unesp UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO” CAMPUS DE GUARATINGUETÁ LUÍS RODOLFO DOS SANTOS FILHO INTRODUÇÃO À GRAVITAÇÃO DE BRANS-DICKE Guaratinguetá 2012 LUÍS RODOLFO DOS SANTOS FILHO INTRODUÇÃO À GRAVITAÇÃO DE BRANS-DICKE Trabalho de Graduação apresentado ao Conselho de Curso de Graduação em Bacharelado em Física da Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá, Universidade Estadual Paulista, como parte dos requisitos para obtenção do diploma de Graduação em Bacharelado em Física. Orientador: Profº. Dr°. Julio Marny Hoff da Silva Guaratinguetá 2012 S237i Santos Filho, Luís Rodolfo dos Introdução à Gravitação de Brans-Dicke / Luís Rodolfo dos Santos Filho – Guaratinguetá : [s.n], 2012. 96 f.: il. Bibliografia: f. 94-96 Trabalho de Graduação em Bacharelado em Física – Universidade Estadual Paulista, Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá, 2012. Orientador: Prof. Dr Julio Marny Hoff da Silva 1. Gravitação 2. Relatividade geral (Fisica) I. Título CDU 531.5 DADOS CURRICULARES LUÍS RODOLFO DOS SANTOS FILHO NASCIMENTO 20.03.1990 – SÃO JOSÉ DOS CAMPOS / SP FILIAÇÃO Luís Rodolfo dos Santos Rosana Aparecida Gomercindo Costa dos Santos 2008/2012 Curso de Graduação Bacharelado em Física - Universidade Estadual Paulista – Campus de Guaratinguetá. "O belo, o sagrado, a religião, o amor são a isca requerida para despertar o prazer de mordiscar. Não é o conceito, mas o êxtase, não é a necessidade fria e metódica da Coisa que deve constituir a força que sustém e transmite a riqueza da substância, mas sim o entusiasmo abrasador"(Friedrich Hegel). Agradecimentos Diferentemente dos trabalhos como teses de mestrado, dissertações de doutorado em que contribuições mais direcionadas são devidamente deixadas à comunidade, esse trabalho não passa de apenas de um roteiro de estudo de algumas interessantes obras. Olhando com outros olhares esse mesmo representa o trabalho mais concreto que até então obtive nesses últimos nove anos, quando que por razões ainda desconhecidas o desejo de tornar-se Físico foi em mim aflorado não como um objeto à vaidade ou de ascensão social. Apesar dos recursos precários em todos os sentidos oferecidos pelo município de Paraibuna, o agradeço por servir de berço a construção intelectual reflexiva de meus familiares que me ensinaram que para ser feliz em essência basta apenas que se tenha o sagrado prato de arroz com feijão a todos e a boa saúde na maioria dos dias da vida. Agradeço a música que por estar sempre presente e de alguma forma me fez buscar o desenvolvimento pessoal. Sou muito grato ao Prof. Cindra por ter me incentivado a jamais descartar o con- texto de uma determinada teoria, pois somente poderemos ser grandes contribuintes a qualquer área que se deseje se estivermos em contato com os trabalhos originais e suas ramificações para que possamos saber onde é que teremos de iniciar nossa desejada con- tribuição. Como diria Descartes a leitura de obras filosóficas é uma maneira de aprender com os antigos espíritos. Agradeço por ter estado sempre preocupado com o meu desen- volvimento intelectual. Sou bastante grato também ao Prof. Julio por mostrar que é possível atingir a excelência pessoal, intelectual e profissional mesmo ainda sendo jovem. O agradeço por permitir que meus estudos fossem feitos no meu tempo de aprendizado, sem que ouvessem exageradas cobranças e pressões desnecessárias. Sem contar que foi um ótimo professor de Relatividade Geral e um grande amigo. Tenho muito a agradecer a Moradia estudantil por ter sido um grande laboratório para que corrigissemos os desvios das nossas inteligências sociais que raramente podem ser aprendidas quando se mora sob proteção familiar. E desses lugares os grandes compan- heiros: Carlos, Gabriel, Fábio, Luciano, Jairo e Felipe. Agradeço aos inúmeros compan- heiros do bacharelado pelas conversas fiadas: Julio, Luciano, Bendorf, Douglas, Jonata e Pedro. Jamais também poderia deixar de parabenizar ao Profo Durval pela sua imensa atenção e tremendo coração. Muito satisfeito hoje sou com o cursinho voluntário dessa instituição, por ter me servido de palco para que expusesse algumas ambições de ensino aos alunos que precisavam de inspiração. Se contar que o cursinho foi a estrada cintilante que convergiu para o encontro de uma pessoa especial que hoje é e vem se tornando cada vez mais, uma pessoa muito importante para mim. Minha linda namorada Juana. Sem sombras de dúvida o contato causal de todos aqueles que foram citados ou por ventura deixados entre linhas são os responsáveis pelo que somos, fortalecendo-nos em diversas escalas para que sempre estejamos preparados a lidar com aquilo que está por vir. "Em memória aos meus avós Benita Lopes dos Santos (Ditinha) e Bento Francisco dos Santos (Bentão)". "Para que haja o amor é necessário que exista a paz, para que exista a paz é necessário que exista a felicidade, para que exista a felicidade é preciso que busques a verdade e que essa seja una, pois assim, ela o libertará"(Pierre Wiel). Prêmios • Menção Honrosa Olimpíada Brasileira de Matemática (OBMEP) 2005, 2006 e 2007. • Prêmio de Reconhecimento Acadêmico do 1o ano do Bacharelado em Física 2008. • Prêmio de Reconhecimento Acadêmico do 2o ano do Bacharelado em Física 2009. • Prêmio de Reconhecimento Acadêmico do 3o ano do Bacharelado em Física 2010. Bolsas de Estudo • Estudo sobre a Origem e Evolução do Conceito de Força 2008-2009. Bolsa Proex- UNESP. • Um estudo elementar da teoria de caos e das oscilações não-lineares e do regime caótico de alguns tipos de pêndulos 2009. Proex-UNESP. • Um estudo elementar da teoria de caos e das oscilações não lineares e do regime caótico de alguns tipos de pêndulos 2009-2010. FAPESP. • Monitor de Física 1 2010- Proex-UNESP. • Bolsa didática Cursinho Pré Vestibular. 2011. Proex-UNESP. • Soluções de Campo Fraco em Relatividade Geral: Ondas Gravitacionais. 2011-2012. FAPESP. • Introdução à Gravitação de Brans-Dicke. 2012. FAPESP. Trabalhos Apresentados • Presença de Atratores Estranhos nas Oscilações Não-Lineares de um Pêndulo Duplo. UNESP. Guaratinguetá. 2010. • Equações de Movimento para o Campo Gravitacional. Congresso UNESP. Guaratinguetá. 2011. • Mínimo Variacional da Ação de Jordan-Brans-Dicke. CBPF. Rio de Janeiro. 2012. • Equações de Movimento para o Campo Gravitacional via Brans-Dicke. UNESP. Guaratinguetá. 2012. • Transformações Conformes Aplicadas à Gravitação de Brans-Dicke. IFT. São Paulo. 2012. Atividades Extra Curriculares • Representante da Moradia Estudantil em 2009. Desenvolvendo projetos de melho- rias econômicas à alimentação. • Vice Prefeito da Moradia Estudantil em 2010. • Professor voluntário do Projeto Social Cursinho Pré Vestibular desde 2009, salvo o início de 2011, lecionando disciplinas de nível médio: Álgebra, Mecânica, Eletro- magnetismo e Psicologia aplicada à Educação. FILHO, L. R. S. Introdução à Gravitação de Brans-Dicke. 2012. 96 f. Tra- balho de Graduação (Graduação em Bacharelado em Física) —Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá, Universidade Estadual Paulista, Guaratinguetá, 2012. Resumo O modelo padrão para a Cosmologia demonstra profundas necessidades de melho- rias quando comparado a recentes dados observacionais e também a antigas contradições de caráter teórico. Teorias alternativas à Relatividade Geral são possíveis candidatas a satisfazerem a expectativa conjunta da Física de Partículas Elementares e da Gravitação. Teorias escalares tensoriais aparentam ressurgirem das cinzas dos velhos trabalhos de Jor- dan por responderem adequadamente aos limites de baixas energias das teorias de grandes unificações. Sendo a Teoria de Brans Dicke uma teoria escalar tensorial é realizado um estudo da mesma partindo desde as suas primeiras motivações até suas atuais análises e reflexões. PALAVRAS-CHAVE: Brans Dicke, Gravitação Escalar-Tensorial, Primeiros Princí- pios, Métodos Variacionais, Transformações Conformes. FILHO, L. R. S. Introduction to Brans-Dicke Gravitation. 2012. 96 f. Grad- uate Work (Graduate in Baccalaureate Physics) - Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá, Universidade Estadual Paulista, Guaratinguetá, 2012. Abstract The cosmological standard model needs a deep improvement when compared to recent observational data and also when contrasted with a broad theorical context. Al- ternative theories to General Relativity are possible candidates to reach the expectation Physics of Elementary Particles and Gravitation. Scalar-tensor theories seem to reappear from the ashes of the old work by Jordan corresponding appropriately low power limits of unifying theories. Being the Brans Dicke theory a scalar tensor is conducted a comprehensive study starting from its first motivations to it’s current one it is reflections. KEYWORDS: Brans-Dicke, Scalar-Tensor Gravity, First Principles, Variational Meth- ods, Conformal Transformations. Sumário 1 Introdução 9 2 Elementos de Relatividade Restrita 10 3 Algumas reflexões em busca de uma Relatividade Geral 16 4 Elementos de Álgebra Tensorial. 20 4.1 Diferenciação Covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4.2 Discussão a respeito do Símbolo de Christoffel Γabc . . . . . . . . . . . . . . 26 4.3 Correspondência entre o Símbolo de Christoffel e o tensor métrico . . . . . 29 4.3.1 Partícula Livre na presença de um campo gravitacional . . . . . . . 31 5 Tensor de Curvatura 33 6 O Tensor Energia Momento 46 6.1 Tensor de Energia-Impulso em Coordenadas Curvilíneas . . . . . . . . . . 50 7 Ação para o Campo Gravitacional 53 7.1 Equações de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 8 Introdução à Gravitação de Brans-Dicke 65 8.1 Analogia com as idéias de gravitação Newtoniana e uma generalização . . . 68 8.2 Equações de Movimento por Primeiros Princípios . . . . . . . . . . . . . . 69 8.3 Mínimo Variacional da Ação de Jordan-Brans-Dicke . . . . . . . . . . . . . 73 8.4 Transformações Conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 8.4.1 Aplicação das Transformações Conformes . . . . . . . . . . . . . . . 82 8.5 O Referencial de Jordan e o Referencial de Einstein . . . . . . . . . . . . . 88 8.5.1 Estudo da Hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 8.5.2 Deflexão da luz: O Referencial de Einstein e o Referencial de Jordan 91 9 Conclusões 92 Referências bibliográficas 95 8 Capítulo 1 Introdução A primeira parte desse trabalho (Elementos de Relatividade Restrita) de caráter puramente teórico é praticamente um resumo de uma leitura crítica das notas de aula do Profo José Geraldo e Prof o Androvandi [1]. A partir do segundo capítulo(Algumas Reflexões em Busca de uma Relatividade Geral) até o sétimo capítulo (Ação para o Campo Gravitacional), expomos o resultado do trabalho do estudo das bases da Relatividade Geral desde suas fundamentações epistemológicas até a sua formulação tensorial. Esse estudo foi realizado por meio do estudo das obras de Landau e de Einstein [12, 16] que tomou boa parte do ano de 2011. Somente a partir do oitavo capítulo (Introdução à Gravitação de Brans Dicke) é que realmente foi estudada a Teoria de Brans-Dicke, uma teoria alternativa à descrição dos fenômenos gravitacionais que hoje vem chamando bastante a atenção daquelas que buscam uma melhor descrição física dos fenômenos cosmológicos através do estudo de teorias alternativas à Relatividade Geral. Esse trabalho foi realizado com o uso das obras de Weinberg e dos trabalhos de Brans- Dicke [28, 7], sem contar, é claro, com os fundamentos aprendidos com as demais obras descobertas no decorrer do nosso trabalho. Essa etapa basicamente tomou nossas atenções nesses últimos onze meses deste ano de 2012. Capítulo 2 Elementos de Relatividade Restrita Em fins do séc XIX a inconsistência da Mecânica Newtoniana com a denominada Eletrodinâmica de Maxwell era um dos grandes problemas da física teórica. A fim de esclarecer a aparente contradição foi necessário a introdução de uma nova teoria que sanasse as inconcistências. Essa teoria ficou conhecida como a teoria da rela- tividade especial ou restrita. No entanto o principio da relatividade especial somente era capaz de lidar com conceitos que pertencessem aos ditos referenciais inercias. Por referencial inercial entende-se aquele em que todos os observadores não estão privilegiados de distinguir o seu estado de movimento, ou seja, incapazes de afirmar se estão em repouso ou se possuem velocidade constante. Nesses referenciais podemos traduzir uma consequência: "Qualquer partícula não submetida à forças externas se moverá com ve- locidade vetorial constante". Ilustrar com uma situação idealizada o pensamento clássico antes da introdução do princípio de relatividade certamente nos será conveniente: Imaginemos um referencial inercial A ao qual são atribuídas coordenadas carte- sianas (x1, x2, x3) e a variável t é utilizada para indicar o tempo. Desse modo a posição de uma determinada partícula é: X = x1e1 +x2e2 +x3e3 onde {ei} são as bases ortonormais do espaço vetorial considerado. Pode-se imaginar um outro sistema de coordenadas A’que no instante inicial coin- cide com o referencial A ; no entanto, o referencial A’possui velocidade constante u em relação ao referencial A. Pode-se relacionar ambos os referenciais através da relação: x′ = x− ut e t = t′. 