UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA FACULDADE DE ENGENHARIA CAMPUS DE BAURU Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica Felipe Alves Anezio Análise de ressonadores não lineares aplicados ao controle passivo de vibração em guias de onda unidimensionais Bauru 2025 Felipe Alves Anezio Análise de ressonadores não lineares aplicados ao controle passivo de vibração em guias de onda unidimensionais Dissertação de mestrado apresentada ao programa de Pós- graduação em Engenharia Mecânica da Universidade Estadual Pau- lista como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Mestre em Engenharia Mecânica. Orientador: Paulo José Paupitz Gonçalves Co-orientador: Douglas Roca Santo Bauru 2025 A614a Anezio, Felipe Alves Análise de ressonadores não lineares aplicados ao controle passivo de vibração em guias de onda unidimensionais / Felipe Alves Anezio. -- Bauru, 2025 93 p. : il., tabs. Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista (UNESP), Faculdade de Engenharia, Bauru Orientador: Paulo José Paupitz Gonçalves Coorientador: Douglas Roca Santo 1. Estruturas periódicas. 2. Ressonadores de rigidez não linear. 3. Método polinomial. 4. Continuação por homotopia. 5. Transmissibilidade. I. Título. Sistema de geração automática de fichas catalográficas da Unesp. Dados fornecidos pelo autor(a). UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA Câmpus de Bauru ATA DA DEFESA PÚBLICA DA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO DE FELIPE ALVES ANEZIO, DISCENTE DO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA, DA FACULDADE DE ENGENHARIA - CÂMPUS DE BAURU. Aos 10 dias do mês de dezembro do ano de 2024, às 14h, por meio de Videoconferência, realizou-se a defesa de DISSERTAÇÃO DE MESTRADO de FELIPE ALVES ANEZIO, intitulada Análise de ressonadores não lineares aplicados ao controle de vibração em guias de onda unidimensionais. A Comissão Examinadora foi constituída pelos seguintes membros: Prof. Dr. PAULO JOSÉ PAUPITZ GONÇALVES (Orientador(a) - Participação Virtual) do(a) Departamento de Engenharia Mecânica / Universidade Estadual Paulista Unesp Faculdade de Engenharia Câmpus Bauru, Prof. Dr. AMERICO BARBOSA DA CUNHA JUNIOR (Participação Virtual) do(a) Departamento de Matemática Aplicada / Universidade do Estado do Rio de Janeiro - UERJ, Prof. Dr. FABIO MAZZARIOL SANTICIOLLI (Participação Virtual) do(a) Departamento de Engenharia Mecânica / Universidade Estadual Paulista. Após a exposição pelo mestrando e arguição pelos membros da Comissão Examinadora que participaram do ato, de forma presencial e/ou virtual, o discente recebeu o conceito final:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . Nada mais havendo, foi lavrada a presente ata, que após lida e aprovada, foi assinada pelo(a) Presidente(a) da Comissão Examinadora. Prof. Dr. PAULO JOSÉ PAUPITZ GONÇALVES Faculdade de Engenharia - Câmpus de Bauru - Avenida Engenheiro Luiz Edmundo Carrijo Coube, 14-01, 17033360 https://www.feb.unesp.br/#!/pos-graduacao/ppgemCNPJ: 48.031.918/0030-69. Aprovado Faculdade de Engenharia de Bauru – Pós-graduação Av. Eng. Luiz Edmundo Carrijo Coube, 14-01 17033-360 Bauru - SP tel. (14) 3103-6108 spg.feb@unesp.br www.feb.unesp.br PROPOSTA DE ALTERAÇÃO DO TÍTULO A COMISSÃO EXAMINADORA PROPÕE A ALTERAÇÃO DO TÍTULO DO TRABALHO DO ALUNO: FELIPE ALVES ANEZIO DE: “ANÁLISE DE RESSONADORES NÃO LINEARES APLICADOS AO CONTROLE DE VIBRAÇÃO EM GUIAS DE ONDA UNIDIMENSIONAIS” PARA: ANÁLISE DE RESSONADORES NÃO LINEARES APLICADOS AO CONTROLE PASSIVO DE VIBRAÇÃO EM GUIAS DE ONDA UNIDIMENSIONAIS Bauru, 10 de dezembro de 2024. Prof. Dr. Paulo José Paupitz Gonçalves Orientador Dedico este trabalho de Mestrado a minha família, pelo suporte e incentivo durante meus estudos. Epígrafe "Aqueles que se sentem satisfeitos sentam-se e nada fazem. Os insatisfeitos são os únicos benfeitores do mundo." Walter S. Landor Agradecimentos Agradeço à Deus em primeiro lugar por me conceder saúde todos os dias e oportu- nidades para buscar meus sonhos. À Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” pelo oferecimento do curso de graduação e pós-graduação. Ao Prof. Dr. Paulo José Paupitz Gonçalves pela orientação, pelas oportunidades, confiança, amizade e ensinamentos. Ao Dr. Douglas Roca Santo pela ajuda e suporte na confecção desta dissertação. Aos professores da área de projetos deste Programa de Pós-Graduação por me pro- porcionarem o conhecimento necessário para o processo da minha formação. A minha família que, com muito apoio e compreensão, fizeram de tudo para que eu chegasse até esta etapa da minha vida. A todos que me ajudaram e estiveram presentes durante esta etapa, principalmente os colegas do Núcleo de Dinâmica em Engenharia (NDE) da Faculdade de Engenharia de Bauru. À Jacto Agrícola pelo apoio para que eu conseguisse realizar as atividades do programa de pós-graduação. Resumo Atualmente, estruturas periódicas com ressonadores anexados ao longo de seu com- primento estão sendo muito estudadas para controle de vibração. Este conceito está intimamente ligado às pesquisas na área dos metamateriais. Quando ondas elásticas se propagam através dessas estruturas, elas são remodeladas, resultando em intervalos de frequência onde não podem se propagar livremente, conhecidos como bandgaps. A ideia central nesta dissertação é modelar a célula unitária de uma estrutura periódica unidimensional com ressonador não linear anexado. As frequências de ressonância da estrutura acoplada a dispositivos não lineares dependem dos níveis de deslocamento, podendo deslocar as ressonâncias dentro do intervalo. Isso torna a resposta não li- near interessante, pois o efeito metamaterial é alcançado devido aos diferentes níveis de vibração de cada ressonador. O método analítico denominado Balanço Harmônico é usa- do para produzir uma equação polinomial aproximada que permite calcular as funções de resposta em frequência (FRFs). São feitas comparações com soluções numéricas, integrando deslocamentos pelo método Runge-Kutta e implementação de um modelo de elementos finitos (FEM). Além disso, uma estratégia diferente é proposta usando o algoritmo de continuação por homotopia para um sistema de polinômios algébricos não lineares utilizando Bertini. Para o caso não linear, as funções de transmissibilidade do deslocamento estrutural mostraram um aumento na região do bandgap, onde também ocorreram três respostas possíveis, em comparação ao ressonador puramente linear. A rigidez não linear associada ao absorvedor de vibrações gerou algumas vantagens em frequências mais baixas, ilustrando ser possível a melhoria da resposta sem acréscimo substancial de massa, quando comparado ao linear. As constatações abrem perspectivas interessantes sobre o controle passivo de vibrações de estruturas periódicas. Palavras-chave: Estruturas Periódicas · Ressonadores de rigidez não linear · Método polinomial · Continuação por homotopia · Transmissibilidade Abstract Currently, periodic structures with resonators attached along their length are being studied for passive vibration control. The study is closely linked to the field of meta- materials. When elastic waves propagate through these structures, they are reshaped, resulting in frequency intervals where the waves cannot freely propagate, known as bandgaps. A key idea in this research is to model a unitary cell of the periodic structure with a non-linear resonator attachment. The resonant frequencies of a structure cou- pled to non-linear systems depend on the displacement levels, which can be translated into a broadening frequency range. This makes the non-linear response interesting as the effect of grading metamaterials is achieved due to the different levels each resonator vibrates. The Harmonic Balance analytical method is used to produce an approximate polynomial equation for accurately calculating frequency response functions (FRFs). Comparisons were made with numerical solutions, integrating displacements using the Runge-Kutta method and implementing a finite element model (FEM). Furthermore, a different strategy is proposed using the Homotopy continuation algorithm for a system of algebraic nonlinear polynomials using the Bertini. The displacement transmissibility shows an increase in the bandgap region, where three possible responses also occurred, compared to the purely linear resonator. The non-linear stiffness associated with the added vibration absorber changed the dynamic behavior of the device, generating some advantages at lower frequencies, allowing for a reduction in mass. These findings open interesting perspectives on vibration control in periodic structures connected to non- linear resonators. Palavras-chave: Periodic structures · Nonlinear resonators · Polynomial method · Homotopy continuation · Transmissibility texto Lista de Figuras 1.1 Evolução da pesquisa em metaestruturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Sistema de barra composto de 𝑁 células com ressonadores anexados. A 𝑛-ésima célula é mostrada em detalhes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.1 Metamaterial com ressonadores locais: (a) esquema da célula unitária de um metamaterial incluindo ressonadores de anel tipo C, (b) micrografia eletrônica mostrando a regularidade de toda a estrutura (Wang et al., 2022). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Modelo esquemático: (a) metaestrutura com ressonadores locais distri- buídos periodicamente, (b) estrutura principal (Reichl, 2017). . . . . . . 8 2.3 Material unidimensional onde a massa depende da frequência e pode ser negativa (Milton and Willis, 2007). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.4 Representação esquemática de um amortecedor de massa sintonizada ane- xado a estrutura principal (Edalath et al., 2013). . . . . . . . . . . . . . 9 2.5 Modelo de metaestrutura com várias unidades ressonadores. (b) O j- ésimo subsistema na n-ésima célula unitária com forças aplicadas, (Milton and Willis, 2007). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.6 Feixe de sanduíche com ressonadores internos: (a) estrutura com vários ressonadores distribuídos, (b) Diagrama da célula unitária do sistema e seu modelo equivalente (Chen et al., 2011) . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.7 Modelo 3D da (a) estrutura principal e (b) metaestrutura com absorve- dores de vibração (Hobeck et al., 2015). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.8 Metaestrutura com resposta não linear: (a) configuração experimental, (b) inserção em ziguezague de ressonadores tipo ímans (Hobeck and In- man, 2015). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.9 Esquema de uma viga articulada de metamaterial com osciladores não lineares (Casalotti et al., 2018). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.1 Esquema de uma célula unitária anexada: (a) a uma mola não linear; (b) a um ressonador não linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.2 Diagrama esquemático da mola não linear presa na extremidade direita e sua força restauradora 𝑓𝑠, governada por uma equação cúbica. . . . . . 17 3.3 Força restauradora da mola contra o deslocamento, quando 𝑠1 = 1 e 𝑠3 = 0,1 (linha azul) e quando 𝑠1 = 1 e 𝑠3 = −0,1 (linha vermelha). . . . 17 3.4 Sistema massa mola não linear e força externa atuante. . . . . . . . . . . 19 3.5 Comportamento da frequência natural do sistema massa mola com a variação da rigidez não linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.6 Função Resposta em Frequência com variação da rigidez não linear (sem amortecimento): (a) caso hardening; (b) caso softening. . . . . . . . . . . 22 3.7 Função Resposta em Frequência com variação do amortecimento viscoso: (a) caso hardening; (b) caso softening. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.8 Representação da célula unitária com ressonador não linear como um modelo discreto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.9 Função resposta em frequência para célula unitária com uma mola não linear: (a) comparação entre o método numérico (Runge Kutta) e o mé- todo da continuação (algorítimo Bertini); (b) efeito não linear próximo a uma das ressonâncias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.10 Função resposta em frequência para célula unitária com ressonador não linear: (a) comparação entre o método numérico (Runge Kutta) e o mé- todo da continuação (algorítimo Bertini); (b) efeito não linear próximo a uma das ressonâncias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.1 Barra sujeita a vibração longitudinal: (a) sistema de coordenadas na barra, (b) forças atuantes num elemento infinitesimal de comprimento 𝑑𝑥. 28 4.2 Função receptância 𝑘𝑙 ↦→ |𝑈3|, quando 𝛾1 = 1, 𝛾3 = 100 e 𝐹1 = 0,1 - linha preta contínua: (a) a linha tracejada mostra a função de resposta quando 𝛾3 = 0 (caso linear); (b) as linhas azuis contínuas mostram a variação das frequências naturais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.3 Função receptância 𝑘𝑙 ↦→ |𝑈3|, quando 𝛾1 = 1, 𝛾3 = −10 e 𝐹1 = 0,1 - linha preta contínua: (a) a linha tracejada mostra a função de resposta quando 𝛾3 = 0 (caso linear); (b) as linhas vermelhas contínuas mostram a variação das frequências naturais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.4 Função receptância 𝑘𝑙 ↦→ |𝑈3|, quando 𝜇 = 0,1, 𝛾1 = 1, 𝛾3 = 100 e 𝐹1 = 0,1 - linha preta contínua: (a) a curva tracejada mostra a função de resposta quando 𝛾3 = 0 (caso linear), (b) as linhas azuis contínuas mostram a variação das frequências naturais. . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.5 Função receptância 𝑘𝑙 ↦→ |𝑈3|, quando 𝜇 = 0,1, 𝛾1 = 1, 𝛾3 = −10 e 𝐹1 = 0,1 - linha preta contínua: (a) a curva tracejada mostra a função de resposta quando 𝛾3 = 0 (caso linear), (b) as linhas vermelhas contínuas mostram a variação das frequências naturais. . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5.1 Representação da célula unitária do sistema periódico com amortecimento. 37 5.2 Transformações das matrizes de admitancia, transmissão e impedancia (Rubin, 1967) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 5.3 Resposta linear: (a) atenuação - linha preta contínua, fase - linha verme- lha tracejada, para 𝛾1 = 10; (b) para 𝛾1 = 50; (c) Transmissibilidade dB (𝑈3/𝑈1) - linha contínua, mínimos - linha preta tracejada, para 𝛾1 = 10; (d) para 𝛾1 = 50; (e) Receptância (𝑈1/𝐹1) início da estrutura - linha preta contínua e (𝑈3/𝐹1) final da estrutura - linha vermelha contínua, para 𝛾1 = 10; (f) para 𝛾1 = 50. Quadrados vermelhos representam o início e os circulos azuis o final das frequências de bandgap. . . . . . . . . 41 5.4 Resposta linear: (a) atenuação - linha preta contínua, fase - linha verme- lha tracejada, para 𝛾1 = 10 e 𝜇 = 0,5; (b) para 𝛾1 = 50 e 𝜇 = 2,5; (c) Transmissibilidade dB (𝑈3/𝑈1) - linha contínua, mínimos - linha preta tracejada, para 𝛾1 = 10 e 𝜇 = 0,5; (d) para 𝛾1 = 50 e 𝜇 = 2,5; (e) Receptância (𝑈1/𝐹1) início da estrutura - linha preta contínua e (𝑈3/𝐹1) final da estrutura - linha vermelha contínua, para 𝛾1 = 10 e 𝜇 = 0,5; (f) para 𝛾1 = 50 e 𝜇 = 2,5. Quadrados vermelhos representam o início e os circulos azuis o final das frequências de bandgap. . . . . . . . . . . . . . . 42 5.5 Resposta linear com alteração dos parâmetros do anexo: (a) variação da razão de rigidez da mola anexada 𝛾1; (b) variação da razão de rigidez 𝛾1 e massa 𝜇 do absorvedor anexado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.6 Transmissibilidade quando 𝛾1 = 1, 𝛾3 = 1000 - linha preta contínua. A linha tracejada em preto representa o caso linear, a linha tracejada vermelha representa o ramo instável da função. Os círculos azuis mostram o final das frequêcnias de bandgap. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.7 Resposta não linear, para 𝛾1 = 1, 𝛾3 = 100, 𝜂 = 0,01: (a) transmissi- bilidade linear - linha pontilhada vermelha e não linear linha pontilhada preta; (b) detalhe do efeito não linear em um intervalo da função tens- missibilidade; (c) receptância (𝑈1/𝐹1) - linha pontilhada preta e (𝑈3/𝐹1) linha pontilhada vermelha; (d) detalhe do efeito não linear em um inter- valo da função receptância. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.8 Resposta não linear, para 𝛾1 = 1, 𝛾3 = 1000, 𝜂 = 0,01: (a) transmissi- bilidade linear - linha pontilhada vermelha e não linear linha pontilhada preta; (b) detalhe do efeito não linear em um intervalo da função tens- missibilidade; (c) receptância (𝑈1/𝐹1) - linha pontilhada preta e (𝑈3/𝐹1) linha pontilhada vermelha; (d) detalhe do efeito não linear em um inter- valo da função receptância. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5.9 Resposta não linear, para 𝛾1 = 1, 𝜇 = 0,5, 𝛾3 = 100, 𝜂 = 0,01 e 𝛽 = 0,05: (a) transmissibilidade linear - linha pontilhada vermelha e não linear linha pontilhada preta; (b) detalhe do efeito não linear em um intervalo da função tensmissibilidade; (c) receptância (𝑈1/𝐹1) - linha pontilhada preta e (𝑈3/𝐹1) linha pontilhada vermelha; (d) detalhe do efeito não linear em um intervalo da função receptância. . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.10 Resposta não linear, para 𝛾1 = 1, 𝜇 = 0,5, 𝛾3 = 1000, 𝜂 = 0,01 e 𝛽 = 0,05: (a) transmissibilidade linear - linha pontilhada vermelha e não linear linha pontilhada preta; (b) detalhe do efeito não linear em um intervalo da função tensmissibilidade; (c) receptância (𝑈1/𝐹1) - linha pontilhada preta e (𝑈3/𝐹1) linha pontilhada vermelha; (d) detalhe do efeito não linear em um intervalo da função receptância. . . . . . . . . . 50 5.11 Resposta não linear quando 𝛾3 = 1000: (a) transmissibilidade linear - linha pontilhada vermelha e não linear linha pontilhada preta, para 𝛾1 = 1, 𝜇 = 0,5 e 𝛾1 = 1000; (b) para 𝛾1 = 3, 𝜇 = 1,5 e 𝛾1 = 1000; (c) receptância (𝑈1/𝐹1) - linha pontilhada preta e (𝑈3/𝐹1) linha pontilhada vermelha, para 𝛾1 = 1, 𝜇 = 0,5 e 𝛾1 = 1000; (d) para 𝛾1 = 3, 𝜇 = 1,5 e 𝛾1 = 1000. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5.12 Representação de um elemento da barra e seus respectivos nós. . . . . . . 52 5.13 Transmissibilidade quando 𝛾1 = 10, 𝛾3 = 1000. Círculos vermelhos re- presentam a resposta pelo método dos elementos finitos (FEM); as linhas pontilhadas em preto pelo método da continuação (Bertini). . . . . . . . 54 5.14 Transmissibilidade quando 𝛾1 = 10, 𝛾3 = 1000 e 𝜇 = 0,5. Círculos ver- melhos representam a resposta pelo método dos elementos finitos (FEM); as linhas pontilhadas em preto pelo método da continuação (Bertini). . . 54 A.1 Resposta linear (linha tracejada) e não linear (linha contínua) pelo mé- todo polinomial, célula com uma mola anexada: (a) caso hardening; (b) caso softening. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 A.2 Resposta linear (linha tracejada) e não linear (linha contínua) pelo mé- todo polinomial, célula com ressonador anexado: (a) receptância; (b) transmissibilidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 A.3 Resposta linear e não linear pelo método FEM célula com uma mola anexada (hardening): (a) receptância; (b) transmissibilidade. . . . . . . . 71 A.4 Resposta linear e não linear pelo método FEM célula com um ressonador anexado: (a) caso hardening; (b) caso softening. . . . . . . . . . . . . . . 71 A.5 Transmissibilidade linear e não linear pelo método FEM célula com um ressonador anexado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Lista de Abreviações Abreviação Descrição EDO Equação Diferencial Ordinária (Ordinary Differential Equations) FEM Métodos dos Elementos Finitos (Finite Element Method) FRF Função de Resposta em Frequência (Frequency Response Function) HB Balanço Harmônico (Harmonic Balance) LR Ressonância Local (Local Resonance) TMD Amortecedor de Massa Sintonizada (Turned Mass Damper) Lista de Símbolos Símbolos em Latim Símbolo Descrição 𝐴 Área da seção transversal B Matriz de deslocamento deformação 𝑐 Coeficiente de amortecimento viscoso C Matriz de amortecimento viscoso da barra D Rigidez dinâmica 𝐷𝑎 Rigidez dinâmica do amortecedor 𝐷1, 𝐷2 Elementos da matriz de rigidez dinâmica 𝐷(𝑈) Rigidez dinâmica não linear 𝐸 Módulo de Young f Força externa 𝐹 Amplitude da força externa fs Força na mola não linear 𝐹𝑠 Amplitude da força na mola não linear 𝑖 Posição da referência 𝑗 Número complexo I Matriz identidade 𝑘 Número de onda 𝑙 Comprimento da barra 𝑙𝑒 Comprimento do elemento de barra 𝑚 Massa principal da estrutura M Matriz de massa do elemento 𝑛 Número de molas não lineares N Matriz de função de forma do elemento O Matriz de zeros 𝑝𝑖 Coeficiente polinomial q Vetor de deslocamentos nodais 𝑠 Rigidez da mola 𝑠1 Rigidez linear 𝑠3 Rigidez não linear S Matriz de rigidez da barra 𝑡 Tempo T Trasmissibilidade 𝑢 Deslocamento 𝑈 Amplitude de deslocamento 𝑥 Posição do sistema y Vetor de estado do sistema Y Matriz de estado do sistema 𝑧 Deslocamento relativo 𝑍 Amplitude relativa de deslocamento Símbolos em grego Símbolo Descrição 𝛼 Coeficiente harmônico 𝛽 Fator de amortecimento da barra 𝛾1 Coeficiente de rigidez da mola linear 𝛾3 Coeficiente de rigidez da mola não linear 𝛿𝑠𝑡 Deformação estática 𝜇 Relação entre a massa estrutural e do absorvedor 𝜉 Razão de amortecimento 𝜔 Frequência 𝜔0 Frequência natural Ω Frequência adimensional 𝜑 Ângulo de fase 𝜏 Adimensional de tempo 𝜁 Razão de amortecimento Sumário Lista de Abreviações xvii Lista de Símbolos xviii 1 Introdução 1 1.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Enunciado do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Estrutura da Dissertação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Revisão da literatura 6 2.1 Estudo de estruturas periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.1.1 Estruturas periódicas com ressonadores locais . . . . . . . . . . . 9 2.1.2 Influências da rigidez não linear em estruturas . . . . . . . . . . . 14 3 Avaliação de sistemas com anexo de rigidez não linear 16 3.1 Método Polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.2 Comportamento de um sistema massa mola amortecedor não linear . . . 19 3.2.1 Célula unitária com ressonador não linear - sistema discreto . . . 22 3.2.2 Comparação com o método de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . 24 4 Estudo de um sistema contínuo 28 4.1 Análise de um sistema contínuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.1.1 Vibração livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.1.2 Vibração forçada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 5 Influência da rigidez não linear na função de transmissibilidade 37 5.1 Função transmissibilidade para o caso linear . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.1.1 Transmissibilidade não linear com amortecimento . . . . . . . . . 44 5.2 Implementação Método dos Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . 52 6 Considerações finais 55 6.1 Trabalhos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 6.2 Contribuições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Referências Bibliográficas 58 A Apêndice 63 A.1 Método polinomial Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 A.1.1 Exemplos de respostas obtidas pelo método polinomial Matlab . . 64 A.2 Desenvolvimento pacote Bertini no Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 A.3 Desenvolvimento método FEM no Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 A.3.1 Cálculo dos deslocamentos para o método FEM . . . . . . . . . . 70 A.3.2 Exemplos de respostas obtidas pelo método FEM no Matlab . . . 