Campus de Ilha Solteira RAFAEL ARAÚJO LIMA “Sensor Eletro-Óptico de Tensões Elevadas e sua Viabilidade para Implementação de TP Óptico” Ilha Solteira-SP 2013 RAFAEL ARAÚJO LIMA “Sensor Eletro-Óptico de Tensões Elevadas e sua Viabilidade para Implementação de TP Óptico” Dissertação apresentada à Faculdade de Engenharia do Campus de Ilha Solteira- UNESP como parte dos requisitos para obtenção do título de mestre em Engenharia Elétrica. Especialidade: Automação. Prof. Dr. Cláudio Kitano Orientador Ilha Solteira-SP 2013 DEDICO A minha avó Eunice Delboni Galdino e a toda minha família que não mediram esforços para contribuir de maneira inigualável na minha formação pessoal e profissional, me possibilitando assim mais essa conquista. AGRADECIMENTOS Primeiramente, agradeço ao meu orientador Prof. Dr. Cláudio Kitano por ter acreditado em mim e ter dado toda orientação necessária para a realização deste trabalho e também pelas conversas as quais me motivaram ainda mais e me fizeram seguir em frente. Aos meus pais Waldemar Araújo Lima e Eunice Maria Galdino Lima por todo incentivo que me têm passado durante esses anos, por ficarem ao meu lado em todos os momentos difíceis e pelo enorme apoio em minhas decisões. Agradeço também minha irmã, Aline, pelos conselhos e por ser sempre uma grande amiga. As minhas avós Eunice Delboni Galdino e Dorama Lima que de alguma forma também contribuíram para minha formação. Aos meus colegas de laboratório, Fernando da Cruz Pereira, Andryos Lemes, José Henrique Galeti e Aline Takiy que tiveram papel fundamental na realização deste trabalho, me auxiliando sempre que precisei e compartilhando de seus conhecimentos. Aos Profs. Drs. Júlio Borges de Souza e Luís Carlos Origa de Oliveira, do Laboratório de Qualidade de Energia, pela orientação e co-orientação no início do mestrado. Ao Prof. Dr. Falcondes José Mendes de Seixas pelo empréstimo da ponta de prova de alta tensão. Ao Prof. Dr. Ricardo Tokio Higuti pelo empréstimo de equipamentos eletrônicos. Ao Prof. Dr. Dionízio Paschoareli Júnior por ter me dado a oportunidade de realizar este mestrado ainda como aluno especial. Ao aluno de doutorado Rodrigo Nunes de Oliveira pelo auxílio e empréstimo de equipamentos de alta tensão. Ao técnico do Laboratório de Ensino do Depto. de Eng. Elétrica, Valdemir Chaves, pela usinagem do porta células do sensor eletro-óptico na oficina mecânica. Aos demais técnicos do Laboratório de Ensino do Depto. de Eng. Elétrica, Everaldo Leandro de Moraes, Adilson Antônio Palombo e José Aderson Anhussi, pelo auxílio na instalação do aterramento do Laboratório de Optoeletrônica. Aos colegas do laboratório de Ultra-Som, Vander Teixeira Prado, Paula Lalucci Berton e Sílvio Cesar G. Granja. Aos amigos Fernando Parra e Raiane Piacente Alves que contribuíram em algum momento e de alguma forma para a realização deste trabalho. RESUMO Os transformadores de potencial baseados em tecnologia óptica têm sido desenvolvidos com as finalidades de melhorar o desempenho da proteção e medição dos sistemas elétricos de potência, para monitorar a tarifação do consumo ou a qualidade da energia desses sistemas. Apesar da tecnologia já consolidada dos transformadores para instrumentos convencionais, as versões ópticas possuem diversas vantagens, tais como: medições mais precisas, menor peso, reduzida necessidade de manutenção, facilidade na isolação física e galvânica, maiores faixa dinâmica e largura de banda, além dos enlaces de transmissão e recepção de sinais serem menos susceptíveis às interferências eletromagnéticas. Esses transformadores de potencial podem ser projetados em torno dos moduladores eletro-ópticos de amplitude que, por sua vez, podem ser baseados no efeito eletro-óptico em cristais que apresentam essa propriedade, em que a diferença de fase óptica induzida entre os modos ordinário e extraordinário pode ser relacionada à tensão elétrica aplicada. As medições foram realizadas para duas diferentes configurações: a primeira, dedicada a medir baixas tensões, apresenta campo elétrico externo aplicado na direção Z e propagação óptica na direção X dos eixos principais do cristal. Na segunda configuração, voltada para a medição de tensões mais elevadas (kV), a célula Pockels apresenta campo elétrico externo aplicado na direção Y e propagação óptica na direção Z (eixo óptico) do cristal. Para ambas as configurações foram usados cristais eletro-ópticos de Niobato de Lítio. Nesta dissertação de mestrado, relata-se a aplicação de diferentes formas de ondas periódicas à célula Pockels, a fim de realizar a medição óptica dessas funções comparando-se, posteriormente, os sinais de entrada e saída. Fazendo uso do método de segmentação do sinal amostrado, recentemente desenvolvido na FEIS-Unesp, busca-se a reconstituição da forma de onda de alta tensão que se deseja medir, por meio do processamento digital do sinal fotodetectado. Uma vez efetuada a medição do �� (tensão de meia-onda) para as duas configurações, verificou-se discrepâncias de apenas 3,26% para a configuração com propagação em X e por volta de 3,6% para a configuração com propagação em Z, quando comparadas aos valores teóricos. A análise do conteúdo harmônico do sinal medido é executada. Uma vez realizadas as medições é possível notar a eficiência do sensor óptico de tensão proposto, o qual, juntamente com a utilização deste novo método de demodulação de fase óptica, foi capaz de detectar e reproduzir com exatidão formas de ondas senoidais fortemente contaminado por harmônicas. Identificaram-se com exatidão componentes de ordens elevadas como, por exemplo, a 19ª ordem e até mesmo superiores. Palavras chave- Transformadores de potencial óptico. Efeito eletro-óptico. Célula Pockels. Modulador eletro-óptico de amplitude. Detecção de fase. Conteúdo harmônico. ABSTRACT Optical voltage transformers have been developed in order to enhance the performance of protection and measurement circuits in electric power systems, to monitor energy tax revenues and power quality of these systems. Although the technology for conventional instrument transformers has been consolidated for years, optical versions of these devices have several advantages, such as: more accurate measurements, lower weight, reduced maintenance requirements, easer insulation and isolation, higher dynamic range and bandwidth, and less susceptibility to electromagnetic interference when optical fiber links between transmitter and receiver are used. Such optical voltage transformers can be designed based on amplitude electro-optical modulator principle, and on Pockels cell devices. In turn, this last can be built according to the electro-optic effect in non-centro-symmetrical crystals, where the induced induced optical phase shift between ordinary and methods extraordinary modes can be directly related to applied voltage. Measurements were performed for two different sensor configurations: the first one is dedicated to measuring low voltages (few hundred of volts), in which the external electric field is applied in the Z direction (optical axis) and the optical propagation is in the X direction of principal axes of the crystal. In the second configuration, dedicated to measuring higher voltages (tens of kV), the external electric field is applied in the Y direction and optical propagation is in the Z direction of the crystal. For both configurations Lithium Niobate crystals were used. In this dissertation, the Pockels cell is driven by periodic waveform voltages, the photo detected signal is acquired and computationally processed, and the comparison between input and demodulated signals are compared. By using the Sampled Piece-Wise Signal Method, recently developed at the FEIS-UNESP, the detection of the desired high voltage waveform, by means of digital signal processing of the photo detected signal, is realized. Measurements of electro optical half-wave voltage for both configurations reveals only small discrepancies between experimental and theoretical values: approximately 3.26% for the X-propagation configuration and 3.6% for the Z-propagation configuration. The analysis of the harmonic content presented in the high voltage demodulated signal is performed, proving the optical voltage sensor efficiency. Accurate measurements of high order harmonic magnitudes, as high as the 19th one (and even higher) are possible. Keywords - Optical voltage transformers. Electro-optic effect. Pockels cell. Amplitude electro-optic modulator. Phase detection. Harmonic content. LISTA DE FIGURAS Figura 1- Transformadores de potencial convencionais. (a) Transformador de potencial capacitivo. (b) transformador de potencial indutivo. ............................................................. 18 Figura 2- Vista em corte de um transformador de potencial óptico. ...................................... 20 Figura 3- Esquema de propagação em um meio anisotrópico. ............................................... 28 Figura 4- Onda plana em um meio anisotrópico se propagando no plano YZ. ....................... 31 Figura 5- Sistemas de Coordenadas Auxiliares (α,β,ξ). ......................................................... 37 Figura 6- Vetores � e � no sistema de coordenadas de um cristal. ....................................... 40 Figura 7- Elipsóide de índices de refração. ........................................................................... 42 Figura 8- Direções dos vetores �(�)e �(�)em meio uniaxial. ................................................ 45 Figura 9- Propagação de luz no plano YZ. ............................................................................ 46 Figura 10- Rotação de eixos em torno de��. ......................................................................... 56 Figura 11- Célula Pockels com cristal de Niobato de Lítio. .................................................. 58 Figura 12- Célula Pockels com campo elétrico perpendicular à direção de propagação. ........ 59 Figura 13- Célula Pockels com campo elétrico paralelo à direção de propagação. ................ 59 Figura 14- Propagação de luz ao longo do eixo X e polarizada a 45° do eixo Z. ................... 61 Figura 15- Vista do elipsóide perturbado no plano YZ. ........................................................ 62 Figura 16- Sistemas de coordenadas do cristal de LiNbO3 (propagação em Z). .................... 64 Figura 17- Modulador eletro-óptico na configuração transversal. ......................................... 68 Figura 18- Diagrama fasorial para o cálculo da transmissão. ................................................ 69 Figura 19- Exemplo de sinais para aplicação do método de demodulação. ............................ 