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�� ��� ���� ���� ��� IFT Instituto de F́ısica Teórica

Universidade Estadual Paulista

TESE DE DOUTORADO IFT–T.001/2011

Aspectos Relativ́ısticos da Teoria da Informação Quântica

André G. S. Landulfo

Orientador

George E. A. Matsas


i

Agradecimentos

À Aline, por todo seu amor, compreensão e ajuda durante todo esse tempo. Esse trabalho

é dedicado a você.

Aos meus pais Ilton e Sueli, meus avós Vito e Adélia, meus irmãos Thiago e Carol além

de meus tios Francisco, Maria Aparecida e Antônio.

À minha recém adquirida famı́lia, João Carlos, Conceição, Alais e Ana Karla.

Aos meus amigos da USP, Michel Navarro, Vinicius Busti e Dorival Gonçalves.

Ao Instituto de F́ısica Teórica por todo o suporte durante esses anos e a todos os colegas

de IFT. Um agradecimento especial, apesar de não estar mais no IFT, à minha amiga

Patricia.

Aos atuais colegas de grupo, Adriano, Raissa e Katja e aos antigos colegas de grupo Clóvis,

Bruno e Douglas.

Aos professores Daniel Vanzella, Alberto Saa e Reuven Opher pela prazerosa convivência

ao longo desses anos.

Um profundo agradecimento ao George, por toda a amizade e orientação dedicada ao

longo de todos esses anos. Um agradecimento especial por todo tempo dedicado às valiosas

discussões sobre f́ısica.

À FAPESP pelo apoio financeiro.


ii

Resumo

Mesmo tratando a gravidade classicamente, a Teoria Quântica de Campos em Espaços-

Tempos Curvos (TQCEC) faz previsões impressionantes sobre o comportamento de cam-

pos quânticos na presença de campos gravitacionais. Entretanto, ao mesmo tempo em

que nos revela efeitos surpreendentes, a TQCEC levanta uma série de questionamentos.

O desenvolvimento de uma teoria na interface entre a teoria da relatividade, a mecânica

quântica e a teoria da informação poderá não só lançar uma nova luz em tais questões

como também nos permitir descobrir novos efeitos de gravitação quântica de baixas ener-

gias. Entretanto, os efeitos que a teoria da relatividade causa na teoria da informação

quântica são não triviais já no espaço-tempo de Minkowski. Faz-se necessária portanto

uma análise cuidadosa de tais efeitos já no contexto da relatividade especial. Sendo assim,

estudamos primeiro o comportamento das desigualdades de Bell usando férmions de spin

1/2 e fótons quando os detetores que medem spin e polarização, respectivamente, movem-

se com certa velocidade. Além disso, usamos o limite de Holevo para estudar sistemas

de comunicação quando as partes que trocam informação tem um movimento relativo.

Como um desenvolvimento natural, estudamos diversos aspectos da teoria da informação

quântica no contexto da teoria quântica de campos e, em particular, do efeito Unruh.

Tais resultados nos permitiram prever o comportamento de qubits nas vizinhanças de um

buraco negro de Schwarzschild.

Palavras Chaves: Informação Quântica; Emaranhamento; Relatividade; Efeito Unruh;

Buracos Negros.

Áreas do conhecimento: Mecânica Quântica; Teoria da Informação Quântica; Teoria

da Relatividade; Teoria Quântica de Campos em Espaços-Tempos Curvos.


iii

Abstract

Although it treats gravity classically, the Quantum Field Theory in Curved Spaceti-

mes (QFTCS) makes remarkable predictions about de behavior of quantum fields in the

presence of gravitational fields. However, these striking discoveries raises several issues.

The development of a theory at the interface between the theory of relativity, quantum

mechanics and information theory could not only shed new light on such questions as well

as allow us to uncover new low-energy quantum gravity effects. However, relativity affects

quantum information theory in a highly non-trivial way already in Minkowski spacetime.

Therefore, a careful analysis of these effects in the context of special relativity is needed.

For this purpose, we begin investigating how the movement of the spin and polarization

detectors influences the Bell inequalities using spin 1/2 fermions and photons, respecti-

vely. Then, we use the Holevo bound to investigate quantum communication channels

when the parts that trade information have a relative motion. As a natural development,

we use quantum field theory and, in particular, the Unruh effect to analyze several aspects

of quantum information theory. This enables us to predict the behavior of qubits in the

vicinity of a Schwarzschild black hole.


iv

[The black hole] teaches us that space can be crumpled like a piece of paper into an

infinitesimal dot, that time can be extinguished like a blown-out flame, and that the laws

of physics that we regard as “sacred”, as immutable, are anything but.

Behind it all is surely an idea so simple, so beautiful, that when we grasp it - in a decade,

a century, or a millennium - we will all say to each other, how could it have been

otherwise? How could we have been so stupid?

John Archibald Wheeler (1911-2008)

The reader should not be discouraged if...he does not have the prerequisites for reading

the prerequisites.

Paul Halmos (1916-2006)

Quantum theory needs no interpretation.

Asher Peres (1934-2005)


Sumário

1 Introdução 1

2 Teoria da Informação Clássica 6

2.1 Medidas de Informação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Sistemas de Comunicação sem Rúıdos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Teoria da Informação Quântica 18

3.1 Mecânica Quântica, POVM e Mapeamentos Quânticos . . . . . . . . . . . 20

3.1.1 Os Postulados da Mecânica Quântica . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.2 Medições Generalizadas e POVM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1.3 Mapeamentos Quânticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2 Medidas de Informação Quântica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3 Sistemas Quânticos de Comunicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3.1 O Limite de Holevo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3.2 O Teorema de Schumacher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4 Emaranhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.4.1 Definição de Emaranhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.4.2 Aplicações do Emaranhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.4.3 Medidas de Emaranhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.5 Correlações Clássica e Quântica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4 Relatividade Especial e a Teoria da Informação Quântica 45

4.1 As Representações Unitárias Irredut́ıveis do Grupo de Poincaré . . . . . . 46

4.1.1 Classificação das Representações Irredut́ıveis de P̃↑
+ . . . . . . . . 49

4.2 A Influência do Movimento dos Detetores nas Desigualdades de Bell . . . 51

4.3 A Influência do Movimento dos Detetores em Medidas com Fótons Emara-

nhados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.4 O Limite de Holevo e Canais Quânticos Relativ́ısticos . . . . . . . . . . . 67

5 O Efeito Unruh e a Teoria da Informação Quântica 73

5.1 Teoria Quântica de Campos em Espaços-Tempos Curvos . . . . . . . . . . 73


SUMÁRIO vi

5.1.1 Quantização do Campo Escalar Real em Espaços-Tempos Global-

mente Hiperbólicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.1.2 Transformações de Bogoliubov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.1.3 Quantização em Espaços-Tempos Estáticos . . . . . . . . . . . . . 79

5.1.4 O Efeito Unruh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.2 Morte Súbita do Emaranhamento e Perda de Fidelidade no Teletransporte

via o Efeito Unruh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.2.1 O Qubit como um Detetor de Dois Nı́veis . . . . . . . . . . . . . . 86

5.2.2 Qubit Emaranhado e o Efeito Unruh . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.2.3 Teletransporte e o efeito Unruh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.2.4 Comentários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.3 Mudança Súbita no Comportamento das Correlações Clássicas e Quânticas

e o Efeito Unruh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.3.1 Dinâmica das Correlações Clássicas e Quânticas . . . . . . . . . . . 100

5.3.2 Medida Simétrica de Correlação Quântica e a Discódia Quântica . 103

5.3.3 Comentários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6 Informação Quântica nas Vizinhanças de um Buraco Negro 109

6.1 O Efeito Unruh no Espaço-Tempo de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . 109

6.2 Qubits nas Vizinhanças de um Buraco Negro . . . . . . . . . . . . . . . . 113

7 Considerações Finais 116

A Matriz Densidade e o Teorema da Não Clonagem 118

A.1 Matriz Densidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

A.2 Teorema da Não Clonagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

B A Decomposição de Schimdt 121

C Classificação das Representações Irredut́ıveis de P̃↑
+ 122

D Demonstração da Equação (5.15) 130

Referências Bibliográficas 131


Caṕıtulo 1

Introdução

A Teoria Quântica de Campos em Espaços-Tempos Curvos (TQCEC) é uma teoria cons-

trúıda na interface entre Relatividade Geral e Mecânica Quântica e estuda a propagação

de campos quânticos em um espaço-tempo de fundo fixo bem como sua retro-ação no

espaço-tempo via a equação de Einstein semi-clássica [1]:

Rab −
1

2
Rgab = 8π〈Tab〉ω, (1.1)

onde Rab é o tensor de Ricci, Tab é o operador tensor energia-momento do campo e 〈 〉ω
representa o valor esperado no estado ω. (Estaremos usando, durante todo o texto, uni-

dades naturais onde � = c = G = kB = 1.) Como o espaço-tempo é tratado de acordo

com a Relatividade Geral, ele será descrito por um par (M, gab) onde M é uma varie-

dade diferenciável quadrimensional e gab é uma métrica Lorentziana [2, 3]. Os campos se

propagando em um dado espaço-tempo (M, gab) são quantizados de acordo com as regras

da Teoria Quântica de Campos (usando, por exemplo, quantização canônica). Apesar de

tratar a gravidade classicamente, a TQCEC é responsável pelas previsões de baixas ener-

gias que temos atualmente de gravitação quântica. A mais impressionante delas provém

de espaços-tempos que contém buracos negros. Em 1974, S. Hawking, estudando a quan-

tização de campos em um espaço-tempo que descreve uma estrela que sofre colapso for-

mando um buraco negro, mostrou que buracos negros irradiam a uma taxa constante (a

tempos longos) e com espectro térmico com relação a observadores estáticos no infinito

[4]. A temperatura medida por esses observadores é dada por

TH = κ/2π, (1.2)

onde κ é a gravidade superficial do buraco negro [1, 5, 6] (para buracos negros estacionários

sem carga e momento angular, κ = 1/4M, onde M é a massa do buraco negro). Esse

resultado foi recebido com perplexidade já que mostrou que: (i) buracos negros não são

negros, eles irradiam todas as espécies de part́ıculas com um espectro térmico a uma

temperatura TH = κ/2π e (ii) a quantidade

SBN =
1

4
ABN , (1.3)


1 Introdução 2

onde ABN é a área do horizonte de eventos do buraco negro, deve ser interpretada como

a entropia do buraco negro. Desde então, ficou claro que as leis mecânicas dos buracos

negros [7]:

1. Para um buraco negro estacionário, gravidade superficial κ é constante;

2. Se M é a massa do buraco negro, J e Q seu momento angular e carga, respectiva-

mente, então

δM =
κ

8π
δABN +ΩδJ +ΦδQ,

onde Φ é o potencial eletrostático, κ é a gravidade superficial do horizonte, Ω sua

velocidade angular e ABN sua área;

3. δABN ≥ 0,

são efetivamente as leis da termodinâmica aplicadas a buracos negros [8]. Tal interpretação

é justificada ao se analisar a validade da chamada segunda lei generalizada que afirma que,

em sistemas que contém matéria ordinária e um buraco negro, a entropia total,

S ≡ SBN + Smat, (1.4)

nunca decresce (veja por exemplo [8, 9] e suas referências).

Entretanto, os itens (i) e (ii) levantam diversas questões que vem intrigando a comu-

nidade cient́ıfica desde então. O item (i) está diretamente ligado ao chamado paradoxo

da perda de informação em buracos negros [1]. Considere, por simplicidade, que o estado

final do colapso seja um buraco negro neutro esfericamente simétrico com massa M. Ao

levar em conta a retro-ação do campo quântico no espaço-tempo, o fluxo de energia que

provém do buraco negro fará com que este perca massa. Como TH = 1/8πM, ao perder

massa o buraco negro se tornará mais quente, e com isso, emitirá part́ıculas cada vez

mais energéticas, o que o fará perder massa mais rapidamente. Esse processo poderá

levar, eventualmente, à evaporação total do buraco negro. Entretanto, isso levaria o es-

tado puro que descreve o sistema antes do colapso em um estado misto térmico. Com

isso, informação contida no estado inicial seria perdida. A Figura 1.1 mostra um posśıvel

diagrama de Penrose [3] para o processo de evaporação. Como os seus estágios finais

exigem o conhecimento da f́ısica na escala de Planck (ainda desconhecida), o processo de

evaporação total do buraco negro, levando consigo parte da informação contida no estado

inicial, é apenas uma das possibilidades. Outras possibilidades comumente propostas são:

(1) a radiação Hawking não seria exatamente térmica e carregaria, ao final do processo de

evaporação, toda a informação contida inicialmente e (2) o buraco negro não evaporaria

completamente; haveria um remanescente (com escala de Planck) do buraco negro que

teria estados internos suficientes para estarem correlacionados com a radiação emitida.

O estado total então permaneceria puro apesar do estado fora do remanescente ser alta-

mente misto. Entretanto, as alternativas (1) e (2) apresentam algumas dificuldades. É


1 Introdução 3

+

J

J

+

Figura 1.1: Diagrama espaço-temporal do processo de colapso de uma estrela gerando

um buraco negro que, por sua vez, evapora após um tempo finito (como medido por

observadores estáticos no infinito).

dif́ıcil compatibilizar (1) com a descrição semi-clássica desse processo (que é válida por um

longo peŕıodo da evaporação se considerarmos um buraco negro inicial grande o suficiente

para que efeitos quânticos sejam despreźıveis) [1]. Quanto a (2), como o buraco negro

inicial pode ser arbitrariamente grande, o remanescente teria que conter um número arbi-

trariamente alto de estados internos para poderem estar correlacionados com a radiação

emitida e com isso, garantir que a informação não seja perdida. Porém, o buraco negro

remanescente terá dimensões de Planck (ou seja, sua área é Arem ∼ 1 em unidades natu-

rais). Com isso, a formula (1.3) da entropia sugere que Srem ∼ 1, onde Srem é a entropia

remanescente do buraco negro. Isso sugere que esse estado final teria ∼ 1 estado interno.

