Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” Instituto de Geociências e Ciências Exatas Campus de Rio Claro A Classificação das Formas Binárias aplicada em Máquinas de Catástrofes Alessandra Roberta Custodio de Oliveira Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação – Mestrado Profissional em Matemática Universitária do Departamento de Matemática como requisito parcial para a obtenção do grau de Mestre Orientadora Profa. Dra. Eliris Cristina Rizziolli 2010 510 O48c Oliveira, Alessandra Roberta Custodio de A Classificação das Formas Binárias aplicada em Máquinas de Catástrofes/ Alessandra Roberta Custodio de Oliveira- Rio Claro: [s.n.], 2010. 59 f., il., figs. Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista, Insti- tuto de Geociências e Ciências Exatas. Orientadora: Eliris Cristina Rizziolli 1. Catástrofes. 2. Máquina de Zeeman. 3. Formas Binárias. 4. Teorema de Thom. I. Título Ficha Catalográfica elaborada pela STATI - Biblioteca da UNESP Campus de Rio Claro/SP TERMO DE APROVAÇÃO Alessandra Roberta Custodio de Oliveira A Classificação das Formas Binárias aplicada em Máquinas de Catástrofes Dissertação aprovada como requisito parcial para a obtenção do grau de Mestre no Curso de Pós-Graduação Mestrado Profissional em Matemática Universitária do Instituto de Geociências e Ciências Exatas da Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, pela seguinte banca examina- dora: Profa. Dra. Eliris Cristina Rizziolli Orientadora Prof. Dr. Aldício José Miranda UNIFAL-MG - Universidade Federal de Alfenas-MG Profa. Dra. Carina Alves IGCE - Instituto de Geociências e Ciências Exatas - UNESP/Rio Claro Rio Claro, 03 de Setembro de 2010 Dedicado àqueles que mesmo sem entender uma palavra desta, a leram Agradecimentos Durante esse mestrado houve fases muito difíceis, mas também tive pessoas que iluminaram meu caminho. Agradeço primeiramente a Deus, pois tudo posso Naquele que me fortalece, e Ele me ajudou nesta e em toda minha vida. À Vera Lucia Duracenko Ramos que foi à luz em momentos de escuridão. Aos colegas desse mestrado: Ana Claudia, Patricia Casagrande, Ribamar, Juracelio, Gustavo, Henrique, Batista, Maicon, mas em especial a Fabrico Okamoto, Patricia Souza, Robinson Antão e sem sombra de duvidas a Nilton Delben que me ensinou a trabalhar com essa linguagem computacional que acreditava que não conseguiria apreender. Aos meus pais, ele por construir a máquina de catástrofe, mesmo sem entender seu funcionamento, ela que de seu modo exigente me faz ir sempre além. A toda família Andrade, Sergio, Rosalina, Helen e Iara, que me deram uma base familiar quando mais necessitava, em especial a Iara Eugenia de Andrade, criatura singular que de seu modo torpe me fez ver que ainda posso ter conquistas. Por último, mas não em menor importância, à Elíris, orientadora desta tese, que além de tutora confiou que após a tempestade viria a bonança, e pacientemente aguardou e ajudou no que foi possível, não somente na parte acadêmica mas também no âmbito pessoal. Que acreditou que eu podia mesmo quando eu não tinha essa certeza, foi a amiga nas horas difíceis e sua empolgação com os escritos motivou e contribuiu com esta tese de maneira impressionante. Quando tomamos consciência da capacidade de materializarmos fora o que somos por dentro, compreendemos que cada um de nós vive no mundo de luz ou de trevas que criou para si. Resumo Este trabalho trata da classificação geométrica das formas binárias quádricas e cúbicas. Além disto, aplicamos esta classificação ao estudo de máquinas de catástrofes. Para este fim, adotamos os seguintes livros [1], [2] e [3]. Palavras-chave: Catástrofes, Máquina de Zeeman, Formas Binárias, Teorema de Thom. Abstract This work make reference of the geometry classification of the two variables quadratic, cubic and quartic forma. Before that, the aplication that classification in study of the catastrophe machines. For this based in thats books [1], [2] e [3]. Keywords: Catastrophe, Zeeman Machine, Binary Forms, Thom’s Theorem. Lista de Figuras 2.1 Cone Discriminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Caso três retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.1 Catástrofe Dobra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.2 Catástrofe Cúspide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.3 Catástrofe Rabo de Andorinha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.4 Seções na Catástrofe Borboleta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.1 Máquina de Zeeman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.2 Esquemas para Máquina de Zeeman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Sumário 1 Introdução 9 2 Álgebra das Formas Binárias 10 2.1 Elementos de Álgebra Linear sobre Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Forma Binária Quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 Forma Binária Cúbica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3 Topologia e Funções de Várias Variáveis 29 3.1 Topologia do Espaço Euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2 Diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4 Geometria de Catástrofes 39 4.1 Teorema de Thom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.2 Sobre as Catástrofes: Dobra, Cúspide, Rabo de Andorinha e Borboleta 44 4.2.1 Dobra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.2.2 Cúspide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.2.3 Rabo de Andorinha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.2.4 Borboleta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5 Máquina de Catástrofes 54 Referências 59 1 Introdução Arnold em seu livro Teoria da catástrofe [4], diz que a descrição do Mundo depende de uma interação delicada de fenômenos contínuos e descontínuos (ou discretos). Estes ultimos os primeiros a serem notados. Catástrofes são mudanças súbitas representando respostas descontínuas de um sistema de variações suaves em condições extremas. As informações sobre teoria da catástrofes começaram a aparecer nos meados da década de sessenta, portanto a teoria é muito recente e não temos muitas refêrencias no assunto. Tomando a frase de Poincaré que diz: "os matemáticos não destroem os obstáculos que povoam a sua ciência mas simplesmente os empurram até sua fronteira. Possam esses obstáculos ser deslocados para o mais longe possível além dessa fronteira, até o domínio inconsciente e do irracional", ou seja com todas as dificuldades de referências e afins, iniciamos esta dissertação. Vemos a necessidade de entender as formas binárias, depois apresentamos uma breve noção de topologia e diferenciabilidade. O último capítulo é dedicado ao estudo ge- ométrico de algumas variedades de catástrofes não umbílicas derivadas da classificação de germes apresentados pelo teorema de Thom. Terminamos este trabalho com os procedimentos para construção de uma máquina de catástrofe, a máquina de Zeeman; breve momento onde usamos Física Clássica que é essencial para a teoria de vários tipos de comportamentos sutis; de repente a água ferve,o gelo derrete a Terra e Lua estremecem, prédios caem; onde de um momento N para N + 1 surge um colapso, um caos. Por último, quanto ao mérito deste trabalho ao estudante de gradução no curso Matemática, ou curso afim, o conteúdo desta dissertação demonstra a interdisciplinar- idade entre as grandes áreas Álgebra, Topologia e Análise de naturezas tão distintas. 9 2 Álgebra das Formas Binárias Para desenvolver tópicos intrínsecos à Teoria das Catástrofes é preciso explorar a interligação da Álgebra Linear com Geometria Espacial. Neste sentido, aqui estudamos a álgebra de Formas Binárias tendo como fio condutor suas características geométricas inerentes. Inicialmente, estudamos elementos de Álgebra Linear, sobretudo para definir a no- tação usada neste texto; a seguir apresentamos as Formas Binárias Quadradas (de grau 2) e Cúbicas (de grau 3). Finalizamos este capítulo com a geometria de formas polinomiais de graus superiores a 3. 2.1 Elementos de Álgebra Linear sobre Rn Para qualquer inteiro n > 0 definimos o Espaço Euclidiano n-dimensional como sendo o conjunto Rn = {(x1, x2, . . . , xn) : xi ∈ R, ∀ i ∈ {1, 2, . . . , n}}. Às vezes é conveniente usar a notação x = (x1, x2, . . . , xn) e referir a cada xi como i-ésima coordenada de x. Se x, y ∈ R e λ ∈ R definimos a adição e a multiplicação por escalar como: x+ y = (x1 + y1, ..., xn + yn) λx = (λx1, ..., λxn) Observamos que o elemento neutro 0 é a n-upla (0, 0, ..., 0). Estas operações dão a Rn uma estrutura de espaço vetorial real, e seus elementos são chamados vetores. Estas operações tem uma interpretação geométrica visual em R2 ou R3. A regra da adição corresponde a lei do paralelogramo e a multiplicação por escalar para troca de escala, ou troca de direção, se o escalar é negativo. Quando x ∈ R, x 6= 0, o conjunto de todos os λx, λ ∈ R, é chamado reta por 0 e x é o elemento neutro é chamado origem. 