
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA / UNESP

INSTITUTO DE BIOCIÊNCIAS DE BOTUCATU / IBB

DEPARTAMENTO DE BIOESTATÍSTICA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM BIOMETRIA

LUIZ CARLOS SANTOS JÚNIOR

ANÁLISE DE SOBREVIVÊNCIA APLICADA A
PREMISSAS ATUARIAIS: O CASO DA

PREVIDÊNCIA PÚBLICA MUNICIPAL DE
CABEDELO/PB

BOTUCATU, SP

2018


LUIZ CARLOS SANTOS JÚNIOR

ANÁLISE DE SOBREVIVÊNCIA APLICADA A
PREMISSAS ATUARIAIS: O CASO DA

PREVIDÊNCIA PÚBLICA MUNICIPAL DE
CABEDELO/PB

Tese apresentada à Universidade Estadual
Paulista“Júlio de Mesquita Filho”, PPG em
Biometria, Curso de Doutorado.

Orientadora: Miriam Harumi Tsunemi, Dra.
Coorientador: Ćıcero Rafael Barros Dias, Dr.

BOTUCATU, SP

2018


LUIZ CARLOS SANTOS JÚNIOR

ANÁLISE DE SOBREVIVÊNCIA APLICADA A
PREMISSAS ATUARIAIS: O CASO DA PREVIDÊNCIA

PÚBLICA MUNICIPAL DE CABEDELO/PB

Tese apresentada à Universidade Estadual
Paulista“Júlio de Mesquita Filho”, PPG em
Biometria, Curso de Doutorado.
Botucatu/SP, 06 de novembro de 2018

Aprovado em: / /

Banca Examinadora:

Profa. Dra. Miriam Harumi Tsunemi

Universidade Estadual Paulista

Orientadora

Profa. Dra. Cristiane Silva Corrêa

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Avaliadora

Prof. Dr. João Vińıcius de França Carvalho

Universidade de S ão Paulo

Avaliador

Profa. Dra. Liciana Vaz de Arruda Silveira

Universidade Estadual Paulista

Avaliadora

Prof. Dr. Thiago Santos Mota

Faculdade de Tecnologia de Botucatu

Avaliador


Dedico este trabalho a Deus, a fa-

mı́lia e aos amigos. Além disso,

ao povo brasileiro, pelo custeio do

ensino e da pesquisa nas Univer-

sidades Públicas deste páıs.


AGRADECIMENTOS

Agradeço a Deus.

Agradeço a famı́lia e aos amigos pelo carinho.

Agradeço a todos - IPSEMC, atuários, professores e colegas - que viabilizaram a

realização desta pesquisa.

Agradeço a Universidade Federal da Paráıba pelo acolhimento profissional e pela

oportunidade de realizar um sonho de infância: ser professor.

Agradeço a Universidade Estadual Paulista pela confiança, pelo aprendizado e pela

oportunidade de cursar o doutorado em Biometria.

Agradeço a todos os professores que fizeram/fazem parte desse constante caminho

de desenvolvimento.


RESUMO

Os critérios de elegibilidade e a escolha das premissas atuariais são essenciais para

a estimação dos custos de um plano previdenciário e das contribuições de seus partici-

pantes. Em relação aos planos públicos previdenciários brasileiros − majoritariamente

deficitários −, pode-se afirmar que a análise atuarial é prejudicada pela má quali-

dade dos registros sobre os servidores, seus cônjuges e dependentes. Esse quadro tem

justificado a adoção das hipóteses mı́nimas estabelecidas pela legislação, nem sempre

validadas pelos testes de aderência. Esse contexto evidencia a necessidade de ampliação

de estudos técnicos sobre as premissas que impactam no cálculo atuarial. Em especial,

destaca-se a idade e o tempo de contribuição para aposentadoria, dada sua centrali-

dade na propositura de reformas previdenciárias. Assim, objetiva-se analisar, mediante

estudo de caso, a aplicabilidade de modelos de sobrevivência pouco explorados para es-

timação de variáveis relevantes na definição dessas premissas, o “tempo de postergação

de aposentadoria” e o “tempo de permanência no serviço público”, observando ainda −

de forma complementar − seus efeitos sobre os cálculos atuariais. Para tanto, foram

sistematizadas as informações de 2630 servidores e ex-servidores vinculados, entre 1960

e 2016, ao Regime Próprio de Previdência Social (RPPS) do munićıpio de Cabedelo/PB

(IPSEMC). Utilizaram-se modelos de sobrevivência não paramétricos, paramétricos e

semiparamétricos, com abordagens tradicionais e de riscos competitivos sob a perspec-

tiva de múltiplos estados. De modo geral, os modelos bem se ajustaram aos dados,

com destaque para o modelo de Cox que, independentemente da abordagem, foi capaz

de captar os efeitos das covariáveis sobre ambas as variáveis-respostas e para as causas

consideradas. Esses resultados demonstram que há uma gama de possibilidades meto-

dológicas para melhor estimação de premissas atuariais − em especial as decrementais

−, desde que aplicadas a conjuntos de dados adequadamente sistematizados. Espera-

se que a configuração proposta contribua para o aprimoramento de estudos acerca dos

critérios, premissas e cálculo atuarial, bem como o melhor equacionamento de receitas

e despesas previdenciárias no páıs.

iii


Palavras-chave: RPPS Paraibano. Modelos de Sobrevivência. Premissas Atuari-

ais. Cálculo Atuarial.

iv


ABSTRACT

Eligibility criteria and actuarial premise selection are essential for estimating costs

of an insurance plan and its participant’s contributions. Regarding Brazilian public

social security plans − running for the most part in budget deficit −, it can be said

that actuarial analysis is made difficult due to the bad quality of records on the public

servants, their spouses and dependents. This situation has justified the adoption of

minimal hypotheses as established by law, which are not always validated by adhesion

tests. This context exposes the need for increased technical studies on the premises

that influence actuarial calculation. Age and contribution time for retirement are espe-

cially relevant, given their central position in proposed changes to social security. We

thus aim to analyze, based on case studies, the applicability of little-explored survival

models for estimating variables that are relevant in defining these premises, “retire-

ment postponement time” and “public service permanence time”, while also observing

their effect on actuarial calculation. To that end, we have indexed information on 2630

current and former public servants working under the Regime Próprio de Previd ência

Social (RPPS) from the municipality of Cabedelo (IPSEMC − PB/Brazil) between

1960 and 2016. Non-parametric, parametric and semi-parametric survival models were

employed, with traditional and competitive risk approaches under the multiple state

perspective. The models were generally well adjusted to the data, especially the Cox

model which, regardless of the approach used, was able to capture the effects of co-

variables under both response variables and the causes taken into consideration. These

results present a range of methodological possibilities for improving actuarial premises

− especially decremental premises − when applied to adequately organized data sets.

We intend our proposed configuration to contribute to the improvement of studies on

criteria, premises and actuarial calculation, as well as better balancing of social security

income and expense in Brazil.

Keywords: RPPS from Paráıba. Survival Models. Actuarial Assumptions. Actu-

arial Calculation.

v


LISTA DE SIGLAS

AIC Critério de Informação Akaike.

ANFIP Associa ç ão Nacional dos Auditores Fiscais da Receita Federal do Brasil.

ARA Avaliação e Reavaliação Atuarial.

ASB Actuarial Standards Boards.

BD Benef́ıcio Definido

CADPREV Sistema de Informações dos Regimes Públicos de Previdência Social.

CAP Caixas de Aposentadorias e Pensões.

CF Constituição Federal.

CN Custo Normal.

CRP Certificado de Regularidade Previdenciária.

DAIR Demonstrativos das Aplicações e Investimentos dos Recursos.

Dataprev Empresa de Tecnologia e Informações da Previdência Social.

EC Emenda Constitucional.

FA Fator de Ajuste.

FHC Fernando Henrique Cardoso.

FI Fatores de Improvement.

FIA Funções de Incidência Acumulada.

FREC Funções de Riscos Espećıficos por Causa.

IAP Institutos de Aposentadorias e Pensões.

IBGE Instituto Brasileiro de Geografia e Estat́ısticas.

vi


IPSEMC Instituto de Previdência dos Servidores Municipais de Cabedelo/PB.

KS Kolmogorov-Smirnov.

LC Lee-Carter.

MF Ministério da Fazenda.

MRC Modelos de Riscos Competitivos.

MRPEC Modelo de Risco Proporcional Espećıfico por Causa.

MRPSR Modelo de Risco Proporcional Subdistribuição de Riscos.

NTA Nota Técnica Atuarial.

PIB Produto Interno Bruto.

PS Previdência Social.

PUC Crédito Unitário Projetado.

RGPS Regime Geral de Previdência Social.

RM Reserva Matemática.

RMBaC Reservas Matemáticas de Benef́ıcios a Conceder.

RMBC Reservas Matemáticas de Benef́ıcios Concedidos.

RPC Regime de Previdência Complementar.

RPPS Regime Próprio de Previdência Social.

SIAPE Sistema Integrado de Administração de Recursos Humanos.

SPrev Secretaria da Previdência.

TC Tempo de Contribuição.

TRV Teste Razão de Verossimilhança.

vii


VABF Valor Atual dos Benef́ıcios Futuros.

VASF Valor Atual dos Salários Futuros.

VACF Valor Atual das Contribuições Futuras.

viii


Lista de Figuras

2.1 Investimentos dos RPPSs por modalidade de ativo, Brasil, 2015. . . . . 14

3.1 Modelo multiestado de sobrevivência sem riscos competitivos. . . . . . 43

3.2 Modelo multiestado de risco competitivo com riscos espećıficos por causa. 50

3.3 Modelo multiestado de risco competitivo para abordagem não paramétrica. 55

4.1 Logaritmo da probabilidade de morte (log(mqx)) por idade da tábua de

mortalidade IBGE (ambos os sexos), Brasil, 1998-2016. . . . . . . . . . 69

4.2 Regressão Lee-Carter Peŕıodo-Idade para a tábua IBGE (ambos os se-

xos) Brasil, 1998-2016. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.3 Logaritmo da probabilidade de morte prevista pelo modelo de Lee-Carter

estendido para a Tábua IBGE (ambos os sexos), Brasil, 2017-2026. . . 71

4.4 Projeções, pelo modelo de Lee-Carter estendido, para o tempo de vida

média residual dos brasileiros, 2017-2026. . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.5 Histograma e boxplot do tempo de postergação da aposentadoria, IP-

SEMC, 2016. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.6 Boxplot do tempo de postergaçõ de aposentadoria por sexo e carreira,

IPSEMC, 2016. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.7 Sobrevivência estimada por Kaplan-Meier, por ńıveis de covariáveis,

para o tempo de postergação de aposentadoria, IPSEMC, 2016. . . . . 77

4.8 Sobrevivências não paramétrica, paramétrica e semiparamétrica estimadas

para o tempo de postergação de aposentadoria, IPSEMC, 2016. . . . . . . . 80

4.9 Sobrevivências não paramétrica e semiparamétrica estimadas para o

tempo até a aposentadoria por tempo de contribuição, IPSEMC, 2016. 83

ix


4.10 Sobrevivências não paramétrica, paramétrica e semiparamétrica estima-

das para o tempo até a aposentadoria por idade, IPSEMC, 2016. . . . . 85

4.11 Pirâmide etária da população analisada, IPSEMC, 2016. . . . . . . . . 86

4.12 Histograma e boxplot do tempo de permanência no serviço público, IP-

SEMC, 2017. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.13 Boxplot do tempo de permanência no serviço por categoria, carreira,

regra de sáıda e sexo, IPSEMC, 2016. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.14 Sobrevivência estimada por Kaplan-Meier, por ńıveis de covariáveis,

para o tempo de permanência no serviço público, IPSEMC, 2016. . . . 90

4.15 Sobrevivências não paramétrica, paramétrica e semiparamétrica estimadas

para o tempo de permanência no serviço público, IPSEMC, 2016. . . . . . . 93

4.16 Riscos acumulados por causa estimados pelo estimador de Nelson-Aalen

para o tempo de permanência no serviço público, IPSEMC, 2016. . . . 95

4.17 Sobrevivência estimada pelo estimados de Kaplan-Meier, com intervalo

de confiança, para o tempo de permanência no serviço público, IPSEMC,

2016. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.18 FIAs estimadas, por causa, para o tempo de permanência no serviço

público, IPSEMC, 2016. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.19 Sobrevivências não paramétrica, paramétrica e semiparamétrica estima-

das para o tempo até morte, IPSEMC, 2016. . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.20 Sobrevivências não paramétrica e semiparamétrica estimadas para o

tempo até a aposentadoria por tempo de contribuição, IPSEMC, 2016. 101

4.21 Sobrevivências não paramétrica, paramétrica e semiparamétrica estima-

das para o tempo até a aposentadoria por idade, IPSEMC, 2016. . . . . 103

4.22 Sobrevivências não paramétrica, paramétrica e semiparamétrica estima-

das para o tempo até a aposentadoria por compulsória, IPSEMC, 2016. 105

4.23 Sobrevivência não paramétrica, paramétrica e semiparamétrica estima-

das para o tempo até a aposentadoria por invalidez, IPSEMC, 2016. . . 107

B.1 Sobrevivência e FIAs estimadas, IPSEMC, 2016. . . . . . . . . . . . . . 137

x


C.1 FIA estimada, por causa, para o tempo de permanência no serviço

p’ublico, IPSEMC, 2016. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

xi


Lista de Tabelas

2.1 Número de regimes previdenciários por unidade de federação e região,

Brasil, 2017. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Número de segurados, por tipo, em cada categoria de RPPS ao qual

estão vinculados, Brasil, 2017. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 CRP por RPPS, Brasil, 2015. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.1 Projeções, pelo modelo de Lee-Carter estendido, para o tempo de vida

média residual dos brasileiros, 2017-2026. . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.2 Dados gerais acerca das aposentadorias programadas, IPSEMC, 2016. . 73

