UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA "JÚLIO DE MESQUITA FILHO" FACULDADE DE ENGENHARIA CÂMPUS DE ILHA SOLTEIRA VÍTOR DONEGÁ MARCHIORI Arranjos de Atuadores Piezoelétricos de Pilha para Excitar Estruturas Ilha Solteira 2024 Vítor Donegá Marchiori Arranjos de Atuadores Piezoelétricos de Pilha para Excitar Estruturas Trabalho de Graduação apresentado à Facul- dade de Engenharia de Ilha Solteira - UNESP, como parte dos requisitos para obtenção do tí- tulo de Engenheiro Mecânico. Orientador: Prof Dr. Douglas D. Bueno Ilha Solteira 2024 Marchiori Arranjo de Atuadores Piezoelétricos de Pilha para Excitar EstruturasIlha Solteira2024 52 Sim Trabalho de conclusão de cursoEngenharia MecânicaEngenharia MecânicaNão . . FICHA CATALOGRÁFICA Desenvolvido pelo Serviço Técnico de Biblioteca e Documentação Marchiori, Vítor Donegá. Arranjo de atuadores piezoelétricos de pilha para excitar estruturas / Vítor Donegá Marchiori. -- Ilha Solteira: [s.n.], 2024 52 f. : il. Trabalho de conclusão de curso ( Graduação em Engenharia mecânica) - Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, 2024 Orientador: Douglas D. Bueno Inclui bibliografia 1. Atuadores piezoelétricos. 2. Arranjo de atuadores. 3. Sinais chirp. 4. Sistema massa-mola-amortecedor. 5. Simulação numérica. M317a Elaborada por Raiane da Silva Santos - CRB - 8/9999 Câmpus de Ilha Solteira Curso de Graduação em Engenharia Mecânica ATA DE DEFESA UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO” FACULDADE DE ENGENHARIA – CÂMPUS DE ILHA SOLTEIRA CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA ATA DA DEFESA – TRABALHO DE GRADUAÇÃO TÍTULO: _______________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ALUNO: _______________________________________________ RA: _____________ Orientador: ______________________________________________ Aprovado ( ) – Reprovado ( ) pela Comissão Examinadora Nota obtida: _______ Comissão Examinadora: Prof. ______________________________________________________ Presidente (Orientador) Eng. Dr. ____________________________________________________ Enga. Msc. __________________________________________________ ______________________________________________________ Assinatura do Aluno Ilha Solteira (SP) 15 de março de 2024. Faculdade de Engenharia – FE/Unesp – Câmpus de Ilha Solteira Cursos: Ciências Biológicas, Eng. Agronômica, Eng. Civil, Eng. Elétrica, Eng. Mecânica, Física, Matemática e Zootecnia. Avenida Brasil Centro, 56 – CEP 15385-000 – Ilha Solteira – São Paulo – Brasil pabx +55 (18) 3743-1000 – fax +55 (18) 3742-2735 – scom.feis@Unesp.br – www.feis.Unesp.br Arranjos de Atuadores Piezoelétricos de Pilha para Excitar Estruturas Vítor Donegá Marchiori Douglas Domingues Bueno X 9,5 Renan Sanches Geronel Bianca Taís Visoná Carnielo FreeText 191050547 Este trabalho é dedicado à todos que me apoiaram durante minha formação, e àqueles que trilharam esse caminho comigo. AGRADECIMENTOS Agradeço aos meus pais, Márcia Cristina Donegá Marchiori e Marcelo Prates Marchiori, que não mediram esforços para educar eu e meus irmãos, Felipe Donegá Marchiori, Lucas Donegá Marchiori e Manuela Donegá Marchiori, desde a criação até os dias atuais. Sempre me apoiando, em todos os âmbitos da vida. Muito obrigado. À minha namorada, Amanda Satomi Tatibana, por ser a luz nos meus dias, por seu infi- nito companheirismo, paciência, compreensão, amor e apoio em todas as circunstâncias. Sua presença é meu refúgio e sua força, meu alicerce. Obrigado por estar ao meu lado em cada mo- mento, por me inspirar a ser melhor e por fazer de nossa jornada uma aventura extraordinária. Ao meu orientador, Prof. Dr. Douglas D. Bueno, por ser mais que um orientador, um amigo em que posso confiar. Por toda orientação e conselho, na vida pessoal e profissional, e por agregar, de forma incrível, na minha formação. A todas as amizades feitas nesse trajeto. Em especial ao Arthur Borim Souza por todos os anos de amizade e a meus amigos de turma, os quais tive o privilégio de compartilhar diversas horas de estudo sobre inúmeros temas, e me apoiaram nessa caminhada. A todos meus professores e a Unesp pelo suporte. Faltam palavras para expressar minha gratidão a essas pessoas, que tem papeis únicos em minha vida, e o quão especiais elas são para mim. “And I knew exactly what to do. But in a much more real sense, I had no idea what to do.“ (Michael Scott) RESUMO Este trabalho investiga a aplicação de arranjos de atuadores piezoelétricos de pilha para ex- citação controlada de estruturas mecânicas. Utilizando sinais chirp para modular a voltagem aplicada aos atuadores, a força de saída é calculada e, em seguida, esta é aplicada a um sistema massa-mola-amortecedor, representativo do comportamento dinâmico de estruturas diversas, como trilhos ferroviários, por exemplo. O modelo do atuador piezoelétrico é desenvolvido con- siderando características físicas e elétricas específicas. A resposta do sistema é analisada através da integração numérica no espaço de estados, utilizando o método de Runge-Kutta de Quarta Or- dem. Os resultados contribuem para se compreender a influência da configuração do arranjo do atuador para aumentar a eficiência na excitação das estruturas desejadas, considerando aspectos como a amplitude do sinal, o deslocamento e a estabilidade do sistema. PALAVRAS-CHAVE: Atuadores Piezoelétricos, Arranjo de Atuadores, Sinais Chirp, Sistema Massa-Mola-Amortecedor, Simulação Numérica. ABSTRACT This study investigates the application of stack piezoelectric actuator arrangements for control- led excitation of dynamic structures. Chirp signals are used to modulate the voltage applied to the actuators, and its output force is applied to a mass-spring-damper system, representative of the dynamic behavior of different structures, such as railway tracks, for example. The piezoe- lectric actuator model is developed considering specific physical and electrical characteristics. The system’s response is evaluated through numerical integration using the state space repre- sentation and the Fourth-Order Runge-Kutta method. The results contribute to understand the influence of the actuator arrangement configuration to increase the efficiency in exciting desired structures, considering aspects such as signal amplitude, system displacement and stability. KEYWORDS: Piezoelectric Actuators, Actuator Array, Chirp Signals, Mass-Spring-Damper System, Numerical Simulation. LISTA DE ILUSTRAÇÕES Figura 1 Representação de um atuador piezoelétrico de pilha, sendo L e h, respec- tivamente, o comprimento e a altura da camada. . . . . . . . . . . . . . . 19 Figura 2 Arranjo com geometria em V para o PZT de pilha. . . . . . . . . . . . . . 22 Figura 3 Representação esquemática do modelo do atuador piezoelétrico de pilha, sendo V , q̇, C, uc(t), x(t), x0(t), c e k, respectivamente, os termos relaci- onados à tensão, taxa de variação da carga elétrica, capacitância, força ex- terna aplicada ao sistema, deslocamento da massa, deslocamento da base, coeficiente de amortecimento e rigidez da mola. . . . . . . . . . . . . . . 23 Figura 4 Exemplificação de um sinal chirp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Figura 5 Movimento do sistema massa mola, sendo Fx, d⃗ e x, respectivamente, a força elástica, o vetor de deslocamento e a posição. . . . . . . . . . . . . 27 Figura 6 Sistema de um grau de liberdade com amortecedor. . . . . . . . . . . . . 28 Figura 7 PZT acoplado em paralelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Figura 8 Diagrama de corpo livre do sistema com o PZT acoplado em paralelo. . . 33 Figura 9 PZT acoplado em série. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Figura 10 Diagrama de corpo livre do sistema com o PZT acoplado em série. . . . . 34 Figura 11 Representação do chirp aplicado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Figura 12 Força de saída do atuador piezoelétrico de pilha (PZT único). . . . . . . . 37 Figura 13 Força de saída do atuador piezoelétrico de pilha (arranjo de PZTs). . . . . 37 Figura 14 FRF da força de saída do atuador piezoelétrico de pilha (PZT único). . . . 38 Figura 15 FRF da força de saída do atuador piezoelétrico de pilha (arranjo de PZTs). 39 Figura 16 Deslocamento da ponta do atuador em relação ao tempo. . . . . . . . . . 40 Figura 17 FRF do sistema massa-mola-amortecedor (sem acoplamento do PZT). . . 40 Figura 18 FRF do sistema massa-mola-amortecedor (com acoplamento do PZT em paralelo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Figura 19 Deslocamento no PZT no sistema acoplado em série sem amortecimento. 43 Figura 20 Deslocamento na massa de acoplamento mp no sistema acoplado em série sem amortecimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Figura 21 Deslocamento no PZT no sistema acoplado em série com amortecimento. 44 Figura 22 Deslocamento na massa de acoplamento mp no sistema acoplado em série com amortecimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Figura 23 FRF do sistema massa-mola-amortecedor (com acoplamento em série). . . 