10 11 Para esse sistema a lei de composição de velocidades pode ser facilmente encontrada: V = (v1, v2, v3) = (dx 1 dt , dx 2 dt , dx 3 dt ) de maneira que: v′ = v − u . Como v é uma velocidade constante da mesma forma que u também é, temos diretamente que v’deve ser também constante. Essas propriedades de reflexão e simetria dos referenciais em questão indicam que os referencias inerciais são todos equivalentes. As leis de Newton também são válidas em ambos os referencias de modo que: mdv dt = mdv ′ dt ou seja F = F ′. É notavel também que esse sistema possui o tempo absoluto e independente do sistema de coordenada e do estado de movimento. Esse tipo de transformações são ditas "Transformações de Galileu". As transformações x′ = x− ut são casos particulares. Se a isotropia do espaço for aceita como verdadeira, deve-se aceitar também que podemos validar essa afirmações por meio de rotações de valores fixos. Podemos realizar uma tal tranformação utilizando uma matriz de rotação R de forma que: X′ = RX . Onde X′ = x ′1 x ′2 x′3  , X = x 1 x2 x3  , e R= R 1 1 R1 2 R1 3 R2 1 R2 2 R2 3 R3 1 R3 2 R3 3  . Portanto: x ′1 x ′2 x′3  = R 1 1 R1 2 R1 3 R2 1 R2 2 R2 3 R3 1 R3 2 R3 3  x 1 x2 x3  (2.1) . A transformação de velocidades da mesma forma também sofrerá a rotação V ′ = RV , assim como a força F ′ = RF estará coerente com a lei de transformação para os ref- erenciais inerciais. Com esse tipo de transformação as leis de Newton deverão permanecer invariantes. Tais considerações nos permitem entender que as leis de Newton também se preser- vam sob translações espaciais e translações de contagem do tempo. X′ = X − a e t′ = t− a. 12 Essas informações refletem o fato de que não importa a localização do observador nem mesmo a data e hora da realização das medidas, desde que estejamos nos referindo a referenciais inerciais. Podemos enunciar as translações também com notação matricial e encontramos:  t′ x′1 x′2 x′3 1  =  1 0 0 0 −a0 0 1 0 0 −a1 0 0 1 0 −a2 0 0 0 1 −a3 0 0 0 0 1   t x1 x2 x3 1  . Para o caso das rotações a transformação deverá ser do tipo:  1 0 0 0 0 0 R1 1 R2 1 R3 1 0 0 R1 2 R2 2 R3 2 0 0 R1 3 R2 3 R3 3 0 0 0 0 0 1  (2.2) . Essts e outras transformações podem ser sugeridas de forma que preservem as leis fundamentais da Mecânica Clássica. O conjunto dessas transformações semelhantes constituem um grupo, denominado Grupo Galileano. Esse grupo é classificado como um particular grupo não-abeliano, onde existem diversas maneiras para se obter uma transformação geral. É importante dizer, pois, que além de ser extremamente interessante, o Grupo Galileano permite-nos esclarecer alguns conceitos de algebra linear. O conjunto de coor- denadas espaço-temporais:  t x1 x2 x3  constituem um espaço vetorial em que os membros representam todas as possíveis posições e intervalos de tempo. Esse espaço vetorial é o que chamamos de Espaço-Tempo Newtoniano. 13 Um dos grandes problemas que possuia o Grupo de Galileu era que não deveria existir um limite na velocidade de propagação de qualquer tipo de informação. Por isso fazia sentido a existência de interações instantâneas. No entanto, as evidências como alguns experimentos mentais sugeridos por Einstein e experimentos relativos a velocidade de propagação da luz em óptica diziam outras particularidades: "Nenhum efeito poderia ser transmitido com velocidade além da veloci- dade da luz". "A velocidade da luz é uma constante universal que independe do obser- vador". Além do mais, as leis da Mecânica Clássica possuiam invariância Galileana, mas por sua vez, o Eletromagnetismo de Maxwell não satisfazia as mesmas expectativas. Apesar das equações da eletrodinâmica não serem invariantes pela ação dos elemen- tos do grupo galileano, existiam outras leis de transformações de sistemas de coordenadas A→ A′, de modo que as equações de Maxwell fossem invariantes. Contudo, necessitavam de profundas modificações conceituais a respeito da Mecânica Newtoniana. Essas equações são conhecidas como transformações de Lorentz: t′ = t− u c2 x√ 1− u2 c2 e x′ = x− ut√ 1− u2 c2 . (2.3) Uma consequência direta dessas equações é que não existem velocidades que excedam o valor da velocidade da luz. Outra consequência está em confronto com a doutrina clássica da homogeneidade do tempo que desvinculava intervalos de tempos com os intervalos espaciais, ou seja, essas equações traduzem determinadas íntimas correspondências entre espaço e tempo. Outro fato de relevante importância foi que em 1881 Michelson concluiu experimen- talmente que a velocidade da luz é independente da direção de propagação, abolindo de uma vez a concepção do éter cartesiano. Apesar de Einstein ter afirmado o desconhecimento sobre os experimentos de Michel- son, todas essas informações tiveram grandes impactos, ao ponto de influenciarem o avanço da teoria especial da relavidade. Com essas novas leis de transformações a mecânica em si deveria ser quase que totalmente reconstruída, com outros devidos grupos que substituíssem o Grupo de Galileu. Pode-se dizer que a Relatividade Especial teve grandes contribuições de cientistas como: Lorentz, Fitz Gerald, Poincaré e finalizada por Einstein e Minkowsiki. Era sabido que a eletrodinâmica era invariante apenas por rotações aos velhos gru- pos galileanos de equações, dessa forma, foi instrutivo elaborar um grupo que fizesse de subconjunto o grupo de Galileu. 14 Nas coordenadas cartesianas usais, a distância entre dois pontos X = (x1, x2, x3) e Y = (y1, y2, y3) é dada por: d(X, Y ) = [(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + (x3 − y3)2] 1 2 . Com as idéias introduzidas a respeito dos espaço vetoriais por Poincaré e Minkoswski, a distância entre dois pontos infinitesimais dependeriam do tipo de geometria utilizada, ou seja, da métrica em questão. Considere o caso em que estamos tratando de distâncias em geometria Euclidiana. Definimos como intervalo de distância: dl2 = δijdx idxj, onde δij = 1 0 0 0 1 0 0 0 1  é a métrica Euclideana, que é a matriz identidade. Contudo essa métrica não será a mesma para qualquer tipo de sistemas de coorde- nadas, como veremos. A fim de lidarmos com estrututuras que sejam invariantes relativísticas, devemos, ao invés de utilizarmos a métrica euclidiana, utilizaremos a métrica de Lorentz que define o espaço de Minkoswki gij =  −1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 . No entanto em se tratando das coordenadas 4-dimensionais do tipo: (t, x1, x2, x3), pode-se perceber a inconsistência dimensional, mas, como a velocidade da luz c é uma constante universal, podemos aproveitar dessa invariância e reescrevermos: X = (ct, x1, x2, x3). Concluindo o intervalo infinitesimal de distância será: ds2 = −c2dt2 + (dx1) 2 + (dx2) 2 + (dx3) 2 . 15 É de costume definir: cdt ≡ dx0. portanto: ds2 = −(dx0)2 + ( dx1 )2 + ( dx2 )2 + ( dx3 )2 . (2.4) Esta expressão nos revela a nova e profunda conexão existente entre espaço e o tempo. Com a sintetização desses princípios em 1905 Albert Einstein publicou seu artigo "Sobre a eletrodinâmica dos corpos em movimento"[12] e nele o princípio da relatividade restrista estava contido. Apesar de tornar consistente o Eletromagnetismo de Maxwell e a Mecânica Newto- niana com a introdução de um novo grupo que teoricamente é regido por dois postulados, a relatividade era apenas restrita aos referenciais ditos inerciais, e a Gravitação Universal de Newton ainda era regida pela "ação a distância e instantânea". Contudo a inter- ação instântanea não mais poderia fazer sentido para o princípio da relatividade. Sem contar que fenômenos astronômicos como a precessão anômala do periélio de mercúrio não era muito bem determinados pela gravitação newtoniana quando comparados ao dados experimentais [17]. Motivado mais uma vez pelas inconcistências existentes na mecânica relativística, Einstein tornou-se seduzido por vários anos a buscar por uma relatividade generalizada: A relatividade Geral. Capítulo 3 Algumas reflexões em busca de uma Relatividade Geral Einstein imaginou um anel ou uma espécie de carrocel munido de rotação em torno de um eixo e dois observadores. Um observador se encontava em repouso em relação ao eixo do anel enquanto o outro observador estava em repouso em relação ao eixo fixo do anel. Do ponto de vista do observador sobre o disco a circuferência deveria ter o com- primento de 2πr. No entanto para o observador em repouso no eixo do disco observará quando medir, um determinado encurtamento no anel. Entretanto a medida do raio permanecerá invariante. Do ponto de vista geométrico essa situação implica em uma contradição, pois a geometria euclidiana implica que a medida do comprimento de arco seja C = Rθ, então como o raio permanecendo invariante a relação euclidiana não é satisfeita? Os dois observadores podem tentar explicar o ocorrido entrando em um consenso e argumentando: Pode-se dizer que o observador em repouso sobre o disco efetuará medições de acordo com a geometria euclidiana, ou seja no universo de medições onde a relação ds2 = δikdx idxk = dx2 + dy2 + dz2 seja válida. Agora seria talvez tentador tentar explicar o efeito de contração do comprimento do anel vista pelo referencial em repouso ao eixo através da geometria de Minkowiski, ou seja, onde as medições satisfazem ds2 = ηikdx idxk = −c2dt2 +(dx1) 2 +(dx2) 2 +(dx3) 2, contudo não deve se esquecer que o referencial empregado não é inercial, fato indispensável para o emprego da relatividade restrita! Certamente esse impasse é devido à natureza do referencial agora empregado. Como o referencial está em rotação é não inercial, sendo assim, o intervalo de distância infini- tesimal será descrito pelo conjunto de medições que satisfaz a seguinte relação [16]: 16 17 ds2 = [c2 − Ω2(x′2 + y′2)]dt2 − dx2 − dy′2 − dz′2 + 2Ωy′dx′dt− 2Ωx′dy′dt, (3.1) onde Ω é a velocidade angular de rotação. Einstein ao levar em conta esses argumentos justificou que o fato das medições serem diferentes para ambos os referenciais poderia ser consequência do emprego de referenciais não inerciais que por algum motivo só podem ser realmente descritos fazendo uso de geometrias não euclidianas. Geometria essa que veremos mais a frente ser a pseudo- Riemaniana. Outra importante reflexão certamente se refere aos referenciais não inerciais com- parados com os efeitos causados pelo campo gravitacional. Um corpo submetido a apenas um campo gravitacional se comporta de modo semelhante a qualquer outro corpo sub- metido às mesmas condições iniciais. Um corpo submetido a mover-se com relação a um referencial não-inercial se com- porta da mesma forma que qualquer outro corpo que também esteja inserido nesse mesmo referencial não inercial submetido também às mesmas condições iniciais. Os efeitos do campo gravitacional verdadeiro não podem ser excluídos por nenhuma transformação de coordenadas. Uma rápida análise pode nos levar a intuir que: O movimento de um corpo em relação a um referencial não-inercial é equivalente ao movimento de um corpo em relação a um referencial inercial com a presença de um campo gravitacional. Um estudo mais quantitativo desses argumentos pode ser realizado com o uso da seguinte comparação. A expressão que descreve o movimento de uma partícula a mover-se em um campo gravitacional pode ser determinada por: L = mv2 2 −mϕ(x). (3.2) Resolvendo-a podemos encontrar que: . v = − gradϕ ou seja, somos tentados forte- mente a especular a respeito de uma certa correspondência entre as acelerações mecânicas propriamente ditas e a aceleração gravitacional. 