unesp UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS DE COMPUTAÇÃO E ESTATÍSTICA FUNÇÕES QUASECONFORMES José Benedito Jorge Maricato Dissertação de Mestrado Pós-Graduação em Matemática Aplicada Rua Cristóvão Colombo, 2265 15054-000 - São José do Rio Preto - SP - Brasil Telefone: (017) 221-2444 Fax: (017) 221-2445 Uma Abordagem para classificação de funções K-quaseconformes José Benedito Jorge Maricato 1 Dissertação apresentada ao Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas da Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Campus de São José do Rio Preto, São Paulo, para a obtenção do t́ıtulo de Mestre em Matemática Aplicada. Orientador: Prof. Dr. José Marcio Machado São José do Rio Preto 16 de Dezembro de 2005 1contato:josemaricato@yahoo.com.br i Á Deus. À minha famı́lia. Aos meus amigos, professores e especialmente à Profa.Dra.Ângela Maria Sitta, Prof. Dr. Manoel Ferreira Borges Neto e Prof. Dr. José Márcio Machado. Dedico ii Prefácio Esse trabalho aborda em sua quase totalidade o estudo de funções do tipo f(z) = zn, para z imaginário, complexo ou hipercomplexo, preocupando-nos em visualizar seus mapeamentos (ou imaginar, já que estamos em 4 dimensões). Por analogia com o que se passa no espaço euclidiano ordinário E3, em que uma transformação OM ′ = K.OM representa um giro do espaço em tôrno de O, seguido de uma dilatação K, Ha- milton estendeu ao espaço E4 a interpretação do E3, dizendo que o produto de dois quatérnios xy representa um giro seguido de uma distensão, fixa a origem. O cardióide gerado pelo mapeamento de f(z) = z2, para z complexo e, estrategicamente, colocado sobre o eixo−x provoca uma analogia em z hipercom- plexo, quando z está na fronteira de uma bola de raio r e centro z0. ”Cardióides”e ”cardióides degenerados”são obtidos em dimensão n = 3 e, muito provavelmente, para n = 4, a ser desenvolvido no Caṕıtulo 8 dessa dissertação. No Caṕıtulo 1, introdutório, definimos o anel dos quatérnios e funções de quatérnios a fim de estruturar os elementos fundamentais para o desenvolvimento da proposta que é a de calcular as dilatações lineares das funções quaterniônicas do tipo f(z) = zn. No Caṕıtulo 2, apresentamos formalmente o primeiro resultado, isto é, a generalização de zn, em que z é um hipercomplexo, propiciando a troca de tabelas iii de multiplicação por fórmulas simples. Os números hipercomplexos, quando potenciados, provocam uma com- binação grande de ı́ndices, e por isso, são escritos em coordenadas esféricas, a serem apresentadas no Caṕıtulo 3. Os fundamentos centrais da proposta desse trabalho encontram-se desen- volvidas no Caṕıtulo 4, em que a distância |f(y) − f(x)| obtida para f(z) = z, f(z) = z2, .., f(z) = z6, necessita de uma generalização. Por esse pressuposto faz-se um uso grande de binomiais e propriedades, o que enriqueceu ao que inici- almente nos propunhamos, a partir da possibilidade de abrangência de todas as funções do tipo f(z) = zn. Já no Caṕıtulo 5, centramos o seu desenvolvimento na definição de Transformações: Transformações Complexas Conformes em um domı́nio D, e Transformações Hipercomplexas. Nos três Caṕıtulos finais há a definição de quaseconformidade, e a apre- sentação computacional dessa situação. Também analiticamente é apresentado o valor de K(x1, x2, x3, x4) e, no último Caṕıtulo, é posśıvel o mapeamento das funções zn, a partir de cortes realizados em hipersuperf́ıcies geradas por essas funções, a serem observadas em IR3 e IR2. São José do Rio Preto Novembro de 2005 José Benedito Jorge Maricato. iv Resumo As funções hipercomplexas do tipo zn, n natural, têm uma dilatação linear K uniformemente limitada em um domı́nio simplesmente conexo D, então podem ser classificadas de funções K-quaseconformes. Procuramos aqui quantificar K e verificar suas dependências. Para tanto, as generalizações de zn foram necessárias e obtidas, originando para z escrito em coordenadas esféricas, polinômios em função de um raio r. Palavras-chave: funções quaseconformes, mapeamentos, hipercomplexos. v Abstract The hypercomplex functions of zn type, natural n, have a linear dilatation K, uniformly limited in a connected domain D, so they can be classified in K- quasiconformal functions. We try here to quantify K and check its dependancy. To enable this, the generalizations of zn were necessary and obtained be- forehand, originating for z written in spherical coordenates, polynomial according to a radial r. Keywords:quasiconformal functions, mappings, hypercomplex vi Sumário 1 Introdução 1 1.1 O anel dos quatérnios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Funções de Quatérnios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Os coeficientes de f(x) = xn 5 2.1 O desenvolvimento de xn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 Fator h2k x e aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3 Coordenadas Esféricas n-dimensionais 9 3.1 Coordenadas Esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.2 Jacobianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4 O desenvolvimento de ∣∣f(y)− f(x) ∣∣ para f(z)=zn 14 4.1 Estudos de ∣∣f(y)− f(x) ∣∣ para f(z) = zn . . . . . . . . . . . . . . 14 4.1.1 A expressão de ∣∣f(y)− f(x) ∣∣ para f(z) = z2 . . . . . . . . 15 4.1.2 A expressão de ∣∣f(y)− f(x) ∣∣ para f(z) = z3 . . . . . . . . 17 4.1.3 A expressão de ∣∣f(y)− f(x) ∣∣ para f(z) = z4 . . . . . . . . 20 4.2 A generalização |f(y)− f(x)|, para f(z) = zn . . . . . . . . . 22 4.3 Dedução de fm+q= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.4 Dedução de f(2k,t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.5 Dedução de F = ∑ ftr t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 vii SUMÁRIO viii 4.6 Dedução de Fi = ∑ fitr t, Fj = ∑ fjtr t e Fk = ∑ fktr t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.7 Conclusão de |f(y)− f(x)| = ( ∑ A (n) s rs)1/2 . . . . . . . . . . . . . 33 5 Transformações 39 5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.1.1 Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.1.2 Função Anaĺıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.1.3 Transformações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.1.4 Mapeamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.2 Transformação Hipercomplexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.3 Transformações Conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.3.1 Teorema Fundamental de Conformidade . . . . . . . . . . 42 6 Transformação Quaseconforme 44 6.1 Definição métrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 6.1.1 A 1-quaseconformidade: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 6.1.2 Fator de expansão da função . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 6.1.3 A função Identidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 6.1.4 Resultado paraf(z) = z2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 7 Cálculo da K-quaseconformidade computacionalmente 51 7.1 O cálculo de K computacionalmente . . . . . . . . . . . . . . . . 52 7.1.1 Seja f(z) = z2, z = (a, b, c, d) centro da hiperesfera de raio r 52 7.1.2 Seja f(z) = z3, z = (a, b, c, d) centro da hiperesfera de raio r 52 7.1.3 Seja f(z) = z4, z = (a, b, c, d) centro da hiperesfera de raio r 53 8 Mapeamentos 55 8.1 Mapeamentos com curvas de ńıvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 8.2 Mapeamento de f(z) = z2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 8.3 Mapeamento de f(z) = z3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Sumário ix 8.4 Ilustrações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Referências Bibliográficas 84 Caṕıtulo 1 Introdução A álgebra dos números quatérnios foi iniciada pelo f́ısico irlandês Willian Rowan Hamilton, no século XIX. A seguir apresentamos esses números e as funções de quatérnios, vistas nos dias de hoje. 1.1 O anel dos quatérnios Definimos o conjunto dos quatérnios como H = {(x1, x2, x3, x4) tal que x1, x2, x3, x4 ∈ IR}, sendo que se x ∈ H, pode ser escrito como x = (x1, x2, x3, x4) = x1 + ix2 + jx3 + kx4 onde i,j e k são unidades imaginárias que respeitam as seguintes leis de multi- plicação i2 = j2 = k2 = −1 ij = k, ji = −k, ki = j, ik = −j, jk = i, kj = −i que podem ser visualizados pela tabela: 1 Caṕıtulo 1 2 . 