
unesp
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA

Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas

DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS DE COMPUTAÇÃO E ESTATÍSTICA

Um estudo da dinâmica fracamente não-linear
de um sistema nanomecânico

Josimeire Maximiano dos Santos

Dissertação de Mestrado
Pós-Graduação em Matemática

Rua Cristovão Colombo, 2265

15054-000 - São José do Rio Preto - SP - Brasil

Telefone: (17) 3221-2444

Fax: (17) 3221-2445


Josimeire Maximiano dos Santos

Um estudo da dinâmica fracamente não-linear de um sistema nanomecânico

Dissertação apresentada como parte dos re-

quisitos para obtenção do t́ıtulo de Mestre

em Matemática, junto ao Programa de Pós-

Graduação em Matemática, Área de Concentração

- Geometria e Sistemas Dinâmicos, do Instituto de

Biociências, Letras e Ciências Exatas da Universi-

dade Estadual Paulista ”Júlio de Mesquita Filho”,

Campus de São José do Rio Preto.

Orientador: Prof. Dr. Masayoshi Tsuchida

São José do Rio Preto

2009


Santos, Josimeire Maximiano dos.
Um estudo da dinâmica fracamente não-linear de
um sistema nanomecânico/Josimeire Maximiano dos Santos. -

São José do Rio Preto:[s.n.],2009.
64 f.: il.; 30 cm.

Orientador: Masayoshi Tsuchida
Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista, Instituto de
Biociências, Letras e Ciências Exatas

1. Sistemas dinâmicos diferenciais. 2.Equações diferenciais não-lineares -
Soluções anaĺıticas aproximadas. 3. Sistema nanomecânico. 4. Teoria de
Perturbações. 5. Método da média. 6. Método das múltiplas escalas. 7.
Método da expansão direta. 8. Ressonancia (Matemática).I. Tsuchida,
Masayoshi.II. Universidade Estadual Paulista, Instituto de Biociências,

Letras e Ciências Exatas. III. T́ıtulo.

CDU - 517.93

Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca do IBILCE
Campus de São José do Rio Preto - UNESP


JOSIMEIRE MAXIMIANO DOS SANTOS

Um estudo da dinâmica fracamente não-linear de um sistema nanomecânico

Dissertação apresentada como parte dos re-

quisitos para obtenção do t́ıtulo de Mestre

em Matemática, junto ao Programa de Pós-

Graduação em Matemática, Área de Concentração

- Geometria e Sistemas Dinâmicos, do Instituto de

Biociências, Letras e Ciências Exatas da Universi-

dade Estadual Paulista ”Júlio de Mesquita Filho”,

Campus de São José do Rio Preto.

BANCA EXAMINADORA

Prof. Dr. Masayoshi Tsuchida

Professor Assitente Doutor

UNESP - São José do Rio Preto

Orientador

Prof. Dr. José Manoel Balthazar

Professor Titular

UNESP - Rio Claro

Prof. Dr. Adalberto Spezamiglio

Professor Adjunto

UNESP - São José do Rio Preto

São José do Rio Preto, 16 de Fevereiro de 2009.


”É imposśıvel proceder ao infinito na série dos seres

que se geram sucessivamente. Deve-se admitir, por isso, que

existe um ser necessário que tenha em si toda a razão de

sua existência, e do qual procedam todos os outros seres.

A este chamamos Deus.”

São Tomás de Aquino


A Deus.

Aos meus pais, Rodrigo e Maria Rosa,

que sempre me apoiaram e me incentivaram em todos os momentos

de minha vida, principalmente nos estudos, não poupando

esforços para que eu chegasse até aqui.

Dedico.


Agradecimentos

A Deus, que é a fonte e o caminho da minha vida.

Agradeço imensamente aos meus queridos pais Rodrigo e Maria Rosa, pelo amor,

carinho, e pelo apoio incondicional que sempre me dedicaram.

Ao meu estimado irmão Rodrigo Junior, e sua esposa, Andréa, por estarem sempre

presentes quando precisei.

À minha querida prima Luciana, pelo apoio e amizade, a qual considero como uma

irmã.

Agradeço ao Professor Dr. Masayoshi Tsuchida, pela orientação, sabedoria, amizade,

compreensão e atenção, presteza e paciência.

Aos professores Dr. Adalberto Spezamiglio e Dra. Maria do Socorro Rangel, pela

orientação durante o curso de graduação.

À banca examinadora, pela criteriosa avaliação.

Aos professores da graduação em Matemática do IBILCE - UNESP, por terem auxi-

liado no meu processo de aprendizagem.

A todos os professores do departamento e a todos os funcionários.

Aos meus amigos, companheiros e todos aqueles que contribuiram direta ou indireta-

mente para a realização deste trabalho.

À Capes, pelo aux́ılio financeiro.


Resumo

Osciladores eletromecânicos podem ser modelados matematicamente através da equação

de Duffing ou equação de Van der Pol, mesmo que sejam sistemas de escala nanomética.

Nesta dissertação analisamos um oscilador forçado sujeito a um amortecimento não-

linear, que é representado pela equação de Duffing - Van der Pol. Em geral, não é fácil

obter solução anaĺıtica exata para esta equação, então a análise é feita utilizando a teoria

de perturbações para obter uma solução anaĺıtica aproximada. Para isso consideramos

certos parâmetros do problema como sendo pequenos parâmetros, e obtemos a solução

na forma de expansão direta. Devido o fato da freqüência natural do sistema dinâmico

depender do pequeno parâmetro, essa expansão é não uniforme, ou seja, apresenta termos

seculares mistos (termos de Poisson), e além disso possui pequenos divisores.

Essas inconveniências são eliminadas aplicando o método das múltiplas escalas e o

método da média. Inicialmente os pequenos parâmetros são escolhidos de modo que

o problema não perturbado se reduz a um oscilador harmônico forçado, e na escolha

posterior o problema não perturbado é um oscilador linear amortecido e forçado.

Palavras-chave: Oscilador de Duffing - Van der Pol, método das múltiplas escalas,

método da média, sistema nanomecânico.


Abstract

Electromechanical oscillators can be mathematically modeled by a Duffing equation or

a Van der Pol equation, even if they are nanometric systems.

In this work we studied a forced oscillator having nonlinear damping, that is represented

by a Duffing - Van der Pol equation. In general, it is not easy to get the exact analytical

solution for this equation, then the analysis is done using the perturbation theory to get an

approximate analytical solution. For this reason we considered that certain parameters of

the problem are small parameters and we obtain the solution in the form of straightforward

expansion. Due to the fact that natural frequency of the dynamic system depends on the

small parameter, this expansion is not uniform, i.e. presents secular terms (Poisson

terms) and also small-divisors.

These inconveniences are eliminated using the method of multiple scales and the aver-

aging method. Initially the small parameters are chosen so that the unperturbed problem

is reduced to a forced harmonic oscillator, and in the subsequent choice the unperturbed

is a forced oscillator having linear damping.

Keywords: Duffing - Van der Pol oscillator, method of multiple scales, method of

averaging, nanomechanical system.


Sumário

1 Introdução 1

2 Introdução à teoria de sistemas dinâmicos 3

2.1 Definição de um sistema dinâmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Espaço de estados (ou espaço de fases) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Equações diferenciais e sistemas dinâmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.4 Sistema linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.5 Sistema não-linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.5.1 Linearização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.5.2 Estabilidade e ponto de equiĺıbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.5.3 Equivalência topológica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.5.4 Teorema de Hartman-Grobman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.6 A equação de Duffing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.7 A equação de Van der Pol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.8 Oscilações e ressonância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.8.1 Osciladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.8.2 O fenômeno do salto de amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Introdução à teoria de perturbação 17

3.1 O método da expansão direta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2 O método de múltiplas escalas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3 O método da média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4 Aplicação do método das múltiplas escalas e método da média na equação

de Duffing - Van der Pol 22

4.1 Equação do movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.2 Expansão Direta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.3 O Método de Múltiplas Escalas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

ix


4.4 O Método da Média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5 Equação de Duffing - Van der Pol (Caso mais geral) 38

5.1 Expansão Direta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.2 Método das Múltiplas Escalas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6 Conclusões e Sugestões para Trabalhos Futuros 47

6.1 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.2 Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Referências Bibliográficas 50

x


Lista de Figuras

2.1 Estado da amplitude |A| como uma função da freqüência ω para um os-

cilador linear sem amortecimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Amplitude versus freqüência em um oscilador não-linear com amorteci-

mento. A curva tracejada representa as oscilações livres e a curva sólida a

amplitude em função da freqüência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Fenômeno do salto de amplitude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.1 O dispositivo consiste em um suporte nanomecânico duplamente apertado

e um eletrodo. A força de excitação é aplicada como voltagem entre o

suporte e o eletrodo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.2 Variação de a e γ com T1 calculada numericamente de (4.43) e (4.44) para

β = 0.1, Λ = 1.0, σ = 0.1, ω = 0.5, a(0) = 1.0 e γ(0) = 1.0.[20] . . . . . . . 32

xi


Caṕıtulo 1

Introdução

O conceito de perturbação foi introduzido pelos mecânicos celestes, mas esse conceito

pode ser generalizado para sistemas dinâmicos em geral [23]. O interesse pela teoria de

sistemas dinâmicos ganhou um grande impulso a partir da descoberta de comportamentos

caóticos devido às não linearidades envolvidas e sensibilidades às condições iniciais.

A dinâmica não-linear passou a ser largamente utilizada na modelagem de sistemas

dinâmicos. Embora as soluções das equações envolvidas na abordagem não-linear apresen-

tem uma maior dificuldade, seus modelos permitem considerar os efeitos de um número

maior de parâmetros relevantes a um projeto, reduzindo o número de hipóteses simplifi-

cadoras.

Podemos representar uma situação ou um problema de várias maneiras diferentes,

e dessa forma ter vários modelos matemáticos para o mesmo sistema. A dinâmica de

muitos sistemas, sejam eles elétricos, mecânicos, etc., ou outros, pode ser descrita em

termos de equações diferenciais ou de mapas de forma precisa ou, pelo menos, o mais

próximo posśıvel da realidade. O estudo de sistemas dinâmicos ganhou impulso a partir

da observação de que, em certas circunstâncias, a fonte de perturbação e o sistema podem

interagir [6] [7] [8] [16].

Equações diferenciais muito utilizadas para representar vários sistemas dinâmicos são a

equação de Duffing e a equação de Van der Pol, mesmo nas suas formas mais simplificadas.

Um motivo que torna essas equações interessantes, é o fato das mesmas apresentarem

soluções multiperiódicas dependendo de valores dos seus parâmetros. Em virtude disso,

essas equações são largamente citadas em livros [19] [23] [22] [24], bem como estudadas

[1] [4] [5] [28].

1


2

Neste trabalho fazemos uma análise de um sistema representado por um oscilador

mecânico forçado com amortecimento não-linear através da equação de Duffing - Van der

Pol. Em geral, não é fácil obter soluções anaĺıticas exatas de equações diferenciais não-

lineares, e portanto, sob determinadas condições, a solução de um sistema não-linear é

aproximada através de métodos anaĺıticos. Entre tais métodos, os mais utilizados são os

métodos de perturbação.

O objetivo deste trabalho é encontrar uma solução aproximada para a equação do

movimento que descreve um oscilador de Duffing - Van der Pol livre de termos que com-

prometem a solução, tais como termos seculares mistos ou a presença de pequenos di-

visores. Dessa forma, contribuir com os estudos sobre o amortecimento não-linear em

sistemas aplicados na mecânica e nanomecânica através de osciladores.

O trabalho foi dividido em 6 caṕıtulos. No caṕıtulo 2 apresentamos um resumo dos

principais tópicos da teoria de sistemas dinâmicos. No caṕıtulo 3 fazemos uma breve in-

trodução à teoria de perturbações, apresentando os métodos da expansão direta, múltiplas

escalas e média.

No caṕıtulo 4 apresentamos a equação analisada neste trabalho, a qual é semelhante

à equação de Duffing estudada por Almog et al.[2], onde o impacto de um suporte

nanomecânico duplamente apertado é investigado. Ainda neste caṕıtulo, buscamos uma

solução aproximada empregando a teoria de perturbação, através do método de múltiplas

escalas e método da média.

No caṕıtulo 5 apresentamos uma breve análise do sistema apresentado no caṕıtulo 4

de forma mais generalizada.

O caṕıtulo 6 contém as considerações finais sobre o trabalho desenvolvido, e a seguir

são apresentadas as referências bibliográficas utilizadas.


Caṕıtulo 2

Introdução à teoria de sistemas

dinâmicos

Um sistema pode ser definido como um conjunto de objetos agrupados por alguma in-

teração ou interdependência, de modo que existam relações de causa e efeito nos fenômenos

que ocorrem com os elementos desse conjunto. Um sistema é dinâmico quando algumas

grandezas que caracterizam seus objetos constituintes variam no tempo. Leibniz foi o

primeiro a usar a palavra dinâmica nesse contexto [19].

Sistemas dinâmicos de dimensão finita ou infinita são modelos matemáticos para um

grande número de problemas em áreas aplicadas como a f́ısica, a economia, a engenharia e

muitas outras ciências. Em geral, estes sistemas dinâmicos estão associados a equações di-

ferenciais que podem ser equações diferenciais ordinárias, equações diferenciais funcionais,

equações diferenciais parciais ou equações discretas. Exemplos de modelos matemáticos

que podem representar sistemas dinâmicos são as equações de ondas, as equações para a

supercondutividade de liqúıdos, os modelos de crescimento populacional, as equações de

reação e difusão, as equações do calor entre muitas outras.

Neste caṕıtulo introduzimos alguns conceitos básicos da teoria de sistemas dinâmicos.