18 Vários estudiosos indagaram-se a respeito dessa possibilidade. Uma confirmação empírica somente poderia ser encontrada se a massa que resiste aos efeitos das forças newtonianas de origem mecânica, massas inerciais mi, fosse exatamente equivalente à massa que resiste aos efeitos da forças de origem gravitacionais, massa gravitacional mg. Talvez um dos mais expressivos experimentos a respeito tenha sido o proposto pelo físico húngaro Loránd Eötvös [28] que elaborou um experimento de balança de torção, sendo capaz de calcular as irrisórias diferenças entre a mg e mi que em módulo seriam menos que 10−8g . Mais tarde experimentos mais sofisticados como a Balança de torção de Braginsky encontrou que a diferença deveria ser menor que 10−13g . Resultado esse que certamente corresponde aos erros experimentais em questão [17]. Sendo assim, as massas gravitacionais são equivalentes às massas inerciais e desta forma podemos então levantar hipóteses de que: "O referencial não-inercial é equivalente a um certo campo gravitacional". O Princípio de Equivalência A equivalência entre um observador em queda livre é um observador inserido em um referencial não-inercial, pois em ambos os sistemas o observador não consegue distinguir os efeitos locais da aceleração aos efeitos locais de um campo gravitacional. Alguns estudiosos [17] classificam o Pricípio de Equivalência em princípio de equivalência fraco e forte. Ainda hoje é verificado experimentalmente apenas o princí- pio de equivalência fraco através dos ensaios de balança acima citados. Enquanto que o princípio de equivalência forte é um pouco mais complicado de ser entendido e segundo [28] o princípio é: "As leis da natureza são válidas para todos os referencias existentes na natureza". Concluindo, é necessário o emprego de uma nova geometria a fim de que as medidas feitas pelos observadores inseridos nos dois referenciais apresentem concordância com as previsões teóricas, pois como discutido, a descrição de um referencial não inercial requer uso de uma geometria não euclidiana. Existindo a equivalência entre os referenciais não inerciais com aqueles sujeitos aos campos gravitacionais, a descrição dos referenciais sujeitos aos efeitos gravitacionais tam- bém necessitarão do uso de uma geometria não euclidiana. Levando isso em conta é necessário reformular as leis de maneira invariante por trans- formações gerais de coordenadas. De fato, podemos lançar mão agora de um pensamento que se embaza no princípio epistemológico da ciência [12]: "As leis gerais da natureza devem ser representadas por equações que tenham validade em todos os sistemas de coordenadas, isto é, que sejam co- variantes em relação a toda e qualquer substituição (covariância geral) ". 19 Em busca da generalização das representações das leis físicas, foi necessário o em- prego de uma nova geometria quadrimensional, e a adequada foi a pseudo-riemaniana cujos auto valores associados à forma bilinear em questão possuem pelo menos um de sinal oposto aos outros. Para uma adequada descrição em termos dessa nova geome- tria surge a necessidade de não mais apenas lidarmos com vetores e sim com entidades matemáticas superiores que sejam capazez de suprir nossos anceios. Os tensores. Capítulo 4 Elementos de Álgebra Tensorial. Suponha que estejamos lidando com transformações de um sistema de coordenadas arbitrário (x0, x1, x2, x3) para um outro também genérico (x′0, x′1, x ′2, x′3), segundo uma determinada lei: xi = f i(x′0, x′1, x ′2, x′3). Se determinadas quantidades se transformarem como a transformação dos seus difer- enciais: dxi = ∂f i(x′0, x′1, x ′2, x′3) ∂x′k dx ′k = ∂xi ∂x′k dx ′k, denominamos de 4-Vetores Contravariantes e definimo-os como: Ai = ∂xi ∂x′k A′k. (4.1) Os 4-Vetores contravariante de ordem superior, 4-tensores de ordens distintas (por exemplo os de segunda ordem), são formados como o produto de dois vetores contravari- antes dxidxk = ∂xi ∂x′ldx ′l ∂xi ∂x′mdx ′m e se transformam segundo a seguinte lei: Aik = ∂xi ∂x′l ∂xk ∂x′m A′lm. (4.2) 20 21 Seja ϕ um escalar que determine a lei de transformação das coordenadas. Quando a transformação de coordenadas de certas quantidades se dá como a transformação das derivadas de um escalar: ∂ϕ ∂xi = ∂ϕ ∂x′k ∂x′k ∂xi , as denominamos 4 -vetores covariantes e os definimos como segue: Ai = ∂x′k ∂xi A′k. (4.3) De modo análogo, um tensor covariante de segunda ordem pode ser construído pelo produto de dois vetores covariantes ∂ϕ ∂xi ∂ϕ ∂xk = ∂ϕ ∂x′l ∂x′l ∂xi ∂ϕ ∂x′m ∂x′m ∂xk e se transformam segundo a seguinte lei: Aik = ∂x′l ∂xi ∂x′m ∂xk A′lm. (4.4) A mesma idéia de construção pode ser aplicada para definir os tensores mistos: Aik = ∂xi ∂x′l ∂x′m ∂xk A′lm. (4.5) Por meio dessas leis de transformações pode-se verificar que AiBi é invariante. As- sim, dados Ai = ∂xi ∂x′pA ′p e Bi = ∂x′q ∂xi B′q , temos AiBi = ∂xi ∂x′pA ′p ∂x′q ∂xi A′q = ∂xi ∂x′p ∂x′q ∂xi A′pB′q = ∂x′q ∂x′pA ′pB′q = δqpA ′pB′q = A ′qB′q, onde δqp é o 4-Vetor unitário (a delta de Kronecker). Se Ak é definido como um 4-vetor então pela multiplicação do 4-vetor unitário δik, teremos Akδik = Ai que também é um 4-vetor assim demonstrando que δik é um tensor. Dois tensores são ditos inversos entre si se : AikBkl = δli. Em coordenadas curvilíneas generalizadas expressamos a distância infinitesimal en- tre dois pontos no espaço-tempo em termos de uma métrica gik também conhecida como tensor métrico que vai nos fornecer o tipo de geometria utilizada que é afetada ou não pela natureza do campo externo presente na região de interesse: ds2 = gikdx idxk. (4.6) Também podemos utilizar o tensor métrico contravariante que é simétrico ao tensor covariante definido acima de modo que: 22 gikg kl = δli. (4.7) Atentamos para o fato de que uma grandeza covariante pode ser expressa por meio de uma grandeza contravariante correspondente desde que exista tal conexão: Ai = gikAk ou Ai = gikA k. Com esse tipo de abordagem podemos encontrar os intervalos de tempo em qualquer sistema de coordenadas, por exemplo: Suponha que estejamos em um ponto do 4-Espaço tal que: dx1 = dx2 = dx3 = 0 , então: ds2 = c2dτ 2 = g00(dx0)2. Portanto: dτ = √ g00dx 0 c . (4.8) Essas relações são as que definem os intervalos de tempo real em um sistema qualquer de coordenadas. Uma discussão interessante que essa equação acima nos permite fazer é uma boa comparação: Na teoria da relatividade especial a marcha do tempo real é distinta para diferentes observadores que se movem uns em relação aos outros. Contudo, na Relatividade Geral a marcha do tempo também é afetada por qual ponto do espaço esses relógios se encontram. 4.1 Diferenciação Covariante No espaço plano, em coordenadas galileanas, o diferencial dAi de um vetor covariante Ai também é um vetor, e as derivadas ∂Ai ∂xk das componentes do vetor pelas coordenadas, formam um tensor. Por outro lado, em coordenadas generalizadas curvilíneas, o diferencial dAi nem sempre se comportará como um vetor, da mesma forma que ∂Ai ∂xk nem sempre será um tensor. Isso se deve ao fato que em coordenadas curvilíneas cada ponto tem uma determinada lei de transformação já que como vimos, por exemplo, os quadrivetores covariantes dependem das derivadas parciais de cada coordenada em relação a coordenada de transformação ∂x′k ∂xi , que nem sempre serão as mesmas ponto a ponto. 23 Podemos facilmente demostrar essas informações: SejaAi um 4-vetor covariante : Ai = ∂x′k ∂xi A′k. Calculando seu diferencial encontramos dAi = d ( ∂x′k ∂xi A′k ) = ∂x′k ∂xi dA′k + ∂2x′k ∂xi∂xm A′kdx m. Desta forma, o diferencial do quadrivetor não se transforma como um vetor, a não ser nos casos específicos em que ∂2x′k ∂xi∂xm = 0. A fim de sanar esse problema é necessário introduzir uma lei de diferenciação generalizada de maneira que independa dos sistemas de coordenadas e nos garanta que a derivada de um determinado vetor continue sendo um vetor, pois desejamos introduzir a covariância em nossas expressões. Por causa disso, definimos que a derivada covariante deverá ser igual à derivada usual menos um decremento δ que seja capaz de balancear as expressões de modo que a derivada de um vetor independentemente do sistema de coordenadas continue sendo um vetor. Assim definimos: DAi = dAi − δAi. onde δAi tem a seguinte estrutura: δAi = −ΓiklA kdxl. O símbolo Γikl é identicamente nulo em coordenadas galileanas. Dessa forma, podemos perceber que ele depende do sistema de coordenadas em questão, por isso, Γikl não é um tensor, já que em um espaço curvo é basicamente impossível o seu anulamento por toda a parte independentemente da escolha das coordenadas. A grandeza Γikl é conhecida como Conexão que para os nossos casos é identificado como Símbolo de Christoffel. Para os símbolos de Christoffel também são válidas as seguintes transformações : Γi,kl = gimΓmkl e Γikl = gimΓm,kl . Algumas referências, por exemplo [2], utilizam também da seguinte notação para o Símbolo de Christoffel: Γikl = { kl i } . (4.9) Com a introdução do Símbolo de Christoffel podemos escrever a derivada covariante de um 4-vetor contravariante. Da expressão DAi = dAi − δAi, temos que dAi = ∂Ai ∂xl dxl. 24 Sabendo a estrutura de δAi, compomos a derivada covariante DAi = ( ∂Ai ∂xl dxl ) −( −ΓiklA kdxl ) , de modo que: DAi = ( ∂Ai ∂xl + ΓiklA k ) dxl. (4.10) Do mesmo modo podemos solicitar uma expressão que seja a derivada covariante de um 4-Vetor covariante: DAi = dAi − δAi. (4.11) O valor δAi pode simplesmente ser encontrado a partir da relação de invariância do produto AiBi, pois como brevemente já discutimos: δ (AiBi) = 0. E por consequência: δAiBi + AiδBi = 0 ⇒ δAiBi = −AiδBi. Como sabemos o valor da representação δAi escrevemos : −ΓiklA kdxlBi = −AiδBi, e tendo em vista a arbitrariedade dos índices mudos mudamos a representação dos índices de forma a obtermos: ΓkilA idxlBk = AiδBi, ou seja: δBi = ΓkilBkdx l. Com esta expressão e tendo em vista que dAi = ∂Ai ∂xl dxl, podemos construir a ex- pressão da derivada covariante de um vetor covariante: DAi = ∂Ai ∂xl dxl − ΓkilAkdx l, isto é: DAi = ( ∂Ai ∂xl − ΓkilAk ) dxl. Observemos que os termos entre parênteses na expressão da derivada covariante de um vetor contravariante ( ∂Ai ∂xl + ΓiklA k ) e a expressão correspondente da derivação covariante do vetor covariante ( ∂Ai ∂xl − ΓkilAk ) são tensores, pois pela contração com o vetor dxl resultam novamente em vetores. Esses termos são denominados de derivadas covariantes e são representados segundo a notação: Ai;l = ∂Ai ∂xl + ΓiklA k, (4.12) Ai;l = ∂Ai ∂xl − ΓkilAk. (4.13) Como nossa preocupação presente está relacionada às derivações invariantes com relação aos sistemas de coordenadas, também necessitamos definir a derivação covariante para um determinado tensor. 