Universidade Estadual Paulista �Júlio de Mesquita Filho� Instituto de Geociências e Ciências Exatas Campus de Rio Claro Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares: Aplicações na Engenharia e Economia Gabriela Baptistella Peres Levorato Dissertação apresentada ao Programa de Pós- Graduação � Mestrado Pro�ssional em Mate- mática em Rede Nacional-PROFMAT como requisito parcial para a obtenção do grau de Mestre Orientadora Profa. Dra. Carina Alves 2017 512.5 L555m Levorato, Gabriela Baptistella Peres Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares: Aplicações na En- genharia e Economia/ Gabriela Baptistella Peres Levorato- Rio Claro: [s.n.], 2017. 65 f.: il., �gs., gráfs., tabs. Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista, Insti- tuto de Geociências e Ciências Exatas. Orientadora: Carina Alves 1. Álgebra Linear. 2. Matrizes. 3. Determinante. 4. Sistemas Lineares. I. Título Ficha Catalográ�ca elaborada pela STATI - Biblioteca da UNESP Campus de Rio Claro/SP termo de aprovação Gabriela Baptistella Peres Levorato Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares: Aplicações na Engenharia e Economia Dissertação aprovada como requisito parcial para a obtenção do grau de Mestre no Curso de Pós-Graduação Mestrado Pro�ssional em Matemática Universitária do Instituto de Geociências e Ciências Exatas da Universidade Estadual Paulista �Júlio de Mesquita Filho�, pela seguinte banca examina- dora: Profa. Dra. Carina Alves Orientadora Profa. Dra. Eliris Cristina Rizziolli Departamento de Matemática, UNESP - Rio Claro Profa. Dra. Cristiane Alexandra Lázaro Departamento de Matemática, UNESP - Bauru Rio Claro, 18 de Agosto de 2017 Aos meus pais. Agradecimentos Ao bom Deus, pelo dom da vida e por ter me permitido concluir esse trabalho. À minha mãe Roseni, que sempre vibrou mais que eu mesma pelas minhas conquis- tas e me incentivou a cada dia. Ao meu pai Arlindo, pelo seu amor e admiração. Aos meus irmãos, Gabriel e Rafael, por serem dois anjos em minha vida. Ao meu amigo, companheiro e marido Fábio, por toda sua compreensão, carinho, apoio e incentivo nessa grande jornada. Aos meus avós, Paulo e Dalva, por serem exemplos de paz, amor e afeto. Aos primos Paula, Miguel, Marina e Isabela por me acolherem como hóspede em Rio Claro quando precisei. Aos amigos de turma, Juliana, Luiz, Rogério e Tássia, pelos grupos de estudo e amizade. A todos os amigos e familiares que torceram e me incentivaram em cada di�culdade. Aos professores deste curso e em especial à minha orientadora, Professora Doutora Carina Alves, por todo o conhecimento compartilhado, paciência e dedicação. Ao Departamento de Matemática da Unesp de Rio Claro, pela iniciativa desa�adora de promover o PROFMAT no campus de Rio Claro. A CAPES pelo apoio �nanceiro. O único lugar onde o sucesso vem antes do trabalho é no dicionário. Albert Einstein. Resumo O presente trabalho mostra a importância da Álgebra Linear e em particular da Teoria de Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares para resolver problemas práticos e contextualizados. Mostramos aplicações em circuitos elétricos, no balanceamento de equações químicas, nos modelos aberto e fechado de Leontief, e no funcionamento do GPS. Ainda, foi aplicado um plano de aula para os alunos do segundo ano do Ensino Médio e apresentamos sugestões de exercícios de vestibulares sobre os tópicos estudados, para serem abordados em sala de aula. Palavras-chave: Álgebra Linear, Matrizes, Determinante, Sistemas Lineares. Abstract The present work shows the importance of Linear Algebra and in particular of Matrix Theory, Determinants and Linear Systems to solve practical and contextualized problems. We show applications in electrical circuits, in the balancing of chemical equations, in the open and closed models of Leontief, and in the operation of GPS. Also, a lesson plan was applied to the students of the second year of high school and we presented suggestions of exercises of vestibular about the topics studied, to be approached in the classroom. Keywords: Linear Algebra, Matrices, Determinant, Linear Systems. Sumário 1 Matrizes 10 1.1 De�nições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Matrizes Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Operações com Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.1 Adição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.2 Multiplicação de um Número por uma Matriz . . . . . . . . . . 14 1.3.3 Multiplicação de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4 Matriz Transposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5 Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Sistemas Lineares 19 2.1 Equação Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.1 Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.2 Sistemas Escalonados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3 Determinantes 26 3.1 Permutação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2 Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.3 Cofator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.4 Obtenção da Matriz Inversa por Determinante . . . . . . . . . . . . . . 33 3.5 Aplicação de Determinantes em Sistemas Lineares - Regra de Cramer . 34 4 Aplicações Envolvendo Matrizes, Determinante e Sistemas Lineares 36 4.1 Circuitos Elétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.1.1 Breve Introdução aos Circuitos Elétricos . . . . . . . . . . . . . 36 4.1.2 Leis de Kirchho� e Lei de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.2 Modelos Econômicos de Leontief . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.2.1 O Modelo Fechado (de input-output) de Leontief . . . . . . . . 40 4.2.2 O Modelo Aberto (de produção) de Leontief . . . . . . . . . . . 41 4.3 Aplicações em Química . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.3.1 Balanceamento de Equações Químicas . . . . . . . . . . . . . . 43 4.4 Aplicação no Funcionamento do GPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.4.1 Uma Situação Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5 Experiências no Ensino Médio 52 5.1 Plano de Aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.1.1 Sugestões de Exercícios Contextualizados . . . . . . . . . . . . . 58 5.2 Exercícios Extraídos de Vestibulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Referências 65 Introdução A matemática é uma ciência que não se limita a um ambiente restrito, sem aplicação ou �nalidade, ela é ampla em sua magnitude e todas as outras ciências estão direta- mente relacionadas a ela. A importância da Álgebra Linear tem crescido nas últimas décadas, os modelos matemáticos lineares assumiram um importante papel juntamente com o desenvolvimento da informática e como seria de se esperar, esse desenvolvimento estimulou um notável crescimento de interesse em Álgebra Linear. Inúmeras aplicações foram sendo consolidadas ao longo dos séculos, desde os pri- meiros indícios do surgimento dos Sistemas Lineares, Determinantes e Matrizes, até os dias atuais, onde é possível constatar a consagração da Ciência Matemática, que engloba a Álgebra Linear. A transição da matemática desenvolvida no Ensino Médio para a do ensino uni- versitário apresenta uma série de di�culdades para os alunos. A introdução de ideias abstratas implica numa mudança profunda de como o aluno deve mudar sua forma de raciocinar. Considerando a forma de abordagem apresentada em livros didáticos de assuntos especí�cos do Ensino Médio, em especial, Matrizes, Sistemas Lineares e Determinante, há a necessidade de apresentar de forma simples, aplicações desses con- ceitos. Desta forma, o objetivo deste trabalho é realizar um estudo sobre tópicos da Álgebra Linear, como Matrizes, Determinantes, Sistemas Lineares e mostrar a inter- disciplinaridade e aplicações desses tópicos, que auxiliam em alguns cursos como o de Química, Física, Engenharia e Economia. Esse trabalho foi dividido em três partes: na primeira parte foi feita uma fun- damentação teórica dos temas supracitados, na segunda parte apresentamos algumas aplicações e na terceira parte propostas de aulas para o Ensino Médio. Mais especi�camente, o presente trabalho está estruturado como segue. No Capítulo 1, apresentamos conceitos e propriedades envolvendo Matrizes como, adição e multiplicação, matrizes especiais, matriz transposta e matriz inversa. No Capítulo 2, �zemos um estudo de Sistemas Lineares sobre o corpo dos números reais. No Capítulo 3, apresentamos a teoria de Determinantes, incluindo suas aplicações em sistemas lineares (regra de Cramer) e no cálculo da matriz inversa. No Capítulo 4, são apresentadas duas aplicações onde se faz necessário o uso de Sistemas Lineares: uma aplicação na engenharia elétrica, onde abordamos os circuitos 9 10 elétricos e uma aplicação na engenharia química, onde abordamos o balanceamento de equações químicas. Para tanto, apresentamos de�nições de alguns conceitos físi- cos e químicos para uma melhor compreensão das aplicações que abordamos aqui. É apresentado também uma aplicação onde se faz necessário o uso de Matrizes: em um sistema econômico de Leontief, e �nalmente apresentamos uma aplicação de Determi- nante no funcionamento do GPS. Um professor de Matemática do Ensino Médio ou um aluno de graduação em Ciências Exatas, encontrará aqui exemplos com aplicações de conceitos vistos na disciplina de Álgebra Linear. No Capítulo 5, abordamos um plano de aula que foi aplicado aos alunos do segundo ano do Ensino Médio e também foi feita uma análise das resoluções apresentadas pe- los alunos. Posteriormente, apresentamos sugestões de exercícios envolvendo situações reais e cuja soluções se dão a partir dos temas estudados e por �m, apresentamos exer- cícios de vestibulares, o que justi�ca que é necessário uma aprendizagem signi�cativa da temática deste trabalho. Espera-se contribuir com o ensino de Álgebra Linear nas áreas a�ns da matemática, de modo que as aplicações expostas aqui sejam utilizadas e que inspirem a elaboração de outros projetos, não apenas no conteúdo de sistemas lineares, sua representação e solução matricial mas também em outros, onde seja possível discutir a contribuição da matemática na solução de problemas reais. 1 Matrizes Historicamente, há indícios que os chineses, por volta de 2500 a.C., já desenvolviam alguns tipos de problemas com cálculos efetuados sobre uma tabela, mas foi o Matemá- tico inglês James Joseph Sylvester (1814-1897) que deu o nome de Matrizes para esses cálculos. Sylvester viveu na idade áurea da Matemática e desenvolveu um importante papel nos avanços cientí�cos. O estudo de Matrizes está ligado à Matemática, Física e também abrange o campo da Computação. Neste capítulo apresentamos as principais de�nições e propriedades envolvendo ma- trizes. Posteriormente faremos o uso de matrizes em problemas práticos na Economia, Física e Química. As principais referências para o desenvolvimento deste capítulo foram [1] e [2]. 1.1 De�nições De�nição 1.1. Sejam m ≥ 1 e n ≥ 1 dois números inteiros. Uma matriz m×n é um agrupamento retangular de números com m linhas e n colunas, formando uma tabela que se indica do seguinte modo: a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n ... ... ... ... ... ... am1 am2 ... amn  . (1.1) Notações: Indicaremos por A uma matriz m× n com i = 1, ...,m e j = 1, ..., n. O elemento que ocupa a linha i e a coluna j da matriz A é denotado por (aij). Cada matriz será representada por uma letra maiúscula do nosso alfabeto. As m sequências horizontais são chamadas de linhas da matriz, enquanto as n sequências verticais são chamadas de colunas da matriz. Exemplo 1.2. A matriz A abaixo é uma matriz 3× 2. Logo A ∈M3×2. A = 1 4 2 5 3 6  . (1.2) 11 Matrizes Especiais 12 De�nição 1.3. (Igualdade de Matrizes). Duas matrizes A = (aij) e B = (bij), de ordem m×n são iguais se, e somente se, aij = bij (i=1,2,...,m ; j=1,2,...,n), para todo par (i, j) em que i = 1, ...,m e j = 1, ..., n. Exemplo 1.4. [ 5 6 x y ] = [ z t 1 2 ] ⇐⇒  x = 1 y = 2 z = 5 t = 6 Exemplo 1.5. [ 1 −1 0 2 ] 6= [ 1 0 −1 2 ] . 