4.3 Idade presumida de aposentadoria conforme variação da iemt estipulada,

IPSEMC, 2016. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.4 Resultados dos testes logrank utilizados para as comparações dos grupos

considerados no tempo postergado de aposentadoria, IPSEMC, 2016. . 78

4.5 Resultados do Modelo Gompertz ajustado para o tempo de postergação

de aposentadoria, IPSEMC, 2016. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.6 Resultados do Modelo de Cox ajustado para o tempo de postergação da

aposentadoria, IPSEMC, 2016. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.7 Teste de Schoenfeld para proporcionalidade de riscos do Modelo de Cox

ajustado para o tempo postergado de aposentadoria, IPSEMC, 2016. . 79

4.8 Probabilidade estimada de postergação da aposentadoria por tempo adi-

cional, IPSEMC, 2016. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.9 Resultados do teste KS para as idades estimadas de concessão de apo-

sentadoria, IPSEMC, 2016. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

xii


4.10 Critérios objetivos de seleção, por modelo paramétrico ajustado, para

o tempo até a aposentadoria por tempo de contribuição do servidor,

IPSEMC, 2016. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.11 Estimativas dos parâmetros dos modelos ajustados para o tempo até a

aposentadoria por tempo de contribuição, IPSEMC, 2016. . . . . . . . 82

4.12 Teste de Schoenfeld para proporcionalidade de riscos do Modelo de Cox

ajustado para o tempo até a aposentadoria por tempo de contribuição,

IPSEMC, 2016. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.13 Critérios objetivos de seleção por modelo paramétrico ajustado para o

tempo até a aposentadoria por idade do servidor, IPSEMC, 2016. . . . 83

4.14 Estimativas dos parâmetros dos modelos ajustados para o tempo até a

aposentadoria por idade, IPSEMC, 2016. . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.15 Teste de Schoenfeld para proporcionalidade de riscos do Modelo de Cox

ajustado para o tempo até a aposentadoria por idade, IPSEMC, 2016. . 84

4.16 Dados gerais acerca dos servidores ativos, IPSEMC, 2016. . . . . . . . . 86

4.17 Dados gerais acerca de todas as aposentadorias, IPSEMC, 2016. . . . . 87

4.18 Dados gerais acerca das pensões, IPSEMC, 2016. . . . . . . . . . . . . 87

4.19 Resultados dos testes logrank utilizados para as comparações dos grupos,

dois a dois, considerados no tempo de permanência no serviço, IPSEMC,

2016. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.20 Critérios objetivos de seleção por modelo paramétrico ajustado para o

tempo de permanência no serviço público, IPSEMC, 2016. . . . . . . . 91

4.21 Resultados dos Modelos Gompertz e de Cox ajustados para o tempo de

permanência no serviço público, IPSEMC, 2016. . . . . . . . . . . . . . 92

4.22 Teste de Schoenfeld para proporcionalidade de riscos do Modelo de Cox

ajustado para o tempo de permanência no serviço público. . . . . . . . 92

4.23 FIAs estimadas, por causa e tempo (em anos), para o tempo de perma-

nência no serviço público. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.24 Critérios objetivos de seleção por modelo paramétrico ajustado para o

tempo até a morte do servidor, IPSEMC, 2016. . . . . . . . . . . . . . 98

xiii


4.25 Estimativas dos parâmetros dos modelos ajustados para o tempo até a

morte do servidor, IPSEMC, 2016. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.26 Teste de Schoenfeld para proporcionalidade de riscos do Modelo de Cox

ajustado para o tempo até a morte, IPSEMC, 2016. . . . . . . . . . . . 98

4.27 Critérios objetivos de seleção por modelo paramétrico ajustado para

o tempo até a aposentadoria por tempo de contribuição do servidor,

IPSEMC, 2016. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.28 Estimativas dos parâmetros dos modelos ajustados para o tempo até a

aposentadoria por tempo de contribuição, IPSEMC, 2016. . . . . . . . 100

4.29 Teste de Schoenfeld para proporcionalidade de riscos do Modelo de Cox

ajustado para o tempo até a aposentadoria por tempo de contribuição,

IPSEMC, 2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.30 Critérios objetivos de seleção por modelo paramétrico ajustado para o

tempo até a aposentadoria por idade do servidor, IPSEMC, 2016. . . . 101

4.31 Estimativas dos parâmetros dos modelos ajustados para o tempo até a

aposentadoria por idade, IPSEMC, 2016. . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.32 Teste de Schoenfeld para proporcionalidade de riscos do Modelo de Cox

ajustado para o tempo até a aposentadoria por idade, IPSEMC, 2016. . 102

4.33 Critérios objetivos de seleção por modelo paramétrico ajustado para o

tempo até a aposentadoria compulsória do servidor, IPSEMC, 2016. . . 103

4.34 Estimativas dos parâmetros dos modelos ajustados para o tempo até a

aposentadoria compulsória, IPSEMC, 2016. . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.35 Teste de Schoenfeld para proporcionalidade de riscos do Modelo de Cox

ajustado para o tempo até a aposentadoria compulsória, IPSEMC, 2016. 104

4.36 Critérios objetivos de seleção por modelo paramétrico ajustado para o

tempo até a aposentadoria por invalidez do servidor, IPSEMC, 2016. . 105

4.37 Estimativas dos parâmetros dos modelos ajustados para o tempo até a

aposentadoria por invalidez, IPSEMC, 2016. . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.38 Teste de Schoenfeld para proporcionalidade de riscos do Modelo de Cox

ajustado para o tempo até a aposentadoria por invalidez, IPSEMC, 2016.106

xiv


4.39 Composição do Custo Normal por cenário, IPSEMC, 2016. . . . . . . . 115

4.40 Composição da Reserva Matemática de Benef́ıcios a Conceder por cená-

rio, IPSEMC, 2016. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.41 Composição da Reserva Matemática Total por cenário, IPSEMC, 2016. 117

A.1 Projeção da mortalidade brasileira para 2017 e 2018 pelo método AA. . 132

A.2 Projeção da mortalidade brasileira para 2017 e 2018 pelo método LC. . 133

B.1 Matriz de transição modelada para os servidores, denominada “’matriz ’,

IPSEMC, 2016. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

B.2 Dataframe criado, denominado “quadro”. . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

B.3 Argumentos do risco acumulado “0 1” (sáıda do serviço decorrente de

morte). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

B.4 Matriz de transição modelada para os servidores, denominada “ma-

triz.mm”, IPSEMC, 2016. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

B.5 FIAs estimadas para t = 50 anos, IPSEMC, 2016. . . . . . . . . . . . . 137

C.1 Matriz gerada pela construção dos pesos wl(tj). . . . . . . . . . . . . . 138

C.2 Indiv́ıduo 2500 na matriz gerada pela construção dos pesos wl(tj). . . . 139

D.1 Idade de concessão de aposentadoria presumida versus estimadas. . . . 141

E.1 Sobrevivências estimadas pelos Modelos de Kaplan-Meier, Gompertz e

Cox ajustados para o tempo de permanência do servidor no serviço pú-

blico - Parte 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

E.2 Sobrevivências estimadas pelos Modelos de Kaplan-Meier, Gompertz e

Cox ajustados para o tempo de permanência do servidor no serviço pú-

blico - Parte 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

xv


Lista de Quadros

2.1 Legislação vigente relacionada a RPPS, Brasil, 2017. . . . . . . . . . . 16

3.1 Funções, definições e expressões que compõem uma tábua de vida. . . . 33

4.1 Dados sobre os servidores, IPSEMC, 2016. . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2 Resumo dos modelos ajustados e covariáveis significativas por causa ana-

lisada para o tempo de postergação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.3 Resumo dos modelos ajustados e covariáveis significativas por causa ana-

lisada para o tempo de permanência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.4 Descrição dos cenários, conforme as posśıveis combinações de premissas. 115

xvi


Sumário

1 Introdução 2

2 Caracterização do RPPS 10

2.1 Regime Próprio de Previdência Social . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Premissas Decrementais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Aspectos Metodológicos 29

3.1 Metodologias para a Mortalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.1 Tábuas de Decremento Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.1.2 Extrapolação de Tábuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.1.3 Projeção da Mortalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2 Metodologias para a Idade de Aposentadoria . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2.1 Idade Presumida de Aposentadoria . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2.2 Idade de Concessão de Aposentadoria . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3 Metodologias para Postergação da Aposentadoria e Permanência no Ser-

viço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3.1 Análise Baseada em Risco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3.2 Ausência de Riscos Competitivos . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3.3 Presença de Riscos Competitivos . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3.4 Avaliação e Seleção de Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4 Resultados e Discussões 66

4.1 Apresentação dos Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.2 Análise da Mortalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.3 Análise do Tempo de Postergação da Aposentadoria . . . . . . . . . . . 73

xvii


4.3.1 Análise Exploratória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.3.2 Análise de Sobrevivência na Ausência de Riscos Competitivos . 75

4.3.3 Análise de Sobrevivência na Presença de Riscos Competitivos . 81

4.4 Análise do Tempo de Permanência no Serviço Público . . . . . . . . . . 85

4.4.1 Análise Exploratória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.4.2 Análise de Sobrevivência na Ausência de Riscos Competitivos . 89

4.4.3 Análise de Sobrevivência na Presença de Riscos Competitivos . 94

4.5 Cálculos Atuariais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5 Considerações Finais 118

Referências Bibliográficas 120

A Complemento da Mortalidade 131

B Complemento da Análise Não Paramétrica de Risco Competitivo 134

C Complemento da Análise Semiparamétrica de Risco Competitivo 138

D Idades Estimadas de Aposentadoria 140

E Probabilidades de Permanecer no Serviço Público 142

F Script da Análise em Linguagem R 144

xviii


Siglas

ACI Análise de Componentes Independentes

ACP Análise de Componentes Principais

ADL Análise de Discriminante Linear

AE Análise Espectral

D Decisão para Todos os Eletrodos

Dl Decisão para o Eletrodo l

DMP Decisão Média Ponderada para Todos os Eletrodos

DMPl Decisão Média Ponderada para o Eletrodo l

EEG Eletroencefalografia

EWR Energia Wavelet Relativa

IVS Indicadores dos Vetores de Suporte

KKT Karush-Kuhn-Tucker

LS-SVM Least Square Support Vector Machine

ME Mixed of Experts

MLPNN Multi-Layer Perceptron Neural Network

MMC Mı́nimo Múltiplo Comum

xix


1

MMQ Método de Mı́nimos Quadrados

MMS Médias Móveis Simples

MMSs Médias Móveis Simples com espaçamento s

P Peŕıodo da Função

RN Redes Neurais

SQ Soma de Quadrados

SQErros Soma de Quadrados dos Erros

SQFator Soma de Quadrados do Fator

SQTotal Soma de Quadrados Total

SVM Supporte Vector Machine

TDW Transformada Wavelet Discreta

WFF-SVM Weighted Fourier Frequencies and SVM


Caṕıtulo 1

Introdução

A Previdência Social (PS) é um seguro público, coletivo e compulsório e integra,

com a Assistência Social e a Saúde, o Sistema de Seguridade Social brasileiro (BRASIL,

1988).

A PS é composta pelos regimes previdenciários obrigatórios, isto é, pelo Regime

Próprio de Previdência Social (RPPS) − destinado exclusivamente aos servidores pú-

blicos (estatutários) − e pelo Regime Geral de Previdência Social (RGPS) − destinado

aos demais trabalhadores. Em conjunto com o Regime de Previdência Complementar

(RPC) − que complementa a renda de aposentadoria dos regimes oficiais (CORRÊA,

2018) − a PS constitui o Sistema Previdenciário Brasileiro.

