UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA �JÚLIO DE MESQUITA FILHO� Campus de Presidente Prudente Programa de Mestrado Pro�ssional em Matemática em Rede Nacional (PROFMAT) Motivações para o Ensino dos Números Complexos Jocimar Montanha Orientador Prof. Dr. José Roberto Nogueira 2017 UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA �JÚLIO DE MESQUITA FILHO� Campus de Presidente Prudente Programa de Mestrado Pro�ssional em Matemática em Rede Nacional (PROFMAT) Motivações para o Ensino dos Números Complexos Jocimar Montanha Dissertação apresentada como parte dos re- quisitos para obtenção do título de Mestre, junto ao programa de Mestrado Pro�ssional em Matemática em Rede Nacional da Facul- dade de Ciências e Tecnologia da Universi- dade Estadual Paulista �Júlio de Mesquita Fi- lho�, Campus de Presidente Prudente. Orientador Prof. Dr. José Roberto Nogueira 2017 Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca do IBILCE UNESP - Câmpus de São José do Rio Preto Montanha, Jocimar. Motivações para o ensino dos números complexos / Jocimar Montanha. -- São José do Rio Preto, 2017 79 f. : il., gráfs. Orientador: José Roberto Nogueira Dissertação (mestrado profissional) – Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas 1. Matemática - Estudo e ensino. 2. Números complexos - Estudo e ensino. 3. Transformações (Matemática) 4. Álgebra. 5. Equações. 6. Tecnologia educacional. 7. Ensino auxiliado por computador. I. Universidade Estadual Paulista "Júlio de Mesquita Filho". Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas. II. Título. CDU – 511.2:513.75 TERMO DE APROVAÇÃO Jocimar Montanha Motivações para o Ensino dos Números Complexos Dissertação aprovada como requisito parcial para a obtenção do grau de Mestre no Curso de Pós-Graduação Mestrado Pro�ssional em Matemática em Rede Nacional da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Estadual Paulista �Júlio de Mesquita Filho�, pela seguinte banca examina- dora: Prof. Dr. José Roberto Nogueira FCT/UNESP - Campus de Presidente Prudente Orientador Profa. Dra. Marluce da Cruz Scarabello Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE) - São José dos Campos Prof. Dr. Suetônio de Almeida Meira FCT/UNESP - Presidente Prudente Presidente Prudente, 03 de fevereiro de 2017 Dedico este trabalho primeiramente a Deus, por ser essencial em minha vida, autor de meu destino, meu guia, socorro presente na hora da angústia, aos meus pais, irmãos, minha esposa Karina Montanha, e a todos aqueles que de alguma forma estiveram e estão próximos de mim, fazendo esta vida valer cada vez mais a pena. Agradecimentos A realização do presente curso foi possível devido à colaboração de muitas pessoas que me auxiliaram durante suas etapas. Manifesto assim minha gratidão: Primeiramente, a Deus sobre todas as coisas, por me proporcionar forças nas horas mais difíceis, por sempre me ajudar a não desistir dessa longa caminhada, e por sempre me acompanhar durante a execução de minhas tarefas. Aos meus pais, Benedito Montanha e Joanita de Souza Montanha, que souberam me educar e sempre acreditaram que o maior investimento de um homem é seu caráter e sua formação. À minha querida esposa, Karina Souza Alves Montanha, pelo amor, por me apoiar, incentivar e por estar sempre junto a mim. Aos meus irmãos, sogros e cunhados, pelo apoio, incentivo e compreensão. A todos os colegas do mestrado pelo companherismo. A todos os meus professores do PROFMAT, por contribuírem na minha formação e darem importantes sugestões para a minha formação. Ao professor orientador Dr. José Roberto Nogueira, pela dedicação e condução de todo o processo de elaboração e de execução deste trabalho. E �nalmente à CAPES e à SBM, pelo apoio �nanceiro e pela oportunidade de proporcionar a nós, professores da rede pública de ensino, este curso de Mestrado. A Matemática apresenta invenções tão sutis que poderão servir não só para satisfazer os curiosos como, também para auxiliar as artes e poupar trabalho aos homens. Descartes Resumo Este trabalho tem por objetivo principal apresentar uma sugestão de como intro- duzir e contextualizar os conceitos de números complexos, utilizando como motivações áudios, vídeos e software, além de outras atividades complementares sugeridas. Os áudios tratam dos números complexos através de uma história livremente inspirada no livro O Médico e o Monstro, do escritor escocês Robert Louis Stevenson. Os vídeos mostram uma maneira divertida e curiosa de olhar para os números complexos contando um pouco sobre sua história. O software tem a �nalidade de estudar as transformações geométricas no plano (translação, rotação, dilatação e contração), utilizando os concei- tos e operações de números complexos, propriedades e características geométricas. Este material faz parte da coleção M3 - Matemática Multimídia da Universidade Estadual de Campinas, e serviu como base para organizarmos o nosso trabalho. Outro software utilizado é o "GeoGebra" que servirá de suporte para a realização das soluções das demais atividades sugeridas. Palavras-chave: números complexos, números imaginários, TICs no ensino, transfor- mações geométricas, equações algébricas. Abstract This work has as main objective to present a suggestion of how to introduce and contextualize the concepts of complex numbers, using as motivation audios, videos and software, and other complementary activities suggested. Audios deal with complex numbers through a story loosely inspired by the book The Doctor and Monster, the Scottish writer Robert Louis Stevenson. The videos show a fun and funny way to look at the complex numbers telling a little about their history. The software aims to study the geometric transformations in the plane (translation, rotation, expansion and contraction), using the concepts and operations of complex numbers, geometric pro- perties and characteristics. This material is part of the M3 - Multimedia Mathematics collection of the State University of Campinas, and served as a basis for organizing our work. Another software used is "GeoGebra" that will be used to support the solutions of the other suggested activities. Keywords: complex numbers, imaginary numbers, ICT in education, geometric trans- formations, algebraic equations. Lista de Figuras 2.1 Bhaskara (1114− 1185) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Girolamo Cardano e Niccolo Fontana Tartaglia . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3 Raphael Bombelli (1526− 1572) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.4 Pierre de Fermat (1601− 1665) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.5 René Descartes (1596− 1650) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.6 Abraham de Moivre (1667− 1754) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.7 Leonhard Euler (1707− 1783) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.8 Carl Friedrich Gauss (1777− 1855) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.9 Jean-Robert Argand (1768− 1822) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.1 Representação Geométrica de um Número Complexo . . . . . . . . . . 28 3.2 Soma Vetorial dos vetores z1 e z2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.3 Diferença Vetorial dos vetores z1 e z2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.4 Conjugado de z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.5 Representação Polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.1 Imagem da página inicial do site M3 - Matemática Multimídia . . . . . 34 4.2 Imagens do vídeo Um sonho complexo: Hans e Hydyll . . . . . . . . . . 36 4.3 Imagens do vídeo Um sonho complexo: Representação de um número complexo e equação com raiz quadrada de -1 . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.4 Imagens do vídeo Um sonho complexo: Utilidade dos números complexos 36 4.5 Imagens do vídeo O sonho não acabou: Hans, Morfeu e a Fórmula de De Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.6 Imagens do vídeo O sonho não acabou: Morfeu . . . . . . . . . . . . . 37 4.7 Imagens do vídeo O sonho Continua: Morfeu e os conjuntos numéricos 38 4.8 Imagens do vídeo O sonho Continua: Fórmula de Euler . . . . . . . . . 38 4.9 Página para iniciar o software Movimentos Complexos . . . . . . . . . . 39 4.10 Imagem da página para iniciar o software Movimentos Complexos . . . 40 4.11 Página de introdução às atividades do Software . . . . . . . . . . . . . 40 4.12 Mapa de atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.13 Cabeçalho da página da atividade de apresentação - parte1 . . . . . . . 42 4.14 Imagem da questão 1 da atividade de apresentação . . . . . . . . . . . 42 4.15 Imagem da questão 2 da atividade de apresentação . . . . . . . . . . . 43 4.16 Imagem da questão 3 da atividade de apresentação . . . . . . . . . . . 43 4.17 Imagem da questão 4 da atividade de apresentação . . . . . . . . . . . 43 4.18 Imagem da questão 5 da atividade de apresentação . . . . . . . . . . . 44 4.19 Cabeçalho da página da atividade de rotação - parte2 . . . . . . . . . . 45 4.20 Imagem da questão 6 da atividade de rotação . . . . . . . . . . . . . . 45 4.21 Imagem da questão 7 da atividade de rotação . . . . . . . . . . . . . . 46 4.22 Imagem da questão 8 da atividade de rotação . . . . . . . . . . . . . . 47 4.23 Cabeçalho da página da atividade de dilatação - parte3 . . . . . . . . . 47 4.24 Imagem da questão 9(A e B) da atividade de dilatação . . . . . . . . . 48 4.25 Imagem da questão 9(C e D) da atividade de dilatação . . . . . . . . . 49 4.26 Cabeçalho da página da atividade de rotação e dilatação - parte4 . . . 50 4.27 Imagem da questão 10(A e B) da atividade de rotação e dilatação . . . 51 4.28 Imagem da questão 10(C e D) da atividade de rotação e dilatação . . . 51 4.29 Cabeçalho da página da atividade de translação - parte5 . . . . . . . . 52 4.30 Imagem da questão 11 da atividade de translação . . . . . . . . . . . . 53 4.31 Imagem da questão 12 da atividade de translação . . . . . . . . . . . . 54 4.32 Cabeçalho da página da atividade Mãos a obra! - parte6 . . . . . . . . 55 4.33 Imagem da questão 13 da atividade Mãos a obra! . . . . . . . . . . . . 56 4.34 Imagem da questão 14 da atividade Mãos a obra! . . . . . . . . . . . . 56 4.35 Imagem da questão 15 da atividade Mãos a obra! . . . . . . . . . . . . 57 4.36 Imagem da página inicial do Desa�o - parte1 . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.37 Imagem do cabeçalho do Desa�o - parte2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.38 Imagem da questão 1 do Desa�o - parte2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.1 Imagem do software Geogebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.2 Ilustração do problema da ilha do tesouro no GeoGebra . . . . . . . . . 62 5.3 Ilustração do problema da ilha do tesouro no com movimentação da árvore 63 5.4 Imagem da atividade 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.5 Imagem da solução da atividade 2 - item a . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.6 Imagem da solução da atividade 2 - item b . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.7 Imagem da solução da atividade 2 - item c . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.8 Imagem da solução da atividade 2 - item d . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.9 Imagem da solução da atividade 2 - item e . . . . . . . . . . . . . . . . 68 5.10 Imagem da atividade 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.11 Imagem da solução da atividade 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.12 Imagem da atividade 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 5.13 Imagem da solução da atividade 4 - itens a, b e c . . . . . . . . . . . . 