UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA "JÚLIO DE MESQUITA FILHO" INSTITUTO DE FÍSICA TEÓRICA Momento de dipolo elétrico do nêutron no modelo 3-3-1 George De Conto Santos Orientador: Prof. Dr. Vicente Pleitez Dissertação de mestrado apresen- tada ao Instituto de F́ısica Teórica para a obtenção do t́ıtulo de Mes- tre em F́ısica. São Paulo 2014 Agradecimentos Gostaria de agradecer à CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nı́vel Superior, pelo apoio financeiro. Ao meu orientador, Prof. Dr. Vicente Pleitez, por seu apoio e paciência, e por ter me aceito faltando apenas um ano para a conclusão do meu mestrado. À Profa. Dra. Sandra Padula, por ter aberto as portas do IFT para mim e ter me dado a oportunidade de conhecer como é feita a F́ısica de Part́ıculas Elementares do ponto de vista experimental. Ao Prof. Dr. Orlando Luis Goulart Peres, por suas sugestões e correções ao meu texto. Ao IFT e seus professores, por terem me acolhido, me instrúıdo e dado a infraestrutura necessária para a realização deste trabalho. Aos meus pais, pela paciência, esforço e dinheiro apostados em mim. À minha namorada, por fazer de conta que o que eu estudo faz algum sentido pra ela. Aos meus amigos, não só por sanarem diversas das minhas dúvidas sobre F́ısica, mas também por todo o tempo que estivemos juntos. A Bad Religion, Rise Against, Pennywise, NOFX, Strike Anywhere e tantas outras bandas que me levantaram os esṕıritos e me deram forças para continuar. E finalmente, a você leitor deste trabalho. Espero que ele lhe ajude em alguma coisa. Resumo Analisamos o momento de dipolo elétrico do nêutron no modelo 3-3-1 com léptons pesados. Comparamos a previsão teórica deste modelo com o atual limite experimental e damos limites para alguns de seus parâmetros. Palavras-chave: Modelo 3-3-1, momento de dipolo elétrico, nêutron. Áreas do conhecimento: Part́ıculas Elementares e Campos. Abstract We analyse the neutron electric dipole moment in the 3-3-1 model with heavy leptons. We compare the theoretical predictions of this model with the actual experimental limits and give limits to some of its parameters. Keywords: 3-3-1 Model, electric dipole moment, neutron. i Sumário Resumo/Abstract i Lista de Figuras iv Lista de Tabelas vi 1. Introdução 1 2. Momento de dipolo elétrico do nêutron 2 2.1. Resultados experimentais do MDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2. MDE na mecânica quântica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.3. MDE na teoria quântica de campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3. O momento de dipolo magnético do elétron 11 3.1. Correção de primeira ordem para o vértice elétron-fóton . . . . . . . . . . 13 4. O MDE do nêutron no Modelo Padrão 17 4.1. 1 quark e 1 loop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.2. 1 quark e 2 loops . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.3. Forças de troca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.4. Pinguins e Fotopinguins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.5. 1 quark e 3 loops . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.6. Conclusões sobre o MDE do nêutron no MP . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5. Modelo 3-3-1 com leptons pesados 30 5.1. Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 5.1.1. Autoestados de massa para o setor escalar . . . . . . . . . . . . . 32 5.2. Leptons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5.3. Quarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5.3.1. Lagrangiana de Yukawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5.4. Campos de gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 5.5. O MDE do nêutron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 6. Conclusões 49 A. Conversão entre as representações da matriz CKM 50 ii Sumário B. Valores experimentais 52 C. Identidades matemáticas 53 C.1. Identidade de Gordon Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 C.2. Parametrização de Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 C.3. Integrais em l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 D. MDE do nêutron a partir dos MDEs dos quarks 55 E. Diagramas para o MDE 57 E.1. 1-loop, caso 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 E.2. 1-loop, caso 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 E.3. 1-loop, caso 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 F. Vértices 69 F.1. Interações gauge-escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 F.2. Interações quark-escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 F.2.1. Quarks - escalares neutros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 F.2.2. Quarks - escalares carregados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Referências Bibliográficas 78 iii Lista de Figuras 2.1. Presença de um MDE levando a violação das simetrias por P e T . . . . 3 2.2. História da sensibilidade das buscas pelo MDE do nêutron . . . . . . . . 5 2.3. Aparato experimental para a medida do MDE pelo ILL . . . . . . . . . . 6 3.1. Interação entre dois elétrons mediada por um fóton . . . . . . . . . . . . 11 3.2. Correções do vértice elétron-fóton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.3. Diagrama para o cálculo da correção de primeira ordem para o vértice elétron-fóton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4.1. Contribuição de um loop para o MDE do quark . . . . . . . . . . . . . . 18 4.2. Contribuição de dois loops para o MDE do quark . . . . . . . . . . . . . 18 4.3. Primeiro conjunto de diagramas relevantes com o uso dos operadores regularizados no cálculo do MDE do quark em dois loops . . . . . . . . . 19 4.4. Segundo conjunto de diagramas relevantes com o uso dos operadores regularizados no cálculo do MDE do quark em dois loops . . . . . . . . . 19 4.5. Diagrama para forças de troca do tipo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4.6. Vértices da figura 4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4.7. Diagrama para forças de troca do tipo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.8. Diagrama pinguim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.9. Diagrama fotopinguim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.10. Diagramas de dois loops contendo um pinguim . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.11. Diagramas de dois loops contendo um fotopinguim . . . . . . . . . . . . . 25 4.12. Diagramas para uma teoria efetiva de Fermi onde os quarks são mais leves que o boson W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.13. Contribuições do quark top para du e dd . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 5.1. Valores permitidos para |vχ| e senθχ, caso (a) . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.2. Valores permitidos para |vχ| e senθχ, caso (b) . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.3. Valores permitidos para |vχ| e |α|, caso (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.4. Valores permitidos para |vχ| e |α|, caso (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.5. Valores permitidos para |vχ| e |a7|, caso (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5.6. Valores permitidos para |vχ| e |a7|, caso (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 E.1. Diagrama para o MDE, caso 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 E.2. Diagrama para o MDE, caso 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 iv Lista de Figuras E.3. Diagrama para o MDE, caso 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 v Lista de Tabelas 4.1. Previsões teóricas do Modelo Padrão para o MDE do nêutron. . . . . . . 29 B.1. Valores experimentais utilizados neste trabalho. . . . . . . . . . . . . . . 52 vi 1 Introdução Neste trabalho estudamos o momento de dipolo elétrico (MDE) do nêutron, mais especificamente, no modelo 3-3-1 com léptons pesados. Seu estudo nos permite encontrar limites para os parâmetros deste modelo, e assim, entender melhor suas caracteŕısticas. No cap. 2 damos uma introdução ao assunto. Discutimos como o tema surgiu na F́ısica e como seu estudo adquiriu importância, devido a sua relação com a violação da simetria CP. Apresentamos o atual limite experimental desta grandeza e alguns dos aspectos teóricos que regem seu estudo. Uma breve digressão do tema é feita no cap. 3, onde apresentamos o cálculo do momento de dipolo magnético do elétron. O motivo é devido a semelhança deste cálculo com o cálculo do MDE. Aqui calcularemos o MDE do nêutron a a partir dos MDEs dos seus quarks constituintes, por estarmos calculando esta grandeza para part́ıculas elementares, o cálculo do momento de dipolo magnético do elétron se assemelha ainda mais com o nosso objeto de estudo. Muitas das ferramentas matemáticas utilizadas neste caṕıtulo serão aproveitadas nos cálculos do MDE do nêutron. No cap. 4 abordamos as previsões teóricas dadas pelo Modelo Padrão. A partir de trabalhos que analisam diagramas de até três loops, mostramos que o valor previsto para o MDE é da ordem de 10−32 e · cm, bastante abaixo do atual limite experimental de dn < 2.9× 10−26 e · cm. Por fim, no cap. 5, o modelo 3-3-1 com léptons pesados é apresentado, com seu conteúdo de part́ıculas e interações. Para tal, recorremos a trabalhos já publicados, e no fim, utilizamos estes resultados para calcular o MDE do nêutron neste modelo e analisa-lo comparando-o com o limite experimental. 1 2 Momento de dipolo elétrico do nêutron O conceito de momento de dipolo elétrico (MDE) é familiar para quem já estudou o eletromagnetismo. Duas cargas elétricas, uma positiva (q), e outra negativa (−q), separadas por uma distância ~r, criam um MDE ~d = q~r. No caso de uma part́ıcula, seu MDE deverá ser paralelo ao eixo de seu spin, pois todos os componentes perpendiculares a este eixo tornar-se-ão, em média, zero [1]. Este alinhamento entre spin e MDE faz com que o sistema não seja invariante por transformações de inversão temportal (T) e paridade (P). Uma transformação por T inverteria a direção do spin, mas manteria a direção do MDE (ver fig. 2.1). Logo, part́ıculas com spin e invariantes por T seriam duplamente degeneradas, dependendo do MDE ser paralelo ou antiparalelo ao spin. Esta degenerescência não é encontrada na natureza em part́ıculas elementares, núcleos, ou átomos, logo, a existência de um MDE nestes sistemas indica uma violação de T (sistemas mais complexos, como moléculas, podem apresentar um MDE sem violar esta simetria). A busca experimental por MDEs, em regimes de baixas energias, fornece estudos complementares aos obtidos por experimentos de altas energias, como os realizados em aceleradores de part́ıculas. A violação de paridade que ocorre nas interações fracas [2] e os dados experimentais sobre as massas dos neutrinos [3][4][5] são alguns exemplos destas contribuições. O teorema CPT da teoria quântica de campos, que afirma que todo sistema deve ser invariante pelo conjunto destas três transformações (onde C é a conjugação de carga, que leva uma part́ıcula em sua respectiva antipart́ıcula 1), nos mostra que o estudo da 1Na verdade, a transformação C leva à antipart́ıcula apenas nos casos em que essa simetria é conservada 2 2. Momento de dipolo elétrico do nêutron Figura 2.1.: A presença de um MDE leva a violação das simetrias por P e T. Uma inversão de paridade leva a part́ıcula da situação (a) para a situação (b), onde o spin se mantém na mesma direção e o MDE se inverte. Um transformação de T leva a part́ıcula de (a) para (c), uma inversão do spin onde o MDE se mantém na direção original. Uma rotação de 180◦leva a situação (c) para a situação (b), mostrando que estas part́ıculas são idênticas. Podemos então interpretar P e T como operações que levam uma part́ıcula que tem seu MDE paralelo ao seu spin à uma part́ıcula com MDE antiparalelo ao seu spin. [1] violação de T nos leva ao estudo da violação de CP. Pelo Modelo Padrão (MP), já é sabido que CP não é conservada