GILVAN CÉSAR DE CASTRO CORREARD PROJETO DE UMA RODA PARA COMPORTA VAGÃO USANDO ELEMENTOS FINITOS Dissertação apresentada à Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá, Universidade Estadual Paulista, para a obtenção do título de Mestre em Engenharia Mecânica na área de Projetos e Materiais. Orientador: Prof. Dr. Fernando de Azevedo Silva Guaratinguetá 2006 Ficha catalográfica preparada na Seção de Aquisição e Tratamento da Informação da Biblioteca – FEG/UNESP C824p Correard, Gilvan César de Castro Projeto de uma roda para comporta vagão usando elementos finitos./Gilvan César de Castro Correard. Guaratinguetá, 2006 159f.: il.; Bibliografia: f.114-116 Inclui apêndice Dissertação (mestrado) – Universidade Estadual Paulista, Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá, 2006. Orientador: Prof. Dr. Fernando de Azevedo Silva 1. Métodos numéricos, 2. cálculos mecânicos, 3. comportas hidráulicas I. Título CDU 519.615 UNESP UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá PROJETO DE UMA RODA PARA COMPORTA VAGÃO USANDO ELEMENTOS FINITOS GILVAN CÉSAR DE CASTRO CORREARD ESTA DISSERTAÇÃO FOI JULGADA ADEQUADA PARA A OBTENÇÃO DO TÍTULO DE “MESTRE EM ENGENHARIA MECÂNICA” ESPECIALIDADE: ENGENHARIA MECÂNICA ÁREA DE CONCENTRAÇÃO: PROJETOS E MATERIAIS APROVADA EM SUA FORMA FINAL PELO PROGRAMA DE PÓS- GRADUAÇÃO Prof. Dr. João Andrade de Carvalho Jr. Coordenador BANCA EXAMINADORA: Prof. Dr. FERNANDO DE AZEVEDO SILVA Orientador / UNESP – FEG Prof. Dr. JOÃO ZANGRANDI FILHO UNESP – FEG Prof. Dr. ANSELMO MONTEIRO ILKIU UNITAU - TAUBATÉ Fevereiro de 2006 DADOS CURRICULARES GILVAN CÉSAR DE CASTRO CORREARD NASCIMENTO 17.04.1970 – GUARATINGUETÁ / SP FILIAÇÃO Carlos Alberto Freire Correard Maria José Vieira de Castro Correard 1988/1992 Curso de Graduação Universidade de Taubaté - UNITAU 2003/2006 Mestrado Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá – UNESP Dedicatória de modo especial, aos meus pais Carlos e Maria José, pelo apoio ao longo de toda minha vida acadêmica e profissional, à minha esposa Marcela e as minhas filhas Eduarda, Fernanda e Roberta que foram as grandes incentivadoras para que eu continuasse meus estudos. AGRADECIMENTOS Em primeiro lugar agradeço a Deus por minha vida, saúde, inteligência, dom, família e meus amigos. À minha esposa Marcela, pela compreensão às horas dedicadas a este propósito e que sempre me apoiou nos momentos de trabalho e estudo. Ao meu orientador, Prof. Dr. Fernando de Azevedo Silva pelo auxílio, para que o estudo aqui apresentado fosse realizado. Agradeço, também, às funcionárias da Biblioteca do Campus de Guaratinguetá, às secretárias da pós-graduação, que são muito atenciosas com os alunos, estando sempre dispostas a cooperar. Ao colega de trabalho Willy Roger Mendonça que me auxiliou no modelamento dos componentes e na análise por elementos finitos. Agradeço a Alstom do Brasil S.A., em particular nas pessoas dos engenheiros Antônio Carlos Tonini e José Paulo Grando, pelo apoio, direcionamento profissional e incentivo no estudo realizado. Epígrafe “A sabedoria não cria o gênio, mas oferece-lhe, por vezes, oportunidade para se revelar “ Leoni Kaseff Correard, G. C. C. Projeto de Uma Roda para Comporta Vagão Usando Elementos Finitos. Guaratinguetá, 2006. Dissertação (Mestrado em Engenharia Mecânica) – Faculdade de Engenharia, Campus de Guaratinguetá, Universidade Estadual Paulista. RESUMO O objetivo desta pesquisa foi apresentar um método de análise para a solução de problemas de contato por elementos finitos e o cálculo dos componentes mecânicos que fazem parte do projeto de uma roda de aço. Foi demonstrado passo a passo à execução de um cálculo analítico da roda de uma Comporta Vagão, calculando as cargas radial e axial presentes, verificando a tensão de Hertz, as tensões localizadas no cubo da roda, as tensões atuantes no eixo e a seleção do rolamento. Após esta etapa retiraram-se os parâmetros iniciais que foram utilizados no cálculo analítico para buscar o cálculo por elementos finitos. Assim, foram definidas as superfícies de contato, a geometria dos componentes, a malha, as restrições, as condições de contorno e por fim a análise dos resultados encontrados antes e após o projeto. Dessa maneira, podê-se determinar com precisão os pontos de concentração de tensão para eliminação as falhas. Com a busca deste cálculo, usando a análise por Elementos Finitos, respaldado pelo cálculo analítico, foi possível reduzir o diâmetro da roda para obter ganhos em massa para este tipo de equipamento que usa uma quantidade alta de rodas (acima de 100 rodas), sem alteração da confiabilidade das peças durante seu funcionamento. PALAVRAS-CHAVE: Rodas de aço, métodos numéricos, cálculos mecânicos, comportas hidráulicas. Correard, G. C. C. Project of a Wheel of Fixed Wheel Gate by Finite Element Analysis. Guaratinguetá, 2006. Dissertação (Mestrado em Engenharia Mecânica) – Faculdade de Engenharia, Campus de Guaratinguetá, Universidade Estadual Paulista. ABSTRACT The objective of this research was to present an analysis method for the solution of contact problems for finite elements and the calculation of the mechanical components that are part of the project of a steel wheel. It was demonstrated step by step the execution of an analytic calculation of the wheel of a Fixed Wheel Gate, calculating the radial and axial loads present, verifying the Hertz pressure, the concentrated stresses in the hub of the wheel, the acting stresses in the shaft and hub, and the selection of the roller bearings. After this stage the initial parameters were used in the analytic calculation in order to obtain the calculation using finite elements. After this, it was defined the contact surfaces, the geometry of the components, the mesh, the restrictions, the real constraints and finally the analysis of the results found before and after the project. After this calculation, the other analysis was established in order to determine the points of concentration stress accurately for the elimination of fails. In order to obtain the calculation, using Finite Elements, by the analytic calculation it was possible to reduce the diameter of the wheel to obtain earn in mass for this type of equipment that uses a high amount of wheels (above 100 wheels), without alteration of the reliability of the parts during the operation. KEYWORDS: Steel wheels, numerical methods, mechanical calculation, hydraulic gates LISTA DE FIGURAS Figura 1 – Vista da Comporta Vagão modelada em MDT............................ 31 Figura 2 – Foto de uma Comporta Vagão em seu local de instalação .......... 32 Figura 3 – Esquema básico de uma Usina Hidrelétrica ................................ 34 Figura 4 – Vista da roda com suas peças ...................................................... 35 Figura 5 – Corte longitudinal da roda com suas peças.................................. 35 Figura 6 – Vista do anel de aço da roda ....................................................... 36 Figura 7 – Vista do eixo ................................................................................ 36 Figura 8 – Corte longitudinal de um rolamento autocompensador de rolos . 37 Figura 9 – Rolamento autocompensador de rolos com duas carreiras de rolos.............................................................................................. 37 Figura 10 – Problema de contato com duas esferas em contato...................... 38 Figura 11 – Problema de contato com a esfera em uma superfície côncava esférica ........................................................................................ 40 Figura 12 – Problema de contato com rolos à compressão ............................. 42 Figura 13 – Problema de contato de um rolo sobre uma superfície plana ...... 43 Figura 14 – Divisão do carregamento para comporta de superfície em áreas equivalentes.................................................................................. 53 Figura 15 – Divisão do carregamento para comporta de fundo em áreas equivalentes.................................................................................. 55 Figura 16 – Carregamento sobre a comporta no plano.................................... 63 Figura 17 – Carregamento sobre a comporta em vista isométrica .................. 64 Figura 18 – Carga de compressão externa atuante sobre a roda e dimensões principais da roda ......................................................................... 70 Figura 19 – Carregamento externo atuante sobre o eixo bi-apoiado............... 75 Figura 20 – Diagrama de esforços cortantes no eixo ...................................... 78 Figura 21 – Diagrama de momento fletor no eixo .......................................... 79 Figura 22 – Geometria do eixo modelado no programa ANSYS 9.0 ............. 82 Figura 23 – Pressão aplicada sobre a peça no eixo y ...................................... 83 Figura 24 – Restrição tipo engaste radial nos diâmetros externos do eixo ..... 83 Figura 25 – Malha aplicada no eixo ................................................................ 84 Figura 26 – Perfil deformado da peça no eixo y (escala não verdadeira) ....... 85 Figura 27 – Tensão de cisalhamento atuante sobre o eixo .............................. 85 Figura 28 – Tensão de Von Mises atuante sobre o eixo.................................. 86 Figura 29 – Modelamento da geometria realizado para a região de contato da roda no programa ANSYS 9.0..................................................... 88 Figura 30 – Restrições e carga aplicada na região de contato da roda............ 88 Figura 31 – Malha aplicada para a roda e região de contato com o caminho de rolamento...................................................................................... 89 Figura 32 – Condições de contorno e restrições introduzidas......................... 90 Figura 33 – Máxima pressão de contato na roda em vista isométrica [MPa] . 91 Figura 34 – Máxima tensão de contato na roda em vista lateral [MPa].......... 91 Figura 35 – Pontos concentradores de tensão no eixo x decorrentes da aplicação da carga externa [MPa] ................................................ 92 Figura 36 – Pontos concentradores de tensão em vista lateral [MPa]............. 92 Figura 37 – Tensão de cisalhamento máxima na extremidade da roda [MPa].. 93 Figura 38 – Ampliação do campo de tensão de cisalhamento máximo [MPa] ............................................................................. 93 Figura 39 – Deformação no eixo y decorrente da aplicação da força externa [mm] ................................................................................ 94 Figura 40 – Ampliação do campo de deformações no eixo y [mm] ............... 94 Figura 41 – Ampliação da deformação no eixo y [mm].................................. 95 Figura 42 – Geometria da roda no programa ANSYS 9.0 .............................. 96 Figura 43 – Restrições e carregamento da roda no programa ANSYS 9.0..... 96 Figura 44 – Restrições e carga aplicadas mostradas em uma vista lateral ...... 97 Figura 45 – Malha aplicada com o elemento SOLID95.................................. 97 Figura 46 – Condições de contorno aplicadas na geometria modificada da roda......................................................................................... 98 Figura 47 – Máxima tensão de contato na roda com as novas restrições [MPa] ........................................................................... 98 Figura 48 – Máxima tensão de contato nas extremidades da roda [MPa]......... 99 Figura 49 – Máxima tensão de contato na vista lateral da superfície de rolamento da roda [MPa] ............................................................... 99 Figura 50 – Pontos concentradores de tensões na roda em vista ampliada [MPa]............................................................................. 