Sobre Curvas Planas Algébricas 2024 GABRIELA SARANSZKY PRAMPOLIM UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “Júlio de Mesquita Filho” Instituto de Geociências e Ciências Exatas Câmpus de Rio Claro GABRIELA SARANSZKY PRAMPOLIM SOBRE CURVAS PLANAS ALGÉBRICAS Dissertação de Mestrado apresentada ao Instituto de Geociências e Ciências Exatas do Câmpus de Rio Claro, da Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Matemática. Orientadora: Elíris Cristina Rizziolli Rio Claro - SP 2024 P898c Prampolim, Gabriela Saranszky Sobre Curvas Planas Algébricas / Gabriela Saranszky Prampolim. -- Rio Claro, 2024 106 f. : il. Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista (UNESP), Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Rio Claro Orientadora: Elíris Cristina Rizziolli 1. Geometria Algébrica. 2. Conjuntos Algébricos. 3. Curvas Planas Algébricas. 4. Multiplicidade de Curvas Planas. 5. Interseção de Curvas Planas. I. Título. Sistema de geração automática de fichas catalográficas da Unesp. Biblioteca da Universidade Estadual Paulista (UNESP), Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Rio Claro. Dados fornecidos pelo autor(a). Essa ficha não pode ser modificada. Impacto potencial desta pesquisa Este trabalho contém a reunião dos elementos necessários ao estudo de Curvas Planas Algébricas. Tendo em vista que, na atual literatura, há uma escassez de um texto em língua portuguesa sobre o assunto, a pertinência desse trabalho se dá por essa divulgação cientíca de forma acessível, contendo exemplos relevantes sobre esse tema tão complexo. Potential impact of this research This work contains the necessary elements for the study of Algebraic Plane Curves. Considering that, in the current literature, there is a scarcity of texts in Portuguese on the subject, the relevance of this work is due to its scientic dissemination in an accessible way, containing relevant examples on this complex topic. UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “Júlio de Mesquita Filho” Instituto de Geociências e Ciências Exatas Câmpus de Rio Claro GABRIELA SARANSZKY PRAMPOLIM SOBRE CURVAS PLANAS ALGÉBRICAS Dissertação de Mestrado apresentada ao Instituto de Geociências e Ciências Exatas do Câmpus de Rio Claro, da Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Matemática. Comissão Examinadora Profa. Dra. ELÍRIS CRISTINA RIZZIOLLI IGCE/ UNESP/ Rio Claro (SP) Profa. Dra. DAIANE ALICE HENRIQUE AMENT ICET/ UFLA/ Lavras (MG) Profa. Dra. RENATA ZOTIN GOMES DE OLIVEIRA IGCE / UNESP/ Rio Claro (SP) Conceito: Aprovado. Rio Claro (SP), 25 de abril de 2024. Dedico essa dissertação a todos os alunos de graduação e pós-graduação que acham a Álgebra Abstrata difícil e impossível, porque eu também achava e só consegui chegar até aqui porque tive ajuda. Que este trabalho seja a ajuda que vocês precisam. Dedico também esse trabalho a minha eu de 2018, que não fazia ideia do quanto ia se apaixonar pela Álgebra Abstrata, e a minha eu de 2020, por ir atrás dos próprios sonhos. Agradecimentos Agradeço aos meus pais pela paciência, mas especialmente porque eles não fazem ideia do que estudo e, mesmo assim, nunca deixaram de me apoiar. Agradeço à minha orientadora e amiga, Profa. Dra. Elíris Cristina Rizziolli, que me acompanha desde a graduação, pelos seus ensinamentos, conselhos e apoio ao longo de todos esses anos, e por fazer eu me apaixonar pela Álgebra Abstrata Agradeço também meus amigos, pela ajuda e apoio. Mas, em especial, agradeço à Hayen Alonso, que me ouviu animadamente falar sobre algo que ela não entende, me incentivando e me ajudando quando e como possível, por estar comigo nos meus altos e baixos, por todos os conselhos, lágrimas, risadas e companhia, por todas às vezes que me tirou de crises e por estar ao meu lado sempre. E também a Brena C. Sturion, Marina Fuzaro Magossi e Heloisa Alves Souza, por me ajudarem com apresentações, com minha ansiedade e com meus surtos, por nunca me deixarem desistir, pelas risadas e companhia ao longo de toda a graduação e pós-graduação. Agradeço à minha gata, Catie, e ao meu cachorro, Nick, porque, sem eles, eu com certeza teria cado louca. Agradeço aos meus colegas de mestrado, pelas risadas, apoio e choros em conjunto. Sem vocês essa pós-graduação não teria sido tão animada e divertida. Por m, agradeço ao Kim Seokjin, ao Min Yoongi, ao Jung Hoseok, ao Kim Namjoon, ao Park Jimin, ao Kim Taehyung, ao Jeon Jungkook, a Taylor Swift e ao Harry Styles, por fazerem dos meus dias mais felizes durante todo esse processo e por me trazerem conforto com suas músicas e vídeos. Now just walk lightly, whenever you want Go on hopefully, wherever you walk j-hope Resumo Neste trabalho estudamos algumas noções de anéis e corpos, conjuntos algébricos, Teorema de Hilbert e Curvas Planas Algébricas, os quais são elementos importantes para o principal objetivo desse projeto que é o estudo de Curvas Planas. A relevância deste tema segue da inter e multidisciplinaridade que este promove entre as áreas: Álgebra e Geometria. Palavras-chave: Geometria Algébrica. Conjuntos Algébricos. Curvas Planas Algébri- cas. Multiplicidade de Curvas Planas. Interseção de Curvas Planas. Abstract In this paper, we studied some notions of rings and elds, algebraic sets, Hilbert’s Nullstellensatz, and Algebraic Plane Curves, which are relevant elements to the main topic: Plane Curves. The relevance of this paper follows from the inter and multidiscipli- narity between the areas: Algebra and Geometry. Keywords: Algebraic Geometry. Algebraic Set. Algebraic Plane Curves. Multiplicity of Plane Curves. Intersection Curve. Lista de Figuras 3.1 Curva denida por V (Y 2 −X(X2 − 1)) ⊂ A2. . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.2 Curva denida por V (Y 2 −X2(X + 1)) ⊂ A2. . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.3 Curva denida por V (Y 2 −XY −X2Y +X3) ⊂ A2. . . . . . . . . . . . . 52 3.4 Curva denida por V (Z2 − (X2 + Y 2)) ⊂ A3. . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.1 Elipse dada pela equação 4.1, onde a = 2 e b = 1. . . . . . . . . . . . . . . 89 4.2 Parábola dada pela equação 4.2, onde a = 2, b = 0 e c = 0. . . . . . . . . . 89 4.3 Caracol de Pascal dada pela equação 4.3, onde a = 2 e b = 5. . . . . . . . . 90 4.4 Hipérbole dada pela equação 4.4, onde a = 2 e b = 3. . . . . . . . . . . . . 90 4.5 Curva denida pelo polinômio F = Y 2 −X(X + 2)(X − 1). . . . . . . . . . 93 4.6 Curva denida pelo polinômio F (X, Y ) = X2 − Y . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.7 Curva denida por T•F (X, Y ) = 4X2 + 9 4 Y 2 + 6XY − 9X − 7Y + 5. . . . 95 4.8 Interseção denida pela curva F = Y −X2 e reta Y = X 2 + 1. . . . . . . . 97 4.9 Interseção denida pela curva F = Y −X2 e reta Y = X − 1. . . . . . . . 98 4.10 Interseção denida pela curva F = Y 2 −X2(X + 1) e reta Y +X. . . . . . 98 4.11 Interseção denida pela curva F = Y 2 −X2(X + 1) e reta Y −X. . . . . . 99 4.12 Interseção denida pela curva F = Y 2 −X2(X + 1) e reta Y + 1 3 X. . . . . 99 4.13 Lemniscata, denida pela curva (X2 + Y 2)2 −X2 + Y 2 = 0. . . . . . . . . 101 4.14 Cissoide, denida pela curva X2 − Y (Y 2 +X2) = 0. . . . . . . . . . . . . . 102 4.15 Rosácea de 3 pétalas, denida pela curva (X2 + Y 2)2 − Y 3 + 3X2Y = 0. . 103 Sumário 1 Introdução 12 2 Conceitos Prévios 14 2.1 Noções de Anéis e Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Anel de Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3 Conjuntos Algébricos Ans 51 3.1 Espaço Am e Conjunto Algébrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2 O Ideal de Um Conjunto de Pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.3 Teorema da Base de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4 Componentes Irredutíveis de um Conjunto Algébrico . . . . . . . . . . . . 63 3.5 Subconjuntos Algébricos do Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.6 Teorema dos Zeros de Hilbert (Hilbert’s Nullstellensatz) . . . . . . . . . . . 70 4 Curvas Planas Algébricas 88 5 Conclusão 104 Referências 105 1 Introdução A Geometria Algébrica é o estudo das propriedades geométricas das soluções de equa- ções polinomiais, sendo considerada um dos ramos de estudos da Matemática mais antigos, visto que os gregos consideravam a separação entre Geometria e Álgebra impossível, se utilizando de elementos geométricos para solucionar problemas algébricos. É após os postulados de Euclides, especialmente o quinto postulado1, que o estudo da Geometria torna-se axiomático. Porém, com o surgimento das coordenadas cartesianas, ressurge o es- tudo da Geometria pelo ponto de vista algébrico, bem como o estudo de outras geometrias baseadas na negação do quinto postulado de Euclides. Durante os séculos XVI e XVII, os matemáticos acreditavam que a verdadeira ciên- cia era a Matemática e, por essa crença, zeram diversas tentativas de unicar áreas da Matemática ou de desenvolver métodos que classicavam todos os elementos de uma determinada área da Matemática por uma única ótica. Uma dessas tentativas foi com relação à Geometria, onde Descartes procurou um método único para investigar e classi- car todas as Curvas Algébricas. Esse aspecto, somado à invenção do Cálculo, em especial pelo desenvolvimento realizado por Leibniz, o ramo analítico da Geometria é favorecido. É nesse aspecto que, em 1950, a Geometria Algébrica, com essa nova titulação, então torna-se derivada da Geometria Analítica, sendo, resumidamente, sua generalização, já que as propriedades geométricas das soluções de equações polinomiais, com coecientes reais, em duas e três dimensões são abordadas em Geometria Analítica Plana e Espacial, respectivamente. A Geometria Algébrica, portanto, utiliza-se de elementos da Topologia, da Análise Complexa e da Álgebra para o estudo de Curvas Algébricas, cujo conceito abordaremos de forma mais aprofundada ao longo dessa dissertação. As Curvas Algébricas são um dos objetos mais clássicos da Matemática. Tendo sido estudadas desde os primórdios da matemática, esse fato pode ser comprovado pelo estudo das cônicas por Manaechmus em torno de 150 d.C., da cissoide de Diocles e da conchoide de Nicomedes em torno de 200 d.C., das curvas de rolete durante a época da Renascença, das curvas Cassini e da lemniscata de Bernoulli no século XVII, e tantas outras curvas ao longo da história. Seu estudo levou ao desenvolvimento de diversos ramos da Matemá- tica, entre eles a teoria invariante, superfícies de Riemann e Geometria Algébrica, como já previamente citada, contando com alguns dos maiores nomes da Matemática, como Des- cartes, Bernoulli, Abel, Jacobi, Riemann, Weierstrass e Noether. Nas últimas décadas, com o desenvolvimento tecnológico, as Curvas Algébricas possuem diversas aplicações, principalmente na Teoria de Codicação Algébrica, Criptograa e Sistemas Dinâmicos. 1O postulado arma que por um ponto fora de uma reta pode-se traçar uma única reta paralela à reta dada. 12 Introdução 13 Este trabalho contém a reunião dos elementos necessários ao estudo de Curvas Planas Algébricas, a saber: no capítulo 2 abordamos os elementos prévios, entre eles o estudo de anel de polinômios, no capítulo 3 apresentamos os conjuntos algébricos ans, em particular o Hilbert’s Nullstellensatz, e no capítulo 4 é apresentado o tema central do trabalho: as Curvas Planas Algébricas. Na construção desses capítulos, utilizamos as referências de [1] ao [5], enquanto as referências [6] e [7] foram norteados da introdução, e a referência [8] trata-se do GeoGebra, software utilizado na construção dos exemplos. Tendo em vista que, na atual literatura, há uma escassez de um texto em língua por- tuguesa sobre o assunto, a pertinência desse trabalho se dá por essa divulgação cientíca de forma acessível, contendo exemplos relevantes sobre esse tema tão complexo, os quais foram explorados usando como ferramenta o GeoGebra. 2 Conceitos Prévios Antes de iniciarmos nosso estudo nos elementos da Geometria Algébrica, precisaremos relembrar alguns resultados e conceitos de anéis e corpos, já que esses serão utilizados posteriormente. Para esse capítulo, utilizamos as referências [1] e [2], além de complemen- tarmos a maioria das demonstrações e elaborarmos exemplos para melhor compreensão dos conceitos apresentados. 