% %% � � � , , ,, � �� �� IFTe ee @ @@ l l l Q QQ HHPPPXXX hhhh (((( ��� Paulo Henrique Ortega Aspectos Clássicos da Eletrodinâmica de Podolsky São Paulo 29 de Abril de 2014 % %% � � � , , ,, � �� �� e ee @ @@ l l l Q QQ HHPPPXXX hhhh (((( ��� IFT Instituto de Física Teórica Universidade Estadual Paulista DISSERTAÇÃO DE MESTRADO IFT–D.010/14 Aspectos Clássicos da Eletrodinâmica de Podolsky Paulo Henrique Ortega Orientador Prof. Bruto Max Pimentel Escobar Coorientador Prof. Carlos Alberto Bonin 29 de Abril de 2014 Dedico este trabalho, À minha mãe Maria, que é meu exemplo de força e perseverança. Ao meu irmão Ricardo, que me en- sinou que, por mais que a vida seja dura, devemos continuar lu- tando sempre. Ao meu amigo Luiz Henrique, que me mostrou que irmãos não são só de sangue. Agradecimentos Agradeço à minha mãe Maria e ao meu irmão Ricardo por todo amor e confiança que sempre me deram. Devo minha vida a eles e tenho certeza que sem eles eu não chegaria onde cheguei. Agradeço ao meu orientador Prof. B. M. Pimentel e ao meu coorientador Prof. C. A. Bonin pela paciência e pelos ensinamentos cedidos a mim durante estes dois anos de tra- balho. Suas inestimáveis amizades levarei comigo por toda a vida. Agradeço à Laura Inês Marques Candia, amiga querida por toda a família, por sua ajuda no início de meu mestrado. Sem ela este sonho não seria realizado. Agradeço aos meus grandes amigos Bruno Gindri, Fabiana Andrade de Oliveira, Fabrízio Caffarena, Fernando Oliveira Martins, Gabriel Nicolaev, João Lúcio França Maciel, Luiz Henrique Lemes Marques, Mariano Filho, Mayara Guimarães e Paolla Loubet que me mostraram que as maiores riquezas que uma pessoa pode ter são a amizade e a parceria daqueles que o consideram um irmão. Agradeço aos meus novos amigos do IFT Ana Lúcia, Anderson, Carlisson, Daneele, Da- niel Reyes, Ernany, Fagner, George, Guilherme, Henrique, Jhosep, Jonathan, Natália, Nathaly, Mario, Pablo, Patrice, Pedro, Renato, Segundo, Tatiana e Thiago Peixoto por fazerem minha passagem pelo IFT muito mais agradável. Obrigado por participarem desta fase de minha formação, acrescentando para meu conhecimento em Física e me enriquecendo como ser humano. Agradeço ao IFT pela imensa infraestrutura e recursos disponibilizados a mim. Agradeço a todos os funcionários do IFT e, em especial, à Neila e à Rosane por toda a atenção dedicada para com os alunos. Agradeço à CAPES pelo apoio financeiro durante meu mestrado. "A coisa mais indispensável a um homem é reconhecer o uso que deve fazer de seu próprio conhecimento". (Platão) Resumo A Eletrodinâmica Generalizada foi desenvolvida por Boris Podolsky em 1942 e trata-se de uma generalização da teoria de Maxwell, na qual é acrescentando na lagrangiana de Maxwell um termo que envolve a segunda derivada do campo eletromagnético. Atualmente chamada de Eletrodinâmica de Podolsky, foi mostrado que esta teoria é a única generalização de segunda ordem invariante de gauge possível para a Eletrodinâmica de Maxwell, tornando esta teoria uma alternativa para o estudo dos fenômenos eletromagnéticos. Neste contexto, nosso trabalho tem como objetivo investigar os aspectos clássicos da Eletrodinâmica de Podolsky. Inicialmente, estudamos o formalismo lagrangiano para teorias de segunda ordem, aplicando posteriormente à teoria de Podolsky. Em seguida, prosseguimos para o estudo da teoria de multipolos sob a perspectiva da Eletrodinâmica de Podolsky, aplicando os resultados obtidos em alguns exemplos da Eletrostática e Magnetostática, além de realizarmos a expansão multipolar para esta teoria que, até onde sabemos, não tinha sido obtida. Por último, abordamos os conceitos básicos da teoria de Radiação, obtendo a função de Green da equação do quadripotencial eletromagnético de Podolsky e também os potenciais de Liénard-Wiechert-Podolsky. Palavras-chave: Eletrodinâmica de Podolsky; Funções de Green; Expansão Multipolar; Área de Conhecimento: Eletromagnetismo. Abstract The Generalized Electrodynamics was developed by Boris Podolsky in 1942 and it is a general- ization of Maxwell’s theory where Podolsky added a new term to the Maxwell’s Lagrangean with a second derivative of the electromagnetic field. It was shown that Podolsky’s Electrodynamics is the only possible generalization of a second gauge invariant to Maxwell’s Electrodynamics. In this context, our work aims a study of some classical properties of Podolsky’s Electrodynamics. We study multpole theory in Podolsky’s Electrodynamics applying the results to some exam- ples in Electrostatic and Magnetostatic. We also find the multipolar expansion in this study, which was something that, to our knowledge, has not been done so far. Lastly, we approach the basic concepts of the Radiation Theory and we obtain the Green’s Function of the Podolsky’s Electromagnetic four-potencial and the Liénard-Wiechert-Podolsky’s potentials. Keywords: Podolsky’s Electrodynamics; Green’s Functions; Multipolar Expansion; Knowledge Area: Electromagnetism. Sumário 1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Teoria de Campos para Lagrangianas com Derivadas de Segunda Or- dem nos Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Os operadores δ e δ, suas relações com o operador diferencial covariante e a variação de um elemento infinitesimal de hipervolume . . . . . . . . . . . 14 2.3 A variação da Ação por transformações globais . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4 Transformações a ponto fixo: As equações de Euler-Lagrange . . . . . . . . 18 2.4.1 As Equações de Podolsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4.2 A Conservação da Carga Elétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.5 Transformações de Simetria e o Teorema de Noether . . . . . . . . . . . . 23 2.5.1 Transformações de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.5.2 Translações Espaço-temporais: Tensor Energia-Momento . . . . . . 27 2.5.3 O Tensor Energia-Momento da Eletrodinâmica de Podolsky . . . . 29 2.5.4 Transformações de Lorentz e Rotações: Tensor Momento Angular e Tensor Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.5.5 Os Tensores Momento Angular Orbital e Spin da Eletrodinâmica de Podolsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3 Teoria de Multipolos na Eletrodinâmica de Podolsky . . . . . . . . . . 36 3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2 As Equações de Podolsky para o caso estático e a Condição de Coulomb Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.3 A Eletrostática de Podolsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.3.1 A Carga Puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.3.2 O Dipolo Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3.3 Expansão Multipolar na Eletrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.3.4 Exemplo: Expansão Multipolar do Potencial Escalar Elétrico de um Disco Carregado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.4 A Magnetostática de Podolsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.4.1 Correntes Estacionárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.4.2 Alguns Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.4.3 Expansão Multipolar na Magnetostática . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.4.4 Exemplo: Expansão Multipolar do Potencial Vetorial Magnético de uma Espira Circular com Corrente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4 Teoria da Radiação na Eletrodinâmica de Podolsky . . . . . . . . . . . 72 4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.2 Condição de Lorenz Generalizada e a Equação para o Quadripotencial Ele- tromagnético de Podolsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.3 As Funções de Green Retardada e Avançada da Equação do Quadripoten- cial Eletromagnético de Podolsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.3.1 Funções de Green e Causalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.3.2 Funções de Green Retardada e Avançada da Equação do Quadripo- tencial Eletromagnético de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.3.3 Funções de Green Retardada e Avançada da Equação de Klein- Gordon-Fock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.3.4 O limite de m→ +∞ da função de Green retardada da equação do campo eletromagnético de Podolsky. . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.4 Os Potenciais de Liénard-Wiechert-Podolsky . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5 Conclusões e Perspectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5.1 Conclusões sobre os resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5.2 Perspectivas futuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 APÊNDICE A A Função de Green da Equação do Potencial Escalar Elétrico de Podolsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 A.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 A.2 Função de Green da Equação do Potencial Escalar Elétrico de Podolsky . . 105 APÊNDICE B A Função de Green da Equação de Helmholtz Modificada110 B.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 B.2 A Equação de Helmholtz Modificada e sua Função de Green . . . . . . . . 110 B.2.1 Obtenção da Função de Green da EHM por Transformada de Fourier111 B.2.2 Obtenção da Função de Green da EHM por Expansão em Série de Harmônicos Esféricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 APÊNDICE C A Função de Green da Equação do Potencial Escalar Elétrico de Podolsky para a Expansão Multipolar . . . 122 C.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 C.2 Função de Green para a Expansão Multipolar . . . . . . . . . . . . . . . . 122 ANEXO A Algumas Definições Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . 126 A.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 A.2 O Sistema de Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 A.3 O Espaço Quadridimensional de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 A.4 O Espaço Euclidiano Tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 A.5 Os Espaços dos Momentos Tridimensional e Quadrimensional . . . . . . . . 128 ANEXO B O Teorema da Adição de Harmônicos Esféricos . . . . . . . 130 B.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 B.2 O Teorema da Adição de Harmônicos Esféricos . . . . . . . . . . . . . . . . 130 10 Capítulo 1 Introdução Quando Joseph-Louis Lagrange, em 1788, desenvolveu uma nova formulação da mecânica que denominou por “mecânica analítica” [1], ele baseou a mesma na existência de uma função escalar L, hoje chamada de função de Lagrange ou apenas Lagrangiana, que depende das posições e das velocidades do sistema de partículas em questão. O fato de que a dependência da lagrangiana de um sistema é, com exceção das posições das partículas, no máximo nas velocidades das mesmas partículas surge pois as equações de Lagrange, que fornecem as equações de movimento do sistema, são deduzidas a partir da segunda lei de Newton [2]. A princípio, o fato de que inúmeros fenômenos físicos são bem descritos por equações diferenciais de segunda ordem é uma coincidência. Desta forma, qualquer generalização da função de Lagrange para que inclua a dependência em derivadas de ordem superior da posição é válida, pois diferentes formalismos permitem diferentes maneiras de se visualizar um determinado problema. Em 1850, Ostrogradski generalizou o formalismo de Lagrange e de Hamilton estendendo-os para qualquer ordem de derivadas da posição [3]. Ele também mostrou que as equações de Euler-Lagrange sempre podem ser substituídas por um conjunto equi- valente de equações diferenciais de primeira ordem, além de generalizar a forma dos mo- mentos canonicamente conjugados. Motivado pelo trabalho de Ostrogradski, Podolsky generalizou a Eletrodinâmica de Maxwell acrescentando na lagrangiana de Maxwell um termo que envolve a segunda derivada do campo eletromagnético multiplicado por uma constante com dimensão de inverso de energia ao quadrado, hoje chamada de parâmetro de Podolsky [4]. Neste caso, a Eletrodinâmica de Maxwell é vista como o limite da teoria de Podolsky quando a cons- tante de Podolsky tende a zero. Sua justificativa para tal generalização