70 Capítulo 1 Introdução Estruturas periódicas com matrizes de dispositivos lineares como subsistemas massa- mola ou molas puras, exibem um comportamento dinâmico único em longos comprimen- tos de onda, atribuído ao aparecimento de faixas de frequência com níveis de vibração baixos (do inglês intervalo de bandgap). Estes portanto, podem ser devido aos efeitos de espalhamento de Bragg (Kushwaha et al., 1993), efeitos de ressonância local (do inglês Local Resonance, LR) ou os dois efeitos coexistindo na mesma estrutura (Hussein et al., 2014; Huang et al., 2016). Nesse contexto, o escopo de interesse nos sistemas periódicos se expandiu nos últimos anos. Os conceitos vinculados à ressonância local foram introduzidos para amplificar os intervalos de suspensão, produzindo novos bandgaps em frequências mais baixas (Hus- sein et al., 2014). A implementação tornou o mecanismo interessante para suspensão de vibração permitindo controle em faixas usuais de frequências (Reichl, 2017). Dentre os trabalhos sobre o tema, a pesquisa de Pai (2010) considera uma barra isotrópica longitudinal com pequenos subsistemas de massa e mola integrados sepa- radamente. O conceito de suspensão utiliza a oscilação de entrada para ressonar os dispositivos de absorção dispostos no material e controlar a propagação de ondas. Zhu et al. (2014) tem enfoque no projeto de uma estrutura de viga composta de osciladores que é desenvolvida para a atenuação de vibração em uma ampla faixa de frequência, utilizando o bandgaps individuais. O interessante nos estudos é que as novas lacunas produzidas por elementos anexados (LR) coexistiram com o bandgap tipo Bragg, pro- venientes da periodicidade sistemática do material integrando um meio de absorção de vibrações. Os dois estudos mostram os ganhos relacionados à presença dos ressonadores. O impedimento é que pode ser provável que esses intervalos de atenuação apareçam em frequências mais altas do que aquelas frequentemente encontradas em problemas de engenharia, pois mesmo com o uso de ressonadores locais a sintonização deles em baixa frequência exige dispositivos de massa elevada. Tal condição limitaria o emprego Capítulo 1. Introdução 2 dos sistemas para controlar os níveis de vibração na faixa de baixa frequência, restrin- gindo muitas aplicações em situações reais. Nesse cenário, os dispositivos não lineares apresentam propriedades adicionais interessantes para essas frequências, principalmente em regiões próximas a primeira ressonância estrutural (Wang et al., 2016b). Por isso, cresceu muito o interesse relacionado ao controle passivo de estruturas lineares sujeitas a vibração usando anexos de rigidez não linear (Santo et al., 2020). As frequências de ressonância de uma estrutura acoplada à molas não lineares depen- dem dos níveis de deslocamento e, portanto, podem ser transladas para altas frequências dentro do intervalo de análise. Fenômenos de ressonância, podem ser associados ao efeito não linear onde os níveis de vibração podem ser bem atenuados (Zhu et al., 2014). O obstáculo existente é que o estudo das vibrações livres e forçadas de estruturas lineares com anexos de rigidez não linear ainda não foi realizado extensivamente. Entre os tra- balhos realizados na área estão a análise das frequências naturais de estruturas simples, como barras e vigas, com limites não lineares. Nesse sentido, a avaliação dinâmica da rigidez não linear ainda é considerada um desafio, dada a dificuldade relacionada à mo- delagem não linear e, à descrição do comportamento das estruturas em todo intervalo (Santo et al., 2020). Alguns métodos analíticos podem ser utilizados, dentre eles está o método de Balanço Harmônico (HB) (Brennan et al., 2008; Holmes, 1981; Kevorkian and Cole, 2013). Esses métodos focam principalmente na análise do efeito da mola não linear na primeira frequência natural. Geralmente são baseados na equação do oscilador tipo Duffing (Kovacic and Brennan, 2011; Nayfeh and Mook, 2008), que é adequada para representar não linearidades de rigidez em aplicações típicas de engenharia, por exemplo, sistemas de cabos, isoladores mecânicos e sistemas eletromecânicos (Carrella et al., 2007; Gao et al., 2019; Santo et al., 2018). Essa dissertação investiga configurações estruturais que incorporem o conceito de bandgap, derivando suas equações. Efetua-se a modelagem das estruturas com rigidez não linear para a descrição da resposta em frequência em todo intervalo. O comporta- mento dinâmico é compreendido realizando um estudo detalhado de uma célula unitária da estrutura periódica sujeita a vibração longitudinal. Serão desenvolvidos estudos uti- lizando as equações exatas de rigidez dinâmica para uma barra (vibração longitudinal). A rigidez cúbica em questão, será do tipo hardening ou softening. O método polinomial é proposto para descrever os níveis de deslocamento e o mé- todo de integração numérica também serve como fonte de comparação para as análises. O método polinomial (balanço harmônico de primeira ordem) é analítico e constitui um meio preciso para analisar a resposta dinâmica de uma célula com rigidez não linear associada (Worden and Tomlinson, 2019). Para estruturas com alto número de molas ou ressonadores não lineares a aplicação do método polinomial se torna mais complicada, devido ao alto número de termos. No caso numérico os deslocamentos são mensurados 3 1.1. Objetivos no domínio do tempo utilizando o método de Runge-Kutta. Nessa etapa, também foram desenvolvidos estudos com o método de elementos finitos não linear para representação da barra. Fatores de amortecimento são inseridos em algumas das investigações e as funções de transmissão estrutural são apresentadas. A utilização do algoritmo de conti- nuação por homotopia para um sistema de polinômios algébricos não lineares utilizando o pacote Bertini será feita para o caso com amortecimento. Com a abordagem proposta, avaliam-se as vantagens e restrições dos método para representar o comportamento de elementos não lineares. Em suma, busca-se contribuir para o desenvolvimento das aná- lises dinâmicas relacionadas à pesquisa de estruturas periódicas com anexo não linear. A Fig. 1.1 apresenta uma evolução resumida da pesquisa em metaestruturas. Metamateriais Dispersão de Bragg Ressonância local Metaestruturas Estrutura principal (periódica) Ressonadores anexados (locais) Metaestruturas Ressonadores de rigidez não linear Metaestruturas Métodos de resolução (analíticos e numéricos) Figura 1.1: Evolução da pesquisa em metaestruturas . 1.1 Objetivos O objetivo geral desta dissertação é avaliar o comportamento de uma célula unitária unidimensional do sistema periódico com ressonador não linear anexado. Os objetivos específicos podem ser citados: 1. Implementação de métodos aproximados, como o balanço harmônico de primeira ordem, para avaliar o efeito não linear; 2. Investigação dos intervalos de atenuação (bandgaps) nas funções transmissibilidade considerando amortecimento; 3. Utilizar um algoritmo de continuação para polinômios algébricos não lineares e comparar os resultados obtidos com métodos de integração numérica. 1.2 Enunciado do problema As características de propagação de ondas em estruturas periódicas estão direta- mente relacionadas com as propriedades dinâmicas de uma célula unitária. Uma célula pode ser entendida como uma unidade de construção do sistema periódico que se repete ao longo de sua formulação. O sistema mostrado na Fig. 1.2 consiste em uma barra composta de 𝑁 células idênticas (Cél. 1 a 𝑁) sujeita a vibração longitudinal. A 𝑛 − é𝑠𝑖𝑚𝑎 célula é ilustrada Capítulo 1. Introdução 4 em detalhes, onde a barra possui área de seção transversal constante 𝐴, Módulo de Young 𝐸, densidade de massa 𝜌 e o comprimento total 2𝑙. No ponto central há um ressonador constituído de uma massa 𝑚𝑎 e uma mola não linear caracterizada pelas constantes 𝑠1 e 𝑠3 (discutido mais adiante na seção 3.2). A amplitude complexa de deslocamento em ambos os lados da barra definidos como 𝑈1 (esquerdo) e 𝑈3 (direito) e uma força harmônica de amplitude 𝐹1 aplicada no lado esquerdo da barra. No ponto central o deslocamento é definido com 𝑈2 e a massa acoplada à mola de rigidez não linear possui amplitude de deslocamento definida como 𝑈𝑎. Cél. 1 Cél. 2 Cél. Cél. n Cél. N Cél. n Figura 1.2: Sistema de barra composto de 𝑁 células com ressonadores anexados. A 𝑛-ésima célula é mostrada em detalhes. De acordo com (Gonçalves et al., 2021) as propriedades da estrutura completa podem ser determinadas a partir da função de transmissibilidade de um único elemento. Se o elemento é simétrico, as expressões que descrevem os intervalos de atenuação dinâmico são particularmente simples. A modelagem foi desenvolvida empregando inicialmente a teoria de sistemas dis- cretos e em seguida, ultilizou-se a teroria de sistemas contínuos. Será utilizado um método polinomial aproximado de primeira ordem. Este produz equações polinomiais escalares que devem ser resolvidas através da função roots no MATLAB. As raízes do polinômio forneceram as amplitudes de deslocamento do sistema para todo o intervalo de frequência analisado. Somente as raízes reais são consideradas nesta etapa, pois possuem sentido físico. A rigidez tipo hardening e softening são analisadas e o desenvolvimento das equações para os dois tipos de rigidez são mostrados em detalhes no Capítulo 3. Para o caso hardening a parcela não linear possui sinal positivo e para o caso softening negativo. O comportamento da força de restauração da mola varia para os dois tipos e essa influência foi notada nas funções de receptância. 5 1.3. Estrutura da Dissertação A análise numérica utiliza o método de Runge-Kutta para a comparação dos resul- tados. Nesse caso as amplitudes de deslocamento são mensuradas no domínio do tempo e integradas para todo o intervalo de frequência. A função ODE45 é aplicada para re- solução das equações diferenciais ordinárias de quarta ordem. O método dos elementos finitos é desenvolvido para a estrutura contínua. Divide-se a barra em elementos iguais e a solução é conseguida dispondo as equações na forma de espaço de estados. O algoritmo de continuação polinomial utilizando o software Bertini também será desenvolvido para o caso com amortecimento. Aqui os elementos de rigidez dinâmica, força não linear e deslocamentos, são complexos. As equações polinomiais, parte real e imaginária, são escritas e solucionadas. BertiniLab é uma interface MATLAB para Bertini. Bertini pode encontrar soluções isoladas e soluções de dimensão positiva usando continuação por homotopia. Todas os métodos de solução foram implementados com o uso do software MATLAB. 1.3 Estrutura da Dissertação Essa dissertação é estruturada como segue: • Capítulo 1 introduz a motivação para o estudo com um resumo do tema controle de vibrações em estruturas periódicas, objetivos, enunciado da dissertação e estrutura da dissertação. • Capítulo 2 apresenta uma revisão bibliográfica mais extensa, com as pesquisas disponíveis na literatura e trabalhos relevantes sobre o tema. Discute-se sobre a atenuação de vibrações em estruturas periódicas, como se iniciou a pesquisa e suas motivações atuais. • Capítulo 3 descreve minuciosamente a modelagem matemática para a análise di- nâmica de estruturas não lineares. Contém modelos de sistemas discretos em vibração livre e forçada para o caso de excitação harmônica. Nesse capítulo, o foco é mostrar as influências da rigidez não linear em uma célula unitária e o comportamento dinâmico para rigidez do tipo hardening e softening. • Capítulo 4 apresenta a modelagem matemática da célula unitária (sistema contí- nuo) com uma mola e um ressonador não lineares com uso das funções resposta em frequência. • Capítulo 5 apresenta a análise das funções de transmissibilidade linear e não li- near. Realizou-se a implementação de amortecimento estrutural e viscoso e a comparação com o método FEM. • Capítulo 6 apresenta as conclusões e contribuições desta dissertação. Capítulo 2 Revisão da literatura Este capítulo apresenta uma revisão da literatura. Nele estão dispostos o desenvol- vimento das pesquisas ao longo do tempo e as iniciativas atuais que norteiam o tema estruturas periódicas. As tendências relacionadas ao controle de vibração são apresentadas principalmente com o emprego de ressonância local. A origem do conceito metamaterial é introduzida e implicações na engenharia explicitadas. Os estudos envolvendo os efeitos de rigidez não linear são abordados na sequência. 2.1 Estudo de estruturas periódicas Um meio periódico é um material ou sistema estrutural que exibe alguma forma de periodicidade espacial. Os estudo de estruturas e materiais de matriz periódica tem um enfoque muito grande na engenharia, principalmente no campo de vibração e acústica. Ao longo do tempo, tornou-se comum referir a um material ou estrutura periódica, mesmo na escala de tamanho de um grande sistemas de engenharia, como um “material fonônico” ou uma “estrutura fonônica”. Um cristal fotônico é uma estrutura periódica que afeta a propagação de fótons. Essa conexão já existente entre materiais periódicos e a física fotônica ficou ainda mais pró- xima nos últimos anos. Assim, novas estruturas periódicas começaram a se aproximar do conceito. Nos chamados metamateriais elásticos o conceito foi expandido ainda mais e, além de serem periódicos possuem recurso adicional de exibir ressonância local associada, como mostrado na Fig. 2.1. 