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Instituto de F́ısica Teórica

Universidade Estadual Paulista

TESE DE DOUTORADO IFT–T.002/05

PARTÍCULAS DE SPIN 1/2 E O PAPEL DA TORÇÃO NA

DESCRIÇÃO DA INTERAÇÃO GRAVITACIONAL

Héctor Iván Arcos Velasco

Orientador

José Geraldo Pereira

Fevereiro de 2005


Agradecimentos

Agradeço aos meus pais pelo apoio incondicional, e aos meus amigos Oscar, Juan,

Boris, Paulo e William.

Agradeço ao grupo de gravitação do IFT, e muito especialmente ao meu ori-

entador, José Geraldo Pereira. Não é posśıvel resumir em poucas palavras meu

agradecimento para com ele. Sempre estarei em d́ıvida com ele.

Agradeço às agências de fomento CAPES e COLCIENCIAS. Seus apoios foram

fundamentais.

Dedico esta tese a Beatriz, Danilo e Gabriel. Eles deram muito mais do que

apoio, amor e esperança.

i


Resumo

Nesta tese, propomos soluções para dois problemas clássicos da gravitação. Pri-

meiramente, consideramos um modelo para uma part́ıcula fundamental de spin 1/2,

o qual faz uso da interpretação estendida de Hawking e Ellis para o espaço-tempo

de Kerr-Newman. Ao mostrar que a estrutura topológica altamente não trivial da

solução estendida de Kerr-Newman permite a existência de estados gravitacionais

com momento angular semi-inteiro, as idéias de Wheeler de carga sem carga e massa

sem massa são automaticamente incorporadas. O vetor de estado representando a

solução de Kerr-Newman é constrúıdo, e mostra-se que sua evolução é governada

pela equação de Dirac. Algumas conseqüências fenomenológicas do modelo são estu-

dadas. Em seguida, na segunda parte da tese, abordamos o velho problema do papel

desempenhado pela torção na descrição da interação gravitacional. Usando uma

formulação não-holônoma do prinćıpio de covariância geral, visto como uma versão

ativa do prinćıpio de equivalência forte, fazemos um estudo da prescrição de acopla-

mento minimal na presença de curvatura e torção. A prescrição de acoplamento

minimal obtida através deste prinćıpio é sempre equivalente àquela da relatividade

geral, um resultado que reforça o ponto de vista teleparalelo, de acordo com o qual

a torção não representa graus de liberdade adicionais para gravitação, mas sim-

plesmente uma forma alternativa de representar o campo gravitacional. Propomos,

então, uma formulação diferente para a gravitação que inclui esta nova interpretação

para a torção, na qual o campo fundamental é representado, não pela métrica, mas

por uma conexão. Consequentemente, paradigma da invariância por difeomorfismos

é substituido neste modelo pela invariância sob o grupo local de Lorentz.

Palavras Chaves:

Gravitação, part́ıculas de spin 1/2, torção, conexão

Áreas do conhecimento:

1.05.03.01-3: Teoria Geral de Part́ıculas e Campos

1.05.01.03-7: Relatividade e Gravitação

ii


Abstract

We propose in this thesis solutions for two classical problems of gravitation.

Firstly, by considering the Hawking and Ellis extended interpretation of the Kerr-

Newman spacetime, we propose a model for a fundamental spin-1/2 particle. By

showing that the highly non-trivial topological structure of the extended Kerr–New-

man solution allows the existence of gravitational states with half-integral angular

momentum, Wheeler’s idea of charge without charge and mass without mass are

automatically incorporated in the model. The state vector representing the whole

Kerr-Newman solution is then constructed, and its evolution is shown to be gov-

erned by the Dirac equation. Some phenomenological consequences of the model are

explored. Then, in the second part of the thesis, we focus on the problem of the

role played by torsion in the description of the gravitational interaction. By using

a nonholonomous-frame formulation of the general covariance principle, seen as an

active version of the strong equivalence principle, an analysis of the gravitational

coupling prescription in the presence of curvature and torsion is made. The coupling

prescription implied by this principle is found to be always equivalent with that of

general relativity, a result that reinforces the teleparallel point of view, according

to which torsion does not represent additional degrees of freedom for gravity, but

simply an alternative way of representing the gravitational field. We propose then

a reformulation of gravitation, which includes this new interpretation for torsion,

and in which the fundamental field representing gravitation is not the metric, but a

connection. Accordingly, the paradigm of the invariance under diffeormorphisms is

replaced, in this model, by the local invariance under the Lorentz group.

iii


Índice

1 Introdução 1

1.1 Objetivos do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Notações e definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Um Modelo de Part́ıcula em Gravitação 7

2.1 Conceitos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 A solução de KN estendida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.1 Propriedades básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.2 Topologia da solução estendida de KN . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.3 Tensão superficial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Existência de estados com momento angular semi-inteiro . . . . . . . 19

2.3.1 Condições topológicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.2 Comportamento sob rotações . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4 Representação algébrica dos estados de KN . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4.1 Estados espinoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4.2 Equação de evolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5 Testes fenomenológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Apêndices 28

A O grupo de Lorentz e as transformações de paridade 29

B Propriedades topológicas de K3 31

3 O Papel da Torção na Descrição da Interação Gravitacional 33

3.1 Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2 Prinćıpio da covariância geral: caso não-holônomo . . . . . . . . . . . 34

3.2.1 Referenciais não-holônomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2.2 Equivalência entre efeitos inerciais e gravitacionais . . . . . . . 36

iv


3.2.3 O acoplamento minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3 Conseqüências f́ısicas do acoplamento minimal . . . . . . . . . . . . . 38

3.3.1 Part́ıcula sem spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3.2 Part́ıcula com spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3.3 Campos espinoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4 Gravitação como uma teoria para uma conexão . . . . . . . . . . . . 43

3.4.1 Transformações de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.4.2 Transformações da conexão e da tetrada . . . . . . . . . . . . 46

3.4.3 A conexão de spin como variável fundamental . . . . . . . . . 49

3.4.4 O papel das coordenadas do espaço tangente . . . . . . . . . . 52

Apêndices 53

C Espaço das conexões 54

4 Conclusões 56

Referências 58

v


Caṕıtulo 1

Introdução

1.1 Objetivos do trabalho

A relatividade geral é uma teoria de grande sucesso. Todas as experiências têm

provado, até agora, que ela pode explicar os fenômenos clássicos da gravitação.

Porém, o conhecimento da teoria não é completo: existem muitas situações onde

ainda não sabemos como aplicar os prinćıpios da teoria e/ou onde não podemos obter

soluções devido à complexidade das equações. A pesquisa moderna em gravitação

está concentrada nestas áreas e também nas posśıveis geralizações da teoria, para

assim explicar uma maior variedade de fenômenos f́ısicos.

Nesta tese, iremos propor soluções para dois problemas da classe dos mencionados

acima. No primeiro, procuraremos entender como aplicar a relatividade geral à

descrição da estrutura das part́ıculas fundamentais; no segundo, tentaremos entender

o papel da torção na descrição da interação gravitacional, e como ela pode (ou não)

mudar e generalizar a relatividade geral. Ainda que estes dois problemas sejam

bastante diferentes entre si, eles compartilham o objetivo de se chegar a uma melhor

compreensão de uma das teorias de maior sucesso na F́ısica do século XX.

O primeiro problema pode ser melhor compreendido através de uma pergunta

simples: seria posśıvel descrever a estrutura de uma part́ıcula fundamental de spin

1/2 usando apenas a relatividade geral? Este é um problema antigo. Uma das

primeiras idéias nesta área foi dada por J. A. Wheeler. Ele conjecturou que seria

posśıvel existir objetos com carga e massa, sem uma fonte de matéria. De acordo com

suas idéias, carga e massa poderiam sêr geradas pela auto-interação gravitacional de

uma concentração de energia eletromagnética, as quais foram chamados de “geons”,

ou pela não trivialidade da topologia do espaço tempo. Neste último caso, temos

o exemplo do buraco de minhoca, ou “wormhole”. Um estudo detalhado destas

1


idéias, no entanto, levou à conclusão que a validade das mesmas é limitada. No

caso dos geons, a concentração de energia eletromagnética necessária para gerar uma

força gravitacional que mantivesse esta mesma energia numa região finita é enorme.

Assim, tais objetos só poderiam existir sob condições muito especiais, posśıveis só no

ińıcio do universo, ou nas escalas de distâncias cósmicas. No caso dos objetos gerados

pela topologia não trivial do espaço-tempo, é posśıvel provar que eles podem existir

só em escalas da ordem do comprimento de Planck (10−34 cm), a qual fica longe das

dimensões conhecidas para as part́ıculas fundamentais, como o elétron (10−11 cm).

Além disso, o conceito de spin semi-inteiro não podia ser explicado com nenhuma

das propostas de Wheeler.

Devido aos problemas mencionados, o objetivo de descrever a estrutura das part́ı-

culas fundamentais através das idéias de Wheeler foi abandonado. Isto gerou espaço

para que surgissem outras idéias, como as que deram origem à teoria de cordas, a qual

tem apresentado avanços consideráveis nos últimos vinte anos. Esta teoria considera

as part́ıculas fundamentais como compostas por uma linha fechada, ou aberta, num

espaço tempo multi-dimensional, numa escala da ordem da escala de Planck. Devido

ao sucesso teórico desta teoria, pelo menos no que diz respeito à sua consistência

e perspectivas futuras, novos trabalhos na linha das idéias de Wheeler tornaram-se

limitados. Ainda assim, pode-se destacar dois trabalhos relevantes. O primeiro deles,

de Friedman e Sorkin [1], onde esses autores demonstram que é posśıvel existir estados

gravitacionais com spin semi-inteiro. Vale ressaltar novamente que isso é posśıvel

apenas se o espaço-tempo tiver uma topologia não trivial. Outro trabalho relevante

é do Punsly [2], no qual o autor demonstra que a solução de Kerr para as equações de

Einstein transforma-se sob rotações da mesma forma que se transformaria um objeto

com spin semi-inteiro. O método usado neste caso inclúıa eliminar a singularidade

da solução através de um procedimento geométrico não muito bem justificado do

ponto de vista f́ısico.

Baseando-se nas idéias descritas acima, iremos propor nesta tese uma nova solu-

ção para a pergunta inicial. Esta solução contém os resultados de Friedman e Sorkin,

sem abandonar as idéias de Wheeler, e com o uso da solução de Kerr-Newman para

as equações de Einstein. Esta é uma solução com massa, momento angular e carga

elétrica. Ela apresenta uma singularidade para o caso onde a massa é menor do

que a soma da carga e do spin. Nossa proposta pode ser resumida no seguinte: uma

vez que a singularidade seja eliminada através de argumentos f́ısicos, as propriedades

topológicas do espaço-tempo resultante permitem obter uma explicação clássica para

2


os conceitos de massa, spin e carga elétrica. Apresentaremos, então, na primeira parte

da tese, um estudo dos conceitos necessários para se chegar ao resultado final, qual

seja: a solução de Kerr-Newman pode ser considerada como um modelo viável para

a estrutura do elétron, isto é, para uma part́ıcula elementar de spin 1/2.

O segundo problema a ser estudado refere-se ao papel da torção na descrição da

interação gravitacional. Como é sabido, a teoria da relatividade geral de Einstein

assume que a torção é nula: somente a curvatura é usada para explicar a interação

gravitacional. A pergunta que surge naturalmente é a seguinte: existe alguma razão,

teórica ou experimental, para se introduzir torção na teoria para gravitação? Em

primeiro lugar, existem teorias, como as de Einstein-Cartan, onde a presença de

torção gera novos fenômenos f́ısicos. Nessas teorias, a torção aparece associada ao

spin, e torna-se relevante apenas quando o spin torna-se importante. Esses novos

fenômenos, portanto, poderiam ser observados apenas em escalas microscópicas, ou

então perto de estrelas de nêutrons, onde o spin deve ser importante. Ao mesmo

tempo, existe o equivalente teleparalelo da relatividade geral, onde a interação gravi-

tacional é descrita apenas pela torção, sendo a curvatura assumida como sendo nula.

A noção de paralelismo absoluto (ou teleparalelismo) foi introduzida por Einstein

na década de 1920, na sua tentativa de unificar a gravitação e o eletromagnetismo.

Mais ou menos três décadas depois, trabalhos de Møller [3], Pellegrini e Plebanski [4]

e Hayashi e Nakano [5] produziram uma nova onda de interesse naquelas idéias, que

desde então tem recebido uma considerável atenção, principalmente no contexto de

teorias de gauge para os grupos de Poincaré e translação [6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13].

Ainda que estas duas classes de teorias, as de Einstein-Cartan e a teleparalela,

usam a torção no seu formalismo, os diferentes papéis que ela desempenha nessas

teorias são incompat́ıveis entre si: enquanto na teoria teleparalela a torção é sim-

plesmente uma alternativa à curvatura, não havendo portanto nenhuma nova f́ısica

associada a ela, nas teorias de Einstein-Cartan, como já discutido, novos fenômenos

são previstos para a f́ısica associada à torção. Como conseqüência, enquanto a teoria

teleparalela é equivalente à relatividade geral, as teorias de Einstein-Cartan não são.

Estamos, então, diante de um problema conceitual: qual o verdadeiro papel desem-

penhado pela torção na descrição da interação gravitacional? Em outras palavras,

existe ou não novos fenômenos associados à torção?

É importante mencionar que em determinadas teorias de cordas, a torção aparece

naturalmente. Se conseguirmos argumentos clássicos que nos leve a uma melhor com-

preensão do papel da torção, poderemos, em prinćıpio, limitar a sua presença nestas

3


teorias. Isto terá conseqüências na teoria de cordas, a qual, como é sabido, ainda

não é uma teoria completamente desenvolvida devido à sua extrema complexidade.