1.2 Matrizes Especiais De�nição 1.6. (Matriz linha). Uma matriz que possui apenas uma linha, ou seja, uma matriz de ordem 1× n: M1×n = [ a11 a12 a13 · · · a1n ] , é chamada de matriz linha. De�nição 1.7. (Matriz coluna). Uma matriz que possui apenas uma coluna, ou seja, uma matriz de ordem m× 1: Mm×1 =  a11 a21 a31 ... am1  , é chamada de matriz coluna. De�nição 1.8. (Matriz quadrada). Uma matriz que tem o mesmo número de linhas e colunas é chamada de matriz quadrada. Usaremos a notação Mn e a chamaremos de matriz quadrada de ordem n: Mn =  a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... . . . ... an1 an2 · · · ann  . De�nição 1.9. (Diagonal principal). Seja A = (aij) uma matriz quadrada n× n. Os elementos aij em que i = j, com i, j = 1, ..., n são os elementos da diagonal principal. Matrizes Especiais 13 De�nição 1.10. (Matriz triangular superior). Uma matriz quadrada, em que os ele- mentos abaixo da diagonal principal são nulos, ou seja, os elementos aij em que, i > j, são nulos: Mn =  a11 a12 · · · a1n 0 a22 · · · a2n ... ... . . . ... 0 0 · · · ann  , é chamada de matriz triangular superior. De�nição 1.11. (Matriz triangular inferior). Uma matriz quadrada, em que os ele- mentos acima da diagonal principal são nulos, ou seja, os elementos aij em que, i < j, são nulos: Mn =  a11 0 · · · 0 a21 a22 · · · 0 ... ... . . . ... an1 an2 · · · ann  , é chamada de matriz triangular inferior. De�nição 1.12. (Matriz Diagonal). Uma matriz quadrada, em que os elementos acima e abaixo da diagonal principal são nulos: Mn =  a11 0 · · · 0 0 a22 · · · 0 ... ... . . . ... 0 0 · · · ann  , é chamada de matriz diagonal. De�nição 1.13. (Matriz identidade). A matriz identidade é denotada por In, onde n é a sua ordem, e é uma matriz quadrada (aij) em que os elementos aij da diagonal principal (i = j) são iguais a 1 e os elementos aij com i 6= j são iguais a 0, com i, j = 1, ..., n: In =  1 0 · · · 0 0 1 · · · 0 ... ... . . . ... 0 0 · · · 1  . Exemplo 1.14. I2= [ 1 0 0 1 ] , I3= 1 0 0 0 1 0 0 0 1  . Operações com Matrizes 14 De�nição 1.15. (Matriz nula). Uma matriz em que todos os elementos são iguais a zero: Om×n =  0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 ... ... . . . ... 0 0 · · · 0  , é chamada de matriz nula. 1.3 Operações com Matrizes 1.3.1 Adição Dadas as matrizes A = (aij) ∈ Mm×n e B = (bij) ∈ Mm×n chamamos de soma da matriz A com a matriz B e indicamos por A + B, a matriz m× n, cujo termo geral é aij + bij, ou seja: A+B =  a11 + b11 a12 + b12 ... a1n + b1n a21 + b21 a22 + b22 ... a2n + b2n ... ... ... ... ... ... am1 + bm1 am2 + bm2 ... amn + bmn  . (1.3) Exemplo 1.16. Se A= [ −1 2 7 0 ] e B= [ 8 11 −3 5 ] então A+B= [ 7 13 4 5 ] . Exemplo 1.17.  a b c m n+ 1 p x y z + 1− a −b −c −m −n −p −x −y −z + 1  = 1 0 0 0 1 0 0 0 1  . De�nição 1.18. (Matriz oposta). Dada uma matriz A = (aij), a matriz B = (bij), em que bij = −aij (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n), é chamada oposta de A, e indicamos por -A. De�nição 1.19. A diferença entre a matriz A e a matriz B, indicada por A− B é a soma de A com -B (A+ (−B)). Proposição 1.20. Sejam A = (aij), B = (bij) e C = (cij) matrizes de ordem m × n. Então as propriedades abaixo são válidas: P1) Comutatividade: A+B = B + A. P2) Associativa: (A+B) + C = A+ (B + C). P3) A+ 0 = A. P4) A+ (−A) = 0. Demonstração: P1) Sejam A = (aij) e B = (bij), então A + B = (aij + bij) = (bij + aij) = B + A. Operações com Matrizes 15 P2) Sejam A = (aij), B = (bij) e C = (cij) então (A+B) + C = (aij + bij) + cij = ((aij + bij) + cij) = (aij + (bij + cij)) = (aij) + (bij + cij) = A+ (B + C). P3) Sejam A = (aij) e 0 = (0ij) então A+ 0 = (aij + 0ij) = (aij + 0) = (aij) = A P4) Sejam A = (aij), −A = (−aij) e B = A + (−A), com B = (bij) então bij = aij + (−aij)⇒ bij = aij − aij ⇒ bij = 0⇒ B = 0⇒ A+ (−A) = 0. � 1.3.2 Multiplicação de um Número por uma Matriz De�nição 1.21. Dada uma matriz real A = (aij) de ordem m× n, e um número real t, o produto de t por A é a matriz real de ordem m× n dada por: tA =  ta11 ... ta1n ... . . . ... tam1 ... tamn  . (1.4) Exemplo 1.22. Seja a matrizA = [ 7 −2 3 10 8 −4 ] .Então −5A = [ −35 10 −15 −50 −40 20 ] . Proposição 1.23. Sejam as matrizes A = (aij) e B = (bij) matrizes de ordem m× n e α e β números reais. Então as propriedades abaixo são válidas: P1) (αβ)A= α(β A) P2) (α + β) A= α A + β A P3) α(A + B) = α A + α B P4) 1A=A Demonstração: P1) Seja A = (aij). Então (αβ)A = αβ(aij) = αβaij = α(βaij) = α(βA). P2) Seja A = (aij). Então (α + β)A = ((α + β)aij) = (αaij + βaij) = (αaij) + (βaij) = α A + β A. P3) Sejam A = (aij) e B = (bij). Então α(A + B) = α(aij + bij) = αaij + αbij = αA+ αB. P4) Seja A = (aij). Então 1A = 1aij = aij = A. � 1.3.3 Multiplicação de Matrizes De�nição 1.24. Sejam A = (aij) de ordem m × n e B = (bjk) de ordem n × p. Chama-se produto de A por B (indica-se AB) a matriz C = (cik) de ordem m×p, onde cik = n∑ j=1 aijbjk. Operações com Matrizes 16 Exemplo 1.25. Sejam A = [ 2 1 0 0 1 2 ] e B = 3 4 5 0 0 0 1 0 0  . (1.5) Então AB = [ 2 · 3 + 1 · 0 + 0 · 1 2 · 4 + 1 · 0 + 0 · 0 2 · 5 + 1 · 0 + 0 · 1 0 · 3 + 1 · 0 + 2 · 1 0 · 4 + 1 · 0 + 2 · 0 0 · 5 + 1 · 0 + 2 · 1 ] = [ 6 8 10 2 0 2 ] . (1.6) Proposição 1.26. (Propriedades da Multiplicação de Matrizes) Sejam A = (aij) de ordem m× n e B = (bjk) de ordem n× p as seguintes propriedades são válidas: P1) Se C = (cks) de ordem p× q então A(BC)=(AB)C. P2) Se C = (cjk) de ordem n× p então A(B+C)=AB+AC. P3) Se C = (cjk) de ordem n× p então (A+B)C=AC+BC. P4) Im × A = A. Demonstração: P1) O termo geral de A(BC) é dado por: n∑ j=1 aij( p∑ k=1 bjkcks) = n∑ j=1 p∑ k=1 aijbjkcks. ao passo que o termo geral de (AB)C é dado por: p∑ k=1 ( n∑ j=1 aijbjk)cks = p∑ k=1 n∑ j=1 aijbjkcks = n∑ j=1 p∑ k=1 aijbjkcks. P2) A(B + C) = n∑ j=1 aij(bjk + cjk) = n∑ j=1 aijbjk + n∑ j=1 aijcjk = AB + AC. P3) (A+B)C = n∑ j=1 (aij + bjk)cjk = n∑ j=1 aijcjk + n∑ j=1 bjkcjk = AC +BC. P4) Seja I = (λij) e A = (ajk) I = { λij = 1, i = j λij = 0, i 6= j Im × A = ∑m j=1 λijajk = λi1a1k + λi2a2k + · · · + λiiaik + · · · + λimamk = aik = ajk = A Então, Im × A = A � Observações: 1) Sejam A = (aij) ε Mm×n e B = (bjk) ε Mn×p. Podemos multiplicar A por B, mas não podemos multiplicar B por A. 2) Se A e B forem matrizes quadradas de ordem n, então podemos fazer os produtos AB e BA, mas AB e BA não serão necessariamente iguais. Quando AB = BA dizemos que as matrizes A e B comutam. Matriz Transposta 17 1.4 Matriz Transposta De�nição 1.27. Dada uma matriz A = (aij) ε Mm×n, chama-se transposta da matriz A, e indica-se por At a matriz n ×m em que At = (aij), At ε Mn×m onde aij = aji (i=1,..., m; j= 1,..., n). Exemplo 1.28. Seja a matriz A = [ 2 1 0 0 1 2 ] . A transposta de A é At = 2 0 1 1 0 2  . Proposição 1.29. (Propriedades da matriz transposta) Sejam as matrizes A = (aij), B = (bij), At = (aji) e Bt = (bji). Valem as seguintes propriedades: P1) (A+B)t = At +Bt. P2) (λA)t = λAt, λ ε R. P3) (At)t = A. P4) (AB)t = BtAt. Demonstração: P1) Chamaremos a matriz C = A+B, C = (cij) e Ct = (cji). Por de�nição, aij = aji, bij = bji, cij = cji e cij = aij + bij. Logo, cji = cij = aij + bij = aji + bji. Portanto, cji = aji + bji. Como cji = aji + bji, ∀i, j, então Ct = At + Bt ⇒ (A+B)t = At +Bt. P2) Sejam A = (aij)m×n e At = (aji)n×m. Como aij = aji, ∀i, j, então (λA)t = λAt, λεR. P3) Sejam A = (aij), At = (aji) e (At)t = D = (dij). Quero mostrar que dij = aij. Como D é a transposta da matriz At, então aji = dij (1). Mas, At é transposta de A, então, aij = aji (2). De (1) e (2) temos que dij = aij. Logo, D = A ⇒ (At)t = A. P4) Sejam A = (aij), B = (bij), At = (aji) e Bt = (bji). Chamaremos de E = AB = (eij) e F = BtAt = (fji) e Et = (eji). Queremos mostrar que eji = fji. Se Et é a transposta de E, então eij = eji. Como eji = eij = ∑n j=1 aijbij = ∑n j=1 ajibji = ∑n j=1 bjiaji = fji. Portanto, eji = fji ⇒ (AB)t = BtAt. � De�nição 1.30. Uma matriz quadrada A diz-se simétrica se At = A. Exemplo 1.31. Seja a matriz A =  3 −2 −1 −2 5 1 −1 1 6  . A transposta de A será At =  3 −2 −1 −2 5 1 −1 1 6  . A matriz A é simétrica, pois A = At. De�nição 1.32. Uma matriz quadrada A diz-se antissimétrica se At = −A. Matriz Inversa 18 Exemplo 1.33. Seja a matriz A =  0 5 2 −5 0 −1 −2 1 0  . A transposta de A será At = 0 −5 −2 5 0 1 2 −1 0  . A matriz A é anti-simétrica, pois At = −A. 1.5 Matriz Inversa De�nição 1.34. Uma matriz A de ordem n se diz inversível se, e somente se, existe uma matriz B, também de ordem n, de modo que AB = BA = In. Esta matriz B, caso exista, é única e chama-se inversa de A, e indica-se por A−1. Proposição 1.35. (Propriedades da matriz inversa) Dadas as matrizes A = (aij), B = (bij), At = (aji) e Bt = (bji) valem as seguintes propriedades: P1) I = I−1. P2) Se a matriz A admite inversa A−1, então sua transposta At também admite uma inversa (At)−1 e (At)−1 = (A−1)t. P3) Se as matrizes A e B, de mesma ordem, admitem inversas A−1 e B−1, então o produto AB também admite inversa, e (AB)−1 = B−1A−1. P4) Se A é inversível, então A−1 também é, e vale a seguinte igualdade: (A−1)−1 = A. Demonstração: P1) Seja B a inversa de I, ou seja, B = I−1. BI = I ⇔ B = I ⇔ I−1 = I. P2) Sabemos que AA−1 = I e I = I t (At)t((A−1)t)t = I ⇔ (At(A−1)t = I t ⇔ At(A−1)t = I. Então a matriz (A−1)t é a matriz inversa At. Logo, (At)−1=(A−1)t P3) (AB)(AB)−1 = I ⇔ A−1(AB)(AB)−1 = A−1I ⇔ (A−1A)B(AB)−1 = A−1I ⇔ IB(AB)−1 = A−1I ⇔ B(AB)−1 = A−1I ⇔ B−1B(AB)−1 = B−1A−1I ⇔ I(AB)−1 = B−1A−1I ⇔ (AB)−1 = B−1A−1. P4) Sabemos que AA−1 = I e I = I−1 AA−1 = I ⇔ (AA−1)−1 = I−1 ⇔ (A−1)(A−1)−1 = I−1 ⇔ A(A−1)(A−1)−1 = AI ⇔ I(A−1)−1 = AI ⇔ (A−1)−1 = A. � Para determinar a inversa de uma matriz, caso ela exista, podem ser usadas as operações da próxima de�nição. De�nição 1.36. Dada uma matriz A, entendemos por operações elementares com as linhas de A, uma qualquer das seguintes alternativas: Matriz Inversa 19 (I) Permutar duas linhas de A; (II) Multiplicar uma linha de A por um número diferente de zero. (III) Somar a uma linha de A uma outra linha de A multiplicada por um número. Quando obtemos uma matriz A′ através de alguma dessas operações, dizemos que A′ é equivalente a A, e escreve-se A′ ∼ A. Exemplo 1.37. Vamos veri�car se a matriz A = [ 1 −2 3 5 ] é inversível e determinar A−1, caso ela exista. O objetivo é transformar a matriz A na matriz I2 por meio das operações elemen- tares citadas acima, e com as mesmas operações transformaremos a matriz I2 em A−1, então reuniremos A e I2 numa mesma matriz:( 1 −2 1 0 3 5 0 1 ) → L2 = −3L1 + L2 ( 1 −2 1 0 0 11 −3 1 ) → → L1 = 2 11 L2 + L1 ( 1 0 5 11 2 11 0 11 −3 1 ) → L2 = L2 11 ( 1 0 5 11 2 11 0 1 −3 11 1 11 ) Portanto, a matriz inversa A−1 é: A−1 = [ 5 11 2 11 −3 11 1 11 ] . 2 Sistemas Lineares Documentos históricos comprovam que o estudo de sistemas lineares desenvolveu- se, com maior intensidade nas civilizações orientais, como a babilônica e a chinesa. Esse estudo foi se aprofundando no século XVII, a partir de um artigo do alemão Gottfrield W. Leibniz (1646-1716), que estabeleceu condições para associar o sistema de equações lineares a um determinante, contando com a colaboração do suíço Gabriel Cramer(1704-1752), que resolveu um sistema de equações em um caso particular. Já o alemão Carl Jacobi(1804-1851) fez a leitura dessa teoria que é estudada hoje. Neste capítulo faremos um estudo de equação linear e sistema linear sobre o corpo dos números reais R. Usaremos esses conceitos no Capítulo 4, quando abordaremos problemas sobre circuitos elétricos, balanceamento de equações químicas e funciona- mento do GPS. As principais referências para o desenvolvimento deste capítulo foram [1], [2] e [3]. 