74 Figura 20- Exemplo de sinais para aplicação do método de demodulação e sinal demodulado. ............................................................................................................................................ 78 Figura 21- Esquema de montagem do sensor óptico de tensão. ............................................. 81 Figura 22- Célula Pockels transversal. a) Cristal de LiNbO3. b) Porta células. ..................... 82 Figura 23- Montagem experimental do Transformador de Potencial Óptico. (1)- Laser de Hélio Neônio (He-Ne), (2)- Polarizador, (3)-Célula Pockels, (4)- Polarizador (Analisador), (5)- Fotodetector , (6)- Transformador, (7)- Gerador de funções, (8)- Osciloscópio, (9)- Computador. ........................................................................................................................ 83 Figura 24- Espalhamento de luz no cristal de LiNbO3. ......................................................... 84 Figura 25- Feixe de luz devido ao espalhamento luminoso no cristal ao atingir um anteparo. 84 Figura 26- Medição de tensões senoidais. (a) Sinal externo aplicado. (b) Sinal fotodetectado. (c) Sinal recuperado. ............................................................................................................ 86 Figura 27- Espectro dos sinais de entrada e saída em 60 Hz. a) Espectro original. b) Vista em detalhe. ................................................................................................................................ 87 Figura 28- Sinais aplicado e recuperado em 50 Hz. .............................................................. 88 Figura 29- Espectro dos sinais em 50 Hz. a) Espectro original. b) Vista em detalhe. ............. 89 Figura 30- Sinal da rede elétrica de 60 Hz. ........................................................................... 90 Figura 31- Espectro da tensão da rede elétrica de 60 Hz. (a) Espectro original. (b) Vista em detalhe (3ª, 5ª e 7ª harmônicas)............................................................................................. 91 Figura 32- Gráficos dos sinais de entrada, saída e saída demodulado. (a) sinal de entrada, (b) sinal de saída e (c) sinal de entrada pelo de saída demodulado. ............................................. 93 Figura 33- Gráfico geral das componentes harmônicas. ........................................................ 94 Figura 34- Harmônica fundamental. ..................................................................................... 95 Figura 35- Harmônica de 3ª ordem. ...................................................................................... 95 Figura 36- Harmônica de 5ª ordem. ...................................................................................... 96 Figura 37- Harmônicas de 7ª a 19ª ordem. ............................................................................ 97 Figura 38- Gráfico de linearidade da célula Pockels. ............................................................ 99 Figura 39- Célula Pockels para tensões elevadas. (a) Cristal de LiNbO3. (b) Porta células. 100 Figura 40- Foto do espalhamento luminoso no cristal ao atingir um anteparo (propagação no eixo óptico Z)..................................................................................................................... 101 Figura 41- Esquemático da montagem experimental para alta tensão. ................................. 101 Figura 42- Montagem do aparato experimental para tensões elevadas. (1)- Laser de Hélio Neônio (He Ne), (2)- Polarizador, (3)-Célula Pockels, (4)- Polarizador (Analisador), (5)- Fotodetector , (6)- Transformador elevador de tensão, (7)- Ponta de prova, (8)- Transformador de bancada, (9)-Amplificador, (10)- Gerador de funções, (11)- Osciloscópio. .................... 102 Figura 43- Gráfico do sinal de entrada pelo de saída reconstruído para o sinal senoidal. ..... 103 Figura 44- Gráfico de linearidade do sinal senoidal. ........................................................... 104 Figura 45- Gráfico dos sinais de entrada e saída reconstruído para o sinal triangular distorcido. .......................................................................................................................................... 105 Figura 46- Componentes harmônicas do sinal triangular distorcido. ................................... 106 Figura 47- Sinais de entrada e saída reconstruído para a forma de onda quadrada distorcida. .......................................................................................................................................... 107 Figura 48- Componentes harmônicas do sinal para a forma de onda quadrada distorcida. ... 107 Figura 49- Gráfico ampliado das harmônicas do sinal para a forma de onda quadrada distorcida. .......................................................................................................................... 108 LISTA DE TABELAS Tabela 1- Erro absoluto e percentual em relação ao sinal de entrada e o sinal reconstruído. .. 97 Tabela 2- Erro absoluto e percentual em relação aos sinais de entrada e saída reconstruído para forma de onda quadrada distorcida. ............................................................................ 108 LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS FFT Transformada rápida de Fourier (Fast Fourier Transform). GPIB Interface paralela de propósito geral (General Purpose Interface Bus). He-Ne Hélio-Neônio. KDP Potassium Dihydrogen Phosphate. LiNbO3 Niobato de Lítio. OCT Transformador óptico de corrente (Optical Current Transformer). OVT Transformador óptico de tensão (Optical Voltage Transformer). PIN Fotodiodo PIN (Positive-Intrinsic-Negative). TI Transformador para instrumento. TP Transformador de Potencial. TPC Transformador de Potencial Capacitivo. TPI Transformador de Potencial Indutivo. USB Interface serial universal. (Universal Serial Bus). LISTA DE SÍMBOLOS Permeabilidade magnética. Permissividade elétrica do meio. � Permissividade do vácuo. � Permissividade relativa do meio. � Comprimento de onda. � Frequência angular. �⃗ Descreve um ponto sobre a frente de onda. ��⃗ Vetor campo elétrico. ���⃗ Vetor campo magnético. ���⃗ Vetor deslocamento elétrico. ��⃗ Vetor densidade de fluxo magnético. ���⃗ Vetor de onda na direção de propagação. �̂ Versor na direção ���⃗ . �� Velocidade de fase da onda. � Velocidade da luz no vácuo. � Índice de refração. ���⃗ (�) Vetor deslocamento elétrico do modo ordinário. ���⃗ (�) Vetor deslocamento elétrico do modo extraordinário. ��(�) Velocidade de fase do modo ordinário. ��(�) Velocidade de fase do modo extraordinário. � Impermeabilidade dielétrica. �� Matriz simétrica do tensor impermeabilidade. �(�) Campo elétrico do modo ordinário. �(�) Campo elétrico do modo extraordinário. ��� Permeabilidade efetiva. �� Tensor impermeabilidade relativa. �(�) Índice de refração efetivo do modo ordinário. �(�) Índice de refração efetivo do modo extraordinário. ��!" Coeficiente eletro-óptico linear. ��!"# Coeficiente eletro-óptico quadrático. � Índice de refração. �$ Índice de refração ordinário. �� Índice de refração extraordinário. �(%) Tensão elétrica aplicada à célula Pockels. & Distância entre os eletrodos. Δ* Diferença de fase relativa entre os modos de propagação da luz. + Comprimento do cristal. ��⃗ $� Vetor campo elétrico do modo óptico. ���⃗ $� Vetor deslocamento elétrico do modo óptico. �(�) Vetor de onda do modo ordinário. �(�) Vetor de onda do modo extraordinário. ,� Diferença de fase natural do cristal devido a sua birrefringência. Δ, Diferença de fase induzida pelo campo elétrico. �� Tensão de meia onda do cristal eletro-óptico. Γ Retardo eletro-óptico. .� Vetor do modo ordinário. .� Vetor do modo extraordinário. / Ângulo entre o eixo polarizador e o vetor de modo ordinário. 0 Ângulo entre o polarizador e o analisador. 1� Intensidade óptica total. 1�2 Intensidade óptica do laser. �(%) Tensão elétrica detectada. 3� Responsividade. 4 Constante de proporcionalidade que relaciona a tensão elétrica detectada e a intensidade óptica de saída do modulador eletro-óptico. �5(%) Tensão detectada correspondente à parcela AC do sinal fotodetectado. 62 Função de Bessel de primeira espécie e ordem n. �(%)7á8 Máxima tensão obtida na saída do fotodetector. �(%)7�2 Mínima tensão obtida na saída do fotodetector. �2(%) Tensão de saída normalizada. �5(%)7á8 Valor de pico de �5(%). Δ*(%′) Sinal de saída demodulado. Δ,�(%) Diferença de fase induzida pelo campo elétrico, recuperada pelo método. SUMÁRIO Capítulo 1: Introdução ................................................................................... 16 1.1 Introdução Geral ............................................................................................................ 16 1.2 Transformadores de Potencial Convencionais ................................................................. 18 1.3 Transformador de Potencial Óptico ............................................................................... 19 1.4 O Estado da Arte do Transformador de Potencial Óptico ................................................ 22 1.5 Objetivos do Trabalho .................................................................................................... 24 1.6 Metodologia ................................................................................................................... 24 1.7 Organização do Texto .................................................................................................... 25 Capítulo 2: Propagação de Ondas em Meios Anisotrópicos ........................ 27 2.1 Meios Anisotrópicos. ..................................................................................................... 27 2.2 Equação de Onda em Meios Anisotrópicos ..................................................................... 27 2.2.1 Meios Uniaxiais .......................................................................................................... 31 2.2.2 Propriedades dos Modos Ordinário e Extraordinário ................................................. 33 2.3 Elipsóide de Índices de Refração .................................................................................... 40 2.4 Utilização do Elipsóide de Índices .................................................................................. 44 Capítulo 3: O Efeito Eletro-Óptico ............................................................... 48 3.1 Efeito Eletro-Óptico ....................................................................................................... 48 3.2 A Célula Pockels ............................................................................................................ 58 3.3 Modulação Eletro-Óptica de Fase ................................................................................... 