
Cláudio Henrique Cerqueira Costa Basquerotto

Aplicações das Simetrias de Lie na Dinâmica

de Sistemas Mecânicos

Ilha Solteira

2018


UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO”

FACULDADE DE ENGENHARIA

CAMPUS DE ILHA SOLTEIRA

Cláudio Henrique Cerqueira Costa Basquerotto

Aplicações das Simetrias de Lie na Dinâmica de

Sistemas Mecânicos

Tese de Doutorado apresentada à Faculdade
de Engenharia Campus de Ilha Solteira -
Unesp como parte dos requisitos para obten-
ção do t́ıtulo de Doutor em Engenharia Me-
cânica.
Especialidade: Mecânica dos Sólidos

Orientador: Prof. Samuel da Silva

Coorientador: Prof. Edison Righetto

Ilha Solteira

2018


Agradecimentos

Agradeço primeiramente a Deus por ter me ajudado e me dado forças para chegar

até aqui e pelos milagres e maravilhas que Ele operou e opera na minha vida.

Agradeço também à minha esposa Renata pela força e incentivo que tem me dado

desde o ińıcio dos meus estudos como graduando e pós-graduando. Se não fosse por ela

acho que não conseguiria ter chegado até aqui. A Renata sempre me aconselhou muito e

sempre me deu forças para continuar e persistir por um determinado objetivo. Durante os

seis meses que passamos em Minneapolis, foi minha companheira e auxiliadora em tudo o

que precisei.

À minha famı́lia por ter acreditado em mim, principalmente meus pais Samuel

e Vânia, que sempre depositaram grande confiança me dizendo que o estudo seria uma

grande ferramenta de crescimento para a minha vida. Meu irmão Guilherme por ser um

grande amigo e companheiro para todas as horas que precisei. Minhas avós Antônia, a

qual já não está mais entre nós, e Annahir pelo carinho e aux́ılio prestado em tudo.

Ao professor Samuel da Silva por estes 6 anos de trabalho e amizade. Desde o

ińıcio do mestrado ele vem me mostrando que todo esforço que fazemos no final há sempre

uma recompensa. Vários objetivos da minha vida consegui alcançar graças a ele. Obtive

muitos conhecimentos no mestrado e principalmente no doutorado. Graças ao seu incentivo

conheci outro páıs e abri muitos horizontes novos na minha vida. Sou grato pelo voto de

confiança que ele me deu e espero ter correspondido. Pela sua orientação, hoje possuo uma

visão mais cŕıtica sobre as coisas e sobre pesquisa.

Ao professor Edison Righetto pela amizade e coorientação deste trabalho. Ele

sempre me ajudou a resolver alguns problemas e dificuldades tentando vê-las de uma

maneira mais simples e desta forma facilitar sua compreensão. Agradeço também pelas

vezes que fui recebido e acolhido por ele e por sua esposa Luzia para o desenvolvimento

desta tese e para um almoço de domingo.

Ao professor Peter J. Olver por ter me recebido e me acolhido em Minneapolis

durante o peŕıodo sandúıche que realizei na University of Minnesota e por toda a sua

contribuição direta para o desenvolvimento e finalização desta tese. Agradeço muito ao

Adrián Ruiz Servan pela ajuda no peŕıodo em que fiquei em Minneapolis, por ter me

ensinado a manipular o Maple, aplicar as simetrias de Lie para redução de ordem e pelas

várias conversas que t́ınhamos durante o almoço em Minneapolis para passar as horas.

Ao Bjorn Berntson por ter me ajudado com as funções eĺıpticas de Jacobi e ao Jimmy

Broomfield pelo esclarecimento e contribuição com a parte sobre referencial móvel.


Aos amigos e colegas do Grupo de Materiais e Sistemas Inteligentes (GMSINT) e

filhos do Manuhell pelas ajudas e conversas que em momentos de muito stress foram de

grande proveito para descanso e boas risadas.

À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nı́vel Superior (CAPES) pela

bolsa de estudos que proporcionou dedicação integral ao curso e pelo peŕıodo sandúıche de

6 meses na University of Minnesota.

Ao CNPq Edital Universal Processo 04463/2016-9 que tem como grande objetivo

popularizar as simetrias de Lie no Brasil.

Por fim, agradeço a todos que contribúıram de forma direta e indireta para o

desenvolvimento deste trabalho.


Resumo

Os métodos envolvendo simetria têm grande importância para o estudo das equações

diferenciais decorrentes de áreas como a matemática, f́ısica, engenharia entre muitas outras.

A existência de simetrias em equações diferenciais pode gerar transformações em variáveis

dependentes e independentes que podem facilitar a integração. Em especial, Sophus Lie

desenvolveu no século XIX uma forma de extração de simetrias que podem ser usadas

efetivamente para revelar as integrais primeiras, ou seja, as constantes de movimento, que

muitas vezes podem estar escondidas. Estes invariantes podem em algumas situações ser

identificados pelo teorema de Noether ou a partir de manipulações das próprias equações

com transformações de Lie. Assim, nesta tese foi proposto utilizar as simetrias de Lie

para aplicação em problemas da dinâmica de sistemas mecânicos. As simetrias de Lie

são aplicadas em dois problemas clássicos, primeiro em um pêndulo oscilando em um aro

rotativo e em seguida em um pião simétrico com movimento de precessão estacionária com

um ponto fixo. No primeiro problema foi realizada uma redução de ordem para solução por

quadraturas da equação de movimento. Já no segundo foram mostradas as relações entre

os invariantes e as leis de conservação extráıdas das simetrias de Lie. Uma outra análise

foi realizada através da teoria de referencial móvel, mostrando a possibilidade de outras

aplicações das simetrias de Lie. Uma das aplicações desta teoria, também é a redução

de ordem das equações diferenciais resultantes. Com isso os referenciais móveis foram

calculados para os problemas do pêndulo oscilando em um aro rotativo, pião simétrico e

apresentando uma aplicação em um problema de v́ınculo não-holonomo. A partir disto foi

posśıvel reduzir a ordem das equações e obter a solução anaĺıtica das mesmas. Com isto,

esta tese buscou mostrar a aplicação das simetrias de Lie em problemas de dinâmica de

sistemas mecânicos através de uma linguagem acesśıvel e que motive a outros engenheiros

a se interessarem pelo tema.

Palavras-chave: Simetrias de Lie. Teorema de Noether. Dinâmica de sistemas mecânicos.

Funções eĺıpticas de Jacobi. Moving frames.


Abstract

The methods involving symmetry are of great importance for the study of the differential

equations arising from areas such as mathematics, physics, engineering among many others.

The existence of symmetries in differential equations can generate transformations in

dependent and independent variables that may be easier to integrate. In particular, Sophus

Lie developed in the nineteenth century a form of extraction of symmetries that can be

used effectively to reveal the first integrals, that is, the motion constants, which can often

be hidden. These invariants can in some situations be identified by the Noether theorem

or from manipulations of the equations themselves with Lie transformations. Thus, in this

thesis it was proposed to use the Lie symmetries for application in problems of the dynamics

of mechanical systems. The Lie symmetries are applied in two classic problems, first in

a bead on a rotating wire hoop and then in a symmetric top with stationary precession

with a fixed point. In the first problem, a reduction of order of the equation of motion was

performed by quadratures. In the second one, the relations between the invariants and

the conservation laws extracted from the Lie symmetries were shown. Another analysis

was performed through the theory of moving frames, showing the possibility of other

applications of Lie symmetries. One of the applications of this theory is also the order

reduction of the resulting differential equations. Thus, moving frames were calculated

for the bead on a rotating wire hoop, symmetric top and showing an application in a

nonholonomic problem. From this it was possible to reduce the order of the equations

and to obtain the analytical solution of the same ones. So, this thesis sought to show the

application of Lie symmetries in problems of dynamics of mechanical systems through an

accessible language and that motivate other engineers to take an interest in the subject.

Keywords: Lie symmetries. Noether theorem. Dynamics of mechanical systems. Jacobi

elliptic functions. Moving frames.


Lista de ilustrações

Figura 1 – Fluxograma representativo de como obter os geradores infinitesimais de

forma geral para uma EDO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Figura 2 – Pêndulo oscilando em um aro rotativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Figura 3 – Pião axisimétrico com um ponto fixo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Figura 4 – Construção geométrica do referencial móvel. . . . . . . . . . . . . . . . 48

Figura 5 – Pêndulo simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Figura 6 – Trajetória do homem e do cachorro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Figura 7 – Simetrias no triângulo equilátero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Figura 8 – Rotação de um aro no espaço. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Figura 9 – Circulo unitário. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Figura 10 – Elipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81


Lista de tabelas

Tabela 1 – Geradores infinitesimais do oscilador harmônico. . . . . . . . . . . . . 31

Tabela 2 – Geradores infinitesimais do pião. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Tabela 3 – Geradores infinitesimais do cachorro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Tabela 4 – Tabela de multiplicação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Tabela 5 – Tabela de multiplicação para o triângulo equilátero. . . . . . . . . . . . 77

Tabela 6 – Bibliotecas e comandos do Maple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85


Lista de śımbolos

A Constante de movimento

A Centro de massa

B Base móvel

∗ Operação de um grupo

cn Cosseno eĺıptico

Dt,Dx Derivada total

dn Função eĺıptica de Jacobi

F Funcional

g Aceleração da gravidade

G Grupo

g Mapa exponencial

I Componente do tensor de inércia

I Tensor de inércia

I Base inercial

K Seção transversal

k Rigidez

k Módulo eĺıptico

L Lagrangiana

` Comprimento

M Variedade

m Massa

O Ponto de fixação do pião

q = q(t) Coordenada generalizada

sn Seno eĺıptico


t Variável independente

T Energia potencial

Tθ Matriz de rotação

U ′′ Operador de simetria

V Energia cinética

X Gerador infinitesimal

w, y Novas coordenadas

x, y, z, X, Y e Z Eixos

Letras gregas

β(1) Prolongamento de primeira ordem

β(2) Prolongamento de segunda ordem

β(k) Prolongamento de ordem k

γ Vetor tangente

ε Parâmetro cont́ınuo

θ Ângulo de nutação

θ̇ Velocidade angular de nutação

ψ Ângulo de precessão

ψ̇ Velocidade angular de precessão

φ Ângulo de spin

φ̇ Velocidade angular de spin

α, µ Funções anaĺıticas que realizam transformações

η, ξ Funções infinitesimais

ρ Referencial móvel

Υ Coordenada utilizada para realizar projeção


ω Velocidade angular

ω2 Frequência natural não amortecida

Abreviações

EDO Equação diferencial ordinária

EDP Equação diferencial parcial


Sumário

1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1 Contribuições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Organização do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 APLICAÇÕES DAS SIMETRIAS DE LIE . . . . . . . . . . . . 14

2.1 Simetrias de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Considerações finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA EM SIMETRIAS DE LIE . 25

3.1 Transformação infinitesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2 Geradores infinitesimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3 Prolongamento das transformações e seus geradores . . . . . . . . . . 26

3.4 Teorema de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.5 Redução de ordem utilizando os pontos de simetria na forma caracteŕıstica 28

3.6 Exemplo de aplicação em uma equação diferencial ordinária . . . . . . 29

3.7 Considerações finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4 AS SIMETRIAS DE LIE EM PROBLEMAS DA DINÂMICA 34

4.1 Pêndulo oscilando em um aro rotativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2 Pião Axisimétrico com um ponto fixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.3 Teorema de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.4 Redução de ordem e solução anaĺıtica da equação do movimento do pião 42

4.5 Considerações finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5 AS SIMETRIAS DE LIE NA TEORIA DE REFERENCIAL

MÓVEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.1 Aspectos básicos na teoria de referencial móvel . . . . . . . . . . . . . . 47

5.2 Ação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.3 Ação de um grupo infinitesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.4 Invariância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.5 Referencial móvel de um pêndulo simples . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.6 Utilização de referencial móvel para redução da ordem da equação do

pêndulo oscilando em um aro rotativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52


5.7 Utilização de referencial móvel para redução da ordem da equação do

pião axisimétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.8 Utilização de referencial móvel em um problema de v́ınculos não-holônomos 55

5.9 Considerações finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.1 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.2 Sugestões para trabalhos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

APÊNDICE A – CONCEITOS SOBRE GRUPOS E ÁLGE-

BRA DE LIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

A.1 Definição de grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

A.2 Grupos a parâmetros cont́ınuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

APÊNDICE B – FUNÇÕES ELÍPTICAS DE JACOBI . . . 80

B.1 Funções circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

B.2 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

B.3 Funções eĺıpticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

APÊNDICE C – CÓDIGOS DO MAPLE . . . . . . . . . . . . 85

C.1 Principais comandos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

C.2 Códigos do oscilador harmônico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

C.3 Códigos do pêndulo oscilando em um aro rotativo . . . . . . . . . . . 89

C.4 Códigos do pião simétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96


10

1 Introdução

Muitos problemas encontrados em ciência podem ser descritos por equações dife-

renciais que precisam ser resolvidas ou aproximadas por métodos anaĺıticos ou numéricos

de integração (ROYCHOWDHURY, 2001; SCHUNCK et al., 2012; AKBULUT; TASCAN,

2017). Com isto, em meados do século XIX, o norueguês Sophus Lie apresentou uma

engenhosa alternativa visando solucionar equações diferenciais usando simetrias que podem

se associar com invariantes ou quantidades conservadas (OLVER, 2007; ARRIGO, 2015).

