UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO” INSTITUTO DE FÍSICA TEÓRICA FÍSICA DE SABORES E MODELOS MULTI-HIGGS Fagner Cintra Correia Orientador: Dr. Vicente Pleitez (IFT - UNESP) Banca examinadora: Prof. Dr. Jairo Alexis Rodríguez López (Universidade Nacional de Colombia) Prof. Dr. Orlando Luis Goulart Peres (UNICAMP) Prof. Dr. Adriano Antonio Natale (IFT-UNESP) Prof. Dr. Mauro Donizeti Tonasse (IFT-UNESP) Dissertação de Mestrado IFT-D.012/13 Apoio Financeiro: CAPES (08/2011 - 02/2012), FAPESP (03/2012 - 07/2013) São Paulo 2013 FICHA CATALOGRÁFICA Preparada pelo Serviço de Biblioteca e Informação do Instituto de Física Teórica -UNESP Cintra Correia, Fagner FÍSICA DE SABORES E MODELOS MULTI-HIGGS — São Paulo, 2013. Dissertação (Mestrado) — Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”. Instituto de Física Teórica Orientador: Dr. Vicente Pleitez (IFT - UNESP) Área de concentração: Física Unitermos: 1. Modelo 3-3-1; 2. FCNC; 3. Mistura de Mésons. UNESP/IFT/D.012/13 Agradecimentos Ao profo. Dr. Vicente Pleitez pela admirável paciência. À Dra. Elaine C. F. S. Fortes pelo exemplo e imprescindível apoio. Aos meus pais e à minha irmã pelo carinho e atenciosidade. À tia Nara e primos pela confortante presença. Aos meus queridos companheiros goianos e paulistas que tanto contribuiram para a minha formação e felicidade. Aos professores, funcionários e colegas que fazem do Instituto de Física Teórica um ambiente de resistência às perigosas e reais transformações sofridas pela educação e pela ciência. Ao meu leal camarada Marcelo Ferraz de Paula por me explicar incessantemente o significado da amizade. Ao olhar que em pouco tempo passou a ocupar os cantos mais bonitos da minha memória e que por tantas vezes produz em mim largos sorrisos imprevisíveis. Aos amigos, familiares, Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES (08/2011 - 02/2012) e Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo - FAPESP (03/2012 - 07/2013) pelo apoio financeiro. i Resumo O modelo 331 mínimo consiste em uma extensão ao Modelo Padrão amparada em SU(3)L ⊗ U(1)X . Os férmions se transformam como tripletos ou anti-tripletos de SU(3)L com compo- nentes envolvendo quarks exóticos e partículas conhecidas da fenomenologia atual. Nosso objetivo aqui é explorar qualidades adicionais e limitar novos parâmetros do 331 a partir de processos que violem sabor, como a mistura de mésons neutros. Palavras-chave: Modelo 3-3-1; FCNC; Mistura de Mésons. Áreas do conhecimento: Partículas Elementares e Campos. ii Abstract The minimal 331 model has been proposed as an extension of the Standard Model based on the gauge group SU(3)L ⊗ U(1)X . In this model, the left-handed fermions transform as triplets (or anti-triplets) under the action of SU(3)L, whose generations correspond to the known SM fermions and new heavy quarks. Our purpose here is to constrain the 331 parameters considering the limits of flavour changing processes as meson mixing. Keywords: 3-3-1 Model; FCNC; Meson Mixing. iii Lista de Figuras 3.1. Diagramas de caixa do modelo padrão para a mistura de mésons neutros. . . . 31 3.2. Diagramas de caixa para a mistura de mésons neutros envolvendo escalares e quarks exóticos do modelo 331. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.3. Diagrama de caixa com mais de dois tipos de partículas internas. . . . . . . . 39 3.4. Diagrama representado a mistura de mésons neutros. O modelo 331 admite que processos FCNC ocorra à nível de árvore . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.5. Função SST0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 iv Prefácio O trabalho apresentado adiante pode ser classificado como uma compilação objetiva dos aspectos fundamentais das teorias de gauge. Podemos esperar, portanto, que contenha como base o modelo de maior sucesso entre teorias deste tipo - o Modelo Padrão das interações eletrofracas1[1]. Por se tratar de um conjunto de princípios bastante aceito e coerente com a experiência, adotá-lo como referência consiste em uma escolha bastante razoável e, de fato, inevitável. Suas qualidades (e pequenas lacunas) motivaram a publicação dos vários livros didáticos utilizados por mim durante o desenvolvimento dos capítulos 1 e 3. No entanto, mesmo uma escolha tão compreensível pode se mostrar bastante restritiva, sacrificando o certo grau de imparcialidade necessário para que a riqueza e a fraqueza do modelo sejam vistas. Sendo assim, a primeira seção do capítulo 1 tentará ser a mais genérica possível. As duas seções restantes farão uma discussão sobre a importância e a relação entre o teorema de Goldstone e o mecanismo de Higgs. Ademais, iremos estabelecer a notação para o conteúdo de léptons e quarks, matriz de mistura e correntes neutras e carregadas. O capítulo 2 apresenta um novo modelo que, por substituir um dos grupos de simetria do MP, corresponderá a uma nova perspectiva sobre as interações eletrofracas. Todos os passos das teorias de gauge serão retomados e veremos que, em baixas energias, tanto o modelo de extensão, conhecido por 331, quanto o MP irão coincidir. Por apresentar um conjunto adicional de partículas, o 331 será refinado de forma modesta através do cálculo de mistura de mésons neutros. Vamos impor, ao final do capítulo 3, que os resultados para a variação da massa de tais pseudo-escalares sejam sempre menores que os resultados do MP, restrição que dará um limite superior para as massas das novas partículas. As seções do apêndice não pretendem fazer uma investigação detalhada dos temas ali enunciados, mas apresentar notações e cálculos necessários para o entendimento da dissertação. A parametrização de Feynman e a dedução da matriz de transformação de Fierz estarão entre estes cálculos. Por último, serão obtidas algumas características suplementares da mistura D0 − D̄0. 1Doravante poderá ser representado pela sigla MP. v Sumário Agradecimentos i Resumo ii Abstract iii Lista de Figuras iv 1. O Modelo Padrão das Interações Eletrofracas 1 1.1. Grupos de gauge: U(1) e SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2. Teorema de Goldstone e Mecanismo de Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Léptons e Quarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.1. Léptons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.2. Quarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2. Extensões do Modelo Padrão 20 2.1. O Modelo 331 mínimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3. Processos ∆F = 2 29 3.1. Modelo Padrão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.1.1. Inserção do vácuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.1.2. ∆m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2. Modelo 331 mínimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2.1. Inserção do vácuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2.2. ∆m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4. Conclusões 45 A. Apêndice 46 A.1. Notações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 A.2. Parametrização de Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 A.3. Transformações de Fierz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 A.4. D0 − D̄0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Referências Bibliográficas 58 vi 1 O Modelo Padrão das Interações Eletrofracas Definir um sistema físico consiste em determinar qual aspecto o espaço adquire após ser ocupado por uma partícula, um planeta, um campo, uma probabilidade ... O teorema de Noether estabelece uma condição necessária e suficiente para a existência de quantidades conservadas à partir das propriedades de invariância da ação sob um determinado grupo de simetria contínuo. Simetrias espaço-temporais são capazes de produzir informações à respeito da natureza da interação e de sua relação com o espaço-tempo. Contudo, a avaliação do espaço e de seus atributos nem sempre pode ser realizada de forma geométrica. Neste contexto as simetrias internas, ou de gauge, ganham relevância ao assumirem o papel de orientar a construção de um modelo teórico a partir da verificação experimental de grandezas conservadas. Entre as etapas fundamentais da construção de uma teoria de gauge consta a definição de uma Lagrangiana como representante de um sistema físico simétrico sob um certo grupo de transformações contínuas. A relação estabelecida pelo teorema de Noether entre tais simetrias e leis de conservação poderá confirmar ou descartar o modelo. Todo este procedimento irá promover o conceito de quebra espontânea de simetria que servirá de apoio ao teorema de Goldstone e ao fundamental mecanismo de Higgs. O Modelo Padrão das interações eletrofracas corresponde à aplicação mais efetiva dos conceitos envolvidos em teorias de gauge para a física de partículas. Graças ao seu sucesso experimental é imprescindível que todos os passos de sua construção sejam seguidos por qualquer modelo que se proponha a refiná-lo. Este capítulo se compromete em apresentar quais os aspectos do MP serão generalizados, alterados ou mantidos no modelo 331 e está baseado nas referências [2], [3] e [4]. 