1)x+ (r − αq0). Comparando os coe�cientes do primeiro e do segundo membro dessa igualdade, obtemos q2 = a3 q1 − q2α = a2 ⇒ q1 = a2 + q2α q0 − q1α = a1 ⇒ q0 = a1 + q1α r − q0α = a0 ⇒ r = a0 + q0α. O Dispositivo de Briot-Ru�ni consiste na elaboração de uma tabela com o objetivo de calcular, sucessivamente, os coe�cientes do quociente e do resto, usando a fórmula recursiva acima. A tabela tem duas linhas. Na primeira, coloca-se α seguido dos coe�cientes a3, a2, a1 e a0 do dividendo p(x). Na segunda, coloca-se os coe�cientes q2, q1 e q0 do quociente q(x) e o valor do resto que são calculados um após o outro. A forma da tabela é a seguinte: α a3 a2 a1 a0 q2 q1 q0 r O entendimento do algoritmo será favorecido se seguirmos o roteiro abaixo. Roteiro: I) Os polinômios p(x) e x−α são dados do problema. Construímos a primeira linha da tabela com α seguido dos coe�cientes a3, a2, a1 e a0, nessa ordem. α a3 a2 a1 a0 Dispositivo de Briot-Ru�ni 41 II) A segunda linha é construída passo a passo. Primeiramente, colocamos embaixo de a3 o valor de q2 = a3. Esse é o valor inicial. α a3 a2 a1 a0 q2 = a3 III) Usando os valores de q2, α e a2, calculamos o valor de q1 = q2α+ a2 e colocamos embaixo de a2. α a3 a2 a1 a0 q2 q1 = q2α + a2 IV) Usando os valores de q1, α e a1, calculamos o valor de q0 = q1α+ a1 e colocamos embaixo de a1. α a3 a2 a1 a0 q2 q1 q0 = q1α + a1 V) Finalmente, usando os valores de q0, α e a0, calculamos o valor de r = q0α+ a0 e colocamos embaixo de a0. α a3 a2 a1 a0 q2 q1 q0 r = q0α + a0 Vejamos um exemplo para �xarmos o algoritmo de Briot-Ru�ni para polinômios de grau 3. Exemplo 1.18. Vamos determinar o quociente h(x) e o resto r(x) = r da divisão euclidiana de p(x) = x3 − 3x2 + 4 por x − 2, seguindo o roteiro apresentado. Nesse caso, α = 2 e os coe�cientes de p(x) são a3 = 1, a2 = −3, a1 = 0 e a0 = 4. I) A primeira linha da tabela é: 2 1 −3 0 4 Construímos a segunda linha, a partir da segunda coluna, passo a passo. Como p(x) tem grau 3, o quociente h(x) tem grau 2. Começaremos determinando q2. II) O coe�ciente do termo de maior grau do quociente é q2 = a3 = 1. 2 1 −3 0 4 1 III) O coe�ciente q1 é dado por q1 = q2α + a2 = 1.2− 3 = −1. 42 Polinômios com coe�cientes reais 2 1 −3 0 4 1 −1 IV) O coe�ciente q0 é dado por q0 = q1α + a1 = (−1).2 + 0 = −2. 2 1 −3 0 4 1 −1 −2 IV) O resto r é dado por r = q0α + a0 = (−2).2 + 4 = 0. 2 1 −3 0 4 1 −1 −2 0 Assim, obtemos o quociente h(x) = x2 − x − 2 e o resto r = 0. Como r = 0, o polinômio p(x) é divisível por x − 2. Dessa forma, α = 2 é uma raiz de p(x) e p(x) = (x2 − x− 2)(x− 2). De uma maneira geral, consideremos o polinômio de grau n p(x) = anx n + an−1x n−1 + ...+ a1x+ a0. Vamos efetuar a divisão de p(x) por x− α. Neste caso, h(x) = bn−1x n−1 + bn−2x n−2 + ...+ b1x+ b0 e r(x) = r0 ∈ R. Podemos usar a tabela do Dispositivo de Briot-Ru�ni que, seguindo o mesmo procedimento utilizado para o caso de polinômios de grau 3, assume a forma: α an an−1 an−2 · · · a2 a1 a0 bn−1 bn−2 bn−3 · · · b1 b0 r0 Podemos, também, utilizar o Dispositivo de Briot-Ru�ni, sucessivamente, para veri�car se um polinômio p(x) é divisível por (x− α), (x− α)2, (x− α)3, (x− α)4 etc. Vejamos o próximo exemplo. Exemplo 1.19. O polinômio p(x) = x6 − 3x2 + 2 tem a raiz α = −1. Os coe�cientes de p(x) são a6 = 1, a5 = 0, a4 = 0,a3 = 0,a2 = −3, a1 = 0 e a0 = 2. A divisão de p(x) por x+ 1, aplicando o dispositivo, é: −1 1 0 0 0 −3 0 2 1 −1 1 −1 −2 2 0 Logo, p(x) = x6−3x2 +2 = (x+1)(x5−x4 +x3−x2−2x+2). Para veri�carmos se (x+ 1)2 divide p(x), aplicaremos na segunda linha da tabela acima o valor de α = −1 e faremos os cálculos: Dispositivo de Briot-Ru�ni 43 −1 1 0 0 0 −3 0 2 −1 1 −1 1 −1 −2 2 0 1 −2 3 −4 2 0 O resto da divisão é 0. Portanto, (x+ 1)2 divide p(x). Agora, para sabermos se (x + 1)3 divide p(x), continuaremos o processo. Vamos acrescentar α = −1 na terceira linha e aplicar, novamente, o algoritmo: −1 1 0 0 0 −3 0 2 −1 1 −1 1 −1 −2 2 0 −1 1 −2 3 −4 2 0 1 −3 6 −10 12 O resto encontrado é diferente de zero, sendo assim, (x + 1)3 não divide p(x). Entretanto, na terceira linha da última tabela, podemos ler os coe�cientes do quociente da divisão de p(x) por (x+ 1)2 e escrever p(x) = (x+ 1)2(x4 − 2x3 + 3x2 − 4x+ 2). O que podemos dizer a respeito do resto da divisão de um polinômio de grau maior do que ou igual a 1 por x− α? Atente-se para o próximo resultado. Teorema 1.3. Seja p(x) um polinômio de grau n, n ≥ 1. O resto da divisão de p(x) por (x− α) é igual a p(α). Demonstração: Pelo Algoritmo de Euclides, podemos escrever p(x) da seguinte forma: p(x) = (x− α)h(x) + r(x), onde grau (h(x)) = n− 1 e r(x) = r ∈ R. Avaliando p(x) em α, obtemos: p(α) = (α− α)h(α) + r, ou seja, r = p(α). 