unesp UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO” CAMPUS DE GUARATINGUETÁ ALINE ARAUJO DE PAULA HANSEN RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NO ENSINO DA MATEMÁTICA: UMA EXPERIÊNCIA COM BASE NO RALI MATEMÁTICO Guaratinguetá 2013 ALINE ARAUJO DE PAULA HANSEN RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NO ENSINO DA MATEMÁTICA: UMA EXPERIÊNCIA COM BASE NO RALI MATEMÁTICO Trabalho de Graduação apresentado ao Conselho de Curso de Graduação em Licenciatura em Matemática da Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá, Universidade Estadual Paulista, como parte dos requisitos para obtenção do diploma de Graduação em Licenciatura em Matemática. Orientadora: Profa. Dra. Ana Paula Jahn Guaratinguetá 2013 H249r Hansen, Aline Araujo de Paula Resolução de problemas no ensino da matemática: uma experiência com base no rali matemático / Aline Araujo de Paula Hansen – Guaratinguetá : [s.n], 2013. 122 f. : il. Bibliografia: f. 102-103 Trabalho de Graduação em Licenciatura em Matemática – Universidade Estadual Paulista, Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá, 2013. Orientadora: Profª. Drª. Ana Paula Jahn 1. Matemática – estudo e ensino 2. Ensino Médio I. Título CDU 51 Dedico esse trabalho primeiramente a Deus, que sempre esteve à frente em minha vida, ao meu marido Renan que foi um grande companheiro durante todo o tempo, assim como meu tão amado filho Allan que ainda dentro da minha barriga acompanhou grande parte da sua elaboração. E também a todos da minha família, base da minha formação. AGRADECIMENTOS Gostaria de agradecer imensamente a todos os colaboradores deste meu trabalho de conclusão de curso, especialmente à minha orientadora Profa. Dra. Ana Paula Jahn, com toda sua sabedoria, paciência e confiança, aos professores do Colégio Técnico de Guaratinguetá que cederam suas aulas, experiências e conhecimento e aos alunos desse mesmo colégio que foram respeitosos, dedicados e comportados em sala de aula. A todos os colegas do curso de licenciatura em Matemática da FEG, dos anos de ingresso de 2005 e 2007, em especial àqueles que se tornaram grandes amigos: Valéria, Renata, Carlos, Marlon, Marisa, Thais, Alessandra e Bruna. Agradeço ainda todos os professores que exerceram sua profissão com tanta dedicação e amor, tornando os anos de aprendizagem nesta faculdade totalmente felizes. Também, em especial, à Profa. Dra. Vera Lia M. Criscuolo de Almeida, que sempre foi um exemplo de superação, paixão e garra na arte de ensinar. Agradeço à Profa. Dra. Ursula Andrea B. Verdugo Rohrer por aceitar participar da banca examinadora deste trabalho. E agradeço, por fim, ao meu marido Renan, peça fundamental para me encorajar nos momentos de fraqueza e me dar muito força, assim como Deus que não me deixou desistir e me encheu de sua graça e benção. HANSEN, A. A. P. Resolução de Problemas no Ensino da Matemática: Uma experiência com base no Rali Matemático. 2013. 122 f. Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura em Matemática) – Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá, Universidade Estadual Paulista, Guaratinguetá, 2013. RESUMO No ensino de Matemática, a resolução de problemas vem sendo preconizada pelas propostas curriculares internacionais desde a década de 80. No Brasil, com a publicação dos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental em 1997, essa tendência foi reforçada, devendo ser a atividade central de sala de aula. A resolução de problemas confere um papel ativo ao aluno no processo de aprendizagem, proporcionando um contexto para aprender conceitos, métodos matemáticos e atitudes. No entanto, essa abordagem metodológica não é fácil de ser implementada, principalmente para um professor iniciante. Com este trabalho, buscou-se aprofundar essa temática e vivenciar situações de resolução de problemas em sala de aula com alunos do Ensino Médio. Para tanto, realizou-se uma experiência fortemente inspirada no Rali Matemático Transalpino, uma competição entre turmas que visa a promoção da resolução de problemas no ensino de Matemática, por meio de um trabalho autônomo e criativo, realizado coletivamente. Relatamos os resultados dessa experiência, bem como as contribuições para a formação. PALAVRAS-CHAVE: Resolução de Problemas. Rali Matemático. Competição Matemática. Ensino Médio. HANSEN, A. A. P. Problem Solving in mathematics education: A basis in the Rally Mathematical. 2013. 122 f. Dissertation (Graduation in Mathematics) – Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá, Universidade Estadual Paulista, Guaratinguetá, 2013. ABSTRACT Since the 1980s, problem solving has been recommended by international curriculum proposals for the teaching of mathematics. In Brazil, with the publication of the National Curriculum Guidelines in 1997, this trend was reinforced and became the central activity of the classroom. Troubleshooting is seen as an asset in the learning process of the student, providing a context for learning concepts, mathematical methods and attitudes. However, this methodological approach requires deeper research, especially for new teaches. This work aims at a further study in this subject and in the experiences with problem solving in the classroom of High School students. The ground basis for this was the Mathematical Transalpine Rally, a competition between classrooms that seeks to facilitate the problem solving within mathematics teaching, and through an autonomous and creative work, performed collectively. The results of this experience, as well as the contribuition for the student’s education are presented. KEYWORDS: Problem Solving. Mathematical Rally. Mathematical Competition. High School. SUMÁRIO INTRODUÇÃO.............................................................................................................. 12 Capítulo 1 – RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS .............................................................14 1.1 Resolução de Problemas no Ensino da Matemática. .................................................14 1.2 Sobre as etapas para se resolver problemas...............................................................17 1.3 Diferença entre Problema e Exercício .......................................................................19 1.4 Tipos de Problemas e Finalidade da Resolução de Problema ...................................21 1.5 Elaborar e resolver um problema matemático em sala de aula .................................25 Capítulo 2 – O RALI MATEMÁTICO ...........................................................................28 2.1 Apresentação geral do rali .........................................................................................28 2.2 Particularidades ........................................................................................................ 33 2.3 Objetivos do estudo ...................................................................................................35 Capítulo 3 – A EXPERIÊNCIA DO RALI COM ALUNOS DO ENSINO MÉDIO .....38 3.1 Um pouco do colégio e as turmas..............................................................................38 3.2 A apresentação do Rali Matemático e a proposta para os alunos..............................39 3.3 Os problemas aplicados, suas correções e atribuição de pontos................................45 Capítulo 4 – DISCUSSÃO DOS RESULTADOS .........................................................80 4.1 Os Resultados e o desempenho dos alunos .............................................................. 80 4.2 Contribuição para o professor................................................................................... 98 CONCLUSÃO...............................................................................................................100 BIBLIOGRAFIA...........................................................................................................102 ANEXOS...................................................................................................................... 104 LISTA DE FIGURAS Figura 1 – Ensino da Resolução de Problemas I ........................................................... 22 Figura 2 – Ensino da Resolução de Problemas ..............................................................23 Figura 3 - Síntese Prova I de 2003 – RMT.....................................................................30 Figura 4 – Tela inicial do site do RMT ..........................................................................32 Figura 5 - Turma do 1° C resolvendo desafio do 1º Encontro .......................................40 Figura 6 - Último dia do Rali em 2012 – Sessão de premiação .....................................43 Figura 7 – Mensagem entregue junto com o prêmio......................................................43 Figura 8 – Parte da apresentação em PowerPoint para o C.T.I.G. em 2013 ..................44 Figura 9 – Cavaleiros do 1° desafio aplicado da coleção “Coquetel”........................... 45 Figura 10 – Cubos do 2° desafio aplicado da coleção “Coquetel”................................ 47 Figura 11 – Adição criptografada...................................................................................48 Figura 12 – Planificações ...............................................................................................51 Figura 13 – Outras planificações possíveis ....................................................................52 Figura 14 – Placa Triangular ..........................................................................................53 Figura 15 – Resolução: Placa Triangular 1 ....................................................................53 Figura 16 – Resolução: Placa Triangular 2 ....................................................................54 Figura 17 – Resolução: Placa Triangular 3 ....................................................................54 Figura 18 – Resolução: Placa Triangular 4 ....................................................................54 Figura 19 – Resolução: Placa Triangular 5 ....................................................................54 Figura 20 – Resolução: Placa Triangular 6 ....................................................................55 Figura 21 – Resolução: Placa Triangular 7 ....................................................................55 Figura 22 – Tapete da loja Meu Belo Tapete ................................................................ 62 Figura 23 – Resolução: Tapete Quadrado 1 ...................................................................63 Figura 24 – Resolução: Tapete Quadrado 2 .................................................................. 63 Figura 25 – Resolução: Tapete Quadrado 3 .................................................................. 63 Figura 26 – Resolução: Tapete Quadrado 4 .................................................................. 63 Figura 27 – Resolução: Tapete Quadrado 5 ...................................................................64 Figura 28 – Cubo de Kobi ............................................................................................. 66 Figura 29 – Quebra Cabeça Retangular......................................................................... 68 Figura 30 – Cortes no Quebra Cabeça Retangular .........................................................69 Figura 31 – Triângulos ...................................................................................................72 Figura 32 – Triângulos com 1 triângulos .......................................................................73 Figura 33 – Triângulos com 2 triângulos .......................................................................73 Figura 34 – Triângulos com 3 triângulos .......................................................................73 Figura 35 – Triângulos com 4 triângulos .......................................................................73 Figura 36 – Triângulos com 6 triângulos .......................................................................74 Figura 37 – Caixa de Leila .............................................................................................77 Figura 38 – Resolução desafio dos cavaleiros............................................................... 