Consoante o Anuário Estat́ıstico de Previdência Social (AEPS) de 2017, sinteti-

zado pela Empresa de Tecnologia e Informações da Previdência Social (Dataprev) e

citado como Dataprev (2018), a população brasileira em 2016 era superior a 206 mi-

lhões de pessoas, sendo mais de 102 milhões integrantes da população economicamente

ativa. Neste mesmo ano, a proteção previdenciária da PS (para segurados especiais,

beneficiários não contribuintes, funcionários públicos estatutários, militares e demais

contribuintes do RGPS) abrangeu quase 60 milhões de pessoas (ocupadas entre 16 e

59 anos de idade) − sendo o número de beneficiários ativos superior a 31 milhões.

A dimensão da PS pode ser ainda ilustrada pelas seguintes informações, relativas a

dezembro de 2017, publicadas pela Dataprev (2018):

• Concedeu aproximadamente 5 milhões de benef́ıcios, com valor total dos benef́ı-

2


3

cios concedidos igual a R$ 6,8 bilhões;

• Contabilizou 65,1 milhões de contribuintes (pessoas f́ısicas) e o valor da remune-

ração foi de aproximadamente R$ 1,46 trilhões;

• Sua arrecadação (que compreende as atividades relacionadas ao recolhimento de

receitas de contribuições sociais, patrimoniais e de outras importâncias devidas à

Previdência Social) foi de R$ 415,5 bilhões;

• O resultado primário (arrecadação ĺıquida menos benef́ıcios previdenciários) do

RGPS em 2017 foi de R$ -182,5 bilhões.

Em relação à previdência do servidor público (titulares de cargo efetivo), objeto

do presente estudo, cada ente federativo pode ter um RPPS, de modo que: a União

tem um RPPS, cada estado tem o seu respectivo RPPS e cada munićıpio pode ter um

RPPS (BRASIL, 1988). De acordo com Dataprev (2018), em 2017, dos 5.595 entes

federativos, 2.123 (37,9%) vinculam seus 8 milhões de segurados a RPPSs. A dimensão

dos RPPSs pode ser ainda ilustrada pelas seguintes informações:

• Em abril de 2018, segundo os Dados Abertos contidos no site oficial da PS,

citados como Ministério da Fazenda (2018), o valor total dos recursos aplicados

pelos RPPSs era de aproximadamente R$ 148,35 bilhões e o total de ativos, R$

261,93 bilhões;

• Em janeiro de 2017, segundo o Indicador de Situação Previdenciária, sintetizado

pela Secretaria de Previdência e citado como SPrev (2018), os valores de con-

tribuições e aportes, bem como o de benef́ıcios, foram de R$ 94,10 bilhões e R$

160,87 bilhões, respectivamente.

• Segundo Dataprev (2018), em 2017, o resultado financeiro agregado e o resultado

atuarial agregado foram deficitários, aproximada e respectivamente, R$ -91,9 bi-

lhões e R$ -7.413,9 bilhões;

O desequiĺıbrio financeiro-atuarial está presente em aproximadamente 90% dos

RPPSs do Brasil, conforme Baeta-Filho (2011) e Santos-Junior, Azevedo e Andrade


4

(2018), ensejando pesquisas que aprimorem os cálculos e viabilizem o alcance do equi-

ĺıbrio.

O plano de previdência dos servidores públicos, que funciona sob o regime de finan-

ciamento de capitalização, é do tipo Benef́ıcio Definido (BD) −, cujo valor do benef́ıcio

é determinado segundo regras previamente estabelecidas (NOGUEIRA, 2012). Em tais

planos, o papel do atuário − técnico especializado em matemática superior que atua

(...) em seguro privado e social, calculando probabilidades de eventos, avaliando riscos

e fixando prêmios, indenizações, benef́ıcios e reservas matemáticas (BRASIL, 1970) −

torna-se ainda mais relevante, dada a complexidade dos fatores e incertezas que envol-

vem a apuração do custo previdenciário (GUSHIKEN et al., 2002). A partir dessa ideia,

o foco do presente trabalho restringe-se à dinâmica do compromisso assumido com os

participantes deste plano, que vai desde o estabelecimento de seu valor, denominado

custo previdenciário, ao seu cont́ınuo monitoramento.

O custo previdenciário é mensurado pela Reserva Matemática (RM) e financiado

pelo Custo Normal (CN). RM é o montante calculado atuarialmente, em determinada

data, que expressa, em valor presente, o total dos recursos necessários ao pagamento

dos compromissos do plano de benef́ıcios ao longo do tempo (BRASIL, 2008). Cabe

destacar que neste trabalho o termo Reserva Matemática é sinônimo de Provisão Ma-

temática e Passivo Atuarial, conforme o uso de Winklevoss (1993). CN, por sua vez, é

o total de recursos destinados ao sistema por todas as partes contribuintes, de acordo

com Mascarenhas, Oliveira e Caetano (2004) e Iyer (2002).

Dadas as dificuldades para mensurar a RM − oriundas do caráter estocático da

ocorrência de determinados eventos −, é necessária a suposição sobre o comportamento

futuro de variáveis que interferem no equiĺıbrio financeiro e atuarial do RPPS, ou seja,

de Premissas Atuariais (MASCARENHAS; OLIVEIRA; CAETANO, 2004). Conforme

a classificação proposta por Rodrigues (2008), elas podem ser econômicas, biométricas

ou genéricas.

As Premissas Econômicas lidam com as relações macroeconômicas (internas e ex-

ternas) ou a elas estão submetidas. A inexistência de certeza no processo de escolha

dessas premissas tende a gerar a anualização dos modelos atuariais, e consequente-


5

mente tende a consolidar uma visão de curto prazo na tomada dos riscos atuariais e

financeiros. São exemplos desse tipo de premissa: o indexador dos benef́ıcios e o ganho

real dos investimentos, dentre outros.

As Premissas Biométricas impactam o modelo do ponto de vista da extensão e saúde

da vida humana em várias dimensões, procurando refletir o comportamento biométrico

de determinado grupo. Entre elas estão a Mortalidade Geral e a Entrada em Invalidez,

dentre outros.

As Premissas Genéricas são interventoras de ordem geral (como o nome sugere), de

dif́ıcil precisão, pouco controláveis pelo modelo e requerem tratamento espećıfico, de

acordo com o plano de benef́ıcios. Tais premissas são, em geral, foco das propostas de

revisão da legislação previdenciária. Em especial, discutem-se parâmetros como a idade

e o tempo de contribuição mı́nimos para a concessão de benef́ıcios de aposentadoria.

Segundo Rodrigues (2008), a escolha e o uso de premissas distantes da realidade

à qual os agentes (participantes, patrocinadora e gestora do plano) estão vinculados

podem levar a custos incorretos e ocasionar déficit ou superávit técnico, além de super

ou subexposição ao risco e problemas de solvência e liquidez: por um lado, o uso de

premissas conservadoras pode conduzir a custos iniciais mais elevados − o que afetaria

negativamente o consumo imediato do contribuinte −, embora com riscos menores; por

outro, a adoção de premissas menos conservadoras podem conduzir a custos menos

elevados e maiores riscos de solvência. Apesar disso, observa-se que alguma margem

de segurança é necessária e prefeŕıvel.

Deste modo, a escolha das premissas deve ser orientada pelo conservadorismo, con-

sistências retrospectiva e prospectiva, prudência, precisão e flexibilidade, de modo a

minimizar os riscos (as perdas que tragam volatilidade aos resultados necessários à

solvência). Dentre os diversos tipos de riscos associados a planos BD, ilustram-se dois,

de acordo com os objetivos deste estudo: o risco operacional e o biométrico, relativos a

perdas provenientes dos riscos tecnológico, humano, de modelagem e de regulação e a

possibilidade de que as premissas assumidas pelo atuário para eventos biométricos não

venham a se realizar conforme previsto no modelo atuarial, respectivamente.

Diante desse contexto de desequiĺıbrio finaceiro-atuarial, marcado por um conjunto


6

de riscos que impactam no cálculo atuarial (Custo Normal e Reserva Matemática),

apresenta-se, a seguir, o objetivo desta pesquisa.

A partir de dados dos servidores (ativos, inativos e falecidos) vinculados ao RPPS

denominado Instituto de Previdência dos Servidores Municipais de Cabedelo/PB (IP-

SEMC), objetiva-se:

• De modo geral, analisar a aplicabilidade de modelos de sobrevivência de riscos

competitivos, sob a perspectiva de múltiplos estados, para estimação das variáveis

“tempo de postergação de aposentadoria” e “tempo de permanência no serviço

público”, tendo em vista seus impactos sobre a idade e o tempo de contribuição

para aposentadoria, respectivamente.

• De modo espećıfico, analisar, além da “mortalidade”− por meio de métodos de

extrapolação e previsão −, o efeito das variações das premissas estimadas sobre

as reservas matemáticas e o custo normal do RPPS analisado.

Essa pesquisa busca, dessa forma, contribuir para a ampliação do escopo dos es-

tudos atuariais que podem − e precisam − fundamentar os debates sobre a previdên-

cia pública, explorando novos caminhos metodológicos pautados em dados fidedignos.

Ressalva-se, contudo, que as tomadas de decisão nesse campo devem, também, levar

em consideração um amplo conjunto de questões, de ordens poĺıticas e socioeconômicas

que fogem ao propósito deste trabalho.

Como dito, premissas atuariais são usadas pra calcular os custos e a reserva de um

plano de previdência. Elucida-se que algumas delas são decrementais − são capazes

de alterar o status biométrico do segurado − e aplicáveis aos membros do plano: por

exemplo, os participantes podem perder o status de ativo em decorrência das contin-

gências de morte, invalidez e rescisão/demissão/sáıda, enquanto os membros não ativos

podem perder tal status motivados pela morte. Essas contingências são tratadas na

matemática das aposentadorias por meio de taxas unidecrementais e multidecremen-

tais, sendo que: as primeiras se referem à proporção de participantes que abandonam

um status em decorrência de um evento aleatório particular, sob a suposição de que


7

não há outros decrementos aplicáveis; as últimas consideram que existem outros de-

crementos aplicáveis, ou seja, os riscos são conjuntos e excludentes (WINKLEVOSS,

1993).

Em relação à morte e à invalidez, todo plano de previdência, no momento de escolha

de suas premissas, necessita adotar tábuas biométricas que reflitam a realidade mais

próxima posśıvel da massa de segurados, visto que influenciam as estimativas de seus

custos, consoante Martins (2007) e Bowers et al. (1997). Elas compõem, em conjunto

com as variáveis financeiras, os principais riscos relativos à modelagem da contribuição

do participante de um plano de benef́ıcios (BORGES, 2009).

A Portaria MPAS no 403/2008 estabelece que as Avaliações e Reavaliações atuariais

(ARA) dos RPPSs usem tábuas que não indiquem obrigações inferiores a: tábua atual

do Instituto Brasileiro de Geografia e Estat́ıstica (IBGE) para o benef́ıcio de Sobre-

vivência de Ativos e Inválidos; tábua Álvaro Vindas para o benef́ıcio de Entrada em

Invalidez. Como as tábuas devem refletir a mortalidade e a invalidez de longo prazo,

além da atual, tais limites procuram evitar que os RPPSs trabalhem com premissas que

possam comprometer a saúde financeira dos seus regimes, apesar de que tais limites são

questionados pela comunidade atuarial por questão de defasagem e não atendimento

ao seu objetivo. A premissa de Sobrevivência de Ativos, por exemplo, vem aumen-

tando consideravelmente e o uso de uma tábua defasada pode trazer sérios riscos para

o RPPS, o que mostra a necessidade e a importância desses estudos.

No Brasil, quer no segmento público, quer no privado, ainda se utiliza de tábuas

de referência estrangeiras, dada a carência de tábuas biométricas estabelecidas com

base em nossa experiência. Nos últimos anos, no entanto, têm sido constrúıdas tábuas

biométricas baseadas em experiência de órgãos governamentais, como nos trabalhos

apresentados por Beltrao e Pinheiro (2002), Beltrao e Sugahara (2002), Oliveira et al.

(2012), Ribeiro (2006) e Silva (2008), dentre outros. Sucintamente, tábuas relativas à

morte e à invalidez têm sido elaboradas a partir de leis de mortalidade e suavizações,

isto é, de graduações não paramétricas e paramétricas.