Apresentamos definições que são válidas tanto para sistemas lineares como não-lineares,

como espaço de estados (ou espaço de fases), que é o espaço no qual se realiza o estudo

qualitativo de um sistema dinâmico, pontos de equiĺıbrio e estabilidade no sentido de

Lyapunov.

3


2.1. Definição de um sistema dinâmico 4

2.1 Definição de um sistema dinâmico

A evolução de um sistema dinâmico pode ser caracterizada pela trajetória que se

propaga com a passagem do tempo, em um dado espaço S. O espaço S pode ser pensado

como um espaço de estados ou algum sistema f́ısico. Matematicamente S pode ser um

espaço Euclidiano, ou um subconjunto aberto do espaço Euclidiano de uma determinada

dimensão [12].

Formalizamos um sistema dinâmico cont́ınuo com a seguinte definição.

Um sistema dinâmico é uma aplicação C1, φ : R×S → S onde S é um conjunto aberto

do espaço Euclidiano, e escrevemos φ(t, x) = φt(x). A aplicação φt : S → S satisfaz

(a) φ0 : S → S é a identidade;

(b) A composição φt ◦ φs = φt+s para todo t, s ∈ R.

Note que a definição implica que a aplicação φt : S → S é C1 para cada t e tem uma

inversa C1, φ−t (fazer s = −t em (b)).

Seja A um operador em um espaço vetorial E, seja E = S e φ : R × S → S definida

por φ(t, x) = etAx. Então φt : S → S pode ser representado por φt = etA. Claramente,

φ0 = e0 é o operador identidade, e desde que e(t+s)A = etA · esA, definimos um sistema

dinâmico em E.

Esse exemplo de sistema dinâmico é representado pela equação diferencial
dx

dt
= Ax

em E. Um sistema dinâmico φt em S é, muitas vezes, dado por uma equação diferencial.

Podemos reescrever isso em termos mais convencionais. Seja φt : S → S um sistema

dinâmico e x ∈ S, seja x(t) = φt(x), e f : S → E como

f(x) =
d

dt
|t=0 φt(x) (2.1)

Então podemos escrever (2.1) como

ẋ = f(x) (2.2)

Assim, x(t) ou φt(x) é solução de (2.2) satisfazendo a condição inicial x(0) = x0.

A equação (2.2) é chamada de equação autônoma pois não depende do tempo.

A equação é chamada não-autônoma quando ẋ = f(t, x).


2.2. Espaço de estados (ou espaço de fases) 5

2.2 Espaço de estados (ou espaço de fases)

O espaço de estados, ou espaço de fases, é um espaço n-dimensional, cujos eixos

coordenados são os eixos x1, x2, ..., xn. Um estado é representado como um ponto com

coordenadas (x1(t), x2(t), ..., xn(t)) nesse espaço. Conforme o tempo passa, esse ponto se

move, sendo sua evolução temporal determinada pelas n equações diferenciais de primeira

ordem

dx1

dt
= f1(x1, x2, ..., xn)

dx2

dt
= f2(x1, x2, ..., xn)

... (2.3)

dxn

dt
= fn(x1, x2, ..., xn)

ou, na notação vetorial

dx

dt
= f(x)

com fj : B × R+ → A (j = 1, 2, ..., n), sendo B ⊆ Rn, A ⊆ R.

As variáveis dependentes xj são chamadas de variáveis de estado e as funções fj

definem o campo de velocidades desse sistema, pois a velocidade instantânea é dada por

dx/dt = f. A dimensão do espaço de fases equivale ao número de equações diferenciais de

primeira ordem necessárias para descrever o sistema, que é igual ao número de variáveis

de estado.

Chama-se retrato de fases o conjunto de curvas obtidas pela evolução temporal do

sistema a partir de todas as condições iniciais nas quais as funções fj são definidas.

2.3 Equações diferenciais e sistemas dinâmicos

O modo mais comum de definir um sistema dinâmico de tempo cont́ınuo é usando

equações diferenciais. Suponha que o espaço de estados do sistema é X = Rn com coorde-

nadas (x1, x2, ..., xn). Freqüentemente a lei de evolução do sistema é dada implicitamente

em termos das velocidades ẋi como função das coordenadas (x1, x2, ..., xn).


2.4. Sistema linear 6

ẋi = fi(x1, x2, ..., xn), i = 1, 2, ..., n,

ou na forma vetorial

ẋ = f(x), (2.4)

onde o vetor f : Rn → Rn é diferenciável.

A função do lado direito de (2.4) é denominada um campo vetorial, dado que relaciona

um vetor f(x) para cada ponto x. A equação (2.4) representa um sistema de n equações

diferenciais autônomas [19].

2.4 Sistema linear

Há duas razões principais para se estudar sistemas lineares. A primeira é que

vários fenômenos podem ser modelados por sistemas lineares, com precisão adequada

às aplicações. A segunda é que, por meio de um processo de linearização, pode-se realizar

um estudo local de sistemas não-lineares, através da análise do sistema linear associado.

A forma mais geral de se escrever uma equação diferencial linear de ordem n é

an(t)
dnx(t)

dtn
+ an−1(t)

dn−1x(t)

dtn−1
+ ... + a1(t)

dx(t)

dt
+ a0(t)x(t) = F (t). (2.5)

Uma equação diferencial de ordem n pode ser escrita na forma de um sistema de n

equações diferenciais de primeira ordem. Fazemos essa transformação através da definição

de novas variáveis

x(t) ≡ x1(t)

dx1(t)

dt
≡ x2(t)

dx2(t)

dt
≡ x3(t)

... (2.6)

dxn−1(t)

dt
≡ xn(t)

dxn(t)

dt
=

F (t)

an(t)
− a0(t)

an(t)
x1(t)− a1(t)

an(t)
x2(t)− ...− an−1(t)

an(t)
xn(t).

O estado de um sistema num instante t é especificado pelos valores das variáveis de

estado xi(t)(i = 1, 2, ..., n) nesse instante. O estado de um sistema, num dado momento


2.4. Sistema linear 7

de sua história passada, constitui toda informação que é necessária para se determinar

sua evolução futura, num problema de condição inicial. A escolha das váriaveis de estado

não é única, pois depende das condições que o sistema oferece.

O sistema (2.6) é equivalente à equação (2.5), entretanto, há algumas vantagens de

se escrever uma equação diferencial de ordem n como n equações diferenciais de primeira

ordem. Contudo, a principal vantagem de se trabalhar com n equações de primeira ordem

é que existem três técnicas para se analisar um sistema dinâmico

• Técnica anaĺıtica: integram-se analiticamente as equações, determinando a solução

em termos de fórmulas gerais. Essa técnica possui a desvantagem de que nem sempre

é posśıvel se determinar tais fórmulas (quase nunca a integração anaĺıtica é fact́ıvel).

• Técnica numérica: integram-se numericamente as equações, calculando-se valores

para as variáveis dependentes x(t) = (x1(t), x2(t), ..., xn(t)) em pontos pré sele-

cionados da variável independente t. A desvantagem desse método é que a solução

calculada é aproximada e só é válida para a situação calculada, ou seja, vale apenas

para aqueles valores de condições iniciais e de parâmetros usados na integração.

Quando se altera algum desses valores, é necessário integrar novamente as equações

do sistema.

• Técnica qualitativa: através de cálculos anaĺıticos relativamente simples, temos uma

idéia de como o sistema evolui. Essa técnica usa a descrição das variáveis de estado, e

seus resultados são representados no espaço de estados, também chamado de espaço

de fases. A desvantagem dessa técnica é que parte da informação quantitativa

é perdida. Perde-se a informação sobre o comportamento transiente do sistema,

isto é, sobre o comportamento que o sistema apresenta antes de atingir um regime

permanente.

Para sistemas lineares valem o prinćıpio da aditividade e o prinćıpio da propor-

cionalidade entre excitação e resposta. O primeiro prinćıpio estabelece que se para uma

entrada F1(t) o sistema exibe uma resposta x1(t), e para uma entrada F2(t) o sistema

exibe uma resposta x2(t), então para uma entrada F1(t) + F2(t), a sáıda do sistema será

x1(t)+x2(t). O segundo prinćıpio, também conhecido como prinćıpio da homogeneidade,

afirma que, se para uma entrada F (t), o sistema tem uma sáıda x(t), então para uma

entrada kF (t), sendo k uma constante, a sáıda será kx(t). Em sistemas não-lineares não


2.5. Sistema não-linear 8

valem, em geral, esses prinćıpios. Não há um método anaĺıtico geral para se obter a

solução expĺıcita dessa equação para quaisquer coeficientes aj(t) (j = 0, 1, ..., n) e entrada

F (t). Ou seja, não há um método geral para se obter a fórmula que expressa como x

varia em função de t[18].

2.5 Sistema não-linear

Em geral é imposśıvel obter soluções anaĺıticas exatas de equações diferenciais não-

lineares. Entretanto, um sistema não-linear pode ser aproximado em torno de um ponto

de equilibrio por um sistema linear. Tal procedimento é conhecido como linearização.

Estudando a aproximação linear, pode-se, às vezes, prever o comportamento das soluções

do sistema não-linear na vizinhança do ponto de equiĺıbrio.

2.5.1 Linearização

Seja o sistema de equações diferenciais não-lineares de primeira ordem

ẋ1 = f1(x1, x2, ..., xn)

ẋ2 = f2(x1, x2, ..., xn)

... (2.7)

ẋn = fn(x1, x2, ..., xn)

para o qual existe um ponto de equiĺıbrio x∗ = (x∗1, x
∗
2, ..., x

∗
n). Em torno desse ponto, as

funções fi(x1, x2, ..., xn), (i = 1, 2, ..., n), podem ser aproximadas por equações de retas,

ou seja, equações lineares. Para isso, expandem-se essas funções em série de Taylor

dxi

dt
= fi(x1, ..., xn) = fi(x

∗
1, ..., x

∗
n) +

∂fi

∂x1

|x∗ (x1 − x∗1) +
∂fi

∂x2

|x∗ (x2 − x∗2) + ...

+
∂fi

∂xn

|x∗ (xn − x∗n) +
∂2fi

∂x2
1

|x∗ (x1 − x∗1)
2 +

∂2fi

∂x2
2

|x∗ (x2 − x∗2)
2

+... +
∂2fi

∂x2
n

|x∗ (xn − x∗n)2 + ...,

onde i = 1, 2, ..., n. Retendo-se apenas a parte linear obtém-se, em notação matricial,

dξ

dt
= Jdξ(t) (2.8)


2.5. Sistema não-linear 9

sendo ξ o vetor coluna das variáveis de estado e J a matriz Jacobiana

dξ(t) =




x1 − x∗1

x2 − x∗2
...

xn − x∗n




, J =




∂f1(x∗)
∂x1

∂f1(x∗)
∂x2

... ∂f1(x∗)
∂xn

∂f2(x∗)
∂x1

∂f2(x∗)
∂x2

... ∂f2(x∗)
∂xn

...
...

...
...

∂fn(x∗)
∂x1

∂fn(x∗)
∂x2

... ∂fn(x∗)
∂xn




.

2.5.2 Estabilidade e ponto de equiĺıbrio

Estabilidade, segundo Lyapunov, é uma palavra usada para caracterizar tanto uma

solução, quanto uma equação diferencial. A estabilidade de uma solução é determinada

pelo comportamento das soluções cujas condições iniciais pertencem à sua vizinhança. A

estabilidade de uma equação diferencial é determinada pelo comportamento de equações

isomórficas, cujos valores dos parâmetros são próximos aos da equação estudada.

Seja x∗ a posição de equiĺıbrio de um sistema dinâmico. Define-se x∗ como um ponto

de equiĺıbrio assintoticamente estável se, tomando uma condição inicial x(0) próxima

de x∗, então a trajetória x(t) tende a x∗ quando t → ∞. Um ponto assintoticamente

estável atrai todas as trajetórias contidas em uma ”esfera”com centro em x∗, conforme

o tempo passa. Se essa esfera possui raio finito, x∗ é um ponto de equiĺıbrio localmente

assintoticamente estável. Se essa esfera tem raio infinito, ou seja, abrange todo o espaço

de fases, o ponto de equiĺıbrio é globalmente assintoticamente estável. Em ambos os casos,

tal ponto é classificado como um atrator. O conjunto de todas as condições iniciais que

convergem para um mesmo atrator formam uma bacia de atração.

Define-se x∗ como um ponto de equiĺıbrio neutramente estável se, após uma per-

turbação na condição inicial x(0) = x∗, então x(t) permanece dentro de uma esfera

centrada em x∗, conforme o tempo passa. Nesse caso porém, x(t) não tende para x∗

quando t →∞.

Define-se x∗ como um ponto instável se, após uma perturbação na condição inicial

x(0) = x∗, então x(t) deixa a esfera centrada em x∗ num tempo finito. Usamos a palavra

esfera se o sistema for tridimensional, se fosse unidimensional seria um segmento de reta.

No caso bidimensional um ćırculo, e para dimensão maior que três usamos o termo hiper-

esfera.

A estabilidade de um ponto no sentido de Lyapunov é definida em termos do com-

portamento das trajetórias que partem de uma condição inicial localizada na vizinhança


2.5. Sistema não-linear 10

desse ponto. A existência de um ponto instável implica que, conforme o tempo passa, a

magnitude das váriaveis pode aumentar de maneira ilimitada, distando-se do ponto em

questão. Num sistema f́ısico real, isso corresponde a elementos mecânicos que se rompem,

ou a elementos elétricos que saturam ou queimam.

Considere o sistema de n equações diferenciais (2.8). O polinômio caracteŕıstico é

obtido através de det(J − λI) = 0. Quando todos os autovalores da matriz J tiverem

a parte real diferente de zero, o ponto de equiĺıbrio correspondente x∗ é chamado de

hiperbólico, independente do valor da parte imaginária. Quando pelo menos um autovalor

tem a parte real nula, o ponto de equiĺıbrio é denominado de não-hiperbólico.