2.1 Noções de Anéis e Corpos Denição 2.1. Seja R um conjunto não vazio e um par de operações binárias sobre R: + e ·, onde uma é adição (x, y) 7→ x + y e a outra multiplicação (x, y) 7→ x · y. Dizemos que (R,+, ·) é um anel quando: (I) (R,+) é grupo abeliano, isto é: (i) para todo a, b, c ∈ R : a+(b+c) = (a+b)+c, ou seja, é válida a associatividade; (ii) para todo a, b ∈ R : a+ b = b+ a, ou seja, é válida a comutatividade; (iii) para todo a ∈ R, existe 0R ∈ R tal que: a + 0R = a = 0R + a, isto é, existe elemento neutro; (iv) para todo a ∈ R, existe −a ∈ R tal que: a + (−a) = 0R = (−a) + a, isto é, existe oposto para todo elemento de R. (II) A multiplicação é associativa, isto é: ∀a, b, c ∈ R, a · (b · c) = (a · b) · c. (III) A multiplicação é distributiva em relação à adição, o que vale dizer que, para todo a, b, c ∈ R: a · (b+ c) = a · b+ a · c e (a+ b) · c = a · c+ b · c. Observação 2.2. É comum denotarmos ab ao invés de a · b, quando nos referimos à multiplicação em um anel. Observação 2.3. Vale lembrar que as propriedades válidas para grupo também são vá- lidas para o anel, com relação à adição. Exemplo 2.4. Seja F o conjunto das funções f : R → R. Observe que a terna (F,+, ·) é um anel, onde (f + g)(x) = f(x) + g(x) e (f · g)(x) = f(x) · g(x) De fato: 14 Noções de Anéis e Corpos 15 (I) (F,+) é grupo abeliano, pois: (i) ∀f, g, h ∈ F , f(x)+[(g+h)(x)] = f(x)+[g(x)+h(x)] = [f(x)+g(x)]+h(x) = [(f+g)(x)]+h(x). (ii) ∀f, g ∈ F , (f + g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g + f)(x). (iii) A função nula é elemento neutro do grupo (F,+), já que (f + 0)(x) = f(x) + 0(x) = f(x) + 0 = f(x). (iv) ∀f ∈ F , a função −f será o elemento oposto de f , já que: (f + (−f))(x) = f(x) + (−f(x)) = f(x)− f(x) = 0. (II) A multiplicação é associativa, pois, ∀f, g, h ∈ F , f(x) · [(g · h)(x)] = f(x) · [g(x) · h(x)] = [f(x) · g(x)] · h(x) = [(f · g)(x)] · h(x). (III) A multiplicação é distributiva em relação à adição, isto é, ∀f, g, h ∈ F , f(x) · [(g + h)(x)] = f(x) · [g(x) + h(x)] = f(x) · g(x) + f(x) · h(x) e [(f + g)(x)] · h(x) = [f(x) + g(x)] · h(x) = f(x) · h(x) + g(x) · h(x). Exemplo 2.5. Outros anéis importantes são: • os conjuntos Z, Q, R e C, com a soma e multiplicação usuais; • o conjunto das matrizes n × n com elementos em R, com a soma e multiplicação usuais para matriz; • o conjunto (Zn,+n, ·n), onde (Zn,+n) é grupo cíclico e ·n é a multiplicação módulo n. Teorema 2.6. Seja R um anel com a unidade aditiva 0, então para todo a, b ∈ R, temos: (i) 0a = 0 = a0; (ii) a(-b)=-(ab)=(-a)b; (iii) (-a)(-b)=ab. Demonstração. Provemos cada uma das propriedades: Noções de Anéis e Corpos 16 (i) Note que, pela Denição 2.1, temos que: a0 + a0 = a(0 + 0) = a0 = 0 + a0. Pela lei do cancelamento para o grupo aditivo (R,+), temos que a0 = 0. De forma análoga, 0a = 0, já que: 0a+ 0a = (0 + 0)a = 0a = 0 + 0a. Desta forma, a0 = 0 = 0a. (ii) Para provar esta propriedade, precisamos lembrar que, por denição, −(ab) é o elemento que, ao adicionarmos ab, obtemos 0, isto é: −(ab) + ab = 0. Mostremos primeiramente que a(−b) = −(ab), para tal, mostraremos que a(−b) + ab = 0. Pela denição 2.1: a(−b) + ab = a(−b+ b) = a0 = 0, já que, pela propriedade (I), a0 = 0. De forma análoga, provemos que (−a)b+ab = 0: (−a)b+ ab = (−a+ a)b = 0b = 0. Assim, a(−b) = −(ab) = (−a)b. (iii) Note que (−a)(−b) = −(a(−b)). Pela propriedade (II), temos que: −(a(−b)) = −(−(ab)). É preciso lembrar que, por denição, −(−(ab)) é o elemento que, operado com−(ab), resulta em 0, isto é: −(−(ab))+(−(ab)) = 0. Mas, por denição, (ab)+(−(ab)) = 0. Como o inverso de um grupo é único, temos que −(−(ab)) = ab, porém, vimos que (−a)(−b) = −(−(ab)), logo (−a)(−b) = ab. Denição 2.7. Sejam R um anel e L um subconjunto não vazio de R. Dizemos que L é subanel de R se: (i) L é fechado para as operações + e · de R; (ii) (L,+, ·) também é um anel, onde + e · são as operações de R. Teorema 2.8. Sejam R um anel e L um subconjunto não vazio de R. L é subanel de R se, e somente se, a− b ∈ L e ab ∈ L, para todo a, b ∈ L. Demonstração. (⇒) Se L é subanel de R então, da denição, temos que L é um subgrupo do grupo abeliano R. Desta forma, a− b ∈ L, ∀a, b ∈ L. Além disso, pela denição de subanel, ab ∈ L, ∀a, b ∈ L. (⇐) Se a, b ∈ L, então a− b ∈ L, por hipótese. Logo, temos que L é subgrupo do grupo (R,+). Por outro lado, considerando L fechado sob ·, por hipótese, temos que: – Se a, b, c ∈ L, então a, b, c ∈ R, logo: a(bc) = (ab)c, portanto, vale a associati- vidade da multiplicação em L; Noções de Anéis e Corpos 17 – Se a, b, c ∈ L, então a, b, c ∈ R, logo: a(b + c) = ab + ac e (a + b)c = ac + bc, portanto, vale a distributividade de · sobre + em L. Observação 2.9. É importante salientar, pela própria denição de subanel, que todo subanel é, em particular, um anel. Com isso, por vezes, mostramos que um conjunto é subanel ao invés de mostrar que é um anel, como é o caso do próximo exemplo. Observação 2.10. Utilizaremos nZ para denotar o conjunto {n ·k; k ∈ Z}. Deste modo, nZ = {n · k; k ∈ Z} = ⟨n⟩. Com isso, podemos variar a notação desse conjunto entre nZ e ⟨n⟩, conforme for mais conveniente. Exemplo 2.11. Mostremos que a terna (2Z,+, ·) é subanel de Z. Sejam a, b ∈ Z, quaisquer. Note que se a ∈ 2Z, então a = 2k1, k1 ∈ Z. De forma análoga, b = 2k2, k2 ∈ Z. Assim, a− b = 2k1 − 2k2 = 2(k1 − k2) = 2k3 ∈ 2Z, onde k3 = k1 − k2 e k3 ∈ Z. Além disso, ab = 2k1 · 2k2 = 2(2k1k2) = 2k4 ∈ 2Z, onde k4 = 2k1k2 e k4 ∈ Z. Deste modo, pelo Teorema 2.8, 2Z é subanel de Z. Denição 2.12. Seja R um anel. Dizemos que R é um anel comutativo se, para todo a, b ∈ R, temos que: ab = ba. Exemplo 2.13. O anel 2Z é comutativo. Já vimos, pelo Exemplo 2.11 que 2Z é um anel, portanto, basta mostrarmos a comutatividade. Sejam a, b ∈ 2Z, quaisquer, então a = 2k1 e b = 2k2, onde k1, k2 ∈ Z. Assim, a · b = 2k1 · 2k2 = 2k2 · 2k1 = b · a. Exemplo 2.14. O anel das matrizes 2 × 2, com entradas em R, não é comutativo. Considere A = 1 2 3 4 ! e B = 5 6 7 8 ! . A · B = 1 2 3 4 ! · 5 6 7 8 ! = 1 · 5 + 2 · 7 1 · 6 + 2 · 8 3 · 5 + 4 · 7 3 · 6 + 4 · 8 ! = 19 22 43 50 ! mas B · A = 5 6 7 8 ! · 1 2 3 4 ! = 5 · 1 + 6 · 3 5 · 2 + 6 · 4 7 · 1 + 8 · 3 7 · 2 + 8 · 4 ! = 23 34 31 46 ! Deste modo, A · B ̸= B · A. De modo geral, o anel das matrizes n×n, com entradas em R, não é comutativo para n ≥ 2. Noções de Anéis e Corpos 18 Denição 2.15. Seja R um anel. Se R possui um elemento neutro para a multiplicação, isto é, existe 1R ∈ R, onde 1R ̸= 0R, tal que a · 1R = a = 1R · a, para qualquer a ∈ R, então dizemos que 1R é unidade de R e que R é um anel com unidade. Denição 2.16. Dizemos que um anel é comutativo com unidade quando a multiplicação é comutativa e possui unidade. Exemplo 2.17. Seja F o conjunto das funções reais. Já vimos que a terna (F,+, ·) é um anel. Observe que, mais ainda, é um anel comutativo com unidade. De fato, ∀f, g ∈ F , (f · g)(x) = f(x) · g(x) = g(x) · f(x) = (g · f)(x). Além disso, a função constante 1(x) = 1 é a unidade desse anel, pois, ∀f ∈ F , (f · 1)(x) = f(x) · 1(x) = f(x) · 1 = f(x). Exemplo 2.18. O anel 2Z é comutativo, porém não possui unidade. Observe que como 2Z é subanel de Z, poderíamos supor que o elemento unidade poderia ser o próprio 1, porém 1 /∈ 2Z. Além deste, nenhum outro elemento de 2Z satisfaz a condição a · 1R = a, para todo a ∈ 2Z. Denição 2.19. Um elemento u de um anel comutativo com unidade R é dito invertível em R se u divide 1R, isto é, se u possui inverso multiplicativo em R. Quando dizemos que u divide 1R, queremos dizer que é possível obter b ∈ R tal que u · b = 1R. Exemplo 2.20. Os únicos elementos invertíveis do anel Z são os elementos 1 e -1, já que 1 · 1 = 1 e (−1) · (−1) = 1. Observe que não é possível multiplicar quaisquer outros dois elementos e obter o elemento neutro da multiplicação, isto é, o elemento 1, como resultado e, portanto, 1 e -1 são os únicos elementos invertíveis de Z. Denição 2.21. Um elemento a de um anel R é dito irredutível se para alguma fatori- zação a = bc, b, c ∈ R, tem-se que b ou c são invertíveis. Denição 2.22. Dois elementos a, b ∈ R são associados em R se a = bu, onde u é invertível em R. Denição 2.23. Seja R um anel comutativo. Um subconjunto I ⊂ R não vazio será chamado de ideal de R se: (i) para todo x, y ∈ I : x− y ∈ I; (ii) para todo a ∈ R e x ∈ I : ax ∈ I. Observação 2.24. Pela Denição 2.23 e pelo Teorema 2.8, todo ideal de um anel R é subanel de R. Entretanto, a armação recíproca não é verídica (vide Exemplos 2.26 e 2.27). Exemplo 2.25. Seja F o anel das funções reais. Observe que o subanel N formado pelas funções tais que f(2) = 0 é um ideal de F , pois: Noções de Anéis e Corpos 19 (i) ∀f, g ∈ N , (f − g)(2) = f(2)− g(2) = 0− 0 = 0 ∈ N ; (ii) ∀f ∈ F , ∀g ∈ N , (fg)(2) = f(2)g(2) = f(2) · 0 = 0 ∈ N . Exemplo 2.26. Seja F o anel das funções reais. Observe que o subconjunto C de F , formado pelas funções tais que f(x) é uma constante não nula, é um subanel, porém não é um ideal de F . Note que é um subanel fechado para o produto, pois: ∀f, g ∈ C, (f − g)(x) = f(x)− g(x) = k − l = m ∈ C, onde k, l,m ∈ Z são constantes. No entanto, não é um ideal, já que, se supormos f(x) = 2 ∈ C e g(x) = sen x ∈ F , teremos: (f · g)(x) = f(x)g(x) = 2 sen x /∈ C, já que 2 sen x não é uma função constante. Exemplo 2.27. Considere Q o anel dos números racionais e Z seu sub-anel dos números inteiros. Note que Z não é ideal de Q, pois considerando 1 2 ∈ Q e 1 ∈ Z temos que 1 · 1 2 = 1 2 /∈ Z. Isso nos mostra que nem todo subanel será ideal. Proposição 2.28. Seja I um ideal de um anel comutativo R, então: 1. 0R ∈ I; 2. Se a ∈ I, então −a ∈ I; 3. Se a, b ∈ I, então a+ b ∈ I; 4. Se o anel possui unidade e se algum elemento invertível do anel pertence a I, então I = R. Demonstração. Demonstremos cada um dos itens da proposição: 1. Seja a ∈ I. Como I ̸= ∅ e I é ideal, então a − a ∈ I, pela Denição 2.23. Logo, 0R ∈ I. 2. Como 0R ∈ I, pelo item 1, e a ∈ I, então 0R − a ∈ I, pela Denição 2.23, deste modo −a ∈ I. 3. Sejam a, b ∈ I. Pelo item 2, temos que −b ∈ I. Assim, pela Denição 2.23, a− (−b) ∈ I, por propriedade de grupo aditivo, temos que a+ b ∈ I. 4. Já temos, por denição, que I ⊂ R e assim mostremos que R ⊂ I. Para isso, tomemos a ∈ R qualquer. Como R possui unidade, temos que a = a ·1. Agora, veja que algum elemento dentro de I, digamos u, é invertível. Por hipótese, então existe v ∈ R tal que uv = 1. Pela Denição 2.23, temos que, como u ∈ I e v ∈ R, então uv ∈ I. Como uv = 1, logo 1 ∈ I e, assim, a = a · 1 ∈ I. Portanto, R ⊂ I. Denição 2.29. Dizemos que um ideal I do anel R é próprio se I ̸= R. Noções de Anéis e Corpos 20 Denição 2.30. Seja P um ideal em um anel comutativo R. Dizemos que P é ideal primo se: (i) P ̸= R; (ii) Para todo a, b ∈ R tal que ab ∈ P , então a ∈ P ou b ∈ P . Denição 2.31. Seja M um ideal em um anel comutativo R. Dizemos que M é ideal maximal se: (i) M ̸= R; (ii) Os únicos ideais de R que contém M são o próprio M e R, isto é, se P é um ideal de R diferente de M tal que: M ⫋ P ⊆ R ⇒ P = R. Proposição 2.32. Todo ideal maximal de um anel comutativo com unidade é um ideal primo. Demonstração. Seja M um ideal maximal de um anel comutativo R com unidade. Mos- tremos que M é um ideal primo, ou seja, ∀a, b ∈ R tais que ab ∈ M , teremos a ∈ M ou b ∈ M . Para tanto, sejam a, b ∈ R tais que a /∈ M e ab ∈ M . Dena o ideal J = ⟨a⟩+M em R. Veja que, M ⊂ J , por denição de J . Mais ainda, M ̸= J , já que a ∈ J e a /∈ M . Desta forma, temos a seguinte relação: M ⫋ J ⊂ R. Mas M é ideal maximal de R, por hipótese, logo J = R. Consequentemente, 1 ∈ R = J = ⟨a⟩+M, ou seja, 1 ∈ ⟨a⟩+M . Assim, existem r ∈ R e m ∈ M tal que: 1 = ra+m. Multiplicando essa igualdade por b temos que: 1b = (ra)b+mb ⇒ b = r(ab) +mb. Como ab ∈ M e m ∈ M então temos que r(ab) ∈ M e mb ∈ M , já que M é ideal. Deste modo, r(ab) + mb ∈ M e, portanto, b ∈ M . Com isso, temos que M é um ideal primo. Denição 2.33. Se R é um anel comutativo e S é um subconjunto de R, podemos denir o ideal gerado por S como o conjunto: I = { P aisi; si ∈ S, ai ∈ R} um ideal gerado por S. Denição 2.34. Sejam (R,+R, ·R) e (S,+S, ·S) anéis e ϕ : R −→ S uma aplicação. Dizemos que ϕ é um homomorsmo de anéis se, para todo a, b ∈ R: ϕ(a+R b) = ϕ(a) +S ϕ(b) e ϕ(a ·R b) = ϕ(a) ·S ϕ(b). Noções de Anéis e Corpos 21 Exemplo 