25 A seguinte estrutura nos permitará extrair algumas conclusões: δ(AiBk) = (δAi)Bk + Ai ( δBk ) = ( −ΓilmA ldxm ) Bk + Ai ( −ΓklmB ldxm ) . Como os índices l,m são índices arbitrários, podemos fazer uma mudança de forma que nas expressões acima l→ m e m→ l, com isso δ(AiBk) = ( −ΓimlA mdxl ) Bk + Ai ( −ΓkmlB mdxl ) = − ( ΓimlA mBk + ΓkmlA iBm ) dxl. Em nossas definições o vetor AiBk poderia ser equivalente a um certo tensor Aik, assim δ ( Aik ) = − ( ΓimlA mk + ΓkmlA im ) dxl. Logo δAik = − ( ΓimlA mk + ΓkmlA im ) dxl. (4.14) A expressão para a derivada covariante de um tensor é da mesma estrutura D () = d ()− δ (). Como dAik = ∂Aik ∂xl dxl e com uso do valor superior encontramos a expressão DAik = ( ∂Aik ∂xl + ΓimlA mk + ΓkmlA im ) dxl. (4.15) A expressão entre parenteses é simbolizada por: Aik;l = ∂Aik ∂xl + ΓimlA mk + ΓkmlA im. (4.16) Seguindo o mesmo raciocínio anterior é possível encontrar a mesma expressão para a derivada covariante de um tensor da forma Aik: 26 δ(AiBk) = (δAi)Bk + Ai (δBk) = ( ΓlimAldx m ) Bk + Ai ( ΓlkmBldx m ) = = ( ΓmilAmdx l ) Bk + Ai ( ΓmklBmdx l ) = (AmBkΓ m il + AiBmΓmkl) dx l, ou seja δ(Aik) = (AmkΓ m il + AimΓmkl) dx l. Consequêntemente DAik = ( ∂Aik ∂xl − ΓmilAmk − ΓmklAim ) dxl , e a expressão entre parêntese é simbolizada por Aik;l = ∂Aik ∂xl − ΓmilAmk − ΓmklAim. (4.17) Por fim, o cálculo da derivação covariante de um tensor misto é apenas uma combi- nação dessas idéias δ(AiBk) = −ΓilmA ldxmBk + AiΓmklBmdx l = = ( −ΓimlA lBk + ΓlkmA iBm ) dxm ⇒ δ(Aik) = ( −ΓimlA l k + ΓlkmA i l ) dxm, logo DAik = ( ∂Aik ∂xm − ΓilmA l k + ΓlkmA i l ) dxm. (4.18) 4.2 Discussão a respeito do Símbolo de Christoffel Γabc Foi rapidamente discutido que os símbolos de Christoffel foram um mecanismo ado- tado de modo a compensar a não linearidade das equações. Em outras palavras, compen- sar a curvatura do espaço em questão. Assim também é de se esperar que os símbolos Γabc também igualmente possuam determinadas relações com as coordenadas do espaço 27 em questão. Afim de obtermos essa relação imaginemos um determinado vetor em um sistema de coordenadas qualquer. A = Aiei. (4.19) Então o diferencial será ∂A ∂xj = ∂Ai ∂xj ei + Ai ∂ei ∂xj . Com a necessária introdução de ∂ei ∂xj = Γkijek , teremos ∂A ∂xj = ∂Ai ∂xj ei + AiΓkijek . Com a manipulação indicial do segundo termo, reescrevemos ∂A ∂xj = ∂Ai ∂xj ei + ΓikjA kei , e encontremos novamente a expressão para a derivação covariante para vetor o A = Aiei : ∂A ∂xj = ( ∂Ai ∂xj + ΓikjA k ) ei . (4.20) Realizemos uma projeção da variação da base ∂ei ∂xj em uma determinada base arbi- trária el do mesmo espaço, encontramos: ( ∂ei ∂xj ) el = ( Γkijek ) el = ( Γkij ) ek e l = Γkijδ l k = Γlij. 28 Podemos reescrever ∂ei ∂xj como ∂ei ∂xj = ∂ ∂x′k ( ∂x′k ∂xj ei ) mas podemos escrever também, como já abordado, ei = ∂x′m ∂xi em. Com essas estruturas é possível encontrar: ∂ei ∂xj = ∂ ∂x′k ( ∂x′k ∂xj ∂x′m ∂xi em ) = ∂x′k ∂xj ∂ ∂x′k ( ∂x′m ∂xi em ) . Agora utilizando a estrutura encontrada por ( ∂ei ∂xj ) el = Γlij e utilizando a notação el = ∂xl ∂x′n e n, temos: ( ∂ei ∂xj ) el = [ ∂x′k ∂xj ∂ ∂x′k ( ∂x′m ∂xi em )] ( ∂xl ∂x′n e n ) = Γlij =[ ∂x′k ∂xj ∂ ∂x′k ( ∂x′m ∂xi ) em + ∂x′k ∂xj ∂x′m ∂xi ∂ ∂x′k (em) ] ( ∂xl ∂x′n e n ) = = ∂x′k ∂xj ∂xl ∂x′n ∂ ∂x′k ( ∂x′m ∂xi ) eme n + ∂x′k ∂xj ∂x′m ∂xi ∂xl ∂x′n ∂em ∂x′k e n. Como emen = δnm e ∂em ∂x′k e n = Γ′nmk, ficamos com Γlij = ∂x′k ∂xj ∂xl ∂x′n ∂ ∂x′k ( ∂x′m ∂xi ) δnm + ∂x′k ∂xj ∂x′m ∂xi ∂xl ∂x′nΓ′nmk = = ∂x′k ∂xj ∂xl ∂x′n ∂ ∂x′k ( ∂x′n ∂xi ) + ∂x′k ∂xj ∂x′m ∂xi ∂xl ∂x′nΓ′nmk = = ∂xl ∂x′n ∂ ∂xj ( ∂x′n ∂xi ) + ∂x′k ∂xj ∂x′m ∂xi ∂xl ∂x′nΓ′nmk. Agora apenas rearranjando os termos encontramos finalmente Γlij = ∂x′k ∂xj ∂x′m ∂xi ∂xl ∂x′n Γ′nmk + ∂xl ∂x′n ∂2x′n ∂xj∂xi , (4.21) que é o símbolo de Christoffel em termos das coordenadas. Por simples inspeção observamos que os Símbolos Christoffel se transformam como tensores apenas em relação aos termos compostos pelo produto das derivadas primeiras. No entanto, um termo de derivada segunda nos impede de designarmos Γlij como tensores. A expressão Γlij apenas se comportará como um tensor nos casos em que: ∂xl ∂x′n ( ∂2x′n ∂xj∂xi ) = 0. Uma região previamente localizada do espaço que possui a anulação das derivadas segundas é denominada como localmente geodésica ou localmente inercial. Essa restrita região se comporta como um espaço galileano localizado. 29 4.3 Correspondência entre o Símbolo de Christoffel e o tensor métrico Como discutido a pouco nesse trabalho, a introdução da derivada covariante foi impre- scindível para que preservássemos nossas estruras vetorais e tensoriais, ou seja, a derivada covariante de um vetor é também um vetor. Se podemos representar os vetores por meio do tensor métrico Ai = gikA k, faz muito sentido também podermos escrever a derivada covariante sob mesma notação DAi = gikDA k. Então poderemos concluir que DAi = D ( gikA k ) = DgikA k + gikDA k que deve ser igual a gikDAk. Então para existir coerência entre as expressões necessariamenteDgik = 0. Considerando a arbitrariedade de um vetor Ai, temos Dgik = 0. (4.22) Ou ainda gik;l = 0. (4.23) Isso mostra que a derivada covariante do tensor métrico é nula. Podemos também expressar: Dgik = gik;l = ∂gik ∂xl − Γmil gmk − Γmlkgim = 0. Mas das propriedades Γmil gmk = Γk,il e Γmlkgim = Γi,lk , encontramos gik;l = ∂gik ∂xl − Γk,il − Γi,lk = 0 , 30 ∂gik ∂xl = Γk,il + Γi,lk . (4.24) O simples ato de permutação dos indíces da expressão acima, quando combinadas entre si, podem nos fornecer uma informação de grande valia. Então primeiramente façamos a troca : l→ k e k → l para encontrar: ∂gil ∂xk = Γl,ik + Γi,kl . (4.25) Agora da relação anterior façamos a troca de: i→ k e k → i ou seja: ∂gkl ∂xi = Γl,ki + Γk,il . (4.26) Com essas expressões aproveitando a repetição de alguns termos desde que seja válido Γabc = Γacb, podemos encontrar ∂gik ∂xl + ∂gil ∂xk − ∂gkl ∂xi = = (Γk,il + Γi,lk) + (Γl,ik + Γi,kl)− (Γl,ki + Γk,il) = Γi,lk + Γi,kl = 2Γi,lk. Portanto Γi,lk = 1 2 ( ∂gik ∂xl + ∂gil ∂xk − ∂gkl ∂xi ) . (4.27) Podemos também escrever como Γikl por meio de Γikl = gimΓm,kl, ou seja Γikl = 1 2 gim ( ∂gmk ∂xl + ∂gml ∂xk − ∂gkl ∂xm ) , (4.28) que representa o valor do Símbolo de Christoffel em termos do tensor métrico. Essa expressão fortalece algumas de nossas afirmações anteriores, pois, mostra explicitamente a dependência entre Γ e as variações da métrica. Sobre essa perspectiva fica mais claro 31 entender que a introdução dos símbolos de Christoffel é necessária quando tratamos de co- ordenadas curvilíneas generalizadas, uma vez que, quem define a geometria é basicamente o tensor métrico e, como percebemos, a expressão para Γ leva em conta as variações da métrica gab. Após termos aprendido alguns princípios do cálculo tensorial devemos agora ser capazes de discutir um pouco a respeito da cinemática e dinâmica envolvidas. 4.3.1 Partícula Livre na presença de um campo gravitacional Se o assunto se trata de equações de movimento, na maioria dos casos, certamente somos levados a recorrer aos métodos de Mecânica Analítica e utilizarmos o Princípio de Mínima Ação, assunto que será melhor discutido no transcorrer desse trabalho. Na Relatividade Especial, define-se mínima ação para uma determinda partícula a seguinte relação: δS = −mcδ ∫ dt = 0. (4.29) No entanto, podemos também utilizar do fato de que se uma partícula é dita livre então d2xi dt2 = 0, ou seja, a sua 4-aceleração deve ser nula. Em outras palavras a variação de sua 4-velocidade dui deve ser nula. Essa aparente redundância de definições acima será apenas um artifício para encontrar a equação do movimento de uma partícula livre submetida a um campo. As expressões d2xi dt2 = 0 e dui são apenas válidas para coordenadas galileanas cujo espaço é plano. No entanto, a presença de um campo gravitacional torna a métrica em questão diferente da euclidiana, e como a métrica é a responsável pela geometria do espaço em questão, não mais estaremos necessariamente em um espaço que valide essas expressões de diferenciação para todos os pontos do espaço vetorial. Por isso nos tópicos anteriores foram discutidas algumas técnicas capazes de lidar generalizações quanto aos tipos de coordenadas. Assim em um espaço de coordenadas curvilíneas generalizadas devemos empregar a seguinte relação que envolve a anulação da derivada covariante da 4-velocidade: Dui = 0. (4.30) Como a derivada de um certo vetor contravariante ui é 32 Dui = ( ∂ui ∂xl + Γiklu k ) dxl, devemos encontrar anulação dessa expressão: Dui = dui + Γiklu kdxl = 0. Agora submetendo essa expressão a uma variação infinitesimal temporal encon- tramos que dui+Γiklu kdxl dt = 0 . Então dui dt + Γiklu k dxl dt = 0 → d dt ( dxi dt ) + Γikl dxk dt ( dxl dt ) = 0 , ou seja d2xi dt2 + Γikl dxk dt dxl dt = 0 . (4.31) A equação escrita logo acima define teoricamente o movimento para uma partícula livre da ação de forças na presença de um campo gravitacional, também conhecida como a equação da geodésica. Ela fornece a trajetória de menor distância entre dois pontos em um sistema de coordenadas qualquer. Podemos fazer uma analogia entre as equações da dinâmica Newtoniana com a estrutura acima encontrada. O valor para d2xi dt2 é a 4-aceleração. Nesse mesmo sentido, podemos dizer que −mΓikl dxk dt dxl dt é a 4-força da partícula. Talvez essas conclusões que tiramos da equação de movimento tenham sido um dos maiores triunfos que podemos exaltar sobre a teoria da Relatividade Geral em relação a mecânica clássica, pois uma partícula isenta de forças não está necessariamente em repouso ou emmovimento retilíneo e uniforme como previa Newton e a Relatividade Especial. Mas sim, segue a geodésica de seu movimento que pode ser alterada pela presença do campo em questão. Assim concluímos que para o escopo da Relatividade Geral se um corpo apresenta-se parado é por que existe uma resultante não nula de forças que age sobre o mesmo. Capítulo 5 Tensor de Curvatura Imaginemos que nosso sistema de coordenadas seja o sistema galileano. Se tivermos emmãos um determinado vetor que aponte em uma direção fixa qualquer e o submetermos a diversos transportes paralelos a sua orientação original, perceberemos que independente de quantos transportes paralelos forem realizados, será possível coincidir o vetor trans- portado com aquele que iniciamos. Agora imaginemos um 4-espaço qualquer curvo. O transporte paralelo infinitamente pequeno de um determinado vetor, no qual as suas componentes não se alteram, pode ser definido. Para isso consideremos xi = xi(s) uma equação paramétrica de uma curva qualquer, onde s é o comprimento de arco em questão. O vetor unitário tangente a curva será: ui = dxi ds . No entanto, considerando uma curva geodésica: Dui = 0. Podemos dizer que se no ponto xi da linha geodésica o vetor possuir o valor ui, se realizarmos um transporte até o ponto xi+dxi da mesma linha, deveremos encontrar para o vetor o valor de ui + dui que será tangente a linha nesse devido ponto. Realizando o transporte por toda a linha geodésica, o vetor tangente permanecerá paralelo a si mesmo. Pode-se dizer que em um transporte paralelo de dois vetores, o ângulo entre eles permanece o mesmo. Com base nisso, o transporte paralelo de qualquer vetor ao longo de uma linha geodésica implica o ângulo entre o vetor e a reta tangente à curva permanece invariável. É importante ressaltar que o transporte paralelo em um espaço curvilíneo entre dois pontos, apresenta distintos resultados que são dependentes do trajeto escolhido entre esses dois pontos. Um interessante exemplo que facilita a compreensão é o transporte paralelo em um circuito fechado, pois, quando o vetor for transportado paralelamente de 1 → 2 paralelamente 2 → 3 e por final, paralelamente regressar de 3 → 1 , ele não coincidirá com o vetor inicial. Tal exemplo está esboçado na figura abaixo: 33 34 Figura 5.1: Transporte paralelo em um circuito fechado. Então podemos concluir que nem sempre podemos coincidir um vetor transportado paralelamente com o vetor inicial em um circuito fechado. Mas o quanto esse vetor está desviado do original? Para responder essa questão podemos imaginar determinado vetor Ai sendo trans- portado paralela e infinitesimalmente por um circuito fechado qualquer em coordenadas curvelíneas. A soma dessas composições infinitesimais nos dará o desvio generalizado que pode ser escrito como: ∆Ak = ∮ δAk , onde δAk = ΓiklAidx l. Isso implica ∆Ak = ∮ ΓiklAidx l . (5.1) 35 Figura 5.2: Representação tridimensional Como sabemos, existe uma certa correspondência entre a circulação de um vetor em um circuito fechado com o fluxo do rotacional desse mesmo vetor através da superfície compreendida pelo circuito fechado. Essa correspondência é chamada de teorema de Stockes. Contudo não podemos esquecer que nossas