71 5.14 Imagem da solução da atividade 4 - itens d e e . . . . . . . . . . . . . . 71 5.15 Imagem do Grá�co - Resultado do questionário diagnóstico . . . . . . . 73 5.16 Imagem do Grá�co - Resultado do questionário após o projeto realizado 74 Sumário 1 Introdução 11 2 Um pouco sobre a história dos Números Complexos 13 3 A Álgebra Linear e os Números Complexos 21 3.1 O conjunto C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.2 Propriedades Adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.3 Representação Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.4 Conjugados Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.5 Representação Polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4 Áudios, Vídeos e Software para o Ensino dos Números Complexos 33 4.1 Os Áudios: Mundos Imaginários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.2 Os Vídeos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.2.1 Um Sonho Complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.2.2 O Sonho Não Acabou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.2.3 O Sonho Continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.3 O Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.3.1 Movimentos Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5 Sugestões de Atividades 60 5.1 Atividade 1: Problema - A ilha do tesouro . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.2 Atividade 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.3 Atividade 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 5.4 Atividade 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.5 Pesquisa de Campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 6 Conclusões 75 Referências 77 1 Introdução Números complexos são números compostos por dois números reais, a e b, e repre- sentados costumeiramente na forma a+bi, em que a e b são chamados, respectivamente, de parte real e parte imaginária do número em questão. O símbolo matemático i, por sua vez, é denominado de unidade ou constante imaginária. Quando a parte real de um número complexo é nula, este número também é chamado de número imaginário ou puramente imaginário. Muitas vezes, números reais são identi�cados como números complexos de parte imaginária nula. O conjunto de todos os números complexos é denotado por C. De acordo com o material de apoio ao Currículo do Estado de São Paulo, os números complexos a princípio causam certa estranheza, mas eles podem ser interpretados signi- �cativamente, bem como as operações que realizamos sobre eles. A�nal, a Matemática que estudamos é como uma linguagem, uma maneira de expressão e compreensão do mundo, a ser desenvolvida na escola, com a língua materna, a língua nossa de cada dia. Ao apresentarmos o conjunto dos números complexos enfatizamos apenas o emprego de fórmulas e não relacionamos este conteúdo com nenhuma outra área do conhecimento ou até mesmo com outro conteúdo da Matemática. Sendo assim, este trabalho foi elaborado de modo a apresentar uma nova abordagem para a resolução de questões de geometria plana utilizando transformações geométricas e números complexos. Às vezes, um tema da Matemática serve apenas de apoio a outro tema. Este, por sua vez, possui uma ligação direta com a prática. E ambos, tanto o apoiador quanto o apoiado, precisam ser estudados. Para isso, estabeleceremos que existe uma relação entre as operações algébricas com números complexos e as transformações geométricas no plano, apresentando uma forma de aplicação concreta dos números complexos. O objetivo principal deste trabalho é propor uma abordagem metodológica para o ensino dos números complexos, dando suporte ao professor de Matemática da Edu- cação Básica para que trabalhe com os números complexos de maneira diferente em relação aos livros didáticos; usando áudios, vídeos e software como motivações para o desenvolvimento do conteúdo matemático. Para atingir tal objetivo faz-se necessário: • Considerar o per�l do aluno atual e sua relação com o ambiente escolar; 11 12 • Eludir di�culdades encontradas por alunos e professores quanto à aprendizagem no ensino dos números complexos. No segundo capítulo apresentaremos um pouco sobre a história dos números com- plexos, uma vez que tais histórias apresentadas não são trabalhadas no ensino médio. É interessante para os alunos e professores o conhecimento sobre a história dos números ou da matemática de um modo geral, pois mostra os caminhos e desa�os enfrentados pela humanidade até os dias atuais. No terceiro capítulo mostraremos as de�nições e propriedades básicas relativas aos números complexos partindo da Álgebra Linear e utilização da teoria das matrizes na construção dos números complexos. No quarto capítulo apresentaremos os áudios, vídeos e o software da coleção M3 - Matemática Multimídia da Universidade Estadual de Campinas. Material disponível no site http://m3.ime.unicamp.br/ e que dá suporte ao trabalho apresentado nesta dissertação. No quinto capítulo são apresentadas as sugestões de atividades para o estudo dos números complexos e os resultados da pesquisa de campo realizada com os alunos do ensino médio de uma escola pública. As atividades sugeridas são complementares ao estudo realizado. A pesquisa de campo mostra o avanço dos alunos ao longo do projeto apresentado no ensino médio e serve como metodologia de ensino para os educadores da educação básica que desejarem algo diferenciado envolvendo os números complexos. Por �m, no último capítulo são apresentadas algumas considerações sobre o trabalho desenvolvido. 2 Um pouco sobre a história dos Números Complexos Neste Capítulo faremos um estudo histórico, de acordo com Garbi (1997), procu- rando levantar como surgiram os números complexos e quais obstáculos epistemológicos ligados a esse conceito. A aceitação, compreensão e utilização dos números complexos ocorreram de modo lento. Costuma-se dizer que esses números estão ligados às equações de 2o grau, mas vemos ao decorrer de sua história, que esses números estão ligados à resolução de equações algébricas, principalmente às equações de 3o grau. Ao longo da história, resolver equações sempre foi um assunto que deslumbrou os estudiosos da Matemática. Na Babilônia, os antigos matemáticos conseguiam resolver algumas equações do 2o grau através de "completamento de quadrados". O desenvolvi- mento da matemática também teve um importante papel executado pelos povos gregos, e estes resolviam alguns tipos de equações do 2o grau com régua e compasso, mas a con- quista da Grécia por Roma praticamente acabou com o domínio da Matemática Grega. Porém, quando a Europa entrou na Idade das Trevas1, o desenvolvimento da Matemá- tica �cou nas mãos dos árabes e dos hindus. Isso após a ascensão do Cristianismo e �m do Império Romano. A Álgebra teve um importante progresso com os matemáticos hindus. E quando falamos de equações do 2o grau lembramos-nos de Bhaskara, matemático que nasceu em 1114 na cidade de Vijayapura, na Índia. Todavia, a fórmula de Bhaskara não foi descoberta por ele, mas sim pelo matemático hindu Sridhara no século XI. Entretanto, os matemáticos da época não �cavam perturbados quando, com o auxílio da fórmula de Bhaskara, e dependendo da equação, o número ∆ = b2 − 4ac fosse negativo. Eles diziam, neste caso, que o problema não tinha solução. 1Essa expressão se dá em referência à Idade Média, período da história da Europa entre os séculos V e XV. Época com pouco desenvolvimento cultural, pois a cultura era controlada pela Igreja Católica. Alguns historiadores a�rmavam que nesse período não ocorreu desenvolvimento cientí�co e técnico. 13 14 Figura 2.1: Bhaskara (1114− 1185) Fonte: http://www.coladaweb.com/biografias/bhaskara Foi na Europa, no século XVI, mais precisamente na Itália, com estudiosos interes- sados pela Matemática, onde foi percebido que os números reais não eram su�cientes. Assim, começou a criação do conjunto dos números complexos. Isso ocorreu em meio à disputa entre Cardano e Tartaglia pela resolução de equações do 3o grau. Segundo Eves (2004), o primeiro matemático que resolveu algebricamente a equação cúbica x3+mx = n, provavelmente baseando-se em fontes árabes, foi Scipione del Ferro (1465 − 1526), em Bolonha, por volta de 1515. Del Ferro revelou seu segredo ao seu pupilo, Antonio Fior, e não publicou o resultado. Porém, em meados do século XVI, Niccolo Tartaglia, anunciou ter descoberto uma solução algébrica para a equação cúbica x3 + px = n. "Achando que se tratava de blefe, Fior desa�ou Tartaglia para uma disputa pública envolvendo a resolução de equações cúbicas. Com muito empenho Tartaglia conseguiu resolver também, faltando pou- cos dias para a disputa, a equação cúbica desprovida do termo qua- drático. Como no dia marcado sabia resolver dois tipos de cúbicas, ao passo que Fior só sabia resolver um, Tartaglia triunfou plenamente. Mais tarde, Girolamo Cardano, um gênio inescrupuloso que ensinava matemática e praticava medicina em Milão, depois de um juramento solene de segredo, conseguiu arrancar de Tartaglia a chave da solu- ção cúbica. Em 1545, porém quando apareceu em Nuremberg a Ars Magna de Cardano, um grande tratado em latim de álgebra, lá estava a solução de Tártaglia da cúbica."(EVES, 2004) Girolamo Cardano (1501−1576) discute em seu livro Ars Magna (A Grande Arte), publicado em 1545, o problema de encontrar dois números x e y cuja soma é 10, x+ y = 10 e cujo produto é 40, xy = 40. Este problema gera uma equação quadrática x2 − 10x + 40 = 0, cujas raízes são 5 − √ −15 e 5 + √ −15. Com isso ele observa que estes números não existem. 15 Figura 2.2: Girolamo Cardano e Niccolo Fontana Tartaglia Fonte: http: //pt.slideshare.net/biancafilgueiras1/histria-e-surgimento-dos-nmeros-complexos Para Garbi (1997), o problema seguinte foi o que levou os matemáticos à descoberta dos números complexos: Problema: Considere a equação x3 − 15x− 4 = 0. a) Mostre que x = 4 é solução da equação. b) Divida x3 − 15x− 4 = 0 por x− 4. c) Encontre as outras duas soluções da equação e veri�que que são números reais. d) Aplique a fórmula de Cardano (Tartaglia!) e veri�que que a solução fornecida pela fórmula é: x = 3 √ 2 + √ −121 + 3 √ 2− √ −121 Re�itindo sobre o problema parece que há algo de errado com as soluções encon- tradas. Com isso, começaram a surgir questionamentos intrigantes que não podiam ser deixados de lado. Agora, além da extração de raízes quadradas de números negativos, também encontramos extrações de raízes cúbicas de números de natureza ignorada. E isso não ocorria apenas com essa equação. Podemos demonstrar facilmente que as equações do tipo x3 + px + q = 0 tem as 3 raízes reais se, e somente se, ∆ =( q 2 )2 + ( p 3 )3 ≤ 0. Os números reais eram insu�cientes para se abordar as equações algébricas e foi Raphael Bombelli, engenheiro hidráulico nascido em Bolonha, Itália, em 1526, quem conseguiu desatravancar o empecilho e chegar aos novos números. Raphael Bombelli era um admirador de Ars Magna de Cardano, publicada em 1545, mas achava que seu estilo de exposição não era claro. Decidiu então, escrever um livro expondo os mesmos assuntos, mas de tal forma que um principiante pudesse estudá-los sem necessidade de nenhuma outra referência. Em 1572, Bombelli publicou L' Algebra, obra na qual ele estuda a resolução de equações de grau não superior a quatro e na qual considera a 16 equação x3 = 15x + 4. Conforme seu próprio relato no livro L'Algebra parte maggiore dell'Arithmetica, sua ideia foi supor que os números 3 √ 2 + √ −121 + 3 √ 2− √ −121 deveriam ser números da forma a + √ b e a - √ b, respectivamente. Ele chegou à conclusão que a = 2 e b = 1 com algumas contas. Assim, surgiu o primeiro sinal de que os números complexos poderiam de fato serem instrumentos úteis. Porém, a resistência e o preconceito entre os ilustres da matemática permaneceram. Figura 2.3: Raphael Bombelli (1526− 1572) Fonte: https://alchetron.com/Rafael-Bombelli-1060617-W Bombelli usava a expressão più di meno para se referir ao que nós chamamos hoje como +i e meno di meno para −i. Ele então enuncia o que chamava de regras do produto, que citamos abaixo junto com sua tradução na nossa simbologia. "Più via più di meno fa più di meno +(+i) = +i Meno via più di meno fa meno di meno −(+i) = −i Più via meno di meno fa meno di meno +(−i) = −i Meno via meno di meno fa più di meno −(−i) = +i Più di meno via più meno fa meno (+i).