UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO” CÂMPUS DE ILHA SOLTEIRA HAROL CAMILO ZAMORA GARCIA PLANEJAMENTO DA EXPANSÃO DE SISTEMAS DE TRANSMISSÃO USANDO ESTRATÉGIA DE REDUÇÃO DE ESPAÇO DE BUSCA Ilha Solteira - SP 2025 HAROL CAMILO ZAMORA GARCIA PLANEJAMENTO DA EXPANSÃO DE SISTEMAS DE TRANSMISSÃO USANDO ESTRATÉGIA DE REDUÇÃO DE ESPAÇO DE BUSCA Dissertação apresentada à Universidade Estadual Paulista (UNESP), Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, Ilha Solteira, para a obtenção do título de Grau acadêmico de Mestre em Engenharia Elétrica. Área de Concentração: Engenharia Elétrica. Orientador: Prof. Dr. Rubén Augusto Romero Lázaro. Coorientador: Prof. Dr. Leonardo Henrique Faria Macedo Possagnolo. Ilha Solteira - SP 2025 FICHA CATALOGRÁFICA Desenvolvido pelo Serviço Técnico de Biblioteca e Documentação IMPACTO POTENCIAL DESTA PESQUISA O desenvolvimento do setor elétrico reflete o crescimento da população. Um planejamento adequado da expansão dos sistemas de transmissão garante a confiabilidade e disponibilidade do fornecimento de energia para atender à demanda presente e futura. Isso impacta diretamente no desenvolvimento tecnológico e industrial de toda a sociedade. POTENTIAL IMPACT OF THIS RESEARCH The development of the electric sector reflects population growth. Proper planning of the expansion of transmission systems ensures the reliability and availability of the energy supply to meet present and future demand. This directly impacts the technological and industrial development of the entire society. AGRADECIMENTOS Agradeço a Deus por me brindar saúde e bem-estar para tentar, a cada dia, construir uma versão melhor da minha vida. Agradeço a toda a minha família pelo apoio incondicional durante esses anos de vida, especialmente agradeço à minha querida mãe INÉS GARCIA e ao meu querido pai FIDEL ZAMORA, pela educação e todos os bons valores que me ensinaram. Agradeço ao meu orientador, Prof. Dr. Rubén Augusto Romero Lázaro, e meu coorientador, Prof. Dr. Leonardo Henrique Faria Macedo Possagnolo, por todo o apoio acadêmico e por compartilhar comigo todo o conhecimento adquirido ao longo desta etapa da minha vida. Agradeço aos meus colegas de laboratório pela boa amizade e apoio que me proporcionaram. O presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior – Brasil (CAPES) – Código de Financiamento 001 e do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq), processo 409062/2023-5. “As universidades serão o que são suas bibliotecas” (Gelfand, 1968, p. 19, tradução nossa). RESUMO O rápido aumento da demanda energética impulsiona a busca por soluções de alta qualidade e menor esforço computacional para o problema do planejamento da expansão de sistemas de transmissão. Este trabalho de pesquisa tem como objetivo principal desenvolver estratégias de redução do espaço de busca que permitam encontrar, de maneira mais rápida, as soluções ótimas ou soluções ótimas ainda não conhecidas do problema do planejamento da expansão dos sistemas de transmissão. As soluções encontradas pelos modelos matemáticos relaxados foram empregadas para criar novas estratégias de redução do espaço de busca aplicadas ao modelo DC linear disjuntivo reduzido. Os modelos de programação linear inteira mista e programação não linear inteira mista foram implementados em AMPL utilizando os solvers comerciais CPLEX e KNITRO. Os sistemas de teste utilizados foram o sistema colombiano de 93 barras e o sistema norte-nordeste de 87 barras (Planos P1 e P2). Os resultados obtidos por meio das técnicas de redução do espaço de busca permitiram encontrar as soluções ótimas para o sistema colombiano e o norte- nordeste brasileiro (Plano P1). Para o Plano P2, foram obtidas respostas de excelente qualidade anteriormente desconhecidas e foi alcançada a melhor solução conhecida para este sistema. Os resultados destacam a viabilidade e os benefícios potenciais de implementar as técnicas de redução do espaço de busca para o problema do planejamento da expansão de sistemas de transmissão. Palavras-chave: planejamento de expansão de sistemas de transmissão; técnicas de redução de espaço de busca; modelo DC linear disjuntivo reduzido. ABSTRACT The rapid increase in energy demand drives the search for high-quality solutions with lower computational effort for the problem of transmission system expansion planning. The main objective of this research is to develop strategies for reducing the search space that allows for faster identification of optimal solutions or previously unknown optimal solutions to the expansion planning problem of the transmission system. The solutions found by the relaxed mathematical models were used to create new search space reduction strategies applied to the reduced DC disjunctive linear model. The mixed-integer linear programming and mixed-integer nonlinear programming models were implemented in AMPL using the commercial solvers CPLEX and KNITRO. The test systems used were the Colombian system of 93 buses and the North-Northeast system of 87 buses (Plans P1 and P2). The results obtained through the search space reduction techniques allowed for finding optimal solutions for the Colombian system and the North-Northeast (Plan P1). For Plan P2, high-quality previously unknown responses were obtained, and the best-known solution for this system was found. The results highlight the feasibility and potential benefits of implementing search space reduction techniques for the transmission expansion planning problem. Keywords: transmission expansion planning; search space reduction techniques; reduced DC disjunctive linear model. LISTA DE FIGURAS Figura 1 – Restrição de cerca em um nó – caso 1 .................................................... 64 Figura 2 – Restrição de cerca em um nó – caso 2 .................................................... 65 Figura 3 – Restrição de cerca em um super nó......................................................... 67 Figura 4 – Resultados de custos de investimentos ................................................... 89 Figura 5 – Sistema colombiano de 93 barras .......................................................... 121 Figura 6 – Sistema norte-nordeste de 87 barras ..................................................... 122 LISTA DE TABELAS Tabela 1– Resultados do sistema colombiano – Modelo de Transportes ................. 46 Tabela 2 – Resultados do sistema norte-nordeste brasileiro Plano P1 (2002) – Modelo de Transportes .......................................................................................................... 46 Tabela 3 – Resultados do sistema norte-nordeste brasileiro Plano P2 (2008) – Modelo de Transportes .......................................................................................................... 47 Tabela 4 – Resultados do sistema colombiano – Modelo Híbrido Linear .................. 49 Tabela 5 – Resultados do sistema norte-nordeste brasileiro Plano P1 (2002) – Modelo Híbrido Linear ............................................................................................................ 50 Tabela 6 – Resultados do sistema norte-nordeste brasileiro Plano P2 (2008) – Modelo Híbrido Linear ............................................................................................................ 51 Tabela 7 – Resultados do sistema colombiano – Modelo Híbrido Não Linear .......... 52 Tabela 8 – Resultados do sistema norte-nordeste brasileiro Plano P1 (2002) – Modelo Híbrido Não Linear .................................................................................................... 53 Tabela 9 – Resultados do sistema norte-nordeste brasileiro Plano P2 (2008) – Modelo Híbrido Não Linear .................................................................................................... 54 Tabela 10 – Resumo dos custos de investimento obtidos por meio dos modelos matemáticos relaxados ............................................................................................. 56 Tabela 11 – Representação de linhas candidatas – Sistema BNS. .......................... 69 Tabela 12 – Exemplo – Informação do sistema ........................................................ 74 Tabela 13 – Resultados -Topologia Base Modificada ............................................... 74 Tabela 14 – Sistemas de Teste ................................................................................. 83 Tabela 15 – Resultados do sistema colombiano – Modelo Linear Disjuntivo ............ 84 Tabela 16 – Resultados do sistema norte-nordeste brasileiro Plano P1 (2002) – Modelo Linear Disjuntivo ........................................................................................... 84 Tabela 17 – Resultados do sistema norte-nordeste brasileiro Plano P2 (2008) – Modelo Linear Disjuntivo Reduzido ........................................................................... 86 Tabela 18 – Resultados de custos de investimento. ................................................. 88 Tabela 19 – Linhas instaladas em cada nó (Ninstk). ................................................. 90 Tabela 20 – Resultados com restrições de cerca baseadas em uma solução inicial. .................................................................................................................................. 91 Tabela 21 – Comparação de resultados - Sistema colombiano ................................ 92 Tabela 22 – Comparação de resultados - Sistema norte-nordeste brasileiro Plano P1. .................................................................................................................................. 93 Tabela 23 – Comparação de resultados - Sistema norte-nordeste brasileiro Plano P2. .................................................................................................................................. 94 Tabela 24 – Sistema colombiano – Dados de nós. ................................................. 102 Tabela 25 – Sistema colombiano – Dados de linhas ............................................... 104 Tabela 26 – Sistema norte-nordeste brasileiro Plano P1 (2002) - Dados de nós, ... 107 Tabela 27 – Sistema norte-nordeste brasileiro Plano P1 (2002) – Dados de linhas109 Tabela 28 – Sistema norte-nordeste brasileiro Plano P2 (2008) - Dados de nós .... 114 Tabela 29 – Sistema norte-nordeste brasileiro Plano P2 (2008) – dados de linhas 116 LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS AC Corrente alternada DC Corrente contínua PEST Planejamento de expansão dos sistemas de transmissão BNS Sistema numérico binário CHA Algoritmo heurístico construtivo PSO Particle Swarm Optimization MT Modelo de transportes MHL Modelo híbrido linear MHNL Modelo híbrido não linear MILP Programação Linear Mista-Inteira MINLP Programação não linear Mista-Inteira AG Algoritmo genético GRASP Greedy randomized adaptive search procedure OXDE Crossover ortogonal baseado em evolução diferencia GWO Otimizador lobo cinza MFO Otimização mariposa chama EMA Algoritmo do mercado de câmbio SCA Algoritmo seno-cosseno ICA Otimização e algoritmo imperialista competitivo GEP Planejamento da expansão da geração LISTA DE SÍMBOLOS Ω𝑏 Conjunto de barras Ω𝑙 Conjunto de linhas Ω𝑙 𝑜 Conjunto de linhas da topologia base do sistema Ω𝑟 Conjunto de caminhos onde existem linhas da topologia base Ω𝑠 Conjunto de caminhos onde não existem linhas da topologia base 𝑌 Conjunto de variáveis binárias 𝑐𝑖𝑗 Custo de implementação de novas linhas no caminho 𝑖𝑗 𝑛𝑖𝑗 Número de linhas adicionadas no caminho 𝑖𝑗 𝑓𝑖𝑗 Fluxo de potência ativa no ramo 𝑖𝑗 𝑔𝑖 Geração total de potência ativa no nó 𝑖 𝑑𝑖 Demanda total de potência ativa no nó 𝑖 𝑛𝑖𝑗 𝑜 Número de linhas da topologia base do sistema no caminho 𝑖𝑗 �̅�𝑖𝑗 Número máximo de novas linhas que podem ser instaladas 𝑓�̅�𝑗 Fluxo máximo de potência ativa de uma linha no caminho 𝑖𝑗 �̅�𝑖 Geração máxima de potência ativa no nó 𝑖 𝜃𝑖 Ângulo de fase na barra 𝑖 𝑥𝑖𝑗 Reatância do circuito 𝑖𝑗 𝑛𝑖𝑗 𝑟 Número de linhas adicionadas no caminho 𝑖𝑗 onde existem linhas da topologia base. 