IM S r/ 7 V IFT Instituto de Física Teórica Universidade Estadual Paulista DISSERTAÇÃO OBTENÇÃO UNIFICADA DAS EQUAÇÕES DA RPA PARTÍCULA-BURACO, PARTÍCULA-PARTÍCULA E BURACO-BURACO Luiz Antonio Barreiro % ■p \ o '1 Orientador Alfredo Pio Noronha Rodrigues Galeão Julho 1992 OBTENÇÃO UNIFICADA DAS EQUAÇÕES DA RPA PARTÍCULA-BURACO, PARTÍCULA-PARTÍCULA E BURACO-BURACO Luiz Antonio Barreiro Dissertação apresentada no Instituto de Física Teórica para obtenção do título de Mestre em Física Orientador: Prof. Dr. Alfredo Pio Noronha Rodrigues Galeao São Paulo, 1992 1 Agradecimentos - Ao Prof. Alfredo Pio Noronha Rodrigues Galeão pela orientação , paciência e amizade que me tem oferecido duranto todo esse tempo. - Ao Prof. Gerhard Wilhen Bund pela acolhida no Instituto de Física Teórica. - Ao Prof. Valdir Casaca Aguilera-Navarro pela ajuda na resolução dos problemas numéricos. - Aos professores, colegas e funcionários do IFT pelo apoio e camaradagem. - A Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nivel Superior - Capes pelo suporte financeiro. RESUMO Deduzimos de modo unificado, pelo Método de Coordenadas Geradoras, as equações da RPA nos canais partícula-buraco, partícula-partícula e buraco-buraco. Para isso utilizamos o teorema de Thouless para escrever a forma geral de um estado produto na vizinhança do vácuo de Hartree-Fock. Uma aproximação de pequenas amplitudes permite transformar a equação de Hill-Wheeler numa equação de Schrõdinger para osciladores harmônicos acoplados na representação de Bargmann. A procura dos modos normais desses osciladores leva às equações da RPA nos três canais acima mencionados. Fizemos uma aplicação numérica para o 2i0pb e 206pb. ABSTRACT We deduce in a unified way, by the Generator Coordinate Method, the RPA equations in the particle-hole, particle-particle and hole-hole channels. To this end, we make use of Thouless’ theorem to write a general expression for a product state in the neighbourhood of the Hartree-Fock vacumm. A small amplitude approximation allows us to transform the Hill-Wheeler equation into a Schrõdinger equation for coupled harmonic osciilators in the Bargmann representation. The search for the normal modes of those osciilators leads the RPA equations in the three channels mentioned above. A numerical application to ^^°Pb and ^°®Pb has also been made. ÍNDICE I) Introdução Geral 3 II) Espaço de Bargmann 6 III) Aproximação de Campo Médio 15 III-1) Introdução 15 III-2) Partículas Independentes 15 III-3) Método de Hartree-Fock 16 III- 4) Transformação Canônica de Bogoliubov 18 IV) Introdução de Correlações no Vácuo de Hartree-Fock 21 IV- 1) Introdução 21 IV-2) Correlações no Estado Fundamental 21 IV-3) Aproximação de Pequenas Amplitudes 23 IV-4) Transformação da Equação de Hill-Wheeler numa Equação Diferencial 32 V) Obtenção das Equações da RPA 36 V-1) Introdução 36 V-2) Diagonalização do Termo de Partícula-Buraco 36 V-3) Diagonalização dos Termos de Partícula-Partícula e Buraco-Buraco 40 V-4) Interpretação dos Resultados 49 V-5) Estado Fundamental 52 V-6) Excitações Partícula-Buraco 55 V-7) Excitações Partícula-Partícula e Buraco-Buraco 56 VI) Aplicação Numérica das Equações da RPA pphh 59 VI-1) Introdução 59 VI-2) Espaço Modelo 59 VI-3) Interações Efetivas 59 1 VI-4) Base de Estados de Duas Partículas 64 VI-5) Cálculo dos Elementos de Matriz das Interações 66 VI-6) Resultados 69 VII) Conclusão 72 APÊNDICES A) Estabilidade da Solução de H.F. e suas Implicações 74 A-1) Existência das Soluções da RPA 74 A-2) Relações de Completeza 76 B) Detalhes do Cálculo dos Elementos de Matriz das Interações 80 B-1) Interação Gaussiana 80 B-2) Termo de Spin-Órbita 82 Referências 88 2 // CAPÍTULO I INTRODUÇÃO GERAL Claramente, para um sistema complexo de muitos corpos, como o núcleo, não temos como resolver exatamente a equação de Schrõdinger. É essencial, portanto, procurarmos nos utilizar de algum aspecto simplificador. Assim, evidências esperimentais nos permitem con- siderar o núcleo, pelo menos em primeira aproximação , como sendo constituído de nucleons se movendo em um potencial médio. Portanto, alguns de seus estados excitados correspondem à excitação de uma partícula para níveis energéticos superiores ao mais alto nível ocupado (nível de Fermi). A este tipo de estado excitado denominamos estado de partícula-buraco ^. Quando várias destas excitações ocorrem de modo coerente, nós temos os chamados mo- dos vibracionais. Na verdade, temos uma variedade muito rica destes modos vibracionais, distiguidos um do outro pelo momento angular (J), paridade (tt) e isospin (r) da excitação correspondente. Na tentativa de descrever estas vibrações coletivas, a teoria mais largamente utilizada é a Aproximação da Fase Aleatória ou RPA (Random Phase Approximation^). Contudo, sabemos que estes tipos de oscilações , conhecidas por vibrações normais, não esgotam todas as possibilidades. A existência de transições favorecidas envolvendo transferências de dois nucleons com J’^ = 0+,2+,4+,..., partindo de um núcleo (A) de camadas fechadas^ para seus vizinhos com A ± 2 nucleons, sugere a existência de campos de emparelhamento com multipolaridade A = 0,2,4, ... (BeB 71; Bro 74). Estes campos seriam caracterizados por fônons carregando isospin r = 1, spin 5 = 0 e número quântico de transferência a = ±2. Seus quanta com multipolaridade A estão ^ Esta nomeclatura será melhor explicada no capitulo III 2 O nome se origina de uma teoria similar desenvolvida para oscilações de plasma, onde se assume que as amplitudes de excitação de um par de elétrons, correspondendo a diferentes momentos transferidos, têm fases com- pletamente aleatórias entre si. 3 Por núcleo de camada fechada entendemos que o mais próximo nível energético vazio do núcleo está a uma grande distância energética do nível de Fermi 3 associados a pares de partículas (buracos) acoplados a momento angular total J = X. Estes são os modos vibracionais de emparelhamento. De modo análogo ao caso das vibrações normais, as evidências experimentais indicam que esses estados podem ser bem descritos pela adição ou remoção de pares de nucleons ao estado fundamental do núcleo inicial. A idéia básica é que as funções de onda associadas a dois núcleos pares