Faremos então uma tentativa de esclarecer o verdadeiro papel da torção na descrição

da interação gravitacional. Para isso, faremos uso do prinćıpio de covariância geral,

na sua versão não-holônoma. Este prinćıpio, o qual pode ser interpretado como uma

versão ativa do prinćıpio da equivalência forte, nos levará a uma nova prescrição de

acoplamento minimal entre os campos f́ısicos e a gravitação. A equivalência desta

prescrição com aquelas da relatividade geral e da teoria teleparalela, junto com o

fato desta última ser uma teoria de gauge para o grupo das translações, nos levará a

propor uma nova versão alternativa para a gravitação, onde o campo gravitacional

é representado por uma conexão de Lorentz, e não pela métrica, como ocorre na

relatividade geral. Esta nova teoria compartilha muitas propriedades com as teoria

de gauge. Em particular, a invariância sob difeomorfismo da relatividade geral será

trocada pela invariância sob o grupo local de Lorentz, resultando numa teoria muito

próxima a uma teoria de gauge para o grupo de Lorentz. Como resultado final desse

estudo, obtemos que, para ser consistente com o prinćıpio da covariância geral, ou

seja, com o prinćıpio da equivalência forte, o papel da torção na descrição da in-

teração gravitacional deve ser aquele que ela desempenha nas teorias teleparalelas,

isto é, simplesmente uma alternativa à curvatura. Apesar de ser uma interpretação

completamente diferente da interpretação usual—presente nas teorias de Einstein-

Cartan—essa nova interpretação é totalmente consistente, e não pode ser exclúıda

a priori por argumentos teóricos. Além disso, como não existem evidências experi-

mentais de novos fenômenos f́ısicos associados à torção, podemos dizer que os dados

experimentais existentes, pelo menos até agora, favorecem a interpretação proposta

neste trabalho.

1.2 Notações e definições

Usaremos o alfabeto Grego (µ, ν, ρ, . . . = 0, 1, 2, 3) para denotar os ı́ndices do espaço-

tempo, e o alfabeto Latino maiúsculo (A,B,C, . . . = 0, 1, 2, 3) para denotar os ı́ndices

relacionados ao espaço tangente, o qual é um espaço de Minkowski com métrica

ηAB = diag(+1,−1,−1,−1). Usaremos o alfabeto Latino minúsculo (i, j, k, . . . =

1, 2, 3) para denotar os ı́ndices espaciais do espaço-tempo. De acordo com isso,

as coordenadas do espaço-tempo, serão denotadas por xµ, e aquelas para o espaço

tangente por xA. Posto que estas coordenadas são funções umas das outras, as

4


derivadas holônomas nestes dois espaços satisfazem as relações

∂µ =
(
∂µx

A
)

∂A and ∂A = (∂Axµ) ∂µ, (1.1)

onde ∂µx
A é uma tetrada trivial, ou seja, uma tetrada holonôma, com ∂Axµ sua

inversa.

Localmente, e com vetores base dados por {eµ} = {∂µ}, os coeficientes de uma

conexão Γλ
νµ são definidos por

∇eνeµ = eλ Γλ
νµ. (1.2)

Sabendo a ação de ∇ nos vetores base, podemos calcular sua ação em qualquer

campo vetorial V ρ:

∇µV
ρ = ∂µV

ρ + Γρ
νµ V ν . (1.3)

Agora, dada uma tetrada não trivial hA
µ, as métricas do espaço-tempo e do espaço

tangente estão relacionadas por

gµν = ηAB hA
µ hB

ν . (1.4)

Uma conexão Γρ
λµ é compat́ıvel com a métrica se

∇λgµν ≡ ∂λgµν − Γρ
λµgρν − Γρ

λνgρµ = 0. (1.5)

Por outro lado, uma conexão de spin Aµ é uma conexão assumindo valores na álgebra

de Lie do grupo de Lorentz,

Aµ = 1
2
AAB

µ SAB, (1.6)

onde SAB é uma representação dos geradores de Lorentz. Usando a tetrada, a conexão

geral Γρ
νµ relaciona-se com a conexão de spin AA

Bµ através de

Γρ
νµ = hA

ρ∂µh
A

ν + hA
ρAA

Bµh
B

ν . (1.7)

A relação inversa vem dada por

AA
Bµ = hA

ν∂µhB
ν + hA

νΓ
ν
ρµhB

ρ. (1.8)

Nesta tese, iremos separar as noções de espaço e conexões. Desde um ponto de

vista formal, curvatura e torção são propriedades de uma conexão [14]. De fato,

formalmente não existe curvatura ou torção do espaço-tempo, mas apenas curvatura

ou torção de uma conexão. Isto se torna evidente quando lembramos que num mesmo

5


espaço-tempo podem existir várias conexões com diferentes curvatura e torção [15]. É

importante observar que, no caso espećıfico da relatividade geral, a universalidade da

gravitação permite que a conexão de Levi–Civita possa ser incorporada na definição

do espaço-tempo, posto que todas as part́ıculas e campos sentem a mesma conexão.

Porém, quando conexões com diferentes curvatura e torção existem simultâneamente,

é muito mais conveniente considerar as conexões (com suas curvaturas e torções)

como estruturas adicionais a uma variedade.

A curvatura e a torção da conexão AA
Bµ são definidas respectivamente por

RA
Bνµ = ∂νA

A
Bµ − ∂µA

A
Bν + AA

EνA
E

Bµ − AA
EµA

E
Bν (1.9)

e

TA
νµ = ∂νh

A
µ − ∂µh

A
ν + AA

Eνh
E

µ − AA
Eµh

E
ν . (1.10)

Usando a relação (1.8), elas podem ser reescritas com ı́ndices espaço-temporais, e

nesse caso assumem as formas

Rρ
λνµ ≡ hA

ρ hB
λ RA

Bνµ = ∂νΓ
ρ
λµ − ∂µΓρ

λν + Γρ
ηνΓ

η
λµ − Γρ

ηµΓη
λν (1.11)

e

T ρ
νµ ≡ hA

ρ TA
νµ = Γρ

µν − Γρ
νµ. (1.12)

As componentes da conexão podem ser decompostas de acordo com

Γρ
µν =

◦

Γ
ρ
µν + Kρ

µν , (1.13)

onde
◦

Γ
σ

µν = 1
2
gσρ (∂µgρν + ∂νgρµ − ∂ρgµν) (1.14)

é a conexão de Levi–Civita da relatividade geral, e

Kρ
µν = 1

2
(Tν

ρ
µ + Tµ

ρ
ν + T ρ

µν) (1.15)

é o tensor de contorção. Usando a relação (1.7), a decomposição (1.13) pode ser

reescrita em termos das conexões de spin, assumindo a forma

AC
Aν =

◦

A
C

Aν + KC
Aν , (1.16)

onde
◦

AC
Aν é o coeficiente de rotação de Ricci, a conexão de spin da relatividade

geral.

6


Caṕıtulo 2

Um Modelo de Part́ıcula em Gravitação

2.1 Conceitos básicos

A solução estacionária e simétrica de Kerr-Newman (KN) para as equações de Ein-

stein foi encontrada realizando-se uma transformação complexa na tetrada da solução

de Schwarzschild com carga (Reissner-Nordström) [16, 17, 18]. Para m2 ≥ a2 + q2,

a solução de KN representa um buraco negro com massa m, momento angular por

unidade de massa a, e carga q. Nas coordenadas de Boyer e Lindquist (r, θ, φ), a

solução de KN é dada por

ds2 = dt2 − ρ2

∆
dr2 − (r2 + a2) sin2 θ dφ2 − ρ2 dθ2 − Rr

ρ2
(dt − a sin2 θ dφ)2, (2.1)

onde ρ2 = r2 + a2 cos2 θ, ∆ = r2 − Rr + a2 e R = 2m − q2/r. Esta solução é

invariante por uma mudança simultânea de (t, a) → (−t,−a) e (m, r) → (−m,−r),

e separadamente por q → −q. Este buraco negro é o estado final de um colapso

gravitacional estrelar, onde a estrela tem rotação e sua carga total é diferente de

zero.

A estrutura da solução de KN muda totalmente quando m2 ≤ a2 + q2. Devido

à ausência de um horizonte, ela não representa mais um buraco negro, e sim uma

singularidade “nua” no espaço-tempo. Esta solução é de grande interesse porque ela

descreve um objeto massivo com carga e spin, e com uma razão giromagnética igual

àquela do elétron [17]. Como conseqüência, muitas tentativas para modelar o elétron

usando a solução de KN com m2 ≤ a2 + q2 tem sido feitas [19, 20, 21, 22]. Em

todos estes modelos, a singularidade circular é rodeada por uma bolha elipsoidal,

ficando assim imposśıvel de ser observada. Em outras palavras, a singularidade é

considerada não f́ısica no sentido de que a presença da bolha impede sua formação.

Inspirado nos trabalhos de Barut [23, 24], que tentou explicar o Zitterbewegung

que aparece na teoria de Dirac para o elétron, e também nos trabalhos de Wheeler

7


[25] sobre “matéria sem matéria” e “carga sem carga”, a proposta básica desta parte

da tese é mostrar que a solução de KN com m2 ≤ a2 + q2, sem matéria exótica

ao redor da singularidade, pode ser consistentemente interpretada como um modelo

realista para o elétron.

2.2 A solução de KN estendida

2.2.1 Propriedades básicas

A solução de KN para m2 ≤ a2 + q2 exibe uma singularidade circular de raio a, a

qual se localiza na fronteira de um disco onde as componentes da métrica deixam

de ser bem comportadas. Quando o ćırculo é colocado no plano xy, com o centro

do mesmo coincidindo com a origem de um sistema de coordenadas cartesianas, a

simetria axial da solução (ao redor do eixo z) se torna expĺıcita. Deve ser ressaltado

que, quando trabalhamos com esta solução, os conceitos de massa e carga devem ser

usados com cuidado pois a presença da singularidade próıbe o uso de conceitos e/ou

leis f́ısicas ao longo dos pontos da fronteira do disco.

A ausência de regularidade das componentes da métrica quando o disco é atra-

vessado pode ser remediada considerando-se a extensão do espaço de acordo com a

interpretação de Hawking e Ellis [26], deixando claro que a singularidade da fronteira

do disco não pode ser eliminada por esta construção. A idéia básica da extensão é

considerar que nosso espaço-tempo está colado pelo disco singular a um outro espaço-

tempo idêntico. Em outras palavras, a superf́ıcie do disco (com os pontos superiores

considerados diferentes dos inferiores) é interpretada como uma fronteira compar-

tilhada entre nosso espaço-tempo, denotado por M, e outro similar, denotado por

M′. De acordo com esta construção, as componentes da métrica de KN não são mais

singulares através do disco, tornando posśıvel a colagem suave dos espaços, gerando

assim um grande e único espaço-tempo quadri-dimensional M. Assumiremos a ex-

tensão de Hawking e Ellis como ponto de partida de nossa construção.

A colagem entre os dois espaços pode ser entendida mais facilmente fazendo um

desenho bi-dimensional. Neste desenho a colagem é representada por cilindros sólidos

que saem de um espaço para o outro. As principais conseqüências desta interpretação

são:

• Podemos associar a carga elétrica da solução de KN em cada 3-variedade com

o fluxo resultante de um campo elétrico preso na topologia, indo de um espaço

8


para outro, como foi proposto por Wheeler [25]. Quando as linhas do campo

parecem terminar no anel singular (visto desde M ou M′), a igualdade no

valor da carga elétrica em ambos lados de M implica que nenhuma linha de

campo pode desaparecer quando vai de M para M′, ou vice-versa. Então, em

analogia com a geometria do buraco de minhoca (“wormhole”) presente nas

soluções das equações de Einstein, deve existir um caminho cont́ınuo para cada

uma das linhas do campo elétrico. Em particular, a igualdade do momento

magnético em ambos os lados de M implica que as linhas de campo magnético

devem também ser cont́ınuas quando passam através do disco limitado pela

singularidade.

• Podemos associar a massa da solução com a magnitude da curvatura da solução

de KN. Em geral, a massa pode ser definida como a integral (usamos aqui a

notação abstrata de Wald [27])

m = − 1

8π

∫

σ

εabcd ∇cξd = − 3

8π

∫

V

∇[e

{
εab]cd∇cξd

}
, (2.2)

onde εabcd é o elemento de volume do espaço-tempo, ξb = (∂/∂t)b é um campo

vetorial de Killing tipo espaço, V é uma hiper-superf́ıcie tipo espaço que rodeia

a singularidade, e σ é a fronteira de V , a qual é topologicamente equivalente a

uma esfera S2. Da última expressão, obtemos

m =
1

4π

∫

V

Rab na ξb dV, (2.3)

onde na é um vetor unitário normal a V que aponta para o futuro, e dV é o

elemento diferencial de volume, o qual, em termos das coordenadas de Boyer e

Lindquist, é dado por

dV =
1

2

(
a2 + 2r2 + a2 cos 2θ

)
sin θ dr dθ dφ. (2.4)

A equação (2.3) mostra que m depende do tensor de Ricci do espaço-tempo.

Esta equação foi obtida por Komar [28] e é válida para todos os espaços-tempos

estacionários e assintoticamente planos. É importante mencionar que o volume

de integração pode ser tanto a região com r > 0 ou a com r < 0. Além disso,

podemos ver da equação (2.3) que no lado M (r positivo), a massa é positiva,

mas é negativa em M′ (r negativo). Os sinais de ξb e na não são fixos em

M pois eles podem ser positivos ou negativos. Deve-se notar também que a

massa m é a massa total do sistema, isto é, ela inclui a parte gravitacional,

eletromagnética e rotacional [29].