1 1. O Modelo Padrão das Interações Eletrofracas 1.1. Grupos de gauge: U(1) e SU(2) O sistema físico de nosso interesse será composto por n campos independentes φa(x), (a = 1,2,...,n) e tentaremos avaliar quais as implicações da transformação φa → φa + δφa para os casos SU(n) : φa → φ′a = (eiθ iT i)abφb (1.1) U(1) : φa → φ′a = eiθφa (1.2) onde θ e θi são os parâmetros da transformação independentes da posição no espaço-tempo e T i são geradores de SU(n) que na representação fundamental são dados por (n2 − 1) matrizes n× n. As correntes conservadas que surgem em decorrência da invariância da Lagrangiana L(φa, ∂µφa) sob (1.1) são dadas por 1: jµi = ∂L ∂(∂µφa) δφa δθi (1.3) tal que ∂µj iµ = 0 (1.4) Portanto cada gerador da transformação estará associado a uma corrente conservada. Integrando (1.4) em todo o espaço e assumindo que ji(x) desaparece na fronteira segue que Qi(t) ≡ ∫ d3xji0(x,t)⇒ dQi dt = 0 Para o caso de SU(n) as cargas Qi irão satisfazer a mesma álgebra dos geradores T i, [Qi, Qj] = ifijkQ k com fijk as constantes de estrutura completamente antissimétricas do grupo, cuja demonstração é obtida das relações de comutação canônicas e da definição de momento canônicamente conjugado πa(x) = ∂L ∂(∂0φa) Portanto, Qi(t) = −i ∫ d3xT iabπa(x,t)φb(x,t) ∴ [Qi,φc] = −i ∫ d3xT iab(πa(x,t)φb(x,t)φc(y,t)− φc(y,t)πa(x,t)φb(x,t)) = ∫ d3xT iabδacφb(x,t)δ(x− y) = T icbφb(y,t) 1Os campos φa são gerais, podendo ter componentes como, por exemplo, no caso de campos espinoriais. 2 1. O Modelo Padrão das Interações Eletrofracas ∴ Φ→ Φ′ = e−iθ iQiΦeiθ iQi = e−iθ iT iΦ (1.5) A expressão acima fornece uma importante relação entre a realização do gerador Qi e sua representação matricial. Em discussões posteriores, a determinação das correntes será importante para o estudo de quebra espontânea de simetria e na obtenção de expressões fundamentais, como a relação de Gell-Mann-Nishijima. O modelo padrão como um todo incorpora três grupos de simetria sendo um para cada interação fundamental. As interações fortes são manifestamente simétricas por SU(3)C , com C representando o grau de liberdade de cor, e não serão tratadas no decorrer deste trabalho. Já o grupo SU(2)L⊗U(1)Y das interações eletrofracas será espontaneamente quebrado para U(1)Q do eletromagnetismo através de um mecanismo que dará origem às três partículas vetoriais massivas do setor fraco e ao fóton de massa nula, mediador do setor eletromagnético. Em seguida, iremos ilustrar o aparecimento dos campos de gauge como consequência de se impor uma Lagrangiana invariante local sob os grupos acima citados e identificar as implicações dos termos de massa nas diferentes fases de construção da teoria. A lagrangiana para um férmion livre de massa m é dada por L(x) = ψ̄(x)(iγµ∂µ −m)ψ (1.6) e é claramente invariante por uma transformação de fase global do tipo ψ′(x) = e−iθψ(x), ψ̄′(x) = eiθψ̄(x) (1.7) ⇒ L′ = L O grupo associado às transformações (1.7) é denotado por U(1). Um sistema físico simétrico por transformações globais envolve um certo número de cargas conservadas mas não dá restrição alguma para a região do espaço para que estas cargas se conservem. Um determinado processo poderia, por exemplo, ‘aniquilar’ uma carga elétrica em um ponto do espaço-tempo e recriá-la instantaneamente em outra região qualquer do universo. A localidade, contudo, exigirá que esta conservação se dê no mesmo ponto, impedindo que informações possam se propagar com velocidades arbitrariamente grandes. Estudar uma simetria de gauge local consiste em fazer de θ uma função de x ψ′(x) = e−iθ(x)ψ(x), ψ̄′(x) = eiθ(x)ψ̄(x) (1.8) No entanto, esta generalização do parâmetro dará um termo adicional à Lagrangiana L → L′ = ψ̄′(x)(iγµ∂µ −m) ψ′ (1.8) = L+ jµ(x)∂µθ(x) (1.9) 3 1. O Modelo Padrão das Interações Eletrofracas Da expressão (1.6) é possível perceber que a derivada ∂µ é responsável pela variação em (1.9). Portanto, a técnica para se encontrar uma lagrangiana invariante local será a de redefinir a derivada ∂µ → Dµ (1.10) de tal forma que (Dµψ(x))′ = e−iθ(x)Dµψ(x) (1.11) A derivada covariante Dµ agrega novos campos que, à princípio, estarão indiretamente associados aos mediadores das interações. Vale notar que, como o procedimento de restauração do caráter invariante da Lagrangiana consiste em realizar (1.10) e (1.11), estes campos de gauge serão sempre vetoriais, Dµ ≡ ∂µ − ieBµ(x) (1.12) O bóson Bµ(x) se transforma como Bµ → B′µ = Bµ − 1 e ∂µθ(x) (1.13) O produto m2 BBµB µ não é simétrico por U(1), característica que impedirá Bµ de representar partículas massivas. Ademais a expressão L = ψ̄(iγµDµ −m)ψ carece de um termo cinético para estes novos bósons. O tensor associado à energia cinética do campo de gauge pode ser encontrado observando que (1.11) implica a seguinte identidade ([Dµ,Dν ]ψ)′ = e−iθ(x)[Dµ,Dν ]ψ (1.14) [Dµ,Dν ]ψ = [∂µ − ieBµ(x),∂ν − ieBν(x)]ψ = {[∂µ,∂ν ]− ie([∂µ,Bν ] + [Bµ,∂ν ])− e2[Bµ,Bν ]}ψ = −ie(∂µxBν − ∂νxBµ −Bν∂µ +Bµ∂ν)ψ onde definimos ∂µxBν ≡ (∂µBν) +Bν∂µ (1.15) ∴ [Dµ,Dν ]ψ = −ie(∂µBν − ∂νBµ)ψ ≡ −ieBµνψ (1.16) Finalmente, a Lagrangiana completa para um sistema físico invariante por U(1) composto 4 1. O Modelo Padrão das Interações Eletrofracas por um férmion e um bóson de gauge não-massivo é dada por 2 L = ψ̄(iγµDµ −m)ψ − 1 4 BµνB µν A primeira proposta de extensão de uma teoria de gauge Abeliana para uma não-Abeliana foi feita substituindo U(1) por SU(2) e reproduzindo as etapas apresentadas até aqui, o que faremos a seguir. Uma possível generalização para SU(n) não deverá apresentar novidades no que diz respeito à derivadas covariantes ou termos cinéticos. No entanto, cada álgebra terá atributos particulares que poderão ser devidamente aproveitados na criação de novos modelos ou conceitos. O modelo 331 estará apoiado nesta metodologia. Como será utilizada a representação fundamental de SU(2), daqui por diante o campo fermiônico Ψ passa a denotar um bi-spinor, Ψ ≡ ( ψ1 ψ2 ) , Ψ̄ = ( ψ̄1 ψ̄2 ) ψ̄a = ψ†aγ 0 (a = 1,2) Uma transformação de SU(2) dependente de x será dada por Ψ→ Ψ′(x) = U(x)Ψ(x) U(x) = eig τi 2 θi(x) sendo g a constante de acoplamento associada à interação contida na condição de invariância. As matrizes de Pauli τ i , geradores de SU(2), satisfazem a relação[ τ i 2 , τ j 2 ] = iεijk τ k 2 A derivada covariante irá introduzir três novos campos de gauge, já que o teorema de Noether fornece uma corrente conservada para cada gerador. Os bósons responsáveis pela interação estarão acoplados à essas correntes. De acordo com a prescrição (1.12), Dµ ≡ ∂µ − igAµ(x) com Aµ = τ i 2 Aiµ ≡ ~τ 2 · ~Aµ, i = 1,2,3. Analogamente à (1.11) (DµΨ)′ = UDµΨ 2O fator (−1/4) no termo cinético faz com que as equações de Euler-Lagrange correspondam às equações de Maxwell. 5 1. O Modelo Padrão das Interações Eletrofracas o que implica em (DµΨ)′ = D′µ Ψ′ = UDµU −1UΨ = (UDµU −1) Ψ′ ∴ D′µ = (UDµU −1) A expressão acima deve necessariamente ser satisfeita e, portanto, D′µ = (UDµU −1) = U(∂µ − igAµ)U−1 = U∂µxU −1 − igUAµU −1 ∂µ − ig A′µ = U∂µxU −1 − igUAµU −1 (1.17) Nessa altura, convém utilizarmos a seguinte identidade ∂µxUU −1 = (∂µU)U−1 + U∂µxU −1 ∴ ∂µ = (∂µU)U−1 + U∂µxU −1 (1.18) Substituindo (1.18) em (1.17) ∂µ − ig Aµ ′ = ∂µ − (∂µU)U−1 − igUAµU −1 ∴ Aµ ′ = UAµU −1 − i g (∂µU)U−1 (1.19) Definindo Θ ≡ τ i 2 θi = ~τ 2 · ~θ e considerando transformações infinitesimais U = I− iΘ +O(Θ2) U = I + iΘ +O(Θ2) segue que A′µ = Aµ − i[Θ,Aµ]− 1 g ∂µΘ (1.20) Da independência das matrizes de Pauli [Θ,Aµ] = θiAj [ τ i 2 , τ j 2 ] = −iεijk τ i 2 Ajθk A′ i µ (1.20) = Aiµ − εijk τ i 2 Ajθk − 1 g ∂µθ i (1.21) 6 1. O Modelo Padrão das Interações Eletrofracas [Dµ,Dν ]Ψ = [∂µ − igAµ(x),∂ν − igAν(x)]Ψ = {[∂µ,∂ν ]− ig([∂µ,Aν ] + [Aµ,∂ν ])− g2[Aµ,Aν ]}Ψ = {−ig(∂µAν − ∂νAµ)− g2AiµA j ν [ τ i 2 , τ j 2 ] }Ψ = {−ig(∂µAν − ∂νAµ)− ig2εijk τ i 2 AjµA k ν}Ψ A expressão (1.16) fornece um método bastante geral de se encontrar um tensor invariante por um grupo de gauge qualquer. Definindo [Dµ,Dν ]Ψ ≡ −igFµνΨ com Fµν = τ i 2 F i µν ≡ ~τ 2 · ~Fµν e F i µν = ∂µA i ν − ∂νAiµ + gεijkA j µA k ν (1.22) Portanto, F′µν Ψ′ = UFµνΨ→ F′µν = UFµνU−1 (1.23) que, para transformações infinitesimais, corresponde à δF i µν = εijkθ jF k µν em contrapartida ao caso abeliano em que F ′µν = Fµν De (1.23) convém construir o termo cinético aproveitando a qualidade de invariância do traço de uma matriz por transformações de similaridade: −1 2 Tr(Fµν ·Fµν) = −1 4 F i µνF iµν Por hora, a Lagrangiana é dada por L = LF + LG LF envolve termos de massa dos férmions e seus respectivos acomplamentos com os campos de gauge. Já LG será responsável pela dinâmica dos bósons mediadores, podendo apresentar auto-interação no caso não-Abeliano. Além disso, como a invariância de gauge é a única condição para que L represente o sistema físico de interesse, é sempre possível adicionar novas interações renormalizáveis, como a lagrangiana de Yukawa LY = GY Ψ̄(x)ΨΦ(x) (1.24) onde Φ(x) é um campo escalar e GY é a constante de acoplamento. Como citado anteriormente, os campos de gauge ainda são não-massivos. Os conceitos de quebra espontânea de simetria e mecanismo de Higgs preenchem essa lacuna final. 7 1. O Modelo Padrão das Interações Eletrofracas 1.2. Teorema de Goldstone e Mecanismo de Higgs O título desta seção traz dois importantes conceitos da física de partículas que serão com- plementares durante o processo de reprodução das interações fracas como interações de curta distância. Veremos que o grau de liberdade extra necessário para a massa dos bósons surgirá como consequência da quebra de simetria. Cada gerador responsável em ocultar a simetria do vácuo dará origem a uma partícula escalar não-massiva, conhecida como bóson de Goldstone, que durante o mecanismo de Higgs será agregada aos campos de gauge3, tornando-os massivos. Para que a quebra espontânea de simetria ocorra é necessário que o valor esperado do vácuo assuma um valor não-nulo. Por conveniência iremos considerar o caso SU(n) como exemplo. O grupo das matrizes unitárias de determinante +1 possui N = n2− 1 geradores T i com i = 1,2, · · · ,N . Um campo arbitrário escalar Φ que compõe o sistema simétrico considerado se transformará como Φ→ Φ′ = e−iθ iT iΦ ou, para uma transformação infinitesimal, δΦ = −iθiT iΦ (1.25) A expansão do potencial em torno do vácuo fornece V = V0 + m∑ k=1 ( ∂V ∂φk ) 0 φ′k + 1 2 n∑ k,l=1 ( ∂2V ∂φk∂φl ) 0 φ′kφ ′ l + · · · com Φ′ = Φ− Φ0 e m a dimensão da representação. Além disso,( ∂V ∂φk ) 0 = 0, m2 kl = ( ∂2V ∂φk∂φl ) 0 Da invariância do potencial sob SU(n) δV = ∑ k ∂V ∂φk δφk (1.25) = ∑ k,l ∂V ∂φk T iklφl = 0 Diferenciando novamente em relação à φj∑ k,l ∂V ∂φj∂φk T iklφl + ∂V ∂φk T ikj = 0 Para o caso em que o campo Φ for o vácuo, Φ = Φ0∑ k,l m2 jkT i kl(φl)0 = 0 (1.26) 3Esta interpretação é manifesta através do gauge unitário. 