UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA "JÚLIO DE MESQUITA FILHO" CAMPUS DE GUARATINGUETÁ HELDER LUIZ DE OLIVEIRA Aspectos de teorias duais de spin alto Guaratinguetá 2021 Helder Luiz de Oliveira Aspectos de teorias duais de spin alto Tese de doutorado apresentada à Faculdade de En- genharia do Campus de Guaratinguetá, Universi- dade Estadual Paulista, para a obtenção do Título de Doutor em Física na área de Partículas e Cam- pos. Orientador: Prof. Dr. Elias Leite Mendonça Guaratinguetá 2021 O48a Oliveira, Helder Luiz de Aspectos de teorias duais de spin alto / Helder Luiz de Oliveira – Guaratinguetá, 2021 75 f .: il. Bibliografia: f. 58 Tese (doutorado) – Universidade Estadual Paulista, Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá, 2021. Orientador: Prof. Dr. Elias Leite Mendonça 1. Teorema de Noether. 2. Teoria de campos (Física). 3. Campos de calibre (Física). I. Título. CDU 530.145(043) DADOS CURRICULARES HELDER LUIZ DE OLIVEIRA NASCIMENTO 10/08/1986 - Itajubá / MG FILIAÇÃO Luiz Hiltair de Oliveira Silvana Costa Oliveira 1994 / 1997 Ensino Fundamental I Escola Estadual Dr. Carlos Ribeiro Filho - Pedralva - MG - Brasil Escola Estadual Professor Arcádio do Nascimento Moura - Pedralva - MG - Brasil 1998 / 2004 Ensino Fundamental II e Ensino Médio Escola Estadual Comendador Mário Goulart Santiago - Pedralva - MG - Brasil 2007 / 2011 Graduação em Física Licenciatura Universidade Federal de Itajubá - UNIFEI - Itajubá - MG - Brasil 2014 / 2016 Mestrado em Física e Matemática Aplicada Universidade Federal de Itajubá - UNIFEI - Itajubá - MG - Brasil 2016 / 2021 Doutorado em Física Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” Campus de Guaratinguetá - Guaratinguetá - SP - Brasil AGRADECIMENTOS Agradeço primeiramente a Deus por me oferecer tudo que preciso para continuar sempre bata- lhando. Aos meus pais Luiz e Silvana que não mediram esforços para cuidar de mim, para dar carinho, educação e ensinar a enfrentar de frente os obstáculos que a vida impõe. À minha irmã e amiga por poder sempre contar com seu apoio incondicional. À minha eterna amada Cláudia que me escutou, apoiou, foi conselheira, parceira de momentos triste e felizes, enfim a mulher que está e estará sempre ao meu lado. Aos meus professores da UNIFEI, em especial ao Fabrício Barone e Gabriel Flores que sempre estão dispostos a ajudar. Aos professores da UNESP pelo apoio e dedicação. À CAPES pelo apoio financeiro nesses quatro anos de doutorado. Aos meus colegas de doutorado, especialmente, ao Dr. Alessandro pela grande ajuda nos debates sobre os tópicos dessa tese, à grandiosa Dra. Hemily pelas horas e horas de conversa sobre física e afins, ao Mateus Henrique e Luiz Borges pelas conversas, cervejas e as parcerias nas viagens Guaratinguetá -Itajubá e ao Dr. Marlon Marques que sempre entendeu-me a mão quando necessitei. Aos meus amigos e primos Lilian Vilela, Rômulo Consiglio, Lidiane Vilela, Thiago Marcondes, Erica Prudente e Renan Pagliarini pelas risadas e momentos de imensa alegria. Aos meus amigos pedralvenses Junio César, Diego Oliveira, Edivaldo Costa e Natanael Oliveira que sempre me ajudaram, direta e indiretamente, a alcançar meus objetivos. Ao meu orientador Elias Leite Mendonça por ter confiado a mim esse trabalho. Sua dedicação, paciência, amizade e compreensão em todos os momentos foram fundamentais para execução dessa tese. O presente trabalho foi realizado com apoio da Coodernação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior- Brasil (CAPES) - código de financiamento 001. RESUMO As descrições de partículas de spin alto são feitas através de um tensor de rank S simétrico e o aumento de interesse em estudar tais partículas se dá pela teoria de cordas, que é uma teoria promissora à solucionar o problema de renormalização oriundo da tentativa de descrever uma teoria quântica para a gravitação. Uma das maneiras de estudar as partículas de spin alto é pela teoria de calibre, que é o foco desta tese. Neste trabalho foi apresentada uma maneira sistemática de implementar transformações de calibre através da Imersão de Calibre de Noether (I.C.N) em partículas de spin 3/2, 5/2 e 4. Para as partículas de spin 3/2, foi utilizada a técnica da ação mestra e foi encontrada uma ação que interpola entre os modelos de primeira, segunda e terceira ordem. Essa ação mestra permitiu mostrar a equivalência quântica entre os modelos comparando suas funções de correlação. Para spin 5/2 partiu-se do modelo de primeira ordem e utilizando o processo de I.C.N foi encontrado um modelo de segunda e terceira ordem nas derivadas. Para o spin 4, descrito por um tensor parcialmente simétrico e também utilizando o processo de I.C.N, foi encontrado um modelo de segunda e terceira ordem nas derivadas. Os resultados de Deser e Yang foram reproduzidos quando o tensor utilizado para descrever a partícula de spin 4 foi simetrizado. PALAVRAS-CHAVE: Spin alto. Ação mestra. Teorias de calibre. ABSTRACT The descriptions of higher spin particles are made through a symmetric rank tensor of S and the increased interest in study such particles is given by string theory, which is a promising theory to solve the problem of renormalization from the attempt to describe quantum theory for gravitation. One of the ways to study the higher spin particles is by the gauge theory, which is the focus of this thesis. In this paper is also presented a systematic way to implement gauge symmetries through Noether Gauge Immersion (NGI) in spin 3/2, 5/2 and 4 particles. For the spin 3/2, it used the master action technique and it found an action that interpolate between first, second and third order models. This action master allows show the quantum equivalence between the models comparing their correlation functions. For spin 5/2, it was started from a first order model using the IGN process and it was found a second and third order model in derivatives. For spin 4, described by a partially symmetric tensor and also using the IGN process, it was found a second and third model order in derivatives. Deser and Yang results were reproduced when the tensor used to describe the spin 4 particles was symmetrized. KEYWORDS: Higher spin. Master action. Gauge theory. SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 TEORIAS MASSIVAS DE SPIN 3/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1 A ideia da ação mestra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 A introdução de fontes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 Interpolando com um novo modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4 Introduzindo fontes na ação mestra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.5 Ação mestra de dubletos massivos de partículas de spin 3/2 . . . . . . . . . . . . 23 2.6 A notação Ω para os modelos de spin 3/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.6.1 O caso dos singletos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.6.2 O caso dos dubletos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3 MODELOS AUTO-DUAIS DE SPIN 5/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.1 Modelo de primeira ordem de spin 5/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.2 Modelo de segunda ordem de spin 5/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4 MODELOS AUTO-DUAIS DE SPIN 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.1 I.C.N - Do modelo AD(1)→ AD(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.2 I.C.N do modelo AD(2)→ AD(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.3 Estabelecendo a notação Ω para os modelos de spin 4 . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.4 Notação totalmente simétrica para os termos de spin 4 . . . . . . . . . . . . . . . 52 5 CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 ANEXO A – VÍNCULOS DE PRIMEIRA ORDEM PARA TEORIA DE SPIN 3/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 A.1 Condições de consistência para os vínculos primários . . . . . . . . . . . . . . . 62 A.2 Condições de consistência para os vínculos secundários . . . . . . . . . . . . . . 63 ANEXO B – ANÁLISE HAMILTONIANO DO TERMO DE SEGUNDA OR- DEM DE SPIN 3/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 B.1 Condições de consistência para os vínculos primários . . . . . . . . . . . . . . . 66 B.2 Condições de consistência para os vínculos secundários . . . . . . . . . . . . . . 67 ANEXO C – RESOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE MOVIMENTO PARA O MODELO DE PRIMEIRA ORDEM DA TEORIA DE SPIN 5/2 70 ANEXO D – NOTAÇÃO Ω E GEOMETRIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 10 1 INTRODUÇÃO Até o momento, a física não consegue descrever a gravitação como sendo uma teoria quântica de campos devido aos problemas de renormalização. Na tentativa de contornar tais problemas, utiliza-se a introdução de parceiros super-simétricos, derivadas de ordem superior, entre outras técnicas. Dentre os candidatos que tentam montar uma teoria quântica da gravitação, a teoria de cordas aparenta ser a mais promissora. Nessa teoria há um parâmetro livre α (coeficiente na equação de Nambu-Goto) onde ao tomarmos α → ∞ teremos que a teoria de cordas se assemelha à teoria de spin alto [1]. Com isso, vemos que a teoria mais promissora para sanar os problemas da quantização da gravitação, traz consigo um espectro infinito de partículas, as chamadas partículas de spin alto. A existência dessa cadeia infinita de partículas é crucial para a ausência da divergência ultravioleta. Como outro exemplo de teoria que contempla a existência de partículas de spin-alto temos a teoria de Vasiliev, que consiste de uma teoria de campos que contém em seu espectro partículas de spin alto sem massa com interações consistentes em espaços com curvatura constante em dimensões arbitrárias. Contudo, tal teoria não possui uma escala de energia associada, sendo então um "toy model"para teorias fundamentais além da escala de Plank. Uma motivação experimental em se estudar partículas de spin alto se dá pelo fato de existirem partículas carregadas cujas ressonâncias hadrônicas são bem definidas [2] e com isso, uma formulação teórica de partículas de spin alto poderia descrever a dinâmica dessas partículas compostas. Uma das maneiras de trabalhar com tais partículas são pelas teorias de calibre e, através delas, conseguimos descrever partículas de spin alto massivas, que por sua vez, são os modos propagantes da teoria de cordas. Por esse caminho de estudo surgiram resultados interessantes como a possibilidade de descrever as ações de partículas de spin alto em termos de objetos que são semelhantes aos objetos geométricos da relatividade geral: tensor de Ricci, tensor de Weyl, tensor de Cotton, tensor de Riemann, tensor de Einstein entre outros como mostram os trabalhos [2], [3], [21], [30]. Um exemplo disso é que, para partículas de spin 3 em D = 2 + 1 dimensões, aparecem tensores de rank 3 que possuem propriedades análogas às do tensor de Einstein, vide trabalhos [4], [15] e [21]. O primeiro trabalho sobre a descrição de partículas de spin alto foi de Fierz e Pauli em 1939 [5], onde os autores construíram uma série de equações que descrevem campos de spins arbitrários. Esses resultados são conhecidos como as condições de Fierz-Pauli e, para campos bosônicos, são dadas pelas seguintes equações: ϕα1α2...αn = ϕ(α1α2...αn), ( 2−m2 ) ϕα1α2...αn = 0, ∂α1ϕα1α2...αn = 0, ηα1α2ϕα1α2...αn = 0. (1) 11 A primeira equação acima nos diz que os índices que representam os campos de partículas de spin altos são simétricos entre si. Já a segunda é a generalização da equação de Klein-Gordon para partículas de spin qualquer, a terceira é a condição de transversalidade e a última equação nos diz que o campo possui traço nulo. Para campos fermiônicos, as condições de Fierz Pauli são: ( iγµ∂µ −m ) ψα1α2...