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Instituto de F́ısica Teórica

Universidade Estadual Paulista

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO IFT–D.004/13

O mecanismo atrator e a função entropia de Sen para buracos negros

Prieslei Estefânio Dominik Goulart Santos

Orientador

Horatiu Nastase

Fevereiro de 2013


Agradecimentos

Primeiramente agradeço à minha famı́lia por toda a paciência e pelo apoio incondi-

cional neste momento tão intenso de minha vida. Agradeço a todos os professores e

funcionários do IFT por fazerem do nosso ambiente de estudo a nossa casa. Agradeço

a todos os amigos do IFT pelos bons momentos e pelas experiências que adquiri du-

rante o mestrado. Em especial agradeço a David e José Cupertino pela amizade e

apoio. Agradeço ao meu orientador Horatiu Nastase por todo incentivo e atenção

prestados ao longo destes dois anos de mestrado. Agradeço ao CNPQ pelo apoio

financeiro.

i


Resumo

Nesta dissertação estudamos o mecanismo atrator e a função entropia para bu-

racos negros. Depois de revisarmos alguns aspectos de Relatividade Geral e buracos

negros do tipo Schwarzschild, Reissner-Nordstrom e Kerr-Neumann demonstraremos

detalhadamente como são deduzidas a lei zero e a primeira lei das chamadas Leis da

Termodinâmica de Buracos Negros. Apresentaremos também a segunda e a terceira

destas leis e discutiremos a relação entre as Leis da Termodinâmica e as Leis da

Termodinâmica de Buracos Negros. Após isso, apresentaremos um exemplo para

demonstrar como ocorre o chamado fenômeno atrator, que faz com que todos os

campos escalares admitam o mesmo valor sobre o horizonte de eventos do buraco

negro, fazendo-os então perder toda a memória de suas condições iniciais no in-

finito. Finalmente, apresentaremos a dedução da chamada função entropia de Sen,

e demonstraremos sua importância no que se refere ao estudo dos campos escalares

de um buraco negro para a geometria próxima ao horizonte de eventos, ou seja,

para o mecanismo atrator. Demonstraremos a validade deste formalismo através da

solução de Reissner-Nordstrom usual em 4 dimensões e de uma teoria correspon-

dendo à parte bosônica de uma ação da supergravidade à baixas energias.

Palavras Chaves: termodinâmica de buracos negros; mecanismo atrator; função

entropia de Sen.

Áreas do conhecimento: Relatividade Geral; Teoria de Campos.

ii


Abstract

In this Master Thesis we study the attractor mechanism and the entropy function

for black holes. After reviewing some aspects of General Relativity and black holes

solutions of the Schwarzschild, Reissner-Nordstrom and Kerr-Newmann type, we

give a detailed derivation of the zeroth and first of the so-called Laws of Black

Hole Thermodynamics. We will also present the second and third laws and discuss

the relation between The Laws of Thermodynamics and The Laws of Black Hole

Thermodynamics. Then we will present an example of how the so-called attractor

phenomena occurs, which makes all the scalar fields assume the same value on

the black hole event horizon, forcing them to lose all the memory of their initial

conditions at the infinity. Finally, we will present the derivation of the so-called

Sen’s entropy function, and we will show its importance concerning the study of

scalar fields of a black hole for the near horizon geometry, or in other words, for

the attractor mechanism. We will show the validity of this formalism through the

usual Reissner-Nordstrom solution in 4 dimensions and a theory corresponding to

the bosonic part of a low energy supergravity action.

iii


Índice

1 Introdução 1

2 Leis da Termodinâmica e função entropia 4

2.1 As leis da termodinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Espaço de fase e número de microestados . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Definição estat́ıstica de entropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4 Contagem pseudo-quântica de Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.5 Distribuição Microcanônica e limite termodinâmico . . . . . . . . . . 10

2.5.1 Densidade de espaço de fase e hipótese ergódica . . . . . . . . 10

2.5.2 Número de microestados de N part́ıculas não -interagentes . . 12

2.5.3 Diferentes definições de entropia . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Resultados de Relatividade Geral 15

3.1 Noções básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.1.1 Transporte paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.1.2 Geodésicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.1.3 Isometrias e conservação do quadrimomento . . . . . . . . . . 17

3.1.4 Desvio geodésico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.1.5 Vetores de Killing e equação de Killing . . . . . . . . . . . . . 20

3.1.6 Derivada de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.7 Condições de Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.1.8 Congruências geodésicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2 Buracos negros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2.1 Solução de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2.2 Solução de Reissner-Nordstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2.3 Solução de Kerr-Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2.4 Superf́ıcies nulas e horizontes de Killing . . . . . . . . . . . . . 44

3.2.5 Massa, carga e momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . 47

iv


4 As leis da termodinâmica de buracos negros 54

4.1 Gravidade superficial e lei zero da termodinâmica de buracos negros . 55

4.2 A fórmula integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.3 A fórmula diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.4 Leis da termodinâmica de buracos negros . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.5 Buracos negros e termodinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5 O mecanismo atrator 75

5.1 Dualidade eletromagnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.2 Revisão de buracos negros dilatônicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.3 O mecanismo atrator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6 Função entropia de Sen 88

6.1 Definição de buracos negros extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.2 Função Entropia para buracos negros esfericamente simétricos em D=4 91

6.3 AdS2 × S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.4 Generalização do cálculo da função entropia de Sen para AdS2 × SD−2 103

7 Conclusões 107

A Propriedades do determinante da métrica 108

B Teorema de Gauss-Stokes 110

Referências 113

v


Caṕıtulo 1

Introdução

Em 1915 Einstein apresentou ao mundo a Teoria da Relatividade Geral. Utilizando-

se de certos limites de campo gravitacional fraco e de experimentos pensados por ele,

Einstein deduziu uma equação tensorial que relaciona a geometria do espaçotempo,

cuja informação está contida no tensor de curvatura, com a matéria que faz com

que a geometria do espaçotempo tome essa forma, cujo conteúdo é dado pelo tensor

energia-momento. Em sua teoria Einstein pôde explicar por exemplo o problema da

precessão do periélio de Mercúrio, cuja mecânica Newtoniana não bastava para dar

uma explicação concreta. Porém, um dos maiores triunfos da Relatividade Geral é

sem dúvida a chamada solução de Schwarzschild, que é uma solução das equações

de Einstein para um espaçotempo estacionário e esfericamente simétrico. Uma das

previsões que podia ser feita desta solução era que a luz poderia mudar sua trajetória

ao passar próxima a corpos massivos como planetas e estrelas. De fato, esta previsão

foi confirmada alguns anos após Einstein ter apresentado ao mundo a sua teoria, o

que confirmou ainda mais a validade da Relatividade Geral. Vários experimentos

são feitos ainda hoje com a intenção de servirem de testes para a teoria e verificar

seus limites, como por exemplo a medida do deslocamento para o vermelho de um

raio de luz enviado para a lua e refletido de volta para a Terra, sendo este efeito

causado pela ação do campo gravitacional sobre os ftons do raio de luz.

A solução de Schwarzschild apresenta algumas peculiaridades como a presença

de uma singularidade em r = 0 e um horizonte de eventos, que é uma superf́ıcie

da qual nada que esteja em seu interior escapa. Isso levou à introdução do termo

buraco negro para designar tais soluções , e é este o principal objeto de estudo desta

dissertação . A solução de Schwarzschild é válida quando o tensor energia-momento,

que carrega informação sobre os campos do corpo que colapsou em um buraco negro,

é nulo. Podemos admitir que um buraco negro possa ter também cargas elétricas

e magnéticas, o que faria que o tensor energia-momento fosse diferente de zero, e

assim somos levados à chamada solução de Reissner-Nordstrom, que é uma solução

1


das equações de Eintein que representa um buraco negro carregado. Uma diferença

com relação à solução de Schwarzschild é a de que a solução de Reissner-Nordstrom

possui dois horizontes de eventos quandos certos limites sobre a massa e a carga são

tomados, como demonstraremos nos próximos caṕıtulos. Além do mais, depois de

um trabalho muito mais árduo, podemos ainda demonstrar que é posśıvel se obter

uma solução que representa um buraco negro em rotação , ou seja, possui momento

angular. Esta é a chamada solução de Kerr-Newmann.

Desde de sua descoberta buracos negros têm sido alvo de muito estudo e espec-

ulação . Várias foram as descobertas teóricas que impulsionaram os f́ısicos Bardeen,

Carter e Hawking a formular em 1973 as chamadas Leis da Termodinâmica de Bu-

racos Negros. Em seu artigo, eles descobriram que existe uma forte analogia entre

as leis da Termodinâmica usuais e as Leis da Termodinâmica de Buracos Negros.

Mais tarde Hawking demonstrou que é posśıvel associar ao buraco negro uma tem-

peratura, que passou a ser chamada de Temperatura Hawking, que deixou claro

que a área do buraco negro está diretamente relacionada com a entropia. Após

essa descoberta Hawking fez a incŕıvel descoberta de que processos quânticos fazem

com que buracos negros emitam radiação, sendo que esta passou a ser chamada de

Radiação Hawking. Estas descobertas demonstraram que de fato buracos negros se

comportam como sistemas termodinâmicos e que por suas caracteŕısticas serviriam

como um laboratório ideal para se testar teorias de gravitação quântica. Muito

avanço foi feito mas o que se tem certeza atualmente é de que sabemos muito pouco

sobre a termodinâmica de buracos negros.

Apesar de sabermos definir a entropia para um buraco negro não sabemos ainda

contar seus microestados, pelo menos sem o uso de ferramentas mais avançadas

como a teoria de cordas. O conteúdo microscópico de um buraco negro é ainda

um mistério e vários esforços são feito para se entender melhor como definir esses

microestados. Caso soubéssemos disso, seria posśıvel obter informações sobre o

conteúdo microscópico de um buraco negro através de suas grandezas macroscópicas

que podemos medir, reforçando a idéia de que eles são o laboratório ideal para se

estudar teorias de gravitação quântica.

O horizonte do buraco negro tem algumas propriedades interessantes. O que

é entendido é que independentemente dos valores assintóticos para os campos, no

horizonte eles tomam valores espećıficos, um fenômeno conhecido como mecanismo

atrator. Uma maneira de se encontrar este fenômeno é definir uma função entropia

como a proposta por Sen [1] e outros, cujo extremo nos dá o atrator, e a função

entropia tomada no extremo nos dá a entropia do buraco negro.

Nesta dissertação estudamos o mecanismo atrator e a função entropia, e os apli-

camos para o caso de quando o horizonte é do tipo AdS2×S2, e em geral AdS2×SD−2.

2


A organização da dissertação é dada como se segue. Escreveremos as leis da

termodinâmica e mostraremos como se pode definir a entropia de Boltzmann, bem

como suas diferentes definições para a distribuição microcanônica. Mostraremos em

seguida como estas diferentes definições convergem para o mesmo valor. Discutire-

mos as ferramentas necessárias para se estudar buracos negros como congruências

geodésicas, condições de energia, horizontes de Killing e definições de massa e mo-

mento angular para buracos negros. Apresentaremos a dedução da lei zero e da

primeira lei da Termodinâmica de buracos negros, e também apresentaremos a se-

gunda e a terceira lei e discutiremos a relação entre essas leis e as leis da ter-

modinâmica apresentadas no caṕıtulo 2. Estudaremos teorias invariantes por trans-

formação de dualidade cujo fundo corresponde à uma solução do tipo buraco negro

extremo. Demonstraremos como se dá o fenômeno atrator para uma teoria de gravi-

dade acoplada à campos de gauge e ao campo escalar do d́ılaton. Deduziremos o

formalismo da função entropia de Sen e como ele é usado para o estudo do fenômeno

atrator e para uma dedução da entropia do buraco negro. Aplicaremos esse formal-

ismo para a solução de Reissner-Nordstrom usual em 4 dimensões e também para o

exemplo de uma teoria em 5 dimensões . Por fim, demonstraremos como se escrever

a função entropia de Sen para uma teoria em D dimensões .

3


Caṕıtulo 2

Leis da Termodinâmica e função entropia

Neste caṕitulo apresentaremos alguns resultados referentes à termodinâmica usual.

Primeiro vamos enumerar as Leis da Termodinâmica, que estão relacionadas com-

pletamente com o conteúdo macroscópico de um sistema. Após isso, apresentaremos

a definição estat́ıstica da entropia, através da fórmula de Boltzmann

S = kB ln Ω.

A entropia escrita nessa forma relaciona as quantidades macroscópicas de um sis-

tema com seu estado microscópico, que é descrito pelo número total de microestados

Ω. Vamos demonstrar a relação entre o espaço de fase clássico e o número total de

microestados Ω. Então aplicaremos nossas idéias para o cálculo de Ω para uma

part́ıcula quântica numa caixa cúbica. Apresentaremos uma breve discussão sobre

a hipótese ergódica que diz respeito às grandezas médias calculadas classicamente

e no contexto da f́ısica estat́ıstica. Estenderemos o cálculo do número total de mi-

croestados para um sistema de N part́ıculas quânticas numa caixa cúbica, e também

calcularemos a densidade de microestados. Finalmente, apresentaremos as posśıveis

definições estat́ısticas da entropia para este caso e demonstraremos que no limite

termodinâmico, isto é, N →∞, todas definições convergem para o mesmo valor.

2.1 As leis da termodinâmica

Nesta seção vamos apresentar as leis da termodinâmica. Basicamente existem 4

leis, e, algumas vezes, diferentes formas de apresentá-las. Seguiremos as referências

[2], [3] e [4].

0. Lei zero da termodinâmica:

Todos os sistemas que estão em equiĺıbrio térmico com um dado sistema também

estão em aquiĺıbrio térmico entre si.

1. Primeira lei da termodinâmica:

A mudança de energia interna para uma mudança de estado (reverśıvel ou irre-

4


verśıvel) é dada pela soma do trabalho δW e do calor δQ trocados com os arredores

do sistema

dU = δW + δQ. (2.1)

A primeira lei é simplesmente uma expressão para a conservação da energia de um

sistema termodinâmico, e a escrevemos usando os diferenciais δ para representar

o fato de que o trabalho e o calor trocados com os arredores podem depender do

processo termodinâmico envolvido.

2. Segunda lei da termodinâmica:

Um macroestado de equiĺıbrio de um sistema pode ser caracterizado por uma quan-

tidade S chamada de entropia, a qual tem as seguintes propriedades:

a. em qualquer processo no qual um sistema isolado termicamente vai de um

macroestado para outro a entropia tende a crescer, isto é

∆S ≥ 0; (2.2)

b. se um sistema não é isolado e passa por um processo infinitesimal quasi-estático

no qual ele absorve calor δQ, então

dS =
δQ

T
, (2.3)

onde T é a temperatura absoluta do sistema.

Para sistemas isolados, δQ = 0, o que implica que dS = 0, indicando que nesta

situação de equiĺıbrio a entropia tem um extremo. Todo experimento confirma que

este extremo é um máximo.