expressões devem estar escritas para um sistema de coordenadas generalizadas, por isso, o teorema de Stockes deve sofrer certos ajustes. Para isso são necessárias algumas comparações que serão feitas a seguir. Em um espaço tridimensional euclidiano podemos encontrar o volume do sólido correspondente a três vetores (−→u ,−→v ,−→w ) por meio dos seguintes cálculos: |−→v ×−→w | = Area ⇒ V olume = −→u . (−→v ×−→w ) = ∣∣∣∣∣∣∣ u1 u2 u3 v1 v2 v3 w1 w2 w3 ∣∣∣∣∣∣∣ Agora para um espaço quadrimensional calcula-se a área da hipersuperfície de modo análago ao volume no espaço tridimensional. dSikl = ∣∣∣∣∣∣∣ dxi dxi ′ dxi ′′ dxk dxk ′ dxk ′′ dxl dxl ′ dxl ′′ ∣∣∣∣∣∣∣ (5.2) . Também existe uma outra maneira de mudanças de índices que é por meio dos pseudo-tensores eiklm, assim dando origem aos tensores duais Aik = eiklmAlm. Os pseudo-tensores gozam da seguinte propriedade: 36 eiklmeprst = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ δip δir δis δit δkp δkr δks δkt δlp δlr δls δls δmp δmr δms δmt ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ (5.3) . Assim poderemos associar um 4-vetor dual dSi = −1 6 eiklmdSklm , onde dS0 = dS123, dS1 = dS023, e assim por di- ante. Dessa maneira dSi será o 4-vetor que em módulo será igual a área do elemento da hipersuperfície e de direção normal a esse elemento. Um caso particular é o caso dS0 = dS123 = dxdydz conhecido como elemento de volume. Observe que é ds0 a projeção da hipersuperfície sobre o hiperplano x0. Como o elemento de volume quadrimensional é definido como dΩ = dx0dx1dx2dx3 = cdtdV, podemos também afirmar que: dSidx i → dΩ. Assim uma correpondência entre área e volume é estabelecida: dSi → dΩ ∂ ∂xi . (5.4) Se tratarmos de um fluxo podemos agora generalizar afirmando que∮ AidSi = ∫ ∂Ai ∂xi dΩ. (5.5) que é o teorema da Divergência de Gauss para 4-vetores. Pensando de modo análogo, podemos fazer também uma determinada correspondên- cia dfki → dxidxk, 37 sendo dfki um determinado elemento de área. Assim obtemos dxi → dfki ∂ ∂xk , de forma que em se tratando da circulação de um determinado vetor Ai tenhamos ∮ Aidxi = ∮ ∂Ai ∂xk dfki. (5.6) Análogamente a propriedade que dois vetores possuem ao tratarmos do vetor normal aos vetores −→v e −→w por meio da relação −→v × −→w = −−→w × −→v implicando que o vetor normal tem orientação que depende da quiralidade definida, o vetor dfki também possui essa propriedade de forma que é um elemento anti-simétrico: dfki = −df ik. (5.7) Com essas informações é equivalente expressarmos: dfki ∂Ak ∂xi − dfki∂Ai ∂xk = 2dfki ∂Ak ∂xi . (5.8) Agora, se trocarmos os índices i → k e k → i do segundo termo do lado esquerdo da igualdade teremos dfki ∂Ak ∂xi − ( −df ik ∂Ak ∂xi ) = dfki ∂Ak ∂xi + dfki ∂Ak ∂xi = 2dfki ∂Ak ∂xi . (5.9) 38 De modo conclusivo expressamos ∂Ak ∂xi dfki = 1 2 ( dfki ∂Ak ∂xi − dfki∂Ai ∂xk ) , e então podemos reescrever a afirmação acima: ∮ Aidxi = ∮ ∂Ai ∂xk dfki = 1 2 ∮ ( dfki ∂Ak ∂xi − dfki∂Ai ∂xk ) , portanto ∮ Aidxi = 1 2 ∮ ( dfki ∂Ak ∂xi − dfki∂Ai ∂xk ) , que é uma representação mais ampla para o teorema de Stockes. Como conseguimos alcançar nosso objetivo de escrever o teorema de Stockes para 4- vetores em espaço curvos, o empregaremos para resolver o problema de estimar a diferença entre um vetor e seu valor inicial após um transporte paralelo, que foi a nossa grande motivação para desenvolvermos o ferramental acima. Assim ∆Ak = ∮ δAk = ∮ ΓiklAidx l = 1 2 ∮ [ df lm ∂ ∂xl ( ΓikmAi ) − df lm ∂ ∂xm ( ΓiklAi )] = = 1 2 ∮ [ ∂ ∂xl ( ΓikmAi ) − ∂ ∂xm ( ΓiklAi )] df lm. (5.10) Desenvolvendo o integrando temos 39 Ai ∂ ∂xl ( Γikm ) − Ai ∂ ∂xm ( Γikl ) + Γikm ∂ ∂xl (Ai)− Γikl ∂ ∂xm (Ai) . (5.11) Da expressão δAk = ΓiklAidx l podemos reescrever: ∂Ak dxl = ΓiklAi. Por meio disso, com o uso do integrando desenvolvido acima, ficamos com: Ai ∂ ∂xl ( Γikm ) − Ai ∂ ∂xm ( Γikl ) + Γikm ∂ ∂xl (Ai)− Γikl ∂ ∂xm (Ai) = = Ai ∂Γikm ∂xl − Ai ∂Γikl ∂xm + Γikm (ΓnilAn)− Γikl (Γ n imAn) . (5.12) Se nos dois últimos termos da expressão fizermos a seguinte troca de índices i→ n e n → i, a fim de utilizarmos a arbitrariedade de um vetor Ai, teremos Ai ∂Γikm ∂xl −Ai ∂Γikl ∂xm +Γnkm ( ΓinlAi ) −Γnkl ( ΓinmAi ) = Ai ( ∂Γikm ∂xl − ∂Γikl ∂xm + ΓnkmΓinl − ΓnklΓ i nm ) . então: ∆Ak = ∮ ΓiklAidx l = 1 2 ∮ [ ∂ ∂xl ( ΓikmAi ) − ∂ ∂xm ( ΓiklAi )] df lm = = 1 2 ∮ [ ∂Γikm ∂xl − ∂Γikl ∂xm + ΓnkmΓinl − ΓnklΓ i nm ] Aidf lm , ∆Ak = 1 2 ∮ [ ∂Γikm ∂xl − ∂Γikl ∂xm + ΓnkmΓinl − ΓnklΓ i nm ] Aidf lm , 40 onde o termo entre colchetes é o Tensor de Curvatura, também conhecido como Tensor de Riemann: Ri klm = ∂Γikm ∂xl − ∂Γikl ∂xm + ΓnkmΓinl − ΓnklΓ i nm. (5.13) Observe que o tensor de Rieman é um tensor de quarta ordem. A expressão anterior relaciona o tensor de curvatura com as primeiras derivadas dos Símbolos de Christoffel. No entanto, como já exposto, os Símbolos de Christoffel são dependentes das primeiras derivadas do tensor métrico. Portanto é de esperar que o Tensor de Rieman esteja vincu- lado com a derivada segunda do tensor métrico. Essa afirmação pode ser demonstrada, mas para isso primeiramente escrevemos o tensor misto Ri klm na forma covariante. Riklm = ginR n klm. (5.14) Como Rn klm = ∂Γnkm ∂xl − ∂Γnkl ∂xm + ΓpkmΓnpl − ΓpklΓ n pm, isso nos possibilita escrever Riklm = ginR n klm = gin ( ∂Γnkm ∂xl − ∂Γnkl ∂xm + ΓpkmΓnpl − ΓpklΓ n pm ) . (5.15) Portanto, se reescrevermos as duas primeiras conexões acima em termos da métrica, respeitando é claro os índices correspondentes, encontraremos Γnkm = 1 2 gnq ( ∂gqk ∂xm + ∂gqm ∂xk − ∂gkm ∂xq ) . (5.16) e Γnkl = 1 2 gnq ( ∂gqk ∂xl + ∂gql ∂xk − ∂gkl ∂xq ) . (5.17) Substituindo as duas últimas equações no tensor de Rieman na forma covariante, teremos: Riklm = ginR n klm = 41 gin ( ∂ [ 1 2 gnq ( ∂gqk ∂xm + ∂gqm ∂xk − ∂gkm ∂xq )] ∂xl − ∂ [ 1 2 gnq ( ∂gqk ∂xl + ∂gql ∂xk − ∂gkl ∂xq )] ∂xm + ΓpkmΓnpl − ΓpklΓ n pm ) 1 2 gin [ ∂ ∂xl { gnq ( ∂gqk ∂xm + ∂gqm ∂xk − ∂gkm ∂xq )} − ∂ ∂xm { gnq ( ∂gqk ∂xl + ∂gql ∂xk − ∂gkl ∂xq )}] +gin ( ΓpkmΓnpl − ΓpklΓ n pm ) = 1 2 gin { ∂gnq ∂xl ( ∂gqk ∂xm + ∂gqm ∂xk − ∂gkm ∂xq )} + 1 2 gin { gnq ( ∂g2qk ∂xl∂xm + ∂2gqm ∂xl∂xk − ∂2gkm ∂xl∂xq )} −1 2 gin { ∂gnq ∂xm ( ∂gqk ∂xl + ∂gql ∂xk − ∂gkl ∂xq )} − 1 2 gin { gnq ( ∂g2qk ∂xl∂xm + ∂2gql ∂xm∂xk − ∂2gkl ∂xm∂xq )} +gin ( ΓpkmΓnpl − ΓpklΓ n pm ) = 1 2 gin { ∂gnq ∂xl ∂gqk ∂xm + ∂gnq ∂xl ∂gqm ∂xk − ∂gnq ∂xl ∂gkm ∂xq } + 1 2 gin { gnq ( ∂g2qk ∂xl∂xm + ∂2gqm ∂xl∂xk − ∂2gkm ∂xl∂xq )} − −1 2 gin { ∂gnq ∂xm ∂gqk ∂xl + ∂gnq ∂xm ∂gql ∂xk − ∂gnq ∂xm ∂gkl ∂xq } − 1 2 gin { gnq ( ∂g2qk ∂xl∂xm + ∂2gql ∂xm∂xk − ∂2gkl ∂xm∂xq )} + +gin ( ΓpkmΓnpl − ΓpklΓ n pm ) . Observando a simetria existente entre os índices de derivação dos termos que estão organizados na primeira chave {} com os termos contidos na terceira chave, concluímos que sob uma somatória por todos os índices, eles serão equivalentes e portanto se cancelarão. Desse modo, a expressão se reduz a: Riklm = 1 2 gin { gnq ( ∂g2qk ∂xl∂xm + ∂2gqm ∂xl∂xk − ∂2gkm ∂xl∂xq )} − 1 2 gin { gnq ( ∂g2qk ∂xl∂xm + ∂2gql ∂xm∂xk − ∂2gkl ∂xm∂xq )} + +gin ( ΓpkmΓnpl − ΓpklΓ n pm ) = 42 = 1 2 ging nq { ∂g2qk ∂xl∂xm + ∂2gqm ∂xl∂xk − ∂2gkm ∂xl∂xq − ∂g2qk ∂xl∂xm − ∂2gql ∂xm∂xk + ∂2gkl ∂xm∂xq } +gin ( ΓpkmΓnpl − ΓpklΓ n pm ) = = 1 2 ging nq { ∂2gqm ∂xl∂xk − ∂2gkm ∂xl∂xq + ∂2gkl ∂xm∂xq − ∂2gql ∂xm∂xk } + gin ( ΓpkmΓnpl − ΓpklΓ n pm ) = = 1 2 δqi { ∂2gqm ∂xl∂xk − ∂2gkm ∂xl∂xq + ∂2gkl ∂xm∂xq − ∂2gql ∂xm∂xk } + gin ( ΓpkmΓnpl − ΓpklΓ n pm ) = = 1 2 { ∂2gim ∂xl∂xk − ∂2gkm ∂xl∂xi + ∂2gkl ∂xm∂xi − ∂2gil ∂xm∂xk } + gin ( ΓpkmΓnpl − ΓpklΓ n pm ) . portanto Riklm = 1 2 { ∂2gim ∂xl∂xk − ∂2gkm ∂xl∂xi + ∂2gkl ∂xm∂xi − ∂2gil ∂xm∂xk } + gin ( ΓpkmΓnpl − ΓpklΓ n pm ) . (5.18) Podemos verificar como propriedade do Tensor de Curvatura Riklm, a antisimetria por troca de índices consecutivos e a simetria de troca de índices não consecutivos. Para justificar o exposto acima façamos como se segue: Como Riklm é da forma como acima definido, podemos trocar a ordem dos dois primeiros índices consecutivos e encontarmos: Rkilm = 1 2 { ∂2gkm ∂xl∂xi − ∂2gim ∂xl∂xk + ∂2gil ∂xm∂xk − ∂2gkl ∂xm∂xi } + gkn ( ΓpimΓnpl − ΓpilΓ n pm ) . (5.19) Os índices do último termo do tensor de Riemann Riklm são equivalentes aos do tensor Rkilm sob troca de índices i → k e k → i e sobre a inversão de sinal. Quanto ao primeiro termo fica explícito que Riklm = −Rkilm. Agora com o tensor de Riemann Riklm invertemos a ordem dos dois últimos índices: 43 Rikml = 1 2 { ∂2gil ∂xm∂xk − ∂2gkl ∂xm∂xi + ∂2gkm ∂xl∂xi − ∂2gim ∂xl∂xk } + gin ( ΓpklΓ n pm − ΓpkmΓnpl ) . (5.20) e do mesmo modo verifica-se que Riklm = −Rkilm = −Rikml , ou então Riklm +Rkilm +Rikml = 0. (5.21) Podemos nos perguntar se existe algum tipo de propriedade quanto às derivadas covariantes do Tensor de Riemann. A resposta é afirmativa e uma dessas propriedades é denominada identidade de Bianchi: Rn ikl;m +Rn imk;l +Rn ilm;k = 0. (5.22) Para verificar a identidade de Bianchi, primeiramente escrevamos o tensor de cur- vatura definido nas respectivas formas Rn ikl, R n imk, R n ilm : Rn ikl = ∂Γnil ∂xk − ∂Γnik ∂xl + ΓpilΓ n pk − ΓpikΓ n pl , Rn imk = ∂Γnik ∂xm − ∂Γnim ∂xk + ΓpikΓ n pm − ΓpimΓnpk , Rn ilm = ∂Γnim ∂xl − ∂Γnil ∂xm + ΓpimΓnpl − ΓpilΓ n pm . (5.23) Aproveitando o caráter tensorial da expressão do tensor de Riemann, se realizarmos os cálculos no sistema localmente geodésico o valor encontrado deverá também ser equiva- lente ao cálculo em qualquer outro sistema de coordenadas. A vantagem de fazer o cálculo 44 em um sistema localmente geodésico somente se justifica pela busca da simplicidade al- gébrica envolvida nas expressões. Em um sistema local geodésico a identidade de Bianchi será: Rn ikl,m +Rn imk,l +Rn ilm,k = 0 . (5.24) Rn ikl,m = ∂Γnil ∂xm∂xk − ∂Γnik ∂xm∂xl , Rn imk,l = ∂Γnik ∂xl∂xm − ∂Γnim ∂xl∂xk , Rn ilm,k = ∂Γnim ∂xk∂xl − ∂Γnil ∂xk∂xm . Portanto ∂Γnil ∂xm∂xk − ∂Γnik ∂xm∂xl + ∂Γnik ∂xl∂xm − ∂Γnim ∂xl∂xk + ∂Γnim ∂xk∂xl − ∂Γnil ∂xk∂xm = 0 . (5.25) Verificando a validade da relação de Bianchi podemos corresponder de modo a dizer que ela é válida para qualquer sistemas de coordenadas devido ao caráter tensorial, ou seja, a identidade de Bianchi para Derivadas Covariantes também é verdadeira. Portanto, a expressão definida é satisfeita. Um outro comentário a respeito do tensor de Curvatura se refere as suas pos- síveis contrações. Um tipo de contração muito empregado no estudo em questão é de- nominado de Tensor de Ricci. Podemos obter o tensor de Ricci que é um tensor de ordem segunda, por meio da seguinte contração indicial: Rik = glmRlimk = Rl ilk . (5.26) Com os valores definidos para o tensor de Riemann, podemos encontrar: Rik = ∂Γlik ∂xl − ∂Γlil ∂xk + ΓlikΓ m lm − Γmil Γ l km . (5.27) 45 Uma outra contração muito importante resulta no chamado escalar de Curvatura que é representado por: R = gikRik . (5.28) Capítulo 6 O Tensor Energia Momento A princípio definiremos o Tensor de Energia-Impulso no espaço de Minkowski, mas para isso é necessário definirmos a ação em espaços planos gerados por 4-vetores. S = 1 c ∫∫∫∫ Λ ( q, ∂q ∂xi ) dV dt , onde L = ∫∫∫ Λ ( q, ∂q ∂xi ) dV , é a lagrangiana obtida pela soma infinitesimal da densidade de Lagrangiana Λ ( q, ∂q ∂xi ) por todo o volume. Consequentemente a ação pode ser expressa como a integral por todo o espaço de Minkowski, S = 1 c ∫∫∫∫ Λ ( q, ∂q ∂xi ) dΩ . (6.1) Calculando a anulação do variacional da ação, temos δS = 1 c ∫∫∫∫ δΛ ( q, ∂q ∂xi ) dΩ = 0 , 46 47 δS = ∫∫∫∫ ( ∂Λ ∂q δq + ∂Λ ∂( ∂q ∂xi ) δ ( ∂q ∂xi )) dΩ = 0 . Reescrevendo essa expressão utilizando o diferencial total da expressão teremos ∂Λ ∂q δq + ∂Λ ∂( ∂q ∂xi ) δ ( ∂q ∂xi ) = ∂Λ ∂q δq + ∂ ∂xi ( ∂Λ ∂q,i δq ) − ∂ ∂xi ( ∂Λ ∂q,i ) δq , desde que ∂δq ∂xi = δ ( ∂q ∂xi ) . Com a derivação total escrevemos: ∫∫∫∫ ( ∂Λ ∂q δq + ∂Λ ∂( ∂q ∂xi ) δ ( ∂q ∂xi )) dΩ = = ∫∫∫∫ ( ∂Λ ∂q δq + ∂ ∂xi ( ∂Λ ∂q,i δq ) − ∂ ∂xi ( ∂Λ ∂q,i ) δq ) dΩ = 0 = ∫∫∫∫ ( ∂Λ ∂q δq − ∂ ∂xi ( ∂Λ ∂q,i ) δq ) dΩ− ∫∫∫∫ ∂ ∂xi ( ∂Λ ∂q,i δq ) dΩ = 0. Como o segundo termo da equação acima é a integral sobre todo o espaço da di- vergência, assumimos que não existem fontes de campo no infinito quando tratamos de uma fonte de campo finita. Por isso a expressão (que é o teorema