UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO” FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA DE BAURU COMISSÃO DE PÓS-GRADUÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA Análise do Comportamento Dinâmico de um Rotor Vertical Através do Método dos Elementos Finitos Autor: Cristiano Eduardo Agostini Orientador: Prof. Dr. Edson Antonio Capello Sousa UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO” FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA DE BAURU COMISSÃO DE PÓS-GRADUÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA Análise do Comportamento Dinâmico de um Rotor Vertical Através do Método dos Elementos Finitos Autor: Cristiano Eduardo Agostini Orientador: Prof. Dr. Edson Antonio Capello Sousa Curso: Engenharia Mecânica Área de concentração: Projeto Mecânico Dissertação de mestrado apresentada à comissão de Pós-Graduação da Faculdade de Engenharia Mecânica, como requisito para a obtenção do título de Mestre em Engenharia Mecânica. Bauru, 2011 SP – Brasil Agostini, Cristiano Eduardo. Análise do comportamento dinâmico de um rotor vertical através do método dos elementos finitos / Cristiano Eduardo Agostini, 2011. 118 f. Orientador: Edson Antonio Capello Sousa Dissertação (Mestrado)–Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenharia de Bauru, Bauru, 2011 1. Elementos finitos. 2. Dinâmica de rotores. 3. Vibrações mecânicas. I. Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenharia de Bauru. II. Título. Agradecimentos Gostaria de agradecer as pessoas e instituições que colaboraram para o sucesso deste trabalho: Ao Departamento de Engenharia Mecânica da Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” de Bauru por ter me dado condições para meu aprimoramento profissional e elaboração desta dissertação de mestrado. A secretaria de Pós-Graduação da Faculdade de Engenharia de Bauru. Ao meu orientador Prof. Dr. Edson Antonio Capello Sousa pela competência e auxílio com a qual me conduziu no desenvolvimento desse trabalho. Aos meus pais Tim e Regina que sempre acreditaram que o conhecimento e estudo são fundamentais para a vida. À minha esposa Adriana pelo amor, paciência e incentivo na elaboração dessa dissertação. Ao meu filho Bruno pelos momentos de alegria em seu primeiro ano de vida. E a Deus, por estar sempre ao meu lado, iluminando todos os meus passos. “Se fiz descobertas valiosas, foi mais por ter paciência do que qualquer outro talento”. -Isaac Newton- i Resumo Agostini, C. E., Análise do Comportamento Dinâmico de um Rotor Vertical Através do Método dos Elementos Finitos, Bauru: Faculdade de Engenharia Mecânica, Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, 2011, 118 pp., Dissertação (Mestrado). Neste trabalho, analisaram-se as frequências naturais (axiais, torsionais e de flexão) e as respostas em frequência de um rotor vertical com um disco rígido na extremidade através da análise modal clássica e complexa. A equação que governa o movimento foi obtida através da formulação Lagrangeana. O modelo considerou os efeitos à flexão, torção e deformação axial do eixo, além dos efeitos giroscópicos e gravitacionais. O método dos elementos finitos foi utilizado para discretização da estrutura em elementos cilíndricos vazados com 12 graus de liberdade. As matrizes de massa, rigidez e giroscópica foram explicitadas de forma consistente. A análise modal tradicional, normalmente aplicada a estruturas estacionárias, não considera uma importante característica das máquinas rotativas que são os modos de precessão direta e retrógrada. Inicialmente, através da análise modal clássica, foram obtidas as frequências naturais axiais e torsionais no eixo estacionário, já que estas não sofrem influência dos efeitos giroscópicos. Posteriormente a investigação foi executada através da análise modal complexa. Este tipo de ferramenta, que se baseia na utilização de coordenadas direcionais para descrever o comportamento dinâmico do eixo rotativo, permite a decomposição dos modos do sistema em dois submodos, sendo um direto e o outro retrógrado. Dessa forma, consegue-se visualizar de maneira clara a órbita e a direção do movimento precessional em torno da linha não deformada do eixo rotativo. Um programa de elementos finitos foi desenvolvido utilizando o software MATLAB ® e simulações numéricas foram efetuadas de forma a validar o modelo construído. Foram obtidas as frequências naturais e a resposta forçada em frequência direcional (dFRF), com o uso da análise modal complexa, para um rotor vertical simples e também para uma coluna de perfuração típica utilizada na construção de poços de petróleo. Palavras chaves: Elementos Finitos, Dinâmica de Rotores, Vibrações Mecânicas. ii Abstract Agostini, C. E., Analysis of the Dynamic Behavior of a Vertical Rotor Through Finite Element Method, Bauru: Faculty of Mechanical Engineering, São Paulo State University “Júlio de Mesquita Filho”, 2011, 118 pp., Dissertation (Master Degree). In this study, natural frequencies were analyzed (axial, torsional and flexural) and frequency response of a vertical rotor with a hard disk at the edge through the classical modal and complex analysis. The equation that rules the movement was obtained through the Lagrangian formulation. The model considered the effects of bending, torsion and axial deformation of the shaft, besides the gravitational and gyroscopic effects. The finite element method was used to discretize the structure into hollow cylindrical elements with 12 degrees of freedom. Mass, stiffness and gyroscopic matrices were explained consistently. The classical modal analysis, usually applied to stationary structures, does not consider an important characteristic of rotating machinery which are the methods of forward and backward whirl. Initially, through the traditional modal analysis, axial and torsional natural frequencies were obtained in a static shaft, since they do not suffer the influence of gyroscopic effects. Later research was performed by complex modal analysis. This type of tool, based on the use of complex coordinates to describe the dynamic behavior of rotating shaft, allows the decomposition of the system in two submodes, backward and forward. Thus, it is possible to clearly visualize that the orbit and direction of the precessional motion around the line of the rotating shaft is not deformed. A finite element program was developed using MATLAB ®, and numerical simulations were performed to validate this model. Natural frequencies and directional frequency forced response (dFRF) were obtained using the complex modal analysis for a simple vertical rotor and also for a typical drill string used in the construction of oil wells. Keywords: Finite Elements, Rotor Dynamics, Mechanical Vibrations. iii Índice Resumo i Abstract ii Índice iii Lista de Tabelas vi Lista de Figuras vii Nomenclatura ix 1. Introdução 1 1.1 Motivações e Objetivos 1 1.2 Revisão Bibliográfica 5 1.3 Conceitos e Fundamentos 15 2. Modelagem Matemática da Dinâmica de um Rotor Vertical 22 2.1 Considerações gerais 22 2.2 Obtenção das Equações Governantes do Movimento 22 2.2.1 Energia Cinética do Eixo ............................................................................................ 25 2.2.2 Energia Cinética do Disco .......................................................................................... 29 2.2.3 Energia Potencial do Eixo devido à Flexão ................................................................ 30 2.2.4 Energia Potencial do Eixo devido à Torção ................................................................ 31 2.2.5 Energia Potencial do Eixo devido à Deformação Axial ............................................. 31 2.2.6 Energia Potencial do Eixo devido ao Campo Gravitacional ....................................... 32 2.2.7 Energia Potencial Total do Sistema ............................................................................ 32 2.2.8 Equação do Movimento .............................................................................................. 34 3. Formulação Através do Método dos Elementos Finitos 35 3.1 Modelo de Elementos Finitos 35 3.2 Matriz de Rigidez do Eixo 38 3.2.1 Matriz de Rigidez Elástica .......................................................................................... 38 3.2.2 Matriz de Rigidez Torcional ....................................................................................... 39 3.2.3 Matriz de Rigidez Axial .............................................................................................. 40 iv 3.2.4 Matriz de Rigidez Devido ao Peso Próprio ................................................................. 41 3.3 Matriz de Inércia do Eixo 45 3.3.1 Matriz de Inércia de Translação .................................................................................. 45 3.3.2 Matriz de Inércia de Rotação ...................................................................................... 46 3.3.3 Matriz de Inércia de Torsão ........................................................................................ 47 3.4 Matriz Giroscópica 48 3.5 Matriz do Sistema Mecânico 49 4. Análise Modal 51 4.1 Introdução 51 4.2 Análise Modal Clássica 53 4.2.1 Análise Modal em Estruturas Estacionárias ............................................................... 53 4.2.2 Análise Modal em Sistemas Rotativos ....................................................................... 57 5. Análise Modal Complexa 61 5.1 Vibração Livre em Sistemas Rotativos 61 5.2 Vibração Forçada em Sistemas Rotativos 69 6. Simulações Numéricas e Validação 74 6.1 Considerações Gerais 74 6.2 Resultados Comparados com a Bibliografia 76 6.2.1 Eixo Rotativo com Extremidade Livre ....................................................................... 76 6.2.2 Eixo Rotativo com Disco Rígido na Extremidade Livre ............................................ 81 6.3 Resultados Comparando Análise Modal Clássica e Complexa 86 7. Estudo para um Rotor Vertical em Balanço 90 7.1 Discretização e Configuração do Rotor 90 7.2 Análise Modal 94 7.3 Análise do Comprimento Vertical do Rotor 100 7.4 Análise da Influência do Campo Gravitacional 104 8. Conclusões 106 v Referências Bibliográficas 108 Apêndice A - Resultados Comparando a Convergência pelo Número de Elementos 113 Apêndice B - Fluxograma Rotina Computacional 117 Súmula Curricular 118 vi Lista de Tabelas Tabela 5.1 – Relações entre módulos �� e �� e tipos de movimento e órbitas. 63 Tabela 6.1 - Dados mecânicos dos rotores para simulações. 74 Tabela 6.2 - Frequências naturais de vibração lateral. 78 Tabela 6.3 - Frequências naturais de vibração torcional e axial. 79 Tabela 6.4 – Deslocamentos laterais da viga no eixo y. 80 Tabela 6.4 - Dados mecânicos do rotor para simulação, Alamo (2003). 81 Tabela 6.5 - Velocidades críticas obtidas com a formulação coordenadas direcionais. 85 Tabela 6.6 - Resultados com MEF e análise modal clássica e complexa. 87 Tabela 6.7 – Autovalores para análise modal clássica e complexa. 88 Tabela 7.1 – Dados de entrada para a coluna de perfuração. 93 Tabela 7.2 – Resultados frequência natural axial e torcional para coluna de perfuração. 94 Tabela 7.3 – Resultados frequência natural lateral para coluna de perfuração. 95 Tabela 7.4 – Frequências naturais axiais para diferentes profundidades da coluna de perfuração. 