2.1 Equação Linear Uma equação algébrica linear nas variáveis x1, x2 e x3 é x1 + 3x2 − 4x3 = 10. (2.1) Para resolver esta equação temos que determinar todos os valores reais para x1, x2 e x3 que tornam verdadeira a igualdade. Explicitando x1 em relação a x2 e x3 na Equação (2.1), obtemos x1 = 10− 3x2 + 4x3. Basta substituirmos em x1 = 10− 3x2 + 4x3 para quaisquer x2 e x3 reais obteremos uma solução. Nesse exemplo temos uma in�nidade de soluções, onde podemos variar livremente x2 e x3. De modo geral, dados os números reais a1, . . . , an e b, uma equação da forma a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = b (2.2) é chamada de equação algébrica linear nas variáveis x1, x2, . . . , xn. As variáveis tam- bém são chamadas de incógnitas por serem valores a serem determinados para valer a igualdade. Os números reais ai são chamados de coe�cientes e b é o termo independente da Equação (2.2) 20 Equação Linear 21 Uma matriz coluna real [ y1 . . . yn ]t é solução de (2.2) quando a1y1 + · · ·+ anyn = b. Diz-se ainda que a n− upla de números reais (y1, . . . , yn) satisfaz a Equação (2.2). Uma equação 0x1 + · · ·+ 0xn = b em que todos os coe�cientes são nulos é degenerada. Se b for igual a zero, então toda matriz coluna [ x1 . . . xn ]t é solução. Se b for diferente de zero, a equação degenerada não possui solução. As equações não degeneradas com duas ou mais variáveis possuem in�nitas soluções. Uma equação não degenerada com uma única variável possui uma única solução. Exemplo 2.1. Para todo l real, a matriz coluna [ 3 −2l l] ]t é solução de 4x1+8x2 = 12 que, portanto, possui in�nitas soluções. A variável l que aparece neste exemplo é chamada de parâmetro. O conjunto de todas as soluções de uma equação é chamado conjunto solução ou solução geral. Cada elemento deste conjunto é, evidentemente, uma solução e, quando for conveniente, será chamado de solução particular. Exemplo 2.2. Para determinar a solução geral de x1 + 8x2− 9x3 = 2, basta explicitar x1 para obter x1 = 2− 8x2 + 9x3. A solução geral é o conjunto de matrizes colunax1x2 x3  = 2− 8x2 + 9x3 x2 x3  = 2 0 0 + x2 −8 1 0 + x3 9 0 1  . A equação a1x1 + · · ·+ anxn = 0 é denominada de equação homogênea. Ela está associada à equação não homogênea (2.2) e, por esse motivo, é chamada de equação homogênea associada à equação não homogênea a1x1 + · · ·+ anxn = b. O uso de matrizes pode simpli�car a notação. Sendo a = [a1, . . . , an]t a matriz dos coe�cientes e x = [x1, . . . , xn]t a matriz das variáveis, a equação acima pode ser colocada na forma atx = b. Exemplo 2.3. Consideremos novamente a equação do Exemplo 2.2, x1+8x2−9x3 = 2, cuja solução geral éx1x2 x3  = 2− 8x2 + 9x3 x2 x3  = 2 0 0 + x2 −8 1 0 + x3 9 0 1  . Equação Linear 22 É interessante observar que [ 2 0 0 ]t é solução da equação e que tanto [ 11 0 1 ]t quanto [ 3 1 1 ]t são soluções da equação homogênea associada. O Exemplo 2.3 apresenta um fato geral. Se y1, . . . , yn forem soluções da equação homogênea atx = 0, então c1y1 + · · ·+ cpyp continua sendo solução, para qualquer escolha dos números reais c1, . . . , cn. Esta soma é chamada de combinação linear das matrizes y1, . . . , yp. Se um conjunto y1, . . . , yp de soluções da equação homogênea for tal que toda solução da equação homogênea é uma combinação linear dos seus elementos, diremos que ele é um conjunto gerador das soluções da equação homogênea. Exemplo 2.4. Explicitando x1 na equação x1+4x2−3x3 = 0, obtemos x1 = −4x2+3x3, cuja solução geral é x1x2 x3  = −4x2 + 3x3 x2 x3  = x2 −4 1 0 + x3 3 0 1  . Portanto, [ −4 1 0 ]t e [ 3 0 1 ]t formam um conjunto gerador de soluções para a equação dada. Se z0 for uma solução da equação não homogênea atx = b e y for uma solução da equação homogênea Ax = 0, então z0 + y é solução da equação não homogênea. Além disso, se z1 for outra solução de Ax = b, então existe uma solução u de Ax = 0 tal que z1 = z0 + u. Esta outra solução u é exatamente z1 − z0. 2.1.1 Sistemas Lineares Dados os números reais aij e bi, com i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n, o sistema de equações  a11x1 + . . .+ a1nxn = b1 ... = ... am1x1 + . . .+ amnxn = bn é chamado de sistema de equações algébricas lineares com m equações e n incógnitas. Os números aij são denominados coe�cientes do sistema, bi são os termos constantes e xj são as incógnitas ou variáveis do sistema. Exemplo 2.5. Dado o sistema abaixo, encontremos os valores de x1 e x2 que tornam verdadeiras as duas igualdades do sistema. Equação Linear 23 { 4x1 − x2 = 10 x1 + x2 = 15 (2.3) Explicitando x1 na segunda equação do sistema (2.3) teremos x1 = 15 − x2 e substituindo na primeira equação do sistema (2.3) teremos que 4(15−x2)−x2 = 10⇒ 60− 4x2−x2 = 10⇒ 60− 5x2 = 10⇒ 50 = 5x2 ⇒ x2 = 10. Assim, x1 = 5. Portanto, os valores de x1 e x2 que tornam verdadeiras as duas igualdades do sistema são x1 = 5 e x2 = 10. De modo análogo à equações lineares, podemos simpli�car a notação de sistemas lineares usando matrizes. Se A =  a11 · · · a1n... am1 · · · amn  , x = x1... xn  e b = b1... bn  , denomina-se A de matriz dos coe�cientes, x de matriz das incógnitas e b de matriz dos termos constantes do sistema. Na forma matricial, o sistema do exemplo 2.5 se reduz a Ax = b. A matriz [A|b] obtida acrescentando-se à matriz A uma coluna �nal com os elementos de b, é chamada de matriz aumentada do sistema linear. Um vetor coluna real z tal que az = b é chamado solução do sistema Ax = b. Isto signi�ca que z é uma solução de cada equação do sistema. Um sistema como este pode ter ou não uma solução. Exemplo 2.6. O sistema [ 4 5 0 0 ][ x1 x2 ] = [ 14 5 ] não admite solução, pois não existem x1 e x2 que tornam verdadeira a segunda equação. Exemplo 2.7. O sistema [ 4 5 0 1 ][ x1 x2 ] = [ 14 2 ] possui uma única solução x1 = 1 e x2 = 2. Para obtê-la, basta observar que, da segunda equação, x2 = 2 e, da primeira, 4x1 + 5x2 = 14. Como x2 = 2, devemos ter x1 = 1. Exemplo 2.8. O sistema [ 1 5 2 10 ][ x1 x2 ] = [ 10 20 ] possui in�nitas soluções. Explicitando x1 na primeira equação segue que x1 = 10−5x2. Substituindo esta expressão na segunda obtêm-se 2(10 − 5x2) + 10x2 = 20 que se Equação Linear 24 simpli�ca em 20 = 20, ou seja, é sempre verdadeira. Logo, qualquer matriz coluna[ x1 x2 ]t = [ 10− 5x2 x2 ]t é uma solução do sistema. A variável x2 pode variar livremente nos reais. De�nição 2.9. O conjunto de todas as soluções do sistema é chamado de conjunto solução ou solução geral do sistema. Este conjunto pode ser vazio, ter um único ele- mento ou possuir in�nitos elementos. O sistema de equações que não possui solução é chamado de impossível. Quando possui uma única solução é possível determinado e, quando possui in�nitas soluções, é chamado de possível indeterminado. O sistema de equações Ax = 0 é chamado de homogêneo. Quando b 6= 0, o sistema de equações Ax = b é chamado de não homogêneo. Um sistema está intimamente ligado ao outro e, por esta razão, Ax = 0 é chamado de sistema homogêneo de equações associado ao sistema Ax = b. A equação homogênea Ax = 0 possui sempre a solução trivial x = 0. Entretanto, quando o sistema homogêneo Ax = 0 possui uma solução v não trivial, ela possuirá in�nitas soluções pois cv será solução para qualquer número real c. 2.1.2 Sistemas Escalonados Sejam  a11x1 + . . .+ a1nxn = b1 ... = ... am1x1 + . . .+ amnxn = bn um sistema de equações lineares com coe�cientes aij e bj em R, i = 1, · · · ,m, j = 1, · · · , n, e incógnitas x1, · · · , xn. Resolver esse sistema é encontrar n elementos λ1, · · · , λn ∈ R tais que  a11λ1 + . . .+ a1nλn = b1 ... = ... am1λ1 + . . .+ amnλn = bn Uma possível estratégia para resolver esse sistema é por meio do processo de es- calonamento. Após efetuarmos certas operações nestas equações, chegaremos em um outro sistema que seja mais fácil resolver e que tenha o mesmo conjunto de soluções. As operações usadas são as seguintes: 1) Troca de posições de duas equações; 2) Multiplicação de uma equação por um escalar não nulo; 3) Substituição de uma equação pela soma desta equação com alguma outra. Essas operações são chamadas de operações elementares. Dizemos que dois sistemas de equações a n incógnitas são equivalentes se tiverem as mesmas soluções. Equação Linear 25 De�nição 2.10. Um sistema linear S :  a11x1 + · · ·+ a1nxn = b1 ... = ... am1x1 + · · ·+ amnxn = bn Será chamado de escalonado se existirem 1 ≤ l1 < l2 < · · · < lm ≤ n tais que aili 6= 0, para cada i = 1, · · · ,m e aij = 0 se 1 ≤ j < li. Exemplo 2.11. Considere o sistema linear, formado por três equações e três incógni- tas:  x1 + 2x2 + 3x3 = 7 −3x1 + x2 − x3 = −5 −4x1 − 3x2 + 5x3 = 6 (2.4) Chamaremos a primeira equação do sistema (2.4) de L1, a segunda equação de L2 e a terceira equação de L3. Fazendo L2 = 3L1 + L2, teremos: x1 + 2x2 + 3x3 = 7 0x1 + 7x2 + 8x3 = 16 −4x1 − 3x2 + 5x3 = 6 (2.5) Agora, fazendo L3 = 4L1 + L3, teremos: x1 + 2x2 + 3x3 = 7 0x1 + 7x2 + 8x3 = 16 0x1 + 5x2 + 17x3 = 34 (2.6) Agora, fazendo L3 = 5L2 − 7L3, teremos: x1 + 2x2 + 3x3 = 7 0x1 + 7x2 + 8x3 = 16 0x1 + 0x2 + 79x3 = 158 (2.7) Este último sistema esta na forma escalonada. Observe que, da terceira equação do sistema (2.7) chegamos que x3 = 2, da segunda equação chegamos que x2 = 0 e da primeira equação chegamos que x1 = 1. Não é difícil veri�car que as soluções do sistema inicial e deste último sistema são as mesmas. Proposição 2.12. Todo sistema linear S é equivalente a um sistema escalonado. Demonstração: Sem perder a generalidade podemos supor: S :  x1 + α12x2 + · · ·+ α1nxn = β1 α21x1 + α22x2 + · · ·+ α2nxn = β2 ... = ... αm1x1 + αm2x2 + · · ·+ αmnxn = βm Equação Linear 26 Para cada αi1 6= 0 (i = 2, 3, · · · ,m) multipliquemos por (−αi1) a primeira equação e somemos o resultado à i-ésima equação. Com algumas permutações convenientes de equações (se for o caso) obteremos um sistema S1 do seguinte tipo: S1 :  x1 + · · ·+ α1r1xr1 + · · ·+ α1nxn = β1 γ2r1xr1 + · · ·+ γ2nxn = β′2 ... = ... γmr1xr1 + · · ·+ γmnxn = β′m onde γ2r1 6= 0 e r1 ≥ 2, que é equivalente a S. Dividindo a segunda equação de S1 por γ2r1 obtemos um sistema S2, ainda equiva- lente a S1, com o qual começamos a repetir o raciocínio feito até aqui, porém a partir da sua segunda equação. Evidentemente, depois de aplicar um certo número �nito de vezes esse raciocínio chegaremos a um sistema escalonado equivalente a S. � Exemplo 2.13. Escalonemos o sistema: S :  x+ y + z = 1 x− y + 2z = 2 x+ 6y + 3z = 3 Fazendo, L2 = L1 − L2 e L3 = L1 − L3 obtemos o sistema S1 ∼ S: S1 :  x+ y + z = 1 2y − z = −1 −5y − 2z = −2 Fazendo, L3 = 5L2 + 2L3, obtemos o sistema S2 ∼ S1 ∼ S S2 :  x+ y + z = 1 2y − z = −1 −9z = −9 Este último sistema está na forma escalonada. Chegamos em z = 1, y = 0 e x = 0. Então a terna ordenada, (0, 0, 1) é solução do sistema. 3 Determinantes O uso de Determinantes teve início com um trabalho de Gottfries Wilhelm Leibniz (1646-1716), ligado também ao uso de sistemas lineares. O francês Étienne Bézout (1730-1783) foi quem estabeleceu o processo dos sinais dos termos de um determinante. O termo Determinante, como vemos hoje, surgiu em 1812, em um trabalho sobre o assunto realizado por Augustin Louis Cauchy (1789-1857). Neste capítulo faremos um estudo de Determinantes e suas aplicações em Matrizes e Sistemas Lineares, pois simpli�cam e sistematizam algumas resoluções. Usaremos também esses conceitos no Capítulo 4, quando abordaremos problemas sobre o funcio- namento de um GPS. A principal referência para o desenvolvimento deste capítulo foi [6]. 