em interações fracas onde há troca de sabor, devido a fase complexa presente na matriz de Cabibbo-Kobayashi-Maskawa (CKM), mostrada pelos estudos da fenomenologia das interações dos mesons K e B [6]. Sendo o MP uma teoria quântica de campos, ele admite as três transformações (CPT), de maneira a deixar suas interações inalteradas. Contudo, é posśıvel que a descrição dada pelo MP para as violações de CP e T seja incompleta. Diversos modelos de f́ısica além do MP admitem novas fontes de violação de CP. Modelos supersimétricos, modelos com extensões das simetrias de gauge e modelos de dimensões extras são exemplos que trazem novas fontes de violação de CP. A cosmologia traz motivações para o surgimento de novos modelos. Assumindo que o Universo era simétrico na sua distribuição de matéria-antimatéria durante seu surgimento, ou no final de seu peŕıodo inflacionário, novas fontes de violação de CP, além do MP, são esperadas para explicar a atual assimetria entre matéria e antimatéria [7][8][9]. Portanto, vemos que o estudo do MDE (graças a sua relação com as transformações C, P e T) nos permite encontrar limites para os parâmetros destas novas teorias, até mesmo excluindo-as, ou ainda, confirmar a validade do MP (exemplos podem ser vistos em [10] e [11]). (como no caso da da QED) . No caso do setor eletrofraco do Modelo Padrão, C e P, são violadas. Assim, a verdadeira antipart́ıcula seria o estado obtido pela transformação CPT. 3 2. Momento de dipolo elétrico do nêutron 2.1. Resultados experimentais do MDE A descoberta do momento de quadrupolo do deuteron, por Kellog, Rabi, Zacharias e Ramsey, em 1939 [12], indicava a existência de um caráter tensorial nas forças de ligação do deuteron. Levando esta ideia adiante, Ramsey e Purcell [13] questionaram a conservação da paridade pelas forças nucleares. Se os constituintes carregados do nêutron fossem deslocados do seu centro de massa, por exemplo, o nêutron teria um MDE, indicando a não-conservação de T e/ou P. O primeiro teste experimental, realizado em Oak Ridge em 1950, não reportado até 1957 [14], indicou um resultado nulo; contudo, tornou-se de interesse devido ao questionamento da conservação de paridade nas interações fracas feito por Yang e Lee na década de 50 [15]. A descoberta da violação de paridade no decaimento beta ocorreu logo depois [2], e foi mais tarde apontado por Landau que a existência de um MDE não nulo de uma part́ıcula elementar violaria T e CP, devido ao teorema CPT [16]. Ramsey argumentou que a questão da existência do MDE do nêutron ainda estava em aberto [17], contudo, esta possibilidade nâo foi considerada seriamente até a observação da violação de T no decaimento de kaons neutros. Com esta descoberta, a busca pelo MDE do nêutron ganhou importância, tendo sido tema de diversos experimentos. Pode-se ver na fig. 2.2 a evolução dos limites experimentais do MDE do nêutron, além de algumas das previsões teóricas já testadas. O resultado mais recente para um limite do MDE do nêutron foi obtido em 2006 por um grupo no Instituto Laue-Langevin (ILL) em Grenoble, na França2. O resultado apresentado em [18] impõe um limite superior de |dn| < 2.9 × 10−26 e · cm com 90% de CL (confidence level). O experimento é realizado com nêutrons polarizados ultra- frios (ultracold neutrons, UCNs) imersos em campos magnéticos e elétricos, ~B e ~E respectivamente, uniformes. O spin de polarização dos nêutrons precessiona em torno do eixo de ~B com a frequência de Larmor (ν) hν = |2 ~µn · ~B ± 2 ~dn · ~E| (2.1) onde µn é o momento de dipolo magnético, dn é o momento de dipolo elétrico e os sinais de + (-) correspondem a campos paralelos (antiparalelos). O objetivo do experimento é medir alterações na frequência conforme um campo ~E é aplicado de maneira paralela ou antiparalela a ~B. Mais detalhes podem ser vistos na fig. 2.3. Atualmente está em desenvolvimento um novo aparato de medida que pretende alcançar uma sensibilidade de dn ≈ 5 × 10−28 e · cm, duas ordens de grandeza abaixo do atual limite [19]. Baseados em uma proposta apresentada em [20], o experimento também utiliza nêutrons ultrafrios polarizados, mas aplica campos elétricos mais intensos do que os utilizados em [18] (75 kV/cm, em comparação com 10 kV/cm utilizados para obter o atual limite experimental). 2Conforme encontrado pelo autor deste trabalho em 8 de agosto de 2013. 4 2. Momento de dipolo elétrico do nêutron Figura 2.2.: História da sensibilidade das buscas pelo MDE do nêutron. Os pontos marcados com (*) são os limites esperados por experimentos propostos ou ainda em andamento. [21] 5 2. Momento de dipolo elétrico do nêutron Figura 2.3.: Aparato experimental para a medida do MDE. Os UCNs são polarizados por uma folha de ferro magnetizado e entram em uma armadilha ciĺındrica de 21 litros com um campo magnético vertical uniforme de 1µT . Uma vez na armadilha, a porta de entrada é fechada e um campo elétrico de 10 kV/cm é gerado aplicando-se uma voltagem ao eletrodo que constitui o teto da armadilha, enquanto que o eletrodo que constitui o piso está aterrado. A frequência de transição ν é medida utilizando o método Ramsey de ressonância magnética de campo oscilatório separado (Ramsey separated-oscillatory-field magnetic resonance method). Durante o peŕıodo de estocagem na armadilha os UCNs interagem coerentemente com dois campos magnéticos oscilantes aplicados durante 2 segundos, com um intervalo de 130 segundos entre cada aplicação (a frequência de oscilação destes campos é próxima a frequência de Larmor). Durante este intervalo de 130 segundos os UCNs precessionam livremente. O último passo é a contagem do número de nêutrons N↑ e N↓ que terminam em cada um dos dois estados de polarização. Esta contagem é feita abrindo a porta de entrada da armadilha e permitindo que os nêutrons retornem à folha de polarização, que atua como um analizador de spin. Apenas os nêutrons com o mesmo estado de polarização inicial são capazes de passar através deste detector. Em cada execução do processo, cerca de 14000 UCNs foram medidos. O resultado foi obtido após a tomada cont́ınua de dados ao longo de 2 dias. [18] 6 2. Momento de dipolo elétrico do nêutron 2.2. MDE na mecânica quântica O momento de dipolo elétrico (MDE) dá uma medida da polarização de uma part́ıcula. Na mecânica quântica não reltiv́ıstica ele é o valor esperado do operador ~d = ∑ i ~riei (2.2) Considerando que o estado do nêutron N com spin s seja invariante sob a ação de P, o operador de paridade, temos o seguinte: 〈N,s|~d|N,s〉 = 〈N,s|P†P~dP†P|N,s〉 = −〈N,s|~d|N,s〉 (2.3) O que nos indica que o MDE do nêutron é nulo. Logo, para que tenhamos um valor não-nulo, a paridade deverá ser violada na interação entre o nêutron e o campo eletro- magnético que atua sobre ele. Contudo, outra simetria pode ser violada para que o MDE não se anule, a simetria sob a ação do operador T de inversão temporal. O único objeto de três componentes (espaciais) que caracteriza o estado do nêutron é seu momento angular ~J , implicando que o operador do MDE é proporcional ao momento angular (ou seja, ~d = C ~J). Caso houvesse outra quantidade, ~U , a qual o dipolo elétrico pudesse ser proporcional, o sistema seria degenerado em relação a estes dois vetores [22]. Sob o operador T temos que os operadores de dipolo elétrico e de momento angular se transformam da seguinte maneira: T ~dT−1 = ~d (2.4) T ~JT−1 = − ~J (2.5) Portanto, se o estado do nêutron for simétrico por T, o EDM será outra vez nulo, uma vez que: 〈N,s|~d|N,s〉 = C〈N,s| ~J |N,s〉 = C〈N,s|T−1T ~JT−1T |N,s〉 = −C〈N,s| ~J |N,s〉 = −〈N,s|~d|N,s〉 (2.6) A variação de energia dada pelo MDE de um nêutron imerso em um campo elétrico é dada por: ∆ε = ~d · ~E (~r) = C ~J · ~E (~r) (2.7) Como ~E (~r) é par sob T e ~J é ı́mpar sob T, a presença este termo no hamiltoniano viola a simetria de reversão temporal. 7 2. Momento de dipolo elétrico do nêutron Pode parecer incoerente dizer que o vetor do dipolo elétrico é proporcional ao momento angular, uma vez que o primeiro é um vetor e o segundo um pseudo-vetor (além de suas diferenças sob inversões temporais, onde o dipolo é par sob esta transformação enquanto que o momento angular é ı́mpar). Quando afirmamos que eles são proporcionais queremos dizer que ambos apontam na mesma direção 3, mas ainda assim eles mantém-se distintos como vetor e pseudo-vetor. Entretanto, ao realizarmos os cálculos aqui, tratamos o dipolo como apenas uma constante vezes o momento angular. Veremos na seção seguinte o que entendemos por momento de dipolo elétrico e como esta contradição é resolvida. 2.3. MDE na teoria quântica de campos As interaçôes entre fermions e fótons que contribuem para o MDE podem ser descritos pela seguinte lagrangiana[22][23]: LMDE = −i ∑ f d 2 f̄σµνγ5fFµν (2.8) onde d é a magnitude do MDE, f é a função de onda do fermion e Fµν é o tensor do campo eletromagnético. Esta lagrangiana dá origem ao vértice: Γµ = idσµνqνγ5 (2.9) onde qν é o momento do fóton. Para uma part́ıcula elementar livre, seu momento angular total reduz-se ao seu spin, e veremos que no caso não-relativ́ıstico encontremos o mesmo operador de MDE da mecânica quântica. O hamiltoniano obtido a partir da lagrangiana acima é:∫ d3xHMDE = i 2 d ∫ d3xf̄σµνγ5fFµν = i 2 d ∫ d3xf̄ [ σijFij + σ0iF0i + σi0Fi0 ] γ5f = i 2 d ∫ d3xf̄ [ σijFij + 2σ0iF0i ] γ5f (2.10) Temos o operador de spin Si = 1 2 εijkσjk, que nos permite escrever σij = εijkS k. Utilizando esta identidade ∫ d3xHMDE = i 2 d ∫ d3xf̄ [ εijkF ijSk + 2σ0iF0i ] γ5f = i 2 d ∫ d3xf̄ [ 2Skγ5Bk − 2σ0iγ5Ei ] f (2.11) 3Lembremos da afirmação feita no ińıcio deste caṕıtulo: o MDE deverá ser paralelo ao spin da part́ıcula, uma vez que suas componentes perpendiculares ao spin serão, em média, zero. 8 2. Momento de dipolo elétrico do nêutron Para o produto entre o operador de spin e a matriz γ5 encontramos (na representação de Dirac) Skγ5 = ( σk 0 0 σk )( 0 1 1 0 ) = ( 0 σk σk 0 ) (2.12) enquanto que para o produto σ0iγ5 σ0iγ5 = i 2 ( γ0γi − γiγ0 ) γ5 = iγ0γiγ5 = i ( 1 0 0 −1 )( 0 σi −σi 0 )( 0 1 1 0 ) = i ( 0 σi σi 0 )( 0 1 1 0 ) = i ( σi 0 0 σi ) (2.13) e os espinores, no limite não-relativ́ıstico, se tornam f = ( ψ 0 ) (2.14) De maneira que o hamiltoniano se torna∫ d3xHMDE = id ∫ d3x (ψ∗,0) [( 0 σk σk 0 ) Bk − i ( σi 0 0 σi ) Ei ]( ψ 0 ) = d ∫ d3xψ∗~σ · ~Eψ = d ~S |~S| · ~E (2.15) onde ~S/|~S| = ∫ d3xψ∗~σψ. Comparando a eq. (2.15) com a eq. (2.7) vemos que ambos operadores tem a mesma forma. Podemos agora retomar a discussaão iniciada na seção anterior, sobre a relação entre o MDE e o momento angular. Vemos aqui que indicamos o MDE como a constante que multiplica a interação entre o spin e o campo elétrico. Assim, esta constante nos indica o quão paralelo o MDE é em relação ao spin. Sabemos que o MDE que medimos é a componente do MDE que é paralela ao spin. Chamaremos o dipolo original de ~µE, enquanto que o dipolo advindo da projeção chamaremos de ~d. Assumindo que ~d é a projeção de ~µE sobre o spin, vezes um vetor unitário que aponta na mesma direção do spin, temos ~d = ( ~µE · ~S ) ~S∣∣∣~S∣∣∣2 (2.16) 9 2. Momento de dipolo elétrico do nêutron Ao aplicarmos uma trasformação de paridade encontramos ~d P→ (− ~µE) · ( ~S ) ~S∣∣∣~S∣∣∣2 = − ( ~µE) · ( ~S ) ~S∣∣∣~S∣∣∣2 = −~d (2.17) Enquanto que para uma inversão temporal ~d T→ ( ~µE) · ( −~S ) (−~S)∣∣∣~S∣∣∣2 = ( ~µE) · ( ~S ) ~S∣∣∣~S∣∣∣2 = ~d (2.18) Portanto, o vetor do MDE possui magnitude d e aponta na mesma direção do spin da part́ıcula, tendo as mesmas propriedades do vetor de dipolo elétrico do eletromagnetismo clássico, ı́mpar sob P e par sob T. Quando procurarmos por contribuições para o MDE utilizando a teoria quântica de campos, ao realizarmos os cálculos das amplitudes para interações nêutron-fóton, buscaremos por termos proporcionais a σµνqνγ5 (ver eq. (2.9)), onde a constante de proporcionalidade será a contribuição para o MDE. Esta constante de proporcionalidade é chamada de fator de forma (ver eq. (3.2)), e corresponde ao MDE quando avaliada em q2 = 0, sendo q o momento do fóton que entra no vértice. Um exemplo semelhante pode ser visto no próximo caṕıtulo deste trabalho, onde será calculada a contribuição de primeira ordem na QED (quantum electrodynamics, eletrodinâmica quântica) para o momento magnético do elétron (MDM) 4. 