vizinhos, apesar de extremamente complexas, são de alguma forma semelhantes, devendo existir um operador simples que transforme uma na outra. Assim, a teoria RPA comum, isto é, no canal partícula-buraco (ph), pode ser generalizada para os canais partícula-partícula (pp) e buraco-buraco(hh) de maneira a descrever os modos coletivos correspondentes às vibrações de emparelhamento. A proposta desta dissertação é fazer um estudo unificado da teoria RPA nos canais partícula-buraco, partícula-partícula e buraco- buraco. Há várias maneiras de se derivar as equações RPA-ph (vibrações normais). Cada método ilustra os diferentes aspectos dos processos físicos envolvidos. Algumas destas maneiras são: Funções de Green, Hartree-Fock dependente do tempo. Equações de Movimento de Rowe e Método de Coordenadas Geradoras. Dentre estas várias técnicas, a que melhor se adaptou às nossas necessidades e foi aqui adotada, foi a de Coordenadas Geradoras, que faz uso de um tratamento variacional, para descrever os movimentos coletivos. Este método foi o escolhido por levar a um tratamento formal relativamente simples e deixar bastante claro quais as aproximações envolvidas. Nosso tratamento teórico segue de perto aquele de Ripka e Padjen (RiP 69) com uma pequena generalização . Isso permite obter as equações da RPA pp, hh e ph de uma forma unificada sendo que a equação RPA ph desacopla-se naturalmente das duas primeiras, como veremos nos capítulos IV e V. Utilizando-se as equações obtidas para os canais pp e hh, realizamos cálculos numéricos para ^^°Pb e ^°®Pb, respectivamente. Em cada caso, primeiramente utilizamos um potencial gaussiano simples e, posteriormente, utilizamos um potencial efetivo mais realístico devido à Gogny (Gog 75). A organização desta dissertação é a seguinte. No capítulo II, fazemos um estudo do espaço de Bargmann, cujo objetivo é obter alguns dos resultados utilizados nos capítulos seguintes. No capítulo III discutimos um pouco sobre partículas independentes, quasi- 4 partículas e o método de Hartree-Fock. Finalizamos este capítulo apresentando uma ge- neralização do teorema de Thouless para quasipartículas. Nos capítulos IV e V encontra- se a parte central desta dissertação . No capítulo IV, partindo do teorema de Thouless generalizado, procedemos ao desenvolvimento formal do método de coordenadas geradoras, culminando com a obtenção de uma equação para osciladores harmônicos acoplados na rep- resentação de Bargmann. No capítulo V obtemos de maneira unificada as equações da RPA, como condições a serem satisfeitas para que tenhamos o desacoplamento das das equações do capítulo anterior. Além disso, discutimos a solução correpondente ao estado fundamental destes osciladores bem como aquelas correspondentes aos estados excitados de interesse. Os pontos de cálculo mais detalhado neste estudo são descritos no apêndice A. 0 capítulo VI trata da aplicação numérica das equações da RPA pp+hh ao cálculo de alguns níveis do ^^°Pb e ^°®Pb. Os detalhes do cálculo dos elementos de matriz das interações efetivas escolhidas são apresentados no apêndice B. As conclusões finais sobre o trabalho são apresentadas no capítulo VII. As referências são indicadas, entre parenteses, por meio de 3 letras retiradas dos nomes dos autores e 2 algarismos indicando o ano da publicação . Os dados bibliográficos completos estão listados nas páginas finais. 5 CAPÍTULO II ESPAÇO DE BARGMANN Em mecânica quântica, os estados | (/?) são vetores em um espaço de Hilbert abstrato, H. Para um cálculo concreto nós necessitamos de alguma representação , por exemplo, a representação das coordenadas ^, onde as funções de onda são dadas por ^s(q) = {q I ^). (II.l) Ou seja, nós utilizamos os auto-estados do operador de posição Q como base. As funções de onda obtidas são elementos de outro espaço de Hilbert, isomorfo ao primeiro, que é o espaço no qual foi desenvolvida historicamente a mecânica de Schrõdinger e que denotaremos por S. Claramente, podemos também utilizar o operador momento P, obtendo a representação em outro espaço de Hilbert, E, cujos elementos são as funções /n e y/n 1 são simplesmente fatores de norma- lização . Prosseguindo em nosso desenvolvimento, precisamos diagonalizar o operador não hermi- tiano O, isto é, resolver o problema de autovalores 0 \ z) = z \ z). (11.12) Existe uma solução de (11.12) para qualquer valor complexo de z, e o auto-estado correspon- dente é dado por (11.13) Para ver isso, basta mostrar, utilizando (11.10), que o estado (11.13) satisfaz (11.12). Além disso, a equação (11.11) nos permite reescrever (11.13) na forma 1 z) = I 0), (11.14) onde I 0) é o estado fundamental do oscilador, satisfazendo O|0)=0. (11.15) Resulta imediatamente de (11.14) que oM ^ I z). (11.16) ^ Pode-se mostrar que este estado só se anula para n = 0. 8 Agora, em lugar da relação de ortogonalidade (II.4), a nova base satisfaz {z\z')= y y^{n\n') ' ' ' éí n\ n =0 n' = exp{z*z') : = B{z*, z'), (11.17) o que indica que estes estados possuem norma finita, mas obviamente não são ortogonais no sentido usual. Em analogia a (II. 1), as funções de onda, nesta representação , são dadas por V>b(^) = (2“ I ¥>)• (11.18) Essas funções varrem um outro espaço de Hilbert, B, denominado espaço de Bargmann. Na verdade, *g{z) = 0 é uma função analítica de z. Podemos também obter as expressões para os operadores O e nesta representação : I V?) 1-^ {z* I I y?) = z(z* I p) = zpb{z) Note que estamos usando símbolo de derivada parcial, pois poderia também ser uma função de Z*. Além disso, como os resultados deste capítulo podem ser estendidos para mais de uma variável, manteremos a notação . 