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Instituto de F́ısica Teórica

Universidade Estadual Paulista

TESE DE DOUTORAMENTO IFT–T.002/16

A eletrodinâmica escalar generalizada de Duffin-Kemmer-Petiau, uma

análise funcional de sua dinâmica quântica covariante e o equiĺıbrio

termodinâmico.

Anderson Antunes Nogueira

Orientador

Prof. Dr. Bruto Max Pimentel Escobar

Fevereiro de 2016


Agradecimentos

• Primeiramente agradeço a meus familiares, pais José Alysson e Dirce, minha

querida avó Maria Auxiliadora pelo valor atribúıdo ao estudo e principalmente

a minha madrinha, a artista plástica Belkiss Nogueira pela ajuda nesta jornada

corajosa pelo conhecimento.

• A linda Daniele Borba “fro” pelo apoio nesse término de jornada.

• Aos colegas e membros do IFT pelos anos de convivência.

• As pessoas que direta ou indiretamente contribúıram para a realização deste

trabalho.

• Ao Dr. F. A. Barone pelos trabalhos, pelo “pontapé” inicial dado ao estudo da

linguagem de integração funcional no formalismo quântico das integrais de tra-

jetória e pelas discussões das flutuações quânticas do vácuo (Efeito Casimir).

• Ao professor B. M. Pimentel, pelos cafés, conselhos, frut́ıfera orientação e pelas

divertidas discussões sobre f́ısica. A oportunidade de ser seu aluno me enrique-

ceu tanto em f́ısica, estendendo minha análise e conhecimento em Teoria de

Campos quânticos e em equiĺıbrio, quanto na vida. Espero que o futuro nos

reserve interessantes trabalhos em colaboração.

• A CAPES pelo apoio financeiro.

• Em especial, homenageio Schwinger por seu pŕıncipio variacional quântico

e análise de Green utilizando fontes, Fradkin pela extensão do método de

Schwinger para temperatura finita a la Matsubara e a Tyutin por seus estudos

envolvendo a simetria BRST. Posteriormente eu reverencio esses senhores por

suas realizações na f́ısica e comprometimento, lembrando Newton que diz “me

apoiei em ombros de gigantes”.

i


Resumo

Este trabalho tem como objetivo explorar a dinâmica quântica de interação entre

part́ıculas escalares e vetoriais e estudar o equiĺıbrio termodinâmico dessas part́ıculas

no ensemble gran-canônico. A dinâmica de interação, escrita em uma linguagem co-

variante entre o campo de matéria (escalar) e o campo intermediador de interação

(vetorial), apresenta uma simetria de calibre local, U(1) no caso quântico e SO(4)

no equiĺıbrio termodinâmico. Sendo assim dividimos o trabalho em dois setores. No

primeiro setor analisamos sistematicamente a interação quântica entre part́ıculas

escalares (mésons) e part́ıculas vetoriais (fótons) no contexto da eletrodinâmica

quântica escalar generalizada de Duffin-Kemmer-Petiau (GSDKP4). Para isso quan-

tizamos a teoria, utilizando uma abordagem funcional. Constrúımos a estrutura

Hamiltoniana do sistema seguindo a metodologia de Dirac, o procedimento de

Faddeev-Senjanovic para obter a amplitude de transição no calibre de Coulomb

generalizado e o método de Faddeev-Popov-DeWitt para escrever a amplitude de

transição anterior de maneira covariante na condição de calibre no-mixing. Dáı, es-

crevendo o funcional gerador via Schwinger, as equações de Schwinger-Dyson (SD)

e as identidades de Ward-Takahashi (WT) são obtidas. Como introdução à análise

das correções radiativas, fizemos um cálculo quantitativo para ver os tipos de di-

vergências superficiais (ultravioleta) que poderiam aparecer na teoria. Depois apre-

sentamos um cálculo expĺıcito das primeiras correções radiativas (1-laço) associadas

ao propagador do fóton, propagador do méson, vértice e, estudamos a função de 4

pontos (fóton-fóton) utilizando o método de regularização dimensional, em que a

simetria de calibre é manifesta. Como veremos, uma consequência do estudo é que

a álgebra de DKP assegura o funcionamento das identidades de WT nas primeiras

correções radiativas proibindo certas divergências no ultravioleta. Com o conhec-

imento das divergências no ultravioleta (UV) e no infravermelho (IV) abordadas

nas correções radiativas, estabelecemos o Programa de Renormalização multiplica-

tivo para esta teoria na camada de massa. O fato do propagador do campo escalar

possuir uma nova estrutura divergente na massa de Podolsky nos levou a analisar

as correções radiativas a 2-laços. Do propagador do fóton definimos o tensor de

polarização e com este, de maneira fenomenológica, analisando o comportamento

assintótico das funções de Green para altos momentos, abordamos a dependência

da constante de estrutura com a escala de energia. No segundo setor estudamos

o Formalismo de Matsubara-Fradkin (MF) para descrever campos em equiĺıbrio

ii


termodinâmico. Para isso foi necessário construir as equações em equiĺıbrio ter-

modinâmico que descrevessem o setor escalar e vetorial e a posteriori extrair a função

de partição. Ao construir o setor vetorial, percebemos o surgimento e a importância

dos campos fantasmas e sua conexão com a simetria de Bechi-Rouet-Stora-Tyutin

(BRST). No caso da escolha de calibre covariante no-mixing, foi necessário con-

tornar o surgimento de uma estrutura pseudo-diferencial. Analisando a função de

partição associada aos fótons livres de Podolsky via método dos parâmetros fict́ıcios,

percebemos o fato da simetria BRST assegurar que a função de partição não depende

das escolhas covariantes ao fixarmos o calibre. As condições de Lorenz, no-mixing

e Lorenz generalizado são amarradas pela simetria BRST e esse fato está contido

em uma afirmação geral em teorias de calibre a temperatura finita, atribúıda ao

trabalho de Tyutin, de que a f́ısica não depende das escolhas de calibre, covari-

antes ou não, devido a simetria BRST. Por fim, com a função de partição em mãos,

constrúımos as equações de Schwinger-Dyson-Fradkin (SDF) e as identidades de

Ward-Takahashi-Fradkin (WTF) em equiĺıbrio termodinâmico.

Palavras Chaves: Quantização funcional; Sistemas com Vı́nculos; Formalismo de

Matsubara-Fradkin

Áreas do conhecimento: Teoria de Campos

iii


Abstract

This work has as aim to explore the quantum dynamics of interaction between

scalar and vectorial particles and to study the thermodynamic equilibrium of these

particles in the gran-canonical ensemble. The dynamics of interaction, written in a

covariance language, between the matter field (scalar) and the field that intermedi-

ate the interaction (vectorial) exhibit a local gauge symmetry, U(1) in a quantum

case and SO(4) in a thermodynamic equilibrium. Therefore we divided the work

into two sections. In the first section we analyze systematically the quantum inter-

action between the scalar particles (mesons) and vectorial particles (photons) in the

context of the generalized scalar Duffin-Kemmer-Petiau quantum electrodynamics

(GSDKP4). For this we use the functional approach to quantize the theory. We built

the hamiltonian structure by the Dirac methodology, utilize the Faddeev-Senjanovic

procedure to obtain the transition amplitude in the generalized Coulomb gauge and

the Faadeev-Popov-DeWitt method to write the covariant form of the previously

amplitude in the no-mixing gauge condition. Then writing the functional generator

by Schwinger, the Schwinger-Dyson (SD) equations and the Ward-Takahashi (WT)

identities are obtained. As an introductory analysis to the first radiative corrections

we make a quantitative calculus to see the types of ultraviolet (UV) superficial di-

vergences that appear in the theory. After this we show an explicit calculation of

the first radiative corrections (1-loop) associated with the photon propagator, meson

propagator, vertex and the 4 point function (photon-photon) utilizing the dimen-

sional regularization method, where the gauge symmetry is manifest. As we will see

one of the consequences of the study is that the DKP algebra ensures the functioning

of the WT identities in the first radiative corrections prohibiting certain UV diver-

gences. With the knowledge of the UV divergences and de infrared (IR) addressed

in the radiative corrections we established the multiplicative renormalization proce-

dure to this theory in the mass shell. The fact that the meson propagator has a new

divergence structure in terms of the Podolsky mass took us to analyze the radiative

correction at 2-loops. With the photon propagator we define the polarization tensor

and in a phenomenological manner, analyzing the asymptotic behavior of Green’s

functions for higher momentum, we derive the dependence of the structure constant

by the scale of energy. In the second section we study the Matsubara-Fradkin (MF)

formalism to describe fields in thermodynamical equilibrium. For this it was nec-

essary to construct the equations in thermodynamic equilibrium that describe the

iv


scalar sector and vectorial sector and then extract the partition function. When

we construct the vectorial sector we realize the emergence and the importance of

the ghost fields and their connection to the Bechi-Rouet-Stora-Tyutin (BRST) sym-

metry. In the case of the no-mixing gauge condition was necessary to contour a

pseudo-differential structure. Analyzing the free partition function associated with

the free Podolsky photons by the method of fictitious parameters we realize that

the BRST symmetry ensures that it does not depend of the covariant choices when

we fix de gauge. The Lorenz condition, no-mixing and generalized Lorenz are tied

by the BRST symmetry and this fact is contained in a general statement in gauge

theories at finite temperature, assigned by Tyutin work, that the physics doesn’t

depend of the gauge choices, covariant or not, due to BRST symmetry. Lastly, with

the partition function in hands, we construct the Schwinger-Dyson-Fradkin (SDF)

and the Ward-Takahashi-Fradkin (WTF) in thermodynamic equilibrium.

Keywords: Functional quantization; Constrained systems; Matsubara-Fradkin for-

malism

Knowledge field: Field Theory

v


Uma breve reflexão

Em uma das minhas idas e vindas à cidade mineira de Passa Quatro, ao ler

A Coragem de Criar de Rollo May, uma observação sobre as estátuas inacabadas

de Michelangelo me chamou atenção, os escravos retorcidos que tentam livrar-se

da prisão de pedra nas estátuas inacabadas de Michelangelo representam o śımbolo

perfeito da condição humana, estamos presos na finitude da vida mas nos tornamos

imortais no ato criativo. A luta dos homens para alcançar os deuses, o ilimitado, o

perfeito. Esta mesma situação leva-me a deparar com Decartes e com fato de sermos

finitos nos levar ao conceito de perfeição Deus (infinito). Mais ainda chego na caverna

de Platão onde me deparo com um mundo perfeito visto por suas sombras. O mesmo

conceito pode ser visto em f́ısica no sentido das teorias que utilizamos para descr-

ever os fenômenos naturais de maneira eficaz (estruturas numéricas fenomenológicas

advindas das medidas experimentais, muitas vezes sem o rigor matemático pleno)

são efetivas, o limite de baixas energias juntamente com seus graus de liberdade e

interações pode ser descrito como uma visão efetiva de uma desconhecida teoria de

tudo (altas energias) em que unificamos as leis da f́ısica (pensamentos iluministas):

metafóricamente, com uma pitada de irônia, as portas dos céus estão abertas (o

segredo do ińıcio do universo) e os anjos nos esperam com suas trombetas junta-

mente com o arquiteto desse grande design inteligente (Comparando as estátuas

incacabadas de Michelangelo com a linguagem que descrevemos a f́ısica hoje em dia,

Teoria Quântica de Campos efetivas, qual seria o potencial ou teoria que está por vir?

A última verdade seria escrita nos moldes de uma linguagem matemática? Mesmo

em matemática vemos limitações nos sistemas axiomáticos e estruturas lógicas de-

vido aos teoremas da incompletude de Kurt Gödel.). A idéia de força (dinâmica)

atribúıdo por Newton na descrição do movimento dos planetas dado pelas leis de

Keppler foi visto metaf́ısicamente como anjos (força) acompanhando os planetas.

Como vemos, janelas distintas imanando a mesma coisa artes, filosofia, crenças,

f́ısica, matemática etc. Imanência, Espinoza! O mar do desconhecido (ignorância) é

imensurável e os ventos epistemológicos que iluminam nem sempre sopram a nosso

favor no ato de construir o conhecimento, é necessário coragem para se aventurar.

vi


Conteúdo

1 Introdução 1

2 A Eletrodinâmica Quântica Escalar Generalizada de Du¢ n-Kemmer-Petiau 6
2.1 Análise de vínculos e Quantização Funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 As equações de Schwinger-Dyson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.1 O Propagador do campo vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.2 O propagador do campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.3 A função de vértice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.3 As identidades de Ward-Takahashi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4 Divergências Super�ciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.5 Correções Radiativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.5.1 A auto-energia do méson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.5.2 O tensor de polarização do fóton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.5.3 O vértice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.6 Espalhamento fóton-fóton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.7 O programa de Renormalização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.8 A auto-energia do fóton e o vértice a 2-laços . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.9 O acoplamento efetivo em GSDKP4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3 A Eletrodinâmica Quântica Escalar Generalizada de Du¢ n-Kemmer-Petiau em
Equilíbrio Termodinâmico 79
3.1 O setor da matéria (escalar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.2 O setor da radiação (vetorial) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.3 O setor Fantasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.4 Um estudo no calibre no-mixing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.5 Representação de Integração Funcional e Médias no ensemble . . . . . . . . . . . . . . 101
3.6 As equações de Schwinger-Dyson-Fradkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.7 As Identidades de Takahashi-Fradkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.8 As Identidades de Ward-Fradkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4 Conclusões e perspectivas futuras 113

5 Apêndices 119
5.1 Quantização de sistemas com vínculos e formalismos covariantes. . . . . . . . . . . . . 119

5.1.1 Dinâmica (clássicanquântica) de sistemas com vínculos . . . . . . . . . . . . . 119
5.2 O princípio de Ação Quântica e o formalismo funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.3 Equações de Podosky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.4 A equação de DKP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.5 Os graus de liberdade físicos e sua conexão com os vínculos em GSDKP4 . . . . . . . 143
5.6 O método de Faddeev-Popov-DeWitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.7 Multiplicadores de Lagrange e o setor fantasma à temperatura �nita . . . . . . . . . . 148
5.8 A simetria BRST em QED4 e os parâmetros �ctícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.9 A simetria BRST em GQED4 a temperatura �nita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

vii


5.9.1 Escolha covariante geral na �xação de calibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.9.2 A função de partição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.9.3 A simetria BRST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

5.10 Observações matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

viii


1 Introdução

Uma das maneiras mais interessantes de se estudar as interações na natureza é utilizando como
ferramenta teórica a Teoria Quântica de Campos. Como exemplo, descrevemos o fenômeno eletro-
magnético precisamente com eletrodinâmica quântica (QED4), uni�camos o eletromagnetismo com
a interação fraca no contexto da teoria eletrofraca de Glashow-Weinberg-Salam [1], prevemos o com-
portamento das partículas devido a interação forte via cromodinâmica quântica (QCD4), e assim por
diante. Deste ponto de vista, a síntese das forças (eletromagnética, fraca e forte) em uma teoria
(Modelo Padrão) aparece, e um novo conceito emerge; as teorias que utilizamos para descrever a
natureza são efetivas no sentido de depender das escala de energia. O limite de "baixas energias"
pode ser descrito como uma visão efetiva de uma desconhecida "Teoria de Tudo". Em uma linguagem
cientí�ca um problema físico envolve escalas de energias separadas; a dinâmica de baixas energias e
as interações de altas energias. Podemos descrever a física de baixas energias efetivamente utilizando
os graus de liberdades e as interações apropriadas para essa escala. Essas ideias foram inicialmente
propostas por Weinberg [2].
Quando Ostrogradski construiu teorias lagrangianas com derivadas de ordem superior emmecânica

clássica, um novo campo de pesquisa foi aberto [3]. A idéia principal desse ramo de teorias com
derivada de ordem superior é muito simples, nós construímos termos de ordem superior adicionais de
tal maneira que preservem as simetrias originais do problema. Como podemos ver, por exemplo, na
generalização do trabalho do Utijama [4, 5]. Teorias com derivada de ordem superior às vezes pos-
suem Hamiltonianas que não possuem um limite inferior [6] devido aos estados com normas negativas
(fantasmas), levando à quebra da unitariedade [7]. Tentativas de restaurar a unitariedade contor-
nando o aparecimento dos fantasmas não levaram a um método geral de como lidar com o problema
da quebra de unitariedade [8, 9], porém, recentemente, foi construido um método de como imple-
mentar termos com derivadas de ordem superior sem quebrar a estabilidade da teoria, podendo-se
então, construir teorias efetivas [10]. A idéia de implementar termos com derivada de ordem superior
aparenta ter sucesso na gravitação quântica, em que a ação de Einstein-Hilbert (não-renormalizável)
é modi�cada com a adição de termos com derivada de ordem superior na curvatura de tal forma que
seja renormalizável [11].
Um dos que mais contribuíram para mostar o carácter efetivo das teorias com derivada de ordem

superior foram Bopp, Podoksky e Schwed [12]. Eles propuseram uma eletrodinâmica generalizada
com o intuito de contornar os in�nitos da eletrodinâmica de Maxwell, tais como, a auto-energia da
carga elétrica e a polarização de vácuo. Na generalização adicionamos à lagrangiana de Maxwell
(radiação) um termo com derivadas de ordem superior preservando a simetria de calibre

LP = �
1

4
F��(1 +

�
m2
p

)F ��

porém esse novo termo quebra a simetria dual, explorada por Dirac no estudo dos monopolos mag-
néticos. Como resultado, as expressões dessa nova lagrangiana apresentam um parâmetro que pode
ser interpretado como o inverso de uma massa, a massa de Podolsky mp. A modi�cação nos dá a
expressão correta no estudo das auto-forças entre as partículas carregadas demonstrada por Frenkel
[13, 14], efeitos interessantes produzidos pela presença de fontes externas estacionárias [15] e, tam-
bém, podemos ver na literatura estudos associados a condições de contorno (Efeito Casimir) [25, 26].
O fato da teoria ser �nita do ponto de vista da eletrodinâmica clássica re�ete da mesma forma na

1


descrição quântica, a teoria tem a qualidade de controlar as divergências no ultravioleta [16, 17]
da mesma forma que o esquema de regularização de Pauli-Villars-Rayski [18]. A lagrangiana que
descreve a dinâmica de interação entre a matéria (férmions, spin 1=2) e a radiação (bósons, spin 1)
no contexto da eletrodinâmica quântica generalizada (GQED4) é dada por

LGQED4 = i� �(@� � ieA�) �m�  � 1
4
F��(1 +

�
m2
p
)F ��

r� = (@� � ieA�)

�� + �� = 2��� (álgebra de Cli¤ord).