Em relação à rescisão/demissão/sáıda, no caso do serviço público brasileiro − em

decorrência da estabilidade −, tem-se que estão associadas à decisão de aposentar-se


8

por parte do servidor. Dado o alcance da elegibilidade, essa decisão é explicada por

fatores internos e externos ao trabalho, que podem estimular sua antecipação ou seu

retardo, em conformidade com Beehr et al. (2000) e Zappala et al. (2008). Logo, a

efetiva idade de aposentadoria do servidor público (em especial, o municipal), além de

incerta, é de dif́ıcil estimação, dada a carência de base de dados com boa qualidade

dispońıvel (CORRÊA, 2018).

Assim, a construção de estimativas com base em outros registros administrativos,

como os de estados e munićıpios que possuam confiável massa de dados, é largamente

sugerida pelos trabalhos nacionais e constitui deśıgnio desta pesquisa; recomenda-se que

a utilização das premissas considere sempre as peculiaridades da população estudada

para que se tenham cálculos mais fidedignos, objetivando a perenização do Equiĺıbrio

Financeiro (garantia de equivalência entre as receitas auferidas e as obrigações do RPPS

em cada exerćıcio financeiro, conforme Brasil (2008)) e Atuarial (garantia de equivalên-

cia, a valor presente, entre o fluxo das receitas estimadas e das obrigações projetadas

apuradas atuarialmente, em longo prazo, de acordo com Brasil (2008)) dos Sistemas

Previdenciários Públicos.

Dito isto, fica clara a indicação de uma permanente busca por melhores estima-

ções de premissas atuariais para posterior mensuração da RM. O presente trabalho, de

acordo com as lacunas existentes, analisa as contingências morte (por meio da mortali-

dade) e sáıda (por meio dos tempos de postergação de aposentadoria e de permanência

no serviço público), além do efeito das premissas estimadas sobre o cálculo atuarial.

A morte é comumente estimada pelos modelos de Heligman e Pollard (1980) e de

Lee e Carter (1992). Aqui, a partir de tábuas do IBGE, extrapola-se a mortalidade

para além dos 80 anos de idade, consoante Castro (2018), e se predita a mortalidade

(já extrapolada) por meio dos modelos AA (NUNES; CARVALHO, 2008) e de Lee-

Carter estendido, conforme Butt, Haberman e Shang (2014). Por meio desta extensão,

é posśıvel adicionar efeitos de coorte durante o processo de estimação.

A rescisão/demissão/sáıda, quando relativa à decisão de aposentar-se, de modo

geral, é analisada por meio de modelos de regressão, em que a variável qualitativa

“aposenta ou permanece no trabalho” depende de variáveis internas e/ou externas ao


9

trabalho, como em Beehr (1986) e Taylor e Shore (1995). Alternativamente, Silveira

e Gomes (2017) e Corrêa (2018) propuseram análises da idade de concessão de apo-

sentadoria. Também com foco nesta variável, o presente trabalho analisa a sáıda do

segurado por meio dos tempos de postergação da aposentadoria e de permanência no

serviço público, por meio dos modelos tradicionais de sobrevivência − de acordo com

Carvalho et al. (2011) e Colosimo e Giolo (2006) −, e dos modelos de riscos com-

petitivos, sob a perspectiva de múltiplos estados − conforme Beyersmann, Allignol e

Schumacher (2012) e Klein et al. (2014).

Quanto ao tempo de postergação da aposentadoria − observado a partir da idade

presumida de aposentadoria (considerando as regras de elegibilidade para cada servidor)

até a idade que ocorre a concessão (evento de interesse) −, é posśıvel estimar o risco de

sáıda por parte do segurado que postergou a sua aposentadoria, tanto de modo global,

quanto por diferentes causas (aposentadoria por idade e aposentadoria por idade e

tempo de contribuição), e levando-se em consideração o efeito que algumas variáveis

podem exercer sobre essa sáıda (carreira e sexo).

Quanto ao tempo de permanência no serviço público − observado a partir da data

de admissão do servidor no serviço até a sua sáıda (evento de interesse) ou até o fim

de acompanhamento do estudo (em dezembro de 2016) −, é posśıvel estimar o risco

de que o segurado abandone o status de “ativo”, assim que posśıvel, globalmente e por

diferentes causas (por aposentadorias voluntárias, compulsória, invalidez ou morte),

levando-se em consideração o efeito que algumas variáveis podem exercer sobre essa

sáıda (carreira, sexo e regra de sáıda).

Partindo da necessidade cont́ınua de revisão das premissas utilizadas nos cálculos

atuariais, utiliza-se de dados fidedignos disponibilizados pelo IPSEMC −multivencedor

do Prêmio de Boas Práticas de Gestão de RPPS. A análise dessas premissas por meio de

apenas um RPPS, apesar de apresentar limitações, representa contribuições relevantes

ao estudo do tema nas seguintes perspectivas: a metodologia pode ser utilizada em

outros RPPSs; os resultados podem ser utilizados em avaliações atuariais de munićıpios

com caracteŕısticas similares e destacam a heterogeneidade brasileira e a necessidade

de estudos espećıficos para cada região, microrregião e munićıpios.


Caṕıtulo 2

Caracterização do RPPS

Este caṕıtulo situa o presente trabalho dentro da grande área de pesquisa em que

se insere, o Sistema Previdenciário Brasileiro, por meio da apresentação de estudos,

que servem como ponto de partida e ajudam no recorte do problema: a estimação de

contingências/premissas utilizadas no cálculo atuarial da aposentadoria programada

em RPPS. Aposentadoria programada é o conjunto de aposentadorias − formada pe-

las aposentadorias por idade, por idade e tempo de contribuição ou de serviço, além

da aposentadoria compulsória − que permite programar o momento de ińıcio de re-

cebimento dos benef́ıcios previdenciários, pois é posśıvel saber, de antemão, o tempo

necessário até se atingir os requisitos à elegibilidade (CORRÊA, 2014).

2.1 Regime Próprio de Previdência Social

A PS, conforme o art. 6o da Constituição Federal (CF), é um direito social, ou seja,

um “seguro do trabalhador”. Ela garante renda não inferior a um salário mı́nimo ao

trabalhador (ou sua famı́lia) nas situações previstas no art. 201 da referida Carta. No

Brasil, a PS é composta pelos sistemas público (RGPS e RPPS) e privado (RPC).

Segundo Brasil (2016), o RPPS é um sistema de previdência, estabelecido no âmbito

de cada ente federativo, que assegura a todos os servidores titulares de cargo efetivo,

os benef́ıcios previstos no artigo 40 da CF; o RGPS vincula obrigatoriamente todos

os trabalhadores do setor privado e servidores públicos não vinculados aos RPPSs; o

RPC, de caráter facultativo, complementa a previdência obrigatória caso o trabalhador

10


2.1 Regime Próprio de Previdência Social 11

receba proventos acima do teto (atualmente de R$ 5.645,80).

Foco deste trabalho, os RPPSs são institúıdos e organizados pelos respectivos entes

federativos, conforme a Lei no 9.717/98. Após sua instituição, os servidores titulares de

cargos efetivos aderem ao RPPS institúıdo e são afastados do RGPS (BRASIL, 2016).

Essa subseção é composta por três pontos: panorama, cobertura e legislação (para

cálculo atuarial) dos RPPSs. Nesse primeiro ponto, apresenta-se um panorama sobre os

Regimes Próprios com base nas Estat́ısticas e Informações dos RPPSs, disponibilizadas

no site da Secretaria de Previdência, ora citada Brasil (2018). O panorama aborda os

regimes previdenciários a que estão vinculados os segurados, os tipos de segurados, a

certificação de funcionamento dos RPPSs e os recursos investidos.

Tabela 2.1: Número de regimes previdenciários por unidade de federação e região,
Brasil, 2017.

Região UF Regime
RGPS RPPS RPPS em extinção

AC 21 2 -
AM 37 26 -
AP 13 4 -

Norte PA 115 30 -
RO 23 30 -
RR 14 2 -
TO 117 23 -
AL 30 72 1
BA 380 36 2
CE 119 65 1
MA 173 45 -

Nordeste PB 153 71 -
PE 36 149 -
PI 156 67 2
RN 130 37 1
SE 71 4 1
DF - 1 -

Centro-Oeste GO 75 171 1
MS 29 51 -
MT 37 105 -
ES 44 35 -

Sudeste MG 630 219 5
RJ 13 79 1
SP 422 221 3
PR 224 175 1

Sul RS 171 326 1
SC 225 70 1

Total - 3458 2116 21

Fonte: CADPREV (2017).


2.1 Regime Próprio de Previdência Social 12

A Tabela 2.1 apresenta a quantidade de entes no Brasil por regime previdenciário,

em abril/2017: havia no Brasil 2.116 RPPSs (federal, estaduais e municipais) em funci-

onamento, 21 em extinção1 e 3.458 munićıpios que não possuem RPPS (cujos servidores

vinculam-se ao RGPS). Fazendo-se a razão “número de RPPSs em funcionamento pelo

total de entes (federal, estaduais e municipais)”, tem-se que apenas 37,81% dos entes

públicos brasileiros possuem RPPS.

Segundo Brasil (2018), os RPPSs em julho de 2018 asseguravam a proteção previ-

denciária a aproximadamente 10 milhões de pessoas, entre servidores públicos titulares

de cargos efetivos (ativos, aposentados) e seus familiares (pensionistas e dependentes).

A Tabela 2.2, no entanto, apresenta quantidade inferior, pois os dependentes não foram

considerados.

Tabela 2.2: Número de segurados, por tipo, em cada categoria de RPPS ao qual estão
vinculados, Brasil, 2017.

Ativos Aposentados Pensionistas Total Razão
(At) (Ap) (Pe) At/(Ap +Pe)

União (Civis) 691.342 436.535 300.937 1.428.814 0,94
União (Mil.) 368.601 158.284 158.284 685.169 1,16
Estados 2.448.057 1.680.280 529.584 4.657.921 1,11
Munićıpios 2.337.281 480.326 135.322 2.952.929 3,80
Total 5.476.680 2.597.141 965.843 9.039.664 1,51

Fonte: Adaptado de Dataprev (2018).

O funcionamento do RPPS é examinado pela Subsecretaria dos Regimes Próprios

de Previdência Social, vinculada à Secretaria de Previdência, que emite, caso o ente

atenda aos critérios estabelecidos de boa gestão, o Certificado de Regularidade Previ-

denciária (CRP), institúıdo pelo Decreto no 3.788, de 11 de abril de 2001. Trata-se de

um documento que atesta que o ente federativo segue normas de boa gestão, de forma

que assegure o pagamento dos benef́ıcios previdenciários aos seus segurados. Ele é

exigido para que o DF, Estados e Munićıpios tenham acesso a acordos, contratos, con-

vênios, concessão de empréstimos e financiamento, além da realização de transferências

voluntárias de recursos da União (BRASIL, 2018).

1A instituição ou extinção de um RPPS se dá por meio de lei local e atualmente não existe funda-
mento normativo para a exigência de requisitos prévios destinados à análise de sua viabilidade.


2.1 Regime Próprio de Previdência Social 13

Conforme exposto na Tabela 2.3, em 21 de janeiro de 2016 aproximadamente metade

dos RPPSs apresentavam riscos em seu funcionamento, vinculados ao não recebimento

de CRP via atendimento de critérios.

Tabela 2.3: CRP por RPPS, Brasil, 2015.

Frequência Com CRP Com CRP por Sem CRP Total
Administrativo Decisão Judicial Vigente*

Absoluta 1023 268 789 2080
Relativa 0,491826923 0,128846154 0,379326923 1

Fonte: CADPREV (2016).

Dados mais recentes disponibilizados por Brasil (2018) − para estados, capitais e

DF, um total de 53 entes − apontam 35 com CRP válidos e 18 com CRP vencidos,

avaliados em fevereiro de 2018.

Em relação aos investimentos realizados pelos RPPSs − com o objetivo de capi-

talizar as contribuições recebidas e obter montante suficiente para realização de pa-

gamentos dos benef́ıcios −, distribuem-se no Brasil os percentuais expostos na Figura

2.1, em relação a um total de R$ 165.645.295.626,61, auferidos em setembro de 2015.

Conforme o propósito de seu funcionamento, além de postura conservadora, a renda

fixa representa o destino de maior parte dos investimentos (58,86%) de RPPS no Brasil,

enquanto a modalidade “outros” (ativos em enquadramento + demais bens, direitos e

ativos + disponibilidades financeiras), a menor (1,11%).

As aplicações dos RPPSs institúıdos pela União, pelos Estados, pelo Distrito Fe-

deral e pelos Munićıpios obedecem ao disposto na Resolução CMN no 3.922, de 25 de

novembro de 2010 e representaram, em 2015, quase 10% do Produto Interno Bruto

(PIB) do Brasil.


2.1 Regime Próprio de Previdência Social 14

Figura 2.1: Investimentos dos RPPSs por modalidade de ativo, Brasil, 2015.
Fonte: DAIR (2015).