Já com relação a (ii), i.e., que SBN deve ser interpretada como a entropia f́ısica do buraco

negro, sabemos de mecânica estat́ıstica que a entropia conta o número de micro-estados

acesśıveis ao sistema. Entretanto, o estado final (que não varia mais com o tempo) de

um buraco negro não guarda nenhuma memória dos detalhes da estrela que o formou

bem como de seu colapso. Ele depende apenas de três parâmetros: sua massa M, carga

Q e momento angular J. Como consequência, a natureza dos micro-estados que levam à

entropia SBN se torna obscura.

Vemos então que qualquer tentativa de resolver as questões acima (entre outras) passa

por um melhor entendimento da entropia, emaranhamento e processamento de informação

em contextos relativ́ısticos. A teoria da informação quântica oferece o arcabouço teórico

necessário para o estudo do processamento e transmissão da informação bem como para

o estudo do emaranhamento e sua dinâmica [10]. Entretanto, a teoria da informação

quântica é aplicada, em geral, em contextos não relativ́ısticos. Portanto se faz necessário

estender a teoria da informação quântica para que ela leve em conta os efeitos da teoria


1 Introdução 4

da relatividade. Esse é o moto inspirador para essa tese de doutorado.

Recentemente, A. Peres, P. Scudo e D. Terno [11] estudaram o comportamento da en-

tropia de von Neumann no espaço-tempo de Minkowski em diferentes referenciais inerciais.

Usando como bit quântico os graus de liberdade de spin de uma part́ıcula massiva de spin

1/2, eles mostraram que a entropia de von Neumann de spin não é invariante de Lorentz

e que, em geral, não existe nenhuma lei de transformação que nos permita obter a matriz

densidade de spin em um referencial inercial a partir da matriz densidade de spin em ou-

tro referencial. Isso mostra o quão não triviais são os efeitos relativ́ısticos em informação

quântica já no contexto da relatividade especial. Com isso, um entendimento profundo

sobre entropia, emaranhamento, teletransporte, correlações, etc. em espaços-tempos cur-

vos exige antes um estudo cuidadoso de seu comportamento em espaços planos. Isso por

sua vez nos permite analisar a influência da relatividade em diversos contextos conhecidos

em informação quântica, como por exemplo, nas desigualdades de Bell [12] e no teletrans-

porte quântico [13]. A análise de tal influência torna-se especialmente relevante devido às

novas tendências de testar a mecânica quântica e implementar protocolos de informação

quântica em escalas globais usando satélites e estações terrestres [14, 15, 16].

Essa tese está organizada da seguinte maneira:

• No Caṕıtulo 2, estudamos brevemente a teoria da informação clássica. Isso servirá

para mostrar o que é uma teoria de informação bem como para introduzir conceitos

que serão úteis durante todo o texto, como a entropia de Shannon e a informação

mútua;

• No Caṕıtulo 3, estudamos a teoria da informação quântica. Assim, poderemos mos-

trar suas diferenças com relação à teoria clássica bem como introduzir conceitos e

efeitos que serão estudados depois no contexto relativ́ıstico, a saber, a entropia de

von Neumann, informação mútua quântica, o limite de Holevo, o emaranhamento, as

desigualdades de Bell, o teletransporte quântico e as correlações clássicas e quânticas

presentes em sistemas quânticos;

• A partir do Caṕıtulo 4, descreveremos a parte original da tese. Nesse caṕıtulo, estu-

daremos as desigualdades de Bell com part́ıculas de spin 1/2 em um contexto rela-

tiv́ıstico [17]. Em seguida, motivados pelas tendências atuais de se implementar pro-

tocolos de informação quântica em escalas globais, estudaremos como o movimento

dos detetores influencia as medições em estados de fótons emaranhados [18]. Por

fim, usaremos o limite de Holevo para analisarmos brevemente sistemas quânticos de

comunicação quando as partes que se comunicam estão em movimento relativo [19];

• No Caṕıtulo 5, estudaremos vários aspectos da teoria da informação quântica no

contexto da teoria quântica de campos. Começaremos estudando o emaranhamento

e o teletransporte, via o efeito Unruh, quando um dos qubits do par emaranhado


1 Introdução 5

acelera uniformemente por um tempo próprio finito Δ [20]. Em seguida, ainda nesse

contexto, analisaremos o comportamento das correlações clássicas e quânticas [21];

• No Caṕıtulo 6, mostraremos como os resultados do Caṕıtulo 5 podem ser usados

para fazer previsões sobre um par de qubits emaranhados (um em queda livre e o

outro estático) nas vizinhanças do horizonte de eventos de um buraco negro. Isso nos

permitirá começar a entender o comportamento do emaranhamento, das correlações,

etc, em espaços-tempos curvos;

• O Caṕıtulo 7 é reservado para conclusões e comentários finais.


Caṕıtulo 2

Teoria da Informação Clássica

A teoria da informação tem por objetivo quantificar o conceito de informação bem como

estudar seu armazenamento e transmissão. Mais precisamente, ela cria um modelo ma-

temático para os chamados sistemas de comunicação [22, 23, 24], descritos esquematica-

mente na Figura 2.1. A teoria da informação clássica estuda sistemas de comunicação

que podem ser descritos de acordo com as leis da f́ısica clássica. Fisicamente, cada um de

seus blocos pode ser visto como:

• Fonte: Uma fonte gera a mensagem a ser transmitida. Esta pode ser uma sequência

de letras, uma função do tempo f(t) como a que descreve variações de pressão em

um telefone, três funções fi(x, y, t), i ∈ {1, 2, 3}, associadas às cores vermelha, verde

e azul, como em TV a cores, etc;

• Codificador: É qualquer aparelho que age na mensagem produzindo um sinal con-

veniente para a transmissão pelo canal. Um exemplo de codificador é o usado em

telefonia que transforma diferenças de pressão em sinais elétricos;

• Canal: É a maneira ou o meio em que a mensagem, devidamente codificada, é

transmitida. Pode ser, por exemplo, um par de cabos coaxiais;

• Decodificador: Realiza a operação inversa do codificador, recuperando (da melhor

maneira posśıvel) a mensagem original.

Como foi dito acima, a teoria da informação cria um modelo matemático para os siste-

mas de comunicação, ou seja, modela matematicamente cada um dos blocos da Figura 2.1

e a relação entre eles. A base matemática para a teoria da informação foi posta por Claude

Shannon em seu trabalho seminal [25]. Os conceitos centrais nesse modelo matemático

são o de entropia de Shannon (que é um limite inferior para o número de bits necessários

para caracterizar uma mensagem) e o de informação mútua (que mede a correlação entre

duas variáveis aleatórias). Tais conceitos serão estudados nas seções seguintes. Contudo,

mesmo sem ainda dispor de suas definições, podemos fazer uma breve incursão sobre o

modelo matemático dos sistemas de comunicação [22, 23, 24]:


2 Teoria da Informação Clássica 7

Figura 2.1: Sistema de comunicação.

• Fonte: Uma fonte é geralmente definida por uma sequência de variáveis aleatórias

Xk, k ∈ N que assumiremos como sendo independentes e identicamente distribúıdas.

O conjunto dos valores que as variáveis aleatórias assumem é chamado alfabeto.

Uma variável aleatória discreta e finita é uma função X que toma os valores xi com

probabilidades pi ≡ PX(xi), onde PX é a distribuição de probabilidades associada

com a variável aleatória X∗ e i ∈ {1, ..., N}. Os elementos Xk da sequência são

independentes e identicamente distribúıdos se todos assumem os mesmos valores

e a probabilidade de ocorrência de (z1, ..., zn), zk ∈ {x1, ..., xN} é
∏n
k=1 PX(zk),

k ∈ {1, ..., N}. Um exemplo simples de variável aleatória é a que descreve os posśıveis

resultados para o lançamento de uma moeda honesta. Quando o resultado é cara,

X toma o valor x1 = 0 e quando é coroa, X toma o valor x2 = 1. A probabilidade

de se obter cara ou coroa em um lançamento é PX(x1) = 1/2 ou PX(x2) = 1/2,

respectivamente;

• Codificador: O processo de codificação tem por objetivo retirar todas as redundâncias

da mensagem original para transmitir a informação da maneira mais econômica

posśıvel e depois (no caso de haver rúıdo na transmissão) adicionar redundâncias de

maneira controlada para minimizar o efeito do rúıdo na transmissão da mensagem.

Tais ações são realizadas associando a cada elemento (ou bloco de elementos) do

alfabeto um caractere (chamado palavra código) de um certo conjunto fixo chamado

alfabeto de códigos. Suponha, por exemplo, que desejamos transmitir o resultado

do lançamento de uma moeda honesta. Esta, é descrita pela variável aleatória X

definida no item anterior. Uma posśıvel codificação, é usar as palavras código 000

∗Se (S,Ω, P ) é um espaço de probabilidade e (M,Σ) é um espaço de medida, uma variável aleatória é

uma função mensurável X : S → M . Tomaremos sempre M = R e Σ como sendo a σ-álgebra de Borel. O

espaço de observação é dado por (K,EX , P̂X) onde K = X(S), EX é a σ-álgebra induzida em K por Σ e

P̂X = P ◦X−1. Uma variável aleatória é discreta quando K é discreto (no caso que estamos interessados

K é finito e portanto K = {x1, ...xN}). Nesse caso definimos a função PX(x) ≡ P̂X({x}), x ∈ K. Para mais

detalhes ver [26, 27].


2 Teoria da Informação Clássica 8

Figura 2.2: Sistema de comunicação sem rúıdo.

e 111 para codificar 0 e 1, respectivamente. Tal processo pode ser utilizado para

diminuir a probabilidade de erro na transmissão quando há rúıdo;

• Canal: Um canal discreto é caracterizado pelas probabilidades p(d|c) de que ocor-

ram as palavras código d = (d1, ..., dn) na sáıda do canal dado que c = (c1, ..., cn)

entraram no canal. Ou seja, caracterizamos um canal pela sua probabilidade de erro

na transmissão dos caracteres. Um exemplo são os canais sem memória, ou seja,

p(d|c) =∏
i p(di|ci);

• Decodificador: Realiza a operação inversa do codificador, associando a cada palavra

código na sáıda do canal, um elemento (ou bloco de elementos) do alfabeto. No

exemplo da codificação e transmissão do resultado do lançamento de uma moeda

honesta descrito anteriormente, decodificamos os resultados na sáıda do canal esco-

lhendo o número que mais ocorre na sequência. Ou seja, se 000 (que está associado

a 0) foi enviado pelo canal ruidoso e em sua sáıda obtemos 001, decodificamos a

mensagem associando à 001 o caractere 0.

O exemplo mais simples de um sistema de comunicação é o de uma fonte binária

de informação (cada d́ıgito gerado assume o valor zero ou um, como por exemplo no

lançamento de uma moeda) cuja sequência gerada é transmitida por um canal sem rúıdo,

ou seja, p(0|0) = p(1|1) = 1 e p(1|0) = p(0|1) = 0, Figura 2.2. Vamos assumir que a

probabilidade da fonte gerar zero é a mesma de gerar um e cada um dos d́ıgitos é gerado

independentemente a uma taxa constante. Um exemplo simples de um sistema de comu-

nicação com rúıdo consiste em uma fonte binária de informação como a descrita acima

cujas sequências geradas serão então transmitidas por um canal ruidoso caracterizado por

p(0|0) = p(1|1) = 1−p e p(1|0) = p(0|1) = p, ou seja, temos uma probabilidade p de trans-

mitir um caractere com erro. Esse sistema de comunicação está descrito esquematicamente

na Figura 2.3.

Durante as próximas seções iremos estudar os conceitos de entropia e informação

mútua e analisar em detalhe um sistema de comunicação que consiste em uma fonte que

gera variáveis aleatórias independentes e identicamente distribúıdas e um canal sem rúıdo

(que será suficiente não só para mostrar como modelar um sistema de comunicação como

para o estudo de informação quântica incluindo os efeitos relativ́ısticos, que é o objetivo


2.1 Medidas de Informação 9

dessa tese). Nesse caso, o processo de codificação consiste basicamente na compressão

da mensagem (usar o menor número de bits posśıvel para transmiti-la). Vamos mostrar

que o menor número de bits (por caractere da mensagem) posśıvel para transmissão da

mensagem, com erro arbitrariamente baixo na descompressão, é dado pela entropia de

Shannon.

2.1 Medidas de Informação

O que é informação? Vamos tomar uma definição operacional e definir informação como

uma mensagem que ainda é desconhecida ao receptor. Mas como quantificar a informação

contida em uma mensagem? Vamos tomar um exemplo de um dado honesto (todos os

resultados são igualmente prováveis). Antes do lançamento temos uma certa incerteza

sobre qual será seu resultado; sabemos apenas que os valores da variável aleatória X, que

representa os posśıveis resultados do lançamento, está no intervalo 1 ≤ X ≤ 6. Agora,

suponha que após o lançamento somos informados apenas que o valor obtido está no

intervalo 1 ≤ X ≤ 3. Então, a incerteza que temos sobre o valor da variável aleatória

é claramente menor do que antes de recebermos a mensagem. O quanto essa incerteza

diminuiu é devido à informação recebida sobre o lançamento, i.e., a informação ganha

pela mensagem recebida. Vemos então que uma boa definição de medida de informação

está diretamente relacionada com uma boa medida de incerteza, ou seja, definindo qual é

a incerteza associada a uma variável aleatória X antes de sua medição, podemos definir a

informação ganha após a medida como sendo o valor de sua incerteza.

Quais as propriedades que uma medida de incerteza deve satisfazer? Isso pode variar

de acordo com o gosto pessoal de cada um. Porém, vamos mostrar que com algumas

propriedades razoáveis podemos definir univocamente uma medida de incerteza associada

a uma variável aleatória X. É claro que a incerteza relacionada com a variável aleatória

X não pode depender dos valores que ela toma mas somente da sua distribuição de pro-

babilidades. Para ver isso, tome uma moeda honesta. A variável X que descreve a moeda

toma os valores x1 = 0 ou x2 = 1 com probabilidades p1 = p2 = 1/2. Se simplesmente

renomearmos os resultados do lançamento, por exemplo, trocando 0 por 100 e 1 por 200,

não mudamos a incerteza que temos sobre o resultado. Agora, se trocarmos a moeda

Figura 2.3: Sistema de comunicação com rúıdo.