A dinâmica associada a GQED4 é estável do ponto de vista clássiconquântico podendo classi�cá-la
no patamar de uma teoria efetiva. Um comentário importante sobre como �xar os graus de liberdade
físicos de maneira covariante deve ser feito, embora inicialmente Podolsky tenha utilizado a condição
de Lorenz


[A] = @�A�

para �xar os graus de liberdade físicos na eletrodinâmica generalizada, depois um estudo rigoroso
em análise de vínculos demonstrou que isto não é completamente verdadeiro [19], pois temos uma
liberdade residual e essa escolha não é atingível do ponto de vista clássico. Como consequência,
a maneira natural de �xar os graus de liberdade físicos passou a ser com a condição de Lorenz
generalizada


[A] = (1 +
�
m2
p

)@�A�

atingível, porém essa condição aumenta a ordem das derivadas na lagrangiana (6o ordem nas derivadas).
Por outro lado, atualmente acreditamos que a condição que combina perfeitamente com a teoria

de Podolsky é a condição de calibre no-mixing [20, 21, 22]


[A] =

�
1 +

�
m2
p

� 1
2

@�A�

apesar de apresentar uma estrutura pseudo-diferencial essa condição matém a ordem na lagrangiana
(4o ordem nas derivadas), facilitando o cálculo de resultados físicos. Existem consequências ao
se utilizar as condições de calibre associadas a divergências no UV. Por exemplo, a condição de
Lorenz gera certas divergências no UV associadas as correções radiativas do propagador do férmion e
correções radiativas do vértice em GQED4 que no caso não aparecem ao utilizar a condição de Lorenz
generalizada ou no-mixing. Dizemos, então, que a dinâmica covariante na condição de Lorenz gera
divergências no ultravioleta. Agora, no caso livre, a simetria BRST garante que as 3 escolhas (Lorenz,
No-mixing, Lorenz generalizado) descrevam a mesma física pois o funcional gerador ou função de
partição não depende das escolhas de calibre covariantes propostas.
Sabemos que QED4 é uma das teorias mais bem sucedidas da física. Apesar disso, existem

pesquisas sobre extensões do estudo da simetria de calibre U(1), não apenas extensões onde as
equações são lineares como no caso de GQED4 e na teoria de Lee-Wick [23], mas também extensões
em que temos equações não-lineares, como nas lagrangianas de Born-Infeld e Euler-Heisenberg [24].

2


Até o presente momento apresentamos a maneira como a eletrodinâmica generalizada é abor-
dada na literatura com a matéria sendo descrita por campos espinoriais e a radiação por campos
vetoriais, mas sabemos que campos escalares também podem descrever a matéria, utilizando uma
eletrodinâmica quântica escalar generalizada (GSQED4) [27]

LGSQED4 = (r�')y(r�')�m2'y'� 1
4
F��(1 +

�
m2
p

)F ��

onde o setor escalar é descrito pelo campo de Klein-Gordon-Fock (KGF). Por outro lado, é de nosso
conhecimento que podemos representar o comportamento da matéria com campos escalares de um
ponto de vista fenomenológico diferente, utilizando a teoria de Du¢ n-Kemmer-Petiau (DKP) para
descrever o campo de matéria [28].
A equação de DKP é uma equação de onda relativística de primeira ordem que descreve bósons

de spin 0 e de spin 1, similar à equação de Dirac. O desenvolvimento da teoria de um ponto de
vista histórico anterior à década de 70 pode ser encontrado em [29]. Devido a não existência de uma
revisão recente sobre o assunto, vamos falar um pouco mais sobre o mesmo.
Fundamentado no experimento de Imbert [30], o qual sugeria uma forte contradição clássica

e quântica ao descrever deslocamentos longitudinais das ondas planas, de Broglie percebeu que
impondo uma massa não nula para os fótons teríamos a interpretação correta para o fenômeno
[31]. De fato, de Broglie também sugeriu que o fóton poderia ser formado por uma combinação de 2
léptons e essa combinação seria responsável para dar massa ao fóton,

1=2
 1=2 = 0� 1:
Tomado por essa idéia e com um profundo conhecimento sobre a a estrutura algébrica da equação
de Dirac (equação relativística para partículas de spin 1=2), de Broglie começou sua pesquisa com
a esperança de obter uma equação para sua partícula massiva de spin 1, seu fóton massivo [32].
Agora o desenvolvimento teórico desta teoria se inicia com Petiau, que obtém uma álgebra de DKP
matricial [33],

������ + ������ = ����� + �����:

Na verdade, Géhéniau decompõe a álgebra de Petiau em representações irredutíveis de 10 dimensões
(representando partículas de spin 1), 5 dimensões (representando partículas escalares) e uma trivial
sem signi�cado físico [34]

4
 4 = 10� 5� 1:
Simultâneamente e completamente alheio ao trabalho de Petiau, Kemmer escreveu as equações de
segunda ordem de Proca como equações de primeira ordem e fez o mesmo para as equações de
Klein-Gordon-Fock (KGF). A partir de então, Kemmer conjectura sobre a existência de uma forma
matricial para seu sistema de equações [35]. Du¢ n desenvolve a álgebra para teoria de Kemmer [36]
e advindo deste episódio segue o grande trabalho de Kemmer [37].
O formalismo de DKP nos permite trabalhar de maneira uni�cada com o campo escalar e vetorial

e a vasta possibilidade de acoplamentos, devido ao estudo dos covariantes bilinerares incapazes de
serem expressos pela teoria de KGF e Proca, incentivou o estudo da teoria [38, 39, 40, 41, 42] em
que percebemos uma grande possibilidade fenomenológica em descrever interações. Entretanto, a
"equivalência" entre DKP e KGF no caso livre e minimamente acoplado [43, 44, 45, 46] tanto em

3


nível clássico quanto em nível quântico diminuiu o interesse na teoria DKP. Embora o formalismo
de KGF seja aparentemente mais simples comparado ao tratamento algébrico de DKP em uma
linguagem clássica de campos, esse ponto de vista muda dramaticamente na linguagem quântica:
a similaridade na forma entre a lagrangiana de DKP e Dirac nos permite utilizar um mecanismo
muito simples para se estudar a teoria escalar, uma vez que o mimetismo entre a teoria de Dirac
pode ser utilizado para entender melhor o signi�cado físico das quantidades obtidas pela teoria DKP
[28, 47]. É importante enfatizar que o campo de DKP geralmente é empregado em física nuclear para
descrever mésons em que é possível dizer que temos uma estrutura algébrica mesônica [48], assim,
descrevemos campos bosônicos (spin 0; 1) com a álgebra de DKP e fermiônicos (spin 1=2) com a
álgebra de Cli¤ord.
Ao descrevermos os mésons como partículas escalares devido à sua interação com os campos

eletromagnéticos é válido ressaltar que estamos simpli�cando as propriedades dessas partículas, neste
caso apresentaremos alguns aspectos históricos. O início e a busca por partículas que representassem
a interação de curto alcance (forte) que mantivessem o núcleo dos átomos ligados foi a proposta de
Yukawa, cujas partículas escalares ou vetoriais massivas intermediariam a interação. Posteriormente
o fato da interação forte não "enxergar" a troca de prótons por nêutrons nos levou a considerar
esses bárions como estados de uma mesma partícula e de�nir a conservação de isospin I (simetria
aproximada) em que os campos de matéria (prótons, nêutrons, núcleons) estariam na representação
funtamental 	 = (p; n) e os campos intermediadores da interação forte (píons, mésons) estariam na
representação adjunta ~� = (�+; �0; ��)

I 1
2

 I 1

2
= I0 � I1:

Ao incluirmos a interação eletromagnética via acoplamento mínimo juntamente com as simetrias
discretas: conjugação de carga, paridade e reversão temporal (conservadas pela interação forte e
eletromagnética), teríamos uma lagrangiana efetiva que descreveria o comportamento de núcleos
atômicos devido à interação forte e eletromagnética

LF�{sica Nuclear = i�	�r�	�m�		 +
1

2
[(r�~�)2 �m2~�

2
]� 1

4
F��F

�� +
1

2
G[ �	5~� ;	]~�

onde � i seriam as matrizes de Pauli. Como vemos, descrevemos os mésons anteriormente por uma
teoria de KGF. Porém a abordagem utilizando a teoria DKP tem uma certa revelância ao se estu-
dar propriedades em Física Nuclear, como o decaimento dos mésons devido a suas peculiariedades
fenomenológicas e nas razões entre as constantes de acoplamento forte nos processos de interações
entre 2 bárions com mésons do tipo pseudo-escalares e pseudo-vetorias. A teoria DKP condiz com
os dados experimentais associados as razões entre as constantes de acoplamento forte, enquanto que
a teoria de KGF com os mesmos tipos de acoplamento (pseudo-escalares, vetorias) não condiz com
os dados experimentais [50]. Dando continuidade ao estudo das reações nucleares vemos à inclusão
da estranheza por Gell-Mann, organizando a estrutura da matéria em bárions e mésons (escalares ou
vetoriais) por meio dos octetos e supondo a existência do tripleto de quarks de sabor [49]

3
 �3 = 1� 8 (m�esons)

3
 3
 3 = 1� 8� 8� 10 (barions)

4


Posteriormente, tendo em vista o modelo de Yang-Mills e a QCD poderíamos ver os estados de
mésons (glueballs) em termos da simetria SU(3) e as cores carregadas pelos glúons.
Nos últimos anos a teoria de DKP tem sido estudada em QCD em grandes e pequenas distâncias

por Gribov [51], em uma dinâmica hamiltoniana covariante [52], na generalização e estudo de campos
em um espaço-tempo curvo [53, 54, 55] em que notamos resultados interessantes sobre a simetria
conforme (campos não massivos) e as tranformações de Weyl na prescrição do acoplamento mínimo,
no espaço galileano covariante de 5 dimensões [56], no contexto da invariância de calibre em nível
clássico de campos [57], no método causal de Epstein-Glaser [58] e assim por diante.
Como vimos com todo embasamento teórico e aplicações existentes na literatura, podemos de-

screver a dinâmica clássica/quântica de interação entre a matéria (escalares, DKP) e a radiação
(vetoriais, Podolsky) no contexto da Eletrodinâmica Escalar Generalizada de Du¢ n-Kemmer-Petiau
(GSDKP4) [59]

LGSDKP = i� ��(@� � ieA�) �m�  � 1
4
F��(1 +

�
m2
p
)F ��

������ + ������ = ����� + ����� (álgebra de DKP).

A justi�cativa em se utilizar a teoria DKP para descrever as partículas escalares pode ser vista pela
sua riqueza de propriedades. Como exemplo temos um vasto tipo de interações possíveis (covariantes
bilinerares), estudo de representações em que produtos tensorias do tipo momento angular são tran-
formados em somas diretas (muito útil em física de partículas na classi�cação dos estados quânticos
possíveis) e sua melhor descrição dos dados experimentais em alguns casos na Física Nuclear, em
comparação com a simples teoria de KGF. Ao analisar o comportamento de campos não massivos
(DKP) minimamente acoplados com a geometria Riemaniana, a simetria conforme e as transfor-
mações de Weyl nessa estrutura tipo cone de luz são esclarecidas. Da mesma forma, ao utilizar a
teoria de Podolsky para descrever as partículas vetoriais temos além de uma teoria mais �nita do
ponto de vista clássiconquântico, uma descrição fenomenológica interessante associada aos fenômenos
magnéticos devido a quebra de simetria dual e também uma extensão do estudo de como �xar os
graus de liberdade físicos covariantemente, em comparação com a teoria de Maxwell. O acoplamento
mínimo da matéria (DKP) com a radiação (Podolsky) nos leva a descrever uma dinâmica covari-
ante, estável do ponto de vista clássiconquântico e, dessa forma, uma teoria efetiva com diagramas
fenomenológicos de Feynmann iguais a Eletrodinâmica Quântica com apenas 1 vértice ao invés de 2
obtidos ao descrever a matéria com as equações de KGF, facilitando a análise de correções radiativas
a vários laços em que claramente o números de diagramas necessários diminui. Podemos extender
este estudo da dinâmica e explorar o equilíbrio termodinâmico dessas partículas escalares e fótons
generalizados no ensemble gran-canônico. Sendo assim utilizaremos o formalismo de Matsubara-
Fradkin [60, 61]. O incentivo para a análise está no fato de termos resultados a temperatura �nita
ao descrever fótons generalizados, correções a Lei de Stefan-Boltzmann e aplicações Cosmológicas e
também a quantização térmica de Matsubara-Fradkin para a Eletrodinâmica Generalizada (GQED4)
e DKP [62, 63, 64].

5


2 A Eletrodinâmica Quântica Escalar Generalizada de Du¢ n-
Kemmer-Petiau

Para maiores detalhes, toda estrutura formal e os conceitos envolvidos nesta seção estão discutidos
no apêndice (5.1) e (5.2). Um breve estudo sobre as equações de Podolsky e DKP pode ser visto
nos apêndices (5.2) e (5.3), respectivamente. Dando continuidade, no apêndice (5.4), temos uma
análise sobre a conexão entre os graus de liberdade físicos e os vínculos da teoria que estamos prestes
a estudar no método de Dirac. Por �m, no apêndice (5.5), escrevemos um complemento sobre a
quantização funcional covariante via método de Faddeev-Popov-DeWitt. Apenas como um adendo,
construimos no apêndice (5.10) observações sobre as estruturas matemáticas necessárias ao longo do
trabalho.

2.1 Análise de vínculos e Quantização Funcional

Nosso objetivo é estudar alguns aspectos teóricos advindos da interação entre partículas escalares e
fótons generalizados. Para isso, propomos a seguinte densidade de Lagrangiana

L = i
2
� ��(@� )� i

2
(@�� �

�) �m�  + eA�� �
� � 1

4
F��F

�� + a2

2
@�F��@�F

��

F�� = @�A� � @�A�

������ + ������ = ����� + ����� (álgebra de DKP).

(2.1)

O setor eletromagnético é descrito por uma teoria com derivadas de ordem superior conhecida como
teoria de Podolsky e o setor escalar por uma teoria escalar escrita na forma de Dirac conhecida como
DKP. Daremos o nome de GSDKP4, Generalized Scalar Du¢ n-Kemmer-Petiau electrodynamics.
O interessante é que em nível clássico, esta teoria foi construída para possuir uma invariância de

calibre local

 ! exp[i�(x)] 

� ! � exp[�i�(x)]

A� ! A� +
1
e
@��

(2.2)

onde percebemos o acolplamento mínimo (r� = @� � ieA�) entre o campo de matéria (escalar,
mésons) e o campo intermediador da interação (vetorial, fótons).
Podemos estudar as equações clássicas de movimento ou de Euler-Lagrange via o princípio da

mínima ação de Hamilton

S =
R
d4xL (ação)

 !  + � 
� ! � + �� 
A� ! A� + �A�

�S = 0 (princípio da mínima ação)) �L =0:

(2.3)

6


Sendo assim,

�L = �� [i��(@� )�m+ eA��
� ] + [�i(@�� )�� �m� + eA�� �

�]� + (2.4)

+[e� �� � �

�A�
(
1

4
F ��F��) +

�

�A�
(
a2

2
@�F

��@�F��)]�A�

= �� [i��(@� )�m+ eA��
� ] + [�i(@�� )�� �m� + eA�� �

�]� +

+[e� �� � @�F �� + a2�@�F�� ]�A�

= 0

[i��(@� � ieA�)�m] = 0 (acoplamento mínimo)

� [i��
 �
(@� + ieA�) +m] = 0

(1 + a2�)@�F �� = e� �� :

(2.5)

Até este momento trabalhamos com uma dinâmica Lagrangiana no espaço de con�gurações. Para
construir uma dinâmica no espaço de fase, precisamos da hamiltoniana. A hamiltoniana pode ser
obtida, utilizando como ferramenta os Teoremas de Emmy Noether [65] cujas simetrias da ação
estão associadas a quantidades conservadas. No caso, uma invariância da ação por translações
espaço-temporais nos levaria à conservação do tensor de energia-momento. Para extrair o tensor
de energia-momento canônico da GSDKP iremos inserir uma notação

S =
R
d4xL

L = L(� ; @�� ; ; @� ;A�;@�A�;@�@�A�):
(2.6)

Neste caso as equações clássicas de movimento são dadas por

�L =�� @L
@� 
+�(@�� )

@L
@(@� � )

+@L
@ 
� + @L

@(@� )
�(@� )+

@L
@A�

�A�+
@L

@(@�A�)
�(@�A�)+

@L
@(@�@�A�)

�(@�@�A�) =

= �� 
h
@L
@� 
�@�

�
@L

@(@� � )

�i
+
h
@L
@ 
�@�

�
@L

@(@� )

�i
� +

h
@L
@A�
�@�

�
@L

@(@�A�)

�
+ @�@�

�
@L

@(@�@�A�)

�i
�A� = 0

h
@L
@� 
�@�

�
@L

@(@� � )

�i
= 0

h
@L
@ 
�@�

�
@L

@(@� )

�i
= 0

h
@L
@A�
�@�

�
@L

@(@�A�)

�
+ @�@�

�
@L

@(@�@�A�)

�i
= 0:

(2.7)
Observa-se que a ação é invariante pela transformação global abaixo

7


 ! exp[i�] 

� ! � exp[�i�]:
(2.8)

Tendo em vista o Teorema de Emmy Noether, a transformação global acima (in�nitesimal) está
associada a uma simetria,

�S =
R
d4x�L (2.9)

=
R
d4x@�[�� 

@L
@(@�� )

+
@L

@(@� )
� ]

=
R
d4x@�(i�� �

� )

= 0:

Portanto,

J� = � �� 

@�J
� = 0 (equação da continuidade)

N =
R
d3x� �0 (carga conservada):

(2.10)

Por outro lado, assumindo que a ação seja invariante perante a variação associada a uma translação
espaço-temporal

x� ! x� + �x�

 !  + � ; � = (@� )�x
�

� ! � + �� ; �� = (@� )�x
�

A� ! A� + �A�; �A� = (@�A�)�x
�

�(d4x) = @��x
�d4x

(2.11)

�S =
R
�(d4x)L+

R
d4x�L

�S=
R
d4x@�[(@�� )

@L
@(@� � )

+ @L
@(@� )

(@� )+
@L

@(@�A�)
(@�A�)�@�

�
@L

@(@�@�A�)

�
(@�A�)+

+ @L
@(@�@�A�)

(@�@�A�)�L���]�x�

T � � _=(@�� )
@L

@(@� � )
+ @L
@(@� )

(@� )+
@L

@(@�A�)
(@�A�)�@�

�
@L

@(@�@�A�)

�
(@�A�) +

@L
@(@�@�A�)

(@�@�A�)�L���

�S = 0) @� T
�
� = 0 (conservação da energia e do momento).

