Universidade Estadual Paulista Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica ANÁLISE E SÍNTESE DE UM PROCESSADOR DIGITAL WAVELET PEDRO HENRIQUE COX Ilha Solteira, SP – Brasil 2004 a Universidade Estadual Paulista Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica Tese apresentada à Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira da Universidade Estadual Paulista, como parte dos requisitos exigidos para obtenção do título de Doutor em Engenharia Elétrica na Área de Automação. ANÁLISE E SÍNTESE DE UM PROCESSADOR DIGITAL WAVELET Pedro Henrique Cox Orientador Prof. Dr. Aparecido Augusto de Carvalho Ilha Solteira, SP – Brasil 2004 b Agradecimentos Ao Prof. Aparecido, pela paciência em ouvir e serenidade ao opinar sobre as diversas questões que se colocaram no decorrer desta pesquisa. Ao Prof. Alexandre, cuja atenciosa participação nas primeiras abstrações foi de muita valia para definir etapas importantes na pesquisa na área de sistemas digitais. Aos Profs. Jurandir Nadal e Paulo R. B. Barbosa, que me ofereceram a oportunidade de aprofundar conhecimentos em pesquisas recentes na área de engenharia biomédica. Ao Prof. Dr. Edilberto Figueiredo, pelas aulas sobre análise de eletrocardiogramas. À Prof a. Maria Bernadete Zanusso (DCT CCET UFMS), pelas sugestões sobre métodos estatísticos. Às secretárias do Departamento de Engenharia Elétrica da FEIS, Cristina e Sueli, que sempre me auxiliaram quando solicitei ajuda. Ao pessoal da Biblioteca e Computação. À minha espôsa Lucimara, que sempre me apoiou e encorajou nos momentos difíceis, e a sua dupla participação no lar junto às nossas filhas Pietra e Beatriz, durante a minha breve ausência. Aos amigos e parentes que de alguma forma contribuíram para que se delineassem os resultados definitivos nesta conquista pessoal. c Resumo É feita a análise dimensional da média coerente de eletrocardiogramas de alta resolução com o objetivo de definir parâmetros para a descrição detalhada dos deslocamentos e velocidades angulares durante a polarização cardíaca. No contexto de localização de componentes espectrais em alta freqüência, no plano tempo-freqüência, escalogramas de 64 linhas para as escalas e 300 colunas para o intervalo de amostragem da ativação ventricular ilustram com detalhes as perturbações na frente de onda da polarização cardíaca. No âmbito da Instrumentação Eletrônica, é especificado um eletrocardiógrafo para análise espectral, sem filtragem no sinal amplificado. No circuito digital deste aparelho é especificado um controlador de Acesso Direto à Memória, um controlador de comutador analógico e um controlador de conversor A/D, todos em FPGA. Aperfeiçoando Sistemas Digitais existentes para a análise wavelet de sinais em bases ortogonais, após estudo de arquiteturas existentes para a Transformada Wavelet Discreta, é proposta uma nova arquitetura. A nova arquitetura tem processamento assíncrono e calcula ambas as transformadas, direta e inversa, com pequenas modificações. Esta arquitetura apresenta características indispensáveis para análise e síntese em tempo real, fornecendo alta eficiência e boa precisão empregando-se elementos processadores em ponto fixo. Após estudo em Cálculo Numérico e Sistemas Digitais, é escrito o algoritmo que calcula e ao mesmo tempo sintetiza os coeficientes wavelet. É proposto o primeiro processador digital especialmente desenhado para análise e síntese wavelet em tempo real em um circuito integrado, o Analisador Wavelet. ii Abstract Dimensional analysis is performed on SAECGs electrocardiograms, defining parameters to describe angular paths and angular velocities on details, during cardiac polarization. To localize high frequency spectral components on the time-frequency plane, scalograms with 64 lines for scales and 300 columns for the sampling period on ventricular activation show on details the perturbations on cardiac polarization waveforms. In the ambit of Electronic Instrumentation, a spectral analysis electrocardiograph is specified, without filtering on the amplified signal. On the digital circuit, one FPGA DMA controller and one analog switch and A/D converter controller are specified. Improving digital systems for wavelet analysis on orthogonal bases, after acknowledge on present architectures for the Discrete Wavelet Transform, a new architecture is proposed. The new architecture has asynchronous processing and calculates both direct and inverse DWT with slight modifications. This architecture presents indispensable characteristics for real time analysis and synthesis, allowing to achieve high efficiency and good precision with fixed point processing elements. After detailed study in numerical calculus and digital systems, it is proposed an algorithm to calculate and synthesize wavelet coefficients at the same time. The first digital processor specially designed to perform wavelet analysis and synthesis in real time, in one integrated circuit, the Wavelet Analyzer, is proposed. iii Sumário Resumo i Abstract ii Lista de Figuras viii Lista de Tabelas xi Notação e Definições xii Nomenclatura e Abreviações xvi 1 Introdução 1 1.1 Histórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Análise Fourier e análise Wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Amostragem e processamento de sinais utilizando-se a transformada Wavelet . 7 1.3.1 Representação de um sinal pelos coeficientes Wavelet. . . . . . . . 7 1.3.2 Análises dimensional e Wavelet no SAECG . . . . . . . . . . . . 8 1.3.3 Instrumentação eletrônica para registro de eletrocardiogramas. . . . . 9 1.3.4 Arquiteturas de processadores de sinais para a transformada Wavelet. . 10 1.3.5 Analisador e sintetizador wavelet. . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Fundamentos Matemáticos 13 2.1 Transformada Wavelet Contínua . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.1 Wavelets analíticas e suas propriedades . . . . . . . . . . . . . 13 iv 2.2 Transformada Wavelet Discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.1 Waveletes analíticas discretas ortonormais e filtros . . . . . . . . . 18 2.2.2 Algoritmo Transformada Wavelet Diádica . . . . . . . . . . . . 21 2.3 Transformada Wavelet Discreta Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.1 Filtro iterativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.2 Filtros Resposta ao Impulso Finita . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4 Análises espectrais Fourier e Wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4.1 Semelhanças . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4.2 Diferenças . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5 Compressão de eletrocardiogramas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28 2.6 Pacotes Wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3 Análises dimensional e Wavelet no SAECG 32 3.1 Deslocamento e velocidade de polarização em indivíduos pós-infartados . . 32 3.1.1 Coordenadas esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.1.2 Vetor magnitude, deslocamentos e velocidades angulares . . . . . 34 3.1.3 Probabilidade de significância . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2 Análise da ativação ventricular utilizando a transformada Wavelet . . . . . 41 3.2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2.2 Escalogramas Wavelet no SAECG . . . . . . . . . . . . . . 42 4 Eletrocardiógrafo e monitor cardíaco 51 4.1 Histórico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.2 O Eletrocardiógrafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.2.1 Limites de corrente nos sensores . . . . . . . . . . . . . . . . 54 v 4.2.2 Interferências eletromagnéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.2.3 Redução na tensão modo comum . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.2.4 Conversão analógico-digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.2.5 Armazenamento de dados em microcomputador . . . . . . . . . . 61 4.2.6 Memória auxiliar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.3 Monitor cardíaco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.3.1 Conversão analógico-digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.3.2 Memória para armazenamento . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 5 Arquiteturas para a Transformada Wavelet 69 5.1 Introdução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.2 Análise multiresolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.3 Algoritmo Piramidal Recursivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5.4 Algoritmo Piramidal Recursivo Modificado . . . . . . . . . . . . . . 75 5.5 Algoritmo Seqüência de Níveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.6 Arquiteturas para a Transformada Wavelet Discreta. . . . . . . . . . . 77 5.6.1 Arquitetura filtro paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.6.2 Arquitetura sistólica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.7 Arquitetura sistólica dedicada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.7.1 Arquitetura para o bloco B1. . . . . . . . . . . . . . . . . . .82 5.7.2 Arquitetura para o bloco B2. . . . . . . . . . . . . . . . . . .85 5.7.3 Arquitetura para o bloco B3. . . . . . . . . . . . . . . . . . .86 5.7.4 Arquitetura para o bloco B4. . . . . . . . . . . . . . . . . . .90 vi 6 Processador Wavelet Assíncrono para análise e síntese na Transformada Wavelet Discreta 93 6.1 Introdução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 6.2 A Arquitetura Assíncrona Filtro Simples . . . . . . . . . . . . . . . 95 6.2.1 Unidades de controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 6.2.2 Filtros passa-altas e passa-baixas . . . . . . . . . . . . . . . . 99 6.2.3 Armazenamento e multiplexagem . . . . . . . . . . . . . . . .100 6.2.4 Tempo de processamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 6.3 Arquitetura comum para análise e síntese. . . . . . . . . . . . . . . 101 6.4 Analisador Wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 6.4.1 Seleção de coeficientes em cada nível . . . . . . . . . . . . . 101 6.4.2 Multiplicador constante Booth-Wallace . . . . . . . . . . . . . 103 6.5 Implementação em VHDL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 6.5.1 Sincronismo, multiplicador Radix-2 e filtro. . . . . . . . . . . . 105 6.5.2 Algoritmo DWT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 6.5.3 Precisão no Analisador Wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . 108 7 Conclusão 110 7.1 Análises dimensional e Wavelet no SAECG . . . . . . . . . . . . . 111 7.2 Eletrocardiógrafo e monitor cardíaco . . . . . . . . . . . . . . . 111 7.3 Processador Wavelet Assíncrono para análise e síntese na Transformada Wavelet Discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Referências Bibliográficas 114 vii A Rotinas para o cálculo da CWT e de escalogramas média e desvio-padrão de SAECGs e diferenças entre dois grupos 122 A.1 Escalogramas média 122 A.2 Escalogramas desvio-padrão 128 viii Lista de Figuras 1.1 Funções Haar 2 1.2 Distribuição de energia tempo-freqüência em dois átomos Gabor 2 1.3 Distribuição de energia tempo-freqüência em duas wavelets Morlet, escalas s e s0 4 1.4 Árvore Wavelet, análise em três níveis 5 1.5 Análise e síntese wavelet empregando filtros 5 2.1 Wavelets analíticas. (b), (c) e (d) são ortogonais. 13 2.2 Três escalogramas CWT de um SAECG 15 2.3 Disposição gráfica no escalograma DWT 17 2.4 Três escalogramas DWT de um SAECG, análise diádica 18 2.5 (a) Espectro do sinal. (b) Espectro de coeficiente wavelet no 10 nível (c) Espectros de coeficientes wavelet no 10 e no 20 níveis 19 2.6 (a) Seqüência no cálculo de coeficientes detalhe e aproximação. (b) Subdivisão no espectro do sinal em uma DWT com três níveis 21 2.7 Análise wavelet, filtro iterativo, um estágio 22 2.8 Transformada wavelet discreta, l níveis 22 2.9 Síntese wavelet, filtro iterativo, um estágio 24 2.10 Transformada wavelet discreta inversa, l níveis 24 2.11 Gráficos tempo x freqüência, Fourier e Wavelet. 