é baseada em que a única maneira de generalizar a teoria de Maxwell de modo a manter a linearidade da Capítulo 1. Introdução 11 mesma é acrescentando termos na lagrangiana que envolvem derivadas de ordem supe- rior nos campos. Ele também comenta que as divergências na região do ultravioleta são melhores tratadas quando se consideram equações diferenciais de ordem superior a dois. Em trabalhos seguintes, Podolsky e Kikuchi constroem a versão quântica de sua teoria, estendendo o método de Heisenberg-Pauli para teorias de segunda ordem [5]. Isto motivou os físicos a estudarem teorias de ordem superior. Em 1978, Mušik es- tudou o formalismo canônico obtendo o teorema de Liouville generalizado [6]. Em 1984, Baker et al. argumentaram que, para grandes distâncias e em regime de acoplamento forte, a teoria de Yang-Mills podia ser aproximada por uma teoria efetiva, cuja lagran- giana continha um termo que envolve a segunda derivada do campo de gauge [7]. Em 1987, Galvão e Pimentel estudaram a estrutura canônica da Eletrodinâmica de Podolsky, obtendo um resultado muito interessante: a condição de Lorenz não é a condição de gauge correta para a Eletrodinâmica de Podolsky [8]. Os motivos pelos quais eles defendem esta ideia são baseados no fato que o campo eletromagnético de Podolsky apresenta cinco graus de liberdade físicos – dois relacionados a um modo não-massivo e três relacionados a um modo massivo – e 8 graus de liberdade aparentes. A condição de Lorenz não contemplava estes outros três graus de liberdade relacionados ao modo massivo, se mostrando então incorreta. Outro motivo apontado é que a condição de Lorenz quebrava a invariância da teoria por transformações de Lorentz, não preservando a evolução temporal do sistema. Neste trabalho eles obtiveram a condição de gauge correta, chamando-a de condição de Lorenz generalizada, fazendo a análise de vínculos à la Dirac da teoria de Podolsky. Outros trabalhos envolvendo a Eletrodinâmica de Podolsky também foram reali- zados. Em 1996, Frenkel resolveu o problema de 4/3 da eletrodinâmica clássica partindo da hipótese que o campo eletromagnético satisfaz a lagrangiana de Podolsky [9]. Como resultado adjacente, ele calculou a autoenergia de uma carga puntual, mostrando que de fato é finita. Em 2006, Cuzinatto et al. obtiveram um resultado muito importante: a Eletrodinâmica de Podolsky é a única teoria de segunda ordem que é invariante pelos grupos de Lorentz e U(1) local, fazendo dela a única generalização de segunda ordem para a Eletrodinâmica de Maxwell [10]. Em 2010, Bonin et al. realizaram um estudo da Eletrodinâmica de Podolsky a temperatura finita [11]. Eles mostraram que isto implicaria em uma nova expressão para a lei de Stefan-Boltzmann, alterando a constante de σ. A nova “constante” σ é dada pela constante de Stefan-Boltzmann usual acrescida de uma correção que depende explicitamente da da temperatura e da constante de Podolsky, esta que é igual a raiz quadrada da metade do inverso do parâmetro de Podolsky. Eles tam- bém obtiveram um limite experimental inferior da constante de Podolsky, argumentando que se existe tal correção na constante de Stefan-Boltzmann, esta deve ser no máximo igual ao erro experimental de medida da mesma constante. A dependência na tempe- ratura foi tratada utilizando o valor da temperatura da radiação cósmica de fundo de Capítulo 1. Introdução 12 microondas, este que tem um espectro de um corpo negro muito bem acurado. O limite obtido foi m & 4 MeV . Um limite mais recente foi obtido por Bufalo et al. em [12], estudando o momento magnético do elétron. O valor obtido foi m > 3, 7595× 1010 eV . A Eletrodinâmica de Podolsky também foi aplicada para o estudo do problema de Landau não-comutativo [13] e o Efeito Casimir [14], mostrando que é possível a investigação dos fenômenos físicos por meio de teoria de ordem superior. Nestas circunstâncias, o objetivo deste trabalho é realizar um estudo clássico da Eletrodinâmica de Podolsky. Dividimos o trabalho de maneira que seja possível a análise da Eletrodinâmica de Podolsky em diferentes aspectos. No primeiro capítulo fazemos um estudo do formalismo lagrangiano para teoria de segunda ordem. Obtemos as equações de Euler-Lagrange e estendemos o teorema de Noether para tais teorias. Uma aplicação à Eletrodinâmica de Podolsky é realizada neste capítulo, obtendo as equações de Podolsky, que são as equações de movimento para o campo eletromagnético de Podolsky, além dos tensores Energia-Momento e de Momento Angular Total da teoria. O segundo capítulo consiste do estudo da teoria de multipolos sob a perspectiva da teoria de Podolsky. Este capítulo é divido em três seções: a primeira seção comenta sobre as equações de Podolsky em termos do potencial escalar elétrico e do potencial vetorial magnético. A segunda seção aborda a Eletrostática de Podolsky, aplicando em alguns exemplos e realizando a expansão multipolar para o potencial escalar elétrico, que é verificada para o caso de um disco carregado uniformemente. A terceira seção investiga a Magnetostática de Podolsky, também aplicando para alguns exemplos e realizando a expansão multipolar do potencial vetorial magnético. O terceiro capítulo aborda os conceitos básicos da teoria de Radiação, obtendo a função de Green da equação do quadripotencial eletromagnético de Podolsky e também os potenciais de Liénard-Wiechert-Podolsky. O último capítulo é o de Conclu- sões e Perspectivas, no qual comentamos sobre os resultados obtidos e propomos alguns temas que podem ser estudados por meio da Eletrodinâmica de Podolsky. Os detalhes que julgamos importante foram colocados em formato de apêndices e também fizemos dois anexos: um sobre as definições que utilizamos e outro sobre o teorema da adição de harmônicos esféricos, resultado que utilizamos em um dos apêndices. 13 Capítulo 2 Teoria de Campos para Lagrangianas com Derivadas de Segunda Ordem nos Campos 2.1 Introdução Nesta capítulo estudaremos o formalismo lagrangiano para uma teoria de cam- pos cuja densidade de lagrangiana possua derivadas de ordens superiores nos campos. Limitar-nos-emos ao caso em que a densidade de lagrangiana da teoria tenha até se- gundas derivadas nos campos, ou melhor, consideraremos o caso de uma densidade de lagrangiana do tipo L = L(ϕi, ∂µϕi, ∂µ∂νϕi).1 A Eletrodinâmica de Podolsky, objeto de estudo desta dissertação, é uma teoria cuja densidade de lagrangiana possui segundas derivadas nos campos. Isto mostra que este estudo preliminar será muito útil. Para tanto, estabeleceremos sob quais circunstâncias o funcional de Ação de um determinado sistema físico será invariante por transformações globais de coordenadas, isto é, transformações cujo parâmetro independe do ponto do espaço-tempo. Para isso, defini- remos dois operadores que ajudarão a destacar os efeitos da transformação sob o funcional de Ação. Em seguida, tomaremos dois tipos especiais de transformações e veremos suas implicações. Para os dois tipos de transformações adotados, faremos uma aplicação para a Eletrodinâmica de Podolsky. 1 Para este tipo de densidade de lagrangiana daremos o nome de densidade de lagrangiana de segunda ordem por simplicidade Capítulo 2. Teoria de Campos para Lagrangianas com Derivadas de Segunda Ordem nos Campos 14 2.2 Os operadores δ e δ, suas relações com o operador diferencial covariante e a variação de um elemento infinitesimal de hipervolume Seja A : FΩ → R tal que FΩ é o conjunto das funções de classe C4 em Ω, este que é um subconjunto fechado, limitado e simplesmente conexo do espaço de Minkowski2, e R é o conjunto dos números reais. Diremos que A é o funcional de Ação3 de um dado sistema físico se a relação que o define é dada por A[ϕi] = ˆ Ω d4xL(ϕi, ∂µϕi, ∂µ∂νϕi), (2.1) com L a densidade de lagrangiana do sistema físico em questão e ϕi ≡ ϕi(x) é um campo de FΩ. O índice subscrito i indica o tipo do campo. O princípio de Ação de Hamilton estabelece que a evolução do sistema físico é tal que extremiza o funcional de Ação. Entende-se por extremizar obter as condições nas quais δA = 0. No caso geral, a variação da Ação é feita por meio de variações nos campos e nos eventos nos quais os campos são calculados. Seja uma transformação infinitesimal nos eventos e nos campos da forma xµ −→ x′µ = xµ + δxµ, (2.2) ϕi(x) −→ ϕ′i(x ′) = ϕi(x) + δϕi(x), (2.3) sendo que δxµ e δϕi são funções de x, δϕi é chamado de variação total de ϕi com δϕi � 1 e as distâncias espacial e temporal entre xµ e δxµ são arbitrariamente pequenas. Chama- remos qualquer função de δxµ ou δϕi de infinitésimo. A variação na Ação é dada da seguinte maneira δA[ϕi] = ˆ Ω (δL)d4x+ ˆ Ω Lδ ( d4x ) . (2.4) É preciso atenção com o operador δ, pois o mesmo é afetado pela variação δxµ, como veremos mais à frente. Para ajudar no desenvolvimento de nosso estudo, definiremos a variação na forma de ϕi, que denotaremos por δϕi e é dada por δϕi(x) = ϕ′i(x)− ϕi(x). (2.5) Para uma transformação infinitesimal, δϕi � 1. Note que esta variação é realizada sob o mesmo evento x. Assim, a informação que δϕi nos dá é o quanto a forma funcional do 2 Para saber as definições utilizadas neste trabalho, veja o Anexo A. 3 Também chamado apenas de Ação. Capítulo 2. Teoria de Campos para Lagrangianas com Derivadas de Segunda Ordem nos Campos 15 campo ϕi mudou após uma transformação do tipo ϕi −→ ϕ′i, calculando a diferença entre a forma final e a inicial de ϕi para o mesmo evento. A maneira que δ atua em uma função F : FΩ → FΩ tal que F = F (ϕi, ∂µϕi, ∂µ∂νϕi) é dada por δF = ∂F ∂ϕi δϕi + ∂F ∂(∂µϕi) δ(∂µϕi) + ∂F ∂(∂µ∂νϕi) δ(∂µ∂νϕi). (2.6) Determinaremos como escrever δϕi em termos de δϕi. Substituindo a eq.(2.2) em (2.3) temos ϕ′i(x ′) = ϕ′i(x+ δx) = ϕ′i(x) + ∂µϕ ′ i(x)δxµ, (2.7) sendo que na passagem acima fizemos uma expansão de Taylor em torno de x = 0 e truncamos a série nos termos lineares em δxµ. Usando (2.5), obtemos ϕ′i(x ′) = ( ϕi(x) + δϕi(x) ) + ∂µ ( ϕi(x) + δϕi(x) ) δxµ, = ϕi(x) + δϕi(x) + ∂µϕi(x)δxµ, (2.8) pois excluímos os produtos de infinitésimos.Comparando (2.3) e (2.8) temos que δϕi(x) = δϕi(x) + δxµ∂µϕi(x). (2.9) Note que a variação total de ϕi é, desta maneira, separada em duas partes: a parte referente a δϕi é relacionada com as alterações na forma funcional do próprio campo, enquanto que δxµ é devido às alterações do argumento dos campos. Isto motiva a seguinte definição para o operador δ. δ = δ + δxµ∂µ. (2.10) Assim, de acordo com as transformações (2.2) e (2.3), dado F : FΩ → FΩ, então a variação total de F é δF = δF + δxµ∂µF. (2.11) Repare que se δxµ = 0, então δ = δ, como deveria ser. Para estudarmos outras propriedades de δ e δ, consideremos a eq.(2.2). Sabemos que xµ = x′µ−δxµ. Desta forma, denotando o operador diferencial covariante com relação às coordenadas x′ por ∂′µ, é possível mostrar que ∂′νx µ = δ µ ν − ∂ν (δxµ) . (2.12) Para obtermos a expressão acima, utilizamos a mesma expressão recursivamente e des- cartamos o produto de infinitésimos. Desta forma, ∂′µ = ∂′µx α∂α = ( δ α µ − ∂µ (δxα) ) ∂α = ∂µ − ∂µ (δxα) ∂α. (2.13) Capítulo 2. Teoria de Campos para Lagrangianas com Derivadas de Segunda Ordem nos Campos 16 Aplicando (2.13) em (2.8) temos ∂′µϕ ′ i(x ′) = (∂µ − ∂µ (δxα) ∂α) ( ϕi(x) + δϕi(x) + ∂βϕi(x)δxβ ) , = ∂µϕi(x) + ∂µ ( δϕi(x) ) + ∂µ∂βϕi(x)δxβ, (2.14) onde novamente descartamos o produto de infinitésimos. Com isso, identificamos a variação total de ∂µϕi como δ (∂µϕi(x)) = ∂µ ( δϕi(x) ) + ∂µ∂βϕi(x)δxβ. (2.15) Utilizando (2.9), temos que ∂µ (δϕi(x)) = ∂µ ( δϕi(x) ) + ∂µ∂βϕi(x)δxβ + ∂βϕi(x)∂µ ( δxβ ) . (2.16) Calculando a diferença entre (2.15) e (2.16) obtemos δ (∂µϕi(x))− ∂µ (δϕi(x)) = ∂αϕi(x)∂µ (δxα) , [δ, ∂µ]ϕi(x) = ∂αϕi(x)∂µ (δxα) , (2.17) ou seja, δ comuta com ∂µ somente se δxα independe de x. Vejamos o caso de δ e ∂µ. Aplicando (2.10) em ∂µϕi, temos δ (∂µϕi(x)) = δ (∂µϕi(x)) + δxν∂ν∂µϕi(x). (2.18) Subtraindo (2.15) de (2.18) e usando o fato de que ϕi é de classe C4, temos que δ (∂µϕi(x))− ∂µ ( δϕi(x) ) = 0,[ δ, ∂µ ] ϕi(x) = 0, (2.19) que mostra que δ comuta sempre com ∂µ. Analisaremos agora a variação de um elemento infinitesimal de hipervolume. Sa- bemos do Cálculo Diferencial e Integral de funções de várias variáveis que, dada uma transformação de coordenadas como (2.2), um elemento de hipervolume d4x se trans- forma como d4x −→ d4x′ = ∣∣∣∣∂x′∂x ∣∣∣∣ d4x = d4x+ δ ( d4x ) , (2.20) sendo que ∣∣∣∣∂x′∂x ∣∣∣∣ é o determinante Jacobiano da transformação e é dado por ∣∣∣∣∂x′∂x ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ∂x′0 ∂x0 ∂x′0 ∂x1 ∂x′0 ∂x2 ∂x′0 ∂x3 ∂x′1 ∂x0 ∂x′1 ∂x1 ∂x′1 ∂x2 ∂x′1 ∂x3 ∂x′2 ∂x0 ∂x′2 ∂x1 ∂x′2 ∂x2 ∂x′2 ∂x3 ∂x′3 ∂x0 ∂x′3 ∂x1 ∂x′3 ∂x2 ∂x′3 ∂x3 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ . (2.21) Capítulo 2. Teoria de Campos para Lagrangianas com Derivadas de Segunda Ordem nos Campos 17 O determinante pode ser escrito como∣∣∣∣∂x′∂x ∣∣∣∣ = εαβγπ∂αx ′0∂βx ′1∂γx ′2∂πx ′3. (2.22) Na expressão acima, εαβγπ são as componentes do tensor de Levi-Civita de quarta ordem, que são nulas para quaisquer dois índices iguais, são totalmente antissimétricas e ε0123 = +1. A eq.