UNESP UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO” CAMPUS DE GUARATINGUETÁ WELLINGTON RABELLO DE ARAUJO O CASO DOS QUATRO QUATROS COMO UMA POSSIBILIDADE PEDAGÓGICA PARA O DESENVOLVIMENTO DE COMPETÊNCIAS E HABILIDADES MATEMÁTICAS Guaratinguetá-SP 2015 WELLINGTON RABELLO DE ARAUJO O CASO DOS QUATRO QUATROS como uma possibilidade pedagógica para o desenvolvimento de competências e habilidades Matemáticas. Trabalho de Graduação apresentado ao Conselho de Curso de Graduação em Licenciatura em Matemática da Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá, Universidade Estadual Paulista, como parte dos requisitos para obtenção do diploma de Graduação em Licenciatura em Matemática. Orientadora: Profa. Dra. Fabiane Mondini Guaratinguetá 2015 A663c Araujo, Wellington Rabello de O caso dos quatro quatros como uma possibilidade pedagógica para o desenvolvimento de competências e habilidades matemáticas / Wellington Rabello de Araujo – Guaratinguetá : [s.n], 2014. 86 f. : il. Bibliografia: f. 75-79 Trabalho de Graduação em Licenciatura em Matemática – Universidade Estadual Paulista, Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá, 2014. Orientadora: Prof.ª Dr.ª Fabiane Mondini 1. Matemática – Estudo e ensino 2. Fenomenologia 3. Arte de contar histórias I. Título CDU 51: 371.3 Dedico este trabalho aos meus pais, todos meus familiares, amigos e professores que me ajudaram e acreditaram na realização dos meus sonhos. AGRADECIMENTOS Agradeço a Deus por tudo, pela minha vida, família, amigos e professores. A Nossa Senhora por me guiar nos caminhos com fé e sabedoria. Agradeço muito aos meus pais por toda a dedicação e carinho, na minha formação de caráter e índole. E a minha tia Isolete (Nica) que gentilmente cedeu sua casa, abrindo as portas para me hospedar e se preocupando comigo. À minha orientadora Profa. Dra. Fabiane Mondini por ter dedicado seu tempo, seus conhecimentos, sua paciência e suas palavras de confiança e motivação neste trabalho. À professora Rosária Rodrigues que permitiu a realização deste projeto, cedendo espontaneamente suas aulas e turma, além das palavras de ensinamento e comprometimento. À minha parceira e amiga de PIBID (Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência) Gisele Monteiro pelo apoio e por ter embarcado nesta aventura. Aos alunos da 8ª-9º série/ano A da Escola Estadual Profa. Clotilde Ayello Rocha, assim como a direção, coordenação e funcionários da escola. À todos os professores que tive, em especial as professoras Áurea e Marli que se empenharam e dedicaram, realizando o real papel do ser professor. À professora Milena que de certa forma é uma das principais responsável por este trabalho. À professora Valéria que sempre acreditou em meu potencial e me encorajou. E aos Professores Doutores José Ricardo de Resende Zeni e Rosa Monteiro Paulo pela oportunidade de participar do PIBID e empenho na minha formação como professor. Aos meus amigos do curso de licenciatura em especial, Eduardo, Dayana, Luis Henrique e Mariane. Além dos meus amigos da Escola Estadual Prof. Ernesto Quissak. E aos amigos de outras caminhadas. “Ainda mais espantoso é aquele mundo de fantasias minuciosas o qual chamamos de Matemática.” Gregory Bateson ARAUJO, W. R. O CASO DOS QUATRO QUATROS como uma possibilidade pedagógica para o desenvolvimento de competências e habilidades Matemáticas. 2015. 84f. Trabalho de Graduação (Graduação em Licenciatura em Matemática)- Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá. Universidade Estadual Paulista, Guaratinguetá, 2015. RESUMO O ensino e a aprendizagem da Matemática por meio de métodos alternativos podem tornar a Matemática mais agradável, acessível e significativa. Por meio do recurso didático contação de história o aluno torna-se o protagonista da construção de seu conhecimento. Com o uso dos livros e escritos de Malba Tahan é possível trabalhar com a Matemática, enquanto componente curricular, promovendo o desenvolvimento das competências e habilidades Matemáticas nos estudantes. Desse modo, esse trabalho tem por objetivo compreender quais competências e habilidades Matemáticas podem ser desenvolvidas com a contação de história sobre “O Caso dos Quatro Quatros na Educação Básica”. Por meio da contação dessa história, os estudantes desenvolvem as capacidades relacionadas ao bloco/eixo Números e Operações, presentes nos documentos oficiais, além de outras competências e habilidades Matemáticas. PALAVRAS-CHAVE: Contação de História. Malba Tahan. Ensino e Aprendizagem Matemática. Fenomenologia. ARAUJO, W. R.THE FOUR FOUR OF CASE as an educational opportunity for the development of skills and Mathematics skills.2015. 84f. Work Degree (Undergraduate Degree in Mathematics) – Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá. Universidade Estadual Paulista, Guaratinguetá, 2015. ABSTRACT The teaching and learning of mathematics through alternative methods make Mathematics more enjoyable, accessible and meaningful. Through teaching resource storytelling the student becomes the protagonist of the construction of their knowledge. With the use of books and writings of Malba Tahan is possible to work with mathematics, as a curriculum component, fostering the development of skills and Mathematics skills in students. Thus, this study aims to understand which skills and Mathematics skills can be developed with the storytelling of "The Case of the Four Fours in Basic Education". Through the telling of this story, students develop the skills related to the block / shaft Numbers and Operations, present in official documents, and other skills and mathematics skills. KEYWORDS: The storytelling. MalbaTahan. Teaching and Learning Mathematics. Phenomenology. SUMÁRIO INTRODUÇÃO ...................................................................................................................... 12 CAPÍTULO 1 A CONTAÇÃO DE HISTÓRIA COMO RECURSO DIDÁTICO PARA O ENSINO DA MATEMÁTICA .......................................................................................... 14 1.1 JÚLIO CÉSAR DE MELLO E SOUZA ............................................................................ 15 1.1.1 Quem é Malba Tahan? .................................................................................................. 18 1.2 MALBA TAHAN E SUAS OBRAS .................................................................................. 19 1.2.1 Didática de Malba Tahan ............................................................................................. 19 1.2.2 O Homem que Calculava: Conteúdo e Didática ......................................................... 20 CAPÍTULO 2 COMPETÊNCIAS E HABILIDADES NO ENSINO E NA APRENDIZAGEM MATEMÁTICA ................................................................................... 22 2.1 COMPETÊNCIAS E HABILIDADES .............................................................................. 22 2.2 COMPETÊNCIAS E HABILIDADES MATEMÁTICAS PARA O ENSINO FUNDAMENTAL .................................................................................................................... 25 2.2.1 Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) ................................................................. 25 2.2.2 Matrizes de Referência para o Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São Paulo (SARESP) ............................................................................................ 26 2.2.3 Matrizes Curriculares de Referência do Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica (SAEB) ....................................................................................................... 32 2.2.4 Currículo do Estado de São Paulo ............................................................................... 34 CAPÍTULO 3 METODOLOGIA DE PESQUISA .............................................................. 37 3.1 A AÇÃO DE PESQUISAR QUALITATIVAMENTE ...................................................... 37 3.2 PESQUISA QUALITATIVA NA ABORDAGEM FENOMENOLÓGICA E SEUS PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS ............................................................................. 38 CAPÍTULO 4 OS ENCONTROS ......................................................................................... 42 4.1 O PRIMEIRO ENCONTRO .............................................................................................. 42 4.1.1 Atividade 01- Apresentando Malba Tahan e o livro “O Homem que Calculava” .. 42 4.1.2 Atividade 02- Era uma Vez... da História a Matemática ........................................... 42 4.2 O SEGUNDO ENCONTRO .............................................................................................. 51 4.3 CATEGORIAS ABERTAS DO FENÔMENO INVESTIGADO ..................................... 64 4.4 METACOMPREENSÃO DAS CATEGORIAS ABERTAS ............................................ 69 4.4.1 Saber realizar de modo significativo as operações Matemáticas usando estratégias pessoais e técnicas operatórias convencionais, com compreensão dos processos nelas envolvidos. ............................................................................................................................... 69 4.4.2 Calcular o resultado de operações Matemáticas com números naturais ................. 70 4.4.3 Aplicar uma ordem de operações ao resolver problemas .......................................... 70 4.4.4 Desenvolver a Linguagem Matemática........................................................................ 71 CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................................. 73 REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS ................................................................................. 75 ANEXO I -Plano de Ensino ...................................................................................................... 80 12 INTRODUÇÃO Este trabalho surge em dois momentos distintos em minha vida, quando aluno do Ensino Fundamental e como estudante do curso de Licenciatura em Matemática. Quando aluno do Ensino Fundamental, minha professora de Matemática propõe algumas atividades diferenciadas em suas aulas. Em uma dessas atividades, poderia utilizar somente o algarismo quatro por quatro vezes consecutivas para escrever os números de zero a cem, me lembro de ficar horas e horas tentando resolver, focado em descobrir as soluções, intrigado e espantado com o meu conhecimento em Matemática, contudo não consegui calcular todos os números. Como bolsista PIBID-UNESP (Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência) em contato com a educação básica e pública, deparo-me com as dificuldades apresentadas pelos alunos em desenvolver as competências e habilidades na disciplina de Matemática e com o desafio de propor atividades que proporcionem aos estudantes aprendizagem Matemática. Surge a ideia de trabalhar com esses estudantes o caso dos quatro quatros e abordar esse tema na elaboração do trabalho de conclusão de Curso (TCC). Através de pesquisas e estudos descubro que aquela atividade apresentada pela minha professora de Ensino Fundamental, trata-se de uma história (o caso dos quatro quatros) entre muitas, encontradas no livro “O Homem que Calculava”, do escritor Malba Tahan (pseudônimo do professor Júlio César de Mello e Souza), um visionário ao trabalhar com a contação de história como recurso didático e diferenciado na aula de Matemática. Portanto através da interrogação norteadora “quais competências e habilidades Matemáticas podem ser desenvolvidas com a contação de história sobre o caso dos quatro quatros?” desenvolvo uma atividade de contação de história com estudantes do nono ano do Ensino Fundamental. A análise dessa atividade compõe esse trabalho, constituído de quatro capítulos: � No primeiro capítulo apresento um estudo sobre a contação de história e as contribuições do e escritor Malba Tahan para o ensino de Matemática. � No segundo capítulo realizo um estudo sobre as competências e habilidades Matemáticas do Ensino Fundamental presentes nos documentos oficiais. � No terceiro capítulo trago a metodologia de pesquisa para a elaboração desse trabalho. 