αn = 0, ∂α1ψα1α2...αn = 0, γα1ψα1α2...αn = 0, (2) onde a primeira equação é a generalização da equação de Dirac para spin fracionário qualquer, a segunda é a condição de transversalidade e a terceira condição nos mostra que o tensor espinor deve ser nulo quando o multiplicarmos por uma matriz γ (conhecida como γ-transverso). O primeiro trabalho tratando de campos massivos de spin arbitrário foi elaborado por Singh and Hagen [9] em 1974, onde os autores introduziram campos auxiliares de spin menores, S-2, S-3,. . ., 0 todos se tornando nulos quando as condições de Fierz-Pauli forem satisfeitas. Esses campos auxiliares são necessários para a eliminação de graus de liberdade extras na teoria. As partículas de spin +S ou -S em D = 2 + 1 podem ser descritas em termos de modelos lagrangeanos massivos, quadráticos nos campos e de ordem mais baixa nas derivadas. Esses modelos são os chamados modelos tipo Chern-Simons e o termo de massa quebra a invariância de calibre por reparametrização dada por δϕα1α2...αn = ∂α1ξα2...αn . Podemos conferir essa simetria ao modelo através do mecanismo de Imersão de Calibre de Noether (ICN) apresentada pelos trabalhos [3], [4], [12], [13] e, ao implentá-la, obtemos um modelo de ordem superior nas derivadas. As simetrias inseridas através do mecanismo de ICN são as chamadas transformações de calibre, ao passo que quando conseguimos uma teoria invariante sob um número maior de simetrias de calibre isso nos confere um importante guia para a introdução de interações fundamentais, de onde vem a importância deste método de imersão. O trabalho [3] trata da implementação de simetrias para partículas de spin 2, onde os modelos encontrados foram escritos em termos de objetos geométricos e menos dependentes dos campos auxiliares. Esperamos que ao implementar simetrias de calibre em modelos de spins altos, os modelos se tornarão mais simétricos, podendo serem escritos em termos de objetos geométricos e menos dependentes de campos auxiliares. Consequentemente teremos uma inconveniência, pois ao implementar a simetria trabalharemos com modelos de ordem mais alta nas derivadas mas esperamos que as equações de movimentos tornem mais evidente a descrição da partícula estudada. Podemos encontrar um conjunto de teorias massivas conferindo simetrias às teorias não simétricas. A busca por encontrar tais conjuntos norteou trabalhos como [3], [4], [16], [17], [18], [19] e [20] a encontrar novos modelos teóricos, de ordem mais alta, de spins altos. Em especial, o trabalho [4] trata da imersão de calibre em teorias de spin 1, 2 e 3 através do método de ICN que descrevem singletos de paridade + ou - S. Esses modelos recebem o nome de auto-duais. Por conveniência, padronizaremos a nomenclatura dos modelos auto-duais 12 S# Spin AD(# ordem das derivadas), (3) onde, por exemplo, S2 AD(3) nos diz que a partícula estudada é de spin 2 e o modelo é de terceira ordem nas derivadas. Para partículas de spin 1 temos que o modelo de primeira ordem é dado por: S1 AD(1) = ∫ d3x [ m2 2 AµAµ − m 2 εαβγAα∂βAγ ] , (4) onde m é a massa da partícula. O termo de massa da equação acima quebra a invariância de calibre dada pela transformação δAµ = ∂µξ e, ao conferirmos essa simetria ao modelo, obteremos um segundo modelo de segunda ordem nas derivadas dado por: S1 AD(2) = ∫ d3x [ − 1 4 F µνFµν + m 2 εαβγAα∂βAγ ] , (5) onde F µν = ∂µAν − ∂νAµ. O modelo acima é conhecido como modelo de Maxwell Chern-Simons. Esquematicamente temos: S1 AD(1) δAµ=∂µξ−→ S1 AD(2). (6) Como não houveram mais simetrias a serem implantadas, obtivemos a cadeia de teorias que descrevem partículas de spin 1 e neste caso temos somente os modelos de primeira e segunda ordem nas derivadas. Para descrevermos uma partículas de spin 2 utilizamos o tensor fµν arbitrário. O modelo de primeira ordem nas derivadas é dado por S2 AD(1) = ∫ d3x [ m2 2 ( f 2 − fµνfµν ) − m 2 εµναfµβ∂νf β α ] , (7) onde m é a massa da partícula e f é o traço do campo fµν (ηµνf µν = f). O termo de massa desse modelo quebra a invariância de calibre dada pela transformação δfµν = ∂µξν e ao implementarmos essa simetria obteremos um modelo de segunda ordem nas derivadas. Por sua vez, no modelo de segunda ordem encontrado, o termo de primeira ordem nas derivadas quebra a invariância de calibre dada pela transformação δfµν = εµναΛα e, ao conferir essa simetria, encontra-se um modelo de terceira ordem nas derivadas. No modelo de terceira ordem nas derivadas, o termo de segunda ordem não é invariante sob a transformação δfµν = ϕηµν , e ao implementá-la, encontramos um modelo de quarta ordem. Esse último modelo é invariante sob todas as simetrias implementadas anteriormente. 13 Esquematicamente temos: S2 AD(1) δfµν=∂µξν−→ S2 AD(2) δfµν=εµναΛα−→ S2 AD(3) δfµν=ϕηµν−→ S2 AD(4). (8) Com isso, como não houveram mais simetrias a serem implantadas, encontrou-se um conjunto de teorias massivas de spin 2 e todas as quatro ações são classicamente equivalentes entre si. Para teorias de spin 3, a ação de primeira ordem vem dada por S3 AD(1) = ∫ d3x [m 2 εµναωµ(βγ)∂νω (βγ) α − m2 6 εµναεβγρηµβων(γδ)ω δ) α(ρ + m2ωµA µ − 9mεµναAµ∂νAα − 9m2AµAµ +mϕ∂µA µ + m2 48 ϕ2 ] , (9) onde o tensor ωµ(βγ) é um tensor de rank - 3, simétrico e sem traço em relação aos índices entre parênteses e sem simetria definida com o outro índice. Já os tensores Aµ e ϕ são campos auxiliares de rank 1 e zero respectivamente e têm como objetivo eliminar graus de liberdade extras na teoria, fazendo com que a ação proposta propague somente partícula de spin 3. Na ação acima, o termo de massa quebra a invariância de calibre dada pela transformação δωµ(βγ) = ∂µξ(βγ) onde o parâmetro ξ(βγ) é simétrico e sem traço com respeito aos índices entre parênteses. Ao implementá-la, obteve- se uma ação de segunda ordem nas derivadas. O resultado obtido não é invariante sob a simetria δωµ(βγ) = ε ρ µβ Φ(ργ) + ε ρ µγ Φ(ρβ) e ao implementá-la obtém-se uma nova ação de terceira ordem. Novamente a ação obtida quebra a invariância de calibre dada por: δωλ(βγ) = ∂(λξβγ) + 1 4 ηλβ(∂γξ + 2∂αξαγ) + 1 4 ηλγ(∂βξ + 2∂αξαβ)− 1 2 ηγβ(∂λξ + 2∂αξαλ). (10) Ao implementar a simetria acima na ação de terceira ordem obteve-se um modelo de quarta ordem nas derivadas e o resultado é invariante sob todas as transformações de calibre implementadas anterior- mente. Na referência [4] mostra-se com detalhes o processo de implementação das transformações acima citadas. Portanto, para spin 3 temos: S3 AD(1) δΛωµ(βγ)−→ S3 AD(2) δΦωµ(βγ)−→ SAD(3) δξωµ(βγ)−→ S3 AD(4), (11) onde definimos: δΛωµ(βγ) ≡ δωµ(βγ) = ∂µΛ(βγ); δΦωµ(βγ) ≡ δωµ(βγ) = ε ρ µβ Φ(ργ) + ε ρ µγ Φ(ρβ) (12) e δξωµ(βγ)vem dado pela equação (10). Para férmions, o trabalho de [20] apresenta uma ação, tipo Chern-Simons, que descreve uma partícula de spin 3/2. Essa ação é composta por um espinor de Majorana, ψ̄µ e seu adjunto ψµ, em 14 D = 2 + 1 dimensões. A ação de partida é de primeira ordem nas derivadas e vem dada por: S 3/2 AD(1) = ∫ d3x(−εµναψ̄µ∂νψα +mεµναψ̄µγνψα), (13) onde m é a massa da partícula, as matrizes γ são reais cujas componentes são dadas em termos das matrizes de Pauli (γ0 = iσ2, γ1 = σ1 e γ2 = σ3) e satisfazem a álgebra γµγν = ηµν + εµναγ α e {γµ, γν} = 2ηµν . Podemos perceber que o modelo acima é semelhante aos modelos bosônicos de spin 1, 2 e 3 apresentados anteriormente, pois ambos apresentam um termo semelhante ao de Chern- Simons somado com um termo de massa. O termo de massa do modelo acima quebra a invariância de calibre por reparametrização dada por δψ̄µ = ∂µξ̄ e δψµ = ∂µξ onde ξ̄ e seu adjunto são parâmetros espinoriais arbitrário. Ao implementar essa transformação de calibre no modelo 13, usando a técnica de ICN, os autores encontraram uma ação de segunda ordem nas derivadas. Esse resultado por sua vez, não é invariante sob a transformação de calibre dada por δψ̄µ = Λ̄γµ e δψµ = γµΛ e novamente, ao implementá-la, os autores obtiveram um modelo de terceira ordem nas derivadas. Esquematicamente temos: S 3/2 AD(1) δψµ=∂µξ−→ S 3/2 AD(2) δψµ=γµΛ−→ S 3/2 AD(3). (14) A equivalência entre os modelos de singletos de spin +S ou -S pode ser explorada através do método da ação mestra. A ação mestra consiste em um único modelo capaz de interpolar entre todos os modelos auto-duais encontrados na teoria de spin qualquer. No caso do spin 2, o trabalho [3] mostra que a ação mestra entre os modelos encontrados anteriormente através da implementação de transformações de calibre é: SM = ∫ [ m 2 f.df + m2 2 (f)2 FP − m 2 (f − A).d(f − A) − 1 4 (h− A).dΩ(h− A) + 1 4m Ω(h− g).dΩ(h− g) + jµνf µν ] , (15) onde foram definidas as seguintes quantidades: ∫ (f 2)FP ≡ ∫ d3x(f 2 − fµνfµν),∫ f.df ≡ ∫ d3x εµναfµβ∂νf β α ,∫ f.dΩ(f) ≡ ∫ d3x εµναfµβ∂νΩ β α (f), Ων µ(f) = ενβγ[∂µfγβ − ∂β(fγµ + fµγ)]. (16) 15 A ação mestra dada pela equação (15) contém três termos de mistura compostos pelos campos auxiliares h, A e g. Esses termos não possuem conteúdo físico e ao fazermos mudanças específicas nos campos auxiliares encontraremos os modelos de primeira, segunda, terceira e quarta ordem nas derivadas. Dada à ação mestra, podemos encontrar a equivalência quântica entre os quatro modelos de spin 2 comparando as funções de correlação oriundas da derivação do funcional gerador em relação as fontes. As referências [3] e [10] apresentam de forma detalhada os cálculos mostrando a equivalência quântica entre os modelos auto-duais de spin-2. Na referência [4], os autores construíram ações mestras para os modelos de spin 3 encontrados através da imersão de simetrias e mostraram que eles são quanticamente equivalentes entre si. Esse trabalho é focado no estudo da equivalência entre modelos que descrevem singletos de paridade de partículas massivas de spin alto em D = 2 + 1 dimensões. Para avaliar a equivalência entre os modelos, usamos o método de Imersão de Calibre de Noether e o método da ação mestra (ambos utilizados com sucesso no caso do estudo da equivalência entre modelos bosônicos e fermiônicos de spin mais baixo). Os desafios dessa tese consistem na elaboração de uma ação mestra que conecte e demonstre a equivalência quântica entre os modelos de spin 3/2, onde são apresentados os cálculos no segundo capítulo. Para partículas de spin 5/2 utilizamos o método de Imersão de Calibre de Noether para a obtenção do maior número possível de modelos auto-duais sem levar em conta os campos auxiliares e os termos de fontes da teoria. Partindo de um modelo de primeira ordem, encontramos mais dois modelos, que são de segunda e terceira ordem respectivamente. Esses cálculos são mostrados no terceiro capítulo. Para partículas de spin 4, nós também usamos o método de imersão de calibre e, partindo do modelo de primeira ordem nas derivadas, encontramos dois novos modelos, que são de segunda e terceira ordem nas derivadas. Mostramos também que ao simetrizarmos o campo ωρ(αβγ), tensor utilizado para a descrição do modelo inicial, recuperamos o resultado obtido por Deser e Yang no trabalho [32]. Apresentamos uma notação simplética para teoria de spin 4, partindo da ação de segunda ordem encontrada e indicamos como serão os acoplamentos com os campos auxiliares para que o modelo de terceira ordem não contenham fantasmas. Finalizamos com uma discussão sobre os problemas e resultados. Ao longo do texto usaremos a métrica (−,+,+) e ε012 = 1. 