7 2.1. Estudo de estruturas periódicas Ar (a) (b) Figura 2.1: Metamaterial com ressonadores locais: (a) esquema da célula unitária de um metamaterial incluindo ressonadores de anel tipo C, (b) micrografia eletrônica mos- trando a regularidade de toda a estrutura (Wang et al., 2022). Desse modo, as pesquisas em metamateriais têm uma base de desenvolvimento em eletromagnetismo, e variações de aplicação no campo da acústica e elastodinâmica, mostrando-se uma classe de materiais altamente promissora. A analogia entre ondas eletromagnéticas e ondas acústicas estimulou o desenvolvimento de metamateriais para lidar com ondas mecânicas (Pai et al., 2014). A pesquisa aplicada em materiais fonônicos foi muito abundante, principalmente a inspeção de uma perspectiva fundamental da mecânica, e particularmente do ponto de vista de sistemas dinâmicos. Por exemplo, as técnicas já desenvolvidas para o trata- mento de amortecimento e não linearidades na dinâmica estrutural fornecem um recurso rico para aplicação ao problema de propagação de ondas em materiais e estruturas pe- riódicos. Do mesmo modo, o tratamento numérico e abordagens experimentais original- mente desenvolvidas para a caracterização de materiais e estruturas convencionais são uma fonte de ferramentas indispensáveis que podem ser empregadas para uma melhor compreensão e exploração desse novo conceito. Em vários estudos, os cálculos baseados na formulação por matriz, como as abor- dagens por meio da matriz de transferência são aplicados para investigar propriedades de dispersão e propagação de ondas harmônicas através da estrutura (Hussein et al., 2014). Metamateriais tradicionais são construídos com base na teoria de lacunas de banda do tipo Bragg, sua atividade se baseia em redes de espalhamento que efetuam o controle destrutivo das ondas refletidas no material (Reichl, 2017). Essas estruturas apresentam constantes elásticas distribuídas de forma periódica. Ondas elásticas, quando modeladas periodicamente pelas constantes elásticas do material geram intervalos de atenuação denominados bandgaps ou stop bands, por consequência, ondas de faixas específicas de frequência são proibidas na estrutura. Capítulo 2. Revisão da literatura 8 Nos sistemas periódicos estruturados artificialmente com defeitos pontuais ou defei- tos lineares, as ondas elásticas com frequência dentro da faixa de bandgap ficam restritas aos defeitos pontuais ou só se propagam ao longo dos defeitos lineares. As proprieda- des advindas das regiões de atenuação permitem muitas aplicações do conceito para potencial redução de vibração e ruído (Wen et al., 2008). Atualmente, muitos mecanismos de controle são projetados com subunidades cons- truídas em um material para ressonar com as ondas mecânicas que se propagam nele Fig. 2.2. A ressonância local pode ser usada na estruturação de metamateriais de com- portamento peculiar, semelhante a um massa e rigidez efetivas negativas, dependentes da dinâmica (Pai et al., 2014). Meta Metaestrutura: Com absorvedores de vibração Estrutura principal: sem absorvedores de vibração Figura 2.2: Modelo esquemático: (a) metaestrutura com ressonadores locais distribuídos periodicamente, (b) estrutura principal (Reichl, 2017). Para estruturas que utilizam mecanismo de espalhamento é difícil conseguir um bandgap em baixa frequência, pois a frequência central determinada pela condição desse espalhamento é inversamente proporcional à dimensão da célula unitária. Para se veri- ficar intervalos de atenuação em frequências mais baixas, a constante da rede precisaria estar em um escala muito grande o que não é adequado para muitas aplicações reais. Nesse contexto, investigações de sistemas com ressonadores locais ganharam destaque. A frequência central de bandgap do metamaterial com ressonadores não é dependente da constante de rede, mas sim determinada pela frequência de ressonância do oscilador. Assim, intervalos de atuação em baixas frequências podem ser gerados (Zhou et al., 2017). 9 2.1. Estudo de estruturas periódicas 2.1.1 Estruturas periódicas com ressonadores locais Estruturas podem ser construídas a partir de uma unidade geradora empregada diversas vezes em sua constituição Fig. 2.3. Elementos idênticos conectados lado a lado conferem à estrutura um carácter repetitivo, próximo de um ideal teórico periódico (Zhu et al., 2014; Chen et al., 2011). As pesquisas focam cada vez mais na geração de intervalos de bandgaps nos quais as ondas são totalmente atenuadas. A análise da propagação de ondas mostram que a vibração pode causar danos às estruturas e como a atenuação pode aumentar a vida útil da mesma (Wang et al., 2016a). oculta vaziorígido Figura 2.3: Material unidimensional onde a massa depende da frequência e pode ser negativa (Milton and Willis, 2007). O mecanismo de ressonância local fornece intervalos de bandgaps em comprimento de onda baixos (Hobeck and Inman, 2015), permitindo a utilização em problemas reais de engenharia. A ideia dos absorvedores mecânicos não é algo recente (absorvedor mecânico Fig. 2.4). O absorvedor de vibração está entre os mais antigos dispositivos de absorção de propa- gação de ondas (Rana and Soong, 1998). Estrutura Principal Figura 2.4: Representação esquemática de um amortecedor de massa sintonizada ane- xado a estrutura principal (Edalath et al., 2013). Capítulo 2. Revisão da literatura 10 O oscilador consiste em uma massa ligada ao sistema mecânico principal por uma mola, muitas vezes referido como TMD (do inglês Tunned Mass Damper). O dispositivo usa a ressonância externa entre a frequência da excitação forçada no sistema principal e a frequência de ressonância local, para transferir energia de vibração para o mecanismo e interromper o movimento do sistema principal (Pai et al., 2014). Na literatura, ressonadores locais são conectados com intuito de gerar intervalos de suspensão para ondas: longitudinais (Pai, 2010), transversais Wang et al. (2005) (Chen et al., 2011) e torcionais (Yu et al., 2006; Wang et al., 2016a). A engenharia de estruturas comuns, como barras, vigas e placas, que abrigam ressonadores locais, permite um comportamento metamaterial em toda a estrutura. Em pesquisa Liu et al. (2000) consideram uma estrutura física contínua contendo esferas de chumbo revestidas em camada de borracha numa matriz de epóxi. O sistema mecânico de ressonadores locais apresentou bandgap em intervalo de frequência duas ordens de magnitude menor do que a do limite de Bragg, existente devido a periodi- cidade estrutural. Em suma, é mostrado que o conceito de ressonância local produz metamateriais efetivos para atenuação ondas de baixa frequência sem a necessidade de grandes extensões estruturais. Pai (2010) considera uma barra isotrópica longitudinal com pequenos subsistemas de massa e mola integrados separadamente. O conceito de suspensão utiliza a onda elástica axial de entrada para ressonar os dispositivos de absorção dispostos e controlar a propagação de vibração. O objetivo é ilustrar o efeito de massa efetiva negativa e revelar o real mecanismo de trabalho dos absorvedores dinâmicos. Um estudo teórico do sistema de barras de metamateriais de ressonadores locais de vários graus de liberdade foi apresentado por Xiao et al. (2012). Eles demonstraram que os intervalos de banda do tipo Bragg e ressonância coexistem em hastes metamateriais. Devido à periodicidade sistemática estrutural as faixas de controle tipo Bragg são iden- tificadas junto com bandgaps produzidos através de ressonadores locais. São avalidas em detalhes influências paramétricas no comportamento do bangap e seus mecanismos de formação. Em publicação, Zhu et al. (2014) foca no projeto de uma metaestrutura de viga composta de matrizes de múltiplos osciladores que é desenvolvida para a atenuação de vibração de banda larga, utilizando os bandgaps individuais. Foco é dado na deter- minação quantitativa do número de unidades necessárias do ressonador para reduzir a vibração dentro de uma banda de frequência desejada. Portanto, os ressonadores distribuídos ao longo da estrutura são capazes de induzir as faixas de controle, como mostrado na Fig. 2.5. 11 2.1. Estudo de estruturas periódicas seguimento de barra Ressonador local subsistema Figura 2.5: Modelo de metaestrutura com várias unidades ressonadores. (b) O j-ésimo subsistema na n-ésima célula unitária com forças aplicadas, (Milton and Willis, 2007). Chen et al. (2011) realizaram uma investigação analitica e experimental sobre o comportamento da propagação de ondas num feixe sanduíche com ressonadores tipo massa-mola internos Fig. 2.6. A estrutura mostrou-se eficaz na suspensão das ondas numa faixa de frequência específica, próxima à frequência de ressonância local do res- sonador. invólucro núcleo massa interna (a) Estrutura Principal (b) Figura 2.6: Feixe de sanduíche com ressonadores internos: (a) estrutura com vários ressonadores distribuídos, (b) Diagrama da célula unitária do sistema e seu modelo equivalente (Chen et al., 2011) . A manufatura aditiva permitiu desenvolver protótipos estruturais com geometrias Capítulo 2. Revisão da literatura 12 mais complexas. Hobeck et al. (2015) consideram um elemento de impressão 3D, com absorvedores considerados idênticos Fig. 2.7. Eles demonstram a capacidade de sus- pensão de vibração em banda larga do protótipo, ao constatar que poucos ressonadores foram responsáveis por grande atenuação de vibração axial. Figura 2.7: Modelo 3D da (a) estrutura principal e (b) metaestrutura com absorvedores de vibração (Hobeck et al., 2015). Utilizar a não linearidade também é uma maneira eficaz para ampliar as lacunas de banda dos metamateriais elásticos (Fang et al., 2018). As estruturas não lineares podem exibir fenômenos extremamente complexos. O princípio da superposição, que é a base da teoria linear, não se aplica a sistemas não lineares (Kerschen et al., 2009). Ao tratar sistemas não lineares, uma investigação não linear pode ser iniciada e isso requer um conjunto mais sofisticado de ferramentas matemáticas (Carrella and Ewins, 2011). Nesse sentido, a análise de estruturas periódicas não lineares ficou um pouco mais restrita devido às dificuldades adicionais na modelagem e caracterização (Khajehtourian and Hussein, 2014). Alguns estudos aplicam os conceitos não linear aos metamateriais, como por exem- plo com osciladores não lineares conectados a cadeias periódicas. Se os osciladores conectados forem não lineares, a resposta apresenta dependência entre a amplitude e a frequência. Hobeck and Inman (2015) demonstram que a resposta a vibração de uma metaestru- tura magnoelástica, fundamentada no conceito de absorvedores altamente não lineares pela introdução de ímãs, foi muito mais satisfatória quando comparada a uma metaes- trutura com absorvedores lineares. Observe a Fig 2.8. 13 2.1. Estudo de estruturas periódicas Insertos Zig-zag Medidor de Vibração Detalhe dos insertos Vista Metaestrutura vigaMontagem (a) (b) Figura 2.8: Metaestrutura com resposta não linear: (a) configuração experimental, (b) inserção em ziguezague de ressonadores tipo ímans (Hobeck and Inman, 2015). Em alguns casos a não linearidade considerada decorre de grande deformação elás- tica da estrutura principal, enquanto o comportamento metamaterial está associado à dinâmica de ressonadores locais. O efeito da não linearidade nas características do bandgap estrutural, incluindo tamanho, localização e caráter das lacunas do bandgap é verificado no trabalho de Khajehtourian and Hussein (2014). Podem ser encontrados alguns métodos analíticos que descrevem o comportamento dinâmico de sistemas não lineares, dentre estes há o método do balanço harmônico, tais métodos avaliam o efeito não linear principalmente na primeira frequência natural dos sistemas. Em geral, esses estudos visam as equações referentes ao oscilador do tipo Duffing que é adequado para muitas aplicações práticas de engenharia (Santo et al., 2020). Recentemente, os pesquisadores também vem demonstrando grande interesse pelas estruturas periódicas não uniformes, cujas seções transversais variam periodicamente em cada célula unitária, buscando melhorar a capacidade de controle em amplas faixas de frequência. Xu et al. (2016) projetaram uma célula para constituição de uma viga com duas seções transversais distintas. Posteriormente, propuseram várias estruturas periódicas como combinações variáveis da célula de viga, examinando influências para diferentes combinações nas frequências naturais e lacunas de banda. Gao et al. (2019) analisaram de forma numérica e experimental os comportamentos de bandgap de uma Capítulo 2. Revisão da literatura 14 estrutura periódica com seções transversais variável e descobriram que a periodicidade da seção transversal entre as unidades de construção pode gerar mais intervalos de bandgap (Wen et al., 2020). 