81 Figura 39 – Resolução desafio dos quadrados ...............................................................82 Figura 40 – Resolução problema da adição................................................................... 83 Figura 41 – Resolução problema do número................................................................. 85 Figura 42 – Resolução problema do prisma. ..................................................................86 Figura 43 – Resolução problema da placa......................................................................87 Figura 44 – Resolução problema da chamada oral........................................................ 89 Figura 45 – Resolução problema da calculadora........................................................... 90 Figura 46 – Resolução problema do tapete ................................................................... 91 Figura 47 – Resolução problema do Cubo de Kobi. ......................................................92 Figura 48 – Resolução problema do quebra-cabeça...................................................... 94 Figura 49 – Resolução problema da colheita de laranjas .............................................. 95 Figura 50 – Resolução problema dos triângulos ............................................................96 Figura 51 – Resolução problema da caixa de Leila....................................................... 98 LISTA DE TABELAS Tabela 1 - Como Resolver um Problema por G. Polya ..................................................18 Tabela 2 – Tipos de problema por Dante........................................................................24 Tabela 3 – História do Rali Matemático Transalpino.....................................................31 Tabela 4 – História da Olimpíada Matemática Brasileira ..............................................33 Tabela 5 – Organização dos encontros do Rali 2012 .....................................................42 Tabela 6 – Dados das placas possíveis ...........................................................................55 Tabela 7 – Avaliação das chances de cada aluno ser chamado ......................................58 Tabela 8 – Possíveis tentativas da Tabela do 7 ............................................................. 60 Tabela 9 – Possíveis tapetes com suas proporções........................................................ 64 Tabela 10 – Triângulos formados. ..................................................................................74 Tabela 11 – Quadrado das possibilidades.......................................................................78 Tabela 12 – Frequência pela diagonal ............................................................................88 LISTA DE ABREVIAÇÕES ARMT Associação Rali Matemático Transalpino CTIG Colégio Técnico Industrial de Guaratinguetá FEG Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá LDB Lei de Diretrizes e Base da Educação NCTM National Council of Teacher of Mathematics OBM Olimpíada Brasileira de Matemática OBMEP Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas PCN Parâmetros Curriculares Nacionais PDCA Plan, Do, Check, Act RMT Rali Matemático Transalpino UNESP Universidade Estadual Paulista 12 INTRODUÇÃO Com o objetivo de atualizar o ensino da Matemática, a resolução de problemas veio para modificar antigos conceitos conservadores referentes à forma de apresentar a Matemática para os alunos. Desde a década de 80, nos Estados Unidos, já havia uma forte preocupação em incluir a resolução de problemas no currículo do ensino da Matemática, o NCTM - National Council of Teachers of Mathematics – desenvolveu uma série de recomendações para o avanço da Matemática nesse contexto. Em 1997, no Brasil, foram criados os PCN – Parâmetros Curriculares Nacionais - que trouxeram orientações renovadoras para o ensino baseado na construção do conhecimento a partir e através de problemas matemáticos. Até os dias de hoje, muitos estudos foram e estão sendo desenvolvidos em trabalhos relacionados a resolução de problemas. Para promover a resolução de problemas e propiciar aos alunos um contexto favorável para um trabalho autônomo, criativo e significativo, foi criado o Rali Matemático, projeto central deste trabalho. Esse projeto teve inicio em 1993 na Europa, conhecido como Rali Matemático Transalpino, hoje em expansão, com a participação de 7 países. O Rali propõe uma competição entre turmas, baseada na resolução de problemas matemáticos envolventes, que despertam a criatividade e o raciocínio dos participantes. O diferencial do Rali em relação a outros tipos de competição, como por exemplo, as Olimpíadas de Matemática, é o aspecto coletivo, no qual a turma é responsável pela resolução da prova e não um aluno individualmente. O principal objetivo deste trabalho foi o de aprofundar o estudo do tema resolução de problemas e realizar uma experiência com alunos, nos moldes do Rali Matemático. Essa experiência do Rali no Brasil teve como objetivo introduzir as ideias centrais do Rali e trabalhar a resolução de problemas com alunos do Ensino Médio. Ainda em fase inicial, esse projeto busca identificar os interesses, as reações, dificuldades e ganhos de seus participantes, assim como fazer um levantamento de problemas que possam ser utilizados em várias fases do ensino. A experiência do Rali foi realizada com alunos de 1° ano do Ensino Médio, mais especificamente, de três turmas do Colégio Técnico de Guaratinguetá/SP, no período entre o segundo semestre de 2012 e primeiro de 2013. Foi desenvolvido um projeto 13 piloto que compreendeu: apresentação da proposta, oficina de resolução de problemas, prova teste e prova final inspiradas nos princípios do Rali. Este trabalho está organizado em quatro capítulos. O primeiro, intitulado, Resolução de problemas, apresenta as características dessa metodologia e nele discute-se sobre sua importância, objetivos, relevância e como trabalhar em sala de aula com essa metodologia. No segundo capítulo, descrevemos a competição internacional intitulada Rali Matemático Transalpino, sendo o texto dividido em uma apresentação geral com as principais características do Rali, algumas particularidades de competições que podemos encontrar no Brasil, como a Olimpíada Brasileira de Matemática (OBM) e a Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP) e, por fim, o objetivo do nosso trabalho e do potencial de se trabalhar com esse tipo de competição, promovendo a resolução de problemas coletiva. No capítulo 3 é descrita uma experiência com alunos do Ensino Médio fortemente inspirada nos moldes do Rali Matemático, detalhando todas as atividades realizadas com as turmas, suas reações e os vários problemas trabalhados. Por último, no capítulo da discussão dos resultados, há um levantamento de como foi o desempenho dos alunos e como foram feitas as devolutivas organizadas pelo professor e quais as principais características identificadas no trabalho com a resolução de problemas com as referidas turmas. 14 Capítulo 1 – RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS 1.1 Resolução de Problemas no Ensino de Matemática Quando falamos em resolução de problemas e em seu potencial para o ensino- aprendizagem de Matemática, primeiramente precisamos definir esse tipo de abordagem metodológica, sua diferenciação em relação às outras metodologias aplicadas no ensino dessa disciplina. Quando usamos a palavra “problema”, devemos pensar instantaneamente em seu significado básico: “Questão levantada para inquirição, consideração, discussão, decisão ou solução” (DICIONÁRIO MICHAELIS, 2002, p. 1699); ou seja, quando nos deparamos com um problema, seja ele qual for, sentimos a necessidade de resolvê-lo, discuti-lo e entendê-lo melhor para encontrarmos uma solução. Ninguém gosta de ser vencido por um problema, de viver um constante problema ou, até mesmo, de SER um problema. É seguindo essa concepção comum, que começamos a entender o princípio de um problema matemático. Se quisermos usar a resolução de problemas para ensinar a Matemática, devemos nos sentir motivados para isso. A resolução de problemas trás para o aluno, e porque não para o professor também, uma (pré)contextualização natural, pois instiga sua necessidade instintiva de solucionar, ultrapassar, conquistar e vencer um obstáculo. A Matemática através da resolução de problemas vem desde os tempos mais antigos, quando qualquer humilde pastor precisava organizar, separar ou simplesmente contar suas ovelhas e se via, muitas vezes, em meio a um problema. As ideias matemáticas sempre foram desvendadas através de um problema inicial que se precisava resolver para concluir ou continuar. Os grandes cientistas sempre procuraram vencer obstáculos para avançar na ciência. Então, nada mais produtivo do que continuar essa ideia tão simples e instigante que sempre impulsionou o desenvolvimento de uma disciplina tão importante: a Matemática. Resolver um problema é encontrar os meios desconhecidos para um fim nitidamente imaginado. Se o fim por si só não sugere os meios, se por isso temos de procurá-los refletindo conscientemente sobre como alcançar o fim, 15 temos um problema. Resolver um problema é encontrar um caminho onde nenhum outro é conhecido de antemão, encontrar um caminho a partir de uma dificuldade, encontrar um caminho que contorne um obstáculo, para alcançar um fim desejado, mas não alcançável imediatamente, por meios adequados. Resolver problema é da própria natureza humana. Podemos caracterizar o homem como o “animal que resolve problemas”; seus dias são preenchidos com aspirações não imediatamente alcançáveis. A maior parte de nosso pensamento consciente é sobre problemas; quando não nos entregamos à simples contemplação, ou devaneio, nosso pensamentos estão voltados para algum fim.(Dante, citado por Krulik e Reys, 1997, p. 13) No que se refere ao ensino de Matemática, há tempos se vem preconizando uma metodologia que reserva papel ativo aos alunos, evitando-se uma abordagem tradicional. Ao abordar os conteúdos matemáticos, não podemos limitar a capacidade de nossos alunos, privando-os de situações para investigar, criar, errar, acertar e se desenvolver gradativamente. De fato, o ensino de uma disciplina, em particular a Matemática, definindo e apresentando mecanicamente como e quando ela deve ser aplicada, depois centrada em exercícios repetitivos, nada de produtivo é acrescentado para o aluno, deixando de lado a sua criatividade e imaginação. Agora, se eles são desafiados, se as situações são contextualizadas, e os direcionamos para uma atividade investigativa, os alunos vão se sentir valorizados e realmente envolvidos com o tema. Eis a chave da questão: Resolução de problemas é ensinar com o auxílio do que já é comum para os alunos, através de uma contextualização que valha a pena continuar e se aprofundar. Como se estivéssemos contando e representando uma história intrigante e que precisa da participação de todos para desvendar o grande mistério final. De acordo com Silva e Siqueira Filho (2011) Quando pensamos a matemática como uma disciplina que pode ser articulada às outras áreas do saber, temos em mente que ela pode desenvolver no aluno autoestima, formar um cidadão crítico, autônomo, num mundo em constantes e rápidas mudanças. Saber quantificar, medir, operar, coletar, construir, ler e interpretar, questionar os dados e /ou gráficos que existem no mundo o habilita para os desafios e necessidades do novo século (p. 27). Ou seja, não estamos apenas ensinando Matemática, estamos desenvolvendo habilidades transversais para que os alunos possam aplicá-las em outras situações, escolares ou não, ao longo de suas vidas. No que se refere ao desenvolvimento de habilidades e competências, devemos nos preocupar mais com o que pretendemos desenvolver, do que com o que pretendemos ensinar. O aluno terá ganho muito mais ao descobrir porque errou determinado problema, do que ter conseguido aplicar uma fórmula corretamente e 16 chegado a um resultado correto. Quando o aluno é capaz de identificar, organizar e aplicar todo seu conhecimento, ele estará desenvolvendo habilidades realmente pertinentes para seu desenvolvimento intelectualmente. Hoje, podemos dizer que há um consenso no meio educacional e da pesquisa quanto ao potencial da resolução de problemas, que deve ser explorada nas aulas de Matemática. Na prática, ainda não se tem a ênfase desejada, mas, à medida que os professores vêm procurando se atualizar, buscando tornar as aulas mais interativas, atrativas e prazerosas, estão direta ou indiretamente usando recursos da resolução de problemas no ensino. Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), fortemente inspirados nos currículos americanos publicados na década de 80 pela NCTM, sugere que a atividade matemática da sala de aula deve ser organizada em torno da resolução de problemas. Segundo os PCN, a base da proposta pedagógica de Matemática das escolas deve estar centrada na resolução de problemas. Segundo Onuchic e Allevato, [...] ensinar matemática através da resolução de problemas é uma abordagem consistente com as recomendações do NCTM e dos PCN, pois conceitos e habilidades matemáticos são aprendidos no contexto da resolução de problemas. (ONUCHIC e ALLEVATO, 2004, p.222). É extremamente importante que os alunos construam e aprimorem o seu conhecimento nas escolas, pois precisam desse conhecimento para compreender e transformar sua realidade e, conforme os PCN, a Matemática escolar não deve ser encarada simplesmente como coisas prontas. A resolução de problemas trás para o aluno o seu desenvolvimento independente e evita que a Matemática seja simplesmente um tema pré definido e complexo que os alunos tem por obrigação aceitar e absorver. Pensando dessa forma e ainda com base nos PCN, quando apresentamos problemas matemáticos para os alunos, eles se vêem em meio a um leque de opções, ações e operações que os motivam a procurar sentido em suas reações. Os alunos irão se tornar o centro do conhecimento e irão aprender de uma forma racional. Sendo assim, quando ensinamos com o uso da metodologia de ensino-aprendizagem através da resolução de problemas estamos inserindo a Matemática de uma forma investigativa, onde o seu próprio conhecimento será a peça fundamental do seu crescimento. No ensino da Matemática, destacam-se dois aspectos básicos: um consiste em relacionar observações do mundo real com representações (esquemas, tabelas, figuras); outro consiste em relacionar essas representações com princípios e conceitos matemáticos. Nesse processo, a comunicação tem grande importância e deve ser estimulada, levando-se o aluno a “falar” e a “escrever” sobre Matemática, a trabalhar com representações gráficas, desenhos, construções, a aprender como organizar e tratar dados. (PCN, 1997, p. 19) 17 Nota-se a constante preocupação em tornar o aluno um ser pensante e ativo na sociedade. Devemos nos preocupar em formar alunos prontos para encarar a realidade do mundo, e para isso eles devem ser constantemente estimulados ao raciocínio, ao processo de investigação e construção do conhecimento. Quando os alunos interagem entre si no desenvolvimento de um problema matemático, eles constroem significado através da comunicação, discussão e observação do seu meio, mostrando que a importância vai além do simples problema matemático, mas em como ele é aplicado e trabalhado em sala. Sobre esse pensamento, Allevato (2005) destaca que quando falamos do ensino- aprendizagem nas escolas, temos que observar que “a Matemática se configure aos alunos como algo com sentido, isto é, com uma finalidade compreensível” (p. 39). Sendo assim, sobram motivos que nos incentive a introduzir a resolução de problemas em sala, fortalecendo o desenvolvimento de todas as habilidades já comentadas como: verbalizar, ler, interpretar, escrever, desvendar, investigar, entre outras. 1.2 Sobre as etapas para se resolver problemas Devemos deixar claro como a resolução de problemas poderá ser compreendida, implementada e explorada no ensino. E para tal compreensão, iniciaremos as considerações apoiados no chamado “pai” da resolução de problemas, o matemático húngaro George Polya. O estudante deve adquirir tanta experiência pelo trabalho independente quanto lhe for possível. Mas se ele for deixado sozinho, sem ajuda ou com auxílio insuficiente, é possível que não experimente qualquer progresso. Se o professor ajudar demais, nada restará para o aluno fazer. O professor deve auxiliar, nem demais nem de menos, mas de tal modo que ao estudante caiba uma parcela razoável do trabalho. (Polya,, 1975, p.1) Polya, em seu livro intitulado “A arte de resolver problemas”, deixa claro em o que está envolvido na resolução de problemas, do ponto de vista do sujeito que o resolve. Ele também menciona que o professor deve estar presente na “medida certa”, de forma natural e instigante, sendo o seu papel essencial. E baseado nessa ideia, ele dividiu em 4 etapas a forma de como resolver um problema, estabelecendo um esquema tático para facilitar o desenvolvimento desse tipo de atividade. Segue, no quadro abaixo, um resumo desse esquema adotado sugerido pelo autor. 18 Tabela 1 - Como Resolver um Problema por G. Polya COMO RESOLVER UM PROBLEMA Primeiro Compreensão do Problema - Identificação e compreensão do problema. - Qual é a incógnita? Quais são os dados? Qual é a condicionante? Os dados são suficientes? - Adotar uma notação adequada. Segundo Estabelecimento de um Plano - Encontrar a conexão entre os dados e a incógnita. - Descobrir se conhece algum outro problema correlato. - Elaborar um plano levando em consideração todos os dados, condicionantes e o problema como um todo. Terceiro Execução do Plano - Verificar cada passo e executar o roteiro gradativamente. - Demonstrar claramente o raciocínio e perceber se os passos estão corretos. Quarto Retrospecto - Verificar os argumentos utilizados e o resultado obtido: eles satisfazem por completo todo o problema? - É possível utilizar o método em outro problema? Existe outro caminho para chegar ao mesmo resultado? Fonte: Polya (1975, p. XIX e XX) Entendemos que ao se trabalhar com a resolução de problemas em aula, devemos ter em mente os passos acima relacionados e introduzirmos esses procedimentos na rotina dos alunos ao resolverem problemas. Desta forma, podemos perceber aos poucos que essa forma de trabalhar é essencial para tornar as ideias mais claras, objetivas e os resultados começam a fazer mais sentido e aparecerem mais naturalmente.. Cada um desses passos mostra como os problemas são baseados em constantes indagações e interpretações. Mais uma vez fica claro como o papel do professor é importante nesse tipo de abordagem, e que ele deve estar constantemente focado em manifestar nos alunos o interesse em investigar, procurar e, até mesmo, criticar-se. Afinal, os estudantes devem se habituar a avaliar suas estratégias e resultados, acostumando-se a realizar uma constante investigação dos seus próprios atos. 19 A resolução de problemas pode ser associada ao método científico, que podemos definir como: hipotése-experimento-avaliação, é muito comum não só na resolução de problemas matemáticos, mas também é muito conhecido nas grandes empresas com bastante semelhança ao ciclo PDCA: Plan, Do, Check e Act, que traduzindo para o português nada mais é do que planejar, executar, checar e agir. As quatro etapas definidas por Polya são essenciais desde o princípio do processo de aprendizagem até o sucesso das grandes e organizadas empresas. Em outras palavras, segundo Polya (1975), deve-se familiarizar com o problema, aperfeiçoar a compreensão do mesmo, procurar ideias proveitosas e elaborar um plano, executar esse plano e, por fim, fazer um retrospecto de tudo e avaliar se a resposta é condizente e adequada ao que se procurava. Desta forma, o aluno será capaz de absorver tudo que o problema e seu processo de resolução pode proporcionar. Nesse sentido, o objetivo das aulas e os conceitos matemáticos podem ser melhor compreendidos pelos alunos . Cada novo problema exige que os alunos elaborem novas estratégias, novos pensamentos, novas atitudes e construam novos conhecimentos. 1.3 Diferença entre Problema e Exercício [...] uma situação somente pode ser concebida como um problema na medida em que exista um reconhecimento dela como tal, e na medida em que não disponhamos de procedimentos automáticos que nos permitam solucioná-los de forma mais ou menos imediata, sem exigir, de alguma forma, um processo de reflexão ou uma tomada de decisões sobre a sequência de passos a serem seguidos. [...] um problema é, de certa forma, uma situação nova ou diferente do que já foi aprendido, que requer a utilização estratégica de técnicas já conhecidas. (ECHEVERRÍA, e POZO, 1998, p. 16) Já o exercício poderá ser resolvido sem a necessidade de muita reflexão ou planejamento, já é conhecido o mecanismo que deverá ser usado e como usá-lo para chegar na resposta. No nosso cotidiano, sabemos que nos deparamos com vários problemas e temos que estar preparados para resolvê-los. Segundo Dante (2009, p. 11) “O que é um problema para alguns pode não ser para outros, ou o que é um problema num determinado contexto pode não ser em outro”, afinal, vivemos realidades diferentes e estamos em constante modernização e transformação. 20 Podemos exemplificar essa situação da seguinte forma: Ana e Bianca precisam viajar para Salvador/BA pela primeira vez. Ana mora em São Paulo/SP e nunca saiu da sua cidade, ela está com um problema, pois terá que elaborar uma estratégia, pois é realmente importante que ela vá até Salvador. Ana terá que verificar quais os meios de locomoção que podem levá-la até lá, as formas de pagamento, como irá comprar, o que precisará levar, onde e como se hospedará e, como ela nunca fez isso antes,terá que planejar tudo com muito cuidado para não se esquecer de nada. Já Bianca viaja por todo o Brasil frequentemente, mora em Recife/PE e já viajou de avião, carro, navio e está acostumada com viagens. Para ela, mais uma viagem será muito fácil de ser realizada. com isso, ilustramos a afirmação anterior, nem sempre os problemas são os mesmo quando se trata de pessoas ou cenários diferentes. E assim como podem existir problemas em nossas vidas, também existem os exercícios, afinal nos exercitamos muitas vezes com aquilo que já sabemos fazer, como quando vamos à academia, em alguns jogos corriqueiros e até mesmo nas atividades ou serviços habituais. É notório que existem os dois casos, tanto no nosso dia a dia como na Matemática, e que ambos são importantes e desempenham um papel na aprendizagem. Exercícios geralmente são válidos e ajudam os alunos a fixar a matéria dada, a se tornarem fluentes em determinadas situações, resolvendo-as de forma econômica e ágil. Quando ensinamos um novo conteúdo, é muito importante que o aluno saiba reconhecê- lo em outras situações, saiba exercitá-lo e também aplicá-lo sempre que preciso. Alguns exercícios ajudam o aluno a se exercitarem, mesmo que pela repetição, e a transformarem situações não muito familiares em situações habituais. Mas, não deve ser uma estratégia única e considerada completa para a plena aprendizagem. Como afirma Dante, [...] um caminho bastante razoável é preparar o aluno para lidar com situações novas, quaisquer que sejam elas. E, para isso, é fundamental desenvolver nele iniciativa, espírito explorador, criatividade e independência por meio da formulação e da resolução de problemas. (2009, p.20) Um problema ajuda o aluno a pensar e ir além da simples execução de regras ou procedimentos previamente determinados ou conhecidos, leva-o a explorar suas capacidades criativas, permite resgatar os seus conhecimentos prévios ajudando-os a perceber a real essência da Matemática ensinada. 