(2.2) nos fornece ∂λx ′σ = ∂λ (xσ + δxσ) = ∂λx σ + ∂λ (δxσ) = δ σ λ + ∂λ (δxσ) . (2.23) Assim, obtemos∣∣∣∣∂x′∂x ∣∣∣∣ = εαβγπ∂αx ′0∂βx ′1∂γx ′2∂πx ′3, = 1 + ∂µ (δxµ) , (2.24) sempre excluindo o produto de infinitésimos. Desta forma, usando (2.20), temos d4x+ δ ( d4x ) = ∣∣∣∣∂x′∂x ∣∣∣∣ d4x, = (1 + ∂µ (δxµ)) d4x, = d4x+ ∂µ (δxµ) d4x. Portanto, δ ( d4x ) = ∂µ (δxµ) d4x. (2.25) Com estes resultados, continuaremos com o processo de extremização da Ação (2.1). 2.3 A variação da Ação por transformações globais Como vimos na eq.(2.4), a variação da ação depende de como o operador δ atua em funções do campos e em hipervolumes infinitesimais. Devido à definição de δ, sua aplica- ção sobre a Ação destacará a participação de cada uma das transformações infinitesimais (x→ x′ e ϕi → ϕ′i), como veremos a seguir. Isto permitirá analisar o comportamento de δA pelas transformações (2.2) e (2.3) de maneira independente uma da outra, evidenci- ando em cada caso resultados interessantes. Daremos continuidade ao estudo de δA por transformações globais. Seja δA dada por (2.4). Das eq.(2.10), (2.6) e (2.25), temos que δA[ϕi] = ˆ Ω ( ∂L ∂ϕi δϕi + ∂L ∂(∂µϕi) δ(∂µϕi) + ∂L ∂(∂µ∂νϕi) δ(∂µ∂νϕi) + ∂µ (δxµL) ) d4x. (2.26) Capítulo 2. Teoria de Campos para Lagrangianas com Derivadas de Segunda Ordem nos Campos 18 Usando a comutatividade dos operadores δ e ∂µ e a regra de derivação de um produto de funções, temos que δA[ϕi] = ˆ Ω [( ∂L ∂ϕi − ∂µ ( ∂L ∂(∂µϕi) ) + ∂ν∂µ ( ∂L ∂(∂µ∂νϕi) )) δϕi + ∂µ ( ∂L ∂(∂µϕi) δϕi ) + ∂µ ( ∂L ∂(∂µ∂νϕi) δ(∂νϕi) ) − ∂µ ( ∂ν ( ∂L ∂(∂µ∂νϕi) ) δϕi ) + ∂µ (δxµL) ] d4x. (2.27) Usamos novamente a comutatividade de δ e ∂µ e o fato de ϕi ser de classe C4. Logo, δA[ϕi] = ˆ Ω { ∂µ [( ∂L ∂(∂µϕi) − ∂ν ( ∂L ∂(∂µ∂νϕi) )) δϕi + ∂L ∂(∂µ∂νϕi) δ(∂νϕi) + δxµL ] + [ ∂L ∂ϕi − ∂µ ( ∂L ∂(∂µϕi) ) + ∂ν∂µ ( ∂L ∂(∂µ∂νϕi) )] δϕi } d4x. (2.28) Note que, com isso, podemos separar δA em partes proporcionais a δxµ e δϕi, mostrando que a análise pode ser feita de maneira independente para cada transformação – apenas x −→ x′ ou apenas ϕi −→ ϕ′i. Existem diversos tipos de transformações globais, mas estamos interessados em dois tipos especiais: as transformações a ponto fixo, que são caracterizadas por δxµ = 0, com δ(ϕi) ∣∣ ∂Ω = 0 e δ(∂µϕi) ∣∣ ∂Ω = 0, e as transformações de simetria que são caracterizadas por serem elementos de um grupo de transformações. As transformações de simetria estudadas neste trabalho fazem parte de grupos unitários contínuos, isto é, grupos cujos os parâmetros que determinam um elemento do grupo são contínuos. A unitariedade é requerida para garantir conexão com o elemento identidade do grupo. Neste trabalho será destacado o Grupo de Poincaré, que é o grupo das isometrias do espaço de Minkowski. A imposição da extremização da Ação em cada caso trará resultados interessantes e por isso estudaremos estes casos nas seções seguintes. 2.4 Transformações a ponto fixo: As equações de Euler- Lagrange As transformações a ponto fixo, como são chamadas, são transformações caracte- rizadas da seguinte forma: xµ −→ x′µ = xµ, δ(ϕi(x)) ∣∣∣∣ ∂Ω = 0, (2.29) ϕi(x) −→ ϕ′i(x ′) = ϕi(x) + δϕi(x), δ(∂µϕi(x)) ∣∣∣∣ ∂Ω = 0. (2.30) Capítulo 2. Teoria de Campos para Lagrangianas com Derivadas de Segunda Ordem nos Campos 19 Como consequência da definição, δxµ = 0 e δϕi = δϕi. O nome faz referência ao seu análogo na mecânica clássica puntual. As condições δ(ϕi) ∣∣ ∂Ω = 0 e δ(∂µϕi) ∣∣ ∂Ω = 0 dizem que as mesmas quantidades são nulas na borda do hipervolume Ω. Exploraremos como este tipo de transformação afeta o funcional de Ação. Usando a eq.(2.28), temos que δA[ϕi] = ˆ Ω [ ∂L ∂ϕi − ∂µ ( ∂L ∂(∂µϕi) ) + ∂ν∂µ ( ∂L ∂(∂µ∂νϕi) )] δϕid 4x + ˆ Ω ∂µ [( ∂L ∂(∂µϕi) − ∂ν ( ∂L ∂(∂µ∂νϕi) )) δϕi + ∂L ∂(∂µ∂νϕi) δ(∂νϕi) ] d4x. (2.31) Usando o teorema de Gauss-Ostrogradsky na segunda integral temos δA[ϕi] = ˆ Ω [ ∂L ∂ϕi − ∂µ ( ∂L ∂(∂µϕi) ) + ∂ν∂µ ( ∂L ∂(∂µ∂νϕi) )] δϕid 4x + ˆ ∂Ω [( ∂L ∂(∂µϕi) − ∂ν ( ∂L ∂(∂µ∂νϕi) )) δϕi + ∂L ∂(∂µ∂νϕi) δ(∂νϕi) ] · d3σµ. (2.32) Devido a imposição de que δ(ϕi) ∣∣ ∂Ω = 0 e δ(∂µϕi) ∣∣ ∂Ω = 0, então a segunda integral é nula. O que resta é somente δA[ϕi] = ˆ Ω [ ∂L ∂ϕi − ∂µ ( ∂L ∂(∂µϕi) ) + ∂ν∂µ ( ∂L ∂(∂µ∂νϕi) )] δϕid 4x. (2.33) Impondo a extremização da Ação, δA = 0, temos que ˆ Ω [ ∂L ∂ϕi − ∂µ ( ∂L ∂(∂µϕi) ) + ∂ν∂µ ( ∂L ∂(∂µ∂νϕi) )] δϕid 4x = 0. (2.34) Como δϕi é uma função arbitrária em Ω, então pelo Lema Fundamental do Cálculo das Variações [2] temos ∂L ∂ϕi − ∂µ ( ∂L ∂(∂µϕi) ) + ∂ν∂µ ( ∂L ∂(∂µ∂νϕi) ) = 0. (2.35) Estas são as famosas Equações de Euler-Lagrange para uma densidade de lagrangiana de segunda ordem. A conclusão que se chega é que se a Ação (2.1) é submetida a um conjunto de transformações como das eq.(2.29) e (2.30), de tal forma que δA = 0, então a densidade de lagrangiana satisfará as equações de Euler-Lagrange. A partir destas equações é possível obter as equações de movimento para ϕi. Devido à ordem da derivada do campo na densidade de lagrangiana e o último termo das equações de Euler-Lagrange, vemos que as equações de movimento serão, no máximo, de quarta ordem nas derivadas em ϕi. Vejamos uma aplicação desse estudo na Eletrodinâmica de Podolsky. Capítulo 2. Teoria de Campos para Lagrangianas com Derivadas de Segunda Ordem nos Campos 20 2.4.1 As Equações de Podolsky Seja AP o funcional de Ação da Eletrodinâmica de Podolsky AP [Aµ] = ˆ Ω d4xLP (Aµ, ∂νA µ, ∂ν∂λA µ), (2.36) com LP a densidade de lagrangiana de Podolsky e Aµ = (ϕ,A) o quadripotencial ele- tromagnético com ϕ o potencial escalar elétrico e A o potencial vetorial magnético. O campo Aµ é chamado de campo eletromagnético de Podolsky. Estamos considerando que Aµ é de classe C4 em Ω. Se houverem fontes de campo eletromagnético, LP é dada por [4] LP = −1 4 F µνFµν + a∂µF µν∂σF σ ν − JµAµ, (2.37) sendo que Fµν = ∂µAν − ∂νAµ são as componentes do tensor de Faraday, Jµ = (ρ,J) é a quadridensidade de corrente, com ρ a densidade de carga e J a densidade de corrente de carga, a é chamado de parâmetro de Podolsky, que é constante, real e com dimensão de inverso de energia ao quadrado. A mesma teoria sem fontes de campo eletromagnético equivale a tomarmos Jµ = 0. Note que o tensor de Faraday é antissimétrico, pois Fµν = −Fνµ. Note, também, que a densidade de lagrangiana de Podolsky é idêntica à densidade de lagrangiana de Maxwell, exceto pelo termo proporcional a ∂µF µν . A saber, a densidade de lagrangiana de Maxwell com fontes é dada pela seguinte expressão [15] LM = −1 4 F µνFµν − JµAµ. (2.38) Devido ao formato da eq.(2.37), vemos que lim a→0 LP = LM . (2.39) Este limite servirá como “teste” para o que desenvolvermos usando a teoria de Podolsky, quando compararmos aos resultados obtidos pela teoria de Maxwell. Encontraremos agora as equações de movimento para a Eletrodinâmica de Po- dolsky. Sejam as equações de Euler-Lagrange para a densidade de lagrangiana de Podolsky ∂LP ∂Aσ − ∂µ ( ∂LP ∂(∂µAσ) ) + ∂ν∂µ ( ∂LP ∂(∂µ∂νAσ) ) = 0. (2.40) É possível mostrar que ∂LP ∂Aσ = −Jσ, ∂LP ∂(∂µAσ) = −F µσ, ∂LP ∂(∂µ∂νAσ) = 2a (ηµν∂αF ασ − ηµσ∂αFαν) . (2.41) Portanto, (1 + 2a2)∂µF µσ = Jσ. (2.42) Capítulo 2. Teoria de Campos para Lagrangianas com Derivadas de Segunda Ordem nos Campos 21 com 2 o operador d’Alembertiano. Note que no limite de a → 0 o lado esquerdo da eq.(2.42) retorna lim a→0 (1 + 2a2)∂µF µσ = ∂µF µσ. (2.43) Logo, ∂µF µσ = Jσ, ou seja, no limite de a → 0 as equações de movimento da Eletrodinâmica de Podolsky recaem sobre as de Maxwell, como esperado [15]. A eq.(2.42) fornece apenas as equações que possuem termos de fontes. Precisamos obter as equações que não possuem tais termos. Note que a definição do tensor de Faraday é a mesma na teoria de Maxwell e na de Podolsky. Desta forma, Fµν satisfaz a identidade de Bianchi ∂αFβγ + ∂γFαβ + ∂βFγα = 0. (2.44) Pode-se mostrar que a identidade de Bianchi reproduz as equações de movimento que não possuem termos de fontes. Para escrevermos as eq.(2.42) e (2.44) em termos dos campos elétrico e magnético E e B, tomaremos as seguintes definições (E)i ≡ F i0, (2.45) (B)i ≡ −1 2 εijkFjk, (2.46) sendo que εijk são as componentes do tensor de Levi-Civita de terceira ordem, que são totalmente antissimétricas e ε123 = +1. Desta forma, (1 + 2a2)∇ ·E = ρ, (2.47) ∇ ·B = 0, (2.48) (1 + 2a2) ( ∇×B − ∂E ∂t ) = J , (2.49) ∇×E + ∂B ∂t = 0. (2.50) As equações (2.47), (2.48), (2.49) e (2.50) são chamadas de Equações de Podolsky. Juntamente com a força de Lorentz F = q (E + v ×B) (2.51) elas resumem todo o conteúdo teórico da Eletrodinâmica Clássica de Podolsky. Note que as equações com fontes são diferentes das equações de Maxwell com fontes. Por isso, na Eletrodinâmica de Podolsky, a forma como as fontes criam os campos é diferente comparado a Maxwell. Note, também, que no limite de a→ 0, as equações de Podolsky Capítulo 2. Teoria de Campos para Lagrangianas com Derivadas de Segunda Ordem nos Campos 22 recaem nas equações de Maxwell [16]. A invariância do operador d’Alembertiano 2 por transformações de Lorentz faz com que as equações de Podolsky também sejam invariantes por transformações de Lorentz. Daremos um destaque maior para estas equações nos capítulos posteriores. 2.4.2 A Conservação da Carga Elétrica A conservação da carga elétrica é observada nos mais diferentes processos (colisões de partículas, decaimentos, produção de partículas, etc) [17] e por isso é uma das sime- trias fundamentais da Física. Sendo assim, qualquer que seja uma teoria sobre fenômenos eletromagnéticos, esta deve ser condizente com a conservação de carga elétrica. Veremos como obtê-la na Eletrodinâmica de Podolsky. Podemos retirar uma informação muito interessante da eq.(2.42) . Como os ope- radores ∂σ e 2 comutam, então (1 + 2a2)∂σ∂µF µσ = ∂σJ σ. (2.52) Devido à antissimetria de F µσ, o lado esquerdo da equação é nulo. Desta forma, ∂σJ σ = 0. (2.53) A eq.(2.53) nos diz que a quadridensidade de corrente é conservada. A conservação de Jµ implica na conservação de carga elétrica por evolução temporal. Isto é fácil de ser verificado explicitando o somatório 0 = ∂σJ σ = ∂0J 0 + ∂iJ i = ∂ρ ∂t +∇ · J , (2.54) que é a equação de continuidade para as fontes de campo eletromagnético. Esta equação diz que a carga elétrica é conservada localmente. A conservação local implica na conser- vação global de carga. Para obter a conservação global de carga, integramos a expressão em Ξ ≡ R3 e, supondo que a corrente J é nula no infinito, mostra-se que dQ dt = 0, com Q = ˆ Ξ ρ d3x. (2.55) A conservação da carga elétrica também está relacionada com o fato da Ação de Podolsky ser invariante por transformações de gauge. Explicaremos isso melhor. Consi- dere a seguinte transformação no campo eletromagnético Aµ −→ A′µ = Aµ − ∂µΛ(x), Λ(x) ∣∣ ∂Ω = 0, (2.56) com Λ uma função arbitrária de classe C2. Estamos tomando δxµ = 0. Abrindo para cada componente, a transformação de gauge para os campos ϕ e A é ϕ −→ ϕ′ = ϕ− ∂Λ(x, t) ∂t , (2.57) A −→ A′ = A+∇Λ(x, t). (2.58) Capítulo 2. Teoria de Campos para Lagrangianas com Derivadas de Segunda Ordem nos Campos 23 Da maneira que são definidos os campos elétrico e magnético em termos das componentes do tensor de Faraday, é possível mostrar que E = −∇ϕ− ∂A ∂t . (2.59) B = ∇×A. (2.60) Sendo assim, é possível mostrar que, sob as transformações (2.57) e (2.58), E −→ E′ = E, B −→ B′ = B, (2.61) ou seja, os campos elétrico e magnético, que são os campos físicos da teoria, são invariantes por transformações de gauge. Esta invariância deve levar a alguma simetria. Veremos de qual se trata. Com a eq.