3. Terceira lei da termodinâmica:

A entropia S de um sistema tem a propriedade limitante de que, conforme

T → 0+, S → S0, (2.4)

onde S0 é uma propriedade independente de todos os parâmetros do sistema partic-

ular.

2.2 Espaço de fase e número de microestados

Para fixar o estado de movimento de um sistema clássico basta conhecer todas

as coordenadas generalizadas qν(t) e pν(t) para todo t, onde ν = 1, ..., 3N quando

não há v́ınculos para as coordenadas e momentos. O conjunto (qν , pν) do espaço

de fase 6N -dimensional é interpretado como o microestado deste sistema. Um

ponto definido no espaço de fase corresponde a um estado microscópico do movi-

mento do sistema inteiro. A evolução temporal do sistema corresponde à uma curva

5


(qν(t), pν(t)) do espaço de fase, também chamada de trajetória no espaço de fase,

que é determinada pelas equações de movimento de Hamilton

q̇ν =
∂H

∂pν
, ṗν = −∂H

∂qν
, (2.5)

onde H(qν(t), pν(t)) é a hamiltoniana do sistema. Em um sistema fechado no qual

a hamiltoniana não depende do tempo, a energia total

E = H(qν , pν) (2.6)

é uma quantidade conservada, e, ao longo de uma trajetória do espaço de fase, ela

sempre assume o mesmo valor E independente do tempo.

Chamamos de célula do espaço de fase ao elemento de espaço de fase d3Nqd3Np.

Ela relaciona o volume de certas regiões do espaço de fase, isto é, a região entre as

elipses E e E + ∆E. A célula também é chamada de elemento de volume no espaço

de fase, que abreviaremos para dω. O volume correspondendo à região entre E e

E + ∆E, é dado por

∆ω =
∫
E≤H(qν ,pν)≤E+∆E

dω =
∫
E≤H(qν ,pν)≤E+∆E

d3Nqd3Np. (2.7)

Da mesma forma, podemos definir a área por

σ(E) =
∫
E=H(qν ,pν)

dσ (2.8)

e relacioná-la à hipersuperf́ıcie de energia, onde dσ representa o elemento de su-

perf́ıcie. Considere um sistema termodinâmico caracterizado pelas variáveis natu-

rais E, V e N . O volume do reservatório restringe as posśıveis coordenadas das

part́ıculas, e o fato da energia ser dada faz com que somente pontos no espaço de

fase sejam permitidos. Como temos a área da hipersuperf́ıcie de energia à nossa

disposição, assumiremos que o número de microestados é proporcional à essa área.

Então , para um dado macroestado existe um número grande de diferentes microes-

tados, dado por

Ω(E, V,N) =
σ(E, V,N)

σ0

, (2.9)

com

σ(E, V,N) =
∫
E=H(qν ,pν)

dσ (2.10)

e σ0 sendo uma constante de proporcionalidade que não influenciará na dinâmica

do sistema, já que veremos futuramente que estaremos interessados nas razões entre

diferentes estados microscópicos. Para um estado macroscópico o volume total do

espaço de fase é dado por

ω(E, V,N) =
∫
H(qν ,pν)≤E

d3Nqd3Np, (2.11)

6


onde a fronteira é a hipersuperf́ıcie de energia E = H(qν , pν). Para ∆E pequeno o

volume entre E e E + ∆E é dado por

∆ω = ω(E + ∆E)− ω(E) =
∂ω

∂E

∣∣∣∣∣
V,N

∆E. (2.12)

O volume entre duas superf́ıcies vizinhas (veja [3]), com área σ(E) e distância ∆E

é dado por

∆ω = σ(E)∆E. (2.13)

Comparando as expressões 2.12 e 2.13 verificamos que

σ(E) =
∂ω

∂E
, (2.14)

o que nos fornece para a equação 2.9

Ω(E, V,N) =
1

σ0

∂ω

∂E
, (2.15)

onde ω é dado por 2.11.

2.3 Definição estat́ıstica de entropia

Considere um sistema fechado que consiste de um subsistema 1 e um subsistema

2, cujas variáveis de estado são E, V e N , de forma que

E = E1 + E2 = const dE1 = −dE2

V = V1 + V2 = const dV1 = −dV2

N = N1 +N2 = const dN1 = −dN2.

(2.16)

Isto equivale a dizer que os sistemas podem trocar energia ou part́ıculas, ou podem

alterar seus volumes. Porém, em equiĺıbrio, Ei, Vi e Ni, com i = 1, 2, se adaptarão

à certos valores médios. O número total de microestados deste sistema Ω(E, V,N)

será o produto do número de estados de cada subsistema, isto é,

Ω(E, V,N) = Ω(E1, V1, N1)Ω(E2, V2, N2). (2.17)

O estado de equiĺıbrio corresponde ao estado com maior número de microestados,

isto é, Ω = Ωmax e dΩ = 0. Usando 2.17 podemos formar os diferenciais

dΩ = Ω2dΩ1 + Ω1dΩ2, (2.18)

ou, se dividirmos essa equação por 2.17, teremos

d ln Ω = d ln Ω1 + d ln Ω2. (2.19)

7


A condição de equiĺıbrio é escrita como

d ln Ω = 0, ln Ω = ln Ωmax. (2.20)

Quando a energia interna U de um sistema fechado é identificada com a energia

total E podemos considerar este sistema do ponto de vista termodinâmico, para o

qual a entropia total será a soma das entropias dos dois subsistemas

S(E, V,N) = S(E1, V1, N1) + S(E2, V2, N2). (2.21)

O diferencial dessa expressão é escrito como

dS = dS1 + dS2. (2.22)

De acordo com a segunda lei da termodinâmica estamos em equiĺıbrio termodinâmico

se a entropia é máxima

dS = 0, S = Smax. (2.23)

Podemos comparar as equações 2.20 e 2.23 e verificar que existe de fato uma analogia

entre a entropia e ln Ω. De fato, as duas quantidades devem ser proporcionais uma

à outra, ou seja, podemos definir a entropia do sistema como

S(E, V,N) = kB ln Ω(E, V,N), (2.24)

onde kB é identificada como sendo a constante de Boltzmann. Vale ressaltar que

podeŕıamos ter definido a entropia da forma acima mais uma constante, porém, a

constante poderia ser absorvida por S.

A função 2.24 possui extrema importância no sentido em que podemos calcu-

lar propriedades termodinâmicas de um dado sistema de muitos corpos usando a

hamiltoniana H(qν , pν). Apesar ds simplicidade da equação 2.15 o cálculo de Ω não

é trivial. Usamos em geral a teoria do ensemble para nos dar um método prático

para o cálculo de Ω para sistemas mais complicados.

2.4 Contagem pseudo-quântica de Ω

Consideraremos agora o caso do gás ideal e contaremos o número de estados

quânticos para uma determinação direta de Ω.

Do problema da part́ıcula quântica em uma caixa cúbica de comprimento L

temos que sua função de onda é dada por

Ψnx,ny ,nz = A sin
nxπx

L
sin

nyπy

L
sin

nzπz

L
, (2.25)

8


onde nx, ny, nz = 1, 2, ... e sua energia é dada por

E =
h2

8mL2
(n2

x + n2
y + n2

z). (2.26)

No caso clássico o microestado da part́ıcula era fixado pela variáveis canônicas ~q e

~p. Agora para o caso quântico cada estado de uma única part́ıcula é fixado pelos

números quânticos (nx, ny, nz). A energia total para o problema de N -part́ıculas é

determinada pelos 3N números quânticos dos estados ocupados,

E =
h2

8mL2

3N∑
i=1

n2
i . (2.27)

Estamos agora lidando com um espaço 3N -dimensional que contém uma esfera de

energia (3N − 1) dimensional. O estado de menor energia corresponde ao estado

para o qual todos números quânticos são iguais a 1. O próximo estado é aquele em

que somente um dos números quânticos assume valor igual a 2 e os demais iguais a

1. Se o sistema contivesse 3 part́ıculas por exemplo, haveria Ω = 9 estados posśıveis

para esta configuração de energia. Isto na realidade não corresponde à um cálculo

quântico, já que as part́ıculas são idênticas e não podemos distinguir exatamente

qual delas assumiu o valor de ni = 2. Tudo que fizemos foi usar o cálculo estat́ıstico

clássico para contar estados. Em um cálculo quântico deve-se levar em conta no

ińıcio do problema a indistinguibilidade das part́ıculas.

Nos sistemas termodinâmicos em geral há sempre troca de energia com o am-

biente, por isso é interessante definir o número de microestados médio Ω sobre um

intervalo de energia ∆E. Para isso considere o número de todos microestados no

interior da esfera de energia,

Σ(E, V,N) =
∑
E′≤E

Ω(E ′, V,N). (2.28)

Podemos aproximar Σ para uma função média Σ cont́ınua, que diferenciada com

relação à energia nos fornece a densidade média de estados, que corresponde ao

número médio de estados por intervalo de energia

g(E, V,N) =
∂

∂E
Σ(E, V,N), (2.29)

em analogia com o cálculo clássico da superf́ıcie de energia σ(E) por meio de σ(E) =

∂ω/∂E. No limite para o qual N →∞ temos Σ ≈ Σ, que corresponde à um cálculo

clássico. O fator de correção de Gibbs N ! é introduzido com o intuito de descontar

a contagem dos estados extras que são provenientes do fato das part́ıculas serem

9


indistingúıveis. Então, introduzindo o fator de correção de Gibbs para Σ(E), a

entropia absoluta é dada por

S(E, V,N) = k ln Ω(E, V,N), (2.30)

com as seguintes definições

Ω(E, V,N) = g(E, V,N)E, (2.31)

g(E) =
∂Σ(E)

∂E
, (2.32)

Σ(E) =
1

N !h3N

∫
H(qν ,pν)≤E

d3Nqd3Np, (2.33)

onde o fator h3N é a unidade de volume do espaço de fase.

2.5 Distribuição Microcanônica e limite termodinâmico

Os parâmetros termodinâmicos que especificam o número de microestados de um

sistema isolado são a energia E, o volume V e o número de part́ıculas N . O postu-

lado básico da mecânica estat́ıstica nos diz que todos os microestados da superf́ıcie

de energia de um sistema fechado podem ser assumidos como sendo igualmente

prováveis. A coleção dos sistemas em diferentes microestados e valores especificados

de E, V e N é chamado de ensemble microcanônico. Para um sistema quântico

a energia E deve ser sempre especificada em alguma faixa de energia, pois se ela

fosse especificada exatamente, o sistema teria que estar em um de seus posśıveis

autoestados, e permaneceria neste autoestado indefinidamente. Se isso acontecesse

um tratamento estat́ıstico não faria sentido. Além do mais, a energia em geral é

considerada como sendo uma variável cont́ınua. Conhecendo-se a função entropia

é posśıvel fazer a conexão com a termodinâmica através das definições gerais de

temperatura T , pressão p e potencial qúımico µ, que são dadas por

1

T
=
∂S

∂E
,
p

T
=
∂S

∂V
, −µ

T
=
∂S

∂N
. (2.34)

O que precisamos agora é especificar como podemos definir a entropia para um

sistema cuja energia é uma variável cont́ınua.

2.5.1 Densidade de espaço de fase e hipótese ergódica

Para sistemas não-fechados o postulado básico da mecânica estat́ıstica deixa de

ser válido. Para este caso o microestado deve ser multiplicado por uma função peso

ρ(qν , pν) que depende da energia do estado. Portanto teremos uma função peso para

10


cada ponto do espaço de fase (qν , pν), que pode ser interpretada como a densidade

de probabilidade para o microssistema alcançar este ponto do espaço de fase. Então,

para um sistema fechado ρ seria nulo dentro e fora da superf́ıcie de energia, e seria

constante sobre a superf́ıcie de energia. A densidade de probabilidade ρ é chamada

de densidade de espaço de fase e é normalizada a 1,∫
d3Nqd3Npρ(qν , pν) = 1. (2.35)

Sendo f(qν , pν) qualquer observável do sistema, então, em geral, pode-se observar

um valor médio < f > desta quantidade em um dado macroestado, no qual o

microestado contribui com seu peso correspondente ρ(qν , pν):

< f >=
∫
d3Nqd3Npf(qν , pν)ρ(qν , pν). (2.36)

Como o ponto do espaço de fase (qν , pν) pode ser identificado com uma cópia do

sistema macroscópico real em um certo microestado, a equação acima é simplesmente

uma média sobre o conjunto de tais cópias idênticas à tempo fixo. A quantidade

< f > é chamada de média de ensemble da quantidade f e a densidade de espaço

de fase ρ é a função de peso do ensemble.

A densidade de espaço de fase de um sitema fechado corresponde a um certo

ensemble de posśıveis microestados e o chamaremos simplesmente de um ensemble

microcanônico, que denotaremos pelo ı́ndice mc. Então, para um sistema fechado,

o ensemble microcanônico é dado por

ρmc =

 const, E ≤ H(qν , pν) ≤ E + ∆E

0, outro caso.
(2.37)

A constante em 2.37 é determinada pela normalização 2.35,

const =
1

Ω(E, V,N)h3N
, (2.38)

onde incluiremos o fator de correção de Gibbs, N !, somente se formos corrigir o

fato das part́ıculas serem distingúıveis. Por comodidade incluiremos o fator h3N

no elemento de volume para que a definição da densidade de espaço de fase seja

adimensional. Então nossas definições passam a ser

1

h3N

∫
d3Nqd3Npρ(qν , pν) = 1, (2.39)

< f >=
1

h3N

∫
d3Nqd3Npf(qν , pν)ρ(qν , pν). (2.40)

A densidade de espaço de fase normalizada do ensemble microcanônico será

ρmc =


1
Ω
, E ≤ H(qν , pν) ≤ E + ∆E

0, outro caso.
(2.41)

11


Para calcular a média temporal de uma certa quantidade f no laboratório geralmente

tomamos a média de vários valores de amostra de f em um intervalo de tempo

razoavelmente grande, T . Matematicamente isso corresponde a calcular

f = lim
T→∞

1

T

∫ T

0
dtf(t). (2.42)

A hipótese ergódica consiste basicamente em assumir que, no equiĺıbrio, esse

mesmo valor pode ser obtido de uma média no espaço de fase,

< f >=

∫
f(qν , pν)ρ(qν , pν)d

3Nqd3Np∫
ρ(qν , pν)d3Nqd3Np

, (2.43)

onde o ensemble é tomado sobre todos os microestados acesśıveis ao sistema. Para

que haja a igualdade entre as duas grandezas é necessário assumir que, para um

sistema fechado a uma dada energia, durante sua evolução temporal, a trajetória

do espaço de fase passa através de cada ponto da superf́ıcie de energia um número

igual de vezes. De fato, para sistemas com muitas dimensões pode-se demonstrar

matematicamente que a trajetória do espaço de fase, a prinćıpio, nunca pode passar

por todos pontos da superf́ıcie de energia. Para estes casos então é necessário invocar

a hipótese quasi-ergódica, que diz que a condição necessária para que haja a

igualdade entre as médias temporais e as médias de ensemble é que a trajeória do

espaço de fase passe arbitrariamente perto dos pontos da superf́ıcie de energia.