3.1 Permutação De�nição 3.1. Chama-se permutação uma aplicação biunívoca σ do conjunto Nn = {1, 2, · · · , n} sobre si mesmo. Notação: Denotamos a permutação σ por: σ = [ 1 2 ... n σ(1) σ(2) ... σ(n) ] (3.1) Exemplo 3.2. Se n = 3, existem 3! = 6 permutações de N3 = {1, 2, 3}, a saber,[ 1 2 3 1 2 3 ] , [ 1 2 3 1 3 2 ] , [ 1 2 3 2 1 3 ] , [ 1 2 3 2 3 1 ] , [ 1 2 3 3 1 2 ] , [ 1 2 3 3 2 1 ] . De�nição 3.3. Consideremos a permutação σ = [ 1 2 ... n σ(1) σ(2) ... σ(n) ] de Nn. Seja r o número de pares ordenados (i, j) com 1 ≤ i < j ≤ n tais que σ(i) > σ(j). Chama-se sinal da permutação σ o número inteiro representado por sgn(σ), que é: • sgn(σ) = 1, se r é par • sgn(σ) = −1, se r é ímpar Diz que uma permutação σ é par se sgn(σ) = 1 e ímpar se sgn(σ) = −1. 27 Determinante 28 Exemplo 3.4. Seja σ = [ 1 2 3 3 1 2 ] . Os pares (i, j) com 1 ≤ i < j ≤ 3 e σ(j) > σ(i) são (1, 2) e (1, 3); logo r = 2 e sgn(σ) = 1. 3.2 Determinante Seja A = (aij) uma matriz real de ordem n. O determinante da matriz A de ordem n é o número real det(A) = ∑ σ sgn(σ)a1σ(1)a2σ(2) · . . . · anσ(n) onde σ percorre todas as permutações de Nn={1, 2, 3, . . . , n}. Exemplo 3.5. Se A = (a11), então N1 tem somente uma permutação, a permutação identidade, que é par. Assim det(A) = a11. Exemplo 3.6. Seja A= [ a11 a12 a21 a22 ] ∈M2(R). As permutações do conjunto {1, 2} e seus sinais são id = [ 1 2 1 2 ] (sinal 1) e σ = [ 1 2 2 1 ] (sinal -1). Logo, det(A) = a11a22−a12a21. De�nição 3.7. Assim, podemos obter o det(A) formando o produto dos coe�cientes da diagonal da esquerda para a direita no diagrama a seguir e subtraindo disto o produto dos coe�cientes da diagonal da direita para a esquerda. a11 @ @ @R � � � a12 a21 a23 Exemplo 3.8. Se A = [ 2 −3 4 5 ] , então, det(A) = (2) · (5)− (−3) · (4) = 22. De�nição 3.9. Sendo A uma matriz de ordem 3 × 3, podemos obter det(A) como se segue. Repita a primeira e a segunda colunas de A como mostrado abaixo. Forme a soma dos produtos dos coe�cientes sobre as diagonais da esquerda para a direita e subtraia disto os produtos dos coe�cientes sobre as diagonais da direita para a esquerda (veri�que a regra na Figura 3.1). Então, para calcular det(A) escrevemos os seis termos: det(A) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31. Exemplo 3.10. Seja A = 2 3 4 5 6 7 1 1 2 . Determine det(A). Solução: Pela de�nição 3.9, det(A) = (2)(6)(2) + (3)(7)(1) + (4)(5)(1)− (3)(5)(2)− (2)(7)(1)− (4)(6)(1) = −3. Determinante 29 Figura 3.1: Regra da De�nição 3.9 Corolário 3.11. O determinante da matriz identidade é igual a 1. Proposição 3.12. (Propriedades dos Determinantes). P1) Se uma linha ou uma coluna de uma matriz quadrada for nula, seu determinante é zero. P2) Se duas linhas ou duas colunas de uma matriz quadrada forem iguais, seu deter- minante é zero. P3) O determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta. P4) Sejam A e B matrizes de ordem n. Então, det(AB) = det(A) · det(B). P5) Se A for uma matriz quadrada inversível, det(A−1) = 1 det(A) . Demonstração: P1) Quando a linha i for nula, aiσ(i) = 0 para toda permutação σ e assim, det(A) = 0. Uma coluna nula em uma matriz é uma linha nula em sua transposta. Assim, det(At) = 0 e, portanto, det(A) = 0. P2) Se duas linhas da matriz A são iguais, ao trocar uma linha pela outra, a matriz A permanece inalterada e seu determinante troca de sinal. Logo, det(A) = −det(A), o que resulta em det(A) = 0. P3) Seja uma matriz A = (aij) e B = (bji) sua transposta, então aij = bji. Assim: det(A) = ∑ σ sign(σ)a1σ(1)a2σ(2) · · · anσ(n) = ∑ σ sign(σ)bσ(1)1bσ(2)2 · · · bσ(n)n = det(B). P4) Se A for inversível, A = E1E2 · · ·Ek, onde E1, E2, · · · , Ek são matrizes elemen- tares. Assim det(AB) = det(E1E2 · · ·EkB) = det(E1)det(E2) · · · det(Ek)det(B) = det(A)det(B). SeA ouB for singular, AB é singular e det(AB) = 0 e det(A)det(B) = 0. P5) Se A é invertível, temos que A ·A−1 = I, como det(I) = 1, det(A)det(A−1) = 1, e portanto, det(A−1) = 1 det(A) . � O próximo teorema mostra como o determinante de uma matriz é afetado pelas operações elementares de linha e coluna. Teorema 3.13. Suponha B obtido de A por uma operação elementar de linha (coluna). (a) Permutando-se duas linhas (colunas) de A, então det(B) = −det(A). Determinante 30 (b) Multiplicando-se uma linha (coluna) de A por um escalar β, então det(B) = βdet(A). (c) Somando-se a uma linha (coluna) um múltiplo de outra linha (coluna), então det(B) = det(A). Demonstração: (a) Demonstramos o teorema para o caso em que se permutam duas colunas. Seja µ a transposição que permuta os dois números correspondentes às duas colunas de A que são permutadas. Se A = (aij) e B = (bij), então bij = aiµ(j). Logo, para qualquer permutação σ, b1σ(1)b2σ(2) · · · bnσ(n) = a1µσ(1)a2µσ(2) · · · anµσ(n). Assim, det(B) = ∑ σ∈Sn (snσ)b1σ(1)b2σ(2) · · · bnσ(n) = ∑ σ∈Sn (snσ)a1µσ(1)a2µσ(2) · · · anµσ(n) Como a transposição µ é uma permutação ímpar, sn µ σ = sn µ · sn σ = -sn σ. Assim sn σ = - sn µ σ, e det(B) = − ∑ σ∈Sn a1µσ(1)a2µσ(2) · · · anµσ(n). Mas, quando σ percorre todos os elementos de Sn, µσ também percorre todos os elementos de Sn; logo det(B) = - det(A). (b) Se a j-ésima linha de A é multiplicada por β, então todo termo de det(A) é multi- plicado por β e assim det(B) = β det(A). Isto é, det(B) = ∑ σ(sgσ)a1i1a2i2 · · · (βajij) · · · anin = β ∑ σ(snσ)a1i1a2i2 · · · anin = βdet(A). (c) Suponhamos que se some à j-ésima linha de A c vezes a k-ésima linha. detB = ∑ σ(snσ)a1i1a2i2 · · · (cakik+ajij) · · · anin = c ∑ σ(snσ)a1i1a2i2 · · · akik · · · anin+∑ σ(snσ)a1i1a2i2 · · · ajij · · · anin . A primeira soma é o determinante de uma matriz cujas k-ésima e j-ésima linhas são idênticas, logo, pela propriedade P2, a soma é zero. A segunda soma é o determinante de A. Assim det(B) = c · 0 + det(A) = det(A). � Proposição 3.14. Se B é equivalente por linhas a uma matriz quadrada A, então det(B) = 0 se, e somente se, det(A) = 0. Demonstração: Pelo Teorema 3.13, o efeito de uma operação por linhas é mudar o sinal do determinante ou multiplicar o determinante por um escalar não nulo. Portanto, det(B) = 0 se, e somente se, det(A) = 0. � Teorema 3.15. Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Então, as proposições seguintes são equivalentes: (i) A é invertível, isto é, A tem uma inversa A−1. (ii) AX = 0 tem apenas a solução zero. (iii) O determinante de A não é zero, ou seja, det(A) 6= 0. Demonstração: A prova se faz pelo algoritmo Gaussiano. Se A é invertível, é equi- valente por linhas a I. Mas det(I) 6= 0; logo, pela proposição 3.14, det(A) 6= 0. Se A não é invertível, é equivalente por linhas a uma matriz com uma linha zero; logo, det(A) = 0. Assim (i) e (iii) se equivalem. Se AX = 0 tem apenas a solução X = 0, então A é equivalente por linhas a I e A é invertível. Reciprocamente, se A é invertível com inversa A−1, então X = IX = (A−1A)X = A−1(AX) = A−10 = 0 Cofator 31 é a única solução de AX = 0. Assim, (i) e (ii) são equivalentes. � 3.3 Cofator De�nição 3.16. Chama-se cofator do elemento aij da matriz A, o número real ∆ij. A submatriz Aij de ordem n−1 é uma matriz obtida de A pela supressão da linha i-ésima e da coluna j-ésina, multiplicado por (−1)i+j. Dessa forma o cofator de aij é dado por: ∆ij = (−1)i+jdet(Aij). Exemplo 3.17. Seja A = 3 −1 2 4 5 6 7 1 2  . Assim, A12 = [ 4 6 7 2 ] e det(A12) = 8− 42 = −34, A23 = [ 3 −1 7 1 ] e det(A23) = 3 + 7 = 21 e A31 = [ −1 2 5 6 ] e det(A31) = −6− 10 = −16, Além disso, ∆12 = (−1)1+2det(A12) = (−1)(−34) = 34, ∆23 = (−1)2+3det(A23) = (−1)(10) = −10, ∆31 = (−1)3+1det(A31) = (1)(−16) = −16. Se imaginarmos o sinal (−1)i+j como estando na posição (i, j) de uma matriz n×n, então os sinais + e - formam um quadro em que se alternam, partindo de + na posição (1, 1). Os quadros para n = 3 e n = 4 são os seguintes: + − + − + − + − +   + − + − − + − + + − + − − + − +  De�nição 3.18. Seja A = (aij) uma matriz de ordem n e seja Aij o cofator do elemento aij. Chama-se adjunta de A a matriz transposta da matriz de cofatores de A: adjA =  A11 A21 · · · An1 A12 A22 · · · An2 ... ... . . . ... A1n A2n · · · Ann  . Cofator 32 Exemplo 3.19. Seja A = 2 3 −4 0 −4 2 1 −1 5 . Os cofatores dos nove elementos de A são: A11 = [ −4 2 −1 5 ] e det(A11) = −18; A21 = [ 3 −4 −1 5 ] e det(A21) = −11; A31 = [ 3 −4 −4 2 ] e det(A31) = −10; A12 = [ 0 2 1 5 ] e det(A12) = 2; A22 = [ 2 −4 1 5 ] e det(A22) = 14; A32 = [ 2 −4 0 2 ] e det(A32) = −4; A13 = [ 0 −4 1 −1 ] e det(A13) = 4; A23 = [ 2 3 1 −1 ] e det(A23) = 5; A33 = [ 2 3 0 −4 ] e det(A33) = −8. A transposta da matriz de cofatores é a adjunta de A: adjA = −18 −11 −10 2 14 −4 4 5 −8  . Teorema 3.20. O determinante da matriz A = (aij) é igual à soma dos produtos obtidos pela multiplicação dos elementos de qualquer linha (coluna) por seus respectivos cofatores: det(A) = ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · ·+ ainAin (1) det(A) = a1jA1j + a2jA2j + · · ·+ anjAnj (2) Demonstração: Demonstraremos o caso (1). O caso (2) demonstra-se de modo aná- logo. Cada termo em det(A) contém um e um só elemento da i-ésima linha (ai1, ai2, · · · , ain) de A. Logo, podemos escrever det(A) na forma det(A) = ai1A ∗ i1 + ai2A ∗ i2 + · · ·+ ainA ∗ in. (Note que A∗ij é uma soma de termos que não envolvem nenhum elemento da i-ésima Cofator 33 linha de A.) Assim, o teorema estará demonstrado se mostrarmos que A∗ij = Aij = (−1)i+jdet(Mij), onde Mij é a matriz obtida omitindo-se a linha e a coluna que contém Aij. Historica- mente a expressão A∗ij foi de�nida como o cofator de aij: assim, o teorema reduz-se a mostrar a equivalência das duas de�nições de cofator.) Consideremos primeiro o caso em que i = n, j = n. Então, a soma dos termos de det(A) que contém ann é annA ∗ nn = ann ∑ σ (snσ)a1σ(1)a2σ(2) · · · an−1,σ(n−1) onde a soma estende-se por todas as permutações σ 6= Sn para os quais σ(n) = n. Todavia, isto é, equivalente a somar sobre todas as permutações de [1, · · · , n − 1]. Assim, A∗nn = det(Mnn) = (−1)n+ndet(Mnn). Consideremos agora i e j quaisquer. Permutamos a i-ésima linha com cada linha sucessiva até a última, e permutamos a j-ésima coluna com cada coluna sucessiva até a última. Note-se que o determinante det(Mij) não é afetado, porque as posições relativas das outras linhas e colunas não são afetadas por essas permutas. Entretanto, o "sinal"de det(A) e de A∗ij é mudado n− 1 e n+ 1 vezes. Consequentemente, A∗ij = (−1)n−i+n−jdet(Mij) = (−1)i+jdet(Mij) . � Teorema 3.21. Sejam A = (aij) e B a matriz de A subtraindo-se a i-ésima linha de A pelo vetor linha (bi1, · · · , bin). Então, det(B) = bi1Ai1 + bi2Ai2 + · · ·+ binAin. Além disso, para j 6= i, aj1Ai1 + aj2Ai2 + · · ·+ ajnAin = 0 e a1jA1i + a2jA2i + · · ·+ anjAni = 0. Demonstração: Seja B = (bij). Pelo Teorema 3.20 det(B) = bi1Bi1 + bi2Bi2 + · · ·+ binBin Como Bij não depende da i-ésima linha de B, bij = aij para j = 1, · · · , n. Logo, det(B) = bi1Ai1 + bi2Ai2 + · · ·+ binAin. Suponhamos agora A′ obtida de A pela substituição da i-ésima linha pela j-ésima coluna de A. Como A′ tem duas linhas idênticas, det(A′) = 0. Assim, pelo resultado acima, det(A′) = aj1Ai1 + aj2Ai2 + · · · + bjnAin = 0 Usando det(A′) = det(A), obtemos também a1jA1i + a2jA2i + · · ·+ bnjAni = 0 � Obtenção da Matriz Inversa por Determinante 34 3.4 Obtenção da Matriz Inversa por Determinante Teorema 3.22. Para qualquer matriz quadrada A, A · (adjA) = (adjA) ·A = det(A) ·I onde I é a matriz identidade. Assim se det(A) 6= 0, A−1 = 1 det(A) adjA. Demonstração: Sejam A = (aij) e A · (adjA) = (bij). A i-ésima linha de A é (ai1, ai2, · · · , ain) (1) Como adjA é a transposta da matriz dos cofatores, a j-ésima coluna da adjA é a transposta dos cofatores da j-ésima linha de A: Isto é, (Aj1, Aj2, · · · , Ajn)T (2) Mas bij, o elemento de ordem ij em A · (adjA), obtém-se multiplicando (1) e (2): bij = ai1Aj1 + ai2Aj2 + · · ·+ ainAjn Pelo Teorema 3.20 e Teorema 3.21, bij = { det(A) se i = j 0 se i 6= j Consequentemente, A · (adjA) é a matriz diagonal em cada elemento diagonal det(A). Em outras palavras, A · (adjA) = AI. Analogamente, (adjA) · A = det(A)I. Logo, A−1 = 1 det(A) adjA. � Exemplo 3.23. Considere a matriz do Exemplo 3.19 para a qual det(A) = −46. Temos: A(adjA) = 2 3 −4 0 −4 2 1 −1 5  −18 −11 −10 2 14 −4 4 5 −8  = −46 0 0 0 −46 0 0 0 −46  = −46 1 0 0 0 1 0 0 0 1  = −46I = det(A)I Além disso, pelo Teorema 3.22, A−1 = 1 det(A) adjA =  −18 (−46) −11 (−46) −10 (−46) 2 (−46) 14 (−46) −4 (−46) 4 (−46) 5 −46 −8 (−46)  =  9 23 11 46 5 23−1 23 −7 23 2 23−2 23 −5 46 4 23  Aplicação de Determinantes em Sistemas Lineares - Regra de Cramer 35 3.5 Aplicação de Determinantes em Sistemas Linea- res - Regra de Cramer Nesta seção veremos um teorema que fornece uma fórmula para a solução de certos sistemas de n equações e n incógnitas. Essa fórmula, conhecida como Regra de Cra- mer, é de interesse para �ns computacionais, mas é útil para estudar as propriedades matemáticas de uma solução sem precisar resolver o sistema. Consideremos um sistema de n equações lineares e n incógnitas: a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2 ... = ... an1x1 + an2x2 + . . .