46 LISTA DE TABELAS Tabela 1 – Parâmetros do PZT de pilha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Tabela 2 – Parâmetros do sinal chirp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Tabela 3 – Parâmetros do sistema massa-mola-amortecedor. . . . . . . . . . . . . . . . 30 LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS AE Acoustic Emission CNNs Redes Neurais Convolucionais FRF Função de Resposta em Frequência IEEE Instituto de Engenheiros Eletricistas e Eletrônicos NDT Non-Destructive Testing PZT Lead Zitanate Titanate SHM Structural Health Monitoring WSNs Wireless Sensor Networks LISTA DE SÍMBOLOS A Distância do deslocamento do ponto de pivô da pilha na base do atuador As Área da seção transversal do conjunto piezoelétrico B Distância entre o ponto de pivô da alavanca e o ponto de atuação B Matriz de amortecimento c Coeficiente de amortecimento cE33 Módulo do material a campo elétrico constante cEpq Módulo do material a um campo elétrico constante EK d Matriz de constantes de materiais piezoelétricos d33 Constante piezoelétrica d′33 Constante piezoelétrica corrigida dkp Constante piezoelétrica dy dt Taxa de variação de y no tempo d⃗ Vetor deslocamento ekp Constante piezoelétrica E Vetor do campo elétrico F Força do atuador piezoelétrico (único) f Frequência fi Frequência inicial Fel Força Elástica ff Frequência final Fnl Força interna não linear do amortecedor Fs Força do atuador piezoelétrico (arranjo) k Constante de rigidez da mola ks Taxa de amplificação (entre o stroke e ξ) L Distância entre o ponto de pivô da alavanca e a linha que conecta os pontos de pivô das pilhas na ponta do atuador Lb Distância entre o ponto de pivô da alavanca e a linha que conecta os pontos de pivô do ponto de pivô da pilha na base do atuador Ls Comprimento do conjunto piezoelétrico Lsct Comprimento teórico da pilha após contração (devido à tensão aplicada) Lset Comprimento teórico da pilha após expansão (devido à tensão aplicada) Lsp Distância entre os ponto de pivô da pilha (característica da pilha) Lst Comprimento teórico da pilha (entre o ponto de pivô da base e o ponto teórico de interseção do eixo da pilha com o eixo da alavanca) Lt Comprimento teórico da alavanca (distância entre o ponto de pivô da ala- vanca e a interseção do eixo da alavanca com o eixo da pilha) M Matriz de massa m Massa do sistema N Número de camadas da pilha piezoelétrica R Distância entre o ponto de pivô da alavanca e o ponto de atuação s Deslocamento de saída do atuador (stroke) S Deformação Mecânica s33 Inverso do Módulo de Young SE Matriz de Conformidade Elástica quando sujeita a um Campo Elétrico cons- tante Sq Deformação no material piezoelétrico t Espessura da camada da pilha piezoelétrica t Tempo t0 Tempo inicial T Tensão mecânica tmax Tempo máximo de simulação Tp Tensão aplicada à pilha piezoelétrica tw Espessura da pastilha piezoelétrica uc(t) Entrada de excitação (força externa aplicada ao sistema) V Tensão aplicada V0 Tensão inicial Vchirp Sinal chirp aplicado W Trabalho x(t) Deslocamento do sistema x0(t) Deslocamento da base θ Ângulo entre o eixo da pilha piezoelétrica e o eixo da alavanca a "zero"voltagem ξ Deflexão do atuador ωi Frequência inicial do sinal chirp ωf Frequência final do sinal chirp SUMÁRIO 1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1 Objetivos do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2 Revisão Bibliográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1 Atuador Piezoelétrico de Pilha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Sinal Chirp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.1 Simulação do Atuador Piezoelétrico com Sinal Chirp . . . . . . . . 25 2.3 Sistema Massa-Mola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4 Método de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4.1 O Método de Runge-Kutta de 4a Ordem . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.5 Sistema e a Integração Numérica com Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.5.1 PZT em Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.5.2 PZT em Série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3 Resultados e Discussão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.1 Sinal de Entrada e Força de Saída do Atuador . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2 PZT em Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.3 PZT em Série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4 Considerações Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.1 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.2 Sugestões para Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 15 1 INTRODUÇÃO No vasto campo da engenharia e da ciência, a compreensão dos sistemas dinâmicos é crucial para o desenvolvimento de tecnologias inovadoras. Entre os modelos clássicos que desempe- nham um papel fundamental na compreensão desses sistemas está o sistema massa-mola. O modelo deste sistema, apesar de sua simplicidade aparente, serve como um alicerce para a com- preensão de conceitos fundamentais em dinâmica e controle. O objetivo deste trabalho é explorar e simular sistemas dinâmicos, com foco especial no sistema massa-mola e sua interação com atuadores piezoelétricos. Os atuadores piezoelétricos, notáveis por sua capacidade de converter energia elétrica em movimento mecânico, desempe- nham um papel crucial em aplicações que variam desde controle de vibração até acionamento de precisão. A motivação por trás desta pesquisa reside na crescente complexidade dos sistemas tec- nológicos contemporâneos. À medida que avançou-se para dispositivos mais sofisticados, a compreensão aprofundada dos princípios fundamentais torna-se imperativa. Nesse contexto, o sistema massa-mola oferece uma representação simplificada, mas essencial, da dinâmica que permeia uma variedade de sistemas mais complexos. Além disso, este trabalho abordará a aplicação de sinais chirp a um arranjo de atuadores piezoelétricos. Os sinais chirp, caracterizados por uma variação contínua da frequência ao longo do tempo, apresentam propriedades interessantes quando aplicados a sistemas dinâmicos. A combinação desses elementos proporcionará uma compreensão mais profunda da resposta dinâmica do sistema, contribuindo assim para avanços na engenharia de controle. Ao longo deste trabalho, são exploradas teorias fundamentais, realizadas simulações deta- lhadas e as implicações práticas dos resultados obtidos discutidas. Espera-se que essa investi- gação ofereça informações valiosas para o desenvolvimento futuro de tecnologias inovadoras e aprimore a compreensão dos sistemas dinâmicos. 1.1 OBJETIVOS DO TRABALHO O presente trabalho tem como objetivo principal investigar a eficácia de um arranjo de atu- adores piezoelétricos de pilha na excitação controlada de estruturas mecânicas. Também é utilizado o método de sinais chirp como referência para a comparação da resposta dinâmica do sistema. Os objetivos secundários são: • Analisar a influência do arranjo geométrico de atuadores piezoelétricos na resposta dinâ- mica do sistema; 16 • Aplicar a técnica de integração numérica via método de Runge-Kutta no espaço de esta- dos para simular o comportamento do sistema; • Investigar a estabilidade e amortecimento do sistema massa-mola-amortecedor sujeito à excitação piezoelétrica. 1.2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Nesta seção apresenta-se uma sucinta revisão bibligráfica considerando como contexto o uso de transdutores piezoelétricos (PZTs) e estruturas ferroviárias, com foco em trilhos de trens, es- pecialmente para aplicações de monitoramento da integridade estrutural (SHM, do inglês Struc- tural Health Monitoring) . Tal contexto se justifica pela crescente necessidade de se monitorar a integridade de trilhos, principalmente pelo esperado crescimento da malha ferroviária do Brasil, e pela interessante capacidade de um atuador PZT, de pilha, excitar uma estrutura. Materiais piezoelétricos podem transformar energia mecânica em elétrica e vice-versa, con- forme Hagood et al. (1990). Esse tipo de material é aplicado para fins de sensoriamento, in- cluindo dispositivos para medir pressão, força, aceleração, acústica e outros. No entanto, ge- ralmente sua forma precisa ser escolhida para cada aplicação específica. Tressler et al. (1998) apresentam uma revisão sobre o uso de materiais cerâmicos piezoelétricos para sensores, in- cluindo configuração e aplicações. A propriedade de transformar energia elétrica em mecânica é empregada de duas maneiras principais diferentes, a primeira envolve atuação, como Hagood et al. (1990), que modelam um conjunto piezoelétrico para controlar ativamente a vibração de uma viga. Main & Garcia (1997) investigaram modelos de atuadores piezoelétricos, impulsionados por relação constitu- tiva proporcional à tensão e relação constitutiva proporcional à carga, para comparar e discutir o impacto do design de cada aplicação do modelo. Os conjuntos piezoelétricos são atuadores de alta precisão, Goldfarb & Celanovic (1997) apresentam um modelo não linear de atuadores piezoelétricos para aplicação em micro-robôs, onde as implicações do modelo são discutidas para controle. Huang et al. (2019) propõem um micro-atuador baseado no cisalhamento do conjunto para nano-processo e operação de células. Para aplicações envolvendo alto nível de força, Heverly et al. (2004) propõem um design de atuador piezoelétrico baseado em empurrar e puxar para superar a desvantagem de molas de pré-tensão. E, recentemente, materiais piezoelétricos têm sido usados para colheita de energia, onde a conversão de força em energia elétrica é armazenada ou redirecionada. Xu et al. (2013) in- vestigam o desempenho de colheita de energia de pilhas PZT por meio de modelo teórico e medições experimentais. Segundo os autores, o setup proposto de pilhas PZT pode gerar mais energia elétrica e ter maior densidade de potência em comparação com um coletor semelhante do tipo alavanca, mas de peso similar. 