𝑛𝑖𝑗 𝑠 Número de linhas adicionadas no caminho 𝑖𝑗 onde não existem linhas da topologia base 𝑓𝑖𝑗 𝑟 fluxo total de potência ativa nos circuitos construídos em paralelo aos da topologia base 𝑓𝑖𝑗 𝑠 fluxo total de potência ativa nos circuitos construídos em novos caminhos onde não existem linhas da topologia base. 𝑤𝑖𝑗,𝑦 Variável binária correspondente à linha 𝑦 candidata a ser adicionada ou não no ramo 𝑖𝑗 𝑓𝑖𝑗,𝑦 Fluxo de potência que passa pela linha adicionada 𝑦 no caminho 𝑖𝑗 𝑃𝑖𝑗 𝑒𝑚𝑖 Fluxo total de potência ativa saindo da barra 𝑖 𝑃𝑖𝑗 𝑟𝑒𝑐 Fluxo total de potência ativa entrando na barra 𝑖 𝑄𝑖𝑗 𝑒𝑚𝑖 Fluxo total de potência reativa saindo da barra 𝑖 𝑄𝑖𝑗 𝑟𝑒𝑐 Fluxo total de potência reativa entrando na barra 𝑖. 𝑆�̅�𝑗 Capacidade máxima de fluxo de potência aparente pela linha 𝑖𝑗 𝑔𝑖𝑗 Condutância na linha 𝑖𝑗 𝑏𝑖𝑗 Susceptância na linha 𝑖𝑗 𝑏𝑖𝑗 𝑠ℎ Susceptância shunt na linha 𝑖𝑗 𝑉𝑖 magnitude da tensão na barra 𝑖 𝑃𝑑𝑖 demanda de potência ativa na barra 𝑖 𝑃𝑔𝑖 geração de potência ativa na barra 𝑖 𝑄𝑑𝑖 demanda de potência reativa na barra 𝑖 𝑄𝑔𝑖 geração de potência reativa na barra 𝑖 𝑃𝑔𝑖 Capacidade máxima de geração de potência ativa na barra 𝑖 𝑃 𝑔𝑖 Capacidade mínima de geração de potência ativa na barra 𝑖 𝑄𝑔𝑖 Capacidade máxima de geração de potência reativa na barra 𝑖 𝑄 𝑔𝑖 Capacidade mínima de geração de potência reativa na barra 𝑖 𝑔𝑖 𝑠ℎ Condutância shunt na barra 𝑖 𝑏𝑖 𝑠ℎ Susceptância shunt na barra 𝑖 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO ......................................................................................... 19 1.1 O PROBLEMA DE PLANEJAMENTO DA EXPANSÃO DE SISTEMAS DE TRANSMISSÃO ....................................................................................... 20 1.2 MOTIVAÇÃO ............................................................................................ 22 1.3 OBJETIVOS ............................................................................................. 23 1.3.1 Objetivo geral.......................................................................................... 23 1.3.2 Objetivos específicos ............................................................................. 23 1.4 CONTRIBUIÇÕES DO TRABALHO ......................................................... 24 1.5 ESTRUTURA DO TRABALHO ................................................................. 25 1.6 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ..................................................................... 25 1.6.1 Técnicas aproximadas de otimização .................................................. 26 1.6.1.1 HEURÍSTICAS E META-HEURÍSTICAS .................................................. 26 1.6.2 Técnicas clássicas de otimização ......................................................... 29 1.6.2.1 PROGRAMACÃO LINEAR ....................................................................... 29 1.6.2.2 PROGRAMAÇÃO LINEAR INTEIRA MISTA ............................................ 30 1.6.2.3 BRANCH AND BOUND ............................................................................ 31 1.6.2.4 DECOMPOSIÇÃO DE BENDERS ............................................................ 31 2 MODELOS MATEMÁTICOS DO PROBLEMA DE PLANEJAMENTO DA EXPANSÃO DE SISTEMAS DE TRANSMISSÃO ................................... 32 2.1 INTRODUÇÃO ......................................................................................... 32 2.2 MODELO DE TRANSPORTES ................................................................ 33 2.3 MODELO HÍBRIDO LINEAR .................................................................... 34 2.4 MODELO HÍBRIDO NÃO LINEAR ........................................................... 36 2.5 MODELO TRADICIONAL DC ................................................................... 38 2.6 MODELO LINEAR DISJUNTIVO .............................................................. 39 2.7 MODELO CA ............................................................................................ 41 3 TESTES USANDO OS MODELOS RELAXADOS .................................. 44 3.1 INTRODUÇÃO ......................................................................................... 44 3.2 SISTEMAS COLOMBIANO E NORTE-NORDESTE BRASILEIRO PLANO P1 E PLANO P2 ....................................................................................... 45 3.3 MODELO DE TRANSPORTES ................................................................ 45 3.3.1 Sistema colombiano ............................................................................... 45 3.3.2 Sistema norte-nordeste brasilero plano P1 ......................................... 46 3.3.3 Sistema norte-nordeste brasileiro plano P2 ........................................ 47 3.4 MODELO HÍBRIDO LINEAR .................................................................... 48 3.4.1 Sistema Colombiano .............................................................................. 48 3.4.2 Sistema norte-nordeste brasileiro plano P1 ........................................ 49 3.4.3 Sistema norte-nordeste brasileiro plano P2 ........................................ 51 3.5 MODELO HÍBRIDO NÃO LINEAR ........................................................... 52 3.5.1 Sistema colombiano ............................................................................... 52 3.5.2 Sistema norte-nordeste brasileiro plano P1 ........................................ 53 3.5.3 Sistema norte-nordeste brasileiro plano P2 ........................................ 54 3.6 RESUMO DOS CUSTOS DE INVESTIMENTO ....................................... 56 4 ESTRATÉGIAS DE REDUÇÃO DE ESPAÇO DE BUSCA ..................... 57 4.1 INTRODUÇÃO ......................................................................................... 57 4.2 REDUÇÃO DE VARIÁVEIS CANDIDATAS UTILIZANDO AS SOLUÇÕES ÓTIMAS DOS MODELOS RELAXADOS ................................................. 58 4.3 RESTRIÇÕES DE INVESTIMENTO ........................................................ 60 4.4 RESTRIÇÕES DE CERCA ....................................................................... 62 4.4.1 Restrição de cerca em um nó ................................................................ 62 4.4.2 Restrição de cerca em um supernó ...................................................... 66 4.5 REDUÇÃO COM BNS .............................................................................. 67 4.6 MÉTODO DE REDUÇÃO ATRAVÉS DA RELAXAÇÃO DE VARIÁVEIS . 71 4.7 RESTRIÇÕES DE CERCA BASEADAS EM UMA SOLUÇÃO INICIAL ... 79 5 TESTES USANDO A REDUÇÃO DO ESPAÇO DE BUSCA .................. 81 5.1 INTRODUÇÃO ......................................................................................... 81 5.2 SISTEMA COLOMBIANO E NORTE-NORDESTE BRASILEIRO ............ 82 5.3 MODELO DC (LINEAR DISJUNTIVO) ..................................................... 83 5.3.1 Sistema colombiano ............................................................................... 83 5.3.2 Sistema norte-nordeste brasileiro plano P1 ........................................ 84 5.4 MODELO DC (LINEAR DISJUNTIVO REDUZIDO) .................................. 86 5.4.1 Sistema norte-nordeste brasileiro plano P2 ........................................ 86 5.5 ANÁLISE E COMPARAÇÃO DE RESULTADOS ..................................... 92 6 CONCLUSÃO .......................................................................................... 96 REFERÊNCIAS ........................................................................................ 98 ANEXO A – DADOS DOS SISTEMAS DE TESTE ................................ 102 ANEXO B – SISTEMAS de TRANSMISSÃO ........................................ 121 19 1 INTRODUÇÃO O sistema de transmissão de energia elétrica constitui uma rede complexa de linhas de transmissão, subestações e equipamentos complementares. Seu propósito principal é facilitar o transporte de eletricidade das usinas geradoras até os centros consumidores. Essa infraestrutura desempenha um papel fundamental no funcionamento ótimo da rede elétrica, garantindo um fornecimento eficiente e confiável de energia elétrica à sociedade. Com o passar dos anos, à medida que a população cresce, também aumenta o consumo e a demanda por energia elétrica. Consequentemente, surge a necessidade de expandir o sistema elétrico para atender aos novos pontos de consumo. O aumento da demanda impulsiona a elaboração de um planejamento de expansão dos sistemas de transmissão (PEST), que é um processo estratégico e técnico realizado para encontrar soluções para as necessidades futuras de expansão e desenvolvimento das redes de transmissão elétrica, levando em consideração fatores como capacidade das linhas, custos de investimento e operação, e restrições técnicas e regulatórias. O planejamento da expansão de sistemas de transmissão é fundamental para antecipar, planejar e gerenciar de forma eficaz o crescimento e desenvolvimento do sistema elétrico, garantindo diversos benefícios, entre os quais podem ser mencionados os seguintes: • Garantir a confiabilidade do fornecimento de energia elétrica. • Facilitar a integração de novas fontes de energia. • Planejamento econômico e financeiro. • Melhorar a resiliência do sistema elétrico. • Promover o desenvolvimento sustentável do setor elétrico. Após adquirir uma compreensão clara do propósito do planejamento de expansão de sistemas de transmissão, surge a questão de como esse processo é executado. As respostas para essa pergunta encontram-se em técnicas clássicas e aproximadas de otimização. Essas técnicas baseiam-se em métodos simplificados que fornecem soluções tanto locais quanto globais, adaptando-se à complexidade e ao tamanho do sistema em questão. Atualmente, ao planejar a expansão de sistemas de transmissão, o principal objetivo é minimizar os custos de investimento na construção de novas linhas de transmissão. Busca-se alcançar isso sem comprometer 20 o funcionamento ótimo do sistema elétrico, assegurando um equilíbrio adequado entre a geração e o consumo de energia elétrica. 