de Gauss) deve ser nula no fim da integração. Portanto ∫∫∫∫ ( ∂Λ ∂q δq − ∂ ∂xi ( ∂Λ ∂q,i ) δq ) dΩ = 0 , ou seja [ ∂Λ ∂q − ∂ ∂xi ( ∂Λ ∂q,i )] δq = 0 , para toda variação δq logo 48 ∂Λ ∂q − ∂ ∂xi ( ∂Λ ∂q,i ) = 0 . (6.2) A divergência da densidade de Lagrangiana também pode ser transformada pelas regras de derivação. ∂ ∂xi Λ (q, ∂q,i) = ∂Λ ∂q ∂q ∂xi + ∂Λ ∂q,k ∂q,k ∂xi . Como ∂Λ ∂q = ∂ ∂xi ( ∂Λ ∂q,i ) , reescrevemos: ∂ ∂xi Λ (q, ∂q,i) = ∂ ∂xk ( ∂Λ ∂q,k ) ∂q ∂xi + ∂Λ ∂q,k ∂q,k ∂xi . (6.3) Assumindo que q,k,i = q,i,k , temos ∂ ∂xi Λ (q, ∂q,i) = ∂ ∂xk ( ∂Λ ∂q,k ) ∂q ∂xi + ∂Λ ∂q,k ∂q,k ∂xi , que poderá ser contraído em um diferencial total. Desse modo ficamos com ∂ ∂xi Λ (q, ∂q,i) = ∂ ∂xk ( ∂Λ ∂q,k ∂q ∂xi ) . (6.4) Realizando uma mudança de índices através do tensor identidade 49 ∂ ∂xi Λ (q, ∂q,i) = δki ∂ ∂xk Λ (q, ∂q,i) , temos: δki ∂ ∂xk Λ (q, ∂q,i) = ∂ ∂xk ( ∂Λ ∂q,k ∂q ∂xi ) . (6.5) De maneira a concluirmos que ∂ ∂xk ( ∂Λ ∂q,k ∂q ∂xi − δki Λ (q, ∂q,i) ) = 0 , encontrando assim uma importante relação, expressando divergência nula de uma certa quantidade. Essa certa expressão é conhecida como o tensor de energia-impulso e definida como T ki ≡ ∂Λ ∂q,k ∂q ∂xi − δki Λ (q, ∂q,i) . (6.6) Para um sistema de partículas este tensor pode ser escrito como T ki ≡ ∑ l ∂Λ ∂q (l) ,k ∂q(l) ∂xi − δki Λ ( q(l), ∂q (l) ,i ) . (6.7) 50 6.1 Tensor de Energia-Impulso emCoordenadas Curvilíneas Como foi discutido, a ação que encontramos é válida para os espaços de Minkowski. Contudo desejamos, como sempre, expressões invariantes por mudanças gerais de coorde- nadas. Para generalizar a ação, lembremos que o elemento que proporciona a correta trans- posição de coordenadas x à x′ é denominado de jacobiano de transformação. Além do mais, é de se suspeitar que o tensor métrico esteja novamente presente nessa relação já que estamos lidando com propriedades geométricas. O Jacobiano de Transformação é definido como: J ≡ ∣∣∣∣ ∂ (x0, x1, x2, x3) ∂ (x′0, x′1, x′2, x′3) ∣∣∣∣ . (6.8) Como discutido, os tensores se transformam como gik = ∂xi ∂x′l ∂xk ∂x′m g ′lm . Em termos do determinante, temos ∣∣gik∣∣ = ∣∣∣ ∂xi∂x′l ∣∣∣ ∣∣∣ ∂xk∂x′m ∣∣∣ ∣∣g′(0)lm ∣∣ . Sabendo que gikgik = 1 e ∣∣gikgik∣∣ = |gik| ∣∣gik∣∣ = 1 , definindo |gik| ≡ g , teremos que∣∣gik∣∣ = 1 g . Usufluindo mais uma vez do caráter tensorial, calculemos o determinante da métrica de Minkowisk representada por g′(0)lm, ou seja, ∣∣g′(0)lm ∣∣ = −1 , 1 g = J2 (−1) → J = √ −1 g . Partindo de um sistema de coordenadas generalizadas para outro 51 dΩ = JdΩ′ , ou ainda dΩ = √ −1 g dΩ′ . De onde concluímos que dΩ′ = √ −gdΩ . (6.9) Calculando a ação para o sistema de coordenadas (x′0, x′1, x′2, x′3) temos: S = 1 c ∫ Λ ( gik, ∂gik ∂xl ) dΩ′ . (6.10) Como essas expressões precisamente devem ser válidas para qualquer sistema em questão, vamos escrever a mesma utilizando a relação de transformação obtida logo acima S = 1 c ∫ Λ ( gik, ∂gik ∂xl )√ −gdΩ . (6.11) Com essa expressão, novamente procedemos os mesmos cálculos anteriores δS = 1 c ∫ δΛ ( gik, ∂g ik ∂xl )√−gdΩ = 0 , δS = 1 c ∫ ∂Λ √−g ∂gik δgik + ∂Λ √−g ∂ ( ∂gik ∂xl )δ(∂gik ∂xl ) dΩ = 0 . Como 52 ∂ ∂xl  ∂Λ √−g ∂ ( ∂gik ∂xl )δgik  = ∂ ∂xl  Λ √−g ∂ ( ∂gik ∂xl )  δgik + Λ √−g ∂ ( ∂gik ∂xl ) ∂ ∂xl δgik , a anulação do variacional da ação pode ser transformada como: 1 c ∫ ∂Λ √−g ∂gik δgik + ∂ ∂xl  Λ √−g ∂ ( ∂gik ∂xl )δgik − ∂ ∂xl  Λ √−g ∂ ( ∂gik ∂xl )  δgik  dΩ = 0 . Do mesmo modo a 4-divergência deverá ser nula quando somada por todo o espaço quando a fonte de campo supostamente for finita. Disso resulta δS = 1 c ∫ ∂Λ √−g ∂gik δgik − ∂ ∂xl  Λ √−g ∂ ( ∂gik ∂xl )  δgik  dΩ = 0 , ∴ δS = 1 c ∫ ∂Λ √−g ∂gik − ∂ ∂xl  Λ √−g ∂ ( ∂gik ∂xl )  δgikdΩ = 0 . (6.12) Como feito para o espaço de Minkowski, a relação entre colchetes fornece ∂Λ √−g ∂gik − ∂ ∂xl  Λ √−g ∂ ( ∂gik ∂xl )  = 1 2 √ −gTik , que representa o Tensor de Energia-Impulso para coordenadas generalizadas. Capítulo 7 Ação para o Campo Gravitacional O formalismo da Mecânica Analítica possibilita encontrar as equações de movimento para uma ou para um sistema de partículas por meio do princípio da Mínima Ação. A ideia desse princípio possivelmente teve suas origens com os ensaios filosófico-teológicos de Maupertuis [19] publicados em 1744. Posteriormente foi reestruturado em formalismo matemático por meio dos trabalhos publicados em meados do século XVIII por Euler, Lagrange entre outros. O formalismo que hoje utilizamos para o Princípio de Mínima Ação deve-se a William Rowan Hamilton que foi registrado por volta dos anos de 1834, 1835. Para uma partícula a ação é definida como: S = ∫ L ( q, dq dt , t ) dt . (7.1) Observemos que a ação é uma integral de uma função das coordenadas generalizadas da partícula, das suas velocidades generalizadas e do tempo; todas calculadas em um intervalo de tempo qualquer. A langrangiana em sua estrutura traz consigo marcas profundas do determinismo clássico [21] que almeja prever o comportamento de qualquer corpo desde que se conheça sua posição e sua velocidade no uniforme transcorrer do tempo, dessa forma descrevendo toda a trajetória futura desse determinado corpo. A Langrangiana também pode ser determinada por uma generalização por todo o espaço envolvido (que é a densidade de Lagrangiana) como fizemos sem justificar no tópico do tensor Energia-Impulso, mas agora uma interpretação mais profunda será necessária. 53 54 Observemos a estrutura da densidade de lagrangeana L = ∫ L ( q, dq dt ) dNq . (7.2) A a ação poderá ser reescrita na forma: S = ∫ ( L ( q, dq dt ) dNq ) dt . (7.3) No entanto o grande objetivo que agora devemos explorar não está totalmente em saber qual é a equação de movimento de uma partícula, mas sim qual é a "equação de movimento"(se assim podemos dizer) para o campo gravitacional. Por isso precisamos construir a ação do campo gravitacional de modo análogo à estrutura das equações acima discutidas para o movimento de uma partícula. Podemos começar estabelecendo o valor para o número de dimensões "N"em nosso caso é o 4-espaço. A lagrangiana usualmente vincula posição e velocidade. Para o campo gravitacional posição fara o papel análogo o tensor métrico, a velocidade como se fosse a variação da métrica. Contudo tanto a Lagrangiana como a densidade de Lagrangiana são escalares, e a simples combinação de gik com Γikl não resultará em um escalar. Mas, a poucos cálculos atrás, nós definimos o escalar de curvatura R que, por ventura, depende das derivadas primeiras e segundas do tensor métrico gik em questão. Isso a princípio nos atrapalha a construir as equações de movimento de 2a ordem, a não ser que usemos algum artifício. Poderemos tentar definir um elemento G ( gik, ∂gik ∂xl ) de forma que ∫ G √ −gdΩ = ∫ R √ −gdΩ− ∫ ∂ ( √−gAi) ∂xl dΩ , onde Ai é um vetor de transformação. Se considerarmos que o campo e suas variações se anulem nas fronteiras, conse- quentemente a sua variação também se anulará. Por esse fato δ ∫ G √ −gdΩ = δ ∫ R √ −gdΩ . (7.4) 55 Agora, podemos escrever √−gR = √−ggikRik = = √−g { gik ∂Γlik ∂xl − gik ∂Γlil ∂xk + gikΓlikΓ m lm − gikΓmil Γlkm } e rearranjando: √−ggik ∂Γlik ∂xl = ∂ ∂xl (√−ggikΓlik)− Γlik ∂ ∂xl (√−ggik) , √−ggik ∂Γlil ∂xk = ∂ ∂xk (√−ggikΓlil)− Γlil ∂ ∂xk (√−ggik) . Como estamos tratando do variacional das expressões, desde já desprezamos as derivadas totais de modo que G √−g = Γmim ∂ ∂xk (√−ggik)− Γlik ∂ ∂xl (√−ggik)− gik√−g (Γmil Γlkm − ΓlikΓ m lm ) . Tendo em vista a relação Γiki = 1 2 gim (gmi,k + gmk,i − gki,m) = 1 2 (gimgmi,k + gimgmk,i − gimgki,m) e considerando que a contração indicial realizada pelo tensor métrico implica que gimgmk,i− gimgki,m = 0 , ou seja, Γiki = 1 2 gimgmi,k . Apesar dos tensores métricos serem representados por matrizes, assim respeitando a álgebra matricial, quando realizarmos a soma de termo a termo da expressão anterior, teremos a relação definida abaixo Γiki = 1 2g ∂g ∂xk = ∂ ln √−g ∂xk , ∂gik ∂xl = −Γimlg mk − Γkmlg im . (7.5) Logo pode-se encontrar que 56 G = gik ( Γmil Γ l km − ΓlikΓ m lm ) . (7.6) É de fundamental importância sabermos que as grandezas que sofrem a variação são as componentes do tensor métrico. Contra intuitivamente a integral da ação de um campo real nem sempre resultará em um mínimo, como esperado. Esse resultado deve-se ao fato que nem toda as variações possíveis de gik resultam em uma alteração da métrica do espaço-tempo, ou seja, a alteração real do campo gravitacional. 7.1 Equações de Einstein As equações de movimento para o campo gravitacional foram obtidas por Einstein no início do século XX por métodos diferentes dos de Hamilton [12]. Ainda hoje se discute sobre quem teria primeiramente obtido as equações que hoje governam a Relatividade Geral, pois, data-se que nesse mesmo ano David Hilbert haveria proposto as mesmas equações só que derivadas por princípios variacionais [17]. Não realizaremos os procedimentos conforme realizados por Einstein e sim pelos princípio variacionais ao modo de Hilbert. Da mesma forma que as equações de Euler- Lagrange podem ser extraídas por métodos variacionais de uma ação, em se tratando da família das Equações de Einstein para o movimento propriamente dito do campo gravitacional não será diferente. Podemos encontrar as equações do campo gravitacional por meio da variação fun- cional: δ(Sm + Sg) = 0 , onde Sm é a ação para a matéria e Sg é a ação para o campo gravitacional. Como já analisamos, a estrutura para a ação do campo gravitacional, que foi possível por meio de uma analogia com a Mecânica Analítica, permite concluir que ∫ G √ −gdΩ = ∫ R √ −gdΩ− ∫ ∂ ∂xl Al √ −gdΩ . (7.7) 57 Desconsiderando os termos de superfície que são encontrados quando integramos por todo o hipervolume temos δ ∫ G √ −gdΩ = δ ∫ R √ −gdΩ . (7.8) Dessa forma δ ∫ G √ −gdΩ = δ ∫ Rikg ik √ −gdΩ , δ ∫ Rikg ik √ −gdΩ = ∫ δ (Rik) g ik √ −gdΩ+ ∫ Rikδ ( gik )√ −gdΩ+ ∫ Rikg ikδ (√ −g ) dΩ . (7.9) Sabemos que δ ( √−g) pode ser calculado como se fosse uma determinada derivada, ou seja δ (√ −g ) = 1 2 −δg√−g . (7.10) A quantidade δg pode ser escrita também como [28]. δg = ggikδg ik . (7.11) Por meio dessas duas idéias acima reescrevemos δ (√ −g ) = 1 2 −ggikδgik√−g = −1 2 √ −ggikδgik. (7.12) 58 Com essas transformações podemos reescrever o termo correspondente à δ ∫ R √−gdΩ. Portanto δ ∫ Rikg ik √ −gdΩ = ∫ δ (Rik) g ik √ −gdΩ+ ∫ Rikδ ( gik )√ −gdΩ+ ∫ Rik ( −1 2 √ −ggikδgik ) gikdΩ. Agrupando o segundo com o terceiro termo da expressão acima, de modo a escrever sobre uma mesma variação δgik, ficamos com δ ∫ Rikg ik √ −gdΩ = ∫ δ (Rik) g ik √ −gdΩ + ∫ ( Rik − 1 2 Rgik ) δgik √ −gdΩ . (7.13) Relembremos agora a estrutura do tensor de Ricci em termos dos Símbolos de Christoffel: Rik = ∂Γlik ∂xl − ∂Γlil ∂xk + ΓlikΓ m lm − Γmil Γ l km . (7.14) Se aproveitarmos o caráter tensorial da expressão acima, podemos definir o tensor de Ricci em um sistema local-geodésico. Uma vez que nesse sistema não existirá contribuição significativa do produto das primeiras derivadas, a expressão para o tensor de Ricci se reduz Rik = ∂Γlik ∂xl − ∂Γlil ∂xk . (7.15) Consequentemente o variacional δRik será δRik = δ ∂Γlik ∂xl − δ∂Γlil ∂xk = ∂ ∂xl ( δΓlik ) − ∂ ∂xk ( δΓlil ) . (7.16) 59 Então δRikg ik = gik ∂ ∂xl ( δΓlik ) − gik ∂ ∂xk ( δΓlil ) . (7.17) A fim de uma simplificação façamos a alternância dos índices no segundo termo l→ k e k → l, ou seja δRikg ik = gik ∂ ∂xl ( δΓlik ) − gil ∂ ∂xl ( δΓkik ) = ∂Al ∂xl , pois como toda a equação está submetida aos mesmos diferencias, reescrevemos gikδΓlik − gilδΓkik = Al . (7.18) Apesar de ainda estarmos em um sistema local geodésico, com essas estruturas discutidas acima, podemos reescrever as expressões não mais apenas considerando os sistemas locais e geodésicos, mas sim levando em conta a arbitrariedade da escolha dos referencias. Por isso acrescentamos o Jacobiano de transformação √−g , elemento que garante a inedependência do espaço ser plano ou curvo: δRikg ik √ −g = ∂ ∂xl (√ −gAl ) . (7.19) Esse foi um argumento extraído de [16] que apesar de lógico pode levantar suspeitas. Uma prova rigorosa da mesma expressão é encontrada em [28], que apenas não a realizei aqui por não ter