2.35. Tomemos Z e Zm. Note que ϕ : Z → Zm, denida por ϕ(a) = a é um homomorsmo de anéis. De fato, ∀a, b ∈ Z, • ϕ(a+ b) = a+ b = a+m b = ϕ(a) +m ϕ(b); • ϕ(a · b) = a · b = a ·m b = ϕ(a) ·m ϕ(b). Denição 2.36. Seja ϕ : R −→ S um homomorsmo de anéis. Damos o nome núcleo de ϕ, denotado por ker(ϕ), ao subconjunto de R: ker(ϕ) = {x ∈ R; ϕ(x) = 0S}. Observação 2.37. Note que ϕ(0R) = 0S, já que ϕ é homomorsmo do grupo aditivo R no grupo aditivo S, logo 0R ∈ ker(ϕ). Portanto, ker(ϕ) ̸= ∅, pois ao menos 0R ∈ ker(ϕ). Exemplo 2.38. Seja ϕ : Z × Z → Z denida por ϕ(a, b) = a. Veja que ϕ é um homo- morsmo de anéis, pois: ∀(a, b), (c, d) ∈ Z× Z, • ϕ((a, b) + (c, d)) = ϕ(a+ c, b+ d) = a+ c = ϕ(a, b) + ϕ(c, d). • ϕ((a, b) · (c, d)) = ϕ(a · c, b · d) = a · c = ϕ(a, b) · ϕ(c, d). Agora, analisemos o ker(ϕ): ker(ϕ) = {(a, b) ∈ Z× Z; ϕ(a, b) = 0} = {(a, b) ∈ Z× Z; a = 0} = {(0, b); b ∈ Z}. Proposição 2.39. Seja ϕ : R −→ S um homomorsmo de anéis. Então é válido: (i) ker(ϕ) é subanel de R; (ii) ϕ é injetor se, e somente se, ker(ϕ) = {0R}. Demonstração. Mostremos ambas as propriedades: (i) Sejam a, b ∈ ker(ϕ), logo ϕ(a) = ϕ(b) = 0S. Com isso, temos que: ϕ(a− b) = ϕ(a)− ϕ(b) = 0S e ϕ(a ·R b) = ϕ(a) ·S ϕ(b) = 0S ·S 0S = 0S. Portanto, a− b ∈ ker(ϕ) e ab ∈ ker(ϕ), logo, pelo Teorema 2.8, ker(ϕ) é subanel de R. (ii) (⇒) Por hipótese, temos que ϕ é injetora. Queremos mostrar que ker(ϕ) = 0R, e, para isso, tomemos a ∈ ker(ϕ) para mostrar que a = 0R. Se a ∈ ker(ϕ), então ϕ(a) = 0S. Mas, como já mencionado, ϕ(0R) = 0S. Como ϕ é injetora, temos que a = 0R. Noções de Anéis e Corpos 22 (⇐) Sejam a, b ∈ R tais que ϕ(a) = ϕ(b). Multiplicando cada membro da igualdade pelo inverso multiplicativo de ϕ(b), [ϕ(b)]−1 temos que: ϕ(a) ·S [ϕ(b)]−1 = 1S. Mas ϕ é homomorsmo de anel, logo: ϕ(a) ·S [ϕ(b)]−1 = ϕ(a ·R b−1). Portanto, ϕ(a ·R b−1) = 1S, logo ab−1 ∈ ker(ϕ). Como, por hipótese, ker(ϕ) = 0R, temos que a ·R b−1 = 0R. Operando b nos dois lados da equação temos que: a = b. Logo, ϕ é injetora. Exemplo 2.40. Seja ϕ : Z → Z × Z denida por ϕ(n) = (n, 0). Veja que ϕ é um homomorsmo: ∀m,n ∈ Z, • ϕ(m+ n) = (m+ n, 0) = (m+ n, 0 + 0) = (m, 0) + (n, 0) = ϕ(m) + ϕ(n). • ϕ(m · n) = (m · n, 0) = (m · n, 0 · 0) = (m, 0) · (n, 0) = ϕ(m) · ϕ(n). Analisemos agora o ker(ϕ): ker(ϕ) = {x ∈ Z; ϕ(x) = (0, 0)} = {x ∈ Z; (x, 0) = (0, 0)} = {x ∈ Z; x = 0} = {0}. Pela proposição anterior, item (ii), temos que ϕ é um homomorsmo de anéis injetor. Proposição 2.41. Se R um anel, com ϕ : R −→ S um homomorsmo de anel, então ker(ϕ) é ideal de R. Demonstração. Por propriedade de homomorsmo, temos que ker(ϕ) ̸= ∅. Basta mostrar que, para quaisquer r ∈ R e a ∈ ker(ϕ), temos r ·R a ∈ ker(ϕ). Seja r ∈ R e a ∈ ker(ϕ). Note que ϕ(a) = 0S. Além disso, veja que: ϕ(r ·R a) = ϕ(r) ·S ϕ(a) = ϕ(r) ·S 0S = 0S. Logo, rR · a ∈ ker(ϕ). Portanto, ker(ϕ) é ideal de R. Proposição 2.42. Se R e S são anéis, com ϕ : R −→ S um homomorsmo de anéis, então ϕ(R) é subanel de S. Demonstração. Já temos, por denição, que ϕ(R) ⊂ S. Para mostrar que ϕ(R) é subanel de S, pelo Teorema 2.8, basta mostrar que s1 − s2 ∈ ϕ(R) e s1s2 ∈ ϕ(R), para todo s1, s2 ∈ ϕ(R). Para tal, tomemos s1, s2 ∈ ϕ(R) quaisquer. Então, existem r1, r2 ∈ R tais que ϕ(r1) = s1 e ϕ(r2) = s2. Deste modo: s1 − s2 = ϕ(r1)− ϕ(r2) = ϕ(r1 − r2) ∈ ϕ(R). Além disso, s1s2 = ϕ(r1)ϕ(r2) = ϕ(r1r2) ∈ ϕ(R). Noções de Anéis e Corpos 23 Denição 2.43. Seja ϕ : R −→ S um homomorsmo de anéis. Se ϕ for uma bijeção, então será chamado de isomorsmo de R em S. Neste caso, chamamos ϕ de isomorsmo de anéis. Denição 2.44. Seja ϕ : R −→ S. Um isomorsmo é canônico quando ϕ é uma função inversível, então dizemos que R é canonicamente isomorfo a S. Denição 2.45. Sejam a, b ∈ R, R anel, onde a ̸= 0R e b ̸= 0R, dizemos que a e b são divisores de zero quando ab = 0R. Denição 2.46. Seja R um anel comutativo com unidade 1R ̸= 0R. Dizemos que R é um anel de integridade, ou domínio de integridade, quando R não possui divisores de zero, isto é: ab = 0R ⇔ a = 0R ou b = 0R, para quaisquer a, b ∈ R. Denição 2.47. Sejam R um domínio e a, b ∈ R. Dizemos que a divide b, ou que a é um divisor de b, e escrevemos a | b se existe x ∈ R tal que b = ax. Caso contrário, escrevemos a ∤ b e dizemos que a não é divisor de b, ou que a não divide b. Dizemos que a e b são associados ou que a é associado de b se existe u invertível em R, tal que a = bu e neste caso, escrevemos a ∼ b. Denição 2.48. Sejam R um domínio e a, b ∈ R. Dizemos que a divide b, ou que a é um divisor próprio de b se a | b, com a não invertível e a ≁ b, ou seja, b = a · b, com a e x não invertíveis. Um elemento q ∈ R é um elemento irredutível de R se q ̸= 0, q não invertível e q não tem divisores próprios de R, isto é, se a | q, então a é invertível ou a ∼ q. Um elemento p ∈ R é um elemento primo de R se p ̸= 0, p não invertível e, se a, b ∈ R tais que p | a · b, então p | a ou p | b. Denição 2.49. Sejam R um anel comutativo, I um ideal e S um subconjunto de R. I é nitamente gerado se ele é gerado por um conjunto nito S = {a1, a2, · · · , an} ⊂ R, ou seja, I = ⟨a1, · · · , an⟩. O ideal gerado por um conjunto unitário {a} é chamado de ideal principal gerado por a e denotador por ⟨a⟩. Lema 2.50. Sejam R um domínio e a, b ∈ R. Então: (i) a | b ⇐⇒ ⟨b⟩ ⊆ ⟨a⟩; (ii) a ∼ b ⇐⇒ ⟨b⟩ = ⟨a⟩; (iii) a é um divisor próprio de b se, e só se, ⟨a⟩ ̸= R e b ⫋ ⟨a⟩; (iv) a é invertível se, e só se, ⟨a⟩ = R. Demonstração. (i) a | b se, e somente se, existe c ∈ R tal que b = c · a ⇐⇒ b ∈ ⟨a⟩ ⇐⇒ ⟨b⟩ ⊆ ⟨a⟩; (ii) a ∼ b ⇐⇒ a | b e b | a ⇐⇒ ⟨b⟩ ⊆ ⟨a⟩ e ⟨a⟩ ⊆ ⟨b⟩ ⇐⇒ ⟨a⟩ = ⟨b⟩; (iii) a é um divisor próprio de b ⇐⇒ a | b, a não invertível e a ≁ b ⇐⇒ a ̸= R e ⟨a⟩ ̸= ⟨b⟩ e ⟨b⟩ ⊈ ⟨a⟩; Noções de Anéis e Corpos 24 (iv) a é invertível ⇐⇒ a ∼ 1 ⇐⇒ ⟨a⟩ = ⟨1⟩ = R, onde 1 é a unidade de R. Teorema 2.51. Seja R um anel comutativo com unidade. Então p ∈ R é um elemento primo de R se, e somente se, ⟨p⟩ é um ideal primo não nulo de R. Demonstração. Se p é um elemento primo de R, então p ̸= 0 e p não é invertível, o que implica que ⟨p⟩ ̸= ⟨0⟩ e ⟨p⟩ ̸= R. Se a, b ∈ R são tais que a · b ∈ ⟨p⟩, então p | a · b e, como p é primo, temos que p | a ou p | b. Do Lema 2.50 obtemos ⟨a⟩ ⊆ ⟨p⟩ ou ⟨b⟩ ⊆ ⟨p⟩, ou seja, a ∈ ⟨p⟩ ou b ∈ ⟨p⟩, o que mostra que ⟨p⟩ é um ideal primo não nulo de R. Reciprocamente, se ⟨p⟩ é um ideal primo não nulo de R, então ⟨p⟩ ̸= ⟨0⟩ e ⟨p⟩ ̸= R. Logo, p ̸= 0 e p não é invertível. Se p | a · b, então a · b ∈ ⟨p⟩. Como ⟨p⟩ é um ideal primo, temos que a ∈ ⟨p⟩ ou b ∈ ⟨p⟩, o que implica que p | a ou p | b. Portanto p é um elemento primo de R. Denição 2.52. Se todos os ideais de um anel comutativo são principais, então esse anel recebe o nome de anel principal. Denição 2.53. Um domínio de integridade em que todo ideal é principal é chamado de domínio de ideais principais ou PID. Exemplo 2.54. Z é PID. De fato, seja I um ideal em Z. Se I = {0}, então segue que I é ideal principal de Z, pois ⟨0⟩ = {x · 0; x ∈ Z} = {0}. Se I ̸= {0}, então I possui um elemento a não nulo e, portanto, −a ∈ I. Como a ou −a é estritamente positivo, então I possui elementos estritamente positivos, o menor dos quais chamaremos de b. Queremos, então, provar que I = ⟨b⟩. Como b ∈ I, então ⟨b⟩ ⊂ I. Mostremos agora que I ⊂ ⟨b⟩. Para tal, tome m ∈ I qualquer. Aplicando o algoritmo da divisão euclidiana, utilizando m como dividendo, b como divisor, q sendo o quociente e r o resto (0 ≤ r < b), temos que: m = bq + r. Disto, temos que r = m− bq e, portanto, r ∈ I, já que m, b ∈ I e I é ideal. Mas como b é o menor inteiro estritamente positivo em I e r < b, então, necessariamente, r = 0. Assim, m = bq, isto é, m ∈ ⟨b⟩. Deste modo, I ⊂ ⟨b⟩. Com isso, temos que I = ⟨b⟩. Relembrando da Observação 2.10, quando falamos do subanel nZ, que indicamos por ⟨n⟩, vemos então que o mesmo é, também, um ideal. E, por isso, continuamos, por vezes, denotando o ideal gerado por n por ⟨n⟩ ou nZ. Denição 2.55. Seja R um domínio de integridade. A característica de R, char(R), é o menor inteiro positivo p tal que 1 + · · ·+ 1 | {z } p vezes = 0. Se tal p não existe, char(R) = 0. Teorema 2.56. Se R é um PID, então todo elemento de R não nulo diferente da unidade é um produto de fatores irredutíveis. Noções de Anéis e Corpos 25 Demonstração. Seja a ∈ R, onde a ̸= 0R e a ̸= 1R. Se a for irredutível, não há o que mostrar. Se a não for irredutível, mostremos que ele tem ao menos um fator irredutível. Como a é não irredutível, então podemos escrever a = a1b1, onde tanto a1 quanto b1 são diferentes da unidade. Note que ⟨a⟩ está contido propriamente em ⟨a1⟩, pois se ⟨a⟩ = ⟨a1⟩, então b seria uma unidade, o que não ocorre, por hipótese. Continuando esse processo a partir de a1, construímos uma cadeira ascendente de ideais contidos propriamente. ⟨a⟩ ⊂ ⟨a1⟩ ⊂ ⟨a2⟩ ⊂ · · · Pelo Lema 45.101 ([1], p.392), essa cadeia estaciona em algum ⟨ar⟩ e, então, ar neces- sariamente é irredutível, pois, caso contrário, ar se escreveria da forma ar = b · c, em que b e c diferem da unidade, então ⟨ar⟩ ⫋ ⟨b⟩, contradizendo o fato da cadeira supracitada ser estacionária. Portanto, a tem um fator irredutível ar. Pelo que acabamos de mostrar, para um elemento a, que é diferente de zero e não é uma unidade em R, temos que: ou a é irredutível, ou a = p1c1, em que p1 é um elemento irredutível de R, c1 não é a unidade e, por consequência, ⟨a⟩ ⊂ ⟨c1⟩. Se c1 não é irredutível, então c1 = p2c2, onde p2 é irredutível e c2 não é uma unidade. Continuando esse processo, temos a seguinte cadeira ascendente de ideais propriamente contidos: ⟨a⟩ ⊂ ⟨c1⟩ ⊂ ⟨c2⟩ ⊂ · · · a qual é estacionária, pelo Lema 45.10 ([1], p.392), logo necessariamente algum cr = qr é irredutível, e então: c = p1p2 · · · prqr. Proposição 2.57. Um ideal ⟨a⟩ em um PID é maximal se, e somente se, a é irredutível. Demonstração. (⇒) Seja ⟨a⟩ um ideal maximal de S, sendo S um PID. Suponha a = xy ∈ S, então ⟨a⟩ ⊆ ⟨x⟩. Se ⟨x⟩ = ⟨a⟩, então, x e a estão associados, logo y é invertível em S. Se ⟨x⟩ ̸= ⟨a⟩, então teremos ⟨x⟩ = ⟨1⟩ = S, já que ⟨a⟩ é maximal. Mas x e 1 estão associados, logo x é invertível em S. Portanto, se a = xy, então x ou y são invertíveis, assim a é irredutível. (⇐) Seja a irredutível em S. Suponha ⟨x⟩ ideal de S tal que ⟨a⟩ ⫋ ⟨x⟩ ⊆ S. Veja que ⟨x⟩ = S. De fato, como ⟨a⟩ ⊂ ⟨x⟩, então podemos dizer que a = xy, para algum y ∈ S. Mas a é irredutível, por hipótese, assim x ou y são unidades de S. Se x for uma unidade de S, então ⟨x⟩ = ⟨1⟩ = S. Se x não for uma unidade de S, então y o é. Logo existe u ∈ S tal que yu = 1. Com isso, podemos armar que au = xyu = x, portanto ⟨x⟩ ⊆ ⟨a⟩. Consequentemente, ⟨x⟩ = ⟨a⟩, o que é absurdo por hipótese. 