21 1.4 Tipos de Problemas e Finalidade da Resolução de Problema Para alguns estudiosos, podemos classificar três formas de implementar a resolução de problemas em sala de aula, são elas: ensinar sobre a resolução de problema, ensinar para a resolução de problemas ou ensinar através da resolução de problemas, podemos encontrar essas referências em alguns trabalhos de Onuchic (2005, p. 45). O que não é uma regra ou uma definição padrão, mas facilita identificar as diferentes finalidades de aplicação dessa metodologia e esclarece algumas ideias básicas bem interessantes que acreditamos ser uma distinção coerente e esclarecedora. Como já mencionado anteriormente, segundo Polya (1975), a forma de resolver um problema inicia-se por responder algumas perguntar como: Por onde começar? Que posso fazer? Qual a vantagem de assim proceder? Que posso perceber? onde o processo heurístico é o principal objetivo. Esse autor nos ensina sobre resolver problemas, enfatizando os passos que podem ser aplicados. E Dante (2000, p. 30), complementa que "ensinar a resolver problemas é uma tarefa mais difícil do que ensinar conceitos, habilidades e algoritmos matemáticos", e sugere que apesar da dificuldade, resolver problemas deve ser algo ensinado aos alunos. Assim sendo, quando falamos em ensinar sobre resolução de problemas queremos, como professores, direcionar o estudo para ensinar aos nossos alunos como eles devem proceder em um problema matemático, que passos devem seguir, como devem se comportar, quais as formas de interpretação e de questionamento pertinentes e orientá-los de forma que possam aprender a resolver um problema, incluindo assim a resolução de problema como um novo conteúdo matemático em sala, que será utilizado como um auxílio na aprendizagem e aplicação de novos conceitos. O ensino para resolução de problemas é utilizar problemas matemáticos para descobrir se o aluno é capaz de aplicar conhecimentos em situações contextualizadas e entender seu fundamento após aprender um novo conteúdo matemático, ou seja, é usar ou aplicar conceitos e propriedades aprendidas em problemas do seu dia a dia. Como coloca Lima (2000, p. 5) "encontrar aplicações significativas para a matéria que está expondo é um desafio e deveria ser uma preocupação constante do professor", mostrando assim como é essencial que o aluno seja sempre “testado” em seus conhecimentos, e nada melhor do que aplicar problemas de fixação. 22 Podemos perceber no esquema abaixo, como essa forma de aplicar a resolução de problemas é encarada pelos pesquisadores Schroeder e Lester (1989). Figura 1 - Ensino da Resolução de Problemas Fonte: SCHROEDER E LESTER, 1989, p.35 Observamos então a divisão entre o que os autores consideram “Mundo Real” e “Mundo Matemático”, distinguindo o ensinar Matemática, da aplicação dela no cotidiano. Essa distinção é apresentada com o intuito de indicar para os alunos como eles podem aplicar o que aprendem e como a teoria matemática pode ser encarada de forma prática e objetiva. E é fundamental a referencia das setas de ligação, onde o problema do mundo real é formalizado numa representação matemática, que por sua vez chega a uma solução matemática e que, consequentemente, será a solução do problema real. Depreendemos com o ensinar para resolução de problemas que os alunos podem perceber como a teoria pode se “transformar” na prática e como conhecimentos matemáticos podem ser aplicados no mundo “real”. De certa forma, essa abordagem implica em mostrar sempre para o aluno o “por quê” de aprender determinado assunto, pois ensina para que o aluno seja capaz de aplicá-lo.. E finalmente, o ensinar via resolução de problemas evoca um método de como, por qual meio ensinar Matemática, uma ferramenta para introduzir a Matemática de forma mais funcional, realista, útil e harmoniosa. Esta abordagem sugere que o aprender Matemática seja 23 encarado pelo aluno como um meio para um fim. A intenção é fazer com que o aluno aprenda a pensar matematicamente, a desenvolver uma forma particular de expressar seus conhecimentos, pensamentos lógicos e a praticar esse conhecimento em várias situações. Quando falamos em ensinar através desse procedimento, queremos que o aluno seja capaz de usar toda sua bagagem anterior, de forma natural e instintiva, a fim de correlacionar o já sabido com o que ainda virá por aprender. Figura 2 - Ensino da Resolução de Problemas– Fonte: SCHROEDER E LESTER, 1989, p.36 No diagrama acima, podemos reconhecer a simultaneidade das setas de ligação entre o mundo considerado “real” e o mundo matemático, onde, diferentemente do ensinar para resolução de problemas que sugere tempos diferentes para o conhecer matemático do problema real, neste caso, vamos experimentar um aprendizado mais autogerador, de resgate do conhecimento prévio do aluno, onde poderá reconhecer naturalmente a matemática envolvida no problema. E dessa diferença podemos notar claramente na figura acima que o aprendizado vai acontecer ao mesmo tempo que a identificação da nova situação, um jogo de troca de informação entre o aluno e o professor, sem que haja uma imposição direta da Matemática. [...] o problema é olhado como um elemento que pode disparar um processo de construção do conhecimento. Sob esse enfoque, problemas são propostos ou formulados de modo a contribuir para a formação dos conceitos antes mesmo de sua apresentação em linguagem matemática formal. (Onuchic, 1999, p. 207) Os problemas matemáticos devem ser considerados como uma metodologia de ensino com o objetivo de introduzir a investigação e a manipulação por parte dos 24 alunos. Aprender através da resolução de problemas engloba a capacitação dos alunos, com suas próprias ideias e estratégias, que deverão desenvolver as atividades com autonomia e criatividade, sendo capazes de entender todo processo de conhecimento. É usar problemas matemáticos junto com uma aplicação cuja solução ótima vai levar à construção de conhecimento e atribuir sentido a ela. Existem vários tipos de problema e, segundo Polya (1995, p. 4), ele “deve ser bem escolhido, nem muito difícil, nem muito fácil, natural e interessante” e acrescenta Silva da Silva e Siqueira Filho (2011, p. 33) que o problema “deve proporcionar diferentes possibilidades de solução, com o intuito de ser resolvido a partir de várias estratégias”. Dante (2009) sugere uma classificação de problemas ou exercícios conforme indicado na Tabela 2. Tabela 2 – Tipos de problema por Dante Tipo Objetivo Exemplo Exercício de reconhecimento Fazer com que o aluno reconheça ou lembre um conceito. Uma centena é equivalente a quantas dezenas? Exercício de algoritmo Treinar a habilidade em executar um algoritmo. Podem ser resolvidos passo a passo. Calcule o valor de . Problemas padrão Recordar e fixar os fatos básicos por meio dos algoritmos das quatro operações fundamentais. Um gato tem 4 pernas. Quantas pernas têm 3 gatos? Problemas processo ou heurísticos Aguçar a curiosidade do aluno e iniciar o aluno no desenvolvimento de estratégias. Numa reunião de equipe há 6 alunos. Se cada um trocar um aperto de mão com todos os outros, quantos apertos de mão teremos ao todo? Problemas de aplicação Pesquisar e levantar dados. Situações-problemas contextualizados Para fazer um relatório, um diretor precisa saber qual é o gasto mensal, por aluno, que ele tem com a merenda escolar. Vamos ajudá-lo a fazer esse cálculo? Problemas de quebra-cabeça Desafiar o aluno. Precisa de algum truque para solução. Com 24 palitos de fósforo, forme 9 quadradinhos (unidos). Como fazer para tirar apenas 4 palitos e deixar 5 quadradinhos? Fonte: Dante, 2009, p. 24 a 29 Neste contexto de resolução de problemas, podemos definir os problemas heurísticos, de aplicação e quebra-cabeça como os ideias para desenvolver um trabalho 25 realmente interessante e conforme as duas abordagens descritas anteriormente. Os problemas devem ser capazes de fazer os alunos pensarem produtivamente e se sentirem motivados e desafiados, para que assim possam vivenciar a resolução de forma plena e completa. Nossa compreensão é que todos esses tipos devem ser considerados no ensino, não limitando as atividades a serem propostas aos alunos, e variando as diferentes abordagens, pois cada uma delas possibilita desenvolver diferentes tipos de conhecimentos, sejam conceituais, atitudinais ou procedimentais. 1.5 Elaborar e resolver um problema matemático em sala de aula A crescente onda de globalização que estamos vivenciando traz a necessidade de um ser humano cada vez mais preparado para acompanhá-la. [...] O maior desafio da educação contemporânea é um ensino que prepare o ser humano para a vida e a diversidade que nela se apresenta. (DANTE, 2009, p.18) Podemos considerar que o ensino deve estar voltado para a constante atualização, focando problemas matemáticos em situações que desafiem os alunos e os direcionem para o futuro. Dante (1998) ressalta que um bom problema deve: � ser desafiador para o aluno; � ser real; � ser interessante; � ser o elemento de um problema realmente desconhecido; � não consistir na aplicação evidente e direta de uma ou mais operações aritméticas; � ter um nível adequado de dificuldade; Nesse sentido, devemos elaborar problemas que estejam, de certa forma, conectados com a realidade dos alunos e com a constante modernização do mundo que os rodeia. Buscando despertar a curiosidade e o interesse dos estudantes, e também que os problemas tragam uma componente de mistério, dificuldade e experiência. Praticar um método ou caminho inovador que pode levar a aprender melhor o que um professor/a quer ensinar leva-o/a, como se diz em linguagem comum, a uma “sensação de realização”. Quando isso se dá, podemos dizer que o professor/a está ficando “formado” no assunto. Os medos e obstáculos que se interpunham entre o professor/a e o processo pedagógico, até então pouco familiar, começam a desaparecer, dando lugar a um estado de espírito de maior auto-confiança e criatividade, com possibilidade de tirar proveito até mesmo dos imprevistos. (Domite Medonça, 1999, pag. 23) Primeiramente, devemos nos preocupar em elaborar problemas que despertem algum interesse por parte dos alunos. O aluno deverá ser capaz de identificar a relação 26 do problema com o mundo real e de interagir diretamente com a questão colocada. Devemos provocar uma ação do problema matemático que gere alguma reação nos estudantes, que eles sejam capazes de dar sentido e usar algum conhecimento prévio, já adquirido anteriormente, para dar continuidade e desenvolvimento ao problema proposto, sem ser, de alguma forma, induzido ou forçado. Para que isso aconteça, o professor deve estar aberto para conhecer cada vez mais sua sala de aula. Estar atento aos comportamentos e perfis de seus alunos/ estudantes e sempre disposto a compartilhar, dividir e interagir com todos. Quando o professor participa ativamente dos acontecimentos em sala, ele acaba criando um ambiente familiar e propício para que um problema possa ser proposto e explorado naturalmente. Na sala de aula baseada em resolução de problemas, as crianças dão sentido à matemática ao seu modo, trazendo aos problemas só as habilidades e ideias que possuem. Ao contrário, em uma lição tradicional, altamente dirigida, é assumido que todos os alunos compreenderão e usarão as mesmas abordagens e ideias. Aqueles que não estão prontos para compreender as ideias apresentadas têm que focar sua atenção em seguir as regras ou orientações do professor de uma maneira instrumental. Isso, é