Tiago Fernandes de Cantalice Modelo de Lotka-Volterra com inclusão de termos perturbativos e capacitivos Rio Claro 2012 Tiago Fernandes de Cantalice Modelo de Lotka-Volterra com inclusão de termos perturbativos e capacitivos Trabalho de Conclusão de Curso apresen- tado ao Instituto de Geociências e Ciências Exatas da Universidade Estadual Paulista, para a obtenção de Título de Bacharel em Física, na Área de Física. Orientador: Roberto E. Lagos Monaco Rio Claro 2012 Cantalice, Tiago Modelo de Lotka-Volterra com inclusão de termos perturbativos e capacitivos / Tiago Cantalice. - Rio Claro : [s.n.], 2012 66 f. : il., figs., gráfs., forms., tabs. Trabalho de conclusão de curso (bacharelado - Física) - Universidade Estadual Paulista, Instituto de Geociências e Ciências Exatas Orientador: Roberto E. Lagos Monaco 1. Física. 2. Perturbação randômica. 3. Perturbação periódica. I. Título. 530 T551m Ficha Catalográfica elaborada pela STATI - Biblioteca da UNESP Campus de Rio Claro/SP Dedico a minha família, Vera Lúcia, Xavier e Talita Cantalice Existem muitas hipóteses na ciência que são erradas. Isso é perfeitamente correto; elas são a abertura para descobrir o que é certo. A ciência é um processo auto-corretivo. Para serem aceitas, novas idéias devem sobreviver aos mais rigorosos padrões de evidência e escrutínio. Carl Edward Sagan Agradecimentos E é em mais um término de uma fase que entendemos o quanto a vida passa num piscar de olhos. Agradeço a todas as pessoas que de alguma forma converteram toda a minha graduação em uma nova conquista. De forma especial, primeiramente agradeço a minha estrutura do ser, minha família. Senhor Xavier, dona Vera e senhorita Talita, obrigado por existirem na minha vida. Obrigado, pai, mãe e irmã por exatamente tudo que vocês fazem e fizeram por mim. Se torna um pouco impossível retribuir tudo que vocês me deram, mas acreditem, que dia após dia usarei tudo o que vocês me ensinaram para tentar ao menos retribuir deixando vocês, orgulhosos do filho e irmão que tem. Agradeço à todos os meus amigos, sim, amigos e não colegas de faculdade, que por aqui encontrei. Empire, Preco, Zóio, Peter, Skiter, Sassa, Xuxa, Alemão, Bapt, Salim, Bonani, Body, Ivan, Boleiro, Navarro, Créu, Obama, Bala, Cadeia, Presídio, Dinho, Sacudo, vocês tornaram tudo isso mais divertido, e tenho certeza que esta amizade não sucumbirá ao tempo ou à distãncia, pois vocês são o real significado da palavra amizade e isto tem um peso muito significativo na minha vida, obrigado por tudo, pessoal. Agradeço também ao meu orientador, Roberto E. Lagos por toda a paciência e pelos ensinamentos que fora me dado, muito obrigado professor. E é neste momento que tudo se apaga para que de forma calma e suave os focos de luz, lentamente, iluminem a pessoa pelo qual trouxe à mim, o significado do sentimento mais belo que um ser- humano pode ter. Amor é o sentimento e Silvia Palotti Polizel é a pessoa. Obrigado, meu amor. Você de alguma forma torna minha vida um sonho, um mundo onde o seu sorriso meigo combate e derrota toda e qualquer tristeza que existe. Agradeço imensamente por você caminhar ao meu lado na estrada chamada vida. E lutarei para cada segundo que você estiver junto à mim, sejam os melhores e mais felizes momentos de sua vida. Você é meu amor, Silvia Palotti Polizel. Resumo Este trabalho de conclusão de curso tem como objetivo mostrar os efeitos das mudanças nas trajetórias das presas e dos predadores quando são incluídas perturbações e termos capacitivos no sistema de equações de Lotka-Volterra. Para introdução do sistema Lotka-Volterra foi necessário um capítulo predecessor de Equações Diferenciais Não Lineares, com intuito de facilitar a compreensão dos resultados obtidos no decorrer do trabalho. Nos capítulos seguintes são mostrados sequencialmente as soluções e discussões sobre os Modelos de Lotka-Volterra, o Modelo de Lotka-Volterra com Perturbação Randômica, Modelo de Lotka-Volterra com perturbação Periódica e inclusão do termo capacitivo em ambas perturbações. Por fim, são mostradas as conclusões das discussões e soluções que foram feitas em todo o trabalho. Palavras-chave: Lotka-Volterra, Perturbação Randômica, Perturbação Periódica Abstract Our purpose is to show the effects in the predator-prey trajectories due to parame- ter temporal perturbations and/or inclusion of capacitive terms in the Lotka Volterra Model. An introduction to the Lotka Volterra Model (chapter 2) required a brief review of nonlinear differential equations and stability analysis (chapter 1) , for a better under- standing of our work. In the following chapters we display in sequence our results and discussion for the randomic pertubation case (chapter 3); periodic perturbation (chap- ter 4) and inclusion of capacitive terms (chapter 5). Finally (chapter 6) we synthesize our results Keywords: Lotka-Volterra with capacitive term, Randomic Perturbation, Periodic Perturbation Sumário 1 Equações Diferenciais Não-Lineares 1 1.1 Linearização próximo a uma solução de equilíbrio . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Classificação dos pontos de equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Modelo de Lotka Volterra 6 2.1 História . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2 Modelo Predador-Presa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.3 Análise dos Pontos de Equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.4 Lei de Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.4.1 Lei dos Ciclos Periódicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.4.2 A Lei das Médias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.4.3 A Lei da Colheita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.5 Solução Numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3 Perturbação Randômica 17 4 Perturbação Periódica 25 5 Capacidade 35 5.1 Modelo Lotka-Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5.2 Randômico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 5.3 Periódico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 6 Considerações Finais 51 Referências Bibliográficas 54 Capítulo 1 Equações Diferenciais Não-Lineares Para obter um estudo apurado das Equações Diferenciais Não-Lineares (EDOs Não- Lineares) primeiramente deve ser explicado o que são EDOs Lineares. Uma EDO Linear, é uma equação diferencial que possui a forma: 𝑎𝑛(𝑡) 𝑑𝑛𝑥 𝑑𝑡𝑛 + 𝑎𝑛−1(𝑡) 𝑑𝑛−1𝑥 𝑑𝑡𝑛−1 + ... + 𝑎1(𝑡) 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + 𝑎0(𝑡)𝑥(𝑡) = 𝑢(𝑡) onde os coeficientes 𝑎𝑖, 𝑖 = 0,1,...