4Lembramos que tanto o MDE quanto o MDM são dados pelas amplitudes obtidas a partir dos diagramas, não pelos seus módulos ao quadrado. 10 3 O momento de dipolo magnético do elétron Apesar de este não ser o tema deste trabalho, apresentamos aqui o cálculo do momento de dipolo magnético (MDM) do elétron. Fazemos isto devido a semelhança deste cálculo com o cálculo do MDE, pois várias das ferramentas matemáticas utilizadas aqui surgirão novamente no cap. 4.6 e no apêndice E. Outro ponto de interesse é que o MDM (assim como o MDE) e suas correções são calculáveis, sem a necessidade de uma renormalização adicional (alé da que já ocorre na QED). Isso ocorre porquê interações que não estão presentes em ńıvel de árvore na lagrangiana (ao contrário da massa ou da carga elétrica, ver, por exemplo, [24], [25] e [26]), mas que surgem por correções radiativas, devem possuir valores finitos. Consideremos o diagrama da fig. 3.1 para uma interação entre dois elétrons, onde o ćırculo no vértice esquerdo é dado pela soma das correções do vértice elétron-fóton. A amplitude para este espalhamento será dada por: iM = ie2 [ū (p′) Γµ (p,p′)u (p)] 1 q2 [ū (k′) γµu (k)] (3.1) Figura 3.1.: Interação entre dois elétrons mediada por um fóton. Os elétrons são representados pelas linhas cont́ınuas e o fóton pela linha oscilante. 11 3. O momento de dipolo magnético do elétron Figura 3.2.: O vértice da fig. 3.1 pode ser entendido como a soma das diversas correções advindas de loops criados pelas interações presentes na teoria. onde Γµ representa o vértice com correções (uma interpretação pictórica pode ser vista na fig. 3.2). Este termo deve se transformar como um vetor (ou pseudovetor), portanto podemos representa-lo como uma combinação linear de matrizes gama e dos momentos envolvidos no vértice [27]: Γµ (q) = F1 ( q2 ) γµ+F2 ( q2 ) iσµνqν 2m +FA ( q2 ) ( γµγ5q 2 − 2mγ5q µ ) +F3 ( q2 ) σµνγ5qν 2m (3.2) onde q = p′ − p, m é a massa do fermion e os Fx são os fatores de forma. É posśıvel verificar que os dois primeiros termos da eq. (3.2), no limite não-relativ́ıstico, se reduzem ao operador de momento magnético da mecânica quântica. Com apenas estes termos, nossa equação para a corrente se torna Jµ = ū (p′) [ F1 ( q2 ) γµ + F2 ( q2 ) iσµνqν 2m ] u (p) , (3.3) onde consideramos os dois primeiros termos da eq. (3.2) para construir a corrente de interação elétron-fóton, pois são eles que interessam para o momento de dipolo magnético (MDM). Lembrando que no limite não-relativ́ıstico podemos utilizar a identidade: Ψ = ( ψ 0 ) (3.4) temos para o primeiro termo da corrente ū (p′) γiu (p) = ψ† [( p′jσ j ) σi + σi ( pjσ j )] ψ = ψ† [ p′j ( δji + iεjikσk ) + pj ( δij + iεijkσk )] ψ = ψ† [( p′j + pj ) δij + ( pj − p′j ) iεijkσk ] ψ = ψ† [ (p′i + pi) + iεijkqjσ k ] ψ = ψ† [ (p′i + pi)− iεijkqjσk ] ψ (3.5) e para o segundo termo ū (p′) iσµνqν 2m u (p) = 2mψ† [ i 2m εijkqjσ k ] ψ = 2mψ† [ −i 2m εijkqjσk ] ψ (3.6) 12 3. O momento de dipolo magnético do elétron Considerando apenas os termos proporcionais a εijkqjσk podemos escrever a seguinte amplitude para a interação com um campo eletromagnético ~A (q): iM = −iψ† [ −iεijkqjσk (F1 (0) + F2 (0)) ] ψAk = iψσk [F1 (0) + F2 (0)]ψBk (3.7) onde Bk (q) = −iεijkqiAj é o campo magnético em função do momento (dado por uma transformação de Fourier). Vemos que a amplitude apresenta uma interação entre spin (~σ) e campo magnético ( ~B), o que caracteriza uma contribuição do momento de dipolo magnético. Ao interpretar esta amplitude na aproximação de Born pode-se ver que ela corresponde a um potencial da forma [28]: V (x) = −〈~µ〉 · ~B (x) (3.8) onde 〈~µ〉 = e m [F1 (0) + F2 (0)]ψ† ~σ 2 ψ (3.9) Esta expressão pode ser escrita na sua forma mais tradicional ~µ = g ( e 2m ) ~S (3.10) onde ~S é o spin do elétron. O coeficiente g é conhecido como fator g de Landé, tal que g = 2 [F1 (0) + F2 (0)] = 2 + 2F2 (0) (3.11) O fator F1 (0), é igual a 1 em todas as ordens de perturbação, fato que se deve a sua relação com as interações eletrostáticas. Tal fator nos dá uma medida da carga elétrica percebida por uma part́ıcula, sendo esta carga igual a F1 (q2) · e, onde e é o módulo da carga do elétron. Já o fator F2 (q2), em primeira ordem na teoria de perturbação, é nulo. Em ordens mais altas encontra-se um valor não-nulo para este fator, surgindo então uma pequena difenrença em relação ao valor previsto pela equação de Dirac. São estas contribuições de ordem mais alta que dão origem ao momento magnético anômalo do elétron. 3.1. Correção de primeira ordem para o vértice elétron-fóton A primeira correção no vértice surge devido a um segundo fóton que cria um loop em conjunto com a linha do fermion. Partindo do diagrama da fig. 3.3 encontramos o 13 3. O momento de dipolo magnético do elétron Figura 3.3.: Diagrama para o cálculo da correção de primeira ordem para o vértice elétron-fóton. Os momentos de cada linha estão indicados na figura. seguinte: δΓµ = ∫ d4k (2π)4 [ −igρν (k − p)2 + iε ] (−ieγν) [ i /k′ +m k′2 −m2 + iε ] γµ [ i /k +m k2 −m2 + iε ] (−ieγρ) = 2ie2 ∫ d4k (2π)4 /kγµ /k′ +m2γµ − 2m (k + k′)µ[ (k − p)2 + iε ] [k′2 −m2 + iε] [k2 −m2 + iε] (3.12) Podemos utilizar a parametrização de Feynman 1 A1 · · ·An = ∫ 1 0 dx1 · · · dxnδ (x1 + · · ·+ xn − 1) (n− 1)! [x1A1 + · · ·+ xnAn]n (3.13) para escrever o denominador de nossa integral da seguinte maneira: 1[ (k − p)2 + iε ] [k′2 −m2 + iε] [k2 −m2 + iε] = ∫ 1 0 dxdydzδ (x+ y + z − 1) 2 D3 (3.14) onde temos D = x [ k2 −m2 + iε ] + y [ k′2 −m2 + iε ] + z [ (k − p)2 + iε ] = x ( k2 −m2 ) + y ( k2 + q2 + 2k · q −m2 ) + z ( k2 + p2 − 2k · p ) + (x+ y + z) iε = k2 + 2yk · q − 2zk · p− xm2 + y ( q2 −m2 ) + zp2 + iε (3.15) onde, nas equações acima nos aproveitamos da identidade x + y + z = 1. Definindo, l = k + yq − zp, podemos escrever D = l2 − ( −2yzq · p+ y2q2 + z2p2 ) − xm2 + y ( q2 −m2 ) + zp2 + iε (3.16) Sabendo que: p · q = p · (p′ − p) = p · p′ −m2 (3.17) q2 = (p′ − p)2 = 2m2 − 2p · p′ (3.18) 14 3. O momento de dipolo magnético do elétron temos p · q = −q 2 2 (3.19) O que nos permite escrever o denominador como D = l2 + 2yz ( −q2/2 ) − y2q2 + y ( q2 −m2 ) − z2m2 + zm2 − xm2 + iε = l2 + q2xy −m2 (1− z)2 + iε (3.20) Agora, podemos escrever novamente o vértice δΓµ = 2ie2 ∫ d4k (2π)4dxdydzδ(x+ y + z − 1) 2 [ /kγµ /k′ +m2γµ − 2m (k + k′)µ ][ l2 + q2xy −m2 (1− z)2 + iε ]3 (3.21) Prosseguindo com o cálculo, vamos agora nos preocupar com o numerador da integral, primeiramente escrevendo-o em função de l: Nµ = /kγµ /k′ +m2γµ − 2m (k + k′) µ = ( /l − y/q + z/p ) γµ ( /l + /q (1− y) + z/p ) − 2m (2l + q (1− 2y) + 2zp)µ (3.22) e por meio das identidades ∫ d4l (2π)4 lµ D3 = 0 (3.23) ∫ d4l (2π)4 lµlν D3 = ∫ d4l (2π)4 1 4 gµνl2 D3 (3.24) o numerador se torna Nµ =− l2 2 γµ + ( −y/q + z/p ) γµ ( /q (1− y) + z/p ) +m2γµ − 2m (q (1− 2y) + 2zp)µ =− l2 2 γµ + y (1− y + z) /p′γµ/p+ (z − y) (1− y + z) [ 2pµ/p−m2γµ ] − y (y − 1) [ 2p′µ /p′ −m2γµ ] − 2m [q (1− 2y) + 2zp]µ +m2γµ − (z − y) (1− y) { 2 [ p′µ/p+ ( m2 − q2/2 ) γµ − pµ /p′ ] + /p′γµ/p } (3.25) Por termos ū (p′)Nµu (p), podemos utilizar as identidades ū (p′) /p′ = mū (p′) e /pu (p) = mu (p) no numerador, tal que: Nµ = γµ [ − l 2 2 + (1− x) (1− y) q2 + ( 1− 2z + z2 ) m2 ] + (p′µ + pµ)mz (z − 1) + qµm (z − 2) (x− y) (3.26) Utilizando a identidade de Ward para a QED, qµΓµ = 0, vemos que podemos desconsi- derar o termo linear em qµ. Agora, utilizando a identidade de Gordon ū (p′) γµu (p) = ū (p′) [ p′µ + pµ 2m + iσµνqν 2m ] u (p) (3.27) 15 3. O momento de dipolo magnético do elétron podemos substituir o termo proporcional a p′µ + pµ e escrever ū (p′) δΓµu (p) =2ie2 ∫ d4l (2π)4 ∫ 1 0 dxdydzδ (x+ y + z − 1) 2 D3 × ū (p′) { γµ [ − l 2 2 + (1− x) (1− y) q2 + ( 1− 4z + z2 ) m2 ] + iσµνqν 2m [ 2m2z (1− z) ]} u (p) (3.28) Comparando a eq. (3.28) com a eq. (3.3) podemos identificar os fatores de forma, F1 (q2) e F2 (q2), com os termos que multiplicam γµ e iσµνqν/2m, respectivamente. Para encontrarmos F2 (q2) utilizaremos a identidade∫ d4l (2π)4 1 (l2 −∆)m = i (−1)m (4π)2 1 (m− 1) (m− 2) 1 ∆m−2 (3.29) tal que F2 ( q2 ) = α 2π ∫ 1 0 dxdydzδ (x+ y + z − 1) 2m2z (1− z) −xyq2 + (1− z)2m2 (3.30) A contribuição para o momento de dipolo magnético é dado pelo fator de forma avaliado em q2 = 0, conforme (3.11). Desta maneira, no caso de interesse F2 (0) = α 2π ∫ 1 0 dxdydzδ (x+ y + z − 1) 2z 1− z = α 2π ≈ 0,0011614 (3.31) onde finalmente encontramos a contribuição de primeira ordem para o momento magnético anômalo do elétron. Comparando com os valores experimentais dados em [29], onde F2(0) = 0,0011597, vemos que a previsão em 1-loop é bastante precisa, com uma diferença de apenas 0,02%. 16 4 O MDE do nêutron no Modelo Padrão As contribuições para o MDE vem dos fatores de forma associados ao vértice da eq. (2.9), ou ainda, pelo fator de forma F3 da eq. (3.2). Sabemos também que ele deve estar associado a termos que violam CP, já que a existência de um MDE implica na violação desta simetria. No MP a violação de CP surge devido a fase complexa da matriz CKM (esta matriz é definida por uma fase complexa e três ângulos, ver apêndice A). Portanto, elementos desta matriz deverão estar presentes no fator de forma. 4.1. 1 quark e 1 loop A ńıvel de um único loop (ver fig. 4.1) a contribuição para o MDE é trivialmente nula. Apenas quando o loop é devido a um boson W vemos surgir termos da matriz CKM, contudo, surgem apenas produtos destes termos na forma V †abVab = |Vab|2. Desta maneira, a fase complexa da matriz CKM desaparece [30][31]. 4.2. 1 quark e 2 loops Em 1976, J. Ellis, M. K. Gaillard e D. V. Nanopoulos [32], realizaram os cálculos para os diagramas com dois loops, encontrando um valor da ordem de 10−27 e · cm a 10−32 e · cm para o MDE do nêutron, dependendo dos valores adotados para as massas dos quarks. Entretanto, E. P. Shabalin [33] demonstrou que alguns diagramas haviam sido desconsiderados no trabalho de Ellis et al, e que a inclusão destes diagramas resulta em uma contribuição nula para o caso de dois loops. 