ALGORITMO GENÉTICO APLICADO AO CONTROLE DO MOSQUITO TRANSMISSOR DA DENGUE Luiz Gustavo Lyra Dissertação apresentada à Universidade Es- tadual Paulista �Júlio de Mesquita Filho� para a obtenção do título de Mestre em Biometria. BOTUCATU São Paulo - Brasil Fevereiro - 2014 ALGORITMO GENÉTICO APLICADO AO CONTROLE DO MOSQUITO TRANSMISSOR DA DENGUE Luiz Gustavo Lyra Orientadora: Profa. Dra. Heleni e de Oliveira Florentino Silva Co-orientador: Prof. Dr. Fernando Luiz Pio dos Santos Dissertação apresentada à Universidade Es- tadual Paulista �Júlio de Mesquita Filho� para a obtenção do título de Mestre em Biometria. BOTUCATU São Paulo - Brasil Fevereiro - 2014 Fi ha Catalográ� a FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA SEÇ�O TÉC. AQUIS. TRATAMENTO DA INFORM. DIVIS�O DE BIBLIOTECA E DOCUMENTAÇ�O - CAMPUS DE BOTUCATU - UNESP BIBLIOTECÁRIA RESPONSÁVEL: ROSEMEIRE APARECIDA VICENTE - CRB 8/5651 Lyra, Luiz Gustavo. Algoritmo genéti o apli ado ao ontrole do mosquito transmissor da dengue / Luiz Gustavo Lyra. - Botu atu, 2014 Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista, Instituto de Bio iên ias de Botu atu Orientador: Heleni e de Oliveira Florentino Silva Co-orientador: Fernando Luiz Pio dos Santos Capes: 10104003 1. Modelos matemáti os. 2. Algoritmos genéti os. 3. Mosquito - Controle. 4. Dengue. 5. Otimização matemáti a. Palabras- have: Algoritmo genéti o; Controle de mosquitos; Modelo matemáti o; Otimização. iii Dedi atória Dedi o este trabalho em espe ial a minha querida mamãe Ana Lú ia e a minha amada esposa Géssi a que são a inspiração para eu lutar e bus ar sempre o melhor. Agrade imentos Agradeço a Deus pelo dom da vida, saúde, força e determinação que foram fundamentais para eu poder desenvolver este trabalho e on luir mais uma etapa da vida a adêmi a. À minha mamãe Ana Lú ia que sempre foi um exemplo de perseverança e om sua sabedoria de vida me in entivou a bus ar a realização de meus sonhos. À minha amada esposa Géssi a que esteve ao meu lado durante esta jornada e me ajudou a seguir em frente. Aos meus irmãos Angelo, Alessandro e Sabrina que ompartilharam omigo os momentos de risos e travessuras. Aos meus avós Maria (in memoriam) e Manuel (in memoriam) por todos os ensinamentos. Ao meu tio Ananias pela amizade, ajuda, ensinamentos e por me mostrar o aminho em direção a Matemáti a. À Profa. Dra. Sueli Liberatti Javaroni pelos ensinamentos na ini iação ientí� a e valiosos onselhos. À Profa. Dra. Heleni e de Oliveira Florentino Silva pela pa iê ia, ori- entação, valiosos onselhos, ompetên ia, dedi ação, ensinamentos, pro�ssionalismo, in entivo e pela on�ança dispensada que foram importantes para o desenvolvimento deste trabalho. Ao Prof. Dr. Fernando Luiz Pio dos Santos pelas sugestões, ideias, orientação, valiosos onselhos, dedi ação, ensinamentos, pro�ssionalismo, in etivo e pela on�ança dispensada os quais foram um ali er e para elaboração deste trabalho. À Profa. Dra. Daniela Renata Cantane pelo in etivo, sugestões, on- selhos, parti ipação e olaboração no desenvolvimento deste trabalho. À Profa. Dra. Cláudia Pio Ferreira pelo in etivo, di as, sugestões vi e onselhos que foram importantes tanto para a implementação omputa ional do problema omo realização do trabalho. À Profa. Dra. Luzia Apare ida Trin a pelo in etivo, pro�ssionalismo e onselhos. Ao Prof. Dr. Jayme Augusto de Souza-Neto pelos es lare imentos sobre a questão biológi a referente aos mosquitos transmissores da dengue, pela amizade, in entivo e onselhos. Aos professores do departamento de Bioestatísti a que ompartilharam tanto sua experiên ia pro�ssional quanto o onhe imento ientí� o. Aos amigos e ompanheiros do programa de Pós-graduação em Biome- tria. Aos assistentes André, Arthur, Junior, Luiz Kiyoshi e Mar os pelo respeito, ajuda e ompanheirismo. À CAPES pela bolsa on edida. À todas as pessoas que, direta ou indiretamente, ontribuíram para realização deste trabalho. vii Deus entende o seu aminho, e ele sabe o seu lugar. Porque ele vê as extremidades da terra; e vê tudo o que há debaixo dos éus. Quando deu peso ao vento, e tomou a medida das águas. Quando pres reveu uma lei para a huva e aminho para o relâmpago dos trovões; Então a viu e a manifestou; estabele eu-a e também a esquadrinhou. Mas disse ao homem: Eis que o temor do Senhor é a sabedoria, e apartar-se do mal é a inteligên ia. Jó 28:23-28 Sumário Página LISTA DE FIGURAS xi LISTA DE TABELAS xiv RESUMO xv SUMMARY xvi INTRODUÇ�O 1 1 DENGUE: UM PROBLEMA MUNDIAL 3 1.1 Ci lo de vida do mosquito transmissor da dengue . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Dispersão do mosquito transmissor e a relação vetor-homem . . . . . . . 7 1.3 As formas de ontrole do mosquito transmissor . . . . . . . . . . . . . . 9 2 O MODELO MATEMÁTICO 15 2.1 Modelo Matemáti o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 O ontrole ótimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 ALGORITMO GENÉTICO 22 3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.1.1 Indivíduos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.1.2 População ini ial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.1.3 Avaliação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.1.4 Elite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ix 3.1.5 Seleção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.1.6 Cruzamento ou rossover . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.1.7 Mutação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.1.8 Nova população . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.1.9 Critério de parada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4 RESULTADOS NUMÉRICOS 30 4.1 Situação 1: u1(t) e u2(t) onstantes no espaço de tempo . . . . . . . . . . 33 4.1.1 Situação 2: u1(t) e u2(t) variantes no espaço de tempo . . . . . . . . . 35 4.1.2 Situação 3: u1(t) e u2(t) onstantes em períodos de p em p dias no espaço de tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.1.3 Situação 4: somente u1(t) onstante no espaço de tempo e u2(t) = 0 . . 40 4.1.4 Situação 5: u1(t) = 0 e u2(t) onstante no espaço de tempo . . . . . . . 42 4.1.5 Situação 6: u1(t) e u2(t) alternados em d dias, ini iando om o ontrole u1(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.1.6 Situação 7: u1(t) e u2(t) alternados em d dias, ini iando om o ontrole u2(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.1.7 Situação 8: Ini iar om u1(t) e u2(t) onstantes e o algoritmo determina a melhor estratégia de variação para os valores dos ontroles no período de 0 a T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.2 Comparação de ustos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4 CONCLUS�O E PERSPECTIVAS FUTURAS 54 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 56 APÊNDICE 61 A MÉTODOS NUMÉRICOS 61 A.1 Interpolação Polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 A.1.1 Polin�mio de interpolação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 x A.1.2 Polin�mio interpolador de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 A.2 Integração Numéri a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 A.3 Fórmula de Newton Cotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 A.3.1 Regra 1/3 de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 A.4 Sistema de equações diferen iais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 A.5 Método de Runge-Kutta de quarta ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Lista de Figuras Página 2.1 Modelo ompartimental om inserção de ma hos estéreis. . . . . . . . . . 16 3.1 Ilustração da estrutura dos romossomos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.2 Ilustração do operador de ruzamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.1 Variável de ontrole u1(t) referente ao investimento om inseti ida. . . . . 33 4.2 Variável de ontrole u2(t) referente ao investimento om mosquitos ma- hos estéreis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.3 População na fase aquáti a A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.4 População de mosquitos fêmeas virgens I. . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.5 População de mosquitos fêmeas fertilizadas F . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.6 População de mosquitos fêmeas não-fertilizadas U . . . . . . . . . . . . . 34 4.7 População de mosquitos ma hos naturais M . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.8 População de mosquitos ma hos estéreis S. . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.9 Variável de ontrole u1(t) referente ao investimento om inseti ida. . . . . 36 4.10 Variável de ontrole u2(t) referente ao investimento om mosquitos ma- hos estéreis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.11 População na fase aquáti a A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.12 População de mosquitos fêmeas virgens I. . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.13 População de mosquitos fêmeas fertilizadas F . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.14 População de mosquitos fêmeas não-fertilizadas U . . . . . . . . . . . . . 37 4.15 População de mosquitos ma hos naturais M . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.16 População de mosquitos ma hos estéreis S. . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 xii 4.17 Variável de ontrole u1(t) referente ao investimento om inseti ida. . . . . 38 4.18 Variável de ontrole u2(t) referente ao investimento om mosquitos ma- hos estéreis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.19 População na fase aquáti a A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.20 População de mosquitos fêmeas virgens I. . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.21 População de mosquitos fêmeas fertilizadas F . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.22 População de mosquitos fêmeas não-fertilizadas U . . . . . . . . . . . . . 39 4.23 População de mosquitos ma hos naturais M . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.24 População de mosquitos ma hos estéreis S. . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.25 Variável de ontrole u1(t) referente ao investimento om inseti ida. . . . . 41 4.26 População na fase aquáti a A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.27 População de mosquitos fêmeas virgens I. . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.28 População de mosquitos fêmeas fertilizadas F . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.29 População de mosquitos ma hos naturais M . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.30 Variável de ontrole u2(t) referente ao investimento om mosquitos ma- hos estéreis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.31 População na fase aquáti a A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.32 População de mosquitos fêmeas virgens I. . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.33 População de mosquitos fêmeas fertilizadas F . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.34 População de mosquitos fêmeas não-fertilizadas U . . . . . . . . . . . . . 44 4.35 População de mosquitos ma hos naturais M . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.36 População de mosquitos ma hos estéreis S. . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.37 Variável de ontrole u1(t) referente ao investimento om inseti ida. . . . . 46 4.38 Variável de ontrole u2(t) referente ao investimento om mosquitos ma- hos estéreis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.39 População na fase aquáti a A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.40 População de mosquitos fêmeas virgens I. . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.41 População de mosquitos fêmeas fertilizadas F . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.42 População de mosquitos fêmeas não-fertilizadas U . . . . . . . . . . . . . 47 xiii 4.43 População de mosquitos ma hos naturais M . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.44 População de mosquitos ma hos estéreis S. . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.45 Variável de ontrole u1(t) referente ao investimento om inseti ida. . . . . 