10 Elementos de Álgebra Linear sobre Rn 11 Um subespaço de Rn é um subconjunto W com as propriedades: 1. Se x, y ∈ W então x+ y ∈ W ; 2. Se x ∈ W e λ ∈ R, então λx ∈ W. Para mostrar o sentido geométrico de um subespaço, consideramos R3. A condição (2) pode ser interpretada da seguinte maneira: se x ∈ W então a reta que passa por 0 e x também pertence a W . Sobre a condição (1), dados pontos x e y em W , o vértice do paralelogramo (referente a soma x+ y) pertence a W . A seguir exploramos exemplos de subespaços em R3. (a) Se W = {0}, onde 0 = (0, 0, 0), é um subespaço chamado subespaço trivial. Observe que se W 6= {0} é possível encontrar, x ∈ W com x 6= 0. Então a reta que passa por x e 0 também está em W . Esta reta, inclusive, pode ser todo W , como no próximo exemplo. (b) W = {λx;x ∈ W e λ ∈ R}. (Reta passando pela origem). Se um subespaço em R3, não é o subespaço trivial {0}, e contém uma reta passando pela origem, r = {λx;x ∈ W e λ ∈ R}, temos a seguinte interpretação: se existe y ∈ W não pertencente a reta r, então a reta {λy; y ∈ W e µ ∈ R}, que passa por y e 0 está contida em W , assim como o vértice do paralelogramo cujos lados são duas retas, definidas pelos pontos λx + µy para λ e µ ∈ R. É possível mostrar, que os pontos do plano são definidos por 0, x e y. Ou seja, W é dado por: (c) W = {λx+ µy : x, y ∈ W e λ, µ ∈ R} (plano que passa pela origem). Finalmente, se W não é nenhum dos acima: (a), (b) ou (c), segue que W contém um ponto z que não pertence ao plano {λx+ µy : x, y ∈ W e λ, µ ∈ R}, porém com três retas. É possível mostrar queW = {λx+µy+νz | x, y, z ∈ W e λ, µ, ν ∈ R} = R3, ou seja: (d) W = R3 Portanto, os subespaços de R3 são {0}, retas passando pela origem, planos passando pela origem ou o próprio R3. Estes podem ser classificados como: • 0− dimensional somente a origem; • 1− dimensional que são as retas; • 2− dimensional que são os planos; Elementos de Álgebra Linear sobre Rn 12 • 3− dimensional que é o próprio R3 Agora, pretendemos definir um subconjunto de um espaço vetorial real que o de- termine completamente. Para tanto, precisamos da definição a seguir. Um conjunto de pontos {v1, v2, ..., vr} ∈ Rn é linearmente dependente se existem escalares λ1, λ2, ..., λr ∈ R não todos nulos, tais que: λ1v 1 + λ2v 2 + ...+ λrv r = 0. Se a única solução para a equação acima é a solução-trivial dizemos que este con- junto é linearmente independente. Geometricamente em R3, dois pontos são linearmente independentes se nenhum de- les está na reta origem do outro; três pontos são linearmente independentes se nenhum plano os contém. O conjunto dos vetores {v1, v2, ..., vr} é uma base do subespaço W se este conjunto é linearmente independente e ainda, se cada elemento v ∈ W pode ser escrito como uma combinação linear destes elementos, ou seja, existem λ1, λ2, . . . , λr ∈ R tais que: v = λ1v 1 + λ2v 2 + ...+ λrv r. Assim uma base para o subespaço W é um conjunto linearmente independente {v1, v2, ..., vr} que gera W , W = [v1, v2, ..., vr]. A dimensão de W é o número de elementos da base. É possível mostrar que a dimensão independe da base que escolhemos, logo dimensão é um objeto bem definido. Para indicar a dimensão de um subespaço W usamos dim W . Por convenção, {0} tem dimensão 0. Por exemplo, o espaço vetorial real Rn tem dimensão n, e todo subespaço deste tem dimensão menor ou igual a n. Observamos que nem todo espaço vetorial tem dimensão finita, a saber, para o espaço vetorial real formado por todos os polinômios na variável x, qualquer conjunto linearmente independente formado por polinômios sempre terá um polinômio de maior grau, digamos que este grau seja k, assim o polinômio xk+1 não pertencerá a este conjunto e, consequentemente, nenhum conjunto finito linearmente independente gera tal espaço vetorial. A diferença n − dimW é chamada a codimensão de W em Rn. A co-base de W em Rn é o conjunto de vetores {v1, ..., vr} que reunidos com a base de W , forma uma base para Rn. Necessariamente, r é igual a codimensão de W . Sobretudo, estamos interessados em estudar o comportamento de aplicações espe- ciais de Rn em Rm. Tais aplicações são as tranformações que definimos a seguir. Elementos de Álgebra Linear sobre Rn 13 Uma transformação linear ou uma aplicação linear de Rn para Rm é uma função: f : Rn −→ Rm, com as seguintes propriedades, para todo x, y ∈ Rn, λ ∈ R: (a) f(x+ y) = f(x) + f(y); (b) f(λx) = λf(x). É possível determinar a forma geral de uma transformação linear de Rn em Rm sabendo apenas sua imagem para cada elemento de uma determinada base {u1, ..., un} de Rn, isto é, sabendo os valores f(u1), . . . , f(un). Para isto, tomamos uma base {v1, ..., vm} para Rm e então, uma vez que cada f(ui), ∀ i ∈ {1, . . . , n}, existem escalares λji, j ∈ {1, . . . ,m}, tais que: f(ui) = λ1iv 1 + ...+ λmiv m = m∑ j=1 λjiv j Também, cada elemento x ∈ Rn é unicamente escrito da forma: x = n∑ i=1 µiu i, (µi ∈ R). Destas observações, segue que: f(x) = f ( n∑ i=1 µiu i ) = n∑ i=1 µif(ui) = n∑ i=1 µi m∑ j=1 λjiv j. Observamos que é mais conveniente utilizar a base canônica de Rn, {(1, 0, 0, . . . , 0), (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , (0, 0, 0, . . . , 1)}. Note que nesta base temos que x = n∑ i=1 µiu j = (µ1, µ2, ..., µn), onde cada µi é uma coordenada de x, muitas vezes denotada por xi. Assim podemos escrever, f(x1, ..., xn) = (λ11x1 + ...+ λ1nxn, . . . , λm1x1 + . . .+ λmnxn). Uma característica relevante ao adotar como espaço vetorial o espaço euclidiano é a possibilidade de se obter uma interpretação geométrica do efeito de uma aplicação linear sobre tais espaços. Por exemplo, a aplicação linear, f de R2 em R2 definida por f(1, 0) = (α, β) e f(0, 1) = (γ, δ), consequentemente, f(1, 1) = (α + γ, β + δ). Assim f pode ser interpretada da seguinte maneira: f distorce o plano preservando retas que Elementos de Álgebra Linear sobre Rn 14 passam pela origem e, no caso em que (α, β) e (γ, δ) são linearmente independentes, aplica quadrados em paralelogramos. Observe ainda que se (α, β) e (γ, δ) são linearmente dependentes, com pelo menos um deles não nulo, f aplica R2 a uma reta. Contudo se α = β = γ = δ = 0 então f aplica todo R2 à origem (0, 0). Em geral, geometricamente uma transformação linear se comporta como uma dis- torção preservando ‘retas’ que passam pela origem e transformando cubos em par- alelepípedos. Seja f : Rn → Rm, definimos posto de f como sendo a dimensão da imagem f(Rn) = {f(x)|x ∈ Rn}. A nulidade de f é a dimensão do subespaço N(f) = {x ∈ Rn|f(x) = 0} chamado núcleo de f . Citamos um importante teorema, que relaciona a dimensão do domínio Rn com a nulidade e o posto de f , a saber, o Teorema do Núcleo e da Imagem, do qual segue que: n = dim f(Rn) + dimN(f). Observe que a codimensão de N(f) é a dimensão da imagem f(Rn). Dizemos que f : Rn → Rm é um isomorfismo se esta é uma transformação liner bi- jetora, ou seja, se f é uma transformação linear invertível. Relembramos que uma aplicação é invertível, quando existe uma aplicação linear g : Rm 7→ Rn tal que g(f(x)) = x, ∀x ∈ Rn, e f(g(x)) = x, ∀x ∈ Rm. Observamos que uma consequência importante do Teorema do Núcleo e da Imagem é a condição suficiente ( e necessária) para que a transformação linear f seja bijetora, a saber, m = n e o posto de f seja m; já que destes fatos seguem as condições sobrejetividade (por quanto dim f(Rn) = n implica f(Rn) = Rn ) e injetividade (uma vez que dim f(Rn) = n, segue do Teorema do Núcleo e da Imagem que dimN(f) = 0, consequentemente, N(f) = {0}, e isto é equivalente a f ser uma transformação linear injetora). Outra importante consequência do Teorema do Núcleo e da Imagem é a classificação das transformações lineares de Rn em R. Note que neste caso, pelo Teorema do Núcleo e da Imagem, segue que n = dim f(Rn)+dimN(f), mas dim f(Rn) = 0 ou dim f(Rn) = 1, pois f(Rn) é subespaço do espaço 1-dimensional R. Desta forma, f é a aplicação nula se dim f(Rn) = 0 (pois, neste caso, f(Rn) = {0}) ou f é uma transformação linear tal que dim f(Rn) = 1 e dim N(f) = n− 1. Neste último caso, se {v1, ..., vn−1} é uma base para o Núcleo, podemos estendê-la para uma base de Rn adicionando ao conjunto {v1, ..., vn−1} um vetor vn que seja lin- earmente independente com estes; desta forma podemos definir f da seguinte maneira: f(vi) = 0, ∀i ∈ {1, . . . , n−1} e f(vn) = 1. Note que qualquer outra aplicação liner não nula, g : Rn → R é tal que g = f ◦ h, onde h é uma mudança de coordenada adequada a qual leva base escolhida para definir f para a base escolhida para definir g. Elementos de Álgebra Linear sobre Rn 15 Sob o ponto de vista matricial, é possível definir uma transformação linear rela- tiva às bases escolhidas, respectivamente, para o domínio e contradomínio. Se B = {u1, ..., un} é base para Rn e C = {v1, ..., vm} é base para Rm, já vimos que existem escalares λji, j ∈ {1, . . . ,m} i ∈ {1, . . . , n}, tais que: f(ui) = λ1iv 1 + ...