Dyna, Año 77, Nro. 162, pp. 303­312. Medellín, Junio de 2010. ISSN 0012­7353 

DOS TÉCNICAS DE DESCOMPOSICIÓN APLICADASAL 
PROBLEMA DE FLUJO DE POTENCIA ÓPTIMO REACTIVO 

MULTI­AREAS 

TWO DECOMPOSITION APPROACHES APPLIED TO THE 
MULTI­AREAOPTIMAL REACTIVE POWER FLOW 

PROBLEM 

MAURICIO GRANADA ECHEVERRI 
Programa ingeniería eléctrica, Universidad Tecnológica de Pereira, Colombia, magra@utp.edu.co 

MARCOS JULIO RIDER FLORES 
Depto. sistemas de energía eléctrica, Univ. Estadual de Campinas, mjrider@dsee.fee.unicamp.br 

JOSE ROBERTO S. MANTOVANI 
Escuela de ingeniería, universidad estadual paulista UNESP, Ilha Solteira, Brazil,  mant@dee.feis.unesp.br 

Recibido para revisar Abril 14 de 2009, aceptado Octubre28 de 2009, versión final Noviembre 3 de 2009 

RESUMEN: En este artículo se aplican dos metodologías diferentes de descomposición matemática para resolver el 
problema de  flujo de potencia óptimo reactivo  (FPOR), dentro del contexto de sistemas de potencia con múltiples 
áreas o regiones interconectadas. El primer método utiliza el principio del problema auxiliar (PPA) aplicado a una 
función  Lagrangeana  aumentada.  El  segundo  método,  utiliza  una  técnica  de  descomposición  basada  en  las 
condiciones de optimalidad de primer orden de Karush­Kuhn­Tucker (KKT). Se estudia la viabilidad de cada método 
para  ser  usado  en  la  descomposición  del  FPOR  multi­áreas  y  se  presentan  los  modelos  matemáticos 
correspondientes.  Tres  sistemas  de  prueba  son  utilizados  para  mostrar  el  funcionamiento  y  la  eficiencia  de  los 
métodos de descomposición estudiados. Estos sistemas son conocidos como: el IEEE RTS­96, el IEEE 118­bus y un 
sistema de 9­barras (usado como ejemplo). 

PALABRAS  CLAVE:  Coordinación  descentralizada,  flujo  de  potencia  óptimo  reactivo,  FPOR,  métodos  de 
descomposición, planeamiento de reactivos , sistemas de potencia multi­áreas. 

ABSTRACT:  This  paper  applies  two  methods  of  mathematical  decomposition  to  carry  out  an  optimal  reactive 
power flow (ORPF) in a coordinated decentralized way in the context of an interconnected multi­area power system. 
The first method is based on an augmented Lagrangian approach using the auxiliary problem principle (APP). The 
second  method  uses  a  decomposition  technique  based  on  the  Karush­Kuhn­Tucker  (KKT)  first­order  optimality 
conditions. The  viability  of  each method  to  be  used  in  the  decomposition  of multi­area ORPF  is  studied  and  the 
corresponding mathematical models are presented. The  IEEE RTS­96,  the  IEEE 118­bus  test  systems and a 9­bus 
didactic system are used in order to show the operation and effectiveness of the decomposition methods. 

KEYWORDS:  Decentralized  coordination,  decomposition  methods,  multi­area  power  systems,  optimal  reactive 
power flow, ORPF, VAR planning.



Echeverri et al 304 

1.  NOMENCLATURA  2.  INTRODUCCIÓN 

La  solución  del  problema  de FPOR  consiste  en 
encontrar el ajuste óptimo (mínimo costo) de los 
dispositivos  que permiten  controlar  la magnitud 
y ángulo de la tensión y la cantidad de reactivos 
inyectados  al  sistema  por  dispositivos    tales 
como:  bancos  de  reactivos  (tanto  inductivos 
como  capacitivos),  generadores  capacitivos, 
compensadores  síncronos  y  compensadores 
estáticos.  Todos  los  controles  anteriores  deben 
trabajar  respetando  las  restricciones  operativas 
del sistema. 

Los  sistemas  eléctricos  de  potencia  son 
manejados  por  los  denominados  operadores  del 
sistema  de  transmisión  (TSOs,  transmission 
system  operators),  cuyo  objetivo  principal  es 
operar el sistema de  forma segura y  económica. 
En  un  sistema  interconectado,  por  cada  región 
existe un TSO responsable de la operación de su 
área  y  de  las  transacciones  fronterizas  con  los 
TSOs  de  las  áreas  vecinas.Para  alcanzar  su 
objetivo,  cada  TSO  debe  resolver  un  flujo  de 
potencia  óptimo  (OPF,  optimal  power  flow) 
regional.  Este  OPF  debe  incluir  la  información 
intercambiada con las áreas vecinas con el fin de 
buscar  una  operación  segura  y  económica  del 
sistema  interconectado  global. Por  tal  razón, un 
sistema  con  múltiples  regiones  interconectadas 
debe ser coordinado para garantizar la operación 
confiable  y  económica,  especialmente  en  casos 
de emergencia o contingencia. Esta coordinación 
global puede ser realizada con un procedimiento 
de  optimización  que  procese  la  información  de 
todas  las  áreas del  sistema,  las  cuales  envían  la 
información  correspondiente  a  su  punto  de 
operación  actual  a  un  centro  de  control. 
Posteriormente,  el  resultado  obtenido  (variables 
de  control)  debe  ser  enviado  a  cada  TSO  para 
que éste tome las acciones de control necesarias. 
Este  proceso  de  coordinación  es  el  que 
comúnmente se aplica en la actualidad a sistemas 
multi­área  y  es  conocido  como  esquema  de 
control  centralizado,  el  cual  presenta  algunas 
dificultades que deben ser consideradas: 

A  área actual. 
AA  área adyacente. 
, A A 

tie tie a r  precios  de  la  potencia  activa  y 
reactiva que se exporta desde el área 
A hacia otras áreas  A A A 

tie tie tie u a jr = +  . 
1 2 , k k C C  costos  de  inyección  de  potencia 

capacitiva e inductiva en la barra k. 
nb  número total de barras del sistema. 
ndg  número de restricciones de igualdad. 
ndh  número  de  restricciones  de 

desigualdad. 
ndx  número de variables de control. 
ng  número total de barras generadoras. 