100 Tabela 7.5 – Frequências naturais torsionais para diferentes profundidades da coluna de perfuração. 101 Tabela 7.6 – Frequências naturais laterais para diferentes profundidades da coluna de perfuração. 101 Tabela 7.7 – Frequências naturais laterais sob influência da matriz de rigidez gravitacional. 104 Tabela A.1 – Frequências naturais axiais para o rotor em estudo. 113 Tabela A.2 – Frequências naturais torsionais para o rotor em estudo. 114 Tabela A.3 – Frequências naturais laterais (estática) para o rotor em estudo. 114 vii Lista de Figuras Figura 1.1 – Fases de construção de um poço vertical na Bacia de Campos. 2 Figura 1.2 – Os três modos de vibrações em colunas de perfuração, Bashmal (2004). 6 Figura 1.3 – Tipos de vibrações em colunas de perfuração, Alamo (2003). 7 Figura 1.4 – Modelo utilizado por Shyu (1989). 8 Figura 1.5 – Esquema coluna utilizado por Christofouru e Yigit (1997). 9 Figura 1.6 – Seção A-A utilizado pelo modelo de Christofouru e Yigit (1997). 9 Figura 1.7 – Modelo 3D da coluna com software BHASYS ® por Schmalhorst e Neubert (2003). 11 Figura 1.8 – Modelo utilizado por Hakimi e Moradi (2010). 12 Figura 1.9 – Modelo massa/mola rígido, Pereira (2003). 16 Figura 1.10 – Modelo rotor rígido, Pereira (2003). 16 Figura 1.11 – Modelo rotor flexível, Pereira (2003). 17 Figura 1.12 – Combinações dos movimentos em X e Y produzindo órbitas: (b) circular, (c) elíptica e (d) translacional, Pereira (2003). 18 Figura 1.13 – Modelo rotor Jettcoff, Alamo (2003). 19 Figura 1.14 – Giro síncrono (a) e Giro não síncrono (b), Pereira (2003). 20 Figura 1.15 – Coluna de perfuração sob efeitos torsionais, Bashmal (2004). 20 Figura 1.16 – Movimentos de precessão direta e retrógrada, Bashmal (2004). 21 Figura 2.1 - Sistema de coordenadas generalizadas, Bashmal (2004). 23 Figura 2.2 - Eixos em rotação nas coordenadas generalizadas, Khulief (2007). 24 Figura 3.1 - Graus de liberdade do elemento de viga 3D. 35 Figura 3.2 – Esquema coluna sob tensão, Alnaser (2002). 42 Figura 5.1 – Movimento planar do ponto P, Kessler (1999). 61 Figura 6.1 – Viga simples em balanço. 76 Figura 6.2 - Modelo do sistema rotativo para simulação. 82 Figura 6.3 - Diagrama de Campbell e velocidade crítica obtida com a formulação complexa. 83 Figura 6.4 - Diagrama de Campbell e velocidade crítica, Alamo (2003). 83 Figura 6.5 – Modos de vibração em um sistema estático, Alamo (2003). 84 Figura 6.6 - Análise modal clássica (FRF) e direcional (dFRF). 88 Figura 6.7 - Análise modal clássica (FRF) e direcional (dFRF) para rotação constante de 100 rad/s. 89 viii Figura 7.1 – Discretização da coluna de perfuração, LandMark ®. 92 Figura 7.2 – Função de resposta em frequência (FRF) para coluna de perfuração. 96 Figura 7.3 – Função de resposta em frequência direcional normal (dFRF) e função de resposta em frequência (FRF) para coluna de perfuração. 97 Figura 7.4 – Função de resposta em frequência direcional (dFRF) direta e função de resposta em frequência (FRF) para coluna de perfuração. 98 Figura 7.5 – Função de resposta em frequência direcional (dFRF) retrógrada e função de resposta em frequência (FRF) para coluna de perfuração. 98 Figura 7.6 – Função de resposta em frequência direcional (dFRF) e função de resposta em frequência (FRF) na região de diferentes pícos de ressonância. 99 Figura 7.7 – Variação das frequências naturais axiais para diferentes profundidades da coluna de perfuração. 102 Figura 7.8 – Variação das frequências naturais torsionais para diferentes profundidades da coluna de perfuração. 102 Figura 7.9 – Variação das frequências naturais laterais para diferentes profundidades da coluna de perfuração. 103 Figura 7.10 – Efeito da matriz de rigidez gravitacional na frequência natural lateral. 105 Figura A.1 – Frequência natural axial em função do número de elementos discretizados. 115 Figura A.2 – Frequência natural torcional em função do número de elementos discretizados. 115 Figura A.3 – Frequência natural lateral em função do número de elementos discretizados. 116 ix Nomenclatura Letras Latinas X, Y, Z - sistema de coordenadas para plano fixo. Xi Yi Zi – sistema de coordenadas para o elemento indeformado. x,y,z - sistema de coordenadas para plano rotativo e elemento deformado. i, j, k, J, K - vetores unitários ao longo do eixo indicado. u - deslocamento na direção x. v - deslocamento na direção y. w - deslocamento na direção z. ��� - função de forma para efeito axial na direção x. �� - função de forma para efeito de translação na direção v. ��� - função de forma para efeito de translação na direção w. �� �� - função de forma para efeito de flexão no eixo y. �� �� - função de forma para efeito de flexão no eixo z. ���� - função de forma para efeito de torsão no eixo x. ��� - vetor coordenadas nodais. T - energia cinética. U - energia potencial. I - segundo momento de inércia. ID - momento de inércia diametral. IP - momento polar de inércia. [M] - matriz de massa. [G] - matriz giroscópica. [K] - matriz de rigidez. [C] - matriz de amortecimento. [A], [B] - matriz do sistema em espaço de estado. ��� - matriz de massa com acoplamento torcional e transversal dependente do tempo. ��� - matriz de massa para a translação. ��� - matriz de massa para a rotação. ���� - matriz de massa para a torsão. x �� - energia potencial devido à flexão. �� - energia potencial devido à torsão. �� - energia potencial devido à deformação axial. �� - energia potencial devido às forças gravitacionais. � ! - matriz de rigidez axial. � � - matriz de rigidez de flexão. � �� - matriz de rigidez de torção. � "� - matriz de rigidez devido ao campo gravitacional. L - Função Lagrangeana. # - coordenadas generalizadas. $ - vetor forças generalizadas. A - área da seção transversal do elemento. �% - massa do disco rígido. R - raio externo do disco rígido. r - raio interno do disco rígido. E - módulo de elasticidade. G - módulo do cisalhamento. l - comprimento do elemento. V - volume do elemento. &� - comprimento da estrutura suspensa sob tração. i – número complexo. x(t) - deslocamentos em função do tempo. y(t) - deslocamentos em função do tempo no espaço de estado. f(t) - força de excitação. F – força devido ao peso próprio. '()* - matriz identidade de ordem n. �+� - autovetores à direita. �&� - autovetores à esquerda. p(t) - vetor rotativo em coordenadas direcionais. [T] - matriz transformação para coordenadas direcionais. ��, - matriz de massa complexa. �-, - matriz de amortecimento e giroscópica complexas. � , - matriz de rigidez complexa. xi .�/0 , ��1� - componete de precessão direta e retrógrada. �2� - força de excitação complexa. �3(4* - matriz função de resposta em frequência direcional. 356(4*, 3568888(4* - função de resposta em frequência direcional normal. 3586(4* , 3569 (4* - função de resposta em frequência direcional reversa. Fi – frequências naturais i. Letras Gregas φ - Giro em torno do eixo x. θy - Giro em torno do eixo y. θz - Giro em torno do eixo z. ω - velocidade angular instantânea. �4 - matriz anti-simétrica de velocidades angulares. :; - velocidade angular. < - massa específica do material. = - autovalores. > - autovetores. ? - velocidade de rotação do rotor. �:� - autovetores à direita do sistema no espaço de estado. �@� - autovetores à esquerda do sistema no espaço de estado. �A(4* - matriz função de resposta em frequência. �B - matriz diagonal composta por autovalores. ωci - velocidade crítica i. 1 Capítulo 1 Introdução Neste capítulo, inicialmente, apresentam-se as motivações e os objetivos desta dissertação. A seguir, realiza-se uma revisão bibliográfica contextualizando o trabalho na literatura, focando sobre vibrações em colunas de perfuração de poços de petróleo e análise modal complexa de máquinas rotativas. Finalmente, alguns conceitos fundamentais sobre dinâmica de rotores são apresentados. 1.1 Motivações e Objetivos O estudo de vibrações em rotores verticais tem assumido, cada vez mais, um importante papel na indústria em geral, devido aos altos custos envolvidos e, principalmente, aos riscos operacionais presentes nas máquinas rotativas. Existe uma enorme quantidade de aplicações para rotores verticais, mas a que representa maior notabilidade na indústria atualmente, são as colunas de perfuração de poços de petróleo. Há vários estudos sobre o tema vibrações em colunas de perfuração e estas podem ser modeladas como rotores verticais em balanço. A área de dinâmica de rotores pode ser considerada como um caso especial dentro do estudo das vibrações mecânicas. Nos problemas de dinâmica de rotores, os deslocamentos de resposta forçada e os modos naturais de vibração estão todos associados com movimentos rotativos. Existe uma grande necessidade em se identificar a direcionalidade dos modos de vibração do sistema rotativo, pois estes movimentos podem afetar diretamente a vida útil do sistema. Os movimentos de precessão retrógrada causam alternância das tensões no eixo, o que pode levá-lo à ruptura por fadiga. Neste contexto, o uso de coordenadas direcionais na descrição destes movimentos rotativos tem-se mostrado com uma alternativa muito eficiente em relação ao uso de coordenadas cartesianas, ou análise modal clássica. O uso das coordenadas direcionais traz a vantagem de possibilitar a identificação da direção do modo, pois esta separa claramente os movimentos de precessão direta e retrógrada. 2 O processo de perfuração de poços de petróleo possui comportamento dinâmico onde as vibrações mecânicas são inerentes ao trabalho. Cabe ao projetista e ao operador lidar com as mesmas a fim de evitar desgastes prematuros ou falhas nos equipamentos eletrônicos que estão embutidos na coluna de perfuração. Os trabalhos de perfurações envolvem custos financeiros consideráveis na indústria do petróleo, e o entendimento da dinâmica das vibrações nas mesmas torna-se essencial para tentar mitigar falhas e melhorar o desempenho nas construções de poços. Os poços de petróleo são construídos em fases, inicia-se com o maior diâmetro da broca, seguida de um revestimento de aço. A medida que a profundidade avança o diâmetro da fase seguinte é menor, de forma a atingir o objetivo com o diâmetro adequado para a produção ou exploração. A figura 1.1 apresenta um poço vertical convencional construído na Bacia de Campos. Figura 1.1 – Fases de construção de um poço vertical na Bacia de Campos. 