9 (11.20) // o I 1 o I I v) = £^b(^), onde utilizamos (11.12) e (11.16). Assim, o I—)• z e O H-> —, 02; mapeamento esse que preserva a relação de comutação (11.6)^. Deste modo, voltando à ex- pressão (II.7), vemos que a Hamiltoniana do oscilador harmônico assume, nesta representação , a forma simples dada por H^Hb + (11.21) Consideremos, agora, íPb{^) e iI>b{z), duas funções de onda nesta representação , portanto funções analíticas de 2. Nos resta, ainda, um problema. Devemos encontrar uma medida real e positiva dfi{z) = p(z)dz, com dz = dxdy, no plano complexo, que defina o produto escalar neste espaço. Assim, (v^B,^s) = J dfi{z)(f*B(z)7pB(z). (11.22) Necessariamente, este produto escalar deve satisfazer, de acordo com (11.20), a relação (2V^B,V’b) = {‘PB, (11.23) Já que, (fB é analítica, ou seja, díf*B/dz = 0, podemos escrever dxl>B {P B, dz ■) = y ^{PB^Bp)dz - J ), (V’b,V’b) = J dfj,{z)ip*Q{z)rpB{z) = J àfi{z){ip I z*){z* I ^) = ((p I i/>), (11.27) ou seja, o produto escalar entre duas funções de onda no espaço de Bargmann é idêntico à contração dos dois vetores de estado correspondentes no espaço de Hilbert abstrato H. Portanto os espaços H, S, F e B são isomorfos. Finaknente, é fácil provar que a função B(z, z'*), definida em (11.17), possui propriedades similares no espaço de Bargmann, com a métrica (11.26), à função 6 de Dirac no espaço usual. Assim, Fb(z) = j di^(z'){z* I z'*){z'* I B{z) é a função de onda no espaço de Bargmann que corresponde à função de onda Fs{q) no espaço de coordenadas S. A{z,q) é uma função a ser encontrada de modo que se a transformação integral (11.30) mapeia <^s{q) eni então ela deve mapear Oipsiq) ^ 0^(ps{q) em {d/dz)^B{z) e zípb{z)^ respectivamente. Assim, J ^(^,ç)(OVs(ç))dg = J{OA*{z,q))*ips(q)dq = zípb{z) = J zA{z, q)(fsiq)dq, J Mz,q)(Oq:>s{q))dq = J{O^A*(z, q))*A(z,g)\ dq ) h dA{z,q)\ JdZ ãg ) onde estamos utilizando as expressões (II.5) no espaço das coordenadas, S, no qual os oper- adores Q e P assumem a forma g e —ihdfdq, respectivamente. Somando e subtraindo estas duas equações , obtemos 2Mu h q-z )A(z,g), 2M(jj Mu , . z —q ]A{z,q). h h A solução dessas equações diferenciais é dada por , 1 / 9 Mu 9 , A{z,q) = C'exp\--{ z^ +-^q ) + 2Mu -zq (11.31) 13 onde C é uma constante a determinar. Para isso, escrevemos, a transformação (11.30) na forma {z* \ip) = J{z* \ q){q I ip)dq, (11.32) o que nos leva à identificação A{z,q) = {z*\q). (11.33) Usando, então, (11.13), obtemos ^ n n V ri n=0 Em particular, para z = 0, temos A{0,q) = (n = 0 i ç) f Mu \ivh ) exp 2h (11.34) (11.35) onde usamos a expressão bem conhecida para a função de onda do estado fundamental do oscilador harmônico. Uma comparação com a expressão (11.31), nos permite determinar a constante C’, de modo a obtermos Mu h r + 2Mu -zq (11.36) 14 CAPÍTULO III APROXIMAÇÃO DE CAMPO MÉDIO III-l) Introdução Procuremos neste capítulo, baseados no sucesso da fenomenologia do modelo de camadas, introduzir as idéias básicas a respeito da estrutura microscópica nuclear. Veremos que em muitos casos é possivel tratar o sistema nuclear como constituído de partículas movendo-se independentemente em um campo médio. No entanto há casos em que se faz necessário uma generalização destas idéias, introduzindo-se a noção de quasipartículas. Veremos neste capítulo como isso pode ser feito. Na seção III-2, apresentamos a idéia de partículas independentes e como sistematizá-la matematicamente. Na seção III-3, baseados no princípio variacional, descrevemos a apro- ximação de campo médio conhecida como método de Hartree-Fock. Finalmente, na seção III-4, nós apresentamos a transformação canônica de Bogoliubov, onde aparece a noção de quasipartículas. Com isso, generalizamos o teorema de Thouless, que servirá como ponto de partida para o próximo capítulo. III-2) Partículas ludepeudeutes Comecemos recordando que o modelo de camadas se baseia na idéia de que os nucleons no núcleo podem ser considerados como partículas independentes se movendo em orbitais de partícula única, produzidos por um potencial nuclear médio, sendo apenas ligeiramente perturbados pela interação residual. As razões para isso são a ação combinada do princípio de exclusão de Pauli e o fato de a interação nucleon-nucleon, apesar de ser fortemente atrativa, possuir um caroço quase que infinitamente repulsivo para r ^ 0.4 fm. Assim, por um lado esses dois efeitos se compensam e, por outro, dois nucleons ao colidirem na matéria nuclear têm a maior parte dos estados de momento finais, acessíveis pelas leis de conservação , bloqueados pelo princípio de Pauli, não lhes restando muita alternativa senão permanecerem com os momentos que tinham inicialmente. Isso reduz enormente a seção de choque no interior da matéria nuclear, fazendo com que o livre caminho médio seja da ordem do raio nuclear. 15 Com esta idéia de partículas independentes em mente, podemos construir o estado fun- damental de um sistema com A nucleons criando um a um os nucleons em cada nível do potencial médio, na ordem crescente das energias. Assim, introduzindo os operadores 6^ de criação de nucleons nos estados a, obtemos para o estado fundamental | o) a forma: ... Hl-)= iií>il-). (III.l) A operadores a=l onde o estado | —) é o vácuo físico, o qual não contém qualquer nucleon. Portanto qualquer operador de aniquilação bm atuando neste vácuo produz resultado nulo, ou seja. bm\~) = 0. (III.2) Já que os nucleons são férmions, esses operadores obedecem as relações de anticomutação {bmi j {bmi — 0) (III.3) O que garante a observância do princípio de Pauli. Um estado como o dado em (III.l) é conhecido, por razões óbvias, como estado produto. A notação utilizada nesta dissertação é a seguinte: índices gregos correspondem a estados preenchidos (buracos) e índices romanos correspondem a estados vazios (partículas). As exceções são feitas aos índices m e n, que correspondem tanto a estados de partícula como de buraco. III-3) Método de Hartree-Fock Na fenomenologia do modelo de camadas, geralmente se toma para potencial médio o do oscilador harmônico. Na teoria de Hartree-Fock o intuito é encontrar este potencial médio a partir da Hamiltoniana nuclear, de tal modo que o valor esperado para a energia seja mínimo. Para implementar esse método, precisamos considerar todos os estados produto na viz- inhança de I $o), dado em (III.l), isto é, estados de forma com os operadores sendo uma superposição linear dos operadores de (III.1). De acordo com um importante teorema devido a Thouless (Tho 60), estes estados produtos devem estar relacionados pela expressão I ^') = exp ^ ^ I $o). (III.4) ^ ai ^ Efetuando, então, uma expansão até a segunda ordem em 2:, obtemos, para o kernel hamil- toniano, ($' I H I $') =($o I H I $0) + i hibin I <í>o) + /i.c.V ^ ai ' + E I hihlm^b] I $0) otifij + ^(($0 I H|$o) + /i-c^, (Ill.