9


Agora, usando para a, m e q os valores conhecidos experimentalmente para o

elétron, podemos escrever o momento angular interno L da solução de KN em cada

lado de M como

L = m a, (2.5)

o qual, para uma part́ıcula de spin 1/2, assume o valor de L = 1/2. É, então,

fácil verificar que o disco tem um diâmetro igual ao comprimento de onda Compton

(λ/2π)e = 1/m para o elétron, e conseqüentemente a velocidade angular ω de um

ponto situado no anel singular é

ω = 2 m, (2.6)

a qual é igual a frequência do Zitterbewegung de Barut [23] para um elétron pon-

tual em órbita circular de diâmetro λe. Consequentemente, se a solução de KN

é tomada como um modelo realista para o elétron, ela mostra desde o ińıcio uma

origem clássica para a massa, a carga elétrica, a magnitude do spin, e também para

o fator giromagnético g = 2. Diferentemente dos outros modelos já conhecidos para

o elétron [19, 20, 21], não iremos supor nenhuma distribuição de matéria no disco

ou em sua fronteira. Em vez disso, vamos considerar uma solução “vazia” de KN,

porém com uma topologia não trivial.

2.2.2 Topologia da solução estendida de KN

Com uma simples análise da estrutura da métrica de KN, é posśıvel isolar quatro

estados f́ısicamente não equivalentes para cada lado de M, isto é, M e M′. Estes

estados podem ser identificados pelo sentido de rotação (a pode ser positiva ou

negativa), e pelo sinal da carga elétrica (positiva ou negativa). Antes de escolher

um eixo de rotação para o spin, estes estados são totalmente equivalentes (a menos

de uma rotação). No entanto, depois de uma escolha, eles passam a ser f́ısicamente

diferentes. Se colocarmos o disco de KN no plano xy de um sistema de coordenadas

cartesiano, o vetor de spin ficará na direção +z ou −z. Agora, cada uma destas

soluções não equivalentes em M devem ser coladas continuamente, através do disco

de KN, com alguma outra do lado M′, mas com carga oposta. Devido à necessidade

de se fazer uma colagem cont́ınua das componentes da métrica, ela deve levar em

consideração o sentido de rotação dos anéis. Através de uma separação espacial entre

os discos superior e inferior de cada variedade, as colagens podem ser representadas

como cilindros sólidos (ver Fig. 2.1), o que explicita a diferença entre os discos

superior e inferior. Por simplicidade, consideraremos só uma das duas posśıveis

10


A C

B D

M M’

Figura 2.1: Para entender melhor a geometria intŕınseca da variedade espacial de

KN, desenhamos o disco r = 0 como se tivesse uma espessura finita, significando

que as superf́ıcies inferior e superior do disco são diferentes. O lado esquerdo de

cada configuração representa o disco em M, enquanto que o lado direito representa

o disco em M’. A superf́ıcie B deve ser colada com a C, e a superf́ıcie D com a A.

cargas elétricas em M (q < 0, por exemplo). Na Fig. 2.2 , as colagens tubulares

entre M e M′ são desenhadas novamente, mas agora levando em conta as diferentes

direções do spin em cada disco, as quais são desenhadas como pequenas setas. As

únicas diferenças entre estas configurações são as orientações do vetor de spin, e a

geometria dos tubos.

Para entender melhor a topologia da seção espacial do espaço-tempo de KN, va-

mos obter sua métrica espacial, isto é, a métrica de sua seção espacial de 3 dimensões.

Como a métrica quadridimensional de KN tem termos não diagonais, a forma correta

do intervalo tri-dimensional é dada por [30]

dγ2 =

(
−gij +

goigoj

goo

)
dxi dxj ≡ γij dxi dxj, (2.7)

onde i, j = 1, 2, 3. Aplicando esta fórmula à métrica de KN (equação (2.1)), obtemos

dγ2 =

(
r2 + a2 cos2 θ

r2 − 2mr + a2 + q2

)
dr2 +

(
r2 + a2 cos2 θ

)
dθ2

+

(
(r2 + a2 cos2 θ) sin2 θ

r2 + a2 cos2 θ − 2mr + q2

) (
r2 + a2 − 2mr + q2

)
dφ2. (2.8)

A primeira coisa a ser notada é que as componentes espaciais são finitas nos pontos

do anel, ou seja, em r = 0 e θ = π/2. Isto não significa que a singularidade esteja

11


Ψ1
+ Ψ2

-

Ψ1
+ Ψ2

-

M M’

Ψ1
-

Ψ2
+

Ψ1
-

Ψ2
+

M M’

Ψ1
+ Ψ1

-

Ψ1
+ Ψ1

-

M M’

Ψ2
+ Ψ2

-

Ψ2
+ Ψ2

-

M M’

Figura 2.2: As quatro configurações geométricas da solução de KN para um valor

fixo da carga elétrica. O disco r = 0 em cada espaço, isto é em M e M’, fica no

plano z = 0. As setas indicam o sentido do vetor de spin.

ausente, mas simplesmente que só as derivadas da métrica são singulares, não a

métrica. Podemos então dizer que a seção espacial da métrica de KN tem uma

topologia bem definida. De fato, a função distância

d(p, q) =

∫ q

p

√
γ(u) du

é facilmente provada ser finita para quaisquer pontos p e q do espaço. Então, a seção

espacial de KN, denotada por M3, tem uma estrutura topológica bem definida,

e é consequentemente um espaço topológico. Ainda que ele tenha uma estrutura

topológica bem definida, o espaço M3 não é localmente euclideano em todos pontos.

Para entender isso, calculemos o comprimento espacial L da fronteira do disco r = 0.

Ele é dado por

L =

∫ 2π

0

dγ, (2.9)

onde a integral é calculada para r = 0 e θ = π/2. Como um simples cálculo mostra, o

resultado da integral é zero, o que significa que a fronteira do disco é topologicamente

um ponto de M3. Então, uma bola aberta e centrada no ponto (r = 0, θ = π/2) não

é difeomorfa a uma bola euclideana aberta, e consequentemente o espaço M3 não é

localmente euclideano na borda do disco r = 0.

12


O problema anterior pode ser resolvido pelo uso do conceito de “carga sem carga”

devido a Wheeler. De acordo com essa proposta, as linhas do campo elétrico não

terminam nem iniciam em ponto algum: elas são sempre cont́ınuas. É a topologia

não trivial do espaço-tempo que, ao deixar preso o campo elétrico, faz com que as

linhas de campo pareçam ter uma origem. Aplicando esta idéia à solução de KN,

vemos que as linhas do campo elétrico terminam no anel singular somente do ponto

de vista de 4-dimensões. Do ponto de vista tri-dimensional, elas terminam em um

ponto (a fronteira do disco). Agora, se este ponto não é a origem das linhas de campo

elétrico, então elas devem seguir um caminho cont́ınuo até o lado com r negativo.

Esta situação é bastante similar à presente na solução de Reissner-Nordström nas

coordenadas de Kruskal-Szekeres [25], onde as linhas de campo elétrico podem ser

continuadas até o lado com r negativo (deve-se notar que a solução, neste caso, não

é totalmente estática posto que a coordenada tipo-tempo muda para tipo-espaço

para pequenas distâncias da singularidade). De maneira análoga ao caso da solução

de Reissner-Nordström, então, podemos eliminar uma vizinhança do ponto r = 0

da solução de KN, e colar as bordas resultantes. No caso de KN, considerando-se

os valores para a carga, massa e spin do elétron, a coordenada temporal não muda

sua natureza para tipo espaço em nenhum ponto, ficando a solução estacionária

depois do procedimento de excisão. Além disso, baseado numa análise causal da

solução, podemos escolher eliminar exatamente a região em forma de toro ao redor

da singularidade, onde existem curvas fechadas tipo tempo não-causais. Usando a

métrica (2.1), é fácil ver que a coordenada φ torna-se tipo tempo na região onde a

seguinte desigualdade é válida [31]:

r2 + a2 −
(

q2 − 2mr

r2 + a2 cos2 θ

)
a2 sin2 θ < 0. (2.10)

Eliminando esta região, o espaço-tempo de KN vira causal. Como já foi dito, esta

região tem uma forma simples: ela é tubular e rodeia o anel singular tanto do lado

r > 0 como do lado r < 0. Quando os valores de a, q e m são aqueles do elétron,

a superf́ıcie da região tubular fica a uma distância de 10−34 cm do anel singular.

Para estas distâncias infinitesimais, mudanças de topologia são muito prováveis de

ocorrer, e assim uma mudança na conectividade do espaço-tempo não é improvável.

A idéia de Wheeler pode assim ser implementada na solução de KN. Isto significa

eliminar a região infinitesimal do lado positivo e negativo de r, e logo colar de novo a

variedade mantendo a continuidade das linhas do campo elétrico e das componentes

da métrica. Um desenho simples da região a ser eliminada pode ser visto na Fig. 2.3,

13


onde o sentido do gradiente de r foi desenhado em vários pontos. Como um exemplo,

Singular ring

r > 0

A

r 

∆ 

r 

∆ 

A

r < 0

r 

∆ 

Figura 2.3: Região tubular a ser excisada em torno do anel singular. Diversas

direções ~∇r são também indicadas, as quais mostram como as bordas nos lados com

r positivo e negativo podem ser coladas de forma a manter a continuidade do espaço.

note-se que o ponto A do lado positivo de r deve ser colado ao ponto A do lado r

negativo. Se continuamos colando todos os pontos da fronteira tubular, obteremos

um caminho cont́ınuo para as linhas do campo elétrico que fluem de um lado da

solução de KN para o outro lado. A idéia de Wheeler fica totalmente implementada,

gerando assim uma variedade tri-dimensional M3, a qual é localmente euclideana em

todos pontos e, portanto, é uma variedade Riemaniana. Além disso, posto que não

há mudança no sinal da curvatura extŕınseca [21] na hipersuperf́ıcie gφφ = 0 quando

é atravessada de r > 0 para r < 0, pode-se concluir que a colagem feita não gera

tensões superficiais.

2.2.3 Tensão superficial

A métrica tri-dimensional da hipersuperf́ıcie onde a componente gφφ se anula é dada

por

dσ2 =

[
1 − R(r)r

ρ2

]
d2t− ρ2

[
1

∆
+

(
dΘ(r)

dr

)2
]

d2r +
2aR(r)r sin2 Θ(r)

ρ2
dtdφ, (2.11)

onde ρ2 = r2 + a2 cos2 Θ(r), ∆ = r2 − R(r)r + a2 + q2, R(r) = 2mr − q2/r, e Θ(r) é

uma função obtida pela anulação da componente gφφ. Esta função pode ser escrita

como (ver Eq. (2.10))

Θ(r) = arcsin

[
a−1(r2 + a2)

∆1/2

]
. (2.12)

Usamos r, φ e t como coordenadas intŕınsecas, e com r tendo valores positivos e

negativos. De acordo com o trabalho de Israel, o tensor de tensão superficial Sab

14


aparece quando o valor da curvatura extŕınseca Kab da superf́ıcie muda de sinal ao

atravessar a superf́ıcie. Sua forma é

−8πSab = [Kab] − gabg
cd[Kcd], (2.13)

onde [Kab] = K+
ab − K−

ab é a diferença entre as curvaturas extŕınsecas calculadas em

cada lado da hipersuperf́ıcie, e a, b = t, r, φ são ı́ndices do sub-espaço onde Θ(r) é

definida. A curvatura extŕınseca é obtida de

Kab = nµ|νea
µeb

ν , (2.14)

onde nµ é o vetor unitário normal a hipersuperf́ıcie, com nµ|ν representando a deriva-

ção covariante no espaço-tempo quadri-dimensional de KN. Agora, como já foi afir-

mado (ver Fig. 2.3), a topologia da hipersuperf́ıcie é similar àquela de um toro. O

vetor unitário normal pode ter componentes, por simetria, só nas coordenadas r e

θ, ou seja, ele é normal à superf́ıcie da Fig. 2.3. As componentes do vetor podem

ser calculadas sob a condição que sua norma sob a métrica de KN seja unitária. O

modo mais fácil de calcular as componentes de nµ é parametrizar a superf́ıcie Θ(r)

usando r como parâmetro, e calculando o vetor tangente à superf́ıcie. Da condição

de ortogonalidade com nµ, e da condição de unitariedade, obtemos o sistema de

equações

∆nr + Θ
′

nθ = 0 (2.15)

−n2
r

∆

ρ2
− n2

θ

1

ρ2
= −1, (2.16)

onde a “linha” denota uma derivada com relação a r. Este sistema de equações tem

como solução

nθ = ± ρ
(
1 + (Θ′ )2

∆

)1/2
(2.17)

nr = ∓Θ
′

∆

ρ
(
1 + (Θ

′
)2

∆

)1/2
. (2.18)

Os sinais do nθ e nr não são fixados pelas equações (2.15) e (2.16). Esta liberdade

permite-nos escolher o sentido da direção normal, seja no espaço com r negativo, ou

vice-versa. Este é um ponto muito importante, sendo que nossa escolha é o sinal

menos para nθ no lado r > 0 (ver Fig. 2.3). A prova de que as expressões para

as componentes do vetor unitário são corretas pode ser obtida olhando seus valores

15


limites. Quando Θ
′

= 0, o vetor normal fica no sentido de ±θ, isto é, no disco r = 0.