𝑛, e a entrada 𝑢 são funções da variável independente 𝑡. ∙ A EDO é chamada de homogênea se 𝑢(𝑡) = 0 ∀ 𝑡. Para funções 𝑢(𝑡) que não atendem esta condição, a EDO é chamada de não-homogênea. ∙ A EDO é chamada de linear, quando só aparecem as primeiras potências da função e das suas derivadas. Caso contrário, a EDO é chamada EDO Não Linear, que é a equação diferencial que estudaremos neste capítulo. A teoria das equações diferenciais não lineares não é tão desenvolvida como das equações diferenciais lineares. Em certas circunstâncias, é possível usar métodos da teoria linear no estudo dos sistemas não lineares examinando o comportamento na viz- inhança de movimentos conhecidos, um processo conhecido como linearização. Existem Capítulo 1. Equações Diferenciais Não-Lineares 2 duas básicas aproximações para sistemas não lineares, o qualitativo e o quantitativo. A aproximação qualitativa está ligada à característica geral do sistema na vizinhança de uma solução conhecida, e a aproximação quantitativa está ligado à análise das soluções obtidas através dos métodos de perturbação. 1.1 Linearização próximo a uma solução de equilíbrio Considere um sistema Equações Diferencias não-lineares de duas variáveis, 𝑥 e 𝑦. 𝑓(𝑥,𝑦) = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑔(𝑥,𝑦) = 𝑑𝑦 𝑑𝑡 (1.1) Expandindo as funções em série de Taylor, teremos: 𝑓(𝑥,𝑦) = 𝑓(𝑥𝑠𝑠,𝑦𝑠𝑠) + ( 𝜕𝑓 𝜕𝑥 )𝑠𝑠(𝑥− 𝑥𝑠𝑠) + ( 𝜕𝑓 𝜕𝑦 )𝑠𝑠(𝑦 − 𝑦𝑠𝑠) (1.2) 𝑔(𝑥,𝑦) = 𝑔(𝑥𝑠𝑠,𝑦𝑠𝑠) + ( 𝜕𝑔 𝜕𝑥 )𝑠𝑠(𝑥− 𝑥𝑠𝑠) + ( 𝜕𝑔 𝜕𝑦 )𝑠𝑠(𝑦 − 𝑦𝑠𝑠) (1.3) Consideremos uma pequena perturbação sobre as soluções 𝑥(𝑡) e 𝑦(𝑡). 𝑥(𝑡) = 𝐴𝑒𝜆𝑡 + 𝑥𝑠𝑠 𝑦(𝑡) = 𝐵𝑒𝜆𝑡 + 𝑦𝑠𝑠 (1.4) Desta forma, encontramos um sistema de equações da forma: ⎧⎪⎨⎪⎩ 𝜆𝐴 = 𝐴𝜕𝑓 𝜕𝑥 + 𝐵 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝜆𝐵 = 𝐴𝜕𝑓 𝜕𝑥 + 𝐵 𝜕𝑓 𝜕𝑦 (1.5) 3 1.2. Classificação dos pontos de equilíbrio Representando na forma da matriz Jacobiana. 𝐽(𝑥; 𝑦) = ⎛⎜⎝ 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝜕𝑔 𝜕𝑥 𝜕𝑔 𝜕𝑦 ⎞⎟⎠ (1.6) Atentando ao fato que 𝑡𝑟(𝐽) = 𝜕𝑓 𝜕𝑥 + 𝜕𝑔 𝜕𝑦 e 𝑑𝑒𝑡(𝐽) = (𝜕𝑓𝜕𝑥 )(𝜕𝑔𝜕𝑦 ) − ( 𝜕𝑔𝜕𝑥)(𝜕𝑓𝜕𝑦 ), podemos escrever o sistema de equações da seguinte forma: (𝜆)2 − ( 𝜕𝑓 𝜕𝑥 + 𝜕𝑔 𝜕𝑦 )𝜆 + ( 𝜕𝑓 𝜕𝑥 )( 𝜕𝑔 𝜕𝑦 ) − ( 𝜕𝑔 𝜕𝑥 )( 𝜕𝑓 𝜕𝑦 ) = 0 (1.7) Obtendo as soluções do tipo: 𝜆1,2 = − 𝑡𝑟(𝐽) 2 ± √︂ ( 𝑡𝑟(𝐽) 2 )2 − 𝑑𝑒𝑡(𝐽) (1.8) 1.2 Classificação dos pontos de equilíbrio Utilizando a equação (1.8), podemos classificar os pontos de equilíbrio de acordo com os casos a seguir: ∙ 𝑑𝑒𝑡(𝐽) > ( 𝑡𝑟(𝐽)2 )2 Teremos os autovalores da forma: 𝜆1,2 = 𝛼± 𝑖𝛽 Se 𝛼 ̸= 0 as trajetórias descrevem uma espiral convergindo para um ponto fixo que se chama foco, fig. (1.1). Estabilidade: 𝛼 > 0 , foco instável. 𝛼 < 0 , foco estável. ∙ ( 𝑡𝑟(𝐽)2 )2 > 𝑑𝑒𝑡(𝐽) Teremos os autovalores da forma: 𝜆2 < 𝜆1 < 0 Este caso é caracterizado de nó impróprio, fig. (1.2). Capítulo 1. Equações Diferenciais Não-Lineares 4 Figura 1.1: Respresentação gráfica de foco Figura 1.2: Representação Gráfica: nó impróprio ∙ 𝑡𝑟(𝐽) 2 = 0 Teremos os autovalores da forma de 𝜆1,2 = ±𝑖𝛽 Este caso é caracterizado como centro, fig (1.3). Figura 1.3: Representação gráfica de centro 5 1.2. Classificação dos pontos de equilíbrio ∙ ( 𝑡𝑟(𝐽)2 )2 = 𝑑𝑒𝑡(𝐽) Teremos autovalores da forma de 𝜆1 = 𝜆2 < 0 Este caso é caracterizado como nó próprio, fig. (1.4). Figura 1.4: Respresentação Gráfica nó próprio (Retirado do livro Zill, D. G. and Cullen, M. R) 6 CAPÍTULO 2. MODELO DE LOTKA VOLTERRA Capítulo 2 Modelo de Lotka Volterra 2.1 História Em 1926, Humberto D’Ancona, um biólogo italiano, completou o estudo estatístico da mudança das várias populações de peixes no norte do mar Adriático. Ele estimou que a população dos predadores durante os anos de 1910 a 1923 foi baseado nas espécies vendidas no mercado de peixes nos portos de Trieste e Fiume. Porto 1914 1915 1916 1917 1918 1919 1920 1921 1922 1923 Fiume 12% 21% 22% 21% 36% 27% 16% 16% 15% 11% Trieste 14% 7% 16% 15% – 18% 15% 13% 11% 10% Tabela 2.1: Porcentagem do Predador no total de peixes capturados. D’Ancona observou, contudo, a porcentagem do predador foi maior imediatamente depois da Primeira Guerra Mundial (1914-1918). Durante a Guerra a população de pescadores foi reduzida, desta forma, D’Ancona concluiu que a pesca reduzida causou a mudança da proporção de predadores para as presas. Ele formulou a hipótese que durante a guerra a comunidade de predador-presa não sofreu influência externa da predação do homem, logo observou-se o estado natural de relativa aumento de proporção do predador, pelo fato dos pescadores não intereferirem no sistema. D’Ancona pediu 7 2.2. Modelo Predador-Presa para seu cunhado, Vito Volterra (1860-1940), um famoso matemático da época, se havia algum modelo matemático para descrever tal sistema. Com os dados em mãos, Vito Volterra escreveu um par de equações. Simultaneamente a Volterra, de forma independente, Alfred James Lotka, matemático, químico e estatístico americano, em um artigo chamado: “in the theory of autocatalytic chemical reactions” em 1910, utilizou um par de equações diferenciais com o objetivo de modelar reações químicas oscilatórias. Em 1920, expandindo seu modelo, o usou para descrever “sistemas orgânicos” utilizando uma espécie de planta e herbívoros com exemplo. E em 1925, utilizou suas equações para analisar interações de predador-presa em seu livro de biomatemática. Com isto fora criado o Modelo chamado de Lotka-Volterra. 