Os pontos de equiĺıbrio hiperbólicos podem ser classificados de três formas quanto à

estabilidade: atratores, repulsores e selas [12].

• Se todos os autovalores de J tem a parte real negativa, o ponto de equiĺıbrio é

chamado de atrator, sendo que neste caso o equiĺıbrio é assintoticamente estável. Se

todos os autovalores de J são complexos, então o atrator é chamado de foco estável,

e se todos os autovalores de J são reais, o atrator é chamado de nó estável.

• Se todos os autovalores da matriz J tem a parte real positiva, o ponto de equiĺıbrio

é chamado de repulsor ou fonte. Se os autovalores são complexos, então a fonte é

chamada de foco instável e, se todos os autovalores de J são reais, a fonte é chamada

de nó instável.

• Quando alguns autovalores (mas não todos) têm parte real positiva e o restante tem

a parte real negativa, então o ponto de equiĺıbrio é chamado de sela.

Quanto à estabilidade de pontos de equiĺıbrio não-hiperbólicos, pode-se dizer que:

• Um ponto de equiĺıbrio não-hiperbólico é instável se um ou mais autovalores de J

tem a parte real positiva.

• Se alguns autovalores da matriz J têm a parte real negativa, enquanto que os outros

autovalores têm a parte real nula, o ponto de equiĺıbrio é chamado de marginalmente

estável.

• Se todos os autovalores da matriz J são imaginários puros e não-nulos, o ponto de

equiĺıbrio é chamado de centro.


2.5. Sistema não-linear 11

2.5.3 Equivalência topológica

Seja uma função g(x) = y, g = (g1, g2, ..., gn) e y = (y1, y2, ..., yn), suponha g uma

função bijetora. Uma função com essa propriedade é invert́ıvel, isto é, existe uma função

inversa g−1(y) = x. Se g é cont́ınua, invert́ıvel e sua inversa g−1 é cont́ınua, então g é

um homeomorfismo, e o domı́nio x e a imagem y são homeomorfos. Quando os retratos

de fases dos sistemas dinâmicos ẋ = f(x) e ẏ = h(y) podem ser relacionados por um

homeomorfismo g(x) = y que preserva o sentido do movimento (a orientação) no espaço

de fases, então esses sistemas são topologicamente orbitalmente equivalentes. Isso significa

que as trajetórias de um sistema podem ser continuamente deformadas até se tornarem

iguais às trajetórias do outro sistema. Deformações cont́ınuas envolvem esticamentos e

alongamentos, mas não cortes ou emendas. Dois retratos de fases que apresentam a mesma

estrutura orbital são qualitativamente equivalentes, conseqüentemente eles apresentam

comportamentos dinâmicos similares. Portanto, se as trajetórias na vizinhança de um

ponto fixo do sistema dinâmico não-linear são qualitativamente equivalentes àquelas do

sistema linearizado, então é posśıvel fazer um estudo local da estabilidade.

2.5.4 Teorema de Hartman-Grobman

D.M. Grobman, em 1959, e P. Hartman, em 1963, provaram independentemente

que, na vizinhança de um ponto de equiĺıbrio hiperbólico, um sistema não-linear de di-

mensão n apresenta um comportamento qualitativamente equivalente ao do sistema linear

correspondente [18].

Portanto, o teorema de Hartman-Grobman garante que a estabilidade de um ponto de

equiĺıbrio hiperbólico é preservada quando se lineariza o sistema em torno desse ponto,

de modo que o retrato de fases, na sua vizinhança, é topologicamente orbitalmente equi-

valente ao retrato de fases do sistema linear associado. Dois retratos de fases são topo-

logicamente orbitalmente equivalentes quando um é uma versão distorcida do outro. Se

o ponto de equiĺıbrio é não-hiperbólico, ou seja, se há algum autovalor com parte real

nula, então a linearização não permite predizer sua estabilidade. Nesse caso, devem-se

considerar termos de ordem superior que foram desprezados na expansão em série das

funções fi(xi), i = 1, 2, ..., n, ou usar outro método para determinar a estabilidade, como

o método direto de Lyapunov ou a teoria da variedade central.


2.6. A equação de Duffing 12

2.6 A equação de Duffing

A vibração está presente já nos primeiros tempos da História da Humanidade. Instru-

mentos rudimentares, como apitos e tambores têm no seu prinćıpio de funcionamento, um

problema vibratório como essência. Estes instrumentos tiveram muita importância entre

os povos primitivos como meios de comunicação. Mais tarde uma série de instrumentos

musicais (percussão, cordas, metais, etc.) foram concebidos aproveitando movimentos vi-

bratórios, geradores de ondas sonoras. O desenvolvimento da teoria da vibração resultou

dos avanços das ciências básicas das quais deriva: matemática e mecânica geral [25].

J. Bernoulli (1654 − 1705) foi o primeiro a propor o prinćıpio da superposição linear

de harmônicas. C. A. Coulomb (1736−1806), por volta de 1784, realizou estudos teóricos

e experimentais sobre as oscilações torcionais de um cilindro metálico suspenso por um

arame.

Em 1877, Lord Rayleigh (1842− 1919) publicou seu livro A Teoria do Som, até hoje

considerado um clássico no assunto. Frahm, em 1909, propôs o absorvedor dinâmico de

vibração, que envolve a adição de um sistema massa-mola secundário para eliminar as

vibrações de um sistema principal.

Modernamente, muitos outros pesquisadores contribúıram com o estudo de vibrações.

Em vibrações não-lineares a teoria começou a se desenvolver no final do século XIX

com J. H. Poincaré (1854 − 1912) e A. M. Lyapunov (1857 − 1918). Após 1920, G.

Duffing (1861−1944) e B. Van der Pol (1889-1959) realizaram estudos (suas equações são

paradigmas de sistemas dinâmicos não-lineares) sobre a teoria de vibrações não-lineares

e concentraram atenção em sua aplicação a problemas de engenharia.

As vibrações simples de muitos sistemas conservativos, com um grau de liberdade,

podem ser modelados matematicamente da forma

d2x∗

dt∗2
+ f(x∗) = 0 (2.9)

com f não-linear em x∗ = x∗0 que é a posição de equiĺıbrio do sistema vibratório, ou seja,

f(x∗0) = 0[20].

Se f for suposto como anaĺıtica em x∗ = x∗0, então obtemos

f(x∗) = k1(x
∗ − x∗0) + k2(x

∗ − x∗0)
2 + ... (2.10)

onde

kn =
1

n!

dnf

dx∗n
(x∗0)


2.6. A equação de Duffing 13

Assim, fazendo u∗ = x∗ − x∗0 a equação (2.9) pode ser reescrita como

d2u∗

dt∗2
+ k1u

∗ + k2u
∗2 + ... = 0. (2.11)

A equação (2.11) descreve o movimento do sistema na vizinhança da posição de

equiĺıbrio.

Considerando o caso particular da equação (2.11)

d2u∗

dt∗2
+ k1u

∗ + k3u
∗3 = 0 (2.12)

onde k1 > 0 e k3 pode ser positivo ou negativo, obtemos a equação (2.12) que é conhecida

como equação de Duffing. Em geral, as equações são analisadas em termos de variáveis

adimensionais, então introduzimos novas variáveis definidas por t =
t∗

T ∗ e u =
u∗

U∗ , onde

T ∗ e U∗ são o tempo e a distância caracteŕısticos. Assim,

d

dt∗
=

d

dt

dt

dt∗
=

1

T ∗
d

dt

d2

dt∗2
=

1

T ∗2
d2

dt2
.

Então, (2.12) se torna

ü + k1T
∗2u + k3T

∗2U∗2u3 = 0 (2.13)

Escolhendo, de maneira conveniente, T ∗ tal que k1T
∗2 = 1 e fazendo ε = k3T

∗2U∗2 =

k3U
∗2/k1, podemos reescrever (2.13) como

ü + u + εu3 = 0 (2.14)

onde u(0) = x0 e u̇(0) = ẋ0 são as condições iniciais.

Verificamos que ε é uma quantidade adimensional, e é uma medida da força de não-

linearidade.

A equação de Duffing é usada para descrever a dinâmica não-linear de sistemas elétricos

e mecânicos, e recebeu este nome em homenagem aos estudos de G. Duffing na década de

1930. Esta equação descreve uma série de fenômenos f́ısicos importantes, dentre os quais

deve-se destacar um circuito elétrico com uma indutância não-linear e a viga de Moon e

Holmes, que trata a flambagem de uma viga elástica devida a ação de forças magnéticas

[26]. A equação de Duffing pode representar, inclusive o movimento de um pêndulo.

No caṕıtulo seguinte introduzimos a teoria de perturbação, onde apresentamos técnicas

para a resolução da equação (2.14).


2.7. A equação de Van der Pol 14

2.7 A equação de Van der Pol

Vários problemas de vibrações com amortecimento não linear são modelados di-

namicamente pela equação de Van der Pol. A principal caracteŕıstica dos sistemas que

permitem essa modelagem é a existência de um ciclo limite para suas trajetórias de movi-

mento. Independentemente da amplitude inicial de movimento desses sistemas, o dia-

grama de fase sempre tende para uma única curva que corresponde à solução periódica

quando o tempo tende ao infinito [17].

A equação diferencial não-linear de Van der Pol é dada por

ẍ− α(1− x2)ẋ + x = 0 (2.15)

onde o termo α(1 − x2) introduz um amortecimento que assume valores negativos para

pequenas amplitudes de movimento, caracterizando o sistema como acreativo, e assume

valores positivos para grandes amplitudes de movimento, caracterizando o sistema como

dissipativo.

Exemplos de sistemas que se enquadram nesse modelo são sistemas elétricos de reali-

mentação.

2.8 Oscilações e ressonância

As oscilações naturais de um corpo ocorrem quando ele é deslocado da posição de

equiĺıbrio e, a seguir, solto. Se esse corpo tem massa m e está preso a uma mola, com

constante de elasticidade k, então a freqüência natural desse sistema é ω0 =
√

k/m.

No entanto, quando o corpo é submetido a uma força periódica externa temos uma

nova situação. As oscilações resultantes desta força são denominadas oscilações forçadas e

têm a freqüência da força externa e não a natural do corpo. A resposta do corpo depende

da relação entre as freqüências da oscilação forçada e da natural do corpo [9].

2.8.1 Osciladores

Em um oscilador linear, sem amortecimento, excitado por uma força periódica ex-

terna, cuja freqüência pode ser variada lentamente, a amplitude tende para infinito,

quando a freqüência da força externa ω é igual à freqüência natural ω0, conforme mostrado


2.8. Oscilações e ressonância 15

na figura 2.1.

Figura 2.1: Estado da amplitude |A| como uma função da freqüência ω para um oscilador

linear sem amortecimento.

No oscilador não-linear com amortecimento, quando excitado por uma força periódica

externa o estado da amplitude pode mudar subitamente de maneira descont́ınua. Esse

fenômeno do salto de amplitude está presente nesse oscilador quando mantemos fixa a

amplitude da força periódica externa e variamos lentamente a sua freqüência. A freqüência

natural é ω0 em pequenas amplitudes e cresce com o crescimento da amplitude conforme

vemos na curva tracejada da figura 2.2. Nessa mesma figura, a curva sólida representa o

comportamento da amplitude como uma função da freqüência.

Figura 2.2: Amplitude versus freqüência em um oscilador não-linear com amortecimento.

A curva tracejada representa as oscilações livres e a curva sólida a amplitude em função

da freqüência.


2.8. Oscilações e ressonância 16

2.8.2 O fenômeno do salto de amplitude

Consideremos um ponto P se deslocando ao longo da curva de ressonância não-linear

da figura 2.3. Para valores decrescentes de ω quando P se move de 1 para 2 a amplitude

|A| é lentamente aumentada e possui um valor único. Ao continuar decrescendo o valor de

ω, abaixo de ω′, P precisa continuar a se mover ao longo do ramo inferior estável da curva

de ressonância não-linear até alcançar o ponto 3. Mesmo que |A| não tenha um valor

único no intervalo de freqüência entre ω′ e ω′′, devido as considerações de estabilidade, P

precisa continuar a se mover ao longo do mesmo segmento estável da curva de ressonância

que ele começou anteriormente. Desde que a curva de ressonância corresponde a um

valor fixo da amplitude da força externa, quando ω é decrescido adiante, P precisa saltar

verticalmente para cima no ponto 4 e então seguir o ramo superior estável para 5. Assim

|A| salta descontinuamente de seu valor em 3 para um valor maior em 4 e então decresce

suavemente quando P vai para o ponto 5. Se por outro lado ω é aumentado a partir de

5, P se move ao longo do ramo superior estável (|A| cresce suavemente) do ponto 5 até o

ponto 6 no que ele salta verticalmente para baixo (|A| decresce descontinuamente) em 2

e então se move (|A| decresce suavemente) para o ponto 1.

Figura 2.3: Fenômeno do salto de amplitude.


Caṕıtulo 3

Introdução à teoria de perturbação

As equações diferenciais que descrevem sistemas vibratórios geralmente não são li-

neares, e sua solução anaĺıtica dificilmente pode ser encontrada. Uma análise qualita-

tiva dos sistemas dinâmicos não-lineares pode ser realizada através de uma abordagem

anaĺıtica, quando as não-linearidades podem ser consideradas pequenas (fracamente não-

linear). Neste caso, elas são tratadas como perturbações em relação a um sistema linear.

Assim, a resposta de um sistema não-linear é uma perturbação da resposta do sistema

linear. A principal caracteŕıstica desta análise é avaliar o comportamento de um dado

sistema nas vizinhanças de uma solução conhecida [26].