Quando Θ
′ → ∞ (ou seja quando θ = π/2), o vetor unitário fica no sentido ∓r.

Ainda com a escolha do sinal “ − ” para nθ não é obvio que as normais coincidem,

posto que a dependência de Θ
′

em r é escrita como uma soma de fatores de r e m:

nr =
(q2 − 2 m r) (a2 + r2) (a2 (m + r) + r (2 q2 + r (−3 m + r)))

a
√

1 + (a2 (m+r)+r (2 q2+r (−3 m+r)))2

(−r4+a2 (q2−r (2 m+r))) ∆3

√
1 − (a2+r2)2

a2 ∆
∆

7
2

= −f(r > 0,m > 0). (2.19)

A segunda linha é devido ao fato da mudança de sinal de r e m no lado r < 0. Nossa

escolha nos leva a:

r > 0 r < 0

nθ − ρ(
1+

(Θ
′
)2

∆

)1/2 − ρ(
1+

(Θ
′
)2

∆

)1/2

nr f(r > 0,m > 0) -f(r > 0,m > 0)

Deve-se notar que o ângulo θ vai de 0 (no centro do disco superior r = 0) até π

(no disco inferior r = 0), mas posto que o disco superior em r > 0 foi colado com o

disco inferior em r < 0, a variável θ vai desde 0 no disco inferior em r < 0 até π no

disco superior em r < 0. Assim, o vetor unitário normal às superficies θ = constante

muda de sinal no lado r < 0. Com tudo isto em mente, é posśıvel ver que as normais

coincidem em cada lado, posto que no lado r < 0 o sinal menos da componente nr

mostra que ela aponta no sentido contrário ao do vetor unitário r̂ do lado r > 0, isto

é, na direção da singularidade para θ = π/2.

Os resultados acima não garantem que a tensão superficial seja nula. Para veri-

ficar este fato, temos que calcular as componentes não nulas da curvatura extŕınseca

usando a equação (2.14). Fazendo isso, obtemos:

K±
tt = −Γα

ttnα = −Γr
ttnr − Γθ

ttnθ,

K±
tφ = −Γα

tφnα = −Γr
tφnr − Γθ

tφnθ,

K±
rr = ∂rnr − Γα

rrnα = ∂rnr − Γr
rrnr − Γθ

rrnθ,

K±
φφ = −Γα

φφnα = −Γr
φφnr − Γθ

φφnθ.

Reescrevendo estas equações em termos das componentes da métrica, ficamos com:

K±
tt =

1

2
grr∂rgttnr +

1

2
gθθ∂θgttnθ, (2.20)

16


K±
tφ =

1

2
grr∂rgtφnr +

1

2
gθθ∂θgtφnθ, (2.21)

K±
rr = ∂rnr −

1

2
grr∂rgrrnr +

1

2
gθθ∂θgrrnθ, (2.22)

K±
φφ =

1

2
grr∂rgφφnr +

1

2
gθθ∂θgφφnθ. (2.23)

Agora, para calcular o tensor de tensão superficial, devemos achar a diferença [Kab] =

K+
ab − K−

ab. Esta diferença pode ser calculada mais facilmente se identificarmos os

sinais no último conjunto de equações. Primeiramente, cada derivada da métrica

com relação a r produz um termo que pode ser escrito como um fator linear de m

e r; estas derivadas, então, mudam de sinal quando a hipersuperf́ıcie é atravessada.

Mas, como elas estão multiplicadas por nr, não há mudança de sinal nestes termos.

Por outro lado, é posśıvel verificar que os termos envolvendo derivadas com relação

a θ não têm termos lineares em r ou m; ou seja, eles não mudam de sinal. O mesmo

acontece com nθ. Finalmente, a derivada ∂rnr não contém termos lineares em r ou

m, e assim, eles também não mudam de sinal. A conclusão é, então, que o tensor de

tensão superficial da hipersuperf́ıcie Θ(r), onde os dois lados da solução de KN são

colados, é nulo. Esta é uma propriedade muito especial da solução de KN.

Para complementar o cálculo anterior, vamos determinar a forma geométrica da

superf́ıcie obtida pela colagem cont́ınua das bordas tubulares ao redor da singulari-

dade. Para fazer isto, devemos definir a aplicação A : S1 → S1, que é constrúıda da

seguinte forma: desenhe os dois ćırculos S1 da Fig. 2.3, mas agora com centro nos

pontos (a, 0, 0) e (−a, 0, 0) pertencentes a um sistema cartesiano de coordenadas. A

aplicação A(p ∈ S1) é definida como A(x, 0, z) = (−x, 0,−z), onde (x, 0, z) são as

coordenadas do ponto p. A forma desta aplicação é deduzida da restrição de colar

as bordas tubulares mantendo a continuidade das componentes da métrica. A su-

perf́ıcie determinada pela colagem é gerada pelo espaço quociente de S1 pela relação

de equivalência p ∼ A(p), e pela rotação de π dos ćırculos ao redor do eixo z. Esta

superf́ıcie coincide com a conhecida Garrafa de Klein (denotada por U2), como pode

ser verificado na Ref. [32]. É importante notar que a garrafa de Klein foi encontrada

também por Punsly [2] no contexto da solução de Kerr, através de um procedimento

de extensão da métrica que elimina o anel singular. Porém, em nosso caso, temos

uma justificativa f́ısica para eliminar a singularidade: a continuidade das linhas do

campo elétrico.

A eliminação do anel singular pode ser entendida mais facilmente considerando-se

a função r → er, a qual possibilita observar os dois lados da superf́ıcie r = 0. Esta

17


função é desenhada na Fig. 2.4, onde os ćırculos representam as pequenas vizinhanças

eliminadas ao redor do anel singular. A imagem total da variedade tri-dimensional

resultante é obtida girando o plano da figura por um ângulo π. Fica claro da figura

que a variedade obtida será multiplamente conexa, posto que qualquer caminho que

rodeia as regiões eliminadas não pode ser contráıdo a um ponto. As bordas das

regiões eliminadas devem ser coladas mantendo a componente radial da métrica

cont́ınua. As outras componentes da métrica são iguais nestas bordas (devido à

simetria rotacional), e portanto elas podem ser colados trivialmente. De acordo com

r > 0

r < 0

r -∞

Figura 2.4: Vista da seção simétrica total bi-dimensional de M3, obtida pela função

r → er. O ćırculo maior representa a superf́ıcie r = 0. O anel singular está localizado

no equador, e os ćırculos pequenos representam as regiões infinitesimais eliminadas

ao redor da singularidade.

a construção anterior, M3 é uma 3- variedade diferenciável. Esta variedade pode ser

vista como

M3 = R3]K3]R3, (2.24)

onde o primeiro R3 representa a seção assintótica de M, o segundo R3 representa a

seção assintótica de M’, e o 3-espaço K3 é a variedade obtida pela compactificação

pontual de M3, a qual é obtida adicionando-se os pontos em {−∞,∞}. Então, cada

2-esfera, respectivamente em +∞ e −∞, deve ser tomada como um ponto de K3. Se

a ligação entre os dois discos fosse removida, K3 seria homotópico a duas 3-spheres

disjuntas. Isto vem do fato que R3
⋃{∞} ' S3. Porém, se as colagens existem,

K3 não é simplesmente conexo pois existem caminhos fechados (aqueles ao redor da

superf́ıcie U2) não homotópicos à identidade. De fato, o primeiro grupo fundamental

de K3 vem dado por π1(K
3) = Z. Além disso, o segundo grupo fundamental de K3

é π2(K
3) = {e}.

18


2.3 Existência de estados com momento angular semi-inteiro

2.3.1 Condições topológicas

Para que uma 3-variedade possua estados gravitacionais com momento angular semi-

inteiro, ela deve apresentar certas condições topológicas. Estas condições foram

explicitadas por Friedman e Sorkin [1], os quais obtiveram estes resultados baseados

em trabalhos anteriores de Hendriks [33] sobre a teoria de obstruções em 3-dimensões.

Para entender o resultado de Hendriks, é conveniente dividir a variedade M3 em uma

região interior (M3
I), e em uma exterior (M3

E), de tal forma que M3
I ∩M3

E seja uma

concha esférica. Depois disso, é necessário definir uma rotação pelo ângulo α da

subvariedade M3
I com respeito a M3

E, como uma 3-geometria obtida cortando M3
I

em quaisquer esfera S3 ⊂ M3
I ∩M3

E, e colando de novo (depois da rotação) a parte

interna com a externa. Em outras palavras, é preciso procurar um difeomorfismo

que leve a 3-geometria final, obtida depois da rotação de α = 2π, até a inicial,

caracterizada por α = 0. Se o difeomorfismo pode ser deformado até a identidade, os

estados gravitacionais definidos na variedade só podem ter momento angular inteiro.

Se o difeomorfismo não pode ser deformado até a identidade, então existem estados

com momento angular semi-inteiro. Este difeomorfismo foi chamado por Hendriks

de rotação paralela à esfera, e será denotado pela letra ρ.

Os resultados de Hendriks podem ser resumidos da seguinte forma. Se a divisão

em uma região exterior e uma interior não é posśıvel, então ρ não pode ser defor-

mada até a identidade. F́ısicamente, isto significa que se M e M’ estão colados não

só através da superf́ıcie r = 0, mas também através de outros pontos, M3 pode

ter estados com momento angular semi-inteiro, posto que neste caso não existiriam

regiões interiores e exteriores a uma concha que rodeie a superf́ıcie r = 0. Por outro

lado, se a divisão é posśıvel, então M3 terá estados só com momento angular inteiro

se e somente se ela for uma soma conexa de 3-variedades compactas (sem borda),

M3 = R3]M1] . . . ]Mk,

cada uma das quais (a) é homotópica a P 2 × S1 (P 2 é a 2- esfera projetiva real),

ou (b) é homotópica a um fibrado S2 sob S1, ou (c) tem um grupo fundamental

π1(Mj) finito, com subgrupo 2-Sylow ćıclico. Para ter estados com momento angular

semi-inteiro, portanto, a 3-variedade M3 não deve cumprir nenhuma destas três

condições.

De acordo com a decomposição (2.24), M3 pode ser visto como uma soma conexa

19


de dois R3 e K3. Agora, como o estudo original de Hendriks foi feito para variedades

topológicas compactas e sem fronteira, devemos compactificar K3 somando os dois

pontos no infinito. Além de ser compacta, a 3-variedade assim obtida não possui

fronteira (ver Apêndice B). Com isso, os resultados de Hendriks podem ser usados, e

podemos dizer que a variedade M3 terá estados com momento angular semi-inteiro

somente se K3 não cumprir alguma das três condições (a) até (c), descritas acima.

A condição (a) é claramente violada, pois π1(K
3) = Z, e posto que

π1(P
2 × S1) = π1(P

2) ⊕ π1(S
1) = Z2 ⊕ Z,

K3 não pode ser homotópico a P 2 × S1. A condição (b) é mais sutil, mais é violada

também. De fato, como é sabido [34], o número de fibrados não equivalentes de S2

sobre S1 são só dois: um trivial e um não-trivial. Posto que o não- trivial é sempre

não-orientável, K3 não pode ser homotópico a este espaço pois é orientável por

construção. Por outro lado, o fibrado trivial T 3 é construido tomando-se o produto

direto de S2 com S1. Com isso, temos que

π1(T
3) = π1(S

2 × S1) = π1(S
2) ⊕ π1(S

1) = {e} ⊕ Z,

o qual é, formalmente, o mesmo que π1(K
3). Porém, o segundo grupo de homotopia

de T 3 vem dado por

π2(T
3) = π2(S

2 × S1) = π2(S
2) ⊕ π2(S

1) = Z ⊕ {e},

e como π2(K
3) = {e}, então claramente π2(K

3) 6= π2(T
3). Assim, K3 não pode ser

deformado homotopicamente até um fibrado S2 sobre S1. Finalmente, como foi dis-

cutido na seção anterior, a condição (c) é violada também pois o grupo fundamental

π1(K
3) = Z é infinito. Podemos concluir que o espaço-tempo de KN possui esta-

dos gravitacionais com momento angular semi-inteiro. Mais exatamente, podemos

concluir que os estados gravitacionais tem spin 1/2.

2.3.2 Comportamento sob rotações

Usando a definição de ρ já introduzida, podemos analisar o efeito da rotação na

região próxima de r = 0 da variedade M3. As seguintes análises aplicam-se para

quaisquer das duas posśıveis interpretações, seja M colado a M’ apenas pelo disco

r = 0, ou em outros pontos também. Deve-se escolher, então, uma concha esférica

com centro na superf́ıcie r = 0. Depois de escolher a concha, deve-se examinar o

20


efeito de uma rotação da 3-geometria da variedade. Por simplicidade, escolhemos

uma concha centrada em (0, 0, 0) e do lado r > 0, com um raio muito maior do que o

raio da superf́ıcie r = 0. Dessa forma, a geometria fora da concha pode ser assumida

como plana. Se fizermos agora uma rotação por um ângulo α ao redor de qualquer

Ψ2
+ Ψ2

-

Ψ2
+ Ψ2

-

M M’ RMH2ΠL�

-Ψ2
+ Ψ2

-

-Ψ2
+ Ψ2

-

M M’

Ψ1
+ Ψ2

-

Ψ1
+ Ψ2

-

M M’ RMHΠL�

äΨ2
+ Ψ2

-

äΨ2
+ Ψ2

-

M M’

Figura 2.5: O efeito nos estados de KN das rotações ao redor do eixo x da região

interior a uma concha que contém a superf́ıcie r = 0. O difeomorfismo que elimina

a torção dos tubos pode ser visto como uma dilatação que o leva ao redor de um

extremo do cilindro.

um dos eixos x, y, ou z da região interior à concha, a 3-geometria irá mudar. Esta

mudança pode ser vista como uma torção nos tubos ciĺındricos da Fig. 2.1. No caso

espećıfico de uma rotação ao redor do eixo x, a torção dos tubos é mostrado na

Fig. 2.5 para α = π e α = 2π.