2 Equações polinomiais Neste capítulo, estudaremos as equações algébricas em sua forma canônica. Aqui, assumiremos que o leitor-aluno tenha familiaridade com o conjunto dos nú- meros complexos, denotado por C. Embora não exploremos este tópico no presente trabalho, anexaremos uma nota sobre o mesmo (veja Apêndice). De�nição 2.1. Denomina-se equação polinomial de grau n, na variável x ∈ C, toda equação que pode ser reduzida à forma: anx n + an−1x n−1 + an−2x n−2 + · · ·+ a1x+ a0 = 0. Na igualdade acima, an, an−1, an−2, · · · , a1 e a0 são números reais denominados coe�cientes, n é um número natural diferente de zero e a0 é o termo independente. De�nição 2.2. Seja p(x) = anx n + an−1x n−1 + · · · + a1x + a0 um polinômio com coe�cientes reais. Dado z ∈ C, de�nimos a avaliação de p em z como sendo o número complexo p(z) = anz n + an−1z n−1 + · · ·+ a1z + a0. De�nição 2.3. Diremos que z ∈ C é uma raiz ou zero da equação polinomial p(x) = 0 se p(z) = 0. O próximo resultado a�rma que as raízes complexas de um polinômio p(x), quando existirem, ocorrerão aos pares. Mais precisamente, se z for uma raiz de p(x), o conju- gado de z, z, também será uma raiz de p(x). Teorema 2.1. Se um número complexo z = a + bi, com a, b ∈ R e b 6= 0, for raiz da equação polinomial p(x) = 0, de coe�cientes reais, o seu conjugado z = a− bi será também raiz da mesma equação. Demonstração: Seja p(x) = anx n+an−1x n−1+· · ·+a1x+a0, com an, an−1, · · · , a1, a0 ∈ R. Para demonstrar este teorema precisamos relembrar a seguinte propriedade dos nú- meros complexos: ajz j = ajz j = ajzj = ajzj, para cada j = 0, 1, · · · , n e z ∈ C. 45 46 Equações polinomiais Então, p(z) = anz n + an−1z n−1 + · · ·+ a1z + a0 = anzn + an−1zj−1 + · · ·+ a1z + a0 = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x+ a0 = p(z), onde a penúltima igualdade é consequência do conjugado da soma ser igual a soma dos conjugados. Em particular, como 0 = 0 e p(z) = p(z), concluímos que: p(z) = 0⇐⇒ p(z) = 0⇐⇒ p(z) = 0, como queríamos. Observe que o teorema anterior nos permite a�rmar que todo polinômio de grau 3 tem pelo menos uma raiz real. Mais ainda, todo polinômio de grau ímpar tem pelo menos uma raiz real. Agora, vamos considerar polinômios com coe�cientes complexos, a �m de abordar as relações entre os coe�cientes e as raízes de uma equação polinomial de grau n, as conhecidas Relações de Girard. As operações de polinômios com coe�cientes complexos são análogas às operações de polinômios com coe�cientes reais. Por este trabalho estar destinado aos alunos do Ensino Básico, preferimos tratar apenas de polinômios com coe�cientes reais no Capítulo 1. Porém, o estudo realizado anteriormente poderia ter sido feito de modo análogo - e mais abrangente - para os polinômios com coe�cientes complexos, que são de�nidos de maneira similar, como segue abaixo. De�nição 2.4. Um polinômio com coe�cientes em C (ou com coe�cientes complexos) é uma expressão do tipo p(x) = a0 + a1x+ · · ·+ an−1x n−1 + anx n = n∑ j=0 ajx j, onde n é um número natural e aj ∈ C, para j ∈ {0, 1, 2, · · · , n}. A partir de agora, consideraremos equações polinomiais de grau n na variável x anx n + an−1x n−1 + an−2x n−2 + · · ·+ a1x+ a0 = 0, onde os coe�cientes an, an−1, an−2, · · · , a1 e a0 serão números complexos. O próximo resultado, demonstrado em 1977 por Carl Friedrich Gauss em sua tese de Doutorado, é um importante alicerce da teoria de equações algébricas. Por estar além do nível do presente texto, não exibiremos uma demonstração do mesmo aqui. Teorema 2.2 (Teorema Fundamental da Álgebra). Toda equação polinomial de grau n, com n ≥ 1, tem pelo menos uma raiz complexa. 47 Como consequência deste teorema, temos: Corolário 2.1. Todo polinômio p(x) = a0 +a1x+ · · ·+an−1x n−1 +anx n de grau n ≥ 1 pode ser fatorado na forma p(x) = c(x− z1)(x− z2) · · · (x− zn), onde c é o coe�ciente líder de p e z1, z2, · · · , zn são as raízes de p. Para demonstrar este resultado, usaremos um resultado auxiliar, o qual é equiva- lente à Proposição 1.4 para o caso de polinômios com coe�cientes complexos na variável x ∈ C. Proposição 2.1. Seja p(x) = a0 + a1x + · · · + an−1x n−1 + anx n um polinômio com coe�cientes complexos na variável x ∈ C. Se z0 ∈ C for uma raiz de p, existirá um polinômio h tal p(x) = (x− z0)h(x) para todo x ∈ C. Demonstração: Por hipótese, p(z0) = a0 + a1z0 + · · ·+ an−1z0 n−1 + anz0 n = 0. Portanto, p(x) = p(x)− p(z0) (2.1) = a1(x− z0) + a2(x 2 − z20) + · · ·+ an−1(x n−1 − zn−10 ) + an(xn − zn0 ). (2.2) Agora, xk − zk0 = (x− z0)(xk−1 + xk−2z0 + · · ·+ xzk−20 + zk−10 ) para todo inteiro k ≥ 1. Substituindo estas igualdades em (2.2) e colocando (x − z0) em evidência, vemos que p(x) = (x− z0)h(x), onde h é o polinômio h(x) = a1 + a2(x+ z0) + · · ·+ an(xn−1 + xn−2z0 + · · ·+ xzn−2 + zn−10 ). Voltemos, agora, à demonstração do Corolário 2.1. Demonstração do Corolário 2.1: Faremos a prova por indução sobre n. Se n = 1 então p(x) = c(x − z1), onde c = a1 e z1 = −a0 a1 . Suponhamos n ≥ 2 e o resultado válido para polinômios de grau n − 1. Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, existe zn ∈ C tal que p(zn) = 0. Pela Proposição 2.1, existe um polinômio h tal que p(x) = h(x)(x− zn). 48 Equações polinomiais Como h tem grau n − 1, a hipótese de indução garante que h pode ser escrito na forma h(x) = c(x− z1)(x− z2) · · · (x− zn−1). Portanto, p(x) = c(x−z1)(x−z2) · · · (x−zn), e uma simples manipulação algébrica nos permite concluir que c = an. Note que, no Corolário 2.1, podem haver repetições nas raízes z1, z2, · · · , zn de p. Agrupando as raízes repetidas, vemos que p pode ser fatorado na forma p(x) = c(x− w1) m1(x− w2) m2 · · · (x− wr)mr , onde c = an, w1, w2, . . . , wr são as raízes distintas de p e m1, . . . ,mr ∈ N∗, com m1 + · · ·+mr = n. O número mj é a multiplicidade da raiz wj, para j ∈ {1, . . . , r}. Finalizamos esta seção observando que, a partir do que foi estabelecido no Teo- rema 2.2, é possível a�rmar que todo polinômio com coe�cientes complexos de grau n ≥ 1 tem exatamente n raízes complexas. 