+ annxn = bn ou, equivalentemente, Ax = b Temos que, X = [ x1 x2 . . . xn ]t e B = [ b1 b2 . . . bn ]t e (aij) é a matriz (quadrada) de coe�cientes. Seja Ai a matriz obtida de A substituindo-se a i-ésima coluna de A pelo vetor coluna B. Seja D = det(A) e Ni = det(Ai), para i = 1, 2, · · · , n. Segue a relação fundamental entre determinantes e a solução do sistema acima. Teorema 3.24. O sistema acima tem solução única se, e somente se, D 6= 0. Em tal caso, a solução (única) é dada por x1 = N1 D , x2 = N2 D , · · · , xn = Nn D . Demonstração: Pelos resultados anteriores, Ax = b tem solução única se e somente se A é invertível, e A é invertível se e somente se D = det(A) 6= 0. Seja D 6= 0. Pelo Teorema 3.22, A−1 = ( 1 D )(adjA). Multiplicando Ax = b por A−1 obtemos x = A−1Ax = ( 1 D )(adjA)b (1) Note-se que a i-ésima linha de ( 1 D )(adjA) é ( 1 D )(A1i, A2i, · · · , Ani). Se b = [ b1 b2 · · · bn ]t então, por (1), xi = ( 1 D )(b1A1i + b2A2i + · · ·+ bnAni) Entretanto, tal como no Teorema 3.22, b1A1i + b2A2i + · · · + bnAni = Ni, o de- terminante da matriz obtida substituindo a i-ésima coluna de A pelo vetor b. Assim, xi = ( 1 D )Ni. � O Teorema 3.24 é conhecido como "regra de Cramer"para resolução de sistemas de equações lineares. Observamos que o teorema se refere apenas a um sistema com o mesmo número de equações e de incógnitas, e que só dá a solução quando D 6= 0. Aplicação de Determinantes em Sistemas Lineares - Regra de Cramer 36 Exemplo 3.25. Resolva, utilizando determinantes:  2x+ 3y + 3z = 18 3x+ 2y + 5z = 23 5x+ 4y + 2z = 27 . Calcule primeiro o determinante D da matriz de coe�cientes 2 3 3 3 2 5 5 4 2  e D = 31. Como D 6= 0, o sistema tem solução única. Para calcular Nx, Ny, Nz, substitua os coe�cientes de x, y, z na matriz de coe�cientes pelos termos constantes: Ax = 18 3 3 23 2 5 27 4 2  e Nx = 93. Ay = 2 18 3 3 23 5 5 27 2  e Ny = 62. Az = 2 3 18 3 2 23 5 4 27  e Nz = 62. Assim, a solução única é x = Nx D = 93 31 = 3, y = Ny D = 62 31 = 2 e z = Nz D = 62 31 = 2. 4 Aplicações Envolvendo Matrizes, Determinante e Sistemas Lineares Neste capítulo mostraremos algumas aplicações da Álgebra Linear envolvendo Ma- trizes, Determinantes e Sistemas Lineares, que são utilizadas na Engenharia, na Quí- mica, na Física, na Economia, na utilização do GPS, entre outros. 4.1 Circuitos Elétricos Nesta sessão, apresentamos a aplicação de Sistemas Lineares na Física, para calcular corrente elétrica. Para isso usaremos os conceitos e resultados do Capítulo 2. As principais referências utilizadas para o desenvolvimento desta seção foram [1], [3], [5] e [7]. 4.1.1 Breve Introdução aos Circuitos Elétricos Inicialmente apresentamos alguns conceitos relacionados a circuitos elétricos. Um circuito elétrico é constituído por um (ou mais) gerador, �os condutores e um (ou mais) resistor. De�nição 4.1. O Gerador é o aparelho que fornece energia (ver Figura 4.1). Exemplo: pilhas, baterias. Figura 4.1: Representação de um gerador De�nição 4.2. O Resistor pode ser usado para controlar a corrente elétrica em um circuito ou para transformar energia elétrica em energia térmica (calor) (ver Figura 4.2). 37 Circuitos Elétricos 38 Figura 4.2: Representação de um resistor Associação de Resistores: Podemos associar os resistores em série, em paralelo ou mista (combinação de associação em série e em paralelo). De�nição 4.3. (Associação em série) Os resistores estão ligados um após o outro, de modo que a corrente elétrica é a mesma e a tensão é dividida proporcionalmente. De�nição 4.4. (Associação em paralelo) Nessa ligação todos os elementos se encon- tram paralelo com a fonte de energia, a tensão é a mesma em todos os pontos do circuito e a corrente se alterna de acordo com a resistência. 4.1.2 Leis de Kirchho� e Lei de Ohm Uma série de leis se aplicam em circuitos elétricos. Destacaremos aqui duas delas: as Leis de Kirchho� e a Lei de Ohm. Em um circuito elétrico completo, onde não é possível substituir rami�cações por trechos equivalentes (circuito multimalhas), devem ser usadas equações especí�cas, conhecidas como as Leis de Kirchho�. Essas leis são utilizadas para determinar a intensidade da corrente elétrica em cada parte do circuito. Vamos caracterizar as componentes de um circuito multimalhas: 1) Nó é um ponto onde três (ou mais) condutores estão ligados. 2) Malha é um trecho entre dois nós. 3) Ramo é qualquer caminho de condutor fechado. Leis de Kirchho�: A1) Em cada nó, a soma das correntes de dentro é igual à soma das correntes de fora do nó. A2) Em um ciclo fechado, a diferença de potencial total é igual a zero. Ao se usar as Leis de Kirchho� na resolução de circuitos elétricos, obtém-se um sistema de equações lineares. Circuitos Elétricos 39 Lei de Ohm: A lei de Ohm foi descoberta pelo físico Georg Simon Ohm, que relaciona três gran- dezas elétricas: 1) V=tensão elétrica, unidade Volt (V é a letra que representa a unidade). 2) I=corrente elétrica, unidade ampère (A é a letra que representa a unidade). 3) R=resistência elétrica, unidade ohm (Ω é a letra grega que representa a unidade). A fórmula da Lei de Ohm é: V = I ×R. Exemplo 4.5. Vamos utilizar sistemas lineares para determinar as correntes elétricas i1, i2 e i3 do circuito elétrico, representado na Figura 4.3. Figura 4.3: Circuito elétrico. Da primeira Lei de Kirchho� obtemos: i1 − i2 + i3 = 0 −i1 + i2 − i3 = 0 Da Segunda Lei de Kirchho� obtemos: 4i1 + 2i2 = 8 2i2 + 5i3 = 9 Circuitos Elétricos 40 Com isso, formamos o sistema linear: i1 − i2 + i3 = 0 −i1 + i2 − i3 = 0 4i1 + 2i2 = 8 2i2 + 5i3 = 9 (4.1) Escalonando esse sistema, obtemos: i1 − i2 + i3 = 0 −6i2 + 4i3 = −8 19i3 = 19 (4.2) Assim, vemos que i1 = 1A, i2 = 2A e i3 = 1A. Exemplo 4.6. Vamos determinar as correntes elétricas i1, i2 e i3 no circuito elétrico abaixo: Figura 4.4: Circuito elétrico. Da primeira Lei de Kirchho� temos: i1 − i2 + i3 = 0 −i1 + i2 − i3 = 0 Da Segunda Lei de Kirchho� obtemos: i1 + i2 = 8 i2 + 4i3 = 13 Modelos Econômicos de Leontief 41 Com isso, formamos o sistema linear: i1 − i2 + i3 = 0 −i1 + i2 − i3 = 0 i1 + i2 = 8 i2 + 4i3 = 13 (4.3) Escalonando esse sistema, obtemos: i1 − i2 + i3 = 0 i2 + 4i3 = 13 9i3 = 18 (4.4) Assim, vemos que i1 = 3A, i2 = 5A e i3 = 2A. 4.2 Modelos Econômicos de Leontief Nesta seção, vamos abordar os Modelos Econômicos do economista Russo Wassily Leontief, que em 1973 ganhou o Prêmio Nobel pelo seu trabalho em modelagem econô- mica, onde utiliza métodos matriciais para estudar as relações em diferentes setores da economia. A principal referência utilizada para o desenvolvimento desta seção foi [3]. 4.2.1 O Modelo Fechado (de input-output) de Leontief Esse modelo é constituído de um número �nito de n indústrias e cada indústria produz uma quantidade �xa de um produto ou serviço que é usado pelas n indústrias. O objetivo desse modelo é determinar um preço para cada produto de tal forma que o total de gastos se iguala ao total recebido. Tal estrutura de preços representa um equilíbrio para a economia. Exemplo 4.7. Três proprietários de casas, um pedreiro, um serralheiro e um pintor, pretendem fazer concertos em suas casas. Eles concordam em trabalhar um total de dez dias cada, de acordo com a tabela dada. Pedreiro Serralheiro Pintor Casa do Pedreiro 5 4 2 Casa do Serralheiro 3 4 2 Casa do Pintor 2 2 6 Os trabalhadores precisam declarar e pagar um ao outro um salário diário. Seus salários diários, são aproximadamente de R$100,00, mas eles concordam em ajustar Modelos Econômicos de Leontief 42 esses salários de modo que o total pago por cada um seja igual ao total recebido. Vamos determinar o salário de cada um. Chamaremos de x1 o salário do pedreiro, de x2 o salário do serralheiro e de x3 o salário do pintor. Para satisfazer a condição de equilíbrio, em que o total gasto seja igual ao total recebido para cada um dos proprietários no período de dez dias, temos: 5x1 + 4x2 + 2x3 = 10x1 3x1 + 4x2 + 2x3 = 10x2 2x1 + 2x2 + 6x3 = 10x3 ∼  −5x1 + 4x2 + 2x3 = 0 3x1 − 6x2 + 2x3 = 0 2x1 + 2x2 − 4x3 = 0 (4.5) Fazendo L2 = 3L1 + 5L2, temos: −5x1 + 4x2 + 2x3 = 0 0x1 − 18x2 + 16x3 = 0 2x1 + 2x2 − 4x3 = 0 Fazendo L3 = 2L1 + 5L3, temos: −5x1 + 4x2 + 2x3 = 0 0x1 − 18x2 + 16x3 = 0 0x1 + 18x2 − 16x3 = 0 Fazendo L3 = L3 + L2, temos: −5x1 + 4x2 + 2x3 = 0 0x1 − 18x2 + 16x3 = 0 0x1 + 0x2 − 0x3 = 0 Chamando x3 = β, temos que x2 = 8β 9 e x1 = 10β 9 , onde β pode ser um valor qualquer real. Note que o sistema de equações tem in�nitas soluções dadas por:x1x2 x3  = t 10 8 9  onde t é uma constante qualquer em que os proprietários podem escolher de acordo com sua conveniência. Nesse exemplo como o salário de cada um é aproximadamente R$100,00, então escolhe-se t = 10. Então o salário do pedreiro será de R$100,00, o salário do serralheiro será de R$80,00 e o salário do pintor será de R$90,00. 4.2.2 O Modelo Aberto (de produção) de Leontief Ao contrário do modelo fechado, em que os produtos das n indústrias são dis- tribuídos somente entre as próprias indústrias, o modelo aberto tenta satisfazer uma Modelos Econômicos de Leontief 43 demanda externa para os produtos. Uma parte dessa produção pode ser distribuída entre as próprias indústrias, mas deve haver algum excesso para satisfazer a demanda externa. Nesse modelo, os preços é que são �xados e o objetivo é determinar os níveis de produção das indústrias para satisfazer a demanda externa. Para um melhor entendimento do próximo exemplo apresentamos algumas consi- derações sobre o modelo aberto de Leontief. Vamos denotar por: x: um vetor-produção xi: valor monetário da produção total da i-ésima indústria d = [di]: o vetor-demanda di: valor necessário para a i-ésima indústria satisfazer a demanda externa C = [cij]: a matriz de consumo quadrada cij: valor monetário da produção da i-ésima indústria que é necessária para a j-ésima indústria produzir uma unidade do valor monetário de seu próprio produto. O vetor Cx é denominado vetor demanda intermediária da economia. Uma vez atendida a demanda intermediária, a porção da produção que resta para satisfazer as necessidades da demanda externa é x−Cx. Assim, se o vetor demanda externa for d, então x deve satisfazer a equação: x− Cx = d⇒ ⇒ (I − C)x = d (4.6) A matriz I − C é denominada matriz de Leontief e (4.6) é denominada equação de Leontief. Exemplo 4.8. Duas o�cinas de concerto de veículos, uma que trata da parte mecânica (M) e outra de lataria (L), utilizam uma os serviços da outra. Para cada R$ 1,00 de negócios que M faz, M utiliza R$ 0,50 de seus próprios serviços e R$ 0,25 dos serviços de L e, para cada R$ 1,00 de negócios que L faz, L utiliza R$ 0,10 de seus próprios serviços e R$ 0,25 dos serviços de M. (a) Construa uma matriz de consumo para essa economia. (b) Quais valores de M e L devem ser produzidos para essa economia gerar negócios de R$ 7.000,00 de serviços mecânicos e R$ 14.000,00 de serviços de lataria? Resolução: (a) A matriz consumo será C = [ 0, 5 0, 25 0, 25 0, 1 ] . (4.7) Aplicações em Química 44 (b) A matriz I − C será I − C = [ 1 0 0 1 ] − [ 0, 5 0, 25 0, 25 0, 1 ] = [ 0, 5 −0, 25 −0, 25 0, 9 ] . (4.8) Para calcular os valores de M e L que devem ser produzidos para essa economia gerar uma demanda de R$ 7.000,00 de serviços mecânicos e R$ 14.000,00 de serviços de lataria, utilizamos (I − C)x = d, onde x1 representa M e x2 representa L, isto é,[ 0, 5 −0, 25 −0, 25 0, 9 ] . [ x1 x2 ] = [ 7000 14000 ] . (4.9) Resolvendo o sistema abaixo{ 0, 5x1 − 0, 25x2 = 7000 −0, 25x1 + 0, 9x2 = 14000 (4.10) obtemos x1 = 12.645 e x2 = 22.581. Então, M= R$12645,00 e L= R$22581,00. 