60 3.3.1 Propagação em X e campo em Z ................................................................................. 60 3.3.2 Propagação em Z e campo em Y .................................................................................. 64 Capítulo 4: Sensor Óptico de Tensão ............................................................ 67 4.1 Modulador Eletro-Óptico de Amplitude ou Intensidade .................................................. 67 4.2 Método de Segmentação do Sinal Amostrado ................................................................. 71 4.2.1 Descrição do Método .................................................................................................. 72 Capítulo 5: Resultados Experimentais .......................................................... 80 5.1 Automatização da Instrumentação Eletrônica. ................................................................ 80 5.2 Validação da Técnica de Detecção em Baixa Tensão ...................................................... 81 5.2.1 Medições de Tensões Senoidais em 60 Hz. ................................................................... 85 5.2.2 Medições de Tensões Senoidais em 50 Hz. ................................................................... 88 5.2.3 Medição de Tensão da Rede Elétrica de 60 Hz ............................................................ 90 5.2.4 Formas de Onda Periódicas Arbitrárias. ..................................................................... 92 5.2.5 Medição da Tensão de Meia-Onda .............................................................................. 98 5.3 Arranjo Experimental para Altas Tensões ....................................................................... 99 5.3.1 Medições do Conteúdo Harmônico- Alta Tensão ....................................................... 103 Capítulo 6: Conclusões ................................................................................. 110 6.1 Sugestões para Trabalhos Futuros................................................................................. 111 6.2 Trabalho a ser Apresentado em Congresso ................................................................... 111 REFERÊNCIAS ........................................................................................... 112 ANEXO A ..................................................................................................... 115 16 Capítulo 1: Introdução 1.1 Introdução Geral Transformadores eletromagnéticos de tensão (ou potencial) e corrente são comumente utilizados em sistemas de potência para reduzir as magnitudes dessas grandezas elétricas a níveis desejados. Esses transformadores, conhecidos também como transformadores para instrumentos (TIs), são de fundamental importância em sistemas que operam com tensões e correntes elevadas, uma vez que possuem a capacidade de isolar os dispositivos de medição, fazendo parte do sistema de controle e proteção das altas tensões, além de reduzir a exposição dos profissionais aos riscos de um eventual acidente ligado diretamente a essas tensões. Os TIs são compostos basicamente por dois enrolamentos, o primário, que recebe a tensão e corrente da rede, e o secundário, por onde são realizadas as medições e proteção dos sistemas. Possuem um núcleo de ferro, e de acordo com o número de espiras permitem converter o sinal do primário para o secundário com níveis adequados. Se ocorrer a saturação deste núcleo magnético, o sinal no secundário sofre uma distorção e, consequentemente, os sistemas de medição e proteção serão afetados (KUCUKSARI, 2010). Atualmente, a utilização destes equipamentos nos modernos sistemas de energia elétrica encontram-se sob intensa revisão devido aos seus custos, implicações sobre segurança dos operadores e das instalações nas suas proximidades durante uma falha, o tempo de instalação e as exigências de aterramento da subestação. Desde que os sistemas digitais, de controle e de proteção foram introduzidos nos sistemas de energia elétrica, a capacidade de atuação diante de pequenos valores de tensão de saída dos transdutores, bem como a eliminação de interferências eletromagnéticas, tornaram-se importantes. Diante desta e de outras desvantagens que serão citadas no decorrer do texto, existe a necessidade de buscar alternativas para a melhoria dos sistemas de potência, tais como: obter medições mais precisas, aumentar a segurança dos operadores, obter rápida resposta a transitórios, reduzir os custos e facilitar as instalações. Então, desenvolveram-se ao longo dos anos dispositivos baseados em tecnologia óptica, tendo também como finalidade a medição dos valores das tensões e correntes, assim como a proteção dos sistemas de alta tensão. São os chamados transformadores para instrumentos ópticos, os OVTs (Optical Voltage 17 Transformer) e os OCTs (Optical Current Transformer). Eles foram desenvolvidos a fim de proporcionarem alternativas para a crescente demanda dos sistemas de potência, os quais operam com tensões e correntes cada vez mais elevadas, o que induz a um aumento nas dimensões dos transformadores convencionais. Há também a necessidade de uma maior isolação dos dispositivos, assim como a premência na confiabilidade de operação. Os transformadores ópticos para instrumentos fornecem diversas alternativas para melhorar o desempenho dos sistemas de potência, visto que possuem grandes vantagens sobre os TIs convencionais, algumas dessas como: medições mais precisas, possuem ampla faixa dinâmica, elevada largura de banda, são mais leves, intrinsicamente seguros, sua manutenção é reduzida, além de possuírem rápida resposta a transitórios e baixa susceptibilidade a interferências eletromagnéticas. A utilização de fibras ópticas para transportar o sinal óptico de medição para o interior e exterior do sensor de medição também isola eletricamente o observador do ambiente de alta tensão e isola as medições das interferências eletromagnéticas. Deve-se enfatizar que estes sensores são eminentemente sensores de campo elétrico e não de tensão elétrica propriamente dita, de modo que a relação entre a tensão aplicada e o campo elétrico deve ser previamente conhecida. Os sensores ópticos de tensão em corrente alternada (CA) têm sido amplamente estudados nas quatro últimas décadas e a maioria deles emprega cristais eletro-ópticos volumétricos como o elemento sensor no interior de uma configuração polarimétrica. As alterações nas propriedades do material óptico, chamados materiais eletro- ópticos, como resultado do campo elétrico circundante, podem ser mensuradas, em vez de se medir diretamente a tensão. O efeito Pockels refere-se às alterações nas propriedades ópticas (índice de refração) de certos cristais, tais como o Niobato de Lítio (LiNbO3), na presença de campos elétricos externos, onde a mudança desses índices de refração depende proporcionalmente da magnitude do campo elétrico aplicado. Este trabalho tem como foco os transformadores de potencial ópticos, objetivando a análise e obtenção da medição do conteúdo harmônico nos sinais de entrada e saída do modulador eletro-óptico e, através do método de segmentação do sinal amostrado, proposto por Galeti (2012), fazer a demodulação do sinal fotodetectado e evidenciar a confiabilidade do método na recomposição das harmônicas deste sinal. No entanto, julga-se necessário uma breve introdução sobre os transformadores de potencial convencionais. 18 1.2 Transformadores de Potencial Convencionais Os transformadores de potencial (TPs) são utilizados principalmente para medir a tensão elétrica. Como os instrumentos de medição, controle e proteção, entre outros, podem suportar até um nível máximo de tensão, os TPs tornam-se necessários a fim de reduzir a tensão do circuito para níveis compatíveis com os máximos que os instrumentos da rede suportam. A tensão diminuída reproduzida no circuito secundário do transformador é diretamente proporcional à do primário. Nos sistemas de potência os transformadores de potencial são de dois tipos: indutivos (TPI) e capacitivos (TPC). A figura 1 ilustra esses equipamentos. Figura 1- Transformadores de potencial convencionais. (a) Transformador de potencial capacitivo. (b) transformador de potencial indutivo. Fonte: (MARTECH DO BRASIL). O TP indutivo possui uma ou mais unidades eletromagnéticas e sua relação de transformação está ligada diretamente com o número de espiras dos enrolamentos primário e secundário, os quais são montados no mesmo núcleo. Já os TPs capacitivos possuem apenas uma unidade eletromagnética e uma coluna capacitiva, de modo que, quando interligadas, reproduzem uma tensão secundária na unidade eletromagnética e esta é proporcional à tensão aplicada no divisor capacitivo. 19 Os TPCs suportam tensões maiores que os TPIs. Eles são formados essencialmente por uma cadeia de capacitores ligados em série que funcionam como um divisor de tensão. Quando se utiliza o transformador de potencial capacitivo, o custo inicial do sistema de medição pode ser reduzido. Uma desvantagem relacionada a este tipo de transformador é que não se consegue uma medição exata das harmônicas da rede, por falta de largura de banda. Nos transformadores para instrumentos, em geral, a influência das harmônicas pode acarretar em erros na relação de transformação. Estes equipamentos não estão preparados para atuarem em frequências elevadas. A resposta em frequência dos transformadores de potencial indutivos ou capacitivos, apresenta um comportamento distorcido da relação de transformação para operação em 60 Hz devido às frequências de ressonância (frequência natural de oscilação ou vibração do sistema). Isto se deve às indutâncias e capacitâncias que têm efeitos importantes em elevadas frequências (DIAS, 2002). 1.3 Transformador de Potencial Óptico Há muitos anos, os sistemas de potência utilizam-se dos transformadores de potencial convencionais, os quais se mostram razoavelmente confiáveis e com uma tecnologia já bem definida. Porém, como visto na introdução apresentada, observaram-se algumas desvantagens nesses equipamentos, deixando clara a necessidade de novas tecnologias que se adequem às modernas demandas dos sistemas de energia. Os transformadores de potencial óptico vêm sendo estudados ao longo dos anos e suas pesquisas tornando-se cada vez mais promissoras devido às inúmeras vantagens que possuem em relação aos convencionais, algumas delas já citadas. Empresas como a Nxtphase (Canadá) e a ABB (Suiça), disponibilizam estes equipamentos comercialmente. Observa-se na figura 2 a vista em corte de um TP óptico fabricado pela NxtPhase e, em seguida, um resumo do seu funcionamento. 