(2.56), é possível mostrar que F µν −→ F ′µν = F µν . (2.62) Desta forma, LP −→ L′P = LP + Jµ∂ µΛ. (2.63) A invariância da Ação (2.36), isto é, AP −→ A′P = AP impõe que ˆ Ω d4x Jµ∂ µΛ = 0. (2.64) Usando integração por partes, o teorema de Gauss-Ostrogradsky, a condição Λ ∣∣ ∂Ω = 0 e a arbitrariedade de Λ chegamos a conclusão que ∂µJ µ = 0, (2.65) que é a equação para conservação de carga elétrica. 2.5 Transformações de Simetria e o Teorema de Noe- ther As transformações de simetria são elementos de um grupo de transformações. Um grupo é um conjunto de elementos no qual é definido uma operação com estes elementos. Esta operação deve ser fechada, isto é, a operação de dois elementos do grupo resulta em outro elemento do grupo e deve ser associativa. Também é requerido a existência do elemento neutro e do elemento inverso. Para mais detalhes sobre a teoria de grupos, veja a referência [18]. O nome simetria faz referência a invariância da Ação por essas transformações. Essas transformações são caracterizadas por parâmetros relacionados ao grupo que, nos Capítulo 2. Teoria de Campos para Lagrangianas com Derivadas de Segunda Ordem nos Campos 24 casos que estamos estudando, são constantes, isto é, independem do ponto no espaço- tempo. Nosso desejo é estudar qual é o efeito destas transformações sobre a Ação. Para isso é necessário escrever as variações nos campos e nas coordenadas quando se trata de uma transformação de simetria. Vejamos como isto é realizado. Sabemos que transformações de simetria nos campos e nas coordenadas, quando são elementos de um grupo unitário e contínuoG, podem ser expressas da seguinte maneira xµ −→ x′µ = [ exp ( iωbTb )]µ ν xν , (2.66) ϕi(x) −→ ϕ′i(x ′) = [ exp ( iωbTb )] ij ϕj(x), (2.67) sendo que Tb são os geradores de G e ωb os parâmetros que determinam um elemento de G. O número complexo i faz com que os geradores sejam hermitianos. Neste caso, a soma implícita no índice latino b vai de 1 até n, com n o número de geradores. Vale ressaltar que a transformação (2.66) age no espaço de Minkowski e a transformação (2.67) age no espaço de configuração, o espaço da funções ϕi, sendo, portanto, uma representação do grupo G. Os geradores Tb podem mudar ou não suas expressões quando atuam no espaço de configuração. Isto dependerá do campo em questão. Para mais detalhes sobre teoria de representação de grupos, veja a referência [18]. Para o caso de transformações infinitesimais ( ( ωb )2 � ωb), podemos aproximar a exponencial até a primeira ordem de sua série de Taylor. xµ −→ x′µ = [ 1+ iωbTb ]µ ν xν = ( δµν + iωb (Tb) µ ν ) xν , = xµ + Γµ(b)ω b, (2.68) ϕi(x) −→ ϕ′i(x ′) = [ 1+ iωbT b ] ij ϕj(x) = ( δij + iωb ( T b ) ij ) ϕj(x), = ϕi(x) + Ψi(b)ω b, (2.69) com Γµ(b) e Ψi(b) funções de x. Os parênteses em torno do índice subscrito b é para enfatizar de que se trata de um índice relacionado ao gerador da transformação. Deste modo, fazemos a identificação δxµ = Γµ(b)ω b e δϕi = Ψi(b)ω b. (2.70) Usando a eq.(2.9), temos que δϕi(x) = δϕi(x)− δxµ∂µϕi(x) = Ψi(b)ω b − Γµ(b)ω b∂µϕi(x), = ( Ψi(b) − Γµ(b)∂µϕi(x) ) ωb = Φi(b)ω b. (2.71) Todo o processo já realizado sobre a variação da Ação se mantém inalterado na substituição de δxµ e δϕi pelas expressões dadas em (2.70). Assim, podemos substituir Capítulo 2. Teoria de Campos para Lagrangianas com Derivadas de Segunda Ordem nos Campos 25 diretamente (2.70) e (2.71) em (2.28). δA[ϕi] = ˆ Ω { ∂µ [( ∂L ∂(∂µϕi) − ∂ν ( ∂L ∂(∂µ∂νϕi) )) Φi(b)ω b + ∂L ∂(∂µ∂νϕi) ∂νΦi(b)ω b + Γµ(b)ω bL ] + [ ∂L ∂ϕi − ∂µ ( ∂L ∂(∂µϕi) ) + ∂ν∂µ ( ∂L ∂(∂µ∂νϕi) )] Φi(b)ω b } d4x. (2.72) Fazendo as seguintes definições Πµi ≡ ∂L ∂(∂µϕi) − ∂ν ( ∂L ∂(∂µ∂νϕi) ) , (2.73) Π̃µνi ≡ ∂L ∂(∂µ∂νϕi) , (2.74) δL δϕi ≡ ∂L ∂ϕi − ∂µ ( ∂L ∂(∂µϕi) ) + ∂ν∂µ ( ∂L ∂(∂µ∂νϕi) ) , (2.75) obtemos δA[ϕi] = ˆ Ω { ∂µ [ ΠµiΦi(b) + Π̃µνi∂νΦi(b) + Γµ(b)L ] + δL δϕi Φi(b) } ωbd4x. (2.76) Ao impormos a invariância da Ação δA = 0, a arbitrariedade de ωb faz com que o termo entre chaves seja nulo. Assim, −∂µ [ ΠµiΦi(b) + Π̃µνi∂νΦi(b) + Γµ(b)L ] = δL δϕi Φi(b). (2.77) Se a densidade de lagrangiana L satisfaz as equações de Euler-Lagrange, então δL δϕi = 0 e −∂µ [ ΠµiΦi(b) + Π̃µνi∂νΦi(b) + Γµ(b)L ] = 0. (2.78) Isto motiva a definição da quadridensidade de corrente J µ (b) J µ (b) = −ΠµiΦi(b) − Π̃µνi∂νΦi(b) − Γµ(b)L, (2.79) cuja divergência é nula, ∂µJ µ (b) = 0. (2.80) A eq.(2.80) sintetiza o conteúdo físico do Teorema de Noether. Se a Ação (2.1) é submetida a um conjunto de transformações dadas por (2.68) e (2.69) e a densidade de lagrangiana satisfaz as equações de Euler-Lagrange dadas por (2.35), então aparecerão n quadridensidades de correntes conservadas dadas pela eq.(2.79), com n o número de geradores do grupo de transformação. Uma demonstração rigorosa do teorema de Noether é encontrada na referência [19]. A referência original do teorema de Noether é dada em [20]. Capítulo 2. Teoria de Campos para Lagrangianas com Derivadas de Segunda Ordem nos Campos 26 A eq.(2.80) fornece um resultado muito importante. Para ver isso, tomemos um hipervolume W no espaço-tempo ilimitado nas direções do tipo-espaço. Denominaremos a borda desta região por Σ que está no infinito e é do tipo-tempo. Considere também que W seja limitado no tempo por duas hipersuperfícies S1 e S2 do tipo-espaço. Assim, ∂W = Σ ∪ S1 ∪ S2. Integrando a eq.(2.80) em W temos 0 = ˆ W d4x∂µJ µ (b) = ˆ ∂W d3σµJ µ (b) = ˆ Σ d3σµJ µ (b) + ˆ S1 d3σµJ µ (b) − ˆ S2 d3σµJ µ (b). (2.81) Na primeira passagem utilizamos o teorema de Gauss-Ostrogradsky. O sinal negativo é devido a orientação da hipersuperfície. Supondo que a quadridensidade de corrente é nula em Σ, que equivale a dizer que ela tende a zero suficientemente rápida no infinito, então a integral em Σ é nula e sobra apenas queˆ S1 d3σµJ µ (b) = ˆ S2 d3σµJ µ (b). (2.82) Isto significa que a integral ´ Sn d3σµJ µ (b) em que Sn é uma hipersuperfície do tipo-espaço é independente de Sn, desde a quadridensidade de corrente se anule no infinito. Desta forma 0 = ˆ W d4x∂µJ µ (b) = ˆ Ξ d3x∂µJ µ (b) = ˆ Ξ d3x ( ∂J0 (b) ∂t +∇ · J (b) ) , = ∂ ∂t ˆ Ξ d3xJ0 (b) + ˆ Ξ d3x∇ · J (b) = ∂Q(b) ∂t + ˆ ∂Ξ d2s n · J (b), (2.83) com Ξ ≡ R3. Na última passagem utilizamos o teorema da divergência de Gauss. Como a quadridensidade de corrente é nula no infinito, então a última integral é nula e temos ∂Q(b) ∂t = 0, com Q(b) = ˆ Ξ d3xJ0 (b), (2.84) ou seja, a integral em todo o espaço da componente zero da quadridensidade de corrente é conservada no tempo. A esta quantidade é dado o nome de carga. Vejamos agora o caso em que G é o grupo de Poincaré. 2.5.1 Transformações de Poincaré As transformações de Poincaré são as transformações entre sistemas de referências inerciais (transformações de Lorentz) unidas às translações no espaço-tempo que preser- vam a métrica de Minkowski. A lei de formação é a composição de transformações. As transformações de Poincaré juntamente com a lei de composição de transformações for- mam o Grupo de Poincaré. Este grupo possue dez parâmetros independentes: quatro relacionados com translações espaço-temporais, três relacionados com rotações em torno Capítulo 2. Teoria de Campos para Lagrangianas com Derivadas de Segunda Ordem nos Campos 27 de qualquer um dos três eixos espaciais (ângulos de Euler) e três relacionados aos boosts nos três eixos espaciais. Uma transformação de Poincaré genérica é escrita da seguinte forma U(a, ω) = exp ( −ibµPµ + i 2 ωαβMαβ ) , (2.85) sendo que Pµ são os geradores das translações espaço-temporais e Mαβ os geradores das rotações espaciais e boosts. Sabe-se que ωαβ = −ωβα. Isto faz com que os parâmetros b e ω contabilizem 10 parâmetros independentes. Pode-se mostrar que os geradores Pµ e Mαβ se comportam como quadrivetores e tensores de segunda ordem sob transformações de Lorentz, respectivamente. Os geradores satisfazem as seguintes relações de comutação [Pτ , Pµ] = 0. (2.86) 1 i [Mϕπ, Pµ] = ηϕµPπ − ηπµPϕ. (2.87) 1 i [Mµν ,Mϕπ] = ηνπMµϕ + ηµϕMνπ − ηµπMνϕ − ηνϕMµπ. (2.88) As equações acima formam a álgebra de Poincaré, que é uma álgebra de Lie. A eq.(2.86) diz que que as translações espaço-temporais comutam. As eq.(2.87) e (2.88) dizem que rotações e boosts não comutam com translações e nem com outras rotações e boosts. Para mais detalhes sobre o grupo de Poincaré, veja as referências [21,22]. Vejamos um detalhe importante sobre a eq.(2.85). Ela nos mostra que podemos tratar translações separadamente de boosts e rotações, tomando ocasionalmente bµ = 0 ou ωαβ = 0. Por isso, trabalharemos com cada transformação separadamente. Vejamos primeiro o caso de translações espaço-temporais. 2.5.2 Translações Espaço-temporais: Tensor Energia-Momento Considere uma translação espaço-temporal dada por4 xµ −→ x′µ = [exp (−ibαPα)]µν x ν . (2.89) ϕi(x) −→ ϕ′i(x ′) = ϕi(x). (2.90) O parâmetro da transformação é bµ. Para o caso de uma translação infinitesimal, as distâncias espacial e temporal entre xµ e bµ são arbitrariamente pequenas. Sendo assim, podemos expandir a exponencial em série de Taylor em torno do zero e truncá-la no termo linear em bµ. xµ −→ x′µ = (1− ibαPα1)µν x ν = ( δµν − ibαPαδµν ) xν , = xµ + bµ, (2.91) ϕi(x) −→ ϕ′i(x ′) = ϕi(x), (2.92) 4 Os campos são tensores ou espinores. Desta forma, são inalterados por translações espaço-temporais Capítulo 2. Teoria de Campos para Lagrangianas com Derivadas de Segunda Ordem nos Campos 28 onde usamos Pα = i∂α [15]. Assim, de acordo com a eq.(2.70), se δxµ = Γµνb ν e δϕi = Ψiµb µ, então Γµν = δµν e Ψiµ = 0. (2.93) Logo, Φiν = −∂νϕi(x) e temos a conservação do seguinte tensor densidade de corrente Θµ ν ≡ J µ ν Θµ ν = Πµi∂νϕi + Π̃µξi∂ξ∂νϕi − δµνL. (2.94) Definindo Θµν = ηνρΘµ ρ temos que Θµν = Πµi∂νϕi + Π̃µξi∂ν∂ξϕi − ηµνL. (2.95) Como termos que são divergências totais não mudam o tensor densidade de corrente5, então Θµν pode ser escrito como Θµν = ψµi∂νϕi + ψ̃µi∂νϕ̇i − ηµνL, (2.96) com ψµi = ∂L ∂(∂µϕi) − 2∂k ( ∂L ∂(∂µ∂kϕi) ) − ∂0 ( ∂L ∂(∂µϕ̇i) ) (2.97) e ψ̃µi = ∂L ∂(∂µϕ̇i) . (2.98) Na expressão acima, Ż significa derivada parcial de Z com relação ao tempo. A vantagem da eq.(2.96) é visto quando expressarmos as quantidades (cargas) conservadas. Ambas as eq.(2.95) e (2.96) são equivalentes. Assim, a conveniência da situação que dirá qual expressão usaremos. O tensor densidade de corrente da eq.(2.95) é usualmente chamado de tensor de Energia-Momento canônico do campo ϕi.6 A carga conservada é dada por P β = ˆ Ξ d3x Θ0β. (2.99) A invariância no tempo desta carga é associada a conservação do quadrimomento linear do campo ϕi. A componente Θ00 é a densidade de Hamiltoniana canônica do sistema. A integral em todo o espaço é a Hamiltoniana do sistema. HC = ˆ Ξ d3x ( πiϕ̇i + π̃iϕ̈i − L ) , (2.100) 5 Esta afirmação se baseia em que as quantidades físicas (cargas) são obtidas por integrais das com- ponentes da quadridensidade de corrente. Desta forma, termos que são divergências totais sempre podem ser descartados sob o argumento de que, ao se efetuar a integração, as primitivas de tais termos são nulas na superfície em que se é feito a integração. 6 Rigorosamente, deveríamos chamá-lo de tensor densidade de Energia-Momento, mas suprimiremos a palavra ‘densidade’ para a expressão não fique demasiadamente carregada. Capítulo 2. Teoria de Campos para Lagrangianas com Derivadas de Segunda Ordem nos Campos 29 com πi ≡ ψ0i e π̃i = ψ̃0i, os momentos canonicamente conjugados aos campos ϕ̇i e ϕ̈i, que são considerados variáveis independentes [8]. Se a densidade de lagrangiana não depende explicitamente do tempo, então a ha- miltoniana do sistema é igual a energia total. A energia total do sistema é uma quantidade positiva. Portanto, uma condição que garante que a energia seja sempre positiva é que para campos não-nulos Θ00 ∣∣∣∣ ϕi 6=0 > 0. (2.101) Já a integral da componente Θ0j é o momento linear do campo ϕi. Sua expressão é dada por P j = ˆ Ξ d3x ( πi∂jϕi + π̃i∂jϕ̇i ) . (2.102) Com as eq.(2.95) e (2.96) em mãos, podemos calcular o tensor Energia-Momento para a densidade de lagrangiana de Podolsky. 