3 O objetivo principal desta dissertação foi estudar o comportamento das vibrações mecânicas em rotores verticais em balanço e efetuar comparações com a análise modal clássica e complexa, além de apresentar a possibilidade de estudo de vibrações em uma coluna de perfuração de poços de petróleo. Para atingir o objetivo principal deste trabalho foi necessário, inicialmente, construir uma rotina computacional utilizando o método dos elementos finitos com a sua implementação através do software MATLAB ®. Após a construção da rotina computacional, foi necessária a sua validação através da comparação com resultados existentes na literatura. Com a confirmação do funcionamento da rotina computacional, procedeu-se com a análise de uma coluna de perfuração utilizada normalmente em operações na Bacia de Campos, onde se estudou as frequências naturais axiais, torsionais e laterais, orientação do modo de precessão, influência do comprimento do rotor e efeito gravitacional nos resultados. O presente trabalho foi dividido em oito capítulos. Neste capítulo inicial são apresentados os principais motivos e objetivos desta dissertação. A seguir, apresenta-se a revisão bibliográfica sobre vibrações em colunas de perfuração e análise modal complexa em máquinas rotativas. Finalmente, serão apresentados alguns conceitos fundamentais em dinâmica de rotores. No capítulo 2 é apresentado o modelo matemático da dinâmica de um rotor vertical que consiste em um eixo vertical com uma extremidade livre e outra engastada. A formulação utiliza a teoria da viga de Euler-Bernouli para barra homogênea. Efetua-se a obtenção das equações governantes do sistema através do método da energia (Equação de Lagrange) com a descrição da energia cinética e potencial de todos os elementos envolvidos no rotor. No capítulo 3 é descrita a formulação do problema através do método dos elementos finitos. São apresentados os graus de liberdade e o elemento de construção para o método. As matrizes de massa, rigidez e giroscópica são explicitadas para o elemento de viga cilíndrico que pode ser considerado vazado. Os elementos possuem 12 graus de liberdade, sendo 6 graus de liberdade para cada nó. Ao final é apresentada a equação do movimento na forma matricial para permitir a resolução do problema de vibrações. No capítulo 4 é apresentada, de forma breve, a teoria clássica da análise modal. Inicialmente estuda-se a análise modal para estruturas estacionárias e em seguida para estruturas rotativas para vibrações livres e forçadas. No capítulo 5, a análise modal complexa é descrita. No estudo focam-se as 4 vantagens na utilização de coordenadas direcionais para obtenção dos modos de precessão direta e retrógrada. O embasamento teórico é descrito para o caso de vibrações livres e forçadas. No capítulo 6 são efetuadas simulações numéricas de forma a validar a rotina computacional criada em ambiente MATLAB ®. Os estudos iniciam com a validação do sistema através da comparação com literatura existente. Estudaram-se dois rotores, sendo um composto somente por um eixo rotativo e outro por um eixo rotativo com um disco solidário na extremidade. Neste mesmo capítulo, efetua-se a comparação entre as metodologias de análise modal complexa e a clássica para validação da metodologia complexa. No capítulo 7 utiliza-se o sistema criado para demostrar uma possível utilização em rotores verticais flexíveis de longo comprimento. Realizam-se estudos para uma coluna de perfuração de poços de petróleo, onde são avaliadas as frequências naturais (axiais, torsionais e laterais), obtidos gráficos de função de resposta forçada, através da análise modal clássica e a função de resposta forçada direcional, através da análise modal complexa. Por fim, são analisados casos onde se estudam a influência da profundidade da broca, ou o comprimento total do rotor e a influência da matriz de rigidez gravitacional nos resultados finais das frequências naturais. No capítulo 8 são apresentadas as discussões finais, conclusões e sugestões para trabalhos futuros. A dissertação prossegue com a listagem das principais referências bibliográficas utilizadas no decorrer desta pesquisa. A seguir, são apresentados os apêndices com alguns aspectos considerados importantes para o entendimento do trabalho. 5 1.2 Revisão Bibliográfica A revisão bibliográfica trata dos assuntos pertinentes desta dissertação. Inicialmente faz-se uma breve explanação sobre vibrações mecânicas em colunas de perfuração de poços de petróleo, onde são descritos os tipos de vibrações e suas influências nas operações de perfuração. Em seguida, apresenta-se uma síntese sobre a literatura que trata da técnica de análise modal complexa em máquinas rotativas. • Vibrações em Colunas de Perfuração Vibrações em colunas de perfuração consistem em uma das maiores preocupações das empresas operadoras de petróleo em todo o mundo. A coluna de perfuração é composta por uma série de elementos com características mecânicas diferentes, tais como: diâmetro, peso e rigidez. Estas características quando combinadas com os efeitos rotativos e as reações no interior do poço causam vibrações as quais devem ser controladas. Os efeitos da vibração consomem energia com a conseqüente perda de eficiência na taxa de penetração do sistema. Os efeitos causados na coluna devido às excessivas vibrações podem causar efeitos catastróficos nos próprios componentes da coluna e nas paredes do poço que está sendo perfurado. Dessa forma, torna-se imperativo o devido controle no projeto e execução da perfuração de poços. O entendimento do comportamento dinâmico das vibrações nas colunas permite o seu devido controle para mitigar possíveis falhas operacionais. Controles em tempo real são necessários durante o processo devido à alta sensibilidade na mudança de parâmetros de perfuração e somente com o entendimento do fenômeno em si, é que se tornam possíveis a interpretação e ação com os dados de superfície, já que os dados obtidos dos sensores no fundo em tempo real são muito limitados em função da taxa de envio de dados para a superfície. Uma das características deste tipo de rotor propriamente dito é sua alta flexibilidade, ou seja, a relação diâmetro e comprimento atinge a ordem entre 1:104 e 1:105, Bashmal (2004). Usualmente a classificação dos tipos de vibrações em colunas baseia-se em sua direção, dessa forma tem-se: vibração axial, torcional e transversal, conforme visto na figura 1.2. A vibração axial é considerada quando esta surge paralela ao comprimento da 6 coluna, já a transversal é perpendicular ao mesmo comprimento. A vibração torcional ocorre em torno do eixo longitudinal da coluna. Figura 1.2 – Os três modos de vibrações em colunas de perfuração, Bashmal (2004). Como a coluna de perfuração consiste em um elemento esbelto que possui um diâmetro menor que a parede do poço, ela pode vibrar lateralmente. A vibração lateral é mais importante no tramo inferior, neste trecho a coluna pode entrar em contato com a parede do poço em diferentes partes. As forças desbalanceadas na coluna podem causam vibrações laterais, estas por sua vez são capazes de excitar a precessão retrógrada quando existe uma assimetria na rigidez ou amortecimento do sistema. A vibração lateral também é induzida pelo atrito existente entre a coluna rotativa e a parede do poço, o que pode originar uma precessão retrógrada. Valores típicos de freqüências da vibração lateral são encontrados entre 0,5 e poucas dezenas de hertz. Outro tipo de vibração, a torcional, consiste-se no caso mais crítico, pois a broca que está em contato com a rocha fica sem girar, enquanto a parte superior da coluna continua girando com velocidade de rotação constante, o que acrescenta mais torque na coluna de perfuração, até que a broca repentinamente se solta, este fenômeno é conhecido como efeito 7 Stick-Slip. Este tipo de vibração torcional possui frequências típicas entre 0,05 a 0,5 Hz, Jansen (1992). O terceiro tipo de vibração que pode ocorrer na coluna é a vibração axial, no caso mais crítico, a broca periodicamente perde contato com a parte inferior do poço. Esta forma de movimento é conhecido como Bit-Bounce. Uma análise dinâmica global da coluna de perfuração geralmente é complicada, visto que os três tipos de vibrações citadas anteriormente podem estar presentes, assim como as disfunções associadas a cada tipo de vibração: precessão direta e retrógrada (Forward or Backward Whirl) associada à vibração lateral, Stick-Slip associada à vibração torcional e Bit-Bounce associada à vibração axial, conforme visto na figura 1.3. Figura 1.3 – Tipos de vibrações em colunas de perfuração, Alamo (2003). Modelos de vibrações em colunas de perfuração de poços de petróleo têm sido amplamente estudadas desde a década de 60. Pasley e Bogy (1963) estudaram as vibrações em colunas de perfuração devido ao contato intermitente dos dentes da broca na rocha. Fischer (1974) analisou a deformação elástica devido ao peso sobre a broca em uma coluna bidimensional em um poço inclinado. Shyu (1989) identificou em testes de laboratório e no campo, em parceria com a Shell, o acoplamento entre a força axial e as vibrações transversais em colunas. O conjunto de dados evidenciou a existência dos modos de precessão direta e retrógrada. Ainda segundo este estudo, o efeito da rotação na coluna impõe um efeito crucial nas vibrações laterais. 8 Figura 1.4 – Modelo utilizado por Shyu (1989). A técnica de superposição modal, como forma de obtenção da resposta dinâmica da coluna de perfuração foi estudada por Cordovil (1991), onde o autor realiza uma análise no domínio da frequência com carregamentos simples e transientes. A utilização do método dos elementos finitos tem sido amplamente utilizada nas análises mecânicas de colunas. Czerwinski (1994) utilizou o método para análise dinâmica de colunas, incluindo a obtenção de esforços solicitantes, frequências naturais, modos de vibração e resposta dinâmica no tempo. O estudo, porém, não contempla os efeitos giroscópicos a que as colunas estão submetidas durante os trabalhos normais de perfuração. Christofouru e Yigit (1997) propuseram em seu trabalho uma modelagem mais sofisticada, que inclui de forma mais realista os efeitos presentes na coluna, tais como: efeitos giroscópicos, contato com a parede do poço, excitação axial devido ao contato com a broca, amortecimento hidrodinâmio devido à influência do fluido de perfuração que percorre o interior e o exterior da coluna. Segundo este mesmo autor, o comportamento dinâmico da coluna é demasiadamente complicado, podendo tornar-se não periódico, sugerindo um comportamento caótico. 9 Figura 1.5 – Esquema coluna utilizado por Christofouru e Yigit (1997). A equação do movimento foi obtida através do método dos modos assumidos e com a abordagem Lagrangeana. Neste estudo não são considerados os efeitos torsionais e a rotação axial da coluna é constante. Figura 1.6 – Seção A-A utilizado pelo modelo de Christofouru e Yigit (1997). 10 Heisig e Neubert (2000) estudaram o problema de vibrações laterais em poços de longa extensão horizontal. Neste caso, a coluna permanece na horizontal e apoiada em toda a sua extensão no poço perfurado. Valores usuais de perfuração de extensão horizontal são na ordem de centenas de metros, e podem ser facilmente encontrados em projetos executados pela Petrobras na Bacia de Campos no Estado do Rio de Janeiro. O trabalho compara três métodos de solução: analítica, elementos finitos com formulação linear e não- linear. Os resultados analíticos e os obtidos pela técnica dos elementos finitos com formulação linear exibem uma não ocorrência da dependência das condições de contorno para longas seções horizontais, no caso acima, para extensões acima de 1000 m. Soluções não lineares obtidas, confirmaram os resultados analíticos e exibiram o comportamento do modo de precessão direta. Mais recentemente, os pesquisadores tem se beneficiado, além dos modernos softwares para simulações, de sensores de vibrações instalados diretamente nas colunas de perfuração, os quais fornecem dados das vibrações ao longo de toda a perfuração, o que permite um melhor ajuste aos modelos atuais. Há atualmente no mercado, softwares de análise de vibrações que permitem, não só auxiliar o projetista, como também, a operadora durante o processo de perfuração. Schmalhorst e Neubert (2003) mostraram em seu trabalho o uso do software BHASYS ® e suas aplicações práticas com estudos de casos no Golfo do México (offshore) e na Lousiana (onshore). 