2.2 Modelo Predador-Presa O modelo de predador e presa associa somente o crescimento natural ou decaimento natural e a interação mútua do predador-presa. As outras relações são assumidas como insignificantes. E é dado pelo seguinte modelo matemático: 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = (−𝛼 + 𝛾𝑦)𝑥 (2.1) 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = (𝛽 − 𝛿𝑥)𝑦 (2.2) Onde 𝑥 é a população do predador, 𝑦 é a população da presa e 𝛼, 𝛽, 𝛾 e 𝛿 são constantes positivas. A interação predador-presa é modelada pelos termos de ação conjunta proporcionais ao produto das duas populações. Assume-se que na ausência de predadores (𝑥 = 0), 𝑦′ = 𝛽𝑦, o número de presas cresce exponencialmente e na ausência de presas 𝑦 = 0, 𝑥′ = −𝛼𝑥, a população de predadores tende a extinguir-se. Os termos lineares −𝛼𝑥 e 𝛽𝑦 modelam o decaimento natural e o crescimento, respectivamente, do predador e da presa no caso em que um esteja isolado do outro. Nos termos dos produtos Capítulo 2. Modelo de Lotka Volterra 8 𝛾𝑥𝑦 e −𝛿𝑥𝑦 modelam os efeitos da interação nas taxas de mudança das duas espécies: alimento promove que a taxa de crescimento da população de predador cresça, enquanto servir-se como alimento diminui a taxa de crescimento da presa. As coordenadas dos pontos de equilíbrio são dadas quando ambas as populações não variam com o tempo, ou seja, quando: 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 0, 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 0 dando-nos as equações: (−𝛼 + 𝛾𝑦)𝑥 = 0, (𝛽 − 𝛿𝑥)𝑦 = 0 Trazendo-nos duas soluções possíveis: 𝑥 = 0, 𝑦 = 0 (2.3) No caso (2.3), a extinção de ambas as espécies, e: 𝑥 = 𝛽 𝛿 , 𝑦 = 𝛼 𝛾 (2.4) (2.4), o caso representando os pontos fixos em que ambas as populações se sustentam. Portanto, os pontos de equilíbrio para o Modelo Predador Presa de Lotka-Volterra, são: (0,0) (𝛽𝛿 ; 𝛼 𝛾 ) 9 2.3. Análise dos Pontos de Equilíbrio 2.3 Análise dos Pontos de Equilíbrio A Matriz Jacobiana do Modelo Predador é dada por: 𝐽(𝑥; 𝑦) = ⎛⎜⎝ −𝛼 + 𝛾𝑦 𝛾𝑥 −𝛽𝑦 −𝛽𝑥 + 𝛿 ⎞⎟⎠ (2.5) Para o ponto fixo (0,0), temos a Matriz: 𝐽(0,0) = ⎛⎜⎝ −𝛼 0 0 𝛿 ⎞⎟⎠ (2.6) Os auto-valores encontrados para a J(0,0) são: 𝜆1 = −𝛼, 𝜆2 = 𝛿 Observando os auto-valores, vemos que é um ponto crítico de sela. E para o ponto fixo (𝛽𝛿 , 𝛼 𝛾 ), temos: 𝐽( 𝛽 𝛿 , 𝛼 𝛾 ) = ⎛⎜⎝ 0 𝛾𝛿 𝛽 −𝛼𝛽 𝛾 0 ⎞⎟⎠ (2.7) E os auto-valores encontrados para 𝐽(𝛽𝛿 , 𝛼 𝛾 ) são: 𝜆1 = 𝑖 √ 𝛼𝛿, 𝜆2 = −𝑖 √ 𝛼𝛿. Observando os auto-valores, vemos que o ponto pode ser de centro, caracterizando um sistema marginalmente estável, ou seja, aplicando qualquer perturbação, o estado incial irá se diferenciar do estado final. Como provaremos com a Lei de Volterra. Capítulo 2. Modelo de Lotka Volterra 10 2.4 Lei de Volterra Volterra resumiu suas conclusões sobre as soluções e órbitas do sistema 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = (−𝛼 + 𝛾𝑦)𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = (𝛽 − 𝛿𝑥)𝑦 na forma de três leis. Sendo as constantes 𝛼, 𝛾, 𝛽 e 𝛿 positivas. 2.4.1 Lei dos Ciclos Periódicos As flutuações das populações do predador e da presa são periódicas. O período depende dos valores das taxas de coeficientes do sistema de Eqs. (2.1) e (2.2) e do valor incial. O período aumenta com a amplitude dos ciclos correspondentes. Para encontrar a equação dos ciclos, dividimos a equação (2.1) pela equação (2.2), obtendo assim: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝛽𝑦 − 𝛿𝑥𝑦 −𝛼𝑥 + 𝛾𝑥𝑦 = ( 𝑦 −𝛼 + 𝛾𝑦 )( 𝛽 𝑥 − 𝛿) (2.8) Separando as variáveis da equação acima, temos: ( 𝛽 𝑥 − 𝛿)𝑑𝑥 + ( 𝛼 𝑦 − 𝛾)𝑑𝑦 = 0 (2.9) Integrando cada termo, vemos que as órbitas no quadrante da população é: (𝛽𝑙𝑛𝑥− 𝛿𝑥) + (𝛼𝑙𝑛𝑦 − 𝛾𝑦) = 𝐶 (2.10) Onde 𝐶 é uma constante. Se pegarmos a equação da órbita através do ponto (𝑥0,𝑦0), 11 2.4. Lei de Volterra onde 𝑥0 e 𝑦0 são positivos, então encontraremos o valor para 𝐶 como abaixo. (𝛽𝑙𝑛𝑥0 − 𝛿𝑥0) + (𝛼𝑙𝑛𝑦0 − 𝛾𝑦0) = 𝐶 (2.11) Vamos escrever a equação das órbitas em termos de exponenciais. (𝑒𝛽𝑙𝑛𝑥−𝛿𝑥)(𝑒𝛼𝑙𝑛𝑦−𝛾𝑦) = (𝑒𝛽𝑙𝑛𝑥0−𝛿𝑥0)(𝑒𝛼𝑙𝑛𝑦0−𝛾𝑦0) (𝑒𝛽𝑙𝑛𝑥𝑒−𝛿𝑥)(𝑒𝛼𝑙𝑛𝑦𝑒−𝛾𝑦) = (𝑒𝛽𝑙𝑛𝑥0𝑒−𝛿𝑥0)(𝑒𝛼𝑙𝑛𝑦0𝑒−𝛾𝑦0) (𝑥𝛽𝑒−𝛿𝑥)(𝑦𝛼𝑒−𝛾𝑦) = (𝑥𝛽0𝑒 −𝛿𝑥0)(𝑦𝛼0 𝑒 −𝛾𝑦0) (2.12) A equação (2.12) define a simples curva fechada para (𝑥0,𝑦0) ̸= (𝛽𝛿 ; 𝛼 𝛾 ) dentro do quadrante da população, e o significado são os correspondentes 𝑥 = 𝑥(𝑡) e 𝑦 = 𝑦(𝑡) do sistema de Eqs. (2.1) e (2.2) que são de fato, periódicos. A figura abaixo mostra alguns destes ciclos. Figura 2.1: Exemplo de um Sistema Periódico. Capítulo 2. Modelo de Lotka Volterra 12 2.4.2 A Lei das Médias No sistema de Eq. (2.1) e (2.2), a média das populações de predador e presa sobre o período dos ciclos, são, respectivamente, 𝛽 𝛿 e 𝛼 𝛾 . Vemos por que a Lei das Médias é verdadeira. Suponha que 𝑥 = 𝑥(𝑡), 𝑦 = 𝑦(𝑡) é uma solução não constante que define o ciclo de período T. A média das populações 𝑥 e 𝑦 sobre um período é definida como 𝑥 = 1 𝑇 ∫︁ 𝑇 0 𝑥(𝑡) 𝑑𝑡. (2.13) 𝑦 = 1 𝑇 ∫︁ 𝑇 0 𝑦(𝑡) 𝑑𝑡. (2.14) Vamos mostrar que 𝑥 = 𝛽 𝛿 . Primeiro, rearranjamos os termos da equação (2.2), obtemos: 𝑥(𝑡) = 𝛽 𝛿 − 1𝑦′(𝑡) 𝛿𝑦(𝑡) (2.15) Integrando cada lado da equação acima de 0 a 𝑇 , dividindo por 𝑇 , e usando (2.13) e (2.14). 𝑥 = 1 𝑇 ∫︁ 𝑇 0 𝑥(𝑡) 𝑑𝑡 = 1 𝑇 ∫︁ 𝑇 0 𝛽 𝛿 𝑑𝑡− 1 𝑇 ∫︁ 𝑇 0 1𝑦′(𝑡) 𝛿𝑦(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝛽 𝛿 − 1 𝑇 𝑙𝑛𝑦(𝑇 ) − 𝑙𝑛𝑦(0) 𝛿 = 𝛽 𝛿 pois 𝑦(𝑇 ) = 𝑦(0). Um argumento similar mostra que 𝑦 = 𝛼 𝛾 , e a validade das Lei das Médias é provada. 