49 4.46 Variável de ontrole u2(t) referente ao investimento om mosquitos ma- hos estéreis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.47 População na fase aquáti a A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.48 População de mosquitos fêmeas virgens I. . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.49 População de mosquitos fêmeas fertilizadas F . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.50 População de mosquitos fêmeas não-fertilizadas U . . . . . . . . . . . . . 50 4.51 População de mosquitos ma hos naturais M . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.52 População de mosquitos ma hos estéreis S. . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.53 Variável de ontrole u1(t) referente ao investimento om inseti ida. . . . . 51 4.54 Variável de ontrole u2(t) referente ao investimento om mosquitos ma- hos estéreis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.55 População na fase aquáti a A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.56 População de mosquitos fêmeas virgens I. . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.57 População de mosquitos fêmeas fertilizadas F . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.58 População de mosquitos fêmeas não-fertilizadas U . . . . . . . . . . . . . 52 4.59 População de mosquitos ma hos naturais M . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.60 População de mosquitos ma hos estéreis S. . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Lista de Tabelas Página 4.1 Parâmetros utilizados no sistema de otimalidade (2.3) . . . . . . . . . . . . 30 4.2 Parâmetros utilizados para os oe� ientes c1, c2, c3 e c4 de (2.4) . . . . . . . . 32 4.3 Comparação entre J nas situações 4 e 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.4 Comparação entre J nas situações 6 e 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.5 Valores para J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 ALGORITMO GENÉTICO APLICADO AO CONTROLE DO MOSQUITO TRANSMISSOR DA DENGUE Autor: LUIZ GUSTAVO LYRA Orientadora: Profa. Dra. HELENICE DE OLIVEIRA FLORENTINO SILVA Co-orientador: Prof. Dr. FERNANDO LUIZ PIO DOS SANTOS RESUMO A dengue é uma infe ção viral transmitida por mosquito en ontrado em regiões tropi ais e subtropi ais. Nos tempos atuais a dengue tornou-se de grande interesse para a saúde públi a interna ional, pois segundo a Organização Mundial de Saúde (OMS), de 50 a 100 milhões de infe ções por dengue o orrem a ada ano e mais de 2,5 bilhões de pessoas vivem em mais de 100 países onde a dengue é endêmi a. A prevenção ou redução da transmissão do vírus da dengue depende do ontrole dos mosquitos vetores ou da interrupção do ontato humano om o vetor. Neste trabalho é estudado um modelo matemáti o que des reve a dinâmi a popula ional do mosquito transmissor da dengue. Este modelo des reve a dinâmi a da população do mosquito em todas as fases do seu desenvolvimento e aborda duas formas de ontrole para os mosquitos, o ontrole biológi o om a in- serção de mosquitos ma hos estéreis no meio ambiente e o ontrole quími o om a utilização de inseti ida. Para avaliação destas formas de ontrole sobre o sistema é formulado um problema de ontrole ótimo. Portanto, para auxiliar na resolução deste problema é proposto um algoritmo genéti o e ao �nal são apresentados os resultados omputa ionais. GENETIC ALGORITHM APPLIED TO THE CONTROL OF DENGUE'S MOSQUITO TRANSMITTER Author: LUIZ GUSTAVO LYRA Adviser: Prof. Dr. HELENICE DE OLIVEIRA FLORENTINO SILVA Co-adviser: Prof. Dr. FERNANDO LUIZ PIO DOS SANTOS SUMMARY Dengue is a mosquito-borne viral infe tion found in tropi al and sub- tropi al regions around the world. In re ent years, dengue disease has be ome a major international publi health on ern. The World Health Organization (WHO) estimates that 50�100 million dengue infe tions o ur ea h year and that over 2.5 billion people lives in more than 100 ountries where dengue is endemi . Preventing or redu ing dengue virus transmission depends on ontrol of the mosquito ve tors or interruption of human�ve tor onta t. In this work we studied a mathemati al model that des ribes the pop- ulational dynami s of dengue's mosquito transmitter. This model des ribes the pop- ulational dynami s of mosquitoes in all stages of their development and dis usses two methods to ontrol mosquitoes, biologi al ontrol with the release of sterile male mosquitoes in the environment and hemi al ontrol using inse ti ide. To evalu- ate these forms of ontrol over the system is formulated a optimal ontrol problem. Therefore, to assist in solving this problem we propose a geneti algorithm and the last we show omputational results. INTRODUÇ�O Esteva & Yang (2005) propuseram um modelo matemáti o para avaliar a introdução de mosquitos ma hos estéreis no meio ambiente. A abordagem dos autores refere-se à liberação de mosquitos Aedes aegypti ma hos estéreis (devido a té ni a de irradiação) para opular om fêmeas nativas. Considerando o modelo matemáti o desses autores, Thomé (2007) prop�s uma medida de desempenho para avaliar os ustos de utilização da té ni a de mosquitos ma hos estéreis ombinada om a apli ação de inseti idas. Para resolver o problema de otimalidade proposto o autor utilizou o prin ípio do máximo de Pontryagin, o qual faz uso de um sistema adjunto. Assim, o novo problema de otimalidade obtido om a adição do sistema adjunto tornou-se um problema não linear om ondição de ontorno e apresentando omportamento instável nas variáveis adjuntas e, portanto, de difí il resolução. Uma proposta para resolver tal problema é utilizar o método de Newton, porém é essen ial que se obtenha uma aproximação ini ial próxima da solução desejada e que garanta a onvergên ia do método. Tal aproximação, segundo Thomé (2007), é muito difí il de se obter e para ontornar tal problema este autor utiliza o método da ontinuação analíti a. O problema tornou-se mais omplexo que o problema original. Portanto, a proposta para este trabalho é resolver o problema de otimalidade apresentado por Thomé (2007) utilizando té ni as de Algoritmos Genéti os. Este método é de fá il implementação omputa ional e ofere e resultados promissores quando omparado om outros métodos de otimização. Este trabalho está organizado da seguinte forma: no primeiro apítulo estão des ritos os prin ipais problemas de saúde públi a em onsequên ia da dengue, suas onsequên ias para o ser humano e formas de ontrole do agente transmissor, no 2 segundo apítulo é apresentado o modelo matemáti o proposto por Esteva & Yang (2005) para estudo da dinâmi a da população de mosquitos e a determinação de ontroles otimizados dadas por Thomé (2007), no ter eiro apítulo é proposto um algoritmo genéti o para resolver o problema de ontrole ótimo e no quarto apítulo são apresentados os resultados obtidos referentes a resolução do problema proposto para este trabalho. En�m, no quinto apítulo estão as on lusões e perspe tivas futuras. CAPÍTULO 1 DENGUE: UM PROBLEMA MUNDIAL A dengue é a mais difundida doença viral transmitida por mosquitos no mundo. Nos últimos 50 anos, a in idên ia da doença tem aumentado 30 vezes om a expansão geográ� a para novos países e também pelo transporte passivo de ovos do mosquito do ambiente urbano para os ambientes semi-urbano e rural, (Bhatt et al., 2013). A enfermidade é presente em áreas tropi ais e subtropi ais, onde ondições ambientais (temperatura, humidade, huvas, et .) ontribuem para o desenvolvi- mento dos agentes transmissores onhe idos te ni amente omo vetores, (FNS, 2001). Segundo estimativas da Organização Mundial de Saúde (OMS), WHO (2010), de 50 à 100 milhões de pessoas se infe tam por dengue anualmente e mais de 2,5 bilhões de pessoas - a ima de 40% da população mundial - vivem em mais de 100 países de quase todos os ontinentes onde a dengue é endêmi a. Nesses países a doença impõe signi� ante peso so ial, om saúde e e onomia, tornando-se uma doença de prin ipal interesse para saúde públi a interna ional (FNS, 2001; WHO, 2010; Bhatt et al., 2013). Cer a de 70% da população em todo o mundo, ou seja, aproximadamente 1,8 bilhões de pessoas vivem em áreas de ris o de infe ção por dengue nas regiões sudeste da Ásia e do Pa í� o O idental, sendo que estas regiões juntamente om as Améri as são as mais afetadas pela doença (NTD, 2012). Esse fato é evidente, pois o número de asos de dengue aumentou em 2008 em mais de 1,2 milhões nas Améri- as, nas regiões sudeste da Ásia e do Pa í� o O idental e os asos extrapolaram os 2,3 milhões em 2010, onde 1,6 milhões foram reportados apenas nas Améri as, dos 4 quais 49 mil asos foram relatados omo dengue severa (WHO, 2010; NTD, 2012). Há asos que não foram reportados aos estados membros da OMS devido a falta de diagnósti o líni o adequado (WHO, 2010; FNS, 2001; Bhatt et al., 2013). Anualmente er a de 500 mil pessoas pre isam ser hospitalizadas em de orrên ia de infeções por dengue e há um total de 22 mil mortes. Crianças são as mais afetadas e possuem maiores han es de desenvolver a dengue severa (FNS, 2001; WHO, 2010). Dengue a�ige todos os níveis so iais, mas o impa to é maior entre os mais pobres que vivem em omunidades om abaste imento de água e infraestru- tura inadequados, onde as ondições são mais favoráveis à proliferação do prin ipal vetor da doença, o Aedes aegypti (Gill et al., 2000). O Aedes aegypti é também vetor de outras arborviroses omo, por exemplo, a hinkungunya e a febre amarela urbana. Esta é uma espé ie tropi al e subtropi al e é en ontrada amplamente em todo mundo, geralmente entre as latitudes 35 ◦N e 35 ◦S, onde esses limites geográ- � os orrespondem a isotermas de 10 ◦C no inverno. A espé ie já foi identi� ada na latitude 45 ◦N durante os meses quentes, porém os mosquitos não sobrevivem ao frio intenso do inverno (Gubler, 1998a; WHO, 2010; NTD, 2012; Bhatt et al., 2013). Devido a temperaturas mais baixas o Aedes aegypti não é en ontrado em altitudes a ima de 1000 metros do nível do mar (WHO, 2010; FNS, 2001). Outras espé ies de mosquitos do gênero Aedes podem servir omo transmissores do vírus da dengue (Foratini, 1992; Moore et al., 1993; Gubler, 1998a,b). Surtos de dengue já foram atribuídos ao Aedes albopi tus, Aedes poly- nesiensis e diversas espé ies do omplexo Aedes s utellaris (Ministerios de Salud de Estados Partes y Aso iados de MERCOSUR, 2007). Nas dé adas re entes o Aedes albopi tus tem-se espalhado da Ásia para as Améri as, Áfri a e Europa (WHO, 2010; NTD, 2012). Espe i� amente, a dengue é uma doença febril tendo omo agente um arbovírus do gênero Flavivírus da família Flaviviridae, da qual se onstitui quatro sorotipos: DEN-1, DEN-2, DEN-3 e DEN-4 (Chambers & Monath, 2003; Gillott, 5 2005; Silver, 2008). A re uperação da infe ção por um deles onfere proteção per- manente para o mesmo sorotipo, porém a imunidade ruzada ontra os outros três sorotipos é apenas par ial e temporária. Subsequente infe ções por outros sorotipos aumentam o ris o de desenvolvimento da dengue severa, também onhe ida omo febre hemorrági a da dengue (FHD) e da síndrome de hoque por dengue (SCD) (FNS, 2001; Pang et al., 2007; WHO, 2010; NTD, 2012). O apare imento e difusão dos 4 sorotipos da dengue da Ásia para as Améri as, Áfri a e regiões orientais do Mediterâneo signi� a uma ameaça de pandemia mundial (Manrique-Saide et al., 2011; NTD, 2012). Posto que o �nus global ompleto da doença é in erto, as amostras são preo upantes para a saúde e e onomia (WHO, 2010; NTD, 2012; Marrama-Rakotoarivony et al., 2012). 