2.5.2 Número de microestados de N part́ıculas não -interagentes

Vamos agora calcular o número de microestados de um sistema de N part́ıculas

distingúıveis e dividir por N ! para corrigir a contagem dos estados extras. Para

o caso de uma part́ıcula em uma caixa tridimensional o número de microestados

com energia menor ou igual a E é igual ao volume do octante positivo da esfera

de energia. O que faremos agora é generalizar esse caso para um sistema de N

part́ıculas.

O volume de uma hiperesfera n-dimensional é dado por

Vn =
∫
r21+r22+...+r2n≤R2

dr1dr2...drn. (2.44)

Para valores inteiros de n pode ser mostrado que este volume é dado por

Vn =
2πn/2

nΓ(n/2)
Rn, (2.45)

onde, por 2.26,

R2 ≡ n2
x + n2

y + n2
z =

(
2L

h

)2

2mE. (2.46)

12


Como estamos interessados em calcular o volume somente para o caso em que os

valores de n sejam todos positivos, temos que acrescentar um fator de correção ao

volume. Então, o volume da parte correspondente ao ”octante” positivo de uma

hiperesfera n-dimensional é dado por

Σ(R) =
(

1

2

)n
Vn(R). (2.47)

Usando as propriedades da função gama, Γ(n) = (n− 1)!, Γ(n+ 1) = nΓ(n), e que

Γ(1/2) =
√
π/2, podemos facilmente demonstrar que para o caso em que n = 3N

este volume é dado por

Σ(E, V,N) =
(
V

h3

)N (2πmE)3N/2

(3N/2)!
. (2.48)

Incluindo o fator de correção de Boltzmann temos

Σ(E, V,N) =
1

N !

(
V

h3

)N (2πmE)3N/2

(3N/2)!
. (2.49)

Este volume do ”octante” positivo da hiperesfera de energia corresponde ao número

de microestados de um sistema de part́ıculas não -interagentes com energia menor

ou igual a E.

Para o caso em que o número de part́ıculas é muito grande, temos que N � 1, o

que nos permite usar a aproximação de Stirling, lnN ! = N lnN −N , e o logaritmo

da expressão 2.5.2 se torna

ln Σ(E, V,N) = N ln
V

N
+

3

2
N ln

mE

3Nπh̄2 +
5

2
N, (2.50)

onde 2πh̄ = h. Podemos também calcular a densidade de estados 2.32, que é escrita

como

g(E) =
1

N !

(
V

h3

)N (2πm)3N/2

[(3N/2)− 1]!
E(3N/2)−1. (2.51)

Tomando o logaritmo desta expressão temos

ln g(E) = − lnN !+N lnV −3N lnh+
3N

2
ln(2πm)−ln

(
3N

2
− 1

)
!+
(

3N

2
− 1

)
lnE.

(2.52)

Quando o valor de N é grande podemos usar a aproximação de Stirling novamente

e escrever

ln g(E) = −N lnN +N +N lnV − 3N lnh+
3N

2
ln(2πm)

−
(

3N

2
− 1

)
ln
(

3N

2
− 1

)
+
(

3N

2
− 1

)
+
(

3N

2
− 1

)
lnE. (2.53)

13


Como podemos notar Σ(E, V,N) e g(E) são funções de E, V e N que crescem muito

rapidamente.

Uma vez que conhecemos o número de microestados podemos escrever a en-

tropia 2.30 deste sistema. Após isso podemos calcular as grandezas macroscópicas,

que são a temperatura, a pressão e o potencial qúımico através das expressões ap-

resentadas na introdução da seção, 2.34, responsáveis por fazer essa conexão com a

termodinâmica.

2.5.3 Diferentes definições de entropia

Após todas essas definições podemos nos perguntar como devemos definir a en-

tropia para um sistema no qual a energia é uma variável cont́ınua. Note que temos

3 possibilidades:

S = kB ln g(E)E, (2.54)

S = kB ln Σ(E, V,N), (2.55)

S = kB ln g(E). (2.56)

Como estamos no limite para o qual o valor de N é muito grande, 3N/2 � 1, e

deste modo o logaritmo da densidade de estados 2.53 é escrito como

ln g(E) = N ln
V

N
+

3

2
N ln

mE

3Nπh̄2 +
5

2
N. (2.57)

Esta definição é idêntica à 2.50. Além do mais, como vimos por 2.31, no limite para

o qual N →∞ a definição do número de microestados pode ser escrita como

Ω(E, V,N) = g(E, V,N)E. (2.58)

Calculado o logaritmo desta expressão e usando a aproximação de Stirling, podemos

novamente demonstrar que o resultado será uma expressão idêntica a 2.50. O que

demonstramos foi que, no limite termodinâmico, as definições de entropia dadas

pelas equações 2.54, 2.55 e 2.56 são as mesmas. Em outras palavras dizemos que as

diferentes definições de entropia convergem para o mesmo valor para N grande. É

importante lembrar disso no caso gravitacional que será discutido mais tarde. Uma

definição de entropia mais clara e não-amb́ıgua para este caso somente é posśıvel

para valores grandes de entropia.

14


Caṕıtulo 3

Resultados de Relatividade Geral

Neste caṕıtulo apresentaremos alguns resultados conhecidos da relatividade geral

com o intuito de fixar a notação e preparar o campo para o estudo de buracos negros e

sua termodinâmica. Primeiro descreveremos brevemente o transporte paralelo. De-

pois descreveremos geodésicas que são parametrizadas afim e também as que não

são parametrizadas afim, pois estas últimas são importantes para a definição de

uma grandeza chamada gravidade superficial que aparecerá nos próximos caṕıtulos.

Estudaremos as isometrias, os vetores de Killing e o desvio geodésico que servirão

de base para se definir a derivada de Lie e demonstrar a relação entre a derivada

de Lie e a equação de Killing. Após isso falaremos sobre as condições impostas

ao tensor energia momento de uma teoria, que são chamadas de condições de en-

ergia. Como demonstraremos ao longo de toda a dissertação, a derivada de Lie

é de extrema importância nas várias deduções feitas para a obtenção das Leis da

Termodinâmica de Buracos Negros bem como as condições de energia. O estudo

feito sobre congruências geodésicas tem como intenção deduzir a chamada equação

de Raychaudhuri, que juntamente com certas condições de energia é usada para

demonstrar o chamado teorema da focalização, que nos dá uma prova de que a

gravitação é uma força atrativa. Por fim, deduziremos a solução de Schwarzschild

que corresponde a um buraco negro sem carga e sem momento angular, e a solução

de Reissner-Nordstrom, que corresponde a um buraco negro com carga e sem mo-

mento angular. Apresentaremos a solução de Kerr-Newmann, que corresponde a

um buraco negro carregado e com momento angular. Discutiremos a maneira de se

definir o chamado horizonte de eventos, as superf́ıcies nulas e a relação que ambas

possuem com os chamados horizontes de Killing. Ao longo de nossas discussões

falaremos sobre o teorema “no hair”, que diz que o buraco negro é descrito por um

conjunto muito pequeno de parâmetros. Devido a esse teorema vamos mostrar como

se escreve as expressões para a massa, a carga e o momento angular do buraco negro,

todos vistos por um observador no infinito.

15


3.1 Noções básicas

3.1.1 Transporte paralelo

Cosidere um caminho x(λ), onde λ é o parâmetro ao longo deste caminho. Um

tensor T é transportado paralelamente ao longo de x(λ) se sua derivada covariante

ao longo do caminho é nula:(
D

dλ
T
)µ1µ2...µk

ν1ν2...νl

=
dxσ

dλ
∇σT

µ1µ2...µk
ν1ν2...νl = 0. (3.1)

Para um vetor V µ essa exigência nos leva a(
D

dλ
V
)µ

=
dxσ

dλ
∇σV

µ =
dxσ

dλ
∂σV

µ + Γµσρ
dxσ

dλ
V ρ = 0

d

dλ
V µ + Γµσρ

dxσ

dλ
V ρ = 0. (3.2)

Se a conexão é compat́ıvel com a métrica, a métrica é sempre transportada parale-

lamente
D

dλ
gµν =

dxσ

dλ
∇σgµν = 0. (3.3)

Dessa forma o produto interno de dois vetores transportados paralelamente é preser-

vado:

D

dλ
gµνV

µW ν =
(
D

dλ
gµν

)
V µW ν + gµν

(
D

dλ
V
µ
)
W ν + gµνV

µ
(
D

dλ
W

µ
)

D

dλ
(gµνV

µW ν) = 0. (3.4)

O transporte paralelo com respeito a uma conexão compat́ıvel com a métrica preserva

a norma e a ortogonalidade de vetores.

3.1.2 Geodésicas

O vetor tangente a uma curva parametrizada xµ(λ) é dado por dxµ

dλ
. Uma

geodésica é uma curva na qual o vetor tangente é transportado paralelamente ao

longo de xµ(λ), i.e.
D

dλ

dxµ

dλ
= 0. (3.5)

Escrevendo explicitamente

d2xµ

dλ2
+ Γµσρ

dxσ

dλ

dxρ

dλ
= 0. (3.6)

Esta é a chamada equação da geodésica. Essa é uma escolha de parametrização es-

pećıfica na qual a curva xµ(λ) foi parametrizada com o que chamamos de parâmetro

16


afim. Qualquer parâmetro λ que se relaciona com o tempo próprio através da relação

linear

λ = aτ + b (3.7)

é chamado de parâmetro afim. A equação da geodésica mais geral é escrita como

d2xµ

dα2
+ Γµσρ

dxσ

dα

dxρ

dα
= f(α)

dxµ

dα
(3.8)

para algum parâmetro α(λ).

A equação da geodésica com parâmetro afim pode ser escrita em termos da

quadrivelocidade Uµ = dxµ

dτ
da seguinte forma

Uλ∇λU
µ = 0, (3.9)

ou em termos do quadrimomento pµ = mUµ,

pλ∇λp
µ = 0. (3.10)

Esta equação é válida para trajetórias do tipo tempo. Para trajetórias nulas o tempo

próprio τ é nulo, o que quer dizer que ele não é um parâmetro afim apropriado. Se

uma trajetória nula é uma geodésica para um parâmetro λ ela também será uma

geodésica para um parâmetro da forma aλ + b. Uma normalização conveniente do

parâmetro afim é escolher λ de forma que o quadrimomento seja dado por

pµ =
dxµ

dλ
. (3.11)

Uma part́ıcula com quadrimomento pµ medido por um observador com quadrive-

locidade Uµ terá sua energia medida por esse mesmo observador dada por

E = −pµUµ (3.12)

independentemente se pµ é nulo ou do tipo tempo. Como vimos o caráter da tra-

jetória é determinado pelo produto interno do vetor tangente com ele mesmo. Uma

propriedade importante das geodésicas em um espaçotempo com métrica de Lorentz

é que o caráter da geodésica, relativa a uma conexão compat́ıvel com a métrica,

nunca muda.

3.1.3 Isometrias e conservação do quadrimomento

Considere a métrica no espaço de Minkowski em quatro dimensões

ds2 = ηµνdx
µdxν = −dt2 + dx2 + dy2 + dz2. (3.13)

17


Facilmente notamos que essa métrica é invariante sob translações, isto é

xµ → xµ + aµ, (3.14)

e da mesma forma por transformações de Lorentz

xµ → Λµ
νx

µ, (3.15)

pois

ds2 = ηµνdx
µdxν → ηµνΛ

µ
ρΛ

ν
σdx

ρdxσ = ηρσdx
ρdxσ.

Uma variedade M possui uma simetria se a geometria é invariante sob certas

transformações que mapeiam M para si mesma. Em outras palavras M possui uma

simetria se a métrica não muda de um ponto a outro. Simetrias da métrica são

chamadas de isometrias. Sempre que os coeficientes da métrica forem indepen-

dentes de uma coordenada individual xσ∗, ou melhor, ∂σ∗gµν = 0 para um σ∗ fixo,

haverá uma simetria sob translação ao longo de σ∗, isto é

∂σ∗gµν = 0⇒ xσ∗ → xσ∗ + aσ∗ (3.16)

é uma simetria. Utilizando a equação da geodésica para trajetórias do tipo tempo

temos

pλ∇λpµ = pλ∂λpµ + Γσλµp
λpσ = 0

⇒ m
dxλ

dτ
∂λpµ = −1

2
gσν (∂λgµν + ∂µgνλ − ∂νgλµ) pλpσ

⇒ m
dpµ
dτ

= −1

2
(∂λgµν + ∂µgνλ − ∂νgλµ) pλpν = −1

2
(∂µgνλ) p

λpν (3.17)

Se para uma direção espećıfica xσ∗, ∂σ∗gµν = 0, a equação da geodésica implica na

conservação do componente do momento pσ∗:

dpσ∗
dτ

= 0. (3.18)

Em 4 dimensões há quatro tipos de translações e seis tipos de transformações de

Lorentz, o que corresponde a um total de 10 isometrias.

3.1.4 Desvio geodésico

Agora consideraremos curvas geodésicas que se encontram inicialmente paralelas

e mostraremos como elas se comportam conforme caminhamos sobre os diferentes

pontos de cada geodésica. Considere uma famı́lia de geodésicas dependentes de

um parâmetro afim t, γs(t), onde o subscrito s é um número real, e, para cada

18


s temos somente uma única geodésica associada. A coleção de todas essas curvas

forma uma superf́ıcie suave bidimensionalM. As coordenadas sobre essa superf́ıcie

podem ser escolhidas de forma que sejam s e t, desde que tenhamos uma famı́lia

de geodésicas que não se cruzam. A superf́ıcie inteira é formada pelo conjunto de

pontos xµ(s, t) ∈M. Os dois campos vetoriais são o vetor tangente à superf́ıcie

T µ =
∂xµ

∂t
(3.19)

e o vetor de desvio, que mede o desvio entre duas geodésicas próximas, dado por

Sµ =
∂xµ

∂s
. (3.20)

Figura 3.1: Representação dos vetores tangente e de desvio.