20 Figura 2- Vista em corte de um transformador de potencial óptico. Fonte: (NxtPhase Corporation, 2002). De acordo com a numeração na figura 2 é possível analisar o funcionamento de um OVT com clareza. Em (1) a tensão aplicada no condutor gera um campo elétrico entre a linha e o terra do sistema. Observa-se em (2) que um dispositivo emissor de luz envia um sinal onde, em (3) esse sinal percorre a coluna da unidade. No interior de um isolador de alta tensão estão dispostos três cristais eletro-ópticos (4) representados por . Então, a partir de (5) a luz atravessa os cristais cujo campo elétrico altera suas polarizações circulares, tornando-as elípticas. Por meio da medição da elipsidade (relativa à saída de cada eixo) obtém-se um valor preciso do campo elétrico naquele ponto. Finalmente, em (6), os dados dos três cristais são combinados e ponderados de modo a obter alta precisão no valor da tensão. 21 Algumas das facilidades em se trabalhar com os OVTs referem-se à: instalação mais simples, visto que, são menores e mais leves, podendo ser instalados tanto na posição horizontal quanto invertido; a construção de bases de concreto ou qualquer outra obra civil não são necessárias, uma vez que podem ser fixados na própria estrutura das subestações. Em relação aos impactos ambientais, pode-se dispensar a utilização de óleo ou gás (SF6) (LIMA, 2009), embora alguns utilizem desse recurso. Outra facilidade que os OVTs oferecem diz respeito à fácil manutenção dos equipamentos, necessitando apenas de análises visuais e atenção aos termovisores e também, nos OVTs não existe saturação, pois não possuem núcleos ferromagnéticos. Algumas desvantagens deste tipo de transformador são que, atualmente, nos sistemas de proteção e medição existem equipamentos de diversas gerações, projetados para receber sinais analógicos de tensões mais elevadas. Então, torna-se necessária a utilização de conversores que amplifiquem estes sinais para níveis desejados, pois os instrumentos ópticos têm o sinal de saída bem abaixo dos aceitáveis pelos sistemas convencionais. Estes conversores encarecem e comprometem a confiabilidade dos transformadores para instrumentos ópticos. Porém, com a natural modernização das subestações, esta desvantagem está sendo superada. No entanto, como a técnica polarimétrica é sensível a estímulos muito fracos, na prática, ela sofre o fenômeno de desvanecimento, particularmente se efeitos de birrefringências naturais do cristal eletro-óptico estão presentes. Derivas de temperatura induzem deslocamentos aleatórios de fase óptica que introduzem incertezas ao deslocamento de fase verdadeiro, o que irá conduzir a flutuações no sinal de saída. Além disso, os efeitos de vibração mecânica no sistema causam uma indesejável modulação da intensidade da luz e, portanto, constituem uma fonte de ruído. Essas vibrações podem ser produzidas pela operação do disjuntor, pelas condições ambientais ou pela interferência humana. Por conseguinte, o sinal detectado pode flutuar aleatoriamente em uma ampla faixa de magnitudes e durante breves períodos de tempo, devido aos agentes de perturbação. Os desvios aleatórios podem ser rastreados e compensados para manter o funcionamento do sensor em regime de quadratura de fase óptica (HUI et al., 2013). No entanto, em várias aplicações, existe uma necessidade de um método simples e confiável de demodulação de fase. Os métodos J1-J4 (SUDARSHANAM; SRINIVASAN, 1989) e J1-J6 (SUDARSHANAM; CLAUS, 1993), por exemplo, podem fornecer leituras lineares de deslocamentos de fase dinâmica nestes sistemas polarimétricos, independentemente da deriva aleatória de fase devido às flutuações de temperatura ambiente e de pressão, às instabilidades da fonte óptica (laser), e às mudanças na visibilidade das franjas de interferência (MARTINS, 22 2006). Contudo, embora eficientes, estes métodos apresentam problemas de resolução e faixas dinâmicas limitadas, não são capazes de caracterizar dispositivos não-lineares e operam somente com formas de onda senoidais. Recentemente, uma nova técnica de demodulação de fase aplicada à área de interferometria óptica foi desenvolvida na FEIS-UNESP, denominada de método de segmentação do sinal amostrado, e que permite calcular a profundidade da modulação de fase dinâmica de forma bastante eficiente (GALETI, 2012). Trata-se de um método temporal, homódino, que também opera em malha-aberta, é imune ao desvanescimento do sinal, tem excelente resolução, ampla faixa dinâmica, opera com dispositivos não-lineares, detecta sinais com formas de onda arbitrárias, permite medir magnitude e fase dinâmicas e é pouco sensível aos ruídos eletrônicos e de quantização. 1.4 O Estado da Arte do Transformador de Potencial Óptico A busca por equipamentos cada vez mais confiáveis e com elevados níveis de precisão sempre estiveram em pauta nas discussões sobre proteção, controle e medição dos sistemas de potência. Os transformadores para instrumentos convencionais (transformadores de potencial e corrente) são, atualmente, os responsáveis pelo monitoramento dos equipamentos de subestações. Porém, algumas limitações já mencionadas na seção anterior trouxeram a motivação para o desenvolvimento de novas tecnologias, capazes de competir comercialmente com os tradicionais. Assim, começaram os estudos baseados em tecnologia óptica, os chamados transformadores de potencial e de corrente ópticos. Os sensores ópticos de tensão vêm sendo investigados desde a década de 1970 (HEBNER JR; MALEWSKI; CASSIDY, 1977). Estes dispositivos foram se tornando uma tecnologia atrativa a partir da grande implantação de relés e medidores microprocessados no sistema elétrico atual. Antigamente, não eram utilizados, por fornecerem baixas potências em sua saída, tornando-os ineficazes para alimentar a instrumentação analógica da época, as quais eram baseadas em bobinas de tensão e corrente. Os sensores ópticos de tensão passaram a ser viáveis comercialmente a partir dos anos 1990. Em 1993, Kurosawa, et al. desenvolveram e testaram um transformador de instrumento óptico para medir tensão DC usando cristais eletro-ópticos. Após os autores perceberem os problemas que causavam erros de medição em tensão DC, como o movimento de carga 23 elétrica no cristal e a mudança no nível de intensidade da luz detectada usando o efeito Pockels, eles criaram um novo esquema capaz de superar tais problemas. Em estudos posteriores, apresentaram uma série de testes que examinavam a relação de erro e as características de temperatura. Os resultados ficaram de acordo com os valores desejados, provando que o transformador projetado era adequado para o controle e proteção do sistema de potência DC. No transformador de potencial óptico são medidas as variações nas características da luz que se propaga em certos materiais, devido à aplicação de um campo elétrico. Ainda em 1993, foram publicados resultados de um sensor de alta tensão em óptica integrada, utilizando LiNbO3 em corte Z (LEE, et al. 1993). O sensor é passivo, não requer bias ou qualquer divisor de tensão. Ele foi projetado por meio de tecnologia microeletrônica, a fim de estabelecer eletrodos e guia de onda óptico, cujo modo de propagação sofre modulação devido ao campo elétrico externo, via efeito eletro-óptico. Em 1995, um protótipo de um transformador óptico de tensão de 132-150 kV foi desenvolvido baseado no efeito Pockels, sem fazer uso de um divisor capacitivo (CHRISTENSEN, 1995). O cristal do tipo Bi4Ge3O12 foi posicionado sob um campo elétrico criado por dois eletrodos. Foram testadas a dependência com a temperatura e a precisão da tensão de saída. Os resultados estavam dentro das especificações. A relação de transformação poderia ser ajustada mudando a forma de um dos eletrodos, e então, para diferentes relações de transformação foram efetuadas diversas medições de tensão. A evolução e a confiabilidade dos sensores ópticos, assim como a capacidade de realizar medições de tensões cada vez mais elevadas continuaram a ser estudadas ao longo dos anos. Já em 2000, criou-se uma nova técnica de medição em alta tensão (SANTOS; TAPLAMACIOGLU; HIDAKA, 2000). O sistema é capaz de medir 400 kV de tensão e, possui largura de banda de 0 a 30 MHz. Foram usados cristais Pockels de BGO, diodo super luminescente e um link especial de fibra óptica. Realizaram-se sucessivos testes em tensão AC e DC. Resultados combinados numericamente e analiticamente concordaram com os valores previstos. Em 2010 foi descrito o desenvolvimento e aplicação de sensores ópticos baseados em tecnologia de rede Bragg em duas grandezas relevantes na área de energia elétrica, temperatura e alta tensão (ALLIL, 2010). O projeto teve como objetivo desenvolver sensores ópticos para medir temperaturas em ambiente hostil, sendo que os sensores foram instalados no interior de um gerador hidroelétrico. O sistema realizou, de forma confiável e precisa, a 24 medição e o monitoramento da temperatura no interior do gerador. Os resultados foram considerados satisfatórios. Em 2011, protótipos de OVTs foram apresentados para medições de tensões entre 13,8 kV e 69 kV (SILVA, 2011). Esses OVTs são baseados na técnica de interferometria com luz branca na qual dois interferômetros conectados em série- o sensor primário, com cristal de BGO, e o sensor recuperador- são iluminados por uma fonte de luz com banda larga. Com o auxílio de dispositivos em óptica integrada, investiu-se na otimização do interferômetro recuperador em fibra óptica, obtendo-se um sistema global de elevado desempenho. Pode-se implantar um sensor óptico de potencial abordando princípios físicos diferentes, capazes de modificar as propriedades ópticas de diversos materiais, de acordo com várias configurações e princípios de operação (HEBNER JR; MALEWSKI; CASSIDY, 1977). 1.5 Objetivos do Trabalho O objetivo deste trabalho é analisar e obter a medição do conteúdo harmônico nos sinais de entrada e saída do modulador eletro-óptico e, através do método de segmentação do sinal amostrado, proposto por Galeti (2012), fazer a demodulação do sinal fotodetectado e evidenciar a confiabilidade do método na recomposição das harmônicas deste sinal. 