1 unesp UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO” FACULDADE DE CIÊNCIAS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO PARA A CIÊNCIA TESE DE DOUTORADO DA ARGUMENTAÇÃO À PROVA: produção e avaliação de argumentos matemáticos produzidos por alunos ingressantes em um curso de formação de professores Fredy Coelho Rodrigues Bauru - SP 2023 2 FREDY COELHO RODRIGUES DA ARGUMENTAÇÃO À PROVA: produção e avaliação de argumentos matemáticos produzidos por alunos ingressantes em um curso de formação de professores Tese de Doutorado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Educação para a Ciência da Faculdade de Ciências da Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Campus de Bauru, como um dos requisitos para a obtenção do título de Doutor em Educação para a Ciência, área de concentração Ensino de Ciências e Matemática, sob a orientação do Prof. Dr. Marco Aurélio Alvarenga Monteiro. Bauru, SP 2023 3 4 5 Dedico este trabalho de tese a minha mãe Mariete Ferreira Coelho que sempre lutou e trabalhou incansavelmente para investir e apoiar a educação dos filhos. Você plantou a semente, acreditou no poder transformador da Educação e hoje estamos aqui, colhendo o fruto desse sonho realizado. Se não fosse por você eu não teria chegado até aqui. 6 AGRADECIMENTOS À Deus, por me conceder equilíbrio e saúde mental, para me reconstruir e finalizar este projeto que constitui um sonho realizado. À minha mãe Mariete Ferreira Coelho pelo amor, acolhida e apoio incondicional durante o período de medo, solidão e instabilidade emocional que vivi ao longo do doutorado. Ao meu irmão Franco Coelho Rodrigues pelo suporte e incentivo durante as adversidades. Às minhas queridas filhas, Sophia Coelho, Ana Lívia Coelho e Isabela Coelho, pelo amor e compreensão nos momentos de ausência. Ao meu orientador Marco Aurélio Alvarenga Monteiro, pela parceria, confiança, aprendizado e troca de experiências. Aos professores do Programa de Pós-Graduação em Educação para a Ciência da Unesp campus Bauru, em especial, Marco Aurélio Alvarenga Monteiro, Nelson Antônio Pirola, Roberto Nardi, Fernanda Bozelli, Silvia Regina Vieira da Silva, Wilson Massashiro Yonezawa e Ivete Baraldi (in memória) pela amizade, aprendizado, conselhos e parcerias no desenvolvimento de artigos. Aos meus colegas do Programa de Pós-Graduação em Educação para a Ciência, pelo trabalho colaborativo, aprendizado, trocas de experiências e parcerias na escrita de artigos. Ao Instituto Federal do Sul de Minas, campus Passos, por apoiar o desenvolvimento desta pesquisa contribuindo para o meu afastamento integral das atividades docentes. Aos meus colegas de trabalho da licenciatura em matemática do IFSULDEMINAS, Campus Passos, pela compreensão e apoio durante o período de afastamento docente. À minha orientadora do Mestrado Eliane Scheid Gazire pelo incentivo ao prosseguimento na pós-graduação, trocas de experiência e oportunidades de divulgação do meu trabalho. 7 É experiência aquilo que “nos passa”, ou que nos toca, ou que nos acontece, e ao nos passar nos forma e nos transforma. Somente o sujeito da experiência está, portanto, aberto à transformação (LARROSA, 2002, p.26). 8 RESUMO Este estudo teve por objetivo investigar como alunos ingressantes em um curso de Licenciatura em Matemática do IFSULDEMINAS, Campus Passos argumentam e avaliam seu desempenho durante o processo de justificação e validação de conceitos matemáticos em um contexto de ensino baseado em argumentação coletiva e investigação. O estudo se justifica na medida em que contribui para aprofundar a discussão sobre o tema, oferecendo subsídios teóricos e metodológicos para fomentar e avaliar a prática de argumentação coletiva (processo e produto) em sala de aula, contribuindo assim para a formação conceitual e proficiência da prática argumentativa. Para tanto foi realizado um estudo de caso (exploratório/descritivo/explicativo) para compreender melhor o fenômeno que envolve “três situações de argumentação coletiva”. O estudo de caso foi estruturado em três fases. Na 1ª fase realizamos uma pesquisa bibliográfica (estado do conhecimento da literatura nacional e internacional) e uma pesquisa bibliométrica (literatura internacional) para estabelecer a definição do problema, os objetivos de pesquisa, a questão central de investigação bem como a seleção do referencial teórico da pesquisa. Já na 2ª fase coletamos dados por meio de observação participante (documentada por meio de videogravação e notas de campo), recolha de registros escritos produzidos por três grupos de trabalho e autoscopia operacionalizada pela dinâmica de grupo focal. Com a observação participante registramos todo o processo de argumentação coletiva realizada de modo oral e multimodal. Por meio da recolha dos registros escritos produzidos pelos grupos de trabalho documentamos toda a produção de argumentos gerados por escrito. E por último, com a autoscopia, propiciamos cada grupo de trabalho autoavaliar coletivamente o seu desempenho na prática da argumentação. Na 3ª e última fase, analisamos os dados com base na lente teórica da análise argumentativa (Toulmin, 1958; 2001) e da análise de conteúdo (Bardin, 1985). Com base nas ideias de Toulmin e nas estruturas globais de argumentação analisamos a anatomia do processo argumentativo buscando compreender como os alunos argumentam (raciocinam) para justificar conceitos e ideias matemáticas. Por outro lado, por meio da estrutura do argumento de Toulmin aliado as ideias de Nicolas Balacheff sobre os tipos e níveis de prova analisamos a fisiologia do argumento de prova enquanto produto final da argumentação para compreender como os alunos argumentam (raciocinam) para validar ideias matemáticas em problemas de prova. Por fim, aplicamos a análise de conteúdo nas transcrições das sessões de autoscopia para compreender como os alunos autoavaliam seu desempenho na prática da argumentação e quais competências e habilidades argumentativas são evidenciadas como importantes por eles visando a formação do professor que ensina matemática. Ao examinarmos a anatomia das situações de argumentação coletiva, os resultados indicaram que as estruturas de argumentação global encontradas no estudo (estrutura fonte; estrutura linear; estrutura de argumentos independentes; estrutura espiral; estrutura reservatório; estrutura fonte divergente) variavam em sua complexidade muito em função do apoio docente que é oferecido durante a argumentação como também em função da natureza do tipo de problema proposto. Em particular, uma nova estrutura global de argumentação (Estrutura fonte divergente) não documentada na literatura emergiu nos dados da pesquisa. No contexto dos 5 problemas analisados, as argumentações de uma maneira geral, evoluíram do campo visual de justificação para o campo conceitual e o material concreto utilizado na atividade viabilizou essa transição. Por outro lado, ao examinamos em detalhes toda a fisiologia e qualidade (solidez) do argumento de prova utilizado para fins de validação nos problemas 3 e 5 da atividade, os resultados mostraram que os alunos investigados tiveram dificuldades em produzir provas conceituais (forte e de boa elaboração), contudo, essa dificuldade foi minimizada na medida em que o professor ofereceu apoio solicitando generalizações. Em relação ao contexto citado anteriormente, o modelo de avaliação do argumento de prova proposto por Rodrigues e Monteiro (2021) foi testado pela primeira vez durante este estudo e os resultados mostraram que o referido modelo demonstrou sua eficiência 9 na avaliação e classificação dos componentes do argumento de prova, exceto em uma situação particular, onde foi proposto nos resultados do estudo, uma classificação adicional para os dados (dado genérico). Quando chamados a refletirem e realizarem uma autoavaliação do seu desempenho na prática da argumentação coletiva, os alunos destacaram estar diante de uma abordagem nova e desconhecida por eles, no entanto, em meio as dificuldades (conteúdo e com a metodologia), eles conseguiram colaborativamente atingir um aprendizado conceitual e desenvolver competências e habilidades relacionadas a proficiência da prática de argumentação e prova em sala de aula. Neste último caso, os alunos apresentaram um conjunto de competências e habilidades argumentativas nos quais eles julgaram ter grande importância para a formação do professor que ensina matemática. Palavras-chave: formação de professores; argumentação matemática; argumentação coletiva; argumentos de prova; argumentos de justificação; prática argumentativa. 10 ABSTRACT This study aimed to investigate how new students in a Mathematics Degree course at IFSULDEMINAS, Campus Passos argue and evaluate their performance during the process of justification and validation of mathematical concepts in a teaching context based on collective argumentation and investigation. The study is justified in that it contributes to deepen the discussion on the subject, offering theoretical and methodological subsidies to encourage and evaluate the practice of collective argumentation (process and product) in the classroom, thus contributing to the conceptual formation and proficiency of argumentative practice. For that, a case study (exploratory/descriptive/explanatory) was carried out to better understand the phenomenon that involves “three situations of collective argumentation”. The case study was structured in three phases. In the 1st phase we carried out a bibliographical research (state of knowledge of national and international literature) and a bibliometric research (international literature) to establish the definition of the problem, the research objectives, the central question of investigation as well as the selection of the theoretical reference of the research. In the 2nd phase, we collected data through participant observation (documented through video recording and field notes), collection of written records produced by three working groups and autoscopy operationalized by the focus group dynamics. With participant observation, we recorded the entire process of collective argumentation carried out in an oral and multimodal way. Through the collection of written records produced by the working groups, we documented the entire production of arguments generated in writing. And finally, with autoscopy, we allow each work group to collectively self-assess their performance in the practice of argumentation. In the 3rd and last phase, we analyzed the data based on the theoretical lens of argumentative analysis (Toulmin, 1958; 2001) and content analysis (Bardin, 1985). Based on Toulmin's ideas and on the global structures of argumentation, we analyze the anatomy of the argumentative process, seeking to understand how students argue (reason) to justify mathematical concepts