1.1 O PROBLEMA DE PLANEJAMENTO DA EXPANSÃO DE SISTEMAS DE TRANSMISSÃO O planejamento da expansão de um sistema de transmissão decide onde, quando e quais linhas de transmissão candidatas devem ser instaladas, considerando sempre o menor custo de investimento, para garantir o correto funcionamento do sistema e o abastecimento das demandas futuras. Isso cria um problema difícil de resolver por causa do elevado número de alternativas possíveis. No início dos estudos, as primeiras soluções que foram apresentadas para resolver o problema de PEST podem ser encontradas em (Garver, 1970). O autor propôs uma abordagem para otimizar a expansão dos sistemas elétricos de potência, apresentando um modelo de programação linear conhecido como o modelo de transportes, para determinar a expansão ótima da rede de transmissão elétrica, também servindo como base para o desenvolvimento de metodologias mais avançadas e sofisticadas nesse campo. Em (Kaltenbach; Peschon; Gehrig, 1970), os autores propuseram uma técnica de otimização matemática para o problema PEST, no qual consideraram aspectos como capacidades das linhas, custos de investimento e operação, e confiabilidade do sistema. Mais adiante em (Villasana; Garver; Salon, 1985), foi proposto um novo e melhor modelo matemático chamado modelo híbrido linear, em que são aplicadas técnicas de programação linear para tomar decisões fundamentais no planejamento da expansão. Este modelo híbrido linear também foi utilizado como um modelo auxiliar para implementar um algoritmo heurístico construtivo para o modelo DC. Um novo modelo foi desenvolvido em (Granville; Pereira, 1985), chamado de modelo híbrido não linear. Com este modelo matemático melhorado, consegue-se modelar de maneira mais eficaz as leis fundamentais que os sistemas elétricos devem cumprir. Nos anos de 1974 e 1975, foram publicados artigos pioneiros por diversos autores no modelo de fluxo de potência de corrente contínua (DC), onde foram realizadas aplicações do método de Newton para resolver o fluxo de potência em sistemas de transmissão elétrica usando um modelo simplificado de corrente contínua. Ao resolver o problema de planejamento da expansão de sistemas de transmissão usando o modelo DC, enfrenta-se o grande desafio de lidar com um 21 modelo não linear, o que aumenta significativamente a complexidade do problema. Portanto, em (Bahiense; Oliveira; Pereira; Granville, 2001), foi proposto um modelo linear disjuntivo, que é um modelo linear com variáveis binárias. Este modelo é derivado do modelo DC e assegura que ele pode encontrar as mesmas respostas se o parâmetro M for ajustado adequadamente, permitindo a correta linearização da segunda lei de Kirchhoff, que é a lei que torna o modelo DC não linear. Deve-se ter em mente que o novo modelo linear disjuntivo também possui suas próprias complexidades, uma vez que utiliza variáveis binárias para representar cada uma das linhas candidatas que o problema em questão pode ter. Continuando com a sequência ao longo dos anos e dos novos modelos matemáticos que representam o problema de planejamento, há um novo modelo matemático chamado modelo linear disjuntivo reduzido, o qual utiliza o conceito de sistema numérico binário (BNS). No BNS, cada variável inteira que se refere a uma linha de transmissão candidata a ser adicionada ao sistema é representada por uma combinação de variáveis binárias, o que contribui significativamente para a redução de variáveis. (Rahmani; Romero; Rider, 2013). O modelo AC, comparado com os modelos mencionados anteriormente, é um modelo que possui uma representação mais detalhada e precisa do fluxo de potência em sistemas de transmissão elétrica. Algumas das propostas e técnicas que têm ajudado a lidar com o modelo complexo AC podem ser encontradas em [(Jabr, 2013), (Farrag; Ali; Omran, 2019), (Mehrtash; Cao, 2022), (Aldik; Venkatesh, 2023), (Taylor; Hover, 2013), (Akbari; Bina, 2016), (Zhang; Gerald; Vijay; Jaime, 2013)]. Todos os modelos matemáticos mencionados anteriormente pertencem às técnicas clássicas de solução para o problema de planejamento da expansão de sistemas de transmissão, mas este problema também tem sido abordado por meio de técnicas aproximadas, como heurísticas e meta-heurísticas, que ainda hoje são utilizadas. Estas técnicas, embora não garantam a solução ótima para os problemas de planejamento, mas conseguem encontrar soluções locais de boa qualidade em menos tempo de processamento, o que é uma grande vantagem dependendo das necessidades e características do sistema de transmissão para o qual está sendo realizado o planejamento de expansão. A primeira heurística e mais conhecida é o algoritmo heurístico construtivo (CHA) apresentado em (Garver, 1970) Foi apresentado um algoritmo heurístico construtivo para o modelo de transportes com o objetivo de melhorar e otimizar o tempo de processamento e a qualidade da solução. Em (Sanchez; Romero; Mantovani; Rider, 2005), com a ajuda das heurísticas, os autores propõem uma 22 abordagem que combina o modelo DC para a representação do fluxo de potência com técnicas de programação não linear para a otimização do problema PEST. Em (De Mendonça; Junior; Marcato, 2014), utilizam uma técnica heurística chamada algoritmo de otimização por enxame de partículas, inspirada no comportamento social de pássaros e outros animais, com o objetivo de fornecer soluções para o problema PEST. Por outro lado, o uso de meta-heurísticas no problema PEST começou a ganhar popularidade nas últimas décadas do século XX. As meta-heurísticas continuam a crescer e evoluir, como evidenciado em [(Oliveira; Silva; Leonardo, W.; Mendonça; Vilaça; Saraiva, 2021),(Binato; De Oliveira; De Araujo, 2001), (Gallego; Garcés; Rahmani; Romero, 2017)], fornecendo ferramentas poderosas para abordar problemas de otimização complexos e de grande escala, complementando as técnicas de otimização clássicas. O problema de expansão de sistemas de transmissão é modelado matematicamente por meio de técnicas clássicas, que utilizam solucionadores de otimização para resolver o problema. Nas técnicas clássicas, os modelos matemáticos se tornam cada vez mais complexos quando novas restrições são consideradas, modelando de forma mais exata e detalhada o sistema elétrico e seu comportamento novo é desenvolvido, considerando que, na atualidade, o sistema elétrico também trabalha com a incorporação de sistemas de armazenamento de energia elétrica, (Aguado; Torre; Triviño, 2017), e a consideração da análise de contingências N-1, sendo este o processo pelo qual um elemento do sistema de transmissão é retirado devido a causas imprevistas [(Shahzad, 2020), (Gutiérrez; González; Gil, 2020)]. Estudos também têm sido realizados para o planejamento da expansão de sistemas de transmissão considerando a integração de fontes de energias renováveis ao sistema [(Vilaça; Saraiva; Carvalho; Dias; Leonardo, W., 2019), (Dagoumas; Koltsaklis, 2019)]. Todos esses desafios enfrentados no planejamento da expansão de sistemas de transmissão devido às mudanças tecnológicas, regulatórias, ambientais e econômicas foram estudados em (Lumbreras; Ramos, 2016), obtendo assim uma visão futura de um modelo matemático mais preciso e complexo para resolver o problema PEST. 1.2 MOTIVAÇÃO A motivação desta pesquisa deve-se à grande importância que o setor elétrico tem para o desenvolvimento sustentável da sociedade. Por isso, o sistema de 23 transmissão de energia deve estar completamente preparado para o crescimento da demanda futura. Querer ter um sistema de transmissão totalmente adaptado para o futuro representa um grande desafio, enfrentando o problema de planejamento da expansão de sistemas de transmissão, que se torna bastante complexo e requer grande esforço computacional para obter respostas satisfatórias para os grandes sistemas de transmissão. Esta dissertação surgiu com o propósito de projetar e implementar novas estratégias para a redução do espaço de busca, com o objetivo de facilitar a identificação de soluções ótimas para o planejamento da expansão de sistemas de transmissão de grande porte, cujas soluções ótimas ainda não são conhecidas. O objetivo é aplicar essas técnicas de redução e avaliar sua eficácia para encontrar os melhores resultados possíveis que ainda não foram encontrados em sistemas de transmissão de grande porte. 1.3 OBJETIVOS Os objetivos desta pesquisa podem ser definidos da seguinte forma: 1.3.1 Objetivo geral O objetivo geral desta pesquisa é analisar e propor estratégias de redução de espaço de busca que permitam fornecer soluções ótimas considerando as simplificações introduzidas no modelo matemático, para o problema de planejamento da expansão de sistemas de transmissão, para reduzir os custos de investimento das novas linhas candidatas que devem ser incorporadas à topologia básica do sistema para garantir o fornecimento da demanda futura e o perfeito funcionamento, sujeito às restrições técnicas. 1.3.2 Objetivos específicos • Realizar uma revisão bibliográfica sobre o problema de planejamento de expansão de sistemas de transmissão. 24 • Utilizando as respostas dos modelos matemáticos, Modelo de transportes (MT), modelo híbrido linear (MHL) e modelo híbrido não linear (MHNL). Realizar uma análise detalhada e estudo de suas respostas e, a partir dessa informação, realizar a redução do espaço de busca. • Criar uma restrição para o modelo matemático que permita reduzir o espaço de busca, baseando-se nas informações encontradas pelo modelo MHNL e em uma resposta local de boa qualidade encontrada pelo modelo DC. • Trabalhar com o modelo linear disjuntivo reduzido para a redução do espaço de busca por meio da combinação de variáveis binárias. • Aplicar novas restrições ao modelo matemático, chamadas de restrições de cerca, “Fence Constraints”. • Encontrar as melhores soluções a partir da metodologia proposta de relaxação das variáveis para a fixação de algumas variáveis específicas. • Através de técnicas e estratégias de redução do espaço de busca, encontrar as soluções ótimas para sistemas complexos de grande porte. 1.4 CONTRIBUIÇÕES DO TRABALHO Esta pesquisa apresenta as seguintes contribuições: • Criação de técnicas de redução de espaço de busca adequadas para o modelo matemático linear disjuntivo reduzido, com as quais são encontradas excelentes soluções de planejamento da expansão de sistemas de grande porte. • Redução do espaço de busca, que diminui o esforço computacional para encontrar a resposta ótima do sistema Norte Nordeste Brasileiro de 87 barras. • Este trabalho apresenta informações sobre novas soluções previamente desconhecidas na literatura para o sistema Norte-nordeste brasileiro, as quais podem servir como base para o desenvolvimento futuro de estratégias e técnicas matemáticas mais eficientes para a resolução do problema de planejamento da expansão de sistemas de transmissão. 25 1.5 ESTRUTURA DO TRABALHO Esta dissertação segue a seguinte estrutura: • Neste Capítulo 1, é apresentada uma introdução geral e a revisão bibliográfica. • No Capítulo 2, são apresentados e explicados detalhadamente os modelos matemáticos utilizados para resolver o problema de planejamento da expansão de sistemas de transmissão. • No Capítulo 3, são apresentados os sistemas de teste com os quais se trabalha nesta pesquisa. Da mesma forma, são apresentados os resultados desses sistemas utilizando os modelos matemáticos relaxados. • No Capítulo 4, são explicadas as diferentes técnicas de redução de espaço de busca, empregadas para resolver o problema de planejamento da expansão de sistemas de transmissão. • No Capítulo 5, são apresentados os resultados obtidos para os sistemas de testes, com o uso do modelo matemático DC e as técnicas de redução do espaço de busca. • No Capítulo 6, são apresentadas as conclusões sobre o trabalho realizado. • No Apêndice A, são presentados os dados dos sistemas testes. • No Apêndice B, são apresentados os diagramas unifilares referentes aos sistemas utilizados. 1.6 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Nesta seção é apresentada uma visão abrangente dos trabalhos anteriores relevantes na área do planejamento da expansão de sistemas de transmissão. Antes de iniciar a pesquisa, é de grande importância conhecer o estado atual do conhecimento em nossa área de trabalho. Esta análise permite identificar ideias, tendências e abordagens que foram realizadas para resolver o problema do planejamento da expansão de sistemas de transmissão. São analisadas informações encontradas em publicações de artigos, conferências e pesquisas sobre o problema de PEST. 26 1.6.1 Técnicas aproximadas de otimização As técnicas aproximadas de otimização são utilizadas para resolver problemas de otimização complexos onde encontrar a solução ótima requer um esforço computacional muito grande. Elas se caracterizam por fornecer boas soluções sem garantir a solução ótima, explorando de maneira inteligente o espaço de busca. 