(2.12)

8


Dessa forma, a hamiltoniana canônica é dada por

Hc =
R
d3~x T 0 0 =

=
R
d3~x

h
(@0� )

@L
@(@0 � )

+ @L
@(@0 )

(@0 )+
@L

@(@0A�)
(@0A�)�@�

�
@L

@(@0@�A�)

�
(@0A�) +

@L
@(@0@�A�)

(@�@0A�)�L
i
=

=
R
d3~xf(@0� ) @L

@(@0 � )
+ @L

@(@0 )
(@0 )+

h
@L

@(@0A�)
�2@i

�
@L

@(@0@iA�)

�
� @0 @L

@(@0@0A�)

i
(@0A�)+

+ @L
@(@0@0A�)

(@0@0A�)�Lg:
(2.13)

Podemos de�nir e calcular os momentos canônicamente conjugados a partir da equação anterior

p _= @L
@(@0 � )

= � i
2
�0 

�p _= @L
@(@0 )

= i
2
� �0

�� _= @L
@(@0A�)

�2@i
�

@L
@(@0@iA�)

�
� @0

�
@L

@(@0@0A�)

�
= F �0 � 2@i

�
@L

2@(@0@iA�)
+ @L

2@(@i@0A�)

�
+

�@0 (@�F�� � �0�@�F�0) = F �0 � @i ([�0i@�F�� � �0�@�F�i] + [�i0@�F
�� � �i�@�F�0]) +

�@0 (�00@�F�� � �0�@�F�0) = [�0�@�@iF
�i + �0�@0@�F

�0] + [�i�@i@�F
�0 � �00@0@�F�� ] =

= �0�@�@�F
�� + [�i�@i@�F

�0 � �00@0@�F�� ] = F �0 + a2[�i�@i@�F
�0 � @0@�F�� ]

�� _= @L
@(@0@0A�)

= a2[@�F
�� � ��0@�F�0]:

(2.14)

onde utilizamos algumas identidades1 .
Logo, temos que

Hc =
R
d3~x

�
(@0� )p+ �p(@0 )+�

�(@0A�) + �
�(@0��)�L

	
�� = @0A�

(2.15)

e o espaço de fase é de�nido em termos das variáveis ( � ;  ;A;�; p; �p;�;�), observando que � não
se comporta como um 4-vetor. As equações de Hamilton são dadas no espaço de fase em termos do
princípio da mínima ação,

1

@(F��F��)
@(@�A�)

=
@(F��)F��+F

��@(F��)
@(@�A�)

= 2 @(F
��)

@(@�A�)
F�� = 4F

��

@(@�F��@�F
��)

@(@�@�A!)
=

@(@�F��)@�F
��+@�F��(@�F

��)
@(@�@�A!)

= 2
@(@�F��)
@(@�@�A!)

@�F
�� = 2[���@�F

�! � ��!@�F��]:

9


�Hc =
R
d3~xf��� (@0p) + (@0� )�p+ ��p(@0 )� (@0�p)� +���(@0A�)� (@0��)�A� + ���(@0��)+

�(@0��)�����Lg

�Hc =
R
d3~xf�� �Hc

�� 
+ �Hc

� 
� + �Hc

�A�
�A�+

�Hc
���

��� +
�Hc
�p
�p+ ��p �Hc

��p
+ �Hc

���
��� +

�Hc
���

���g

(Equações de Hamilton)

(@0p) = � �Hc
�� 

(@0�p) = � �Hc
� 

(@0 ) =
�Hc
��p

(@0� ) =
�Hc
�p

(@0�
�) = � �Hc

�A�
(@0�

�) = � �Hc
���

(@0A�) =
�Hc
���

(@0��) =
�Hc
���

:

(2.16)

Dada uma quantidade física Q sua evolução no espaço de fase é dada por

Q =
R
d3~xQ( � ;  ;A;�; p; �p;�;�)

dQ
dt
=
R
d3~xd3~yf@� (y)

@t
@Q(x)
@� (y)

+ @Q(x)
@ (y)

@ (y)
@t

+ @Q(x)
@A�(y)

@A�(y)
@t

+ @Q(x)
@��(y)

@��(y)
@t

+ @Q(x)
@p(y)

@p(y)
@t

+ @�p(y)
@t

@Q(x)
@�p(y)

+

+ @Q(x)
@��(y)

@��(y)
@t

+ @Q(x)
@��(y)

@��(y)
@t
g

dQ
dt
=
R
d3~xd3~yf@Hc(y)

@p
@Q(x)
@� 
� @Q(x)

@p
@Hc(y)
@� 

+ @Q(x)
@ 

@Hc(y)
@�p
� @Hc(y)

@ 
@Q(x)
@�p

+ @Hc(y)
@��

@Q(x)
@A�
� @Q(x)

@��
@Hc(y)
@A�

+

+@Hc(y)
@��

@Q(x)
@��
� @Q(x)

@��
@Hc(y)
@��
g

dQ
dt
_=
R
d3~xd3~yfQ(x);Hc(y)gP

(2.17)
onde de�nimos a operaçãof; gP conhecida como parêntese de Poisson. Agora sabemos pelas equações
(2.14) que nossa teoria possui vínculos primários, logo as equações de Hamilton não serão válidas
no espaço de fase como um todo mas sim em uma "superfície". Para construir o espaço de fase de
maneira consistente com os vínculos, vamos utilizar o método de Dirac, restringindo a evolução das
quantidades físicas a uma "superfície" no espaço de fase.
Primeiramente, temos os seguintes vínculos primários

� = p+ i
2
�0 � 0 �� = �p� i

2
� �0 � 0 '1 = �0 � 0

�0 = �a2�i0@i@�F�0 = @k�
k ) '2 = �0 � @k�k � 0;

com � denotando uma igualdade fraca, restrita à superfície:

(2.18)

Também temos duas relações dinâmicas

�k = F k0 + a2[�ik@i@�F
�0 � @0@�F�k]) @0A

k = @kA0 � �k + a2[@k@�F
�0 � @0@�F�k]

�k = a2[@�F
�k � �k0@�F�0]) @0�

k = @k�0 � @lF lk + �k

a2
:

(2.19)

10


Com as identidades

i
2
� ��(@� ) = �p(@0 ) +

i
2
� �i(@i )

i
2
(@�� �

�) = �(@0� )p� i
2
� �i(@i )

F ��F�� = F kjFkj + 2(�j � @jA0)2

@�F��@�F
�� = [

��
a2
� �0�@�F �0][�

�

a2
� ��0@�F�0] = �k�k

a4
+ @�F�0@�F

�0 = �k�k
a4

+ @jF0j@kF
k0 =

= �k�k
a4

+ (@j�j � @j@jA0)2;
(2.20)

escrevemos a hamiltoniana canônica da seguinte forma

Hc =
R
d3~x

�
(@0� )p+ �p(@0 )+�

�(@0A�) + �
�(@0��)�L

	
=
R
d3~xf�0�0 +�k�k+

+�k(@
k�0 � @lF lk + �k

2a2
)� i

2
� �i(
 !
@ i ) +m�  � e� Â + 1

4
FkjF

kj + 1
4
(�j � @jA0)2+

�a2

2
(@j�j � @j@jA0)2g:

(2.21)

Portanto, de�nimos a densidade de hamiltoniana primária

Hp = Hc + �C�+ ��C + C1'1 + C2'2 (2.22)

onde �C,C,C1, e C2 são os multiplicadores de Lagrange associados aos vínculos.
Os parênteses fundamentais de Poisson são dados por

f A (x); �pE(y)gP = �AE�
3(~x� ~y)

f � A
(x); pE(y)gP = �AE�

3(~x� ~y)

fA�(x);��(y)gP = ����
3(~x� ~y)

f��(x);��(y)gP = ����
3(~x� ~y):

(2.23)

Para que a teoria seja consistente, os vínculos devem permanecer os mesmos em todo momento, ou
seja, devem ser estáveis. Sendo assim, impomos as condições de consistência ou estabilidade nos
vínculos

@0�(x) =
R
d3~yf�(x);Hp(y)gP � 0 (2.24)

@0�(x) =
R
d3~yfp(x) + i

2
�0 (x);Hc(y) + �C(y)�(y) + ��(y)C(y) + C1(y)'1(y) + C2(y)'2(y)gP

=
R
d3~yfp(x);� i

2
� (y)�i[

 !
@ i (y)] +m� (y) (y)� e� (y)Â(y) (y)gP +

R
d3~yfp(x) +

+
i

2
�0 (x); ��(y)gPC(y) (2.25)

= i�i@i (x)�m (x) + eÂ(x) (x) + i�0C(x)

11


i�0C(x) + i�i@i (x)�m (x) + eÂ(x) (x) = 0: (2.26)

Da álgebra de DKP,

������ + ������ = ����� + �����

�0�0�0 = �0:
(2.27)

Logo

�0�0[i�0C(x) + i�i@i (x)�m (x) + eÂ(x) (x)] = 0

C(x) = ��0�i@i (x)� im�0 (x) + ie�0Â(x) (x):

(2.28)

Da mesma forma

@0��(x) =
R
d3~yf��(x);Hp(y)gP � 0 (2.29)

@0��(x) =
R
d3~yf�p(x)� i

2
� (x)�0;Hc(y) + �C(y)�(y) + ��(y)C(y) + C1(y)'1(y) + C2(y)'2(y)gP

=
R
d3~yf�p(x);� i

2
� (y)�i[

 !
@ i (y)] +m� (y) (y)� e� (y)Â(y) (y)gP +

R
d3~y �C(y)f�p(x) +

� i
2
� (x)�0; �(y)gP (2.30)

= �i@i� (x)�i �m� (x) + e� (x)Â(y)� i �C(x)�0:

Logo

�C(y) = �@i� (x)�i�0 + im� (x)�0 � ie� (x)Â(y)�0: (2.31)

Por outro lado,

@0'1(x) =
R
d3~yf'1(x);Hp(y)gP � 0 (2.32)

@0'1(x) =
R
d3~yf�0(x); Hc(y) + �C(y)�(y) + ��(y)C(y) + C1(y)'1(y) + C2(y)'2(y)gP

=
R
d3~yf�0(x);�0(y)�0(y) + �k(y)@k�0(y)gP

= ��0(x) + @k�k(x) = �'2(x) � 0:

Porém a condição de consistência para o vínculo '2(x)

@0'2(x) =
R
d3~yf'2(x);Hp(y)gP � 0 (2.33)

@0'2(x) =
R
d3~yf'2(x);Hc(y) + �C(y)�(y) + ��(y)C(y) + C1(y)'1(y) + C2(y)'2(y)gP

=
R
d3~yf�0(x)� @k�k(x);�e� (y)Â(y) (y) + �k(y)�k(y)gP

= e� (x)�0 (x) + @k�k(x) _=~'2(x) � 0

12


nos leva a um novo vínculo, ~'2(x) é um vínculo secundário. Neste caso, impondo a condição de
consistência para ~'2(x)

@0~'2(x) =
R
d3~yf~'2(x);Hp(y)gP � 0 (2.34)

@0'2(x) =
R
d3~yf~'2(x);Hc(y) + �C(y)�(y) + ��(y)C(y) + C1(y)'1(y) + C2(y)'2(y)gP

=
R
d3~yfe� (x)�0 (x) + @k�k(x); Hc(y)gP

= 0:

Portanto, após encontrar todos os vínculos, podemos escrever a densidade de hamiltoniana total

HT = Hc + �C�+ ��C + C1'1 + C2'2 + ~C2~'2 (2.35)

e utilizar uma nova classi�cação dos vínculos de acordo com a independência linear destes. Dados
dois vínculos 
i e 
j estes serão de primeira classe se e somente se

f
i;
jgP � 0 (2.36)

caso contrário serão ditos de segunda classe. Esta classi�cação esta associada ao fato de determinar
os multiplicadores de Lagrange, se os vínculos são de primeira classe não conseguimos determiná-los.
Conseqüentemente, para o vínculo �

f�A(x); ��D(y)gP = fpA(x) +
i

2
[�0 (x)]A; �pD �

i

2
[� (y)�0]DgP (2.37)

= i�0AD�
3(~x� ~y) 6= 0:

f�A(x); '1(y)gP = fpA(x) +
i

2
[�0 (x)]A;�0(y)gP = 0: (2.38)

f�A(x); '2(y)gP = fpA(x) +
i

2
[�0 (x)]A;�0(y)� @k�k(y)gP = 0: (2.39)

f�A(x); ~'2(y)gP = fpA(x) +
i

2
[�0 (x)]A; e� (y)�

0 (y)� @k�k(y)gP (2.40)

= fpA(x) +
i

2
[�0 (x)]A; e� (y)�

0 (y)gP

= fpA(x) +
i

2
[�0 (x)]A;�

i

2
e�p (y) +

i

2
e� (y)pgP = 0:

De maneira análoga, encontramos o mesmo resultado para ��. Dizemos que os vínculos � e ��
aparentam ser de segunda classe. Para esclarecer esse ponto precisamos explicitar a matriz �0 e
ver se temos vínculos secundários. Isto será feito a posteriori.

Por �m, resta-nos encontrar os parênteses de Poisson associados aos vínculos '1, '2 e ~'2. Neste
caso

13


f'1(x); '2(y)gP = f'1(x); '2(y)gP = f�0(x);�0(y)� @k�k(y)gP = 0

f'1(x); ~'2(y)gP = f�0(x); e� (y)�0 (y) + @k�k(y)gP = 0

f'2(x); ~'2(y)gP = f�0(x)� @k�k(x); e� (y)�0 (y) + @k�k(y)gP = 0:

(2.41)

Dizemos que os vínculos '1, '2 e ~'2 são de primeira classe.
Devemos ser capazes de encontrar todos os multiplicadores de Lagrange da teoria em questão.