8 1. O Modelo Padrão das Interações Eletrofracas Da expressão acima, os geradores que satisfazem T iΦ0 6= 0 irão expandir um subespaço de campos cuja matriz de massa tenha autovalores nulos. Em resumo, cada gerador que quebra a simetria do vácuo será responsável pelo aparecimento de uma partícula escalar não-massiva conhecida como bóson de Goldstone. A Lagrangiana invariante por SU(n) é dada por L = (DµΦ)†(DµΦ)− 1 4 F i µνF iµν − V (Φ†Φ) (1.27) V (Φ†Φ) = −µ2Φ†Φ + λ(Φ†Φ)2 (µ2 > 0) A fim de explicitar a captura dos bósons de Goldstone na aquisição de massa das partículas de gauge iremos considerar um dubleto de SU(2) e recorrer à parametrização do escalar com campos H(x) e ξi(x)(i = 1,2,3) Φ(x) = 1√ 2 e iτiξi(x) 2v ( 0 v +H(x) ) (1.28) onde |Φ0|2 = v2 2 . Em seguida, aproveitando a invariância do sistema, a Lagrangiana será reescrita no gauge unitário em termos dos campos abaixo Φ(x) → Φ′(x) = U(x)Φ(x) = 1√ 2 ( 0 v +H(x) ) Aµ → A′µ = UAµU −1 − i g (∂µU)U−1 com U(ξ) = e−i τiξi(x) 2v (1.29) Dessa forma, é possível notar que os campos ξ desaparecem da lagrangiana, eliminando seu caráter físico. As derivadas covariantes presentes no setor dos campos escalares serão responsáveis por produtos entre os bósons de gauge, cujos coeficientes fornecerão suas massas. Antes de prosseguirmos com a obtenção do grupo de simetria do setor eletrofraco do Modelo Padrão vamos fazer uma breve discussão sobre realização e representação de operadores a fim de estabelecer uma notação que facilite futuras extensões. Para tanto, utilizaremos uma única família de léptons não-massivos cuja lagrangiana livre é dada por L0 = Ψ̄Liγ µ∂µΨL + Ψ̄Riγ µ∂µΨR Suponha que L0 seja invariante global por UL(Θ) = e−iΘGL , UR(Θ) = e−iΘGR Os índices L e R indicam em qual setor, esquerdo ou direito, a matriz atua (ver A.1). GL,R são os geradores do grupo e têm dimensão igual a da representação escolhida para Ψ. De (1.3) o 9 1. O Modelo Padrão das Interações Eletrofracas operador de corrente conservada será δΨL δΘ = −iGLΨL, δΨR δΘ = −iGRΨR jGµ = Ψ̄Lγ µGLΨL + Ψ̄Rγ µGRΨR (1.30) com operador de carga Ĝ Ĝ = ∫ d3xjG0 (x) = ∫ d3x(Ψ†LGLΨL + Ψ†RGRΨR) No caso particular de geradores diagonais Ĝ = ∫ d3x(q1L ψ † 1Lψ1L + · · ·+ qnL ψ † nLψnL + q1R ψ † 1Rψ1R + · · ·+ qkR ψ † kRψkR) onde os q’s são números quânticos acompanhados de seus respectivos operadores de número, enquanto n e k são as dimensões das representações dos respectivos setores esquerdo e direito. Em seguida, aplicaremos a notação acima para uma família de férmions, tal que SU(2)L : UL(θi) = e−iθi τi 2 , UR(Θ) = I com ΨL dubleto e ΨR singleto de SU(2) ΨL = ( nL cL ) , ΨR = cR, nR As correntes conservadas são dadas por (jµ)i = Ψ̄Lγ µ τi 2 ΨL com operadores de carga T̂1 = 1 2 ∫ d3x(n†LcL + c†LnL) T̂2 = − i 2 ∫ d3x(n†LcL − c†LnL) T̂3 = 1 2 ∫ d3x(n†LnL − c†LcL) Seja agora o grupo de simetria associado à conservação da carga elétrica U(1)Q : UL(θ) = e−iθQL , UR(θ) = e−iθQR 10 1. O Modelo Padrão das Interações Eletrofracas Da expressão para o operador de carga Q̂ = qc ∫ d3xc†c + qn ∫ d3xn†n onde qn − qc = 1. Vamos definir a matriz de hipercarga YL = YLI e YR = YR Q̂ = ∫ d3xΨ†L 1 2 (YL + τ3)ΨL + ∫ d3xc†R YR 2 cR + ∫ d3xn†R YR 2 nR ou seja, QL = 1 2 (YL + τ3), QR = YR 2 (1.31) De (1.31) é evidente que os grupos UQ(1) e SU(2)L não podem ser simetrias simultâneas de L0 já que seus geradores não comutam entre si: Ti ≡ τi 2 → [QL,Ti] = [T3,Ti] 6= 0 No entanto, com Ŷ = 2(Q̂− T̂3) Ŷ = ∫ d3xΨ†LYLΨL + ∫ d3xΨ†RYRΨR Aplicando esta notação para uma família de léptons e notando que no MP o neutrino, por ser não-massivo, não terá componente de mão-direita ΨL = ( νL eL ) , ΨR = eR segue que YL = −1 e YR = −2. A Lagrangiana L0 é invariante por SU(2)L ⊗ U(1)Y dado como SU(2)L : U(θi) = e−igθi τi 2 U(1)Y : U(θ) = e−i g′ 2 θY que, atuando sobre férmions, Y = { YL para ΨL YR para ΨR Conforme discutido no início do capítulo, a extensão para uma teoria invariante local é feita através da definição de uma derivada covariante contendo os bósons de gauge responsáveis pela interação. SU(2)L ⊗U(1)Y será o grupo de simetria associado às interações eletrofracas. Seus geradores podem ser reescritos em uma base contendo três matrizes que quebram a simetria 11 1. O Modelo Padrão das Interações Eletrofracas do vácuo e QL que a preserva. Do teorema de Goldstone três bósons escalares não-massivos deverão aparecer e o mecanismo de Higgs irá agregá-los às partículas de gauge. O resultado final apresenta correntes carregadas e neutras mediadas por W± e Z0, respectivamente, além do fóton da interação eletromagnética. A construção da derivada covariante segue a prescrição usual Dµ = ∂µ − igAµ − ig′Bµ com Aµ = ~τ 2 · ~Aµ e Bµ = Y 2 Bµ. Partículas de mão-direita não acoplam com Aiµ e serão representadas por singletos de SU(2), ΨR. A lagrangiana invariante por SU(2)L ⊗ U(1)Y local é dada por LF = Ψ̄Liγ µ(∂µ − ig ~τ 2 · ~Aµ − ig′ YL 2 Bµ)ΨL + Ψ̄Riγ µ(∂µ − ig′ YR 2 Bµ)ΨR (1.32) Para o termo cinético dos campos de gauge, conforme (1.16) e (1.22), tem-se LG = −1 4 F i µνF iµν − 1 4 BµνB µν (1.33) Graças ao comportamento seletivo da interação fraca sobre a paridade, o termo de massa dos férmions não é invariante por SU(2)L ⊗ U(1)Y e, portanto, não será incluído à priori. O dubleto de escalares e o termo de Yukawa serão os responsáveis pela aquisição de massa de todas partículas envolvidas através do mecanismo de Higgs. Ao escalar é associada a matriz de hipercarga Yφ = +I e Φ = ( φ+ φ0 ) A Lagrangiana dos escalares será Ls = (DµΦ)†(DµΦ)− V (Φ†Φ) (1.34) e a interação de Yukawa acoplando a eles os férmions será LY = −Gf (Ψ̄LΦΨR + Ψ̄RΦ†ΨL) (1.35) com Gf a constante de acoplamento. Finalmente, de (1.32)-(1.35), a Lagrangiana completa pode ser escrita como L = LF + LG + Ls + LY A quebra espontânea de simetria ocorre quando Φ desenvolve um valor esperado do vácuo diferente de zero Φ0 = 〈0|Φ|0〉 = ( 0 v/ √ 2 ) 12 1. O Modelo Padrão das Interações Eletrofracas Escolhendo uma base de SU(2)L ⊗ U(1)Y composta por T1, T2, K e Q com K = T3 − 1 2 Y fica explícito que um dos geradores, Q, não quebra a simetria de Φ0 QΦ0 = ( T3 + 1 2 Y ) Φ0 = ( 1 0 0 0 )( 0 v/ √ 2 ) = 0 Os três geradores restantes, por outro lado, não apresentam o mesmo comportamento. Do teorema de Goldstone cada um deles será responsável pelo aparecimento de um bóson escalar. O mecanismo de Higgs fará com que os bósons de gauge se apropriem do grau de liberdade associado a estas partículas e adquiram massa como atributo resultante. Reescrevendo o escalar na parametrização (1.28) e aproveitando a invariância da Lagrangiana, podemos definir os campos no gauge unitário e fazer com que somente as partículas físicas estejam manifestas. De (1.29) Φ′ = U(ξ)Φ = 1√ 2 (v +H)χ Ψ′L = U(ξ)Ψ Ψ′R = ΨR B′µ = Bµ com χ = ( 0 1 ) . O termo de massa dos bósons de gauge surge da Lagrangiana escalar, que envolve produtos de derivadas covariantes, L′s = (DµΦ′)†(DµΦ)′ − V (Φ′ † Φ′) (1.36) (DµΦ)′ = (∂µ − ig ~τ 2 · ~A′µ − i 2 g′B′µ) 1√ 2 (v +H)χ (1.37) Introduzindo os campos carregados W± µ = A ′1 µ ∓ iA ′2 µ√ 2 a lagrangiana de massa será Lm = 1 4 g2v2W+ µ W −µ + v2 8 ( A ′3 µ B′µ ) ( g2 −gg′ −gg′ g′2 )( A ′3µ B ′µ ) (1.38) 13 1. O Modelo Padrão das Interações Eletrofracas O último termo da expressão acima pode será diagonalizado por( Zµ Aµ ) = ( cos θW − sin θW sin θW cos θW )( A′3µ B′µ ) (1.39) para v2 8 ( Zµ Aµ ) ( g2 + g′2 0 0 0 )( Zµ Aµ ) (1.40) Consequentemente, o campo Z se torna massivo com MZ = 1 2 √ g2 + g′2 e o fóton permanece sem massa. O potencial será V (Φ′ † Φ′) = −µ 2v2 4 + 1 2 (2µ2)H2 + λvH3 + λ 4 H4 que fornece mH = √ 2µ2 para a partícula de Higgs. Para LY em (1.35), no gauge unitário, teremos LY = −Gf (Ψ̄LΦΨR + Ψ̄RΦ†ΨL) (1.41) = −Gfv√ 2 c̄c− Gf√ 2 H c̄c (1.42) em que os acentos ′ foram retirados, indicando que os campos representam partículas físicas. Os termos referentes aos campos n foram negligenciados pois, quando aplicarmos aos léptons, os neutrinos serão partículas de massa nula e, portanto, sem componente de mão-direita. No entanto, em se tratando de quarks, ambas projeções deverão estar presentes. Em (1.41) a massa de c deve ser identificada como mf = Gfv√ 2 (1.43) vértice H c̄c : mf v (1.44) Portanto, os acoplamentos com o Higgs serão proporcionais à massa dos férmions, o que na maioria dos casos tornarão desprezíveis vértices deste tipo. Para a corrente carregada teremos LCC = g√ 2 (J−µW −µ + J+ µW +µ) J+ µ = 1 2 n̄γµ(1− γ5)c J−µ = 1 2 c̄γµ(1− γ5)n 14 1. O Modelo Padrão das Interações Eletrofracas e para a corrente neutra LNC = g′ cos θW j q µA µ + g cos θW jZµ com jqµ a corrente eletrônica e jZµ = n̄γµ(Cn V − Cn Aγ5)n + c̄γµ(Cc V − Cc Aγ5)c Cn V = 1 4 − qn sin2 θW (1.45) Cn A = 1 4 (1.46) Cc V = −1 4 − qc sin2 θW (1.47) Cc A = −1 4 (1.48) Aqui qc representa a carga elétrica do férmion c. 1.3. Léptons e Quarks Nesta seção iremos aplicar a notação e os resultados da seção anterior para um modelo com 3 famílias de léptons e 3 de quarks. A principal diferença a ser notada entre estas duas espécies de partículas será a ausência de singletos de mão-direita para os neutrinos nas famílias de léptons. 