4.3 Aplicações em Química Nesta seção apresentamos uma aplicação de sistemas lineares dentro da Química, mais especi�camente em balanceamento químico. As principais referências para o de- senvolvimento desta seção foram [3] e [4]. 4.3.1 Balanceamento de Equações Químicas Um composto químico é representado simbolicamente por sua fórmula química. Por exemplo, a água é representada por H2O (2 átomos de hidrogênio para cada átomo de oxigênio). As equações químicas mostram as transformações que ocorrem durante as reações químicas. Por exemplo, a equação Zn+ S → ZnS descreve uma reação na qual o zinco (Zn) reage com o enxofre (S) para produzir o sulfeto de zinco (ZnS). As substâncias do lado esquerdo da seta são os reagentes e as substâncias do lado direito da seta, os produtos. Uma equação está balanceada quando contém o mesmo número de átomos de cada elemento em ambos os lados da seta. Exemplo 4.9. A equação 2H2 +O2 → 2H2O está balanceada, indicando que dois mols de moléculas de hidrogênio se combinam com um mol de molécula de oxigênio para formar dois mols moléculas de água. Aplicações em Química 45 Para balancear uma equação escrevemos primeiro a equação não balanceada e de- pois ajustamos os coe�cientes estequiométricos que precedem as fórmulas. Podemos balancear as equações químicas mais simples por inspeção, por tentativa e erro. Para isso examinamos a equação e ajustamos os coe�cientes até que números iguais de cada elemento estejam presentes nos reagentes e produtos. O processo de balanceamento de equações químicas na verdade envolve a resolu- ção de um sistema de equações lineares homogêneo, e assim podemos evitar muitas tentativas e erros. Exemplo 4.10. A combustão de amônia (NH3) em oxigênio produz nitrogênio (N2) e água (H2O). Vamos encontrar uma equação química balanceada para essa reação. Primeiro escrevemos a equação e colocamos incógnitas nos coe�cientes para reali- zarmos o balanceamento. xNH3 + yO2 → wN2 + zH2O Comparando o número de átomos de nitrogênio, hidrogênio e oxigênio nos reagentes e nos produtos, obtemos o seguinte sistema de equações: Nitrogênio: x = 2w Hidrogênio: 3x = 2z Oxigênio: 2y = z Reescrevendo o sistema teremos: x− 2w = 0 3x− 2z = 0 2y − z = 0 (4.11) Esse é um sistema onde o número de incógnitas é maior que o número de equações, então ele tem in�nitas soluções. Chamando z = β, teremos que y = β 2 , x = 2β 3 e w = β 3 . Precisamos achar a menor solução inteira para a equação �car balanceada, para isso calculamos o mínimo múltiplo comum entre os denominadores, nesse caso, 6, então β = 6. Assim, chegaremos que x = 4, y = 3, w = 2 e z = 6. A equação balanceada �cará assim: 4NH3 + 3O2 → 2N2 + 6H2O Exemplo 4.11. Vamos descrever a equação equilibrada para a reação química abaixo: C3H8 +O2 → CO2 +H2O Sejam x, y, z e w inteiros positivos que equilibram a equação xC3H8 + yO2 → zCO2 + wH2O Igualando o número de átomos de cada tipo de ambos os lados, resulta Aplicação no Funcionamento do GPS 46 Hidrogênio: 8x = 2w Carbono: 3x = z Oxigênio: 2y = 2z + w, e obtemos o sistema linear homogêneo 8x+ 0y + 0z − 2w = 0 3x+ 0y − z + 0w = 0 0x+ 2y − 2z − w = 0 (4.12) Escalonando esse sistema obtemos: 8x+ 0y + 0z − 2w = 0 0x+ 2y − 2z − w = 0 0x+ 0y + 8z − 6w = 0, (4.13) donde obtemos que z = 3w 4 , y = 5w 4 e x = w 4 . Então a solução geral desse sistema é (w 4 , 5w 4 , 3w 4 , w). Para obtermos os menores valores inteiros positivos que equilibram a equação, cal- culamos o mínimo múltiplo comum entre os denominadores, nesse caso, 4. Então, x = 1, y = 5, z = 3 e w = 4 A equação balanceada �cará C3H8 + 5O2 → 3CO2 + 4H2O 4.4 Aplicação no Funcionamento do GPS Uma das aplicações de Sistemas Lineares e Determinantes, junto com outras áreas da Matemática, é no funcionamento de um GPS, um aparelho muito usado nos dias atuais. As principais referências para o desenvolvimento desta seção foram [8] e [10]. Alguns fatos sobre o GPS A humanidade tem desenvolvido sistemas cada vez mais complexos e precisos para determinar a localização exata de um indivíduo ou algo sobre a Terra. O sistema de Posicionamento Global GPS (Global Positioning System) foi terminado em Julho de 1995 pelo Departamento de Defesa dos EUA, e seu uso foi autorizado pelo público geral. O sistema consiste de uma parte espacial (os satélites), uma parte de controle (as estações terrestres de gerenciamento) e uma parte do usuário. Em 2005, o sistema consistia de 32 satélites, onde 24 deles estariam em funcionamento, e o restante �ca- vam prontos para entrar em ação em caso de falha. Os satélites estão posicionados a 20.200km da superfície da Terra, em seis planos orbitais. Aplicação no Funcionamento do GPS 47 Figura 4.5: Posições dos satélites e suas órbitas Os satélites completam uma órbita a cada 12 horas e cada satélite tem 28 ◦ de visualização sobre a Terra. Isso garante que qualquer ponto da superfície terrestre, em qualquer instante, seja visualizado por pelo menos quatro satélites. Todos os vinte e quatro satélites são controlados pelas estações terrestres de gerenciamento. Existe uma �estação master�, localizada no Colorado (Estados Unidos), que com o auxílio de cinco estações de gerenciamento espalhadas pelo planeta, monitoram o desempenho total do sistema, corrigindo as posições dos satélites e reprogramando o sistema com o padrão necessário. Após o processamento de todos esses dados, as correções e sinais de controle são transferidas de volta para os satélites. Figura 4.6: Esquema de transmissão do GPS. Quando se adquire um GPS, na verdade se adquire um dispositivo (que chamamos de receptor) que recebe os sinais GPS e usa a informação neles para calcular sua localização. Cada um dos satélites do GPS transmite por rádio um padrão �xado que é recebido por um receptor na Terra (parte do usuário) funcionando como um cronômetro. Cada satélite é programado para emitir o que se chama efeméride, que informa a sua posição exata, naquele instante, em relação a um sistema ortogonal de coordena- das. Esta posição é rastreada e conferida pelas estações terrestres de gerenciamento e Aplicação no Funcionamento do GPS 48 a unidade receptora processa estes sinais. Com a posição do satélite e a distância cal- culada obtém-se a equação geral da superfície esférica imaginária. Coletando-se sinais emitidos por quatro satélites, o receptor determina a posição do usuário calculando-a como intersecção das quatro superfícies esféricas obtidas. A localização é dada, não em coordenadas cartesianas, mas por meio das coordena- das geográ�cas (latitude, longitude) e a elevação. A precisão do tempo é essencial na operação do GPS. Um erro de um micro segundo (10−6 segundos) no registro do lapso de tempo desde a transmissão até a sua recepção, resulta num erro de 300 metros. Unidades receptoras do GPS extremamente precisas podem determinar sua posição a menos de um metro. A navegação é a principal função do GPS, que pode ser usado em aeronaves, navios, veículos e por indivíduos que usam o receptor portátil. A teoria por trás do GPS Assumindo que os relógios do receptor e de todos os satélites estão perfeitamente sincronizados, o receptor calcula sua posição por triangulação. O receptor mede o tempo (t1) que leva para o sinal obtido pelo satélite P1 chegar. O sinal viaja à velocidade da luz (v) e a distância (d1) do receptor ao satélite é d1 = vt1. O conjunto de pontos situados à distância d1 do satélite P1 formam uma esfera S1 de centro P1 e raio d1, então o receptor está em S1. Consideremos tais pontos em um sistema de coordenadas cartesianas. Seja (x, y, z) a posição desconhecida do receptor e (x1, y1, z1) a posição conhecida do satélite P1. Então, (x, y, z) deve satisfazer a equação da esfera S1: (x− x1)2 + (y − y1)2 + (z − z1)2 = d21 = v2t21. (4.14) As informações acima ainda não são su�cientes para determinar a posição precisa do receptor. O receptor grava, ainda, o sinal de outro satélite P2 que leva um tempo t2 e determina a distância do receptor ao satélite que é d2 = vt2. Como acima, o receptor deve estar na esfera S2 de raio d2, centrada em (x2, y2, z2): (x− x2)2 + (y − y2)2 + (z − z2)2 = d22 = v2t22. (4.15) Como a intersecção de duas esferas é uma circunferência, reduziremos as informações, mas ainda não são su�cientes para determinar uma posição exata do receptor nessa circunferência. Para calcular essa posição exata, necessita capturar e processar o sinal recebido de um terceiro satélite P3. O receptor mede o tempo t3 para o sinal chegar e calcula sua distância d3 = vt3. O receptor está em alguma esfera S3 de raio d3 e centro (x3, y3, z3): (x− x3)2 + (y − y3)2 + (z − z3)2 = d23 = v2t23. (4.16) Agora, o receptor estará na intersecção da circunferência e da esfera S3. Sabemos que uma circunferência e uma esfera se interceptam em dois pontos, mas os satélites foram Aplicação no Funcionamento do GPS 49 posicionados de forma que uma das soluções seja completamente irreal, estando bem longe da superfície da Terra. Para determinar esses dois pontos, basta encontrar as duas soluções do sistema formado pelas equações (4.14), (4.15) e (4.16), e depois eliminando a solução irreal, o receptor determina sua posição precisa: (x− x1)2 + (y − y1)2 + (z − z1)2 = d21 = v2t21 (x− x2)2 + (y − y2)2 + (z − z2)2 = d22 = v2t22 (x− x3)2 + (y − y3)2 + (z − z3)2 = d23 = v2t23 O Sistema de equações acima é quadrático, não linear, vamos realizar operações elementares nele e transformá-lo em um sistema linear. Substituiremos a primeira linha pela subtração de (4.14) pela (4.16) e a segunda linha pela subtração de (4.15) pela (4.16), e manteremos a terceira linha, formando o sistema: 2(x3 − x1)x+ 2(y3 − y1)y + 2(z3 − z1)z = C1 2(x3 − x2)x+ 2(y3 − y2)y + 2(z3 − z2)z = C2 (x− x3)2 + (y − y3)2 + (z − z3)2 = d23 = v2t23 onde, C1 = v2(t21 − t23) + (x23 − x21) + (y23 − y21) + (z23 − z21), C2 = v2(t22 − t23) + (x23 − x22) + (y23 − y22) + (z23 − z22). Como os satélites foram posicionados de forma que nunca três satélites serão coli- neares, esta propriedade garante que pelo menos um dos determinantes 2× 2 abaixo é diferente de zero. (x3 − x1) (y3 − y1) (x3 − x2) (y3 − y2) , (x3 − x1) (z3 − z1) (x3 − x2) (z3 − z2) , (y3 − y1) (z3 − z1) (y3 − y2) (z3 − z2) . Suponha que o primeiro determinante seja diferente de zero. Usando a regra de Cramer e as duas primeiras equações do sistema acima, teremos soluções para x e y em função de z. x = C1 − 2(z3 − z1)z 2(y3 − y1) C2 − 2(z3 − z2)z 2(y3 − y2) 2(x3 − x1) 2(y3 − y1) 2(x3 − x2) 2(y3 − y2) e y = 2(x3 − x1) C1 − 2(z3 − z1)z 2(x3 − x2) C2 − 2(z3 − z2)z 2(x3 − x1) 2(y3 − y1) 2(x3 − x2) 2(y3 − y2) . Aplicação no Funcionamento do GPS 50 Substituindo esses dois valores na terceira equação do sistema acima, obteremos uma equação quadrática em z, a qual podemos resolver e encontrar duas soluções: z′ e z′′. Substituindo z pelos valores de z′ e z′′ nas duas equações acima encontraremos x′, x′′, y′ e y′′. As coordenadas geográ�cas de um ponto do espaço. Escolhendo os eixos de nosso sistema de coordenadas, a origem O será o centro da Terra, o eixo z positivo orientado na posição Norte; os eixos x e y �cam no plano equatorial, sendo o eixo x positivo passando pelo ponto de longitude 0◦, e o eixo y positivo passando pelo ponto de longitude 90◦ oeste. Dado um ponto P = (x, y, z) do espaço, sejam θ e ϕ as medidas dos ângulos assinalados na Figura 4.7. Figura 4.7: Coordenadas Cartesianas O valor de θ corresponde à latitude do ponto P , o valor de ϕ corresponde à longitude do ponto P , e a diferença entre OP = d(O,P ) = √ x2 + y2 + z2 e o raio da Terra é a altitude de P . Como o raio da Terra é aproximadamente 6365km, uma solução (x, y, z) é conside- rada aceitável se x2 + y2 + z2 ≈ (6365± 50)2. A incerteza de 50km permite uma janela de altitude para montanhas e aviões. A latitude, a longitude e a altitude são chamadas de coordenadas grá�cas do ponto P . Vejamos como relacioná-las com as coordenadas cartesianas de P . No triângulo retângulo OPB da Figura 4.7, temos: cos(90− θ) = z√ x2+y2+z2 e como cos(90− θ) = senθ, temos que: senθ = z√ x2 + y2 + z2 . Essa expressão atribui a θ um único valor entre 0 e 90 quando z > 0 e um único valor entre -90 e 0 quando z < 0. Aplicação no Funcionamento do GPS 51 Por outro lado, no triângulo retângulo OAC temos: senϕ = AC OA = y√ x2 + y2 e cosϕ = OC OA = x√ x2 + y2 Essas duas expressões de�nem um único ϕ entre 0 e 180 quando y > 0 e um único valor de ϕ entre -180 e 0 quando y < 0. 