+ λmiv m = m∑ j=1 λjiv j Com estes escalares podemos elaborar a seguinte matriz, na qual as colunas são dadas pelas coordenadas de cada vetor f(ui) com relação a base C = {v1, ..., vm}. λ11 λ12 . . . λ1n λ21 λ22 . . . λ2n ... ... . . . ... λm1 λm2 . . . λmn  = (λji), 1 ≤ j ≤ m, 1 ≤ i ≤ n. Esta matriz com m linhas e n colunas é chamada a matriz de f com relação as bases B e C. A linguagem matricial facilita certas operações entre transformações lineares, entre todas as possíveis, exploramos as seguintes: dadas as transformações lineares f : Rn 7→ Rm, g : Rn 7→ Rm e h : Rm 7→ Rp, é possível realizar as seguintes operações: (αf)(x) = αf(x), ∀x ∈ Rn e ∀α ∈ R; (f + g)(x) = f(x) + g(x), ∀x ∈ Rn; (h ◦ f)(x) = h(f(x)), ∀x ∈ Rn. Se escolhemos a base u1, ..., un para Rn, v1, ..., vm para Rm e w1, ..., wp para Rp sejam as matrizes de f , de g e de h, com relação as estas bases, denotadas respectivamente por (λji), (µji), (νkj). Segue que as operações acima podem ser obtidas matricialmente da seguinte maneira: as duas primeiras como α(λji) = (αλji), 1 ≤ j ≤ m, 1 ≤ i ≤ n;∀α ∈ R; (λji) + (µji) = (λji + µji), 1 ≤ j ≤ m, 1 ≤ i ≤ n. Quanto a composição de transformações lineares temos que se f(ui) = ∑ j λjiv je h(vi) = ∑ k µkjw k, então Elementos de Álgebra Linear sobre Rn 16 (h ◦ f)(ui) = h (∑ j λjiv j ) = ∑ j λjih(vj) = ∑ j λji ∑ k νkjw k = ∑ k (∑ j νkjλji ) wk. Se ρki, com 1 ≤ k ≤ ρ, 1 ≤ i ≤ n, é a matriz de f.h, com relação as bases dadas acima, segue pela regra do produto para matrizes que (vkj)(λji) = ( ∑ vkjλji). Consequentemente, ρki = ∑ νkjλji. Ou seja, a matriz da transformação linear deter- minada pela composição entre duas transformações lineares é a matriz resultante da multiplicação das matrizes destas transformações. Denotamos por 0mn a matriz nula , ou seja, aquela matriz m×n cujas entradas são iguais a 0. 0mn =  0 0 0 . . . 0 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 ... ... ... . . . ... 0 0 0 . . . 0  . A matriz identidade, denotada por 1n, é a matriz n×n onde todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 os demais são iguais a 0. Isto é, 1n =  1 0 0 . . . 0 0 1 0 . . . 0 0 0 1 . . . 0 ... ... ... . . . ... 0 0 0 . . . 1  . Veja que a transformação linear que corresponde a esta última matriz é a aplicação linear identidade, ou seja, f : Rn → Rn tal que f(x) = x, ∀x ∈ Rn. Para finalizar esta seção, apresentamos as operações elementares realizadas sobre uma matriz, as quais não alteram a característica importante sobre as matrizes, a saber, a de ser ou não uma matriz invertível, ou equivalentemente, ter seu determinante igual ou diferente de zero. Ressaltamos que, este tipo de manipulação é relevante ao estudar a invertibilidade de aplicações lineares, visto que é possível mostrar que uma aplicação linear é invertível se, e somente se, sua matriz com relação a quaisquer bases é invertível. Outra aplicação desta manipulação é a determinação do posto (dimensão da im- agem) de uma transformação linear f , pode-se mostrar que o posto da transformação linear é igual ao posto de sua matriz. Relembramos que, posto de uma matriz é um inteiro positivo dado por: r = max{s : det(As) 6= 0, As é submatriz de A de ordem s}. Elementos de Álgebra Linear sobre Rn 17 Seja A = (aij) uma matriz qualquer, as operações elementares de matrizes são estas: 1. Permutar linhas; 2. Multiplicar uma das linhas por um dado escalar não nulo; 3. Somar uma linha a outra e substituir por esta nova linha uma das linhas envolvi- das. O interessante desta manipulação, é que por meio de uma sequência destas oper- ações a matriz inicial pode ser colocada na forma ‘escalonada’: ∗ . . . . . . . . . . . . 0 ∗ . . . . . . . . . 0 0 ∗ . . . . . . ... ... ... . . . ... 0 0 0 . . . ∗  . Note que todas as entradas abaixo dos elementos da diagonal, ∗, são iguais a 0. A seguir, ilustramos tais operações com um exemplo. Denotamos a i-ésima linha por Li. Seja A a seguinte matriz: A =  0 1 2 1 1 3 2 6 2 1 4 3 −3 −5 −8 −10  . Permuta de L1 com L2:  1 3 2 6 0 1 2 1 2 1 4 3 −3 −5 −8 −10  . Substituição de L3 por L3 − 2.L1: 1 3 2 6 0 1 2 1 0 −5 0 −9 −3 −5 −8 −10  . Substituição de L4 por L4 + 3.L1: 1 3 2 6 0 1 2 1 0 −5 0 −9 0 4 −2 8  . Elementos de Álgebra Linear sobre Rn 18 Substituição de L3 por L3 + 5.L2: 1 3 2 6 0 1 2 1 0 0 10 −4 0 4 −2 8  . Substituição de L4 por L4 − 4.L2: 1 3 2 6 0 1 2 1 0 0 10 −4 0 0 −10 4  . Substituição de L4 por L4 + L3: 1 3 2 6 0 1 2 1 0 0 10 −4 0 0 0 0  . O processo está completo pois já obtemos uma matriz na forma escalonada. Se A fosse a matriz de uma determinada transformação linear de R4 em R4, note que esta não seria invertível pois o determinante é nulo; ainda mais, podemos concluir que o posto da matriz é 3, e consequentemente o posto desta transformação linear também é 3 (pelo Teorema do Núcleo e da Imagem a nulidade é 1). Forma Binária Quadrática 19 2.2 Forma Binária Quadrática Uma forma quadrática de n variáveis x1, . . . , xn é uma aplicação de Rn em R definida por q(x) = ∑ ij λijxixj, onde λij ∈ R, ∀ i, j ∈ {1, . . . , n} e x denota a n-upla (x1, . . . , xn). Por exemplo, se n = 2, temos qa(x1, x2) = λ11x1x1 + λ12x1x2 + λ21x2x1 + λ22x2x2. Observe que, neste caso, podemos escrever qa(x1, x2) = λ11x 2 1 + (λ12 + λ21)x1x2 + λ22x 2 2. Agora, se n = 3, temos qb(x1, x2, x3) = λ11x1x1 + λ12x1x2 + λ13x1x3 + λ21x2x1 + λ22x2x2 + λ23x2x3+ +λ31x3x1 + λ32x3x2 + λ33x3x3. Neste caso, ainda podemos escrever qb(x1, x2, x3) = λ11x 2 1 + λ22x 2 2 + λ33x 2 3 + (λ12 + λ21)x1x2 + (λ13 + λ31)x1x3+ +(λ23 + λ32)x2x3. Também podemos expressar uma forma quadrática em linguagem matricial. Para isto, consideramos a matriz linha x = ( x1 . . . xn ) . e a sua transposta, a matriz coluna xT =  x1 . . . xn  . Denotando Λ = λij a matriz da forma quadrática temos: q(x) = xΛxT . Por exemplo, as formas quadráticas qa e qb se escrevem respectivamente, Forma Binária Quadrática 20 qa(x) = ( x1 x2 )( λ11 λ12 λ21 λ22 )( x1 x2 ) e qb(x) = ( x1 x2 x3 ) λ11 λ12 λ13 λ21 λ22 λ23 λ31 λ32 λ33   x1 x2 x3  . Ainda, note que qa pode ser escrita da seguinte maneira, qa(x) = ( x1 x2 ) λ11 + λ11 2 λ12 + λ21 2 λ21 + λ12 2 λ22 + λ22 2 ( x1 x2 ) , ou seja, qa(x) = ( x1 x2 ) . { 1 2 . [( λ11 λ12 λ21 λ22 ) + ( λ11 λ21 λ12 λ22 )]} . ( x1 x2 ) = ( x1 x2 ) . { 1 2 . [ Λ + ΛT ]} . ( x1 x2 ) . Se substituirmos M := 1 2 (Λ + ΛT ), temos que q(x) = xMxT , com M uma matriz simétrica (isto é, M = MT ). Indutivamente, é possível realizar este argumento para n qualquer, ou seja, qualquer forma quadrática pode escrita como q(x) = xMxT , (I) onde M é a matriz simétrica dada por M = 1 2 (Λ + ΛT ). Observamos que de agora em diante consideraremos que toda forma quadrática se escreve como em (I), M matriz simétrica, e mais, denotaremos as entradas de M por λij, isto é, M = (λij). Ainda, M será chamada a matriz da forma quadrática q. O objetivo agora é mostrar que toda forma quadrática pode ser reduzida, por meio de uma mudança de coordenadas adequada x 7→ y, à forma d1y 2 1 + . . .+ dny 2 n. (II) Forma Binária Quadrática 21 Entendemos por mudança de coordenadas linear uma transformação linear bi- jetora. Observe que para garantir isto basta que a respectiva matriz desta tranformação linear seja não singular, ou seja, tenha determinante diferente de zero. Para tanto, analisamos dois casos. O primeiro é quando todos os elementos da diagonal principal são iguais a zero, isto é λii = 0, ∀i ∈ 1, . . . , n. Neste caso, se a forma quadrática é não nula, existe pelo menos uma entrada λij diferente de zero, e ainda, pela simetria de M , λji também é diferente de zero. Podemos supor sem perda de generalidade que esta entrada não nula é λ12, pois caso contrário , se a entrada não nula é λi0j0 fazemos a primeira mudança de coordenada linear, a saber, aquela que aplica xi0 em x1 e xj0 em x2 e não altera as demais coordenadas. Assim, podemos escrever: q(x) = 2λ12x1x2 + h(x3, x4, . . . , xn). Agora, considere a aplicação linear G sobre Rn, G(x1, x2, x3, x4, . . . , xn) = (y1, y2, y3, y4, . . . , yn) := ( 1 2 (x1 + x2), 1 2 (x1 − x2), x3, x4, . . . , xn ) . Desta forma, (q ◦G)(x1, x2, x3, . . . , xn) = q(y1, y2, y3, . . . , yn) = 2λ12(y1 + y2).(y1 − y2) + h(y3, y4, . . . , yn) = 2λ12y 2 1 − 2λ12y 2 2 + h(y3, y4, . . . , yn). Ou seja, com esta mudança de coordenadas linear transformamos uma forma quadrá- tica (não nula) com todos os elementos da diagonal iguais a zero em uma forma quadrática que tem elementos diferentes de zero em sua diagonal. Portanto é sufi- ciente analisar o caso em que a forma quadrática não nula tem pelo menos um dos elementos de sua diagonal principal diferente de zero. Podemos assumir, sem perda de generalidade que λ11 6= 0 (pois, se fosse λi0i0 usamos a mudança de coordenada linear que aplica xi0 em x1 e mantém inalteradas as outras coordenadas). No intuito de obter a mudança de coordenada adequada para que q se escreva como em (II), primeiramente denotamos q(x) = λ11 (∑ ij µijxixj ) , Forma Binária Quadrática 22 com µij = λij λ11 . Note que os termos em que x1 ocorrem são: x2 1 + 2 n∑ j=2 µ1jx1xj = ( x1 + n∑ j=2 µ1jxj )2 − ( n∑ j=2 µ1jxj )2 . Fazendo a mudança de coordenada linear, H, sobre Rn tal que: H(x1, x2, x3, . . . , xn) = (y1, y2, y3, . . . , yn) := (x1 + n∑ j=2 µ1jx 2 j , x2, x3, . . . , xn). Obtemos (q ◦H)(x1, x2, x3, . . . , xn) = q(y1, y2, y3, . . . , yn) = λ11y 2 1 + q̄(y2, ..., yn), onde q̄ é uma forma quadrática apenas nas variáveis y2, ..., yn. Chegamos na forma (II) se repetimos este processo um número de vezes suficiente para eliminar os demais termos mistos. Após escrever uma forma quadrática q(x) na forma d1y 2 1 + ...+ dny 2 n, ainda é possível simplificar mais: substituindo cada xi por uma mudança de coorde- nadas adequada para que sua nova coordenada zi possua coeficiente 1 ou -1. Ou seja, ainda é possível realizar uma mudança de coordenadas linear adequada para que uma forma quadrática não nula seja da forma z2 1 + z2 2 + . . .