100 Figura 51 – Tensão de cisalhamento máxima localizada nas extremidades [MPa] ....................................................................... 100 Figura 52 – Profundidade em que ocorre a tensão de cisalhamento máxima [MPa]............................................................................... 101 Figura 53 – Deformação por deslocamento no eixo y gerada pela carga aplicada [mm]................................................................................. 101 Figura 54 – Deslocamento no eixo y em vista isométrica ampliada [mm] ....... 102 Figura 55 – Deslocamento no eixo y em vista lateral ampliada [mm].............. 102 Figura 56 – Geometria modificada da roda para novo diâmetro modelado...... 104 Figura 57 – Geometria modificada com novo diâmetro externo e carga externa aplicada.............................................................................. 104 Figura 58 – Malha aplicada para o novo diâmetro externo da roda .................. 105 Figura 59 – Carregamento externo aplicado ao novo diâmetro da roda ........... 105 Figura 60 – Restrições aplicadas ao novo diâmetro da roda ............................. 106 Figura 61 – Tensões atuantes no eixo x para o novo diâmetro da roda [MPa] . 106 Figura 62 – Tensões máximas nas extremidades no novo diâmetro [MPa]...... 107 Figura 63 – Tensões máximas nas extremidades em vista ampliada [MPa] ..... 107 Figura 64 – Tensão de cisalhamento máxima atuante no plano xy [MPa]....... 108 Figura 65– Profundidade onde ocorre à máxima tensão de cisalhamento para o novo diâmetro da roda [MPa] ....................................................... 108 Figura 66 – Deslocamento no eixo y de maneira geral [mm] ........................... 109 Figura 67 – Deslocamento no eixo y em uma vista lateral [mm]...................... 109 Figura 68 – Deslocamento no eixo y ampliado [mm] ....................................... 110 Figura 69 – Deslocamento no eixo y em uma vista lateral ampliada [mm]...... 110 Figura A 3.1 – Comporta Vagão montada em sua ranhura .................................... 156 Figura A 3.2 – Modelo paramétrico para Comporta Vagão................................... 157 LISTA DE TABELAS Tabela 1 – Constantes para calcular os semi-eixos da elipse de contato....... 42 Tabela 2 – Modelos de possibilidades de análise de contato pelo ANSYS 9.0 .................................................................................. 48 Tabela 3 – Tensões admissíveis para o material da roda e pista de rolamento conforme estabelecido no item da NBR8883 ............................. 61 Tabela 4 – Tensões admissíveis para o material do eixo conforme estabelecido no item da NBR8883.............................................. 62 Tabela 5– Carga hidráulica atuante versus casos de carga possíveis ........... 66 Tabela 6 – Carga total na comporta versus casos de carga possíveis ............ 66 Tabela 7 – Distribuição de vigas e rodas para igual carregamento hidrostático................................................................................... 69 Tabela A.4.1 – Lista de materiais com tensões de escoamento e dureza Brinell............................................................................................. 158 LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS AISC - American Institute of Steel Construction AWS - American Welding Society DIN - Deutsche Industrie Normem NBR - Norma Brasileira Registrada CAD - Computer Aided Design MDT - Mechanical Desktop CAE - Computer Aided Engineering MEF - Método de Elementos Finitos LISTA DE NORMAS CITADAS NO TRABALHO DIN 19704 Hydraulic Steel Structures – Criteria for Design and Calculation DIN 19705 Hydraulic Steel Plants – Design and Construction NBR 8883 Cálculo de Comportas Hidráulicas NBR 7259 Comportas Hidráulicas – Terminologia LISTA DE SÍMBOLOS a Distância para centralização do rolamento [mm] a Raio da esfera [mm] a Raio do círculo de contato [mm] a Semi-eixo da elipse de contato [mm] A Área [mm²] A Coeficiente para semi-eixo de contato --- As Área da seção do eixo [mm²] b Semi-eixo da elipse de contato [mm] b Largura da área retangular de contato [mm] B Largura do rolamento [mm] B Coeficiente para semi-eixo de contato --- BL Vão livre [mm] Co Capacidade de carga estática do rolamento [kN] C Capacidade de carga dinâmica do rolamento [kN] D1 Diâmetro do eixo na seção 1 [mm] D2 Diâmetro do eixo na seção 2 [mm] D3 Diâmetro do eixo na seção 3 [mm] Dret Diâmetro do eixo na seção do retentor [mm] d Diâmetro da esfera [mm] d1 Diâmetro da esfera 1 [mm] d2 Diâmetro da esfera 2 [mm] dr Diâmetro externo da roda [mm] D Diâmetros [mm] De Diâmetro externo do rolamento [mm] Dri Diâmetro interno da roda [mm] di Diâmetro interno do rolamento [mm] A Porção infinitesimal de área --- x Porção infinitesimal de distância --- e Fator para seleção do rolamento --- e1;e2 Espessura da cabeceira nos apoios 1 e 2 [mm] eadotada Espessura adotada [mm] E Módulo de elasticidade do material [MPa] E1 Módulo de elasticidade da esfera 1 [MPa] E2 Módulo de elasticidade da esfera 2 [MPa] Es Módulo de elasticidade do aço [MPa] f Flecha ou deslocamento [mm] F Carga atuante sobre a estrutura [kN] Fa Carga axial na roda [kN] Fra Carga axial máxima no rolamento (caso normal/ocasional) [kN] Frae Carga axial máxima no rolamento (caso excepcional) [kN] Fr Carga radial na roda [kN] Fr Carga radial máxima no rolamento (caso normal/ocasional) [kN] Fre Carga radial máxima no rolamento (caso normal/ocasional) [kN] Fr Carga preponderante na roda [kN] Frn Carga radial na roda para caso normal [kN] Fro Carga radial na roda para caso ocasional [kN] Fre Carga radial na roda para caso excepcional [kN] h Altura a ser vedada [m] hk Profundidade [mm] hmáx Profundidade onde ocorre o máximo cisalhamento [mm] H Altura manométrica [m] H Altura de água sobre a soleira [m] Hf Carga hidráulica no frontal a montante [m] Hg Altura do nível do lago até o eixo de aplicação da força [m] HL Altura livre [mm] Hm Carga hidráulica na soleira a montante [m] Ht Altura manométrica total sobre a soleira [m] hv; Hv Altura vedada [mm] I; I1; I2; I3 Momento de Inércia do eixo nas seções 1, 2 e 3 [mm4] k Índice para número dos componentes (vigas, rodas, etc) --- L Largura da roda [mm] L Distância entre centros dos apoios [mm] Lv Vão vedado [mm] Lr Largura de contato efetiva da roda [mm] L10 Vida nominal básica do rolamento [h] M Constante do semi-eixo “a” da elipse de contato --- M Momento fletor [kN.m] Mmáx Momento fletor máximo [kN.m] n Quantidade de vigas ou rodas --- N Constante do semi-eixo “b” da elipse de contato --- nciclos Número de ciclos de movimentação da comporta --- ng Número de vigas --- np Número de painéis --- nr Número de rodas --- N Quantidades de equipamentos --- NAmáx Elevação do nível de água excepcional montante [m] NAoca Elevação do nível de água ocasional montante [m] NAnor Elevação do nível de água normal montante [m] NAjus Elevação do nível de água jusante [m] NAsol Elevação da soleira [m] Nc Quantidade de comportas --- NR Quantidade de rodas --- Ns Elevação da soleira [m] Nt Quantidade total de rodas no projeto --- P Capacidade de carga dinámica equivalente [kN] P Força externa de compressão [kN] P Pressão estática [mca] p Expoente de cálculo da vida do rolamento --- P’ Força de compressão por unidade de comprimento [kN/m] P’ Força de compressão admissível na roda de aço [MPa] Padm Pressão ou tensão admissível de Hertz [MPa] Pmáx Pressão máxima [MPa] Phertz Pressão ou tensão de Hertz [MPa] Po Carga estática equivalente (caso normal/ocasional) [kN] Prn Carga estática requerida (caso excepcional) [kN] Poe Carga estática equivalente (caso normal/ocasional) [kN] Pre Carga estática requerida (caso excepcional) [kN] Qm Carga hidráulica na comporta a montante [kN] Qt Carga hidráulica total na comporta a montante [kN] Ra1 Reação no apoio 1 [kN] Ra2 Reação no apoio 2 [kN] R Raio [mm] r Raio de arredondamento do canto da banda de rodagem [mm] r Índice para posição de rodas --- r1 Curvatura do ponto de contato 1 [mm] r2 Curvatura do ponto de contato 2 [mm] r’1 Curvatura do ponto de contato 1 [mm] r’2 Curvatura do ponto de contato 2 [mm] ra Raio de arredondamento [mm] So Fator de segurança estático (caso normal/ocasional) --- Soe Fator de segurança estático (caso excepcional) --- t Espessura [mm] V Esforço Cortante [kN] v Índice para posição de vigas --- v Velocidade da comporta [mm/s] W; W1; W2 Módulo de resistência a flexão do eixo nas seções 1 e 2 [mm3] Y Distância dos componentes (vigas e rodas) [mm] Y0 Fator de carga estática do rolamento --- Y1 Fator da vida do rolamento --- Yk Posição das vigas horizontais e rodas [mm] x Distância do ponto de aplicação da carga até a soleira [mm] Constante para cálculo do semi-eixo “a” da elipse de contato --- Constante para cálculo do semi-eixo “b” da elipse de contato --- Coeficiente para posicionamento --- r Coeficiente para posicionamento de rodas --- v Coeficiente para posicionamento de vigas --- Densidade d’água [kN/m3] Deformação local da esfera [mm] Coeficiente de redução para largura de placa --- Peso específico da água [kN/m3] Coeficiente de Poisson do aço --- _ Tensão admissível do material [MPa] norm _ Tensão admissível do material para caso normal [MPa] ocas _ Tensão admissível do material para caso ocasional [MPa] excep _ Tensão admissível do material para caso excepcional [MPa] n Tensão normal atuante no eixo [MPa] f Tensão de flexão atuante no eixo [MPa] comp Tensão combinada ou tensão de von Mises atuante no eixo [MPa] Ângulo --- Tensão de cisalhamento [MPa] máx Tensão de cisalhamento máxima [MPa] med Tensão de cisalhamento média [MPa] SUMÁRIO LISTA DE FIGURAS LISTA DE TABELAS LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS LISTA DE NORMAS CITADAS NO TRABALHO LISTA DE SÍMBOLOS 1 INTRODUÇÃO ..................................................................................... 21 1.1 ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO...................................................... 21 1.2 CONSIDERAÇÕES GERAIS ................................................................ 23 1.3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ............................................................... 24 1.4 OBJETIVOS ........................................................................................... 28 1.5 CONTRIBUIÇÕES................................................................................. 28 2 DEFINIÇÕES BÁSICAS DA COMPORTA VAGÃO...................... 30 2.1 INTRODUÇÃO ...................................................................................... 30 2.2 NOMENCLATURA DOS COMPONENTES DA RODA .................... 36 3 FUNDAMENTOS TEÓRICOS .......................................................... 38 3.1 TEORIA DE TENSÃO DE CONTATO OU PRESSÃO DE HERTZ... 38 3.2 SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE CONTATO UTILIZANDO O MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS .............................................. 45 3.3 MÉTODO PARA DETERMINAR O ESPAÇAMENTO DAS VIGAS HORIZONTAIS E DAS RODAS DA COMPORTA............................. 53 4 CÁLCULO DOS COMPONENTES ................................................... 57 4.1 CÁLCULO ANALÍTICO DOS COMPONENTES ............................... 57 4.2 SIMULAÇÃO NUMÉRICA COM ELEMENTOS FINITOS ............... 82 4.3 CÁLCULO DA RODA (ANALÍTICO) .................................................. 103 5 DISCUSSÃO DOS RESULTADOS ...................................................... 111 6 COMENTÁRIOS E CONCLUSÕES.................................................... 112 7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.................................................. 114 APÊNDICE A.1 – DESENVOLVIMENTO DE UM PROBLEMA DE CONTATO DE HERTZ NO PROGRAMA PATRAN ........................................... 