13 � No quarto capítulo apresento as análises dos dados da contação de história sobre o caso dos quatro quatros, desenvolvida com os estudantes do e 9ºano/8ªsérie do Ensino Fundamental. 14 CAPÍTULO 1 A CONTAÇÃO DE HISTÓRIA COMO RECURSO DIDÁTICO PARA O ENSINO DA MATEMÁTICA Desde os primórdios das sociedades e das mais remotas civilizações o emprego da contação de história é de grande valia cultural. Da antiguidade até os nossos dias, todos os povos têm usado a história como veículo de verdades eternas, como meio de conservação de suas tradições, ou da difusão de ideias novas. (TAHAN, 1966, p.24). As histórias utilizam recursos simples e criativos. O narrador inicia a contação na qual ele consegue, de forma inesperada, que todos os ouvintes prestem atenção no que ele está lendo, os ouvintes começam a imaginar mundos, formas, figuras, personagens e suas aventuras, entre outras coisas que a imaginação pode criar ao ouvir uma história. A criança e o adulto, o rico e o pobre, o sábio e o ignorante, todos, enfim, ouvem com prazer às histórias – uma vez que essas histórias sejam interessantes, tenham vida e possam cativar a atenção. A história narrada lida, filmada ou dramatizada, circula em todos os meridianos, vive em todos os climas, não existe povo algum que não se orgulhe de suas histórias, de suas lendas e seus contos característicos. (TAHAN, 1966, p.16). Segundo D’Ambrosio (1985, p.15-19) a aula de Matemática é uma aula expositiva, onde o professor é quem determina e propõe o que é importante ou não para ser passado aos alunos no quadro negro, já os alunos transcrevem as informações do quadro para o caderno e iniciam atividades e exercícios de aplicação do conceito proposto pelo professor. Assim este aluno que fica em sua carteira copiando, depois inicia a realização de exercício pelo método de repetição (mecanização), sua aprendizagem parte pelo processo de transmissão de conhecimento. A didática e a metodologia tradicional, segundo a mesma autora, encontram-se desatualizadas, sendo necessário, portanto pensar em novas metodologias que possibilitem uma aprendizagem significativa respeitando as características individuais de cada um, desenvolvendo a autoconfiança e aproximando a Matemática do cotidiano em que o aluno vive, dando condições para este participar ativamente dos processos de ensino e de aprendizagem da Matemática e das demais disciplinas do contexto escolar, formando, desse modo, um cidadão crítico, criativo e transformador de sua realidade. (D’AMBROSIO, 1998). Neste sentido a contação de história pode ser de grande ajuda no atual sistema escolar, pois ela tem a potencialidade para favorecer a imaginação e a criatividade dos alunos, já que utiliza recursos simples e de fácil acesso para o professor e até mesmo para os alunos. 15 Contudo para alguns docentes esse recurso didático, é apenas vinculado a alfabetização e não sendo utilizado em outras disciplinas escolares. Desta forma, a contação de história pode contribuir para uma aprendizagem significativa, de caráter motivador, onde o aluno possa tornar-se protagonista do seu conhecimento, desenvolvendo competências e habilidades significativas ao raciocínio matemático (ou às tarefas investigativas exigidas pelo pensar matemático). Para Gasperi e Pacheco (2007, p.3-4) a história como forma de metodologia torna o aluno um sujeito pensante onde ele possa desenvolver seu próprio conhecimento sendo de vital importância, pois desta forma motiva o estudo e a aprendizagem Matemática com significados e qualidade. Para Dalcin (2002, p.60) assim como Castro e Souza (2011, p.2-6) as narrativas de ficção à quais chamamos e conhecemos como histórias servem como um fio condutor e formador de estruturas cognitivas, afetivas e sociais dos alunos, pois permitem o desenvolvimento da imaginação, da criatividade e do conhecimento próprio. Segundo D’Ambrosio (1996, p.7-17), no ensino de Matemática, a história pode despertar a curiosidades e o interesse pela Matemática, motivando dessa maneira, o estudo dessa ciência e sendo, desse modo, um recurso de grande ajuda e importância para os professores dessa área, pois o fato de contar histórias no ensino da Matemática faz com que a aprendizagem dos alunos assuma aspectos críticos e reflexivos, na medida em que a interpretação e análise pode tornar mais atrativa a disciplina, apresentando desafios e novidades em relação ao ensino e aprendizagem de Matemática. 1.1 JÚLIO CÉSAR DE MELLO E SOUZA Júlio César de Mello e Souza nascido em 6 de maio de 1895, no Rio do Janeiro e falecido em 18 de junho de 1974 em Recife, devido a um ataque cardíaco. Segundo Lacaz e Oliveira (2003, p.424-425), Júlio Mello e Souza tem origem pobre e é o quíntuplo filho de nove irmãos. Seus pais João de Deus de Mello e Souza e Carolina Carlos de Mello e Souza se conhecem e se casam na pequena cidade de Queluz (Vale do Paraíba) – SP. Ambos atuam como docentes no Colégio João de Deus, sendo criado em 1882 por João de Deus de Mello e Souza e seu irmão Irineu, com a ajuda financeira de um rico fazendeiro da 16 região Antonio Cirino. Contudo devido à crise financeira do café (Encilhamento 18911), o colégio é fechado e a família Mello e Souza se muda para o Rio de Janeiro. Por causa de dificuldades financeiras retornam para Queluz em 1897, agora com seis filhos dentre eles Júlio Mello e Souza. Na cidade o casal teve mais três filhos, totalizando uma família de nove filhos, mas João de Deus fica doente e sua esposa passa a manter a família. Júlio Mello e Souza estuda em casa, com a ajuda de seu irmão mais velho João Batista de Mello e Souza, para ingressar no Colégio Militar do Rio de Janeiro. Segundo Lacaz e Oliveira (2003, p.424-426), nessas instruções João Batista Mello e Souza analisa que seu irmão é um excelente contador de histórias, mas escreve mal e não tem domínio dos conhecimentos matemáticos. Contudo em 1906, contrariando os relatos de seu irmão, ele ingressa no Colégio Militar onde permanece até 1909. Nessa mesma época transfere-se para o Colégio Pedro II, onde cursa o ensino secundário. Durante o curso vende redações para os colegas, critica a didática da época, não se destaca no estudo da Matemática, mas demonstra “seu amor pela escrita de histórias, ao fundar, durante as férias escolares, um pequeno jornal chamado ERRE, onde assina como Salomão IV. No único exemplar com contos, opiniões sobre a didática das disciplinas escolares”. (FARIA, 2004, p.30-32). Na Escola Nacional do Rio de Janeiro Mello e Souza forma-se professor primário. Posteriormente diploma-se em Engenharia Civil pela escola Politécnica do Rio de Janeiro em 1913, sem nunca exercer a profissão. Júlio Mello e Souza atua como professor na capital brasileira da época, atua nas seguintes instituições: no Colégio Pedro II, na Escola Nacional, no Instituto de Educação, na Universidade do Brasil e na Faculdade Nacional de Educação, onde recebe o título de Professor Emérito. No Colégio Pedro II começa a lecionar História, Geografia e Física, posteriormente Matemática. Nas demais instituições, trabalha com a disciplina de Matemática. Já em 1918, Júlio Mello e Souza trabalha como secretário no jornal “O Imparcial” onde apresenta alguns contos ao diretor, esse com descaso, pega os contos e coloca no canto da mesa e sobre eles um pedaço de chumbo, ao ver isso Júlio Mello e Souza conclui que nada seria feito com seu trabalho, pois seus textos não são lidos e muito menos publicados, então decide pegar seus contos e trocar sua assinatura de J.C. Mello e Souza por de R. S. Slady, um norte americano, e reencaminha os textos para o jornal. No dia seguinte seus contos são 1Encilhamento passou a designar tanto a política econômica como a crise financeira do período de 1890 à 1891. 17 publicados, criando então uma mistificação literária2. Em uma entrevista dada a Neusa Fernandes do Museu da Imagem e do Som do Rio de Janeiro, em 25 de Abril de 1973, Júlio Mello e Souza relata sua reação ao ver sua obra publicada no jornal, com a assinatura de um pseudônimo: “– Que diabo! Então, quando é J.C. Mello e Souza, chumbo em cima! Quando é R. S. Slady, primeira página, duas colunas! Então Resolvi fazer uma mistificação literária”. (FARIA, 2004, p.200). Nos sete anos seguintes Júlio Mello e Souza dedica-se a estudar a cultura Árabe, que o fascinava desde criança. Estuda profundamente seu livro favorito “As Mil e Uma Noites3”, e passa a escrever contos inspirado nesse livro. O professor Júlio Mello e Souza constitui família após se casar com uma ex-aluna sua Nair Marques da Costa de Melo e Souza com quem tem três filhos: Rubens Sérgio, Sônia Maria e Ivan Gil. Ganha o título de Professor Catedrático na escola Nacional de Belas Artes, Catedrático na Faculdade Nacional de Arquitetura e Catedrático no Instituto de Educação do RJ /ex- Escola Normal do RJ. (FARIA, 2004, p.218). Júlio Mello e Souza atua também como palestrante, levando suas ideias e trabalho por diferentes regiões do Brasil. Durante sua participação num evento científico, na cidade de Recife, passa mal e falece por conta de um ataque cardíaco no dia 18 de junho de 1974. Seu legado e suas contribuições no ensino de Matemática, faz com que no dia de seu nascimento, 6 de maio, comemore o Dia Nacional da Matemática4. No âmbito da Educação Matemática, as ideias de Júlio Mello e Souza revolucionam e modificam a Educação, desta forma uma educação significativa, modeladora e flexível, pois para ele não é necessário que o professor complique, ou utilize numerosas e cansativas fórmulas matemáticas, mas sim que através de simples situações problemas ou pela contação de histórias ocorra investigações e manipulações das informações e dados obtidos e adquiridos. Segundo Lorenzato (2004, p.2) Júlio Mello e Souza, afirma que a Geometria de sua época é um amontoado de demonstrações e de inúteis medições, a Álgebra confundida com algebrismo e a Aritmética com imensos cálculos numéricos, não falando em ensino de 2Mistificação literária é quando um escritor faz uma obra e a atribui a outro escritor, vivo real ou imaginário. (OLIVEIRA, 2001, p. 161) 3É o título de uma das mais famosas obras da literatura árabe, é composta por uma coleção de contos escritos entre os séculos XIII e XVI. 4De acordo com a lei 3482/2004 aprovada pelo Congresso Nacional no ano de 2004, no intuito de divulgar a ciência como uma importante ferramenta de trabalho humano. 