11 Figura 1.7 – Modelo 3D da coluna com software BHASYS ® por Schmalhorst e Neubert (2003). Um efeito mais complexo e de certa forma comum nas operações de perfuração é o efeito de, como chamado na literatura de petróleo, stick and slip. O fenômeno pode ser traduzido como uma vibração torcional onde a aceleração da coluna não é constante, ou seja, a coluna gira e em certo momento interrompe seu movimento rotacional para posteriormente descarregar, de maneira repentina e abrupta a energia acumulada, criando uma aceleração na velocidade angular da coluna. Khulief et al (2006) estudaram este efeito através da modelagem com oscilações devido ao contato da broca com a rocha, onde o comportamento devido ao stick and slip foi analisado no domínio do tempo. Bayley et al (2008) exploram a utilização do software Vybs ® para diversas situações de projeto mecânico de colunas de perfuração. Os dados foram comparados com situações reais de perfuração, onde a alta gama de informações provenientes dos sistemas de monitoramento, auxiliaram nessa etapa de validação do sistema. A vantagem do sistema é a facilidade para a verificação da tendência de vibrações nas colunas com o mínimo de esforço computacional e a possibilidade de se estudar o melhor posicionamento dos estabilizadores na coluna. Alguns autores cientes dos efeitos não-lineares a que as colunas de perfuração estão 12 submetidas propõem métodos de análise que contemplam esses efeitos. Jansen (1992) utilizou a teoria da dinâmica de rotores para analisar o comportamento de colunas de perfuração sob aspectos não-lineares. Em seu trabalho, ele conclui que os efeitos não lineares associados às forças devido ao fluido de perfuração, a diferença entre diâmetros dos estabilizadores e a parede do poço e o próprio contato com a parede do poço perfurado, são altamente significativas, surgindo em casos extremos comportamento caótico e irregular, com a presença de movimentos de precessão direta e retrógrada na coluna. Hakimi e Moradi (2010) utilizaram o método da quadratura diferencial para análise de vibrações de coluna considerando impacto na parede de poços próximos à verticalidade. A parede do poço é modelada através de uma série de molas. O sistema de equações não lineares é resolvido através do método de Newton-Raphson, onde são obtidas as freqüências naturais laterais, axiais e torsionais. Figura 1.8 – Modelo utilizado por Hakimi e Moradi (2010). O estudo apresentado por Aguiar (2010) apresenta uma possível forma positiva de se utilizar as vibrações nas colunas de perfuração. O efeito da vibração axial é tratado como um auxiliar no incremento da taxa de perfuração, como se fosse um martelo embutido na 13 coluna. O objetivo é tentar incrementar a taxa de penetração através dos efeitos de vibro- impacto da broca em rochas duras. O sistema é analisado através da dinâmica não-linear com ensaios experimentais e comprovam a eficiência do efeito da força de impacto durante a perfuração. • Análise Modal Complexa de Sistemas Rotativos A ferramenta de análise modal clássica fornece resultados confiáveis em estruturas estacionárias e tem sido amplamente utilizada com esta finalidade. Já no caso de máquinas rotativas, este tipo de abordagem implica em uma série de limitações quanto ao seu uso na determinação de características vibratórias do sistema, Ewins (1999). A utilização da análise modal em máquinas rotativas requer um aprimoramento teórico mais aprofundado. Isso se deve fundamentalmente ao efeito rotativo sobre o qual a estrutura está submetida. Meirovitch (1970) define os sistemas dinâmicos giroscópicos encontrados na engenharia como sendo termos lineares das velocidades na expressão da energia cinética gerando forças que também serão lineares nas coordenadas generalizadas de tal forma que os coeficientes da j-ésima componente da velocidade (denotadas por #;C) que aparece na expressão da k-ésima força generalizada (denotada por DE) são negativas relativamente ao coeficiente da k-ésima componente da velocidade #;E aparecendo na j-ésima força generalizada DC, isto é, #;C F G#;E. Logo a matriz das velocidades geométricas será antissimétrica. Em outras palavras, se as coordenadas generalizadas correspondentes do sistema forem dados por #H , I F1,2, … , ) então essas coordenadas definem um sistema dinâmico giroscópico se as equações diferenciais do movimento tiverem os termos da forma 2HC (#* #; C , onde 2HC FG2C H , I F 1,2, … , ) de ordem n x n. A implicação direta ao sistema rotativo que considera os efeitos giroscópicos é que elas são dependentes da velocidade de rotação da máquina. Dessa forma a equação de movimento do sistema também será função da velocidade de rotação. Consequentemente, as frequências naturais, fatores de amortecimento e formas modais também serão dependentes dessa mesma rotação da estrutura. Conforme exposto, as forças giroscópicas podem ser modeladas e incorporadas na equação do movimento como matrizes anti-simétricas proporcionais à velocidade de rotação. De forma a descrever o comportamento vibratório, a solução da equação do 14 movimento constitui-se em um problema de autovalores complexos. A forma padrão para solução de problemas de autovalores obriga colocar o autoproblema na forma de equação estado, ou seja, uma transformação de coordenadas colocando a equação do movimento com uma ordem de derivada a menos. Devido ao fato da matriz no espaço estado ser anti- simétrica, o problema de autovalores é não-adjunto. Assim o sistema é resolvido através da obtenção dos autovalores à direita e à esquerda com os respectivos autovetores associados. A técnica de análise modal complexa foi desenvolvida por Lee (1990, 1991). Kessler (1998) e Souto (2000) tratam a metodologia de uma forma mais compreensivel com exemplos e aplicações, porém com uma abordagem mais superficial. Basicamente a metodologia consiste em se utilizar coordenadas direcionais para descrever o movimento do nó da estrutura. Este novo sistema de coordenada permite incorporar a direcionalidade dos modos, ou seja, desmembrá-los em dois submodos (precessão direta e retrógrada). Esta é uma das vantagens dessa metodologia, onde a identificação dos movimentos de precessão é uma etapa muito importante na análise de uma máquina rotativa, pois estes movimentos afetam diretamente a vida útil do rotor. Outra característica importante das máquinas rotativas, é que, geralmente, estas apresentam simetria radial, o que implica em freqüências naturais diretas e retrógradas muito próximas. Esta alta densidade modal cria uma dificuldade ainda maior para aplicação dos métodos tradicionais de análise modal. Nestes casos, pode ser necessário utilizar múltiplas excitações simultâneas para se obter estes modos de forma separada, Souto (2000). A identificação dos modos de precessão direta e retrógrada torna-se um fator de grande relevância na análise de uma máquina rotativa, pois isso afeta diretamente a vida útil do sistema. Ainda que muitas pesquisas exibam o estudo dos modos de precessão direta e retrógrada, a direção dos mesmos é negligenciada, já que estes estudos baseiam-se nas formulações tradicionais de dinâmica de rotores. Kessler (1999) em seu trabalho propõe um novo conceito sobre a formulação original apresentada por Lee (1990), o modo complexo natural que consiste em, compor a soma dos submodos rotativos diretos e os submodos retrógrados. Este tipo de abordagem facilita em muito a compreensão da análise modal complexa, permitindo assim, uma ampliação na utilização desta técnica no estudo da dinâmica dos rotores. A análise modal complexa está baseada na mudança das variáveis cartesianas para as coordenadas direcionais, sendo utilizado para isso, um vetor no plano que pode ser representado por somente uma variável complexa, o Capítulo 5 apresentará com maiores detalhes esta formulação. 15 1.3 Conceitos e Fundamentos As máquinas rotativas mais comuns, também denominadas de rotores, podem ser turbo-compressores, turbinas de aviões, turbinas a vapor para a produção de energia elétrica, colunas de perfuração, etc. A grande capacidade dos rotores de gerar energia mecânica vem da alta velocidade a qual seus eixos são submetidos. Associado a essa alta velocidade estão altas cargas devido à inércia de seus componentes e potenciais problemas de vibração e instabilidade dos rotores. A previsão do comportamento de rotores através de modelos matemáticos é relativamente bem sucedida quando comparado com medições experimentais. No entanto, a intuição humana pode muitas vezes levar a conclusões incorretas, como por exemplo, a massa desbalanceadora permanecerá internamente à órbita realizada pelo eixo do rotor em altas velocidades, assim como o aumento do amortecimento interno pode causar instabilidade também em altas velocidades, Pereira (2003). Em análises do comportamento dinâmico de rotores, os estudos mais frequentemente realizados são: • Previsão das velocidades críticas, onde as velocidades nas quais a vibração devido ao desbalanceamento do rotor é máxima; • Prever as frequências naturais das vibrações torsionais quando vários eixos estão acoplados (por exemplo, caixa de engrenagens) e estes eixos são excitados pelas pulsações do motor durante o start-up; • Calcular as massas de correção e suas localizações a partir de dados de vibração (balanceamento de rotores); • Prever as amplitudes de vibração causadas pelo desbalanceamento do rotor; • Prever as frequências de vibração nas instabilidades dinâmicas; • Modificações de projeto para eliminar instabilidades dinâmicas. O modelo mais simples para análise de vibrações de rotores é o modelo massa/mola, com somente um grau de liberdade, no qual a massa é considerada rígida, como pode ser visto na figura 1.9. 16 Figura 1.9 – Modelo massa/mola rígido, Pereira (2003). A primeira velocidade crítica de um sistema rotor/mancais pode ser aproximada por um modelo massa/mola, da forma: �� F MN�O P EQ RST (1.1) Onde: k é a rigidez efetiva do rotor para o primeiro modo e m é a massa efetiva. Para um rotor que é relativamente rígido comparado à rigidez do mancal, a massa efetiva é a massa do disco e do eixo, e a rigidez efetiva é a rigidez de todos os mancais trabalhando em paralelo, figura 1.10. Figura 1.10 – Modelo rotor rígido, Pereira (2003). 17 Para um rotor que é relativamente flexível comparado à rigidez do mancal, a rigidez efetiva é determinada pela rigidez em flexão do eixo. Neste caso somente uma porção da massa do eixo contribui para a massa efetiva no modelo, já que a massa do rotor próxima dos mancais quase não participa do movimento de vibração, figura 1.11. Figura 1.11 – Modelo rotor flexível, Pereira (2003). Deve ser enfatizado que este modelo simples não pode ser utilizado em análises mais complexas de dinâmica de rotores, já que neste modelo se executa um movimento em uma única direção, enquanto que, um rotor executa movimentos em duas direções ortogonais X e Z, formando uma órbita de diferentes formas. A forma da órbita depende das amplitudes e das fases entre os movimentos em X e Z, figura 1.12. 