1 -1 i -i j -j k -k 1 1 -1 i -i j -j k -k -1 -1 1 -i i -j j -k k i i -i -1 1 k -k -j j -i -i i 1 -1 -k k j -j j j -j -k k -1 1 i -i -j -j j k -k 1 -1 -i i k k -k j -j -i i -1 1 -k -k k -j j i -i 1 -1 então não são comutativos, visto que ij 6= ji, por exemplo. Por outro lado, as quádruplas 0 = (0, 0, 0, 0) e 1 = (1, 0, 0, 0) são respec- tivamente o zero e a unidade do anel. Também podemos associar H com o conjunto β = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)} pois, x = x1 + ix2 + jx3 + kx4 = (x1, 0, 0, 0)(1, 0, 0, 0) + (x2, 0, 0, 0)(0, 1, 0, 0) +(x3, 0, 0, 0)(0, 0, 1, 0) + (x4, 0, 0, 0)(0, 0, 0, 1) onde x1 denominamos de parte real escalar Re(x) e hx = ix2 + jx3 + kx4 a sua parte vetorial imaginária I(x). Ainda, temos H = IR⊕ V, onde IR é o corpo dos reais e V espaço euclidiano tridimensional. Podemos verificar que H satisfaz os axiomas de um anel, ou seja H(+, .) satisfaz as propriedades associativa e distributiva da adição e multiplicação, sendo Caṕıtulo 1 3 comutativa apenas a operação de adição, e, como não satisfaz a propriedade comutativa na multiplicação, não é um corpo. Definição 1.1. A norma |x| de um quatérnio x = (x1, x2, x3, x4) é o número real |x| = √ x2 1 + x2 2 + x2 3 + x2 4 Definição 1.2. O quatérnio conjugado x de x = (x1, x2, x3, x4) é dado por x = (x1,−x2,−x3,−x4). Se x, y∈H, x = (x1, x2, x3, x4) e y = (y1, y2, y3, y4), enunciamos as operações: • Adição: x + y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3, x4 + y4) = (x1 + y1) + i(x2 + y2) + j(x3 + y3) + k(x4 + y4) • Multiplicação: xy = (x1y1 − x2y2 − x3y3 − x4y4, x1y2 + x2y1 + x3y4 − x4y3, x1y3 − x2y4 + x3y1 + x4y2, x1y4 + x2y3 − x3y2 + x4y1) • Divisão: x y = x y . y y = x1y1 + x2y2 + x3y3 + x4y4 y2 1 + y2 2 + y2 3 + y2 4 + i −x1y2 + x2y1 − x3y4 + x4y3 y2 1 + y2 2 + y2 3 + y2 4 +j −x1y3 + x2y4 + x3y1 − x2y4 y2 1 + y2 2 + y2 3 + y2 4 + k −x1y4 − x2y3 + x3y2 + x4y1 y2 1 + y2 2 + y2 3 + y2 4 1.2 Funções de Quatérnios Sejam D e D′ domı́nios no espaço euclidiano quadri-dimensional IR4, D⊂H, D′⊂H. Uma função f : D −→ D′ Caṕıtulo 1 4 é uma função quaterniônica se f é um mapeamento que faz corresponder a cada x = (x1, x2, x3, x4)∈H um y = f(x), y∈D′⊂H, ou seja f : (x1, x2, x3, x4) −→ (y1, y2, y3, y4) Sendo f uma função quaterniônica, podemos decompô-la em parte escalar f1(x) = φ(x) e parte vetorial if2(x) + jf3(x) + kf4(x) = ϕ(x), ou seja f(x) = f1(x) + if2(x) + jf3(x) + kf4(x) = φ(x) + ϕ(x), onde fi : IR4 → IR são funções coordenadas de valores reais para i = 1, 2, 3, 4. Consequentemente, |f(x)| = √ f1(x)2 + f2(x)2 + f3(x)2 + f4(x)2, é a sua norma. Informações sobre analiticidade, diferenciação e integração, verificar [3] e [4]. Caṕıtulo 2 Os coeficientes de f (x) = xn Tendo como objetivo o cálculo das distâncias |f(y)−f(x)| para funções hipercom- plexas do tipo f(x) = xn com domı́nio D⊂H e estudar a dilatação H(x) ≤ K < ∞ provocadas pelo quociente entre o máximo e mı́nimo dessas distâncias, teve-se inicialmente a necessidade de obter uma generalização de xn, x∈H, usando as relações de De Moivre’s em xn = (x1 + ix2 + jx3 + kx4) n. (2.1) 2.1 O desenvolvimento de xn Seja x = x1 + ix2 + jx3 + kx4 = x1 + hx, (2.2) hx é a parte vetorial dada por hx = ix2 + jx3 + kx4, (2.3) usando as leis de multiplicação temos h2 x = −x2 2 − x2 3 − x2 4 (2.4) 5 Caṕıtulo 2 6 como um número real. Para n ∈ IN , h2 x é real e h2n+1 x = hxh 2n x = h2n x hx imaginário da forma h2n x (ix2 + jx3 + kx4) = ix2h 2n x + jx3h 2n x + kx4h 2n x . Assim h2n+1 x = ix2h 2n x + jx3h 2n x + kx4h 2n x (2.5) Então xn = (x1 + hx) n = n∑ k=0 ( n k ) xn−k 1 hk x (2.6) = ( n 0 ) xn 1h 0 x + ( n 2 ) xn−2 1 h2 x + .... + ( n 2k ) xn−2k 1 h2k x + ( n 1 ) xn−1 1 h1 x + ( n 3 ) xn−3 1 h3 x + .... + ( n 2k + 1 ) x n−(2k+1) 1 h2k+1 x = 2k≤n∑ k=0 ( n 2k ) xn−2k 1 h2k x ︸ ︷︷ ︸ Real + 2k+1≤n∑ k=0 ( n 2k + 1 ) x n−(2k+1) 1 h2k+1 x ︸ ︷︷ ︸ Imaginario = 2k≤n∑ k=0 ( n 2k ) xn−2k 1 h2k x ︸ ︷︷ ︸ Real + 2k+1≤n∑ k=0 ( n 2k + 1 ) x n−(2k+1) 1 h2k x ︸ ︷︷ ︸ Coeficientedapartevetorial hx (2.7) = Re(xn) + I(xn) (2.8) 2.2 Fator h2k x e aplicações O fator h2k x pode ser calculado da forma h2k x = (h2 x) k = [− x2 2 + (−x2 3 − x2 4) ]k = k∑ p=0 ( k p ) (−x2) k−p(−x2 3 + (−x2 4)) p Caṕıtulo 2 7 = k∑ p=0 ( k p ) (−x2) k−p [ p∑ l=0 ( p l ) (−x2 3) p−l(−x2 4) l ] (2.9) Exemplo 2.1. Seja obter x2, x = x1 + x2 + x3 + x4 = x1 + hx Usando tabela, temos x2 = x.x x1 ix2 jx3 kx4 x1 x2 1 ix1x2 jx1x3 kx1x4 ix2 ix1x2 −x2 2 jx3 jx1x3 −x2 3 kx4 kx1x4 −x2 4 Pela fórmula Re(x2) = 2k≤2∑ k=0 ( 2 2k ) x2−2k 1 h2k x = x2 1 + h2 x, e I(x2) = hx [ 2k+1≤2∑ k=0 ( 2 2k + 1 ) x 2−(2k+1) 1 h2k x ] = 2x1hx, logo x2 = x2 1 + h2 x + 2x1hx. Exemplo 2.2. Seja obter x3, x = x1 + x2 + x3 + x4 = x1 + hx Usando tabela, temos x3 = x2.x x1 ix2 jx3 kx4 x2 1 x3 1 ix2 1x2 jx2 1x3 kx2 1x4 −x2 2 −x1x 2 2 −ix3 2 −jx2 2x3 −kx2 2x4 −x2 3 −x1x 2 3 −ix2x 2 3 −jx3 3 −kx2 3x4 −x2 4 −x1x 2 4 −ix2x 2 4 −jx3x 2 4 −kx2 4 2ix1x2 2ix2 1x2 −2x1x 2 2 2jx1x3 2jx2 1x3 −2x1x 2 3 2kx1x4 2kx2 1x4 −2x1x 2 4 Caṕıtulo 2 8 Pela fórmula Re(x3) = 2k≤3∑ k=0 ( 3 2k ) x3−2k 1 h2k x = x3 1 + 3x1h 2 x, e I(x3) = hx [ 2k+1≤3∑ k=0 ( 3 2k + 1 ) x 3−(2k+1) 1 h2k x ] = (3x2 1 + h2 x)hx, logo x3 = x3 1 + 3x1h 2 x + (3x2 1 + h2 x)hx. Caṕıtulo 3 Coordenadas Esféricas n-dimensionais Nesse caṕıtulo explicitamos o processo que nos leva a escrever bolas quadri- dimensionais B(x, r) em coordenadas esféricas, com a finalidade de calcularmos a distância |f(y) − f(x)|, em que x é o centro da hipersuperf́ıcie de raio r e y é um ponto de sua fronteira. 3.1 Coordenadas Esféricas Consideremos uma hiperesfera de raio r e dimensão n, centrada na origem, e as seguintes notações: cosθi = ci, senθi = si, tgθi = ti (3.1) Agora considerando 9 Caṕıtulo 3 10 x1 = rc1c2 ... cn−2cn−1, 0 ≤ θn−1 ≤ 2π, x2 = rc1c2 ... cn−2sn−1, −1 2 π ≤ θn−2 ≤ 1 2 π, x3 = rc1c2 ... sn−2, −1 2 π ≤ θn−3 ≤ 1 2 π, ... ... ... ... ... xj = rc1 ... cn−jsn−j+1, ... ... ... ... ... ... xn = rs1, −1 2 π ≤ θ1 ≤ 1 2 π, como as coordenadas de um ponto na casca dessa esfera, podemos notar que: Se n = 2, temos a já conhecida representação dada por    x1 = rcosθ1 0 ≤ r < ∞, 0 ≤ θ1 ≤ 2π, x2 = rsenθ1 com x2 1 + x2 2 = r2 e Jacobiano dado por J = ∂(x1, x2) ∂(r, θ1) = ∣∣∣∣∣∣ ∂x1 ∂r ∂x1 ∂θ1 ∂x2 ∂r ∂x2 ∂θ1 ∣∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣∣ cosθ1 −rsenθ1 senθ1 rcosθ1 ∣∣∣∣∣∣ = r Se n = 3, temos    x1 = rcosθ1cosθ2, 0 ≤ θ2 ≤ 2π, , x2 = rcosθ1senθ2, −π 2 ≤ θ1 ≤ π 2 x3 = rsenθ1, 0 ≤ r < ∞, com x2 1 + x2 2 + x2 3 = r2 e Jacobiano dado por J = ∂(x1, x2, x3) ∂(r, θ1, θ2) = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ c1c2 −rs1c2 −rc1s2 c1s2 −rs1s2 rc1c2 s1 rc1 0 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = −r2c1 = −r2cosθ1, Se n = 4, que nos interessa na maior parte deste trabalho temos    x1 = rc1c2c3, 0 ≤ r < ∞ x2 = rc1c2s3, 0 ≤ θ3 ≤ 2π, x3 = rc1s2, −π 2 ≤ θ2 ≤ π 2 , x4 = rs1, −π 2 ≤ θ1 ≤ π 2 , Caṕıtulo 3 11 com x2 1 + x2 2 + x2 3 + x2 4 = r2 e Jacobiano dado por J = ∂(x1, x2, x3, x4) ∂(r, θ1, θ2, θ3) = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ c1c2c3 −rs1c2c3 −rc1s2c3 −rc1c2s3 c1c2s3 −rs1c2s3 −rc1s2s3 rc1c2c3 c1s2 −rs1s2 rc1c2 0 s1 rc1 0 0 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = −r2c2 1c2 3.2 Jacobianos Um método para calcular os Jacobianos pode ser deduzido a partir do seguinte exemplo: Seja calcular J = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ c1c2c3 −rs1c2c3 −rc1s2c3 −rc1c2s3 c1c2s3 −rs1c2s3 −rc1s2s3 rc1c2c3 c1s2 −rs1s2 rc1c2 0 s1 rc1 0 0 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ , então J = r3(c1c2c3)(c1c2s3)(c1s2)(s1) ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 −t1 −t2 −t3 1 −t1 −t2 t−1 3 1 −t1 t−1 2 0 1 t−1 1 0 0 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ , que com algumas manipulações de filas obtemos J = r3(c1c2c3)(c1c2s3)(c1s2)(s1) ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 −t1 −t2 −t3 0 0 0 t3 + t−1 3 0 0 t2 + t−1 2 t3 0 t1 + t−1 1 t2 t3 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ , então J = −r3(c1c2c3)(c1c2s3)(c1s2)(s1)(t1 + 1 t1 )(t2 + 1 t2 )(t3 + 1 t3 ), Caṕıtulo 3 12 mas (tj + 1 tj ) = 1 sjcj , logo J = −r3c2 1c2 O sinal do Jacobiano é dado por J > 0 se n = 4q + 1 ou n = 4q + 2, e J < 0 se n = 4q + 3 ou n = 4q, q:natural. Seja agora x = (x1, x2, x3, x4) = x1 + ix2 + jx3 + kx4 = x1 + hx o centro de uma bola de raio r em um domı́nio D simplesmente conexo contido em H, H é o espaço hipercomplexo, e y ∈ B(x, r) ⊂ D, |x− y| = r > 0 y = (y1, y2, y3, y4) = y1 + iy2 + jy3 + ky4 = y1 + hy então (y1 − x1) 2 + (y2 − x2) 2 + (y3 − x3) 2 + (y4 − x4) 2 = r2 Escrevendo y em coordenadas (r, θ), temos    y1 = x1 + rcosθ1cosθ2cosθ3 = x1 + rc1c2c3 = x1 + rc y2 = x2 + rcosθ1cosθ2senθ3 = x2 + rc1c2s3 y3 = x3 + rcosθ1senθ2 = x3 + rc1s2 y4 = x4 + rsenθ1 = x4 + rs1 (3.2) Temos que se hx = ix2 + jx3 + kx4, elevando ao quadrado obtemos h2 x = −x2 2 − x2 3 − x2 4, e h2 y = −y2 2 − y2 3 − y2 4 = −[ (x2 + rc1c2s3) 2 + (x3 + rc1s2) 2 + (x4 + rs1) 2 ] Caṕıtulo 3 13 = −[ x2 2 + x2 3 + x2 4 + 2x2rc1c2s3 + 2x3rc1s2 + 2x4rs1 + r2(c2 1c 2 2s 2 3 + c2 1s 2 2 + s2 1) ] como c2 1c 2 2s 2 3 + c2 1s 2 2 + s2 1 = −c2 1c 2 2c 2 3 + 1 = −c2 + 1 = −s2 (3.3) e denominando Π = x2c1c2s3 + x3c1s2 + x4s1 (3.4) temos h2 y = h2 x − 2rΠ + r2(c2 − 1) (3.5) Logo, temos em (3.2) a representação de uma hiperf́ıcie no IR4. Caṕıtulo 4 O desenvolvimento de ∣∣f (y)− f (x) ∣∣ para f(z)=zn Nesse caṕıtulo desenvolvemos os fundamentos centrais desse traba- lho. Demonstramos que a expressão ∣∣f(y)− f(x) ∣∣2 para f(z) = zn, quando x, y ε H, escritos em coordenadas esféricas, é um polinômio na variável r e de grau 2n da forma A (n) 2 r2 + A (n) 3 r3 + .. + A (n) 2n r2n (4.1) Para tanto, dividimos o caṕıtulo em seções, em que cada uma mostra o desenvol- vimento das funções que compõem cada coeficiente A (n) s . 4.1 Estudos de ∣∣f (y)− f (x) ∣∣ para f (z) = zn Esses estudos tem a finalidade de obter a real expressão de ∣∣f(y) − f(x) ∣∣, f(z) = zn, n = 2, 3, .., bem como induzir às próximas seções com esses cálculos. Para a compreensão das próximas seções, essa é fundamental, pois nela as funções componentes dos coeficientes A (n) s começam a ser introduzidas e deduzidas. 