õ.a) onde k.c. indica o conjugado hermitiano da expressão precedente. Analogamente obtemos, para o kernel norma. (í' 1 «') = (4c I 4o) + I I 4o>. ai/3j (IlI.S.b) onde levamos em conta que bí I $0) = 0 bi I $0) = 0 com a estado ocupado (buraco), com i estado vazio (partícula). (111.6) Supondo,então, que o estado | $0) corresponda ao mínimo na energia, temos, de acordo com o princípio variacional. ($' I H I $') = 0. Levando a cabo a variação (III.7) com respeito a Zai, obtemos o seguinte resultado: (III.7) onde usamos o fato que no ponto z = 0 temos | $') =| $0). O significado da equação (III.8) é que a Hamiltoniana não conecta os estados de partícula-buraco com o estado fundamental de Hartree-Fock. 17 A equação (III.8) está escrita na base de Hartree-Fock. Para obtermos a forma usual das equações de Hartree-Fock, basta escrevermos os operadores b numa base arbitrária, como a do oscilador harmônico, por exemplo. III-4) Transformação Canônica de Bogoliubov A idéia de partículas independentes exposta acima funciona bem no caso de núcleos com camadas fechadas, pois neste caso a separação em energia do mais baixo nível vazio (partículas) para o nível ocupado (buraco) mais alto, nível de Fermi, é grande. Nestas cir- cunstâncias, podemos esperar que o estado fundamental nuclear exato seja bem representado pelo estado de Hartree-Fock | $o)i isto é, que sua contaminação por componentes de uma partícula um buraco (Ip-lh), duas partículas dois buracos (2p-2h), etc. seja pequena. (Na verdade não precisamos nos preocupar com os estados de (Ip-lh) pois eles não se acoplam com o estado de Hartree-Fock conforme mostra (III.8)). Quando isso não ocorre, isto é, quando não há um “gap” de energia, essa contaminação tende a ser grande e a aproximação de Hartree-Fock deixa de funcionar. Podemos, no entanto, continuar usando a idéia de campo niedio, só que agora de uma forma generalizada, ou seja, um campo medio para novas en- tidades denominadas quasiparticulas. Para entender essa noção, notemos inicialmente que, para o caso de Hartree-Fock, podemos introduzir um operador de destruição /3m escrevendo «); g ^ (quando m (quando m = í), que, quando aplicado ao estado | $o)) resulta Pm I $o) = 0, (HI.9) (III.IO) onde usamos (III.6). Assim, podemos interpretar, em analogia a (III.2), o estado [ $o) como um vácuo para estes novos objetos destruídos pelo operador definido em (III.9). Estes novos objetos, denominados quasipartículas, são criados pelos hermitianos conjugados de /3, dados por U (quando m= a); (quando m = ^), ^ Devemos notar que os operadores de quasipartículas /3 e /?! continuam obedecendo relações de anticomutação análogas a (IH.3), o que garante que as quasipartículas sejam férmions. 18 Em resumo, podemos interpretar o vácuo físico, | —), como que repleto de determinadas entidades denominadas quasipartículas. Assim, para obtermos o vácuo destas dadas quasi- partículas, destruimos todas estas entidades do vácuo físico, o que exatamente fizemos em (III.1), levando-se em conta (III.9). Pelo que vimos, no caso de Hartree-Fock as quasipartículas ou são partículas, ou são buracos. Já no caso geral, há uma superposição de níveis, principalmente na vizinhança do nível de Fermi, ou seja uma superposição de partículas e buracos. Isso sugere definir, no caso geral, os operadores de criação de quasipartículas por meio da transformação canônica de Bogoliubov, = X] {'^rnnbi + V^nK), (III.12) n cujos coeficientes devem ser tais que os e fSm continuem a satisfazer relações de antico- mutação análogas a (III.3). Então o vácuo para estas quasipartículas deve ser dado por m como é fácil verificar, pois /?„ | $g) = 0. Vemos, pois, que o estado (III.13) é também um estado produto, mas em um sentido generalizado, onde o número de termos no produtório não é, em geral, limitado, como em (III.1), mas varre todos os estados de quasipartículas tais que I3m \ —) ^ 0. Desta maneira, qualquer estado produto pode ser interpretado como o vácuo de um determinado tipo de quasipartícula. Com estas idéias em mente, o teorema de Thouless pode ser generalizado, passando a ter o seguinte enunciado (RiS-80): “Partindo de uma função de onda produto | $'), a qual é vácuo dos operadores de quasipartículas (3, qualquer outra função de onda produto | #), não ortogonal a j $'), pode ser escrita, a menos de uma normalização na forma I $(rü)) = exp^X]^mn/^m^Âl I (III.14) ^ m,n ^ 0 estado | $(u))) será o vácuo de certas quasipartículas 7 ligadas a (3 por uma transformação canônica da forma 7Í, = E“™"'’í+ 19 Utilizando este teorema, poderiamos, por um método análogo ao da seção III-2, obter as conhecidas equações de Hartree-Fock-Bogoliubov. No caso particular em que o estado de partida | $'} é um vácuo de Hartree-Fock, os estados m e n ou são partículas, ou são buracos. Assim, usando o resultado (III.11), a equação (III.14) pode ser reescrita do seguinte modo =expíj2x*jb]b] + + '^zlibab\\ I $o)- (III.16) '' Q;\ /vEí 1 INI I vD\\ (IV.4) (4' I H I j/) _ '(l/INI^) ^ ^ (í I í) (í I í) Agora, claramente vemos que esta equação variacional é equivalente às seguintes duas equações I H - AN 1 'I') = 0 (í- I í-) = 1. (IV.Õ.a) (IV.õ.b) Considerando cada termo de (IV.4) sujeitos à restrição (IV.õ.b) separadamente, vemos que o termo hamiltoniano exige a energia E como multiplicador de Lagrange , já o termo do operador número exige o número de partículas n como multiplicador. Deste modo, para resolvermos o problema (IV.Õ.a) com o vínculo (IV.