A grande contribuição original de Lie foi avançar na compreensão da natureza do conceito

de simetria e, assim, ajudar a preparar o cenário para os avanços fundamentais da f́ısica

e da matemática que viriam a ocorrer no século XX. Como resultado do trabalho de

Lie, diversos métodos de integração para a resolução de classes especiais de equações

diferenciais foram desenvolvidos ou unificados de forma elegante. Importante destacar que

antes do trabalho de Lie, os métodos conhecidos para solução de equações diferenciais

eram extremamente dispersos e espećıficos com pouco ou quase nenhuma generalidade ou

unificação de conceitos.

Uma simetria de um sistema de equações diferenciais é um conjunto de transforma-

ções que mapeiam qualquer solução para outra solução do sistema, mantendo-a invariante

(BOYKO; POPOVYCH; SHAPOVAL, 2013; CAI; FU; GUO, 2017). Tais transforma-

ções são grupos que dependem de parâmetros cont́ınuos e consistem em transformações

pontuais, também conhecidas como simetrias pontuais, atuando no espaço do sistema

de variáveis dependentes e independentes, bem como em todas as derivadas envolvendo

as variáveis dependentes (CANTWELL, 2002). Exemplos elementares de grupos de Lie

incluem as translações, rotações e escalonamento que podem ser feitos corriqueiramente em

algumas equações diferenciais. Porém, outras simetrias não triviais também são posśıveis

de existirem.

Já no ińıcio do século XX, a matemática Emmy Noether forneceu a conexão entre

grupos de simetrias de Lie de um sistema de equações diferenciais e leis de conservação

(CANDOTTI; PALMIERI; VITALE, 1972; LUTZKY, 1979; KOSMANN-SCHWARZBACH,

2011). O teorema de Noether diz respeito à invariância de um problema variacional1 sob a

ação de um grupo de Lie com um número finito de geradores infinitesimais independentes,

que é a situação t́ıpica na mecânica clássica e na relatividade especial (ESTEVEZ et al.,

2016). Neste teorema, Emmy Noether formulou com completa generalidade a correspon-

1 As equações da mecânica clássica e relativ́ıstica e da f́ısica são obtidas exigindo que uma integral de
ação associada a uma lagrangiana que descreva o sistema, seja extrema. Tais equações são chamadas
equações variacionais ou equações de Euler-Lagrange. Pode-se dizer que elas derivam de um prinćıpio
variacional, também chamado de prinćıpio de ação. Elas expressam a anulação da derivada variacional,
também denominada derivada de Euler-Lagrange ou diferencial de Euler-Lagrange da lagrangiana.


11

dência entre as simetrias de um problema variacional e as leis de conservação para as

equações variacionais associadas (MARTINS; TORRES, 2010; JIA; WU; MEI, 2016). As

relações entre simetria e invariância são fundamentais na f́ısica e aparecem em todas as

áreas a partir de prinćıpios de conservação (FU; CHEN, 2004). Um caso particular, é a

obtenção de leis de conservação a partir da aplicação do Teorema de Noether2 em sistemas

de equações diferenciais variacionais descritos por uma lagrangiana (MARTINS, 1999;

KOSMANN-SCHWARZBACH, 2011; FENG et al., 2017). Em um único artigo, Noether

publicou suas descobertas envolvendo a relação crucial entre simetrias e constantes se

conservando, bem como o impacto de simetrias nas equações de movimento.

Vários autores mostram que algumas classes de equações diferenciais geradoras

de simetria de Lie também são simetrias de Noether, ou seja, estão associadas com a

propriedade bem conhecida envolvendo os prinćıpios de conservação de energia, conservação

de momento linear e conservação de momento angular (FREIRE; SILVA; TORRISI, 2013;

FREIRE; SILVA, 2013; ZHAI; ZHANG, 2017). Sabe-se que uma simetria de Lie também

é uma simetria de Noether se há a conservação da ação integral (FU; CHEN, 2003).

No entanto, existem casos em que uma simetria de Noether não é uma simetria de Lie

(YUEYU, 1994). Os contra-exemplos mais comuns são dados por grupos de transformação

de escala (OLVER, 1986).

Assim, o conhecimento de grupos de transformações de Lie de um sistema de

equações diferenciais pode ser usado, por um lado, para reduzir a ordem ou, em alguns

casos, reduzir as próprias equações diferenciais, tanto ordinárias quanto parciais, para uma

quadratura3 (CARUSO, 2008; MOUCHET, 2016). Outra posśıvel aplicação das simetrias

de Lie, é na teoria de referencial móvel (moving frames), podendo-se produzir novos

algoritmos para resolver problemas de simetria básica e equivalência de polinômios que

formam o alicerce da teoria invariante clássica. Este método pode fornecer uma maneira

sistemática para a construção de aproximações de preservação de simetria de invariantes

diferenciais por invariantes diferenciais conjuntos e invariantes conjuntos em problemas de

mecânica e dinâmica de sistemas mecânicos.

1.1 Contribuições

Esta tese busca contribuir com os seguintes aspectos:

• Popularizar o estudo e a utilização das simetrias de Lie na comunidade cient́ıfica

brasileira através de uma abordagem clara e objetiva.

2 O trabalho magistral de Emmy Noether, (NOETHER, 1918), completa 100 anos em 2018.
3 Por quadratura se entende uma integral com resultado inverso conhecido por funções elementares ou
especiais, por exemplo funções eĺıpticas de Jacobi.


12

• Realizar redução de ordem para solução por quadraturas de equações de movimento.

Este resultado foi publicado em Basquerotto, Righetto e Silva (2018b).

• Mostrar relações entre invariantes e leis de conservação extráıdas de simetrias de Lie.

Como resultado desta parte da tese se destaca o artigo publicado em Basquerotto,

Righetto e Silva (2018a).

• Aplicar a teoria de referencial móvel na obtenção de simetrias de Lie para a solução

de problemas envolvendo dinâmica de sistemas mecânicos, em especial em problemas

com v́ınculos não-holonômos. Estes resultados estão sendo preparados para submissão

para o periódico Acta Mechanica.

1.2 Objetivo

Aplicar as simetrias de Lie em problemas de dinâmica de sistemas mecânicos para

redução da ordem de EDOs, obtenção de soluções anaĺıticas e de leis de conservação e

na teoria de referencial móvel para obtenção de referencial móvel e redução de ordem de

EDOs em problemas da dinâmica de sistemas mecânicos.

1.3 Organização do trabalho

Este trabalho está organizado nos seguintes caṕıtulos:

• Caṕıtulo 1 - Introdução: Apresentação da motivação, contribuições e objetivos

da presente tese.

• Caṕıtulo 2 - Aplicações das Simetrias de Lie: Revisão básica da literatura

mostrando o surgimento e aplicação das simetrias em diversas classes de problemas

de mecânica descritos por equações diferenciais.

• Caṕıtulo 3 - Fundamentação Teórica em Simetrias de Lie: Descrição do

embasamento teórico utilizado neste trabalho, apresentando as definições básicas

na teoria de grupos, em especial dos grupos cont́ınuos e as simetrias de Lie, além

de focar nas caracteŕısticas das transformações infinitesimais que podem ser feitas

para se aplicar e encontrar invariantes, permitindo redução de ordem, linearização

ou mesmo separação de variáveis com solução completa de equações diferenciais por

quadraturas.

• Caṕıtulo 4 - As simetrias de Lie em Problemas de Dinâmica: Ilustra a

aplicação das simetrias de Lie para solução de dois problemas clássicos da dinâmica

de sistemas mecânicos: um pêndulo oscilando em um aro rotativo e um pião simétrico

em movimento de precessão estacionária.


13

• Caṕıtulo 5 - As Simetrias de Lie na Teoria de referencial móvel: Apresenta

a teoria de álgebra e grupos de Lie e seu uso na teoria de referencial móvel. Uma das

grandes aplicações desta teoria envolve a redução de ordem e obtenção de soluções

anaĺıticas de EDOs. Três exemplos são ilustrados neste caṕıtulo incluindo entre eles

um problema em vinculo não-holônomo.

• Caṕıtulo 6 - Considerações Finais: Este caṕıtulo apresenta as conclusões finais

sobre a presente tese com propostas para desenvolvimento de trabalhos futuros.

Além disto, dois apêndices são apresentados versando sobre os tópicos complemen-

tares:

• Apêndice A - Conceitos sobre grupos e álgebra de Lie: Este apêndice visa

trazer uma introdução sobre conceitos de grupos e álgebra de Lie. Algumas ideias de

grupos, grupos discretos e cont́ınuos são apresentadas neste apêndice.

• Apêndice B - Funções eĺıpticas de Jacobi: Este apêndice é um complemento

do Caṕıtulo 4 a fim de fornecer ao leitor não familiarizado uma melhor compreensão

sobre a aplicação das funções eĺıpticas de Jacobi.

• Apêndice C - Códigos do Maple: Apresenta os códigos utilizados nos exemplos

resolvidos nesta tese para cálculo das simetrias de Lie, redução de ordem e integração

das equações através das funções eĺıpticas de Jacobi.


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2 Aplicações das Simetrias de Lie

Este caṕıtulo apresenta uma revisão sucinta da literatura sobre a definição e a

utilidade das simetrias de Lie. Primeiramente é feita uma apresentação sobre o que são as

simetrias de Lie e quais são as principais propriedades e aplicações. Posteriormente são

apresentados e discutidos diferentes exemplos de uso em áreas das mais diversas posśıveis,

como dinâmica de fluidos, transferência de calor e massa, mecânica dos sólidos, redução de

ordem de equações diferenciais, além de usos recentes na teoria de referencial móvel. Por

fim, as considerações finais são sumarizadas ao final do caṕıtulo.

2.1 Simetrias de Lie

Quando se tem o primeiro contato com equações diferenciais em cursos introdutórios,

são apresentadas as mais variadas técnicas especiais designadas para resolver certos tipos

de equações particulares, tais como: as separáveis, as homogêneas e as exatas, sendo que a

maioria das técnicas parecem ter pouca ou nenhuma ligação ou estrutura lógica (OLVER,

1986; ERDMANN; WILDON, 2006). Isto motivou a descoberta do norueguês Marius

Sophus Lie, no final do século XIX, de que todos os procedimentos gerais de integração,

se baseiam na invariância de equações diferenciais sob um grupo cont́ınuo de simetrias 1

(LIE, 1881; LIE; SCHEFFERS, 1891). O conceito de simetria está ligado a um tipo de

invariância com uma propriedade de que algo não muda sob um conjunto de transformações

(PLEITEZ, 1979; LIVIO, 2006).

Esta observação ao mesmo tempo unificou e expandiu significativamente as técnicas

de integração dispońıveis naquele tempo, e inspirou Lie a dedicar o restante de sua carreira

ao desenvolvimento e aplicação de sua monumental teoria envolvendo grupo cont́ınuos

(OLVER, 1992). Estes grupos, hoje conhecidos como grupos de Lie, tiveram um impacto

profundo em todas as áreas da matemática, tanto pura como aplicada, assim como nas

áreas de f́ısica, engenharia e outras áreas correlatas (BLUMAN, 1990; BAUMANN, 2000;

CARUSO, 2008).

2.2 Aplicações

Uma vez determinado o grupo de simetrias de Lie de um sistema de equações

diferenciais, um número grande de aplicações se torna posśıvel (BLUMAN; KUMEI, 1989).

Para começar, pode-se usar diretamente as simetrias de Lie para a construção de novas

soluções das equações originais (HOSKINS; BLUMAN, 2016). Outra opção, é utilizar os

1 o conceito de grupo cont́ınuo de simetria, é apresentado no próximo caṕıtulo.


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grupos de simetria para a redução de ordem das equações diferenciais de ordem elevada

(MAHOMED; LEACH, 1990). Muitas vezes há uma boa razão f́ısica ou matemática para

preferir essas equações com o maior grau de simetria posśıvel, pois assim, pode-se retirar e

analisar o maior número de informação posśıvel sem necessariamente ter que integrar a

equação diferencial em estudo (BLUMAN; ANCO, 2008). Outra abordagem é determinar

quais tipos de equações diferenciais admitem um grupo de simetrias, podendo-se assim

obter leis de conservação (BOCHAROV; SHCHIK; VINOGRADOV, 1999; CAI; FU; GUO,

2017; FENG et al., 2017).

As aplicações das simetrias de Lie podem ser feitas tanto em equações diferenciais

ordinárias (EDOs), quanto em equações diferenciais parciais (EDPs) (ESTEVEZ et al.,

2016). No caso das equações diferenciais ordinárias, a invariância sob um grupo de sime-

trias implica que pode-se reduzir a ordem da equação para grau um, ou seja, para uma

quadratura (BOYKO; POPOVYCH; SHAPOVAL, 2013; CAMPOAMOR-STURSBERG,

2016a; CAMPOAMOR-STURSBERG, 2016b). Se a EDO ou o sistema de EDOs forem

derivados de um prinćıpio variacional, tais como as equações de Euler-Lagrange, ou um

sistema hamiltoniano, a capacidade de redução de ordem pode ser dobrada (FU; CHEN,

2004; CANTWELL, 2002). Por exemplo, uma EDO de terceira ordem pode ser reduzida

para uma EDO de primeira ordem (HOSKINS; BLUMAN, 2016).