and ideas. On the other hand, through the structure of Toulmin's argument combined with Nicolas Balacheff's ideas about the types and levels of proof, we analyze the physiology of the proof argument as a final product of argumentation to understand how students argue (reason) to validate mathematical ideas in proof problems. Finally, we applied content analysis to the transcripts of the autoscopy sessions to understand how students self-assess their performance in the practice of argumentation and which argumentative skills and abilities are evidenced as important by them, aiming at the formation of teachers who teach mathematics. When examining the anatomy of collective argumentation situations, the results indicated that the global argumentation structures found in the study (source structure; linear structure; structure of independent arguments; spiral structure; reservoir structure; divergent source structure) varied in their complexity greatly depending on the teaching support that is offered during the argumentation, as well as depending on the nature of the type of problem proposed. In particular, a new global structure of argumentation (Divergent source structure) not documented in the literature emerged in the research data. In the context of the 5 problems analyzed, the arguments in general evolved from the visual field of justification to the conceptual field and the concrete material used in the activity made this transition possible. On the other hand, when we examined in detail all the physiology and quality (solidity) of the proof argument used for validation purposes in problems 3 and 5 of the activity, the results showed that the investigated students had difficulties in producing conceptual proofs (strong and well elaborated), however, this difficulty was minimized as the professor offered support by requesting generalizations. Regarding the aforementioned context, the proof argument evaluation model proposed by Rodrigues and Monteiro (2021) was tested for the first time during this study and the results showed that the referred model demonstrated its efficiency in the evaluation and classification of the proof argument components, except in a particular situation, where an additional 11 classification for the data was proposed in the results of the study (generic data). When asked to reflect and carry out a self-assessment of their performance in the practice of collective argumentation, the students highlighted that they were facing a new and unknown approach, however, amidst the difficulties (content and methodology), they managed to collaboratively achieve conceptual learning and develop skills and abilities related to proficiency in the practice of argumentation and proof in the classroom. In the latter case, the students presented a set of competences and argumentative abilities in which they judged to be of great importance for the formation of the teacher who teaches mathematics. Keywords: teacher training; mathematical argumentation; collective argumentation; proof arguments; justification arguments; argumentative practice. 12 LISTA DE FIGURAS Figura 1 - Evolução das publicações no período de 2011 a 2020........................................ 35 Figura 2 - Os dez países com maior número de publicações.............................................. 37 Figura 3 - Quantidade de trabalhos produzidos por foco temático de pesquisa................. 48 Figura 4 - A produção e sua distribuição no tempo............................................................ 76 Figura 5 - A produção por região do país........................................................................... 77 Figura 6 - A produção e sua distribuição de acordo com as instituições acadêmicas........ 78 Figura 7 - Figura 8 - Figura 9 - Figura 10 - Figura 11 - Figura 12 - Figura 13 - Figura 14 - Figura 15 - Figura 16 - Figura 17 - Figura 18 - Figura 19 - Figura 20 - Figura 21 - Figura 22 - Figura 23 - Figura 24 - Figura 25 - Figura 26 - Figura 27 - Figura 28 - Figura 29 - Figura 30 - Figura 31 - Figura 32 - Figura 33 - Figura 34 - Figura 35 - Figura 36 - Figura 37 - Figura 38 - Figura 39 - Figura 40 - Figura 41 - Figura 42 - Figura 43 - Figura 44 - Figura 45 - A produção e a sua distribuição por níveis de Ensino....................................... Quantidade de trabalhos produzidos por foco temático de pesquisa................. Mapa de abrangência do IFSULDEMINAS...................................................... Fases do estudo de caso distribuídas ao longo dos capítulos............................. Estrutura simples do modelo de Toulmin.......................................................... Estrutura completa do modelo de Toulmin........................................................ Ilustração da estrutura de linha.......................................................................... Ilustração da estrutura argumentos independentes............................................ Ilustração da estrutura fonte.............................................................................. Ilustração da estrutura espiral............................................................................ Ilustração da estrutura de reservatório............................................................... Ilustração da estrutura de reunião ou coleta....................................................... TAP no contexto da teoria de Balacheff (1987,1988) ...................................... Primeiro problema da atividade proposta.......................................................... Estrutura reservatório observada na discussão da questão 1 – grupo 1............. Estrutura reservatório observada na discussão da questão 1 – grupo 2............. Conjecturas elaboradas no registro escrito para a questão 1 - grupo 2.............. Estrutura Fonte divergente observada na discussão da questão 1 – grupo 3..... Conclusão baseada na quantidade grãos ordenados, questão 1- grupo 3........... Conclusão baseada na quantidade total de grãos questão 1- grupo 3................ Segundo problema da atividade proposta.......................................................... Estrutura espiral observada na discussão da questão 2 – grupo 1..................... Estrutura espiral observada na solução da questão 2 - grupo 2......................... Registro escrito da representação geométrica do número 15 (base decimal) na base 3.................................................................................................................. Registro escrito da justificação de conversão do número 15 (base decimal) para a base 3....................................................................................................... Estrutura espiral observada na solução da questão 2 - grupo 3.......................... Registro escrito mostrando a conversão de 15 para a base 5............................. Registro escrito mostrando a conversão de 15 para a base 2 – 1ª parte............. Registro escrito mostrando a conversão de 15 para a base 2 – 2ª parte............. Terceiro problema da atividade proposta........................................................... Estrutura espiral observada na solução da questão 3 - grupo 1......................... Produção escrita do grupo 1 para a questão 3.................................................... Estrutura de Linha observado na solução da questão 3 - grupo 2...................... Estrutura espiral observado na solução de prova da questão 3 - grupo 3.......... Registro escrito da conclusão final da questão 3 – grupo 3................................ Quarto problema da atividade proposta.............................................................. Estrutura argumentos independentes observado na solução da questão 4 - grupo 1................................................................................................................ Estrutura de linha observado na solução da questão 4 - grupo 2.......................... Resolução apresentada para justificar conclusão da questão 4 – grupo 2............ 79 81 138 142 157 157 164 165 166 166 167 168 169 181 182 185 188 189 190 191 193 194 198 200 202 203 205 205 205 208 208 210 212 214 217 218 219 220 221 13 Figura 46 - Figura 47 - Figura 48 - Figura 49 - Figura 50- Figura 51 - Figura 52 - Figura 53 - Figura 54 - Figura 55 - Figura 56 - Figura 57 - Figura 58 - Figura 59 - Figura 60 - Figura 61 - Figura 62 - Figura 63 - Figura 64 - Figura 65 - Figura 66 - Figura 67 - Figura 68 - Figura 69 - Figura 70 - Figura 71 - Figura 72 - Figura 73 - Figura 74 - Figura 75 - Figura 76 - Figura 77 - Figura 78 - Figura 79 - Estrutura espiral observado na solução da questão 4 - grupo 3............................ Garantia apresentada por escrito para fundamentar a resolução da questão........ Garantia apresentada por escrito para fundamentar a conclusão da questão................................................................................................................ Quinto problema da atividade proposta.............................................................. Estrutura de argumentos independentes observado durante a discussão da questão 5............................................................................................................. Registro escrito da conclusão da questão 5 - grupo 1......................................... Estrutura fonte observada durante a discussão da questão 5 – grupo 2.............. Registro escrito do apoio as garantias da questão 5............................................ Estrutura fonte observada durante a discussão da questão 5 – grupo 3.............. Registro escrito da garantia oferecida para conversão (120)4 = 24, questão 5 – grupo 3................................................................................................................ Registro escrito da garantia oferecida para conversão (10000)5 = 625, questão 5 – grupo 3.......................................................................................................... Argumento composto por 3 elementos: dado, garantia e conclusão.................. Classificação dos componentes do argumento de prova.................................... Garantia apresentada como prova...................................................................... Argumento composto por 3 elementos: dado, garantia e conclusão.................. Classificação dos componentes do argumento de prova.................................... Argumento composto por 3 elementos: dado, garantia e conclusão.................. Classificação dos componentes do argumento de prova.................................... Argumento composto por 3 elementos: dado, garantia e conclusão.................. Classificação dos componentes do argumento de prova.................................... Argumento composto por 3 elementos: dado, garantia e conclusão.................. Classificação dos componentes do argumento de prova.................................... Garantia apresentada como prova...................................................................... Argumento composto por 3 elementos: dado, garantia e conclusão.................. Classificação dos componentes do argumento de prova.................................... Garantia apresentada como prova...................................................................... Argumento composto por 3 elementos: dado, garantia e conclusão.................. Classificação dos componentes do argumento de prova.................................... Garantia apresentada como prova...................................................................... Argumento composto por 3 elementos: dado, garantia e conclusão.................. Classificação dos componentes do argumento de prova..................................... Garantia apresentada como prova...................................................................... Argumento composto por 3 elementos: dado, garantia e conclusão.................. Classificação dos componentes do argumento de prova.................................... 