17 Sistemas de monitoramento da integridade estrutural vêm sendo cada vez mais utilizados por engenheiros e pesquisadores para garantir a segurança e eficiência das estruturas, forne- cendo informações importantes sobre a integridade estrutural, através da análise de dados em tempo real. O SHM permite a identificação antecipada de problemas potenciais, evitando aci- dentes e falhas, reduzindo os custos de manutenção (ao permitir a tomada de medidas pre- ventivas, evitando gastos desnecessários com manutenção corretiva), identificação de áreas de melhoria na estrutura (permitindo otimização da eficiência), aumento da vida útil (identificando problemas de desgaste e fadiga), além de trazer uma conformidade com as normas e regulamen- tações de segurança. Sohn et al. (2006) propõem uma técnica de SHM em conjunto com materiais piezelétricos (PZT, do inglês Lead Zitanate Titanate) para detecção de danos em trilhos ferroviários. Eles utilizam dois tipos de sensores PZT: um aderido à superfície do trilho e outro colocado entre as placas de fixação do trilho. Os sensores são usados para medir a resposta estrutural do trilho quando há uma excitação externa aplicada. Esses resultados indicam que o uso de PZTs em conjunto com SHM pode ser uma ferramenta eficaz para detectar danos em trilhos ferroviários e monitorar sua integridade estrutural. Li. et al. (2018) propõem uma abordagem de detecção de danos em tempo real baseada em PZTs. Eles utilizam um algoritmo para análise de sinais PZT em tempo real, capaz de detectar variações nos sinais devido a danos nos trilhos de trem. O estudo demonstra que a técnica pode ser usada para detectar danos em trilhos ferroviários em tempo real, fornecendo informações sobre a integridade estrutural dos trilhos. Os autores também destacam a importância de se considerar as condições ambientais durante a coleta dos dados, a fim de minimizar possíveis interferências nos sinais medidos. Essas considerações são importantes para o desenvolvimento de uma abordagem eficaz de detecção de danos em trilhos de trem. Ambos os estudos apresentam resultados interessantes que podem ser aplicados ao trabalho proposto. A técnica proposta por Sohn et al. (2006) pode ser, por exemplo, utilizada para detecção de danos em trilhos ferroviários, contribuindo para a prevenção de acidentes e redução de custos de manutenção. Por outro lado, a abordagem de detecção em tempo real proposta por Li. et al. (2018) pode ser uma ferramenta útil para monitorar a integridade dos trilhos de trem em tempo real, permitindo uma detecção precoce de possíveis danos. Esses estudos fornecem importantes informações para o desenvolvimento de uma abordagem eficaz de SHM em conjunto com PZTs para detecção de danos em trilhos ferroviários. Além disso, a pesquisa no campo do SHM para aplicações ferroviárias explorou técnicas inovadoras para análise e interpretação de dados para aprimorar a confiabilidade e precisão da detecção de danos. Uma contribuição notável vem de Cawley et al. (2003), que introduziu o conceito de Moni- toramento da Integridade Estrutural baseado em ondas guiadas para ferrovias. As ondas guiadas se propagam ao longo da estrutura e podem detectar defeitos em longas distâncias, tornando-as particularmente adequadas para monitorar trilhos ferroviários. Seu trabalho também demons- 18 tra a viabilidade de usar ondas guiadas para detectar defeitos, como rachaduras e degradação do apoio do trilho, destacando o potencial para detecção precoce de danos e planejamento de manutenção. Ademais, avanços em tecnologias de sensores têm desempenhado um papel crucial no apri- moramento das capacidades de SHM. O trabalho de Lanza et al. (2020) explora o uso de sen- sores de fibra óptica para monitoramento ferroviário. Sensores de fibra óptica oferecem van- tagens, como imunidade à interferência eletromagnética e capacidade de cobrir grandes áreas, tornando-os adequados para monitoramento de longo prazo da infraestrutura ferroviária. Seu estudo destaca o potencial dos sensores de fibra óptica em fornecer dados em tempo real so- bre a saúde estrutural, auxiliando na previsão das necessidades de manutenção e garantindo a segurança das operações ferroviárias. Por outro lado, a integração de técnicas de machine learning mostrou promessa em melhorar a precisão e eficiência da detecção de danos em estruturas ferroviárias. Por exemplo, Sun et al. (2021) propôs uma abordagem híbrida combinando redes neurais convolucionais (CNNs) com análise de elementos finitos para identificação de defeitos em trilhos ferroviários. Ao alavancar o poder de algoritmos de aprendizado profundo, seu método alcança alta precisão na detecção de vários tipos de defeitos, abrindo caminho para sistemas de SHM automatizados e precisos na manutenção ferroviária. Nesse ínterim, Lu et al. (2019) investigaram o uso da tecnologia de emissão acústica (AE, do ingês Acoustic Emission) para monitorar defeitos em trilhos. Sensores de AE detectam ondas de estresse transitórias geradas pela propagação de rachaduras ou outras anomalias estruturais, oferecendo insights sobre a saúde dos componentes ferroviários. Seu estudo demonstrou a viabilidade do SHM baseado em AE para detectar defeitos em trilhos, como verificação da cabeça do trilho e fraturas de solda, destacando seu potencial para alerta precoce de problemas críticos. Outrossim, o desenvolvimento de redes de sensores sem fio (WSNs, do inglês wireless Sen- sor Networks) facilitou a implantação de sistemas de monitoramento distribuído para ferrovias. A pesquisa de Xia et al. (2015) focou no projeto e implementação de um sistema de SHM base- ado em WSNs para pontes ferroviárias. Integrando múltiplos sensores distribuídos ao longo da estrutura da ponte, seu sistema permite o monitoramento contínuo de parâmetros de saúde estru- tural, como deformação, deslocamento e temperatura, melhorando a segurança e confiabilidade geral da infraestrutura ferroviária. Por fim, avanços em técnicas de teste não destrutivo (NDT, do inglês Non-Destructive Tes- ting) contribuíram para o aprimoramento de sistemas de SHM para ferrovias. O trabalho de Calders & Liu (2017) explorou a aplicação da termografia infravermelha para detectar defeitos em trilhos ferroviários. A termografia infravermelha utiliza imagens térmicas para identificar anomalias, como delaminações (modo de falha em que um material se fratura em camadas) e vazios em componentes de trilhos, fornecendo informações valiosas para o planejamento de manutenção e reparo. 19 2 METODOLOGIA 2.1 ATUADOR PIEZOELÉTRICO DE PILHA Um transdutor/atuador piezoelétrico de pilha (PZT de pilha) é um dispositivo que converte energia mecânica em energia elétrica, ou vice-versa, dependendo de sua forma de atuação (sen- sor ou atuador). Ele é composto por uma pilha de discos cerâmicos, geralmente de material piezoelétrico, como o quartzo ou o titanato de bário, que são empilhados e fixados com uma ca- mada adesiva entre cada disco. O dispositivo tipicamente é encapsulado em uma caixa metálica ou plástica para proteção. De acordo com Nowick & Berry (1972), seu funcionamento é baseado no efeito piezoelé- trico, isto é, a capacidade de produzir uma tensão elétrica em resposta a uma deformação me- cânica. Quando um esforço mecânico é aplicado a um material piezoelétrico, os íons positivos e negativos do material são deslocados de suas posições de equilíbrio, criando uma diferença de potencial elétrico e, este efeito, pode ser utilizado para converter movimentos mecânicos em sinais elétricos. Um cenário em que a atuação precisa e controlada dos atuadores PZT se torna crítica é a manutenção da integridade estrutural, visto que defeitos em diversas estruturas dinâmicas po- dem levar a problemas sérios de segurança e desgaste excessivo de equipamentos, demandando soluções de inspeção e excitação precisas. Portanto, a aplicação de atuadores PZT se mostra promissora para detecção precoce de defeitos e controle de vibrações indesejadas. Figura 1 – Representação de um atuador piezoelétrico de pilha, sendo L e h, respectivamente, o comprimento e a altura da camada. Fonte: Adaptado de Zsurzsan et al. (2014). Diversos modelos foram criados para descrever o comportamento matemático de atuadores 20 piezoelétricos, sendo classificados em duas categorias: modelos lineares e modelos não