2.1 Relações entre coe�cientes e raízes No século XVII, o matemático Albert Girard (1590-1633) apresentou um importante resultado que relaciona as raízes com os coe�cientes reais ou complexos de uma equação polinomial. Estas relações são muito usadas quando, embora não se conheça raiz alguma da equação, são dadas informações acerca das mesmas como "uma raiz é o oposto da outra", "uma raiz é o inverso da outra" etc. As relações entre coe�cientes e raízes são também denominadas Relações de Gi- rad. Vejamos como obtê-las. Equações do 2◦ grau Consideremos o polinômio de grau 2, p(x) = ax2 + bx + c, com a 6= 0, cujas raízes são α1 e α2 (reais ou complexas). Pelo Corolário 2.1, sabemos que p(x) = ax2 + bx+ c = a(x− α1)(x− α2). Dividindo ambos os termos por a, obtemos p(x) = x2 + b a x+ c a = (x− α1)(x− α2). Aplicando a distributiva no 2◦ membro, temos p(x) = x2 + b a x+ c a = x2 − (α1 + α2)x+ α1α2. Da identidade de polinômios, vem que α1 + α2 = − b a , Relações entre coe�cientes e raízes 49 α1.α2 = c a . Equações do 3◦ grau Consideremos o polinômio de grau 3, p(x) = ax3 + bx2 + cx + d, com a 6= 0, cujas raízes são α1, α2 e α3 (três raízes reais ou uma raiz real e duas raízes complexas). Pelo Corolário 2.1, temos: p(x) = ax3 + bx2 + cx+ d = a(x− α1)(x− α2)(x− α3). Procedendo de forma análoga a anterior, obtemos x3 + b a x2 + c a x+ d a = (x− α1)(x− α2)(x− α3) e x3 + b a x2 + c a x+ d a = x3 − (α1 + α2 + α3)x 2 + (α1α2 + α2α3 + α1α3)x− α1α2α3. Da identidade de polinômios, vem que α1 + α2 + α3 = − b a , α1α2 + α2α3 + α1α3 = c a , α1α2α3 = −d a . Equações do 4◦ grau Consideremos o polinômio de grau 4, p(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e, com a 6= 0, cujas raízes são α1, α2 , α3 e α4 (quatro raízes reais, ou duas raízes reais e duas raízes complexas ou quatro raízes complexas). Pelo Corolário 2.1, temos: p(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx+ e = a(x− α1)(x− α2)(x− α3)(x− α4). Procedendo de forma análoga a anterior, obtemos: x4 + b a x3 + c a x2 + d a x+ e a = (x− α1)(x− α2)(x− α3)(x− α4) e x4+ b a x3+ c a x2+ d a x+ e a = x4−(α1+α2+α3+α4)x 3+(α1α2+α3α4+α1α3+α1α4+α2α3+α2α4)x 2− −(α1α2α3 + α1α3α4 + α1α2α4 + α2α3α4)x+ α1α2α3α4. Da identidade de polinômios, vem que α1 + α2 + α3 + α4 = − b a , 50 Equações polinomiais (α1α2 + α3α4 + α1α3 + α1α4 + α2α3 + α2α4) = c a , (α1α2α3 + α1α3α4 + α1α2α4 + α2α3α4) = −d a , α1α2α3α4 = e a . Equações de grau n Para o caso geral de grau n ≥ 4, o processo para encontrar as relações entre as raízes e os coe�cientes é análogo aos anteriores. Se anxn + an−1x n−1 + ... + a1x + a0 = 0 for uma equação polinomial de grau n, n ≥ 1, com an 6= 0 e raízes α1, α2, ..., αn, temos: α1 + α2 + · · ·+ αn = −an−1 an , (α1α2 + α1α3 + · · ·+ α1αn + α2α3 + α2α4 + · · ·+ αn−1αn) = an−2 an , α1α2α3 + α1α3α4 + · · ·+ αn−2αn−1αn = −an−3 an , ... α1α2α3 . . . αn−1αn = (−1)na0 an . Exemplo 2.1. Considere que a equação x4 + 2x3 − 13x2 − 14x + 24 = 0 com raízes a,b,c e d. Qual é a soma e o produto das suas raízes? Aplicando as fórmulas de Girard, temos: a+ b+ c+ d = −a3 a4 ⇒ a+ b+ c+ d = −2 1 = −2 e a.b.c.d = (−1)4a0 a4 = 1.24 1 = 24. Portanto, a soma das raízes da equação dada é −2 e o produto é 24. Exemplo 2.2. Calcule o valor de log10 ( 1 ab + 1 bc + 1 ac ) , sabendo que a, b, c são as raízes da equação 2x3 − 30x2 + 15x− 3 = 0. Pelas Relações de Girard, temos: a+ b+ c = −a2 a3 = 30 2 = 15 e abc = (−1)3a0 a3 = (−1)(−3) 2 = 3 2 Note que: 1 ab + 1 bc + 1 ac = c+ a+ b abc = 15 3 2 = 15. 2 3 = 10. Assim, log10 ( 1 ab + 1 bc + 1 ac ) = log10 10 = 1. Resolução de equações polinomiais 51 2.2 Resolução de equações polinomiais Nesta seção, vamos resgatar algumas técnicas desenvolvidas por grandes matemá- ticos para resolver equações de grau 2, 3 e 4. Equações do 2◦ grau Consideremos a equação de 2◦ grau ax2 + bx+ c = 0, com a, b, c ∈ R e a 6= 0. Dividindo a equação por a, obtemos x2 + b a x+ c a = 0, ou seja, x2 + b a x = − c a . Para obter um trinômio quadrado perfeito no primeiro membro, adicionamos o termo ( b 2a )2 em ambos os membros da equação acima: x2 + b a x+ ( b 2a )2 = − c a + ( b 2a )2 . Daí, ( x+ b 2a )2 = b2 − 4ac 4a2 . Extraindo as raízes quadradas dos dois membros da equação, obtemos√( x+ b 2a )2 = √ b2 − 4ac 4a2 , de onde concluímos que ( x+ b 2a ) = ± √ b2 − 4ac 4a2 , ou seja, x = −b± √ b2 − 4ac 2a . Chamando ∆ = b2−4ac, temos a conhecida Fórmula de Bhaskara (que, na verdade, deveria ser denominada Fórmula de Sridhara): x = −b± √ ∆ 2a . 52 Equações polinomiais Exemplo 2.3. Quais são as raízes da equação polinomial x2 − x+ 3 = 0? Para responder a esta questão, vamos utilizar a Fórmula de Bháskara vista acima. Note que, nessa equação, os coe�cientes são a = 1, b = −1 e c = 3. Sabendo que x = −b± √ b2 − 4ac 2a , temos x = 1± √ −11 2 . Logo, as duas raízes da equação dada são: x1 = 1 2 + i √ 11 2 e x2 = 1 2 − i √ 11 2 . No exemplo anterior, os coe�cientes são todos diferentes de zero e, neste caso, a equação é denominada completa. As equações incompletas são aquelas que possuem coe�cientes b e/ou c iguais a 0 e podem ser resolvidas ou usando a Fórmula de Bhaskara ou de forma mais simples usando técnicas operatórias semelhantes às utilizadas na resolução de equações do 1◦ grau. Vejamos os próximos exemplos. Exemplo 2.4. Determine as raízes de x2 + 2x = 0. Esta equação pode ser escrita na