2.4.3 A Lei da Colheita A terceira lei de Volterra explica o que acontece quando duas espécies são colhidas. Um simples modelo que acrescenta uma constante de colheita. Em que uma quantidade capturada por unidade de tempo é proporcional a população: 13 2.5. Solução Numérica 𝑥′ = −𝛼𝑥 + 𝛾𝑥𝑦 −𝐻1𝑥 = (−𝛼−𝐻1 + 𝛾𝑦)𝑥 𝑦′ = 𝛽𝑦 − 𝛿𝑥𝑦 −𝐻2𝑦 = (𝛽 −𝐻2 − 𝛿𝑥)𝑦 (2.16) Os números positivos 𝐻1 e 𝐻2 são os coeficientes da colheita. Quando a colheita ocorre, os pontos de equilíbrio situados dentro do quadrante da população mudam para esquerda e para cima do 𝑥 = 𝛽/𝛿, 𝑦 = 𝛼/𝛾 para os pontos 𝑥 = (𝛽 −𝐻2)/𝛿, 𝑦 = (𝛼 + 𝐻1)/𝛾 (2.17) Isto assume que 𝐻2 < 𝛽. Caso contrário, a colheita massiva da presa 𝑦 não deixaria alimento suficiente para o predador, então o predador iria em direção a extinção. Pela Lei das Médias, a população média sobre qualquer ciclo são dadas pelas coordenadas dos pontos de equilíbrio. Como a colheita move o ponto de equilíbrio para cima e para a esquerda em relação ao ponto de equilíbrio original do quadrante da população, a colheita aumenta a população de presa, mas diminui a população de predadores. (Retirado dos livros Zill, D. G. and Cullen; Borelli, R. L. and Coleman). Uma curiosidade ao assunto em questão, é um famoso mito à respeito do suicídio dos Leminguês, roedores que vivem no bioma ártico da tundra. Que ao contrário do mito, eles não se suicidam, e sim, ocorre por causa de explosões populacionais que surgem. (Texto retirado da Revista MundoEstranho) 2.5 Solução Numérica Seja o sistema de equações diferenciais abaixo Capítulo 2. Modelo de Lotka Volterra 14 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = (−1 + 0.1𝑦)𝑥 (2.18) 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = (1 − 0.2𝑥)𝑦 (2.19) Esse sistema representa um modelo predador-presa fictício, ele pode ser encontrado em Borelli, R. L. and Coleman, onde foram dados os seguintes valores para as con- stantes: 𝛼 = 1, 𝛾 = 0.1, 𝛽 = 1 e 𝛿 = 0.2, valores númericos que serão usados em todo o decorrer do trabalho. Da seção (2.2) vemos que em (0, 0) temos um ponto de sela e em (5, 10) temos um centro. Integrando numericamente o sistema de equações diferenciais, Eq. (2.18) e Eq.(2.19), através de um algoritmo escrito em linguagem Fortran e usando o integrador RA15 Everhart, para diversas condições iniciais, obtemos o espaço de fase dado na Figura (2.2). Pelo gráfico da Fig. (2.2) podemos ver claramente a dinâmica do modelo Lotka- Volterra, mostrando os ciclos em torno do ponto de equilíbrio (5, 10) e o comportamento perto do ponto de sela (0, 0), vale ressaltar que obtemos os mesmos resultados de Borelli, R. L. and Coleman . Selecionamos algumas condições para se mostrar como evoluem no tempo, esses resultados são mostrados nos gráficos da Fig. (2.3). Percebemos pelos gráficos da Fig. (2.3) que o sistema tem solução periódica. Na Fig. (2.3c) observamos a situação de equilíbrio, que corresponde ao centro no espaço de fase, esse equilíbrio é estável. Na Fig. (2.3b) no entorno do equilíbrio vemos que as amplitudes associadas não são bruscas quando comparadas com as situações que se distanciam do equilíbrio, como na Fig. (2.3a) e Fig. (2.3d). Como existe uma periodicidade, podemos encontrar as frequências associadas a cada curva do espaço de fase. Seja a frequência dada por Ω0 = 2𝜋/𝑇 , com 𝑇 = 𝑁∆𝑡, onde 𝑇 é o período, 𝑁 é o número de pontos e ∆𝑡 é o passo de integração. Na Tabela (2.2) mostramos algumas frequências para as condições da Fig. (2.3). 15 2.5. Solução Numérica Figura 2.2: Espaço de fases para o sistema de Eqs. (2.1) e (2.2). Condição inicial Ω0 𝑇 𝑥0 = 1, 𝑦0 = 10 0.8775 7.1599 𝑥0 = 4, 𝑦0 = 10 0.9958 6.3099 𝑥0 = 5, 𝑦0 = 10 1.0000 2𝜋 𝑥0 = 15, 𝑦0 = 10 0.8655 7.2599 Tabela 2.2: Frequências e Período de algumas condições iniciais. Capítulo 2. Modelo de Lotka Volterra 16 (a) (b) (c) (d) Figura 2.3: Gráficos da evolução no tempo para o predador e a presa. Condições iniciais: (a) 𝑥0 = 1, 𝑦0 = 10. (b) 𝑥0 = 4, 𝑦0 = 10. (c) 𝑥0 = 5, 𝑦0 = 10. (d) 𝑥0 = 15, 𝑦0 = 10. Capítulo 3 Perturbação Randômica Neste capítulo será modificado o sistema de equações diferenciais estudado na seção (2.5), Eqs.(2.18) e (2.19), adicionando perturbações com o intuito de estudar a dinâmica desse sistema perturbado. Supondo que a taxa de crescimento da população de presas seja controlada por um evento randômico, então 𝛽 se tornará um termo randômico, escrevendo-o da seguinte forma: 𝛽 = 𝛽0 + 𝐴(2ℛ− 1), (3.1) onde 𝐴 será a amplitude da perturbação randômica, ℛ é um número randômico que varia entre 0 e 1, na linguagem Fortran esse número randômico é gerado através da subrotina call random_number(i). Com esta quantidade definida temos uma maneira de perturbar o sistema de equações diferenciais, Eqs. (2.18) e (2.19). Na Fig. (3.1) mostramos como se comporta a Eq. (3.1). Começando com uma pequena amplitude, 𝐴 ≪ 𝛽0, 𝐴 = 0.1, o sistema de equações Capítulo 3. Perturbação Randômica 18 (a) (b) Figura 3.1: Comportamento da Eq. (3.1) para um valor de: (a) 𝛽0 = 1 e 𝐴 = 0.1. (b) 𝛽0 = 1 e 𝐴 = 0.8. diferenciais, Eqs. (2.18) e (2.19) se tornam 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑥(−1 + 0.1𝑦), (3.2) 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑦[1 + 0.1(2ℛ− 1) − 0.2𝑥]. (3.3) Integrando numericamente o sistema de equações diferenciais, Eqs. (3.2) e (3.3) encontra-se os resultados mostrados nas figuras, Fig. (3.2), Fig. (3.3) e Fig. (3.4). Comparando as Figs. (3.2a) e a Fig. (3.2b), observa-se que a perturbação randômica causa uma deformação em alguns picos, mas em média, ambos se assemelham. Para um tempo médio, Fig. (3.2c), observa-se que a perturbação randômica não causa tantos desvios. Para longos tempos, Fig. (3.2d), a perturbação randômica causa uma grande instabilidade para o sistema. Além disso, pode-se notar na Fig. (3.2d) que se o número de predadores e presas passam próximo da condição de equilíbrio do sistema de Eqs. (2.18) e (2.19), esse sistema tem a tendência de permanecer por um período ao redor do ponto de equilíbrio. Mas essa condição é necessariamente instável. Ao se comparar a Fig. (3.3a) com a Fig. (3.3b) nota-se que o termo randômico 19 (a) Sem termo randômico. (b) Com termo randômico e 𝐴 = 0.1. (c) Com termo randômico e 𝐴 = 0.1. (d) Com termo randômico e 𝐴 = 0.1. Figura 3.2: Gráficos da evolução no tempo para o predador e a presa, a condição inicial foi 𝑥0 = 1, 𝑦0 = 10. (a) Curto período de tempo. (b) Curto período de tempo. (c) Médio período de tempo. (d) Longo período de tempo. causa uma perturbação perceptível na curva, porém a amplitude dessa perturbação não é demasiadamente grande. Para um tempo médio, Fig. (3.3c), nota-se que o termo randômico afeta de maneira significativa o sistema, desestabilizando-o por completo. E para longos tempos, Fig. (3.3d), o termo randômico torna o sistema instável. Comparando a Fig. (3.4a) com