18 Figura 1.12 – Combinações dos movimentos em X e Y produzindo órbitas: (b) circular, (c) elíptica e (d) translacional, Pereira (2003). Um modelo mais elaborado para evidenciar o surgimento das velocidades críticas em rotores consiste de um disco rígido desbalanceado montado sobre um eixo flexível e mancais rígidos, figura 1.13. Este modelo de rotor chamado de Rotor de Jeffcott, explica como a amplitude se torna máxima na velocidade crítica e porque a massa desbalanceadora se movimenta internamente à órbita do rotor. 19 Figura 1.13 – Modelo rotor Jettcoff, Alamo (2003). O giro síncrono é o movimento realizado normalmente por um rotor desbalanceado e está sincronizado com o movimento de rotação do eixo. No entanto, nem todos os giros são síncronos. Os problemas mais destrutivos encontrados em dinâmica de rotores são não síncronos. Para exemplificar o comportamento do rotor, considere a figura 1.14 na qual é mostrado o giro do rotor a partir da vista de uma de suas extremidades. O elemento hachurado representa uma massa desbalanceadora. Na figura 1.14.(a). a taxa de variação do ângulo @ é a velocidade de giro, representada pela derivada com relação ao tempo por @; . O ângulo U permanece constante, portanto, a velocidade do giro e a velocidade de rotação do eixo Ω são as mesmas, representando o giro síncrono. Na figura 1.14.(b), a taxa de variação do ângulo U é a velocidade de rotação do rotor, representada por U; relativa ao vetor velocidade de giro V. Portanto, a velocidade do rotor é a soma de Ω F @; W U; . Neste caso, a velocidade de giro @; e a velocidade do rotor Ω não são as mesmas, apresentando o giro não síncrono. 20 Figura 1.14 – Giro síncrono (a) e Giro não síncrono (b), Pereira (2003). A figura 1.15 apresenta um exemplo de rotor, no caso uma coluna de perfuração, exibindo vibração torcional com os movimentos síncronos e não síncronos vistos na figura 1.14. Figura 1.15 – Coluna de perfuração sob efeitos torcionais, Bashmal (2004). 21 Outro fenômeno importante a ser conhecido é o escorregamento, ou seja, ocorre a alternância entre o atrito estático e dinâmico, neste caso, o movimento pode apresentar o efeito retrógrado, de maneira que a coluna gira em um sentido e o eixo do corpo do tubo em sentido contrário, conforme figura 1.16. Figura 1.16 – Movimentos de precessão direta e retrógrada, Bashmal (2004). Alguns trabalhos encontrados na literatura de dinâmica de rotores tratam de casos específicos de sistemas rotativos verticais. Lucchese (1988) apresentou em seu trabalho o estudo de rotores verticais sujeitos ao atrito seco, utilizando para isso um sistema adicional de redução de amplitude de vibração. Espírito Santo (1998), extendeu o trabalho de Lucchese (1988) e incorporou um modelo não linear para estudo do atrico seco e restituição cúbica. O estudo não linear do sistema permite estudar vários aspectos importantes no projeto de máquinas rotativas, tais como o torque mínimo necessário para passagem pela velocidade crítica, a amplitude de vibração durante a passagem e a estabilidade da rotação em regime permantes. Este tipo de modelagem permite, também, efetuar estudos em colunas verticais de perfuração, onde o efeito do atrito com a parede do poço pode ser considerado no estudo. 22 Capítulo 2 Modelagem Matemática da Dinâmica de um Rotor Vertical Este capítulo está dividido em duas partes. Na primeira parte, apresentam-se as considerações gerais sobre o modelo estudado. Na segunda parte, obtêm-se as equações governantes do movimento através do método de energia. 2.1 Considerações gerais Nesta formulação, assume-se que o material a ser utilizado é elástico, homogêneo, isotrópico e sem deformações iniciais. As deflexões do eixo rotativo são produzidas pelo deslocamento dos pontos do eixo central e os efeitos de amortecimento interno são desprezados. O sistema de vinculação considerado será engastado em uma extremidade e livre na outra, onde será unida uma massa circular homogênea rígida solidariamente à barra em rotação. O elemento em estudo será de uma viga considerando três deslocamentos e três rotações em cada nó, perfazendo, dessa forma, um sistema com 12 graus de liberdade para cada elemento. Não serão considerados efeitos acoplados entre torsão e deflexões, devido as baixas faixas de rotação a serem utilizados no modelo, na ordem de 100 a 300 rpm. A velocidade de rotação axial será considerada constante em todas as simulações. 2.2 Obtenção das Equações Governantes do Movimento A presente formulação baseou-se nos trabalhos de Alnaser (2002), Bazoune et al (1992) e Khulief et al (1997). A figura 2.1 ilustra o sistema de coordenadas adotado para a modelagem do sistema rotativo. O sistema de referência X Y Z se refere ao plano fixo e o sistema de referência x y z ao plano rotativo. Adota-se o sistema de coordenadas Xi Yi Zi com a origem fixa no ponto do elemento indeformado e o sistema de coordenadas x y z após a deformação do elemento. Considera-se o ponto arbitrário pi no elemento indeformado e com respeito ao 23 sistema de coordenadas Xi Yi Zi , o ponto pi pode ser representado pelo vetor R9X. Aplicando a transformação do ponto pi para o estado deformado do elemento, obtem-se o ponto p. A localização do ponto p com relação ao sistema de coordenadas Xi Yi Zi pode ser representado pelo vetor R9. A posição global do ponto p é definida pelo vetor R9Y como: R9Y F +8 W R9 (2.1) Onde o vetor +8 define a origem do sistema de coordenadas Xi Yi Zi com respeito ao sistema global de coordenadas X Y Z. O vetor R9 pode ser representado como: R9 F R9X W Z8 (2.2) Onde Z8 é o vetor deformação do ponto pi para o ponto p. Utilizando a equação (2.1) e a equação (2.2) tem-se a representação do vetor R9Y como: R9Y F +8 W R9X W Z8 (2.3) Figura 2.1 - Sistema de coordenadas generalizadas, Bashmal (2004). 24 O sistema de coordenadas x y z é rotacionado em relação ao sistema X Y Z conforme o conjunto de ângulos exibido na figura 2.2, onde a orientação geral da seção transversal do elemento de viga pode ser obtida através da rotação em torno do eixo X com o ângulo φ, depois por um ângulo θy em torno do novo eixo y1 e posteriomente por um ângulo θz em torno do eixo final z2. O sistema também é conhecido na literatura como ângulos de Euler. Figura 2.2 - Eixos em rotação nas coordenadas generalizadas, Khulief (2007). A velocidade angular instantânea ω com relação ao sistema de coordenadas x y z pode ser vista na equação (2.4). ω F φ; i W θy; j� W θz; k� (2.4) Onde: i, c� e d� são os vetores unitários ao longo dos eixos X, y1 e z2. 25 Transformando a equação (2.4) para o sistema de coordenadas X Y Z tem-se: ω F φ; i W θy; �cos(:* h W sen(φ* K W θz; �– senlθmni G sen(φ* cosl>on h W coslθmn cos(:* � (2.5) Assumindo pequenos valores para >o e >p , uma vez que as deformações angulares em torno do eixo y e z são desprezíveis, obtem-se as seguintes simplificações: cosl>on F cos(>p* F 1 (2.6) senlθmn F θm , sen(θq* F θq (2.7) Substitindo as equações (2.6) e (2.7) na equação (2.5) tem-se: ω F φ; i W θy; �cos(:* h W sen(φ* K W θz; �– θm i G sen(φ* h W cos(:* � F lφ; G θz; θmn I W rθy; cos(φ* G θz; sen(φ*s h W lθz; cos(φ* W θy; sen(φ*n (2.8) Representando em forma matricial tem-se: ω F tωuωvωwx F y φ; G θz; θyθy; cos φ G θz; sin φθz; cos φ W θy; sin φz (2.9) 2.2.1 Energia Cinética do Eixo O vetor Z8 que representa a deformação do ponto pi para o ponto p, conforme visto na figura 2.1, pode ser escrito utilizando a análise por elementos finitos, da seguinte forma: Z F �� ��� (2.10) Onde �� é a matriz função de forma de translação para o elemento de viga 3D, que 26 pode ser encontrada na forma explícita no capítulo 3 através das equações (3.5) a (3.8) e o vetor ��� contendo os deslocamentos nodais do elemento. A derivada em relação ao tempo da equação (2.10) pode ser expressa da seguinte forma: }�~}� F R;Y W 4 � RY F R;Y W �4 .RY0 (2.11) Onde a matriz anti-simétrica �4 é dada por: �4 F y 0 G4p 4o4p 0 G4�G4o 4� 0 z (2.12) Uma vez que a magnitude de +8 e R9X não variam com a deformação do elemento tem- se: r�; F u; F �N� �e; � (2.13) Substituindo a equação (2.13) na equação (2.11) obtem-se: ����� F �N� �e; � W �ω .r�0 (2.14) A expressão para a energia cinética do elemento de viga pode ser escrita como: T F �� � µ ������ �� ������ �� dV (2.15) Onde µ é a massa específica do elemento. Substituindo a equação (2.11) na equação (2.15) tem-se, Alnaser (2002): T F �� � µ ��e; ���N� ��N� �e; � W �e; ���N� ��ω .r�0 W.r�0��ω ��N� �e; � W .r�0��ω ��ω .r�0 �� dV (2.16) 27 O segundo e terceiro termos da equação (2.14) são igualmente nulos, pois o momento de inércia é calculado com relação ao centro de massa do elemento. O primeiro termo representa a energia cinética devido ao efeito de translação e o último termo à energia cinética devido ao efeito rotacional, já incluindo os efeitos giroscópicos. Uma parte da última parcela pode ser escrita como, Alnaser (2002): �ω ��ω F �ωq� W ωm� Gω�ωm Gωqω�Gω�ωm ωq� W ω�� GωmωqGω�ωq Gωmωq ωm� W ω�� � (2.17) Consequentemente, o último termo da equação (2.16) pode ser reescrito como: � <.RY0��4 ��4 .RY0 �� F � o F �� �� ��� ; >;o F �� �� ��;� (2.22) >p F �� ����� ; >;p F �� ����;� (2.23) Onde ���� representa a matriz de forma para o efeito de torsão, �� �� e �� �� as 28 matrizes de forma para o efeito de flexão. No capítulo 3 as funções de forma estão explicitadas pelas equações (3.9) a (3.16). Utilizando as relações definidas na equação (2.20) e as obtidas nas equações (2.21), (2.22) e (2.23) e substituindo na equação (2.19) tem-se: �� � <.RY0��4 ��4 .RY0 �� F �� �:; � W �� ��;��������;� G :; ��;���2 ��;� G� ��;����� ��;� W ��;����� ��;� (2.24) Onde: C F � I¢£N dx (Momento de Inércia Polar) (2.25) �M¦� F � �N¦��I¢�N¦�dx£N (Matriz de massa com inércia torcional) (2.26) �G F � I¢£N �N¨©�� �N¨ª�dx (Matriz Giroscópica) (2.27) �M« F � I¢£N r�N¦���N¨ª��e� �N¨©� G �N¦�� �N¨©� �e��N¨ª�s dx (2.28) (Matriz de massa com inércia de translação e torsão acopladas) �M� F � I¬ ­N¨©N¨ª ®� ­N¨©N¨ª ® dx£N (Matriz de massa com inércia de rotação) (2.29) Retornando para equação (2.16) e reescrevendo obtem-se a equação para a energia cinética: ¯ F �� ��;����� ��;� W �� �:; � W �� ��;��������;� G :; ��;���2 ��;� G ��;����� ��;� W �� ��;����� ��;� (2.30) Sendo �M� visto na equação (2.31), onde µ A são massa específica e área da seção transversal respectivamente. 29 �M� F � �N� �µA�N� dx£N (Matriz de massa de translação) (2.31) Pode-se escrever a equação (2.30) de maneira compacta, utilizando a forma matricial como visto na equação (2.32). T F �� �e; ���M �e; � W �� Cφ; � W φ; �e; ���G �e; � (2.32) Onde: M F �M� W �M� W �M¦� G 2�M« (2.33) � representa a matriz de massa do elemento de viga 3D; sendo ��� a matriz de massa com acoplamento torcional e transversal, o qual será desconsiderado neste trabalho, já que a mesma é dependente do tempo; ��� a matriz de massa para a translação; ��� a matriz de rotação e ���� a matriz de torsão. 