forma x2 + 2x + 0 = 0 e os seus coe�cientes são: a = 1, b = 2 e c = 0. Para resolvê-la, podemos colocar o x em evidência e, assim, obteremos: x(x+ 2) = 0. Sabemos que se um produto de dois números for igual a zero então um desses números será igual a zero. Deste fato, concluímos que as raízes da equação dada são: x = 0 e x = −2. Exemplo 2.5. Determine as raízes da equação x2 + 8 = 0. A equação dada pode ser escrita na forma x2 + 0x + 8 = 0 e os seus coe�cientes são: a = 1, b = 0 e c = 8. Para resolvê-la, basta subtrairmos 8 em ambos os membros da equação e depois extrairmos a raiz quadrada, também dos dois membros. Com efeito: x2 + 8− 8 = 0− 8 ⇓ x2 = −8 ⇓ √ x2 = √ −8 ⇓ x = ±2 √ 2i. Portanto, as raízes da equação x2 + 8 = 0 são 2 √ 2i e −2 √ 2i. Resolução de equações polinomiais 53 Equações do 3◦ grau Optamos por não apresentar a dedução da Fórmula de Cardano (na verdade, de Tartaglia) aqui. Para a veri�cação desta, indicamos a referência [6] . Informamos que a dedução da fórmula para resolução de equações do 3◦ grau, que será apresentada a seguir, foi realizada pelo matemático brasileiro Carlos Gustavo Tamn de Araujo Moreira (Gugu) aos 14 anos 1, veja [9]. A ideia desenvolvida por Gugu para resolver equações do 3◦ grau se baseou em escrever as raízes destas como soma de raízes cúbicas das raízes de uma equação do 2◦ grau. Vejamos o desenvolvimento abaixo. Consideremos a equação do 2◦ grau, x2 − Sx + P = 0, com raízes x1 e x2 tais que x1 + x2 = S e x1.x2 = P (Relações de Girard). Se y = 3 √ x1 + 3 √ x2, então: y3 = x1 + x2 + 3 3 √ x1x2( 3 √ x1 + 3 √ x2)⇒ y3 = S + 3 3 √ Py. (2.3) Assim, para determinar y há que se resolver uma equação do 3◦ grau. Dada a equação x3 + ax2 + bx+ c = 0, procuramos uma substituição x = y+ t que anule o coe�ciente do termo y2: (y + t)3 + a(y + t)2 + b(y + t) + c = 0⇒ y3 + 3y2t+ 3yt2 + t3 + ay2 + 2ayt+ at2 + by + bt+ c = 0⇒ y3 + (3t+ a)y2 + (3y + a)t2 + t3 + y(2at+ b) + bt+ c = 0. Fazendo t = −a 3 , obtemos uma equação do tipo: y3 + py + q = 0. (2.4) Comparando as Equações (2.3) e (2.4), determinamos números P e S tais que p = −3 3 √ P e q = −S. de forma que, se x1 e x2 forem raízes de x2 − Sx + P = 0, então y = 3 √ x1 + 3 √ x2 satisfará a equação y3 + py + q = 0. Feito isso, obtemos 3 √ P = −p 3 ⇒ P = −p 3 27 e S = −q. Isso nos mostra que x1 e x2 são raízes de x2 + qx− p3 27 = 0. Aplicando a Fórmula de Bhaskara, concluímos: 1Atualmente, Gugu é pesquisador titular do Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), localizado no Rio de Janeiro. 54 Equações polinomiais x1 = −q 2 + √ q2 4 + p3 27 e x2 = −q 2 − √ q2 4 + p3 27 , de onde y = 3 √ −q 2 + √ q2 4 + p3 27 + 3 √ −q 2 − √ q2 4 + p3 27 (2.5) satisfaz a equação y3 + py + q = 0. Cada raiz cúbica pode assumir três valores complexos, todavia a equação 3 √ P = −p 3 diz que o produto das duas raízes deve ser −p 3 . Esta fórmula fornece as três raízes de y3 + py + q = 0, que somadas a t = −a 3 , nos permite obter as três raízes de x3 + ax2 + bx+ c = 0. Exemplo 2.6. Quais são as raízes da equação y3 − 3y2 − 4y + 12 = 0? Seguindo a ideia apresentada acima, devemos eliminar o termo y2 e, para isso, fazemos a substituição y = x+ 1: (x+ 1)3 − 3(x+ 1)2 − 4(x+ 1) + 12 = 0⇒ x3 + 3x2 + 3x+ 1− 3x2 − 6x− 3− 4x− 4 + 12 = 0. Assim, obtemos a equação x3 − 7x+ 6 = 0. Note que 1 é raiz dessa equação pois 13 − 7.1 + 6 = 0. Como uma raiz é conhecida, podemos escrever p(x) = q(x)(x−1), onde grau (q(x)) = 2 e, para obter q(x), utilizamos o Dispositivo de Briot-Ru�ni. Temos: 1 1 0 −7 6 1 1 −6 0 Assim, q(x) = x2 + x− 6. Fazendo q(x) = 0, vamos determinar as outras duas raízes usando a Fórmula de Bhaskara. Os coe�cientes de q(x) são a = 1, b = 1 e c = −6, então: x = −1± √ 12 − 4.1.(−6) 2.1 ⇒ x = −1± √ 25 2 . Portanto, x1 = 1 , x2 = 2 e x3 = −3 são as raízes da equação x3 − 7x+ 6 = 0. Agora, para obtermos as raízes da equação y3 − 3y2 − 4y + 12 = 0, devemos somar 1 a x1, x2 e x3; são elas: y1 = 1 + 1 = 2, y2 = 2 + 1 = 3 y3 = −3 + 1 = −2. Resolução de equações polinomiais 55 Exemplo 2.7. Quais são as raízes da equação y3 − 30y − 133 = 0? • Observe que essa equação possui o coe�ciente do termo y2 igual a zero. • Da igualdade y3 + py+ q = y3− 30y− 133, os coe�cientes p e q são: −30 e −133, respectivamente. • Substituímos nas fórmulas: x1 = −q 2 + √ q2 4 + p3 27 x2 = −q 2 − √ q2 4 + p3 27 x1 = −(−133) 2 + √ (−133)2 4 + (−30)3 27 x2 = −(−133) 2 − √ (−133)2 4 + (−30)3 27 x1 = 66, 5 + 58, 5 = 125 x2 = 66, 5− 58, 5 = 8 • Como y = 3 √ x1 + 3 √ x2 então y = 3 √ 125 + 3 √ 8. 3 √ 125 =  5 −2, 5 + 4, 3i −2, 5− 4, 3i 3 √ 8 =  2 −1 + 1, 7i −1− 1, 7i • Usamos o fato que o produto de duas raízes deve ser −p 3 , que nesse caso é igual a 10. Então as raízes da equação são: y1 = 2 + 5 = 7. y2 = (−2, 5 + 4, 3i) + (−1− 1, 7i) = −3, 5 + 2, 6i. y3 = −3, 5− 2, 6i. Equações do 4◦ grau Uma variação da técnica apresentada acima permite a resolução de equações do 4◦ grau, como veremos a seguir. Foi também o matemático Gugu quem percebeu este fato, embora o mesmo método tivera sido desenvolvido pelo matemático Euler em seu livro Elements of Algebra. Consideremos a equação do 3◦ grau x3 − Sx2 + Sdx− P = 0, de raízes x1, x2 e x3, que satisfazem: x1 + x2 + x3 = S, x1x2 + x2x3 + x1x3 = Sd e x1x2x3 = P . 