2.1 Medidas de Informação 10

honesta por uma não honesta diminúımos a incerteza sobre o resultado, afinal nesse caso

um dos resultados é mais provável do que o outro. Portanto, voltando ao caso geral,

vemos que a medida de incerteza deve ser uma função apenas das N probabilidades as-

sociadas com os valores da variável aleatória X, i.e., se H é a medida de incerteza então

H : K ⊂ [0, 1]N → R+,K = {(p1, ..., pN ) ∈ [0, 1]N |∑N
i=1 pi = 1}.

É natural impor que essa função seja cont́ınua, ou seja, pequenas variações nas pro-

babilidades geram pequenas variações na incerteza. Com isso, impomos que, para N = 2,

H(p, 1 − p), p ∈ [0, 1], seja cont́ınua (veremos em seguida que isso, junto com os outros

axiomas da função de incerteza, implica que esta é uma função cont́ınua das N variáveis

no caso geral). Considere agora a incerteza em dois experimentos distintos. Os resultados

do primeiro experimento são descritos por uma variável aleatória X que toma os valores

x1, ..., xN com probabilidades PX(x1) = PX(x2) = ... = PX(xN ) = 1/N. Já os resultados

do segundo experimento são descritos por uma variável aleatória Y que toma os valores

y1, ..., yM , M > N , com probabilidades PY (y1) = PY (y2) = ... = PY (yM ) = 1/M. É de se

esperar que a incerteza associada a Y seja maior do que a incerteza associada a X. Por

exemplo, a incerteza sobre o resultado de escolher uma pessoa aleatoriamente em uma

sala com 5 pessoas é muito menor do que a incerteza sobre o resultado de escolher uma

pessoa aleatoriamente na cidade de São Paulo. Temos então a condição

H

(
1

N
, ...,

1

N

)
︸ ︷︷ ︸

N

< H

(
1

M
, ...,

1

M

)
︸ ︷︷ ︸

M

. (2.1)

Considere agora um experimento com duas variáveis aleatórias independentes X e Z

que tomam os valores x1, ..., xN e z1, ..., zK , respectivamente, com probabilidades PX(x1) =

PX(x2) = ... = PX(xN ) = 1/N e PZ(z1) = PZ(z2) = ... = PZ(zK) = 1/K. Suponha porém

que somos informados apenas sobre o valor de X. Então, estaremos reduzindo nossa in-

certeza inicial pela incerteza relacionada com X (já que ganhamos apenas informação

sobre X). Como as duas variáveis são independentes, conhecer o valor de X não nos traz

nenhuma informação sobre o valor de Z. Com isso, a incerteza resultante (incerteza total

menos a incerteza de X) não é nada mais do que a incerteza relacionada a Z. Chegamos

então na condição

H

(
1

NK
, ...,

1

NK

)
︸ ︷︷ ︸

NK

−H
(

1

N
, ...,

1

N

)
︸ ︷︷ ︸

N

= H

(
1

K
, ...,

1

K

)
︸ ︷︷ ︸

K

. (2.2)

A última propriedade que iremos impor é um pouco mais sutil. Para entendê-la,

vamos analisar dois experimentos equivalentes para a variável aleatória X (portanto

eles têm a mesma incerteza). O primeiro consiste em simplesmente observar o resul-

tado do lançamento de X. Logo, a probabilidade do resultado do experimento ser xi

é pi e a incerteza de qual será o resultado é H(p1, ..., pN ). O segundo experimento


2.1 Medidas de Informação 11

consiste em dividir o conjunto K = {x1, ..., xN} nos subconjuntos A = {x1, ..., xr} e

B = {xr+1, ..., xN}, de tal maneira que a probabilidade de se obter A ou B é
∑r

i=1 pi

ou
∑N

i=r+1 pi respectivamente. Em seguida, se o conjunto A foi obtido, o experimento

é constrúıdo de tal maneira que a probabilidade de se obter um elemento xi de A é

pi/
∑r

j=1 pj , i ∈ {1, ..., r}. Analogamente, se o conjunto B foi escolhido, a probabilidade

de se obter xi de B é, por construção, pi/
∑N

j=r+1 pj , i ∈ {r + 1, ..., N}. Com isso, a

probabilidade de obtermos, por exemplo, o resultado x1 nesse experimento composto é

p1 ≡ PX(x1) = P (A ser escolhido)P (x1|A foi escolhido). A incerteza relacionada com

esse experimento é

H(p1, ..., pN ) = H

(
r∑
i=1

pi,
N∑

i=r+1

pi

)
+

(
r∑
i=1

pi

)
H

(
p1/

r∑
i=1

pi, ..., pr/
r∑
i=1

pi

)

+

(
N∑

i=r+1

pi

)
H

(
pr+1/

N∑
i=r+1

pi, ..., pN/

N∑
i=r+1

pi

)
, (2.3)

i.e., a incerteza de se escolher A ou B somada à probabilidade de A ser escolhido vezes

a incerteza de se escolher um elemento em A somada à probabilidade de B ser escolhido

vezes a incerteza de se escolher um elemento em B. Temos então a definição:

Definição 2.1.1. Seja X uma variável aleatória que assume os valores x1, ..., xN com

probabilidades p1, ..., pN . Uma função H : K ⊂ [0, 1]N → R+ é uma medida da incerteza

sobre X se

1. H(p, 1− p) é uma função cont́ınua;

2. Se para todo i ∈ {1, ..., N}, pi = 1/N então, f(N) ≡ H(1/N, ..., 1/N) é uma função

estritamente crescente, i.e., para todo M,N ∈ N tal que M > N , f(M)>f(N);

3. f(MN) = f(M) + f(N) para todo M,N ∈ N;

4. H(p1, ..., pN ) = H(
∑r

i=1 pi,
∑N

i=r+1 pi) + (
∑r

i=1 pi)H(p1/
∑r

i=1 pi, ..., pr/
∑r

i=1 pi)

+ (
∑N

i=r+1 pi)H(pr+1/
∑N

i=r+1 pi, ..., pN/
∑N

i=r+1 pi).

Surgem agora duas perguntas naturais. Será que existe uma função de incerteza que

satisfaz 1− 4 da definição 2.1.1? E se existir será que é única? A resposta para ambas as

questões é afirmativa e está descrita no seguinte teorema [22]:

Teorema 2.1.2. Só existe uma função (a menos das constantes a e C definidas abaixo)

H : [0, 1]N → R+ que satisfaz as propriedades 1− 4 da Defininição 2.1.1 e ela é dada por

H(p1, ..., pN ) = −C
N∑
i=1

pi loga pi,

com a > 1, C > 0 e
∑

i pi = 1.


2.1 Medidas de Informação 12

0.2 0.4 0.6 0.8 1
p

0.2

0.4

0.6

0.8

1
H�p, 1 � p�

Figura 2.4: Entropia de Shannon de uma moeda parcial em função da probabilidade de

ocorrer 0

A função H é chamada entropia de Shannon. Muitas vezes denotaremos a incerteza

H(p1, ..., pN ) relacionada com a variável aleatória X por H(X) ou ainda por H(PX) onde

PX(xi) = pi, i ∈ {1, ..., N}. Daqui por diante tomaremos a = 2 e C = 1. Com essas

escolhas, a unidade de H é chamada de bit. Convém notar que escolhemos a = 2 e C = 1

para que haja um bit de incerteza associado ao lançamento de uma moeda honesta. Vemos

na Figura 2.4 que usar uma moeda não honesta tende a diminuir a incerteza (como já

era esperado pelas propriedades que impomos à H). Se agora tivermos duas variáveis

aleatórias X e Y , que tomam os valores x1, ..., xN e y1, ..., yM , respectivamente, com

distribuição de probabilidade conjunta PX,Y , a entropia conjunta de X,Y é definida por

H(X,Y ) = −
∑
i,j

PX,Y (xi, yj) log2 PX,Y (xi, yj), (2.4)

onde i e j são somadas até N e M , respectivamente.

Vamos agora mostrar algumas propriedades importantes das funções de incerteza

H(X) e H(X,Y ) bem como a relação entre elas. Antes entretanto, será útil definirmos a

chamada entropia relativa:

D(X||Q) =
∑
i

PX(xi) log2
PX(xi)

PQ(xi)
. (2.5)

Aqui, X e Q são duas variáveis aleatórias que tomam os mesmos valores x1, ..., xN porém

com distribuição de probabilidades PX e PQ, respectivamente. Na expressão acima, con-

vencionamos que, para p > 0, 0 log2
0
p ≡ 0 e p log2

p
0 ≡ ∞. A entropia relativa satisfaz

D(X||Q) ≥ 0, (2.6)

chamada desigualdade de Klein. Para ver isso, note que como log2 x = lnx
ln 2 ≤ x−1

ln 2 , com a

igualdade se e somente se x = 1, temos

D(X||Q) = −
∑
i

PX(xi) log2
PQ(xi)

PX(xi)

≥ − 1

ln 2

∑
i

PX(xi)

(
PQ(xi)

PX(xi)
− 1

)
(2.7)


2.1 Medidas de Informação 13

e portanto

D(X||Q) ≥ −(1− 1)

ln 2
=0, (2.8)

com a igualdade se e somente se PX = PQ. Usando a desigualdade de Klein, podemos

mostrar as seguintes propriedades:

1. 0 ≤ H(X) ≤ log2N , com a igualdade valendo somente quando PX(xi) = 1/N para

todo i ∈ {1, ..., N};
Para ver isso, tome D(X||Q) com PQ(xi) = 1/N para todo i ∈ {1, ..., N}, então

0 ≤ D(X||Q) =
∑
i

PX(xi) log2
PX(xi)

PQ(xi)
= −H(X) +

∑
i

pi log2N. (2.9)

Logo,

H(X) ≤ log2N.

Como 0 ≤ PX(xi) ≤ 1 temos

H(X) = −
∑
i

PX(xi) log2 PX(xi) =
∑
i

PX(xi) log2 1/PX(xi) ≥ 0 (2.10)

e portanto 0 ≤ H(X) ≤ log2N ;

2. H(X,Y ) ≤ H(X) +H(Y ), com a igualdade se e só se X e Y são independentes;

Como PX(xi) =
∑

j PX,Y (xi, yj) e PY (yj) =
∑

i PX,Y (xi, yj) então

H(X) +H(Y ) = −
∑
i,j

PX,Y (xi, yj) log2 PX(xi)−
∑
i,j

PX,Y (xi, yj) log2 PY (yj)

= −
∑
i,j

PX,Y (xi, yj) log2 PX(xi)PY (yj). (2.11)

Já que
∑

i,j PX(xi)PY (yj) = 1, podemos usar a equação (2.6) e a função de probabilidade

PQ(xi, yj) ≡ PX(xi)PY (yj) para escrever

−
∑
i,j

PX,Y (xi, yj) log2 PQ(xi, yj) ≥ −
∑
i,j

PX,Y (xi, yj) log2 PX,Y (xi, yj), (2.12)

onde a igualdade é valida somente para PX,Y = PQ ≡ PXPY . Logo temos

H(X,Y ) ≤ H(X) +H(Y ), (2.13)

com a igualdade se e somente se as variáveis aleatórias X e Y são independentes.

A propriedade 1 acima afirma que a entropia de Shannon (incerteza) tem um limite

superior e este só é atingido quando os eventos são equiprováveis. Já a propriedade 2

afirma que a incerteza total, a menos que X e Y sejam independentes, é sempre menor

do que a soma das incertezas das partes. Isso sugere a presença de correlações entre X e

Y , voltaremos a esse tema quando falarmos de informação mútua.


2.1 Medidas de Informação 14

Um conceito importante, principalmente para a definição de informação mútua, é o

de entropia condicional (ou incerteza condicional) de uma variável aleatória X dada a

variável aleatória Y . Ela é definida como

H(X|Y ) = −
∑
i,j

PX,Y (xi, yj) log2 PX(xi|yj), (2.14)

onde p(xi|yj) é a probabilidade condicional, i.e., a probabilidade de se medir xi dado que

já obtemos o valor yj . Queremos interpretar H(X|Y ) como incerteza que resta sobre o

valor X depois que Y foi medida, tal interpretação é garantida escrevendo a incerteza

total, H(X,Y ), como

H(X,Y ) = −
∑
i,j

PX,Y (xi, yj) log2 PX,Y (xi, yj) = −
∑
i,j

PX,Y (xi, yj) log2 PX(xi|yj)PY (yj)

= −
∑
i,j

PX,Y (xi, yj) log2 PX(xi|yj)−
∑
j

PY (yj) log2 PY (yj)

= H(X|Y ) +H(Y ), (2.15)

e portanto

H(X|Y ) = H(X,Y )−H(Y ). (2.16)

Como

H(X|Y ) +H(Y ) = H(X,Y ) ≤ H(X) +H(Y ),

onde usamos a equação (2.13), temos

H(X|Y ) ≤ H(X), (2.17)

com a igualdade se e somente se X e Y são independentes.

Tendo em mãos o conceito de entropia condicional podemos definir o importante con-

ceito de informação mútua.

Definição 2.1.3. Sejam X e Y duas variáveis aleatórias. Então, a informação mútua

entre X e Y é

I(X : Y ) = H(X)−H(X|Y ).

Ou seja, I(X : Y ) mede a informação ganha sobre X medindo Y (já que ela é a diferença

entre a incerteza inicial de X pela incerteza que resta em X medindo Y ), isso sugere

que I(X : Y ) é uma medida das correlações entre X e Y (veja Figura 2.5). Como

H(X,Y ) = H(Y,X) (já que a entropia conjunta entre duas variáveis aleatórias depende

apenas de sua distribuição conjunta de probabilidades),

I(X : Y ) = I(Y : X). (2.18)


2.2 Sistemas de Comunicação sem Rúıdos 15

Figura 2.5: Informação Mútua.