117 APÊNDICE A.2 – EXEMPLO DE CÁLCULO DA RODA EM PLANILHAS EXCEL ................................................................................................................... 143 APÊNDICE A.3 – GLOSSÁRIO .......................................................................... 155 APÊNDICE A.4 –LISTA DE MATERIAIS COM TENSÕES DE ESCOAMENTO E DUREZA BRINELL .......................................................................................... 158 1. INTRODUÇÃO Neste capítulo é apresentada uma introdução geral sobre a dissertação, abrangendo desde a importância do trabalho, passando por uma revisão sobre os assuntos relacionados, objetivos a serem alcançados e finalmente, uma explicação detalhada sobre a estrutura da dissertação. 1.1 ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO A seguir são apresentados os resumos dos 7 capítulos e dos apêndices que a seguir serão discutidos com maiores detalhes. No capítulo 1, faz-se a introdução desta dissertação, indicando-se as considerações gerais, a revisão bibliográfica, fixando os objetivos e a contribuição referente ao estudo de um projeto de uma roda de comporta vagão. No capítulo 2, define-se a terminologia do equipamento, fornecendo maiores detalhes de uma comporta vagão e explica cada um dos componentes da roda, associados a suas respectivas figuras, fornecendo a idéia de sua geometria. No capítulo 3, comenta-se a teoria de tensão de Hertz, o método de análise para a solução de problemas de contato por elementos finitos e descreve a seqüência para determinar o espaçamento das vigas horizontais e das rodas de aço da comporta. No capítulo 4, que é o objetivo desta dissertação, mostra-se passo a passo à execução de um cálculo analítico do conjunto da roda da Comporta Vagão, determinando as cargas radial e axial presentes, verificando a pressão de contato ou tensão de Hertz, tensões localizadas no cubo da roda, tensões atuantes no eixo, seleção do rolamento estático e dinâmico, passando uma introdução à tecnologia aplicada no cálculo destes componentes. Desta introdução será possível extrair os parâmetros iniciais para realizar a análise e busca do cálculo pelo método de elementos finitos, detalhando-se o modelamento realizado, destacando a geometria dos componentes e analisando os resultados encontrados antes e após o projeto. No capítulo 5, mostra-se a discussão dos resultados após a conclusão do projeto dos componentes. No capítulo 6, mostra-se os comentários e as conclusões ao trabalho ora desenvolvido. No capítulo 7, indica-se as referências bibliográficas. No apêndice A.1, indica-se o desenvolvimento de um problema de contato de Hertz no programa Patran . No apêndice A.2, mostra-se um exemplo de cálculo da roda em planilhas Excel. No apêndice A.3, indica-se um glossário dos termos utilizados no equipamento. No apêndice A.4, indica-se uma lista dos materiais utilizados para eixo, roda e pista de rolamento, com suas respectivas características mecânicas. 23 1.2 CONSIDERAÇÕES GERAIS Todo cálculo mecânico é baseado em métodos matemáticos que geralmente possuem erros introduzidos por aproximações. Em alguns casos, quando se necessita conhecer a dimensão mínima que um determinado componente resiste ao esforço ao qual está submetido, é conveniente que o método por elementos finitos possa ser respaldado por um método já comprovado, seja por uma análise experimental ou um cálculo analítico. Por este motivo, utiliza-se o cálculo em elementos finitos para comprovar as dimensões e resistência destes componentes. Portanto, a finalidade deste trabalho é realizar uma análise em componentes mecânicos de um Equipamento Hidromecânico de grande porte, utilizado em larga escala em Aproveitamentos Hidroelétricos, Projetos Hidráulicos de Usinas Hidrelétricas, Barragens, Eclusas de Navegação, Estações de Bombeamento e Tratamento de Efluentes, chamado de Comporta Vagão. Para isto, será utilizado o programa comercial ANSYS versão 9.0 no qual a roda, o eixo e a superfície de rolamento serão modelados através do método de elementos finitos, primeiramente em 2-D para depois ser feito um modelo 3-D com o intuito de correlacionar os resultados encontrados em ambos os casos. Quando se utilizam certos componentes em equipamentos não seriados, é interessante a realização de um processo de busca de um projeto de maneira a se obter uma estrutura que apresente ganhos em: massa (menor massa), custo (maior lucro) e funcionamento (maior segurança). A utilização da ferramenta de elementos finitos (CAE) principalmente quando se busca o cálculo, quando aliada à ferramenta de desenho (CAD), reduz os ciclos de projeto e fabricação, reduzindo o cronograma de entrega do equipamento, a entrada em operação e a possibilidades de falhas. Para buscar um projeto, os parâmetros geométricos necessariamente devem variar, de forma a se atingir o resultado desejado. Esse resultado pode basear-se em custo de projeto (menor tempo de projeto), custo de fabricação (menor ciclo, menor gasto de energia, utilização de máquinas menores, facilidade de fabricação, redução 24 de matéria prima). Geralmente, os resultados desejados devem propiciar uma maior confiabilidade do produto final, com bom desempenho do equipamento em funcionamento e a satisfação do cliente. 1.3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA A seguir é apresentada uma revisão bibliográfica referente aos temas envolvidos neste trabalho. Devido ao fato de não existir muitas referências com respeito a artigos e textos sobre o assunto abordado na bibliografia, este trabalho é de suma importância na busca de respostas para a análise de contato realizada. Erbisti (2002) ressalta que o primeiro passo no dimensionamento de uma comporta consiste na determinação da carga hidrostática atuante sobre o paramento, nas diversas posições ocupadas pela comporta. O valor máximo de carga hidrostática ocorre com a comporta fechada e o reservatório em seu nível máximo, e no caso de comportas submetidas à pressão d’água em ambos os lados, com o reservatório inferior em seu nível mínimo. Segundo o autor, é conveniente que as vigas horizontais e as rodas de aço da comporta fiquem igualmente carregadas, fazendo com que todas possam ser fabricadas com o mesmo perfil (diâmetro versus largura). Isto é feito dividindo-se o diagrama de pressão hidrostática em áreas equivalentes Ainda segundo o autor, as rodas são projetadas para resistir à carga hidrostática que atua sobre o tabuleiro, recomendando-se que sua localização seja determinada de forma que todas recebam a mesma parcela de carga hidrostática. As rodas podem ser montadas sobre mancais de rolamento autocompensadores. Para estes casos a superfície da roda pode ser cilíndrica, pois esses mancais permitem pequenos deslocamentos angulares do eixo. Na seleção do rolamento, devem ser observadas as recomendações quanto aos valores limites de desalinhamento angular entre os anéis interno e externo. Para se evitar o enfraquecimento das rodas montadas sobre mancais de rolamento, o diâmetro externo do rolamento não deve exceder 80% do diâmetro da roda. 25 Ainda segundo o autor, o dimensionamento da roda é feito em função da pressão de contato. Dependendo da geometria da superfície de rolamento da roda e do caminho de rolamento, o contato é retangular ou elíptico. O contato retangular ocorre exclusivamente no caso de rodas cilíndricas apoiadas sobre caminhos de rolamento planos. Caso a roda tenha superfície de rolamento convexa ou o caminho de rolamento apresente uma curvatura no plano horizontal, o contato é elíptico. O diâmetro e a largura da roda são calculados em função da pressão de contato de Hertz. Faires (1966) ressalta que uma árvore é um elemento que gira transmitindo potência e que um eixo é um elemento fixo suportando rodas rotativas, polias, etc. Por influência dos dias das carroças e carruagens, a palavra eixo é usada para veículos. Segundo o autor, o movimento dos elementos ou peças de uma máquina exige necessariamente superfícies de apoio, algumas das quais devem suportar diversos tipos de carga e velocidade de operação. Além disso, quando se têm uma relação entre cargas e velocidades de operação elevadas, as folgas, o comprimento e diâmetro das peças de apoio devem ser dimensionadas corretamente. Portanto, deve-se utilizar mancais de apoio. O mesmo diz que um mancal é constituído de duas partes principais: o munhão, que é a parte interna, cilíndrica, usualmente com movimento de rotação ou oscilação, e o mancal, propriamente dito ou superfície de apoio. Ainda segundo o autor, existem diversos tipos de mancais, entre os quais podem ser destacados os mancais de deslizamento e os mancais de rolamento. A vantagem mais importante dos mancais de rolamento é a de que o atrito na partida não é superior ao de operação, em contraste com o atrito inicial de metal com metal que se observa nos mancais de deslizamento. Isto significa dizer que o coeficiente de atrito varia pouco com a carga e a velocidade, exceto nos casos extremos. Essa propriedade torna os mancais de rolamentos particularmente indicados para elementos de máquinas que devem sofrer paradas e partidas freqüentemente e ou que partem sob carga, como os eixos de carros ferroviários e em nosso caso particular da Comporta Vagão. Uma outra característica dos diversos tipos de 26 mancais de rolamentos é a de que eles são capazes de suportar esforços radiais e axiais. Os mancais de rolamento requerem pouco lubrificante e pequena manutenção; ocupam um espaço axial menor que os mancais lisos, mas um espaço radial maior; são mais ruidosos e mais caros que estes últimos e têm vida limitada como decorrência das altas tensões (repetidas) em suas pistas, o que resulta em eventual falha por fadiga que não será estudada neste texto. Ainda segundo o autor, Hertz baseou-se nas suposições de comportamento elástico de um material isotrópico, com carregamento normal à superfície, e uma área de contato cujas dimensões são em comparação relativamente pequenas com os raios de curvatura e com as dimensões dos corpos. Sua análise revelou que a intensidade de pressão P entre duas superfícies curvas gerais, é representada nesta superfície de contato, pelas ordenadas de uma semi-elipse construída sobre a mesma. A conclusão do autor, em seu estudo de contato entre superfícies de esferas de aço, foi de que quando dois corpos elásticos com superfícies curvadas são pressionados um contra o outro, o ponto inicial ou linha de contato se modifica para uma área de contato, devido à deformação, e um estado tridimensional de tensão é induzido em ambos os corpos. Para definir o perfil da área de contato foi assumido que a curvatura dos dois corpos pudesse ser aproximada através de superfícies de segundo-grau. Para tais corpos, a área de contato encontrada foi uma elipse. O contato é suposto sem atrito. Quando não há nenhum deslize relativo entre as superfícies onde o contato se desenvolve, o problema é modificado a menos que as duas esferas sejam precisamente semelhantes. Juvinall (1967), ressalta que máquinas ordinárias de teste de dureza do tipo penetração medem a habilidade de um material para resistir à deformação plástica quando submetidas a tensões de contato produzidas por uma carga que é normalmente estática. Apoios de extremidade de vigas, rolos de ponte, e rodas em vagões podem operar com cargas substancialmente estáticas. Por outro lado, aplicações de engenharia mais importantes que envolvem tensões de contato são associadas com o carregamento dinâmico. Quando as superfícies têm um ponto teórico de contato ou linha de contato carregadas em compressão, fracassa-se ao 27 considerar que a deflexão dá uma resposta absurda que a tensão de compressão é infinita para qualquer carga, porém desprezada. Assim, até mesmo uma estimativa grosseira destas tensões requer uma consideração para deflexão. Segundo o autor, Timoshenko, Goodier