16 2 TEORIAS MASSIVAS DE SPIN 3/2 2.1 A IDEIA DA AÇÃO MESTRA Neste capítulo estudaremos modelos lagrangeanos massivos que descrevem partículas de spin 3/2. Esses modelos diferem entre si pela ordem das derivadas, onde um deles é de primeira e o outro de segunda ordem. O modelo de primeira ordem nas derivadas foi proposto por [21] e vem dado por: −iS3/2 AD(1) = ∫ d3x [ − εµαβψ̄µ∂αψβ +mεµαβψ̄µγαψβ ] , (1) onde ψ̄µ e ψµ são matrizes cujas componentes são espinores de Majorana e o parâmetro m é a massa da partícula. Os índices gregos são as componentes do espaço-tempo (0, 1 e 2) e os campos espinoriais obedecem a relação ψ̄µ = (ψµ)†γ0. As matrizes γµ são reais cujas componentes são dadas em termos das matrizes de Pauli (γ0 = iσ2, γ1 = σ1 e γ2 = σ3) e satisfazem a álgebra γµγν = ηµν + εµναγ α. O trabalho [20] mostra que na ação (1) o termo de massa quebra a invariância de calibre dada pela transformação de reparametrização δψµ = ∂µξ e δψ̄µ = ∂µξ̄ e, ao implementá-la, os autores obtiveram um modelo de segunda ordem nas derivadas dado por: −iS3/2 AD(2) = ∫ d3x [ − εµαβψ̄µ∂αψβ − 1 2m εµαβ∂αψ̄βγνγµε νρλ∂ρψλ ] . (2) Vemos que a ação acima é invariante sob a transformação de calibre implantada e o termo de massa que quebrava essa simetria foi cancelado nos cálculos durante o processo de implementação. Podemos encontrar uma única ação que interpole entre esses modelos e, a essa ação, chamamos de ação mestra. Para construir tal ação mestra, lançaremos mão de campos auxiliares onde, fazendo somente uma mudança nos campos, recuperamos os modelos de primeira e segunda ordem acima citados. Para essa interpolação, propomos a seguinte ação: −iSM = ∫ d3x [ − εµαβψ̄µ∂αψβ +mεµαβψ̄µγαψβ + εµαβ(ψ̄µ − χ̄µ)∂α(ψβ − χβ) ] , (3) onde a equação acima é composta pelo campo principal ψ̄ e seu adjunto e por um termo de mistura composto pelo campo auxiliar χ̄ e adjunto, onde estes possuem as mesmas características que os campos principais. Com essa proposta vemos que, se fizermos a mudança no campo auxiliar tal que: χ̄µ → ψ̄µ + χ̄µ, χβ → ψβ + χβ, (4) recuperaremos o modelo lagrangeano de spin 3/2 de primeira ordem dado pela ação (1). Após as mudanças de variáveis acima, teremos um termo tipo Chern-Simons com os campos χ̄µ e χµ, o qual 17 está completamente desacoplado da teoria. Esse termo não possui conteúdo físico, conforme mostrado no anexo I e, portanto, podemos desprezá-lo. Dessa forma, podemos afirmar que a equação (3) se reduz à equação (1). Agora, ao efetuarmos o produto do terceiro termo da equação (3) teremos: −iSM = ∫ d3x [ mεµαβψ̄µγαψβ − εµαβψ̄µ∂αχβ − εµαβχ̄µ∂αψβ + εµαβχ̄µ∂αχβ ] . (5) Fazendo as seguintes mudanças nos campos: ψβ → ψβ − 1 2m ερτλγργβ∂τχλ ; ψ̄µ → ψ̄µ − 1 2m εσθν∂θχ̄σγµγν , (6) e as substituindo em (5) teremos: −iSM = ∫ d3x [ εµαβψ̄µ∂αψβ − 1 2m εσρλ∂ρψ̄λγµγσε µαβ∂αψβ ] . (7) O resultado acima é o modelo de segunda ordem da teoria de spin 3/2 em D = 2 + 1 dimensões dada pela ação (2) . Portanto, a ação dada pela equação (3) interpola entre os modelos de primeira e segunda ordem através de mudanças específicas nos campos. A ação mestra apresentada pela equação (3) foi primeiramente proposta pelos autores Deser e Kay no trabalho [21]. Da forma como estamos prestes a sistematizar nesta tese, a construção da ação mestra seguirá a seguinte lógica: identificaremos no modelo auto-dual de mais baixa ordem nas derivadas o termo invariante pelo maior número de simetrias de calibre e checaremos que esse termo por si só é livre de conteúdo físico, o que pode ser feito, por exemplo, através da análise de vínculos canônica e em seguida, usamos esse termo como termo de mistura na construção da ação mestra. No modelo auto-dual de primeira ordem dada pela equação (1), isso é precisamente o termo tipo Chern-Simons. No anexo I apresentamos ao leitor a análise de vínculos deste termo explicitamente. 2.2 A INTRODUÇÃO DE FONTES A introdução de fontes no processo de construção de ações mestras permitirá o mapeamento dual entre as equações de movimento, bem como a comparação das funções de correlação como veremos a seguir. Vamos fazer agora uma primeira generalização dos resultados do trabalho de Deser e Kay, [21]. Introduzindo fontes para os campos ψ̄µ e seu adjunto, teremos o seguinte modelo de primeira ordem nas derivadas: −iS3/2 AD(1) = ∫ d3x [ − εµαβψ̄µ∂αψβ +mεµαβψ̄µγαψβ + ψ̄µJ µ + J̄µψµ ] , (8) onde J̄µ e seu adjunto são termos de fonte. Novamente, o termo de massa da equação acima quebra a invariância de calibre por reparametrização e os autores do trabalho [20] mostraram que, ao implementá- la, obtiveram um modelo de segunda ordem nas derivadas dado por: −iS3/2 AD(2) = ∫ d3x [ 1 2m εµαβ∂αχ̄µγσγβε σνρ∂νχρ + εµαβχ̄µ∂αχβ + J̄βFβ − F̄τJτ 18 − 1 2m J̄νγµγνJ µ ] , (9) onde definiu-se os termos Fβ = 1 2m γργβε ρτλ∂τχλ e F̄τ = 1 2m εµαβ∂αχ̄µγτγβ . Dessa forma propomos a seguinte ação mestra que interpola entre os modelos de primeira e segunda ordem com fontes acima citados: −iSM = ∫ d3x [ − εµαβψ̄µ∂αψβ +mεµαβψ̄µγαψβ + εµαβ(ψ̄µ − χ̄µ)∂α(ψβ − χβ) + ψ̄µJ µ + J̄µψµ ] , (10) onde introduzimos um termo de mistura composto pelo campo auxiliar χ̄ e seu adjunto. Com exceção dos termos de fonte, a equação acima é idêntica à equação (3). Ao fazermos a mudança nos campos auxiliares dada pela equação (4) recuperamos o modelo lagrangeano de spin 3/2 de primeira ordem com fontes dado pela ação (8). Agora, se fizermos a multiplicação do terceiro termo na ação acima e tomarmos a mudança nos campos dada pela equação (6) obteremos: −iSM = ∫ d3x [ mεµαβψ̄µγαψβ + εµαβχ̄µ∂αχβ − 1 2m εσρλ∂ρχ̄λγµγσε µαβ∂αχβ + J̄β [ ψβ − 1 2m ερτλγργβ∂τχλ ] + [ ψ̄µ − 1 2m εσθν∂θχ̄σγµγν ] Jµ ] . (11) No resultado acima percebemos que embora os campos χ e ψ tenham se desacoplado ainda, existem termos de acoplamento envolvendo as fontes fazendo-se necessário uma nova mudança de variáveis dada por: ψβ → ψβ − 1 2m γνγβJ ν ; ψ̄µ → ψ̄µ − 1 2m J̄σγµγσ, (12) e quando as substituirmos na equação (11) obteremos: −iSM = ∫ d3x [ 1 2m εµαβ∂αχ̄µγσγβε σνρ∂νχρ + εµαβχ̄µ∂αχβ + J̄βFβ − F̄τJτ − 1 2m J̄νγµγνJ µ ] . (13) Os termos F̄τ e Fβ são conhecidos como duais e permitem a obtenção das equações de movimento do modelo auto-dual de primeira ordem, dada pela equação (1), a partir do modelo de segunda ordem, dada pela equação (2) e o trabalho [20] traz com detalhes essa demonstração. Notemos também que F̄τ e Fβ são invariantes pela transformação de calibre por reparametrização (δχµ = ∂µξ e δχ̄µ = ∂µξ̄). Desta forma vemos que a ação mestra proporciona o mapeamento entre os objetos invariantes de calibre: 19 ψ̄µ −→ F̄ µ(χ̄); ψµ −→ F µ(χ) (14) Vemos também que um termo quadrático nas fontes surge durante o processo. Adiante mostraremos que eles dão origem aos chamados termos de contato na comparação entre as funções de correlação no estudo da equivalência quântica. Portanto, o resultado acima é o modelo de segunda ordem da teoria de spin 3/2 com fontes em D = 2 + 1 dimensões como o obtido pelos autores no trabalho [20] . Notemos que o acoplamento das fontes agora se dá com a derivada do campo. Os campos ψ e seu adjunto aparecem somente no termo mεµαβψ̄µγαψβ e este está completamente desacoplado do restante da ação e, portanto, podemos ignorá-lo por não possuir conteúdo físico como mostra o anexo A. 2.3 INTERPOLANDO COM UM NOVO MODELO Na seção anterior estudamos a equivalência entre as ações de primeira e segunda ordem nas derivadas e encontramos uma ação mestra que interpola entre eles. Notemos que no modelo de segunda ordem nas derivadas, o termo tipo Chern-Simons quebra a invariância de calibre do tipo γ-Weyl (δψµ = γµΛ; δψ̄µ = Λ̄γµ). A referência [20] nos mostra que ao implementar essa simetria no modelo de segunda ordem, obtém-se um modelo de ordem mais alta (de terceira ordem) que também é invariante pela transformação de calibre por reparametrização implementada anteriormente. Queremos encontrar uma ação mestra que interpola entre o modelo de segunda ordem nas derivadas, trabalhado na seção anterior (modelo sem fontes) e o modelo de terceira ordem obtido pelo trabalho [20]. Então os modelos que trabalharemos serão: −iS3/2 AD(2) = ∫ d3x [ εµαβχ̄µ∂αχβ − 1 2m εσρλ∂ρχ̄λγµγσε µαβ∂αχβ ] , (15) e o modelo de terceira ordem é dado por −iS3/2 AD(3) = ∫ d3x [ 1 2m εσρλ∂ρχ̄λγµγσε µαβ∂αχβ − 1 4m2 εµαβερτκενλσχ̄µγργβγνγκ∂α∂τ∂λχσ ] . (16) Para interpolar entre esses modelos, propomos a seguinte ação mestra: −iSM = ∫ d3x [ εµαβχ̄µ∂αχβ − 1 2m εσρλ∂ρχ̄λγµγσε µαβ∂αχβ + 1 2m εσρλ∂ρ(χ̄λ − Ψ̄λ)γµγσε µαβ∂α(χβ −Ψβ) ] , (17) onde acrescentamos um termo de mistura composto pelos campos auxiliares Ψ̄ e seu adjunto, sendo que estes possuem as mesmas características dos campos originais χ̄ e seu adjunto. Vejam que traçamos 20 exatamente a mesma lógica usada anteriormente, ou seja, gostaríamos de provar a equivalência entre as ações dada pelas equações (15) e (16) respectivamente, indo ao modelo de ordem mais baixa nas derivadas, equação (15), e identificamos o termo com mais simetrias (o termo de segunda ordem). Em seguida checamos que ele é livre de conteúdo físico pelo método da análise de vínculos e então o usamos como termo de mistura na construção da ação mestra, dada pela equação (17), introduzindo campos auxiliares. Com essa proposta vemos que se tomarmos a seguinte mudança nos campos auxiliares dadas por: Ψ̄λ → χ̄λ + Ψ̄λ; Ψβ → χβ + Ψβ, (18) recuperaremos o modelo lagrangeano de spin 3/2 de segunda ordem dada pela equação (15). Novamente notemos que o termo de segunda ordem nas derivadas composto pelos campos Ψ̄ e seu adjunto pode ser negligenciado por não possuir conteúdo físico e se encontra completamente desacoplado do restante da ação. Agora, se efetuarmos o produto do terceiro termo de (17) teremos: −iSM = ∫ d3x [ εµαβχ̄µ∂αχβ − 1 2m εσρλ∂ρχ̄λγµγσε µαβ∂αAβ − 1 2m εσρλ∂ρΨ̄λγµγσε µαβ∂αχβ + 1 2m εσρλ∂ρΨ̄λγµγσε µαβ∂αΨβ ] . (19) Ao reescrevermos a equação acima na seguinte forma −iSM = ∫ d3x [ χ̄µ + 1 2m εθτπ∂τ Ψ̄πγµγθ ] εµαβ∂α [ χβ + 1 2m γσγβε σρλ∂ρΨλ ] − 1 4m2 εθτπ∂τ Ψ̄πγµγθγσγβε µαβεσρλ∂α∂ρΨλ + 1 2m εσρλ∂ρΨ̄λγµγσε µαβ∂αΨβ, (20) vemos que, quando fizermos as seguintes mudanças nos campos: χ̄µ → χ̄µ − 1 2m εθτπ∂τ Ψ̄πγµγθ ; χβ → χβ − 1 2m γσγβε σρλ∂ρΨλ, (21) iremos obter: −iSM = ∫ d3x [ χ̄µε µαβ∂αχβ − 1 4m2 εθτπ∂τ Ψ̄πγµγθγσγβε µαβεσρλ∂α∂ρΨλ + 1 2m εσρλ∂ρΨ̄λγµγσε µαβ∂αΨβ ] . (22) A ação acima é composta pelos campos χ̄ e Ψ̄ e seus respectivos adjuntos. O campo χ̄ está presente somente o termo χ̄µεµαβ∂αχβ e, esse termo isolado, não possui conteúdo físico como mostra o anexo A e por isso podemos desprezá-lo. Dessa forma ficamos: 21 −iSM = ∫ d3x [ − 1 4m2 εθτπ∂τ Ψ̄πγµγθγσγβε µαβεσρλ∂α∂ρΨλ + 1 2m εσρλ∂ρΨ̄λγµγσε µαβ∂αΨβ ] . (23) O resultado acima é o modelo de terceira ordem obtido pelos autores do trabalho [20] e é idêntico à equação (16). Portanto, a ação mestra proposta, equação (17), interpola entre os modelos de segunda e terceira ordem para teorias sem fontes. 