linea- res. Uma descrição amplamente conhecida do comportamento dos atuadores piezoelétricos foi publicada por um comitê de padronização do Instituto de Engenheiros Eletricistas e Eletrônicos (IEEE) e revisada posteriormente, conforme IEEE Standard on Piezoelectricity (1988). Essa descrição consiste em fundamentos lineares. A relação fundamental linearizada é representada da seguinte forma: S = SET + dE (1) onde S representa a deformação mecânica, SE é a matriz de conformidade elástica quando sujeita a um campo elétrico constante, T representa a tensão mecânica, d é uma matriz de constantes de materiais piezoelétricos e E é o vetor do campo elétrico. Nesse ínterim, de acordo com Main & Garcia (1997), a relação para controlar as caracte- rísticas de carga e deflexão de uma pilha piezoelétrica em função da tensão aplicada pode ser obtida a partir de uma das formas padrão das relações constitutivas piezoelétricas. Tp = cEpqSq − ekpEK (2) onde Tp representa a tensão aplicado à pilha piezoelétrica, cEpq é o módulo do material a um campo elétrico constante EK , Sq é a deformação no material piezoelétrico e ekp é a constante piezoelétrica, dada por ekp = dkqc E qp, tal que seja possível expressar a equação em termos da constante piezoelétrica mais familiar dkp. Além disso, se o atuador tiver uma geometria semelhante à exemplificada na Figura 1, em que todos as tensões e campos estão limitados às três direções, a relação constitutiva pode ser aproximada com precisão da seguinte forma: T3 = cE33S3 − d33c E 33E3 (3) Nessa equação são negligenciadas as contribuições das direções diferentes das 3 direções. Para um atuador de empilhamento específico, a deformação nas 3 direções pode ser escrita como: S3 = ξ Nt (4) onde ξ é a deflexão do atuador, N o número de camadas da pilha piezoelétrica e t a espessura da camada da pilha piezoelétrica. Controlar o atuador piezoelétrico com tensão é baseado na suposição de que o campo apli- cado a um material piezoelétrico é equivalente ao campo total presente no material. Isso não é estritamente verdade, como dito por Main et al. (1995), mas é uma aproximação útil porque relaciona o termo de campo E a uma quantidade facilmente controlável, ou seja, uma tensão V aplicada a dois eletrodos em ambos os lados de uma pastilha de material piezoelétrico. E3 ≈ V t (5) 21 Fazendo uma substituição e observando a equação resultante, em que F representa a força de saída do atuador, obtém-se uma relação de controle para pilhas piezoelétricas que descreve a relação entre a tensão aplicada, a força de saída e a deflexão, permitindo, portanto, controlar o comportamento do atuador. F = Asc E 33 Nt ξ − Ad33c E 33 t V (6) onde As é a área da seção transversal do conjunto piezoelétrico, cE33 o módulo a campo elétrico constante, d33 é uma constante piezoelétrica e V a voltagem aplicada no conjunto piezoelétrico. O estudo de Goldfarb & Celanovic (1997) ressalta que essas equações afirmam que o deslo- camento elétrico e a deformação do material são afetados linearmente tanto pelo campo elétrico quanto pela tensão mecânica a que o material é submetido. Essas relações fundamentais li- nearizadas falham em descrever o comportamento de histerese que está presente em todos os atuadores piezoelétricos, o que torna essa descrição não precisa o suficiente para os propósitos de modelagem atuais. Nesse contexto, a força e o deslocamento são as principais características de interesse em um atuador, uma vez que ele realiza trabalho mecânico. O atuador piezoelétrico em formato de V amplifica geometricamente o deslocamento da pilha piezoelétrica, o qual é baseado na alavancagem do movimento, mas com uma penalidade correspondente de força. Embora a direção da saída do atuador não coincida com a direção do material ativo, a construção do atuador é projetada para que as pilhas piezoelétricas sejam teoricamente submetidas apenas a forças axiais. Um esquema do arranjo de atuadores com geometria em V é mostrado na Figura 2. O atuador consiste em um pequeno número de peças relativamente simples: uma base (1), uma alavanca (2), uma ponta (4) que está rigidamente conectada à alavanca, dois conjuntos piezoe- létricos (3), um pino pivotante (5), um elemento de pré-carregamento (6), uma porca (7) e dois parafusos de montagem (8). Esta estrutura é auto-reagente (os conjuntos trabalham um contra o outro, isto é, enquanto um dos PZTs contrai, o outro expande) e, portanto, elimina os elementos elásticos normalmente usados para pré-carregar atuadores piezoelétricos. A base (1) suporta o mecanismo e serve para fixar o atuador à estrutura usando dois para- fusos, parte (8). A base tem uma construção geometricamente simples e os únicos requisitos especiais (tolerâncias dimensionais e geométricas) estão relacionados às superfícies cilíndricas que servem como superfícies pivotantes para os conjuntos, e um ajuste justo ou até mesmo aper- tado com o elemento de pré-carregamento (6). Para amplificação máxima do deslocamento, a base deve ser o mais rígida possível, resistente ao desgaste, mas feita de um material leve para uma boa eficiência de massa. A alavanca (2) é a espinha dorsal do atuador, é ela que transmite o deslocamento amplificado para a estrutura a ser excitada ao girar em torno do pino (5). A alavanca também serve para pré- carregar os conjuntos piezoelétricos (3) através do elemento de pré-carregamento (6) e da porca 22 Figura 2 – Arranjo com geometria em V para o PZT de pilha. Fonte: Adaptado de Ardelean et al. (2004). (7). Sua seção transversal deve ser projetada de forma que o momento de inércia da massa seja o menor possível em relação ao seu eixo de rotação em torno do pino pivotante (5). Para obter a máxima amplificação geométrica do deslocamento, a alavanca deve ser, assim como a base, o mais rígida possível. Com base na Equação 1, o estudo de Ardelean et al. (2004) conclui que pode-se expressar a força de saída do atuador como: Fs = AsNtwd ′ 33 Lss33 V − As Lss33 ξ (7) onde Fs é a força produzida pelo arranjo de atuadores piezoelétricos de pilha, tw a espessura da pastilha piezoelétrica, d′33 a constante piezoelétrica corrigida, Ls o comprimento do conjunto piezoelétrico e s33 o inverso do módulo de Young. Nesse ínterim, dependendo do sinal de entrada, o atuador piezoelétrico pode sofrer um des- locamento, sendo este chamado de stroke. O stroke é a medida do deslocamento piezoelétrico, ele mostra o quando a pilha piezoelétrica se expande ou contrai sob a influência do sinal de entrada, o qual pode ser calculado seguindo a equação abaixo: s = ksNtwd ′ 33V − Fs Lss33ks 2Asθ (8) onde θ é o ângulo entre o eixo da pila piezoelétrica e o eixo da alavanca a "zero"voltagem (em radianos) e ks é a taxa de amplificação (entre o stroke, s, e a elongação total da pilha, ξ). Diante disso, a força de saída do arranjo geométrico em V pode ser expressa da seguinte forma: Fs = 2 AsθNtwd ′ 33 Lss33ks V − As Lss33 ξ (9) 23 Por fim, modelos não lineares de atuadores piezoelétricos levam em conta histerese, fluência e vibração para obter modelos mais precisos. A maioria desses modelos não lineares concentra- se na histerese, uma vez que é a principal razão do comportamento não linear dos atuadores piezoelétricos. Além disso, é possível reduzir o efeito da fluência e da vibração ao modelar atuadores piezoelétricos para sistemas de alta velocidade e baixa frequência, respectivamente, conforme Leang & Devasia (2006). Nas últimas décadas, vários modelos não lineares de atuadores piezoelétricos foram propos- tos. Um dos modelos mais conhecidos foi proposto por Goldfarb & Celanovic (1997). Eles propuseram um modelo para descrever o comportamento não linear de atuadores piezoelétricos de pilha, em que um capacitor resistivo Maxwell generalizado foi proposto como representação casual de parâmetros concentrados da histerese. Este modelo é completamente baseado em prin- cípios físicos e consiste em um domínio elétrico e um domínio mecânico, bem como a conexão entre os dois domínios. Além disso, esse modelo descreve tanto a não linearidade da histe- rese quanto os aspectos dinâmicos lineares. O esquemático resultante do atuador piezoelétrico empilhado é exemplificado na Figura 3. Figura 3 – Representação esquemática do modelo do atuador piezoelétrico de pilha, sendo V , q̇, C, uc(t), x(t), x0(t), c e k, respectivamente, os termos relacionados à tensão, taxa de variação da carga elétrica, capacitância, força externa aplicada ao sistema, deslo- camento da massa, deslocamento da base, coeficiente de amortecimento e rigidez da mola. 0 x (t) m c x(t)u (t)c k Vin Vrc V2 C MRC q q c T q =nx l Fonte: Adaptado de Minjal (2013). A capacitância resistiva Maxwell generalizada, que é representada pelo elemento MRC, está localizada no domínio elétrico e, assim, relaciona a tensão elétrica do elemento à carga. O modelo do atuador piezoelétrico tem duas portas de interação, uma porta força-velocidade no lado mecânico e uma porta tensão-corrente no lado elétrico. Assim, assume-se que o atuador piezoelétrico empilhado tem uma massa concentrada e uma amortecimento e rigidez do material linear. Este modelo expressa o comportamento não linear dos atuadores piezoelétricos como 24 conjuntos de equações que relacionam os comportamentos elétricos e mecânicos e os combinam em uma equação diferencial de segunda ordem massa-mola-amortecedor. 