Para o caso de vínculos de primeira classe, temos que introduzir condições subsidiárias a �m de que
todos os multiplicadores de Lagrange sejam determinados e a dinâmica Hamiltoniana seja equivalente
à dinâmica Lagrangeana. O fato de implementar condições subsidirárias está associado à necessidade
de trabalharmos apenas com os graus de liberdade físicos ou verdadeiros da teoria. Ao introduzirmos
condições subsidiárias, os vínculos de primeira classe passam a ser de segunda classe onde é possível
de�nirmos a evolução de um observável física pelo parêntese de Dirac.
Para esclarecer a metodologia de Dirac suponhamos que primeiramente encontramos todos os

vínculos 
i(primários, secundários, ...) da teoria. Neste caso, de�nimos a densidade de hamiltoniana
total

HT = Hc + 
i�
i: (2.42)

Se 
i são vínculos de primeira classe, não conseguimos determinar os multiplicadores de Lagrange.
Para que isso seja possível, introduzimos condições subsidiárias (novos vínculos �j) advindas da teoria
para �xar os graus de liberdades não físicos (calibre)

H = HT + �j�
j (2.43)

= Hc + 
i�
i + �j�

j:

Conseqüentemente o conjunto de vínculos (
;�) passa a ser de segunda classe.
Agora se 
i são vínculos de segunda classe

@0
i(x) =

Z
d3~yf
i(x);HT (y)gP (2.44)

�
Z
d3~yf
i(x);Hc(y)gP +

Z
d3~yf
i(x);
j(y)gP�j(y)

� 0

R
d3~yf
i(x);
j(y)gP�j(y) +

R
d3~yf
i(x);Hc(y)gP � 0R

d3~yf
(x);
(y)gP�(y) +
R
d3~yf
(x);Hc(y)gP � 0 (notação matricial):

(2.45)

Resolvendo a equação anterior de maneira algébrica

�(z) � �
R
d3~xd3~y [f
(z);
(x)gP ]�1 f
(x);Hc(y)gPR

d3~x [f
(z);
(x)gP ]�1 f
(x);
(y)gP = �3(~z � ~y)I:
(2.46)

14


Portanto, a evolução de um observável físico Q =
R
d3~xQ( � ;  ;A;�; p; �p;�;�) será dado por

dQ

dt
=

R
d3~xd3~yfQ(x);HT (y)gP (2.47)

�
R
d3~xd3~yfQ(x);Hc(y)gP +

R
d3~xd3~yfQ(x);
(y)gP�(y)

�
R
d3~xd3~yfQ(x);Hc(y)gD

onde de�nimos o parêntese de Dirac

fQ(x);Hc(y)gD =
�
fQ(x);Hc(y)gP �

Z
d3~zd3 ~wfQ(x);
(z)gP [f
(z);
(w)gP ]�1 f
(w);Hc(y)gP

�
(2.48)

Logo, se trocarmos o parêntese de Poisson por parêntese de Dirac, a dinâmica Hamiltoniana ocorre
em uma superfície contida no espaço de fase ( � ;  ;A;�; p; �p;�;�): Esta superfície foi construída
por meio da análise de vínculos para que a dinâmica Hamiltoniana seja equivalente com a dinâmica
Lagrangiana. Com a de�nição do parêntese de Dirac as igualdades fracas podem ser escritas como
igualdades fortes, �!=. As equações de Hamilton são dadas agora em termos dos parênteses de
Dirac f; gD.
Havíamos dito que os vínculos � e �� são aparentemente de segunda classe anteriormente. Para

explicar o termo aparente vamos escrever a matriz de vínculos VAD = f�A(x); ��D(y)gP de maneira
explícita

V10�10(~x;~y) =

�
0 i�0

�i�0 0

�
�3(~x� ~y)

V10�10 _=

�
0 i�0

�i�0 0

�
:

(2.49)

O determinante de V10�10 é dado por

det[V10�10] = det[(�
0)2] = det[�0] det[�0] = 0 (2.50)

sendo assim, não temos uma matriz inversa V �110�10. Esta informação nos diz que temos vínculos
secundários na teoria. Para facilitar a análise vamos escolher uma representação para as matrizes ��

�0 =

0BBBB@
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0

1CCCCA ; �1 =

0BBBB@
0 0 0 0 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 �1 0 0 0

1CCCCA (2.51)

�2 =

0BBBB@
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
0 0 �1 0 0

1CCCCA ; �3 =

0BBBB@
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 1
0 0 0 �1 0

1CCCCA :

15


Como

C(y) = ��0�i@i (x)� im�0 (x) + ie�0Â(y) (x) (2.52)

�C(y) = @i (x)�
i�0 + im� (x)�0 � ie� (x)Â(y)�0;

concluimos que apenas 2 multiplicadores de Lagrange de C e de �C são encontrados. Logo, temos
6 vínculos secundários, 3 associados a C e 3 associados a �C: As a�rmações anteriores condizem
com o fato do posto da matriz V10�10 ser 4. Pois bem, vamos encontrar os vínculos secundários.
Primeiramente,

i�0C(y) + i�i@i (x)�m (x) + eÂ(y) (x) = 0 (2.53)

De�nindo o operador projeção P = [1� (�0)2]

[1� (�0)2][i�0C(y) + i�i@i (x)�m (x) + eÂ(x) (x)] = 0

[1� (�0)2][i�i@i (x)�m (x) + e�iAi(x) (x)] = 0

(2.54)

encontramos os vínculos secundários

�(2) = [1� (�0)2][i�i@i (x)�m (x) + e�iAi(x) (x)] � 0 (2.55)

Analogamente,

��(2) = [i@i� (x)�
i +m� (x)� e� (x)�iAi(x)][1� (�0)2] � 0 (2.56)

Portanto, a densidade de Hamiltoniana total é dada por

HT = Hc + �C(1)�(1) + ��(1)C(1) + �C(2)�(2) + ��(2)C(2) + C1'1 + C2'2 + ~C2~'2 (2.57)

onde

�(1) = p+ i
2
�0 

��(1) = �p� i
2
� �0

�(2) = [1� (�0)2][i�i@i (x)�m (x) + e�iAi(x) (x)]

��(2) = [i@i� (x)�
i +m� (x)� e� (x)�iAi(x)][1� (�0)2]

(2.58)

Temos agora o conjunto de vínculos primários e secundários

(�
(1)
A ; ��

(1)
A ; �

(2)
b ; ��

(2)
b )

A = 1; 2; 3; 4; 5
b = 3; 4; 5

(2.59)

Os parênteses de Poisson fundamentais dos vínculos são dados por

16


f�(1)(x); ��(1)(y)gP = i�0�3(~x� ~y); (2.60)

f�(1)(x); �(2)(y)gP = 0; (2.61)

f�(1)(x); ��(2)(y)gP = fp(x) + i

2
�0 (x); [i@i� (y)�

i +m� (y)� e� (y)�iAi(y)][1� (�0)2]gP
= �[i@i�3(~x� ~y)�i +m�3(~x� ~y)� e�3(~x� ~y)�iAi(y)][1� (�0)2]
= �[i�i@i +m� e�iAi(y)][1� (�0)2]�3(~x� ~y); (2.62)

f��(1)(x); �(2)(y)gP = f�p(x)� i

2
[� (x)�0]A; [1� (�0)2][i�i@i (y)�m (y) + e�iAi(y) (y)]gP

= �[1� (�0)2][i�i@i�3(~x� ~y)�m�3(~x� ~y) + e�iAi(y)�
3(~x� ~y)]

= �[1� (�0)2][i�i@i �m+ e�iAi(y)]�
3(~x� ~y); (2.63)

f��(1)(x); ��(2)(y)gP = 0; (2.64)

f�(2)(x); ��(2)(y)gP = 0: (2.65)

Portanto, ao �nal temos a seguinte matriz de vínculos V escalar
16�16 (~x; ~y) associada ao setor escalar

V escalar
16�16 (~x; ~y) = V escalar

16�16 �3(~x� ~y) (2.66)

V escalar
16�16 =

�
V 1
10�10 V 2

10�6

V 3
6�10 V 4

6�6

�
(2.67)

onde

V 1
10�10 =

�
05�5 i�0

�i�0 05�5

�

V 2
10�6 =

 
05�3

�
�[i�i@i +m� e�iAi(y)][1� (�0)2]

	
5�3�

�[1� (�0)2][i�i@i �m+ e�iAi(y)]
	
5�3 05�3

!

V 3
6�10 =

 
03�5

�
[i�i@i +m� e�iAi(y)][1� (�0)2]

	
3�5�

[1� (�0)2][i�i@i �m+ e�iAi(y)]
	
3�5 03�5

!

V 4
6�6 = 06�6:

(2.68)
Voltando ao problema de se construir um espaço de fase para a eletrodinâmica GSDKP4 temos

17


HT = Hc + �C(1)�(1) + ��(1)C(1) + �C(2)�(2) + ��(2)C(2) + C1'1 + C2'2 + ~C2~'2; (2.69)

onde

Hc = �0�
0 +�k�

k + �k(@
k�0 � @lF lk + �k

2a2
)� i

2
� �i(
 !
@ i ) +m�  +

�e� Â + 1
4
FkjF

kj + 1
4
(�j � @jA0)2 � a2

2
(@j�j � @j@jA0)2;

�(1) = p+ i
2
�0 ;

��(1) = �p� i
2
� �0;

�(2) = [1� (�0)2][i�i@i (x)�m (x) + e�iAi(x) (x)];

��(2) = [i@i� (x)�
i +m� (x)� e� (x)�iAi(x)][1� (�0)2];

'1 = �0;

'2 = �0 � @k�k;

~'2(x) = e� (x)�0 (x)� @k�k(x):

(2.70)

Tendo em vista os graus de liberdades físicos discutidos no apêndice (5.3), implementamos a
condição de Coulomb generalizada por meio de um multiplicador de lagrange

H0T = Hc + �C(1)�(1) + ��(1)C(1) + �C(2)�(2) + ��(2)C(2) + C1'1 + C2'2 + ~C2~'2 +G3�3;

�3 = (1 + a
2�)(~r: ~A) � 0;

(2.71)

onde impomos a condição de estabilidade

@0�3(x) =
R
d3~yf�3(x);H0T (y)gP (2.72)

= �
R
d3~yf(1 + a2�)(@jAj(x));�k(y)�k(y)gP

= �
R
d3~y[(1 + a2�)@jfAj(x);�k(y)g]�k(y)

= �
R
d3~y[(1 + a2�)@k�3(~x� ~y)]�k(y)

= (1 + a2�)@k�k(x)
= (1 + a2�)@k@0Ak(x) � 0:

Observe que A0 � 0 e, sendo assim, temos um vínculo secundário.
Novamente

H00T = Hc + �C(1)�(1) + ��(1)C(1) + �C(2)�(2) + ��(2)C(2) + C1'1 + C2'2 + ~C2~'2 +G3�3 +G2�2

�2 = A0 � 0
(2.73)

18


@0�2(x) =
R
d3~yf�2(x);H00T (y)gP (2.74)

=
R
d3~yfA0;�0(y)gP�0(y)

= �0(x) � 0

e, consequentemente, temos um vínculo terciário. Logo

H000T = Hc + �C(1)�(1) + ��(1)C(1) + �C(2)�(2) + ��(2)C(2) + C1'1 + C2'2 + ~C2~'2 +G1�1 +G2�2 +G3�3

�1 = �0(x) � 0
(2.75)

@0�2(x) =
R
d3~yf�2(x);H000T (y)gP (2.76)

=
R
d3~yf�0(x);H000T (y)gP

= 0:

Por conseguinte, temos uma matriz de vínculos V vetorial
6�6 (~x; ~y) associada ao setor vetorial

V vetorial
6�6 =

0BBBBBB@
f'1; '1g f'1; '2g f'1; ~'2g f'1;�1g f'1;�2g f'1;�3g
f'2; '1g f'2; '2g f'2; ~'2g f'2;�1g f'2;�2g f'2;�3g
f~'2; '1g f~'2; '2g f~'2; ~'2g f~'2;�1g f~'2;�2g f~'2;�3g
f�1; '1g f�1; '2g f�1; ~'2g f�1;�1g f�1;�2g f�1;�3g
f�2; '1g f�2; '2g f�2; ~'2g f�2;�1g f�2;�2g f�2;�3g
f�3; '1g f�3; '2g f�3; ~'2g f�3;�1g f�3;�2g f�3;�3g

1CCCCCCA (2.77)

Explicitando o cálculo dos elementos não nulos da matrix anterior, temos

f'1(x);�1(y)g = f�0(x);�0(y)g = ��3(~x� ~y); (2.78)

f'2(x);�2(y)g = f�0(x)� @k�k(x); A0(y)g = ��3(~x� ~y); (2.79)

f~'2(x);�3(y)g = fe� (x)�0 (x)�@k�k(x);�(1+a2�)(@jAj(y))g = �(1�a2~r
2
)~r2�3(~x�~y): (2.80)

Sendo assim,

V vetorial
6�6 (~x; ~y) =

0BBBBBBB@

0 0 0 �1 0 0
0 0 0 0 �1 0

0 0 0 0 0 �(1� a2~r2)~r2

1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0

0 0 (1� a2~r2)~r2 0 0 0

1CCCCCCCA
�3(~x� ~y): (2.81)

19


Formalmente o estudo de vínculos da GSDKP nos levou a construir a matriz de vínculos V (~x; ~y)22�22
dada por

V (~x; ~y)22�22 =

�
V escalar
16�16 (~x; ~y) A16�6(~x; ~y)

B6�16(~x; ~y) V vetorial
6�6 (~x; ~y)

�
=

�
V escalar
16�16 A16�6
B6�16 V vetorial

6�6

�
�3(~x� ~y); (2.82)

onde o setor escalar e vetorial foram dispostos em blocos e

A16�6(~x; ~y) =

0@ 010�2 010�1 010�3

06�2 (
f�(2); ~'2gP
f��(2); ~'2gP

)6�1 06�3

1A ; (2.83)

B
6�16

(~x; ~y) =

0@ 02�16
01�10

�
f~'2; �(2)gP f~'2; ��(2)gP

�
1�6

03�16

1A ;

sendo

f�(2)(x); ~'2(y)gP =

Z
d4yf[1� (�0)2][e�iAi(x) (x)];�@k�k(y)gP (2.84)

= e[1� (�0)2]�i@i (x);

f��(2)(x); ~'2(y)gP =

Z
d4yf[�e� (x)�iAi(x)][1� (�0)2];�@k�k(y)gP (2.85)

= �e@i� (x)�i[1� (�0)2]:

Como vimos, o espaço de fase físico é o espaço de fase descrito pelas 36 variáveis ( � ;  ;A;�; p; �p;�;�)
porém sujeito aos 22 vínculos f�(1); ��(1); �(2); ��(2); '1; '2; ~'2;�3;�2;�1g. Existe a possibilidade de
construir uma leitura intuitiva associada aos graus de liberdade físicos e sua conexão com os vínculos,
vide apêndice (5.5).
É importante notar que nossas matrizes são matrizes de operadores diferenciais e o inverso de um

operador diferencial é uma função de Green. Dessa forma para encontrarmos a inversa de V (~x; ~y)22�22
e podermos de�nir o parentese de Dirac precisamos resolver a seguinte equação algébricaZ

d3~xV �1(~z; ~x)22�22V (~x; ~y)22�22 = �3(~z � ~y)I: (2.86)

O problema que estamos lidando é um problema de álgebra linear. Como o setor escalar e vetorial
estão dispostos por blocos podemos resolver a equação anterior separando os setores [66]. Observa-se
que

det[V22�22] = det[V
escalar
16�16 � A16�6 V vetorial

6�6

�1
B6�16 ] det[V

vetorial
6�6 ]

V16�16 _=V
escalar
16�16 � A16�6(V vetorial

6�6 )�1B6�16 :

(2.87)

Vamos encontrar a inversa da matriz V vetorial
6�6 (~x; ~y). Para isso

20


R
d3~x V f

6�6

�1
(~z; ~x)V vetorial

6�6 (~x; ~y) = �3(~z � ~y)I

V vetorial
6�6

�1
(~z; ~x) =

0BBBBBB@
0 0 0 �3(~z � ~x) 0 0
0 0 0 0 �3(~z � ~x) 0
0 0 0 0 0 G(~z; ~x)
��3(~z � ~x) 0 0 0 0 0
0 ��3(~z � ~x) 0 0 0 0
0 0 �G(~z; ~x) 0 0 0

1CCCCCCA :

(2.88)
Neste caso R

d3~xG(~z; ~x)(1� a2~r2)~r2�3(~x� ~y) = �3(~z � ~y)

(1� a2~r2)~r2G(~z; ~y) = �3(~z � ~y):
(2.89)

A partir de agora estamos aptos a quantizar a teoria, utilizando o procedimento de Faddeev-
Popov-Senjanovic para obter a amplitude de transição.
A amplitude de transição é de�nida em sua forma hamiltoniana pela seguinte equação

Z = N
R
D� exp[i

R
d4xL];

Z = N
R
D� exp[i

R
d4x

�
(@0� )p+ �p(@0 )+�

�(@0A�) + �
�(@0��)�Hc

	
];

Hc = �0�
0 +�k�

k + �k(@
k�0 � @lF lk + �k

2a2
)� i

2
� �i(
 !
@ i ) +m�  � e� Â +

+1
4
FkjF

kj + 1
4
(�j � @jA0)2 � a2

2
(@j�j � @j@jA0)2;

D� = D��D��D�
�DA�D� D D�pDp�(�l)fdet[V22�22]g

1
2 ;

(2.90)

onde �l = f�(1); ��(1); �(2); ��(2); '1; '2; ~'2;�3;�2;�1g é o conjunto total de vínculos da teoria. O
interessante é que a medida de integração tem que se transformar como um escalar neste espaço de
fase vinculado, por isso aparece a raiz de V associada ao jacobiano de uma transformação. Portanto,
o funcional gerador é de�nido como sendo uma integral sobre todas as con�gurações de campos
restritos ao espaço de fase vinculado.
De maneira explícita, a amplitude de transição Z é dada por

Z = N
R
D��D��D�

�DA�D� D D�pDp�(�0)�(�0 � @k�k)�(e� �0 + @k�k)�(�0)�(A0)�
��((1 + a2�)(~r: ~A))�(p+ i

2
�0 )�(�p� i

2
� �0)�([1� (�0)2][i�i@i �m + e�iAi ])�

��([�i@i� �i +m� � e� �iAi][1� (�0)2]) det[(1 + a2~r2)~r2]fdet[V16�16]g
1
2�

� exp[i
R
d4xf(@0� )p+ �p(@0 )+��(@0A�) + ��(@0��)��0�0 � �k�k � �k(@k�0 � @lF lk + �k