18 Matemática. Ainda conforme o autor o Professor Júlio Mello e Souza recomenda o uso dos jogos como situação de aprendizagem, o uso de paradoxos, falácias e recreações nas salas de aula, apresentação de situações problemas de caráter investigativo, motivador e interessante, a contação de histórias e a integração da língua materna com a linguagem matemática, possibilitando se não o ensino atual de Matemática, algo diferente do que no tempo do professor Júlio Mello e Souza. 1.1.1 Quem é Malba Tahan? Malba Tahan é o pseudônimo do professor Júlio César de Mello e Souza, um nome criado por ele para assinar e vender seus contos e escritos, já que na época contos de brasileiros não eram bem vistos e nem publicados no Brasil. A inspiração do pseudônimo Malba Tahan vem do nome de uma ex-aluna do professor Júlio Mello e Souza, que se chama Maria Zechsuk Tahan (SCOPEL, 2010, p.22). O significado de Malba Tahan, para Faria (2004, p.34) Malba é nome de um oásis5, e Tahan significa moleiro6, aquele que prepara o trigo. De acordo com Scopel (2010, p.22) os escritos assinados por Malba Tahan são publicados pela primeira vez em 1925, em uma série de contos chamados “Contos de Mil e Uma Noites”, no Jornal A Noite no Rio de Janeiro. Malba Tahan recebe do professor Júlio Mello e Souza uma bibliografia própria: Ali Yezzid Izz-Eddin Ibn-Salin Hank Malba Tahan, famoso escritor árabe, descendente de tradicional família mulçumana, nasce em 6 de maio de 1885, na aldeia de Muzalit, nas proximidades da antiga cidade de Meca. Seus primeiros estudos no Cairo, e, mais tarde, transporta-se para Constantinopla, onde conclui oficialmente seu curso de ciências sociais. Datam dessa época seus primeiros trabalhos literários, que são publicados, em idioma turco, em diversos jornais e revistas. A convite de seu amigo, o Emir Abdel-Azziz bem Ibrahin, exerce Malba Tahan, durante vários anos, o cargo de queimaçã7 na cidade de El-Medina, tendo desempenhado as suas funções administrativas com rara inteligência e habilidade consegue, mais de uma vez evitar graves incidentes entres peregrinos e as autoridades locais; e procura sempre dispensar valiosa e desinteressada proteção aos estrangeiros ilustres que visitam os lugares sagrados do Islã. 5Nos desertos, pequena região em que a presença da água permite a cultura e onde as caravanas descansam e se orientam. Todo recanto que oferece calma, repouso. 6Dono de moinho. Aquele que trabalha em moinho. 7Prefeito 19 Pela morte de seu pai, em 1912, recebe Malba Tahan valiosa herança; abandona, então, o cargo que exerce em El-Medina e inicia uma longa viagem através de várias partes do mundo. Atravessa a China, visita o Japão, percorre a Rússia e grande parte da Índia, observando os costumes e estudando as tradições dos diferentes povos. Entre as suas obras mais notáveis, citam-se as seguintes: Roba-el-Khali, Al- Samir, Sama Ullah, Maktub, Lendas do Deserto, Mártires da Armênia e muitas outras. (TAHAN, 1963, p.5-6). O aventureiro e estudioso Malba Tahan morre ao lutar pela libertação de uma tribo na Arábia Central no ano de 1921. (VILLAMEA, 1995, p.9). O sucesso dos contos é tanto que após Júlio Mello e Souza se apresentar como Malba Tahan, o Presidente da República da época, Getúlio Vargas8, autoriza que na cédula de identidade do professor Júlio César de Mello e Souza esteja também o nome Malba Tahan. 1.2 MALBA TAHAN E SUAS OBRAS Malba Tahan publica mais de 120 livros, dentre os quais se destacam os livros de caráter Matemático como, Geometria, Geometria Analítica, Trigonometria Hiperbólica. Livros para formação e capacitação de professores e ingressantes a Docência e Magistérios como Didática da Matemática, A Arte de Ser Um Perfeito Mau Professor, Livros e escritos didáticos Matemáticos: Matemática Divertida e Curiosa, O Homem Que Sabia Contar. E por término livros de contos e histórias sobre os árabes: O livro de Aladim, Novas Lendas Orientais, Mil Histórias sem Fim, além do seu livro mais famoso: O Homem que Calculava. (LACAZ e OLIVEIRA, 2003, p.425). 1.2.1 Didática de Malba Tahan De acordo com Lorenzato (2004, p.1-3) e Valente (2005, p.174-178) a Matemática ensinada nas escolas, na época de Malba Tahan no Brasil, não conseguia despertar a atenção e o interesse dos alunos, por usar excessivamente definições e fórmulas, se pautar em exercícios rigorosos e de proporções imensas, caracterizando-se pela memorização e mecanização do 8Presidente da República Federativa do Brasil de 1930 a 1945 e de 1951 a 1954. 20 processo do ensino e da aprendizagem. Além disso, segundo os mesmos autores, também se caracteriza por ser a disciplina que mais reprova os estudantes e por esse motivo, é temida pelos jovens. Não há livros, artigos e conteúdos didáticos para o ensino. Malba Tahan é um crítico severo da didática usual de Matemática da primeira metade do século XX (contam-se episódios de violentas discussões que trava em congressos e conferências). “O professor de Matemática em geral é um sádico”, acusa, “Ele tem o prazer de complicar tudo”. É um pioneiro no uso didático da História da Matemática, na defesa de um ensino baseado na resolução de problemas não mecânicos, na exploração didática das atividades recreativas e no uso de material concreto no ensino da Matemática. (LACAZ e OLIVEIRA, 2003, p.426). As ideias de Malba Tahan sobre o ensino e a aprendizagem da Matemática são mais avançadas do que sua época, pois para os professores o ensino é através da memorização e a aprendizagem pelas práticas repetitivas. Já para Malba Tahan, o objetivo do ensino de Matemática é, desenvolver o conhecimento e compreensão de certas definições e relações da Matemática; Fazer com que os alunos saibam aplicar os conhecimentos obtidos através do estudo da Matemática, nos trabalhos de oficina e nos conhecimentos correntes da vida em geral; Desenvolver a habilidade de calcular, generalizar, analisar, induzir, deduzir, sistematizar gráficos, usar a linguagem algébrica e familiarizar-se com a mensuração; Desenvolver a habilidade de empregar o pensamento lógico e a visão de conjunto; Despertar o interesse pela resolução de problemas, leitura de revistas e livros de Matemática, formarem coleções, etc. (TAHAN, 1961, p. 154). Segundo Oliveira (2007, p.18) na didática de MalbaTahan, a formação do professor de Matemática deve seguir os métodos de ensino da História da Matemática e da Resolução de Problemas, desenvolver a capacidade de refletir, criticar e modificar o ensino, se necessário, além de ser capaz de revisar programas e currículos, trabalhar de maneira interdisciplinar promovendo ambientes de aprendizagem significativos para os estudantes. 1.2.2 O Homem que Calculava: Conteúdo e Didática O livro de maior sucesso do escritor Malba Tahan, é O Homem que Calculava. Com sua primeira edição em 1932, pela editora Record no Rio de Janeiro. Com esse livro Malba Tahan recebe inúmeras premiações, como da Academia Nacional de Letras e de Academias 21 Estaduais de Letras e de Universidades. Além disso, o livro também é traduzido para mais de 20 línguas e conta com cerca de 40 edições. A história encontrada no livro trata das aventuras e proezas Matemáticas do calculista persa Beremiz Samir narradas por Hank-Tade-Maiá, que fica fascinado com a facilidade e esperteza de seu amigo ao realizar os cálculos e resolver problemas considerados impossíveis. O livro tem como característica uma abordagem Matemática menos formal (não algébrica) e significativa, ou seja, ele é capaz de despertar e provocar nos leitores sua imaginação e criatividade, já que se trata de uma história em que relata a importância e a presença da Matemática no cotidiano dos personagens árabes. O objetivo do livro não é a formalização dos modelos matemáticos que resolvam cada uma das inusitadas situações com que se deparam seus divertidos personagens, embora o autor teça, no final, alguns comentários acerca dos problemas. (LACAZ e OLIVEIRA, 2003, p.428). O Homem que Calculava pode ser utilizado no ensino e na aprendizagem Matemática, pois o conteúdo nele apresentado pode ser transformado em um material didático e pedagógico para os professores. O livro apresenta problemas matemáticos mesclados com a cultura e os escritos árabes por meio de histórias que ocorrem na Arábia. Um exemplo é o tema deste trabalho o caso dos quatro quatros, que acontece em um mercado de Bagdá, e possibilita o estudo da regra ou convenção para a resolução de expressões Aritméticas, das operações matemáticas (adição, subtração, multiplicação, divisão e radiciação), além do estudo do Fatorial, Terminal, Logaritmo. Em relação aos alunos pode se destacar algumas vantagens na utilização do livro, como por exemplo, o desenvolvimento de competências e habilidades, a imaginação e a criatividade, conhecimento matemático (as operações, situações, problemas existentes, o uso da lógica, da linguagem materna e da matemática). Desta forma opto por trabalhar com o caso dos quatro quatros9 com o objetivo de desenvolver um ambiente de aprendizagem que promova a discussão da linguagem matemática com os estudantes, que, segundo a professora da turma, apresentam dificuldades na escrita e na leitura em Matemática. 9Ver em Anexo I- Plano de Ensino 22 CAPÍTULO 2 COMPETÊNCIAS E HABILIDADES NO ENSINO E NA APRENDIZAGEM MATEMÁTICA Este capítulo tem por objetivo apresentar uma síntese sobre o que são competências e habilidades no Ensino de Matemática. Para tanto, apresento um estudo sobre o significado das palavras competência e habilidade no léxico, nos documentos oficiais, mais especificamente, nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) e no Currículo do Estado de São Paulo e, também, em pesquisas que tratam do assunto. Por último, específico as competências e habilidades presentes nos documentos oficiais, que em minha compreensão dizem respeito ao trabalho com Números e Operações Matemáticas no Ensino Fundamental. 2.1 COMPETÊNCIAS E HABILIDADES Ao estudar esse assunto no cenário da pesquisa em educação encontro divergências entre os autores sobre o que são competências e habilidades e que para alguns autores existe uma ligação ou semelhança entre esses temas enquanto para outros não. Segundo Valente (2011, p.2) a noção de competência, inicia-se com o movimento Escola Nova10, se fortalece na década de 70 com o ensino tecnicista e, atualmente, está presente nos discursos sociais e científicos contemporâneos que tematizam a Educação. As competências são citadas nos documentos oficiais, nas ações governamentais voltadas para a Educação, nas discussões e formações pedagógicas e no ambiente escolar como um todo. Desse modo, a escola teria como papel formar pessoas competentes. Pessoas competentes são aquelas capazes de resolver situações problema de maneira satisfatória, que sabem como agir perante o inesperado, que são capazes de sentir-se bem consigo mesmas e de integrar-se nos diferentes sistemas sociais: família, trabalho, comunidade. São pessoas que procuram melhorar o ambiente em que 10Escola Nova ou Renovada ocorre por volta do fim do século XIX, caracteriza-se por práticas educacionais, fundamentadas em Dewey. Seu propósito era inverter a ação pedagógica tradicional, enfatizando mais a ação do que a teoria (VALENTE, 2011, p. 2). 23 vivem, lutando para transformá-lo. (BRASLAVSKY, 1999, apud VALENTE11, 2011, p.3). De acordo com os dicionários Michaelis (2009) e Houaiss (2012) da Língua Portuguesa, a palavra competência diz 1) da capacidade legal, de um funcionário ou um tribunal, de apreciar ou julgar um pleito ou questão. 