2.5.3 O Tensor Energia-Momento da Eletrodinâmica de Podolsky A ideia de como obter o tensor de Energia-Momento é a mesma aplicada na Sub- seção 2.5.2 fazendo a associação ϕi ≡ Aµ. Desta forma, usando a eq.(2.95), o tensor Energia-Momento é dado por Θαβ P = Παν P ∂ βAν + Π̃αξν P ∂β∂ξAν − ηαβLP . (2.103) Precisamos calcular as quantidades Παν P e Π̃αξν P . Usando as eq.(2.73) e (2.74), tais quan- tidades em termos dos campos Aν são Παν P = ∂LP ∂(∂αAν) − ∂ρ ( ∂LP ∂(∂α∂ρAν) ) . (2.104) Π̃αξν P = ∂LP ∂(∂α∂ξAν) . (2.105) Definindo o seguinte tensor Υρ ν π θ = ηρπη ν θ − ηνπη ρ θ (2.106) e utilizando a eq(2.41) pode-se mostrar que Παν P = F να + 2aηαπ∂ρ∂γF θγΥρ ν π θ. (2.107) Π̃αξν P = 2aηαπ∂γF γθΥξ ν π θ. (2.108) Capítulo 2. Teoria de Campos para Lagrangianas com Derivadas de Segunda Ordem nos Campos 30 Assim, o tensor Energia-Momento da Eletrodinâmica de Podolsky é dado por Θαβ P = F να∂βAν − 1 4 ηαβF µνFµν + 2a ( ηαπ∂ρ∂γF θγΥρ ν π θ∂ βAν + ηαπ∂γF γθΥξ ν π θ∂ β∂ξAν + 1 4 ηαβ∂µF µν∂σF σ ν ) . (2.109) Observe que no limite de a→ 0, Θαβ P → Θαβ M , sendo que Θαβ M é o tensor Energia-Momento de Maxwell [15]. Um detalhe importante é que o tensor Energia-Momento não é simétrico nos índices α e β. A simetria nos índices não é uma regra a ser cumprida, mas é desejável em alguma áreas da Física – por exemplo, gravitação.7 O método de simetrização, que envolve o uso de termos de divergência total conhecido como processo de Belinfante, não funciona com teorias que apresentam derivadas de ordem superior nos campos. Para estes tipos de teorias, o procedimento a ser realizado encontra-se em [23]. Para a Eletrodinâmica de Podolsky, o tensor simétrico é dado por [24] Θαβ Ps = F µαF β µ + 1 4 ηαβF µνFµν + 2a ( −1 2 ηαβ∂µF µν∂σF σ ν − Fαµ2F β µ − F βµ2Fα µ − Fαµ∂µ∂νF νβ − F βµ∂µ∂νF να + ∂µF µα∂σF σβ ) . (2.110) Note que também no limite de a → 0, Θαβ Ps → Θαβ Ms , sendo que Θαβ Ms é o tensor Energia- Momento de Maxwell simétrico [25]. O quadrimomento linear do campo Aµ, que é conservado por evolução temporal, é dado pela seguinte expressão P β = ˆ Ξ d3x Θ0β Ps = ˆ Ξ d3x [ F µ0F β µ + 1 4 η0βF µνFµν + 2a ( −1 2 η0β∂µF µν∂σF σ ν − F 0µ2F β µ − F βµ2F 0 µ − F 0µ∂µ∂νF νβ − F βµ∂µ∂νF ν0 + ∂µF µ0∂σF σβ )] . (2.111) O momento linear do campo eletromagnético é obtido de P i. Usando a regra de derivação de um produto de funções e eliminando os termos que são divergências totais, temos P i = ˆ Ξ d3x [ F µ0F i µ + 2a ( −F 0µ2F i µ − F iµ2F 0 µ + ∂µF iµ∂σF σ0 )] . (2.112) 7 As equações de Einstein para a gravitação igualam quantidades referentes a geometria do espaço (métrica e o tensor de Ricci) a quantidades relacionadas a matéria (tensor Energia-Momento). Tanto a métrica como o tensor de Ricci são tensores de segunda ordem simétricos. Por isso é desejável que o tensor energia-momento também seja simétrico. Capítulo 2. Teoria de Campos para Lagrangianas com Derivadas de Segunda Ordem nos Campos 31 Em termos dos campos E e B, temos que P = ˆ Ξ d3x { E ×B + 2a [ E ×2B + 2E ×B +∇ ·E ( Ė −∇×B )]} , (2.113) sendo que Ż indica significa a derivada parcial de Z com relação ao tempo. Assim, identificamos o vetor de Poynting da Eletrodinâmica de Podolsky S = E ×B + 2a [ E ×2B + 2E ×B +∇ ·E ( Ė −∇×B )] , (2.114) que recai no vetor de Poynting da Eletrodinâmica de Maxwell no limite de a→ 0. A hamiltoniana da Eletrodinâmica de Podolsky é obtida de P 0. H = ˆ Ξ d3x [ F µ0F 0 µ + 1 4 F µνFµν + 2a ( −1 2 ∂µF µν∂σF σ ν − F 0µ2F 0 µ − F 0µ2F 0 µ − F 0µ∂µ∂νF ν0 − F 0µ∂µ∂νF ν0 + ∂µF µ0∂σF σ0 )] . (2.115) Escrevendo H em termos dos campos E e B, obtemos H = ˆ Ξ d3x 1 2 { B2 +E2 + 2a [( Ė −∇×B )2 + ( ∇ ·E )2 + 4E ·2E + 4E · ∇ (∇ ·E) ]} . (2.116) Ela também pode ser escrita da seguinte forma H = ˆ Ξ d3x [ πµȦµ + π̃µÄµ − L ] , (2.117) com πµ = F µ0 − 2a ( ∂0∂λF λµ − ηkµ∂k∂λF λ0 ) . (2.118) π̃µ = 2a ( ∂λF λµ − η0µ∂λF λ0 ) . (2.119) Neste formato, a hamiltoniana explicita os pares canônicos – (πµ, Aµ) e (π̃µ, Ȧµ) – que são importantes na formulação hamiltoniana da Eletrodinâmica de Podolsky [8]. A densidade de energia do campo eletromagnético fornece uma informação sobre o parâmetro de Podolsky. Para extraí-la, restringir-nos-emos ao caso eletrostático (Ė = 0; B = 0). Sendo assim, Θ00 Ps = 1 2 { E2 + 2a [( ∇ ·E )2 + 4E · ( ∇ (∇ ·E)−∇2E )]} , = 1 2 { E2 + 2a [( ∇ ·E )2 + 4E · ∇ × ( ∇×E )]} . (2.120) Capítulo 2. Teoria de Campos para Lagrangianas com Derivadas de Segunda Ordem nos Campos 32 Segundo a eq.(2.50), para o caso eletrostático, ∇×E = 0. Logo, Θ00 Ps = 1 2 { E2 + 2a ( ∇ ·E )2} . (2.121) Sabemos que para os casos em que o campo elétrico E é não-nulo, então Θ00 Ps > 0. Assim, a > − E2 2 ( ∇ ·E )2 . (2.122) A eq.(2.122) mostra que o parâmetro a tem um limite inferior. Este limite depende das configurações de campos de cada problema em particular. Como assumimos que a era um parâmetro constante e real, isto quer dizer que a independente da configuração particular do campo. Observando que o lado direito da inequação é sempre negativo, então para satisfazermos a independência de a quanto ao campo, basta que o parâmetro satisfaça a > 0. (2.123) Estudaremos agora o caso em que as transformações infinitesimais sejam transfor- mações de Lorentz e rotações. 2.5.4 Transformações de Lorentz e Rotações: Tensor Momento Angular e Tensor Spin Considere a seguinte transformação de Poincaré xµ −→ x′µ = [ exp ( i 2 ωαβMαβ )]µ ν xν . (2.124) ϕi(x) −→ ϕ′i(x ′) = [ exp ( i 2 ωαβMαβ )] ij ϕj(x) (2.125) Relembrando as eq.(2.68) e (2.69), vemos que o parâmetro da transformação é ωαβ. Como ωαβ = −ωβα, então Ψiαβ = −Ψiβα e Γµαβ = −Γµβα. Sendo assim, definiremos que δxµ = 1 2 Γµαβω αβ e δϕi = 1 2 Ψiαβω αβ. O fator 1 2 serve para evitar contagem dupla. No caso de uma transformação infinitesimal, podemos expandir a exponencial e truncá-la no primeiro termo da expansão xµ −→ x′µ = ( 1+ i 2 ωαβMαβ )µ ν xν = ( δµν + i 2 ωαβ (Mαβ)µν ) xν , = xµ + ωµνxν . (2.126) ϕi(x) −→ ϕ′i(x ′) = ( 1+ i 2 ωαβMαβ ) ij ϕj(x) = ( δij + i 2 ωαβ (Mαβ)ij ) ϕj, = ϕi + 1 2 Ψiαβω αβ, (2.127) Capítulo 2. Teoria de Campos para Lagrangianas com Derivadas de Segunda Ordem nos Campos 33 onde usamos (Mαβ)µν = iηανη µ β − iηβνηµα [15] e (Mαβ)ij depende do campo em questão. Por inspeção, vemos que Γµαβ = ηµαxβ − η µ βxα. (2.128) Disso tiramos que Φiαβ = Ψiαβ + xα∂βϕi(x)− xβ∂αϕi(x) e temos o seguinte tensor de corrente ∆µ αβ ≡ J µ αβ ∆µ αβ = −ΠµiΦiαβ − Π̃µνi∂νΦiαβ − ΓµαβL, = −ΠµiΨiαβ − Πµixα∂βϕi(x) + Πµixβ∂αϕi(x)− Π̃µνi∂νΨiαβ − Π̃µνiηνα∂βϕi(x)− Π̃µνixα∂ν∂βϕi(x) + Π̃µνiηνβ∂αϕi(x) + Π̃µνixβ∂ν∂αϕi(x) + ηµβxαL − η µ αxβL, = −ΠµiΨiαβ − Π̃µνi ( ∂νΨiαβ + Υ γ να β∂γϕi ) + Θµ αxβ −Θµ βxα, (2.129) que, pelo teorema de Noether, ∂µ∆µ αβ = 0. (2.130) Para o tensor ∆µ αβ damos o nome de tensor Momento Angular Total. Note que podemos separar ∆µ αβ como a soma de dois tensores ∆µ αβ = Lµαβ + Sµαβ (2.131) com Lµαβ = Θµ αxβ −Θµ βxα, (2.132) que é chamado de tensor Momento Angular Orbital devido a sua forma lembrar L = r×p. O que sobra é somente Sµαβ = −ΠµiΨiαβ − Π̃µνi ( ∂νΨiαβ + Υ γ να β∂γϕi ) (2.133) que recebe o nome de tensor Spin. O nome Spin se deve ao fato de que em Teoria Quântica de Campos este tensor é associado com o spin do campo. Como ∂µ∆µ αβ = 0, então ∂µS µ αβ = Θαβ −Θβα, (2.134) pois ∂µΘµ ν = 0. A parte antissimétrica do tensor Energia-Momento quebra a conservação do tensor Spin. No caso em que ϕi é um campo escalar, o tensor Energia-Momento canônico é simétrico e, consequentemente, ∂µSµαβ = 0. Capítulo 2. Teoria de Campos para Lagrangianas com Derivadas de Segunda Ordem nos Campos 34 2.5.5 Os Tensores Momento Angular Orbital e Spin da Eletrodi- nâmica de Podolsky A maneira de como se obter os tensores Momento Angular Orbital e Spin foi apresentada na Subseção 2.5.4. A exigência é fazer a associação ϕi ≡ Aµ e determinar Ψiαβ. Como o campo eletromagnético de Podolsky é um campo vetorial, então uma transformação infinitesimal em Aµ – boost e rotação – é feita da seguinte maneira Aµ −→ A′µ = Aµ + ωµνAν . (2.135) com ω o parâmetro da transformação. Desta forma, identificamos Ψµαβ como Ψµαβ = δµαAβ − δ µ βAα, = Υµ γ α βAγ. (2.136) O tensor Momento Angular Orbital é obtido utilizando a eq.(2.103) LµαβP = Θµα P xβ −Θµβ P x α, = Υα β ξ γΘ µξ P x γ, = F νµ∂ξAνΥ α β ξ γx γ − 1 4 ηµξF κνFκνΥ α β ξ γx γ + 2a ( ηµπ∂ρ∂γF θγΥρ ν π θ∂ ξAν + ηµπ∂γF γθΥλ ν π θ∂ ξ∂λAν + 1 4 ηµξ∂κF κν∂σF σ ν ) Υα β ξ γx γ (2.137) e a carga associada a L0αβ é L̃αβ = ˆ Ξ d3x [ πµ ( ∂αAµx β − ∂βAµxα ) + π̃µ ( ∂αȦµx β − ∂βȦµxα )] . (2.138) com πµ e π̃µ dados por πµ = F µ0 − 2a ( ∂0∂λF λµ − ηkµ∂k∂λF λ0 ) . (2.139) π̃µ = 2a ( ∂λF λµ − η0µ∂λF λ0 ) . (2.140) O tensor Spin é obtido de (2.133). Usando a eq.(2.136) temos que Sµαβ = −ΠµρΥ γ ρα βAγ − Π̃µνρ ( Υ γ ρα β∂νAγ + Υ γ να β∂γAρ ) , = F µρΥ γ ρα βAγ + 2a ( ηµπΥ γ ρα βΥλ ρ π θ∂λ∂σF σθAγ − ηµπΥν ρ π θΥ γ ρα β∂σF σθ∂νAγ − ηµπΥν ρ π θΥ γ να β∂σF σθ∂γAρ ) (2.141) e a carga associada a S0 αβ é S̃αβ = ˆ Ξ d3x [ πµΥ γ µα βAγ + π̃µΥ γ µα βȦγ ] (2.142) Capítulo 2. Teoria de Campos para Lagrangianas com Derivadas de Segunda Ordem nos Campos 35 Em ambos os casos, os tensores Lµαβ e Sµαβ no limite de a → 0+ recaem nas expressões obtidas pela Teoria de Maxwell. Com isto, encerramos este capítulo. As teorias de campos com derivadas de ordens superiores nos campos são estudadas há muito tempo e, apesar da dificuldade intrínseca ao lidar com elas, vários resultados já foram obtidos. Este capítulo mostrou que é possível um formalismo lagrangiano para teorias de segunda ordem. A referência [8] constrói todo o formalismo hamiltoniano para tais teorias. Com a definição dos pares canônicos (πµ, Aµ) e (π̃µ, Ȧµ), a construção de uma formulação hamiltoniana para a Eletrodinâmica de Podolsky se torna natural. Ainda em [8], a análise de vínculos da Eletrodinâmica de Podolsky é realizada, obtendo todas as condições necessárias para se reduzir os graus de liberdade aparentes da teoria, além da obtenção do gauge de Lorenz generalizado, que veremos com mais detalhes posteriormente. Em [26] o formalismo de Hamilton-Jacobi para sistemas singulares descritos por lagrangianas de segunda ordem é o objeto de estudo. Também é realizada uma aplicação à Eletrodinâmica de Podolsky. A referência [10] mostrou um resultado importante: A teoria de Podolsky é a única teoria de campos de segunda ordem possível que seja linear e invariante pelos grupos de Poincaré e U(1) local. Em outras palavras, todas as teorias de segunda ordem lineares e invariantes pelos grupos de Poincaré e U(1) sobre Eletrodinâmica são equivalentes à Eletrodinâmica de Podolsky, fazendo dela a única generalização possível da Eletrodinâmica de Maxwell. Desta forma, teorias de segunda ordem se mostram alternativas para a descrição da Natureza. 36 Capítulo 3 Teoria de Multipolos na Eletrodinâmica de Podolsky 3.1 Introdução Neste capítulo faremos um estudo sobre a teoria Eletrostática e Magnetostática de Podolsky. O interesse pelo regime (independente do tempo) é inerente à gama de fenô- menos eletromagnéticos que podem ser investigados sem levar em conta a dependência temporal dos mesmos. Atualmente, todos estes fenômenos são descritos pela Eletrostática e Magnetostática de Maxwell e é natural neste trabalho estendermos esta descrição para a teoria de Podolsky. A primeira seção deste capítulo consiste em determinar como as equações de Po- dolsky são escritas em termos do potenciais escalar elétrico e vetorial magnético no caso estático e qual é a fixação de calibre adequada para este caso. Em seguida, teremos mais duas grandes seções: uma sobre a Eletrostática de Podolsky e outra sobre a Magnetostá- tica de Podolsky. Na seção sobre Eletrostática estudaremos as quantidades relacionadas à carga pun- tual tais como seu potencial elétrico, seu campo elétrico, o fluxo de seu campo elétrico, entre outros. Um breve modelo para uma carga puntual é estudada nesta parte. Ainda nesta seção estudaremos o dipolo elétrico e suas propriedades. O dipolo elétrico servirá como ensaio para o estudo dos multipolos elétricos, importantes na aproximação de poten- ciais e campos de distribuições de cargas que, em geral, são difíceis de serem modelados. Mostraremos como é feita a expansão multipolar na Eletrostática de Podolsky e aplica- remos para o caso de um disco com uma densidade superficial de carga constante. Na seção sobre Magnetostática explicaremos sobre as correntes estacionárias, que Capítulo 3. Teoria de Multipolos na Eletrodinâmica de Podolsky 37 são fontes de campos magnéticos estáticos. Em seguida, obteremos o potencial vetorial magnético de algumas configurações de corrente, como por exemplo, o potencial vetorial magnético devido a um fio infinito e a uma casca esférica girante carregada eletricamente. Faremos também a expansão multipolar do potencial vetorial magnético e aplicaremos para uma espira circular delgada com uma corrente constante. 