+ z2 r − z2 r+1 − . . .− z2 s onde s ≤ n. O número s é chamado o posto da forma quadrática e é possível mostrar que este número é igual ao posto da matriz simétrica M ; portanto não depende da transformação linear ultilizada. Ainda, o número r tal que 2r − s = r − (s− r) = ∑ coeficientes é denominado o índice da forma quadrática q(x). Qualquer forma quadrática é unicamente determinada pelo posto e pelo índice. A seguir estudamos a classificação, mediante posto e índice, para uma forma quadrática binária nas variáveis x e y e coeficientes a, b, c ∈ R, ou seja, q(x, y) = ax2 + 2bxy + cy2. Neste caso as possibilidades de combinações r e s são, respectivamente: Forma Binária Quadrática 23 (i) u2 + v2 (posto 2, índice 2); (ii) u2 − v2 (posto 2, índice 0); (iii) −u2 − v2 (posto 2, índice -2); (iv) u2 (posto 1, índice 1); (v) −u2 (posto 1, índice -1); (vi) 0 (posto 0, índice 0). Esta classificação é obtida, sobretudo, analisando o determinante da matriz da forma quadrática binária ( a b b c ) ou seja, analisando a possibilidade de ac − b2 = 0, ou melhor, analisando o conjunto das ternas (a, b, c) ∈ R3 : ac− b2 = 0, este conjunto é conhecido como Cone Discrim- inante. Figura 2.1: Cone Discriminante Observe que, quando ac− b2 = 0, temos [x √ a+ b√ a y]2 = ax2 + 2bxy + b2 a y2 = q(x, y). Forma Binária Quadrática 24 Portanto, se ac− b2 = 0, podemos reduzir q(x, y) para a forma: • (iv) quando a e c são números positivos; • (v) quando a e c são números negativos; • (vi) quando a, b e c são iguais a zero. Por outro lado, ac− b2 6= 0, temos • (i) quando b2 − ac < 0 e a > 0 (interior da metade do cone que está no lado positivo); • (ii) quando b2 − ac > 0 (lado de fora do cone); • (iii) quando b2−ac < 0 e a < 0 (outra metade interior do cone no lado negativo). Forma Binária Cúbica 25 2.3 Forma Binária Cúbica Uma forma cúbica de n variáveis x1, . . . , xn é uma aplicação de Rn em R definida por C(x) = ∑ ijk λijkxixjxk, onde λijk ∈ R, ∀ i, j, k ∈ {1, . . . , n} e x denota a n-upla (x1, . . . , xn). A seguir, classificamos as formas binárias cúbicas nas variáveis x e y, C(x, y) = αx3 + βx2y + γxy2 + δy3 mediante o estudo de suas possíveis raízes reais, ou seja, através da análise da estrutura do conjunto RA = {(x, y) ∈ R2 : αx3 + βx2y + γxy2 + δy3 = 0}, onde A = (α, β, γ, δ) ∈ R4. Observe ainda que para cada A ∈ R4 e λ ∈ R, se (x, y) ∈ RA então (λx, λy) ∈ RA, em outras palavras, se (x, y) é uma raiz de αx3 + βx2y + γxy2 + δy3 então todos os pontos da reta {(λx, λy), λ ∈ R} que passam pela origem também o são. No intuito de descrever todas as raízes de C(x, y) procuramos interseções de RA com subconjuntos de R2 previamente escolhidos (estas escolhas podem ser justificadas pela geometria projetiva). O primeiro subconjunto a considerar é a reta x = 1. De fato, se (u, v) ∈ RA ∩ {(1, y), y ∈ R} então (u, v) ∈ PA(y) = {y ∈ R : α + βy + γy2 + δy3 = 0}. Observe que , exceto se A = (0, 0, 0, 0), PA(y) possui no máximo três elementos y1, y2 e y3 e portanto, para o caso x = 1, temos as seguintes retas de raízes: R1 = {(λ, λy1), λ ∈ R}; R2 = {(λ, λy2), λ ∈ R}; R3 = {(λ, λy3), λ ∈ R}. Agora procuramos a interseção de PA(y) com a reta x = 0, isto é a interseção de PA(y) com o eixo y. Note que se (u, v) ∈ PA(y) ∩ {(0, y), y ∈ R} então (u, v) é uma raiz do polinômio de grau dois α + βy + γy2. Forma Binária Cúbica 26 Se λ4 e λ5 são raízes de tal polinômio temos que (u, v) pertence a uma das seguintes retas de raízes R4 = {(0, λy4), λ ∈ R}; R5 = {(0, λy5), λ ∈ R}. Portanto RA pode ser a interseção combinada envolvendo os seis conjuntos abaixo (a origem e as retas de raízes) R0 = {(0, 0)}; R1 = {(λ, λy1), λ ∈ R}; R2 = {(λ, λy2), λ ∈ R}; R3 = {(λ, λy3), λ ∈ R}; R4 = {(0, λy4), λ ∈ R}; R5 = {(0, λy5), λ ∈ R}. Assim temos as seguintes possibilidades para RA de acordo com as interseções combinadas não vazias: (i) três retas raízes distintas; (ii) única reta raiz (real); (iii) três retas raízes, sendo que duas são retas coincidentes; (iv) três retas raízes coincidentes; (v) o plano todo, caso A = (0, 0, 0, 0). A partir destas possibilidades fazemos a classificação para forma binária cúbica, por meio de mudança de coordenadas adequadas (note que mudança de coordenadas não altera o comportamento das raízes) . Por exemplo, no caso (i), podemos desenhar (vide figura a seguir) um paralelogramo "unitário". Forma Binária Cúbica 27 Figura 2.2: Caso três retas Desta forma as retas raízes podem ser definidas pelas equações u = 0 v = 0 u− v = 0 Logo, a forma binária cúbica pode ser reduzida a C(u, v) = u.v.(u− v). Mas ainda temos que explorar as possíveis fatorações C(u, v) em único termo cúbico, termo(s) linear(es) combinados com termo quadrático. Com isto e fazendo uso da classificação das formas binárias quadradas obtemos: (a) (Lu+Mv)(u2 − v2); (b) (Lu+Mv)u2; (c) (Lu+Mv)(u2 + v2). Agora podemos fatorar (a) como: (Lu+Mv)(u− v)(u+ v); a menos que (Lu+Mv) seja um escalar múltiplo de (u− v) ou (u+ v). Se (Lu + Mv) é um escalar múltiplo de (u− v) ou de (u + v) podemos considerar L = M = c ou L = −M = c. Escrevendo U = (u± v)c −1 3 , V = vc −1 3 , obtemos que U2 divide c e portando recaímos no caso b). No caso b), se M 6= 0 consideramos as novas coordenadas: U = Lu+Mv , V = u Forma Binária Cúbica 28 resultando na expressão UV 2. Se M = 0 podemos fazer a seguinte mudança de coor- denadas U = L −1 3 u , V = u dando a C a forma reduzida U3 No caso c), se L e M não são ambos nulos então uma mudança de escala e de eixos reduzem C na forma (U2 + V 2)V . Se não, teremos a rotação dos eixos pela mudança: w = Lv −Mu√ L2 +M2 e z = Lv +Mu√ L2 +M2 que após manipulações algébricas temos: C(x, y) = √ L2 +M2(w2 + z2)z e a mudança de escala resultará na forma reduzida (U2 + V 2)V . Portanto, com uma mudança de coordenadas adequadas reduzimos qualquer forma cúbica homogênea diferente de zero em uma das expressões que tem interpretações geométricas distintas: (i) (U − V )UV ; (ii) (U2 + V 2)V ; (iii) U2V ; (iv) U3. 3 Topologia e Funções de Várias Variáveis Neste capítulo tratamos da diferenciabidade de funções de várias variáveis. Para este propósito inicialmente estudamos alguns conceitos topológicos sobre Rn. Sugeri- mos a referência bibliográfica [5] para mias detalhes sobre este tema. 3.1 Topologia do Espaço Euclidiano O produto interno canônico do espaço euclidiano Rn, é dado por: 〈x, y〉 = x1.y1 + x2.y2 + ...+ xn.yn, onde x = (x1, x2, ..., xn) e y = (y1, y2, ..., yn) são vetores de Rn. Para este produto interno, dado x ∈ Rn, definimos a norma euclidiana, ‖x‖, por: ‖x‖ := √ 〈x, x〉 = √ x2 1 + x2 2 + ...+ x2 n. Ou seja, ‖x‖2 = 〈x, x〉, de modo que ‖x‖ = 0⇔ x = 0 e ‖x‖ > 0⇔ x 6= 0. Dois vetores x, y ∈ Rn dizem-se ortogonais quando 〈x, y〉 = 0 A norma euclidiana possui as seguintes propriedades: ∀ x, y ∈ Rn,∀α ∈ Rn, (|α| significa o valor absoluto do número real α), tem-se: N1: ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖; N2: ‖α.x‖ = |α| ‖x‖; N3: x 6= 0⇒ ‖x‖ > 0 e ‖x‖ = 0⇔ x = 0. De um modo geral, uma norma num espaço vetorial E é qualquer função real ‖ ‖ : E → R que cumpre as condições N1, N2 e N3 acima. Além da norma euclidiana, há uma infinidade de normas que se pode considerar no espaço euclidiano Rn, ela é a mais natural, por isso, a menos que se faça menção do contrário, adotaremos a norma euclidiana. Há duas normas que são de manipulação formal mais simples, as quais poderemos utilizar em Rn, quando houver conveniência. As quais são definidas por: 29 Topologia do Espaço Euclidiano 30 ‖x‖M =max {‖x1‖,...,‖xn‖} (Norma do Máximo), ‖x‖S = ‖x1‖+...+‖xn‖ (Norma da Soma). E são tais que, para todo x ∈ Rn, vale ‖x‖M ≤ ‖x‖ ≤ ‖x‖S ≤ n ‖x‖M . Uma norma no espaço vetorial E dá origem a uma noção de distância em E. Dados x, y ∈ E, a distância de x a y é definida por d(x, y) = ‖x− y‖. As condições N1, N2 e N3 que a norma satisfaz, implicam imediatamente nas pro- priedades de distância: ∀ x, y, z ∈ E d1: d(x, z) ≤ d(x, y)+d(y, z) d2: d(x, y) = d(y, x) d3: x 6= y ⇒ d(x, y) > 0 Exemplo 3.1. 1. O produto interno canônico entre (1, 2) e (5, 3) : 〈(1, 2); (5, 3)〉 = 1.5 + 2.3 = 5 + 6 = 11. 2. ‖(3, 2, 7)‖2 = 〈(3, 2, 7); (3, 2, 7)〉 = 9 + 4 + 49 = 62 e ‖(3, 2, 7)‖ = √ 62. 3. d((1, 3, 5), (2, 5, 8)) = ‖(1, 3, 5)− (2, 5, 8)‖ = ‖(−1,−2,−3)‖ = √ 1 + 4 + 9 =√ 14. A bola aberta de centro em um ponto a ∈ Rn e raio r > 0 é o conjunto dos pontos x ∈ Rn cuja distância ao ponto a é menor do que r. Notação: B(a, r) = {x ∈ Rn; ‖x− a‖ < r} Analogamente, definimos a bola fechada B[a, r] e a esfera S[a, r], ambas com centro em a e raio r, como sendo: B[a, r] = {x ∈ Rn; ‖x− a‖ ≤ r} e S[a, r] = {x ∈ Rn; ‖x− a‖ = r} . Observe que B[a, r] = B(a, r) ∪ S[a, r] Note que, se a = (a1, a2, . . . , an) então a bola B[a, r] ⊂ Rn, definida pela norma ‖x‖M =max{‖x1‖ , . . . , ‖xn‖} é o produto cartesiano B[a, r] = [a1 − r, a1 + r] × . . . × [an − r, an + r]. Com efeito, ‖x− a‖ < r ⇔ ‖x1 − a1‖ < r, . . . , ‖xn − an‖ < r. Do mesmo modo, usando ainda a norma do máximo, temos B(a, r) = n∏ i=1 (ai − r, ai + r) para a bola aberta. Estas propriedades tornam a norma do máximo conveniente em relação ao produto cartesiano. Topologia do Espaço Euclidiano 31 Sejam x, y ∈ Rn. O segmento de reta de extremos x, y é o conjunto [x, y] = {(1− t)x+ ty; 0 ≤ t ≤ 1} . Um subconjunto X ⊂ Rn diz-se convexo quando contém qualquer segmento de reta cujos extremos pertençam a X, ou seja: x, y ∈ X ⇒ [x, y] ⊂ X. Exemplo 3.2. 