Segundo Nogueira (2016), dentre os desafios dos RPPSs se encontram: a judiciali-

zação do CRP − um risco para a supervisão; a “descapitalização dos fundos previden-

ciários”2; o equacionamento do déficit atuarial passado; as regras especiais de acesso a

benef́ıcios; o aumento da expectativa de sobrevida da população brasileira.

Uma vez apresentado este panorada, trata-se do segundo ponto, referente aos as-

pectos gerais de cobertura (benef́ıcios e contribuições) dos RPPSs. Com exceção dos

casos especificados na CF, Emenda Constitucional (EC) no 20/98, EC no 41/2003 e EC

no 47/2005, o RPPS se limita a conceder benef́ıcio apenas aos dependentes constantes

do rol definido pelo RGPS (cônjuge/companheiro, filhos, pais e irmãos) e não poderá

conceder benef́ıcio distinto dos previstos pelo RGPS (BRASIL, 2016), quais sejam:

a) Ao servidor

• aposentadoria por invalidez;

• aposentadoria compulsória;

• aposentadoria voluntária por idade e tempo de contribuição, aqui denominada

aposentadoria por tempo de contribuição;

2Prática de alguns RPPSs que, apesar de optarem pela segregação de massa − alternativa de equa-
cionamento do déficit atuarial que consiste na separação dos segurados e dos recursos em dois Planos
(Previdenciário, que é capitalizado, e o Financeiro, sob o regime de repartição simples) −,utilizam-se
de recursos capitalizados do Plano Previdenciário.


2.1 Regime Próprio de Previdência Social 15

• aposentadoria voluntária por idade;

• aposentadoria especial;

• aux́ılio-doença;

• salário-famı́lia;

• salário-maternidade.

b) Ao dependente

• pensão por morte;

• aux́ılio-reclusão.

De acordo com o objetivo do trabalho, o Quadro 2.1 apresenta as definições de

alguns desses benef́ıcios. Sob a regra permanente (regramento previdenciário ao qual

os servidores efetivos que ingressaram no serviço público a partir de 01/01/2004 estão

submetidos), o cálculo desses proventos considera, a partir de 20/02/2004, a média

aritmética simples das maiores remunerações3 ou subśıdios (com valores atualizados,

mês a mês), correspondentes a 80% de todo o peŕıodo contributivo desde a competên-

cia julho/1994 ou desde a competência do ińıcio da contribuição, se posterior àquela

(BRASIL, 2016).

3As remunerações consideradas no cálculo da média, depois de atualizadas, não poderão ser infe-
riores ao valor do salário-mı́nimo e nem superiores ao limite máximo do salário-de-contribuição.


2.1 Regime Próprio de Previdência Social 16

Norma Disposição
Aposentadoria Benef́ıcio concedido ao servidor titular de cargo efetivo da União,
por invalidez dos Estados, do Distrito Federal e dos Munićıpios, inclúıdas suas

suas autarquias e fundações, que apresentar incapacidade perma-
nente para o trabalho, conforme definido em laudo médico pericial.

Aposentadoria Benef́ıcio concedido ao servidor titular de cargo efetivo da União,
compulsória dos Estados, do Distrito Federal e dos Munićıpios, inclúıdas suas

autarquias e fundações, que completar setenta anos de idade.
Aposentadoria Benef́ıcio concedido ao servidor titular de cargo efetivo da União,
voluntária dos Estados, do Distrito Federal e dos Munićıpios, inclúıdas suas

autarquias e fundações, que preencher, cumulativamente os requi-
sitos mı́nimos exigidos de tempo de efetivo exerćıcio no serviço

público, tempo de efetivo exerćıcio no cargo efetivo em que se der
a aposentadoria, idade e tempo de contribuição, que ingressaram

no serviço público a partir de 01/01/2004, ou àqueles que não
optaram pelas regras dos artigos 2o e 6o da EC 41/03 ou do artigo

3o da EC 47/04. Há dois tipos: aposentadoria voluntária por
idade e tempo de contribuição e aposentadoria por idade.

Aposentadoria Benef́ıcio concedido ao servidor titular de cargo efetivo da União,
voluntária dos Estados, do Distrito Federal e dos Munićıpios, inclúıdas suas
por idade autarquias e fundações que preencher, cumulativamente, os se-
e tempo de guintes requisitos: tempo mı́nimo de efetivo exerćıcio no serviço
contribuição público de 10 anos; tempo mı́nimo de efetivo exerćıcio no cargo

em que se der a aposentadoria de 5 anos; idade mı́nima: 60 anos,
se homem e 55, se mulher; tempo de contribuição: 35 anos, se

homem, 30, se mulher.
Aposentadoria Benef́ıcio concedido ao servidor titular de cargo efetivo da União,
voluntária dos Estados, do Distrito Federal e dos Munićıpios, inclúıdas suas
por idade autarquias e fundações que preencher, cumulativamente, os seguin-

tes requisitos: tempo mı́nimo de efetivo exerćıcio no serviço pú-
blico de 10 anos; tempo mı́nimo de efetivo exerćıcio no cargo em
que se der a aposentadoria de 5 anos; idade mı́nima: 65 anos, se

homem e 60 anos, se mulher.
Aposentadoria Benef́ıcio concedido ao servidor titular de cargo efetivo da União,
especial do dos Estados, do Distrito Federal e dos Munićıpios, inclúıdas suas
professor autarquias e fundações que comprove, exclusivamente, tempo de

efetivo exerćıcio das funções de magistério na educação infantil e no
ensino fundamental e médio. Nesse caso, para efeito da aposenta-

doria voluntária por “idade e tempo de contribuição”, terá os
requisitos de idade e de tempo de contribuição reduzido em 5 anos.

Pensão Benef́ıcio concedido ao conjunto dos dependentes do segurado fale-
por morte cido. A partir de 20/02/2004, data de publicação da MP no 167, o

valor dos proventos na pensão por morte será a totalidade dos pro-
ventos percebidos pelo aposentado na data anterior à do óbito.

Fonte: Adaptado de Brasil (2016).

Quadro 2.1: Legislação vigente relacionada a RPPS, Brasil, 2017.


2.1 Regime Próprio de Previdência Social 17

Para o cálculo do valor inicial dos proventos proporcionais ao tempo de contribuição,

utiliza-se a razão cujo numerador é o total de tempo trabalhado e o denominador é

o tempo necessário à respectiva aposentadoria voluntária com proventos integrais (60

anos de idade e 35 anos de tempo de contribuição, se homem e 55 anos de idade e 30

anos de tempo de contribuição, se mulher), ambos em número de dias (BRASIL, 2016).

O valor dos proventos na pensão por morte, limitado pelo valor estabelecido para

os benef́ıcios do RGPS (acrescida de setenta por cento da parcela excedente a esse

limite), será igual a totalidade da remuneração (ou provento) do servidor ativo (ou

aposentado), na data anterior à do óbito (BRASIL, 2016).

Tais benef́ıcios são financiados mediante contribuições do ente federativo, dos ser-

vidores ativos, inativos e pensionistas, observados critérios que preservem o equiĺıbrio

financeiro e atuarial. A aĺıquota de contribuição dos segurados (ativos, aposentados

e pensionistas) ao RPPS não poderá ser inferior à dos servidores titulares de cargo

efetivo da União, atualmente fixada em 11% (onze por cento), e também incidirá so-

bre o décimo terceiro salário; a contribuição do ente federativo não poderá ser inferior

ao valor da contribuição do servidor ativo nem superior ao dobro desta, observado o

cálculo atuarial anual.

No que diz respeito à legislação em RPPS, terceiro ponto abordado sobre o tema,

para fins de cálculo atuarial, tem-se como base a Consolidação da Legislação sobre

Regimes Próprios (atualizada até 04/09/2018)4, e comentam-se a EC no 41/2003 e a

portaria no 403/2008, ora citada como Brasil (2008).

Segundo Mascarenhas, Oliveira e Caetano (2004), a EC no 41/2003 instituiu mo-

dificações paramétricas (aquelas que alteram o plano de benef́ıcios previdenciários sem

mudar a sua forma de financiamento) e estruturais (aquelas que alteram a forma de

financiamento dos benef́ıcios) em RPPS. As mudanças paramétricas afetaram os planos

de benef́ıcios no que tangeà base de cálculo dos benef́ıcios, às regras (permanente e de

transição) de elegibilidade, à indexação dos benef́ıcios e à contribuição previdenciária

de inativos e pensionistas.

Em relação às modificações estruturais, a EC no 41/2003 possibilitou a criação do

4Dispońıvel em: http://sa.previdencia.gov.br/site/2018/09/CONSOLIDACAO-LEGISLACAO-
RPPS-atualizada-ate-04-setembro-2018.pdf


2.1 Regime Próprio de Previdência Social 18

RPC, mais tarde implementada pela Lei no 12.618/2012, para os servidores públicos

federais titulares de cargo efetivo (tal lei não comtempla servidores públicos estaduais

ou municipais) (MASCARENHAS; OLIVEIRA; CAETANO, 2004).

A portaria no 403 de 10 de dezembro de 2008, ora citada Brasil (2008), dispõe sobre

as normas aplicáveis às Avaliações e Reavaliações Atuariais (ARAs) dos RPPSs da

União, dos Estados, do Distrito Federal e dos Munićıpios (...) e dá outras providências”.

Em seu art. 1o, afirma que as ARAs, com o objetivo de dimensionar os compromissos do

plano de benef́ıcios e estabelecer o Plano de Custeio que observe o equiĺıbrio financeiro

e atuarial dos RPPSs, devem ser elaboradas utilizando-se dos parâmetros fixados nesta

portaria. O Plano ou Método de Custeio, por sua vez, define o modo de financiamento

dos benef́ıcios oferecidos pelo plano de benef́ıcios, representadas pelas aĺıquotas de

contribuições previdenciárias (normais e suplementares, quando for o caso) a serem

pagas pelo ente federativo, pelos servidores ativos e inativos e pelos pensionistas ao

respectivo RPPS, de modo que se atinja o equiĺıbrio financeiro e atuarial (BRASIL,

2008).

Em seu art. 2o, define-se Avaliação Atuarial como

estudo técnico desenvolvido pelo atuário, baseado nas caracteŕısticas biométricas, demo-

gráficas e econômicas da população analisada, com o objetivo principal de estabelecer,

de forma suficiente e adequada, os recursos necessários para a garantia dos pagamentos

dos benef́ıcios previstos pelo plano (BRASIL, 2008).

É necessário determinar a situação econômico-financeira de longo prazo de um

RPPS, avaliando-se a capacidade financeira do regime em solver suas obrigações previ-

denciais com os seus associados e dependentes. Tais obrigações não apresentam valor

e data para pagamento conhecidos, sendo geradoras de incertezas e aproximadas por

meio de premissas, conforme Mascarenhas, Oliveira e Caetano (2004).

As ARAs, segundo o art. 3o, devem obedecer às premissas e diretrizes fixadas na

Nota Técnica Atuarial (NTA) − documento exclusivo de cada RPPS que descreve de-

talhadamente as caracteŕısticas gerais dos planos de benef́ıcios, as premissas adotadas,

a formulação para o cálculo do custeio e das reservas matemáticas (BRASIL, 2008) −

do respectivo RPPS e os resultados devem constar do Parecer Atuarial − documento


2.1 Regime Próprio de Previdência Social 19

que apresenta, de forma conclusiva, a situação financeira e atuarial do plano, certifica

a adequação da base de dados e das hipóteses utilizadas na avaliação e aponta medidas

para a busca e manutenção do equiĺıbrio financeiro e atuarial (BRASIL, 2008).

Quanto aos Regimes de Financiamento de seu Plano de Benef́ıcios, expostos no art.

4o, os RPPSs podem adotar três modalidades, obedecidos os parâmetros mı́nimos de

prudência estabelecidos nesta Portaria:

• Regime Financeiro de Capitalização − regime em que as contribuições estabeleci-

das no plano de custeio, a serem pagas pelo ente federativo, pelos servidores ativos

e inativos e pelos pensionistas, acrescidas ao patrimônio existente, às receitas por

ele geradas e a outras espécies de aportes, sejam suficientes para a formação dos

recursos garantidores a cobertura dos compromissos futuros do plano de bene-

f́ıcios e da taxa de administração (BRASIL, 2008). Custeiam aposentadorias e

pensões dos RPPSs;

• Regime Financeiro de Repartição de Capitais de Cobertura − Regime em que as

contribuições estabelecidas no plano de custeio, a serem pagas pelo ente federa-

tivo, pelos servidores ativos e inativos e pelos pensionistas, em um determinado

exerćıcio, sejam suficientes para a constituição das reservas matemáticas dos be-

nef́ıcios iniciados por eventos que ocorram nesse mesmo exerćıcio, admitindo-se

a constituição de fundo previdencial para oscilação de risco (BRASIL, 2008);

• Regime Financeiro de Repartição Simples − Regime em que as contribuições

estabelecidas no plano de custeio, a serem pagas pelo ente federativo, pelos servi-

dores ativos e inativos e pelos pensionistas, em um determinado exerćıcio, sejam

suficientes para o pagamento dos benef́ıcios nesse exerćıcio, sem o propósito de

acumulação de recursos, admitindo-se a constituição de fundo previdencial para

oscilação de risco (BRASIL, 2008).