2) da faculdade para apreciar e resolver qualquer assunto.3) da aptidão, idoneidade. 4) da presunção de igualdade [...]. (MICHAELIS, 2009). 1) da atribuição, jurídica ou consuetudinária12, de desempenhar certos encargos ou de apreciar ou julgar determinados assuntos: competência de um tribunal. 2) Capacidade decorrente de profundo conhecimento que alguém tem sobre um assunto: recorrer à competência de um especialista. 3) Conhecimento. (HOUAISS, 2012). Desse modo, uma competência dá ao sujeito a capacidade de desenvolver habilidades. Habilidade é 1) Para a teoria gerativa, capacidade que tem o falante nativo de uma língua para entender e produzir um número infinito de orações. 2) Qualidade de hábil. 3) Capacidade, inteligência. 4) Aptidão, engenho, destreza, astúcia, manha. (MICHAELIS, 2009). 1) Característica ou particularidade daquele que é hábil; capacidade, destreza, agilidade aptidão, capacidade, inclinação, jeito, orientação, predisposição, propensão, qualidade, tendência e vocação. (HOUAISS, 2012). Ainda, de acordo com Valente (2011, p. 5), que estuda o significado e a relação das palavras competência e habilidade em textos que abordam esse tema, não há um consenso entre os autores sobre o que é competência, como nos exemplos a seguir: Uma capacidade de agir eficazmente em um determinado tipo de situação, apoiada em conhecimentos, mas sem limitar-se a eles. (PERRENOUD13 apud VALENTE, 2011, p.5). 11BRASLAVSKY, C. Re-haciendo escuelas: hacia um nuevo paradigma em la educación latino americana. Buenos Aires: Santillna, 1999 apud VALENTE, S. M. P. Ensino e Avaliação em uma proposta para a formação de competências. São Paulo, 2011, 18.p. 12Sistema normativo que se fundamenta no costume e cujas disposições vão conformando, de acordo com a prática constante do comportamento e condutas de um grupo social determinado, no pleito normativo. (HOUAISS, 2012). 13PERRENOUD, P. Construir as competências desde a escola. Porto Alegre: Ates Médicas Sul, 1999 apud VALENTE, S. M. P. Ensino e Avaliação em uma proposta para a formação de competências. São Paulo, 2011, 18 p. 24 Competências são conhecimentos, habilidades, atitudes e apreciações, exigidos para o desempenho bem sucedido de uma tarefa num determinado nível de proficiência. (RAMOS14 apud VALENTE, 2011, p.5). Competências são habilidades que podem ser desenvolvidas, não necessariamente, inatas, e que se manifestam no desempenho. (RAMOS15 apud VALENTE, 2011, p.5). Para Perrenoud (1999) competência é uma capacidade. Já para Ramos (1980) competência é um conhecimento, uma habilidade ou uma atitude. Ainda para Ramos (1980), competência são habilidades a serem desenvolvidas. Nos documentos oficiais que tratam da avaliação em larga escala, como por exemplo: o Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica (SAEB), o Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM) e o Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São Paulo (SARESP) competências e habilidades são diferenciadas. “As Diretrizes de ensino fazem menção às competências básicas, como competências e habilidades relacionadas às áreas de conhecimento sem, contudo, conceituá-las. [...]” (VALENTE, 2011, p.6). As Matrizes Curriculares de Referência do SAEB, segundo Pestana (1999) referem-se às competências cognitivas, que são as modalidades estruturais da inteligência, ações e operações que o sujeito utiliza para estabelecer relações com e entre os objetos, situações, fenômenos e pessoas que deseja conhecer. Já as habilidades instrumentais referem-se, especificamente, ao plano do “saber fazer” e decorrem, diretamente, do nível estrutural das competências adquiridas e que se transformam em habilidades. (VALENTE, 2011, p.10). Já a Matriz de Referência do SARESP, que também fala em competências cognitivas, diz que essas são modalidades estruturais da inteligência. Modalidades, pois expressam o que é necessário para compreender ou resolver um problema. Ou seja, valem por aquilo que integram, articulam ou configuram como resposta a uma pergunta. Ao mesmo tempo, são modalidades porque representam diferentes formas ou caminhos de se conhecer. Um mesmo problema pode ser resolvido de diversos modos. (SÃO PAULO, 2009, p.14). 14RAMOS, C. L. C. Supervisor educacional de recursos humanos: competências básicas para sua formação e desempenho, 1980. Dissertação (Mestrado) - Faculdade de Educação, Universidade Federal do Paraná, Curitiba, 1980 apud VALENTE, S. M. P. Ensino e Avaliação em uma proposta para a formação de competências. São Paulo, 2011, 18 p. 15 RAMOS, C. L. C. Supervisor educacional de recursos humanos: competências básicas para sua formação e desempenho, 1980. Dissertação (Mestrado) - Faculdade de Educação, Universidade Federal do Paraná, Curitiba, 1980 apud VALENTE, S. M. P. Ensino e Avaliação em uma proposta para a formação de competências. São Paulo, 2011, 18 p. 25 Por essa razão, as habilidades devem ser caracterizadas de modo objetivo, mensurável e observável. Elas possibilitam saber o que é necessário que o aluno faça para dar conta e bem do que foi solicitado em cada questão ou tarefa. (SÃO PAULO, 2009, p.13). De acordo com o documento base do ENEM, competências são as modalidades estruturais da inteligência, ou melhor, ações e operações que utilizamos para estabelecer relações com e entre objetos, situações, fenômenos e pessoas que desejamos conhecer. As habilidades decorrem das competências adquiridas e referem-se ao plano imediato do “saber fazer”. Através das ações e operações, as habilidades aperfeiçoam-se e articulam se, possibilitando nova reorganização das competências. (BRASIL, 1999, p.99). Desse modo, com a clareza de que não há uma única definição de competência e de habilidade no contexto educacional e de que ao desenvolver uma competência trabalha-se com várias habilidades e que habilidade é a competência de “fazer o que deve ser feito, sem se quer pensar porque já o fez”. (PERRENOUD16 apud VALENTE, 2011, p.5), concordo com esse autor, que afirma que há um paradoxo, envolvendo competências e habilidades, pois a “competência aparentemente desaparece no momento exato em que alcança sua máxima eficácia”. (PERRENOUD17 apud VALENTE, 2011, p.5). 2.2 COMPETÊNCIAS E HABILIDADES MATEMÁTICAS PARA O ENSINO FUNDAMENTAL 2.2.1 Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) Ao estudar os PCN concluo que eles não descrevem as competências e habilidades que devem ser desenvolvidas especificamente para a disciplina de Matemática. Eles listam objetivos gerais para o Ensino Fundamental ou capacidades que o estudante deve possuir ao término desse ciclo. Tais capacidades são apresentadas no quadro I18. 16PERRENOUD, P. Construir as competências desde a escola. Porto Alegre: Ates Médicas Sul, 1999 apud VALENTE, S. M. P. Ensino e Avaliação em uma proposta para a formação de competências. São Paulo, 2011, 18 p. 17 PERRENOUD, P. Construir as competências desde a escola. Porto Alegre: Ates Médicas Sul, 1999 apud VALENTE, S. M. P. Ensino e Avaliação em uma proposta para a formação de competências. São Paulo, 2011, 18 p. 18 (BRASIL, 1997, p.7-8) 26 QUADRO I - OBJETIVOS GERAIS SEGUNDO PCN OBJETIVOS Compreender a cidadania como participação social e política, assim como exercício de direitos e deveres políticos, civis e sociais, adotando, no dia-a-dia, atitudes de solidariedade, cooperação e repúdio às injustiças, respeitando o outro e exigindo para si o mesmo respeito; Posicionar-se de maneira crítica, responsável e construtiva nas diferentes situações sociais, utilizando o diálogo como forma de mediar conflitos e de tomar decisões coletivas; Conhecer características fundamentais do Brasil nas dimensões sociais, materiais e culturais como meio para construir progressivamente a noção de identidade nacional e pessoal e o sentimento de pertinência ao país; Conhecer e valorizar a pluralidade do patrimônio sociocultural brasileiro, bem como aspectos socioculturais de outros povos e nações, posicionando-se contra qualquer discriminação baseada em diferenças culturais, de classe social, de crenças, de sexo, de etnia ou outras características individuais e sociais; Perceber-se integrante, dependente e agente transformador do ambiente, identificando seus elementos e as interações entre eles, contribuindo ativamente para a melhoria do meio ambiente; Desenvolver o conhecimento ajustado de si mesmo e o sentimento de confiança em suas capacidades afetiva, física, cognitiva, ética, estética, de inter-relação pessoal e de inserção social, para agir com perseverança na busca de conhecimento e no exercício da cidadania; Conhecer o próprio corpo e dele cuidar, valorizando e adotando hábitos saudáveis como um dos aspectos básicos da qualidade de vida e agindo com responsabilidade em relação à sua saúde e à saúde coletiva; Utilizar as diferentes linguagens verbal, musical, matemática, gráfica, plástica e corporal como meio para produzir, expressar e comunicar suas ideias, interpretar e usufruir das produções culturais, em contextos públicos e privados, atendendo a diferentes intenções e situações de comunicação; Saber utilizar diferentes fontes de informação e recursos tecnológicos para adquirir e construir conhecimentos; Questionar a realidade formulando-se problemas e tratando de resolvê-los, utilizando para isso o pensamento lógico, a criatividade, a intuição, a capacidade de análise crítica, selecionando procedimentos e verificando sua adequação. 2.2.2 Matrizes de Referência para o Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São Paulo (SARESP) 27 O SARESP, diferentemente dos PCN, expõe as competências, habilidades e conteúdos que devem ser desenvolvidas na disciplina de Matemática ao longo do Ensino Fundamental. O SARESP divide as competências em três grupos, Grupo I, Grupo II e Grupo III para todas as disciplinas que a avaliação engloba. O Grupo I é nomeado como Competências para Observar - segundo características de Jean Piaget, no que diz respeito aos “presentativos ou representativos”, ou seja, o aluno pode ao ler a avaliação, registrar as informações e decidir a resposta mais coerente. (SÃO PAULO, 2009, p.16). As habilidades associadas ao Grupo I são identificar, reconhecer, indicar, apontar semelhanças e diferenças, definir posições ou relações entre as coisas, envolvê-las entre si, isto é, definir suas diversas possibilidades de relação, fazer constatações, enfim, estabelecer correspondências entre aquilo que está escrito ou proposto como problema no objeto (questões da prova) e aquilo que o aluno que vai decidir por uma reposta pôde assimilar (isto é, ler, interpretar). (SÃO PAULO, 2009, p.16). O Grupo II contempla as Competências para Realizar - o estudante é capaz de realizar procedimentos em suas decisões. “Os procedimentos são modos de estabelecer relações que transformam os conteúdos relacionados, dando a eles uma configuração diferente de acordo com essas relações”. (SÃO PAULO, 2009, p.18). As habilidades são saber observar, identificar, diferenciar e, portanto, considerar todas as habilidades relativas às competências para representar que, na prática, implicam traduzir estas ações em procedimentos relativos ao conteúdo e ao contexto de cada questão em sua singularidade. (SÃO PAULO, 2009, p.18). O Grupo III - Competências para Compreender - são esquematizações para resolução de uma situação problema, através das “competências cognitivas ou nas operações mentais”. (SÃO PAULO, 2009, p.18). Já as habilidades presentes neste grupo são analisar fatos, acontecimentos ou possibilidades na perspectiva de seus princípios, padrões e valores; aplicar relações conhecidas em situações novas, que requerem tomadas de decisão, prognósticos ou antecipações hipotéticas; formular julgamentos de valor sobre proposições; criticar, analisar e julgar em situações relativas a temas não redutíveis à experiência estrito senso; formular ou compreender explicações causais que envolvem relações e situações complexas; apresentar conclusões, fazer proposições ou compartilhar projetos em grande escala ou domínio abrangente; argumentar ou fazer suposições que envolvem grande número de relações ou perspectivas; fazer prognósticos que implicam interpretações não redutíveis a casos conhecidos; fazer generalizações ou deduções que implicam bom domínio da lógica; 28 apresentar justificativas ou explicações sobre acontecimentos, experiências ou proposições. (SÃO PAULO, 2009, p.19). Apresento as competências e habilidades da disciplina Matemática nos quadros II19, III20 e IV21. 