2.1.2 Influências da rigidez não linear em estruturas As técnicas mostram que é possível obter propriedades efetivas dos metamateriais por meio das células unitárias. Além disso, embora a maioria dos estudos tenha se concentrado em modelos reais de estruturas elásticas ressonantes localmente, muito pode ser aprendido explorando o problema no contexto de um modelo simples de parâmetros agrupados em massa, como realizado por Huang et al. (2009). Existem vários métodos propostos para avaliar o comportamento da região de bandgap. Os métodos incluem: o método dos elementos de contorno, o método da matriz de transferência, o método dos elementos espectrais no domínio do tempo e o método dos elementos finitos. Em geral, a escolha depende muito dos objetivos da análise (Wen et al., 2020). O Método dos Elementos Finitos (FEM, do inglês Finite Element Method) é um método computacional muito poderoso e abundantemente empregado para prever o comportamento de frequência de estruturas periódicas. O FEM também comporta resoluções de equações no domínio do tempo, onde as equações são resolvidas usando de integração numérica, e pode ser aplicado a um grande número de problemas com diferentes geometrias, condições de contorno e variações de materiais para vibração livre e forçada (Hou and Assouar, 2008). Recentemente para tornar a estrutura capaz de atenuar vibrações numa faixa ampla de frequência (Ding and Zhao, 2011; Hussein et al., 2014), creceu o interesse nas asso- ciações de subsistemas não lineares (Zhu et al., 2014). Para essas análises os métodos de avaliação necessitam ser cada vez mais robustos (Wang et al., 2016b). A associação não linear permite faixas de controle em regiões promissoras adicionando- se pouca massa à estrutura. Enikov et al. (2005) constatam que a posição do bandgap pode ser deslocada conforme se modifica o nível de não linearidade dos osciladores, o que pode permitir que a estrutura seja utilizada em filtros ajustáveis na faixa de baixa frequência. Casalotti et al. (2018) investigaram o caso de um metamaterial constituído por uma viga com absorvedores não lineares embutidos em toda sua extensão, determi- nando as funções de resposta em frequência do mecanismo de controle Fig 2.9. 15 2.1. Estudo de estruturas periódicas Figura 2.9: Esquema de uma viga articulada de metamaterial com osciladores não lineares (Casalotti et al., 2018). Entretanto, o estudo das vibrações livres e forçadas de estruturas lineares contínuas com rigidez não linear ainda não foi realizado extensivamente. Ao filtrar os trabalhos realizados sobre esse tema verifica-se a análise das frequências naturais de estruturas simples, como barras e vigas com não linearidade limitada. Nesse sentido, a avaliação dinâmica não linear ainda é considerada um desafio (Casalotti et al., 2018). A questão central nessa tese refere-se à modelagem de estruturas com ressonadores não lineares e, principalmente, à descrição da resposta em frequência em todo intervalo (em que ocorrem várias ressonâncias). Diversos métodos analíticos para entender o comportamento dinâmico não linear podem ser citados, por exemplo, métodos de várias escalas, perturbação, métodos de medição e o equilíbrio harmônico (Brennan et al., 2008; Holmes, 1981; Kevorkian and Cole, 2013). Como mecionado anteriormente, eles se concentram principalmente na avaliação do efeito na primeira frequência natural e geralmente, são baseados na equação do oscilador Duffing (Kovacic and Brennan, 2011; Nayfeh and Mook, 2008). O método polinomial aqui empregado constitui um meio preciso para analisar a resposta dinâmica da barra ressonador não linear. Para estruturas com alto número de graus de liberdade, ou seja, maior número de massas e molas, a aplicação do método polinomial se torna mais restrita (Santo et al., 2020). Outras técnicas são avaliadas como integração numérica e o emprego de continuação por homotopia com uso do Bertini. Capítulo 3 Avaliação de sistemas com anexo de rigidez não linear As influências da rigidez não linear no comportamento estrutural são exploradas nesse capítulo. Considera-se vibração longitudinal, obtendo-se as equações de resposta em frequência sobre vibração livre e forçada. Deriva-se as equações de movimento com base na matriz de rigidez dinâmica dos sistemas. Utiliza-se inicialmente o método do Balanço Harmônico de primeira ordem. O método gera um polinômio com várias raízes, dependendo do número de molas ou ressonadores não lineares anexados. O desenvolvimento é feito em detalhes e usado para entender a influência não li- near na resposta dinâmica. O estudo considera a formulação de sistemas discretos. O método numérico de Runge-Kutta é empregado como fonte de comparação ao método polinomial, fatores de amortecimento são introduzidos. 3.1 Método Polinomial A célula unitária que compõe a estrutura periódica é representada na Fig. 3.1. (a) (b) Figura 3.1: Esquema de uma célula unitária anexada: (a) a uma mola não linear; (b) a um ressonador não linear. No caso exposto na Fig. 3.1(a) a mola está presa na extremidade direita e acoplada à célula na posição 𝑢2. 17 3.1. Método Polinomial Figura 3.2: Diagrama esquemático da mola não linear presa na extremidade direita e sua força restauradora 𝑓𝑠, governada por uma equação cúbica. Assume-se que a mola (tipo Duffing) é regida por uma função cúbica (Kovacic and Brennan, 2011; Kargarnovin et al., 2005; Worden and Tomlinson, 2019; Santo et al., 2020), como descrito na Eq. 3.1, que liga a força restauradora 𝑓𝑠 = 𝑓𝑠(𝑡) ao deslocamento 𝑢 = 𝑢(𝑡) da região central da célula (ver Fig. 3.2). 𝑓𝑠 = 𝑠1𝑢± 𝑠3𝑢 3 (3.1) Os exemplos que seguem na Fig. 3.3 apresentam o comportamento da magnitude da força de restauração da mola, para dois coeficientes de rigidez não linear: positivo (hardening - linha azul) e negativo (softening - linha vermelha). F = U + 0,1 U3 F = U - 0,1 U3 Figura 3.3: Força restauradora da mola contra o deslocamento, quando 𝑠1 = 1 e 𝑠3 = 0,1 (linha azul) e quando 𝑠1 = 1 e 𝑠3 = −0,1 (linha vermelha). Na Fig. 3.3 pode-se notar que para o caso da rigidez tipo hardening (𝑠3 > 0) a mola está enrijecendo com o aumento da deformação. Entretanto, para o caso da mola softening (𝑠3 < 0) a rigidez equivalente está se tornando negativa quando a magnitude do deslocamento excede um determinado valor, ou seja, o sistema está se tornando instável. Para pequenos valores de deslocamentos, uma rigidez linear equivalente pode ser definida, representada pela inclinação das curvas mostradas (ver região em cinza). Assumindo força harmônica com frequência 𝜔, isto significa, 𝑓(𝑡) = 𝐹 cos(𝜔t) o Capítulo 3. Avaliação de sistemas com anexo de rigidez não linear 18 deslocamento pode ser expresso por 𝑢(𝑡) = 𝑈 cos(𝜔𝑡), por expansão de série de Fourier de primeira ordem (Mickens, 2001). Como resultado, a Eq. 3.1 pode ser reescrita da seguinte forma: 𝐹𝑠 cos(𝜔𝑡) = 𝑠1𝑈 cos(𝜔𝑡) ± 𝑠3𝑈 3 cos3(𝜔𝑡) (3.2) Para a rigidez equivalente da mola, uma expressão correspondente à frequência pode ser obtida com a relação trigonométrica cos3(𝜔𝑡) = 3/4 cos(𝜔𝑡) + 1/4 cos(3𝜔𝑡) e can- celando o termo associado a terceiro harmônico (3𝜔). O termo 3𝜔 pode ser cancelado pois a parcela corresponde a 1/4, sendo 3 vezes menor do que a parcela relacionada a 𝜔. Contudo, isso implica numa aproximação da função, sendo gerados valores de deslo- camentos aproximados. A rigidez dinâmica equivalente da mola não linear 𝐷(𝑈) pode ser expressa em termos desses parâmetros: 𝐷(𝑈) = 𝐹𝑠 𝑈 = 𝑠1 ± 3 4𝑠3𝑈 2 (3.3) A Eq. 3.3 será utilizada na análise de sistemas de parâmetros contínuos. Observe que a rigidez não linear equivalente 𝐷(𝑈) é função da amplitude de deslocamento 𝑈 , dependente do ponto no qual a mola foi anexada. Ao tratar do caso ilustrado na Fig. 3.1(b), que representa a barra com ressonador não linear, considera-se o deslocamento relativo 𝑧 = 𝑢2 − 𝑢𝑎, sendo 𝑢𝑎 o deslocamento referente a massa do ressonador. Assim, a Eq. 3.1 é reescrita em função do deslocamento relativo do absorvedor. 𝑓𝑠 = 𝑠1𝑧 ± 𝑠3𝑧 3, (3.4) Como resultado, a Eq. 3.4 pode ser reescrita considerando movimento harmônico e o somatório de forças no absorvedor, nessa situação o termo inercial deve ser acrescentado: 𝐹𝑠 cos(𝜔𝑡) = −𝜔2𝑚𝑎 cos(𝜔𝑡)𝑍 + 𝑠1𝑍 cos(𝜔𝑡) ± 𝑠3𝑍 3 cos3(𝜔𝑡), (3.5) utilizando a mesma relação trigonométrica descrita anteriormente. 𝐷(𝑍) = 𝐹𝑠 𝑍 = −𝜔2𝑚𝑎 + 𝑠1 ± 3 4𝑠3𝑍 2 (3.6) As equações que representam a rigidez dinâmica da mola e do absorvedor não linear serão utilizadas na seção 3.2. 19 3.2. Comportamento de um sistema massa mola amortecedor não linear 3.2 Comportamento de um sistema massa mola amor- tecedor não linear O comportamento de uma massa acoplada a uma mola não linear é analisado inicial- mente como forma de compreensão do efeito dinâmico não linear, mostrado na Fig. 3.4. Figura 3.4: Sistema massa mola não linear e força externa atuante. A força harmônica de magnitude f(t) = F cos(𝜔t) atua no lado esquerdo do sistema, assim, a função deslocamento será do tipo u(𝑡) = U cos(𝜔t + 𝜑). Sendo 𝜑 o ângulo de fase entre força e deslocamento. Definindo a equação do movimento do sistema não linear, tem-se: −s1u − s3u3 − c�̇�+ f = m�̈� (3.7a) sendo ∙̇ e ∙̈, a primeira e a segunda derivada em relação ao tempo, respectivamente. Dividindo ambos os lados pela massa: 1 𝑚 [m�̈�+ c�̇�+ s1u + s3u3] = 1 𝑚 [F cos(𝜔𝑡)] (3.7b) A parametrização pode ser realizada considerando a razão de rigidez não linear 𝛾 = 𝑠3/𝑠 e de amortecimento 𝜁 = 𝑐/𝑐𝑐, onde 𝑐𝑐 = 2𝜁𝑚𝜔0 é a constante de amortecimento crítico. �̈�+ 2𝜁𝜔0�̇�+ 𝜔2 0u + 𝛾𝜔2 0u3 = 𝐹 𝑚𝜔2 cos(𝜔𝑡) (3.8) Reescrevendo a primeira e a segunda derivada do deslocamento na Eq. 3.8, sendo �̇� = 𝜔0𝑢 𝐼 e �̈� = 𝜔2 0𝑢 𝐼𝐼 ao considerar o admensional de tempo 𝜏 = 𝜔0𝑡, obtém-se: 𝑢𝐼𝐼 + 2𝜁𝑢𝐼 + 𝑢+ 𝛾𝑢3 = 𝐹 𝑚𝜔2 0 cos(Ω𝜏) (3.9) Capítulo 3. Avaliação de sistemas com anexo de rigidez não linear 20 a função deslocamento u(𝜏) = U cos(Ω𝜏 + 𝜑), com a primeira e a segunda derivada, 𝑢𝐼 = 𝑈 cos(Ω𝜏 + 𝜑), 𝑢𝐼𝐼 = −Ω2𝑈 cos(Ω𝜏 + 𝜑), respectivamente em relação a 𝜏 . Por simplificação 𝛼 = Ω𝜏 + 𝜑. Para a resposta livre F = 0, substituindo os termos na Eq. (3.9). −Ω2𝑈 cos𝛼− 2𝜁Ω𝑈 sin𝛼 + 𝑈 cos𝛼 + 𝛾𝑈3 cos3 𝛼 = 0 (3.10) A partir da relação trigonométrica cos3 𝛼 = 3/4 cos𝛼 + 1/4 cos(3𝛼) e cancelando o termo associada a 3𝛼, tem-se. −Ω2𝑈 cos𝛼− 2𝜁Ω𝑈 sin𝛼 + 𝑈 cos𝛼 + 3 4𝛾𝑈 3 cos𝛼 = 0 (3.11) Desprezando o amortecimento para a resposta livre, a frequência natural pode ser escrita em termos de Ω. (−Ω2 + 1 + 3 4𝛾𝑈 2)𝑈 cos𝛼 = 0 Ω = [︂ 1 + 3 4𝛾𝑈 2 ]︂ 1 2 (3.12) As funções geradas pela Eq. 3.12 são comumente denominadas “backbone curves". O nome deriva da característica da função de resposta em frequência (FRF, do inglês Frequency Response Function) que apresenta uma inclinação devido à influência não linear, como mostrado na Fig. 3.5. Existe uma infinidade de valores correspondentes para a frequência natural da estrutura não linear. 