( ) ( ) , , , i i P v Q v θ θ  inyección de potencia activa y 
reactiva en la barra i. 

( ) ( ) , , , Gi Gi P v Q v θ θ  generación de potencia activa y 
reactiva en la barra i. 

( ) ( ) , , , Li Li P v Q v θ θ  demanda de potencia activa y 
reactiva en la barra i. 

, A A 
t t P Q  generaciones  ficticias,  activa  y 

reactiva, en las barras ficticias.  t tl ∈  . 
, A A 

ties ties P Q  flujos  de  potencia  activa  y  reactiva 
circulando por las líneas que conectan 
el área A con otra áreas. 

pq  vector de  índices de las barras de PQ 
de tamaño npq. 

pqv  vector  de  índices  de  las  barras 
{ } pqv pq pv = U  de tamaño npqv. 

pv  vector de índices de las barras  PV de 
tamaño npv. 

sh  vector  de  índices  de  las  barras 
habilitadas  para  inyección  de 
reactivos de tamaño nsh. 

tl  vector  de  índices  de  las  barras  a  las 
que se conectan líneas de enlace. 

,i i v θ  magnitud y ángulo de la tensión en la 
barra i. 

1 2 , k k y y  cantidad  de  potencia  reactiva  de  tipo 
capacitiva  e  inductiva, 
respectivamente, inyectada en la barra 
k.



Dyna 162, 2010  305 

•  Es necesario  intercambiar una gran cantidad 
de información con el centro de control. Esto 
presenta grandes dificultades cuando existen 
largas  distancias  entre  las  áreas 
interconectadas. 

•  El  esquema  centralizado,  bajo  ciertas 
condiciones, no es confiable. Una falla en el 
centro  de  control  afecta  todas  las  regiones 
interconectadas. 

•  Resolver  un  problema  de  gran  tamaño  y 
complejidad  implica  un  gran  esfuerzo 
computacional  y  puede,  eventualmente, 
requerir  tiempos  computacionalmente 
inviables para su solución. 

Un esquema que ha ganado gran importancia en 
los  últimos  años  debido  a  sus  características  de 
desempeño,  confiabilidad,  economía, 
flexibilidad  y  robustez  es  el  control 
descentralizado. En este esquema el problema de 
optimización  global  es  dividido  en  sub­ 
problemas  asociados  a  cada  área.  El  TSO  de 
cada  área  resuelve  su  propio  problema  de 
optimización  y  sólo  alguna  información 
estratégica,  asociada  a  las  fronteras  de  las 
regiones  interconectadas, es  intercambiada entre 
las  áreas.    Las principales  razones  para  adoptar 
un esquema descentralizado son: 

•  Dado  que  solamente  se  intercambia 
información  asociada  a  las  fronteras  entre 
regiones, las distancias involucradas siempre 
son pequeñas. 

•  Es  un  esquema más  confiable  debido  a  que 
una  falla  en  un  área  específica  sólo  afecta 
esta área. El resto del sistema interconectado 
puede  recoordinar  su  operación  excluyendo 
la región en falla. 

•  Permite  utilizar  diferentes  reglas,  normas, 
restricciones  y  funciones  objetivo para  cada 
región.  Por  lo  tanto,  el  esquema 
descentralizado  representa  con  mayor 
precisión  lo  que  sucede  en  un  sistema 
interconectado real de gran tamaño. 

•  Es posible incorporar procesamiento paralelo 
para  resolver  cada  sub­problema  regional. 
Por  lo  tanto,  en  contraste  con  el  esquema 
centralizado,  el  esfuerzo  computacional 
crece  linealmente  con  el  tamaño  del 
problema  si  se  utiliza  procesamiento 
paralelo. 

El  planeamiento  de  reactivos  es  un  problema 
ampliamente estudiado en  la literatura usando el 
esquema  centralizado  [1],  [2]  y  [3].  Por  otro 
lado,  la  aplicación  de  técnicas  de 
descomposición  a  sistemas  multi­áreas  sólo  se 
encuentra dirigida a modelos de flujo de potencia 
óptimo  que  involucran  la  potencia  activa  en  la 
función  objetivo.  En  [4],  Kim  presenta  un 
método para descomponer un OPF cuya función 
objetivo  consiste  en  minimizar  el  costo  de 
producción  de  la  potencia  activa  y  reactiva,  el 
cual  utiliza  el  PPA  (principio  del  problema 
auxiliar)  como  base  matemática  [5].  En  [6]  los 
autores  muestran  algunos  inconvenientes 
encontrados  al  aplicar  el  PPA a  la  solución  del 
problema de FPOR multi­áreas. 

En  [7]  Nogales  describe  una  técnica  de 
descomposición  basada  en  las  condiciones  de 
optimalidad de primer orden de KKT. De nuevo, 
la función objetivo incluye los costos de potencia 
activa.  Bakirtzis,  en  [8],  presenta  un  nuevo 
método de solución descentralizada para un OPF 
usando  un  modelo  DC  y  una  función  objetivo 
que busca reducir pérdidas activas. 