14 Caṕıtulo 4 15 4.1.1 A expressão de ∣∣f(y)− f(x) ∣∣ para f(z) = z2 Consideremos x = (x1, x2, x3, x4) o centro da bola quadri-dimensional de raio r, e, y = (y1, y2, y3, y4) um ponto de sua fronteira parametrizado por    y1 = x1 + rcosθ1cosθ2cosθ3 = x1 + rc1c2c3 = x1 + rc y2 = x2 + rcosθ1cosθ2senθ3 = x2 + rc1c2s3 y3 = x3 + rcosθ1senθ2 = x3 + rc1s2 y4 = x4 + rsenθ1 = x4 + rs1, e, queremos calcular ∣∣f(y)− f(x) ∣∣ para f(z) = z2. Então ∣∣f(y)− f(x) ∣∣ = ∣∣(y1 + hy) 2 − (x1 + hx) 2 ∣∣ = ∣∣y2 1 − x2 1 + h2 y − h2 x + 2y1hy − 2x1hx ∣∣ = ∣∣y2 1 − x2 1 + h2 y − h2 x +(2y1y2 − 2x1x2)i + (2y1y3 − 2x1x3)j + (2y1y4 − 2x1x4)k ∣∣ = ∣∣F + iFi + jFj + kFk ∣∣, com F = y2 1 − x2 1 + h2 y − h2 x, Fi = 2y1y2 − 2x1x2, Fj = 2y1y3 − 2x1x3 e Fk = 2y1y4 − 2x1x4 Escrevendo F = y2 1 − x2 1 + h2 y − h2 x = f (2) 0 + f (2) 2 , para f (2) 0 = y2 1 − x2 1 = (y1 − x1)(y1 + x1) = rc1c2c3(2x1 + rc1c2c3) = 2x1rc1c2c3 + r2c2 1c 2 2c 2 3 e f (2) 2 = h2 y − h2 x = −2rΠ + r2(c2 − 1), temos F = 2(x1c− Π)r + (2c2 − 1)r2, e, analogamente, obtemos os desenvolvimentos de Fi = f (2) i0 = (2y1y2 − 2x1x2) = (2x1c1c2s3 + 2x2c)r + 2cc1c2s3r 2, Fj = f (2) j0 = (2y1y3 − 2x1x3) = (2x1c1s2 + 2x3c)r + 2cc1s2r 2 e Caṕıtulo 4 16 Fk = f (2) k0 = (2y1y4 − 2x1x4) = (2x1s1 + 2x4c)r + 2cs1r 2. Considerando, então F = f1r 1 + f2r 2 para f1 = 2(x1c− Π) e f2 = 2c2 − 1, Fi = fi1r 1 + fi2r 2 para fi1 = 2x1c1c2s3 + 2x2c e fi2 = 2cc1c2s3, Fj = fj1r 1 + fj2r 2 para fj1 = 2x1c1s2 + 2x3c e fj2 = 2cc1s2, Fk = fk1r 1 + fk2r 2 para fk1 = 2x1s1 + 2x4c e fk2 = 2cs1 temos que F 2 = f 2 1 r2 + 2f1f2r 3 + f 2 2 r4, F 2 i = f 2 i1r 2 + 2fi1fi2r 3 + f 2 i2r 4, F 2 j = f 2 j1r 2 + 2fj1fj2r 3 + f 2 j2r 4, F 2 k = f 2 k1r 2 + 2fk1fk2r 3 + f 2 k2r 4, logo, se ∣∣f(y)− f(x) ∣∣ = ∣∣F + iFi + jFj + kFk ∣∣ = √ F 2 + F 2 i + F 2 j + F 2 k , temos ∣∣f(y)− f(x) ∣∣ = √ A (2) 2 r2 + A (2) 3 r3 + A (2) 4 r4, onde A (2) 2 = f 2 1 + f 2 i1 + f 2 j1 + f 2 k1 = 4(x2 1 − h2 xc + Π2), A (2) 3 = 2f1f2 + 2fi1fi2 + 2fj1fj2 + 2fk1fk2 = 4(x1c + Π), A (2) 4 = f 2 2 + f 2 i2 + f 2 j2 + f 2 k2 = 1 Em resumo ∣∣f(y)− f(x) ∣∣ = √ 4(x2 1 − h2 xc 2 + Π2)r2 + 4(x1c + Π)r3 + 1r4 (4.2) Caṕıtulo 4 17 4.1.2 A expressão de ∣∣f(y)− f(x) ∣∣ para f(z) = z3 Consideremos x = (x1, x2, x3, x4) o centro da bola quadri-dimensional de raio r, e, y = (y1, y2, y3, y4) um ponto de sua fronteira parametrizado por    y1 = x1 + rcosθ1cosθ2cosθ3 = x1 + rc1c2c3 = x1 + rc y2 = x2 + rcosθ1cosθ2senθ3 = x2 + rc1c2s3 y3 = x3 + rcosθ1senθ2 = x3 + rc1s2 y4 = x4 + rsenθ1 = x4 + rs1, e, queremos calcular ∣∣f(y)− f(x) ∣∣ para f(z) = z3. Então f(x) = x3 = x3 1 +3x1h 2 x +(3x2 1 +h2 x)hx, f(y) = y3 = y3 1 +3y1h 2 y +(3y2 1 +h2 y)hy e ∣∣f(y)− f(x) ∣∣ = ∣∣y3 1 − x3 1 + 3(y1h 2 y − x1h 2 x) + (3y2 1 + h2 y)hy − (3x2 1 + h2 x)hx ∣∣ = ∣∣∣∣y3 1 − x3 1 + 3(y1h 2 y − x1h 2 x) + i [ (3y2 1 + h2 y)y2 − (3x2 1 + h2 x)x2 ] + j [ (3y2 1 + h2 y)y3 − (3x2 1 + h2 x)x3 ] + k [ (3y2 1 + h2 y)y4 − (3x2 1 + h2 x)x4 ]∣∣∣∣ = ∣∣∣∣F + iFi + jFj + kFk ∣∣∣∣, onde F = y3 1 − x3 1 + 3(y1h 2 y − x1h 2 x) = f (3) 0 + f (3) 2 , sendo f (3) 0 = y3 1−x3 1 = (x1+rc)3−x3 1 = 3x2 1cr+3x1c 2r2+c3r3 = f(0,1)r 1+f(0,2)r 2+f(0,3)r 3, com f(0,1) = 3x2 1c, f(0,2) = 3x1c 2, f(0,3) = c3, e f (3) 2 = 3(y1h 2 y − x1h 2 x) = 3 [ (x1 + rc)(h2 x − 2rΠ + r2s2)− x1h 2 x ] Caṕıtulo 4 18 = (−6x1Π + 3h2 xc)r + (3x1s 2 − 6cΠ)r2 + 3cs2r3 = f(2,1)r 1 + f(2,2)r 2 + f(2,3)r 3, com = f(2,1) = −6x1Π + 3h2 xc, f(2,2) = 3x1s 2 − 6cΠ, f(2,3) = 3cs2. Façamos, então F = f (3) 0 + f (3) 2 = f1r 1 + f2r 2 + f3r 3, para f1 = f(0,1) + f(2,1) = 3c(x2 1 + h2 x)− 6x1Π, f2 = f(0,2) + f(2,2) = 3x1(2c 2 − 1)− 6cΠ e f3 = f(0,3) + f(2,3) = 4c3 − 3c. Agora Fi = (3y2 1 + h2 y)y2 − (3x2 1 + h2 x)x2 = 3(y2 1y2 − x2 1x2) + (y2h 2 y − x2h 2 x) = f (3) i0 + f (3) i2 , f (3) i0 = 3(y2 1y2−x2 1x2) = (3x2 1c1c2s3+6x1x2c)r+(6x1cc1c2s3+3x2c 2)r2+3c2c1c2s3r 3, ou f (3) i0 = fi(0,1)r 1 + fi(0,2)r 2 + fi(0,3)r 3, coeficientes respectivos, e f (3) i2 = y2h 2 y − x2h 2 x = (x2 + rc1c2s3)(h 2 x − 2rΠ + s2r2)− x2h 2 x = (h2 xc1c2s3−2x2Π)r+(x2s 2−2Πc1c2s3)r 2+s2c1c2s3r 3 = fi(2,1)r 1+fi(2,2)r 2+fi(2,3)r 3, então Fi = f (3) i0 + f (3) i2 = fi1r 1 + fi2r 2 + fi3r 3, com fi1 = fi(0,1) + fi(2,1) = (3x2 1 + hx, 2 )c1c2s3 + 2x2(3x1c− Π) fi2 = fi(0,2)+fi(2,2) = x2(4c 2−1)+2c1c2s3(3x1c−Π), e fi3 = (4c2−1)c1c2s3 Agora Fj = (3y2 1 + h2 y)y3 − (3x2 1 + h2 x)x3 = 3(y2 1y3 − x2 1x3) + (y3h 2 y − x3h 2 x) = f (3) j0 + f (3) j2 , Caṕıtulo 4 19 f (3) j0 = 3(y2 1y3 − x2 1x3) = (3x2 1c1s2 + 6x1x3c)r + (6x1cc1s2 + 3x3c 2)r2 + 3c2c1s2r 3, ou f (3) j0 = fj(0,1)r 1 + fj(0,2)r 2 + fj(0,3)r 3, coeficientes respectivos, e f (3) j2 = y3h 2 y − x3h 2 x = (x3 + rc1s2)(h 2 x − 2rΠ + s2r2)− x3h 2 x = (h2 xc1s2− 2x3Π)r +(x3s 2− 2Πc1s2)r 2 + s2c1s2r 3 = fj(2,1)r 1 + fj(2,2)r 2 + fj(2,3)r 3, então Fj = f (3) j0 + f (3) j2 = fj1r 1 + fj2r 2 + fj3r 3, com fj1 = fj(0,1) + fj(2,1) = (3x2 1 + h2 x)c1s2 + 2x3(3x1c− Π) fj2 = fj(0,2) +fj(2,2) = x3(4c 2−1)+2c1s2(3x1c−Π), e fj3 = (4c2−1)c1s2. Analogamente, Fk = f (3) k0 + f (3) k2 = fk1r 1 + fk2r 2 + fk3r 3, com fk1 = fk(0,1) + fk(2,1) = (3x2 1 + h2 x)s1 + 2x4(3x1c− Π) fk2 = fk(0,2) + fk(2,2) = x4(4c 2 − 1) + 2s1(3x1c− Π) e fk3 = (4c2 − 1)s1. Se F = f1r 1 + f2r 2 + f3r 3 + f4r 4, Fi = fi1r 1 + fi2r 2 + fi3r 3 + fi4r 4, Fj = fj1r 1 + fj2r 2 + fj3r 3 + fj4r 4, Fk = fk1r 1 + fk2r 2 + fk3r 3 + fk4r 4, e F 2 = f 2 1 r2 + 2f1f2r 3 + (f 2 2 + 2f1f3)r 4 + 2f2f3r 5 + f 2 3 r6, F 2 i = f 2 i1r 2 + 2fi1fi2r 3 + (f 2 i2 + 2fi1fi3)r 4 + 2fi2fi3r 5 + f 2 i3r 6, F 2 j = f 2 j1r 2 + 2fj1fj2r 3 + (f 2 j2 + 2fj1fj3)r 4 + 2fj2fj3r 5 + f 2 j3r 6, Caṕıtulo 4 20 F 2 k = f 2 k1r 2 + 2fk1fk2r 3 + (f 2 k2 + 2fk1fk3)r 4 + 2fk2fk3r 5 + f 2 k3r 6, então se ∣∣f(y)− f(x) ∣∣ = ∣∣F + iFi + jFj + kFk ∣∣ = √ F 2 + F 2 i + F 2 j + F 2 k , temos ∣∣f(y)− f(x) ∣∣ = √ A (3) 2 r2 + A (3) 3 r3 + A (3) 4 r4 + A (3) 5 r5 + A (3) 6 r6 (4.3) com A (3) 2 = f 2 1 + f 2 i1 + f 2 j1 + f 2 k1 = 9x4 1 + (−24h2 xc 2 + 6h2 x + 24Π2)x2 1 − 8h2 xΠ 2 + (8c2 + 1)h4 x, A (3) 3 = 2(f1f2 + fi1fi2 + fj1fj2 + fk1fk2) = 18x3 1c + 18x2 1Π + (6h2 x + 24Π2 − 24h2 xc 2)x1c− (8c2 + 10)h2 xΠ + 8Π3, A (3) 4 = f 2 2 + f 2 i2 + f 2 j2 + f 2 k2 + 2(f1f3 + fi1fi3 + fj1fj3 + fk1fk3) = 3(x2 1 − h2 x) + 12(x1c1c2c3 + Π)2, A (3) 5 = 2(f2f3 + fi2fi3 + fj2fj3 + fk2fk3) = 6(x1c1c2c3 + Π), A (3) 6 = f 2 3 + f 2 i3 + f 2 j3 + f 2 k3 = 1, que foram calculados separadamente. 4.1.3 A expressão de ∣∣f(y)− f(x) ∣∣ para f(z) = z4 Consideremos x = (x1, x2, x3, x4) o centro da bola quadri-dimensional de raio r, e, y = (y1, y2, y3, y4) um ponto de sua fronteira parametrizado por    y1 = x1 + rcosθ1cosθ2cosθ3 = x1 + rc1c2c3 = x1 + rc y2 = x2 + rcosθ1cosθ2senθ3 = x2 + rc1c2s3 y3 = x3 + rcosθ1senθ2 = x3 + rc1s2 y4 = x4 + rsenθ1 = x4 + rs1, Caṕıtulo 4 21 e, queremos calcular ∣∣f(y)− f(x) ∣∣ para f(z) = z4. Então f(x) = x4 = [( 4 0 ) x4 1 + ( 4 2 ) x2 1h 2 x + ( 4 4 ) h4 x ] + [( 4 1 ) x3 1 + ( 4 3 ) x1 1h 2 x ] hx, f(y) = y4 = [( 4 0 ) y4 1 + ( 4 2 ) y2 1h 2 y + ( 4 4 ) h4 y ] + [( 4 1 ) y3 1 + ( 4 3 ) y1 1h 2 y ] hy, e ∣∣f(y)− f(x) ∣∣ = ∣∣∣∣(y4 1 − x4 1) + ( 4 2 ) (y2 1h 2 y − x2 1h 2 x) + (h4 y − h4 x)+ i [(( 4 1 ) y3 1 + ( 4 3 ) y1h 2 y ) y2 − (( 4 1 ) x3 1 + ( 4 3 ) x1h 2 x ) x2 ] + j [(( 4 1 ) y3 1 + ( 4 3 ) y1h 2 y ) y3 − (( 4 1 ) x3 1 + ( 4 3 ) x1h 2 x ) x3 ] + k [(( 4 1 ) y3 1 + ( 4 3 ) y1h 2 y ) y4 − (( 4 1 ) x3 1 + ( 4 3 ) x1h 2 x ) x4 ]∣∣∣∣ = √ A (4) 2 r2 + A (4) 3 r3 + ... + A (4) 8 r8 onde, por exemplo A (4) 2 = f 2 1 + f 2 i1 + f 2 j1 + f 2 k1, dadas por f1 = 4(x3 1c− 3x2 1Π + 3x1h 2 xc− h2 xΠ), fi1 = 4 [ x3 1c1c2s3 + 3x2 1x2c + ( h2 xc1c2s3 − 2x2Π ) x1 + x2h 2 xc ] , fj1 = 4 [ x3 1c1s2 + 3x2 1x3c + ( h2 xc1s2 − 2x3Π ) x1 + x3h 2 xc ] , fk1 = 4 [ x3 1s1 + 3x2 1x4c + ( h2 xs1 − 2x4Π ) x1 + x4h 2 xc ] , que foram calculadas separadamente. Caṕıtulo 4 22 4.2 A generalização |f (y)− f (x)|, para f (z) = zn Consideremos x = (x1, x2, x3, x4) o centro da bola quadri-dimensional de raio r, e, y = (y1, y2, y3, y4) um ponto de sua fronteira parametrizado por    y1 = x1 + rcosθ1cosθ2cosθ3 = x1 + rc1c2c3 = x1 + rc y2 = x2 + rcosθ1cosθ2senθ3 = x2 + rc1c2s3 y3 = x3 + rcosθ1senθ2 = x3 + rc1s2 y4 = x4 + rsenθ1 = x4 + rs1, e, queremos calcular ∣∣f(y)− f(x) ∣∣ para f(z) = zn. Temos que |f(y)− f(x)| = ∣∣Re(yn)−Re(xn) + I(yn)− I(xn) ∣∣ = ∣∣∣∣∣ 2k≤n∑ k=0 ( n 2k ) (yn−2k 1 h2k y − xn−2k 1 h2k x ) +i {[ 2k+1≤n∑ k=0 ( n 2k + 1 ) y n−(2k+1) 1 h2k y ] y2 − [ 2k+1≤n∑ k=0 ( n 2k + 1 ) x n−(2k+1) 1 h2k x ] x2 } +j {[ 2k+1≤n∑ k=0 ( n 2k + 1 ) y n−(2k+1) 1 h2k y ] y3 − [ 2k+1≤n∑ k=0 ( n 2k + 1 ) x n−(2k+1) 1 h2k x ] x3 } +k {[ 2k+1≤n∑ k=0 ( n 2k + 1 ) y n−(2k+1) 1 h2k y ] y4 − [ 2k+1≤n∑ k=0 ( n 2k + 1 ) x n−(2k+1) 1 h2k x ] x4 }∣∣∣∣∣ = = ∣∣∣∣∣ 2k≤n∑ k=0 ( n 2k ) (yn−2k 1 h2k y − xn−2k 1 h2k x ) +i [ 2k+1≤n∑ k=0 ( n 2k + 1 ) (y2y n−(2k+1) 1 h2k y − x2x n−(2k−1) 1 h2k x ) ] +j [ 2k+1≤n∑ k=0 ( n 2k + 1 ) (y3y n−(2k+1) 1 h2k y − x3x n−(2k−1) 1 h2k x ) ] +k [ 2k+1≤n∑ k=0 ( n 2k + 1 ) (y4y n−(2k+1) 1 h2k y − x4x n−(2k−1) 1 h2k x ) ]∣∣∣∣∣ Caṕıtulo 4 23 = |F + iFi + jFj + kFk| = √ F 2 + F 2 i + F 2 j + F 2 k , (4.4) onde F = 2k≤n∑ k=0 ( n 2k )( yn−2k 1 h2k y − xn−2k 1 h2k x ) , (4.5) Fi = 2k+1≤n∑ k=0 ( n 2k + 1 )( y2y n−(2k+1) 1 h2k y − x2x n−(2k−1) 1 h2k x ) , (4.6) Fj = 2k+1≤n∑ k=0 ( n 2k + 1 )( y3y n−(2k+1) 1 h2k y − x3x n−(2k−1) 1 h2k x ) , (4.7) Fk = 2k+1≤n∑ k=0 ( n 2k + 1 )( y4y n−(2k+1) 1 h2k y − x4x n−(2k−1) 1 h2k x ) , (4.8) então, mostremos que |f(y)− f(x)| = √ F 2 + F 2 i + F 2 j + F 2 k = √√√√ 2n∑ s=2 A (n) s rs (4.9) 4.3 Dedução de fm+q= Nosso objetivo é de obter separadamente os coeficientes do polinômio em r, deri- vado do fator h2k y que aparece nas equações (4.5)..(4.8), para que ao distribúırmos esse polinômio com os outros fatores, possamos escrever F , Fi, Fj e Fk como um polinômio normal em função de r. Como h2k y = (h2 y) k, (0 ≤ 2k ≤ n), então h2k y = ( h2 x + (−2rΠ + (rs)2) )k = ( k 0 ) (h2 x) k(−2rΠ + (rs)2)0+ + ( k 1 ) (h2 x) k−1(−2rΠ + (rs)2)1+ + ( k 2 ) (h2 x) k−2(−2rΠ + (rs)2)2+ Caṕıtulo 4 24 ....... + ( k m ) (h2 x) k−m(−2rΠ + (rs)2)m+ ....... + ( k k ) (h2 x) k−k(−2rΠ + (rs)2)k, (0 ≤ m ≤ k) então, h2k y = ( k 0 ) (h2 x) k+ ( k 1 ) (h2 x) k−1 [( 1 0 ) (−2rΠ)1−0(r2s2)0 + ( 1 1 ) (−2rΠ)1−1(r2s2)1 ] + ( k 2 ) (h2 x) k−2 [( 2 0 ) (−2rΠ)2−0(r2s2)0+ ( 2 1 ) (−2rΠ)2−1(r2s2)1+ ( 2 2 ) (−2rΠ)2−2(r2s2)2 ] + ....... ( k m ) (h2 x) k−m [( m 0 ) (−2rΠ)m−0(r2s2)0+ ( m 1 ) (−2rΠ)m−1(r2s2)1 + ( m 2 ) (−2rΠ)m−2(r2s2)2 + .... + ( m q ) (−2rΠ)m−q(r2s2)q + .....