e outros continuaram o grande trabalho de Hertz e concluíram uma importante consideração de tensão que ocorre abaixo da superfície, no interior da zona de contato. Estes estudos revelaram tensões de cisalhamento importantes abaixo da superfície de contato. Ainda, segundo o autor, a capacidade de cargas envolvidas no carregamento de contato depende das tensões elásticas nominais dos materiais envolvidos no contato e são computadas pelas equações de Hertz. Uma superfície que desliza (ou até mesmo que tem uma tendência para deslizar) gera tensões de cisalhamento nas superfícies de contato; o deslizamento cria atrito, que aquece gerando tensões térmicas que alteram as propriedades dos materiais em contato; filmes fluídos lubrificantes alteram o carregamento da superfície; as tensões de trabalho são normalmente altas e também localizadas, dando origem a tensões residuais. Neves (1960) ressalta que a pressão hidrostática é a pressão unitária num ponto de uma massa líquida homogênea em equilíbrio e é igual à pressão num ponto de cota superior, aumentada da pressão corresponde à coluna líquida da altura manométrica, sendo esta igual ao peso de um prisma líquido de base unitária e altura igual ao desnível entre os dois pontos. Portanto, a pressão exercida num ponto se transmite integralmente a todos ou outros, aumentada (ou diminuída) da pressão exercida pelo líquido entre eles, bastando-se, conhecer a pressão num ponto qualquer para poder determinar a pressão num outro, em função das suas cotas. Segundo o autor, o centro de pressão ou centro de empuxo é o ponto de aplicação da pressão total que atua sobre a superfície de um corpo imerso em um fluído em repouso. Nas superfícies planas e horizontais o centro de pressão coincide com o centro de gravidade, mas se a superfície é vertical ou inclinada, o centro de pressão está sempre abaixo do centro de gravidade. A posição do centro de pressão ou centro de empuxo pode ser determinada pelas distâncias aos dois planos coordenados XY e ZY da geometria da barragem. 28 Timoshenko (1982) ressalta a tensão máxima de compressão ocorre no centro da elipse de contato para o caso de contato elíptico e devem ser calculados os semi- eixos destas elipses de contato com coeficientes e determinados pelo mesmo. Youngs (1989) ressalta que a teoria de Hertz indica as tensões máximas de compressão que ocorrem no centro das superfícies de contato de um cilindro e um elemento plano, mas não as tensões máximas de cisalhamento, que ocorrem no interior dos elementos em compressão. A teoria assume que o comprimento do cilindro e as dimensões da placa são infinitos. Para um cilindro curto e uma chapa com largura inferior a 5 ou 6 vezes a área de contato, ou com espessura inferior a 5 ou 6 vezes a profundidade do ponto onde ocorre à tensão cisalhante máxima, as tensões de trabalho poderão variar sensivelmente em relação aos valores indicados pela teoria. 1.4 OBJETIVOS O objetivo desta dissertação é realizar a análise no conjunto de roda da Comporta Vagão, a fim de determinar o nível de tensões atuantes na superfície da roda, bem como determinar as dimensões mínimas e seguras para diâmetro, largura e espessura do cubo da roda, utilizando o cálculo analítico e o método dos elementos finitos, e relacionar este nível de tensões com desgaste da superfície de rolamento. 1.5 CONTRIBUIÇÕES Este estudo é uma fonte de consulta importante para profissionais que trabalham com o cálculo, dimensionamento e projeto de equipamentos hidromecânicos e também para as pessoas que têm interesse no assunto, pelo fato de que existe uma pequena quantidade de referências que abordam este componente mecânico, principalmente no que se trata da profundidade em que ocorre o cisalhamento, com a aplicação do carregamento externo preponderante. Atualmente, os profissionais envolvidos com o cálculo de componentes mecânicos, utilizam programas próprios que definem a geometria do conjunto da 29 roda e da pista de apoio, selecionando os materiais compatíveis para o carregamento aplicado. Normalmente, a eficiência destes programas é respaldada em considerações de projeto utilizadas há mais de 50 anos, para este tipo de equipamento, no qual chama-se de considerações da “boa prática de engenharia”. Quanto ao trabalho envolvido consistir na busca de um projeto para o componente mecânico, é necessária a utilização de programas alternativos, que exploram os valores acima do limite estipulado por estas considerações de projeto. Desta maneira, baseado na teoria aplicada ao contato entre as superfícies e utilizando o módulo de contato do programa, é possível determinar as dimensões da roda, garantindo a vida útil do equipamento. 30 2. DEFINIÇÕES BÁSICAS DA COMPORTA VAGÃO Neste capítulo é feita uma introdução da terminologia e definições básicas do equipamento hidromecânico chamado Comporta Vagão, bem como de seu local de instalação a fim de indicar e esclarecer a denominação dos diversos componentes envolvidos neste estudo. 2.1 INTRODUÇÃO Em uma obra hidráulica, diversos locais de instalação são identificados com nomes próprios referentes a sua importância no contexto do empreendimento, cada qual com sua função específica que são relacionados a seguir. Aproveitamento Hidroelétrico: É toda obra que utiliza a água como elemento principal para: gerar energia, acumular para prevenir cheias, irrigar, ou permitir navegação. Os aproveitamentos hidroelétricos podem ser realizados com ou sem acumulação de água em reservatório. Barragem: Barragem é uma estrutura erguida para formar um lago de acumulação de água, e pode ser em terra batida, concreto, pedras e mista. Comporta: É um dispositivo mecânico utilizado para controlar vazões hidráulicas em qualquer conduto livre ou forçado e de cuja estrutura o conduto independe para sua continuidade física e operacional. Comporta Vagão: É uma comporta de rolamento, geralmente com paramento plano e que se movimenta em suas guias ou peças fixas sob o fluxo hidráulico, utilizando rodas ou roletes de eixos fixos (ver figura 1 e figura 2). Conduto Forçado: É definido como uma construção soldada em aço, com seção transversal circular, destinada a conduzir água sob pressão desde um reservatório até as turbinas localizadas no interior da Casa de Força da Usina. Conduto Livre: É um conduto que conduz água na pressão atmosférica. No conduto livre a água escoa sempre em declive, mantendo uma superfície livre sob o efeito da pressão atmosférica. Apresentam grande seção, podendo ser galerias, túneis ou canais. Desenho paramétrico: É um modelo que pode ser escalado para dimensões específicas, utilizando dados de entrada e parâmetros variáveis. 31 Figura 1 – Vista da Comporta Vagão modelada em MDT. Para nomenclatura das peças e dos elementos que constituem a comporta ver Glossário do Apêndice A.3. 32 Figura 2 – Foto de uma Comporta Vagão em seu local de instalação. 33 Eclusa de Navegação: Eclusa é um reservatório em forma de caixa (câmara) que possibilita, pelo enchimento e esvaziamento, que uma embarcação transponha uma diferença de nível entre o lago e o rio. Para vencer o desnível criado pela barragem é construída uma eclusa que visa, portanto, restabelecer a navegação em todo o trecho anteriormente navegável do rio. Estação de Bombeamento: Estruturas de concreto onde são instaladas as bombas hidráulicas responsáveis pela elevação do fluído bombeado, de uma elevação menor a uma elevação maior. O fluído pode ser água, água bruta, esgoto e resíduos de processo industrial. Usina Hidrelétrica: Uma usina hidrelétrica pode ser definida como um conjunto de obras e equipamentos cuja finalidade é a geração de energia elétrica, através de aproveitamento do potencial hidráulico existente em um rio. O potencial hidráulico é proporcionado pela vazão hidráulica e pela concentração dos desníveis existentes ao longo do curso de um rio. Isto pode se dar: de forma natural, quando o desnível está concentrado numa cachoeira; através de uma barragem, quando pequenos desníveis são concentrados na altura da barragem; através de desvio do rio de seu leito natural, concentrando-se os pequenos desníveis nesse desvio. Basicamente, uma usina hidrelétrica compõe-se das seguintes partes: barragem; sistemas de captação e adução de água; casa de força; sistema de restituição de água ao leito natural do rio Cada parte se constitui em um conjunto de obras e instalações projetadas harmoniosamente para operar, com eficiência, em conjunto. A água captada no lago formado pela barragem é conduzida até a casa de força através de canais, túneis e/ou condutos metálicos. Após passar pela turbina hidráulica, na casa de força, a água é restituída ao leito natural do rio, através do canal de fuga. 34 Dessa forma, a potência hidráulica é transformada em potência mecânica quando a água passa pela turbina, fazendo com que esta gire, e, no gerador - que também gira acoplado mecanicamente à turbina - a potência mecânica é transformada em potência elétrica. A energia assim gerada é levada através de cabos ou barras condutoras dos terminais do gerador até o transformador elevador, onde tem sua tensão (voltagem) elevada para adequada condução, através de linhas de transmissão, até os centros de consumo. Daí, através de transformadores abaixadores, a energia tem sua tensão levada a níveis adequados para utilização pelos consumidores. A maior vantagem das usinas hidrelétricas é a transformação limpa do recurso energético natural. Não há resíduos poluentes e há baixo custo da geração de energia, já que o principal insumo energético, a água do rio, está inserido à usina. Além da geração de energia elétrica, o aproveitamento hidrelétrico proporciona outros usos tais como irrigação, navegação e amortecimentos de cheias. Figura 3 – Esquema básico de uma Usina Hidrelétrica. 35 Rodas de Comporta: As rodas são classificadas como mancais de rolamento, e constituem componentes essenciais no projeto de uma Comporta Vagão, pois são responsáveis por receberem a reação devida à carga hidrostática aplicada à estrutura da comporta distribuindo as mesmas, através de sua superfície de rolamento ao caminho de rolamento (trilho em aço) concretado na estrutura civil da barragem. Figura 4 – Vista da roda com suas peças. Figura 5 – Corte longitudinal da roda com suas peças. 36 2.2 NOMENCLATURA DOS COMPONENTES DA RODA A nomenclatura utilizada para os principais componentes que constituem o conjunto da roda de aço de uma Comporta Vagão é: Roda: Uma barra prismática de seção transversal cilíndrica de aço fundido ou forjado que suporta grandes cargas e move a comporta através de sua rodagem sobre a pista de rolamento. A figura 6 mostra uma vista isométrica da roda de uma comporta. Figura 6 – Vista do anel de aço da roda. Eixo: Uma barra prismática de seção transversal cilíndrica de aço forjado ou laminado em rodas, engrenagens, etc. e é suportada por rolamentos. O mesmo transmite movimento e potência. A figura 7 mostra um eixo excêntrico de comporta vagão. Figura 7 – Vista do eixo. 37 Rolamento: Onde quer que haja rotação, há a necessidade de algum perfil apoiar o carregamento. A função de um mancal é minimizar a fricção entre as partes móveis da máquina que suportam essa carga. A maioria dos mancais é hoje em dia compostos por rolamentos que consistem em um anel interno, um anel externo, vários elementos rolantes (esferas ou rolos) e uma gaiola. A figura 8 mostra um corte parcial isométrico de um rolamento. Figura 8 – Corte longitudinal de um rolamento autocompensador de rolos. Rolamentos autocompensadores de rolos: São rolamentos com duas fileiras de rolos com superfícies de contato esféricas e uma pista esférica comum no anel externo. As duas pistas do anel interno são inclinadas no ângulo de apoio para o eixo. As esferas são autocompensadoras e insensíveis a erros de alinhamento do eixo com relação ao alojamento. Figura 9 – Rolamento autocompensador de rolos com duas carreiras de rolos. 