1.6.1.1 HEURÍSTICAS E META-HEURÍSTICAS De acordo com estudos iniciais em (Oliveira; Costa; Binato, 1995), aborda-se a importância de resolver o problema de planejamento da expansão de sistemas de transmissão de grande porte. Eles utilizaram heurísticas para encontrar soluções de boa qualidade e reduzir o esforço computacional. Basearam-se no uso de um código robusto de branch and bound de propósito geral, melhoraram a eficiência do branch and bound incorporando limites superiores no valor da solução e dando prioridades para escolher com qual variável iniciar o branch. Alguns anos depois, (De Oliveira; Silva; Pereira; Carneiro, 2005), propuseram um algoritmo de modelagem de fluxo de potência ótimo considerando perdas no sistema e utilizando a técnica de pontos interiores. Para determinar a melhor decisão de expansão, considerando as perdas, eles utilizam uma heurística que baseia seu índice de sensibilidade no uso de uma função sigmoide, a qual varia de zero a um, dependendo do número de linhas candidatas disponíveis. Em (Escobar; Gallego; Romero, 2011), os autores apresentam vários algoritmos heurísticos para modelos matemáticos, como o modelo de transporte, modelo híbrido linear e modelo DC. Por meio do uso desses algoritmos heurísticos, são criados vários grupos de topologias que geram a população inicial para aplicação de meta-heurísticas. Essas topologias possuem uma grande porcentagem dos circuitos que fazem parte da solução ótima. Com uma boa topologia inicial, eles procedem a usar um Algoritmo Genético que tem uma versão melhorada baseada no AG apresentado em (Gallego; Monticelli; Romero, 1998), com isso, obtêm-se soluções de boa qualidade para o problema de expansão de sistemas de transmissão. Em (Khorasani; Pourakbari; Romero, 2013), os autores utilizam um Algoritmo Heurístico Construtivo (CHA), que trabalha com um modelo híbrido linear que considera as duas leis de Kirchhoff para os circuitos adicionados e leva em conta 27 restrições de segurança. O funcionamento do CHA é baseado em usar um índice de sensibilidade para decidir quais linhas instalar. Com estas linhas instaladas, eles resolvem um PL e, se obtém uma solução que atenda às restrições, ordenam os circuitos adicionados em ordem decrescente de custos, os quais vão eliminando e verificando em cada eliminação se o sistema atenda as restrições. Dessa forma, eles vão reduzindo os custos da solução. Os circuitos adicionados que não foram eliminados representam a solução do CHA. Em (Gomes; Saraiva, 2015), os autores abordam o desafio do planejamento da expansão de sistemas de transmissão utilizando uma combinação de algoritmos heurísticos e meta-heurísticos. O Algoritmo Heurístico Construtivo (CHA) utilizado para analisar o espaço de busca baseia-se no critério de sensitivity criteria. Este critério corresponde a parâmetros que medem como a função objetivo muda quando uma nova linha é adicionada ao sistema. Dessa forma, o espaço de busca vai sendo reduzido. Com o espaço de busca reduzido devido ao CHA, os autores propõem um segundo passo que utiliza a meta-heurística Particle Swarm Optimization (PSO), com a qual realizam uma busca mais avançada explorando de maneira mais eficaz o espaço de soluções. Em (Poubel; De Oliveira; Manso; Honório; Oliveira, L.W., 2017) os autores utilizam um algoritmo heurístico de busca em árvore (TSHA), que trabalha de forma iterativa, relaxando as variáveis inteiras que posteriormente são arredondadas para formar uma população de soluções. Esses conjuntos das melhores soluções são utilizados como população inicial para aplicar a técnica do algoritmo genético (GA), com o objetivo de encontrar uma solução para o problema de planejamento de expansão de sistemas de transmissão multiestágio, atendendo o critério de restrições de segurança N-1. Em (Vilaça; Street; Colmenar, 2022) os autores propõem um algoritmo heurístico baseado na combinação de soluções exatas de um problema de Planejamento de Expansão de Transmissão de Programação Linear Inteira-Mista (MILP) e soluções estocásticas de algoritmos meta-heurísticos para resolver o problema TEP não linear e não convexo. Os autores usam esta heurística a um sistema de teste IEEE com 118 nós. Utilizando Computação Evolutiva para o TEP de CA enquanto, para a solução do TEP de CC, utilizaram um solver comercial, demonstrando a eficácia do enfoque proposto com seus bons resultados. 28 Em (Binato; De Oliveira; De Araujo, 2001), os autores abordam o problema de planejamento de expansão de sistemas de transmissão utilizando GRASP. Esta meta- heurística é baseada em uma amostragem iterativa composta por duas fases. Na primeira fase, chamada de construção, as variáveis são adicionadas por meio de uma função gulosa. Conseguindo encontrar um conjunto de soluções que atendam as restrições do problema. Como segunda fase do GRASP, é realizada uma busca local que se baseia em trocas de circuitos, substituindo complementos selecionados na fase de construção por outros, com o objetivo de encontrar uma solução melhor. Em (Eghbal; Saha; Hasan, 2011), os autores propõem o uso de uma técnica de otimização meta-heurística chamada Shuffled Frog Leaping Algorithm (SFLA), a qual se baseia no comportamento de uma população de sapos saltando em um pântano em busca de um local com maior quantidade de alimento disponível. Cada sapo tem um desempenho e representa as características de cada linha de transmissão candidata. Estes algoritmos classificam as populações com melhor desempenho para gerar as melhores soluções. Dessa forma, eles resolvem o problema PEST considerando em seu modelo matemático os custos de investimento, custos de congestionamento e custos de alívio de carga por causa das contingências N-1. Em (Gallego; Garcés; Rahmani; Romero, 2017) os autores propõem um Algoritmo Genético Híbrido (HGA) de alto desempenho para resolver o problema PEST. Este HGA é uma melhoria de um algoritmo genético especializado proposto em (Chu; Beasley, 1997). Portanto, o novo HGA trabalha de forma mais eficiente encontrando soluções de alta qualidade com menos esforço computacional. Os principais operadores deste algoritmo são: fase de geração de população a partir da seleção, recombinação e mutação. Fase de melhoria de inviabilidade relacionada ao desligamento de carga, fase de melhoria da qualidade, fase de critério de aceitação e fase do algoritmo Path-Relinking (PR), que busca uma solução melhor a partir de soluções conhecidas. Em (Oliveira; Silva; Leonardo, W.; Mendonça; Vilaça; Saraiva, 2021), os autores, através do uso do modelo matemático DC, propõem um algoritmo heurístico construtivo com características especiais para resolver o problema PEST. O CHA proposto é responsável por selecionar as decisões de investimento, utilizando a relaxação das variáveis inteiras de decisão através de uma função tangente hiperbólica e estabelecendo a inclinação de sua função. Além disso, no trabalho é utilizada a técnica de otimização de ponto interior primal-dual, que permite a 29 representação das não linearidades do problema, como as perdas de potência de transmissão e a função tangente hiperbólica responsável pela relaxação das variáveis. Com este CHA, os autores encontraram melhores resultados para dois sistemas de potência reais. Em (Abdi; Moradi; Lumbreras, 2021), os autores realizam um estudo comparativo de diferentes meta-heurísticas aplicadas ao planejamento de expansão de sistemas de transmissão. As comparações realizadas abordam o Algoritmo Genético (GA), Orthogonal crossover based differential evolution (OXDE), Grey wolf optimizer (GWO), moth-flame optimization (MFO), Exchange market algorithm (EMA), Sine cosine algorithm (SCA) e Optimization and imperialist competitive algorithm (ICA). Dessas meta-heurísticas, os autores realizaram uma análise comparativa do desempenho, tempo de execução, eficácia e outros critérios de desempenho ao encontrar soluções para o problema PEST. 1.6.2 Técnicas clássicas de otimização As técnicas clássicas de otimização são baseadas em princípios matemáticos e são utilizadas no campo da engenharia como uma ferramenta para oferecer soluções ao problema de planejamento da expansão de sistemas de transmissão. 1.6.2.1 PROGRAMACÃO LINEAR Em (Romero; Monticelli, 1994), os autores propõem uma abordagem de decomposição hierárquica para o planejamento da expansão de sistemas de transmissão. Esta decomposição hierárquica divide o problema PEST em três níveis: o modelo de transporte, o modelo híbrido e os modelos de fluxo de energia linearizados. O algoritmo que utilizam é o modelo de transportes como primeiro nível e, a partir das respostas encontradas, avançar para os níveis seguintes. Em (Hashimoto; Romero; Mantovani, 2003), os autores propõem uma solução para o problema PEST utilizando um algoritmo de programação linear (LP). A metodologia apresentada consiste em duas etapas principais. Na primeira etapa, reduz-se o número de variáveis e restrições de igualdade relacionadas ao balanço de fluxo de potência, eliminando os nós isolados do sistema. A partir de uma solução 30 viável conhecida, utiliza-se um novo modelo matemático de programação linear (PL) com uma função objetivo 𝑤, que busca minimizar as perdas de carga por meio da adição de geradores artificiais 𝑟. Na segunda etapa, é empregado um algoritmo dual simplex para variáveis limitadas, com o objetivo de resolver o problema resultante. Inicialmente, o problema é abordado considerando apenas a restrição de igualdade do balanço de fluxo de potência. Em seguida, as restrições de desigualdade associadas às variáveis de geração com maior grau de inviabilidade são adicionadas de forma iterativa ao modelo, reotimizando a base reduzida do método simplex a cada passo. Quando se encontra uma solução em que a perda de carga 𝑤 é igual a zero, as linhas adicionadas ao sistema para atingir essa condição constituem uma solução viável para o modelo matemático DC. 1.6.2.2 PROGRAMAÇÃO LINEAR INTEIRA MISTA Em (Meneses; Nascimento; Macedo; Romero, 2020), aborda-se o planejamento da expansão de sistemas de transmissão levando em conta a capacidade de comutação de linhas. Esta abordagem permite ajustar a configuração das linhas de transmissão para melhorar a eficiência operacional e reduzir os custos de investimento em novas linhas. Os autores apresentam para sua formulação matemática um novo modelo de programação linear inteira mista (MILP) para o problema PEST com múltiplos cenários considerando a comutação de linha. Em (Can; Antonio; Peng; Benjamin; John; Ignacio, 2022), os autores abordam o problema de Planejamento da Expansão da Geração e Transmissão (GTEP), cujo objetivo e decidir onde e quando instalar novos geradores, unidades de armazenamento e linhas de transmissão. O problema é formulado como um modelo de Programação Linear Inteira Mista (MILP). Devido à sua elevada complexidade, os autores desenvolvem abordagens de solução personalizadas baseadas em dois algoritmos. O primeiro algoritmo é utilizado para resolver o problema de planejamento da Expansão da Geração (GEP), enquanto o segundo utiliza as informações obtidas pelo primeiro algoritmo para tratar o problema completo de GTEP. 31 1.6.2.3 BRANCH AND BOUND Em (Haffner; Monticelli; Garcia; Mantovani; Romero, 2000), os autores utilizam o método de decomposição hierárquica (Hierarchical Decomposition), que consiste em dividir o problema PEST em duas etapas. Na primeira etapa, as variáveis de investimento são tratadas como contínuas, permitindo encontrar a solução ótima relaxada e formular os cortes de Benders que serão aplicados na etapa seguinte. Na segunda etapa, a integralidade das variáveis de investimento é reintroduzida no problema e é usado o algoritmo Branch and Bound para resolver o problema PEST. Além disso, são adicionados dois tipos de restrições adicionais: as chamadas restrições de novos caminhos (Constraints on New Paths) e as restrições de cerca para um nó (Fencing Constraints). Finalmente, foram utilizados os sistemas de teste de Garver de 6 nós e o sistema do sul do Brasil de 46 nós. Os resultados destacam a melhoria no esforço computacional ao aplicar essas novas restrições e ao utilizar pseudocustos para a seleção de variáveis e a divisão de ramos no algoritmo Branch and Bound. 