Pela equação (2.15), H(X|Y ) = H(X,Y )−H(Y ), então

I(X : Y ) = H(X) +H(Y )−H(X,Y ) ≥ 0, (2.19)

onde usamos a equação (2.13) para estabelecer a desigualdade acima. Então, vemos pela

equação (2.19) que a informação mútua entre duas variáveis aleatórias é sempre positiva, a

não ser no caso de variáveis aleatórias independentes (que não tem correlações) quando ela

é zero. Além disso, vemos que a soma da incerteza das partes isoladamente é sempre maior

ou igual à incerteza do todo (o que novamente sugere a presença de correlações). Tais

caracteŕısticas da informação mútua, junto com sua simetria, equação (2.18), justificam

sua utilização como uma medida das correlações entre X e Y . A informação mútua (e sua

versão quântica que veremos mais a frente) é um conceito de vital importância em teoria

da informação e por isso aparecerá com frequência durante todo o texto. Em particular,

poderemos utilizá-la para separar a parte clássica da parte quântica das correlações totais

entre dois sistemas quânticos. Isso será posśıvel, por exemplo, utilizando o fato (que

provaremos no próximo caṕıtulo) que se IQ e J são as versões quânticas de H(X) +

H(Y ) − H(X,Y ) e H(X) − H(X|Y ), respectivamente, então em geral IQ �= J . Isso se

deve ao caráter que medições têm em mecânica quântica.

2.2 Sistemas de Comunicação sem Rúıdos

Vamos agora estudar um sistema de comunicação que consiste em uma fonte que gera

variáveis aleatórias independentes e identicamente distribúıdas, um codificador, um canal

sem rúıdos e um decodificador. Como não há rúıdo, não existe o problema da correção

de eventuais erros de transmissão. Portanto, a maneira mais eficiente de transmitir a

mensagem é comprimi-la da melhor maneira posśıvel, i.e., enviar a mensagem utilizando

o menor número de bits. Antes de estudar o processo de compressão, vamos definir de

uma maneira matematicamente precisa o que é uma fonte e uma codificação.

Definição 2.2.1. Uma fonte é uma sequência Xi, i ∈ N, de variáveis aleatórias indepen-

dentes e identicamente distribúıdas (i.i.d.), i.e., todos os Xi tomam os mesmos valores


2.2 Sistemas de Comunicação sem Rúıdos 16

x1, ..., xN com probabilidades PXi = PXj ≡ PX para todo i, j ∈ N e se PXn(s1, .., sn),

si ∈ K ≡ {x1, ..., xn}, é a probabilidade de ocorrência da sequência (s1, ..., sn) temos

que PXn(s1, ..., sn) =
∏n
i=1 PX(si), i ∈ {1, ..., n}. Em particular, vemos que H(Xi) =

H(Xj) ≡ H(X) para todo i, j ∈ N e H(X1, ..., Xn) = nH(X), onde H(X1, ..., Xn) é a

incerteza conjunta de X1, ..., Xn, (veja a equação (2.4) para o caso n = 2).

Vemos que a cada uso, a fonte gera um caractere xk, k ∈ {1, .., N}, com probabilidade

PX(xk). Após n usos, a fonte gera a sequência s1...sn com probabilidade
∏n
i=1 PX(si), onde

si ∈ {x1, ..., xN} e i ∈ {1, ..., n}. Um exemplo extremamente simples de fonte consiste no

lançamento de uma moeda honesta a cada uso da fonte. Sendo assim, em cada utilização

ela gera 0 (correspondente a cara) ou 1 (correspondente a coroa) com probabilidades

PX(0) = PX(1) = 1/2.

Definição 2.2.2. Uma codificação em bloco (M,n) consiste nas aplicações Cn : Kn →
Ak e Dn : Ak → Kn chamadas função de codificação e decodificação, respectivamente.

Aqui K ≡ {x1, ..., xN}, A = {a1, ..., aK}, k ∈ N e M = |Cn(Kn)|, onde |A| indica o

número de elementos de um conjunto A e An ≡ A× ...×A︸ ︷︷ ︸
n vezes

. Vemos que Cn(s1, ..., sn)

corresponde a uma sequência de k elementos de um alfabeto de códigos A, chamada de

palavra código. Portanto, M indica o número de palavras código sendo utilizadas no

processo de codificação.

Um exemplo simples de codificação é C(cara) = 00 e C(coroa) = 11, onde A = {0, 1}
é o alfabeto binário. Daqui por diante iremos sempre usar o alfabeto binário, i.e., K = 2.

Suponha que temos uma mensagem x ≡ (s1, ..., sn), si ∈ K e i ∈ {1, ..., n}, que é codificada
e, após a transmissão, decodificada. A mensagem final é então x′ = Dn (Cn(x)) . Dizemos

que a mensagem x′ foi decodificada com erro se x′ �= x. Se {x ∈ Kn|Dn(Cn(x)) �= x} é

o conjunto das mensagens que são decodificadas com erro, Pr{x ∈ Kn|Dn(Cn(x)) �= x}†

indica a soma de todas as probabilidades PXn(z), z ∈ {x ∈ Kn|Dn(Cn(x)) �= x}. Com
isso, definimos a probabilidade de erro, Pne , na decodificação como

Pne ≡ Pr{x ∈ Kn|Dn(Cn(x)) �= x}.

Podemos agora mostrar que a entropia de Shannon corresponde à maior taxa de com-

pressão que podemos ter nas mensagens transmitidas (elementos de Kn). Suponha que

k = nR� onde α� indica o maior inteiro menor que α ∈ R. O número R é chamado taxa

de compressão da codificação (2�nR�, n), i.e., número de bits de codificação por caractere

da mensagem. Então temos o seguinte teorema [22, 23, 24]:

Teorema 2.2.3 (Teorema da codificação de Shannon). Seja Xi, i ∈ N, uma sequência

de variáveis aleatórias i.i.d. Se R > H(X) existe uma sequência de códigos (2�nR�, n)
†Seja Ω um conjunto finito e discreto (como, por exemplo, o conjunto dos valores que uma variável

aleatória finita e discreta X toma) e P (ω) a probabilidade de cada ω ∈ Ω ocorrer, onde
∑

ω∈Ω P (ω) = 1.

Então, se E ⊂ Ω, P rE ≡ ∑
ω∈E P (ω).


2.2 Sistemas de Comunicação sem Rúıdos 17

com Pne
n→∞−→ 0. Reciprocamente, para R < H(X) qualquer sequência de códigos (2�nR�, n)

satisfaz Pne
n→∞−→ 1.

O teorema acima mostra que a entropia de Shannon nos dá o número mı́nimo de bits

por caractere da mensagem necessários para transmitir a informação, já que qualquer

tentativa de compressão maior gera erros arbitrariamente grandes na decodificação.


Caṕıtulo 3

Teoria da Informação Quântica

Para transmitir informação precisamos codificá-la em um sistema f́ısico. Por exemplo,

podemos usar uma onda eletromagnética para transmitir uma mensagem. No caṕıtulo

anterior, estudamos o processo de codificação, transmissão e decodificação de informação

quando o sistema f́ısico pode ser descrito pelas leis da f́ısica clássica. Mas e se codificarmos

e transmitirmos informação usando sistemas quânticos (cujo sistema fundamental, o de

dois ńıveis, é chamado de sistema de qubits)? Quais modificações precisam ser introduzi-

das em relação à teoria clássica? Será que podemos transmiti-la de maneira mais eficiente

e segura? Colocado em outros termos, queremos estudar o sistema de comunicação des-

crito na Figura 3.1. Ele consiste em: (i) uma fonte clássica, i.e., uma sequência Xi

de variáveis aleatórias i.i.d.; (ii) um codificador que codifica cada valor xi da variável

aleatória em um estado quântico ρi com probabilidade PX(xi) e portanto, prepara o es-

tado ρ =
∑

i PX(xi)ρi. Além de codificar a mensagem em estados quânticos, o codificador

realiza as operações de compressão e de adição de redundância (se há rúıdos na trans-

missão) o que leva o estado ρ no estado ρ̃; (iii) um canal quântico que consiste em um

operador E que leva o estado codificado ρ̃ no estado E(ρ̃); (iv) um decodificador que

tenta recuperar, da melhor maneira posśıvel, o estado original ρ no destino. Neste ponto,

serão feitas medições para recuperar a mensagem original. Os resultados das medições são

descritos por uma variável aleatória Y . Como veremos, a teoria da informação quântica

[10, 28, 29, 30, 31] difere da teoria clássica em diversos aspectos; os principais talvez sejam:

1. Ao contrário do que acontece em f́ısica clássica, medições em geral alteram o estado

do sistema e não é posśıvel distinguir entre estados quânticos não ortogonais;

2. Estados quânticos arbitrários não podem ser clonados [32];

3. Estados quânticos podem ser superpostos, i.e., se |ψ1〉 e |ψ2〉 são estados posśıveis

do sistema e α1, α2 ∈ C então, α1|ψ1〉 + α2|ψ2〉 também é um estado posśıvel do

sistema.


3 Teoria da Informação Quântica 19

Figura 3.1: Sistema de comunicação quando a mensagem é codificada em estados

quânticos.

Lembremos (veja a Definição 2.1.3), que I(X : Y ) = H(X)−H(X|Y ). Portanto, quando

H(X|Y ) = 0 (medir Y determina X) conclúımos que I(X : Y ) = H(X). Com isso, vemos

que a indistinguibilidade de estados quânticos citada no item 1 acima mostra que, ao

contrário do que acontece (ao menos idealmente) no caso clássico sem rúıdo, a correlação

I(X : Y ) entre a informação enviada, descrita pela variável aleatória X e os valores medi-

dos, descritos pela variável aleatória Y , em geral não é H(X). Mostraremos mais adiante

que a informação acesśıvel no destino, definida como o máximo da informação mútua

entre X e Y com relação às medições realizadas, é limitada superiormente por um número

χ(ρ) chamado limite de Holevo [33]. Em particular, tal limite implica que o máximo de in-

formação que extráımos de um qubit é um bit. O item 2 mostra que a ação de copiar, uma

das ações mais comuns que realizamos com informação clássica (fazemos isso todo dia ao

salvar um documento em nosso computador), não é posśıvel para estados quânticos. Tal

impossibilidade de cópia implica que não podemos usar praticamente nenhum protocolo

clássico de correção de erros em informação quântica [10, 28]. Então, os itens 1 e 2 parecem

sugerir que não há vantagem em usar estados quânticos para enviar informação. Porém,

é na transmissão (codificação e segurança) e processamento (computação quântica) que

a teoria da informação quântica mostra suas vantagens. Justamente por não ser posśıvel

copiar estados quânticos arbitrários e que ao realizar uma medição alteramos o estado

do sistema, é que podemos transmitir informação com segurança (a isso dá-se o nome de

criptografia quântica). Além disso, podemos aproveitar a não ortogonalidade dos estados

em que codificamos a informação para realizar uma compressão na mensagem maior do

que seria posśıvel classicamente (tal procedimento recebe o nome de codificação quântica).

Por fim, a superposição (aplicada a sistemas multipartites, o que leva ao importante con-

ceito de estados emaranhados), item 3, é uma das principais caracteŕısticas que torna a

computação quântica muito mais eficiente do que a computação clássica.

A transmissão de informação clássica usando estados quânticos é somente uma das

muitas possibilidades oferecidas em informação quântica. Como veremos, esta última é

muito mais rica do que sua versão clássica. Podemos recuperar todos os resultados da

teoria da informação clássica em um certo limite da teoria da informação quântica (basta

usarmos estados quânticos ortogonais para codificar a informação). Esta última porém,


3.1 Mecânica Quântica, POVM e Mapeamentos Quânticos 20

Figura 3.2: Sistema quântico de comunicação. Aqui, ao contrário da Figura 3.1, temos

uma fonte que gera estados quânticos que, em prinćıpio, não precisam estar relacionados

com nenhuma informação clássica.

apresenta muito mais recursos estáticos (“tipos de informação”) e dinâmicos (processa-

mento de informação). Por exemplo, podemos transmitir informação quântica, ou seja,

podemos transmitir estados quânticos arbitrários para o destino. Tal transmissão se dá

através de um canal quântico (possivelmente ruidoso). Temos então a situação descrita na

Figura 3.2. Muitas das novas possibilidades que surgem na teoria da informação quântica

têm sua origem em um dos aspectos mais fascinantes da mecânica quântica, o emaranha-

mento. Estados puros emaranhados permitem mostrar, através das desigualdades de Bell

[12], que nenhuma teoria realista e local pode reproduzir todos os resultados da mecânica

quântica. Duas aplicações do emaranhamento em informação quântica são o teletrans-

porte quântico [13], onde usando estados emaranhados juntamente com um canal clássico

podemos transmitir de maneira perfeita um estado quântico, e a chamada codificação su-

perdensa [34], que é a transmissão de dois bits clássicos enviando um qubit (de um par

emaranhado) ao destino. O emaranhamento é um recurso tão importante em informação

quântica que um dos seus principais ramos de pesquisa visa quantificá-lo e estudar a sua

dinâmica.

Na Seção 3.1, estudaremos e estenderemos o conceito de medição e de evolução em

mecânica quântica. Na Seção 3.2 estudaremos medidas de informação quântica, com

ênfase na entropia de von Neumann, que exercerá o papel análogo ao da entropia de

Shannon. Na Seção 3.3 analisaremos o limite de Holevo e o teorema de Schumacher, versão

quântica do teorema da compressão de Shannon. A Seção 3.4 é reservada para o estudo

do emaranhamento e suas consequências. Na Seção 3.5, mostraremos como quantificar o

que é clássico e o que é quântico nas correlações de sistemas quânticos correlacionados.

Veremos que há correlações quânticas que não provém de sistemas emaranhados.

3.1 Mecânica Quântica, POVM e Mapeamentos Quânticos

Nessa seção iremos enunciar os postulados usuais da mecânica quântica e discutir o con-

ceito de medição e evolução estendendo-os ao caso em que o sistema é aberto. Tais ex-

tensões serão muito úteis na teoria da informação quântica usual e mais à frente quando

a relatividade for levada em conta.