Os métodos de perturbação (também denominados técnicas anaĺıticas aproximadas)

formulam procedimentos com os quais é posśıvel introduzir perturbações em um sistema

linear. A idéia básica é utilizar séries de potência relativamente a um pequeno parâmetro

ε, que represente a grandeza de uma perturbação. Trata-se de um procedimento anaĺıtico

usado para obter soluções no tempo. Neste caṕıtulo, descrevemos três métodos clássicos

da teoria de perturbação: o método da expansão direta, o método de múltiplas escalas e

o método da média.

3.1 O método da expansão direta

Consideremos o seguinte sistema de equações diferenciais

üi + ω2
i ui = εfi(ϕ, u1, ..., un, u̇1, ..., u̇n), i = 1, 2, ..., n (3.1)

onde ω2
i são as freqüências de oscilação. As funções fi são chamadas funções ou forças

perturbativas e contém termos que representam a dissipação de energia, termos não-

17


3.2. O método de múltiplas escalas 18

lineares e a excitação externa. Além disso, consideramos que fi são funções periódicas em

ϕ com peŕıodo 2π.

O método da expansão direta pode ser particularmente útil na identificação das diver-

sas condições de ressonância de um sistema dinâmico. Neste caso, a variável dependente

ui(t) é expressa como uma série em potências de um pequeno parâmetro ε e funções ui,j(t).

ui(t; ε) =
n−1∑
j=0

εjui,j(t) + O(εn), i = 1, 2, ..., n. (3.2)

Ao substituir a expansão dada acima na equação do movimento, obtém-se um conjunto

de equações diferenciais para a determinação de ui,0, ui,1, ..., ordenadas segundo o valor do

expoente do pequeno parâmetro ε. Estas equações são resolvidas recursivamente, e neste

procedimento, as condições de ressonância podem então ser identificadas.

Embora seja adequado na identificação das condições de ressonância, o método da

expansão direta não pode ser empregado de maneira eficaz para diversas análises de

interesse, como por exemplo na obtenção da resposta do sistema em regime permanente.

Nestas análises outros métodos de perturbação devem ser empregados, dentre estes os

mais utilizados são o método de múltiplas escalas e o método da média [27].

3.2 O método de múltiplas escalas

A expansão direta da solução da equação (3.1) em série de potências é dada pela

equação (3.2), e as funções ui,j(t) podem apresentar termos seculares mistos e pequenos

divisores (termos ressonantes). Isto ocorre devido ao fato de não considerarmos que ωi

também dependem de ε. Então, ao lado da expansão direta devemos considerar a expansão

ωi = ωi0 + εωi1 + ε2ωi2 + ... (3.3)

Esse procedimento leva ao aparecimento de várias escalas de tempo t, εt, ε2t, ..., e

o método de múltiplas escalas considera que essas escalas são variáveis independentes

distintas, e portanto o problema dinâmico originalmente descrito na forma de equações

diferenciais ordinárias é transformado na forma de equações diferenciais parciais.

Consideremos as escalas de tempo T0 = t, T1 = εt, ... e procuramos soluções definidas

da seguinte forma

ui(t; ε) = ui(T0, T1, T2, ...; ε), i = 1, 2, ..., n. (3.4)


3.3. O método da média 19

Como a variável independente original (escala temporal t) foi substitúıda por novas

variáveis (escalas) independentes T0, T1, T2, ..., as derivadas em relação a t devem ser

expressas em termos de derivadas parciais, relativamente a Tn tal que,

d

dt
= D0 + εD1 + ...

d2

dt2
= D2

0 + 2εD0D1 + ...

onde Dn = ∂
∂Tn

.

Ao substituir a equação (3.4) juntamente com as expansões das derivadas temporais

em termos das novas escalas na equação do movimento (3.2), obtém-se um conjunto de

equações perturbadas para a determinação de ui,0, ui,1, ... ordenadas segundo o valor do

expoente presente no pequeno parâmetro ε, as quais podem ser resolvidas de maneira

recursiva [27].

3.3 O método da média

Originalmente criado por Krylov e Bogoliubov, o método da média é um dos métodos

que podem ser utilizados para obter uma solução anaĺıtica aproximada de equações di-

ferenciais. Este método é um método de perturbação que consiste em considerar certas

quantidades como funções que variam suavemente no tempo [14].

Consideremos as equações (3.1). Fazendo ε = 0 temos

üi + ω2
i ui = 0, i = 1, 2, ..., n (3.5)

as quais são denominadas equações não perturbadas correspondentes ao sistema (3.1) e

cujas soluções são funções harmônicas do ângulo de fase ψi = ϕ + βi:

ui = ai cos ψi, i = 1, 2, ..., n (3.6)

sendo ai a amplitude do i-ésimo modo.

Quando são considerados os parâmetros perturbativos na excitação externa, ou seja,

quando ε 6= 0, harmônicos mais altos podem aparecer na solução e as freqüências naturais

podem depender da amplitude. Considerando que ε → 0 a solução pode ser representada

por (3.6), podemos representar a solução do sistema de equações diferenciais (3.1) na

seguinte forma

ui = ai(εt) cos ψi +
∞∑

j=1

εjMij(ϕ, a1, ..., an, β1, ..., βn), i = 1, 2, ..., n (3.7)


3.3. O método da média 20

onde Mij são funções desconhecidas, periódicas em ϕ, com peŕıodo 2π, e dependentes de

ai.

O primeiro passo para obter uma solução anaĺıtica para o sistema dinâmico (3.1)

através do método da média é utilizar o método de variação de parâmetros para trans-

formar as variáveis dependentes ui em novas variáveis dependentes ai e βi, i = 1, 2, ..., n.

Como (3.1) e (3.6) constituem 2n equações para 3n variáveis, impõe-se condições adi-

cionais

u̇i = −ωiai sin ψi, i = 1, 2, ..., n, (3.8)

requerendo que a velocidade da coordenada u do sistema perturbado (3.1) tenha a mesma

forma que para o caso ε = 0.

Logo, quando as equações (3.6) são substitúıdas nas equações (3.1) proporcionam uma

mudança de variáveis v → z, sendo v = (u1, u̇1, u2, u̇2, ..., un, u̇n)T e z = (a1, β1, a2, β2, ..., an, βn)T ,

cujas equações diferenciais são da forma

ȧi =
∞∑

j=1

εjGij(ϕ, a1, ..., an, β1, ..., βn) sin ψi; i = 1, 2, ..., n,

aiβ̇i = ai(ωi − ω) +
∞∑

j=1

εjTij(ϕ, a1, ..., an, β1, ..., βn) cos ψi, i = 1, 2, ..., n, (3.9)

as quais, unidas a
dϕ

dt
= ω formam um sistema equivalente ao (3.1). As funções periódicas

Gij(ϕ, a1, ..., an, β1, ..., βn) e Tij(ϕ, a1, ..., an, β1, ..., βn), i = 1, 2, ..., n são funções que variam

suavemente no tempo. Em geral, restringe-se a solução à k-ésima aproximação, ou seja,

as somas infinitas que aparecem nas três últimas equações, são substitúıdas por somas

finitas de 1 até k. Supondo que a solução das equações (3.9) para k = 1 são do tipo

z = y + εW (y, t, ε), ou seja,

ai = Ai + εUi(ϕ,A1, ..., An, ξ1, ..., ξn) i = 1, 2, ..., n/2;

βi = ξi + εVi(ϕ,A1, ..., An, ξ1, ..., ξn) i = 1, 2, ..., n/2, (3.10)

onde Ui e Vi são funções periódicas que variam suavemente no tempo, pode-se obter uma

primeira aproximação para as equações acima determinando Ai e ξi através de equações

médias ẏ = εf̄(y) de (3.9), substituindo as novas variáveis Ai e ξi nestas equações. Para

isso, basta que existam as integrais

Ȧi =
1

T

∫ T

0

∞∑
j=1

εjGnij(ϕ, a1, ..., an, ξ1, ..., ξn)dϕ i = 1, 2, ..., n;


3.3. O método da média 21

aiξ̇i =
1

T

∫ T

0

[εσiai +
∞∑

j=1

εjTnij(ϕ, a1, ..., an, ξ1, ..., ξn)]dϕ i = 1, 2, ..., n. (3.11)

onde T é o peŕıodo.

Obtidas as equações médias acima, basta igualar estas equações a zero e obtém-se

as expressões Ai e ξi em seu estado estacionário. Observe que este primeiro termo da

solução é constante e é equivalente a solução de equiĺıbrio das equações médias. Chega-se

à solução (3.6) retornando às variáveis iniciais u.


Caṕıtulo 4

Aplicação do método das múltiplas

escalas e método da média na

equação de Duffing - Van der Pol

4.1 Equação do movimento

O problema estudado neste trabalho é um oscilador nanomecânico [2], [3], [4], cuja

equação linear de movimento está representada na seguinte forma

mẍ + 2bẋ + kx = −dEcap

dx
(4.1)

onde m é a massa efetiva de uma haste, Ecap =
C(x)V 2

2
é a energia capacitante, C(x) =

d C0

(1−x
d
)

é o deslocamento dependente da capacitância, d é a distância entre o eletrodo e a

haste, b é a constante de amortecimento e k é a constante de elasticidade.

A voltagem aplicada é composta de componentes ”grande DC”e ”pequeno AC”, ou

seja, V (t) = VDC + v cos ωt onde v é constante e v << VDC . Nesse caso, x << d e a

equação do movimento é

ü + 2γu̇ + ω2
0

{
1− 2C0v[VDC cos ωt + 1/4v cos 2ωt]

ked2

}
u = f(t) (4.2)

onde u = x − C0V 2
DC

2ked
, ω0 =

√
k
m

, γ = b
m

= ω0

2Q
(Q sendo o fator de qualidade mecânica) e

f(t) =
C0VDCv

dm
cos ωt.

A seguir é acrescentado um termo elástico proporcional a u3 e um termo de amorte-

22


4.2. Expansão Direta 23

Figura 4.1: O dispositivo consiste em um suporte nanomecânico duplamente apertado e

um eletrodo. A força de excitação é aplicada como voltagem entre o suporte e o eletrodo.

cimento não-linear proporcional a u2u̇. Logo, temos que

ü + 2γ(1 + βu2)u̇ + ω2
0(1 + ku2)u = f(t). (4.3)

A equação do movimento obtida descreve um oscilador de Duffing - Van der Pol com

amortecimento não-linear, ou ainda

ü + 2γ(1 + βu2)u̇ + ω2
0(1 + ku2)u = F cos ωt (4.4)

onde F =
C0VDCv

dm
.

Assim, temos

ü + 2γu̇ + 2γβu2u̇ + ω2
0u + ω2

0ku3 = F cos ωt. (4.5)

Considerando como pequenos parâmetros, γ e k, podemos reescrever a equação (4.5)

de forma que

ü + 2ε(1 + βu2)u̇ + ω2
0u + εω2

0u
3 = F cos ωt. (4.6)

4.2 Expansão Direta

A expansão direta para a solução da equação (4.6) é dada por

u(t; ε) = u0(t) + εu1(t) + ... (4.7)

Substituindo (4.7) em (4.6), obtemos

(ü0 + εü1 + ...) + 2ε(u̇0 + εu̇1 + ...) + 2εβ(u0 + εu1 + ...)2(u̇0 + εu̇1 + ...)

+ω2
0(u0 + εu1 + ...) + εω2

0(u0 + εu1 + ...)3 = F cos ωt


4.2. Expansão Direta 24

(4.8)

ou

ü0 + εü1 + ω2
0u0 + εω2

0u1 + 2εu̇0 + 2εβu2
0u̇0 + εω2

0u
3
0 + ... = F cos ωt. (4.9)

Separando os termos segundo as potências de ε, obtemos

ü0 + ω2
0u0 = F cos ωt (4.10)

ü1 + ω2
0u1 = −2u̇0 − 2βu2

0u̇0 − ω2
0u

3
0 (4.11)

A solução da equação (4.10) é dada por

u0 = u0h + u0p (4.12)

onde u0h é a solução da parte homogênea e u0p é a solução particular.

A solução homogênea é da forma

u0h = a cos (ω0t + ϕ) (4.13)

onde a e ϕ são constantes, enquanto que uma solução particular, pelo método dos coefi-

cientes indeterminados, resulta

u0p =
F

ω2
0 − ω2

cos ωt. (4.14)

Portanto,

u0 = a cos (ω0t + ϕ) +
F

ω2
0 − ω2

cos ωt (4.15)

ou

u0 = a cos (ω0t + ϕ) + 2Λ cos ωt (4.16)

onde 2Λ = F (ω2
0 − ω2)−1.