claro, conduz a infinitas dificuldades e deixa muitos estudantes para trás ou com grave necessidade de recuperação. (Van de Walle, 2007, p. 85) Ao resolver um problema matemático em sala, o professor deve estar atento para a compreensão do problema por parte dos alunos, o que é essencial para o sucesso e desenvolvimento da aula. Todos os alunos devem entender o enunciado, e por esse motivo, é extremamente interessante quando os problemas estão relacionados com a realidade dos estudantes, o que gera uma conexão mais direta com a proposta e assim as expectativas podem ser alcançadas mais facilmente. Assim, como também é interessante colocar a sala para trabalhar em grupo e estimular a discussão nesses pequenos grupos. Nem sempre é possível ou viável resolver um problema de forma simples e direta, por esse motivo, devemos preparar os alunos com versões mais simples da tarefa e direcionar o pensamento (sempre discretamente e sem imposição), propondo dicas e sugestões. Podemos praticar o exercício oral, fazendo com que todos interajam e discutam entre si, encorajando a exposição de suas ideias e incentivando o desenvolvimento do raciocínio, permitindo que os alunos se esforcem para explicar suas estratégias e deduções. A fase mais importante da resolução de problemas é o desenvolvimento gradativo dos alunos e a criação de um clima de conhecimento e aprendizado entre eles, e não só do professor para aluno. É importante não julgar os 27 alunos, ou ridicularizá-los por alguma ideia estranha ou desinteressante. Muitas vezes se aprende a partir do erro. Ao final, o professor e os alunos terão experimentado uma atmosfera de troca de ideias e interatividade. Lógico que esse clima não é instalado rapidamente e nem facilmente, é preciso tempo, disposição e muita força de vontade por parte, tanto do professor como de cada aluno individualmente. Mas depois de criado essa cultura, as aulas podem se tornar cada vez mais interessantes e prazerosas, e ao professor restará estar sempre atento para as oportunidades de manter o clima de aprendizado em comunidade, com atitudes positivas diante da resolução de problemas, e momentos cooperativos e colaborativos. Diante de vasta literatura e conhecendo alguns princípios e características que uma situação de resolução de problemas pressupõe, nos interessamos pela implementação dessa metodologia em sala de aula. Uma experiência é realizada, no contexto de uma competição matemática internacional denominada Rali Matemático, que passamos a descrever na sequência. 28 Capítulo 2 – O RALI MATEMÁTICO 2.1 Apresentação Geral do Rali O Rali Matemático, conhecido em sua versão original como Rali Matemático Transalpino (RMT), é uma competição entre turmas (ou classes) com alunos de idade entre 8 a 15 anos. Ele é organizado pela “Associação do Rali Matemático Transalpino” (ARMT), e essa associação, sem fins lucrativos, tem como objetivo promover a resolução de problemas para melhoria no ensino da Matemática através de uma competição. As atividades relacionadas ao Rali podem ocorrer em qualquer lugar do mundo, tendo sido idealizada por um professor suíço, educador matemático interessado na formação de professores de Matemática e na divulgação da resolução de problemas para que seja efetiva em sala de aula. Atualmente, o Rali Matemático Transalpino acontece em vários países, mais precisamente em 7, a saber: França, Suíça, Itália, Bélgica, Luxemburgo, Argélia e Argentina, sendo que existem varias sedes em cada um desses países. A adesão de cidades e escolas desses países vem crescendo e o Rali está se tornando cada vez mais conhecido na Europa. O Rali está na sua 21ª edição, realizado a cada ano. A competição acontece em 3 etapas, compreendendo uma prova treino, uma prova I, prova II e grande final. O período de aplicação da etapa treino pode ser escolhido pelos próprios professores das turmas, mas acontece geralmente entre outubro e dezembro, seguindo o calendário escolar europeu. As provas iniciais (prova I ou fase I) vão de janeiro a fevereiro, a prova II (ou fase II) de março a abril e a grande final acontece em maio ou junho. Para a Argentina, esse cronograma é adaptado. Para a fase de treino, o professor pode escolher os problemas, analisá-los junto com a sala e direcionar a aplicação de acordo com as regras do Rali. As fases I e II acontecem nas próprias escolas, são aplicadas para todas as turmas participantes e são conduzidas por outros professores que não os professores de Matemática das turma, ou seja, os professores devem combinar com colegas para que façam a aplicação das provas, sem qualquer tipo de interferência. 29 E por fim, apenas para as turmas melhores classificadas nas etapas I e II, a grande final acontece em uma única instituição de ensino, por categoria, e é organizada e dirigida pelos responsáveis da associação do Rali. Em todas as etapas (com exceção da etapa de treino), as provas são elaboradas dentro dos seguintes critérios: - são 5 a 7 problemas (dependendo do nível/categoria); - 50 minutos de duração; - uma única resposta coletiva (de toda turma) para cada problema; - são realizadas sem a presença do professor de Matemática da turma e sem qualquer tipo de intervenção. Essa competição tem algumas regras, tais como: a decisão de participar do concurso é tomada conjuntamente pela classe com o professor após a fase treino; as soluções devem ser produzidas com a participação de todos da turma que deve entregar uma resolução para cada problema; não é só a resposta certa que conta, também é muito importante o rigor do processo e a clareza das explicações dadas; os alunos podem conversar apenas entre si (da sua turma) e a pontuação é atribuída a cada questão pelo comitê responsável de acordo com critérios pré-estabelecidos, determinados durante sua elaboração pelo grau de dificuldade. Os alunos devem dividir o trabalho, gerenciar o tempo, se organizar, contribuir pessoalmente na resolução e aceitar as contribuições dos colegas. A preparação dos problemas é feita em cooperação entre diferentes equipes regionais e nacionais. As traduções são rigorosamente comparadas. A pontuação, que vai de 0 a 4 para cada problema, define o valor total da prova e, consequentemente, a classificação, por ranking, das turmas em cada categoria. Os pontos da fase I e II são somados e determinam as turmas classificadas para a ultima etapa denominada grande final. Como mencionado, são 50 minutos para a resolução de 7 problemas. Assim, em uma prova do Rali, há muitos problemas para serem resolvidos por um único aluno. Dessa forma, as regras do jogo garantem, ou pelo menos estimulam a cooperação e a valorização das interações entre os alunos, pois não é possível de ser resolvida por um único aluno, por mais ágil que seja.Assim, considera-se a complexidade dos problemas, 30 para adequar as provas ao tempo, visando garantir que haja participação de todos nas diversas etapas de uma prova do Rali. Após todas as aplicações de provas, o professor é livre para fotocopiar as soluções produzidas pela turma, explorar os problemas, discuti-los, retomá-los e analisar os resultados com seus alunos em suas aulas, ou quando achar oportuno. As provas do Rali são divididas por categorias e basicamente devem abranger conceitos matemáticos em diversos campos ou domínios: aritmética, álgebra, geometria, lógica e combinatória, sendo que as aplicações dos conceitos podem ser de forma mais aprofundada, tornando o problema mais fácil ou mais difícil. No quadro abaixo, a titulo de ilustração, reproduzimos o quadro síntese da prova I de 2003, onde a quantidade de “x” indica o nível de dificuldade da questão e os números a que série (categoria) ela poderá ser vinculada. Em geral, cada prova contém pelo menos uma questão de cada campo. Figura 3 – Síntese Prova I de 2003 - RMT O Rali Matemático Transalpino proporciona aos alunos trabalhar com a resolução de problemas, aprenderem a discutir soluções, as regras do debate científico, a 31 desenvolver capacidade de trabalho em grupo, entre outras habilidades, tão importantes e essenciais nos dias de hoje. Aos professores, o Rali permite avaliar as produções dos alunos, o desenvolvimento pessoal e do grupo, possibilitando maior interação e ainda permite explorar os problemas em sala de aula como um auxílio no aprendizado. Os dados da Tabela 3 retratam brevemente a história do Rali, que teve seu início em 1993 e desde então promove competições todos os anos. Tabela 3 – Histórico do Rali Matemático Transalpino Ano Acontecimento 1993 Criação da primeira competição do Rali com participação de 20 classes, com alunos de 8 a 11 anos. 1994 Graças ao sucesso da primeira edição, acontece a segunda com participação de 40 turmas. 1995 Terceira edição, participam 75 classes e o grupo organizador é ampliado. 1996 Quarta edição cria mais critérios para atribuição de pontos e já é definido como RMT. 1997 O quinto Rali começa a se expandir em mais países, algumas regiões da França e outras da Itália. 1998 A sexta edição estende-se para alunos até 13 anos e começa a acontecer em Luxemburgo e em Praga (República Tcheca). Provas mais elaborada e comissão internacional de correção. 2000 Extensão para Israel e criação do certificado de participação. 2001 Criado a associação ARMT, que organiza o Rali até os dias de hoje. 2003 Chega ao limite de 2000 turmas participantes e cria-se o laboratório do RMT. 2005 Ultrapassam as 2000 classes e incluem-se alunos de até 15 anos. 2006 2500 turmas em 21 regiões. Começa a se formar um banco de problemas. Aumenta o Comitê de gestão. 2010 Já com 3800 turmas, chega também à Argentina e conta com uma revista on- line dirigida para os líderes e participantes do RMT. 2012 Em sua 20° edição, já conta com 4200 turmas e um banco de problemas que vem sendo alimentado a cada ano. Fonte: http://www.armtint.org/index.php?option=com_content&view=article&id=100%3Astoria- approfondita&catid=36&Itemid=53&lang=en 32 As atividades e edições do Rali podem ser acompanhadas por meio do seu site, que disponibiliza informações, noticias e um banco com as provas das competições anteriores, a partir de 2002. A figura abaixo apresenta a pagina inicial do site do Rali, que se encontra no endereço: http://www.armtint.org Figura 4 – Tela inicial do site do RMT O Rali não tem o objetivo apenas de se limitar às competições que promove, é também uma oportunidade para uma análise em profundidade de situações problema. Os professores que participam com suas classes podem e devem ser encorajados a participar da elaboração das provas, das sessões de correção das provas, da análise dos resultados, trazendo sua contribuição pessoal à proposta e recebendo contribuições e experiências de outros professores, a fim de disseminar os princípios da resolução de problemas no ensino de Matemática. Os problemas do RMT devem ser inéditos, ricos e estimulantes para os alunos, devem possibilitar mais de uma solução, a resolução de várias maneiras e conter questões abertas para que os alunos expliquem, justifiquem e validem suas estratégias. Os problemas do RMT são aplicáveis em sala de aula após a competição, aliás, esse é um dos principais objetivos da associação ARMT: que os problemas do Rali possam ser explorados no contexto escolar, tanto na preparação das turmas participantes quanto depois das etapas da competição, de forma que alunos e professores possam discutir suas resoluções, os acertos ou erros, ampliando suas vivências e percepções sobre diferentes situações, temas e estratégias adotadas. 33 O RMT pode ser entendido como parte integrante (e construtiva) do ensino de Matemática e dos seus principais objetivos de formação, no que diz respeito, a abordagem e método científico. 