3.1 Mecânica Quântica, POVM e Mapeamentos Quânticos 21

3.1.1 Os Postulados da Mecânica Quântica

Veremos a seguir que a mecânica quântica muda radicalmente nossas noções clássicas de

estados, observáveis e medições. Antes de descrever os postulados, convém observar que

não visamos aqui dar uma introdução sobre mecânica quântica mas somente estabelecer

notação e discutir alguns pontos que nos serão úteis. Para mais detalhes sobre a estrutura

matemática da mecânica quântica bem como suas aplicações ver por exemplo [10, 35,

36, 37]. Existem diversas versões dos postulados da mecânica quântica [28, 35, 37]. Os

postulados que usaremos, nos restringindo a espaços vetoriais de dimensão finita (que

serão suficientes para os nossos propósitos), são:

1. Os estados de um sistema quântico são descritos por vetores em um espaço de Hilbert

H, ou mais precisamente, classes de equivalência de vetores em H onde |ψ′〉, |ψ〉 ∈ H
são equivalentes se e somente se existe α ∈ C, não nulo, tal que |ψ′〉 = α|ψ〉. Daqui

por diante, vamos sempre considerar um representante normalizado de cada uma

das classes de equivalência;

2. Observáveis f́ısicos são descritos por operadores auto-adjuntos em H;

3. Uma medição é descrita pelo conjunto {Pλ1 , ..., Pλn} de projetores ortogonais, i.e.,

P †
λi

= Pλi para todo i ∈ {1, ..., n} e PλiPλj = δijPλi , para todo i, j ∈ {1, ..., n}, que
satisfaz

∑
i Pλi = I, onde I é o operador identidade e {λ1, ..., λn} ⊂ R representam os

posśıveis resultados do experimento. Se o sistema está no estado |ψ〉, a probabilidade
de, ao se fazer uma medição, obter o valor λi é

p(λi) = 〈ψ|Pλi |ψ〉

e o estado do sistema após a medição é

|ψi〉 =
Pλi |ψ〉√
p(λi)

;

4. A evolução temporal de um sistema quântico inicialmente no estado |ψ〉 é dada

por |ψ(t)〉 = U(t)|ψ〉, onde U(t) é uma famı́lia de operadores unitários fortemente

cont́ınuos, i.e., limt→t0 U(t)|ψ〉 = U(t0)|ψ〉 para todo |ψ〉 ∈ H [38, 39].

O primeiro postulado mostra como descrever um estado puro em mecânica quântica,

i.e., vetores em um espaço de Hilbert. O segundo postulado mostra como descrever os

observáveis dentro desse formalismo. Ao contrário de funções reais, estes são definidos

como operadores auto-adjuntos (e portanto com espectro real). O terceiro postulado é

talvez o que mais diferencia a estrutura de uma teoria clássica da de uma teoria quântica.

Nesta última, os resultados de medições são intrinsecamente probabiĺısticos e o ato da

medição (mesmo idealmente) em geral altera o estado do sistema. O último postulado

descreve a parte determińıstica da mecânica quântica, i.e., a evolução temporal dado o


3.1 Mecânica Quântica, POVM e Mapeamentos Quânticos 22

estado inicial. A imposição que U(t) é fortemente cont́ınuo implica, pelo teorema de Stone

[38, 39], que existe um operador auto-adjunto H, chamado Hamiltoniana do sistema, tal

que U(t) = e−itH . Muitas vezes durante o texto estaremos interessados em intervalos de

tempo discretos, ou seja, temos um estado inicial |ψ〉 que evolui para um estado final |ψ′〉.
Então temos um operador unitário U tal que |ψ′〉 = U |ψ〉.

Vamos analisar mais a fundo a relação entre os observáveis f́ısicos e seus posśıveis va-

lores em uma medição. Primeiro, tomemos uma medição como no postulado 3. Vemos fa-

cilmente que
∑

i λiPλi é um operador auto-adjunto e portanto define um observável f́ısico.

Tome agora o operador auto-adjunto A que descreve um certo observável. Então, pelo

teorema espectral [40, 41, 42], A pode ser escrito de maneira única como A =
∑

i λiPλi ,

com λi sendo os seus auto-valores distintos e Pλi uma famı́lia de projetores ortogonais que

satisfazem
∑

i Pλi = I. Então, pelo postulado 3, ao medir um observável f́ısico os únicos

resultados posśıveis são seus auto-valores, cada um com probabilidade p(λi) = 〈ψ|Pλi |ψ〉
de ocorrer. Vemos então que, a não ser que o estado do sistema seja um auto-vetor do

observável sendo medido, não faz sentido dizer que um sistema quântico em um certo

estado possui um dado valor para seus observáveis antes da medição, em contraste com

o que acontece em f́ısica clássica. Citando o f́ısico Asher Peres, unperformed experiments

have no results [43]. Voltaremos a esse tema quando discutirmos as desigualdades de Bell.

3.1.2 Medições Generalizadas e POVM

Vamos analisar com mais cuidado o conceito de medição. Podemos definir uma medição

como uma intervenção externa feita em um sistema quântico através do qual informação,

na forma de um número real, é obtida no aparelho de medição. O postulado 3 mostra

que as previsões sobre resultados de experimentos são probabiĺısticas e mostra, dentro

do formalismo matemático da teoria, como calcular essas probabilidades e qual o efeito

da medição no estado do sistema. Lá impusemos que uma medição é caracterizada por

projetores ortogonais que, como discutimos no final da seção anterior, estão diretamente

associados com a medição de observáveis f́ısicos (operadores auto-adjuntos). Entretanto,

podemos generalizar esse conceito de medição tirando a imposição de que os operadores

que caracterizam a medição sejam projetores ortogonais. Veremos mais à frente um exem-

plo em que esse conceito mais geral de medição, que muitas vezes não está diretamente

associada com medições de quantidades f́ısicas (energia, momento, etc.), é mais útil que o

de medidas projetivas. Antes de definir o conceito de medição generalizada, será instrutivo

estudar o seguinte exemplo. Considere elétrons, cujos estados de spin são descritos por

vetores no espaço de Hilbert H de dimensão 2, e um aparato de medida (Stern-Gerlach)

que consiste em uma região com um campo magnético inomogêneo na direção z (aproxi-

madamente) e uma tela medidora que registra a posição do elétron. Devido à interação

do spin com o campo magnético, os elétrons serão defletidos ao passarem pelo campo

magnético. Quando o estado de spin for |0〉 ou |1〉, os elétrons são defletidos para z > 0


3.1 Mecânica Quântica, POVM e Mapeamentos Quânticos 23

ou z < 0, respectivamente. Aqui, σ3|0〉 = |0〉 e σ3|1〉 = −|1〉 são auto-vetores da matriz

de Pauli σ3. Vamos fazer uma descrição simplificada e considerar que se o elétron é re-

gistrado em z > 0, o estado do aparato de medida é |e0〉 ∈ Haux e se ele é registrado em

z < 0, o estado do aparato de medida é |e1〉 ∈ Haux, onde Haux é o espaço de Hilbert, de

dimensão 2, que descreve os estados do aparato e 〈ei|ej〉 = δij , i, j ∈ {0, 1}. No caso ideal,

ao interagir com o aparato de medida, o sistema total (spin do elétron + aparato) evolui

através da transformação unitária U dada por

U |0〉 ⊗ |0aux〉 = |0〉 ⊗ |e0〉 (3.1)

U |1〉 ⊗ |0aux〉 = |1〉 ⊗ |e1〉 (3.2)

onde |0aux〉 ∈ Haux é o estado inicial do aparato de medida. No caso não ideal, há uma

probabilidade do elétron ser registrado em z < 0 mesmo que o seu spin esteja no estado

|0〉 e analogamente para z > 0 e |1〉. Então, a transformação unitária U que descreve a

interação do elétron com o aparato é dada por

U |0〉 ⊗ |0aux〉 = |0〉 ⊗
(√

1− p0|e0〉+
√
p0|e1〉

)
(3.3)

U |1〉 ⊗ |0aux〉 = |1〉 ⊗
(√

p1|e0〉+
√

1− p1|e1〉
)
, (3.4)

onde p0, p1 ∈ [0, 1]. Vemos então que se os estados iniciais do spin do elétron e do aparato

são |ϕ〉 = c0|0〉+ c1|1〉 e |0aux〉, respectivamente, o estado após a interação é

U |ϕ〉 ⊗ |0aux〉 =M0|ϕ〉 ⊗ |e0〉+M1|ϕ〉 ⊗ |e1〉, (3.5)

onde M0|ϕ〉 ≡ √
1− p0c0|0〉 +

√
p1c1|1〉 e M1|ϕ〉 ≡ √

p0c0|0〉 +
√
1− p1c1|1〉. Note que

podemos escrever M0 e M1 como

M0 =
√
1− p0|0〉〈0|+

√
p1|1〉〈1| (3.6)

M1 =
√
p0|0〉〈0|+

√
1− p1|1〉〈1| (3.7)

e portanto vemos que

M †
0M0 +M †

1M1 = I. (3.8)

A medição realizada pelo aparato de medida consiste na observação de onde o elétron

foi registrado (z > 0 ou z < 0), ou seja, é a medição do observável O =
∑1

j=0 aj |ej〉〈ej |,
onde aj ∈ R, no aparato de medida. Então, pelo Postulado 3 da mecânica quântica e

usando a equação (3.5), a probabilidade de se medir o valor m ∈ {0, 1} após a interação

é dada por

p(m) = 〈0aux| ⊗ 〈ϕ|U †PmU |ϕ〉 ⊗ |0aux〉
= 〈ϕ|M †

mMm|ϕ〉 (3.9)


3.1 Mecânica Quântica, POVM e Mapeamentos Quânticos 24

onde Pm ≡ I ⊗ |em〉〈em| e o estado final do sistema total é

PmU |ϕ〉 ⊗ |0aux〉√
p(m)

=
Mm|ϕ〉 ⊗ |em〉√

p(m)
. (3.10)

Com isso, o estado do spin do elétron após a medição de m é

|ϕm〉 =
Mm|ϕ〉√
p(m)

. (3.11)

Vemos então que se o aparato de medida for tratado como uma caixa preta que a cada

medição nos dá um resultado m ∈ {0, 1}, a medição (em termos apenas do espaço de

Hilbert H) pode ser descrita por operadores Mm, que satisfazem a equação (3.8) e cuja

probabilidade de medir o valor m e o estado final nesse caso são dados pelas equações (3.9)

e (3.11), respectivamente.

O exemplo acima é útil para isolarmos as caracteŕısticas principais desse conceito mais

geral de medição. Em resumo temos: (i) uma medição generalizada é descrita por um apa-

relho de medida que, a cada medição, dá como resultado um certo valor m de um conjunto

fixo M de valores posśıveis. Esses, podem ser associados com observáveis f́ısicos relacio-

nados com o aparelho de medida (no exemplo do Stern-Gerlach acima, posição do impacto

na tela detetora); (ii) matematicamente, em termos apenas do sistema sendo estudado

(no caso acima, o spin do elétron), a medição generalizada é descrita por operadores Mm,

m ∈ M, que satisfazem
∑

mM
†
mMm = I. Chegamos então à seguinte definição:

Definição 3.1.1. Uma medição generalizada é descrita por um conjunto {M0, ...,Mn−1}
de operadores em um espaço de Hilbert H que satisfazem

∑n−1
i=0 M

†
iMi = I. Se o sistema

antes da medição está no estado |ψ〉 ∈ H, a probabilidade de obter o resultado m ∈ M ≡
{0, ..., n− 1} é

p(m) = 〈ψ|M †
mMm|ψ〉 (3.12)

e o estado do sistema após a medição é

|ψm〉 =
Mm|ψ〉√
p(m)

. (3.13)

Vemos que esse conceito de medição contém o caso de medidas projetivas. Nessas,

como PλiPλj = δijPλi , realizar duas medições idênticas consecutivamente gera o mesmo

resultado. Entretanto, vemos que esse, em principio, não é o caso em uma medição gene-

ralizada. Essa repetibilidade das medições projetivas sugere que muitas das medições que

realizamos em mecânica quântica não são projetivas [10, 31, 44, 45]. Na Definição 3.1.1

vemos que a distribuição de probabilidades dos posśıveis resultados da medição depende

apenas dos operadores Em ≡ M †
mMm, m ∈ M que satisfazem

∑
mEm = I. Reciproca-

mente, se {Em|m ∈ M} é um conjunto qualquer de operadores positivos∗ que satisfazem∑
m

Em = I, (3.14)

∗Lembramos que um operador A é positivo (denotado A ≥ 0) se para todo vetor |ψ〉 ∈ H, 〈ψ|A|ψ〉 ≥ 0.


3.1 Mecânica Quântica, POVM e Mapeamentos Quânticos 25

os operadores Mm ≡
√
Em satisfazem Em = M †

mMm e
∑

mM
†
mMm = I e com isso,

definem uma medição generalizada. Um conjunto de operadores positivos que satisfazem

a relação de completeza (3.14) é chamado de POVM (do inglês positive operator valued

measure). Com isso, se estamos interessados apenas na distribuição de probabilidades dos

posśıveis resultados da medição (ou não temos como saber o estado pós medição, como

por exemplo, após um elétron ser absorvido em um detetor Geiger), vamos descrever uma

medição por um POVM (ao invés dos operadores {Mm|m ∈ M}). Convém notar que os

M̂m ≡ Um
√
Em, onde Um é um operador unitário, geram o mesmo POVM que Mm ≡

√
Em. Isso mostra que existem infinitos aparelhos de medida que geram a distribuição de

probabilidade p(m) = 〈ψ|Em|ψ〉, porém, cada um gera um efeito diferente no estado do

sistema sendo medido. No exemplo do Stern-Gerlach acima, podemos aplicar operações

unitárias U0 (para z > 0) e U1 (para z < 0) antes dos elétrons atingirem a tela medidora.

Isso mudará o estado final do elétron mas não sua probabilidade de ser detetado em z > 0

ou z < 0.