38 3 FUNDAMENTOS TEÓRICOS 3.1 TEORIA DA TENSÃO DE CONTATO OU PRESSÃO DE HERTZ Nesta etapa, descreve-se alguns fundamentos teóricos do tema abordado conforme indicado na bibliografia. Segundo Timoshenko (1982), se dois corpos elásticos, diga-se duas esferas, estão exercendo pressão um sobre o outro, formar-se-á uma pequena superfície de contato como resultado da deformação local. As pressões distribuídas ao longo desta superfície são chamadas pressão de contato. A grandeza destas pressões e as tensões produzidas nos corpos podem ser calculadas empregando as equações da teoria da elasticidade. Figura 10 – Problema de contato com duas esferas em contato. No caso de duas esferas comprimidas por forças P, conforme mostrado na figura 10, as pressões estão distribuídas ao longo de um pequeno círculo de contato mn, cujo raio a é dado pela equação: 3 d 1 d 1 E 1 E 1 21 21 2 P 88,0a (1) P P E1 E2 m n d2 d1 2.a 39 onde: E1 e E2: módulos de elasticidade das duas esferas [mm]; d1 e d2: diâmetros correspondentes das duas esferas [mm]; P: Força externa de compressão aplicada [kN]. A pressão máxima Pmáx ocorre no centro do círculo de contato e é dada pela equação: 2máx a P 5,1p (2) onde: a: raio do círculo de contato [mm]; e Devido à deformação local, os centros das esferas aproximam-se um do outro, da distância : 3 d 1 d 12 E 1 E 12 2121 P277,0 (3) Quando os diâmetros das esferas e os módulos de elasticidade forem iguais, as três equações anteriores tornam-se: 3 E2 dP 88,0a (4) 3 2 2 máx d EP4 62,0p (5) 3 2 2 dE P2 54,1 (6) Quando uma esfera de diâmetro d for comprimida contra um corpo elástico de superfície plana, as fórmulas procuradas são obtidas fazendo d1 = d, d2 = . Supondo E1 = E2 = E, encontra-se para este caso: 3 E dP 88,0a (7) 3 2 2 máx d EP 62,0p (8) 3 2 2 dE P 54,1 (9) 40 No caso de uma esfera colocada numa superfície côncava esférica, figura 11, o sinal de d2 deve ser trocado. Figura 11 – Problema de contato de uma esfera em uma superfície côncava esférica. Então, para o caso E1 = E2 = E, encontra-se: 3 12 21 dd dd E P 88,0a (10) 3 2 21 122 máx dd dd EP62,0p (11) É interessante notar que, nos casos representados nas equações acima, a tensão de compressão máxima, no centro da superfície de contato depende da grandeza da relação P/d², isto é, a tensão máxima permanece constante se a relação acima também se mantiver. Isto justifica a prática usual de determinar o diâmetro necessário da esfera, tomando uma determinada grandeza de carga por centímetro quadrado da seção diametral da esfera. No caso geral da compressão de dois corpos tendo o mesmo módulo de elasticidade E, representa-se por 1/r1 e 1/r1’ as curvaturas principais no ponto de contato de um dos corpos e por 1/r2 e 1/r2’ as do outro, por o ângulo compreendido entre os planos normais que contém as curvaturas 1/r1 e 1/r2. P d1 d2 41 A superfície de contato, para o caso geral, é uma elipse, cujos semi-eixos a e b são dados pelas equações: 3 n mP a (12) 3 n mP b (13) onde: = constante para o cálculo do semi-eixo a da elipse de contato; = constante para o cálculo do semi-eixo b da elipse de contato; m = constante; n = constante. As constantes m e n são calculadas através das seguintes fórmulas: ' 22 ' 11 r 1 r 1 r 1 r 1 4 m (14) 213 E4 n (15) onde: = coeficiente de Poisson. As constantes e são tiradas da tabela 3.1, para cada caso particular. O ângulo na primeira coluna do quadro é calculado pela equação: A B cos (16) onde: m 2 A (17) 2cos r 1 r 1 r 1 r 1 2 r 1 r 1 r 1 r 1 2 1 B ' 22 ' 1 2 ' 22 2 ' 1 11 (18) 42 Tabela 1 – Constantes para calcular os semi-eixos da elipse de contato Timoshenko, (1982). 20 3,778 0,408 30 2,731 0,493 35 2,397 0,530 40 2,136 0,567 45 1,926 0,604 50 1,754 0,641 55 1,611 0,678 60 1,486 0,717 65 1,378 0,759 70 1,284 0,802 75 1,202 0,846 80 1,128 0,893 85 1,061 0,944 90 1,000 1,000 A expressão da pressão máxima no centro da superfície de contato, é então: ba P 5,1pmáx (19) No caso de rolos à compressão, figura 12, a superfície de contato é um retângulo estreito cuja largura b é dada pela equação 20. Figura 12 – Problema de contato com rolos à compressão. P d1 d2 E2 E1 b 43 21 E 1 E 1 21 21 ' dd dd 2 P 15,2b (20) onde: P’: Força de compressão por unidade de comprimento do rolo [kN]. A pressão unitária máxima no meio do retângulo de contato é: 2121 2121 máx ddEE ddEE 'P259,0p (21) No caso particular em que os módulos e elasticidade para ambos os rolos são iguais, têm-se: 21 21 ' ddE ddP 15,2b (22) 21 21 máx dd dd E'P59,0p (23) Se um dos diâmetros for suposto infinitamente grande, como no caso de um rolo em contato com uma superfície plana, exemplo da figura 13, a equação reduz-se ao indicado na equação 25. Figura 13 – Problema de contato de um rolo sobre uma superfície plana. 44 E dP 15,2b ' (24) d E'P 59,0pmáx (25) onde: P’ = Força de compressão admissível [kN]. Este último, é o nosso caso de estudo para a análise da roda sobre a superfície de rolamento. Será visto que a tensão máxima permanece constante se P’ variar na mesma proporção de d. Isto justifica a prática de se determinar às dimensões necessárias baseado na área da seção diametral transversal do rolo. A força de compressão admissível P’, no caso de rolos de aço, comuns nas comportas, é obtida pela equação (26): P’ = 50.d (26) 45 3.2 SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE CONTATO UTILIZANDO O MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS O capítulo 8 do tutorial do programa ANSYS 9.0 trata de Análise Estrutural Não-Linear, sendo neste capítulo que se relacionam os problemas de contato analisados para a roda de aço da comporta e seu trilho de rolamento. 3.2.1 NÃO LINEARIDADE ESTRUTURAL Na engenharia existem problemas com alto grau de complexidade matemática, descritos por equações diferenciais, que são caracterizados pela não proporcionalidade entre a causa e o efeito. Nos projetos mecânicos, o problema fundamental é encontrar uma solução que apresente bom desempenho estrutural com baixo custo econômico. Para atingir este objetivo, os projetistas tendem a utilizar materiais de melhor desempenho e conseqüentemente componentes menores. Assim, é necessário se utilizar teorias mais complexas, como as formulações não lineares, para aproveitar o máximo possível às características dos materiais utilizados, dentro dos critérios de segurança prescritos. A mecânica dos sólidos possui uma série de problemas caracterizados por comportamento de instabilidade, nos quais não é possível a análise a partir de certa condição crítica, sem consideração da instabilidade. Um dos tipos de não linearidade é aquele relacionado com mudanças nas condições de contorno e iniciais na estrutura, chamado de não linearidade de contato. Sendo observado em problemas envolvendo contato e impacto entre corpos. A ferramenta numérica utilizada na solução de problemas estruturais não lineares é o Método dos Elementos Finitos (MEF). 46 3.2.2 CAUSAS DE COMPORTAMENTO NÃO LINEAR Segundo o tutorial do programa ANSYS 9.0, o comportamento estrutural não linear surge de várias causas e os mesmos podem se agrupar nas seguintes categorias: a) Estado variável; b) Não linearidades geométricas; c) Não linearidades de material; d) Estado variável (inclusive contato). Muitas características estruturais comuns exibem comportamento não linear que é um estado dependente. Por exemplo, um cabo de tração pode estar frouxo ou esticado; um apoio de rolo que pode entrar ou não em contato. O estado modificado poderia ser relacionado para carregar diretamente (como no caso do cabo), ou os mesmos poderiam ser determinados por alguma causa externa. Situações nas quais o contato acontece estão comumente ligados a muitas aplicações de não linearidades diferentes. As diversas formas de contato constituem subconjuntos distintos e importantes para as não linearidades de variável-estado. Problemas de contato são altamente não lineares e exigem recursos de computador significantes para resolvê-los. É importante entender a física do problema e montar um modelo o mais real possível. Problemas de contato apresentam duas dificuldades significantes. Primeiro, geralmente não se conhece as regiões de contato até que se resolva o problema. Dependendo das cargas, do material, do limite de escoamento, e outros fatores, as superfícies podem estar em contato entre si e também fora de contato de uma maneira largamente imprevisível e abrupta. Segundo, porque a maioria dos problemas de contato estão relacionados com atrito e desgaste. Há várias leis de atrito e modelos para selecionar-se, e todos são não lineares. A análise de atrito é de difícil solução e convergência. 47 Além destas duas dificuldades, têm que se relacionar também muitos problemas de contato multi-campo, tais como condutância de calor, correntes elétricas, e fluxo magnético nas áreas de contato. 3.2.3 CLASSIFICAÇÃO DE CONTATO GERAL Problemas de contato são relacionados em duas classes gerais: rígido-para- flexível e flexível-para-flexível. Em problemas de contato rígido-para-flexíveis, uma ou mais das superfícies de contato são tratadas como rígida (i.e., tem uma dureza relativa mais alta para o corpo de contato deformável). Em geral, os problemas de contato rígido-para- flexível ocorrem quando um material macio entra em contato com um material duro. Muitos metais entram nesta categoria. A outra classe, flexível-para-flexível, é o tipo mais comum. Neste caso, ambos (ou todos) os corpos em contato são deformáveis (i.e., tem rigidezes semelhantes). Um exemplo de um contato flexível-para-flexível é o de flanges aparafusados. 3.2.4 MODELOS DE ANÁLISE DE CONTATO PELO PROGRAMA ANSYS 9.0 O programa ANSYS suporta três modelos de análise de contato: nó-para-nó, nó- para-superfície, e superfície-para-superfície. Cada um dos modelos do programa ANSYS utiliza um jogo diferente de elementos de contato e é apropriado para tipos específicos de problemas, como mostrado na tabela 2. 48 Tabela 2 – Modelos de análise de contato pelo programa ANSYS 9.0. nó-para-nó nó-para- superfície superfície-para- superfície CONTAC 12 CONTAC 52 CONTA 178 CONTA 175, TARGET 169, 170 CONTA 171,172 TARGET 169 CONTA 173,174 TARGET 170 Ponto para ponto SIM SIM SIM Ponto para superfície SIM Superfície para superfície SIM SIM SIM 2-D SIM SIM SIM SIM 3-D SIM SIM SIM SIM Deslizamento pequeno pequeno pequeno grande grande grande Folga cilíndrica SIM SIM Multiplicador Lagrangiano puro SIM SIM SIM SIM Multiplicador Lagrangiano aumentado SIM SIM SIM SIM Multiplicador Lagrangiano normal e tangente SIM SIM SIM SIM Restrição interna multiponto (MPC) Y Y Y Rigidez de contato definido p/ usuário definido p/ usuário semi- automático Semi- automático semi- automático semi- automático Ferramentas de malha automática EINTF EINTF FINTF ESURF ESURF ESURF Baixa ordem SIM SIM SIM SIM SIM SIM Alta ordem SIM (somente 2-D) SIM SIM Rígido-flexível SIM SIM SIM SIM SIM SIM Flexível-flexível SIM SIM SIM SIM SIM SIM Contato térmico SIM SIM SIM Contato elétrico SIM SIM SIM Contato magnético SIM SIM SIM 49 Para modelar um problema de contato, primeiramente devem-se identificar as partes a serem analisadas para a possível interação das mesmas. Se uma das interações estiver a um ponto, o componente correspondente no seu modelo é um nó. Se uma das interações estiver em uma superfície, o componente correspondente de seu modelo é um elemento: ou uma viga, casca, ou elemento sólido. O modelo de elemento finito reconhece possíveis pares de contato pela presença de elementos de contato específicos. Estes elementos de contato são substituídos nas partes do modelo que está sendo analisado para a interação. 