Desta figura, pode-se deduzir que só após uma rotação de 4π a torção dos tubos

pode ser eliminada dilatando-se o tubo e levando-o ao redor de um dos pontos ex-

tremos. Em outras palavras, só após uma rotação de 4π o difeomorfismo conexo à

identidade, e que leva a métrica dos tubos torcidos à métrica dos tubos iniciais, pode

ser definido. Este difeomorfismo é igual àquele que resolve o conhecido problema das

tesouras de Dirac [35].

21


O efeito da rotação da região interior da concha escolhida pode também ser

estudado fazendo primeiro uma transformação das coordenadas de Boyer-Lindquist

que muda apenas a coordenada r:

(t, r, θ, φ) → (t, ln R, θ, φ). (2.25)

Esta transformação compactifica M’, e leva os pontos do disco r = 0 à superf́ıcie

R = 1. Uma forma simples da 3-variedade M3 após a transformação pode ser vista

na Fig. 2.6. Nesta figura, os tubos que colam os espaços M e M’ são desenhados

verticalmente. Eles devem colar os pontos da superf́ıcie interna (exceto os pontos do

equador) com os pontos da superf́ıcie externa. Os pontos de M’ são aqueles dentro

da superf́ıcie central, a qual está definida por R = 1. Deve-se ressaltar que os grupos

de homotopia de M3 não são modificados pela transformação.

M

M’ RMH2ΠL�

M

M’

Figura 2.6: Representação da variedade estendida de KN após a transformação de

coordenadas r → ln R. A superf́ıcie central representa os pontos com R = 1, en-

quanto que M’ é representado pelos pontos interiores. A superf́ıcie externa repre-

senta também os pontos com R = 1, porém do ponto de vista de um observador

no lado M. Os tubos que colam os dois espaços estão desenhados verticalmente. À

direita é representado o efeito de uma rotação de 2π na região interior a uma concha

que contém o disco r = 0.

Agora, uma rotação da região interior à concha que contém o disco r = 0 pode

ser vista como uma torção dos tubos ciĺındricos que colam os dois espaços. Para

uma rotação de α = 2π, esta torção não pode ser eliminada por um difeomorfismo

homotópico à identidade, pois os extremos do cilindro devem manter-se fixos para

que ele seja conexo à identidade. Para uma rotação de um ângulo α = 4π, porém,

22


é posśıvel eliminar a torção dos tubos pois neste caso existe um difeomorfismo ho-

motópico à identidade que mantém os pontos extremos fixos. A forma deste difeo-

morfismo é a mesma daquela encontrado na pág. 309 da Ref. [25]. O fato da seção

espacial da variedade de KN voltar ao seu estado inicial depois de uma rotação de

4π é uma maneira mais intuitiva de entender a existência de estados espinoriais.

2.4 Representação algébrica dos estados de KN

2.4.1 Estados espinoriais

Seguindo a Ref [1], denotamos por Υ(M3) o espaço das 3-métricas assintoticamente

planas e positivas sob M3. Já que a métrica em M3 está definida a menos de um

difeomorfismo, pontos diferentes em Υ(M3) representam 3-métricas que diferem só

pela geometria da colagem entre os lados da superf́ıcie r = 0. Definimos um vetor

de estado ψ, na representação de Schrödinger, como um funcional do espaço Υ(M3).

O operador generalizado de posição ĝab é definido como

ĝabψ(g) = gabψ(g), (2.26)

o que significa que, para cada ponto de Υ(M3), temos um vetor de estado diferente

ψ(g). Da discussão da última seção, podemos dizer que (sob rotações) um caminho

em Υ(M3) é fechado se e somente se o parâmetro do caminho varia desde 0 até 4π.

Além disso, e já que os pontos de Υ(M3) estão em correspondência um-a-um com

os estados ψ(g), obtemos que o efeito de uma rotação de 2π em ψ(g) não é igual ao

efeito do operador identidade:

R̂(2π)ψ(g) = ψ(R(2π)g) = ψ(g′ 6= g) 6= ψ(g).

Uma representação linear adequada para os estados ψ(g) é uma que carregue, além

da informação de massa e carga, também informação sobre o comportamento não

trivial sob rotações, de acordo com as propriedades dos estados que representam a

solução de KN. Como o estado ψ(g) depende da métrica gab, não é simples deduzir

sua forma geral. Como um primeiro passo, podemos separar o estado geral ψ(g) em

uma parte ψ+, definida na região com r positivo, e outra ψ−, definida na região com

r negativo:

ψ = a+ψ+ + a−ψ−. (2.27)

23


Além disso, se escolhermos a direção do spin ao longo do eixo z, teremos duas

possibilidades, conforme mostra a Fig. 2.2. Então, podemos escrever

ψ+ = b1ψ
+
1 + b2ψ

+
2 (2.28)

ψ− = c1ψ
−
1 + c2ψ

−
2 . (2.29)

Esta superposição é necessária pois só após uma medição da direção do spin podemos

ter certeza do sinal de a na métrica (2.1). Substituindo (2.28) e (2.29) em (2.27),

obtemos

ψ = a+

(
b1ψ

+
1 + b2ψ

+
2

)
+ a−

(
c1ψ

−
1 + c2ψ

−
2

)
. (2.30)

Desejamos, também, que o estado ψ(g) seja um autovetor dos operadores energia e

spin. Esta condição significa que

Szψ
±
1 = szψ

±
1 =

1

2
ψ±

1 , (2.31)

Szψ
±
2 = szψ

±
2 = −1

2
ψ±

2 , (2.32)

Hψ+ = −i∂tψ
+ = mψ+, (2.33)

Hψ− = −i∂tψ
− = −mψ−, (2.34)

onde Sz é o spin ao longo da direção z, H é o operador energia, e m é a massa da

solução de KN. Nestas relações, temos usado implicitamente a correspondência entre

massa e energia (lembre-se que m é negativa no setor com r negativo de M3).

Uma conseqüência natural do fato de um observador, tanto no lado positivo como

no negativo de r, ver um vetor de estado que se transforma nele mesmo só após uma

rotação de 4π, é a possibilidade de representar estes estados através de uma base de

espinores do grupo de Lorentz SL(2, C). Mais especificamente, cada um dos quatro

estados não-equivalentes definidos no lado com r positivo pode ser representado por

um espinor de Weyl que se transforma sob a representação (1/2, 0). Analogamente,

aqueles definidos no lado com r negativo podem ser representados por espinores de

Weyl que se transformam sob (0, 1/2) (ver Apêndice A). Além disso, de acordo

com as equações (2.33) e (2.34), a representação linear para ψ deve conter uma

parte proporcional a uma exponencial complexa da energia multiplicada pelo tempo.

Finalmente, é importante notar que a representação não pode misturar ψ+ e ψ− pois

eles estão definidos em regiões espaciais diferentes. Com isso, chegamos à seguinte

24


representação para ψ(g):

ψ(g) = a+




b1e

iEt





1

0

0

0




+ b2e

iEt





0

1

0

0








+a−




c1e

−iEt





0

0

1

0




+ c2e

−iEt





0

0

0

1








.

(2.35)

Esta pode ser considerada como a representação linear mais simples de um estado

geral ψ(g) associado com a solução de KN em repouso.

2.4.2 Equação de evolução

Se desejamos que a solução anterior represente uma part́ıcula, precisamos que ela

seja auto-estado do momento (ou posição). Porém, fazer isto não é fácil pois a

“posição” da part́ıcula não é definida por um simples ponto no espaço-tempo. Assim,

por exemplo, o operador momentum −i~∇ não é útil, pois ele está definido só para

part́ıculas pontuais. Para solucionar este problema, precisamos de uma representação

aproximada para ψ(g), válida no limite de grandes comprimentos desde o disco de

KN. Neste limite, a solução de KN vai convergir para a métrica produzida por uma

part́ıcula pontual com spin e sem estrutura. Só neste caso o operador −i~∇ torna-se

adequado para definir o momentum da part́ıcula. Neste limite, podemos considerar

a métrica de fundo como sendo plana, isto é, ηµν = diag(−1, 1, 1, 1). Usando a

forma de ψ(g) dada pela Eq. (2.35), encontramos que sua adequada dependência no

momentum da part́ıcula vem dada pela exponencial i~p · ~x. Isto é devido ao fato que

os dois fatores combinam-se para dar uma expressão covariante, e ao mesmo tempo

o estado se torna um autovetor do momento. O estado ψ(g) geral é então dado por

ψp(g) = a+e−ipµxµ




b1





1

0

0

0




+ b2





0

1

0

0








+ a−eipµxµ




c1





0

0

1

0




+ c2





0

0

0

1








.

(2.36)

Agora, das equações (2.33) e (2.34), podemos escrever a equação de evolução para o

estado de KN como

1

i
∂tψp = Hψp ≡ E

(
I2 0

0 −I2

)
ψp ≡ E β ψp, (2.37)

25


onde I2 é a matriz identidade 2 × 2. O sinal menos das componentes inferiores é

consequência do fato dessas componentes do vetor de estado terem energia negativa.

Uma forma mais conveniente da equação de evolução pode ser obtida fazendo uma

transformação unitária. Escrevemos esta transformação como um caso particular da

transformação de Foldy-Wouthuysen [36], a qual tem a forma

U =

√
E + m

2E

(
I2 − σipi

E+m
σipi

E+m
I2

)
. (2.38)

É posśıvel verificar que

Ψp = Uψp (2.39)

é uma solução da equação de evolução modificada

1

i
∂tΨp = HΨp ≡ (αipi + βm) Ψp, (2.40)

com

H = UHU† (2.41)

o Hamiltoniano transformado. A equação (2.40) é a forma usual da equação rela-

tivistica de Dirac para o elétron. A conclusão básica é que a solução de KN pode

ser representada por um vetor de estado que é solução da equação de Dirac. Além

de ter todas as propriedades de uma solução da equação de Dirac, o estado de KN

fornece uma explicação intuitiva para os conceitos de massa, spin e carga. Adicional-

mente, é posśıvel entender o fato que durante uma interação, os estados de energia

positiva e negativa contribuem igualmente para a equação de Dirac. Entendemos,

em particular, porque não é posśıvel descrever estados inter-atuantes como estados

só de energia positiva ou só de energia negativa. Isso se deve essencialmente ao fato

desses estados, como foi mostrado na extensão da solução de KN, estarem “colados”

topologicamente. Por outro lado, é posśıvel descrever um estado livre em movimento

com energia positiva (ou negativa) sem levar em conta as componentes de energia

negativa (ou positiva). É importante observar que existe uma arbitrariedade na ter-

minologia. O que chamamos de estado de energia negativa ou estado de energia

positiva depende de qual lado da solução de KN está o observador. Porém, como a

métrica de KN depende quadraticamente na carga elétrica, não é posśıvel determinar

em qual lado da solução se encontra um dado observador.

26


2.5 Testes fenomenológicos

Para testar a validade do modelo para o elétron descrito acima, é preciso procurar

experiências onde os efeitos da extensão do elétron sejam manifestos. Primeiramente,

devido à simetria do modelo, o momento dipolar elétrico da solução de KN é nulo,

um resultado que está de acordo com os limites experimentais conhecidos [37]. Outro

ponto importante é que o prinćıpio da incerteza próıbe-nos de localizar o elétron em

uma região menor do que seu comprimento de onda Compton sem produzir pares

virtuais. Já que nosso modelo tem um tamanho da ordem do comprimento de onda

Compton, é válido perguntar se este modelo contradiz as experiências que colocam

um limite para o tamanho do elétron da ordem de 10−18cm. Esta é uma pergunta

dif́ıcil, porém uma resposta simples pode ser dada se observarmos que um boost (no

sentido do spin) transforma os parâmetros m e a da solução de KN de acordo com

[38]

a′ = a
√

1 − v2 e m′ =
m√

1 − v2
, (2.42)

onde v é a velocidade do boost. Deve ficar claro que a e m são simples parâmetros

da solução, os quais correspondem com o momento angular por unidade de massa e

massa só no limite assintótico de grandes distâncias. Próximo da singularidade, a é

o raio do anel singular, o qual, de acordo com Carter [31], não é posśıvel observar.

A “renormalização” dos parâmetros de KN tem sido discutida por muitos autores

[39]. Assim, para uma velocidade maior, corresponderá um raio do anel singular

menor. É simples provar, então, que dentro das energias usuais das experiências de

espalhamento, o raio do anel não é maior do que o limite experimental. Em outras

palavras, uma prova da extensão do elétron não pode ser obtida com experiências

de espalhamento. Restam, então, experiências à baixas energias, onde os elétron se

movimentam com pequenas velocidades.