O art. 5o afirma que “o ente federativo, a unidade gestora do RPPS e o atuário

responsável pela elaboração da avaliação atuarial devem eleger as hipóteses (...) ade-

quadas às caracteŕısticas da massa de segurados e de seus dependentes”, obedecendo-se

os parâmetros estabelecidos.


2.2 Premissas Decrementais 20

O art. 6o (BRASIL, 2008), por sua vez, trata das tábuas biométricas referenciais

que devem ser utilizadas para projeção da biometria dos segurados (e de seus depen-

dentes). Tratam-se de instrumentos estat́ısticos utilizados na avaliação atuarial que

expressam as probabilidades de ocorrência de eventos relacionados com sobrevivência,

invalidez ou morte de determinado grupo de pessoas vinculadas ao plano (BRASIL,

2008). Elas não podem indicar obrigações inferiores às alcançadas pelas seguintes tá-

buas: i) Sobrevivência de Válidos e Inválidos − Tábua atual de mortalidade elaborada

para ambos os sexos pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estat́ısticas (IBGE); ii)

Entrada em Invalidez − Álvaro Vindas, como limite mı́nimo de taxa de entrada em

invalidez.

Dos artigos 7o ao 11o (BRASIL, 2008), são detalhadas outras premissas que com-

põem os cálculos atuariais. No Anexo da mesma portaria se apresentam, por fim, os

elementos mı́nimos de uma NTA: seus objetivos, premissas, modalidade dos benef́ıcios,

regimes financeiros, métodos de financiamento, contribuições, reservas, compensação

previdenciária e segregação de massa.

2.2 Premissas Decrementais

Como dito, aqui, observam-se as contingências Morte e Sáıda. Em decorrência

desse recorte, as premissas de interesse são, consequentemente, Mortalidade e Idade

de Aposentadoria − aqui investigada por meio dos tempos, quer seja até a sáıda do

servidor, assim que posśıvel, quer seja postergadamente.

Em relação à Mortalidade aplicada ao âmbito securitário/previdenciário, buscou-se,

na literatura (estrangeira e nacional), compreender quais os problemas que vem sendo

abordados, bem como quais métodos vêm sendo utilizados − nas últimas décadas e em

diferentes lugares. Assim, observou-se que, de um modo geral, os trabalhos:

• Estimam estática e parametricamente a mortalidade − tais como Aucejo, Suay

e Garrido (2005), Butt e Haberman (2004), Beltrao e Pinheiro (2002), Heligman

e Pollard (1980) −, inclusive por meio de Modelos Lineares Generalizados −

Wong-Fupuy e Haberman (2004), Frias e Rodriguez (1997), Paes (1995), Renshaw


2.2 Premissas Decrementais 21

(1991);

• Estimam estática e não parametricamente a mortalidade − (Aucejo, Suay e Gar-

rido (2009), Martins (2007), Aucejo (2003);

• Estimam a mortalidade de forma dinâmica − Fernandez (2008), Haberman e

Russolillo (2005), Neves e Migon (2004), Coelho (2001), Lee e Carter (1992);

• Analisam a mortalidade sob a ótica dos múltiplos decrementos − Borges (2009),

Macdonald (1996a), Macdonald (1996b), Macdonald (1996c);

• Investigam a mortalidade para idade avançadas (estudos de fim de tábua) −

Martins (2007), Hustead (2005), Thatcher, Kannisto e Vaupel (2001), Kannisto

(1996).

De acordo com os trabalhos listados, observa-se que a mortalidade é comumente

estimada, de forma estática, por meio de modelos de sobrevivência paramétricos (leis

de mortalidade), com destaque para os propostos por Makeham (1867) e Heligman

e Pollard (1980); suas estimativas dinâmicas, que consideram o efeito do tempo, são

viabilizadas principalmente pelo modelo de Lee e Carter (1992).

Além disso, foi posśıvel notar que os estudos sobre mortalidade realizados fora do

Brasil se concentram na estimativa das taxas de mortalidade (e outros decrementos),

na construção de tábuas biométricas e na proposição de novos modelos de graduação

paramétrica. Os estudos no Brasil, por sua vez, se concentram em: estimar a morta-

lidade (e outros decrementos) e construir tábuas biométricas; investigar as diferentes

causas de sáıda do funcionalismo público; compreender as transições entre diferentes

estados relacionados ao sistema previdenciário brasileiro; etc. Destes, grande parte se

utilizou de dados de previdência obrigatória, com destaque para: os inválidos segurados

de clientela urbana do RGPS (RIBEIRO; REIS; BARBOSA, 2010); a população idosa

aposentada pelo RGPS (SOUZA, 2009); os servidores civis do Poder Executivo Federal

(BORGES, 2009); os servidores públicos civis do poder executivo do Estado de São

Paulo no peŕıodo de 1990 a 2005 (SILVA, 2008); os servidores públicos estatutários


2.2 Premissas Decrementais 22

da administração direta do munićıpio do Rio de Janeiro (MARTINS, 2007); os funci-

onários públicos civis federais no peŕıodo de 1993 a 1999 (BELTRAO; SUGAHARA,

2002). Por tratarem especificamente do funcionalismo público brasileiro, alguns deles

são explanados a seguir.

Borges (2009), a partir de dados coletados em outubro de 2008 junto ao Sistema

Integrado de Administração de Recursos Humanos (SIAPE), construiu, segundo es-

colaridade e sexo: tábuas de mortalidade para os aposentados por invalidez e para

os ativos e aposentados por outras causas, considerando a morte como único decre-

mento posśıvel, por meio dos modelos de Heligman e Pollard (1980) e de Lee e Carter

(1992); tábuas de múltiplos decrementos considerando as diferentes formas de sáıda do

funcionalismo público, como a morte, aposentadoria (exceto invalidez), aposentadoria

por invalidez e exoneração/demissão. Concluiu que a mortalidade dos ativos do sexo

masculino é maior que a do sexo feminino, assim como as probabilidades de morte são

maiores para o grupo de ńıvel médio em relação ao pessoal com ńıvel superior, com

tendência de queda nos ńıveis de mortalidade. Quanto à entrada em invalidez, ela é

direta e inversamente proporcional a idade e a escolaridade, respectivamente.

Martins (2007) investigou duas populações: os servidores públicos estatutários da

administração direta do munićıpio do Rio de Janeiro, observados de 01/04/2000 a

18/12/2006, envolvendo 134.792 registros; aposentados por invalidez do INSS, que rege

a previdência básica compulsória dos trabalhadores do setor privado na iniciativa ur-

bana, observados de 1999 a 2003, compreendendo uma exposição central de 3,0 e 4,6

milhões de vidas-anos para os sexos feminino e masculino respectivamente. O trabalho

construiu parametricamente tábuas (estáticas e dinâmicas) biométricas para mortali-

dade de ativos e mortalidade de inválidos e ratificou empiricamente que não há modelo

melhor que o outro, e só o caso prático irá direcionar para qual deva ser utilizado.

Portanto, a conclusão é que o maior número de modelos posśıvel, paramétricos e não-

paramétricos, deve ser testado antes de se decidir pela utilização de um determinado.

Beltrao e Sugahara (2002) constrúıram, a partir de dados do SIAPE, tábuas de

vida para os funcionários públicos civis federais no peŕıodo de 1993 a 1999. As tábuas

foram constrúıdas desagregando-se os funcionários por ńıvel educacional (ńıvel superior


2.2 Premissas Decrementais 23

ou não) e ajustadas pelo modelo de Heligman e Pollard (1980). Dentre os principais

resultados, encontraram que para as idades intermediárias entre 40 e 90 anos, a aderên-

cia dos dados ao modelo parece muito boa; a sobremortalidade masculina por ńıvel de

escolaridade; as sobremortalidades, tanto de homens quanto de mulheres, são de pelo

menos 50% a mais para o pessoal de médio do que para o de ńıvel superior.

Os trabalhos nacionais ratificam a necessidade da construção de tábuas biométricas

no Brasil. Para justificar tal necessidade, Ramos (2015) aponta as diferenças entre

a população que gerou as estimativas da tabela e a população-objeto do seguro, a

vastidão do território brasileiro e as diferenças regionais em associação com os processos

migratórios e as diferenças entre as metodologias de construção. Deste modo, esta tese

opta por construir estimativas para a mortalidade − depois de sua extrapolação pelo

método de Castro (2018) −, a partir de tábuas do IBGE e por meio do modelo de Lee-

Carter estendido, que considera os efeitos de idade, tempo e coorte, conforme notação

de Butt, Haberman e Shang (2014) e explicitação na subseção 3.1.

Em relação à Idade de Aposentadoria, tem-se que apesar de estudos conclúırem

que a decisão de aposentadoria pode se dar em idades diferentes da idade mı́nima de

elegibilidade (BEEHR et al., 2000), para os servidores públicos municipais brasileiros

não é evidente como se dá essa postergação (CORRÊA, 2014).

A postergação da aposentadoria (o adiamento da sáıda do serviço público), seja

compulsória (pelo aumento da idade presumida), seja voluntária (por meio de incentivos

de permanência), está relacionada a diversas questões, tais quais:

• As discussões acerca da determinação da idade presumida de aposentadoria;

• Os fatores que influenciam a decisão voluntária de aposentar-se;

• A dinâmica conceitual de aposentadoria;

• A permanência no mercado de trabalho após a aposentadoria.

O primeiro desses pontos, a determinação da idade presumida de aposentadoria,

é discutido há muito tempo. Rosen e Jerdee (1985) e Galasso (2008), por exemplo,

afirmam que devido ao processo de envelhecimento, os sistemas de seguridade social


2.2 Premissas Decrementais 24

terão que ser reduzidos. Este, inclusive, realizou simulações e sugeriu que, para 2050,

na França, Itália, Reino Unido e EUA, a idade de aposentadoria será adiada, enquanto

a taxa de contribuição previdenciária aumentará.

Como as populações mais velhas estão significativamente associadas a um maior

tempo de aposentadoria e menor tempo de trabalho (PROFETA, 2002), alguns autores,

como Breyer e Kifmann (2002) tentam induzir os trabalhadores a se aposentarem mais

tarde fortalecendo a ligação entre a idade de aposentadoria e o ńıvel de benef́ıcio, ou

seja, analisam as implicações financeiras de longo prazo que tal reforma provocariam.

De fato, em muitos páıses do mundo, algumas reformas já foram implementadas,

mediante o aumento da idade legal de aposentadoria, maior flexibilidade nas regras

de aposentadoria compulsória e redução de provisões para aposentadoria antecipada

(PROFETA, 2002).

O segundo dos pontos, ou seja, os fatores que influenciam a decisão voluntária de

aposentar-se, são classificados como sendo dos domı́nios interno (autonomia, variedade

de habilidades, importância da tarefa, interação com os outros, redução da força de

trabalho, incentivo à aposentadoria das organizações e cansaço no trabalho) e externo

(disponibilidade de seguro saúde, necessidade de cuidar de outra pessoa, idade legal

obrigatória para aposentadoria) ao trabalho, em conformidade com Beehr (1986), Feld-

man (1994), Taylor e Shore (1995), Beehr et al. (2000) e Zappala et al. (2008).

A literatura, de modo geral, conclui que dentre os principais preditores de decisões

de aposentadoria estão as finanças − como em Beehr (1986), Robinson, Coberly e Paul

(1985), Talaga e Beehr (1989) e Taylor e Shore (1995) − e a saúde, de acordo com

Talaga e Beehr (1989) e Taylor e Shore (1995)).

No entanto, observa-se que a natureza e definição da aposentadoria vem mudando

nos últimos anos, de modo que a aposentadoria (o terceiro dos pontos) não significa

necessariamente a retirada total e permanente do trabalho remunerado − consoante

Beehr (1986), Feldman (1994), Lawson (1991) e Talaga e Beehr (1989). Muitos apo-

sentados trabalham nas mais diversas cargas horárias (peŕıodos integral ou parcial),

para si ou para um novo empregador, e na mesma ou numa nova ocupação (LAWSON,

1991). A divisão entre trabalho e aposentadoria, portanto, não é totalmente distinta.