(+i) = − Meno di meno via più di meno fa più (−i).(+i) = + Meno di meno via meno di meno fa meno (−i).(−i) = −"(ROSA, 1998, p.51). Com o tempo foram sendo descobertas relações entre números e formas, mesmo tendo a Geometria e a Aritmética origens independentes. Os geniais matemáticos fran- ceses Pierre de Fermat e René Descartes idealizaram independentemente na primeira metade do século XVII o que hoje conhecemos por Geometria Analítica. 17 Figura 2.4: Pierre de Fermat (1601− 1665) Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat Com o domínio da Geometria Analítica Descartes estudou, entre outras coisas, as equações algébricas. Descartes escreveu a seguinte frase em uma passagem do livro Dis- curso do Método: "Nem sempre as raízes verdadeiras (positivas) ou falsas (negativas) de uma equação são reais. Às vezes elas são imaginárias". Figura 2.5: René Descartes (1596− 1650) Fonte: http://www.biography.com/people/ren-descartes-37613 Justamente por esse motivo, até os dias atuais, o número √ −1 é chamado de número imaginário. Termo este, que se consagrou juntamente com a expressão "número complexo". Infelizmente, são denominações um tanto impróprias e particulares para objetos matemáticos. "O termo imaginários foi utilizado por Descartes em outras situações para traduzir a impossibilidade de uma representação geométrica para as equações. Em seu livro, ele também faz referências às equações cúbicas e ao método de resolução de Cardano."(PINTO, 2009, p.41) Foi o matemático francês Abraham de Moivre que relacionou os números complexos com a trigonometria. A fórmula de De Moivre a�rma que: (cosx+ √ −1 senx)n = cos(nx) + √ −1 sen(nx) ∀x ∈ R ∧ ∀n ∈ Z. 18 Esta fórmula é importante porque estabelece uma ligação entre os números com- plexos e a trigonometria, pois i que é a unidade imaginária pode ser colocada no lugar da √ −1. Figura 2.6: Abraham de Moivre (1667− 1754) Fonte: https://alchetron.com/Abraham-de-Moivre-1078669-W#- Usando o Cálculo, Leonhard Paul Euler descobriu alguns anos mais tarde, que eix = cos(x) + i sen(x), (quando x é medido em radianos). Para x = π, esta expressão se torna eiπ = −1, que relaciona alguns dos mais importantes números da Matemática: os números irracionais e e π, o número imaginário i e o número 1 com o sinal negativo. O trabalho mais respeitável e determinante sobre o assunto dos números complexos foi de Euler. Dentre as inúmeras contribuições de Euler, foi evidente seu empenho no progresso da simbologia. Muitas das notações que utilizamos hoje foram introduzidas por ele. Dentre as representações sugeridas por Euler destacamos o i substituindo√ −1. Euler passou a estudar números da forma z = a + bi onde a e b são números reais e i2 = −1. Esses números são chamados de números complexos. Já na metade do século XVIII, compreendia-se que os números complexos tinham uma ligação intensa com as funções trigonométricas e exponenciais. Todavia prosse- guiam alguns problemas. Para Euler, a √ −2 ainda era um problema. Figura 2.7: Leonhard Euler (1707− 1783) Fonte: https://teleskopos.wordpress.com/2013/06/21/leonhard-euler-longitude-winner/ 19 Carl Friedrich Gauss (1777 − 1855) foi um dos mais impressionantes homens nos séculos XVIII e XIX. Em sua tese de doutorado, na Universidade de Helmstadt, escrita aos vinte anos de idade, deu a primeira demonstração do Teorema Fundamental da Álgebra. O Teorema Fundamental da Álgebra é bastante conhecido e utilizado há muito tempo, mas os matemáticos tiveram que esperar um jovem brilhante matemático alemão completar a sua tese de doutorado para observar a primeira demonstração inteiramente correta deste fato. Figura 2.8: Carl Friedrich Gauss (1777− 1855) Fonte: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Carl_Friedrich_Gauss.jpg Em matemática, o teorema fundamental da Álgebra a�rma que qualquer polinômio p(z) com coe�cientes complexos de uma variável e de grau n ≥ 1 tem alguma raiz com- plexa. Em outras palavras, o corpo dos números complexos é algebricamente fechado e, portanto, tal como com qualquer outro corpo algebricamente fechado, a equação p(z) = 0 tem n soluções (não necessariamente distintas). A ideia por trás da demonstração de Gauss é a substituição de z por x+ iy, na equação polinomial geral p(z) = 0. Também foi Gauss quem propôs o termo "números complexos". No século XIX, as coisas começaram a ser postas em ordem. O matemático francês Jean-Robert Argand, nascido na Suíça, foi o primeiro a indicar em 1806 que se poderiam representar geometricamente os complexos em um plano. Gauss propôs a mesma ideia em 1831 e este plano no qual os complexos são representados é chamado de plano de Argand-Gauss. 20 Figura 2.9: Jean-Robert Argand (1768− 1822) Fonte: http://www.routledgetextbooks.com/textbooks/9780415662802/biographies.php Com isso, vimos que os números complexos não surgiram de repente, foi necessário um estudo sistemático por parte de muitos matemáticos ao longo da história para compreenderem a construção desses números, propriedades, utilidades e fórmulas que temos nos dias atuais. É importante conhecermos a história dos números para sabermos os motivos que levaram os estudiosos do passado a chegarem nos conceitos que temos no presente. No próximo capítulo faremos a construção dos números complexos através da Álgebra Linear e veremos mais detalhadamente as propriedades e operações com esses números, pois eles possuem muita importância na Matemática. 3 A Álgebra Linear e os Números Complexos Apresentaremos aqui a construção dos números complexos utilizando a álgebra linear e a teoria das matrizes (SOARES, 2003). De acordo com Soares (2003), o adjetivo complexo é infeliz, herdado de épocas nas quais a abstração envolvida na compreensão desses números era considerada elevada. Atualmente sabemos que o conceito de número real existe nível de abstração equivalente e, para exempli�car isso, começamos trabalhando a mais básica ilustração que se pode dar sobre números complexos: a solução da equação X2 + 1 = 0 ou, o que dá no mesmo, X2 = −1. No conjunto R esta equação não tem solução e com isso somos obrigados a de�nir um "número" i, satisfazendo i2 = −1, que soluciona a equação. Recorrendo à Álgebra Linear elementar e procurando um ente de natureza geométrica que seja a solução procurada podemos olhar para essa equação sob a forma X ·X = −I onde X é uma matriz quadrada de ordem 2 com coe�cientes reais e I é a matriz identidade I = ( 1 0 0 1 ) . Temos assim uma equação matricial cuja solução é dada pela matriz i = ( 0 −1 1 0 ) . Pois( 0 −1 1 0 ) · ( 0 −1 1 0 ) = ( 0 · 0 + (−1) · 1 0 · (−1) + (−1) · 0 1 · 0 + 0 · 1 1 · (−1) + 0 · 0 ) = ( −1 0 0 −1 ) . 21 22 Esta matriz i = ( 0 −1 1 0 ) , ou ainda, i = ( cos 90o − sen 90o sen 90o cos 90o ) corresponde geome- tricamente à rotação de um ângulo reto ( 90o ou π 2 radianos ) no plano R2, no sentido anti-horário. Podemos ver essa rotação i = ( 0 −1 1 0 ) como um número dentro de um conjunto que amplia o conjunto R dos reais fazendo o seguinte: Associando o número real a ou o número real c à matriz identidade teremos: aI = a ( 1 0 0 1 ) = ( a 0 0 a ) ou cI = c ( 1 0 0 1 ) = ( c 0 0 c ) Com isso, podemos perceber que as matrizes da forma ( a 0 0 a ) se comportam exa- tamente da mesma maneira que os números reais em relação à soma e ao produto, pois a+ c = c+ a e ac = ca, ou seja,( a 0 0 a ) + ( c 0 0 c ) = ( c 0 0 c ) + ( a 0 0 a ) = ( a+ c 0 0 a+ c ) e( a 0 0 a ) · ( c 0 0 c ) = ( c 0 0 c ) · ( a 0 0 a ) = ( ac 0 0 ac ) Podemos com isso dizer que R é isomorfo ao corpo cujos elementos são as matrizes do tipo ( a 0 0 a ) onde a ∈ R. Vamos agora ampliar o conjunto R considerando as matrizes 2× 2 da forma aI + bi = a ( 1 0 0 1 ) + b ( 0 −1 1 0 ) = ( a 0 0 a ) + ( 0 −b b 0 ) = ( a −b b a ) onde a, b ∈ R. Podemos chamar os "números" da forma aI + 0i = aI de reais, os da forma 0I + bi = bi de imaginários e os "números" da forma aI + bi de números complexos. Assim, a partir da soma e do produto das matrizes deste tipo, podemos de�nir as operações entre números complexos. Com isso, a soma é comutativa e dada por (aI+bi)+(cI+di) = ( a −b b a ) + ( c −d d c ) = ( a+ c −(b+ d) b+ d a+ c ) = (a+c)I+(b+d)i, 23 onde temos como elemento neutro a matriz nula gerada por 0I + 0i = ( 0 0 0 0 ) e como elemento simétrico a matriz gerada por −(aI + bi) = −aI − bi = ( −a b −b −a ) . O produto das matrizes deste tipo é dado por (aI + bi) · (cI + di) = ( a −b b a ) · ( c −d d c ) = ( ac− bd −(ad+ bc) ad+ bc ac− bd ) = (ac− bd)I + (ad+ bc)i, tendo como elemento identidade a matriz obtida por 1I + 0i = ( 1 0 0 1 ) . Podemos observar também que (aI+bi) ·(cI+di) = ( a −b b a ) · ( c −d d c ) = ( c −d d c ) · ( a −b b a ) = (cI+di) ·(aI+bi) e concluir que o produto é comutativo. É possível também obter o inverso multiplicativo. Para isso temos que lembrar que uma matriz quadrada é invertível se e somente se o seu determinante não é nulo, e também que det ( a −b b a ) = a2 + b2 se anula apenas para a = b = 0. Portanto, um número complexo dado por aI + bi tem um inverso multiplicativo desde que a 6= 0 ou b 6= 0, isto é, aI + bi 6= 0I + 0i e nesse caso (aI + bi)−1 = ( a −b b a )−1 = 1 a2 + b2 ( a b −b a ) =  a a2 + b2 b a2 + b2 −b a2 + b2 a a2 + b2  = a a2 + b2 I + −b a2 + b2 i. Sabemos que a soma e o produto de matrizes quadradas são operações associativas. Sendo assim, é válido também a distributividade do produto em relação à soma. Por- tanto, podemos concluir que todas essas propriedades são válidas para a soma e para o produto dos números complexos e com isso o conjunto {aI + bi : a, b ∈ R} é um corpo, chamado de corpo dos números complexos e representado por C. Com isso, vimos que fazer corresponder o número a ∈ R a matriz diagonal ( a 0 0 a ) não incorporou modi�cação nenhuma no que diz respeito à soma e ao produto. Vendo de outra maneira, essa identi�cação i2 = i · i = -I condiz com o número real -1. Assim, podemos de modo mais descomplicado eliminar o "I"em aI+bi e associar i2 a −1, tendo em mente sempre as fórmulas para a soma e para o produto dos números complexos. Com isso, escrevemos O conjunto C 24 C = {a+ bi : a, b ∈ R}, mas sabendo que o produto também é comutativo, temos bi = ib e conseguimos escrever um número complexo a+ bi como a+ ib. E como i2 = −1 somos naturalmente levados a colocar i = √ −1. "Pois bem, o que �zemos até agora foi resolver a equação X2 = -1 e a partir daí obtivemos o corpo C dos complexos. E se tivéssemos considerado uma outra equação polinomial? Teríamos obtido um ou- tro corpo, talvez mais "complexo"? A resposta é não e constitui uma página importante da Matemática. Ela foi dada por Carl Fri- edrich Gauss, matemático alemão que na sua tese de doutorado em 1799 demonstrou o Teorema Fundamental da Álgebra, segundo o qual qualquer equação polinomial sobre o corpo C tem solução."(SOARES, 2003, p. 4-5) 3.1 O conjunto C De�nição 3.1. Segundo (CHURCHILL, 1975), um número complexo z pode ser de�- nido como um par ordenado (x, y) de números reais x e y, z = (x, y), (3.1) sujeito às regras e leis de operação a serem especi�cadas abaixo. "Essa de�nição é devida ao matemático irlandês William R. Hamilton e apareceu em 1837, embora muito anteriormente vários matemáticos já houvessem trabalhado com números complexos como pontos no plano."