27 2.12 Taxa de compressão x distorção, índice PRD. 29 2.13 Subdivisões em freqüência na STFT, na DWT diádica e nos pacotes Wavelet 30 3.1 Representação de um vetor em coordenadas esféricas 33 ix 3.2 (a) MVD(t) e (b) PVD(t) em um indivíduo pós-infartado na região anterior 35 3.3 (a) MVD(t) e (b) PVD(t) em um indivíduo pós-infartado na região inferior 35 3.4 (a) e (b) MVD(t) e (c) e (d) PVD(t) em dez indivíduos nos grupos 1 e 2 36 3.5 (a) CMVi(t) e (b) CPVi(t) nos três grupos analisados 37 3.6 (a) VMVi(t) e (b) VPVi(t) nos três grupos analisados 38 3.7 Probabilidades de significância 40 3.8 Escalogramas média em cada derivada, grupos 1, 2 e 3 44 3.9 Escalogramas diferenças entre médias em cada derivada, grupos 1, 2 e 3 45 3.10 Escalogramas desvio-padrão médio em cada derivada, grupos 1, 2 e 3 47 3.11 Escalogramas diferenças entre desvios-padrões médios em cada derivada, grupos 1, 2 e 3 48 4.1 Capacitâncias entre o paciente e o ambiente, e entre o paciente e o aparelho 54 4.2 Circuito redutor de interferências incluindo aterramento com driver de corrente no paciente. No eletrocardiógrafo, i = 9 e no monitor cardíaco, i = 3 56 4.3 Circuito amplificador e redutor de interferências, Vamp i = G(ECG i + - ECG i -), 1 i 3 57 4.4 Circuito chave analógica e conversor A/D 58 4.5 Acesso byte a byte no conversor, circuito isolador 59 4.6 Aquisição de dados, modos espera, interrupção e memória auxiliar 60 4.7 Endereçamento e fluxo de dados na memória auxiliar 61 4.8 Controle na memória auxiliar 62 4.9 Circuito FGGA. Controle no acesso ao eletrocardiógrafo e na memória auxiliar 64 4.10 Monitor cardíaco, diagrama em blocos 65 x 5.1 Seqüência de coeficientes na amostragem diádica 71 5.2 Seqüência de coeficientes calculados nos filtros passa-altas e passa-baixas 71 5.3 Arquitetura filtro paralelo 76 5.4 Arquitetura sistólica dedicada, diagrama em blocos para 4 níveis 80 5.5 Bloco B1, L = 6. Os registradores hachurados não tem função específica, são incluídos para limitar os caminhos críticos a um multiplicador e um somador 82 5.6 Bloco B2, L = 6. O sinal de seleção S, para controlar multiplexadores e demultiplexadores, não está explicitamente mostrado 85 5.7 Bloco B3, 5 L 6. O multiplexador na entrada pode ser substituído por um latch com frequencia duas vezes menor que a freqüência de sincronismo 86 5.8 Bloco B4, 5 L 8 90 6.1 Arquitetura assíncrona filtro simples com quatro níveis 93 6.2 Filtro passa-altas e passa-baixas, oito coeficientes 94 6.3 Multiplicador seqüencial Radix-2 96 6.4 Arquitetura comum para DWT e IDWT 100 6.5 Memória no analisador wavelet 101 6.6 Seleção de coeficientes wavelet 102 6.7 Linhas de contrôle no multiplicador seqüencial Radix-2 104 6.8 Linhas de contrôle no algoritmo DWT, configuração e estados 0 – 10 105 xi Lista de Tabelas 4.1 Controle no circuito isolador e no conversor A/D 58 4.2 Lógica de contrôle na memória auxiliar 63 5.1 DDG de APAR e CIMPAR para computar coeficientes l1, sete períodos 82 5.2 DDG para quatro períodos 85 5.3 DDG para tres períodos. “-“ indica que é parcial o resultado disponível na saída 87 5.4 DDG para dois períodos. A condição S = 1 e S’ = 0, para realimentação, é ilustrada com flechas perimétricas 89 6.1 Alocação e roteamento para o cálculo de coeficientes wavelet 97 6.2 Lógica de contrôle para armazenamento de coeficientes wavelet no algoritmo quatro níveis DWT, IDWT e analisador wavelet 106 6.3 Precisão no analisador wavelet avaliada com o índice PRD 107 xii Notações e Definições Capítulo 2 Wf Transformada Wavelet Contínua da função f Função Wavelet C Condição de admissibilidade PWf Série de coeficientes wavelet na Transformada Wavelet Discreta da função f f(t) Função f contínua de t f[n] Função f discreta de n s Parâmetro escala Parâmetro translação no tempo Função Escala PV f Série de coeficientes aproximação na Transformada Wavelet Discreta da função f a Coeficiente aproximação a r Coeficiente aproximação reconstruído d Coeficiente wavelet ou coeficiente detalhe g[k] Filtro passa-altas h[k] Filtro passa-baixas g r [k] Filtro passa-altas dual h r [k] Filtro passa-baixas dual Capítulo 3 X Derivação X no SAECG Y Derivação Y no SAECG xiii Z Derivação Z no SAECG x Coordenada cartesiana ortogonal a y e z y Coordenada cartesiana ortogonal a x e z z Coordenada cartesiana ortogonal a x e y r Módulo do vetor (x,y,z) Angulo formado entre a direção z e o vetor (x,y,z), sentido trigonométrico Angulo formado entre a direção x e a projeção do vetor (x,y,z) no plano xy, sentido trigonométrico VM Módulo de vetor magnitude MVD Vetor deslocamento angular meridional PVD Vetor deslocamento angular planar CMV Média do vetor deslocamento angular meridional CPV Média do vetor deslocamento angular planar VMV Média da derivada do vetor deslocamento angular meridional VPV Média da derivada do do vetor deslocamento angular planar p Probabilidade de significância CWT Escalograma Transformada Wavelet Contínua M Escalograma média de escalogramas CWT D Escalograma desvio-padrão de escalogramas CWT, média M Capítulo 4 V Tensão modo comum Z Impedância xiv Capítulo 5 W L Vetor de coeficientes wavelet na saída de um filtro passa-baixas W H Vetor de coeficientes wavelet na saída de um filtro passa-altas h Vetor de coeficientes do filtro passa-baixas g Vetor de coeficientes do filtro passa-altas X L Matriz de vetores de coeficientes wavelet na saída de um filtro passa-baixas X H Matriz de vetores de coeficientes wavelet na saída de um filtro passa-altas l Subbanda passa-baixa h Subbanda passa-alta a Coeficiente do filtro passa-baixas c Coeficiente do filtro passa-altas I Série de coeficientes na entrada de elementos processadores O L Série de coeficientes na saída de elementos processadores, filtragem passa-baixas O H Série de coeficientes na saída de elementos processadores, filtragem passa-altas J Número de níveis na transformada L Número de taps nos filtros passa-baixas e passa-altas N j Número de coeficientes calculados em cada nível da transformada C Número de coeficientes nos vetores de coeficientes wavelet W Número de elementos processadores w Elemento processador Contador de ciclos de relógio S Seleção nos blocos 2, 3 e 4 S’ Seleção nos blocos 3 e 4 xv S” Seleção no bloco 4 Capítulo 6 a Coeficiente do filtro passa-baixas c Coeficiente do filtro passa-altas A Coeficiente wavelet aproximação C Coeficiente wavelet detalhe xvi Nomenclatura e Abreviações ACL Assynchronous Control Logic Lógica de Contrôle Assíncrono ASIC Application Specific Integrated Circuit Circuito Integrado de Aplicação Específica ASFA Assynchronous Single Filter Architecture Arquitetura Assíncrona Filtro Simples AV Ativação Ventricular CB Communication Bus Barramento de Acesso a Amostras e Coeficientes CMOS Complementary Metal Oxide Silicon CRB Coefficients Register Bank Banco de Registradores de Coeficientes CSR Coefficients Shift Register Registrador de Deslocamento de Coeficientes CWT Continuous Wavelet Transform Transformada Wavelet Contínua DDG Data Display Graph Seqüência de Entrada de Dados DMA Direct Memory Access Acesso Direto à Memória DRL Driven Right Leg Referencial na Perna Direita xvii DSP Digital Signal Processor Processador Digital de Sinais DWT Discrete Wavelet Transform Transformada Wavelet Discreta ECG Eletrocardiograma EEPROM Eletrically Erasable Programmable Read Only Memory Memórias Somente de Leitura Eletricamente Programáveis e Apagáveis EMI Eletromagnetic Interference Interferência Eletromagnética FPGA Field Programmable Gate Array Conjunto de Portas Programável em Campo FFT Fast Fourier Transform Transformada Rápida de Fourier HRECG High Resolution Electrocardiogram Eletrocardiograma Alta Resolução IDWT Inverse Discrete Wavelet Transform Transformada Wavelet Discreta Inversa IRB Input Register Bank Banco de Registros de Entrada ISA Industrial Standard Architecture Arquitetura Industrial Padrão JFET Junction Field Effect Transistor Transistor de Efeito de Campo LSA Level Sequence Algorithm xviii Algoritmo Seqüência de Níveis MCQ Média Coerente Quadrática MRPA Modified Recursive Piramidal Algorithm Algoritmo Recursivo Piramidal Modificado OQMF Orthogonal Quadrature Mirror Filter Filtro Ortogonal Quadratura Espelhado PCL Processing Control Logic Lógica de Controle de Processamento PTV Potencial Cardíaco Ventricular PV Vetor de Polarização PA Algoritmo Piramidal PE Processing Element Elemento Processador PRD Percentage mean square Root Difference Index Índice Percentual Erro Médio Quadrático QR Intervalo de Ativação Ventricular QRS Onda de Polarização Cardíaca RAM Random Access Memory Memória de Acesso Aleatório RBM Register Bank Multiplexer Multiplexador de Banco de Registradores ROM Read Only Memory Memória de Acesso para Leitura RPA Recursive Piramidal Algorithm xix Algoritmo Piramidal Recursivo SAECG Signal Averaged Electrocardiogram Electrocardiograma Média Coerente STFT Short Term Fourier Transform Transformada de Fourier em Período Curto TCL Transform Control Logic Lógica de Controle na Transformada VHDL Verilog Hardware Description Language Linguagem de Descrição de Hardware Verilog VT Taquicardia Ventricular xx Análise e Síntese de um Processador Digital Wavelet 1 Capítulo 1 Introdução 1.1 Histórico Um século depois das teorias em análise de freqüências formalizadas por Joseph Fourier em 1807, matemáticos tiveram sua atenção voltada para análise em escalas [47]. Ou seja, análise de f(x) criando estruturas matemáticas que variam em escalas. De que maneira ? Construindo uma função, deslocando-a e variando sua escala. A nova estrutura é utilizada para aproximar um sinal. Repetindo o procedimento, desloca-se e muda-se a escala na estrutura básica para obter uma nova aproximação. Assim sucessivamente, esta análise mede flutuações médias de um sinal em diferentes escalas, constituindo um método pouco sensível a ruído. A primeira referência a wavelets foi feita em 1910 no trabalho de Haar [50]. Uma propriedade da wavelet Haar é a de que ela se anula fora de um intervalo finito (fig. 1.1). As wavelets Haar constituem uma base ortogonal, mas infelizmente não são continuamente diferenciáveis, o que limita sua aplicação. O princípio da incerteza estabelece que a distribuição de energia de uma função e sua transformada de Fourier não podem ser arbitrariamente pequenas. Motivado pela mecânica quântica, em 1946 o físico D. Gabor [44] definiu átomos tempo-frequência elementares com espectro mínimo no plano tempo-freqüência (fig. 1.2). Para analisar o conteúdo tempo- freqüência em um sinal, foi proposto decompô-lo nas formas de onda destes átomos. Demonstrando que estas análises estão relacionadas à nossa sensibilidade aos sons, e 1 Pedro Henrique Cox 2 que apresentam estruturas importantes na fala e em gravações musicais, Gabor mostrou a importância do processamento de sinais tempo-freqüência localizados. Figura 1.1: Funções Haar. Figura 1.2: Distribuição de energia tempo-freqüência em dois átomos Gabor. 