56 Equações polinomiais Seja y = √ x1 + √ x2 + √ x3. Elevando ambos os membros ao quadrado, obtemos: y2 = x1 + x2 + x3 + 2( √ x1x2 + √ x1x3 + √ x2x3)⇒( y2 − S 2 )2 = ( √ x1x2 + √ x1x3 + √ x2x3) 2 ⇒( y2 − S 2 )2 = Sd + 2 √ Py ou y4 − 2Sy2 − 8 √ Py + S2 − 4Sd = 0. (2.6) Dada a equação x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0, fazemos uma substituição do tipo x = y + t e obtemos y4 + (4t+ a)y3 + · · · = 0. Fazendo t = −a 4 , obtemos uma equação sem o termo y3, como segue abaixo: y4 + k1y 2 + k2y + k3 = 0. Comparando a última equação com a Equação (2.6), tomamos S, P e Sd tais que −2S = k1; −8 √ P = k2 e S2 − 4Sd = k3 ⇒ S = −k1 2 P = ( k2 8 )2 e Sd = k21 − 4k3 16 . Assim, resolvendo a equação x3 + k1 2 x2 + k21 − 4k3 16 x− ( k2 8 )2 = 0, (2.7) obtemos raízes x1, x2 e x3 tais que y = √ x1 + √ x2 + √ x3 satisfaz y4 + k1y 2 + k2y + k3 = 0. Para obter as raízes de x4 + ax3 + bx2 + cx+ d = 0, basta subtrair a 4 das raízes de y4 + k1y 2 + k2y + k3 = 0. Observe que cada raiz quadrada pode assumir dois valores complexos, mas a equação √ P = −k2 8 diz que √ x1 √ x2 √ x3 = −k2 8 . Assim, para cada valor de √ x1 e √ x2 há um único valor de √ x3. Dessa forma, obtemos todas as quatro raízes da equação original. Exemplo 2.8. Vamos determinar as raízes da equação x4 + 4x3 + 8x2 − 8x+ 4 = 0. A �m de obter uma equação sem o termo y3, fazemos a substituição x = y′ − 1: (y′ − 1)4 + 4(y′ − 1)3 + 8(y′ − 1)2 − 8(y′ − 1) + 4 = 0 ⇓ y′4 − 4y′3 + 6y′2 − 4y′ + 1 + 4y′3 − 12y′2 + 12y′ − 4 + 8y′2 − 16y′ + 8− 8y′ + 8 + 4 = 0, obtendo a equação: y′4 + 2y′2 − 16y′ + 17 = 0. (2.8) Para resolver essa equação, vamos organizar os procedimentos na forma de quatro passos: Resolução de equações polinomiais 57 • O primeiro passo é obter os coe�cientes k1, k2 e k3. Para isso, temos que comparar a Equação (2.8) com a equação y4 + k1y 2 + k2y + k3 = 0. Veja que os coe�cientes k1, k2 e k3 são: 2,-16 e 17, respectivamente. • O segundo passo é obter a equação cúbica auxiliar. Confome visto anteriormente, a equação cúbica auxiliar é dada por y3 + k1 2 y2 + k21 − 4k3 16 y − ( k2 8 )2 = 0. Substituindo os valores de k1, k2 e k3 obtidos acima, temos: y3 + 2 2 y2 + 22 − 4.17 16 y − ( (−16) 8 )2 = 0, ou seja, y3 + y2 − 4y − 4 = 0. • O terceiro passo é resolver a equação obtida no item anterior. Para isso, usaremos a técnica utilizada no Exemplo 2.6. Note que uma das raízes dessa equação é y1 = −1, pois (−1)3 + (−1)2−4.(−1)− 4 = 0. Aplicando o Dispositivo de Briot-Ru�ni, obtemos os coe�cientes de um polinômio h(y) tal que p(y) = h(y)(y + 1): −1 1 1 −4 −4 1 0 −4 0 Portanto, h(y) = y2 − 4. Fazendo h(y) = 0, temos as outras duas raízes : y2 = 2 e y3 = −2. As três raízes da equação auxilar são: y1 = −1, y2 = 2 e y3 = −2. • O último passo é obter a solução da Equação (2.8) que é dada por y′ = √ y1 + √ y2 + √ y3. Para obtê-las, substituimos os valores encontrados no terceiro item e usamos o fato que √ y1 √ y2 √ y3 = 2. Assim, concluímos que as raízes da Equação (2.8), são: y′1 = √ −1 + √ 2− √ −2 = i+ √ 2− √ 2i; y′2 = √ −1− √ 2 + √ −2 = i− √ 2 + √ 2i; y′3 = − √ −1 + √ 2 + √ −2 = −i+ √ 2 + √ 2i; 58 Equações polinomiais y′4 = √ −1− √ 2− √ −2 = −i− √ 2− √ 2i. Resolvemos a Equação (2.8), mas a equação inicial x4 + 4x3 + 8x2 − 8x+ 4 = 0, ainda não foi resolvida. Para obter suas raízes, fazemos x = y′ − 1, obtendo: x1 = i+ √ 2− √ −2− 1; x2 = i− √ 2 + √ −2− 1; x3 = −i+ √ 2 + √ −2− 1; x4 = i− √ 2− √ −2− 1. 3 Propostas de atividades didáticas Os polinômios e as equações polinomiais possuem muitas aplicações em áreas como Matemática, Economia, Física, Biologia e Administração. Neste capítulo, pro- pomos atividades para serem aplicadas nas aulas de matemática da Educação Básica, a �m de desenvolver conceitos e resultados relacionados ao tema do presente trabalho. Público Alvo: Alunos dos Ensinos Fundamental e Médio. Pré-requisitos: Conceitos de Matemática Financeira, Noções de informática. Materiais e tecnologias: Calculadora, Computador com o recurso multimídia Winplot. Recomendações Metodológicas: Seguindo a metodologia de Ensino-Aprendizagem -Avaliação através da Resolução de Problemas, seguimos as etapas propostas por Alle- vato e Onuchic (2009). São elas: • Preparação do Problema: Selecionar o problema que desenvolve o conteúdo a ser ensinado. • Leitura individual: Solicitar que o aluno faça uma leitura individual detalhada. • Leitura Coletiva: Solicitar que os alunos formem grupos, com até quatro alunos, e façam uma leitura coletiva. • Observar e incentivar: Nesta etapa, o professor é mediador e incentiva os alunos a pensar e trocar ideias entre eles. • Registro das resoluções na lousa: Os grupos podem apresentar as suas soluções sejam elas certas ou erradas para que todos possam analisar e discutir os cami- nhos. • Discussão dos resultados: O professor deve guiar as discussões de forma que os alunos apresentem suas dúvidas. • Formalização do conteúdo: Neste momento, o professor apresenta um registro "formal" do conteúdo de forma organizada, estruturada e na linguagem mate- mática, padronizando os conceitos e os procedimentos construídos através da resolução dos problemas, destacando as diferentes técnicas operatórias e demons- trando as propriedades. 