1.6 Metodologia Neste trabalho, é feito um estudo sobre transformadores de potencial óptico, o qual é fundamentado em um modulador de intensidade ou amplitude óptica que, por sua vez, é baseado no efeito eletro-óptico em cristal de LiNbO3. Conforme discutido na seção 1.1, os TPs ópticos fornecem diversas alternativas para melhorar o desempenho dos sistemas de potência, visto que possuem grandes vantagens sobre os TPs convencionais. Dentre estas, porém, deve-se destacar uma em particular, a saber, suas elevadas larguras de banda (em princípio, são capazes de operar até na faixa de MHz). Sabe- se que os transformadores de medição convencionais, baseados nos princípios eletromagnéticos, apresentam problemas com relação à suas respostas na presença de distorções harmônicas. Já os transformadores para instrumentos ópticos têm apresentado excelente resposta, o que contribui significativamente para uma medição mais precisa destas 25 componentes harmônicas. São de amplo conhecimento as consequências decorrentes da presença de altos níveis de distorção harmônica, tanto de tensão quanto de corrente, nos elementos componentes dos sistemas de energia e nas cargas elétricas, cada vez mais sensíveis a tais distorções (LIMA; SANTOS, 2010; LIMA, 2009). A identificação da presença de componentes harmônicas, bem como sua quantificação, tem se tornado cada vez mais importante na avaliação da qualidade da energia elétrica. Consequentemente, toda técnica ou equipamento que venha a contribuir com a quantificação destas distorções, em qualquer nível de tensão ou corrente, devem ser considerados. Neste trabalho, o método de detecção por segmentação do sinal amostrado é adaptado para a medição de tensões em sensores ópticos polarimétricos. A fim de evidenciar o potencial da técnica na detecção de harmônicas superiores inseridas sobre o sinal de interesse, opera-se com um sinal com forte conteúdo harmônico. A recuperação desse sinal na saída do TP óptico evidencia a capacidade da técnica. O sistema de medição é todo automatizado, e, com o software Matlab calcula-se a FFT dos sinais adquiridos a fim de comparar as componentes harmônicas presentes no sinal de saída com as da entrada. Os resultados concordam até a 19ª harmônica, pelo menos. Versões capazes de trabalhar com tensões elevadas, da ordem de vários kV, são apresentadas. 1.7 Organização do Texto Esta dissertação de mestrado está distribuída em seis capítulos, incluindo este introdutório. No capítulo 2 é apresentado um resumo sobre a propagação da luz em meios anisotrópicos, chegando-se à solução geral da equação de onda e, através de um exemplo, encontra-se as soluções para um meio uniaxial, que é o caso do LiNbO3. Este capítulo ainda descreve as propriedades dos modos ordinário e extraordinário, o elipsóide de índices de refração e sua utilização. No capítulo 3 são descritos o efeito eletro-óptico, a célula Pockels, e a modulação eletro-óptica de fase em duas configurações utilizadas: propagação em X e campo em Z, e, propagação em Z e campo em Y. No capítulo 4 é apresentado um estudo sobre o modulador eletro-óptico de intensidade ou amplitude (sensor óptico de tensão) e é feita também, uma descrição sobre o método de demodulação do sinal: o método de segmentação do sinal amostrado (GALETI, 2012). 26 No capítulo 5, cita-se a automatização da instrumentação, apresentam-se os resultados experimentais, tanto para medições em baixas tensões, como em tensões mais elevadas, na ordem de kV. São detalhadas também as maneiras como foram montados os experimentos e os respectivos equipamentos utilizados, apresentando-se os resultados obtidos. Finalmente, no capítulo 6 registram-se as conclusões e sugestões para trabalhos futuros. 27 Capítulo 2: Propagação de Ondas em Meios Anisotrópicos 2.1 Meios Anisotrópicos. Existem diversos materiais anisotrópicos, cujas propriedades ópticas dependem da direção de propagação assim como da polarização da luz. Estes materiais anisotrópicos incluem cristais como calcita, quartzo, KDP, BGO e também LiNbO3, o qual é utilizado neste trabalho. A permissividade dielétrica deste último constitui um tensor de segunda ordem. Uma grande quantidade de meios materiais que controlam e modificam as propriedades de propagação da luz são de natureza anisotrópica (principalmente anisotropia elétrica) (SILVA, 2011). Quando aplicado um vetor deslocamento elétrico em meios anisotrópicos, a direção e a magnitude do vetor campo elétrico associado dependem da direção de aplicação do primeiro, diferentemente dos meios isotrópicos, onde a aplicação do deslocamento elétrico induz um campo elétrico paralelo ao primeiro. Analisa-se no decorrer deste capítulo a propagação de ondas planas uniformes em meios físicos ilimitados, como os cristais de LiNbO3 que apresentam anisotropia dielétrica. Sob o aspecto magnético, consideram-se os meios isotrópicos e, então, as permeabilidades magnéticas valem = �, sendo � a permeabilidade do vácuo (4; × 10?@H/m). Uma equação de onda será determinada através das equações de Maxwell, levando em conta que a permissividade elétrica do meio ( )̅ é uma grandeza tensorial. 2.2 Equação de Onda em Meios Anisotrópicos Na figura 3, tem-se um esquema onde um feixe óptico monocromático de comprimento de onda � incide sobre o meio físico ilimitado e com anisotropia dielétrica. 28 Figura 3- Esquema de propagação em um meio anisotrópico. Fonte: (KITANO, 1993). Devido a natureza dielétrica do meio, sua permissividade absoluta, atribuída ao sistema de coordenadas principal (X,Y,Z), é dada por: B= � C DD 0 00 EE 00 0 FFG HI JK L (1) onde, � é a permissividade do vácuo que vale 8,854 × 10?�� HI JK L e DD , EE, FF são suas componentes principais. Admite-se o campo elétrico P��⃗ (�⃗)Q e o campo magnético P���⃗ (�⃗)Q variando harmonicamente no tempo P RRS = T�Q, sendo � a frequência angular e �⃗ descrevendo um ponto sobre a frente de onda plana. Os campos ��⃗ (elétrico), ���⃗ (magnético), ���⃗ (deslocamento elétrico) e ��⃗ (densidade de fluxo magnético) devem satisfazer as equações de Maxwell (em meios sem perdas) que são descritas abaixo (YARIV; YEH,1984): U × ��⃗ = −T� ����⃗ (2 W) U × ���⃗ = T� :̅ ��⃗ (2 Y) U˳���⃗ = 0 (2 �) U˳��⃗ = 0 (2 &) e também as relações constitutivas: 29 ���⃗ = :̅ ��⃗ (3 W) ��⃗ = �. ���⃗ (3 Y) onde ���⃗ é o vetor densidade de fluxo elétrico (ou vetor deslocamento elétrico), ��⃗ o vetor de fluxo magnético, (: ) representa o produto de um tensor por um vetor, (˳) indica o produto escalar e (×) o produto vetorial. Todas as grandezas estão na forma fasorial. Agora, faz-se uma análise considerando o caso de uma onda plana e uniforme que tem como vetor de onda ���⃗ [�W&/J]. Em conformidade com a propagação de onda plana em meios isotrópicos, se estabelece uma dependência na forma de `?!"�⃗ ˳�⃗ a todas as grandezas de campo. Assim, apenas para ondas harmônicas, demonstra-se que (YARIV; YEH, 1984): (U ×) = −Ta���⃗ ×b (4 W) e, também (U˳) = −Ta���⃗ ˳b (4 Y) evidenciando que as derivadas podem ser substituídas por fatores algébricos. Desta forma, as equações de Maxwell em (2a-2d) envolvem somente equações algébricas, na seguinte forma: ���⃗ × ��⃗ = � ����⃗ (5 W) ���⃗ × ���⃗ = −� :̅ ��⃗ (5 Y) ���⃗ ˳���⃗ = 0 (5 �) ���⃗ ˳��⃗ = 0 (5 &) Pré-multiplicando vetorialmente todos os elementos de (5 a) por ���⃗ , tem-se: ���⃗ × a���⃗ × ��⃗ b = � �a���⃗ × ���⃗ b (6) Substituindo-se (5 b) em (6) obtém-se: ���⃗ × a���⃗ × ��⃗ b = −�� � :̅ ��⃗ (7) 30 Observa-se que a equação (7) está descrita apenas em função do campo elétrico ��⃗ formando assim, uma equação de onda para meios dieletricamente anisotrópicos. Utilizando a teoria matemática, a equação (7) pode ser simplificada através da fórmula de Lagrange. Assim, fica: a���⃗ ˳���⃗ b��⃗ − a���⃗ ˳��⃗ b���⃗ = �� � :̅ ��⃗ (8) ou, e���⃗ e���⃗ − f ���⃗e���⃗ e ˳ ��⃗ g ���⃗e���⃗ e e���⃗ e� = �� � :̅ ��⃗ (9) Estabelecendo-se �̂ = i��⃗ei��⃗ e como sendo um versor na direção de ���⃗ , a equação acima pode ser reescrita como: ��⃗ − a�̂˳��⃗ b�̂ = f �e���⃗ eg � � :̅ � ���⃗ (10) Sabe-se da teoria de ondas planas em meios ilimitados que a velocidade de fase de uma onda, na qual tem-se a dependência `?!i��⃗ ˳�⃗ , pode ser determinada através de: �� = �e���⃗ e (11) Portanto, definida a velocidade de fase da onda e aplicando a propriedade � = 1/j � � (velocidade da luz no vácuo) em (10) é possível então, determinar a equação de onda final: ��⃗ − a�̂˳��⃗ b�̂ = klmnm �B : � ���⃗ (12) Nota-se que se utiliza a permissividade relativa �̅ = ̅ �⁄ ao invés da absoluta, dada em (1). 31 Em relação à simetria cristalográfica dos meios materiais, eles podem ser classificados em três grupos principais: meios uniaxiais, biaxiais e isotrópicos. Os meios uniaxiais, dentre os quais está o LiNbO3, são discutidos a seguir. 2.2.1 Meios Uniaxiais Neste contexto de meios uniaxiais, que está relacionado diretamente a este trabalho (visto que se utiliza o cristal de LiNbO3, o qual possui essa propriedade), ilustra-se a seguir um exemplo de como obter as soluções da equação de onda (12) em um meio uniaxial, onde DD = EE por definição. Considera-se, por exemplo, o caso particular de uma propagação num plano YZ, onde o versor �̂ é ortogonal ao eixo X, de acordo com a figura 4. Figura 4- Onda plana em um meio anisotrópico se propagando no plano YZ. Fonte: (KITANO, 1993). Calcula-se o versor �̂ na direção do vetor de propagação através de: �̂ = (�D, �E, �F) = (0, sen * , cos *) (13) Utilizando o sistema de eixos principais do meio, a matriz da permissividade relativa é diagonal: 32 � = C �� 0 00 �� 00 0 ttG , X=1; Y=2; Z=3 (14) lembrando que, para um meio uniaxial, DD = EE (ou então, �� = ��). Por meio da equação (12) para o vetor campo elétrico em conjunto com (13) e (14), tem-se para cada direção do sistema de coordenadas: ⎩⎪⎨ ⎪⎧ �D − 0 = klmnm ���D�E − (�E�E + �F�F)�E = klmnm ���E �F − (�E�E + �F�F)�F = klmnm tt�F (15) ou ⎩⎪⎨ ⎪⎧ P1 − klmnm ��Q �D + 0�E + 0�F = 00�D + P1 − �E� − klmnm ��Q �E − �E�F�F = 00�D − �E�F�E + P1 − �F� − klmnm ttQ �F = 0 (16) Já que apenas soluções não triviais são de interesse, de acordo com a álgebra linear, a seguinte condição deve ser imposta (e aplicando-se (13)): &`% ⎣⎢⎢ ⎢⎡1 − klmnm �� 0 00 �}��* − klmnm �� −sen * cos *0 −sen * cos * �`��* − klmnm tt⎦⎥⎥ ⎥⎤ = 0 (17) a qual é conhecida como equação determinantal. Fazendo algumas manipulações algébricas em (17), encontra-se a seguinte forma fatorada: PklmnmQ P1 − klmnm ��Q Pklmnm �� tt − tt�}��* − ���`��*Q = 0 (18) 33 Analisando fator por fator da equação (18), encontram-se as seguintes soluções: a) Na primeira, o campo elétrico é estático, não se propaga: klmnm = 0 ⇒ ���,� = 0 (19) b) A outra solução é independente de *, com velocidades de fase: 1 − klmnm �� = 0 ⇒ ��t,� = ± n√��� (20) c) Finalmente, a terceira solução depende da direção de propagação no plano YZ. klmnm �� tt � ���`��* + tt�}��* ⇒ (21) ⇒ ���,� = ± nj������ j ���`��* + tt�}��* Obtidos os resultados acima, é possível perceber dois modos de propagação (casos b) e c)) para a onda plana no meio uniaxial: no primeiro modo (caso b)) é como se a onda estivesse em um meio isotrópico, sendo que sua velocidade independe da direção do versor �̂, e cujo modo é chamado “raio ordinário”. Por sua vez, o segundo modo (caso c)) depende da direção de propagação, sendo a onda denominada de “raio extraordinário”. Embora tenha sido considerado o caso particular de propagação óptica no plano YZ, resultados semelhantes são obtidos para o caso de propagação em direções arbitrárias, ou seja, a existência de um modo dito ordinário, e outro, dito extraordinário. Isto reflete a natureza anisotrópica da propagação. 