(SOARES, 2003, p. 5) O par (x, y) é identi�cado com o número real x quando (x, 0)⇒ x. (3.2) Esta regra nos proporciona caracterizar os números reais como um subconjunto do conjunto dos números complexos. Convém-nos dar um nome e um símbolo ao par (0, 1). Esse par será chamado unidade imaginária e indicada por i: (0, 1)⇒ i. Os números reais x e y são, respectivamente, a parte real e a parte imaginária de (x, y), sendo indicados por Re(z) = x e Im(z) = y. Propriedades Adicionais 25 Um par do tipo (0, y) é um número imaginário puro. Uma outra regra a ser imposta a tais pares é que dois números complexos são iguais se, e somente se, as partes real e imaginária de um são iguais, respectivamente, às do outro. (x1, y1) = (x2, y2) se, e somente se, x1 = x2 e y1 = y2 (3.3) Em particular, visto que 0 = (0, 0), tem-se z = (x, y) = 0 se, e somente se, x = 0 e y = 0. Denotando por z1 + z2 e z1z2 a soma e o produto de dois números complexos quaisquer z1 = (x1, y1) e z2 = (x2, y2) podemos de�ni-los como os números complexos dados pelas fórmulas: z1 + z2 = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2), (3.4) z1z2 = (x1, y1)(x2, y2) = (x1x2 − y1y2, x1y2 + x2y1). (3.5) Em especial, temos (x, 0) + (0, y) = (x, y) e (0, y) = (y, 0)(0, 1). Assim, podemos escrever cada número complexo que não é real como a soma de um número real com um número imaginário puro: z = (x, y) = x+ yi. (3.6) O produto zz se escreve z2; z3 signi�ca zz2, etc. De acordo com a equação (3.5), tem-se (0, 1)2 = (−1, 0), isto é, i2 = −1. Em vista da equação (3.6), podemos escrever a equação (3.5) como (x1 + y1i)(x2 + y2i) = x1x2 − y1y2 + (x1y2 + x2y1)i. A ampliação formal do produto no primeiro membro, realizada como se os binômios fossem reais, e a substituição de i2 por −1, dão o mesmo resultado. A equação (3.5) justi�ca esse procedimento formal. Os pares ordenados (3.1) de números reais que satisfazem às condições (3.2) a (3.5) são de�nidos como números complexos. 3.2 Propriedades Adicionais Podemos de�nir várias outras operações envolvendo os números complexos. A ope- ração de subtração é a inversa da adição, isto é, se a diferença z1 − z2 se denota por z3, Propriedades Adicionais 26 z1 − z2 = z3. Assim, z3 é o número complexo que deve ser somado a z2 para encontrar z1: z2 + z3 = z1 ou (x2, y2) + (x3, y3) = (x1, y1) Pela equação (3.4), temos na adição: (x2 + x3, y2 + y3) = (x1, y1) logo, igualando as partes correspondentes, vemos que: x2 + x3 = x1, y2 + y3 = y1 Se resolvermos em relação a x3 e y3, obtemos a lei da subtração: z1 − z2 = (x1 − x2, y1 − y2) = x1 − x2 + (y1 − y2)i A divisão é a inversa da multiplicação, assim: z1 z2 = z3 se z2z3 = z1 (z2 6= 0) ou (x2x3 − y2y3, x2y3 + x3y2) = (x1, y1). Igualando as partes correspondentes e resolvendo as duas equações consequentes em relação a x3 e y3, obtemos a lei da divisão: z1 z2 = x1x2 + y1y2 x22 + y22 + x2y1 − x1y2 x22 + y22 i (z2 6= 0). Observamos que esta mesma fórmula aparece de modo distinto e manipulativo quando multiplicamos ambos o denominador e numerador no primeiro membro por x2 − y2i. A divisão por zero não é de�nida. A partir das fórmulas para o quociente e para o produto é fácil mostrar que z1 z2 = z1 ( 1 z2 ) , 1 z2z3 = ( 1 z2 )( 1 z3 ) (z2 6= 0, z3 6= 0). Podemos utilizar as leis comutativas para a adição e para a multiplicação, z1 + z2 = z2 + z1, z1z2 = z2z1, isso em decorrência da de�nição de números complexos e do fato de que os números reais satisfazem a tais leis. Exemplo: z1 + z2 = x1 + x2 + (y1 + y2)i = x2 + x1 + (y2 + y1)i = z2 + z1. Representação Geométrica 27 Também são satisfeitas pelos números complexos as leis associativas para a adição e para a multiplicação, assim como a lei distributiva da multiplicação em relação à adição: z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3, z1(z2z3) = (z1z2)z3, z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3. Como consequências, temos que: z1 + z2 z3 = z1 z3 + z2 z3 , z1z2 z3z4 = ( z1 z3 )( z2 z4 ) , (z3 6= 0, z4 6= 0). Devemos destacar também, a decorrência de outra propriedade: se o produto de dois números complexos é nulo, então pelo menos um dos fatores deve ser nulo, isto é, z1z2 = 0 implica que z1 = 0 ou z2 = 0. Da de�nição do produto decorre que, se z1z2 = 0, então x2x1 − y2y1 = 0 e y2x1 + x2y1 = 0. Se, pelo menos, um dos x1 e y1 não é nulo, então o determinante dos seus coe�cientes no sistema homogêneo acima deve ser igual a zero, isto é, x2 2 + y2 2 = 0 e portanto x2 = y2 = 0. Assim, se z1z2 = 0, então ou z1 = 0 ou z2 = 0, ou ainda, z1 = z2 = 0. 3.3 Representação Geométrica Podemos representar um número complexo z através da associação entre um par (x, y) e as coordenadas cartesianas retangulares de um ponto no plano cartesiano. Cada número complexo corresponde a um único ponto. Como exemplo, temos que o número complexo −2+ i é representado pelo ponto (−2, 1). A origem representa o ponto z = 0. Quando usado para exibir os números complexos z geometricamente, o plano XY se diz plano complexo C. Representação Geométrica 28 Figura 3.1: Representação Geométrica de um Número Complexo Fonte: Feito no GeoGebra pelo próprio autor "A cada número complexo z corresponde um único ponto do plano, o a�xo de z, e a cada ponto do plano corresponde um único número complexo ou plano de Gauss (Carl Friedrich Gauss/1777 − 1855) ou de Argand-Gauss (Jean Robert Argand/1768− 1822)."(IEZZI, 1981, p. 130) Por outro lado, o número z pode ser representado como um segmento orientado (vetor) da origem ao ponto (x, y), ou como qualquer vetor obtido pela translação desse vetor no plano. Assim, o vetor emanando do ponto (2, 1) ao ponto (3, 3), que tem a primeira componente igual a 1 e a segunda igual a 2, representa o número 1 + 2i. A representação vetorial e a representação por pontos, de números complexos, são, ambas, muito úteis. Um número complexo z será considerado como um ponto z ou como um vetor v. Devemos notar que o produto z1z2 de dois números complexos é um número complexo, vetor no plano dos vetores z1 e z2. Este produto não é o produto escalar nem o produto vetorial, usados no cálculo vetorial. Consequentemente, os números complexos não podem ser identi�cados com os vetores do cálculo vetorial de dimensão dois. Os vetores no cálculo vetorial, assim como matrizes, são números complexos de outro tipo; suas álgebras são diferentes da álgebra para os números z. Pela de�nição da soma de dois números complexos, z1 + z2 corresponde ao ponto (x1 + x2, y1 + y2). Por sua vez, este ponto corresponde ao vetor cujas componentes são as coordenadas do ponto. Portando, o número complexo z1 + z2 é representado pela soma vetorial dos vetores z1 e z2. Conjugados Complexos 29 Figura 3.2: Soma Vetorial dos vetores z1 e z2 Fonte: Feito no GeoGebra pelo próprio autor A diferença z1 − z2 é representada pelo vetor, partindo do ponto z2 ao ponto z1. Figura 3.3: Diferença Vetorial dos vetores z1 e z2 Fonte: Feito no GeoGebra pelo próprio autor 3.4 Conjugados Complexos Dado um número complexo z = x + yi, o conjugado de z é o número complexo z̄ = x− yi. Note que z̄ signi�ca, geometricamente, a re�exão de z em torno do eixo horizontal. Representação Polar 30 Figura 3.4: Conjugado de z Fonte: Feito no GeoGebra pelo próprio autor A conjugação é importante porque, entre outras informações, nos diz que: zz̄ = (x+ yi)(x− yi) = x2 + y2 = |z|2. Além disso é fácil veri�car: • x = Re(z) = 1 2 (z + z̄), • y = Im(z) = 1 2i (z − z̄) = −i 2 (zz̄), • z é real se e somente se z = z̄, • z1 + z2 = z1 + z2 • z1z2 = z1 · z2. Usando a última dessas igualdades obtemos |z1z2|2 = z1z2z1z2 = z1z2z1 · z2 = z1z1z2z2 = |z1|2 |z2|2, ou seja, |z1| = |z1| |z2|. 3.5 Representação Polar Sabendo que um número complexo pode ser de�nido por um par ordenado de nú- meros reais, temos que um número qualquer pode ser identi�cado como um ponto do plano cartesiano. Representação Polar 31 Uma outra identi�cação pode ser obtida através das coordenadas polares (r, θ). Se (x, y) 6= (0, 0) é um ponto do plano então a coordenada r desse ponto é a distância à origem e a coordenada θ é o ângulo determinado pelo segmento de reta que une um ponto à origem e o semi-eixo positivo dos x, medido no sentido anti-horário (em radianos). As coordenadas cartesianas e polares estão relacionadas por: x = r cos θ y = r sen θ Figura 3.5: Representação Polar Fonte: Feito no GeoGebra pelo próprio autor Portanto, um número não nulo z = x+ iy = (x, y) se escreve z = r cos θ + ir sen θ = r(cos θ + i sen θ), onde r = √ x2 + y2 = |z|. Esta é a chamada representação polar ou forma trigonomé- trica de um número complexo. Chamamos, para qualquer valor de θ no qual a igualdade acima se veri�ca, de um argumento de z e usamos a notação θ = arg(z). O valor de θ não é único. Se a igualdade é verdadeira para um valor de θ, também o é para θ + 2kπ, k é um número inteiro arbitrário, mas θ pode ser determinado de maneira única exigindo, por exemplo, que 0 ≤ θ < 2π ou que −π < θ ≤ π. "Se θ é um argumento de z = x + yi então x = r cos θ + ir sen θ = r(cos θ + i sen θ), que é chamada forma trigonométrica ou polar do complexo z. (Os números r e θ são as coordenadas polares do ponto P (x, y) do plano)."(LIMA, 1998, p.193) Vamos dar alguns exemplos. Os números da forma yi com y > 0 têm a representação polar yi = y ( cos π 2 + i sen π 2 ) . Representação Polar 32 Já os da forma x+ ix com x < 0 se escrevem x+ ix = − √ 2x ( cos 5π 4 + i sen 5π 4 ) = − √ 2x ( −1√ 2 + i−1√ 2 ) . Agora, sejam z e w dois números complexos não nulos com representações polares z = r(cos θ + i sen θ) w = ρ(cosφ+ i senφ) Temos que a representação do produto zw é zw = r(cos θ + i sen θ)ρ(cosφ+ i senφ) = rρ[(cos θ. cosφ−sen θ. senφ)+i(cos θ. senφ+sen θ. cosφ)] = rρ[cos(θ+φ)+i sen(θ+φ)] usando as fórmulas de adição para seno e cosseno. Sabemos que |zw| = |z| |w| e agora podemos concluir, a partir da igualdade acima, que arg(zw) = arg(z) + arg(w), ou seja, um argumento do produto de dois números complexos é igual a soma dos argumentos desses números. Fazendo z = w no exemplo acima, obtemos z2 = r2[cos(2θ) + i sen(2θ)]. Essa igualdade é sugestiva e nos induz a dizer que zn = rn(cos θ + i sen θ)n = rn[cos(nθ) + i sen(nθ)] qualquer que seja n ∈ N, uma a�rmativa verdadeira, conhecida como fórmula de De Moivre. Uma demonstração imediada desta fórmula pode ser feita por indução. Vimos neste capítulo a construção de um conjunto que amplia o conjunto R dos números reais, ou seja, o conjunto C dos números complexos. Foi apresentado as diver- sas operações envolvendo esses números, suas propriedades fundamentais, conjugado e tipos de representações (algébrica, geométrica e trigonométrica). No próximo capí- tulo teremos a apresentação de um material diferenciado para a aplicação em sala de aula envolvendo as características, conceitos, história e representações de um número complexo. 