2.2 Particularidades Hoje existem vários tipos de competições nas escolas do mundo inteiro, relativas a varias disciplinas, e em especial na Matemática. Uma das competições mais conhecidas nas escolas brasileiras é a Olimpíada Brasileira de Matemática (OBM), que tem como objetivo contribuir para melhoria do ensino da Matemática, descobrir jovens talentos matemáticos e selecionar estudantes para representar o Brasil em competições internacionais. Essa olimpíada é muito conhecida e aberta a todos os estudantes do Ensino Fundamental, Médio e universitário, sendo dividida em vários níveis para as diferentes faixas etárias. Essa olimpíada matemática vem crescendo gradativamente no Brasil, e já passou por várias versões e modificações. A Tabela 4 contém dados da evolução histórica dessa olimpíada e os principais acontecimentos. Cabe ressaltar que a Olimpíada Matemática, desde sua criação, é realizada todos os anos, até hoje em dia onde já está na sua 35a edição. Tabela 4 – História da Olimpíada Matemática Brasileira Ano Alteração 1979 I Olimpíada Brasileira de Matemática 1991 Dois níveis: · Júnior: para alunos completando no máximo 15 anos em 1991 · Sênior: para alunos cursando o ensino médio Duas fases: · Primeira: prova com 25 questões de múltipla escolha · Segunda: dois dias com 3 problemas em cada dia 1992 O nível Júnior passa a ser para alunos cursando até a 8ª. série 1993 A 2ª. Fase do nível Júnior volta a ser realizada em um dia, com 5 problemas 1995 O nível Júnior volta a ser para estudantes de até 15 anos continua 34 Tabela 4 – História da Olimpíada Matemática Brasileira (cont.) Ano Alteração Três níveis: · I: 5ª e 6ª séries · II: 7ª e 8ª séries · III: Ensino Médio Três fases: · 1ª fase: múltipla escolha com 20 ou 25 questões · 2ª fase: prova aberta com 6 questões · 3ª fase: 5 questões (níveis I e II) e 6 questões no nível III (em dois dias) 1998 Provas das 2 primeiras fases nas Escolas cadastradas 1999 As provas do nível II passam a ser realizadas em dois dias na fase final 2001 É criado o nível Universitário, com duas fases Fonte: http://www.obm.org.br/opencms/quem_somos/breve_historico/ E podemos mencionar também a OBMEP - Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas, muito conhecida, que tem destaque nas escolas públicas. Em seu site podemos encontrar as provas, resoluções, material de apoio e um banco de questões. Os objetivos dessa competição são: estimular e promover o estudo da Matemática, contribuir para melhoria da qualidade da educação básica e pública, identificar jovens talentos e incentivar seu ingresso nas áreas científicas e tecnológicas, incentivar o aperfeiçoamento dos professores das escolas públicas, contribuindo para a sua valorização profissional, contribuir para a integração das escolas públicas com as universidades públicas, os institutos de pesquisa e as sociedades científicas e promover a inclusão social por meio da difusão do conhecimento. Iniciada em 2005, a OBMEP vem crescendo a cada ano criando um ambiente estimulante para o estudo da Matemática entre alunos e professores de todo o país. Em 2012, cerca de 19,1 milhões de alunos se inscreveram na competição e 99,4% dos municípios brasileiros estiveram representados. Essa olimpíada trás ótimos estímulos para os alunos, professores e também escolas participantes, ela oferece prêmios para todos os envolvidos. Quem pode participar são: alunos do 6º ao 9º ano do Ensino Fundamental e alunos do Ensino Médio das escolas públicas municipais, estaduais e federais. Segundo os organizadores, alunos que já participaram de olimpíadas como essa se demonstram orgulhosos e animados com esse tipo de experiência. Os ganhos em participar de eventos dessa proporção e características tornam os alunos mais 35 interessados e motivados, mostrando que a competição é bem vinda nessa fase educacional, pois proporciona animação, experiência e uma ansiedade construtiva. O que difere o Rali Matemático dessas olimpíadas é, principalmente, a sua organização e seus tipos de atividades. Enquanto as olimpíadas são individuais, o Rali é realizado com toda a turma (sala), estimulando o trabalho em grupo e conceitos de discussão, organização e cooperação. As atividades são realizadas através da resolução de problemas, ou seja, são problemas matemáticos contextualizados que desenvolvem competências e habilidades nos alunos, coforme já mencionado. 2.3 Objetivos do estudo Porque será que competições são tão envolventes? Sabemos que o próprio instinto de sobrevivência do homem fez com que ele enfrentasse desafios em toda sua história de vida e evolução. Competir é superação, é querer vencer obstáculos para provar que somos capazes de ir sempre além. Então, nada mais envolvente do que mexer com o instinto dos alunos, com a necessidade de avançar na educação e no conhecimento. E claro, devemos estar sempre atentos em não tornar uma competição saudável e engrandecedora, em uma disputa egoísta e sem objetivos educacionais. Valorizar muito mais o ganho científico do que o vencedor, mostrando que a participação de todos é importante e que ser o primeiro nem sempre é o único propósito. O papel do professor é muito importante nessas competições, pois ele será o responsável por mostrar para seus alunos que a participação de todos é que torna a atividade possível. Devemos mostrar que não existe competição com apenas um participante e por isso todos são essenciais. E também estarmos atento para evitar que sempre os mesmos sejam os vencedores, ou que o mesmo grupo sempre vença, pois desmotiva a participação dos demais. Devemos diversificar os grupos, os tipos de problemas e as formas de abordagem, possibilitando instigar a criatividade e a personalidade de cada um. Temos sempre que focar o nosso trabalho no objetivo de desenvolver nos alunos valores de respeito, cooperação e solidariedade, além de tornar as atividades interdisciplinares, reais e com desenvolvimento de diversas capacidades. Mostrar para os estudantes como eles podem assumir diferentes papéis, lidar com diferentes situações 36 e socializar com diferentes culturas. Sim, a competição trás vários benefícios, desde que aplicada de forma coerente e educativa. Muitos estudiosos podem achar a competição agressiva e exclusiva, não enxergando o lado positivo e estimulante. Mas tentamos demonstrar aqui a competição voltada para o lado cooperativo e não comparativo: grupos que cooperam entre si para chegar a uma solução, para se desenvolver, para enriquecer com o saber um do outro e que estão direcionados para inclusão e participação conjunta. O objetivo deste trabalho é desenvolver com alunos do Ensino Médio uma experiência inspirada no Rali Matemático, voltada para a competição saudável e enriquecedora, explorando as diversas formas de praticar o raciocínio lógico. Introduzir esse tipo de competição para alunos já na fase adolescente que estão cada vez mais próximos de um ambiente universitário e/ou da atuação profissional levará para eles uma aproximação do futuro que os espera. O Rali vem no mesmo silogismo de uma olimpíada, porém tem como sua base principal a resolução de problemas em grupo. Podemos definir um Rali (original) como uma competição automobilística onde cada automóvel precisa ir de um ponto ao outro no menor tempo possível e completar todas as etapas. Por isso a denominação “Rali Matemático”, pois da mesma forma que existem etapas a serem cumpridas em um rali automobilístico, etapas também devem ser superadas para se chegar à grande final. Os aspectos principais na competição do Rali é a interatividade entre alunos, para um trabalho colaborativo que depende de organização. Entendemos ser o contexto do Rali um ambiente propicio para a prática da resolução de problemas e para o desenvolvimento de competências transversais, além da construção de conhecimentos matemáticos em situação. Visando-se uma sociedade mais justa, capaz de intervir no desenvolvimento da humanidade crítica e criativamente, buscando uma melhoria na qualidade de vida do cidadão, não é suficiente apresentar conhecimentos cristalizados e fora do contexto moderno. É preciso fazer com que os alunos tornem-se pessoas capazes de enfrentar situações diferentes dentro de contextos diversificados, que façam com que eles busquem aprender novos conhecimentos e habilidades. Só assim estarão melhor preparados para adaptar-s às mudanças culturais, tecnológicas e profissionais do novo milênio. (Maria Teresa Carneiro Soares e Neuza Bertoni Pinto – produção UFPR 2001) Nosso intuito é ir além da competição em si. Queremos sintonizar mais os professores e alunos, fazer com que trabalhem juntos, aprendam juntos, se mobilizem 37 numa proposta conjunta para as aulas de Matemática. Esse formato do Rali Matemático resgata o ensinar sobre e para a resolução de problemas, pois dá a oportunidade dos alunos lidarem com variados problemas que podem encontrar no seu dia a dia, podendo aplicar seus conhecimentos em situações inéditas. Mas, também ajuda a inserir o ensinar através da resolução de problemas em sala de aula, pois uma participação continua pode levar à construção de novos conhecimentos e a uma postura positiva dos alunos face à resolução de problemas, o que sabemos não ser tarefa fácil. O professor que deseja desenvolver nos estudantes a capacidade de resolver problemas deve incutir em suas mentes algum interesse por problemas e proporcionar-lhe muitas oportunidades de imitar e de praticar. (G. POLYA, 1975, P. 4) Este estudo pretende avaliar a reação dos estudantes e professores, em vários aspectos, na perspectiva da resolução de problemas. Mais particularmente, como o aluno capta esse tipo de abordagem, de que maneira demonstra suas capacidades e se envolve com o aprender através da participação no Rali. De forma mais ampla, o objetivo geral é se apropriar da proposta e explorar por meio do envolvimento de alunos e nossa participação, as possibilidades oferecidas por esse tipo de competição. Neste mundo em constante mudança, aqueles que compreendem e conseguem fazer matemática terão significativamente maiores oportunidades e melhores opções para construir seus futuros. A competência matemática abre portas para futuros produtivos. Uma falta de competência matemática mantém essas portas fechadas. [...] Todos os estudantes devem ter a oportunidade e o apoio necessário para aprender matemática significativa com profundidade e compreensão. Não existe nenhum conflito entre equidade e excelência. (NCTM, 2000, p. 50) Devemos buscar constantes mudanças educacionais para desenvolver nos alunos a capacidade cada vez mais importante de “aprender a aprender”. Dar oportunidades suficientes para que possam estar preparados a enfrentar os desafios da Matemática e do saber em geral. Fazemos a hipótese que o Rali Matemático pode auxiliar os professores a envolverem seus alunos nesse tipo de perspectiva. Os princípios e padrões matemáticos desenvolvidos pelo NCTM (National Council of Teacher of Mathematics), essa organização de professores e educadores de Matemática dos Estados Unidos, foram desenvolvidos exatamente para fornecer uma orientação e direção aos professores e líderes em Educação Matemática. E entre muitos princípios, orienta os cinco padrões de processo pelos quais os estudantes devem desenvolver e usar conhecimentos matemáticos, são eles: Resolução de Problemas, Argumentação e Provas, Comunicação, Conexões e Representação. Como se observa, a resolução de problemas é colocada em primeiro plano. 38 Capítulo 3 – A EXPERIÊNCIA DO RALI COM ALUNOS DO ENSINO MÉDIO Como já mencionado, nossa proposta é fazer uma experiência do Rali Matemático com alunos do Ensino Médio brasileiro. Antes de descrever a proposta e como foi implementada, apresentamos breves considerações sobre a Escola onde a experiência foi realizada. 