+ ( m m ) (−2rΠ)m−m(r2s2)m ] + ............. + ( k k ) (h2 x) k−k [( k 0 ) (−2rΠ)k−0(r2s2)0+ ( k 1 ) (−2rΠ)k−1(r2s2)1 + ( k 2 ) (−2rΠ)k−2(r2s2)2 + .... + ( k k ) (−2rΠ)k−k(r2s2)k ] , (0 ≤ q ≤ m ≤ k) Separando o fator r de cada termo, temos h2k y = [( k 0 ) (h2 x) k ] r0+ [( k 1 ) (h2 x) k−1 ( 1 0 ) (−2Π)1−0(s2)0 ] r1+ Caṕıtulo 4 25 [( k 1 ) (h2 x) k−1 ( 1 1 ) (−2Π)1−1(s2)1 + ( k 2 ) (h2 x) k−2 ( 2 0 ) (−2Π)2−0(s2)0 ] r2+ [( k 2 ) (h2 x) k−2 ( 2 1 ) (−2Π)2−1(s2)1 + ( k 3 ) (h2 x) k−3 ( 3 0 ) (−2Π)3−0(s2)0 ] r3+ [( k 2 ) (h2 x) k−2 ( 2 2 ) (−2Π)2−2(s2)2 + ( k 3 ) (h2 x) k−3 ( 3 1 ) (−2Π)3−1(s2)1+ ( k 4 ) (h2 x) k−4 ( 4 0 ) (−2Π)4−0(s2)0 ] r4+ .........+ [ fm+q= ] rm+q+ ........... + (s2)kr2k, onde fm+q= será definida como fm+q= = [( k m )( m q ) (h2 x) k−m(−2Π)m−q(s2)q+ ( k m + 1 )( m + 1 q − 1 ) (h2 x) k−(m+1)(−2Π)m−q+2(s2)q−1 + .... + ( k m + q )( m + q 0 ) (h2 x) k−(m+q)(−2Π)m+q(s2)0 ] , (4.10) satisfazendo 0 ≤ m + q ≤ 2k, 0 ≤ q ≤ m ≤ k e fm+q= = 0 se m > k. Então h2k y = 2k∑ m+q=0 fm+q=rm+q (4.11) 4.4 Dedução de f(2k,t) Nosso objetivo é de obter o coeficiente de rt para cada t fixado em F = 2k≤n∑ k=0 ( n 2k )( yn−2k 1 h2k y − xn−2k 1 h2k x ) Seja, então f (n) 2k = ( n 2k )( yn−2k 1 h2k y − xn−2k 1 h2k x ) , Caṕıtulo 4 26 então f (n) 2k = ( n 2k ){( x1 + rc )n−2k( 2k∑ m+q=0 fm+q=rm+q ) − xn−2k 1 h2k x } = ( n 2k ){[( n− 2k 0 ) xn−2k 1 (rc)0 + ( n− 2k 1 ) xn−2k−1 1 (rc)1 + ..........+ ( n− 2k p ) xn−2k−p 1 (rc)p + ..... + ( n− 2k n− 2k ) x0 1(rc) n−2k ] . [ fm+q=0r 0 + fm+q=1r 1 + ...... + fm+q=2kr 2k ] − xn−2k 1 h2k x } = ( n 2k ){[( n− 2k 0 ) xn−2k 1 c0fm+q=0 ] r0+ [( n− 2k 0 ) xn−2k 1 c0fm+q=1 + ( n− 2k 1 ) xn−2k−1 1 c1fm+q=0 ] r1+ [( n− 2k 0 ) xn−2k 1 c0fm+q=2+ ( n− 2k 1 ) xn−2k−1 1 c1fm+q=1+ ( n− 2k 2 ) xn−2k−2 1 c2fm+q=0 ] r2 +................+ [( n− 2k 0 ) xn−2k 1 c0fm+q=t+...+ ( n− 2k p ) xn−2k−p 1 cpfm+q=t−p+...+ ( n− 2k t ) x0 1c tfm+q=0 ] rt +................+ [( n− 2k 0 ) xn−2k 1 c0fm+q=n + ... + ( n− 2k n− 2k ) x0 1c n−2kfm+q=2k ] rn −xn−2k 1 h2k x } Simplificando o primeiro com o último termo, temos f (n) 2k = ( n 2k )[( n− 2k 0 ) xn−2k 1 c0fm+q=1 + ( n− 2k 1 ) xn−2k−1 1 c1fm+q=0 ] r1+ ( n 2k )[( n− 2k 0 ) xn−2k 1 c0fm+q=2+ ( n− 2k 1 ) xn−2k−1 1 c1fm+q=1+ ( n− 2k 2 ) xn−2k−2 1 c2fm+q=2 ] r2+ +.........+ ( n 2k )[( n− 2k 0 ) xn−2k 1 c0fm+q=n + ..... + ( n− 2k n− 2k ) x0 1c n−2kfm+q=2k ] rn. Caṕıtulo 4 27 Definimos então f(2k,t) = ( n 2k )[ t∑ p=0 ( n− 2k p ) xn−2k−p 1 cpfm+q=t−p ] (4.12) e escrevemos f (n) 2k = n∑ t=1 f(2k,t)r t (4.13) 4.5 Dedução de F = ∑ ftr t Temos que F = ( n 0 )( yn 1 − xn 1 ) + ( n 2 )( yn−2 1 h2 y − xn−2 1 h2 x ) + .... = f (n) 0 + f (n) 2 + .......f (n) 2k = 2k≤n∑ k=0 f (n) 2k , mas f (n) 2k = ∑n t=1 f(2k,t)r t , então F = ∑2k≤n k=0 ( ∑n t=1 f(2k,t)r t ) ou de outra forma, F = f(0,1)r 1 + f(0,2)r 2 + ....... + f(0,t)r t+ f(2,1)r 1 + f(2,2)r 2 + ....... + f(2,t)r t+ +............+ f(2k,1)r 1 + f(2k,2)r 2 + ....... + f(2k,t)r t = 2k≤n∑ k=0 f(2k,1)r 1 + 2k≤n∑ k=0 f(2k,2)r 2 + ..... + 2k≤n∑ k=0 f(2k,t)r t Definimos então ft = 2k≤n∑ k=0 f(2k,t), (1 ≤ t ≤ n) (4.14) e obtemos F = n∑ t=1 ftr t, (4.15) sendo f(2k,t) deduzida anteriormente. Caṕıtulo 4 28 Exemplo 4.1. Em f(z) = z2, temos F = 2∑ t=1 ftr t = f1r 1 + f2r 2, como f1 = 2k≤2∑ k=0 f(2k,1) = f(0,1) + f(2,1), e f(0,1) = ( 2 0 )[( 2 0 ) x2 1c 0fm+q=1 + ( 2 1 ) x1 1c 1fm+q=0 ] = x2 10 + 2x1c1 = 2x1c1c2c3, e f(2,1) = ( 2 2 )[( 0 0 ) x0 1c 0fm+q=1 ] = ( 1 1 )( 1 0 )( h2 x )0(− 2Π )1( s2 )0 = −2Π, então f1 = 2(x1c1c2c3 − Π). Como f2 = 2k≤2∑ k=0 f(2k,2) = f(0,2) + f(2,2), e f(0,2) = ( 2 0 )[( 2 0 ) x2 1c 0fm+q=2 + ( 2 1 ) x1 1c 1fm+q=1 + ( 2 2 ) x0 1c 2fm+q=0 ] , f(0,2) = x2 10 + 2x1c0 + c21 = c2 = c2 1c 2 2c 2 3, f(2,2) = ( 2 2 )[( 0 0 ) x0 1c 0fm+q=2 ] = ( 1 1 )( 1 1 )( h2 x )0(− 2Π )0( s2 )1 = s2, então f2 = c2 + s2 = c2 1c 2 2c 2 3 + (c2 1c 2 2c 2 3 − 1) = 2c2 1c 2 2c 2 3 − 1 logo F = 2 ( x1c1c2c3 − Π ) r1 + ( 2c2 1c 2 2c 2 3 − 1 ) r2 Exemplo 4.2. Em f(z) = z3, temos F = 3∑ t=1 ftr t = f1r 1 + f2r 2 + f3r 3, Caṕıtulo 4 29 como f1 = 2k≤2∑ k=0 f(2k,1) = f(0,1) + f(2,1), e f(0,1) = ( 3 0 ) x3 1c 0fm+q=1 + ( 3 1 ) x2 1c 1fm+q=0 = x3 10 + 3x2 1c1 = 3x2 1c1c2c3, f(2,1) = ( 3 2 )[( 1 0 ) x1 1c 0fm+q=1 + ( 1 1 ) x0 1c 1fm+q=0 ] = 3 [ x1 ( 1 1 )( 1 0 )( h2 x )0(− 2Π )1( s2 )0 + c1 ( 1 0 )( 0 0 )( h2 x )1 ] = −6x1Π + 3h2 xc, então f1 = 3(x2 1 + h2 x)c− 6x1Π, e como f2 = 1∑ k=0 f(2k,2) = f(0,2) + f(2,2), e f(0,2) = ( 3 0 )[( 3 0 ) x3 1c 0fm+q=2 + ( 3 1 ) x2 1c 1fm+q=1 + ( 3 2 ) x1 1c 2fm+q=0 ] , f(0,2) = x3 10 + 3x2 1c0 + 3x1c 21 = 3x2 1c 2, f(2,2) = ( 3 2 )[( 1 0 ) x1 1c 0fm+q=2 + ( 1 1 ) x0 1c 1fm+q=1 ] , f(2,2) = 3 [ x1(s 2) + c ( 1 1 )( 1 0 ) (h2 x) 0(−2Π)1(s2)0) ] = 3x1s 2 − 6Πc então f2 = 3x1(2c 2 1c 2 2c 2 3 − 1)− 6Πc1c2c3, Analogamente, f3 = 4c3 1c 3 2c 3 3 − 3c1c2c3. Assim, F = [ 3(x2 1 + h2 x)c1c2c3 − 6x1Π ] r1+ [ 3(x1(2c 2 1c 2 2c 2 3 − 1)− 6Πc1c2c3 ] r2+ [ 4c3 1c 3 2c 3 3 − 3c1c2c3 ] r3 Caṕıtulo 4 30 4.6 Dedução de Fi = ∑ fitr t, Fj = ∑ fjtr t e Fk = ∑ fktr t Se Fi = 2k+1≤n∑ k=0 ( n 2k + 1 ){ y2y n−(2k+1) 1 h2k y − x2x n−(2k+1) 1 h2k x } e f (n) i2k = ( n 2k + 1 ){ y2y n−(2k+1) 1 h2k y − x2x n−(2k+1) 1 h2k x } , então f (n) i2k = ( n 2k + 1 ){ y2 [ x1 + rc ]n−(2k+1)[ 2k∑ m+q=0 fm+q=rm+q ] − x2x n−(2k+1) 1 h2k x } = ( n 2k + 1 ){ y2 [( n− (2k + 1) 0 ) x n−(2k+1) 1 (rc)0+ ( n− (2k + 1) 1 ) x n−(2k) 1 (rc)1+ ... + ( n− (2k + 1) p ) x n−(2k+1)−p 1 (rc)p + ... + ( n− (2k + 1) n− (2k + 1) ) x0 1(rc) n−(2k+1) ] [ fm+q=0r 0 + fm+q=1r 1 + ... + fm+q=2kr 2k ] − x2x n−(2k+1) 1 h2k x } = ( n 2k + 1 ){( x2 + rc1c2s3 )[(( n− (2k + 1) 0 ) x n−(2k+1) 1 (c)0fm+q=0 ) r0+ (( n− (2k + 1) 0 ) x n−(2k+1) 1 (c)0fm+q=1 + ( n− (2k + 1) 1 ) x n−(2k) 1 (c)1fm+q=0 ) r1+ (( n− (2k + 1) 0 ) x n−(2k+1) 1 (c)0fm+q=2+..+ ( n− (2k + 1) 2 ) x n−(2k+1)−2 1 (c)2fm+q=0 ) r2+... ... + ( t−1∑ p=0 ( n− (2k + 1) p ) x n−(2k+1)−p 1 cpfm+q=t−(p+1) ) rt−1+ ( t∑ p=0 ( n− (2k + 1) p ) x n−(2k+1)−p 1 cpfm+q=t−p ) rt + ...+ ( n− (2k + 1) n− (2k + 1) ) x0 1c n−(2k+1)fm+q=2kr n−1 ] − x2x n−(2k+1) 1 h2k x } , Como fm+q=0 = h2k x , temos que f (n) i2k = ( n 2k + 1 ){[ x2 1∑ p=0 ( n− (2k + 1) p ) x n−(2k+1)−p 1 cpfm+q=1−p+ Caṕıtulo 4 31 c1c2s3x n−(2k+1) 1 h2k x ] r1+ [ x2 2∑ p=0 ( n− (2k + 1) p ) x n−(2k+1)−p 1 cpfm+q=2−p+ c1c2s3 1∑ p=0 ( n− (2k + 1) p ) x n−(2k+1)−p 1 cpfm+q=2−p ] r2 + ... [ x2 t∑ p=0 ( n− (2k + 1) p ) x n−(2k+1)−p 1 cpfm+q=t−p+ c1c2s3 t−1∑ p=0 ( n− (2k + 1) p ) x n−(2k+1)−p 1 cpfm+q=t−p−1 ] rt + ... + [ c1c2s3 ( n− (2k + 1) n− (2k + 1) ) x0 1c n−(2k+1)fm+q=2k ] rn } . Assim f (n) i2k = n∑ t=1 fi(2k,t)r t, (4.16) sendo fi(2k,t) definida como fi(2k,t) = ( n 2k + 1 )[ x2 t∑ p=0 ( n− (2k + 1) p ) x n−(2k+1)−p 1 cpfm+q=t−p+ c1c2s3 t−1∑ p=0 ( n− (2k + 1) p ) x n−(2k+1)−p 1 cpfm+q=t−p−1 ] (4.17) Do mesmo modo definimos fj(2k,t) = ( n 2k + 1 )[ x3 t∑ p=0 ( n− (2k + 1) p ) x n−(2k+1)−p 1 cpfm+q=t−p+ c1s2 t−1∑ p=0 ( n− (2k + 1) p ) x n−(2k+1)−p 1 cpfm+q=t−p−1 ] (4.18) fk(2k,t) = ( n 2k + 1 )[ x4 t∑ p=0 ( n− (2k + 1) p ) x n−(2k+1)−p 1 cpfm+q=t−p+ Caṕıtulo 4 32 s1 t−1∑ p=0 ( n− (2k + 1) p ) x n−(2k+1)−p 1 cpfm+q=t−p−1 ] (4.19) Seja então Fi = 2k+1≤n∑ k=0 ( n 2k + 1 ){ y2y n−(2k+1) 1 h2k y − x2x n−(2k+1) 1 h2k x } = 2k+1≤n∑ k=0 f (n) i2k = f (n) i0 + f (n) i2 + .......... + f (n) i2k , f (n) i2k = n∑ t=1 fi(2k,t)r t Então Fi = 2k+1≤n∑ k=0 ( n∑ t=1 fi(2k,t)r t ) , ou Fi = { fi(0,1r 1 + fi(0,2r 2 + .......... + fi(0,tr t+ +fi(2,1r 1 + fi(2,2r 2 + .......... + fi(2,tr t+ ................ fi(2k,1r 1 + fi(2k,2r 2 + .......... + fi(2k,tr t } = 2k+1≤n∑ k=0 fi(2k,1)r 1 + ........ + 2k+1≤n∑ k=0 fi(2k,t)r t Definimos então fit = 2k+1≤n∑ k=0 fi(2k,t), (1 ≤ t ≤ n) (4.20) Assim , Fi = n∑ t=1 fitr t. (4.21) Analogamente, definimos Fj = n∑ t=1 fjtr t, Fk = n∑ t=1 fktr t (4.22) com fjt = 2k+1≤n∑ k=0 fj(2k,t) e fkt = 2k+1≤n∑ k=0 fk(2k,t) dadas. (4.23) Caṕıtulo 4 33 Exemplo 4.3. Em z2, Fi = 2∑ t=1 fitr t = fi1r 1 + fi2r 2, onde fit = 2k+1≤2∑ k=0 fi(2k,t) = fi(0,t), e fi1 = fi(0,1) = ( 2 1 )( x2 1∑ p=0 ( 1 p ) x1−p 1 cpfm+q=1−p + c1c2s3 0∑ p=0 ( 1 0 ) x1c 0fm+q=0 ) = 2x2c + 2x1c1c2s3 = 2x2c1c2c3 + 2x1c1c2s3, fi2 = fi(0,2) = ( 2 1 )( x2 2∑ p=0 ( 1 p ) x1−p 1 cpfm+q=2−p + c1c2s3 ( 1 1 ) x0 1c 1fm+q=0 ) = 2c1c2s3c = 2c2 1c 2 2c3s3, logo Fi = (2x2c1c2c3 + 2x1c1c2s3)r + 2c2 1c 2 2c3s3r 2. Analogamente, Fj = (2x3c1c2c3 + 2x1c1s2)r + 2c2 1c2s2c3r 2 e Fk = (2x4c1c2c3 + 2x1s1)r + 2c1s1c2c3r 2. 