4 Áudios, Vídeos e Software para o Ensino dos Números Complexos Esse capítulo tem como objetivos: trazer uma proposta de ensino dos Números Complexos através da modelagem matemática de problemas, descrevendo os núme- ros complexos enquanto raízes de polinômios e relacionando-os através do teorema fundamental da álgebra; mostrar algumas relações dos números complexos com a tri- gonometria; mostrar a representação dos números complexos no plano; e, com o auxílio de um software, utilizar o conceito e propriedades de números complexos estudando as transformações de translação, rotação, dilatação e contração no plano complexo. O estudo é realizado por meio da análise do efeito dessas transformações em triângulos e, em especial, são utilizadas as interpretações geométricas das operações de números complexos. O material apresentado neste capítulo faz parte da coleção M3 - Matemática Mul- timídia da Universidade Estadual de Campinas e pode ser encontrado no endereço eletrônico http://m3.ime.unicamp.br/. Este material foi desenvolvido por pessoas de múltiplas pro�ssões, com dedicação de tempo e energia distintos, mas todos com entusiasmo pelas potencialidades para o ensino e aprendizagem da matemática do en- sino médio. Segundo o site http://m3.ime.unicamp.br/ da própria coleção do M3 - Matemática Multimídia, a proposta nasceu de uma chamada de Edital do MEC e MCT para o desenvolvimento e produção de recursos educacionais em mídias digitais no ano de 2007 sendo que todos os recursos foram desenvolvidos durante aproximadamente 4 anos. Os recursos educacionais da coleção abordam praticamente todo conteúdo de ma- temática do ensino médio do Brasil e de forma variada. Cabe ao professor, em acordo com a coordenação pedagógica e direção escolar, escolher os itens que melhor se en- quadram no seu programa, respeitando as características do professor e a realidade dos seus alunos. Os recursos educacionais utilizados foram: experimento, vídeo, software e áudio, abordando os temas: análise de dados e probabilidade, geometria e medidas, números e funções para todas as séries do ensino médio de tal maneira que favorecem a interação social ao formar grupos de atividades, mas sempre com a mediação do professor em sala de aula. 33 Os Áudios: Mundos Imaginários 34 Todos os recursos educacionais no formato de vídeos, áudios, softwares e expe- rimentos estão licenciados sob uma licença Creative Commons - é permitido copiar, distribuir, exibir, executar a obra e criar obras derivadas, mas não é permitido o uso comercial ou relicenciamento sobre uma licença mais restritiva. Figura 4.1: Imagem da página inicial do site M3 - Matemática Multimídia Fonte: http://m3.ime.unicamp.br/ 4.1 Os Áudios: Mundos Imaginários Os áudios Mundos Imaginários fazem parte da coleção M3 - Matemática Multi- mídia da Universidade Estadual de Campinas, Série Cultura, tendo como conteúdo os números complexos, duração de 10 minutos e tem como objetivo principal descrever os números complexos enquanto raízes de polinômios, relacionando-os através do teorema fundamental da álgebra. Tais áudios têm como autores: Leonardo Barichello, Carolina Bonturi, Fernando Martins Collaço e Douglas Mendes De acordo com o Guia do Professor dos áudiosMundos Imaginários, a série Cultura foi concebida com o objetivo de proporcionar aos alunos a oportunidade de fazerem paralelos signi�cativos entre Literatura, Cultura Geral e Matemática, para que eles, além de poderem observar resoluções de problemas de matemática, também se sentis- sem estimulados a buscar as referências literárias e expandirem seus conhecimentos em diversas áreas. Estes áudios trabalham os números complexos através de uma história livremente inspirada no livro O Médico e o Monstro, do escritor escocês Robert Louis Stevenson. Na criação imaginária dos áudios, Morfeu é um garoto que, todas as noites, ao ir Os Vídeos 35 para a cama, começa a contar carneirinhos até adormecer. O modo como ele faz essa contagem não é muito usual, já que ele acha interessante acrescentar números como φ, e, π, entre outros, à sequência 1, 2, 3, ..., seguindo a ordem natural dos números. Por exemplo, o e viria antes do 3 e o π logo após este, pois e ∼= 2, 718, enquanto o π ∼= 3, 14. Mas, ainda mais incomum do que a maneira como ele fazia isso, foi o que veio acontecer a Morfeu em uma dessas noites de insônia. 4.2 Os Vídeos 4.2.1 Um Sonho Complexo O vídeo Um Sonho Complexo faz parte da coleção M3 - Matemática Multimídia da Universidade Estadual de Campinas, Série Matemática na Escola. O conteúdo envolve a História dos números complexos, suas formas e propriedades algébricas, trigonomé- tricas e geométricas A duração é de 10 minutos e tem como objetivos: apresentar os números complexos, sua parte real e sua parte imaginária; mostrar algumas relações dos números complexos com a trigonometria e mostrar a representação dos números complexos no plano. Segundo o site http://m3.ime.unicamp.br/, a série Matemática na Escola aborda o conteúdo de matemática do ensino médio através de situações, �cções e contextu- alizações. Os programas desta série usualmente são informativos e introdutórios de um assunto a ser estudado em sala de aula pelo professor. Os programas são ricos em representações grá�cas para dar suporte ao conteúdo mais matemático e pequenos documentários trazem informações interdisciplinares. Este vídeo faz parte de uma trilogia, sobre números complexos. Este é o primeiro e os outros dois são: O sonho Não Acabou e O Sonho Continua. Os vídeos mostram uma maneira divertida e curiosa de olhar para os números complexos. O primeiro usa a dualidade do personagem do livro O Médico e o Monstro. O segundo e o terceiro usam Morfeu, o deus dos sonhos. Todos eles tratam da história dos números complexos e de algumas de suas propriedades. Estes vídeos tem como autores: Samuel Rocha de Oliveira, Carolina Bonturi, Ângela Annunciato e Otília W. Paques. Segue abaixo algumas imagens retiradas do guia do professor encontrado nos Re- cursos Educacionais do portal da coleção M3 - Matemática Multimídia: Os Vídeos 36 Figura 4.2: Imagens do vídeo Um sonho complexo: Hans e Hydyll Fonte: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1187 Figura 4.3: Imagens do vídeo Um sonho complexo: Representação de um número complexo e equação com raiz quadrada de -1 Fonte: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1187 Figura 4.4: Imagens do vídeo Um sonho complexo: Utilidade dos números complexos Fonte: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1187 4.2.2 O Sonho Não Acabou O vídeo O Sonho Não Acabou também faz parte da coleção M3 - Matemática Mul- timídia da Universidade Estadual de Campinas, Série Matemática na Escola. Envolve Os Vídeos 37 os conteúdos: Números complexos e sua história; Fórmula de De Moivre e Adição e multiplicação de números complexos. A duração também é de aproximadamente 10 minutos e têm como objetivos: Apresentar uma breve história dos números complexos; apresentar a fórmula de De Moivre para potências inteiras de números complexos e mostrar as raízes n-ésimas de números complexos. Segue abaixo outras imagens retiradas do guia do professor encontrado nos Recursos Educacionais do portal da coleção M3 - Matemática Multimídia: Figura 4.5: Imagens do vídeo O sonho não acabou: Hans, Morfeu e a Fórmula de De Moivre Fonte: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1142 Figura 4.6: Imagens do vídeo O sonho não acabou: Morfeu Fonte: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1142 4.2.3 O Sonho Continua Já o terceiro vídeo da mesma coleção - O Sonho Continua - envolve os conteúdos: História dos números complexos, suas formas e propriedades algébricas, trigonométricas e geométricas; Fórmula de Euler e Conjuntos numéricos. Possui duração semelhante O Software 38 aos outros vídeos e tem como objetivos: Apresentar o número complexo, mostrar a fórmula trigonométrica de Euler e mostrar os principais conjuntos numéricos. Segue abaixo imagens retiradas do guia do professor encontrado nos Recursos Edu- cacionais do portal da coleção M3 - Matemática Multimídia: Figura 4.7: Imagens do vídeo O sonho Continua: Morfeu e os conjuntos numéricos Fonte: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1141 Figura 4.8: Imagens do vídeo O sonho Continua: Fórmula de Euler Fonte: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1141 4.3 O Software O software utilizado nesse trabalho é o de Movimentos Complexos, que tem como autores Claudina Izepe Rodrigues, Leonardo Barichello e Rita Santos Guimarães. Os conteúdos abordados são: transformações no plano (translação, rotação, dilatação e contração) e números complexos (operações e propriedades). Tem como objetivos: es- tudar o efeito da translação, rotação, dilatação e contração no plano complexo; aplicar os conceitos e propriedades dos números complexos; e utilizar as propriedades geomé- tricas das operações de números complexos. O Software 39 É importante saber que para o software funcionar adequadamente é preciso que o computador tenha o software GeoGebra instalado. Além disso, é preciso mudar as con�gurações no Painel de Controle do java, acrescentado na parte de segurança, no local Lista de Exceções de Sites, o site http://m3.ime.unicamp.br/, dando assim permissão de ser executado após os prompts de segurança apropriados. Figura 4.9: Página para iniciar o software Movimentos Complexos Fonte: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1239 4.3.1 Movimentos Complexos Neste software, utilizando o conceito e propriedades dos números complexos, são estudadas as transformações de translação, rotação, dilatação e contração no plano complexo. O estudo é realizado por meio da análise do efeito dessas transformações em triângulos e, em especial, são utilizadas as interpretações geométricas das operações de números complexos. O Software 40 Figura 4.10: Imagem da página para iniciar o software Movimentos Complexos Fonte: http://m3.ime.unicamp.br/media/software/1239/ As transformações geométricas constituem ferramentas importantes em geometria facilitando a resolução de vários problemas. O objetivo desse software é o estudo das transformações geométricas de translação, rotação, dilatação e contração utili- zando os conceitos, operações, propriedades e interpretação geométrica das operações de números complexos. Sobretudo, são exploradas as relações entre as operações com números complexos e as transformações geométricas no plano. Sendo assim, tal soft- ware constitui uma motivação para o estudo dos números complexos adequada para o desenvolvimento no Ensino Médio. O software Movimentos Complexos é composto por uma atividade e um desa�o, sendo que este último pode gerar novos desa�os aleatoriamente enquanto o usuário desejar. Figura 4.11: Página de introdução às atividades do Software Fonte: http://m3.ime.unicamp.br/media/software/1239/introducao.html A Atividade 1 envolve todo conteúdo, enquanto que o desa�o explora o conteúdo apresentado anteriormente com um grau de di�culdade maior, �cando a cargo do pro- fessor da sala decidir como utilizá-lo com seus alunos. O Software 41 Atividade 1 - Os Movimentos Como já foi dito anteriormente, o objetivo desta atividade é o estudo das transfor- mações de translação, rotação, dilatação e contração no plano, utilizando os conceitos e operações de números complexos, propriedades e características geométricas. Desse modo, é conveniente que, antes do início do software, seja feita com os alunos uma recordação desses tópicos. Esta atividade é dividida em 6 partes. A �gura 4.12 mostra o Mapa de Atividades, onde o aluno pode escolher em realizar as questões da Atividade 1 ou ir diretamente para o Desa�o. Nesta tela o aluno também consegue visualizar e conhecer algumas curiosidades sobre os números complexos e o plano de Argand-Gauss clicando na seta de cor amarela na parte superior. Figura 4.12: Mapa de atividades Fonte: http://m3.ime.unicamp.br/media/software/1239/mapa.html • Parte 1: Apresentação Na parte 1 da Atividade 1 é apresentada uma ilustração com dois triângulos tendo como vértices os números complexos A, B, C e A', B', C', respectivamente. O triângulo ABC é �xo e o triângulo A'B'C' é obtido a partir do triângulo ABC e de dois números complexos Z1 e Z2. O aluno pode variar os números complexos Z1 e Z2, e o software automaticamente apresenta na tela o triângulo A'B'C'. É possível também observar na tela do software as formas algébricas e trigonométricas dos números complexos Z1 e Z2. O objetivo desta parte é a familiarização com a ferramenta. Os alunos são orientados a calcular os números complexos A', B', C' utilizando o procedimento