a Fig. (3.4b), assim como na Fig. (3.2a) e Fig. (3.2b), observa-se que essa perturbação causa uma deformação em alguns picos, a não ser este efeito elas parecem iguais. Para um tempo médio, Fig. (3.4c), nota-se que essa Capítulo 3. Perturbação Randômica 20 (a) Sem termo randômico. (b) Com termo randômico e 𝐴 = 0.1. (c) Com termo randômico e 𝐴 = 0.1. (d) Com termo randômico e 𝐴 = 0.1. Figura 3.3: Gráficos da evolução no tempo para o predador e a presa, a condição inicial foi 𝑥0 = 5, 𝑦0 = 10. (a) Curto período de tempo. (b) Curto período de tempo. (c) Médio período de tempo. (d) Longo período de tempo. perturbação tem uma tendência de convergir para uma situação de equilíbrio, mas para longos tempos, Fig. (3.2d), essa tendência não se confirma e o sistema é necessariamente instável. Pode-se ainda perceber na Fig. (3.4d) que entorno de 𝑇 = 1200, o número de predadores e presas passam próximo da condição de equilíbrio do sistema de Eqs. (2.18) e (2.19), esse sistema fica por um curto período ao redor do ponto de equilíbrio. Seja um ruído do tipo 𝐴 . 𝛽0, fazendo 𝐴 = 0.8 o sistema de equações diferenciais, Eqs. (2.18) e (2.19) se tornam 21 (a) Sem termo randômico. (b) Com termo randômico e 𝐴 = 0.1.. (c) Com termo randômico e 𝐴 = 0.1.. (d) Com termo randômico e 𝐴 = 0.1.. Figura 3.4: Gráficos da evolução no tempo para o predador e a presa, a condição inicial foi 𝑥0 = 10, 𝑦0 = 10. (a) Curto período de tempo. (b) Curto período de tempo. (c) Médio período de tempo. (d) Longo período de tempo. 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑥(−1 + 0.1𝑦), (3.4) 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑦[1 + 0.8(2ℛ− 1) − 0.2𝑥]. (3.5) Integrando numericamente o sistema de equações diferenciais, Eqs. (3.4) e (3.5), obtem-se os resultados, mostrados na Fig. (3.5) e na Fig. (3.6). Capítulo 3. Perturbação Randômica 22 (a) Sem termo randômico. (b) Com termo randômico e 𝐴 = 0.8. (c) Com termo randômico e 𝐴 = 0.8. (d) Com termo randômico e 𝐴 = 0.8. Figura 3.5: Gráficos da evolução no tempo para o predador e a presa, a condição inicial foi 𝑥0 = 1, 𝑦0 = 10. (a) Curto período de tempo. (b) Curto período de tempo. (c) Longo período de tempo. (d) Espaço de fase. Comparando a Fig. (3.5a) com a Fig. (3.5b) nota-se que para 𝐴 = 0.8 a perturbação é muito efetiva e em pouco tempo o sistema perde a estabilidade, tornando-se instável, esses resultados se confirmam na Fig. (3.5c) e no espaço de fase da Fig. (3.5d). De acordo com a Fig. (3.6a), o sistema estaria em equilíbrio, mas devido ao termo randômico com 𝐴 = 0.8, ele logo deixa o equilíbrio como mostrado na Fig. (3.6b). Em pouco tempo o sistema se torna instável, resultado confirmado pela Fig. (3.6c) e o espaço de fase da Fig. (3.6d). 23 (a) Sem termo randômico. (b) Com termo randômico e 𝐴 = 0.8. (c) Com termo randômico e 𝐴 = 0.8. (d) Com termo randômico e 𝐴 = 0.8. Figura 3.6: Gráficos da evolução no tempo para o predador e a presa, a condição inicial foi 𝑥0 = 5, 𝑦0 = 10. (a) Curto período de tempo. (b) Curto período de tempo. (c) Longo período de tempo. (d) Espaço de fase. 25 Capítulo 4 Perturbação Periódica Supondo que a taxa de crescimento da população de presas seja controlada por um termo que varia no tempo de forma periódica, escreve-se 𝛽 como 𝛽 = 𝛽0 + 𝐴 sin Ω𝑡, (4.1) onde 𝐴 será a amplitude dessa perturbação periódica, 𝛽0 uma constante e Ω um múltiplo de Ω0, mostrado na Tabela (2.2). Como caráter ilustrativo na Fig. (4.1) mostra-se o comportamento de 𝛽 para diver- sos parâmetros. Definido 𝛽 para o estudo do modelo Lotka-Volterra, escreve-se as equações de in- teração predador-presa como 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑥(−1 + 0.1𝑦), (4.2) 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑦[𝛽0 + 𝐴 sin Ω𝑡− 0.2𝑥]. (4.3) Onde 𝛽0 = 1 para todas as situações estudadas e os parâmetros 𝐴 e Ω serão escolhidos conforme mostrados na Fig. (4.1). Capítulo 4. Perturbação Periódica 26 Começando o estudo com 𝐴 = 0.1 e Ω = 0.1Ω0, integrando as Eqs. (4.2) e (4.3) com os parâmetros mencionados, registra-se os resultados na Fig. (4.2). Observa-se que para essas condições (𝐴 = 0.1 e Ω = 0.1Ω0) o termo períodico não perturba o sistema, pois quando comparados os gráficos da Fig. (4.2) com os gráficos da Fig. (2.3) não nota-se diferenças perceptíveis. Mantendo a amplitude como 𝐴 = 0.1 e aumentando o valor da frequência para Ω = Ω0 e integrando as equações diferenciais resultantes, obtem-se os gráficos da Fig. (4.3). Esses gráficos mostram que mesmo com Ω = Ω0, isto é, uma frequência igual à frequência do modelo sem perturbação, Eqs. (2.18) e (2.19), não observa-se variações consideráveis. Ainda assim, com muito esforço nota-se um pequeno deslocamento do ponto de equilíbrio no espaço de fase, Fig. (4.3d). Considerando 𝐴 = 0.1 e Ω = 100Ω0 e integrando as equações resultantes temos os resultados registrados na Fig. (4.4). Nota-se que uma mudança significativa acontece em relação ao resultados anteriores, observando que o ponto de equilíbrio é deslocado para a direita no sentido de aumentar o número de predadores, o novo ponto de equi- líbrio é um pouco acima de 5, veja Fig. (4.4d) e Fig. (4.4b), isto acontece também para outras condições iniciais, mostradas na Fig. (4.4). Seja a condição de maior amplitude, 𝐴 = 0.8, e também Ω = 0.1Ω0, nessa situação quando integradas as equações diferenciais os resultados forcecem os gráficos da Fig. (4.5). Nota-se que para essas condições (𝐴 = 0.8 e Ω = 0.1Ω0) os resultados não variam dos obtidos para menor amplitude e mesma frequência, mostrando que a frequência tem um maior peso quando cria-se uma perturbação desse tipo no sistema. Os gráficos da Fig. (4.5) são muito parecidos com os da Fig. (4.2). Considerando agora 𝐴 = 0.8 e Ω = Ω0, integrando as equações diferenciais resul- tantes, obtem-se os resultados na Fig. (4.6). 