1.6.2.4 DECOMPOSIÇÃO DE BENDERS Em (Zhan; Chung; Zare, 2017), os autores utilizam a decomposição de Benders para resolver o problema PEST em um ambiente estocástico. Como o subproblema escravo se torna um problema não linear, os autores propõem um método de linearização para este subproblema, encontrando os multiplicadores de Lagrange necessários mais rapidamente para o subproblema mestre. Além disso, os autores utilizam um algoritmo de seleção direta que permite reduzir o número de cenários e encontrar soluções mais rapidamente. Em (Alizadeh; Jadid, 2015), os autores utilizam a decomposição de Benders para enfrentar o problema da expansão de sistemas de geração e transmissão totalmente coordenados. Inicialmente, o problema foi formulado como um modelo de programação não linear inteira mista. Assim, com os subproblemas mestre e escravo de Benders, o problema é transformado em um problema de programação linear inteira mista. Eles obtiveram resultados ótimos nos sistemas de teste de 6 nós e no sistema IEEE de 30 nós. 32 2 MODELOS MATEMÁTICOS DO PROBLEMA DE PLANEJAMENTO DA EXPANSÃO DE SISTEMAS DE TRANSMISSÃO 2.1 INTRODUÇÃO Os modelos matemáticos são representações abstratas que descrevem problemas reais utilizando variáveis matemáticas, equações e desigualdades. Este capítulo foca na análise de modelos matemáticos para o problema do planejamento da expansão de sistemas de transmissão, garantindo que estejam adequadamente alinhados com as leis físicas fundamentais do sistema. O objetivo principal desses modelos é minimizar os custos de investimento em novas linhas de transmissão, considerando diversas restrições, como as leis de Kirchhoff, as capacidades dos geradores, capacidades máximas de fluxo nas linhas e o número máximo de linhas que podem ser adicionadas em um corredor. O objetivo dos modelos matemáticos é representar, de forma ótima, o problema da expansão dos sistemas de transmissão, garantindo que as soluções obtidas por diferentes técnicas de otimização, tanto aproximadas quanto clássicas, possam ser adaptadas para determinar onde, quando, quantos e quais tipos de elementos devem ser adicionados ao sistema para seu correto funcionamento presente e futuro. O modelo matemático AC é o mais preciso para representar o problema da expansão de transmissão (TEP) devido às suas características detalhadas. No entanto, sua complexidade torna difícil resolver para sistemas de grande porte. Por essa razão, o modelo DC é considerado ideal para representar o planejamento de expansão, pois suas versões relaxadas simplificam o problema. O primeiro modelo relaxado foi o modelo de transporte apresentado por Garver. Posteriormente, foram desenvolvidos o modelo híbrido linear e o modelo híbrido não linear, que podem fornecer soluções ótimas, mas não garantem ser as ideais para o problema real já que essas soluções ótimas são geralmente infactíveis para os modelos mais completos. Para abordar essa limitação, o modelo DC foi linearizado, dando origem ao modelo linear disjuntivo, que transforma o problema de programação não linear inteira mista (MINLP) em um problema de programação linear inteira mista (MILP). Este modelo utiliza variáveis binárias para representar cada linha de transmissão candidata a ser adicionada ao sistema e pode ser resolvido utilizando software comercial como o CPLEX. 33 Este capítulo apresenta detalhadamente os modelos matemáticos e está dividido nas seguintes seções. Na Seção 2.2, encontra-se o modelo de transporte. Na Seção 2.3, encontra-se o modelo Híbrido Linear. Na Seção 2.4, encontra-se o modelo Híbrido Não Linear. Na Seção 2.5, encontra-se o modelo DC tradicional. Na Seção 2.6, encontra-se o modelo linear disjuntivo. Na Seção 2.7, encontra-se o modelo AC. 2.2 MODELO DE TRANSPORTES O modelo de transporte é uma das principais abordagens utilizadas para o problema do planejamento da expansão de sistemas de transmissão. Este modelo, proposto inicialmente por (Garver, 1970), é considerado um modelo relaxado pois leva em conta apenas a primeira lei de Kirchhoff, as capacidades máximas de fluxo nas linhas, a geração máxima e o número máximo de linhas a serem instaladas em um corredor. De acordo com as restrições, o modelo se torna um problema de programação linear inteira mista (PLIM). Devido à sua simplicidade, este modelo pode encontrar soluções rapidamente, que podem ser analisadas e utilizadas para desenvolver técnicas de redução de espaço de busca aplicáveis a modelos mais complexos. 𝑀𝑖𝑛 𝑣 = ∑ 𝑐𝑖𝑗𝑛𝑖𝑗 𝑖𝑗∈Ω𝑙 (1) s.a. ∑ 𝑓𝑗𝑖 𝑗𝑖∈Ω𝑙 − ∑ 𝑓𝑖𝑗 𝑖𝑗∈Ω𝑙 + 𝑔𝑖 = 𝑑𝑖 ∀𝑖 ∈ 𝛺𝑏 (2) |𝑓𝑖𝑗| ≤ (𝑛𝑖𝑗 + 𝑛𝑖𝑗 𝑜 )𝑓�̅�𝑗 ∀𝑖𝑗 ∈ 𝛺𝑙 (3) 0 ≤ 𝑛𝑖𝑗 ≤ �̅�𝑖𝑗 ∀𝑖𝑗 ∈ 𝛺𝑙 (4) 0 ≤ 𝑔𝑖 ≤ �̅�𝑖 ∀𝑖 ∈ 𝛺𝑏 (5) 𝑛𝑖𝑗 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜 ∀𝑖𝑗 ∈ 𝛺𝑙 (6) 34 Onde 𝑣 é o investimento referente à adição de novas linhas no sistema; 𝑐𝑖𝑗 é o custo da implementação de novos circuitos no caminho 𝑖𝑗; 𝑛𝑖𝑗 refere-se ao número de linhas adicionadas no caminho 𝑖𝑗; 𝑓𝑖𝑗 representa o fluxo de potência ativa total no caminho 𝑖𝑗; 𝑔𝑖 representa a geração total no nó 𝑖; 𝑑𝑖 representa a demanda no nó 𝑖; 𝑛𝑖𝑗 𝑜 representa o número de linhas na topologia base do sistema no caminho 𝑖𝑗; �̅�𝑖𝑗 representa o número máximo de linhas candidatas que podem ser instaladas no caminho 𝑖𝑗; 𝑓�̅�𝑗 representa o valor máximo de fluxo de potência ativa de uma linha no caminho 𝑖𝑗; �̅�𝑖 é o valor máximo de geração no nó 𝑖; 𝛺𝑏 representa o conjunto de barras do sistema e 𝛺𝑙 representa o conjunto de caminhos do sistema de transmissão. A equação (1) representa o custo do investimento em novas linhas candidatas adicionadas ao sistema. A equação (2) representa a primeira lei de Kirchhoff em termos de fluxo de potência, aplicada ao sistema de transmissão. A equação (3) representa a capacidade máxima de fluxo de potência que pode ser alcançada nos caminhos do sistema. A equação (4) representa a restrição sobre o número máximo de linhas candidatas que podem ser instaladas em cada corredor. A equação (5) representa a restrição sobre a máxima geração que pode ser alcançada em cada nó do sistema e a equação (6) garante que todas as variáveis assumam valores inteiros. 2.3 MODELO HÍBRIDO LINEAR O Modelo Híbrido Linear é um modelo um pouco mais complexo em comparação com o modelo de transporte. Este modelo considera a primeira lei de Kirchhoff para todos os circuitos da topologia base e circuitos candidatos a serem instalados. A segunda lei de Kirchhoff é incorporada no modelo e aplicada apenas aos circuitos da topologia base. Neste modelo matemático, os fluxos dos circuitos da topologia base e dos circuitos candidatos são representados separadamente. 𝑀𝑖𝑛 𝑣 = ∑ 𝑐𝑖𝑗𝑛𝑖𝑗 𝑖𝑗∈Ω𝑙 (7) s.a. ∑ 𝑓𝑗𝑖 𝑗𝑖∈Ω𝑙 − ∑ 𝑓𝑖𝑗 𝑖𝑗∈Ω𝑙 + ∑ 𝑓𝑗𝑖 𝑜 𝑗𝑖∈Ω𝑙 − ∑ 𝑓𝑖𝑗 𝑜 𝑖𝑗∈Ω𝑙 + 𝑔𝑖 = 𝑑𝑖 ∀𝑖 ∈ 𝛺𝑏 (8) 35 𝑓𝑖𝑗 𝑜 = 𝑛𝑖𝑗 𝑜 𝛶𝑖𝑗(𝜃𝑖 − 𝜃𝑗) ∀𝑖𝑗 ∈ 𝛺𝑙 𝑜 (9) |𝑓𝑖𝑗 𝑜| ≤ 𝑛𝑖𝑗 𝑜 𝑓�̅�𝑗 ∀𝑖𝑗∈ 𝛺𝑙 𝑜 (10) |𝑓𝑖𝑗| ≤ 𝑛𝑖𝑗𝑓�̅�𝑗 ∀𝑖𝑗 ∈ 𝛺𝑙 (11) 0 ≤ 𝑔𝑖 ≤ �̅�𝑖 ∀𝑖 ∈ 𝛺𝑏 (12) 0 ≤ 𝑛𝑖𝑗 ≤ �̅�𝑖𝑗 ∀𝑖𝑗 ∈ 𝛺𝑙 (13) 𝑛𝑖𝑗 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜 ∀𝑖𝑗 ∈ 𝛺𝑙 (14) 𝜃𝑟𝑒𝑓 = 0 (15) Onde 𝑣 é o investimento referente à adição de novas linhas no sistema; 𝑐𝑖𝑗 é o custo da implementação de novos circuitos no caminho 𝑖𝑗; 𝑛𝑖𝑗 refere-se ao número de linhas adicionadas no caminho 𝑖𝑗; 𝑓𝑖𝑗 representa o fluxo das linhas candidatas instaladas no caminho 𝑖𝑗; 𝑓𝑖𝑗 𝑜 representa o fluxo total das linhas pertencentes à topologia base do sistema no caminho 𝑖𝑗; 𝑔𝑖 representa a geração total no nó 𝑖; 𝑑𝑖 representa a demanda no nó 𝑖; 𝑛𝑖𝑗 𝑜 representa o número de linhas da topologia base do sistema no caminho 𝑖𝑗; 𝜃𝑖 representa o ângulo de cada nó 𝑖; 𝑓�̅�𝑗 representa o valor máximo de fluxo de potência ativa de uma linha no caminho 𝑖𝑗; �̅�𝑖 é o valor máximo de geração no nó 𝑖; �̅�𝑖𝑗 é o número máximo de linhas candidatas que podem ser instaladas no caminho 𝑖𝑗; 𝛺𝑏 representa o conjunto de barras do sistema e 𝛺𝑙 representa o conjunto de linhas candidatas que podem ser adicionadas ao sistema; Ω𝑙 𝑜 representa o conjunto de linhas da topologia base do sistema. A equação (7) representa o custo do investimento em novas linhas candidatas adicionadas ao sistema. A equação (8) representa a primeira lei de Kirchhoff em termos de fluxo de potência aplicada ao sistema de transmissão. A equação (9) representa a segunda lei de Kirchhoff em termos de potência aplicada exclusivamente aos circuitos da topologia base. A equação (10) representa a limitação do fluxo máximo nas linhas da topologia base. A equação (11) representa a limitação do fluxo máximo nas linhas instaladas no sistema. A equação (12) representa a limitação da geração máxima que pode ocorrer em cada nó do sistema. A equação (13) representa 36 a limitação das linhas candidatas que podem ser instaladas em cada caminho. A equação (14) garante que todas as variáveis assumam valores inteiros, e (15) representa o valor do ângulo de referência. 2.4 MODELO HÍBRIDO NÃO LINEAR O modelo híbrido não linear é o resultado de uma mistura entre o modelo de transporte e o modelo DC. Este modelo divide as linhas totais do sistema com o objetivo de aplicar as leis de Kirchhoff de forma estratégica. • Linhas pertencentes à configuração base do sistema 𝑛𝑖𝑗 𝑜 . • Linhas candidatas adicionadas ao sistema em caminhos onde existem linhas da topologia base 𝑛𝑖𝑗 𝑟 . • Linhas candidatas adicionadas em caminhos que não possuem linhas da topologia base 𝑛𝑖𝑗 𝑠 . A primeira lei de Kirchhoff é aplicada a todos os conjuntos de linhas do sistema, enquanto a segunda lei de Kirchhoff é aplicada apenas ao conjunto de linhas pertencentes à configuração base do sistema representado por 𝑛𝑖𝑗 0 , e linhas candidatas adicionadas ao sistema em caminhos onde existem linhas da topologia base 𝑛𝑖𝑗 𝑟 . 𝑀𝑖𝑛 𝑣 = ∑ 𝑐𝑖𝑗𝑛𝑖𝑗 𝑟 + ∑ 𝑐𝑖𝑗𝑛𝑖𝑗 𝑠 𝑖𝑗∈Ω𝑠 𝑖𝑗∈Ω𝑟 (16) s.a. ∑ 𝑓𝑗𝑖 𝑠 𝑗𝑖∈Ω𝑠 − ∑ 𝑓𝑖𝑗 𝑠 𝑖𝑗∈Ω𝑠 + ∑ 𝑓𝑗𝑖 𝑟 𝑗𝑖∈Ω𝑟 − ∑ 𝑓𝑖𝑗 𝑟 𝑖𝑗∈Ω𝑟 + 𝑔𝑖 = 𝑑𝑖 ∀𝑖 ∈ 𝛺𝑏 (17) 𝑓𝑖𝑗 𝑟 = (𝑛𝑖𝑗 𝑟 + 𝑛𝑖𝑗 𝑜 )𝛶𝑖𝑗(𝜃𝑖 − 𝜃𝑗) ∀𝑖𝑗 ∈ 𝛺𝑟 (18) |𝑓𝑖𝑗 𝑟| ≤ (𝑛𝑖𝑗 𝑟 + 𝑛𝑖𝑗 𝑜 )𝑓�̅�𝑗 ∀𝑖𝑗 ∈ 𝛺𝑟 (19) |𝑓𝑖𝑗 𝑠| ≤ 𝑛𝑖𝑗 𝑠 𝑓�̅�𝑗 ∀𝑖𝑗 ∈ 𝛺𝑠 (20) 37 0 ≤ 𝑔𝑖 ≤ �̅�𝑖 ∀𝑖 ∈ 𝛺𝑏 (21) 0 ≤ 𝑛𝑖𝑗 𝑟 + 𝑛𝑖𝑗 𝑠 ≤ �̅�𝑖𝑗 ∀𝑖𝑗 ∈ 𝛺𝑙 (22) 𝑛𝑖𝑗 𝑟 e 𝑛𝑖𝑗 𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜𝑠 ∀𝑖𝑗 ∈ 𝛺𝑙 (23) 𝜃𝑟𝑒𝑓 = 0 (24) Onde 𝑣 é o investimento referente à adição de novas linhas no sistema; 𝑐𝑖𝑗 é o custo da implementação de novos circuitos no caminho 𝑖𝑗; 𝑛𝑖𝑗 𝑜 representa o número de linhas da topologia base do sistema no caminho 𝑖𝑗; 𝑛𝑖𝑗 𝑟 refere-se ao número de linhas adicionadas no caminho 𝑖𝑗 onde existem linhas da topologia base; 𝑛𝑖𝑗 𝑠 é o número de linhas adicionadas no caminho 𝑖𝑗 onde não existem linhas da topologia base; 𝑓𝑖𝑗 𝑟 é o fluxo total de potência ativa nos circuitos construídos em paralelo aos da topologia base. 