222 223 224 225 225 226 227 230 231 232 232 236 238 238 239 240 241 243 244 245 246 248 248 249 250 251 251 252 253 253 255 256 256 258 14 LISTA DE QUADROS Quadro 1 - Parâmetros de avaliação dos hot topics........................................................... 35 Quadro 2 - As dez áreas com maior número de pesquisas................................................ 37 Quadro 3 - As dez instituições que mais publicaram sobre o tema no período................ 38 Quadro 4 - As dez fontes com maior número de publicações.......................................... 39 Quadro 5 - Quadro 6 - Quadro 7 - Quadro 8 - Quadro 9 - Quadro 10 - Quadro 11 - Quadro 12 - Quadro 13 - Quadro 14 - Quadro 15 - Quadro 16 - Quadro 17 - Quadro 18 - Quadro 19 - Quadro 20 - Quadro 21 - Quadro 22 - Quadro 23 - Quadro 24 - Quadro 25 - Os vinte tópicos mais importantes relacionados ao tema “argumentação” e “matemática” ................................................................................................. Os “hot topics” associados ao tema argumentação e matemática.................. Artigos sobre o tema argumentação e matemática......................................... Identificação dos artigos selecionados........................................................... Os dez artigos mais citados na literatura internacional.................................. Categorias referentes aos focos temáticos de pesquisa.................................. Relação de trabalhos por categoria................................................................ Dissertações e teses sobre argumentação no ensino de matemática disponibilizados na BDTD............................................................................. Informações sobre os trabalhos selecionados por ordem alfabética dos autores............................................................................................................. Categorias referentes aos focos temáticos de pesquisa................................... Relação de trabalhos por categoria.................................................................. Caracterização hierárquica e relação entre os três polos................................ Síntese............................................................................................................. Os municípios onde a instituição atua............................................................ Cursos ofertados pelo IFSULDEMINAS, Campus Passos............................ Perfil dos participantes do estudo................................................................... Distribuição das estruturas de argumentação em cada questão...................... Distribuição das estruturas de argumentação por grupo e problema.............. Síntese dos resultados..................................................................................... Evolução do argumento de prova em cada grupo nos problemas 3 e 5.......... Competências e habilidades argumentativas que emergem da autoscopia........................................................................................................ 40 41 45 46 47 48 49 74 75 80 81 129 133 138 139 176 180 233 234 258 266 15 LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS BDTD Base Digital de Teses e Dissertações AProvaME Argumentação e Prova na Matemática Escolar PNLD Plano Nacional do Livro Didático M Mestrado Acadêmico MP Mestrado Profissional D Doutorado IES Instituição de Ensino Superior PUC-SP Pontifícia Universidade Católica de São Paulo UNESP Universidade Estadual Paulista USP Universidade de São Paulo UEM Universidade Estadual de Maringá UFRN Universidade Federal do Rio Grande do Norte UFMG Universidade Federal de Minas Gerais UFG Universidade Federal de Goiás UFMS Universidade Federal de Mato Grosso do Sul UFRGS Universidade Federal do Rio Grande do Sul UFN Universidade Franciscana WoS Web of Science TUR Turquia ALE Alemanha FRA França ESP Espanha EUA Estados Unidos ESC Escócia ISR Israel IND Indonésia BNCC Base Nacional Comum Curricular 16 SUMÁRIO Apresentação........................................................................................................................... Introdução............................................................................................................................... Capítulo 1 - A argumentação no ensino da matemática: uma análise bibliométrica da produção científica internacional.............................................................................................. 1.1 O levantamento de dados bibliométricos.......................................................................... 1.2 Análise dos dados bibliométricos...................................................................................... 1.3 Resultados do levantamento bibliométrico....................................................................... 1.3.1 O total de publicações e os tipos de documentos...................................................... 1.3.2 As principais áreas de pesquisa................................................................................. 1.3.3 Principais países e instituições produtoras de conhecimento.................................... 1.3.4 As principais fontes e autores das publicações.......................................................... 1.3.5 Os vinte tópicos centrais candidatos a “hot topics” .................................................. 1.3.6. Os “hot topics” de pesquisa...................................................................................... 1.4 Uma conclusão sobre o levantamento bibliográfico......................................................... 19 25 32 33 34 35 35 36 37 38 40 41 42 Capítulo 2 - Argumentação no ensino da matemática: o estado do conhecimento da produção científica internacional.............................................................................................................. 2.1 O levantamento de artigos de alto impacto na área.......................................................... 2.2 Resultados da busca.......................................................................................................... 2.3 A argumentação no ensino de matemática: o que dizem as pesquisas internacionais sobre o assunto?...................................................................................................................... 2.3.1 Estruturas, modelos ou padrões de argumentação..................................................... 2.3.2 Expectativas, crenças e percepções em relação a argumentação............................... 2.3.3 Estratégias de apoio à argumentação e prova............................................................ 2.3.3.1 Roteiros de colaboração e exemplos heurísticos................................................ 2.3.3.2 Telhas de linguagem virtual em uma abordagem de investigação..................... 2.3.3.3 Normas de apoio à argumentação...................................................................... 2.3.3.4 Argumentação coletiva...................................................................................... 2.3.3.5 Tarefas de modelagem matemática................................................................... 2.3.3.6 Apoio docente em situações contingente em sala de aula.................................. 2.3.3.7 Atividades envolvendo literacias multimodais e gestão de diferentes registros semióticos...................................................................................................................... 2.3.4 Ambientes de argumentação...................................................................................... 2.3.5 Tipos, modos e finalidades da argumentação em sala de aula.................................. 2.3.6 Análise de livro didático............................................................................................ 2.4 Considerações finais sobre o estado do conhecimento da produção científica internacional........................................................................................................................... Capítulo 3 - A argumentação no ensino da matemática: o estado do conhecimento da produção nacional..................................................................................................................... 3.1 Levantamento das pesquisas relacionadas ao tema.......................................................... 3.1.1 Resultados da busca.................................................................................................. 3.2 A argumentação no ensino de matemática: o que dizem as produções nacionais envolvendo dissertações e teses? ........................................................................................... 3.2.1 Análise de livro didático e revista pedagógica.......................................................... 3.2.2 Concepções de alunos sobre argumentação e prova.................................................. 45 45 45 48 50 53 57 57 60 60 61 62 63 64 65 66 70 71 72 73 74 79 82 84 17 3.2.3 Estratégias desencadeadoras do processo de argumentação e prova......................... 3.2.3.1 Investigação matemática.................................................................................... 3.2.3.2 Experimentação com o uso da tecnologia.......................................................... 3.2.3.3 Utilização de sequência/atividades didática (s) com ou sem o suporte da tecnologia...................................................................................................................... 3.2.4 Argumentação como uma estratégia ou método de ensino....................................... 