4.4.1 Uma Situação Real O exemplo abaixo, extraído da referência [8], retrata uma situação real em que um usuário do GPS é detectado por quatro satélites. A tabela indica as efemérides (em metros) de cada satélite tomadas em relação ao nosso �xado sistema ortogonal de coordenadas cartesianas. x y z Satélite 1 1, 877191188× 106 −1, 064608026× 107 2, 428036099× 107 Satélite 2 1, 098145713× 107 −1, 308719098× 107 2, 036005484× 107 Satélite 3 2, 459587359× 107 −4, 336916128× 106 9, 090267461× 106 Satélite 4 3, 855818937× 106 7, 251740720× 106 2, 527733606× 107 O receptor GPS registra os seguintes lapsos de tempo (em segundos) entre a trans- missão e a recepção do sinal de cada satélite. t1 do Satélite 1 t2 do Satélite 2 t3 do Satélite 3 t4 do Satélite 4 0,08251731391 0,07718558331 0,06890629029 0,07815826940 As informações transmitidas no sistema GPS envolvem dez ou mais dígitos, por uma questão de precisão. Por isso é indispensável a utilização de calculadoras ou software com capacidade de resolver sistemas lineares com coe�cientes dessa ordem. Outra alternativa, é trabalhar com um número menor de dígitos e utilizar a notação cientí�ca, com isso abriremos mão da precisão. Como citado anteriormente, o raio das esferas é o tempo multiplicado pela veloci- dade da luz que é de 2, 99792458× 108m/s. Escrevendo as equações reduzidas, temos: S1 : (x− 1, 8× 106)2 + (y + 10, 7× 106)2 + (z − 24, 2× 106)2 = 611, 9× 1012 S2 : (x− 10, 9× 106)2 + (y + 13, 0× 106)2 + (z − 20, 3× 106)2 = 535, 4× 1012 S3 : (x− 24, 5× 106)2 + (y + 4, 3× 106)2 + (z − 9, 0× 106)2 = 426, 7× 1012 S4 : (x− 3, 8× 106)2 + (y − 7, 2× 106)2 + (z − 25, 2× 106)2 = 549, 0× 1012 Podemos utilizar operações elementares para substituir três dessas equações qua- dráticas por equações lineares. Aplicação no Funcionamento do GPS 52 Para isto, subtraímos a primeira equação de cada uma das três últimas, resultando em:  (x− 1, 8× 106)2 + (y + 10, 7× 106)2 + (z − 24, 2× 106)2 = 611, 9× 1012 18, 2x− 4, 88y − 7, 84z = 76, 52× 106 45, 43x+ 12, 61y − 30, 38z = 185, 23× 106 3, 95x+ 35, 79y + 1, 99z = 62, 95× 106 No sistema acima, a regra de Cramer, aplicada às três últimas equações, permite-nos determinar os valores de x, y e z. Considere as matrizes: A=  18, 2 −4, 88 −7, 84 45, 43 12, 61 −30, 38 3, 95 35, 79 1, 99 , det(A) = 8915, 49. ∆1 =  76, 52× 106 −4, 88 −7, 84 185, 23× 106 12, 61 −30, 38 62, 95× 106 35, 79 1, 99 , det(∆1) = 50500, 85× 106. ∆2 =  18, 2 76, 52× 106 −7, 84 45, 43 185, 23× 106 −30, 38 3, 95 62, 95× 106 1, 99 , det(∆2) = 8729, 62× 106. ∆3 =  18, 2 −4, 88 76, 52× 106 45, 43 12, 61 185, 23× 106 3, 95 35, 79 62, 95× 106 , det(∆3) = 24783, 3× 106. Então temos que: x = det(∆1) det(A) = 0, 566× 107 y = det(∆2) det(A) = 0, 0979× 107 z = det(∆3) det(A) = 0, 277× 107 Com isso chegaremos a latitude θ = 26◦ Norte, longitude ϕ = 10◦ Leste e altitude de 919,71 metros. Consultando um atlas geográ�co ou um globo terrestre, identi�camos a posição desse usuário do GPS como sendo da cidade de Djanet, localizada nos Montes Tássali, na fronteira entre Argélia e Líbia. 5 Experiências no Ensino Médio Neste capítulo abordaremos um plano de aula aplicado no Ensino Médio utilizando os conceitos de soma e multiplicação de matrizes. Abordaremos ainda algumas su- gestões de problemas contextualizados para se trabalhar matrizes, sistemas lineares e determinantes, e alguns exercícios extraídos de vestibulares sobre esses assuntos, evi- denciando a importância do aprendizado signi�cativo desses conteúdos. 5.1 Plano de Aula Nesta seção apresentaremos um plano de aula o qual foi aplicado por mim, em uma escola pública da rede estadual para uma turma de 22 alunos do segundo ano do Ensino Médio. Essa abordagem evidencia o aspecto motivacional ao trabalhar com matrizes, uma vez que os alunos estarão contextualizando a aprendizagem com situações reais de seu cotidiano. Primeiramente foram apresentadas aos alunos as de�nições formais de matriz, ma- trizes especiais e operações envolvendo matrizes. Este conteúdo foi abordado no Capí- tulo 1 desta dissertação e o professor poderá usá-lo como referência. Foram utilizadas aproximadamente 3 aulas de 50 minutos. Percebeu-se que os alunos tiveram di�culda- des em entender o processo de multiplicação de matrizes. A principal pergunta feita pelos alunos foi sobre a aplicabilidade do conteúdo apre- sentado. Assim, para que os alunos pudessem contextualizar o tema, foi aplicado a cada um dos alunos a sequência de atividades apresentadas abaixo. Questão 1-) As tabelas abaixo representam as vendas, em uma concessionária, de dois veículos 0km, modelos A e B, de acordo com o tipo de combustível, durante os dois primeiros meses de um ano: Janeiro Combustível Flex Gasolina Álcool Modelo A 4453 1985 415 Modelo B 2693 1378 289 53 Plano de Aula 54 Fevereiro Combustível Flex Gasolina Álcool Modelo A 5893 2031 531 Modelo B 3412 1597 402 Determine, por meio de uma matriz, o total de vendas de cada tipo de veículo no primeiro bimestre desse ano. Resolução: Espera-se que o aluno identi�que que é um problema de soma de ma- trizes. Identi�cando a tabela de Janeiro como uma matriz M1 e a tabela de fevereiro como uma matriz M2, e efetuando a soma dessas duas matrizes: M1 = [ 4453 1985 415 2693 1378 289 ] e M2 = [ 5893 2031 531 3412 1597 402 ] Fazendo M1 +M2, obteremos a resposta: R = [ 10346 4016 946 6105 2975 691 ] , onde, a primeira linha representa o modelo A, a segunda linha representa o modelo B, a primeira coluna representa Flex, a segunda coluna representa Gasolina e a terceira coluna representa Álcool. Questão 2-) Durante as Olimpíadas, realizadas em Londres em 2012, o grupo C do futebol masculino era formado por quatro países: Brasil, Egito, Bielorrússia e Nova Zelândia. Observe os resultados (número de vitórias, empates e derrotas) de cada um, registrados na Tabela 5.1. Pelo regulamento das Olimpíadas, cada resultado (vitória, empate ou derrota) tem pontuação correspondente (3 pontos, 1 ponto e 0 ponto), que está registrado na Tabela 5.2. Determine o total de pontos dos países participantes por meio de uma matriz. Tabela 5.1: Resultados Vitórias Empates Derrotas Brasil 3 0 0 Egito 1 1 1 Bielorrússia 1 0 2 Nova Zelândia 0 1 2 Resolução: Espera-se que o aluno identi�que que é um problema de multiplicação de matrizes. Identi�cando a Tabela 5.1 como uma matriz M1 de ordem (4 × 3) e a Plano de Aula 55 Tabela 5.2: Pontuação correspondente Número de pontos Vitória 3 Empate 1 Derrota 0 Tabela 5.2 como uma matriz M2 de ordem (3 × 1), e efetuamos a multiplicação entre essas duas matrizes: M1 ·M2 =  3 0 0 1 1 1 1 0 2 0 1 2  · 3 1 0  =  9 4 3 1  , onde a primeira linha representa os pontos do Brasil, a segunda linha os pontos do Egito, a terceira linha os pontos da Bielorrússia e a quarta linha os pontos da Nova Zelândia. Questão 3-)(ENEM-2012) Um aluno registrou as notas bimestrais de algumas de suas disciplinas numa tabela. Ele observou que as entradas numéricas da tabela formavam uma matriz 4× 4, e que poderia calcular as médias anuais dessas disciplinas usando produto de matrizes. Todas as provas possuíam o mesmo peso, e a tabela que ele conseguiu é mostrada a seguir. 1o Bim 2o Bim 3o Bim 4o Bim Matemática 5,9 6,2 4,5 5,5 Português 6,6 7,1 6,5 8,4 Geogra�a 8,6 6,8 7,8 9,0 História 6,2 5,6 5,9 7,7 Para obter essas médias ele multiplicou a matriz obtida a partir da tabela por: a) [ 1 2 1 2 1 2 1 2 ] b) [ 1 4 1 4 1 4 1 4 ] c)  1 1 1 1  d)  1 2 1 2 1 2 1 2  Plano de Aula 56 e)  1 4 1 4 1 4 1 4  Resolução: Da tabela extraímos uma matriz 4 × 4. Para calcularmos a média aritmética entre 4 notas, somamos as 4 e dividimos por 4, ou multiplicamos por 1 4 . Então �caríamos entre as alternativas b e e. Pela de�nição de multiplicação de matrizes a multiplicação de uma matriz 4×4 tem que ser feita por uma matriz 4×1 e não 1×4. Portanto, a alternativa correta é a letra e. Com essas atividades os alunos puderam aprimorar as habilidades relacionadas à adição e multiplicação de matrizes, uma vez que eles já tinham conhecimentos prévios sobre este conteúdo. As Figuras 5.1, 5.2 e 5.3 são registros dos erros cometidos na primeira questão. Percebe-se que houve di�culdade em representar a resposta por meio de uma matriz, erro nos cálculos e o erro mais grave foi fazer a diferença entre as matrizes ao invés de somá-las. Dentre os 22 alunos, 16 acertaram completamente a questão e somente 1 aluno errou totalmente. Figura 5.1: Erro cometido na Questão 1. Figura 5.2: Erro cometido na Questão 1. As Figuras 5.4, 5.5 e 5.6 são registros dos erros cometidos na segunda questão. Houve di�culdade no conceito de multiplicação de matrizes, alguns alunos erraram os cálculos ou não resolveram a questão, houve erro na representação da matriz resposta Plano de Aula 57 Figura 5.3: Erro cometido na Questão 1. que deveria ser uma matriz 4 × 1 e não 1 × 4. Dentre os 22 alunos, 8 acertaram completamente a questão e 11 erraram completamente. Figura 5.4: Erro cometido na Questão 2. Figura 5.5: Erro cometido na Questão 2. Figura 5.6: Erro cometido na Questão 2. A Figura 5.7 é um registro dos erros cometidos na terceira questão. Apesar da obser- vação colocada na folha de questões para deixar os cálculos registrados, nenhum aluno registrou os cálculos nesta questão. Dentre os 22 alunos, 12 acertaram completamente a questão e 10 erraram completamente. Plano de Aula 58 Figura 5.7: Erro cometido na Questão 3. Apesar de 54,5% dos alunos terem assinalado a resposta correta, os dados da questão acima ainda são preocupantes, pois um total de 45,5% optou por outras alternativas. A partir destas atividades pode-se concluir que os alunos apresentam di�culdades no que concerne ao produto entre matrizes. Os alunos confundem o produto entre matrizes, porque muitos não analisam o número de linhas e colunas das matrizes � para veri�car se há ou não possibilidade de resolver a operação � nem os artifícios para multiplicar os elementos das linhas e colunas (elementos da 1a linha da matriz A com os elementos da 1a coluna da matriz B, e assim