19 (SÃO PAULO, 2009, p.66) 20 (SÃO PAULO, 2009, p.76) 21 (SÃO PAULO, 2009, p.78) 29 QUADRO II - COMPETÊNCIAS DO SUJEITO NO 5° ANO/4ª SÉRIE COMPETÊNCIAS DO SUJEITO NO 5°ANO/4ª SÉRIE Objetos do conhecimento (conteúdos) GRUPO I Competências para observar GRUPO II Competências para realizar GRUPO III Competências para compreender Tema 1 – Números, Operações, Funções. Identificar a localização de números naturais na reta numérica. Relacionar a escrita numérica às regras do sistema posicional de numeração. Resolver problemas que envolvam a adição ou a subtração, em situações relacionadas aos seus diversos significados. Escrever um número natural pela sua decomposição em forma polinomial. Calcular o resultado de uma adição ou subtração de números naturais. Resolver problemas que envolvam a multiplicação e a divisão, especialmente em situações relacionadas à comparação entre razões e à configuração retangular. Identificar diferentes representações de um mesmo número racional. Calcular o resultado de uma multiplicação ou divisão de números naturais. Resolver problemas que utilizam a escrita decimal de cédulas e moedas do sistema monetário brasileiro. Identificar a localização de números racionais representados na forma decimal na reta numérica. Resolver problemas com números racionais expressos na forma decimal que envolvam diferentes significados da adição ou subtração. Identificar fração como representação que pode estar associada a diferentes significados (parte/todo, quociente, razão). Resolver problema que envolvam noções de porcentagem (25%, 50%, 100%). Identificar a fração decimal correspondente a um número decimal dado e vice-versa. Identificar sequências numéricas. Identificar e localizar na reta números naturais escritos com 3 e 4 dígitos. 30 QUADRO III - COMPETÊNCIAS DO SUJEITO NO 7° ANO/6ª SÉRIE COMPETÊNCIAS DO SUJEITO NO 7°ANO/6ª SÉRIE Objetos do conhecimento (conteúdos) GRUPO I Competências para observar GRUPO II Competências para realizar GRUPO III Competências para compreender Tema 1 – Números, Operações, Funções, Iniciação à Álgebra. Reconhecer as principais características do sistema decimal: contagem, base, valor posicional. Fazer cálculos que envolvam adições e subtrações de frações. Estabelecer relações entre números naturais tais como “ser múltiplo de”, “ser divisor de” e reconhecer números primos e números compostos. Representar medidas não inteiras utilizando frações. Fazer cálculos que envolvam adições e subtrações de números decimais. Resolver problemas que envolvam as quatro operações básicas entre números inteiros (adição, subtração, multiplicação e divisão). Representar quantidades não inteiras utilizando notação decimal. Efetuar cálculos com potências. Aplicar uma ordem de operações ao resolver problemas (parênteses, multiplicação, divisão, adição e subtração). Compreender a relação entre as representações fracionária e decimal de um número. Efetuar cálculos com multiplicação e divisão de números decimais. Expressar e resolver problemas por meio de equações. Efetuar cálculos com adição, subtração, multiplicação e divisão com negativos. Ler e escrever expressões algébricas correspondentes a textos matemáticos escritos em linguagem corrente e, vice-versa. Resolver equações do 1º grau. 31 QUADRO IV - COMPETÊNCIAS DO SUJEITO NO 9° ANO/8ª SÉRIE COMPETÊNCIAS DO SUJEITO NO 9°ANO/8ª SÉRIE Objetos do conhecimento (conteúdos) GRUPO I Competências para observar GRUPO II Competências para realizar GRUPO III Competências para compreender Tema 1 – Números, Operações, Funções, (Racionais / potenciação, Números reais, Expressões algébricas, Equações, Gráficos cartesianos, Equações do 2º grau, funções). Reconhecer as diferentes representações de um número racional. Utilizar a notação científica como forma de representação adequada para números muito grandes ou muitos pequenos. Resolver problemas com números racionais que envolvam as operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação). Identificar fração como representação que pode estar associada a diferentes significados. Efetuar cálculos que envolvam operações com números racionais (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação – expoentes inteiros e radiciação). Resolver problemas que envolvam porcentagem. Reconhecer as representações decimais dos números racionais como uma extensão do sistema de numeração decimal identificando a existência de “ordens” como décimos centésimos e milésimos. Efetuar cálculos simples com valores aproximados de radicais. Resolver problemas que envolvam equações com coeficientes racionais. Representar os números reais geometricamente na reta numerada. Realizar operações simples com polinômios. Resolver sistemas lineares (métodos da adição e da substituição). Identificar a expressão algébrica que expressa uma regularidade observada em sequências de números ou figuras (padrões). Simplificar expressões algébricas que envolvam produtos notáveis e fatoração. Resolver problemas que envolvam equações do 2º grau. Identificar um sistema de equações do 1º grau que expressa um problema. Expressar as relações de proporcionalidade Resolver problemas envolvendo relações de proporcionalidade direta 32 direta entre uma grandeza e o quadrado de outra por meio de uma função do 2º grau. entre duas grandezas por meio de funções do 1º grau. Identificar a relação entre as representações algébrica e geométrica de um sistema de equações do 1º grau. Reconhecer a representação geométrica dos produtos notáveis. 2.2.3 Matrizes Curriculares de Referência do Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica (SAEB) Cada matriz de referência apresenta tópicos ou temas com descritores que indicam as habilidades em Matemática a serem avaliadas. O Descritor é uma associação entre conteúdos curriculares e operações mentais desenvolvidas pelo, que traduzem certas competências e habilidades, desde modo eles: 1) Indicam habilidades gerais que se esperam dos alunos; 2) Constituem a referência para seleção dos itens que devem compor uma prova de avaliação. (BRASIL, 2009, p.18). O quadro V22 apresenta os descritores para cada ano do Ensino Fundamental. QUADRO V - NÚMEROS E OPERAÇÕES/ÁLGEBRA E FUNÇÕESE SEUS DESCRITORES. ANO/SÉRIE DESCRITORES 5°/4ª Reconhecer e utilizar características do sistema de numeração decimal, tais como agrupamentos e trocas na base 10 e princípio do valor posicional. 5°/4ª Identificar a localização de números naturais na reta numérica. 5°/4ª Reconhecer a decomposição de números naturais nas suas diversas ordens. 5°/4ª Reconhecer a composição e a decomposição de números naturais em sua forma polinomial. 5°/4ª Calcular o resultado de uma adição ou subtração de números naturais. 5°/4ª Calcular o resultado de uma multiplicação ou divisão de números naturais. 5°/4ª Resolver problema com números naturais, envolvendo diferentes significados da 22(BRASIL, 2009, p. 108 e153) 33 adição ou subtração: juntar, alteração de um estado inicial (positiva ou negativa), comparação e mais de uma transformação (positiva ou negativa). 5°/4ª Resolver problema com números naturais, envolvendo diferentes significados da multiplicação ou divisão: multiplicação comparativa, ideia de proporcionalidade, configuração retangular e combinatória. 5°/4ª Identificar diferentes representações de um mesmo número racional. 5°/4ª Identificar a localização de números racionais representados na forma decimal na reta numérica. 5°/4ª Resolver problema utilizando a escrita decimal de cédulas e moedas do Sistema Monetário Brasileiro. 5°/4ª Identificar fração como representação que pode estar associada a diferentes significados. 5°/4ª Resolver problema com números racionais expressos na forma decimal, envolvendo diferentes significados de adição ou subtração. 5°/4ª Resolver problema envolvendo noções de porcentagem (25%, 50%, 100%). 9°/8ª Identificar a localização de números inteiros na reta numérica. 9°/8ª Identificar a localização de números racionais na reta numérica. 9°/8ª Efetuar cálculos com números inteiros, envolvendo as operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação). 9°/8ª Resolver problema com números naturais, envolvendo diferentes significados das operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação). 9°/8ª Resolver problema com números inteiros envolvendo as operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação). 9°/8ª Reconhecer as diferentes representações de um número racional. 9°/8ª Identificar fração como representação que pode estar associada a diferentes significados. 9°/8ª Identificar frações equivalentes. 9°/8ª Reconhecer as representações decimais dos números racionais como uma extensão do sistema de numeração decimal, identificando a existência de “ordens” como décimos, centésimos e milésimos. 9°/8ª Efetuar cálculos que envolvam operações com números racionais (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação). 9°/8ª Resolver problema com números racionais envolvendo as operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação). 9°/8ª Efetuar cálculos simples com valores aproximados de radicais. 9°/8ª Resolver problema que envolva porcentagem. 9°/8ª Resolver problema que envolva variação proporcional, direta ou inversa, entre grandezas. 9°/8ª Calcular o valor numérico de uma expressão algébrica. 9°/8ª Resolver problema que envolva equação do 2º grau. 9°/8ª Identificar a expressão algébrica que expressa uma regularidade observada em sequências de números ou figuras (padrões). 9°/8ª Identificar uma equação ou inequação do 1º grau que expressa um problema. 9°/8ª Identificar um sistema de equações do 1º grau que expressa um problema. 9°/8ª Identificar a relação entre as representações algébrica e geométrica de um sistema de equações do 1º grau. 34 2.2.4 Currículo do Estado de São Paulo O Currículo do Estado de São Paulo não apresenta as competências específicas da Matemática para o Ensino Fundamental. Esse documento traz como competência geral o desenvolvimento da linguagem (escrita e leitura). Nos quadros VI23, VII24, VIII25 e IX26, apresento as habilidades específicas para cada ano. QUADRO VI - CONTEÚDOS E HABILIDADES NO 6°ANO/5ª SÉRIE. 