1Lema 45.10 [Condição para Cadeia Ascendente para um PID]: Seja R um PID. Se N1 ⊆ N2 ⊆ · · · é uma cadeira ascendente de ideias Ni, então existem inteiros positivos r tais que Nr = Ns para todo s ≥ r. Equivalentemente, toda cadeia de ideias estritamente ascendente (todas propriamente contidas) em um PID é nita. A demonstração desse Proposição encontra-se na página 392 de [1]. Noções de Anéis e Corpos 26 Portanto, necessariamente x é uma unidade de S e ⟨x⟩ = S, onde concluímos que ⟨a⟩ é maximal. Proposição 2.58. Em um PID, se um irredutível p divide ab, então p divide a ou p divide b. Demonstração. Seja S um PID e suponha p seja um elemento irredutível em S tal que p | ab, logo ab ∈ ⟨p⟩. Como ⟨p⟩ é ideal maximal em S, pela Proposição anterior, e todo ideal maximal é ideal primo, pela Proposição 2.32, então ab ∈ ⟨p⟩ implica que a ∈ ⟨p⟩ ou b ∈ ⟨p⟩, ou seja, a = r1p ou b = r2p, com r1, r2 ∈ S, o que nos dá que p | a ou p | b. Observação 2.59. Podemos utilizar o Princípio da Indução Finita na proposição anterior e concluir que se p é um irredutível em um PID S e p | a1a2 · · · an, para ai ∈ S, então p | ai, para algum i. Denição 2.60. Um domínio de integridade R é domínio de fatoração única, ou UFD, se todo elemento não nulo em R pode ser unicamente fatorado, a menos de elementos invertíveis e da ordem de fatores, em elementos irredutíveis. Proposição 2.61. Em um UFD, todo elemento irredutível é primo. Demonstração. Sejam R UFD e q ∈ R um elemento irredutível. Então q ̸= 0 e q não invertível. Se a, b ∈ R são tais que q | a · b, escrevendo a = p1 · · · pr e b = q1 · · · qs, com pi e qj elementos irredutíveis em R, temos que uma fatoração para a · b é a · b = p1 · · · pr · q1 · · · qs. Como q | a · b, temos que a · b = q · c, para algum c ∈ R. Pela unicidade da fatoração de a · b, temos que q ∼ pi ou q ∼ qj , para algum índice i, j. Agora, q | pi e pi | a, implica que q | a ou q | qj e qj | b, implica que q | b, o que mostra que q é primo. Teorema 2.62. Todo PID é UFD. Demonstração. Veja que, pelo Teorema 2.56, já temos que se S é um PID, então todo a ∈ S pode ser fatorado em fatores irredutíveis a = p1p2 · · · pr. Basta mostrar que essa fatoração é única, a menos da ordem dos fatores. Seja a = q1q2 · · · qs outra fatorização de a em fatores irredutíveis. Com isso, temos que p1 | (q1q2 · · · qs). Desta forma, podemos armar que p1 | qj , para algum j. Como podemos alterar a ordem dos fatores se necessário, podemos assumir que p1 | q1, então q1 = p1u1. Como p1 é irredutível, u1 é uma unidade, e, assim, p1 e q1 estão associados. Desta forma: p1p2 · · · pr = p1u1q2 · · · qs. Pela lei do cancelamento em S, podemos armar que p2 · · · pr = u1q2 · · · qs. De forma contínua e análoga, chegaremos que 1 = u1u2 · · ·urqr+1 · · · qs. Como qj são irredutíveis temos que r = s. Logo, a fatorização é única, a menos da ordem dos elementos. Noções de Anéis e Corpos 27 Exemplo 2.63. Observe que, como Z é PID, então Z é um domínio de fatoração única (UFD). Se tomarmos −6 ∈ Z podemos fatorá-lo em: −6 = 2 ·−3 ou − 6 = −2 · 3 Veja ainda que −3 = −1 · 3 e −2 = −1 · 2, deste modo podemos reescrever −6 como: −6 = −1 · 3 · 2. Com isso, temos que −6 pode ser reescrito por elementos irredutíveis de forma única, a menos da ordem de fatores e de elementos invertíveis. Mais ainda, é fácil observar que podemos fazer isso para qualquer elemento de Z. Corolário 2.64. Um ideal principal I = ⟨a⟩ em um UFD é primo se, e somente se, a é irredutível. Demonstração. (⇒) Mostremos a contrapositiva, isto é, se a é irredutível, então ⟨a⟩ não é primo. Como a é irredutível, então a = bc, onde b e c não são elementos invertíveis. Logo, necessariamente, b /∈ ⟨a⟩ e c /∈ ⟨a⟩. Portanto, ⟨a⟩ não é primo. (⇐) Como, por hipótese, a é um elemento irredutível em um UFD segue pela Proposição 2.61 que a é um elemento primo deste UFD. Consequentemente, pelo Teorema 2.51, o ideal principal ⟨a⟩ é um ideal primo. Denição 2.65. Seja R um anel com unidade. Dizemos que R é um anel com divisão, ou um quase corpo, se (R− {0}, ·) é um grupo, ou seja, 1 ∈ R e, para todo a ∈ R, a ̸= 0, existe b ∈ R, tal que: a · b = b · a = 1, onde b é chamado de inverso de a e denotado por a−1. Denição 2.66. Dizemos que R é corpo quando R é um anel com divisão comutativo e denotaremos por k. Proposição 2.67. Seja k um anel comutativo com unidade. Dizemos que k é corpo se, e somente se, os únicos ideais de k são os triviais: {0} e k. Demonstração. (⇒) Suponha que k é um corpo, logo todo ideal I, diferente do ideal {0}, contém 1k, já que para todo x ̸= 0k ∈ I, existe x−1 ∈ k tal que x−1 · x ∈ I, mas x−1 · x = 1k, logo 1k ∈ I. Agora, tome r ∈ k qualquer e 1k ∈ I. Veja que r = r · 1 ∈ I e desse modo r ∈ I. Assim, I = k. Portanto, temos que, se k é corpo, então os únicos ideais possíveis são {0} e o próprio k. (⇐) Para isso, supomos que k não seja corpo e, assim, existe algum x ̸= 0k ∈ k que não possui inverso. Com isso, temos que ⟨x⟩ = {rx; r ∈ k} ̸= {0} e 1k /∈ ⟨x⟩. Logo ⟨x⟩ ̸= k, mas isso contraria a hipótese de que os únicos ideais são {0} e o próprio k. Portanto, k é corpo. Noções de Anéis e Corpos 28 Teorema 2.68. Todo corpo é domínio de integridade. Demonstração. Seja k um corpo. Então k é um anel comutativo com unidade 1, onde todo elemento não nulo tem inverso com relação à multiplicação, isto é, (k − {0}, ·) é grupo abeliano. Queremos mostrar que k não possui divisores de zero, isto é: a · b = 0 ⇔ a = 0 ou b = 0. Para isso, tomemos a, b ∈ k tais que a · b = 0, com a ̸= 0. Note que a−1 ∈ k. Daí: b = 1 · b = (a−1 · a) · b = a−1 · (a · b) = a−1 · 0 = 0. Desta forma, temos que k é um domínio de integridade. Teorema 2.69. Todo domínio de integridade nito com mais de um elemento é um corpo. Demonstração. Seja k um domínio de integridade com 1 ̸= 0. Então k será corpo se todo elemento não nulo tiver inverso multiplicativo. Seja a ∈ k, a ̸= 0. Temos que {a, a2, a3, · · · , am, · · · } ⊂ k. Como k é nito, então {a, a2, a3, · · · , am, · · · } ⊂ k é nito. Seja s o menor inteiro positivo tal que as = ar, para algum r ̸= s, com r > s. Como r > s, então, existe t ∈ Z+, tal que r = s+ t, com t > 0. Note que 0 = as − ar = as − as+t = as(1− at). Como k é domínio de integridade e a ̸= 0, então as ̸= 0, logo at = 1, para algum t > 0. Se t = 1, temos que a = 1, logo a−1 = a = 1 ∈ k. Se t > 1, temos que 1 = a · at−1 ⇒ a−1 · 1 = (a−1 · a) · at−1 ⇒ a−1 = at−1 ∈ k. Logo, para todo a ∈ k, a ̸= 0, temos que a−1 ∈ k, portanto, k é corpo. Denição 2.70. Seja R um domínio de integridade. No conjunto R × R∗ consideremos a relação de equivalência ∼ denida como: ∀(a, b), (c, d) ∈ R × R∗, (a, b) ∼ (c, d) ⇔ ad = bc. Usaremos a b para denotar a classe de equivalência determinada por (a, b). Os elementos do conjunto quociente K = R × R∗ ∼ são as frações a b , a ∈ R, b ∈ R∗, tais que: a b = c d ⇔ (a, b) ∼ (c, d) ⇔ ad = bc. Assim, K = � a b ; a ∈ R, b ∈ R∗ � . Proposição 2.71. No contexto da Denição 2.70, K com as operações a b + c d := ad+ bc bd e Noções de Anéis e Corpos 29 a b · c d := ac bd , onde a b , c d ∈ K é um corpo e chamado de corpo de frações de R. Demonstração. Para mostrar que K é corpo, precisamos mostrar que K é um anel com divisão comutativo. • + está bem denida. De fato: Sejam + : K ×K → K e � a1 b1 , c1 d1 � , � a2 b2 , c2 d2 � ∈ K ×K. Note que: � a1 b1 , c1 d1 � = � a2 b2 , c2 d2 � ⇔ a1 b1 = a2 b2 e c1 d1 = c2 d2 . Pela Denição 2.70, temos que:    a1b2 = a2b1 c1d2 = c2d1 . Multiplicando a primeira linha por d1d2 e a segunda linha por b1b2 teremos:    a1b2d1d2 = a2b1d1d2 c1d2b1b2 = c2d1b1b2 . Somando as duas linhas, já que estamos em um sistema linear, temos a1b2d1d2+c1d2b1b2 = a2b1d1d2+c2d1b1b2 ⇒ (a1d1+c1b1)(b2d2) = (a2d2+c2b2)(b1d1). Mas, pela Denição 2.70, segue que: a1d1 + c1b1 b1d1 = a2d2 + c2b2 b2d2 ⇒ a1 b1 + c1 d1 = a2 b2 + c2 d2 . Portanto, + está bem denida. • · está bem denida. De fato: Sejam + : K×K → K e � a1 b1 , c1 d1 � , � a2 b2 , c2 d2 � ∈ K×K. Note que: � a1 b1 , c1 d1 � = � a2 b2 , c2 d2 � ⇔ a1 b1 = a2 b2 e c1 d1 = c2 d2 . Pela Denição 2.70, temos que:    a1b2 = a2b1 c1d2 = c2d1 . Multiplicando as igualdades, temos: a1b2c1d2 = a2b1c2d1 ⇒ (a1c1)(b2d2) = (a2c2)(b1d1). Pela Denição 2.70, segue que: a1c1 b1d1 = a2c2 b2d2 ⇒ a1 b1 · c1 d1 = a2 b2 · c2 d2 . Portanto, · está bem denida. Noções de Anéis e Corpos 30 • K é anel. De fato: (i) (K,+) é grupo abeliano, pois: 1. A operação + é associativa para todo a b , c d , e f ∈ K: a b + c d + e f ! = a b + cf + de df = a(df) + b(cf + de) b(df) = (ad+ bc)f + (bd)e (bd)f = ad+ bc bd + e f = � a b + c d � + e f . 2. A operação + possui elemento neutro para todo a b ∈ K: Seja 0 1 ∈ K, note que: a b + 0 1 = a · 1 + b · 0 b · 1 = a b . Por outro lado, 0 1 + a b = 0 · b+ 1 · a 1 · b = a b . 3. Para todo a b ∈ K, existe seu inverso aditivo em K. Tome −a b ∈ K e note que −a b = − � a b � . De fato: a b + −a b = ab+ (−a)b b2 = b(a+ (−a)) b2 = b · 0 b2 = 0. Por outro lado, −a b + a b = (−a)b+ ab b2 = (−a+ a)b b2 = 0 · b b2 = 0. 4. A operação + é comutativa para todo a b , c d ∈ K: a b + c d = ad+ bc bd = cb+ da db = c d + a b . (ii) A operação · é associativa para todo a b , c d , e f ∈ K: a b · c d · e f ! = a b · ce df = a(ce) b(df) = (ac)e (bd)f = ac bd · e f = � a b · c d � · e f . (iii) É válida a distributividade da multiplicação em relação à adição para todo a b , c d , e f ∈ K: a b c d + e f ! = a b cf + ed df ! = a(cf + ed) b(df) = acf + aed bdf = acf bdf + aed bdf = ac bd · f f + ae bf · d d = ac bd · 1 + ae bf · 1 = ac bd + ae bf = a b · c d + a b · e f . Noções de Anéis e Corpos 31 Além disso, � a b + c d � e f = ad+ bc bd · e f = (ad+ bc)e (bd)f = ade+ bce bdf = ade bdf + bce bdf = ae bf · d d + ce df · b b = ae bf · 1 + ce df · 1 = ae bf + ce df = a b · e f + c d · e f . • K possui unidade. De fato, tome 1 1 como a unidade em K e a b ∈ K qualquer. a b · 1 1 = a · 1 b · 1 = a b . Por outro lado, 1 1 · a b = 1 · a 1 · b = a b . • Todo elemento a b ̸= 0 1 ∈ K possui inverso. Tome b a ∈ K e veja que b a = � a b �−1 . De fato: a b · b a = ab ba = ab ab = 1 1 , já que (ab) · 1 = 1 · (ab). Por outro lado, b a · a b = ba ab = ab ab = 1 1 . Com isso, temos que K é corpo. Exemplo 2.72. Sabemos que Z é um domínio de integridade. Pela Denição 2.70, o corpo de frações de Z é denido por: K = � a b ; a ∈ Z, b ∈ Z∗ � . Por outro lado, por denição, temos que: Q = � a b ; a ∈ Z, b ∈ Z∗ � . Deste modo, Q é o corpo das frações de Z. Denição 2.73. Seja I um ideal de um anel R comutativo com unidade. A classe de resíduos do anel R módulo I é denotada R I e é o conjunto quociente das classes de equivalências dos elementos de R sob a relação de equivalência a ∼ b se, e somente se, a− b ∈ I. A classe de equivalência de a é denotada a. Proposição 2.74. R I com as operações + e · denidas por: Sejam a+ I, b+ I ∈ R I , com a, b ∈ R, (a+ I) + (b+ I) := (a+ b) + I (a+ I) · (b+ I) := ab+ I é um anel comutativo com unidade. Noções de Anéis e Corpos 32 Demonstração. Mostremos que R I é anel comutativo com unidade. • + está bem denida: Sejam + : R I × R I → R I e (a+ I, b+ I), (c+ I, d+ I) ∈ R I × R I . Note que: (a+ I, b+ I) = (c+ I, d+ I) ⇔ a+ I = c+ I e b+ I = d+ I. Pela Denição 2.73, temos então que: a ∼ c e b ∼ d ⇒ a− c ∈ I e b− d ∈ I. Com isso, podemos então somar ambos os elementos de I: (a− c) + (b− d) ∈ I ⇒ (a+ b)− (c+ d) ∈ I. Mas se isso ocorre, então, pela Denição 2.73, temos que: (a+ b) ∼ (c+ d) ⇒ (a+ b) + I = (c+ d) + I. • · está bem denida: Sejam · : R I × R I → R I e (a+ I, b+ I), (c+ I, d+ I) ∈ R I × R I . Note que: (a+ I, b+ I) = (c+ I, d+ I) ⇔ a+ I = c+ I e b+ I = d+ I. Pela Denição 2.73, temos então que: a ∼ c e b ∼ d ⇒ a− c ∈ I e b− d ∈ I. Se isso ocorre, então podemos armar que a = c+x e b = d+y, para algum x, y ∈ I, portanto: ab = (c+ x)(d+ y) = cd+ cy + xd+ xy. Como I é ideal, então cy, xd, xy ∈ I. Assim, podemos dizer que w = cy+xd+xy ∈ I, logo: ab = cd+ w ⇒ ab− cd ∈ I. Pela Denição 2.73, temos que: ab ∼ cd ⇒ ab+ I = cd+ I. • R I é anel: (i) � R I ,+ � é grupo abeliano, pois: 1. A operação + é associativa para todo a+ I, b+ I, c+ I ∈ R I : (a+ I) + [(b+ I) + (c+ I)] = (a+ I) + ((b+ c) + I) = (a+ (b+ c)) + I = ((a+ b)+ c)+ I = ((a+ b)+ I)+ (c+ I) = [(a+ I)+ (b+ I)]+ (c+ I). Noções de Anéis e Corpos 33 2. A operação + possui elemento neutro para todo a+ I ∈ R I : Seja 0 + I ∈ R I , note que: (a+ I) + (0 + I) = (a+ 0) + I = a+ I. Por outro lado, (0 + I) + (a+ I) = (0 + a) + I = a+ I. 3. Para todo a+I ∈ R I , existe seu inverso aditivo em R I . Tome (−a)+I ∈ R I e note que (−a) + I = −(a+ I). De fato: (a+ I) + ((−a) + I) = (a+ (−a)) + I = 0 + I. Por outro lado, ((−a) + I) + (a+ I) = (−a+ a) + I = 0 + I. (ii) A operação · é associativa para todo a+ I, b+ I, c+ I ∈ R I : (a+ I)[(b+ I)(c+ I)] = (a+ I)(bc+ I) = a(bc) + I = (ab)c+ I = (ab+ I)(c+ I) = [(a+ I)(b+ I)](c+ I). (iii) É válida a distributividade da multiplicação em relação à adição para todo a+ I, b+ I, c+ I ∈ R I : (a+ I)[(b+ I)+ (c+ I)] = (a+ I)((b+ c)+ I) = (a(b+ c))+ I = (ab+ac)+ I = ((ab) + I) + ((ac) + I) = [(a+ I)(b+ I)] + [(a+ I)(c+ I)]. e [(a+ I)+ (b+ I)](c+ I) = ((a+ b)+ I)(c+ I) = ((a+ b)c)+ I = (ac+ bc)+ I = ((ac) + I) + ((bc) + I) = [(a+ I)(c+ I)] + [(b+ I)(c+ I)]. • R I é comutativo: Seja a+ I, b+ I ∈ R I , (a+ I)(b+ I) = (ab) + I = (ba) + I = (b+ I)(a+ I). • R I tem unidade. De fato, tome 1 + I = I como a unidade em R I e a + I ∈ R I qualquer. Note que: (a+ I)(1 + I) = (a · 1) + I = a+ I. Por outro lado, (1 + I)(a+ I) = (1 · a) + I = a+ I. Noções de Anéis e Corpos 34 Observação 2.75. A função π : R −→ R I levando cada elemento em sua classe de equivalência é um homomorsmo de anel. Denição 2.76. R I é caracterizado pela seguinte propriedade: Se ϕ : R −→ S é um homomorsmo de anel de R em S e ϕ(1R) = 1S, então existe um único homomorsmo de anel φ : R I −→ S tal que ϕ = φ ◦ π. Proposição 2.77. Um ideal próprio I em R é primo se, e somente se, R I é um domínio de integridade. Demonstração. (⇒) Veja que, pela própria caracterização de R I , R I