2a2
)+

+ i
2
� �i(
 !
@ i )�m�  + e� Â � 1

4
FkjF

kj � 1
4
(�j � @jA0)2 + a2

2
(@j�j � @j@jA0)2g]:

(2.91)

Integrando nas variáveis �0;�0;�0 e A0 �camos com

21


Z = N
R
D�kD�kD�

lDAlD� D D�pDp�(e� �
0 + @k�k)�((1 + a2�)(~r: ~A))�(p+ i

2
�0 )�(�p� i

2
� �0)�

��([1� (�0)2][i�i@i �m + e�iAi ])�([�i@i� �i +m� � e� �iAi][1� (�0)2]) det[(1 + a2~r2)~r2]�
�fdet[V16�16]g

1
2 exp[i

R
d4xf(@0� )p+ �p(@0 )+�k(@0Ak) + �k(@0�k)� �k�k + �k(@lF lk � �k

2a2
)+

+ i
2
� �i(
 !
@ i )�m�  + e� Ai�i � 1

4
FkjF

kj � 1
4
(�j�

j) + a2

2
(@j�j)

2g]:
(2.92)

Integrando nas variáveis �p e p temos

Z = N
R
D�kD�kD�

lDAlD� D �(e� �
0 + @k�k)�((1 + a2�)(~r: ~A))�

��([1� (�0)2][i�i@i �m + e�iAi ])�([�i@i� �i +m� � e� �iAi][1� (�0)2])�
� det[(1 + a2~r2)~r2]fdet[V16�16]g

1
2 exp[i

R
d4xf�k(@0Ak) + �k(@0�k)� �k�k+

+�k(@lF
lk � �k

2a2
) + i

2
� ��(

 !
@ � )�m�  + eAi� �i � 1

4
FkjF

kj � 1
4
(�j�

j)+

+a2

2
(@j�j)

2g]:

(2.93)

Agora, escrevendo a delta funcional �(e� �0 + @k�k) em termos da sua transformada de Fourier

�(e� �0 + @k�k) =

Z
D� exp[i

Z
d4xf�(e� �0 + @k�k)g] (2.94)

concluímos que

Z = N
R
D�kD�kD�

lDAlD� D D��((1 + a2�)(~r: ~A))�([1� (�0)2][i�i@i �m + e�iAi ])�
��([�i@i� �i +m� � e� �iAi][1� (�0)2]) detf[(1 + a2~r

2
)~r2]gfdet[V16�16]g

1
2�

� exp[i
R
d4xf�(e� �0 + @k�k) + �

k(@0Ak) + �
k(@0�k)� �k�k + �k(@lF lk � �k

2a2
)+

+ i
2
� ��(

 !
@ � )�m�  + eAi� �i � 1

4
FkjF

kj � 1
4
(�j�

j) + a2

2
(@j�j)

2g]:
(2.95)

Podemos fazer a integral em D�l na expressão anterior. Para tanto note que

Z = N
R
D�kD�kD�DAlD� D �((1 + a2�)(~r: ~A))�([1� (�0)2][i�i@i �m + e�iAi ])�

��([�i@i� �i +m� � e� �iAi][1� (�0)2]) det[(1 + a2~r
2
)~r2]fdet[V16�16]g

1
2�

� exp[i
R
d4xf�e� �0 + �k(@0�k) + �k(@lF lk � �k

2a2
) + i

2
� ��(

 !
@ � )�m�  + eAi� �i +

�1
4
FkjF

kj � 1
4
(�j�

j) + a2

2
(@j�j)

2g]D�l exp[i
R
d4xf�(@k�)�k +�k(@0Ak)� �k�kg];

(2.96)
e utilizando

D�l exp[i
R
d4xf�(@k�)�k +�k(@0Ak)� �k�kg] = �(�l + @l� � @0Al); temos (2.97)

Z = N
R
D�kD�kD�DAlD� D �((1 + a2�)(~r: ~A))�([1� (�0)2][i�i@i �m + e�iAi ])�

��([�i@i� �i +m� � e� �iAi][1� (�0)2]) det[(1 + a2~r
2
)~r2]fdet[V16�16]g

1
2�

� exp[i
R
d4xf�e� �0 + �k(@0�k) + �k(@lF lk � �k

2a2
) + i

2
� ��(

 !
@ � )�m�  + eAi� �i +

�1
4
FkjF

kj � 1
4
(�j�

j) + a2

2
(@j�j)

2g]�(�l + @l� � @0Al):
(2.98)

22


Fazendo a integral em D�k chegamos a

Z = N
R
D�kD�DAlD� D �((1 + a2�)(~r: ~A))�([1� (�0)2][i�i@i �m + e�iAi ])�

��([�i@i� �i +m� � e� �iAi][1� (�0)2]) det[(1 + a2~r2)~r2]fdet[V16�16]g
1
2�

� exp[i
R
d4xf�e� �0 + �k[@0(@0Ak � @k�)] + �k(@lF lk � �k

2a2
) + i

2
� ��(

 !
@ � )�m�  +

+eAi� �i � 1
4
FkjF

kj � 1
4
(@0Aj � @j�)(@0Aj � @j�) + a2

2
[@j(@0Aj � @j�)]2g]:

(2.99)

e identi�cando � = A0

Z = N
R
DA�D� D �((1 + a2�)(~r: ~A))�([1� (�0)2][i�i@i �m + e�iAi ])�

��([�i@i� �i +m� � e� �iAi][1� (�0)2]) det[(1 + a2~r2)~r2]fdet[V16�16]g
1
2�

� exp[i
R
d4xf i

2
� ��(

 !
@ � )�m�  + e� Â � 1

4
F��F

�� + a2

2
[@�Fo�]

2g]�
�
R
D�k exp[i

R
d4xf�k(@�F �k)� �k�

k

2a2
g]:

(2.100)

Completando quadrados na variável de integração D�k �camos com

R
D�k exp[i

R
d4xf�k(@�F �k)� �k�

k

2a2
g] =

R
D�k exp[i

R
d4xf� (�k�a2@�F�k)(�k�a2@�F�k)

2a2
+

+a2

2
(@�F�k)(@�F

�k)g]:
(2.101)

Logo, a amplitude de transição é dada por

Z = N
R
DA�D� D �((1 + a2�)(~r: ~A))�([1� (�0)2][i�i@i �m + e�iAi ])�

��([�i@i� �i +m� � e� �iAi][1� (�0)2]) det[(1 + a2~r2)~r2]fdet[V16�16]g
1
2�

� exp[i
R
d4xf i

2
� ��(

 !
@ � )�m�  + e� Â � 1

4
F��F

�� + a2

2
@�F��@�F

��g];

N (1) = N
R
D�k exp[i

R
d4xf� (�k�a2@�F�k)(�k�a2@�F�k)

2a2
g]:

(2.102)

Por �m, trabalharemos com as integrais nas variáveis � e  . Primeiramente, observa-se que

�([1� (�0)2][i�i(@i � ieAi) �m ]) =
R
D �C exp[i

R
d4xf �C[1� (�0)2][i�i(@i � ieAi) �m ]g;

�([i(@i + ieAi)� �
i +m� ][1� (�0)2]) =

R
DC exp[i

R
d4xf[i(@i + ieAi)� �

i +m� ][1� (�0)2]Cg:
(2.103)

Tendo em vista a de�nição de derivada covariante r� = (@� � ieA�) escrevemos

Z = N (1)
R
DA�D� D D �CDC�((1 + a2�)(~r: ~A)) det[(1 + a2~r2)~r2]fdet[V16�16]g

1
2�

� exp[i
R
d4xf� [i��r� �m] � 1

4
F��F

�� + a2

2
@�F��@�F

��+

+ �C[1� (�0)2][i��r� �m] + � [i��
 �r�� +m][1� (�0)2]Cg];

[1� (�0)2]�0 = 0:

(2.104)

23


Fazendo a integração funcional em � somos levados a

Z = N (1)
R
DA�D D �CDC�((1 + a2�)(~r: ~A)) det[(1 + a2~r2)~r2]fdet[V16�16]g

1
2�

� exp[i
R
d4xf�1

4
F��F

�� + a2

2
@�F��@�F

�� + �C[1� (�0)2][i��r� �m] g]�
�
R
D� exp[i

R
d4x� f(i��r� �m) � (i��r� �m)[1� (�0)2]Cg];

(2.105)

Z = N (1)
R
DA�D D �CDC�((1 + a2�)(~r: ~A)) det[(1 + a2~r2)~r2]fdet[V16�16]g

1
2�

� exp[i
R
d4xf�1

4
F��F

�� + a2

2
@�F��@�F

�� + �C[1� (�0)2][i��r� �m] g]�
��f(i��r� �m) � (i��r� +m)[1� (�0)2]Cg:

(2.106)

É de nosso conhecimento a seguinte propriedade

�(A +B) = �(A[ +
B

A
]) =

1

det[A]
�( +

B

A
): (2.107)

Neste caso,

�f(i��r� �m) � (i��r� �m)[1� (�0)2]Cg =
1

det[(i��r� �m)]
�( � (i�

�r� �m)[1� (�0)2]C
(i��r� �m)

):

(2.108)
Portanto, fazendo a integração funcional em  na equação (2.106), concluimos que

Z = N (1)
R
DA�D D �CDC�((1 + a2�)(~r: ~A)) det[(1 + a2~r2)~r2]fdet[V16�16]g

1
2�

� 1
det[(i��r��m)] exp[i

R
d4xf�1

4
F��F

�� + a2

2
@�F��@�F

�� � �C[1�(�0)2][i��r��m](i��r��m)[1�(�0)2]C
(i��r��m) g]:

(2.109)
Então,

Z = N (2)
R
DA��((1 + a2�)(~r: ~A)) det[(1 + a2~r2)~r2]fdet[V16�16]g

1
2

1
det[(i��r��m)]�

� exp[i
R
d4xf�1

4
F��F

�� + a2

2
@�F��@�F

��g]
(2.110)

onde por meio da álgebra de DKP

N (2) = N
R
D�k exp[i

R
d4xf� (�k�a2@�F�k)(�k�a2@�F�k)

2a2
g]�

�
R
D �CDC exp[i

R
d4xfm �C[1� (�0)2]Cg]:

(2.111)

Lembrando-se que

1

det[(i��r� �m)]
= �

Z
D� D exp[i

R
d4xf� (i��r� �m) g] (2.112)

onde � é uma constante in�nita, discutida no apêndice (5.10), encontramos uma expressão �nal para
amplitude de transição Z

24


Z = N (2)�
R
DA�D� D �((1 + a2�)(~r: ~A)) det[(1 + a2~r2)~r2]fdet[V16�16]g

1
2�

� exp[i
R
d4xf� (i��r� �m) � 1

4
F��F

�� + a2

2
@�F��@�F

��g]; ou

Z = N (3)
R
DA�D� D �((1 + a2�)(~r: ~A)) detf[(1 + a2~r2)~r2]gfdet[V16�16]g

1
2 exp[i

R
d4xL]; com

N (3) = N�
R
D�k exp[i

R
d4xf� (�k�a2@�F�k)(�k�a2@�F�k)

2a2
g]
R
D �CDC exp[i

R
d4xfm �C[1� (�0)2]Cg]:

(2.113)
Como fdet[V16�16]g

1
2 não depende dos campos A�, � e  , temos que

Z = N (4)
R
DA�D� D det[(1 + a

2~r2)~r2]�((1 + a2�)(~r: ~A)) exp[i
R
d4xf� (i��r� �m) � 1

4
F��F

��+

+a2

2
@�F��@�F

��g]; sendo

N (4) = N�
R
D�k exp[i

R
d4xf� (�k�a2@�F�k)(�k�a2@�F�k)

2a2
g]�

�
R
D �CDC exp[i

R
d4xfm �C[1� (�0)2]Cg]fdet[V16�16]g

1
2 :

(2.114)
Embora a expressão anterior para a amplitude de transição seja correta sua forma não é covariante

explicitamente. Entretanto, podemos usar o ansatz de Faddeev-Popov-DeWitt para determinar a
forma covariante da amplitude de transição vácuo-vácuo. Para o caso da condição de calibre no-
mixing

det[(1 + a2�)
1

2��4(x� y)]
Z Y

x

d�(x)�[(1 + a2�)
1

2 @� A
� �] = 1: (2.115)

Vamos inserir a identidade anterior em (2.114)

Z = N (4)
R
DA�D� D det[(1 + a

2~r2)~r2]�[(1 + a2�)(~r: ~A)] det[(1 + a2�)
1

2��4(x� y)]�
�
R Q

d�(x)�[(1 + a2�)
1

2 @� A
� �] exp[i

R
d4xf� (i��r� �m) � 1

4
F��F

�� + a2

2
@�F��@�F

��g];

Z = N (4)
R Q

d�(x)
R
DA�D� D det[(1 + a

2~r2)~r2]�[(1 + a2�)(~r: ~A)] det[(1 + a2�)
1

2��4(x� y)]�
��[(1 + a2�)

1

2 @� A
� �] exp[i

R
d4xf� (i��r� �m) � 1

4
F��F

�� + a2

2
@�F��@�F

��g]:
(2.116)

Aplicando a tranformação de calibre

A� ! A(�
�1)

� ;

 ! exp[i��1(x)] ;

� ! � exp[�i��1(x)];

(2.117)

na equação anterior concluímos

25


Z = N (4)
R Q

d�(x)
R
DA�D� D det[(1 + a

2~r2)~r2]�[(1 + a2�)(~r: ~A(�
�1
))] det[(1 + a2�)

1

2��4(x� y)]
�[(1 + a2�)

1

2 @�A
�] exp[i

R
d4xf� (i��r� �m) � 1

4
F��F

�� + a2

2
@�F��@�F

��g];
(2.118)

observando que a medida de integração e a densidade de lagrangiana são invariantes perante uma
transformação de calibre. Deste modo

Z = N (4)
R
DA�D� D det[(1 + a

2�)
1

2��4(x� y)]�[(1 + a2�)
1

2 @�A
�]�

�f
R Q

d�(x) det[(1 + a2~r2)~r2]�[(1 + a2�)(~r: ~A(��1)
)]g�

� exp[i
R
d4xf� (i��r� �m) � 1

4
F��F

�� + a2

2
@�F��@�F

��g]; com

R Q
d�(x) det[(1 + a2~r2)~r2]�[(1 + a2�)(~r: ~A(�

�1
))] = 1

(2.119)

A partir deste momento, podemos escrever a seguinte amplitude de transição

Z = N (4)
R
Df exp[�i

R
d4xf

2

2�
]
R
DA�D� D det[(1 + a

2�)
1

2��4(x� y)]�[(1 + a2�)
1

2 @�A
� � f ]�

� exp[i
R
d4xf� (i��r� �m) � 1

4
F��F

�� + a2

2
@�F��@�F

��g];

Z = N (5)
R
DA�D� D exp[i

R
d4xf� (i��r� �m) � 1

4
F��F

�� + a2

2
@�F��@�F

�� � [(1+a2�)
1

2 @�A�]
2

2�
g]

N (5) = N�[
R Q

d�(x)] det[(1 + a2�) 12��4(x� y)]
R
D�k exp[i

R
d4xf� (�k�a2@�F�k)(�k�a2@�F�k)

2a2
g]�

�
R
D �CDC exp[i

R
d4xfm �C[1� (�0)2]Cg]fdet[V16�16]g

1
2 :

(2.120)
Desse modo, ao inserirmos as fontes na amplitude de transição anterior, encontramos o funcional

gerador associado à eletrodinâmica GSDKP4

Z = N (5)
R
DA�D� D exp[i

R
d4xf� (i��r� �m) � 1

4
F��F

�� + a2

2
@�F��@�F

��+

� [(1+a2�)
1

2 @�A�]
2

2�
+ J�A

�g]:
(2.121)

A importância do objeto anterior conhecido como funcional gerador advém de teoria das fontes de
Schwinger. Ele está relacionado ao estudo das equações de movimento quânticas na descrição de
Heisenberg, utilizando uma linguagem de funcionais ao invés de operadores. A maneira com a qual
extraimos informações gerais da teoria é muito simples no formalismo funcional de Schwinger, assunto
que trabalharemos nas próximas discussões.
A densidade de lagrangiana pode ser escrita de uma maneira conveniente

L = � (i��r� �m) �
1

4
F��F

�� +
a2

2
@�F��@�F

�� � [(1 + a
2�)

1

2 @�A
�]2

2�
(2.122)

= � (i��r� �m) �
1

4
F��F

�� +
a2

2
@�F��@�F

�� � (@�A
�)2

2�
+ a2

(@�@�A
�)2

2�
:

26


O interessante é que ao escolher a condição de calibre no-mixing mantemos a ordem da densidade de
lagrangiana original e temos derivadas até quarta ordem. No caso da condição de Lorenz generalizado
a densidade de lagrangiana passa a ter termos com derivada de sexta ordem.

2.2 As equações de Schwinger-Dyson

A maneira mais elegante de se estudar o conjunto de equações quânticas de campos na descrição
de Heisenberg [67, 68] é por meio do formalismo funcional, que consiste em uma cadeia in�nita de
equações diferenciais que relacionam diferentes funções de Green de maneira exata [69, 70]. Essa
torre in�nita de equações é conhecida como equações de Schwinger-Dyson (SD) [71].
A proposta deste capítulo é de determinar as equações completas de SD para os propagadores

associados ao campo vetorial, escalar e também à função de vértice utilizando o funcional gerador
de�nido pela equação (2.121).