3.2.5 Espaço ou ambientes para a argumentação e prova................................................... 3.2.6 Formação de professores no contexto da argumentação e prova.............................. 3.2.7 Ensino da lógica construtora da argumentação e prova............................................. 3.3 Considerações finais sobre o estado do conhecimento da produção nacional.................. 3.4 O problema de pesquisa e as questões de investigação que emergem do cenário da pesquisa internacional e nacional........................................................................................... 84 84 86 87 87 88 89 90 91 92 Capítulo 4 - A argumentação no contexto do ensino e aprendizagem da matemática................................................................................................................................ 4.1 A argumentação e o argumento matemático.................................................................... 4.2 Argumentar coletivamente no contexto da matemática.................................................... 4.2.1 Os tipos de argumentos matemáticos no contexto da argumentação coletiva........... 4.2.2 A aprendizagem no contexto da argumentação coletiva em sala de aula.................. 4.3 Habilidades de argumentação e as estratégias argumentativas associadas em contexto de ensino envolvendo a matemática....................................................................................... 4.4 Normas sociais e normas sociomáticas como estratégias para apoiar o desenvolvimento de habilidades argumentativas em sala de aula....................................................................... 95 95 98 99 102 105 108 Capítulo 5 - O argumento de prova no contexto da matemática.............................................. 5.1 A evolução dos critérios de prova (demonstração) ao longo dos séculos......................... 5.2 A prova numa perspectiva lógica e formal no campo da matemática............................... 5.3 A prova no contexto da educação matemática em sala de aula........................................ 5.4 Os diferentes tipos e níveis de prova para o contexto de sala de aula.............................. 5.4.1 A provas pragmáticas e as provas intelectuais......................................................... 5.4.2 Os diferentes níveis de prova entre a prova pragmática e a prova conceitual.......... 112 112 115 118 123 123 125 Capítulo 6 - Metodologia: a pesquisa quantitativa e a pesquisa qualitativa no contexto do estudo........................................................................................................................................ 131 6.1 O estudo de caso enquanto abordagem qualitativa........................................................... 6.1.1 As características fundamentais do estudo de caso abordado neste estudo............... 6.1.2 Fases do desenvolvimento do estudo de caso........................................................... 6.1.3 A fase exploratória: a definição do problema e as questões de pesquisa.................. 6.1.3.1 Atividade proposta............................................................................................. 6.1.3.2 Atividade: fabricação de números...................................................................... 6.1.3.3 Metodologia de organização da aula: aplicação da atividade............................. 6.2 A coleta de dados............................................................................................................... 133 136 142 142 144 145 147 148 6.2.1 Observação de uma situação argumentativa envolvendo argumentação coletiva e documentada por meio de videogravação e notas de campo.............................................. 6.2.2 Recolha de registros escritos produzidos coletivamente por cada grupo de trabalho em torno da atividade proposta........................................................................................... 6.2.3 Autoscopia................................................................................................................ 6.2.3.1 Sessões de autoscopia realizadas por meio de grupo focal................................ 6.3 Análise de dados................................................................................................................ 6.3.1 Análise argumentativa de Toulmin (1958;2001) ....................................................... 149 151 152 155 157 157 18 6.3.2 Estrutura para identificar um argumento matemático produzido no modelo de Toulmin.............................................................................................................................. 6.3.3 Modelo de análise para identificar estruturas globais de argumentação e avaliar o raciocínio dos alunos.......................................................................................................... 6.3.4 Modelo de análise para avaliar o argumento de validação durante a argumentação coletiva............................................................................................................................... 6.3.5 Análise de conteúdo das sessões de autoscopia colhidas por meio do grupo focal................................................................................................................................... 6.3.6 Triangulação de fontes e métodos............................................................................. Capítulo 7 – Análise dos dados................................................................................................. 7.1 Perfil dos alunos participantes e a realização da atividade................................................ 7.2 Anatomia do processo de argumentação coletiva: produção e avaliação de argumentos de justificação com base em estruturas globais de argumentação........................................... 7.2.1 Problema 1................................................................................................................. 7.2.1.1 Estrutura fonte-divergente................................................................................. 7.2.2 Problema 2................................................................................................................. 7.2.3 Problema 3................................................................................................................. 7.2.4 Problema 4................................................................................................................. 7.2.5 Problema 5................................................................................................................. 7.3 Análise do argumento de validação para os problemas envolvendo a elaboração de prova matemática.................................................................................................................... 7.3.1 Argumentos de prova produzidos pelo grupo 1 referente a questão 3...................... 7.3.2 Argumentos de prova produzidos pelo grupo 2, referente a questão 3..................... 7.3.3 Argumentos de prova produzidos pelo grupo 3, referente a questão 3...................... 7.3.4 Argumentos de prova produzidos pelo grupo 1, referente a questão 5..................... 7.3.5 Argumentos de prova produzidos pelo grupo 2, referente a questão 5..................... 7.3.6 Argumentos de prova produzidos pelo grupo 3, referente a questão 5................... 7.4 Autoavaliação do processo argumentativo pelos alunos participantes da pesquisa: Aprendizagem, competências e habilidades argumentativas documentadas durante as sessões de autoscopia.............................................................................................................. 7.4.1Aprendizagem, competências e habilidades argumentativas documentadas pelos grupos durante as sessões de autoscopia............................................................................. Considerações finais................................................................................................................ Referências............................................................................................................................... Apêndice A............................................................................................................................... Apêndice B............................................................................................................................... Apêndice C............................................................................................................................... Anexo A.................................................................................................................................... 161 162 169 172 173 175 176 179 181 192 193 208 218 225 235 236 241 243 251 254 255 259 259 268 278 292 305 315 326 19 APRESENTAÇÃO Meu nome é Fredy Coelho Rodrigues, sou natural de Araçuaí-MG, cidade localizada no Vale do Jequitinhonha, norte do Estado de Minas Gerais. Sou oriundo de família humilde, o filho mais velho de um total de dois irmãos. A minha mãe, professora aposentada dos anos iniciais do Ensino Fundamental na rede pública de ensino, desde a minha infância e adolescência, foi quem me incentivou a estudar para conquistar um bom emprego. Sempre estudei em escola pública e procurava me dedicar ao máximo aos estudos porque tinha o sonho de algum dia cursar uma faculdade e conquistar o meu sucesso financeiro. Em dezembro de 2000, após a conclusão do ensino médio, eu e meu irmão, com o dinheiro do décimo terceiro salário da minha mãe fizemos a inscrição para o vestibular da Universidade Estadual de Minas Gerais (UNIMONTES) Campus Montes Claros-MG. Na oportunidade, consciente do fraco Ensino Médio que tivemos na rede pública de ensino, estrategicamente, optamos pela inscrição em cursos de menor concorrência da Universidade no intuito de aumentar a probabilidade de êxito na aprovação pelo vestibular. Na época, optei pelo curso de Licenciatura em Matemática, pela afinidade na área e por ser um curso noturno e que me possibilitasse trabalhar durante o dia. O meu irmão pelas mesmas razões optou pelo curso de Ciências Contábeis. Com a aprovação no vestibular, que contou com nosso esforço e também muita sorte, tivemos que nos mudar para Montes Claros-MG mesmo sem perspectiva de recursos financeiros para se manter na cidade. Logo de início, precisei trabalhar para me manter. Como eu tinha muita facilidade na área de exatas, comecei a ministrar aulas particulares de Matemática, Física e Química. De início eu ficava o dia inteiro na porta de várias escolas particulares da cidade oferecendo serviço de reforço escolar aos pais que levavam os filhos para a escola. Em pouco tempo adquiri uma clientela de alunos para reforço escolar, o que ajudou a me