2.2 SINAL CHIRP Um chirp é um sinal no qual a frequência aumenta (up-chirp) ou diminui (down-chirp) com o tempo. Em algumas fontes, o termo chirp é usado de forma intercambiável com o sinal de varredura. Conforme Weisstein (2023), esses sinais são comumente usados em sonar, radar e laser, mas possuem outras aplicações, como em comunicações de espalhamento espectral. Figura 4 – Exemplificação de um sinal chirp. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Tempo (s) -1 -0.5 0 0.5 1 A m p lit u d e 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Tempo (s) -1 -0.5 0 0.5 1 A m p lit u d e Fonte: Próprio autor. Inicialmente, é crucial definir os parâmetros iniciais do sinal chirp, como a frequência ini- cial, a frequência final, a amplitude e a duração do sinal. Esses parâmetros foram definidos de maneira arbitrária exclusivamente para fins de simulação. Não houve consideração específica em relação aos valores escolhidos, uma vez que o objetivo era apenas testar a funcionalidade do modelo em um contexto controlado. A geração do sinal chirp é realizada computacionalmente, utilizando funções apropriadas disponíveis em ambientes de programação, como o MATLAB. A escolha do tipo de chirp, seja linear ou quadrático, também é um aspecto importante, pois influencia diretamente na variação temporal da frequência. O sinal chirp gerado é então aplicado como uma entrada no atuador piezoelétrico, servindo, posteriormente, como a excitação no sistema massa-mola-amortecedor durante o processo de integração numérica. A análise do sistema sob a influência do sinal chirp permite estudar como as propriedades dinâmicas respondem a diferentes estimulações em termos de frequência e amplitude. 25 Os resultados obtidos dessa etapa são fundamentais para compreender como o sistema res- ponde a estímulos dinâmicos específicos, contribuindo para a caracterização do comportamento dinâmico do sistema massa-mola-amortecedor quando submetido a diferentes tipos de excita- ção. Essa compreensão é crucial para aplicações práticas em controle de vibrações e sistemas dinâmicos. 2.2.1 Simulação do Atuador Piezoelétrico com Sinal Chirp Neste contexto, foi considerado um atuador piezoelétrico de pilha (PZT) baseado no utili- zado por Ardelean et al. (2004), fabricado pela NOLIAC em material cerâmico, submetido a um sinal chirp. Para realizar essa simulação, inicialmente, foram definidos os parâmetros do PZT, como a área transversal da pastilha piezoelétrica, a constante piezoelétrica, o comprimento do conjunto piezoelétrico, entre outros, conforme Tabela 1. Tabela 1 – Parâmetros do PZT de pilha. Parâmetro Valor Unidade As 1 · 10−4 m2 s33 23 · 10−12 m2/N Ls 80 · 10−3 m d33 425 · 10−12 m/V tw 100 · 10−6 m d′33 5.97 · 10−6 (m/V)/m c33 4.5 · 1010 Pa N 800 - Fonte: Próprio autor. Em seguida, o sinal chirp foi gerado, levando em consideração parâmetros como frequência inicial, frequência final e tempo de simulação, conforme Tabela 2. Vale ressaltar, também, as fórmulas da taxa de variação da frequência do sinal chirp (cchirp) e da equação responsável pelo comportamento do sinal (Vchirp = V ). cchirp = (ωf − ωi) tmax ; (10) V = Vchirp = V0sin(ωit+ cchirpt 2) (11) A relação entre a entrada (chirp) e a saída (força gerada pelo atuador) é modelada pela Equação 9, que considera a complacência elástica do conjunto piezoelétrico, a espessura da pastilha, e outros parâmetros relevantes. Essa modelagem é crucial para compreender como a resposta do atuador varia de acordo com as características do sinal de entrada. 26 Tabela 2 – Parâmetros do sinal chirp. Parâmetro Valor Unidade fi 1 Hz ff 10 Hz ωi 2π rad/s ωf 20π rad/s V0 1 V tmax 5 s Fonte: Próprio autor. 2.3 SISTEMA MASSA-MOLA De forma a compreender melhor a força elástica que rege este sistema, a Figura 5(a) apre- senta uma mola em seu estado relaxado, ou seja, sem compressão ou alongamento. Uma das extremidades está fixa, enquanto a outra está conectada a um objeto que se comporta como uma partícula. Caso a mola seja estendida puxando o bloco para a direita, conforme representado na Figura 5(b), a mola exerce uma força, empurrando o bloco para a esquerda. Essa força elástica, também conhecida como força restauradora, busca restaurar o estado relaxado da mola. Por outro lado, se a mola for comprimida ao empurrar o bloco para a esquerda, como ilus- trado na Figura Figura 5(c), a mola responde empurrando o bloco de volta para a direita. Uma aproximação conveniente para muitas molas é considerar que a força Fel é proporcional ao des- locamento d⃗ da extremidade livre em relação à posição relaxada da mola. Nesse contexto, a força elástica segue a Lei de Hooke: F⃗el = −kd⃗ (12) De acordo com Halliday et al. (2014), o sinal negativo na equação indica que a direção da força elástica é sempre oposta ao deslocamento da extremidade livre da mola. A constante k é conhecida como constante elástica, ou constante de força, e representa a rigidez da mola. Quanto maior o valor de k, mais rígida é a mola, ou seja, maior é a força exercida pela mola para um determinado deslocamento. Na Figura 5, um eixo x foi traçado paralelamente à maior dimensão da mola, com a origem (x = 0) na posição da extremidade livre quando a mola está no estado relaxado. Para esta configuração comum, a Lei de Hooke pode ser expressa como: Fel = −kx (13) Nessa formulação, se x é positivo (indicando que a mola está alongada para a direita), Fel é negativo. Por outro lado, se x é negativo (indicando que a mola está comprimida para a es- querda), Fel é positivo. É importante notar que a força elástica é uma força variável, dependendo 27 Figura 5 – Movimento do sistema massa mola, sendo Fx, d⃗ e x, respectivamente, a força elás- tica, o vetor de deslocamento e a posição. x 0 (a) x=0 F =0x x 0 (b) x positivo F negativax d F x 0 (c) x negativo F positivaxd F Legenda: (a) Mola no estado relaxado. (b) Mola alongada. (c) Mola comprimida. Fonte: Adaptado de Halliday et al. (2014). de x, a posição da extremidade livre. Nesse contexto, uma das conclusões fundamentais derivadas da Segunda Lei de Newton é expressa pelo teorema trabalho-energia, que delineia como o trabalho W realizado sobre uma partícula é convertido em energia cinética. A capacidade de uma força realizar trabalho está intrinsecamente ligada aos conceitos de forças conservativas e não-conservativas, conforme dis- cutido por Young & Freedman (2014). Uma força é considerada conservativa quando o trabalho realizado sobre uma partícula, movendo-se entre dois pontos distintos, depende exclusivamente desses pontos e não da trajetória seguida. Exemplos notáveis de forças conservativas incluem a força gravitacional e a força elástica. Por outro lado, quando o trabalho realizado é dependente da trajetória percorrida, tem-se uma força não-conservativa, e essa característica está associada à presença de forças dissipativas. Estas últimas desempenham um papel crucial na determinação da natureza do trabalho realizado sobre um sistema físico. Vale ressaltar que a dissipação de energia está intrinsecamente ligada 28 à irreversibilidade de certos processos. A Figura 6 ilustra um sistema massa-mola-amortecedor de um grau de liberdade, onde m representa a massa do sistema, k é a constante de rigidez da mola, c é o coeficiente de amorte- cimento, x(t) denota o deslocamento do sistema, x0(t) é o deslocamento da base (podendo ser nulo ou fixo), e uc(t) representa a entrada de excitação, ou seja, a força externa aplicada sobre o sistema. Este modelo é fundamental para compreender a dinâmica de sistemas mecânicos sujeitos a forças externas. A análise destes sistemas desempenha um papel central em diversas áreas da física, engenharia e ciências aplicadas. Figura 6 – Sistema de um grau de liberdade com amortecedor. 0 x (t) m c x(t)u (t)c k Fonte: Próprio autor. 2.4 MÉTODO DE RUNGE-KUTTA Conforme Devries & Hasbun (2011), os métodos de Runge-Kutta, em análise numérica, constituem uma família de métodos iterativos, tanto implícitos quanto explícitos, que incluem o método de Euler, sendo empregados na discretização temporal para soluções aproximadas de equações não lineares simultâneas. Esses métodos foram desenvolvidos por volta de 1900 pelos matemáticos alemães Carl Runge e Wilhelm Kutta. 