2.2.1 O Propagador do campo vetorial

Tendo em vista o princípio da mínima ação de Hamilton e as suas consequentes equações de Euler-
Lagrange, podemos dizer que

�Seff
�A�(x)

= �J�(x);

F�� = @�A� � @�A�:
(2.123)

Vamos explicitar os termos importantes na ação efetiva para o cálculo em questão a menos de
divergências totais,

�1
4
F ��F�� =

1

2
A�(�

���� @�@�)A� ; (2.124)

a2

2
@�F��@�F

�� =
a2

2
A�(�

���� @�@�)�A� ; (2.125)

� 1
2�
f(1 + a2�) 12@�A�g2 =

1

2�
A�(1 + a

2�)@�@�A� : (2.126)

Logo,

�Seff
�A�

= f���� � (1� 1
�
)@�@�g(1 + a2�)A� + e� �� = �J�: (2.127)

Elevando a linguagem em nível quântico

h[ �Seff
�A�(x)

+ J�(x)]i =
Z
D�[

�Seff
�A�(x)

+ J�(x)] exp[iSeff ] = 0: (2.128)

Em termos do funcional gerador Z,

[f���� � (1� 1
�
)@�@�g(1 + a2�) �

i�J�(x)
+ e

�

i���(x)
��

�

i��(x)
+ J�]Z = 0: (2.129)

27


Como apenas as funções de Grenn conexas contribuem para a amplitude de transiçãoW = �i lnZ

A� =
�W

�J�
 =

�W

���
� =

�W

��
: (2.130)

Observe que agora os campos são a valores médios.

Neste caso dividindo (2.129) por Z,

�J� = f���� � (1� 1
�
)@�@�g(1 + a2�)�(�i lnZ)

�J�
� e( �

i���

1

Z
)��

�Z

i��
+ (2.131)

+e
�

i���
��

�

��
(�i lnZ); (2.132)

�J� = f���� � (1� 1
�
)@�@�g(1 + a2�)�W

�J�
� e�W

���
��
�W

��
� ie �

���
��

�

��
(W ):

Por outro lado, temos também o gerador das funções de Green irredutíveis de�nido por uma
transformada de Legendre,

� =W �
Z
d4x(� � + �� + A�J�) (2.133)

J� = �
��

�A�
� = � ��

� � 
�� = ���

� 
: (2.134)

Em termos dos projetores

T �� _=��� � @�@�

� L�� _=
@�@�

� (2.135)

e das de�nições anteriores, podemos concluir que

��

�A�(x)
= [T �� +

1

�
L�� ](1 + a2�)�A�(x)� ie

�

���(x)
��

�

��(x)
(W ); (2.136)

onde as fontes escalares foram consideradas nulas.
Agora observa-se o seguinte

��

�� (x)
= �� (2.137)

�

��(y)

��

�� (x)
= ��4(x� y) (2.138)

Z
d4z

�2�

� (z)�� (x)

� (z)

��(y)
= ��4(x� y) (2.139)

Z
d4z

�2�

� (z)�� (x)

�2W

��(y)���(z)
= ��4(x� y); (2.140)

onde podemos de�nir a quantidade

28


�2W

��(y)���(z)
_=iS(z; y): (2.141)

Observa-se que

�2W

�����
= �i�

2 ln(Z)

�����
= i

�
1

Z

�2Z

i��i���
� 1

Z

�Z

i��

1

Z

�Z

i���

�
= i [Stotal � Sdesconexo] = iSconexo (2.142)

Z
d4z

�2�

� (z)�� (x)
S(z; y) = i�4(x� y)) �2�

� �� 
= S�1: (2.143)

Portanto2,

��

�A�(x)
= [T �� +

1

�
L�� ](1 + a2�)�A�(x)� ietr[��S(x; x)]: (2.144)

Aplicando uma derivada funcional �
�A�(y)

na equação anterior e tomando a fonte vetorial nula,

�2�

�A�(y)�A�(x)
= [T �� +

1

�
L�� ](1 + a2�)��4(x� y)� ietrf��[ �

�A�(y)
S(x; x)]g (2.145)

Da mesma forma
��

�A�(x)
= �J�(x)

�

�J�(y)

��

�A�(x)
= �����4(x� y) (2.146)

Z
d4z

�2�

�A�(z)�A�(x)

�A�(z)

�J�(y)
= �����4(x� y) (2.147)

Z
d4z

�2�

�A�(z)�A�(x)

�2W

i�J�(y)�J�(z)
= �����4(x� y); (2.148)

onde podemos de�nir a quantidade

�2W

�J�(y)�J�(z)
_=iD�� (z; y) (2.149)

Z
d4z

�2�

�A�(z)�A�(x)
D�� (z; y) = i����4(x� y)) �2�

�A�A
= D�1: (2.150)

Sendo assim,

D�1 �� (x; y) = [T �� + 1
�
L�� ](1 + a2�)��4(x� y)� ietrf��[ �

�A�(y)
S(x; x)]g: (2.151)

2Lembremos que as quantidades associadas ao setor escalar são matrizes. Por simplicidade não é necessário colocar
os índices escalares.

29


Para escrever a expressão anterior de maneira conveniente aplicaremos �
�A�(w)

em (2.143)Z
d4z[

�3�

�A�(w)� (z)�� (x)
S(z; y) + �2�

� (z)�� (x)

�S(z; y)
�A�(w)

] = 0 (2.152)

Z
d4z

�2�

� (z)�� (x)

�S(z; y)
�A�(w)

= �
Z
d4z

�3�

�A�(w)� (z)�� (x)
S(z; y): (2.153)

Para inverter a equação anterior integraremos,Z
d4xS(v; x)[

Z
d4z

�2�

� (z)�� (x)

�S(z; y)
�A�(w)

] =

Z
d4z

�S(z; y)
�A�(w)

i�4(z � v) = i
�S(v; y)
�A�(w)

; (2.154)

i
�S(v; y)
�A�(w)

= �
Z
d4xd4zS(v; x) �3�

�A�(w)� (z)�� (x)
S(z; y)) �

�A
(
�2�

� �� 
)�1 = S i�3�

�A� �� 
S: (2.155)

De maneira conveniente,

i �Sar(x;x)
�A�(y)

= �
R
d4ud4wSac(u; x) �3�

�A�(y)� b(u)�
� c(w)
Sbr(x;w) =

= �e
R
d4ud4wSac(x;w)��cb(w; u; y)Sbr(x;w)

�3�
�A�(y)� (u)b�� c(w)

_=e��cb(w; u; y):

(2.156)

Neste caso,

D�1 �� (x; y) = [T �� + 1
�
L�� ](1 + a2�)��4(x� y) + ���(x; y); (2.157)

onde de�nimos o funcional associado a polarização,

���(x; y) _=e2
Z
d4ud4wtr[��S(u; x)��(w; u; y)S(x;w)]: (2.158)

Em termos dos diagramas completos de SDF a equação (2.157) é dada pictoricamente

A expressão anterior esta na representação de coordenadas, vamos escrevê-la na representação de
momento. Deste modo, de�nimos como transformada de Fourier dos funcionais

F (x1;x2; :::; xn) = (
1

2�
)4n
Z
d4p1d

4p2:::d
4pn exp[�ix1p1 + ix2p2 + :::+ ixnpn]F (p1;p2; :::; pn): (2.159)

30


Se F (x1;x2; :::; xn) é invariante por translações (xi+ �), devemos ter como consequência a conser-
vação do �uxo dos momentos ou a lei de Kircho¤

F (x1;x2; :::; xn) = (
1
2�
)4n
R
d4p1d

4p2:::d
4pn exp[�ix1p1 + ix2p2 + :::+ ixnpn]

(2�)4�(p1 � p2 � :::� pn)F (p1;p2; :::; pn):
(2.160)

Explicitando as quantidades em termos de sua transformada de Fourier,

���(p1; p2) =

Z
d4xd4y exp[+ixp1 � iyp2]���(x; y) (2.161)

S(u; x) =
Z

d4k1
(2�)4

exp[�ik1(u� x)]S(k1) (2.162)

S(x;w) =
Z

d4q1
(2�)4

exp[�iq1(x� w)]S(q1) (2.163)

��(w; u; y) =

Z
d4s1
(2�)4

d4s2
(2�)4

d4s3
(2�)4

exp[�iws1 + ius2 + iys3]�
�(s1;s2; s3): (2.164)

Logo,

���(p1; p2) = e2
R
d4xd4yd4ud4w d4k1

(2�)4
d4s1
(2�)4

d4s2
(2�)4

d4s3
(2�)4

d4q1
(2�)4

exp[+ixp1 � iyp2] exp[�ik1(u� x)]
exp[�iws1 + ius2 + iys3] exp[�iq1(x� w)]tr[��S(k1)��(s1;s2; s3)S(q1)] = e2

R
d4xd4yd4ud4w

d4k1
(2�)4

d4s1
(2�)4

d4s2
(2�)4

d4s3
(2�)4

d4q1
(2�)4

exp[ix(p1 + k1 � q1)] exp[�iy(p2 � s3)] exp[�iu(k1 � s2)]
exp[�iw(s1 � q1)]tr[��S(k1)��(s1;s2; s3)S(q1)] = e2

(2�)4

R
d4k1d

4s1d
4s2d

4s3d
4q1

�4(p1 + k1 � q1)�4(p2 � s3)�4(k1 � s2)�4(s1 � q1)tr[��S(k1)��(s1;s2; s3)S(q1)] =
= e2

(2�)4

R
d4k1d

4q1�
4(p1 + k1 � q1)tr[��S(k1)��(q1;k1; p2)S(q1)]:

(2.165)
Como ���(x; y) deve ser invariante por translação, pois na equação (2.157) D�1 �� (x; y) e �4(x�y)

são invariantes, impomos a conservação do �uxo de momento da seguinte forma

���(p1; p2) = (2�)4���(p1; p2)�
4(p1 � p2)

= e2
Z
d4k1d

4q1�
4(p1 + k1 � q1)tr[��S(k1)��(q1;k1; p2)S(q1)]�4(p1 � p2); (2.166)

���(x; y) =
R

d4p1
(2�)4

d4p2
(2�)4

exp[�ip1x+ ip2y]�
��(p1; p2) =

R
d4p1
(2�)4

exp[�ip1(x� y)]���(p1; p1) =
=
R

d4p1
(2�)4

exp[�ip1(x� y)]���(p1):
(2.167)

Portanto, a transformada de Fourier da equação (2.157) é dada por

R
d4p
(2�)4

exp[�ip(x� y)] D�1 �� (p) = f[T �� + 1
�
L�� ](1 + a2�)�

R
d4p
(2�)4

exp[�ip(x� y)]g+
+
R

d4p
(2�)4

exp[�ip(x� y)]���(p);
(2.168)

31


D�1 �� (p) = �[T �� + 1
�
L�� ](1� a2p2)p2 +���(p) (2.169)

onde agora

T �� = ��� � p�p�

p2
L�� =

p�p�

p2
: (2.170)

Por �m, inverteremos (2.169) a �m de encontrar o propagador completo do fóton, mas antes
observamos algumas identidades na representação de momento

R
d4z D�1 �� (x; z)D�� (z; y) = ����4(x� y)R

d4z
R

d4p
(2�)4

exp[�ip(x� z)] D�1 �� (p)
R

d4q
(2�)4

exp[�iq(z � y)]D�� (q) = ���
R

d4p
(2�)4

exp[�ip(x� y)]

D�1 �� (p)D�� (p) = ��� :
(2.171)

Será necessário também o conhecimento da identidade de Ward-Takahashi mais o fato de nossas
estruturas serem tensoriais no intuito de manter a invariância de calibre e a covariância relativística3.
Com essas a�rmações, escrevemos uma forma explícita para o ���(p),

���(p) = (����p2 + p�p�)�(p) (2.172)

= �T ��p2�(p):

Portanto,

D�1 �� (p) = �[�(p) + (1� a2p2)]p2T �� + [1
�
(1� a2p2)p2]L�� : (2.173)

Inverteremos a equação anterior tendo em vista que T �� e L�� são projetores e satisfazem a
relação T �� + L�� = ��� ,

D�1 �� (p) = aT �� + bL�� (2.174)

D��(p) = cT�� + dL��

D�1 �� (p)D��(p) = i������ = 4i;

3

���(p) = [a(p)��� + b(p)p�p� ] (covariância relativ�{stica)
���(p)p� = 0 = �

��(p)p� (identidade de Ward� Takahashi)

���(p)p� = [a(p) + b(p)p
2]p� = 0

a(p) = �b(p)p2; b(p) = �(p)

���(p) = (����p2 + p�p�)�(p):

32


(aT�� + bL��)(cT
�� + dL��) = 3ac+ 1bd = 4i;

c =
i

a
; (2.175)

d =
i

b
;

iD��(p) = � T��
[�(p) + (1� a2p2)]p2 + �

L��
(1� a2p2)p2 (2.176)

= �
��� �

p�p�
p2

[�(p) + (1� a2p2)]p2 + �
1

(1� a2p2)p2
p�p�
p2

:

Para o caso livre

iD��(p) =

�
��� � (1� �)

p�p�
m2
p

� �
1

p2
� 1

p2 �m2
p

�
� (1� �) p�p�

(p2)2
(2.177)

= �
m2
p

p2(p2 �m2
p)

�
��� � (1� �)

p�p�
p2

�
;

onde a = m�1p .
Por �m, fazeremos um breve comentário sobre a conexão entre o tensor de polarização e a auto-

energia do fóton [68]. Como sabemos, a auto-energia está associada ao propagador do fóton (interação
corrente-corrente). Para isto é preciso organizar a estrutura quântica completa na seguinte série de
termos compactos

D = D +D�D +D�D�D + ::: (2.178)

= D +D�D

consequentemente,

D�1 = D�1 +�: (2.179)

2.2.2 O propagador do campo escalar

Novamente, iniciaremos a discussão por meio da equação de movimento

�Seff
�� (x)

= ��(x) (2.180)

(i@̂ �m+ Â) (x) = ��(x):

Elevando a equação em nível quântico,

33


h[ �Seff
�� (x)

+ �(x)]i =
Z
D�[

�Seff
�� (x)

+ �(x)] exp[iSeff ] = 0: (2.181)

Em termos do funcional gerador Z,

(i@̂ �m+ e��
�

i�J�(x)
)

�

i���(x)
Z = ��(x)Z: (2.182)

Como apenas as funções de Grenn conexas contribuem para a amplitude de transição Z = exp[iW ]

(i@̂ �m+ e��
�

i�J�(x)
)

�

i���(x)
exp[iW ] = ��(x) exp[iW ] (2.183)

[(i@̂ �m) �W
���(x)

+ e��
�2W

i�J�(x)���(x)
+ e��

�W

i�J�(x)

�W

���(x)
] exp[iW ] = ��(x) exp[iW ]:

Derivando funcionalmente a expressão anterior por �
��(y)

e tomando as fontes escalares nulas,

(i@̂ �m) �2W
��(y)���(x)

+ e�� �3W
i�J�(x)��(y)���(x)

+ e�� �W
i�J�(x)

�2W
��(y)���(x)

= ��4(x� y)

[(i@̂ �m)� ie�� hA�i � ie�� �
�J�(x)

]S(x; y) = i�4(x� y):
(2.184)

Agora observa-se que

�S(x; y)
�J�(x)

=

Z
d4z

�S(x; y)
�A�(z)

�A�(z)

�J�(x)
; (2.185)

i
�S(x; y)
�A�(z)

= �e
Z
d4ud4wS(x; u)��(u;w; z)S(w; y);

�A�(z)

�J�(x)
=

�2W

�J�(x)�J�(z)
= iD��(z; x);

�S(x; y)
�J�(x)

= �e
Z
d4zd4ud4wS(x; u)��(u;w; z)S(w; y)D��(z; x); (2.186)

onde no �nal dos cálculos a fonte vetorial foi considerada nula.