é anel comutativo com unidade. Para que ele seja um domínio de integridade basta provar que R I não possui divisores de zero. Para tal, tome a+I, b+I ∈ I quaisquer, não nulos, isto é, a, b /∈ I. Como I é primo, por hipótese, então ab /∈ I, pois para ab pertencer à I, precisaríamos ter a ∈ I ou b ∈ I. Como ab /∈ I, então, ab + I é não nulo. Portanto, R I não possui divisores de zero e, consequentemente, é domínio de integridade. (⇐) Queremos mostrar que I é ideal primo, ou seja, queremos que se ab ∈ I, então a ∈ I ou b ∈ I. Para isso, suponha ab ∈ I. Se isso ocorre, então ab + I = I. Mas sabemos que ab+ I = (a+ I)(b+ I). Disto temos que (a+ I)(b+ I) = I. Como R I é domínio de integridade, isto é, não possui divisores de zero, então a + I = I ou b + I = I, isto é, a ∈ I ou b ∈ I. Portanto, I é ideal primo. Proposição 2.78. Um ideal próprio I em R é maximal se, e somente se, R I é um corpo. Demonstração. (⇒) Já temos que R I é um anel comutativo com unidade, para que R I seja um corpo precisamos que todo elemento, não nulo, a + I ∈ R I possua inverso multiplicativo. Para tal, suponha a+ I ∈ R I qualquer, não nulo, isto é, a /∈ I. Considere A = {ac + b; c ∈ R, b ∈ I}. Note que I ⊂ A. Como I é maximal, temos que A = R ou A = I. Como a /∈ I, então A ̸= I, portanto A = R. Com isso, como 1 ∈ R, então 1 ∈ A. Portanto, podemos armar que existem c ∈ R e b′ ∈ I tais que 1 = ac+ b′, e assim, 1 + I = (ac+ b′) + I = (ac+ I) + (b′ + I) b′∈I= (ac+ I) = (a+ I)(c+ I). Logo, temos que (a+ I)(c+ I) = 1 + I, isto é, c+ I é inverso de a+ I. Noções de Anéis e Corpos 35 (⇐) Queremos mostrar que I é maximal, ou seja, se existe J ideal de R tal que I ⫋ J ⊂ R, então J = R. Para isso, suponha I e J ideais de R tal que I ⊂ J e J ̸= I. Seja a ∈ J tal que a /∈ I, desta forma a + I é não nulo e, portanto, existe b + I ∈ R I tal que (a+ I)(b+ I) = 1 + I. Além disso, como a ∈ J , temos que ab ∈ J . Assim: 1 + I = (a+ I)(b+ I) = ab+ I. Com isso, pela Denição 2.73: 1− ab ∈ I. Isto é, existe c ∈ I tal que 1− ab = c ⇒ 1 = ab+ c. Note que, se c ∈ I e I ⊂ J , então c ∈ J , além disso ab ∈ J , logo ab + c = 1 ∈ J . Assim, pela Proposição 2.28, item 4, temos que J = R. Desta forma, I é maximal. Teorema 2.79 (Primeiro Teorema do Isomorsmo). Seja ϕ : R → S um homomorsmo sobrejetor de anéis. Se I = ker(ϕ), então o anel quociente R I é isomorfo a S. Demonstração. Precisamos denir um isomorsmo de R I em S. Como os elementos de R I são da forma a + I, a ∈ R e os elementos de S são da forma ϕ(a), a ∈ R, pois ϕ é sobrejetor, podemos, de forma natural, denir a seguinte correspondência a+ I → ϕ(a), a ∈ R. Chamaremos tal aplicação de σ, isto é, σ(a + I) = ϕ(a). Observe que tal correspon- dência é, de fato, uma função, mais ainda, uma função bijetora, pois: • σ está bem-denida. De fato, sejam a+ I, b+ I ∈ R I : a+ I = b+ I ⇒ a− b ∈ ker(ϕ) = I ⇒ ϕ(a− b) = 0 ⇒ ϕ(a)− ϕ(b) = 0 ⇒ ϕ(a) = ϕ(b) ⇒ σ(a+ I) = σ(b+ I) • σ é sobrejetora. De fato, dado y ∈ S temos que y = ϕ(x), para algum x ∈ R. Tome x+ I ∈ R I , logo: σ(x+ I) = ϕ(x) = y. • σ é injetora. De fato, sejam a+ I, b+ I ∈ R I : σ(a+ I) = σ(b+ I) ⇒ ϕ(a) = ϕ(b) ⇒ ϕ(a)− ϕ(b) = 0 ⇒ ϕ(a− b) = 0 ⇒ a− b ∈ ker(ϕ) = I ⇒ a+ I = b+ I. Anel de Polinômios 36 Agora, mostremos que σ é homomorsmo de anéis: • σ((a+ I) + (b+ I)) = σ((a+ b) + I) = ϕ(a+ b) = ϕ(a) +ϕ(b) = σ(a+ I) + σ(b+ I). • σ((a+ I)(b+ I)) = σ((ab) + I) = ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) = σ(a+ I)σ(b+ I). Deste modo, σ é um homomorsmo bijetor, isto é, um isomorsmo de R I em S. Exemplo 2.80. Seja ϕ : Z → Z5 dado por ϕ(a) = a. Observe que: ker(ϕ) = {a ∈ Z;ϕ(a) = 0} = {a ∈ Z; a = 0} = {a ∈ Z; a = 5k, k ∈ Z} = ⟨5⟩. Assim, temos, pelo Primeiro Teorema do Isomorsmo, que Z ⟨5⟩ é isomorfo a Z5. 2.2 Anel de Polinômios Denição 2.81. Seja R um anel comutativo com unidade. Um polinômio F (X) com coecientes em R é descrito na forma de uma soma innita F (X) = ∞X i=0 a0 + a1X + · · ·+ aiX i + · · · , onde ai ∈ R, i ∈ Z e ai = 0 para todo i exceto uma quantidade nita de índices i. Os ai’s são chamados de coecientes de F (X). Denotamos por P(R) o conjunto dos polinômios sobre R. Neste conjunto P(R), denimos as operações + e · como: sejam F (X) = a0 + a1X + · · · + anX n + · · · e G(X) = b0 + b1X + · · ·+ bnX n + · · · polinômios em P(R), quaisquer, F (X) +G(X) = c0 + c1X + · · ·+ cnX n + · · · , onde ci = ai + bi; F (X)G(X) = d0 + d1X + · · ·+ dnX n + · · · , onde dj = j X i=0 aibj−i. Teorema 2.82. O conjunto P(R) munido das operações + e · é um anel comutativo com unidade, denotado por R[X]. Demonstração. Para mostrar que R[X] é anel comutativo com unidade, precisamos mos- trar que: • R[X] é anel. De fato: (i) (R[X],+) é grupo abeliano, pois: Anel de Polinômios 37 1. A operação + é associativa para todo F (X) = a0 + a1X + · · · + anX n + · · · , G(X) = b0+ b1X+ · · ·+ bnX n+ · · · , H(X) = c0+ c1X+ · · ·+ cnX n+ · · · ∈ R[X]: F (X) + [G(X) +H(X)] = (a0 + · · ·+ anX n + · · · ) + [(b0 + · · ·+ bnX n + · · · ) + (c0 + · · ·+ cnX n + · · · ) = (a0 + · · ·+ anX n + · · · ) + ((b0 + c0) + · · ·+ (bn + cn)Xn + · · · ) = (a0 + (b0 + c0) + · · ·+ (an + (bn + cn))Xn + · · · = ((a0 + b0) + c0) + · · ·+ ((an + bn) + cn)Xn + · · · = ((a0 + b0) + · · · (an + bn)Xn + · · · ) + (c0 + · · ·+ cnX n + · · · ) = [(a0 + · · ·+ anX n + · · · ) + (b0 + · · ·+ bnX n) + · · · ] + (c0 + · · ·+ cnX n + · · · ) = [F (X) +G(X)] +H(X). 2. A operação + possui elemento neutro para todo F (X) ∈ R[X]: Tome 0 ∈ R[X] o polinômio constante nulo. Note que: F (X) + 0(X) = (a0 + a1 + · · ·+ anX n + · · · ) + (0 + 0X + · · ·+ 0Xn + · · · )] = (a0 + 0) + (a1 + 0)X + · · ·+ (an + 0)Xn + · · · = a0 + a1X + · · ·+ anX n + · · · = F (X). Por outro lado, 0(X) + F (X) = (0 + 0X + · · ·+ 0Xn + · · · ) + (a0 + a1 + · · ·+ anX n + · · · ) = (0 + a0) + (0 + a1)X + · · ·+ (0 + an)Xn + · · · = a0 + a1 + · · ·+ anX n + · · · = F (X). 3. Para todo F (X) = a0 + a1X + · · ·+ abX n + · · · ∈ R[X], existe seu inverso aditivo em R[X]. Tome (−F )(X) = (−a0)+(−a1)X+ · · ·+(−an)Xn+ · · · e note que: F (X) + (−F )(X) = (a0 + · · ·+ abX n + · · · ) + ((−a0) + · · ·+ (−an)Xn + · · · ) = (a0 − a0) + (a1 − a1)X + · · ·+ (an − an)Xn + · · · = 0 + 0X + · · ·+ 0Xn + · · · = 0(X). Anel de Polinômios 38 Por outro lado, (−F )(X) + F (X) = ((−a0) + · · ·+ (−an)Xn + · · · ) + (a0 + · · ·+ abX n + · · · ) = (−a0 + a0) + (−a1 + a1)X + · · ·+ (−an + an)Xn + · · · = 0 + 0X + · · ·+ 0Xn + · · · = 0(X). 4. A operação + é comutativa para todo F (X), G(X) ∈ R[X]: F (X) +G(X) = (a0 + a1X + · · ·+ anX n + · · · ) + (b0 + b1X + · · ·+ bnX n + · · · ) = (a0 + b0) + (a1 + b1)X + · · ·+ (an + bn)Xn + · · · = (b0 + a0) + (b1 + a1)X + · · ·+ (bn + an)Xn + · · · = (b0 + b1X + · · ·+ bnX n + · · · ) + (a0 + a1X + · · ·+ anX n + · · · ) = G(X) + F (X). (ii) Ainda é possível mostrar que a operação · é associativa e que, além disso, é válida a distributividade da multiplicação em relação à adição, já que ambos são consequência do fato de R ser um anel comutativo com unidade. • A operação · é comutativa para todo F (X), G(X) ∈ R[X]: Sejam F (X) = a0 + a1X + · · ·+ anX n + · · · e G(X) = b0 + b1X + · · ·+ bnX n + · · · . F (X) ·G(X) = (a0 + a1X + · · ·+ anX n + · · · ) · (b0 + b1X + · · ·+ bnX n + · · · ) = (a0b0) + (a0b1)X + · · ·+ (a0bn)Xn + · · ·+ (anb0)Xn + · · ·+ (anbn)Xn+n + · · · = (b0a0) + (b1a0)X + · · ·+ (bna0)Xn + · · ·+ (b0an)Xn + · · ·+ (bnan)Xn+n + · · · = (b0a0) + (b0a1)X + · · ·+ (b0an)Xn + · · ·+ (bna0)Xn + · · ·+ (bnan)Xn+n + · · · = (b0 + b1X + · · ·+ bnX n + · · · ) · (a0 + a1X + · · ·+ anX n + · · · ) = G(X) · F (X). • R[X] possui unidade. De fato, tome 1(X) = 1 + 0X + · · · + 0Xn + · · · como a unidade em R[X] e F (X) ∈ R[X ] qualquer. Note que: F (X)1(X) = (a0 + a1X + · · ·+ anX n + · · · ) · (1 + 0X + · · ·+ 0Xn + · · · ) = (a0 · 1) + (a0 · 0)X + · · ·+ (a0 · 0)Xn + · · ·+ (an · 1)Xn+ (an · 0)Xn+1 + · · ·+ (an · 0)Xn+n + · · · = a0 + a1X + · · ·+ anX n + · · · = F (X). Com isso, temos que R[X ] é anel comutativo com unidade. Anel de Polinômios 39 Exemplo 2.83. Tomemos o anel de polinômios Q[X ], isto é, um polinômio com variável X e coecientes em Q. Exemplos de polinômios em Q[X] são: • F (X) = 5X + 2 • G(X) = 9 2 X2 + 4 • H(X) = X3 + 1 5 Façamos F +G e F ·H: F +G = (5X + 2) + �9 2 X2 + 4 � = 9 2 X2 + 5X + 6. F ·H = (5X + 2) � X3 + 1 5 � = 5X4 + 2X3 +X + 2 5 . Exemplo 2.84. Tomemos o anel de polinômios Z5[X], isto é, um polinômio com variável X e coecientes em Z5. Exemplos de polinômios em Q[X] são: • F (X) = 4X + 2 • G(X) = 3X2 + 4 • H(X) = 1X3 + 3 Façamos F +G e F ·H: F +G = (4X + 2) + (3X2 + 4) = 3X2 + 4X + 1 F ·H = (4X + 2)(1X3 + 3) = 4X4 + 2X3 + 2X + 1. Denição 2.85. O maior valor inteiro de índices i, digamos d, para o qual ad ̸= 0 é chamado de grau de F (X). Se para todo índice i tem-se ai = 0, então o grau de F (X) é indenido. Se ad = 1, o polinômio é mônico. Se F (X) = a0 ̸= 0, então o polinômio tem grau 0 e chamado de polinômio constante não nulo. Para facilitar, se podemos dizer que F (X) = a0+a1X+ · · ·+aiX i+ · · · tal que ai = 0 para i > n, então podemos denotar F (X) = a0 + a1X + · · ·+ anX n. Observação 2.86. Veja que temos, pelo Teorema 2.82 que se R é um anel comutativo com unidade, então R[X] também o é. Se tomarmos o anel comutativo com unidade R[X1], então podemos armar que (R[X1])[X2] é anel comutativo com unidade, que denotaremos por R[X1, X2]. Se zermos esse processo sucessivamente, podemos denotar R[X1, · · · , Xn], que também será um anel comutativo com unidade. Denição 2.87. Os monômios em R[X1, · · · , Xn] são polinômios escritos na forma X i1 1 X i2 2 · · ·X in n , com ij ∈ Z+. O grau do monômio é i1 + · · ·+ in. Observação 2.88. Todo F ∈ R[X1, · · · , Xn] tem uma expressão única F = P a(i)X (i), onde X (i) são os monômios, a(i) ∈ R. Anel de Polinômios 40 Denição 2.89. Dizemos que o polinômio F ∈ R[X1, · · · , Xn] de grau k é homogêneo quando F (λX1, · · · ,λXn) = λkF (X1, · · · , Xn). Denotaremos o polinômio homogêneo F de grau k por Fk. Proposição 2.90. O produto de polinômios homogêneos é homogêneo. Demonstração. Tome Fd, Gl ∈ R[X1, · · · , Xn] homogêneos. Note que: (FdGl)(λX1, · · · ,λXn) = (Fd(λX1, · · · ,λXn)) · (Gl(λX1, · · · ,λXn)) = λdFd(X1, · · · , Xn) · λlGl(X1, · · · , Xn) = λd+lFd(X1, · · · , Xn) ·Gl(X1, · · · , Xn) = λd+l(FdGl)(X1, · · · , Xn). Denição 2.91. Seja F um polinômio sobre R. Um elemento u ∈ A é chamado de raiz de F se F (u) = 0R. Denição 2.92. Um corpo k é dito algebricamente fechado se todo polinômio não cons- tante em uma variável, com coecientes em k, admite uma raiz em k. Denição 2.93. F é polinômio homogêneo de grau d se todos os coecientes a(i) são zero, exceto aqueles que tem grau d. Denição 2.94. Todo polinômio F tem expressão única F = F0 + F1 + F2 + · · · + Fd, onde Fi é um polinômio homogêneo de grau i. Se Fd ̸= 0, d é o grau de F , denotado ∂(F ). Se F é constante, F = F0. Observação 2.95. Note que, eventualmente, F0, F1, · · · podem ser nulos até algum Fm−1, portanto, poderíamos reescrever tal expressão como F = Fm + · · ·+ Fd Proposição 2.96. Se R um domínio de integridade e F,G ∈ R[X1, · · · , Xn], então ∂(FG) = ∂(F ) + ∂(G). Demonstração. Sejam F = F0+F1+ · · ·+Fd e G = G0+G1+ · · ·+Gl. Note que ∂(F ) = d e ∂(G) = l. Agora, veja que: F ·G = (F0 + F1 + · · ·+ Fd) · (G0 +G1 + · · ·+Gl) = F0G0+F0G1+ · · ·+F0Gl+F1G0+F1G1+ · · ·+F1Gl+ · · ·+FdG0+FdG1+ · · ·+FdGl. Perceba que F0G0 é o monômio constante. Além disso, se somarmos os monômios de mesmo grau teremos: H0 = F0G0 H1 = F0G1 +G0F1 H2 = F0G2 + F1G1 + F2G0 Anel de Polinômios 41 ... Hd+l−1 = Fd−1Gl + FdGl−1 Hd+l = FdGl Perceba que o monômio de maior grau será Hd+l = FdGl, em que Hd+l ̸= 0, pois R é domínio de integridade, cujo grau é d+ l. Portanto, ∂(F ·G) = d+ l = ∂(F ) + ∂(G). Proposição 2.97. R é subanel de R[X1, · · · , Xn]. Demonstração. Seja ϕ : R → R[X] uma aplicação dada por ϕ(a) = Fa(X), onde Fa é o polinômio constante dado por Fa(X) = a. Note que ϕ é um homomorsmo injetor de anéis. De fato: ϕ(a+ b) = Fa+b(X) = a+ b = Fa(X) + Fb(X) = ϕ(a) + ϕ(b). Além disso, ϕ(ab) = Fab(X) = ab = Fa(X)Fb(X) = ϕ(a)ϕ(b). Ainda, ϕ é injetora, pois se a ̸= b, então Fa(X) ̸= Fb(X), já que Fa(1R) = a e Fb(1R) = b. Mas Fa(X) = ϕ(a) e Fb(X) = ϕ(b), logo ϕ(a) ̸= ϕ(b). Com isso, temos que R é isomorfo a ϕ(R) e ϕ(R) ⊆ R[X], logo