1. Todo subespaço vetorial E ⊂ Rn é convexo; 2. Toda variedade afim a + E = {a+ x;x ∈ E} (onde E ⊂ Rn é um subespaço vetorial) é convexa; 3. Se X ⊂ Rm e Y ⊂ Rn são convexos então o produto cartesiano X × Y ⊂ Rm+n é convexo. 4. X = Rn − {0} não é convexo, pois tem-se e1 ∈ X, −e1 ∈ X mas 0 ∈ [−e1, e1]. 5. É possível mostrar que toda bola aberta B ⊂ Rn é convexa. Um subconjunto X ⊂ Rn diz-se limitado quando existe um número real c > 0 tal que ‖x‖ < c, para todo x ∈ X. Isto equivale a dizer que X está contido na bola fechada de centro na origem e raio c. Se existir alguma bola B[a, r], de centro arbitrário, contendo X então, para todo x ∈ X, tem-se ‖x− a‖ ≤ r. Pondo-se c = r + ‖a‖ temos então ‖x‖ < c, logo X é limitado. Assim, um conjunto X ⊂ Rn é limitado se, e somente se, está contido em alguma bola. Para cada i = 1, 2, . . . , n, a i-ésima projeção Πi : Rn → R é definida por Πi(x) = xi onde xi é a i-ésima coordenada de x. Deste modo, um conjunto X ⊂ Rn é limitado se, e somente se, suas projeções X1 = Π1(X), . . . , Xn = Πn(X) são conjuntos limitados em R. Exemplo 3.3. Em R2 tomando-se a norma euclidiana, as bolas chamam-se discos (abertos ou fechados) e as esferas reduzem-se a círculos. Em R3, a norma euclidiana define no espaço bolas e esferas que correspondem às imagens que fazemos delas. Seja X um subconjunto do espaço euclidiano Rn. Um ponto a ∈ X chama-se ponto interior a X quando é centro de alguma bola aberta contida em X, ou seja, quando existe δ > 0 tal que ‖x− a‖ < δ ⇒ x ∈ X. Um conjunto X ⊂ Rn chama-se aberto quando todos seus pontos são interiores, isto é, quando para cada x ∈ X existe δ > 0 tal que B(x, δ) ⊂ X. Os conjuntos abertos do espaço euclidiano Rn têm as seguintes propriedades: Topologia do Espaço Euclidiano 32 1. O conjunto vazio ∅ e o espaço Rn são abertos; 2. A interseção A = A1 ∩ . . . ∩ Ak de um número finito de conjuntos abertos A1, . . . , Ak é um conjunto aberto; 3. A reunião A = ⋃ λ∈L Aλ de uma família qualquer (Aλ)λ∈L de conjuntos abertos Aλ é um conjunto aberto. Exemplo 3.4. Toda bola aberta de Rn é um conjunto aberto de Rn. De fato, mostremos que todo ponto pertencente a bola aberta de centro em a ∈ Rn e raio r > 0 é ponto interior. Seja x ∈ B(a, r)⇒ ‖x− a‖ < r Tomemos s = r − ‖x− a‖ . ∗ Se x = a então B(x, s) = B(a, r) Se x 6= a então ‖x− a‖ > 0, logo para s > 0, temos s < r, pois ‖x− a‖ < r (já que x ∈ B(a, r)). Provemos que B(x, s) ⊂ B(a, r). Seja y ∈ B(x, s). Mostremos que y ∈ B(a, r). Como y ∈ B(x, s) temos que ‖y − x‖ < s, queremos mostrar que ‖y − a‖ < r. Da desigualdade triangular segue que: ‖y − a‖ ≤ ‖y − x‖+ ‖x− a‖ ‖y − a‖ ≤ ‖y − x‖+ ‖x− a‖ < s+ ‖x− a‖ ∗= r − ‖x− a‖+ ‖x− a‖ = r Portanto, ‖y − a‖ < r. Logo, y ∈ B(a, r) Assim toda bola aberta de Rn é um conjunto aberto da Rn. Exemplo 3.5. O intervalo da reta (a, b) é um conjunto aberto em R, pois (a, b) = B ( a+ b 2 , |b− a| 2 ) e pelo exemplo anterior, toda bola aberta é um conjunto aberto. É possível mostrar que todo conjunto aberto em R é um intervalo aberto ou uma união de intervalos abertos. Diferenciabilidade 33 3.2 Diferenciabilidade Seja f : U −→ Rp, onde U é um subconjunto aberto de Rn, uma aplicação. Es- crevendo f(x) = (x1, . . . , xn) ∈ Rn, vemos que cada componente fi é uma função fi : U −→ R, ∀i ∈ {1, . . . , p}. Dizemos que f é de classe C∞ (ou suave) quando as derivadas parciais de fi, de todas as ordens existem e são contínuas em U , ∀i ∈ {1, . . . , p}. Observe então que, se f é de classe C∞, pelo Teorema de Schwarz, as derivadas mistas de uma função coordenada são iguais. Seja f : U −→ Rp, onde U é um subconjunto aberto de Rn, uma aplicação de classe C∞ e v ∈ U . Definimos a matriz J [f ](v) =  ∂f1 ∂x1 (v) ∂f1 ∂x2 (v) . . . ∂f1 ∂xn (v) ∂f2 ∂x1 (v) ∂f2 ∂x2 (v) . . . ∂f2 ∂xn (v) ... ... . . . ... ∂fn ∂x1 (v) ∂fn x2 (v) . . . ∂fn xn (v)  , onde todas as derivadas parciais são calculadas em v, como a matriz jacobiana de f em v. A aplicação linear Df(v) : Rn −→ Rp associada à matriz jacobiana de f em v é chamada a derivada (ou a diferencial) de f em v. Observamos que no caso em que p = 1 esta aplicação linear Df(v) é identificada ao vetor ( ∂f ∂x1 (v), . . . , ∂f ∂xn (v) ) . Por exemplo, a função f : R2 −→ R3 dada por f(x1, x2) = (sen(x1x2), expx2 1, cos(x1− x4 2 + 3)) é uma aplicação de classe C∞, pois as funções seno, cosseno, exponencial e polinomial são de classe C∞ e portanto a composição dessas funções também é de classe C∞. Observe que a composição de duas aplicações C∞, possivelmente restrita a um domínio (aberto) menor é de classe C∞. Sejam U e V subconjuntos abertos de Rm. Uma aplicação φ : U −→ V é chamada difeomorfismo se 1. φ é bijetora 2. φ e φ−1 são de classe C∞. Diferenciabilidade 34 Enunciamos agora um teorema do cálculo avançado que nos será útil: Teorema 3.1. (Teorema da Função Inversa) Seja φ : U1 −→ Rm de classe C∞, com U1 aberto em Rm e u ∈ U1. Se a matriz jacobiana de φ em u for não singular, existe um aberto U ⊆ U1, tal que u ∈ U e φ : U −→ φ(U) é um difeomorfismo. Dizemos que φ é um difeomorfismo local em u se satisfizer as hipóteses do Teo- rema da Função Inversa no ponto u. Deste Teorema seguem os seguintes Corolários, Corolário 3.1. Dadas duas aplicações quaisquer, g : U1 ⊆ Rn −→ V1 ⊆ Rp e f : U2 ⊆ Rp −→ V2 ⊆ Rm, Ui, Vi abertos em seus respectivos conjuntos, i = 1, 2, e um ponto a ∈ U1. Suas matrizes jacobianas satisfazem J [f ◦ g](a) = J [f ](g(a)) ◦ J [g](a). Demonstração. Denotando h : U1 −→ V2 t −→ (f ◦ g)(t) = f(g(t)). temos que ∂hi ∂xj = ∂fi ∂g1 ∂g1 ∂xj + ∂fi ∂g2 ∂g2 ∂xj + · · ·+ ∂fi ∂gp ∂gp ∂xj = p∑ k=1 ∂fi ∂gk ∂gk ∂xj , i = 1, . . .m; j = 1, . . . n, e portanto J [f ◦ g](a) =  p∑ k=1 ∂f1 ∂gk ∂gk ∂x1 (a) p∑ k=1 ∂f1 ∂gk ∂gk ∂x2 (a) . . . p∑ k=1 ∂f1 ∂gk ∂gk ∂xn (a) p∑ k=1 ∂f2 ∂gk ∂gk ∂x1 (a) p∑ k=1 ∂f2 ∂gk ∂gk ∂x2 (a) . . . p∑ k=1 ∂f2 ∂gk ∂gk ∂xn (a) ... ... . . . ... p∑ k=1 ∂fm ∂gk ∂gk ∂x1 (a) p∑ k=1 ∂fm ∂gk ∂gk ∂x2 (a) . . . p∑ k=1 ∂fm ∂gk ∂gk ∂xn (a)  (1) onde todas as derivadas ∂fi ∂gk e ∂gk ∂xj , i = 1, . . .m, j = 1, . . . n, k = 1, . . . , p, são calculadas em g(a) e a respectivmente. Por outro lado, observe que J [f ](g(a)) =  ∂f1 ∂x1 (g(a)) ∂f1 ∂x2 (g(a)) . . . ∂f1 ∂xn (g(a)) ∂f2 ∂x1 (g(a)) ∂f2 ∂x2 (g(a)) . . . ∂f2 ∂xp (g(a)) ... ... . . . ... ∂fm ∂x1 (g(a)) ∂fm ∂x2 (g(a)) . . . ∂fm ∂xp (g(a))  Diferenciabilidade 35 e J [g](a) =  ∂g1 ∂x1 (a) ∂g1 ∂x2 (a) . . . ∂g1 ∂xn (a) ∂g2 ∂x1 (a) ∂g2 ∂x2 (a) . . . ∂g2 ∂xn (a) ... ... . . . ... ∂gp ∂x1 (a) ∂gp ∂x2 (a) . . . ∂gp ∂xm (a)  onde todas as derivadas ∂fi ∂xk e ∂gk ∂xj , i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n, k = 1, . . . , p, são calculadas em g(a) e a, respectivamente. Logo J [f ](g(a)) · J [g](a) =  ∂f1 ∂x1 (g(a)) ∂f1 ∂x2 (g(a)) . . . ∂f1 ∂xn (g(a)) ∂f2 ∂x1 (g(a)) ∂f2 ∂x2 (g(a)) . . . ∂f2 ∂xp (g(a)) ... ... . . . ... ∂fm ∂x1 (g(a)) ∂fm ∂x2 (g(a)) . . . ∂fm ∂xp (g(a))  · ·  ∂g1 ∂x1 (a) ∂g1 ∂x2 (a) . . . ∂g1 ∂xn (a) ∂g2 ∂x1 (a) ∂g2 ∂x2 (a) . . . ∂g2 ∂xn (a) ... ... . . . ... ∂gp ∂x1 (a) ∂gp ∂x2 (a) . . . ∂gp ∂xm (a)  = =  p∑ k=1 ∂f1 ∂xk ∂gk ∂x1 (a) p∑ k=1 ∂f1 ∂xk ∂gk ∂x2 (a) . . . p∑ k=1 ∂f1 ∂xk ∂gk ∂xn (a) p∑ k=1 ∂f2 ∂xk ∂gk ∂x1 (a) p∑ k=1 ∂f2 ∂xk ∂gk ∂x2 (a) . . . p∑ k=1 ∂f2 ∂xk ∂gk ∂xn (a) ... ... . . . ... p∑ k=1 ∂fm ∂xk ∂gk ∂x1 (a) p∑ k=1 ∂fm ∂xk ∂gk ∂x2 (a) . . . p∑ k=1 ∂fm ∂xk ∂gk ∂xn (a)  (2) onde todas as derivadas ∂fi ∂xk e ∂gk ∂xj , i = 1, . . .m, j = 1, . . . n, k = 1, . . . , p, são calcu- ladas em g(a) e a, respectivmente. Como (f ◦g)(t) = f(g(t)) = f(g1(t), g2(t), . . . , gp(t))⇒ ∂fi ∂gk (g(a)) ∂gk xj = ∂fi xk (g(a)) ∂gk xj , i = 1, . . .m, j = 1, . . . , n, k = 1, . . . , p. Comparando (1) e (2) temos que J [f ◦ g](a) = J [f ]g(a) ◦ J [g](a). Corolário 3.2. Dado um difeomorfismo φ : U −→ V , U, V abertos de Rn, o posto da matriz J [φ](a) é igual a n, para todo a ∈ U . Diferenciabilidade 36 Demonstração. Demonstrar que J [φ](a) tem posto n é equivalente a demonstrar que a aplicação linear definida por J [φ](a) é injetora. Observe então que, como φ é um difeomorfismo, existe uma função φ−1 : V −→ U tal que (φ ◦ φ−1)(t) = Id(t) = t,∀t ∈ V e (φ−1 ◦ φ)(t) = Id(t) = t,∀t ∈ U , e portanto, pelo corolário anterior , J [φ−1 ◦ φ](a) = J [Id](a) = Idn×n e ⇒ J [φ−1](φ)(a) · J [φ](a) = Idn×n. O que nos diz que J [φ−1](φ(a)) é uma aplicação sobrejetora e J [φ](a) é uma apli- cação injetora, ou seja, como já observamos, J [φ(a)] tem posto n. Exemplo 3.6. 1. Consideremos um caso de dimensão 1: Seja φ : U −→ R (U aberto de R contendo o ponto u) e suponha que a matriz jacobiana de φ em u seja não singular. Neste caso, o jacobiano de φ em u é dado por sua derivada em u. Logo, essa matriz é não singular se, e somente se, φ′(u) 6= 0. Tome por exemplo a função φ : U −→ R dada por φ(x) = xk, para algum inteiro positivo k. Logo φ′(x) = kxk−1 e portanto, existe um difeomorfismo local em 0 se, e somente se, k = 1. Porém, para qualquer outro valor de x tal que x 6= 0, observe que φ′(x) 6= 0 e portanto temos um difeomorfismo local neste ponto. 