4.7 Conclusão de |f (y)− f (x)| = ( ∑ A (n) s rs)1/2 Considerando então, F = n∑ t=1 ftr t, Fi = n∑ t=1 fitr t, Fj = n∑ t=1 fjtr t e Fk = n∑ t=1 fktr t, temos F 2 = (f1r 1 + f2r 2 + .............. + fnr n)2 = a2r 2 + a3r 3 + ............... + a2nr2n = 2n∑ s=2 asr s (4.24) Caṕıtulo 4 34 sendo as =    ∑s−1 p=1 fpfs−p, se 2 ≤ s ≤ n + 1 e ∑n−p k=0 fp+kfn−k, se s = n + p, p > 1 (4.25) Analogamente, faremos F 2 i = 2n∑ s=2 aisr s, (4.26) com ais =    ∑s−1 p=1 fipfi(s−p), se 2 ≤ s ≤ n + 1 e ∑n−p k=0 fi(p+k)fi(n−k), se s = n + p, p > 1, (4.27) e F 2 j = 2n∑ s=2 ajsr s, (4.28) com ajs =    ∑s−1 p=1 fjpfj(s−p), se 2 ≤ s ≤ n + 1 e ∑n−p k=0 fj(p+k)fj(n−k), se s = n + p, p > 1, (4.29) e F 2 k = 2n∑ s=2 aksr s, (4.30) com aks =    ∑s−1 p=1 fkpfk(s−p), se 2 ≤ s ≤ n + 1 e ∑n−p k=0 fk(p+k)fk(n−k), se s = n + p, p > 1. (4.31) Então F 2 + F 2 i + F 2 j + F 2 k = 2n∑ s=2 ( as + ais + ajs + aks ) rs = 2n∑ s=2 A(n) s rs com A(n) s = as + ais + ajs + aks (4.32) Assim, se ∣∣f(y)− f(x) ∣∣ = ∣∣F + iFi + jFj + kFk ∣∣, Caṕıtulo 4 35 temos ∣∣f(y)− f(x) ∣∣ = √ F 2 + F 2 i + F 2 j + F 2 k = √√√√ 2n∑ s=2 A (n) s rs (4.33) Exemplo 4.4. Em f(z) = z2, temos n = 2, e ∣∣f(y)− f(x) ∣∣ = √√√√ 2n∑ s=2 A (2) s rs = √ A (2) 2 r2 + A (2) 3 r3 + A (2) 4 r4. Seja então, obter A (2) 2 . Ora A (2) 2 = a2 +ai2 +aj2 +ak2, e a2 = f1f1 = f 2 1 , ai2 = f 2 i1, aj2 = f 2 j1, ak2 = f 2 k1. Logo A (2) 2 = f 2 1 + f 2 i1 + f 2 j1 + f 2 k1 Agora ft = 2k≤n∑ k=0 f(2k,t), assim f1 = f(0,1) + f(2,1), e fit = 2k+1≤n∑ k=0 fi(2k,t), assim fi1 = fi(0,1), e fjt = 2k+1≤n∑ k=0 fj(2k,t), assim fj1 = fj(0,1), e fkt = 2k+1≤n∑ k=0 fk(2k,t), assim fk1 = fk(0,1). Se f(2k,t) = ( n 2k )[ t∑ p=0 ( n− 2k p ) xn−2k−p 1 cpfm+q=t−p ] , temos f(0,1) = ( 2 0 )[ 1∑ p=0 ( 2 p ) x2−p 1 cpfm+q=1−p ] = 2x1c, e f(2,1) = ( 2 2 )[ 1∑ p=0 ( 0 p ) x−p 1 cpfm+q=1−p ] = −2Π, logo f1 = 2x1c− 2Π. Caṕıtulo 4 36 Agora, fi(2k,t) = ( n 2k + 1 )[ x2 t∑ p=0 ( n− (2k + 1) p ) x n−(2k+1)−p 1 cpfm+q=t−p+ c1c2s3 t−1∑ p=0 ( n− (2k + 1) p ) x n−(2k+1)−p 1 cpfm+q=t−p−1 ] , assim fi(0,1) = ( 2 1 )[ x2 1∑ p=0 ( 1 p ) x1−p 1 cpfm+q=1−p + c1c2s3 ( 1 0 ) x1 1c 0fm+q=0 ] , logo fi(0,1) = 2 ( x1c1c2s3 + x2c ) , e analogamente, fj(0,1) = 2 ( x1c1s2 + x3c ) e fk(0,1) = 2 ( x1s1 + x4c ) , então voltando em A (2) 2 , temos A (2) 2 = [ 2 ( x1c−Π )]2 + [ 2 ( x1c1c2s3 +x2c) ]2 + [ 2 ( x1c1s2 +x3c) ]2 + [ 2 ( x1s1 +x4c) ]2 Exemplo 4.5. Em f(z) = z3, temos n = 3, e ∣∣f(y)− f(x) ∣∣ = √√√√ 2n∑ s=2 A (3) s rs = √ A (3) 2 r2 + A (3) 3 r3 + A (3) 4 r4 + A (3) 5 r5 + A (3) 6 r6. Seja então, obter A (3) 2 . Ora A (3) 2 = a2 + ai2 + aj2 + ak2, e a2 = f1f1 = f 2 1 , ai2 = f 2 i1, aj2 = f 2 j1 e ak2 = f 2 k1, logo A (3) 2 = f 2 1 + f 2 i1 + f 2 j1 + f 2 k1, obtidos a seguir. Temos que ft = 2k≤n∑ k=0 f(2k,t), assim f1 = f(0,1) + f(2,1), e fit = 2k+1≤n∑ k=0 fi(2k,t), assim fi1 = fi(0,1) + fi(2,1), e fjt = 2k+1≤n∑ k=0 fj(2k,t), assim fj1 = fj(0,1) + fj(2,1), e Caṕıtulo 4 37 fkt = 2k+1≤n∑ k=0 fk(2k,t), assim fk1 = fk(0,1) + fk(2,1). Se f(2k,t) = ( n 2k )[ t∑ p=0 ( n− 2k p ) xn−2k−p 1 cpfm+q=t−p ] , temos f(0,1) = ( 3 0 )[ 1∑ p=0 ( 3 p ) x3−p 1 cpfm+q=1−p ] = 1 [( 3 0 ) x3 1c 0fm+q=1+ ( 3 1 ) x2 1c 1fm+q=0 ] = 3x2 1c f(2,1) = ( 3 2 )[ 1∑ p=0 ( 1 p ) x1−p 1 cpfm+q=1−p ] = 3 [( 1 0 ) x1 1c 0fm+q=1 + ( 1 1 ) x0 1c 1fm+q=0 ] = 3 [ x1 ( 1 1 )( 1 0 ) (h2 x) 0(−2Π)1(s2)0 + c ( 1 0 ) (h2 x) 1 ] = 3h2 xc− 6x1Π, logo f1 = 3 ( x2 1 + h2 x ) c− 6x1Π. Agora fi(2k,t) = ( n 2k + 1 )[ x2 t∑ p=0 ( n− (2k + 1) p ) x n−(2k+1)−p 1 cpfm+q=t−p+ c1c2s3 t−1∑ p=0 ( n− (2k + 1) p ) x n−(2k+1)−p 1 cpfm+q=t−p−1 ] , com fi(0,1) = ( 3 1 )[ x2 1∑ p=0 ( 2 p ) x2−p 1 cpfm+q=1−p + c1c2s3 ( 2 0 ) x2 1c 0fm+q=0 ] , fi(0,1) = 3 { x2 [( 2 0 ) x2 1fm+q=1 + ( 2 1 ) x1 1c 1fm+q=0 ] + x2 1c1c2s3 } = = 3 { x2 [ 0 + 2x1c ] + x2 1c1c2s3 } = 6x1x2c + 3x2 1c1c2s3, e fi(2,1) = ( 3 3 )[ x2 1∑ p=0 ( 0 p ) x−p 1 cpfm+q=1−p + c1c2s3 0∑ p=0 ( 0 p ) x−p 1 cpfm+q=−p ] Caṕıtulo 4 38 = { x2 [ fm+q=1 ] + c1c2s3fm+q=0 } = = { x2 [( 1 1 )( 1 0 )( h2 x )0(− 2Π )1 ] + c1c2s3 ( h2 x )1 } = −2x2Π + h2 xc1c2s3, então fi1 = (3x2 1 + h2 x)c1c2s3 + 2x2(3x1c− Π), e da mesma forma fj1 = (3x2 1 +h2 x)c1s2 +2x3(3x1c−Π) e fk1 = (3x2 1 +h2 x)s1 +2x4(3x1c−Π). Caṕıtulo 5 Transformações 5.1 Introdução Nesse caṕıtulo exibimos os conceitos de transformação complexa, conformidade e analiticidade, bem com o de transformação hipercomplexa. Não procuramos uma associação entre transformações conformes e quaseconformes (a serem definidas mais adiante), já que as definições delas são distintas. 5.1.1 Derivada Uma função f(z) é derivável em zεD, D é uma região do plano z dos complexos se f ′ (z) = lim ∆z→0 f(z + ∆z)− f(z) ∆z (5.1) existe, e independa de como ∆z tenda a zero. 5.1.2 Função Anaĺıtica Uma função f(z) é anaĺıtica (ou regular) em z0εD, se existe δ > 0 tal que f ′ (z) existe para todo z com ∣∣z − z0 ∣∣ < δ. 39 Caṕıtulo 5 40 5.1.3 Transformações Suponhamos o sistema S :    u = u(x, y) v = v(x, y) (5.2) que relaciona pontos do plano z = (x, y) com pontos do plano w = (u, v). Dizemos que S associa ou transforma pontos do plano z em pontos do plano w. Se a transformação S é biuńıvoca, existe S−1 :    x = x(u, v) y = y(u, v) (5.3) Considerando nos complexos z = (x1, x2) = x1+ix2, i = √−1 e f(z) = w = u1 + iu2 = (u1, u2), temos então S :    u1 = u1(x1, x2) u2 = u2(x1, x2) Exemplo 5.1. Seja f(z) = z2 = (x1 + ix2) 2 = x2 1 − x2 2 + i2x1x2 então S :    u1 = u1(x1, x2) = x2 1 − x2 2 u2 = u2(x1, x2) = 2x1x2, f(z) = w = u1 + iu2 5.1.4 Mapeamentos Teorema de Bieberbach [9] Teorema 5.1. Se há uma dada região D simplesmente conexa estando intei- ranmente numa parte finita do z − plano e tendo uma fronteira simples δD. Se δD consiste de um número finito de arcos de curvas que são cont́ınuos e diferenciáveis. Se a função w = f(x) é regular e se |f(x)| ≤ k < ∞. Se a curva δD é mapeada 1−1 sobre δD′, isto é, não se intercepta. Então a função w = f(x) mapeia a região D 1− 1 sobre uma região simples e finita D′ com fronteira δD’. Caṕıtulo 5 41 Exemplo 5.2. A função f dada por f(z) = z2, z ∈ λ : (x1 − r)2 + x2 2 = r2, (r > 0) mapeia λ no cardióide λ ′ : (u2 + v2)2 − 4r2u(u2 + v2)− 4r4v2 = 0 2 1 0 -1 -2 43210 Figura 5.1: Cardióide 5.2 Transformação Hipercomplexa Se z = (x1, x2, x3, x4) = x1 + ix2 + jx3 + kx4 e f(z) = w = u1 + iu2 + ju3 + ku4, temos: S :    u1 = u1(x1, x2, x3, x4) u2 = u2(x1, x2, x3, x4) u3 = u3(x1, x2, x3, x4) u4 = u4(x1, x2, x3, x4), f(z) = w = u1 + iu2 + jx3 + kx4 Caṕıtulo 5 42 Considerando então coordenadas esféricas (r, θ) no Rn, temos para n = 4, 0 ≤ r < ∞, −π 2 ≤ θ1, θ2 ≤ π 2 , 0 ≤ θ3 ≤ 2π, (5.4) S :    x1 = x1(r, θ1, θ2, θ3) = rcosθ1cosθ2cosθ3 x2 = x2(r, θ1, θ2, θ3) = rcosθ1cosθ2senθ3 x3 = x3(r, θ1, θ2, θ3) = rcosθ1senθ2 x4 = x4(r, θ1, θ2, θ3) = rsenθ1 (5.5) que para maior simplicidade escreveremos como S :    x1 = rcosθ1cosθ2cosθ3 = rc1c2c3 x2 = rcosθ1cosθ2senθ3 = rc1c2s3 x3 = rcosθ1senθ2 = rc1s2 x4 = rsenθ1 = rs1 (5.6) Na expressão cosθ1cosθ2cosθ3 usaremos algumas vezes c1c2c3 = c, assim como para c2 1c 2 2c 2 3 denotaremos por c2 e c2 − 1 = s2. 5.3 Transformações Conformes As transformações w = f(z) que preservam ângulos entre curvas num ponto z0 ∈ z, são ditas conforme com ângulo de giro γ = argf ′(z0). Como exemplos de funções conformes podemos citar as translações w = z + β, as rotações w = eiθoz, entre muitas outras[8]. 5.3.1 Teorema Fundamental de Conformidade Teorema 5.2. Para z complexo, se f(z) é anaĺıtica com f ′(z) 6= 0 numa região D, então a transformação w = f(z) é conforme em todos os pontos [8] de D. Como consequência do teorema temos as equações de Cauchy-Riemann ∂u1 ∂x1 = ∂u2 ∂x2 , ∂u1 ∂x2 = −∂u2 ∂x1 (5.7) Caṕıtulo 5 43 Se as derivadas parciais de f(z) são cont́ınuas em D, então as equações de Cauchy-Riemann são também condições suficientes para que f(z) seja anaĺıtica [8] em D. Sabemos que nos complexos, a translação, a dilatação, rotação e a in- versão são mapeamentos conformes. Nos hipercomplexos temos as equações Cauchi-Riemann Generalizadas , ∂u1 ∂x1 = ∂u2 ∂x2 = ∂u3 ∂x3 = ∂u4 ∂x4 , ∂u2 ∂x1 = −∂u1 ∂x2 = −∂u3 ∂x4 = ∂u4 ∂x3 , ∂u3 ∂x1 = −∂u1 ∂x3 = ∂u2 ∂x4 = −∂u4 ∂x2 , ∂u4 ∂x1 = −∂u1 ∂x4 = −∂u2 ∂x3 = ∂u3 ∂x2 . (5.8) mas o conceito de analiticidade não é o mesmo, e as transformações [2] conformes têm restrições. Caṕıtulo 6 Transformação Quaseconforme O moderno desenvolvimento dessa teoria começa por volta de 1950, com os tra- balhos de Ahlfors, e, hoje tem crescido enormemente o interesse por esse assunto pelas possibilidades de conexões com outros campos da matemática. Grötzsch, por volta de 1920, foi o primeiro a considerar mapeamentos quaseconformes para n = 2 em seus estudos sobre domı́nios planos simples [6]. Porém, os estudos para dimensões n ≥ 3, foram desenvolvidos por Lavrent’ev, com registros de 1938. O passo mais importante foi dado por Teichmüller com [10] mapeamentos quaseconformes em superf́ıcies de Riemann, levando a uma conexão com diferen- ciais quadráticas holomorfas. Há muitas maneiras de definir função quaseconforme, usaremos aqui a que achamos mais simples. 6.1 Definição métrica Se D e D′ são domı́nios no n-espaço Euclidiano Rn com n ≥ 2 e seja f : D −→ D′ um homeomorfismo (cont́ınua, bijetora e preserva topologia). Para x ∈ D e r > 0, considere B(x, r) a bola fechada (com centro em x) em D. 44 Caṕıtulo 6 45 Seja L(x, r) = max |x−y|=r |f(y)− f(x)|, l(x, r) = min |x−y|=r |f(y)− f(x)|, (6.1) H(x, r) = L(x, r) l(x, r) e H(x) = lim sup r−→0 H(x, r), (6.2) então dizemos que a função f é quaseconforme se a dilatação linear H(x) é unifor- memente limitada em D[6]. Por conveniência, definimos f sendo K-quaseconforme com 1 ≤ K < ∞ se f é quaseconforme e H(x) ≤ K quasesempre. (6.3) 6.1.1 A 1-quaseconformidade: Seja o complexo z = x1 + ix2, e a função w = f(z) = eiθoz, w = u1 + iu2 e    u1 = u1(x1, x2) = x1cosθ − x2senθ u2 = u2(x1, x2) = x1senθ + x2cosθ com Jacobiano J = ∂(u1, u2) ∂(x1, x2) = ∣∣∣∣∣∣ cosθ −senθ senθ cosθ ∣∣∣∣∣∣ = 1 6= 0, (∀θ) logo, cont́ınuamente diferenciável para z 6= 0, seu ponto cŕıtico. Como f(z) satisfaz as equações de Cauchi−Riemann ∂u1 ∂x1 = cosθ = ∂u2 ∂x2 , ∂u2 ∂x1 = senθ = −∂u1 ∂x2 , é conforme [2]. Mostremos que é 1-quaseconforme. Se L(z0, r) = max |z0−z|=r |f(z)− f(z0)| = max |z0−z|=r |eiθ0z − eiθ0z0| Caṕıtulo 6 46 = eiθ0r = l(z0, r) = min |z0−z|=r |f(z)− f(z0)| então H(z0, r) = L(z0, r) l(z0, r) = 1 = lim sup r−→0 H(z0) Podeŕıamos, então, procurar fatores ou situações que provoquem a K-quaseconformidade, para 1 < K < ∞, então consideremos 6.1.2 Fator de expansão da função Seja f : D −→ D′ nos complexos, r > 0, f(z) = w = z2 e B(x, r) ⊂ D, se x = (x0, y0) : fixado e y ∈ B(x, r) tal que y está na ”casca”de B, então para y = (x1, y1) temos    x1 = x0 + rcosθ y1 = y0 + rsenθ Como |x− y| = r, temos (x1 − x0) 2 + (y1 − y0) = r2 e f(x) = x2 = x2 0 − y2 0 + i2x0y0, f(y) = y2 = x2 1 − y2 1 + i2x1y1 e ∣∣f(y)− f(x) ∣∣ = ∣∣x2 1 − x2 0 − y2 1 + y2 0 + i ( 2x1y1 − 2x0y0 )∣∣ = r √ r2 + 4r(x0cosθ + y0senθ) + 4(x2 0 + y2 0), notamos que o lim r−→0 [ r2 + 4r(x0cosθ + y0senθ) + 4(x2 0 + y2 0) ] = 4(x2 0 + y2 0) é constante, que denominamos de A2 = 4(x2 0 +y2 0), o fator de expansão da função. Então, no cálculo da K-quaseconformidade, obtemos H(x) = lim sup r−→0 H(x, r) = lim sup r−→0 L(x, r) l(x, r) , assim H(x) = lim sup r−→0 max r √ r2 + 4r(x0cosθ + y0senθ) + 4(x2 0 + y2 0) min r √ r2 + 4r(x0cosθ + y0senθ) + 4(x2 0 + y2 0) = 1 Caṕıtulo 6 47 De uma forma mais geral, podemos mostrar que com complexos escritos na forma z = reiθ, a potenciação f(z) = zn é 1-quaseconforme, pois zn = rneinθ, então L = l = rneinθ, logo H(x) = 1 Poderemos observar mais adiante que se o fator de expansão, por nós denominados de A (n) 2 (6.4) não for constante, a função será K-quaseconforme com 1 < K < ∞. 