podemos considerar R como subanel de R[X]. Observação 2.98. R[X1, · · · , Xn] é caracterizado por seguir a propriedade: Se φ é um homomorsmo de anel de R em S, e s1, · · · , sn ∈ S, então existe uma única extensão de φ para um homomorsmo de anel φ de R[X1, · · · , Xn] em S tal que φ(Xi) = si, em que i ∈ {1, · · · , n}. A imagem de um polinômio F sob φ é escrita F (s1, · · · , sn). Proposição 2.99. Seja u uma raiz de um polinômio não constante F ∈ R[X ]. Se F (X) = ao + a1X + · · ·+ anX n, com an ̸= 0, para todo X ∈ R, então F (X) = (X − u)Q(X), para algum polinômio Q de uma forma padrão do tipo Q(X) = b0 + · · ·+ bnX n−1. Demonstração. Sejam F um polinômio não constante onde F (X) = ao+a1X+· · ·+anX n, com an ̸= 0, para todo X ∈ R e u ∈ R qualquer, assim: F (X)− F (u) = a1(X − u) + a2(X2 − u2) + · · ·+ an(Xn − un). Mas Xn − un = (X − u)(Xn−1 + uXn−2 + · · ·+ un−2X + un−1). Logo, temos que: F (X)− F (u) = (X − u)[a1 + a2(X + u) + a3(X2 + uX + u2) + · · ·+ an(Xn−1 + uXn−2 + · · ·+ un−1)] = (X − u)[(a1 + a2u+ · · ·+ anu n−1) + (a2 + a3u+ · · ·+ anu n−2)X + · · ·+ anX n−1] = (X − u)Q(X), onde Q(X) = (a1 + a2u+ · · ·+ anu n−1) + (a2 + a3u+ · · ·+ anu n−2)X + · · ·+ anX n−1. Logo: F (X)− F (u) = (X − u)Q(X) ⇒ F (X) = (X − u)Q(X)− F (u). Mas, por hipótese, temos que F (u) = 0R, pois u é raiz de F , logo: F (X) = (X − u)Q(X). Anel de Polinômios 42 Teorema 2.100 (Algoritmo da Divisão). Sejam F (X) = a0+a1X+· · ·+an−1X n−1+anX n e G(X) = b0 + b1X + · · · + bm−1X m−1 + bmX m elementos de k[X], com an e bm, não nulos, em k e m > 0, então existem únicos polinômios Q(X) e R(X) ∈ k[X] tais que F (X) = G(X)Q(X) + R(X), onde R(X) = 0 ou ∂(R(X)) < ∂(G(X)). Denominamos Q(X) de quociente e R(X) de resto da divisão de F (X) por G(X). Demonstração. Considere S = {F (X)−G(X)S(X); S(X) ∈ k[X]}. Se 0 ∈ S, então existe S(X) ∈ k[X] tal que F (X)−G(X)S(X) = 0. Logo, F (X) = G(X)S(X). Tomando S(X) = Q(X) e R(X) = 0, provamos o teorema. Agora, suponha que 0 /∈ S. Observe que S é não vazio, pois F (X) = F (X)−G(X)0, onde 0 é o elemento neutro de k[X], e como F (X) ̸= 0, por hipótese, segue que o sub- conjunto de N formado pelos graus dos elementos de S também é não vazio. Consequen- temente, pelo Princípio do Menor Inteiro2 tal subconjunto tem um menor elemento. Seja R(X) o elemento de grau mínimo em S. Como R(X) ∈ S, existe Q(X) ∈ k[X] tal que R(X) = F (X)−G(X)Q(X), ou seja, F (X) = G(X)Q(X) + R(X). Observe que R(X) ̸= 0, pois 0 /∈ S, por hipótese. Nos resta mostrar que ∂(R(X)) < ∂(G(X)). Para tal, tomemos R(X) = c0 + c1X + · · ·+ ct−1X t−1 + ctX t, com ct ∈ k e ct ̸= 0. Se t ≥ m, então F (X)−G(X)Q(X)− � ct bm � X t−mG(X) = R(X)− � ct bm � X t−mG(X). (2.1) Note R(X)− � ct bm � X t−mG(X) = R(X)− � ct bm � X t−m(bmXm + bm−1X m−1 + · · ·+ b1X + b0) = R(X)− � ct bm � bmX t−mXm − · · ·− � ct bm � b0X t−m = R(X)− (ctX t + termos de grau menor) (2.2) que é um polinômio de grau menor que ∂(R(X)). Além disso, F (X)−G(X)Q(X)− � ct bm � X t−mG(X) = F (X)−G(X) � Q(X) + � ct bm � X t−m � (2.3) Veja que F (X)−G(X) � Q(X) + � ct bm � X t−m � ∈ S, por denição. 2O Princípio do Menor inteiro arma que todo subconjunto não vazio L ⊂ N possui um menor elemento. Neste caso, utilizamos tal Princípio no conjunto dos graus dos polinômios de S. Anel de Polinômios 43 Assim, por (2.2) e (2.3), temos que (2.1) pode ser reescrita da forma: F (X)−G(X) � Q(X) + � ct bm � X t−m � = R(X)− (ctX t + termos de grau menor). (2.4) Logo, (2.4) é um elemento de S, mas R(X) − (ctX t + termos de grau menor) é um elemento de grau menor do que R(X), contradizendo a hipótese de R(X) ser o elemento de grau mínimo de S. Assim, é absurdo supor que ∂(R(X)) = t ≥ m = ∂(G(X)). Com isso, o grau de R(X) é necessariamente menor que o grau de G(X). Provemos agora a unicidade do quociente e do resto desta divisão. Para tal suponha F (X) = G(X)Q1(X) + R1(X) e F (X) = G(X)Q2(X) + R2(X). Subtraindo a segunda igualdade da primeira, obtemos: G(X)Q1(X) + R1(X)−G(X)Q2(X)− R2(X) = 0 ⇒ G(X)Q1(X)−G(X)Q2(X) = R2(X)− R1(X) ⇒ G(X)[Q1(X)−Q2(X)] = R2(X)− R1(X). (2.5) Assim, temos R2(X)− R1(X) = 0 ou ∂(R2(X)− R1(X)) < ∂(G(X)). Suponha, primeiramente, que ∂(R2(X)− R1(X)) < ∂(G(X)). Mas isso é equivalente a dizer que ∂(G(X)[Q1(X) − Q2(X)]) < ∂(G(X)), isto é, estamos tomando G(X) e multiplicando ele por outro elemento, resultando em um terceiro elemento, cujo grau é menor do que o próprio G(X). Porém, pela própria denição de produto de polinômios, isso é impossível. Sendo assim, a única opção restante é que R2(X)− R1(X) = 0, e assim G(X)[Q1(X)−Q2(X)] = 0. Como G(X) ̸= 0 por hipótese, nos resta que Q1(X) − Q2(X) = 0, ou seja, Q1(X) = Q2(X) e R1(X) = R2(X). Teorema 2.101. Se k é corpo, então k[X] é PID. Demonstração. Precisamos mostrar que todo ideal I de k[X] é ideal principal, ou seja, existe G(X) ∈ k[X] tal que I = ⟨G(X)⟩. Seja I um ideal qualquer de k[X ]. Se I = {0} então I = ⟨0⟩. Suponha I ̸= {0} e G(X) ̸= 0, onde G(X) ∈ I é de grau mínimo, cuja existência se dá pelo Princípio do Menor Inteiro. Se o grau de G(X) é 0, então G(X) ∈ k[X] e G(X) é invertível em k[X ]. Logo, pela Proposição 2.28 - item 4, I = ⟨1⟩ = k[X], então I é ideal principal. Se ∂(G) ≥ 1 e F (X) ∈ I qualquer, então, pelo Algoritmo da Divisão (Teorema 2.100), podemos armar que existem Q(X), R(X) ∈ k[X ] tais que: F (X) = G(X)Q(X) + R(X), onde R(X) = 0 ou ∂(R) ≤ ∂(G). Note que F (X) ∈ I e G(X) ∈ I e assim F (X)−G(X)Q(X) = R(X) ∈ I, por denição de ideal. Como G(X) é elemento não nulo de grau mínimo em I, temos que R(X) = 0, e F (X)−G(X)Q(X) = 0 ⇒ F (X) = G(X)Q(X). Note que G(X)Q(X) ∈ ⟨G(X)⟩, logo F (X) ∈ ⟨G(X)⟩, portanto I ⊂ ⟨G(X)⟩. Como G(X) ∈ I, temos que ⟨G(X)⟩ ⊂ I. Logo, I = ⟨G(X)⟩. Anel de Polinômios 44 Corolário 2.102. Se k é corpo, então k[X ] é UFD. Demonstração. Sabemos do Teorema 2.101 que se k é corpo, então k[X] é PID. Além disso, pelo Teorema 2.62, temos que todo PID é UFD, portanto k[X] é UFD. Denição 2.103. Omáximo divisor comum (mdc) de uma coleção de polinômios {Ft}t∈T , em k[X], é o polinômio mônico p caracterizado pelas seguintes propriedades: • p divide cada Ft na coleção; • se q ∈ k[X] divide cada Ft na coleção, então q divide p. Corolário 2.104. Seja {Fs}s∈S uma coleção de polinômios em k[X]. Então existem índices s1, · · · , sn ∈ S e polinômios q1, · · · , qn ∈ k[X] tais que: F = q1Fs1 + · · ·+ qnFsn é o mdc dessa coleção. Demonstração. Seja I o ideal gerado por {Fs}s∈S, logo: I =    X 1≤i≤m giFsi ; s1, · · · , sm ∈ S, g1, · · · , gm ∈ k[X], m = 1, 2, · · ·    . Seja F o gerador mônico de I. Sendo F um elemento de I, necessariamente existem q1, · · · , qn ∈ k[X] tais que F se escreve da forma: F = q1Fs1 + · · ·+ qnFsn . Assim, se q divide cada Fs na coleção, então q divide F . Por m, sendo I = ⟨F ⟩, então cada Fs é divisível por F . Teorema 2.105. Seja k um corpo. Um ideal ⟨P (X)⟩ ̸= 0 de k[X] é ideal maximal se, e somente se, P (X) é irredutível sobre k. Demonstração. (⇒) Suponha que ⟨P (X)⟩ ̸= 0 seja um ideal maximal em k[X]. Então ⟨P (X)⟩ ̸= k[X], logo P (X) /∈ k. Agora, seja P (X) = F (X)G(X) uma fatoração de P (X) em k[X]. Como ⟨P (X)⟩ é um ideal maximal, então, pela Proposição 2.32, também é um ideal primo e assim (F (X)G(X)) ∈ ⟨P (X)⟩ implica que F (X) ∈ ⟨P (X)⟩ ou G(X) ∈ ⟨P (X)⟩, isto é F (X) ou G(X) tem P (X) como um fator. Mas não podemos ter os graus de F (X) e G(X) estritamente menores que o grau de P (X). Isso nos mostra que P (X) é irredutível sobre k, por denição. (⇐) Sabemos que P (X) é irredutível sobre k[X]. Suponha que N seja um ideal tal que ⟨P (X)⟩ ⫋ N ⊆ k[X]. Como N é um ideal principal, pelo Teorema 2.101, segue que N = ⟨G(X)⟩, para algum G(X) ∈ k[X ]. Assim, como P (X) ∈ ⟨P (X)⟩ e ⟨P (X)⟩ ⊂ N = ⟨G(X)⟩, então P (X) ∈ ⟨G(X)⟩, logo P (X) = G(X)Q(X), para algum Q(X) ∈ k[X]. Mas P (X) é irredutível, implicando, pela Denição 2.21, que ou G(X) ou Q(X) é invertível em k[X]. Entretanto, os elementos invertíveis de k[X] são os elementos Anel de Polinômios 45 não nulos em k e consequentemente, ou G(X) ou Q(X) é uma constante diferente de zero em k, necessariamente. Assim, temos: Se G(X) é uma constante diferente de zero em k, então G(X) é invertível em k[X], consequentemente N = ⟨G(X)⟩ = k[X ], pela Proposição 2.28, item (4). Se Q(X) é uma constante diferente de zero em k, ou seja, Q(X) = c, onde c ∈ k∗, podemos escrever G(X) como G(X) = 1 c P (X), mas 1 c P (X) ∈ ⟨P (X)⟩, portanto G(X) ∈ ⟨P (X)⟩, isto é, ⟨G(X)⟩ ⊂ ⟨P (X)⟩, com isso N = ⟨G(X)⟩ = ⟨P (X)⟩. Mas isso contradiz a hipótese de que ⟨P (X)⟩ ̸= N , portanto, a única possibilidade é que N = k[X ]. Logo, ⟨P (X)⟩ é ideal maximal. Teorema 2.106. Sejam P (X) um polinômio irredutível em k[X] e R(X), S(X) ∈ k[X] polinômios quaisquer. Se P (X) divide R(X)S(X), então P (X) | R(X) ou P (X) | S(X). Demonstração. Note que, como P (X) é irredutível, temos, pelo Teorema 2.105, que ⟨P (X)⟩ é ideal maximal e, pela Proposição 2.32, ideal primo. Assim, se P (X) | R(X)S(X), então R(X)S(X) ∈ ⟨P (X)⟩, mas ⟨P (X)⟩ é ideal primo, logo R(X) ∈ ⟨P (X)⟩ ou S(X) ∈ ⟨P (X)⟩, ou seja, P (X) | R(X) ou P (X) | S(X). Corolário 2.107. Se P (X) é irredutível em k[X] e P (X) divide o produto R1(X) · · · · · Rn(X), com Ri(X) ∈ k[X], ∀i ∈ {1, · · · , n}, então P (X) | Ri(X), para algum i ∈ {1, · · · , n}. Demonstração. Este corolário segue do Teorema 2.105 e do Princípio de Indução Finita. Teorema 2.108. Se k é um corpo, então todo polinômio não constante F (X) ∈ k[X] pode ser fatorado em k[X] em um produto de polinômios irredutíveis de maneira única a menos da ordem no referido produto e por constantes não nulas em k. Demonstração. Seja F (X) um polinômio não constante. Se F (X) não é irredutível, então F (X) = G(X)H(X), onde os graus de G(X) e H(X) são ambos menores que o grau de F (X). Se G(X) e H(X) são ambos irredutíveis, o resultado está provado. Caso contrário, pelo menos um desses se fatora em polinômios de grau menor. Conti- nuando este processo, obtemos a fatoração: F (X) = P1(X)P2(X) · · ·Pr(X), em que cada Pi(X) é irredutível, i ∈ {1, · · · , r}. Nos resta mostrar a unicidade, a menos de ordem de produto e constantes não nulas em k. Suponha que F (X) = P1(X)P2(X) · · ·Pr(X) e F (X) = Q1(X)Q2(X) · · ·Qs(X) sejam duas fatorações de F (X) em polinômios irredutíveis. Pelo Corolário 2.107, P1(X) divide algumQj(X). Sem perda de generalidade, podemos supor que P1(X) | Q1(X). Anel de Polinômios 46 Se Q1(X) é irredutível, então Q1(X) = u1P1(X), com u1 ∈ K − {0}, e, portanto u é invertível em k[X ]. Assim, substituindo Q1(X) por u1P1(X), temos que P1(X)P2(X) · · ·Pr(X) = u1P1(X)Q2(X) · · ·Qs(X) ⇒ P2(X) · · ·Pr(X) = u1Q2(X) · · ·Qs(X). De forma análoga, digamos Q2(X) = u2P2(X) e então P3(X) · · ·Pr(X) = u1Q3(X) · · ·Qs(X). Continuando esse processo, obtemos: 1 = u1u2 · · ·urQr+1(X) · · ·Qs(X). Mas isso só faz sentido se 1 = u1u2 · · ·ur. Assim, os fatores irredutíveis de Pi(X) e Qj(X) são os mesmos, exceto possivelmente por ordem de fatores e elementos invertíveis de k[X]. Denição 2.109. Seja R um UFD. Um polinômio F (X) = a0+a1X+· · ·+anX n ∈ R[X], não constante, é primitivo se mdc(a0, · · · , an) = 1. Proposição 2.110. Se R é UFD, então para cada polinômio não constante F (X) ∈ R[X] temos F (X) = rG(X), onde r ∈ R e G(X) ∈ R[X] é primitivo. O elemento r é único, a menos de um fator invertível em R, e chamado conteúdo de F(X). Além disso, G(X) é único a menos de um fator invertível em R. Demonstração. Seja F (X) ∈ R[X] qualquer, onde F (X) = a0 + a1X + · · · + anX n é não-constante. Seja r = mdc(a0, · · · , an). Então temos ai = rgi para algum gi ∈ R, i ∈ {1, · · · , n}. Pela distributividade, temos: F (X) = a0 + a1X + · · ·+ anX n = rg0 + rg1X + · · ·+ rgnX n = r(g0 + g1X + · · ·+ gnX n) = rG(X), onde mdc(g0, · · · , gn) = 1. Assim, G(X) é primitivo. Note que r é único. De fato, se F (X) = kH(X), para k ∈ R e H(X) ∈ R[X] primitivo, então cada fator irredutível de r deverá dividir k, e vice-versa. Considerando rG(X) = kH(X) e cancelando os fatores irredutíveis de r em k, obte- remos uG(X) = vH(X), onde u é invertível em R. Mas v também deve ser invertível em R ou poderíamos cancelar fatores irredutíveis de v em u. Portanto, tanto u quanto v são invertíveis em R, logo r é único, a menos de um fator invertível. Além disso, como F (X) = rG(X), temos que o polinômio primitivo