1.3.1. Léptons Os léptons estarão distribuídos nas famílias do elétron, múon e tau ΨLe = ( νe e ) L ,ΨRe = eR; ΨLµ = ( νµ µ ) L ,ΨRµ = µR; ΨLτ = ( ντ τ ) L ,ΨRτ = τR; cuja lagrangiana será LF = LeF + LµF + LτF 15 1. O Modelo Padrão das Interações Eletrofracas Para as interações de Yukawa tem-se LY = − ∑ i,j GijΨ̄LiΦΨRj + h.c., i,j = e, µ , τ (1.49) A expressão acima fornecerá as massas dos férmions LmF = −( ēL µ̄L τ̄L )  mee meµ meτ mµe mµµ mµτ mτe mτµ mττ  eR µR τR  (1.50) com mij = Gij v√ 2 . Em seguida vamos demonstrar que uma matriz complexa arbitrária M , n× n, sempre pode ser diagonalizada por uma transformação bi-unitária como U †MV = Md (1.51) com Md diagonal [5]. U e V são matrizes unitárias que diagonalizam MM † e M †M como U †(MM †)U = V †(M †M)V = M2 d , U †MV = Md =  me 0 0 0 mµ 0 0 0 mτ  Considere uma matriz U que diagonaliza a matriz hermitiana MM † como U †(MM †)U = M2 d , com (M2 d )αβ = m2 αδαβ (1.52) Da expressão acima, m2 α = ∑ β (U †M)αβ(M †U)βα = ∑ β (U †M)αβ(U †M)†βα = ∑ β |(U †M)αβ|2 Logo, os autovalores são reais e positivos. Com isso, basta definir uma matriz unitária V como V = M−1UMd, com (Md)αβ = √ m2 αδαβ (1.53) V †V = MdU †(M †)−1(M)−1UMd = MdU †(MM †)−1UMd (1.52) = I e, analogamente, V V † = I. A expressão para V fornece (1.51) e é equivalente à V †(M †M)V = M2 d . Os estados observados serão auto-estados da massa dados por e′L µ′L τ ′L  = U †  eL µL τL  (1.54) 16 1. O Modelo Padrão das Interações Eletrofracas  e′R µ′R τ ′R  = V †  eR µR τR  (1.55) No entanto, a degenerescência nas massas dos neutrinos, mν = 0, sempre permitirá redefini- los de forma a absorver as fases dos léptons carregados. Logo, os auto-estados da massa coincidem com os auto-estados da simetria e as correntes carregadas permanecem diagonais no sabor. 1.3.2. Quarks O procedimento para a construção de uma Lagrangiana invariante por SU(2)L ⊗ U(1)Y para quarks é análogo ao de léptons, com algumas extensões como, por exemplo, a diferença entre as cargas elétricas e o fato de que, aqui, todas as partículas serão massivas. A notação usualmente considerada é Q′Li = ( U ′i D′i ) L , U ′Ri, D ′ Ri, (i = 1,2,3) com U ′i = u1, u2, u3, D′i = d1, d2, d3. A lagrangiana com os respectivos valores de hipercarga será LF = 3∑ i=1 { Q̄′Liiγ µ(∂µ − ig ~τ 2 · ~Aµ − i 6 gYBµ)Q′Li + +Ū ′Riiγ µ(∂µ − i 2 3 gYBµ)U ′Ri + D̄′Riiγ µ(∂µ + i 1 3 gYBµ)D′Ri } (1.56) Já LY icluirá um termo adicional que permita identificar a massa de todos os quarks envolvidos LY = − ∑ i,j (ΓDi,jQ̄ ′ LiΦD ′ Rj + ΓUi,jQ̄ ′ LiΦ̃U ′ Rj + h.c.) (1.57) Os acoplamentos estão representados por ΓDi,j e ΓUi,j e a inserção do campo Φ̃ = iτ2Φ∗ = ( φ∗0 −φ− ) é permitida pois, em SU(2), a representação conjugada é equivalente à representação funda- mental. Veremos que para o 331 a situação será diferente já que o grupo SU(3) não possui esta mesma propriedade. A hipercarga associada à Φ̃ é YΦ̃ = −1. 17 1. O Modelo Padrão das Interações Eletrofracas No gauge unitário os campos e termos de massa após a quebra de simetria serão Φ→ 1√ 2 (v +H) ( 0 1 ) Φ̃→ 1√ 2 (v +H) ( 1 0 ) Lm = − ∑ i,j { D̄′LiMD i,jD ′ Rj + Ū ′LiMU i,jU ′ Rj } + h.c. (1.58) DiagonalizandoMD i,j eMU i,j separadamente teremos V U LMUV U† R = MU V D L MDV D† R = MD Logo, os auto-estados da massa se escrevem como D′L = V D† L DL, D′R = V D† R DR, U ′L = V U† L UL, U ′R = V U† R UR Lm = −D̄MDD − ŪMUU (1.59) com D =  d s b  , U =  u c t  e MD =  md 0 0 0 ms 0 0 0 mb  , MU =  mu 0 0 0 mc 0 0 0 mt  Nos auto-estados acima, a lagrangiana de corrente carregada é dada por LCC = g√ 2 ŪLV U L γ µV D† L DLW + µ + g√ 2 D̄LV D† L γµV U L ULW − µ A matriz unitária VCKM definida como VCKM = V U L V D† L permite reescrever LCC LCC = g 2 √ 2 Ūγµ(1− γ5)VCKMDW + µ + h.c. 18 1. O Modelo Padrão das Interações Eletrofracas Supondo o caso geral de n possíveis gerações de quarks, a matriz VCKM , conhecida como matriz de Cabibbo-Kobayashi-Maskawa ou CKM, será uma matriz n×n com n2 parâmetros re- ais, pois a condição de unitariedade irá impor n2 restrições aos seus elementos. Se todas as fases forem nulas, ou seja, se V for ortogonal, os termos independentes passam a ser n(n−1) 2 . Logo, V será escrita como n(n−1) 2 ângulos e n2− n(n−1) 2 = n(n+1) 2 fases. Estas, por sua vez, podem ser reduzidas para n(n+1) 2 −2n−1 = (n−1)(n−2) 2 por uma redefinição de fases dos campos de quarks. O termo de corrente neutra será LNC = eJqµA µ + g cos θW (J3 µ − sin2 θWJ q µ)Zµ com Jqµ = 2 3 ŪγµU − 1 3 D̄γµD J3 µ = 1 2 (ŪLγµUL − D̄LγµDL) que, como pode ser visto, são diagonais no sabor mesmo quando escritos em termos de auto-estados da massa. Embora apresentados brevemente, a definição da matriz unitária de mistura V e as expressões para a corrente neutra e carregada estão entre os pontos mais importantes deste trabalho - todo o conteúdo do próximo capítulo estará de alguma forma relacionado aos resultados desta subseção. 19 2 Extensões do Modelo Padrão Este capítulo consiste em um resumo das referências [6], [7], [8] e tem por objetivo apresentar os principais aspectos de um modelo que substitui o grupo de simetria SU(2)L, associado ao setor de mão-esquerda dos léptons, para SU(3)L. Conhecido como 331, esta extensão ao Modelo Padrão está amparado em SU(3)L ⊗ U(1)X expontaneamente quebrado para SU(2)L ⊗ U(1)Y . Aqui os férmions se transformarão como tripletos ou anti-tripletos cujas duas primeiras com- ponentes conterão as partículas conhecidas da fenomenologia atual. Na terceira componente novos quarks serão incluídos enquanto que os léptons serão preenchidos por seus conjugados. Esta variante do modelo é conhecida como versão mínima. Conforme discutido em 1.2, cada gerador implica um campo de gauge. 8 destes geradores irão quebrar a simetria do vácuo e como resultado 5 novos bósons vetoriais massivos deverão aparecer, sendo conhecidos como o novo bóson neutro Z ′ e os carregados V ±QV e U±QU . A presença do Z ′ permitirá correntes neutras com mudança de sabor, conhecidos como processos FCNC 1, à nível de árvore. Os acoplamentos relevantes, no entanto, serão pequenos o suficiente para fazer com que estas transições não sejam maiores do que as contribuições de loops no MP. O grupo SU(3)C não estará envolvido na discussão a seguir. 2.1. O Modelo 331 mínimo Os geradores do grupo de gauge serão as usuais matrizes de Gell-Mann Ta = λa 2 , com a = 1, · · · , 8 para SU(3)L e T9 ≡ I√ 6 para U(1)X . Como estaremos lidando com a representação fundamental, I é matriz identidade 3 × 3. Os anti-tripletos se transformam como 3̄ com geradores T̄a = −(Ta)ᵀ. 1FCNC : Flavour Changing Neutral Current. 20 2. Extensões do Modelo Padrão Os bósons de gauge serão denotados como W a µ , a = 1, · · · , 8 e Xµ. Seguindo as prescrições apresentadas no capítulo anterior, as derivadas covariantes atuando sobre os campos serão • tripleto ΨL : DµΨL = ∂µΨL − igW a µTaΨa L − igXXXµT9ΨL; • anti-tripleto ΨL: DµΨL = ∂µΨL + igW a µ (Ta)ᵀΨa L − igXXXµT9ΨL; • singleto ΨR: DµΨR = ∂µΨR − igX X√ 6 XµΨR Podemos ainda definir uma matriz de bósons, Wµ = W a µT a = 1 2  W 3 µ + 1√ 3 W 8 µ √ 2W+ µ √ 2UQU µ√ 2W− µ −W 3 µ + 1√ 3 W 8 µ √ 2V QV µ√ 2U−QUµ √ 2V −QVµ − 2√ 3 W 8 µ  com W± µ = 1√ 2 (W 1 µ ∓ iW 2 µ), U±QUµ = 1√ 2 (W 4 µ ∓ iW 5 µ), V ±QVµ = 1√ 2 (W 6 µ ∓ iW 7 µ), Ademais, em analogia à (1.31), teremos matrizes de carga de tripletos, anti-tripletos e singletos, QW = T3 − √ 3T8 +XI (2.1) • Tripletos: QWΨL QW =  X + 1 0 0 0 X 0 0 0 X + 2  (2.2) • anti-Tripletos: QWΨL QW =  X − 1 0 0 0 X 0 0 0 X − 2  (2.3) • Singletos : QWΨR QW = XR (2.4) 21 2. Extensões do Modelo Padrão • Bósons de Gauge: Também é possível escrever uma matriz para os bósons de gauge tal que cada entrada corresponda à carga elétrica das componentes de Wµ QW =  0 1 2 −1 0 1 −2 −1 0  (2.5) Portanto, o modelo irá comportar três bósons de gauge neutros e dois carregados que adiante serão identificados com o Z0, o fóton Aµ e W± do MP, além do novo Z ′ neutro. Surgem ainda duas partículas com carga ±1 e duas com carga ±2. Em seguida, apresentaremos o conteúdo de partículas restante referente aos férmions e Higgs. As duas primeiras gerações de quarks estarão distribuídas nas duas primeiras componentes de anti-tripletos e a terceira geração estará em um tripleto. A terceira componente abrigará novos quarks pesados. d1 −u1 j1  L ∼ (3∗,− 1/3)  d2 −u2 j2  L ∼ (3∗,− 1/3)  u3 d3 J  L ∼ (3,2/3) (2.6) A ordem dos quarks na terceira geração e o sinal negativo nos anti-tripletos surgem para tratar anomalias e para que os acoplamentos do MP sejam reproduzidos. Os termos entre parenteses indicam a representação de SU(3)L correspondente e o valor da hipercarga X . Os índices de cor foram omitidos. Já os léptons de mão-esquerda estarão acomodados em tripletos. As duas primeiras com- ponentes são ocupadas pelos campos do MP e a última pelo conjugado do lépton carregado: νa la lca  L ∼ (3,0) νaR = (1,0) (2.7) Na tabela 2.1 estão apresentados os férmions2 do 331 e seus respectivos valores de carga elétrica QW e hipercarga X . quarks QW X uL , cL 2 3 −1 3 uR , cR 2 3 2 3 dL , sL −1 3 −1 3 dR , sR −1 3 −1 3 j1L , j2L −4 3 −1 3 j1R , j2L −4 3 −4 3 quarks QW X bL −1 3 2 3 tL 2 3 2 3 bR −1 3 −1 3 tR 2 3 2 3 JL 5 3 2 3 JR 5 3 5 3 léptons QW X lL −1 0 lR −1 −1 νlL 0 0 νlR 0 0 lcL 1 0 lcR 1 1 Tabela 2.1.: Conteúdo de férmions do modelo 331. 2Os férmions estão escritos nos auto-estados da massa. 