En  general,  los  problemas  de  OPF  que 
involucran funciones objetivo compuestas tienen 
mejores  índices de sensibilidad que  el problema 
de  FPOR,  el  cual  sólo  involucra  potencia 
reactiva.  Debido  a  que  el  control  óptimo  de 
potencia  reactiva  es un problema más  complejo 
que  el  control  de  potencia  activa  entonces,  en 
general, cualquier método que pueda resolver  el 
problema de reactivos puede también resolver el 
problema  combinado  de  activos  y  reactivos  [6]. 
La  función  objetivo  del  FPOR  puede  incluir 
pérdidas  reactivas  y  las  variables  de  control 
incluyen  dispositivos  de  inyección  de  reactivos 
lo  cual  caracteriza  el  problema con una  función 
objetivo no separable. 

3.  PROBLEMA  DE  FPOR:  ESQUEMA 
CENTRALIZADO 

El modelo del problema de FPOR presentado en 
(1)  es  considerado  dentro  del  contexto  de 
planeamiento  de  reactivos.  Su  objetivo  consiste 
en  minimizar,  únicamente,  el  costo  de  la



Echeverri et al 306 

inyección  de  potencia  reactiva  necesaria  para 
alcanzar la factibilidad del problema. 
En  este  modelo  todos  los  controles  se 
consideran variables continuos y están asociados 
a  los  niveles  de  tensión  en  los  generadores, 
instalación  de  bancos  de  condensadores 
síncronos,  sistemas  estáticos  de  reactivos  y  en 
general  inyección  de  potencia  reactiva  tanto 
capacitiva como inductiva. 

Debido  a  las  características  del  modelo  el 
problema de FPOR es considerado como uno de 
los más difíciles de resolver en el estudio de  los 
sistemas de potencia [2]. 

Las  restricciones  de  igualdad  del  problema  (1) 
corresponden  a  un modelo  de  flujo  de  potencia 
AC. 

( ) 
1 2 

1 1 2 2 

( ) = ( , , , ) = 
min  =  k k k k 

k sh 

f X f v y y 
C y C y 
θ 

∈ 

    
  + 
    

∑ 
. . s a 

( ) { } , =0; Li Gi i P P P v i pq pv θ − + ∈ ∪ 
( )  1 2 , = 0 L j G j j j j Q Q Q v y y 

j p q 

θ − + − + 

∈ 

{ } lower upper 
Gl Gl Gl Q Q Q l pv slack ≤ ≤ ∈ ∪ 
lower upper 
Gl Gl Gl P P P ≤ ≤ 

= 1 , 2 . . . l o w e r u p p e r 
m m m v v v m n b ≤ ≤ 

m π θ π − ≤ ≤ 
1 1 0  upper 
k k y y ≤ ≤ 

2 2 0  upper 
k k y y k sh ≤ ≤ ∈ 

(1) 

4.  DESCOMPOSICIÓN  REGIONAL 
ESQUEMA DESCENTRALIZADO. 

Una condición necesaria para aplicar técnicas de 
descomposición regional es que tanto  la función 
objetivo como las restricciones sean separables y 
sus variables puedan ser asociadas únicamente a 
una  región.  La  descomposición  de  un  problema 
de  FPO,  como  el  mostrado  en  la  Figura  1, 
generalmente  se  realiza  alrededor  de  los 
elementos que  interconectan  las diferentes áreas 
del sistema. 

Figura  1. Sistema centralizado de 3 áreas 
Figure 1. Centralized 3­areas system 

En [4], [6] y [9] el desacople del sistema se hace 
alrededor de barras ficticias ubicadas en la mitad 
de  las  líneas que  interconectan  las áreas  (líneas­ 
enlace).  En  este  artículo  el  desacople  no  utiliza 
barras  ficticias ya que  es  realizado alrededor de 
las  barras  de  envío  y  recibo  de  la  líneas­enlace 
[10].  La  Figura  2  muestra  el  esquema  de 
descomposición utilizado. 

Figura  2. Esquema de descomposición 
Figure 2. Decomposition scheme 

Usando  el  esquema  de  la  Figura  2,  es  posible 
convertir  el  problema  (1)  en  uno  equivalente  si 
se  incorporan  cuatro  variables  existentes  por 
cada  línea  de  enlace.  Estas  variables  son 
denominadas variables de borde o  de  frontera y 
corresponden  a  los  flujos  de  potencia  activa  y 
reactiva  que  circulan  por  cada  línea  de  enlace. 
Así, por ejemplo, la descomposición del sistema 
de  la  Figura  1  genera  4  nuevas  variables  en  la 
línea que conecta el área A1 con el área A3. Estas 
variables  son:  3 

1, 1 
A 
A P  ,  3 

1, 1 
A 
A Q  ,  1 

1, 3 
A 
A P  y  1 

1, 3 
A 
A Q  .  Estas 

variables  representan  el  flujo  de potencia  activa 
y reactiva intercambiado entre las áreas A1 y A3. 