2.4 INTRODUZINDO FONTES NA AÇÃO MESTRA Trabalhando com a ação de segunda ordem nas derivadas contendo os termos de fonte, queremos encontrar uma ação mestra que interpola entre os modelos de segunda e terceira ordem. O modelo de terceira ordem com fontes foi encontrado pelos autores do trabalho [20] e vem dado por: −iS3/2 AD(3) = ∫ d3x [ 1 2m f̄µ(ψ̄)γνγµf ν(ψ)− 1 4m2 εαλβ f̄µ(ψ̄)γαγµγνγβ∂λf ν(ψ) + ḠµJ µ + J̄µGµ ] , (24) onde definiu-se os termos f̄µ(ψ̄) = εµαβ∂αψ̄β , f ν(ψ) = εναβ∂αψβ , Ḡµ ≡ 1 4m2 ε ναβ∂αf̄ σ(ψ̄)γβγσγµγν e Gµ ≡ 1 4m2 ε βανγνγµγσγβ∂αf σ(ψ). Para fazermos a interpolação entre os modelos, propomos a seguinte ação mestra: −iSM = ∫ d3x [ εµαβχ̄µ∂αχβ − 1 2m εσρλ∂ρχ̄λγµγσε µαβ∂αχβ + 1 2m εσρλ∂ρ(χ̄λ − Ψ̄λ)γµγσε µαβ∂α(χβ −Ψβ) − F̄τ (χ̄)Jτ + J̄τFτ (χ)− 1 2m J̄τγµγτJ µ ] . (25) Os termos de mistura são compostos pelos campos auxiliares Ψ̄ e seu adjunto, onde eles apresentam as mesmas características que os campos originais χ̄ e seu adjunto. Percebam que fizemos a introdução dos termos de fontes acoplados com os duais invariantes de calibre F̄ µ(χ̄) e F µ(χ). Vemos que, se fizermos as seguintes mudanças nos campos auxiliares dado pela equação (18) recuperaremos o modelo lagrangeano de spin 3/2 de segunda ordem com fontes dada pela equação (13). Agora, se efetuarmos o produto do terceiro termo da ação acima, conseguimos reescrever a ação mestra da seguinte forma: 22 −iSM = ∫ d3x [ χ̄µ + 1 2m εθτπ∂τ Ψ̄πγµγθ ] εµαβ∂α [ χβ + 1 2m γσγβε σρλ∂ρΨλ ] − 1 4m2 εθτπ∂τ Ψ̄πγµγθγσγβε µαβεσρλ∂α∂ρΨλ + 1 2m εσρλ∂ρΨ̄λγµγσε µαβ∂αΨβ − 1 2m εµαβ∂αχ̄µγτγβJ τ + 1 2m J̄τγµγτ ε µαβ∂αχβ − 1 2m J̄τγµγτJ µ, (26) vemos que, se tomarmos a mudança nos campos dado por: χ̄µ → χ̄µ − 1 2m εθτπ∂τ Ψ̄πγµγθ ; χβ → χβ − 1 2m γσγβε σρλ∂ρΨλ, (27) e a substituirmos em (26), veremos que essa primeira mudança de variáveis tem como objetivo o desacoplamento entre os campos originais χ̄ e seu adjunto dos campos auxiliares Ψ̄ e seu adjunto. Portanto teremos: −iSM = ∫ d3x { χ̄µε µαβ∂αχβ − 1 4m2 εθτπ∂τ Ψ̄πγµγθγσγβε µαβεσρλ∂α∂ρΨλ + 1 2m εσρλ∂ρΨ̄λγµγσε µαβ∂αΨβ − 1 2m J̄τγµγτJ µ − 1 2m εµαβ∂α [ χ̄µ − 1 2m εθρπ∂ρΨ̄πγµγθ ] γτγβJ τ + 1 2m J̄τγµγτε µαβ∂α [ χβ − 1 2m γσγβε σρλ∂ρΨλ ]} . (28) Na equação anterior, os termos de fontes estão acoplados com os campos χ e Ψ e para os desaco- plarmos, manipularemos os termos acima de tal forma a reescrevê-los da seguinte maneira: −iSM = ∫ d3x [ χ̄µ + 1 2m J̄τγµγτ ] εµαβ∂α [ χβ + 1 2m γλγβJ λ ] − 1 4m2 J̄τγµγτγλγβε µαβ∂αJ λ − 1 2m J̄τγµγτJ µ + 1 4m2 εβαµεθτπ∂τ Ψ̄πγµγθγλγβ∂αJ λ + 1 4m2 ∂αJ̄ τγµγτγσγβε µαβεσρλ∂ρΨλ − 1 4m2 εθτπ∂τ Ψ̄πγµγθγσγβε µαβεσρλ∂α∂ρΨλ + 1 2m εσρλ∂ρΨ̄λγµγσε µαβ∂αΨβ. (29) Dessa forma, podemos promover uma segunda mudança de variáveis que desacopla os campos das fontes, dada por: χ̄µ → χ̄µ − 1 2m J̄τγµγτ ; χβ → χβ − 1 2m γλγβJ λ, (30) 23 e com isso obteremos: −iSM = ∫ d3xχ̄µε µαβ∂αχβ − 1 4m2 J̄τγµγτγλγβε µαβ∂αJ λ − 1 2m J̄τγµγτJ µ + 1 4m2 εβαµεθτπ∂τ Ψ̄πγµγθγλγβ∂αJ λ + 1 4m2 ∂αJ̄ τγµγτγσγβε µαβεσρλ∂ρΨλ − 1 4m2 εθτπ∂τ Ψ̄πγµγθγσγβε µαβεσρλ∂α∂ρΨλ + 1 2m εσρλ∂ρΨ̄λγµγσε µαβ∂αΨβ. (31) Na equação acima vemos que a dependência nos campos χ̄ e seu adjunto aparece somente no primeiro termo e, como esse termo não possui conteúdo físico conforme mostrado no anexo A, podemos desprezá-lo. Dessa forma temos: −iSM = ∫ d3x 1 2m εσρλ∂ρΨ̄λγµγσε µαβ∂αΨβ − 1 4m2 εθτπ∂τ Ψ̄πγµγθγσγβε µαβεσρλ∂α∂ρΨλ − Ḡλ(Ψ̄)Jλ − J̄τGτ (Ψ)− 1 4m2 J̄τγµγτγλγβε µαβ∂αJ λ − 1 2m J̄τγµγτJ µ. (32) Percebemos que Ḡλ(Ψ̄) e Gτ (Ψ) são os duais acoplados às fontes, os quais são invariantes pelas transformações tanto por reparametrização quanto por γ-Weyl. Com os novos duais podemos concluir que existe o seguinte mapeamento dual entre os modelos auto-duais de primeira, segunda e terceira ordem: ψ̄ −→ F̄ ; ψ −→ F ; F̄ −→ Ḡ; F −→ G, (33) o que nos revela uma possibilidade de existir uma única ação mestra interpolando entre os modelos. Veremos que isso é de fato possível mais adiante. Antes, porém, fugiremos ligeiramente do foco dessa tese e apresentaremos uma ação mestra que interpola entre os modelos de dubletos de spin 3/2. 2.5 AÇÃO MESTRA DE DUBLETOS MASSIVOS DE PARTÍCULAS DE SPIN 3/2 Nesta seção estudaremos ações que descrevem dubletos massivos de partículas de spin 3/2, isto é, os modelos descrevem ambas helicidades +3/2 e −3/2. A ação de partida é um modelo de segunda ordem nas derivadas apresentado pela referência [20] e vem dado por: −iS3/2 AD(2) = ∫ d3x [ − 1 4 εµνα∂νψ̄αγνγµε νρλ∂ρψλ − m2 2 εµνβψ̄µγνψβ + ψ̄βJ β + J̄βψβ ] , (34) 24 onde m é a massa da partícula, J̄µ e seu adjunto são fontes externas. O termo de massa do modelo acima quebra a invariância de calibre dada pela transformação por reparametrização. Os autores do trabalho [20] implementaram essa simetria e obtiveram um modelo de quarta ordem nas derivadas dado por: −iS3/2 AD(4) = ∫ d3x [ − 1 16m εµψκ∂ψ∂λψ̄κε λναγνγµγσγαγβγρε ρθσ∂θε β$ς∂$ψς + 1 4 εµλβ∂λψ̄βγνγµε νσρ∂σψρ + 1 2m J̄µε ρθσ∂θγσγ µγβγρε βκα∂κψα − 1 2m ελνα∂λε µρθ∂ρψ̄θγνγµγσγαJ σ ] . (35) Procuraremos uma ação mestra que interpola entre os dois modelos de dubletos acima citados. Iremos acrescentar um termo de mistura de segunda ordem nas derivadas contendo os campos auxiliares χ̄ e seu adjunto da seguinte forma: −iSM = ∫ d3x [ − 1 4 εµνα∂νψ̄αγβγµε βρλ∂ρψλ − m2 2 εµνβψ̄µγνψβ + ψ̄βJ β + J̄βψβ + 1 4 εµνα∂ν(ψ̄α − χ̄α)γβγµε βρλ∂ρ(ψλ − χλ) ] . (36) Na ação acima, se tomarmos os campo auxiliares como χ̄α → ψ̄α + χ̄α e χα → ψα + χα recuperaremos a ação dada pela equação (34). Agora, se fizermos a distributiva no último termo de (36), obteremos: −iSM = ∫ d3x [ − m2 2 εµνβψ̄µγνψβ + ψ̄βJ β + J̄βψβ − 1 4 εαλµ∂λψ̄µγνγαε νρλ∂ρχλ − 1 4 εµλα∂λχ̄αγνγµε νρλ∂ρψλ + 1 4 εµλα∂λχ̄αγνγµε νρλ∂ρχλ ] . (37) Ao fazermos as seguintes mudanças nos campos: ψτ → ψτ − 1 4m2 γµγτγνγαε αλµ∂λε νρβ∂ρχβ + 1 m2 γµγτJ µ (38) e ψ̄τ → ψ̄τ − 1 4m2 εαλµ∂λε νρβ∂ρχ̄βγαγνγτγµ + 1 m2 J̄µγτγµ (39) e as substituirmos em (37), desacoplaremos ao mesmo tempo os campos originais tanto dos campos auxiliares quanto dos termos de fonte, obtendo o seguinte resultado: 25 −iSM = ∫ d3x [ 1 16m2 ενψλ∂ψε µκα∂κχ̄αγνγµγθγλγεγςε ςηθ∂ηε επγ∂πχγ − 1 4 εαλµ∂λχ̄µγνγαε νρλ∂ρχλ + 1 2m2 εαλµ∂λε νκβ∂κχ̄βγαγνγθγµJ θ + 1 2m2 J̄θγτγθγνγαε αλτ∂λε νκβ∂κχβ ] . (40) O resultado acima é o mesmo obtido pela referência [20] para o modelo de quarta ordem. Notemos que o campo ψ̄ e seu adjunto aparece somente no termo εµαβενλσ∂αψ̄βγνγµ∂λψσ. Esse termo não possui conteúdo físico conforme o anexo B e por isso podemos ignorá-lo na ação acima. Portanto, a ação mestra dada pela equação (36) interpola entre os modelos de segunda e terceira ordem de dubletos massivos de spin 3/2. 2.6 A NOTAÇÃO Ω PARA OS MODELOS DE SPIN 3/2 2.6.1 O caso dos singletos Na seção anterior, encontramos ações mestras para os modelos de singletos e dubletos de partículas spin 3/2 com e sem fontes. Essas tais ações mestras nos permitem mostrar a equivalência quântica entre os modelos interpolados, uma vez que classicamente esses modelos já são equivalentes entre si devido à equação de movimento da ação de ordem mais baixa estar contida no modelo de ordem superior via os mapeamentos duais. Para mostrar a equivalência quântica, vamos inserir uma notação simplética para as ações anteriormente encontradas. Assim definimos os termos: ∫ d3x εµναψ̄µγνψα ≡ ∫ (ψ̄ψ),∫ d3x εµναψ̄µ∂νψα ≡ ∫ ψ̄.dψ, (41) onde εµνα∂ν ≡ (.d)µα. Seguindo com as definições, vamos introduzir o operador de segunda ordem nas derivadas Ωµ(ψ) dado por: Ωµ(ψ) = γνγµf ν(ψ). (42) Logo, o termo de segunda ordem nas derivadas fica escrito da seguinte forma: ∫ d3x f̄µ(ψ)γνγµf ν(ψ) = ∫ d3x ετβµψ̄τ∂βΩµ(ψ) ≡ ∫ ψ̄.dΩ(ψ). (43) 26 Essa notação estabelece uma uniformidade entre as teorias de calibre de spin 2, 3 e 3/2 e ainda mais, observemos que o operador Ω é auto-adjunto, ou seja: ∫ ĀdΩ(B) = ∫ B̄dΩ(A), (44) o que facilita as operações de integração das ações estudadas. Veremos que no caso de uma teoria com alta proliferação do número de índices, como é o caso do spin 4, essa notação será particularmente interessante. Com essas definições em mãos, podemos reescrever as ações trabalhadas anteriormente da seguinte maneira: −iS3/2 AD(1) = ∫ [ − ψ̄.dψ +m(ψ̄ψ) ] , (45) sendo esta a ação de primeira ordem nas derivadas dada pela equação (1). Já a ação (2) é escrita na forma: −iS3/2 AD(2) = ∫ [ − 1 2m ψ̄.dΩ(ψ) + ψ̄.dψ ] . (46) A ação de terceira ordem dada pela equação (16) será: −iS3/2 AD(3) = ∫ [ 1 4m2 Ω̄(ψ̄).dΩ(ψ) + 1 2m ψ̄.dΩ(ψ) ] . (47) Dessa forma, reescrevemos os modelos anteriormente trabalhados para a obtenção das ações mestras em uma forma compacta. Para encontrarmos a equivalência quântica entre os modelos, sugerimos uma única ação mestra tripla e com fontes que interpole entre os modelos de singletos, (45), (46) e (47). Para tal objetivo propomos a seguinte ação: SM = − ∫ ψ̄.dψ +m ∫ (ψ̄ψ) + ∫ (ψ̄ − χ̄).d(ψ − χ) + 1 2m ∫ (φ̄− χ̄).dΩ(φ− χ) + ∫ d3x(J̄µψµ + ψ̄µJµ), (48) onde introduzimos dois termos de misturas compostos pelos campos auxiliares χ̄, φ̄ e seus respectivos adjuntos. O campo χ̄ e seu adjunto está acoplado por uma relação de primeira ordem nas derivadas com o campo original ψ̄ e seu adjunto, como mostra o terceiro termo da equação acima. Já o campo φ̄ e seu adjunto se acoplam com o campo auxiliar χ por uma relação de segunda ordem nas derivadas dado pelo quarto termo da equação acima. Já os termos de fontes J̄µ com seu adjunto se acoplam com os campos originais ψ̄µ e seu adjunto. Para encontrarmos a equivalência quântica entre os modelos, devemos encontrar a equivalência entre as funções de correlação entre a ação mestra e os modelos de primeira, segunda e terceira ordem nas derivadas dadas pelas equações (45), (46) e (47). Para 27 mostrarmos isso, introduzimos o funcional gerador para a ação mestra dado por: W [J̄ , J ] = ∫ Dψ̄DψDχ̄DχDφ̄Dφ e i [ SM+ ∫ d3x(J̄µψµ+ψ̄µJµ) ] . (49) Ao fazermos as seguintes mudanças nos campos auxiliares na equação acima, onde φ̄→ φ̄+ χ̄, φ → φ + χ, χ̄ → χ̄ + ψ̄ e χ → χ + ψ, teremos que os termos de mistura serão desacoplados e assim poderemos integrá-los funcionalmente. Essa integração pode ser feita, pois o termo dependente tanto do campo χ̄ e φ̄ são sem conteúdo físico mostrado pelos anexos A e B e discutidos nas seções anteriores. Portanto, fazendo as integrações funcionais obtemos: W [J̄ , J ] = ∫ Dψ̄Dψe i [ −iS3/2 AD(1) + ∫ d3x(J̄µψµ+ψ̄µJµ) ] . (50) Podemos obter as funções de correlação derivando os funcionais (49) e (50) respectivamente com respeito as fontes e mostrar que, em primeira ordem, o modelo auto-dual (45) é equivalente a ação mestra (48). Fazendo as derivações teremos: 〈ψµ1(x1)...ψµN(xN)〉SM = 〈ψµ1(x1)...ψµN(xN)〉−iS3/2 AD(1) ; 〈ψ̄µ1(x1)...ψ̄µN(xN)〉SM = 〈ψ̄µ1(x1)...ψ̄µN(xN)〉−iS3/2 AD(1) , (51) onde, nas equações acima, mostram que a função de N pontos para a ação mestra é a mesma que a obitida para a ação de primeira ordem. No entanto, ao trabalharmos o terceiro termo da ação mestra (48), podemos escrevê-la da seguinte forma: SM = m ∫ (ψ̄ψ) + ∫ (ψ̄µUµ + Ūµψµ) + 1 2m ∫ (φ̄− χ̄).dΩ(φ− χ), (52) onde definimos o termo Ūµ = f̄(χ̄)µ + J̄µ e Uµ = f(χ)µ + Jµ. Podemos desacoplar o campo ψ e seu adjunto fazendo a seguinte mudança nos campos: ψ̄µ → ψ̄µ − 1 2m Ūνγµγν ; ψµ → ψµ − 1 2m γνγµUν , (53) onde ao substituirmos as mudanças acima na equação (52) obteremos um desacoplamento do termo de massa. Esse termo não possui conteúdo físico e podemos integrá-lo obtendo: W [J̄ , J ] = ∫ Dχ̄DχDφ̄Dφ exp i [ − iS3/2 AD(2) + 1 2m ∫ (φ̄− χ̄).dΩ(φ− χ) 28 + ∫ d3x ( J̄µFµ(χ) + F̄ µ(χ̄)Jµ + 1 2m J̄µγνγµJ ν )] . (54) Na equação acima vemos que podemos desacoplar o termo de mistura, que é composto pelos campos φ e χ, fazendo as mudanças nos campos φ tais que φ̄ → φ̄ + χ̄ e φ → φ + χ. Com essas mudanças o termo que restará será sem conteúdo físico e poderemos integrá-lo encontrando o seguinte resultado: W [J̄ , J ] = ∫ Dχ̄Dχ exp i [ − iS3/2 AD(2) + ∫ d3x ( J̄µFµ(χ) + F̄ µ(χ̄)Jµ + 1 2m J̄µγνγµJ ν )] . (55) As funções de correlação são obtidas fazendo a derivação funcional da equação acima com respeito às fontes e elas são: 〈 ψµ1(x1)...ψµN(xN) 〉 −iS3/2 AD(1) = 〈Fµ1(χ)...FµN(χ)〉−iS3/2 AD(2) + T.C; 〈ψ̄µ1(x1)...