2.2.2 Energia Cinética do Disco O modelo em estudo considera em sua extremidade um disco rígido solidariamente acoplado ao eixo rotativo. Dessa forma, será utilizada nesta modelagem somente a parcela correspondente à energia cinética do mesmo. O fato de desprezar a deformação do disco não implica em um erro considerável na solução, já que a deformação do disco é muito pequena em relação ao eixo. A geometria adotada para identificar o disco segue as equações (2.34) a (2.36) onde R corresponde ao raio externo, r ao raio interno, h a espessura e < a densidade. Assim, pode-se calcular a massa e os momentos de inércia do disco como segue: �% F ± (+� G R�*² < (2.34) 'p F 'o F ³´�� (3R� W 3+� W ²�* (2.35) '� F ³�́ (R� W +�* (2.36) 30 2.2.3 Energia Potencial do Eixo devido à Flexão As variáveis relacionadas com os movimentos de translação são u, v, w, sendo v e w referentes ao movimento de flexão e u com o movimento axial. As rotações do elemento estão relacionadas com as deformações devido às flexões segundo as equações (2.37) e (2.38). >o F ¶ (�,�*¶� (2.37) >p F G ¶� (�,�*¶� (2.38) A energia potencial devido à flexão pode ser escrita como: �� F �� � ·¸ ��� (2.39) Onde: ¸ F ¹ · (2.40) · F Gº ¶» ¶�» G ¼ ¶»�¶�» (2.41) Substituindo a equação (2.40) na equação (2.39) tem-se, Alnaser (2002): �� F �� � ·�¹ ��� (2.42) Substituindo a equação (2.41) na equação (2.42) obtem-se a relação que expressa a energia potencial devido à flexão como: 31 �� F �� ¹ � � �Gº ¶» ¶�» G ¼ ¶»�¶�» �� �½ ��¾�N F F �� ¹ � � ¿Gº� r ¶» ¶�»s� W ¼� r ¶»�¶�» s� W 2º¼ ¶» ¶�» ¶»�¶�» À� �½ ��¾�N (2.43) Devido à simetria do elemento em estudo, o último termo da equação (2.43) é nulo. De posse dos momentos de inércia de área definidos nas equação (2.44) e substituindo na equação (2.43), obtem-se a expressão para a parcela correspondente a energia potencial devido à flexão, visto na equação (2.45). 'p F � º�¾ �½ e 'o F � ¼�¾ �½ (2.44) �� F �� ¹ � ¿'p r ¶» ¶�»s� W 'o r ¶»�¶�» s�À�N �� (2.45) 2.2.4 Energia Potencial do Eixo devido à Torção A energia potencial devido à torsão, definida aqui como U2 pode ser expressa como, Alnaser (2002): �� F �� � 2'5 r¶�¶�s� ���N (2.46) Onde G é o modulo de elasticidade transversal e IP o momento de inércia polar para um eixo cilíndrico. 2.2.5 Energia Potencial do Eixo devido à Deformação Axial A energia potencial devido à deformação axial U3 pode ser expressa pela equação (2.45). �� F �� � ·¸ ��� (2.47) 32 Onde: ¸ F ¹ · e · F}�}� (2.48) Substituindo a equação (2.46) na equação (2.45) tem-se: �� F �� ¹ � � r}�}�s� �½ ��¾�X (2.49) Como a seção do elemento em estudo possui área transversal constante, a equação (2.47) pode ser reduzida conforme visto na equação (2.48), Alnaser (2002). �� F �� ¹½ � r}�}�s� ���X (2.50) 2.2.6 Energia Potencial do Eixo devido ao Campo Gravitacional Para possibilitar a utilização de longos eixos verticais, a presente formulação considera os efeitos devido ao campo gravitacional, conforme descrito a seguir. A energia potencial devido às forças gravitacionais pode ser expressa por, Alnaser (2002): �� F �� � D(�* ¿r¶�¶� s� W r¶ ¶�s�À�N �� (2.51) Onde D(�* representa a força gravitacional dada pela equação (2.50). D(�* F ¹½ ¶�¶� (2.52) 2.2.7 Energia Potencial Total do Sistema A energia potencial total pode ser obtida somando-se as parcelas intermediárias obtidas nas equações (2.45), (2.46), (2.50) e (2.51), assim tem-se: � F �� W �� W �� W �� (2.53) 33 � F �� ¹ � ¿'p r ¶» ¶�»s� W 'o r ¶»�¶�» s� W ½ r}�}�s�À�N �� W �� � 2'5 r¶�¶�s� �� W�N �� � D(�* ¿r¶�¶� s� W r¶ ¶�s�À�N �� (2.54) Devido a simetria do elemento cilíndrico utilizado no modelo tem-se: 'p F 'o F '(�* (2.55) Utilizando as relações encontradas nas equações (2.37), (2.38) e (2.55) na equação (2.54) tem-se: � F ¹2 Á '(�* �ÂÃ>oÃ� Ä� W ÅÃ>pÃ� Æ��� N �� W ¹½2 Á Å�Z��Æ� �� W 2h2 Á Å�:��Æ� �� W� N � N 12 Á D(�* ­ÅÃÇÃ� Æ� W ÅÃÈÃ�Æ�®� N �� (2.56) Pode-se escrever a equação (2.56) de maneira compacta, utilizando a forma matricial como visto na equação (2.57). � F �� ����� ��� (2.57) Onde: F � ! W � � W � �� W � "� (2.58) K representa a matriz de rigidez do elemento de viga 3D; sendo � ! a matriz de rigidez axial, � � matriz de flexão, � �� matriz de torção e � "� matriz devido ao efeito gravitacional (peso próprio). 34 2.2.8 Equação do Movimento A expressão para o movimento do sistema mecânico é derivada através da equação de Lagrange, dada pela equação (2.57). }}� r¶É¶Ê; s G ¶É¶Ê F $ (2.59) Onde: & F ¯ G � Função Lagrangeana # Coordenadas Generalizadas $ Vetor Forças Generalizadas ¯ Energia Cinética Total � Energia Potencial Total Substituindo # e & na equação (2.57) obtém-se a formulação para elementos finitos da dinâmica do movimento dada pela equação (2.58) para o elemento de viga 3D. �� ��Ë� W :; �2 ��;� W � ��� F $ (2.60) Onde: �� Matriz de Massa �2 Matriz Giroscópica � Matriz de Rigidez :; Velocidade Angular ��� Coordenadas nodais 35 Capítulo 3 Formulação Através do Método dos Elementos Finitos Este capítulo está dividido em cinco partes. Na primeira parte, apresenta-se o modelo de elementos finitos propriamento dito. Nas partes subsequentes são descritas as matrizes de rigidez do eixo, a matriz de rigidez sob efeito gravitacional, matriz de inércia do eixo rotativo e a montagem da matriz global do sistema. 3.1 Modelo de Elementos Finitos O método dos elementos finitos será utilizado para resolver a equação do movimento obtida no capítulo anterior para estruturas mais complexas. O conceito básico do método dos elementos finitos é subdividir estruturas complexas em elementos simples, cujas soluções são conhecidas na forma analítica, como por exemplo, vigas, chapas, eixos etc. No caso do presente estudo, um número n de equações diferenciais será obtido em função do número de graus de liberdade da estrutura. Nesta formulação, utilizou-se o elemento de viga com seção transversal cilíndrica como elemento básico, com este possuindo dois nós, onde cada nó contém 6 graus de liberdade, sendo compostos por dois deslocamentos transversais, duas rotações de flexão, uma rotação torcional e um deslocamento axial, maiores detalhes sobre a formulação pode ser encontrada em Alnaser (2002) e Nelson (1992), conforme visto na figura 3.1. Figura 3.1 - Graus de liberdade do elemento de viga 3D. 36 O vetor de deformação para o elemento de viga a ser utilizado na formulação pode ser visto na equação (3.1). � F �Z� È� Ç� >oÌ >pÌ :� Z� È� Ç� >o» >p» :��� (3.1) Utilizando o método dos modos assumidos, a deformação axial e transversal de um elemento pode ser representada em termos de funções de forma como: ÍZ(�, Î*È(�, Î*Ç(�, Î*Ï F y��Ì 0 0 0 0 0 ��» 0 0 0 0 00 � Ì 0 0 � » 0 0 � Ð 0 0 � Ñ 00 0 � Ì � » 0 0 0 0 � Ð G� Ñ 0 0z F ���� ��� ��� F ���(�* ��(Î*� (3.2) Da mesma forma, a rotação elástica do elemento pode ser aproximada em termos de funções de forma como: Ò>o>pÓ F ¿0 � Ì 0 0 � » 0 0 � Ð 0 0 � Ñ 00 0 G� Ì � » 0 0 0 0 G� Ð � Ñ 0 0À F ­� �� � ® ��� F �� (�* ��(Î*� (3.3) E para deformação torcional tem-se: :(�, Î* F �0 0 0 0 0 ��Ì 0 0 0 0 0 ��»� � F ���� ��(Î*� (3.4) Onde Nu, Nv e Nw representam o deslocamento estático associado com o deslocamento do primeiro e do último ponto. As matrizes � � e � � representam as funções de forma para rotação devido à flexão e �� representa a função de forma para o efeito de rotação devido à torsão. As expressões explícitas para as funções de forma foram obtidas de Khulief (1992) e estão aqui reproduzidas pelas equações (3.5) a (3.16). 37 � � F 1 G 3 r�� s� W 2 r�� s� (3.5) � � F Ô ¿�� G 2 r�� s� W r�� s�À (3.6) � � F 3 r�� s� G 2 r�� s� (3.7) � � F Ô ¿G r�� s� W r�� s�À (3.8) ��� F 1 G �� (3.9) ��� F �� (3.10) � � F M� ¿r�� s� G �� À (3.11) � � F 1 G 4 r�� s W 3 r�� s� (3.12) � � F M� ¿�� G r�� s�À (3.13) � � F 3 r�� s� G 2 �� (3.14) ��� F 1 G �� (3.15) ��� F �� (3.16) 38 3.2 Matriz de Rigidez do Eixo A seguir serão explicitadas as matrizes de rigidez para o elemento de viga através da equação (2.55). A convenção adotada segue a apresentada pela equação (3.1) e figura 3.1. As equações foram retiradas dos trabalhos de Alnaser (2002) e Bashmal (2004). As matrizes foram checadas em outras literaturas existentes, Craig (1981) e Nelson (1992). 3.2.1 Matriz de Rigidez Elástica A contribuição elástica devido à flexão no sistema é apresentada pela equação (3.17) e (3.18). � � F � �Ö� �¹'�N �Ö� �� (3.17) Onde: �Ö� F ¶¶� �� (3.18) Com a integração da equação (3.17) ao longo do eixo vertical x e utilizando a função de forma �� vista nas equações (3.11) a (3.14), obtem-se a matriz de rigidez elástica de ordem 12 para um elemento de viga 3D de comprimento l de forma explícita: � F ¹' ×Ø ØØ ØØ ØØ ØØ ØØ ØØ ØÙ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 12 Ô�Ú 0 0 6 Ô�Ú 0 0 G12 Ô�Ú G 12 Ô�Ú 0 6 Ô�Ú 00 0 12 Ô�Ú G6 Ô�Ú 0 0 0 0 0 G6 Ô�Ú 0 00 0 G6 Ô�Ú 4 ÔÚ 0 0 0 0 6 Ô�Ú 2 ÔÚ 0 00 6 Ô�Ú 0 0 4 ÔÚ 0 0 G6 Ô�Ú 0 0 2 ÔÚ 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 G12 Ô�Ú 0 0 G6 Ô�Ú 0 0 12 Ô�Ú 0 0 G6 Ô�Ú 00 G 12 Ô�Ú 0 6 Ô�Ú 0 0 0 0 12 Ô�Ú 6 Ô�Ú 0 00 0 G6 Ô�Ú 2 ÔÚ 0 0 0 0 6 Ô�Ú 4 ÔÚ 0 00 6 Ô�Ú 0 0 2 ÔÚ 0 0 G6 Ô�Ú 0 0 4 ÔÚ 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0ÜÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÞ (3.19) 39 3.2.2 Matriz de Rigidez Torcional A contribuição devido ao efeito torcional no sistema é apresentada pela equação (3.20) e (3.21). � �� F � �Ö���2'Y�N �Ö���� (3.20) Onde: �Ö�� F ¶¶� ���� (3.21) Com a integração da equação (3.20) ao longo do eixo vertical x e utilizando a função de forma ���� vista nas equações (3.15) e (3.16), obtem-se a matriz de rigidez torcional de ordem 12 para um elemento de viga 3D de comprimento l de forma explícita, apresentada pela equação (3.22). � F 2'Y ×Ø ØØ ØØ ØØ ØØ ØØ ØØ ØØ ØÙ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 ÔÚ 0 0 0 0 0 G 1 ÔÚ0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 G 1 ÔÚ 0 0 0 0 0 1 ÔÚ ÜÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÞ (3.22) 40 3.2.3 Matriz de Rigidez Axial A contribuição devido ao efeito axial no sistema é apresentada pela equação (3.23) e (3.24). � ! F � �Ö! �¹½�N �Ö! �� (3.23) Onde: �Ö! F ¶¶� ��� (3.24) Com a integração da equação (3.23) ao longo do eixo vertical x e utilizando a função de forma ��� vista nas equações (3.9) e (3.10), obtem-se a matriz de rigidez axial de ordem 12 para um elemento de viga 3D de comprimento l de forma explícita, apresentada pela equação (3.25). ! F ¹½ ×Ø ØØ ØØ ØØ ØØ ØØ ØØ ØØ ØÙ 2 ÔÚ 0 0 0 0 0 1 ÔÚ 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 ÔÚ 0 0 0 0 0 2 ÔÚ 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0ÜÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÞ (3.25) 41 3.2.4 Matriz de Rigidez Devido ao Peso Próprio A presente formulação leva em consideração o efeito gravitacional do elemento, permitindo assim, o cálculo para longas estruturas delgadas já que o comprimento exerce uma influência significativa devido ao peso próprio da estrutura. Dessa forma, a matriz de rigidez gravitacional é desenvolvida e adicionada na matriz global de rigidez do elemento, como apresentada pelas equações (3.26) e (3.27). � "� F � D �Ö!ß ��N �Ö!ß �� (3.26) Onde: �Ö!ß F ¶¶� �� (3.27) A força F a ser considerada denota o esforço gravitacional, considerando toda a estrutura suspensa, ou seja, todo sistema submetido ao esforço de tração. A força axial F devido ao peso associado a um elemento i num ponto p pode ser escrita como: �D F < à ½ �RY (3.28) Onde: A Área da seção transversal g Aceleração da gravidade < Massa específica do material Através da figura 3.2, para a estrutura suspensa, tem-se que o comprimento RY do ponto neutro até o ponto p pode ser escrito como: RY F &� W (ÔH G �* (3.29) 42 Onde ÔH representa o comprimento do elemento i e &� é dado pela equação (3.30). &� F ∑ ÔCâã�CäH (3.30) Figura 3.2 – Esquema coluna sob tensão, Alnaser (2002). Diferenciando a equação (3.29) com relação à x tem-se: �RY F G�� (3.31) Substituindo a equação (3.31) na equação (3.28) tem-se: �D F < à ½ (G��* (3.32) Integrando a equação (3.32) tem-se a força F devido ao peso próprio atuando no ponto p até o ponto neutro, que neste caso é a extremidade da estrutura, conforme pode ser 43 visto na equação (3.33). D F G �� < à ½ ��ÉåÉåãÉæ W � < à ½ ���æ� � (3.33) Resolvendo a integral da equação (3.33) e considerando <, à � ½ como constantes, obtem-se a seguinte expressão: D F G< à ½ �&� G (ÔH G �* (3.34) Com a integração da equação (3.26) ao longo do eixo vertical x e utilizando a função de forma �� vista nas equações (3.5) a (3.8), e a equação (3.34), obtem-se a matriz de rigidez devido ao campo gravitacional de ordem 12 para um elemento de viga 3D de comprimento l de forma explícita, apresentada pela equação (3.35). 