manter nos primeiros meses na cidade. O meu irmão, por ser mais novo, dependia de mim. Eu ministrava aulas particulares o dia inteiro e a noite me deslocava para a faculdade, orgulhoso, feliz, focado e comprometido com o curso. Durante o período que cursei a Licenciatura em Matemática (2001-2004), pude vivenciar uma experiência que contribuiu muito para o meu desenvolvimento profissional. Ao iniciar esse curso, eu acreditava que para ser um bom professor era preciso ter apenas um bom conhecimento teórico do conteúdo de Matemática a ser trabalhado com os alunos. No entanto, 20 essa ideia começou a mudar a partir do momento que passei a experienciar metodologias alternativas de ensino ao longo de um estágio realizado no Laboratório de Educação Matemática dessa instituição. A experiência de ensino-aprendizagem vivenciada no ambiente deste laboratório me deixou marcas e veio, posteriormente, influenciar de forma positiva a minha prática docente em sala de aula. A minha história com o Laboratório de Educação Matemática (LEM) teve início no segundo semestre de 2001, período em que eu cursava o segundo período do curso de Licenciatura em Matemática e fui contemplado com uma bolsa de estágio neste laboratório. Na época, não sabia dizer ao certo o que era um Laboratório de Educação Matemática e muito menos que tipo de atividades passaria a desenvolver durante o estágio neste ambiente. A única coisa que me vinha à cabeça era a ideia de um espaço reservado ao estudo da Matemática, orientação de estágio e utilização de jogos. Eu acreditava que o meu papel dentro daquele projeto, portanto, consistiria apenas em prestar assistência aos professores e acadêmicos do curso no que diz respeito ao controle do acervo de livros didáticos e materiais manipulativos ali existentes, em especial os jogos. Acreditava, também, que a minha função seria zelar pela manutenção deste espaço, de modo que o mesmo estivesse sempre pronto para recepcionar os acadêmicos durante as atividades de estudo e estágio. No entanto, eu estava errado, já que, antes mesmo do laboratório começar a funcionar, pude participar ativamente da fase de construção do seu espaço físico, como também, depois de pronto, experienciar, neste ambiente, várias atividades de ensino envolvendo a elaboração de oficinas didáticas, a confecção e uso de materiais manipuláveis e metodologias alternativas para o ensino da Matemática. Desde então, pude perceber que não bastava apenas ter o domínio de conteúdo para ensinar, é preciso também deter o conhecimento de metodologias alternativas capazes de propiciar ao aluno uma compreensão melhor da Matemática. Por meio dessa experiência de ensino, percebi que o Laboratório de Educação Matemática representa uma necessidade nos cursos de formação de professores. Após um ano de estágio, fui indicado pelo coordenador do laboratório e por outro professor do curso de Matemática para uma vaga de emprego em um colégio particular da cidade. Sendo assim, tive que abandonar aquela atividade, de modo a ceder a vaga do referido estágio a outro acadêmico do curso para que o mesmo pudesse ter a mesma oportunidade que tive. O exercício da docência representava para mim a oportunidade de colocar em prática toda aquela experiência de ensino-aprendizagem que vivi no ambiente do laboratório, que me deixou marcas e que vem me transformando ao longo dos anos como professor de Matemática. Essa 21 experiência me possibilitou ser um professor reflexivo, que a todo o momento passa a questionar a sua prática profissional. Após concluir a Licenciatura em Matemática no final de 2004, pude ingressar no início de 2005 em uma pós-graduação lato sensu em Matemática Superior com ênfase na área de Análise Matemática na própria instituição. Não era a área que eu desejava dar continuidade aos meus estudos, no entanto, era a única área de especialização ofertada pela Universidade naquele período. Não imaginava que esta especialização, depois de concluída, fosse me abrir as portas para a docência na Educação Superior. No final de 2006, após a conclusão da especialização, de maneira despretensiosa para testar meus conhecimentos, prestei um processo seletivo para professor na referida Universidade para a área de Cálculo Diferencial e Integral (área que eu tinha muita facilidade) e acabei sendo aprovado para um regime de trabalho de 20 horas. Em pouco tempo, sai da condição de aluno para professor da Universidade que havia estudado. Em 2007, apenas com uma titulação de especialista em uma grande Universidade, veio a cobrança pela titulação de mestre uma vez que o Conselho Estadual de Educação passaria a exigir a referida titulação para o exercício do magistério da Educação Superior no âmbito da Universidade. Neste período eu lecionava Cálculo Diferencial e Integral no curso de Licenciatura em Matemática da UNIMONTES como também em cursos de engenharia em uma Universidade privada. Paralelo a isso, mantinha o vínculo docente de professor da Educação Básica em um colégio particular da cidade (Colégio Berlaar Imaculada Conceição) em que eu atuava desde a época de acadêmico. No ano posterior, em 2008 ingressei no Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática da PUC-MINAS (Belo Horizonte). Na época, este era o único programa de pós-graduação na área de Ensino de Matemática em Minas Gerais. Na impossibilidade de afastamento das atividades docentes, tentei conciliar as atividades do mestrado com uma demanda semanal de 40 aulas semanais. Diante das dificuldades para trabalhar, viajar e estudar acabei trancando o mestrado. Frustrado com a grande quantidade de aulas que eu tinha semanalmente, resolvi tentar concurso na rede federal de ensino, almejando melhores condições de trabalho em um regime de Dedicação Exclusiva que posteriormente pudesse viabilizar algum tipo de afastamento para que eu pudesse cursar mestrado. Em 2009, já contando com a minha experiência, ainda que curta, na docência de disciplinas de cálculo, prestei o concurso para o Instituto Federal do Norte de Minas Gerais para a área de Cálculo Diferencial e Integral – fui aprovado em 1º lugar no certame. Em 2010, com um quantitativo bem menor de aulas (12 aulas) e em um regime de dedicação exclusiva, pude 22 retornar ao mestrado em ensino e sob a orientação da profa. Dra. Eliane Scheid Gazire conclui o mestrado em 2011 defendendo uma dissertação que na época foi elogiada pelo professor Sergio Lorenzato (UNICAMP) como “tese acadêmica em um mestrado profissional”. O título da minha dissertação de mestrado foi “Laboratório de Educação Matemática: Descobrindo as potencialidades do seu uso em um curso de formação de professores” e teve relação com a minha experiência formativa na época de bolsista-estagiário no Laboratório de Educação Matemática da Universidade onde realizei a graduação. A partir deste trabalho, publiquei artigos, livro e realizei inúmeros projetos de extensão associados ao meu trabalho de mestrado. Atuando como docente na rede federal de ensino, logo depois que conclui o mestrado, passei a coordenar o curso de Licenciatura em Matemática do IFNMG Campus Salinas. Foram 2 anos à frente deste curso de Licenciatura e com vários projetos aprovados, sendo o projeto mais importante deles o PIBID/CAPES em 2012. Entre 2012 e 2014 passei a almejar um doutorado na área de Ensino. Havia, porém, um grande obstáculo, os programas de pós-graduação do estado de São Paulo, almejados por mim, eram muito distantes da cidade onde eu morava e trabalhava (Salinas/Norte de Minas Gerais). A solução que eu encontrei para encurtar a distância e então viabilizar a minha qualificação (Doutorado) foi solicitar transferência do Instituto Federal do Norte de Minas para o Instituto Federal do Sul de Minas, o que acabou dando certo. Em julho de 2014, por meio de transferência, iniciei minhas atividades docentes no IFSULDEMINAS, Campus Passos. Pouco tempo depois de lotado no Campus, fui designado coordenador do curso de Licenciatura em Matemática, período em que trabalhei na implantação do Laboratório de Educação Matemática (LEM) bem como do Laboratório Virtual de Educação Matemática (LAVEM). No período a frente a coordenação de curso, o sonho do doutorado ficou em segundo plano devido as inúmeras atribuições e contratempos que a função administrativa me consumia. A pós-graduação a nível de doutorado constituía uma necessidade cada vez maior na medida em que inúmeros projetos financiados pela CAPES e FAPEMIG exigiam a titulação de doutor para submissão/coordenação. Durante o ano de 2019, por exemplo, passei por uma situação desconfortável em tive que tomar o “nome emprestado” de um colega doutor para submeter um projeto a FAPEMIG. Em 2019, prestei o processo seletivo de doutorado da UNESP Campus Bauru, motivado pela necessidade de aprimorar meus conhecimentos e melhorar minha prática docente. 23 Após lograr êxito com a aprovação no processo seletivo, logo em seguida consegui o afastamento das minhas atividades docentes junto ao IFSULDEMINAS, Campus Passos para então me dedicar integralmente as atividades do doutorado. Pretendia de início dar prosseguimento aos meus estudos sobre “Laboratórios de Ensino na formação de professores”. No entanto, não foi possível seguir diretamente com a temática uma vez que a minha proposta de investigação teria que se ajustar ou estar em consonância com a área de atuação/pesquisa do meu orientador de doutorado. Nesse sentido, passei a estudar o processo de “argumentação” no ensino de ciências, com foco ao meu contexto de formação -a matemática. Ainda que a temática tivesse mudado, no entanto, ela ainda possuía uma forte relação/ligação com os meus estudos anteriores a nível de mestrado, afinal de contas toda a exploração de material manipulável e atividades de ensino realizadas no âmbito do LEM se dá a partir de uma situação de argumentação coletiva. O primeiro contato com a argumentação no ensino de ciências ocorreu durante as aulas da disciplina de Análise de Discurso ministrada pelo prof. Dr. Marco Aurélio Alvarenga Monteiro (meu orientador) durante o segundo semestre de 2019 junto ao programa de pós- graduação em Educação para a Ciência da Unesp, campus Bauru. Nesta oportunidade, a leitura de trabalhos envolvendo a temática da argumentação informal em diferentes campos da ciência despertou a minha curiosidade de explorar a temática no campo da educação matemática crítica. A ideia, portanto, era buscar reflexões numa tentativa de relativizar o termo “argumentação matemática” para além do campo da técnica. A pretensão era explorar outras possibilidades de argumentação matemática desprovido da “forma” e do “formalismo” matemático, reconhecendo e valorizando, diferentes etnoargumentações e justificações conceituais que pudessem ser consideradas como provas válidas e explicativas. No contexto da referida disciplina tive a