1.1 Ci lo de vida do mosquito transmissor da dengue Os mosquitos são holometabóli os, ou seja, o seu desenvolvimento é por metamorfose ompleta ompreendendo quatro fases: ovo, larva, pupa e adulto (Foratini, 1992). Sistemati amente, estas fases desde a oviposição a onte em da seguinte forma: a fêmea deposita os ovos, individualmente, próximos a superfí ie da água, nas paredes internas de depósitos (arti� iais ou naturais) que servem omo riadouros. Enquanto o orre a postura, os ovos são bran os, porém, em pou o tempo adquirem uma or negra brilhante. Neste momento há a fe undação do embrião e em ondições ideais de temperatura e umidade o desenvolvimento deste se ompleta em 48 horas. Quando ompletado o desenvolvimento embrionário, os ovos podem suportar a grandes períodos de desse ação, que podem estender-se por mais de um ano (Silver, 2008). Há asos da e losão de ovos, quando olo ados em ontato om a água, om até 450 dias (FNS, 2001). A resistên ia dos ovos a desse ação torna-se um obstá ulo para sua erradi ação. Desta forma, pode su eder a dispersão passiva do in- seto, pois os ovos podem ser transportados em re ipientes se os à extensas distân ias. As larvas possuem quatro estágios larvários. O período de alimentação e res imento o orre na fase larvária, onde a matéria orgâni a a umulada nas paredes e fundo dos 6 depósitos é o prin ipal alimento (Foratini, 1992). Conforme a disponibilidade de ali- mento, densidade de larvas nos riadouros e temperatura, o período entre a e losão e pupação pode ser não superior a in o dias, porém na falta de alimento e temperatura baixa, o último estágio larvário pode perdurar por várias semanas. A metamorfose do estágio larval para o adulto o orre na fase de pupa que dura, em geral, de dois a três dias (Gillott, 2005). Normalmente, as pupas �utuam na superfí ie da água para respirar, o que também auxilia na emergên ia do mosquito adulto. Quando o inseto adulto emerge, ele pousa sobre as paredes do riadouro para que haja o endure i- mento do exoesqueleto, das asas e nos ma hos a rotação da genitália em 180◦, assim em ondições ideais (alimento, temperatura, umidade, huvas, et .) o i lo de vida do mosquito se ompleta em aproximadamente 10 dias (Chambers & Monath, 2003). A fase reprodutora é representada pelo mosquito adulto. Em 24 horas após emer- girem os mosquitos já estão aptos para a asalar. A fêmea dos mosquitos, em geral, opula um úni a vez e os espermatozóides do mosquito ma ho são armazenados na espermate a (reservatório presente dentro do aparelho reprodutor do inseto fêmea) (Foratini, 1992). Os ma hos não são hematófagos, alimentando-se prin ipalmente de arboidratos extraídos de vegetais e né tar das plantas. As fêmeas se alimentam da seiva das plantas e de sangue, tendo omo fonte de repasto grande parte dos animais vertebrados, no entanto são antropofíli as, ou seja, preferem o sangue humano. Para forne er proteínas para o desenvolvimento dos ovos é feito o repasto sanguíneo pela fêmea e a ada repasto ela faz a postura om um intervalo, em geral, de três dias. A oviposição o orre ao entarde er e a fêmea fe undada deposita os ovos em re ipientes es uros ou sombreados, om superfí ie áspera ontendo água e ada postura é dis- tribuída em diferentes re ipientes (Consoli & Oliveira, 1994). Os mosquitos adultos vivem em média de 30 a 35 dias na natureza e em laboratórios podem ser mantidos vivos por meses. Na primeira semana de vida, onsiderando uma mortalidade diária de 10%, metade dos mosquitos morrem e outros 95% morrem durante o primeiro mês (FNS, 2001; WHO, 2010; NTD, 2012). 7 1.2 Dispersão do mosquito transmissor e a relação vetor- homem A apa idade de dispersão dos mosquitos pelo voo não ex ede a 100 metros � ando restrita ao lo al onde emergiu, desde que haja hospedeiros (Cox et al., 2007). No entanto, para pro urar lo ais para oviposição, um mosquito fêmea fe un- dada pode voar até 3 quil�metros em bus a de re ipientes para fazer de riadouros (FNS, 2001). No aso dos ovos e larvas, a dispersão é maior devido ao transporte desses em re ipientes (naturais ou arti� iais) a longas distân ias, podendo atravessar fronteiras na ionais e interna ionais omo, por exemplo, é o aso da exportação de pneus velhos ontendo ovos do Aedes albopi tus de regiões da Ásia para outros países (WHO, 2010). O Aedes aegypti é onsiderado um mosquito urbano possuindo uma relação próxima asso iada ao ser humano e suas habitações, possui fa ilidade de adaptação o que possibilita o apare imento do mosquito em regiões que outrora não havia relatos da o orrên ia da doença ou presença do vetor (Reiter, 2007). Aedes albopi tus, o segundo vetor responsável pela transmissão da dengue e outras arbovi- roses, é extremamente adaptativo podendo viver em regiões de lima mais frio da Europa (Marrama-Rakotoarivony et al., 2012). Sua dispersão está rela ionada a tolerân ia a baixas temperaturas, hibernação e a habilidade de viver em pequenos habitats omo, por exemplo, o os de árvores, imbri ação de folhas e em orifí ios de bambus. Todavia, possui maior valên ia e ológi a que o Aedes aegypti, tendo omo fonte alimentar tanto o sangue humano omo de outros mamíferos e aves (Chambers & Monath, 2003; WHO, 2010). Os sorotipos da dengue são transmitidos ao ser humano através da pi ada de mosquitos fêmeas do gênero Aedes infe tados pelo vírus da doença, sendo que o Aedes aegypti e Aedes albopi tus são os grandes responsáveis pela transmissão da infe ão (Consoli & Oliveira, 1994; Gubler, 1998a; Gill et al., 2000; WHO, 2010; NTD, 2012). Entretanto, o i lo de transmissão do vírus envolve tanto o mosquito 8 omo transmissor (ou vetor) quanto o hospedeiro, que em geral é o ser humano, sendo este a prin ipal vítima e fonte de infe ção para mosquitos não infe tados (Gillott, 2005; Silver, 2008). Em geral, a transmissão o orre quando a fêmea dos mosquitos se ontamina ao pi ar um indivíduo infe tado na fase de viremia da doença e após um período de in ubação extrínse o (do vírus no mosquito) de 8 à 12 dias, torna-se apta a transmitir a doença por todo seu tempo de vida durante a alimentação sanguínea (Foratini, 1992; Silver, 2008). Este período de in ubação é muitas vezes in�uen iado por ondições ambientais, prin ipalmente a temperatura ambiente. Os mosquitos fêmeas �lhas de um espé ime portador do vírus da dengue ou de outra arbovirose podem nas er infe tadas devido a transmissão transovariana, porém este ainda é um assunto ontroverso em que não há um es lare imento sobre sua importân ia para a manutenção do vírus nos mosquitos fêmeas �lhas ou em seus des endentes (FNS, 2001; Gillott, 2005; WHO, 2010; NTD, 2012). As infe ções pelo vírus da dengue produzem desde a forma lássi a (sin- tomáti a ou assintomáti a) à febre hemorrági a da dengue (Manrique-Saide et al., 2011; Marrama-Rakotoarivony et al., 2012). A forma lássi a é de baixa letalidade, ainda que sem um tratamento espe í� o. Porém, in apa ita os indivíduos tem- porariamente para o desenvolvimento das atividades diárias omo, por exemplo, o trabalho (Gubler, 1998a,b). A febre hemorrági a da dengue é uma febre alta e om manifestações hemorrági as, hepatomegalia e insu� iên ia ir ulatória. Possui leta- lidade maior que a forma lássi a, dependendo do atendimento médi o-hospitalar e diagnósti o prévio da doença (FNS, 2001; WHO, 2010) Viajantes desempenham papel fundamental na epidemiologia mundial das infe ções por dengue, devido ao fato de serem transportadores dos vários soroti- pos do vírus da doença na fase de viremia em regiões ontendo mosquitos que podem transmitir a infe ção. E nas regiões onde a dengue é endêmi a uma pessoa pode on- trair mais de uma vez a infe ção, uma vez que há os quatro sorotipos da doença em ir ulação (WHO, 2010; NTD, 2012). 9 1.3 As formas de ontrole do mosquito transmissor A prevenção ou redução da transmissão do vírus da dengue está sujeita ao ontrole dos mosquitos vetores ou interrupção do ontato humano om os vetores. Há diversos métodos de ontrole que podem ser utilizados nos 4 estágios de evolução do inseto. Alguns dos métodos de ontrole são, (WHO, 2010; NTD, 2012): • Controle Me âni o O ontrole me âni o onsiste no manejo do ambiente de forma a promover o ontrole dos mosquitos. O manejo ambiental é uma forma de ontrole que propõe mudanças no ambiente a �m de prevenir ou minimizar a propagação dos vetores e o ontato humano om os mesmos pela destruição, alteração, remoção ou re i lagem de depósitos ou re ipientes que podem servir omo riadouros. Existem três formas de manejo ambiental as quais são des ritas a seguir: � modi� ação ambiental: onsiste em mudanças físi as que podem per- durar por anos om o intuito de diminuir ou extinguir o habitat para o vetor e suas fases de evolução omo, por exemplo, a instalação de água en anada em omunidades om infraestrutura propi ia ao apare imento dos mosquitos transmissores. � manipulação ambiental: neste tipo há uma mudança, ainda que tem- porária, no habitat para o mosquito vetor, tais omo a limpeza ou despejo de vasilhas que armazenam água, vasos de �ores e limpeza de alhas, ar- mazenamento de pneus ao abrigo da huva, re i lagem ou uso apropria- do de pneus ou re ipientes des artados; tro a ou remoção, próximos aos domi ílios, de plantas ornamentais ou bromélias selvagens que a umulam água nas axilas de suas folhas. � mudanças em habitações ou omportamento humano: estas mu- danças visam diminuir o ontato humano om os vetores tais omo a 10 instalação de telas ontra mosquitos em janelas, portas e outros pontos que podem servir omo porta de entrada do vetor e o uso de redes ontra mosquitos. • Controle quími o Esta forma de ontrole pode ser apli ada tanto para fase imatura quanto para fase adulta do inseto. A des rição para ada uma destas estratégias é des rita a seguir: � Controle quími o larvi ida: este ontrole tem omo objetivo elimi- nar as larvas do mosquito e onsequentemente as pupas. A apli ação de larvi idas pode ser omplementar ao manejo ambiental, uma vez que há restrições para sua apli ação devido a lo ais de difí il a esso omo, por exemplo, sítios naturais omo tron o de árvores e axilas de folhas. � Controle quími o adulti ida: este tipo de ontrole tem omo alvo o vetor adulto, ou seja, o mosquito alado, ausando um impa to na densi- dade, longevidade ou outros parâmetros de transmissão rela ionados ao inseto alado. Os produtos quími os são apli ados tanto na superfí ie resi- dual (paredes, tetos, peridomi ílio, entre outros) omo espa ial, podendo ser utilizado, por exemplo, pulverizadores (ou nebulizadores) portáteis ou motorizados. Esta forma de ontrole será utilizada no modelo matemáti o que des reveremos no próximo apítulo. Dos diversos métodos de prevenção ontra os mosquitos transmissores da dengue o uso de inseti idas é o mais utilizado, prin ipalmente ontra o in- seto na forma alada. Ademais, um fato importante a ser desta ado é que o uso intenso de produtos quími os pode afetar o meio ambiente e outras es- pé ies além de desenvolver resistên ia nos mosquitos. Com a resistên ia dos mosquitos tem-se uma diminuição na e� iên ia dos agentes quími os sendo, então, ne essário apli ações em grande es ala para um resultado a eitável, em 11 vista disso há o en are imento da utilização deste método. Uma outra alter- nativa para evitar o uso intenso de produtos quími os onsiste no emprego de outras formas de ontrole que serão des ritas a seguir (Gallo et al., 2002): • Controle biológi o Esta forma de ontrole está presente na natureza e a redução da população de mosquitos tanto na fase aquáti a quanto na alada é dada pela inserção de inimigos naturais através da predação, do parasitismo, da ompetição e de agentes patógenos que produzem enfermidades e toxinas. Este pro esso de regulação biológi a se tornou e� iente no ontrole de pragas agrí olas. Além disso, esta forma de ontrole tem a vantagem de minimizar os danos ambientais que os inseti idas omuns podem ausar, visto que a apli ação de inseti idas pode o asionar a resistên ia dos insetos ao agente quími o além de ausar danos a outras espé ies. Contra mosquitos do gênero Aedes, algumas formas de ontrole biológi o onsistem em: espé ies predadoras (peixes larvógaros, opépodos), parasitas (nematóides) e patógenos (protozoários - mi rosporídios, Ba illus produtores de toxinas, fungos e vírus). Estes últimos agem omo inseti idas de natureza biológi a, que é onsiderado um padrão que foge aos me anismos lássi o da regulação biológi a. O ontrole biológi o, onhe ido omo ontrole auto ida, que será utilizado neste trabalho será des rito om detalhes a seguir: � Controle Auto ida: esta forma de ontrole biológi o é baseada na es- terilidade por meio de liberação ontínua de ma hos estéreis em uma população om a �nalidade de a asalarem om fêmeas nativas as quais produzirão ovos inférteis levando, portanto, a