17 4. O MDE do nêutron no Modelo Padrão Figura 4.1.: Contribuição de um loop para o MDE do quark. q e q′ indicam quarks, γ indica o fóton e X pode ser um fóton, um gluon, um Higgs, um W ou um Z. No diagrama da esquerda temos q = q′ para todos os casos, exceto quando X = W . O diagrama da direita só é posśıvel para o W, devido a sua carga elétrica, e neste caso temos q 6= q′. Considerando diagramas como os da fig. 4.2, considerando todas as possibilidades em que um fóton possa ser conectado, é posśıvel encontrar que a parte da amplitude que possui um fator de forma imaginário é da forma EIm µ (q̄qγ) = { A [ E(n̄λ) µ − E(λ̄n) µ ] +B [ E(n̄n′) µ − E(n̄′n) µ ] + C [ E (λ̄n′) µ − E(n̄′λ) µ ]} sen δ (4.1) onde A, B e C são fatores numéricos formados por combinações dos senos e cossenos da matriz CKM, δ é a fase da matriz CKM e E (n̄λ) µ e E (λ̄n) µ são definidos da seguinte maneira: • E(n̄λ) µ é a parte correspondente aos diagramas da fig. 4.2, sendo que a linha do fóton deve ser conectada de todas as maneiras posśıveis. • E(λ̄n) µ é a parte da amplitude correspondente ao mesmo conjunto de diagramas, porém com as linhas dos quarks n e λ trocadas. As amplitudes restantes, contendo transições não-diagonais n↔ n′ e λ↔ n′, são definidas de maneira análoga. A partir de eq. (4.1) vemos que os termos de interesse são da forma E (n̄λ) µ − E(λ̄n) µ , já que nos outros casos basta substituir as massas dos outros quarks. Shabalin define a matriz de auto-energia Σ (n̄λ) R (p) para a transição λ→ n e o vértice Figura 4.2.: Contribuição de dois loops para o MDE do quark. As linhas oscilantes correspondem aos bosons W. p, p′, p′′, n e λ indicam quarks de diferentes sabores. [33] 18 4. O MDE do nêutron no Modelo Padrão Figura 4.3.: Primeiro conjunto de diagramas relevantes com o uso dos operadores re- gularizados. Os ćırculos com um Σ dentro indicam o uso do operador de auto-energia. [33] Figura 4.4.: Segundo conjunto de diagramas relevantes com o uso dos operadores regu- larizados. Os ćırculos com um Σ dentro indicam o uso do operador de auto-energia e o ćırculo com um Γ dentro indica o uso do operador de vértice. No diagrama da esquerda estão indicados dos momentos do fóton (k) e do boson W (−p+ r). [33] ΓµR (n̄λγ), ambos já regularizados, como: Σ (n̄λ) R (p) =/p (1 + γ5) [ f ( p2 ) − m2 nf (m2 n)−m2 λf (m2 λ) m2 n −m2 λ ] + mnmλ f (m2 n)− f (m2 λ) m2 n −m2 λ [ −/p (1− γ5) +mn (1− γ5) +mλ (1 + γ5) ] (4.2) Γ (n̄λγ) µR (p,k) |q=0 = −en ∂Σ (n̄λ) R (p) ∂pµ (4.3) onde q é o momento do fóton, p é o momento do quark p e en é a carga elétrica do quark n. Os fatores f (y2), presentes na eq. (4.2), são dados por f ( y2 ) = g2 ( m2 p′ −m2 p′′ ) 8π2 ∫ 1 0 dx { 2x (1− x) ∆ + y2x3 (1− x) MW∆ + x+ 3x2 ∆2−n/2M2 W } (4.4) onde ∆ = M2 W (1− x) + x [ 1 2 ( m2 p′ +m2 p′′ )]2 − y2x (1− x) e n é a dimensionalidade do espaço. Com os operadores regularizados da eqs. (4.3) e (4.4), os diagramas relevantes são aqueles dados nas figs. 4.3 e 4.4. Os diagramas da fig. 4.3, em conjunto com os diagramas análogos - onde os quarks n 19 4. O MDE do nêutron no Modelo Padrão e λ são trocados - dão uma contribuição para EIm µ (q̄qγ) proporcional a∫ d4pΦαβ (p,k) γα {[ (1 + γ5) 1 /p−mn Σ (n̄λ) R (p) 1 /p−mλ (1− γ5) ] − [mn ↔ mλ] } γβ =∫ d4pΦαβ (p,k) γα {[ 2 (1 + γ5)m2 nm 2 λ (p2 −m2 n) (p2 −m2 λ) f (m2 n)− f (m2 λ) m2 n −m2 λ ] − [mn ↔ mλ] } γβ = 0 (4.5) onde [mn ↔ mλ] significa o termo anterior, entre colchetes, com os ı́ndices n e λ trocados. Para os diagramas da fig. 4.4 temos a seguinte contribuição: EIm µ (q̄qγ) = 4eng 2m 2 λ −m2 n (2π)4 ū (r + q) (1− γ5) × ∫ 2 (pq) d4p[ (p+ q)2 −m2 n ] [ (p+ q)2 −m2 λ ] (p2 −m2 n) (p2 −m2 λ) × γα {( /p+ /q ) γµ/p [ (p+ q)2 F1 (p+ q)− p2F1 (p) (p+ q)2 − p2 − F1 (p) ] ×−2pµp 2F2 (p) ( /p+ /q ) + γµp 2 (p+ q)2 F1 (p+ q)− F1 (p) (p+ q)2 − p2 + ( /p+ /q ) × [ ΓRµ (p,q)− ΓRµ (p,0) ] /p } γβu (r) δαβ − (p− r)α (p− r)β /M2 W (p− r)2 −M2 W (4.6) onde F1 (p) = f ( p2 ) − m2 nf (m2 n)−m2 λf (m2 λ) m2 n −m2 λ (4.7) F2 (p) = ∂f (p2) ∂p2 (4.8) É posśıvel ver que a expansão em série da eq. 4.6 se inicia em q2, assim sendo, em q2 = 0 a eq. (4.6) se anula. Combinando este resultado com o resultado da eq (4.5) vemos que a contribuição para o MDE do nêutron, no caso de dois loops em um quark, também é nula. 4.3. Forças de troca E. P. Shabalin [34][35] considerou diagramas onde há forças de troca (exchange forces), separadas por ele em dois tipos. Para as forças do tipo I foram considerados diagramas 20 4. O MDE do nêutron no Modelo Padrão como os mostrados na fig. 4.5. Os vértices do tipo mostrados na figura 4.6, considerando-se dois quarks distintos, q1 e q2, possuem a forma ΓRµ (q̄2q1γ) =A (q1,q2) ( /p2 −m2 ) γµ (1− γ5) ( /p1 −m1 ) + iB (q1,q2) εµστηγ η (1 + γ5) qσpτ1 +O ( q2 ) (4.9) onde q é o momento do fóton. As partes imaginárias dos coeficientes A e B, para as transições de interesse ao MDE, possuem a forma Im ( A (d,s) B (d,s) ) = −s3 c3 Im ( A (d,b) B (d,b) ) = s1s2s3c2 GF e (m2 t −m2 c) 8 √ 2π2M2 W sen δ ( 2 3 −7 6 ) (4.10) Im ( A (u,c) B (u,c) ) = −c2 s2 Im ( A (u,t) B (u,t) ) = s1s2s3c3 GF e (m2 s −m2 b) 8 √ 2π2M2 W sen δ ( −4 3 5 6 ) (4.11) onde ci e si são os cossenos e senos da matriz CKM, e δ é a fase desta matriz (esta parametrização da matriz CKM é a mesma utilizada em [36]). A parte imaginária se deve a troca do bóson W entre dois quarks distintos, pois ali surge um produto de elementos distintos da matriz CKM. No caso de loops formados por um bóson W sempre surge um produto do tipo V †abVab = |Vab|2, logo, não havendo parte imaginária. A partir destas equações podemos encontrar a amplitude correspondente ao diagrama (a) da fig. 4.5 (assumindo que as interações fortes entre quarks levam a um cutoff de |q2| para m2 0 ≈ m2 ρ, onde mρ é a massa do méson ρ): M (a) ≈Aµ eG2 F (m2 t −m2 c) (m2 s −m2 b) fKM m4 0 29π4M2m (m2 −m2 s) (m2 −m2 b) 7 6 iεµστηq σpτ1 × ū1 (p1) γα /p1γ η (1 + γ5) d1 (p1) d̄2 (p2) γα (1 + γ5)u2 (p2) (4.12) onde m é a massa do quark u ou d; ui (pi), di (pi), ūi (pi) e d̄i (pi) são as funções de onda dos quarks u e d; e fKM = senδ · c1c2c3s 2 1s2s3. A amplitude para o diagrama (b) é encontrado de forma análoga. Substituindo as expressões expĺıcitas para os espinores e considerando o campo elétrico como En = i (q0An − qnA0), encontramos o elemento de matriz para a interação do par de quarks (ud), em seu referencial de repouso, com o campo elétrico ~E: M (a) +M (b) ≈ 7eG2 FfKMm 4 0 3 · 29π4M2 WE (m2 t −m2 c) (m2 s −m2 b) (m2 −m2 s) (m2 −m2 b) (~p)2 ~E · ~S − ~p ( ~p · ~S ) ~p2  (4.13) onde ~S é o spin do par de quarks, m é a média da massas dos quarks u e d, ~p e E são o momento e a energia de um dos quarks no sistema de repouso do par e m0 ≈ mρ. Na eq. 21 4. O MDE do nêutron no Modelo Padrão Figura 4.5.: Diagrama para forças de troca do tipo I. As linhas cont́ınuas representam quarks, as linhas tracejadas representam bosons W e as linhas oscilantes representam fótons. No diagrama b), a linha do fóton não está conectada a linha do quark superior. Os vértices mostrados como um ćırculo correspondem aos diargamas da figura 4.6. Figura 4.6.: Vértices da figura 4.5 (4.13), apenas o termo proporcional a ~E · ~S contribui para o MDE, pois caracteriza uma interação entre o spin e o campo elétrico. Tomando a média sobre os ângulos da eq. (4.13), obtém-se o seguinte resultado para o MDE do nêutron: |dn| ≈ e 2 ( mt MW )2 fKM · 10−28 cm (4.14) Em seu artigo, utilizando os dados dispońıveis em sua época, Shabalin apresenta um resultado de |dn| ≈ 10−34 e · cm. Utilizando os valores do Review of Particle Physics [29] (apresentados no apêndice B), do Particle Data Group (PDG), encontramos o valor de |fKM | = 1.475 × 10−5 e mt/MW = 2.21. Desta maneira o resultado de E. P. Shabalin para o MDE do nêutron se torna |dn| ≈ 3.44× 10−33 e · cm. Para as forças de troca do tipo II são considerados diagramas como os da fig. 4.7, onde há a troca de gluons. Para estes diagramas o autor não nos dá uma forma expĺıcita para a contribuição ao valor do MDE, mas afirma que ele deverá aumentar em aproximada- mente 4.2 × 10−33 e · cm, de maneira que o valor final seria dn ≈ 4 × 10−33 e · cm, isto considerando mt = 30 GeV (ou dn ≈ 7.6× 10−33 e · cm, utilizando o resultado para as forças do tipo I calculadas com os dados recentes do PDG). 1Como o PDG apresenta os valores dos parâmetros da matriz CKM na parametrização de Wolfenstein, tivemos que fazer a conversão entre a parametrização adotada no trabalho de Shabalin e a adotada pelo PDG. Utilizamos as aproximações para ρ̄ = ρ ( 1− λ2/2 + · · · ) e η̄ = η ( 1− λ2/2 + · · · ) até segunda ordem em nossos cálculos. Para mais detalhes ver o apêndice A. 22 4. O MDE do nêutron no Modelo Padrão Figura 4.7.: Diagrama para forças de troca do tipo II. As linhas cont́ınuas representam quarks, as linhas tracejadas representam bosons W, as linhas oscilantes representam fótons e as linhas em espiral representam gluons. 4.4. Pinguins e Fotopinguins J. O. Eeg e I. Picek [37] consideram diagramas semelhantes aos estudados por E. P. Shabalin [34], entretanto, em alguns dos seus vértices, eles inserem correções advindas de diagramas do tipo ”pinguim”(fig 4.8) e ”fotopinguim”(fig 4.9) (penguin e photopenguin, respectivamente). O caso dos diagramas com vértices do tipo pinguim está presente nas forças de tipo II estudadas por Shabalin [34]. O loop de pinguim dado na fig. 4.8 pode ser representado por um vértice efetivo UP = A ( p2,m2 q ) P (4.15) onde P é o operador pinguim e A ( p2,M2 q ) é uma quantidade que depende do momento p do gluon e da massa mq do quark que entra no loop de pinguim. Esta quantidade pode ser representada por uma integral utilizando a parametrização de Feynmann A ( p2,m2 q ) = gs 4π2 √ 2GF ∫ 1 0 dt t (1− t) ln M2 W (1− t) + tm2 q − t (1− t) p2 m2 q − t (1− t) p2 (4.16) onde GF é a contante de Fermi e gs é a constante de acoplamento quark-gluon. Este termo ainda deve ser multiplicado pelos elementos da matriz CKM, que serão diferentes Figura 4.8.: Diagrama pinguim. (a) A transição elementar d→ Gq′, onde G representa um gluon e q′ um quark s ou b. (b) A versão de (a) dada por uma transformação de Fierz após a contração do propagador do W a um ponto. (c) A cruz no ćırculo representa o loop de pinguim (em (a) e (b)) que é depois inserido nos outros diagramas. [37] 23 4. O MDE do nêutron no Modelo Padrão Figura 4.9.: Diagrama fotopinguim, caso onde o fóton é emitido no diagrama de pinguim. (a) A transição elementar d → Gγq′, onde G representa um gluon, γ um fóton e q′ um quark. (b) A versão de (a) dada por uma transformação de Fierz após a contração do propagador do W a um ponto. (c) A cruz no ćırculo duplo representa o loop de fotopinguim (em (a) e (b)) que é depois inserido nos outros diagramas. [37] Figura 4.10.: Diagramas de dois loops contendo um pinguim. As linhas em zigue-zague indicam bosons W e as linhas em espiral indicam gluons. Contribuiçõe que violam CP surgem de quarks (q = c,t e q′ = s,b) entrando no loop do pinguim. O fóton pode também ser emitido da linha do quark inferior, duplicando o número de diagramas. Além disso, deve-se também considerar os casos de diagramas cruzados. [37] 24 4. O MDE do nêutron no Modelo Padrão Figura 4.11.: Diagramas de dois loops contendo um fotopinguim, análogo aos diagramas da fig. 4.10. Aqui também deve-se considerar os casos de diagramas cruzados. [37] para cada diagrama considerado. É posśıvel verificar que os diagramas (a) das figuras 4.10 e 4.11 são proporcionais a VubV † btVtdV † du, para o caso onde um quark t faz parte do loop da caixa (q′ na figura) e um quark b faz parte do loop do pinguim (q na figura). Os diagramas (b), destas mesmas figuras, são obtidos dos diagramas (a) trocando-se a ordem de interação entre o bóson e o pinguim. Desta maneira, os fatores que multiplicam a amplitude são V †dtVtbV † buVub, também considerando o caso em que um quark t faz parte do loop da caixa e um quark b faz parte do loop do pinguim. Os casos dos diagramas (c) e (d) são obtidos pela troca q′ = (b,s)↔ q = (t,c) nos diagramas (a) e (b). O operador P , presente na eq. (4.15), para o caso d→ gluon+ q′, é dado por P = (DνGµν) a q̄′γµλaLd (4.17) onde Dν é a derivada covariante, Ga µν é o tensor do campo do gluon, λa são as matrizes de Gell-Mann e L = 1 2 (1− γ5) é o projetor de mão esquerda do espaço de espinores de Dirac. O fotopinguim da fig. 4.9 pode ser representado de maneira semelhante UPγ = eqAγ ( p2,m2 q ) Pγ (4.18) Aγ ( p2,m2 q ) = gs π2 √ 2GF ∫ 1 0 dt t (1− t)2 t (1− t) p2 −m2 q (4.19) Pγ = −i1 2 (DνGνρ) a Fµσε µσρτ q̄′γτλ ad (4.20) 25 4. O MDE do nêutron no Modelo Padrão onde Fµσ é o tensor do campo eletromagnético. Mais uma vez, o termo Aγ ( p2,m2 q ) deve ser multiplicado pelos fatores da matriz CKM, da mesma maneira que acontece com o termo A ( p2,m2 q ) . Utilizando as equações acima para calcular os diagramas das figs. 4.10 e 4.11, Eeg e Picek constroem um hamiltoniano efetivo para as contribuições que violam CP no processo ud→ duγ: HCPV eff = C αs 4π G2 F ie 3 fKMε µνσρε∗µ (γ) kνQσρ (4.21) onde fKM = c1c2c3s 2 1s2s3sen δ, αs é a constante de acoplamento das interações fortes, ε∗µ (γ) é o vetor de polarização do fóton, kν é o momento do fóton, C contém os resultados de integrações advindas dos diagramas e Qσρ são elementos de matriz entre estados do nêutron calculados utilizando o MIT bag model [38] [39] (calculados no modo S1/2 mais baixo). O resultado obtido para o MDE do nêutron é dn = 1 9 e αs 4π G2 FfKMCm 3 n · ( 1.6× 10−3 ) (4.22) onde mn é a massa do nêutron. Os fatores C são dados por: Ctot P ≈ i 3π2 ln ( m2 b/m 2 c ) (4.23) C [a+b] Pγ ≈ 8i π2 { −1 + 1 2 ( ln m2 b m2 c )[ 1 + 2 m2 c m2 b ln m2 b m2 c ]} (4.24) C [c+d] Pγ ≈ 8i π2 { 1 2 ln m2 b m2 c − m2 b m2 t ( ln m2 t m2 b )2 } (4.25) Ctot Pγ = 2C [a+b] Pγ + C [c+d] Pγ (4.26) Mantendo apenas o termo dominante no logaritmo obtém-se Ctot Pγ ≈ 12 i π2 ln m2 b m2 c (4.27) Ao apresentar seu resultado final, os autores desprezam o fator Ctot P - pois o fator Ctot Pγ é aproximadamente 36 vezes maior - e assumem |fKM | ≈ (2− 5)× 10−5, obtendo assim o resultado |dn| ≈ (2− 4)× 10−33 e · cm. Se utilizarmos os valores atuais dados pelo PDG [29], obtemos o resultado de |dn| = 1.6× 10−34 e · cm. 26 4. O MDE do nêutron no Modelo Padrão 4.5. 