59 60 Propostas de atividades didáticas Di�culdades previstas: A interpretação dos problemas, operações algébricas. Tempo previsto: 8 aulas. Descrição Geral: O plano de trabalho segue uma das abordagens mais indica- das para o ensino de matemática: a Resolução de Problemas. Nos Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998), consta: "A resolução de problemas é uma orientação para a aprendizagem, pois proporciona o contexto em que se pode aprender conceitos, procedimentos e atitudes matemáticas" ( p.41). Nas próximas seções, estão propostas algumas situações-problema, com resoluções, que servem como sugestões para os planos de aula do professor de Matemática do Ensino Básico. 3.1 Financiamentos Atualmente, os jovens (e também os adultos) têm bastante interesse em �nanci- amentos, pois as lojas usam propagandas que incentivam o consumismo, oferecendo vantagens nas formas de pagamento. Vejamos alguns exemplos. Mas antes, alertamos aos jovens que, quando a loja anuncia que os produtos podem ser parcelados sem juros, na verdade os juros já estão embutidos no valor da parcela. Exemplo 3.1. Um iPad, cujo preço a vista é R$ 1299,00, pode ser �nanciado em 5 prestações mensais e iguais, com a primeira parcela ocorrendo um mês após a compra. Se a taxa de juros for de 8% ao mês, qual será o valor da parcela? Lembre-se: 8% pode ser representado por 8 100 = 0, 08. No momento 1, a dívida será d1 e ela é composta pela dívida mais os juros corres- pondente a 1 mês menos a parcela. Podemos representar d1 por d1 = d+ j − p, onde d é a dívida, j é o juros e p é a parcela. Então, d1 = 1299 + 1299.0, 08− p ⇓ d1 = (1 + 0, 08)1299− p. A �m de facilitar a notação da dívida nos outros meses, chamaremos x = 1, 08. Assim, a igualdade anterior pode ser reescrita da seguinte forma: d1 = 1299x− p. Financiamentos 61 No segundo mês, a dívida será d2 e podemos obtê-la somando a dívida do mês anterior d1 com os juros, que agora é 0, 08.d1, menos a parcela. Assim, d2 = d1 + 0, 08d1 − p ⇓ d2 = xd1 − p, ⇓ d2 = 1299x2 − px− p. No terceiro mês, a dívida será d3 e ela é a soma da dívida do mês anterior d2 com os juros, 0, 08d2, menos a parcela. Ou seja: d3 = d2 + 0, 08d2 − p d3 = xd2 − p ⇓ d3 = 1299x3 − px2 − px− p, Com o mesmo raciocínio dos meses anteriores, obtemos o valor da dívida no 4◦ mês e no 5◦ mês, respectivamente d4 e d5: d4 = xd3 − p ⇓ d4 = 1299x4 − px3 − px2 − px− p, e d5 = xd4 − p ⇓ d5 = 1299x5 − px4 − px3 − px2 − px− p. Note que a 5◦ parcela é a última, então nesse momento a dívida deve ser zero. Daí, d5 = 1299x5 − px4 − px3 − px2 − px− p = 0. Fazendo operações algébricas na igualdade acima, obtemos: 1299x5 = p(x4 + x3 + x2 + x1 + 1). Assim, para obter o valor da parcela, basta avaliarmos o polinômio acima em x = (1, 08). Usando uma calculadora, obtemos: 62 Propostas de atividades didáticas 1299.1, 47 = p(1, 36 + 1, 26 + 1, 17 + 1, 08 + 1) ⇓ 1909, 53 = p(5, 87) ⇓ p = 325, 30. Então, cada parcela terá valor de R$ 325,30. Note que, para obter o valor da prestação, foi necessário avaliar um polinômio de 4◦ grau. Em geral, esse polinômio terá grau n − 1, quando o número de prestações for n. Podemos simpli�car os cálculos como mostraremos a seguir: (x− 1)(x4 + x3 + x2 + x1 + 1) = x5 − 1 ou (x4 + x3 + x2 + x1 + 1) = x5 − 1 x− 1 ⇓ 1299x5 = p x5 − 1 x− 1 . Para um polinômio qualquer de grau n , podemos obter a seguinte fórmula para o cálculo da parcela p de um valor D em parcelas �xas e iguais em n períodos com taxa de juros �xa: p = xn(x− 1)D xn − 1 , ou equivalentemente: p = (1 + t)ntD (1 + t)n − 1 . para x = 1 + t, onde t é a taxa de juros do período. Exemplo 3.2. Um iPad, cujo preço a vista é R$ 1299,00 pode ser �nanciado em 5 prestações mensais e iguais, com a primeira parcela ocorrendo no ato da compra. Se a taxa de juros for de 8% ao mês, qual será o valor da parcela? Chamamos D a dívida inicial, E o valor da entrada e x = (1 + t) com t igual a taxa de juros. No momento da compra, chamaremos a dívida d0 e podemos obtê-la através da fórmula: d0 = D − E. Após 1 mês da compra, a dívida d1, será a dívida d0, mais os juros, 0, 08.d0, menos a parcela, obtendo a expressão: Financiamentos 63 d1 = d0 + 0, 08d0 − p ⇓ d1 = xd0 − p, ⇓ d1 = (D − E)x− p. No segundo mês, a dívida d2, será a dívida do mês anterior d1, mais os juros, 0, 08.d1, menos a parcela. Assim, d2 = d1 + 0, 08d1 − p ⇓ d2 = xd1 − p, ⇓ d2 = (D − E)x2 − px− p. Com o mesmo raciocínio, obteremos as dívidas nos meses posteriores: d3 = xd2 − p ⇓ d3 = (D − E)x3 − px2 − px− p e d4 = xd3 − p ⇓ d4 = (D − E)x4 − px3 − px2 − px− p. A quarta parcela é a última, então nesse momento a dívida deve ser igual a zero. Portanto, d4 = (D − E)x4 − px3 − px2 − px− p = 0, resultando que p(x3 + x2 + x+ 1) = (D − E)x4 ⇓ p (x4 − 1) x− 1 = (D − E)x4 ⇓ p = x4(x− 1)(D − E) x4 − 1 . 64 Propostas de atividades didáticas Observe que, na nossa situação, o valor da entrada é igual ao valor da parcela. Fazendo x = 1, 08 e D = 1299, temos: p = (1, 08)4(1, 08− 1)(1299− p) (1, 08)4 − 1 ⇓ p = (1, 36)(0, 08)(1299− p) 0, 36 ⇓ p = 0, 11(1299− p) 0, 36 ⇓ 0, 36p+ 0, 11p = 142, 89 ⇓ p = 304, 02. De uma maneira geral, a expressão para o cálculo das prestações �xas e iguais em n períodos com taxa t nesses períodos de um �nanciamento de uma dívida D com entrada E no ato da compra é dada por: p = xn(x− 1)(D − E) xn − 1 . Algumas lojas oferecem a compra para começar a pagar após 3 meses ou até um prazo maior. Convidamos o leitor a determinar o valor da parcela nessa situação. 