Já para as EDPs ou sistemas de EDPs, os grupos de simetria são geralmente

utilizados para ajudar na determinação de uma famı́lia ou solução geral da equação (NAZ;

MAHOMED; MASON, 2008). As aplicações das simetrias de Lie incluem diversos campos

como: dinâmica dos fluidos, transferência de calor, mecânica dos sólidos, mecânica quântica,

relatividade, controle, redução de ordem, referencial móvel, entre outros (MEI, 2000; ROSA;

BRUZÓN; GANDARIAS, 2015). Segundo autores como Hamermesh (1962) e Marsden e

Ratiu (2010) é imposśıvel estimar toda a contribuição de Lie para a ciência moderna e a

matemática.

2.2.1 Dinâmica de fluidos

As descobertas de Lie levaram algum tempo para serem aceitas e estudadas pela

comunidade cient́ıfica. O assunto inteiro ficou inativo durante quase meio século até que G.

Birkhoff chamou a atenção para algumas aplicações inexploradas dos grupos de Lie para as

equações diferenciais da mecânica de fluidos (OLVER, 1986). Posteriormente, Ovsiannikov

começou um programa sistemático de aplicação, com êxito, desses métodos em uma ampla

gama de problemas envolvendo fluidos. Nos últimos cinquenta anos houve uma verdadeira

explosão de atividades de pesquisa neste campo, tanto nas aplicações para sistemas f́ısicos

concretos, quanto nas extensões do escopo e da profundidade da própria teoria envolvida

na dinâmica de fluidos (OLVER, 1986; BLUMAN; KUMEI, 1989; BAUMANN, 2000).


16

Holm (1976) estudou a dinâmica de fluidos usando prinćıpios de simetria. Uma

técnica de álgebra de invariância que foi originalmente desenvolvida por Lie, foi usada

em seu trabalho para investigar a dinâmica de fluidos não ideais na aproximação via

Navier-Stokes.

As equações para descrição de camada limite laminar tridimensionais instáveis

de um modelo geral de fluidos não-newtonianos foram tratadas por Yürüsoy e Pakdemrl

(1997). Neste modelo, as tensões de cisalhamento foram assumidas como funções arbitrárias

de gradientes de velocidade. Usando a análise do Grupo de Lie, os geradores infinitesimais

aceitos pelas equações foram calculados para estes casos de tensão de cisalhamento arbitrária.

A extensão da álgebra de Lie, para o caso de fluidos newtonianos, também foi apresentada.

Foi considerado um problema de valor de limite geral que modela o fluxo sobre uma

superf́ıcie móvel com aspiração ou injeção. As restrições impostas pelas condições de

fronteira nos geradores foram calculadas. A análise do Grupo de Lie foi aplicada às

equações resultantes e as reduções finais dos sistemas diferenciais comuns foram obtidas.

Hillgarter (2008) apresentou um exemplo da análise de simetria de uma equação de

energia de fluxo de tubulação especial. Neste trabalho foi posśıvel obter várias soluções

da equação que descreve esta dinâmica e observou-se a importância das simetrias de Lie

para determinação de critérios de valor de contorno para equações de energia de fluxo em

tubulações especiais.

Já Razafindralandy, Hamdouni e Sayed (2012) mostraram que os grupos de simetria

de Lie das equações Navier-Stokes não isotérmicas podem ser usados para desenvolver

modelos de turbulência de preservação da f́ısica para o tensor de tensão e o fluxo de calor. As

propriedades teóricas dos modelos foram investigadas. Em particular, sua compatibilidade

com as leis de escala do fluxo foi comprovada. Os autores mostraram também que a

abordagem de simetria pode levar a um método bem mais construtivo para obtenção de

um modelo de turbulência. A forma do modelo e os invariantes não clássicos apareceram

naturalmente sem qualquer outra suposição, além da utilização das simetrias de Lie.

O problema das estat́ısticas de turbulência descritas pela hierarquia Lundgren-

Monin-Novikov (LMN) de equações integro-diferenciais foi estudado em termos de pro-

priedades dos grupos de Lie por Wac lawczyk, Grebenev e Oberlack (2017). Para isso, foi

realizada uma análise através dos grupos de Lie de uma cadeia de LMN truncada apresen-

tando as duas primeiras equações em um conjunto infinito de equações integro-diferenciais

para as funções de densidade de probabilidade envolvendo vários pontos da velocidade.

Um conjunto completo de transformações pontuais foi obtido para as funções de densidade

de probabilidade de um ponto conjuntamente com as variáveis independentes: espaço

amostral de velocidade, espaço e tempo. Desta forma foi posśıvel se encontrar as soluções

exatas das equações envolvidas.


17

No geral, apesar de todo o potencial de aplicação das simetrias de Lie na dinâmica

de fluidos, as aplicações em engenharia ainda são t́ımidas, talvez por não ser um assunto

ainda tanto difundido em literatura mais básica ou usado de forma mais corriqueira no

ensino da dinâmica dos fluidos. Acredita-se que uma popularização na comunidade de

engenharia poderá acontecer nos próximos anos a medida que mais engenheiros tenham

contato com esta teoria.

2.2.2 Transferência de calor

Oron e Rosenau (1986) apresentaram a aplicação das simetrias de Lie para deduzir

as simetrias clássicas da equação do calor não linear, a equação da difusão-convecção

e as equações da onda não linear. Determinadas as simetrias, pôde-se utilizá-las para

procurar uma transformação não-local de uma determinada equação diferencial de modo

que as novas equações obtidas tivessem simetrias diferentes, podendo-se, assim, resolver os

problemas em questão.

Uma análise dos grupos de simetrias de Lie de um sistema acoplado das equações

de calor de Burgers, inicialmente introduzidas em um estudo de soluções de similaridade

não clássicas da equação de calor foi realizada por Webb (1990). Através do cálculo das

simetrias de Lie do sistema, foi mostrado que a análise da estrutura de prolongamento do

sistema produz a transformação Lie-Backlund. Esta transformação pode ser expressa como

um mapa de soluções das duas equações de calor linear acopladas ou, alternativamente,

como um mapa de solução na equação de Burgers.

As simetrias clássicas e não-clássicas da equação de calor não linear descrita por

ut = uxx + f(u) foram consideradas por Clarkson e Mansfield (1994). O método das

caracteŕısticas de Gröbner foi usado tanto para encontrar as condições em f(u) sob as

quais existem simetrias diferentes das simetrias triviais de translação espacial e temporal

quanto para resolver as equações determinantes para os infinitesimais. Uma lista com as

posśıveis reduções de simetria foi apresentada, incluindo algumas novas reduções para a

equação de calor linear assim como uma lista de soluções exatas da equação de calor não

linear.

Budd e Collins (1998) consideraram o problema de Cauchy para a equação de

difusão não-linear, ut = (umux)x que é definida em um domı́nio infinito. A EDP e uma

lei de conservação são invariantes para um grupo de Lie. Usando esses invariantes como

variáveis de similaridade, o problema foi reduzido a uma ODE de segunda ordem e, em

seguida, integrada para dar as bem conhecidas soluções de similaridade.

Dando continuidade ao trabalho de Budd e Collins (1998), Dorodnitsyn e Kozlov

(2003) apresentaram o conjunto de equações a diferenças invariantes e malhas que preservam

as simetrias do grupo de Lie da equação ut = (K(u)ux)x + Q(u), sendo u o campo de


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temperaturas, K(u) o coeficiente de transferência de calor e Q(u) a fonte. Todos os

casos especiais de K(u) e Q(u) que estendem o grupo de simetria admitido pela equação

diferencial foram considerados. Com isso, foi posśıvel reduzir a ordem e integrar a equação

diferencial.

O trabalho de Cimpoiasu e Constantinescu (2008) generalizou os resultados obtidos

da equação de fluxo 2D de Ricci. Os autores investigaram uma forma geral da equação de

calor não-linear 2D e apontaram todos os casos posśıveis em que as simetrias de Lie, as

quantidades invariantes associadas e as soluções de similaridade pudessem aparecer.

Moitsheki e Harley (2011) estudaram a transferência transitória de calor através

de uma aleta longitudinal, de vários perfis. Os coeficientes de condutividade térmica e

transferência de calor foram considerados como dependentes da temperatura. A equação

diferencial parcial resultante encontrada era altamente não linear. Métodos clássicos de

simetria de Lie foram empregados e algumas reduções de ordem foram realizadas e pôde-

se resolver de forma numérica a equação. Com isso, foi posśıvel estudar os efeitos de

parâmetros realistas da aleta, assim como o parâmetro da aleta termogeométrica e o

expoente do coeficiente de transferência de calor na distribuição da temperatura.

Stepanova (2015) mostrou como se obter as formas de difusividade térmica desco-

nhecida, difusão e coeficientes de difusão térmica podem ser encontradas através de grupos

de Lie. As simetrias das equações governantes foram calculadas e uma solução exata foi

obtida.

2.2.3 Problemas em mecânica dos sólidos

No contexto da mecânica dos sólidos, as simetrias de Lie foram aplicadas para

resolver as equações dos problemas de forma anaĺıtica, formular leis de conservação e

relações de invariância, analisar a cinemática dos mecanismos, entre outras aplicações. A

seguir, são apresentados alguns problemas de grande interesse em mecânica dos sólidos

tais como: mecânica do cont́ınuo, teoria de vigas, elasticidade e dinâmica.

O grupo completo de simetrias do oscilador harmônico unidimensional foi inves-

tigado por Lutzky (1978). Verificou-se que um subgrupo de cinco parâmetros deixou

invariante a ação, produzindo cinco quantidades conservadas, sendo que apenas duas delas

eram funcionalmente independentes. Essas duas quantidades conservadas determinam as

soluções e correspondem a um subgrupo Abeliano de dois parâmetros. O autor também

mostrou que, se uma quantidade conservada correspondesse a um grupo de simetria pelo

teorema de Noether, o grupo transformava qualquer solução em outra solução possuindo o

mesmo valor da quantidade conservada.

Um exemplo interessante é o caso do oscilador harmônico, como visto no trabalho

de Gordon (1986). Ao se obter uma simetria de translação temporal, pôde-se observar que


19

a energia do sistema estava se conservando e através da simetria de rotação, o momento

angular também se conservava.

A invariância das equações de viga de Euler-Bernoulli, de Timoshenko e de

Marguerre-von Kármán foi abordada no trabalho de Vassilev e Djondjorov (1999). Neste

trabalho, os autores determinaram, primeiramente as simetrias de Lie para cada equação de

viga e posteriormente aplicaram o teorema de Noether para determinação das quantidades

se conservando. Com isso, foi posśıvel realizar algumas transformações nas equações, sempre

mantendo-as invariantes, e obter as respectivas soluções.

Mei (2000) mostrou a possibilidade de se encontrar uma quantidade conservada

correspondente a partir de uma simetria de Lie conhecida e o problema inverso de encontrar

a correspondente simetria de Lie a partir de uma integral primeira conhecida. Já o trabalho

de Jing-Li et al. (2003) concentrou-se no estudo das simetrias de Lie e de quantidades

conservadas de sistemas dinâmicos não holônomos controláveis. Com base na transformação

infinitesimal, as equações determinantes simétricas de Lie e as equações restritivas foram

determinadas.

Özer (2003) aplicou as simetrias de Lie para determinar as soluções anaĺıticas das

equações de Navier para a elasticidade. Primeiramente, a ordem da equação diferencial

parcial foi reduzida para grau um, obtendo-se assim, um sistema de equações diferenciais

ordinárias. Com a solução das equações diferenciais ordinárias, pode-se determinar a

solução anaĺıtica das equações de Navier. Foi notável que as simetrias de Lie tinham

vantagens importantes para resolver problemas em engenharia de estruturas.

Soh (2008) apresentou em seu trabalho a solução completa para o problema de

equivalência para a equação de Euler-Bernoulli usando a análise de simetria de Lie.

Cada simetria de quociente de álgebra de Lie determinou uma classe de equivalência das

equações de Euler-Bernoulli. Salvo o caso genérico correspondente a densidade de massa

linear e flexão, pôde-se caracterizar os elementos de cada classe fornecendo um conjunto

determinado de equações diferenciais satisfeitas por parâmetros f́ısicos.

Bocko, Nohajová e Harčarik (2012) apresentaram todos os geradores de simetrias

de Lie e as posśıveis transformações que podem ser realizadas em equações de vigas e

placas. Com base nesses geradores infinitesimais, os grupos de Lie correspondentes foram

gerados e outras propriedades das equações puderam ser reveladas tais como invariância

sob parâmetros cont́ınuos de simetria.

A classificação das simetrias de Lie das equações de onda não-lineares com dissipação

fornecem um caso genérico e oito casos especiais tendo sido apresentadas por Franco (2015).

Neste artigo, o autor mostrou que em sete dos oito casos estudados, a ação das simetrias de

Lie poderia ser globalizada através de representações induzidas de uma famı́lia de grupos

de Lie solúveis.


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A equação de onda de menor dimensão foi discutida por He (2015). A equação foi

reduzida à equação potencial de Korteweg–de Vries (KdV). Ao usar a análise de simetria de

Lie, todos os campos vetoriais geométricos da equação foram obtidos e foram apresentadas

reduções de simetria. Foram obtidas algumas novas soluções de ondas não-lineares, que

envolvem funções arbitrárias diferenciáveis, expressas pelas funções eĺıpticas de Jacobi,

funções eĺıpticas de Weierstrass, função hiperbólica e função trigonométrica.