4.2. Expansão Direta 25

Substituindo (4.16) em (4.11) obtemos

ü1 + ω2
0u1 =

[
2aω0 + 2βω0

(a3

4
+ 2aΛ2

)]
sin (ω0t + ϕ)− ω2

0

[
6aΛ2 +

3

4
a3

]
cos (ω0t + ϕ)

+
[
2Λω + 2βa2Λω + 4βΛ3ω

]
sin ωt− ω2

0

[
3a2Λ + 6Λ3

]
cos ωt

+4βΛ3ω sin (3ωt)− 2ω2
0Λ

3 cos (3ωt) + 2β

[
a2ω0Λ +

a2

2
Λω

]
sin [(2ω0 + ω)t + 2ϕ]

−3

2
ω2

0a
2Λ cos [(2ω0 + ω)t + 2ϕ] + 2β

[
a2ω0Λ− a2

2
Λω

]
sin [(2ω0 − ω)t + 2ϕ]

−3

2
ω2

0a
2Λ cos [(2ω0 − ω)t + 2ϕ] +

[
4aβΛ2ω + 2aβΛ2ω0

]
sin [(ω0 + 2ω)t + ϕ]

−3ω2
0aΛ2 cos [(ω0 + 2ω)t + ϕ] +

[
2aβΛ2ω0 − 4aβΛ2ω

]
sin [(ω0 − 2ω)t + ϕ]

−3ω2
0aΛ2 cos [(ω0 − 2ω)t + ϕ]− ω2

0

4
a3 cos (3ω0t + 3ϕ)

+
a3

2
βω0 sin (3ω0t + 3ϕ)

(4.17)

Como (4.17) é linear, uma solução particular pode ser obtida como a soma de soluções

particulares, onde cada uma corresponde a um termo não homogêneo diferente. Assim,


4.2. Expansão Direta 26

temos

u1 =

[
a +

1

4
βa3 + 2βaΛ2

]
t sin (ω0t + ϕ) +

[
3aΛ2 +

3

8
a3

]
ω0t cos (ω0t + ϕ)

+
(2Λω + 2βa2Λω + 4βΛ3ω)

ω2
0 − ω2

sin ωt− ω2
0(3a

2Λ + 6Λ3)

ω2
0 − ω2

cos ωt

+
4βωΛ3

ω2
0 − 9ω2

sin 3ωt− 2ω2
0Λ

3

ω2
0 − 9ω2

cos 3ωt +
2β

(
a2ω0Λ + a2

2
Λω

)

ω2
0 − (2 + ω)2

sin [(2ω0 + ω)t + 2ϕ]

− 3ω2
0a

2Λ

2[ω2
0 − (2ω0 + ω)2]

cos [(2ω0 + ω)t + 2ϕ] +
2β

(
a2ω0Λ− a2

2
Λω

)

ω2
0 − (2ω0 − ω)2

sin [(2ω0 − ω)t + 2ϕ]

− 3ω2
0a

2Λ

2[ω2
0 − (2ω0 − ω)2]

cos [(2ω0 − ω)t + 2ϕ] +
4βaωΛ2 + 2aβΛ2

ω2
0 − (1 + ω)2

sin [(ω0 + 2ω)t + ϕ]

+
2aβω0Λ

2 − 4βaωΛ2

ω2
0 − (ω0 − ω)2

sin [(ω0 − 2ω)t + ϕ]− 3ω2
0aΛ2

ω2
0 − (ω0 + 2ω)2

cos [(ω0 + 2ω)t + ϕ]

− 4aβΛ2ω

ω2
0 − (1− 2ω)2

sin [(1− 2ω)t + ϕ]− 3ω2
0aΛ2

ω2
0 − (ω0 − 2ω)2

cos [(ω0 − 2ω)t + ϕ]

+
a3

32
cos (3ω0t + 3ϕ)− βa3

16ω0

sin (3ω0t + 3ϕ).

(4.18)

Substituindo (4.16) e (4.18) em (4.7), obtemos

u = a cos (ω0t + ϕ) +
F

ω2
0 − ω2

cos ωt + ε

{[
a +

1

4
βa3 + 2βaΛ2

]
t sin (ω0t + ϕ)

+

[
3aΛ2 +

3

8
a3

]
ω0t cos (ω0t + ϕ) +

(2Λω + 2βa2Λω + 4βΛ3ω)

ω2
0 − ω2

sin ωt

−ω2
0(3a

2Λ + 6Λ3)

ω2
0 − ω2

cos ωt +
4βωΛ3

ω2
0 − 9ω2

sin 3ωt− 2ω2
0Λ

3

ω2
0 − 9ω2

cos 3ωt

+
2β

(
a2ω0Λ + a2

2
Λω

)

ω2
0 − (2 + ω)2

sin [(2ω0 + ω)t + 2ϕ]− 3ω2
0a

2Λ

2[ω2
0 − (2ω0 + ω)2]

cos [(2ω0 + ω)t + 2ϕ]


4.2. Expansão Direta 27

+
2β

(
a2ω0Λ− a2

2
Λω

)

ω2
0 − (2ω0 − ω)2

sin [(2ω0 − ω)t + 2ϕ]− 3ω2
0a

2Λ

2[ω2
0 − (2ω0 − ω)2]

cos [(2ω0 − ω)t + 2ϕ]

+
4βaωΛ2 + 2aβΛ2

ω2
0 − (1 + ω)2

sin [(ω0 + 2ω)t + ϕ] +
2aβω0Λ

2 − 4βaωΛ2

ω2
0 − (ω0 − ω)2

sin [(ω0 − 2ω)t + ϕ]

− 3ω2
0aΛ2

ω2
0 − (ω0 + 2ω)2

cos [(ω0 + 2ω)t + ϕ]− 4aβΛ2ω

ω2
0 − (1− 2ω)2

sin [(1− 2ω)t + ϕ]

− 3ω2
0aΛ2

ω2
0 − (ω0 − 2ω)2

cos [(ω0 − 2ω)t + ϕ] +
a3

32
cos (3ω0t + 3ϕ)

− βa3

16ω0

sin (3ω0t + 3ϕ)

}
+ ...

(4.19)

Podemos observar em (4.19) que termos do tipo t sin (ω0t + ϕ) ou t cos (ω0t + ϕ) tende

a infinito quando t →∞, mas a solução da equação (4.6) é limitada para qualquer valor

de t. Estes termos são conhecidos como termos seculares mistos ou termos de Poisson,

e comprometem a solução da equação. Este fato ocorre porque truncamos uma série

infinita. Observe ainda que (4.19) contém termos cujos denominadores podem ser muito

pequenos. Estes termos são denominados pequenos divisores. Neste problema, pequenos

divisores ocorrem quando ω ≈ 0, ω ≈ ω0, ω ≈ ω0

3
, ω ≈ 2ω0, ω ≈ 1

2
(1+ω0), ω ≈ 1

2
(1−ω0),

ω ≈ ω0 − 1. Essas freqüências especiais são denominadas freqüências ressonantes.

Dessa forma podemos identificar, através da expansão direta, a presença de pequenos

divisores e também termos seculares. Estes termos devem ser eliminados da solução para

não comprometer a sua validade.

Na próxima sessão, usamos o método de múltiplas escalas para encontrar uma ex-

pansão uniforme de primeira ordem para (4.6) que não contenha termos seculares e pe-

quenos divisores.


4.3. O Método de Múltiplas Escalas 28

4.3 O Método de Múltiplas Escalas

Para encontrarmos uma solução aproximada para a equação (4.6) que seja livre

de termos seculares e termos com pequenos divisores, utilizaremos um dos métodos de

perturbação, o método de múltiplas escalas [20]. Introduzimos as escalas T0 = t e T1 = εt,

então as derivadas ficam

d

dt
= D0 + εD1 + ...

d2

dt2
= D2

0 + 2εD0D1 + ...

onde Dn = ∂
∂Tn

.

Devemos verificar se ωt será uma escala rápida ou lenta. Se ω está distante de zero,

então cos ωt varia rapidamente, e teremos

cos ωt = cos ωT0 (pois t = T0) (4.20)

Por outro lado, se ω ≈ 0, cos ωt varia lentamente. Neste caso, faremos ω = εσ, onde

σ = O(1). Assim,

cos ωt = cos σεt = cos σ(εt) = cos σT1 (4.21)

e portanto, ωt é representado em termos de T1. Conseqüentemente, o caso ω ≈ 0 precisará

ser tratado de forma independente.

Supondo que ω está distante de zero, introduzindo as escalas na equação (4.6) obtemos

D2
0u + 2εD0D1u + ... + ω2

0u + 2ε(1 + βu2)(D0u + εD1u + ...) + εω2
0u

3 = F cos ωT0. (4.22)

Buscamos uma solução aproximada para a equação (4.22) da forma

u = u0(T0, T1) + εu1(T0, T1) + ... (4.23)

Substituindo (4.23) em (4.22), obtemos

D2
0u0 + εD2

0u1 + 2εD0D1u0 + ω2
0u0 + εω2

0u1 + 2ε[1 + β(u0 + εu1 + ...)2][D0u0 + εD0u1

+ε(D1u0 + εD1u1 + ...)] + εω2
0[u0 + εu1 + ...]3 = F cos ωT0

Logo,

D2
0u0 +εD2

0u1 +2εD0D1u0 +ω2
0u0 +εω2

0u1 +2εD0u0 +ε2βu2
0D0u0 +εω2

0u
3
0 + ... = F cos ωT0

(4.24)


4.3. O Método de Múltiplas Escalas 29

Agora, separando os termos em relação às potências de ε, temos

ε0 : D2
0u0 + ω2

0u0 = F cos ωT0 (4.25)

ε1 : D2
0u1 + ω2

0u1 = −2D0u0 − 2D0D1u0 − 2βu2
0D0u0 − ω2

0u
3
0 (4.26)

A solução geral da equação (4.25) é dada por

u0 = a(T1) cos [ω0T0 + ϕ(T1)] + 2Λ cos (ωT0) (4.27)

onde 2Λ = F (ω2
0 − ω2)−1.

Ou ainda, na forma complexa onde cos θ = 1
2
(eiθ + e−iθ), podemos reescrever (4.27)

como

u0 = Aeiω0T0 + ΛeiωT0 + Āe−iω0T0 + Λe−iωT0 (4.28)

com A = 1
2
aeiϕ e Ā = 1

2
ae−iϕ.

Assim, (4.26) fica

D2
0u1 + ω2

0u1 = −[
2iA + 2iA′ + 2iβA2Ā + 4iβAΛ2 + 3ω2

0A
2Ā + 6ω2

0AΛ2
]
eiω0T0

−[
2iωΛ + 4iβAĀωΛ + 2iβωΛ3 + 6ω2

0AĀΛ + 3ω2
0Λ

3
]
eiωT0

−[
2iω0βA3 + ω2

0A
3
]
e3iω0T0 − [

2iβωΛ3 + ω2
0Λ

3
]
ei3ωT0 − [

4iω0βA2Λ

+2iβA2ωΛ + 3ω2
0A

2Λ
]
ei(2ω0+ω)T0 − [

4iω0βA2Λ− 2iβA2ωΛ

+3ω2
0A

2Λ
]
ei(2ω0−ω)T0 − [

2iω0βAΛ2 + 4iβAωΛ2 + 3ω2
0AΛ2

]
ei(ω0+2ω)T0

−[
2iω0βAΛ2 − 4iβAωΛ2 + 3ω2

0AΛ2
]
ei(ω0−2ω)T0 + cc

(4.29)

onde cc representa os termos complexos conjugados. A solução particular de (4.29) contem

termos seculares e termos com pequenos divisores. Considerando o caso onde ω = ω0

3

(ressonância secundária) e ω0 = 1, introduziremos o parâmetro de sintonia σ = O(1) dado

por

3ω = 1 + εσ. (4.30)


4.3. O Método de Múltiplas Escalas 30

Assim temos

3ωT0 = (1 + εσ)T0 = T0 + σεT0 = T0 + σT1. (4.31)

Substituindo (4.31) em (4.29) obtemos

D2
0u1 + u1 = −[

2iA + 2iA′ + 2iβA2Ā + 4iβAΛ2 + 3A2Ā + 6AΛ2
]
eiT0

−[
2iωΛ + 4iβAĀωΛ + 2iβωΛ3 + 6AĀΛ + 3Λ3

]
ei

T0
3

+i σ
3
εT0 − [

2iβA3 + A3
]
e3iT0

−[
2iβωΛ3 + Λ3

]
eiT0+iσεT0 − [

4iβA2Λ + 2iβA2ωΛ + 3A2Λ
]
e

7
3
iT0+i σ

3
εT0

−[
4iβA2Λ− 2iβA2ωΛ + 3A2Λ

]
e

5
3
iT0−i σ

3
εT0 − [

2iβAΛ2 + 4iβAωΛ2

+3AΛ2
]
e

5
3
iT0+i 2

3
σεT0 − [

2iβAΛ2 − 4iβAωΛ2
]
e

1
3
iT0−i 2

3
σεT0 + cc.

(4.32)

Temos que T0 é uma escala rápida e a combinação εT0 é lenta. Como T1 = εT0, então,

(4.32) poderá ser escrita na forma

D2
0u1 + u1 = −[

2iA + 2iA′ + 2iβA2Ā + 4iβAΛ2 + 3A2Ā + 6AΛ2
]
eiT0

−[
2iωΛ + 4iβAĀωΛ + 2iβωΛ3 + 6AĀΛ + 3Λ3

]
ei

T0
3

+i σ
3
T1 − [

2iβA3 + A3
]
e3iT0

−[
2iβωΛ3 + Λ3

]
eiT0+iσT1 − [

4iβA2Λ + 2iβA2ωΛ + 3A2Λ
]
e

7
3
iT0+i σ

3
T1 − [

4iβA2Λ

−2iβA2ωΛ + 3A2Λ
]
e

5
3
iT0−i σ

3
T1 − [

2iβAΛ2 + 4iβAωΛ2 + 3AΛ2
]
eiT0+i 2

3
T0+i 2

3
σT1

−[
2iβAΛ2 − 4iβAωΛ2

]
e

1
3
iT0−i 2

3
σT1 + cc.

(4.33)

Agora escrevemos a equação (4.33), como sendo


4.3. O Método de Múltiplas Escalas 31

D2
0u1 + u1 = −[2iA + 2iA′ + 2iβA2Ā + 4iβAΛ2 + 3A2Ā + 6AΛ2]eiT0

−[2iβωΛ3 + Λ3]eiT0eiσT1 + cc + TNS

(4.34)

onde TNS representa os termos que não dão origem a termos seculares. Para evitar os

termos seculares que aparecem na solução em u1, fazemos

2iA + 2iA′ + 2iβA2Ā + 4iβAΛ2 + 3A2Ā + 6AΛ2 + [2iβωΛ3 + Λ3]eiσT1 = 0 (4.35)

ou ainda

ia′eiϕ−aϕ′eiϕ + iaeiϕ +
1

4
iβa3eiϕ +2iβΛ2aeiϕ +

3

8
a3eiϕ +3aΛ2eiϕ +(2iβωΛ3 +Λ3)eiσT1 = 0.