2. Seja φ : R2 −→ R2 dada por φ(x, y) = (x, y2). A matriz jacobiana de φ em um ponto (x, y) é então dada por ( 1 0 0 2y ) que é não singular se, e somente se, y 6= 0. Assim, φ é um difeomorfismo local em todo ponto (x, y) ∈ R2 tal que y 6= 0. Esta aplicação é chamada “dobra"o plano (x, y) é “dobrado"ao longo da reta y = 0. Seja f : U ⊆ Rm −→ Rp, onde U é um conjunto aberto de Rm de classe C∞. Um ponto x ∈ Rm é chamado ponto regular de fx, e f é chamada submersão em x se Df(x) é uma aplicação sobrejetora, ou equivalentemente, se a matriz jacobiana de f em x tem posto p (o que só é possível se p ≤ m). Um valor regular de f é um ponto c ∈ Rp tal que, para todo x ∈ Df , com f(x) = c, x é um ponto regular. Um ponto crítico é um ponto x ∈ Rm para o qual o posto da matriz J [f ](x) não atinge seu valor máximo, a saber min(m, p). De maneira análoga, definimos um valor crítico como sendo qualquer ponto f(x) ∈ Rp tal que x é um ponto crítico. Observe então que, para m ≥ p, crítico e não regular significam as mesmas coisas, já que min(m, p) = p. Se p = 1, a condição para que x0 seja um valor não regular é que em x0, ∂f ∂x1 (x0) = ∂f ∂x2 (x0) = · · · = ∂f ∂xm (x0) = 0. Diferenciabilidade 37 Ainda, pela definição, se dado c ∈ Rp, não existir x ∈ Rm tal que f(x) = c então c automaticamente é um valor regular, pois não há pontos x ∈ Rm; f(x) = c para verificarmos se x é um ponto regular. Exemplo 3.7. 1. Seja m = p = 1, f(x) = x2. Assim, todo valor c 6= 0 é um valor regular, já que J [f ](x) = [2x] que tem posto 1 se, e somente se, x 6= 0. O único ponto não regular de f é 0. 2. Seja f : R2 −→ R dada por f(x, y) = 2x2 + 3y2. Logo J [f ](x, y) = [ 4x 6y ] que tem posto 1 a menos que x = y = 0. Assim, qualquer valor c ∈ R∗ é valor regular de f . Observe que, para c > 0, f−1(0) é uma elipse no plano. 3. Seja f : R2 −→ R dada por f(x, y) = x3 + y3 + xy. Então J [f ](x, y) = [ 3x2 + y 3y2 + x ] e J [f ](x, y) não atinge posto máximo nos pontos que satisfazem o sistema ∂f ∂x = 0 ∂f ∂y = 0 ⇔ { 3x2 + y = 0 3y2 + x = 0 que tem, como solução, os pontos (0, 0) e (−1 3 ,−1 3 ). Concluimos portanto, que (0, 0) e (−1 3 ,−1 3 ) são pontos não regulares de f (e também pontos críticos). Como f(0, 0) = 0 e f(−1 3 ,−1 3 ) = 1 27 , temos que qualquer valor de c diferente de 0 e 1 27 é valor regular de f . Por outro lado, de acordo com a observação feita na definição, observe que 0 é valor regular de f ∣∣(R2−{(0, 0)})) e 1 27 é valor regular de f ∣∣(R2 − {(−1 3 ,−1 3 )}). Seja f uma aplicação de U em R, com U ⊆ Rm aberto. A matriz abaixo é denomi- nada a matriz Hessiana de f no ponto x0, H(f)|x0 . H(f)|x0 = [ ∂2f ∂xi∂xj (x0) ] . Ainda, um ponto crítico de f é um ponto não-degenerado se det H(f)|x0 6= 0 e, degenerado caso contrário, isto é, det H(f)|x0 = 0. Diferenciabilidade 38 Seja f : U −→ R, U um subconjunto aberto de Rn uma aplicação de classe C∞, a Serie de Taylor ao redor do ponto x0 ∈ U - denotando x0 = (x01 , . . . , x0n) e x = (x1, . . . , xn) - é dada por: f(x0) + n∑ i=1 ∂f ∂xi (x0).xi + 1 2 n∑ i,j=1 ∂2f ∂xi∂xj (x0).xi.xj + . . .+ 1 r! n∑ ik=1 ∂rf ∂xi1∂xi2 . . . ∂xir (x0).xi1 .xi2 . . . . .xir + . . . . Uma vez que f é de classe C∞, temos que esta série converge para f(x0 + x), ∀x ∈ Ux0 , onde Ux0 é uma vizinhança de x0. Por exemplo, se f : R2 → R, x1 = x, x2 = y e x0 = (0, 0), temos que a série de Taylor de f é da por: f(0, 0) + ( ∂f ∂x (0, 0).x+ ∂f ∂y (0, 0).y ) + + 1 2 . ( ∂2f ∂x2 (0, 0).x2 + ∂2f ∂x∂y (0, 0).x.y + ∂2f ∂y∂x (0, 0).y.x+ ∂2f ∂y2 (0, 0)y2 ) + . . . . 4 Geometria de Catástrofes A Teoria da Catástrofe idealizada pelo matemático francês René Thom, como dito na introdução desta, tem por significado mudanças súbitas que ocorrem por exemplo no arrembentar de uma onda na praia, no rolar de uma pedra, na mudança súbita de comportamento de um animal quando muda sua trajetória quando sua ação é de presa ou predador. Neste capítulo apresentamos objetos clássicos em Teoria de Singularidades e das Catástrofes. Iniciamos com a definição de germe de aplicação C∞. Dadas duas aplicações de classe C∞, f1 : U1 → R e f2 : U2 → R, Ui ⊂ Rn, aberto, i ∈ {1, 2}. Dizemos que f1 ∼ f2 se, e somente se, existir uma vizinhança U de x em U1 ∩ U2 tal que as restrições f1 | U e f2 | U coincidam, isto é, f1(z) = f2(z),∀z ∈ U . As classes de equivalência sobre essa relação são chamadas germes de aplicações em x, e um elemento da classe de equivalência é chamado representante do germe em x. Frequentemente, é usada a notação f : (U, x)→ (R, f(x)). Chamamos U de fonte e R de meta. O tema fundamental da Teoria da Catástrofe é a classificação de pontos críticos de germes de aplicação C∞. Para germes de aplicação f , f : (U, x)→ (R, f(x)), podemos dividir estes pontos críticos em duas grandes classes: os pontos críticos degenerados e os pontos críticos não-degenerados, já definidos anteriormente. Para os pontos críticos não-degenerados aplicamos a classificação das formas binárias quadráticas para obter o lema de Morse, a saber: Seja f : (U, x) → (R, f(x)) um germe de aplicação C∞. A origem é um ponto crítico não-degenerado se, e somente se, existe um difeomorfismo local φ, numa vizinhança da origem, tal que φ(0) = 0 e (f ◦ φ)(y) = −y2 1 − . . .− y2 s + y2 s+1 + . . .+ y2 n, em torno da origem, onde s denota o índice de f em 0. 4.1 Teorema de Thom A classificação dos pontos críticos degenerados é mais complexa e delicada. Esta é apresentada pelo Teorema de Thom que tratamos a seguir (para mais detalhes [1], pagina 121). Para tanto, dada uma aplicação C∞, dizemos que duas famílias à r- parâmetros de f , F e G, são equivalentes, em torno da origem, se existir os seguintes objetos: 39 Teorema de Thom 40 • um difeomorfismo l : Rr −→ Rr • uma aplicação C∞ h : Rn × Rr −→ Rn (x, u) −→ h(x, u) tal que hu : Rn −→ Rn x −→ hu(x) = h(x, u) é difeomorfismo • uma aplicação C∞ d : Rr −→ R tais que: G(x, u) = F (hu(x), l(u)) + d(u),∀(x, u) ∈ Rn × Rr na vizinhança da origem. Ainda, dizemos que a família F à r-parâmetros de f é estável se F : Rn × Rr −→ R, é equivalente a qualquer família f + ε : Rn × Rr −→ R onde ε : Rn × Rr −→ R é uma família suficientemente ‘próxima’ de f (no sentido da topologia de Whitney, conforme [3]). Com estas observamos estamos aptos ao anúncio do Teorema de Thom. Observa- mos que embora o resultado acima não seja demonstrado aqui, seu início se dá pela classificação de formas binárias críticas apresentadas anteriormente, com a qual é pos- sível determinar as duas primeiras catástrofes cuspóides presentes no enunciado do teorema: a Dobra e Cúspide. Teorema de Thom 41 Teorema 4.1. (Teorema de Thom) Sejam n ∈ N e r ∈ {1, 2, 3, 4, 5}, considere ainda uma aplicação, f , C∞, de Rn em R. Se uma família a r-parâmetros de f é estável então esta família é equivalente a uma das seguintes formas normais. Observamos que cada (u1, u2, . . . , un) ∈ Rn e (t1, t2, . . . , tr) ∈ Rr. O símbolo M denotado como a aplicação de Morse da forma: (u2 2 + ...+ u2 2 − u2 i+1 − un2 ) (1 ≤ i ≤ n) e, N a função: (u2 3 + ...+ u2 2 − u2 i+1 − un2 ) (2 ≤ i ≤ n). Catástrofe Cuspóides 1. Dobra - (A2) u3 1 + t1u1 + (M) 2. Cúspide - (A3) ±(u4 1 + t2u 2 1 + t1u1) + (M) 3. Rabo de Andorinha - (A4) (u5 1 + t3u 3 1 + t2u 2 1 + t1u1) + (M) 4. Borboleta - (A5) ±(u6 1 + t4u 4 1 + t3u 3 1 + t2u 2 1 + t1u1) + (M) 5. Wigman - (A6) (u7 1 + t5u 5 1 + t4u 4 1 + t3u 3 1 + t2u 2 1 + t1u1) + (M) Catástrofes Umbílicas 6. Elíptica - (D−4 ) (u2 1u2 − u3 2 + t2u2 + t1u1) + (N) 7. Hiperbólica - (D+ 4 ) (u2 1u2 + u3 2 + t2u2 + t1u1) + (N) 8. Parabolóide - (D5) ±(u2 1u2 − u4 2 + t4u 2 2 + t3u 2 1 + t2u2 + t1u1) + (N) Teorema de Thom 42 9. Segunda Elíptica - (D−6 ) (u2 1u2 − u5 2 + t5u 3 2 + t4u 2 2 + t3u 2 1 + t2u2 + t1u1) + (N) 10. Segunda Hiperbólica - (D+ 6 ) (u2 1u2 + u5 2 + t5u 3 2 + t4u 2 2 + t3u 2 1 + t2u2 + t1u1) + (N) 11. Segunda Parabolóide - (E6) ±(u3 1 + u4 2 + t5u1u 2 2 + t4u 2 2 + t3u1u2 + t2u2 + t1u1) + (N) É possível mostrar que dentre tais formas as seguintes tem codimensão menor ou igual a 4 (de acordo com [3]). 1. Dobra u3 1 + t1u1 + (M) 2. Cúspide ±(u4 1 + t2u 2 2 + t1u1) + (M) 3. Rabo de Andorinha (u5 1 + t3u 3 1 + t2u 2 1 + t1u1) + (M) 4. Borboleta ±(u6 1 + t4u 4 1 + t3u 3 1 + t2u 2 1 + t1u1) + (M) 5. Elíptica Umbílica (u2 1u2 − u3 2 + t2u2 + t1u1) + (N) 6. Hiperbólica Umbílica (u2 1u2 + u3 2 + t2u2 + t1u1) + (N) 7. Parabolóide Umbílica ±(u2 1u2 − u4 2 + t4u 2 2 + t3u 2 1 + t2u2 + t1u1) + (N) A nomenclatura para estas formas são escolhidas de acordo com o comportamento, aspecto de seu Conjunto de Bifurcação. A partir deste momento, exploraremos o Conjunto de Bifurcação de cada forma não-umbílicas de codimensão menor ou igual a 4, quais sejam: Dobra, Cúspide, Rabo de Andorinha e Borboleta. Teorema de Thom 43 Para este fim, definimos os seguintes objetos: seja V : Rn × Rr −→ R uma família de funções tal que para cada c ∈ Rr, Vc é a função dada por Vc(x) := V (x, c) ∈ R. Uma variedade de catástrofe M é um subconjunto de Rn × Rr definido por: DVc(x) = 0, ou seja, o conjunto de todos os pontos críticos de Vc. Logo, M = {(x, c) ∈ Rn × Rr : DVc(x) = 0}. O conjunto M é uma variedade desde que V seja um desdobramento miniversal, embora não exploramos esta vertente em nosso trabalho, observamos que isto se dá como uma consequência da teoria de Transversalidade. É denominada aplicação catástrofe, uma aplicação χ dada pela restrição à var- iedade M da projeção π : Rn × Rr −→ Rr, definida por π(x, c) = c. Neste contexto, o conjunto singular S é o conjunto dos pontos