3.2.4.1 ELEMENTOS DE CONTATO SUPERFÍCIE-PARA-SUPERFÍCIE O programa ANSYS suporta elementos de contato de superfície-para-superfície rígido-para-flexível e flexível-para-flexível. Estes elementos de contato usam uma "superfície objetivo" e uma "superfície de contato" para formar um par de contato. A “superfície objetivo” é modelada com elementos TARGE169 ou TARGE170 (para 2-D e 3-D, respectivamente). A “superfície de contato” é modelada com elementos CONTA171, CONTA172, CONTA173, e CONTA174 (para 3-D). Para criar um par de contato, nomeia-se o mesmo número da constante real para ambos os elementos, o elemento objetivo e o elemento de contato. Estes elementos de superfície-para-superfície são bem apropriados para aplicações como ajuste de interferência no contato quando da montagem ou no contato de entrada, forjamento, e problemas de contato profundo. Os elementos de contato de superfície-para-superfície têm várias vantagens sobre o elemento de nó- para-nó CONTA175. Estes elementos: • Suportam elementos de alta e baixa ordem, nas superfícies de contato e objetivo (em outras palavra, canto-nó ou elementos de meio-nó). • Provêem resultados de contato mais precisos para propósitos de engenharia típicos, como pressão normal e tensão de atrito nas condições de contorno. 50 • Não tem nenhuma restrição na forma da superfície objetiva. Descontinuidades de superfície podem ser físicas ou devido a discretização da malha. Usando estes elementos para uma superfície objetivo rígida, pode-se modelar superfícies planas e curvas em 2-D e 3-D, usando freqüentemente formas geométricas simples como círculos, parábolas, esferas, cones, e cilindros. Podem ser modeladas formas rígidas mais complexas ou formas deformadas gerais usando técnicas de pré-processamento especiais. Elementos de contato de superfície-para-superfície não são bem apropriados para ponto-para-ponto, ponto-para-superfície, ou aplicações de contato de extremidade- para-superfície, como suporte de tubo ou montagens com ajuste. Deve-se utilizar os elementos nó-para-superfície ou nó-para-nó nestes casos. Pode-se usar elementos de contato de superfície-para-superfície para a maioria das regiões de contato e podem- se usar alguns elementos de contato de nó-para-superfície próximos dos cantos de contato. Os elementos de contato de superfície-para-superfície suportam análise geral estática e transiente, flambagem, análise harmônica, análise modal ou de espectro e análises de sub estruturas. 3.2.4.2 ELEMENTOS DE CONTATO NÓ-PARA-SUPERFÍCIE CONTA175 é um elemento de contato de nó-para-superfície. O mesmo suporta grande deslizamento, grande deformação, e diferentes malhas entre os componentes de contato. CONTA175 é um elemento tipicamente usado para modelar aplicações de contato de ponto-para-superfície, como duas vigas que estão em contato uma contra a outra (a uma extremidade de viga ou nó de canto), e os cantos de peças montadas com ajuste. 51 Pode-se utilizar o elemento CONTA175 para modelar contato de superfície-para- superfície, se as superfícies em contato estão definidas por um grupo de nós e múltiplos elementos são gerados. As superfícies ou podem ser rígidas ou deformáveis. Um exemplo deste tipo de problema de contato é um arame inserido em uma abertura. Ao contrário os elementos de contato de nó-para-nó, você não precisa saber o local exato da área contatando anteriormente, nem faz os componentes contatando precise ter uma malha compatível. É permitido e grande deslizamento, embora este também possa modelar pequenos deslizamentos. O elemento CONTA175 não suporta elementos 3-D de alta ordem no lado da superfície de contato. O elemento pode falhar se a superfície objetivo conter descontinuidades. 3.2.4.3 ELEMENTOS DE CONTATO NÓ-PARA-NÓ Elementos de contato de nó-para-nó são tipicamente usados para modelar aplicações de contato de ponto-para-ponto. Para usar elementos de contato de nó- para-nó, precisa-se primeiramente conhecer o local de contato. Estes tipos de problemas de contato normalmente envolvem deslizamento aparentemente pequeno entre as superfícies de contato (até mesmo no caso de não linearidades geométricas). Um exemplo de uma aplicação de contato de nó-para-nó é o modelo de suporte de tubo tradicional onde o ponto de contato sempre fica situado entre a extremidade do tubo e a restrição. Também podem ser usados elementos de contato de nó-para-nó para resolver um problema de superfície-para-superfície se os nós das duas linhas de superfícies superiores, a deformação de deslizamento relativa é desprezível, e deformações (rotações) das duas superfícies permaneçam pequenas. Estes são tipicamente problemas com faceamentos e geometria simples. Um problema de ajuste de interferência é um exemplo de um problema de superfície-para-superfície onde o uso de contato de nó-para-nó pode ser suficiente. 52 Outro uso de elementos de contato de nó-para-nó está na análise extremamente precisa de tensões de superfície, como na análise das pás de uma turbina. Elementos de contato do tipo CONTA178 é a melhor escolha para a maioria problemas de nó-para-nó. Oferece uma gama mais larga de opções e tipos de solução que os outros elementos. Os elementos CONTAC12 e CONTAC52 estão em grande parte disponíveis por razões de compatibilidade de suporte com modelos já existentes. 53 3.3 MÉTODO PARA DETERMINAR O ESPAÇAMENTO DAS VIGAS HORIZONTAIS E DAS RODAS DA COMPORTA É conveniente que as vigas horizontais e as rodas da comporta fiquem igualmente carregadas, para que todas possam ser fabricadas com a mesma dimensão. Isto é realizado dividindo-se o diagrama de pressão em áreas equivalentes e localizando as vigas no centro de gravidade de cada área. Para cada tipo de comporta, têm-se um diagrama diferente e a seguir apresenta-se como calcular cada um deles. 3.3.1 DIAGRAMA DE DISTRIBUIÇÃO DE VIGAS PARA COMPORTA DE SUPERFÍCIE O método gráfico para divisão do diagrama de pressão em áreas equivalentes está indicado na figura 14. Ver também a bibliografia de Erbisti (2002) e Neves (1960). Figura 14 – Divisão do carregamento para comporta de superfície em áreas equivalentes (Erbisti, 2002). 54 A seqüência a ser obedecida é: • dividir a altura h (segmento AB) em n partes iguais; • com o centro em C, traçar a semicircunferência; • ligar horizontalmente os pontos de divisões dos segmentos AB da semicircunferência; • com o centro em A, transportar para o segmento AB os pontos de interseção marcados na semicircunferência; • os novos pontos marcados no segmento AB delimitam no triângulo de carregamento ABD n superfícies de áreas equivalentes; • as vigas horizontais e rodas devem ser localizadas no centróide de cada área; observar que a área superior tem formato triangular, e as demais, trapezoidais. A determinação das áreas e da posição das vigas, pode, também, ser feita analiticamente com o auxílio das equações: profundidade hk: (27) posição das vigas horizontais e rodas yk: (28) onde: n: quantidade de vigas ou rodas. 2 3 2 3 1kk n3 h2 yk n k hhk 55 3.3.2 DIAGRAMA DE DISTRIBUIÇÃO DE VIGAS PARA COMPORTA DE FUNDO O processo gráfico para definição de superfícies com áreas equivalentes é similar ao anterior, com a diferença de que os arcos dos círculos que transmitem os pontos marcados na semicircunferência para o segmento AB têm o centro no ponto O situado na superfície livre da água, no prolongamento AB. Este novo método gráfico para divisão do diagrama de pressão em áreas equivalentes está indicado na figura 15. Figura 15 – Divisão do carregamento para comporta de fundo em áreas equivalentes (Erbisti, 2002). profundidade hk: n k Hhk (29) onde: k: 1, 2, 3, ...., n. 56 (30) onde: H: altura d’água sobre a soleira [mca]; h: altura a ser vedada [mm]; n: quantidade de vigas. posição das vigas horizontais e rodas yk: 2 3 2 3 1kk n3 H2 yk (31) Com este método, todas as vigas estarão igualmente carregadas. Este processo pode também ser adotado para localização das rodas de uma comporta vagão de forma tal que todas recebam cargas iguais. 2 vm 2 2 vm )hH(H )hH(n 57 4. CÁLCULO DOS COMPONENTES 4.1 CÁLCULO ANALÍTICO DOS COMPONENTES 4.1.1 CONCEITOS INICIAIS Conforme indicado nas figuras 3 e 4, o conjunto da roda é formado por: um cubo de aço forjado da norma ASTM A668 ou aço fundido da norma ASTM A148, eixo em material SAE 1045 ou SAE 4340, com depósito de aço inoxidável no trecho de contato com a vedação, SAE 1045 ou SAE 4340 totalmente cromados (espessura mínima 50 micrometros, dureza da película maior que 600 HV) ou quando o diâmetro for inferior a 120 mm podem ser fabricados totalmente em aço inoxidável da norma ASTM A276 TP410, por questões econômicas. Além disso, o conjunto possui um rolamento autocompensador de rolos, espaçadores/centralizadores de aço carbono, retentores, anéis de vedação de borracha nitrílica e tampas para fechamento em aço carbono. Segundo Juvinall (1967), o parâmetro principal para definição da espessura do cubo da roda está relacionado com a distância da superfície de rolamento que deverá ser igual a 2 vezes a profundidade onde ocorre à máxima tensão de cisalhamento. Segundo Timoshenko (1982), o parâmetro principal para definição da relação entre diâmetro externo e largura do cubo de aço (roda) é a carga estática aplicada sobre a superfície de rolamento da roda. Esta relação, gera uma pressão de contato roda/trilho, constituída basicamente por uma elipse de contato. Por sua vez, o caminho de rolamento é constituído de uma viga I ou H em aço carbono de norma ASTM A36, revestida com aço inoxidável de alta resistência conforme norma NF EN 10088-2 de classificação X4CrNiMo16-5-1 com nome comercial “Virgo 39”. 58 A utilização desta configuração é necessária porque deverá ser respeitado o valor de 25 HB – ver Erbisti (2002) – de diferença de dureza entre a superfície da roda e a superfície do trilho (maior no trilho) a fim de propiciar um desgaste admitido para a superfície de rolamento da roda e garantindo que a superfície do trilho não tenha desgaste. Os rolamentos são dimensionados de acordo com as cargas estáticas radiais e axiais atuantes sobre as rodas. Segundo Timoshenko (1982), a magnitude das cargas axiais está intimamente ligada à forma construtiva das rodas, que no caso estudado, corresponde a uma roda cilíndrica, onde a carga axial é função da deformação das vigas principais da comporta considerando a viga bi-engastada. Por critérios de construção e para garantir a correta montagem das partes (tampas, retentores, espaçadores e anéis tipo “O”), primeiramente, iniciar-se-á o cálculo da roda adotando um valor para o diâmetro externo do rolamento. Para isto, se adotará que o diâmetro externo do rolamento não pode ser maior que 70% do diâmetro da roda. Neste caso, conforme indicado na figura 3, o diâmetro externo da roda é 390 [mm] e o diâmetro externo do rolamento é de 270 [mm]. Entretanto, para o caso que se busca o projeto dos materiais, se verificará esta dimensão com um método numérico como elementos finitos, de maneira a garantir o coeficiente de segurança contra a pressão de contato e pontos concentradores de tensão. Para o equipamento em estudo, se iniciará o cálculo determinando qual é a intensidade da carga externa de compressão que atua sobre a roda. 59 4.1.2 DADOS DE ENTRADA PARA DETERMINAÇÃO DE UMA COMPORTA Nesta etapa, descreve-se os principais dados de entrada necessários para realizar o cálculo da roda da comporta vagão, descrevendo, passo a passo as equações que determinam a magnitude da referida carga. Primeiramente, como se trabalha com pressão estática, deve-se determinar a coluna de água preponderante que atua sobre a comporta. Conforme NBR 8883 (1996), no item 4.1.3, os casos de carga são denominados: caso de carga normal, caso de carga ocasional e caso de carga excepcional. Para se calcular a mesma, deve-se levar em conta os parâmetros iniciais indicados a seguir. a) Elevações em relação ao nível do mar Elevação do nível d'água excepcional a montante NAmax = 158,00 [m] Elevação do nível d'água máximo máximo a montante NAoca = 158,00 [m] Elevação