Neste caso,

(i@̂ �m)S(x; y)� ie2��
R
d4zd4ud4wS(x; u)��(u;w; z)S(w; y)D��(z; x) = i�4(x� y)

(i@̂ �m)S(x; y) +
R
d4w[�ie2��d4zd4uS(x; u)��(u;w; z)D��(z; x)]S(w; y) = i�4(x� y):

(2.187)

Em termos dos diagramas completos de SDF

34


(i@̂ �m)S(x; y)� i
R
d4w�(x;w)S(w; y) = i�4(x� y)R

d4yS�1(y; s)f(i@̂ �m)S(x; y)� i
R
d4w�(x;w)S(w; y)g =

= i
R
d4yS�1(y; s)�4(x� y)

S�1(x; s) = (i@̂ �m)�4(x� s)� �(x; s)

(2.188)

onde de�nimos o funcional associado à auto-energia

�(x;w) _=e2��
Z
d4zd4uS(x; u)��(u;w; z)D��(z; x): (2.189)

Continuando,

(i@̂ �m)S(x; y)�
Z
d4w�(x;w)S(w; y) = i�4(x� y) (2.190)

(i@̂ �
Z
d4w[m�4(x� w) + �(x;w)])S(w; y) = i�4(x� y)

[i@̂ �
Z
d4wM(x;w)]S(w; y) = i�4(x� y);

onde de�nimos o operador de massa

M(x;w) _=m�4(x� w) + �(x;w): (2.191)

Para �nalizar, calcularemos a transformada de Fourier do operador de auto-energia, a saber,

�(x; y) = e2
Z
d4ud4w��S(x;w)��(w; y;u)D��(u; x): (2.192)

Escrevendo as quantidades em termos de sua transformada de Fourier,

�(p1; p2) =

Z
d4xd4y exp[+ixp1 � iyp2]�(x; y) (2.193)

S(x;w) =
Z

d4q1
(2�)4

exp[�iq1(x� w)]S(q1) (2.194)

D��(u; x) =
Z

d4k1
(2�)4

exp[�ik1(u� x)]D��(k1) (2.195)

35


��(w; y;u) =

Z
d4s1
(2�)4

d4s2
(2�)4

d4s3
(2�)4

exp[�iws1 + iys2 + ius3]�
�(s1;s2; s3): (2.196)

Logo,

�(p1; p2) = e2
R
d4xd4yd4ud4w d4q1

(2�)4
d4s1
(2�)4

d4s2
(2�)4

d4s3
(2�)4

d4k1
(2�)4

exp[+ixp1 � iyp2] exp[�iq1(x� w)]
exp[�iws1 + iys2 + ius3] exp[�ik1(u� x)]��S(q1)��(s1;s2; s3)D��(k1) = �e2

R
d4xd4yd4ud4w

d4q1
(2�)4

d4s1
(2�)4

d4s2
(2�)4

d4s3
(2�)4

d4k1
(2�)4

exp[ix(p1 � q1 + k1)] exp[�iy(p2 � s2)] exp[�iu(k1 � s3)]
exp[�iw(�q1 + s1)]�

�S(q1)��(s1;s2; s3)D��(k1) = e2

(2�)4

R
d4q1
(2�)4

d4s1
(2�)4

d4s2
(2�)4

d4s3
(2�)4

d4k1
(2�)4

�4(p1 � q1 + k1)�
4(p2 � s3)�4(k1 � s2)�4(s1 � q1)��S(q1)��(s1;s2; s3)D��(k1) =

= e2

(2�)4

R
d4k1d

4q1�
4(p1 + k1 � q1)��S(q1)��(q1;k1; p2)D��(k1):

(2.197)
Como �(x; y) deve ser invariante por translação, pois na equação (2.190) S(x; y) e �4(x� y) são

invariantes, impomos a conservação do �uxo de momento da seguinte forma

�(p1; p2) = (2�)4�(p1; p2)�
4(p1 � p2)

= e2
Z
d4k1d

4q1�
4(p1 + k1 � q1)��S(q1)��(q1;k1; p2)D��(k1)�4(p1 � p2); (2.198)

�(x; y) =

Z
d4p1
(2�)4

d4p2
(2�)4

exp[�ip1x+ ip2y]�(p1; p2) (2.199)

=

Z
d4p1
(2�)4

exp[�ip1(x� y)]�(p1; p2)

=

Z
d4p1
(2�)4

exp[�ip1(x� y)]�(p1):

Portanto, a transformada de Fourier da equação (2.190) é dada por

(i@̂ �m)f
R

d4p
(2�)4

exp[�ip(x� y)]S(p)g �
R
d4wf

R
d4q1
(2�)4

exp[�iq1(x� w)]�(q1)g�
�f
R

d4q2
(2�)4

exp[�iq2(w � y)]S(q2)g = i
R

d4p
(2�)4

exp[�ip(x� y)]
(2.200)

(p̂�m� �(p))S(p) = i (2.201)

S(p) = i

(p̂�m� �(p)) =
i

(��p� �M(p))
: (2.202)

Para o caso livre

(p̂�m)S(p) = i: (2.203)

Utilizando a álgebra de DKP

36


������ + ������ = ����� + �����;

p̂3 = p2p̂;
(2.204)

concluímos que

[p̂(p̂+m)� (p2 �m2)](p̂�m)S(p) = i[p̂(p̂+m)� (p2 �m2)]

[(p̂3 �m2p̂� (p2 �m2)p̂+m(p2 �m2)]S(p) = i[p̂(p̂+m)� (p2 �m2)]:
(2.205)

Portanto,

S(p) = i
1

m
[
p̂(p̂+m)

(p2 �m2)
� 1]: (2.206)

2.2.3 A função de vértice

Dando sequência ao desenvolvimento formal da teoria, construiremos a função de vértice completa.
O ponto de partida para alcançar este objetivo é a seguinte equação4

[(i@̂ �m)� ie�� hA�(x)i � ie��
�

�J�(x)
]

�2W

��(y)���(x)
= i�4(x� y): (2.207)

Tomando a derivada funcional da equação acima com respeito ao campo A�(z)

[(i@̂ �m)� ie�� hA�(x)i][ �
�A�(z)

( �2W
��(y)���(x)

)]� ie���4(x� z) �2W
��(y)���(x)

+

�ie�� �
�A�(z)

[ �
�J�(x)

( �2W
��(y)���(x)

)] = 0:
(2.208)

Reecrevendo a equação anterior de maneira conveniente temos

[(i@̂ �m)� ie�� hA�(x)i][ �
�A�(z)

( �2�
� (y)�� (x)

)�1]� ie���4(x� z) �2W
��(y)���(x)

+

�ie�� �
�J�(x)

[ �
�A�(z)

( �2�
� (y)�� (x)

)�1] = 0:
(2.209)

Como sabemos

�

�A�(z)
(

�2�

� (y)�� (x)
)�1 = �

Z
d4ud4w

�2W

��(y)���(u)

�3�

�A�(z)� (u)�� (w)

�2W

��(w)���(x)
:

Neste caso,

[(i@̂ �m)� ie�� hA�(x)i][�
R
d4ud4w �2W

��(y)���(u)
�3�

�A�(z)� (u)�� (w)
�2W

��(w)���(x)
]+

�ie�� �
�J�(x)

[�
R
d4ud4w �2W

��(y)���(u)
�3�

�A�(z)� (u)�� (w)
�2W

��(w)���(x)
] =

= ie���4(x� z) �2W
��(y)���(x)

:

(2.210)

4Como estamos estudando variações funcionais deveríamos manter todos os termos advindos do funcional gerador,
mas alguns não contribuem para o cálculo, considerando que em certas etapas iremos tomar as fontes nulas. Sendo
assim, descartamos de antemão termos que não contribuem por simplicidade.

37


Por outro lado, quando fazemos as fontes escalares nulas �camos com

[(i@̂ �m)� ie�� hA�i � ie��
�

�J�(x)
]

�2W

��(w)���(x)
= i�4(x� w): (2.211)

Logo (2.210) é escrita como

[
R
d4u �2W

��(y)���(u)
�i�3�

�A�(z)� (u)�� (x)
]� ie�� �

�J�(x)
[
R
d4ud4w �2W

��(y)���(u)
�3�

�A�(z)� (u)�� (w)
�2W

��(w)���(x)
] =

= ie���4(x� z) �2W
��(y)���(x)

:
(2.212)

Porém inverteremos a equação anterior, utilizando a identidadeZ
d4y

�2�

� (w)�� (y)

�2W

��(y)���(u)
= i�4(w � u) (2.213)

R
d4u[

R
d4y �2�

� (w)�� (y)
�2W

��(y)���(u)
] �i�3�
�A�(z)� (u)�� (x)

+

�ie��
R
d4y �2�

� (w)�� (y)
�

�J�(x)
[
R
d4ud4w �2W

��(y)���(u)
�3�

�A�(z)� (u)�� (w)
�2W

��(w)���(x)
] =

= ie���4(x� z)[
R
d4y �2�

� (w)�� (y)
�2W

��(y)���(x)
]

(2.214)

R
d4u[�i�4(w � u)] �i�3�

�A�(z)� (u)�� (x)
+

�ie��
R
d4y �2�

� (w)�� (y)
�

�J�(x)
[
R
d4ud4w �2W

��(y)���(u)
�3�

�A�(z)� (u)�� (w)
�2W

��(w)���(x)
] =

= ie���4(x� z)[�i�4(w � u)]
(2.215)

i�3�
�A�(z)� (w)�� (x)

= e���4(x� z)�4(w � x)+
+ie��

R
d4y �2�

� (w)�� (y)
�

�J�(x)
[
R
d4ud4w �2W

��(y)���(u)
�3�

�A�(z)� (u)�� (w)
�2W

��(w)���(x)
]:

(2.216)

Fazendo mudanças de variáveis na expressão anterior chegamos a

i�3�
�A�(z)� (y)�� (x)

= e���4(x� z)�4(y � x)+
+ie��

R
d4w �2�

� (y)�� (w)
�I�

�J�(x)
;

(2.217)

onde de�nimos a quantidade

I� _=

Z
d4ud4t

�2W

��(w)���(u)

�3�

�A�(z)� (u)�� (t)

�2W

��(t)���(x)
]: (2.218)

Precisamos calcular então

I�� =
�I�

�J�(x)
=

Z
d4s

�A�(s)

�J�(x)

�I�

�A�(s)
=

Z
d4s

�2W

�J�(s)�J�(x)

�I�

�A�(s)
: (2.219)

Neste momento explicitaremos a estrutura da equação anterior,

38


�I�

�A�(s)
= �

�A�(s)
[
R
d4ud4t �2W

��(w)���(u)
�3�

�A�(z)� (u)�� (t)
�2W

��(t)���(x)
] =

=
R
d4ud4t( �3W

�A�(s)��(w)���(u)
) �3�
�A�(z)� (u)�� (t)

�2W
��(t)���(x)

+

+
R
d4ud4t �2W

��(w)���(u)
( �4�
�A�(s)�A�(z)� (u)�� (t)

) �2W
��(t)���(x)

+

+
R
d4ud4t �2W

��(w)���(u)
�3�

�A�(z)� (u)�� (t)
( �3W
�A�(s)��(t)���(x)

):

(2.220)

Com as identidades bem conhecidas

( �3W
�A�(s)��(w)���(u)

) = �
R
d4vd4r �2W

��(w)���(v)
�3�

�A�(s)� (v)�� (r)
�2W

��(r)���(u)

( �3W
�A�(s)��(t)���(x)

) = �
R
d4vd4r �2W

��(t)���(v)
�3�

�A�(s)� (v)�� (r)
�2W

��(r)���(x)
;

(2.221)

temos que

�I�

�A�(s)
=
R
d4ud4t(�

R
d4vd4r �2W

��(w)���(v)
�3�

�A�(s)� (v)�� (r)
�2W

��(r)���(u)
) �3�
�A�(z)� (u)�� (t)

�2W
��(t)���(x)

+

+
R
d4ud4t �2W

��(w)���(u)
( �4�
�A�(s)�A�(z)� (u)�� (t)

) �2W
��(t)���(x)

+

+
R
d4ud4t �2W

��(w)���(u)
�3�

�A� (z)� (u)�
� (t)
(�
R
d4vd4r �2W

��(t)���(v)
�3�

�A�(s)� (v)�� (r)
�2W

��(r)���(x)
):

(2.222)

Portanto,

I�� =
R
d4s �2W

�J�(s)�J�(x)
[
R
d4ud4t(�

R
d4vd4r �2W

��(w)���(v)
�3�

�A�(s)� (v)�� (r)
�2W

��(r)���(u)
) �3�
�A�(z)� (u)�� (t)

�2W
��(t)���(x)

+

+
R
d4ud4t �2W

��(w)���(u)
( �4�
�A�(s)�A�(z)� (u)�� (t)

) �2W
��(t)���(x)

+

+
R
d4ud4t �2W

��(w)���(u)
�3�

�A� (z)� (u)�
� (t)
(�
R
d4vd4r �2W

��(t)���(v)
�3�

�A�(s)� (v)�� (r)
�2W

��(r)���(x)
)]

(2.223)
e sendo assim,

R
d4w �2�

� (y)�� (w)
I�� =

R
d4w �2�

� (y)�� (w)
f
R
d4s �2W

�J�(s)�J�(x)
[
R
d4ud4t(�

R
d4vd4r �2W

��(w)���(v)
�3�

�A�(s)� (v)�� (r)
�2W

��(r)���(u)
)�

� �3�
�A�(z)� (u)�� (t)

�2W
��(t)���(x)

+
R
d4ud4t �2W

��(w)���(u)
( �4�
�A�(s)�A�(z)� (u)�� (t)

) �2W
��(t)���(x)

+

+
R
d4ud4t �2W

��(w)���(u)
�3�

�A� (z)� (u)�
� (t)
(�
R
d4vd4r �2W

��(t)���(v)
�3�

�A�(s)� (v)�� (r)
�2W

��(r)���(x)
)]g =

= f
R
d4s �2W

�J�(s)�J�(x)
[+
R
d4ud4t(

R
d4w �2�

� (y)�� (w)
�2W

��(w)���(u)
)( �4�
�A�(s)�A�(z)� (u)�� (t)

) �2W
��(t)���(x)

+

+
R
d4ud4t(�

R
d4vd4r(

R
d4w �2�

� (y)�� (w)
�2W

��(w)���(v)
) �3�
�A�(s)� (v)�� (r)

�2W
��(r)���(u)

) �3�
�A�(z)� (u)�� (t)

�2W
��(t)���(x)

+
R
d4ud4t(

R
d4w �2�

� (y)�� (w)
�2W

��(w)���(u)
) �3�
�A� (z)� (u)�

� (t)
(�
R
d4vd4r �2W

��(t)���(v)
�3�

�A�(s)� (v)�� (r)
�2W

��(r)���(x)
)]g:
(2.224)

Por �m, organizando os termos e com o auxílio da identidade (2.213) somos conduzidos ao resul-
tado R

d4w �2�
� (y)�� (w)

I�� = f
R
d4s �2W

�J�(s)�J�(x)
[
R
d4t( �4�

�A�(s)�A�(z)� (y)�� (t)
) �2W
��(t)���(x)

+

�
R
d4ud4t

R
d4r �3�

�A�(s)� (y)�� (r)
�2W

��(r)���(u)
�3�

�A�(z)� (u)�� (t)
�2W

��(t)���(x)
+

�
R
d4t �3�

�A� (z)� (y)�
� (t)
(
R
d4vd4r �2W

��(t)���(v)
�3�

�A�(s)� (v)�� (r)
�2W

��(r)���(x)
)]g:

(2.225)

39


O último termo da expressão anterior não pertence aos diagramas irredutíveis de uma função
de 4-pontos (duas pernas escalares e duas vetoriais) logo, iremos descartá-lo pois calculamos uma
equação funcional irredutível. Esta a�rmação pode ser visualizada pelos diagramas completos de
SDF abaixo:

Em decorrência dos resultados anteriores,

i�3�
�A�(z)� (y)�� (x)

= e���4(x� z)�4(y � x) + ie��f
R
d4s �2W

�J�(s)�J�(x)
[
R
d4t( �4�

�A�(s)�A�(z)� (y)�� (t)
) �2W
��(t)���(x)

+

�
R
d4ud4t

R
d4r �3�

�A� (s)� (y)�
� (r)

�2W
��(r)���(u)

�3�
�A�(z)� (u)�� (t)

�2W
��(t)���(x)

]g:
(2.226)

Com as de�nições de �, S e D e também de�nindo a função de 4-pontos,

�4�

�A�(s)�A�(z)� (y)�� (t)
_=e2���(t; y; z; s) (2.227)

conluímos que

ie��(x; y; z) = e���4(x� z)�4(y � x)+
+ie3��

R
d4sd4ud4td4rD��(x; s)��(r; y; s)S(u; r)��(t; u; z)S(x; t)+

�ie3��
R
d4sd4tD��(x; s)���(t; y; z; s)S(x; t):

(2.228)

Em termos dos diagramas completos de SDF a equação (2.228) é dada por

40


Neste momento, percebemos que a solução completa da teoria só pode ser determinada ao re-
solvermos um conjunto in�nito de equações acopladas, pois as equações de Schwinger-Dyson-Fradkin
não formam um sistema fechado (os propagadores dependem do vértice, o vértice depende de uma
função de 4-pontos e assim sucessivamente). Esta torre de equações é conhecido na literatura como
cadeia de Dyson-Schwinger.
Por outro lado, isso não ocorre em teoria de pertubação onde existem apenas 3 funções de Green

livres fundamentais: o propagador do campo vetorial, o propagador do campo escalar e o vértice.
Toda a estrutura quântica pode ser construída em termos dessa funções por meio dos diagramas de
Feymann.
Para �nalizar, escreveremos a equação (2.228) na representação de momento por meio de uma

transformada de Fourier,

ie��(s1;s2; s3) =

Z
d4xd4yd4z exp[�is1x+ is2y + is3z]ie�

�(x;y; z):

Sendo assim explicitamos os termos,

a�)
R
d4xd4yd4z exp[�is1x+ is2y + is3z]�

4(x� z)�4(y � u) =
R
d4xd4yd4z exp[�is1x+ is2y + is3z]

[
R

d4p
(2�)4

exp[�ip(x� z)]]
R

d4q
(2�)4

exp[�iq(y � x)] =
R

d4p
(2�)4

d4q
(2�)4

d4xd4yd4z exp[ix(�s1 � p+ q)]]

exp[iy(s2 � q)]] exp[iz(s3 + p)]] = (2�)4�4(�s1 + s2 + s3):
(2.229)

b�)
R
d4xd4yd4z exp[�is1x+ is2y + is3z]

R
d4sd4tD��(x; s)���(t; y; z; s)S(x; t) =

R
d4xd4yd4zd4sd4t

exp[�is1x+ is2y + is3z][
R

d4k1
(2�)4

exp[�ik1(x� s)]D��(k1)][
R

d4k1
(2�)4

exp[�ik1(x� s)]D��(k1)]
[
R

d4r1
(2�)4

d4r2
(2�)4

d4r3
(2�)4

d4r4
(2�)4

exp[�ir1t+ ir2y + ir3z + ir4s]�
��(r1; r2; r3; r4)][

R
d4q1
(2�)4

exp[�iq1(x� t)]S(q1)] =
=
R

d4k1
(2�)4

d4r1
(2�)4

d4r2
(2�)4

d4r3
(2�)4

d4r4
(2�)4

d4q1
(2�)4

(2�)4�4(�s1 � k1 � q1)(2�)4�4(s2 + r2)(2�)
4�4(s3 + r3)(2�)