2.4.1 O Método de Runge-Kutta de 4a Ordem O membro mais conhecido da família de Runge-Kutta é geralmente referido como "RK4", o "método clássico de Runge-Kutta"ou simplesmente como "o método de Runge-Kutta". Suponha que um problema de valor inicial seja especificado da seguinte forma: dy dt = f(t, y), y(t0) = y0 (14) 29 onde, y é uma função desconhecida (escalar ou vetor) do tempo t, que se precisa aproximar. Sabe-se que dy dt , a taxa de variação de y, é uma função de t e de y. No tempo inicial t0, o valor correspondente de y é y0. A função f e as condições iniciais t0, y0 são fornecidas. Diante disso, um passo h > 0 é escolhido e define-se: yn+1 = yn + h 6 (k1 + 2k2 + 2k3 + k4) (15) tn+1 = tn + h (16) De acordo com Press et al. (2007) e Süli & Mayers (2003), para n = 0, 1, 2, 3, ..., usa-se: k1 = f(tn, yn) (17) k2 = f ( tn + h 2 , yn + h k1 2 ) (18) k3 = f ( tn + h 2 , yn + h k2 2 ) (19) k4 = f(tn + h, yn + hk3) (20) onde yn+1 é a aproximação RK4 de y(tn+1), e o próximo valor yn+1 é determinado pelo valor presente yn mais a média ponderada de quatro incrementos, onde cada incremento é o produto do tamanho do intervalo, h, e uma inclinação estimada especificada pela função f no lado direito da equação diferencial. • k1 é a inclinação no início do intervalo, usando y (método de Euler); • k2 é a inclinação no ponto médio do intervalo, usando y e k1; • k3 é novamente a inclinação no ponto médio, mas agora usando y e k2; • k4 é a inclinação no final do intervalo, usando y e k3. Conforme Süli & Mayers (2003), ao fazer a média das quatro inclinações, é dado maior peso às inclinações no ponto médio. Se f é independente de y, de modo que a equação diferencial seja equivalente a uma integral simples, então RK4 é a regra de Simpson. O método RK4 é um método de quarta ordem, o que significa que o erro de truncamento local (erro causado por uma iteração) está na ordem de O(h5), enquanto o erro total acumulado (o erro acumulativo causado por várias iterações) está na ordem de O(h4). Em muitas aplicações práticas, a função f é independente de t (um sistema autônomo ou sistema invariante no tempo, especialmente na física), e seus incrementos não são calculados nem repassados para a função f , sendo utilizada apenas a fórmula final para tn+1. 30 2.5 SISTEMA E A INTEGRAÇÃO NUMÉRICA COM RUNGE-KUTTA A escolha do método de Runge-Kutta se justifica pela sua eficiência e precisão na resolução de equações diferenciais ordinárias, utilizando a função ode45, a qual é baseada no método de Runge-Kutta explícito de quarta e quinta ordem. Considerada como a melhor função a ser usada como primeira tentativa em problemas não rígidos. Inicialmente, os parâmetros do sistema são definidos de maneira arbitrária (Tabela 3) e as equações de movimento do sistema massa-mola são expressas no formato de espaço de estados, considerando o deslocamento e a velocidade como variáveis de estado. Essa representação facilita a aplicação de métodos numéricos, como o Runge-Kutta, para resolver as equações diferenciais. Tabela 3 – Parâmetros do sistema massa-mola-amortecedor. Parâmetro Valor Unidade Frequência inicial (fi) 1 Hz Frequência final (ff ) 50 Hz Massa (m) 1 kg Coeficiente de amortecimento (c1) 0 N.s/m Coeficiente de amortecimento (c2) 1 N.s/m Frequência projetada (fp) 40 Hz Rigidez da mola (k) m · (2π · fp)2 N/m Fonte: Próprio autor. De forma a explicar o funcionamento do sistema massa-mola-amortecedor sem o acopla- mento do PZT, considere a Figura 6, com um bloco com massa m preso a um referencial inercial por uma mola de rigidez k e por um amortecedor de coeficiente de amortecimento c. A posição x(t) do bloco é medida a partir de um referencial inercial e x0(t) representa o deslocamento da base. Seguindo Inman (2001) e Rao (2008) como base e assumindo que x0(t) = 0, a equação do movimento é apresentada a seguir, onde M, D e K são respectivamente as matrizes de massa, amortecimento e rigidez, a variável Fnl representa a força interna não linear do amortecedor e uc, a força externa atuante sobre o sistema (nesse caso, poderia ser a excitação fornecida pelo PZT). Mẍ(t) + Dẋ(t) + Kx(t) + Fnl(t) = uc(t) (21) Emprega-se a notação no espaço de estados, onde A é a matriz de estado, Bu a matriz de entrada de controle, C a matriz de saída, Du a matriz de transmissão direta, ẋ(t) o vetor de coordenadas generalizadas/estados e y(t) a equação de observação. ẋ(t) = Ax(t) + Buuc(t) (22) 31 y(t) = Cx(t) + Duuc(t) (23) Quando o modelo matemático é formulado com base nas leis da física, as variáveis de estado refletem as diferentes formas de energia armazenadas no sistema. Em sistemas mecânicos, por exemplo, as variáveis de estado comumente correspondem à posição e à velocidade, que estão associadas à energia potencial e cinética, respectivamente. Dado que o sistema é de segunda ordem, compreende duas variáveis de estado, portanto, os estados do sistema são definidos como a posição e a velocidade da massa, representando, assim, as grandezas fundamentais que descrevem o comportamento dinâmico do sistema. Colocando na forma de espaço dos estados, tem-se ẋ1(t) e ẋ2(t): ẋ1(t) = x2(t) (24) ẋ2(t) = − k m x1(t)− c m x2(t) + uc(t) m − Fnl(t) m (25) Portanto, a equação de estado sob a forma matricial é definida como:{ ẋ1(t) ẋ2(t) } = [ 0 1 −k/m −c/m ]{ x1(t) x2(t) } + [ 0 1/m ] uc(t) + [ 0 −1/m ] Fnl(t) (26) A equação de saída na forma matricial é: y(t) = [ 1 0 ]{ẋ1(t) ẋ2(t) } (27) Sendo as matrizes: A = [ 0 1 −k/m −c/m ] (28) Bu = [ 0 1/m ] (29) C = [ 1 0 ] (30) Du = 0 (31) O método de Runge-Kutta é implementado computacionalmente para realizar a integração numérica ao longo do tempo. Esse processo permite obter as soluções numéricas para o des- locamento e a velocidade da massa acoplada à mola. É fundamental determinar como essas variáveis evoluem no tempo, principalmente quando o sistema é excitado pelo sinal proveniente do atuador piezoelétrico. A massa (m) representa a quantidade de matéria do objeto em movimento. Nesse contexto, essa massa pode representar a carga ou o objeto ao qual a força do PZT está sendo aplicada. Já a mola (k) representa a rigidez do sistema, ou seja, a resistência da mola em deformar-se 32 quando uma força é aplicada sobre ela. Quanto maior o valor de k, mais rígida é a mola. Por fim, o amortecedor (c) representa a capacidade do sistema de dissipar energia na forma de calor quando ocorre movimento, portanto, o amortecedor é o responsável por controlar a taxa de dissipação de energia no sistema, afetando a velocidade com que o sistema responde às forças aplicadas. Diante disso, o acoplamento do PZT de pilha no sistema se dará de duas formas: em paralelo e em série. A fim de entender os processos de acoplamento e suas implicações no sistema, foi necessário examinar as matrizes associadas a cada configuração, bem como compreender o sistema como um todo. Inicialmente foram abordadas a descrição das matrizes relevantes para o modelo tradicional, e em seguida, como essas matrizes foram modificadas para incorporar o acoplamento do PZT de pilha em paralelo e em série. 2.5.1 PZT em Paralelo Inicialmente, o PZT foi acoplado em paralelo com um sistema massa-mola-amortecedor, cuja configuração foi explícita conforme a Figura 7. Figura 7 – PZT acoplado em paralelo. k m PZT x(t) c Fonte: Próprio autor. De forma a compreender as matrizes associadas a essa configuração, fez-se o diagrama de corpo livre do sistema, o qual foi representado na Figura 8. Diante disso, a equação do movimento é representada a seguir. mẍ+ cẋ+ kx+ Fpzt = 0 (32) onde Fpzt = Fs = kpztu + C1V , em que os termos kpzt e C1 são os termos que multiplicam, respectivamente, o deslocamento (ξ) e a voltagem aplicada (V ) na Equação 9. 33 Figura 8 – Diagrama de corpo livre do sistema com o PZT acoplado em paralelo. m x(t) kxFpzt cx . mx .. Fonte: Próprio autor. mẍ+ cẋ+ kx+ kpztx+ C1V = 0 (33) mẍ+ cẋ+ (k + kpzt)x+ C1V = 0 (34) ẍ = −cẋ m − (k + kpzt)x m − C1V m (35) Portanto, a equação de estado sob a forma matricial é definida como:{ ẋ1(t) ẋ2(t) } = [ 0 1 −(k + kpzt)/m −c/m ]{ x1(t) x2(t) } + [ 0 −C1/m ] V (t) (36) 2.5.2 PZT em Série Para acoplar o atuador em série e manter as características dinâmicas do sistema, a massa de acoplamento mp deve ser representada por valores mais baixos em comparação com a do sistema, e neste caso mp = 0, 01 ·m. Sua representação é mostrada conforme Figura 9. 34 Figura 9 – PZT acoplado em série. k m PZT x(t) c mp x (t) 0 Fonte: Próprio autor. Para compreender as matrizes associadas a essa configuração, examina-se o diagrama de corpo livre do sistema, o qual é representado na Figura 10. Figura 10 – Diagrama de corpo livre do sistema com o PZT acoplado em série. mp mpx .. 0 Fpzt kxcx . 00 m x(t) mx .. Fpzt m p>>>m Fonte: Próprio autor. Os sistemas de matrizes resultantes para o sistema acoplado são escritos em termos das matrizes clássicas apresentadas anteriormente. A nova matriz de massa é obtida incluindo a massa de acoplamento diagonalmente, de modo que: 35 M = [ m 0 0 mp ] (37) A matriz de amortecimento: D = [ 0 0 0 c ] (38) A matriz de rigidez resultante é uma rigidez diagonal e simétrica adicionada da seguinte forma: K = [ kpzt −kpzt −kpzt k + kpzt ] (39) Por fim, a matriz multiplicativa da tensão aplicada: Bc = [ 0 C1 ] (40) Portanto, a equação de estado sob a forma matricial é definida como: ẋ(t) ẋ0(t) ẍ(t) ẍ0(t)  = [ 0 I −M−1K −M−1D ] x(t) x0(t) ẋ(t) ẋ0(t) +  0 0 −M−1Bc V (t) (41) onde I é a matriz identidade e 0 é uma matriz de zeros, ambas com a mesma dimensão da matriz M, isto é, 2x2. 36 3 RESULTADOS E DISCUSSÃO Este trabalho tem como objetivo investigar o comportamento dinâmico de sistemas piezoelé- tricos em diferentes configurações e condições de operação. Para alcançar esse objetivo, foram realizadas análises detalhadas do sinal de entrada, da força de saída do atuador, do deslocamento do atuador e da resposta do sistema massa-mola-amortecedor acoplado ao PZT em paralelo e em série. 