ψ̄µN(xN)〉−iS3/2 AD(1) = 〈F̄µ1(χ̄)...F̄µN(χ̄)〉−iS3/2 AD(2) + T.C, (56) onde T.C é chamado de termo de contato e vem dado pelo termo quadrático nas fontes. Esse termo é proporcional à δµνδ(x− y) e pode ser desprezado nos cálculos, pois ele não será nulo somente quando x = y e µ = ν, ou seja, existe apenas locais específicos no espaço para que esse termo seja diferente de zero. Observemos que nós obtemos um mapeamento dual do termo Fµ, que são invariantes de calibre, coincidindo precisamente com o que obtivemos no nível clássico dado: ψ̄ν ↔ F̄ν = Ω̄ν(χ̄) 2m ; ψν ↔ Fν = Ων(χ̄) 2m . (57) Por fim, podemos mostrar a equivalência quântica para a ação de terceira ordem reescrevendo o funcional gerador dado pela equação (54), sem nenhuma mudança nos campos. Trabalhando com o segundo termo do funcional gerador podemos escrever, depois de algumas manipulações, a seguinte expressão: W [J̄ , J ] = ∫ Dχ̄DχDφ̄Dφ exp i [∫ ( χ̄− Ω̄(φ̄) 2m ) .d ( χ− Ω(φ) 2m ) − 1 4m2 ∫ Ω̄(φ̄).dΩ(φ) + 1 2m ∫ (φ̄− χ̄).dΩ(φ− χ) + ∫ d3x ( J̄µFµ(χ) + F̄ µ(χ̄)Jµ + 1 2m J̄µγνγµJ ν )] . (58) Para chegarmos ao resultado acima, usamos a propriedade ∫ φ̄.dΩ(χ) = ∫ Ω̄.d(χ̄). Tomando as 29 seguintes mudanças nos campos: χ̄→ χ̄+ Ω̄(χ̄) 2m ; χ→ χ+ Ω(χ) 2m , (59) e as substituindo na equação (58), teremos que os campos χ e φ serão desacoplados. Após essa mudança, devemos desacoplar o campo χ das fontes fazendo: χ̄µ → χ̄µ + J̄νγµγν 2m ; χµ → χµ + γνγµJ ν 2m . (60) O termo resultante, dependente do campo χ, é sem conteúdo físico e portanto, podemos integrá-lo funcionalmente obtendo o seguinte resultado: W [J̄ , J ] = ∫ Dφ̄Dφ exp i [ − iS3/2 AD(3) + ∫ d3x [ J̄µFµ (Ω(φ) 2m ) + F̄ µ (Ω̄(φ̄) 2m ) Jµ + 1 2m J̄µγνγµJ ν ]] . (61) Derivando em relação às fontes as equações (58) e (61) teremos que a equivalência quântica entre os modelos de segunda e terceira ordem nas derivadas é dada pelas funções de correlação como seguem: 〈 Fµ1(χ)...FµN(χ) 〉 −iS3/2 AD(2) = 〈 Fµ1 ( Ω(φ) 2m ) ...FµN ( Ω(φ) 2m )〉 −iS3/2 AD(3) + T.C; 〈F̄µ1(χ̄)...F̄µN(χ̄)〉−iS3/2 AD(2) = 〈 F̄µ1 ( Ω̄(φ̄) 2m ) ...F̄µN ( Ω̄(φ̄) 2m )〉 −iS3/2 AD(3) + T.C. (62) Com os resultados acima concluímos que podemos estender a equivalência das ações que interpolam entre os modelos de primeira, segunda e terceira ordem nas derivadas de partículas de spin 3/2 em D = 2 + 1 dimensões para o nível quântico. 2.6.2 O caso dos dubletos As ações que descrevem dubletos são dadas pelas equações (34), que é um modelo de segunda ordem nas derivadas e a equação (35) que é um modelo de quarta ordem nas derivadas. Reescrevendo-as na notação compacta que trabalhamos anteriormente teremos: −iS3/2 AD(2) = ∫ [ − 1 4 ψ̄.dΩ(ψ) + m2 2 (ψ̄ψ) ] , (63) sendo o modelo acima de segunda ordem nas derivadas. Já o modelo de quarta ordem será dado por: 30 −iS3/2 AD(4) = ∫ [ − 1 4m Ω̄(ψ̄).dΩ(Ω) + 1 2m ψ̄.dΩ(ψ) ] . (64) Dessa forma, propomos a segunte ação mestra que faz a interpolação entre os modelos acima: SM = ∫ [ − 1 4 ψ̄.dΩ(ψ) + m2 2 (ψ̄ψ) + 1 4 (ψ̄ − χ̄).dΩ(ψ − χ) + ψ̄µJ µ + J̄µψµ ] . (65) Notemos que o termo de mistura adicionado na ação mestra é de segunda ordem nas derivadas e composta pelo campo χ̄ e seu adjunto. De forma análoga ao que fizemos na seção anterior, comparare- mos as funções de correlação inserindo no funcional gerador as ações acima e encontrando as funções de correlação. Dessa forma teremos: W [J̄ , J ] = ∫ Dψ̄DψDχ̄Dχ exp i [ SM + ∫ d3x(J̄µψµ + ψ̄µJµ) ] . (66) Ao tomarmos as seguintes mudanças nos campos auxiliares tais que χ̄ → χ̄ − ψ̄ e χ → χ − ψ, teremos o desacoplamento dos termos de mistura. O termo composto pelo campo χ̄ e seu adjunto é sem conteúdo físico e, portanto, podemos integrá-lo funcionalmente obtendo: W [J̄ , J ] = ∫ Dψ̄Dψ exp i [ − iS3/2 AD(2) + ∫ d3x(J̄µψµ + ψ̄µJµ) ] . (67) Agora, se trabalharmos o último termo da equação (65), podemos reescrever a ação mestra da seguinte forma: SM = ∫ m2 2 (ψ̄ψ) + ∫ d3x(ψ̄µVµ + V̄µψµ) + 1 4 ∫ χ̄.dΩ(χ) + ∫ d3x(ψ̄µJ µ + J̄µψµ), (68) onde definimos V̄µ = −1 4 εµνα∂νΩ̄α + J̄µ e Vµ = −1 4 εµνα∂νΩα + Jµ. Para desacoplarmos o campo ψ com V faremos as seguintes mudanças: ψ̄µ → ψ̄µ − 1 m2 V̄νγµγν ; ψµ → ψµ − 1 m2 γνγµVν . (69) Substituindo-as na equação (68) e fazendo as devidas manipulações, os campos ψ são desacoplados de V . O termo dependente do campo ψ̄ e seu adjunto é sem conteúdo físico e podemos integrá-lo funcionalmente. Dessa forma teremos: W [J̄ , J ] = ∫ Dχ̄Dχ exp i { − iS3/2 AD(4) + ∫ d3x[J̄µGµ(χ) + Ḡµ(χ̄)Jµ 31 + O(J2)] } , (70) onde O(J2) se refere aos termos quadráticos nas fontes. O mapeamento dual neste caso, é dado pelo espinor vetor Gµ(χ) que é invariante sob uma transformação local do tipo reparametrização e γ-Weyl. De forma explicita: ψ̄µ ↔ Ḡµ = Ω̄(Ω̄(χ̄)) 4m2 ; ψµ ↔ Gµ = Ω(Ω(χ)) 4m2 . (71) As funções de correlação são obtidas derivando funcionalmente, com respeito as fontes, as equações (67) e (70). Assim, teremos que: 〈ψµ1(x1)...ψµN(xN)〉−iS3/2 AD(2) = 〈Gµ1(χ)...GµN(χ)〉−iS3/2 AD(4) + T.C, 〈ψ̄µ1(x1)...ψ̄µN(xN)〉−iS3/2 AD(2) = 〈Ḡµ1(χ̄)...ḠµN(χ̄)〉−iS3/2 AD(4) + T.C. (72) Observemos que, uma vez que temos termos quadráticos na fonte, a equivalência será satisfeita na presença de termos de contato. Além disso, pode-se verificar que as teorias de quarta ordem bem como os mapas duais são invariantes sob reparametrizações, enquanto o termo de quarta ordem é invariante sob a transformação do tipo γ-Weyl. A interpretação dos resultados obtidos no estudo da equivalência das teorias de spin 3/2 em termos da notação Ω, além de uniformizar com os casos bosônicos de spin 2 e 3, também permite a identificação de objetos de natureza "geométrica", onde veremos isso no caso das teorias de spin 4. Por ora vale ressaltar que os resultados obtidos neste capítulo, ações mestras e equivalência quântica entre os modelos de spin 3/2, podem ser encontrados na versão publicada em [24]. 32 3 MODELOS AUTO-DUAIS DE SPIN 5/2 3.1 MODELO DE PRIMEIRA ORDEM DE SPIN 5/2 Neste capítulo estudaremos modelos lagrangeanos massivos que descrevem partículas de spin 5/2 em D = 2 + 1 dimensões. Os campos apresentados para a descrição dessas partículas são espinores tensoriais de rank 2 representados por χ̄µν e seu adjunto χµν . Esses campos não possuem simetria definida entre os índices µ e ν e são γ-transverso com respeito ao segundo índice. Com a utilização somente desses campos espinorias, há um excesso de graus de liberdade na teoria e para eliminá-los são utilizado campos auxiliares, espinores de rank zero, acoplados com os campos de rank 2. No modelo de singleto de primeira ordem nas derivadas, o termo de massa quebra a invariância dada pela trasformação por reparametrização, δχµν = ∂µξν e δχ̄µν = ∂µξ̄ν , e o nosso objetivo é implementar essa simetria encontrando um novo modelo invariante sob tal transformação. Para fazermos isso, utilizamos a técnica da Imersão de Calibre de Noether (ICN) que consiste em fornecer simetrias à teorias que não são invariantes. A ação do modelo auto-dual massivo de primeira ordem da teoria de spin 5/2 proposto por [27] é: S 5/2 AD(1) = ∫ d3x [ iχ̄µνε µλρ∂λχ ν ρ − iµχ̄µαεµλργρχ α λ + 2iϕ̄εµλρ∂λχµρ + 2iaµχ̄ϕ− ip(a)ϕ̄γµ∂µϕ+ iq(a)µϕ̄ϕ ] , (1) onde o termo µ é a massa do campo espinorial, a é uma constante, p(a) ≡ 3a2 + 10a + 9 e q(a) ≡ 15a2+54a+45. Os campos ϕ̄ e seu adjunto são campos espinoriais de rank zero, cuja função é eliminar os graus de liberdade extras da teoria. Os campos χ̄µν e seu adjunto são campos tensoriais-espinoriais de Majorana e satisfazem as seguintes restrições: χ̄µνγ ν = 0; γνχµν = 0. (2) Essa condição é chamada de tensor-espinor γ-transverso de Majorana e através dela são eliminados 6 graus de liberdade na teoria. Para os cálculos seguintes usamos a convenção: • O campo χ̄µν = (χµν)†γ0; • (γ0)† = −γ0 e (γµ)† = γ0γµγ0; • As matrizes γα são reais e obedecem a relação γαγβ = ηαβ + εαβµγµ; • As componentes das matrizes γα são dadas em termos das matrizes de Pauli sendo γ0 = iσ2, γ1 = σ1 e γ2 = σ3. • a identidade εαβθ = γαγβγθ + ηαθγβ − ηαβγθ − ηβθγα é frequentemente utilizada nos cálculos. Para a obtenção dos resultados a seguir não foi levado em conta os termos de acoplamento com os campos auxiliares (ϕ e ϕ̄) apresentados na ação (1) e consideramos que os campos χµν e seu 33 adjunto são variáveis de Grassmann. Assim, tomando a variação da ação (1) em relação aos campos tensoriais-espinoriais χ̄µα e χρα teremos: δS 5/2 AD(1) = ∫ d3x δχ̄µα[iεµλρ∂λχ α ρ − iµεµλργρχ α λ ] + [iεµλρ∂λχ α µ + iµχ̄ α µ εµρλγλ]δχρα. (3) Na equação acima, os termos entre colchetes estão multiplicados por δχ̄µα e δχρα respectivamente. Esses termos são γ-transversos e, portanto, os termos entre colchetes também deverão apresentar essa característica. Dessa forma, definindo os termos entre colchetes como: Kµα = iεµλρ∂λχ α ρ − iµεµλργρχ α λ ; K̄ρα = iεµλρ∂λχ̄ α µ + iµχ̄ α µ εµρλγλ, (4) verificamos que a multiplicação matricial entre γα e Kµα, apresenta o seguinte resultado: γαK µα = −iµγαεµλργρχ α λ . (5) A equação acima mostra que o tensor Kµα não é γ-transverso. O mesmo acontece para K̄ρα quando multiplicamos pela direita a matriz γα. Para torná-los γ transversos, acrescentaremos o seguinte termo: • Para Kµα iµ 3 γαγβεµρλγλχρβ. (6) • Para K̄ρα −iµ 3 χ̄µβε µρλγλγ βγα. (7) Dessa forma, a equação (4) se torna: Kµα = iεµλρ∂λχ α ρ − iµεµλργρχ α λ + iµ 3 γαγβεµρλγλχρβ; K̄ρα = iεµλρ∂λχ̄ α µ + iµχ̄ α µ εµρλγλ − iµ 3 χ̄µβε µρλγλγ βγα. (8) Essas equações satisfazem a condição de um tensor γ-transverso e é a equação de movimento oriunda da variação da ação (1) com relação aos campos χ̄µα e seu adjunto. Notemos que a ação inicial 34 não é invariante sob a transformação de calibre por reparametrização dada por: δχ̄µα = ∂µξ̄α δχµα = ∂µξα, (9) pois o termo de massa da ação (1) quebra a transformação de calibre acima citada. Para implantar a essa trasnformação e obter uma nova ação, propomos um processo de iteração que se inicia com a introdução de campos auxiliares acoplados aos tensores de Euler. Como são conhecidos os tensores K̄ e K temos que o modelo proposto vem dado por: S̃ = S 5/2 AD(1) + ∫ d3x[K̄ραaρα − āµαKµα], (10) onde S̃ é a ação proposta, S5/2 AD(1) é a ação inicial dada por (1), K̄ρα e Kµα são as equações de movimento dadas pela equação (4), āµα e aρα são campos auxiliares de mesmas características dos campos originais χ̄µα e χρα. Tomando a variação da ação (10) obtemos que: δS̃ = δS 5/2 AD(1) + ∫ d3x[δK̄ραaρα − K̄ραδaρα − δāµαKµα + āµαδK µα]. (11) Como: δS 5/2 AD(1) = ∫ d3x[δχ̄µαK µα + χ̄ραδχρα], (12) então (11) ficará δS̃ = ∫ d3x[δχ̄µαK µα + χ̄ραδχρα + δK̄ραaρα − K̄ραδaρα − δāµαKµα + āµαδK µα]. (13) Implementando a transformação (9) na equação acima teremos: δS̃ = ∫ d3x[(∂µξ̄α)Kµα + K̄ρα(∂ρξα) + δK̄ραaρα − K̄ραδaρα − δāµαK µα + āµαδK µα]. (14) Observemos que, se escolhermos a variação dos campos auxiliares como: δaρα = ∂ρξα; δāµα = ∂µξ̄α, (15) obteremos: δS̃ = ∫ d3x[δK̄ραaρα + āµαδK µα]. (16) A equação acima mostra que a variação da ação proposta (δS̃) é dada pelas variações das equações de movimento, dada pela equação (8), multiplicada pelos campos auxiliares āµν e seu adjunto. Dessa 35 forma, calculando δK̄ρα e δKµα teremos: δK̄ρα = iεµλρ∂λδχ̄ α µ + iµδχ̄ α µ εµρλγλ − iµ 3 δχ̄µβε µρλγλγ βγα, δKµα = iεµλρ∂λδχ α ρ − iµεµρλγλδχ α ρ + iµ 3 γαγβεµρλγλδχρβ. (17) Substituindo a transformação de calibre dada por (9) nas equações acima, observaremos que os primeiros termos dessas equações serão nulos. Usando a equação (15), quando necessário, teremos que: δK̄ρα = +iµδā α µ εµρλγλ − iµ 3 δāµβε µρλγλγ βγα, δKµα = −iµεµρλγλδa α ρ + iµ 3 γαγβεµρλγλδaρβ. (18) Dessa forma, substituindo o resultado acima na equação (16) teremos: δS̃ = ∫ d3x [ − iµāµαεµλργρδa α λ + iµδā α µ εµλργρaλα ] δS̃ = ∫ d3x δ[iµāµαε µλργρa α λ ], (19) ou seja δ [ S̃ − ∫ d3x(iµāµαε µλργρa α λ ) ] ≡ δ[S 5/2 AD(2)] = 0, (20) onde definiremos: S 5/2 AD(2) = S̃ − ∫ d3x(iµāµαε µλργρa α λ ). (21) A equação acima é nossa ação com a transformação de calibre implantada em termos dos campos auxiliares āµα e seu adjunto. Os campos originais χ̄µν e seu adjunto estão presentes no primeiro termo da equação acima. Agora, devemos eliminar os campos auxiliares com a ajuda de suas equações de movimento. Então, tomando a variação da ação acima com respeito aos campos auxiliares teremos: δS 5/2 AD(2) = ∫ d3x [−K̄ρα + iµā α µ εµρλγλ]δaρα + δāµα[−Kµα − iµεµρλγλa α ρ ]. (22) Como δS5/2 AD(2) = 0, δaρα e δāµα são arbitrários, os termos entre colchetes são nulos. Atentemo-nos que devemos tornar esses termos γ-transversos. Fazendo isso obteremos: 36 −K̄ρα + iµā α µ εµρλγλ − iµ 3 āµβεµρλγλγβγ α = 0, −Kµα − iµεµσλγλa α σ + iµ 3 γαγβε µσλγλaσβ = 0. (23) Devemos expressar os campos auxiliares na equação acima em termos das equações de movimentos (4) e (8). Fazendo essa inversão