uma redução na população natural. Este método que onsiste na supressão popula ional de insetos é onhe ido omo té ni a de insetos estéreis ou SIT (Sterile Inse t Te h- nique). Esta estratégia, desenvolvida pelo entomólogo ameri ano Edward Knipling, Knipling (1955), é utilizada há mais de 50 anos no ontrole 12 de pragas agrí olas pela liberação de insetos riados em laboratórios e que se tornaram estéreis por irradiação. A té ni a usando ma hos es- téreis foi utilizada om êxito em 1958 na Florida no ontrole da mos a varejeira (Co hliomya omnivorax ), onde um total de 2 bilhões de mos as ma hos foram liberadas em um período de 18 meses sendo ne essários 20 aviões para liberar as mos as estéreis no ambiente (Gallo et al., 2002). Ao �m do período de liberação a peste foi erradi ada e o usto total do empreendimento foi de aproximadamente US$ 10 000 000, 00. Além dos Estados Unidos, esta peste também foi erradi ada do Méxi o, Líbia e grande parte da Améri a Central. Do mesmo modo que o programa de erradi ação da mos a varejeira utilizando a té ni a SIT obteve bons re- sultados, outras espé ies ontaram om efeitos satisfatórios através desta té ni a omo, por exemplo, a mos a da fruta do Mediterrâneo (Cerati- tis apitata Wiedemann) nos EUA, Guatemala e Méxi o, a mos a do melão (Da us u urbitae Coquillett) no Japão e Taiwan, a lagarta rosada (Pe tinophora gossypiella Saunders) nos EUA, a mos a tsé-tsé (Glossina spe ies) na Tanzânia, Zimbabue e Burquina Fasso (Áfri a), bi udo-do- algodoeiro (Anthonomus grandis Boheman) no sudeste dos EUA, mos a da fruta Mexi ana (Anastrepha ludens Loew) nos EUA e Méxi o, mari- posa igana (Lymantria dispar Linnaeus) nos EUA e Canadá (Bartlett & Staten, 1996). Neste tipo de ontrole, a quantidade de insetos estéreis a ser liberada deve ser grande o bastante para garantir a ompetição vantajosa. Com isso, pretende-se diminuir ou erradi ar a espé ie nativa no e ossistema, mesmo que haja ne essidade de inúmeras liberações dos estéreis (Gallo et al., 2002). Outra forma de esterilidade em pragas onsiste na manipulação genéti a para produzir insetos transgêni os de modo que estes se tornem estéreis ou desen- volvam um gene letal (ou no ivo). A introdução do gene no ivo na população 13 o orre via ópula e há a produção de des endentes, todavia devido ao gene letal o orrerá a interrupção do i lo de vida e estes não hegarão a fase adulta (Capurro et al., 2001; da Silveira, 2011, 2012). Considerando o ontrole quími o adulti ida e o ontrole om mosquitos ma hos estéreis é importante observar que: o ontrole de pragas om inseti idas, o total de pesti idas apli ado e subsequente usto é, em geral, propor ional a área tratada e não ao tamanho popula ional. Em vista disso, o prejuízo exe utado pela peste é propor ional ao número de insetos por unidade de área. Desta forma, o us- to/benefí io do ontrole om inseti ida aumenta onforme o tamanho da população de pragas aumenta. No programa de ma hos estéreis ou transgêni os, tanto o número de insetos irradiados ou geneti amente modi� ados em laboratório lançados no meio ambiente quanto seu usto são propor ionais ao tamanho da população nativa. As- sim, se houver uma diminuição no tamanho da população nativa de insetos então o usto/benefí io om apli ação de ma hos (estéreis ou geneti amente modi� ados) diminuirá. Por onseguinte, ombinar o uso de inseti idas om ma hos (irradiados ou transgêni os) pode ser uma estratégia alternativa no ombate de pragas omo, por exemplo, o mosquito transmissor da dengue. Apesar dos problemas om ustos e ontaminações, o ontrole do mosquito é de suma importân ia para o ontrole da dengue, visto que a outra forma de proteção ontra a dengue seria a produção de va inas, mas o desenvolvimento de uma va ina tetravalente, que permite a imunização ontra os quatro sorotipos tem apresentado di� uldades e ainda é um desa�o para pesquisadores e órgãos de saúde (Chambers & Monath, 2003; Diamond et al., 2012). Assim, o fo o deste trabalho é o estudo dos ontroles quími o e biológi o om a utilização de ma hos estéreis, a partir de modelos matemáti os. Alguns modelos matemáti os permitem o estudo da dinâmi a da população de mosquitos em todas as fases de desenvolvimento destes, assim omo a ação do ontrole nesta dinâmi a. No apítulo seguinte é des rito o modelo matemáti o que des reve o omportamento dos ompartimentos da população de mosquitos diante dos ontrole 14 quími o adulti ida e ontrole biológi o om inserção de mosquitos ma hos estéreis. É dis utido também uma medida de desempenho para avaliar a performan e do sistema de ontrole om relação aos ustos e on�mi os e so iais. CAPÍTULO 2 O MODELO MATEMÁTICO Este apítulo des reve o modelo matemáti o proposto por Esteva & Yang (2005) e omplementado por Thomé (2007). Esteva & Yang (2005) analisa- ram o efeito da introdução de mosquitos Aedes aegypti ma hos estéreis devido a té ni a de irradiação SIT. Como somente as fêmeas do mosquito são as responsáveis pela transmissão de diversas arboviroses que afetam o ser humano, por exemplo, a dengue e febre amarela urbana, então a liberação de ma hos estéreis para ompetir por fêmeas na população nativa não a arretará em nenhum dano para a so iedade. Considerando o modelo desses autores, Thomé (2007) introduziu uma medida de de- sempenho quadráti a e variáveis de ontrole para analisar o ontrole ótimo referente aos ustos de utilização do ontrole quími o adulti ida ombinado om o ontrole biológi o via inserção de mosquitos estéreis. A seguir está a des rição do modelo matemáti o apresentado por Esteva & Yang (2005) e Thomé (2007). 2.1 Modelo Matemáti o Em onformidade om Esteva & Yang (2005), Thomé (2007) e Thomé et al. (2010) a dinâmi a de ontrole é des rita onsiderando o i lo de vida dos mosquitos dividido em duas fases: aquáti a (ovos, larvas e pupas) e alada (mosquitos adultos). O ontrole onsiste na introdução ombinada de mosquitos ma hos es- téreis, obtidos pela té ni a de irradiação, e a inserção de inseti idas na população de mosquitos Aedes Aegypti na fase alada. Para as populações no instante t, a seguinte 16 notação será utilizada: • A(t): tamanho da população de mosquitos na fase aquáti a; • I(t): tamanho da população de mosquitos fêmeas virgens; • F (t): tamanho da população de mosquitos fêmeas fertilizadas (depois de a asalar); • U(t): tamanho da população de mosquitos fêmeas não fertilizadas (depois de a asalar); • M(t): tamanho da população de mosquitos ma hos (ma ho natural); • S(t): tamanho da população de mosquitos ma hos estéreis (devido a té ni a de irradiação). Figura 2.1 representa a evolução da população de mosquitos na pre- sença do ontrole biológi o om mosquitos estéreis. A U µI µUµF F IM S µSµM φ ( 1− A C ) µA α rγ(1 − r)γ βSS (M + S) βM (M + S) Figura 2.1 - Modelo ompartimental om inserção de ma hos estéreis. 17 As taxas per apita de mortalidade dos mosquitos dadas por µA, µI , µF , µU , µM e µS são referentes respe tivamente a fase aquáti a, fêmeas virgens, fêmeas fertilizadas, fêmeas não fertilizadas, ma hos naturais e ma hos estéreis. A taxa de oviposição per apita é dada por φ ( 1− A C ) , onde φ é a taxa intrínse a de oviposição e C é a apa idade do meio em termos de disponibilidade de nutrientes, de espaço e outros. γ é a taxa per apita de passagem dos mosquitos da fase aquáti a para a fase alada; r e (1−r) são as proporções de fêmeas e ma hos, respe tivamente. M M + S é a proporção ma hos naturais no ambiente e S M + S é a proporção de ma hos estéreis. Dado que β e βS são as taxas de en ontros, respe tivamente, dos ma hos naturais e ma hos estéreis om as fêmeas I, então βM M + S é a taxa per apita om que as fêmeas são fertilizadas e βSS M + S é a taxa per apita de ruzamento de um ma ho estéril S om uma fêmea I, em que βS = pqβ, p é a proporção om que os mosquitos estéreis são olo ados no lo ais adequados, om 0 ≤ p ≤ 1 e qβ é a taxa de a asalamento efetiva dos mosquitos estéreis, om 0 ≤ q ≤ 1. Por �m, α é a taxa em que a população de mosquitos estéreis é olo ada no meio ambiente. Dessa forma, a dinâmi a popula ional do vetor Aedes om ontrole biológi o, Esteva & Yang (2005), é dada por:                                dA dt = φ ( 1− A C ) F − (γ + µA)A dI dt = rγA − ( βM M + S + βSS M + S + µI ) I dF dt = βMI M + S − µFF dM dt = (1− r)γA − µMM dS dt = α − µSS (2.1) A dinâmi a da população de mosquitos fêmeas não-fertilizadas, desa- oplada do sistema (2.1), é des rita por: dU dt = βSSI M + S − µUU (2.2) 18 A análise dos pontos de equilíbrio e estabilidade de (2.1) foram avali- adas pelos autores (Esteva & Yang, 2005). Baseado no modelo (2.1), (Thomé, 2007) prop�s um modelo matemáti o para a dinâmi a da população de mosquitos utilizando ontroles quími o om uso de inseti ida (u1) e biológi o, om inserção de mosquitos estéreis (u2), o qual pode ser visto a seguir.                              dA dt = φ ( 1− A C ) F − (γ + µA)A dI dt = rγA − ( βM M + S + βSS M + S + µI + u1 ) I dF dt = βMI M + S − (µF + u1)F dM dt = (1− r)γA − (µM + u1)M dS dt = u2 − (µS + u1)S (2.3) O parâmetro α na quinta equação foi substituído pelo ontrole u2 om o objetivo de introduzir a população de mosquitos estéreis no meio ambiente de forma ontrolada. O ontrole u1 não foi introduzido na primeira equação de (2.1), uma vez que o inseti ida não terá efeito na fase aquáti a. A análise dos pontos de equilíbrio e estabilidade foram avaliadas em (Thomé, 2007; Thomé et al., 2010). 2.2 O ontrole ótimo Para a análise otimizada dos ustos de ontrole do mosquito transmis- sor da dengue visando reduzir os gastos om inseti idas e om a produção de ma hos estéreis em bus a de minimizar a quantidade de fêmeas fertilizadas e preservar os mosquitos ma hos estéreis (Thomé, 2007) prop�s o índi e de desempenho apresen- tado em (2.4). J [u] = 1 2 ∫ T 0 (c1u 2 1 + c2u 2 2 + c3F 2 − c4S 2)dt, (2.4) 19 em que u = u(t) é da forma u = (u1, u2) e • u1 : orresponde ao investimento referente a apli ação de inseti idas; • u2 : orresponde ao investimento referente a produção de mosquitos ma hos estéreis; • c1 : orresponde a importân ia referente ao usto om inseti idas; • c2 : orresponde a importân ia referente ao usto om a produção de mosquitos estéreis; • c3 : orresponde a importân ia referente ao usto so ial; • c4 : orresponde a importân ia do usto referente a preservação de mosquitos estéreis. Os quadrados nas variáveis u1 = u1(t), u2 = u2(t), F (t) e S(t) servem omo uma penalização em que grandes variações em tais variáveis são desta adas, ou seja, tem maior ontribuição no fun ional J . Os oe� ientes (ci) om i = 1, 2, 3, 4 representam a importân ia de ada fator no usto do índi e de desempenho (2.4). O objetivo é minimizar a medida de desempenho (2.4), o sinal negativo no usto c4 expressa a intenção de maximizar a presença de mosquitos ma hos estéreis no ambiente. Desta forma, o problema de ontrole ótimo pode ser formulado om a minimização da medida de desempenho (2.4) sujeita ao sistema de equações dife- ren iais (2.3), obtido pela introdução das variáveis de ontrole u1 e u2 na dinâmi a (2.1). 20 Minimizar: J [u] = 1 2 ∫ T 0 (c1u 2 1 + c2u 2 2 + c3F 2 − c4S 2)dt sujeito a: dA dt = φ ( 1− A C ) F − (γ + µA)A dI dt = rγA − ( βM M + S + βSS M + S + µI + u1 ) I dF dt = βMI M + S − (µF + u1)F dM dt = (1− r)γA − (µM + u1)M dS dt = u2 − (µS + u1)S u1(t) ≥ 0 u2(t) ≥ 0 A(0) = A0 = C(R− 1) R I(0) = I0 = rγA0 (µI + β) F (0) = F0 = (γ + µA)CA0 φ(C −A0) M(0) = M0 = (1− r)γA0 µM S(0) = S0 = 0 (2.5) em que R = φrγβ (γ + µA)(β + µI)µF é a razão bási a de reprodutividade de mosquito que essen ialmente mede o poten ial máximo de reprodução de mosquitos �lhas e pode ser de�nida omo o número médio de �lhas que originaram de uma fêmea (Keeling & Rohani, 2008). Sendo que R > 1 representa olonização dos mosquitos. As ondições ini ias dadas em (2.5) são as ondições de equilíbrio do sistema (2.3) (Thomé, 2007). Portanto, é importante desta ar que onsiderando estas ondições ini ias om R > 1 supõe-se a pior situação possível em relação a dengue. O ontrole será apli ado a partir do momento em que o mosquito se espalhou na natureza, (Thomé, 2007; Thomé et al., 2010). 