descrito acima e comparando com os valores apresentados pela ferramenta. O Software 42 Figura 4.13: Cabeçalho da página da atividade de apresentação - parte1 Fonte: http://m3.ime.unicamp.br/media/software/1239/atividade1_parte1.html Na parte 1 da Atividade 1 teremos 5 questões para serem respondidas envolvendo a situação apresentada. Só é possível passar para a próxima parte da Atividade 1 se todas as questões estiverem corretas. A 1a questão pede para escrevermos o número complexo em sua forma algébrica correspondente ao vértice C do triângulo ABC. Figura 4.14: Imagem da questão 1 da atividade de apresentação Fonte: http://m3.ime.unicamp.br/media/software/1239/atividade1_parte1.html Na 2a questão devemos posicionar Z1 em 2 + i e Z2 em 1 + i, respondendo em seguida qual o valor do número complexo correspondente ao vértice B'. O Software 43 Figura 4.15: Imagem da questão 2 da atividade de apresentação Fonte: http://m3.ime.unicamp.br/media/software/1239/atividade1_parte1.html A 3a questão pede para mantermos Z1 em 2 + i e movermos Z2 para 1 + 2i. Em seguida, pergunta-nos o valor do número complexo correspondente ao vértice B'. Figura 4.16: Imagem da questão 3 da atividade de apresentação Fonte: http://m3.ime.unicamp.br/media/software/1239/atividade1_parte1.html Na 4a questão desta parte, devemos posicionar Z1 em 1 + 0i e responder o que po- demos a�rmar sobre os dois triângulos: se eles são congruentes, equiláteros, retângulos ou se têm razão de semelhança igual a 3. Figura 4.17: Imagem da questão 4 da atividade de apresentação Fonte: http://m3.ime.unicamp.br/media/software/1239/atividade1_parte1.html O Software 44 Já na 5a questão, última desta parte, é necessário apenas posicionarmos Z1 em 1+0i e movermos Z2 até que os triângulos se sobreponham. Com isso podemos observar que os valores de Z1 = 1 + 0i e Z2 = 0 + 0i obtidos nas questões 4 e 5, respectivamente, fazem com que os triângulos se sobreponham, isto é, A=A', B=B' e C=C'. Figura 4.18: Imagem da questão 5 da atividade de apresentação Fonte: http://m3.ime.unicamp.br/media/software/1239/atividade1_parte1.html • Parte 2: Rotação Na parte 2, o número complexo Z2 é igual a 0 + 0i e Z1 pode variar em uma circunferência de centro na origem e raio igual a 1. Assim, o número complexo Z1 tem módulo 1 e seu argumento varia. Sendo θ1 o argumento de Z1 e Z um número complexo qualquer de módulo r e argumento θ, o produto Z ·Z1 tem módulo r e argumento θ+θ1. Assim, o número complexo Z ·Z1 é a rotação de ângulo θ1 do número complexo Z. Em particular, isto ocorre com os pontos do triângulo ABC. Portanto, o triângulo A'B'C' é a rotação de ângulo θ1 do triângulo ABC. Ao variar Z1 na circunferência podemos observar o triângulo A'B'C' girando em volta da origem do plano complexo. O Software 45 Figura 4.19: Cabeçalho da página da atividade de rotação - parte2 Fonte: http://m3.ime.unicamp.br/media/software/1239/atividade1_parte2.html Esta parte apresenta três questões (6, 7 e 8). A questão 6 está dividida em dois itens (A e B). O item A da questão 6 nos pergunta qual é o valor do módulo de Z1 e no item B é para respondermos (Sim ou Não) se o valor do módulo de Z1 se altera com Z1 na circunferência. Figura 4.20: Imagem da questão 6 da atividade de rotação Fonte: http://m3.ime.unicamp.br/media/software/1239/atividade1_parte2.html A 7a questão está dividia em três partes (A, B e C). Antes do item A devemos escolher a posição de Z1 que será usada para respondermos os itens A, B e C. No item A devemos responder qual é o argumento de Z1. O item B pede para respondermos qual é o valor do ângulo mostrado entre os pares de retas apresentados, ou seja, ângulos entre as retas suporte dos lados correspondentes. E no item C devemos responder de quantos graus é a rotação do triângulo A'B'C' em relação ao triângulo ABC. O Software 46 Figura 4.21: Imagem da questão 7 da atividade de rotação Fonte: http://m3.ime.unicamp.br/media/software/1239/atividade1_parte2.html A 8a questão pede para variarmos o valor de Z1 e observarmos o que acontece com os ângulos entre os pares de retas suporte e o argumento de Z1. Com isso devemos res- ponder o que podemos a�rmar: se um é o complemento do outro, se um é o suplemento do outro, se os dois têm o mesmo valor ou se os dois têm valores sempre diferentes. O Software 47 Figura 4.22: Imagem da questão 8 da atividade de rotação Fonte: http://m3.ime.unicamp.br/media/software/1239/atividade1_parte2.html • Parte 3: Dilatação Na parte 3, o número Z1 pode variar entre os números reais positivos e diferentes de 1. Ou seja, a parte imaginária é igual a zero e a parte real, r1, é positiva e diferente de 1. O número complexo Z2 é �xo e igual a 0 + 0i. Figura 4.23: Cabeçalho da página da atividade de dilatação - parte3 Fonte: http://m3.ime.unicamp.br/media/software/1239/atividade1_parte3.html O Software 48 Esta parte 3 possui apenas uma questão (9). Esta porém está divida em 4 itens (A, B, C e D). Antes de respondermos os itens é necessário posicionarmos Z1 de forma que ele seja um número real positivo qualquer e diferente de 1. O item A pede para preenchermos os espaços correspondes com os tamanhos dos lados AB e A'B'. O item B para para preenchermos com os tamanhos dos lados BC e B'C'. O item C pede para preenchermos com os tamanhos dos lados BC e B'C'. Por �m, o item D pergunta qual foi o fator de dilatação, isto é, por quanto foi multiplicado o lado do triângulo original ABC. Figura 4.24: Imagem da questão 9(A e B) da atividade de dilatação Fonte: http://m3.ime.unicamp.br/media/software/1239/atividade1_parte3.html O Software 49 Figura 4.25: Imagem da questão 9(C e D) da atividade de dilatação Fonte: http://m3.ime.unicamp.br/media/software/1239/atividade1_parte3.html • Parte 4: Rotação e Dilatação Nesta parte, o aluno pode variar livremente o número complexo Z1 e o número complexo Z2 permanecerá �xo na origem. Espera-se que o aluno perceba que a trans- formação sofrida pelo triângulo é a composição de uma rotação e de uma dilatação ou contração. O Software 50 Figura 4.26: Cabeçalho da página da atividade de rotação e dilatação - parte4 Fonte: http://m3.ime.unicamp.br/media/software/1239/atividade1_parte4.html A parte 4 também possui apenas uma questão (10) que está dividida em 4 itens (A, B, C e D). Agora, antes de respondermos os itens da questão 10, devemos posicionar Z1 de forma que a parte real e a parte imaginária não sejam nulas e que o módulo de Z1 seja diferente de 1. O item A pede para observarmos os triângulos na ferramenta e respondermos se houve dilatação (ou contração). Se a resposta foi sim, o item B pede para dizermos qual foi o fator. Já o item C pergunta se houve rotação (sim ou não). Com a responta sim, o item D pede para dizermos qual foi o ângulo. O Software 51 Figura 4.27: Imagem da questão 10(A e B) da atividade de rotação e dilatação Fonte: http://m3.ime.unicamp.br/media/software/1239/atividade1_parte4.html Figura 4.28: Imagem da questão 10(C e D) da atividade de rotação e dilatação Fonte: http://m3.ime.unicamp.br/media/software/1239/atividade1_parte4.html • Parte 5: Translação Nas questões desta parte, o número complexo Z1 é mantido �xo igual a 2 + 0i e Z2 pode ser qualquer valor diferente de 0 + 0i. O Software 52 Figura 4.29: Cabeçalho da página da atividade de translação - parte5 Fonte: http://m3.ime.unicamp.br/media/software/1239/atividade1_parte5.html Nesta parte teremos duas questões (11 e 12). A questão 11 está dividida em dois itens (A e B). Antes de responder os itens é necessário posicionar Z2 no plano complexo de forma que o triângulo A'B'C' seja inteiramente visível e que Z2 seja diferente de zero. O item A da questão 11 pergunta se o triângulo A'B'C' é o triângulo ABC que sofreu uma rotação (Sim ou Não). Já o item B pergunta se A'B'C' é o triângulo ABC que sofreu uma dilatação (Sim ou Não). As duas respostas é Não. Com isso podemos observar que a transformação sofrida foi uma translação. O Software 53 Figura 4.30: Imagem da questão 11 da atividade de translação Fonte: http://m3.ime.unicamp.br/media/software/1239/atividade1_parte5.html A questão de número 12 pede apenas para posicionarmos o Z2 de modo que um dos vértices do triângulo amarelo �que posicionado na origem. Com esta questão do software observamos que o movimento de translação acontece isolado apenas quando Z1 é �xo e Z2 é um número complexo qualquer. A quantidade transladada em cada direção é determinada pela parte real (horizontal) e pela parte imaginária (vertical) de Z2. O Software 54 Figura 4.31: Imagem da questão 12 da atividade de translação Fonte: http://m3.ime.unicamp.br/media/software/1239/atividade1_parte5.html • Parte 6: Mãos a obra! Nas questões desta parte são apresentados dois triângulos ABC e DEF, sendo que DEF é obtido a partir de ABC por meio de uma única transformação: ou rotação, ou dilatação (ou contração), ou translação. O aluno deve descobrir, inicialmente por meio da visualização, qual é a transfor- mação. A seguir, deve movimentar os pontos Z1 e Z2 para descobrir seus valores para que tal transformação ocorra. Para realizar as questões, é preciso ter em mente as conclusões obtidas nas partes anteriores, a saber: - Se o módulo de Z1 é igual a 1 e Z2 = 0 + 0i ocorre uma rotação em torno da origem do triângulo. Além disso, o ângulo de rotação é igual ao argumento de Z1. - Se Z1 é um número real positivo, diferente de 1, e Z2 = 0+0i ocorre uma dilatação (ou contração) do triângulo. - Se Z1 = 1 + 0i e Z2 = a + bi, com (a, b) 6= (0, 0), ocorre uma translação do triângulo. A translação ocorre na direção e sentido do vetor correspondente ao número complexo Z2. O Software 55 Figura 4.32: Cabeçalho da página da atividade Mãos a obra! - parte6 Fonte: http://m3.ime.unicamp.br/media/software/1239/atividade1_parte6.html A parte 6 desta Atividade 1 é composta por 3 questões (13, 14 e 15). Cada ques- tão envolve uma das transformações estudadas e apresenta dois itens (A e B). Nos itens A das questões 13, 14 e 15 devemos responder qual das opções disponíveis (Ro- tação apenas, Translação apenas, Dilatação apenas ou Rotação e Dilatação) apresenta a transformação que ocorreu no triângulo ABC até se obter DEF. Nos itens B das questões 13, 14 e 15 é para determinarmos os valores dos números complexos Z1 e de Z2 que executam o movimento representado nas questões. Nas �guras 4.33, 4.34 e 4.35 podemos observar as questões 13, 14 e 15 desta parte e ver que ocorreram translação, dilatação e rotação, respectivamente. O Software 56 Figura 4.33: Imagem da questão 13 da atividade Mãos a obra! Fonte: http://m3.ime.unicamp.br/media/software/1239/atividade1_parte6.html Figura 4.34: Imagem da questão 14 da atividade Mãos a obra! Fonte: http://m3.ime.unicamp.br/media/software/1239/atividade1_parte6.html O Software 57 Figura 4.35: Imagem da questão 15 da atividade Mãos a obra! Fonte: http://m3.ime.unicamp.br/media/software/1239/atividade1_parte6.html Desa�o No desa�o são apresentados dois triângulos ABC e DEF, sendo que DEF é obtido a partir de ABC por meio de uma transformação que é uma composição de algumas das transformações estudadas na atividade 1. O aluno deve descobrir a transformação que leva o triângulo ABC no triângulo DEF movimentando os pontos Z1 e Z2. Convém primeiro movimentar o ponto Z1, deixando Z2 na origem, para descobrir a rotação e dilatação (ou contração) envolvidas, caso existam, e, depois, movimentar o Z2 no caso de ocorrer alguma translação. Depois de encontrar os valores para Z1 e Z2, os alunos são orientados a descrever as transformações envolvidas. Para isso, devem utilizar a forma trigonométrica de Z1 e a forma algébrica de Z2, que aparecem no canto superior esquerdo da ferramenta, e, também, as interpretações geométricas das operações de números complexos. O Software 58 Figura 4.36: Imagem da página inicial do Desa�o - parte1 Fonte: http://m3.ime.unicamp.br/media/software/1239/atividade2_parte1.html Figura 4.37: Imagem do cabeçalho do Desa�o - parte2 Fonte: http://m3.ime.unicamp.br/media/software/1239/atividade2_parte1.html A �gura 4.38 mostra a questão 1 da parte 2 do Desa�o, onde devemos escrever os va- lores na forma algébrica dos números complexos Z1 e Z2 encontrados na transformação realizada para obter o triângulo DEF. O Software 59 Figura 4.38: Imagem da questão 1 do Desa�o - parte2 Fonte: http://m3.ime.unicamp.br/media/software/1239/atividade2_parte1.html O material apresentado neste capítulo serve como forma diversi�cada e motivadora para o ensino dos números complexos em relação aos livros didáticos tradicionais e pode auxiliar o professor da educação básica na introdução, motivação, aplicação e aprofundamento de tal conteúdo com os alunos. Veremos a seguir sugestões de ativi- dades complementares para serem solucionadas com o auxílio do software GeoGebra envolvendo a multiplicação de um número complexo pela unidade imaginaria i e mos- trando que a diferença entre dois números complexos A - B, no plano complexo, traduz em um vetor com origem em B e extremidade em A, além das transformações geomé- tricas de �guras no plano. O próximo capítulo também traz o resultado da aplicação de todo este material com os alunos do ensino médio. 