6.1.3 A função Identidade A função identidade para os números hipercomplexos f(z) = z = x1 + ix2 + jx3 + kx4 é conforme pois satisfaz as equações de Cauchy-Riemann generalizadas [2], visto que S :    u1 = u1(x1, x2, x3, x4) = x1 u2 = u2(x1, x2, x3, x4) = x2 u3 = u3(x1, x2, x3, x4) = x3 u4 = u4(x1, x2, x3, x4) = x4, e J = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1 6= 0, (∀z 6= 0) Na investigação de funções K-quaseconformes, chegamos ao estudo de funções do tipo f(z) = zn, n = 2, 3, .. e z hipercomplexo da forma z = x1 + ix2 + jx3 + kx4 e obtivemos os resultados a seguir: 6.1.4 Resultado paraf(z) = z2 Seja x = (x1, x2, x3, x4) = x1 + ix2 + jx3 + kx4 e y = (y1, y2, y3, y4) = y1 + iy2 + jy3 + ky4, onde x ∈ D ⊂ H, r > 0 tal que B(x, r) ⊂ D e y ∈ B(x, r), | x− y |= r, então: (y1 − x1) 2 + (y2 − x2) 2 + (y3 − x3) 2 + (y4 − x4) 2 = r Caṕıtulo 6 48 Em coordenadas (r, θ) temos S :    y1 = x1 + rcosθ1cosθ2cosθ3 = x1 + rc1c2c3 y2 = x2 + rcosθ1cosθ2senθ3 = x1 + rc1c2s3 y3 = x3 + rcosθ1senθ2 = x1 + rc1s2 y4 = x4 + rsenθ1 = x1 + rs1 (6.5) Assim f(x) = x2 = x2 1 + h2 x + 2x1hx, hx = ix2 + jx3 + kx4, h2 x = −x2 4 − x2 3 − x2 4 f(y) = y2 = y2 1 + h2 y + 2y1hy, hy = iy2 + jy3 + ky4, h2 y = h2 x − 2rΠ + r2s2 com as notações Π = x2c1c2s3 + x3c1s2 + x4s1 e s2 = c2 − 1 = c2 1c 2 2c 2 3 − 1, logo | f(y)− f(x) |=| y2 1 − x2 1 + h2 y − h2 x + 2y1hy − 2x1hx | ∣∣∣∣2(x1c1c2c3 − Π)r + (2c2 − 1)r2 + i [ (2x2c1c2c3 + 2x1c1c2s3)r + 2cc1c2s3r 2 ] +j [ (2x3c1c2c3 + 2x1c1s2)r + 2cc1s2r 2 ] + k [ (2x4c1c2c3 + 2x1s1)r + 2cs1r 2 ]∣∣∣∣ ∣∣∣∣F + iFi + jFj + kFk ∣∣∣∣ = √ F 2 + F 2 i + F 2 j + F 2 k , onde F = f1r + f2r 2, f1 = 2(x1c1c2c3 − Π), f2 = (2c2 − 1), Fi = fi1r + fi2r 2, fi1 = 2x2c1c2c3 + 2x1c1c2s3, fi2 = 2cc1c2s3, Fj = fj1r + fj2r 2, fj1 = 2x3c1c2c3 + 2x1c1s2, fj2 = 2cc1s2, Fk = fk1r + fk2r 2, fk1 = 2x4c1c2c3 + 2x1s1, fk2 = 2cs1. Como F 2 = f 2 1 r2 + 2f1f2r 3 + f 2 2 r4, F 2 i = f 2 i1r 2 + 2fi1fi2r 3 + f 2 i2r 4, F 2 j = f 2 j1r 2 + 2fj1fj2r 3 + f 2 j2r 4 e F 2 k = f 2 k1r 2 + 2fk1fk2r 3 + f 2 k2r 4, Caṕıtulo 6 49 temos ∣∣f(y)− f(x) ∣∣ = √ A2r2 + A3r3 + A4r4, onde A4 = f 2 2 + f 2 i2 + f 2 j2 + f 2 k2 = 1, A3 = 2f1f2 + 2fi1fi2 + 2fj1fj2 + 2fk1fk2 = 4(x1c + Π) e A2 = f 2 2 + f 2 i2 + f 2 j2 + f 2 k2 = 4(x2 1 − h2 xc 2 + Π2) ou A2 = 4 [ x2 1 + (x2 2 + x2 3 + x2 4)c 2 1c 2 2c 2 3 + (x2c1c2s3 + x3c1s2 + x4s1) 2 ] Note que A2 não é constante, e H(x) = lim sup r−→0 H(x, r) = lim sup r−→0 L(x, r) l(x, r) = lim sup r−→0 max √ A2r2 + A3r3 + A4r4 min √ A2r2 + A3r3 + A4r4 , H(x) = lim sup r−→0 max r √ A2 + A3r + A4r2 min r √ A2 + A3r + A4r2 = max √ A2 min √ A2 = √ max A2 min A2 Nesse caso podemos tentar prever o valor de H(x), estudando o max A2 e o min A2. Fazendo xi = max {| x1 |, | x2 |, | x3 |, | x4 |}, então se Π = x2c1c2s3 + x3c1s2 + x4s1≤ 3xi, temos 0 ≤ Π2 ≤ 9x2 i e 0 ≤ (x2 2 + x2 3 + x2 4)c 2 1c 2 2c 2 3≤3x2 i , assim temos dois casos a considerar, Primeiro: Se x1 6= 0, para A2 = 4(x2 1 − h2 xc 2 + Π2) temos A2 ≤ 4(x2 1 + 3x2 i + 9x2 i ) = 52x2 i , logo max A2 = 52x2 i e, se c2 = 0 −→ Π = x3c1 + x4s1, que pode ser zero, então min A2 = 4x2 1, logo se H(x) = K(x1, x2, x3, x4) 1 ≤ K(x1, x2, x3, x4) ≤ xi x1 √ 13 (6.6) Caṕıtulo 6 50 Segundo: Se x1 = 0, então max A2 = 48x2 i e min A2 pode ser infinitamente pequeno fazendo K(x1, x2, x3, x4) tender ao infinito. A seguir calcularemos alguns valores de K(x1, x2, x3, x4) = K(a, b, c, d) computa- cionalmente, usando o programa Mathemática, em que nos preocupamos apenas com os coeficientes A (n) 2 , n = 2, 3, .., dados por A (n) 2 = a2 + ai2 + aj2 + ak2, sendo, por exemplo A (2) 2 = 4(x2 1 − h2 xc 2 + Π2), A (3) 2 = 9x4 1 + (−24h2 xc 2 + 6h2 x + 24Π2)x2 1 − 8h2 xΠ 2 + (8c2 + 1)h4 x, A (4) 2 = [ 4(x3 1c− 3x2 1Π + 3x1h 2 xc− h2 xΠ) ]2 + [ 4[x3 1c1c2s3 + 3x2 1x2c + (h2 xc1c2s3 − 2x2Π)x1 + x2h 2 xc ]2 + [ 4[x3 1c1s2 + 3x2 1x3c + (h2 xc1s2 − 2x3Π)x1 + x3h 2 xc ]2 + [ 4[x3 1s1 + 3x2 1x4c + (h2 xs1 − 2x4Π)x1 + x4h 2 xc ]2 Caṕıtulo 7 Cálculo da K-quaseconformidade computacionalmente Usando o fato que ∣∣f(y)− f(x) ∣∣ = √√√√ 2n∑ s=2 A (n) s rs, (7.1) e de posse da definição métrica L(x, r) = max |x−y|=r |f(y)− f(x)|, l(x, r) = min |x−y|=r |f(y)− f(x)|, (7.2) H(x, r) = L(x, r) l(x, r) e H(x) = lim sup r−→0 H(x, r), (7.3) temos que H(x) = √√√√max A (n) 2 min A (n) 2 (7.4) Então, na investigação de H(x) ≤ K, precisamos apenas da maximização e da mi- nimização de An 2 , n=1,2,3.., que são os coeficientes de r2 em (7.1). Tais coeficientes, denominamos de fator de expansão, na qual para funções conformes são constantes. O caminho computacional para o cálculo de K pelo programa Mathemática foi: 1. Digite A (n) 2 2. Maximize A (n) 2 = a 3. Minimize A (n) 2 =b 51 Caṕıtulo 7 52 4. Faça √ a b = K 7.1 O cálculo de K computacionalmente 7.1.1 Seja f(z) = z2, z = (a, b, c, d) centro da hiperesfera de raio r Com o comando :A (2) 2 = 4[a2+(b2+c2+d2)(cosx)2(cosy)2(cosz)2+(bcosxcosysinz+ ccosxsiny + dsinx)2], −π 2 ≤ x, y ≤ π 2 , 0 ≤ z ≤ 2π, a, b, c, d não todos nulos, obtivemos as seguintes K-quaseconformidade, K(a, b, c, d) tais K(1, 1, 1, 1) = 1.99998 K(15, 15, 15, 15) = 1.99998 K(1, 0, 0, 0) = 1 K(15, 1, 1, 1) = 1.00664 K(15, 0.1, 0.1, 0.1) = 1.00007 K(0.1, 1, 1, 1) = 17.3434 K(0, 1, 1, 1) = 674.021, Observe que esses números foram previstos na secção anterior. 7.1.2 Seja f(z) = z3, z = (a, b, c, d) centro da hiperesfera de raio r Com o comando :A (3) 2 = [3(a2 − b2 − c2 − d2)cosxcosycosz − 6a(bcosxcosysinz + ccosxsiny + dsinx)]2 + [(3a2 − b2 − c2 − d2)cosxcosysinz + 2b(3acosxcosycosz − bcosxcosysinz−ccosxsiny−dsinx)]2+[(3a2−b2−c2−d2)cosxsiny+2c(3acosxcosycosz− bcosxcosysinz−ccosxsiny−dsinx)]2+[(3a2−b2−c2−d2)sinx+2d(3acosxcosycosz− Caṕıtulo 7 53 bcosxcosysinz−ccosxsiny−dsinx)]2 , −π 2 ≤ x, y ≤ π 2 , 0 ≤ z ≤ 2π, a, b, c, d não todos nulos, obtivemos as seguintes K-quaseconformidade, K(a, b, c, d) tais K(1, 1, 1, 1) = 674.021 K(15, 15, 15, 15) = 674.021 K(1, 0, 0, 0) = 1 K(15, 1, 1, 1) = 1.01786 K(15, 0.1, 0.1, 0.1) = 1.00018 K(0.1, 1, 1, 1) = 3.04035 K(0, 1, 1, 1) = 2.99994, 7.1.3 Seja f(z) = z4, z = (a, b, c, d) centro da hiperesfera de raio r Com o comando :A (4) 2 = [4(a3cosxcosycosz − 3a2(bcosxcosysinz + ccosxsiny + dsinx)+3a(−b2−c2−d2)cosxcosycosz−(−b2−c2−d2)(bcosxcosysinz+ccosxsiny+ dsinx)]2+[4(a3cosxcosysinz+3a2bcosxcosycosz+((−b2−c2−d2)cosxcosysinz− 2b(bcosxcosysinz + ccosxsiny + dsinx))a + b(−b2 − c2 − d2)cosxcosycosz]2 + [4(a3cosxsiny+3a2ccosxcosycosz+((−b2−c2−d2)cosxsiny−2c(bcosxcosysinz+ ccosxsiny+dsinx))a+c(−b2−c2−d2)cosxcosycosz]2+[4(a3sinx+3a2dcosxcosycosz+ ((−b2 − c2 − d2)sinx− 2d(bcosxcosysinz + ccosxsiny + dsinx))a + d(−b2 − c2 − d2)cosxcosycosz]2, −π 2 ≤ x, y ≤ π 2 , 0 ≤ z ≤ 2π, a, b, c, d não to- dos nulos, obtivemos as seguintes K-quaseconformidade, K(a, b, c, d) tais K(1, 1, 1, 1) = 3.99989 K(15, 15, 15, 15) = 3.99989 Caṕıtulo 7 54 K(1, 0, 0, 0) = 1 K(15, 1, 1, 1) = 1.03385 K(15, 0.1, 0.1, 0.1) = 1.00033 K(0.1, 1, 1, 1) = 17.4594 K(0, 1, 1, 1) = 674.021, que podem ser comparados pela tabela: z2 z3 z4 K(1, 1, 1, 1) 1.99998 674.021 3.99989 K(15, 15, 15, 15) 1.99998 674.021 3.99989 K(1, 0, 0, 0) 1.00000 1.00000 1.00000 K(15, 1, 1, 1) 1.00664 1.01786 1.03385 K(15, 0.1, 0.1, 0.1) 1.00007 1.00018 1.00033 K(0.1, 1, 1, 1) 17.3434 3.04035 17.4594 K(0, 1, 1, 1) 674.021 2.99994 674.021 Conclúımos que se B ′ é o mapeamento obtido pela função quaterniônica f : B 7→ B ′ (7.5) então bolas B(x, r), r tendendo a zero, são transformadas em hipersuperf́ıcies das mais variadas em função do centro x = (a, b, c, d), que a K-quaseconformidade depende de x. É de nosso interesse, então, localizar e visualizar essa deformação, com o procedimento de fixar uma ou duas das quatro coordenadas, como se segue. Caṕıtulo 8 Mapeamentos Seja B = B(x, r) uma bola com centro em x = (a, b, c, d) e raio r, mapeada pela função quaterniônica f : B 7→ B ′ , (8.1) então B ′ é uma hipersuperf́ıcie tal que B ′ = f(B(x, r)). (8.2) Se yεB(x, r) com |y − x| = r e y = (y1, y2, y3, y4) sendo escrito em coordenadas esféricas como B :    y1 = x1 + rcosθ1cosθ2cosθ3 y2 = x2 + rcosθ1cosθ2senθ3 y3 = x3 + rcosθ1senθ2 y4 = x4 + rsenθ1 (8.3) então B ′ = f(y), ou seja B ′ :    y′1 = f1(y) y′2 = f2(y) y′3 = f3(y) y′4 = f4(y) (8.4) 55 Caṕıtulo 8 56 8.1 Mapeamentos com curvas de ńıvel Seja B ′ a hipersuperf́ıcie quadridimensional dada por B ′ :    y′1 = f1(y) y′2 = f2(y) y′3 = f3(y) y′4 = f4(y) (8.5) Das infinitas curvas de ńıvel posśıveis, faremos o encaminhamento apenas