teremos: āρα = 1 iµ [ − K̄ρα + 3 2 K̄ναγνγ ρ − K̄νργνγ α + 7 5 K̄γργα − 6 5 K̄ηαρ ] , aρα = 1 iµ [ Kρα − 3 2 γργνK να + γαγνK νρ − 7 5 γαγρK + 6 5 Kηαρ ] . (24) Os resultados acima mostram como os campos auxiliares são dados em termos dos campos originais da teoria e os detalhes dessa inversão estão presentes no anexo C. Com esses resultados em mãos, os substituiremos na ação proposta (21) e fazendo as simplificações necessárias, obteremos o seguinte modelo: S 5/2 AD(2) = S 5/2 AD(1) + ∫ d3x [ 1 iµ K̄ραKρα − 3 2iµ K̄ραγργ σKσα + 6 5iµ K̄K ] . (25) Por fim, basta substituirmos as equações de movimento dadas por (8) na equação acima e obteremos a ação S5/2 AD(2) em termos dos campos originais. Portanto: S 5/2 AD(2) = ∫ d3x [ − iχ̄µαEµρχ α ρ + i 2µ Eρµχ̄µαEρσχ σα + 3i 2µ Eρµχ̄ α µ ΓρσE σθχθα − 6i 5µ Eρµχ̄µρEασχ σα ] , (26) onde definimos por conveniência os termos: Eµν ≡ εµβν∂β Γµν ≡ εµναγα. (27) A equação acima é nossa ação com a transformação de calibre implantada. Observemos que partimos de uma ação de primeira ordem nas derivadas e obtivemos um modelo de segunda ordem. O termo de primeira ordem é mantido, mas com o sinal contrário à ação (1) e o termo de massa que quebrava a transformação de calibre foi cancelado durante o procedimento de imersão. No trabalho [26] os autores obtiveram os termos de segunda ordem do setor de spin 5/2 dado por: S(2) = i m ∫ d3x [1 2 f̄µνfµν − 6 5 f̄µµfµµ + 3 2 f̄µαγµνfνα ] , (28) 37 onde fµα ≡ εµνρ∂νψρα e γµν ≡ εαβνγν . Observemos que o resultado apresentado pela equação (26) mostra que obtemos os mesmos termos, com os mesmos coeficientes que os autores do trabalho [26], onde os termos semelhantes são: i 2µ Eρµχ̄µαEρσχ σα = 1 2 f̄µνfµν , 3i 2µ Eρµχ̄ α µ ΓρσE σθχθα = 3 2 f̄µαγµνfνα, 6i 5µ Eρµχ̄µρEασχ σα = 6 5 f̄µµfµµ. (29) Portanto, temos que pelo processo de implementação de simetria encontramos um modelo de segunda ordem nas derivadas cujos termos são exatamente os termos propostos pelos autores do trabalho [26], fortalecendo o processo sistemático de implementação de simetria para modelos fermiónicos de spin alto. 3.2 MODELO DE SEGUNDA ORDEM DE SPIN 5/2 No modelo de segunda ordem obtido na seção anterior, equação (26), o termo de primeira ordem nas derivadas quebra a invariância de calibre dada pela transformação: δχµα = 1 3 (2ηαβ − Γαβ)γµΘβ(x), (30) onde o espinor Θβ(x) é um vetor espinor dependente da posição e γ-transverso com respeito ao seu índice (γβΘβ(x) = 0). Queremos construir uma nova teoria de partículas de spin 5/2 que seja invariante sob as transformações de calibre dadas pelas equações (9) e (30). Para isso precisamos das equações de movimento da ação (26) e elas são dadas por: δS 5/2 AD(2) = ∫ d3x δχ̄µα [ i 2µ EρµEρσχ σα + 3i 2µ ΓρσE ρµEσθχ α θ − 6i 5µ EαµEρσχ σρ − iEµρχ α ρ ] + [ − i 2µ EρσE ρµχ̄µα − 3i 2µ Eρ σE θµχ̄µαΓθρ + 6i 5µ EασEρµχ̄ µρ + iEµ σχ̄µα ] δχσα, (31) onde denominaremos os termos entre colchetes como Kµα = i 2µ EρµEρσχ σα + 3i 2µ ΓρσE ρµEσθχ α θ − 6i 5µ EαµEρσχ σρ − iEµρχ α ρ , K̄σα = − i 2µ EρσE ρµχ̄µα − 3i 2µ Eρ σE θµχ̄µαΓθρ + 6i 5µ EασEρµχ̄ µρ + iEµ σχ̄µα. (32) 38 Observemos que na equação (31) as variações dos campos que multiplicam os termos em colchetes são γ-transversos e portanto as equações (32) devem satisfazer essa condição. Assim, tornando-as γ-transversas obteremos: Kµα = i 2µ EρµEρσχ σα + 3i 2µ ΓρσE ρµEσθχ α θ − 6i 5µ EαµEρσχ σρ − iEµρχ α ρ − i 2µ γαγβΓρσE ρµEσθχθβ + 2i 5µ γαγβE βµEρσχ σρ, K̄σα = − i 2µ EρσE ρµχ̄µα − 3i 2µ Eρ σE θµχ̄µαΓθρ + 6i 5µ EασEρµχ̄ µρ + iEµ σχ̄µα + i 2µ Eρ σE θµχ̄µβΓθργ βγα − 2i 5µ EβσE ρµχ̄µργ βγα. (33) Com esses resultados, poderemos reescrever a variação da ação S5/2 AD(2) da seguinte forma: δS 5/2 AD(2) = ∫ d3x [ δχ̄µαKµα + K̄βρδχβρ ] . (34) Proporemos uma nova ação que seja invariante à transformação de calibre dada por (30) da seguinte forma: Ŝ = S 5/2 AD(2) + ∫ d3x [ K̄µαa µα − āβρKβρ ] . (35) Procederemos a implementação da transformação de calibre de forma análoga ao que foi descrito na seção anterior. Tomando a variação da equação acima e implementando a simetria dada pela equação (30) obteremos: δŜ = ∫ d3x [ δK̄σαa σα + āµαKµα ] . (36) Nesse ponto devemos calcular as variações das equações de movimento, substituir as variações dos campos por suas respectivas transformações de calibre e escolher a variação do campo auxiliar sendo dada por δaµα = 1 3 (2ηαβ − Γαβ)γµΘβ(x). Esse procedimento é idêntico aos passos que foram dados na seção anterior obtendo as equações (18) e (19). Após esses cálculos obtemos: δŜ = ∫ d3x [ iEµσδāµαa α σ − iāµαEµρδa α ρ ] , δŜ = ∫ d3x δ[iāµαE µρδa α ρ ], 0 = δ[Ŝ − ∫ d3x iāµαE µρδa α ρ ]. (37) Com o resultado acima, identificamos que o termo entre colchetes é a ação de terceira ordem com a 39 simetria implantada em termos dos campos auxiliares āµα e seu adjunto. De forma explícita S 5/2 AD(3) = S 5/2 AD(2) + ∫ d3x [ iK̄µαa µα − iāβρKβρ − iāµαEµσa α σ ] . (38) Devemos eliminar os campos auxiliares na equação acima e, para fazermos isso, vamos fatorar um termo "Eµν"nas equações de movimento. Por conveniência definiremos que ςρα = Eρβχ α β ; ς̄ρα = Eρβχ̄ α β . (39) Fatorando o termo em questão e fazendo a mudança acima teremos: Kµα = Eρµ [ i 2µ ς α ρ + 3i 2µ Γρσς σα − 6i 5µ ηαρς + iχ α ρ − i 2µ γαγβΓρσς σβ + 2i 5µ γαγρς ] ; K̄σα = Eρσ [ − i 2µ ς̄ρα − 3i 2µ ς̄θαΓθρ + 6i 5µ η ρ α ς̄ + iχ̄ρ α + i 2µ ς̄θβΓθργβγα − 2i 5µ ς̄γργα ] . (40) Dessa forma podemos escrever a equação (40) da seguinte maneira Kµα = EρµK̃ α ρ ; K̄σα = Eρσ ˜̄Kρ α. (41) Com esses resultados, a ação S5/2 AD(3) é escrita da seguinte forma: S 5/2 AD(3) = S 5/2 AD(2) + ∫ d3x [ iEρµ ˜̄Kρ αa µα − iāβρEσβK̃σ ρ − iāµαEµσa α σ ] . (42) Manipulando a equação acima, podemos reescrevê-la da seguinte maneira: S 5/2 AD(3) = S 5/2 AD(2) − ∫ d3x [ i(āβρ − ˜̄Kβρ)E σ β (aσρ − K̃σρ) + i ˜̄KβρE σ β K̃σρ ] , (43) e fazendo uma mudança no campo auxiliar tal que āβρ → ˜̄aβρ + ˜̄Kβρ; aσρ → ãσρ + K̃σρ, (44) teremos S 5/2 AD(3) = S 5/2 AD(2) − ∫ d3x [ i˜̄aβρE σ β aσρ + i ˜̄KβρE σ β K̃σρ ] . (45) O segundo termo da equação acima está desacoplado dos os outros termos da teoria, em outras palavras, o campo ˜̄aβρ e seu adjunto somente aparecem nesse termo. Essa estrutura desacoplada da teoria não apresenta conteúdo físico e pode ser desprezado. Com isso ficamos: S 5/2 AD(3) = S 5/2 AD(2) + ∫ d3x [ i ˜̄KβρE σ β K̃σρ ] , (46) que é a ação de terceira ordem expressa em termos dos campos originais da teoria inicial. Substituindo as equações de movimento dada pela equação (40) na ação acima e fazendo as devidas simplificações teremos: 40 S 5/2 AD(3) = ∫ d3x [ −i 2µ ς̄ραςρα − 3i 2µ ς̄ραΓρσς σ α + 6i 5µ ς̄ς + i 4µ2 ς̄ α ρ Eµρςµα − 3i 2µ2 ς̄βαΓβρEρλς λα − 9i 4µ2 ς̄β αΓβρΓλσE ρλςσα + 18i 5µ2 ς̄β αΓβρE ρας + 6i 5µ2 ς̄ραE ρας − 6i 5µ2 ς̄βαΓβρEρλγ αγλς + 3i 4µ2 ς̄βαΓβρEρλγ αγθΓλσςσθ + 12i 25µ2 ς̄Eαλγ αγλς ] . (47) A equação acima é nossa ação em termos dos campos originais χµν e seu adjunto. Vemos que o termos de segunda ordem tem o sinal contrário à ação (26) e o termo de primeira ordem, que quebra a transformação de calibre dada por (30), é cancelado no decorrer dos cálculos. Partimos de uma teoria de segunda ordem nas derivadas, implementamos a simetria (30) e obtivemos um modelo de terceira ordem nas derivadas. Devido à quantidade de termos de terceira ordem nas derivadas, não prosseguimos com novas implementações de simetrias. O resultado acima é, por construção, invariante sob a simetria implantada e também é invariante sob a simetria de reparametrização. Faz-se necessária a checagem explicita de que realmente os termos de terceira ordem são invariantes sob a simetria dada pela equação (30). Não há na literatura ações de terceira ordem descrevendo partículas de spin 5/2 e o resultado acima é preliminar de um trabalho ainda em andamento com o orientador dessa tese. 41 4 MODELOS AUTO-DUAIS DE SPIN 4 4.1 I.C.N - DO MODELO AD(1)→ AD(2) Nesse capítulo estudaremos modelos teóricos para a descrição de singletos de spin 4 em D = 2 + 1 dimensões. Para descrever tais partículas usamos o tensor de rank 4 (ων(αβγ)) onde os índices entre parêntese são simétricos entre si e possuem traço nulo, ou seja, são invariantes sob uma permutação e ηαβων(αβγ) = ηαγων(αβγ) = ηγβων(αβγ) = 0. Já o outro índice não tem simetria definida com relação aos outros três e, ao tomarmos o traço desse último com qualquer um dos outros índices, obtemos um tensor de rank 2, ou seja, ηναων(αβγ) = ωα(αβγ), onde definimos ωα(αβγ) ≡ ω(βγ). De forma análoga, ηνβων(αβγ) = ω(αγ) e ηνγων(αβγ) = ω(αβ). Partindo do modelo apresentado pela referência [28], implementaremos transformação de calibre através do mecanismo de Imersão de Calibre de Noether e obteremos modelos de ordem superior. O modelo lagrangeano no qual iniciaremos a implementação de simetria é dado: S4 AD(1) = S4+2 AD(1) + S2+1 AD(1) + S1+0 AD(1), (1) onde: S4+2 AD(1) = ∫ d3x [ µ 2 ωρ(αβγ)ε ρµν∂µω (αβγ) ν − µ2 2 ερµνεαβγηραωµ(βςλ)ω (γςλ) ν + jρ(αβγ)ωρ(αβγ) + µ2ωαβB αβ ] , (2) é ação do campo de spin 4 (ωρ(αβγ)) acoplado com um campo auxiliar de rank 2 (Bαβ) e um termo de fonte dado por jρ(αβγ). Já, S2+1 AD(1) = ∫ d3x [ αµ 2 Bραε ρµ ν∂µB να + βµ2 2 ερµνεαβγηραBµβBνγ − 8µ 9 hµε µνβ∂νhβ − 9µ 20 vµε µνβ∂νvβ + 32µ2 9 hµh µ − 9µ2 5 vµv µ + µ2hµvµ ] , (3) é a ação do campo auxiliar de rank 2 (Bαβ) acoplado com outro campo auxiliar de rank 1 (vµ). Por fim, S1+0 AD(1) = ∫ d3x [ − 9µ 5 B∂µv µ + 22µ2 5 B2 ] , (4) é a ação do campo auxiliar de rank 1 (vµ) acoplado com o traço do campo auxiliar B. Os parâmetros α e β apresentados na equação (3) são constantes, µ é a massa do campo, B 42 é definido como o traço do campo Bαβ, hµ é a parte antissimétrica do campo de spin 2 (B[αβ] = εµαβBαβ ≡ hµ), sendo que essa relação é válida somente em D = 2 + 1 dimensões e vµ é um campo vetorial. Notemos que é possível integrar funcionalmente sobre os campos escalares B de forma a eliminá-los da ação (1). No entanto, nosso enfoque será o setor de spin 4 e, portanto, não preocuparemos com os campos auxiliares no momento. Faz-se necessário a utilização dos campos auxiliares para eliminar os graus de liberdade extras na teoria. O nosso interesse está em fazer a implementação da simetria de Noether somente nos campos de spin 4 e portanto, nos cálculos a seguir não levaremos em conta as ações dos campos auxiliares e os termos de fontes e portanto, trabalharemos com os seguintes termos da ação (1): S4 AD(1) = ∫ d3x [ µ 2 ωρ(αβγ)ε ρµν∂µω (αβγ) ν − µ2 2 ερµνεαβγηραωµ(βςλ)ω (γςλ) ν ] . (5) Tomamos a variação da ação acima com respeito ao campo ωρ(αβγ) e, substituindo a transformação de calibre δωρ(αβγ) = ∂ρξ(αβγ), (6) observamos que o termo de massa, segundo termo da equação (5), quebra a invariância de calibre dada pela transformação (6) e o nosso objetivo é tornar a ação (5) invariante sob essa transformação de calibre. Primeiramente, calcularemos a variação da ação (5) e teremos: δS4 AD(1) = ∫ d3x δωρ(αβγ) [ µερµν∂µω (αβγ) ν − µ2ε ρν σ εσαλω (λβγ) ν ] . (7) Observemos na equação acima que δωρ(αβγ) é simétrico em sem traço com respeito aos índices α, β e γ e portanto, o termo entre colchetes também deverá apresentar essas mesmas características. Tornando os termos entre colchetes simétricos e sem traço com respeito aos índices α, β e γ obteremos: δS4 AD(1) = ∫ d3x δωρ(αβγ) [ µερµν∂µω (αβγ) ν − µ2 3 ηρᾱωβ̄γ̄ + µ2 3 ωᾱ(ρβ̄γ̄) ] , (8) onde definimos, por conveniência, que os índices que possuem acima deles uma barra são simétricos entre si, ou seja: ηρᾱωβ̄γ̄ ≡ ηραωβγ + ηρβωγα + ηργωαβ, (9) sendo este o mesmo critério aplicado aos outros termos. Dessa forma, os termos entre colchetes na equação acima serão dados pelo tensor Kρ(αβγ) da seguinte forma: 43 Kρ(αβγ) = µερµν∂µω (αβγ) ν − µ2 3 ηρᾱωβ̄γ̄ + µ2 3 ωᾱ(ρβ̄γ̄), (10) e portanto, a equação (8) será escrita da seguinte maneira: δS4 