0.5 1 1.5 10-1 100 |U | Figura 3.5: Comportamento da frequência natural do sistema massa mola com a varia- ção da rigidez não linear. A inclinação da resposta foi alterada devido ao aumento da parcela não linear de 21 3.2. Comportamento de um sistema massa mola amortecedor não linear rigidez 𝛾. No caso da resposta forçada, tem-se a Eq. 3.13. −Ω2𝑈 cos𝛼− 2𝜁Ω𝑈 sin𝛼 + 𝑈 cos𝛼 + 4 3𝛾𝑈 3 cos𝛼 = 𝐹 𝑚𝜔2 0 cos(𝛼− 𝜑) (3.13) Separando a parcela referente ao amortecimento viscoso: (−Ω2 + 1 + 𝛾𝑈2)𝑈 = 𝐹 𝑚𝜔2 0 cos𝜑 (3.14) −2𝜁Ω𝑈 = 𝐹 𝑚𝜔2 0 sin𝜑 (3.15) as equações devem ser somadas, elevando-as ao quadrado. Utilizando cos2 𝜑+sin2 𝜑 = 1. [(−Ω2 + 1 + 𝛾𝑈2)𝑈 ]2 + [−2𝜁Ω𝑈 ]2 = (︃ 𝐹 𝑚𝜔2 0 )︃2 (3.16) Obtém-se o polinômio 𝑝3𝑈 3 + 𝑝2𝑈 2 + 𝑝2𝑈 + 𝑝0 = 0 para o deslocamento, cujo coeficientes são determinados. 𝑝3 = 9 6𝛾 2 (3.17) 𝑝2 = 3 2𝛾(1 − Ω2) 𝑝1 = 4Ω2𝜁2 + (1 − Ω2)2 𝑝0 = 𝐹 2 𝑚2𝜔4 0 A partir das raízes do polinômio, a função FRF não linear é encontrada. Na Fig. 3.6, a reposta em frequência apresenta uma inclinação no intervalo que corresponde à frequência natural. Ao aumentar a parcela não linear há uma amplificação deste efeito. Observe que a função de resposta do deslocamento acompanha a inclinação da frequência natural a medida que se aumenta ou diminui 𝛾. Capítulo 3. Avaliação de sistemas com anexo de rigidez não linear 22 0.5 1 1.5 10-1 100 |U | 0.5 1 1.5 10-1 100 |U | (a) (b) Figura 3.6: Função Resposta em Frequência com variação da rigidez não linear (sem amortecimento): (a) caso hardening; (b) caso softening. Na Fig. 3.7, efeitos de amortecimento são observados pela dissipação de energia principalmente próximo a frequência natural. O pico de ressonância é atenuado e há uma redução na percepção da influência não linear a medida que se aumenta 𝜁. (a) (b) Figura 3.7: Função Resposta em Frequência com variação do amortecimento viscoso: (a) caso hardening; (b) caso softening. Na próxima seção o sistema estudado apresenta três graus de liberdade. 3.2.1 Célula unitária com ressonador não linear - sistema dis- creto Numa primeira abordagem a célula unitária que compõe a estrutura periódica geral é representada como um sistema discreto. 23 3.2. Comportamento de um sistema massa mola amortecedor não linear Figura 3.8: Representação da célula unitária com ressonador não linear como um modelo discreto. Na Fig. 3.8, as massas que compõem a célula unitária são representadas por 𝑚, a rigidez por 𝑠 e o amortecimento viscoso por 𝑐. O ressonador possui massa 𝑚𝑎 e constante de amortecimento viscoso 𝑐𝑎. De acordo com o somatório de forças no sistema, tem-se: 𝑢𝐼𝐼 1 − 2𝜁(𝑢𝐼 2 − 𝑢𝐼 1) − (𝑢2 − 𝑢1) = 𝑓1 cos(Ω𝜏) (3.18) 𝑢𝐼𝐼 2 + 2𝜁(𝑢𝐼 2 −𝑢𝐼 1) + (𝑢2 −𝑢1) − 2𝜁(𝑢𝐼 3 −𝑢𝐼 2) − (𝑢3 −𝑢2) + 2𝜁𝛽𝑧𝐼 + 𝛾1𝑧+ 𝛾3𝑧 3 = 0 (3.19) 𝑢𝐼𝐼 3 + 2𝜁(𝑢𝐼 3 − 𝑢𝐼 2) + (𝑢3 − 𝑢2) = 0 (3.20) 𝜇𝑢𝐼𝐼 𝑎 − 2𝜁𝛽𝑧𝐼 − 𝛾1𝑧 − 𝛾1𝑧 3 = 0 (3.21) para chagar nas relações de movimento da célula a modelagem matemática foi feita de forma semelhante ao massa-mola-amortecedor de 1 grau de liberdade, desenvolvido anteriormente. Sendo 𝛽 = 𝑐𝑎/𝑐 e 𝜇 = 𝑚𝑎/𝑚, a razão de amortecimento e de massa do ressonador, respectivamente. Novamente 𝑧 = 𝑢2 − 𝑢𝑎, considerando movimento harmônico. −Ω2𝑈1 − 2𝑗Ω𝜁(𝑈2 − 𝑈1) − (𝑈2 − 𝑈1) = 𝐹1 (3.22) −Ω2𝑈2 + 2𝑗Ω𝜁(𝑈2 − 𝑈1) + (𝑈2 − 𝑈1) −2𝑗Ω𝜁(𝑈3 − 𝑈2) − (𝑈3 − 𝑈2) + 2𝑗Ω𝜁𝛽𝑍 + 𝛾1𝑍 + 𝐹𝑁𝐿 = 0 (3.23) −Ω2𝑈3 + 2𝑗Ω𝜁(𝑈3 − 𝑈2) + (𝑈3 − 𝑈2) = 0 (3.24) Capítulo 3. Avaliação de sistemas com anexo de rigidez não linear 24 −𝜇Ω2𝑈𝑎 − 2𝑗Ω𝜁𝛽𝑍 − 𝛾1𝑍 − 𝐹𝑁𝐿 = 0 (3.25) A força restauradora cúbica é expandida em variáveis reais e imaginárias 𝐹𝑁𝐿 = 𝐹𝑁𝐿(𝑟) − 𝑗𝐹𝑁𝐿(𝑗). Os subscritos 𝑟 e 𝑗 são as partes reais e imaginárias, respectivamente. Ao expandir a força restauradora cúbica considera-se o deslocamento relativo 𝑍: 𝐹𝑁𝐿(𝑟) = 3 4𝛾3(𝑍3 (𝑟) + 𝑍2 (𝑗)𝑍(𝑟)) (3.26) 𝐹𝑁𝐿(𝑗) = 3 4𝛾3(𝑍3 (𝑗) + 𝑍2 (𝑟)𝑍(𝑗)) (3.27) sendo 𝑍(𝑟) = (𝑈2(𝑟) −𝑈𝑎(𝑟)) e 𝑍(𝑗) = (𝑈2(𝑗) −𝑈𝑎(𝑗)) as parcelas real e imaginária referente ao deslocamento relativo do amortecedor. Todas as variáveis de deslocamento apre- sentam parte real e imaginária 𝑈 = 𝑈(𝑟) + 𝑈(𝑗) que devem ser expandidas e separadas posteriormente. −Ω2(𝑈1(𝑟) + 𝑈1(𝑗)) − 2𝑗Ω𝜁(𝑈2(𝑟) − 𝑈1(𝑟) + 𝑈2(𝑗) − 𝑈1(𝑗)) −(𝑈2(𝑟) − 𝑈1(𝑟) + 𝑈2(𝑗) − 𝑈1(𝑗)) = 𝐹1 (3.28) −Ω2(𝑈2(𝑟) + 𝑈2(𝑗)) + 2𝑗Ω𝜁(𝑈2(𝑟) − 𝑈1(𝑟) + 𝑈2(𝑗) − 𝑈1(𝑗)) +((𝑈2(𝑟) − 𝑈1(𝑟) + 𝑈2(𝑗) − 𝑈1(𝑗)) − 2𝑗Ω𝜁(𝑈3(𝑟) − 𝑈2(𝑟) + 𝑈3(𝑗) − 𝑈2(𝑗)) −(𝑈3(𝑟) − 𝑈2(𝑟) + 𝑈3(𝑗) − 𝑈2(𝑗)) + 2𝑗Ω𝜁𝛽(𝑍(𝑟) + 𝑍(𝑗)) + 𝛾1(𝑍(𝑟) + 𝑍(𝑗)) +𝐹𝑁𝐿 = 0 (3.29) −Ω2(𝑈3(𝑟) + 𝑈3(𝑗)) + 2𝑗Ω𝜁(𝑈3(𝑟) − 𝑈2(𝑟) + 𝑈3(𝑗) − 𝑈2(𝑗)) +(𝑈3(𝑟) − 𝑈2(𝑟) + 𝑈3(𝑗) − 𝑈2(𝑗)) = 0 (3.30) −𝜇Ω2(𝑈𝑎(𝑟) + 𝑈𝑎(𝑗)) − 2𝑗Ω𝜁𝛽(𝑍(𝑟) + 𝑍(𝑗)) − 𝛾1(𝑍(𝑟) + 𝑍(𝑗)) − 𝐹𝑁𝐿 = 0 (3.31) Note que para esse caso efeitos de amortecimento são considerados. As equações serão resolvidas pelo método da continuação utilizando Bertini. 3.2.2 Comparação com o método de Runge-Kutta Em condições não lineares muitas vezes utiliza-se de integração numérica empre- gando, por exemplo, o método de Runge-Kutta. Para isso, um sistema geral qualquer 25 3.2. Comportamento de um sistema massa mola amortecedor não linear pode ser escrito na forma de espaço de estados: ẏ1 = y2 (3.32) ẏ2 = g (y1,y2) (3.33) sendo y1 e y2 vetores de estados e g são as funções dos estados do sistema. A análise é realizada com o intuíto de validar a resolução obtida pelo método da continuação, propõe-se uma comparação entre as respostas dinâmicas fazendo a resolução das equa- ções diferenciais não lineares utilizando o método Runge-Kutta (RK45 de quinta ordem para estimar o erro e obter precisão de quarta ordem, com passo variável). A comparação entre os dois métodos descritos é apresentada na sequência. Inici- almente para o sistema discreto acoplado a mola não linear para 𝛾1 = 1, 𝛾3 = 10 e 𝐹1 = 0,1. Observe na Fig. 3.9 que ambos os métodos de análise foram capazes de descrever com precisão a influência não linear principalmente próximo aos intervalos de ressonância. Para o método numérico há apenas uma solução em todo intervalo (círculos vermelhos). A solução encontrada por continuação por homotopia (pontos em preto), há regiões em coexistem mais de uma solução. A inclinação gerada pela rigidez cúbica do anexo é bem representada por ambos. ~ ~ (a) (b) Figura 3.9: Função resposta em frequência para célula unitária com uma mola não linear: (a) comparação entre o método numérico (Runge Kutta) e o método da continuação (algorítimo Bertini); (b) efeito não linear próximo a uma das ressonâncias. Para a célula com ressonador o dispositivo foi ajustado para frequência específica. A massa do absorvedor 𝑚𝑎 foi assumida como sendo 50% da massa do sistema 𝑚, logo, 𝜇 = 0,50. Para a parcela linear do ressonador 𝛾1 = 5, o amortecimento viscoso no sistema primário foi considerado fixo nas simulações 𝜁 = 0,01. Altera-se o valor de 𝛾3 para se observar influência não linear. Capítulo 3. Avaliação de sistemas com anexo de rigidez não linear 26 Novamente ambos os métodos de análise foram capazes de descrever com precisão a influência não linear principalmente próximo ao intervalo de ressonância do absorvedor, como mostrado na Fig. 3.10. O método numérico apresenta uma solução em todo intervalo (círculos vermelhos) e na solução por continuação (pontos em preto) há regiões em coexistem mais de uma solução. O ressonador de vibração abriu um intervalo de atenuação na região em que foi sintonizado, atenuando a ressonância nessa região. ~ Figura 3.10: Função resposta em frequência para célula unitária com ressonador não linear: (a) comparação entre o método numérico (Runge Kutta) e o método da conti- nuação (algorítimo Bertini); (b) efeito não linear próximo a uma das ressonâncias. Explicação dos métodos utilizados: O método de Runge-Kutta é um dos mais utilizados para obter soluções aproximadas de valor inicial. O método de Runge-Kutta permite eliminar o cálculo das derivadas, fazendo-se várias avaliações da função a cada passo. O método de Runge-Kutta pode ser entendido como um aperfeiçoamento do método de Euler, com uma melhor estimativa da derivada da função (do Valle et al., 2012). No método de Runge-Kutta, busca- se uma melhor estimativa da derivada com a avaliação da função em mais pontos no intervalo. De modo geral, se calcula a solução por um esquema de quarta ordem e um de quinta ordem e pela comparação dos valores podemos obter não só o erro local como também uma estimativa para o incremento h ideal, estabelecendo um esquema adaptativo. Assim, num esquema em que o valor de h varia automaticamente a partir de um valor de tolerância imposto pelo usuário. A ordem do método indica o número de pontos usado em um subintervalo para determinar o valor da inclinação (Gilat and Subramaniam, 2009). O BertiniLab é uma interface MATLAB para Bertini, que consiste em um soluci- onador de uso geral para sistemas de equações polinomiais. Bertini pode encontrar soluções isoladas e soluções de dimensão positiva usando continuação por homotopia. Bertini usa multiprecisão adaptativa e fornece valores para calcular raízes singulares com precisão. Ele também tem métodos de continuação de parâmetros eficientes para 27 3.2. Comportamento de um sistema massa mola amortecedor não linear famílias de sistemas que são relacionados por um ou mais parâmetros. Teoria de homotopia é uma das ramos da matemática que surge com a noção de grupos de homotopia introduzidos. A teoria da homotopia é um estudo sistemático de situações em que os mapas vêm com homotopias entre eles. Sabe-se que, se existir uma função contínua entre os espaços topológicos, significa que são homotópicos (Vick, 2012). Na teoria da homotopia, normalmente não se trabalha com um espaço topológico arbitrário. Em vez disso, presume-se que um espaço é um espaço razoável, que pode significar que é um espaço gerado compactamente e cujos dois pontos distintos quaisquer têm vizinhanças disjuntas, ou que é um complexo. Em resumo, o conceito de homotopia é baseado na ideia de deformar continuamente uma aplicação contínua em outra (uma função em outra). Nesse sentido, surge a concep- ção de homotopia de caminhos, que é a definição de homotopia adicionada as condições de que os caminhos têm o mesmo ponto inicial e o mesmo ponto final e, para cada tempo fixado da deformação, a homotopia é um caminho de mesmos pontos inicial e final (Aguilar et al., 2002; Hu, 1959; Nirenberg, 1983). No MATLAB defini-se um sistema de equações de parte real e imaginária. Utilizou- se da função polysym que emula alguns dos recursos para as variáveis de deslocamento da equação. A função polysystem.solve considera as variáveis de deslocamentos definidas simbolicamente na solução das equações de deslocamento. Capítulo 4 Estudo de um sistema contínuo Este capítulo apresenta o estudo de uma barra contínua com acoplamento não linear (mola e ressonador). A rigidez empregada é do tipo cúbica. As equações de movimento são obtidas por meio do método dos elementos espectrais. A modelagem descreve o comportamento dinâmico da barra linear uniforme em vi- bração longitudinal com comprimento 2𝑙. As extremidades esquerda (𝑥 = 0) e direita (𝑥 = 2𝑙) estão livres, sendo que a extremidade esquerda está sujeita a uma força de mag- nitude 𝐹1. Nos problemas estudados, a mola e o ressonador não linear são conectados na posição central da barra 𝑢2. 4.1 Análise de um sistema contínuo A modelagem matemática é realizada com base na avaliação das forças atuantes num elemento infinitesimal da barra. A Fig. 4.1 mostra o diagrama de corpo livre de um infinitesimal de comprimento 𝑑𝑥. Z 0 dx x l x Posição de Equilibrio Posição deformada P P + dP u+duu dx (a) (b) Figura 4.1: Barra sujeita a vibração longitudinal: (a) sistema de coordenadas na barra, (b) forças atuantes num elemento infinitesimal de comprimento 𝑑𝑥. As forças resultantes na seção transversal do elemento, são 𝑃 e 𝑃 + 𝑑𝑃 . Da relação entre força e deformação deformação, 𝑃 = 𝜎𝐴 = 𝐸𝐴(𝜕𝑢/𝜕𝑥), sendo 𝜎 a tensão axial, 𝐸 o módulo de Young e 𝜕𝑢/𝜕𝑥 a deformação axial. O somatório de forças na porção infinitesimal dx resulta: 29 4.1. Análise de um sistema contínuo 𝑃 (𝑥,𝑡) + 𝑑𝑃 − 𝑃 (𝑥,𝑡) = 𝜌𝐴 𝜕2𝑢 𝜕𝑡2 𝑑𝑥 𝑑𝑃 = 𝜌𝐴 𝜕2𝑢 𝜕𝑡2 𝑑𝑥 (4.1) onde 𝜌 é a densidade do material. Substituindo a igualdade 𝑑𝑃 = (𝜕𝑃/𝜕𝑥)𝑑𝑥 todos os termos da Eq. 4.1 apresentam 𝑑𝑥, logo: 𝜕𝑃 𝜕𝑥 = 𝜌𝐴 𝜕2𝑢 𝜕𝑡2 (4.2) a equação do movimento para a vibração longitudinal da barra uniforme (E, A, 𝜌, constantes) pode ser expressa. 𝐸𝐴 𝜕2𝑢 𝜕𝑥2 (𝑥,𝑡) = 𝜌𝐴 𝜕2𝑢 𝜕𝑡2 (𝑥,𝑡) (4.3) Substituindo 𝑢′′ = 𝜕2𝑢(𝑥,𝑡)/𝜕𝑥2 e �̈� = 𝜕2𝑢(𝑥,𝑡)/𝜕𝑡2 na Eq. 4.3 e as derivadas em relação ao espaço e tempo, obtém-se a Eq. 4.4. 𝐸𝐴𝑢′′ − 𝜌𝐴�̈� = 0 𝑥 𝜖 ]0,2𝑙[ (4.4) Logo, para a barra uniforme e não amortecida, sua equação governante local pode ser escrita. 