A velocidade relativa e a aceleração entre geodésicas são definidas respectiva-

mente por

V µ = (∇TS)µ = T ρ∇ρS
µ, (3.21)

Aµ = (∇TV )µ = T ρ∇ρV
µ. (3.22)

Usando o fato de que [S, T ] = 0 temos

[S, T ]µ = Sλ∂λT
µ − T λ∂λSµ = Sλ∇λT

µ − T λ∇λS
µ = 0. (3.23)

Logo

Sλ∇λT
µ = T λ∇λS

µ, (3.24)

Assim podemos calcular a aceleração

Aµ = T ρ∇ρV
ρ = T ρ∇ρ(T

σ∇σS
µ) = T ρ∇ρ(S

σ∇σT
µ)

= (T ρ∇ρS
σ)(∇σT

µ) + T ρSσ(∇ρ∇σT
µ)

19


= (T ρ∇ρS
σ)(∇σT

µ) + T ρSσ[∇σ∇ρT
µ +Rµ

νρσT
ν ]

= (T ρ∇ρS
σ)(∇σT

µ) + Sσ∇σ(T ρ∇ρT
µ)− (Sσ∇σT

ρ)∇ρT
µ +Rµ

νρσT
νT νSσ

Usando o fato de que T µ é o vetor tangente, isto é T ρ∇ρT
µ = 0, a aceleração entre

as geodésicas é dada por

Aµ = Rµ
νρσT

νT ρSσ. (3.25)

Esta aceleração é uma manifestação das forças de marés gravitacionais. Esta é a

chamada equação do desvio geodésico e, usando a notação de derivada ao longo da

curva x(t), ela é escrita como

Aµ =
D2

dt2
Sµ = Rµ

νρσT
νT ρSσ. (3.26)

Pelo resultado vemos que a aceleração entre duas geodésicas é proporcional à cur-

vatura.

3.1.5 Vetores de Killing e equação de Killing

Seja gµν a métrica independente da coordenada xσ∗, e seja o vetor unitário asso-

ciado à essa direção dado por K ≡ ∂σ∗, tal que

Kµ = (∂σ∗) = δµσ∗. (3.27)

Kµ é o vetor que gera a isometria do espaçotempo. O componente do momento

associado à essa direção pode ser escrito como

pσ∗ = Kνpν . (3.28)

Como vimos anteriormente essa é uma quantidade conservada. Essa lei de con-

servação é o equivalente a afirmar que a derivada direcional ao longo da geodésica é

nula, isto é
dpσ∗
dτ
⇔ pµ∇µ(pσ∗) = pµ∇µ(Kνpν) = 0. (3.29)

De fato,

pµ∇µ(Kνp
ν) = pνpµ(∇µKν) +Kνp

µ(∇µp
ν) = 0.

O segundo termo é nulo pela definição da geodésica 3.10. No primeiro termo os

componentes do momento são simétricos pela troca dos ı́ndices µ e ν, logo podemos

simetrizar o termo que multiplica esses componentes de forma a obter

pµ∇µ(Kνp
ν) = pµpν∇(µKν) = 0. (3.30)

20


Como os componentes do momento são arbitrários a equação que resulta dessa

condição é dada por

∇µKν +∇νKµ = 0. (3.31)

Esta é a chamada equação de Killing e qualquer vetor Kµ que satisfaça essa

equação implica que Kνp
ν seja uma quantidade conservada ao longo da geodésica.

Os vetores que satisfazem a equação de Killing são chamados de vetores de Killing.

3.1.6 Derivada de Lie

Para introduzir o conceito de derivada de Lie considere a lei de transformação

da métrica sob transformações de coordenadas

g′µν(x
′) =

∂x′ρ

∂xµ
∂x′σ

∂xν
gρσ(x). (3.32)

Podemos escrever a transformação como

x′µ = xµ + εξµ, (3.33)

onde ε é o parâmetro infinitesimal e ξ é o gerador da transformação . Note que

∂x′ρ

∂xµ
= δρµ + ε∂µξ

ρ(x),

e a expansão da métrica até primeira ordem em ε é escrita como

gρσ(x) = gρσ(x′)− εξµ∂µgρσ(x).

Substituindo estes resultados em 3.32 temos

g′µν(x
′) = gρσ(x′)− ε(ξρ∂ρgµν + gρν∂µξ

ρ + gρµ∂νξ
ρ) +O(ε2). (3.34)

Se a transformação de coordenadas corresponde à uma isometria então devemos ter

g′µν(x
′)− gρσ(x′) = 0, (3.35)

e, devido à arbitrariedade do parâmetro ε, consequentemente teremos

Lξgµν ≡ ξρ∂ρgµν + gρν∂µξ
ρ + gρµ∂νξ

ρ = 0, (3.36)

que é a chamada derivada de Lie da métrica. Se a conexão é compat́ıvel com a

métrica temos

∂ρgµν = Γσρµgσν + Γσρνgσµ.

Substituindo na expressão 3.36 teremos

∇µξν +∇νξµ = 0, (3.37)

21


que é a equação de Killing 3.31, o que demonstra que o vetor que gera a trans-

formação 3.33 é um vetor de Killing. A derivada de Lie é um conceito definido para

tensores de quaisquer tipos, como veremos. Considere agora uma curva γ cujo vetor

tangente é ξα = dxα/dλ. Podemos escrever a transformação de coordenadas com

parâmetro infinitesimal dλ como

x′α = xα + ξαdλ. (3.38)

Sob essa transformação um vetor contravariante Aα se torna

A′α(x′) = ∂x′α

∂xβ
Aβ(x)

= (δαβ + ∂βξ
αdλ)Aβ(x)

= Aα(x) + ∂βξ
α(x)dλ.

(3.39)

Por outro lado, o valor desse mesmo vetor no ponto x′ é escrito como

Aα(x′) = Aα(xα + ξαdλ)

= Aα(x) + ξβ∂βA
α(x)dλ.

(3.40)

Em geral, A′α(x′) e Aα(x′) não serão iguais. A diferença entre eles define a derivada

de Lie de um vetor Aα ao longo da curva γ:

LξAα ≡
Aα(x′)− A′α(x′)

dλ
. (3.41)

Combinando as duas equações anteriores à essa temos

LξAα = ξβ∂βA
α − Aβ∂βξα, (3.42)

ou seja, a derivada de Lie de um vetor contravariante Aα por ξα é igual ao comutador

entre ξα e Aα. Partindo dos mesmos prinćıpios podemos estender a idéia de derivada

de Lie para escalares, que é escrita como

Lξf = ξα∂αf, (3.43)

e para um vetor covariante Aα, a derivada de Lie é escrita como

LξAα = ξβ∂βAα + Aβ∂βξα. (3.44)

Por indução podemos verificar que a derivada de Lie de um tensor de ordem m em

seu ı́ndice contravariante, e de ordem n em seu ı́ndice covariante é escrita como

LξTα1...αm
β1...βn = ξγ∇γT

α1...αm
β1...βn − T γ...αmβ1...βn∇γξ

α1 − ...
−Tα1...γ

β1...βn∇γξ
αm + Tα1...αm

γ...βn∇β1ξ
γ + ...+ Tα1...αm

β1...γ∇βnξ
γ. (3.45)

22


3.1.7 Condições de Energia

As equações de Einstein relacionam as propriedades geométricas do espaçotempo,

embutidas no tensor de Einstein Gµν , com o conteúdo de energia da matéria, embu-

tido no tensor energia-momento. De fato, para certos tipos de matéria há uma certa

arbitrariedade na escolha de fontes de energia momento. Chamamos de condições

de energia às condições impostas sobre o tensor energia-momento de forma a limitar

essa arbitrariedade. Acredita-se por exemplo, que todos os sistemas f́ısicos satis-

fazem a condição de energia fraca, enquanto que para outras condições isso já não é

muito claro. Porém, os tipos de matéria usuais, como poeira e radiação por exemplo,

satisfazem todas as condições de energia que apresentaremos. Seja tµ um quadrive-

tor do tipo tempo e lµ um quadrivetor do tipo nulo. As condições de energia mais

comumente encontradas na literatura são :

1. condição de energia fraca

Tµνt
µtν ≥ 0 (3.46)

para todo vetor do tipo tempo tµ;

2. condição de energia nula

Tµνl
µlν ≥ 0 (3.47)

para todo vetor nulo lµ;

3. condição de energia dominante

Tµνt
µtν ≥ 0, TµνT

ν
λt
µtλ ≤ 0, (3.48)

que equivale a dizer que exigimos a condição de energia fraca e que Tµνt
µ seja um

vetor do tipo nulo ou do tipo tempo;

4. condição de energia dominante nula

Tµνl
µlν ≥ 0, TµνT

ν
λl
µlλ ≤ 0, (3.49)

que equivale a dizer que exigimos a condição de energia dominante para vetores

nulos somente;

5. condição de energia forte

Tµνt
µtν ≥ 1

D − 2
T λλtµt

µ (3.50)

para todos vetores do tipo tempo tµ.

Como exemplo de aplicação das condições de energia vamos tratar do caso de

um fluido perfeito, descrito pelo tensor energia-momento

Tµν = (ρ+ p)UµUν + pgµν , (3.51)

23


onde Uµ é a quadrivelocidade do fluido, tal que UµU
µ = −1, e o espaço é isotrópico,

de forma que a pressão tem o mesmo valor nas direções espaciais. Como Uµ é um

vetor do tipo tempo temos

TµνU
µUν = (ρ+ p)UµU

µUνU
ν + pgµνU

µUν

= (ρ+ p)− p = ρ⇒

TµνU
µUν = ρ, (3.52)

Tµνl
µlν = (ρ+ p)Uµl

µUνl
ν + pgµνl

µlν

= (ρ+ p)(Uµl
µ)2 ⇒

Tµνl
µlν = (ρ+ p)(Uµl

µ)2, (3.53)

TµνT
ν
λU

µUλ = (ρ+ p)2UµU
µUνU

νUλU
λ

+(ρ+ p)pUµU
µUνU

ν + p(ρ+ p)UµU
µUλU

λ + p2gµνU
µUν

= −(ρ+ p)2 + 2p(ρ+ p)− p2 = −ρ2 ⇒

TµνT
ν
λU

µUλ = −ρ2. (3.54)

T λλ = (D − 1)p− ρ. (3.55)

Como tµ é um vetor qualquer do tipo tempo, isto é, tµt
µ < 0, podemos escolher a

decomposição tµ = Uµ + αlµ, sendo α uma constante. Porém tµt
µ < 0 implica em

αUµl
µ <

1

2
. (3.56)

A condição de energia fraca estabelece que

ρ− 2αρ(Uµl
µ) + α2(ρ+ p)(Uµl

µ)2 ≥ 0. (3.57)

Escolhendo α = 0 implica em ρ ≥ 0, e escolhendo α = 1 podemos escolher Uµl
µ =

−1/2 de forma que 3.56 seja satisfeita e isso implica em ρ + p ≥ 0. A condição de

energia fraca estabelece então que ρ ≥ 0 e que ρ + p ≥ 0, ou seja, que a densidade

de energia seja positiva e que a pressão não seja grande demais se comparada com

a densidade de energia. Por 3.53 vemos que a condição de energia nula estabelece

somente que ρ+ p ≥ 0, ou seja, que agora a densidade de energia pode ser negativa

sendo compensada com uma pressão positiva. A condição de energia dominante

estabelece que

−ρ2 + 2αρ2(Uµl
µ) + α2(−ρ2 + p2)(Uµl

µ)2 ≤ 0. (3.58)

Já sabemos que ρ > 0, então podemos escolher Uµl
µ = −1 e α > 1/2, o que nos

fornecerá a condição p2 − ρ2 ≤ 0, ou seja, que ρ ≥ |p|. Então a condição de energia

24


dominante estabelece que ρ ≥ |p|, ou seja, que a densidade de energia seja maior que

a pressão em módulo permitindo a pressão assumir valores negativos. A condição

de energia forte estabelece que

(D−3)ρ−2αρ(D−3)(Uµl
µ)−2α2p(D−1)(Uµl

µ)+(D−1)p+α2(ρ+p)(D−2)(Uµl
µ)2 ≥ 0.

(3.59)

Para α = 0 temos (D − 3)ρ+ (D − 1)p ≥ 0. Para α = 1 e Uµl
µ = −1 temos

−ρ(D − 3) + 3(D − 1)p+ (D − 2)(ρ+ p) ≥ 0.

Pela condição (D − 3)ρ + (D − 1)p ≥ 0 os dois primeiros termos dessa expressão

são claramente maior ou igual a zero, o que resulta em (D− 2)(ρ+ p) ≥ 0. Logo, a

condição de energia forte esbelece que (D − 3)ρ + (D − 1)p ≥ 0 e que (ρ + p) ≥ 0.

A condição de energia forte implica que a gravitação é atrativa, como veremos na

seção a seguir que trata de congruências geodésicas.

3.1.8 Congruências geodésicas

Uma congruência geodésica é um conjunto de curvas em uma região aberta do

espaçotempo tal que cada ponto desta região se encontra precisamente sobre uma

única curva, o que equivale a dizer que as curvas não se cruzam. Para o estudo

da evolução de uma congruência geodésica é necessário introduzir tensores que nos

dão ideia de alguns conceitos referentes à cinemática de um meio deformável, o que

nos dará uma visão geométrica, porém mais f́ısica, a respeito do comportamento da

congruência em questão . Considere o movimento interno de um meio deformável

bidimensional, o qual analisaremos de um ponto de vista puramente cinemático.

Para um deslocamento suficientemente pequeno ξα sobre um ponto de referência O

podemos escrever
dξα

dt
= Bα

β(t)ξβ +O(ξ2) (3.60)

para algum tensor Bα
β(t). É a dinâmica do meio que determina a dependência

temporal deste tensor. Para pequenos intervalos de tempo a relação abaixo é válida

ξα(t1) = ξα(t0) + ∆ξα(t0), (3.61)

onde

∆ξα(t0) = Bα
β(t0)ξβ(t0) +O(∆t2), (3.62)

e ∆t = t1 − t0. A ação de Bα
β pode ser visualizada geometricamente através de

um exemplo simples, um ćırculo, descrito por ξα(t0) = (r0 cosφ, r0 sinφ). Separada-

mente considere o caso em que Bα
β é proporcional a matriz identidade na seguinte

25


forma:

Bα
β =

 1
2
θ 0

0 1
2
θ

 , (3.63)

com θ ≡ Bα
α. Então temos a variação

∆ξα =
1

2
θr0∆t(cosφ, sinφ), (3.64)

o que, por 3.61, corresponderá a uma variação no raio do ćırculo

r1 = r0 +
1

2
θr0∆t, (3.65)

o que demonstra que o ćırculo estará se expandindo, para ∆t > 0, ou se contraindo,

para ∆t < 0. Essa mudança no raio corresponderá à uma mudança na área, ∆A ≡
A1 − A0 = πr2

0θ∆t. De fato, essa mudança na área nos dá uma interpretação para

θ, que pode ser escrito como

θ =
1

A0

∆A

∆t
. (3.66)

Apesar de ser uma função do tempo a quantidade θ é chamada de parâmetro de

expansão, ou simplesmente expansão, e por 3.66 corresponde à mudança fracional

de área por unidade de tempo.