2.2.2 Propriedades dos Modos Ordinário e Extraordinário Antes de prosseguir, torna-se conveniente discutir o conceito de índice de refração de um meio material, �, o qual é definido como a razão entre a velocidade da luz no vácuo e a velocidade da luz no meio (YARIV; YEH,1984): � = √ � = nkl (22) 34 sendo � a permissividade relativa do meio, no caso de meio isotrópico. No caso de meio anisotrópico, � seria uma permissividade efetiva, a qual depende da direção de propagação e polaridade do raio óptico. Esta componente de permissividade não deve ser confundida com o tensor �̅ . Num meio isotrópico, � não depende da polarização ou da direção de propagação da onda, mas somente do meio em si e do comprimento de onda da radiação óptica. Por outro lado, num meio anisotrópico isto não ocorre (conforme será visto adiante). Usando-se o conceito de índice de refração, a equação de onda (12) pode ser rescrita como ��⃗ − a�̂ ∘ ��⃗ b�̂ = �2m �̅: ��⃗ (23) Sejam, então, ��⃗ = (�D, �E, �F) e �̂ = (�D, �E, �F), o vetor campo elétrico e o vetor unitário na direção de ���⃗ , respectivamente. Considerando-se novamente o caso de meios uniaxiais, como o LiNbO3, tem-se que DD = EE ≠ FF. Substituindo-se essas informações em (23), pode ser obtido o seguinte sistema homogêneo: ⎣⎢ ⎢⎡1 − �D� − ���2m −�D�E −�D�F−�D�E 1 − �E� − ���2m −�E�F−�D�F −�E�F 1 − �F� − ���2m ⎦⎥ ⎥⎤ C�D�E�F G = 0 (24) Para que a solução de (24) seja não-trivial, deve-se impor que o seu determinante seja igual a zero, tal qual foi feito em (17). Assim, procedendo-se aos cálculos algébricos e manipulações matemáticas, verifica-se que é possível escrever a equação determinantal na forma fatorada: P1 − ���2m Q ��P1 − ���2m Q − (�D� − �E�)� P1 − �D� − ���2m Q − �F�(�D� + �E�)� = 0 (25) Lembrando que as componentes do versor �̂ deve satisfazer a condição: �D� + �E� + �F� =1, obtém-se a forma final: �2m P1 − ���2m Q �������2m − FF�F� − DD (1 − �F�)� = 0 (26) 35 Através de (26) pode-se concluir sobre a existência de três soluções para os índices de refração de um meio uniaxial: a) Primeira solução � = �� �2m = 0 ⟹ �� = ∞ ⇒ �� = n2 = 0 (27) Como a velocidade é nula, a onda não se propaga, e esta solução corresponde ao caso estático (e que não é de interesse neste estudo). b) Segunda solução � = �� 1 − ���2m = 0 ⇒ �� = √ DD (28) Esta solução não depende da direção de propagação da luz (ou seja, de �̂) e, portanto, corresponde ao modo ordinário, citado no item 2.2.1. Substituindo-se �� no sistema homogêneo (24), obtém-se: � −�D� −�D�E −�D�F−�D�E −�E� −�E�F−�D�F −�E�F 1 − �F� − ������ � C�D�E�F G = 0 (29) a partir do qual são extraídas as seguintes equações para as direções X, Y e Z, respectivamente: −�D (�D�D + �E�E + �F�F) = −�Da�̂ ∘ ��⃗ b = 0 ⟹ �̂ ∘ ��⃗ = 0 (30 a) −�E(�D�D + �E�E + �F�F) = −�Ea�̂ ∘ ��⃗ b = 0 ⟹ �̂ ∘ ��⃗ = 0 (30 b) −�F(�D�D + �E�E + �F�F) − P1 − ������Q �F = = −�Fa�̂ ∘ ��⃗ b − P1 − ������Q �F = 0 (30 c) 36 As equações (30 a) e (30 b) informam que �̂ ∘ ��⃗ = 0, ou seja, que ��⃗ é perpendicular a �̂ para o modo ordinário. Substituindo-se este resultado em (30 c), e considerando-se que para �̂ arbitrário as componentes �D, �E e �� são não nulas, e, que DD ≠ FF, então, conclui-se que �F = 0. Este constitui um resultado importante, o qual revela que o modo ordinário não possui componente de campo elétrico ao longo do eixo Z, o qual é conhecido como eixo óptico do meio uniaxial. c) Terceira solução � = �t Igualando-se o terceiro fator em (26) a zero, deduz-se o valor da terceira solução: � = �t = � ���������a�?��mb������m (31) que informa que �t depende da direção de �̂ (uma vez que depende de ��). Este corresponde ao modo extraordinário introduzido no item 2.2.1. Na sequência, aplica-se o desenvolvimento apresentado em (YARIV;YEH, 1984), a fim de se mostrar que os vetores deslocamento elétrico dos modos ordinário a���⃗ (�)b e extraordinário a���⃗ (�)b são ortogonais entre si. A partir de (3 a), sabe-se que ���⃗ = :̅ ��⃗ = � �̅: ��⃗ . Por outro lado, a relação inversa será: ��⃗ = ?̅�: ���⃗ = �: ���⃗ (32) na qual � é o tensor impermeabilidade elétrica absoluta, dado por � = ?̅� = ������ (33) Assim, usando-se �, a equação de onda (12) pode ser rescrita como: �: ���⃗ − a�̂ ∘ ��⃗ b�̂ = klmnm ���� �̅: a�: ���⃗ b = klm��nm ���⃗ (34) uma vez que � �̅: � = :̅ � = 1, a matriz identidade. 37 A fim de prosseguir com a análise, será conveniente adotar um novo sistema de coordenadas auxiliares, (/, 0,  ), tal que um desses eixos coincida com a direção de propagação �̂, conforme esquematizado na figura 5. Figura 5- Sistemas de Coordenadas Auxiliares (α,β,ξ). Fonte: (KITANO, 1993). Portanto, nos sistema (/, 0,  ), tem-se �̂ = (0,0,1). Por outro lado, o tensor � não é mais diagonal, como acontecia com o tensor ̅no sistema (X,Y,Z) (ver (1)), porém, ainda é simétrico, ou seja � = ¡��� ��� ��t��� ��� ��t��t ��t �tt¢ (35) Recorrendo-se a equação (5 c), e aplicando-se �̂ = (0,0,1), vem ���⃗ ∘ ���⃗ = � ���⃗� ∘ ���⃗ = � �̂ ∘ ���⃗ = 0 ⇒ �̂ ∘ ���⃗ = 0 ⇒ ⇒ (0,0,1) ∘ (��, ��, �t) = 0 ⇒ �t = 0 (36) isto é, no sistema (/, 0,  ) ocorre ���⃗ = (��, ��, 0) (37) 38 informando-se que ���⃗ não exibe componente na direção de propagação. Assim, independentemente do modo ser ordinário a���⃗ (�)b ou extraordinário a���⃗ (�)b, ocorre que ���⃗ (�) e ���⃗ (�) são perpendiculares a �̂. Uma vez estabelecida a relação (37), avalia-se a parcela a�̂ ∘ ��⃗ b�̂ da equação de onda (34), com o auxilio de (32): a�̂ ∘ ��⃗ b�̂ = H�̂ ∘ a�: ���⃗ bL�̂ = = £ [0 0 1] ∘ C��� ��� ��t��� ��� ��t��t ��t �ttG C����0 G ¤ C001G = C 00��t�� + ��t��G (38) Portanto, a equação de onda (34), referida ao sistema (/, 0,  ), torna-se: C��� ��� ��t��� ��� ��t��t ��t �ttG C�����tG − C 00��t�� + ��t��G = ��� ��� C����0 G ⇒ ⇒ C����� + ���������� + �������t�� + ��t��G − C 00��t�� + ��t��G = klm��nm C����0 G (39) Observa-se que a 3ª linha de (39) é sempre satisfeita. Com isto, o sistema de equações pode ser simplificado para: ���� ������ ���� ¥����¦ − 0 = klm��nm ¥����¦ ⇒ �� ¥����¦ = klm��nm ¥����¦ (40) no qual �� é uma matriz simétrica 2x2. Aplicando-se (40) aos modos ���⃗ (�) e ���⃗ (�) separadamente, obtém-se: ��: ���⃗ (�) = Pkl(�)Qm ��nm ���⃗ (�) (41 a) ��: ���⃗ (�) = Pkl(m)Qm ��nm ���⃗ (�) (41 b) 39 onde ��(�) e ��(�) referem-se às velocidades dos modos ordinário e extraordinário, respectivamente. Pré-multiplicando-se (41 a) e (41 b) escalarmente por ���⃗ (�) e ���⃗ (�), respectivamente, tem-se: ���⃗ (�) ∘ ��: ���⃗ (�) = Pkl(�)Qm ��nm ���⃗ (�) ∘ ���⃗ (�) (42 a) ���⃗ (�) ∘ ��: ���⃗ (�) = Pkl(m)Qm ��nm ���⃗ (�) ∘ ���⃗ (�) (42 b) Verificando-se que ���⃗ (�) ∘ ��: ���⃗ (�) e ���⃗ (�) ∘ ��: ���⃗ (�) são iguais no caso de �� simétrica e, subtraindo-se (42 a) de (42 b), obtém-se 0 = ¥P��(�)Q� − P��(�)Q�¦ ���⃗ (�) ∘ ���⃗ (�) ⇒ ���⃗ (�) ∘ ���⃗ (�) = 0 (43) uma vez que, no caso arbitrário, ��(�) ≠ ��(�). A relação (43) informa que os vetores deslocamento elétrico dos modos ordinários e extraordinários são sempre ortogonais entre si. Como a propriedade física não depende do sistema de coordenadas utilizado na demonstração, conclui-se que ���⃗ (�) ⊥ ���⃗ (�) sempre. No caso do modo ordinário ainda é possível extrair uma informação adicional: ���⃗ (�) e ��⃗ (�) são paralelos entre si. De fato, aplicando-se a relação constitutiva (3 a) no sistema de coordenadas principal (X,Y,Z), então, ̅obedece a (1) e �D(�) = DD�D(�) ≠ 0 (44 a) �E(�) = EE�E(�) ≠ 0 (44 b) �F(�) = FF�F (�) = 0 (44 c) no qual se aplicou que �F(�) = 0 no caso do modo ordinário. Com isto, deduz-se que ���⃗ (�) = DD �D(�)�̈ + EE�E(�)©̈ + FF 0 ª« = = DD a�D(�)�̈ + �E(�)©̈ + 0 ª«b = DD ��⃗ (�) (45) 40 usando-se que DD = EE para meios uniaxiais. Ressalta-se que o paralelismo entre ���⃗ e ��⃗ só se aplica ao modo ordinário. O modo extraordinário tem �F ≠ 0, e assim, ���⃗ (�) não é paralelo a ��⃗ (�). 2.3 Elipsóide de Índices de Refração Considera-se (X,Y,Z) o sistema de coordenadas principal de um cristal, ao longo do qual encontra-se estabelecido um vetor deslocamento elétrico a���⃗ b e o vetor campo elétrico a��⃗ b correspondente, conforme esquematizado na figura 6. Em geral, num meio anisotrópico, os vetores ���⃗ e ��⃗ não são paralelos. Figura 6- Vetores ¬��⃗ e ­��⃗ no sistema de coordenadas de um cristal. Fonte: do próprio autor. Segundo (NYE,1957), define-se o valor da impermeabilidade efetiva, ���, medida na direção do vetor ���⃗ como sendo ��� = ®⫽e°��⃗ e (46) onde �⫽ é a projeção de ��⃗ na direção ���⃗ . Como se sabe, num meio anisotrópico a impermeabilidade elétrica � dada em (33), é um tensor de 2ª ordem, simétrico no caso de meios sem perdas. Em particular, quando referido ao 41 sistema de coordenadas principal do cristal, (X,Y,Z), o tensor é diagonal. A seguir, investiga- se o significado geométrico da relação tensorial [��]�! ²�²! = 1 (47) sendo �� o tensor impermeabilidade relativa, ou seja �� = �̅?� = P �³��Q?� = �� (48) Com relação ao sistema de eixos do cristal, tem-se ²� = �, ²� = © e ²t = ª, assim, (47) conduz a (��)�� �� + (��)�� ©� + (��)tt ª� = 1 ⇒ ⇒ Dm��� + Em�´´ + Fm��� = 1 (49) Porém, da definição de índice de refração (22), definem-se �D = √ DD , �E = √ EE e �F = √ DD , tornando (49) como Dm2�m + Em2ḿ + Fm2�m = 1 (50) A representação geométrica dos pontos P= (X,Y,Z) que satisfazem (50) é um elipsóide, conforme ilustrado na figura 7. 42 Figura 7- Elipsóide de índices de refração. Fonte: (KITANO, 1993). A seguir, interpreta-se o significado do raio vetor �⃗ ⫽ ���⃗ na figura 7. Sejam /�, /� e /t os cossenos diretores do vetor ���⃗ . Então °��⃗e°��⃗ e = (/�, /�, /t) (51) Por outro lado, se , for o ângulo entre ���⃗ e ��⃗ , tem-se (ver figura 6): ���⃗ ∘ ��⃗ = e���⃗ e e��⃗ e cos , = e���⃗ e �⫽ (52) sendo �⫽ a projeção de ��⃗ na direção de ���⃗ . Por outro lado, da álgebra de tensores (notação de índices repetidos ou notação de Einstein), tem-se que ���⃗ ∘ ��⃗ = ���� , para µ = 1,2,3 (53) Por sua vez, a relação (32) é escrita como �� = ��!�! , para T = 1,2,3 (54) 43 Substituindo-se (54) em (53), obtém-se: ���⃗ ∘ ��⃗ = ��a��!�!b = e���⃗ e/� ��! e���⃗ e/! = e���⃗ e e���⃗ e ��! /� /! (55) Comparando-se (52) com (55), conclui-se que e���⃗ e �⫽ = e���⃗ e e���⃗ e ��! /� /! ⇒ ®⫽e°��⃗ e = ��! /� /! (56) Porém, da definição (46) e, de (48), conclui-se que: ��� = ��! /� /! = (¶�)·¸ ¹·¹¸�� (57) a qual permite calcular o valor da impermeabilidade efetiva em termos dos cossenos diretores do vetor ���⃗ . Nesta etapa é interessante expressar o raio vetor �⃗ na forma tensorial, e assim, tem-se que as componentes de �⃗ = (²�, ²�, ²t) são ²� = � /� (58) onde � é o módulo de �⃗ e /� são cossenos diretores (�⃗ é paralelo a ���⃗ ). Como o índice “µ” em (58) é um índice mudo, também é possível escrever ²! = � /! (59) Substituindo-se (58) e (59) em (47), tem-se [��]�! (�/�) a�/!b = 1 ⇒ �� [��]�! /�/! = 1 (60) Comparando-se (60) com (57), vem �� ��� � = 1 ⇒ � = �j��¶º» (61) 44 Além disso, de (48), � � = ��, e assim � = ��(¶�)º» = ��(��)º»�� = j( �)�� (62) Finalmente, a partir da definição de índice de refração (22) tem-se que √ � = �, e então, (62) conduz a � = ��� = � (63) ou seja, o comprimento do raio vetor que liga a origem do elipsóide da figura 7 ao ponto P sobre sua superfície, e que é paralelo ao vetor ���⃗ , representa o índice de refração efetivo que, neste texto, será representado simplesmente por “�”. Em resumo, o lugar geométrico dos índices de refração de um meio anisotrópico é um elipsóide. O valor do índice depende da direção do vetor ���⃗ , e deve obedecer a equação (50). 