2.2 Premissas Decrementais 25

Na prática, um fator que incentiva o adiamento da aposentadoria por parte do ser-

vidor público no Brasil (o quarto dos pontos elencados) é o abono de permanência.

O segurado ativo que tenha completado as exigências para aposentadoria voluntária

pela regra permanente por idade e tempo de contribuição e especial do professor, e

por aquela da regra de transição estabelecida no artigo 2o da EC 41/2003, que optar

por permanecer em atividade fará jus a um abono de permanência equivalente ao va-

lor5 da sua contribuição previdenciária até completar as exigências para aposentadoria

compulsória. (BRASIL, 2016).

No Brasil, recentemente, investigaram a idade de aposentadoria em RPPSs, os

trabalhos de Silveira e Gomes (2017) e Corrêa (2018).

Silveira e Gomes (2017), partindo da ideia de aposentadoria tardia, propôs, para

aposentadoria programada, a ponderação entre a idade real da entrada em benef́ıcio

com a estimada, através de um estudo do comportamento histórico dos servidores

públicos do munićıpio de Três Marias/MG, observados até dezembro de 2013.

Corrêa (2018), por sua vez, propôs uma função a ser utilizada como premissa para

a probabilidade de se aposentar por aposentadoria programada. Para isso, recorreu a

dados de aposentadorias do RGPS, dado que não existem informações dispońıveis para

o RPPS. Inicialmente, estimou-se a taxa de entrada em aposentadoria como a razão

entre o número de aposentadorias concedidas e o número de contribuintes, a cada grupo

etário, em determinado peŕıodo. Depois de anualizadas, as taxas foram convertidas em

probabilidades de aposentadoria a cada idade e sexo.

A presente tese investiga a idade de concessão de aposentadoria do servidor a partir

da idade presumida de aposentadoria e do tempo postergado de aposentadoria. Para

isso, utilizou-se dos dados dos segurados inativos do IPSEMC até dezembro de 2016.

Dado que a idade presumida de aposentadoria é pré-estabelecida pelos critérios de ele-

gibilidade, em conformidade com (BRASIL, 1988) e a EC no 20/1998, foco foi dado

ao tempo postergado, analisado por meio de modelos de sobrevivência tradicionais −
5O valor do abono de permanência será equivalente ao valor da contribuição efetivamente descon-

tada do servidor, ou recolhida por este, relativamente a cada competência. O pagamento do abono de
permanência é de responsabilidade do respectivo ente federativo e será devido a partir do cumprimento
dos requisitos para obtenção do benef́ıcio, mediante opção expressa pela permanência em atividade
(BRASIL, 2016).


2.2 Premissas Decrementais 26

conforme Carvalho et al. (2011) e Colosimo e Giolo (2006) −, por modelos de sobre-

vivência de riscos competitivos − de acordo com Beyersmann, Allignol e Schumacher

(2012) e Klein et al. (2014). Assim, é posśıvel estimar o tempo de postergação de

aposentadoria desses servidores, globalmente e por causa (aposentadoria por idade e

tempo de contribuição, aposentadoria por idade), considerando-se o efeito de algumas

covariáveis (sexo e carreira).

Além disso, aqui se estima o tempo de permanência no serviço público, também com

dados dos segurados (ativos, inativos e pensionistas) do IPSEMC. A partir da data de

admissão dos (ex) servidores, foi posśıvel acompanhá-los até a data de sua sáıda ou até

o término do seguimento, em dezembro de 2016. Assim, estima-se, por meio dos mo-

delos apresentados no parágrafo anterior, o tempo de permanência, considerando cinco

causas de sáıda (morte, aposentadoria por idade, aposentadoria por idade e tempo de

contribuição, aposentadoria compulsória, aposentadoria por invalidez) e três covariáveis

(sexo, carreira e regra de sáıda).

As transições entre estados apontadas nos parágrafos anteriores nos leva a algu-

mas definições: um modelo básico de sobrevivência descreve a probabilidade de se

mover do estado inicial para o estado de interesse (ocorrência do evento de interesse ou

constatação de falha) no decorrer do tempo; modelos de sobrevivência de riscos compe-

titivos descrevem as probabilidades de sáıda do estado inicial para um dos estados de

interesse, que concorrem entre si, em vários pontos no tempo; modelos de múltiplos es-

tados descrevem as probabilidades de movimentação entre os vários estados, incluindo

a possibilidade de retornar ao estado inicial ou outro estado qualquer (DANIEL, 2004).

Analogamente, tabelas de vida de múltiplos estados são consideradas uma genera-

lização das tabelas de múltiplos decrementos; estas, por sua vez, são consideradas uma

generalização da tabela unidecremental, como a de mortalidade. A diferença essencial

entre um modelo de múltiplos estados e o de múltiplos decrementos é que o primeiro

permite transições em ambas as direções entre pelo menos dois dos estados, enquanto

no segundo, as transições entre qualquer par de estados estão em apenas uma direção,

se forem posśıveis (WATERS, 1984).

Assim, nota-se que o modelo de sobrevivência de riscos competitivos e o de múltiplos


2.2 Premissas Decrementais 27

decrementos se equivalem. Os modelos de sobrevivência se diferenciam por, mediante

o tempo até a ocorrência do evento de interesse (também conhecido como “tempo de

falha”), estimar o risco de sáıda do status inicial levando em conta a presença de censu-

ras (não ocorrência do evento de interesse no decorrer do tempo de acompanhamento).

Além disso, apresentam a vantagem de, quando comparados ao modelos de múltiplos

decrementos, levarem em conta a presença de censuras apropriarem-se das abordagens

não paramétricas, paramétricas e semiparamétricas e considerarem o efeito de covariá-

veis sobre o tempo de falha. De acordo com o problema e a caracteŕıstica dos dados,

também dispõem de modelos de longa duração, de fragilidade, de riscos competitivos,

eventos recorrentes, dentre outros.

No meio atuarial, uma operação com múltiplos estados é caracterizada por contem-

plar simultaneamente várias contingências ou riscos pessoais que afetam os segurados,

como morte ou invalidez (GARCIA, 2000). Esses modelos foram utilizados por Pitacco

(1999), que adotou uma abordagem de tempo cont́ınuo e multiestado para expressar a

estrutura atuarial dos produtos de seguro de cuidados de longa duração.

Em relação aos modelos de múltiplos decrementos, Bernoulli (1766) considerou a

taxa de inoculação da doença da vaŕıola e da mortalidade, cuja proposta consistia

numa operação com três estados posśıveis: as pessoas poderiam abandonar o status

de saudáveis por duas causas (doença ou morte); e abandonar o status de doentes por

meio da morte; as pessoas não abandonavam o status de mortos.

Dado que a consideração dos múltiplos decrementos começou com a matemática

da vaŕıola e que continuou com o financiamento do fundo de pensão envolvendo o

pagamento de anuidades a vidas inválidas, Seal (1977) elaborou uma revisão da história

dos múltiplos decrementos, tanto das contribuições atuariais, quanto das estat́ısticas.

No Brasil, Paes (1985) analisou a incidência de causas de morte − para a constru-

ção de tábuas de vida de múltiplo decremento −, segundo a probabilidade de morte,

sobrevivência e esperança de vida, por meio da metodologia de Chiang (1968) e a partir

da população residente do munićıpio de Recife/PE, em 1979.

Em relação aos modelos de riscos competitivos, Macdonald (1996a), Macdonald

(1996b) e Macdonald (1996c) realizou investigações atuariais de modelos estat́ısticos


2.2 Premissas Decrementais 28

para decrementos e dados de transição, em que se analisam modelos de tempo até a

morte, modelos de múltiplo estado, modelos binomial e poisson, riscos competitivos,

estimação não paramétrica, modelos de regressão e processo de contagem. Contudo,

os trabalhos associaram, de forma teórica, os métodos à mortalidade, sem posterior

aplicação. Ilustram-se, ainda, os trabalhos de Chiang (1961) e David (1970), que

estudaram os aspectos de estimação relacionados às probabilidades em modelos de

riscos competitivos.

Em decorrência da escassez de trabalhos que tratem dos Modelos de Riscos Com-

petitivos (MRC) aplicados ao tempo no serviço público e à previdência, optou-se pela

busca de trabalhos que desenvolveram e/ou aplicaram os MRC em áreas diversas (eco-

nomia e saúde). Em Economia, citam-se os trabalhos de Gandrud (2013), Dolton e

Klaaum (1999), Mealli e Pudney (1996), Narendranathan e Stewart (1993) e Butler,

Anderson e Burkhauser (1989); na área da Saúde, ilustram-se os trabalhos de Green et

al. (2015), Baer et al. (2010), Varadhan et al. (2010), Cortese e Andersen (2009) e Grun-

kemeier et al. (2007). Por meio deles, constatou-se que na análise de riscos competitivos

− independente da área de aplicação e apesar do uso dos modelos não paramétricos−,

é comum a utilização dos modelos semiparamétricos6 no ajuste da variável de interesse

em função de covariáveis.

Depois de estimadas as premissas referentes à mortalidade e à idade de aposenta-

doria, são efetuados os cálculos atuariais, ou seja, de CN e RM, para a aposentadoria

programada. Isso significa que não se consideram as obrigações referentes à morte e

invalidez. A formulação é apresentada na subseção 4.5 e segue a notação de Winklevoss

(1993).

6Existe uma gama de modelos semiparamétricos, tais quais os que consideram proporcionalidade,
dependência e/ou heterogeneidade dos riscos, associados a diferentes métodos de estimação.


Caṕıtulo 3

Aspectos Metodológicos

3.1 Metodologias para a Mortalidade

No presente caṕıtulo se apresentam os aspectos referentes à definição dos elementos

que compõem uma tábua de vida (ORTEGA, 1987) e sua extrapolação (CASTRO,

2018), além da previsão de mortalidade − conforme Nunes e Carvalho (2008) e Butt,

Haberman e Shang (2014).

Por meio da Biometria Atuarial − ciência que tem por objeto a elaboração de

modelos biométricos, com fundamento biológico e método estat́ıstico − investiga-se o

fenômeno da sobrevivência. Este se estuda através de grupos fechados, especificando-se

as variações decorrentes da mudança de idade ou de tempo atuarial (ALBA, 1965).

O termo“tábuas biométricas”compreende, além das tábuas de mortalidade propria-

mente ditas, diversas outras, como as tábuas de entrada em invalidez e de mortalidade

de inválidos. A tábua de mortalidade (ou tábua de vida) é um instrumento teórico

que permite medir as probabilidades de vida e morte de uma população em função da

idade. A descrição da tábua compreende uma parte considerável de toda a notação e

as relações básicas utilizadas em demografia (ORTEGA, 1987).

De acordo com Borges (2009), a primeira tábua de vida desenvolvida através de um

caminho lógico foi constrúıda por Edmond Halley e publicada em 1693, baseada em

registros de nascimentos e morte da cidade de Breslau de 1687 a 1691. Outras tábuas

de vida foram preparadas durante os séculos XVII e XVIII com base em informações

limitadas e pressupostos simplificadores. Desde então, tábuas de mortalidade têm sido

29


3.1 Metodologias para a Mortalidade 30

constrúıdas para diversas regiões e grupos populacionais, devido à sua importância para

analisar estudos atuariais e definição de poĺıticas públicas (BELTRAO; SUGAHARA,

2002).

Segundo Ortega (1987), existem cinco caracteŕısticas principais da tábua de morta-

lidade em sua utilização dentro do campo demográfico: i) permite descrever o compor-

tamento da mortalidade por idade; ii) permite obter probabilidades e outras medidas

convencionais de mortalidade; iii) fornece uma medida sumária de mortalidade, a ex-

pectativa de vida ao nascer; iv) pode ser assimilada a um modelo teórico de população

(população estacionária), por meio da manutenção da mortalidade por idade e nas-

cimentos constantes ao longo do tempo; v) permite realizar diversas aplicações numa

grande variedade de problemas.

Ortega (1987) classifica as tábuas de acordo com o peŕıodo de referência (gera-

ções e de momentos) e de acordo com a extensão do intervalo de idades (completas e

abreviadas).

Numa tábua de vida por gerações, uma geração ou coorte (conjunto de pessoas que

viveram um evento similar no decorrer de um curto peŕıodo de tempo) de pessoas é

seguida ao longo do tempo, determinando em cada idade o número de sobreviventes até

que o grupo seja extinto. Essas tabelas são pouco usadas porque é necessário acompa-

nhar a geração por muito tempo, sendo comum o uso das tabelas de momentos (ou de

contemporâneos), que se baseiam na experiência de mortalidade observada durante um

curto peŕıodo de tempo (geralmente um ano), por todas as gerações de uma população

real. Em geral, quando se fala em tábuas de mortalidade, faz-se referência a este tipo.