3.2 Problemas de Otimização Resolver problemas de otimização consiste em determinar pontos de Máximos ou Mínimos de funções. Para o nível de ensino para o qual o trabalho se destina, a proposta de solução é apresentada após a análise do grá�co que pode ser construído usando o software gratuito Winplot.1 A seguir, apresentamos questões que envolvem problemas de otimização e polinô- mios de grau 2 nas áreas de Matemática Financeira e Física. Exemplo 3.3. (FGV) O lucro mensal, em reais, de uma empresa é dado por L(x) = −x2 + 30x− 5, onde x é a quantidade mensal vendida. Qual é o lucro mensal máximo possível? Solução: Através do recurso Winplot, obtemos o grá�co dessa função, que segue abaixo. 1Disponível no seguinte endereço eletrônico: www.baixaki.com.br/download/winplot.htm. Problemas de Otimização 65 Figura 3.1: Grá�co da função lucro Observando o grá�co, o aluno identi�cará que o lucro máximo corresponde ao pico positivo, ou seja, à coordenada yv do vértice da parábola, e este pertence ao eixo de simetria da parábola. Então, o aluno concluirá que poderá obter a coordenada do vértice da parábola, xv, procurando um ponto equidistante de pontos x1 e x2 tais que L(x1) = L(x2). Ora, para que L(x1) = L(x2), devemos ter −x21 + 30x1 − 5 = −x22 + 30x2 − 5 ⇓ −x21 + 30x1 = −x22 + 30x2 ⇓ −x21 + x22 = −30x1 + 30x2 ⇓ (x2 − x1)(x2 + x1) = 30(−x1 + x2) ⇓ (x2 + x1) = 30 66 Propostas de atividades didáticas ⇓ (x2 + x1) 2 = 30 2 . Portanto, xv = 15. Agora, para determinar o lucro máximo mensal, basta avaliar- mos a função lucro em x = 15: L(15) = −(15)2 + 30(15)− 5⇒ L(15) = 220. Então, o lucro máximo é de 220 reais, con�rmando o que o grá�co nos induz a pensar. Exemplo 3.4. Uma empresa produz um determinado produto com o custo de�nido pela função C(x) = x2−100x+2510. Considerando o custo C em reais e x a quantidade de unidades produzidas, determine a quantidade de unidades para que o custo seja mínimo e o valor desse custo mínimo. Solução: Observando o grá�co, é fácil perceber que o custo mínimo corresponde a coordenada yv do vértice da parábola. Figura 3.2: Grá�co da função custo Problemas de Otimização 67 A coordenada desse ponto é obtida algebricamente, da mesma forma que no exemplo anterior, procurando um ponto equidistante de pontos de x1 e x2 com C(x1) = C(x2). Para que C(x1) = C(x2), devemos ter x21 − 100x1 + 2510 = x22 − 100x2 + 2510 ⇓ x21 − 100x1 = x22 − 100x2 ⇓ x21 − x22 = 100x1 − 100x2 ⇓ (x1 + x2)(x1 − x2) = 100(x1 − x2) ⇓ (x2 + x1) = 100 ⇓ (x2 + x1) 2 = 100 2 . Portanto, deverão ser produzidas 50 unidades do produto para que o custo seja mínimo. Agora, para obter o custo mínimo, basta avaliarmos C(x) em x = 50: C(50) = 502 − 100.50 + 2510 ⇓ C(50) = 2500− 5000 + 2510 ⇓ C(50) = 10. Logo, o custo mínimo é de R$10,00. Exemplo 3.5. De acordo com conceitos administrativos, o lucro de uma empresa é dado pela expressão matemática L = R−C, onde L é o lucro, C o custo da produção e R a receita do produto. Uma indústria de peças automotivas produziu x unidades e veri�cou que o custo de produção era dado pela função C(x) = x2 + 580x e a receita representada por R(x) = 600x + 300. Com base nessas informações, determine o número de peças a serem produzidas para que o lucro seja máximo. 68 Propostas de atividades didáticas Solução: A função lucro é dada por L(x) = R(x)− C(x), ou seja, L(x) = 600x+ 300− x2 − 580x⇒ L(x) = −x2 + 20x+ 300. Sendo assim, o lucro é máximo quando a quantidade de peças produzidas corres- ponde ao xv. Para determinar xv, procuramos um ponto equidistante de pontos x1 e x2 com L(x1) = L(x2). Para que L(x1) = L(x2), devemos ter −x21 + 20x1 + 300 = −x22 + 20x2 + 300 ⇓ −x21 + x22 = −20x1 + 20x2 ⇓ −(x1 − x2)(x1 + x2) = −20(x1 − x2) ⇓ −(x1 + x2) = −20 ⇓ −(x1 + x2) 2 = −20 2 ⇓ (x1 + x2) 2 = −20 −2 . Então, xv = 10 e, portanto, para se obter o lucro máximo deve-se produzir 10 peças. Exemplo 3.6. Uma pedra é lançada verticalmente para cima em MUV e suas alturas variam no tempo de acordo com a função horária S = 6+9t−3t2, sendo t em segundos e S em metros. Desprezando-se a resistência do ar, qual é altura máxima atingida pela pedra? Solução: Se o aluno esboçar o grá�co no Winplot, perceberá que a altura máxima corresponde ao xv, o qual poderá ser obtido de forma análoga aos exemplos anteriores; xv é o ponto equidistante de pontos x1 e x2 com S(x1) = S(x2). Para que S(x1) = S(x2), devemos ter 6 + 9x1 − 3x21 = 6 + 9x2 − 3x22 ⇓ −3x 2 1 + 3x22 = −9(x1 − x2) Problemas de Otimização 69 ⇓ 3(x21 − x22) = 9(x1 − x2) ⇓ 3(x1 + x2) = 9 ⇓ (x1 + x2) 2 = 3 2 . Então, xv = 1, 5. Para obter a altura máxima atingida pela pedra, basta avaliarmos a função horária em x = 1, 5: S = 6 + 9.(1, 5)− 3(1, 5)2 ⇓ S = 6 + 13, 5− 6, 75 ⇓ S = 12, 75. Portanto, a altura máxima é de 12, 75 metros. Observação 3.1. Consideremos um polinômio de grau 2 da forma p(x) = ax2 +bx+c, com a 6= 0. Para determinar a coordenada do vértice, xv, usamos o fato de xv pertencer ao eixo de simetria da parábola e por isso é equidistante dos pontos x1 e x2 tais que p(x1) = p(x2). Para que p(x1) = p(x2), devemos ter: ax21 + bx1 + c = ax22 + bx2 + c ⇓ ax21 − ax22 = −bx1 + bx2 ⇓ a(x1 + x2)(x1 − x2) = −b(x1 − x2) ⇓ a(x1 + x2) = −b ⇓ a(x1 + x2) 2 = −b 2 ⇓ (x1 + x2) 2 = −b 2a . Portanto, xv = −b 2a . Para �nalizar, esse ponto corresponde ao ponto de máximo da função quando a parábola tem concavidade para baixo, ou seja, a < 0. Caso contrário, o ponto é mínimo. 