3.1 Um pouco do colégio e as turmas O colégio escolhido para implementar uma edição do Rali Matemático foi o C.T.I.G. – Colégio Técnico Industrial de Guaratinguetá/SP. Esta escola é localizada dentro do campus da UNESP de Guaratinguetá, a FEG – Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá – que possui uma área total de aproximadamente 17.600 m². Por estar dentro do campus da faculdade, foi de fácil acesso para que pudéssemos acompanhar todas as ações e aplicações dos problemas matemáticos nas turmas. O colégio foi criado em 06 de novembro de 1970, pelo Decreto 52.553, e suas atividades tiveram início no dia 31 de março de 1971. É uma unidade de ensino técnico e possui quatro cursos técnicos profissionalizantes: Mecânica, Eletrônica, Eletroeletrônica e Informática Industrial, que funcionam em período integral, concomitante com o ensino médio regular, formando em torno de 120 profissionais por ano que obtêm o diploma de técnico após realização de estágio obrigatório. O ingresso dos alunos nesse colégio técnico é feito através de um processo seletivo denominado “Vestibulinho”, que conta, em média, com 12 candidatos por vaga todos os anos. Hoje, compõem os recursos humanos da escola: 50 professores, 07 auxiliares de instrução, 01 orientador educacional, 05 escriturários e 03 atendentes de classe. Os 425 alunos dispõem de 12 salas de aula, 10 laboratórios, oficina mecânica, sala de projetos, sala de desenho, biblioteca, anfiteatros, cantina, quadra de esportes, campo de futebol e ambulatório médico. Essa escola tem como missão, conforme página do colégio na Internet: Com base na Lei nº 9394/96, da Lei de Diretrizes e Bases da Educação (LDB), o CTIG oferece, de forma articulada, uma educação fundamentada em um novo paradigma em que a variável flexibilidade permite não só um currículo que atenda às demandas sociais e tecnológicas atuais, como a possibilidade de construção de caminhos formativos individuais. Muito se fala que, no CTIG, o aluno tem liberdade. É muito importante que sua liberdade esteja alicerçada na responsabilidade, pois somente desse modo o aluno realmente se desenvolve como pessoa humana, aprimorando-se quanto ao respeito e à ética. Deve reconhecer a importância do respeito a si mesmo, o respeito aos outros e a responsabilidade por todas as suas ações. 1 1 Disponível em: Último acesso em 17 de outubro de 2013. 39 É um colégio bem estruturado e com um projeto pedagógico bastante consistente e eficaz, que esteve de portas abertas para as aplicações do Rali Matemático. Com o total apoio do atual Vice Diretor, o Prof. Alexandre Areco, foi possível iniciar as atividades do Rali nas turmas do 1° ano do Ensino Médio, que funcionam no período da tarde, das 13:30 às 18h. Contamos com a ajuda e a colaboração de vários professores, não só o de Matemática, mas de outras disciplinas também, que cederam aulas para que pudéssemos realizar o nosso trabalho. Com a ajuda também do atual Coordenador do Ensino Médio, Professor Thales Enrique Quiróz Tapioca, foi possível organizar os encontros e usar aulas durante o segundo semestre de 2012 e o primeiro semestre de 2013. No segundo semestre de 2012, trabalhamos com a turma do 1° C, uma turma formada por alunos do curso de Informática Industrial. Já no primeiro semestre de 2013, foram outras duas turmas de 1° ano, B e C, formadas por alunos dos diferentes cursos profissionalizantes oferecidos na escola. As turmas tinham em torno de 25 alunos cada. Na sequência, apresentamos detalhadamente as etapas de desenvolvimento das atividades do Rali no CTIG. 3.2 A apresentação do Rali Matemático e a proposta para os alunos O Rali Matemático foi apresentado em todas as turmas que indicamos acima. Para esta apresentação, primeiramente explicamos origem do Rali, qual é a proposta dessa competição, onde ela acontece e quais países participam atualmente. Explicamos quais os objetivos do Rali, tanto para os professores de Matemática, quanto para os alunos que participam. Os estudantes ficaram atentos e demonstraram interesse pela competição. Por se tratar de um colégio profissionalizante, com cursos voltados para a área de exatas, e com processo seletivo de entrada, podemos considerar que os alunos têm um perfil particular, e pudemos observar que, em sua maioria, os alunos apresentam atração pela Matemática e com bastante vontade de participar de atividades que envolvem essa disciplina. Na primeira apresentação do Rali, em agosto de 2012, propomos uma aplicação piloto apenas com uma turma, o 1° C. Além de introduzirmos a ideia do Rali Matemático, discutimos com os alunos a diferença entre exercício e problema e como a resolução de problemas pode auxiliar no desenvolvimento de habilidades matemáticas que podem auxiliá-los no desempenho da matéria. 40 Nesta ocasião, apresentamos ainda um cronograma com as datas e horários destinados aos encontros e também como seria os próximos passos do Rali Matemático, um pouco diferente do Rali “original” e com algumas adaptações para a turma participante. Sugerimos que os alunos se dividissem em grupos de 4 a 5 alunos, ao invés de usar a turma inteira como na proposta original, uma vez que só iríamos trabalhar com uma única turma como um projeto piloto. Para iniciar e os alunos se familiarizarem em grupo, propusemos alguns desafios2 similares com os problemas do Rali. A intenção de começarmos com esses desafios foi mostrar para os alunos que esses problemas podem ser encarados como uma diversão, mas cujas soluções e estratégias devem, assim como na proposta do Rali, ser justificadas e explicitadas. Figura 5 - Turma do 1° C resolvendo desafio do 1º Encontro Nos encontros seguintes, aplicamos mais problemas, e dessa vez retirados de provas antigas do Rali Matemático, disponibilizadas no site e que foram traduzidos. Os alunos se mantiveram nos grupos já formados no 1º encontro. Em todos os encontros, acompanhamos o trabalho dos alunos, tentando não influenciar em suas decisões, estratégias e organização. Em alguns momentos, 41 interferimos apenas para fornecer informações sobre o enunciado, principalmente nos primeiros encontros, mas o objetivo era que eles fossem criando suas próprias metodologias de trabalho, com organização e autonomia. À medida que os alunos se viam desafiados e que teriam que encontrar soluções para os variados problemas, eles foram se envolvendo mais, e se motivando gradativamente. Observamos, pelas manifestações dos alunos, que o clima não era de “aprender a matéria”, mas sim de “encontrar a solução”, correndo contra o tempo, pois para todos os problemas propostos, um tempo era estipulado. Tempo esse que estimulasse os alunos a dividirem as tarefas entre os participantes do grupo, sem sobrecarregar apenas um aluno considerado mais “esperto”. O que começou como uma “aula diferente”, pois não tinha o professor da turma e nem um plano de aula a ser seguido, tornou-se para a turma uma diversão desafiadora. A maioria dos alunos não estava mais ali para “cumprir o horário”, mas sim para se superar, descobrir coisas novas, se entusiasmar a cada novo desafio. Para a maioria dos problemas propostos, uma devolutiva foi organizada para discutir as soluções apresentadas e eventuais duvidas ou erros cometidos. Os encontros seguiram a seguinte dinâmica: em uma semana eram apresentados os desafios, os alunos resolviam em grupo e entregavam as respostas. Nós corrigíamos e pontuávamos as soluções dos problemas e, no encontro seguinte, as soluções e pontuação eram discutidas e retomadas. Como estabelece as regras do Rali, a pontuação dada era baseada não só na resposta correta, mas na explicação ou justificativa da estratégia usada para se chegar, ou não, na resposta final. Dessa forma, os alunos foram percebendo que o importante nem sempre era chegar em uma resposta, mas que deviam explicar suas estratégias. Estratégias essas que não necessariamente teriam que ser com equações ou fórmulas, ou seja, formalizadas na Escola, mas poderiam utilizar outras e diversos registros, testando vários números, fazendo tabelas, comparações, etc. Nos encontros em que eram organizadas as devolutivas, os alunos eram solicitados a participar ativamente, os grupos deveriam apresentam suas soluções e, de um modo geral, demonstravam estar animados para continuar, e para resolver mais desafios. 2 Desafios extraidos de publicação da coleção Coquetel, voltada para área de passatempo e que existe desde 1948. 42 Assim, a apresentação e discussão das soluções não era simplesmente assistida como uma correção de exercício na lousa, mas como um problema interessante e intrigante que esperavam ansiosos para confirmar suas soluções. Como uma das características das provas do Rali é conter problemas que têm mais de uma solução ou podem ser resolvidos de diferentes formas, as devolutivas enfatizavam a troca de informações, visando apresentar as diversas possibilidades ou caminhos de solução de forma a incentivar a interação entre os grupos. Por diversas vezes, os alunos manifestaram-se indicando que sentiam dificuldades em explicar os raciocínios ou justificar algumas soluções. No total foram seis encontros, perfazendo um total de 12 horas aulas. Os encontros foram assim organizados: Tabela 5 – Organização dos encontros do Rali 2012 Encontro Duração Atividades Desenvolvidas Problemas Aplicados/Trabalhados 1° 2h aulas Apresentação do Rali e oficina de problemas. Problemas divididos em 2 desafios e 3 problemas traduzidos do Rali. 1 – Número de Cavaleiros 2 – Quadrados Confusos 3 – Adivinhem o Número 4 – Planificação de um Prisma 5 – Meu Belo Tapete 2° 3h aulas Devolutiva dos problemas apresentados, com apresentação em lousa de uma possível solução e discussão com os alunos sobre suas respostas. Aplicação da prova teste. Os mesmos anteriores e a prova teste: 1 – Calculadora de Pascal 2 – Os Triângulos 3 – O treino de Basquete 4 – A caixa de Leila 5 – A colheita de Laranjas 6 – O Cubo de Kobi 3° 2h aulas Distribuição da prova teste com a correção e parabenização para os grupos melhores pontuados. Reaplicação do problema 3 com mais dados e nova correção. Os mesmos anteriores. 4° 2h aulas Aplicação de mais alguns problemas para correção instantânea com a participação dos alunos e seus grupos. Estímulo de debate entre os grupos. 1 – Uma estranha adição 2 – Quebra cabeça retangular 5° 2h aulas Conversa com os alunos sobre suas dúvidas e sobre as correções de todos os problemas já aplicados. Aplicação da etapa final: Prova Final. 1 – A procura de um retângulo 2 – Uma Placa Diferente 3 – Um Foguete Ultra Rápido 4 – Uma Questão de Idades 5 – Chamada Oral 6° 1h aulas Distribuição da Prova Final com a pontuação, premiação dos vencedores, distribuição do certificado de participação e confraternização. 43 Como o Rali é uma competição, no final foi realizada uma classificação dos grupos para premiação. Para os vencedores, houve premiação, e para todos os que participaram houve distribuição de alguns brindes e certificado de participação. No ultimo encontro, após discussão da prova final e divulgação da classificação dos grupos, houve também uma festa de despedida e aproveitamos para conversar com os alunos e saber a opinião deles a respeito do Rali e da experiência vivida. Registramos os depoimentos informais dos alunos e, a maioria mostrou-se satisfeita e animada para continuar participando do Rali Matemático. Nos questionaram se podiam participar mais vezes desse projeto, pois se sentiram desafiados e motivados com os problemas, gostaram da experiência adquirida e da proposta do Rali de um modo geral. Figura 6 - Último dia do Rali em 2012 – Sessão de premiação Figura 7 – Mensagem entregue junto com o prêmio No ano de 2013, usamos a experiência do ano anterior para fazer uma nova introdução do Rali Matemático também no C.T.I.G., desta fez com duas turmas de 1° ano, o 1° B e o 1° C. 44 Novamente, introduzimos algumas ideias da origem e aplicação do rali matemático, algumas teorias sobre resolução de problema e focamos no ensinar como resolver problemas. Apresentamos a definição de G. Polya para resolver problemas e direcionamos a competição para ensinarmos a turma um pouquinho de como é essa metodologia de resolução de problemas. Dessa vez, em algumas aulas, contamos com a assistência do professor de Matemática das turmas, o Prof. José André, que se interessou pela proposta, nos apoiou e compartilhou das mesmas ideias sobre resolução de problemas. Figura 8 – Parte da apresentação em PowerPoint para o C.T.I.G. em 2013 Depois da apresentação e da introdução com a turma, novamente aplicamos os problemas desafios da coleção “Coquetel” e também alguns problemas de provas anteriores do Rali que haviam sido traduzidos. Os mesmos problemas já trabalhados foram aplicados com essas duas turmas e analisamos o desempenho dos grupos. A intenção dessa nova aplicação foi melhor observar a reação da turma e focar no aprendizado de todos, colaborando com o desenvolvimento de competências e habilidades básicas dos estudantes, tanto em Matemática quanto na resolução de problemas. Esta segunda edição no CTIG em 2013 foi organizada em 4 encontros em cada turma, 8 encontros totais, perfazendo 18 horas aula. Esses encontros foram suficientes para que os alunos pudessem entender a ideia central do Rali e, principalmente, ampliar seus conhecimentos sobre resolução de problemas. 