3.1 SINAL DE ENTRADA E FORÇA DE SAÍDA DO ATUADOR Inicialmente, um sinal chirp foi aplicado como entrada para o atuador piezoelétrico, o qual foi configurado para variar de 1 Hz a 10 Hz ao longo de cinco segundos, como ilustrado na Figura 11. Como dito anteriormente, o sinal chirp é uma entrada comumente utilizada em testes dinâmicos, permitindo uma variação gradual da frequência ao longo do tempo. A análise do sinal chirp fornece uma compreensão detalhada da resposta dinâmica do sistema ao longo do tempo, possibilitando a observação de transições de frequência e mudanças na amplitude da entrada. Figura 11 – Representação do chirp aplicado. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Fonte: Próprio autor. Diante disso, a partir das Equações 6 e 9, obteve-se a força de saída do PZT, para um PZT único e para o arranjo geométrico de PZTs representadas respectivamente na Figura 12 e na Figura 13, devido ao chirp utilizado como entrada. Com base nesse comportamento, torna-se possível visualizar a influência do arranjo de atuadores piezoelétricos na força produzida. 37 Figura 12 – Força de saída do atuador piezoelétrico de pilha (PZT único). 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 10 4 Fonte: Próprio autor. Figura 13 – Força de saída do atuador piezoelétrico de pilha (arranjo de PZTs). 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 10 4 Fonte: Próprio autor. Após a análise dos gráficos de força de saída, nota-se que apesar das diferenças em suas es- truturas e mecanismos internos, a força de saída em ambos os casos é bastante semelhante, mas a força de saída para o arranjo sofre com uma discrepância mínima. No entanto, é importante ressaltar que o arranjo de atuadores se destaca por sua capacidade de amplificar geometrica- mente o deslocamento da pilha piezoelétrica e, apesar de gerar uma força de saída ligeiramente 38 menor em comparação com o atuador único, essa amplificação do deslocamento é crucial para aplicações que demandam um curso mais longo ou uma precisão superior. A Figura 14 e a Figura 15 retratam a Função de Resposta em Frequência da força de saída, efetuando, portanto, a transição do domínio temporal para o domínio de frequência. Esse pro- cedimento possibilitou a decomposição do sinal de força em suas componentes de frequência individuais, com o propósito de identificar as frequências presentes na força gerada pelos atua- dores. Ao fazer testes de vibração de componentes e dispositivos, esta análise permite que os en- genheiros inspecionem como os dispositivos reagem em frequências individuais. Isso significa que os espectros de frequência podem ajudar na otimização de designs, bem como na especifi- cação de limitações de deflexão. Os espectros da Transformada de Fourier também podem ser usados para determinar curvas de tolerância aceitáveis ao longo da faixa de frequência medida e para alertar os usuários quando os níveis de vibração críticos são excedidos em frequências específicas. Figura 14 – FRF da força de saída do atuador piezoelétrico de pilha (PZT único). 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 200 400 600 800 1000 1200 Fonte: Próprio autor. 39 Figura 15 – FRF da força de saída do atuador piezoelétrico de pilha (arranjo de PZTs). 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 200 400 600 800 1000 1200 Fonte: Próprio autor. A análise da FRF revela informações valiosas sobre as características de ressonância e a res- posta dinâmica do sistema em diferentes faixas de frequência. Por exemplo, a identificação de picos na FRF indica frequências naturais do sistema, enquanto a amplitude desses picos fornece uma ideia sobre a energia associada a cada frequência, visto que a energia de um sinal guarda relação direta com a amplitude do sinal ao quadrado (Amplitude2). Essas informações são essen- ciais para o projeto e otimização de sistemas piezoelétricos, permitindo aos engenheiros ajustar os parâmetros do sistema para atender aos requisitos específicos de desempenho. Além das forças geradas pelos PZTs, foi analisado o deslocamento (ξ) do próprio atuador em resposta ao sinal chirp. O deslocamento é uma medida crucial para avaliar o comportamento dinâmico do sistema e sua capacidade de resposta a estímulos externos. O comportamento do deslocamento foi representado conforme Figura 16, além de anotar no gráfico o valor máximo suportado pelo o atuador, isto é, sem que ele se danifique (ξmax = 163µm). 40 Figura 16 – Deslocamento da ponta do atuador em relação ao tempo. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 10 -4 Fonte: Próprio autor. Posteriormente, antes de apresentar o sistema massa-mola-amortecedor com o acoplamento do PZT, é essencial contextualizar a configuração inicial do sistema, representado conforme Figura 17. Portanto, no estado não acoplado (sem o PZT), o sistema opera exclusivamente com seus elementos constituintes de massa, mola e amortecedor, apresentando uma frequência natural de oscilação de 40Hz. Figura 17 – FRF do sistema massa-mola-amortecedor (sem acoplamento do PZT). 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 -100 -95 -90 -85 -80 -75 -70 -65 -60 -55 Fonte: Próprio autor. 41 Dessa forma, a análise da FRF oferece uma base fundamental para compreender o compor- tamento dinâmico intrínseco do sistema sem a influência direta do PZT, permitindo uma análise comparativa com os resultados obtidos após a introdução do acoplamento. Por fim, a força de saída do arranjo de atuadores piezoelétricos de pilha calculada é aplicada como entrada em um sistema massa-mola, o qual é aliado a integração usando o método de Runge-Kutta de Quarta Ordem e representa o sistema no espaço de estados, de forma a analisar as respostas dinâmicas do sistema. 3.2 PZT EM PARALELO Devido à alta rigidez do material piezoelétrico, os sistemas nos quais ele é aplicado muitas vezes se tornam "stiff ", ou seja, apresentam uma diferença significativa nas escalas de tempo dos fenômenos físicos envolvidos. No caso do arranjo de PZTs em paralelo, essa rigidez adicional do material piezoelétrico modificou de forma importante o sistema, tornando-o especialmente difícil de resolver numericamente e, portanto, requerendo uma investigação de um diferente mé- todo de integração numérica. No entanto, esse aspecto não é considerado escopo deste trabalho. O método de integração numérica de Runge-Kutta enfrenta desafios ao lidar com esses pro- blemas "stiff ", pois requer passos de integração muito pequenos para garantir a estabilidade numérica da solução. Isso resulta em um aumento significativo no tempo computacional neces- sário para obter soluções precisas, tornando o método impraticável para este caso (acoplamento em paralelo). Assim, a análise desse sistema requer abordagens computacionais alternativas que possam lidar eficientemente com sua rigidez inerente. Portanto, optou-se por apresentar apenas o gráfico da Função de Resposta em Frequência (FRF) para o arranjo paralelo. Esse gráfico é apresentado na Figura 18 e destaca a resposta dinâmica do sistema em altas frequências, visto que seu pico foi em 1174Hz, evidenciando a influência predominante da rigidez do PZT na dinâmica global do sistema. Essa escolha visa enfatizar a natureza da dinâmica em alta frequência do sistema devido à presença do PZT e à rigidez associada. 42 Figura 18 – FRF do sistema massa-mola-amortecedor (com acoplamento do PZT em paralelo) 1050 1100 1150 1200 1250 1300 -140 -130 -120 -110 -100 -90 -80 -70 -60 Fonte: Próprio autor. 3.3 PZT EM SÉRIE Ao considerar a configuração do PZT em série, nota-se que os efeitos são diferentes em comparação com o arranjo em paralelo. No caso do sistema sem amortecimento (c1 = 0), as oscilações resultantes da interação entre o PZT e o sistema massa-mola são claramente delineadas, proporcionando uma compreensão visual da resposta dinâmica do sistema à excitação, conforme Figura 19 e Figura 20. Esse cenário permite observar como o sistema se comporta quando não há dissipação de energia, mantendo suas oscilações indefinidamente ao longo do tempo. Esse tipo de comportamento é característico de sistemas ideais ou situações em que não há resistência ao movimento, como no caso de um pêndulo sem atrito. 43 Figura 19 – Deslocamento no PZT no sistema acoplado em série sem amortecimento. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 10 -9 Fonte: Próprio autor. Figura 20 – Deslocamento na massa de acoplamento mp no sistema acoplado em série sem amortecimento. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 10 -8 Fonte: Próprio autor. Para o caso sem amortecimento (c = 0), a oscilação persiste sem diminuir em amplitude ao longo do tempo, resultando em um movimento que continua indefinidamente sem dissipação de energia. O sistema exibe uma resposta caracterizada por oscilações periódicas com uma amplitude que não é atenuada ao longo do tempo. 