do nível d'água normal a montante NAnor = 156,00 [m] Elevação do nível d'água a jusante NAjus = 124,39 [m] Elevação da soleira NAsol = 124,39 [m] b) Dimensões e características da comporta Tipo de comporta Vagão de Emergência Vão livre BL = 7.067 [mm] Altura livre HL =19.450 [mm] Vão vedado Lv = 7.230 [mm] Altura vedada Hv =19.750 [mm] Quantidade de comportas Nc = 24 Quantidade de rodas por comporta Nr = 32 Quantidade total de rodas do projeto Nt = 768 60 4.1.3 MATERIAIS APLICADOS NO PROJETO Nesta etapa, faz-se a seleção dos materiais a serem aplicados no projeto. Normalmente, por critérios de sucessos obtidos em projetos anteriores, a maioria dos clientes deste tipo de equipamento já indica nos Editais ou Especificações Técnicas do respectivo contrato, os materiais aplicáveis para o equipamento em questão. Baseado em um destes documentos, os materiais foram selecionados conforme indicado a seguir. Roda Aço carbono fundido da norma ASTM A148 gr. 115-95 Dimensões: 390/250 x 130 [mm] Limite de escoamento: 655 [MPa] Limite de ruptura: 795 [MPa] Dureza: 225 [HBN] Pista de rolamento Aço inoxidável martensítico da norma NF EN 10088-2 X4CrNiMo16-5-1 (VIRGO 39) Limite de escoamento: 600 [MPa] Limite de ruptura: 930 [MPa] Dureza: 260 [HBN] Eixo aço inoxidável forjado da norma ASTM A276 TP. 410T HF Limite de escoamento: 550 [MPa] Limite de ruptura: 690 [MPa] Dureza: 207 [HBN] Rolamento FAG série 23132 EAS.M Dimensões: 270/160 x 86 [mm] Capacidade de carga estática: 1.530 [kN] 61 4.1.4 TENSÕES ADMISSÍVEIS PARA OS MATERIAIS Nesta etapa, determina-se as tensões admissíveis para os materiais de cada componente, adotando os critérios estabelecidos nas normas que regem o cálculo de equipamentos hidromecânicos. Dessa maneira, segundo a norma NBR 8883 (1996), em sua tabela n° 5, são indicadas as tensões admissíveis para os componentes. A) PRESSÃO DE HERTZ ADMISSÍVEL Quando se determina a pressão de Hertz admissível, se relaciona esta última diretamente com a garantia de mínimo desgaste que ocorrerá na superfície de rolamento da roda, quando submetida à força de compressão atuante durante o movimento de abertura e fechamento. Como a maioria das Comportas Vagão de Tomada D’água, o ciclo de operação de abertura e fechamento é baixo, porque isto geralmente ocorre no fechamento de emergência da Turbina ou no controle de manutenção de um órgão instalado a jusante da mesma, a norma NBR 8883 (1996), em sua tabela, define como freqüência de movimentação do equipamento menor que cem vezes por ano. Portanto, para uma freqüência de movimento menor que 100 ao ano, as tensões admissíveis são as indicadas na tabela 3. Tabela 3 – Tensões admissíveis para o material da roda e pista de rolamento (NBR 8883, 1996). Casos de carga Normal Ocasional Excepcional Unidades [MPa] [MPa] [MPa] Pressão de Hertz admissível 1.471 1.647 N/A Obs.: Como critério já indicado anteriormente, deve-se garantir que a dureza da pista de rolamento deva ser maior que a dureza da roda em, no mínimo, 25 [HB]. Ver Erbisti, (2002). 62 B) TENSÕES ADMISSÍVEIS PARA O EIXO As tensões admissíveis para o eixo são as indicadas na tabela 4. Tabela 4 – Tensões admissíveis para o material do eixo (NBR 8883, 1996). Casos de carga Normal Ocasional Excepcional Unidades [MPa] [MPa] [MPa] Tensão de comparação 275 347 495 63 4.1.5 DETERMINAÇÃO DAS CARGAS ATUANTES SOBRE A COMPORTA Nesta etapa, com os dados de entrada indicados no item 4.1.1, calcula-se a pressão máxima atuante sobre a comporta. A pressão máxima atuante ocorre na soleira da comporta (parte inferior). O caso crítico de carga é analisado comparando as relações existentes para cada caso de carga atuante contra as relações existentes entre as tensões admissíveis. Definido o caso crítico de carga preponderante, a carga atuante sobre a estrutura da comporta é determinada pela seguinte equação. 22 2 v vv v vv h HhLF h hHLF (32) As figuras 16 e 17 mostram o carregamento e o posicionamento da força F mostrada acima e como determinar seu valor. Figura 16 – Carregamento sobre a comporta no plano. F Ns H t H g x Na 64 Figura 17 – Carregamento sobre a comporta em vista isométrica. onde: Na = elevação do lago [m]; Ns = elevação da soleira [m]; H = altura manométrica [m.c.a]; Ht = altura manométrica total [m.c.a]; Hg = altura do nível do lago até o eixo de aplicação da força F sobre a comporta [m.c.a]; x = distância do ponto de aplicação da carga até a soleira [m.c.a]; Lv = vão vedado da comporta [mm]; hv = altura vedada da comporta [mm]; F = força horizontal aplicada sobre a comporta [kN]. F hv Lv dx dA 65 A fórmula para pressão estática é: gHP (33) Que também se pode escrever: A F P (34) A fórmula para obtenção da área é: xLA v (35) A altura manométrica total é definida como: xHH gt (36) Portanto: xHH tg (37) A força é: APF (38) Assim, a força horizontal F será definida como: APF (39) APF (40) APF (41) vh 0 tvvtvg xxHLFxLxHFxLHF Fazendo: Ht = H, chega-se ao resultado da equação (32) mostrada no início da determinação do esforço. 2 h HhLF 2 h hHLF 2 x xHLF v vv 2 v vv h 0 2 v v Obs.: Formulação idêntica à indicada na equação (32). 66 Para cada caso de carregamento, obtêm-se os valores indicados na tabela 5 a seguir. Tabela 5 – Carga hidráulica atuante versus casos de carga possíveis (ver Apêndice A.2). Carga Hidráulica na soleira a montante no frontal a montante na comporta a montante Hm Hmf Qm Casos de carregamento [m.c.a.] [m.c.a.] [kN] Normal 31,61 11,86 30.436 Ocasional 33,61 13,86 33.237 Excepcional 33,61 13,86 33.237 Portanto, a carga horizontal total F ou Qt a indicada na tabela 6 a seguir. Tabela 6 – Carga total na comporta versus casos de carga possíveis (ver Apêndice A.2). Carga total na comporta Tensão admissível Qt Casos de carregamento [kN] [MPa] Normal 30.436 315,4 Ocasional 33.237 340,3 Excepcional 33.237 381,8 As rodas são posicionadas na estrutura da comporta de maneira a receber a carga máxima horizontal Qt dividida igualmente para cada uma das mesmas. Portanto, a carga unitária atuante em cada roda será a relação Qt/Nr para cada caso de carga analisado. Assim, passa-se a realizar o cálculo da roda da comporta, definido pela seguinte seqüência. 4.1.6 DADOS PRINCIPAIS Conforme NBR 8883, (1996), a relação entre carga radial e carga axial atuante sobre a roda é: Fa/Fr = 0,15. Assim, têm-se, para cada caso de carga, as seguintes cargas radiais e axiais: Caso normal Frn = Carga radial por roda 958 [kN] Fan = Carga axial por roda 144 [kN] 67 Caso ocasional Fro = Carga radial por roda 1.045 [kN] Fao = Carga axial por roda 157 [kN] Caso excepcional Fre = Carga radial por roda 1.045 [kN] Fae = Carga axial por roda 157 [kN] 4.1.7 PREPONDERÂNCIA DE CARREGAMENTO PARA CÁLCULO DA RODA E EIXO Para definir o caso preponderante de carga que atua sobre a estrutura/componente, faz-se uma relação entre as tensões admissíveis de cada caso de tensão e compara-se com a carga total na comporta para cada caso de carregamento. Conforme NBR 8883, (1996), se a relação entre tensões for maior que a relação entre cargas, prevalece o caso de carga de menor intensidade, que é o caso preponderante. Quando a relação entre tensões for menor que a relação entre cargas, prevalece o caso de carga de maior intensidade, que é o caso preponderante. Portanto, nesta análise, obtêm-se: Relação para o cálculo da Roda/Pista de rolamento Fro/Frn = 1,09 < o/ n = 1,12 Caso preponderante para roda/pista: Normal, para Hs = 31,610 [mca] Relação para o cálculo do eixo: Fro/Frn = 1,09 < o/ n = 1,26 (caso normal); Fre/Frn = 1,09 < e/ n = 1,80 (caso normal); Fre/Fro = 1,00 < e/ o = 1,43 (caso ocasional). Caso preponderante para o eixo: Normal, para Hs = 31,610 [mca] Para a seleção do rolamento leva-se em conta a maior carga estática que corresponde ao caso de carga excepcional. 68 4.1.8 DISTIBUIÇÃO DAS VIGAS E RODAS PARA RECEBER O MESMO CARREGAMENTO Cálculo de distribuição dos painéis, vigas horizontais e rodas para os seguintes dados: altura de água sobre a soleira Hm = 33,610 [m] altura a vedar hv = 19,750 [m] nº de painéis np = 08 nº de vigas ng = 21 metade do nº de rodas nr = 16 Como já mencionado acima, tanto as vigas horizontais, bem como as rodas são posicionadas de maneira a receber a carga máxima horizontal Qt dividida igualmente para cada uma das mesmas. Assim, determina-se a posição exata de cada componente, ou seja, a posição das vigas e rodas que é calculada pela seguinte fórmula geral, segundo Erbisti (2002): (42) (43) onde: = coeficiente para posicionamento das vigas e rodas; v = índice para vigas; r = índice para rodas. Portanto: v = 3,278 – coeficiente para posicionamento das vigas; r = 4,303 – coeficiente para posicionamento das rodas; n = np = ng = nr; k = [1 ... n] – número da viga ou da roda. 2 vm 2 2 vm )hH(H )hH(n 5,15,1m m knk1n n3 H2 HY 69 Aplicando-se estes valores nas equações (42) e (43), se obtém, conforme indicado na tabela 7, a divisão das vigas e rodas em relação à soleira, para igual carregamento hidrostático. Tabela 7 – Divisão das vigas e rodas em relação à soleira, para igual carregamento hidrostático, segundo Erbisti, (2002). distância da soleira distância entre vigas distância da soleira Distância entre rodas nº viga Yv [mm] [mm] Nº roda Yr [mm] [mm] 1 334,3 334,3 1 439,7 439,7 2 1.012,0 1-2 677,8 2 1.335,1 1-2 895,4 3 1.704,2 2-3 692,1 3 2.256,1 2-3 921,0 4 2.411,7 3-4 707,5 4 3.204,9 3-4 948,9 5 3.135,6 4-5 723,9 5 4.184,4 4-5 979,4 6 3.877,2 5-6 741,6 6 5.197,6 5-6 1.013,2 7 4.637,7 6-7 760,5 7 6.248,3 6-7 1.050,7 8 5.418,7 7-8 781,0 8 7.341,0 7-8 1.092,7 9 6.222,1 8-9 803,3 9 8.481,2 8-9 1.140,2 10 7.049,7 9-10 827,6 10 9.675,8 9-10 1.194,5 11 7.903,9 10-11 854,2 11 10.933,2 10-11 1.257,4 12 8.787,5 11-12 883,6 12 12.264,7 11-12 1.331,5 13 9.703,8 12-13 916,3 13 13.685,0 12-13 1.420,4 14 10.656,7 13-14 952,9 14 15.215,0 13-14 1.529,9 15 11.650,9 14-15 994,2 15 16.884,7 14-15 1.669,7 16 12.692,3 15-16 1.041,4 16 18.741,5 15-16 1.856,8 17 13.788,5 16-17 1.096,1 18 14.948,9 17-18 1.160,5 19 16.186,6 18-19 1.237,7 20 17.519,5 19-20 1.332,8 21 18.973,5 20-21 1.454,0 19.750,0 776,5 70 4.1.9 CÁLCULO DA PRESSÃO DE HERTZ 4.1.9.1 CÁLCULO DA RODA Segundo Timoshenko (1982), a pressão de Hertz está baseada na teoria elástica e é bem precisa dentro do limite elástico. Porém, depois de exceder o limite elástico, a área de alta tensão abaixo da superfície de contato sofre fluxo plástico que alivia as tensões naquela área. A pressão de Hertz é geralmente usada como um guia para indicar a severidade do carregamento ou taxas de uso. Como a tensão aumenta acima do escoamento, durante ciclos repetidos, ocorrem deformações, aumentando sua resistência para um limite de tensão chamada limite de ensaio. Abaixo deste limite de ensaio, o material da superfície é ainda elástico e nenhuma deformação permanente é esperada sobre o caminho de rolamento. Figura 18 – Carga de compressão externa atuante sobre a roda e dimensões principais da roda. As principais dimensões da roda são descritas a seguir. diâmetro externo da roda dr = 390 [mm] diâmetro interno da roda Dri = 270 [mm] largura da roda L = 130 [mm] raio de arredondamento do canto da banda de rodagem r = 2,5 [mm] Largura de contato efetiva da roda Lr = 125 [mm] Frn r d r L D ri Lr 71 Devido às grandes forças que as rodas recebem, é importante verificar a tensão de contato da roda atuante no trilho. As fórmulas clássicas de Hertz de tensão de contato para um cilindro (de comprimento finito) agindo sobre um plano são mostradas abaixo. A máxima pressão de Hertz Pmax fica diretamente situada abaixo da linha de contato: 1000 L.d E.F 59.0P )mm(r)mm(r r máx (44) pressão máxima de Hertz PHertz = 1.187 [MPa] pressão de Hertz admissível Padm= 1.471 [MPa] onde: carga preponderante para a roda: Fr = 957,9 [kN] módulo de Young do aço: Es = 2,06E+06 [MPa] coeficiente de Poisson: = 0,3 Na comparação de tensões, vê-se que o valor máximo da pressão de Hertz calculado é 1.187 [MPa], valor acima do limite de escoamento. Não há nenhuma orientação exata sobre o próprio valor para pressão de Hertz aceitável. Este valor é determinado para aplicações específicas conforme se evolui na busca de resultados dos métodos experimentais já realizados. A maioria das pesquisas nessa área está relacionada a rolamentos e rodas. Neste caso, ao longo da superfície de rolamento, sob essas altas tensões de contato só podem acontecer uma vez ao se atingir o colapso do material. 