1 

2  3  4 

5 

6 

7 

8 

9 

área A1  área A2 

área A3 

P A1 3,A2 ,Q A1 3,A2 

P A2 3,A1  , Q A2 3,A1 

P A1 1,A3 , Q A1 1,A3 

P A3 1,A1 , Q A3 1,A1  P A3 3,A2 , Q A3 3,A2 

P A2 3,A3 , Q A2 3,A3 

2 

2  2 

A  2 
1, 3 
A 
A a 

3 3 
3, 2 3 , 2 , A A 
A A a r 

1 
1, 3 
A 
A a 

3 
1, 1 
A 
A a 

3 
1 
A 

V 
ur  3 

3 
A 

V 
ur 

2 
1 
A 

V 
ur 

2 
3 
A 

V 
ur 1 

3 
A 

V 
ur 

1 
1 
A 

V 
ur 

1 
1, 3 ,  A 
A r 

3 
1, 1 ,  A 
A r 

2 
1, 3 ,  A 
A r 

1 1 
3 , 2 3 , 2 , A A 
A A a r 

2 2 
3 , 1 3 , 1 , A A 
A A a r



Dyna 162, 2010  307 

Por lo tanto,  3 
1, 1 
A 
A S 

r 
es el flujo de potencia desde el 

bus 1 del área A3  hacia el área A1, el cual puede 
también  ser  interpretado  como  la  generación 
ficticia  necesaria  para  factibilizar  el  sub­ 
problema regional de optimización. En términos 
generales,  la  generación  ficticia  será  denotada 
como  A A A 

t t t S P jQ = +  , donde  t tl ∈  . 
Por  lo  tanto,  en  este  esquema  de 
descomposición,  las  variables  de  borde  son 
duplicadas.  Esto  permite  considerar  un  sub­ 
problema  de  FPOR  por  cada  área  como  el 
mostrado en (2)­(12). 

1 2 min ( , , , , , ) A A A A A A A 
t t 

A  A X 

f v y y P Q θ ∑ 14444444244444443  (2) 
. . s a 

( ) , = 0 A A A 
Li Gi i t i 
P P P v P θ − + +  (3) 

( )  1 2 , = 0 A A A A A 
Lj Gj j j j t j 

Q Q Q v y y Q θ − + − + +  (4) 
lower upper 
Gl Gl Gl Q Q Q ≤ ≤  (4) 
lower upper 
Gl Gl Gl P P P ≤ ≤  (6) 
lower upper 
m m m v v v ≤ ≤  (7) 

m π θ π − ≤ ≤  (8) 

1 1 0  upper 
k k y y ≤ ≤  (9) 

2 2 0  upper 
k k y y ≤ ≤  (10) 

( ) = , , , A A A AA AA 
t ties t t P P v v θ θ  (11) 

( ) = , , , A A A AA AA 
t ties t t Q Q v v θ θ  (12) 

Nótese  que  las  restricciones  (11)  y  (12), 
denominadas  restricciones  de  acoplamiento,  son 
necesarias  para  coordinar  el  proceso  de 
optimización global y garantizar que en el punto 
óptimo el esquema centralizado es equivalente al 
descentralizado.  La  incorporación  de  las 
restricciones  de  acoplamiento  (11)  y  (12) 
generan  2  nuevos  coeficientes  de  Lagrange 
denotados  por  A 

tie a  y  A
tie r  (ver  Figura  2).  Estos 

coeficientes representan el precio de exportación 
de la potencia activa (  A 

tie a  ) y reactiva (  A
tie r  ) desde 

el área A hacia las otras áreas adyacentes AA. 

En  el  problema  (2)­(12),  A i pqv ∈  ,  A j pq ∈  , 
A k sh ∈  ,  =1,2...  A m nb  ,  A t tl ∈  y 

{ } (         A) A 
slack l pv barra si slack ∈ ∪ ∈  . 

La  generación  ficticia  A 
t S  y  la  cantidad  de 

reactivos    inyectados  (  1 
A y  y  2 

A y  )  pueden  ser 
vistos  como  variables  independientes  y  la 
magnitud y ángulo de  la  tensión como variables 
dependientes.  La  ecuación  (2)  es  la  función 
objetivo  del  sub­problema  regional,  donde  A X 
es el vector de variables de estado del área A.El 
problema  (2)­(12)  aún  presenta  un  importante 
inconveniente,  el  cual  consiste  en  que  las 
restricciones  de  acoplamiento  (11)  y  (12)  están 
en función de variables pertenecientes a la áreas 
adyacentes AA. Por  tal  razón  el  problema  no  es 
naturalmente  separable  y  se  debe  utilizar 
métodos matemáticos  que  permitan,  a  través  de 
un  proceso  iterativo,  coordinar  la  información 
intercambiada  entre  áreas.  El  objetivo  de  estos 
métodos  es  que  el  esquema  centralizado  y 
esquema descentralizado sean equivalentes. Para 
ello, se aplican dos métodos de descomposición 
discutidos a continuación. 

4.1 Pr incipio del problema auxiliar  

Las  restricciones  de  acoplamiento  (11)  y  (12) 
pueden  ser  incorporadas  a  la  función  objetivo 
original  a  través  de  una  Función  Lagrangeana 
aumentada  L .  En  [4],  Kim  introduce  una  L 
modificada  que  posee  una  ventaja  significativa 
sobre  L estándar. Ésta consiste en la adición del 
término cuadrático indicado como  a  en (13). El 
término  a  asegura  convexidad  local  y 
adicionalmente  mejora  el  proceso  de 
convergencia,  por  ser  una  aproximación 
cuadrática. Sin embargo, convierte a (13) en una 
función  objetivo  no  separable  debido  a  que  se 
generan  productos  entre  las  variables  de  las 
diferentes áreas. 