õ.b), introduzimos o multiplicador de Lagrange E — Xn, com o que, o problema fica reescrito como á(('L I H - AN I í') - (E - An)(í' | d')) = 0. (IV.6) Esta equação tem a forma geral <({í I A I f)) = 0, (IV.7) que é equivalente a I A I 'L) + (í» I A I éd») = 0. (IV.8) Como (IV.7) deve valer para uma variação arbitrária do estado 4', podemos substituir áí» por íá'1', obtendo -i((á'L I A I 'L) - (d' I A I áí-)) = 0. (IV.9) 22 Como (IV.7) e (IV.9) devem ser satisfeitas simultaneamente, temos ((Çí- I A 1 Í-) = 0, (IV.10) que é, portanto, equivalente a (IV.7). Podemos, assim, substituir a equação (IV.6) por {6^ \ n- XN \<í>) -{E - Xn){8^ I ^) = 0. (IV.ll) Substituindo | dado em (IV. 1), obtemos J dxdydzdx'dy'dz'{8f*(x,y,z)){{^{x,y,z) [ H - AN | ^{x' ,y\z))- -{E- Xn){^{x,y,z) I ^{x',y’,z’))]f{x\y\z') = 0. Como 8f*{x,y,z) é arbitrário, nós chegamos à equação integral de Hill-Wheeler, ~{E - Xn){^{x,y,z) \ ^{x\y\ z'))} f{x',y', z') = 0. (IV.12) IV-3) Aproximação de Pequenas Amplitudes A hipótese básica à qual estaremos restritos dentro desta dissertação é que as amplitudes x,y e z sejam pequenas quando comparadas à unidade. Ou seja, estamos interessados em pequenas vibrações ao redor de | $o) (vácuo de Hartree-Fock). Assim, considerando uma aproximação até a ordem quadrática em x,y e z, o estado dado em (III. 16) fica escrito como I $(rr, y,z)) ~ + Sai + - (Sij + Ea/j + Eai)^ j> | $o), (IV.13) onde definimos os operadores = (IV.14.a) i +:+J E i blbib„.b„. : , (IV.20,a) •ffl TfX 71T7T ’ Tl * onde (IV.20.b) a abm' : b\b] | #o) = ($o | bjbiblb%.bm>blb] | $o) + {^olbjbi-.blbrn, :blb]\^o){blbn‘) + + (^0 I bjbi • b\j)n> : I *5o)(^m^m') + — ($0 I bjbi • blj^bn' ■ bj.bj | $o)(^ní>m') + — (^0 I bjbi • b]j)jni ; b^i-b\ I ^o)(^ln^n')d' + (^0 I bjbib\b] I $o)((i|ní'm')(^nÍn') ~ [b\^bm') {b^mbn')) 28 Fazendo uso novamente do teorema de Wick, com um raciocínio semelhante ao utilizando para o termo cinético, vemos que os vários termos entre colchetes cancelam todas as possíveis con- tribuições nas quais estão contraídos entre si operadores internos ao produto normal, restando somente as possibilidades de contração de operadores internos com operadores externos ao produto normal. É claro, portanto, que temos somente quatro possibilidades de contração . Deste modo, obtemos (*^0 I I ^o) — (^mi^nj ^mj^ni} (^^m' k^n't ^m'l^n'k')- (IV.26) Assim o termo de potencial em (IV.23) fica escrito como “ 'y ^ ^ij ~ Vijik — Vjiki + Vjnk')Xki = y ^ 3;ijVijkiX/.i, (IV.27) i + E^“i-"“i) + i ^ i«'’.*+ y J ^ t[G]), (IV.42.a) I nVa^G]) = bpb^ I ^[G]), (IV.42.b) i^[^a.G])=ò«6Í|'P[G]). (IV.42.C) Por outro lado, temos, de (IV.38),(II.23) e (IV.41), que í) d ('P[Gi] I = {Gi, -õ^G2)b = (XijGi,G2)B = {^[Gi] I b,b, I 'P[G2]). (IV.43) 34 Como essa relação vale para quaisquer funções analíticas G\ e G2, concluímos que, no sub- espaço varrido pelos estados da forma (IV.1) e dentro da aproximação de pequenas ampli- tudes, temos I *[^G1) = i-iS,-I'í[C?l>- Por um raciocínio completamente análogo, obtemos, também, I = hibl I 9-(G]). UZai (IV.44.a) (IV.44.b) (IV.44.C) 35 CAPÍTULO V OBTENÇÃO DAS EQUAÇÕES da RPA V-1) Introdução Passaremos neste capítulo à obtenção das equações da RPA. Primeiramente devemos diagonalizar a equação (IV.35), ou melhor, encontrar uma base onde o primeiro membro dessa equação assuma uma forma diagonal. As equações da RPA surgem, por esse processo, a partir das condições que os coeficientes da transformação de mudança de base devem obedecer. A equação (IV.35) contém três tipos de modos vibracionais, a saber, partícula-partícula (PP), buraco-bmaco (hh) e partícula-buraco (ph), sendo que este último tipo se desacopla dos dois primeiros. Assim é possível tratar os modos ph separadamente dos modos pp e hh, o que é feito nas seções seguintes. Na seção V-2 é tratado o modo ph. Os modos restantes, pp e hh, são tratados na seção V-3. Na seção V-4, é feita uma análise da energia e do número de transferência. Na seção V-5 é feito o estudo do estado fundamental. Finahnente na seção V-6, talvez a parte mais relevante desta dissertação , é feita a análise dos estados excitados. V-2) Diagonalização do Termo de Particula-Buraco Como dissemos na introdução , na equação (IV.35) notamos que os osciladores associados a ^ e ^ se desacoplam do restante. Assim, o operador V EEi^ ai 13 j „D d ai,^j dzD, 4-ÍA_f. p , 2dz„i “*’0’dzi,j 2 (V.l) pode ser tratado separadamente. Comecemos relembrando que, conforme vimos no capítulo na representação de Bargmann, isto e, com o produto escalar definido como na equaçao (IV.38), os operadores z e são conjugados hermitianos. Como, além disso, eles satisfazem relações de comutação d [-Z -iZl3j\ = ^{ai),{Pj)i (V.2.a) d d dzai ’ dzpj ] — [Zcíii Zj3j\ — 0, (V.2.Ò) 36 eles estão associados à criação e destruição de bósons, respectivamente. Além disso, de (IV.30), é facil ver que í Daijj — 1 Diagonalizar o operador V em (V.l), consiste em descobrir novos operadores^ d d = E p/v çN (V.4) em termos dos quais ele possa ser escrito como T> = ^ ^nCnCn + cte. (V.5) N Além disso, queremos que os novos operadores continuem sendo bósons, isto é. KnXn'] = [Cn,Cn>] - 0, (V.6.a) [(njC/v'] = ^JVN', (V.6.6) sendo necessário para isso que os coeficentes em (V.4) satisfaçam as relações de ortogonalidade - SÍ;-XÍ + íí®,®Vi = Eí2«-s® - 5'® 5?/)+ Pj N Pi + EE('S'®< - Rf,sS)- TV Pi 38 Usando, agora, (V.7) nessa última equação , obtemos (V.ll.a) Alternativamente, podemos multiplicar (V.9.a) por e (V.9.c) por e somar em (cvz). Desta forma, obtemos E = E E + E E •5."*5'"/. ai N ai N ai E Ki.i,iRã: = - E E - E E • N Somando as duas, encontramos E = E E )+ ai N ai ' + E T,(sS,'’sS - e, novamente fazendo uso de (V.7), obtemos Equivalentemente, trocando a notação ai ^ /3j e N' ^ N e lembrando as propriedades (V.S), obtemos E(^’c,.„s^í + K,mRZ) = (V.11.6) 0j As equações (V.ll.a) e (V.ll.b) podem ser escritas em notação matricial como (V.12) As equações (V.ll) ou, equivalentemente, (V.12) são as bem conhecidas equações da RPA partícula-buraco (ph). Pode-se mostrar (Tho 61) que essas equações (Equações da RPA) cidmitem soluções satisfazendo (V.7) sempre que o estado de Hartree-Fock | $q) é estável, ou seja, é um mínimo. Mostra-se também que os autovalores O/v são reais e não-negativos. Os casos com O/v = 0 correspondem a estados espúrios. 39 Escolhendo R,S como as soluções de (V.12) normalizadas conforme (V.7), temos, de (V.l), (V.8)e(V,9), ® = E - E E (V.13) N Podemos, ainda, escrever Esí«E^-’^»t = EE^« N ai N ai OU, usando (V.T.b) e (V.9.a) N Oíi § I + J?"