Uma aplicação importante das medidas POVM é na distinguibilidade de estados

quânticos. Os estados quânticos em A = {|ψ1〉, ..., |ψr〉} são distingúıveis se existe al-

guma medição em que cada resultado nos permite prever, com probabilidade 1, qual

estado foi medido. Em outras palavras, existe um POVM {E0, ..., EM}, M ≥ r, tal que

〈ψi|Ei|ψi〉 = 1 para todo i ∈ {1, ..., r}. Quando os elementos de A são ortogonais, basta

construirmos um aparato de medida que meça, por exemplo, o observável
∑r

j=1 aj |ψj〉〈ψj |,
aj ∈ R. Entretanto, quando os elementos de A não são ortogonais, não haverá nenhuma

medição (ou seja, POVM) capaz de distingui-los [10]. Mesmo assim, é posśıvel construir

um POVM que faça o seguinte [10]: quando o resultado da medição é j ∈ {1, ..., r},
então sabemos que o estado medido foi |ψj〉 ∈ A a despeito do fato que, algumas vezes, o

resultado da medição será 0 e não poderemos afirmar nada sobre qual estado foi medido.

Em muitos casos não sabemos exatamente qual o estado do sistema, sabemos apenas

que seu estado é |ψi〉 com probabilidade pi, i ∈ {1, ...,K}. Chamaremos {pi, |ψi〉} de uma

mistura de estados puros. Tal mistura define um operador densidade ou matriz densidade

ρ =
∑
i

pi|ψi〉〈ψi|. (3.15)

(No Apêndice A, encontra-se a demonstração das diversas propriedades de matriz densi-

dade que nos serão úteis.) Vemos que trρ = 1 e para todo |ψ〉 ∈ H,

〈ψ|ρ|ψ〉 =
∑
i

pi|〈ψi|ψ〉|2 ≥ 0,

o que mostra que ρ é um operador positivo. Reciprocamente, se ρ é um operador positivo

que satisfaz trρ = 1, ele pode ser escrito como ρ =
∑

i ξi|xi〉〈xi|, onde 0 ≤ ξi ≤ 1,
∑

i ξi = 1

e os |xi〉 formam uma base ortonormal de auto-vetores de ρ. Chegamos então à seguinte

definição:


3.1 Mecânica Quântica, POVM e Mapeamentos Quânticos 26

Definição 3.1.2. Uma matriz densidade é um operador ρ : H → H em um espaço de

Hilbert H que satisfaz (i) trρ = 1 e (ii) ρ ≥ 0.

Se o sistema (isolado) está no estado ρ =
∑K

i=1 pi|ψi〉〈ψi|, pelo postulado 4 cada um dos

estados da mistura evolui, através da transformação unitária U , como U |ψi〉, i ∈ {1, ...,K}.
Então,

ρ −→U
K∑
i=1

piU |ψi〉〈ψi|U † = UρU †. (3.16)

Realizando uma medição, descrita por um POVM {Em|m ∈ M}, cuja ação nos estados

é dada por Mm = Um
√
Em, a probabilidade de se obter o resultado m quando o sistema

está no estado ρ é

p(m) ≡ tr(ρEm) (3.17)

e o estado do sistema após a medição do valor m é dada por

ρm ≡ MmρM
†
m

tr(ρEm)
. (3.18)

Se realizarmos a medição mas, por alguma razão, ainda não sabemos seu resultado, o

estado do sistema é descrito pela matriz densidade

ρ′ =
∑
m

p(m)ρm =
∑
m

MmρM
†
m. (3.19)

A equação (3.17) mostra que podemos prever todas as distribuições de probabilidades de

posśıveis experimentos sabendo a matriz densidade ρ que descreve o sistema. Portanto,

vemos que ela descreve o estado f́ısico de qualquer sistema quântico (o que generaliza o

conceito de estado puro já que quando ρ = |ψ〉〈ψ|, a mistura se reduz ao estado puro |ψ〉).
Antes de terminar a seção, vamos definir alguns conjuntos que serão úteis daqui por

diante. Se H é um espaço de Hilbert de dimensão N , denotamos o espaço vetorial for-

mado por todos os operadores lineares por B(H). Munindo B(H) com o produto interno

〈A,B〉HS ≡ tr(A†B), obtemos o espaço de Hilbert (B(H), 〈, 〉HS) que tem dimensão N2.

Vamos denotar o conjunto de todas as matrizes densidade por C(H) ⊂ B(H).

3.1.3 Mapeamentos Quânticos

Nessa seção, vamos desenvolver o conceito de mapeamento quântico. Ele permite descrever

sistemas quânticos que em prinćıpio estão abertos, i.e., sujeitos a influências externas.

Suponha que temos um sistema f́ısico S que passa a interagir com um ambiente externo

SE . O sistema total S+SE é fechado e portanto evolui unitariamente através do operador

unitário U : H ⊗ HE → H ⊗ HE , onde H e HE são os espaços de Hilbert do sistema e

do ambiente, respectivamente. Se o sistema S está inicialmente no estado ρ e o ambiente

está no estado ρ|0E〉 = |0E〉〈0E |, o sistema total, que inicialmente está no estado ρ⊗ ρ|0E〉,


3.2 Medidas de Informação Quântica 27

evolui para o estado Uρ⊗ ρ|0E〉U †. O estado final do sistema S é obtido tomando o traço

nos graus de liberdade do ambiente, i.e., ρ′ = trE(Uρ⊗ ρ|0E〉U †). Se

{
|ek〉 ∈ HE

∣∣k ∈ {1, ..., d = dimHE}
}

é uma base ortonormal de HE , temos

ρ′ = trE(Uρ⊗ ρ|0E〉U †) =
∑
k

〈ek|U(ρ⊗ |0E〉〈0E |)U †|ek〉

=
∑
k

〈ek|U |0E〉ρ〈0E |U †|ek〉 =
∑
k

VkρV
†
k , (3.20)

onde Vk ≡ 〈ek|U |0E〉 é um operador em H. Como trρ′ = 1, vemos que
∑

k V
†
k Vk = I.

Definimos assim o mapeamento E : ρ→ ρ′ = E(ρ) como

E(ρ) = trE(Uρ⊗ ρ|0E〉U †) =
∑
k

VkρV
†
k , (3.21)

com
∑

k V
†
k Vk = I. Reciprocamente, é posśıvel mostrar [10] que todo mapeamento da

forma E(ρ) ≡ ∑
k VkρV

†
k , com

∑
k V

†
k Vk = I, pode ser obtido através da interação do

sistema f́ısico com um ambiente (o que torna o sistema fechado e a evolução unitária)

descartando os graus de liberdade do ambiente após a evolução.

Sendo assim, vamos definir um mapeamento quântico como um operador linear E :

B (H) → B (H) que pode ser posto na forma

E(A) ≡
∑
k

VkAV
†
k , (3.22)

com
∑

k V
†
k Vk = I, onde A ∈ B (H). Tais mapeamentos, além de serem lineares e preserva-

rem o traço, são completamente positivos, i.e., para todo operador positivo Γ ∈ B(Ck⊗H),

o operador
[
Ik ⊗ E

]
(Γ) também é positivo para todo k ∈ Z+ [10, 29]. Em informação

quântica, se assume em geral que a evolução de sistemas abertos se dá através de ma-

peamentos quânticos, equação (3.22). Com isso, vamos definir um canal quântico, i.e., o

operador que associa o estado enviado ao receptor com o estado que este efetivamente re-

cebe, como sendo um mapeamento quântico. Entretanto, como veremos adiante, quando

a relatividade é levada em conta, os mapeamentos não serão completamente positivos e

portanto não poderemos nos restringir apenas a mapeamentos quânticos.

3.2 Medidas de Informação Quântica

Vimos no Caṕıtulo 2 que a entropia de Shannon desempenha um papel fundamental na

teoria da informação clássica. Ela quantifica a incerteza relacionada com uma variável

aleatória X antes da sua medição, ou equivalentemente, a informação ganha após esta.

Queremos definir uma quantidade análoga em informação quântica, i.e., queremos uma


3.2 Medidas de Informação Quântica 28

função que quantifique a incerteza associada a uma mistura {pi, |ψi〉}, onde i ∈ {1, ...,K} e∑
i pi = 1. Como vimos no final da Seção 3.1.2, tal mistura é completamente caracterizada

por sua matriz densidade ρ =
∑

i pi|ψ〉〈ψi|. Porém, existem diversas misturas diferentes

que geram a mesma matriz densidade e portanto todas elas são fisicamente equivalentes.

Entretanto, dada uma matriz densidade ρ, ela pode ser decomposta univocamente, via o

teorema espectral, como ρ =
∑d

j=1 λjPλj . Consequentemente, como mostrado também

no Apêndice A, ρ =
∑N

k=1 ξk|xk〉〈xk|, onde os |xi〉 formam uma base ortonormal de auto-

vetores de ρ, ξi = λj para algum j ∈ {1, ..., d} e N é a dimensão do espaço de Hilbert.

Com isso, temos uma decomposição privilegiada de ρ em uma mistura {ξk, |xk〉} (a menos

da liberdade de escolher os vetores |xk〉 associados com um auto-valor degenerado, porém

isso não altera a conclusão a seguir). Como os |xk〉 são ortogonais, há uma medição que

os distingue. Com isso, podemos saber com certeza qual estado da mistura foi medido e

portanto, a incerteza associada à mistura antes da medição desaparece. Tal fato é análogo

à medição de uma variável aleatória X que toma os valores x1, ..., xN com probabilidades

ξ1, ..., ξN . Portanto , a incerteza associada à mistura {ξ, |xi〉} nada mais é que a entropia

de Shannon da distribuição
{
ξi
∣∣i ∈ {1, ..., N}

}
, ou seja, H(ξ1, ..., ξN ) = −∑k ξk log2 ξk,

que pode ser rescrita, apenas em termos da matriz densidade ρ, como

H(ξ1, ..., ξN ) = −trρ log2 ρ ≡ S(ρ). (3.23)

Chegamos assim na seguinte definição:

Definição 3.2.1 (Entropia de von Neumann). Seja H um espaço de Hilbert e ρ ∈ C(H),

então a entropia de von Neumann associada ao estado misto ρ é

S(ρ) = −trρ log2 ρ.

A entropia de von Neumann mede a incerteza associada a um estado misto ρ e, como

mostraremos ao longo desse caṕıtulo, ela desempenhará um papel em informação quântica

análogo ao da entropia de Shannon em informação clássica. Entretanto, cabe aqui uma

ressalva. Enquanto a entropia de Shannon pode ser interpretada como a quantidade de

informação ganha ao se medir o valor da variável aleatória X, a entropia de von Neumann

não tem uma interpretação análoga. Isso se deve ao fato que não conseguimos identificar

qual estado da mistura {pi, |ψi〉} foi medido (a menos, como visto acima, que os estados

da mistura sejam ortogonais). Porém, como mostraremos na próxima seção, o limite de

Holevo associado com a matriz densidade ρ =
∑

i pi|ψ〉〈ψi| implica que a entropia de von

Neumann S(ρ) é um limite superior para a quantidade de informação que podemos extrair

de ρ.

Outra quantidade importante, que será útil na demonstração de diversos resultados, é

a versão quântica da entropia relativa [10, 28, 46, 47]:

S(ρ||σ) ≡ tr[ρ(log2 ρ− log2 σ)], (3.24)


3.2 Medidas de Informação Quântica 29

onde σ e ρ são matrizes densidade. Assim como sua versão clássica,

S(ρ||σ) ≥ 0 (3.25)

com a igualdade se e somente se ρ = σ [10]. A desigualdade (3.25) é chamada de desi-

gualdade de Klein quântica.

Com a desigualdade acima, podemos provar algumas propriedades importantes da

entropia de von Neumann. Que S(ρ) ≥ 0 para todo estado ρ em um espaço de Hilbert H
de dimensão N está claro da equação (3.23). Se S(ρ) = 0 então −∑k ξk log2 ξk = 0, o que

é válido se e somente se ξk log2 ξk = 0 para todo k e isso é satisfeito se e somente se existe

l tal que ξl = 1 (e portanto ξk 
=l = 0), logo ρ = |xl〉〈xl|. Agora, tome σ = I/N , onde I é a

identidade em H. Pela desigualdade de Klein quântica, S(ρ||σ) = −S(ρ) + log2N ≥ 0, e

portanto

S(ρ) ≤ log2N, (3.26)

com a igualdade valendo se e somente se ρ = σ = I/N . Agora tome ωAB ∈ C(HA⊗HB) e

defina σAB = ωA⊗ωB, onde ωA ≡ trBω
AB e ωB ≡ trAω

AB. Então, usando a desigualdade

de Klein quântica,

0 ≤ S(ωAB||σAB) = −S(ωAB)− tr(ωAB log2 σ
AB)

= −S(ωAB)− tr[ωAB(log2 ω
A ⊗ IB)]− tr[ωAB(IA ⊗ log2 ω

B)]

= −S(ωAB)− tr(ωA log2 ω
A)− tr(ωB log2 ω

B). (3.27)

Logo,

S(ωAB) ≤ S(ωA) + S(ωB) (3.28)

com a igualdade se e somente se ωAB = σAB≡ ωA ⊗ ωB. A unidade da entropia de von

Neumann é o qubit. Da equação (3.26) acima, vemos que um sistema de dois ńıveis, N = 2,

tem no máximo 1 qubit de informação quântica. Tais sistemas de dois ńıveis são chamados

de sistemas de qubits e muitas vezes denominamos seus vetores (normalizados) também

de qubits.

Outra propriedade importante e útil em informação quântica, e que será usada para

definir uma medida de emaranhamento para estados puros, é a chamada decomposição de

Schimdt (sua demonstração encontra-se no Apêndice B).

Teorema 3.2.2 (Decomposição de Schimdt). Sejam HA e HB espaços de Hilbert de

dimensões NA e NB, respectivamente. Se |ψAB〉 ∈ HA⊗HB então existe um número k ≤
min{NA, NB}, uma distribuição de probabilidades

{
ξi
∣∣i ∈ {1, ..., k},∑i ξi = 1

}
e conjuntos

ortogonais
{
|xAi 〉

∣∣i ∈ {1, ..., k}
}
⊂ HA e

{
|yBi 〉

∣∣i ∈ {1, ..., k}
}
⊂ HB tal que

|ψAB〉 =
k∑
i=1

√
ξi|xAi 〉 ⊗ |yBi 〉.