6°ANO/5ª SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL Conteúdos Habilidades Números naturais: Múltiplos e divisores, Números primos, Operações básicas (+, –, ., ÷), Introdução as potências. Frações: Representação, Comparação e ordenação, Operações. Compreender as principais características do sistema decimal: significado da base e do valor posicional. Conhecer as características e propriedades dos números naturais: significado dos números primos, de múltiplos e de divisores. Saber realizar operações com números naturais de modo significativo (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação). Compreender o significado das frações na representação de medidas não inteiras e da equivalência de frações. Saber realizar as operações de adição e subtração de frações de modo significativo. 23 (SÃO PAULO, 2010, p.57) 24 (SÃO PAULO, 2010, p.59) 25 (SÃO PAULO, 2010, p.61) 26 (SÃO PAULO, 2010, p.63) 35 QUADRO VII - CONTEÚDOS E HABILIDADES NO 7°ANO/6ª SÉRIE. 7°ANO/6ª SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL Conteúdos Habilidades Sistemas de numeração: Sistemas de numeração na Antiguidade, O sistema posicional decimal. Números negativos: Representação, Operações, Números racionais: Representação fracionaria e decimal, Operações com decimais e frações (complementos). Compreender o funcionamento de sistemas decimais e não decimais de numeração e realizar cálculos simples com potencias. Compreender a relação entre uma fração e a representação decimal de um número, sabendo realizar de modo significativo as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão com decimais. Saber realizar operações de adição, subtração, multiplicação e divisão de frações, compreendendo o significado das operações realizadas. Compreender o significado dos números negativos em situações concretas, bem como das operações com negativos. Saber realizar de modo significativo as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão de números negativos. QUADRO VIII - CONTEÚDOS E HABILIDADES NO 8°ANO/7ª SÉRIE. 8°ANO/7ª SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL Conteúdos Habilidades Números racionais: Transformação de decimais finitos em fração, Dizimas periódicas e fração geratriz. Potenciação: Propriedades para expoentes inteiros, Problemas de contagem. Compreender a ideia de número racional em sua relação com as frações e as razões. Conhecer as condições que fazem com que uma razão entre inteiros possa se expressar por meio de dizimas periódicas; saber calcular a geratriz de uma dizima. Compreender a utilidade do uso da linguagem das potências para representar números muito grandes e muito pequenos. Conhecer as propriedades das potências e saber realizar de modo significativo as operações com potencias (expoentes inteiros). 36 QUADRO IX - CONTEÚDOS E HABILIDADES NO 9°ANO/8ª SÉRIE. 9°ANO/8ª SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL Conteúdos Habilidades Números reais: Conjuntos numéricos, Números irracionais, Potenciação e radiciação em R, Notação científica. Compreender a necessidade das sucessivas ampliações dos conjuntos numéricos, culminando com os números irracionais. Saber representar os números reais na reta numerada. Incorporar a ideia básica de que os números irracionais somente podem ser utilizados em contextos práticos por meio de suas aproximações racionais, sabendo calcular a aproximação racional de um número irracional. Saber realizar de modo significativo as operações de radiciação e de potenciação com números reais. Compreender o significado e saber utilizar a notação científica na representação de números muito grandes ou muitos pequenos. Portanto não existe um consenso sobre a definição e a relação entre competências e habilidades seja na literatura ou nos documentos oficiais. Para esta pesquisa assumo que competência é uma capacidade, ou seja, é um conjunto de determinadas habilidades. 37 CAPÍTULO 3 METODOLOGIA DE PESQUISA Nesse capítulo, tenho por objetivo apresentar minha compreensão sobre a modalidade de pesquisa escolhida para o desenvolvimento desse trabalho, bem como, os procedimentos executados no desenrolar da pesquisa. Segundo Bicudo (1993, p.18) “pesquisar é buscar as compreensões e interpretações significativas de uma determinada interrogação criada”. Nessa pesquisa busco pela resposta à seguinte interrogação: “quais competências e habilidades Matemáticas podem ser desenvolvidas com a contação de história sobre o caso dos quatro quatros?” Trata-se de uma pesquisa de cunho qualitativo, desenvolvida em uma abordagem fenomenológica. A opção pela pesquisa qualitativa da- se, pois entende- se que ela é um modo de proceder que permite colocar em relevo o sujeito do processo, não olhado de modo isolado, mas contextualizado social e culturalmente; mais do que isso e principalmente, de trabalhar concebendo-o como já sendo sempre junto ao mundo e, portanto, aos outros e aos respectivos utensílios dispostos na circunvizinhança existencial, constituindo-se, ao outro e ao mundo em sua historicidade. (BICUDO, 2012, p.17). 3.1 A AÇÃO DE PESQUISAR QUALITATIVAMENTE A ação de pesquisar qualitativamente pode ser desenvolvida com duas posturas diferentes: aquele que assume o par objeto/observado e a que assume o par fenômeno/percebido. A primeira indica uma relação separatista entre o objeto (observado) e o sujeito (observador), ou seja, a qualidade está presente ao objeto. Deste modo, parte-se do pressuposto que essa qualidade é passível de observação. Desse modo, nesse tipo de pesquisa criam-se categorizações pela qualidade e pela observação. Assim pesquisas dessa modalidade estão fortemente presentes nas ciências humanas, pautadas nas concepções positivistas, onde há uma relação de separação entre sujeito e objeto. (BICUDO, 2011, p.18-19). Já as pesquisas qualitativas pautadas na concepção de fenômeno/percebido buscam pela qualidade percebida, assumindo que algo é percebido pelo sujeito. Neste caso não ocorre a separação entre o percebido e a percepção. “O percebido se torna organizado e expressado em linguagem, essa linguagem pode ser escrita, falada, artística, etc. A partir do ponto em que o expressado é comunicado, o percebido já não é mais do sujeito, tornando-se apresentado em 38 forma de dados à comunidade, que solicita procedimentos de análise e interpretação”. (BICUDO, 2011, p.19). 3.2 PESQUISA QUALITATIVA NA ABORDAGEM FENOMENOLÓGICA E SEUS PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS A palavra Fenomenologia é composta pelos termos fenômeno e logos. “Fenômeno está associado ao que se mostra na intuição ou percepção e logos é o que reúne, através das articulações conscientes e organizadas sendo geradas ou criadas pela linguagem.” (BICUDO, 2011, p.29). Desenvolver uma pesquisa que assuma a concepção fenomenológica de realidade e conhecimento é efetuar o movimento de trabalhar com sentidos e significados que não se dão em si, mas que vão se constituindo e se mostrando em diferentes modos, de acordo com a perspectiva do olhar na temporalidade histórica de suas durações e respectivas expressões mediadas pela linguagem e por ela transportada. (BICUDO, 2011, p.41). Desenvolver uma pesquisa na abordagem fenomenológica é perseguir uma interrogação em diferentes perspectivas, de maneira que a ela podemos voltar uma vez e outra ainda e mais outra[...]. A interrogação se comporta como se fosse um pano de fundo onde as perguntas do pesquisador encontram seu solo, fazendo sentido. (BICUDO, 2011, p.22-23). Nesse sentido, a Pesquisa Fenomenológica é sempre iniciada por uma interrogação. (FINI, 1994, p.23-33), que em nosso caso é “quais competências e habilidades Matemáticas podem ser desenvolvidas com a contação de história sobre o caso dos quatro quatros?”. Afirmo que o movimento dessa pesquisa teve início em minha vivência como bolsita do PIBID27. Enquanto bolsita desse programa tenho a obrigação de elaborar atividades para desenvolver, junto a Escola Estadual Profa. Clotilde Ayello Rocha (escola parceira do PIBID- Unesp/ Guaratinguetá). Ao ingressar na escola parceira e conversar com a professora de 27 PIBID (Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência – PIBID/UNESP – Guaratinguetá, 2014), coordenado pela Profa. Dra. Rosa Monteiro Paulo. 39 Matemática28, relata que os alunos possuem dificuldades em ler e escrever matematicamente e que poderia como, aluno do PIBID, elaborar atividades para auxiliar os estudantes com a linguagem matemática. Nesse momento, retomo um antigo trabalho de uma disciplina do curso de graduação sobre o caso dos quatro quatros, um conto do livro Malba Tahan (2008) e elaboro um plano de ensino (Anexo I), com o objetivo de “promover um ambiente de ensino e aprendizagem Matemática para uma turma da 8ª Série/9º Ano do Ensino Fundamental por meio do estudo do o caso dos quatro quatros”. Com o plano de ensino elaborado, início a execução do mesmo junto a turma de 9º ano A, conforme sugestão da professora de Matemática da escola. As aulas são regidas pela profa. Rosária Rodrigues e pelos professores Wellington Rabello e Gisele Monteiro (bolsistas PIBID). Ao término da execução do plano de ensino os alunos fazem também uma avaliação das atividades envolvendo o caso dos quatro quatros. Para a análise de dados considero duas aulas, das quatro presentes no plano de ensino (Anexo I): a primeira e a segunda aula, onde os estudantes discutem a construção dos números de 0 a 30 por meio de operações matemáticas com os quatro quatros. As aulas são filmadas29 e a análise das mesmas constituem os sentidos e significados expostos nesse trabalho, ou seja, os dados da pesquisa. Esses dados são analisados segundo os procedimentos da pesquisa fenomenológica: primeiro a ideográfica e, posteriormente, a nomotética. Na análise ideográfica o pesquisador busca no discurso e expressões dos sujeitos, individualmente, o que é significativo para sua pesquisa, depois analisa e interpreta o percebido. A finalidade dessa etapa da análise é "produzir a inteligibilidade do fenômeno através do desocultamento das ideias”. (MACHADO, 1994, p.40). Já a análise nomotética indica o movimento de passagem do nível individual para o geral, ou seja, mostra as convergências e as categorias do fenômeno estudado. (MACHADO, 1994, p.42). No início da análise, o primeiro passo dado é assistir novamente aos vídeos das aulas orientados pela interrogação norteadora desse trabalho. Esse momento é importante para o pesquisador, pois permite a familiarização com os dados. 28Profa. Rosária Rodrigues supervisora do PIBID na escola parceira e profa. de Matemática na mesma. 