G(X) também é único a menos de um fator irredutível. Lema 2.111 (Lema de Gauss). Se R é UFD, então um produto de dois polinômios primitivos em R[X] ainda é primitivo. Anel de Polinômios 47 Demonstração. Considere F (X) = a0+a1X+ · · ·+anX n e G(X) = b0+b1X+ · · ·+bmX m primitivos em R[X], e seja H(X) = F (X)G(X). Seja p irredutível em R. Então p não divide todos os ai,i ∈ {1, · · · , n} e não divide todos os bj , j ∈ {1, · · · ,m}, pois F (X) e G(X) são primitivos. Logo, mdc(a0, · · · , an) = 1 = mdc(b0, · · · , bm). Seja ar o primeiro coeciente de F (X) não divisível por p, ou seja, p | ai, ∀i < r, mas p ∤ ar. De forma análoga, p | bj , ∀j < s, mas p ∤ bs. O coeciente de Xr+s em H(X) = F (X)G(X) é cr+s = (a0br+s + · · ·+ ar−1bs+1) + arbs + (ar+1bs−1 + · · ·+ ar+sb0). Como p | ai, ∀i < r, segue que p | (a0br+s + · · · + ar−1bs+1) e como p | bj , ∀j < s, então p | (ar+1bs−1 + · · ·+ ar+sb0). Mas p ∤ ar e p ∤ bs, logo p ∤ arbs, portanto p ∤ cr+s. Com isso temos que dado um irredutível p ∈ R, existe algum coeciente de H(X) = F (X)G(X) não divisível por p. Portanto, H(X) é primitivo. Corolário 2.112. Se R é um UFD, então o produto nito de polinômios primitivos em R[X ] é também primitivo. Demonstração. Este corolário segue do lema anterior, utilizando o Princípio da Indu- ção Finita. De fato, vimos, na demonstração do lema anterior, que o produto de dois polinômios primitivos, em R[X], é primitivo. Isto é: H(X) = F (X)G(X) é primitivo, com F (X) e G(X) primitivos. Agora, suponha que o produto de k polinômios primitivos em R[X] é primitivo, isto é: H(X) = F1(X)F2(X) · · ·Fk(X) é primitivo, com Fi(X) primitivo, ∀i ∈ {1, · · · , k}. Agora, mostremos que é válido para k + 1 polinômios primitivos em R[X], isto é, se: L(X) = F1(X)F2(X) · · ·Fk(X)Fk+1(X). com Fi(X) primitivo, ∀i ∈ {1, · · · , k + 1}, mostremos que L(X) também é primitivo. Por hipótese, H(X) = F1(X)F2(X) · · ·FK(X) é primitivo e, ainda, L(X) = H(X)Fk+1(X). Pelo Lema de Gauss, temos que L(X) é primitivo, já que H(X) e Fk+1(X) são primitivos por hipótese. Proposição 2.113. Sejam R um UFD, K um corpo de frações de R e F (X) ∈ R[X] um polinômio onde ∂(F (X)) > 0. Se F (X) é irredutível em R[X], então F (X) também é irredutível em K[X]. Além disso, de F (X) é primitivo em R[X] e irredutível em K[X], então F (X) é irredutível em R[X]. Demonstração. Suponha um polinômio não constante F (X) ∈ R[X] que se fatora em po- linômios de menor grau em K[X], isto é, F (X) = T (X)S(X), para algum T (X), S(X) ∈ R[X ], com ∂(T (X)) < ∂(F (X)) e ∂(S(X)) < ∂(F (X)). Assim como K é o corpo das frações de R, cada coeciente em T (X) e S(X) é da forma a b para determinados a ∈ R e b ∈ R∗. Tomemos T (X) = a0 b0 + a1 b1 X + · · ·+ an−1 bn−1 Xn−1 + an bn Xn Anel de Polinômios 48 e S(X) = p0 q0 + p1 q1 X + · · ·+ pl−1 ql−1 X l−1 + pl ql X l. Com isso, temos que T (X) = 1 b0 · · · bn (a0(b1 · · · bn)+a1(b0b2 · · · bn)X+· · ·+an−1(b0 · · · bn−2bn)Xn−1+an(b0 · · · bn−1)Xn) ⇒ b0 · · · bnT (X) = a0(b1 · · · bn)+a1(b0b2 · · · bn)X+· · ·+an−1(b0 · · · bn−2bn)Xn−1+an(b0 · · · bn−1)Xn ⇒ b0 · · · bnT (X) := T1(X). De forma análoga, q0 · · · qlS(X) = p0(q1 · · · ql)+p1(q0q2 · · · ql)X+· · ·+pl−1(q0 · · · ql−2ql)X l−1+pl(q0 · · · ql−1)X l ⇒ q0 · · · qlS(X) := S1(X). Assim: F (X) = T (X)S(X) ⇒ (b0 · · · bn)(q0 · · · ql)T (X)S(X) = T1(X)S1(X) ⇒ dF (X) = T1(X)S1(X), em que T1(X), S1(X) ∈ R[X], d = b0 · · · bnq0 · · · ql ∈ R, ∂(T1(X)) = ∂(T (X)) e, ainda, ∂(S1(X)) = ∂(S(X)), respectivamente. pela Proposição 2.110, F (X) = rG(X), T1(X) = r1T2(X) e S1(X) = r2S2(X) para polinômios primitivos G(X), T2(X), S2(X) ∈ R[X ] e r, r1, r2 ∈ R. Logo, drG(X) = r1r2T2(X)S2(X). Pelo Lema 2.111, T2(X)S2(X) é primitivo. Pela parte da unicidade da Proposição 2.110, segue que r1r2 = dru, para algum u invertível em R, ou seja, com isso temos que drG(X) = druT2(X)S2(X). Assim, F (X) = rG(X) = ruT2(X)S2(X), ou seja, mostramos que se F (X) fatora de forma não-trivial em K[X], então F [X ] fatora de forma não-trivial em polinômios de mesmo grau em R[X]. Logo, pela contrapositiva, se F (X) for irredutível em R[X], então F (X) também é irredutível em K[X ]. Mais ainda, um polinômio não constante F (X) ∈ R[X] primitivo em R[X] e irredutível em K[X] é também irredutível em R[X], já que R[X] ⊆ K[X ]. Corolário 2.114. Sejam R um UFD, K um corpo de frações de R e F (X) ∈ R[X] um polinômio onde ∂(F (X)) > 0. Se F (X) é redutível em K[X], então F (X) também é redutível em R[X]. Mais ainda, se G ∈ R[X] e F |G ∈ K[X], então F |G ∈ A[X]. Demonstração. A demonstração segue da armação contrapositiva da primeira parte da Proposição 2.113. Corolário 2.115. Se R é UFD e K é o corpo de frações de R. Então, F (X) ∈ R[X], um polinômio não constante, se fatora em um produto de dois polinômios de graus menores r e s em K[X ] se, e somente se, F (X) se fatora em polinômios de mesmos graus r e s em R[X ]. Anel de Polinômios 49 Demonstração. Temos, pela demonstração da Proposição 2.113, que se podemos fatorar F (X) em um produto de dois polinômios de graus menores em K[X], então F (X) pode ser fatorado em polinômios de mesmo grau em R[X]. Observação 2.116. A Proposição 2.113 nos mostra que se R é UFD, então os irredutíveis de R[X ] são exatamente as constantes irredutíveis de R com os polinômios primitivos não constantes em R[X] irredutíveis em K[X], onde K é o corpo de fração de R[X]. Teorema 2.117. Se R é UFD, então R[X] também o é. Demonstração. Seja F (X) ∈ R[X] não nulo e não invertível. Se F (X) é de grau 0, então já obtemos a decomposição em elementos irredutíveis, por R é UFD. Além disso, como R é UFD, temos que tal fatoração de F (X) é única. Suponha ∂(F (X)) > 0. Se F (X) for irredutível, então F já está decomposto em elementos irredutíveis de forma única. Suponha F (X) redutível. Desta forma, podemos reescrever F (X) como F (X) = H1(X)H2(X), tal que ∂(H1) < ∂(F ) e ∂(H2) < ∂(F ). Se ambos forem irredutíveis, então temos F (X) fatorado em elementos irredutíveis. Sem perda de generalidade, suponha que H1(X) não seja irredutível e H2 irredutível, então, mais uma vez, podemos fatorar H1(X) como H1(X) = K1(X)K2(X), tal que ∂(K1) < ∂(H1) e ∂(H2) < ∂(K1). Se ambos forem irredutíveis, então H1 pode ser fatorado em elementos irredutíveis e, consequente- mente, F (X) também. Caso K1 ou K2 não sejam irredutíveis, repetimos esse processo. Sucessivamente, teremos F (X) = L1(X)L2(X) · · ·Ln(X), onde Li(X) é irredutível, ∀i ∈ {1, · · · , n}, com n sendo o maior número possível de fatores irredutíveis de F (X). Ainda, note que, pela Proposição 2.110, cada Li(X) pode ser reescrito como Li(X) = riGi(X), i ∈ {1, · · · , n}, onde cada ri ∈ R é conteúdo de Li(X) e Gi(X) ∈ R[X] é primitivo. Como Li é irredutível em R[X], então Gi também o é. Assim, podemos reescrever F (X) da seguinte forma: F (X) = r1G1(X)r2G2(X) · · · rnGn(X) = r1r2 · · · rn[G1(X)G2 · · ·Gn(X)]. Como R é UFD, podemos fatorar cada ri, i ∈ {1, · · · , n}, em irredutíveis de R, obteremos, portanto, uma fatorização de F (X) em um produto de irredutíveis em R[X ]. Sobre a unicidade, veja que a fatoração de F (X) ∈ R[X], onde F (X) tem grau 0 é única, uma vez que R é UFD. Se F (X) tem grau maior que 0, podemos ver qualquer fatoração de F (X) em polinô- mios irredutíveis de R[X] como uma fatoração em K[X] em fatores de K e polinômios irredutíveis em K[X], pela Proposição 2.113. Além disso, pelo Teorema 2.108, esses po- linômios são únicos, exceto por possíveis fatores constantes em K e da ordem no produto, já que K é o corpo de fração. Note que, como F (X) é irredutível em R[X], temos, pela Observação 2.116, que cada polinômio de grau maior que zero que aparece na fatoração de F (X) é primitivo em R[X ]. Pela unicidade da Proposição 2.110, isso mostra que esses polinômios primitivos são únicos em R[X] a menos de fatores invertíveis. O produto dos fatores constantes irredutíveis em R na fatoração de F (X) é o conteúdo de F (X), o qual é novamente único, a menos de fatores invertíveis, pela Proposição 2.110. Portanto, todos os irredutíveis em R[X] que aparecem na fatoração são únicos a menos de ordem e elementos associados. Anel de Polinômios 50 Denição 2.118. F (X) = µ Q (X − λi)ei , µ,λi ∈ k, onde λi são as raízes distintas de F e ei é a multiplicidade de λi. Denição 2.119. Um polinômio em k[X1, · · · , Xn] de grau d tem d raízes em k, contando as multiplicidades. Proposição 2.120. Se k é um corpo e X1, · · · , Xn são variáveis indeterminadas, então k[X1, · · · , Xn] é um UFD. Demonstração. Pelo Corolário 2.102, temos que k[X1] é UFD e que, pelo Teorema 2.117, (k[X1])[X2]] também o é, mas pela Observação 2.86 (k[X1])[X2]] = k[X1, X2]. Utilizando o Princípio de Indução Finita, temos que k[X1, · · · , Xn] é UFD. Denição 2.121. O corpo de frações de k[X1, · · · , Xn] é escrito k(X1, · · · , Xn) e chamado de corpo de frações racional com n variáveis sobre k. Proposição 2.122. Se k é um corpo, F ∈ k[X1, · · · , Xn] e a1, · · · , an ∈ k, então F = X λ(i)(X1 − a1)i1 · · · (Xn − an)in , λ(i) ∈ k. Demonstração. Queremos mostrar que qualquer polinômio F ∈ k[X1, · · · , Xn] pode ser escrito como uma combinação linear de monômios da forma (X1 − a1)i1 · · · (Xn − an)in , onde λ(i) ∈ k e i1, · · · , in são inteiros positivos. Para tal, note que cada monômio em F pode ser escrito como X j1 1 · · ·Xjn n , para algum inteiro positivo j1, · · · , jn. Podemos, portanto, reescrever tais monômios como Xj1 1 · · ·Xjn n = (X1 − a1 + a1)j1 · · · (Xn − an + an)jn . Mas, pelo Teorema Binomial, temos que, para cada Xi (Xi − ai + ai)ji = jiX ii=0 ji ii ! (Xi − ai)iia ji−ii i . Deste modo, o monômio X j1 1 · · ·Xjn n pode ser escrito como uma combinação linear de monômios da forma (X1 − a1)i1 · · · (Xn − an)in , onde os coecientes são produtos de coecientes binomiais e potências de a1, · · · , an. Como F é uma combinação linear de monômios, então F também pode ser escrito como uma combinação linear de monômios do tipo Xj1 1 · · ·Xjn n , como queríamos. Proposição 2.123. Sejam k um corpo, F ∈ k[X1, · · · , Xn] e a1, · · · , an ∈ k. Se F (a1, · · · , an) = 0, então F = nX i=1 (Xi − ai)Gi, em que Gi ∈ k[X1, · · · , Xn]. Demonstração. Suponha F (a1, · · · , an) = 0. Queremos mostrar que F pode ser escrito como a soma de polinômios da forma (Xi − ai)Gi, onde Gi ∈ k[X1, · · · , Xn]. Pela Propo- sição 2.122, sabemos que F = X λ(i)(X1 − a1)i1 · · · (Xn − an)in , λ(i) ∈ k. Como F (a1, · · · , an) = 0, temos que 0 = X λ(i)(0)i1 · · · (0)in , λ(i) ∈ k. Isso implica que todos os termos da soma com pelo menos um dos ij é igual a 0 deve ter coeciente 0, isto é, cada termo da soma deve ter pelo menos um fator (Xi − ai) para algum i. Deste modo, podemos escrever F como a soma de termos na forma (Xi − ai)Gi, onde Gi é um polinômio em k[X1, · · · , Xn]. Agora que relembramos os resultados importantes sobre anéis e corpos, podemos - nalmente abordar os conceitos de Geometria Algébrica necessários. 3 Conjuntos Algébricos Ans Nesse capítulo abordaremos alguns conceitos e resultados importantes para a Geo- metria Algébrica, para tal, utilizamos as referências [3] e [4]. Vale ressaltar que todos os exemplos, com exceção do Exemplo 3.5, foram elaboradas pela autora. Além disso, esmiuçamos as demonstrações, incluindo mais detalhes e conceitos prévios. 