44 "F <འ×ØØØØØØØØØØØØØØØØØØØØØØÙ0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 03 5ÚW 6& � 5Ô HÚ 0 0 & � 10Ú 00 G3 5ÚG 6& � 5Ô HÚ 0 0 Ô H 10Ú W & � 10Ú 0 0 0 3 5ÚW 6& � 5Ô HÚ G& � 10Ú 0 00 0 G3 5ÚG 6& � 5Ô HÚ GÔ H 10Ú G & � 10Ú 0 0 0 0 G& � 10Ú Ô H� 10Ú W 2& �Ô H 15Ú 0 00 0 & � 10Ú GÔ H� 60Ú G & �Ô H 30Ú 0 0 0 & � 10Ú 0 0 Ô H� 10Ú W 2& �Ô H 15Ú 00 G& � 10Ú 0 0 GÔ H� 60Ú G & �Ô H 30Ú 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0G 3 5ÚG 6& � 5Ô HÚ 0 0 G& � 10Ú 00 3 5ÚW 6& � 5Ô HÚ 0 0 GÔ H 10Ú G & � 10Ú 0 0 0 G3 5ÚG 6& � 5Ô HÚ & � 10Ú 0 00 0 3 5ÚW 6& � 5Ô HÚ Ô H 10Ú W & � 10Ú 0 0 0 0 GÔ H 10Ú G & � 10Ú GÔ H� 60Ú G & �Ô H 30Ú 0 00 0 Ô H 10Ú W & � 10Ú Ô H� 30Ú W 2& �Ô H 15Ú 0 0 0Ô H 10Ú W & � 10Ú 0 0 GÔ H� 60Ú G & �Ô H 30Ú 00 GÔ H 10Ú G & � 10Ú 0 0 Ô H� 30Ú W 2& �Ô H 15Ú 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0ÜÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÝÞ ( 3. 35 ) 45 3.3 Matriz de Inércia do Eixo A seguir serão explicitadas as matrizes de inércia para o elemento de viga através da equação (2.30). A convenção adotada segue a apresentada pela equação (3.1) e figura 3.1. As equações foram retiradas dos trabalhos de Alnaser (2002) e Bashmal (2004). As matrizes foram checadas em outras literaturas existentes, Craig (1981) e Nelson (1992). 3.3.1 Matriz de Inércia de Translação Com a integração da equação (2.29) ao longo do eixo vertical x e com a utilização das funções de forma �� vista nas equações (3.5) a (3.8), obtem-se a matriz de inércia devido ao efeito de translação, de ordem 12, para um elemento de viga 3D de comprimento l de forma explícita, apresentada pela equação (3.36). �� F <½ ×Ø ØØ ØØ ØØ ØØ ØØ ØØ ØØ ØØ ØØ ØØ ØÙÔ 3Ú 0 0 0 0 0 Ô 6Ú 0 0 0 0 0 0 13Ô 35Ú 0 0 11Ô� 210Ú 0 0 9Ô 70Ú 0 0 G13Ô� 420Ú 0 0 0 13Ô 35Ú G11Ô� 210Ú 0 0 0 0 0 13Ô� 420Ú 0 0 0 0 G11Ô� 210Ú Ô� 105Ú 0 0 0 0 13Ô� 420Ú GÔ� 140Ú 0 0 0 11Ô� 210Ú 0 0 Ô� 105Ú 0 0 13Ô� 420Ú 0 0 GÔ� 140Ú 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0Ô 6Ú 0 0 0 0 0 Ô 3Ú 0 0 0 0 0 0 9Ô 70Ú 0 0 13Ô� 420Ú 0 0 13Ô 35Ú 0 0 G11Ô� 210Ú 0 0 0 0 13Ô� 420Ú 0 0 0 0 13Ô 35Ú 11Ô� 210Ú 0 0 0 0 13Ô� 420Ú GÔ� 140Ú 0 0 0 0 11Ô� 210Ú Ô� 105Ú 0 0 0 G13Ô� 420Ú 0 0 GÔ� 140Ú 0 0 G11Ô� 210Ú 0 0 Ô� 105Ú 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0ÜÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÞ (3.36) 46 3.3.2 Matriz de Inércia de Rotação Com a integração da equação (2.27) ao longo do eixo vertical x e com a utilização das funções de forma �� vista nas equações (3.11) a (3.14), obtem-se a matriz de inércia devido ao efeito de rotação, de ordem 12, para um elemento de viga 3D de comprimento l de forma explícita, apresentada pela equação (3.37). �� F '% ×Ø ØØ ØØ ØØ ØØ ØØ ØØ ØØ ØØ ØØ ØØ ØÙ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 5ÔÚ 0 0 1 10Ú 0 0 G6 5ÔÚ 0 0 1 10Ú 0 0 0 6 5ÔÚ G1 10Ú 0 0 0 0 G6 5ÔÚ G1 10Ú 0 0 0 0 G1 10Ú 2Ô 15Ú 0 0 0 0 0 GÔ 30Ú 0 0 0 1 10Ú 0 0 2Ô 15Ú 0 0 0 G1 10Ú 0 GÔ 30Ú 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 G6 5ÔÚ 0 0 0 0 0 6 5ÔÚ 0 0 G1 10Ú 0 0 0 G6 5ÔÚ 0 G1 10Ú 0 0 0 6 5ÔÚ G1 10Ú 0 0 0 0 G1 10Ú GÔ 30Ú 0 0 0 0 G1 10Ú 2Ô 15Ú 0 0 0 1 10Ú 0 0 GÔ 30Ú 0 0 G1 10Ú 0 0 2Ô 15Ú 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0ÜÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÞ (3.37) 47 3.3.3 Matriz de Inércia de Torsão Com a integração da equação (2.24) ao longo do eixo vertical x e com a utilização das funções de forma ���� vista nas equações (3.15) e (3.16), obtem-se a matriz de inércia devido ao efeito de torsão, de ordem 12, para um elemento de viga 3D de comprimento l de forma explícita, apresentada pela equação (3.38). �� F ×Ø ØØ ØØ ØØ ØØ ØØ ØØ ØØ ØÙ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 Ô 3Ú 0 0 0 0 0 Ô 6Ú0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 Ô 6Ú 0 0 0 0 0 Ô 3Ú ÜÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÞ (3.38) 48 3.4 Matriz Giroscópica A matriz giroscópica pode ser obtida a partir da seguinte expressão, Alnaser (2002): �2 F �2é G �2é � (3.39) Onde �2 é a matriz giroscópica apresentada na equação (2.27) e �2é a matriz giroscópica que pode ser vista na equação (3.40). A velocidade de rotação e o momento polar de inércia foram considerados constantes para a obtenção da equação (3.40). �2é F '5 � �� ����N �� �� �� (3.40) Com a integração da equação (3.40) ao longo do eixo vertical x e com a utilização das funções de forma �� encontradas nas equações (3.11) a (3.14), obtem-se a matriz giroscópica, de ordem 12, para um elemento de viga 3D de comprimento l de forma explícita, apresentada pela equação (3.41). Procurou-se manter a abordagem vista em Alnaser (2002) para a obtenção da matriz giroscópica através de �2é . Porém, pode-se encontrar esta matriz de forma direta em outros trabalhos, Craig (1981). Entretanto, todas as variáveis foram checadas e o resultado final permanece inalterado. 2é F '5 ×Ø ØØ ØØ ØØ ØØ ØØ ØØ ØØ ØÙ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 G6 5ÔÚ 1 10Ú 0 0 0 0 6 5ÔÚ 1 10Ú 0 00 6 5ÔÚ 0 0 1 10Ú 0 0 G6 5ÔÚ 0 0 1 10Ú 00 G1 10Ú 0 0 G2 15ÔÚ 0 0 1 10Ú 0 0 G1 30ÔÚ 00 0 G1 10Ú 2 15ÔÚ 0 0 0 0 1 10Ú 1 30ÔÚ 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 6 5ÔÚ G1 10Ú 0 0 0 0 G6 5ÔÚ G1 10Ú 0 00 G6 5ÔÚ 0 0 G1 10Ú 0 0 6 5ÔÚ 0 0 G1 10Ú 00 G1 10Ú 0 0 G1 30ÔÚ 0 0 1 10Ú 0 0 G2 15ÔÚ 00 0 G1 10Ú 1 30ÔÚ 0 0 0 0 1 10Ú 2 15ÔÚ 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0ÜÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÞ (3.41) 49 3.5 Matriz do Sistema Mecânico Reescrevendo a equação do movimento obtida através da equação (2.60) de forma a incluir somente os parâmetros considerados neste trabalho, tem-se a equação para cada elemento finito i do sistema mecânico em análise. �� H��Ë�H W :; �2 H��;�H W � H���H F 0 (3.42) Sendo �� H a matriz de massa do elemento i: �� H F ��� H W ��� H W ����H (3.43) Onde: ��� Matriz de massa de translação ��� Matriz de massa de rotação ���� Matriz de massa de torsão Sendo �2 H a matriz giroscópica do elemento i: �2 H F �2é H G �2é H� (3.44) Onde: �2é Matriz giroscópica obtida pela equação (3.41) Sendo � H a matriz de rigidez do elemento i: � H F � ! H W � � H W � ��H W � "�H (3.45) 50 Onde: � ! Matriz de rigidez axial � � Matriz de rigidez elástica � �� Matriz de rigidez torcional � "� Matriz de rigidez devido ao peso próprio Após o cálculo das matrizes dos elementos e montagem da matriz global de massa, rigidez e giroscópica, de acordo com o procedimento padrão de elementos finitos, efetuam- se a vinculação do sistema. Os primeiros 6 graus de liberdade, correspondente ao nó inicial do primeiro elemento será eliminado das matrizes globais, de forma a criar o engastamento em uma extremidade da estrutura. Após a montagem das matrizes dos elementos, procede-se o cálculo das características inerciais do disco rígido e sua incorporação na matriz global de massa e giroscópica no último nó correspondente na estrutura, ou seja, na extremidade livre do rotor. Com a equação (3.42) montada para todos os elementos da estrutura, pode-se aplicar qualquer procedimento para resolução do autoproblema correspondente e obter as frequências naturais do sistema, através dos autovalores, e os modos de vibrar, através dos autovetores. 51 Capítulo 4 Análise Modal Este capítulo está dividido em duas partes. Na primeira parte, apresenta-se uma breve introdução sobre o assunto análise modal. Na segunda parte, descreve-se a teoria sobre análise modal para estruturas estacionárias e em seguida para estruturas rotativas. 4.1 Introdução A análise modal é uma ferramenta que permite determinar, de forma analítica ou experimental, os parâmetros modais de um sistema estrutural, ou seja, frequências naturais, formas modais e fatores de amortecimento. O procedimento padrão para estudo de estruturas de forma analítica requer, inicialmente, um modelo matemático que se adeque às necessidades em questão. Após a modelagem, deve-se resolver o problema de autovalor associado e determinar os modos de vibração, os fatores de amortecimento e as frequências naturais do sistema. As funções de resposta em frequência podem ser calculadas através da superposicao modal dos modos naturais de vibração. Normalmente as maquinas rotativas são estruturas compostas de elementos complexos, contendo vários dispositivos que podem ser extremamente complicados para modelar matematicamente, tais como: selos, mancais, acoplamentos, entre outros, e podem estar sujeitos a desgaste durante a vida útil do equipamento, fazendo com que suas caracteristicas fisicas se alterem com o tempo. As frequências naturais da estrutura devem ser determinadas para que se conheçam as velocidades criticas e as faixas de rotação seguras para operação, permitindo, assim, melhor eficiencia e diminuicao dos custos de manutenção. Os conhecimentos dos modos de vibração de um rotor permitem descrever o seu comportamento dinâmico em resposta a vários tipos de excitações. Uma caracteristica importante dos sistemas rotativos é a de apresentar modos de precessão direta e retrógrada, que em vários casos, são muito proximos em frequência entre si, tornando assim dificil realizar uma identificação precisa dos parametros modais com os 52 métodos de análise modal clássica. A análise modal complexa foi desenvolvida por Lee (1990, 1991) para ser aplicada especificamente em máquinas rotativas. A formulação leva em consideração a direção dos modos de precessão, através da utilização das coordenadas direcionais e da divisão dos modos em submodos diretos e retrógrados. Da mesma forma que os modos, os sinais de excitação e as respostas medidas também são tratados com a notação complexa e divididos em componentes diretas e retrógradas. Para permitir lidar com estes sinais dentro de um sistema com coordenadas direcionais, Lee (1990) desenvolveu as funções de resposta em frequência direcionais, que são capazes de separar, de forma clara, os modos de precessão direta e retrógrada. 53 4.2 Análise Modal Clássica Nesta seção apresenta-se sucintamente a análise modal em sua forma clássica para estruturas estacionárias e em seguida para estruturas rotativas. São explicitadas as diferenças entre esses dois sistemas através de seu equacionamento. 