29Filmar uma aula é um recurso que viabiliza a captação das vivencias, da fala e das expressões do sujeito durante a atividade, ou seja, “nos dá o registro, embora não pleno, do acontecido na aula”. (PAULO, 2001, p.62) 40 Após a familiaridade com os dados, destaco dos vídeos as cenas significativas, que são trechos que relatam os atos do sujeito, que permitem ao pesquisador compreender, o significado do todo ou, segundo Paulo (2001, p.65-68), são pequenos fragmentos das atividades/aulas ou recortes no discurso do sujeito não para resumir os dados, recortá-los ou selecionar partes deles, mas para captar o todo das significações atribuídas pelos sujeitos, [...] suas falas, seus gestos, suas atitudes, enfim, sua vivência em sala de aula, que eles procuram expressar com grande diversidade e que não limitam a frases ou palavras. (PAULO, 2001, p.68- 69). Com as cenas significativas prontas continuo com a análise dos dados por meio da contextualização da cena, ou seja, os comentários do pesquisador sobre a sua percepção no momento em que a cena acontece. Tais comentários ajudam o leitor a entender o movimento de análise. Dando continuidade a análise, elaboro as unidades significativas, que representam as interpretações e são os pontos de partida das análises. (BICUDO, 2011, p.50). unidades significativas são entendidas como constituintes e não como elementos, o que quer dizer que têm significado em relação ao todo analisado. [...] “O significado do todo de cada depoimento (fala do sujeito) se revela nas unidades significativas e estas, por sua vez, só têm significado em relação ao sentido do todo”. (FINI, 1994, p.51-60). Por fim interpreto novamente as unidades significativas perguntando o que elas dizem, mediante a interrogação norteadora desse trabalho, ou seja, quais competências e habilidades Matemáticas estão presentes em cada unidade significativa. Com esse movimento de análise elaboro as ideias nucleares ou os núcleos de significações. Conforme Detoni e Paulo (2001) ao compormos os dados de pesquisa em cenas, tomando-as como núcleos de significações, visamos abarcar um momento da atividade que se constitui como um todo significativo cujo núcleo nem sempre tem a nitidez de uma expressão oral ou de uma gestualidade simbólica. (DETONI e PAULO, 2011, p.112). Assim, ideias nucleares ou núcleos de significações são as ações e fatos realizados pelos sujeitos da pesquisa para a compreensão do todo. O pesquisador qualitativo-fenomenólogo retoma as experiências vividas com o sujeito, onde esse movimento realiza uma síntese de identificação. As interpretações do pesquisador implicam para a compreensão do todo, ou seja, quando o pesquisador busca compreender e interpretar os dados ele utiliza os núcleos de significado. (DETONI e PAULO, 2011, p. 101-102). 41 O núcleo de significação estava sendo revelado no movimento da compreensão do pesquisador, do seu dispor-se para a sua pesquisa, projetar-se para as possibilidades que nela se abriram, olhando-a no contexto de onde seus dados emergiram, isentando-se de explicações, teorias ou crenças sobre aquilo que desejávamos investigar. (PAULO, 2001, p. 68). Por meio da análise das ideias nucleares, elaboro as categorias abertas ou grandes zonas de generalidades do fenômeno investigado. As categorias abertas são as compreensões, interpretações e articulações do pesquisador por meio dos dados obtidos pelo fenômeno da pesquisa. Deste modo o pesquisador retorna a sua interrogação norteadora, agora sendo capaz de desenvolver uma análise mais crítica. Bicudo (2011). Em um trabalho de reflexão, efetuando uma metacompreensão de toda a trajetória e do que foi se clareando para o pesquisador em termos de interrogado, olhado nas preocupações da região de inquérito em que a pesquisa se insere, intencionamos transcender as convergências maiores – também denominadas por nós de categorias abertas, grandes convergências, estruturantes do fenômeno investigado. (BICUDO, 2011, p.66). Para expor o movimento de análise elaboro os quadros X, XI e XII. Os quadros X e XI trazem as cenas significativas dos encontros realizados com os estudantes na primeira coluna, os comentários no contexto da sala de aula na segunda coluna, as unidades de significativas na terceira coluna e as ideias nucleares na quarta coluna. O quadro XII expõe as ideias nucleares na primeira coluna e as categorias abertas nas demais colunas. Tal movimento de análise é exposto no próximo capítulo desse trabalho. 42 CAPÍTULO 4 OS ENCONTROS Neste capítulo apresento as atividades desenvolvidas nos dois encontros com os alunos, bem como, a interpretação e a análise das mesmas (quadros X e XI) que resultam na elaboração das ideias nucleares a respeito de quais competências e habilidades Matemáticas podem ser desenvolvidas em uma contação de história sobre O Caso dos Quatro Quatros. Na continuidade da análise, apresento o movimento de elaboração das categorias abertas do fenômeno estudado (Quadro XII) e a metacompreensão dessas categorias. 4.1 O PRIMEIRO ENCONTRO 4.1.1 Atividade 01- Apresentando Malba Tahan e o livro “O Homem que Calculava” Após uma fala inicial do professor sobre os objetivos da aula, os alunos presentes neste primeiro encontro, mencionam que gostam de histórias, mas que nunca ouviram histórias envolvendo Matemática. Ao iniciar a aula, o professor Wellington apresenta Malba Tahan para a turma. Revela que seu verdadeiro nome é Júlio César de Mello e Souza, e explicita os motivos do uso do nome fictício para publicar seus escritos no Brasil. Comenta também que no dia 6 de maio se comemora o Dia Nacional da Matemática no Brasil, em homenagem ao professor Júlio Mello e Souza, que nasceu nesse dia, em 1895 na cidade do Rio de Janeiro. Posteriormente os alunos conhecem a obra mais famosa do autor, “O Homem que Calculava”, que contém a história que será contada para a turma no decorrer das próximas aulas. 4.1.2 Atividade 02- Era uma Vez... da História a Matemática Com o início da contação da história sobre o caso dos quatro quatros (Anexo I) algumas dúvidas surgem, tais como, o uso exclusivo e único do algarismo 4, quatro vezes com 43 qualquer operação matemática conhecida pelos alunos para representar os valores de zero à dez. As aulas são ministradas através do auxilio tecnológico do projetor e do PowerPoint de maneira que ao ler a história pausadamente e detalhadamente os alunos possam imaginar os acontecimentos presente nela. Os números zero e um são apresentados pelo professor Wellington para exemplificar a atividade proposta. Na continuidade da história, os estudantes escrevem os demais números (2-10) por meio de operações matemáticas envolvendo quatro quatros. Após a escrita de cada número, apresento o trecho da história referente a aquele número, para que solução escrita pelo autor seja conhecida dos estudantes. Na execução dessa tarefa, os grupos se destacam, pois eles discutiam as soluções entre si e com os professores, questionam, argumentam, investigam as possibilidades e as soluções. A seguir, no quadro X, apresento cenas significativas do primeiro encontro com os alunos, de acordo com a questão norteadora desse trabalho, a saber, “quais competências e habilidades Matemáticas podem ser desenvolvidas com a contação de história sobre o caso dos quatro quatros?” 44 Q ua dr o X : O c as o do s q ua tro q ua tro s e o s n úm er os d e 1 a 10 C en as si gn ifi ca tiv as C om en tá ri os n o C on te xt o da sa la d e au la U ni da de s d e Si gn ifi ca tiv as H ab ili da de s 0 O pr of es so r W el lin gt on in ic ia at iv id ad e e ap re se nt a o ze ro p or m ei o de op er aç õe s en vo lv en do qu at ro q ua tro s: 0 =44 −4 4. O pr of es so r in ic ia a at iv id ad e re pr es en ta nd o o ze ro p or m ei o de op er aç õe s c om q ua tro q ua tro s. 0 =44 −4 4. O p ro fe ss or a pr es en ta a e xp re ss ão pa ra c al cu la r o n úm er o ze ro . 0= 44 −4 4. (I. 1) Sa be r re al iz ar a op er aç ão de su bt ra çã o, us an do e st ra té gi as p es so ai s e té cn ic as op er at ór ia s co nv en ci on ai s, co m co m pr ee ns ão d os p ro ce ss os ne la s en vo lv id os . (B R A SI L, 2 00 9, p .1 35 ). (I. 2) C al cu la r o re su lta do de u m a ad iç ão o u su bt ra çã o de nú m er os na tu ra is . (B R A SI L, 2 00 9, p .1 08 ). (I. 3) A pl ic ar u m a or de m d e op er aç õe s ao re so lv er pr ob le m as (s ub tra çã o) . (S à O PA U LO , 20 09 , p. 72 ). (I. 4) D es en vo lv er a Li ng ua ge m M at em át ic a. 1 A o co nt in ua r a hi st ór ia o pr of es so r W el lin gt on a pr es en ta o nú m er o um : 1 =�� �� . A fr aç ão ap re se nt ad a é um a po ss ib ili da de d e es cr ev er o n úm er o um po r m ei o de op er aç õe s m at em át ic as e nv ol ve nd o os q ua tro qu at ro s. O p ro fe ss or r ep re se nt a o nú m er o um a tra vé s de u m a fr aç ão q ue ut ili za o s q ua tro q ua tro s. 1= �� ��. (I. 5) Id en tif ic ar fr aç ão co m o re pr es en ta çã o qu e po de es ta r as so ci ad a a di fe re nt es si gn ifi ca do s. (B R A SI L, 2 00 9, p .1 53 ). (I. 6) A pl ic ar u m a or de m d e op er aç õe s ao re so lv er pr ob le m as (d iv is ão ). (S à O PA U LO , 2 00 9, p .7 2) . (I. 7) D es en vo lv er a Li ng ua ge m M at em át ic a. 45 2 O A lu no A e nc on tra o n úm er o do is po r m ei o da s se gu in te s op er aç õe s M at em át ic as : 2= 4 4+4 4. A o ex po r se u ra ci oc ín io o A lu no A di z: “a o di vi di r qu at ro po r qu at ro e so m ar o re su lt ad o da di vi sã o de q ua tr o po r qu at ro , o va lo r e nc on tra do é d oi s” . O a lu no u sa u m a so m a de f ra çõ es , ou s ej a, e le s om a os n um er ad or es (q ua tro m ai s qu at ro ) ob te nd o a fr aç ão o ito q ua rto s e ao d iv id ir oi to po r q ua tro te m os u m n úm er o in te iro ig ua l a d oi s. Pa ra o bt er o n úm er o do is o a lu no ut ili za a id ei a de f ra çõ es , n o qu al el e us a a so m a de f ra çõ es c om de no m in ad or es ig ua is . 2= 4 4+4 4. Q ua nd o o al un o co m en ta se u ra ci oc ín io , el e af irm a qu e di vi de qu at ro po r qu at ro te nd o o qu oc ie nt e ig ua l a um e de po is so m a a es se q uo ci en te o r es ul ta do da d iv is ão d e qu at ro p or q ua tro , qu e ta m bé m r es ul ta e m u m , ao so m ar e e ss es q uo ci en te s en co nt ra o nú m er o do is 2= 4÷ 4+ 4÷ 4. (I. 8) Id en tif ic ar fr aç ão co m o re pr es en ta çã o qu e po de es ta r as so ci ad a a di fe re nt es si gn ifi ca do s. (B R A SI L, 2 00 9, p .1 53 ). (I. 9) Sa be r re al iz ar op er aç õe s de ad iç ão de fr aç õe s, co m pr ee nd en do o si gn ifi ca do da s op er aç õe s re al iz ad as . (S à O P A U LO , 20 10 , p .5 9) . (I. 10 ) C al cu la r o re su lta do de u m a di vi sã o e ad iç ão d e nú m er os in te iro s, us an do es tra té gi as pe ss oa is e té cn ic as op er at ór ia s co nv en ci on ai s, co m co m pr ee ns ão d os p ro ce ss os ne la s en vo lv id os . (B R A SI L, 2 00 9, p .1 35 ). (I. 11 ) A pl ic ar u m a or de m de op er aç õe s ao re so lv er pr ob le m as (d iv is ão ). (S à O PA U LO , 2 00 9, p .7 2) . (I. 12 ) D es en vo lv er a Li ng ua ge m M at em át ic a. 3 A a lu na M e sc re ve a s eg ui nt e ex pr es sã o pa ra re pr es en ta r o nú m er o 3 = ( 4 +4 +4 ) ÷ 4. A o ex po r o qu e pe ns ou , a al un a fa z a se gu in te a fir m aç ão : “ qu e ao so m ar q ua tr o m ai s qu at ro m ai s qu at ro e di vi di r po r qu at ro A a lu na i ni ci a co m a s om a de t rê s qu at ro s, ou s ej a, q ua tro m ai s qu at ro m ai s qu at ro e d iv id e po r qu at ro te nd o o va lo r d e trê s. N a ex pr es sã o nu m ér ic a qu e al un a en co nt ra , e la u til iz a o re cu rs o do s pa rê nt es es , pa ra de st ac ar qu e pr im ei ra m en te r ea liz a a so m a do s nú m er os q ua tro s pa ra e m s eg ui da a es se v al or d iv id ir po r q ua tro . 