No trabalho de Al-Omari, Zaman e Azad (2017) mostrou-se as simetrias de Lie

e suas transformações de grupos de Lie para uma classe de sistemas de equações de

Timoshenko. A classe considerada é a classe de sistemas Timoshenko não-lineares de

equações diferenciais parciais. Um sistema ótimo de sub-algebras unidimensionais da

álgebra de Lie correspondente foi derivado. Todas as posśıveis variáveis invariantes do

sistema ideal foram obtidas. Com a aplicação das simetrias de Lie, foi posśıvel transformar

as EDPs em sistemas correspondentes de equações diferenciais ordinárias para resolução

das equações.

Já no próprio grupo da UNESP, o bolsista FAPESP2, Afonso Willian Nunes, estuda

como usar as simetrias de Lie para calcular reações de apoio, energia de deformação e

deflexão em pontos espećıficos de vigas. O trabalho será apresentado no X Congresso

Nacional de Engenharia Mecânica - CONEM (NUNES et al., 2018). Este trabalho buscou

determinar as simetrias de Lie e invariantes associados com o problema de viga de Euler-

Bernoulli. A partir dos resultados obtidos com a teoria de Lie pôde-se confirmar a presença

das quantidades f́ısicas se conservando, os invariantes, e verificar que o remapeamento da

solução em novas variáveis facilitou a resolução da equação da linha elástica, como no caso

do quarto gerador de simetria.

2.2.4 Redução de ordem

O estudo das soluções invariantes de grupo da equação de Schrodinger não linear

generalizada (GNLSE) foi apresentado por Gagnon et al. (1989). Os autores mostraram

que oito tipos de subgrupos do grupo de simetria de Lie conduziam através de redução

de ordem, para equações diferenciais ordinárias reais de terceira ordem, dando tanto a

fase quanto o valor absoluto da solução. O método de Lie foi generalizado para equações

diferenciais ordinárias no trabalho de Quispel e Sahadevan (1993). Os autores provaram

que a ordem das equações diferenciais pôde ser reduzida em uma, desde que a equação em

consideração possúısse uma simetria de Lie. Além disso, os autores também apresentaram

uma condição suficiente para a redução da ordem da equação por dois.

A redução das equações diferenciais ordinárias não-lineares por uma combinação

de integrais primeiras e simetrias de Lie foi investigada por Abraham-Shrauner (2002). As

2 http://bv.fapesp.br/pt/bolsas/170127/aplicacoes-das-simetrias-de-lie-na-teoria-de-vigas/


21

equações diferenciais e as primeiras integrais foram expressas em termos dos invariantes

das simetrias do grupo de Lie. Com isso foi posśıvel reduzir a ordem das equações em

estudo e obter, assim, a solução exata das equações diferenciais.

A teoria das reduções duplas de equações diferenciais parciais com duas variáveis

independentes que admitem uma simetria de Lie e um invariante vetorial conservado sob

a simetria, foram apresentados por Sjöberg (2009). A teoria foi aplicada a uma equação

diferencial parcial não-linear de terceira ordem que descrevia a filtração de um ĺıquido

visco-elástico com relaxamento através de um meio poroso. O autor mostrou, que através

da redução de ordem da EDP, foi posśıvel obter um sistema de EDOs, facilitando-se assim,

a obtenção das soluções das mesmas.

Oliveri (2010) mostrou que a análise de simetrias de Lie das equações diferenci-

ais fornece uma estrutura poderosa e fundamental para a exploração de procedimentos

sistemáticos que conduzam à integração por quadratura (ou pelo menos à redução da

ordem) de equações diferenciais ordinárias. Outra abordagem realizada pelo autor foi com

relação à determinação de soluções invariantes de problemas de valor inicial e de limite, à

derivação das leis de conservação e à construção de ligações claras e lógicas entre diferentes

equações diferenciais que se tornam equivalentes para a resolução dos mais variados tipos

de problemas f́ısicos e matemáticos.

Ao usar métodos de simetria de Lie, Güngör e Torres (2017) identificaram uma

classe de equações diferenciais não lineares de segunda ordem comuns que são invariantes

sob pelo menos um grupo de simetria da equação de Ermakov-Pinney. Neste contexto, a

regra de superposição não linear para a equação de Kummer-Schwarz de segunda ordem

foi redescoberta. A invariância sob o grupo de simetria unidimensional também foi usada

para obter as integrais primeiras (invariantes de Ermakov-Lewis). Sob esta condição, a

equação foi reduzida a uma equação autônoma equivalente por meio de uma transformação

canônica, e as soluções das equações foram obtidas.

Baleanu et al. (2018) realizaram a análise das simetrias de Lie para redução de

ordem, solução exata e obtenção de leis de conservação para a equação fracionária no tempo

de Caudrey-Dodd-Gibbon-Sawada-Kotera (CDGSK) com derivação de Riemann-Liouville.

A CDGSK fracionada no tempo foi reduzida à uma equação diferencial ordinária não

linear da ordem fracionária. Com isso, novas soluções exatas para a CDGDK fracionada

no tempo foram obtidas. As soluções foram inéditas e não foram obtidas anteriormente

por outros autores. As soluções adquiridas inclúıam soluções hiperbólicas, trigonométricas

e racionais.


22

2.2.5 Referencial móvel

A ideia inicial de se trabalhar com referencial móvel começou com o problema de

equivalência que tratava em analisar quando duas superf́ıcies podiam ser mapeadas uma

para a outra, sob uma transformação de coordenadas de um tipo espećıfico. Acontece que

existem muitos problemas que podem ser formulados dessa maneira. Um é o problema de

classificação das equações diferenciais. Se há uma equação diferencial para resolver e um

banco de dados de equações resolvidas, é sensato perguntar se existe uma transformação

de coordenadas que conduza esta equação a uma das soluções já conhecidas. Visualizando

as equações diferenciais como superf́ıcies, pode-se aplicar a teoria de referencial móvel. A

seguir são apresentados alguns trabalhos mostrando a combinação das simetrias de Lie

com a teoria de referencial móvel.

Olver (2000) mostrou que o prolongamento de um grupo de transformação forma

o fundamento geométrico subjacente à teoria de Lie de grupos de simetria de equações

diferenciais, a teoria de invariantes diferenciais e a teoria de Cartan sobre referencial móvel.

Os desenvolvimentos na teoria de referencial móvel exigiram uma compreensão detalhada

da geometria dos grupos de transformação prolongados. Neste trabalho, o autor começa

com uma revisão básica de referencial móvel e, em seguida, concentra-se no estudo de

órbitas de grupo prolongadas regulares e singulares. Os destaques incluem uma versão

corrigida do teorema de estabilização básico, uma discussão de pontos totalmente singulares

e caracterizações geométricas e algébricas de subvariedades totalmente singulares, que são

aqueles que não admitem referencial móvel. Além de algumas aplicações para o método de

referencial móvel, o artigo inclui um lema Wronskian generalizado para funções vetoriais e

métodos para a solução das equações determinantes de Lie.

Olver e Pohjanpelto (2008) propuseram uma nova e construtiva teoria denominada

de referencial móvel para ações de pseudo-grupo de Lie. Através da teoria desenvolvida

pelos autores, foi posśıvel fornecer um meio efetivo para determinar sistemas completos

de invariantes diferenciais e formas diferenciais invariantes, classificando suas relações de

recorrência e resolvendo problemas de equivalência e simetria decorrentes de uma ampla

gama de aplicações.

Uma nova abordagem para a construção de referencial móvel que permitia tornar

invariante o esquema de diferenças finitas, foi desenvolvida por Chhay e Hamdouni (2010).

Esta abordagem levava em consideração a ordem de precisão e garantia das propriedades

numéricas de esquemas invariantes que superavam os de esquemas clássicos. Os benef́ıcios

obtidos com este processo foram ilustrados com a equação de Burgers. A vantagem do

presente método encontrado pelos autores é a garantia de boas propriedades numéricas

além da preservação do grupo de simetria da equação cont́ınua.

Siminos e Cvitanović (2011) apresentaram dois métodos cont́ınuos de redução de


23

simetria para reduzir fluxos de dissipação de alta dimensão para mapas de retorno locais.

Na abordagem de base polinomial de Hilbert, a dinâmica equivariante foi reescrita em

termos de coordenadas invariantes. No método de referencial móvel, o espaço de estados

foi cortado localmente de tal forma que cada órbita de grupo de pontos equivalentes de

simetria foi representada por um único ponto. Em qualquer das abordagens, os cálculos

numéricos puderam ser realizados na representação do espaço de estado original, e as

soluções foram então projetadas no espaço de estados reduzido de simetria. Os dois métodos

foram ilustrados na redução do sistema Lorenz complexo com um fluxo dissipativo em

cinco dimensões com simetria rotacional. Para os autores, embora a abordagem de base

polinomial de Hilbert não era inviável para fluxos de alta dimensão, a redução de simetria

pelo método de referencial móvel oferecia boas ferramentas para utilização nestes tipos de

problemas.

Dando continuidade ao avanços do trabalho de Olver e Pohjanpelto (2008), Gonçal-

ves e Mansfield (2012) explicaram a estrutura matemática tanto do sistema Euler-Lagrange

quanto do conjunto de leis de conservação, em termos de invariantes diferenciais da ação

de um grupo de Lie e referencial móvel. Os autores demonstraram que através do conheci-

mento desta estrutura, permitiu-se que as equações de Euler-Lagrange fossem integradas

com relativa facilidade.

2.3 Considerações finais

A partir desta curta compilação de algumas aplicações das simetrias de Lie, pode-se

observar a grande faixa de utilização envolvendo essencialmente os tópicos:

• Construir novas soluções para equações originais;

• Reduzir a ordem de equações diferenciais;

• Obter leis de conservação.

Pela revisão da literatura, observa-se que há diversas aplicações das simetrias

de Lie em diferentes áreas. A área que inicialmente teve mais atenção e até hoje há

muitos trabalhos relacionados no assunto ainda é a de mecânica de fluidos. Apesar disto,

ainda se observa pouca aplicação industrial disto nestes problemas envolvendo fluidos,

pois essencialmente, o tópico é tratado pela comunidade de pesquisadores da área de

matemática. Portanto, ainda existe lacuna para aplicações e uso mais prático e corriqueiro

nesta teoria na solução de problemas práticos da dinâmica dos fluidos, por exemplo.

No geral, verifica-se que nos diversos casos em que as equações não podem ser

resolvidas facilmente, através da aplicação das simetrias de Lie, pode-se reduzir a ordem e

em alguns casos até mesmo obter a solução anaĺıtica da equação. Outro aspecto muito


24

importante é a conciliação das simetrias de Lie para extração de leis de conservação que

muitas vezes não estão claras. Isto pode ser feito adequadamente com o Teorema de

Noether.


25

3 Fundamentação Teórica em Simetrias de Lie

A meta deste caṕıtulo é fornecer ao leitor uma introdução sobre a teoria de Lie,

motivando o seu uso para aplicações na análise e solução de equações diferenciais. Também

são apresentadas as principais definições e conceitos sobre transformações e geradores

infinitesimais e ainda a obtenção de simetrias em equações diferenciais ordinárias (EDOs),

assim como as técnicas para redução de ordem em equações diferenciais. O Apêndice A

traz uma introdução sobre grupos e álgebra de Lie que pode auxiliar o leitor na leitura

deste caṕıtulo.

3.1 Transformação infinitesimal

Assumindo que uma equação diferencial ordinária de segunda ordem possa ser

descrita na seguinte forma (GORDON, 1986; MOSHINSKY; SMIRNOV, 1996):

F(t, q, q̇, q̈) = 0 (1)

sendo q = q(t) funções desconhecidas1, t a variável independente, o ponto acima as

derivadas temporais e F pode ser uma função para representar uma equação diferencial ou

um sistema de equações diferenciais. Soluções simples para algumas destas equações são

altamente conhecidas. Porém, algumas transformações podem ser aplicadas para manter

a equação invariante e facilitar ainda mais a sua posśıvel integração. O primeiro passo é

encontrar geradores infinitesimais que produzem estas transformações.

3.2 Geradores infinitesimais

Esta seção busca apresentar os fundamentos básicos envolvidos na extração de

simetrias de Lie a partir de sistemas de equações diferenciais. O assunto aqui abordado é

amplamente dispońıvel em excelentes livros textos como Olver (1986), Bluman e Kumei

(1989) assim como em Baumann (2000).

De forma geral, assumindo uma variável genérica q = q(t), um grupo de transfor-

mação envolvendo as variáveis dependente q e independente t com um parâmetro cont́ınuo

ε ∈ R pode ser feito para obter novas variáveis t̄ e q̄ a partir de (OLVER, 1986; BLUMAN;

KUMEI, 1989; BAUMANN, 2000):

t̄ = α(t, q, ε), q̄ = µ(t, q, ε) (2)

1 Lembrando que pode-se assumir qualquer variável para q


26

sendo α e µ funções anaĺıticas2 que, normalmente, são desconhecidas e que realizam estas

transformações. Pode-se expandir t̄ e q̄ usando séries de MacLaurin em torno de ε através

de:

t̄ ≈ t+ ε

(
∂α

∂ε

∣∣∣∣
ε→0

)
, q̄ ≈ q + ε

(
∂µ

∂ε

∣∣∣∣
ε→0

)
(3)

desde que ε→ 0 represente a identidade do grupo. Definindo novas funções infinitesimais

descritas por:

ξ(t, q) =
∂α

∂ε

∣∣∣∣
ε→0

, ηq(t, q) =
∂µ

∂ε

∣∣∣∣
ε→0

(4)

pode-se reescrever as expressões da eq. (3) como:

t̄ ≈ t+ εξ(t, q), q̄ ≈ q + εηq(t, q) (5)

Contudo, além das mudanças nas variáveis t e q, extensões para as derivadas de

alta ordem q̇ e q̈ devem ser obtidas, conhecidas como prolongamentos de ordem superior.