(4.36)

Multiplicando a equação (4.36) por exp(−iϕ) resulta

ia′ − aϕ′ + ia +
1

4
iβa3 + 2iβΛ2a +

3

8
a3 + 3aΛ2 + (2iβωΛ3 + Λ3)eiσT1e−iϕ = 0 (4.37)

ou

ia′ − aϕ′ + ia + 1
4
iβa3 + 2iβΛ2a + 3

8
a3 + 3aΛ2 + (2iβωΛ3 + Λ3) cos (σT1 − ϕ)

+i(2iβωΛ3 + Λ3) sin (σT1 − ϕ) = 0.

(4.38)

Separando as partes real e imaginária da equação (4.38), temos

a′ = −a− 1

4
βa3 − 2βΛ2a− 2βωΛ3 cos (σT1 − ϕ)− Λ3 sin (σT1 − ϕ) (4.39)

aϕ′ =
3

8
a3 + 3aΛ2 + Λ3 cos (σT1 − ϕ)− 2βωΛ3 sin (σT1 − ϕ) (4.40)

Agora, transformamos o sistema não-linear acima em um sistema autônomo, intro-

duzindo a transformação

γ = σT1 − ϕ (4.41)

γ′ = σ − ϕ′ (4.42)


4.3. O Método de Múltiplas Escalas 32

Logo, temos

a′ = −a− 1

4
βa3 − 2βΛ2a− 2βωΛ3 cos γ − Λ3 sin γ (4.43)

aγ′ = aσ − 3

8
a3 − 3aΛ2 − Λ3 cos γ + 2βωΛ3 sin γ (4.44)

Agora, das equações (4.27) e (4.41), obtemos

u0 = a cos (T0 + σT1 − γ) + 2Λ cos (ωT0) (4.45)

ou ainda,

u0 = a cos (t + εσt− γ) + 2Λ cos (ωt). (4.46)

Substituindo (4.46) em (4.23), e usando (4.30), obtemos

u = a cos (3ωt− γ) + 2Λ cos (ωt) + O(ε) (4.47)

Com isso, temos uma primeira aproximação para u, dada por (4.47) onde a e γ são

soluções das equações (4.43) e (4.44) respectivamente.

Figura 4.2: Variação de a e γ com T1 calculada numericamente de (4.43) e (4.44) para

β = 0.1, Λ = 1.0, σ = 0.1, ω = 0.5, a(0) = 1.0 e γ(0) = 1.0.[20]


4.4. O Método da Média 33

A Figura 4.1 mostra a variação de a e γ em relação a T1, calculada através da

integração numérica das equações (4.43) e (4.44). A prinćıpio, a e γ apresentam oscilações,

mas no estado estacionário tornam-se constantes. Assim, fazendo a′ = 0 e γ′ = 0 em (4.43)

e (4.44), obtemos

2βωΛ3 cos γ + Λ3 sin γ = −a− 1

4
βa3 − 2βΛ2a (4.48)

Λ3 cos γ − 2βωΛ3 sin γ = aσ − 3

8
a3 − 3aΛ2. (4.49)

Elevando ao quadrado os dois lados de cada uma das equações (4.48) e (4.49) e

somando-as, resulta

a2
(
1 +

1

4
a2β

)2
+ 4a2βΛ2

(
1 +

1

4
a2β

)
+ 4a2β2Λ4 + a2

(
σ − 3

8
a2

)2 − 6a2Λ2
(
σ − 3

8
a2

)

+9a2Λ4 − 4β2ω2Λ6 − Λ6 = 0

(4.50)

A equação (4.50) é uma equação cúbica em a2 e representa a equação resposta de

freqüência.

4.4 O Método da Média

O primeiro passo na aplicação do método da média é o uso do método da variação

dos parâmetros, para transformar as constantes de integração da solução do problema

não perturbado em duas variáveis dependentes de t. No problema tratado aqui essas

constantes são a amplitude a e a fase ϕ do termo de oscilações livres. Para realizarmos

este processo, notemos que quando ε = 0, a solução geral da equação (4.6) é

u = a cos (ω0t + ϕ) + 2Λ cos (ωt). (4.51)

Derivando (4.51) em relação a t, obtemos

u̇ = −aω0 sin (ω0t + ϕ)− 2Λω sin (ωt). (4.52)

Quando ε 6= 0, ainda temos a solução na forma (4.51), no entanto com a = a(t) e

ϕ = ϕ(t), que são determinadas pelas equações variacionais.


4.4. O Método da Média 34

Agora, derivando (4.51) em relação ao tempo, obtemos

u̇ = −aω0 sin (ω0t + ϕ) + ȧ cos (ω0t + ϕ)− aϕ̇ sin (ω0t + ϕ)− 2Λω sin (ωt). (4.53)

Comparando (4.52) com (4.53), temos que

ȧ cos (ω0t + ϕ)− aϕ̇ sin (ω0t + ϕ) = 0. (4.54)

Derivando (4.52) em relação ao tempo t, obtemos

ü = −aω2
0 cos (ω0t + ϕ)− ȧω0 sin (ω0t + ϕ)− aϕ̇ω0 cos (ω0t + ϕ)− 2Λω2 cos (ωt). (4.55)

Substituindo (4.51), (4.52) e (4.55) em (4.6), resulta

−ȧω0 sin (ω0t + ϕ)− aϕ̇ω0 cos (ω0t + ϕ)− 2Λω2 cos (ωt) + 2ω2
0Λ cos (ωt)

+2ε
{
1 + β

[
a cos (ω0t + ϕ) + 2Λ cos (ωt)

]2} · {−aω0 sin (ω0t + ϕ)

−2Λω sin (ωt)
}

+ εω2
0

[
a cos (ω0t + ϕ) + 2Λ cos (ωt)

]3
= F cos (ωt).

(4.56)

Como F = 2Λ(ω2
0 − ω2), a equação (4.56) ficará

ȧω0 sin (ω0t + ϕ) + aϕ̇ω0 cos (ω0t + ϕ) = 2ε
{
1 + β

[
a cos (ω0t + ϕ) + 2Λ cos (ωt)]2} ·

{−a sin (t + ϕ)− 2Λω sin (ωt)}+ εω2
0[a cos (t + ϕ) + 2Λ cos (ωt)]3.

(4.57)

Multiplicando (4.54) por ω0 cos (ω0t + ϕ) e (4.57) por sin (ω0t + ϕ) e somando os re-

sultados, obtemos

ȧ =
2

ω0

ε
{
1 + β

[
a cos (ω0t + ϕ) + 2Λ cos (ωt)

]2} · {−aω0 sin (ω0t + ϕ)

−2Λω sin (ωt)
}

sin (ω0t + ϕ) + εω0

[
a cos (ω0t + ϕ) + 2Λ cos (ωt)

]3
sin (ω0t + ϕ).

(4.58)

Agora substituindo (4.58) em (4.54), temos

aϕ̇ =
2

ω0

ε
{
1 + β

[
a cos (ω0t + ϕ) + 2Λ cos (ωt)]2

} · {−aω0 sin (ω0t + ϕ)

−2Λω sin (ωt)
} · cos (ω0t + ϕ) + εω0

[
a cos (ω0t + ϕ) + 2Λcos(ωt)

]3
cos (ω0t + ϕ).


4.4. O Método da Média 35

(4.59)

Usando as identidades trigonométricas, reescrevemos (4.58) e (4.59) de forma que

ȧ = −εa− 2εβaΛ2 − 1

4
εβa3 +

[
1

4
εω0a

3 + 3εω0aΛ2

]
· sin (2ω0t + 2ϕ)

+
[
εa + 2εβaΛ2

] · cos (2ω0t + 2ϕ) +
1

4
εβa3 cos (4ω0t + 4ϕ)− 2εβaΛ2 cos (2ωt)

+
1

8
εω0a

3 sin (4ω0t + 4ϕ) +

[
2

ω0

εΛω − εβΛa2 +
1

2ω0

εβΛωa2 +
2

ω0

εβΛ3ω

]
·

cos [(ω0 + ω)t + ϕ]−
[
εβΛa2 +

2

ω0

εΛω +
1

2ω0

εβΛωa2 +
2

ω0

εβΛ3ω

]
· cos [(ω0 − ω)t + ϕ]

+

[
εβΛa2 − 1

2ω0

εβΛωa2

]
· cos [(3ω0 − ω)t + 3ϕ] +

[
εβΛa2 +

1

2ω0

εβΛωa2

]
·

cos [(3ω0 + ω)t + 3ϕ] +

[
εβΛ2a +

2

ω0

εβΛ2ωa

]
· cos [(2ω0 + 2ω)t + 2ϕ] +

[
εβΛ2a

− 2

ω0

εβΛ2ωa

]
· cos [(2ω0 − 2ω)t + 2ϕ]− 2

ω0

εβΛ3ω cos [(ω0 − 3ω)t + ϕ]

+
2

ω0

εβΛ3ω cos [(ω0 + 3ω)t + ϕ] +
3

4
εω0Λa2 sin [(3ω0 + ω)t + 3ϕ]

+
3

4
εω0Λa2 sin [(3ω0 − ω)t + 3ϕ] +

[
3

4
εω0Λa2 + 3εω0Λ

3

]
· sin [(ω0 + ω)t + ϕ]

+

[
3

4
εω0Λa2 + 3εω0Λ

3

]
· sin [(ω0 − ω)t + ϕ] +

3

2
εω0Λ

2a sin [(2ω0 + 2ω)t + 2ϕ]

+
3

2
εω0Λ

2a sin [(2ω0 − 2ω)t + 2ϕ] + εω0Λ
3 sin [(ω0 + 3ω)t + ϕ]

+εω0Λ
3 sin [(ω0 − 3ω)t + ϕ]

(4.60)


4.4. O Método da Média 36

aϕ̇ =
3

8
ω0a

3 + 3εω0Λ
2a +

[
4

8
εω0a

3 + 3εω0Λ
2a

]
· cos (2ω0t + 2ϕ) +

[
−εa− 1

2
εβa3

−2εβΛ2a

]
· sin (2ω0t + 2ϕ)− 1

4
εβa3 sin (4ω0t + 4ϕ) +

1

8
εω0a

3 cos (4ω0t + 4ϕ)

− 4

ω0

εβΛ2ωa sin (2ωt) + 3εω0Λ
2a cos (2ωt) +

[
− 2

ω0

εΛω − 3

2ω0

εβΛωa2 − εβω0Λa2

−2εβωΛ3

]
· sin [(ω0 + ω)t + ϕ] +

[
9

4
εω0Λa2 + 3εω0Λ

3

]
· cos [(ω0 + ω)t + ϕ]

+

[
2

ω0

εΛω +
3

2ω0

εΛωa2 − εβω0Λa2 +
2

ω0

εβωΛ3

]
· sin [(ω0 − ω)t + ϕ] +

[
9

4
εω0Λa2

+3εω0Λ
3

]
· cos [(ω0 − ω)t + ϕ]− 2

ω0

εβωΛ3 sin [(ω0 + 3ω)t + ϕ]

+
2

ω0

εβΛ3ω sin [(ω0 − 3ω)t + ϕ] + εΛ3ω0 cos [(ω0 + 3ω)t + ϕ]

+εΛ3ω0 cos [(ω0 − 3ω)t + ϕ] +

[
− 1

ω0

εβΛωa2 − εβω0Λa2

]
· sin [(3ω0 + ω)t + 3ϕ]

+

[
1

ω0

εβΛωa2 − εβω0Λa2

]
· sin [(3ω0 − ω)t + 3ϕ] +

3

4
εω0Λa2 cos [(3ω0 + ω)t + 3ϕ]

+
3

4
εω0Λa2 cos [(3ω0 − ω)t + 3ϕ] + [− 2

ω0

εβωΛ2a− εβaΛ2] · sin [(2ω0 + 2ω)t + 2ϕ]

+

[
2

ω0

εβωΛ2a + εβΛ2a

]
· sin [(2ω0 − 2ω)t + 2ϕ] +

3

2
εω0Λ

2a cos [(2ω0 + 2ω)t + 2ϕ]

+
3

2
εω0Λ

2a cos [(2ω0 − 2ω)t + 2ϕ].

(4.61)

Assim, obtivemos as equações variacionais (4.60) e (4.61). Essas equações possuem

uma variação lenta, uma vez que grande parte de seus termos são da ordem O(ε). Por outro

lado, um termo possue variação lenta quando o coeficiente de t (ou seja, a freqüência) for

pequeno.


4.4. O Método da Média 37

Nas equações variacionais encontradas essa variação lenta ocorre quando ω ≈ 0, ω0, 3ω0,

e ω0

3
. Em seguida, analisamos o caso ω ≈ ω0

3
.

Neste caso, cos [(ω0 − 3ω)t + ϕ] e sin [(ω0 − 3ω)t + ϕ] são termos que variam lenta-

mente. Assim, considerando ω0 = 1, temos

ȧ = −εa−2εβΛ2a−1

4
εβa3−2εβωΛ3 cos [(1− 3ω)t + ϕ]+εω2

0Λ
3 sin [(1− 3ω)t + ϕ] (4.62)

aϕ̇ = (ω2
0−1)

a

2
+

3

8
ω2

0a
3+3εω2

0Λ
2a+2εβωΛ3 sin [(1− 3ω)t + ϕ]+εω2

0Λ
3 cos [(1− 3ω)t + ϕ]

(4.63)

Introduzindo o parâmetro de sintonia σ pela transformação 3ω − 1 = εσ, obtemos

ȧ = −εa− 2εβΛ2a− 1

4
εβa3 − 2εβωΛ3 cos φ + εΛ3 sin φ (4.64)

aϕ̇ =
3

8
a3 + 3εΛ2a + 2εβωΛ3 sin φ + εΛ3 cos φ (4.65)

com φ = σεt + ϕ. Essas equações estão de acordo com (4.39) e (4.40) obtidas através do

método das múltiplas escalas.