* Jí" ) + i ( S«'5« - EE^»t‘5íi = 5E^«--5Eíí«- N ai ai N Levando (V.14) em (V.13), obtemos finalmente V = ^Qn (^CnCn + 0 - ^ (V.14) (V.15) V-3) Diagonalização dos Termos de Partícula-Partícula e Buraco-Buraco Nesta seção trataremos o restante da equação (IV.35). Claramente vemos que, sub- traindo-se do primeiro membro dessa equação o operador V definido em (V.l), obtemos i] = 2ej„ Com estes resultados, obtemos (V.20.b) (V.21) (V.22.a) (V,22.b) (V.22.C) Está claro que os operadores ífp, e 77//, 77^ estão associados aos modos normais partícula-partícula e buraco-buraco, respectivamente. Agora, requeremos que estes ope- radores sejam bosônicos e independentes, ou seja, que satisfaçam as seguintes regras de co- mutação ; [i^P) i^P'] — 0? (V.23.a) 41 [<^p,^p/] = ^pp', (V.23.b) (V.23.c) [vh^Vh'] — ^HH', (V.23.d) ['Cp)^//] —0) (V.23.e) [ep,^p] =0. (V.23.f) Essas regras de comutação impõem as seguintes relações entre os coeficientes em (V.20): - E i3^ + -EEÍÍE npX!;Y£;)xijy,g + (Y,<^HXS,;Y,f)y„gx„\ + x (E - E ou ainda, usando (V.24.a) e (V.24.c), E^iVo^w + E<^Tí,.oKrf' = -sipv/;. 7<á (V.27.b) fcí Passemos, agora, às equações lineares que devem ser satisfeitas pelos demais coeficientes, isto é, os coeficientes do tipo e Y^f. Para obtê-las, comecemos por multiplicar a equação (V.26.b) por X^'* e somar sobre 'f < 6. Obtemos E = E E YíYl' + E E H ~t<6 P ~/<6 Multiplicando, agora, (V.26.c) por Y^f* e somando em {i < j), obtemos io) é estritamente estável, ou seja, sempre que é um mínimo, agora em relação à formação de pares pp e hh com a mesma 46 intensidade, isto é, mantendo (N) = uq. Mostra-se também que os autovalores Í2p e ííp são reais e Q,p -f- ÍIh é sempre positivo. Os casos com Í2 = 0 não serão considerados^ . É interessante observar que os sistemas (V.29) e (V.29’) são idênticos, tendo ambos a forma k ií ao)- Observamos também que existe uma dupla contagem de configurações do tipo piP2 — h\h2 e pihi —^2^2. Claramente este fato está ligado à aproximação de quasi-boson, onde tratamos como se fossem bósons independentes os operadores dos tipos pp (fe-ò]), hh (6^6^) e ph (ò^ò-). Agora, se nos limitarmos aos estados mais baixos em energia, é razoável supor que eles sejam compostos pelo estado | í»o) acrescido de um par ph{se a = 0), pp(se a = +2), ou hh(se a = -2). Então para grandezas relativas, isto é, medidas em relação ao estado fundamental | ^o), tais como energias de excitação e taxas de transição , a contribuição dominante se deve a esse par adicional. É claro que no caso de apenas um par a aproximação de quasi-bóson funciona 54 bem. Portanto, do que foi discutido acima, conclm'mos que os valores obtidos pela RPA para grandezas absolutas podem apresentar grandes erros, enquanto que os valores obtidos para grandezas relativas têm boa confiabilidade. Na verdade, nós estamos no caso em que dois erros semelhantes praticamente se cancelam. V-6) Excitações Partícula-Buraco Vimos na seção anterior que, obtida a função Go(a:, y, z), solução simultânea das equações (V.42) com autovalores nulos, podemos construir o estado I ^o) =\ í'[Go]), (V.63) na notação da seção IV-4, que é uma representação aproximada, no sentido de RPA, para 0 estado fundamental do sistema de A nucleons. Isso, desde que o vácuo de Hartree-Fock 1 $o) seja uma aproximação razoável para esse estado. A forma explícita de | í^o) está dada em (V.62), onde fica claro que ele inclui correlações tanto partícula-buraco (ph — ph) como partícula-partícula e buraco-buraco (pp — hh). Por esse motivo, chamamos | 'Fo) de estado fundamental correlacionado. Por construção , ele é o vácuo dos bósons (p e pp. Apesar da violação do princípio de Pauli associada à aproximação de quasi-bóson que comentamos no final da seção anterior, | deve ser uma aproximação melhor para o estado fundamental do que o vácuo de Hartree-Fock | $0)5 que não inclui correlações . Esse, no entanto, não é o único nem mesmo o principaP resultado da RPA. Uma vez resolvidas as equações da RPA partícula-buraco (V.12) podemos construir as funções Cjl/Go que são, como já vimos, soluções de (V.42) com n = 0, isto é, nCljGo = ^NClfGo, (VM.a) AÍC^Go = 0. (V.64.Ò) Com essas funções podemos construir os seguintes estados excitados do sistema de A nucleons I í'yv) =1 ^[CÍ/<^o]) = - SSMÍ) I ío), (V.65) ai ^ ^ ^ Na verdade, devido à dupla contagem mencionada no final da seção V-5, a RPA pode não ser uma boa maneira para calcular propriedades estaticas do estado fundamental. 55 onde usamos (V.4), (IV.42.c) e (IV.44.c). Vemos claramente nessa equação que esses estados correspondem a excitações partícula-buraco do estado fundamental correlacionado | í'o)- Os autovalores 0,^ em (V.64.a) são as energias de excitação correspondentes, isto é, ÍIn = En — (V.66) / E fácil mostrar, usando o homomorfismo mencionado na seção IV-4, em particular a equação (IV.38), que os estado obtidos em (V.65) são ortogonais entre si e ao estado funda- mental correlacionado | ^o)- Com efeito, I ^AT'} = {CnGq,Cn'^^)b = {Gq,CnÇ}n>Gq)b = (<5o, [CN,Cjv']C^o)B = ^nn>(Go,Go)b = ^NN'i'^0 I ^o) e {<í'n\^o)={(IGo,Go)b = {Go,CnGo)b = 0, onde usamos (V.6.b) e (V.55). V-7) Excitações Partícula-Partícula {a = -\-2) e Buraco-Buraco {a = —2) Procedendo analogamente ao que fizemos na seção anterior, podemos, resolvida a equação da RPA partícula-partícula e buraco-buraco, isto é, a equação (V.30’), construir os operadores bosônicos Cperflj e com eles as funções ^pC?o e r/ljGo que serão soluções da (V.42) com a — +2 e a = —2, respectivamente. Temos, portanto, = íípíl>Go, (F.68.a) (V.67.a) (V.67.b) 56 (y.68.ò) A/”^pGo — +2(^pGo, 'HrjljGo — Aír]\jGo — —2t]\jGo. (Vm.a) (y.69.6) Com as soluções de (V.68) podemos construir os seguintes estados do sistema de A+2 nucleons: 4>p) =1 1>[ÍÍ.G„]) ^i■ h] rni ^ m2) e da mesma maneira para (3,4). Cada função TZ' é dada por W = IrI'M + I./(i(2) + 1.4(3) + 1.4(4), (VI.13) sendo /. — J r^dr -^”2 {Vl.U.a) + i|(y[Í3 + l][l4j)t Ç /l + 1 Í2 L" 0 0 0 1 L" L' q M" M_ 67 X + 1 ^4 L" 0 0 0 1 L" L' qM" M' + 1, L,l2\h, L")U{1,1^ + 1,L' ,l4]l3,L''), (VI.14.b) onde Rn,i é a função radial dada em (VI. 10), são os harmônicos esféricos e os operadores Oi e 0'i são dados por 1±1 21 + 1 dr 0'i = 21 + 1 dr _ L r 1 + 1 Além disso, = Ir^Q, IrIçiiY) — IrI'o, [com o operador O/g repassado para 0\^ e I3 + 1 em Iq repassado para I3 — 1.], IrlQ{3) = Irlçi [com o operador 0/j repassado para 0'i^ e li + 1 em repassado para /i — 1.] e /r-ff2(4) = RIq [com os operadores O/^ e O/g repassados para 0{^ e OJ^, respectivamente e /i + 1 e ^3 + 1 em Jq repassados para /i — 1 e /s — 1, respectivamente.]. 