2.4 Utilização do Elipsóide de Índices Dado um vetor ���⃗ , o comprimento do raio vetor �⃗, paralelo a ���⃗ , que intercepta o elipsóide de índices de refração, fornece o valor do índice de refração (efetivo) percebido pelo raio óptico. Na sequência, apresenta-se o procedimento metódico para se determinar os índices de refração percebidos pelos raios ordinário e extraordinário que se propagam numa dada direção �̂. Por simplicidade, considera-se que os meio sejam uniaxiais, com DD = EE ≠ FF . Neste caso, é comum representar �� = √ DD = √ EE e �� = √ FF , os quais passam a ser chamados de índices de refração ordinário e extraordinário, respectivamente. Estes valores normalmente são fornecidos para vários materiais anisotrópicos em livros de óptica. Não se deve confundir os termos: índices de refração ordinário (��) ou extraordinário (��) com os índices de refração efetivos dos modos ordinário a�(�)b ou extraordinário a�(�)b. Os primeiros referem-se aos interceptos com os eixos X, Y e Z na figura 7, enquanto os últimos são os valores efetivos medidos na direção do vetor ���⃗ . O elipsóide mostrado na figura 8 está descrito em termos de �� e ��. 45 Figura 8- Direções dos vetores ¬��⃗ (¼) e ¬��⃗ (½) em meio uniaxial. Fonte: (KITANO, 1993). Sabe-se que, para um dado �̂, existem dois modos de propagação, que são denotados por (1) e (2). Sabe-se também que estes modos são tais que ���⃗ (�) ⊥ ���⃗ (�), ���⃗ (�) ⊥ �̂ e ���⃗ (�) ⊥ �̂. Ainda, que no caso do meio uniaxial, para o modo ordinário tem-se ��⃗ (�) ⫽ ���⃗ (�) e ���⃗ (�) não tem componente ao longo do eixo Z (eixo óptico). A partir daí pode-se estabelecer o procedimento para operar com o elipsóide: a) Especificar a direção de propagação desejada, �̂; b) Obter a seção transversal do elipsóide, sobre o plano normal à direção de propagação �̂, e que contenha a origem do sistema (X,Y,Z). Esta seção transversal é uma elipse. c) ���⃗ (�) e ���⃗ (�) são paralelos aos eixos da elipse, sendo que ���⃗ (�) não tem componente em Z. d) Os raios vetores nas direções de ���⃗ (�) e ���⃗ (�) têm comprimentos iguais aos semi-eixos da elipse, e constituem os índices de refração efetivos dos modos ordinário (�(�)) e extraordinário (�(�)), respectivamente. Observa-se que as expressões matemáticas obtidas para �(�) e �(�) são funções de ��, �$ e do ângulo * na figura 8. 46 A título de ilustração, retorna-se ao exemplo da propagação no plano YZ, analisada no item 2.2.1. Na figura 9 mostra-se o elipsóide de índices correspondente Figura 9- Propagação de luz no plano YZ. Fonte: (KITANO, 1993). O intercepto do plano YZ com o elipsóide gera a elipse: Em2¾m + Fm2ºm = 1 (64) sendo © = � cos * e ª = � sen *. Neste caso, tem-se �� �¿ÀÁm Â2¾m + ÁÃÄm Â2ºm � = 1 (65) Observa-se, pela figura 9 a, que o modo ordinário (correspondente a ���⃗ (�)) associa-se a � = �(�) = �$ para qualquer valor de * no plano YZ. Por outro lado, o modo extraordinário tem � = �(�) e obedece a (65), e assim: �(�) = � 2¾2º2¾m ÁÃÄm Â�2ºm ¿ÀÁm  (66) 47 Ora, lembrando-se que �$ = √ �� e �� = j tt , então, tem-se as velocidades (usando (22)): ��(�) = n2(�) = n√��� (67 a) ��(�) = n2(m) = nj������ j �� sen� * + tt cos� * (67 b) as quais equivalem às expressões (20) e (21). 48 Capítulo 3: O Efeito Eletro-Óptico 3.1 Efeito Eletro-Óptico Em certos tipos de cristais, a aplicação de um campo elétrico, cuja frequência está bem abaixo da ressonância mecânica do meio, resulta na mudança das suas propriedades de birrefringência que, por sua vez, altera o estado da polarização óptica da luz que se propaga no meio, dando-se o nome de efeito eletro-óptico. Essas alterações nas características do material incluem mudanças no índice de refração, na absorção e na dispersão (YARIV; YEH, 1984). O efeito eletro-óptico é uma maneira conveniente e amplamente utilizada para controle da fase ou da intensidade óptica. A dependência do índice de refração com o campo elétrico aplicado pode ter três formas: 1. Se o índice de refração muda proporcionalmente à magnitude do campo elétrico aplicado, tem-se o efeito conhecido como efeito eletro-óptico linear ou efeito Pockels. 2. Se o índice de refração muda com o quadrado do campo elétrico aplicado, tem- se o efeito eletro-óptico quadrático ou efeito Kerr. 3. Quando um meio é sujeito a um campo elétrico intenso como o devido a um pulso intenso do laser tem-se o chamado efeito eletro-óptico não linear (PLANAS, 1995). O efeito quadrático ocorre em qualquer material transparente, porém, à custa de campos elétricos cujas amplitudes são extremamente elevadas (às vezes superiores ao limite de ruptura dielétrica, o que torna laboriosa a sua aplicação). Por outro lado, o efeito eletro-óptico linear, ocorre apenas nos materiais em que as redes cristalinas não exibem centro de simetria, como no caso do LiNbO3. Em muitas aplicações práticas de efeito eletro-óptico, o campo elétrico aplicado é pequeno comparado com o campo interno do átomo, que é tipicamente da ordem de 108 V/cm. Assim, espera-se que o efeito quadrático seja pequeno comparado ao linear e, frequentemente, é desprezado quando o linear está presente. No capítulo 2, a impermeabilidade absoluta foi denotada por � = ?�, enquanto que a impermeabilidade relativa, por �� = � ?�. No restante deste texto, a impermeabilidade relativa será representada apenas por �, por questão de simplicidade de notação, e para ficar em conformidade com a maioria dos livros sobre o assunto. 49 Da teoria de elipsóide de índices, a propagação da radiação óptica em um cristal pode ser completamente descrita em termos do tensor impermeabilidade (YARIV;YEH,1984): ��! = �( ?�)�! (68) onde, ?� é o inverso do tensor dielétrico absoluto , e µ, T = 1,2,3. De acordo com a teoria quântica dos sólidos, o tensor impermeabilidade dielétrica a��!b depende da distribuição de cargas no cristal. A aplicação de um campo elétrico externo, �, resulta numa redistribuição das cargas ligadas, e causa uma pequena deformação na rede iônica. O resultado é uma variação no tensor impermeabilidade (MARTINS, 2006): Δ��! = ��! (�) − ��!(0) (69) onde µ, T= 1, 2, 3 e ��!(�) é o tensor impermeabilidade perturbado pelo campo elétrico �, enquanto ��!(0) é o tensor impermeabilidade sem perturbação. Os coeficientes eletro-óptico linear (coeficiente de Pockels) e o quadrático (coeficiente de Kerr) são os elementos de um tensor de ordem três e quatro, respectivamente. São definidos tradicionalmente como: ��!(�) − ��!(0) = Δ��! = ��!"�" + ��!"#�"�# (70) para µ, T, Å, Æ = 1, 2, 3 e as grandezas ��!" e ��!"# são os coeficientes eletro-ópticos linear e quadrático do meio, citados anteriormente. Na ausência do campo elétrico externo, as propriedades ópticas de um cristal eletro- óptico podem ser descritas pelo seguinte elipsóide de índices de refração (ver (50)): ��!(0)²�²! = P Ç2�m Q + P E2ḿ Q + P F2�m Q = 1 (71) sendo, �, © e ª os eixos principais e �D, �E e �F os índices de refração em suas respectivas direções. Os eixos principais deste elipsóide são paralelos aos eixos do cristal. Agora, na presença de um campo elétrico � aplicado, o elipsóide de índices do cristal é dado por: 50 ��!(�)²�²! = 1 (72) Combinando-se (69) e (72), tem-se: a��!(0) + Δ��!b²�²! = 1 (73) Devido à parcela quadrática de (70) poder ser desprezada, utiliza-se apenas a parcela linear, e assim tem-se: a��!(0) + ��!"�"b²�²! = 1 (74) Observa-se agora um novo elipsóide de índices de refração, porém, perturbado por um campo elétrico externo. De acordo com (70) e, prevalecendo o efeito eletro-óptico linear, uma propriedade importante pode ser obtida analisando a seguinte relação: Δ��! = ��!(�) − ��!(0) = ��!"�" (75) Segundo a definição (68) de ��!, conclui-se que o tensor impermeabilidade é um tensor simétrico. Além disso, se for referido ao sistema de coordenadas do cristal, é um tensor diagonal. Consequentemente, os índices µ e T podem ser permutados entre si. Portanto, ��!" = �!�" (76) De acordo com a teoria de tensores, um tensor de ordem � possui, em um espaço cartesiano, 32 componentes. Um tensor de primeira ordem (� = 1) é um vetor e, tem 3 componentes. Um tensor de 2ª ordem (� = 2), como , possui 3� = 9 componentes. Assim, neste caso, o tensor de terceira ordem (� = 3) no espaço cartesiano possui 3t = 27 componentes. Porém, devido a propriedade de simetria (76), o tensor ��!" possuirá somente 18 componentes distintas. Expandindo-se a relação (75), para as componentes de campo elétrico (��, ��, �t) nas direções (X, Y, Z), obtém-se: 51 Δ��� = ������ + ������ + ���t�t (77 a) Δ��� = ������ + ������ + ���t�t (77 b) Δ�tt = �tt��� + �tt��� + �ttt�t (77 c) Δ��t = Δηt� = ��t��� + ��t��� + ��tt�t (77 d) Δ��t = Δηt� = ��t��� + ��t��� + ��tt�t (77 e) Δ��� = Δ��� = ������ + ������ + ���t�t (77 f) ou então, na forma matricial: ⎣⎢⎢ ⎢⎢⎡ Δ���Δ���Δ�ttΔ��tΔ��tΔ���⎦⎥⎥ ⎥⎥⎤ = ⎣⎢⎢ ⎢⎢⎡ ���� ���� ���t���� ���� ���t�tt� �tt� �ttt��t� ��t� ��tt��t� ��t� ��tt���� ���� ���t⎦⎥⎥ ⎥⎥⎤ × C�����tG (78) Confirma-se que a simetria de permutação reduz o número de elementos independentes de ��!" de 27 para 18. Por causa desta simetria, é conveniente introduzir a notação de índices reduzidos para µT, definidos abaixo (YARIV;YEH, 1984): 1 = (11) 2 = (22) 3 = (33) (79) 4 = (23) = (32) 5 = (13) = (31) 6 = (12) = (21) Dos quais, substituídos nos índices em (78) conduzem a: ⎣⎢⎢ ⎢⎢⎡ Δ���Δ���Δ�ttΔ��tΔ��tΔ���⎦⎥⎥ ⎥⎥⎤ = ⎣⎢⎢ ⎢⎢⎡ ��� ��� ��t��� ��� ��t�t� �t� �tt��� ��� ��t��� ��� ��t��� ��� ��t⎦⎥⎥ ⎥⎥⎤ × C�����tG (80) 52 Entretanto, devido à simetria cristalina, na maioria dos materiais, a matriz dos coeficientes eletro-ópticos (80) é esparsa (a maioria dos elementos é nula). As relações de simetria cristalina estabelecerão quais dos 18 coeficientes serão nulos, bem como a relação entre os coeficientes remanescentes. Analisando a matriz dos coeficientes eletro-ópticos no cristal LiNbO3, onde este é trigonal com classe de simetria 3m (Tabelas 7.1 e 7.2, YARIV;YEH, 1984.) verifica-se que tal matriz é dada por: ��! = ⎣⎢⎢ ⎢⎢⎡ 0 −��� ��t0 ��� ��t0 0 �tt0 ��� 0��� 0 0−��� 0 0 ⎦⎥⎥ ⎥⎥⎤ (81) Observa-se que aparecem apenas 8 coeficientes eletro-ópticos não nulos, onde apenas 4 são independentes (��t, ���, �tt, ���). Novamente, se acordo com (75) tem-se: Δ��� = −����� + ��t�t (82 a) Δ��� = ����� + ��t�t (82 b) Δ�tt = �tt�t (82 c) Δ��t = ����� (82 d) Δ��t = ����� (82 e) Δ��� = −����� (82 f) Usando a relação do elipsóide de índices de refração perturbado por um campo elétrico, dada por (73), tem-se: (��� + Δ���)��� + (��� + Δ���)��� + (�tt + Δ�tt)�t� + 2(��t + Δ��t)���t + +2(��t + Δ��t)���t + 2(��� + Δ���)���� = 1 (83) Com relação ao sistema de coordenadas cristalino, tem-se que a matriz permissividade relativa é diagonal: 53 � = C �� 0 00 �� 00 0 ttG (84) Como a impermeabilidade relativa é dada por ��! = ( �?