𝑢′′ − 𝜌 𝐸 �̈� = 0 𝑥 𝜖 ]0,2𝑙[ (4.5) As condições de contorno para as extremidades esquerda (𝑥 = 0), posição central (𝑥 = 𝑙) e extremidade direita (𝑥 = 2𝑙), são dadas por: 𝐸𝐴𝑢′(0,𝑡) = 𝑓1, 𝐸𝐴𝑢′(𝑙,𝑡) = 𝑓𝑠, 𝐸𝐴𝑢′(2𝑙,𝑡) = 0, (4.6) onde 𝑓1 é a força externa que atua na extremidade esquerda e 𝑓𝑠 a força de restauração da mola ou ressonador conectado. Para movimento harmônico 𝑓1(𝑡) = 𝐹1 cos(𝜔𝑡), portanto, a solução particular do deslocamento foi escrita como 𝑢 = 𝑢(𝑥,𝑡) = 𝑈(𝑥) cos(𝜔𝑡). A solução da Eq. 4.5 pode ser obtida através do método de separação de variáveis. Para o método de separação a deformação foi reescrita como 𝑢(𝑥,𝑡) = 𝑈(𝑥) · 𝑇 (𝑡), sendo 𝑈 = 𝑈(𝑥) e 𝑇 = 𝑇 (𝑡), funções de x e t, respectivamente. Nesse ponto, uma relação dependente apenas da posição foi obtida, escreve-se a relação 𝜕2𝑢/𝜕𝑥2 = (𝑑2𝑈/𝑑𝑥2)𝑇 (𝑡) para o espaço e 𝜕2𝑢/𝜕𝑡2 = 𝑈(𝑥)(𝑑2𝑇/𝑑𝑡2) correspondente ao tempo. 𝐸 𝜌𝑈 𝑑2𝑈 𝑑𝑥2 = − 1 𝑇 𝑑2𝑇 𝑑𝑡2 (4.7) Na Eq. 4.7 o lado esquerdo depende apenas da posição (x) e o lado direito somente de (t), seu valor comum é uma constante representada por um número negativo −𝜔2. Capítulo 4. Estudo de um sistema contínuo 30 Logo, reescreve a Eq. 4.7 como duas igualdades separadas. 𝑑2𝑈(𝑥) 𝑑𝑥2 + 𝜔2𝜌 𝐸 𝑈(𝑥) = 0 (4.8) 𝑑2𝑇 (𝑡) 𝑑𝑡2 + 𝜔2𝑇 (𝑡) = 0 (4.9) A constante 𝜔 representa a própria frequência de vibração da barra. O número de onda da barra sujeita a vibração longitudinal 𝑘 = 𝜔 √︁ 𝜌/𝐸, portanto: 𝑈 ′′ − 𝑘2𝑈 = 0 𝑥 𝜖 ]0,2𝑙[ (4.10) e a solução geral do deslocamento é definida na Eq. 4.11. 𝑈 = 𝐶1 cos(𝑘𝑥) + 𝐶2 sin(𝑘𝑥) (4.11) Sendo 𝐶1 e 𝐶2 constantes, determinadas com base nas condições de contorno da barra, em (𝑥 = 0), (𝑥 = 𝑙) e (𝑥 = 2𝑙). As constantes serão obtidas com base na Eq. 4.6 no domínio da frequência: 𝐸𝐴𝑈 ′ 1 = 𝐹1, 𝐸𝐴𝑈 ′ 2 = 𝐷(𝑈2)𝑈2, 𝐸𝐴𝑈 ′ 3 = 0 (4.12) onde 𝑈1 = 𝑈(0), 𝑈2 = 𝑈(𝑙) e 𝑈3 = 𝑈(2𝑙) são os delocamentos nas respectivas posições da barra. A rigidez dinâmica 𝐷𝑎 = 𝐷(𝑈2) = 𝑠1 ± (3/4)𝑠3𝑈(𝑙)2 para a mola e 𝐷𝑎 = 𝐷(𝑈2) = −𝜔2𝑚 + 𝑠1 ± (3/4)𝑠3𝑍 2 para o ressonador, sendo 𝑍 = 𝑈(𝑙) − 𝑈(𝑎) e 𝑈(𝑎) o deslocamento da massa do absorvedor (posição 𝑎), ver seção 3.1. 4.1.1 Vibração livre Nessa seção a extremidade esquerda não possui força externa atuante, logo, 𝐹1 = 0. Deseja-se investigar a influência da não linearidade local na variação das frequências naturais da célula unitária. Da solução geral para o deslocamento Eq. 4.11 junto as condições de contorno da barra Eq. 4.12, na posição 𝑥 = 0, tem-se 𝐶2 = 0. Substituindo 𝐶2 na condição de contorno referente a posição 𝑥 = 𝑙, obtém-se: 𝐸𝐴𝑘 sin(𝑘𝑙)𝐶1 = 𝐷𝑎𝑈2, 𝐶1 = − 𝐷𝑎 𝐸𝐴𝑘 sin(𝑘𝑙)𝑈2 (4.13) utilizando a Eq. 4.11 determina-se o deslocamento para posição do anexo de rigidez não linear. 𝑈2 = 𝐷𝑎 cos(𝑘𝑙) 𝐸𝐴𝑘 sin(𝑘𝑙)𝑈2 (4.14) 31 4.1. Análise de um sistema contínuo Simplificando os termos 𝑈2 que aparecem. tan(𝑘𝑙) = 𝐷𝑎 𝐸𝐴𝑘 (4.15) Para a célula unitária com a mola não linear, obtém-se a Eq. 4.16: tan(𝑘𝑙) = 𝐷𝑎 𝐸𝐴𝑘 = 𝑠1 𝐸𝐴𝑘 ± 3 4 𝑠3 𝐸𝐴𝑘 𝑈2 2 tan(𝑘𝑙) = 𝛾1 𝑘𝑙 ± 3 4 𝛾3 𝑘𝑙 𝑈2 2 (4.16) sendo 𝛾1 = 𝑠1𝑙/𝐸𝐴 e 𝛾3 = 𝑠3𝑙 3/𝐸𝐴 os coeficientes linear e não linear adimensionais da mola. Para o caso linear 𝛾3 = 0, a Eq. 4.16 da frequência se reduz. tan(𝑘𝑙) = 𝛾1 𝑘𝑙 (4.17) As curvas obtidas com as variações das frequências naturais, em função do desloca- mento são denominadas curvas 𝑏𝑎𝑐𝑘𝑏𝑜𝑛𝑒𝑠. Novamente dois casos são avaliados 𝛾3 > 0 (mola hardening) e 𝛾3 < 0 (mola softening). Ao modelar a célula unitária com ressona- dor não linear, tem-se a Eq. 4.18: tan(𝑘𝑙) = −𝜔2𝑚 𝑘𝑙 + 𝛾1 𝑘𝑙 ± 3 4 𝛾3 𝑘𝑙 𝑍2 2 (4.18) e para o caso linear (𝛾3 = 0): tan(𝑘𝑙) = −𝜔2𝑚 𝑘𝑙 + 𝛾1 𝑘𝑙 (4.19) 4.1.2 Vibração forçada As propriedades dinâmicas da célula unitária são descritas por meio da matriz de rigidez dinâmica que relaciona forças e deslocamentos. As respostas são apresentadas como funções no domínio da frequência (FRFs). Condições de contorno são avaliadas junto às equações de deslocamento desenvolvidas nas seções anteriores, assim, escreve-se a igualdade matricial. ⎡⎢⎢⎢⎣ 𝐷1 𝐷2 0 𝐷2 2𝐷1 +𝐷𝑎 𝐷2 0 𝐷2 𝐷1 ⎤⎥⎥⎥⎦ ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩ 𝑈1 𝑈2 𝑈3 ⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭ = ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩ 𝐹1 0 0 ⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭ (4.20) As condições de contorno da barra, para extremidade esquerda (𝑥 = 0) e central (𝑥 = 𝑙), são expressas por: −𝐸𝐴𝑈 ′ 1 = 𝐹1 (4.21) Capítulo 4. Estudo de um sistema contínuo 32 −𝐸𝐴𝑈 ′ 2 = 𝐷𝑎𝑈2 (4.22) da solução geral do deslocamento junto a Eq. 4.21, determina-se 𝐶1 e 𝐶2. −𝐸𝐴𝑘𝐶2 = 𝐹1, 𝐶2 = − 𝐹1 𝐸𝐴𝑘 (4.23) −𝐸𝐴𝑘[−𝐶1 sin(𝑘𝑙) + 𝐶2 cos(𝑘𝑙)] = 𝐷𝑎𝑈2, 𝐶1 = 𝐷𝑎𝑈2 − 𝐹1 cos(𝑘𝑙) 𝐸𝐴𝑘 sin(𝑘𝑙) (4.24) A solução geral pode ser reescrita substituindo 𝐶1 e 𝐶2. 𝑈(𝑥) = 𝐷𝑎𝑈2 − 𝐹1 cos(𝑘𝑙) 𝐸𝐴𝑘 sin(𝑘𝑙) cos(𝑘𝑥) − 𝐹1 𝐸𝐴𝑘 sin(𝑘𝑥) (4.25) Para determinação dos valores 𝐷1 e 𝐷2 da matriz de rigidez dinâmica, sucede-se para 𝑥 = 0 a condição: 𝐷𝑎𝑈2 = 𝐹1 cos(𝑘𝑙) + 𝑈1𝐸𝐴𝑘 sin(𝑘𝑙) (4.26) e para posição 𝑥 = 𝑙: 𝑈2 = 𝐷𝑎𝑈2 cos(𝑘𝑙) 𝐸𝐴𝑘 sin(𝑘𝑙) − 𝐹1 𝐸𝐴𝑘 [cos2(𝑘𝑙) + sin2(𝑘𝑙)] 𝐹1 = 𝐷𝑎𝑈2 cos(𝑘𝑙) − 𝑈2𝐸𝐴𝑘 sin(𝑘𝑙) (4.27) substituindo a Eq. 4.27 na Eq. 4.21 e com a relação sin2(𝑘𝑙) = 1 − cos2(𝑘𝑙). 𝐹1[1 − 𝑐𝑜𝑠2(𝑘𝑙)] = 𝑈1𝐸𝐴𝑘 sin(𝑘𝑙) cos(𝑘𝑙) − 𝑈2𝐸𝐴𝑘 sin(𝑘𝑙) 𝐸𝐴𝑘 cos(𝑘𝑙) sin(𝑘𝑙)𝑈1 − 𝐸𝐴𝑘 sin(𝑘𝑙)𝑈2 = 𝐹1 (4.28) Note que a Eq. 4.28 se assemelha a primeira linha da matriz de rigidez dinâmica, com 𝐷1𝑈1 + 𝐷2𝑈2 = 𝐹1. Portanto, os elemento 𝐷1 = 𝐸𝐴𝑘 cot(𝑘𝑙) e 𝐷2 = −𝐸𝐴𝑘/ sin(𝑘𝑙) são definidos de acordo com a Eq. 4.28. Dada a matriz de rigidez dinâmica três equações são provenientes (𝐷𝑎 representa a rigidez do anexo não linear definida anteriormente). 𝐷1𝑈1 +𝐷2𝑈2 = 𝐹1, 𝑈1 = 𝐹1 −𝐷2𝑈2 𝐷1 (4.29) 𝐷2𝑈2 +𝐷1𝑈3 = 0, 𝑈3 = −𝐷2𝑈2 𝐷1 (4.30) 33 4.1. Análise de um sistema contínuo 𝐷2𝑈1 + (2𝐷1 +𝐷𝑎)𝑈2 +𝐷2𝑈3 = 0 (4.31) Pode-se substituir os valores encontrados para os elementos de rigidez dinâmica 𝐷1 e 𝐷2. 𝑈1 = 𝐹1 sin(𝑘𝑙) + 𝐸𝐴𝑘𝑈2 𝐸𝐴𝑘 cot(𝑘𝑙) sin(𝑘𝑙) (4.32) 𝑈2 = 𝐸𝐴𝑘𝐹1 cot(𝑘𝑙) sin(𝑘𝑙) 2𝐸𝐴𝑘 cot2(𝑘𝑙) sin2(𝑘𝑙) +𝐷𝑎 cot(𝑘𝑙) sin2(𝑘𝑙) − 2𝐸𝐴𝑘 (4.33) 𝑈3 = 𝑈2 cot(𝑘𝑙) sin(𝑘𝑙) (4.34) A partir deste ponto pode-se obter um polinômio dependente da variável de des- locamento que se desejar. Os coeficientes (𝑝0, 𝑝1 e 𝑝3) do polinômio definem a função deslocamento para a barra e podem ser determinados, de forma semelhante ao realizado anteriormente, para o caso de 1 grau de liberdade. 𝑝3𝑈 3 + 𝑝2𝑈 2 + 𝑝1𝑈 + 𝑝0 = 0 (4.35) Na metodologia polinomial apenas as raízes reais são consideradas, as soluções com- plexas não apresentam significado físico para essa análise (note que as raízes da equação cúbica representam as amplitudes de deslocamento de um sistema mecânico, o que sig- nifica que devem ter valores reais). Em alguns intervalos do gráfico o polinômio produz três raízes reais, e portanto, uma região de frequência onde o deslocamento compartilha três valores diferentes. Para a maioria das regiões da função, a solução apresentará múltiplos valores reais com raízes iguais. Efeitos de amortecimento estrutural serão considerados posteriormente no Capítulo 5 através de um fator de perda 𝜂. Nesse caso, o módulo de Young será complexo, ou seja, 𝐸 = 𝐸𝑏(1 + 𝑗𝜂) onde j é a unidade imaginária e 𝐸𝑏 o módulo de Young do material da barra. Isso significa que o número de onda também será complexo. Desse modo, emprega-se um algoritmo de continuação por homotopia para solução polinômal utilizando o software Bertini. Por hora, os efeitos de amortecimento foram desprezados. As funções de resposta com o método polinomial representam o comportamento multimodo (várias ressonâncias) da célula unitária em uma ampla faixa de frequência. A análise de um conjunto de dados agregados a um número arbitrário (𝑛) de fontes não lineares, para um sistema não amortecido, envolve uma equação polinomial da ordem 3𝑛, cuja solução pode ser complexa. Por exemplo, a avaliação da resposta de um sistema sem considerar o amortecimento com duas e três molas envolve polinômios da ordem 9 e 27, respectivamente, como mostrado por Santo et al. (2020). Em todos os casos, uma determinação analítica dos coeficientes da equação polinomial não é direta por conta do Capítulo 4. Estudo de um sistema contínuo 34 grande número de coeficientes. A solução do polinômio foi alcançada através da função roots no software MATLAB. As respostas obtidas através do método polinomial para o sistema contínuo estão nas Figs. 4.2 e 4.3, para 𝛾3 > 0 (mola hardening) e 𝛾3 < 0 (mola softening), respectivamente. A função é dependente do número de onda e comprimento da barra. A resposta do sistema de parâmetros distribuídos apresenta infinitos picos de res- sonância em razão do número infinito de graus de liberdade da análise. Os intervalos destacados (regiões em azul) mostram as faixas de frequência em que coexistem mais de uma solução para o deslocamento. As linhas azuis mostram que as frequências naturais do sistema aumentam Fig. 4.2(b) e as linhas vermelhas mostram que as frequências naturais diminuem Fig. 4.3(b), quando 𝑈3 aumenta. As frequências de ressonância na curva não linear foram transladadas no intervalo. No caso hardening para altas frequências o que gerou alguns ganhos em intervalos de baixa frequência em relação à mola linear. (a) (b) Figura 4.2: Função receptância 𝑘𝑙 ↦→ |𝑈3|, quando 𝛾1 = 1, 𝛾3 = 100 e 𝐹1 = 0,1 - linha preta contínua: (a) a linha tracejada mostra a função de resposta quando 𝛾3 = 0 (caso linear); (b) as linhas azuis contínuas mostram a variação das frequências naturais. Observe que na Fig. 4.2(a) os valores de deslocamento para o caso não linear se dis- tanciam em relação a linha tracejada (caso linear). Nesse sentido, começam a aparecer bandas em baixa frequência onde os níveis de vibração permanecem um pouco mais ate- nuados, quando se desloca a função. Tal condição é interessante sobre a ótica de como a rigidez não linear pode influenciar os valores de deslocamento. Essa ideia será mos- trada com mais detalhes no Capítulo 5 nas funções de transmissibilidade destacando as regiões de bandgap gerados. Nessa etapa os efeitos de amortecimento não foram levados em consideração, os picos de ressonância do sistema atingem valores infinitos. 35 4.1. Análise de um sistema contínuo (a) (b) Figura 4.3: Função receptância 𝑘𝑙 ↦→ |𝑈3|, quando 𝛾1 = 1, 𝛾3 = −10 e 𝐹1 = 0,1 - linha preta contínua: (a) a linha tracejada mostra a função de resposta quando 𝛾3 = 0 (caso linear); (b) as linhas vermelhas contínuas mostram a variação das frequências naturais. Observe que para o caso softening a rigidez não linear é tomada como negativa. Nos casos subsequentes um ressonador não linear é anexado. Nesse sentido, uma região de atenuação é gerada no ponto de sintonização do dispositivo, os efeitos não lineares estão presentes. Novamente os intervalos destacados (regiões em azul) na Fig. 4.4 mostram as faixas de frequência em que coexistem mais de uma solução para o deslocamento. As resso- nâncias produzidas pela presença do ressonador foram deslocadas no intervalo devido a não linearidade associada ao dispositivo. As curvas backbones são plotadas mostrando o deslocamento das ressonâncias para os dois casos, hardening Fig. 4.4 e softening Fig. 4.5. A abordagem polinomial fez uso de soluções de forma fechada da equação de movi- mento da barra presa a uma mola e um ressonador não linear, o que levou a equações polinomiais cúbicas escalares. Capítulo 4. Estudo de um sistema contínuo 36 (a) (b) Figura 4.4: Função receptância 𝑘𝑙 ↦→ |𝑈3|, quando 𝜇 = 0,1, 𝛾1 = 1, 𝛾3 = 100 e 𝐹1 = 0,1 - linha preta contínua: (a) a curva tracejada mostra a função de resposta quando 𝛾3 = 0 (caso linear), (b) as linhas azuis contínuas mostram a variação das frequências naturais. (a) (b) Figura 4.5: Função receptância 𝑘𝑙 ↦→ |𝑈3|, quando 𝜇 = 0,1, 𝛾1 = 1, 𝛾3 = −10 e 𝐹1 = 0,1 - linha preta contínua: (a) a curva tracejada mostra a função de resposta quando 𝛾3 = 0 (caso linear), (b) as linhas vermelhas contínuas mostram a variação das frequências naturais. Para destacar a precisão da abordagem proposta, comparações com o método de continuação e numérico serão feitas, para o caso hardening, no Capítulo 5. Será mostrado que as curvas de receptância emitidas pelo método polinomial correspondem de perto ao comportamento obtido pelo método de continuação e numérico. Capítulo 5 Influência da rigidez não linear na função de transmissibilidade Neste capítulo, os efeitos não lineares na célula unitária (sistema contínuo) são mos- trados com base no conceito de transmissibilidade. Mecanismos de amortecimento são incorporados na estrutura sujeita a vibração longitudinal. Os resultados são compa- rados com o caso linear. A não linearidade é representada por uma função de rigidez dinâmica obtida usando o equilíbrio harmônico de primeira ordem. Cada seção deste capítulo contém as análises e resultados de cada modelo estudado. 