( ) 

( ) ( ) ( ) 
( ) 

1 2 

2 

min       , ( , , , , , ) 

, , , 

, , , 
2 

A A A A A A A A A 
t t t 

A  A X 
T A A A A AA AA 

tie t ties t t 

A A A AA AA 
t ties t t 

a 

X S f v y y P Q 

u S S v v 

S S v v 

θ 

θ θ 

γ θ θ 

= + 

− + 

− 

∑ 14444444244444443 

1444442444443 

L 

(13) 

. (3) (10) s a − 

En [5], Cohen propone el Principio del Problema 
Auxiliar,  el  cual  presenta  una  solución  a  este 
inconveniente. El término  a  es  linealizado  y, a



Echeverri et al 308 

través de aproximaciones sucesivas, se encuentra 
la  solución  del  problema  global  en  la  k­ésima 
iteración.  Aplicando  este  principio,  la  solución 
del  problema  de  optimización  (13)  puede  ser 
obtenida  resolviendo  una  secuencia  de  sub­ 
problemas regionales como el mostrado en (14). 
En este problema todas las variables asociadas a 
las áreas adyacentes ( ) , , AA AA AA 

t t t v S θ 
) ) )  son conocidas 

de  la  iteración  anterior  del  proceso  de 
coordinación  global  (ver  sección  4.3). β  y γ 
son  constantes  positivas  y  el  superíndice  T 
denota transposición.

( ) 
( ) ( ) ( ) 

( ) ( ) 

1 2 
, 

2 

min       ( , , , , , ) 

, , , 
2 

, , , 

A A 
t 

A A A A A A A 
t t X S  A  A X 

A A A AA AA 
t ties t t 

T A A A AA AA AA 
t ties t t t 

T A A 
tie t 

f v y y P Q 

S S v v 

S S v v S 

u S 

θ 

β θ θ 

γ θ θ 

+ 

− + 

− + 

∑ 14444444244444443 

) ) 

) ) ) 

. (3) (10) s a − 

(14) 

4.1.1 Algoritmo de coordinación para el PPA 

Paso  1.  Definir  las  condiciones  iniciales  para 
todas  las  áreas.  Pueden  ser  usados  valores 
típicos, como por ejemplo: 

=1 AA 
t v  p.u.,  = 0 AA 

t θ  ,  = 0 AA 
tie a  y  = 0 AA 

tie r  . 
Paso 2. Resolver el problema (14) para cada área 
y  obtener  el  vector  de  variables  de  estado  para 
cada  área  A. 

1 2 , , , , , 
T A A A A A A 

t t v y y P Q θ      .  Estos 
procesos  de  optimización  pueden  ser  realizados 
en  procesadores  descentralizados  usando 
técnicas de procesamiento paralelo. 
Paso    3.  Verificar  convergencia.  El  proceso 
iterativo  termina  cuando  la  diferencia  entre  los 
valores  de  las  variables  de  borde  de  las  áreas 
interconectadas  sea  menor  que  una  tolerancia 
dada  S ε  : 

A AA 
t t S S S ε − <  (15) 

Si  el  criterio  de  terminación  es  alcanzado  el 
proceso termina. Sino, ir al Paso 4. 
Paso  4.  Intercambiar  la  información  de  las 
variables de frontera y actualizar los coeficientes 
de  Lagrange.  Esta  actualización  es  realizada 
usando  un  método  de  subgradiente  como  se 
muestra en (16). 

( ) A A A AA 
tie tie tie tie u u S S α = + −  (16) 

Volver al Paso 2. 
Una  ventaja  de  este  método  es  que  no  es 
necesario  calcular  explícitamente  los 
coeficientes  de  Lagrange.  Éstos  se  actualizan 
usando la información de las variables de borde, 
como  se  muestra  en  (16).  Por  otro  lado,  el 
método requiere la calibración de los parámetros 
de  actualización α  y  los  parámetros  de 
penalización β  y γ  ,  los  cuales  pueden  ser 
seleccionados de acuerdo a la expresión empírica 
presentada en [4]:  1 2 α β γ = = 

4.2  Descomposición  de  las  condiciones  de 
pr imer  orden (DCPO). 

Este  método  establece  que  las  condiciones 
combinadas  de  KKT    de  todos  los  problemas 
regionales en la n­ésima iteración son idénticas a 
las  condiciones  de  KKT  del  problema 
centralizado original [7,11]. Las restricciones de 
acoplamiento  (11)  y  (12)  se  asocian  a 
multiplicadores  de Lagrange.  Sin  embargo,  este 
método  no  se  basa  en  una  relajación 
Lagrangeana.  La  idea  consiste  en  reescribir  el 
modelo  matemático  del  problema  regional  de 
forma que  el  costo  de    importación  de potencia 
activa  y  reactiva  a  cada  una  de  las  áreas  sea 
minimizado.  Esta  característica  hace  que  el 
problema original y el problema descentralizado 
sean  iguales  en  el  óptimo  [11].    Siguiendo  esta 
idea  se  reescribe  el  modelo  (2)­(12)  como  se 
muestra en (17)­(19). 

{ } 

( ) ( ) 
( ) ( ) 

1 1 2 2 min 

, , , 

, , , 

k k k k 
A k sh 

T AA A A AA AA 
tie ties t t 

T AA A A AA AA 
tie ties t t 

C y C y 

a P v v 

r Q v v 

θ θ 

θ θ 

∈ 

+ + 

⋅ + 

⋅ 

∑ 
) ) ) 

) ) ) 

. . s a 
(3) (10) − 

(17) 

( ) = , , , A A A AA AA 
t ties t t P P v v θ θ 

) )  (18) 

( ) = , , , A A A AA AA 
t ties t t Q Q v v θ θ 

) )  (19) 

Los coeficientes de lagrange son los coeficientes 
de  las  áreas  adyacentes  por  ser  los  costos  de 
importación  los que se  están  teniendo en cuenta



Dyna 162, 2010  309 

( ) , AA AA 
tie tie a r  .  Otra  carácterística  importante  es 

que, a diferencia del PPA,  las  restricciones  (11) 
y  (12)  no  son  insertadas  en  la  función  objetivo. 
Estas  restricciones  de  acoplamiento pasan  a  ser 
las  restricciones  separables  (18)  y  (19),  las 
cuales son separables debido a que el proceso de 
optimización  es  convertido  en  un  proceso 
iterativo.  En  cada  iteración,  las  variables  de  las 
áreas  adyacentes  son  conocidas  de  la  iteración 
anterior y son denotadas por  , , AA AA AA 

t t tie v a θ 
) ) )  y  AA 

tie r )  . 