oportunidade de conhecer a teoria (anatômica e fisiológica) da estrutura do argumento, amplamente utilizada no ensino de ciências e baseada no estudo do filósofo Stephen Toulmin. O conhecimento desta teoria alavancou os meus estudos na medida em que busquei produzir articulações do referido estudo com o meu campo de formação – a matemática. No campo da disciplina de Psicologia da Educação Matemática, tive o primeiro contato com os estudos de Nicolas Balacheff envolvendo a temática relativo aos tipos e níveis de prova em matemática. A partir daí, tendo em vista o estudo de tese, surgiu a ideia de articular/juntar a teoria de Balacheff ao modelo do argumento proposto por Toulmin. A referida ideia, portanto, se materializou na criação de um modelo ou abordagem metodológica (RODRIGUES e MONTEIRO, 2021) para avaliar a qualidade/solidez do argumento de prova em Educação 24 Matemática. O trabalho de tese neste contexto passou a adquirir forma e contornos na medida em que se voltou à exploração e teste do referido modelo teórico desenvolvido pelo autor e seu orientador (RODRIGUES e MONTEIRO, 2021). A partir daí nos propusemos a estudar a argumentação enquanto um “processo” e também “produto” e dessa forma o estudo ganhou forma sob o título: “Da argumentação à prova: produção e avaliação de argumentos matemáticos por alunos ingressantes em curso de formação de professores em matemática”. Sendo este o título do nosso trabalho de tese, os resultados apresentados ao longo do texto, irão cotejar importantes contribuições à literatura para aprofundar a discussão e compreensão do tema envolvendo a complexa passagem/transição da argumentação (prova) empírica para argumentação (prova) conceitual. No que tange a formação de professores, cuja experiência do autor foi brevemente relatada, o estudo pretende levantar subsídios teóricos e metodológicos para apoiar a instrumentalização do futuro professor de matemática com o trabalho da argumentação e prova em sala de aula como também no âmbito de atividades de laboratório envolvendo uso de material concreto e argumentação coletiva. 25 INTRODUÇÃO A argumentação constitui um campo de estudo interdisciplinar que recebe contribuições de profissionais e estudiosos de diferentes áreas do conhecimento: filosofia, psicologia, linguística, comunicação, educação, ensino de ciências, matemática etc. Este campo de estudo teve um grande impulso no final da década de 50 a partir da publicação de duas obras clássicas e de referência na área, o “Tratado da Argumentação” de Perelman e Olbretchs-Tyteca e “Usos do Argumento” de Stephen Toulmin, ambos publicados em 1958 (MENDONÇA; JUSTI, 2013). Contribuições para a evolução deste campo de estudo advém das diferentes perspectivas que refletem os modos variados de como a argumentação vem sendo conduzida e trabalhada ultimamente (WENZEL, 1990). Para Wenzel (1990) a argumentação pode ser pensada por meio de três perspectivas diferentes: retórica, dialética e lógica. No campo da retórica, por exemplo, a argumentação tem por finalidade a persuasão na medida que se ocupa com a produção de um discurso (oral ou escrito) para auxiliar membros de um grupo social a resolver problemas e orientá-los na tomada de uma decisão. Já no campo da dialética, uma argumentação está relacionada a organização sistemática de uma interação discursiva (debate) para discutir ideias e orientar membros de um grupo social na produção e a tomada das melhores decisões. Por fim, no campo da lógica, a argumentação está associada a um conjunto de afirmativas devidamente fundamentadas por evidências e razões suficientemente relevantes para convencer um determinado grupo social (WENZEL, 1990). Em relação a estas três formas de se pensar a argumentação, Wenzel (1990) explica que a perspectiva retórica está relacionada ao processo de construção do argumento, a dialética por sua vez ao procedimento utilizado na produção e a lógica concebe o argumento enquanto produto já acabado. O estudo da retórica, da dialética e da lógica teve origem na Grécia Antiga e obteve maior destaque a partir do trabalho de Aristóteles (MENDONÇA; JUSTI, 2013). Ainda de acordo com Mendonça e Justi (2013) a perspectiva lógica de argumentação subdivide-se em duas categorias: lógica formal e lógica informal. A lógica formal tem como intuito criar meios de garantir que nosso pensamento proceda corretamente a fim de chegar a conhecimentos verdadeiros. No trabalho de Aristóteles, os argumentos demonstrativos (aqueles que objetivam atingir uma certeza absoluta) foram estudados no domínio da lógica formal (também denominada analítica) a partir de raciocínios silogísticos dedutivos e indutivos. Na lógica formal, a validade dos 26 argumentos depende apenas do formato das afirmativas (as premissas precedem a conclusão, que é uma consequência das mesmas) (MENDONÇA; JUSTI, 2013, p.190). Por outro lado, A lógica informal tem como intuito desenvolver procedimentos para análise, interpretação, avaliação, crítica e construção da argumentação no discurso cotidiano. No prefácio da edição de 2003 do livro “Os usos do Argumento”, Toulmin afirma que sua intenção original ao escrevê-lo era criticar a suposição de muitos filósofos anglo americanos de que qualquer argumento significativo deveria ser expresso em terminações formais. Toulmin alertou contra os riscos desse tipo de raciocínio, devido à pretensão de se basear em universalidades que nem sempre se encontram presentes na proposição maior ou geral. De fato, a partir desse livro, Toulmin rompeu com o campo tradicional da lógica formal e se focou no estudo de como as pessoas argumentam em situações corriqueiras (MENDONÇA; JUSTI, 2013, p.190). Dentro da perspectiva da lógica informal, a argumentação tem sido recentemente definida como uma atividade verbal, social e racional destinada a convencer uma crítica razoável da aceitabilidade de um ponto de vista, apresentando uma constelação de proposições que justificam ou refutam a proposição expressa no ponto de vista. (VAN EEMEREN; GROOTENDORST, 2004, p.1, tradução nossa). Enquanto atividade verbal, a argumentação faz uso da linguagem oral ou escrita. Os autores reconhecem a importância de outras formas de comunicação não verbal tais como gestos e expressões faciais, no entanto, recomendam que estas últimas atuem de forma a complementar os significados gerados pelas ações verbais. Para além do componente verbal, consideramos importante também o componente visual, expresso por representações envolvendo desenhos, gráficos, diagramas, figuras, tabelas, quadros, modelos e imagens (TRIANTAFILLOU; SPILIOTOPOULOU; POTARI, 2016). A argumentação é também uma atividade social, isso porque envolve duas ou mais pessoas em um debate de ideias (VAN EEMEREN; GROOTENDORST, 2004). Toda via, o caráter social, pode ser caracterizado também no ato de pensamento individual na medida em que um sujeito realiza ponderações envolvendo os prós e os contras de um determinado assunto ou ideia. Nesse caso, ele argumenta consigo mesmo, contudo, prevê reações e contra- argumentos de possíveis interlocutores para os quais ele deseja convencer. Por fim configura- se como uma atividade racional porque envolve o emprego de raciocínio para desenvolver e defender um ponto de vista. O julgamento racional relaciona-se à avaliação da solidez do 27 argumento no contexto de um debate ou discussão (VAN EEMEREN; GROOTENDORST, 2004). A definição proposta por Van Eemeren e Grootendorst (2004) tem sido comumente utilizada na literatura educacional e “envolve a construção de alegações, o fornecimento de provas para apoiar as alegações, e a avaliação destas provas para julgar a validade das alegações” (AYALON; HERSHKOWITZ, 2018 p.164). Ela, portanto, situa a argumentação em um espaço social, e se incorporada ao discurso em sala de aula tem o potencial de viabilizar um espaço de articulação e avaliação crítica de ideias, reflexão, raciocínio e apoio a construção colaborativa do conhecimento (SCHWARZ; HERSHKOWITZ; PRUSAK, 2010; AYALON; HERSHKOWITZ, 2018; AYALON, 2019). Este tipo de argumentação é considerada mais "frutífera" e propícia à aprendizagem (ASTERHAN; SCHWARZ, 2016). Ela é caracterizada por uma interação discursiva envolvendo dois ou mais alunos no exercício de uma escuta crítica e respeitosa envolvendo as ideias do outro, a tentativa de identificar os pontos fracos e fortes de cada ideia, a busca por ideias alternativas e o estabelecimento de um consenso (FELTON; GARCIA-MILA; GILABERT, 2009; MUELLER; YANKELEWITZ; MAHER, 2012; AYALON; HERSHKOWITZ, 2018; AYALON, 2019). De acordo com Jiménez-Aleixandre e Brocos (2015) a argumentação, portanto, envolve um processo de interação discursiva marcado pelo contraste entre duas ou mais ideias (ou pontos de vista), ainda que uma destas esteja implícita. Essa divergência de pontos de vista constitui a base da argumentação (AMOSSY, 2011) e o desenvolvimento marcado pelo confronto e debate destas ideias em resposta a uma questão é o que Plantin (2008) denomina por uma situação argumentativa. É importante destacar que dentro de uma situação argumentativa, uma argumentação “não se desenrola no espaço abstrato da lógica pura, mas em uma situação de comunicação em que o locutor apresenta seu ponto de vista na língua natural com todos os seus recursos” que dispõe (AMOSSY, 2011, p.132). Nesse contexto, uma ação argumentativa envolve, portanto, a elaboração de um raciocínio embasado por evidências para justificar (formular) uma conclusão própria ou avaliar de forma crítica a conclusão do outro (JIMÉNEZ-ALEIXANDRE; BROCOS, 2015). O conhecimento, assim, é avaliado sob a luz de evidências empíricas ou teóricas e o raciocínio empregado na justificação de uma conclusão tem por finalidade o convencimento. Dessa forma, o objetivo da argumentação é convencer e a sua especificidade é “por em ação um raciocínio em uma situação de comunicação” (BRETON, 1999, p.7). 