As tábuas completas são aquelas em que as diferentes funções são elaboradas para

cada ano de idade, enquanto as tábuas abreviadas são aquelas em que as diferentes

funções são calculadas por faixas etárias, geralmente grupos de cinco anos.

No estudo em tela, as tábuas utilizadas são do tipo de momentos e completas.

3.1.1 Tábuas de Decremento Simples

A tábua de vida é composta por oito funções, apresentadas a seguir, consoante

notação de Ortega (1987).


3.1 Metodologias para a Mortalidade 31

A primeira delas é a função Sobreviventes lx, que estabelece o número de sobrevi-

ventes a idade x. Por sua natureza, é uma função positiva e decrescente; os valores

sucessivos de lx na tabela não resultam da observação direta de uma população, eles são

calculados a partir de outras funções; quando x = 0, tem-se o número de sobreviventes

a idade 0 (l0), ou seja, a raiz da tabela (comumente assume a constante 100.000); é

designada ω (omega) a idade em que o número de sobreviventes lω = 0; lx+n representa

o número de sobreviventes a idade futura x+ n anos.

Quanto à função Mortes (ndx), número de mortes ocorridas entre as idades x e

x + n, observa-se que é a partir de sua dinâmica que se constrói a tábua. A obtenção

de sua distribuição pode ser teórica ou emṕırica, desde que discreta.

As Probabilidades de Morte entre as idades x e x + n, nqx, não são calculadas na

prática pela forma sugerida no Quadro 3.1. O ponto de partida são as probabilidades de

morte nqx, das quais os sobreviventes e os óbitos são calculados, conforme as equações

(3.1) e (3.2). Se os valores de nqx são conhecidos para cada idade ou faixa etária,

além da raiz arbitrária l0, é posśıvel obter os valores sucessivos de lx e ndx, através das

relações:

lx ×n qx =n dx, (3.1)

lx −n dx = lx+n. (3.2)

Em particular, para x = 0 e n = 1, tem-se a probabilidade de morte do primeiro ano

de vida, denominada taxa de mortalidade infantil (q0).

As Probabilidades de Sobrevivência (npx), por sua vez, são complementares as Pro-

babilidades de Morte (nqx), ou seja, npx = 1−n qx →n px +n qx = 1.

Em relação ao cálculo do Tempo Vivido entre x e x+n (nLx), separam-se os grupos

centrais, de acordo com a idade. Para os grupos centrais cuja idade x ≥ 5 anos,

e quando o intervalo de idades n é igual a um, o cálculo do tempo vivido pode ser

feito com precisão suficiente, admitindo que em cada intervalo [x, x + n] a função de

sobrevivência lx é linear: nLx =
lx + lx+n

2
× n.

Para as primeiras idades (x = 0, 1, 2, 3, 4) as mortes são distribúıdas de forma mais

irregular, Lx = fx × lx + (1− fx)× lx+1, em que fx é o fator de separação de mortes e


3.1 Metodologias para a Mortalidade 32

vale em torno de 0,10 a 0,35, dependendo do ńıvel de mortalidade (isto é, se o grupo

morre muito ou pouco). Para as idades de 1, 2, 3 e 4, os fatores de separação são

próximos de 0,50 e podem ser calculados a partir de f0 =
L0 − l1
d0

.

Finalmente, para o grupo aberto final (x+), o cálculo do tempo vivido é ωLx =

ωdx

ωmx

=
lx

ωmx

, cujo ωmx é a taxa de mortalidade central do grupo aberto de x a ω anos.

De x a n, tem-se a taxa central de mortalidade

nmx =
ndx

nLx
=

ndx∫ x+n

x

lada

, (3.3)

razão entre o número de mortes entre as idades x e x+ n e a integração do número de

sobreviventes (que tem como limites as idades x e x+ n). Conforme Ortega (1987), a

conversão das taxas centrais de mortalidade (nmx) em probabilidades de morte (nqx)

constitui uma importante etapa na construção de uma tábua. Deste modo, comparam-

se as duas funções, mostrando que ambas podem ser expressas em função de lx (ver

(3.3) e função nqx do Quadro 3.1).

Se a forma funcional de lx for conhecida, a função que relaciona nmx e nqx pode

ser determinada. É posśıvel trabalhar com a suposição de formas anaĺıticas para as

funções da tábua ou adotar uma tábua de vida com pressuposições sobre a distribuição

da mortalidade entre as idades. Se lx varia linearmente no intervalo [x, x + n], tem-se

nqx =
2n×n mx

2n+n mx

, válida para nmx com valores baixos. Esta e outras formas para nqx,

supondo o comportamento de lx, são apresentadas por Borges (2009).

Quanto à Esperança de Vida à idade x (e0
x), devido à mortalidade em relação aos

primeiros anos (o número de mortes entre as idades 0 e 1 é muito alto), a expectativa

de vida aumenta nas idades iniciais e, em seguida, diminui continuamente até o final

da vida; em particular, se x = 0, obtém-se a expectativa de vida ao nascer (e0
x).

A Força de Mortalidade µx ou Taxa Instantânea de Mortalidade, do campo cont́ınuo,

corresponde à probabilidade de morte qx do campo discreto. Ambas dão uma medida

anual de mortalidade: qx como função do l0 observado em um ano (de idades x a x+1),

enquanto o µx como função do observado em torno do ponto x Ortega (1987).

É posśıvel obter lx por meio de µx, conforme expressão lx = l0× exp

{
−
∫ x

0

µada

}
,


3.1 Metodologias para a Mortalidade 33

ou seja, pelo produto entre a raiz da tábua e o exponencial da integração da taxa

de mortalidade (tendo como limites as idades 0 e x). Se os limites da integral forem

trocados por x a x+ n chega-se à probabilidade de sobrevivência npx. A relação entre

µx e qx depende da forma da curva da função sobreviventes (lx).

Função Definição Expressão Matemática

Sobreviventes (lx) Número de pessoas que atingem lx =

w−1∑
a=x

da

a idade exata x.
Mortes (ndx) Número de mortes ocorridos entre ndx = lx − lx+n

as idades x e x+ 1.
Probabilidade de morte (nqx) A probabilidade que tem uma pessoa

de idade exata x de morrer no ano nqx =
lx − lx+n

lx
=

ndx

lx
seguinte ao tempo em que ela atingiu
essa idade.

Probabilidade de sobrevivência (npx) A probabilidade que tem uma pessoa

de idade exata x de sobreviver um ano, npx =
lx+n

lx
isto é, de chegar com vida a idade x+ 1.

Tempo vivido entre x e x+ n (nLx) O número de anos vividos pela geração

l0 entre as idades x e x+ n. nLx =

∫ x+n

x
lada

Tempo vivido entre x e ω (Tx) O número total de anos vividos pela geração Tx =

∫ ω

x
lada =

de l0 nascimentos entre as idades x e ω. =

ω−1∑
a=x

La

Esperança de vida a idade x ou O número médio de anos que uma pessoa vive

vida média a idade x (e0x) desde a idade x até o final da vida. e0x =
Tx

lx

Taxa instantânea de mortalidade µx Probabilidade de morte do campo cont́ınuo. µx =
l′x
lx

Fonte: Adaptado de Ortega (1987).

Quadro 3.1: Funções, definições e expressões que compõem uma tábua de vida.

O Quadro 3.1 resume, conforme notação de Ortega (1987), e supondo uma geração

inicial de l0 nascimentos, uma tábua de vida.

3.1.2 Extrapolação de Tábuas

A tábua do IBGE 2014 (ambos os sexos), para ambos os sexos, foi utilizada pelo

IPSEMC na avaliação atuarial de 2016. Como ela só fornece a probabilidade de morte

para indiv́ıduos de até 80 anos, é necessário extrapolar essa informação para além da

referida idade.

Nesse sentido, Castro (2018) apresentou um método de extrapolação que consiste

em encontrar um Fator de Ajuste (FA) − para idades acima de 80 anos − a ser utilizado

na formulação do número de sobreviventes a idade x (lx), de modo que a esperança


3.1 Metodologias para a Mortalidade 34

de sobrevida a partir dos 80 anos (e80) seja igual àquela calculada pelo IBGE e dis-

ponibilizada nas tábuas. Tal método é constitúıdo por nove etapas, apresentadas a

seguir.

1) Calcular dx referentes às idades de 0 a 79 anos, a partir dos qx disponibilizados:

dx =
qx

1000
× lx.

2) A raiz da tábua é l0 = 100.000. A partir dela, calcular os lx até x = 80 anos:

lx+1 = lx − dx.

3) Calcular lx das idades individuais acima de 80 anos:

lx+2 = lx+1 ×
(

lx+1

lx + FA

)
.

Iniciam-se os cálculos com FA, por exemplo, igual a 100, calculando lx até x = 115

anos (l115).

4) A partir dos lx encontrados até x = 115 anos, calcular dx para x = [80; 115] anos:

dx = lx − lx+1.

5) A partir de lx e dx até x = 115 anos, calcular os qx para x = [80; 115] anos:

qx =
dx
lx
.

6) A partir dos lx encontrados, calcular os Lx para x = [0; 115] anos, utilizando-se a

fórmula do fator de separação das mortes (fx):

Lx = fx × lx + (1− fx)× lx+1).

Na primeira idade (f0), fx assume valores entre 0,05 e 0,35; para as outras idades,

assume valor igual a 0,5, pois as mortes acabam ocorrendo de forma uniforme ao longo

do ano, em média, na metade dele (CASTRO, 2018). Como no primeiro ano de vida

as mortes não se distribuem uniformemente ao longo do ano, calcular f0 da tábua do


3.1 Metodologias para a Mortalidade 35

IBGE:

f0 =
(L0 − l1)

d0

.

7) A partir dos Lx encontrados, calcular Tx para x = [0; 115] anos:

Tx =
ω−1∑
a=x

La = Lx + Lx+1 + ...+ Lω−1

.

8) A partir dos Tx e lx encontrados, calcular ex (esperanças de sobrevida na idade x)

para x = [0; 115] anos:

ex =
Tx
lx
.

9) Depois de calculadas as esperanças de sobrevida na idade x, observa-se o valor resul-

tante para a esperança de sobrevida na idade de 80 anos (e80) resultante da utilização

de FA = 100 e que provavelmente resulta em uma e80 diferente daquela divulgada

pelo IBGE. O passo seguinte consiste em modificar o valor de FA até que a e80 calcu-

lada convirja para e80 divulgada pelo IBGE. Para maiores detalhes sobre o método de

extrapolação, consultar Castro (2018).

3.1.3 Projeção da Mortalidade

É sabido que o Brasil vem observando um aumento cont́ınuo na expectativa de so-

brevida de seus habitantes. Em decorrência disso, os atuários são obrigados a rever,

periodicamente, as tábuas de mortalidade adotadas como hipótese atuarial. Nesse con-

texto, as tábuas geracionais surgiram como uma forma de incluir nos modelos atuariais

um acompanhamento das oscilações demográficas, já que contemplam aumentos na ex-

pectativa de vida dos participantes de um plano através de um cont́ınuo decréscimo da

probabilidade de morte a cada peŕıodo (NUNES; CARVALHO, 2008).

Como a mortalidade não permanece constante em relação ao tempo, introduz-se a

discussão acerca dos Fatores de Improvement (FI), isto é, fatores de redução de mor-

talidade que consideram, durante a construção de tábuas de mortalidade, a mudança


3.1 Metodologias para a Mortalidade 36

dos padrões de mortalidade ao longo dos anos. Eles consideram dependência entre as

covariáveis e o tempo, incorporando o ganho de longevidade da população. Dentre

os métodos existentes para sua estimação, apresentam-se, a seguir, a Escala AA e o

modelo de Lee-Carter estendido.

Escala AA

Os métodos utilizados para estimar o improvement envolvem cálculos complexos,

o que dificulta sua aplicação. Visando minimizar tal problema, algumas tábuas fazem

uso do método de improvement por escala de projeção, que traz fatores (distribúıdos

por idade e sexo) de melhoria anual da mortalidade. Por exemplo, comitês da Society of

Actuaries criaram a Escala AA para projeções de mortalidade a partir de suas tábuas

básicas (NUNES; CARVALHO, 2008).

A equação (3.4) exibe, conforme notação de Nunes e Carvalho (2008), a projeção

de mortalidade a partir de uma escala de projeção:

qprojetadox = qx × (1− sx)n, (3.4)

em que qx é a probabilidade de morte de um indiv́ıduo com idade x segundo uma

tábua básica qualquer; sx é o fator de melhoria anual para a idade x trazido pela escala

utilizada; e n é o número de peŕıodos (em anos) que se deseja projetar a probabilidade

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