4.2.1  Algoritmo de coordinación para el método de 
DCPO. 

Paso  1.  Definir  las  condiciones  iniciales  para 
todas las áreas (ver sección 4.1.1). 
Paso 2. Resolver el problema (17)­(19) para cada 
área  y  obtener  el  vector  de  variables  de  estado 
para cada área A 

1 2 , , , , , 
T A A A A A A 

t t v y y P Q θ      ,  así como 

los  coeficientes  de  Lagrange  A 
tie a  y  A

tie r  .  Estos 
procesos  de  optimización  pueden  ser  realizados 
en  procesadores  descentralizados  usando 
técnicas de procesamiento paralelo. 

Paso   3. Verificar  convergencia usando  (15). Si 
el criterio de terminación es alcanzado el proceso 
termina. Sino, ir al Paso 4. 

Paso  4.  Intercambiar  la  información  de  las 
variables  de  frontera  y  los  coeficientes  de 
Lagrange. Volver al Paso 2 

Una  ventaja  de  este  método  es  que  no  utiliza 
parámetros de ajuste. Una desventaja consiste en 
que  los  coeficientes  de  Lagrange  deben  ser 
calculados  en  cada  iteración  del  proceso  de 
coordinación para cada área. 

5.  CASOS DE PRUEBA. 

Para la solución de los sub­problemas regionales 
se utilizó un método de puntos interiores como el 
descrito en [12]. 

5.1 Ieee r ts­96 

Para este sistema [13], se considera que todas las 
barras  de  cargas  estan  habilitadas  para  la 
inyección  de  reactivos  (  = sh pq ).  Las 
inyecciones  mínimas  y  máximas  de  potencia 
reactiva  son  fijadas  en  0  y  100  MVAR, 
respectivamente,  para  todas  las  barras  sh ∈  . 
Para  forzar  la  instalación  de  fuentes  reactivas, 
los  límites máximos  de potencia  reactiva  en  las 
barras  generadoras  ( pv slack ∪  )  son  reducidos 
al 10% de su valor original. Los costos C1  y C2 
son  fijados  en  10  unidades  monetarias  (UM$) 
para  todas  las barras. Los datos de  las  líneas de 
enlace para cada caso son mostrados en la Tabla 
1. 

5.2  Ieee 118­barr as 

En este sistema [13], se considera que las barras 
habilitadas para instalación de reactivos son: 

= [5,37, 44, 45, 48, 79,82,83] sh  . 

Las inyecciones mínimas y máximas de potencia 
reactiva  son  fijadas  en  0  y  100  MVAR, 
respectivamente, para todas las barras  sh ∈  . Los 
límites  máximos  de  potencia  reactiva  en  las 
barras generadoras ( pv slack ∪  ) son reducidos al 
20%  de  su  valor  original.  Los  costos  C1  y  C2 
son fijados en 10 UM$ para todas las barras. Los 
datos de  las  líneas de  enlace para cada caso son 
mostrados en la Tabla 1 

Tabla 1. Datos de línea de los enlaces 
Table 1. Tie­line data 

Case  Tie­lines 
IEEE  RTS96  107­203  0.042  0.161  0.044 

123­217  0.01  0.074  0.155 
121­325  0.012  0.097  0.203 
113­215  0.01  0.075  0.158 
202­413  0.01  0.075  0.158 
103­421  0.01  0.074  0.155 
223­318  0.013  0.104  0.218 

IEEE 118­bus  1090­2040  0.0261  0.0703  0.01844 
1105­2056  0.03906  0.1813  0.0461 

( . .) r p u  ( . .) x p u  ( . .) b p u



Echeverri et al 310 

6.  RESULTADOS. 

Todos  los  casos  fueron  ejecutados  en  un 
computador  PC  de  1.8  GHz  y  2  GB  de  RAM 
usando lenguaje de programación fortran 90. 

6.1  Resultados usando el PPA. 

En primera instancia, sólo es considerada la línea 
de  enlace  entre  las  barras  113  y  215  que 
interconecta  2  áreas  del  sistema  IEEE  RTS96. 
Gradualmente  se  adicionan  las  otras  líneas  de 
enlace  hasta  interconectar dos  áreas  del  sistema 
con  3  líneas  de  enlace  como  se  muestra  en  la 
primera columna de la Tabla 2. 

Tabla 2. Resultados usando PPA para el sistema 
IEEE RTS96. 

Table 2. Results using the APP for the IEEE 
RTS96 system. 