Suponha agora que Bα
β seja simétrico e com traço nulo, escrito na seguinte

forma:

Bα
β =

 σ+ σ×

σ× −σ+

 . (3.67)

Então, sendo α, β = 1, 2, temos

∆ξ1 = B1
1ξ

1∆t+B1
2ξ

2∆t = r0∆t(σ+ sinφ+ σ× cosφ)

∆ξ2 = B2
1ξ

1∆t+B2
2ξ

2∆t = r0∆t(σ× cosφ− σ+ sinφ),

que de forma reduzida é escrita como

∆ξα = r0∆t(σ+ sinφ+ σ× cosφ, σ× cosφ− σ+ sinφ) (3.68)

Então 3.61 nos fornece

r1(cosφ, sinφ) = r0(cosφ, sinφ) + r0∆t(σ+ cosφ+ σ× sinφ,−σ+ sinφ+ σ× cosφ).

(3.69)

Multiplicando o primeiro componente por cos θ, o segundo componente por sin θ e

depois somando os resultados chegamos à equação paramétrica que descreve a nova

figura

r1 = r0(1 + σ+∆t cos 2φ+ σ×∆t sin 2φ). (3.70)

26


Considerando o caso em que ∆t > 0 e σ+ > σ×, esta figura representa uma elipse

com semieixo maior dado por r0(1+σ+∆t) e semieixo menor dado por r0(1−σ+∆t).

A área da figura, que antes era πr2
0, não muda até a primeira ordem em ∆t. O tensor

Bα
β representa nesse caso a distorção da figura (o termo em inglês usado nesse caso

é ”shear”) e os parâmetros σ+ e σ× são chamados de parâmetros de distorção . Uma

caracteŕıstica interessante desta transformação da figura é que a área da figura é a

mesma antes e depois, até a primeira ordem em ∆t.

Como último caso, suponhamos agora que Bα
β seja antissimétrico, de forma que

Bα
β =

 0 ω

−ω 0

 . (3.71)

Da mesma forma que antes obtemos

∆ξα = r0ω∆t(sinφ,− cosφ). (3.72)

Como ∆t é pequeno podemos escrever

ξα(t1) = r0(cos(φ− ω∆t), sin(φ− ω∆t)). (3.73)

De fato, isto representa uma rotação global da figura original e essa rotação não

altera a área da figura. Por este motivo chamamos ω de parâmetro de rotação . O

caso geral corresponde a Bα
β sendo igual a soma dos três casos anteriores, isto é

Bα
β =

 1
2
θ 0

0 1
2
θ

+

 σ+ σ×

σ× −σ+

+

 0 ω

−ω 0

 , (3.74)

que pode ser escrito em termos de componentes como

Bαβ =
1

2
θδαβ + σαβ + ωαβ. (3.75)

Nesta expressão θ = Bα
α corresponde ao traço de Bαβ e é chamada de expansão,

σαβ = B(αβ) − 1
2
θδαβ corresponde à parte simétrica e de traço nulo de Bαβ, que é

chamada de distorção, e finalmente ωαβ = B[αβ] corresponde à parte antissimétrica

de Bαβ e é chamada de rotação. A ação deste tensor mais geral corresponde a uma

combinação linear da expansão, distorção e rotação. Podemos facilmente generalizar

a equação 3.75 para o caso tridimensional, que será expressa como

Bαβ =
1

3
θδαβ + σαβ + ωαβ, (3.76)

onde agora teremos θ = Bα
α, σαβ = B(αβ) − 1

3
θδαβ e ωαβ = B[αβ]. Para o caso

tridimensional, θ é a mudança fracional do volume por unidade de tempo

θ =
1

V0

∆V

∆t
. (3.77)

27


Podemos verificar essa expressão ao considerar a relação

ξα(t1) = (δαβ +Bα
β∆t)ξβ(t0) (3.78)

como uma transformação de coordenadas de ξβ(t0) para ξβ(t1). O jacobiano da

transformação será

J = det[δαβ +Bα
β∆t] = 1 + Tr[Bα

β∆t] = 1 + θ∆t,

o que implica que o volume em t0 e t1 são relacionados por

V1 = (1 + θ∆t)V0

que implica a equação 3.77. Este resultado também mostra que o volume não é

afetado pelos tensores de distorção e de rotação.

Estes são, a prinćıpio, os ingredientes essenciais para se estudar congruências

geodésicas. Estudaremos primeiro a congruêcia de geodésicas do tipo tempo, que

facilmente pode ser estendido para geodésicas do tipo espaço. O caso nulo será

tratado separadamente. Queremos determinar como uma dada congruência se com-

porta com o tempo, ou, mais precisamente, queremos estudar o comportamento do

vetor de desvio ξα entre duas geodésicas vizinhas em uma congruência como uma

função do tempo próprio. Sendo uα = dxα/dτ o vetor tangente às geodésicas do

tipo tempo (o mesmo que o vetor T µ em 3.19) e o vetor de desvio ξα transversal ao

fluxo da congruência (o mesmo que o vetor de desvio Sµ em 3.20) as relações abaixo

são válidas

uαuα = −1, uβ∇βu
α = 0, uαξα = 0, ξβ∇βu

α = uβ∇βξ
α. (3.79)

A métrica gαβ é decomposta em uma parte longitudinal, −uαuβ, e uma parte tran-

versal, hαβ,

gαβ = hαβ − uαuβ. (3.80)

A métrica transversal é puramente espacial, no sentido em que ela é ortogonal a uα,

isto é

uαhαβ = hαβu
β = 0. (3.81)

Ela é puramente tridimensional. Para um referencial de Lorentz em um ponto P

da congruência, uα = (1, 0, 0, 0), gαβ = diag(−1, 1, 1, 1), logo hαβ = diag(0, 1, 1, 1).

Introduzimos nesse ponto o campo tensorial

Bαβ = ∇βuα, (3.82)

28


que também é puramente transversal, pois

uαBαβ = uα∇βuα =
1

2
∇β(uαuα) = 0,

Bαβu
β = uβ∇βuα = 0.

De uβ∇βξ
α = ξβ∇βu

α temos

uβ∇βξ
α = Bα

βξ
β. (3.83)

Por 3.8 dizemos que Bα
β é um tensor que mede a ”falha” de ξα em ser transportado

paralelamente ao longo da congruência. Essa equação é análoga a 3.60 e o tensor Bα
β

é dado por 3.76, já que estamos considerando caso de uma congruência de geodésicas

do tipo tempo, e a interpretação da expansão, distorção e rotação é a mesma que a

anterior. Se θ > 0 a congruência estará divergindo e se θ < 0 a congruência estará

convergindo. Todo esse formalismo foi apresentado para que pudssemos deduzir uma

equação para a evolução de θ com respeito ao tempo próprio. Como Bβα = ∇βuα

temos
uµ∇µBαβ = uµ∇µ∇βuα

= uµ∇β∇µuα −Rανβµu
νuµ

= ∇β(uµ∇µuα)−∇µuα∇βu
µ −Rαµβνu

µuν

= −BαµB
µ
β −Rαµβνu

µuν .

Tomando o traço desta expressão temos

dθ

dτ
= −BαβBβα −Rαβu

αuβ. (3.84)

Separadamente temos

BαβBβα =
(

1

3
θδαβ + σαβ + ωαβ

)(
1

3
θδβα + σβα + ωβα

)

BαβBβα =
1

3
θ2 + σαβσαβ − ωαβωβα,

onde usamos o fato de que o delta de Kronecker multiplicado pelo tensor de rotação

é nulo por ser um produto de um tensor simétrico com um antissimétrico e que

o tensor de distorção tem traço nulo. Substituindo esse resultado em 3.84 temos

finalmente
dθ

dτ
= −1

3
θ2 − σαβσαβ + ωαβωβα −Rαβu

αuβ. (3.85)

Esta é a chamada equação de Raychaudhuri para uma congruência de geodésicas do

tipo tempo. A importância desta equação para a relatividade geral é revelada pelo

seguinte teorema: Seja uma congruência geodésica ortogonal à hipersuperf́ıcie, de

29


forma que ωαβ = 0 e que seja válida a condição de energia forte 3.50, i.e. Rαβu
αuβ ≥

0. Então, a equação de Raychaudhuri 3.85 implica que

dθ

dτ
= −1

3
θ2 − σαβσαβ −Rαβu

αuβ ≤ 0. (3.86)

A expansão deve portante decrescer durante a evolução da congruência. Então

uma congruência que inicialmente está divergindo, isto é, θ > 0, divergirá menos

rapidamente no futuro, enquanto que uma congruência que está convergindo, isto

é, θ < 0, convergirá mais rapidamente no futuro. Este é o chamado teorema de

focalização (focusing theorem). A interpretação f́ısica deste teorema é que quando

a condição de energia forte é válida a gravitação é uma força atrativa, e

que as geodésicas se focalizam como resultado desta atração. Também da equação

de Raychaudhuri sob as condições do teorema de focalização vale a relação

dθ

dτ
≤ −1

3
θ2, (3.87)

que pode ser facilmente integrada, fornecendo

1

θ(τ)
≥ 1

θ0

+
τ

3
, (3.88)

sendo θ0 ≡ θ(t0) a constante de integração. Isto mostra que para uma congruência

que está inicialmente convergindo (θ0 < 0), então θ(τ) → −∞ quando o intervalo

de tempo próprio for τ ≤ 3/|θ0|. Isso quer dizer que as geodésicas se encontrarão

em um ponto, chamado de cáustica. A cáustica é uma singularidade da congruência

e a equação de Raychaudhuri perde o significado em tais pontos.

Partiremos agora para o caso de uma congruência de geodésicas nulas. O ve-

tor tangente às geodésicas será kα, e será um vetor nulo. As geodésicas serão

parametrizadas por um parâmetro afim λ. O vetor de desvio novamente será ξα,

e também será ortogonal às geodésicas e Lie transportado ao longo delas. Logo, é

válido o conjunto de equações

kαkα = 0, kβ∇βk
α = 0, kβ∇βξ

α = ξβ∇βk
α = 0, kαξα = 0. (3.89)

Se a métrica transversal fosse dada por uma fórmula similar a 3.80, usando kα em

vez de uα, claramente ela não seria ortogonal ao vetor kα, já que hαβk
β = kα. Para

resolver esse problema introduzimos as coordenadas nulas

u = t− x, v = t+ x. (3.90)

O elemento de linha num referencial de Lorentz será

ds2 = −dudv + dy2 + dz2. (3.91)

30


Como kα é um vetor nulo podeŕıamos escolhê-lo de forma que ele fosse tangente

às curvas u = const, e 3.91 seria então dado por ds̃2 = dy2 + dz2, o que represen-

taria uma métrica transversal bidimensional. Este será o nosso caso, pois ds2 = 0

para deslocamentos ao longo da direção v. Para poder isolar a parte transversal da

métrica introduzimos outro vetor nulo Nα, que será o vetor auxiliar com a normal-

ização Nαk
α = −1. Podeŕıamos por exemplo escolher kα = −∂u e Nα = −1

2
∂αv em

um referencial de Lorentz que essa normalização será satisfeita. Por construção, a

métrica transversal pode ser escrita como

hαβ = gαβ + kαNβ +Nαkβ, (3.92)

satisfazendo

hαβk
β = hαβN

β = 0, hαα = 2, hαµh
µ
β = hαβ. (3.93)

Essa métrica é ortogonal a kα e Nα, e efetivamente bidimensional. Para descrever

a evolução da congruência de geodésicas nulas introduzimos novamente o tensor

Bαβ = ∇βkα como sendo uma medida da falha de kα ser transportado paralelamente

ao longo da congruência, através da relação

kβ∇βξ
α = Bα

βξ
β. (3.94)

Bα
β é ortogonal a ao vetor tangente, isto é, kαBαβ = 0, mas não é ortogonal a Nα,

o que nos diz que a equação acima tem um componente tranversal que deve ser

removido. Para isso, projetamos o vetor de desvio ξα usando a métrica transversal

3.92, o que nos dará sua parte puramente transversal ξ̃α:

ξ̃α ≡ hαµξ
µ = ξα + kα(ξµNµ) +Nα(ξµkµ)

ξ̃α = ξα + kα(ξµNµ). (3.95)

A velocidade relativa entre duas geodésicas é dada pela derivada covariante do vetor

de desvio transversal na direção kα

kβ∇β ξ̃
µ = kβ∇βh

µ
ν · ξν + hµν · kβ∇βξ

ν

= kβ∇βh
µ
ν · ξν + hµν · ξβ∇βk

ν

= kβ∇βh
µ
ν · ξν + hµν ·Bν

βξ
β.

Fazendo o mesmo cálculo para o lado direito de 3.95 temos

kβ∇β ξ̃
µ = kβ∇βξ

µ + kβ∇βNν · ξνkµ +Nνk
µ · kβ∇βξ

ν +Nνξ
ν · kβ∇βk

µ

= kβ∇βξ
µ + kβ∇βNν · ξνkµ,

31


de onde notamos que kβ∇β ξ̃
µ tem um componente ao longo de kµ. Para removê-lo

temos que projetá-lo usando hαµ, o que nos dará

hαµk
β∇β ξ̃

µ = hαµh
µ
ν ·Bν

βξ
β

= hαµB
µ
νξ
ν

= hαµB
µ
ν(ξ̃

ν − (Nβξ
β)kν)

= hαµB
µ
ν ξ̃
ν

= hαµh
ν
βB

µ
ν ξ̃
β

para os componentes transversais da velocidade relativa. Podemos escrever o resul-

tado como

hαµk
β∇β ξ̃

µ = B̃α
β ξ̃

β, (3.96)

onde definimos a parte puramente tranversal de Bµν como

B̃αβ = hµαh
ν
βBµν . (3.97)

A equação 3.96 é a equação que governa o comportamento tranversal de uma con-

gruência de geodésicas nulas, e B̃α
β ξ̃

β pode ser interpretado como a velocidade rel-

ativa transversal entre duas geodésicas vizinhas. Usando 3.97 e as relações 3.92 e

3.94 podemos facilmente expressar B̃αβ como

B̃αβ = Bαβ + kαN
µBµβ + kβBαµN

µ + kαkβBµνN
µNν . (3.98)

A decomposição do tensor B̃αβ em suas partes irredut́ıveis é similar a 3.75:

B̃αβ =
1

2
θhαβ + σαβ + ωαβ, (3.99)

onde θ, σαβ e ωαβ possuem interpretações similares ao caso anterior. Explicitamente,

a expansão escalar é escrita como

θ = gαβB̃αβ

= gαβBαβ

= ∇αkα.

(3.100)

Este resultado nos diz que, apesar da arbitrariedade da escolha de um vetor nulo Nα,

a expansão não depende dessa escolha, o que demonstra que ela é única. De forma

similar à 3.66, a interpretação de θ é a de que ele representa uma taxa de variação

fracional por unidade de parâmetro afim da área da seção transversal da congruência.