𝑓𝑖𝑗 𝑠 é o fluxo total de potência ativa nos circuitos construídos em novos caminhos onde não existem linhas da topologia base; 𝑔𝑖 representa a geração total no nó 𝑖; 𝑑𝑖 representa a demanda no nó 𝑖; 𝜃𝑖 representa o ângulo de tensão em cada nó 𝑖; 𝑓�̅�𝑗 representa o valor máximo de fluxo de potência ativa de uma linha no caminho 𝑖𝑗; �̅�𝑖𝑗 é o número máximo de linhas candidatas que podem ser instaladas no caminho 𝑖𝑗; 𝛺𝑏 representa o conjunto de barras do sistema; 𝛺𝑟 representa os caminhos onde existem linhas da topologia base; 𝛺𝑠 representa os novos caminhos onde não existem linhas da topologia base. 𝛺𝑙 = 𝛺𝑟 ∪ 𝛺𝑠. A equação (16) representa o custo do investimento em novas linhas candidatas adicionadas ao sistema. A equação (17) representa a primeira lei de Kirchhoff em termos de fluxo de potência aplicada ao sistema de transmissão. A equação (18) representa a segunda lei de Kirchhoff em termos de potência aplicada exclusivamente aos conjuntos de linhas 𝑛𝑖𝑗 0 , 𝑛𝑖𝑗 𝑟 . A equação (19) representa a limitação de fluxo máximo nos conjuntos de linhas 𝑛𝑖𝑗 0 , 𝑛𝑖𝑗 𝑟 . A equação (20) representa a limitação de fluxo máximo no conjunto de linhas 𝑛𝑖𝑗 𝑠 . A equação (21) representa a limitação da geração máxima que pode ocorrer em cada nó do sistema. A equação (22) representa a limitação de linhas candidatas que podem ser instaladas em cada caminho. A equação (23) garante que todas as variáveis assumam valores inteiros e (24) é o valor do ângulo de referência. 38 2.5 MODELO TRADICIONAL DC O modelo matemático DC foi proposto como uma generalização do fluxo de carga em corrente contínua (DC). Este modelo é o que mais se aproxima do modelo de corrente alternada (CA), pois consideram as duas leis de Kirchhoff, tornando-se um modelo de Programação Não Linear Inteira Mista (PNLIM). Portanto, para resolver o problema de Planejamento de Expansão de Sistemas de Transmissão (PEST), o modelo matemático pode ser representado como segue: 𝑀𝑖𝑛 𝑣 = ∑ 𝑐𝑖𝑗𝑛𝑖𝑗 𝑖𝑗∈Ω𝑙 (25) s.a. ∑ 𝑓𝑗𝑖 𝑗𝑖∈Ω𝑙 − ∑ 𝑓𝑖𝑗 𝑖𝑗∈Ω𝑙 + 𝑔𝑖 = 𝑑𝑖 ∀𝑖 ∈ 𝛺𝑏 (26) 𝑓𝑖𝑗 = (𝑛𝑖𝑗 + 𝑛𝑖𝑗 𝑜 )𝛶𝑖𝑗(𝜃𝑖 − 𝜃𝑗) ∀𝑖𝑗 ∈ 𝛺𝑙 (27) |𝑓𝑖𝑗| ≤ (𝑛𝑖𝑗 + 𝑛𝑖𝑗 𝑜 )𝑓�̅�𝑗 ∀𝑖𝑗 ∈ 𝛺𝑙 (28) 0 ≤ 𝑔𝑖 ≤ �̅�𝑖 ∀𝑖 ∈ 𝛺𝑏 (29) 0 ≤ 𝑛𝑖𝑗 ≤ �̅�𝑖𝑗 ∀𝑖𝑗 ∈ 𝛺𝑙 (30) 𝑛𝑖𝑗 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜 ∀𝑖𝑗 ∈ 𝛺𝑙 (31) 𝜃𝑟𝑒𝑓 = 0 (32) Onde 𝑣 é o investimento relacionado à adição de novas linhas no sistema; 𝑐𝑖𝑗 é o custo da implementação de novos circuitos no caminho 𝑖𝑗; 𝑛𝑖𝑗 refere-se ao número de linhas adicionadas no caminho 𝑖𝑗; 𝑓𝑖𝑗 representa o fluxo total das linhas no caminho 𝑖𝑗; 𝑔𝑖 representa a geração total no nó 𝑖; 𝑑𝑖 representa a demanda no nó 𝑖; 𝑛𝑖𝑗 𝑜 representa o número de linhas da topologia base do sistema no caminho 𝑖𝑗; 𝑓�̅�𝑗 representa o valor máximo de fluxo de potência ativa de uma linha no caminho 𝑖𝑗; �̅�𝑖 é o valor máximo de geração no nó 𝑖; �̅�𝑖𝑗 é o número máximo de linhas candidatas 39 que podem ser instaladas no caminho 𝑖𝑗; 𝜃𝑖 representa o ângulo de cada nó; 𝛺𝑏 representa o conjunto de barras do sistema e 𝛺𝑙 representa o conjunto de caminhos do sistema de transmissão. A equação (25) representa o custo do investimento de novas linhas candidatas adicionadas ao sistema. A equação (26) representa a primeira lei de Kirchhoff em termos de fluxo de potência aplicada ao sistema de transmissão. A equação (27) representa a segunda lei de Kirchhoff em termos de potência aplicada ao sistema de transmissão. A equação (28) representa a capacidade máxima de fluxo de potência que pode ser transmitida nos caminhos do sistema. A equação (29) representa a limitação da máxima geração que pode ocorrer em cada nó do sistema. A equação (30) representa a limitação de linhas candidatas que podem ser instaladas em cada caminho. A equação (31) garante que todas as variáveis assumam valores inteiros e (32) é o valor do ângulo de referência. 2.6 MODELO LINEAR DISJUNTIVO O modelo linear disjuntivo é o resultado da linearização do modelo DC, tornando-se um modelo de Programação Linear Inteira Mista (PLIM). Isso é alcançado decompondo as variáveis inteiras em variáveis binárias e utilizando técnicas de programação disjuntiva Big-M. Neste modelo, as variáveis inteiras 𝑛𝑖𝑗 são transformadas em um conjunto 𝑌 formado por variáveis binárias 𝑤𝑖𝑗,𝑦. Este conjunto de variáveis binárias tem dimensão máxima �̅�𝑖𝑗. Quando as variáveis binárias assumem o valor de 𝑤𝑖𝑗,𝑦 = 1, isso representa que no caminho 𝑖𝑗 foi instalada uma linha 𝑦. Quando ocorre o caso contrário, 𝑤𝑖𝑗,𝑦 = 0, isso significa que não foi instalada nenhuma linha no caminho 𝑦. Outra mudança importante neste modelo é que o fluxo total 𝑓𝑖𝑗 se desmembra em variáveis tipo 𝑓𝑖𝑗,𝑦, que representa o fluxo de potência ativa de cada linha 𝑦 no caminho 𝑖𝑗. Dessa forma, o modelo Linear Disjuntivo assume o seguinte modelo matemático: 𝑀𝑖𝑛 𝑣 = ∑ 𝑐𝑖𝑗 ∑ 𝑤𝑖𝑗,𝑦 𝑦∈𝑌 𝑖𝑗∈Ω𝑙 (33) s.a. 40 ∑ (∑ 𝑓𝑗𝑖,𝑦 + 𝑓𝑗𝑖 𝑜 𝑦∈𝑌 ) 𝑗𝑖∈Ω𝑙 − ∑ (∑ 𝑓𝑖𝑗,𝑦 𝑦∈𝑌 + 𝑓𝑖𝑗,𝑦 𝑜 ) 𝑖𝑗∈Ω𝑙 + 𝑔𝑖 = 𝑑𝑖 ∀𝑖 ∈ 𝛺𝑏 (34) 𝑓𝑖𝑗 𝑜 = 𝑛𝑖𝑗 𝑜 (𝜃𝑖 − 𝜃𝑗) 𝑥𝑖𝑗 ∀𝑖𝑗 ∈ 𝛺𝑜 (35) |𝑓𝑖𝑗 𝑜| ≤ 𝑛𝑖𝑗 𝑜 𝑓�̅�𝑗 ∀𝑖𝑗 ∈ 𝛺𝑜 (36) |𝑓𝑖𝑗,𝑦𝑥𝑖𝑗 − (𝜃𝑖 − 𝜃𝑗)| ≤ 𝑀(1 − 𝑤𝑖𝑗,𝑦) ∀𝑖𝑗 ∈ 𝛺𝑙 , ∀𝑦 ∈ 𝑌 (37) |𝑓𝑖𝑗,𝑦| ≤ 𝑤𝑖𝑗,𝑦𝑓�̅�𝑗 ∀𝑖𝑗 ∈ 𝛺𝑙 , ∀𝑦 ∈ 𝑌 (38) ∑ 𝑤𝑖𝑗,𝑦 𝑦∈𝑌 ≤ �̅�𝑖𝑗 ∀𝑖𝑗 ∈ 𝛺𝑙 (39) 𝑤𝑖𝑗,𝑦 ≤ 𝑤𝑖𝑗,𝑦−1 ∀𝑖𝑗 ∈ 𝛺𝑙 , ∀𝑦 ∈ 𝑌|𝑦 > 1 (40) 0 ≤ 𝑔𝑖 ≤ �̅�𝑖 ∀𝑖 ∈ 𝛺𝑏 (41) 𝑤𝑖𝑗,𝑦 𝑏𝑖𝑛á𝑟𝑖𝑜 ∀𝑖𝑗 ∈ 𝛺𝑙 , ∀𝑦 ∈ 𝑌 (42) 𝜃𝑟𝑒𝑓 = 0 (43) Onde 𝑣 é o investimento referente à adição de novas linhas no sistema; 𝑐𝑖𝑗 é o custo da implementação de novos circuitos no caminho 𝑖𝑗; 𝑤𝑖𝑗,𝑦 é uma variável binária que vale 1 se a linha 𝑦 foi adicionada no caminho 𝑖𝑗, caso contrário, assume o valor 0; 𝑓𝑖𝑗 𝑜 representa o fluxo total das linhas pertencentes à topologia base do sistema no caminho 𝑖𝑗; 𝑓𝑖𝑗,𝑦 representa o fluxo de potência pela linha adicionada 𝑦 no caminho 𝑖𝑗; 𝑔𝑖 representa a geração total no nó 𝑖; 𝑑𝑖 representa a demanda no nó 𝑖; 𝑛𝑖𝑗 𝑜 representa o número de linhas da topologia base do sistema no caminho 𝑖𝑗; 𝜃𝑖 representa o ângulo de cada nó; 𝑓�̅�𝑗 representa o valor de fluxo máximo de potência ativa de uma linha no caminho 𝑖𝑗; 𝑀 é um parâmetro de valor grande que mantém o problema na região factível e representa o grau de liberdade da diferença angular no caminho 𝑖𝑗; �̅�𝑖𝑗 é o número máximo de linhas candidatas que podem ser instaladas no caminho 𝑖𝑗; �̅�𝑖 é o valor máximo de geração no nó 𝑖; 𝛺𝑏 representa o conjunto de barras do sistema; 𝛺𝑜 41 é o conjunto de caminhos onde existem linhas da topologia base; 𝑌 é um conjunto formado por variáveis binárias 𝑤𝑖𝑗,𝑦; 𝛺𝑙 é o conjunto de caminhos onde podem ser adicionadas novas linhas. A equação (33) representa o custo do investimento em novas linhas candidatas adicionadas ao sistema. A equação (34) representa a primeira lei de Kirchhoff em termos de fluxo de potência ativa aplicada ao sistema de transmissão. A equação (35) representa a segunda lei de Kirchhoff aplicada às linhas da topologia base. A equação (36) representa a limitação do fluxo máximo de potência ativa nas linhas da topologia base. A equação (37) representa a segunda lei de Kirchhoff utilizando o parâmetro 𝑀 para as novas linhas adicionadas nos caminhos 𝑖𝑗. A equação (38) representa a limitação do fluxo máximo de potência ativa para as novas linhas adicionadas ao sistema. A equação (39) representa o número máximo de linhas que podem ser adicionadas no caminho 𝑖𝑗. A equação (40) garante a adição sequencial de novas linhas. A equação (41) representa a limitação da máxima geração que se pode ter em cada nó do sistema. A equação (42) assegura que as variáveis sejam binárias e a equação (43) fixa o valor do ângulo de referência. 2.7 MODELO CA O modelo matemático CA é o modelo mais completo para representar o problema de planejamento da expansão de sistemas de transmissão. Suas equações são formuladas por meio dos estudos de fluxo de carga CA (Rider; Garcia; Romero, 2007). 𝑀𝑖𝑛 𝑣 = ∑ 𝑐𝑖𝑗𝑛𝑖𝑗 𝑖𝑗∈Ω𝑙 (44) s.a. 𝑃𝑔𝑖 − 𝑔𝑖 𝑠ℎ𝑉𝑖 2 − ∑ 𝑃𝑖𝑗 𝑒𝑚𝑖 − ∑ 𝑃𝑗𝑖 𝑟𝑒𝑐 = 𝑃𝑑𝑖 𝑗𝑖∈Ω𝑙 𝑖𝑗∈Ω𝑙 ∀𝑖∈ Ω𝑏 (45) 𝑄𝑔𝑖 + 𝑏𝑖 𝑠ℎ𝑉𝑖 2 − ∑ 𝑄𝑖𝑗 𝑒𝑚𝑖 − ∑ 𝑄𝑗𝑖 𝑟𝑒𝑐 = 𝑄𝑑𝑖 𝑗𝑖∈Ω𝑙𝑖𝑗∈Ω𝑙 ∀𝑖 ∈ Ω𝑏 (46) 42 𝑃𝑖𝑗 𝑒𝑚𝑖 = (𝑛𝑖𝑗 + 𝑛𝑖𝑗 𝑜 ) (𝑉𝑖 2𝑔𝑖𝑗 − 𝑉𝑖𝑉𝑗(𝑔𝑖𝑗 cos 𝜃𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 sen 𝜃𝑖𝑗)) ∀𝑖𝑗 ∈ Ω𝑙 (47) 𝑃𝑖𝑗 𝑟𝑒𝑐 = (𝑛𝑖𝑗 + 𝑛𝑖𝑗 𝑜 ) (𝑉𝑗 2𝑔𝑖𝑗 − 𝑉𝑖𝑉𝑗(𝑔𝑖𝑗 cos 𝜃𝑖𝑗 − 𝑏𝑖𝑗 sen 𝜃𝑖𝑗)) ∀𝑖𝑗 ∈ Ω𝑙 (48) 𝑄𝑖𝑗 𝑒𝑚𝑖 = (𝑛𝑖𝑗 + 𝑛𝑖𝑗 𝑜 ) (−𝑉𝑖 2(𝑏𝑖𝑗 𝑠ℎ + 𝑏𝑖𝑗) − 𝑉𝑖𝑉𝑗(𝑔𝑖𝑗 sen 𝜃𝑖𝑗 − 𝑏𝑖𝑗 cos 𝜃𝑖𝑗)) ∀𝑖𝑗∈ Ω𝑙 (49) 𝑄𝑖𝑗 𝑟𝑒𝑐 = (𝑛𝑖𝑗 + 𝑛𝑖𝑗 𝑜 ) (−𝑉𝑗 2(𝑏𝑖𝑗 𝑠ℎ + 𝑏𝑖𝑗) + 𝑉𝑖𝑉𝑗(𝑔𝑖𝑗 sen 𝜃𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 cos 𝜃𝑖𝑗)) ∀𝑖𝑗∈ Ω𝑙 (50) (𝑃𝑖𝑗 𝑒𝑚𝑖)2 + (𝑄𝑖𝑗 𝑒𝑚𝑖)2 ≤ ((𝑛𝑖𝑗 + 𝑛𝑖𝑗 𝑜 )𝑆�̅�𝑗) 2 ∀𝑖𝑗 ∈ Ω𝑙 (51) (𝑃𝑖𝑗 𝑟𝑒𝑐)2 + (𝑄𝑖𝑗 𝑟𝑒𝑐)2 ≤ ((𝑛𝑖𝑗 + 𝑛𝑖𝑗 𝑜 )𝑆�̅�𝑗) 2 ∀𝑖𝑗 ∈ Ω𝑙 (52) 𝑃𝑔𝑖 ≤ 𝑃𝑔𝑖 ≤ 𝑃𝑔𝑖 ∀𝑖 ∈ Ω𝑏 (53) 𝑄𝑔𝑖 ≤ 𝑄𝑔𝑖 ≤ 𝑄𝑔𝑖 ∀𝑖 ∈ Ω𝑏 (54) 𝑉𝑖 ≤ 𝑉𝑖 ≤ 𝑉𝑖 ∀𝑖 ∈ Ω𝑏 (55) 0 ≤ 𝑛𝑖𝑗 ≤ 𝑛𝑖𝑗 ∀𝑖𝑗 ∈ Ω𝑙 (56) 𝑛𝑖𝑗 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜 ∀𝑖𝑗 ∈ Ω𝑙 (57) 𝑃𝑖𝑗 𝑒𝑚𝑖 , 𝑃𝑖𝑗 𝑟𝑒𝑐 , 𝑄𝑖𝑗 𝑒𝑚𝑖, 𝑄𝑖𝑗 𝑟𝑒𝑐 𝑖𝑟𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑡𝑜𝑠 ∀𝑖𝑗 ∈ Ω𝑙 (58) 𝜃𝑖 𝑖𝑟𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑡𝑜 ∀𝑖 ∈ Ω𝑏 , 𝑖 ≠ 𝑟𝑒𝑓 (59) 𝜃𝑟𝑒𝑓 = 0 𝑖 = 𝑟𝑒𝑓 (60) Onde 𝑣 é o investimento referente à adição de novas linhas no sistema; 𝑐𝑖𝑗 é o custo da implementação de novos circuitos no caminho 𝑖𝑗; 𝑛𝑖𝑗 refere-se ao número de linhas adicionadas no caminho 𝑖𝑗; 𝑛𝑖𝑗 𝑜 representa o número de linhas da topologia base do sistema no caminho 𝑖𝑗; �̅�𝑖𝑗 é o número máximo de linhas candidatas que podem ser instaladas no caminho 𝑖𝑗; 𝑃𝑖𝑗 𝑒𝑚𝑖 é o fluxo total de potência ativa saindo da barra 𝑖. 𝑃𝑖𝑗 𝑟𝑒𝑐 é o fluxo total de potência ativa entrando na barra 𝑖; 𝑄𝑖𝑗 𝑒𝑚𝑖 é o fluxo total de 43 potência reativa saindo da barra 𝑖; 𝑄𝑖𝑗 𝑟𝑒𝑐 é o fluxo total de potência reativa entrando na barra 𝑖; 𝑆�̅�𝑗 é a capacidade máxima de fluxo de potência pela linha; 𝑔𝑖𝑗 é a condutância; 𝑏𝑖𝑗 é a susceptância; 𝑏𝑖𝑗 𝑠ℎ é a susceptância shunt; 𝜃𝑖 representa o ângulo das tensões em cada nó; 𝑉𝑖 é a magnitude da tensão em 𝑖; 𝑃𝑑𝑖 é a demanda de potência ativa; 𝑃𝑔𝑖 é a geração de potência ativa; 𝑄𝑑𝑖 é a demanda de potência reativa; 𝑄𝑔𝑖 é a geração de potência reativa; 𝑃𝑔𝑖, 𝑃𝑔𝑖 são as capacidades máximas e mínimas de geração de potência ativa na barra 𝑖; 𝑄𝑔𝑖 , 𝑄𝑔𝑖 são as capacidades máximas e mínimas de geração de potência reativa na barra 𝑖; 𝑔𝑖 𝑠ℎ é a condutância shunt na barra 𝑖; 𝑏𝑖 𝑠ℎ é a susceptância shunt na barra 𝑖. A equação (44) representa o custo do investimento em novas linhas candidatas adicionadas ao sistema. A equação (45) representa a primeira lei de Kirchhoff em termos de fluxo de potência ativa aplicada ao sistema de transmissão. A equação (46) representa a primeira lei de Kirchhoff em termos de fluxo de potência reativa aplicada ao sistema de transmissão. As equações (47) e (48) representam o fluxo de potência ativa saindo e entrando da barra 𝑖. As equações (49) e (50) representam o fluxo de potência reativa saindo e entrando da barra 𝑖. As equações (51) e (52) representam a limitação da capacidade máxima de transmissão de potência aparente nos circuitos. A equação (53) representa a limitação mínima e máxima de geração de potência ativa na barra 𝑖. A equação (54) representa a limitação mínima e máxima da geração de potência reativa na barra 𝑖. A equação (55) representa a limitação mínima e máxima da magnitude da tensão na barra 𝑖. A equação (56) representa a limitação máxima do número de linhas candidatas que podem ser instaladas em cada caminho 𝑖𝑗. A equação (57) define que as variáveis devem assumir valores inteiros. As equações (58) e (59) evidenciam que algumas variáveis podem ser irrestritas. A equação (60) é o valor do ângulo de referência. 