para aquelas paralelas a cada eixo coordenado. Para tanto, usaremos a seguinte ana- logia dos cortes de uma esfera. Seja a esfera B ′ (x1, x2, x3) :    x1 = rcosθ1cosθ2, −π 2 ≤ θ1 ≤ π 2 x2 = rcosθ1senθ2, 0 ≤ θ2 ≤ 2π x3 = rsenθ1, r dado. (8.6) • Corte um : Fazendo θ1 = 0 e anulando a terceira coordenada teremos a projeção da esfera nos eixos x1 − x2, equivalente ao sistema B ′ (x1, x2) :    x1 = rcosθ2, x2 = rsenθ2, 0 ≤ θ2 ≤ 2π (8.7) • Corte dois : Fazendo θ2 = 0 e anulando a segunda coordenada teremos a projeção da esfera nos eixos x1 − x3, equivalente ao sistema B ′ (x1, x3) :    x1 = rcosθ1, x3 = rsenθ1, 0 ≤ θ1 ≤ 2π (8.8) • Corte três : Fazendo θ2 = π/2 e anulando a primeira coordenada teremos a projeção da esfera nos eixos x2 − x3, equivalente ao sistema B ′ (x2, x3) :    x2 = rcosθ1, x3 = rsenθ1, 0 ≤ θ1 ≤ 2π (8.9) Caṕıtulo 8 57 Seja então B ′ a hipersuperf́ıcie quadridimensional obtida em função de r, θ1, θ2, θ3, ou seja B ′ :    y′1 = f1(r, θ1, θ2, θ3), y′2 = f2(r, θ1, θ2, θ3), −π 2 ≤ θ1, θ2 ≤ π 2 y′3 = f3(r, θ1, θ2, θ3), 0 ≤ θ3 ≤ 2π y′4 = f4(r, θ1, θ2, θ3), r dado. (8.10) Faremos então apenas quatro curvas de ńıvel, perpendiculares aos eixos coordena- dos provocadas por θ1 = 0, θ2 = 0, θ3 = 0 e θ3 = π/2, para obtermos superf́ıcies no IR3, à saber B ′ (x1, x2, x3), B ′ (x1, x2, x4), B ′ (x1, x3, x4) e B ′ (x2, x3, x4), ou mais explicitamente dadas por B ′ (x1, x2, x3) :    y′1 = f ′1(r, θ2, θ3), −π 2 ≤ θ2 ≤ π 2 y′2 = f ′2(r, θ2, θ3), 0 ≤ θ3 ≤ 2π y′3 = f ′3(r, θ2, θ3), r dado, (8.11) B ′ (x1, x2, x4) :    y′1 = f ′1(r, θ1, θ3), −π 2 ≤ θ1 ≤ π 2 y′2 = f ′2(r, θ1, θ3), 0 ≤ θ3 ≤ 2π y′4 = f ′4(r, θ1, θ3), r dado, (8.12) B ′ (x1, x3, x4) :    y′1 = f ′1(r, θ1, θ2), −π 2 ≤ θ1 ≤ π 2 y′3 = f ′3(r, θ1, θ2), 0 ≤ θ2 ≤ 2π y′4 = f ′4(r, θ1, θ2), r dado, (8.13) e finalmente, B ′ (x2, x3, x4) :    y′2 = f ′2(r, θ1, θ2), −π 2 ≤ θ1 ≤ π 2 y′3 = f ′3(r, θ1, θ2), 0 ≤ θ2 ≤ 2π y′4 = f ′4(r, θ1, θ2), r dado. (8.14) Para cada superf́ıcie B ′ , podemos obter B ′ m como um corte meridional, fazendo para cada θi com variação de 0 a 2π, a variação 0 ≤ θi ≤ π, por exemplo B ′ m(x1, x2, x3) :    y′1 = f ′1(r, θ2, θ3), −π 2 ≤ θ2 ≤ π 2 y′2 = f ′2(r, θ2, θ3), 0 ≤ θ3 ≤ π y′3 = f ′3(r, θ2, θ3), r dado, (8.15) Caṕıtulo 8 58 e opcionalmente usaremos B ′ h(x1, x2, x3) :    y′1 = f ′1(r, θ2, θ3), −π 2 ≤ θ2 ≤ 0 y′2 = f ′2(r, θ2, θ3), 0 ≤ θ3 ≤ 2π y′3 = f ′3(r, θ2, θ3), r dado, (8.16) para cortes hemisféricos. Seja agora B ′ (xi, xj, xk) a superf́ıcie obtida no IR3. Podemos obter sua projeção no IR2 fazendo em analogia dos cortes da esfera, zerando uma das coordenadas, obter B ′ (xi, xj), B ′ (xi, xk) e B ′ (xj, xk). Para os mapeamentos que seguem, considere yεB(x, r) com |y−x| = r e y = (y1, y2, y3, y4) sendo escrito em coordenadas esféricas como B :    y1 = a + rcosθ1cosθ2cosθ3 y2 = b + rcosθ1cosθ2senθ3 y3 = c + rcosθ1senθ2 y4 = d + rsenθ1 (8.17) onde x = (a, b, c, d) é o centro da bola quadridimensional e raio r dado. 8.2 Mapeamento de f (z) = z2 Se f(z) = z2 = (y1 + iy2 + jy3 + ky4) 2, temos B ′ :    y′1 = y2 1 − y2 2 − y2 3 − y2 4, y′2 = 2y1y2 y′3 = 2y1y3 y′4 = 2y1y4, (8.18) que parametrizada fica B ′ :    y′1 = (a + rcosθ1cosθ2cosθ3) 2 − (b + rcosθ1cosθ2senθ3) 2 −(c + rcosθ1senθ2) 2 − (d + rsenθ1) 2 y′2 = 2(a + rcosθ1cosθ2cosθ3)(b + rcosθ1cosθ2senθ3) y′3 = 2(a + rcosθ1cosθ2cosθ3)(c + rcosθ1senθ2), y′4 = 2(a + rcosθ1cosθ2cosθ3)(d + rsenθ1), (8.19) Caṕıtulo 8 59 satisfazendo −π 2 ≤ θ1, θ2 ≤ π 2 e 0 ≤ θ3 ≤ 2π. O corte dado por θ1 = 0 produz no IR3 a superf́ıcie B ′ (x1, x2, x3) dada por B ′ (x1, x2, x3) :    y′1 = (a + rcosθ2cosθ3) 2 − (b + rcosθ2senθ3) 2 −(c + rsenθ2) 2 − d2 y′2 = 2(a + rcosθ2cosθ3)(b + rcosθ2senθ3) y′3 = 2(a + rcosθ2cosθ3)(c + rsenθ2), (8.20) com −π 2 ≤ θ2 ≤ π 2 e 0 ≤ θ3 ≤ 2π, com corte meridional dado por B ′ m(x1, x2, x3) :    y′1 = (a + rcosθ2cosθ3) 2 − (b + rcosθ2senθ3) 2 −(c + rsenθ2) 2 − d2 y′2 = 2(a + rcosθ2cosθ3)(b + rcosθ2senθ3) y′3 = 2(a + rcosθ2cosθ3)(c + rsenθ2), (8.21) quando −π 2 ≤ θ2 ≤ π 2 e 0 ≤ θ3 ≤ π. Para obtermos os cortes de B ′ (x1, x2, x3) no IR2 fazemos θ2 = 0 , θ3 = 0 e θ3 = π/2 e obtemos respectivamente B ′ (x1, x2) :    y′1 = (a + rcosθ3) 2 − (b + rsenθ3) 2 − c2 − d2 y′2 = 2(a + rcosθ3)(b + rsenθ3), 0 ≤ θ3 ≤ 2π (8.22) B ′ (x1, x3) :    y′1 = (a + rcosθ2) 2 − b2 − (c + rsenθ2) 2 − d2 y′3 = 2(a + rcosθ2)(c + rsenθ2), 0 ≤ θ2 ≤ 2π (8.23) e finalmente B ′ (x2, x3) :    y′2 = 2a(b + rcosθ2) y′3 = 2a(c + rsenθ2), 0 ≤ θ2 ≤ 2π. (8.24) Os cortes de B ′ (x1, x2, x4) e B ′ (x1, x3, x4) por originarem figuras seme- lhantes, omitimos aqui. Agora, para obtermos o corte B ′ (x2, x3, x4) façamos em (8.19) θ3 = π/2 cujo mapeamento é dado por B ′ (x2, x3, x4) :    y′2 = 2a(b + rcosθ1cosθ2) y′3 = 2a(c + rcosθ1senθ2) y′4 = 2a(d + rsenθ1), (8.25) Caṕıtulo 8 60 com −π 2 ≤ θ1 ≤ π 2 e 0 ≤ θ2 ≤ π, e projeções no IR2 dadas por B ′ (x2, x3) :    y′2 = 2a(b + rcosθ2) y′3 = 2a(c + rsenθ2), 0 ≤ θ2 ≤ 2π, (8.26) B ′ (x2, x4) :    y′2 = 2a(b + rcosθ1) y′4 = 2a(d + rsenθ1), 0 ≤ θ1 ≤ 2π, (8.27) e B ′ (x3, x4) :    y′3 = 2a(c + rcosθ1) y′4 = 2a(d + rsenθ1), 0 ≤ θ1 ≤ 2π, (8.28) onde podemos notar que B ′ (x2, x3), B ′ (x2, x4) e B ′ (x3, x4) representam circun- ferências, já que B ′ (x2, x3, x4) é uma esfera. Alguns desses cortes foram ilustrados na secção (8.4) para x = (a, b, c, d) e raio r indicados. 8.3 Mapeamento de f (z) = z3 Seguindo o roteiro anterior, sabemos que se w = f(z) = z3, isto é w = (y1 + iy2 + jy3 + ky4) 3 (8.29) então B ′ :    y′1 = y3 1 + 3y1h 2 y y′2 = (3y2 1 + h2 y)y2 y′3 = (3y2 1 + h2 y)y3 y′4 = (3y2 1 + h2 y)y4, (8.30) Caṕıtulo 8 61 ou equivalentemente, em coordenadas esféricas, dado por B ′ :    y′1 = (a + rcosθ1cosθ2cosθ3) 3 − 3(a + rcosθ1cosθ2cosθ3) ((b + rcosθ1cosθ2senθ3) 2 + (c + rcosθ1senθ2) 2 + (d + rsenθ1) 2) y′2 = [3(a + rcosθ1cosθ2cosθ3) 2 − (b + rcosθ1cosθ2senθ3) 2 −(c + rcosθ1senθ2) 2 − (d + rsenθ1) 2](b + rcosθ1cosθ2senθ3) y′3 = [3(a + rcosθ1cosθ2cosθ3) 2 − (b + rcosθ1cosθ2senθ3) 2 −(c + rcosθ1senθ2) 2 − (d + rsenθ1) 2](c + rcosθ1senθ2) y′4 = [3(a + rcosθ1cosθ2cosθ3) 2 − (b + rcosθ1cosθ2senθ3) 2 −(c + rcosθ1senθ2) 2 − (d + rsenθ1) 2](d + rsenθ1) (8.31) para −π 2 ≤ θ1, θ2 ≤ π 2 e 0 ≤ θ3 ≤ 2π. Fazendo θ1 = 0 para obtermos o corte B ′ (x1, x2, x3), temos B ′ (x1, x2, x3) :    y′1 = (a + rcosθ2cosθ3) 3 − 3(a + rcosθ2cosθ3) ((b + rcosθ2senθ3) 2 + (c + rsenθ2) 2 + d2) y′2 = [3(a + rcosθ2cosθ3) 2 − (b + rcosθ2senθ3) 2 −(c + rsenθ2) 2 − d2](b + rcosθ2senθ3) y′3 = [3(a + rcosθ2cosθ3) 2 − (b + rcosθ2senθ3) 2 −(c + rsenθ2) 2 − d2](c + rsenθ2), (8.32) para −π 2 ≤ θ2 ≤ π 2 e 0 ≤ θ3 ≤ 2π, e para obtermos B ′ m(x1, x2, x3), fazemos 0 ≤ θ3 ≤ π. Curvas de ńıvel no IR2 são obtidas para θ2 = 0, θ3 = 0 e θ3 = π/2 que são respectivamente B ′ (x1, x2) :    y′1 = (a + rcosθ3) 3 − 3(a + rcosθ3)[(b + rsenθ3) 2 + c2 + d2] y′2 = [3(a + rcosθ3) 2 − (b + rsenθ3) 2 − c2 − d2](b + rsenθ3), 0 ≤ θ3 ≤ 2π, (8.33) B ′ (x1, x3) :    y′1 = (a + rcosθ2) 3 − 3(a + rcosθ2)[b 2 + (c + rsenθ2) 2 + d2] y′3 = [3(a + rcosθ2) 2 − b2 − (c + rsenθ2) 2 − d2](c + rsenθ2), 0 ≤ θ2 ≤ 2π, (8.34) Caṕıtulo 8 62 e B ′ (x2, x3) :    y′2 = [3a2 − (b + rsenθ2) 2 − (c + rsenθ2) 2 − d2](b + rcosθ2) y′3 = [3a2 − (b + rcosθ2) 2 − (c + rsenθ2) 2 − d2](c + rsenθ2), 0 ≤ θ2 ≤ 2π, (8.35) Alguns desses cortes foram listados na secção (8.4) para x = (a, b, c, d) e raio r indicados. As projeções escolhidas foram as que mais nos chamaram a atenção e acreditamos ser o suficiente para dar um parâmetro dessas hipersuperf́ıcies. Com esse roteiro podemos obter muitas outras situações. como por exemplo, se realizarmos cortes em ângulos diferentes dos citados. 8.4 Ilustrações Os cortes apresentados a seguir foram os mais interessantes pelo seu formato. Foram selecionados aleatoriamente para valores do centro da hiperesfera x = (a, b, c, d) e raio r indicados em cada figura, assim como as letras m e h para cortes meridionais e hemisféricos respectivamente. Acreditamos na suficiência desses exemplos. Caṕıtulo 8 63 -4 -3 -2 -1 0 001 2 1 2 3 1 4 5 2 3 4 Figura 8.1: B’h(x1,x2,x3), x = (1, 1, 1, 0), r=1 e f(z) = z2 Caṕıtulo 8 64 -4 -2 0 00 2 1 1 2 2 3 4 3 5 4 5 Figura 8.2: B’(x1,x2,x3), quando x = (1, 1, 1, 0), r=1 e f(z) = z2 5 4 3 2-5 -4 -3 1 -2 -1 0 00 1 2 1 2 3 4 5 Figura 8.3: B’m(x1,x2,x3), quando x = (1, 1, 1, 0), r=1 e f(z) = z2 3 1 210-1-2-3-4 5 4 2 0 Figura 8.4: B’(x1,x2), x = (1, 1, 1, 0), r=1 e f(z) = z2 3 1 210-1-2-3-4 5 4 2 0 Figura 8.5: B’(x1,x3), x = (1, 1, 1, 0), r=1 e f(z) = z2 2 0 4 3 1 4320 1 Figura 8.6: B’(x2,x3), x = (1, 1, 1, 0), r=1 e f(z) = z2 Caṕıtulo 8 65 -100 -80 -100 -50 -40 -50 0 0 0 50 40 100 50 100 Figura 8.7: B’h(x1,x2,x3), x = (1, 1, 1, 0), r=10 e f(z) = z2 Caṕıtulo 8 66 -100 100 -50 50 -100 -50 00 0 50 100 -50 50 -100 100 Figura 8.8: B’(x1,x2,x3), quando x = (1, 1, 1, 0), r=10 e f(z) = z2 100 100 50 50-100 -50 00 0 50 -50 100 -50 -100 -100 Figura 8.9: B’m(x1,x2,x3), quando x = (1, 1, 1, 0), r=10 e f(z) = z2 100 0 100 50 500 -50 -100 -50 -100 Figura 8.10: B’(x1,x2), x = (1, 1, 1, 0), r=10 e f(z) = z2 100 0 100 50 500 -50 -100 -50 -100 Figura 8.11: B’(x1,x3), x = (1, 1, 1, 0), r=10 e f(z) = z2 0 20 10 -10 20100-10 Figura 8.12: B’(x2,x3), x = (1, 1, 1, 0), r=10 e f(z) = z2 Caṕıtulo 8 67 -12 -8 -4 -5 -15 -10 -5 0 00510 15 5 10 4 15 20 Figura 8.13: B’h(x1,x2,x3), x = (1, 1, 0, 0), r=3 e f(z) = z2 Caṕıtulo 8 68 20 -10 15 10 -5 -15 5 -10 -500 0 -55 5 10 15 10 Figura 8.14: B’(x1,x2,x3), quando x = (1, 1, 0, 0), r=3 e f(z) = z2 10 5 20 15 10-15 -10 5 -5 0 00 5-5 10 15 -5 -10 Figura 8.15: B’m(x1,x2,x3), quando x = (1, 1, 0, 0), r=3 e f(z) = z2 15 10 5 -5 