1 quark e 3 loops A. Czarnecki e B. Krause [40] estudam o MDE do nêutron partindo das contribuições de cada quark no caso de três loops. O cálculo das amplitudes foi simplificado partindo da ideia utilizada por Khriplovich [30]. Assumindo que os quarks são mais leves que o boson W, o propagador do boson pode ser substitúıdo por 1/M2 W , análogo a uma teoria efetiva de Fermi. Os efeitos de grandes momentos virtuais que seriam senśıveis a estrutura exata destes propagadores são, em uma primeira aproximação, independentes das massas dos quarks, e portanto sua soma não contribui para o MDE. Os diagramas para esta teoria efetiva podem ser vistos na fig. 4.12. Entretanto, o quark top possui uma massa maior do que a do boson W, de maneira que o caso deste quark deve ser calculado de maneira distinta, sem a aproximação para o propagador do boson (ver fig. 4.13). Estas contribuições devem ser adicionadas aos resultados da teoria efetiva de Fermi. Na soma, as divergências se cancelam e os logaritmos de MW são combinados com aqueles da massa do segundo quark mais pesado, mb. Desta maneira A. Czarnecki e B. Krause encontram os seguintes resultados dd e = mdm 2 cαsG 2 FfKM 108π5 [( L2 bc − 2Lbc + π2 3 ) LWb + 5 8 L2 bc − ( 335 36 + 2 3 π2 ) Lbc − 1231 108 + 7 8 π2 + 8ζ3 ] +O ( m2 M2 ) (4.28) du e = mum 2 sαsG 2 FfKM 216π5 [( −L2 bs + 2Lbs + 2− 2π2 3 ) LWb − LbcL2 cs + 2LbcLcs − 5 8 L2 bs − ( 259 36 + π2 3 ) Lbs + ( 140 9 + π2 ) Lcs − 121 108 + 41 36 π2 − 4ζ3 ] +O ( m2 M2 ) (4.29) onde O (m2/M2) indicam termos com uma supressão adicional pelas massas dos quarks ou do boson W, Lab = ln (m2 a/m 2 b), ζ3 é a função Zeta de Riemann (ζ3 = 1,202...) e Figura 4.12.: Diagramas para uma teoria efetiva de Fermi onde os quarks são mais leves que o boson W. [40] 27 4. O MDE do nêutron no Modelo Padrão fKM = sen (δ) · c1c2c3s 2 1s2s3 (onde ci e si são os cossenos e senos da matriz CKM, e δ é a fase desta matriz). Para obter este resultado foi assumida uma hierarquia entre as massas (mu,d << ms << mc << mb << MW << mt), tal que foram mantidos apenas os termos maiores na expansão em razões das massas. Figura 4.13.: Contribuições do quark top para du (esquerda) e dd (direita). [40] Para calcular o valor numérico das eqs. (4.28) e (4.29), Czarnecki e Krause consideram os seguintes valores: fKM = 5 × 10−5, αs = 0.2, ms = 0.2 GeV , mc = 1.5 GeV , mb = 4.5 GeV , mu = 5 MeV , md = 10 MeV e MW = 80 GeV . Desta maneira dd = −0.7× 10−34 e · cm (4.30) du = −0.15× 10−34 e · cm (4.31) Se utilizarmos os valores dados pelo PDG [29] dd = −2,9× 10−36 e · cm (4.32) du = −4,3× 10−37 e · cm (4.33) O MDE do nêutron, em função dos MDEs dos seus constituintes é dado por (ver apêndice D) dn = 4 3 dd − 1 3 du (4.34) Assim sendo, os valores para o MDE do nêutron se tornam: |dn| = 0.88× 10−34 e · cm (original) (4.35) |dn| = 3.7× 10−36 e · cm (utilizando valores do PDG) (4.36) Os autores ressaltam que foram desconsiderados termos com mais de uma potência na massa dos quarks u e d. Estes termos resultam em uma supressão adicional, tornando ainda menores os valores obtidos. 28 4. O MDE do nêutron no Modelo Padrão 4.6. Conclusões sobre o MDE do nêutron no MP Neste caṕıtulo pudemos ter uma ideia das diversas análises para as previsões teóricas do Modelo Padrão faz em relação ao momento de dipolo elétrico do nêutron. Foram escolhidos apenas alguns trabalhos para esta breve revisão, buscando abranger uma gama diversa de diagramas estudados e técnicas aplicadas a estas análises. É posśıvel ver que a complexidade dos cálculos aumenta bastante já no caso de dois loops. Os cálculos de ordens maiores em teoria de perturbação se tornam extensos, e por questões práticas, requerem aproximaxões para serem realizados. Fatores como estes, além da dificuldade intŕınseca do problema, tornam este campo de estudos extenso, algo que pode ser visto na literatura (basta consultar a grande quantidade de referências feitas pelos trabalhos aqui citados). Ainda assim, comparando os resultados mostrados aqui, podemos ter uma noção do valor do MDE do nêutron de acordo com o MP. A tabela 4.1 nos dá uma comparação entre estes resultados, nos permitindo acreditar que a previsão teórica não excede |dn| = 10−32 e · cm, um valor bastante abaixo do atual limite experimental de |dn| < 2.9× 10−26 e · cm, e até mesmo abaixo do atual limite experimental do MDE do elétron, |de| < 8.7× 10−29 e · cm [41]. Tipo de processo Original Atualizado 1 quark e 1 loop |dn| = 0 |dn| = 0 1 quark e 2 loops |dn| = 0 |dn| = 0 Forças de troca |dn| = 4× 10−33 e · cm |dn| = 3.8× 10−33 e · cm Pinguins e Fotopinguins |dn| = (2− 4)× 10−33 e · cm |dn| = 1.6× 10−34 e · cm 1 quark e 3 loops |dn| = 0.88× 10−34 e · cm |dn| = 3.7× 10−36 e · cm Tabela 4.1.: Previsões teóricas do Modelo Padrão para o MDE do nêutron. 29 5 Modelo 3-3-1 com leptons pesados Modelos com simetria de gauge SU(3)C ⊗ SU(3)L⊗U(1)X (chamados abreviadamente de 3-3-1) apresentam novas possibilidades para as interações eletrofracas. Enquanto o MP é descrito através da simetria SU(3)C ⊗ SU(2)L⊗U(1)Y , os modelos 3-3-1 estendem o setor fermiônico, trocando os dubletos por tripletos, e o grupo U(1)X utilizado nos modelos 3-3-1 possui uma hipercarga distinta da hipercarga do MP (advinda do grupo U(1)Y ). Outra mudança necessária é a inclusão de mais campos escalares, para que todos os fermions da teoria possam adquirir massa [42]. Neste trabalho consideraremos o caso do modelo com leptons pesados [43], onde o campo exótico que aparece no tripleto leptônico é uma part́ıcula de carga elétrica positiva. Além deste novo lepton outros quarks exóticos estão presentes. Neste modelo, o operador de carga elétrica é dado por: Q |e| = T3 − √ 3T8 +X (5.1) onde e é a carga elétrica do elétron, T3,8 = λ3,8/2 sendo λ3,8 as matrizes de Gell-Mann, e X é o operador da carga associada ao grupo U(1)X 1. Nas seções a seguir, que apresentam os campos da teoria, a carga do grupo U(1)X aparece na terceira posição a direita dos parênteses que se seguem a cada campo. Por exemplo, para o campo χ temos χ ∼ (1,3,− 1), logo, a sua hipercarga é −1. Os números na primeira e segunda posição correspondem aos grupos SU(3)C e SU(3)L, respectivamente. 1Para o caso dos antitripletos: Q̄/|e| = T̄3 − √ 3T̄8 + X̄. Onde T̄i = −λ∗i e X̄ = −X. 30 5. Modelo 3-3-1 com leptons pesados 5.1. Escalares O setor escalar mı́nimo do modelo é formado por três tripletos: χ′ =  χ ′− χ ′−− χ ′0  ∼ (1,3,− 1) , ρ′ =  ρ ′+ ρ ′0 ρ ′++  ∼ (1,3,1) , η′ = η′0η′−1 η ′+ 2  ∼ (1,3,0) (5.2) onde ψ0 = vψ√ 2 ( 1 + X0 ψ+iI0ψ |vψ | ) e vψ = |vψ|eiθψ , para ψ = χ, η, ρ. Como o modelo 3-3-1 possui simetria SU(3) no seu setor escalar podemos realizar a seguinte transformação nos tripletos U = e−iθη 0 0 0 e−iθρ 0 0 0 ei(θη+θρ)  (5.3) Por esta transformação os tripletos se tornam χ =  χ− χ−− χ0  ∼ (1,3,− 1) , ρ =  ρ+ ρ0 ρ++  ∼ (1,3,1) , η = η0 η−1 η+ 2  ∼ (1,3,0) (5.4) e agora apenas o tripleto χ possui uma fase complexa em seu vácuo (ou seja, vρ = |vρ|, vη = |vη| e vχ = |vχ|ei(θ ′ η+θ ′ ρ+θ ′ χ) = |vχ|eiθχ). Com isto nos resta apenas θχ, a fase complexa de vχ, como fonte de violação de CP no modelo 3-3-1. Para este modelo, utilizamos o potencial mais geral posśıvel para estes tripletos que é invariante sob a simetria de gauge e sob transformações de CP: V (χ,η,ρ) =µ2 1χ †χ+ µ2 2η †η + µ2 3ρ †ρ+ (αεijkχiρjηk + h.c.) + a1 ( χ†χ )2 + a2 ( η†η )2 + a3 ( ρ†ρ )2 + a4 ( χ†χ ) ( η†η ) + a5 ( χ†χ ) ( ρ†ρ ) + a6 ( ρ†ρ ) ( η†η ) + a7 ( χ†η ) ( η†χ ) + a8 ( χ†ρ ) ( ρ†χ ) + a9 ( ρ†η ) ( η†ρ ) (5.5) O modelo 3-3-1 é levado ao MP através da quebra de simetria que ocorre com o mecanismo de Higgs, dado na seguinte sequência (desconsiderando as interações fortes): SU(3)L ⊗ U(1)X → SU(2)L ⊗ U(1)Y → U(1)EM . A primeira quebra fará com que 4 dos 9 geradores do grupo SU(3)L ⊗ U(1)X preservem a simetria do primeiro vácuo, levando ao grupo SU(2)L ⊗ U(1)Y do MP. Na segunda quebra, restará apenas um gerador, do grupo U(1)EM do eletromagnetismo. A passagem do 3-3-1 para o MP é devido a quebra de simetria causada pelo tripleto χ, a segunda quebra, que leva ao eletromagnetismo, pode acontecer tanto pelo tripleto η quanto pelo tripleto ρ. 31 5. Modelo 3-3-1 com leptons pesados 5.1.1. Autoestados de massa para o setor escalar A partir do potencial (5.5) podemos encontrar as seguintes derivadas: ∂V ∂|vχ| = µ2 1|vχ|+ a1|vχ|3 + a4 2 |vχ||vη|2 + a5 2 |vχ||vρ|2 − 1√ 2 |vη||vρ||α|cos (θχ + θα) (5.6) ∂V ∂|vρ| = µ2 3|vρ|+ a5 2 |vρ||vχ|2 + a6 2 |vρ||vη|2 + a3|vρ|3 − 1√ 2 |vχ||vη||α|cos (θχ + θα) (5.7) ∂V ∂|vη| = µ2 2|vη|+ a4 2 |vη||vχ|2 + a2|vη|3 + a6 2 |vρ|2|vη| − 1√ 2 |vχ||vρ||α|cos (θχ + θα) (5.8) ∂V ∂θχ = ∂V ∂θρ = ∂V ∂θη = |vχ||vη||vρ||α|sen (θχ + θα) / √ 2 (5.9) Estas devem ser nulas, para que conheçamos o mı́nimo do potencial. Igualando as derivadas acima a zero podemos encontrar os parâmetros µ2 1, µ2 2 e µ2 3, e para satisfazer a última equação vemos que θχ + θα = 0. Com estas relações escrevemos as matrizes de massa dos escalares. • Matriz de massa dos escalares duplamente carregados, na base (ρ++,χ++)M2 DC(ρ−−,χ−−)T : M2 DC = ( a8 2 |vχ|2 + A√ 2|vρ|2 a8 2 v∗χv ∗ ρ + 1√ 2 αvη a8 2 vχvρ + 1√ 2 α∗v∗η a8 2 |vρ|2 + A√ 2|vχ|2 ) (5.10) onde A = |vχ||vρ||vη||α|cos(θχ + θα) = Re(vχvρvηα). • Primeira matriz de massa dos escalares unicamente carregados, na base (η+ 1 ,ρ +)M2 UC1(η−1 ,ρ −)T : M2 UC1 = ( a9 2 |vρ|2 + A√ 2|vη |2 a9 2 vηvρ + v∗χα ∗ √ 2 a9 2 v∗ηv ∗ ρ + vχα√ 2 a9 2 |vη|2 + A√ 2|vρ|2 ) (5.11) • Segunda matriz de massa dos escalares unicamente carregados, na base (η+ 2 ,χ +)M2 UC2(η−2 ,χ −)T : M2 UC2 = ( a7 2 |vχ|2 + A√ 2|vη |2 a7 2 v∗χv ∗ η + vρα√ 2 a7 2 vχvη + v∗ρα ∗ √ 2 a7 2 |vη|2 + A√ 2|vχ|2 ) (5.12) • Matriz de massa para os escalares neutros ı́mpares por CP, na base (Iη,Iρ,Iχ)M2 NI(Iη,Iρ,Iχ)T : M2 NI =  A√ 2|vη |2 A√ 2|vη ||vρ| A√ 2|vη ||vχ| A√ 2|vη ||vρ| A√ 2|vρ|2 A√ 2|vχ||vρ| A√ 2|vη ||vχ| A√ 2|vχ||vρ| A√ 2|vχ|2  (5.13) 32 5. Modelo 3-3-1 com leptons pesados • Matriz de massa para os escalares neutros pares por CP, na base (Xη,Xρ,Xχ)M2 NP (Xη,Xρ,Xχ)T : M2 NP =  2a2|vη|2 + A√ 2|vη |2 a6|vη||vρ| − A√ 2|vη ||vρ| a4|vχ||vη| − A√ 2|vχ||vη | a6|vη||vρ| − A√ 2|vη ||vρ| 2a3|vρ|2 + A√ 2|vρ|2 a5|vχ||vρ| − A√ 2|vχ||vρ| a4|vχ||vη| − A√ 2|vχ||vη | a5|vχ||vρ| − A√ 2|vχ||vρ| 2a1|vχ|2 + A√ 2|vχ|2  (5.14) Temos que as matrizes de massa acima, para os escalares carregados, possuem determi- nante nulo (além de serem hermitianas). Assim, podemos encontrar uma fórmula geral para os autovalores e autovetores destas matrizes. Considerando uma matriz hermitiana arbitrária: H = ( a b b∗ c ) (5.15) Temos: det(H) = ac− |b|2 = 0 (5.16) Os autovalores de H podem ser encontrados pelo determinante 0 = det(H − λ) = det ( a− λ b b∗ c− λ ) = ac− |b|2 + λ(λ− a− c) = λ(λ− a− c) (5.17) De onde encontramos os autovalores λ1 = 0 λ2 = a+ c (5.18) Para o autovalor λ1, temos o seguinte autovetor (já normalizado):( a b b∗ c )( α β ) = ( 0 0 ) (5.19) αa+ βb = 0→ β = −a b α (5.20) |λ1〉 = 1√ 1 + a2/|b|2 ( 1 −a b ) (5.21) Enquanto que para o autovalor λ2:( a− (a+ c) b b∗ c− (a+ c) )( α β ) = ( 0 0 ) (5.22) 33 5. Modelo 3-3-1 com leptons pesados −cα + bβ = 0→ α = b c β (5.23) |λ2〉 = 1√ 1 + |b|2/c2 ( b c 1 ) (5.24) Graças a eq. (5.16) podemos reescrever os autovetores como: |λ1〉 = 1√ 1 + a/c ( 1 −a b ) |λ2〉 = 1√ 1 + a/c ( b c 1 ) (5.25) A matriz de transformação que diagonaliza H é constrúıda com os autovetores, onde cada um deles compõe uma das colunas da matriz de diagonalização. Desta