conseguido até a presente data fazê-la sem pedir auxílios. Sobre essas transformações a expressão δ ∫ Rikg ik √ −gdΩ = ∫ δ (Rik) g ik √ −gdΩ + ∫ ( Rik − 1 2 Rgik ) δgik √ −gdΩ , se reduzirá a 60 δ ∫ R √ −gdΩ = ∫ ∂ ∂xl (√ −gAl ) dΩ + ∫ ( Rik − 1 2 Rgik ) δgik √ −gdΩ . (7.20) Considerando como válido o Teorema da Divergência de Gauss, o primeiro termo que está escrito em termos de uma divergência não interferirá nos resultados depois de integrarmos por todo o hipervolume e aplicarmos o variacional, ou seja: δ ∫ R √ −gdΩ = ∫ ( Rik − 1 2 Rgik ) δgik √ −gdΩ . (7.21) Assumiremos que a variação da ação será nula da mesma forma que quando tratamos com o princípio da Mínima Ação No entanto, vale ressaltar que a variação nem sempre será um mínimo, mas deve ser garantida que seja um extremo [16]. Podemos expressar, com correções de algumas constantes, que o variacional da Ação do Campo Gravitacional em questão será: δSg = −c3 16πk ∫ ( Rik − 1 2 Rgik ) δgik √ −gdΩ , portanto em se tratando da ação para o campo gravitacional em uma região isenta de outras fontes de campo teremos Rik − 1 2 gikR = 0 , que a conhecida Equação de Einstein do Campo Gravitacional para o vácuo. No entanto em se tratando da parte δSm, temos δSm = δ ∫ G √ −gdΩ = δ ∫ G ( gik, ∂gik ∂xi )√ −gdΩ . (7.22) Aplicando o variacional no termo G ( gik, ∂g ik ∂xi ) ficamos com 61 ∫  ∂G ∂gik √ −gδgik + ∂G ∂ ( ∂gik ∂xl )√−gδ(∂gik ∂xl ) dΩ . (7.23) Podemos reduzir o segundo termo da expressão acima através de uma transformação de diferencial total, ou seja, se notarmos que ∂ ∂xl  ∂G ∂ ( ∂gik ∂xl )δgik  = ∂ ∂xl  ∂G ∂ ( ∂gik ∂xl )  δgik + ∂G ∂ ( ∂gik ∂xl )δ(∂gik ∂xl ) . (7.24) encontraremos ∫  ∂G ∂gik √ −gδgik + ∂ ∂xl  ∂G ∂ ( ∂gik ∂xl )δgik − ∂ ∂xl  ∂G ∂ ( ∂gik ∂xl )  δgik  dΩ . (7.25) Novamente estamos tratando de uma expressão que possui um diferencial total que pelo teorema da divergência não afetará nossos resultados por ser nulo no infinito. Por- tanto a expressão δSm simplificada será ∫  ∂G ∂gik √ −gδgik − ∂ ∂xl  ∂G ∂ ( ∂gik ∂xl )  δgik  dΩ . (7.26) Com a reinclusão das constantes temos δSm = c3 16πk ∫  ∂G ∂gik √ −gδgik − ∂ ∂xl  ∂G ∂ ( ∂gik ∂xl )  δgik  dΩ . (7.27) Sabemos que existe uma conexão profunda entre a variação da ação em termos da densidade de Lagrangeana e o tensor de Energia-Impulso, ou comumente Energia- Momento. Tal tensor pode ser escrito como δSm = 1 2c ∫ Tik √ −gδgikdΩ . (7.28) 62 Assim, se compararmos ambas as expressões para δSm teremos que 8πk c4 Tik = 1√−g  ∂G ∂gik √ −gδgik − ∂ ∂xl  ∂G ∂ ( ∂gik ∂xl )  δgik  . (7.29) Da expressão δ (Sg + Sm) = 0, temos −c3 16πk ∫ ( Rik − 1 2 Rgik ) δgik √ −gdΩ+ c3 16πk ∫  ∂G ∂gik √ −gδgik − ∂ ∂xl  ∂G ∂ ( ∂gik ∂xl )  δgik  dΩ = 0 . Concluímos assim que Rik − 1 2 Rgik = 1√−g  ∂G ∂gik √ −gδgik − ∂ ∂xl  ∂G ∂ ( ∂gik ∂xl )  . (7.30) A mesma expressão é mais comumente escrita atráves do tensor de energia mo- mento. Se utilizarmos a relação existente entre G e T , podemos escrever a expressão acima indicada como Rik − 1 2 gikR = 8πk c4 Tik . (7.31) Essa é a equação de Einstein não homogênea para o campo gravitacional. Em outras palavras é a equação que descreve a equação de movimento para o campo gravitacional na presença de fontes. Tanto a energia quanto o momento das fontes presentes são os responsáveis em modelar a geometria do espaço-tempo. 63 Podemos também buscar uma representação mista da equação acima. Para isso simplesmente contraímos os índices por meio da métrica gjk: gjk ( Rik − 1 2 gikR ) = gjk ( 8πk c4 Tik ) . (7.32) Como gjkRik = Rk i ; gjkgik = δji e gjkTik = T ji , concluímos que Rk i − 1 2 δkiR = 8πk c4 T ki . (7.33) Contraindo os índices da expressão acima ficamos com R− 1 2 4R = 8πk c4 T , que se reduz a R = −8πk c4 T . (7.34) Com esse valor para o escalar de curvatura, completamos a equação de Einstein Rik − 1 2 gik ( −8πk c4 T ) = 8πk c4 Tik , que quando simplificada é geralmente expressa por 64 Rik = 8πk c4 ( Tik − 1 2 gikT ) . (7.35) É importante salientar que as equações de Einstein, tanto a homogênea quanto a não homogênea, não são lineares ou seja, o princípio da superposição de efeitos não se verifica. Somente existe um caráter linear nas equações de Einstein que é quando estamos tratando de campos débeis, ou seja, campos ditos fracos. Em outras palavras, os campos gravitacionais no limite Clássico Newtoniano. Capítulo 8 Introdução à Gravitação de Brans-Dicke Antes mesmo da formulação da Relatividade Geral ser estabelecida, outras tentativas contemporâneas à época visavam aprimorar os resultados da Gavitação Newtoniana e certamente essas hoje compõe parte do cenário da história da gravitação. Talvez um dos grandes expoentes desse tenha sido o físico finlandes Nordström que estabeleceu uma teoria que podia ser derivada de uma ação que foi determinada um ano mais tarde por Einstein e Fokker [8]. A métrica de sua teoria era um acoplamento de um campo escalar com a métrica de Minkowski. No entanto o problema para a precessão do periélio de Mercúrio era errôneamente prevista pela teoria de Nordström. Esse fato fez da teoria obsoleta para os fins práticos, mas uma inspiração à comunidade científica. Em 1915 a teoria da Relatividade Geral em uma das sua primeiras versões foi esta- belecida [12]. A partir disso uma séria de experiências a fim de testá-la foram propostas, problemas como: desvio da luz na presença de um campo gravitacional, a precessão do periélio de Mercúrio, equivalência entre massas inerciais e gravitacionais entre outras [9]. Esses experimentos foram importantes pois fizeram da Relatividade Geral a teoria mais bem sucedida, quando comparada a experimentos em nosso sistema solar. Na década de vinte o russo Alexander Friedmann propos uma solução para as equações de Einstein que, segundo o próprio Einstein não estaria errada matematicamente, no entanto, incoerente fisicamente. O francês Georges Lemaitre, e os norte americanos Robertson e Walker ap- rimoraram esse mesmo modelo que visava explicar um universo dinâmico que em larga escala de acordo com a Relatividade Geral seria homogêneo e isotrópico. Essa proposta que começou a ser desenvolvida nos anos de 1927, tornou-se universalmente aceita por volta da década de sessenta e compõe o que a comunidade científica chama de Modelo Padrão para a Cosmologia [24]. Apesar do Modelo padrão ser considerado um sucesso por explicar satisfatoriamente problemas como a expansão do universo (através dos resultados publicados por Huble 65 66 em 1929), e a existência das radiações cósmicas de fundo (que foram constatadas pelos experimentos de Wilson e Penzias em 1965). Esse modelo não é capaz de explicar com a mesma concordância alguns problemas como: o problema do horizonte de eventos (regiões do universo provavelmente jamais tiveram contato causal se comparado a idade prevista do universo), o problema dos monopólos magnéticos (por que hoje não os observamos), expansão acelerada do universo, etc. Modelos atuais denominados ΛCDM ( Lâmbda-Cold Dark Matter) atualmente vem sendo empregados a fim de responder essas questões que o modelo de Friedmann não podia responder, como por exemplo a expansão acelerada do universo. No entanto, ainda assim problemas são identificados. Por exemplo a constante Λ (Constante Cosmológica) utilizada nesses modelos é 120 ordens de grandezas diferente do valor obtido pela Física de Partículas Elementares, sem contar que assumir a veracidade do modelo implica também considerar que 70% da quantidade de matéria do universo se encontra em uma forma desconhecida de fluído constituído por um conteúdo não bariônico, a matéria escura [25]. Algumas teorias de grande unificação como a teoria de Super Cordas no seus limites para baixas energias implicam na existência de um campo escalar denominado Dilaton que compõe a interação gravitacional [3]. Motivados pelas questões astronômicas acima discutidas, a não concordância dos modelos clássicos à explicação de fenomenologias de dimensões cosmológicas e a perspec- tiva real das teorias modernas, retornemos por mais um instante ao século XIX. Em 1883 o filósofo Ernst Mach em sua famosa obra "Ciência da Mecânica"faz valiosas críticas a algumas concepções definidas por Newton, a definição de massa e a definição de espaço-tempo [20]. Abaixo confrontaremos esses pensamentos de forma mais direta "A quantidade de matéria é a medida da mesma, obtida conjuntamente a partir de sua densidade e volume. [...] é essa quantidade que doravante sempre denominarei pelo nome de corpo ou massa"[20]. Mach não satisfeito com a definição da medida de massa dada por Newton, alegando ser uma espécie de "pseudo definição", afirma: "O conceito de massa não fica mais claro descrevendo a massa como o produto do volume pela densidade, já que a própria densidade denota simplesmente a massa pela unidade de volume. A definição verdadeira de massa só pode ser deduzida das relações dinâmicas dos corpos" [20]. Ao contrário das concepções newtonianas Mach defendia que a medida de massa de- veria levar em conta a interação com as denominadas estrelas fixas, uma vez que a medida 67 de massa está intrinsecamente relacionada com a medida entre a força e a aceleração e essas que podem ser diferentes dependendo da região do universo considerado. Em se tratando do conceito de espaço tempo, Newton afirmava a existência inde- pendente do mesmo, se comparada ao restante do universo. Agora sob os pontos de vista de Mach o espaço e tempo apenas poderiam fazer sentido a partir do momento que ex- istisse observadores, que em nosso vocabulário moderno talvez possa ser definido como a presença de Energia e Momento. O uso do talvez na frase anterior é apenas consequência direta de que o princípio de Mach ainda não pode ser analisado experimentalmente. Certamente essa discordância de caráter epistemológico teve repercursão na formu- lação das teorias de Gravitação. Eintein havia mencionado em suas notas bibliográficas a inspiração gerada pelo Princípio de Mach em sua teoria relativista para os referenciais generalizados [12]. Apesar das equações de Einstein vincularem diretamente a matéria com o espaço tempo, a teoria Einsteniana não é completamente Machiana, uma vez que as soluções das equações de campo da Relatividade Geral na ausência completa de fontes prevêm a existência de um espaço-tempo plano quadrimensional, o espaço de Minkowiski. Mas como havíamos discutido outras teorias para a Gravitação também estavam em perspectivas. Em 1937 Paul Dirac em seu polêmico trabalho "Teoria dos Grandes Números"[11] estabeleceu relações diretas entre as constantes mais diversas da Física. Dentre essas relações existia também a hipótese da Constante Gravitacional G newtoniana ser uma função dependente da era cosmológica do universo. Esse trabalho levantou polêmica, como pode ser visto no artigo publicado por Edward Teller que confrontou tais hipóteses com alguns dados geológicos, obtendo contradições com as evidências empíricas [27]. Em 1949 Jordan publica um trabalho que basicamente compõe o início das Teorias Escalares Tensoriais à Gravitação [15]. Tal teoria foi inspirada nos trabalhos de Dirac, só que ao invés de apenas considerar a Constante da Gravitação Universal uma variável dependente da era cosmológica, considerou um campo escalar [15]. Jordan também havia proposto que devido essas consequências o tensor de energia- momento, não necessariamente deveria ser sempre nulo sob derivações covariantes e propõs mecanismos de produção de massa que violava a equação da conservação de massa. Apesar da teoria escalar-tensorial de Jordan concordar com a proposta de Dirac, a construção de sua teoria apresentava acoplamente mínimo entre o campo escalar e o tensor métrico, ou seja, o Princípio de Equivalência da Relatividade Geral seria violado, pois, para uma mesma métrica seria possível estabelecer diversas geodésicas associadas. Para a época, violar o princípio base de uma das teorias mais fundamentadas certamente não foi atitude bem aceita, tanto que em 1959 Markus Fierz publicou um trabalho propondo que a teoria de Jordan deveria ser construída através de um acoplamento escalar tensorial realizado não minimamente [14]. 