3= ( 4+ 4+ 4) ÷ 4. (I. 13 ) C al cu la r o re su lta do de u m a di vi sã o e ad iç ão , d e nú m er os in te iro s, us an do es tra té gi as pe ss oa is e té cn ic as op er at ór ia s co nv en ci on ai s, co m co m pr ee ns ão d os p ro ce ss os ne la s en vo lv id os . 46 re su lt a em tr ês ”. A al un a es cr ev e a ex pr es sã o m at em át ic a de m an ei ra c or re ta , o qu e m os tra s ua c om pr ee ns ão d a re gr a/ co nv en çã o de pr im ei ro re so lv er op er aç õe s de na tu re za m ul tip lic at iv as (m ul tip lic aç ão e di vi sã o) p ar a em s eg ui da a s de na tu re za ad iti va (a di çã o e su bt ra çã o) , d e de nt ro p ar a fo ra , o u se ja , el im in an do pr im ei ro s os pa rê nt es es , de po is o s co lc he te s e po r f im a s c ha ve s. (B R A SI L, 2 00 9, p .1 35 ). (I. 14 ) A pl ic ar u m a or de m de op er aç õe s ao re so lv er pr ob le m as (p ar ên te se s, ad iç ão e di vi sã o) . (S à O PA U LO , 2 00 9, p .7 2) . (I. 15 ) Sa be r re al iz ar op er aç õe s de ad iç ão e di vi sã o, c om pr ee nd en do o si gn ifi ca do da s op er aç õe s re al iz ad as . (S à O P A U LO , 20 10 , p .5 9) . (I. 16 ) D es en vo lv er a Li ng ua ge m M at em át ic a. 4 O a lu no D , p ar a ob te r o nú m er o 4, es cr ito po r qu at ro qu at ro s ap re se nt a a se gu in te e xp re ss ão : 4× 4 − 4+ 4. “Q ua tr o m en os q ua tr o re su lt a em ze ro e qu e ao m ul ti pl ic ar po r qu at ro c on ti nu a se nd o ze ro l og o ao s om ar q ua tr o co m z er o te m os o qu at ro ”. Pa ra e nc on tra r o nú m er o 4 o al un o D pr oc ed e da se gu in te m an ei ra : pr im ei ro fa z 4 – 4 = 0, po st er io rm en te fa z 0 x 4 = 0 e pa ra fin al iz ar , s om a 0 + 4 e en co nt ra o nú m er o 4 po r m ei o de o pe ra çõ es m at em át ic a co m q ua tro q ua tro s. O e st ud an te a pr es en ta o r ac io cí ni o co rr et o pa ra e nc on tra r o nú m er o qu at ro p or m ei o de o pe ra çõ es c om qu at ro qu at ro s, po ré m nã o ap re se nt a a es cr ita d o qu e fe z de m an ei ra fo rm al , ou se ja , [4× ( 4− 4) ] +4 ]. O e st ud an te r ep re se nt a o nú m er o qu at ro co m um a ex pr es sã o nu m ér ic a on de e le n ão u til iz a a es cr ita f or m al d a m at em át ic a, o u se ja , nã o se gu e o rig or m at em át ic o, p oi s e le n ão re al iz a as op er aç õe s de m ul tip lic aç ão p ar a de po is as de na tu re za ad iti va , 4× 4− 4+ 4. C on tu do ao co m en ta r su a at iv id ad e el e de sc re ve d e m an ei ra ce rta co m o ca lc ul ar o nú m er o qu at ro , o qu e re su lta n a se gu in te ex pr es sã o, 4= [4× ( 4− 4) ] + 4]. O e st ud an te a pr es en ta o ra ci oc ín io co rr et o pa ra e nc on tra r o nú m er o qu at ro , po ré m te m di fic ul da de co m a e sc rit a da e xp re ss ão . (I. 17 ) C al cu la r o re su lta do de um a m ul tip lic aç ão , ad iç ão e su bt ra çã o, de nú m er os in te iro s, us an do es tra té gi as pe ss oa is e té cn ic as op er at ór ia s co nv en ci on ai s, co m co m pr ee ns ão d os p ro ce ss os ne la s en vo lv id os . (B R A SI L, 2 00 9, p . 1 35 ). (I. 18 ) A pl ic ar u m a or de m de op er aç õe s ao re so lv er pr ob le m as (d iv is ão ). (S à O PA U LO , 2 00 9, p .7 2) . (I. 19 ) D es en vo lv er a Li ng ua ge m M at em át ic a. 47 5 O a lu no N d et er m in a a se gu in te ex pr es sã o 5= ( 4× 4+ 4) ÷ (4) . O A lu no re al iz a um a m od ifi ca çã o na ex pr es sã o qu e ca lc ul a o nú m er o trê s, de st e m od o el e ob té m : “ qu e ao e m v ez d e so m ar qu at ro , m ul ti pl ic ar qu at ro po r qu at ro e de po is so m ar co m qu at ro a es te re su lt ad o di vi di r po r q ua tr o” . O a lu no r ea liz a a m ul tip lic aç ão d e qu at ro po r qu at ro po st er io rm en te so m a qu at ro e lim in an do a ss im o s pa rê nt es es e o bt en do o r es ul ta do vi nt e, e p or f im , di vi de v in te p or qu at ro re su lta nd o em c in co . O a lu no e nc on tra o n úm er o ci nc o at ra vé s de u m a m od ifi ca çã o da ex pr es sã o do nú m er o trê s, 3= ( 4 +4 +4 ) ÷ 4, ou s ej a, o al un o at en to u - se em su bs tit ui r um a op er aç ão , ne st e ca so a o em ve z de s om ar e le m ul tip lic a. 5= ( 4× 4+ 4) ÷ ( 4) . Su a ex pr es sã o ut ili za os pa rê nt es es e a re gr a/ co nv en çã o co rr et am en te , o qu e im pl ic a na re so lu çã o da m ul tip lic aç ão em se gu id a a ad iç ão e lim in an do o s pa rê nt es es e p or fi m a d iv is ão . (I. 20 ) C al cu la r o re su lta do de um a m ul tip lic aç ão , di vi sã o, ad iç ão , de nú m er os in te iro s, us an do es tra té gi as pe ss oa is e té cn ic as op er at ór ia s co nv en ci on ai s, co m co m pr ee ns ão d os p ro ce ss os ne la s en vo lv id os . (B R A SI L, 2 00 9, p . 1 35 ). (I. 21 ) A pl ic ar u m a or de m de op er aç õe s ao re so lv er pr ob le m as (p ar ên te se s, m ul tip lic aç ão , di vi sã o e ad iç ão ). (S à O PA U LO , 20 09 , p .7 2) . (I. 22 ) D es en vo lv er a Li ng ua ge m M at em át ic a. 6 A al un a L ap re se nt a um a ex pr es sã o qu e re su lta em se is , �4− 4+ 4+ √4 � . A a lu na e xp re ss a se u ra ci oc ín io da s eg ui nt e m an ei ra : “U ti li za nd o um a ex pr es sã o nu m ér ic a pa ra ob te r o nú m er o se is , so m ar qu at ro m en os q ua tr o m ai s qu at ro m ai s a ra iz q ua dr ad a de q ua tr o” . A a lu na u sa r ai z qu ad ra da c om a s op er aç õe s de na tu re za ad iti va (a di çã o e su bt ra çã o) p ar a ca lc ul ar o nú m er o se is . A d ife re nç a de q ua tro c om q ua tro é nu la ( ze ro ), as si m a o so m ar q ua tro co m a ra iz qu ad ra da de qu at ro , te m os se is . Pe la p rim ei ra v ez u m e st ud an te ap re se nt a a op er aç ão d e ra di ci aç ão qu e ne st e ca so pe de -s e pa ra ca lc ul ar a ra iz q ua dr ad a de q ua tro , ap re se nt am c on he ci m en to s ob re a ra di ci aç ão . A a lu na ta m bé m u til iz a pa rê nt es es co m as op er aç õe s de na tu re za ad iti va (a di çã o e su bt ra çã o) de m an ei ra co rr et a. 6= �4− 4+ 4+ √4 � . (I. 23 ) Sa be r re al iz ar as op er aç õe s co m nú m er os na tu ra is de m od o si gn ifi ca tiv o (r ad ic ia çã o, ad iç ão e s ub tra çã o) . (S à O PA U LO , 2 01 0, p . 5 7) . (I. 24 ) A pl ic ar u m a or de m de op er aç õe s ao re so lv er pr ob le m as (p ar ên te se s, ra di ci aç ão , ad iç ão e su bt ra çã o) . ( Sà O P A U LO , 20 09 , p .7 2) . (I. 25 ) D es en vo lv er a Li ng ua ge m M at em át ic a. 7 O a lu no L r ep re se nt a o nú m er o O s al un os so m am qu at ro m ai s D oi s al un os e m lo ca is d is tin to s da (I. 26 ) C al cu la r o re su lta do 48 se te : 4 +4 −4 ÷4 . O a lu no D r ep re se nt a o nú m er o se te : 4 +4 −4 ÷4 . O s al un os a pr es en ta m a m es m a ex pr es sã o pa ra o n úm er o se te : “a o so m ar qu at ro co m qu at ro re su lt a em o it o m en os o q ua tr o di vi di do p or q ua tr o qu e dá u m , oi to m en os u m é ig ua l a se te ”. qu at ro , re su lta nd o em o ito e e m se gu id a en co nt ra m o q uo ci en te d a di vi sã o de q ua tro p or q ua tro . Po r úl tim o re tir am o n úm er o um d e oi to te nd o o nú m er o se te . sa la d e au la re pr es en ta m o n úm er o se te co m a m es m a ex pr es sã o nu m ér ic a, on de el es nã o ne ce ss ita m d o us o de p ar ên te se s, 7= 4+ 4− 4÷ 4. A o re la ta r a ex pr es sã o do n úm er o se te , e le n ão u til iz a a co nv en çã o. de u m a di vi sã o, a di çã o e su bt ra çã o, de nú m er os in te iro s, us an do e st ra té gi as pe ss oa is e té cn ic as op er at ór ia s co nv en ci on ai s, co m co m pr ee ns ão do s pr oc es so s ne la s en vo lv id os (B R A SI L, 2 00 9, p .1 35 ). (I. 27 ) A pl ic ar u m a or de m de op er aç õe s ao re so lv er pr ob le m as ( di vi sã o, a di çã o e su bt ra çã o) . (S à O PA U LO , 2 00 9, p .7 2) . (I. 28 ) D es en vo lv er a Li ng ua ge m M at em át ic a. 8 A al un a L en co nt ra um a ex pr es sã o nu m ér ic a qu e ut ili za o s qu at ro qu at ro s pa ra ca lc ul ar o nú m er o oi to : 4 ×4 −4 −4 . A al un a re la ta a su a ex pr es sã o: “q ua tro ve ze s qu at ro qu e dá d ez es se is , m en os q ua tr o re su lt an do e m d oz e m en os q ua tr o da nd o em o ito ”. Em s ua li nh a de r ac io cí ni o a al un a ut ili za a m ul tip lic aç ão de do is fa to re s id ên tic os (q ua tro ve ze s qu at ro ), a es se p ro du to e la s ub tra i qu at ro , de st e re su lta do n ov am en te el a su bt ra i q ua tro o bt en do o n úm er o oi to . A a lu na u til iz a de m an ei ra c or re ta a re gr a/ co nv en çã o, p oi s in ic ia c om a op er aç ão de m ul tip lic aç ão e se gu e co m a su bt ra çã o. 8= 4× 4− 4− 4. A o ex po r o ra lm en te s ua e xp re ss ão fic a be m c la ro q ue e la c on he ce a re gr a/ co nv en çã o, j á qu e el a in ic ia co m as op er aç õe s de na tu re za m ul tip lic at iv a (d iv is ão e m ul tip lic aç ão ) pa r a d ep oi s as d e na tu re za ad iti va (a di çã o e su bt ra çã o) . (I. 29 ) C al cu la r o re su lta do de um a m ul tip lic aç ão e su bt ra çã o, de nú m er os in te iro s, us an do e st ra té gi as pe ss oa is e té cn ic as op er at ór ia s co nv en ci on ai s, co m co m pr ee ns ão do s pr oc es so s n el as e nv ol vi do s. (B R A SI L , 2 00 9, p . 1 35 ). (I. 30 ) A pl ic ar u m a or de m de op er aç õe s ao re so lv er pr ob le m as (m ul tip lic aç ão , e su bt ra çã o) . (S à O PA U LO , 2 00 9, p .7 2) . (I. 31 ) D es en vo lv er a Li ng ua ge m M at em át ic a. 9 O al un o B en co nt ra um a ex pr es sã o pa ra o n úm er o 9 = 4 ÷4 +4 +4 . O es tu da nt e de te rm in a um a ex pr es sã o nu m ér ic a qu e re pr es en ta o nú m er o no ve : o qu oc ie nt e da O a lu no n ão u til iz a os p ar ên te se s na ex pr es sã o, el e es cr ev e de m an ei ra rig or os a em re la çã o à (I. 32 ) C al cu la r o re su lta do de u m a di vi sã o e ad iç ão d e nú m er os in te iro s, us an do 49 O al un o de sc re ve a se gu in te ex pr es sã o: “ qu at ro di vi di do po r qu at ro , re su lt a em u m , so m an do 4, dá ci nc o co m m ai s qu at ro te m os n ov e” . di vi sã o de q ua tro p or q ua tro re su lta em u m , l og o ao s om ar q ua tro m ai s qu at ro a o qu oc ie nt e, o u se ja , 4+ 4+ 1 o bt em os o n úm er o no ve . re gr a/ co nv en çã o, p oi s i ni ci a co m a op er aç ão d e di vi sã o, d ep oi s co m a ad iç ão pa ra ca lc ul ar o nú m er o no ve . D es ta f or m a el e m os tra t er u m co nh ec im en to d a re gr a, p or qu e at é m es m o em s eu r el at o el e co m eç a pe la o pe ra çã o de d iv is ão p ar a a ad iç ão , 9= 4÷ 4+ 4+ 4. Es ta ex pr es sã o é se m el ha nt e à ca lc ul ad a pa ra o nú m er o se te , on de a d ife re nç a é qu e po ss ui u m a su bt ra çã o ao e m v ez d e um a so m a: 7= 4+ 4− 4÷ 4. 9= 4÷ 4+ 4+ 4. es tra té gi as pe ss oa is e té cn ic as op er at ór ia s co nv en ci on ai s, co m co m pr ee ns ão d os p ro ce ss os ne l a s en vo lv id os ( B R A SI L 20 09 , p .1 35 ). (I. 33 ) A pl ic ar u m a or de m de op er aç õe s ao re so lv er pr ob le m as (d iv is ão e ad iç ão ). (S à O PA U LO , 20 09 , p .7 2) . (I. 34 ) D es en vo lv er a Li ng ua ge m M at em át ic a. 10 Pa ra r ep re se nt ar o n úm er o de z, po ss ui d oi s m od el os d ife re nt es . A al un a L ut ili za a se gu in te ex pr es sã o: 4+ √4 + √ 4+ √4. Pa ra r ep re se nt ar o n úm er o de z, a al un a us a so m en te a o pe ra çã o de ad iç ão e ra di ci aç ão : “ qu at ro