3.3 Sistemas Quânticos de Comunicação 30

Como consequência direta da decomposição de Schimdt temos, para todo estado puro

|ψAB〉 ∈ HA ⊗ HB, que as entropias S(ρA) e S(ρB) são iguais, onde lembramos que

ρA = trB|ψAB〉〈ψAB| e ρB = trA|ψAB〉〈ψAB|.
Podemos agora, em analogia com informação clássica, definir o importante conceito de

informação mútua quântica. Assim como sua contrapartida clássica, ela será uma medida

das correlações totais, porém agora, entre dois sistemas quânticos.

Definição 3.2.3. Se HA e HB são dois espaços de Hilbert de dimensões NA e NB respec-

tivamente, ρAB ∈ C(HA ⊗HB), ρA ≡ trBρ
AB e ρB ≡ trAρ

AB então, a informação mútua

quântica entre A e B é

IQ(A : B) ≡ S(ρA) + S(ρB)− S(ρAB).

Como consequência direta da Definição 3.2.3 e da equação (3.28), vemos que

IQ(A : B) = IQ(B : A) ≥ 0. (3.29)

Usando a Definição 3.2.3 e a equação (3.29), vemos que a soma das incertezas relacionadas

aos sistemas A e B separadamente é sempre maior do que a incerteza relacionada com o

sistema total com exceção do caso em que A e B não têm correlações, i.e., ρAB = ρA⊗ρB,
em que elas são iguais. Esse fato, combinado com a simetria da informação mútua, sugere

que IQ(A : B) dá uma medida das correlações entre os sistemas quânticos A e B.

3.3 Sistemas Quânticos de Comunicação

Nessa seção iremos estudar sistemas quânticos de comunicação. Começaremos estudando

a transmissão de comunicação clássica utilizando canais sem rúıdos e mostraremos que

existe um limite superior para a informação acesśıvel no destino, o limite de Holevo.

Em seguida, estudaremos o processo de compressão de uma mensagem a ser transmitida e

mostraremos que a entropia de von Neumann é o limite inferior para a taxa de compressão

por caractere da mensagem.

3.3.1 O Limite de Holevo

Suponha que temos uma fonte caracterizada por uma variável aleatória X, i.e., ela gera

śımbolos xi com probabilidades pi, i ∈ {1, ...,K}. Alice, a emissora, deseja enviar um

caractere xk para um receptor, Bob. Para fazer isso, ela codifica cada xi em um estado

ρi ∈ C(H) de acordo com a distribuição {pi} e envia o estado misto resultante, ρ =
∑

i piρi,

para Bob por um canal quântico sem rúıdo, i.e., Bob recebe o mesmo estado enviado

por Alice. Porém, para obter a informação clássica enviada, Bob terá que fazer uma

medição (que é caracterizada por um POVM {Ei|i ∈ {1, ..., n}}) e através do seu resultado


3.3 Sistemas Quânticos de Comunicação 31

y ∈ {1, ..., n} tentar inferir o caractere xi enviado. A informação sobreX que Bob obtém ao

fazer a medição é dada pela informação mútua I(X : Y ), onde Y é uma variável aleatória

que toma os valores em {1, ..., n} com probabilidades {p1 = tr(E1ρ), ..., pn = tr(Enρ)}. Se
Alice tivesse usado um canal clássico sem rúıdos, a informação que Bob obteria medindo

a sáıda do canal seria H(X) já que classicamente os {x1, ..., xK} são distingúıveis (por

exemplo, se x1 = 0 e x2 = 1 e Alice manda um email contendo 0 ou 1 para Bob, ele

consegue saber com certeza qual número recebeu). Entretanto, como em geral estados

quânticos não são distingúıveis, temos que I(X : Y ) ≤ H(X) e definimos a informação

acesśıvel a Bob como sendo

IAc ≡ max
{Ei}

I(X : Y ). (3.30)

O fato da informação acesśıvel em geral não ser H(X), devido à indistinguibilidade dos

estados ρi, está diretamente ligado a um dos principais resultados em mecânica quântica,

a saber, o teorema da não clonagem (ver Apêndice B). Se fosse posśıvel copiar estados

arbitrários, Bob poderia fazer cópias dos estados enviados por Alice, ρ1 e ρ2, obtendo os

estados ρ⊗
n

1 e ρ⊗
n

2 que são ortogonais no limite de n→ ∞ e portanto distingúıveis. Logo,

a informação acesśıvel seria H(X).

Apesar de não existir nenhum procedimento geral para calcular a informação acesśıvel,

é posśıvel mostrar que existe um limite superior para o seu valor, o chamado limite de

Holevo [10, 28, 33, 48].

Teorema 3.3.1 (Limite de Holevo). Seja H um espaço de Hilbert de dimensão N e X uma

variável aleatória que toma os valores x1, ..., xK com probabilidades p1, ..., pK . Se cada xi

é codificado em um estado ρi ∈ C(H), i ∈ {1, ...,K} e é enviado por um canal quântico

sem rúıdo, a informação acesśıvel no receptor é limitada por χ(ρ) ≡ S(ρ) −∑
i piS(ρi),

i.e.,

IAc ≤ χ(ρ).

Como a entropia de von Neumann satisfaz [10]∑
i

piS(ρi) ≤ S(ρ) ≤ H(p1, ..., pK) +
∑
i

piS(ρi),

com a igualdade se e somente se os ρi são ortogonais, vemos que

χ(ρ) ≤ H(X). (3.31)

Conclúımos assim que usando K qubits é posśıvel transmitir no máximo H(X) bits de

informação clássica. Convém observar que, apesar do Teorema 3.3.1 mostrar que χ(ρ) é

um limite superior para a informação acesśıvel, em muitos casos esta nunca atinge χ(ρ)

[49]. Entretanto, como mostrado em [50, 51, 52], sempre é posśıvel utilizar uma codificação


3.3 Sistemas Quânticos de Comunicação 32

em bloco conveniente de tal maneira que a informação é transmitida a uma taxa que se

aproxima arbitrariamente de χ(ρ) com probabilidade de erro arbitrariamente baixa.

Uma propriedade importante da quantidade de Holevo χ é que ela nunca aumenta

ao realizarmos um mapeamento quântico, i.e., χ (E(ρ)) ≤ χ(ρ) [10, 29]. Veremos mais

à frente que, quando Alice e Bob têm um movimento relativo, tal relação não será mais

válida. Isso nos permitirá concluir que em situações relativ́ısticas a evolução, por exemplo

dos graus de liberdade spin do elétron, não será descrita por mapeamentos quânticos.

3.3.2 O Teorema de Schumacher

No Caṕıtulo 2, mostramos que podemos comprimir a informação de uma fonte i.i.d. e

portanto, utilizar menos bits para transmiti-la. O Teorema 2.2.3 mostra que a maior taxa

de compressão posśıvel (bits por caractere da mensagem) é dada pela entropia de Shannon.

Nessa seção, vamos mostrar que existe um resultado análogo em informação quântica, o

Teorema de Schumacher. Ele afirma que podemos comprimir informação quântica e com

isso usar menos qubits para transmiti-la. O teorema mostra também que a maior taxa de

compressão é dada pela entropia de von Neumann. Para isso, precisaremos das versões

quânticas de fonte i.i.d. e codificação em bloco.

Definição 3.3.2. Uma fonte quântica i.i.d. é um par (H, ρ) onde H é um espaço de

Hilbert de dimensão N e ρ ∈ C(H) tal que ρn ≡ ρ⊗ ...⊗ ρ︸ ︷︷ ︸
n vezes

é o estado total resultante após

n usos da fonte.

Ou seja, a cada uso da fonte é gerado um estado quântico ρ. Os estados são gerados

de maneira independente em cada utilização da fonte e com isso, o estado total após n

usos é o estado produto ρn.

Definição 3.3.3. Seja (H, ρ) uma fonte quântica i.i.d. e V um espaço de Hilbert de di-

mensão 2�nR�, n ∈ N, R ∈ R+ e R < n log2N . Uma codificação em bloco (2�nR�, n)
consiste no par (Cn,Dn) de mapeamentos quânticos Cn : B(Hn) → B(V ) e Dn : B(V ) →
B(Hn). Os mapeamentos Cn e Dn são chamados de compressão e descompressão, res-

pectivamente. Aqui, Hn ≡ H⊗ ...⊗H︸ ︷︷ ︸
n vezes

e lembramos que B (H) é o conjunto de todos os

operadores lineares em H.

Vemos que o processo de compressão substitui o estado original ρn por um estado

Cn (ρn) definido em um espaço de Hilbert de dimensão menor. O quanto o estado ρn é

preservado ao realizarmos o processo de compressão/descompressão é medido pela fideli-

dade F (ρn,Dn ◦ Cn) [10]. Ela satisfaz 0 ≤ F (ρn,Dn ◦ Cn) ≤ 1 com F (ρn,Dn ◦ Cn) = 1 se o

estado foi completamente preservado. Podemos agora enunciar o Teorema de Schumacher

[10, 29, 53, 54]:


3.4 Emaranhamento 33

Teorema 3.3.4 (Teorema de Schumacher). Seja (H, ρ) uma fonte quântica i.i.d. Se

R > S(ρ) existe um codificação em bloco (2�nR�, n) tal que limn→∞ F (ρn,Dn ◦ Cn) = 1.

Reciprocamente, para todo R < S(ρ) qualquer codificação em bloco (2�nR�, n) satisfaz

limn→∞ F (ρn,Dn ◦ Cn) = 0.

Portanto, dada uma fonte quântica (H, ρ) i.i.d. a maior compressão do estado ρn é dada

por nS(ρ). Com isso, podemos interpretar nS(ρ) como a informação quântica contida em

ρn. Como para uma mistura {pi, |ψi〉}, temos que S(ρ) ≤ H(pi, ..., , pK) com a igualdade

se e somente se os |ψi〉 são ortogonais, podemos realizar uma maior compressão na a

mensagem codificando-a em estados quânticos não ortogonais, i.e., codificamos cada xi em

um estado |ψi〉 (onde 〈ψi|ψj〉 �= δij) e consequentemente (xi1 , ..., xin) → |ψi1〉 ⊗ ...⊗ |ψin〉,
onde i1, ..., in ∈ {1, ...,K}. Entretanto, como vimos na seção anterior, pagamos um preço

por essa maior compressão, a informação acesśıvel no destino também diminui. Apesar

disso, tal procedimento de compressão é muito útil em diversas situações.

3.4 Emaranhamento

Desde a formalização da mecânica quântica na década de 20 do século XX, se notou que

existem estados para sistemas compostos que não podem ser escritos como o produto de

estados do seus subsistemas [56]. Tal emaranhamento quântico foi usado por Einstein,

Podolski e Rosen (EPR) para tentar, supondo um certo conceito de localidade, definir

valores que observáveis teriam antes de sua medição e com isso mostrar que a mecânica

quântica seria incompleta [57]. Em 1964, John Bell tornou matematicamente precisa

a idéia de realismo e localidade e mostrou que toda teoria realista e local deve satisfa-

zer certas desigualdades para as correlações entre as medições de observáveis em regiões

causalmente desconectadas. Bell mostrou também que a mecânica quântica viola estas

desigualdades e que são justamente os estados emaranhados os responsáveis por isso [12].

Com o advento da teoria da informação quântica, os estados emaranhados tomaram papel

central não apenas como ferramenta para um entendimento conceitual mais profundo da

mecânica quântica mas também como um recurso f́ısico que permite realização de tarefas

que classicamente seriam intratáveis ou até imposśıveis.

Nesta seção definiremos o que são estados emaranhados, discutiremos algumas de suas

aplicações e além disso, indicaremos como quantificar o grau de emaranhamento em um

sistema quântico composto.

3.4.1 Definição de Emaranhamento

Tome um sistema f́ısico composto por n subsistemas, cada um deles descrito por um

espaço de Hilbert HAi de dimensão NAi , i ∈ {1, ..., n}. Um estado puro |ψ〉 ∈ ⊗n
i=1HAi

do sistema composto é dito separável quando ele pode ser escrito como |ψ〉 =⊗n
i=1 |ψAi〉,


3.4 Emaranhamento 34

|ψAi〉 ∈ HAi . Um estado puro é dito emaranhado quando não é separável. Tome por

exemplo H = HA ⊗ HB com NA = NB = 2. Se {|0X〉, |1X〉} é uma base ortonormal de

HX , X ∈ {A,B}, os estados de Bell

|ψ±〉 ≡ 1√
2

(
|0A〉 ⊗ |1B〉 ± |1A〉 ⊗ |0B〉

)
|φ±〉 ≡ 1√

2

(
|0A〉 ⊗ |0B〉 ± |1A〉 ⊗ |1B〉

)
(3.32)

são emaranhados e formam uma base ortonormal de H chamada de base de Bell.

Já vimos que em muitas situações de interesse, o estado do sistema é descrito por um

estado misto. Temos assim a generalização:

Definição 3.4.1. Sejam HAi, i ∈ {1, ..., n}, espaços de Hilbert de dimensão NAi. Um

estado ρ ∈ C
(⊗n

i=1HAi
)
é dito separável se ele pode ser posto na forma

ρ =

K∑
i=1

piρ
i
A1

⊗ ...⊗ ρiAn
,

onde K ∈ N, pi ∈ [0, 1] e
∑K

i=1 pi = 1. Um estado ρ é emaranhado se ele não é separável.

Da definição acima, vemos que um estado separável é uma mistura estat́ıstica de

estados produto ρiA1
⊗ ... ⊗ ρiAn

, que não contém correlações entre suas partes. Além

disso, estados separáveis sempre podem ser criados usando operações locais e comunicação

clássica (LOCC). Para ver isso, suponha que Alice, que age sobre o subsistema A1, escolha

um i ∈ {1, ...,K} segundo a distribuição {pi} e prepare o estado ρiA1
. Em seguida, Alice

comunica o resultado i para todos os outros experimentadores que prepararão então os

respectivos estados ρiAj
descartando a informação sobre i em seguida. Obtemos assim o

estado misto ρ =
∑K

i=1 piρ
i
A1

⊗ ...⊗ ρiAn
. Veremos a seguir que estados separáveis sempre

satisfazem as desigualdades de Bell.