2 Análise e Síntese de um Processador Digital Wavelet 3 Em 1984, trabalhando com reflexão sismológica, Morlet sabia que pulsos modulados em alta freqüência enviados ao subsolo tinham duração muito longa para separar os pulsos de retorno na análise de camadas finas e com pouco espaçamento. A solução encontrada foi enviar pulsos de curta duração em altas freqüências. A compressão no tempo destes pulsos produzia funções analíticas em alta freqüência, enquanto a expansão no tempo tinha o efeito oposto. Morlet denominou estas funções analíticas de “wavelets com forma constante”. Apesar de Grossmann estar trabalhando em física teórica, ele reconheceu no trabalho de Morlet algumas idéias parecidas com seu próprio trabalho em física quântica. Morlet e Grossmann reativaram uma importante colaboração entre física teórica e processamento de sinais, que levou à formalização da transformada wavelet contínua, incluindo a fórmula de inversão exata [48]. Semelhante a uma transformada de Fourier em janelas, a transformada wavelet pode analisar variações espectrais com diferentes resoluções tempo-freqüência. A função proposta por Gabor é ligeiramente modificada. Introduzindo-se o parâmetro s, inversamente proporcional à freqüência, a distribuição de energia em freqüência encontra-se agora em um intervalo positivo centrado em /s, cujo tamanho é diretamente proporcional a 1/s (fig. 1.3). No espaço tempo-freqüência, um átomo wavelet é simbolicamente representado por um retângulo centrado em (u, /s). Os intervalos de tempo e freqüência são proporcionais a s e 1/s, respectivamente. Ao variar s, a altura e a largura do retângulo são alteradas mas sua área permanece constante. Em uma base de funções formada pela wavelet Haar, o sinal analisado é representado por partes, aproximado por constantes. Estas aproximações estão muito longe de resultados otimizados, requerem um excessivo número de níveis para representar um sinal. Por exemplo, a aproximação linear tem erro de aproximação menor. A procura por funções que melhor representassem uma função suave continua em 1980, quando Beckner [96] descobriu uma 3 Pedro Henrique Cox 4 função linear que aproxima uma função suave com erro menor e que também gera uma base ortonormal. Meyer não estava ciente deste resultado, e, motivado pelo trabalho de Morlet e Grossmann, tentou provar que não existe uma wavelet regular que gera uma base ortonormal. Figura 1.3: Distribuição de energia tempo-freqüência em duas wavelets Morlet, escalas s e s0. Esta tentativa não teve sucesso, pois uma família inteira de wavelets, formando uma base ortonormal foi por ele construída, com funções infinitamente e continuamente diferenciáveis [70]. A pesquisa ganhou impulso para a definição de novas bases wavelet ortonormais, com Daubechies desenvolvendo as wavelets com suporte compacto [8]. Logo depois, com a contribuição de P. G. Lemarié, um analista harmônico, a construção de Meyer foi generalizada para o caso multi-dimensional. Lemarié e G. Battle, um físico matemático, tiveram sucesso mais tarde em trabalhos independentes, obtendo bases wavelet consistindo de funções spline com melhor decaimento que wavelets Meyer [14], [62], [46]. Em 1983, Burt e Adelson [23] desenvolveram algoritmos para análise de imagens com várias resoluções. Inspirados em suas idéias, Meyer e Mallat estabeleceram a teoria para 4 Análise e Síntese de um Processador Digital Wavelet 5 construir bases de wavelet ortonormais, através da elaboração de aproximações multi- resolução de um sinal [67], [65], [68]. Mallat também desenvolveu um algoritmo simples e recursivo para computar a Transformada Wavelet Discreta. Este algoritmo utiliza um banco de filtros com estrutura em árvore. Inicialmente o sinal é processado por um par de filtros passa-baixas e passa-altas, originando dois ramos na árvore, em seguida o ramo passa-baixas é dividido em dois e assim por diante (fig. 1.4). Figura 1.4: Árvore Wavelet, análise em três níveis. Motivados pela compressão de áudio, Croisier, Esteban e Galand [33] introduziram um banco de filtros inversíveis, que decompõe um sinal discreto f[n] em dois sinais com a metade do tamanho do sinal original, utilizando um esquema de filtragem e subamostragem. Mostraram que f[n] pode ser sintetizado a partir de sinais subamostrados utilizando-se uma classe particular de filtros chamados filtros espelho conjugados. Dez anos depois, em 1984, Smith e Barnwell [93] estabeleceram condições suficientes para decompor um sinal em componentes ortogonais subamostradas em um esquema de filtragem, e sintetizá-lo com uma transformada inversa (fig. 1.5). 1.2 Análise Fourier e análise Wavelet Um sinal biológico, de áudio, de ultrasom ou imagem, pode ser representado por parâmetros que exprimem sua intensidade e conteúdo espectral. Na análise de Fourier as 5 Pedro Henrique Cox 6 freqüências e respectivas amplitudes são calculadas. Esta análise descreve detalhadamente as características do sinal [47], o que é importante para considerações de ordem teórica, em relação a série de Fourier. A transformada inversa de Fourier pode ser obtida sob certas condições. Entretanto, os métodos de Fourier nem sempre são os melhores meios para análises e sínteses. Em particular, se o sinal contém curvas acentuadas ou formas de onda quase iguais a degraus, é necessário um grande número de componentes espectrais para sintetizar o sinal localmente. Para analisar sinais que contêm muitas componentes espectrais é preferível escolher a análise wavelet, efetiva por representar com melhor definição e mais simplesmente as características locais. A análise wavelet também é indicada em aplicações específicas, tais como métodos para remoção de ruído, que complementam os métodos clássicos desenvolvidos na análise de Fourier. Na análise de transientes, wavelets são mais eficientes para representar o sinal. Uma série wavelet pode representar um sinal em muitas escalas [68]. Figura 1.5: Análise e síntese wavelet empregando filtros. Uma das aplicações mais importantes na análise wavelet é a compressão de sinais. Para a mesma distorção em sinais sintetizados, o número de coeficientes na análise wavelet pode ser muitas vezes menor que o número de componentes espectrais na análise Fourier, utilizando-se a transformada de coseno discreta [47]. Na análise Fourier, melhores resultados podem ser obtidos somente se o intervalo considerado for segmentado, expandindo-se a série em cada segmento e utilizando-se bases locais coseno. 6 Análise e Síntese de um Processador Digital Wavelet 7 1.3 Amostragem e processamento de sinais utilizando-se a transformada Wavelet 1.3.1 Representação de um sinal pelos coeficientes Wavelet Ao representar um sinal pelos coeficientes wavelet, através das transformadas contínua e discreta, os parâmetros utilizados para representar os coeficientes são escala, relativo a freqüência, e translação, relativo ao tempo de amostragem considerado. Quanto menor for o número de coeficientes necessários para representar o sinal, mais sucinta será a representação. Na transformada wavelet discreta são conhecidos três métodos clássicos para reduzir o número de coeficientes: os métodos limiar inferior e superior e o método fração na intensidade [105]. Em aplicações tais como remoção de ruídos e compressão é utilizado o método limiar inferior. Neste método, os coeficientes cujas magnitudes são relevantes por causa da incidência de ruído no sinal, freqüentemente estarão abaixo de um determinado limiar. Os coeficientes com magnitudes inferiores a este limiar são zerados. No método limiar superior são selecionados os coeficientes com magnitudes maiores que um valor pré-estabelecido. Este método é conveniente para fazer comparações entre representações semelhantes quando o número de termos na expansão wavelet é pré-definido. O terceiro método consiste em especificar uma fração da intensidade do sinal para limiar e seleção de coeficientes. É selecionado o conjunto contendo o menor número de coeficientes cuja soma quadrática é maior que a fração de intensidade limiar. Todos os outros coeficientes são zerados. Este método é útil para fins teóricos por determinar, com antecedência, a fração de intensidade de um sinal contida em uma soma parcial. 7 Pedro Henrique Cox 8 1.3.2 Análises dimensional e Wavelet nos eletrocardiogramas A atividade elétrica irregular, fragmentada, no miocárdio lesado, representa um marcador para o risco de desenvolvimento de arritmias potencialmente fatais. As técnicas atualmente empregadas para a análise de potenciais tardios ventriculares, domínio do tempo ou da freqüência [19], demonstram baixo valor preditivo positivo ( < 15% em um ano). O objetivo desta pesquisa em análise dimensional é definir novos parâmetros para descrever alterações de percurso na resultante de polarização, e assim auxiliar a classificar o tipo de infarto, por região, que o indivíduo sofreu. A vetorcardiografia é uma maneira de representar o eletrocardiograma em três planos ortogonais [59]. Esta pesquisa é original, não se tem notícia de trabalho semelhante. A análise dimensional em parâmetros deslocamento e velocidades angulares nos eletrocardiogramas de alta resolução, obtida por média coerente (SAECG), durante curtos períodos de tempo, durante a ativação ventricular, em grupos de indivíduos pós-infartados e normais, contribuem para determinar o local de atividade elétrica fragmentada. Neste trabalho, inicialmente foi feita a mudança de coordenadas, de cartesianas para coordenadas esféricas, com o objetivo de pesquisar a variação espacial na polarização cardíaca resultante, medida com três derivações bipolares “ortogonais”. Nesta pesquisa procurou-se determinar características nos parâmetros vetoriais que pudessem contribuir para determinar o local de infarto. Foi feita a análise dimensional em dois grupos de indivíduos pós-infarto e um grupo de indivíduos normais, verificando-se alterações distintas nas curvas deslocamento angular no plano xy nos dois grupos de indivíduos pós-infarto. Foram verificadas ainda inversões nas curvas de velocidades angulares durante o intervalo de ativação ventricular. Com o objetivo de identificar atividade elétrica anormal, foi feita a análise da polarização cardíaca procurando-se detectar atividade elétrica fragmentada em regiões 8 Análise e Síntese de um Processador Digital Wavelet 9 miocárdicas cicatriciais, utilizando-se a Transformada Wavelet Contínua (CWT). Foi calculada a CWT de cada derivação, de cada SAECG, em indivíduos pós-infarto e normais, obtendo-se escalogramas com 64 escalas e 300 amostras, no intervalo de 150 ms antes, durante e após ativação ventricular. Em seguida, foram calculadas as médias e os desvios- padrões de cada derivação, e as médias e desvios-padrões de diferenças entre derivações, em indivíduos de diferentes grupos, dois a dois. Constatou-se a fragmentação da atividade elétrica nos dois grupos de indivíduos pós-infarto, nas escalas de alta freqüência. 1.3.3 Instrumentação eletrônica para registro de eletrocardiogramas Os eletrocardiógrafos disponíveis no Hospital Universitário da Universidade Federal de Campo Grande, onde os primeiros estudos foram feitos, captam o sinal de eletrocardiograma (ECG) através de sensores sem blindagem [4]. Entretanto, nos ambulatórios, consultórios médicos, clínicas, onde são feitos os exames, sempre há interferência eletromagnética (EMI) no ambiente, o que causa sérias interferências nos sensores. Além da EMI, o paciente deve ficar imóvel para evitar outras interferências elétricas nos circuitos amplificadores. Para suprimir os ruídos na saída dos amplificadores, estes eletrocardiógrafos utilizam filtros notch na freqüência de 60 Hz. Este procedimento distorce o ECG, sinal cujo espectro está compreendido entre 0,05 Hz e 100 Hz, aproximadamente [83]. Com a finalidade de aumentar a resolução e a freqüência de amostragem em eletrocardiogramas de indivíduos pós-infarto, nesta pesquisa em instrumentação eletrônica especificou-se um eletrocardiógrafo de alta resolução com um circuito multisensores incluindo blindagem para reduzir a amplificação da EMI, e um conversor analógico-digital 16 bits com taxa de amostragem máxima de 58 KHz. 9 Pedro Henrique Cox 10 Nos aparelhos que captam, amplificam e digitalizam sinais elétricos, tais como os eletrocardiógrafos e monitores cardíacos, há necessidade de armazenamento de uma grande quantidade de bytes. Entretanto, as freqüências de amostragem de ECGs são muito menores que as freqüências de processamento. Se for utilizado o sistema de endereçamento direto à memória, a partir do momento em que houver um número suficiente de amostras para pré- processamento e processamento, este processamento pode ser feito no próprio aparelho. Foi especificado um controlador, em FPGA, que reúne as funções de controle digital no eletrocardiógrafo. Este controlador seqüencia as operações de seleção de canal e conversão nos circuitos comutador analógico e conversor A/D, e o fluxo de dados entre a memória auxiliar e a unidade de armazenamento. Utilizando-se a memória auxiliar, pode-se efetuar processamento durante a aquisição de dados com períodos de duração préviamente definida no projeto. O armazenamento pode ser feito em unidades de memória tais como as EEPROMs, ou simplesmente conectando-se o aparelho a um microcomputador. 