Como a e ϕ variam lentamente em um intervalo de tempo igual a um peŕıodo do

ângulo φ, elas podem ser consideradas constantes nesse intervalo.

Assim,

< ȧ >= 1
2π

∫ 2π

0
ȧdt = 1

2π

∫ 2π

0
[−εa− 2εβΛ2a− 1

4
εβa3]dt + 1

2π

∫ 2π

0
[termos que contêm

seno e cosseno]dt

(4.66)

< ϕ̇ >= 1
2π

∫ 2π

0
ϕ̇dt = 1

2π

∫ 2π

0
[3εΛ2 + 3

8
a2]dt + 1

2π

∫ 2π

0
[termos que contêm seno e

cosseno]dt.

(4.67)

Portanto,

< ȧ >= −εa(1 + 2βΛ2 +
1

4
βa2) (4.68)

< ϕ̇ >= 3εΛ2 +
3

8
a2 (4.69)

As equações (4.68) e (4.69) são chamadas equações médias. Quando as soluções a(t)

e ϕ(t) são substituidas na equação (4.51) obtemos a solução da equação diferencial (4.6).


Caṕıtulo 5

Equação de Duffing - Van der Pol

(Caso mais geral)

5.1 Expansão Direta

Seja o oscilador de Duffing - Van der Pol com amortecimento não-linear descrito na

seção anterior,

ü + 2γ(1 + βu2)u̇ + ω2
0(1 + ku2)u = F cos ωt.

Consideremos como pequenos parâmetros, β e k. Assim, reescrevemos a equação (4.4)

de forma que

ü + 2γu̇ + 2εγu2u̇ + ω2
0u + εω2

0u
3 = F cos ωt. (5.1)

A expansão direta para a solução da equação (5.1) é dada por

u(t; ε) = u0(t) + εu1(t) + ... (5.2)

Substituindo (5.2) em (5.1), obtemos

(ü0 + εü1 + ...) + 2γ(u̇0 + εu̇1 + ...) + 2εγ(u0 + εu1 + ...)2(u̇0 + εu̇1 + ...)

+ω2
0(u0 + εu1 + ...) + εω2

0(u0 + εu1 + ...)3 = F cos ωt.

Logo,

(ü0 + ω2
0u0 + 2γu̇0 − F cos (ωt)) + ε(ü1 + ω2

0u1 + 2γu̇1 + 2γu2
0u̇0 + ω2

0u
3
0) + O(ε2) = 0.

(5.3)

38


5.1. Expansão Direta 39

Separando as potências de ε temos

ε0 : ü0 + 2γu̇0 + ω2
0u0 = F cos (ωt) (5.4)

ε1 : ü1 + 2γu̇1 + ω2
0u1 = −2γu2

0u̇0 − ω2
0u

3
0 (5.5)

Como a equação (5.4) é linear não-homegênea, sua solução geral é a soma da solução

homogênea e da solução particular. Assim, a solução desta equação será

u0 = u0h + u0p (5.6)

A solução homogênea pode ser encontrada da seguinte forma

m2 + 2γm + ω2
0 = 0 (5.7)

∆ = 4γ2 − 4ω2
0 = 4(γ2 − ω2

0)

e

m =
−2γ ± 2

√
γ2 − ω2

0

2
= −γ ±

√
γ2 − ω2

0.

Logo, temos

m1 = −γ +
√

γ2 − ω2
0

m2 = −γ −
√

γ2 − ω2
0. (5.8)

Consideremos os seguintes casos.

♦ Caso 1: γ2 − ω2
0 > 0, ou seja, γ > ω0.(superamortecido)

Assim, temos que m1 e m2 são reais e distintos. Logo,

u0h = c1e
m1t + c2e

m2t

ou seja,

u0h = c1e
(−γ+

√
γ2−ω2

0)t + c2e
(−γ−

√
γ2−ω2

0)t. (5.9)

♦ Caso 2: γ2 − ω2
0 = 0, ou seja, γ = ω0.(criticamente amortecido)

A solução homogênea será

u0h = u0h1 + u0h2 (5.10)

onde, u0h1 = e−γt e u0h2 = te−γt.


5.1. Expansão Direta 40

Logo,

u0h = (c1 + c2t)e
−γt. (5.11)

♦ Caso 3: γ2 − ω2
0 < 0, ou seja, γ < ω0.(subamortecido)

A equação caracteŕıstica possui duas ráızes complexas conjugadas, m1 e m2. Assim,

temos

m1 = −γ + i
√
|γ2 − ω2

0|

e

m2 = −γ − i
√
|γ2 − ω2

0|. (5.12)

Logo, a solução homogênea será

u0h = c1e
−γtei

√
|γ2−ω2

0 |t + c2e
−γte−i

√
|γ2−ω2

0 |t (5.13)

e pela fórmula de Euler temos

u0h = C1e
−γt cos

√
|γ2 − ω2

0|t + C2e
−γt sin

√
|γ2 − ω2

0|t (5.14)

com C1 = c1 + c2 e C2 = i(c1 − c2).

Agora, como f(t) = F cos (ωt), tem-se a solução na forma

u0p = A cos (ωt) + B sin (ωt). (5.15)

Pelo método de parâmetros a determinar encontramos os coeficientes A e B. Derivando

(5.15), obtemos

u̇0p = −Aω sin (ωt) + Bω cos (ωt) (5.16)

ü0p = −Aω2 cos (ωt)−Bω2 sin (ωt). (5.17)

Substituindo (5.15), (5.16) e (5.17) em (5.4), obtemos

(−Aω2 + 2Bγω + ω2
0A− F ) cos (ωt) + (−Bω2 − 2Aγω + ω2

0B) sin (ωt) = 0. (5.18)

Logo,

(ω2
0 − ω2)A + 2γωB = F

−2γωA + (ω2
0 − ω2)B = 0. (5.19)


5.1. Expansão Direta 41

Resolvendo o sistema (5.19) para A e B, obtemos

A =
(ω2

0 − ω2)F

4γ2ω2 + (ω2
0 − ω2)2

e B =
2γωF

4γ2ω2 + (ω2
0 − ω2)2

.

(5.20)

Substituindo (5.20) em (5.15) temos que

u0p =
(ω2

0 − ω2)F

4γ2ω2 + (ω2
0 − ω2)2

cos (ωt) +
2γωF

4γ2ω2 + (ω2
0 − ω2)2

sin (ωt). (5.21)

Fazendo
F

4γ2ω2 + (ω2
0 − ω2)2

= Λ, a equação (5.21) ficará

u0p = (ω2
0 − ω2)Λ cos (ωt) + 2γωΛ sin (ωt). (5.22)

Considerando γ < ω0, temos que

u0 = α cos
(√|γ2 − ω2

0|t + β
)

+ µ cos (ωt + ξ). (5.23)

onde α =
√(

C2
1 + C2

2

)
e−γt, β = arctan (C2

C1
), µ = Λ

√
4γ2ω2 + (ω2

0 − ω2) e ξ = arctan

(
2γω

ω2
0 − ω2

)
.

Substituindo (5.23) em (5.5), obtemos

ü1 + ω2
0u1 + 2γu̇1 = −2γα2α̇ cos3 x + γα3

√
|γ2 − ω2

0| cos x sin 2x

+2γα2µω cos2 x sin y − 4γαα̇µ cos2 x cos y

−2γα2µ
√
|γ2 + ω2

0| sin 2x cos y

+2γαµ2ω cos x sin 2y − 2γµ2α̇ cos x cos2 y

+2γαµ2
√
|γ2 − ω2

0| sin x cos2 y

+γµ3ω cos y sin 2x− ω2
0α

3 cos3 x

−3ω2
0µα2 cos2 x cos y − 3ω2

0αµ2 cos2 y − ω2
0µ

3 cos y

(5.24)

onde x =
√
|γ2 − ω2

0|t + β e y = ωt + ξ.

Utilizando as identidades trigonométricas, obtemos


5.1. Expansão Direta 42

ü1 + ω2
0u1 + 2γu̇1 =

[
1

2
γα3

√
|γ2 − ω2

0|+ γµ2α
√
|γ2 − ω2

0|
]

sin x +

[
−3

2
γα2α̇

−γµ2α̇− 3

4
ω2

0α
3 − 3

2
ω2

0αµ2

]
cos x +

[
γα2µω +

1

2
γµ3ω

]
sin y

+

[
−2γαα̇µ− 3

2
ω2

0α
2µ− 3

4
ω2

0µ
3

]
cos y +

1

2
γα3

√
|γ2 − ω2

0| sin 3x

−1

4
ω2

0α
3 cos 3x +

1

2
γµ3ω sin 3y − 1

4
ω2

0α
3 cos 3y +

[
1

2
γα2µω

+γα2µ
√
|γ2 − ω2

0|
]

sin (2x + y) +

[
−γαα̇µ− 3

4
ω2

0α
2µ

]
cos (2x + y)

+

[
−1

2
γα2µω + γα2µ

√
|γ2 − ω2

0|
]

sin (2x− y) +

[
−γαα̇µ

−3

4
ω2

0α
2µ

]
cos (2x− y) +

[
γαµ2ω +

1

2
γµ2α

√
|γ2 − ω2

0|
]

sin (x + 2y)

+

[
−1

2
γµ2α̇− 3

4
ω2

0αµ2

]
cos (x + 2y) +

[
−γαµ2ω

+
1

2
γµ2α

√
|γ2 − ω2

0|
]

sin (x− 2y) +

[
−1

2
γµ2α̇− 3

4
ω2

0αµ2

]
cos (x− 2y).

(5.25)

Simplificando a equação (5.25), temos que

ü1 + ω2
0u1 + 2γu̇1 = a1 cos (x + θ1) + a2 cos (y + θ2) + a3 cos (3x + θ3) + a4 cos (3y + θ4)

+a5 cos (2x + y + θ5) + a6 cos (2x− y + θ6) + a7 cos (x + 2y + θ7)

+a8 cos (x− 2y + θ8)

(5.26)

onde a1 =

[
γ2α2|γ2 − ω2

0|
(

1
2
α2 + µ2

)2
+

(−3
2
γα2α̇− γµ2α̇− 3

4
ω2

0α
3 − 3

2
ω2

0αµ2
)2

] 1
2

,

a2 =

[(
γα2µω + 1

2
γµ3ω

)2
+

(
2γαα̇ + 3

2
ω2

0µ + 3
4
ω2

0µ
3

)2] 1
2

,

a3 =

[
1
4
γ2α6|γ2 − ω2

0|+ 1
16

ω4
0α

6

] 1
2

,

a4 =

[
1
4
γ2µ6ω2 + 1

16
ω4

0α
6

] 1
2

,

a5 =

[
γ2α4µ2ω2|γ2 − ω2

0|+
(
γαα̇µ + 3

4
ω2

0α
2µ

)] 1
2

,

a6 =

[(−1
2
γα2µω + γα2µ|γ2 − ω2

0|
)2

+
(
γαα̇µ + 3

4
ω2

0α
2µ

)2
] 1

2

,


5.1. Expansão Direta 43

a7 =

[(
γαµ2ω + 1

2
γµ2α

√
|γ2 − ω2

0|
)2

+
(

1
2
γµ2α̇ + 3

4
ω2

0αµ2
)2

] 1
2

,

a8 =

[(−γαµ2ω + 1
2
γµ2α

√
|γ2 − ω2

0|
)2

+
(

1
2
γµ2α̇ + 3

4
ω2

0αµ2
)2

] 1
2

,

θ1 = arctan

(
1
2
γα3

√
|γ2 − ω2

0|+ γµ2α
√
|γ2 − ω2

0|
−3

2
γα2α̇− γµ2α̇− 3

4
ω2

0α
3 − 3

2
ω2

0αµ2

)
,

θ2 = arctan

(
γα2µω + 1

2
γµ3ω

−2γαα̇µ− 3
2
ω2

0α
2µ− 3

4
ω2

0µ
3

)
,

θ3 = arctan

(
1
2
γα3

√
|γ2 − ω2

0|
−1

4
ω2

0α
3

)
,

θ4 = arctan

(
1
2
γµ3ω

−1
4
ω2

0α
3

)
,

θ5 = arctan

(
1
2
γα2µω + γα2µ

√
|γ2 − ω2

0|
−γαα̇µ− 3

4
ω2

0α
2µ

)
,

θ6 = arctan

(
−1

2
γα2µω + γα2µ

√
|γ2 − ω2

0|
−γαα̇µ− 3

4
ω2

0α
2µ

)
,

θ7 = arctan

(
γαµ2ω + 1

2
γµ2α

√
|γ2 − ω2

0|
−1

2
γµ2α̇− 3

4
ω2

0αµ2

)
,

θ8 = arctan

(
−γαµ2ω + 1

2
γµ2α

√
|γ2 − ω2

0|
−1

2
γµ2α̇− 3

4
ω2

0αµ2

)
.