3.4.2 Aplicações do Emaranhamento

Desigualdades de Bell

A mecânica quântica muda radicalmente nossa intuição clássica sobre a natureza. Como

vimos, não faz sentido perguntar qual o valor de um observável antes da sua medição mas

somente qual a probabilidade de, ao se fazer uma medição, obter um dado resultado para

o observável sendo medido. Essa nova visão da natureza foi rejeitada por muitos f́ısicos,

dentre eles, Albert Einstein. Surge então uma pergunta natural: será que a natureza não

é descrita efetivamente por uma teoria que esteja de acordo com nossa intuição clássica,

em cujo caso a mecânica quântica daria uma descrição tão diferente para a natureza por

ser uma teoria incompleta? Para analisar essa questão, vamos supor que a natureza de

fato seja descrita por uma teoria que satisfaça (i) Realismo: os observáveis possuem va-

lores e a medição só os fará conhecidos ao experimentador e (ii) Localidade: medições


3.4 Emaranhamento 35

feitas em uma dada região espaço-temporal não influenciam medições feitas em regiões

espaço-temporais causalmente desconectadas. Analisemos agora o seguinte experimento:

um f́ısico experimental, Charlie, prepara duas part́ıculas e as envia para outros dois ex-

perimentadores, Alice e Bob, que farão a medição dos observáveis (A1, A2) e (B1, B2),

respectivamente, onde Ai e Bi podem tomar os valores ±1. Vamos supor que Charlie

pode repetir o processo de preparação das part́ıculas quantas vezes forem necessárias, que

Alice e Bob façam cada medição em regiões espaço-temporais desconectadas causalmente

e que, ao receberem suas part́ıculas, escolham aleatoriamente qual observável irão medir

(A1 ou A2 para Alice e B1 ou B2 para Bob). Usando (i) e (ii) vemos que antes de cada

medição o observável

A1B1 +A2B1 +A2B2 −A1B2 = A1(B1 −B2) +A2(B1 +B2)

pode tomar os valores ±2. Seja p(a1, a2, b1, b2) a probabilidade de que o sistema esteja em

um estado onde A1 = a1, A2 = a2, B1 = b1 e B2 = b2. Tais probabilidades dependem da

preparação que Charlie faz. Por exemplo, suponha que em cada experimento ele prepara

uma part́ıcula de momento angular nulo que decai em duas part́ıculas. O momento angu-

lar espećıfico de cada uma das part́ıculas, em cada experimento, dependerá dos detalhes

de cada um dos decaimentos. Quando o número de experimentos for grande o sufici-

ente, p(a1, a2, b1, b2) ≈ N(a1, a2, b1, b2)/N , onde N(a1, a2, b1, b2) é o número de vezes que

(A1, A2, B1, B2) = (a1, a2, b1, b2) e N é o número total de experimentos. Voltando ao caso

geral, se E(F) ≡∑
f p(f)f é o valor esperado do observável F , temos

|E(A1B1) + E(A2B1) + E(A2B2)− E(A1B2)| = |E (A1B1 +A2B1 +A2B2 −A1B2)|

=

∣∣∣∣∣∣
∑

a1,a2,b1,b2

p(a1, a2, b1, b2)(a1b1 + a2b1 + a2b2 − a1b2)

∣∣∣∣∣∣
≤

∑
a1,a2,b1,b2

p(a1, a2, b1, b2) |a1b1 + a2b1 + a2b2 − a1b2| = 2. (3.33)

Chegamos assim na desigualdade de Bell de Clauser-Horne-Shimony-Holt (CHSH) [58]

|E(A1B1) + E(A2B1) + E(A2B2)− E(A1B2)| ≤ 2, (3.34)

que qualquer teoria realista e local deve satisfazer.

Vamos agora calcular o valor do lado esquerdo da equação (3.34) previsto pela mecânica

quântica. Para isso, consideremos o seguinte sistema. Suponha que Charlie prepare uma

part́ıcula de spin 0 que decaia em duas part́ıculas de spin 1/2. Então, Alice e Bob irão

medir o spin normalizado, i.e., dividido por �/2, de suas part́ıculas em certas direções ai

e bi, respectivamente, onde ai,bi ∈ R3, ‖ai‖ = ‖bi‖ = 1 e i ∈ {1, 2}. Os observáveis

em mecânica quântica são descritos por operadores auto-adjuntos. Sendo assim, temos

Ai ≡ ai ·σA, Bi ≡ bi ·σB. Aqui, se c = (c1, c2, c3) ∈ R3, c ·σX ≡∑3
j=1 c

jσXj e σXj são as


3.4 Emaranhamento 36

matrizes de Pauli agindo no espaço de Hilbert da part́ıcula X = A ou B correspondente

a Alice ou Bob, respectivamente. Se denotarmos as correlações E(AiBj) por E(ai,bj), a

equação (3.35) implica que, para qualquer estado que as part́ıculas estejam,

|E(a1,b1) + E(a2,b1) + E(a2,b2)− E(a1,b2)| ≤ 2. (3.35)

Agora, se definirmos o operador C ≡ A1 ⊗ (B1 −B2) + A2 ⊗ (B1 +B2), vemos que

o lado esquerdo da equação (3.35) calculado via mecânica quântica é |tr (ρC)|, onde

ρ ∈ C
(
HA ⊗HB

)
descreve o estado do sistema. Um cálculo direto mostra que C2 =

4I + [A1, A2] ⊗ [B1, B2]. Como todo operador linear F em um dado espaço de Hil-

bert de dimensão finita satisfaz |〈ψ|F |ψ〉| ≤ ‖Fψ‖ ≤ ‖F‖, onde ‖ψ‖ = 1 e ‖F‖ ≡
sup|φ〉
=0 ‖Fφ‖/‖φ‖, temos que |tr (ρC)| ≤ ‖C‖ =

√
‖C†C‖ =

√
‖C2‖. Portanto, con-

clúımos que

|tr (ρC)| ≤
√
4 + ‖ [A1, A2] ‖‖ [B1, B2] ‖

≤
√
4 + 4‖A1‖‖A2‖‖B1‖‖B2‖

≤
√
8 (3.36)

onde usamos que ‖Ai‖ ≤ 1 e ‖Bi‖ ≤ 1. Chegamos assim na desigualdade de Cirel’son [59]

|tr (ρC)| ≤ 2
√
2. (3.37)

Para ver um exemplo de configuração em que a equação (3.37) toma o seu valor máximo,

tome o estado singleto |ψ−〉 ≡ 1/
√
2
(
|0A〉 ⊗ |1B〉 − |1A〉 ⊗ |0B〉

)
, onde {|0X〉, |1X〉}, X ∈

{A,B} é uma base ortonormal de auto-vetores de σX3 . Vemos facilmente que

〈ψ−|(ai · σA)⊗ (bj · σB)|ψ−〉 = −ai · bj .

Então, escolhendo

a1 = (0, 0, 1), a2 = (0, 1, 0),b1 = −(0, 1/
√
2,
√
2),b2 = (0,−1/

√
2, 1/

√
2)

temos

|E(a1,b1) + E(a2,b1) + E(a2,b2)− E(a1,b2)| = |a1 · b1 + a2 · b1 + a2 · b2 − a1 · b2|
= 2

√
2. (3.38)

Com isso, vemos que a mecânica quântica viola as desigualdades de Bell e que a violação

máxima posśıvel é dada por |tr (ρC)| = 2
√
2. Portanto, nenhuma teoria realista e local

pode reproduzir todos os resultados da mecânica quântica. O veredicto final de como a

natureza se comporta é, como sempre, dado pelo experimento. Diversas experiências para

verificar a validade ou não das desigualdades de Bell foram realizadas [60, 61, 62, 63] e


3.4 Emaranhamento 37

todas† mostram que não só a desigualdade (3.35) é violada como a violação ocorre como

prevista pela mecânica quântica.

Mostramos que o estado emaranhado |ψ−〉, com os ai e bj na configuração descrita

acima, viola maximamente as desigualdades de Bell. Será que o emaranhamento do estado

é uma condição necessária para a violação das desigualdades de Bell? A resposta é sim,

já que os estados separáveis sempre satisfazem a equação (3.35). Para ver isso, tome um

estado separável ρ ≡∑
k pkρ

k
A ⊗ ρkB. Então,

|tr (ρC)| ≤
∑
k

pk

∣∣∣∣tr(ρkAA1

)
tr
(
ρkBB1

)
+ tr

(
ρkAA2

)
tr
(
ρkBB1

)

+ tr
(
ρkAA2

)
tr
(
ρkBB2

)
− tr

(
ρkAA1

)
tr
(
ρkBB2

)∣∣∣∣
≤

∑
k

2pk = 2, (3.39)

onde usamos que
∣∣tr (ρkAAi)∣∣ ≤ 1 e

∣∣tr (ρkBBi)∣∣ ≤ 1, i ∈ {1, 2} e portanto∣∣∣∣tr(ρkAA1

)
tr
(
ρkBB1

)
+ tr

(
ρkAA2

)
tr
(
ρkBB1

)
+tr

(
ρkAA2

)
tr
(
ρkBB2

)
− tr

(
ρkAA1

)
tr
(
ρkBB2

)∣∣∣∣ ≤ 2. (3.40)

Portanto, o emaranhamento do estado ρ é condição necessária, porém não suficiente, para

que haja violação das desigualdades de Bell.

Teletransporte Quântico

Em 1993, C. H. Bennett et al. [13] descobriram uma das mais fantásticas aplicações

do emaranhamento, o teletransporte quântico. Eles mostraram que é posśıvel, usando

operações locais e comunicação clássica, transportar um estado quântico de uma região do

espaço-tempo para outra desde que as duas partes compartilhem um dos estados de Bell,

equação (3.32). Para ver como isso é posśıvel, suponha que Alice e Bob compartilhem o

estado de Bell |ψ−
AB〉 e que Alice tenha uma part́ıcula C em um certo estado, possivelmente

desconhecido por ela, |ϕC〉 = α|0C〉+ β|1C〉, onde {|0C〉, |1C〉} é uma base ortonormal de

HC e |α|2 + |β|2 = 1. Então, o estado do sistema total é

|ϕC〉 ⊗ |ψ−
AB〉 =

(
α|0C〉+ β|1C〉

)
⊗ 1√

2

(
|0A〉 ⊗ |1B〉 − |1A〉 ⊗ |0B〉

)
. (3.41)

Usando a equação (3.32) podemos rescrever a equação (3.41) como

|ϕC〉 ⊗ |ψ−
AB〉 =

1

2

[
|φ+CA〉 ⊗

(
α|1B〉 − β|0B〉

)
+ |φ−CA〉 ⊗

(
α|1B〉+ β|0B〉

)
+ |ψ+

CA〉 ⊗
(
β|1B〉 − α|0B〉

)
− |ψ−

CA〉 ⊗
(
α|0B〉+ β|1B〉

) ]
. (3.42)

†Há cŕıticas aos experimentos dizendo que, devido a certas limitações no aparato experimental, os

resultados poderiam ser explicados por modelos locais. Entretanto, esses modelos locais que explicariam os

resultados são extremamente artificiais e há um consenso na comunidade cient́ıfica de que as desigualdades

de Bell são violadas


3.4 Emaranhamento 38

Se Alice realiza a medição projetiva no sistema CA

{
P00 ≡ |ψ−

CA〉〈ψ−
CA|, P01 ≡ |ψ+

CA〉〈ψ+
CA|, P10 ≡ |φ−CA〉〈φ−CA|, P11 ≡ |φ+CA〉〈ψ+

CA|
}
, (3.43)

ela obterá cada um dos resultados μ ∈ M ≡ {00, 01, 10, 11} com probabilidade 1/4 e

portanto, o estado final em cada um dos casos é

|Φ00〉 = −|ψ−
CA〉 ⊗

(
α|0B〉+ β|1B〉

)
, |Φ01〉 = |ψ+

CA〉 ⊗
(
β|1B〉 − α|0B〉

)
,

|Φ10〉 = |φ−CA〉 ⊗
(
α|1B〉+ β|0B〉

)
, |Φ11〉 = |φ+CA〉 ⊗

(
α|1B〉 − β|0B〉

)
. (3.44)

Alice então comunica o resultado μ ∈ M da sua medição a Bob através de um canal

clássico, e.g. um telefone. Bob, ao receber a mensagem, realiza uma das quatro operações

unitárias locais

00 −→ I

01 −→ σ3

10 −→ σ1

11 −→ σ3σ1. (3.45)

Usando as equações (3.44) e (3.45) com o valor μ que Bob recebeu, vemos que, ao final

do protocolo, o estado da part́ıcula de Bob não está mais emaranhado com o da part́ıcula

de Alice do antigo estado de Bell e, a menos de uma fase global que pode ser desprezada,

tal estado é dado por |ϕB〉 = α|0B〉 + β|1B〉. Portanto, Alice teve sucesso em teleportar

o estado quântico da part́ıcula C. Vemos também, que o estado final da part́ıcula C

está emaranhado em um dos estados de Bell com o da part́ıcula da Alice e portanto, seu

estado após o protocolo é trAB|Φμ〉〈Φμ| = IC/2, onde IC é o operador identidade em HC

e μ ∈ M. Portanto, o estado original da part́ıcula C foi destrúıdo ao final do protocolo.

Tal fato é consistente com o teorema da não clonagem.

Podemos entender o teletransporte dizendo que a comunicação de um qubit de in-

formação quântica pode ser dividida na transmissão de dois bits clássicos e consumo de

um estado emaranhado (1 ebit). Então, seguindo [64] podemos escrever 1 qubit ≺ 1 ebit +

2 bits, onde o śımbolo ≺ foi usado para indicar que a relação acima não é uma equivalência

nem uma igualdade.

Para finalizar a análise do teletransporte quântico, vamos estudar a importância da

transmissão dos dois bits clássicos para o seu sucesso. Suponha que Alice realiza a medição

projetiva descrita no protocolo mas não comunique seu