Seguindo os mesmos passos apresentados para o caso de congruências de geodésicas

do tipo tempo podemos deduzir a versão nula da equação de Raychaudhuri. De

fato,
dθ

dτ
= −BαβBβα −Rαβu

αuβ, (3.101)

32


e como

BαβBβα = B̃αβB̃βα =
1

2
θ2 + σαβσαβ − ωαβωβα,

teremos
dθ

dτ
= −1

2
θ2 − σαβσαβ + ωαβωβα −Rαβu

αuβ. (3.102)

Esta é a equação de Raychaudhuri para uma congruência de geodésicas nulas. Pelo

fato dos tensores de rotação e distorção serem puramente transversais, σαβσαβ ≥ 0 e

ωαβωβα ≥ 0, com a igualdade valendo somente se os tensores são nulos. O teorema

da focalização também possui uma versão nula. Considere uma congruência de

geodésicas nulas ortogonais a hipersuperf́ıcie, de forma que ωαβ = 0, e que seja a

válida a condição de energia nula, i.e. Rαβk
αkβ ≥ 0. A equação de Raychaudhuri

implica que
dθ

dτ
= −1

2
θ2 − σαβσαβ −Rαβu

αuβ ≤ 0, (3.103)

que significa que as geodésicas se focalizam durante a evolução das congruências.

Integrando dθ
dτ
≤ −1

2
θ2, temos

1

θ(λ)
≥ 1

θ0

+
λ

2
, (3.104)

onde θ0 = θ(0). Este resultado mostra que, para uma congruência que esta inicial-

mente convergindo (θ0 < 0), θ → −∞, dentro de um intevalo de parâmetro afim

λ < 2/θ0, o que também sinaliza a ocorrência de uma cáustica.

3.2 Buracos negros

Nesta seção apresentaremos as soluções do tipo buraco negro para as equações

de Einstein. A primeira e mais simples de todas essas soluções, chamada de solução

de Schwarzschild em homenagem à Karl Schwarzschild que a descobriu em 1916,

corresponde a uma solução esfericamente simétrica das equações de Einstein com

conteúdo de matéria nulo, isto é, Tµν = 0. A solução de Reissner-Nordstrom corre-

sponde à solução de um buraco negro carregado e sem momento angular. A solução

de Kerr-Neumann é a mais geral de todas essas soluções pois descreve um buraco

negro carregado e com momento angular.

Basicamente seguiremos as referências [5], [7] e [9]. Somente por completeza es-

creveremos algumas soluções em diferentes sistemas de coordenadas. Uma discussão

sobre o comportamento dos cones de luz nas regiões de dentro e fora do horizonte

de eventos bem como alguns fenômenos f́ısicos que ocorrem devido à cada geometria

como o desvio da luz e o atraso no tempo também são encontradas nas referências

citadas acima.

33


Uma discussão sobre superf́ıcies nulas, horizontes de Killing e a maneira como

se define massa, carga e momento angular na região assintótica também são apre-

sentadas nesta seção.

3.2.1 Solução de Schwarzschild

Um campo gravitacional apresentará simetria esférica quando a distribuição de

matéria é esfericamente simétrica e quando o movimento da matéria ocorre somente

na direção radial. A simetria esférica implica que a métrica é a mesma para todos

pontos que se localizam à mesma distância do centro. A expressão para o elemento

de linha com simetria esférica mais geral em coordenadas esféricas é escrita como

ds2 = l(r, t)dt2 + a(r, t)drdt+ h(r, t)dr2 + k(r, t)(dθ2 + sin2 θdφ2), (3.105)

onde a, h, k e l são funções arbitrárias de r e t. Devido à arbitrariedade da escolha de

sistemas de coordenadas na relatividade geral podemos escolher um sistema de co-

ordenadas que não estrague a simetria esférica do problema. Usando transformações

do tipo

t→ f1(r′, t′), r → f2(r′, t′) (3.106)

podemos escolher um sistema de coordenadas em que a(r, t) = 0 e k(r, t) = r2.

Essa escolha implica que a coordenada r é definida de forma que a circunferência

do ćırculo com centro na origem seja 2πr. Por conveniência escrevemos

l(r, t) = −eν , h(r, t) = eλ, (3.107)

onde λ e ν são funções de r e t, e tomamos c = 1. Então o elemento de linha toma

a forma

ds2 = −eνdt2 + eλdr2 + r2(dθ2 + sin2 θdφ2). (3.108)

Definindo as coordenadas x0 = t, x1 = r, x2 = θ e x3 = φ, os elementos da métrica

e da métrica inversa serão respectivamente

g00 = −eν , g11 = eλ, g22 = r2, g33 = r2 sin2 θ,

g00 = −e−ν , g11 = e−λ, g22 =
1

r2
, g33 =

1

r2 sin2 θ
. (3.109)

Definindo as derivadas temporais com pontos e derivadas com respeito à coordenada

radial com prima, os śımbolos de Cristoffel não nulos são

Γ0
00 =

ν̇

2
, Γ0

10 = Γ0
01 =

ν ′

2
, Γ0

11 =
λ̇

2
e−(ν−λ), 2, Γ1

00 =
ν ′

2
eν−λ,

Γ1
10 = Γ1

01 =
λ̇

2
, Γ1

11 =
λ′

2
, Γ1

22 = −re−λ, Γ1
33 = −re−λ sin2 θ,

Γ2
33 = − sin θ cos θ, Γ2

12 = Γ2
21 = Γ3

13 = Γ3
31 =

1

r
, Γ3

23 = Γ3
32 = cot θ. (3.110)

34


Os tensores de Ricci são dados por

R00 = − ν̇λ̇
2

+
λ̈

2
+
λ̇2

4
+

(
ν ′′

2
+
ν ′

2
− ν ′λ′

4
+
ν ′

r

)
eν−λ, R01 =

λ̇

r
,

R11 =

(
λ̈

2
+
λ̇2

4
− ν̇λ̇

4

)
e−(ν−λ) − ν ′′

2
+
ν ′λ′

4
+
λ′

r
− ν ′2

4
,

R22 =

(
rλ′

2
− rν ′

2
− 1

)
e−λ+1, R33 =

(
rλ′

2
− rν ′

2
− 1

)
e−λ sin2 θ+sin2 θ. (3.111)

As equações de Einstein que não são identicamente nulas são

8πGT 1
1 = −e−λ

(
ν ′

r
+

1

r2

)
+

1

r2
, (3.112)

8πGT 2
2 = 8πGT 3

3 = −1

2
e−λ

(
ν ′′ +

ν ′

2
+
ν ′ − λ′

r
− ν ′λ′

2

)
+

1

2
e−ν

(
λ̈+

λ̇2

2
− ν̇λ̇

2

)
,

(3.113)

8πGT 0
0 = −e−λ

(
1

r2
− λ′

r

)
+

1

r2
, (3.114)

8πGT 1
0 = −eλ λ̇

r
. (3.115)

Essas equações têm soluções exatas no caso de um campo gravitacional com simetria

esférica no vácuo, isto é, quando T µν = 0. Isso equivale a dizer que não há matéria

fora das massas que produzem o campo gravitacional. Nesse caso a equação 3.115

implica que

−eλ λ̇
r

= 0,

ou seja, λ̇ = 0. Logo λ é independente do tempo. De fato, após a escolha de tensor

energia-momento nulo, as equações de Einstein se reduzem a

λ̇ = 0, (3.116)

e−λ
(
ν ′

r
+

1

r2

)
− 1

r2
= 0, (3.117)

e−λ
(
λ′

r
− 1

r2

)
+

1

r2
= 0. (3.118)

Somando 3.117 e 3.118 chegamos a equação

λ′ + ν ′ = 0, (3.119)

que quando integrada com relação à coordenada radial fornece

λ+ ν = f(t). (3.120)

35


Devido a invariância da métrica podemos efetuar uma transformação na coordenada

temporal de forma que ν → ν + f(t), o que nos fornece

λ+ ν = 0. (3.121)

Este resultado demonstra que o campo gravitacional esfericamente simétrico é au-

tomaticamente estático. Usando o resultado anterior podemos resolver a equação

resultante para λ,

e−λ
(
λ′

r
− 1

r2

)
+

1

r2
= 0. (3.122)

Essa equação pode ser facilmente integrada se for escrita como

− 1

r2

d

dr
(re−λ) +

1

r2
= 0.

Integrando essa equação temos

e−λ = 1 +
cte

r
. (3.123)

Lembrando que ν + λ = 0, note que, no limite de r → ∞, a métrica descreve um

espaço plano com métrica de Minkowski, isto é

ds2 = −dt2 + dr2 + r2(dθ2 + sin2 θdφ2). (3.124)

Para determinar o valor da constante cte devemos tomar o limite para grandes

distâncias, onde o campo gravitacional é fraco e a lei de Newton deve valer, isto é,

a métrica deve ser escrita da forma

ds2 = −(1 + 2U)dt2 + (1− 2U)[dr2 + r2(dθ2 + sin2 θdφ2)], (3.125)

onde U = GNM
r

é o potencial gravitacional de Newton (veja por exemplo [9]). Em

outras palavras, devemos ter

g00 = 1− 2GNM

r
, (3.126)

onde M é a massa do corpo que produz o campo gravitacional. Comparando g00 de

ambas soluções temos o valor da constante de integração

cte = −2GNM. (3.127)

Finalmente podemos escrever o elemento de linha que representa a solução esferica-

mente simétrica,

ds2 = −
(

1− 2GNM

r

)
dt2 +

(
1− 2GNM

r

)−1

dr2 + r2dΩ2, (3.128)

36


onde dΩ2 = dθ2 + sin2 θdφ2. Essa é a chamada solução de Schwarzschild e o

valor da constante de integração recebe o nome de raio de Schwarzschild, que

denominaremos por rS. A superf́ıcie completa é chamada de horizonte de eventos.

Aparentemente a solução se torna singular em dois pontos: r = 0 e rS = 2GNM .

De fato, a fonte do campo gravitacional se encontra exatamente em r = 0, como

pode ser determinado pelo limite newtoniano. Isso representa uma singularidade

natural da métrica. Um critério para a determinação das singularidades verdadeiras

da métrica é que, se qualquer escalar (porém não todos eles) constrúıdo a partir

do tensor de curvatura se torna singular em um ponto, esse ponto representa uma

singularidade da métrica. Os valores desses escalares para r = rS são finitos, o

que não caracteriza rS como sendo uma singularidade pelo nosso critério, que cor-

responde a resolver a equação grr = 0. Esse critério é valido para a solução de

Scwarzschild, para a qual assumimos que não há matéria fora do horizonte de even-

tos, e não funcionaria para estrelas como o Sol por exemplo, já que o horizonte

de eventos se encontra dentro delas. A solução de Schwarzschild é válida mesmo

para objetos como o Sol, porém ela deve ser tomada na região externa à região con-

tendo matéria. Uma região que contém toda sua matéria dentro de seu horizonte

de eventos é chamada de buraco negro.

Apesar de termos iniciado o problema com elementos da métrica dependentes

do tempo, naturalmente provamos que a métrica é estacionária, isto é ∂tgµν = 0.

Porém, como já foi dito anteriormente, podemos efetuar uma transformação na

coordenada temporal de forma a obter coeficientes da métrica dependentes do tempo,

resultando em uma métrica não -estacionária que contém elementos provenientes de

termos cruzados no elemento de linha, do tipo g01(dtdr − drdt). Uma propriedade

mais restritiva da métrica é impor que ela seja estática, isto é, que ela possua um

vetor de Killing do tipo tempo ortogonal à famı́lia de hipersuperf́ıcies definidas pela

condição t = constante. Se adaptarmos as coordenadas de forma que a métrica seja

estacionária e que possua um vetor de Killing do tipo tempo ortogonal à famı́lia

de superf́ıcies definidas por t = constante, os elementos da métrica não conterão

termos cruzados envolvendo as coordenadas de espaço e tempo, isto é, g0i será

nulo. Portanto, a solução de Schwarzschild é uma solução das equações de Einstein

para um espaçotempo estático e esfericamente simétrico. De fato, o teorema

de Birkhoff estabelece que a métrica de Schwarzschild é a única solução para as

equações de campo de Einstein que descreve o espaçotempo de vácuo fora de um

corpo de massa M esfericamente simétrica. O teorema é válido mesmo quando a

distribuição de massa possui uma dependência temporal, desde que o espaçotempo

externo seja necessariamente estático e a métrica seja dada por 3.128.

As coordenadas de 3.128 cobrem a geometria do espaçotempo somente fora do

37


horizonte de eventos. O conjunto de coordenadas que cobrem toda a geometria foi

descoberto por Kruskal e Szekeres e o apresentaremos aqui. Primeiro se introduz as

coordenadas r∗ (tortoise coordinates) ao se impor

dr

1− 2GNM
r

= dr∗ → r∗ = r + 2GNM ln(
r

2GNM
− 1), (3.129)

que nos fornece a métrica

ds2 =
(

1− 2GNM

r

)
(−dt2 + dr2

∗) + r2(r∗)dΩ2
2. (3.130)

Após isso introduzimos as coordenadas nulas

u = t− r∗, v = t+ r∗, (3.131)

de forma que a luz (ds2) viaja com velocidade u = constante ou v = constante.

Finalmente introduzimos as coordenadas de Kruskal,

u = −4GNMe
− u
GNM , v = 4GNMe

v
GNM . (3.132)

A métrica neste sistema de coordenadas se torna

ds2 = −2GNM

r
e
− r

4GNM dudv + r2dΩ2
2, (3.133)

onde r = r(u, v). Essa é a solução de Schwarzschild em coordenadas de Kruskal.

3.2.2 Solução de Reissner-Nordstrom

Apresentaremos agora outra solução estática, esfericamente simétrica cujo conteúdo

de energia é dado pelo tensor energia-momento do campo de Maxwell. Assumindo a

existência de monopólos magnéticos, essa solução representa um buraco negro car-

regado com cargas elétricas e magnéticas. As equações de Eintein para esse caso

serão :

Rµν −
1

2
gµνR = 8πGNTµν , (3.134)

onde

Tµν =
1

4π

(
FµγFν

γ − 1

4
gµνFαβF

αβ
)
. (3.135)

As equações de Maxwell correspondem às equações de Euler-Lagrange mais as iden-

tidades de Bianchi

∇µF
µν = 0, (3.136)

∇[µFν ρ] = 0. (3.137)

Como exigimos que a métrica seja estática e esfericamente simétrica os únicos com-

ponentes dos campos elétricos e magnéticos são os componentes radiais, que por

38


sua vez devem ser independentes das coordenadas θ e φ. Porém, admitiremos a

prinćıpio que os componentes de do campo eletromagnético possam ter dependência

temporal, isto é, Fµν = Fµν(r, t).

Os componentes dos campos elétrico e magnético vistos por um observador com

quadrivelocidade vµ são dados respectivamente por

Eµ = Fµνv
ν , Bα =

1

2
εαβ

γδvβFγδ, (3.138)

onde definimos o tensor de Levi-Civita por

εαβγδ =
1√
−g

ε̃αβγδ, (3.139)

e o śımbolo de Levi-Civita por ε̃αβγδ = +1 se αβγδ é permutação par de 0123,

ε̃αβγδ = −1 se αβγδ é permutação ı́mpar de 0123, e ε̃αβγδ = 0, para os outros casos.