1.3.4 Arquiteturas de processadores de sinais para a transformada Wavelet Foi feito o estudo sobre o estado da arte nas arquiteturas existentes para implementar algoritmos para o cálculo das transformadas wavelets contínua e discreta. Usando a transformada contínua são calculados os coeficientes em todos os níveis para cada nova amostra. Para calcular os coeficientes em tempo real é necessário que o processador possa efetuar J operações para cada amostra, onde J é o número de níveis na transformada. Os cálculos são feitos implementando-se o algoritmo seqüência de níveis (LSA) [25]. Na transformada discreta os coeficientes são calculados em seqüência, para cada amostra é calculado um coeficiente. Em um conjunto de coeficientes calculados, o número de 10 Análise e Síntese de um Processador Digital Wavelet 11 coeficientes difere de um nível para o outro. Em uma transformada com J níveis, cada série de 2J coeficientes é formada por 2J-1 coeficientes no primeiro nível, 2J-2 coeficientes no segundo nível e assim sucessivamente até o nível J, onde são calculados dois coeficientes [87]. Os cálculos são feitos implementando-se o algoritmo piramidal (PA), o algoritmo piramidal recursivo (RPA) ou o algoritmo piramidal recursivo modificado (MRPA). 1.3.5 Analisador e sintetizador wavelet A arquitetura de filtros em paralelo, utilizada para análises com a transformada wavelet discreta em tempo real [25], tem alta eficiência (tempo de utilização de um conjunto de elementos processadores/tempo de duração de uma iteração completa x 100%) na utilização de elementos processadores. Em uma transformada com J níveis a eficiência é ((2J – 1)/2J ) x 100%. Possui flexibilidade para expansão do número de níveis da transformada, pois a lógica de controle requer apenas a inclusão de um sinal de sincronismo para cada nível. A mesma arquitetura pode ser utilizada para efetuar sínteses com a transformada wavelet discreta inversa (IDWT). Para tal são necessárias pequenas modificações no banco de registros de armazenamento temporário de coeficientes, sem necessidade de qualquer alteração na lógica de controle. A análise e a síntese na arquitetura filtro paralelo são feitas em tempo real. Cada operação tem um período máximo de duração, menor ou igual ao período de amostragem, para que o processamento seja feito em tempo real. Em linhas gerais, em relação à precisão, o resultado de operações matemáticas tem precisão maior quanto maior for a freqüência de processamento, para o mesmo período máximo reservado para cada operação. Por exemplo, em sinais amostrados a 5 Hz, o período máximo em cada operação é 12 vezes maior que o período máximo na mesma operação quando são processados sinais amostrados a 60 Hz. Por esta razão, nos sistemas assíncronos é possível obter resultados mais precisos quanto menor 11 Pedro Henrique Cox 12 for a freqüência de amostragem no sinal analisado, mantendo-se constante a freqüência de processamento. Neste trabalho foi especificado um circuito digital para sincronizar a amostragem ao processamento. Desta maneira é possível efetuar os cálculos na freqüência máxima de processamento desde que a freqüência de amostragem seja menor que um valor pré- estabelecido. A freqüência máxima de amostragem também varia com o número de bits na palavra de processamento. 12 Análise e Síntese de um Processador Digital Wavelet 13 Capítulo 2 Fundamentos Matemáticos 2.1 Transformada Wavelet Contínua A Transformada Wavelet Contínua (CWT) representa uma função real f(t) pela função Wf [65], [67], [66], [35], parâmetros escala na freqüência s e deslocamento no tempo , )1.2((t)dtf(t))f( W - s,s, onde s, *(t) é o complexo conjugado para a função básica ou wavelet s, (t). As variáveis contínuas s e são as novas dimensões, escala e translação, após a transformada. As wavelets, parametrizadas por s e , são definidas pela função wavelet analítica, s, (t) = s-1/2 (u) (2.2) onde s -1/2 é um fator utilizado para normalizar energia na escala s e u = (t- )/s. A função básica não é especificada e deve ter algumas propriedades (seção 2.1.1). Na Transformada Wavelet Contínua é necessário que as wavelets analíticas apresentem algumas propriedades gerais em um espaço no qual o pesquisador pode definir wavelets analíticas apropriadas (fig. 2.1). 2.1.1 Wavelets analíticas e suas propriedades As propriedades mais importantes das wavelets analíticas são as condições 13 Pedro Henrique Cox 14 admissibilidade e regularidade [98]. Funções que atendem à condição de admissibilidade podem ser utilizadas para analisar e reconstruir um sinal sem perda de informação, )3.2( | | C 2 d | )|( onde é a transformada de Fourier de (t).)( Figura 2.1: Wavelets analíticas. (b), (c) e (d) são ortogonais. A condição de admissibilidade implica que se anula quando a freqüência é zero, )( )4.2(0|)(| 0 2 14 Análise e Síntese de um Processador Digital Wavelet 15 As transformadas cujas wavelets analíticas são funções reais e atendem à condição de admissibilidade, são inversíveis, )5.2( d d(t)),(Wf C 1 f(t) 2s, 0 s s s Wavelets são funções cujo espectro são bandas passantes, semelhantes a respostas em freqüência nos filtros passa-faixa. Esta observação é importante para desenvolver algoritmos eficientes utilizando filtros. Transformada Fourier nula em = 0 implica que, no tempo, o valor médio na wavelet analítica é nulo, )6.2(0dt(t) - e portanto, (t) é oscilatória, representada por uma onda. Para localizar particularidades em sinais, no tempo e na freqüência, as wavelets analíticas devem atender também a condição de regularidade ou atenuação acentuada. Ou seja, devem apresentar suavidade no tempo e na freqüência, sendo definidas próximas à origem. Na figura 2.2 é apresentado um exemplo de CWT com a wavelet analítica Symmlet 2. O cálculo CWT de um eletrocardiograma média coerente (SAECG) é ilustrado em três escalogramas, dados por matrizes s x , onde s = 250 e = 500. Coeficientes wavelet positivos, nulos e negativos são representados respectivamente por pontos pretos, cinzas e brancos. A condição de regularidade pode ser verificada nos momentos evanescentes na wavelet analítica. Expandindo-se a transformada Wavelet, equação (2.1), em série de Taylor de ordem n em t = 0, = 0, temos 15 Pedro Henrique Cox 16 Wf(s,0) = s-1/2 f n p 0 (p)(0) (tp/p!) (t/s)dt + O(n+1) (2.7) onde f (p) é a derivada ordem p e O(n+1) compreende os termos restantes na série de Taylor. Definindo os momentos wavelet por Mp, Mp = tp (t)dt . (2.8) Reescreve-se Wf(s,0) na série finita, Wf(s,0) = s-1/2 f(0)M0s + !1 1 f (1)(0) M1s 2 + … + ! 1 n f (n)(0) Mns s + 1 + O(sn – 2) . (2.9) Figura 2.2: Três escalogramas CWT de um eletrocardiograma de alta resolução obtido por média coerente (SAECG). 16 Análise e Síntese de um Processador Digital Wavelet 17 A condição de admissibilidade garante que M0 = 0. Ao escolher uma forma de onda tal que os momentos Mp, 1 p n também sejam nulos, os coeficientes Wf(s, ) sofrem atenuação sn + 2 no sinal f(t). Na literatura esta propriedade é chamada de momentos evanescentes ou aproximação de ordem n. Se a wavelet analítica tem n momentos evanescentes, a aproximação na transformada é também de ordem n. Os momentos Mp não precisam ser nulos, bastando que tenham valores pequenos. O número de momentos evanescentes necessários depende da aplicação. 2.2 Transformada Wavelet Discreta A Transformada Wavelet Discreta (DWT) representa a função discreta f[n] pela função PWf, parâmetros escala na freqüência s e translação no tempo , PW f [ s, ] = f[n] s, [n] . (2.10) n Apesar de ser chamada wavelet discreta, geralmente é uma função contínua por partes [65]. As variáveis inteiras escala s e deslocamento são as novas dimensões após a transformada. A wavelet discreta é definida pela função wavelet analítica discreta, s, [n] = a –s/2 (a –s n - ) . (2.11) O índice escala s determina a largura da wavelet e o índice deslocamento determina sua posição. A progressão nas escalas é feita em potência de a e o deslocamento é feito em inteiros. No caso em que a = 2, a transformada é feita em escala diádica e chamada de Transformada Wavelet Diádica [29]. Entretanto, a 2 somente em casos muito especiais. Por exemplo, quando a = 2 , a análise é feita nas oitavas e nas escalas intermediárias entre oitavas. Exceto nestes casos muito especiais, a Transformada Wavelet Discreta (DWT) refere- se a DWT diádica. A DWT diádica ou simplesmente DWT de uma função pode ser ilustrada 17 Pedro Henrique Cox 18 por escalogramas onde os deslocamentos são feitos em múltiplos de dois quando se passa de uma escala à escala seguinte de freqüência mais alta e as escalas wavelet são representadas em escala gráfica log 2 (fig. 2.3). Figura 2.3: Disposição gráfica no escalograma DWT. Wavelets analíticas discretas podem ser construídas de maneira que um conjunto de wavelets dilatadas e deslocadas constitui uma base ortonormal, e pode-se calcular a transformada inversa, f [n] = P s Wf [ s, ] s, [n] . (2.12) Na figura 2.4 é apresentado um exemplo de DWT com a wavelet analítica Symmlet 2. O cálculo DWT de um eletrocardiograma média coerente (SAECG) é ilustrado em três escalogramas. Cada ponto representa um coeficiente wavelet em valor absoluto e inteiro, com intensidades variando entre 0 e 32. 2.2.1 Wavelets analíticas discretas ortonormais e filtros A característica básica de um sinal digital ou digitalizado é a sua freqüência de amostragem. Ao implementar algoritmos em hardware ou software, toda e qualquer operação 18 Análise e Síntese de um Processador Digital Wavelet 19 em um sinal leva em consideração a sua resolução finita. Wavelets ortonormais possuem os detalhes necessários para aumentar a resolução na representação aproximada de um sinal. A transformada Wavelet pode ser implementada através de um banco de filtros. Na saída de diferentes estágios obtém-se os termos da série wavelet e o termo da função escala. Esta análise é denominada codificação sub-banda [45], utilizada em visão artificial. Figura 2.4: Três escalogramas DWT de um SAECG, análise diádica. A equação (2.4) é a mesma de um filtro passa-faixas [94]. Se o sinal tem resolução finita, freqüência de amostragem f s , seu espectro é limitado pela metade (Nyquist) da freqüência de amostragem, f s / 2 ou s / 4 (fig. 2.5 a). Se a transformada de Fourier de s, [n] for a mesma de um filtro passa-faixa com largura de espectro igual à metade do 19 Pedro Henrique Cox 20 espectro do sinal, freqüência central 0 , podemos definir uma função s, [n] que representa no tempo a função de transferência de um filtro passa-baixa, cujo espectro tem metade da largura do espectro do sinal (fig. 2.5 b). Esta função é denominada função escala. Em análise de sinais, expansão no tempo é o mesmo que comprimir e diminuir o espectro, F f(at) = (1/ a )F( /a) (2.13) Figura 2.5: (a) Espectro do sinal. (b) Espectro de coeficiente wavelet no 10 nível. (c) Espectros de coeficientes wavelet no 10 e no 20 níveis. Expansão no tempo de uma wavelet analítica por fator dois comprime o espectro wavelet por fator dois e a nova freqüência central no passa-faixas é dividida por dois. Os 20 Análise e Síntese de um Processador Digital Wavelet 21 espectros wavelet comprimidos apresentam as extremidades ligeiramente sobrepostas (fig. 2.5 c). E assim sucessivamente, para cada expansão no tempo por fator dois obtém-se mais um nível na DWT. Os coeficientes calculados com a função wavelet são chamados coeficientes wavelet PW f (equação (2.10)) e os coeficientes calculados com a função escala são chamados coeficientes aproximação PV f , PV f [ s, ] = f[n] s, [n] . (2.14) n A cada expansão por fator dois pode-se analisar somente a metade do espectro precedente, o que significa que é necessário um número infinito de expansões para obter todos os coeficientes na série Wavelet. A solução é limitar o número de expansões. Ao limitar o número de expansões define-se também a largura de espectro na função escala que contém as freqüências mais baixas do sinal, no último nível DWT, igual à largura de espectro no filtro passa-faixa que fornece o último coeficiente Wavelet. A figura 2.6 (a) ilustra a seqüência na filtragem e a figura 2.6 (b) ilustra o espectro de coeficientes aproximação, no nível 3, e os espectros de coeficientes detalhe nos níveis 1, 2 e 3, em uma análise DWT com três níveis. 