3.2 As Equações de Podolsky para o caso estático e a Condição de Coulomb Generalizada As equações de Podolsky são as equações que descrevem toda a dinâmica dos cam- pos elétrico e magnético de Podolsky. Juntamente com a força de Lorentz, elas descrevem como a matéria interage com o campo eletromagnético. Elas são dadas pelas eq. (2.47), (2.48), (2.49) e (2.50) e sabemos que para o caso estático (Ė = 0; Ḃ = 0) são escritas da seguinte forma (1− 2a∇2)∇ ·E = ρ, (3.1) ∇ ·B = 0, (3.2) (1− 2a∇2)∇×B = J , (3.3) ∇×E = 0. (3.4) Do modo que são definidos os campos elétrico e magnético em termos das compo- nentes do tensor de Faraday, é possível mostrar que, no caso estático, E = −∇ϕ, e B = ∇×A, (3.5) com ϕ o potencial escalar elétrico e A o potencial vetorial magnético. Desta forma, escrevendo as equações de Podolsky com fontes em termos dos po- tenciais ϕ e A temos (2a∇2 − 1)∇2ϕ = ρ, (3.6) ∇ [ (1− 2a∇2)∇ ·A ] + (2a∇2 − 1)∇2A = J . (3.7) A invariância de gauge da Eletrodinâmica de Podolsky permite que façamos a seguinte escolha (1− 2a∇2)∇ ·A = 0. (3.8) A eq.(3.8) é chamada de condição de Coulomb generalizada. A imposição desta condição está relacionada com o fato de que o campo de Podolsky apresenta graus de liberdade aparentes. Para reduzí-los aos graus de liberdade físicos, é necessário impor condições sobre os campos. A condição correta, que foi obtida por Galvão e Pimentel em [8], é a Capítulo 3. Teoria de Multipolos na Eletrodinâmica de Podolsky 38 condição de Lorenz generalizada, que se reduz à condição de Coulomb generalizada no caso estático. Desta forma, motivados por (2.123), as equações de Podolsky sob a condição de Coulomb generalizada são( 1 m2 ∇2 − 1 ) ∇2ϕ = ρ, (3.9)( 1 m2 ∇2 − 1 ) ∇2A = J , (3.10) com m = √ 1 2a . (3.11) A constante m tem dimensão de inverso de comprimento e é chamada de constante de Podolsky. O inverso desta constante, que tem dimensão de comprimento, é uma escala de comprimento característica da teoria, sendo chamada de comprimento de Podolsky. A constantem tem um limite inferior relacionado com o limite de detecção dos experimentos. O valor obtido mais recente para este limite é m > 3, 7595×1010 eV e foi determinado em [12]. Devido à expressão que define m, o limite de a→ 0+ equivale a m→ +∞. Veremos agora quais as implicações que a Eletrostática de Podolsky impõe sobre os potenciais e campos de partículas e distribuições contínuas de cargas. 3.3 A Eletrostática de Podolsky A Eletrostática, como o próprio nome sugere, é o ramo da Eletrodinâmica que estuda as propriedades e o comportamento de corpos carregados em repouso. Os corpos carregados variam entre corpos extensos até corpos minúsculos. Iniciaremos nosso estudo analisando as propriedades da carga puntual. 3.3.1 A Carga Puntual A carga puntual, que denotaremos por Q, é uma partícula puntual carregada eletricamente cuja densidade de carga é do tipo delta de Dirac. Para uma carga puntual em um ponto P ∈ R3, este que é localizado por um vetor r̃, sua densidade de carga ρ é ρ(r) = qδ (r − r̃) . (3.12) A eq.(3.12) nos diz que em qualquer ponto do espaço, exceto P , não existe carga elétrica. A constante q é a quantidade de carga elétrica da carga puntual Q. Esta constante é um Capítulo 3. Teoria de Multipolos na Eletrodinâmica de Podolsky 39 número real1 e é obtida pela integração em todo o espaço da densidade de carga ρ Quant. de carga de Q = ˆ Ξ ρ(r) dτ = ˆ Ξ qδ (r − r̃) dτ = q. (3.13) A quantidade de carga q também é chamada de carga devido a uma carga puntual. Por muitas vezes denota-se uma carga puntual pela sua quantidade de carga. Neste estágio é possível determinarmos o potencial elétrico de uma carga puntual. Sabemos que o potencial escalar elétrico devido a uma carga puntual em um ponto lo- calizado por um vetor r satisfaz a eq.(3.9), com ρ dado pela eq.(3.12). Esperamos que o mesmo tenha domínio em todo o espaço e que tenda a zero quando a distância entre o ponto onde se calcula o potencial e a localização da carga for arbitrariamente grande. Podemos traduzir nossas expectativas da seguinte forma Domínio de ϕ = R3 e lim r→+∞ ϕ(r) = 0, (3.14) com r ≡ ‖r‖. Estas são condições de contorno e estão bem definidas, no sentido que podemos utilizar o método das Funções de Green para resolver a eq.(3.9). Segundo este método, a solução da eq.(3.9) é dada por ϕ(r) = ˆ Ξ G(r, r′)ρ(r′)dτ ′, (3.15) sendo que o sobrescrito ′ indica que a integração é realizada na variável r′ e G é a função de Green da eq.(3.9) que satisfaz( 1 m2 ∇2 − 1 ) ∇2G(r, r′) = δ(r − r′), (3.16) com as mesmas condições de contorno de ϕ. O operador ( 1 m2∇2 − 1 ) ∇2 atua somente na variável r. A resolução da equação diferencial de G(r, r′) é feita utilizando o método da Transformada de Fourier e o cálculo completo se encontra no Apêndice A. Assim, utilizando o resultado (A.25), temos que G(r, r′) = 1 4π (1− exp(−m‖r − r′‖)) ‖r − r′‖ . (3.17) Desta forma, utilizando as eq.(3.17) e eq.(3.12), é possível mostrar que o potencial calculado em um ponto localizado por r devido a uma carga puntual localizada em P é ϕ(r) = q 4π ( 1 ‖r − r̃‖ − exp(−m‖r − r̃‖) ‖r − r̃‖ ) . (3.18) 1 Em 1913, Robert A. Millikan publicou “On the elementary electrical charge and the Avogadro cons- tant” que mostrou que a quantidade de carga elétrica é múltiplo de uma carga elétrica elementar, denotada por e, cujo valor medido foi e = 4, 774 ± 0, 009 × 10−10 ESU. Este fato mostra que a carga elétrica é quantizada. Como isto não muda a análise feita neste trabalho, então descreveremos a quantidade de carga elétrica por um número real. Para detalhes sobre o experimento de Millikan, veja a referência [27]. Capítulo 3. Teoria de Multipolos na Eletrodinâmica de Podolsky 40 Note que ϕ satisfaz os seguintes limites lim r→+∞ ϕ(r) = 0, (3.19) lim m→+∞ ϕ(r) = 1 4π q r , (3.20) lim r→0 ϕ(r) = q m 4π , (3.21) de modo que, nas expressões anteriores, tomamos a carga puntual localizada na origem do sistema de coordenadas, sem perda de generalidade.2 A eq.(3.19) nos diz que o potencial vai a zero para pontos muito distantes da carga puntual, como esperado. A eq.(3.20) mostra que o potencial elétrico devido a uma carga puntual na teoria de Podolsky se comporta como o potencial elétrico na teoria de Maxwell no limite da constante m indo a infinito. Já a eq.(3.21) contém uma informação valiosa: o potencial elétrico de Podolsky devido a uma carga puntual é finito sobre a carga. Este é um resultado interessante pois sabemos que, fisicamente, o potencial elétrico não deve ser ilimitado sobre a carga. Este resultado ajudará a resolver outros problemas como veremos mais a frente. A partir da expressão para o potencial escalar elétrico da carga puntual, podemos calcular o campo elétrico gerado por esta carga. Se E = −∇ϕ, então E(r) = q 4π [ 1 r2 −m2 exp(−mr) mr ( 1 + 1 mr )] r̂, (3.22) com r̂ um vetor unitário na direção de r. Tomando E(r) = E(r)r̂, é possível mostrar os seguintes limites para E(r) lim r→+∞ E(r) = 0, (3.23) lim m→+∞ E(r) = 1 4π q r2 , (3.24) lim r→0 E(r) = q 8π m2, (3.25) de modo que a análise feita sobre as eq.(3.19) e (3.20) também é válida no caso da norma do campo elétrico. A eq.(3.25) mostra que o campo elétrico gerado pela carga puntual quando calculado sobre a carga é finito. Isto merece ser destacado pois o campo elétrico é um observável, isto é, pode ser mensurável. Com a expressão do campo elétrico da carga puntual, podemos calcular o fluxo deste campo por uma casca esférica. Para isso, considere uma casca esférica S de raio R, centrada na origem, orientada positivamente. Escolhemos esta superfície devido à simetria 2 Daqui em diante, tomaremos a carga puntual sempre localizada na origem, a menos que seja menci- onada sua posição. Capítulo 3. Teoria de Multipolos na Eletrodinâmica de Podolsky 41 esférica do campo. Propondo uma parametrização em coordenadas esféricas para a casca esférica para facilitar os cálculos e denotando por n̂ um campo de versores normais a S, é possível mostrar que " S E · n̂ dσ = q [1− exp (−mR) (1 +mR)] . (3.26) A eq.(3.26) nos diz que o fluxo depende explicitamente da superfície. Podemos nos perguntar qual é a energia necessária para reunir um conjunto de n cargas puntuais? A resposta é obtida da mesma forma que na teoria de Maxwell, pois a interação entre cargas elétricas e o campo eletromagnético de Podolsky é a mesma que na teoria de Maxwell. Sendo assim, seja W o trabalho necessário para mover carga puntual q de um ponto A do espaço até ponto B submetida a um potencial elétrico ϕ. Isto quer dizer que W = q [ϕ(B)− ϕ(A)]. Se o ponto A é tomado como referência (em geral, no infinito) e ϕ é devido a um conjunto n− 1 cargas puntuais com cargas q2, · · · , qn, então W = 1 4π n∑ i=1 n∑ j>i qiqj [1− exp (−m‖ri − rj‖)] ‖ri − rj‖ , (3.27) sendo que rk é o vetor que localiza a carga puntual qk, k = 1, · · · , n e q1 ≡ q. Podemos escrever de uma maneira mais elegante da seguinte forma W = 1 8π n∑ i=1 n∑ j=1 j 6=i qiqj [1− exp (−m‖ri − rj‖)] ‖ri − rj‖ , (3.28) de forma que o fator 1/2 foi introduzido para evitar contagem dupla. Podemos retirar qi do somatório em j e teremos W = 1 2 n∑ i=1 qiϕ(ri), (3.29) com ϕ(ri) o valor do potencial em ri devido a todas as cargas puntuais qj, j 6= i. Esta expressão pode ser estendida para o caso de distribuições contínuas de cargas fazendo a correspondência ∑ ↔ ´ e q ↔ dq. Desta forma, se ρ for a densidade de carga de um volume carregado e finito Ψ, então W = 1 2 ˆ Ψ ρ(r′)ϕ(r′) dτ ′, (3.30) com ϕ o potencial no interior de Ψ. Podemos definir a densidade de carga em todo o espaço, denotada por ρ̃ e definida da seguinte forma ρ̃(r′) = { ρ(r′), se r′ ∈ Ψ 0, se r′ 6∈ Ψ . (3.31) Capítulo 3. Teoria de Multipolos na Eletrodinâmica de Podolsky 42 Logo, W = 1 2 ˆ Ξ ρ̃(r′)ϕ(r′) dτ ′, (3.32) com Ξ = R3.3 Neste ponto surge um possível modelo para uma carga puntual, como o elétron. A quantidade a ser analisada é a energia necessária para formar tal carga. O modelo mais simples para uma carga puntual é tratá-la como uma esfera carregada com uma distribuição de cargas esfericamente simétrica. Tomaremos o caso em que a densidade de carga é constante. Vejamos este cálculo agora. Seja uma esfera de raio R carregada eletricamente e com densidade de carga cons- tante ρ0. Para calcularmos a energia para formar a carga, precisamos do potencial no interior da esfera. Isto é obtido da eq.(3.15), ϕ(r) = 1 4π ˆ Ξ (1− exp(−m‖r − r′‖)) ‖r − r′‖ ρ(r′) dτ ′, (3.33) sendo que ρ(r′) = ρ0Θ(R− r′), (3.34) r 6 R e Θ é a função de Heaviside definida do seguinte modo Θ(x) = { 1, se x > 0 0, se x 6 0 . (3.35) Uma integração em coordenadas esféricas resulta em ϕ(r) = Q 8π 1 R [ 3− ( r R )2 − 6 ( cosh(mr) mr − sinh(mr) (mr)2 )( exp(−mr) mr )( r R )2 + 6 ( sinh(mr) mr )( exp(−mR) mR )( 1 + 1 mR ) − 6 ( sinh(mr) mr )( exp(−mr) mr )( 1 + 1 mr )( r R )2] , (3.36) com Q = 4 3 πR3ρ0. Substituindo (3.36) em (3.32) com ρ(r′) = ρ0Θ(R− r′) e realizando a integral, temos que W = 3Q2m 80π [ exp(−2mR) (mR)6 ][ 4(mR)5 exp(2mR)− 10(mR)3 exp(2mR) + 30(mR) + 15 + 15(mR)2 exp(2mR) + 15(mR)2 − 15 exp(2mR) ] . (3.37) 3 Para não carregar a notação, a partir de agora denotaremos a densidade de carga em todo o espaço apenas por ρ. Capítulo 3. Teoria de Multipolos na Eletrodinâmica de Podolsky 43 Uma carga puntual pode ser vista como o limite de uma esfera carregada com seu raio tendendo a zero. Tomando este limite sobre (3.37) e usando a regra de L’Hôpital obtemos que a energia armazenada em uma carga puntual é Wcarga = Q2m 8π , (3.38) que é finita. Note que a finitude da energia do campo está relacionada diretamente com a constante de Podolsky e fica cada vez maior a medida que m cresce. O mesmo resultado seria obtido se usássemos a eq.