maneira: P = 1√ 1 + a/c ( 1 b c −a b 1 ) (5.26) Com estas matrizes encontramos PP † = 1 1 + a/c ( 1 b c −a b 1 )( 1 − a b∗ b∗ c 1 ) = 1 1 + a/c ( 1 + |b|2 c2 |b|2−ac b∗c |b|2−ac bc 1 + a2 |b|2 ) = ( 1 0 0 1 ) (5.27) onde, na última passagem, utilizamos a eq. (5.16). A matriz diagonalizada é dada por D = P †HP = ( 0 0 0 a+ c ) = ( λ1 0 0 λ2 ) (5.28) Com as identidades acima podemos então escrever os autoestados de massa. Para os escalares duplamente carregados temos( ρ++ χ++ ) = 1√ 1 + |vχ|2 |vρ|2 ( 1 |vχ| |vρ|e iθχ − |vχ||vρ|e −iθχ 1 )( G++ Y ++ ) (5.29) m2 Y ++ = A√ 2 ( 1 |vρ|2 + 1 |vχ|2 ) + a8 2 ( |vχ|2 + |vρ|2 ) (5.30) m2 G++ = 0 (5.31) Para o primeiro conjunto de escalares unicamente carregados( η+ 1 ρ+ ) = 1√ 1 + |vρ|2 |vη |2 ( 1 |vρ| |vη | − |vρ||vη | 1 )( G+ 1 Y + 1 ) (5.32) 34 5. Modelo 3-3-1 com leptons pesados m2 Y + 1 = A√ 2 ( 1 |vρ|2 + 1 |vη|2 ) + a9 2 ( |vη|2 + |vρ|2 ) (5.33) m2 G+ 1 = 0 (5.34) Para o segundo conjunto de escalares unicamente carregados( η+ 2 χ+ ) = 1√ 1 + |vχ|2 |vη |2 ( 1 |vχ| |vη |e −iθχ − |vχ||vη |e iθχ 1 )( G+ 2 Y + 2 ) (5.35) m2 Y + 2 = A√ 2 ( 1 |vχ|2 + 1 |vη|2 ) + a7 2 ( |vη|2 + |vχ|2 ) (5.36) m2 G+ 2 = 0 (5.37) Para a diagonalização da matriz de massa dos escalares neutros ı́mpares por CP o processo é semelhante ao dos casos acima. Os autoestados de massa são dados porI0 η I0 ρ I0 χ  =  Na |vχ| − Nb|vη ||vχ| |vρ|(|vη |2+|vχ|2) Nc |vη | 0 Nb |vχ| Nc |vρ| − Na |vη | − Nb|vη |2 |vρ|(|vη |2+|vχ|2) Nc |vχ|  G0 1 G0 2 h0  (5.38) m2 h0 = A√ 2 ( 1 |vχ|2 + 1 |vρ|2 + 1 |vη|2 ) (5.39) m2 G0 1 = m2 G0 2 = 0 (5.40) onde Na = 1/ √ 1 |vχ|2 + 1 |vη|2 (5.41) Nb = 1/ √ 1 |vχ|2 + |vη|2 |vρ|2(|vη|2 + |vχ|2) (5.42) Nc = 1/ √ 1 |vχ|2 + 1 |vρ|2 + 1 |vη|2 (5.43) Para os escalares neutros pares por CP não foi posśıvel encontrar uma expressão anaĺıtica para os autoestados de massa. Entretanto, devido a matriz de massa ser simétrica, sabemos que ela pode ser diagonalizada por uma matriz ortogonal. Assim sendo: X0 ψ = ∑ aO H ψaH 0 a , onde ψ = χ,η,ρ, a = 1,2,3, H0 a são os autoestados de massa e OH é uma matriz ortogonal. 35 5. Modelo 3-3-1 com leptons pesados 5.2. Leptons O setor leptônico apresenta um tripleto de mão esquerda e três singletos de mão direita: ΨaL =  νa l−a E+ a  ∼ (1,3,0) (5.44) l−aR ∼ (1,1,− 1) E+ aR ∼ (1,1,1) (5.45) onde os ı́ndices L e R indicam espinores de mão direita e esquerda, respectivamente, e a = e,µ,τ . 5.3. Quarks No setor dos quarks temos dois anti-tripletos e um tripleto, ambos de mão esquerda, além dos singletos de mão direita: QmL =  dm −um jm  ∼ (3,3∗,− 1/3) , Q3L = u3 d3 J  ∼ (3,3,2/3) (5.46) uαR ∼ (3,1,2/3) , dαR ∼ (3,1,− 1/3) , jmR ∼ (3,1,− 4/3) , JR ∼ (3,1,5/3) (5.47) onde m = 1,2 e α = 1,2,3. 5.3.1. Lagrangiana de Yukawa As interações entre os quarks e os escalares (escritos nos autoestados da simetria) surgem do potencial LY = −Q̄mL [ GmαU ′ αRρ ∗ + G̃mαD ′ αRη ∗ ] − Q̄3L [ F3αU ′ αRη + F̃3αD ′ αRρ ] − Q̄mLλmijiRχ ∗ − Q̄3LΩJRχ+ C.H. = ( d̄1Lρ − − ū1Lρ 0∗ + j̄1Lρ −−) (G11u1R +G12u2R +G13u3R) + ( d̄2Lρ − − ū2Lρ 0∗ + j̄2Lρ −−) (G21u1R +G22u2R +G23u3R) + ( d̄1Lη 0∗ − ū1Lη + 1 + j̄1Lη − 2 ) ( −G̃11d1R − G̃12d2R − G̃13d3R ) + ( d̄2Lη 0∗ − ū2Lη + 1 + j̄2Lη − 2 ) ( −G̃21d1R − G̃22d2R − G̃23d3R ) + ( ū3Lη 0 + d̄3Lη − 1 + J̄Lη + 2 ) (F31u1R + F32u2R − F33u3R) + ( ū3Lρ + + d̄3Lρ 0 + J̄Lρ ++ ) ( −F̃31d1R − F̃32d2R − F̃33d3R ) + ( d̄1Lχ + − ū1Lχ ++ + j̄1Lχ 0∗) (λ11j1R + λ12j2R) + ( d̄2Lχ + − ū2Lχ ++ + j̄2Lχ 0∗) (λ21j1R + λ22j2R) + ( ū3Lχ − + d̄3Lχ −− + J̄Lχ 0 ) (−ΩJR) + C.H. (5.48) 36 5. Modelo 3-3-1 com leptons pesados onde m = 1,2, i = 1,2, α = 1,2,3 (com soma em m, i e α), U ′ αR = (−u1, − u2,u3) e D ′ αR = (d1,d2,d3). Gij, G̃ij, Fij e F̃ij são apenas constantes. A partir da lagrangiana acima pode-se construir as seguintes matrizes de massa: • A matriz para os quarks tipo u, na base (−u1,− u2,u3): Mu = rG11 rG12 rG13 rG21 rG22 rG23 F31 F32 F33  |vη| (5.49) • A matriz para os quarks tipo d, na base (d1,d2,d3): Md = 1 r G̃11 1 r G̃12 1 r G̃13 1 r G̃21 1 r G̃22 1 r G̃23 F̃31 F̃32 F̃33  |vρ| (5.50) • A matriz para os quarks tipo j, na base (j1,j2,J): M j = |vχ|e−iθχλ11 |vχ|e−iθχλ12 0 |vχ|e−iθχλ21 |vχ|e−iθχλ22 0 0 0 −Ω|vχ|eiθχ  (5.51) Por simplicidade, consideraremos que os estados j1 e j2 não se misturam. Desta maneira temos λ12 = λ21 = 0, mj1 = |λ11||vχ|, mj2 = |λ22||vχ|, λ11 = |λ11|eiθχ , λ22 = |λ22|eiθχ , mJ = |Ω||vχ| e Ω = |Ω|e−iθχ . onde r = |vρ|/|vη|. Os autoestados de simetria, U ′ L,R e D ′ L,R, e os autoestados de massa, UL,R e DL,R, são relacionados por U ′ L,R = ( V U L,R )† UL,R e D ′ L,R = ( V D L,R )† DL,R. V U,D L,R são matrizes unitárias que obedecem as relações V U L M uV U† R = M̂u = diag(mu,mc,mt) e V D L M dV D† R = M̂d = diag(md,ms,mb). Em [44] são apresentadas as soluções numéricas para estas matrizes V U,D L,R , de maneira que as soluções estejam de acordo com os valores experimentais das massas dos quarks e da matriz CKM, obtendo assim V U L = −0.00032 0.07163 −0.99743 0.00433 −0.99742 −0.07163 0.99999 0.00434 −0.00001  (5.52) V D L =  0.00273→ 0.00562 0.03→ 0.03682 −(0.99952→ 0.99953) −(0.19700→ 0.22293) −(0.97436→ 0.97993) −0.03052 0.97483→ 0.98039 −(0.19708→ 0.22291) −(0.00415→ 0.00418)  (5.53) V U R = −0.45440 0.82278 −0.34139 0.13857 −0.31329 −0.93949 0.87996 0.47421 −0.02834  (5.54) 37 5. Modelo 3-3-1 com leptons pesados V D R = −(0.000178→ 0.000185) 0.005968→ 0.005984 −0.999982 −(0.32512→ 0.32559) −(0.94549→ 0.94566) −(0.00558→ 0.00560) 0.94551→ 0.94567 −(0.32511→ 0.32558) −(0.00211→ 0.00212)  (5.55) e a matriz CKM (VCKM = V U L V D† L ) |VCKM | = 0.97385→ 0.97952 0.20134→ 0.22714 0.00021→ 0.00399 0.20116→ 0.22679 0.97307→ 0.97869 0.04116→ 0.04118 0.00849→ 0.01324 0.03919→ 0.04028 0.99914→ 0.99915  (5.56) Para encontrar estes valores foram utilizados: |vρ| = 54GeV , |vη| = 240GeV , G11 = 1.08, G12 = 2.97, G13 = 0.09, G21 = 0.0681, G22 = 0.2169, G23 = 0.1 × 10−2, F31 = 9×10−6, F32 = 6×10−6, F33 = 1.2×10−5, G̃11 = 0.0119, G̃12 = 6×10−5, G̃13 = 2.3×10−5, G̃21 = 3.2 × 10−4, G̃22 = 2.13 × 10−4 G̃23 = 7 × 10−5, F̃31 = (2.0 − 2.2) × 10−4, F̃32 = (1.645 − 1.95) × 10−4 e F̃33 = 1.312 × 10−4. Com estes resultados se obtém as massas (em GeV): mu = 0.00175, mc = 0.6194, mt = 171.163, md = (33.6− 39.3)× 10−4, ms = (0.0543765− 0.0546863) e mb = (2.8537− 2.8574). 5.4. Campos de gauge Adotando as convenções apresentadas em [45], as derivadas covariantes, que envolvem os campos de gauge são as seguintes: Dµφ = ( ∂µ − igW a µTa − igxXBµ ) φ DµΨR = (∂µ − igxXBµ) ΨR DµΨL = ( ∂µ − igW a µTa − igxXBµ ) ΨL (5.57) onde φ denota um escalar, ΨL um espinor de mão esquerda, ΨR um espinor de mão direita, T a = λa/2 - sendo λa as matrizes de Gell-Mann - e X é o operador da carga associada ao grupo U(1)X . Os autoestados de massa dos bósons de gauge são obtidos pela atuação das derivadas covariantes sobre os tripletos de escalares. Esta derivada se torna mais clara se escrevermos Mµ = W 3 µ + 1√ 3 W 8 µ + 2tXBµ √ 2W+ µ √ 2V −µ√ 2W− µ −W 3 µ + 1√ 3 W 8 µ + 2tXBµ √ 2U−−µ√ 2V + µ √ 2U++ µ − 2√ 3 W 8 µ + 2tXBµ  (5.58) onde Mµ = W a µλa + 2tXBµ e t = gx/g. Com estas identidades as derivadas covariantes podem ser escritas como Dµφ = ∂µφ− ig2Mµφ DµΨR = (∂µ − igxXBµ) ΨR DµΨL = ( ∂µ − ig2Mµ ) ΨL (5.59) 38 5. Modelo 3-3-1 com leptons pesados Os bósons de gauge não-Hermitianos são definidos como W± µ = ( W 1 µ ∓ iW 2 µ ) / √ 2 V ±µ = ( W 4 µ ± iW 5 µ ) / √ 2 U±±µ = ( W 6 µ ± iW 7 µ ) / √ 2 (5.60) sendo suas massas dadas por m2 W = 1 4 g2v2 W m2 V = 1 4 g2 (|vη|2 + |vχ|2) m2 U = 1 4 g2 (|vρ|2 + |vχ|2) (5.61) onde v2 W = |vη|2 + |vρ|2. Para os bósons neutros, na base (W 3 µ ,W 8 µ ,Bµ) temos a seguinte matriz de massa M2 = g2 4 |vχ|2  v̄2 W 1√ 3 (v̄2 W − 2v̄2 ρ) −2tv̄2 ρ 1√ 3 (v̄2 W − 2v̄2 ρ) 1 3 (v̄2 W + 4) 2√ 3 t(v̄2 ρ + 2) −2tv̄2 ρ 2√ 3 t(v̄2 ρ + 2) 4t2(v̄2 ρ + 1)  (5.62) onde v̄W = vW/|vχ| e v̄ρ = |vρ|/|vχ|. A matriz da eq. (5.62) possui um autovalor nulo, correspondente ao fóton, e outros dois autovalores, MZ1 e MZ2 . Os autoestados da simetria - W 3 µ , W 8 µ e Bµ - podem ser escritos em função dos autoestados de massa Aµ, Z1µ e Z2µ W 3 µ = t√ 4t2 + 1 Aµ −N1 ( 3m2 2 + v̄2 ρ − 2v̄2 W ) Z1µ −N2 ( 3m2 1 + v̄2 ρ − 2v̄2 W ) Z2µ (5.63) W 8 µ√ 3 =− t√ 4t2 + 1 Aµ −N1 ( m2 2 + v̄2 ρ − 2 3 v̄2 W − 2 3 ) Z1µ −N2 ( m2 1 + v̄2 ρ − 2 3 v̄2 W − 2 3 ) Z2µ (5.64) Bµ = 1√ 4t2 + 1 Aµ + 2t ( 1− v̄2 ρ ) N1Z1µ + 2t ( 1− v̄2 ρ ) N2Z2µ (5.65) onde m2 1 = 2M2 Z1 g2|vχ|2 = C(1−R) m2 2 = 2M2 Z2 g2|vχ|2 = C(1 +R) (5.66) C = 1 3 [ 3t2(v̄2 ρ + 1) + v̄2 W + 1 ] (5.67) R = √ 1− 1 3C2 (4t2 + 1)[v̄2 W (v̄2 ρ + 1)− v̄4 ρ] (5.68) N−2 1 = 3 ( 2m2 2 + v̄2 ρ − 4 3 v̄2 W − 1 3 )2 + (v̄2 ρ − 1)2(4t2 + 1) (5.69) N−2 2 = 3 ( 2m2 1 + v̄2 ρ − 4 3 v̄2 W − 1 3 )2 + (v̄2 ρ − 1)2(4t2 + 1) (5.70) 39 5. Modelo 3-3-1 com leptons pesados 5.5. O MDE do nêutron A partir dos resultados do apêndice E podemos, finalmente, encontrar uma expressão para o MDE do nêutron no modelo 3-3-1 com léptons pesados. Sendo o MDE do nêutron dado em função de seus constituintes (ver apêndice D), temos dn331 = 4 3 dd − 1 3 du (5.71) onde dd = 0 (5.72) du = −e 3∑ α=1 G1α(V u R )†α1(V u L )†11m 2 J |vη| 32π2 (|vχ|2 + |vη|2)m2 Y + 2 × [ F+ + 5 3 F− ] sen(θχ) (5.73) sendo F± = − m2 Y + 2 2m2 u ln ( m2 Y + 2 m2 J ) + m2 Y + 2 2m2 u∆u ( m2 Y + 2 ±m2 u −m2 J ) × ln ( m2 J +m2 Y + 2 −m2 u + ∆u m2 J +m2 Y + 2 −m2 u −∆u ) (5.74) ∆2 u = [( mY + 2 +mJ )2 −m2 u ] [( mY + 2 −mJ )2 −m2 u ] (5.75) Substituindo em (5.71) as expressões para mJ e mY + 2 , e utilizando os valores numéricos considerados no caṕıtulo 5.3.1, vemos que o MDE do nêutron, no modelo 3-3-1, depende de cinco parâmetros livres: |vχ|, θχ, |Ω|, |α| e a7. Lembrando que as massas dos bósons V ± e U±± são proporcionais a |vχ|2 (ver eq. (5.61)), espera-se que |vχ| tenha um va- lor alto, o que explicaria o fato de nenhum destes bósons tenham sido detectados até então. Sabemos que o atual limite experimental para o MDE é |dn| < 2.9 × 10−26 e · cm, apresentaremos então os valores posśıveis para os parâmetros livres do modelo 3-3- 1, considerando |dn331| < 2.9 × 10−26 e · cm. Nos gráficos a seguir, as áreas brancas correspondem a valores proibidos para os parâmetros considerados, enquanto que as áreas sombreadas correspondem aos valores permitidos. Para esta análise consideramos |Ω| = 0.1 e 0 GeV < |vχ| < 40000 GeV, o que corresponde a valores de mJ entre 0 e 4 TeV (ver eq. 5.51). Começaremos nossa análise com os valores permitidos de sen θχ e |vχ| conforme alteramos o valor de |α|, mantendo a7 = 10−4 (escolhemos um valor pequeno para a7 por ele ser um dos parâmetros adimensionais do potencial escalar, desta forma mantendo a validade perturbativa do modelo). Na fig. 5.1, em todos os gráficos, vemos que as regiões permitidas são simétricas em torno do eixo sen θχ = 0, isto ocorre porque o seno é um fator global na eq. (5.71). No gráfico superior esquerdo, para |α| = 0.1 GeV, o seno pode assumir uma gama maior de valores para |vχ| < 10000 GeV. Conforme |α| aumenta, esta 40 5. Modelo 3-3-1 com leptons pesados liberdade de valores para o seno passa a ser posśıvel apenas para valores menores de |vχ|, sendo que no gráfico central a esquerda (para |α| = 1.5 GeV), esta liberdade desaparece e sen θχ só pode assumir valores entre, aproximadamente, -0,002 e 0,002. Continuando com o aumento de |α| a região de valores permitidos se estreita ainda mais, especialmente para valores mais baixos de |vχ|. Na fig. 5.2 vemos os valores permitidos de sen θχ e |vχ| conforme alteramos o valor de a7, com |α| = 1 GeV (escolhemos este valor para |α| porque, mais adiante, será posśıvel ver que este valor é permitido para uma grande faixa de valores de |vχ|). Na fig. 5.2 vimos que a maior parte da região permitida se situa em −0.003 < sen θχ < 0.003, portanto confinaremos nossa análise do efeito da variação de a7 entre estes valores. No gráfico superior a esquerda (a7 = 1× 10−5), quase toda a região mostrada é permitida. Com o aumento de a7 até 1× 10−2 a região permitida se torna cada vez mais estreita, situando-se em −0.0002 < sen θχ < 0.0002. Mais uma vez, ao menos até o terceiro gráfico (a7 = 1× 10−4), vemos que há uma liberdade maior para o valor do seno para regiões onde |vχ| é menor. Agora veremos os valores permitidos para |vχ| e |α| conforme variamos sen θχ. Ao longo dos gráficos da fig. 5.3 mantivemos a7 = 1× 10−4 e variamos o seno de 1× 10−4 até 4× 10−3. No topo, a esquerda, quase toda região dos parâmetros mostrada no gráfico é permitida. Com o aumento do valor do seno a região permitida se reduz, mantendo-se mais larga para valores mais altos de |vχ|. Esta situação muda no gráfico central a direita (sen θχ = 1.5× 10−3), onde a região de valores permitidos se concentra na área de valores mais baixos de |vχ|, tornando-se cada vez menor conforme aumenta o valor do seno. Continuamos a análise para os valores de |vχ| e |α|, desta vez variando os valores de a7 (com sen θχ = 5×10−4). Na fig. 5.4, no gráfico superior esquerdo (a7 = 1×10−5), a maior parte dos valores é permitido, com uma faixa mais ampla para |α| quanto maior o valor de |vχ|. Com o aumento de a7 vemos que o limite superior da região permitida começa a assumir uma forma curva, ao mesmo tempo que a região de valores proibidos aumenta. Na passagem do gráfico central direito para o gráfico inferior esquerdo (passando de a7 = 2 × 10−4 para a7 = 3 × 10−4), a região de valores proibidos cresceu tanto que passa a dividir o gráfico em duas regioões distintas de valores permitidos. Por fim, com a7 = 4 × 10−4 resta apenas uma pequena região para |vχ| . 