2.2.2 Algoritmo Transformada Wavelet Diádica Na análise, coeficientes wavelet são calculados com um algoritmo que efetua convoluções discretas com dois filtros e subamostra o resultado na saída. A escala é diádica e o número de níveis na transformada é J. No nível 1, j = 1, o sinal é analisado decompondo-se seu espectro em duas metades, PV 1 f e PW 1 f . No nível 2 e seguintes, j = 2, ... , J, a análise seguinte é feita no espectro PV j-1 f, série de coeficientes wavelet aproximação no nível j – 1, calculados no filtro passa- baixas. O sinal de resolução finita pode ser considerado como a saída de um passa-baixas cuja freqüência de corte é a metade da freqüência de amostragem, e 21 Pedro Henrique Cox 22 PV j-1 f = PV j f + PW j f j = 1, 2, ..., J (2.15) onde PV 0 f é o espectro do sinal. Cada aproximação PV j f é decomposta em uma nova aproximação PV j+1 f e um detalhe PW j+1 f . Na síntese, cada nível PV j f é reconstruído com as séries PV j+1 f e PW j+1 f . Figura 2.6: (a) Seqüência no cálculo de coeficientes detalhe e aproximação. (b) Subdivisão no espectro do sinal em uma DWT com três níveis. As bases j,n e j,n são ortonormais e as projeções nestes espaços estão caracterizadas pelos produtos internos, 22 Análise e Síntese de um Processador Digital Wavelet 23 a j[n] = nj,f, (2.16a) d j[n] = nj,f, . (2.16b) Ao analisar níveis sucessivos, os coeficientes detalhe e aproximação são calculados recursivamente com os filtros passa-baixas h e passa-altas g (figs. 2.7 e 2.8), a j+1[n] = h[n-2p] a n j[n] (2.17) d j+1[n] = g[n-2p] a n j[n] (2.18) Figura 2.7: Análise wavelet, filtro iterativo, um estágio. Figura 2.8: Transformada wavelet discreta, três níveis. Na síntese, os coeficientes de um determinado nível são calculados recursivamente com os filtros reconstrução h r e g r , a j[p] = h n r [2p–n] a j+1[n] + g n r [2p-n] d j+1[n] . (2.19) 23 Pedro Henrique Cox 24 2.3 Transformada Wavelet Discreta Inversa A DWT analisa sinais em seqüências com a metade do número de coeficientes. A Transformada Wavelet Discreta Inversa (IDWT) sintetiza duas seqüências de coeficientes em cada nível. O estudo de banco de filtros iterativos é feito desde 1976 quando Croisier, Esteban e Galand [33] descobriram que era possível efetuar análises e sínteses com filtros espelho em quadratura. Entretanto, além do filtro Haar simples, um filtro espelho quadratura não pode ter resposta finita ao impulso. Em 1984, Smith and Barnwell [92] e Mintzer [73] determinaram condições necessárias e suficientes para se obter filtros ortogonais com reconstrução perfeita e resposta finita ao impulso, os filtros espelho conjugados. A teoria foi completada com as equações biortogonais de Vetterli [100], [99]. 2.3.1 Filtro iterativo Um filtro iterativo convolui um sinal a 0 com um filtro passa-baixa h(k) e um filtro passa-alta g(k), e subamostra a saída por dois, a 1 (k) = a 0 * h(2k) e d 1 (k) = a 0 * g(2k) . (2.20) Uma seqüência x(k) é obtida com a inserção de zeros em uma seqüência x(p), x(k) = x(p) se k = 2p (2.21) x(k) = 0 se k = 2p + 1 . (2.22) O sinal sintetizado a r 0 é obtido filtrando-se as seqüências expandidas com zeros, com um filtro dual passa-baixa h r (k) e um filtro dual passa-alta g r (k) (fig. 2.9). Para sintetizar o sinal (fig. 2.10), cada nível na transformada é obtido por, 24 Análise e Síntese de um Processador Digital Wavelet 25 Figura 2.9: Síntese wavelet, filtro iterativo, um estágio. Figura 2.10: Transformada Wavelet Discreta Inversa, l níveis. a r 0 (k) = a 1 (k) h r (k) + d 1 (k) g r (k) . (2.23) Para que o sinal sintetizado a r 0 seja igual ao sinal a 0 , as funções de transferência H, G, Hr e Gr nos filtros análise h(k), g(k), e síntese h r (k) e g r (k), respectivamente, devem ser biortogonais, H*( + ) Hr( ) + G*( + ) Gr( ) = 0 (2.24) e H*( ) Hr( ) + G*( ) Gr( ) = 2 . (2.25) Os filtros síntese, portanto, são completamente especificados pelos filtros análise h e g. As equações (2.24) e (2.25) podem ser escritas na forma matricial, 25 Pedro Henrique Cox 26 (2.26) 0 2 )(G )(H G )(G H )H r r )()( ( invertendo-se a matriz 2 x 2, (2.27) )H(- )G( ))( / 2( )(G )(H r r onde ( ) é o determinante ( ) = H( ) G( + ) – H( + ) G( ) . (2.28) Os filtros síntese são estáveis somente se ( ) 0 para [- , ]. 2.3.2 Filtros Resposta ao Impulso Finita Quando todos os filtros tem resposta ao impulso finita (FIR) [77], o determinante ( ) definido na equação (2.28) e os filtros síntese podem ser facilmente calculados. Os filtros síntese satisfazem a condição H*( ) Hr ( ) + H*( + ) Hr ( + ) = 2 . (2.29) Nos filtros FIR, existem c R e l Z tais que G( ) = c e –i(2l + 1)w Hr ( + ) e Gr ( ) = c –1 e –i(2l + 1)w H*( + ) . (2.30) O fator c é um ganho, invertido nos filtros análise e síntese, e l é um deslocamento reverso. Geralmente c = 1 e l = 0. No tempo, as equações (2.30) podem ser reescritas, g (k) = (-1)k hr (k) e gr (k) = (-1) k h (k) (2.31) onde os dois pares de filtros ( h , g ) e ( h r , g r ) são simétricos e podem ser invertidos. 26 Análise e Síntese de um Processador Digital Wavelet 27 Satisfeita a condição filtro análise h igual ao filtro síntese h r , a equação (2.29) é a condição de Smith e Barnwell [67] e Mintzer [65] que define os filtros espelho quadratura: | H ( ) | 2 + | H ( + ) | 2 = 2 (2.32) e descreve suas propriedades ortogonais discretas. 2.4 Análises espectrais Fourier e Wavelet A transformada rápida de Fourier (FFT) e a Transformada Wavelet Diádica compreendem operações lineares que representam n amostras de um sinal utilizando log 2 n segmentos com várias dimensões. Os resultados são vetores dimensão 2n [1]. 2.4.1 Semelhanças São utilizadas matrizes transpostas para obter as transformadas inversas na FFT e na DWT. Esta propriedade matemática nos permite considerar que ambas sejam rotações no espaço para outra representação. Na FFT esta nova forma contém funções básicas bem conhecidas, as funções seno e coseno. Na DWT as funções básicas são as wavelets analíticas. 2.4.2 Diferenças As funções seno e coseno são freqüência localizáveis, sendo que as funções wavelet tem particularidades que as tornam localizáveis no tempo e na freqüência. Esta característica nos permite obter representações utilizando matrizes esparsas no domínio Wavelet. Inúmeras são as aplicações em compressão de informação, identificação em sinais característicos, eliminação de ruídos em séries temporais, etc. 27 Pedro Henrique Cox 28 Outra diferença é a descrição no espaço tempo-freqüência. Na FFT, quando se obtém o espectro, utiliza-se janelas no tempo com o mesmo tamanho. A resolução é sempre a mesma no espaço tempo-freqüência. Na DWT as janelas têm durações diferentes. São utilizadas funções básicas de curta duração para freqüências altas e funções básicas de longa duração para freqüências baixas (fig. 2.11). Figura 2.11: Gráficos tempo x freqüência, Fourier e Wavelet. 2.5 Compressão de eletrocardiogramas As transformadas Wavelet DWT armazenam informação em um número relativamente pequeno de coeficientes. De acordo com a propriedade de conservação de energia na transformada Wavelet ortonormal [29], f(t) 0t 2 = C 0t vk 2 (2.33) na qual, f(t) = C vfinito kfinito vk (svt – k) (2.34) 28 Análise e Síntese de um Processador Digital Wavelet 29 a compressão na amostragem pode ser feita com alta qualidade. Consideram-se nulos os coeficientes aquém de um certo valor, sem provocar distorções relevantes no sinal reconstruído. Os coeficientes calculados podem ser codificados otimizando-se a compressão. O sinal eletrocardiograma (ECG) é dividido em intervalos contendo n amostras, onde n é potência de 2. Cada intervalo tem o número de amostras reduzido utilizando-se o seguinte algoritmo: 1 A transformada Wavelet direta é aplicada a cada intervalo, gerando n coeficientes Cvk , 2 Os coeficientes menores que um valor limite predeterminado T são igualados a zero, 3 Os coeficientes restantes são quantificados, Cvk = Cvk 2 -v/2 + 0,5 4 Os coeficientes quantificados são codificados. A taxa de compressão é controlada pelo valor limite T. Quanto maior este valor, maior a taxa de compressão, menor a definição. O sinal ECG é reconstruído invertendo-se os passos 4, 3, 1 no algoritmo. Em cada intervalo, as descontinuidades no início e no final provocam o aparecimento de coeficientes inexistentes nas escalas alta freqüência. Existem várias soluções possíveis: estender o sinal no início e no fim com um valor constante ou nulo, repetir uma parte ou utilizar um conjunto especial de funções [47]. Foram utilizados dados do Banco de Dados para teste de compressão MIT-BIH [75], e a wavelet analítica Daubechies (fig. 2.1 b). A compressão em 168 sinais com 20,48 segundos amostrados com 12 bits a 250 Hz apresentou a curva taxa de compressão x distorção traçada 29 Pedro Henrique Cox 30 com o índice de distorção percentual diferença média quadrática (PRD) e ilustrada na figura 2.12. O índice PRD é obtido pela equação (2.35), 1/2 PRD = n f(i) – f(i) 2 / f(i) n 2 x 100% . (2.35) onde n é o número de amostras, f(i) é o sinal original e f(i) é o sinal sintetizado. Figura 2.12: Taxa de compressão x distorção, índice PRD. 2.6 Pacotes Wavelet Enquanto a STFT decompõe o sinal no esquema árvore binária completa, a DWT diádica decompõe o sinal no esquema mínimo necessário para descrever o espectro em faixas potência de 2 (fig. 2.13). 30 Análise e Síntese de um Processador Digital Wavelet 31 Quando o objetivo na análise Wavelet é seletividade em freqüência, os esquemas nos pacotes Wavelet são definidos pelas escalas relevantes para representar o sinal [54] (fig. 2.13). Após cada filtragem, o coeficiente obtido é comparado com um valor limite T. Os resultados obtidos comprimindo os sinais ECG utilizando pacotes Wavelet freqüência não são substancialmente melhores que os resultados obtidos com a DWT. Novos algoritmos incluindo características no ECG tais como freqüência cardíaca média [51], predição a longo termo [78] e técnicas para representar a árvore binária utilizada em cada intervalo, podem melhorar o desempenho. Se, na representação do sinal pelos coeficientes wavelet, redundância nos espectros de níveis diferentes da transformada não é um problema, pode-se utilizar também os pacotes Wavelet tempo-freqüência, onde, em determinadas escalas, a translação é feita em um sub-intervalo ou um instante. Figura 2.13: Subdivisões em freqüência na STFT, na DWT diádica e nos pacotes Wavelet. 