(2.116) para o caso eletrostático e o campo elétrico de uma carga puntual dado em (3.22). Neste caso, a interpretação é que a energia da carga está armazenada no campo eletromagnético. Este é um dos grandes resultados da Eletrodinâmica de Podolsky. 3.3.2 O Dipolo Elétrico O dipolo elétrico consiste em duas cargas puntuais Q1 e Q2 com cargas +q e −q, respectivamente, separadas por uma distância fixa 2d. Pode-se traçar um segmento de reta que une as duas cargas puntuais. Assim, o ponto médio deste segmento é tomado como a origem de um eixo coordenado, que é paralelo ao segmento de reta. Desejamos calcular o potencial elétrico produzido por este sistema em um ponto P do espaço. Este ponto é localizado por um vetor r que faz um ângulo θ com o eixo coordenado. Este sistema pode ser visualizado na fig.(1). O z P 2d r′ −r′ θ (+q) (−q) r r − r ′ r + r ′ Figura 1 – O dipolo elétrico. Para calcularmos o potencial em P , utilizaremos o princípio da superposição que nos diz que o potencial em P será o potencial devido a carga puntual Q1 adicionado ao potencial devido a carga puntual Q2. Isto é válido pois as equações da Eletrodinâmica de Podolsky são lineares. Sendo assim, temos que ϕd(r) = ϕ1(r) + ϕ2(r), (3.39) Capítulo 3. Teoria de Multipolos na Eletrodinâmica de Podolsky 44 de forma que o índice subscrito d indica o potencial de dipolo e ϕ1 e ϕ2 representam os potenciais gerados pelas cargas Q1 e Q2, respectivamente. Utilizando a eq.(3.18), temos que ϕd(r) = q 4π [ 1 ‖r − r′‖ − 1 ‖r + r′‖ + exp (−m‖r + r′‖) ‖r + r′‖ − exp (−m‖r − r′‖) ‖r − r′‖ ] , (3.40) com r′ = dẑ. Note que eq.(3.40) é exata, isto é, ela fornece exatamente o valor do potencial em P . Contudo, nosso interesse se volta para regiões do espaço muito distantes do dipolo elétrico e gostaríamos de analisar como é o potencial em tais regiões. Neste contexto aparece a seguinte pergunta: Como é possível dizer que determinado ponto P do espaço está muito distante de uma distribuição de cargas genérica de tamanho finito? A resposta para esta pergunta é que se a maior distância entre dois elementos carregados da distribuição de cargas (cargas puntuais ou elementos infinitesimais de volume carregado, no caso de distribuições contínuas de carga) émuito menor que amínima distância entre o ponto P e um elemento carregado da distribuição de cargas, então é razoável dizer que P está muito afastado da distribuição de cargas. Esta é a chamada Condição de Aproximação Multipolar e será usada intensivamente neste capítulo. Podemos sintetizá-la da seguinte forma Condição de Aproximação Multipolar - Caso Eletrostático 1. Seja uma distri- buição de cargas que se encontra em um determinado volume finito W do espaço, este que é simplesmente conexo. O volume W é o menor volume que contém todos os elementos de carga. As distâncias (euclidianas) entre dois pontos arbitrários a e b de W e entre um ponto arbitrário c de W e um ponto P do espaço são denotadas por d (a, b) e d (c, P ), res- pectivamente. Para os casos que trataremos estas distâncias são números reais positivos. Sejam também dois conjuntos X e Y definidos como X = {d(w1, w2) | w1, w2 ∈ W} , Y = { d(w3, P ) | w3 ∈ W e P ∈ R3 } . Desta forma, quando o ponto P satisfizer a seguinte relação max X min Y � 1, (3.41) diremos que P está muito afastado de W . A ideia intuitiva desta condição é comparar o “tamanho” da distribuição de cargas com a distância desta até o ponto onde se deseja calcular o potencial. Aplicando a condição de aproximação multipolar para o dipolo elétrico, temos que 2r′ ‖r − r′‖ � 1. (3.42) Capítulo 3. Teoria de Multipolos na Eletrodinâmica de Podolsky 45 Podemos melhorar esta expressão. Sabemos que dados dois números reais x e y, tais que x > 0, y > 0 e x > y, então x2 > y2. Assim, como r′ > 0 e ‖r − r′‖ > 0, então temos que 4r′2 � ‖r − r′‖2. (3.43) Utilizando a definição de norma, temos que a expressão (3.43) é equivalente a 3 ( r′ r )2 + 2 ( r′ r ) cos(θ)� 1, (3.44) com θ o ângulo entre r e r′. Sabe-se que o módulo da função cosseno é menor ou igual a unidade. Desta forma, valem as seguintes inequações 3 ( r′ r )2 − 2 ( r′ r ) 6 3 ( r′ r )2 + 2 ( r′ r ) cos(θ) 6 3 ( r′ r )2 + 2 ( r′ r ) . (3.45) Portanto, se r e r′ satisfizerem a seguinte inequação 3 ( r′ r )2 + 2 ( r′ r ) � 1, (3.46) então a condição de aproximação multipolar (3.42) será satisfeita. Sabemos que r′/r > 0, pois r > 0 e r′ > 0. Assim, como 3(r′/r) > 2(r′/r), então basta que r e r′ satisfaçam 3 ( r′ r )2 + 3 ( r′ r ) � 1, (3.47) para que a condição de aproximação multipolar (3.42) seja mantida. A inequação dada em (3.47) é equivalente a( r′ r ) + 1� r 3r′ . (3.48) Pelo fato de que r′/r + 1 > 1, pois r′/r > 0, mostra-se que a seguinte inequação r′ r � 1 (3.49) garante que a condição de aproximação multipolar dada em (3.42) seja realizada. Desta forma, podemos expandir ϕd(r) em uma série de Taylor de r′/r em torno de zero e aproximá-la até os termos lineares r′/r. Para tanto, sabemos que da definição de norma 1 ‖r ± r′‖ = 1 r 1√ 1 + ( r′ r )2 ± 2 ( r′ r ) cos(θ) (3.50) Capítulo 3. Teoria de Multipolos na Eletrodinâmica de Podolsky 46 e também exp (−m‖r ± r′‖) ‖r ± r′‖ = 1 r exp −mr√1 + ( r′ r )2 ± 2 ( r′ r ) cos(θ)  √ 1 + ( r′ r )2 ± 2 ( r′ r ) cos(θ) . (3.51) Expandindo as expressões das eq.(3.50) e (3.51) em séries de Taylor de r′/r em torno de zero, temos que 1 ‖r ± r′‖ ≈ 1 r [ 1∓ ( r′ r ) cos(θ) ] (3.52) e exp (−m‖r ± r′‖) ‖r ± r′‖ ≈ exp(−mr) r [ 1∓ (1 +mr) ( r′ r ) cos(θ) ] . (3.53) Substituindo (3.53) e (3.52) em (3.40) é possível mostrar que ϕd(r) ≈ 1 4π 2q r {( r′ r ) − 3(mr) ( mr′ 3 )[( exp (−mr) mr )( 1 + 1 mr )]} cos(θ). (3.54) O formato desta expressão é muito interessante, como será visto em breve. Entretanto, podemos escrevê-la da seguinte forma ϕd(r) ≈ 1 4π 1 r {( 1 r ) −m [ exp (−mr) ( 1 + 1 mr )]} p · r̂. (3.55) com r̂ um vetor unitário na direção de r e p o vetor momento de dipolo elétrico da distribuição de cargas, que é dado como p = 2r′qẑ. (3.56) Para o potencial do dipolo elétrico, é possível mostrar os limites lim r→+∞ ϕd(r) = 0, (3.57) lim m→+∞ ϕd(r) = 1 4π p · r̂ r2 . (3.58) O campo elétrico do dipolo elétrico é obtido de Ed(r) = −∇ϕd(r). Sob a condição de aproximação multipolar, temos que Ed(r) ≈ 1 4π 1 r3 [ (3 (p · r̂) r̂ − p) + (mr)2 ( exp (−mr) mr )( 1 + 1 mr ) p − (mr)3 ( exp (−mr) mr )( 1 + 3 mr + 3 mr ) (p · r̂) r̂ ] (3.59) que naturalmente satisfaz os seguintes limites lim r→+∞ Ed(r) = 0, (3.60) lim m→+∞ Ed(r) = 1 4π 1 r3 [3 (p · r̂) r̂ − p] . (3.61) Capítulo 3. Teoria de Multipolos na Eletrodinâmica de Podolsky 47 que são resultados obtidos via Eletrostática de Maxwell. Podemos investigar qual é a energia potencial de um dipolo elétrico na presença de um potencial elétrico externo. Para tanto, denotaremos o potencial elétrico externo por ϕext(r) e este será medido de um referencial O′. As cargas Q1 e Q2 são localizadas neste referencial pelos vetores r e r − 2r′. Desta forma, temos que U = qϕext(r)− qϕext(r − 2r′). (3.62) Usando a condição de aproximação multipolar, podemos expandir ϕext(r − 2r′) em uma série de Taylor em torno de zero e truncar a série até os termos lineares em r′. Assim, ϕext(r − 2r′) = ϕext(r)− 2r′ · ∇ϕext(r). (3.63) Logo, observando que podemos escrever Eext(r) = −∇ϕext(r), temos U = −p ·Eext(r). (3.64) O estudo do dipolo elétrico na Eletrostática de Podolsky serve como ensaio para o que virá na próxima seção: o estudo da expansão multipolar para o caso de densidade genérica de cargas. 3.3.3 Expansão Multipolar na Eletrostática Como já mencionado, a motivação para estudarmos a expansão multipolar é a possibilidade de analisarmos o comportamento de um potencial, cuja análise seja com- plicada, por aproximações conhecidas, como o potencial devido a um monopolo elétrico (carga puntual) ou o potencial devido a um dipolo elétrico. Para realizar as aproximações, é necessário impor a condição de aproximação multipolar na função de Green dada pela eq.(3.17), entre outros detalhes. Nosso ponto de partida é o potencial elétrico devido a uma distribuição genérica de cargas. Seja um potencial ϕ devido a uma densidade de carga genérica ρ. Sabemos que ϕ satisfaz a eq.(3.9). A maneira de se resolver tal equação é pelo método das Funções de Green. A solução geral para esta equação diferencial, como mostrado na eq.(3.15), é ϕ(r) = ˆ Ψ G(r, r′)ρ(r′) dτ ′, (3.65) com Ψ o volume (finito) que contém a distribuição de carga e G(r, r′) = 1 4π [ 1 ‖r − r′‖ − exp (−m‖r − r′‖) ‖r − r′‖ ] . (3.66) Capítulo 3. Teoria de Multipolos na Eletrodinâmica de Podolsky 48 Existem duas questões que precisam ser discutidas. A primeira é sobre a condição de aproximação multipolar para o caso genérico e a segunda é sobre a implementação desta condição. Trataremos as duas questões a seguir. Sabemos que da definição da condição de aproximação multipolar, max X é a maior distância entre dois pontos quaisquer de Ψ. Sendo Ψ um volume finito, o mesmo sempre pode ser encerrado dentro de uma esfera de raio finito. SejaW a esfera com menor diâmetro que encerra completamente Ψ. Consequentemente, o diâmetro de W é igual a max X. Desta forma, para determinar a condição de aproximação multipolar, trocaremos de análise feita sob um volume genérico Ψ pela análise sob uma esfera W . Agora, seja Rd o raio da esfera W . Chamaremos Rd de raio da distribuição de cargas. A condição de aproximação multipolar aplicada neste caso resulta 2Rd ‖r − r′‖ � 1. (3.67) Para os casos em que o centro da esfera é próximo4 da origem do sistema de coordenadas de r′, temos que r′ . Rd e podemos escrever 2r′ ‖r − r′‖ � 1. (3.68) Como mostrado anteriormente, a inequação (3.68) é equivalente a r′ r � 1. (3.69) Esta é a condição de aproximação multipolar para o caso de uma distribuição genérica de cargas. A outra questão é sobre a implementação da aproximação multipolar na Função de Green. Na teoria de Maxwell, a implementação segue o seguinte roteiro: Primeiro, procura-se uma representação da Função de Green em termos de uma série, a fim de truncá-la. A busca por esta representação resulta em uma série de potências em r′/r, fazendo com que a própria expressão da condição de aproximação multipolar para o caso genérico seja suficiente para truncar a soma. Na teoria de Podolsky, a busca por uma representação da Função de Green resulta em uma série em que a condição de aproximação multipolar não pode ser aplicada diretamente, nos obrigando a obter expressões que sejam equivalentes da condição de aproximação multipolar, a fim de utilizarmos a série obtida. Detalharemos isto agora. Para implementar a condição de aproximação multipolar, nosso primeiro passo é 4 Para este caso estamos definindo próximo da seguinte maneira: Sejam O o centro da esfera W e O′ a origem do sistema de coordenadas r′. Se d(O,O′)� Rd, então diremos que O está próximo de O′. Capítulo 3. Teoria de Multipolos na Eletrodinâmica de Podolsky 49 escrever G(r, r′) em termos de uma série. Da teoria de funções especiais, nossa busca retornou as seguintes expansões 1 ‖r − r′‖ = 1 r> +∞∑ l=0 ( r< r> )l Pl(cos γ), (3.70) e exp (−m‖r − r′‖) ‖r − r′‖ = m +∞∑ l=0 (2l + 1)il(mr<)kl(mr>)Pl(cos γ), (3.71) sendo que r> ≡ Maior de (r, r′), r< ≡ Menor de (r, r′); il e kl são as Funções Esféricas Modificadas de Bessel de ordem l de primeira e segunda espécie, respectivamente; Pl é o Polinômio de Legendre de grau l e γ é o menor ângulo entre r e r′. A demonstração completa da eq.(3.71) se encontra no Apêndice B desta dissertação. Muitas são as representações destas funções especiais, mas as que nos interessam são apresentadas abaixo. il(x) = 2lxl +∞∑ s=0 (s+ l)! s! [2 (s+ l) + 1]! x2s, (3.72) kl(y) = exp (−y) y l∑ r=0 (l + r)! r!(l − r)! 1 (2y)r , (3.73) Pl(z) = 1 2ll! dl dzl ( z2 − 1 )l . (3.74) É possível mostrar que tanto il quanto Pl têm paridade (−1)l, indicando que, para l par ou ímpar, serão polinômios (finitos ou infinitos) cujas potências serão pares ou ímpares, respectivamente. Para uma referência sobre as Funções de Bessel e os Polinômios de Legendre a nível desta dissertação, veja a referência [28]. Referências completas sobre Funções de Bessel e Polinômios de Legendre são encontradas em [29,30], respectivamente. Assim, concluímos que uma representação da função de Green em termos de uma séria infinita é G(r, r′) = 1 4π 1 r +∞∑ l=0 [( r′ r )l − (2l + 1)(mr)il(mr ′)kl(mr) ] Pl(cos γ). (3.75) A eq.