5 Sugestões de Atividades As atividades a seguir foram desenvolvidas para serem solucionadas com o auxílio do software GeoGebra (HOHENWARTER, 2001). De acordo com o site http://petmatematica.weebly.com/, o GeoGebra é um software de matemática dinâmica gratuito, que relaciona geometria, álgebra, cálculo, planilhas e grá�cos. Possibilita a realização de construções geométricas com a utiliza- ção de objetos como: pontos, vetores, segmentos, retas, seções cônicas, polígonos, etc.; os quais podem ser alterados dinamicamente mesmo após a construção estar �nalizada. Coordenadas, funções e equações também podem ser inseridas diretamente através do campo de entrada. Permite também, operar com funções e determinar derivadas e integrais, dentre outros recursos relacionados a funções. Desta forma, uma das van- tagens do software é a possibilidade de visualizar, em um mesmo ambiente virtual, as características algébricas e geométricas de um mesmo objeto. Figura 5.1: Imagem do software Geogebra Fonte: Próprio autor 60 Atividade 1: Problema - A ilha do tesouro 61 5.1 Atividade 1: Problema - A ilha do tesouro Dois piratas decidem enterrar um tesouro em uma ilha. Escolhem, como pontos de referência, uma árvore e duas pedras. Começando na árvore, medem o número de passos até a primeira pedra. Em seguida, dobram à direita, segundo um ângulo 90o, e caminham o mesmo número de passos até alcançar um ponto, onde fazem uma marca. Voltam à árvore, medem o número de passos desde a árvore até a segunda pedra, dobram à esquerda, segundo um ângulo de 90o, e caminham o mesmo número de passos até alcançar um ponto, onde fazem outra marca. Finalmente, enterram o tesouro exatamente no ponto médio entre as duas marcas. Anos mais tarde, os dois piratas voltam à ilha e decidem desenterrar o tesouro, mas, para sua decepção, constatam que a árvore não existe mais (o vento, a chuva e os predadores a haviam arrancado). Então um dos piratas decide arriscar. Escolhe ao acaso um ponto da ilha e diz: Vamos imaginar que a árvore estivesse aqui. Repete então os mesmos procedimentos de quando havia enterrado o tesouro: conta os passos até a primeira pedra, dobra à direita, etc..., e encontra o tesouro. A pergunta é: esse pirata era sortudo ou um matemático?2 Qual a relação entre o problema e os números complexos? Use o software GeoGebra e descubra. Solução Para resolver o problema podemos nos basear em dois fatos fundamentais: multi- plicar um número complexo pela unidade imaginaria i equivale a girá-lo de um ângulo reto positivo e, no plano complexo, a diferença entre dois números complexos A - B traduz um vetor com origem em B e extremidade em A. Dados dois complexos A e B eles podem ser identi�cados como pontos do plano, e no plano esses pontos podem ser representado por dois vetores. Podemos usar o Geogebra para ilustrar o problema, onde z1 representa uma das pedras, z2 representa a outra pedra e z3 representa a árvore. Desenhamos o vetor u (com origem em z1 e extremidade em z3) e o vetor v (com origem em z2 e extremidade em z3). Logo após estas construções, podemos desenhar um vetor w multiplicando o vetor u por i digitando na entrada vetor[u*i]. Este vetor porém, tem mesmo módulo, é perpendicular ao vetor u e tem origem na origem do sistema cartesiano. Usando o comando de desenhar um Vetor a Partir de um Ponto, conseguimos desenhar o vetor a que seria uma translação do vetor w e terá origem no ponto z1, ou seja, o vetor a seria a rotação de 90o do vetor u no sentido anti-horário. Do mesmo modo, desenhamos o vetor b multiplicando o vetor v por −i digitando na entrada vetor[v*-i] e este também tem mesmo módulo, é perpendicular ao vetor v e tem origem na origem do sistema cartesiano. Usando novamente o comando de desenhar um Vetor a Partir de um Ponto, conseguimos desenhar o vetor c que seria uma translação do vetor b e 2REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA 47, 2001 Atividade 1: Problema - A ilha do tesouro 62 com origem no ponto z2, sendo este uma rotação de 90o do vetor v no sentido horário. Com estas construções, o GeoGebra nos fornece os números complexos z4 e z5 que são as extremidades dos vetores a e c. Por �m, usamos o comando Ponto Médio entre dois pontos achando assim o ponto A (ponto médio entre z4 e z5). O ponto A é o local onde está enterrado o tesouro. Se mudarmos no GeoGebra o ponto z3 de lugar percebemos que não há mudança no local onde está enterrado o tesouro. Com isso, concluímos que a posição da árvore não importa na localização do tesouro, podendo esta estar em qualquer lugar. Realmente o pirata era um matemático. Figura 5.2: Ilustração do problema da ilha do tesouro no GeoGebra Fonte: Próprio autor Atividade 1: Problema - A ilha do tesouro 63 Figura 5.3: Ilustração do problema da ilha do tesouro no com movimentação da árvore Fonte: Próprio autor Solução algébrica para o problema Denotando, no plano de Argand-Gauss, por: • A - o a�xo da árvore; • B - o a�xo da 1a pedra; • C - o a�xo da 2a pedra; • B' - o a�xo da posição do pirata após caminhar a partir da 1a pedra; • C' - o a�xo da posição do pirata após caminhar a partir da 2a pedra; • T - o a�xo do tesouro Temos assim, com os pontos correspondentes, a formação dos seguintes vetores: −→ BA, −→ CA, −−→ BB′ e −−→ CC ′. Com isso: −→ BA = A−B −→ CA = A− C E, sabendo que multiplicar um número complexo ou um vetor pela unidade imagi- naria i equivale a girá-lo de um ângulo reto positivo, temos: Atividade 2 64 −−→ BB′ = B′ −B = (A−B) · i = Ai−Bi⇒ B′ = Ai−Bi+B −−→ CC ′ = C ′ − C = (A− C) · (−i) = Ci− Ai⇒ C ′ = Ci− Ai+ C Como enterram o tesouro exatamente no ponto médio entre as duas marcas, tere- mos: T = B′ + C ′ 2 = Ai−Bi+B + Ci− Ai+ C 2 = B + C + (C −B) · i 2 Portanto, podemos concluir que a posição da árvore não importa na localização do tesouro. No modelo feito no software GeoGebra, a 1a pedra(B) localizava-se no a�xo do número complexo 2 + i, a 2a pedra(C) no a�xo do número complexo 10 + 3i e o tesouro(T) foi encontrado no a�xo do número complexo 5 + 6i. Veri�cando, vemos que: Como T = B + C + (C −B) · i 2 Então T = 2 + i+ 10 + 3i+ (10 + 3i− 2− i) · i 2 = 12 + 4i+ 8i− 2 2 = 5 + 6i Assim, podemos ver que a solução apresentada no GeoGebra bate com a solução algébrica apresentada através de vetores. (c.q.d.) Observação 5.1. As atividades a seguir foram extraídas do Material de Apoio ao Currículo do Estado de São Paulo (Cadernos do Professor e do Aluno) da 3a série do Ensino Médio e adaptadas para serem solucionadas com o software GeoGebra. 5.2 Atividade 2 Considere a região do plano complexo indicada na �gura 5.4. Cada ponto da região é a imagem de um complexo e será objeto de uma transformação, indicada nos itens de a a e. Represente no plano complexo a região resultante após a transformação descrita em cada um desses itens. Para a realização da atividade utilize o software GeoGebra. Atividade 2 65 Figura 5.4: Imagem da atividade 2 Fonte: Material de Apoio ao Currículo do Estado de São Paulo/Caderno do Professor/Matemática/Ensino Médio/3aSérie/Volume1 a) A cada ponto da região será somado o número real 5. b) A cada ponto da região será somado o número imaginário 3i. c) A cada ponto da região será somado o número complexo 3 + 4i. d) Cada ponto da região será multiplicado pelo número real 2. e) Cada ponto da região será multiplicado pelo número real 1 2 . Solução a) Cada ponto da região será deslocado 5 unidades na direção do eixo real. A região transformada será um triângulo de vértices nas imagens dos complexos: 7 + 2i, 11 + 2i e 11 + 6i. Atividade 2 66 Figura 5.5: Imagem da solução da atividade 2 - item a Fonte: Próprio autor b) Cada ponto da região será deslocado 3 unidades na direção do eixo imaginário. A região transformada será um triângulo de vértices nas imagens dos complexos: 2 + 5i, 6 + 5i e 6 + 9i. Figura 5.6: Imagem da solução da atividade 2 - item b Fonte: Próprio autor c) Cada ponto da região será deslocado 3 unidades na direção do eixo real, seguido Atividade 2 67 de 4 unidades na direção do eixo imaginário (ou vice-versa). Cada ponto terá um deslocamento total de valor igual ao módulo do complexo 3+4i, que é 5. Os vértices da região transformada serão os seguintes: 5 + 6i, 9 + 6i e 9 + 10i. Figura 5.7: Imagem da solução da atividade 2 - item c Fonte: Próprio autor d) Cada ponto da região terá seu módulo multiplicado por 2. Logo, a região será ampliada, tendo cada segmento multiplicado por 2, e sua área multiplicada por 4. Como as distâncias de cada ponto até a origem serão multiplicadas por 2, haverá uma translação (afastamento da origem) com a ampliação. Os novos vértices serão: 4 + 4i, 12 + 4i e 12 + 12i. Os argumentos dos pontos da região não serão alterados, ou seja, não haverá rotação. Figura 5.8: Imagem da solução da atividade 2 - item d Fonte: Próprio autor Atividade 3 68 e) Cada ponto da região terá seu módulo multiplicado por 1 2 . Com isso, a região será reduzida, tendo cada segmento multiplicado por 1 2 e sua área dividida por 4. Como as distâncias de cada ponto até a origem serão reduzidas à metade, haverá uma translação (aproximação da origem) com a redução. Os novos vértices serão: 1 + i, 3 + i e 3 + 3i. Os argumentos dos pontos da região não serão alterados, ou seja, não haverá rotação. Figura 5.9: Imagem da solução da atividade 2 - item e Fonte: Próprio autor 5.3 Atividade 3 Considere a região do plano complexo indicada na �gura 5.10 (a �gura é a mesma da atividade anterior). Cada ponto da região é a imagem de um complexo e será objeto de uma transformação. Represente no plano complexo - usando o software GeoGebra - a região resultante após a multiplicação de cada ponto da região pelo imaginário i. Atividade 4 69 Figura 5.10: Imagem da atividade 2 Fonte: Material de Apoio ao Currículo do Estado de São Paulo/Caderno do Professor/Matemática/Ensino Médio/3aSérie/Volume1 Solução Ao multiplicarmos por i todos os pontos da região indicada, ela manterá seu tama- nho, mas sofrerá uma rotação de 90o, conforme mostra a �gura 5.11: Figura 5.11: Imagem da solução da atividade 3 Fonte: Próprio autor 5.4 Atividade 4 Considere a região do plano complexo indicada a seguir. Cada ponto da região é a imagem de um complexo e será objeto de uma transformação, indicada nas alternativas. Represente no plano complexo usando o software GeoGebra a região resultante, nas seguintes situações: Atividade 4 70 Figura 5.12: Imagem