Para manter a simetria esférica exigimos que os observadores de Killing com

v ∝ ∂t atribuam projeções nulas dos componentes dos campos elétrico e magnético

na esfera S2, isto é

(∂θ)µE
µ = Eθ = Fθνv

ν = Fθtv
t = Fθt = 0,

(∂φ)µE
µ = Eφ = Fφνv

ν = Fφtv
t = Fφt = 0,

(∂θ)µB
µ = Bθ =

1

2
εθβ

γδvβFγδ = εθt
rφFrφ = 0,

(∂φ)µB
µ = Bφ =

1

2
εφβ

γδvβFγδ = εφt
rθFrθ = 0.

Após essas exigências os únicos componentes que não são nulos serão Frt(r, t) e

Fθφ(r, t). Denominaremos o campo elétrico por

Er = Ftr(r, t) = −Frt(r, t) = f(r, t). (3.140)

Para definir o campo magnético precisamos usar a definição do tensor de Levi-Civita

3.139,

Br = 1
2
εrβ

γδvβFγδ

= 1
2
√
−g ε̃rβ

γδvβFγδ

= 1√
−gFθφ.

(3.141)

Então, para que o campo magnético não tenha dependência angular precisamos que

o componente Fθφ do campo eletromagnético tenha a forma

Fθφ = −Fφθ = g(r, t)r2 sin θ, (3.142)

39


para alguma função g(r, t), já que
√
−g ∝ r2 sin θ. Usando a identidade encontrada

no apêndice

Γµµλ =
1√
−g

∂λ
√
−g,

a equação de Maxwell 3.136 é então escrita como

∇µF
µν = ∂µF

µν + ΓµµαF
αµ + ΓνµαF

µα

= ∂µF
µν + 1√

−g∂α
√
−gFαµ + ΓνµαF

µα

= 1√
−g∂α(

√
−gFαν) + ΓνµαF

µα.

Como os coeficiente de conexão são simétricos nos ı́ndices µ e α e F µα é antis-

simétrico, o segundo termo é nulo e podemos reescrever 3.136 como

∇µF
µν =

1√
−g

∂α(
√
−gFαν) = 0. (3.143)

A métrica tem a mesma forma que a métrica da seção anterior, portanto essa equação

nos permite escrever o componente do campo elétrico como

∂r(e
1
2

(ν+λ)r2 sin2 θgttgrrFtr) = 0

= ∂r(e
− 1

2
(ν+λ)r2Ftr) = 0⇒

Ftr =
K1

r2
e

1
2

(ν+λ), (3.144)

onde K1 é uma constante de integração. Seguindo os mesmos procedimentos pode-

mos determinar, para K2 também sendo uma constante de integração

Fθφ = K2e
1
2

(ν+λ)r2 sin θ, (3.145)

que é consistente com 3.142.

Podemos agora encontrar os componentes do tensor energia-momento por 3.135

Ttt =
f 2

8π
e−ν +

g2

8π
eλ, Trr = − f

2

8π
e−λ − g2

8π
eν ,

Tθθ =
r2g2

8πr2
+
r2f 2

8πr2
, Tφφ = Tθθ sin2 θ, Trt = 0. (3.146)

Facilmente podemos demonstrar que o traço do tensor energia-momento é nulo, o

que implica que o escalar de Ricci também é nulo pelas equações de Einstein. As

equações de Einstein se reduzem ao mesmo conjunto de equações da solução de

Schwarzschild, de 3.112 a 3.115. Novamente, como Trt = 0, isso implica que λ̇ = 0,

e as equações de Einstein se reduzem ao conjunto

λ̇ = 0, (3.147)

40


8πGNg
ttTtt = −e−λ

(
−λ

′

r
+

1

r2

)
+

1

r2
, (3.148)

8πGNg
rrTrr = −e−λ

(
ν ′

r
+

1

r2

)
+

1

r2
. (3.149)

Como gttTtt = grrTrr podemos subtrair as equações 3.148 e 3.149, o que novamente

fornece λ′ + ν ′ = 0. Integrando com respeito à variável r temos

λ+ ν = f(t). (3.150)

Seguiremos o procedimento idêntico ao da seção anterior e faremos uma trans-

formação no parâmetro ν de forma que ν → ν + f(t), e dessa forma obter

λ+ ν = 0. (3.151)

Devido à essa escolha, todos elementos da métrica serão independentes do tempo,

e como g01 é igual á zero, novamente teremos uma solução estática das equações

de Einstein. Com essa escolha podemos resolver as equações de Maxwell e obter a

forma do tensor Fµν . O componente t de 3.136 nos dá

∂tFtr − ΓσttFσr − ΓσtrFtσ = 0.

Como a métrica é independente do tempo Γttt = 0 e Γrtr = ν̇/2 = 0 temos ∂tFtr = 0,

que integrando nos dá

Ftr = f(r). (3.152)

Para determinar a forma de f usamos 3.143, ou seja

∇µF
µν =

1

r2 sin θ
∂µ(r2 sin θF µν) = 0.

Essa equação implica que

∂r(r
2F rt) = ∂r(r

2grrgttFrt) = −∂r(r2Frt)0,

que integrada nos dá

f(r) =
K1

r2
. (3.153)

Como F01 = Er o valor da constante K1 = Q é interpretada como sendo a carga

elétrica do buraco negro, que denominaremos por Q. Agora, usando 3.149 temos

∂µFνρ + ∂νFρµ + ∂ρFµν = 0.

Para µ = t, ν = θ, ρ = φ temos ∂tFθφ = 0, o que demonstra que Fθφ é independente

do tempo. Usando 3.138, temos

∂r(r
2g) = 0,

41


que integrando nos dá

g(r) =
K2

r2
. (3.154)

Da mesma forma podemos interpretar a constante de integração K2 como sendo a

carga magnética do buraco negro, que denominaremos por P . Logo, os componentes

não-nulos do tensor de campo eletromagnético serão

Ftr =
Q

r2
, Fθφ = P sin θ. (3.155)

Estamos agora equipados para resolver a equação 3.148 (ou 3.149), já que conhece-

mos a forma das funções f e g. Usando 3.146, podemos escrever esta equação como

1

r2

d

dr
(re−λ) =

1

r2
−GNf

2 −GNg
2,

d

dr
(re−λ) = 1− GNQ

2

r2
− GNP

2

r2
.

Integrando com respeito à variável r temos finalmente

e−λ = 1 +
cte

r
+
GN(Q2 + P 2)

r2
. (3.156)

Novamente no limite newtoniano, cte = −2GNr. Logo a solução da equação será

e−λ = 1− 2GNM

r
+
GN(Q2 + P 2)

r2
, (3.157)

onde Q é a carga elétrica e P é a carga magnética do buraco negro. O elemento de

linha será

ds2 = −
(

1− 2GNM

r
+
GN(Q2 + P 2)

r2

)
dt2+

(
1− 2GNM

r
+
GN(Q2 + P 2)

r2

)−1

dr2+r2dΩ2,

(3.158)

onde dΩ2 = dθ2 + sin2 θdφ2. Essa é a chamada solução de Reissner-Nordstrom.

Para determinar a posição do horizonte de eventos resolvemos para r a equação

grr = 0. Para unidades em que GN = 1 a solução será

r± = M ±
√
M2 − (Q2 + P 2), (3.159)

ou seja, existem três casos a serem analisados:

Caso 1: M2 < (Q2 + P 2).

Há uma singularidade em r = 0 e não há horizonte de eventos, ou seja, o que

temos é uma ”singularidade nua”. Esse caso é exclúıdo por motivos f́ısicos: existem

alguns teoremas dizendo que uma singularidade nua não deveria ocorrer sob certos

pressupostos razoáveis, sendo um deles que a contribuição do campo gravitacional

para a energia é menor que a contribuição somada dos campos elétrico e magnéticos.

42


Caso 2: M2 > (Q2 + P 2).

Neste caso há dois horizonte de eventos, r+ e r−, que por sua vez são superf́ıcies

nulas, como será discutido nas próximas seções . Neste caso a contribuição do

campo gravitacional para a energia é maior que a contribuição dos campos elétrico

e magnético, o que torna essa solução mais f́ısica.

Caso 3: M2 = (Q2 + P 2).

Neste caso, os dois horizontes de eventos coincidem exatamente sobre a mesma

superf́ıcie. A solução apresenta a singularidade em r = 0 e horizonte de eventos em

r = GNM , onde restauramos a constante de Newton por análise dimensional. A

condição de extremalidade implica que a métrica possui a forma

ds2 = −
(

1− GNM

r
+
)2

dt2 +
(

1− GNM

r

)−2

dr2 + r2dΩ2. (3.160)

Definindo a coordenada radial como ρ = r−GNM a métrica passa a ser escrita em

coordenadas isotrópicas, isto é,

ds2 = −H2(ρ)dt2 +H−2(ρ)[dρ2 + ρ2dΩ2
2], (3.161)

onde

H(ρ) = 1 +
GNM

ρ
. (3.162)

Como dρ2 + ρ2dΩ2
2 é a métrica plana no espaço tridimensional, podemos igualmente

escrever

ds2 = −H2(~x)dt2 +H−2(~x)[dx2 + dy2 + dz2], (3.163)

onde agora a função H é dada por

H(~x) = 1 +
GNM

|~x|
. (3.164)

Neste ponto é interessante salientar que o fato da massa ser igual à carga, também

conhecido como condição BPS, de Bogomol’nyi-Prasad-Somerfield, implicar que a

posição dos dois horizontes de eventos coincidam, conhecido como condição de ex-

tremalidade, é um fato inerente ao espaçotempo quadridimensional. Em teorias

envolvendo buracos negros em dimensões mais altas essa coincidência pode não

ocorrer, forçando-nos a diferenciar o caso extremo do caso BPS.

3.2.3 Solução de Kerr-Neumann

A solução mais geral do tipo buraco-negro é a chamada solução de Kerr-Neumann.

Ela representa a solução de um buraco negro carregado e que contém momento angu-

lar J . Pelas discussões das seções anteriores notamos que essa solução não descreve

43


um espaçotempo estático. Sua dedução foge do escopo dessa dissertação e apenas a

escreveremos por completeza. Ela é dada por

ds2 = −(∆− a2 sin2 θ)

Σ
dt2 − 2a sinθ

r2 + a2 −∆

Σ
dtdφ

+

(
(r2 + a2)−∆a2 sin2 θ

Σ

)
sin2 θdφ2 +

Σ

∆
dr2 + Σdθ2, (3.165)

onde

∆(r) = r2 − 2GNMr + a2 + e2

Σ(r) = r2 + a2 cos2 θ.

Os três parâmetros da solução são a massa do corpo, M , o parâmetro a, que é o

momento angular por unidade de massa,

a =
J

M
,

e a carga do corpo, e, dada por

e =
√
Q2 + P 2.

Uma discussão muito bem detalhada sobre esta solução é encontrada em [12].

3.2.4 Superf́ıcies nulas e horizontes de Killing

Seja S(x) uma função suave das coordenadas do espaçotempo xµ. Considere

uma famı́lia de hipersuperf́ıcies para as quais S = constante. Os vetores normais à

hipersuperf́ıcie são

l = f̃(x)(gµν∂νS)
∂

∂xµ
, (3.166)

onde f̃(x) é uma função arbitrária diferente de zero. Se l é um vetor nulo, isto

é, lµl
µ = 0, para uma dada superf́ıcie N , então dizemos que N é uma superf́ıcie

nula. Como exemplo de aplicação da equação 3.166, considere o caso da solução de

Schwarzschild nas coordenadas de Eddington-Finkelstein ”ingoing”, (r, v, θ, φ),

ds2 = −
(

1− 2GNM

r

)
dv2 + 2drdv + r2dΩ2

2, (3.167)

e S = r − 2M . Usando 3.166 temos

l = ˜f(x)

[
(grr∂rS + grv∂vS)

∂

∂r
+ (gvr∂rS + gvv∂vS)

∂

∂v

]
.

Separadamente, os elementos do tensor métrico são

gvv = −
(

1− 2GNM

r

)
, grv = 1, gvr = 1. (3.168)

44


Usando gµνg
νσ = δσµ , temos para µ = ν = r,

grrg
rr + grvg

vr = 1⇒ gvr = 1.

Para µ = v, σ = r temos

gvrg
rr + gvvg

vr = 0⇒ grr = −gvv.

Usando esses coeficientes métricos e o fato de que S é independente de v podemos

escrever o vetor nulo como

l = f̃(x)

[(
1− 2GNM

r

)
∂

∂r
+

∂

∂v

]
. (3.169)

Como lµl
µ = 0, temos

lµl
µ = f̃ 2gµν∂µS∂µS = 0

f̃ 2
(

1− 2GNM

r

)
= 0. (3.170)

Como a função f̃ é arbitrária, o valor de r que resolve esta equação é portanto

r = 2GNM . Logo a superf́ıcie nula N , que se encontra em r = 2GNM , possui vetor

normal

l|r=2GNM
= f̃

∂

∂v
. (3.171)

Um vetor tangente t à superf́ıcie nula N , e com vetor normal l dado por 3.166,

satisfaz t · l = 0. Pelo fato de l ser um vetor nulo, ele é portanto normal e tangente

à superf́ıcie ao mesmo tempo. Logo podemos escrever o vetor tangente como

lµ =
dxµ

dλ
, (3.172)

para alguma curva nula x(λ). Vamos considerar o caso geral para o qual S = const

é uma famı́lia de hipersuperf́ıcies (não necessariamente nulas). Usando a definição

de vetor normal, note que

lρ∇ρl
µ = lρ∇ρ(f̃ g

µν∂νS)

= lρ∂ρf̃ · gµν∂νS + f̃ lρgµν∇ρ∂νS

= lρ∂ρ(ln f̃)lµ + f̃ lρgµν∇ρ∂νS.

Separadamente temos

lρgµν∇ρ∂νS = lρgµν∂ρ∂ν + lρgµνΓσρν∂σS = lρgµν∇ν∂ρS = lρ∇µ(f̃−1lρ).

Este resultado nos permite escrever

lρ∇ρl
µ = lρ∂ρ(ln f̃)lµ + f̃ lρ∇µ(f̃−1lρ)

=
(
d
dλ

ln f̃
)
lµ + lρ∇µlρ − lρlρ∂µ ln f̃

=
(
d
dλ

ln f̃
)
lµ + 1

2
∂µl2 − (∂µ ln f̃)l2.