44 3 TESTES USANDO OS MODELOS RELAXADOS 3.1 INTRODUÇÃO O objetivo dos testes descritos neste capítulo é analisar os resultados e o comportamento de sistemas de grande porte utilizando modelos relaxados. Esses resultados são essenciais para o planejamento da expansão de sistemas de transmissão de grande porte. Ao realizar esses testes, busca-se identificar novas estratégias e obter uma compreensão aproximada das possíveis soluções ótimas para problemas complexos com o uso de modelos mais avançados, como o modelo DC, que oferece uma modelagem mais precisa do problema PEST. Dada a importância do planejamento da expansão de sistemas de transmissão, foi realizada uma série de testes aplicados ao sistema colombiano e ao sistema Norte- Nordeste do Brasil. Para isso, foram utilizados modelos relaxados, como o modelo de transportes, o modelo híbrido linear e o modelo híbrido não linear. A partir dos resultados dos testes, é realizada uma análise detalhada do tempo de processamento, quantidade de linhas instaladas em cada um dos três modelos e caminhos onde não foram instaladas linhas pelos três modelos. Os modelos relaxados são conhecidos por encontrar soluções para problemas de grande porte, mas geralmente essas soluções ótimas não são factíveis para um modelo mais exato, pois os modelos relaxados não levam em consideração todas as restrições que fazem parte do problema original. Nesse contexto, por exemplo, o custo de expansão ótimo do modelo de transporte é menor que o custo de expansão ótimo do modelo híbrido linear, mas a solução ótima do modelo de transportes é infactível para o modelo híbrido linear. Neste documento, evidencia-se a diferença entre as soluções obtidas por meio de um modelo relaxado e as do modelo DC, para um mesmo sistema. Espera-se que os resultados desses testes sejam de grande ajuda para a formulação de novas estratégias de redução de espaço de busca aplicadas ao modelo DC em sua versão linear disjuntiva e linear disjuntiva reduzida, com o objetivo de encontrar as soluções ótimas desconhecidas para problemas de grande porte, como é o sistema Norte-Nordeste brasileiro Plano P1 e P2. Na Seção 3.2, são descritos o sistema colombiano e o sistema Norte-Nordeste brasileiro Plano P1 e P2. Na Seção 3.3, encontram-se os resultados dos sistemas com o uso do modelo de transportes. Na Seção 3.4, encontram-se os resultados dos 45 sistemas com o uso do modelo Híbrido Linear. Na Seção 3.5, encontram-se os resultados dos sistemas com o uso do modelo Híbrido Não Linear. Na Seção 3.6 encontra-se o resumo dos custos de investimento para cada sistema de teste com o uso dos modelos matemáticos relaxados. 3.2 SISTEMAS COLOMBIANO E NORTE-NORDESTE BRASILEIRO PLANO P1 E PLANO P2 O sistema colombiano possui um total de 93 barras, das quais 49 dessas barras têm geração, somando uma capacidade total de geração de 14.559 MW. Além disso, 55 dessas barras apresentam demanda, acumulando uma demanda total de 14.559 MW. O sistema inclui 155 caminhos, com a possibilidade de construir até 4 novas linhas de transmissão em cada caminho ou corredor. O sistema Norte-Nordeste brasileiro Plano P1 possui um total de 87 barras, das quais 14 têm geração, somando uma capacidade total de geração de 20.316 MW. Além disso, 29 dessas barras apresentam demanda, acumulando uma demanda total de 20.316 MW. O sistema inclui 183 caminhos, com a possibilidade de construir até 12 novas linhas de transmissão em cada caminho ou corredor. O sistema Norte-Nordeste brasileiro Plano P2 possui um total de 87 barras, das quais 14 têm geração, somando uma capacidade total de geração de 29.748 MW. Além disso, 29 dessas barras apresentam demanda, acumulando uma demanda total de 29.748 MW. O sistema inclui 183 caminhos, com a possibilidade de construir até 12 novas linhas de transmissão em cada caminho ou corredor. A modalidade de planejamento apresentado corresponde ao caso sem reprogramação da geração, onde a demanda total e a geração total são iguais e as perdas não são levadas em conta nesses modelos relaxados. Deve-se mencionar que essa modalidade de planejamento é a mais usada. 3.3 MODELO DE TRANSPORTES 3.3.1 Sistema colombiano Na Tabela 1, apresentam-se os resultados correspondentes à solução ótima para este sistema, obtida através do modelo de transportes. 46 Tabela 1– Resultados do sistema colombiano – Modelo de Transportes Caminho Nó i Nó j Linhas base 𝑛𝑖𝑗 𝑜 Linhas adicionadas 𝑛𝑖𝑗 𝑓𝑖𝑗 (MW) Custo de linha (MU$) 1 52 88 0 1 107,55 34,190 2 43 88 0 2 -407,55 39,560 3 57 81 0 1 -550,00 58,890 16 14 31 2 1 750,00 18,622 52 55 84 1 1 -1.100,00 26,658 62 55 62 1 1 1.100,00 70,988 106 19 66 1 2 900,00 9,307 147 68 86 1 1 -550,00 8,272 Custo Total (MU$) 315,354 Fonte: Produção do próprio autor. 3.3.2 Sistema norte-nordeste brasilero plano P1 Na Tabela 2, apresentam-se os resultados correspondentes à solução ótima para este sistema, obtida através do modelo de transportes. Tabela 2 – Resultados do sistema norte-nordeste brasileiro Plano P1 (2002) – Modelo de Transportes Caminho Nó i Nó j Linhas base 𝑛𝑖𝑗 𝑜 Linhas adicionadas 𝑛𝑖𝑗 𝑓𝑖𝑗 (MW) Custo de linha (MU$) 3 2 60 0 2 1.852,00 52,230 20 5 58 0 2 1.844,00 27,440 21 5 60 0 2 -1.852,00 32,130 22 5 68 0 1 -888,00 48,880 36 8 17 0 1 1.000,00 53,570 38 8 62 0 2 -2.000,00 51,560 40 9 10 1 1 1.462,00 7,340 41 10 11 1 1 2.000,00 17,390 44 11 17 1 1 2.400,00 35,078 52 13 15 0 2 2.400,00 26,770 58 14 59 0 1 542,00 20,070 59 15 16 2 2 4.192,00 24,760 63 16 44 4 3 4.192,00 8,926 67 17 18 2 2 4.557,00 21,678 69 18 50 4 6 5.699,00 8,926 74 20 21 1 1 600,00 6,960 76 20 38 2 1 -900,00 12,840 47 85 24 43 0 1 -300,00 7,510 88 25 55 0 1 -544,00 8,926 99 30 63 0 1 -236,00 7,510 108 35 51 3 1 680,00 9,625 113 40 45 1 1 -1.200,00 8,926 115 41 64 0 3 -764,00 7,510 116 42 44 2 2 -680,00 4,565 117 42 85 2 1 487,00 3,465 118 43 55 0 1 544,00 31,326 119 43 58 0 1 -844,00 38,160 122 48 49 1 3 607,00 4,895 133 54 58 0 1 -1.000,00 60,940 134 54 63 0 1 1.000,00 25,430 144 62 67 0 2 -2.000,00 55,580 147 63 64 0 1 764,00 35,480 151 67 69 0 1 -758,00 26,100 156 69 87 0 1 144,00 18,060 Custo Total (MU$) 1.194,561 Fonte: Produção do próprio autor. 3.3.3 Sistema norte-nordeste brasileiro plano P2 Na Tabela 3, apresentam-se os resultados correspondentes à solução ótima para este sistema, obtida através do modelo de transportes. Tabela 3 – Resultados do sistema norte-nordeste brasileiro Plano P2 (2008) – Modelo de Transportes Caminho Nó i Nó j Linhas base 𝑛𝑖𝑗 𝑜 Linhas adicionadas 𝑛𝑖𝑗 𝑓𝑖𝑗 (MW) Custo de linha (MU$) 1 1 2 2 1 -2.747,00 44,056 3 2 60 0 1 1.000,00 52,230 9 4 5 1 2 3.000,00 52,230 10 4 6 0 1 913,00 58,260 13 4 68 0 1 112,00 10,020 15 4 81 0 3 3.200,00 21,232 20 5 58 0 3 2.510,00 27,440 21 5 60 0 1 -1.000,00 32,130 52 13 15 0 4 4.796,00 26,770 57 14 45 0 1 542,00 28,780 59 15 16 2 4 6.819,00 24,760 63 16 44 4 6 5.819,00 8,926 65 16 61 0 1 1.000,00 16,720 48 69 18 50 4 11 8.648,00 8,926 71 18 74 0 6 -6.344,00 21,232 74 20 21 1 2 900,00 6,960 76 20 38 2 2 -1.200,00 12,840 80 22 23 1 1 254,00 9,130 82 22 58 0 2 -510,00 7,510 85 24 43 0 1 -200,00 7,510 88 25 55 0 3 -1.800,00 8,926 91 26 29 1 2 490,00 6,710 97 29 30 1 2 422,00 4,510 112 39 86 0 4 -1.000,00 7,510 113 40 45 1 2 -1.742,00 8,926 115 41 64 0 2 -435,00 7,510 116 42 44 2 1 -510,00 4,565 118 43 55 0 2 1.800,00 31,326 119 43 58 0 2 -2.000,00 38,160 122 48 49 1 2 444,00 4,895 125 49 50 1 3 -680,00 5,335 127 52 59 1 1 -1.200,00 8,926 131 53 86 0 1 1.000,00 46,870 141 61 64 0 1 435,00 23,420 142 61 85 0 2 565,00 7,510 150 67 68 0 1 -1.000,00 35,480 151 67 69 0 1 -902,00 26,100 152 67 71 0 3 3.144,00 21,232 158 71 72 0 1 3.144,00 125,253 161 72 73 0 1 3.144,00 116,253 163 73 74 0 2 6.344,00 149,253 164 73 75 0 1 -3.200,00 149,253 168 75 81 0 1 -3.200,00 131,253 Custo Total (MU$) 2.370,678 Fonte: Produção do próprio autor. 3.4 MODELO HÍBRIDO LINEAR 3.4.1 Sistema Colombiano Na Tabela 4, apresentam-se os resultados correspondentes à solução ótima para este sistema, obtida através do modelo Híbrido Linear. 49 Tabela 4 – Resultados do sistema colombiano – Modelo Híbrido Linear Caminho Nó i Nó j Linhas base 𝑛𝑖𝑗 𝑜 Linhas adicionadas 𝑛𝑖𝑗 𝑓𝑖𝑗 (MW) Custo de linha (MU$) 1 52 88 0 1 124,6467 34,19 2 43 88 0 2 -424,6467 39,56 3 57 81 0 1 -288,9118 58,89 16 14 31 2 1 473,9476 18,622 23 15 18 1 1 -805,2269 7,927 52 55 84 1 1 -1.100,00 26,658 62 55 62 1 1 1.000,4552 70,988 70 69 70 2 1 682,3931 6,202 72 9 69 2 1 -794,4526 15,747 73 60 69 2 3 1.087,7060 13,677 82 31 72 2 3 494,2572 6,317 90 19 22 1 1 400,72 11,722 92 5 6 2 1 73,2165 4,477 100 19 58 1 1 358,1831 11,722 101 27 64 1 1 -572,9280 6,777 106 19 66 1 3 821,2684 9,307 111 34 70 2 1 -862,3931 8,272 132 50 54 2 1 307,25 12,872 147 68 86 1 1 -550,00 8,272 Custo Total (MU$) 470,361 Fonte: Produção do próprio autor. 3.4.2 Sistema norte-nordeste brasileiro plano P1 Na Tabela 5, apresentam-se os resultados correspondentes à solução ótima para este sistema, obtida através do modelo Híbrido Linear. 50 Tabela 5 – Resultados do sistema norte-nordeste brasileiro Plano P1 (2002) – Modelo Híbrido Linear Caminho Nó i Nó j Linhas base 𝑛𝑖𝑗 𝑜 Linhas adicionadas 𝑛𝑖𝑗 𝑓𝑖𝑗 (MW) Custo de linha (MU$) 3 2 60 0 2 1.852,00 52,230 20 5 58 0 2 2.000,00 27,440 21 5 60 0 2 -1.852,00 32,130 22 5 68 0 1 -888,00 48,880 36 8 17 0 1 1.000,00 53,570 38 8 62 0 2 -2.000,00 51,560 40 9 10 1 1 1.406,5678 7,340 41 10 11 1 1 1.944,5678 17,390 42 11 12 1 1 1.375,6037 6,670 47 12 15 1 1 1.877,5055 31,594 48 12 17 1 1 2.400,00 30,388 51 13 14 0 1 658,00 10,690 52 13 15 0 1 1.128,2079 26,770 58 14 59 0 1 1.200,00 20,070 59 15 16 2 1 3.600,00 24,760 63 16 44 4 2 3.600,00 8,926 67 17 18 2 2 4.600,00 21,678 69 18 50 4 6 5.659,2824 8,926 72 19 20 1 1 -53,00 5,885 75 20 21 1 2 496,3423 6,435 76 20 38 2 1 -900,00 12,840 82 22 58 0 1 -190,5385 7,510 85 24 43 0 1 -217,00 7,510 88 25 55 0 1 -600,00 8,926 91 26 29 1 2 509,5482 6,710 92 26 54 0 2 -992,4615 8,926 97 29 30 1 2 462,5482 4,510 98 30 31 1 1 273,5482 4,235 105 34 41 2 2 520,00 6,215 110 36 46 2 1 -470,7065 4,235 112 39 86 0 1 -380,5877 7,510 113 40 45 1 1 -1.190,8641 8,926 118 43 55 0 1 600,00 31,326 119 43 58 0 1 -817,00 38,160 120 44 46 3 1 -594,1575 10,010 122 48 49 1 2 437,00 4,895 125 46 50 1 1 -340,00 5,335 127 52 59 1 1 -897,7506 8,926 131 53 86 0 1 980,5877 46,870 133 54 58 0 1 -992,4615 60,940 142 61 85 0 3 600,00 7,510 143 61 86 0 1 -600,00 18,060 144 62 67 0 2 -2.000,00 55,580 51 151 67 69 0 1 -758,00 26,100 156 69 87 0 1 144,00 18,060 Custo Total (MU$) 1.260,042 Fonte: Produção do próprio autor. 3.4.3 Sistema norte-nordeste brasileiro plano P2 Na Tabela 6, apresentam-se os resultados correspondentes à solução ótima para este sistema, obtida através do modelo Híbrido Linear. Tabela 6 – Resultados do sistema norte-nordeste brasileiro Plano P2 (2008) – Modelo Híbrido Linear Caminho Nó i Nó j Linhas base 𝑛𝑖𝑗 𝑜 Linhas adicionadas 𝑛𝑖𝑗 𝑓𝑖𝑗 (MW) Custo de linha (MU$) 1 1 2 2 1 -2.747,00 44,056 3 2 60 0 1 1.000,00 52,230 15 4 81 0 6 6.400,00 21,232 20 5 58 0 3 2.510,00 27,440 21 5 60 0 1 -1.000,00 32,130 22 5 68 0 1 -888,00 48,880 27 6 67 0 2 -1.969,00 55,580 48 12 17 1 1 2.366,92 30,388 51 13 14 0 1 653,76 10,690 52 13 15 0 2 2.400,00 26,770 53 13 17 0 1 1.200,00 28,780 58 14 59 0 1 1.195,7674 20,070 59 15 16 2 1 3.532,910 24,760 61 15 46 1 1 1.130,2286 8,926 63 16 44 4 6 5.732,9100 8,926 65 16 61 0 1 1.000,00 16,720 66 16 77 0 3 -3.200,00 21,232 67 17 18 2 2 4.603,4924 21,678 69 18 50 4 11 8.628,0857 8,926 71 18 74 0 3 -3.200,00 21,232 72 19 20 1 1 25,00 5,885 74 20 21 1 1 538,6537 6,960 75 20 21 1 2 505,3463 6,435 76 20 38 2 2 -1.200,00 12,840 80 22 23 1 1 254,00 9,130 82 22 58 0 2 -510,00 7,510 85 24 43 0 1 -230,00 7,510 88 25 55 0 3 -1.770,00 8,926 91 26 29 1 2 484,4611 6,710 52 95 27 53 1 1 -1.004,5942 8,926 97 29 30 1 2 416,4611 4,510 110 36 46 2 1 -493,5389 4,235 111 39 42 1 1 326,6548 6,105 112 39 86 0 3 -900,00 7,510 113 40 45 1 1 -1.199,0792 8,926 114 40 46 3 2 -538,9208 5,500 115 41 64 0 2 -467,6548 7,510 118 43 55 0 2 1.770,00 31,326 119 43 48 0 2 -2.000,00 38,160 122 48 49 1 1 274,00 4,895 125 49 50 1 4 -850,00 5,335 127 52 59 1 1 -1.169,6939 8,926 131 53 86 0 1 900,00 46,870 141 61 64 0 1 467,6548 23,420 142 61 85 0 2 532,3452 7,510 151 67 69 0 1 -727,00 26,100 156 69 87 0 1 175,00 18,060 163 73 74 0 1 3.200,00 149,253 164 73 75 0 1 -3.200,00 149,253 167 75 76 0 1 3.200,00 185,253 168 75 81 0 2 -6.400,00 131,253 171 76 77 0 1 3.200,00 149,253 Custo Total (MU$) 2.422,668 Fonte: Produção do próprio autor. 