27 No gráfico da Fig. (4.6b) percebe-se pequenas oscilações nas curvas de presas e predadores, mostrando que para frequências e amplitudes maiores o sistema desloca- se a outro ponto de equilíbrio. O espaço de fase, Fig. (4.6d) confirma isso quando comparado com o espaço de fase da Fig. (4.5d). Com os valores da amplitude e da frequência de 𝐴 = 0.8 e Ω = 100Ω0, respectiva- mente, temos que os resultados da integração do sistema de equações diferenciais são apresentados na Fig. (4.7). Esses resultados nos mostram claramente que o sistema é afetado quando se introduz grandes valores de amplitude e frequência, evidenciando o deslocamento do ponto de equilíbrio para o entorno de 7, como mostra a Fig. (4.7d). Capítulo 4. Perturbação Periódica 28 (a) (b) (c) (d) (e) (f) Figura 4.1: Comportamento da Eq. (4.1) para os parâmetros: (a) 𝐴 = 0.1, 𝛽0 = 1 e Ω = 0.1. (b) 𝐴 = 0.1, 𝛽0 = 1 e Ω = 1. (c) 𝐴 = 0.1, 𝛽0 = 1 e Ω = 100. (d) 𝐴 = 0.8, 𝛽0 = 1 e Ω = 0.1. (e) 𝐴 = 0.1, 𝛽0 = 1 e Ω = 1. (f) 𝐴 = 0.1, 𝛽0 = 1 e Ω = 100. 29 (a) 𝐴 = 0.1 e Ω = 0.1Ω0 (b) 𝐴 = 0.1 e Ω = 0.1Ω0 (c) 𝐴 = 0.1 e Ω = 0.1Ω0 (d) 𝐴 = 0.1 e Ω = 0.1Ω0 Figura 4.2: Modelo Lotka-Volterra com 𝛽 conforme a Eq. (4.1) e condição inicial: (a)𝑥0 = 1, 𝑦0 = 10. (b)𝑥0 = 5, 𝑦0 = 10. (c)𝑥0 = 10, 𝑦0 = 10. (d)Espaço de fase. Capítulo 4. Perturbação Periódica 30 (a) 𝐴 = 0.1 e Ω = Ω0 (b) 𝐴 = 0.1 e Ω = Ω0 (c) 𝐴 = 0.1 e Ω = Ω0 (d) 𝐴 = 0.1 e Ω = Ω0 Figura 4.3: Modelo Lotka-Volterra com 𝛽 conforme a Eq. (4.1) e condição inicial: (a)𝑥0 = 1, 𝑦0 = 10. (b)𝑥0 = 5, 𝑦0 = 10. (c)𝑥0 = 10, 𝑦0 = 10. (d)Espaço de fase. 31 (a) 𝐴 = 0.1 e Ω = 100Ω0 (b) 𝐴 = 0.1 e Ω = 100Ω0 (c) 𝐴 = 0.1 e Ω = 100Ω0 (d) 𝐴 = 0.1 e Ω = 100Ω0 Figura 4.4: Modelo Lotka-Volterra com 𝛽 conforme a Eq. (4.1) e condição inicial: (a)𝑥0 = 1, 𝑦0 = 10. (b)𝑥0 = 5, 𝑦0 = 10. (c)𝑥0 = 10, 𝑦0 = 10. (d)Espaço de fase. Capítulo 4. Perturbação Periódica 32 (a) 𝐴 = 0.8 e Ω = 0.1Ω0 (b) 𝐴 = 0.8 e Ω = 0.1Ω0 (c) 𝐴 = 0.8 e Ω = 0.1Ω0 (d) 𝐴 = 0.8 e Ω = 0.1Ω0 Figura 4.5: Modelo Lotka-Volterra com 𝛽 conforme a Eq. (4.1) e condição inicial: (a)𝑥0 = 1, 𝑦0 = 10. (b)𝑥0 = 5, 𝑦0 = 10. (c)𝑥0 = 10, 𝑦0 = 10. (d)Espaço de fase. 33 (a) 𝐴 = 0.8 e Ω = Ω0 (b) 𝐴 = 0.8 e Ω = Ω0 (c) 𝐴 = 0.8 e Ω = Ω0 (d) 𝐴 = 0.8 e Ω = Ω0 Figura 4.6: Modelo Lotka-Volterra com 𝛽 conforme a Eq. (4.1) e condição inicial: (a)𝑥0 = 1, 𝑦0 = 10. (b)𝑥0 = 5, 𝑦0 = 10. (c)𝑥0 = 10, 𝑦0 = 10. (d)Espaço de fase. Capítulo 4. Perturbação Periódica 34 (a) 𝐴 = 0.8 e Ω = 100Ω0 (b) 𝐴 = 0.8 e Ω = 100Ω0 (c) 𝐴 = 0.8 e Ω = 100Ω0 (d) 𝐴 = 0.8 e Ω = 100Ω0 Figura 4.7: Modelo Lotka-Volterra com 𝛽 conforme a Eq. (4.1) e condição inicial: (a)𝑥0 = 1, 𝑦0 = 10. (b)𝑥0 = 5, 𝑦0 = 10. (c)𝑥0 = 10, 𝑦0 = 10. (d)Espaço de fase. Capítulo 5 Capacidade Neste capítulo estudaremos uma maneira de estabilizar os sistemas perturbados que foram estudados no Cap. (4) e Cap. (3). Assumindo uma EDO do tipo: 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑎𝑦 − 𝑔𝑦2 Onde 𝑎 e 𝑔 são constantes positivas. Esta EDO é usada para a população de presas levando em conta a superlotação. A forma mais comum em que esta EDO surge é colocando 𝑟 = 𝑎 e 𝐾 = 𝑎/𝑔 para obter a equação logística 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑟𝑦(1 − 𝑦/𝐾) A constante 𝑟 é chamada de constante de crescimento intrínseco e mede a diferença entre a taxa de crescimento e morte por unidade de população se não houver superlotação. A constante positiva 𝐾 é a constante de saturação ou capacidade. Como veremos em nosso trabalho, toda solução 𝑦(𝑡) aproximará 𝐾 quando 𝑡 → ∞ se 𝑦(0) é positivo. (Texto retirado do Livro Borrelli, R. L. and Coleman) Adicionando o termo capacitivo para o Modelo Lotka-Volterra, da forma −𝑐𝑦2, Capítulo 5. Capacidade 36 podemos interpretá-lo como o fator que limita o quanto o ambiente suporta um certo número de presas. Quanto maior o termo da capacidade, menos o ambiente suportará o número de presas, como veremos nos exemplos abaixo. número de presas. 5.1 Modelo Lotka-Volterra Quando introduzimos a capacidade para as equações do Modelo Lotka-Volterra estu- dado no Cap. (2), Eqs. (2.18) e (2.19), elas se tornam 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑥(−1 + 0.1𝑦), (5.1) 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑦(1 − 0.2𝑥− 𝑐𝑦). (5.2) Os pontos críticos desse sistema em função da capacidade são (0, 0), um ponto de sela e (5 − 50𝑐, 10) um centro. Integrando a Eq. (5.1) para 𝑐 = 0.01, temos que o centro será (4.5, 10) os resultados estão nos gráficos da Fig. (5.1). Podemos perceber pelos gráficos, Fig. (5.1a) e Fig. (5.1c), que depois de cerca de 100 unidades de tempo o sistema logo converge para o ponto de equilíbrio. No espaço de fase tanto da Fig. (5.1b) como na Fig. (5.1d) temos um atrator. A capacidade no sistema interferiu no sentido de levar todas as condições para um valor constante, podemos dizer que a capacidade tem um caráter de estabilizar o sistema. Interessante notar que o sistema perde a propriedade de ser periódico. Ao se integrar a Eq. (5.1) para 𝑐 = 0.1, o centro agora será (0, 10) e os resultados estão registrados na Fig. (5.2). Vemos que rapidamente o sistema vai para o ponto de equilíbrio, configurando que grandes valores de capacidade fazem com que o sistema seja brusco ao se encaminhar para o ponto de equilíbrio. Nas Figs. (5.2a) e (5.2b) vemos que todos os predadores morrem e o espaço de fase mostra que todas as condições tendem a um mesmo valor de 37 5.1. Modelo Lotka-Volterra (a) 𝑥0 = 1, 𝑦0 = 10 (b) 𝑥0 = 1, 𝑦0 = 10 (c) 𝑥0 = 5, 𝑦0 = 10 (d) 𝑥0 = 5, 𝑦0 = 10 Figura 5.1: Modelo Lotka-Volterra com 𝑐 = 0.01. (a)Evolução no Tempo. (b)Espaço de fase. (c)Evolução no Tempo. (d)Espaço de fase. presas final. Capítulo 5. Capacidade 38 5.2 Randômico Agora consideremos o caso em que 𝛽 é um número randômico, conforme foi visto na seção (3). As equações a serem integradas serão 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑥(−1 + 0.1𝑦), (5.3) 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑦[1 + 𝐴(2ℛ− 1) − 0.2𝑥− 𝑐𝑦]. (5.4) Seja a capacidade com o valor de 𝑐 = 0.01 e o ruído com o valor de 𝐴 = 0.1, integrando as Eqs. (5.3) e (5.4) com esses valores, mostramos os resultados na Fig. (5.3). Podemos perceber que o sistema converge para os pontos de