(3.75) mostra que as Funções de Bessel separam as variáveis r e r′, nos impossibi- litando de aplicar a condição de aproximação multipolar diretamente. Contudo, ainda podemos utilizar a eq.(3.75). O que precisamos determinar é uma forma equivalente de aplicar a condição de aproximação multipolar. Obviamente, esta maneira equivalente é feita por meio da aplicação de uma expressão diferente de (3.69). Nossa busca resultou nas seguintes expressões mr′ � 1 e mr & 1. (3.76) Capítulo 3. Teoria de Multipolos na Eletrodinâmica de Podolsky 50 Observe que (3.76) impõe um limite superior para r′ e um limite inferior para r. Estes limi- tes indicam que o raio da distribuição de cargas deve ser muito menor que o comprimento de Podolsky, enquanto que r só pode ser maior ou da ordem do mesmo comprimento. Es- tas expressões apresentam uma regime – de comprimento – para uma eventual verificação experimental, que claramente se relaciona com o comprimento característico da teoria. Mesmo com a expressão da condição de aproximação multipolar determinando relações para mr′ e mr separadamente, ainda assim não podemos fazer a expansão mul- tipolar. Isto porque não conseguimos garantir que, dado um valor para o contador l, o termo de ordem l é muito maior que o de ordem l + 1, isto é, não conseguimos mostrar que Tl(r, r ′) Tl+1(r, r′) � 1, (3.77) com Tl(r, r ′) = [( r′ r )l − (2l + 1)(mr)il(mr ′)kl(mr) ] Pl(cos γ), l ∈ N. (3.78) A fim de usarmos esta representação da função de Green, é preciso reorganizar a série. Todo o processo de reorganização da série se encontra no Apêndice C deste trabalho. Realizado o processo de reorganização da série, temos que G(r, r′) pode ser escrita como G(r, r′) = 1 4π 1 r +∞∑ l=0 Vl(r, r ′,m), (3.79) com Vl(r, r ′,m) = ( r′ r )l Pl(cos γ) − (mr)(mr′)l [ l2 ]∑ n=0 2n̄ (2n̄+ 1) ([ l 2 ] − n+ n̄ ) !([ l 2 ] − n ) ! [ 2 ( n̄+ [ l 2 ] − n ) + 1 ] ! kn̄(mr)Pn̄(cos γ), (3.80) com n̄ = 2n+ [ 1− (−1)l 2 ] e [ l 2 ] = 2l − 1 + (−1)l 4 . (3.81) Deste modo, a implementação da condição de aproximação multipolar se torna possí- vel. Como comentado, (3.76) garante diretamente o truncamento sob a justificativa que (r′/r)l � (r′/r)l+1, na parte de G(r, r′) que independe de m. Na parte de G(r, r′) que depende de m temos que os Polinômios de Legendre não contribuem para a análise, pois |Pl(cos γ)| 6 1, ∀ l ∈ N, ∀ γ ∈ R. Assim, quando analisa-se o termo de ordem l da soma infinita, o que se tem é (mr′)l multiplicado por um somatório (em n, para diferenciar de Capítulo 3. Teoria de Multipolos na Eletrodinâmica de Podolsky 51 l) de constantes multiplicativas que dependem de n e l, e as funções kn. Disso segue que, como kn é decrescente para qualquer n, basta analisarmos kn em seu maior valor, o que equivale a calcularmos kn no menor valor possível de seu domínio. Este valor é definido pela condição de aproximação multipolar e corresponde a r da ordem do comprimento de Podolsky. Após organizar a expressão, restam apenas (mr′)l multiplicado por constantes que dependem de l. Apesar do comportamento crescente destas constantes com relação a l, a condição de aproximação multipolar aplicada em (mr′)l faz com que o termo l ainda seja muito maior que o termo de l + 1. Desta forma, mostra-se que Vl � Vl+1. Portanto, podemos escrever ϕ(r) da seguinte forma ϕ(r) = 1 4π 1 r +∞∑ l=0 ˆ Ξ Vl(r, r ′,m)ρ(r′) dτ ′ (3.82) e, sem perda de generalidade, voltamos a integração para todo o espaço, motivados pela eq.(3.31). Podemos explorar alguns termos desta série. O termo que corresponde ao contador l = 0 é chamado de Monopolo elétrico e dado por ϕ(0)(r) = 1 4π 1 r ˆ Ξ [1− (mr)k0(mr)] ρ(r′) dτ ′, = 1 4π [1− exp (−mr)] r ˆ Ξ ρ(r′) dτ ′, = q 4π [ 1 r − exp (−mr) r ] , (3.83) com q = ´ Ξ ρ(r′) dτ ′ a quantidade de carga da distribuição. O nome é escolhido por causa de sua semelhança ao potencial de uma carga puntual localizada na origem e é também análoga à eq.(3.18). O primeiro termo não-nulo da expansão é chamado de termo dominante da expansão multipolar. O termo correspondente a l = 1 é chamado de Dipolo elétrico. ϕ(1)(r) = 1 4π 1 r ˆ Ξ [( r′ r ) cos(γ)− (mr)(mr′)k1(mr) cos(γ) ] ρ(r′) dτ ′, = 1 4π 1 r [( 1 r ) −m exp (−mr) ( 1 + 1 mr )]ˆ Ξ r′ cos(γ)ρ(r′) dτ ′. (3.84) De imediato, vemos que r′ cos(γ) = r̂ · r′. (3.85) Capítulo 3. Teoria de Multipolos na Eletrodinâmica de Podolsky 52 Logo, ϕ(1)(r) = 1 4π 1 r [( 1 r ) −m exp (−mr) ( 1 + 1 mr )] r̂ · ˆ Ξ r′ρ(r′) dτ ′, (3.86) pois a integral é na variável r′. Definiremos a seguinte integral como o momento de dipolo da distribuição p = ˆ Ξ r′ρ(r′) dτ ′. (3.87) Deste modo, O termo de dipolo elétrico da distribuição é dado então por ϕ(1)(r) = 1 4π 1 r [( 1 r ) −m exp (−mr) ( 1 + 1 mr )] p · r̂, (3.88) que é a mesma expressão obtida na eq.(3.55). Os termos referentes a l = 2 e l = 3 são chamados de Quadrupolo elétrico e Octopolo elétrico da distribuição de cargas, e assim continuam. Um comentário sobre o momento de dipolo da distribuição de cargas é que a eq.(3.87) é uma generalização do conceito desenvolvido na seção 3.3.2 . Isto fica claro quando identificamos a densidade de carga do dipolo da fig.(1) como ρd(r ′) = qδ(r′ − dẑ)− qδ(r′ + dẑ). (3.89) Logo, p = ˆ Ξ r′ρd(r ′) dτ ′ = ˆ Ξ r′ [qδ(r′ − dẑ)− qδ(r′ + dẑ)] dτ ′ = qdẑ − q(−dẑ), = 2qdẑ, (3.90) que é o mesmo momento de dipolo obtido em (3.56). Para testarmos a eq.(3.82), consideraremos um exemplo simples. Calcularemos os potenciais referentes aos termos de monopolo, dipolo e quadrupolo para um disco carregado, cuja densidade superficial de carga seja uniforme. 3.3.4 Exemplo: Expansão Multipolar do Potencial Escalar Elé- trico de um Disco Carregado Considere um disco carregado de espessura desprezível e raio R, com uma densi- dade superficial de carga constante σ. O disco se encontra no plano x− y do sistema de coordenadas adotado e seu centro coincide com a origem do sistema de coordenadas. Veja a fig.(2). Capítulo 3. Teoria de Multipolos na Eletrodinâmica de Podolsky 53 z x y r r′ P r − r′ ·R σ Figura 2 – Disco carregado. Desejamos calcular o potencial em P que, por simplicidade, se encontra no eixo de simetria do disco, que coincide com o eixo z. Como sempre, o vetor r localiza o ponto no qual queremos calcular o potencial e r′ localiza um elemento de carga. A maneira de se obter é dada pela eq.(3.15). Explicitamente, ϕdisco(r) = 1 4π ˆ Ξ ( 1 ‖r − r′‖ − exp(−m‖r − r′‖) ‖r − r′‖ ) ρ(r′)dτ ′. (3.91) com ρ(r′) = σΘ(R− r′)δ(z), (3.92) e Θ é a função de Heaviside. Desta forma, uma integração em coordenadas cilíndricas resulta em ϕdisco(r) = Q 2π 1 R [√ R2 + r2 R − r R + exp(−m √ R2 + r2)− exp(−mr) mR ] . (3.93) com Q = πR2σ. Note que eq.(3.93) é exata, isto é, ela fornece exatamente o valor do potencial em P . Entretanto, nosso interesse é analisar o comportamento de ϕdisco em regiões do espaço muito distantes do disco. Isto quer dizer que devemos fazer a expansão multipolar para o potencial do disco. Para tanto, precisamos da condição de aproximação multipolar para o disco. A aplicação da condição multipolar resulta 2R r � 1. (3.94) Como R < 2R, então podemos escrever R r � 1. (3.95) Capítulo 3. Teoria de Multipolos na Eletrodinâmica de Podolsky 54 Esta é a condição de aproximação multipolar para o disco. A fim de aplicar a condição (3.95), reescreveremos a eq.(3.93) da seguinte forma ϕdisco(r) = Q 2π 1 R  ( r R )√ 1 + ( R r )2 − ( r R ) + exp −mr√1 + ( R r )2 − exp(−mr) mR  . (3.96) Desta forma, expandindo (3.96) em séries de taylor de R/r e truncando nos termos de potência 4 em R/r sob a condição de aproximação multipolar, temos que ϕdisco(r) ≈ Q 4πr [1− exp(−mr)]− Q 16πr [1− exp(−mr) (1 +mr)] ( R r )2 . (3.97) O termo proporcional a (R/r)0 da eq.(3.97) é associado ao termo de monopolo elétrico. Já o termo proporcional a (R/r)1 é nulo, ou seja, ϕdisco não possui o termo de dipolo elétrico. O termo proporcional (R/r)2 é associado ao termo de quadrupolo elétrico. Podemos comparar a eq.(3.97) com o potencial obtido pela eq.(3.82). Para isso, precisamos calcular os termos de monopolo, dipolo e quadrupolo da expansão. Vejamos estes cálculos agora. Seja o potencial devido ao disco dado pela eq.(3.82) que denotaremos por ϕ̃disco. Desejamos escrever este potencial truncando até de quadrupolo. Para tanto, precisamos impor a condição de aproximação multipolar dado em (3.76). Desta forma, aplicando a condição de aproximação multipolar (3.76) em (3.82) temos que ϕ̃disco(r) ≈ 1 4π 1 r (ˆ Ξ V0(r, r′,m)ρ(r′)dτ ′ + ˆ Ξ V1(r, r′,m)ρ(r′)dτ ′ + ˆ Ξ V2(r, r′,m)ρ(r′)dτ ′ ) , (3.98) Calcularemos primeiro o termo de monopolo. Logo, usando a eq.(3.80) ϕ̃ (0) disco(r) = 1 4π 1 r ˆ Ξ V0(r, r′,m) ρ(r′)dτ ′, = 1 4π 1 r ˆ Ξ (( r′ r )0 P0(cos γ)− (mr)(mr′)0k0(mr)P0(cos γ) ) ρ(r′)dτ ′, = 1 4π 1 r ˆ Ξ [1− (mr)k0(mr)] ρ(r′)dτ ′, Capítulo 3. Teoria de Multipolos na Eletrodinâmica de Podolsky 55 ϕ̃ (0) disco(r) = 1 4πr [1− (mr)k0(mr)] ˆ Ξ ρ(r′)dτ ′. (3.99) A integral da eq.(3.99) é resolvida em coordenadas cilíndricasˆ Ξ ρ(r′)dτ ′ = σπR2 = Q. (3.100) Logo, usando a eq.(3.73), temos ϕ̃ (0) disco(r) = Q 4πr [1− (mr)k0(mr)] , = Q 4πr [ 1− (mr) ( exp (−mr) mr )] , = Q 4πr [1− exp (−mr)] (3.101) Agora, o termo de dipolo. Usando (3.80) temos ϕ̃ (1) disco(r) = 1 4π 1 r ˆ Ξ V1(r, r′,m)ρ(r′)dτ ′, = 1 4π 1 r ˆ Ξ [( r′ r ) P1(cos γ)− (mr)(mr′)k1(mr)P1(cos γ) ] ρ(r′)dτ ′. (3.102) Note na fig.(2) que γ = π 2 . Logo P1(cos γ) = 0 e ϕ̃ (1) disco(r) = 0. (3.103) Usando a eq.(3.80), o termo de quadrupolo é dado por ϕ̃ (2) disco(r) = 1 4π 1 r ˆ Ξ V2(r, r′,m)ρ(r′)dτ ′, = 1 4π 1 r ˆ Ξ [( r′ r )2 P2(cos γ)− 1 3 (mr)(mr′)2k2(mr)P2(cos γ) − 1 6 (mr)(mr′)2k0(mr)P0(cos γ) ] ρ(r′)dτ ′. (3.104) Como γ = π 2 , então P2(cos γ) = −1 2 . Logo, ϕ̃ (2) disco(r) = 1 4π 1 r [ 1 r2 ˆ Ξ r′2 ( −1 2 ) ρ(r′)dτ ′ − 1 3 m3rk2(mr) ˆ Ξ r′2 ( −1 2 ) ρ(r′)dτ ′ − 1 6 m3rk0(mr) ˆ Ξ r′2ρ(r′)dτ ′ ] , = 1 4π 1 r [ − 1 2r2 + 1 6 m3rk2(mr)− 1 6 m3rk0(mr) ] ˆ Ξ r′2ρ(r′)dτ ′. (3.105) Capítulo 3. Teoria de Multipolos na Eletrodinâmica de Podolsky 56 A integral da eq.(3.105) é resolvida em coordenadas cilíndricas ˆ Ξ r′2ρ(r′)dτ ′ = σπR4 2 = QR2 2 . (3.106) Logo, usando a eq.(3.73), temos ϕ̃ (2) disco(r) = 1 4π 1 r [ − 1 2r2 + 1 6 m3rk2(mr)− 1 6 m3rk0(mr) ] QR2 2 , = − Q 16πr [ 1− 1 3 (mr)3k2(mr) + 1 3 (mr)3k0(mr) ]( R r )2 , = − Q 16πr [ 1− 1 3 (mr)3 [( exp(−mr) mr )( 1 + 3 mr + 3 (mr)2 )] + 1 3 (mr)3 ( exp(−mr) mr )]( R r )2 , = − Q 16πr [1− exp(−mr) (1 +mr)] ( R r )2 . (3.107) Agrupando os resultados (3.101), (3.103) e (3.107) em (3.98) temos ϕ̃disco(r) ≈ Q 4πr [1− exp(−mr)]− Q 16πr [1− exp(−mr) (1 +mr)] ( R r )2 . (3.108) Portanto, sob a condição de aproximação multipolar, ϕ̃disco = ϕdisco, como que- ríamos mostrar. Este fato mostra que a expansão multipolar usando a eq.(3.82) sob a condição de aproximação multipolar (3.76) fornece a expansão multipolar correta. A eq.(3.82) também serve para distribuições discretas de cargas, de modo que sua veraci- dade já foi testada nas diversas configurações de cargas puntuais do tipo dipolo elétrico e quadrupolo elétrico (linear e quadrado). 3.4 A Magnetostática de Podolsky Nossa atenção se volta agora para a Magnetostática de Podolsky. Este ramo da Eletrodinâmica se propõe a estudar as propriedades de corpos que possuem correntes esta- cionárias de cargas. As correntes estacionárias são fontes de campos magnéticos estáticos no tempo. Iniciaremos agora o estudo das propriedades de uma corrente estacionária. 3.4.1 Correntes Estacionárias Uma corrente elétrica, que denotaremos por I, é definida como a quantidade de cargas por unidade de tempo que passa em um determinado ponto. Quando uma corrente elétrica não varia com o tempo, dizemos que se trata de uma corrente estacionária. Se uma configuração de carga, caracterizada por uma densidade linear de carga λ, percorre Capítulo 3. Teoria de Multipolos na Eletrodinâmica de Podolsky 57 uma porção de um fio de comprimento l com uma velocidade v, e