31 Pedro Henrique Cox 32 Capítulo 3 Análises dimensional e Wavelet no SAECG 3.1 Deslocamento e velocidade de polarização em indivíduos pós- infartos Análises em ECGs com nove sinais amostrados em sensores monopolares [76], [106], [16] ou três sinais amostrados em sensores bipolares [53], [31], [12], [89] nos permitem avaliar a intensidade na polarização cardíaca. No ECG com nove sinais e doze derivações, a análise é efetuada verificando-se intensidade e duração de pulsos, períodos entre picos e outras particularidades. Potenciais elétricos são representados por formas de onda detectadas em sensores monopolares colocados sobre a região onde ocorre a polarização cardíaca. Nos eletrocardiogramas feitos com três sensores bipolares é feita uma tentativa de captar os potenciais elétricos através de uma disposição ortogonal de três sensores bipolares sobre a região de polarização (fig. 3.1 a). As derivações X, Y e Z que caracterizam um eletrocardiograma em alta resolução (HRECG) são três vetores obtidos calculando-se o eletrocardiograma média coerente (SAECG) com os sinais X + - X - , Y + - Y - e Z + - Z - . Para efetuar o cálculo de um SAECG, inicialmente o ECG é amostrado com o indivíduo em repouso, durante aproximadamente 20 minutos. Após a amostragem, são selecionados os batimentos normais. Os batimentos normais são sincronizados através de um circuito detectador de nível de tensão no complexo QRS [38]. Em seguida, todos os batimentos normais são somados em cada uma das derivações, obtendo-se assim as derivações X, Y e Z, com aproximadamente 600 amostras cada. 32 Análise e Síntese de um Processador Digital Wavelet 33 O SAECG tem sido analisado para detectar a ocorrência de potenciais tardios no vetor magnitude (VM), VM = ( 222 ZYX ), onde os vetores são previamente filtrados em filtro passa-altas bidirecional [90]. Na verificação de ocorrência de potenciais tardios é analisada a intensidade no módulo do vetor de polarização, no final do complexo QRS no ECG, com a finalidade de avaliar o risco de taquicardia ventricular e fibrilação. Neste trabalho foram feitas análises detalhadas no deslocamento e na velocidade angular de polarização que podem contribuir para melhor avaliar perturbações anatômicas e eletrofisiológicas em indivíduos que sofreram infarto. Foram definidos dois parâmetros vetoriais, calculados com os sinais obtidos nas derivações X, Y e Z no SAECG. O conhecido parâmetro vetor magnitude (VM), sem filtragem, avalia a intensidade de polarização no SAECG. O novo parâmetro deslocamento meridional vetorial (MVD) avalia o deslocamento angular no plano formado pelo plano ortogonal ao plano XY que passa pelo eixo Z e o novo parâmetro deslocamento planar vetorial (PVD) avalia o deslocamento angular no plano XY. Foram analisados dois grupos de indivíduos pós-infartos e um grupo de pacientes normais. Verificou-se que algumas diferenças nas curvas deslocamento angular PVD e velocidade angular dPVD/dt no vetor de polarização (PV) durante ativação ventricular (AV), intervalo QR no ECG, tem alta correlação quando é feito o teste de significância. Os SAECGs dos dois grupos de indivíduos pós-infartos e do grupo de indivíduos normais foram gentilmente cedidos pelos Profs. Jurandir Nadal e Paulo R. B. Barbosa, do Programa de Engenharia Biomédica – COPPE, UFRJ [44]. Os ECGs foram amostrados a 2 KHz, 12 bits, e sincronizados pela 2a. derivada na derivação X. 3.1.1 Coordenadas esféricas A representação de um vetor tridimensional pode ser feita em coordenadas cartesianas ou esféricas. Em coordenadas cartesianas cada dimensão é representada diretamente por cada 33 Pedro Henrique Cox 34 coordenada x, y ou z. Quando são utilizadas as coordenadas esféricas, o vetor é representado pelos parâmetros r (x,y,z), (x,y,z) e (x,y,z) (fig. 3.1 b). (a) (b) Figura 3.1: (a) Sensores bipolares. (b) Representação de um vetor em coordenadas esféricas. O parametro r é o módulo, equação (3.1). O parâmetro é o ângulo formado entre a direção z e o vetor, sentido trigonométrico, equação (3.2). O parâmetro é o ângulo formado entre a direção x e a projeção no plano xy, sentido trigonométrico, equação (3.3). r (x, y, z) = (x2 + y2 + z2 )1/2 (3.1) (x, y) = arc tg ((x2 + y2)1/2 / z) (3.2) (x, y, z) = arc tg (y / x) (3.3) 3.1.2 Vetor magnitude, deslocamentos e velocidades angulares Na representação gráfica em três dimensöes, a origem é comum às três direções. Devido a natureza não invasiva nas gravações de ECGs, não é possível colocar um eletrodo comum no lugar onde este deveria estar. Na eletrocardiografia com três derivações, para manter ortogonalidade nos três sinais, a solução encontrada foi a utilização de sensores bipolares. Ao fazer os exames eletrocardiográficos superficiais, os pares de eletrodos são 34 Análise e Síntese de um Processador Digital Wavelet 35 colados sempre na mesma posição, direção e também no mesmo sentido, na epiderme. O contato elétrico é feito com o auxílio de gel condutor. Após a gravação do ECG é calculado o sinal ECG média coerente SAECG. Os sinais X(t), Y(t) e Z(t) descrevem o PV em coordenadas cartesianas no intervalo de tempo de um batimento cardíaco. O VM, equação 3.4, o vetor deslocamento angular meridional (MVD), equação 3.5, e o vetor deslocamento angular planar (PVD), equação 3.6, são determinados de maneira análoga ao cálculo de coordenadas esféricas. Com estes parâmetros é possível descrever a intensidade, em volts, e o caminho, em ângulos, durante a polarização cardíaca. VM(t) = ( X2(t) + Y2(t) + Z2(t) )1/2 (3.4) MVD(t) = arc tg ( ( X2(t) + Y2(t) )1/2 / Z(t) ) (3.5) PVD(t) = arc tg ( Y(t) / X(t) ) (3.6) A velocidade de polarização durante a ativação ventricular, período compreendido entre 80 ms e 130 ms, aproximadamente, é descrita pelos parâmetros dMVD(t)/dt e dPVD(t)/dt, velocidades angulares dos vetores MVD(t) e PVD(t), respectivamente. Analisando-se o SAECG de alguns indivíduos pós-infartos em diferentes regiões observa-se que curvas PVD(t) de indivíduos que sofreram infarto na região anterior ou na região inferior descrevem caminhos diferentes apesar de curvas MVD(t) descreverem caminhos semelhantes (figs. 3.2 e 3.3). Ao analisar o parâmetro média de dPVD(t)/dt (eq. 3.10, fig. 3.6 b) verifica-se que as diferenças entre as curvas de velocidades de polarização são ainda mais acentuadas, notadamente durante a ativação ventricular. Concluindo a primeira análise, verifica-se que pode haver diferenças significativas entre as curvas PVD(t) e dPVD(t)/dt de indivíduos que sofreram infarto na região anterior ou na região inferior. 35 Pedro Henrique Cox 36 Foram traçadas as curvas MVD(t) e PVD(t) de dois grupos de dez indivíduos pós- infartos. Os pós-infartos na região anterior estão no grupo 1 e os pós-infartos na região inferior estão no grupo 2 (fig. 3.4). Observa-se que as curvas PVD(t) tem características gerais diferentes em cada grupo. Figura 3.2: (a) MVD(t) e (b) PVD(t) em um indivíduo pós-infarto na região anterior. Figura 3.3: (a) MVD(t) e (b) PVD(t) em um indivíduo pós-infarto na região inferior. 36 Análise e Síntese de um Processador Digital Wavelet 37 Figura 3.4: (a) e (b) MVD(t) e (c) e (d) PVD(t) em dez indivíduos nos grupos 1 e 2. Foi incluído o grupo de indivíduos normais, com dez indivíduos, com a finalidade de comparar os deslocamentos e as velocidades angulares de polarização entre indivíduos normais e indivíduos pós-infartos. Foram calculadas as curvas médias CMVi(t) (equação 3.7) e CPVi(t) (equação 3.8), i = 1, 2, 3, que representam os caminhos médios da polarização em cada um dos três grupos i, cada um com j indivíduos. (3.7)1,2,3i(t)MVD 10 1 CMV 10 1j jii (3.8)1,2,3i(t)PVD 10 1 CPV 10 1j jii Observando-se as formas de onda CPVi(t) (fig. 3.5) nota-se que CPV1(t) e CPV2(t) tem valores aproximadamente iguais somente durante a ativação ventricular (subida do QRS). Nota-se também que CPV1(t) e CPV3(t) tem valores aproximadamente iguais durante e após o QRS, enquanto CPV2(t) e CPV3(t) tem valores aproximadamente iguais antes e durante o 37 Pedro Henrique Cox 38 QRS. Uma maneira de expressar numericamente o grau de semelhança entre dois grupos é calculando o teste de significância (seção 3.1.3). Figura 3.5: (a) CMVi(t) e (b) CPVi(t) nos três grupos analisados. Foram calculadas as curvas médias VMVi(t) (equação 3.9) e VPVi(t) (equação 3.10), i = 1, 2, 3, que representam as velocidades médias de polarização em cada um dos três grupos (fig. 3.6). (3.9)1,2,3i(t)/dtdMVD 10 1 (t)VMV 10 1j jii (3.10)1,2,3i(t)/dtdPVD 10 1 (t)VPV 10 1j jii 38 Análise e Síntese de um Processador Digital Wavelet 39 Figura 3.6: (a) VMVi(t) e (b) VPVi(t) nos três grupos analisados. Observando-se as formas de onda VMVi(t) (fig. 3.6) nota-se que durante AV, no período compreendido entre 75 e 90 ms, ocorre uma inversão de curta duração ( 5 ms) entre as curvas VMV1(t) e VMV3(t), enquanto VMV2(t) varia pouco. Estas características nos mostram que em indivíduos dos grupos 1 e 3 a polarização durante AV sofre acentuados desvios, em direções opostas, enquanto permanece estável nos indivíduos pós-infartos na região inferior, grupo 2. 3.1.3 Probabilidade de significância A probabilidade de significância ou teste ranksum Wilcoxon, muito utilizado em cálculo de probabilidades na engenharia biomédica [20], estima a probabilidade de duas amostragens serem iguais. Foram calculados seis vetores probabilidade de significância pk, k = 1, 2, ... , 6, (equações 3.11a a 3.11f), para analisar as curvas CPVi(t) e VPVi(t) nos três 39 Pedro Henrique Cox 40 grupos de indivíduos, em intervalo com duração de 150 ms. O teste foi feito utilizando-se a rotina ranksum, software Matlab [74], para dois grupos de indivíduos pós-infartos. p1 (t) = ranksum(CPV1 j(t), CPV2 j(t)) (3.11a) p2 (t) = ranksum(CPV1 j(t), CPV3 j(t)) (3.11b) p3 (t) = ranksum(CPV2 j(t), CPV3 j(t)) (3.11c) p4 (t) = ranksum(VPV1 j(t),VPV2 j(t)) (3.11d) p5 (t) = ranksum(VPV1 j(t),VPV3 j(t)) (3.11e) p6 (t) = ranksum(VPV2 j(t),VPV3 j(t)) (3.11f) onde j = 1, 2, … , 10 é o índice para os 10 indivíduos de cada grupo. As curvas probabilidades de significância pk, k = 1, 2, ... , 6, são ilustradas na fig. 3.7. Observa-se que durante ativação ventricular, no intervalo compreendido entre 80 e 110 ms, p1 > 0,45 e p4 < 0,02. Estas características de p1 e p4 nos mostram que: 1) Os deslocamentos angulares na PV dos indivíduos dos grupos 1 e 2, CPV1(t) e CPV2(t), são muito parecidos, ou seja, ocorrem na mesma região; 2) As velocidades angulares na PV dos mesmos indivíduos, VPV1(t) e VPV2(t), estão invertidas. Com o auxílio da fig. 3.5, que inclui o gráfico de CPV3(t), para indivíduos normais, conclui-se que: 1) O deslocamento angular médio no plano xy nos indivíduos do grupo 2 é aproximadamente o mesmo que o deslocamento angular médio no plano xy do grupo de indivíduos normais, até o final da ativação ventricular. 2) O deslocamento angular médio no plano xy nos indivíduos do grupo 1 é aproximadamente o mesmo que o deslocamento angular médio no plano xy no grupo de indivíduos normais, após a ativação ventricular. 40 Análise e Síntese de um Processador Digital Wavelet 41 Para auxiliar o diagnóstico do local do infarto, a análise apresentada pode ser útil para classificar o SAECG de um indivíduo em um entre dois grupos de indivíduos pós- infartos, com probabilidade de acerto > 95 % somente com o parâmetro VPV1(t) e VPV2(t). 