3.3 Prolongamento das transformações e seus geradores

Uma vez que as transformações com os geradores infinitesimais serão feitas em uma

equação diferencial, é necessário se prolongar as transformações nas respectivas derivadas

(LIE; SCHEFFERS, 1891; LIE, 1881; BLUMAN, 1990; MAHOMED; LEACH, 1990). A

aproximação de ˙̄q fica sendo:

˙̄q =
dq̄

dt̄
(6)

sendo dq̄ = dq + εdηq e dt̄ = dt+ εdξ. Dividindo estes termos por dt:

dq̄

dt
= q̇ + εDt(ηq),

dt̄

dt
= 1 + εDt(ξ)

sendo Dt o operador derivada total, definido por:

Dt =
∂

∂t
+ q̇

∂

∂q
+ q̈

∂

∂q̇
(7)

sabe-se que ε→ 0 e com o aux́ılio da regra do binomial3:

˙̄q =
q̇ + εDt(ηq)
1 + εDt(ξ)

≈ {q̇ + εDt(ηq)} {1− εDt(ξ)} =

q̇ − q̇εDt(ξ) + εDt (ηq)− ε2Dt(ηq)Dt(ξ) ≈ q̇ + εβ(1)

(8)

2 Por função anaĺıtica entende-se funções que podem ser expandidas em séries.
3 (1 + x)λ = 1 + λx+ λ(λ−1)

2! x2 + · · · (DINGLE, 1973).


27

como pode-se observar, na penúltima passagem há uma simplificação, já que ε ≈ 0

consequentemente condiz que ε2 = 0. O termo β(1) pode ser então escrito como:

β(1)(t, q, q̇) = Dt(ηq)− q̇Dt(ξ) =
∂ηq
∂t

+

(
∂ηq
∂q
− ∂ξ

∂t

)
q̇ − ∂ξ

∂q
(q̇)2 (9)

que é o prolongamento de primeira ordem.

Em sistemas de equações diferenciais com termos de alta ordem, deve-se estender

essa ideia para todas as variáveis. Com isso, pode-se escrever ¨̄q através do campo vetorial

γ = {ξ ηq}T e ε através do mesmo procedimento realizado anteriormente:

¨̄q =
d ˙̄q

dt̄
=
Dt
(
q̇ + εβ(1)

)
Dt(t+ εξ)

=
q̈ + εDt

(
β(1)
)

1 + εDt (ξ)
≈{

q̈ + εDt
(
β(1)
)}
{1− εDt (ξ)} ≈ q̈ + εβ(2)

(10)

sendo:

β(2)(t, q, q̇, q̈) = Dt
(
β(1)
)
− q̈Dt (ξ) =

∂2ηq
∂t2

+

(
2
∂2ηq
∂t∂q

− ∂2ξ

∂t2

)
q̇+(

∂2ηq
∂q2
− 2

∂2ξ

∂t∂q

)
(q̇)2 − ∂2ξ

∂q2
(q̇)3 +

(
∂ηq
∂q
− 2

∂ξ

∂t

)
q̈ − 3

∂ξ

∂q
q̇q̈

(11)

o prolongamento de segunda ordem (BLUMAN; KUMEI, 1989). De forma geral um

prolongamento de ordem k é dado por (BLUMAN; KUMEI, 1989):

β(k)(t, q, q̇, q̈, . . . ,
k

q) = (Dt)k ηq −
k∑
j=1

k!

(k− j)!j!
(k−j+1)

q (Dt)j ξ (12)

sendo k = 1, 2, 3, . . ..

3.4 Teorema de Lie

Após calcular o prolongamento das transformações e com o conhecimento das

funções ξ e ηq formando o campo vetorial γ = {ξ ηq}T , um gerador infinitesimal de

simetria pode ser obtido a partir de (MARSDEN; RATIU, 2010):

X =

{
ξ

ηq

}
·

{
∂
∂t
∂
∂ηq

}
= ξ

∂

∂t
+ ηq

∂

∂q
(13)

e aplicando o operador de segunda ordem U ′′ para estas variáveis obtém-se (MCWEENY,

2002):

U ′′ = β(1) ∂

∂q̇
+ β(2) ∂

∂q̈
(14)

Com isso, a condição de Lie pode ser definida como::

(U ′′ + X )F = 0 (15)


28

sendo F a equação diferencial ou um sistema de equações diferenciais em estudo.

O critério infinitesimal de invariância envolve t, q e as derivadas de q com respeito

a t, assim como as variáveis ξ e ηq. Depois de eliminar toda a dependência das derivadas

envolvendo q, pode-se equacionar os coeficientes das derivadas parciais remanescentes de q

a zero. Com isso, pode-se ter como resultado um grande número de equações diferenciais

parciais para determinar estas funções. Estas equações são conhecidas como equações

determinantes para um grupo de simetrias de um determinado sistema (OLVER, 1986). A

obtenção das soluções destas equações determinantes pode ser muitas vezes trabalhosa e

pode ser feita através da utilização de alguns pacotes de manipulação simbólica, como o

wxMaxima, Mathematica (Sym (DIMAS; TSOUBELIS, 2004) e/ou MathLie (BAUMANN,

2000)), Maple (DETools e/ou PDETools), entre outros. O Apêndice C apresenta os códigos

utilizados nesta tese para o cálculo das simetrias de Lie usando o Maple.

3.5 Redução de ordem utilizando os pontos de simetria na forma

caracteŕıstica

Uma das aplicações mais notórias da teoria de grupos de Lie é o problema de integrar

equações diferenciais ordinárias. A observação fundamental de Lie é que o conhecimento de

um grupo de simetrias de um sistema de equações diferenciais ordinárias permite integrar

o sistema por quadraturas e assim deduzir a solução geral (OLVER, 1992). Seja uma EDO

de segunda ordem, F(t, q, q̇, q̈), pode-se mostrar que esta equação é invariante sobre um

grupo de transformações, e com isso, pode ser integrada por uma quadratura. Uma vez

encontrado o grupo de simetrias, existem vários métodos que podem ser aplicados para

integrar a equação diferencial (OLVER, 1986).

Pode-se introduzir novas coordenadas na forma {q̄(t, q), t̄(t, q)} supondo que X
é um campo vetorial e não-nulo na origem. A mudança de variáveis é feita através dos

métodos para encontrar simetrias de grupo, apresentados anteriormente. Isto implica que

X pode ser transformado a partir da forma ∂/∂t̄ fornecendo, assim, q̄ e t̄ satisfazendo as

seguintes equações parciais lineares (OLVER, 1986):

Xi(q̄) = ξ
∂q̄

∂t
+ η

∂q̄

∂q
= 0

Xi(t̄) = ξ
∂t̄

∂t
+ η

∂t̄

∂q
= 1

(16)

Para facilitar o entendimento, os passos para o cálculo dos geradores infinitesimais

podem ser descritos na forma de um fluxograma, como visto na fig. (1).


29

Figura 1 – Fluxograma representativo de como obter os geradores infinitesimais de forma
geral para uma EDO.

Modelagem de EDOs na forma  

Aplicação da condição de Lie

Solução do sistema de 
equações determinantes

Geradores infinitesimais 
de simetria     

Obtenção de novas variáveis 
através de transformações 

canônicas

    Redução de ordem da     
equação diferencial

F    = 0

(X    +  U’’)F                         = 0

X  

Fonte: Elaboração própria do autor.

3.6 Exemplo de aplicação em uma equação diferencial ordinária

Esta seção apresenta um exemplo de aplicação do teorema de Lie para determinar

os geradores infinitesimais de simetria de uma equação diferencial ordinária. Para isso,

utiliza-se em exemplo bem simples envolvendo um oscilador harmônico sem amortecimento.

Este sistema pode ser descrito por uma equação diferencial ordinária dada por (GORDON,

1986; MOSHINSKY; SMIRNOV, 1996):

F(q, q̇, q̈) ≡ q̈ + ω2q = 0 (17)

sendo q = q(t) o deslocamento, t o tempo, o ponto acima representa derivada temporal,

ω2 = k/m a frequência natural não amortecida sendo k a rigidez e m a massa.

Uma solução simples para a equação de movimento deste sistema já é amplamente

conhecida. No entanto, algumas transformações podem ser aplicadas para manter este

sistema invariante e facilitar a integração como mostrado nas seções seguintes.

3.6.1 Geradores infinitesimais do oscilador harmônico

Substituindo a eq. (17) na eq. (15), pode-se obter as seguintes equações:

(U ′′ + X )
(
q̈ + ω2q

)
= 0 (18)

aplicando o operador de simetria:

η
∂

∂q
(q̈ + ω2q) + ξ

∂

∂t
(q̈ + ω2q) + β(1) ∂

∂q̇
(q̈ + ω2q) + β(2) ∂

∂q̈
(q̈ + ω2q) = 0 (19)


30

sendo β(1) descrito pela eq. (9) e β(2) dado pela eq. (11). Com isso, a eq. (19) se torna:

ηω2 +
{
ξ

...
q + ξω2q̇

}
+ β(2) = 0 (20)

lembrando que: q̈ = −ω2q → ...
q = −ω2q̇ então −ξω2q̇ + ξω2q̇ = 0. Substituindo β(2):

− ∂2ξ

∂q2
(q̇)3 +

(
∂2η

∂q2
− 2

∂2ξ

∂t∂q

)
(q̇)2 +

(
2
∂2η

∂t∂q
− ∂2ξ

∂t2
+ 3

∂ξ

∂q
ω2q

)
q̇

+

(
−∂η
∂q

+ 2
∂ξ

∂t

)
ω2q + ηω2 +

∂2η

∂t2
= 0

(21)

e igualando a zero seus coeficientes, pode-se obter o seguinte sistema de equações determi-

nantes:

∂2ξ

∂q2
= 0 (22)

∂2η

∂q2
− 2

∂2ξ

∂t∂q
= 0 (23)

2
∂2η

∂t∂q
− ∂2ξ

∂t2
+ 3

∂ξ

∂q
ω2q = 0 (24)

−∂η
∂q
ω2q + 2

∂ξ

∂t
ω2q + ηω2 +

∂2η

∂t2
= 0 (25)

Resolvendo as eqs. (22)-(25), pode-se obter ao todo os oito geradores de simetria

de Lie admitidos pelo oscilador harmônico descrito pela eq. (17), como visto na tab. (1).


31

Tabela 1 – Geradores infinitesimais do oscilador harmônico.

ξ η

X1 =
∂

∂t
1 0

X2 = q
∂

∂q
0 q

X3 = sin(ωt)
∂

∂q
0 sin(ωt)

X4 = cos(ωt)
∂

∂q
0 cos(ωt)

X5 = q sin(ωt)
∂

∂t
+ q2ω cos(ωt)

∂

∂q
q sin(ωt) q2ω cos(ωt)

X6 = q cos(ωt)
∂

∂t
− q2ω sin(ωt)

∂

∂q
q cos(ωt) −q2ω sin(ωt)

X7 = −cos(2ωt)

ω2

∂

∂t
+
q sin(2ωt)

ω

∂

∂t
−cos(2ωt)

ω2

q sin(2ωt)

ω

X8 = −sin(2ωt)

ω2

∂

∂t
− −qcos(2ωt)

ω

∂

∂q
−sin(2ωt)

ω2
−−qcos(2ωt)

ω

Fonte: Elaboração própria do autor.