3.5 MODELO HÍBRIDO NÃO LINEAR 3.5.1 Sistema colombiano Na Tabela 7, apresentam-se os resultados correspondentes à solução ótima para este sistema, obtida através do modelo Híbrido Não Linear. Tabela 7 – Resultados do sistema colombiano – Modelo Híbrido Não Linear Caminho Nó i Nó j Linhas base 𝑛𝑖𝑗 𝑜 Linhas adicionadas 𝑛𝑖𝑗 𝑓𝑖𝑗 (MW) Custo de linha (MU$) 2 43 88 0 2 -300,00 39,560 3 57 81 0 1 -384,6725 58,890 5 27 89 0 1 -107,0685 13,270 6 74 89 0 1 107,0685 14,570 23 15 18 1 1 -620,3589 7,927 50 55 57 1 1 -884,53 46,808 53 52 55 84 1 1 -923,02 26,658 62 55 62 1 1 1.078,2117 70,988 101 27 64 1 1 -469,0224 6,777 133 62 73 1 1 1.370,7345 73,158 136 45 81 1 1 682,5087 13,270 141 19 82 1 2 1.104,8706 13,270 145 82 85 1 1 1.291,8887 89,898 147 68 86 1 1 -587,9633 8,272 Custo Total (MU$) 536,146 Fonte: Produção do próprio autor. 3.5.2 Sistema norte-nordeste brasileiro plano P1 Na Tabela 8, apresentam-se os resultados correspondentes à solução ótima para este sistema, obtida através do modelo Híbrido Não Linear. Tabela 8 – Resultados do sistema norte-nordeste brasileiro Plano P1 (2002) – Modelo Híbrido Não Linear Caminho Nó i Nó j Linhas base 𝑛𝑖𝑗 𝑜 Linhas adicionadas 𝑛𝑖𝑗 𝑓𝑖𝑗 (MW) Custo de linha (MU$) 3 2 60 0 2 2.000,00 52,230 20 5 58 0 2 1.959,920 27,440 21 5 60 0 2 -2.000,00 32,130 22 5 68 0 1 -888,00 48,880 36 8 17 0 1 998,9228 53,570 38 8 62 0 2 -1.931,33 51,560 40 9 10 1 1 1.460,000 7,340 41 10 11 1 1 1.998,000 17,390 42 11 12 1 1 1.806,975 6,670 47 12 15 1 1 2.400,00 31,594 48 12 17 1 1 2.400,00 30,388 51 13 14 0 1 658,00 10,690 52 13 15 0 1 1.200,00 26,770 58 14 59 0 1 1.200,00 20,070 59 15 16 2 2 4.296,918 24,760 63 16 44 4 4 4.296,918 8,926 67 17 18 2 2 4.560,611 21,678 69 18 50 4 6 5.651,710 8,926 75 20 21 1 2 487,469 6,435 76 20 38 2 2 -975,196 12,840 82 22 58 0 1 -78,803 7,510 85 24 43 0 1 -217,00 7,510 54 88 25 55 0 2 -783,00 8,926 95 27 53 1 1 -1.082,22 8,926 99 30 63 0 1 -300,00 7,510 108 35 51 3 1 507,157 9,625 110 36 46 2 1 -488,670 4,235 111 39 42 1 1 157,400 6,105 113 40 45 1 1 -1.167,496 8,926 115 41 64 0 2 -581,117 7,510 116 42 44 2 2 -670,599 4,565 117 42 85 2 1 487,00 3,465 118 43 55 0 1 783,00 31,326 119 43 58 0 1 -1.000,00 38,160 122 48 49 1 1 326,813 4,895 125 49 50 1 2 -450,186 5,335 127 52 59 1 1 -814,511 8,926 133 54 58 0 1 -881,1173 60,940 134 54 63 0 1 881,1173 25,430 144 62 67 0 2 -1.931,33 55,580 147 63 64 0 1 581,1173 35,480 151 67 69 0 1 -689,3328 26,100 156 69 87 0 1 212,6672 18,060 Custo Total (MU$) 1.277,729 Fonte: Produção do próprio autor. 3.5.3 Sistema norte-nordeste brasileiro plano P2 Na Tabela 9, apresentam-se os resultados correspondentes à solução ótima para este sistema, obtida através do modelo Híbrido Não Linear. Tabela 9 – Resultados do sistema norte-nordeste brasileiro Plano P2 (2008) – Modelo Híbrido Não Linear Caminho Nó i Nó j Linhas base 𝑛𝑖𝑗 𝑜 Linhas adicionadas 𝑛𝑖𝑗 𝑓𝑖𝑗 (MW) Custo de linha (MU$) 1 1 2 2 1 -2.747,00 44,056 3 2 60 0 1 927,546 52,230 9 4 5 1 1 2.000,00 52,230 10 4 6 0 2 2.000,00 58,260 13 4 68 0 1 112,00 10,020 15 4 81 0 3 3.185,453 21,232 20 5 58 0 3 2.600,00 27,440 21 5 60 0 1 -927,546 32,130 55 47 12 15 1 1 2.250,600 31,594 51 13 14 0 1 429,538 10,690 52 13 15 0 4 4.738,514 26,770 58 14 59 0 1 971,538 20,070 59 15 16 2 4 6.914,647 24,760 61 15 46 1 1 1.118,592 8,926 63 16 44 4 6 5.914,647 8,926 65 16 61 0 1 1.000,00 16,720 69 18 50 4 11 8.724,917 8,926 71 18 74 0 6 -6.329,453 21,232 74 20 21 1 2 714,145 6,960 75 20 21 1 1 329,854 6,435 76 20 38 2 2 -1.200,00 12,840 80 22 23 1 1 339,9317 9,130 82 22 58 0 2 -600,00 7,510 83 23 24 1 1 255,9317 9,900 85 24 43 0 1 -144,068 7,510 88 25 55 0 4 -1.855,931 8,926 91 26 29 1 2 473,2324 6,710 95 27 53 1 1 -973,3181 8,926 97 29 30 1 2 405,2324 4,510 110 36 46 2 1 -467,1915 4,235 112 39 86 0 3 -767,5762 7,510 113 40 45 1 1 -1.200,00 8,926 114 40 46 3 1 -538,00 5,500 115 41 64 0 2 -481,00 7,510 116 42 44 2 1 -510,00 4,565 118 43 55 0 2 1.855,931 31,326 119 43 58 0 2 -2.000,00 38,160 122 48 49 1 1 283,8524 4,895 125 49 50 1 4 -840,1746 5,335 127 52 59 1 1 -1.111,250 8,926 131 53 86 0 1 767,5762 46,870 141 61 64 0 1 481,0000 23,420 142 61 85 0 2 519,0000 7,510 150 67 68 0 1 -1.000,00 35,480 151 67 69 0 1 -902,00 26,100 152 67 71 0 3 3.144,00 21,232 158 71 72 0 1 3.144,00 125,253 161 72 73 0 1 3.144,00 116,253 163 73 74 0 2 6.329,453 149,253 164 73 75 0 1 -3.185,453 149,253 168 75 81 0 1 -3.185,453 131,253 Custo Total (MU$) 2.447,134 Fonte: Produção do próprio autor. 56 3.6 RESUMO DOS CUSTOS DE INVESTIMENTO Na Tabela 10, apresenta-se um resumo dos diferentes custos de investimento, expressos em milhões de dólares (MU$), para as novas linhas adicionadas aos sistemas teste, utilizando os três modelos matemáticos relaxados, MT, MHL, MHNL. Os resultados foram obtidos utilizando AMPL e os solvers CPLEX e KNITRO, executados em uma máquina equipada com um processador Intel(R) Core(TM) i7 de 3,6 GHz e 16 GB de memória RAM. Tabela 10 – Resumo dos custos de investimento obtidos por meio dos modelos matemáticos relaxados Modelo Matemático Sistemas de Teste Colombiano Norte-nordeste brasileiro P1 P2 Custo (MU$) Tempo (s) Custo (MU$) Tempo (s) Custo (MU$) Tempo (s) Transportes 315,354 0,08 1.194,561 5,19 2.370,678 135,48 Híbrido linear 470,361 0,95 1.260,042 105,66 2.422,668 1.072,56 Híbrido não linear 536,146 15,06 1.277,729 2.640 2.447,134 16.656,15 Fonte: Produção do próprio autor. Como pode ser observado, de acordo com a propriedade de relaxação em otimização matemática, o custo de investimento e os tempos de execução obtidos pelo modelo de transporte são consideravelmente menores comparados com os usados pelos modelos híbrido linear e híbrido não linear. Isso sugere que, à medida que o modelo matemático representa o problema de planejamento com maior precisão, é necessário um maior esforço computacional para alcançar a solução ótima. Segundo os resultados apresentados na Tabela 10, as soluções ótimas obtidas pelos modelos relaxados são encontradas em um menor período de tempo. Aproveitando esse recurso, essas soluções são utilizadas como uma ferramenta chave no desenvolvimento de técnicas e estratégias para a redução do espaço de busca, aplicadas ao modelo DC, com o objetivo de encontrar soluções ótimas para sistemas de elevada complexidade. 57 4 ESTRATÉGIAS DE REDUÇÃO DE ESPAÇO DE BUSCA 4.1 INTRODUÇÃO O desafio de resolver o problema de planejamento da expansão de sistemas de transmissão para sistemas de grande porte é extremamente complexo devido à grande quantidade de variáveis e restrições envolvidas. Por essa razão, surgiu a necessidade de desenvolver novas estratégias que reduzam a dimensão do problema, garantindo ao mesmo tempo a preservação da solução ótima. A implementação dessas novas estratégias é crucial, uma vez que as técnicas clássicas de otimização aproximada ainda não conseguiram encontrar a solução ótima para sistemas de grande porte e de elevada complexidade. Portanto, esta pesquisa tem como objetivo utilizar técnicas clássicas de otimização combinadas com técnicas de redução de espaço de busca construídas a partir das soluções ótimas dos modelos relaxados, para encontrar e garantir a solução ótima do problema. A visão de longo prazo desta pesquisa é que essas estratégias possam ser adequadamente adaptadas aos modelos matemáticos para ajudar a encontrar soluções ótimas de planejamento para futuros sistemas. Dessa forma, busca-se gerar um impacto positivo ao reduzir o custo de investimento em novas linhas de transmissão necessárias para o correto funcionamento do sistema, alcançando isso em menos tempo e com menor esforço computacional. O objetivo específico de utilizar técnicas de redução de espaço de busca é encontrar as soluções ótimas para o sistema Norte-Nordeste brasileiro Plano P1 (2002) e Plano P2 (2008). Devido ao Plano P2 ser um sistema muito mais complexo que o Plano P1, é necessário aplicar todas as técnicas de redução de espaço de busca para intentar encontrar a solução ótima. Enquanto para o Plano P1, não é necessário usar todas as técnicas de redução para encontrar sua solução ótima. Algumas das técnicas de redução de espaço de busca desta pesquisa são baseadas nas respostas encontradas para o mesmo sistema por meio dos modelos relaxados, como o modelo de transporte, híbrido linear e híbrido não linear. Isso permite formular novas restrições que são adequadamente adaptadas ao modelo DC em sua versão linear disjuntiva e linear disjuntiva reduzida. Essas restrições são chamadas de restrições substitutas (surrogate constraints). Com o uso dessas 58 técnicas, o número de variáveis e o número de restrições associadas a elas são consideravelmente reduzidos. Este capítulo está dividido em várias seções, cada uma descrevendo detalhadamente as técnicas de redução de espaço de busca implementadas. Na Seção 4.2, está a redução das variáveis candidatas utilizando as soluções ótimas dos modelos relaxados. Na Seção 4.3, estão as restrições de investimento. Na Seção 4.4, estão as restrições de cerca aplicada a um nó e a um supernó. Na Seção 4.5, está a redução de variáveis binárias com BNS. Na Seção 4.6, está o método de redução através da relaxação de variáveis. Na Seção 4.7, estão as restrições de cerca baseadas em uma solução inicial. 4.2 REDUÇÃO DE VARIÁVEIS CANDIDATAS UTILIZANDO AS SOLUÇÕES ÓTIMAS DOS MODELOS RELAXADOS Esta estratégia de redução de variáveis candidatas baseia-se no uso das informações dos valores ótimos das variáveis de decisão 𝑛𝑖𝑗 encontrados pelos modelos relaxados, como o modelo de transporte 𝑛𝑖𝑗 𝑇 , o modelo híbrido linear 𝑛𝑖𝑗 𝐻𝐿 e o modelo híbrido não linear 𝑛𝑖𝑗 𝐻𝑁𝐿. Além disso, considera-se a resposta das variáveis das melhores soluções conhecidas pelo modelo DC, 𝑛𝑖𝑗 𝐷𝐶. Com essas soluções conhecidas, é possível diminuir o número máximo de variáveis correspondentes às linhas de transmissão candidatas. Portanto, considera-se a seguinte relação: 𝑛𝑖𝑗 𝑐𝑜𝑛 = 𝑚𝑎𝑥{𝑛𝑖𝑗 𝑇 , 𝑛𝑖𝑗 𝐻𝐿 , 𝑛𝑖𝑗 𝐻𝑁𝐿 , 𝑛𝑖𝑗 𝐷𝐶} (61) Onde: • {𝑛𝑖𝑗 𝑇 , 𝑛𝑖𝑗 𝐻𝐿 , 𝑛𝑖𝑗 𝐻𝑁𝐿 , 𝑛𝑖𝑗 𝐷𝐶} representa a lista das respostas de linhas instaladas para cada caminho 𝑛𝑖𝑗 através dos modelos relaxados. • 𝑚𝑎𝑥{𝑛𝑖𝑗 𝑇 , 𝑛𝑖𝑗 𝐻𝐿 , 𝑛𝑖𝑗 𝐻𝑁𝐿 , 𝑛𝑖𝑗 𝐷𝐶} é o valor máximo desta lista. • 𝑛𝑖𝑗 𝑐𝑜𝑛 é o valor conhecido das linhas candidatas para cada caminho. De acordo com o exposto, pode-se considerar que a seguinte restrição atribuirá de forma estratégica o valor máximo das linhas candidatas que cada caminho do sistema deve ter. 59 �̅�𝑖𝑗 𝑚𝑎𝑥 = { 1 𝑠𝑒 𝑛𝑖𝑗 𝑐𝑜𝑛 = 0 𝑛𝑖𝑗 𝑐𝑜𝑛 + 1 𝑠𝑒 𝑛𝑖𝑗 𝑐𝑜𝑛 ≥ 1 (62) Onde: • 𝑛𝑖𝑗 𝑐𝑜𝑛 é o valor conhecido das linhas candidatas para cada caminho. • �̅�𝑖𝑗 𝑚𝑎𝑥 é o valor máximo das linhas candidatas que cada caminho do sistema deve ter. A restrição anterior permite reduzir o número de variáveis do problema, reduzindo assim o esforço computacional e a lacuna existente entre o modelo original e o modelo relaxado. Além disso, tem-se a vantagem de que, para cada variável que é reduzida, também se reduz o número de restrições do modelo matemático. Supon