3.1 Espaço Am e Conjunto Algébrico Denição 3.1. Seja k um corpo. Denimos An(k) (ou An, quando k é subentendido) como o produto cartesiano de k com ele mesmo n vezes. Assim, An(k) é o conjunto das n-uplas dos elementos de k. Chamamos An(k) de n-espaço am sobre k e seus elementos são chamados de pontos. Quando temos A1(k) chamamos de reta am e A2(k) de plano am. Denição 3.2. Sejam F ∈ k[X1, · · · , Xn] um polinômio e P = (a1, · · · , an) ∈ An(k) um ponto. Dizemos que P é zero de F se F (P ) = F (a1, · · · , an) = 0. Denição 3.3. Se F não é um polinômio constante, o conjunto de zeros de F é chamado de hipersuperfície denido por F e denotado por V (F ). Uma hipersuperfície de A2(k) é chamada curva do plano am. Se F é um polinômio de grau 1, V (F ) é chamado de hiperplano de An(k). Se n = 2, V (F ) será chamado de reta. Genericamente, se tivermos S um conjunto qualquer de polinômios em k[X1, · · · , Xn], então podemos denir V (S) = {P ∈ An(k); F (P ) = 0, ∀F ∈ S}. Observação 3.4. Segue diretamente da denição anterior que V (S) = \ F∈S V (F ). Exemplo 3.5. Seja k = R. 51 Espaço Am e Conjunto Algébrico 52 Figura 3.1: Curva denida por V (Y 2 −X(X2 − 1)) ⊂ A2. Fonte: elaborado pela autora (2022) Figura 3.2: Curva denida por V (Y 2 −X2(X + 1)) ⊂ A2. Fonte: elaborado pela autora (2022) Figura 3.3: Curva denida por V (Y 2 −XY −X2Y +X3) ⊂ A2. Fonte: elaborado pela autora (2022) Figura 3.4: Curva denida por V (Z2 − (X2 + Y 2)) ⊂ A3. Fonte: elaborado pela autora (2022) Espaço Am e Conjunto Algébrico 53 Observação 3.6. Vale ressaltar que, geralmente, utilizamos V (F1, · · · , Fr) ao invés da notação completa V ({F1, · · · , Fr}), como um abuso de notação. Consequentemente, te- remos V (F1, · · · , Fr) = r\ i=1 V (Fi). Denição 3.7. Um subconjunto X ⊂ An(k) é um conjunto algébrico (ou, de maneira mais completa, conjunto algébrico am) se X = V (S), para algum S ⊂ k[X1, · · · , Xn]. Proposição 3.8. Se I é um ideal em k[X1, · · · , Xn] gerado por S, então V (S) = V (I), ou seja, todo conjunto algébrico é igual a V (I), para algum ideal I. Demonstração. Queremos mostrar que V (S) = V (I) e para tal precisamos mostrar que: (i) V (I) ⊂ V (S) e (ii) V (S) ⊂ V (I). Sejam S = {F1, · · · , Fr}, Fi ∈ k[X1, · · · , Xn] e I = ⟨S⟩ = ⟨F1, · · · , Fr⟩. Lembremos que se F ∈ I, então F = rX i=1 ciFi. (i) Seja P ∈ V (I) qualquer, então F (P ) = 0, ∀F ∈ I = ⟨F1, · · · , Fr⟩. Em particular, F1, · · · , Fr ∈ I. Desta forma, Fi(P ) = 0, ∀i ∈ {1, · · · , r} ⇒ P ∈ r\ i=1 V (F1) = V (S), tal igualdade se dá pela denição de V (S). (ii) Seja P ∈ V (S) qualquer. Isso signica que Fi(P ) = 0, ∀i ∈ {1, · · · , r}. Para mostrar que P ∈ V (I) tomemos F ∈ I qualquer. Assim, como F ∈ I, temos que F = rX i=1 ciFi, logo: F (P ) = rX i=1 ciFi(P ). Observe que Fi(P ) = 0, ∀i ∈ {1, · · · , r}, já que P ∈ V (S). Logo rX i=1 ciFi(P ) = 0, ou seja, F (P ) = 0 e desta forma P ∈ V (I). Proposição 3.9. Se {I α } α é uma coleção de ideais, então V [ α I α ! = \ α V (I α ), ou seja, a intersecção de qualquer coleção de conjuntos algébricos é um conjunto algébrico. Demonstração. Mostremos que: (i) V [ α I α ! ⊂ \ α V (I α ) e (ii) \ α V (I α ) ⊂ V [ α I α ! . De fato: (i) Seja P ∈ V [ α I α ! qualquer. Como P ∈ V [ α I α ! , segue, por denição, que F (P ) = 0, ∀F ∈ [ α I α . Em particular, I α ⊂ [ α I α , ∀α. Daí, se F ∈ I α , ∀α, temos que F (P ) = 0, logo P ∈ V (I α ), ∀α, ou seja, P ∈ \ α V (I α ). Espaço Am e Conjunto Algébrico 54 (ii) Seja P ∈ \ α V (I α ) qualquer. Assim, se P ∈ \ α V (I α ), então P ∈ V (I α ), ∀α. Logo F (P ) = 0, ∀F ∈ I α , ∀α. (3.1) Agora, seja F ∈ [ α I α qualquer. Logo, F ∈ I α , para algum α. Por (3.1) temos que F (P ) = 0 e, assim, P ∈ V [ α I α ! . Proposição 3.10. Se I ⊂ J , onde I e J são ideais, então V (I) ⊃ V (J). Demonstração. Seja P ∈ V (J) qualquer, logo F (P ) = 0, ∀F ∈ J . Como I ⊂ J , segue que F (P ) = 0, ∀F ∈ I. Logo, P ∈ V (I). Proposição 3.11. As seguintes propriedades são válidas: (a) V (F ·G) = V (F ) ∪ V (G), para quaisquer polinômios F,G ∈ k[X1, · · · , Xn]; (b) V (I)∪V (J) = V ({F ·G; F ∈ I,G ∈ J}), para quaisquer ideais I, J ∈ k[X1, · · · , Xn], ou seja, a união nita de conjuntos algébricos é um conjunto algébrico. Demonstração. Mostremos os itens (a) e (b): (a) Queremos mostrar que V (F ·G) = V (F ) ∪ V (G), para isso, precisamos que: (i) V (F ·G) ⊂ V (F ) ∪ V (G) e (ii) V (F ) ∪ V (G) ⊂ V (F ·G). (i) Seja P ∈ V (F ·G), qualquer. Desta forma, temos que: (F ·G)(P ) = 0 ⇒ F (P ) ·G(P ) = 0 ⇒ F (P ) = 0 ou G(P ) = 0, pois k é corpo e, portanto, domínio de integridade. Como F (P ) = 0 ou G(P ) = 0 ⇒ P ∈ V (F ) ou P ∈ V (G). Portanto, P ∈ V (F ) ∪ V (G). (ii) Seja P ∈ V (F ) ∪ V (G), qualquer. Assim, temos que: P ∈ V (F ) ou P ∈ V (G) ⇒ F (P ) = 0 ou G(P ) = 0 ⇒ F (P ) · G(P ) = 0 ⇒ (F ·G)(P ) = 0. Logo, P ∈ V (F ·G). (b) Mostremos que V (I) ∪ V (J) = V ({F · G; F ∈ I,G ∈ J}. Para isso, precisamos mostrar que: (i) V (I) ∪ V (J) ⊂ V ({F · G; F ∈ I,G ∈ J} e (ii) V ({F · G; F ∈ I,G ∈ J}) ⊂ V (I) ∪ V (J). (i) Seja P ∈ V (I) ∪ V (J), qualquer. Disto, temos que: P ∈ V (I) ou P ∈ V (J) ⇒ F (P ) = 0, ∀F ∈ I, ou G(P ) = 0, ∀G ∈ J ⇒ F (P ) ·G(P ) = 0, ∀F ∈ I, ∀G ∈ J ⇒ (F ·G)(P ) = 0, ∀F ∈ I, ∀G ∈ J. Desta forma, P ∈ V ({F ·G; F ∈ I,G ∈ J}). Espaço Am e Conjunto Algébrico 55 (ii) Seja P ∈ V ({F ·G; F ∈ I,G ∈ J}), qualquer. Assim, temos que: (F ·G)(P ) = 0, ∀F ∈ I, ∀G ∈ J ⇒ F (P ) ·G(P ) = 0, ∀F ∈ I, ∀G ∈ J ⇒ F (P ) = 0, ∀F ∈ I, ou G(P ) = 0, ∀G ∈ J, pois k é corpo e, portanto, domínio de integridade. Como F (P ) = 0, ∀F ∈ I, ou G(P ) = 0, ∀G ∈ J , então P ∈ V (I) ou P ∈ V (J). Com isso, P ∈ V (I) ∪ V (J). Proposição 3.12. São válidas as seguintes propriedades: (a) V (0) = An(k), onde 0 é o polinômio nulo. (b) V (1) = ∅, em que 1 é o polinômio constante 1. (c) V (X1−a1, · · · , Xn−an) = {(a1, · · · , an)}, para qualquer ai ∈ k. Consequentemente, um subconjunto nito de An(k) é um conjunto algébrico. Demonstração. Demonstremos as propriedades (a), (b) e (c): (a) Queremos mostrar que V (0) = An(k), onde 0 é o polinômio nulo. De fato, ∀P ∈ An(k), 0(P ) = 0k ⇒ P ∈ V (0). Assim, An(k) ⊂ V (0). Além disso, V (0) ⊂ An(K) por denição. (b) Mostremos que V (1) = ∅. De fato: ∀P ∈ An(k), 1(P ) = 1k ̸= 0 ⇒ V (1) = ∅. (c) Agora, mostremos que V (X1−a1, · · · , Xn−an) = {(a1, · · · , an)}, ∀ai ∈ k. Para tal, precisamos mostrar que: (i) V (X1 − a1, · · · , Xn − an) ⊂ {(a1, · · · , an)}; (ii) {(a1, · · · , an)} ⊂ V (X1 − a1, · · · , Xn − an). Com efeito: (i) Seja P = (b1, · · · , bn) ∈ V (X1 − a1, · · · , Xn − an). Sabemos que F (P ) = 0, em que Fi = Xi − ai, ∀i ∈ {1, · · · , n}. Porém, isso apenas ocorre se bi − ai = 0, ∀i ∈ {1, · · · , n} ⇒ bi = ai, ∀i ∈ {1, · · · , n}. Assim, P = (a1, · · · , an) ∈ {(a1, · · · , an)}. (ii) Se P = (a1, · · · , an) ∈ {(a1, · · · , an)}, então F (P ) = 0, em que Fi = Xi − ai, ∀i ∈ {1, · · · , n}. Logo, P ∈ V (X1 − a1, · · · , Xn − an). Veja que esta última parte pode ser generalizada para um conjunto X = {P1, · · · , Ps}, qualquer, com X ⊂ An(k), onde cada Pi = (ai1 , · · · , ain), 1 ≤ i ≤ s. Já que: X = {P1, · · · , Ps} = s[ i=1 {Pi} = s[ i=1 V ({X1 − ai1 , · · · , Xn − ain}) = s[ i=1 V (Ii) = V ({F1 · · · · · Fs; Fi ∈ Ii}), em que Ii = ⟨X1 − ai1 , · · · , Xn − ain⟩, com 1 ≤ i ≤ s. O Ideal de Um Conjunto de Pontos 56 Exemplo 3.13. Mostremos que W = {P = (t, t2) ∈ A2(R); t ∈ R} é um conjunto algébrico. Para tal, precisamos achar algum conjunto de polinômios tais que os elementos de W sejam zeros desses polinômios. Considere F = Y − X2. Veja que qualquer elemento de W zera o polinômio F , de fato: F (P ) = (t2)− (t)2 = t2 − t2 = 0 ⇒ F (P ) = 0, ∀P ∈ W. Assim, W ⊂ V (F ). Por outro lado, seja P = (a, b) ∈ V (F ). Deste modo, por denição, F (P ) = F (a, b) = 0 ⇒ b− a2 = 0 ⇒ b = a2. Deste modo, podemos reescrever P como P = (a, a2) ∈ W . Logo, V (F ) ⊂ W . Portanto, W = V (F ). Exemplo 3.14. Mostremos que W = {P = (cos(t), sen(t)) ∈ A2(R); t ∈ R} é um conjunto algébrico. Para tal, precisamos achar algum conjunto de polinômios tais que os elementos de W sejam zeros desses polinômios. Considere G = X2 + Y 2 − 1. Veja que qualquer elemento de W zera o polinômio G. De fato: G(P ) = (cos t)2 + (sen t)2 − 1 = 0 ⇒ G(P ) = 0, ∀P ∈ W. Logo, W ⊂ V (G). Por outro lado, P = (a, b) ∈ V (G). Com isso, G(P ) = a2 + b2 − 1 = 0 ⇒ a2 + b2 = 1. Note que o conjunto de pontos tais que a2 + b2 = 1 é uma circunferência de raio 1 e centro na origem. Sendo assim, podemos parametrizar essa curva tomando a = cos(u) e b = sen(u). Com isso, podemos rescrever P com P = (cos(u), sen(u)) ∈ W . Logo, V (G) ⊂ W . Portanto, W = V (G). 3.2 O Ideal de Um Conjunto de Pontos Denição 3.15. Sejam X ⊂ An(k) um subconjunto qualquer, P = (a1, · · · , an) ∈ X e F ∈ k[X1, · · · , Xn]. Os polinômios que anulam sobre X formam um ideal em k[X1, · · · , Xn] que chamamos de ideal de X e escrevemos I(X). Tal ideal é denido por: I(X) = {F ∈ k[X1, · · · , Xn]; F (P ) = 0, ∀P ∈ X}. Exemplo 3.16. Seja X ⊂ A2(R) = R2, onde X = {(0, t); t ∈ R}. Assim, I(X) = {F ∈ R[X1, X2]; F (P ) = 0, ∀P ∈ X}. Veja que os polinômios pertencentes a I(X) serão aqueles que não possuem monômios puros da forma Xk 2 , k ∈ N em sua composição. Assim, um exemplo de polinômio pertencente a I(X) seria F = X1X 3 2 +X5 1 . De fato, tomando qualquer ponto da forma (0, t) teremos 0 · t3 + 05 = 0. O Ideal de Um Conjunto de Pontos 57 Assim, F ∈ I(X). Por outro lado, G = X1X 3 2 + X5 1 + X4 2 não pertence a I(X) pois, tomando o ponto (0, t), qualquer: 0 · t3 + 05 + t4 = t4 e isso só será igual a zero caso t = 0. Portanto, G /∈ I(X). Proposição 3.17. I(X) é ideal de k[X1, · · · , Xn]. Demonstração. Para mostrar que I(X) é ideal de k[X1, · · · , Xn] temos que mostrar que: (i) I(X) é subgrupo de k[X1, · · · , Xn] e (ii) ∀G ∈ k[X1, · · · , Xn], ∀F ∈ I(X) : FG ∈ I(X). De fato: (i) Sejam F,G ∈ I(X), quaisquer. Se G ∈ I(X), então G(P ) = 0, ∀P ∈ X, logo (−G)(P ) = −(G(P )) = 0, ∀P ∈ X. Desta forma, −G ∈ I(X). Veja que F + (−G) ∈ I(X). De fato: (F + (−G))(P ) = F (P ) + (−G)(P ) = 0 + 0 = 0. (ii) Tomemos G ∈ k[X1, · · · , Xn] e F ∈ I(X), quaisquer. Mostremos que GF ∈ I(X), de fato: (GF )(P ) = (G(P ))(F (P )) = G(P ) · 0 = 0. Proposição 3.18. Se X ⊂ Y , então I(X) ⊃ I(Y ). Demonstração. Seja F ∈ I(Y ) qualquer. Como F ∈ I(Y ), segue que: F (P ) = 0, ∀P ∈ Y. Mas X ⊂ Y , logo F (P ) = 0, ∀P ∈ X. Assim, F ∈ I(X). Observação 3.19. Convencionamos que I(∅) = k[X1, · · · , Xn]. Proposição 3.20. São válidas as seguintes propriedades: (a) I(An(k)) = ⟨0⟩, se k é um corpo innito, onde 0 é o polinômio nulo. (b) I({(a1, · · · , an)}) = ⟨X1 − a1, · · · , Xn − an⟩, para ai ∈ k. Demonstração. Mostremos os itens (a) e (b): (a) Observe que I(An(k)) = {F ∈ k[X1, · · · , Xn]; F (P ) = 0, ∀P ∈ An(k)}. Consi- derando que precisamos abranger todos os elementos de An(k), o único F possível para que isso ocorra é o polinômio nulo. (b) Precisamos mostrar que I({(a1, · · · , an)}) = ⟨X1 − a1, · · · , Xn − an⟩. Para tal, mostremos que: (i) I({(a1, · · · , an)}) ⊂ ⟨X1 − a1, · · · , Xn − an⟩; (ii) I({(a1, · · · , an)}) ⊃ ⟨X1 − a1, · · · , Xn − an⟩. De fato: O Ideal de Um Conjunto de Pontos 58 (i) Seja F ∈ I({(a1, · · · , an)}), qualquer. Desta forma, F (a1, · · · , an) = 0, ∀i ∈ {1, · · · , n}. Com isso, segue, da Proposição 2.123, que F = nX i=1 (Xi − ai)Gi, para algum Gi ∈ k[X1, · · · , Xn], que pertence ao ⟨X1 − a1, · · · , Xn − an⟩. (ii) Seja F ∈ ⟨X1 − a1, · · · , Xn − an⟩, qualquer. Se isso ocorre, então F = nX i=1 Gi(Xi − ai) , para algum Gi ∈ k[X1, · · · , Xn] ⇒ F (a1, · · · , an) = nX i=1 Gi(ai − ai) = 0. Logo, F ∈ I({(a1, · · · , an)}). Proposição 3.21. São válidas as propriedades: (a) I(V (S)) ⊃ S, ∀S ⊂ k[X1, · · · , Xn]. (b) V (I(X)) ⊃ X, ∀X ⊂ An(k). Demonstração. Mostremos que (a) e (b) são válidas: (a) Seja S um conjunto de polinômios qualquer, então sabemos que V (S) = {P ∈ An(k); F (P ) = 0, ∀F ∈ S}. Com isso, temos que I(V (S)) = {F ∈ k[X1, · · · , Xn]; F (P ) = 0, ∀P ∈ V (S)}. Veja que, para qualquer F ∈ S, temos que F (P ) = 0, ∀P ∈ V (S). Logo, F ∈ I(V (S)), consequentemente, S ⊂ I(V (S)). (b) Seja X um conjunto de pontos qualquer, então sabemos que I(X) = {F ∈ k[X1, · · · , Xn]; F (P ) = 0, ∀P ∈ X}. Com isso, temos que V (I(X)) = {P ∈ An(k); F (P ) = 0, ∀F ∈ I(X)}. Observe que para qualquer P ∈ X, temos que F (P ) = 0, ∀F ∈ I(X). Logo, X ∈ V (I(X)) e, por consequência, X ⊂ V (I(X)). Proposição 3.22. As seguintes propriedades são válidas: O Ideal de Um Conjunto de Pontos 59 (a) V (I(V (S))) = V (S), para qualquer conjunto S de polinômios. (b) I(V (I(X))) = I(X), para qualquer conjunto X de pontos. Assim, se V é um conjunto algébrico, então V = V (I(V )). Além disso, se I é um ideal de um conjunto algébrico, então I = I(V (I)). Demonstração. Mostremos os itens (a) e (b): (a) Precisamos mostrar que (i) V (S) ⊂ V (I(V (S))) e (ii) V (I(V (S))) ⊂ V (S). De fato: (i) Seja P0 ∈ V (S), qualquer. Se P0 ∈ V (S), então F (P0) = 0, ∀F ∈ S. Mos- tremos, portanto, que P0 ∈ V (I(V (S))), para isso, precisamos mostrar que G(P0) = 0, ∀G ∈ I(V (S)). Para isso, seja F ∈ I(V (S)), qualquer. Como F ∈ I(V (S)), segue que F (P ) = 0, ∀P ∈ V (S). Em particular, P0 ∈ V (S), por hipótese, assim, temos que: F (P0) = 0 ⇒ P0 ∈ V (I(V (S))). (ii) Seja P ∈ V (I(V (S))), qualquer. Assim, segue que: F (P ) = 0, ∀F ∈ I(V (S)). Sabemos, pela