Como um exemplo de uma experiência à baixas energias, podemos considerar um

par de elétrons presos a um plano bi-dimensional D. Se um campo magnético forte é

aplicado perpendicularmente ao plano, os vetores de spin dos elétrons irão alinhar-se

ao campo magnético. Assim, o disco de KN ficará paralelo a D. O fluxo magnético

Φ através do plano é dado por

Φ =

∫

D

~B · d~s =

∫

D

~∇× ~A(z) · d~s =

∮

∂D

A(z)dz, (2.43)

onde ~B é o campo magnético, ~A é o potencial vetorial definido em D, e z = x+iy são

coordenadas complexas para o plano. A fronteira de D é composta de três partes:

27


uma parte externa, e a fronteira ao redor de cada um dos dois elétrons. Usando

condições periódicas na fronteira (na prática, o plano D deve ser finito para que os

elétrons fiquem confinados), ficamos apenas com duas bordas não conexas. Neste

espaço multiplamente conexo, o vetor potencial ~A(z) não é definido uńıvocamente,

pois existem duas outras formas fechadas ζ−1
k dζk, k = 1, 2, com a propriedade [40]

∫

∂Dk

ζ−1
k dζk = 2πi, (2.44)

onde ∂Dk é a fronteira de cada elétron. Devido a este fato, o cálculo do fluxo (2.43)

deve levar em conta todas as configurações diferentes para ~A(z) [41]. Assumindo

que todas as configurações tem o mesmo peso, e usando unidades com q = 1 (de tal

forma que o quantum de fluxo fica Φ0 = 1), o fluxo total será

Φ =

∮

∂D1∪∂D2

A(z)dz +

∮

∂D1∪∂D2

(
A(z)dz − i

4π
ζ−1
1 dζ1 −

i

4π
ζ−1
2 dζ2

)

+

∮

∂D1∪∂D2

(
A(z)dz − i

4π
ζ−1
1 dζ1

)
+

∮

∂D1∪∂D2

(
A(z)dz − i

4π
ζ−1
2 dζ2

)
. (2.45)

Usando a condição de quantização do fluxo
∮

∂D1∪∂D2

A(z) dz = n; n = 1, 2, . . . , (2.46)

obtemos

Φ = 4n − 2. (2.47)

Se calcularmos agora a quantidade ν = número de elétrons/número de quanta de

fluxo, obtemos

ν =
2

4n − 2
=

1

2n − 1
. (2.48)

Esta montagem é usada no estudo do Efeito Hall quântico fracionário (FQHE) [42], e

neste contexto a quantidade ν é chamada de fator de preenchimento. Nosso resultado

é igual ao experimental se considerarmos que as interações entre os elétrons no plano

ocorrem preponderantemente entre pares [43].

28


Apêndice A

O grupo de Lorentz e as transformações de

paridade

Como é sabido, a álgebra de Lie complexificada do grupo de Lorentz SL(2,C) é

isomorfa à álgebra de Lie complexificada do grupo SU(2)⊗ SU(2). De fato, se de-

notarmos por Ji os geradores das rotações infinitesimais, e por Ki os geradores dos

boosts em M, com i, j, k = x, y, z, os geradores complexos

Ai =
1

2
(Ji + iKi) and A†

i =
1

2
(Ji − iKi) , (A.1)

satisfazem a álgebra de Lie de SU(2):

[Ai, Aj] = i εijk Ak[
A†

i , A
†
j

]
= i εijk A†

k.

Além disso, eles satisfazem [
Ai, A

†
j

]
= 0, (A.2)

o que mostra que eles sao independentes, ou equivalentemente, que eles formam um

produto direto. Os dois operadores de Casimir AiAi e A†
iA

†
i têm como autovalores

n(n + 1) e m(m + 1), com n,m = 0, 1/2, 1, 3/2, . . .. Assim, cada representação pode

ser rotulada pelo par (n,m).

Agora, sob uma transformação de paridade, temos que

Ji → Ji and Ki → −Ki, (A.3)

o que mostra que os geradores Ai e A†
i estão também relacionados por uma trans-

formação de paridade [44]. Por outro lado, se a métrica de KN (2.1) em M é

escrita em termos das coordenadas (t, r, θ, φ), em M’ ela será escrita em termos

de (t,−r, θ, φ). Então, a função gradiente ∇r muda de sinal em M’, e os vetores

29


unitários de um sistema de coordenadas Cartesiano serão negativos. Isto acontece

porque os vetores unitários são perpendiculares às superf́ıcies r=constante. Os dois

lados da solução de KN, portanto, estão relacionados por uma transformação de pari-

dade. A conclusão é que a relação entre M e M’ é a mesma que aquela entre Ai e A†
i .

Isso justifica o uso dos espinores de Weyl em M transformando sob a representação

(1/2, 0), e o uso da representação (0, 1/2) em M’.

30


Apêndice B

Propriedades topológicas de K3

Seja F : M3 ∪ {±∞} −→ R3 ∪ {∞} uma função do espaço métrico M3 (acrescido

de dois pontos no infinito) sob o espaço Euclideano tri-dimensional (mais um ponto

no infinito). A função é definida por:

F (r, θ, φ) = (er, θ, φ)

F (−∞, θ, φ) = (0, θ, φ)

F (∞, θ, φ) = (∞, θ, φ).

O espaço R3∪{∞} é igual ao espaço R3 compactificado pelo método de Alexandroff,

o qual é topológicamente equivalente a S3. A função F leva a superf́ıcie r = 0 da

solução de KN até a esfera unitária com centro em (0, 0, 0). O anel singular é levado

até o equador da esfera. A função F é continua em todos os ponto c ∈ M3∪{±∞} se,

para qualquer número real positivo ε, existe um número real positivo δ tal que, para

todo p ∈ M3 ∪ {±∞} que satisfaz dγ(p, c) < δ, a desigualdade dη(F (p), F (c)) < ε

é também satisfeita. Como a função distância definida pela métrica γij de M3, e

que vem dada por (2.7), é finita em qualquer ponto, a condição de continuidade é

válida para todo p ∈ M3. Porém, como a borda do disco r = 0 é só um ponto de

M3 ∪ {±∞}, a função não é uńıvoca (um-a-um). De fato, o ponto (r = 0, θ = π/2)

é mapeado no equador da esfera unitária. Agora, posto que S3 é compacto, e F−1

é cont́ınua, M3 ∪ {±∞} é também compacta. Se eliminarmos um conjunto aberto

de S3 com a forma de um toro sólido (sem fronteira) ao longo do equador da esfera

unitária, obteremos um sub-conjunto fechado de S3. Este sub-conjunto fechado é

também compacto e tem como fronteira um toro bi-dimensional T 2. Chamando de

T 3 o toro sólido e de T 3
F sua imagem sob F−1, a função

(F−1)′ : R3 ∪ {∞} − T3 −→ M3 ∪ {±∞} − T3

F

31


é continua. Consequentemente, M3 ∪ {±∞} − T 3
F será compacto.

Agora, sejam (α, β) as coordenadas de T 2 = S1 × S1, e seja A : T 2 −→ T 2 um

mapa definido por A(α, β) = (α + π, β + π). A superf́ıcie obtida pela relação de

equivalência A(p) ∼ p e pelo quociente T 2/A, é a garrafa de Klein U2. Desta forma,

cada ponto p de U2 tem uma vizinhança em S3 homeomorfa à bola Euclideana aberta.

Isto implica que {R3∪{∞}−T3}/A é uma variedade compacta sem fronteira. Assim,

F : {R3 ∪ {∞} − T3}/A −→ {M3 ∪ {±∞} − T3

F
}/{(F−1)′ ◦ (A)} = K3

será uma função cont́ınua desde um espaço compacto, o que significa que K3 é

também compacto. Além disto, e devido a que F é cont́ınua, ela leva todo conjunto

aberto de {R3 ∪{∞}−T3}/A até outro conjunto aberto de K3, o que significa que

K3 não tem fronteira: ∂K3 = 0.

32


Caṕıtulo 3

O Papel da Torção na Descrição da Interação

Gravitacional

3.1 Antecedentes

Na relatividade geral, a torção é sempre nula. Na gravitação teleparalela∗, ao contrá-

rio, a curvatura é que é nula, sendo a descrição da interação feita apenas em termos da

torção. É sabido, porém, que as duas teorias fornecem descrições totalmente equiva-

lentes da interação gravitacional [46]. Uma consequência imediata desta equivalência

é que a curvatura e a torção devem ser maneiras alternativas de descrever o campo

gravitacional, e portanto relacionadas aos mesmos graus de liberdade do campo gra-

vitacional. Esta propriedade é corroborada pelo fato do tensor simétrico de energia-

momento aparecer como fonte nas duas teorias: como fonte de curvatura na rela-

tividade geral, e como fonte de torção no teleparalelismo. Por outro lado, outras

teorias para a gravitação, como Einstein-Cartan e teorias de gauge para o grupo

de Poincaré e o grupo afim [47], consideram curvatura e torção como representando

graus de liberdade independentes. Nestes modelos a torção tem sua origem nos

espins das part́ıculas fundamentais, e portanto ela só é importante quando a mag-

nitude destes espins torna-se importante [48]. Isto pode acontecer tanto no ńıvel

microscópico, como perto de uma estrela de nêutrons. Assim, estas teorias conside-

ram que a torção carrega graus de liberdade adicionais àqueles da curvatura, e assim

novos fenômenos devem estar associados à torção. É claro, então, que existe uma

diferença conceitual sobre o verdadeiro papel desempenhado pela torção na descrição

da interação gravitacional.

∗O nome gravitação teleparalela é usado para denotar a teoria geral com três parâmetros [45].

Aqui, usaremos este nome como sinônimo para o equivalente teleparalelo da relatividade geral, uma

teoria obtida para uma escolha espećıfica deste parâmetros.

33


A forma mais direta de se obter uma resposta sobre o verdadeiro papel que a

torção desempenha dentro da gravitação, é achar uma única definição para o acopla-

mento minimal de quaisquer campo f́ısico com a gravitação. Ainda que esta seja a

forma mais direta, não é a mais simples. A dificuldade principal é que, diferente-

mente de outras interações da natureza, onde a covariância fixa uma única conexão

de gauge, na gravitação em presença de curvatura e torção, a covariância não é sufi-

ciente para determinar a forma do acoplamento minimal. A razão de fundo é que o

espaço das conexões de Lorentz é um espaço afim [49], e portanto sempre é posśıvel

somar um tensor a uma dada conexão sem destruir a covariância da teoria. Assim,

existem infinitas possibilidades para o acoplamento minimal gravitacional.

Na procura por uma solução quanto ao verdadeiro papel da torção na descrição da

gravitação, mostraremos neste caṕıtulo como o uso do prinćıpio da covariância geral

(o qual diz que quaisquer das equações da relatividade especial pode-se tornar válida

na presença de gravitação se ela é geralmente covariante, ou seja, se ela preserva

sua forma sob transformações gerais de coordenadas) nos leva até uma escolha do

acoplamento minimal que é totalmente equivalente àquele da relatividade geral, e

ao mesmo tempo àquele do teleparalelismo. Este resultado leva-nos naturalmente a

questionarmos se existe uma descrição da gravitação em termos de uma conexão de

Lorentz, posto que, como é sabido, o teleparalelismo é uma teoria de gauge para o

grupo das translações. Chegamos, assim, no final deste caṕıtulo, a propor uma nova

Lagrangeana para gravitação, a qual fornece as mesmas equações de movimento da

relatividade geral, e além disso fornece uma interpretação da gravitação em termos de

uma conexão de Lorentz, na qual a covariância por difeomorfismos é substitúıda pelo

requerimento de invariância local sob o grupo de Lorentz. Finalmente, estudaremos

como esta nova formulação usa a conexão de spin como variável fundamental na

descrição Lagrangeana da teoria.

3.2 Prinćıpio da covariância geral: caso não-holônomo

3.2.1 Referenciais não-holônomos

Seja {xµ} um sistema de coordenadas inerciais do espaço-tempo de Minkowski, e

seja {∂µ} os vetores base de um sistema de coordenadas ortonormal e global para

o espaço-tempo. O referencial δA = δA
µ∂µ pode ser interpretado como uma tetrada

holônoma (trivial), com componentes δA
µ. Considere agora uma transformação local

de Lorentz, isto é, uma transformação dependente do ponto: ΛA
B = ΛA

B(x). Ela

34


fornece a nova base

hA = hA
µ∂µ, (3.1)

com componentes

hA
µ(x) = ΛA

B δB
µ. (3.2)

Note-se que, devido ao carácter local da transformação de Lorentz, a nova base hA

é não-holônoma,

[hA, hB] = fC
AB hC , (3.3)

onde fC
AB é o coeficiente de não-holônomia. Agora, fazendo uso da propriedade de

ortogonalidade das tetradas, observamos da equação (3.2) que o elemento do grupo

de Lorentz pode ser escrito na forma ΛB
D = hB

ρδρ
D. Usando esta expressão, temos

que

(hAΛB
D)ΛC

D =
1

2

(
fB

C
A + fA

C
B − fC

BA

)
. (3.4)

Por outro lado, a ação que descreve uma part́ıcula livre é

S = −mc

∫
ds, (3.5)

sendo ds = (ηAB dxAdxB)1/2 o intervalo invariante de Minkowski. Visto do referencial

holônomo δA, a equação de movimento é dada por

dvA

ds
= 0, (3.6)

onde vA = δA
µv

µ, com vµ = (dxµ/ds). Visto do referencial não-holônomo hA, a

equação de movimento (3.6) assume a forma

dV C

ds
+

1

2

(
fB

C
A + fA

C
B − fC

BA

)
V AV B = 0, (3.7)

onde V C = ΛC
D vD = hC

µv
µ, e onde usamos a identidade (3.4). É importante

enfatizar que, ainda que estejamos no espaço-tempo plano da relatividade especial,

temos a liberdade de escolher qualquer tetrada {hA} como referencial em movimento.