equilíbrio mostrados na seção (5.1). Em cerca de 100 unidades de tempo o sistema atinge o equilíbrio, diferentemente do que ocorria sem o termo da capacidade, a capacidade fez com que um modelo instável encontrasse uma certa estabilidade, pois ainda com a capacidade os valores de presas e predadores oscilam em torno do ponto de equilíbrio, isto pode ser visto claramente no espaço de fase, Fig. (5.3b) e Fig. (5.3d), onde temos uma grande concentração de pontos ao redor de (4.5, 10). Tomando o valor para a capacidade de 𝑐 = 0.01 e para o ruído o valor de 𝐴 = 0.8, integrando as Eqs. (5.3) e (5.4) com os valores mencionados anteriormente, mostramos os resultados na Fig. (5.4). Esses resultados mostram que mesmo para um ruído de 𝐴 = 0.8 o sistema não diverge, mas em contrapartida o tamanho da amplitude de valores atingidos em torno do ponto de equilíbrio é maior, cerca de ±5 em torno do número de presas e ±2 em torno do número de predadores. Isto fica evidente nos gráficos do espaço de fase, Fig. (5.4b) e Fig. (5.4d). O próximo passo é estudar o comportamento das Eqs. (5.3) e (5.4) para uma capacidade de 𝑐 = 0.1 e ruído de 𝐴 = 0.1, os resultados estão na Fig. (5.5). 39 5.3. Periódico Podemos dizer que os resultados se repetem para um valor maior da capacidade, isto é, o sistema não diverge, vai ao equilíbrio conforme a seção (5.1). Também temos que para diversas condições iniciais o valor de presas oscila em torno do equilíbrio, assim como o valor de predadores, mostrado an Fig. (5.5c). Para um valor de capacidade de 𝑐 = 0.1 e um ruído com valor de 𝐴 = 0.8, temos os resultados mostrados na Fig. (5.6). Esses resultados nos dizem que mesmo para um ruído com o valor de 0.8 o sistema tem comportamento semelhante ao da seção (5.1), o número de predadores vai à zero e o número de presas se mantêm ao redor do ponto de equilíbrio. Notemos que por causa do ruído ser grande temos uma variação maior em torno do ponto de equilíbrio chegando a cerca de ±4 para presa, veja Fig. (5.6c). 5.3 Periódico Considerando agora um 𝛽 periódico como na Eq. (4.1), as Eqs. (4.2) e (4.3) com o termo da capacidade são 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑥(−1 + 0.1𝑦), (5.5) 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑦[𝛽0 + 𝐴 sin Ω𝑡− 0.2𝑥− 𝑐𝑦]. (5.6) Seja um valor de 𝑐 = 0.01 para a capacidade e um valor de 𝐴 = 0.1 para a amplitude, na Fig. (5.7), mostramos os resultados da integração das equações diferenciais, Eqs. (5.5) e (5.6). Nos gráficos mostrados, Fig. (5.7), vemos que os mesmos assumem caráter semel- hante ao modelo estudado no (5.1), isto é, eles tendem ao ponto de equilíbrio para as condições de Ω = 0.1Ω0 e Ω = Ω0, já para Ω = 100Ω0 vemos que o ponto de equi- líbrio se deslocou. A perturbação periódica não era tão efetiva quanto a perturbação randômica, por isso o comportamento assemelha-se ao do Modelo Lotka-Volterra, como Capítulo 5. Capacidade 40 já foi mencionado. Aumentando o tamanho do ruído para o valor de 𝐴 = 0.8 e mantendo o valor da capacidade como 𝑐 = 0.01, registramos os resultados da integração das equações diferenciais resultantes na Fig. (5.8). Devido ao valor da amplitude ser maior podemos notar com mais clareza o deslo- camento do ponto de equilíbrio para os diferentes valores de Ω, o maior efeito se dá quando Ω = 100Ω0, Fig. (5.8), pois ele passa de 4.5 para 6.5. Cosiderando agora uma capacidade de 𝑐 = 0.1 e uma amplitude de 𝐴 = 0.1, na Fig. (5.9) mostramos os resultados da solução numérica das equações diferenciais. Para as frequências de Ω = 0.1Ω0 e Ω = Ω0 vemos que o número de predadores vai a zero para diversas condições iniciais, enquanto para uma frequência de Ω = 100Ω0, diferente do esperado, o número de predadores não vai a zero, a explicação se deve ao fato do equilíbrio se deslocar tamanho suficiente para que as condições não sejam suficientes para que o número de predadores vá a zero. Ainda assim o equilíbrio das presas continua sendo em 10. Agora para um valor de amplitude de 𝐴 = 0.8 e capacidade de 𝑐 = 0.1, vejamos os resultados da solução numérica das equações diferenciais na Fig. (5.10). De acordo com os gráficos vemos que para as frequências Ω = 0.1Ω0 e Ω = Ω0 o novo valor da amplitude não altera significantemente os resultados anteriores, por outro lado, para o caso de frequência Ω = 100Ω0 temos um efeito singular, para a amplitude 𝐴 = 0.8 os predadores não morrem, mas tendem a um equilíbrio, na Fig. (5.10d) temos um aumento ao redor dos pontos de equilíbrio e percebemos que o ponto final de equilíbrio é diferente para cada condição inicial, cada cor no gráfico representa uma condição inicial. Esse fenômeno não foi observado em nenhum outro modelo estudado neste trabalho. 41 5.3. Periódico (a) 𝑥0 = 1, 𝑦0 = 10 (b) 𝑥0 = 5, 𝑦0 = 10 (c) Várias condições iniciais. Figura 5.2: Modelo Lotka-Volterra com 𝑐 = 0.1. (a)Evolução no Tempo. (b)Evolução no Tempo. (c)Espaço de fase. Capítulo 5. Capacidade 42 (a) 𝑥0 = 1, 𝑦0 = 10 (b) 𝑥0 = 1, 𝑦0 = 10 (c) 𝑥0 = 5, 𝑦0 = 10 (d) 𝑥0 = 5, 𝑦0 = 10 Figura 5.3: Modelo com perturbação randômica e 𝑐 = 0.01 e 𝐴 = 0.1. (a)Evolução no tempo. (b)Espaço de fase. (c)Evolução no tempo. (d)Espaço de fase. 43 5.3. Periódico (a) 𝑥0 = 1, 𝑦0 = 10 (b) 𝑥0 = 1, 𝑦0 = 10 (c) 𝑥0 = 5, 𝑦0 = 10 (d) 𝑥0 = 5, 𝑦0 = 10 Figura 5.4: Modelo com perturbação randômica e 𝑐 = 0.01 e 𝐴 = 0.8. (a)Evolução no tempo. (b)Espaço de fase. (c)Evolução no tempo. (d)Espaço de fase. Capítulo 5. Capacidade 44 (a) 𝑥0 = 1, 𝑦0 = 10 (b) 𝑥0 = 1, 𝑦0 = 10 (c) Várias condições iniciais. Figura 5.5: Modelo com perturbação randômica e 𝑐 = 0.1 e 𝐴 = 0.1. (a)Evolução no tempo. (b)Evolução no tempo. (c)Espaço de fase. 45 5.3. Periódico (a) 𝑥0 = 1, 𝑦0 = 10 (b) 𝑥0 = 1, 𝑦0 = 10 (c) Várias condições iniciais. Figura 5.6: Modelo com perturbação randômica e 𝑐 = 0.1 e 𝐴 = 0.8. (a)Evolução no tempo. (b)Evolução no tempo. (c)Espaço de fase. Capítulo 5. Capacidade 46 (a) Ω = 0.1Ω0 (b) Ω = Ω0 (c) Ω = 100Ω0 Figura 5.7: Modelo periódico com 𝑐 = 0.01 e 𝐴 = 0.1. (a)𝑥0 = 5, 𝑦0 = 10. (b)𝑥0 = 5, 𝑦0 = 10. (c)𝑥0 = 5, 𝑦0 = 10. 