2000 GeV e outra para |vχ| & 38000 GeV. Nos resta ainda verificar os valores posśıveis para a7 e |vχ|. Comçaremos pela fig. 5.5, onde variamos sen θχ de 1.5× 10−4 até 4× 10−3. Para valores menores do seno (gráfico superior esquerdo) a7 pode assumir diversos valores, especialmente para valores maiores de |vχ| e valores positivos de a7. O aumento do seno leva a diminuição da região de valores permitidos, de maneira que quanto maior o seno menores os valores posśıveis para a7, além de serem, em sua maioria, positivos. Finalmente, veremos os valores posśıveis para a7 e |vχ| conforme variamos |α|. Co- 41 5. Modelo 3-3-1 com leptons pesados mecemos pelo gráfico superior esquerdo da fig. 5.6, onde vemos que a maior parte dos valores posśıveis para a7 se situa em −0.001 < a7 < 0.004, exceto para valores muito pequenos de |vχ|. Com o aumento de |α| o lado esquerdo da região de valores permitidos se curva para baixo, permitindo cada vez mais valores negativos para a7. Como espera-se que |vχ| seja alto, é provável que os valor de a7 se situe entre ±0.0003 (caso verifique-se a validade do modelo 3-3-1). Apesar da análise feita até aqui, infelizmente, não pudemos especificar o valor de nenhum dos parâmetros do modelo. O resultado teórico depende de muitos parâmetros livres (|vχ|, θχ, |Ω|, |α| e a7), a serem comparados com um único resultado experimental. Como esperamos que |vχ| tenha valores altos (de maneira que os novos bósons de gauge introduzidos pelo modelo tenham massas altas), observando as figs. 5.1 e 5.2, podemos esperar que |sen θχ| < 0.003. Considerando esta estimativa, a partir da fig. 5.6 estimamos que a7 não ultrapasse 0.0003. Assumindo estes dois limites para o seno e para a7, é posśıvel crer que |α| esteja em torno de 1 GeV. Contudo, devemos lembrar que estas são estima- tivas bastante incertas, já que o modelo depende de muitos parâmetros a serem verificados. Além disto, em nossos diagramas consideramos apenas loops formados pelos esca- lares da teoria. Caso considerássemos também os bósons vetoriais, é provável que ainda mais parâmetros do modelo estivessem presentes no resultado final do MDE, dificultando ainda mais a análise a ser realizada. Isto indica que para um melhor entendimento do modelo 3-3-1 com léptons pesados mais análises são necessárias, onde outras grandezas f́ısicas possam ser comparadas com as previsões teóricas. Tendo isto, através da compa- ração de vários resultados, seria posśıvel definir valores para os parâmetros e verificar a validade deste modelo. 42 5. Modelo 3-3-1 com leptons pesados Figura 5.1.: Valores permitidos para |vχ| e sen θχ, caso (a): a7 = 10−4; |α| = 0.1 GeV, 0.5 GeV, 1 GeV, 1.5 GeV, 2 GeV e 5 GeV (da esquerda para a direita e de cima para baixo). 43 5. Modelo 3-3-1 com leptons pesados Figura 5.2.: Valores permitidos para |vχ| e sen θχ, caso (b): |α| = 1 GeV; a7 = 1× 10−5, 5× 10−5, 1× 10−4, 5× 10−4, 1× 10−3 e 1× 10−2 (da esquerda para a direita e de cima para baixo). 44 5. Modelo 3-3-1 com leptons pesados Figura 5.3.: Valores permitidos para |vχ| e |α|, caso (a): a7 = 1×10−4; sen θχ = 1×10−4, 5× 10−4, 1× 10−3, 1.5× 10−3, 2× 10−3 e 4× 10−3 (da esquerda para a direita e de cima para baixo) 45 5. Modelo 3-3-1 com leptons pesados Figura 5.4.: Valores permitidos para |vχ| e |α|, caso (b): sen θχ = 5×10−4; a7 = 1×10−5, 5× 10−5, 1× 10−4, 2× 10−4, 3× 10−4 e 4× 10−4 (da esquerda para a direita e de cima para baixo). 46 5. Modelo 3-3-1 com leptons pesados Figura 5.5.: Valores permitidos para |vχ| e |α|, caso (a): |α| = 1 GeV; sen θχ = 1.5×10−4, 3× 10−4, 5× 10−4, 1× 10−3, 2× 10−3 e 4× 10−3 (da esquerda para a direita e de cima para baixo). 47 5. Modelo 3-3-1 com leptons pesados Figura 5.6.: Valores permitidos para |vχ| e |α|, caso (b): sen θχ = 5×10−4; |α| = 0.1 GeV, 1 GeV, 1.5 GeV, 2 GeV, 5 GeV e 15 GeV (da esquerda para a direita e de cima para baixo). 48 6 Conclusões Com este trabalho pudemos estudar o MDE do nêutron no modelo 3-3-1 com léptons pesados. Após rever os prinćıpios teóricos do estudo desta grandeza, e sua aplicação no Modelo Padrão, pudemos aplica-los ao nosso modelo de interesse. Contudo, nosso resultado final ainda depende de muitas grandezas desconhecidas, sendo comparadas com apenas um resultado experimental. Foi posśıvel verificar como tais grandezas se relacionam, e impor alguns limites sobre seus valores, mas, infelizmente, não pudemos precisar o valor de nenhuma delas. Para que o modelo 3-3-1 seja melhor entendido é necessário que ele seja compa- rado com outros resultados experimentais. Desta forma, com mais informações em mãos, será posśıvel conhecer melhor os valores dos seus parâmetros, e até mesmo defini-los com exatidão. 49 A Conversão entre as representações da matriz CKM A representação original da matriz CKM, apresentada por M. Kobayashi e T. Maskawa [36], é: VCKM =  c1 −s1c3 −s1s3 s1c2 c1c2c3 − s2s3e iδ c1c2s3 + s2c3e iδ s1s2 c1s2c3 + c2s3e iδ c1s2s3 − c2s3e iδ  (A.1) Na representação de Wolfenstein[29] temos: VCKM =  1− λ2/2 λ Aλ3 (ρ− iη) −λ 1− λ2/2 Aλ2 Aλ3 (1− ρ− iη) −Aλ2 1 +O (λ4) (A.2) Igualando estas duas matrizes podemos encontrar as seguintes relações s2 1 = s2 1c 2 2 + s2 1s 2 2 = λ2 + A2λ6 (1− ρ− iη)2 (A.3) s1 = λ √ 1 + A2λ4 (1− ρ− iη)2, c1 = 1− λ2/2 c2 = −λ/s1, s2 = Aλ3 (1− ρ− iη) /s1, c3 = −λ/s1, s3 = −Aλ3 (ρ− iη) /s1 (A.4) c1s2 (c3 + s3) + c2s3 ( eiδ − e−iδ ) = −Aλ2 + 1→ senδ = 1− Aλ2 − c1s2 (c3 + s2) 2ic2s3 (A.5) 50 A. Conversão entre as representações da matriz CKM Os parâmetros λ e ρ podem ser substitúıdos através das relações ρ̄ = ρ (1− λ2/2) e η̄ = η (1− λ2/2), aumentando a precisão desta parametrização. Desta maneira encontramos: s1 = λ √ 1 + A2λ4 ( 1− ρ̄− iη̄ 1− λ2/2 ) (A.6) c1 = 1− λ2/2 (A.7) s2 = Aλ2 ( 1− ρ̄−iη̄ 1−λ2/2 ) √ 1 + A2λ4 ( 1− ρ̄−iη̄ 1−λ2/2 ) (A.8) c2 = −1√ 1 + A2λ4 ( 1− ρ̄−iη̄ 1−λ2/2 ) (A.9) s3 = Aλ2 ( ρ̄−iη̄ 1−λ2/2 ) √ 1 + A2λ4 ( 1− ρ̄−iη̄ 1−λ2/2 ) (A.10) c3 = −1√ 1 + A2λ4 ( 1− ρ̄−iη̄ 1−λ2/2 ) (A.11) 51 B Valores experimentais Os valores experimentais utilizados neste trabalho foram retirados do Review of Particle Physics de 2012 [29]. Listamos aqui os valores utilizados. Constantes f́ısicas ~c 0,1973269718(44)× 10−13 GeV · cm α 7.2973525698(24)× 10−3 = 1/137,035999074(44) αs 0,1184(7) GF 1,1663787(6)× 10−5 GeV −2 Massas (GeV/c2) MW 80,385(15) MZ 91,1876(21) mu 2,3× 10−3 md 4,8× 10−3 ms 95× 10−3 mc 1,275 mb 4,18 mt 173,5 Parâmetros da matriz CKM A 0,811 λ 0,22535 ρ̄ 0,131 η̄ 0,345 Tabela B.1.: Valores experimentais utilizados neste trabalho. 52 C Identidades matemáticas C.1. Identidade de Gordon Generalizada ū (p′) iσµν (p′ν − pν) γ5u (p) = −1 2 ū (p′) [γµγν − γνγµ] (p′ν − pν) γ5u (p) = −1 2 ū (p′) [ γµ/p ′ − γµ/p− /p′γµ + /pγ µ ] γ5u (p) = −1 2 ū (p′) [ 2p′µ − 2/p ′γµ − 2γµ/p+ 2pµ ] γ5u (p) = ū (p′) [ − (p′ + p) µ + /p ′γµ + γµ/p ] γ5u (p) = ū (p′) [ − (p′ + p) µ γ5 + /p ′γµγ5 − γµγ5/p ] u (p) = ū (p′) [ − (p′ + p) µ γ5 +mγµγ5 −mγµγ5 ] u (p) = −ū (p′) (p′ + p) µ γ5u (p) (C.1) onde, da 5a para a 6a linha utilizamos as soluções da equação de Dirac: ( /p−m ) u (p) = 0 ū (p′) ( /p ′ −m ) = 0 (C.2) C.2. Parametrização de Feynman 1 A1 · · ·An = ∫ 1 0 dx1 · · · dxnδ (x1 + · · ·+ xn − 1) (n− 1)! [x1A1 + · · ·+ xnAn]n (C.3) 53 C. Identidades matemáticas C.3. Integrais em l ∫ d4l (2π)4 lµ D3 = 0 (C.4) ∫ d4l (2π)4 lµlν D3 = ∫ d4l (2π)4 1 4 gµνl2 D3 (C.5) ∫ d4l (2π)4 1 (l2 −∆)m = i (−1)m (4π)2 1 (m− 1) (m− 2) 1 ∆m−2 (C.6) onde a terceira equação é válida para m > 2. 54 D MDE do nêutron a partir dos MDEs dos quarks Adotando a explicação dada em [46], a função de onda do nêutron, no caso não- relativ́ıstico, pode ser escrita como ψn = ψespacialψspinψsaborψcor (D.1) e, por ser um férmion, o produto destas funções deve ser antissimétrico pela troca de part́ıculas. A parte relativa à cor, ψcor é antissimétrica, e no estado fundamental ψespacial é simétrica. Logo, o produto ψspinψsabor deve ser antissimétrico para que ψn também o seja. Assim sendo, podemos encontrar para a parte ψspinψsabor (que denotaremos por |n〉): |n〉 = √ 2 3 [ 1 2 (↑↓↑ − ↓↑↑)(udd− dud) + 1 2 (↑↑↓ − ↑↓↑)(dud− ddu) + 1 2 (↑↑↓ − ↓↑↑)(udd− ddu) ] = 1 3 √ 2 [−2u(↓)d(↑)d(↑) + u(↑)d(↓)d(↑) + u(↑)d(↑)d(↓) + permutações ] (D.2) onde as setas indicam as funções para o spin e as letras indicam as funções para o sabor. A partir da eq. (2.15), pode-se ver que o operador para o MDE de um férmion elementar é dado por d~S/|~S| = dS. Por estarmos considerando o estado fundamental do nêutron (e consequentemente, desprezando o momento angular orbital dos quarks), temos que o operador do MDE é dado pela soma dos operadores de MDE de cada quark (ou seja, o momento angular total é dado apenas pela soma dos spins) dn = d1 + d2 + d3 = d1S1 + d2S2 + d3S3 (D.3) 55 D. MDE do nêutron a partir dos MDEs dos quarks onde di corresponde ao operador do quark i. Com estas equações em mãos, podemos encontrar o MDE do nêutron, dado pelo valor esperado do operador da eq. (D.3), como sendo dn = 〈n|dn|n〉 = 4 3 dd − 1 3 du (D.4) 56 E Diagramas para o MDE E.1. 