de M tais que o posto da transformação linear derivada Dχ é menor que r. A imagem χ(S) é chamado conjunto das Bifurcações, denotado por B. Sobre as Catástrofes: Dobra, Cúspide, Rabo de Andorinha e Borboleta 44 4.2 Sobre as Catástrofes: Dobra, Cúspide, Rabo de Andorinha e Borboleta 4.2.1 Dobra A catástrofe dobra é a catástrofe mais simples entre as sete exploradas. Para este caso consideramos a aplicação base f : R −→ R x 7−→ 1 3 x3 e a seguinte deformação V : R× R −→ R (x, a) 7−→ Va(x) = V (x, a) := 1 3 x3 + ax A variedade, M1, de catástrofe DOBRA é um subconjunto de R2, definido por: M1 = {(x, a) ∈ R2 : ∂ ∂x Va(x) = 0} Veja que ∂ ∂x Va(x) = 0, implica x2 + a = 0. Logo, M1 = {(x, a) ∈ R2 : x2 + a = 0}. Reescrevendo M1 temos que: M1 = {(x,−x2), x ∈ R} Nosso objetivo é explorar a geometria desta variedade analisando seu conjunto de Bifurcação . Para isto exploramos a série de Taylor de Va(x) para pontos pertencentes ao conjunto Singular M1, denotado por S1. Temos que: Va(x+X) = a0 + a1X + a2X 2 + a3X 3 + 0. onde ai = 1 i! (Va) (i)(x). Va(x+X) = Va(x) + (x2 + a)X + xX2 + 1 3 X3 + 0. Como (x, a) ∈ S1, segue que: Va(x+X) = ( x3 3 + (−x2)x ) + 0X + xX2 + 1 3 X3 + 0. Sobre as Catástrofes: Dobra, Cúspide, Rabo de Andorinha e Borboleta 45 Logo, Va(x+X) = X3 3 + xX2 + 0.X + ( −2 3 x3 ) . Portanto, 1 3 (x+X)3 + (−x2)(x+X) = Va(x+X) = 1 3 X3 + xX2 + 0X + ( −2 3 x3 ) . Observe que analisando a matriz Hessiana vemos que o termo quadrático xX2 é não-degenerado se x 6= 0, mas é degenerado se x = 0. Assim S1 = {0} e B1 = {(0, 0)}, onde B1 denota o conjunto de Bifurcação; o ponto (0, 0) é chamado ponto de Dobra. Por outro lado, quando x > 0 o termo quadrático é positivo e Va tem um ponto de mínimo e quando x < 0 o termo quadrático é negativo e Va tem um ponto de máximo. A geometria de M1 esta resumida na figura 4.1, abaixo. Veja que a Variedade Catástrofe Dobra é uma parábola; o conjunto de Bifurcação é um único ponto no qual, à sua esquerda, há dois comportamentos, um ponto de máximo e um ponto de mínimo, e, à sua direita, não há nenhum ponto. Figura 4.1: Catástrofe Dobra Sobre as Catástrofes: Dobra, Cúspide, Rabo de Andorinha e Borboleta 46 4.2.2 Cúspide Considere a seguinte aplicação base para esta catástrofe: f : R −→ R x 7−→ 1 4 x4 com sua respectiva deformação: V : R× R2 −→ R (x, a, b) 7−→ Vab(x) = V (x, a, b) := 1 4 x4 + 1 2 ax2 + bx. A variedade, M2, de catástrofe CÚSPIDE é um subconjunto de R2, definido por: M2 = {(x, a, b) ∈ R2 : ∂ ∂x Vab(x) = 0} Veja que ∂ ∂x Vab(x) = 0, implica x3 + ax+ b = 0. Logo, M2 = {(x, a, b) ∈ R3 : x3 + ax+ b = 0}. Reescrevendo M2 temos que: M2 = {(x, a,−x3 − ax), x, a ∈ R}. Nosso objetivo é explorar a geometria desta variedade analisando seu conjunto de Bifurcação. Para isto exploramos a série de Taylor de Vab(x) para pontos pertencentes ao conjunto Singular M2, denotado por S2. Temos que: Vab(x+X) = a0 + a1X + a2X 2 + a3X 3 + a4X 4 + 0. onde ai = 1 i! (Va) (i)(x). Vab(x+X) = Va(x)+ ( x3 + ax+ b ) X+ ( (3x2 + a)X2 2 ) X2+ ( 6x 6 ) X3+ ( 6 24 ) X4+0. Como (x, a, b) ∈ S2, segue que: Vab(x+X) = ( 1 4 x4 + 1 2 ax2 + (−x3 − ax).x ) + (x3 + ax+ (−x3 − ax)).X+ + ( 3x2 + a 2 ) X2 + ( 6x 6 ) X3 ( 6 24 X4 ) + 0. Logo, Sobre as Catástrofes: Dobra, Cúspide, Rabo de Andorinha e Borboleta 47 Vab(x+X) = X4 4 + xX3 + ( 3x2 2 + a 2 ) X2 + 0X − ( 3x4 4 + ax2 2 ) . Portanto, (x+X)4 4 + a(x+X)2 2 − ((x+X)3 + a(x+X)) = Vab(x+X) = X4 4 + xX3 + ( 3x2 2 + a 2 ) X2 + 0X − ( 3x4 4 + ax2 2 ) . Analisando os termos da expansão acima, para analisar o Conjunto de Bifurcação, vemos a necessidade de uma nova mudança de variáveis, considerando p, q, r os coefi- cientes dos termos quadrático, cúbico e quártico, temos: p(a, x) = 3 2 x2 + a 2 q(a, x) = x r(a, x) = 1 4 Isso sugere que troquemos o plano cartesiano pelo plano r = 1 4 e a(p, q) coordenadas. Portanto uma vez que: p = 3 2 q2 + a 2 2p = 3q2 + a a = 2p− 3q2 Segue que: M2 = (q, 2p− 3q2,−2pq + 2q3), p, q ∈ R. Deste modo o termo quadrático da série de Taylor é degenerado, quando p = 0, e este representa o q− eixo no espaço (p, q). A imagem deste tipo de ponto é uma dobra em termos do sistema original (x, a) pois: quando p = 0 temos: x = q a = −3q2, ou seja, a = −3x2. Ainda, quando p é não degenerado temos um ponto de mínimo local quando p > 0 e um ponto de maximo local quando p < 0. Quando p = 0, necessariamente analisamos os termos cúbico e q 6= 0. O termo cúbico determina o tipo do ponto crítico . Note ainda que se p = 0 e q = 0 (a origem no espaço (p, q)) o tipo do ponto crítico é determinado pelo termo X4. Se p = 0 e q 6= 0, temos que a = −3x2 e então o conjunto de bifurcação é o conjunto de pontos: Sobre as Catástrofes: Dobra, Cúspide, Rabo de Andorinha e Borboleta 48 (−3x2, 2x3), x ∈ R ou ainda se a = −3x2 e b = 2x3 . Temos que: 2x3 = b⇒ 3 √ x3 = 3 √ b 2 ⇒ x = 3 √ b 2 e −3.x2 = a⇒ −3. 3 √( b 2 )2 = a⇒ −33.  3 √( b 2 )2 3 = a3 ⇒ −27. b2 4 = a3 ⇒ −27.b2 = 4.a3 ⇒ 4a3 + 27b2 = 0. Logo o conjunto de Bifurcação é definido pela equação: 4a3 + 27b2 = 0, o qual descreve uma cúspide. Veja a figura 4.3 abaixo. Figura 4.2: Catástrofe Cúspide Sobre as Catástrofes: Dobra, Cúspide, Rabo de Andorinha e Borboleta 49 4.2.3 Rabo de Andorinha Considere a seguinte aplicação base para esta catástrofe: f : R −→ R x 7−→ 1 5 x5 com sua respectiva deformação: V : R× R3 −→ R (x, a, b, c) 7−→ Vabc(x) = V (x, a, b, c) := 1 5 x5 + a 3 x3 + b 2 x2 + cx. A variedade, M3, de catástrofe RABO DE ANDORINHA é um subconjunto de R4, definido por: M3 = {(x, a, b, c, ) ∈ R4 : ∂ ∂x Vabc(x) = 0}. Veja que ∂ ∂x Vabc(x) = 0, implica x4 + ax2 + bx+ c = 0. Logo, M3 = {(x, a, b, c) ∈ R3 : x4 + ax2 + bx+ c = 0}. Reescrevendo M3 temos que: M3 = {(x, a, b,−x4 − ax2 − bx), x, a, b ∈ R.} Nosso objetivo é explorar a geometria desta variedade analisando seu conjunto de Bifurcação . Para isto exploramos a série de Taylor de Vabc(x) para pontos pertencentes ao conjunto Singular M3, denotado por S3. Temos que: Vabc(x+X) = a0 + a1X + a2X 2 + a3X 3 + a4X 4 + +a5X 50. onde ai = 1 i! (Va) (i)(x). Vabc(x+X) = Vabc(x)+ (x4 +ax2 + bx+ c)X+ ( 4x3 + ax+ b 2 ) X2 + ( 12x2 + a 6 ) X3+ + ( 24x 24 ) X4 + ( 24 120 ) X5 + 0. Como (x, a, b, c) ∈ S3, segue que: Vab(x+X) = ( 1 4 x4 + 1 2 ax2 + (−x3 − ax).x ) + (x3 + ax+ (−x3 − ax)).X+ Sobre as Catástrofes: Dobra, Cúspide, Rabo de Andorinha e Borboleta 50 + ( 3x2 + a 2 ) X2 + ( 6x 6 ) X3 ( 6 24 X4 ) + 0. Logo, Vabc(x+X) é igual a X5 5 + xX4 + ( 2x2 + a 3 ) X3 + ( 2x3 + ax+ b 2 ) X2 + 0X − ( 4x5 5 + 2ax3 3 + bx2 2 ) . Portanto, (x+X)5 5 + a(x+X)3 3 + b(x+X)2 2 − ((x+X)4 + a(x+X)2 + bx) = X5 5 + xX4 + ( 2x2 + a 3 ) X3 + ( 2x3 + ax+ b 2 ) X2 + 0X − ( 4x5 5 + 2ax3 3 + bx2 2 ) . Como na catástrofe anterior existe a necessidade de uma nova mudança de coor- denadas. Tomando as coordenadas utilizando os coeficientes da série de Taylor como segue: Quadratica:p(x, a, b) = 2x3 + ax+ b 2 Cubica:q(x, a, b) = 2x2 + a 3 Quartica: r(x, a, b) = x Quinta: s(x, a, b) = 1 5 Assim o hiperplano s = 1 5 no subespaço (p, q, r, s) é o espaço (p, q, r) Portanto, se r = x q = 2r2 + a 3 → a = 3.q − 6.r2 e p = 2r3 + (3.q − 6.q2).r + b 2 → p = 2r3 + 3qr − 6r3 + b 2 2p = 6qr − 8r3 + b→ b = 2p− 6qr + 8r3 então x(p, q, r) = r a(p, q, r) = 3q − 6r2 (∗) Sobre as Catástrofes: Dobra, Cúspide, Rabo de Andorinha e Borboleta 51 b(p, q, r) = 2p− 6qr + 8r3 Observe que o termo quadrático é degenerado, se e somente se p = 0, que define o plano coordenado (q, r). Sobre esse plano o 3-jato é do tipo X3. Note que, se p = 0 e q = 0, temos o r-eixo sobre qual o 4-jato é do tipo X4 ou −X4 . Ainda, p = 0, q = 0 e r = 0, temos o 5-jato X5. De (∗), em termos de p, q, r, temos que M3 é dada por: (r, 3q − 6r2, 2p− 6qr + 8r3,−2pr + 3qr2 − 15r4, p, q, r ∈ R) e seu conjunto singular que é dado por p = 0 é: • S3 = {(r, 3q − 6r2, 2p− 6qr + 8r3,−2pr + 3qr2 − 15r4)} se q 6= 0 • S3 = {(r,−6r2, 2p+ 8r3,−2pr − 15r4)} se q = 0 Portanto seu conjunto de bifurcação é respectivamente: • B3 = {(a, b, c)(r, 3q − 6r2, 2p− 6qr + 8r3,−2pr + 3qr2 − 15r4)} se q 6= 0 • B3 = {(a, b, c)(r,−6r2, 2p+ 8r3,−2pr − 15r4)} se q = 0 Os quais são ilustrados pela figura a seguir Figura 4.3: Catástrofe Rabo de Andorinha Sobre as Catástrofes: Dobra, Cúspide, Rabo de Andorinha e Borboleta 52 4.2.4 Borboleta Para a próxima Catástrofes apenas daremos uma breve noção de como seria seu Conjunto de Bifurcação analisando sua série de Taylor, sem a análise geométrica com- pleta, uma vez que este conjunto pertence ao espaço R4. Considere a seguinte aplicação base para esta catástrofe: f : R −→ R x 7−→ 1 6 x6 com sua respectiva deformação: V : R× R4 −→ R (x, a, b, c, d) 7−→ Vabcd(x) = V (x, a, b, c, d) := 1 6 x6 + a 4 x4 + b 3 x3 + c 2 x2 + dx. A variedade, M4, de catástrofe BORBOLETA é um subconjunto de R5, definido por: M4 = {(x, a, b, c, d) ∈ R5 : ∂ ∂x Vabcd(x) = 0} Veja que ∂ ∂x Vabcd(x) = 0, implica x5 + a.x3 + b.x2 + c.x+ d = 0. Logo, M4 = {(x, a, b, c, d) ∈ R5 : x5 + a.x3 + b.x2 + c.x+ d = 0}. Reescrevendo M4 temos que: M4 = {(x, a, b, c,−x5 − a.x3 − b.x2 − c.x), x, a, b, c ∈ R} Nosso objetivo é explorar a geometria desta variedade analisando seu conjunto de Bifurcação . Para isto exploramos a série de Taylor de Vabcd(x) para pontos pertencentes ao conjunto Singular M4, denotado por S4. Temos que: Vabcd(x+X) = a0 + a1X + a2X 2 + a3X 3 + a4X 