4�4(k1 + r4)

(2�)4�4(�r1 + q1)D��(k1)���(r1; r2; r3; r4)S(q1) = 1
(2�)4

R
d4k1d

4q1�
4(�s1 � k1 � q1)D��(k1)

���(q1; s2; s3;�k1)S(q1) =
R

d4k1
(2�)4
D��(k1)���(�s1 � k1; s2; s3; k1)S(�s1 � k1):

(2.230)

41


c�)
R
d4xd4yd4z exp[�is1x+ is2y + is3z]

R
d4sd4ud4td4rD��(x; s)��(r; y; s)S(u; r)��(t; u; z)S(x; t)

=
R
d4xd4yd4zd4sd4ud4td4r exp[�is1x+ is2y + is3z][

R
d4k1
(2�)4

exp[�ik1(x� s)]D��(k1)]
[
R

d4n1
(2�)4

d4n2
(2�)4

d4n3
(2�)4

exp[irn1 � iyn2 � isn3]��(n1;n2;n3)][
R

d4q1
(2�)4

exp[�iq1(u� r)]S(q1)]
[
R

d4l1
(2�)4

d4l2
(2�)4

d4l3
(2�)4

exp[itl1 � iul2 � izl3]��(l1;l2; l3)][
R

d4h1
(2�)4

exp[�ih1(x� t)]S(h1)] =
=
R

d4k1
(2�)4

d4s1
(2�)4

d4s2
(2�)4

d4s3
(2�)4

d4q1
(2�)4

d4l1
(2�)4

d4l2
(2�)4

d4l3
(2�)4

d4h1
(2�)4

(2�)4�4(�s1 � k1 � h1)(2�)4�4(s2 � n2)
(2�)4�4(s3 � l3)(2�)4�4(k1 � n3)(2�)4�4(�q1 � l2)(2�)4�4(l1 + h1)(2�)

4�4(q1 + n1)

D��(k1)��(n1;n2;n3)S(q1)��(l1;l2; l3)S(h1) =
R

d4k1
(2�)4

d4q1
(2�)4
D��(k1)��(�q1;s2; k1)S(q1)

��(s1 + k1; � q1; s3)S(s1 + k1):
(2.231)

Neste caso,

ie��(s1;s2; s3) = e��(2�)4�4(s1 � s2 � s3)+
+ie2��

R
d4k1
(2�)4

d4q1
(2�)4
D��(k1)��(�q1;s2; k1)S(q1)��(s1 + k1; � q1; s3)S(s1 + k1)+

�ie3��
R

d4k1
(2�)4
D��(k1)���(�s1 � k1; s2; s3; k1)S(�s1 � k1);

(2.232)

��(s1;s2; s3) = �i��(2�)4�4(s1 � s2 � s3) + ��(s1;s2; s3);

��(s1;s2; s3) = e��
R

d4k1
(2�)4

d4q1
(2�)4
D��(k1)��(�q1;s2; k1)S(q1)��(s1 + k1; � q1; s3)S(s1 + k1)+

�e2��
R

d4k1
(2�)4
D��(k1)���(�s1 � k1; s2; s3; k1)S(�s1 � k1):

(2.233)

Para o caso livre,

e��(s1;s2; s3) = �ie��(2�)4�4(s1 � s2 � s3): (2.234)

Terminamos então o estudo da estrutura quântica completa para o tipo de interação que desejamos
explorar. Agora abordaremos umas das simetrias advinda dessa dinâmica de interação.

2.3 As identidades de Ward-Takahashi

É de nosso conhecimento que ao formularmos as equações da eletrodinâmica de maneira covariante
podemos descrevê-las por meio de uma lagrangiana que possui em seu âmago uma simetria de calibre.
Classicamente o campo de matéria (escalar) possui uma simetria de calibre U(1) global. Ao impor-
mos uma simetria de calibre local precisamos dos campos intermediadores da interação (vetoriais).
Portanto, ao escrevermos a dinâmica dessa eletrodinâmica (GSDKP4), de maneira covariante, temos
uma simetria de calibre U(1) local. Da mesma forma, podemos descrever uma dinâmica quântica
covariante na descrição de Heisenberg com a simetria de calibre U(1) local.
Por outro lado, ao quantizarmos de maneira covariante a teoria utilizando o formalismo funcional,

perdemos a simetria de calibre U(1) local ao �xarmos os graus de liberdades físicos e de�nirmos de
maneira adequada a medida de integração. Para mantermos a simetria de calibre impomos a simetria
na teoria e, sendo assim, essa imposição gera certos vínculos nas funções de Green, cujas relações
entre as funções de Green são conhecidas como identidades de Ward-Takahashi (WT) [72].

42


O propósito desta seção é derivar tais identidades para a eletrodinâmica GSDKP4, utilizando
uma abordagem funcional [73]. A derivação das identidades de WT é formalmente dada em termos
das seguintes tranformações in�nitesimais

	! 	+ i�(x)	;

�	! �	� i�(x) �	;

A� ! A� +
1
e
@��(x)

(2.235)

conhecidas como transformações de calibre.
Como o funcional gerador (2.121) gera todas as funções de Green vamos impor a invariância de

calibre neste objeto5. Por simplicidade temos,

Z =

Z
d� exp[iSeff ]: (2.236)

Portanto, perante à transformação (2.235) nos campos, o funcional gerador se transforma da
seguinte forma

Z 0 = Z + �Z

�Z =
R
�d� exp[iSeff ] + i

R
d��Seff exp[iSeff ]:

(2.237)

Primeiramente, trabalhando com a medida de integraçãoZ
DA�D �	D	!

Z
DA�D �	D	J (2.238)

percebemos que o Jacobiano da transformação é dado por

J = det

0@ 1 0 0
0 1� i� 0
0 0 1 + i�

1A = 1 + �2: (2.239)

Por outro lado,

�Seff =

Z
d4x[�1

�
f(1 + a2�)@��A�g+ �� � + ��� + �A�J�]

=

Z
d4x[� 1

e�
(1 + a2�)@�A���� i��	� + i���	+

1

e
@��J�]

!
Z
d4x�[��

e�
(1 + a2�)@�A� � i�	� + i��	� 1

e
@�J�]: (2.240)

Sendo assim,

5Observa-se que escolhemos como condição de calibre explícitamente covariante no-mixing.

43


�Z = i

Z
d�

Z
d4x�[��

e�
(1+a2�)@�A��i�	�+i��	�

1

e
@�J�] exp[iSeff ]+

Z
d��2 exp[iSeff ]: (2.241)

Consequentemente, para que o funcional gerador seja invariante perante a tranformação in�ni-
tesimal proposta

�Z = 0)
Z
d4x�

Z
d�[��

e�
(1 + a2�)@�A� � i�	n+ i��	� 1

e
@�J�] exp[iSeff ] = 0: (2.242)

Logo temos uma equação funcional a valores médios�
i
�
e�
(1 + a2�)@� �

�J�
+

�

��
� � �� �

���
� 1
e
@�J�

�
Z = 0: (2.243)

Podemos expressar a última equação em termos do gerador das funções de Green conexas Z =
exp[iW ] �

��
e�
(1 + a2�)@� �W

�J�
+ i

�W

��
� � i���W

���
� 1
e
@�J�

�
Z = 0: (2.244)

A partir da equação anterior �nalmente encontrarmos uma equação para o gerador das funções
de Green irredutíveis que descreva a simetria que estamos procurando

� =W �
R
d4x(� � + �� + A�J�);

��
e�
(1 + a2�)@�A� � i� ��

�� 
+ i ��

� 
 � 1

e
@� ��

�A�
= 0:

(2.245)

Por meio da equação (2.245) é possível derivar todas as identidades de WT. A primeira destas
identidades é obtida aplicando a derivada funcional �

�A�(y)
na equação (2.245)

[��
e�
(1 + a2�)@��(x� y)�

1

e
@�

��

�A�(x)A�(y)
] = 0 (2.246)

onde ao �nal do cálculo tomamos A = � =  = 0:
Agora, por meio de uma transformada de Fourier escrevemos a primeira identidade de WT (2.246)

na representação de momentos

�(x� y) =
R

d4k
(2�)4

exp[ik�x
�]

��
�A�(x)A�(y)

=
R

d4k
(2�)4

���(k) exp[ik�x
�]

k����(k) = �k2

�
(1� a2k2)k� :

(2.247)

Combinando (2.247) com (2.169) concluímos que

k���� = 0 (2.248)

44


e, sendo assim, o setor longitudinal de ��� não participa da dinâmica no sentido de não ser alterado
perante as interações. Dizemos então que ��� é transversal. Essa identidade é importante ao se
estudar as primeiras correções radiativas do tensor de polarização do fóton.
Por outro lado, aplicando as derivadas funcionais �

� (y)
e �
�� (z)

na equação (2.245) temos

�i�
� (x)

�� (z)

�2�

� (y)�� (x)
+ i

�2�

�� (z)� (x)

� 

� (y)
� 1
e
@�

�3�

�� (z)� (y)�A�(x)
= 0; (2.249)

onde obtemos

1

e
@���(z; y;x) = ��(x� z)�(x; y) + �(x; z)�(x� y) (2.250)

ao tomar A = � =  = 0:
A equação (2.250) pode ser escrita na representação de momentos6 lembrando-se que � = S�1

R
d4zd4yd4x exp[ipz � ip0y � ikx]@���(z; y;x) = �

R
d4zd4yd4x exp[ikx� ip0y � ipz]�(x� z)S�1(x; y)+

+
R
d4zd4yd4x exp[ikx� ip0y � ipz]S�1(x; z)�(x� y)

R
d4zd4yd4x exp[ipz � ip0y � ikx]@�f

R
d4s1
(2�)4

d4s2
(2�)4

d4s3
(2�)4

exp[�is1z + is2y + is3x](2�)
4�4(s3 + s2 � s1)

��(s1; s2; s3)g = �
R
d4zd4yd4x exp[ikx� ip0y � ipz]

R
d4s1
(2�)4

exp[�is1(x� z)]�
�
R

d4s2
(2�)4

S�1(s2) exp[�is2(x� y)] +
R
d4zd4yd4x exp[ikx� ip0y � ipz]

R
d4s1
(2�)4

S�1(s1) exp[�is1(x� z)]�
�
R

d4s2
(2�)4

exp[�is2(x� y)]

(2�)4�4(k + p0 � p)1
e
k���(p; p

0; k) = �(2�)4�4(k + p0 � p)S�1(p0) + (2�)4�4(k + p0 � p)S�1(p):
(2.251)

Logo,

1

e
k���(p; p

0; k = p� p0) = S�1(p0 + k)� S�1(p0): (2.252)

No limite de k ! 0 temos a seguinte relação

1

e
��(p; p; k = 0) =

@S�1(p)
@p�

= �� �
@�(p)

@p�
: (2.253)

Portanto, vemos uma relação entre o vértice e a auto-energia do méson o que será posteriormente
utlizado no programa de renormalização.
Dando continuidade agora aplicaremos �

�� (y)
na equação (2.245)

�i�4(x� y) ��

�� (x)
+ i

�2�

�� (y)� (x)
 (x)� 1

e
@�

�2�

�� (y)�A�(x)
= 0: (2.254)

6Observe que o fato do lado direito da equação (2.250) ser invariante por translações implica que devemos aplicar
a lei de Kirchho¤ para a conservação do �uxo de momento no vértice completo.

45


Novamente, aplicando �
�A�(z)

na equação anterior,

�i�4(x� y) �2�

�A�(z)�� (x)
+ i

�3�

�A�(z)�� (y)� (x)
 (x)� 1

e
@�

�3�

�A�(z)�� (y)�A�(x)
= 0: (2.255)

E, por �m, operamos com �
� (w)

�i�4(x� y) �3�

� (w)�A�(z)�� (x)
+

�3�

�A�(z)�� (y)� (x)
i�4(x�w)� 1

e
@�

�4�

� (w)�A�(z)�� (y)�A�(x)
= 0:

(2.256)
tomando ao �nal A = � =  = 0.
Nesse caso, tendo em vista a equação anterior, temos que,

1

e
@����(w; y;x; z) = �i�4(x� y)��(w; x; z) + i�4(x� w)��(x; y; z): (2.257)

Dando continuidade, com a ajuda da equação (2.250)

1
e
@�@����(w; y;x; z) = �i�4(x� y)@���(w; x; z) + i�4(x� w)@���(x; y; z) =
= �ie�4(x� y)[��4(z � w)�(z; x) + �(z; w)�4(z � x)]+
+ie�4(x� w)[��4(z � x)�(z; y) + �(z; x)�4(z � y)]:

(2.258)

Na representação dos momentos,

R
d4zd4yd4xd4w exp[ipz + ip0y � ikx� ik0w]@�@� 1

e2
���(w; y;x; z) =

=
R
d4wd4zd4yd4x exp[ipz + ip0y � ikx� ik0w]

R
d4wd4zd4yd4x exp[ipz + ip0y � ikx� ik0w]�

�@�@�f
R

d4s1
(2�)4

d4s2
(2�)4

d4s3
(2�)4

d4s4
(2�)4

exp[�is1z � is2y + is3x+ is4w]�
�(2�)4�4(s4 + s3 � s2 � s1)���(s1; s2; s3; s4)g = (2�)4�4(k0 + k � p0 � p)k�p����(k0; p0; k; p):

(2.259)

R
d4zd4yd4xd4w exp[ipz + ip0y � ikx� ik0w]f�ie�4(x� y)[��4(z � w)�(z; x) + �(z; w)�4(z � x)]g =

=
R
d4zd4yd4xd4w exp[ipz + ip0y � ikx� ik0w]fie

R
d4s1
(2�)4

exp[�is1(x� y)]
R

d4s2
(2�)4

exp[�is2(z � w)]�
�
R

d4s3
(2�)4
S�1(s3) exp[�is3(z � x)]� ie

R
d4s1
(2�)4

exp[�is1(x� y)
R

d4s2
(2�)4

exp[�is2(z � x)]�
�
R

d4s3
(2�)4
S�1(s3) exp[�is3(z � w)]g = ie(2�)4�4(p� k0 � k + p0)[S�1(p� k0)� S�1(k0)]:

(2.260)

R
d4zd4yd4xd4w exp[ipz + ip0y � ikx� ik0w]fie�4(x� w)[��4(z � x)�(z; y) + �(z; x)�4(z � y)]g =

=
R
d4zd4yd4xd4w exp[ipz + ip0y � ikx� ik0w]f�ie

R
d4s1
(2�)4

exp[�is1(x� w)]
R

d4s2
(2�)4

exp[�is2(z � x)]�
�
R

d4s3
(2�)4
S�1(s3) exp[�is3(z � y)] + ie

R
d4s1
(2�)4

exp[�is1(x� w)
R

d4s2
(2�)4

exp[�is2(z � y)]�
�
R

d4s3
(2�)4
S�1(s3) exp[�is3(z � x)]g = �ie(2�)4�4(p� k0 � k + p0)[S�1(�p0)� S�1(p+ p0)]:

(2.261)

46


Portanto,

k�p����(k
0; p0; k; p) = ie2f[S�1(�p0 + k)� S�1(�p0)]� [S�1(k0)� S�1(k0 + k)]g (2.262)

= iek�f��(k0;�p0; k = k0 + p0)� ��(p0; k0; k = p0 � k0)g:

Tomando os limites adequados, fótons externos a baixas energias, podemos concluir da expressão
anterior que

���(k
0; k0; 0; 0) = ���(k

0) = ie2
@2�(k0)

@k0�@k0�
: (2.263)

Com as equações (2.253) e (2.263) somos conduzidos ao seguinte resultado

S = S(�iS�1S) (2.264)

@S
@p�

=
@S
@p�

(�iS�1S) + (�iSS�1) @S
@p�
� iS @S

�1

@p�
S (2.265)

= 2
@S
@p�

+ iS��
e
S

@S
@p�

=
1

e
iS��S; (2.266)

neste caso

e2
@2S

@p�@p�
= S��S��S + S��S��S + S���(p)S (2.267)

e2S�1 @2S
@p�@p�

S�1 = ��S��+��S�� + ���(p): (2.268)

A identidade anterior é útil ao se estudar o espalhamento Compton e a renormalização da carga
elétrica.
Para �nalizar o estudo das identidades aplicaremos �3

�A�(w)�A�(z)�A�(y)
na equação (2.245)

@�
�4�

�A�(w)�A�(z)�A�(y)�A�(x)
= 0: (2.269)

Na representação de momentos,

p������(p; p
0; k; k0) = 0: (2.270)

Essa identidade se aplica ao estudo do espalhamento fóton-fóton.
Como veremos, as identidades de WT terão um papel importante ao se montar e ao se estudar as

amplitudes de transição que descrevem os processos físicos associados à interação eletromagnética.

47


2.4 Divergências Super�ciais

Antes de iniciar o estudo sobre as primeiras correções quânticas faremos uma análise quantitativa
superfícial dos tipos de divergências ultravioleta que poderiam aparecer na eletrodinâmica GSDKP4,
para isso utilizaremos uma contagem de potências [67, 68].
Considere um diagrama de Feynman geral com as seguites informações

n=número de vértices,

n=número de linhas exter