Resolvendo a equação (5.26), obtemos

u1 = up = up1 + up2 + ... + up8. (5.27)

Portanto,

u1 =

(
ω2

0 − |γ2 − ω2
0|

)
a1

4γ2|γ2 − ω2
0|+

(
ω2

0 − |γ2 − ω2
0|

)2 cos (x + θ1)

+
2a1γ

√
|γ2 − ω2

0|
4γ2|γ2 − ω2

0|+
(
ω2

0 − |γ2 − ω2
0|

)2 sin (x + θ1)

+
2γωa2

4γ2ω2 +
(
ω2

0 − ω2
)2 sin (y + θ2) +

a2(ω
2
0 − ω2

)

4γ2ω2 +
(
ω2

0 − ω2
)2 cos (y + θ2)


5.2. Método das Múltiplas Escalas 44

+

(
ω2

0 − 9|γ2 − ω2
0|

)
a3

36γ2|γ2 − ω2
0|+

(
ω2

0 − 9|γ2 − ω2
0|

)2 cos (3x + θ3)

+
6a3γ

√
|γ2 − ω2

0|
36γ2|γ2 − ω2

0|+
(
ω2

0 − 9|γ2 − ω2
0|

)2 sin (3x + θ3)

− 6γωa4

−36γ2ω2 +
(
ω2

0 − 9ω2
)2 cos (3y + θ4)−

a4

(
ω2

0 − 9ω2
)

−36γ2ω2 +
(
ω2

0 − 9ω2
)2 sin (3y + θ4)

+
a5

[
ω2

0 −
(
2
√
|γ2 − ω2

0|+ ω
)2]

4γ2
(
2
√
|γ2 − ω2

0|+ ω
)2

+
[
ω2

0 −
(
2
√
|γ2 − ω2

0|+ ω
)2]2 cos (2x + y + θ5)

+
2γ

(
2
√
|γ2 − ω2

0|+ ω
)
a5

4γ2
(
2
√
|γ2 − ω2

0|+ ω
)2

+
[
ω2

0 −
(
2
√
|γ2 − ω2

0|+ ω
)2]2 sin (2x + y + θ5)

+
a6

[
ω2

0 −
(
2
√
|γ2 − ω2

0| − ω
)2]

4γ2
(
2
√
|γ2 − ω2

0| − ω
)2

+
[
ω2

0 −
(
2
√
|γ2 − ω2

0| − ω
)2]2 cos (2x− y + θ6)

+
2γ

(
2
√
|γ2 − ω2

0| − ω
)
a6

4γ2
(
2
√
|γ2 − ω2

0| − ω
)2

+
[
ω2

0 −
(
2
√
|γ2 − ω2

0| − ω
)2]2 sin (2x− y + θ6)

+
a7

[
ω2

0 −
(√|γ2 − ω2

0|+ 2ω
)2]

4γ2
(√|γ2 − ω2

0|+ 2ω
)2

+
[
ω2

0 −
(√|γ2 − ω2

0|+ 2ω
)2]2 cos (x + 2y + θ7)

+
2γ

(√|γ2 − ω2
0|+ 2ω

)
a7

4γ2
(√|γ2 − ω2

0|+ 2ω
)2

+
[
ω2

0 −
(√|γ2 − ω2

0|+ 2ω
)2]2 sin (x + 2y + θ7)

+
a8

[
ω2

0 −
(√|γ2 − ω2

0| − 2ω
)2]

4γ2
(√|γ2 − ω2

0| − 2ω
)2

+
[
ω2

0 −
(√|γ2 − ω2

0| − 2ω
)2]2 cos (x− 2y + θ8)

+
2γ

(√|γ2 − ω2
0| − 2ω

)
a8

4γ2
(√|γ2 − ω2

0| − 2ω
)2

+
[
ω2

0 −
(√|γ2 − ω2

0| − 2ω
)2]2 sin (x− 2y + θ8).

(5.28)

Nesta solução os termos seculares estão presentes nos coeficientes ai, i = 1, ..., 8.

5.2 Método das Múltiplas Escalas

Introduzimos as escalas T1 = εt e T0 = t, e pela regra da cadeia temos as derivadas


5.2. Método das Múltiplas Escalas 45

d

dt
= D0 + εD1 + ...

d2

dt2
= D2

0 + 2εD0D1 + ...

onde Dn = ∂
∂Tn

.

Se ω esta distante de zero, então cos ωt varia rapidamente. Dai temos

cos ωt = cos ωT0.

Por outro lado, se ω ≈ 0, cos ωt varia de forma lenta. Neste caso, faremos ω = εσ

onde σ = O(ε). Assim,

cos ωt = cos σεt = cos σT1.

Introduzimos em (5.1) as escalas e obtemos

D2
0u + 2εD0D1u + 2γD0u + 2εγu2D0u + ... + ω2

0u + εω2
0u

3 = F cos ωT0. (5.29)

A solução aproximada para (5.29) será

u = u0(T0, T1) + εu1(T0, T1) + ... (5.30)

Substituindo (5.30) em (5.29), obtemos

D2
0u0 + εD2

0u1 + ε2D0D1u0 + 2γD0u0 + ε2γD0u1 + ε2γu2
0D0u0 + ω2

0u0 + εω2
0u1

+εω2
0u

3
0 + ... = F cos ωT0.

Separando os termos segundo as potências de ε, obtemos as seguintes equações

ε0 : D2
0u0 + 2γD0u0 + ω2

0u0 = F cos ωT0 (5.31)

ε1 : D2
0u1 + 2γD0u1 + ω2

0u1 = −2D0D1u0 − 2γu2
0D0u0 − ω2

0u
3
0. (5.32)

A solução geral para a equação (5.31) é dada por

u0 = α(T0, T1) cos [
√
|γ2−ω2

0|T0 + β(T1)] + (ω2
0 − ω2)Λ cos ωT0 + 2γωΛ sin ωT0 (5.33)

onde Λ = F [4γ2ω2 + (ω2
0 − ω2)2]−1.


5.2. Método das Múltiplas Escalas 46

Reescrevendo (5.33) na forma complexa, obtemos

u0 =
1

2
αeiβei

√
|γ2−ω2

0 |T0 +

[
(ω2

0 − ω2)Λ

2
+ γωΛ

]
eiωT0 + cc

onde cc representa os termos complexos conjugados. Logo,

u0 = A(T0, T1)e
i
√
|γ2−ω2

0 |T0 +

[
(ω2

0 − ω2)Λ

2
+ γωΛ

]
eiωT0 + cc (5.34)

onde A = 1
2
αeiβ.

Assim, a equação (5.32) ficará

D2
0u1 + 2γD0u1 + ω2

0u1 = −[
2A′′ + 2iA′x− 4γAĀA′ + 2iγA2Āx + 4γA′Ω2 + 4iγAΩ2x

+2γA2Ā′ + 3ω2
0A

2Ā + 6ω2
0AΩ

]
eixT0 − [

4iγωΩ3 + 4γAĀ′Ω

+4iγAĀΩx + 4γA′ĀΩ + 3ω2
0 + 4γAĀΩx− 2iγωΩ3+6ω2

0AĀΩ
]
eiωT0

−[
2γA2 + 2iγA3x + ω2

0A
3
]
ei3xT0 − [

2iγωΩ3 + ω2
0Ω

3
]
ei3ωT0

−[
2iγA2ωΩ + 4γAA′Ω + 4iγA2Ωx + 3ω2

0A
2Ω

]
ei(2x+ω)T0

−[
2iγA2ωΩ + 4γAA′Ω + 4iγA2Ωx + 3ω2

0A
2Ω

]
ei(2x−ω)T0

−[
4iγAωΩ2 + 2γA′Ω2 + 2iγAΩ2x + 3ω2

0AΩ2
]
ei(x+2ω)T0

−[
4iγAωΩ2 − 3ω2

0AΩ2
]
ei(x+2ω)T0 + cc

(5.35)

onde x =
√
|γ2 − ω2

0|.

A solução particular de (5.35) contém termos com pequenos divisores e termos secu-

lares, no entanto o processo de eliminação desses termos na forma como está apresentada

aqui não é usual. A aplicação do método de múltiplas escalas e do método da média

requer um cuidado especial, e portanto será deixada para um trabalho posterior.


Caṕıtulo 6

Conclusões e Sugestões para

Trabalhos Futuros

6.1 Conclusão

Neste trabalho estudamos um sistema constitúıdo por um oscilador forçado nanomecâ-

nico representado pela equação (4.1), e também já estudada por Almog et al [2], onde

é acrescentado um termo proporcional a u3 e um termo de amortecimento não-linear

proporcional a u2u̇. Dessa forma obtivemos a equação do movimento que descreve um

oscilador de Duffing - Van der Pol com amortecimento não-linear.

Em virtude das dificuldades encontradas na busca de uma solução anaĺıtica exata

para equações diferenciais não-lineares, podemos encontrar uma solução aproximada com

o aux́ılio de métodos de perturbação.

Para que a análise do sistema estudado pudesse ser realizada através de uma abor-

dagem anaĺıtica, consideramos as não-linearidades como sendo ”pequenas”. Dessa forma,

estas não-linearidades foram tratadas como perturbações em relação a um sistema linear.

Utilizando a teoria de perturbação foi posśıvel introduzir essas perturbações no sistema

através de séries de potências relativamente a um pequeno parâmetro ε.

O objetivo principal do trabalho foi encontrar uma solução aproximada para o sistema

livre de termos que comprometem a solução, tais como termos seculares mistos ou termos

de Poisson e a presença de pequenos divisores.

Primeiramente consideramos como pequenos parâmetros, γ e k, na equação (4.5) e

aplicamos o método da expansão direta com o objetivo de identificar termos com posśıvel

47


6.1. Conclusão 48

ressonância. Assim obtivemos a equação (4.19), a qual nos mostrou que tais condições

ocorrem quando ω ≈ 0, ω ≈ ω0, ω ≈ ω0

3
, ω ≈ 2ω0, ω ≈ 1

2
(1 + ω0), ω ≈ 1

2
(1 − ω0),

ω ≈ ω0−1. Dessa forma identificamos a presença de pequenos divisores e também termos

seculares.

Apesar do método da expansão direta ser adequado na identificação das condições

de ressonância, este por sua vez não se mostra eficaz para certas análises, como por

exemplo na obtenção da resposta do sistema em regime permanente. Para encontrarmos

uma expansão uniforme de primeira ordem para a equação (4.6) livre de termos seculares

e pequenos divisores, utilizamos o método das múltiplas escalas. Com a aplicação do

método obtivemos equações que descrevem as modulações de amplitudes e fases para o

sistema, tornando assim a solução anaĺıtica livre de termos seculares mistos e pequenos

divisores. Para esta análise tratamos o caso de ressonância onde ω ≈ ω0

3
(freqüência

ressonante), introduzimos um parâmetro de sintonia e chegamos na solução livre de termos

seculares e pequenos divisores. Para uma análise no estado estacionário, consideramos

que as equações diferenciais que descrevem as modulações de amplitude e fase do sistema

são nulas no estado estacionário. Encontramos a equação resposta de freqüência, a qual

poderá ser utilizada para obter mais informações sobre o comportamento do sistema.

Um outro método utilizado para a obtenção de uma solução anaĺıtica aproximada foi

o método da média. Através deste método consideramos certas quantidades como funções

que variam suavemente no tempo. Obtivemos as equações variacionais e tratamos o caso

onde ω ≈ ω0

3
e encontramos as equações que descrevem as modulações de amplitude e

fase para o sistema. Estas equações estão de acordo com as equações (4.39) e (4.40)

obtidas através do método das múltiplas escalas conforme o esperado. Encontramos as

equações médias do sistema, as quais poderão ser utilizadas para se obter informações

para o sistema.

Em seguida, fizemos uma breve análise do sistema representado pela equação (4.5)

considerando como pequenos parâmetros, β e k. De forma análoga, obtivemos a expansão

direta, mas não aplicamos o método de múltiplas escalas e o método da média, pois essas

aplicações demandam um estudo criterioso.


6.2. Trabalhos Futuros 49

6.2 Trabalhos Futuros

O estudo apresentado neste trabalho é preliminar, e portanto é preciso dar sequência

para obter mais informações sobre a dinâmica da equação de Duffing - Van der Pol. Por

exemplo, a equação resposta de frequência (4.50) deve ser analisada para estabelecer as

regiões de estabilidade, e determinar os fenômenos de salto e histerese. Esses estudos

permitirão localizar as bifurcações do sistema, e assim facilitar a análise da dinâmica

através de métodos numéricos apropriados.

A aplicação dos métodos de perturbação no caso geral (Caṕıtulo 5) deve ser feito com

cuidado, pois trata-se de uma aplicação não usual.


Referências Bibliográficas

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	Capa
	Folha de rosto
	Ficha Catalográfica
	Banca Examinadora
	Epígrafe
	Dedicatória
	Agradecimentos
	Resumo
	Abstract
	Sumário
	Lista de Figuras
	Capítulo 1 - Introdução
	Capítulo 2 - Introdução a teoria de sistemas dinâmicos
	2.1 Definição de um sistema dinâmico
	2.2 Espaço de estados (ou espaço de fases)
	2.3 Equações diferenciais e sistemas dinâmicos
	2.4 Sistema linear
	2.5 Sistema não-linear
	2.6 A equação de Duffing
	2.7 A equação de Van der Pol
	2.8 Oscilações e ressonância

	Capítulo 3 - Introdução a teoria de perturbação
	3.1 O método da expansão direta
	3.2 O método de múltiplas escalas
	3.3 O método da média

	Capítulo 4 - Aplicação do método das múltiplas escalas e método da média na equação de Duffing - Van der Pol
	4.1 Equação do movimento
	4.2 Expansão Direta
	4.3 O Método de Múltiplas Escalas
	4.4 O Método da Média

	Capítulo 5 - Equação de Duffing - Van der Pol (Caso mais geral)
	5.1 Expansão Direta
	5.2 Método das Múltiplas Escalas

	Capítulo 6 - Conclusões e Sugestões para Trabalhos Futuros
	6.1 Conclusão
	6.2 Trabalhos Futuros

	Referências Bibliográficas