4 + a5X 5 + a6X 6 + 0. onde ai = 1 i! (Va) (i)(x). Vabcd(x+X) = Vabcd(x) + (x5 + ax3 + bx2 + cx+ d)X + ( 5x4 + 3ax2 + bx 2 ) X2+ + ( 20x3 + 6ax2 + 2b 6 ) X3 + ( 60x2 + 6a 24 ) X4 + ( 120x 120 ) X5 + ( 120 720 ) X6 + 0. Como (x, a, b, c, d) ∈ S4, segue que: Sobre as Catástrofes: Dobra, Cúspide, Rabo de Andorinha e Borboleta 53 Vabcd(x+X) = ( 1 6 x6 + ax4 4 + bx3 3 + cx2 2 + (−x5 − ax3 − b.x2 − cx)x ) + +(x5 + ax3 + bx2 + cx+ (−x5 − ax3 − bx2 − cx))X + ( 5x4 + 3ax2 + 2bx+ c 2 ) X2+ + ( 20x3 + 6ax+ 2b 6 ) X3 + ( 60x2 + 6a 24 ) X4 + ( 120x 120 ) X5 + ( 120 720 ) X6 + 0. Logo, Vabcd(x+X) = X6 6 + xX5 + (4x2 + 4a)X4 + ( 10x3 3 + ax+ b 3 ) X3+ + ( 5x4 4 + 3ax2 2 + bx+ c 2 ) X2 + 0X − ( 5x6 6 + 3ax4 4 + 2bx2 3 + cx2 2 ) . Portanto, Vabcd(x+X) = X6 6 + xX5 + (4x2 + 4a)X4 + ( 10x3 3 + ax+ b 3 ) X3+ + ( 5x4 4 + 3ax2 2 + bx+ c 2 ) X2 + 0X − ( 5x6 6 + 3ax4 4 + 2bx2 3 + cx2 2 ) . Observe que analisando a matriz Hessiana vemos que o termo quadrático:( 5x4 4 + 3ax2 2 + bx+ c 2 ) é não-degenerado. A Figura abaixo mostra os possíveis tipo de seções (no plano (c, d)) que aparecem de acordo a variação do par (a, b) no círculo unitário. Para mais detalhes veja [1]. Figura 4.4: Seções na Catástrofe Borboleta Observe que temos um ponto de borboleta do tipo X6 na origem, uma linha de pontos tipo Rabo de Andorinha no fator X5. Analisando certos casos, temos por exemplo, que se b = 0 e a > 0, uma seção deste conjunto de Bifurcação é formada pela Catástrofe Cúspide onde as variáveis são c e d. 5 Máquina de Catástrofes A primeira máquina de catástrofe foi inventada por E. C. Zeeman, Universidade de Warwick, em 1969. Depois de três semanas de experimentos com elásticos e clips ele refinou para a versão aqui descrita. Para analisar a máquina de Zeeman, o primeiro passo é localizar a posição do ponto de cúspide P . Por simetria dos eixos conforme figura abaixo. Figura 5.1: Máquina de Zeeman Tomamos uma certo diâmetro e consideramos essa medida uma unidade de medida, ou seja, 1. Tomando elásticos com comprimento igual a essa unidade sem estarem esticados e a distância do centro do diâmentro O até um ponto A como sendo 2. É claro, novamente pela simetria, que como o ponto B corre ao longo do eixo que terá um ponto P de equilibrio na posição θ = 0. O ponto P é onde o equilíbrio muda de estável para instável, por princípio geral da estabilidade. Sejam e, e′ sendo o comprimento de dois pedaços do elásticos quando a posição do disco esta alinhado em θ, próximo de 0 mas não necessariamente nele. Se λ é o módulo 54 55 da elasticidade então a energia, devida a Lei e Hook, é igual a: Vs(θ) = λ 2 (e− 1)2 + λ 2 (e′ − 1) 2 . Agora e2 = ( 2− 1 2 cos θ )2 + ( 1 2 sen θ )2 pela expansão da série de Taylor encontramos: e2 = ( 2− 1 2 ( 1− θ2 2 ))2 + ( 1 2 θ )2 +O(4) onde O(4) denota uma função de ordem 4. e2 = ( 2− 1 2 ( 1− θ2 4 ))2 + ( 1 2 θ )2 +O(4) e2 = ( 3 2 + θ2 4 )2 + θ2 4 +O(4) e2 = ( 3 2 )2 + 2 3 2 θ2 4 + ( θ2 4 )2 + θ2 4 +O(4) e2 = ( 3 2 )2 + 3θ2 4 + ( θ2 4 )2 + θ2 4 +O(4) e2 = ( 3 2 )2 + 3θ2 4 + θ2 4 +O(4) e2 = ( 3 2 )2 + θ2 +O(4). (?) Observe que inserindo os termos:( θ2 3 )2 − ( θ2 3 )2 em ? não alteramos a igualdade: e2 = ( 3 2 )2 + θ2 + ( θ2 3 )2 − ( θ2 3 )2 +O(4) e2 = ( 3 2 + θ2 3 )2 − θ4 9 +O(4) e2 = ( 3 2 + θ2 3 )2 +O(4) Logo, a menos de parcelas com grau maior ou igual a 4 temos que: 56 e = 3 2 + θ2 3 +O(4) (I). Analogamente, e ′2 = ( s− 1 2 cos(π − θ) )2 + ( 1 2 sen(π − θ) )2 Como: cos(π − θ) = cos π cos θ + sen π sen θ = −1 cos θ + 0 cos θ = − cos θ sen(θ − θ) = sen θ cos π − sen π cos θ = 1 sen θ + 0 cos θ = sen θ Temos que: e ′2 = ( s+ 1 2 cos θ )2 + ( 1 2 sen θ )2 +O(4). Usando a expansão de Taylor encontramos: e ′2 = ( s− 1 2 ( 1− θ2 2 ))2 + ( 1 2 θ )2 +O(4). Analogamente ao que foi feito para e é possível mostrar que: e′ = ( s− 1 2 )2 − s (2s− 1) 2s (2s+ 1) θ2 +O(4) (II). Por (I) e (II), segue que: Vs(θ) = λ 4 [ 1 4 + ( s− 1 2 )2 + θ2 ( 1 3 − s (2s− 1) 2s (2s+ 1) )] +O(4) O Lema de Morse implica que encontrado o tipo de ponto crítico local podemos desconsidera o termo O(4), desde que o coeficiente θ2 seja não nulo. Agora o coeficiente de θ2 será positivo se 1 3 > s (2s− 1) 2s (2s+ 1) e negativo se 1 3 < s (2s− 1) 2s (2s+ 1) . Segue que o equilíbrio muda de máximo para mínimo quando: 1 3 = s (2s− 1) 2s (2s+ 1) , onde 2(2s+ 1) = 3s(2s− 1). Após cálculos obtemos: s = 7± √ 97 12 ∼ 1, 40. Como P claramente é um termo positivo teremos que: s = 7 + √ 97 12 . 57 Após uma análise similar com θ = 0 substituindo θ por π encontramos um valor de s distinto do mencionado acima, a saber, s = 27 + √ 489 20 ∼ 2, 46, levando-nos a um novo valor de P ′. Se Vab, é a função de energia correspondente ao repouso e tem posição (a, b) tendo o mínimo de Morse em θ, então para (a′, b′) próximo o suficiente de (a, b) a função Va′b′ tem mínimo de Morse em θ′ proximo θ. A vizinhança θ′ pode ser expressa por uma função suave de (a, b) pela redução da função de Morse pela forma padrão. Então perto do ponto de equilíbrio o disco move-se suavemente com (a, b). Por outro lado, se aproxima de um ponto que não é de Morse, este será restritivo. A geometria em torno deste ponto especial, onde a propriedade de Morse e suas consequências de movimentos sutis são quebrados. A seguir analisaremos o detalhe do comportamento do ponto P . Como já visto que o termo θ2 é onde a energia tende a P e por simetria não existe um termo θ3, portanto devemos procurar θ4. Agora trabalhando conforme Figura 5.1, e deixando o ponto livre em B sendo o ponto (α, β) relativo a coordenada abaixo. A fórmula de e é como a anterior com exceção que agora trabalhamos em O(5) e continuamos com o termo θ(4): e′2 = ( s+ 1 2 cos θ − α )2 + ( 1 2 sen θ + β )2 . Se trabalharmos fora de Vα,β(θ) a energia correspondente de ordem 4, resulta na forma: Vα,β(θ) = (a0 + a1βθ + a2αθ 2 + a3βθ 3 + a4θ 4) +O(5) onde a0, . . . , a4 são constantes as quais os valores aproximados são: a0 ∼ 0, 54; a1 ∼ 0, 24 ; a2 ∼ 0, 16; a3 ∼ 0, 09; a4 ∼ 0, 045. Note que o estágio que P ,onde α = β = 0, temos a função da forma: µθ4 +O(5), (µ > 0), desde que seja um ponto crítico degenerado. Então para um resultado quali- tativo de P , desprezamos o termo de O(5). Continuamos com as simplificações tomando a unidade elástica fazendo λa4 = 1 4 para eliminar o termo cúbico por mudança de variável: x = θ + βa3 4a4 e para definir um múltiplo escalar a para α e b para β, numericamente resultará na seguinte fórmula: Vab(x) = 1 4 x4 + 1 2 ax2 + bx+ c. Podemos considerar a constante c igual a zero sem perda de generalidade pois estamos interessados somente em pontos críticos de Vab, desta forma, 58 Vab(x) = 1 4 x4 + 1 2 ax2 + bx Determinando assim a fórmula da Catástrofe Cúspide. A partir destes resultados podemos construir a máquina. Primeiramente precisamos de pontos fixos, pondendo estes ser pregos ou tachas, um disco de 20 cm de diâmetro e uma prancha de aproximadamente 30 cm por 150 cm. Tomando uma das laterais da prancha na largura de 30 cm fixamos um ponto A bem próximo a ela, bem no centro desta, deste ponto fixamos o centro O alinhado com o ponto A que será o centro do disco. A distância do centro O ao ponto A, será de 40 cm. O disco será fixado mas de forma a ter o menor atrito possível para melhor visual- ização do momento catástrofe. Na extremidade do disco fixamos um ponto B, ou seja colocamos uma tacha no disco mas próximo possível de sua extremidade. O próximo passo é obter elásticos de tamanho específicos conforme dados das equações anteriores. Um elástico que ligará fixamente do ponto A ou ponto B, terá o comprimento igual ao diâmetro, ou seja, 20 cm sem ser esticado, o outro elástico ligará o ponto B para um ponto que não será fixo, o ponto C será testado para obter o ponto de colapso. Este ponto colapso se dará quando com uma pequena perturbação, ou seja, uma pequena movimentação no disco, mudará completamente sua trajetória, em outras palavras, se fizermos essa pequena movimentação ele retornar ao mesmo ponto, não será um colapso, porém se com essa pequena movimentação o disco mudar de "quad- rante"teremos um ponto de colapso. Abaixo, esquemas para nortear esta construção. Figura 5.2: Esquemas para Máquina de Zeeman Referências [1] POSTON, T.; STEWART, I. Catastrophe Theory and its Applications. 1. ed. Lon- don: Pitman Publishing Limited, 1978. [2] POSTON, T.; STEWART, I. Taylor Expansion and Catastrophes. 1. ed. London: Pitman Publishing Limited, 1976. [3] GIBSON, C. G. Singular Points of smooth mappings. 1. ed. London: Pitman Pub- lishing Limited, 1970. [4] ARNOLD, V. I. Teoria da Catástrofe. Tradução Livre de: Catastrophe theory. 1. ed. Campinas: Editora da Unicamp, 1989. [5] LIMA, E. L. Análise no espaço Rn. 1. ed. Rio de Janeiro: Coleção Matemática Universitária-IMPA, 2004. 59 CAPA FICHA CATALOGRÁFICA TERMO DE APROVAÇÃO DEDICATÓRIA Agradecimentos EPÍGRAFE Resumo Abstract Lista de Figuras Sumário 1 Introdução 2 Álgebra das Formas Binárias 2.1 Elementos de Álgebra Linear sobre Rn 2.2 Forma Binária Quadrática 2.3 Forma Binária Cúbica 3 Topologia e Funções de VáriasVariáveis 3.1 Topologia do Espaço Euclidiano 3.2 Diferenciabilidade 4 Geometria de Catástrofes 4.1 Teorema de Thom 4.2 Sobre as Catástrofes: Dobra, Cúspide, Rabo deAndorinha e Borboleta 5 Máquina de Catástrofes Referências