72 4.1.9.2 CÁLCULO DA TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA Segundo Juvinall (1967), a tensão de cisalhamento máxima corresponde a 1/3 do valor da pressão de Hertz atuante. Hertzmáx P 3 1 (45) Assim, com o valor de pressão de Hertz obtido pela equação (44) calculou-se a tensão de cisalhamento máxima, por meio da equação (45), obtendo-se o seguinte resultado: máx = 396 [MPa] 4.1.9.3 CÁLCULO DA LARGURA DA ÁREA RETANGULAR DE CONTATO Segundo Timoshenko (1982), a largura da área retangular de contato é: 1000 1000L.E d.F 15.2b rs rr (46) Assim, com os dados de Fr, dr, Es e Lr, indicados na figura 17, calculou-se a largura da área retangular de contato, por meio da equação (46), obtendo-se o seguinte resultado: b = 8,2 [mm] Segundo Juvinall (1967), a profundidade onde ocorre o cisalhamento máximo é: hmáx= 0.4 x b (47) Assim, com o valor de b obtido pela equação (46) calculou-se a profundidade onde ocorre o cisalhamento máximo, por meio da equação (47), obtendo-se o seguinte resultado: hmáx = 3,3 [mm] Conforme informado no capítulo 4, item 4.1.1, adota-se como espessura mínima para o anel do cubo da roda e como espessura mínima do aço inoxidável da pista de rolamento, um valor maior que 2 x hmáx, ou seja: eadotada = 2 x hmáx (48) Assim, com o valor de hmáx obtido pela equação (47) calculou-se a espessura mínima adotada, por meio da equação (48), obtendo-se o seguinte resultado: eadotada = 2 x 3,3 = 6,6 [mm]. 73 4.1.10 SELEÇÃO DO ROLAMENTO Utilizando o catálogo do fabricante para rolamentos autocompensadores de rolos, faz-se a seleção do rolamento. Primeiramente necessita-se dos seguintes dados de entrada, para os casos de carga correspondentes: 4.1.10.1 DADOS DE ENTRADA carga radial máxima no rolamento (caso normal/ocasional) Fr = 1.045 [kN] carga axial máxima no rolamento (caso normal/ocasional) Fra = 157 [kN] fator de segurança estático (normal/ocasional) So = 1 carga radial máxima no rolamento (excepcional) Fre = 1.045 [kN] carga axial máxima no rolamento (excepcional) Frae = 157 [kN] fator de segurança estático (excepcional) Soe = 1 rolamento selecionado FAG 23132 EAS.M diâmetro externo do rolamento De = 270 [mm] diâmetro interno do rolamento di = 160 [mm] largura do rolamento B = 86 [mm] 4.1.10.2 VERIFICAÇÃO PARA CARGA ESTÁTICA Nesta etapa, se realizará a verificação da capacidade de carga estática do rolamento selecionado. Segundo SKF (1984) a determinação da capacidade de carga estática é realizada através da seguinte seqüência e aplicando as fórmulas (49), (50), (51) e (52) a seguir: capacidade de carga estática Co = 1.530 [kN] fator Yo = 2 carga estática equivalente (caso normal/ocasional) Po = Fr +Yo.Fra (49) Portanto, utilizando a equação (49) obtêm-se a carga estática equivalente com valor de: Po = 1.400 [kN] 74 carga estática requerida (normal/ocasional) Prn = So.Po (50) Portanto, utilizando a equação (50) obtêm-se a carga estática requerida com valor de: P = 1.400 [kN] carga estática equivalente (excepcional) Poe = Fre +Yo.Frae (51) Portanto, utilizando a equação (51) obtêm-se a carga estática equivalente com valor de: Poe = 1.400 [kN] carga estática requerida (excepcional) Pre = Soe.Poe (52) Portanto, utilizando a equação (52) obtêm-se a carga estática requerida com valor de: Pre = 1.400 [kN] 4.1.10.3 VERIFICAÇÃO PARA VIDA DO ROLAMENTO Nesta etapa, realizar-se-á a verificação para a vida do rolamento selecionado. Segundo SKF (1984) a determinação da vida do rolamento é realizada por meio dos seguintes dados de entrada principais: capacidade de carga dinâmica C = 980 [kN] fator e e = 0,29 fator Y1 para e Fra/Fr Y1 = 2,32 expoente 'p' para rolamento de rolos p = 3,33 velocidade da comporta v = 29,0 [mm/s] curso da comporta Curso = 17,8 [m] diâmetro externo da roda dr = 390 [mm] A capacidade de carga dinâmica equivalente é determinada pela fórmula (53) indicada a seguir: P = Fr+Y1.Fra (53) Portanto, utilizando a equação (53) obtêm-se a capacidade de carga dinâmica equivalente com valor de: P = 1.409 [kN] 75 Número de horas de operação (L10h) Antes de calcular-se o número de horas de operação, deve-se conhecer: número de rotações por minuto 1,420 [rpm] número de horas de operação L10h = 3.496,6 [horas] número de ciclos de abertura/fechamento da comporta nciclos = 10.254 [ciclos] Portanto, concluiu-se que para um curso de movimentação de 17,80 [m] e velocidade de operação de 29 [mm/s], a vida útil do rolamento implicará num total de 10.254 ciclos de abertura / fechamento. 4.1.11 CÁLCULO DO EIXO BI-APOIADO Nesta etapa, será realizado o cálculo do eixo suporte da roda. O eixo é considerado como uma viga bi-apoiada com uma carga concentrada aplicada no centro. 4.1.11.1. DADOS a) A figura 19 mostra o carregamento externo que atua sobre o eixo bi-apoiado. As cargas Fr e Fa estão indicadas na seqüência. Figura 19 – Carregamento externo atuante sobre o eixo bi-apoiado. D 2 D 1 D 3 L 1 2 e1 e2 a3 45 Fr Fa D re t Ponto interno Ponto externo 76 onde: carga radial no eixo Fr = 958 [kN] carga radial no eixo Fa = 144 [kN] distância entre centros dos apoios (cabeceiras) L = 171,7 [mm] largura do rolamento B = 86 [mm] distancia 'a' a = 85,85 [mm] espessura da cabeceira no apoio 1 e1= 16 [mm] espessura da cabeceira no apoio 2 e2 = 19 [mm] b) Propriedades geométricas das seções do eixo: Por meio da seção transversal da figura plana, obtêm-se as propriedades geométricas da barra circular: diâmetro do eixo na região do retentor Dret = 170 [mm] Na seção do apoio n° 1, têm-se as seguintes propriedades: • diâmetro do eixo D1 = 182 [mm] • área da seção do eixo 4 2 1 1 D As . (54) As1 = 26.016 [mm²] • momento de inércia do eixo 64 4 1 1 D I . (55) I1 = 5,39E+07 [mm4] • momento de resistência à flexão 32 3 1 1 D W f . (56) Wf1 = 5,92E+05 [mm³] Na seção do apoio n° 2, têm-se as seguintes propriedades: diâmetro do eixo D2 = 153 [mm] área da seção do eixo As2 = 18.385 [mm²] momento de inércia I2 = 2,69E+07 [mm4] momento de resistência à flexão Wf2 = 3,52E+05 [mm³] 77 Na seção do rolamento (3), têm-se as seguintes propriedades: diâmetro do eixo D3 = 160 [mm] área da seção do eixo As3 = 20.106 [mm²] momento de inércia I3 = 3,22E+07 [mm4] momento de resistência à flexão Wf3 = 4,02E+05 [mm³] 4.1.11.2 REAÇÃO NOS APOIOS As reações nos apoios, que são provenientes dos vínculos dos apoios do eixo, devem formar com a carga externa aplicada um sistema de esforços em equilíbrio. Portanto, a reação no apoio 1 corresponde à metade do valor da carga aplicada sobre o eixo e será: L aFr Ra . 1 (57) Assim, calcula-se o valor da reação no apoio 1, que será: Ra1 = 479 [kN] Pelo fato da carga estar centrada em relação aos apoios do eixo, a reação no apoio 2 também corresponde à metade do valor da carga aplicada sobre o eixo e será: L aLFr Ra ).( 2 (58) Assim, calcula-se o valor da reação no apoio 2, que será: Ra2 = 479 [kN] 4.1.11.3 CÁLCULO DO EIXO Nesta etapa, passa-se a verificar os esforços internos solicitantes, que correspondem aos esforços atuantes nas seções transversais de cada ponto do eixo. Primeiramente, determina-se a tensão axial que atua sobre o eixo. A tensão axial corresponde à força axial, ou normal, aplicada perpendicularmente ao plano da seção transversal onde à mesma age. 78 Assim, ao se dividir esta força pela área da seção transversal de cada ponto estudado e por meio da equação (59) obtêm-se os seguintes resultados: 1 1 s n A Fa (59) n1 = -5,5 [MPa] n2 = 7,8 [MPa] n3 = -7,1 [MPa] n4 = 7,8 [MPa] n5 = -7,1 [MPa] O diagrama de esforços cortantes será como indicado na figura 20 abaixo: Figura 20 – Diagrama de esforços cortantes no eixo. Os valores para cada ponto do diagrama correspondem a: V1 = 479,0 [kN] V2 = 479,0 [kN] V3 = 479,0 [kN] V4 = 479,0 [kN] V5 = 479,0 [kN] A tensão de cisalhamento máxima é calculada por meio da aplicação da componente do esforço cortante que age sobre a seção transversal em cada ponto estudado. 1 2 3 45 Fr Ra1 Ra2 V + 79 Assim, utilizando a equação (60), obtêm-se os seguintes valores para a tensão de cisalhamento máxima: 1 1 1 3 4 sA V (60) 1 = 24,5 [MPa] 2 = 34,7 [MPa] 3 = 31,8 [MPa] 4 = 34,7 [MPa] 5 = 31,8 [MPa] Analogamente, pode-se calcular a tensão de cisalhamento média por meio da fórmula (61): 1 1 1 s m A V (61) 1m = 18,4 [MPa] 2m = 26,1 [MPa] 3m = 23,8 [MPa] 4m = 26,1 [MPa] 5m = 23,8 [MPa] O momento fletor é o esforço solicitante, em forma de momento, cujo plano de ação é perpendicular ao plano da seção transversal. Neste caso, o momento é o produto vetorial da carga externa aplicada no eixo pela distância até o ponto de análise. Assim, têm-se o seguinte diagrama de momentos fletores para o eixo. O diagrama de momento fletor será como indicado na figura 21 abaixo: Figura 21 – Diagrama de momento fletor no eixo. 1 5 3 4 2 Mmáx = M3 = Fr.a²/L Mf + 80 Os valores para cada ponto do diagrama correspondem a: Mf1 = 0 [kN.m] Mf2 = 0 [kN.m] Mf3 = 41.118 [kN.m] Mf4 = 20.523 [kN.m] Mf5 = 20.523 [kN.m] Com os valores do momento fletor obtidos no item anterior, pode-se calcular agora a tensão de flexão, que corresponde a: 1 1 1 f f f W M (62) f1 = 0,0 [MPa] f2 = 0,0 [MPa] f3 = 102,3 [MPa] f4 = 58,4 [MPa] f5 = 51,0 [MPa] Nesta etapa, será interessante mostrar que os resultados para a tensão de Von Mises variam na análise de cada ponto do eixo. Para o ponto 1, interno, as tensões combinadas encontradas (para elementos mecânicos) são as indicadas na fórmula (63) e a tensão normal é combinada com a tensão de cisalhamento máxima. tensão no ponto 1 (interno) 2 1 2 11 3nicomp (63) Assim, com a utilização da equação (63) obtêm-se como resultado para a tensão de Von Mises para o ponto 1 (interno) o valor de: comp1i = 43 [MPa] Para o ponto 1 externo as tensões encontradas são as indicadas na fórmula (64) e tensões de flexão e as tensões normais são somadas e posteriormente combinadas com a tensão de cisalhamento média. tensão no ponto 1 (externo) 2 m1 2 1n1fe3comp .3)( (64) 81 Assim, com a utilização da equação (64) obtêm-se como resultado para a tensão de Von Mises para o ponto 1 (externo) o valor de: comp1e = 32 [MPa] Analogamente, utilizando as equações (63) e (64), pode-se obter as tensões de Von Mises para os demais pontos do eixo. tensão no ponto 2 (interno) comp2i = 61 [MPa] tensão no ponto 2 (externo) comp2e = 46 [MPa] tensão no ponto 3 (interno) comp3i = 55 [MPa] tensão no ponto 3 (externo) comp3e = 104 [MPa] tensão no ponto 4 (interno) – equação (63) comp4i = 61 [MPa] tensão no ponto 4 (externo) – equação (64) comp4e = 80 [MPa] tensão no ponto 5 (interno) – equação (63) comp5i = 55 [MPa] tensão no ponto 5 (externo) – equação (64) comp5e = 60 [MPa] 82 4.2 SIMULAÇÃO NUMÉRICA COM ELEMENTOS FINITOS O método de Elementos Finitos será utilizado para determinar as modificações que se introduzirá no projeto da roda, modificando o diâmetro externo e verificando a possibilidade de surgirem pontos concentradores de tensões. Primeiro, utilizar-se-á o método dos elementos finitos para calcular a roda e eixo, verificando as possíveis diferenças entre os resultados do método analítico para o método numérico. Os parâmetros adotados para a análise foram: Excentricidade do eixo: e = 3 [mm] Módulo de Young do aço: Es = 2,06E+06 [MPa] Coeficiente de Poisson: = 0,3 4.2.1 ANÁLISE DO EIXO 4.2.1.1 GEOMETRIA E CARREGAMENTO Modelou-se o eixo como um volume sólido. Dividiu-se a região de contato que