22 2. Extensões do Modelo Padrão Como discutido no capítulo anterior, as partículas envolvidas se tornam massivas através do mecanismo de Higgs - uma quebra de simetria não-abeliana que, neste contexto, ocorrerá em etapas SU(3)L ⊗ U(1)X → SU(2)L ⊗ U(1)Y → U(1)Q. Logo, a primeira quebra fará com que 4 dos 9 geradores de SU(3)L ⊗ U(1)X preservem a simetria do vácuo denotado por 〈Φ1〉. Estes 4 geradores estarão associados à SU(2)L⊗U(1)Y . Na segunda quebra somente um deles deverá preservar a simetria do novo vácuo denotado por 〈Φ2〉. • Primeira quebra: T1〈Φ1〉 = T2〈Φ1〉 = T3〈Φ1〉 = (− √ 3T8 +XI)〈Φ1〉 = 0 (2.8) • Segunda quebra: QW 〈Φ2〉 = 0 (2.9) O procedimento descrito acima fornecerá massa às partículas desde que esteja envolvido por lagrangianas de gauge e de Yukawa que acoplem os campos de Higgs aos bósons mediadores (através da derivada covariante) e aos férmions, respectivamente. Ademais, o fóton permanecerá sem massa. O tripleto de Higgs associado à primeira quebra será dado por χ, tal que 〈χ〉 = 1√ 2  0 0 vχ  (2.10) De (− √ 3T8 +XI)〈Φ1〉 = 0 segue que Xχ = −1. A condição (2.9) para a segunda quebra permite duas possíveis escolhas para os tripletos de Higgs, cujos vev’s serão denotados por 〈ρ〉 = 1√ 2  0 vρ 0  , 〈η〉 = 1√ 2  vη 0 0  (2.11) De QW 〈ρ〉 = QW 〈η〉 = 0 segue que Xρ = 1, Xη = 0 (2.12) A fim de que o modelo seja consistente com a fenomenologia atual, a escala da quebra de SU(3)L deverá ser muito maior que a escala eletrofraca, ou seja, vχ � vρ,vη. A notação adotada e as matrizes de carga para os tripletos de Higgs serão χ =  χ− χ−− χ0  , ρ =  ρ+ ρ0 ρ++  , η =  η0 η−1 η+ 2  (2.13) 23 2. Extensões do Modelo Padrão Qχ =  −1 0 0 0 −2 0 0 0 0  , Qρ =  1 0 0 0 0 0 0 0 +2  , Qη =  0 0 0 0 −1 0 0 0 +1  (2.14) Abaixo estão os campos neutros escritos em termos de suas partes real e imaginária χ0 = 1√ 2 (vχ + ξχ + iζχ), 〈χ0〉 = vχ, ρ0 = 1√ 2 (vρ + ξρ + iζρ), 〈ρ0〉 = vρ, η0 = 1√ 2 (vη + ξη + iζη), 〈η0〉 = vη O potencial de Higgs pode ser escolhido da forma usual V (ρ, η, χ) = µ2 1(ρ†ρ) + λ1(ρ†ρ)2 + µ2 2(η†η) + λ2(η†η)2 + +µ2 3(χ†χ) + λ3(χ†χ)2 + λ12(ρ†ρ)(η†η) + λ13(ρ†ρ)(χ†χ) + +λ23(χ†χ)(η†η) + λ̃12(ρ†η)(η†ρ) + λ̃13(ρ†χ)(χ†ρ) + λ̃23(η†χ)(χ†η) + + √ 2f1(εijkρ iηjχk + h.c.) (2.15) Os auto-estados da massa são obtidos através dos ângulos de mistura sin2 βρη = vη 2 v2 η + v2 ρ , sin2 βρχ = v2 ρ v2 χ + v2 ρ e escritos como • Estados com carga −1:( φ−W H−0 ) = ( cos βρη − sin βρη sin βρη cos βρη )( ρ− η− ) (2.16) com Mφ−W = 0 e M2 H−0 = f1vχ sinβρη cosβρη . • Estados com carga +1:( φ+ V H+ 2 ) = ( cos β13 − sin β13 sin β13 cos β13 )( ρ+ χ+ ) (2.17) com Mφ+V = 0, M2 H+ 2 = f1vχ tan βρχ + v2 χ λ̃13 2 , β13 = π 2 − βρχ. As massas dos bósons de gauge surgem a partir da derivada covariante da Lagrangiana dos escalares, dada por Ls = (Dµχ)†(Dµχ) + (Dµρ)†(Dµρ) + (Dµη)†(Dµη) (2.18) 24 2. Extensões do Modelo Padrão que fornecem M2 W± = g2 4 v2 +, (2.19) M2 V ± = g2 4 v2 χ [ 1− v2 − 2v2 χ + v2 + 2v2 χ ] , (2.20) M2 U±2 = g2 4 v2 χ [ 1 + v2 − 2v2 χ + v2 + 2v2 χ ] (2.21) com v2 + = v2 ρ + vη 2 e v2 − = vη 2 − v2 ρ. Inicialmente os bósons de gauge neutros W 8 µ e Xµ se misturam através de sin θ331 = g√ g2+ g2 X 2 dando origem aos Bµ e Z ′µ que, em seguida, se misturam com W 3 µ através de sin θW = gY√ g2+g2Y resultando no fóton Aµ e em Zµ com 1 g2 Y = 6 g2 X + 3 g2 (2.22) O processo descrito pode ser ilustrado como W 8 µ ,W 3 µ ,Xµ θ331→ Z ′µ, Bµ,W 3 µ θW→ Z ′µ, Zµ, Aµ onde os ângulos θ331 e θW se relacionam através de cos θ331 = √ 3 tan θW (2.23) o que impõe sin2 θW < 1 4 . Considerando que vχ � vρ, vη, as massas dos bósons de gauge serão M2 W± = g2 4 v2 +, M2 V ± = M2 U±2 = g2 4 v2 χ, M2 A = 0, M2 Z = g2 4 cos θW v2 +, M2 Z′ = g2v2 χ cos θW 3[1− 4 sin2 θW ] . Por último, os quarks tipo-u tornam-se massivos pelo acoplamento com a partícula de Higgs ρ e os tipo-d pelo tripleto η. Os quarks exóticos j1, j2, J se acoplam com χ. A lagrangiana de Yukawa para os quarks do MP escrita nos auto-estados da simetria U ′L,R e D′L,R, em analogia à 25 2. Extensões do Modelo Padrão (1.57), será −LY = 2∑ m=1 3∑ α=1 Q̄mL[GmαU ′ αRρ̃+ ǦmαD ′ αRη̃] + Q̄3L[F3αU ′ αRη + F̌3αD ′ αRρ] + h.c. com Qi representando os anti-tripletos de mão-esquerda e Q3 o tripleto da terceira geração. Além disso, D′(1,2,3)R = d1R, d2R,d3R e U ′(1,2,3)R = u1R,u2R,u3R. Os auto-estados da massa são obtidos através das matrizes de rotação como U ′L,R = (V U L,R)†UL,R e D′L,R = (V D L,R)†DL,R tal que V U LMUV U† R = MU e V D L MDV D† R = MD, onde M é a matriz de massa na base dos auto-estados da simetria. Uma das novidades do modelo é a qualidade de abrigar correntes neutras com mudança de sabor. Os acoplamentos entre Z ′ e a terceira geração de quarks diferem dos acoplamentos com as demais gerações. Até aqui o conteúdo de partículas foi completamente apresentado restando, contudo, obter uma Lagrangiana de interação escrita na base dos auto-estados da massa que permita identificar as regras de Feynman a serem utilizadas no próximo capítulo. Os termos conhecidos do MP são: • Interação mediada por W± iLW = i g√ 2 ∑ l=e,µ,τ (ν̄lLγµlLW +µ + l̄LγµνlLW −µ) + +i g√ 2 (( ūL c̄L t̄L ) γµ V  dL sL bL W+µ + h.c. ) (2.24) • Corrente eletromagnética iLγ = i ∑ f Qef̄γµfA µ (2.25) em f representa os férmions do modelo com carga Q vezes a constante e = g sin θW . 26 2. Extensões do Modelo Padrão • Corrente neutra mediada por Z iLZ = ig 2cW Zµ { ∑ l=e,µ,τ [ ν̄lLγµνlL − (1− 2s2 W )l̄LγµlL + 2s2 W l̄RγµlR − 2s2 W l̄ cγµl c L ] + ∑ qu=u,c,t [( 1− 4 3 s2 W ) q̄uLγµquL − 4 3 s2 W q̄uRγµquR ] + ∑ qd=d,s,b [( −1 + 2 3 s2 W ) q̄dLγµqdL + 2 3 s2 W q̄dRγµqdR ] + 8 3 s2 W [j̄1γµj1 + j̄2γµj2]− 10 3 s2 W J̄γµJ } (2.26) E as novas interações: • Corrente mediada por V ± iLV = ig√ 2 ∑ l=e,µ,τ [ ν̄lLγµl c LV −µ + l̄cLγµνlLV +µ ] ig√ 2 { 3∑ i=1 2∑ j=1 [(q̄dL)iγµ(QJL)j(V D L )∗ijV +µ + (Q̄JL)jγµ(qdL)i(V D L )ijV −µ] + 3∑ i=1 [(J̄L)γµ(quL)i(V U L )3iV +µ + (q̄uL)iγµ(JL)(V U L )∗3iV −µ] } (2.27) com qu = u,c,t , qd = d,s,b e QJ = j1,j2. • Corrente mediada por U±± iLU = − ig√ 2 ∑ l=e,µ,τ [ l̄cLγµlLU ++µ + l̄Lγµl c LU −−µ] + ig√ 2 { 3∑ i=1 2∑ j=1 [(q̄uL)iγµ(QJL)j(V U L )∗ijU ++µ + (Q̄JL)jγµ(quL)i(V U L )ijU −−µ] − 3∑ i=1 [(J̄L)γµ(qdL)i(V D L )3iU ++µ + (q̄dL)iγµ(JL)(V D L )∗3iU −−µ] } (2.28) • Correntes neutras mediadas por Z ′ iLZ′ = −ig 2cW Z ′ µ [ŪLγµK U LUL + ŪRγµK U RUR + D̄LγµK D LDL + D̄RγµK D RDR] (2.29) 27 2. Extensões do Modelo Padrão com KU L(R) = V U L(R)Y U L(R)V U† L(R), KD L(R) = V D L(R)Y D L(R)V D† L(R) e Y U L = Y D L = − 1 2 √ 3h(x)  −2(1− 2x) 0 0 0 −2(1− 2x) 0 0 0 1  (2.30) Y U R = − 4x√ 3h(x) I, Y D R = 2x√ 3h(x) I (2.31) h(x) ≡ √ 1− 4x, x = s2 W Portanto, de (2.31), não haverá FCNC no setor de mão-direita dos quarks com Z ′. 28 3 Processos ∆F = 2 O conteúdo essencial para que o cálculo de determinados processos sejam efetuados sob o amparo do modelo padrão e do modelo 331 foi apresentado nos dois capítulos precedentes. Com isso, uma parte importante da metodologia deste trabalho está concluída restando, contudo, uma aplicação que permita identificar aspectos equivalentes entre os dois modelos e guiar o 331 rumo à coerência com a fenomenologia atual. Para tanto iremos comparar os resultados obtidos na mistura de mésons neutros no contexto destas duas teorias, impondo que a contribuição do 331 para a variação da massa seja menor do que a contribuição do MP. Esta imposição fornecerá um limite para funções envolvendo massas de escalares e quarks exóticos. A seguir, apresentaremos de forma breve uma justificativa para a expressão de ∆mℵ, segundo [3], que será largamante utilizada no decorrer deste capítulo. Em geral, graças à violação de sabor (S, B, C) por parte das interações fracas, é conveniente reescrever os estados de mésons neutros como auto-estados de CP: CP|ℵ0〉 = −|ℵ̄0〉, CP|ℵ̄0〉 = −|ℵ0〉 (3.1) segue que |ℵ0 1〉 ≡ 1√ 2 (|ℵ0〉 − |ℵ̄0〉)→ CP|ℵ0 1〉 = |ℵ0 1〉 (3.2) |ℵ0 2〉 ≡ 1√ 2 (|ℵ0〉+ |ℵ̄0〉)→ CP|ℵ0 2〉 = −|ℵ0 2〉 (3.3) Assumindo que m1 e m2 sejam dados como os valores esperados de um Hamiltoniano efetivo 29 3. Processos ∆F = 2 H = H∆F=0 +H∆F=2, m1 ≡ Re[〈ℵ1|H|ℵ1〉] = Re 1 2 [〈ℵ̄0 + ℵ0|H|ℵ̄0 + ℵ0〉] m2 ≡ Re[〈ℵ2|H|ℵ2〉] = Re 1 2 [〈ℵ0 − ℵ̄0|H|ℵ0 − ℵ̄0〉] A variação da massa dos auto-estados será definida como ∆mℵ ≡ m1 −m2 = Re[〈ℵ0|H∆F=2|ℵ̄0〉+ 〈ℵ̄0|H∆F=2|ℵ0〉] (3.4) Para um sistema físico que preserve CP , ∆mℵ = 2Re〈ℵ̄0|H∆F=2|ℵ0〉 (3.5) 3.1. Modelo Padrão Nesta seção iremos calcular ∆m para misturas de mésons neutros ℵ0−ℵ̄0 cuja composição de quarks seja dada por (qā). ℵ representará os mésons K (com q = d e a = s), Bs (q = s, a = b) ou Bd (q = s, a = b). A mistura de mésons D será discutida no apêndice e a razão para esta separação se deve a uma aproximação referente aos momentos dos quarks externos envolvidas. Na mistura do K0 o diagrama de caixa dominante envolve quarks do tipo-c como partículas internas, cuja massa é muito superior às dos quarks d e s. Para o caso B0 q , os elementos da matriz CKM suprimem os quarks internos leves e preservam o quark-t, cuja massa é 40 vezes superior ao quark-b. Em situações onde as partículas internas dos diagramas dominantes são mais pesadas que as partículas reais é permitido, em excelente aproximação [9], excluir os momentos externos a fim de simplificar os cálculos envolvidos1. O mesmo, no entanto, não ocorre com o méson D - os diagramas de maior contribuição envolvem os quarks internos d e s, com massas inferiores ao quark tipo-c. Levar em conta o momento externo dará origem a um novo operador, como será demonstrado em (A.4). Das orientações de [10] tentaremos encontrar a expressão final para a amplitude referente aos diagramas 1 e 2 da figura 3.1 a partir do caso mais geral, em que os bósons de Goldstone são considerados. Veremos que os resultados não irão depender do gauge ξW . 1A referência [9] demonstra que o erro cometido ao eliminar os momentos externos é de 1.27% para K0 e 0.04% para o B0. 