3.6.2 Redução de ordem

Considerando o gerador infinitesimal X1 =
∂

∂t
, sendo que ξ = 1 e η = 0. Para se

reduzir a ordem da equação de movimento, eq. (17), deve-se escolher novas variáveis que

satisfaçam a eq. (16). Com isso, as novas variáveis devem ser q̄ = q e t̄ = t. Estendendo

para as derivadas, tem-se:

˙̄t =
Dtt̄
Dtq̄

=
1

q̇
⇒ ¨̄t =

Dt ˙̄t
Dtq̄

= − q̈

q̇3
(26)

Com isto, as novas coordenadas são utilizadas para reescrever a eq. (17):

−
¨̄t

t̄3
+ ω2q̄ = 0 (27)

Uma nova projeção pode ser feita, então Υ = ˙̄t e Υ̇ = ¨̄t, fazendo com que a eq. (27) fique

sendo descrita como:

− Υ̇

Υ3
+ ω2q̄ = 0 (28)

Resolvendo equação anterior obtém-se:

Υ =
1√

−ω2q̄2 + C
(29)


32

sendo C uma constante de integração. Retornando às coordenadas anteriores a partir da

eq. (26):

˙̄t =
dt̄

dq̄
=

1√
−ω2q̄2 + C

(30)

então:

t̄ =

∫
dq̄√

−ω2q̄2 + C
(31)

Resolvendo a quadratura da eq. (31), tem-se:

t̄ =

arctan

( √
ω2q̄√

−ω2q̄2 + C1

)
√
ω2

(32)

Retornando às coordenadas originais:

t =

arctan

( √
ω2q√

−ω2q2 + C

)
√
ω2

(33)

Isolando a variável q na eq. (33), obtém-se a solução da eq. (17):

q(t) =

√(
tan
(
t
√
ω2
)2

+ 1

)
C tan

(
t
√
ω2
)

(
tan
(
t
√
ω2
)2

+ 1

)
ω

(34)

Como pode-se observar, através da utilização das simetrias de Lie, pode-se reduzir

a ordem da equação de movimento a uma quadratura. A solução para a equação do

oscilador harmônico não é única, pois é uma equação diferencial linear e atende o axioma

da superposição, além de não ter particularizado nenhum valor inicial. Além do gerador

infinitesimal X1, há mais sete opções para se realizar a redução de ordem da equação

diferencial. A solução para esta quadratura foi feita através da utilização de funções

circulares. No entanto, existem algumas quadraturas que não podem ser resolvidas por

estas funções. Com isto, se faz necessário o uso das funções eĺıpticas, como por exemplo,

as funções eĺıpticas de Jacobi. O Apêndice B apresenta uma introdução sobre funções

circulares e funções eĺıpticas. Deve-se destacar que nesta situação o gerador escolhido

forneceu uma solução bem mais complexa do que a solução obtida de forma clássica

em cursos introdutórios de equações diferenciais, matemática aplicada ou vibrações. No

entanto, destaca-se que uma das grandes aplicações das simetrias de Lie envolve resolver

equações diferenciais não lineares através de métodos anaĺıticos.


33

3.7 Considerações finais

Os tópicos abordados neste caṕıtulo revisam os conceitos básicos relacionados

à teoria de grupos e a aplicação do teorema de Lie para a determinação de geradores

infinitesimais de equações diferenciais. Esse teorema pode ser aplicado sistematicamente

para unificar e estender técnicas, com finalidades bem conhecidas, para determinação de

soluções expĺıcitas de equações diferenciais em sistemas integráveis, especialmente para

equações diferenciais não-lineares. Foi apresentado o conceito de simetria a parâmetro

cont́ınuo e como determinar os geradores infinitesimais que realizam transformações nas

EDOs que as mantenham invariantes. Para ilustrar a utilização das simetrias de Lie, um

exemplo clássico foi resolvido. As simetrias de Lie foram calculadas para a equação de

movimento do oscilador harmônico. Através de um dos 8 geradores de simetrias, a ordem da

equação foi reduzida a uma quadratura, e obteve-se a solução para o oscilador harmônico.


34

4 As simetrias de Lie em Problemas da Dinâmica

Este caṕıtulo tem como meta apresentar a aplicação das simetrias de Lie em

problemas clássicos encontrados em dinâmica de sistemas mecânicos. O primeiro exemplo

apresenta um pêndulo oscilando em um aro rotativo. Inicialmente são calculadas as

simetrias de Lie e posteriormente faz-se a redução de ordem para a obtenção da solução

anaĺıtica da equação diferencial através das funções eĺıpticas de Jacobi. Já o segundo

exemplo, busca determinar as simetrias de Lie associadas com as equações diferenciais

ordinárias que descrevem o movimento de um pião axisimétrico em movimento de precessão

estacionária e aplicá-las ao teorema de Noether para obtenção das constantes de movimento.

Neste exemplo, mostra-se que as simetrias de Lie também são simetrias de Noether.

Provada a origem da conservação de energia e dos momentos angulares, através das leis

de conservação extráıdas da aplicação do Teorema de Noether com as Simetrias de Lie,

pôde-se determinar a solução anaĺıtica das equações do movimento através da solução por

quadraturas usando funções eĺıpticas de Jacobi. Os problemas aqui apresentados, foram

publicados em Basquerotto, Righetto e Silva (2018b) e Basquerotto, Righetto e Silva

(2018a), respectivamente.

4.1 Pêndulo oscilando em um aro rotativo

A fig. 2 apresenta uma massa pontual m deslizando livremente sem atrito em um

aro de raio `, que por sua vez, gira com velocidade angular constante ω em um campo

gravitacional também constante, com aceleração g. Com isto, este pêndulo se move em uma

superf́ıcie de uma esfera de raio `. A base referencial usada é descrita pelos eixos {x, y, z}
solidário ao giro do aro circular. A coordenada generalizada usada para caracterizar o

movimento é dada por θ que é medida a partir do eixo z negativo.

Para estas condições, a energia cinética, T , do pêndulo é dada por:

T =
1

2
m`2

(
θ̇2 + ω2 sin2 θ

)
(35)

e a energia potencial, V , é descrita como:

V = mg` (1− cos θ) (36)

sendo que foi escolhido o ponto de energia potencial de referência nula em θ = 0 (ver fig.

(2)). Com isto, a lagrangiana L = T − V é definida por:

L =
1

2
m`2

(
θ̇2 + ω2 sin2 θ

)
+mg` cos θ −mg` (37)


35

Figura 2 – Pêndulo oscilando em um aro rotativo.

O

A
m

g

l

x
y

z

q

w

q = 0 ®V = 0

q = p ®       V = 2mgl

q = p / 2®V= mgl

Aro

Fonte: Elaboração própria do autor.

Aplicando a equação de Euler-Lagrange para a coordenada generalizada θ (GOLDSTEIN,

1965; LEMOS, 2007):

∂L
∂θ
− d

dt

(
∂L
∂θ̇

)
= 0 (38)

obtém-se a equação de movimento:

θ̈ +
(g
`
− ω2 cos θ

)
sin θ = 0 (39)

sendo θ(t) o ângulo de posição variando no tempo t, o ponto superior representando derivada

temporal, ω é a velocidade angular constante do aro, g é a aceleração da gravidade e ` é o

raio do aro.

A solução anaĺıtica desta equação de movimento já é conhecida, através da utilização

de outros métodos, tais como pela solução geral das equações de Euler-Lagrange (BAKER;

BILL, 2012). No entanto, várias outras transformações podem ser aplicadas para manter

a equação invariante e com isso, resolvê-la de outra maneira, se ela for integrável. O

procedimento proposto por Lie é um procedimento poderoso para integrar equações

diferenciais. Primeiramente, como verificado no caṕıtulo anterior, é necessário encontrar

um gerador infinitesimal para todas as variáveis da equação diferencial. Após isso, os

prolongamentos são calculados para descrever os termos das derivadas de ordem superior.

Ao aplicar o teorema de Lie, pode-se obter as equações determinantes e ao resolvê-las

pode-se encontrar os geradores de simetrias (LUTZKY, 1979; OLVER, 1986; BLUMAN;

KUMEI, 1989; BAUMANN, 2000; BAGDERINA, 2014).


36

4.1.1 As simetrias de Lie de um pêndulo oscilando em um aro

rotativo

Reescrevendo a eq. (39), na seguinte forma:

F
(
t, θ, θ̇, θ̈

)
≡ θ̈+

(g
`
− ω2 cos θ

)
sin θ = 0 (40)

e aplicando na condição de Lie dada pela eq. (15) obtém-se:

(U ′′ + X )F = ξ
∂F
∂t

+ η
∂F
∂θ

+ β(1)∂F
∂θ̇

+ β(2)∂F
∂θ̈

= 0 (41)

O critério de invariância infinitesimal, descrito pela eq. (41), envolve t e θ, e as

derivadas de θ com respeito a t, assim como ξ e η e suas derivadas parciais com respeito a t

e θ. Após eliminar todas as dependências das derivadas envolvendo θ, pode-se equacionar os

coeficientes remanescentes das derivadas parciais de θ, a zero. Isto gera um grande número

de equações diferenciais parciais que são utilizadas para a determinação das funções ξ e η,

desconhecidas a priori, formando as já definidas equações determinantes (OLVER, 1986).

Após aplicar a condição de Lie, eq. (41), na eq. (39) pode-se obter as seguintes

equações determinantes:

∂2ξ

∂θ2
= 0 (42)

∂2η

∂θ2
− 2

∂2ξ

∂θ∂t
= 0 (43)

3 sin θ
(g
`
− ω2 cos θ

) ∂ξ
∂θ

+ 2
∂2η

∂θ∂t
− ∂2ξ

∂t2
= 0 (44)

2 sin θ
∂ξ

∂t

(g
`
− ω2 cos θ

)
− sin θ

(g
`
− ω2 cos θ

) ∂η
∂θ
−

η
(
−ω2 sin2 θ−

(g
`
− ω2 cos θ

)
cos θ

)
+
∂2η

∂t2
= 0

(45)

As equações de (42) até (45) podem ser simplificadas e pode-se obter as seguintes

expressões:

η = 0 (46)

∂ξ

∂t
= 0 (47)


37

∂ξ

∂θ
= 0 (48)

Por fim, resolvendo as equações de (46) até (48) obtém-se o seguinte gerador

infinitesimal de simetria:

X1 =
∂

∂t

Então, as funções infinitesimais são dadas simplesmente por:

ξ = 1 e η = 0

que corresponde a uma operação de translação temporal, que é o invariante clássico

que mostra a conservação de energia, desde que não se assume dissipação neste modelo

(OLVER, 1990). Deve-se notar que neste exemplo apenas um gerador é obtido e, portanto,

uma única integral primeira. Como o sistema possui apenas um grau de liberdade, θ(t),

isto indica que o sistema é completamente integrável. Nota-se que em algumas equações

de movimento é posśıvel ter mais de um gerador de simetria, por exemplo, no oscilador

harmônico mostrado no Caṕıtulo 3 (WULFMAN; WYBOURNE, 1976; GORDON, 1986).

4.1.2 Redução de ordem

Para satisfazer a condição da eq. (16), deve-se escolher θ̄ = θ e t̄ = t. Expandindo

esta condição para as derivadas ˙̄t e ¨̄t, obtém-se:

˙̄t =
dt̄

dθ̄
=

1

θ̇
⇒ ¨̄t =

d ˙̄t

dθ̄
= − θ̈

θ̇3
(49)

Com isto, as novas coordenadas são utilizadas para reescrever a equação de movi-

mento, eq. (39):

−
¨̄t
˙̄t3

+
(g
`
− ω2 cos θ̄

)
sin θ̄ = 0 (50)

Uma nova projeção pode ser feita, então Υ = ˙̄t e Υ̇ = ¨̄t e a eq. (50) fica:

− Υ̇

Υ3
+
(g
`
− ω2 cos θ̄

)
sin θ̄ = 0 (51)

Resolvendo a eq. (51):

Υ =

√
ω2`2 sin2 θ̄ + 2g` cos θ̄+C`2

ω2` sin2 θ̄ + 2g cos θ̄ + C`
(52)

sendo C uma constante de integração. Retornando às coordenadas anteriores a partir da

eq. (49):

˙̄t =
dt̄

dθ̄
=

√
ω2`2 sin2 θ̄ + 2g` cos θ̄ + C`2

ω2` sin2 θ̄ + 2g cos θ̄+C`
(53)


38

então:

t̄ =

∫
dθ̄√

ω2 sin2 θ̄ + 2g
`

cos θ̄+C
(54)

A eq. (54) não pode ser resolvida através da utilização de funções trigonométricas,

pois não é posśıvel achar a primitiva. Para resolver esta integral é necessário a utilização

de integrais eĺıpticas de Jacobi (BAKER; BILL, 2012; LEMOS, 2017). O Apêndice B

apresenta uma discussão sucinta sobre as funções eĺıpticas de Jacobi e sua utilização. A

solução da eq. (54) é feita através da utilização de um programa de manipulação simbólica.

O Apêndice C, apresenta os comandos e alguns pacotes utilizados para resolver a mesma.

Sendo assim, a eq. (54) pode ser resolvida, utilizando, com a devida atenção, o

argumento (u, k) na transformação, com isto:

θ(t) = 2 arctan

{
√
adn

[
1

2
ωt
√
| p | a,

√
a− b
a

]}
(55)

sendo a ≡ 1− cos θ

1 + cos θ
, b ≡ 1 + cos θ − 2 cos θ

1− cos θ + 2 cos θ
e p ≡ C − 1± 2 cos θ.

A equação (55) representa a solução anaĺıtica do ângulo de deslocamento do pêndulo

em um aro rotativo com velocidade angular constante ω e é a mesma solução obtida no

trabalho de Baker e Bill (2012). Este problema espećıfico é similar ao exemplo apresentado

nesta tese, no entanto em Baker e Bill (2012) não foram utilizadas as simetrias de Lie para

tal fim.

4.2 Pião Axisimétrico com um ponto fixo

A fig. (3) mostra um pião axisimétrico com massa m que está fixo em O com

ação de um campo gravitacional constante g. Para se parametrizar o movimento do pião

no espaço utiliza-se uma sequência de três rotações consecutivas em torno de três eixos

diferentes, utilizando os ângulos de Euler. Primeiramente, toma-se como referência o

sistema inercial, I , o eixo (X, Y , Z) e base
{
î, ĵ, k̂

}
fixa em O. A primeira rotação é

em torno do eixo Z ≡ z1 com velocidade angular ψ̇ com um ângulo ψ no sistema móvel

com (x1, y1, z1) e base
{
î1, ĵ1, k̂1

}
. O segundo giro é feito em torno de x1 ≡ x2 no sentido

positivo, com velocidade angular θ̇ e com um ângulo θ no sistema móvel com (x2, y2, z2) e

base
{
î2, ĵ2, k̂2

}
. Por fim, é feita a última rotação em torno de z2 ≡ z com uma velocidade

angular φ̇ e um ângulo φ no sistema móvel com (x, y, z) e base
{
î3, ĵ3, k̂3

}
. O centro de

massa do pião é representado pelo ponto A e a distância do ponto O até este ponto ao

longo do eixo z é ` (LEMOS, 2007; GOLDSTEIN; POOLE; SAFKO, 2011).