(3.173)

45


SendoN um membro dessa famı́lia para o qual S = 0. Sabemos que l2|N = 0, porém

isso não implica que ∂µ(l2) = 0 a menos que a famı́lia toda de hipersuperf́ıcies

S = constante seja nula. Pelo fato de l2 ser constante em N podemos escrever

tµ∂µl
2 = 0 para qualquer vetor tangente t à hipersuperf́ıcie. Como tµlµ = 0, isso

implica que

∂µl
2
∣∣∣
N
∝ lµ. (3.174)

Definindo a constante de proporcionalidade como cte, a equação 3.173 será

lρ∇ρl
µ|N =

(
d
dλ

ln f̃ + cte
2

)∣∣∣
N
lµ − (∂µ ln f̃)l2

∣∣∣
N

≡ K|N lµ + V µ|N ,
(3.175)

onde K|N é uma constante e V µ|N é um vetor, sobre N . O que demonstramos de

fato foi que

lρ∇ρl
µ|N ∝ lµ, (3.176)

ou seja, que xµ(λ) é uma geodésica, com vetor tangente l por 3.8. Podemos escolher

a função f̃ de forma que

lρ∇ρl
µ|N = 0, (3.177)

isto é, de forma que λ seja um parâmetro afim.

Uma hipersuperf́ıcie nula N é um horizonte de Killing de um campo vetorial

de Killing ξ se, em N , ξ é normal a N . Seja l o vetor normal à N de forma que

l·∇lµ = 0 (parametrização afim). Então, sobreN , o vetor de Killing ξ é proporcional

ao vetor nulo l da seguinte forma

ξµ = f(x)lµ, (3.178)

para alguma função f das coordenadas xν . A equação l · ∇lµ = 0 resulta em

lρ∇ρl
µ = f−1ξρ∇ρ(f

−1ξµ)

= f−1ξρ∂ρ(f
−1ξµ) + f−2ξρΓµρνξ

ν

= f−3ξρ(∂ρf
−1)ξµ + f−2ξρ∂ρξ

µ + f−2ξρΓµρνξ
ν .

(3.179)

Como esta expressão é igual a zero, isso resulta em

ξρ∂ρξ
µ + ξρΓµρνξ

ν = ξρ(∂ρ ln f)ξµ

ξρ∇ρξ
µ = κξµ,

(3.180)

onde a constante κ = ξρ(∂ρ ln f) é chamada de gravidade superficial. Pela

equação 3.8 vemos que a gravidade superficial é uma medida da ”falha” do ”parâmetro

temporal de Killing” coincidir com o parâmetro afim. Isso demonstra que podemos

associar a cada horizonte de Killing essa quantidade chamada gravidade superficial.

46


A noção de horizonte de Killing é puramente geométrica, e, a prinćıpio, é inde-

pendente da noção de horizonte de eventos, mas para um espaçotempo com simetria

translacional elas estão relacionadas. Seguindo a classificação apresentada em [7]

temos:

- todo horizonte de eventos em um espaçotempo estacionário, assintoticamente

plano é um horizonte de Killing para um campo de Killing lµ;

- se o espaçotempo é estático, lµ = (∂t)
µ representa translações temporais na

região assintótica;

- se o espaçotempo é estacionário mas não estático, ele será axisimétrico com um

campo de Killing rotacional ψµ, e

lµ = ξµ + ΩHψ
µ, (3.181)

para alguma constante ΩH .

Os argumentos para a validade dessa classificação segue dessa mesma referência,

e das referências lá citadas.

3.2.5 Massa, carga e momento angular

Na relatividade geral existe um teorema, chamado de no-hair theorem, que diz

que soluções estacionárias do tipo buraco negro, assintoticamente planas, acopladas

ao eletromagnetismo e não-singular fora do horizonte de eventos são completamente

caracterizadas pela massa, cargas elétrica e magnética e momento angular. Em out-

ras palavras, o teorema nos diz que qualquer outro parâmetro do buraco negro deve

ser escrito em termos desses três parâmetros. Por este motivo apresentaremos nesta

seção as expressões para a massa, carga e momento angular de um buraco negro na

região assintótica. Apresentaremos a maneira mais simples de deduzir essas quan-

tidades, já que a mais formal exigiria um estudo sobre o formalismo hamiltoniano

da Relatividade Geral. Porém, as discussões apresentadas aqui servirão ao nosso

propósito.

O quadrivetor corrente elétrica Jµe é definido a partir da equação de Maxwell

∇νF
µν = Jµe . (3.182)

A carga passando através de uma hipersuperf́ıcie Σ do tipo espaço é dada pela

integral sobre as coordenadas xi em Σ

Q = −
∫

Σ
Jµnµ

√
hd3x = −

∫
Σ
∇νF

µνnµ
√
hd3x, (3.183)

onde hij é a métrica induzida sobre Σ com determinante h e nµ é o vetor normal

unitário. Usando o teorema de Stokes B.8 temos

Q = −
∫
∂Σ
F µνnµkνd

2x
√
σ, (3.184)

47


onde agora σij é a métrica em duas dimensões induzida sob a superf́ıcie de fronteira

∂Σ, com determinante σ, e kµ é o vetor normal a ∂Σ. Para verificar que esta integral

de fato representa a carga considere o espaço de Minkowski, cujo elemento de linha

é dado por

ds2 = −dt2 + dr2 + r2dθ2 + r2 sin2 θdφ2, (3.185)

e considere que o campo elétrico é escrito como

F tr = Er =
q

4πr2
. (3.186)

Os vetores normais unitários são escritos como

nµ = (1, 0, 0, 0), σµ = (0, 1, 0, 0). (3.187)

Separadamente, temos

nµσνF
µν = ntσrF

tr = gttgrrF
tr = −Er

√
σ = r2 sin θ.

Substituindo na expressão 3.184 temos

Q = −limr→∞

∫
∂Σ

(
− q

4πr2

)
r2 sin θdθdφ = q. (3.188)

Dessa forma demonstramos que nossa definição de carga está correta.

Para um espaçotempo assintoticamente plano, uma definição de corrente conser-

vada será

JµT = ξνT
µν , (3.189)

onde ξµ é um campo vetorial de Killing do tipo tempo. A conservação pode ser

facilmente checada, pois

∇µJ
µ
T = ∇µξν · T µν + ξν∇µT

µν = 0,

onde o primeiro termo é nulo por ser a multiplicação de um tensor antissimétrico

por um tensor simétrico, e o segundo pela conservação do tensor energia-momento.

Sendo Σ uma hipersuperf́ıcie do tipo espaço, a definição de energia portanto será

ET =
∫

Σ
JµT
√
hnµd

3x. (3.190)

Para a geometria de Schwarzschild o tensor energia-momento é nulo em todo espaço,

porém a energia não é nula, já que um buraco negro possui massa. Precisamos de

uma definição alternativa de energia. Note que a corrente, definida por

JµR = ξνR
µν , (3.191)

48


é conservada, pois

∇µJ
µ
R = ∇µξν ·Rµν + ξν · ∇µR

µν = 0,

pois o primeiro termo do lado direito é nulo por ser uma multiplicação de um tensor

simétrico por um antissimétrico, e o segundo é nulo porque a derivada direcional

do tensor de Ricci é nula ao longo de um vetor de Killing. A energia conservada

associada com esta corrente será

ER =
1

4πGN

∫
Σ
Rµνnµξν

√
hd3x. (3.192)

A energia é independente da escolha da hypersuperf́ıcie Σ, já que ela é uma quan-

tidade conservada. Pelo fato de ξµ ser um vetor de Killing podemos escrever a

expressão

∇µ∇νξ
µ = ∇µ(∇νξ

µ) = ξµRµν , (3.193)

ou seja, a corrente é escrita em termos de uma derivada total. A expressão para a

energia será portanto

ER =
1

4πGN

∫
Σ
nµ(∇µξν)∇ν

√
hd3x.

Usando o teorema de Stokes novamente temos

ER =
1

4πGN

∫
∂Σ
∇µξνnµkν

√
σd2x. (3.194)

Definindo o elemento de superf́ıcie bidimensional como −2k[µnν]

√
σd2x ≡ dΣµν

escrevemos a energia da seguinte forma

ER =
1

8πGN

∫
∂Σ
∇µξνdΣµν . (3.195)

Esta expressão é conhecida como integral de Komar para a energia. Como exemplo

de aplicação dessa fórmula considere o caso de Schwarzschild, cujo elemento de

linha é dado por 3.128. O único componente não-nulo do vetor unitário normal,

cuja normalização é dada por nµn
µ = −1, é encontrado por

nµn
µ = n0n

0 = g00n
0n0 = −

(
1− 2GNM

r

)
n0n0 = −1

n0 =
(

1− 2GNM

r

)− 1
2

, n0 = −
(

1− 2GNM

r

) 1
2

. (3.196)

Da mesma forma, o único componente não-nulo do vetor unitário normal kµ, com

normalização kµk
µ = 1, será

k1 =
(

1− 2GNM

r

) 1
2

, k1 =
(

1− 2GNM

r

)− 1
2

. (3.197)

49


Sendo o vetor de Killing do tipo tempo ξµ = (1, 0, 0, 0), separadamente

∇0ξ1 = g00∇0ξ
1

= g00(∂0ξ
1 + Γ1

0λξ
λ)

= g00Γ1
00ξ

0

= −
(
1− 2GNM

r

)−1 GNM
r2

(
1− 2GNM

r

)
= −GNM

r2
.

O determinante da métrica bidimensional é dado por
√
σ = r2 sin θ, e, substituindo

essas expressões na integral de Komar temos

ER = 1
4πGN

∫
∂Σ dθdφr

2 sin2 θ(−1)
(
−GNM

r2

)
= M

4π

∫
∂Σ dθdφ sin θ

= M,

o que demonstra que a escolha do fator de normalização da integral de Komar é

conveniente. Em unidades de c = 1 as definições de massa e energia em relatividade

geral são equivalentes, como deduzimos do resultado acima.

A definição de momento angular segue da corrente de Killing

Jµφ = ψνR
µν , (3.198)

que também é conservada

∇µJ
µ
φ = ∇µψν ·Rµν + ψν∇µR

µν =
1

2
ψν∇νR = 0,

onde o primeiro termo é nulo por ser uma multiplicação de um tensor antissimétrico

por um tensor simétrico. Para demonstrar que o segundo termo é nulo, utilizaremos

o chamado lema de Killing 4.14, demonstrado no próximo caṕıtulo, que contráıdo é

escrito como

∇µ∇σψ
µ = Rσνψ

ν . (3.199)

Contraindo a identidade de Bianchi, ∇[µRαβ]γδ = 0, com gαγ temos

∇µRβδ −∇βRµδ +∇αRβµαδ = 0.

Contraindo com ψµ e em seguida contraindo gβδ temos

ψµ∇µR− 2ψµ∇δRµδ = 0.

Usando a regra da cadeia e usando o lema de Killing temos

ψµ∇µR = 2∇δ(∇µ∇µψδ),

50


e usando o fato de que ψµ é um vetor de Killing temos

ψµ∇µR = 0, (3.200)

o que demonstra finalmente que Jµφ é uma corrente conservada. O momento angular

é então definido pela integral dessa corrente

J = − 1

8πGN

∫
∂Σ
∇µψνnµkν

√
σd2x. (3.201)

Usando a definição de elemento de superf́ıcie bidimensional dΣµν = −2
√
σn[µkν]d

2x,

podemos escrever essa expressão de uma forma mais elegante, isto é

J =
1

16πGN

∫
∂Σ
∇µψνdΣµν , (3.202)

que é a integral de Komar para o momento angular. Para verificar que esta expressão

de fato representa o momento angular usamos o teorema de Gauss B.1,

J =
1

16πGN

∫
Σ
ψνRµ

νdΣµ. (3.203)

Note que, usando as equações de Einstein

Jµ = ψνRµ
ν = ψν

(
8πGNT

µ
ν − 1

2
Tδµν

)
= 8πGNT

µ
νψ

ν − 1
2
Tψµ.

Como escolhemos Σ como sendo a hipersuperf́ıcie para t = const e ψµ = (∂φ)µ,

ψµdΣµ = 0, e o momento angular será

J =
∫

Σ
T 0

νψ
νdΣ. (3.204)

Em coordenadas cartesianas

∂φ = x∂y − y∂x = ψ1∂x + ψ2∂y,

logo

J =
∫

Σ

(
T 0

1ψ
1 − T 0

2ψ
2
)
dΣ.

No espaço assintótico gµν ≈ ηµν , o terceiro componente do momento angular de um

campo no espaçotempo de Minkowski com tensor energia-momento Tµν é dado por

J ≈ ε3jk

∫
Σ
xjT k0dΣ. (3.205)

Assim demonstramos que a integral 3.202 representa o momento angular.

51


Finalmente apresentaremos a chamada energia ADM, que em certos limites se

reduz às integrais de Komar. Para deduzir uma expressão para a energia consider-

amos que na região assintótica a métrica pode ser escrita como uma perturbação da

forma

gµν ≈ ηµν − εhµν , (3.206)

onde ε é um parâmetro infinitesimal, e hµν é de O
(

1
r

)
. Observamos que nesse caso

hµν não é a métrica induzida, como nos casos anteriores. Comumente se usa a letra

h para expressar a perturbação da métrica. Vamos usar as equações de Einstein

escritas na forma

Rµν = 8πGN

(
Tµν −

1

2
gµν

)
. (3.207)

Usando a aproximação 3.206 o tensor de Ricci é escrito como

Rµν ≈
1

2
ε[ηρσ∂ρ∂σhµν + ∂µ∂νη

µνhµν − ∂µ∂ρhνρ − ∂ν∂ρhµρ]. (3.208)

Também devido à essa aproximação o tensor energia momento será

Tµν ≈ 0 + ετµν . (3.209)

Facilmente as equações de Einstein são escritas como

[ηρσ∂ρ∂σhµν + ∂µ∂νη
µνhµν − ∂µ∂ρhνρ − ∂ν∂ρhµρ] ≈ 16πGN(τµν −

1

2
ηµντ). (3.210)

Para fontes estacionárias a métrica é independente do tempo, logo para µν = 0, essa

equação resulta em

ηρσ∂ρ∂σh00 = 16πGN [τ00 −
1

2
η00(η00τ00 + ηiiτii)].

Como estamos na região assintótica o valor dos componentes temporais do tensor

energia-momento são muito maiores que o valor dos espaciais, e isso nos permite

escrever

ηρσ∂ρ∂σh00 = −8πGNτ00. (3.211)

Tomando o traço da equação 3.210, temos

ηρσ∂ρ∂σh− ηρσ∂µ∂ρhσµ = −8πGNτ. (3.212)

Expandindo os ind́ıces e fazendo a mesma consideração sobre os componentes tem-

porais de τ temos

ηρσ∂ρ∂σh00 + ηρσ∂ρ∂σhii − ∂i∂jhij = −8πGNτ00. (3.213)

52


Somando as equações 3.211 e 3.213 temos

τ00 = − 1

16πGN

∂i(∂ihjj − ∂jhij). (3.214)

A energia é escrita como a integral de τ00 sobre todo o espa