47 5.3. Periódico (a) Ω = 0.1Ω0 (b) Ω = Ω0 (c) Ω = 100Ω0 Figura 5.8: Modelo periódico com 𝑐 = 0.01 e 𝐴 = 0.8. (a)𝑥0 = 5, 𝑦0 = 10. (b)𝑥0 = 5, 𝑦0 = 10. (c)𝑥0 = 5, 𝑦0 = 10. Capítulo 5. Capacidade 48 (a) Ω = 0.1Ω0 (b) Ω = Ω0 (c) Ω = 100Ω0 Figura 5.9: Modelo periódico com 𝑐 = 0.1 e 𝐴 = 0.1. (a)Várias condições iniciais. (b)Várias condições iniciais. (c)Várias condições iniciais. 49 5.3. Periódico (a) Ω = 0.1Ω0 (b) Ω = Ω0 (c) Ω = 100Ω0 (d) Ω = 100Ω0 Figura 5.10: Modelo periódico com 𝑐 = 0.1 e 𝐴 = 0.8. (a)Várias condições iniciais. (b)Várias condições iniciais. (c)Várias condições iniciais. (d)Várias condições iniciais e com aumento ao redor dos pontos de equilíbrio. Capítulo 6 Considerações Finais Neste trabalho, conclui-se que as pertubações no crescimento da população da presa, de modo geral, afetam de forma significativa o sistema de Lotka-Volterra, que em sua forma original, é um sistema marginalmente estável, ou seja, aplicando qualquer pertur- bação, o estado inicial irá se diferenciar do estado final. Desta forma, notamos que nos capítulos onde foram aplicadas as perturbações, formam-se casos de instabilidades ou deslocamento do seu ponto de equilíbrio. Enquanto que adicionando o termo capacitivo para ambas as equações perturbadas, tem-se que é possível manipular este sistema para torná-lo estável, pois observamos que com a inclusão do termo capacitivo, não importa a condição inicial que damos ao sistema, ele sempre convergirá a um ponto. Existem parâmetros, que neste caso, são as frequências e amplitudes das perturbações que acel- eram ou retardam o tempo que o sistema Lotka-Volterra irá divergir. De forma óbvia, quanto maior for a perturbação, mais teremos os estados distantes de sua estabilidade. Para uma avaliação mais apurada de como estes parâmetros modificam o sistema, os falaremos de forma mais minuciosa abaixo: Na perturbação randômica, para duas Amplitudes diferentes do termo randômico, inseriu-se diversas quantidades para a população de predadores, mantendo a população de presas. Capítulo 6. Considerações Finais 52 ∙ Primeiro caso da Amplitude: 𝐴 ≪ 𝛽0, 𝐴 = 0.1 A instabilidade mostra-se discreta para tempos curtos, porém a medida que o tempo torna-se mais longo, mais observa-se o comportamento de um sistema caminhando para a instabilidade. ∙ Segundo caso da Amplitude: 𝐴 . 𝛽0, fazendo 𝐴 = 0.8 Para este caso, a instabilidade mostra-se para um tempo muito mais curto, o sistema em pouco tempo perde completamente a sua estabilidade. Na perturbação periódica, de forma semelhante a perturbação randômica, a avali- ação fora feita para duas Amplitudes diferentes, inserindo-se diversas quantidades e fre- quências de crescimento da população de predadores, mantendo a população de presas. Para esta perturbação, ficou evidente que a amplitude não fora tão significativa para a perturbação do sistema de Lotka-Volterra. Pois observou-se que tanto para grandes ou pequenas amplitudes, a variável que realmente afetara o sistema de forma concreta fora a frequência. Para frequências próximas ou iguais a frequência inicial, observou- se de forma quase imperceptível um pequeno deslocamento no ponto de equilíbrio, já para o caso de uma frequência muito maior que a frequência inicial, observou-se um deslocamento perceptível do ponto de equilíbrio do sistema. Introduzindo a capacidade nas equações diferenciais do Modelo Lotka-Volterra,observa- se que todas as condições iniciais convergem para um único ponto de equilíbrio. No caso em que o termo capacitivo assume um baixo valor, tanto o número de predadores como número de presas se tornam constantes. No caso em que o termo capacitivo as- sume um grande valor, o número de predadores vai a zero e o número de presas vai a uma constante. Para o caso randômico junto ao termo capacitivo, o sistema tende a se estabilizar ao redor da condição de equilíbrio do Modelo Lotka-Volterra, neste caso o amplitude do ruído determina o tamanho da variação em torno do equilíbrio. Para o caso periódico relacionado com o termo capacitivo, para baixos valores de frequência e amplitude o sistema se comporta como o Modelo Lotka-Volterra, para maiores fre- 53 quências o ponto de equilíbrio do Modelo Lotka-Volterra é deslocado. O desvio maior ocorre quando temos altas amplitudes e frequências, tanto para alto valor quanto para baixo valor capacitivo. Desta forma, este trabalho é precursor e necessário para construir as apropriadas generalizações do modelo Lotka-Volterra, e estudar assim as condições de estabilidade das novas componentes do modelo quando submetido a termos capacitivos e perturba- tivos. Referências Bibliográficas Borrelli, R. L. and Coleman, C. S. (1998). Differential Equations - A Modeling Per- spective. New York: John Wiley. Everhart, E. (1985). An efficient integrator that uses Gauss-Radau spacings. In Dy- namics of Comets: Their origin and evolution, pages 185–202. Mundo Estranho. (2003). Por que os Leminguês se atiram no mar?. http://mundoestranho.abril.com.br/materia/por-que-os-lemingues-se-atiram-no- mar, acessado dia 02/12/2012, às 13:57h Editora Abril, 2003. Haemig, P. D. (2011). Leis da Ecologia Populacional. ECOLOGIA.INFO, 23. R. E. Lagos (2003). Oscilações, Estabilidade e Sistemas Dissipativos. Apostila IGCE UNESP Rio Claro, 2003. Zill, D. G. and Cullen, M. R. (2008). Equações Diferenciais, volume 2. São Paulo: Pearson/Makron Books. Capa Folha de Rosto Ficha Catalográfica Comissão Julgadora Dedicatória Epígrafe Agradecimentos Resumo Abstract Sumário Capítulo 1 Equações Diferenciais Não-Lineares 1.1 Linearização próximo a uma solução de equilíbrio 1.2 Classificação dos pontos de equilíbrio Capítulo 2 Modelo de Lotka Volterra 2.1 História 2.2 Modelo Predador-Presa 2.3 Análise dos Pontos de Equilíbrio 2.4 Lei de Volterra 2.5 Solução Numérica Capítulo 3 Perturbação Randômica Capítulo 4 Perturbação Periódica Capítulo 5 Capacidade 5.1 Modelo Lotka-Volterra 5.2 Randômico 5.3 Periódico Capítulo 6 Considerações Finais Referências Bibliográficas