39

Figura 3 – Pião axisimétrico com um ponto fixo.

X
Y

Z    z 1

y

x    x1 2 

y 1

y

q

y

y 2

q

q

z     z2

y

x

f

f

f

O

A
l

---

---

---

g

Fonte: Elaboração própria do autor.

A partir da fig. (3) é posśıvel descrever a velocidade angular do pião, B2ω, no

sistema B2 coincidente com os eixos de simetria (SANTOS, 2001):

B2ω =B2 Ψ̇ +B2 Θ̇ +B2 Φ̇ = θ̇î2 + ψ̇ sin θĵ2 +
(
φ̇+ ψ̇ cos θ

)
k̂2 (56)

sendo B2Ψ̇ o vetor velocidade angular de precessão, B2Θ̇ o vetor velocidade angular de

nutação e B2Φ̇ o vetor velocidade angular de rotação própria do pião, todos representados

na base B2. A lagrangiana é dada por (LEMOS, 2007):

L = T − V (57)

sendo T a energia cinética:

T =
1

2
B2ω · IO ·B2 ω (58)

e IO o tensor de inércia do pião de massa m calculado com relação ao ponto O:

IO =

∣∣∣∣∣∣∣
Ix2 0 0

0 Iy2 0

0 0 Iz2

∣∣∣∣∣∣∣
sendo Ix2 , Iy2 e Iz2 os momentos de inércia de massa com relação aos eixos x2, y2 e z2,

respectivamente. Considerando que o pião é simétrico tem-se que Ix2 ≡ Iy2 = I, e então:

IO =

∣∣∣∣∣∣∣
I 0 0

0 I 0

0 0 Iz2

∣∣∣∣∣∣∣


40

Uma vez calculada a velocidade angular do pião, a energia cinética, T , fica descrita como:

T =
1

2
I
(
θ̇2 + ψ̇2 sin2 θ

)
+

1

2
Iz2

(
φ̇+ ψ̇ cos θ

)2

(59)

e a energia potencial, V :

V = mg` cos θ (60)

Com isto:

L =
1

2
I
(
θ̇2 + ψ̇2 sin2 θ

)
+

1

2
Iz2

(
φ̇+ ψ̇ cos θ

)2

−mg` cos θ (61)

Assim, com o uso das equações de Euler-Lagrange, são obtidas as equações de

movimento do pião:

I
(
θ̈ − ψ̇2 sin θ cos θ

)
+ Iz2

(
ψ̇2 sin θ cos θ + φ̇ψ̇ sin θ

)
−mg` sin θ = 0

I
(
ψ̈ sin θ + 2ψ̇θ̇ cos θ

)
− Iz2 θ̇

(
ψ̇ cos θ + φ̇

)
= 0

Iz2

(
φ̈+ ψ̈ cos θ − ψ̇θ̇ sin θ

)
= 0

(62)

Assumindo que as velocidades angulares ψ̇ e φ̇ são constantes, pode-se modificar

a eq. (62) e obter as equações de movimento para o pião para a condição particular

considerada:

I
(
θ̈ − ψ̇2 sin θ cos θ

)
+ Iz2

(
ψ̇2 sin θ cos θ + φ̇ψ̇ sin θ

)
−mg` sin θ = 0

I
(

2ψ̇θ̇ cos θ
)
− Iz2 θ̇

(
ψ̇ cos θ + φ̇

)
= 0

Iz2

(
ψ̇θ̇ sin θ

)
= 0

(63)

As equações de movimento obtidas são equações diferenciais ordinárias não-lineares

(LAWDEN, 2013). Para facilitar o cálculo das simetrias de Lie, é interessante escrever

essas equações na forma Fi(t, θ, φ, ψ, θ̇, φ̇, ψ̇, θ̈) = 0, com i = 1, 2, 3. Com isso, as equações

de movimento ficam:

F1 ≡ I
(
θ̈ − ψ̇2 sin θ cos θ

)
+ Iz2

(
ψ̇2 sin θ cos θ + φ̇ψ̇ sin θ

)
−mg` sin θ = 0

F2 ≡ I
(

2ψ̇θ̇ cos θ
)
− Iz2 θ̇

(
ψ̇ cos θ + φ̇

)
= 0

F3 ≡ Iz2

(
ψ̇θ̇ sin θ

)
= 0

(64)

É importante salientar que é posśıvel obter as simetrias de Lie considerando que

o pião não possui velocidades angulares constantes. Nota-se também que as variáveis ψ

e φ não aparecem explicitamente na lagrangiana sendo, portanto, variáveis ćıclicas. A

existência de uma variável ćıclica indica que os momentos generalizados correspondentes

são constantes (MONTEIRO, 2006). Ao se determinar as simetrias de Lie, encontram-se

exatamente geradores infinitesimais correspondentes à essas mesmas variáveis que quando

aplicados ao teorema de Noether revelam também os mesmos invariantes, como será

mostrado a seguir.


41

4.2.1 Aplicação das simetrias de Lie nas equações do pião

Aplicando a condição de Lie, dada pela eq. (15), no sistema de eqs. (64), é posśıvel

obter as seguintes equações determinantes:
∂ηψ
∂ψ

= 0,
∂ηψ
∂φ

= 0,
∂ηψ
∂t

= 0,
∂ηψ
∂θ

= 0,
∂ηφ
∂ψ

= 0,

∂ηφ
∂φ

= 0,
∂ηφ
∂t

= 0,
∂ηφ
∂θ

= 0,
∂ξ

∂ψ
= 0,

∂ξ

∂φ
= 0,

∂ξ

∂θ
= 0,

∂ξ

∂t
= 0 e ηθ = 0. Resolvendo estas

equações é posśıvel encontrar os seguintes geradores infinitesimais para a equação (64)

listados na tabela (2).

Tabela 2 – Geradores infinitesimais do pião.

ξ ηq

X1 =
∂

∂t
1 0

X2 =
∂

∂ψ
0 1

X3 =
∂

∂φ
0 1

Fonte: Elaboração própria do autor.

O gerador infinitesimal X1 está correlacionado com a translação temporal e corres-

ponde ao invariante associado a conservação de energia, desde que não haja dissipação. O

segundo e o terceiro gerador infinitesimal correspondem à rotação nos eixos onde se medem

os ângulos ψ e φ que estão diretamente ligados à conservação dos momentos angulares

associados às variáveis ψ e φ. Para demonstrar e verificar essas constantes, os geradores

infinitesimais determinados pelas simetrias de Lie, podem ser aplicados ao teorema de

Noether.

4.3 Teorema de Noether

O teorema que mostra a correspondência entre as simetrias variacionais comuns

e as leis de conservação dos sistemas de equações de Euler-Lagrange, foi enunciado por

Emmy Noether no ińıcio do século XX. Uma vez que admitimos simetrias de um sistema,

o teorema de Noether fornece uma correspondência um-para-um entre simetrias variadas

e leis de conservação (OLVER, 1986; MARTINS, 1999). Ou seja, para cada simetria

encontrada em um sistema de equações diferenciais há uma quantidade se conservando. A

busca por existência de simetrias na natureza tem como principal resultado a obtenção de

invariantes. Nos casos onde se conhece a lagrangiana L e as funções da transformação ξ e

ηq, a aplicação do teorema de Noether é como se fosse um revelador de quantidades A se

conservando (MEI, 2000; BRIZARD, 2009).


42

A quantidade se conservando a partir de uma transformação de simetria pode ser

determinada pelo teorema de Noether a partir de (MARTINS, 1999)1:

A =
∂L
∂q̇

(q̇ξ − ηq)− Lξ = Constante (65)

de forma generalizada com n coordenadas como é o caso do pião, implica no seguinte

invariante (NOETHER, 1918; LEMOS, 1993):

Ai =
n∑
i=1

∂L
∂q̇i

(q̇iξi − ηqi)− Lξi ⇒ d

dt
(Ai) = 0 (66)

O resultado generaliza e unifica de uma forma que é posśıvel ter a visualização

geométrica dos prinćıpios de conservação de energia, momento linear e momento angular.

Com isso, aplicando os geradores infinitesimais encontrados pelas simetrias de Lie no

teorema de Noether, descrito pela eq. (66), pode-se encontrar as constantes de movimento

associadas. Para o primeiro gerador infinitesimal X1, sendo ξ = 1 e ηθ = 0 tem-se:

A1 =
∂L
∂θ̇

(θ̇ξ−ηθ)−Lξ ⇒ A1 =
1

2
I
(
θ̇2 + ψ̇2 sin2 θ

)
+

1

2
Iz2

(
φ̇+ ψ̇ cos θ

)2

+mg` cos θ (67)

que é uma constante de movimento que está relacionada diretamente com a energia total

do sistema, que neste caso fica sendo a energia cinética T mais a energia potencial V , não

havendo dissipação de energia.

Considerando agora os geradores infinitesimais X2 sendo ξ = 0 e ηψ = 1 e X3 sendo

ξ = 0 e ηφ = 1, tem-se, respectivamente:

A2 =
∂L
∂ψ̇

(ψ̇ξ − ηψ)− Lξ ⇒ A2 = Iψ̇ sin2 θ + Iz2 cos θ
(
φ̇+ ψ̇ cos θ

)
(68)

A3 =
∂L
∂φ̇

(φ̇ξ − ηφ)− Lξ ⇒ A3 = Iz2

(
φ̇+ ψ̇ cos θ

)
(69)

mostrando assim que as quantidades A2 e A3 estão diretamente relacionadas com os

momentos angulares se conservando para a coordenada associada a ψ e com o momento

também se conservando para a coordenada associada a φ, respectivamente.

4.4 Redução de ordem e solução anaĺıtica da equação do movi-

mento do pião

A partir das simetrias de Lie encontradas, pode-se reduzir a ordem do sistema de

equações de movimento. Por já estarem na forma canônica, serão utilizados primeiramente

1 Alguns livros de mecânica clássica tem demonstrações deste resultado tais como Goldstein (1965) e/ou
Arnold (2013).


43

os geradores infinitesimais X2 e X3. Com isso, pode-se transformar a partir de uma mudança

de variável, sendo ψ̇ = λ e φ̇ = ζ que para precessão estacionária, são constantes. Assim, a

equação (64) pode ser reescrita como:

I
(
θ̈ − λ2 sin θ cos θ

)
+ Iz2

(
λ2 sin θ cos θ + ζλ sin θ

)
−mg` sin θ = 0

I
(

2λθ̇ cos θ
)
− Iz2 θ̇ (λ cos θ + ζ) = 0

Iz2

(
λθ̇ sin θ

)
= 0

(70)

Para a redução de ordem de θ̈, deve-se utilizar o gerador infinitesimal X1 exigindo

algumas manipulações que podem ser facilitadas por programas de manipulação simbólica,

como o Maple, Mathematica ou wxMaxima. No apêndice C se detalham estas manipulações.

Supondo que X é um campo vetorial que não se anula nos pontos de origem,

pode-se introduzir novas coordenadas {t̄(t, θ, ζ, λ), θ̄1(t, θ, ζ, λ), θ̄2(t, θ, ζ, λ), θ̄3(t, θ, ζ, λ)}.
A mudança de variáveis é feita usando os métodos para encontrar invariantes de grupo.

Isto implica que X pode ser transformada na seguinte forma ∂/∂t̄ fornecendo assim t̄, θ̄1,

θ̄2 e θ̄3 que satisfaçam as seguintes condições (OLVER, 1986):

X1(t̄) = ξ
∂t̄

∂t
+ ηθ

∂t̄

∂θ
+ ηψ

∂t̄

∂λ
+ ηφ

∂t̄

∂ζ
= 0

X1(θ̄1) = ξ
∂θ̄1

∂t
+ ηθ

∂θ̄1

∂θ
+ ηψ

∂θ̄1

∂λ
+ ηφ

∂θ̄1

∂ζ
= 0

X1(θ̄2) = ξ
∂θ̄2

∂t
+ ηθ

∂θ̄2

∂θ
+ ηψ

∂θ̄2

∂λ
+ ηφ

∂θ̄2

∂ζ
= 0

X1(θ̄3) = ξ
∂θ̄3

∂t
+ ηθ

∂θ̄3

∂θ
+ ηψ

∂θ̄3

∂λ
+ ηφ

∂θ̄3

∂ζ
= 1

(71)

a partir dessa condição, pode-se dizer que t̄ = θ, θ̄1 = λ, θ̄2 = ζ e θ̄3 = t. Deve-se estender

as mudanças de coordenadas para as derivadas de primeira ordem, então: ˙̄θ1 =
λ̇

θ̇
, ˙̄θ2 =

ζ̇

θ̇

e ˙̄θ3 =
1

θ̇
. Para as derivadas de segunda ordem: ¨̄θ3 = − θ̈

θ̇3
. Reescrevendo a equação (70)

nas novas coordenadas e já realizando os cálculos e simplificações necessários chega-se a:

1

2
I
(

˙̄θ2
3 + ˙̄θ2

1 sin2 t̄
)

+
1

2
Iz2

(
˙̄θ2 + ˙̄θ1 cos t̄

)2

+mg` cos t̄ = C1

I ˙̄θ1 sin2 t̄+ Iz2 cos t̄( ˙̄θ2 + ˙̄θ1 cos t̄) = C2

Iz2

(
˙̄θ2 + ˙̄θ1 cos t̄

)
= C3

(72)

sendo C1, C2 e C3 constantes. Pode-se observar que estas equações são constantes e também

são iguais às constantes de movimento obtidas anteriormente pelo teorema de Noether

para este pião. Isso mostra que as simetrias de Lie também são simetrias de Noether neste

exemplo, como já era esperado, pois o pião é um sistema lagrangiano com equações de

movimento extráıdas a partir de um prinćıpio variacional. Por fim, pode-se determinar


44

as expressões para θ, ψ e φ. Para não perder a generalidade, utiliza-se aqui para estes

cálculos, os invariantes obtidos pelo teorema de Noether.