44 A análise posterior com c2 = 1Ns/m visa estudar como o sistema responde quando subme- tido a um amortecimento mínimo, representadas pela Figura 21 e Figura 22. Essa abordagem permite observar como o sistema se estabiliza ao longo do tempo, mitigando as oscilações de maneira gradual até atingir um estado de equilíbrio. Essa configuração fornece informações va- liosas sobre como o amortecimento influencia a resposta dinâmica do sistema e sua capacidade de dissipar energia ao longo do tempo. Figura 21 – Deslocamento no PZT no sistema acoplado em série com amortecimento. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 10 -9 Fonte: Próprio autor. 45 Figura 22 – Deslocamento na massa de acoplamento mp no sistema acoplado em série com amortecimento. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 10 -8 Fonte: Próprio autor. Diante disso, é possível observar que o deslocamento do sistema é menor que o suportado pelo PZT, visto que ξmax = 163µm, portanto, essa aplicação não danifica o atuador. Ao analisar a Função de Resposta em Frequência (FRF) do sistema massa-mola-amortecedor com o PZT em série, observa-se padrões distintos que refletem a influência do acoplamento do PZT na resposta dinâmica do sistema. As FRFs fornecem uma representação visual das carac- terísticas de vibração do sistema em relação à frequência da entrada, permitindo a identificação de picos de ressonância, modos de vibração predominantes e a eficácia do PZT em modular a resposta do sistema em frequências específicas. Esse gráfico, representado na Figura 23, des- taca a resposta dinâmica do sistema em menores frequências, visto que seu pico foi em 38.6Hz, evidenciando a disparidade com o acoplamento em paralelo. 46 Figura 23 – FRF do sistema massa-mola-amortecedor (com acoplamento em série). 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 -100 -90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 Fonte: Próprio autor. Como a variação dos níveis de amortecimento (c1 e c2) é pequena, sua influência não é notada neste gráfico em específico, entretanto, pode-se observar como a presença do PZT afeta a distribuição de energia ao longo do espectro de frequência. 47 4 CONSIDERAÇÕES FINAIS Este capítulo apresenta considerações finais acerca do trabalho desenvolvido, bem como algumas propostas de trabalhos futuros seguindo a linha de excitação de estruturas dinâmicas com atuadores piezoelétricos. 4.1 CONCLUSÕES Ao considerar as implicações do número de pilhas no arranjo de atuadores piezoelétricos na resposta dinâmica do sistema, é fundamental reconhecer que esse parâmetro exerce uma influência direta e significativa no desempenho do sistema como um todo. A força de saída do PZT é determinada pelo número de pilhas, o que, por sua vez, afeta a magnitude e a natureza da entrada fornecida ao sistema dinâmico. Em essência, o número de pilhas influencia a capacidade do sistema de gerar e controlar a força de saída, desempenhando um papel crucial na eficiência, na estabilidade e na resposta do sistema a diferentes condições de operação. Portanto, uma consideração cuidadosa e uma otimização adequada do número de pilhas são essenciais para garantir um desempenho ideal do sistema em uma variedade de aplicações. O atuador de geometria em V apresenta uma série de características especiais que o distin- guem e o tornam uma escolha notável para diversas aplicações. Primeiramente, destaca-se seu mecanismo de pré-carregamento integrado, no qual os conjuntos reagem uns contra os outros, eliminando a necessidade de elementos elásticos convencionais. Além disso, sua notável simetria é digna de nota, pois transmite a mesma força e curso em ambas as direções, em relação à posição neutra. Essa característica proporciona um desempenho consistente e equilibrado, independentemente da direção de operação. Outra vantagem significativa é a facilidade com que suas características, como força e curso, podem ser ajustadas. Isso pode ser feito simplesmente alterando o ângulo construtivo ou mo- vendo o ponto de saída em relação ao ponto de pivô da alavanca, oferecendo uma flexibilidade excepcional para atender a diferentes requisitos de aplicação. Ademais, a simplicidade de sua construção é notável, permitindo que todas as peças sejam usinadas de forma convencional e utilizando materiais comuns, como aço e bronze, para os elementos inativos. Isso não apenas simplifica o processo de fabricação, mas também torna o atuador economicamente viável. Finalmente, a dominância dos conjuntos piezoelétricos no comportamento do atuador su- gere um potencial significativo para melhorias futuras. À medida que novos conjuntos piezo- elétricos de melhor desempenho são desenvolvidos, espera-se que o desempenho do atuador também melhore substancialmente. Além disso, a eficiência de massa do atuador pode ser aprimorada utilizando materiais de alto desempenho, como compósitos de alta resistência. 48 Por outro lado, a aplicação da técnica de integração numérica via método de Runge-Kutta no espaço de estados para simular o comportamento do sistema representou um marco signi- ficativo no estudo e na compreensão das características dinâmicas do sistema. Este método oferece uma abordagem robusta e eficaz para modelar sistemas dinâmicos complexos, permi- tindo uma análise detalhada do comportamento ao longo do tempo. A utilização do método de Runge-Kutta proporciona uma solução numérica precisa para as equações diferenciais que descrevem o sistema, permitindo uma simulação mais confiável do comportamento dinâmico sob uma variedade de condições de entrada. Como resultado, essa abordagem não apenas for- nece insights valiosos sobre o comportamento do sistema em diferentes cenários, mas também oferece uma base sólida para otimização, projeto e desenvolvimento de sistemas dinâmicos em diversas áreas de aplicação. Por fim, o gráfico de deslocamento mostra como a posição do objeto varia ao longo do tempo sob a influência das forças aplicadas e, nesse caso, esse gráfico mostra como a carga ou objeto se move em resposta à força gerada pelo PZT. Além da força aplicada ao sistema, vale ressaltar a presença de possíveis forças de atrito e resistência. Caso haja atrito entre a massa e o ambiente circundante, como o atrito do ar ou o atrito entre a massa e a própria superfície, isso pode causar uma desaceleração gradual da massa, resultando em uma diminuição na velocidade ao longo do tempo. Ademais, dependendo do ambiente em que o sistema estiver localizado, pode haver, também, outras forças de resistência, como resistência do fluido, que podem afetar a velocidade do sistema. Outro fator a se analisar é como as propriedades do sistema massa-mola afetam a resposta, nos gráficos foi possível visualizar efetivamente o efeito do coeficiente de amortecimento (c), mas também podem haver mudanças quanto a massa (m) e/ou a rigidez da mola (k). Um coeficiente de amortecimento maior resultará em uma resposta mais amortecida do sistema, isto é, o sistema levará menos tempo para atingir o equilíbrio após a aplicação de uma força externa, pois a energia será dissipada mais rapidamente. Uma maior massa resultará em uma resposta mais lenta do sistema, pois requer mais energia para acelerar ou desacelerar. Já quanto maior a rigidez da mola, mais rápida será a resposta do sistema às forças aplicadas, visto que uma mola mais rígida tenderá a resistir mais à deformação, resultando em um movimento mais rápido. 4.2 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS • Inclusão de efeitos térmicos no sistema, alterando as propriedades materiais e, por con- seguinte, o desempenho do atuador piezoelétrico. O desenvolvimento de um modelo que leve em conta esses efeitos térmicos pode proporcionar uma representação mais precisa e robusta do sistema. • Explorar outras formas de excitação pode ser igualmente relevante. A análise de como o sistema responde a diferentes tipos de sinais, como ondas senoidais, impulsos ou formas 49 de onda complexas, pode fornecer dados adicionais sobre o comportamento dinâmico do sistema. • Considerando a complexidade do sistema modelado, colaborações interdisciplinares po- dem enriquecer o estudo. A integração de conhecimentos de engenharia mecânica, elé- trica e de materiais pode proporcionar uma compreensão mais holística do comporta- mento do atuador piezoelétrico e do sistema como um todo. 50 REFERÊNCIAS Ardelean, E. V., Cole, D. G. & Clark, R. L. (2004), ‘High performance v-stack piezoelectric actuator’, Journal of Intelligent Material Systems and Structures 15, 879–889. Calders, K. & Liu, J. (2017), ‘Application of infrared thermography for railway track defect detection’, Journal of Nondestructive Evaluation 36(3), 1–13. Cawley, P., Adams, R. D., Mingjing, T., Gachagan, A. & Hayward, G. (2003), ‘Guided wave inspection of rail’, Research in Nondestructive Evaluation 14(1), 23–37. Devries, P. L. & Hasbun, J. E. (2011), A first course in computational physics, 2 edn, Jones and Bartlett Publishers, Massachusetts, EUA. Goldfarb, M. & Celanovic, N. (1997), ‘Modeling piezoelectric stack actuators for control of micromanipulation’, IEEE Control Systems Magazine 17(3), 69–79. 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