da atividade 4 Fonte: Material de Apoio ao Currículo do Estado de São Paulo/Caderno do Professor/Matemática/Ensino Médio/3aSérie/Volume1 a) for somado ao número real 9; b) for somado ao número imaginário 9i; c) for somado ao número complexo 9 + 9i; d) for multiplicado pelo número real 2; e) for multiplicado pelo número imaginário 2i. Solução a) Ao somar um complexo com um número real, a imagem do complexo corresponde ao deslocamento horizontalmente na direção do eixo real. Neste caso, a região triangular será deslocada 9 unidades para a direita. b) A região triangular será deslocada 9 unidades para cima. c) A região triangular será deslocada 9 unidades para a direita, em seguida, 9 unidades para cima; ou, equivalentemente, para cima de 9 unidades, e depois para a direita de 9 unidades. d) A região será ampliada, cada complexo z terá seu valor absoluto multiplicado por 2. Não sofrerá rotação e sua área �cará multiplicada por 4. e) A região sofrerá uma rotação de 90o, correspondente à multiplicação por i, e também será ampliada de um fator 2, tendo sua área quadruplicada. As �guras 5.13 e 5.14 a seguir traduzem as transformações ocorridas em a, b, c, d e e. Pesquisa de Campo 71 Figura 5.13: Imagem da solução da atividade 4 - itens a, b e c Fonte: Próprio autor Figura 5.14: Imagem da solução da atividade 4 - itens d e e Fonte: Próprio autor 5.5 Pesquisa de Campo As atividades propostas nesta dissertação de mestrado foram aplicadas para os alunos das 3as séries do Ensino Médio da Escola Estadual Professora Fleurides Cavallini Menechino na cidade de Adamantina-SP. Escola esta onde trabalho como professor titular de cargo efetivo na disciplina de Matemática. Os alunos aceitaram bem o Pesquisa de Campo 72 projeto e se dedicaram na realização das atividades propostas. Primeiramente foi feito um questionamento com os alunos para que os mesmos colocassem em jogo tudo que sabiam e pensavam sobre o conteúdo que iríamos apren- der. Em seguida, foram apresentados os áudios e vídeos da coleção M3 - Matemática Multimídia da Unicamp, iniciando assim as discussões e explanações complementa- res, esclarecendo e organizando as tarefas de modo a garantir a máxima circulação de informações possíveis sobre os números complexos. Foram usados também os livros didáticos disponíveis sobre o assunto para conhecerem as operações e propriedades dos números complexos, assim como o material do Currículo O�cial do Estado de São Paulo (Caderno do Professor e Caderno do Aluno da 3a série - Ensino Médio - Volume 1). Posteriormente, apresentamos o software Movimentos Complexos da coleção M3 - Ma- temática Multimídia da Unicamp e o analisamos fazendo adendos pertinentes quanto à discussão das soluções do mesmo. Por �nal, foi passado as atividades adicionais com solução através do uso do software GeoGebra, sendo necessário uma aula apresentando o software e suas ferramentas antes da realização das atividades propostas. Para en- cerrar o projeto foi realizado novamente o mesmo questionamento inicial para veri�car se essa metodologia de ensino surtiu efeito. Vamos apresentar agora os resultados dos questionários aplicados antes e depois do trabalho realizado com os alunos da educação básica. O questionário diagnóstico, aplicado para 49 alunos, distribuídos em três salas diferentes, continha as seguintes questões: 1) Quais conjuntos numéricos você conhece? 2) Você sabe o que é um número imaginário? Justi�que. 3) Você conhece o conjunto dos números complexos? Justi�que. 4) O que você imagina ser um número complexo? 5) E o que deve ser um número imaginário? 6) O que é o plano de Argand-Gauss? 7) De acordo com seus conhecimentos, é possível resolver a √ −4? Com tal questionário pude perceber que: • 79, 5% dos alunos conheciam ou já ouviram falar sobre os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais. 20, 5% não conheciam ou não sabiam responder; • 91, 8% não sabiam responder o que era um número imaginário e 8, 2% responde- ram ser um número que não era real; Pesquisa de Campo 73 • Todos os alunos (100%) responderam não conhecerem o conjunto dos números complexos; • 91, 8% dos alunos não sabiam responder sobre o que imaginavam ser um número complexo e 8, 2% dos alunos deixaram a questão em branco; • 69, 2% dos alunos não sabiam responder o que deveria ser um número imaginário, 10, 2% dos alunos deixaram a questão em branco, 14, 4% responderam ser um número que imaginamos e 6, 2% responderam ser um número que usamos para resolver uma equação; • 94% dos alunos responderam não saber o que era o plano de Argand-Gauss e 6% não responderam nada; • 81, 6% responderam não ser possível resolver a √ −4, 10, 2% achavam que era possível resolver e 8, 2% deixaram a questão em branco. O grá�co da �gura 5.15 abaixo nos dá uma representação das respostas para o questi- onário aplicado aos alunos. Figura 5.15: Imagem do Grá�co - Resultado do questionário diagnóstico Fonte: Próprio autor O mesmo questionário foi aplicado após a apresentação dos áudios, dos vídeos, do software, das discussões e explanações sobre o assunto e realização das atividades pro- postas, ou seja, após a �nalização deste projeto envolvendo os conteúdos dos números complexos. Com isso pude perceber que: • 90% dos alunos mencionaram os conjuntos dos números naturais, inteiros, racio- nais, irracionais, reais e complexos. 10% não sabiam responder; Pesquisa de Campo 74 • 5% não sabiam responder o que era um número imaginário e 95% responderam ser um número utilizado para resolver raízes quadradas de números negativos; • 95% dos alunos responderam conhecerem o conjunto dos números complexos, formados por números reais e números imaginários e 5% não souberam responder; • 93% dos alunos sabiam responder sobre o que imaginavam ser um número com- plexo e 7% dos alunos deixaram a questão em branco; • 96% dos alunos sabiam responder o que era um número imaginário e 4% dos alunos deixaram a questão em branco; • 97% dos alunos responderam o que era o plano de Argand-Gauss (aquele usado para representar geometricamente um número complexo) e 3% não responderam nada; • 96, 5% responderam ser possível resolver a √ −4, 2, 2% achavam não ser possível e 1, 3% deixaram a questão em branco. O grá�co da �gura 5.16 abaixo nos dá uma representação das respostas realizadas pelos alunos na aplicação do questionário de �nalização do projeto envolvendo os números complexos. Figura 5.16: Imagem do Grá�co - Resultado do questionário após o projeto realizado Fonte: Próprio autor Percebemos neste capítulo, que é possível aplicar os conceitos e conteúdos matemá- ticos do ensino médio de maneira diferenciada, utilizando vários recursos educacionais para este �m. Na Pesquisa de Campo realizada e mostrada anteriormente vimos como os alunos avançaram seus conhecimentos e adquiriram as habilidades necessárias en- volvendo os números complexos. O resultado dos questionários aplicados e ilustrados nos grá�cos relatam bem isso, onde podemos perceber um progresso signi�cativo no aprendizado dos alunos. 6 Conclusões Sabemos que o ensino da Matemática precisa avançar de modo a obter melhorias no aprendizado de nossos alunos. Porém, esta tarefa não é fácil, exigindo dos alunos e, principalmente dos professores, muita disposição e trabalho intenso. O intuito deste trabalho é mostrar uma maneira dos alunos adquirirem as compe- tências e habilidades relacionadas aos números complexos. Desse modo, espero profun- damente poder contribuir para o ensino signi�cativo dos números complexos. Foram apresentados, como motivações para tal assunto: áudios, vídeos, um software e de- mais atividades envolvendo tais conteúdos utilizando o GeoGebra. A partir deles são introduzidos os conceitos, propriedades, grá�cos e transformações. Pude perceber, durante todo o projeto desenvolvido com os alunos do Ensino Médio, que eles tinham um brilho diferente nos olhos durante a apresentação dos áudios e dos vídeos, e também na realização das atividades propostas tanto no site http://m3.ime. unicamp.br/ quanto no software GeoGebra. Acredito que isso se deve ao fato de serem materiais diferenciados do normal em relação a uma sala de aula, principalmente na disciplina de Matemática. Os alunos estranharam bastante a história apresentada nos áudios Mundos Imagi- nários, pois falava muito em dualidade, real e imaginário. Eles não imaginavam como isso era possível em Matemática, que trabalha com resultados concretos e exatos. Com a apresentação dos vídeos, os alunos começaram a entender o signi�cado de números imaginários e a composição do conjunto dos números complexos, dando mais sentido ao conteúdo. Os vídeos motivam os alunos contando a história dos números complexos de uma maneira divertida e curiosa, falando e explicando algumas propriedades dos números complexos e suas representações algébricas e geométricas através de imagens e sons que chamaram a atenção dos mesmos. Com a utilização do software Movimentos Complexos pude perceber um pouco de di�culdade por parte de alguns alunos, pois tal software trabalha com as transformações no plano complexo e é necessário conhecer as propriedades e operações envolvendo os números complexos. Contudo, foi muito interessante para os educandos, uma vez que eles viram a utilidade dos números complexos para a realização das transformações estudadas. Ou seja, os alunos puderam contextualizar o conteúdo estudado dando sentido naquilo que aprenderam. 75 76 O sofware GeoGebra, utilizado na realização das atividades sugeridas no Capítulo 5, é muito bom. Com ele é possível trabalhar vários assuntos da Matemática, além dos números complexos, principalmente na construção de grá�cos de funções. Neste traba- lho, os alunos não apresentaram di�culdades para solucionar as atividades propostas, achando o software muito prático e interessante. É possível também trabalhar com o GeoGebra utilizando o próprio celular, pois já existe o aplicativo GeoGebra para serem manuseados nos celulares. Pude perceber através dos resultados dos questionários diagnósticos (inicial e �nal) que houve um aprendizado signi�cativo em relação aos números complexos, pois no questionário inicial os alunos não sabiam nada a respeito de tais números e ao �nal do projeto conseguiam responder as questões e fazer as devidas justi�cativas. Isso foi muito grati�cante, pois o que todo professor deseja é que seus alunos aprendam os conteúdos trabalhados. Em seus depoimentos pessoais, os alunos acharam motivadores os recursos educacionais apresentados e que tais recursos trouxeram para eles uma vontade curiosa e diferenciada em aprender sobre o tema. Acredito que os objetivos propostos neste trabalho foram alcançados e que o ma- terial é muito bom e motivador, pois desperta o interesse por parte dos alunos já que trabalha de modo diferenciado. Creio que não haja necessidade de modi�cação para que o mesmo material seja trabalhado por uma outra turma. Tenho o anseio de que, partindo de um problema e da necessidade de resolvê- lo, podemos mostrar a utilidade de aprender os conteúdos do Ensino Médio. Assim, podemos dar sentido no aprendizado dos conteúdos, sem utilizar ferramentas decoradas e prontas, mas construindo com os alunos essas ferramentas. Esta pesquisa para a dissertação, assim como todo o curso de mestrado, trouxe-me uma nova visão de como abordar determinados conteúdos matemáticos, na perspec- tiva de construir conceitos. Isso tem me levado a não mais utilizar fórmulas prontas para ensinar determinados assuntos, mas sim, construir tais fórmulas com os alunos, interpretando os resultados. Referências ARAÚJO, Nanci B. Ferreira. Números complexos: uma proposta de mudança me- todológica para uma aprendizagem signi�cativa no ensino médio. 2006. 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