1550-5-15 0 10-10 20 Figura 8.16: B’(x1,x2), x = (1, 1, 0, 0), r=3 e f(z) = z2 10 0 5 -5 -10 151050-5 Figura 8.17: B’(x1,x3), x = (1, 1, 0, 0), r=3 e f(z) = z2 0 -2 2 -6 -4 86-2 420-4 6 4 Figura 8.18: B’(x2,x3), x = (1, 1, 0, 0), r=3 e f(z) = z2 Caṕıtulo 8 69 -25 -20 -15 -10 -10 -5 -5 -25-20-15-10-505 0010 5 5 10 10 Figura 8.19: B’h(x1,x2,x3), x = (1, 0,−2, 0), r=3 e f(z) = z2 Caṕıtulo 8 70 -25 -20 -25 -20 -15 -15 -10 -10 -10 -5 -5 -5 0 005 10 5 5 10 10 Figura 8.20: B’(x1,x2,x3), quando x = (1, 0,−2, 0), r=3 e f(z) = z2 -25 -20 -15 -10 -25 -5 -20 -15 -10 -5 -4 00 0 4 8 12 5 10 510 Figura 8.21: B’m(x1,x2,x3), quando x = (1, 0,−2, 0), r=3 e f(z) = z2 10 0 5 -5 -10 1050-5-10 Figura 8.22: B’(x1,x2), x = (1, 0,−2, 0), r=3 e f(z) = z2 105 5 0-5 -5 -15-25 -25 10 0 -10 -20 -15 -10-20 Figura 8.23: B’(x1,x3), x = (1, 0,−2, 0), r=3 e f(z) = z2 -4 -6 -2 -10 -8 64-4 20-2-6 2 0 Figura 8.24: B’(x2,x3), x = (1, 0,−2, 0), r=3 e f(z) = z2 Caṕıtulo 8 71 -12 -8 -10 -4 -5 -5 000 5 5 10 4 10 15 Figura 8.25: B’h(x1,x2,x3), x = (1, 0, 0, 0), r=3 e f(z) = z2 Caṕıtulo 8 72 -10 -10 -5 -5 -5 0 00 55 5 1010 10 15 Figura 8.26: B’(x1,x2,x3), quando x = (1, 0, 0, 0), r=3 e f(z) = z2 12 8 4 -10 -5 -5 0 00 5 10 15 5 10 -4 Figura 8.27: B’m(x1,x2,x3), quando x = (1, 0, 0, 0), r=3 e f(z) = z2 10 0 5 -5 -10 151050-5 Figura 8.28: B’(x1,x2), x = (1, 0, 0, 0), r=3 e f(z) = z2 10 0 5 -5 -10 151050-5 Figura 8.29: B’(x1,x3), x = (1, 0, 0, 0), r=3 e f(z) = z2 0 -2 2 -6 -4 64-4 20-2-6 6 4 Figura 8.30: B’(x2,x3), x = (1, 0, 0, 0), r=3 e f(z) = z2 Caṕıtulo 8 73 -100 -50 -100 100 000 -100 -200 100 -300 50 200 100 150 Figura 8.31: B’h(x1,x2,x3), x = (1,−2, 3, 0), r=4 e f(z) = z2 Caṕıtulo 8 74 -300 -200 -100 -100 200 0 100 0 0 -100-200-300 100 -400 100 200 200 Figura 8.32: B’(x1,x2,x3), quando x = (1,−2, 3, 0), r=4 e f(z) = z2 -400 -300 -300 -200 -200 -100 -100 10000 500-50-100 100 100 200 200 Figura 8.33: B’m(x1,x2,x3), quando x = (1,−2, 3, 0), r=4 e f(z) = z2 20 0 10 -10 -30 -20 100-10-20-30-40 Figura 8.34: B’(x1,x2), x = (1,−2, 3, 0), r=4 e f(z) = z2 100 20 -20 -10-20-30-50 40 30 10 -10 0 -40 Figura 8.35: B’(x1,x3), x = (1,−2, 3, 0), r=4 e f(z) = z2 Caṕıtulo 8 75 4 12 8 0 40-4-8-12 Figura 8.36: B’(x2,x3), x = (1,−2, 3, 0), r=4 e f(z) = z2 Caṕıtulo 8 76 -300 -100 -200 -100 -50 -100 0 00100 50 100 100 200 150 Figura 8.37: B’h(x1,x2,x3), x = (1,−2, 3, 0), r=4 e f(z) = z3 Caṕıtulo 8 77 -400-300-200-100 -300 -200 200 -100 1000 00 -100 100 200 100200 Figura 8.38: B’(x1,x2,x3), quando x = (1,−2, 3, 0), r=4 e f(z) = z3 -300 -200 -100 -400 -300 -200 -100 -100 -50 00 0 50 100 100 200 100 200 Figura 8.39: B’m(x1,x2,x3), quando x = (1,−2, 3, 0), r=4 e f(z) = z3 250 150 100 200 0-100 100 -300 0 -200 50 Figura 8.40: B’(x1,x2), x = (1,−2, 3, 0), r=4 e f(z) = z3 0-100 -100 -300 -200-400 -150 -200 -350 0 -300 200100 -50 -250 Figura 8.41: B’(x1,x3), x = (1,−2, 3, 0), r=4 e f(z) = z3 -100 -300 -200 250200150100500 0 -50 -150 -250 -350 Figura 8.42: B’(x2,x3), x = (1,−2, 3, 0), r=4 e f(z) = z3 Caṕıtulo 8 78 15001000500 15001000500 800 400 00 0 -400 -500-1000-1500 -500-1000-1500-2000 Figura 8.43: B’h(x1,x2,x3), x = (1,−2, 3, 0), r=10 e f(z) = z3 Caṕıtulo 8 79 -1500 -2000 -1000 -1000 -500 -2000 -1000 00 0 1000 500 1000 1000 1500 Figura 8.44: B’(x1,x2,x3), quando x = (1,−2, 3, 0), r=10 e f(z) = z3 -4001000 -2000 -1000 0 00 1000 -1000 -2000400800 Figura 8.45: B’m(x1,x2,x3), quando x = (1,−2, 3, 0), r=10 e f(z) = z3 1500 500 1000 0 -500 15001000-1000-1500 500-2000 0-500 Figura 8.46: B’(x1,x2), x = (1,−2, 3, 0), r=10 e f(z) = z3 1000 0 -1000 0 -500 -2000 -1500 -2000 -1000 Figura 8.47: B’(x1,x3), x = (1,−2, 3, 0), r=10 e f(z) = z3 -500 0 -1500 -1000 -2000 150010005000-500 Figura 8.48: B’(x2,x3), x = (1,−2, 3, 0), r=10 e f(z) = z3 Caṕıtulo 8 80 -8000 10000 -4000 5000 00 5000 0 -5000 -10000 -5000 4000 -10000 8000 Figura 8.49: B’h(x1,x2,x3), x = (1,−2, 0, 0), r=20 e f(z) = z3 Caṕıtulo 8 81 -8000-4000 -10000 -5000 -10000 -5000 0 00 5000 5000 10000 40008000 Figura 8.50: B’(x1,x2,x3), quando x = (1,−2, 0, 0), r=20 e f(z) = z3 -8000-4000 60004000 8000 2000 4000 0 0 0 -4000 -2000 -8000 -4000-6000 40008000 Figura 8.51: B’m(x1,x2,x3), quando x = (1,−2, 0, 0), r=20 e f(z) = z3 8000 0 4000 -4000 50000-5000-10000 Figura 8.52: B’(x1,x2), x = (1,−2, 0, 0), r=20 e f(z) = z3 8000 -8000 4000 -4000 80000 4000-4000-8000 0 Figura 8.53: B’(x1,x3), x = (1,−2, 0, 0), r=20 e f(z) = z3 4000 -4000 8000 0 -8000 800040000-4000 Figura 8.54: B’(x2,x3), x = (1,−2, 0, 0), r=20 e f(z) = z3 Conclusão 82 Conclusão Com o objetivo inicial, meramente numérico, de obter dilatações lineares K de bolas B(x, r) para números x hipercomplexos, tivemos a necessidade de traçar paralelos com os números complexos, para comparação e a compreensão do com- portamento do mapeamento de funções aplicadas aos números hipercomplexos. Não se teve aqui a felicidade de obter uma notação simplificada para x, como a z = eiθ obtida por Gauss, muito provavelmente por termos mais de um ângulo envolvido, então usamos para escrever xn os binomiais. Aliás, a exploração de desenvolvimentos binomiais enriqueceu esse trabalho. Conseguido no caṕıtulo 3 a expressão caracteŕıstica de |f(y)− f(x)|, um salto muito grande foi dado, pois a partir desse aspecto, precisaŕıamos apenas de testes numéricos, visto que a K-quaseconformidade procurada dependia apenas de um dos coeficientes dessa expressão. A partir de uma possibilidade não pensada até então, a K-quaseconformidade dependia da posição do centro da bola x, em B(x, r). Então, pelo paralelo traçado com os complexos, notamos que as deformações eram a eles similares, apesar de estarmos em dimensões maiores. Entendemos que, em linguagem figurativa, se a potenciação nos com- plexos provocavam uma dilatação e um giro, isso também deveria acontecer nos hipercomplexos, obviamente na direção de um novo argumento, onde o expoente n seria um fator de alteração de θ1, θ2 e θ3. Temos então, apenas dois casos a considerar. Se o centro da bola x coincide com a origem do sistema de coordenadas, então o mapeamento é sim- plesmente uma hiperesfera dilatada em rn, enquanto que se não coincidir, ob- viamente os elementos mais distantes desta (a origem) sofrerão transformações Conclusão 83 maiores que os mais próximos, podendo até acontecer involuções, dependendo do raio considerado. Esse comportamento pode ser verificado também nos comple- xos, em que, no texto, usamos o termo ”cardióide degenerado”para explicarmos o formato do mapeamento. Esse argumento condiz também com os valores obtidos por K, já que é obtido por um quociente em que o denominador pode tender a zero, fazendo K tender ao infinito. E, finalmente, no caṕıtulo 8 pudemos verificar visualmente no IR3 o com- portamento dessas funções e acreditamos ter cumprido o nosso propósito. Problemas como analiticidade, diferenciação, integração e até mesmo uma notação mais simplificada para estes números não foram pensadas aqui, fatos considerados suficientes para que esse material tenha uma continuação. Referências Bibliográficas [1] CALIXTO,A.P. ; Operador quaterniônico de Klein-Gordon-Dirac, Dis- sertação de Mestrado em Matemática Aplicada, UNESP(IBILCE), São José do Rio Preto, 2002. [2] LEAL,JANILSON MODESTO; Mapeamentos Conformes em Funções Hipercomplexas, Dissertação de Mestrado em Matemática Aplicada, UNESP(IBILCE), São José do Rio Preto, 2003. [3] CARVALHO, TÂNIA MARIA MACHADO DE.;Análise das propriedades de funções que satisfazem as relações generalizadas de Cauchy-Riemann, Dis- sertação de Mestrado em Matemática Aplicada, UNESP(IBILCE), São José do Rio Preto, 2003. [4] GODOY JUNIO, ANTENOR DE; Relações de conformidade e Fato- rização em Quatérnios,Dissertação de Mestrado em Matemática Aplicada, UNESP(IBILCE), São José do Rio Preto, 2003. [5] DEAVOURS,C.A; The Quaternion Calculus, Amer.math.monthly 80(1983), 995-1008. [6] RICKMAN,SEPPO; Quasiconformal Mappings, Annales Ac. Scientiarum Fennicae, Séries A. I. Math., Volumen 13, (1988), 371-385. Referências Bibliográficas 85 [7] MACHADO,J.M.; BORGES, M.F; New Remarks on the differentiability of hipercomplex functions, International Journal of Applied Mathematics, 8:(1)85-101(2002). [8] SPIEGEL, MURRAY RALPH; : Variáveis Complexas. São Paulo, McGraw- Hill do Brasil; 1973 (Coleção Schaum). [9] BIEBERBACH, L. : Conformal mapping. Chelsea Publishing Company. New York. 1953. [10] TEICHMÜLLER, O. : Extremale quasiconforme Abbildungen and quadra- tische Differentiale .-Abh.Preuss. Akad. Wiss. 22, 1940, 1-197. CAPA FOLHA DE ROSTO DEDICATÓRIA PREFÁCIO RESUMO ABSTRACT SUMÁRIO CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO 1.1 O anel dos quatérnios 1.2 Funções de quatérnios CAPÍTULO 2 - OS COEFICIENTES DE f(x) =xn 2.1 O desenvolvimento de xn 2.2 Fator hx2k e aplicações CAPÍTULO 3 - COORDENADAS ESFÉRICAS n-DIMENSIONAIS 3.1 Coordenadas esféricas 3.2 Jacobianos CAPÍTULO 4 - O DESENVOLVIMENTO DE |f(y) - f(x)| PARA f(z) = zn 4.1 Estudos de |f(y) - f(x) para f(z) = zn 4.2 A generalização |f(y) - f(x)|, para f(z) = zn 4.3 Dedução de fm+q= 4.4 Dedução de f(2k,t) 4.5 Dedução de F = Eftrt 4.6 Dedução 4.7 Conclusão CAPÍTULO 5 - TRANSFORMAÇÕES 5.1 Introdução 5.2 Transformação hipercomplexa 5.3 Transformações conformes CAPÍTULO 6 - TRANSFORMAÇÃO QUASECONFORME 6.1 Definição métrica CAPÍTULO 7 - CÁLCULO DA K-QUASECONFORMIDADE COMPUTACIONALMENTE 7.1 O cálculo de k computacionalmente CAPÍTULO 8 - MAPEAMENTOS 8.1 Mapeamentos com curvas de nível 8.2 Mapeamento de f(z) = z2 8.3 Mapeamento de f(z) = z3 8.4 Ilustrações CONCLUSÃO REFERÊNCIAS