Función 
obj. área 
A 

Función 
obj. área 
B 

Función obj. 
global  Num. Iter  Función obj.  Num. Iter 

[0,1  0,01  0,01]  1,83384  17,75716  19,591  64  1E­08 
[0,5   1,0    0,5]  2,0947  17,658  19,7532  103  0,0001 
[5      10        5]  1,857  17,75  19,607  125  0,0002 

[0,1  0,01  0,01]  3,162  11,693  14,855  45  0,0003 
[0,5   1,0    0,5]  4,293  10,7728  15,063  511  0,0004 

[5      10        5]  ­  ­ 
Convergencia 
no alcanzada  ­  0,0005 

[0,1  0,01  0,01]  ­  ­ 
Convergencia 
no alcanzada  ­  0,0006 

[0,5   1,0    0,5]  ­  ­ 
Convergencia 
no alcanzada  ­  0,0007 

[5      10        5]  ­  ­ 
Convergencia 
no alcanzada  ­  0,0008 

20 

41 

Esquema centralizado Esquema descentralizado 

10 
Línea 
enlace: 
113­215 

Línea 
enlace: 
113­215 
107­203 

19,591 

Línea 
enlace: 
113­215 
107­203 
123­217 

14,848 

54,817 

[ ] , , α β γ ε 

Tabla 3. Datos de línea para un área. 
Table 3. Branch data for one area. 

Fr om  To  R+Xi   (pu)  B(pu) 
Border 
bus 

1  3  0.049 + 0.122i  0  1  0.049 + 0.122i  0 
2  3  0.049 + 0.122i  0  3  0.049 + 0.122i  0 
1  2  0.049 + 0.122i  0 

Datos de líneas internas  Datos de líneas enlace 

( ) B pu ( ) R Xi pu + 

Debido a que la aplicación del PPA involucra los 
parámetros  de  ajuste α , β  y γ  ,  se  realizaron 
pruebas  con  diferentes  escenarios  para  estos 
parámetros,  los  cuales  son  mostrados  en  la 
columna 2 de  la Tabla 2. De estos  resultados se 
puede establecer que, a medida que el número de 
área y líneas de enlace crece, se presentan graves 
problemas de convergencia. Lo anterior se debe 
a que se está  considerando  una  única barra de 

referencia angular para todo el sistema dentro de 
un  área  denominada  área  de  referencia. 
Adicionalmente,  la  información  intercambiada 
entre áreas no permite actualizar adecuadamente 
el ángulo de la tensión en las barras de las áreas 
adyacentes  al  área  de  referencia.  Cuando  el 
sistema crece  en  tamaño,  en número  de  áreas  y 
en  número  de  líneas  de  enlace,  la  referencia 
angular  no  es  controlada  adecuadamente  por  el 
algoritmo  de  coordinación  que  utila  el  PPA. Al 
respecto,  algunas  ideas  interesantes  son 
presentadas en [14]. Resultados similares fueron 
obtenidos  para  el  sistema  IEEE­118  con  2  y  3 
áreas,  pero  por  motivos  de  espacio  y 
organización del contenido de este artículo, estos 
resultados  no  son  presentados  para  el  esquema 
basado  en  el  PPA.  Resultados  más  interesantes 
son mostrados en la siguiente sección. 

6.2  Resultados usando DCPO. 

En  la aplicación de este método se considera un 
sistema adicional de 9 barras y 3 áreas idénticas, 
como el mostrado en la Figura 1. En la Tabla 3 y 
4 se muestran los datos de línea (para un área) y 
los datos de barra, respectivamente. 
La  Tabla  5  muestra  los  resultados  de  la 
aplicación del método DCPO a cada uno de  los 
casos de prueba estudiados. En las columnas 3­9 
se presenta  toda  la  información  relacionada con 
el  tamaño  y  complejidad  del  problema.  La 
columna  10  muestra  el  número  de  iteraciones 
requeridas  para  que  el  esquema  descentralizado 
alcance  una  convergencia  con  un  grado  de 
presición  de  0,002  p.u..  Las  columnas  14  y  15 
muestran las funciones objetivo de los esquemas 
centralizado  y  descentralizado,  respectivamente, 
en $UM. 
Se puede  notar  que  para  los  casos  1  y 2,  de  la 
Tabla  5,  los  puntos  óptimos  de  operación  son 
idénticos en ambos esquemas. En los otros casos, 
aunque  los  puntos  de  operación  son  diferentes, 
los  valores  de  la  función  objetivo  son  bastante 
próximos.  Esto  quiere  decir  que  el  esquema 
descentralizado  encuentra  puntos  óptimos 
alternativos.



Dyna 162, 2010  311 

Tabla 4. Datos de barra para el sistema de 9 barras. 
Table 4. Bus data of the 9 bus system. 

1  1  0  0  0  0  1  0,5  0,95  1,05  0  0  2  2  100  100 
2  4  1  0  0  0,4  0  0  0,95  1,05  0  0  0  0  0  0 
3  1  0  0  0  0  1  0,5  0,95  1,05  0  0,1  2  2  100  100 
4  1  0  0  0  0  1  0,5  0,95  1,05  0  0  2  2  10  10 
5  1  0  0  0  0  1  0,5  0,95  1,05  0  0  2  2  10  10 
6  2  1,7  0  ­1  1  0  0  0,95  1,05  0  0  0  0  0  0 
7  1  0  0  0  0  1  0,5  0,95  1,05  0  0  2  2  50  50 
8  2  1,7  0  ­1  1  0  0  0,95  1,05  0  0  0  0  0  0 
9  1  0  0  0  0  1  0,5  0,95  1,05  0  0  2  2  50  50 

Bus  Type  G P  G Q  D P  D Q min 
G Q  max 

G Q  min V  max V  min 
1 y  min 

2 y  max 
2 y min 

2 y  1 C  2 C 

Tabla 5. Resultados usando DCPO (Descomposición de las condiciones de optimalidad de primer orden). 
Table 5. Results using DFOC (Decomposition of the First­order Optimality Conditions) 

Barras 
Líneas 
internas 

Barras con 
inyección de 
reactivos  enlaces 

Restricciones 

Central.  Decent. 
Decent. 
parallel  Centrl.  Decent. 