30 3. Processos ∆F = 2 Figura 3.1.: Diagramas de caixa do modelo padrão para a mistura de mésons neutros. As expressões para os propagadores são: Pφ(k) : i k2 − ξWm2 W (3.6) Pµν(k) : −igµν k2 −m2 W + ikµkν m2 W ( 1 k2 −m2 W − 1 k2 − ξWm2 W ) (3.7) Pα(k) : i ��k +mα k2 −m2 α (3.8) E os vértices: DβW +Uα : i g√ 2 γµγLVαβ (3.9) UαW −Dβ : i g√ 2 γµγLV ∗ αβ (3.10) Dβφ +Uα : i g√ 2 ( mα mW γL − mβ mW γR ) Vαβ (3.11) Uαφ −Dβ : i g√ 2 ( mα mW γR − mβ mW γL ) V ∗αβ (3.12) com os projetores definidos abaixo γL ≡ 1 2 (1− γ5), γR ≡ 1 2 (1 + γ5) γLγL = γL, γRγR = γR, γLγR = γRγL = 0 γLγµ = γµγR, γRγµ = γµγL 31 3. Processos ∆F = 2 Além disso, serão utilizadas as seguintes abreviações Ap(k) ≡ k2 −m2 p Ag(k) ≡ k2 − ξWm2 W Os operadores são construídos segundo as regras de Feynman • Para férmions de momento P * no estado inicial : u(P ) à direita; * no estado final : ū(P ) à esquerda. • Para antiférmions de momento P * no estado inicial : v̄(P ) à esquerda; * no estado final : v(P ) à direita. Das expressões (3.6)-(3.12) acima é possível notar que os denominadores Ap dos propagadores dos quarks poderão ser fatorados, assim como o coeficiente i g√ 2 de seus respectivos vértices e o produto λαλβ dos elementos da matriz CKM. Após estas simplificações, o diagrama 1 será dividido em região final, denotada por (F), e inicial, (I), e a amplitude total será: iM(1) = ( ig√ 2 )2( ig√ 2 )2∑ α,β λαλβ ∫ d4k (2π)4 1 Aα 1 Aβ × {(F · I)W+W− + (F · I)W+φ− + (F · I)φ +W− + (F · I)φ +φ− } (3.13) com λα ≡ VaαV ∗ qα (3.14) (F · I)W+W− = −{ū(p3)γµ��kγλγLv(p4)}[Pµν ][Pλε]{v̄(p2)γε��kγνγLu(p1)} (F · I)W+φ− = { m2 α mW ū(p3)γµγLv(p4) } [Pµν ] [ i Ag ]{ m2 β mW v̄(p2)γνγLu(p1) } (F · I)φ +W− = { m2 α mW ū(p3)γλγLv(p4) }[ i Ag ] [Pλε] { m2 β mW v̄(p2)γεγLu(p1) } (F · I)φ +φ− = { m2 α m2 W ū(p3)��kγLv(p4) }[ i Ag ]2{ m2 β m2 W v̄(p2)��kγLu(p1) } 32 3. Processos ∆F = 2 Substituindo a expressão (3.7), segue que iM(1) = ( g4 4 )∑ α,β λαλβ ∫ d4k (2π)4 1 Aα 1 Aβ ×{ 1 A2 W [ū(p3)γµ��kγλγLv(p4)][v̄(p2)γλ��kγµγLu(p1)]− − ( 1 AW − 1 Ag ) 1 AWm2 W ( [ū(p3)γµ��k��kγLv(p4)][v̄(p2)��k��kγµγLu(p1)] + +[ū(p3)��k��kγµγLv(p4)][v̄(p2)γµ��k��kγLu(p1)] ) + + ( 1 AW − 1 Ag )2 1 m4 W [ū(p3)��k��k��kγLv(p4)][v̄(p2)��k��k��kγLu(p1)] + + 2m2 αm 2 β m2 WAg (( 1 AW − 1 Ag ) 1 m2 W [ū(p3)��kγLv(p4)][v̄(p2)��kγLu(p1)]− − 1 AW [ū(p3)γµγLv(p4)][v̄(p2)γµγLu(p1)] ) + + m2 αm 2 β m4 WA 2 g [ū(p3)��kγLv(p4)][v̄(p2)��kγLu(p1)] } Considerando a seguinte identidade ��k��k = k2 iM(1) = ( g4 4 )∑ α,β λαλβ ∫ d4k (2π)4 1 Aα 1 Aβ ×{ 1 A2 W [ū(p3)γµ��kγλγLv(p4)][v̄(p2)γλ��kγµγLu(p1)] + + [ k4 −m2 αm 2 β m4 W ( 1 A2 g − 2 AWAg ) + k4 m4 WA 2 W ] [ū(p3)��kγLv(p4)][v̄(p2)��kγLu(p1)] + +2 ( k4 −m2 αm 2 β m2 WAWAg − k4 A2 Wm 2 W ) [ū(p3)γµγLv(p4)][v̄(p2)γµγLu(p1)] } Da unitariedade da matriz CKM, ∑ α=u,c,t λα = 0 (3.15) todo termo independente de pelo menos um índice de quark interno será cancelado na expressão da amplitude. Substituindo a identidade k4 −m2 αm 2 β = −AαAβ + k2(Aα + Aβ) (3.16) 33 3. Processos ∆F = 2 a expressão final paraM1 será iM(1) = ( g4 4 )∑ α,β λαλβ ∫ d4k (2π)4 1 AαA2 WAβ ×{ [ū(p3)γµ��kγλγLv(p4)][v̄(p2)γλ��kγµγLu(p1)] + + m2 αm 2 β m4 W [ū(p3)��kγLv(p4)][v̄(p2)��kγLu(p1)]− − 2m2 αm 2 β m2 W [ū(p3)γµγLv(p4)][v̄(p2)γµγLu(p1)] } onde (3.16) foi utilizada com o propósito de eliminar a dependencia de k4 nos coeficientes dos operadores. Nesta altura a identidade abaixo será bastante útil, γµγργλ = gµργλ + gµργλ − gµργλ − iεµρλβγ5γβ assim como, εµλρβεµληα = −2(δρηδ β α − δραδβη ) (3.17) γ5γαγL = γαγL (3.18) Portanto, γµγργλγL ⊗ γλγηγµγL = 2(γηγL ⊗ γργL) + 2δρη(γ µγL ⊗ γµγL) + +εµλρβεµληα(γ5γβγL ⊗ γ5γ αγL) (3.17) = 2(γηγL ⊗ γργL) + 2δρη(γ µγL ⊗ γµγL)− −2[δρη(γ5γ µγL ⊗ γ5γµγL)− γ5γηγL ⊗ γ5γ ργL] (3.18) = 4(γηγL ⊗ γργL) Com auxílio da parametrização de Feynman (ver A.2) podemos considerar a mudança 1 AαA2 WAβ (A.5) = 6 ∫ 1 0 dx ∫ x 0 dy y [k2 −M2]4 (3.19) com M2 = m2 α + (m2 β −m2 α)x+ (m2 W −m2 β)y 34 3. Processos ∆F = 2 Substituindo na expressão para a amplitude iM(1) = ( 6g4 4 )∑ α,β λαλβ ∫ 1 0 dx ∫ x 0 dy × y {( 4 + m2 αm 2 β m4 W ) Iµν [ū(p3)γµγLv(p4)][v̄(p2)γνγLu(p1)]− − 2m2 αm 2 β m2 W I0[ū(p3)γµγLv(p4)][v̄(p2)γµγLu(p1)] } de (A.2) e (A.4) iM(1) = ( −ig4 64π2 ) [ū(p3)γµγLv(p4)][v̄(p2)γµγLu(p1)]× ∑ α,β λαλβ ∫ 1 0 dx ∫ x 0 dy y { 2 M2 + m2 αm 2 β 2m4 WM 2 + 2m2 αm 2 β m2 WM 4 } Após efetuar a integração nos parâmetros de Feynman: iM(1) = ( −ig4 m2 W64π2 ) [ū(p3)γµγLv(p4)][v̄(p2)γµγLu(p1)] ∑ α,β λαλβFαβ Da relação (3.15)∑ α,β λαλβFαβ = λ2 c(Fcc − 2Fuc + Fuu) + 2λcλt(Fct − Fuc − Ftu + Fuu) + λ2 t (Ftt − 2Fut + Fuu) Considerando a aproximação mu = 0, a expressão para a amplitude é, finalmente, dada por: iM(1) = ( −iG2 Fm 2 W 2π2 ) [ū(p3)γµγLv(p4)][v̄(p2)γµγLu(p1)]F0 (3.20) com F0 = λ2 cS0(xc) + 2λcλtS0(xc, xt) + λ2 tS0(xt) (3.21) e xα ≡ m2 α m2 W As funções S0 são conhecidas como funções de Inami-Lim [11]: S0(x,y) = xy [ − 3 4(1− x)(1− y) + ln x (x− y)(1− x)2 ( 1− 2x+ x2 4 ) + + ln y (y − x)(1− y)2 ( 1− 2y + y2 4 )] (3.22) 35 3. Processos ∆F = 2 e S0(x) = lim y→x S0(x,y) = x (1− x)2 [ 1− 11x 4 + x2 4 − 3x2lnx 2(1− x) ] (3.23) Da amplitude de transição podemos obter o seguinte operador efetivo H∆F=2 eft = ζMP qa (āΓµq)(āΓµq) (3.24) ζMP qa = G2 Fm 2 W 4π2 F0 (3.25) onde F0 é dado em (3.21). Na seção A.4 do apêndice é demonstrado que a contribuição do diagrama 2 é idêntica à (3.20). 3.1.1. Inserção do vácuo O operador efetivo associado à diferença de massa na mistura será denotado por O = (āΓµq)(āΓµq) (3.26) Γµ ≡ γµγL Os operadores ā e q correspondem à soma de operadores de criação e destruição ā = ā+ + ā− q = q+ + q− onde ā+ : cria quarks a ā− : destrói antiquarks ā q+ : cria antiquarks q̄ q− : destrói quarks q Como o operador resultante deverá conter um termo de criação e um de destruição para cada sabor, nosso objetivo será calcular 〈ℵ̄0|(āΓµq)(āΓµq)|ℵ0〉 = 2 { 〈ℵ̄0|(ā+Γµq +)(ā−Γµq−)|ℵ0〉+ +〈ℵ̄0|(ā+Γµq −)(ā−Γµq+)|ℵ0〉 } (3.27) Para realizar a aproximação de inserção do vácuo, o último termo de (3.27) será rearranjado 36 3. Processos ∆F = 2 via transformação de Fierz (ver A.3). Para as matrizes de Gell-Mann consideramos δxyδkl = 1 3 δxlδky + 1 2 ∑ a λaxlλ a ky (3.28) Explicitando os índices de cor e índices de Dirac, (ā+Γµq −)(ā−Γµq+) = (ā+ xα q − yβ ā − kλ q + lθ)(Γµ)αβ(Γµ)λθ (δxyδkl) De (A.16) (Γµ)αβ(Γµ)λθ = − (Γµ)αθ(Γ µ)λβ (3.29) e das relações de anti-comutação fermiônicas (ā+ xα q − yβ ā − kλ q + lθ) = −(ā+ xα q + lθ ā − kλ q − yβ) ∴ (ā+Γµq −)(ā−Γµq+) = 1 3 (ā+Γµq +)(ā−Γµq−) (3.30) Na expressão acima o segundo termo de (3.28) foi negligenciado. Substituindo em (3.27) 〈ℵ̄0|(āΓµq)(āΓµq)|ℵ0〉 = 8 3 〈ℵ̄0|(ā+Γµq +)(ā−Γµq−)|ℵ0〉 (3.31) Podemos aplicar entre os operadores de (3.31) um conjunto completo de estados a fim de trabalharmos com produtos de bilineares. A aproximação de inserção do vácuo, todavia, irá assumir que uma boa estimativa do elemento de matriz pode ser dada considerando apenas o vácuo como estado intermediário [10]: 〈ℵ̄0|(ā+Γµq +)(ā−Γµq−)|ℵ0〉 = 〈ℵ̄0|(ā+Γµq +)|0〉〈0|(ā−Γµq−)|ℵ0〉 = 〈ℵ̄0|(āΓµq)|0〉〈0|(āΓµq)|ℵ0〉 (3.32) Portanto, 〈ℵ̄0|(āΓµq)(āΓµq)|ℵ0〉 = 2 3 〈ℵ̄0|(āγµ(1− γ5)q)|0〉〈0|(āγµ(1− γ5)q)|ℵ0〉 (3.33) Sabendo que, 〈0|āγµq|ℵ0〉 = 〈ℵ̄0|āγµq|0〉 = 0 segue 〈ℵ̄0|(āΓµq)(āΓµq)|ℵ0〉 = 2 3 ( f 2 ℵ0 pµp µ 2mℵ0 ) (3.34) já que o 4-momento é o único candidato vetorial possível. fℵ0 é o fator de forma e o termo 37 3. Processos ∆F = 2 2mℵ0 é uma constante de normalização. Finalmente, 〈ℵ̄0|(āΓµq)(āΓµq)|ℵ0〉 = f 2 ℵ0 mℵ0 3 (3.35) 3.1.2. ∆m A hamiltoniana efetiva para a mistura será H∆F=2 eft |MP = ζMP qa (āΓµq)(āΓµq) (3.36) De (3.5) teremos ∆mMP ℵ = 2Re〈ℵ̄0|H∆F=2|ℵ0〉 (3.37) (3.35) = Re { G2 Fm 2 Wmℵ0 6π2 F0f 2 ℵ0 } (3.38) 3.2. Modelo 331 mínimo A fim de obter um limite para a massa dos quarks exóticos que surgem no modelo, podemos calcular a contribuição dos diagramas de caixa abaixo Figura 3.2.: Diagramas de caixa para a mistura de mésons neutros envolvendo escalares e quarks exóticos do modelo 331. Os pares (S, T ) nas figuras acima serão (η±2 , ji), (χ ±, ji), (ρ ±±, J), (χ±±, J), i = 1,2. Dia- gramas com termos cruzados, como o da figura 3.3, são igualmente possíveis. Os vértices necessários para a construção da amplitude podem ser extraídos da seguinte lagrangiana 38 3. Processos ∆F = 2 Figura 3.3.: Diagrama de caixa com mais de dois tipos de partículas internas. iLs = ( j̄1L j̄2L J̄L ) J D 1 V D R  dR sR bR  + ( d̄L s̄L b̄L ) V D L J D 2  j1R j2R JR  (3.39) onde a matriz J D contém os escalares carregados e as constantes de acoplamento J D 1 =  Ǧ11η − 2 Ǧ12η − 2 Ǧ13η − 2 Ǧ21η − 2 Ǧ22η − 2 Ǧ23η − 2 F̌31ρ ++ F̌32ρ ++ F̌33ρ ++  (3.40) J D 2 =  G11χ + G12χ + 0 G21χ + G22χ + 0 0 0 gJχ −−  (3.41) Com o objetivo de simplificar algumas expressões iremos considerar somente os diagramas 3.2, embora não exista nenhuma razão adicional que permita negligenciar contribuições como da figura 3.3. De acordo com as prescrições da seção anterior, iM = −ΛST ∫ d4k (2π)4 1 A2 TA 2 S [ū(p3) (1 + γ5) 2 (��k +mT ) (1 + γ5) 2 v(p4)] ×[v̄(p2) (1 + γ5) 2 (��k +mT ) (1 + γ5) 2 u(p1)] (3.42) em que ΛST representa os elementos de matriz de mistura presentes no vértice entre o quark tipo-d, o escalar S e o quark exótico T e cuja determinação não será tratada neste trabalho. Reescrevendo a amplitude como operador efetivo e recorrendo às propriedades das matrizes 39 3. Processos ∆F = 2 gamma, tem-se iM = −ΛSTm 2 T 4 · FST0 [ā(1 + γ5)q][ā(1 + γ5)q] (3.43) com FST0 ≡ ∫ d4k (2π)4 1 A2 TA 2 S = ∫ d4k (2π)4 1 (k2 −m2 T )2(k2 −m2 S)2 (3.44) cuja solução está detalhada na seção (A.2) do apêndice e dada por FST0 = 1 m4 S i 16π2 1 (xT − 1)3 [2(1− xT ) + (xT + 1)ln xT ] (3.45) xT ≡ m2 T m2 S A expressão (3.45) naturalmente é simétrica por S ↔ T . Finalmente, temos iM = i 16π2 ΛST 4m2 S ·SST0 (xT )[ā(1 + γ5)q][ā(1 + γ5)q] (3.46) SST0 (xT ) ≡ xT (xT − 1)3 [2(1− xT ) + (xT + 1)ln xT ] (3.47) 3.2.1. Inserção do vácuo O operador que aparece em (3.43) contém um termo (1 + γ5) e convém discutirmos a aproximação de inserção do vácuo para o caso envolvendo novos elementos da matriz de transformação de Fierz, nos submetendo à seguinte definição (1 + γ5)q ≡ Q (3.48) Novamente reescrevemos os campos como a soma de operadores de criação e destruição ā = ā+ + ā− Q = Q+ +Q− Arranjando os termos de criação à esquerda e de destruição à direita, 〈ℵ̄0|(āQ)(āQ)|ℵ0〉 = 2 { 〈ℵ̄0|(ā+Q+)(ā−Q−)|ℵ0〉+ +〈ℵ̄0|(ā+Q−)(ā−Q+)|ℵ0〉 } (3.49) 40 3. Processos ∆F = 2 e da primeira linha de (A.16), segue que 〈ℵ̄0|(āQ)(āQ)|ℵ0〉 = 11 6 〈ℵ̄0|(ā+Q+)(ā−Q−)|ℵ0〉+ −1 6 〈ℵ̄0|(ā+γµQ+)(ā−γµQ −)|ℵ0〉+ − 1 12 〈ℵ̄0|(ā+σµνQ+)(ā−σµνQ −)|ℵ0〉+ + 1 6 〈ℵ̄0|(ā+γµγ5Q +)(ā−γµγ5Q −)|ℵ0〉+ −1 6 〈ℵ̄0|(ā+γ5Q +)(ā−γ5Q −)|ℵ0〉 (3.50) A aproximação de saturação do vácuo consiste em considerar 〈ℵ̄0|(ā+Dςq+)(ā−Dςq −)|ℵ0〉 = 〈ℵ̄0|(ā+ Dς q+)|0〉〈0|(ā− Dς q −)|ℵ0〉 = 〈ℵ̄0|(ā Dς q)|0〉〈0|(ā Dς q)|ℵ0〉 (3.51) com Dς = I, γµ, σµν , γµγ5, γ5. Os candidatos tensoriais gµν , pµ e εµνλρ não são capazes de fornecer um tensor antissimétrico de dois índices. Portanto, 〈0|(ā σµν q)|ℵ0〉 = 〈ℵ̄0|(ā σµν q)|0〉 = 0 (3.52) Os operadores (āγµq) sob a operação de paridade se transformam para (āγµq) assim como os 4-momentos de pµ para pµ, o que nos permite afirmar que 〈0|(ā γµ q)|ℵ0〉 ∝ pµ (3.53) No entanto, como o vácuo possui paridade par, os mésons ℵ0 são pseudoescalares e o operador de paridade é hermitiano, a expressão acima é equivalente à pµ = −pµ (3.54) o que é absurdo. Logo, 〈0|(ā γµ q)|ℵ0〉 = 〈ℵ̄0|(ā γµ q)|0〉 = 0 (3.55) Analogamente, para o caso escalar teremos 〈0|(āq)|ℵ0〉 = −〈0|(āq)|ℵ0〉 = 0 (3.56) 〈ℵ̄0|(āq)|0〉 = −〈ℵ̄0|(āq)|0〉 = 0 (3.57) Das conclusões acima e utilizando a identidade (γ5)2 = I 41 3. Processos ∆F = 2 em (3.51), segue que 〈ℵ̄0|(ā(1 + γ5)q)(ā(1 + γ5)q)|ℵ0〉 = 11 6 〈ℵ̄0|(āγ5q)|0〉〈0|(āγ5q)|ℵ0〉 −1 6 〈ℵ̄0|(āγµγ5q)|0〉〈0|(āγµγ5q)|ℵ0〉 + 1 6 〈ℵ̄0|(āγµγ5q)(āγµγ5q)|ℵ0〉 −1 6 〈ℵ̄0|(āγ5q)(āγ5q)|ℵ0〉 = 5 3 〈ℵ̄0|(āγ5q)|0〉〈0|(āγ5q)|ℵ0〉 (3.58) Os elementos de matriz que surgem em (3.58) são calculados em [10] como 〈ℵ̄0|(āγ5q)|0〉〈0|(āγ5q)|ℵ0〉 = f 2 ℵ0 m3 ℵ0 2(mq +ma)2 (3.59) Portanto, 〈ℵ̄0|(ā(1 + γ5)q)(ā(1 + γ5)q)|ℵ0〉 = 5 6 f 2 ℵ0 m3 ℵ0 (mq +ma)2 (3.60) 3.2.2. ∆m Conforme visto no início do capítulo, a diferença de massa de um sistema de mésons neutros, ℵ0, é dado por ∆mMP ℵ = 2Re ζMP qa 〈ℵ̄0|(āΓµq)(āΓµq)|ℵ0〉. Da Lagrangiana (2.29) a mesma mistura ocorrerá à nível de árvore com vértices q Z ′µ a : − ig 2cW (KD L )qaΓµ (3.61) Figura 3.4.: Diagrama representado a mistura de mésons neutros. O modelo 331 admite que processos FCNC ocorra à nível de árvore 42 3. Processos ∆F = 2 Construindo a amplitude da figura 3.4 e lembrando que os momentos externos são nulos iM = −[(KD L )qa] 2 g2 4c2 W [ū(p3)Γµv(p4)] i m2 Z′ [v̄(p2)Γµu(p1)] (3.62) com g2 = 8GF M2 W√ 2 Novamente, das regras de Feynman para um operador efetivo, segue que H∆F=2 eft |Z′ = ζZ ′ qa (āΓµq)(āΓµq) (3.63) com ζZ ′ qa = √ 2GF c2 W m2 W m2 Z′ [(KD L )qa] 2 (3.64) ∆mZ′ ℵ = 2Re { ζZ ′ qa 〈ℵ̄0|(āΓµq)(āΓµq)|ℵ0〉 } (3.35) = Re { 2 √ 2GF 3c2 W m2 Wmℵ0 m2 Z′ [(KD L )qa] 2f 2 ℵ0 } (3.65) Para os diagramas de caixa o operador efetivo será H∆F=2 eft |ST = ζST [ā(1 + γ5)q][ā(1 + γ5)q] (3.66) com ζST = − ΛST 64π2 SST0 (xT ) 2m2 S (3.67) Enfim, ∆mST ℵ (3.58) = Re { −5 6 ΛST 64π2 m3 ℵ0f 2 ℵ0 m2 S(mq +ma)2 SST0 (xT ) } (3.68) Impondo que as contribuições do 331 para a variação da massa dos mésons neutros seja menor que a do MP | ∑ S,T ∆mST ℵ | < ∆mMP ℵ (3.69) teremos | ∑ S,T ∆mST ℵ | < Re { G2 Fm 2 Wmℵ0 6π2 F0f 2 ℵ0 } (3.70) Vamos aplicar a expressão acima para o caso mais simples em que somente um diagrama de caixa do 331, com partículas internas χ++ e J , seja considerado na mistura do méson K0. Abaixo seque uma tabela para os valores das constantes em (3.68) e (3.69) com suas respectivas referências: 43 3. Processos ∆F = 2 ∆mMP K 3.484 · 10−15 GeV [12] fK0 0.155 GeV [12] mK0 0.498 GeV [12] md 4.8 · 10−3 GeV [12] ms 0.095 GeV [12] ΛχJ 8.98 · 10−4 · g4 J [8] Tabela 3.1.: Constantes necessárias para a aplicação de (3.69) na mistura K0 − K̄0. A função SST0 é apresentada na figura 3.5. Supondo que as massas do escalar χ++ e do quark exótico J sejam tais que SχJ0 ocorra em seu máximo valor, dado por xJ ∼= 1, teremos xJ ∼= 1→ SχJ0 (1) = 0.17 (3.71) Figura 3.5.: Função SST0 . Substituindo (3.71) e os valores da tabela 3.1 em (3.69) podemos assumir gJ ∼= 0.122 (3.72) Finalmente, mJ = vχgJ → mJ > 62.47GeV (3.73) em que foi utilizado o resultado vχ > 510 GeV [8]. 44 4 Conclusões O modelo 331 redistribui os férmions do Modelo Padrão em tripletos e anti-tripletos de SU(3)L, o grupo de simetria do setor de mão-esquerda. Surgem, portanto, quarks exóticos (j1, j2, J) e novos campos de Higgs (η, ρ, χ), assim como novos bósons de gauge neutros e carregados. A presença do Z ′ neutro e a natureza de SU(3)L ⊗ U(1)X fará com que processos FCNC ocorram à nível de árvore com contribuições sempre menores que as do MP. Diagramas de caixa adicionais para a mistura de mésons neutros determinam limites para as massas das partículas do modelo. De K0 − K̄0, por exemplo, é possível obter mJ > 62.47 GeV segundo a consideração mJ ∼= mχ. 45 A Apêndice Para a composição das seções abaixo, as principais referências utilizadas foram [13], [14] e [10]. A.1. Notações Embora a maior parte da notação adotada esteja justificada ou implícita no contexto em que se faz necessária, esta seção reafirma alguns dos símbolos presentes no trabalho. • Letras em negrito representam 3-vetores. Por exemplo, xµ = (x0,x) • Letras gregas maiúsculas representam n-pletos de isospin. Para um isospinor de SU(n) na representação fundamental podemos ter Ψ ≡  ψ1 ... ψn  • Matrizes n× n são denotadas por letras maiúsculas A,B,C, ... • Soma implícita é feita sobre índices repetidos (gregos ou não) sempre que não haja menção ao contrário. 46 A. Apêndice • Os projetores são definidos como γL ≡ 1 2 (1− γ5), γR ≡ 1 2 (1 + γ5) ou seja, ψL ≡ γLψ, ψR ≡ γRψ ψ̄L = ψ†Lγ0 = ψ̄γR ψ̄R = ψ†Rγ0 = ψ̄γL A.2. Parametrização de Feynman O termo abaixo kµkν [k2 + 2kαPα −M2 + iε]n pode ser dado a partir de kµkν [k2 + 2kαPα −M2 + iε]n = 1 4(n− 2)(n− 1) ∂Pν∂Pµ [ 1 [k2 + 2kαPα −M2 + iε](n−2) ] Nosso principal interesse será calcular integrais do tipo Iµν = ∫ d4k (2π)4 kµkν [k2 + 2kαPα −M2 + iε]n cujo volume de integração seja todo espaço. Essa condição permite a seguinte transformação∫ d4k (2π)4 1 [k2 + 2kαPα −M2 + iε](n−2) ⇒ ∫ d4k (2π)4 1 [k2 − (P 2 +M2) + iε](n−2) com pólos em k0 = ±[ √ |k|2 + P 2 +M2 − iε0] A analiticidade do integrando no primeiro e terceiro quadrante do plano complexo justifica a chamada rotação de Wick k0 → ik0 E ∴ ∫ d4k (2π)4 1 [k2 − (P 2 +M2) + iε](n−2) → i ∫ d4kE (2π)4 1 [k2 E + ∆](n−2) (A.1) 47 A. Apêndice com k2 E = k2 0E + k2 1E + k2 2E + k2 3E ∆ = P 2 +M2 A prescrição iε no lado direito de (A.1) não se faz necessária, já que o integrando é positivo. Enfim, Iµν = i 4(n− 2)(n− 1) ∂Pν∂Pµ ∫ d4kE (2π)4 1 [k2 E + ∆](n−2) = i 2(n− 1)(2π)4 ∫ dΩ3 ∫ ∞ 0 dkE { 2(n− 1) P µP ν [k2 E + ∆]n − gµν [k2 E + ∆]n−1 } k3 E ∫ ∞ 0 dkE k3 E [k2 E + ∆]m = 1 2 ∫ ∞ ∆ du u−∆ um = 1 2 [ u2−m 2−m −∆ u1−m 1−m ] ∣∣∣∞ ∆ = ∆2−m 2 1 (1−m)(2−m) , m > 2 Portanto, Iµν = iΩ3 2(n− 1)(n− 2)(2π)4 1 ∆n−2 { P µP ν − ∆ 2 gµν n− 3 } (A.2) O termo referente ao ângulo sólido pode ser encontrado à partir da integral Gaussiana In = ∫ ∞ −∞ dx1 · · · dxne−(x21+···+x2n) = πn/2 ou In = ∫ dΩn−1 ∫ ∞ 0 dr rn−1e−r 2 = 1 2 Ωn−1 ∫ ∞ 0 du u n−2 2 e−u = 1 2 Ωn−1Γ (n 2 ) ∴ Ωn−1 = 2π n 2 Γ ( n 2 ) (A.3) Seguindo os mesmos passos anteriores é possível demonstrar que I0 ≡ ∫ d4k (2π)4 1 [k2 + 2kαPα −M2 + iε]n = iΩ3 2(n− 1)(n− 2)(2π)4 1 ∆n−2 (A.4) 48 A. Apêndice A parametrização de Feynman consiste em utilizar a identidade abaixo 1 a1a2 · · · an = (n− 1)! ∫ 1 0 dx1 ∫ 1 0 dx2 · · · ∫ 1 0 dxn δ(1− ∑n i=1 xi) [ ∑n i=1 aixi] n a fim de reescrever expressões usuais que surgem nos cálculos de diagramas envolvendo loops, como na mistura de mésons neutros. A integração sobre a função δ implica em 1 a1a2 · · · an = (n− 1)! ∫ 1 0 dx1 ∫ 1−x1 0 dx2 · · · ∫ 1−x1−···−xm−2 0 dxn−1 × 1 [x1a1 + · · ·+ xn−1an−1 + (1− x1 − · · · − xn−1)an]n Considere o caso n = 3. A expressão acima fornece 1 a1a2a3 = 2 ∫ 1 0 dx1 ∫ 1−x1 0 dx2 × 1 [x1a1 + x2a2 + (1− x1 − x2)a3]3 Derivando com relação à a2 1 a1a2 2a3 = 6 ∫ 1 0 dx1 ∫ 1−x1 0 dx2 × x2 [x1a1 + x2a2 + (1− x1 − x2)a3]4 (A.5) A.3. Transformações de Fierz As transformações de Fierz permitem expressar qualquer produto de bilineares do tipo (q̄1ΓIq2)(q̄3ΓJq4) como combinações de produtos em diferentes sequências de spinores. O objetivo desta seção é determinar uma matriz de transformação que permita relacionar produtos do tipo (q̄1Γiq2)(q̄3Γjq4) em diferentes combinações de spinores qk. As matrizes de Dirac serão denotadas por: Γ1 S ≡ I Γ1 V , . . . ,Γ 4 V ≡ γµ Γ1 T , . . . ,Γ 6 T ≡ σµν , (µ < ν) Γ1 A, . . . ,Γ 4 A ≡ iγµγ5 Γ1 P ≡ γ5 49 A. Apêndice com σµν = i 2 [γµ,γν ] γ5 = iγ0γ1γ2γ3 e a definição para a métrica {γµ, γν} = 2gµνI (A.6) gµν = diag(+1,−~1) Os índices de Lorentz serão denotados por letras minúsculas enquanto índices de Dirac (S,V,T,A,P) serão denotados por letras maiúsculas, além de seguirem a convenção abaixo: • Indices de Lorentz repetidos→ notação de Einstein (soma implícita); • Indices de Dirac→ soma explícita. As seguintes relações serão úteis: γµγαγµ = −2γα (A.7) Demonstração: γµγαγµ = γµγαγµ + γαγµγµ − γαγµγµ = {γµ, γα}γµ − γαγµγµ (A.6) = 2gµαγµ − 4γα = −2γα � γµσαβγµ = 0 (A.8) Demonstração: 2 i γµσαβγµ = γµ[γα, γβ]γµ + γαγµγβγµ − γαγµγβγµ − −γβγµγαγµ + γβγµγαγµ = {γµ, γα} γβγµ − { γµ, γβ } γαγµ − γαγµγβγµ + γβγµγαγµ (A.6),(A.7) = 0 � 50 A. Apêndice σµνσµν = 12I (A.9) Demonstração: σµνσµν = −1 4 gµαgνβ(γµγνγαγβ − γµγνγβγα − γνγµγαγβ + γνγµγβγα) = −1 4 gµαgνβ(2γµγν { γα, γβ } − 2γµ { γβ, γν } γα + +2γµσβνγα + {γµ, γν}σβα) = −1 4 gµαgνβ(4gαβγµγν − 4γµgβνγα + 2γµσβνγα + 2gµνσβα) = −1 4 (4γνγ ν − 16γαγ α) = 12I � De A.7, A.8 e A.9, Tr(ΓI rΓJq) = 4δIJδ r q (A.10) Com isso é possível escrever: ΓI qΓJ sΓIq = fIJΓJ s logo, (ΓJsΓJ s)fIJ = (ΓJsΓI qΓJ sΓIq) Tr(ΓJsΓJ s)fIJ = Tr(ΓJsΓI qΓJ sΓIq) de A.10: Tr(ΓJsΓJ s) = 4NJ onde NJ é o número de elementos do índice J de Dirac (por exemplo, se J = T , NJ = 6): ∴ fIJ = 1 4NJ Tr(ΓJsΓI qΓJ sΓIq) (A.11) Para que a expressão matricial envolvendo os quadrilineares se torne evidente, será adotada a seguinte definição: bilineares : eI r(12) = q1ΓI rq2 quadrilineares : eI(1234) = n2 IeI r(12)eIr(34) com nI =  1 I = S,V,P −i I = A√ 2 I = T 51 A. Apêndice ou seja, eS(1234) = (q1q2)(q3q4) eV (1234) = (q1γ µq2)(q3γµq4) eT (1234) = (q1σ µνq2)(q3σµνq4) µ, ν = 1, . . . ,4 eA(1234) = (q1γ µγ5q2)(q3γµγ5q4) eP (1234) = (q1γ5q2)(q3γ5q4) As transformações de Fierz, portanto, fornecem a relação entre eI(1234) e eJ(1432) como eI(1234) = ∑ J FIJeJ(1432) e o objetivo passa a ser determinar a matriz FIJ . Para isso serão utilizadas as seguintes relações fundamentais: 1. Relação de fechamento Qualquer matriz M pode ser expandida por ΓI r: M = ∑ I mIrΓI r Aplicando ΓJs e tomando o traço, Tr(MΓJs) (A.10) = ∑ I mIr4δIJδ r s ⇒ mJs = 1 4 Tr(MΓJs) ∴ M = 1 4 ∑ I ΓI rTr(MΓIr) Em termos de componentes da matriz M (soma implícita sobre índices repetidos de componentes da matriz ): Mad = ∑ I (ΓI r)ad(ΓIr)cbMbc ∴ 1 4 ∑ I (ΓI r)ad(ΓIr)cb = δabδcd (A.12) 2. Propriedade das matrizes Γ ΓI qΓJ r = αΓK s (α = cte) (A.13) que pode ser demonstrada por inspeção. 52 A. Apêndice Multiplicando A.12 por (ΓI q)a′a(ΓIq)c′c: (ΓI q)ab(ΓIq)cd (A.13) = ∑ K CIK(ΓK r)ad(ΓKr)cb (A.14) Aplicando (ΓJs)da(ΓJ s)bc na expressão acima: (ΓJs)da(ΓI q)ab(ΓJ s)bc(ΓIq)cd = ∑ K CIK(ΓK r)ad(ΓJs)da(ΓJ s)bc(ΓKr)cb ∴ CIJ (A.10) = 1 16NJ Tr(ΓJsΓI qΓJ sΓIq) (A.11) = 1 4 fIJ (A.15) de A.14: eI q(ab)eIq(cd) = ∑ K CIKeK r(ad)eKr(cb) eI(abcd) nI2 = ∑ K CIK eK(adcb) nK2 ∴ FIJ = nI 2 nJ2 CIJ As propriedades A.7, A.8 e A.9 aplicadas em A.15, enfim, fornecem: F = 1 4  1 1 1 2 −1 1 4 −2 0 −2 −4 12 0 −2 0 12 −4 −2 0 −2 4 1 −1 1 2 1 1  (A.16) A.4. D0 − D̄0 O mésonD0 é composto pelos quarks (uc̄). Como o diagrama dominante na misturaD0−D̄0 é composto por quarks leves (d e s) se comparados ao quark c, a aproximação de momento nulo para as partículas externas não pode mais ser considerada. Nesta seção iremos montar a expressão geral para a amplitude referente ao diagrama de caixa do mésonD, sem desprezarmos os momentos dos quarks de sua composição. Em uma segunda etapa, a fim de simplicarmos alguns cálculos, vamos expor os elementos da matriz CKM presentes em cada vértice e eliminar pequenas contribuições. Como resultado, o operador efetivo irá apresentar um termo adicional em relação às Hamiltonianas para os mésons K,Bs e Bd. 53 A. Apêndice Os momentos internos serão denotados por k13 ≡ k + p3 − p1 k4 ≡ k + p4 k3 ≡ k + p3 As expressões para os operadores serão (ver (3.13)), FW+W− = ū(p3)γµγL[i(��k +mα)][Pµν(k3)]γλγLv(p4) IW+W− = v̄(p2)γεγL[i(��k13 +mβ)][Pλε(k4)]γνγLu(p1) FW+φ− = ū(p3)γµγL[i(��k +mα)][Pµν(k3)] ( mc mW γR − mα mW γL ) v(p4) IW+φ− = v̄(p2) ( mu mW γL − mβ mW γR ) [i(��k13 +mβ)] [ i Ag(k4) ] γνγLu(p1) Fφ+W− = ū(p3) ( mu mW γL − mα mW γR ) [i(��k13 +mα)] [ i Ag(k3) ] γλγLv(p4) Iφ+W− = v̄(p2)γεγL[i(��k13 +mβ)][Pλε(k4)] ( mc mW γR − mβ mW γL ) u(p1) Fφ+φ− = ū(p3) ( mu mW γL − mα mW γR ) [i(��k +mα)] [ i Ag(k3) ]( mc mW γR − mα mW γL ) v(p4) Iφ+φ− = v̄(p2) ( mu mW γL − mβ mW γR ) [i(��k13 +mβ)] [ i Ag(k4) ]( mc mW γR − mβ mW γL ) u(p1) É possível ainda obter algumas simplificações, (F · I)W+W− = − {ū(p3)γµγργλγLv(p4) }kρ[Pµν(k3)][Pλε(k4)]kη13 {v̄(p2)γεγηγνγLu(p1) } (F · I)W+φ− = { mc mW ū(p3)γµγργRv(p4)kρ − m2 α mW ū(p3)γµγLv(p4) } [Pµν(k3)] × { mu mW v̄(p2)γηγνγLu(c)kη13 − m2 β mW v̄(p2)γνγLu(p1) }[ i Ag(k4) ] (F · I)φ +W− = { mu mW ū(p3)γργλγLv(p4)kρ − m2 α mW ū(p3)γλγLv(p4) }[ i Ag(k3) ] × { mc mW v̄(p2)γεγηγRu(p1)kη13 − m2 β mW v̄(p2)γεγLu(p1) } [Pλε(k4)] 54 A. Apêndice (F · I)φ +φ− = {{ mumc m2 W ū(p3)γργRv(p4)kρ − mum 2 α m2 W ū(p3)γLv(p4) } + + { m2 α m2 W ū(p3)γργLv(p4)kρ − mcm 2 α m2 W ū(p3)γRv(p4) }}[ i Ag(k3) ] × {{ mumc m2 W v̄(u)γηγRu(p1)kη13 − mum 2 β m2 W v̄(u)γLu(p1) } + + { m2 β m2 W v̄(p2)γηγLu(p1)kη13 − mcm 2 β m2 W v̄(p2)γRu(p1) }}[ i Ag(k4) ] A partir deste ponto começaremos a discutir aproximações que permitam simplificar ao máximo as expressões acima sem, no entanto, sacrificarmos a validade do resultado final para a amplitude. A primeira observação será a seguinte - os operadores representando diagramas com Golds- tones envolvem as seguintes razões entre as massas dos quarks mcmu m2 W , mum 2 α m2 W , mcm 2 α m2 W , m2 αm 2 β m2 W , m2 α m2 W De acordo com os dados apresentados em [12] os limites superiores para os termos acima são mcmu m2 W < 6.5× 10−7 mum 2 α m2 W < 5.1× 10−8 GeV, α = d,s mcm 2 α m2 W < 2.0× 10−5 GeV, α = d,s m2 αm 2 β m2 W < 1.5× 10−8 GeV2, α, β = d,s m2 α m2 W < 1.5× 10−6, α = d,s Iremos assumir, portanto, que a contribuição dos operadores cujos coeficientes sejam os termos acima serão desprezíveis quando comparados ao diagrama envolvendo W±. Resta ainda avaliar o caso para quarks do tipo b como partículas internas, já que a razão m2 αm 2 b m2 W < 0.04, α = d,s,b pode ser relevante. Todos os termos envolvendo b, no entanto, estarão acompanhados dos 55 A. Apêndice elementos da matriz CKM correspondente, cujos módulos são dados por |Vub| = 0.00347+0.00016 −0.00012 |Vcb| = 0.0410+0.00011 −0.0007 Com isso faremos a aproximação complementar de desprezar razões envolvendo a massa do quark b, o que implica em eliminar a contribuição dos Goldstones como partículas internas. Por último, os 4-momentos dos quarks externos tipo-u serão nulos assim como os 3- momentos dos quarks tipo-c, ou seja, p2 = p3 = 0, p1 = p4 = (mc,0) k13 = k − p1 ≡ k1, k4 = k1, k3 = k No gauge de Feynman, ξW = 1, teremos (F · I)W+W− = {ū(p3)γµγργλγLv(p4)}kρkη1 {v̄(p2)γλγηγ µγLu(p1)} [ 1 AW(k) ] [ 1 AW(k1) ] Substituindo em (3.13) iM(1) = ( g4 4 )∑ α,β λαλβ ∫ d4k (2π)4 kρk η 1 Aα(k)Aβ(k1)AW(k)AW(k1) {ū(p3)γµγργλγLv(p4)} {v̄(p2)γλγηγµγLu(p1)} (A.17) A expressão final para a amplitude referente ao diagrama 1 será iM(1) = g4 ∑ α,β λαλβ ∫ d4k (2π)4 kρk η 1 Aα(k)Aβ(k1)AW(k)AW(k1) {ū(p3)γηγLv(p4)} {v̄(p2)γργLu(p1)} (A.18) Para o diagrama 2, fazendo as mesmas considerações do caso anterior, teremos iM(2) = ( g4 4 )∑ α,β λαλβ ∫ d4k (2π)4 kρk η 1 Aα(k)Aβ(k1)AW(k)AW(k1) {ū(p3)γµγηγµγLv(p4)} {v̄(p2)γνγ ργνγLu(p1)} (A.19) Da identidade γµγηγµ = −2γη 56 A. Apêndice segue que iM(2) = g4 ∑ α,β λαλβ ∫ d4k (2π)4 kρk η 1 Aα(k)Aβ(k1)AW(k)AW(k1) {ū(p3)γηγLv(p4)} {v̄(p2)γργLu(p1)} (A.20) idêntica à (A.18). Efetuando as integrações envolvidas (ver A.2) a amplitude pode ser reescrita como iM = ig4 16π2 ∑ α,β λαλβ × {[ gµν 2 {ū(p3)γµγLv(p4)}{v̄(p2)γνγLu(p1)} ] Cαβ 1 + + [P µ 1 P ν 1 {ū(p3)γµγLv(p4)}{v̄(p2)γνγLu(p1)}]Cαβ 1 } (A.21) Finalmente, da equação de Dirac, iM = ig4 16π2 ∑ α,β λαλβ × {[ gµν 2 {ū(p3)γµγLv(p4)}{v̄(p2)γνγLu(p1)} ] Cαβ 1 + + [ m2 c{ū(p3)γLv(p4)}{v̄(p2)γLu(p1)} ] Cαβ 2 } (A.22) Os cálculos envolvendo a inserção do vácuo sobre os dois operadores da expressão acima foram feitos em 3.1.1 e 3.2.1. As constantes Cαβ 1 e Cαβ 1 envolvem complicadas integrais nos parâmetros de Feynman e são dadas em [15]. 57 Referências Bibliográficas [1] J. L. Rosner, Resource Letter SM − 1: The standard model and beyond (Am. J. Phys. 71, 302, 2003). [2] T. Morii, C. S. Lim, S. N. Mukherjee, The Physics of the Standard Model and Beyond (World Scientific, 2004). [3] Q. Ho-Kim, P. X. Yem, Elementary particles and their interactions - Concepts and Phenomena (Springer, 1998). [4] T.-P. Cheng, L.-F. Li, Gauge Theory of Elementary Particle Physics (Oxford Science Publications, 1982). [5] (https://www.kvi.nl/∼loehner/saf_seminar/2010/book_ssaf_marcel.pdf). [6] A. J. Buras, F. D. Fazio, J. Girrbach, M. V. Carlucci, The anatomy of quark flavour observables in 331 models in the flavour precision era (Journal of High Energy Physics, 10.1007, 2013, 2012). [7] A. G. Dias, J. C. Montero, V. Pleitez, Closing the SU(3)L ⊗ U(1)X Symmetry at Elec- troweak Scale (Physical Review D 73,113004, 2006). [8] A. Machado, J. Montero, V.Pleitez, FCNC in the minimal 3 − 3 − 1 model revisited (arXiv:1305.1921, 2013). [9] J. Urban, F. Krauss, G. Soff, Influence of external momenta in K0K̄0 and B0B̄0 mixing (Nucl. Part. Phys. 23, 1997). [10] G. Branco, L. Lavoura, J. Silva, CP Violation (Clarendon Press Oxford, 1999). [11] T. Inami, C. Lim, Effects of superheavy quarks and leptons in low-energy weak processes KL → µµ̄, K+ → π+νν̄ and K0 − K̄0 (Progress of theoretical physics 65, 1981). [12] P. D. Group, Particle Physics Booklet (2012). [13] J. C. Romão, Modern Techniques for One-Loop Calculations (Instituto Superior Técnico Lisboa, Portugal, 2004). [14] J. F. Nieves, P. B. Pal, Generalized Fierz identities (Am. J. Phys. 72, 1100, 2004). [15] A. Datta, D. Kumbhakar, D0D̄0 Mixing: A possible test of physics beyond the standard model (Zeitschritt fur Physic C 27, 1985). 58 Agradecimentos Resumo Abstract Lista de Figuras O Modelo Padrão das Interações Eletrofracas Grupos de gauge: U(1) e SU(2) Teorema de Goldstone e Mecanismo de Higgs Léptons e Quarks Léptons Quarks Extensões do Modelo Padrão O Modelo 331 mínimo Processos F = 2 Modelo Padrão Inserção do vácuo m Modelo 331 mínimo Inserção do vácuo m Conclusões Apêndice Notações Parametrização de Feynman Transformações de Fierz D0 - 0 Referências Bibliográficas