�)�!, então tem-se: � = ⎣⎢⎢ ⎡1 ��K 0 00 1 ��K 00 0 1 ttK ⎦⎥⎥ ⎤ = �(0) (85) Em um meio uniaxial, como neste caso, ocorre que dois dos índices principais são iguais, �� = �� ≠ tt, e também ���� = ��mm = �2¾m e ���� = �2ºm, onde �$ é o índice de refração ordinário e �� é o índice extraordinário. Inserindo estas informações, em conjunto com (82) e (85), em (83), se obtém: P �2¾m − ����� + ��t�tQ ��� + P �2¾m + ����� + ��t�tQ ��� + P �2ºm + �tt�tQ �t� + +2(0 + �����)���t + 2(0 + �����)���t + 2(0 − �����)���� = 1 (86) Agora será feita a análise para verificar se existe rotação de eixos do cristal diante da aplicação do campo elétrico e encontrar os novos índices de refração. De acordo com as duas configurações utilizadas neste trabalho de mestrado serão considerados os campos aplicados tanto na direção do eixo óptico Z como no eixo Y. Primeiramente, para um campo elétrico aplicado ao longo do eixo óptico ª, a equação do elipsóide de índices pode ser escrita como (fazendo �� = �� = 0 e �t = �F ≠ 0): P �2¾m + ��t�FQ ��� + P �2¾m + ��t�FQ ��� + P �2ºm + �tt�FQ �t� = 1 (87) Nota-se que não aparecem termos “mistos” (ou produtos cruzados) em (87), diferentemente de (86) onde apresenta termos associados à ���t, ���t e ����. Ressalta-se que, isto ocorre devido ao campo ser aplicado na direção do eixo ª. 54 Uma vez que não aparecem termos “mistos” em (87), as direções dos eixos principais do novo elipsóide de índices permanecem inalterados, porém, com novos índices de refração, �D� , �Dm e �D� . Assim, a equação (87) pode ser escrita como: D�m2��m + Dmm2�mm + D�m2��m = 1 ⇔ Ê �2��m Ë ��� + Ê �2�mm Ë ��� + Ê �2�ºm Ë �t� = 1 (88) sendo que, �2��m = �2¾m + ��t�F = �2�mm (89 a) �2��m = �2ºm + �tt�F (89 b) a partir das quais obtém-se: �D� = �$ ����2¾m���®� = �Dm (90 a) �D� = �� ����2ºm���®� (90 b) Observa-se que os novos índices de refração são funções do campo elétrico externo, �t. Segundo Yariv e Yeh (1984), os valores dos coeficientes eletro-ópticos para o LiNbO3, medidos no comprimento de onda = 632,8 nm são: ��t = 9,6 × 10?�� J/� e �tt = 30,9 ×10?�� J/�, e, portanto, muito pequenos. Além disso, �$ = 2,286 e �� = 2,2. Por causa disso, os termos (�$���t�F) e (����tt�F) são muito pequenos, mesmo para amplitudes de campo elétrico da ordem de dezenas de kV. Portanto, é possível aplicar a expansão em série binomial à (90 a) e (90 b): �√��8 = 1 − �� ² + � × t� × � ²� + ⋯ para |²| < 1 (91) A partir daí, são obtidas 55 �D� ≅ �$ − �� �$t��t�F ≅ �Dm (92 a) �D� ≅ �� − �� ��t�tt�F (92 b) evidenciando que os novos índices de refração principais variam linearmente com o campo elétrico aplicado. Obviamente, se �F = 0, retorna-se ao caso original onde �D� = �$ = �Dm e �D� = �� do meio uniaxial. Em resumo, com a aplicação do campo elétrico �t, o elipsóide de revolução original, dado por (71) (com �D = �E ≠ �F) sofre uma deformação e passa para o formato (88). Porém, o mesmo continua a ser um elipsóide de revolução (pois �D� = �Dm ≠ �D�), o meio perturbado continua a ser uniaxial e não ocorre nenhuma rotação de eixos principais. Ressalta-se que isto é uma excessão. Em outros tipos de cristais (por exemplo, no KH2PO4) pode ocorrer a deformação do elipsóide com rotação de eixos principais e transformação de meio uniaxial para biaxial (�D� ≠ �Dm ≠ �D�) (YARIV;YEH,1984). Considerando agora o campo elétrico aplicado na direção do eixo Y e partindo da equação de índices perturbado (86) e, sendo �� = �E e �� = �t = 0 tem-se: Ê 1�$� − ����EË ��� + Ê 1�$� + ����EË ��� + Ê 1���Ë �t� + 2��������t = 1 (93) Observa-se uma rotação de * em torno do eixo �� diante da aplicação de um campo elétrico ��, assim, é necessário verificar essa rotação que está ilustrada na figura 10 e encontrar os novos eixos cristalográficos, denotados por ��Ð , ��Ð e �tÐ . 56 Figura 10- Rotação de eixos em torno de Ѽ. Fonte: do próprio autor. De acordo com o conceito de matriz de rotação tem-se: C�����tG = C1 0 00 �}�* −�`�*0 �`�* �}�* G . Ò��Ð��Ð�tÐ Ó (94) então, �� = ��Ð , �� = cos * ��Ð − �`� *�tÐ e �t = �`� *��Ð + cos *�tÐ . Substituindo essas relações em (93) e fazendo algumas manipulações algébricas encontra-se * = %Ô?� Õ −2����E1��� − 1�$� − ����E Ö 2 (95) Uma vez que, os coeficientes ���e ��� são da ordem de 10?��, mesmo para os valores de campo utilizado (da ordem de 10 kV), é possível concluir que * tem ordem de grandeza de 10?� rad e portanto a rotação pode ser desprezada. Considerando um campo elétrico aplicado ao longo do eixo Y e não havendo rotação em torno de ��, então, a equação do elipsóide de índices pode ser escrita como: 57 Ê 1�$� − ����EË ��� + Ê 1�$� + ����EË ��� + Ê 1���Ë �t� = 1 (96) Como a rotação em torno de �� é desprezível, assim como para a configuração anterior (campo em Z) as direções dos eixos principais do novo elipsóide de índices permanecem inalterados, porém, com novos índices de refração, �D�Ø , �DmØ e �D�Ø . Desta forma, a equação (96) pode ser escrita como (88), assim �D�Ø = �$ Ê 11 − �$�����EË� �K (97 W) �DmØ = �$ Ê 11 + �$�����E Ë� �K (97 Y) Sendo, segundo Yariv e Yeh (1984), todas as grandezas físicas para o LiNbO3 medidas no comprimento de onda = 632,8 nm tem-se que, o coeficiente eletro-óptico ��� = 6,8 ×10?�� J/� e os índices de refração ordinário (�$ = 2,286) e extraordinário (�� = 2,2) são muito pequenos, e assim, é possível aplicar a expansão em série binomial (91) a (97 a-b). Então, são obtidos os novos índices de refração para o feixe de luz se propagando em Z e o campo em Y, dados por: �D�Ø = �$ + 12 �$t����E (98 W) �DmØ = �$ − 12 �$t����E (98 Y) e, �D�Ø = �� (98 �) Observa-se, novamente, que os novos índices de refração principais variam linearmente com o campo elétrico aplicado (�E). 58 3.2 A Célula Pockels O efeito eletro-óptico foi originalmente observado por Kerr, em 1875, na forma quadrática ou não linear, no dissulfeto de carbono. Nesse caso, a variação na permissividade dielétrica ocorria com o quadrado do campo elétrico externo aplicado ao material. Em 1883, Rontgen e Kundt observaram o efeito eletro-óptico linear no quartzo cristalino, onde a permissividade variava com proporção direta ao campo elétrico externo. Em 1893, Pockels caracterizou matematicamente o efeito eletro-óptico linear em cristais de várias classes de simetria de ponto (KAMINOW, 1974). A célula Pockels é um dispositivo composto por um cristal eletro-óptico e dois eletrodos que podem ser constituídos de placas paralelas metálicas, filmes metálicos ou tintas metálicas por onde é aplicado um campo elétrico externo. A figura 11 ilustra uma célula Pockels com cristal de LiNbO3 já montada sobre um suporte, com seus múltiplos estágios mecânicos de translação e rotação. Figura 11- Célula Pockels com cristal de Niobato de Lítio. Fonte:(MARTINS,2006). Um dos principais cristais empregados para confecção de células Pockels é o LiNbO3, devido a uma excelente combinação de propriedades ópticas como, por exemplo, ótima transparência na faixa de espectro da luz de interesse em comunicações ópticas e sensores, coeficientes eletro-ópticos elevados, custo reduzido, não-higroscópico, etc. (TAKIY; 2010). 59 Os eletrodos podem ser inseridos na célula de duas maneiras. A primeira provoca uma aplicação de campo elétrico transversal, no qual este campo é perpendicular à direção de propagação do feixe óptico, como ilustrado na figura 12. Figura 12- Célula Pockels com campo elétrico perpendicular à direção de propagação. Fonte:(MARTINS,2006). A segunda maneira, como visto na figura 13, produz uma aplicação de campo elétrico longitudinal, onde este campo é paralelo à direção de propagação do feixe óptico. Neste caso, torna-se necessário o uso de eletrodos semitransparentes a fim de não se obstruir totalmente a passagem da luz. Figura 13- Célula Pockels com campo elétrico paralelo à direção de propagação. Fonte:(MARTINS, 2006). A célula Pockels transversal tem algumas vantagens em relação ao efeito longitudinal. Primeiramente, os eletrodos ficam paralelos ao feixe e não o atenuam. Em segundo lugar, o 60 arranjo dos eletrodos é simples (pode-se usar tinta prata), não sendo necessária a deposição por filmes finos (como no caso da célula longitudinal). Por isso, a célula pode operar com potência elevada (sob altas frequências) sem o risco dos eletrodos evaporarem devido ao excesso de aquecimento causado pela circulação de corrente de deslocamento (AC). A célula Pockels pode ser usada, principalmente, como modulador eletro-óptico, onde o sinal da informação é disponível na forma de um campo elétrico modulador e é inserido na fase da luz, sendo que daí, este sinal segue para um receptor onde a informação é decodificada. Também, pode ser utilizada como sensor, onde as características da fase da luz transmitida são medidas para determinar o campo elétrico desconhecido aplicado à célula (MARTINS, 2006). 3.3 Modulação Eletro-Óptica de Fase Até este estágio da análise estudou-se apenas o efeito do campo elétrico externo sobre o elipsóide de índices. A seguir, considera-se como um raio de luz sofre alterações ao atravessar este meio perturbado, de acordo com sua direção de propagação e sua polarização. 3.3.1 Propagação em X e campo em Z Nesta configuração, considera-se o caso da onda óptica que se propaga ao longo do eixo X, e que incide no cristal com polarização linear, formando um ângulo de 45° com o eixo óptico (eixo Z). Esta situação está ilustrada na figura 14. 61 Figura 14- Propagação de luz ao longo do eixo X e polarizada a 45° do eixo Z. Fonte: do próprio autor. Observa-se que agora existem dois campos elétricos no interior do cristal: um correspondente ao campo externo, �F, e outro devido ao campo elétrico do modo óptico, ��⃗ $�, que se propaga no cristal (e que está a 45° do eixo Z). Como o campo ��⃗ $� está a 45° de Z, considera-se que este excite modos polarizados nas direções Y e Z com iguais amplitudes. No ar, ���⃗ $� = ���⃗ $� e, assim, interpreta-se também que o cristal é excitado por dois vetores deslocamento elétrico, com iguais amplitudes, e polarizados nas direções Y e Z. Esses vetores se propagam no cristal com vetores de onda �(�) e �(�), respectivamente: �(�) = ��Ù� �Dm (99 a) �(�) = ��Ù� �D� (99 b) sendo � o comprimento de onda da luz no vácuo. Na