4.2.1 Análise Modal em Estruturas Estacionárias A equação de movimento de um sistema não rotativo com amortecimento viscoso pode ser expressa da seguinte forma: �� ��Ë (Î*� W �- ��; (Î*� W � ��(Î*� F ��(Î*� (4.1) As características das matrizes são: matriz de massa [M] é simétrica e positivo definida e as matrizes de rigidez [K] e a de amortecimento [D] , são simétricas e semi- positivo definidas. Adotando um sistema homogêneo associado a uma resposta harmônica, tem-se o seguinte problema de autovalor de segunda ordem: (=��� W =�- W � *�ê� F �0� (4.2) Considerando que a maior disponibilidade de algoritmos confiáveis para a resolução de problemas de autovalor de primeira do que de segunda ordem, Nelson (1992), é mais interessante transformar a equação (4.2) em um sistema de primeira ordem. Para isso pode- se aplicar uma mudança de variáveis conveniente e reduzir a um problema de autovalor simétrico generalizado. �½ �º; � W �Ö �º� F �0� (4.3) Onde: �½ F ¿�- �� �� �0 À (4.4) 54 �Ö F ¿� �0 �0 G�� À (4.5) �º� F ���; � (4.6) Utilizando a equação (4.3) pode escrever o problema de autovalor da seguinte forma: (=��½ W �Ö *�>�� F �0� (4.7) Onde: =� r-ésimo autovalor �>�� Autovetor associado Os 2n autovetores pode ser dispostos em colunas de uma matriz, chamada matriz modal [> . Os autovetores são ortogonais entre si quando poderados pelas matrizes [A] e [B] , conforme Ewins (1984). As relações de ortogonalidade podem ser expressas pela seguinte forma: �> ��½ �> F �ë� (4.8) �> ��Ö �> F ��� (4.9) Sendo �ë� e ��� matrizes diagonais. Assim, o r-ésimo autovalor, =� é dado por: =� F G 1ì!ì (4.10) Considerando uma força externa harmônica do tipo: ��(Î*� F �D��Hí� (4.11) E uma resposta do sistema também harmônica, obtem-se, pela equação (4.3): 55 (I4�½ W �Ö *�î��Hí� F �D��Hí� (4.12) Dessa forma, pode-se definir a matriz de funções de resposta em frequência (FRF) como: �A(4* F (I4�½ W �Ö *ã� (4.13) A matriz das FRFs é igual à inversa da matriz de impedância dinâmica. Nota-se que há a possibilidade de calcular a matriz de FRF através da equação (4.13), porém este procedimento resulta em várias desvantagens, como mostrado a seguir: • Numericamente custoso, pois é necessário inverter a matriz de rigidez dinâmica para cada frequência; • O processo não permite que se calcule apenas uma, ou algumas FRF, este método fornece toda a matriz das funções de resposta em frequência do sistema, o que não maioria dos casos não é necessária; • O procedimento não deixa claro qual é a contribuição de cada modo na resposta do sistema em determinado grau de liberdade; Devido aos fatos expostos acima, é importante desenvolver um método capaz de calcular as FRFs de forma mais prática. Para isto, invertem-se ambos os lados da equação (4.13), pré multiplica-se o resultado por �> � e pós multiplica-se por �> , resultando em: �> ��A(4* ã��> F �> �(I4�½ W �Ö *�> (4.14) Utilizando as relações de ortogonalidade apresentada na equação (4.8) e equação (4.9), tem-se: �> ��A(4* ã��> F (I4�ë� W ��� * F �ë� (I4�' G �Λ * (4.15) Sendo �B uma matriz diagonal composta pelos autovalores dispostos na diagonal principal. Esta matriz é denominada de matriz espectral. Se os autovalores forem normalizados de tal maneira que sendo �ë� F �' e , por consequencia, ��� F G�B , a 56 equação (4.15) torna-se: �ð ��A(4* ã��ð F (I4�' G �B * (4.16) Sendo �ð a matriz modal formada pelos autovetores normalizados. Pré multiplicando-se ambos os lados da equação (4.16) por �ð � e pós multiplicando-se o resultado por �ð ã�, tem-se: �A(4* ã� F �Φ ã�(I4�' G �Λ *�Φ ã� (4.17) Calculando-se a inversa de ambos os lados da equação (4.17) obtem-se: �A(4* F �Φ (I4�' G �Λ *ã��Φ � (4.18) A equação (4.18) apresenta a expressão da matriz de funções de resposta em frequência em relação aos parametros modais. A equação da receptância que relaciona uma excitação aplicada no grau de liberdade k com o deslocamento medido no grau de liberdade j é dado por: ACE(4* F ∑ òóìòôì(Híãõì*�ö�ä� (4.19) 57 4.2.2 Análise Modal em Sistemas Rotativos Na análise considerada anteriormente, os estudos se concentraram em estruturas que possuem matrizes de massa e rigidez simétricas e invariantes, ou seja, estacionárias. Normalmente, o modelo matemático de máquinas rotativas possui matrizes que são função da rotação e não simétricas devido ao efeito das forças giroscópicas e dos mancais. Neste trabalho, os efeitos dos mancais serão desconsiderados, já que em uma extremidade a estrutura será considerada fixa (engastamento) e em sua outra extremidade considerada livre, ou seja, apenas os modos próprios serão considerados (não será abordado o efeito de perfuração). A expressão geral da equação do movimento de um sistema rotativo pode ser descrita por: �� ��Ë (Î*� W �-(Ω* ��; (Î*� W � ��(Î*� F ��(Î*� (4.20) Onde: �-(Ω* F �� G Ω�2 (4.21) [C] Matriz de amortecimento (simétrica) [G] Matriz giroscópica (anti-simétrica) ? Velocidade de rotação do rotor Transformando a equação (4.20) para a forma de estado espaço tem-se, conforme Bucher (1996): �½ �#; � W �Ö �#� F �D� (4.22) Onde: �½ F ¿�� �0 �0 G� À (4.23) �Ö F ¿�-(Ω* � � �0 À (4.24) 58 �D� F Ò��(Î*��0� Ó (4.25) �#� F Ò�;(Î*�(Î*Ó (4.26) O fato de a matriz giroscópica ser anti-simétrica faz com que os autovetores do problema não auto-adjunto (à esquerda) sejam diferentes dos autovetores do problema auto- adjunto (à direita). Dessa forma, têm-se dois problemas de autovalor, o auto-ajunto e o não auto-adjunto, corforme apresentado a seguir: =H�½ �+�H W �Ö �+�H F �0� (4.27) =H�½ ��&�H W �Ö ��&�H F �0� (4.28) Sendo que =H são os autovalores, �+�H os autovetores à direita e �&�H os autovetores à esquerda, �:�H os autovetores à direita do sistema de segunda ordem e �@�H os autovetores à esquerda do sistema de segunda ordem, conforme apresentado nas equações (4.29) e (4.30). �+�H F Ò=H�:�H�:�H Ó (4.29) �&�H F ÒG=H�@�H�@�H Ó (4.30) De forma similar ao que ocorrem com as estruturas estacionárias, os autovalores e os autovetores serão complexos e surgirão em pares complexos conjugados, desde que o sistema seja subamortecido. Da mesma forma como foi executado para o caso dos sistemas não rotativos, pode-se dispor os autovetores nas colunas de uma matriz formando a matriz modal. Para estruturas rotativas, entretanto, existirão duas matrizes modais, sendo uma à direita [R] e outra à esquerda [L]. No caso de sistemas rotativos, devido a não simetria das matrizes, as propriedades de ortogonalidade dos autovetores se alteram. Normalizando-se os autovetores à direita e à esquerda apropriadamente, as relações de ortogonalidade podem ser expressas da seguinte 59 forma: �& ��½ �+ F �' (4.31) �& ��Ö �+ F G�Λ (4.32) De maneira a se obter a expressão da função de resposta em frequência de sistemas rotativos devemos, antes de tudo, expressar o vetor de estado como uma expansão dos autovetores à direita, Nordmann (1982): �#� F ∑ �+�H÷H F �+ �÷��öHä� (4.33) Substituindo-se a equação (4.33) na equação (4.22) e pré-multiplicando o resultado por �& �, tem-se que: �& ��½ �+ �÷;� W �& ��Ö �+ �÷� F �& ��D� (4.34) Das N primeiras linhas da equação (4.34) obtêm-se N equações desacopladas: ÷;H(Î* G =H÷H(Î* F G=H�@�H���(Î*� (4.35) Supondo uma excitação e uma resposta harmônica e de mesma frequência, tem-se que a resposta em frequência na i-ésima coordenada generalizada será dada por: ÷H(4* F ãõæ�ò�æøCíãõæ ��(4*� (4.36) Substituindo a equação (4.36) no vetor estado da equação (4.33) tem-se: �#� F ∑ �+�H÷H F �+ �÷� F ∑ �+�H õæ�ò�æøõæãCí ��� F ∑ Ò=�:�H�:�H Ó õæ�ò�æøõæãCí�öHä��öHä��öHä� (4.37) Considerando apenas a resposta em deslocamento, ou seja, a metade inferior do vetor {q}, tem-se: 60 ��� F ∑ õæ���æ�ò�æøõæãCí ����öHä� (4.38) Com a equação (4.38) pode-se calcular a resposta em um grau de liberdade k devido a uma excitação em um grau de liberdade l. Para isso, supõe-se um vetor de forças externas não nulas apenas no l-ésimo grau de liberdade, conforme visto na equação (4.39). ��(Î*� F �0 0 … �� … 0 0���Hí� (4.39) Dessa forma obtém-se a equação (4.40) que expressa à resposta em frequência no grau de liberdade k: �E F ∑ õæ�ôæòùæõæãCí ���öHä� (4.40) Através da equação (4.40) tem-se que a receptância entre os pontos l e k pode ser dada por: AE�(4* F ∑ õæ�ôæòùæõæãCí�öHä� (4.41) A matriz de funções de resposta em frequência será dada por: �A(4* F ∑ õæ���æ�ò�æøõæãCí�öHä� (4.42) Ou pela forma apresentada pela equação (4.43): �A(4* F ∑ õæ���æ�ò�æøõæãCíöHä� W õæ���æ�ò�æõæãCí (4.43) Nota-se que, para calcular as FRFs através da superposição modal, é necessário calcular os autovetores à direita e os autovetores à esquerda. 61 Capítulo 5 Análise Modal Complexa Este capítulo está dividido em duas partes. Na primeira parte, discutem-se sistemas rotativos com vibrações livres, com a apresentação inicial dos conceitos fundamentais da análise modal complexa. Na segunda parte, estuda-se o fenômeno para as vibrações forçadas, com a apresentação da obtenção da resposta em frequência direcional. 5.1 Vibração Livre em Sistemas Rotativos Nesta seção, os conceitos e detalhamento da técnica de análise modal complexa serão explorados. A descrição com maiores detalhes da teoria encontra-se em Kessler (1999). Cabe salientar que, independente da complexidade da estrutura em estudo, a interpretação física das coordenadas direcionais se mantém inalteradas. Considerando o vetor complexo p(t) visto também na figura 5.1, cuja posição se apresenta ao longo de um trecho arbitrário no plano YZ em um determinado instante t, tem-se: S(Î* F º(Î* W I ¼(Î* (5.1) Figura 5.1 – Movimento planar do ponto P, Kessler (1999). 62 A transformação entre a representação real e imaginária pode ser expressa na forma matricial pela equação (5.2). Òº(Î*¼(Î*Ó F �� � 1 1GI I � ÒS(Î*S9(Î*Ó (5.2) Expandindo y(t) e z(t) em séries complexas de Fourier tem-se: S(Î* F º(Î* W I ¼(Î* F ∑ .lîE�Híô� W î8E�ãHíô�n W I lúE�Híô� W ú9E�ãHíô�n0ûEäN F∑ .(îE W I úE*�Híô� W (î8E W I ú9E*�ãHíô�0ûEäN F∑ .�/ô�Híô� W �1ô�ãHíô�0ûEäN (5.3) A equação (5.3) mostra que o movimento de um ponto no plano pode ser considerado como a superposição de vários movimentos harmônicos com diferentes frequências. Cada componente harmônica que contribui para o movimento resultante é um modo de vibração. A equação (5.3) apresenta, também, que cada componente harmônica representada no plano arbitrário de movimento pode ser considerado como a composição de duas componentes independentes, sendo uma de rotação direta e outra de rotação retrógrada. Cabe salientar duas observações importantes que podem ser extraídas da equação (5.3): • Com a formulação complexa, o termo �Híô� não é somente uma variável complexa, mas sim um vetor que está realmente em rotação no espaço físico de duas dimensões. O movimento harmônico linear em sistemas não rotativos é um caso particular onde as componentes rotativas diretas e retrógradas tem a mesma amplitude (ü�/ôü F ü�1ôü ; d F 0,1,2, … , ∞); • A variável real y(t), que define o movimento linear ao longo do eixo Y visto 63 na figura 5.1, pode ser considerada um caso particular onde as componentes assumem a seguinte condição (îE F î8E e úE F ú9E F 0 ; d F 0,1,2, … , ∞). Pelo exposto na equação (5.3), a descrição complexa dos modos naturais dos rotores é denotada por um movimento planar onde é composta por dois submodos: um de rotação direta e outro de rotação retrógrada. Em outras palavras, a vibração livre do ponto P será uma composição de dois movimentos circulares, com a mesma velocidade angular, ocorrendo em direções opostas, sendo a primeira na mesma direção da rotação própria do eixo (precessão direta) e o outro na direção oposta (precessão retrógrada). Em todo o desenvolvimento deste trabalho, a velocidade de rotação própria do rotor será considerada positiva e o amortecimento interono será desconsiderado. Analisando a questão sob o ponto de vista matemático, pode-se dizer que a relação entre ü�/üe|�1| determina a direção do movimento de precessão, assim como sua órbita. A tabela 5.1 apresenta as relações entre ü�/üe |�1| e os tipos de movimento, órbita e fator de amorteci