68 Em 1961 Brans e Dicke publicaram um trabalho cujo título: "Princípio de Mach e uma teoria Relativística da Gravitação"[7]. Hoje considera-se a gravitação de Brans e Dicke a mais fácil e a mais precisa dentre as inúmeras teorias escalares e multi escalares- tensoriais [13]. A teoria de Brans e Dicke é uma teoria escalar-tensorial assim como imaginava Jor- dan, no entanto o campo escalar não se acoplava a parte material apresentando acopla- mento não-mínimo. O campo escalar proposto possuía a ordem de grandeza do inverso da constante gravitacional [6], sendo assim fazia o papel da suposta constante gravitacional variável de acordo com a intuição física de Dirac. Também com isso atendia o princípio de Mach uma vez que a medida de massa não mais seria absoluta e sim o resultado da interação com os corpos nas vizinhanças. Além de tudo isso a teoria de Brans e Dicke concordava muito bem com as previsões da teoria padrão de Einstein. 8.1 Analogia com as idéias de gravitação Newtoniana e uma generalização A fim de obter a expressão que relaciona o campo escalar com a existencia de máteria e energia, realizaremos uma analogia, que para nossos fins se adequa perfeitamente. No entanto, é importante deixarmos claro que o potencial gravitacional é uma grandeza física distinta do campo escalar que media a interação gravitacional! Seja a lei de Gauss para o campo gravitacional → Eg, ∮ → Eg → da = Gm, quando essa relacionada através do teorema da divergência e pela equivalência existente entre o gradiente do potencial escalar ϕ e o campo gravitacional, Oϕ = → −Eg. Note que∫ → Eg → dA = Gm = ∫ O → EgdV . Como m = ∫ ρdV , temos: ∫ → Eg → dA = ∫ O → EgdV = G ∫ ρdV → O → Eg = Gρ, portanto: O2ϕ = −Gρ . A equação resumida logo acima é a equação de Poisson para o potencial gravitacional newtoniano. No entanto, a expressão está escrita para um sistema de coordenadas planas tridimensionais. A extensão natural do Laplaciano ∇2 para um espaço regido por uma métrica pseudo-Riemaniana, assim como a Relatividade Geral, é o D’Lambertiano em coordenadas curvilíneas � ≡ ∇k∂k. Agora precisamos apenas encontrar um elemento correspondente à densidade de massa. Podemos encontrar a resposta se pensarmos da seguinte forma. O tensor de energia-momento é a grandeza que fornece toda e qualquer informação da existência e dinâmica da matéria existente em um determinado sistema. Sendo T00 a densidade de energia, assim dizendo o escalar associado ao tensor de energia- momento é a densidade de energia. Portanto, é coerente dizermos que o escalar do tensor de matéria se relacione à densidade de massa ρ de um determinado sistema. Sendo 69 adequada a comparação, em busca de uma expressão que seja covariante e dependente aos campos tensoriais-escalares, pode-se sugerir tal estrutura �Φ = λT ii , onde Φ é um campo escalar que assim como a partícula associada ao campo gravitacional, media a interação gravitacional, e T ii é o traço do tensor de energia-momento. Sabemos que a expressão padrão definida pelos livros textos como por exemplo [28] é praticamente a mesma por nós deduzidas levando em conta um fator de angulo esférico. �Φ = 4πλT ii . (8.1) 8.2 Equações de Movimento por Primeiros Princí- pios Assim como feito por Einstein em sua Relatividade Geral, pode-se também obter as equações de movimento para a Gravitação de Brans Dicke sem a minimização fun- cional. Para isso utilizaremos argumentos físicos indispensáveis e estruturas matemáticas escalares- tensoriais generalizadas, assim como parte é realizado em [28]. Consideremos a equação de Einstein na presença de matériaRik− 1 2 gikR = −8πGT ik. Utilizando a hipótese de que a constante gravitacional não mais é um valor fixo (como desejaria Dirac) e sim um parâmetro que se comporta como o inverso de um campo escalar Φ ( como espearia Jordan). A equação de Eintein ficará como Rik − 1 2 gikR = −8π 1 Φ T ik e quando reescrita assume a seguinte forma: ( Rik − 1 2 gikR ) Φ = −8πT ik. (8.2) Podemos pensar qual é a razão de variação dessa equação quando a mesma é definida em um sistema arbitrário de coordenadas, para isso, calculemos a derivação covariante da expressão: ( Rik − 1 2 gikR ) ;i Φ + ( Rik − 1 2 gikR ) Φ;i = −8π ( T ik ) ;i (8.3) Analisando essa expressão pode-se concluir que, como a matéria ou energia, não podem ser criadas, o tensor de energia momento é conservado. Portanto, sua derivação covariante deverá ser nula. Sendo nula a derivação covariante do tensor de energia-momento, para preservar a igualdade, o lado esquerdo da equação também deverá ser nulo. De fato o tensor de Einstein Gik = Rik − 1 2 gikR, é nulo sob derivações covariantes, isso pode ser entendido 70 de duas maneiras, a primeira e a mais usual é que ela respeita a Identidade de Bianchi e geometricamente dizendo deve ser nula. Uma outra maneira de percebermos que a derivação covariante ( Gik ) ;i é identicamente nula é imaginar as equações de Eintein para o vácuo: Rik − 1 2 gikR = 0. Assumindo essa igualdade como verdadeira quando nessa re- alizarmos a derivada covariante: ( Rik − 1 2 gikR ) ;i = ( Gik ) ;i = 0 , encontra-se naturalmente que a derivação é obrigatóriamente nula, se não fosse, seria possível levantar problemas, um deles é que o Tensor de Einstein não seria nulo sobre derivação covariante sem que seja realizada alteração nesse conteúdo, em outras palavras alteraríamos a geometria sem alteração das fontes. Percebendo que o tensor de Einstein é nulo sob derivações covariantes, a equação proposta com a inserção do campo escalar está incoerente, pois: ( Rik − 1 2 gikR ) Φ;i = 0, ou seja, estamos assumindo, sem conhecer a dinâmica do campo Φ, que é necessariamente nula a sua derivação. Se tivermos interessados na arbitrariedade de uma teoria, concluiremos que a equação está incompleta, coisa que pode ser corrigida com a inserção de um tensor pertinente à existência do campo escalar T ikΦ . Por isso a equação mais coerente de acordo com os argumentos deverá ser: ( Rik − 1 2 gikR ) Φ = −8π ( T ik + T ikΦ ) . (8.4) Apesar da coerência e necessidade quanto a existência do tensor T ikΦ , ainda não conhecemos os seus termos. Sendo assim sugere-se a estrutura mais generalizada para um tensor de segunda ordem: T iΦ k = A (Φ) Φ,iΦ,k +B (Φ) δikΦ,mΦ,m + C (Φ) Φ,i ;k + δikD (Φ)�Φ (8.5) Se calcularmos a derivada covariante desse tensor generalizado, poderemos determiná- lo a menos de constantes, quando o compararmos com a equação de Einstein acoplada ao campo escalar. Faremos as derivadas termo a termo: [A (Φ) Φ,iΦ,k];i = A ′ (Φ) Φ,iΦ ,iΦ,k + A (Φ) Φ,i ;i + A (Φ) Φ,iΦ,k;i ,[ B (Φ) δikΦ,mΦ,m ] ;i = δikB ′ (Φ) Φ,iΦ,mΦ,m + δikB (Φ) Φ,m;i + δikB (Φ) Φ,m ;iΦ,m ,[ C (Φ) Φ,i ;k ] ;i = C ′ (Φ) Φ,iΦ ,i ;k + C (Φ) Φ,i ;k ;i ,[ D (Φ)�Φδik ] ;i = δikD ′ (Φ) Φ,i�Φ + δikD (Φ) (�Φ);i . Tais derivadas quando agrupadas, fornecem encontra-se a seguinte forma para (T iΦk);i 71 (T iΦk);i = [ A ′ (Φ) +B ′ (Φ) ] Φ,iΦ ,iΦ,k+ [ A (Φ) +D ′ (Φ) ] Φ,k�Φ+ [ A (Φ) + 2B (Φ) + C ′ (Φ) ] Φ,iΦ ,i ;k +C (Φ) Φ,i ;k ;i +D (Φ) (�Φ);i . Assumindo a validade da transformação Φ,mR m k = Φ,i ;i;k − ( Φ ;i ,k ) ;i = (�Φ);k − � (Φ,k), implica que a derivada covariante do D’alambertiano de um campo nem sempre será igual ao D’alambertiano da derivada do campo escalar, ou seja, a ordem das derivadas não mais comutam e sim são dependentes do tipo de geometria que está sendo empregada. A equação de Einstein na forma mista ( Ri k − 1 2 δikR ) Φ,i = −8π (T iΦ k);i , poderá ser reescrita em termos do tensor generalizado e em termos da identidade que relaciona o campo (�Φ);k −� (Φ,k)− 1 2 RΦ,i = = −8π {[ A ′ +B ′] Φ,iΦ ,iΦ,k + [ A+D ′] Φ,k�Φ + [ A+ 2B + C ′] Φ,iΦ ,i ;k + C (Φ)� (Φ,i) } −8πD (Φ) (�Φ);k . Comparando os dois primeiros termos do lado esquerdo da equação com os dois últimos termos do lado direito, para garantir a igualdade, podemos afirmar que −8πC = −1 → C = 1 8π , 8πD = 1→ D = − 1 8π . Para encontrarmos os demais coeficientes precisaremos calcular o traço da equação de Jordan-Brans-Dicke , Rik − 1 2 gikR = −8π Φ (T iM i + T iΦ i), que pode ser expresso por R = 8π Φ (T iM i + T iΦ i) e inserirmos nessa os tensores de energia-momento correspondentes. Como �Φ = 4πλT iM i → T iM i = �Φ 4πλ , e a contração do tensor de energia- momento relacionado ao campo escalar é dada pela seguinte expressão: T iΦ i = A (Φ) Φ,iΦ,i +B (Φ) δiiΦ,mΦ,m + C (Φ) Φ,i ;i + δiiD (Φ)�Φ = = A (Φ) Φ,iΦ,i + 4B (Φ) Φ,mΦ,m + C (Φ) Φ,i ;i + 4D (Φ)�Φ . Assim subsitituindo os dois resultados acima no traço da equação de Jordan-Brans- Dicke ficamos com R = 8π Φ (�Φ 4πλ + A (Φ) Φ,iΦ,i + 4B (Φ) Φ,mΦ,m + C (Φ) Φ,i ;i + 4D (Φ)�Φ ) . (8.6) Com o valor para o "Escalar de Curvatura"em termos do campo escalar e das suas derivadas poderemos determinar finalmente os parâmetros A, B quando compararmos com o restante dos termos ao lado direito da igualdade sugerida: 72 −1 2 RΦ,i = −8π {[ A ′ +B ′] Φ,iΦ ,iΦ,k + [ A+D ′] Φ,k�Φ + [ A+ 2B + C ′] Φ,iΦ ,i ;k } , −8π Φ 1 2 Φ,k ( �Φ 4πλ + A (Φ) Φ,iΦ,i + 4B (Φ) Φ,mΦ,m + C (Φ) Φ,i ;i + 4D (Φ)�Φ ) = = −8π {[ A ′ +B ′] Φ,iΦ ,iΦ,k + [ A+D ′] Φ,k�Φ + [ A+ 2B + C ′] Φ,iΦ ,i ;k } . Assim se agruparmos os termos em comum encontraremos 4πCΦ,k �Φ Φ + �Φ λ Φ,k Φ +16πDΦ,k �Φ Φ = 8π {[ A+D ′]�ΦΦ,k } , que poderá ser reduzida a 4πC Φ + 1 λΦ + 16π Φ D = 8π [ A+D ′] . A outra correlação é 4π Φ Φ,k (A+ 4B) Φ,iΦ ,i = 8π ( A ′ +B ′) Φ,kΦ,iΦ ,i , que pode ser reduzida a 4π Φ (A+ 4B) = 8π ( A ′ +B ′) . E o último termo −8π [ A+ 2B + C ′] Φ,iΦ ,i ;k por não possuir correspondência, os coeficientes deverão satisfazer A+ 2B + C ′ = 0 . Desenvolvendo a primeira relação tendo em vista como conhecidos os valores de C e D, temos 4π Φ ( 1 8π + 1 4πλ − 1 2π ) = 8πA , −3λ+2 2(8πλ) = A = ω 1 8πΦ . onde ω = 1 λ − 3 2 . Agora quando simplificamos a terceira equação, A+ 2B+C ′ = 0 → B = −ω 1 16πΦ . Ao encontrarmos esses parâmetros podemos escrever o tensor de Energia-Momento associado ao campo escalar T iΦk : T iΦk = ω 8π 1 Φ Φ,iΦ,k −ω 1 16π gik Φ,mΦ,m Φ + 1 8π Φ,i ;k − 1 8π gik�Φ = = 1 8π 1 Φ ω ( Φ,iΦ,k − 1 2 gikΦ,mΦ,m ) + 1 8π (Φ,i ;k − gik�Φ) . Tendo em vista essas relações é possível determinar a equação de movimento para o campo gravitacional na presença de fontes isto é, tensor de energia momento referente ao campo escalar mais tensor de energia momento para a matéria própriamente dita. Assim, podemos encontrar por completo a equação de Jordan-Brans-Dick: Rik − 1 2 gikR = −8π Φ TM ik − 1 Φ2 ω ( Φ,iΦ,k − 1 2 gikΦ,mΦ,m ) − 1 Φ (Φ,i ;k − gik�Φ) . (8.7) 73 8.3 Mínimo Variacional da Ação de Jordan-Brans- Dicke Uma outra maneira de se obter as equações de movimento para o campo gravitacional é através da minimização do variacional da ação, para isso seja a ação de Brans-Dick para os campos na ausência de matéria dada de acordo com [7, 6]. S = ∫ (RΦ− ωΦ,iΦ,i Φ ) √ −gdΩ . (8.8) Calculando o variacional da expressão temos dois tipos de equações. Uma em termos da variação da métrica como de costume nos procedimentos de Einstein-Hilbert, e outra em termos da variação do campo escalar. Nota-se a presença em ambas as equações do acoplamento escalar tensorial exigido como hipótese inicial: δS = δ ∫ (RΦ− ωΦ,iΦ,i Φ ) √−gdΩ = = ∫ [ δ(R)Φ +Rδ(Φ)− ωδ(Φ,iΦ,i Φ ) ]√−gdΩ + ∫ (RΦ− ωΦ,iΦ,i Φ )δ( √−g)dΩ . Lidaremos a priori com as respectivas variações de δ(Φ,iΦ,i Φ ). δ( Φ,iΦ,i Φ ) = δ(gik Φ,kΦ,i Φ ) = δ(gik) 1 Φ Φ,kΦ,i + gikδ( 1 Φ )Φ,kΦ,i + gik 1 Φ δ(Φ,kΦ,i) . Das regras dos variacionais de uma função associamos δ( 1 Φ ) = − δΦ Φ2 , gik 1 Φ δ(Φ,kΦ,i) = gik 1 Φ [δ(Φ,k)Φ,i + Φ,kδ(Φ,i)] . Como os índices da segunda expressão acima estão contraídos podemos reduzí-los de forma: gik 1 Φ [δ(Φ,k)Φ,i + Φ,kδ(Φ,i)] = 2 1 Φ Φ,iδ(Φ,i) . Pode-se reescrever a expressão acima levando em conta uma generalização das regras de derivação 2 1 Φ Φ,iδ(Φ,i) = 2 [ln Φ],i (δΦ),i = 2 [ln Φ],i δ(Φ),i . Agora é necessário realizarmos uma transformação de derivadas totais, a fim de que em se tratando do processo de integração seja utilizado algum tipo de divergência: 2 [ln Φ],i δ(Φ),i = 2 ( [ln Φ],i δΦ ) ;i − 2 ( [ln Φ],i ) ;i δΦ , port