O fato que, para cada x ∈ M , a base hA pode ser transformada arbitrariamente

(por Lorentz) introduz o termo compensatório 1
2

(
fB

C
A + fA

C
B − fC

BA

)
na equação

de movimento da part́ıcula livre. Este termo está relacionado apenas com as pro-

priedades inerciais do referencial. Observe que a equação de movimento (3.7) pode

também ser obtida da ação (3.5) escrita no referencial não-holônomo,

S = −mc

∫
(ηAB hAhB)1/2, (3.8)

onde, devido ao fato que a transformação de Lorentz é uma isometria, a métrica

ηAB = ΛA
CΛB

D ηCD não muda, e hA = ΛA
D δD

µ dxµ.

35


3.2.2 Equivalência entre efeitos inerciais e gravitacionais

De acordo com o prinćıpio de covariância geral, a equação de movimento válida na

presença de gravitação pode ser obtida da correspondente equação de movimento da

relatividade especial, simplesmente trocando o termo compensatório inercial por uma

conexão AC
AB que represente um campo gravitacional verdadeiro. Usaremos aqui

apenas conexões assumindo valores no grupo de Lorentz, e conseqüentemente com

não-metricidade nula. Neste caso, e na presença de curvatura e torção, a conexão

satisfaz [50]

AC
BA − AC

AB = TC
AB + fC

AB, (3.9)

onde TC
BA é a torção da conexão AC

AB. O uso desta equação para três combinações

diferentes de ı́ndices permite obter

AC
AB =

1

2

(
fB

C
A + fA

C
B − fC

BA

)
+

1

2

(
TB

C
A + TA

C
B − TC

BA

)
. (3.10)

Assim, o termo compensatório da equação (3.7) pode ser escrito na forma

1

2

(
fB

C
A + fA

C
B − fC

BA

)
= AC

AB − KC
AB, (3.11)

onde

KC
AB =

1

2
(TB

C
A + TA

C
B − TC

BA) (3.12)

é o tensor de contorção. A equação (3.11) é uma expressão do prinćıpio de equivalên-

cia. De fato, o lado esquerdo da equação envolve apenas propriedades inerciais

dos referenciais, porém o lado direito contém quantidades puramente gravitacionais.

Usando esta expressão na equação (3.7), obtemos

dV C

ds
+ AC

ABV AV B = KC
ABV AV B. (3.13)

Esta é a equação de movimento de uma part́ıcula na presença de curvatura e torção,

obtida a partir do prinćıpio de covariância geral. Ela propõe uma interpretação clara

para a contorção, a qual aparece desempenhando o papel de uma força gravitacional

[51]. Devido à identidade

AC
AB − KC

AB =
◦

A
C

AB, (3.14)

onde
◦

AC
AB é a conexão de spin da relatividade geral, a equação de movimento (3.13)

é totalmente equivalente à equação da geodésica da relatividade geral.

36


3.2.3 O acoplamento minimal

A equação de movimento (3.13) pode ser reescrita na forma

V µDµV
C ≡ V µ

[
∂µV

C + (AC
Bµ − KC

Bµ)V B
]

= 0, (3.15)

com Dµ uma derivada covariante que, quando aplicada a um campo vetorial qualquer

XC , assume a forma

DµX
C = ∂µX

C + (AC
Bµ − KC

Bµ) XB. (3.16)

Usando a representação vetorial dos geradores do grupo de Lorentz [44],

(SAB)C
D = i(δA

C ηBD − δB
C ηAD), (3.17)

ela se torna

DµX
C = ∂µX

C − i

2
(AAB

µ − KAB
µ) (SAB)C

D XD. (3.18)

Agora, ainda que obtida para o caso de um campo vetorial de Lorentz (quadri-

velocidade), é posśıvel mostrar que o termo compensatório (3.4) é o mesmo para

qualquer campo. De fato, chamando de g ≡ g(Λ) a um elemento do grupo de

Lorentz numa representação arbitrária, pode-se mostrar que

(hAg)g−1 = − i

4
(fBCA + fACB − fCBA) JBC , (3.19)

onde JBC denota o correspondente gerador de Lorentz. Neste caso, a derivada co-

variante (3.18) terá a forma

Dµ = ∂µ − i

2

(
AAB

µ − KAB
µ

)
JAB. (3.20)

Conseqüentemente, na presença de curvatura e torção, o acoplamento minimal dos

campos que carregam uma representação arbitrária do grupo de Lorentz, é dado por

∂A ≡ δµ
A∂µ → DA ≡ hµ

ADµ. (3.21)

Devido à relação (3.14), este acoplamento é claramente equivalente ao acoplamento

minimal da relatividade geral. O acoplamento minimal (3.20) é uma conseqüencia

da afinidade do espaço das conexões de Lorentz (ver Apêndice C).

37


3.3 Conseqüências f́ısicas do acoplamento minimal

3.3.1 Part́ıcula sem spin

Como uma primeira aplicação do acoplamento minimal (3.20), podemos considerar

o caso de uma part́ıcula sem spin e com massa m. A idéia é obter a equação de

movimento a partir de primeiros prinćıpios, e logo comparar com àquela obtida

usando o acoplamento minimal.

Analogamente com o caso eletromagnético [30], a integral de ação que descreve

uma part́ıcula sem spin em interação com um campo gravitacional, no contexto das

teorias de gauge, é

S =

∫ b

a

[
−m c dσ − 1

c2
BA

µ PA dxµ

]
, (3.22)

onde dσ = (ηABdxAdxB)1/2 é o intervalo invariante do espaço-tempo plano, e PA é a

carga de Noether associada com a invariância da ação sob translações [52]. Em outras

palavras, PA = mcuA é o quadri-momentum da part́ıcula, com uA a correspondente

quadri-velocidade não-holônoma. A variação da ação (3.22) fornece a equação de

movimento [53]
duC

ds
+ AC

ABuAuB = KC
ABuAuB, (3.23)

com AC
AB uma conexão que apresenta simultaneamente curvatura e torção. Esta

equação é uma mistura de equação de força e geodésica, com a contorção desem-

penhando o papel de força. Por outro lado, como é bem conhecido, a equação de

movimento para uma part́ıcula livre é

duA

dσ
≡ uC∂CuA = 0. (3.24)

Uma comparação entre estas últimas duas equações mostra que a equação de movi-

mento (3.23) pode ser obtida da equação de movimento livre (3.24), trocando-se

∂C → DC = hν
CDν , com Dν a derivada covariante (3.20) escrita na representação

vetorial (3.17), que é a representação apropriada para uma derivada agindo sobre uA

[44]. Isto mostra a consistência do acoplamento minimal definido pela equação (3.21).

Além disso, usando a relação (3.14), a equação de movimento (3.23) resulta equiva-

lente à equação da geodésica da relatividade geral:

duC

ds
+

◦

A
C

ABuAuB = 0. (3.25)

A equação de força (3.23) e a equação da geodésica (3.25), descrevem a mesma

trajetória f́ısica. Isto significa que, mesmo na presença de torção, as part́ıculas sem

38


spin sempre seguem uma trajetória que pode ser representada por uma geodésica do

espaço-tempo Riemanniano subjacente. Isto conduz a uma re-interpretação do papel

f́ısico da torção em relação às teorias de Einstein-Cartan, assim como em relação às

outras teorias de gauge para gravitação. De fato, de acordo com nossos resultados, a

torção aparece simplesmente como uma forma alternativa à curvatura de descrever

o campo gravitacional.

3.3.2 Part́ıcula com spin

Consideremos agora o movimento de uma part́ıcula clássica de massa m e spin s

num campo gravitacional na presença de curvatura e torção. A integral de ação que

descreve esta part́ıcula, no contexto de uma teoria de gauge, é

S =

∫ b

a

[
−m c dσ − 1

c2
BA

µ PA dxµ +
1

2
ΩAB

µSAB dxµ

]
, (3.26)

onde SAB é a carga de Noether associada com a invariância da ação sob trans-

formações de Lorentz [52], e ΩAB
µ = AAB

µ − KAB
µ e a conexão de spin dinâmica

que aparece na derivada covariante (3.20). Em outras palavras, SAB é a densidade

de momento angular, a qual satisfaz a relação de Poisson

{SAB,SCD} = ηAC SBD + ηBD SAC − ηAD SBC − ηBC SAD. (3.27)

O terceiro termo da ação (3.26), portanto, representa o acoplamento do spin da

part́ıcula com o campo gravitacional. Note-se que, de acordo com esta prescrição, o

spin da part́ıcula acopla minimamente ao coeficiente de rotação de Ricci, pois devido

à relação (3.14), temos que ΩAB
µ =

◦

AAB
µ.

Na presença de curvatura e torção, portanto, o Routhiano obtido da ação (3.26)

é

R0 = −m c
√

u2
dσ

ds
− 1

c2
BA

µ PA uµ +
1

2
ΩAB

µ SAB uµ, (3.28)

onde o v́ınculo fraco
√

u2 ≡
√

uAuA =
√

uµuµ = 1 foi introduzido no primeiro termo.

A equação de movimento para a trajetória da part́ıcula é obtida de

δ

δxµ

∫
R0 ds = 0, (3.29)

enquanto que a equação de movimento para o spin é obtida de

dSAB

ds
= {R0,SAB}. (3.30)

39


Agora, a quadri-velocidade e a densidade de momento angular da part́ıcula devem

satisfazer os v́ınculos

SABSAB = 2s2, (3.31)

SABuA = 0. (3.32)

Infelizmente, no entanto, as equações de movimento obtidas do Routhiano R0 não

satisfazem estes v́ınculos. Existem basicamente duas formas de incluir os v́ınculos no

Routhiano. Aqui, seguiremos o método usado por Yee e Bander [54], o qual consta

dos seguintes passos. Primeiro, introduzimos uma nova expressão para o spin,

S̃AB = SAB − SACuCuB

u2
− SCBuCuA

u2
. (3.33)

Este novo tensor satisfaz a relação de Poisson (3.27) com a métrica ηAB − uAuB/u2.

Um novo Routhiano que incorpore os v́ınculos de acima pode ser obtido trocando-se

SAB por S̃AB na equação (3.28), e somando-lhe o termo

duA

ds

SABuB

u2
.

O novo Routhiano vem, então, dado por

R = −m c
√

u2
dσ

ds
− 1

c2
BA

µ PA uµ +
1

2
ΩAB

µ SAB uµ − DuA

Ds

SABuB

u2
, (3.34)

onde
DuA

Ds
= uµ Dµu

A,

com Dµ dado pela equação (3.20). Usando o Routhiano (3.34), a equação de movi-

mento para o spin é
DSAB

Ds
= (uA SBC − uB SAC)

DuC

Ds
, (3.35)

a qual coincide com aquela da relatividade geral. Fazendo uso do formalismo La-

grangeano, o próximo passo é obter a equação de movimento para a trajetória da

part́ıcula. Através de um cálculo direto, obtemos

D
Ds

(m c uC) +
D
Ds

(DuA

Ds

SAC

u2

)
=

1

2
(RAB

µν − QAB
µν)SABuνhC

µ, (3.36)

onde

QA
Bµν = DµK

A
Bν −DνK

A
Bµ + KA

DµK
D

Bν − KA
DνK

D
Bµ. (3.37)

Usando os v́ınculos (3.31-3.32), é fácil provar que

DuA

Ds

SAC

u2
= −uA DSAC

Ds
.

40


Conseqüentemente, a equação (3.36) torna-se

D
Ds

(
mcuC + uADSCA

Ds

)
=

1

2
(RAB

µν − QAB
µν)SAB uνhC

µ. (3.38)

Definindo o momentum generalizado

PC = hC
µ
Pµ ≡ m c uC + uA DSCA

Ds
,

obtemos
DPµ

Ds
=

1

2
(RAB

µν − QAB
µν)SAB uν . (3.39)

Esta é a equação que governa o movimento da part́ıcula na presença de curvatura

e torção. Ela é escrita em termos de uma conexão geral de Cartan, assim como em

termos de sua curvatura e torção. Ela pode ser reescrita em termos do coeficiente

de rotação de Ricci apenas, em cujo caso ela se reduz à equação de Papapetrou [55].

Ela pode também ser reescrita em termos da conexão de spin teleparalela [56], em

cujo caso ela se reduz ao equivalente teleparalelo da equação de Papapetrou,

•

DPµ

Ds
= −1

2

•

QAB
µν SAB uν , (3.40)

com
•

QAB
µν dado pela equação (3.37) escrita em termos da torção de Weitzenböck.

Note-se que o spin da part́ıcula, neste caso, acopla-se a um tensor escrito somente

em termos da torção, e que faz o papel de uma curvatura.

3.3.3 Campos espinoriais

Para estudar o caso de um espinor de Dirac na presença de curvatura e torção, vamos

examinar primeiro o Lagangeano de Dirac no espaço-tempo plano, o qual pode ser

escrito na forma

L = i
2

(
ψ̄γAδA

µ∂µψ − ∂µψ̄γAδA
µψ

)
− m ψ̄ψ, (3.41)

onde δA
µ é uma tetrada trivial, m é a massa da part́ıcula, e {γA} são as matrices de

Dirac numa dada representação. Fazendo uso da prescrição de acoplamento (3.21)

na representação espinorial, cujos geradores são dados por

JBC =
σBC

2
:=

i

4
[γB, γC ],

obtemos

L = i
2

(
ψ̄hA

µγADµψ −Dµψ̄hA
µγAψ

)
− m ψ̄ψ, (3.42)

41


onde o operador derivada de Fock-Ivanenko é dado por

Dµψ = ∂µψ − i
4

(ABC
µ − KBC

µ) σBCψ. (3.43)

Esta derivada covariante define o acoplamento minimal para campos de spin 1/2 na

presença de curvatura e torção. A derivada funcional de L com respeito a ABC
µ −

KBC
µ ≡

◦

ABC
µ fornece, como é o usual, o tensor de spin. Um cálculo direto mostra

que a equação de movimento correspondente é dada por

iγAhA
µDµψ = m ψ, (3.44)

que é a equação de Dirac na presença de curvatura e torção. Esta equação é total-

mente equivalente à equação de Dirac da relatividade geral [57].