28 No intuito de refinar os conceitos subjacentes a prática da argumentação, Jiménez- Aleixandre e Brocos (2015, p.144) sugerem “usar o termo argumento para o produto, o enunciado ou o resultado de um discurso razoado, e argumentação, o discurso argumentativo, para o processo dialógico social”. Ainda de acordo com estes autores, um argumento pressupõe minimamente a existência de dados (evidências), justificativa e conclusão (JIMÉNEZ- ALEIXANDRE; BROCOS, 2015). Um argumento científico, portanto, é definido como uma proposição devidamente embasada por uma justificativa de natureza empírica ou teórica (JIMÉNEZ-ALEIXANDRE; ERDURAN, 2008 e MENDONÇA; JUSTI, 2013). Para Asterhan e Schwarz (2016) a argumentação é um dos principais processos associados ao desenvolvimento de competências e habilidades que podem ajudar os alunos a lidar melhor com as novas exigências de uma sociedade cada vez mais diversa e complexa do século XXI. Estas competências e habilidades envolvem, pensamento crítico, flexibilidade de pensamento, autonomia, aprendizagem colaborativa, escuta ativa, resolução de problemas, comunicação e expressão de argumentos. A prática da argumentação desempenha, portanto, um papel essencial no desenvolvimento destas competências e habilidades nos estudantes (SCHWARZ; BAKER, 2017; AYALON, 2019). Dentro das diversas áreas que compõem a atividade humana, o pensamento racional (pensamento crítico) não se satisfaz apenas com declarações vazias e sem nenhum tipo de embasamento, pelo contrário, ele avalia a solidez das relações que envolvem dados, conclusão e justificativas e em um segundo momento avalia a força e a verdade do argumento composto por estes elementos (SCARPA, 2015). Ainda de acordo com Scarpa (2015) saber argumentar e avaliar argumentos são habilidades importantes em várias esferas sociais uma vez que contribuem para o indivíduo organizar o seu pensamento (raciocínio), avaliar ideias e tomar decisões importantes. É por meio da argumentação, por exemplo, que diversos segmentos da sociedade discutem pautas sociais e estabelecem consensos necessários para viabilizar uma vida em sociedade (SCARPA, 2015). No contexto dessa pesquisa o interesse pela temática da “argumentação” surgiu durante as aulas da disciplina de Análise de Discurso ministrada pelo professor Doutor Marco Aurélio Alvarenga Monteiro junto ao programa de Pós-graduação em Educação para a Ciência da Unesp campus Bauru. No âmbito da disciplina, o pesquisador teve a oportunidade de explorar e aprofundar suas leituras no estudo da Análise do Discurso voltado para a produção e análise de argumentos científicos em sala de aula. O vasto referencial teórico sobre o tema e a sua 29 grande relevância para a área do ensino de ciências aguçou inicialmente a curiosidade do pesquisador em aprofundar o estudo da temática na área do Ensino da Matemática, haja visto que, nessa área de ensino o seu conhecimento estava restrito único e exclusivamente a argumentação enquanto produção de argumentos lógicos e formais. Posteriormente, o interesse pela temática foi se tornando cada vez maior, na medida em que as pesquisas sobre o tema começaram a ganhar cada vez mais destaque por diferentes razões: contribui para o estabelecimento de competências e habilidades relevantes ao processo de justificação e formação de conceitos; potencializa a interação social no desenvolvimento do conhecimento; e ao nível do currículo, desenvolve a autonomia intelectual dos alunos (DOUEK; PICHAT, 2003). Motivado e imerso no contexto da pesquisa referente ao assunto, o pesquisador sob a orientação do professor Dr. Marco Aurélio Alvarenga Monteiro desenvolveu um modelo teórico metodológico (RODRIGUES; MONTEIRO, 2021) para avaliar a qualidade (solidez) de um argumento utilizado para fins de justificação/ validação. No entanto o modelo teórico ainda que descrito e apresentado em publicação internacional não havia sido testado em uma situação prática de argumentação e prova em sala de aula. Diante deste contexto, portanto, esta pesquisa se justifica na medida em que pretende buscar subsídios teóricos e metodológicos para compreender, aprimorar e avaliar a prática da argumentação e prova em sala de sala de aula a partir da aplicação do modelo teórico desenvolvido e publicado por Rodrigues e Monteiro (2021). O estudo, neste contexto, visa compreender em detalhes o fenômeno que envolve a argumentação enquanto processo e produto a partir da análise de três situações de argumentação envolvendo alunos ingressantes no curso de Licenciatura em Matemática do IFSULDEMINAS, Campus Passos. Em outras palavras, o objetivo consiste em investigar como alunos ingressantes em um curso de Licenciatura em Matemática do IFSULDEMINAS, Campus Passos argumentam e avaliam seu desempenho durante o processo de justificação e validação de conceitos matemáticos em um contexto de ensino baseado em argumentação coletiva e investigação. Para tanto, optamos pela realização de um estudo de caso, uma vez que o nosso objeto de estudo envolve a exploração de “situações de argumentação coletiva envolvendo alunos ingressantes em um curso de formação de professores em matemática de uma instituição federal de ensino localizada no sul do estado de Minas Gerais durante a realização de uma investigação numérica”. 30 Investigar situações de argumentação coletiva em um curso de formação de professores em matemática é de extrema importância para o referido curso, uma vez que o projeto pedagógico não contempla elementos que fazem referência ao processo de argumentação na formação do futuro professor de matemática. Dessa forma, os resultados da investigação poderão em um futuro bem próximo fornecer subsídios teóricos visando a elaboração de ações propositivas para atender as eventuais necessidades de reformulação/atualização do projeto pedagógico do curso. Em suma, os objetivos secundários decorrentes do objetivo principal são: a) Investigar como os alunos ingressantes em um curso de licenciatura em matemática argumentam coletivamente para justificar e validar ideias e conjecturas matemáticas; b) Identificar qual (is) estrutura (s) de argumentação global está (ão) presente (s) na argumentação coletiva e avaliar o raciocínio associado a esta (s) estrutura (s); c) Investigar como os alunos ingressantes autoavaliam o seu desempenho durante a argumentação coletiva. Com base na autoavaliação, identificar quais competências e habilidades argumentativas são consideradas por eles como importantes/fundamentais/necessárias para a formação do professor que ensina matemática. O que se espera, ao fim dessa investigação, é que o relato de caso, possa contribuir para formação de professores em matemática, oferecendo subsídios teóricos e metodológicos para a reflexão sobre a prática docente. O estudo está estruturado em sete (7) capítulos, descritos suscintamente a seguir. No capítulo 1, por meio de um estudo bibliométrico, é apresentado o cenário da produção científica internacional referente a temática. Neste capítulo foram levantados os principais “hot topics” de pesquisa na área com o objetivo de auxiliar o pesquisador no delineamento do problema de pesquisa e das questões de investigação. Já no capítulo 2 é apresentado o estado do conhecimento da produção cientifica internacional (corpus: artigos científicos) envolvendo o tema argumentação no ensino da matemática. Por sua vez, no capítulo 3, é apresentado o estado do conhecimento da produção científica nacional (corpus: dissertações e teses) envolvendo o mesmo tema. A partir dos resultados apresentados neste capítulo e nos capítulos anteriores foi possível delinear com exatidão o problema de pesquisa, os objetivos e as questões de investigação. 31 O capítulo 4 apresenta a primeira parte do referencial teórico da pesquisa, ou seja, a argumentação no contexto do ensino e aprendizagem da matemática. É explicitado distinções entre argumentação e argumento, o significado de argumentar coletivamente, a aprendizagem no contexto da argumentação coletiva bem como as competências e habilidades associadas ao processo argumentativo. No capítulo 5, a segunda parte do referencial teórico da pesquisa é apresentado. O capítulo destaca, de modo especial, o conceito de prova explicativa (HANNA, 2000), o argumento de prova e a teoria de Nicolas Balacheff (1987;1988) sobre os tipos e níveis de prova em matemática. A metodologia do estudo compõe o capítulo 6. Ela é apresentada estrategicamente após o referencial teórico do estudo uma vez que os procedimentos de análise a serem utilizados na leitura dos dados da investigação requerem uma fundamentação teórica nos aportes teóricos da literatura. Neste capítulo, portanto, é descrito os procedimentos metodológicos do estudo, a descrição do caso estudado, os participantes da pesquisa, os instrumentos utilizados para a coleta de dados bem como as estratégias de análise propostas construídas sob a luz do quadro teórico indicado nos capítulos 4 e 5. Por fim, o capítulo 7 apresenta os resultados da pesquisa, analisados e discutidos sob a luz do quadro teórico descrito nos capítulos 4 e 5. E nas considerações finais do estudo são apresentadas as reflexões finais sobre o caso investigado, as respostas às questões de pesquisa, as limitações do estudo, as possibilidades de investigações futuras e a conclusão final de todo o trabalho realizado. 268 Considerações finais Este trabalho teve por objetivo investigar como alunos ingressantes em um curso de Licenciatura em Matemática do IFSULDEMINAS, Campus Passos argumentam e avaliam seu desempenho durante o processo de justificação e validação de conceitos matemáticos em um contexto de ensino baseado em argumentação coletiva e investigação. Para tanto realizamos um estudo de caso (exploratório/descritivo/explicativo) para compreender melhor o fenômeno que envolve “três situações de argumentação coletiva” em um contexto de ensino envolvendo argumentação coletiva (3 grupos) e investigação matemática. O estudo de caso foi estruturado em três fases. Na 1ª fase realizamos uma pesquisa bibliográfica (estado do conhecimento) e uma pesquisa bibliométrica para estabelecer a definição do problema, os objetivos de pesquisa, a questão central de investigação bem como a seleção do referencial teórico da pesquisa. Já na 2ª fase coletamos dados por meio de observação participante (documentada por meio de videogravação e notas de campo), recolha de registros escritos produzidos pelos grupos de trabalho e autoscopia operacionalizada pela dinâmica de grupo focal. Com a observação participante registramos todo o processo de argumentação coletiva realizada de modo oral e multimodal. Por meio da recolha dos registros escritos produzidos pelos grupos de trabalho documentamos toda a produção de argumentos gerados por escrito. E por último, com a autoscopia, propiciamos cada grupo de trabalho autoavaliar coletivamente o seu desempenho na argumentação. Na 3ª e última fase, analisamos os dados com base na lente teórica da análise argumentativa (Toulmin, 1958; 2001) e da análise de conteúdo (Bardin, 1985). Com base na análise da estrutura do argumento (Toulmin, 2001) e nas estruturas globais de argumentação analisamos a anatomia do processo argumentativo buscando compreender como os alunos argumentam (raciocinam) para justificar conceitos e ideias matemáticas. Por outro lado, por meio da estrutura do argumento de Toulmin aliado as ideias de Nicolas Balacheff sobre os tipos e níveis de prova analisamos a fisiologia do argumento de prova enquanto produto final da argumentação para compreender como os alunos argumentam (raciocinam) para validar ideias matemáticas em problemas de prova. Por fim, aplicamos a análise de conteúdo nas transcrições das sessões de autoscopia para compreender como os alunos autoavaliam seu desempenho da prática da argumentação e quais competências e habilidades argumentativas são evidenciadas como importantes por estes alunos visando a formação do professor que ensina matemática. Com base na análise da argumentação coletiva (oral, escrita, multimodal) realizada em torno da atividade de investigação numerica (5 problemas) os resultados obtidos são apresentados a seguir de modo a trazer as respostas para as questões de pesquisa. 