5.1 Função transmissibilidade para o caso linear A célula unitária com ressonador é representada na Fig. 5.1. Aqui é introduzido amortecimento estrutural através de um fator de perda associado ao módulo de elas- ticidade da barra, portanto, 𝐸 = 𝐸𝑏(1 + 𝜂). Em paralelo a mola, um amortecimento viscoso é considerado, sendo 𝑐 a constante de amortecimento. Figura 5.1: Representação da célula unitária do sistema periódico com amortecimento. A matriz de transmissibilidade da célula unitária relaciona os vetores de forças ex- ternas e deslocamentos nos terminais de saída de cada lado (esquerdo e direito). Capítulo 5. Influência da rigidez não linear na função de transmissibilidade 38 𝜓dir = Tcel𝜓esq (5.1) Sendo 𝜓 = [𝐹 𝑈 ]𝑇 o vetor de estado que define as forças e deslocamentos. Subdi- vidindo a estrutura ao meio, a matriz de transferência Tcel é calculada considerando a configuração da Fig. 5.1 e pode ser encontrada a partir da matriz de rigidez dinâmica do sistema. ⎡⎣ 𝐷11 𝐷12 𝐷21 𝐷22 ⎤⎦⎧⎨⎩ 𝑈1 𝑈2 ⎫⎬⎭ = ⎧⎨⎩ 𝐹1 𝐹2 ⎫⎬⎭ ⇒ ⎡⎣ 𝑇11 𝑇12 𝑇21 𝑇22 ⎤⎦⎧⎨⎩ 𝐹1 𝑈1 ⎫⎬⎭ = ⎧⎨⎩ 𝐹2 𝑈2 ⎫⎬⎭ (5.2) No esquema da Fig. 5.2 são exemplificadas as transformações entre a admitância, transmissão e impedância, segundo Rubin que serão utilizadas para o caso linear (Rubin, 1967). Figura 5.2: Transformações das matrizes de admitancia, transmissão e impedancia (Ru- bin, 1967) Dessa forma pode-se obter a transformação e encontrar a matriz de transmissão da célula unitária, Eq. 5.3. 𝑇 = ⎡⎣ −𝐷22𝐷 −1 12 𝐷22𝐷 −1 12 𝐷11 −𝐷21 𝐷−1 12 −𝐷−1 12 𝐷11 ⎤⎦ = ⎡⎣ −𝐷1𝐷 −1 2 𝐷1𝐷 −1 2 𝐷1 −𝐷2 𝐷−1 2 −𝐷−1 2 𝐷1 ⎤⎦ (5.3) A transmissibilidade da célula unitária é definida como a razão entre o deslocamento no lado direito (final) e esquerdo (início) da estrutura, quando uma força é aplicada no 39 5.1. Função transmissibilidade para o caso linear lado esquerdo. Nesse sentido, a Eq. 5.4 de transmissibilidade pode ser escrita. 𝑇𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 = 𝑈3 𝑈1 = 1 𝑇𝑐𝑒𝑙𝑢𝑙𝑎(1,1) (5.4) Quando a célula unitária é simétrica, a transmissibilidade depende apenas do termo da primeira linha e primeira coluna da matriz de transferência, portanto, 𝑇𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎(1, 1). A atenuação de vibrações acontece quando os valores da função de transmissibilidade são menores do que 100 ou seja |𝑇𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎| < 1, isso significa que os deslocamentos no final da barra (lado direito) são menores do que no início da estrutura (lado esquerdo). Tais faixas correspondem a bandgaps estruturais por conta da configuração simétrica e periódica do sistema. Quando |𝑇𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎| > 1, correspondendo a um intervalo onde as ondas podem se propagar sem atenuação (Mead, 1975). Neste caso, a solução do polinômio característico obtido do problema de autovalor definido pelas matrizes de transferência permitem o cálculo dos autovalores do sistema, resultando nas curvas Fase e Atenuação. 𝜆(1,2) = 1 𝑇 ± √︃ 1 𝑇 2 − 1 (5.5) Quando o amortecimento é desprezado, 𝑇 é uma função com valor real. Portanto, se a transmissibilidade |𝑇 | ≤ 1, os dois autovalores são reais, correspondendo a uma banda de atenuação, e quando |𝑇 | > 1, os dois autovalores tornam-se pares complexos, correspondendo a uma faixa onde as ondas podem se propagar sem atenuação. Em suma, a Eq. 5.5 fornece informações sobre o comportamento da estrutura periódica completa com base na resposta de um elemento de célula unitária. Para a estrutura anexada à mola linear os valores mínimos da função são dados pela Eq. 5.6. 𝑇𝑚 = (︃ 1 + (︂ 𝑠1 𝐸𝐴𝑘 )︂2 )︃−1/2 (5.6) Nas Figs. 5.3 e 5.4 os quadrados vermelhos representam o início da frequência de bandgap, espaçados de 𝜋. Os círculos azuis representam o final da frequência de bandgap. Nesse capítulo os resultados são apresentados na unidade de medida decibel (dB). As regiões destacadas em azul representam os intervalos de bandgaps da função de transmissão. Note que eles são determinados pelos quadrados vermelhos (início da frequência de bandgap) e círculos azuis (final da frequência de bandgap). Nessas regiões a função transmissibilidade em dB apresenta valores menores do que zero (linha pon- tilhada), o que é equivalente a |𝑇𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎| < 1, ver Fig. 5.3(c) e (d). Portanto, as faixas de frequência representam regiões onde as ondas não podem se propagar livremente (banda de atenuação) e os deslocamentos no final da estrutura são menores do que a entrada. Para as demais regiões de frequência as ondas podem se propagar sem atenua- Capítulo 5. Influência da rigidez não linear na função de transmissibilidade 40 ção na estrutura, correspondendo principalmente aos picos da transmissão. As funções de fase e atenuação acompanham as bandas de atenuação e passagem da transmissão, ver Fig. 5.3(a) e (b). Observe que conforme a frequência aumenta as regiões em des- taque (faixas em azul) e os níveis de atenuação (linha preta contínua) vão diminuindo proporcionalmente. Por fim, note que nos pontos onde as curvas das Fig. 5.3(e) e (f) se tocam são responsáveis por determinar o início e fim das regiões de bandgap estru- tural. Para as Figs. 5.3(a), (c) e (e) a rigidez linear do anexo possui valor 𝛾1 = 10. Nas Figs. 5.3(b), (d) e (f) aumentou-se a rigidez linear do anexo para 𝛾1 = 50. Note que as regiões de bandgap sofreram um proporcional aumento e as faixas de propagação livres de ondas diminuiram. Nesse sentido os níveis de atenuação também aumentaram. Para a estrutura com o ressonador anexado um novo bandgap foi gerado na frequência de sintonização do dispositivo. Na zona de atenuação na qual o dispositivo foi sintoni- zado os níveis de transmissão são muito baixos. Com o aumento da rigidez e massa do ressonador o intervalo de suspensão de ondas fica ainda mais extenso. 41 5.1. Função transmissibilidade para o caso linear (a) (b) (c) (d) (e) (f) Figura 5.3: Resposta linear: (a) atenuação - linha preta contínua, fase - linha vermelha tracejada, para 𝛾1 = 10; (b) para 𝛾1 = 50; (c) Transmissibilidade dB (𝑈3/𝑈1) - linha contínua, mínimos - linha preta tracejada, para 𝛾1 = 10; (d) para 𝛾1 = 50; (e) Receptân- cia (𝑈1/𝐹1) início da estrutura - linha preta contínua e (𝑈3/𝐹1) final da estrutura - linha vermelha contínua, para 𝛾1 = 10; (f) para 𝛾1 = 50. Quadrados vermelhos representam o início e os circulos azuis o final das frequências de bandgap. Capítulo 5. Influência da rigidez não linear na função de transmissibilidade 42 (a) (b) (c) (d) (e) (f) Figura 5.4: Resposta linear: (a) atenuação - linha preta contínua, fase - linha vermelha tracejada, para 𝛾1 = 10 e 𝜇 = 0,5; (b) para 𝛾1 = 50 e 𝜇 = 2,5; (c) Transmissibilidade dB (𝑈3/𝑈1) - linha contínua, mínimos - linha preta tracejada, para 𝛾1 = 10 e 𝜇 = 0,5; (d) para 𝛾1 = 50 e 𝜇 = 2,5; (e) Receptância (𝑈1/𝐹1) início da estrutura - linha preta contínua e (𝑈3/𝐹1) final da estrutura - linha vermelha contínua, para 𝛾1 = 10 e 𝜇 = 0,5; (f) para 𝛾1 = 50 e 𝜇 = 2,5. Quadrados vermelhos representam o início e os circulos azuis o final das frequências de bandgap. 43 5.1. Função transmissibilidade para o caso linear As discussões geradas anterioremente para a estrutura acoplada a uma mola linear são válidas para este caso. Na Fig. 5.5 variou-se os parâmetros do anexo linear. Nova- mente com o aumento da rigidez linear 𝛾1 as regiões de atenuação aumentaram. Observe que a magnitude do deslocamento diminui na função de transmissão com o aumento de 𝛾1. Nesse sentido os possíveis intervalos de bandgaps (regiões em que a magnitude do deslocamento fica abaixo da linha pontilhada, zero da função) são amplificados, esten- dendo as zonas de atenuação. Para o caso com ressonador anexado o efeito é semelhante e o aumento dos intervalos de suspensão foram proporcionais ao aumento da robustez do dispositivo. Contudo, isso implica no acréscimo de massa do absovedor e consequente- mente na célula unitária da estrutura, o que muitas das vezes não é viável para soluções de engenharia. Nesse contexto a rigidez não linear associada ao ressonador pode pro- duzir efeitos benéficos amplificando as zonas de controle de vibração sem acréscimo de grande massa na estrutura. Por fim, note que os pontos de início do bandgap (quadrados vermelhos) não sofreram alteração com a variação dos parâmetros do anexo linear. (a) (b) Figura 5.5: Resposta linear com alteração dos parâmetros do anexo: (a) variação da razão de rigidez da mola anexada 𝛾1; (b) variação da razão de rigidez 𝛾1 e massa 𝜇 do absorvedor anexado. Para o caso não linear o método polinomial foi utilizado para a estrutura sem amorte- cimento. No caso da célula anexada a uma mola não linear a função Transmissibilidade sofreu efeitos principalmente próximo as ressonâncias, ver Fig. 5.6. A rigidez não linear proporcionou um pequeno aumento na largura da zona de atenuação próxima ao pri- meiro pico da função de transmissão, contudo nessa região o sistema passa a apresentar três amplitudes possíveis. Observe que os pontos que representam o fim das frequên- cias de bandgap não sofreram alteração em comparação com o caso linear, pois estão relacionados somente com a rigidez linear. A resposta mostrada na Fig. 5.6 foi obtida através do método polinomial. Capítulo 5. Influência da rigidez não linear na função de transmissibilidade 44 Houve um pequeno aumento por conta da rigidez não linear, o sistema apresenta três amplitudes nessa região Essas frequências dependem exclusivamente da rigidez linear s1 pois não estão relacionadas com uma ressonância Figura 5.6: Transmissibilidade quando 𝛾1 = 1, 𝛾3 = 1000 - linha preta contínua. A linha tracejada em preto representa o caso linear, a linha tracejada vermelha representa o ramo instável da função. Os círculos azuis mostram o final das frequêcnias de bandgap. 5.1.1 Transmissibilidade não linear com amortecimento A influência não linear na transmissibilidade da célula unitária é avaliada com mais detalhes. O método da matriz de transferência descrito anteriormente não pode ser usado devido à interdependência dos graus de liberdade estrutural. A rigidez do anexo é 𝐷𝑎 = 𝑠1 ± (3/4)𝑠3𝑈 2 para a mola. Nessa etapa o sistema possui mecanismos de amortecimento, portanto 𝑈 = 𝑅𝑒{𝑈} − 𝑖𝐼𝑚{𝑈}. A força não linear 𝐹𝑁𝐿 possui parte real e imaginária para os dois casos (Tatzko and Jahn, 2019). 𝑅𝑒{𝐹𝑁𝐿} = 3 4𝑠3 (︁ 𝑅𝑒{𝑈3} +𝑅𝑒{𝑈}𝐼𝑚{𝑈}2 )︁ (5.7a) 𝐼𝑚{𝐹𝑁𝐿} = 3 4𝑠3 (︁ 𝐼𝑚{𝑈3} + 𝐼𝑚{𝑈}𝑅𝑒{𝑈}2 )︁ (5.7b) As equações precisam ser separadas em partes reais e imaginárias, o que duplicará o número de igualdades matemáticas. Nesse capítulo, o algoritmo de continuação por homotopia para um sistema de polinômios algébricos não lineares utilizando Bertini (Bates et al., 2013) foi empregado. A vantagem do método em Bertini é que ele pode encontrar soluções isoladas e controla os processos numéricos internamente. Conforme a matriz de rigidez dinâmica da célula unitária, tem-se: 𝐷1𝑈1 +𝐷2𝑈2 = 𝐹1 (5.8a) 𝐷2𝑈1 + 2(𝐷1 +𝐷𝑎)𝑈2 +𝐷2𝑈3 + 𝐹𝑁𝐿 = 0 (5.8b) 45 5.1. Função transmissibilidade para o caso linear 𝐷2𝑈2 +𝐷1𝑈3 = 0 (5.8c) onde 𝐷1 = 𝐸𝐴𝑘 cot(𝑘𝑙) e 𝐷2 = −𝐸𝐴𝑘/ sin(𝑘𝑙), 𝐷𝑎 = 𝑠1 − 𝑗𝜔𝑐 (parcela linear e amor- tecimento viscoso do anexo) e 𝐹𝑁𝐿 é o componente da força devido ao termo não linear que depende do deslocamento. A Eqs. 5.8a a 5.8c devem ser definidas em termos de variáveis complexas e possuem componentes reais e imaginários. 𝐷1 = 𝐷1(𝑟) − 𝑗𝐷1(𝑗), 𝐷2 = 𝐷2(𝑟) − 𝑗𝐷2(𝑗) (5.9a) 𝑈1 = 𝑈1(𝑟) − 𝑗𝑈1(𝑗), 𝑈2 = 𝑈2(𝑟) − 𝑗𝑈2(𝑗), 𝑈3 = 𝑈3(𝑟) − 𝑗𝑈3(𝑗) (5.9b) Portanto, reescreve-se as equações da forma: 𝐷1(𝑟)𝑈1(𝑟) −𝐷1(𝑗)𝑈1(𝑗) +𝐷2(𝑟)𝑈2(𝑟) −𝐷2(𝑗)𝑈2(𝑗) = 𝐹1 (5.10a) 𝐷1(𝑟)𝑈1(𝑗) +𝐷1(𝑗)𝑈1(𝑟) +𝐷2(𝑟)𝑈2(𝑗) +𝐷2(𝑗)𝑈2(𝑟) = 0 (5.10b) 𝐷2(𝑟)𝑈1(𝑟) −𝐷2(𝑗)𝑈1(𝑗) + 2𝐷1(𝑟)𝑈