Como é bem conhecido, a torção pode ser decomposta em termos irredut́ıveis

sobre o grupo global de Lorentz [58]:

Tλµν = 2
3
(tλµν − tλνµ) + 1

3
(gλµTν − gλνTµ) + ελµνρ Sρ. (3.45)

Nesta expressão, Tµ, Sρ e tλµν são respectivamente as partes vetorial, axial, e tensorial

da torção. Em termos dessas componentes, pode-se mostrar que

i
4
KBC

A γA σBC = −γA
(

1
2
TA + 3i

4
SA γ5

)
, (3.46)

onde γ5 = γ5 := iγ0γ1γ2γ3. Assim, a derivada covariante (3.43), multiplicada por

γµ, resulta

γµDµψ = γµ
(
∂µ − i

4
ABC

µ σBC − 1
2
Tµ − 3i

4
Sµ γ5

)
ψ, (3.47)

onde γµ ≡ γµ(x) = γA hA
µ. É interessante observar que a derivada funcional do La-

grangeano (3.42) com respeito à conexão ABC
µ ainda fornece o tensor de spin. Além

disso, as derivadas com respeito a Tµ e Sµ fornecem respectivamente as correntes

vetoriais e axiais do campo espinorial. Finalmente, a equação de Dirac (3.44) fica

i γµ
(
∂µ − i

4
ABC

µ σBC − 1
2
Tµ − 3i

4
Sµ γ5

)
ψ = mψ. (3.48)

Esta é a forma final da equação de Dirac na presença de curvatura e torção, escrita

em termos das componentes irredut́ıveis da torção. No caso espećıfico da gravitação

teleparalela, ABC
µ = 0, e a equação de Dirac fica escrita apenas em termos das

partes axial e vetorial da torção [59]. No caso da relatividade geral, onde a derivada

de Fock- Ivanenko é
◦

Dµψ = ∂µψ− i
4

◦

ABC
µ σBCψ, se a conexão de spin

◦

ABC
µ é escrita

em termos do coeficiente de não-holonomia fA
BC , uma decomposição similar àquela

da equação (3.46) pode ser feita, e a equação de Dirac resulta escrita somente em

termos do traço e do pseudo-traço de fA
BC .

42


3.4 Gravitação como uma teoria para uma conexão

A prescrição de acoplamento minimal proposta na seção anterior implica que a in-

teração gravitacional acopla-se com a matéria de forma indiferente à teoria que a

descreve. Por exemplo, esta interação pode ser descrita pela relatividade geral ou

pela teoria teleparalela, sendo que em qualquer destes casos o acoplamento minimal

resulta totalmente equivalente. Será posśıvel, então, ter uma descrição da interação

gravitacional através de uma teoria que seja totalmente equivalente a relatividade

geral, e que além disso incorpore as caracteŕısticas de “gauge” que possui o telepara-

lelismo? [60, 61] A resposta a esta pergunta é afirmativa em muitos aspectos. Para

entender esta afirmação, vamos a estudar em primeiro lugar as conseqüencias de se

trocar o “grupo” de difeomorfismo pelo grupo local de Lorentz como o grupo de

transformações da gravitação. Como veremos, ao se fazer isso, o campo fundamental

da gravitação deixa de ser a métrica, e passa naturalmente a ser a conexão de spin.

3.4.1 Transformações de Lorentz

A forma mais geral dos geradores das transformações de Lorentz infinitesimais é [44]

JAB = LAB + SAB, (3.49)

onde

LAB = i(xA∂B − xB∂A) (3.50)

é a parte orbital e SAB é a parte de espin dos geradores. A forma expĺıcita desta

última depende do spin do campo em consideração. Os geradores JAB satisfazem a

relação de comutação

[JAB, JCD] = i (ηBC JAD − ηAC JBD − ηBD JAC + ηAD JBC) , (3.51)

a qual deve identificar-se com a álgebra de Lie do grupo de Lorentz. Cada conjunto de

geradores LAB e SAB satisfazem a mesma relação de comutação que JAB, e comutam

entre si.

Uma transformação de Lorentz é chamada de local se o parâmetro da trans-

formação depende da posição. Este tipo de transformação gera uma mudança na

forma funcional de qualquer campo f́ısico. Como primeiro passo para entender o

efeito destas transformações na estrutura de um espaço-tempo Riemaniano M4, va-

mos considerar a transformação de Lorentz das coordenadas xA do espaço tangente

43


a cada ponto x ∈ M4. Essa transformação pode ser escrita na forma

δLxA = − i
2
εCD LCD xA ≡ −εA

D xD, (3.52)

com εCD ≡ εCD(xµ) o parâmetro da transformação. Devido ao fato do espaço tan-

gente ser transitivo sob translações (o espaço tangente é um espaço de Minkowski),

cada par de pontos relacionado por uma transformação de Lorentz pode também

ser relacionado por uma translação. De fato, usando a forma expĺıcita de LCD, a

transformaçao (3.52) pode ser reescrita como

δLxA = −i ξC PC xA, (3.53)

a qual é uma translação com

ξC = εC
D xD (3.54)

como parâmetro, e PC = −i ∂C como gerador. Isto significa, que uma transformação

infinitesimal de Lorentz das coordenadas do tangente é formalmente equivalente a

uma translação com ξC como parâmetro.

De outra parte, devido ao fato das coordenadas xA se comportarem como vetores

sob transformações de Lorentz, podemos interpretar o conjunto delas {xA(xµ)} como

um campo vetorial. Neste caso, os geradores de Lorentz são aqueles da representação

vetorial (3.17), o que conduz a seguinte transformação:

δSxA = − i
2
εCD (SCD)A

B xB ≡ εA
D xD. (3.55)

Assim, usando as equações (3.53) e (3.55), podemos escrever o resultado de uma

transformação total de Lorentz local sobre as coordenadas do spaço tangente como

δJxA ≡ − i
2
εCD JCD xA = 0. (3.56)

Este resultado, consistente por si só, vem do fato que uma transformação de Lorentz

muda simultaneamente os ı́ndices vetoriais e o argumento de um campo vetorial

qualquer V A(x), dando como resultado final uma transformação a ponto fixo:

δV A(x) ≡ V ′A(x) − V A(x) = − i
2
εCD JCD V A(x). (3.57)

No caso da coordenada do tangente, as transformações cancelam entre si, dando

um resultado nulo. Para todos os outros campos f́ısicos, JAB gera uma mudança

apenas na forma funcional do campo. No caso de um campo de matéria qualquer,

escrevemos a transformação de Lorentz como [44]

δJΨ ≡ Ψ′(x) − Ψ(x) = − i
2
εABJABΨ(x), (3.58)

44


onde a forma expĺıcita de LAB é a mesma para todos os campos, mas aquela para SAB

depende da representação de Lorentz a qual pertence Ψ. Note-se que os geradores

orbitais podem agir no argumento espaço-temporal de Ψ(xµ) devido às relações

∂A = (∂Axµ) ∂µ and ∂µ = (∂µx
A) ∂A.

Além disso, usando a forma expĺıcita para LAB, a transformação de Lorentz (3.58)

pode ser reescrita na forma

δJΨ = −iξCPCΨ − i
2
εABSABΨ, (3.59)

com ξC dado pela equação (3.54). De novo, observamos que a parte orbital da

transformação se reduz a uma translação, e assim a transformação de Lorentz de um

campo geral Ψ pode ser escrita como uma translação mais uma transformação de

spin pura. Ainda que ela tenha esta forma especial, é importante notar que (3.59)

não é uma transformação de Poincaré, mas sim uma verdadeira transformação de

Lorentz. Isto é devido ao fato que [PC , SAB] = 0.

Agora, nosso objetivo é chegar a uma teoria para a gravitação que inclua dois in-

gredientes: que seja uma teoria com simetria local, ou de gauge, e que seja equivalente

à relatividade geral. Esta última condição deve incluir a prescrição de acoplamento

minimal proposta na seção 3.2.3. Assim, do ponto de vista de uma teoria de gauge,

a derivada de um campo de matéria geral deve ser covariante sob as transformações

locais de Lorentz geradas por JAB [15], ou seja,

◦

DCΨ = ∂CΨ + 1
2

◦

AAB
C

δJΨ
δεAB , (3.60)

onde
◦

AAB
C =

◦

AAB
µ hC

µ. Substituindo a transformação (3.58), obtemos

◦

DCΨ = ∂CΨ − i
2

◦

A
AB

C JABΨ. (3.61)

Usando a identidade

i
2

◦

A
AB

µ JAB = i
2

◦

A
AB

µ SAB +
◦

B
A

µ PA, (3.62)

onde
◦

BA
µ ≡

◦

AA
Bµ xB, a derivada covariante (3.61) assume a forma

◦

DCΨ = hC
µ

◦

DµΨ, (3.63)

onde
◦

Dµ = ∂µ − i
2

◦

A
AB

µ SAB (3.64)

45


é o operador derivada covariante do Fock-Ivanenko [62], e hC
µ é a inversa da tetrada

[63]

hC
µ = ∂µx

C +
◦

A
C

Dµ xD ≡
◦

Dµx
C . (3.65)

A exigência de covariância local sob transformações de Lorentz conduz a uma ex-

pressão para a tetrada em termos de a conexão de spin e das coordenadas do espaço

tangente. Essa tetrada é, então, uma variável não fundamental da teoria: o papel

das variáveis fundamentais fica para AC
Dµ e para as coordenadas xA.

A equação (3.63) é claramente equivalente à prescrição de acoplamento minimal

(3.21), e está composta de duas partes. A derivada de Fock-Ivanenko é responsável

pelo acoplamento do spin do campo de matéria à gravitação. Este acoplamento não

é universal pois depende do conteúdo de spin do campo de matéria. Por outro lado,

a tetrada que aparece multiplicando a derivada de Fock-Ivanenko, é responsável pelo

acoplamento da energia e momentum do campo de matéria à gravitação. Esta parte

do acoplamento minimal é universal no sentido que todos os campos de matéria

da natureza respondem da mesma forma à sua ação. Como a parte não trivial da

tetrada vem dos geradores orbitais de Lorentz, podemos dizer que estes geradores

são os responsáveis pela universalidade da interação gravitacional.

3.4.2 Transformações da conexão e da tetrada

Para se ter uma idéia intuitiva do efeito das transformações locais de Lorentz, é

necessário obter a forma das transformações infinitesimais da conexão de spin. Isto,

junto com as transformações para as coordenadas do espaço tangente (3.56), nos

permitirá escrever a forma das transformações para a tetrada, e consequentemente

para a métrica.

Como primeiro passo, lembremos que a forma de um elemento geral do grupo de

Lorentz é

UJ = UL US = US UL ≡ exp
[
− i

2
εAB JAB

]
, (3.66)

onde

US = exp
[
− i

2
εAB SAB

]
e UL = exp

[
− i

2
εAB LAB

]
. (3.67)

Por construção, sob uma transformação local de Lorentz gerada por UJ , a derivada

covariante (3.63) transforma-se como

◦

D′
C′Ψ′(x) = UJ

◦

DCΨ(x). (3.68)

46


Note-se que, além da rotação de Lorentz nos ı́ndices matriciais (ou de spin) de
◦

DC ,

a qual é a única transformação que aparece nas teorias de Yang-Mills (internas), o

ı́ndice do espaço-tempo (externo) é também transformado. Usando as expressões

[44]

Ψ(x) = U−1
S Ψ′(x′) e Ψ′(x) = UL Ψ′(x′)

na transformação (3.68), ela assume a forma

U−1
L

◦

D′
C′ UL = hC

µ US

◦

Dµ U−1
S . (3.69)

Usando a definição da derivada de Fock-Ivanenko

◦

DµΨ = ∂µΨ + 1
2

◦

AAB
µ

δSΨ
δεAB ,

onde

δSΨ ≡ Ψ′(x′) − Ψ(x) = − i
2
εABSABΨ (3.70)

é a mudança total em Ψ(x), pode-se facilmente verificar que esta derivada transforma-

se como
◦

D′
µ = US

◦

Dµ U−1
S . (3.71)

Essa expressão fornece a transformação usual de gauge da conexão,

◦

A
′
µ = US

◦

AµU
−1
S + iUS∂µU

−1
S , (3.72)

cuja versão infinitesimal é

δS

◦

A
CD

µ = −
(
∂µε

CD +
◦

A
C

Aµ εAD +
◦

A
D

Aµ εCA
)
≡ −

◦

Dµε
CD. (3.73)

Vemos assim que as transformações de gauge da conexão de Lorentz são geradas pela

representação matricial (de spin), ou seja, pelos geradores SAB.

Substituindo-se agora a equação (3.71) na lei de transformação (3.69), obtemos

U−1
L

◦

D′
C′ UL = hC

µ
◦

D′
µ ≡

◦

D′
C . (3.74)

É claro desta expressão que a parte orbital dos geradores é responsável pelas trans-

formações de Lorentz do ı́ndice do espaço-tempo da derivada covariante
◦

DC . De fato,

chamando de ΛA′

C ≡ (US)A′

C ao elemento do grupo de Lorentz na representação ve-

torial, a transformação da tetrada pode ser escrita na forma usual

hC
µ = ΛA′

C hA′

µ,

47


e assim vemos que
◦

D′
C′ = ΛC′

A
◦

D′
A ≡ UL

◦

D′
C U−1

L . (3.75)

Isto significa que