68 VI-6)Resuitados Apresentamos a seguir os resultados numéricos obtidos utilizando ambas as inte- rações (Gaussiano e de Gogny) apresentados anteriormente, além de uma comparação como os resultados experimentais (LeS 78). Primeiramente, na figura 2, temos os espectros das enegias de excitação observados (LeS 78) e calculados para o chumbo ^^°Pb. MeV 2+ 2- .4+ ■8+ .0+ 2+ 4+ 0+ 6+ 8+ 1- .8+ .6+ .4+ -8+ _6+ .4+ .2+ .2+ .2+ 0+ 0+ 0+ -9.12 -9.18 -8.65 EXP. COGNY GAUSS. Fig. 2. Espectro do ^^‘^Pb 69 Todos os níveis conhecidos com paridade positiva abaixo do mais alto desenhado em cada espectro foram incluídos. Abaixo de cada espectro está, em MeV, a energia do estado fundamental em relação ao Na figura 3, temos os espectros das energias de excitação observados (LeS 78) e calculados para o chumbo ^°®Pb. Todos os níveis conhecidos com paridade positiva abaixo do mais alto desenhado em cada espectro foram incluídos. Abaixo de cada espectro está, em MeV, a energia do estado fundamental em relação ao ^'’®Pb. MeV .2+ .0+ 2- ,(2) + .0+ .2+ .4+ .2+ .4+ .2+ .2+ ,4+ .2+ .2+ .4+ .2+ .4+ .2+ .4+ 1- .0+ .0+ 0 ÍJ í .2+ .2+ 2+ 0+ 0+ 0+ 14.12 13.89 14.31 EXP. COGNY GAUSS. Fig. 3. Espectro do ^*^®Pb 70 Vemos que em ambos os casos a interação de Gogny dá resultados de qualidade superior aos da interação Gaussiana. Notamos ainda que o valor mínimo para a soma Í2p + é positivo, sendo de 5.00 MeV, 4.71 MeV e 5.66 MeV nos caso experimental e teórico com as interações de Gogny e Gaussiana, respectivamente. Isso verifica, nesse caso particular, a propriedade geral (A.23) demonstrada no apêndice A. 71 CAPÍTULO VII CONCLUSÃO 0 objetivo desta dissertação foi um estudo unificado da teoria RPA nos canais partícula- buraco, partícula-partícula e buraco-buraco. Utilizando o método de coordenadas geradoras com um estado de “teste” constrm'do como uma superposição de todas as possíveis funções de onda produto na vizinhança do estado de Hartree-Fock, acabamos por obter, após alguma manipulação , uma equação para osciladores harmônicos acoplados na representação de Bargmann. Como condições para o desacoplamento destes osciladores, obtivemos, de maneira unificada, as equações da RPA ph, pp e hh. As equações da RPA ph se separam naturalmente das equações da RPA pp e hh. Além disso, é possível ver claramente uma analogia formal entre as vibrações normais (vibrações ph) e as vibrações de emparelhamento (vibrações pp e hh). Nota-se que o mesmo sistema de equações descreve as vibrações partícula-partícula (RPA pp) e buraco-buraco (RPA hh). Apresentamos um critério simples que permite distinguir quais de suas soluções correspondem a excitações partícula- partícula e quais correspondem a excitações buraco- buraco. Generalizando uma propriedade bem conhecida da RPA ph, provamos também que qualquer solução das equações da RPA pp-|-hh deve ter norma não nula e que se somarmos um valor de energia associado a uma vibração pp com um valor de energia associado a uma vibração hh, sempre obtemos um valor positivo, bastando para isso que o estado de Hartree- Fock utilizado seja estritamente estável contra a formação de pares sem alteração do valor médio do número de partículas. Passamos então a estudar o estado fundamental assim como os estados excitados destes osciladores. Primeiramente notamos que o estado fundamental apresenta o problema de sobrecontagem das configurações pihi — P2^2 e pip2 — hih2- Esse defeito, como vimos, é uma consequência clara da aproximação efetuada, que implica em tratarmos como bósons independentes os pares ph, pp e hh. Deste modo, a teoria da RPA não deve ser utilizada para o estudo de propriedades estáticas do estado fundamental e sim para propriedades dinâmicas, ou seja, grandezas relativas entre estados excitados e o estado fundamental. Quanto aos estados excitados, mostramos que cada excitação , a saber ph, pp e hh, está ligada à criação 72 de um tipo de bóson e, além disso, que as energias de excitação pA, assim como a soma de duas energias de excitação pp + hh, referidas acima, são sempre positivas (se o estado HF for estritamente estável não só contra excitações ph mas também contra a criação de pares pp e hh). Demonstramos ainda a ortogonalidade de todos esses estados entre si. Como ilustração das equações da RPA pp + hh fazemos um cálculo numérico para o ^^°Pb e o ^°®Pb. Encontramos também em nossos resultados numéricos que apesar das energias de excitação pp serem negativas, a soma das energias de excitação pp^hh são positivas, concordando com o resultado teórico. 73 APÊNDICE A Estabilidade da Solução de H.F. e suas Implicações A-1) Existência das Soluções da RPA Claramente, a equação (IV.32.a) reescrita em notação matricial assume a forma (H - - E«-^- - Ano + i ^ ^ ^ + {x'^ yl ) Et D* A B Rt c* + X + -2A(a;^ yt) 1 0 0 -1 (Al) onde também está claro que — ^0 "1“ 2 (X y^) 1 0 0 -1 X y (A.2) sendo que T representa transposição matricial. Dessas duas equações notamos o seguinte: 1) Vem de (A.l) que efetivamente {H — é estacionário no ponto (x,y,z) = (0,0,0), ou seja, no estado produto | $(0,0,0)) =| $o), o vácuo de H.F.. Isso decorre de nossa própria hipótese. 2) 0 ponto estacionário acima independe da escolha do multiplicador de Lagrange A. Na verdade esse multiplicador de Lagrange fica indeterminado pela condição (N)<{,^o,o,o) = como mostra (A.2). Isso resulta do fato de o estado de H.F., | $0)7 ter número determinado de partículas, isto é, N I $0) = no 1 $o). (A.3) 3)Notemos ainda que decorre de (A.2) que a condição — no (A.4) permanece válida no entorno do ponto (0,0,0), na aproximação quadrática, desde que (A.5) 74 Vemos que a condição necessária e suficiente para a que solução de H.F. seja estritamente estável, isto é, que o ponto (0,0,0) seja, não apenas um ponto estacionário, mas um mínimo de (H — para todos os valores de (x,y,z) na vizinhança de (0,0,0) satisfazendo a condição (A.4) é que {x T y^) A B B^ C* (A6) (A.7) sendo que a primeira desigualdade deva valer para todo z / 0 e a última para todo (x, y) ^ (0,0) satisfazendo (A.5). A desigualdade (A.6) garante a estabilidade do estado de H.F. contra excitações partícula-buraco e nos leva a prever a ocorrência de vibrações normais no sistema. Já a desigualdade (A.7), com a condição (A.5), garante a estabilidade do estado de H.F. contra excitações partícula-partícula e buraco-buraco de mesma intensidade (no sentido de (A.5)) e nos leva a prever a ocorrência de vibrações de emparelhamento no sistema. A relação entre a condição de estabilidade contra excitações partícula -buraco (A.6) e a existência de soluções aceitáveis da RPA ph são bem conhecidas (Tho 69). Vamos fazer uma discussão análoga para as consequências de (A.7). Tomando o hermitiano conjugado de (V.30’) e notando que a matriz no seu primeiro membro é hermitiana, achamos (flt ^.)