A partir da constante de movimento A3, pode-se obter:

φ̇ =
A3

Iz2
− ψ̇ cos θ (73)

Utilizando a constante A2, obtém-se:

Iψ̇ sin2 θ + Iz2 cos θ

(
A3

Iz2

)
= A2 (74)

então:

ψ̇ =
A2 −A3 cos θ

I sin2 θ
(75)

Introduzindo novas constantes, pode-se reescrever a constante A1 na seguinte forma:

A′1 = A1 −
A2

3

2Iz2
(76)

de onde pode-se deduzir:

A′1 =
1

2
Iθ̇2 + S(θ) (77)

sendo:

S(θ) =
(A2 −A3 cos θ)2

2I sin2 θ
+mg` cos θ

o potencial efetivo. Realizando uma separação de variáveis na equação (77), pode-se obter:

θ̇2 =
2

I
(A′1 − S(θ)) (78)

assim:

θ̇ =

√
2

I

√
(A′1 − S(θ)) (79)

levando por fim à seguinte expressão:∫
dθ√

(A′1 − S(θ))
=

√
2

I
t (80)

Não é posśıvel expressar a solução desta integral em termos de funções elementares.

Para a solução destas quadraturas podem ser usadas as integrais eĺıpticas de Jacobi. Em

um artigo recente publicado, Lemos (2017) apresentou a importância de se utilizar as

funções eĺıpticas de Jacobi na representação deste tipo de quadratura. Muitos trabalhos


45

e livros deixaram de abordar o uso das funções eĺıpticas, no entanto, existem muitos

problemas interessantes de mecânica que podem ser resolvidos em termos destas funções

(LEMOS, 2017). O passo a passo de como se calcular uma integral utilizando as funções

eĺıpticas de Jacobi podem ser encontrados em trabalhos como o de Piña (2017) e Lemos

(2017). Com θ determinado, pode-se encontrar os outros ângulos de Euler associados ao

movimento do pião.

Com a consideração do argumento (u, k) na transformação obtém-se finalmente a

solução anaĺıtica para as equações de movimento do pião axisimétrico, descritas por:

θ(t) = sgn(a+ b)
[√

1− c2 dn(u, k) sin(Ω) + (d− c)cn(u, k)sn(u, k) cos(Ω)
]

(81)

ψ(t) = −
√

1− c2 dn(u, k) cos(Ω) + (d− c)cn(u, k)sn(u, k) sin(Ω) (82)

φ(t) = c+ (d− c)sn2(u, k) (83)

sendo a =
A3

I
, b =

A2

I
, c =

cos θ

sn2(u, k)
, d =

b

a
, Ω =

cn(u, k)

sn(u, k)dn(u, k)
e sgn a função sign:

sgn(a+ b) =


−1 se a+ b < 0

0 se a+ b = 0

1 se a+ b > 0

Como visto anteriormente, para se parametrizar a velocidade angular instantânea

de um corpo ŕıgido foram utilizados os ângulos de Euler. No entanto, problemas como

singularidade podem aparecer quando se faz o uso de métodos numéricos para integração

das equações de movimento. Com a utilização das simetrias de Lie obteve-se a solução

anaĺıtica das equações que descrevem o movimento do pião.

4.5 Considerações finais

O presente caṕıtulo apresentou exemplos práticos de como usar as simetrias de

Lie para obtenção de invariantes e solução de equações de movimento de interesse na

dinâmica de sistemas mecânicos. O primeiro exemplo envolveu um pêndulo oscilando em

um aro rotativo. Foram propostas formas alternativas para reduzir a ordem da equação de

movimento original para simplificar a integração das novas equações usando o teorema

de Lie. As simetrias de Lie obtidas foram usadas de forma efetiva para execução desta

parte. Os grupos de simetria de equações diferenciais ou problemas variacionais formam

grupos de transformação locais que atuam de maneira geométrica no espaço da variável

independente e dependente. Através das simetrias de Lie, sendo que a ordem foi facilmente

reduzida e foi posśıvel obter as primeiras integrais que foram resolvidas usando algumas


46

classes de funções especiais, como as funções eĺıpticas de Jacobi. O método apresentado

aqui pode ser estendido a diferentes tipos de equações de movimento para descrição de

sistemas dinâmicos.

Já o segundo exemplo apresentou a aplicação da teoria de Lie para a descrição

do movimento de um pião em ponto fixo. A partir das simetrias de Lie extráıdas das

equações determinantes foi posśıvel relacioná-las diretamente com os teoremas clássicos de

conservação. Uma comparação com as constantes de movimento extráıdas pelo Teorema de

Noether também é feita neste sentido. A partir disto, utilizou-se as simetrias de Lie para

gerar as transformações visando a solução anaĺıtica completa das equações de movimento

do pião em precessão estacionária, empregando para isto as funções eĺıpticas de Jacobi.


47

5 As Simetrias de Lie na Teoria de Referencial Mó-

vel

Este caṕıtulo mostra como combinar e aplicar as simetrias de Lie para obtenção

dos correspondentes referencial móvel de cada ação de um grupo de simetria em problemas

da dinâmica de sistemas mecânicos.

Dado um grupo de transformações de Lie com dimensão finita atuando em uma

variedade, sempre existirá uma ação conhecida como ação prolongada de grupo (OLVER,

2003). Esta ação representa a base fundamental da teoria de Lie envolvendo grupos de

simetria em equações diferenciais. Estes invariantes diferenciais aparecem como constantes

da ação do prolongamento de um grupo (OLVER, 2007). Élie Cartan estendeu isto no

século XX envolvendo a geometria da ação deste grupo, fundamentando a chamada teoria

de referencial móvel. Com esta teoria, diversas aplicações são posśıveis e relatadas na

literatura, como simetrias de problemas variacionais (GONÇALVES; MANSFIELD, 2012),

problemas de bifurcação equivalentes (GOLUBITSKY; STEWART; SCHAEFFER, 1988),

leis de conservação e formas diferenciais invariantes (OLVER, 1995), soluções invariantes

em grupo (OLVER, 1986; OLVER; POHJANPELTO, 2009), etc.

5.1 Aspectos básicos na teoria de referencial móvel

Seja G um grupo de Lie r-dimensional agindo diferenciavelmente em uma variedade,

M , m-dimensional. Na teoria clássica de Cartan, G é um grupo de natureza geométrica, por

exemplo, um grupo euclidiano. No entanto, um grupo de Lie no cenário de referencial móvel

é um grupo de ação de Lie. Um referencial móvel é definido como uma transformação

G-equivariante ρ: M → G. Há dois tipos principais de equivariância1 (OLVER, 2000;

OLVER, 2012):

ρ (g · z) =

{
g · ρ(z) referencial móvel à direita

ρ · g−1 referencial móvel à esquerda
(84)

sendo g um elemento do grupo e z ∈ M . Todos os referenciais móveis clássicos são

equivariantes à esquerda, mas, em muitos casos, as versões à direita podem ser bem mais

fáceis de se calcular. Do ponto de vista formal, a diferença envolve o fato de que há

várias maneiras de definir um mapa (transformação) equivariante. Do ponto de vista da

construção, o motivo pelo qual um referencial móvel à direita é mais fácil de construir é

1 Em matemática, a equivariância é uma forma de simetria para funções de um espaço simétrico para
outro. Uma função é dita ser uma transformação equivariante quando seu domı́nio e contradomı́nio são
atuados pelo mesmo grupo de simetria e quando a função se desloca com a ação do grupo. Ou seja, aplicar
uma transformação de simetria e, em seguida, calcular a função produz o mesmo resultado que o cálculo
da função e depois a aplicação da transformação (MARGULIS, 1991).


48

porque resolver as equações de normalização para os parâmetros do grupo leva diretamente

a um referencial móvel à direita. A partir dáı, pode-se inverter as equações para obter um

referencial móvel à esquerda (OLVER, 2015).

Segundo Mansfield (2010), um referencial móvel existe em uma vizinhança de um

ponto z ∈M se e somente se G age livremente2 e regularmente3 perto de z. A construção

prática de um referencial móvel baseia-se no método de normalização de Cartan que exige

a escolha de uma seção transversal (local) para as órbitas do grupo. A fig. (4) ilustra,

geometricamente, a construção de um referencial móvel (OLVER, 2003).

Figura 4 – Construção geométrica do referencial móvel.

k

z

Oz

g = r (z)direita

K

(a) Referencial móvel à direita.

k

z

Oz

g = r (z)esquerda

K

(b) Referencial móvel à esquerda.

Fonte: Adaptado de Olver (2012).

Seja G agindo regularmente na variedade M , m-dimensional e com orbitas de

dimensão s. Com isto tem-se que uma uma seção transversal é uma subvariedade (m−
s)-dimensional de uma subvariedade K ⊂ M de modo que K intersecta cada órbita

transversalmente, no máximo uma vez. As mais importantes são as seções transversais de

coordenadas:

K = {z1 = c1, · · · zs = cs}

obtidas ao se igualar as s primeiras coordenadas à constantes (MANSFIELD, 2010; OLVER,

2012). Qualquer seção transversal pode ser localmente convertida em uma seção transversal

de coordenadas por uma escolha adequada de coordenadas locais. Os elementos k ∈ K
da seção transversal podem ser vistos como formas canônicas para pontos arbitrários de

z ∈M , e suas coordenadas fornecem os moduli invariantes para a ação em grupo. Como K

2 O único elemento de grupo g ∈ G que redireciona um ponto z ∈M é a identidade (OLVER, 2000).
3 A ação de um grupo é regular se todas as órbitas têm a mesma dimensão e cruzam gráficos de
coordenadas suficientemente pequenas apenas uma vez (OLVER, 2000).


49

tem dimensão m− s, precisamente m− s dessas funções invariantes serão funcionalmente

independentes e, portanto, fornecerão um sistema gerador de invariantes.

5.2 Ação

Dado um grupo local de Lie é necessário que se entenda o que é a ação de um

grupo, isto é, suas apresentações como um grupo de transformações de algum espaço dado

(OLVER, 1986). As ações mais simples são ações lineares, e a teoria dessas ações é a mesma

que a teoria das representações do grupo. Se M for um espaço vetorial, uma representação

do grupo G é um mapa R : G → GL(M) tal que (OLVER, 1986)

R(gh) = R(g)R(h) (85)

Diz-se que um grupo G age no espaço M se há um mapa

α : G ×M →M (86)

satisfazendo

α(g2, α(g1, z)) = α(g2g1, z) (87)

ou

α(g2, α(g1, z)) = α(g1g2, z) (88)

Ações obedecendo a eq. (87) são conhecidas como ações à esquerda enquanto as

ações que obedecem a eq. (88) são conhecidas como ações à direita, como visto na seção

anterior. As ações de um grupo de Lie, podem ser determinadas através da aplicação dos

geradores infinitesimais de simetria obtidos pelas equações utilizadas para se determinar

os geradores infinitesimais, conforme a eq. (13).

Nem todas as ações de grupo são de interesse. Para definir um referencial móvel é

preciso que a ação seja livre e regular, pelo menos na vizinhança do espaço onde se quer

obter o referencial. Infelizmente, a maioria das ações não é livre e regular, mas muitas

vezes podem ser estendidas de várias formas para que elas se tornem livres e regulares, pelo

menos para partes interessantes do espaço estendido. Em particular, isso é verdade para

ações de prolongamento, desde que a ação inicial seja localmente efetiva em subconjuntos

(OLVER, 1986; MANSFIELD, 2010).

Deixando G agir livremente e regularmente em M , e deixando K ⊂ M ser uma

seção transversal regular, pode-se pegar um ponto z ∈M , dizendo que g = ρ(z) pode ser

o elemento de grupo exclusivo que mapeie z para a seção transversal, isto quer dizer que:

g · z = ρ(z) · z ∈ K (89)


50

Então, ρ : M → G será um referencial móvel para a ação do grupo.

Dadas as coordenadas locais z = (z1, · · · , zm) em M , tomando w(g, z) = g · z como

sendo as fórmulas expĺıcitas para as transformações do grupo. O referencial móvel à direita

g = ρ(z) associado com a seção transversal K é obtido através da solução das equações de

normalização (OLVER, 1986):

wi(g, z) = Ci (90)

sendo Ci uma constante e w(g, z) funções a valores reais.

Um exemplo envolve, a seguinte ação padrão:

y = x cos θ − u sin θ, v = x sin θ + u cos θ

do grupo de rotação G = SO(2) em M = R2. As