21 Thomé (2007) utilizou o Prin ípio do Máximo de Prontryagin a �m de determinar o valor ótimo para as variáveis u1(t) e u2(t), o qual ne essita onstruir um sistema adjunto, formando, portanto, um problema de otimalidade estendido. Este problema é formado pelo problema (2.5) e pelo sistema adjunto, onstituindo-se em um sistema não-linear e om ondições de ontorno. No entanto, Thomé (2007) desta a que devido ao omportamento instável nas variáveis adjuntas, o problema é de difí il resolução. Uma estratégia para resolver tal problema é utilizar o método de Newton, não obstante é essen ial que se obtenha uma aproximação ini ial próxima da solução desejada e que garanta a onvergên ia do método. Tal aproximação é difí il em vista das ara terísti as do novo problema, assim Thomé (2007) utiliza o método da ontinuação analíti a tendo muitas di� uldades omputa ionais. Desta forma, o novo problema ser tornou mais omplexo que o problema original. Visto todas estas di� uldades omputa ionais apontadas por Thomé (2007), propomos um algoritmo genéti o para resolução do problema (2.5), o qual está apresentado no próximo apítulo. CAPÍTULO 3 ALGORITMO GENÉTICO 3.1 Introdução Neste apítulo apresentamos um algoritmo genéti o para resolução do problema de otimalidade (2.5). Os algoritmos genéti os (AGs) foram desenvolvidos em 1975 por John H. Holland, seus olegas e estudantes na Universidade de Mi higan. Os AGs diferem de outros métodos de otimização e pro edimentos de bus a nos seguintes aspe tos: • Trabalham om onjunto de parâmetros odi� ados ou não; • Fazem bus a em uma população de pontos, não em um úni o ponto; • Usam a função objetivo para inferir informação, não derivadas ou outro onhe- imento auxiliar; • Usam regras probabilísti as. Os AGs ombinam pro edimentos de sobrevivên ia onde os mais aptos ou adaptados sobrevivem. Em ada geração há a tro a de informação entre os des endentes da geração anterior. A ideia fundamental do AG está em simular o pro esso de evolução e genéti a natural para resolução de diversos problemas de otimização. É omposto por três operadores fundamentais: seleção, ruzamento e mutação. De forma geral, neste algoritmo ria-se uma população ini ial de indivíduos 23 apresentando uma estrutura pré-de�nida em que estes são avaliados de a ordo om sua aptidão ou �tness, em seguida são apli ados os operadores genéti os, ou seja, os indivíduos passam por um pro esso de seleção e os que apresentam melhores �tness têm maiores han es de serem sele ionados para omporem uma população intermediária. Os indivíduos da população intermediária passam pelo pro esso de ruzamento ( rossover) e em seguida mutação. Assim é riado uma nova população substituindo os indivíduos menos promissores da população anterior pelos indivíduos da população intermediária. O pro esso é repetido até atingir um ritério de parada pré-estabele ido. Este algoritmo está resumido a seguir. Passos bási os do algoritmo genéti o 1. Iní io: de�nir a estrutura do indivíduo ( romossomo); 2. População ini ial: gerar uma população ini ial om n indivíduos; 3. Avaliação: al ular a aptidão de ada indivíduo da população; 4. Elite: armazenar os indivíduos de melhor aptidão em onjunto hamado elite; 5. Seleção: sele ionar ps% dos indivíduos da população e armazenar na popula- ção intermediária para ruzamento; 6. Crossover: fazer o ruzamento, dois a dois, entre os indivíduos sele ionados; 7. Mutação: sele ionar om uma probabilidade pm os indivíduos da população que sofrerão mutação; 8. Nova população: sele ionar os n melhores indivíduos dentre a população anterior e a população intermediária; 9. Avaliação al ular a aptidão de ada indivíduo da população e atualizar a elite; 24 10. Critério de parada: se o ritério de parada pré-estabele ido for satisfeito vá para o passo 11, senão vá para o passo 5; 11. Fim: a solução é o melhor indivíduo presente na elite. Será dis utido a seguir ada passo do algoritmo genéti o proposto para resolução do problema de otimalidade (2.5): 3.1.1 Indivíduos Um indivíduo é uma solução para o problema, assim o primeiro passo no desenvolvimento do AG é riar uma estrutura para o indivíduo de a ordo om a ara terísti a da solução do problema abordado. Os indivíduos podem ser estruturados de duas formas: romossomos ou fenótipos. Cromossomos são on�gurações da solução sendo normalmente um vetor de omponentes e ada omponente é hamada de gene. Fenótipos são odi� ações dos romossomos, geralmente do tipo 0 ou 1. No algoritmo proposto para solução de (2.5) os romossomos (ou indi- víduos) são representados por matrizes de dimensão 2×(f+1), onde a primeira linha orresponde aos valores da variável de de isão u1(t) e a segunda linha aos valores de u2(t) e as (f+1) olunas representam a dis retização do tempo em t0, t1, . . . , ti, . . . , tf . Uma representação deste romossomo é ilustrada na Figura 3.1 a seguir. u1(t) u1(t0) u2(t) t0 t1 · · · · · ·u1(t1) u2(t0) u2(t1) · · · · · · · · · tfti u1(tf ) u2(tf ) u1(ti) · · ·u2(ti) Figura 3.1 - Ilustração da estrutura dos romossomos. 25 3.1.2 População ini ial De�nida a estrutura do indivíduo, o próximo passo é a formação da população ini ial. A população ini ial pode ser gerada de forma aleatória ou de forma onstrutiva. Embora, possamos optar por uma forma onstrutiva, o modo aleatório garante uma diversidade maior nesta população. O tamanho da população afeta o desempenho global e a e� iên ia dos AGs. Com uma população pequena o desempenho pode air, pois deste modo a população forne e uma pequena obertura do espaço de bus a do problema. Uma grande população geralmente forne e uma obertura representativa do domínio do problema, além de prevenir onvergên ias prematuras para soluções lo ais ao invés de globais. No entanto, para se trabalhar om grandes populações, são ne essários maiores re ursos omputa ionais, ou que o algoritmo trabalhe por um período de tempo muito maior. No algoritmo proposto a população ini ial é formada por n indivíduos determinados aleatoriamente na forma da Figura 3.1. 3.1.3 Avaliação Nesta fase do pro esso ada indivíduo da população é avaliado. A avaliação de ada indivíduo é feita a partir do ál ulo da aptidão (ou �tness). No algoritmo proposto a função �tness de ada indivíduo i é al ulada por: fi = 1 J [ui] · Pi (3.1) em que fi é o �tness do i-ésimo indivíduo da população, que está asso iado à solução ui = (ui 1, u i 2), J [ui] é o valor da função objetivo para a solução ui de�nida em (2.4), a qual pode ser resolvida utilizando métodos de integração numéri a. Nesta proposta foi utilizado a regra 1/3 de Simpson Generalizada para a avaliação aproximada de J [ui] (para maiores informações veja Apêndi e A). Pi é um valor inteiro tal que 26 Pi = 1 se o indivíduo i for fa tível e Pi = 105 aso ontrário. Desta forma, indivíduos infa tíveis terão baixa aptidão dentre os elementos da população. Os m indivíduos om melhor aptidão são armazenados em um onjunto hamado Elite. O sistema (2.3) é resolvido pelo método de Runge-Kutta de 4a ordem onforme des rito no Apêndi e A. 3.1.4 Elite Devido ao pro esso em que os indivíduos são submetidos, tais omo seleção, ruzamento e mutação, alguns deles podem perder boas ara terísti as que interferem no desempenho do AG. Assim, o melhor ou um pequeno onjunto ontendo os melhores romossomos são armazenados em uma área hamada elite. A elite é atualizada a ada geração e pode também ser inserida na nova população se os indivíduos estiverem perdendo as boas ara terísti as devido a mutação (elitismo). No algoritmo proposto utilizou-se os m indivíduos om melhor aptidão para ompor a elite. A seguir são des ritos os operadores genéti os bási os: seleção, ruza- mento e mutação. 3.1.5 Seleção Seleção é um operador genéti o pelo qual são es olhidos aleatoriamente ps% dos indivíduos da popula ão (em geral maior que 60%) que deverão ompor a população intermediária para posterior ruzamento, dando maior probabilidade de es olha aos indivíduos de maior aptidão. A seleção permite que os indivíduos mais aptos na população possam gerar des endentes om boas ara terísti as e melhor aptidão que seus pais. Existem vários métodos para seleção dos ps% indivíduos da popula- ção omo, por exemplo, o torneio e a roleta sendo que o método da roleta é o mais utilizado. Outros métodos para o operador seleção podem ser en ontrados em (Gold- berg, 1989; Bauer, 1994; Gen & Cheng, 1997; Banzhaf et al., 1998; Mit hell, 1998; 27 Chambers, 2000; Deb, 2001; Eiben & Smith, 2003; Sivanandam & Deepa, 2007). Para o problema abordado neste texto é utilizado o método da roleta. 3.1.6 Cruzamento ou rossover O ruzamento ( rossover) é o pro esso pelo qual pares de indivíduos da população intermediária, hamados pais, produzam des endentes, que serão os �lhos. Para efetuar o ruzamento entre os pares de pais é feito um sorteio para es olha de um ou mais pontos de orte nos romossomos. Determinados os pontos de orte é feita a re ombinação dos genes e a formação dos novos indivíduos (�lhos). Podem haver um ou mais pontos de orte, dependendo da dimensão e ne essidade de diversi� ação do romossomo. Os AGs tradi ionais usam o ruzamento de 1-ponto. Outros métodos para o operador rossover podem ser en ontrados nos autores des ritos em 3.1.5. Como os romossomos para o problema abordado neste texto são re- presentados por uma matriz de dimensão 2 × (f + 1), então no algoritmo proposto é es olhido aleatoriamente um lo al de orte (r1) para a primeira linha da matriz e um lo al de orte (r2) aleatório para a segunda linha da matriz. Uma representação deste operador é ilustrado na Figura 3.2 a seguir. r1 r1 r2 r2 Pai 1 Pai 2 Filho 1 Filho 2 Figura 3.2 - Ilustração do operador de ruzamento. 28 3.1.7 Mutação Depois de efetuar o ruzamento ou rossover, os indivíduos podem sofrer mutações, om uma pequena probabilidade (em geral menor ou igual que 0,1). A mutação é importante pois dá diversidade aos indivíduos, por outro lado um número elevado de mutações pode o asionar a perda de boas ara terísti as dos indivíduos. Em um AG simples a mutação o asiona uma alteração no valor de um gene ou uma sequên ia no romossomo. Há uma vasta literatura que dis ute as vantagens e desvantagens da mutação dos quais os autores foram itados na Seção 3.1.5. No AG proposto, a mutação é feita sorteando aleatoriamente um número r para ada indivíduo da população e omparando om a probabilidade de mutação (probm). Se r for menor ou igual a probm o indivíduo sofrerá mutação. Nese aso es olhe-se aleatoriamente quantos e quais genes serão mudados e qual será o valor de ada gene. 3.1.8 Nova população Após a mutação tem-se uma nova população e nesta serão feitos os ál ulos do �tness de ada indivíduo, atualizado o onjunto Elite e apli ado os ope- radores genéti os: seleção, ruzamento e mutação. Este pro esso será repetido até que um ritério de parada seja satisfeito. 3.1.9 Critério de parada O pro esso des rito para o AG é repetido até que seja satisfeito um ritério de parada pré-estabele ido. Existem diversos ritérios de parada, também onhe idos omo ritérios de onvergên ia, por exemplo, o número de gerações e lapso de tempo, dentre outros, onforme os autores itados na Seção 3.1.5. O AG proposto utiliza omo ritério de parada um número k pré-�xado de gerações. A melhor solução (indivíduo) u∗ = (u∗ 1, u ∗ 2) dentre os elementos da Elite, é tomado omo uma solução aproximada para o problema de ontrole ótimo (2.5). 29 Neste algoritmo, além da fa ilidade de implementação tem-se também a vantagem da fá il adição de novas restrições sem di� ultar a resolução do problema de otimização, omo exemplo a inserção de referên ias sobre as saídas dos estados do sistema (2.3). Com isto não há ne essidade de resolução do sistema om valores de ontorno. É proposta a inserção da seguinte restrição: F (t) ≤ Ffixo para todo t ≥ tfixo em que Ffixo representa o tamanho da população de fêmeas fertilizadas �xado para um tempo tfixo. No apítulo seguinte são apresentados os resultados obtidos om a implementação do AG proposto neste trabalho. CAPÍTULO 4 RESULTADOS NUMÉRICOS Neste apítulo são apresentados os resultados omputa ionais referente a apli ação do Algoritmo Genéti o proposto para resolução do problema (2.5). O AG proposto foi implementado em linguagem C utilizando um omputador om pro essador Intel R© Core TM 2 Quad 2.66 GHz, memória RAM de 4 GB om o sistema opera ional Ubuntu 12.04 LTS perten ente ao Laboratório Cientí� o de Informáti a (LCI) do departamento de Bioestatísti a da UNESP de Botu atu. Para apli ação do AG foram utilizados os dados de Thomé (2007) e também tfixo e Ffixo, onforme a Tabela 4.1. Tabela 4.1: Parâmetros utilizados no sistema de otimalidade (2.3) β βS γ C µA µI µF µM µS φ r tfixo Ffixo 1 0,7 0,07 13 0,05 0,05 0,05 0,1 0,1 0,5 0,5 30 0,3 Em que os parâmetros β, βS, γ, C, µA, µI , µF , µM , µS, φ e Ffixo estão em dia −1 e tfixo está em dia. Com os dados da Tabela 4.1 podem ser al ulados o valor de R e das ondições ini iais, ujo resultado está apresentado em (4.1). 