AD(1) = ∫ d3x [ δωρ(αβγ)K ρ(αβγ) ] . (11) Para implementarmos a transformação de calibre dada pela equação (6), propomos uma nova ação S ′ tal que S ′ = S4 AD(1) − ∫ d3x [ aρ(αβγ)K ρ(αβγ) ] , (12) onde aρ(αβγ) é um campo auxiliar que contém as mesmas características que o campo original ωρ(αβγ). Agora, tomando a variação de S ′ teremos: δS ′ = δS4 AD(1) − ∫ d3x [ δaρ(αβγ)K ρ(αβγ) + aρ(αβγ)δK ρ(αβγ) ] = ∫ d3x [ δωρ(αβγ)K ρ(αβγ) − δaρ(αβγ)K ρ(αβγ) − aρ(αβγ)δK ρ(αβγ) ] . (13) Nesse ponto, vamos implementar a transformação de calibre dada pela equação (6). Para isso, basta substituir (6) na equação acima e obteremos: δS ′ = ∫ d3x [ ∂ρξ(αβγ)K ρ(αβγ) − δaρ(αβγ)K ρ(αβγ) − aρ(αβγ)δK ρ(αβγ) ] . (14) Notemos que, ao escolhermos a variação do campo auxiliar na equação acima como sendo δaρ(αβγ) = ∂ρξ(αβγ), (15) teremos o cancelamento entre o primeiro e o segundo termo da equação (14) e ficaremos com o seguinte resultado: δS ′ = ∫ d3x [ − aρ(αβγ)δK ρ(αβγ) ] . (16) Calculando δKρ(αβγ) e usando as igualdades δωρ(αβγ) = ∂ρξ(αβγ) = δaρ(αβγ) quando necessário, teremos: δS ′ = ∫ d3x δ [ µ2 2 ( aβγaβγ − aβ(ραγ)aρ(αβγ) )] . (17) 44 E dessa forma, por construção teremos: δ [ S ′ − ∫ d3x µ2 2 ( aβγaβγ − aβ(ραγ)aρ(αβγ) )] = 0. (18) Da equação acima podemos enxergar que o termo entre colchetes é uma nova ação que a denominare- mos de S4 AD(2). Usando a equação (12) expressaremos os elementos de S4 AD(2) que são: S4 AD(2) = S4 AD(1) − ∫ d3x Kρ(αβγ)aρ(αβγ) − µ2 2 (aβγaβγ − aβ(ραγ)aρ(αβγ)). (19) A nova ação S4 AD(2) acima, que é invariante sob a simetria implantada, depende dos campos originais ωρ(αβγ) e dos campos auxiliares aρ(αβγ). Para eliminar o campo auxiliar aρ(αβγ) na ação acima, utilizaremos sua equação de movimento. Assim, calculando-a teremos: − Kρ(αβγ) − µ2 3 (ηραaβγ + ηρβaγα + ηργaαβ) + µ2 3 (aα(ρβγ) + aβ(ργα) + aγ(ραβ)) = 0. (20) O primeiro termo da equação acima depende somente dos campos originais ωρ(αβγ) e os demais termos dependem do campo auxiliar aβ(ργα). Separando-os temos: Kρ(αβγ) = µ2 3 (aα(ρβγ) + aβ(ργα) + aγ(ραβ) − ηραaβγ − ηρβaγα − ηργaαβ). (21) Devemos expressar aρ(αβγ) em termos de Kρ(αβγ). Para fazermos isso, tomaremos o traço na equação acima: ηραK ρ(αβγ) = µ2 3 ηρα(aα(ρβγ) + aβ(ργα) + aγ(ραβ) − ηραaβγ − ηρβaγα − ηργaαβ) Kβγ = −4µ2 3 aβγ. (22) A equação acima mostra a relação entre o traço do campo auxiliar aα(ρβγ) com respeito ao traço de Kρ(αβγ). Agora devemos encontrar a relação entre o campo auxiliar aα(ρβγ) com respeito a Kρ(αβγ). Para fazermos isso, chamaremos a equação (21) de: Θρ(αβγ) = Kρ(αβγ) − µ2 3 (aα(ρβγ) + aβ(ργα) + aγ(ραβ) − ηραaβγ − ηρβaγα − ηργaαβ). (23) Assim, se calcularmos a seguinte relação: 2Θρ(αβγ) −Θα(ρβγ) −Θγ(αβρ) −Θρ(αβγ) = 0, (24) 45 e usando o resultado dado pela equação (22) quando necessário, encontraremos a relação entre o campo auxiliar aρ(αβγ) em termos de Kρ(αβγ) que vem dada por: aρ(αβγ) = 1 4µ2 ( ηραKβγ + ηρβKγα + ηργKαβ − 2ηαβKγρ − 2ηαγKρβ − 2ηβγKαρ ) − 1 µ2 ( Kρ(αβγ) −Kα(ρβγ) −Kβ(αργ) −Kγ(αβρ) ) . (25) Percebam que o tensor aρ(αβγ) é simétrico e sem traço com respeito aos índices entre parênteses e o lado direito da equação acima também apresenta essas características. Voltando o resultado da equação acima, junto com o resultado da equação (22) em (19), teremos que: S4 AD(2) = S4 AD(1) + ∫ d3x [ 1 2µ2 ( 2Kρ(αβγ)Kρ(αβγ) − 3Kρ(αβγ)Kα(ρβγ) ) − 3 8µ2 KβγKβγ ] . (26) Assim, substituindo a equação (10) na equação acima e fazendo as manipulações necessárias, obteremos: S4 AD(2) = ∫ d3x [ Eρνω (αβγ) ν Eρλω λ (αβγ) − 3 2 Eρνω (αβγ) ν Eαλω λ (ρβγ) − 3 8 Eρνω ν(ρβγ)Eτθωθ(τβγ) − µ 2 ωα(ρβγ)Eανω ν (ρβγ) ] . (27) A ação acima é de segunda ordem nas derivadas e invariantes sob a simetria implantada. Notemos que, temos três termos de segunda ordem nas derivadas e um único termo de primeira ordem, sendo este, a menos de uma troca de sinal, idêntico ao que tínhamos na ação de partida e o termo que quebrava a simetria foi cancelado durante os cálculos. 4.2 I.C.N DO MODELO AD(2)→ AD(3) Nessa seção mostraremos a implementação da transformação de calibre na ação de segunda ordem encontrada anteriormente dada pela equação (65), sem levar em conta os termos de acoplamento e fontes. O termo de primeira ordem nas derivadas não é invariante sob a seguinte transformação de calibre: δων(αβγ) = ε ρ να Λ(ρβγ) + ε ρ νβ Λ(ργα) + ε ρ νγ Λ(ραβ). (28) Notemos que no lado esquerdo da equação acima, os índices entre parênteses são simétricos e sem traço e o lado direito também apresenta essas mesmas características. O termo Λ(ραβ) é um tensor de 46 rank 3 e simétrico com relação aos índices entre parênteses. A fim de facilitar a notação definiremos: δων(αβγ) = ε ρ νᾱ Λ(ρβ̄γ̄), (29) onde os índices α, β e γ ganharam uma barra sobre eles indicando que são simétricos. O termo que quebra a simetria dada pela equação (29) é o termo de primeira ordem nas derivadas da ação (27) e os termos de segunda ordem são invariantes sob a simetria (29). A ação encontrada foi S4 AD(2) = ∫ d3x [ Eρνω (αβγ) ν Eρλω λ (αβγ) − 3 2 Eρνω (αβγ) ν Eαλω λ (ρβγ) − 3 8 Eρνω ν(ρβγ)Eτθωθ(τβγ) − µ 2 ωα(ρβγ)Eανω ν (ρβγ) ] . (30) Tomando a variação da ação acima teremos δS4 AD(2) = ∫ d3x [ − 2EρλEρνωλ(αβγ) + 3Eρ νEαλω λ (ρβγ) + 3 4 EανE τθωθ(τβγ) − µEνλωλ(αβγ) ] δων(αβγ). (31) Dadas as características do tensor ων(αβγ), o termo entre colchetes também deverá ter simetria e traço nulo com respeito aos índices α, β e γ. Assim, tornado os termos entre colchetes simétricos e sem traço com respeito aos índices anteriormente citados, teremos: δS4 AD(2) = ∫ d3x [ − 2EρλEρνωλ(αβγ) + Eρ νEᾱλω λ (ρβ̄γ̄) + 1 4 EᾱνE τθωθ(τβ̄γ̄) − µEνλω λ (αβγ) − 1 2 ηᾱβ̄E ρ νE σ λω λ (ρσγ̄) ] δων(αβγ). (32) Definindo o termo entre colchetes na equação acima como: Kν(αβγ) = −2EρλEρνωλ(αβγ) + Eρ νEᾱλω λ (ρβ̄γ̄) + 1 4 EᾱνE τθωθ(τβ̄γ̄) − µEνλω λ (αβγ) − 1 2 ηᾱβ̄E ρ νE σ λω λ (ρσγ̄), (33) podemos escrever que: δS4 AD(2) = ∫ d3x [ δων(αβγ)Kν(αβγ) ] . (34) 47 Para fazermos a implementação da transformação de calibre propomos a seguinte ação: Ŝ = S4 AD(2) − ∫ d3x [bν(αβγ)Kν(αβγ)], (35) onde bν(αβγ) é um campo auxiliar de mesmas características que o campo original ων(αβγ). Tomando a variação da ação proposta acima teremos: δŜ = δS4 AD(2) − ∫ d3x [δbν(αβγ)Kν(αβγ) + bν(αβγ)δKν(αβγ)] δŜ = ∫ d3x δ[ων(αβγ)Kν(αβγ) − δbν(αβγ)Kν(αβγ) − bν(αβγ)δKν(αβγ)]. (36) Com esse resultado, implementando a transformação de calibre dada pela equação (29), obtemos que: δŜ = ∫ d3x [ε ρ νᾱ Λ(ρβ̄γ̄)Kν(αβγ) − δbν(αβγ)Kν(αβγ) − bν(αβγ)δKν(αβγ)]. (37) Observemos que se escolhermos a variação do campo auxiliar bν(αβγ) sendo: δbν(αβγ) = ενᾱ ρΛ (ρβ̄γ̄), (38) teremos que δŜ = ∫ d3x [−bν(αβγ)δKν(αβγ)]. (39) Neste ponto, devemos calcular δKν(αβγ). Fazendo os cálculos obtemos: δKν(αβγ) = −2EρλEρνδωλ(αβγ) + Eρ νEᾱλδω λ (ρβ̄γ̄) + 1 4 EᾱνE τθδωθ(τ β̄γ̄) − 1 2 ηᾱβ̄E ρ νE σ λδω λ (ρσγ̄) − µEνλδωλ(αβγ). (40) Como δων(αβγ) = ε ρ νᾱ Λ(ρβ̄γ̄), podemos substituir essa igualdade na equação acima. Fazendo isso, temos que os três primeiros termos de segunda ordem na equação acima são nulos, pois eles são invariantes sob essa simetria e assim ficamos: δKν(αβγ) = −µE λ ν ε ρ λᾱ Λ(ρβ̄γ̄) − 1 2 ηᾱβ̄EρνE σ λε νρ̃θΛ(θσ̃˜̄γ). (41) Para indicar que os índices ρ, σ e γ são simétricos entre si colocamos (˜) sobre eles. Escolhendo que ε ρ λᾱ Λ(ρβ̄γ̄) = δbλ(αβγ) e substituindo-a na equação acima teremos: δKν(αβγ) = −µE λ ν δbλ(αβγ) − 1 2 ηᾱβ̄E ρ νE σ λδb λ (ρσγ̄). (42) Esse resultado expressa a variação do tensor Kν(αβγ) em termos do tensor auxiliar bλ(αβγ). Substi- tuindo a equação (42) na equação (39) e fazendo as manipulações necessárias obteremos: 48 δŜ = ∫ d3x − µ 2 δ [ E λ ν bλ(αβγ)b ν(αβγ) ] δ [ Ŝ + ∫ d3x µ 2 E λ ν bλ(αβγ)b ν(αβγ) ] = 0. (43) O termo entre colchetes pode ser interpretado como uma nova ação invariante sob a simetria (29) que a chamaremos de S4 AD(3). De forma explícita S4 AD(3) = S4 AD(2) − ∫ d3x [ bν(αβγ)Kν(αβγ) + µ 2 bλ(αβγ)E λ ν bν(αβγ) ] . (44) Esse resultado mostra como a ação S4 AD(3) é dada em função deKν(αβγ), que por sua vez depende do campo original ων(αβγ). A ação acima também depende do campo auxiliar bν(αβγ) e para o eliminarmos, fatoramos o termo Eρν na equação (40), cujo resultado é: Kν(αβγ) = Eρ ν [ − 2E λ ρ ωλ(αβγ) + Eᾱλω λ (ρβ̄γ̄) + 1 4 ηρᾱE τθωθ(τ β̄γ̄) + µωρ(αβγ) − 1 2 ηᾱβ̄E σ λω λ (ρσγ̄) ] . (45) Definindo o termo entre colchetes na equação acima como: K̃ρ(αβγ) = −2E λ ρ ωλ(αβγ) + Eᾱλω λ (ρβ̄γ̄) + 1 4 ηρᾱE τθωθ(τ β̄γ̄) + µωρ(αβγ) − 1 2 ηᾱβ̄E σ λω λ (ρσγ̄), (46) conseguimos expressar Kν(αβγ) da seguinte forma: Kν(αβγ) = Eρ νK̃ρ(αβγ). (47) Substituindo a equação (47) em (44) teremos: S4 AD(3) = S4 AD(2) − ∫ d3x [ bν(αβγ)Eρ νK̃ρ(αβγ) − µ 2 bλ(αβγ)E λ ν bν(αβγ) ] S4 AD(3) = S4 AD(2) + ∫ d3x [ µ 2 ( bν(αβγ) − K̃ν(αβγ) µ ) Eρν ( bρ (αβγ) − K̃ρ (αβγ) µ ) − 1 2µ K̃ν(αβγ)EρνK̃ ρ (αβγ) ] . (48) Na equação acima, ao escolhermos a seguinte transformação para o campo auxiliar dada por: bρ (αβγ) → b̃ρ (αβγ) + K̃ρ (αβγ) µ , (49) 49 conseguiremos desacoplar o campo auxiliar na equação (48) tornando-a: S4 AD(3) = S4 AD(2) − ∫ d3x µ 2 b̃ν(αβγ)Eρν b̃ ρ (αβγ) − 1 2µ K̃ν(αβγ)EρνK̃ ρ (αβγ). (50) O segundo termo da equação acima não possui conteúdo físico e, portanto, podemos descartá-lo da nossa teoria. Dessa forma ficamos: S4 AD(3) = S4 AD(2) − ∫ d3x [ − 1 2µ K̃ν(αβγ)EρνK̃ ρ (αβγ) ] . (51) A ação acima é expressa em termos das equações (46) e (40) e substituindo-as teremos: S4 AD(3) = ∫ d3x [ − Eρνω (αβγ) ν Eρλω λ (αβγ) + 3 2 Eρνω (αβγ) ν Eαλω λ (ρβγ) + 3 8 Eρνω ν(ρβγ)Eτθωθ(τβγ) − 2 µ Eνσω (αβγ) σ EρνE ρθωθ(αβγ) + 6 µ Eνσω (αβγ) σ Eρ νE θ α ωθ(ρβγ) + 9 4µ Eνσω (αβγ) σ EανE ψθωθ(ψβγ) − 3 2µ Eασω (νβγ) σ Eρ νE θ α ωθ(ρβγ) − 3 µ Eασω (νβγ) σ Eρ νEβθω θ (ργα) + 33 16µ Eσµωµ(σβγ)E ρβEψθω γ) θ(ρψ ] (52) . O resultado acima mostra a ação de terceira ordem nas derivadas invariante sob as transformações de calibre (29) e (6). O termo de primeira ordem nas derivadas que quebrava a simetria (29) foi cancelado durante os cálculos e os termos de segunda ordem tiveram os sinais trocados. A ação acima é equivalente (no que diz respeito a ordem das derivadas) aos modelos topológicos de spin 2 mostrados no trabalho [23]. No entanto, na forma como está apresentada (forma explicita) é difícil extrair qualquer similaridade de natureza "geométrica"com os exemplos já conhecidos de spins mais baixos como mostram [3] e [4]. Explorando diferentes notações, trabalharemos o resultado acima a fim de extrair termos semelhantes aos objetos geométricos da relatividade geral. Ressaltamos que até o momento não conhecemos um modelo auto-dual de terceira ordem nas derivadas na literatura. Obtivemos, até o momento, um mapeamento do setor principal das teorias de primeira, segunda e terceira ordem nas derivadas via um processo sistemático de imersão de simetria. 