=í2^(íít -S*)ç (A8) Multiplicando (V.30’) a esquerda por (5^ )q e (A.8) à direita por (^ ^ ) achamos («’ C-) (Sr, = í!J(flt -Sf)g(^) (A.%) Do segundo ramo de (A.9) concluimos que, se (ijt -5*)<3(^) SÍO, 75 (A.IO) então Q^=í2g. (All) Por outro lado, se 0, com (A.12) então o primeiro termo de (A.9) leva a um absurdo se o estado de H.F. é estável contra formação de pares conforme mostramos em (A.7). Concluímos, portanto, que, se o estado de H.F. for estritamente estável contra a formação de pares pp e hh de mesma intensidade, então nenhuma solução da equação da RPA partícula-partícula e buraco-buraco (V.30’) pode ter norma nula, isto é, satisfazer (A.12). Em outras palavras, sempre que o estado de H.F. for estável por formação de pares temos que todas as soluções de (V.30’) satisfazem (A. 10) e, portanto, podem ser normalizadas conforme uma das duas escolhas abaixo: (R+ (.4.13) A-2) Relações de Completeza Pode-se mostrar (RiP 69,Blo 64) que, satisfetias as condições da seção anterior, isto é, se nenhuma solução do sistema (V.30’) tiver norma nula, ou seja, se todas elas puderem ser normalizadas conforme (A.13), então essas Npp + Nhh = Np -f Np soluções (na notação da seção V-3) são linearmente independentes. Podemos então inverter as equações (V.20.a) e (V.20.b) escrevendo Xij = -t- (A, 14.a) P H d dyaji H P (A.14.Ò) É facil ver que ^ij] jy-P _ ]vP* -^ij ? (A.15.a) onde, na primeira iguladade foi usada a equação (A. 14.a) e as relações de comutação (V.23.b) e (V.23.e). Na segunda igualdade utilizamos o hermitano conjugado de (V.20.a) e as relações 76 de comutação (V.18). Assim, se primeiramente substituirmos as equações (A.14) e usarmos as relações (V.23) e posteriormente as equações (V.20) e as relações (V.18), acabamos por obter = = (A16.6) [fp. = Yf/, (A.IÍ.C) oyají = = (Ais.á) Substituindo os resultados (A.15) nas equações (A.14), encontramos xy = 53x?*í;, + ^y.f,„ (A.16.a) P H gf- = E +E As relações de comutação (V.18) impõem as seguintes restrições aos coeficientes: = i(e Víf+E^« (E V'*d. + E’""''’í»' \ p p / V p/ p/ EyPvP* \ '' V^V‘ 'H* kl P' {A.ll.a) H 5y = ((E-^ã’-'" + E V/d), (e VAb + E V'fí”)i = ■ aP \ p p ' ^ H' P' ' = E V/-V - E V/V = ■*(»«,(T») (.4.17.6) H [Xij,ya^] - [('^^ij*^P + V p p ' ^ H' P' ' (A.17.C) H onde usamos as relações de comutação (V.23). As relações (A.17) podem ser postas em forma matricial da seguinte maneira: Kxpy^x^^ -{YuX^x^^ - YpX^y^’^) 0 1 77 ou então Y^x^^\\fi o\_fi o\ ypyptJ -ly vo i) ou -Y^1)-Y('Çh)(Y«' -X«t) = /, (a.18) P \ / H ^ Esta é uma relação inversa às dadas em (V.24) e é chamada relação de completeza. Para finalizar, vamos usar a relação de completeza para obter uma importante pro- priedade das frequências Op e ílp. Sabemos da seção anterior que quando a solução de H.F. é estritamente estável contra excitações pp e hh de mesma intensidade, temos a condição (A.7) sujeita à restrição (A.9). Introduzindo a relação (A.18) naquela condição , obtemos OU usando (V.29.a) e (V.29.b), Esta expressão pode ser reescrita como J^íípKx’' P+E*^» K*’' !'')(-A^") o vetor {x^ ) em (A.19) é arbitrário enquanto satisfizer (A.5). Um tal vetor é {x^ y^)={XP" YP'^) + {y^" X^''). (A.20) Com efeito. -1-1+ 0 + 0 = 0, (A.21) 78 onde usamos as relações de ortogonalidade (V.24.a-c). Introduzindo, então, o vetor (A.20) em (A. 19) achamos, usando mais uma vez (V.24), ^ ^ Çlpi \ Sppi 1^ +E I P> 0, (A.22) P' H' ou seja. Q,p + ílp > 0. (A.23) APÊNDICE B Detalhes de Cálculo dos Elementos de Matriz das Interações B-1) Interação Gaussiana Para facilidades de cálculo dos elementos de matriz da interação gaussiana, resultados estes que também servirão para o cálculo do termo gaussiano da interação de Gogny, devemos transformar o acoplamento-jj, usado na expressão (VI.8), para o chamado acoplamento-LS. Primeiramente (i) acoplamos e /(, para produzir o momento angular total L, então (ii) acoplamos os spins individuais, para obter o spin total S, e íinalmente (iii) acoplamos L e S para produzir o momento angular total J. Os coeficientes de transformação são os símbolos- 9j. Deste modo, (L 1/2 Ja\ h 1/2 jb 1 \L S J J ah : JM- TMt) = {nala,riblb)L,{^,]^)S : JM-,TMt), (B.l) fh 1/2 Jb\ ^_iya+j»-J-T I . jm-TMt) G 1/2 Ja Ls \L S J j X \ {nblb,nJa)L,{^,^)S : JM-TMt). (B.2) De acordo com a propriedade de simetria do símbolo-9j (Pal-83), podemos converter o símbolo- 9j de (B.2) no mesmo símbolo de (B.l) multiplicado pelo fator de fase ( — 1)^, onde E = /a + ^6 + 1 + ia -f Í6 + •/ + ^ + 5'. Substituindo, então em (VI.8), obtemos (la 1/2 Ja ah : JM; TMt) =[2(1 + 6ab)]~'^^ LS \ L S J {nala,nblb)L,{^,^)S : JM\TMt) + 1 1, _ ^_iya+h+L+s+T I ^riblb,nala)L,{-, -)S : JM-TMt) (B.3) Como o termo gaussiano depende somente da coordenada relativa dos dois nucleons, para escrevermos a parte espacial das funções de onda é vantajoso introduzir a conhecida transformação de Moshinsky (Pal-83), a qual transforma das coordenadas ?q e r2 das duas 80 partículas para as coordenadas relativa e de centro de massa, f = fi — r2 e R = |(ri + r2). Então, sabendo que os braJcets de Moshinsky possuem a propriedade {MC,nl : L II nJa^rikh : L) = n/ ; L || nbh.nJa : L), podemos reescrever (B.3) como (Ia 1/2 ja\ I ab : = [2(1 + E n : L || nj,,nbk : L) LS AÍCnl \L S J j X [1 - (-1)'+^+^] I {MC,nl)L,i\, ^)5 : JM-TMt), (B.4) onde jV e C referem-se a, R e n e l a r*.No entanto, para simplificação de cálculo, devemos separar completamente a parte de centro de massa (R) da parte relativa (f). Ou seja, o estado do lado direito na expressão anterior contém o acoplamento de três momentos angulares na ordem (i) £ -|- 1 = L e (ii) L -|- S = J, o qual queremos passar para o esquema alternativo de acoplamento dado por: (i)l + S = J' , com sendo o momento angular total relativo e (ii) £ -|- éT" = J. Os coeficientes qu