31                            R = 2, 7778 A(0) = 8, 3200 I(0) = 0, 2773 F (0) = 5, 5467 M(0) = 2, 9120 S(0) = 0 (4.1) Nos testes omputa ionais foi utilizado um período total de 120 dias (T = 120) para apli ação do ontrole usando inseti ida u1(t), om u1(t) ∈ [0, 1], e inserção de mosquitos ma hos estéreis u2(t), om u2(t) ∈ [0, 10 ·M(0)]. A es olha do intervalo para u1 é ne essária para manter a ara terísti a biológi a do modelo (2.3), devendo ser menor que 1 para não permitir a determinação de quantidades negativas de insetos. Os indivíduos do AG que tiverem valores de u1 muito próximo de 1, de forma a determinar estados negativos, sofrerão penalizações onforme previsto no algoritmo. A es olha do intervalo para u2 é baseada na té ni a SIT, uja inserção de mosquitos estéreis é feita em uma quantidade variando de 5 a 10 vezes o número de ma hos naturais para promover a ompetição vantajosa dos ma hos estéreis om estes. No AG proposto foram adotados os seguintes parâmetros: 500 indiví- duos na população, 1000 gerações, taxa de rossover de 80%, taxa de mutação de 5% e a elite omposta por 50 indivíduos. Com o objetivo de propor uma estratégia mais e� az algumas situações possíveis para as variáveis u1(t) e u2(t) são onsideradas, as quais estão des ritas a seguir. Situação 1: Considerar u1(t) e u2(t) onstantes no espaço de tempo; Situação 2: Considerar u1(t) e u2(t) variantes no espaço de tempo; Situação 3: Considerar u1(t) e u2(t) onstantes em períodos de p em p dias no espaço de tempo; 32 Situação 4: Considerar apenas o ontrole u1(t) onstante no espaço de tempo, om u2(t) = 0; Situação 5: Considerar apenas o ontrole u2(t) onstante no espaço de tempo, om u1(t) = 0 ; Situação 6: Considerar u1(t) e u2(t) alternados, ini iando apenas om o ontrole u1(t) que será apli ado em uma quantidade �xa por um tempo limitado de d dias, posteriormente apenas o ontrole u2(t) será apli ado por mais d dias, e assim su essivamente até que se atinja o tempo T ; Situação 7: Considerar u1(t) e u2(t) alternados, ini iando apenas om o ontrole u2(t) que será apli ado em uma quantidade �xa por um tempo limitado de d dias, posteriormente apenas o ontrole u1(t) será apli ado por mais d dias, e assim su essivamente até que se atinja o tempo T ; Situação 8: Ini iar om u1(t) e u2(t) onstantes e o algoritmo determina a melhor estratégia de variação para os valores dos ontroles no período de 0 a T ; Devido aos intervalos de bus a para os valores de u1(t) e u2(t) existem diferentes ordens de magnitude nas par elas da função objetivo J , mas isto pode ser normalizado utilizando té ni as adequadas, (Deb, 2001). Neste trabalho foram seguidas as sugestões de Deb (2001) para a pon- deração das par elas do fun ional que des revem os objetivos do modelo de otimiza- ção (2.5), portanto J estará padronizado para futura omparação de ustos. Assim, foram utilizados os seguintes valores para ci, i = 1, 2, 3, 4, que estão apresentados na Tabela 4.2: Tabela 4.2: Parâmetros utilizados para os oe� ientes c1, c2, c3 e c4 de (2.4) c1 c2 c3 c4 1 1 1 1 33 A seguir serão apresentados os resultados numéri os para resolução do problema de otimização (2.5) em ada uma das situações dis utidas para u1(t) e u2(t). 4.1 Situação 1: u1(t) e u2(t) onstantes no espaço de tempo Nesta situação foi onsiderada uma apli ação diária onstante de in- seti ida e de liberação de mosquitos ma hos estéreis. Os resultados en ontrados pelo AG para esta situação estão ilustrados nas Figuras 4.1�4.8. O AG determinou os valores otimizados para u1(t) e u2(t), obtendo J [u] = 5, 7974. A Figura 4.1 apresenta o valor determinado para o ontrole u1(t) e a Figura 4.2 apresenta o valor para o ontrole u2(t). Com estes valores foi resolvido o sistema (2.3) e as dinâmi as dos ompartimentos da população de mosquitos estão ilustradas nas Figuras 4.3�4.8 0 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1 0 20 40 60 80 100 120 V a ri á v el d e co n tr o le u 1 (t ) t (dias) Figura 4.1: Variável de ontrole u1(t) referente ao investimento om inseti- ida. 0 0, 5 1 1, 5 2 2, 5 3 3, 5 0 20 40 60 80 100 120 V a ri á v el d e co n tr o le u 2 (t ) t (dias) Figura 4.2: Variável de ontrole u2(t) referente ao investimento om mosquitos ma hos estéreis. 34 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 20 40 60 80 100 120 F a se a q u á ti ca A (t ) t (dias) Figura 4.3: População na fase aquáti a A. 0 0, 05 0, 1 0, 15 0, 2 0, 25 0, 3 0 20 40 60 80 100 120 F êm ea s v ir g en s I (t ) t (dias) Figura 4.4: População de mosquitos fêmeas virgens I. 0 1 2 3 4 5 6 0 20 40 60 80 100 120 F êm ea s fe rt il iz a d a s F (t ) t (dias) Figura 4.5: População de mosquitos fêmeas fertilizadas F . 0 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8 0 20 40 60 80 100 120 F êm ea s n ã o -f er ti li za d a s U (t ) t Figura 4.6: População de mosquitos fêmeas não-fertilizadas U . 35 0 0, 5 1 1, 5 2 2, 5 3 0 20 40 60 80 100 120 M a ch o s n a tu ra is M (t ) t (dias) Figura 4.7: População de mosquitos ma hos naturais M . 0 1 2 3 4 5 6 0 20 40 60 80 100 120 M a ch o s es té re is S (t ) t (dias) Figura 4.8: População de mosquitos ma hos estéreis S. Observa-se neste aso que o AG es olheu uma estratégia de apli ar pou o inseti ida e pou a inserção de mosquitos ma hos estéreis, mas de forma ons- tante em todo intervalo de tempo. Com isto houve redução dos mosquitos na fase aquáti a em aproximadamente 40 dias. Com a redução da população na fase aquáti a A, as demais populações sofrem redução a ex eção dos mosquitos ma hos estéreis que são olo ados estrategi amente no meio ambiente. Nota-se também que a res- trição adi ional sobre a população de fêmeas fertilizadas foi satisfeita usando este algoritmo. Neste trabalho não foi onsiderada a resistên ia dos mosquitos ao in- seti ida, assim utilizar inseti ida de forma onstante em todo período de tempo pode não ser uma boa estratégia. 4.1.1 Situação 2: u1(t) e u2(t) variantes no espaço de tempo Nesta situação foi onsiderada uma apli ação diária variante no tempo de inseti ida e de liberação de mosquitos ma hos estéreis. Os resultados en ontrados pelo AG para esta situação estão ilustrados nas Figuras 4.9�4.16. O AG determinou os valores otimizados para u1(t) e u2(t), os quais estão ilustrados nas Figuras 4.9 e 4.10, obtendo J [u] = 6, 9389. Com estes valores 36 foi resolvido o sistema (2.3) e as dinâmi as dos ompartimentos da população de mosquitos estão ilustradas nas Figuras 4.11�4.16 0 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1 0 20 40 60 80 100 120 V a ri á v el d e co n tr o le u 1 (t ) t (dias) Figura 4.9: Variável de ontrole u1(t) referente ao investimento om inseti- ida. 0 5 10 15 20 25 0 20 40 60 80 100 120 V a ri á v el d e co n tr o le u 2 (t ) t (dias) Figura 4.10: Variável de ontrole u2(t) referente ao investimento om mosquitos ma hos estéreis. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 20 40 60 80 100 120 F a se a q u á ti ca A (t ) t (dias) Figura 4.11: População na fase aquáti a A. 0 0, 05 0, 1 0, 15 0, 2 0, 25 0, 3 0 20 40 60 80 100 120 F êm ea s v ir g en s I (t ) t (dias) Figura 4.12: População de mosquitos fêmeas virgens I. 37 0 1 2 3 4 5 6 0 20 40 60 80 100 120 F êm ea s fe rt il iz a d a s F (t ) t (dias) Figura 4.13: População de mosquitos fêmeas fertilizadas F . 0 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8 0 20 40 60 80 100 120 F êm ea s n ã o -f er ti li za d a s U (t ) t Figura 4.14: População de mosquitos fêmeas não-fertilizadas U . 0 0, 5 1 1, 5 2 2, 5 3 0 20 40 60 80 100 120 M a ch o s n a tu ra is M (t ) t (dias) Figura 4.15: População de mosquitos ma hos naturais M . 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 0 20 40 60 80 100 120 M a ch o s es té re is S (t ) t (dias) Figura 4.16: População de mosquitos ma hos estéreis S. Nesta situação a estratégia que o AG en ontrou para u1(t) e u2(t) vari- antes no tempo fez om que as populações de mosquitos na fase aquáti a, fêmeas virgens, fêmeas fertilizadas e ma hos naturais diminuíssem em menos de 40 dias. Mas, tal estratégia em que há uma variação diária nos valores dos ontroles é in- viável na práti a, pois a produção de mosquitos estéreis é feita por empresas e estas ne essitam de uma onstân ia na quantidade de insetos produzidos em um espaço de tempo, não havendo variações diárias nestas quantidades. 38 4.1.2 Situação 3: u1(t) e u2(t) onstantes em períodos de p em p dias no espaço de tempo Nesta situação foi onsiderada a apli ação de inseti ida e a liberação de mosquitos ma hos estéreis de 10 em 10 dias ao longo do tempo. Os resultados en ontrados pelo AG para esta situação estão ilustrados nas Figuras 4.17�4.24. O AG determinou os valores otimizados para u1(t) e u2(t), os quais estão ilustrados nas Figura 4.17 e 4.18. Com estes valores de u1(t) e u2(t) foi resolvido o sistema (2.3) e as dinâmi as dos ompartimentos da população de mosquitos estão ilustradas nas Figuras 4.19�4.24. Neste aso, J [u] = 2, 5728. Nesta situação o AG sugere usar inseti ida durante os 10 primeiros dias de ontrole e simultaneamente inserir mosquitos ma hos estéreis. A inserção de mosquitos estéreis vai sendo reduzida até o 50-ésimo dia. Com esta estratégia em menos de 50 dias as populações de mosquitos foram levadas aos níveis desejados. 0 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1 0 20 40 60 80 100 120 V a ri á v el d e co n tr o le u 1 (t ) t (dias) Figura 4.17: Variável de ontrole u1(t) referente ao investimento om inseti- ida. 0 0, 5 1 1, 5 2 2, 5 3 3, 5 0 20 40 60 80 100 120 V a ri á v el d e co n tr o le u 2 (t ) t (dias) Figura 4.18: Variável de ontrole u2(t) referente ao investimento om mosquitos ma hos estéreis. 39 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 20 40 60 80 100 120 F a se a q u á ti ca A (t ) t (dias) Figura 4.19: População na fase aquáti a A. 0 0, 05 0, 1 0, 15 0, 2 0, 25 0, 3 0 20 40 60 80 100 120 F êm ea s v ir g en s I (t ) t (dias) Figura 4.20: População de mosquitos fêmeas virgens I. 0 1 2 3 4 5 6 0 20 40 60 80 100 120 F êm ea s fe rt il iz a d a s F (t ) t (dias) Figura 4.21: População de mosquitos fêmeas fertilizadas F . 0 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8 0 20 40 60 80 100 120 F êm ea s n ã o -f er ti li za d a s U (t ) t Figura 4.22: População de mosquitos fêmeas não-fertilizadas U . 40 0 0, 5 1 1, 5 2 2, 5 3 0 20 40 60 80 100 120 M a ch o s n a tu ra is M (t ) t (dias) Figura 4.23: População de mosquitos ma hos naturais M . 0 2 4 6 8 10 12 0 20 40 60 80 100 120 M a ch o s es té re is S (t ) t (dias) Figura 4.24: População de mosquitos ma hos estéreis S. 4.1.3 Situação 4: somente u1(t) onstante no espaço de tempo e u2(t) = 0 Nesta situação foi onsiderada uma apli ação diária onstante de in- seti ida e sem a liberação de mosquitos ma hos estéreis durante todo o período de ontrole. Os resultados en ontrados pelo AG para esta situação estão ilustrados nas Figuras 4.25�4.29. O AG determinou o valor otimizado para u1(t), ilustrado na Figura 4.25, obtendo J [u] = 6, 5675. Com este valor de u1(t) e u2(t) = 0 foi resolvido o sistema (2.3) e as dinâmi as dos ompartimentos da população de mosquitos estão ilustradas nas Figuras 4.26�4.29 41 0 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1 0 20 40 60 80 100 120 V a ri á v el d e co n tr o le u 1 (t ) t (dias) Figura 4.25 - Variável de ontrole u1(t) referente ao investimento om inseti ida. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 20 40 60 80 100 120 F a se a q u á ti ca A (t ) t (dias) Figura 4.26: População na fase aquáti a A. 0 0, 05 0, 1 0, 15 0, 2 0, 25 0, 3 0 20 40 60 80 100 120 F êm ea s v ir g en s I (t ) t (dias) Figura 4.27: População de mosquitos fêmeas virgens I. 42 0 1 2 3 4 5 6 0 20 40 60 80 100 120 F êm ea s fe rt il iz a d a s F (t ) t (dias) Figura 4.28: População de mosquitos fêmeas fertilizadas F . 0 0, 5 1 1, 5 2 2, 5 3 0 20 40 60 80 100 120 M a ch o s n a tu ra is M (t ) t (dias) Figura 4.29: População de mosquitos ma hos naturais M . Com esta estratégia sugerida pelo AG as populações de mosquitos na- turais hegaram aos níveis desejado em menos de 60 dias, mas omo já observado na situação 1 não está sendo onsiderada a resistên ia dos mosquitos ao inseti ida, assim utilizar inseti ida de forma onstante em todo período de tempo pode não ser uma boa estratégia de ontrole. 4.1.4 Situação 5: u1(t) = 0 e u2(t) onstante no espaço de tempo Nesta situação foi onsiderada uma apli ação diária onstante na quan- tidade de mosquitos ma hos estéreis liberados e sem a apli ação de inseti ida durante todo o período de ontrole. Os resultados om tal ara terísti a estão ilustrados nas Figuras 4.30�4.36. O AG determinou o valor otimizado para u2(t), o qual está ilustrado na Figura 4.30, obtendo J [u] = 18, 8748. Com este valor de u2(t) e u1(t) = 0 foi resolvido o sistema (2.3) e as dinâmi as dos ompartimentos da população de mosquitos estão ilustradas nas Figuras 4.31�4.36. Nesta situação observa-se laramente que o usto de ontrolar a popu- lação de mosquitos naturais apenas om a inserção de mosquitos ma hos estéreis é muito alto omparado om as demais situações estudadas, onforme mostrado nas 43 Tabelas 4.3 e 4.5. Além disso, a diminuição de mosquitos naturais o orreu de uma forma mais lenta que as observadas nas demais situações e não satisfazendo a restri- ção imposta sobre o número de fêmeas fertilizadas. Tabela 4.3: Comparação entre J nas situações 4 e 5. ui J [ui] u1 6= 0 (u2 = 0) 6,5675 u2 6= 0 (u1 = 0) 18,8748 0 2 4 6 8 10 0 20 40 60 80 100 120 V a ri á v el d e co n tr o le u 2 (t ) t (dias) Figura 4.30 - Variável de ontrole u2(t) referente ao investimento om mosquitos ma- hos estéreis. 44 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 20 40 60 80 100 120 F a se a q u á ti ca A (t ) t (dias) Figura 4.31: População na fase aquáti a A. 0 0, 05 0, 1 0, 15 0, 2 0, 25 0, 3 0, 35 0, 4 0 20 40 60 80 100 120 F êm ea s v ir g en s I (t ) t (dias) Figura 4.32: População de mosquitos fêmeas virgens I. 0 1 2 3 4 5 6 0 20 40 60 80 100 120 F êm ea s fe rt il iz a d a s F (t ) t (dias) Figura 4.33: População de mosquitos fêmeas fertilizadas F . 0 0, 5 1 1, 5 2 2, 5 3 3, 5 0 20 40 60 80 100 120 F êm ea s n ã o -f er ti li za d a s U (t ) t Figura 4.34: População de mosquitos fêmeas não-fertilizadas U . 45 0 0, 5 1 1, 5 2 2, 5 3 0 20 40 60 80 100 120 M a ch o s n a tu ra is M (t ) t (dias) Figura 4.35: População de mosquitos ma hos naturais M . 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 20 40 60 80 100 120 M a ch o s es té re is S (t ) t (dias) Figura 4.36: População de mosquitos ma hos estéreis S. 4.1.5 Situação 6: u1(t) e u2(t) alternados em d dias, ini iando om o ontrole u1(t) Nesta situação foi onsiderada uma apli ação alternada entre inseti ida e liberação de mosquitos ma hos estéreis, ini iando apenas om inseti ida que foi apli ado por 10 dias, posteriormente apenas os mosquitos ma hos estéreis foram liberados por mais 10 dias, e assim su essivamente até que fosse atingido o período de 120 dias. O AG determinou os valores otimizados para u1(t) e u2(t), obtendo J [u] = 2, 7889. A Figura 4.37 apresenta o valor determinado para o ontrole u1(t) e a Figura 4.38 apresenta o valor para o ontrole u2(t). Com estes valores foi resolvido o sistema (2.3) e as dinâmi as dos ompartimentos da população de mosquitos estão ilustradas nas Figuras 4.39�4.44 46 0 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1 0 20 40 60 80 100 120 V a ri á v el d e co n tr o le u 1 (t ) t (dias) Figura 4.37: Variável de ontrole u1(t) referente ao investimento om inseti- ida. 0 0, 5 1 1, 5 2 2, 5 3 3, 5 0 20 40 60 80 100 120 V a ri á v el d e co n tr o le u 2 (t ) t (dias) Figura 4.38: Variável de ontrole u2(t) referente ao investimento om mosquitos ma hos estéreis. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 20 40 60 80 100 120 F a se a q u á ti ca A (t ) t (dias) Figura 4.39: População na fase aquáti a A. 0 0, 05 0, 1 0, 15 0, 2 0, 25 0, 3 0 20 40 60 80 100 120 F êm ea s v ir g en s I (t ) t (dias) Figura 4.40: População de mosquitos fêmeas virgens I. 47 0 1 2 3 4 5 6 0 20 40 60 80 100 120 F êm ea s fe rt il iz a d a s F (t ) t (dias) Figura 4.41: População de mosquitos fêmeas fertilizadas F . 0 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8 0 20 40 60 80 100 120 F êm ea s n ã o -f er ti li za d a s U (t ) t Figura 4.42: População de mosquitos fêmeas não-fertilizadas U . 0 0, 5 1 1, 5 2 2, 5 3 0 20 40 60 80 100 120 M a ch o s n a tu ra is M (t ) t (dias) Figura 4.43: População de mosquitos ma hos naturais M . 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 20 40 60 80 100 120 M a ch o s es té re is S (t ) t (dias) Figura 4.44: População de mosquitos ma hos estéreis S. Observa-se que para esta situação o AG prop�s uma estratégia apli- ando inseti ida somente nos primeiros 10 dias e após isto inserindo mosquitos es- téreis durante 10 dias e interrompendo outros 10 dias e assim por diante, diminuindo a quantidade a medida em que a população de mosquitos naturais diminui. Esta es- tratégia propor iona um de aimento em todas as populações de mosquitos naturais. 48 4.1.6 Situação 7: u1(t) e u2(t) alternados em d dias, ini iando om o ontrole u2(t) Nesta situação foi onsiderada uma apli ação alternada entre inseti- ida e liberação de mosquitos ma hos estéreis, ini iando apenas om a liberação de mosquitos ma hos estéreis que foram liberados por 10 dias, posteriormente apenas o inseti ida foi apli ado por 10 dias, e assim su essivamente até que fosse atingido o período de 120 dias. O AG determinou os valores otimizados para u1(t) e u2(t), obtendo J [u] = 12, 3907. A Figura 4.45 apresenta os valores determinados para o ontrole u1(t) e a Figura 4.46 apresenta os valores para o ontrole u2(t). Com estes valores foi resolvido o sistema (2.3) e as dinâmi as dos ompartimentos da população de mosquitos estão ilustradas nas Figuras 4.47�4.52. Nesta situação observa-se que o usto de ontrolar a população de mosquitos ini iando om a inserção de mosquitos ma hos estéreis é alto omparado om a estratégia de ini iar o ontrole om a apli ação de inseti idas onforme des rito na situação 6. A omparação destes valores está apresentada na Tabela 4.4. Tal fato mostra que ini iar o ontrole om mosquitos ma hos estéreis não seria uma boa estratégia. Tabela 4.4: Comparação entre J nas situações 6 e 7. ui alternado J [ui] ini iando om u1 2,7889 ini iando om u2 12,3907 49 0 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1 0 20 40 60 80 100 120 V a ri á v el d e co n tr o le u 1 (t ) t (dias) Figura 4.45: Variável de ontrole u1(t) referente ao investimento om inseti- ida. 0 2 4 6 8 10 0 20 40 60 80 100 120 V a ri á v el d e co n tr o le u 2 (t ) t (dias) Figura 4.46: Variável de ontrole u2(t) referente ao investimento om mosquitos ma hos estéreis. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 20 40 60 80 100 120 F a se a q u á ti ca A (t ) t (dias) Figura 4.47: População na fase aquáti a A. 0 0, 05 0, 1 0, 15 0, 2 0, 25 0, 3 0, 35 0, 4 0 20 40 60 80 100 120 F êm ea s v ir g en s I (t ) t (dias) Figura 4.48: População de mosquitos fêmeas virgens I. 50 0 1 2 3 4 5 6 0 20 40 60 80 100 120 F êm ea s fe rt il iz a d a s F (t ) t (dias) Figura 4.49: População de mosquitos fêmeas fertilizadas F . 0 0, 5 1 1, 5 2 2, 5 3 3, 5 0 20 40 60 80 100 120 F êm ea s n ã o -f er ti li za d a s U (t ) t Figura 4.50: População de mosquitos fêmeas não-fertilizadas U . 0 0, 5 1 1, 5 2 2, 5 3 0 20 40 60 80 100 120 M a ch o s n a tu ra is M (t ) t (dias) Figura 4.51: População de mosquitos ma hos naturais M . 0 10 20 30 40 50 60 70 0 20 40 60 80 100 120 M a ch o s es té re is S (t ) t (dias) Figura 4.52: População de mosquitos ma hos estéreis S. 4.1.7 Situação 8: Ini iar om u1(t) e u2(t) onstantes e o algoritmo deter- mina a melhor estratégia de variação para os valores dos ontroles no período de 0 a T . Nesta situação o algoritmo ini ia om uma apli ação diária onstante de inseti ida e de liberação de mosquitos ma hos estéreis e ao �nal do pro esso o algoritmo determina os valores para u1(t) e u2(t) de forma otimizada. Os resultados estão ilustrados nas Figuras 4.53�4.60. Com estes valores otimizados para u1(t) e 51 u2(t) o AG obteve J [u] = 1, 9580. As dinâmi as dos ompartimentos das populações de mosquitos om estes ontroles estão ilustradas nas Figuras 4.55�4.60 0 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1 0 20 40 60 80 100 120 V a ri á v el d e co n tr o le u 1 (t ) t (dias) Figura 4.53: Variável de ontrole u1(t) referente ao investimento om inseti- ida. 0 0, 5 1 1, 5 2 2, 5 3 3, 5 0 20 40 60 80 100 120 V a ri á v el d e co n tr o le u 2 (t ) t (dias) Figura 4.54: Variável de ontrole u2(t) referente ao investimento om mosquitos ma hos estéreis. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 20 40 60 80 100 120 F a se a q u á ti ca A (t ) t (dias) Figura 4.55: População na fase aquáti a A. 0 0, 05 0, 1 0, 15 0, 2 0, 25 0, 3 0 20 40 60 80 100 120 F êm ea s v ir g en s I (t ) t (dias) Figura 4.56: População de mosquitos fêmeas virgens I. 52 0 1 2 3 4 5 6 0 20 40 60 80 100 120 F êm ea s fe rt il iz a d a s F (t ) t (dias) Figura 4.57: População de mosquitos fêmeas fertilizadas F . 0 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8 0 20 40 60 80 100 120 F êm ea s n ã o -f er ti li za d a s U (t ) t Figura 4.58: População de mosquitos fêmeas não-fertilizadas U . 0 0, 5 1 1, 5 2 2, 5 3 0 20 40 60 80 100 120 M a ch o s n a tu ra is M (t ) t (dias) Figura 4.59: População de mosquitos ma hos naturais M . 0 2 4 6 8 10 12 0 20 40 60 80 100 120 M a ch o s es té re is S (t ) t (dias) Figura 4.60: População de mosquitos ma hos estéreis S. Nesta situação o AG prop�s ini iar a apli ação de inseti ida em grande quantidade em um pequeno espaço de tempo e diminuindo sua apli ação durante o período de ontrole. Sugere também aumentar a quantidade de mosquitos estéreis quando há a dimuição do uso de inseti ida. Esta estratégia sugere que quando o investimento om inseti ida é baixo, o AG sugere um maior investimento em ma hos estéreis e vi e-versa. Como exemplo, no período entre 30 e 120 dias, enquanto u2 é alto, u1 é baixo. 53 4.2 Comparação de ustos A Tabela 4.5 apresenta os valores determinados para J [u] nas 8 situ- ações estudadas anteriormente. Observando os valores determinados para o fun ional J que representa os objetivos estudados on luímos que a situação 8 apresenta menor usto e as situações 5 e 7 apresentam os piores desempenhos em termos de usto. Pode ser observado que situações onde apli a-se maiores quantidades de inseti idas no iní io do ontrole e depois estas quantidades são reduzidas, asso i- adas om a inserção de mosquitos estéreis produzem um baixo usto e apresentam um bom ontrole para a população de mosquitos naturais (situações 3, 6 e 8). Tabela 4.5: Valores para J Situação J [u] 1 5,7974 2 6,9389 3 2,5728 4 6,5675 5 18,8748 6 2,7889 7 12,3907 8 1,9580 No apítulo seguinte são apresentadas as on lusões obtidas om a implementação do algoritmo genéti o proposto bem omo as perspe tivas futuras para novos trabalhos. CAPÍTULO 5 CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS FUTURAS Neste trabalho foi proposto um Algoritmo Genéti o para determinar o ontrole otimizado do mosquito transmissor da dengue. Foi onsiderado o on- trole om apli ação de inseti ida e a inserção de mosquitos ma hos estéreis no meio ambiente. Con lui-se que: • O Algoritmo genéti o mostrou ser uma boa ferramenta para determinação de ontroles otimizados para o problema em questão. • OAG proposto é de fá il implementação e apresenta �exibilidade na inserção de restrições no problema de ontrole ótimo, o que evita di� uldades na resolução do sistema dinâmi o presente no modelo. • As penalizações impostas sobre as soluções infa tíveis, permitiu uma ampla bus a na região de fa tibilidade. • O AG sugere omo melhores estratégias aquelas em que há inserção onjunta de mosquitos estéreis om inseti idas, utilizando inseti ida no iní io do pro- esso. Esta estratégia reduz o usto e a quantidade de inseti ida a ser utilizada, otimizando o pro esso tanto e onomi amente omo ambientalmente. • Ini iar o ontrole somente om mosquitos estéreis torna o pro esso muito aro. Para se determinar a melhor estratégia de ontrole para o mosquito transmissor da dengue, omo já foi observado, deve ser levado em onta aquela (a 55 estratégia) em relação a ontrolar a proliferação do inseto e preservar o meio ambiente sabendo que não está sendo onsiderado neste trabalho a resistên ia dos mosquitos naturais ao uso do inseti ida. Foi imposta uma restrição sobre a população de fêmeas fertilizadas e a úni a situação que não satisfez tal restrição foi estratégia de liberar apenas mosquitos estéreis no meio ambiente. Perspe tivas Futuras Tem-se omo perspe tivas futuras: • O estudo de outras formas de ontrole, omo exemplo o ontrole me âni o; • Investigação dos efeitos da resistên ia dos mosquitos devido ao uso de inseti- ida, a partir da inserção no modelo de equação que des reva este pro esso. • Realizar um estudo dos parâmetros biológi os do modelo no laboratório da Parasitologia, IBB, Unesp. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BANZHAF, W.; FRANCONE, F. D.; KELLER, R. E.; NORDIN, P. Geneti programming: an introdu tion: on the automati evolution of omputer programs and its appli ations. San Fran is o, CA, USA: Morgan Kaufmann Publishers In ., 1998. BARTLETT, A. C.; STATEN, R. T. The Sterile Inse t Release Method and Other Geneti Control Strategies. Rad li�e's IPM World Textbook, 1996. BAUER, R. J. Geneti Algorithms and Investment Strategies. New York, NY, USA: John Wiley & Sons, In ., 1994. BHATT, S.; GETHING, P. W.; BRADY, O. J.; MESSINA1, J. P.; FARLOW, A. W.; MOYES, C. L.; DRAKE, J. M.; BROWNSTEIN, J. S.; HOEN, A. G.; SANKOH, O.; MYERS, M. F.; GEORGE, D. B.; JAENISCH, T.; WINT, G. R.; SIMMONS, C. P.; SCOTT, T. W.; FARRAR, J. J.; HAY, S. I. The global distribution and burden of dengue. Nature, v.496, p.504�507, 2013. BOYCE, W.; DIPRIMA, R. Equações diferen iais elementares e problemas de valores de ontorno. Livros Té ni os e Cientí� os, 2006. BURDEN, R. L.; FAIRES, J. D. Análise Numéri a. Boston, MA, USA: Thomson Learning, 2003. CAPURRO, M. L.; RIBOLLA, P. E. M.; DE BIANCHI, A. G.; MARRELLI, M. T.; DE S. CAROCI, A.; MAGALH�ES, M.; FEITOSA, F. M.; CHINOCA, J. P.; BURINI, B. Mosquitos transgêni os: ontrole da transmissão de malária e dengue. Biote nologia: Ciên ia & Desenvolvimento, v.4, n.22, p.26�31, 2001. 57 CHAMBERS, L. D. The Pra ti al Handbook of Geneti Algorithms: Ap- pli ations, Se ond Edition. 2. ed. Bo a Raton, FL, USA: CRC Press, In ., 2000. CHAMBERS, T. J.; MONATH, T. P. The �aviviruses: dete tion, diagnosis and va ine development. San Diego, California, USA: Elsevier A ademi Press, 2003. 61v. CONSOLI, R. A. G. B.; OLIVEIRA, R. L. Prin ipais mosquitos de importân ia sanitária no Brasil. Rio de Janeiro: Editora FIOCRUZ, 1994. 228p. COX, J.; GRILLET, M. E.; RAMOS, O. M.; AMADOR, M.; BARRERA, R. Habitat segregation of dengue ve tors along an urban environmental gradient. Am. J. Trop. Med. Hyg., v.76, n.5, p.820�826, 2007. DEB, K.Multi-obje tive optimization using evolutionary algorithms. Chi h- ester New York: John Wiley & Sons, 2001. DIAMOND, M. S.; HARRIS, E.; ENNIS, F. A. Defeating dengue: a hallenge for a va ine. Nature Medi ine, v.18, n.11, p.1622�1623, 2012. EIBEN, A. E.; SMITH, J. E. Introdu tion to Evolutionary Computing. SpringerVerlag, 2003. ESTEVA, L.; YANG, H. M. Mathemati al model to assess the ontrol of Aedes aegypti mosquitoes by the sterile inse t te hnique. Mathemati al Bios ien es, v.198, p.132�147, 2005. FNS, F. Dengue: instruções para pessoal de ombate ao vetor: manual de normas té ni as. Brasília: Fundação Na ional de Saúde, 2001. FORATINI, O. P. Entomologia Médi a. São Paulo: EDUSP, 1992. FRANCO, N. B. Cál ulo numéri o. Pearson, 2006. 58 GALLO, D.; NAKAMO, O.; SILVA NETO, S.; CARVALHO, R. P. L.; BAPTISTA, G. C.; BERTI FILHO, E.; PARRA, J. R. P.; ZUCCHI, R. A.; ALVES, S. B.; VEN- DRAMIM, J. D.; MARCHINI, L. C.; LOPES, J. R. S.; OMOTO, C. Entomologia Agrí ola. Pira i aba: FEALQ, 2002. 10v. 920p. GEN, M.; CHENG, R. Geneti Algorithms and Engineering Design. John Wiley & Sons, In ., 1997. GILL, J.; STARK, L. M.; CLARK, G. G. Dengue Surveillan e in Florida, 1997�98. Emerging Infe tious Diseases, v.6, n.1, p.30�35, 2000. GILLOTT, C. Entomology. 3. ed. Dordre ht: Springer, 2005. 833p. GOLDBERG, D. E. Geneti Algorithms in Sear h, Optimization and Ma- hine Learning. 1. ed. Boston, MA, USA: Addison-Wesley Longman Publishing Co., In ., 1989. GUBLER, D. J. Dengue and Dengue Hemorrhagi Fever. Clini al Mi robiology Reviews, v.10, n.3, p.480�496, 1998a. GUBLER, D. J. Resurgent Ve tor-Borne Diseases as a Global Health Problem. Emerging Infe tious Diseases, v.4, n.3, p.442�449, 1998b. KEELING, M. J.; ROHANI, P. Modeling infe tious diseases in humans and animals. Prin eton: Prin eton University Press, 2008. Nlm opy . KNIPLING, E. F. Possibilities of inse t ontrol or erradi ation through the use of sexually sterile males. J. E on. Entomol., v.48, n.459-62, 1955. MANRIQUE-SAIDE, P.; CHE-MENDOZA, A.; RIZZO, N.; ARANA, B.; PILGER, D.; LENHART, A.; KROEGER, A. Operational guide for assessing the pro- du tivity of Aedes aegypti breeding sites. Geneva: TDR/World Health Orga- nization, 2011. 25p. 59 MARRAMA-RAKOTOARIVONY, L.; ZELLER, H.; SCHAFFNER, F.; PETRIC, R. B. D.; SCHOLTE, E.-J. Guidelines for the surveillan e of invasive mosquitoes in Europe. Sto kholm: ECDC TECHNICAL REPORT, 2012. 95p. MINISTERIOS DE SALUD DE ESTADOS PARTES Y ASOCIADOS DE MERCO- SUR. Estrategia de Gestión Integrada de preven ión y ontrol de dengue para los Estados Partes y Aso iados del MERCOSUR. Paraguay: Organi- za ión Panameri ana de la Salud, Organiza ión Mundial de la Salud OPS/OMS, 2007. 88p. MITCHELL, M. An Introdu tion to Geneti Algorithms. Cambridge, MA, USA: MIT Press, 1998. MOORE, C.; MCLEAN, R.; MITCHELL, C.; NASCI, R.; TSAI, T.; CALISHER, C.; MARFIN, A.; MOORE, P.; GUBLER, D. Guidelines for arbovirus surveillan e programs in the United States. U.S. Department of Health and Human Servi es Fort Collins, Colorado: CDC, 1993. 81p. NTD, N. Global strategy for dengue prevention and ontrol 2012-2020. Geneva: World Health Organization, 2012. 36p. PANG, T.; CARDOSA, M. J.; GUZMAN, M. G. Of as ades and perfe t storms: the immunopathogenesis of dengue haemorrhagi fever-dengue sho k syndrome (DHF/DSS). Immunology and Cell Biology, v.85, p.43�45, 2007. REITER, P. Oviposition, Dispersal, and Survival in Aedes aegypti : Impli ations for the E� a y of Control Strategies. Ve tor-borne and zoonoti diseases, v.7, n.2, p.261�273, 2007. RUGGIERO, M.; DA ROCHA LOPES, V. Cál ulo numéri o: aspe tos teóri os e omputa ionais. Makron Books do Brasil, 1996. DA SILVEIRA, E. Solução genéti a. Pesquisa Fapesp, v.180, p.76�79, 2011. 60 DA SILVEIRA, E. A transformação dos insetos. Pesquisa Fapesp, v.199, p.68�71, 2012. SILVER, J. B. Mosquito E ology: Field Sampling Methods. 3. ed. Dordre ht, the Netherlands: Springer, 2008. 1479p. SIVANANDAM, S. N.; DEEPA, S. N. Introdu tion to Geneti Algorithms. 1. ed. Springer Publishing Company, In orporated, 2007. THOMÉ, R. C. A. Controle Ótimo Apli ado na Estratégia de Combate ao Aedes aegypti Utilizando Inseti ida e Mosquitos Estéreis. Campinas, 2007. 125p. Tese (Doutorado) - Instituto de Matemáti a, Estatísti a e Computação Cientí� a, Uni- versidade Estadual de Campinas. THOMÉ, R. C. A.; ESTEVA, L.; YANG, H. M. Optimal ontrol of Aedes aegypti mosquitoes by the sterile inse t te hnique and inse ti ide. Mathemati al Bio- s ien es, v.223, p.12�23, 2010. WHO, W. Dengue Guidelines for Diagnosis, Treatment, Prevention and Control. World Health Organization, 2010. APÊNDICE A MÉTODOS NUMÉRICOS Neste apêndi e será introduzido a ideia rela ionada aos métodos numéri os para resolução de sistema de equações diferen iais de primeira ordem om ondição ini ial e para resolver integrais de�nidas numeri amente. Um visão maior referente a teoria por traz deste assunto pode ser en ontrada em (Fran o, 2006), (Ruggiero & da Ro ha Lopes, 1996), (Burden & Faires, 2003) e (Boy e & Diprima, 2006). Ini iaremos des revendo o pro esso de integração numéri a e para maior entendimento faremos um resumo de alguns pontos fundamentais omo, por exemplo, a interpolação polinomial e o polin�mio de Lagrange, onforme os autores itados anteriormente. A.1 Interpolação Polinomial A.1.1 Polin�mio de interpolação A problemáti a geral da interpolação por meio de polin�mios fundamenta-se em, dados n + 1 números (ou pontos) distintos (reais ou omplexos) t0, t1, t2, . . . , tn e n+ 1 números (reais ou omplexos) y0, y1, y2, . . . , yn que, em geral, são n + 1 valores de uma função y = f(t) em t0, t1, t2, . . . , tn, determina-se, assim, 62 um polin�mio de grau no máximo n de tal forma que: Pn(t0) = y0, Pn(t1) = y1, Pn(t2) = y2, . . . , Pn(tn) = yn em que este polin�mio existe e é úni o onforme garante o teorema a seguir. Teorema A.1 Dados n + 1 pontos distintos t0, t1, t2, . . . , tn (reais ou omplexos) e n+1, valores y0, y1, y2, . . . , yn existe um e só um polin�mio Pn(t), de grau menor ou igual a n, tal que: Pn(ti) = yi, om i = 0, 1, 2, . . . , n A prova deste teorema pode ser obtida, por exemplo, em (Fran o, 2006). De�nição A.1 Chama-se polin�mio de interpolação de uma função y = f(t) sobre um onjunto de pontos distintos t0, t1, t2, . . . , tn ao polin�mio de grau no máx- imo n que oin ide om f(t) em t0, t1, t2, . . . , tn. Tal polin�mio será denotado por Pn(f ; t) e quando não houver dúvida quanto a notação, representaremos por Pn(t) A.1.2 Polin�mio interpolador de Lagrange Sejam t0, t1, t2, . . . , tn n + 1 pontos distintos. Consideremos para k = 0, 1, 2, . . . , n o polin�mio Ln,k(t) de grau n dado por: Ln,k(t) = n ∏ k=0 k 6=i t− tk ti − tk = (t− t0)(t− t1) · · · (t− ti−1)(t− ti+1) · · · (t− tn) (ti − t0)(ti − t1) · · · (ti − ti−1)(ti − ti+1) · · · (ti − tn) em que, Ln,k(ti) =    0, se k 6= i. 1, se k = i. A veri� ação pode ser feita substituindo t por ti resultando na igual- dade entre numerador e denominador e, portanto, Li(t) = 1. Substituindo t por tk om k 6= i então Ln,k(t) = 0. 63 Considerando Pn(t) omo sendo o polin�mio de grau menor ou igual a n que interpola f(t) nos pontos t0, t1, t2, . . . , tn então para que Pn(ti) = f(ti), om i = 0, 1, 2, . . . , n devemos ter: Pn(t) = f(t0)Ln,0(t)+f(t1)Ln,1(t)+f(t2)Ln,2(t)+ · · ·f(tn)Ln,n(t) = n ∑ k=0 f(tk)Ln,k(t), em que Pn(t) será denominado o polin�mio interpolador de Lagrange de n-ésimo grau. Podemos es rever Ln,k(t) usando a notação Lk(t), quando não houver dúvida om relação ao grau do polin�mio de interpolação. A.2 Integração Numéri a Em geral, a ideia de se integrar uma função y = f(t) num dado in- tervalo [a, b] onsiste em integrar um polin�mio Pn(t) que aproxime f(t) no dado intervalo. Portanto, o problema � a resolvido pela integração de polin�mios que é mais simples que outros tipos de funções. Para o aso parti ular, se onhe emos f(t) por meio de tabela ou um onjunto de pares ordenados ((t0, f(t0)), (t1, f(t1)), (t2, f(t2)), . . . , (tn, f(tn))) om a = t0 e b = tn, então um polin�mio de aproximação para y = f(t) no intervalo [a, b] pode ser o polin�mio de interpolação. Este polin�mio será de aproximação para qualquer sub-intervalo [ti, tj], om 0 ≤ i ≤ n e 0 ≤ j ≤ n do intervalo [a, b]. Logo, podemos utilizar o polin�mio Pn(t) para integrar y = f(t) em qualquer sub-intervalo [ti, tj ]. A.3 Fórmula de Newton Cotes As fórmulas de Newton Cotes pro uram tratar a aproximação de uma função f(t) por um polin�mio de tal forma que este polin�mio interpole f(x) em pontos do intervalo [a, b] igualmente espaçados. Assim, onsideremos a partição do intervalo [a, b] nos sub-intervalos [ti, ti+1], om i = 0, 1, . . . , n − 1 e de omprim