4.3 ESTABELECENDO A NOTAÇÃO Ω PARA OS MODELOS DE SPIN 4 A ideia nesta seção é montar um processo totalmente equivalente ao que foi construído no trabalho [4] de uma notação simplética, no nosso caso será para os modelos de spin 4. Começamos pela definição do operador de primeira ordem nas derivadas 50 ξα(µβγ) ≡ Eα νω ν(µβγ). (53) Notemos que, da forma como definimos, tal operador possui as mesmas características do campo ων(µβγ), isto é, ele é simétrico e seu traço é nulo em relação aos índices entre parênteses. Dessa forma, o termo tipo Chern-Simons da ação de primeira ordem nas derivadas será: L(1) = µ 2 ωµ(βγλ)ε µνα∂νω (βγλ) α , L(1) = µ 2 ωµ(βγλ)ξ µ(βγλ) (54) Com essa notação, podemos reescrever o termo de segunda ordem nas derivadas apresentada pela equação (27) L(2) = EρνA (αβγ) ν EρλA λ (αβγ) − 3 2 EρνA (αβγ) ν EαλA λ (ρβγ) − 3 8 EρνA ν(ρβγ)EτθAθ(τβγ), L(2) = ξρ(αβγ)ξρ(αβγ) − 3 2 ξρ(αβγ)ξα(ρβγ) − 3 8 ξ(βγ)ξ(βγ). (55) Notemos que, na equação acima, um termo ξ pode ser fatorado em toda a expressão: L(2) = ξρ(αβγ) [ ξρ(αβγ) − 3 2 ξα(ρβγ) − 3 8 ηραξ(βγ) ] . (56) Dadas as características de simetria e traço nulo do termo ξρ(αβγ) com respeito aos índices entre parênteses, o termo entre colchetes deverá apresentar essas mesmas características com respeito a esses mesmos índices. Assim, simetrizando e tornando o traço nulo no termo entre colchetes, teremos: L(2) = ξρ(αβγ) [ ξρ(αβγ) − 1 2 ( ξα(ρβγ) + ξβ(ραγ) + ξγ(ρβα) ) − 1 8 ( ηραξ(βγ) + ηρβξ(αγ) + ηργξ(βα) ) + 1 4 ( ηβαξ(ργ) + ηγβξ(αρ) + ηαγξ(βρ) )] . (57) Com esse resultado, definimos o termo: Ωρ(αβγ)(ξ) ≡ ξρ(αβγ) − 1 2 ( ξα(ρβγ) + ξβ(ραγ) + ξγ(ρβα) ) − 1 8 ( ηραξ(βγ) + ηρβξ(αγ) + ηργξ(βα) ) + 1 4 ( ηβαξ(ργ) + ηγβξ(αρ) + ηαγξ(βρ) ) . (58) 51 Dessa forma, o termo de segunda ordem será dado por: L(2) = ξρ(αβγ)Ωρ(αβγ)(ξ), (59) no qual está em completa analogia com os resultados obtidos para as teorias de spin 3. Podemos também obter o termo de terceira ordem escrito na notação Ω na qual obtemos o seguinte resultado: L(3) = − 2 µ Eνσω (αβγ) σ EρνE ρθωθ(αβγ) + 6 µ Eνσω (αβγ) σ Eρ νE θ α ωθ(ρβγ) + 9 4µ Eνσω (αβγ) σ EανE ψθωθ(ψβγ) − 3 2µ Eασω (νβγ) σ Eρ νE θ α ωθ(ρβγ) − 3 µ Eασω (νβγ) σ Eρ νEβθω θ (ργα) + 33 16µ Eσµωµ(σβγ)E ρβEψθω γ) θ(ρψ , L(3) = − 2 µ Ωρ(αβγ)(ξ)E ρ νΩ ν(αβγ)(ξ) (60) A notação acima facilita a manipulação dos resultados anteriores e é útil para a construção de ações mestras como foi feita no caso dos modelos de spin 3/2. Ela é especialmente conveniente para a obtenção dos resultados completos, isto é, levando em conta os campos auxiliares bem como os termos de fontes. Em um trabalho ainda em andamento, em colaboração com o orientador dessa tese, estamos reescrevendo estes resultados em termos dessa notação. Apresentamos abaixo as ações dos modelos de primeira, segunda e terceira ordem nas derivadas com campos auxiliares e fontes usando a notação Ω: S4 AD(1) = ∫ d3x [ µ 2 ωρ(αβγ)ξ ρ(αβγ)(ω)− µ2 2 ερµνεαβγηραωµ(βςλ)ω (γςλ) ν + jρ(αβγ)ωρ(αβγ) + µ2ωαβB αβ + αµ 2 Bραξ ρα(B) + βµ2 2 ερµνεαβγηραBµβBνγ − 8µ 9 hµξ µ(h)− 9µ 20 vµξ µ(v) + 32µ2 9 hµh µ − 9µ2 5 vµv µ + µ2hµvµ − 9µ 5 B∂µv µ + 22µ2 5 B2 ] , (61) S4 AD(2) = ∫ d3x [ − ξ(ω)Ω(ξ)− µ 2 ωξ(ω) + 2µ 3 ξ(ω)Ω(f) + 2 µ ξ(ω)Ω(j) − µ2 9 f(B)Ω(f)− 2 3 f(B)Ω(j)− 1 µ2 jΩ(j) ] + S2+1 AD(1) + S1+0 AD(1) (62) onde: fµ(βγλ)(B) = ηµβB(γλ) + ηµγB(βλ) + ηµλB(γβ) − 2 5 [ ηγβB(µλ) + ηβλB(µγ) + ηγλB(µβ) ] . (63) 52 E por fim S4 AD(3) = ∫ d3x [ ξΩ(ξ)− 2 µ Ω(ξ)EΩ(χ) + 8m 3 Ω(ξ)EΩ(B) + 8mΩ(ξ)EΩ(J) + 4m2 3 Ω(B)EΩ(J) ] + Saux + 4m2 9 ∫ d3x Ω(B)EΩ(B) +O(J2). (64) Notemos que assim como ocorre nas teorias de spin mais baixo, os termos de fonte vão se acoplando passo a passo com as combinações invariantes de calibre chamados de duais. As ações auxiliares que não estamos explicitando vão sendo corrigidas pelo processo de imersão da transformação de calibre. Isso foi verificado também para os modelos de spin mais baixo. 4.4 NOTAÇÃO TOTALMENTE SIMÉTRICA PARA OS TERMOS DE SPIN 4 Temos na literatura trabalhos como [32] que apresentam modelos lagrangeanos de segunda ordem nas derivadas para descrever partículas de spin 4. Os tensores de rank 4 utilizados em tais modelos são totalmente simétricos e possuem duplo traço nulo, ou seja, ηαβηρµωαβρµ = 0. Nessa seção, vamos comparar o termo de segunda ordem obtido através da implementação da simetria por reparametrização, dada pela equação (27), decompondo o campo ωρ(αβγ) em um tensor totalmente simétrico, com o resultado obtido pelos autores do trabalho [32]. Dessa forma, o termo de segunda ordem que trabalharemos será: L(2) = Eρνω (αβγ) ν Eρλω λ (αβγ) − 3 2 Eρνω (αβγ) ν Eαλω λ (ρβγ) − 3 8 Eρνω ν(ρβγ)Eτθωθ(τβγ) (65) Explicitando os termos acima, teremos que: L(2) = −7 8 ωµ(βγλ)2 ωλ(αβγ) − 3 2 Eρνω (αβγ) ν Eαλω λ (ρβγ) − 3 8 Eρνω ν(ρβγ)Eτθωθ(τβγ) (66) Através de uma decomposição irredutível do campo ωµ(βγλ) podemos escrevê-lo em termos de um campo totalmente simétrico. Para isso, utilizamos: ωµ(βγλ) = aWµβγλ + b(ηµβWγλ + ηµγWβλ + ηµλWγβ) + c(ηγβWµλ + ηβλWµγ + ηγλWµβ) + d(ε ρ µβ Λργλ + ε ρ µγ Λρβλ + ε ρ µλ Λρβγ), (67) onde o tensor Wµβγλ é totalmente simétrico e duplo traço nulo, ηµβηγλWµβγλ = 0. Já Wγλ = ηµβWµβγλ e o tensor de rank 3 Λργλ é simétrico e sem traço. Notemos que o termo proporcional a 53 constante d é a parte antissimétrica do tensor ωµ(βγλ). A ação de segunda ordem nas derivadas dada pela equação (65) é invariante sob uma transformação de calibre dada por termo proporcional à d. Para determinarmos as constantes a, b, c e d tomaremos: ηβγωµ(βγλ) = ηβγ [ aWµβγλ + b(ηµβWγλ + ηµγWβλ + ηµλWγβ) + c(ηγβWµλ + ηβλWµγ + ηγλWµβ) + d(ε ρ µβ Λργλ + ε ρ µγ Λρβλ + ε ρ µλ Λρβγ) ] , (68) de onde temos a restrição 0 = aWµλ + 2bWµλ + 5cWµλ. (69) Da equação acima, temos a seguinte relação entre os coeficientes: a = −2b− 5c. (70) Da mesma forma, tomando: ηµβωµ(βγλ) = ηµβ [ aWµβγλ + b(ηµβWγλ + ηµγWβλ + ηµλWγβ) + c(ηγβWµλ + ηβλWµγ + ηγλWµβ) + d(ε ρ µβ Λργλ + ε ρ µγ Λρβλ + ε ρ µλ Λρβγ) ] ωγλ = aWγλ + 5bWγλ + 2cWγλ ωγλ = (a+ 5b+ 2c)Wγλ, (71) e utilizando o resultado da equação (2) na equação acima obtemos que ωγλ = 3(b− c)Wγλ. (72) A partir de agora, vamos fixar os valores dos parâmetros a, b e c tal que a = 1, b = 1/3 e c = −1/3. Assim, teremos que: ωγλ = 3(b− c)Wγλ ↔ ωγλ = 2Wγλ. (73) Dessa forma, o tensor parcialmente simétrico será: 54 ωµ(βγλ) = Wµβγλ + 1 3 (ηµβWγλ + ηµγWβλ + ηµλWγβ) − 1 3 (ηγβWµλ + ηβλWµγ + ηγλWµβ) + d(ε ρ µβ Λργλ + ε ρ µγ Λρβλ + ε ρ µλ Λρβγ). (74) A constante d pode assumir qualquer valor pois os termos de segunda ordem são invariantes ao termo proporcional a ele. Com esses resultados, iremos substituir a equação (74) em (66). Fazendo as devidas simplificações obteremos que: L(2) = ∫ d3x − [ − 1 2 W42W4 + 3W22W2 − 3(∂W2)2 − 6(W2∂ 2W4)− 2(∂W4)2 ] , (75) onde, no termo W4, o número 4 significa que esse tensor é de rank quatro. Dessa forma, o termo W42W4 ≡ Wµβγλ2Wµβγλ, ou seja, os tensores de rank 4 se acoplam entre si (a mesma análise se faz para os outros termos). A equação acima é idêntica ao resultado do trabalho de Deser e Yang [32], mais especificamente a equação (4.2). De fato, a escolha específica dos coeficientes a, b e c que originaram a equação (73) nos permitiu obter essa equivalência entre o resultado acima e o de Deser e Yang. Ressaltamos que, de maneira semelhante, o trabalho [4] estabeleceu uma equivalência entre o termo de segunda ordem de spin 3 (notação parcialmente simétrica) e o termo de segunda ordem de spin 3 obtido pelos autores Deser e Damour no trabalho [31] na versão totalmente simétrica. Notamos que, ao aplicarmos a redefinição do campo ωµ(ναβ) para a versão totalmente simétrica, equação (74), ao termo de massa iremos obter: Lm = −µ 2 2 ερµνεαβγηραωµ(βςλ)ω (γςλ) ν = −µ 2 2 [ W2 4 − 8 3 W2 2 ] −m2Λ̃2, (76) onde notamos que o termo de massa não coincide com o termo de massa obtido por Deser e Yang no trabalho [32]. Além disso, obtemos um termo totalmente desacoplado, termo m2Λ̃2, o qual não tem relevância na teoria. A diferença de coeficientes numéricos observada na comparação dos resultados já foi notada para o caso das teorias de spin 3, vide o trabalho [4] e ela está associada a escolha dos campos auxiliares como foi verificada no trabalho. Em relação ao resultado que obtivemos, essa divergência ainda está sendo investigada. Notemos também que ao utilizar a definição dada pela equação (74) no termo de terceira ordem nas derivadas encontramos o seguinte resultado: L(3) = −3 4 W42EW4 − 29 18 W22EW2 − 3 4 W4E∂ 2W4 + 5 3 W4E∂ 2W2 − 3 8 W2E∂ 2W2. (77) 55 Uma vez que temos o setor de spin 4 descritos por um tensor totalmente simétrico, vale notar que podemos obter termos "geométricos", semelhantes aos termos geométricos da relatividade geral, para a teoria de spin 4. Para um exemplo de como esses termos surgem, convidamos o leitor a verificar o apêndice (IV), onde apresentamos o termo de segunda ordem nas derivadas em termos do que nos permitimos chamar de tensor de Einstein. 56 5 CONCLUSÃO Nesta tese investigamos um ramo das teorias de spin alto usando as teorias de calibre em D = 2 + 1 dimensões. Em particular, nossa atenção esteve voltada aos chamados modelos de singletos massivos, aqueles que descrevem somente um modo propagante massivo de spin +S ou −S. Dessa forma, investigamos as formulações teóricas de singletos dos modelos auto duais de partículas de spin 3/2, 5/2 e 4. Contribuimos para uma generalização de resultados anteriores da literatura, tanto do ponto de vista estatístico (extensões fermiônicas e bosônicas) quanto do ponto de vista de ordem em derivadas, obtendo modelos de ordem superior até o ponto onde foi tecnicamente possível. No primeiro capítulo, apresentamos o passo a passo para os resultados das construções das ações mestras. Dessa forma generalizamos os resultados obtidos por [20] e provamos a equivalência quântica entre os modelos de singletos (e também dois de dubletos). Mostramos que é possível a unificação através de uma notação que aqui chamamos de simplética, que consiste na definição de operadores ξ e Ω de primeira e segunda ordem nas derivadas respectivamente, os quais foram utilizadas no caso das teorias de spin 2 e spin 3 nos trabalhos [3] e [4]. No segundo capítulo estudamos as teorias fermiônicas de spin 5/2. Aqui, por dificulade técnica, escolhemos trabalhar somente com os setores principais das ações auto-duais, negligenciando os campos auxiliares. Com isso foi possível obter uma sequência de três modelos auto-duais de primeira, segunda e terceira ordem nas derivadas, sendo que o modelo de terceira ordem é um resultado original desta tese. Conseguimos verificar que o termo de segunda ordem nas derivadas obtido por nós, de maneira sistemática e construtiva, é exatamente o termo apresentado na literatura pelos autores Deser e Kay no trabalho [21]. No momento estamos trabalhando para encontrar uma notação simplética em termos de ξ e Ω para estes modelos. Da observação da literatura, vemos que, com a introdução dessa notação simplética, talvez seja possível a introdução dos campos auxiliares (para a correta descrição do espectro) e a obtenção de modelos de quarta e quinta ordem nas derivadas. No capítulo 4 estudamos os modelos auto-duais de spin 4 e novamente por dificuldades técnicas optamos por não carregar os campos auxiliares para a obtenção dos resultados. Obtivemos uma sequência de três modelos auto-duais de primeira, segunda e terceira ordem nas derivadas, sendo que este último é um resultado original deste trabalho. Esta sequência de três modelos auto-duais de spin 4 está muito aquém à almejada pois, supostamente podemos obter 8 modelos de ordem superior. Pelas dificuldades técnicas em razão do rank dos tensores, simetrias e quantidade de campos auxiliares não progredimos para a obtenção de mais modelos. No entanto, podemos notar que estamos no caminho correto quando verificamos que, ao fazermos uma decomposição irredutível dos campos e a substituirmos nos termos obtidos do modelo auto-dual de segunda ordem, obtemos o resultado já conhecido na literatura com o trabalho de Deser e Yang [32]. Isso nos permitiu uma verificação, ainda que tímida, do surgimento da chamada geometria de spin 4, vide por exemplo o apêndice IV, onde fazemos uma breve revisão geral de geometria para os casos bosônicos. Estabeleceu-se uma notação simplética para estes modelos o que tem no momento ajudado na inclusão dos campos auxiliares. Nossas perspectivas para o futuro desses cálculos nos mantém empolgados pois acreditamos que 57 com a sistematização das notações sejam possíveis a conclusão dos trabalhos de spin 5/2 e a obtenção de mais modelos de spin 4 de ordem superior. 58 REFERÊNCIAS [1] VULKOVIC, I.; Higher spin theory. Dissertação (Mestrado em física) - University of Rijeka, Rijeka - Croácia, 2017. 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