70 Propostas de atividades didáticas 3.3 Matemágicas. Exemplo 3.7. Se dois números de dois algarismos tiverem iguais os algarismos das dezenas, e os algarismos das unidades somarem 10, pode-se calcular o seu produto instantaneamente. Para resolver 17 × 13, por exemplo, respondo 221. O "truque" é o seguinte, multiplica-se o algarismo das dezenas, 1, pelo sucessor 2, achando 2, esse seria o al- garismo da centena. Acrescenta à direita do 2 o produto dos algarismos das unidades 7 × 3, obtendo-se o 221. Sem fazer a conta, quanto é 45 × 45? A resposta é 2025. Veri�que! Demonstração: Represente o algarismo das dezenas dos dois números por a e considere o algarismo da unidade do primeiro número por b. Então o algarismo da unidade do segundo número é igual a 10− b. Logo, 10a+ b é o primeiro número e 10a+ (10− b) e o segundo número. O produto dos dois números é (10a+ b)× (10a+ 10− b) = 100a(a+ 1) + b(10− b). Exemplo 3.8. Se você somar 1 ao produto de quatro números inteiros consecutivos, o resultado será sempre um quadrado perfeito. Para exempli�car: (3.4.5.6) + 1 = 360 + 1 = (19)2; (10.11.12.13) + 1 = 17161 = (131)2. Demonstração: Para justi�car este fato, vamos tomar os inteiros consecutivos: n, n+1, n+2, n+3. Então, n.(n+ 1).(n+ 2).(n+ 3) + 1 = n4 + 6n3 + 11n2 + 6n+ 1. (3.1) Queremos mostrar que n.(n+ 1).(n+ 2).(n+ 3) + 1 é um quadrado perfeito. Note que (n2 +an+1)2 = n4 +2n2(an+1) +(an+1)2 = n4 +2an3 +(2 +a2)n2 +2an+1. (3.2) Comparando as Equações (3.1) e (3.2), obtemos: n4 + 6n3 + 11n2 + 6n+ 1 = n4 + 2an3 + (2 + a2)n2 + 2an+ 1⇒ 2a = 6 e 2 + a2 = 11, ou seja, a = 3. Então, n4 + 6n3 + 11n2 + 6n+ 1 = (n+ 3n+ 1)2. Apêndice: Como surgiram os números complexos? Raphael Bombelli (1526-1573), nascido em Bolonha, Itália, engenheiro hidráulico por pro�ssão, era um admirador da Ars Magna de Cardano, mas achava que seu estilo de exposição do conteúdo não era claro, então ele escreveu um livro com os mesmos assuntos. Publicou L'Algebra, em três volumes, no ano de 1572, em Veneza. No segundo volume dessa obra, ele considera a equação x3 − 15x − 4 = 0 e aplica a Fórmula de Cardano para encontrar uma raiz, obtendo: x = 3 √ 2 + √ −121 + 3 √ 2− √ −121. Por simples veri�cação, podemos concluir que x = 4 é raiz da equação considerada. Porém, através da Fórmula de Cardano, caímos não apenas na extração de raízes qua- dradas de números negativos como também na extração de raízes cúbicas de números de natureza desconhecida. Eis, então, uma questão séria que não poderia ser ignorada. Cabe lembrar que, quando surgiram as primeiras raízes quadradas de números ne- gativos na resolução de equações de 2◦ grau, os matemáticos da época consideravam a inexistência de solução. Então, Bombelli supôs a existência de números a+ √ −b e a− √ −b, que deveriam ser iguais a 3 √ 2 + √ −121 e 3 √ 2− √ −121, respectivamente. Sabendo que 4 é raiz da equação considerada, se a + √ −b + a − √ −b = 4 então a = 2. E, como (a+ √ −b)3 = 2 + √ −121, temos b = 1. Daí, x = (2 + √ −1) + (2− √ −1) = 4. Foi a partir dessa suposição que surgiram os números complexos. Observe que a origem dos números complexos foram as resoluções de equações de 3◦ grau e não as de 2◦ grau como, equivocadamente, citam alguns livros-textos. Bombelli criou as seguintes regras para trabalhar com √ −1: ( √ −1)( √ −1) = −1; (− √ −1)( √ −1) = 1; (− √ −1)(− √ −1) = −1; 71 72 Propostas de atividades didáticas (±1)( √ −1) = ± √ −1; (±1)(− √ −1) = ∓ √ −1. E também a regra para somar dois números do tipo a+ b √ −1: (a+ b √ −1) + (c+ d √ −1) = (a+ c) + (b+ d) √ −1. Assim, estavam lançadas as bases para o desenvolvimento de um gigantesco ramo da Matemática: A Teoria dos Números Complexos. Nessa época, o símbolo i não existia, ele só foi usado pelo primeira vez para re- presentar √ −1 por Leonhard Euler em 1777, apareceu impresso pela primeira vez em 1794 e se tornou amplamente aceito após seu uso por Gauss em 1799. Referências [1] N. S. G. Allevato; L.R. Onuchic, Pesquisa em Resolução de Problemas: caminhos, avanços e novas perspectivas, Boletim de Educação Matemática n◦ 41, p.73-98, 2011. [2] N. C. Bernardes; C. S. Fernandez, Introdução às Funções de uma Variável Com- plexa, SBM Editora, Rio de Janeiro, 2006. [3] J.R. Bonjorno; J.R. Giovani, Matemática Completa, Vol. 3, FTD , São Paulo, 2005. [4] C. B. Boyer, História da Matemática, Editora Edgard Blucher Ltda, São Paulo, 1994. [5] P.C.P. Carvalho; E.L. Lima; E. Wagner; A.C. Morgado, A Matemática do Ensino Médio, Vol. 1, Rio de Janeiro, 2006. [6] G.G. Garbi, O Romance das Equações Algébricas, Editora Livraria da Física, São Paulo, 2010. [7] R. B. Guerra; J.D.S.C.D. Silva; M.J.D.F. Mendes, Fundamentos da Matemá- tica para o Ensino Fundamental, vol.38, Educimat, Pará, 2008. Disponível em: http://www.ufpa.br/par/�les/Modulos/vol38.pdf. [8] E.L. Lima, Análise Real - Volume 1, SBM Editora, Rio de Janeiro, 2001. [9] C. G. T. A. Moreira, Uma solução das equações do 3◦ e 4◦ graus, Revista Professor de Matemática, SBM, Rio de Janeiro, 1994. [10] C. H. Mulligan, Uso de polinômios para surpreender, Revista do Professor de Matemática n◦ 31, p.3 e 4, SBM, 1996. [11] www.shiraicursos.com/marllon. 73 FOLHA DE ROSTO FICHA CATALOGRÁFICA COMISSÃO EXAMINADORA DEDICATÓRIA AGRADECIMENTOS EPÍGRAFE RESUMO ABSTRACT SUMÁRIO INTRODUÇÃO NOTAS HISTÓRICAS SOBRE EQUAÇÕES POLINOMIAIS 1 POLINÔMIOS COM COEFICIENTES REAIS 2 EQUAÇÕES POLINOMIAIS 3 PROPOSTAS DE ATIVIDADES DIDÁTICAS APÊNDICE REFERÊNCIAS