3.2. Análise da ativação ventricular utilizando a transformada Wavelet A atividade elétrica fragmentada em regiões miocárdicas cicatriciais representa uma forma de atividade elétrica instável, decorrente em parte da dispersão das frentes-de-onda de polarização [53], [13]. Para analisar a condução elétrica em indivíduos pós-infartos em altas freqüências com o objetivo de detectar esta dispersão, foi feita a análise wavelet durante a ativação ventricular (AV) em indivíduos pós-infartos e em indivíduos normais. Figura 3.7: Probabilidades de significância. Neste trabalho foram calculados escalogramas wavelet com 64 escalas e 512 amostras em intervalo de 150 ms durante a ativação ventricular. Em seguida foram calculadas as médias e os desvios padrões médios nas derivadas, nas três derivações, dX/dt, dY/dt e dZ/dt, 41 Pedro Henrique Cox 42 nos dois grupos de indivíduos pós-infartos e no grupo de indivíduos normais, três indivíduos em cada grupo. 3.2.1 Introdução A atividade elétrica fragmentada no miocárdio lesado representa um risco para o desenvolvimento de arritmias potencialmente fatais. Os potenciais cardíacos ventriculares (PTV) indicam presença de fragmentação miocárdica e quando são detectados no SAECG auxiliam na estratificação clínica de arritmias [31]. Entretanto, as técnicas atualmente empregadas para a análise de PTV demonstram baixo valor preditivo positivo (< 15% em um ano), tanto no domínio tempo quanto na frequência [12]. Este quadro reduz potencialmente o interesse clínico e justifica que a investigação da atividade elétrica no miocárdio se desenvolva, visando a identificação de parâmetros que quantifiquem a atividade elétrica normal. Responsáveis por arritmias ventriculares, os circuitos de reentrada formam-se quando a presença de fibrose intercalada com fibras miocárdicas viáveis induzem tanto a redução da velocidade de propagação do estímulo elétrico quanto a propagação fragmentada em “saltos” entre locais de ativação. Foram observadas componentes espectrais relevantes de alta freqüência no HRECG, durante AV, no miocárdio de indivíduos pós-infartos. 3.2.2 Escalogramas Wavelet no SAECG A transformada Wavelet tem sido muito utilizada no estudo de particularidades em formas de onda que apresentam ruídos ou períodos com “subidas” ou “descidas” abruptas [105]. Ao calcular a transformada de Fourier contínua, obtém-se um vetor que representa as componentes espectrais em frequência. Ao calcular a transformada Wavelet contínua, obtém- se N vetores, um para cada escala. Em cada escala, os coeficientes wavelet representam 42 Análise e Síntese de um Processador Digital Wavelet 43 componentes espectrais relativas à wavelet analítica escolhida. Ao calcular a transformada Wavelet contínua com 64 escalas no SAECG de indivíduos pós-infartos, no período compreendido entre 50 ms antes e 100 ms depois da velocidade máxima de polarização na derivação X, obtém-se uma matriz de coeficientes wavelet composta por 64 linhas e 300 colunas [74], [37], [28]. Foi calculada a Transformada Wavelet Contínua (CWT) da função ai, j, k(t) que representa a derivada dX/dt, dY/dt ou dZ/dt em uma derivação X(t), Y(t) ou Z(t) do SAECG. O resultado do cálculo da CWT de cada função é uma matriz CWT(ai, j, k) com 64 linhas para as escalas s e 300 colunas para os instantes u, obtida pela equação (3.12). (3.12)u)/s)dt((t(t)a)s1/()CWT(a * kj,i,kj,i, onde: i = 1, 2, 3, é o índice para as derivadas dX/dt, dY/dt e dZ/dt, respectivamente, k = 1, 2, 3 é o índice para os grupos de indivíduos pós-infartos anterior, indivíduos pós-infartos inferior e indivíduos normais, respectivamente, j = 1, ... , n(k) é o índice para os SAECG de indivíduos em cada grupo k; n(1) = 3, n(2) = 3 e n(3) = 3. A wavelet analítica escolhida para a análise é a Gauss 2a. derivada (t), (eq. 3.13, fig. 2.1 a). Esta wavelet analítica foi escolhida por calcular coeficientes wavelet de maneira semelhante ao cálculo de componentes espectrais na Transformada de Fourier Contínua. Outras wavelets calculariam os coeficientes com excessivas oscilações em alta freqüência. (3.13)/2)texp() t-)(13(2/(t) 221/4 Inicialmente, foi determinado o instante em que ocorre a velocidade máxima de polarização, em todos os SAECGs, na derivação X. Todos os SAECG foram sincronizados neste instante. Em seguida foi selecionado o período de 150 ms de amostragem durante 43 Pedro Henrique Cox 44 ativação ventricular, compreendido entre 50 ms antes e 100 ms depois do instante de sincronismo. Ao calcular a transformada Wavelet no SAECG de cada indivíduo são obtidos três escalogramas, um para cada derivação. Analisando-se em separado os três escalogramas de cada indivíduo, observa-se a presença de coeficientes wavelet nas escalas em altas freqüências, em indivíduos pós-infartos. Observa-se ainda que o módulo destes coeficientes oscila ao longo de uma escala. Para analisar altas freqüências no SAECG, foram calculados os escalogramas média e os escalogramas desvio-padrão para cada grupo de indivíduos. Observando-se os escalogramas de indivíduos nos três grupos, nas três derivações (fig. 3.8), nota-se que na escala 44 e vizinhas, o número de oscilações no tempo, durante AV é maior nos escalogramas de indivíduos pós-infartos (grupos 1 e 2) que nos escalogramas de indivíduos normais (grupo 3). Foram calculados nove escalogramas média, um para cada derivação em cada grupo, cada grupo com três indivíduos, equação (3.14), ilustrados na fig. 3.8. Cada escalogrma médio, nas figuras 3.8, 3.9, 3.10 e 3.11, é obtido sincronizando-se as três derivações pela derivada máxima na derivação X. Observando-se os escalogramas média, entre as escalas 34 e 54, nota-se que, nas três derivações dos grupos 1 e 2 as oscilações ocorrem em freqüência mais elevada que nas três derivações do grupo de indivíduos normais. Devido ao cálculo de média de três escalogramas, as amplitudes das oscilações nos grupos 1 e 2 estão atenuadas e no grupo 3 as escalas apresentam-se bastante homogêneas, ou seja, o módulo dos coeficientes variam no tempo com poucas oscilações. Para evitar estas atenuações e avaliar as variações em cada escala, sem cancelamentos, inicialmente é necessário quantificá-las, em cada indivíduo, para depois calcular o valor médio em um grupo. Uma boa continuação desta pesquisa seria determinar um método para medir as oscilações. Por exemplo, médias de máximos e mínimos locais em cada escala, no intervalo de amostragem considerado. 44 Análise e Síntese de um Processador Digital Wavelet 45 Em seguida foram calculados nove escalogramas para ilustrar diferenças entre médias nos três grupos, em cada derivação, fig. 3.9. Como era de se esperar, as oscilações são mais intensas nos escalogramas diferenças entre médias nos grupos 1 e 2 (figs. 3.9 a, 3.9 b e 3.9 c), notadamente na escala 44 e vizinhas. (3.14)32,1,i3/|)CWT(a|)M(a kj,i, 3 1j ki, Foram calculados nove escalogramas desvio-padrão, um para cada derivação em cada grupo, equação (3.15), ilustrados na fig. 3.10. Não foram observadas diferenças relevantes entre oscilações nos escalogramas. (3.15)32,1,i3/||)CWT(a|)M(a|)D(a kj,i,ki, 3 1j ki, Em seguida foram calculados os nove escalogramas diferença nos desvios-padrões entre grupos, em cada derivação, ilustrados na fig. 3.11. Nota-se novamente uma maior intensidade nas oscilações (figs. 3.11 a, 3.11 b e 3.11 c), nos escalogramas diferenças entre desvios-padrões dos grupos 1 e 2 (fig. 3.11 a), nas escalas 34 e vizinhas. Estas oscilações confirmam a ocorrência de dispersão na frente-de-onda de polarização. A contribuição do presente trabalho é o resultado obtido com a análise wavelet nos escalogramas. Verifica-se que ocorrem variações relevantes na velocidade de propagação da frente-de-onda durante ativação ventricular no miocárdio lesado, facilmente detectadas nos escalogramas média da fig. 3.8. Ao continuar esta pesquisa, é importante quantificar estas variações na velocidade de propagação. Esta quantificação pode ser feita através de 45 Pedro Henrique Cox 46 Figura 3.8: Escalogramas média em cada derivada, grupos 1, 2 e 3: M(dX/dt,1) M(dY/dt,1) M(dZ/dt,1) (a) (b) (c) M(dX/dt,2) M(dY/dt,2) M(dZ/dt,2) (d) (e) (f) M(dX/dt,3) M(dY/dt,3) M(dZ/dt,3) (g) (h) (i) 46 Análise e Síntese de um Processador Digital Wavelet 47 Figura 3.9: Escalogramas diferenças entre médias em cada derivada, grupos 1, 2 e 3: |M(dX/dt,1)-M(dX/dt,2)| |M(dY/dt,1)-M(dY/dt,2)| |M(dZ/dt,1)-M(dZ/dt,2)| (a) (b) (c) |M(dX/dt,1)-M(dX/dt,3)| |M(dY/dt,1)-M(dY/dt,3)| |M(dZ/dt,1)-M(dZ/dt,3)| (d) (e) (f) |M(dX/dt,2)-M(dX/dt,3)| |M(dY/dt,2)-M(dY/dt,3)| |M(dZ/dt,2)-M(dZ/dt,3)| (g) (h) (i) 47 Pedro Henrique Cox 48 Figura 3.10: Escalogramas desvio-padrão médio em cada derivada, grupos 1, 2 e 3: D(dX/dt,1) D(dY/dt,1) D(dZ/dt,1) (a) (b) (c) D(dX/dt,2) D(dY/dt,2) D(dZ/dt,2) (d) (e) (f) D(dX/dt,3) D(dY/dt,3) D(dZ/dt,3) (g) (h) (i) 48 Análise e Síntese de um Processador Digital Wavelet 49 Figura 3.11: Escalogramas diferenças entre desvios-padrões médios em cada derivada, grupos 1, 2 e 3: |D(dX/dt,1)-D(dX/dt,2)| |D(dY/dt,1)-D(dY/dt,2)| |D(dZ/dt,1)-D(dZ/dt,2)| (a) (b) (c) |D(dX/dt,1)-D(dX/dt,3)| |D(dY/dt,1)-D(dY/dt,3)| |D(dZ/dt,1)-D(dZ/dt,3)| (d) (e) (f) |D(dX/dt,2)-D(dX/dt,3)| |D(dY/dt,2)-D(dY/dt,3)| |D(dZ/dt,2)-D(dZ/dt,3)| (g) (h) (i) 49 Pedro Henrique Cox 50 mapeamento de coeficientes wavelet máximos e mínimos em matrizes tempo x escalas, uma para cada derivação em cada grupo. Resultados semelhantes foram obtidos em [13], onde a variação na velocidade de propagação da polarização cardíaca são quantificadas pela função de magnitude da coerência espectral quadrática (MCQ). A rotina CWT do MatLab Wavelet Toolbox [74] efetua os cálculos com wavelets analíticas representadas por vetores. Ao calcular a CWT com uma determinada wavelet analítica, em cada escala o vetor é subamostrado, e o cálculo de cada coeficiente inclui a imprecisão devido à subamostragem. Para eliminar esta imprecisão, foi utilizada a rotina RWT do WaveLab [37], [28], que calcula o valor da função wavelet analítica em cada instante e em cada escala para depois calcular um coeficiente. Foram desenvolvidos dois programas com rotinas MatLab e WaveLab para o cálculo de escalogramas. Estes programas geram arquivos intermediários para o cálculo dos escalogramas, constituindo um pacote para o cálculo de escalogramas média e desvio padrão em dois grupos distintos, e a diferença entre estes, para sinais eletrocardiográficos SAECG. Os programas são listados no Apêndice A. 50 Análise e Síntese de um Processador Digital Wavelet 51 Capítulo 4 Eletrocardiógrafo e monitor cardíaco O estudo relacionando pulsos elétricos e atividade cardíaca teve um grande impulso no último século. Neste capítulo inicialmente é apresentado um resumo descrevendo a cronologia no desenvolvimento de aparelhos utilizados na cardiologia tais como marca-passos, desfibriladores e eletrocardiógrafos. Nesta pesquisa foram aperfeiçoados os sensores, monopolares e bipolares, o circuito de um comutador analógico e circuitos para armazenamento de eletrocardiogramas (ECGs) em microcomputador. Os ECGs são registrados em nove ou três derivações no eletrocardiógrafo e em três derivações no monitor cardíaco. 