45 Os alunos puderam perceber a diferença desse tipo de atividade e o que é realizado em sala de aula. Infelizmente, não foi possível mais encontros para que pudéssemos aplicar algumas etapas do Rali e consequentemente a prova final. Mas, mesmo assim, conseguimos envolvê-los na proposta, observar postura positiva em resolução aos problemas e compararmos os resultados com os dos alunos do ano anterior. 3.3 Os problemas aplicados, suas correções e a atribuição de pontos Apresento aqui alguns dos principais problemas que foram trabalhados com as turmas do colégio técnico, uma leve análise dos temas abordados, como foi feita sua correção nas devolutivas e os critérios de pontuação dada na correção: 1 - ) Número do Cavaleiro Estes símbolos representam os números de 1 a 4. Qual cor representa qual número? Expliquem o raciocínio do grupo. Figura 9 – Cavaleiros do 1° desafio aplicado da coleção “Coquetel” 46 Análise e correção: Nesse primeiro desafio, relativamente fácil, trabalhamos conceitos simples de aritmética e um pouco de combinação. Deve-se elaborar um plano, de forma a eliminar todas as opções impossíveis: Considerando as colunas, da esquerda para direita, de 1a até a 4a, podemos concluir que: - Na 2a coluna a soma não pode dar maior que 10, pois na 1a coluna azul = azul. Logo o verde terá que assumir o valor de 1, visto que é o único número entre 1 e 4 que somados três vezes resultará em um valor menor que 10 e também menor que 4. - Supondo que, como 1+1+1 = 3, o azul = 3. Então, para a 4a coluna teremos: laranja + 1 + 1 = 3. Para essa soma ser verdadeira, laranja teria que assumir o valor de 1, o que não é possível já que descobrimos acima que verde = 1. Então, concluímos que azul só poderá assumir o valor 4. - Se azul = 4, então, voltando a 4a coluna, temos que laranja + 1 + 1 = 4, logo laranja = 2. Se verde = 1, azul = 4 e laranja = 2, concluímos que o preto só poderá ser o 3. O que, de fato, torna a equação acima verdadeira. 1 4 2 + 1 4 1 + 4 1 3 1 = 4 4 1 4 Pontuação: 4 – Resposta correta com explicação completa e alguma dedução lógica, além das tentativas. 3 – Resposta correta, com pouca explicação. 2 – Resposta correta, sem explicação. 1 – Resposta errada, mas com alguma explicação ou informação considerada de forma pertinente. 0 – Resposta errada, sem explicação. 47 2 - ) Montando um cubo A figura abaixo pode ser dobrada para formar um cubo. Qual dos quatro cubos mostrados a seguir ela poderia formar? Figura 10 – Cubos do 2° desafio aplicado da coleção “Coquetel” Análise e correção: Neste desafio devemos ter uma boa visão espacial, pois trabalha com a planificação e obtenção de um sólido a partir desta. Para facilitar, podemos numerar as faces do cubo, ou até mesmo montar uma planificação idêntica no papel e recortar. Desta forma, chegamos ao cubo correto que é a alternativa 4. Pontuação: 4 – Resposta correta com justificativa; 3 – Resposta correta sem comentários ou justificativa; 2 – Resposta parcialmente correta, mas com justificativa pertinente; 1 – Resposta errada com alguma tentativa de justificativa; 0 – Nenhuma resposta. 48 3) UMA ESTRANHA ADIÇÃO ©ARMT 2007 – 15o – Prova 1 Heitor, oficial da contraespionagem, interceptou uma mensagem codificada na qual aparece a adição abaixo. Cada símbolo representa um algarismo, símbolos iguais o mesmo algarismo e símbolos diferentes, algarismos diferentes. Heitor está desconfiado desta mensagem e está se perguntando se ela foi bem codificada. Figura 11 – Adição criptografada Para vocês, esta adição é possível? Se sim, decifre-a descobrindo os algarismos. Se não, por que? Justifiquem sua resposta. Análise e correção: Neste problema de aritmética, que trabalha a adição com retenção, muito semelhante ao do cavaleiro, devemos analisar cada símbolo e chegar a algumas conclusões eliminatórias: - © deverá ser 0, já que ao somarmos •, o mesmo • se repete. - a soma * e & será mais que 10, já que transfere uma dezena para a coluna seguinte, fazendo com que § se transforme em @. - Porém, se admitirmos que § = 9, teríamos que @ assumiria o valor de 0, que já foi atribuído para ©. - Então se § + 1 é inferior a 10, não existe possibilidade de novamente essa coluna transferir uma centena para a coluna seguinte. E como # se transforma em %, essa equação se torna impossível. Essa mensagem foi mal codificada, já que não é possível tornar essa adição possível. 49 Pontuação: 4 – Resposta correta com justificativa completa. 3 – Resposta correta com justificativa incompleta. 2 – Resposta correta sem nenhuma justificativa. 1 – Resposta errada com alguma tentativa de justificativa. 0 – Nenhuma resposta. 4) ADVINHEM O NÚMERO ©ARMT 2010 – 18o – Prova 1 Pensei em um número inteiro com 2 algarismos diferentes de zero. Darei as seguintes informações, mas saiba que uma delas é falsa. 1. Os dois algarismos do número são ímpares. 2. Entre o número que eu pensei e o número que se obtém invertendo a ordem dos dois algarismos tem uma diferença de 27 unidades. 3. É um número par. 4. O número pensado é divisível por 3, mas não por 9. Qual foi o número pensado? Expliquem como vocês encontraram a resposta. Análise e correção: Usando-se conceitos básicos de aritmética e um pouco de lógica dedutiva, podemos concluir que: - As informações 1 e 3 são contraditórias, logo, a alternativa falsa será uma delas. - Como 1 e 2 também não podem acontecer simultaneamente, uma vez que, pela alternativa 1, sabemos que mesmo se invertermos os algarismos, o número continuará sendo ímpar, logo, a diferença de dois números ímpares nunca poderá dar outro número ímpar (no caso, o 27): (2n1 + 1) – (2n2 + 1) = 2n1 + 1 – 2n2 – 1 = 2n1 – 2n2 = 2(n1 + n2) 50 - Concluímos então que a alternativa falsa é a primeira. - Considerando então as alternativas 3 e 4 e o enunciado, devemos encontrar todos os números múltiplos de 3, mas não de 9, que não terminam com 0 e são pares. Temos: 12, 24, 42, 48, 66, 78, 84 e 96. - Desses 8 números encontrados, basta-se fazer a subtração com seu inverso, conforme informação 2, para descobrir qual diferença resulta em 27. Dessa forma chegamos ao número 96, que: 96 – 69 = 27. A resposta correta é o número 96, e a alternativa falsa é a 1. Pontuação: 4 – Resposta correta com explicação correta e completa. 3 – Resposta correta com pouca explicação, ou não muito clara. 2 – Processo incompleto, sem encontrar a resposta correta, porém chegar a alguma conclusão como qual alternativa falsa. 1 – Início de raciocínio, com pelo menos indicação da contradição entra as informações 1 e a 3. 0 – Incompreensão total do problema. 51 5 ) PLANIFICAÇÃO DE UM PRISMA ©ARMT 2010 – 18o – Prova 1 Para uma competição do 17° Rali, os alunos de uma sala tinham que encontrar as possíveis pavimentações de uma pirâmide de base quadrada, mas eles não conseguiram encontrar todas elas. Agora, eles têm que encontrar as planificações de um prisma cujas bases são triângulos equiláteros e as outras faces são quadradas. Antônio encontrou as 8 planificações abaixo: Figura 12 – Planificações Seus colegas perceberam que apenas 7 são válidas, pois uma delas não está correta e que ainda faltam outras planificações. Qual é a figura falsa, ou seja, que não corresponde à planificação do prisma mencionado? Desenhem, pelo menos, mais uma planificação que Antônio não encontrou. Análise e Correção: Trabalhamos conceitos da geometria de planificação da figura (o prisma) e montagem, onde usamos a combinação de dois triângulos equiláteros e três quadrados. Neste problema devemos levar em consideração algumas observações como: - As faces paralelas não podem ser adjacentes (nem no vértice e nem na aresta) - As faces não podem se sobrepor. Podemos desenhar e recortar todas as planificações para tentarmos montar novamente o prisma. Chegando a conclusão que a alternativa falsa é a F. Outras possíveis planificações são: 52 Figura 13 – Outras planificações possíveis Pontuação: 4 – Resposta correta, com descoberta de pelo menos mais uma planificação e boa explicação. 3 – Resposta correta, sem explicação mas com descoberta de alguma nova planificação. 2 – Resposta correta para a alternativa falsa, com explicação, ou encontro de alguma das duas planificações. 1 – Apenas resposta correta para a alternativa falsa. 0 – Incompreensão do problema. 53 6 - ) UMA PLACA DIFERENTE ©ARMT.2005 – 13° - Prova 1 Esta placa triangular é formada de pequenos triângulos equiláteros, todos congruentes entre si. 16 deles formam um triângulo interior e os 33 outros constituem a borda externa desse triângulo. É possível fabricar uma outra placa triangular, de tamanho diferente, mas para a qual a borda exterior, sempre da mesma largura, tenha o mesmo número de pequenos triângulos que a parte interior? Figura 14 – Placa Triangular Expliquem como vocês pensaram e justifiquem a resposta. Análise e Correção: Esse problema resgata um pouco de progressão aritmética e um pouco de função da álgebra, assim como resolução de equações. Pode ser resolvido das seguintes formas: - Entendido a formação do triângulo mostrado: parte da borda com 33 triângulos menores e parte interior com 16 triângulos menores, onde o lado do triângulo maior (a borda, cinza) é formado por 7 dos triângulos menores, enquanto o lado do triângulo formado pelo interior (branco) é formado por 4 triângulos menores; - Desenhar outros triângulos semelhantes com quantidades de triângulos diferentes e contar os triângulos de formação, relacionando com o lado, como mostrado abaixo: Figura 15 – Resolução: Placa Triangular 1 Lado Borda = 4, ∆s Borda = 15, Lado interno = 1, ∆s Interno = 1 Total de triângulos da placa inteira = 16 54 Figura 16 – Resolução: Placa Triangular 2 Lado Borda = 5, ∆s Borda = 21, Lado interno = 2, ∆s Interno = 4 Total de triângulos da placa inteira = 25 Figura 17 – Resolução: Placa Triangular 3 Lado Borda = 6, ∆s Borda = 27, Lado interno = 3, ∆s Interno = 9 Total de triângulos da placa inteira: 36 A placa mostrada no problema tem: Lado Borda = 7, ∆s Borda = 33, Lado interno = 4, ∆s Interno = 16 Total de triângulos da placa inteira = 49 Figura 18 – Resolução: Placa Triangular 4 Lado Borda = 8, ∆s Borda = 39, Lado interno = 5, ∆s Interno = 25 Total de triângulos da placa inteira = 64 Figura 19 – Resolução: Placa Triangular 5 Lado Borda = 9, ∆s Borda = 45, Lado interno = 6, ∆s Interno = 36 Total de triângulos da placa inteira = 81 55 Figura 20 – Resolução: Placa Triangular 6 Lado Borda = 10, ∆s Borda = 51, Lado interno = 7, ∆s Interno = 49 Total de triângulos da placa inteira = 100 Figura 21 – Resolução: Placa Triangular 7 Lado Borda = 11, ∆s Borda = 57, Lado interno = 8, ∆s Interno = 64 Total de triângulos da placa inteira = 121 - Com os dados baseados nessas placas, podemos montar uma tabela (Tabela 6) que contém a quantidade de triângulos possíveis: Tabela 6 – Dados das placas possíveis Lado Borda ∆