sucessivamente). Com relação a questão de múltipla escolha, como os alunos não deixaram o cálculo registrado, não é possível concluir que os 12 alunos que acertaram realmente sabiam resolver a questão, ou apenas tiveram sorte na escolha da alternativa. Com isso, optar por aplicar uma prova de múltipla escolha pode não ser uma boa alternativa para avaliar a aprendizagem dos alunos. A aprendizagem é um processo cognitivo, inerente ao ser humano, mas não observável diretamente. Para avaliá-la é necessário que se tenha visibilidade. Daí está a importância de realizar avaliações em que os alunos possam manifestar seus conhecimentos e habilidades para que seja possível avaliar de forma adequada a aprendizagem dos alunos. Como conclusão geral das atividades apresentadas, constatou-se que os alunos apre- sentaram di�culdades no tema e para sanar as dúvidas foram dedicadas mais aulas no estudo de matrizes, abordando outros exemplos práticos. É claro que, para que isso ocorra, o professor deve avaliar a realidade da sala de aula para que ele se certi�que de qual seria a melhor decisão a ser tomada. Além disso, é necessário um estudo mais profundo no que concerne ao ensino de matrizes para que este se torne ainda mais agradável e e�caz. A expectativa é que as atividades propostas e as demais aulas dedicadas à con- textualização das operações de matrizes no cotidiano, tenham permitido ao aluno um melhor entendimento do assunto e tenham motivado o aluno a procurar e estudar outras aplicações relacionadas ao tema. Plano de Aula 59 5.1.1 Sugestões de Exercícios Contextualizados Nessa seção apresentaremos mais alguns exercícios (sequências didáticas) para apli- car em sala de aula, contextualizando o ensino de Matrizes. Esse objeto de aprendizagem apresentado a seguir, foi retirado da referência [9] e adaptado. A situação foi desenvolvida tendo como contexto, situações que ocorrem dentro de um shopping center. O aluno, na interação com o objeto, faz o papel de um cliente de determinada loja do shopping center. Criaram-se essa situação em que ocorre o estudo de produto de matrizes: um quiosque de venda de bombons. A situação é descrita por uma vendedora que oferece três tipos de bombons e, que podem ser vendidos em quatro tipos de kits: um com quatro bombons, outro com seis, o terceiro com oito e o quarto com dez bombons. A interação proposta para o estudo de produto de matrizes, nessa situação, é que o aluno é quem forma o kit desejado. O produto de matrizes ocorrerá por intermédio da tabela do tipo de kit de bombons versus espécies de bombons e, espécies de bombons versus valor e peso. A tabela espécies de bombons versus valor e peso será apresentada ao aluno, quando o mesmo tiver escolhido o kit. O aluno escolherá um kit, tendo escolhido o kit, o mesmo tem a possibilidade de escolher entre três tipos de bombons (ao leite, branco e diet). Os kits não escolhidos serão preenchidos pelo aluno com a quantidade �zero� na tabela. A tabela contendo espécies de bombons versus valor e peso é dada, então o aluno preenche a tabela do tipo de kit de bombons versus espécies de bombons, efetua a multiplicação das duas matrizes obtendo como resultado uma matriz contendo o tipo de kit de bombom versus valor e peso. Em um exercício como esse, cada aluno terá uma construído uma tabela diferente, chegando em resultados diferentes. Exemplo 5.1. Simulando a escolha de um aluno, teremos: Kits Ao Leite Branco Diet Kit 1 5 0 1 Kit 2 0 2 1 Kit 3 1 0 1 Kit 4 0 1 1 A Tabela 5.3, espécies de bombons versus valor e peso, é dada no exercício: Fazendo a multiplicação dessas matrizes, obteremos: 5 0 1 0 2 1 1 0 1 0 1 1  · 1, 00 25 1, 50 20 2, 00 15  =  7, 00 140 5, 00 55 3, 00 40 3, 50 35  Plano de Aula 60 Tabela 5.3: espécie de bombons versus valor e peso Bombons Valor por unidade Peso por unidade Ao Leite R$1,00 25g Branco R$1,50 20g Diet R$2,00 15g A tabela resposta desse problema seria: Kits Valor por unidade Peso por unidade Kit 1 R$7,00 140g Kit 2 R$5,00 55g Kit 3 R$3,00 40g Kit 4 R$3,50 35g Exemplo 5.2. Uma empresa especializada em calçados é formada por três lojas A, B e C. Realizado um estudo de vendas de três modelos de sapatos nos meses de Novembro e Dezembro de 2016 nessas lojas, foram obtidos os resultados representados nas seguintes tabelas: Tabela 5.4: Vendas do mês de Novembro/2016 Loja A Loja B Loja C Modelo 1 100 98 105 Modelo 2 150 120 121 Modelo 3 89 93 99 Quanto cada loja vendeu de cada modelo nesses dois meses? Qual loja vendeu mais o modelo A? Qual loja vendeu mais o modelo B? Resolução: As tabelas 5.4 e 5.5 podem ser representadas pelas matrizes A = 100 98 105 150 120 121 89 93 99  e B = 130 110 133 148 120 100 100 80 100  (5.1) Para se obter quanto cada loja vendeu de cada modelo nesses dois meses, faremos a soma dessas matrizes, obtendo a matriz resposta R. R = A+B = 230 208 238 298 240 221 189 173 199  . Analisando a matriz R, vemos que a loja A vendeu mais o modelo 2 e a loja B vendeu mais os modelos 1 e 3. Plano de Aula 61 Tabela 5.5: Vendas do mês de Dezembro/2016 Loja A Loja B Loja C Modelo 1 130 110 133 Modelo 2 148 120 100 Modelo 3 100 80 100 Exemplo 5.3. O Campeonato Brasileiro começou no dia 13 de Maio de 2017. A regra para classi�cação dos times é pela quantidade de pontos obtidos ao longo do campeonato. São três pontos a cada vitória, um ponto a cada empate e zero ponto a cada derrota. Na 11a rodada, a tabela obtida é a Figura 5.8. Determine a pontuação dos quatro primeiros colocados no campeonato. Figura 5.8: Classi�cação - 11a. rodada do Campeonato Brasileiro Resolução: Extraindo uma matriz A4×3 da tabela, sendo a primeira coluna o número de vitórias, a segunda coluna o número de empates e a terceira coluna o número de derrotas, temos: A =  9 2 0 7 1 3 5 5 1 6 1 4  . Obtendo a matriz B3×1 da pontuação de cada jogo, temos, 3 pontos a cada vitória, 1 ponto a cada empate e 0 ponto a cada derrota, teremos: B = 3 1 0  . Para chegarmos na pontuação de cada time, precisamos multiplicar as matrizes A4×3 por B3×1: AB =  9 2 0 7 1 3 5 5 1 6 1 4  · 3 1 0  =  29 22 20 19  Exercícios Extraídos de Vestibulares 62 Concluímos então que o primeiro colocado tem 29 pontos, o segundo colocado 22 pontos, o terceiro colocado 20 pontos e o quarto colocado 19 pontos. Esse é um exercício de uma situação real, a tabela foi retirada do seguinte site com último acesso em 05 de Julho de 2017: http://globoesporte.globo.com/futebol/brasileirao-serie-a/ 5.2 Exercícios Extraídos de Vestibulares Nesta seção apresentaremos exemplos de alguns exercícios envolvendo matrizes e sistemas lineares que foram cobrados em vestibulares. Exemplo 5.4. (FUVEST) Dadas as matrizes: 1) A = (aij)4×7, de�nida por aij = i− j 2) B = (bij)7×9, de�nida por bij = i 3) C = (cij); C = AB O elemento C63 é: a) -112 b) -18 c) -9 d) 112 e) não existe Resolução: Na multiplicação da matriz A4×7 pela matriz B7×9, obtemos uma matriz C4×9, que é uma matriz de 4 linhas e 9 colunas. Portanto o elemento C63 não existe, pois seria um elemento da sexta linha, a qual não existe, logo a alternativa correta é a letra e. Exemplo 5.5. (UFLA) Dadas as seguintes matrizes A= [ x+ y x− y 1 1 ] e B= [ 1 0 2 1 ] . Os valores de x e y, de modo que A2 = B, são: a) x = 1, y = 0 b) x = 0, y = 1 c) x = y = 1 d) x = y = 1 2 e) x = y = 0 Resolução: Fazendo a multiplicação entre a matriz A pela própria matriz A acima, obtemos a matriz A2 e igualando com a matriz B, temos:[ x2 + 2xy + y2 + x− y x2 − y2 + x− y x+ y + 1 x− y + 1 ] = [ 1 0 2 1 ] Com isso, obtemos o sistema abaixo: Exercícios Extraídos de Vestibulares 63 { x+ y + 1 = 2 x− y + 1 = 1 Resolvendo o sistema, chegaremos em x = 1 2 e y = 1 2 , logo a alternativa correta é a letra d. Exemplo 5.6. (ITA-2006) Em uma mesa de uma lanchonete, o consumo de 3 san- duíches, 7 xícaras de café e 1 pedaço de torta totalizou R$31,50. Em outra mesa, o consumo de 4 sanduíches, 10 xícaras de café e 1 pedaço de torta totalizou R$42,00. Então, o consumo de 1 sanduíche, 1 xícara de café e 1 pedaço de torta totaliza o valor de: a) R$17,50 b) R$16,50 c) R$12,50 d) R$10,50 e) R$9,50 Resolução: Chamando x de sanduíche, y de 1 xícara de café e z de 1 pedaço de torta, montamos o sistema linear abaixo:{ 3x+ 7y + z = 31, 50 (I) 4x+ 10y + z = 42, 00 (II) Fazendo a linha (I) multiplicada por 3 e a linha (II) multiplicada por 2, obtemos o seguinte sistema linear: { 9x+ 21y + 3z = 94, 50 (III) 8x+ 20y + 2z = 84, 00 (IV ) Subtraindo a linha (IV) da linha (III), obtemos: x+ y + z = 10, 50. Portanto, a alternativa correta é a letra d. O próximo exemplo, é um exercício da matéria de química, o qual na resolução se usa Sistemas Lineares. Exemplo 5.7. (FUVEST-2016) Uma dieta de emagrecimento atribui a cada alimento um certo número de pontos, que equivale ao valor calórico do alimento ao ser ingerido. Assim, por exemplo, as combinações abaixo somam, cada uma, 85 pontos: * 4 colheres de arroz + 2 colheres de azeite + 1 fatia de queijo branco. * 1 colher de arroz + 1 bife + 2 fatias de queijo branco. * 4 colheres de arroz + 1 colher de bife + 2 fatias de queijo branco. Exercícios Extraídos de Vestibulares 64 * 4 colheres de arroz + 1 bife Com base nas informações fornecidas, e na composição nutricional dos alimentos, considere as seguintes informações: I. A pontuação de um bife de 100g é de 45. II. O macronutriente presente em maior quantidade no arroz são os carboidratos. III. Para uma mesma massa de lipídeo de origem vegetal e de carboidrato, número de pontos do lipídeo número de pontos do carboidrato é 1,5. É correto o que se a�rma em a) I, apenas. b) II, apenas. c) I e II, apenas. d) II e III, apenas. e) I, II e III. Resolução: Para resolver esse exercício, precisamos encontrar a pontuação de cada alimento. Chamamos de x: 20 g de arroz; y: 5 g de azeite; z: 1 fatia de queijo e w: 1 bife. E sabendo que as combinações citadas somam 85 pontos, formamos o seguinte sistema linear:  4x+ 2y + z = 85 x+ w + 2z = 85 4x+ y + 2z = 85 4x+ w = 85 Da relação entre a primeira linha e a terceira linha, segue que: 4x+ 2y + z = 4x+ y + 2z ⇐⇒ y = z. Logo, o azeite e o queijo apresentam o mesmo valor energético. Da relação entre a segunda linha e a quarta linha, segue que: Exercícios Extraídos de Vestibulares 65 x+ w + 2z = 4x+ w ⇐⇒ z = 3x 2 . Substituindo na primeira linha: 4x+ 2 · 3x 2 + 3x 2 = 85⇐⇒ 17 2 x = 85⇐⇒ x = 10. Calculando a pontuação do bife (w), segue: 4x+ w = 85⇐⇒ 4 · 10 + w = 85⇐⇒ 40 + w = 85⇐⇒ w = 45. Calculando as pontuações do queijo (z) e do azeite (y) z = 3 · 10 2 = 15 = y. Então temos que: I - CORRETA. A pontuação de 1 bife de 100 g é 45. II - CORRETA. O macronutriente presente no arroz é o carboidrato. III - CORRETA. Uma colher de arroz possui 0, 25 · 20g = 5g. Isso vale 10 pontos. A mesma quantidade de lipídeos está presente em uma colher de azeite e vale 15 pontos. Portanto, 15 10 = 1, 5. Logo, a alternativa correta é a letra e. Referências [1] LEON, S. J. Álgebra Linear com Aplicações, 4a. ed. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2004. [2] CALLIOLI, C. A.; DOMINGUES, H. H.; COSTA, R. C. F. Álgebra Linear e Aplicações, 6a. ed. São Paulo: Editora Atual, 2003, 352p. [3] ANTON , H.; RORRES. C. Álgebra linear com aplicações, 10a. ed. Porto Alegre: Bookman, 2012. 786p. [4] BRADY, J. E., HUMISTON, G. E. Química geral, Editora LTC, 1981, 572p. [5] POOLE, D. Álgebra Linear, 4a. ed. São Paulo: Editora Thomson, 2013, 718p. [6] LIPSCHUTZ, S. LIPSON, M. Álgebra Linear , Coleção Schaum, 4a. ed. Editora Bookman, 2011, 206p. [7] GUSSOW, M. Eletricidade Básica, Coleção Schaum, 4a. ed. Editora Artmed, 656p. [8] ALVES, S. A Matemática do GPS, Revista do Professor de Matemática, vol. 59, 2006. [9] SOUZA, P. A.; LOPES, A. 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