1  3­area 9­bus system  9  3  9  6  3  30  [14, 6]  10  0.00015  0.00619  0.00206  66,555  66,555  Si 
2  IEEE 2­area RTS96  48  22  76  26  3  148  [96, 44]  15  0.00345  0.0028  0.0014  54,817  54,817  Si 
3  IEEE 3­area RTS96  73  33  115  40  5  226  [112, 66]  168  0.03195  0.0471  0.0157  74,741  75,034  No 
4  IEEE 4­area RTS96  97  44  153  54  7  304  [151, 88]  118  0.14346  0.04874  0.01218  98,183  104,983  No 
5  IEEE 2­area 118­bus  236  108  372  16  2  504  [363, 216]  86  0.1898  0.2396  0.1198  20,682  19,918  No 

Valor de la función 
objetivo 

mismo punto 
de operación 
del esquema 
centralizado 

Información del tamaño y complejidad del problema 

Caso 
Decent. 
Iter. 

Tiempo de ejecución (min) 

Sistema de prueba  ndx ng [ ] , ndg ndh 

Adicionalmente,  se  puede  observar  que  el 
esquema  descentralizado  presenta  un  mejor 
desempeño  computacional  (tiempo  de  ejeución) 
comparado  con  el  esquema  centralizado  a 
medida  que  el  tamaño  del  problema  se 
incrementa  (mayor número  de  áreas y  de  líneas 
de  enlace).  En  todos  los  sistemas  de  prueba  el 
esquema  descentralizado usando DCPO alcanzó 
convergencia . 

7.  CONCLUSIONES. 

En  la  actualidad,  una  mejor  coordinación  entre 
TSOs  es  una  de  las  principales  estrategias  para 
alcanzar  un  planeamiento  de  reactivos  más 
eficiente.  Los  esquemas  descentralizados 
presentados,  permiten  una  operación 
independiente, pero coordinada, de cada región y 
por  lo  tanto  es  posible  aplicar  métodos  de 
procesamiento paralelo para mejorar la eficiencia 
computacional.Debido  a  que  el  FPOR  es  un 
problema  de  programación  no  lineal,  mal 
condicionado  y  altamente  no­convexo,  la 
existencia de restricciones activas de desigualdad 
hacen que la ruta de optimización seguidas por el 
esquema centralizado difiera de la seguida por el 
esquema descentralizado. Por tal razón es común 

que,  en  problemas  altamente  restrictos,  el 
proceso  descentralizado  converga  a  puntos 
óptimos  locales diferentes a  los  encontrados por 
el  proceso  centralizado.  Sin  embargo,  en  todos 
los  casos  estudiados  el  esquema  decentralizado 
alcanzó  valores  de  función  objetivo  muy 
cercanos  a  los  obtenidos  por  el  esquema 
centralizado.  Todos  los  puntos  de  operación 
encontrados,  fueron  soluciones  factibles  del 
problema.Se encontraron algunos inconvenientes 
en  la  aplicación  de  PPA  en  la  solución  del 
problema  de  FPOR.  La  velocidad  de 
convergencia  de  este  método  depende 
directamente de  la escogencia de los parámetros 
de  ajuste α , β  y γ  ,  los  cuales  son 
dependientes  del  problema.  A  medida  que  el 
número de regiones y de  líneas de  enlace crece, 
el algoritmo basado en  el PPA pierde  el control 
de  la  referencia  angular  de  las  diferentes 
regiones.  Lo  anterior  compromete  la 
convergencia del método y lo hace inviable para 
resolver  el  problema  de  OPRF  multiárea  en 
sistemas de gran tamaño y complejidad. 
La  dificultad  del  PPA  con  el  control  de  la 
referencia  angular  es  aún  mayor  en  sistemas 
interconectados  donde  no  todas  las  áreas  son 
adyacentes.



Echeverri et al 312 

El método de descomposición usando DCPO no 
requiere  parámetros  de  ajuste  y  solamente 
considera  una  barra  de  referencia  para  todo  el 
sistema.  Adicionalmente,  no  requiere  ningún 
tratamiento  especial  para mantener  la  referencia 
angular  en  las otras  áreas del  sistema. Con  este 
método  se  alcanzó  la  convergencia  en  todos  los 
sistemas de prueba implementados. 

REFERENCIAS 

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through  interior  point  methods,  IEEE 
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[3]  J.R.S.  MANTOVANI,  S.A.G.  MODESTO, 
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[9] R. BALDICK, B.H. KIM, C. CHASE AND 
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[10]  P.N.  BISKAS  AND  A.G.  BAKIRTZIS, 
Decentralized  OPF  of  large  multiarea  power 
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[11]  P.N.  CONEJO,  F.J.  NOGALES AND  F.J. 
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[12]  M.J.  RIDER  ;  C.A.  CASTRO  ;  M.F. 
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System  Applications,  IEE  Proceedings. 
Generation, Transmission & Distribution, v. 151, 
n. 5, p. 575­581, 2004. 

[13]  DATA  ARCHIVES,  University  of 
Washington.  Available: 
http://www.ee.washington.edu/research/pstca 
[citado 3 de Noviembre de 2009] 

[14] A.  LOSI AND M. RUSSO, A  note  on  the 
application  of  the  auxiliary  problem  Principle, 
Journal  of  optimization  theory  and applications, 
vol 117, No. 2, pp. 377­396, May 2003.