4.1 Histórico Eithoven construiu o primeiro eletrocardiógrafo em 1903 e recebeu o prêmio Nobel em 1924. Em 1949 o físico Norman Jeff Holter desenvolveu um eletrocardiógrafo portátil pesando 30 Kg com a capacidade de detectar o ECG e transmiti-lo via rádio [55]. Atualmente o aparelho tem tamanho reduzido e registro em suporte magnético ou digital, e é utilizado para gravar ECGs ambulatoriais. No mesmo ano, Sokolow e Lyon [95] propõem critério para diagnosticar hipertrofia ventricular esquerda no ECG registrado em papel. Esta anomalia ocorre quando a amplitude no instante S na derivação V1 somada à amplitude R na derivação V6 excede 35 mm. No ano seguinte o engenheiro elétrico John Hopps, pesquisador no National Research Council, e os físicos Wilfred Bigelow, médico titular na Universidade de Toronto, e John C. Callaghan [18], médico assistente, demonstraram que a contração cardíaca coordenada pode 51 Pedro Henrique Cox 52 ser estimulada por um pulso elétrico na região sino-atrial. Estava inventado o marca-passos. O aparelho a válvulas media 30 cm e funcionava ligado a uma tomada. Em 1956, o cardiologista Paul Zoll [107] utiliza um potente desfibrilador e efetua a primeira desfibrilação não-invasiva. Em 1960, Smirk e Palmer [91] enfatizam o risco de morte súbita na fibrilação ventricular, particularmente quando batimentos prematuros ventriculares ocorrem ao mesmo tempo no instante T, o chamado fenômeno R em T. Em 1963, Baule e Mc Fee [15] são os primeiros a detectar o magnetocardiograma, campo eletromagnético produzido pela atividade elétrica no coração. Este método dispensa o uso de eletrodos conectados ao paciente. Apesar de potencialmente util, esta técnica nunca teve muita aceitação em parte devido ao alto custo. Em 1969, Rosenbaum [88] revê a classificação de batimentos prematuros ventriculares e adiciona uma forma benigna detectada no ventrículo direito e não associada a anomalias cardíacas, conhecida como extrasistole ventricular Rosenbaum. No mesmo ano, Bruce descreve uma série de exercícios para a eletrocardiografia de esforço, mais tarde conhecidos como protocolo de Bruce [21]. Em 1976, Erhardt e colegas [41] descrevem o uso de um eletrodo precordial direito no diagnóstico de enfarte ventricular direito. Anteriormente esta região era considerada dispensável para os exames ECG. Em 1981, Simpson [90] utilizou a análise wavelet em ECGs alta resolução para detectar potenciais tardios. Após se recuperarem de enfartes agudos, um número significativo de pacientes permanecem sob risco de morte súbita provocada por taquicardia ventricular. A detecção de potenciais tardios pode indicar a possibilidade de ocorrência destas taquicardias. Em trabalhos recentes, a análise wavelet tem se mostrado versátil para o auxílio ao diagnóstico de enfermidades relacionadas com a atividade cardíaca [30], [2]. 52 Análise e Síntese de um Processador Digital Wavelet 53 4.2 O Eletrocardiógrafo O eletrocardiógrafo efetua a amostragem em nove eletrodos multiplexados. Após a conversão analógico-digital [8], [52] os dados são transmitidos a um microcomputador ou a uma memória RAM instalada no aparelho, para armazenamento ou processamento. As correntes de fuga que fluem pelos eletrodos podem enfraquecer a polarização no coração ocasionando choques elétricos. Atualmente os eletrocardiógrafos são aparelhos muito precisos e oferecem poucos riscos aos pacientes. Amplificadores isoladores permitem projetar aparelhos com correntes de fuga reduzidas ao máximo [52], [17]. Entretanto, deve-se evitar correntes elétricas espúrias provocadas por interferência eletromagnética (EMI) 60 Hz e ruídos em alta freqüência, sempre presentes no ambiente em que são feitos os exames e detectáveis no paciente, nos eletrodos e no aparelho. Ao desenvolver sensores para os eletrocardiógrafos é importante limitar a corrente de polarização de forma que o paciente esteja protegido contra possíveis choques elétricos, devidos à EMI nos eletrodos e impedância de entrada variável nos circuitos amplificadores [39]. A EMI, além de provocar risco de choque elétrico no paciente, distorce o sinal na forma de ruído. Na grande maioria dos eletrocardiógrafos a EMI é simplesmente filtrada, alterando o espectro do ECG, localizado aproximadamente entre 0,05 Hz e 100 Hz. Neste trabalho foram especificados circuitos especiais para evitar interferências por meio de aterramento nos eletrodos conectados a circuitos amplificadores isolados. Os nove canais amplificados são conectados a um comutador analógico. Em seguida são digitalizados em um conversor analógico-digital. Descrevem-se três diferentes modos de aquisição de dados em microcomputadores: espera, interrupção e memória auxiliar. No projeto de um monitor cardíaco foram verificadas algumas limitações com relação ao aterramento dos eletrodos, e foram propostas algumas soluções. 53 Pedro Henrique Cox 54 Estudos recentes revelam que existem sinais de alta freqüência no espectro ECG que podem auxiliar na estratificação de risco de ocorrência de distúrbios cardíacos [12]. Foi escolhida a freqüência de amostragem de 2 kHz, ampliando-se a banda passante até 1 kHz. 4.2.1 Limites de corrente nos sensores O aparelho deverá ter correntes de polarização nos sensores e correntes de fuga com intensidade mínima fluindo pelos eletrodos e pela pessoa que está efetuando os exames. O risco a ser evitado é a ocorrência de fibrilação ventricular devido a correntes elétricas no miocárdio. Os primeiros estudos relacionando níveis de corrente elétrica e fibrilação ventricular datam de 1975 [9]. Foi estabelecido o limite de 10 A para correntes elétricas entre qualquer eletrodo conectado ao paciente e fio terra na rede elétrica. Este limite tem sido aceito até os dias de hoje, após constatar-se que a menor corrente elétrica que provoca fibrilação ventricular é de 15 A, em exames onde o eletrodo é colocado na região endocardial. As falhas ocasionais que podem provocar correntes elétricas de maior intensidade são três: falha em um componente no aparelho, falha ao ligar o aparelho na tomada ou falha na rede de distribuição de energia elétrica. Duas importantes considerações para manter o valor limite de 10 A são: 1) Os transformadores de alimentação não tem aterramento especial; 2) Os longos eletrodos e os cabos de alimentação tem acoplamento capacitivo. Outra consideração importante é a de que a redução ou filtragem da interferência eletromagnética pode ser ineficiente. Todas as considerações acima relacionadas foram reavaliadas e não foram modificadas pela American Heart Association, Committee on Electrocardiography, em 1996 [83]. Correntes de fuga podem eventualmente ser maiores, atingir 100 A, desde que fluam entre o aparelho e o aterramento na rede elétrica. Devem ser tomados cuidados tais como não 54 Análise e Síntese de um Processador Digital Wavelet 55 utilizar outros aparelhos elétricos conectados ao paciente durante o exame, evitando as altas correntes de fuga fluindo entre aparelhos pelo paciente. O registro de sinais elétricos biológicos frequentemente apresenta ruído em excesso [9]. Apesar de sua origem ser bem conhecida, a fonte de alimentação, a causa da perturbação nem sempre é óbvia. Aparentemente, mesmo equipamentos com alta relação sinal/ruído não garantem gravações sem interferências.No registro de sinais eletrocardiográficos, ruídos na faixa 1 - 10 V pico a pico são aceitáveis. 4.2.2 Interferências eletromagnéticas As interferências eletromagnéticas provocadas pelas instalações elétricas são devidas a três fatores principais [17]: capacitância no paciente, capacitância no aparelho e capacitância nos eletrodos (fig. 4.1). Seja Vmodo comum = Va + Vb + Vc (4.1) a tensão modo comum interferente em cada eletrodo conectado ao paciente. A capacitância no paciente é responsável por corrente de fuga de intensidade até 5 A, fluindo para a terra. Se a entrada de um amplificador de instrumentação é conectada ao paciente, parte desta corrente continua fluindo pelo circuito de aterramento, provocando a tensão modo comum Va. A capacitância no aparelho deverá ser considerada caso este não esteja aterrado. Esta capacitância surge quando o aparelho está ligado às instalações elétricas através de um transformador isolador. A corrente que flui para o paciente pelo eletrodo terra provoca a tensão modo comum Vb. 55 Pedro Henrique Cox 56 Figura 4.1: Capacitâncias entre o paciente e o ambiente, e entre o paciente e o aparelho. A maior fonte de interferências no registro de sinais elétricos biológicos é devida ao acoplamento capacitivo entre instalação elétrica e fios no aparelho. As correntes induzidas nos fios e nos eletrodos fluem para o paciente, provocando a tensão modo comum Vc. Esta corrente pode atingir dezenas de milivolts, muito mais altas que as correntes de polarização nos amplificadores. A tensão modo comum nos amplificadores Vent é dada por Vent = Vmodo comum [Zia / (Zia + Zea ) - Zib / ( Zib + Zeb ) ] (4.2) onde Zia , Zib são as impedâncias de entrada no amplificador e Zea e Zeb são impedâncias nos eletrodos. 56 Análise e Síntese de um Processador Digital Wavelet 57 A interferência provocada pela tensão modo comum nos amplificadores depende das impedâncias de entrada nos amplificadores. Os eletrodos apresentam valor típico de impedância 20 k a 60 Hz, e diferenças que podem chegar a 50%. Utilizando amplificadores operacionais JFET, as impedâncias Zea e Zeb tem valores muito maiores que Zia e Zib e o efeito provocado pela tensão modo comum Vent é reduzido. 4.2.3 Redução na tensão modo comum Devido principalmente ao manuseio, as impedâncias nos eletrodos e a interferência resultante podem variar muito entre exames. Simplesmente utilizar eletrodos blindados aterrados no aparelho não é suficiente para eliminar a EMI. A alta capacitância na blindagem reduz a impedância de entrada nos amplificadores, resultando em aumento na tensão modo comum Vent devido a diminuição nas impedâncias Zia , Zib. Neste trabalho foi especificado um circuito redutor de interferências com aterramento. A solução adotada [66] consiste em manter eletrodo e blindagem no mesmo potencial elétrico, conectando-se circuitos isoladores com ganho unitário. Na prática, utiliza-se um amplificador com ganho 0,99 para aumentar a estabilidade no circuito. O sinal no eletrodo comum ECG- deverá ser igual ao sinal média de todas as derivações ou tensão modo comum no paciente. Para diminuir a interferência devido a diversas capacitâncias parasitas e de aterramento, um driver de corrente é conectado ao paciente na perna direita (DRL). Neste circuito a tensão é a mesma que em ECG-. Um circuito DRL bem desenhado apresenta uma significativa redução na intensidade da voltagem modo comum presente nas medidas, reduzindo-se, ativamente, a diferença de tensões entre o paciente e o aterramento no circuito amplificador.. O circuito amplificador supressor de interferências para as nove derivações monopolares ECGi , 1 i 9, eletrodo comum ECG- e driver de corrente, é ilustrado na fig. 4.2. 57 Pedro Henrique Cox 58 Devido a condições favoráveis ao aterramento, o eletrocardiógrafo (ECG com nove Figura 4.2: Circuito redutor de interferências incluindo aterramento com driver de corrente no paciente. No eletrocardiógrafo, i = 9 e no monitor cardíaco, i = 3. derivações monopolares) apresenta melhor relação sinal/ruído que o monitor cardíaco (ECG com três derivações monopolares). Na versão alta resolução o eletrocardiógrafo especificado amostra ECGs com três derivações bipolares. A freqüência de amostragem é triplicada. O circuito amplificador supressor de EMI atua em cada par de sensores reduzindo a tensão modo comum ao máximo, tornando-se dispensável conectar o driver de corrente DRL (fig. 4.3). 58 Análise e Síntese de um Processador Digital Wavelet 59 Figura 4.3: Circuito amplificador e redutor de interferências, Vamp i = G(ECG i + - ECG i -), 1 i 3. 4.2.4 Conversão analógico-digital Os sinais provenientes de nove sensores monopolares (três sensores bipolares) são amplificados. São coletados dados em nove (três) canais simultaneamente. Após amplificação, os canais são digitalizados com resolução de 16 bits. Utilizando-se um conversor analógico-digital na saída de um comutador analógico, a amostragem no conversor deverá ter freqüência de conversão pelo menos nove vêzes maior que a freqüência de amostragem em cada derivação. Atualmente existem conversores A/D de 16 bits em muitas versões. Alguns destes conversores não requerem configuração programável. A configuracão é feita conectando-se um circuito analógico a pinos de controle e sinal de sincronismo, dispensando-se o uso de microcontroladores. Neste trabalho, entre os conversore