1-loop, caso 1 Figura E.1.: Um dos tipos de diagrama que contribui para o MDE em um loop. A e B indicam quarks, H indica um escalar neutro, γ indica o fóton, XAB e YBA indicam as constantes de acoplamento dos vértices. Os momentos de cada linha estão indicados nos parênteses. Neste primeiro caso, consideramos diagramas de 1-loop com um escalar ı́mpar por CP, onde o fóton está conectado na linha do quark que faz parte do loop. Para estes escalares os vértices possuem a forma XABγ5 ou YBAγ5, onde XAB e YBA são um números reais. Com esta informação, a partir do diagrama da figura E.2 encontramos o seguinte vértice: 57 E. Diagramas para o MDE Γµ =XABYBA ∫ d4k (2π)4 (1± γ5) γ5 [ i /k +mb k2 −m2 b ] (−ieγµ) × [ i /k + /q +mb k2 + q2 + 2k · q −m2 b ] [ i k2 + p2 − 2p · k −m2 H ] γ5 (1± γ5) = XABYBA ∫ d4k (2π)4 (γ5 ∓ 1) [ i /k +mb k2 −m2 b ] (−ieγµ) × [ i /k + /q +mb k2 + q2 + 2k · q −m2 b ] [ i k2 + p2 − 2p · k −m2 H ] (γ5 ∓ 1) (E.1) onde mb é a massa do quark B, mH é a massa do escalar, XAB e YBA indicam os vértices. Na primeira linha da equação acima, nos termos (1 ± γ5) se utiliza o sinal + quando o quark que entra no diagrama (quark A) for de mão direita e − quando for de mão esquerda. Para a segunda linha estes sinais se invertem. Utilizando a parametrização de Feynman (eq. (C.3)), o denominador se torna D = x ( k2 −m2 b ) + y ( k2 + q2 + 2k · q −m2 b ) + z ( k2 + p2 − 2p · k −m2 H ) = k2 +m2 b (z − x− y) + yq2 + 2yk · q − 2zp · k − zm2 H (E.2) Definindo: l = k + yq − zp (E.3) l2 = k2 + y2q2 + z2m2 b + 2yk · q − 2zp · k − 2yxq · p (E.4) substituindo l em D: D = l2 + y (1− y) q2 − zm2 H + 2yzp · q +m2 b ( z − z2 − x− y ) (E.5) Sabendo que: p · q = p · (p′ − p) = p · p′ −m2 b (E.6) q2 = (p′ − p)2 = 2m2 b − 2p · p′ (E.7) podemos escrever 2p · q = −q2 (E.8) De maneira que o denominador se torna D = l2 + (y(1− y)− yz) q2 − zm2 H +m2 b(z − z2 − x− y) = l2 + xyq2 − zm2 H −m2 b(z − 1)2 (E.9) 58 E. Diagramas para o MDE onde utilizamos x+ y + z = 1 na passagem da primeira para a segunda linha. Para o numerador temos: Nµ = (/k +mb) γ µ ( /k + /q +mb ) = ( /l − y/q + z/p+mb ) γµ ( /l + (1− y)/q + z/p+mb ) = ( /l − y/p′ + (z + y)/p+mb ) γµ ( /l + (1− y)/p ′ + (z + y − 1)/p+mb ) = /lγµ/l +mb/lγ µ + (1− y)/lγµ/p ′ + (z + y − 1)/lγµ/p+mbγ µ/l +m2 bγ µ +mb(1− y)γµ/p ′ +mb(z + y − 1)γµ/p− y/p′γµ/l − ymb/p ′γµ − y(1− y)/p ′γµ/p ′ − y(z + y − 1)/p ′γµ/p+ (y + z)/pγ µ/l +mb(y + z)/pγ µ + (y + z)(1− y)/pγ µ /p ′ + (y + z)(z + y − 1)/pγ µ /p (E.10) Desprezando os termos lineares em l, devido a identidade da eq. C.4: Nµ = /lγµ/l +m2 bγ µ +mb(1− y)γµ/p ′ +mb(z + y − 1)γµ/p− ymb/p ′γµ − y(1− y)/p ′γµ/p ′ − y(z + y − 1)/p ′γµ/p+mb(y + z)/pγ µ + (y + z)(1− y)/pγ µ /p ′ + (y + z)(z + y − 1)/pγ µ /p (E.11) Com as identidades: /pγ µ /p = pαpβγ αγµγβ = pαpβγ α ( 2gµβ − γβγµ ) = 2pµ/p− /p/pγµ = 2pµ/p−m2 bγ µ (E.12) /pγ µ = pαγ αγµ = pα (2gαµ − γµγα) = 2pµ − γµ/p (E.13) γµ/p ′ = p′αγ µγα = p′α (2gαµ − γαγµ) = 2p′µ − /p′γµ (E.14) /pγ µ /p ′ = pαp ′ βγ αγµγβ = pαp ′ βγ α ( 2gβµ − γβγµ ) = pαp ′ β ( 2gβµγα − γαγβγµ ) = pαp ′ β ( 2gβµγα − 2gαβ + γβγαγµ ) = pαp ′ β ( 2gβµγα − 2gαβ + 2gαµγβ − γβγµγα ) = 2p′µ/p− 2p · p′ + 2pµ/p ′ − /p′γµ/p (E.15) 59 E. Diagramas para o MDE podemos reescrever o numerador do seguinte modo: Nµ = m2 bγ µ +mb(1− y) [ 2p′µ − /p′γµ ] +mb(z + y − 1)γµ/p−mby/p ′γµ − y(1− y) [ 2p′µ/p ′ −m2 bγ µ ] − y(z + y − 1)/p ′γµ/p +mb(y + z) [ 2pµ − γµ/p ] + (y + z)(1− y) [ 2p′µ/p− 2p · p′ + 2pµ/p ′ − /p′γµ/p ] (y + z)(z + y − 1) [ 2pµ/p−m2 bγ µ ] (E.16) Pudemos agora reescrever o numerador. Este termo está multiplicado pela direita e pela esquerda por (γ5 ∓ 1), mas estamos procurando termos onde só exista uma única matriz γ5, para que possamos identifica-lo com vértice do MDE. Assim, nos interessam apenas os casos Nµ E = γ5N µ e Nµ D = Nµγ5. Para o caso Nµ E = γ5N µ, utilizando as identidades ū (p′) /p′ = mbū (p′) e /pu (p) = mbu (p) (lembrando que devemos anticomutar γ5), encontramos Nµ E = γ5 { m2 bγ µ +mb(1− y) [2p′µ +mbγ µ]] +m2 b(z + y − 1)γµ +m2 byγ µ − y(1− y) [ −2mbp ′µ −m2 bγ µ ] +m2 by(z + y − 1) +mb(y + z) [2pµ −mbγ µ] + (y + z)(1− y) [ 2mbp ′µ − 2p · p′ − 2mbp µ +m2 bγ µ ] + (y + z)(z + y − 1) [ 2mbp µ −m2 bγ µ ] } = 2mbp µ [(y + z)− (y + z)(1− y) + (y + z)(z + y − 1)] γ5 2mbp ′µ [(1− y) + y(1− y) + (y + z)(1− y)] γ5 + · · · (E.17) Para o caso Nµ D = Nµγ5: Nµ D = { m2 bγ µ +mb(1− y) [2p′µ −mbγ µ]−m2 b(z + y − 1)γµ −m2 bγ µ − y(1− y) [ 2mbp ′µ −m2 bγ µ ] +m2 by(z + y − 1)γµ +m2 b(y + z) [2pµ +mbγ µ] + (y + z)(1− y) [ −2mbp ′µ − 2p · p′ + 2mbp µ +m2 bγ µ ] + (y + z)(z + y − 1) [ −2mbp µ −m2 bγ µ ] } γ5 = 2mbp µ [(y + z) + (y + z)(1− y)− (y + z)(z + y − 1)] γ5 2mbp ′µ [(1− y)− y(1− y)− (y + z)(1− y)] γ5 + · · · (E.18) Somando Nµ E e Nµ D Nµ E +Nµ D = 4mbp ′µ [1− y] γ5 + 4mbp µ [y + z] γ5 + · · · = 4mbp ′µ [1− y] γ5 + 4mbp µ [1− x] γ5 + · · · = 4mb (p′µ + pµ) γ5 − 4mbyp ′µγ5 − 4mbxp µγ5 + · · · (E.19) 60 E. Diagramas para o MDE onde utilizamos x+ y + z = 1. Retornando a expressão para o vértice (eq. E.30), substituindo o numerador e o denominador que encontramos, ela se torna Γµ =− eXABYBA4mb ∫ d4l (2π)4 dxdydzδ(x+ y + z − 1)×{ (p′µ + pµ) γ5 [l2 + xyq2 − zm2 H −m2 b(z − 1)2] 3 − yp′µγ5 [l2 + xyq2 − zm2 H −m2 b(z − 1)2] 3 − xpµγ5 [l2 + xyq2 − zm2 H −m2 b(z − 1)2] 3 } + · · · (E.20) É posśıvel ver que nos dois últimos termos podemos trocar x por y sem alterar a integral. Neste caso Γµ =− eXABYBA4mb ∫ d4l (2π)4 dxdydzδ(x+ y + z − 1)×{ (1− y) (p′µ + pµ) γ5 [l2 + xyq2 − zm2 H −m2 b(z − 1)2] 3 } + · · · (E.21) Utilizando a identidade (ver eq. C.1): ū (p′) iσµν (p′ν − pν) γ5u (p) = −ū (p′) (p′ + p) µ γ5u (p) (E.22) Podemos reescrever o vértice como Γµ =ieXABYBA4mbσ µνqνγ5 ∫ d4l (2π)4 dxdydzδ(x+ y + z − 1)× (1− y) [l2 + xyq2 − zm2 H −m2 b(z − 1)2] 3 + · · · (E.23) Integrando em l (com uso da eq. (C.6)): Γµ = eXABYBA2mb (4π)2 σµνqνγ5 ∫ dxdydzδ(x+ y + z − 1)× (1− y) [−xyq2 + zm2 H +m2 b(z − 1)2] + · · · (E.24) 61 E. Diagramas para o MDE Na equação acima, comparando com a eq. 2.9, podemos identificar o fator de forma que dá origem ao MDE: d(q2) =Im { eXABYBA2mb (4π)2 ∫ dxdydzδ(x+ y + z − 1)× (1− y) [−xyq2 + zm2 H +m2 b(z − 1)2] } (E.25) Em q = 0: d = Im { eXABYBA2mb (4π)2 ∫ dxdydzδ(x+ y + z − 1) (1− y) [zm2 H +m2 b(z − 1)2] } (E.26) Podemos integrar primeiro em x utilizando a delta de Dirac. Assim, encontramos os seguintes intervalos de integração: 0 ≤ x ≤ 1 → 0 ≤ 1− y − z ≤ 1 → 1− z ≥ y ≥ −z (E.27) 0 ≥ z ≥ 1 (E.28) Após a integral em x temos: d = Im { eXABYBA2mb (4π)2 ∫ 1 0 dz ∫ 1−z −z dy (1− y) [zm2 H +m2 b(z − 1)2] } = Im 2eXABYBA (4π)2mb ∫ 1 0 dz (1/2 + z)[ z m2 H m2 b + (z − 1)2 ]  (E.29) que é a expressão final para a contribuição ao MDE dada pelo diagrama da fig. E.2. Contudo, XAB, YBA e a inetgral são reais. Desta forma, a contribuição dos escalares neutros para o MDE do nêutron é nula. E.2. 1-loop, caso 2 Neste segundo caso, consideramos diagramas de 1-loop com um escalar (neutro ou carregado), onde o fóton está conectado na linha do quark que faz parte do loop. Para estes escalares os vértices são apenas números, a prinćıpio complexos. Desta forma, a partir do diagrama da figura E.2, encontramos o seguinte vértice: Γµ =XABYBA ∫ d4k (2π)4 (1± γ5) [ i /k +mb k2 −m2 b ] (−ieγµ) × [ i /k + /q +mb k2 + q2 + 2k · q −m2 b ] [ i k2 + p2 − 2p · k −m2 H ] (1± γ5) (E.30) 62 E. Diagramas para o MDE Figura E.2.: Um dos tipos de diagrama que contribui para o MDE em um loop. A e B indicam quarks, H indica um escalar, γ indica o fóton, XAB e YBA indicam as constantes de acoplamento dos vértices. Os momentos de cada linha estão indicados nos parênteses. onde, na equação acima, nos termos (1 ± γ5) se utiliza o sinal + quando o quark que entra no diagrama (quark A) for de mão direita e − quando for de mão esquerda. Utilizando a parametrização de Feynman (eq. (C.3)), o denominador se torna D = x ( k2 −m2 b ) + y ( k2 + q2 + 2k · q −m2 b ) + z ( k2 + p2 − 2p · k −m2 H ) = k2 +m2 b (z − x− y) + yq2 + 2yk · q − 2zp · k − zm2 H (E.31) Definindo: l = k + yq − zp (E.32) l2 = k2 + y2q2 + z2m2 b + 2yk · q − 2zp · k − 2yxq · p (E.33) substituindo l em D: D = l2 + y (1− y) q2 − zm2 H + 2yzp · q +m2 b ( z − z2 − x− y ) (E.34) Sabendo que: p · q = p · (p′ − p) = p · p′ −m2 b (E.35) q2 = (p′ − p)2 = 2m2 b − 2p · p′ (E.36) podemos escrever 2p · q = −q2 (E.37) 63 E. Diagramas para o MDE De maneira que o denominador se torna D = l2 + (y(1− y)− yz) q2 − zm2 H +m2 b(z − z2 − x− y) = l2 + xyq2 − zm2 H −m2 b(z − 1)2 (E.38) onde utilizamos x+ y + z = 1 na passagem da primeira para a segunda linha. Para o numerador temos: Nµ = (/k +mb) γ µ ( /k + /q +mb ) = ( /l − y/q + z/p+mb ) γµ ( /l + (1− y)/q + z/p+mb ) = ( /l − y/p′ + (z + y)/p+mb ) γµ ( /l + (1− y)/p ′ + (z + y − 1)/p+mb ) = /lγµ/l +mb/lγ µ + (1− y)/lγµ/p ′ + (z + y − 1)/lγµ/p+mbγ µ/l +m2 bγ µ +mb(1− y)γµ/p ′ +mb(z + y − 1)γµ/p− y/p′γµ/l − ymb/p ′γµ − y(1− y)/p ′γµ/p ′ − y(z + y − 1)/p ′γµ/p+ (y + z)/pγ µ/l +mb(y + z)/pγ µ + (y + z)(1− y)/pγ µ /p ′ + (y + z)(z + y − 1)/pγ µ /p (E.39) Desprezando os termos lineares em l, devido a identidade da eq. C.4: Nµ = /lγµ/l +m2 bγ µ +mb(1− y)γµ/p ′ +mb(z + y − 1)γµ/p− ymb/p ′γµ − y(1− y)/p ′γµ/p ′ − y(z + y − 1)/p ′γµ/p+mb(y + z)/pγ µ + (y + z)(1− y)/pγ µ /p ′ + (y + z)(z + y − 1)/pγ µ /p (E.40) Com as identidades das nas eqs. E.12-E.15 podemos reescrever o numerador do seguinte modo: Nµ = m2 bγ µ +mb(1− y) [ 2p′µ − /p′γµ ] +mb(z + y − 1)γµ/p−mby/p ′γµ − y(1− y) [ 2p′µ/p ′ −m2 bγ µ ] − y(z + y − 1)/p ′γµ/p +mb(y + z) [ 2pµ − γµ/p ] + (y + z)(1− y) [ 2p′µ/p− 2p · p′ + 2pµ/p ′ − /p′γµ/p ] (y + z)(z + y − 1) [ 2pµ/p−m2 bγ µ ] (E.41) Pudemos agora reescrever o numerador. Este termo está multiplicado pela direita e pela esquerda por (1± γ5), mas estamos procurando termos onde só exista uma única matriz γ5, para que possamos identifica-lo com vértice do MDE. Assim, nos interessam apenas os casos Nµ E = γ5N µ e Nµ D = Nµγ5. Para o caso Nµ E = γ5N µ, utilizando as identidades ū (p′) /p′ = mbū (p′) e /pu (p) = mbu (p) 64 E. Diagramas para o MDE (lembrando que devemos anticomutar γ5), encontramos Nµ E = γ5 { m2 bγ µ +mb(1− y) [2p′µ +mbγ µ]] +m2 b(z + y − 1)γµ +m2 byγ µ − y(1− y) [ −2mbp ′µ −m2 bγ µ ] +m2 by(z + y − 1) +mb(y + z) [2pµ −mbγ µ] + (y + z)(1− y) [ 2mbp ′µ − 2p · p′ − 2mbp µ +m2 bγ µ ] + (y + z)(z + y − 1) [ 2mbp µ −m2 bγ µ ] } = 2mbp µ [(y + z)− (y + z)(1− y) + (y + z)(z + y − 1)] γ5 2mbp ′µ [(1− y) + y(1− y) + (y + z)(1− y)] γ5 + · · · (E.42) Para o caso Nµ D = Nµγ5: Nµ D = { m2 bγ µ +mb(1− y) [2p′µ −mbγ µ]−m2 b(z + y − 1)γµ −m2 bγ µ − y(1− y) [ 2mbp ′µ −m2 bγ µ ] +m2 by(z + y − 1)γµ +m2 b(y + z) [2pµ +mbγ µ] + (y + z)(1− y) [ −2mbp ′µ − 2p · p′ + 2mbp µ +m2 bγ µ ] + (y + z)(z + y − 1) [ −2mbp µ −m2 bγ µ ] } γ5 = 2mbp µ [(y + z) + (y + z)(1− y)− (y + z)(z + y − 1)] γ5 2mbp ′µ [(1− y)− y(1− y)− (y + z)(1− y)] γ5 + · · · (E.43) Somando Nµ E e Nµ D Nµ E +Nµ D = 4mbp ′µ [1− y] γ5 + 4mbp µ [y + z] γ5 + · · · = 4mbp ′µ [1− y] γ5 + 4mbp µ [1− x] γ5 + · · · = 4mb (p′µ + pµ) γ5 − 4mbyp ′µγ5 − 4mbxp µγ5 + · · · (E.44) onde utilizamos x+ y + z = 1. Retornando a expressão para o vértice (eq. E.30), substituindo o numerador e o denominador que encontramos, ela se torna Γµ =− eXABYBA4mb ∫ d4l (2π)4 dxdydzδ(x+ y + z − 1)×{ (p′µ + pµ) γ5 [l2 + xyq2 − zm2 H −m2 b(z − 1)2] 3 − yp′µγ5 [l2 + xyq2 − zm2 H −m2 b(z − 1)2] 3 − xpµγ5 [l2 + xyq2 − zm2 H −m2 b(z − 1)2] 3 } + · · · (E.45) 65 E. Diagramas para o MDE É posśıvel ver que nos dois últimos termos podemos trocar x por y sem alterar a integral. Neste caso Γµ =− eXABYBA4mb ∫ d4l (2π)4 dxdydzδ(x+ y + z − 1)×{ (1− y) (p′µ + pµ) γ5 [l2 + xyq2 − zm2 H −m2 b(z − 1)2] 3 } + · · · (E.46) Utilizando a identidade (ver eq. C.1): ū (p′) iσµν (p′ν − pν) γ5u (p) = −ū (p′) (p′ + p) µ γ5u (p) (E.47) Podemos reescrever o vértice como Γµ =ieXABYBA4mbσ µνqνγ5 ∫ d4l (2π)4 dxdydzδ(x+ y + z − 1)× (1− y) [l2 + xyq2 − zm2 H −m2 b(z − 1)2] 3 + · · · (E.48) Integrando em l (com uso da eq. (C.6)): Γµ = eXABYBA2mb (4π)2 σµνqνγ5 ∫ dxdydzδ(x+ y + z − 1)× (1− y) [−xyq2 + zm2 H +m2 b(z − 1)2] + · · · (E.49) Na equação acima, comparando com a eq. 2.9, podemos identificar o fator de forma que dá origem ao MDE: d(q2) =Im { eXABYBA2mb (4π)2 ∫ dxdydzδ(x+ y + z − 1)× (1− y) [−xyq2 + zm2 H +m2 b(z − 1)2] } (E.50) Em q = 0: d = Im { eXABYBA2mb (4π)2 ∫ dxdydzδ(x+ y + z − 1) (1− y) [zm2 H +m2 b(z − 1)2] } (E.51) Podemos integrar primeiro em x utilizando a delta de Dirac. Assim, encontramos os seguintes intervalos de integração: 0 ≤ x ≤ 1 → 0 ≤ 1− y − z ≤ 1 → 1− z ≥ y ≥ −z (E.52) 66 E. Diagramas para o MDE 0 ≥ z ≥ 1 (E.53) Após a integral em x temos: d = ±Im { eXABYBA2mb (4π)2 ∫ 1 0 dz ∫ 1−z −z dy (1− y) [zm2 H +m2 b(z − 1)2] } = Im 2eXABYBA (4π)2mb ∫ 1 0 dz (1/2 + z)[ z m2 H m2 b + (z − 1)2 ]  (E.54) que é a expressão final para a contribuição ao MDE dada pelo diagrama da fig. E.2. O sinal positivo deve ser utilizado quando o quark A for de mão diretia e o sinal negativo quando este quark for de mão esquerda. Entretanto, podemos ver a partir dos vértices apresentados em F.2.2 que YBA = X∗AB. Assim sendo d = Im 2e|XAB|2 (4π)2mb ∫ 1 0 dz (1/2 + z)[ z m2 H m2 b + (z − 1)2 ]  (E.55) Como a integral é real, temos que a contribuição para o MDE neste caso é nula. E.3. 1-loop, caso 3 Figura E.3.: Um dos tipos de diagrama que contribui para o MDE em um loop. A e B indicam quarks, H+ indica o escalar positivamente carregado, H− indica o escalar negati- vamente carregado, γ indica o fóton, XAB e YBA indicam as constantes de acoplamento dos vértices. Os momentos de cada linha estão