269 1-Como alunos ingressantes na licenciatura em matemática argumentam para justificar conceitos e ideias matemáticas em um contexto de argumentação coletiva e investigação? Que estrutura (s) de argumentação global pode (m) ser identificada (s) para examinar o tipo de raciocínio empregado por estes alunos durante a argumentação? No problema 1 da atividade de investigação três estruturas globais de argumentação foram encontradas muito em função do tipo de apoio docente fornecido aos grupos. Tanto o grupo 1 quanto o grupo 2 contaram com um tipo de apoio docente bem semelhante e por consequência disso geraram estruturas globais de argumentação bem parecidas (Estrutura reservatório). A estrutura de reservatório é tida como a mais complexa dentre todas as estruturas citadas na literatura uma vez que o raciocínio do aluno retroage para frente e para trás promovendo deduções adicionais em direção a novas justificações para apoiar a conclusão. O apoio docente na orquestração do discurso corroborou para que esta estrutura fosse obtida. Por outro lado, o grupo 3 atuando de forma mais autônoma no processo de argumentação coletiva e sem contar com o mesmo tipo de apoio docente oferecido aos grupos 1 e 2, acabou, contudo, por gerar uma estrutura nova e não documentada na literatura. Esta foi descrita neste estudo como Estrutura Fonte Divergente. A explicação para o surgimento desta estrutura, portanto, se deve a natureza do problema proposto na atividade, ou seja, o problema permitia uma leitura subjetiva e diferente dos dados o que levou os alunos a obterem conclusões diferentes apoiados nos dados. A melhoria da qualidade do argumento de justificação, ou seja, a passagem da argumentação visual para a argumentação conceitual foi viabilizada pelo apoio docente para os grupos 1 e 2 e pela orientação inserida na atividade para o grupo 3. Para ambos os grupos, a aprendizagem durante a argumentação coletiva foi documentada em termos de mudanças na qualidade do argumento produzido pelos grupos como também através do processo de conversão das representações semióticas entre registros. O segundo problema de investigação resultou em uma estrutura de argumentação semelhante para os três grupos, ou seja, a estrutura espiral. Contudo, a estrutura se diferenciou um pouco de um grupo para outro em função do número de fluxos paralelos existentes, ou seja, o número de soluções diferentes que os grupos conseguiram exibir. Os grupos 1 e 3 exibiram duas resoluções diferentes para justificar a sua conclusão para o problema. Por sua vez o grupo 2 exibiu três resoluções diferentes para justificar a sua conclusão. É importante ressaltar que a natureza do problema proposto (problema não estruturado) favoreceu a utilização de diferentes estratégias de justificação (resolução) da conclusão. Para além disso, o apoio do professor, na orquestração do discurso, especialmente solicitando aos grupos a exibição de outros métodos e estratégias de solução do problema corroborou também para o surgimento da estrutura espiral. 270 O raciocínio utilizado pelos grupos 2 e 3 durante a exibição das soluções geométricas e aritméticas como forma justificação para a conclusão do problema esteve associado a uma argumentação que transitou da produção de argumentos visuais para argumentos conceituais. No entanto, nas justificações produzidas pelo grupo 1, o raciocínio utilizado pelos alunos ficou restrito a produção de argumentos visuais a partir dos quais o material concreto (ficha e grãos de feijão) foi acionado a todo momento para auxiliar a argumentação. Nesse caso, a passagem da argumentação visual para a argumentação conceitual poderia ter sido viabilizada pelo docente, caso este tivesse solicitado aos alunos a elaboração de argumentos de justificação desprendidos do uso do material concreto. Para os grupos 2 e 3 a aprendizagem foi documentada pela mudança (evolução) na qualidade do argumento de justificação produzido pelos alunos. Em todos os grupos aprendizagem conceitual relativo ao tema proposto no problema foi documentado através dos variados processos de conversão das representações semióticas entre registros no âmbito de cada grupo no estudo do problema. O terceiro problema resultou em uma estrutura de argumentação semelhante para os grupos 1 e 3, ou seja, a estrutura espiral. Contudo, a estrutura se diferenciou um pouco uma da outra em função do número de fluxos paralelos existentes, ou seja, o número de modos de provas exibidos por cada grupo a pedido do professor. A anatomia desta estrutura reflete, portanto, o apoio docente junto ao grupo, na medida em que ele avaliava os raciocínios utilizados nos modos de prova e solicitava aos alunos logo em seguida outros tipos de justificações mais generalistas. Por outro lado, sem contar com o apoio docente, a discussão ocorrida no âmbito do grupo 2 gerou uma estrutura anatômica linear. Isso ocorreu porque o grupo não solicitou apoio docente na avaliação do argumento produzido. Esta estrutura pode ser gerada também em situações em que o professor não participa da argumentação coletiva junto ao grupo e os alunos são livres para expressar o seu modo de prova. A aprendizagem foi documentada na evolução da qualidade dos argumentos produzidos durante a argumentação coletiva. Em particular, no âmbito do grupo 1 a argumentação visual evoluiu do nível concreto- visual para o nível visual-conceitual. Em relação ao grupo 2, os argumentos evoluíram de uma argumentação visual para uma argumentação conceitual e por fim no âmbito do grupo 3, a argumentação iniciou em um nível concreto-visual, transitou na sequência para uma argumentação visual a nível de teste crucial e por fim avançou para uma argumentação em um nível conceitual e racional. O quarto problema de investigação resultou em três estruturas de argumentação distintas para cada grupo. A estrutura de argumentos independentes modelou a anatomia da argumentação do grupo 1 uma vez que o grupo, ainda que apoiado pelo professor, não 271 conseguiu estabelecer uma resolução (conclusão) para o problema. Já a estrutura de linha representou a argumentação do grupo 2. O fato do professor não ter participado da discussão (oferecendo suporte e apoio) contribuiu para que a estrutura argumentativa gerada fosse mais simples, uma vez que os alunos apresentaram apenas uma única solução para o problema. Caso o apoio do professor tivesse sido requisitado, ou se ele tivesse acompanhado a discussão do grupo no momento da resolução da questão, provavelmente teria solicitado ao grupo outro tipo de justificação relacionada a outro modo de resolução do problema. Nessa situação, a estrutura poderia ter evoluído para uma estrutura espiral. Por fim, a estrutura espiral modelou geometricamente toda a argumentação no âmbito do grupo 3. O grupo conseguiu produzir duas estratégias de resolução para efeito de justificação da solução do problema. Isso foi devido ao apoio do professor que solicitou do grupo outra forma de resolução para o problema. Isso acabou contribuindo com o tipo e forma da estrutura gerada. A aprendizagem foi documentada no âmbito dos grupos 2 e 3, pela evolução na qualidade da argumentação que se iniciou com a produção de argumentos visuais e terminou com a elaboração de um argumento conceitual. Para tanto, o papel do professor foi importante para viabilizar esta transição, especialmente no âmbito da argumentação coletiva realizada pelo grupo 3. Ainda com relação a este último grupo a aprendizagem de conceitos foi documentada por meio da conversão das representações semióticas entre registros. O quinto problema da atividade resultou em uma estrutura de argumentos independentes e duas estruturas fonte. A estrutura de argumentos independentes surgiu no contexto em que o grupo 1 não conseguiu resolver o problema de prova proposto. Por sua vez a estrutura fonte surgiu no contexto de argumentação dos grupos 2 e 3. O grupo 2, partindo de um caso empírico de referência, conseguiu desenvolver uma argumentação essencialmente conceitual ao longo de toda a situação argumentativa. Apoiados pelo professor em melhorar a justificação empreendida, o grupo desenvolveu uma etno-argumentação que transitou de uma explicação conceitual e geral na linguagem informal para uma explicação conceitual e geral na linguagem matemática. Por outro lado, no âmbito do grupo 3, a argumentação se baseou em argumentos essencialmente empíricos para viabilizar sem sucesso uma generalização o que tornou a prova apresentada não probatória. O professor ofereceu apoios ao grupo na tentativa de melhorar o argumento de prova, contudo, o grupo não conseguiu avançar na discussão em direção a uma argumentação conceitual e mais generalista. A aprendizagem de prova foi documentada apenas para o contexto de argumentação envolvendo o grupo 2, uma vez que o grupo mostrou evolução na qualidade do argumento produzido. Em outras palavras, contando com o apoio docente, o argumento de prova conceitual contemplou uma generalização que 272 evoluiu da linguagem corrente (informal) para a linguagem matemática, sem, contudo, envolver rigor e forma característicos do argumento analítico. De modo geral os grupos 2 e 3 conseguiram na maioria das questões desenvolver uma argumentação que evoluiu de justificações com base no visual para justificações conceituais e racionais. Por outro lado, o grupo 1 teve dificuldades em produzir argumentos de justificação conceitual. Em todas as situações de argumentação, o material didático concreto auxiliou no surgimento da argumentação visual e a transição desta para a argumentação conceitual esteve na maioria das vezes ligadas ao apoio docente durante a argumentação. Destacamos nesta parte dos resultados o surgimento de uma nova estrutura de argumentação global não documentada na literatura e descrita por nós como “estrutura fonte divergente”. Para o contexto de formação de professores os resultados mostraram a importância da aprendizagem de conceitos matemáticos se dar a partir de uma dinâmica de trabalho em grupo em um contexto de ensino envolvendo argumentação coletiva e investigação matemática. Por meio dos resultados obtidos, foi possível verificar que a natureza da atividade (investigação) proposta, os problemas (não estruturados) utilizados, a metodologia proposta (argumentação coletiva) e o material concreto (MD) utilizado como recurso didático contribuíram para viabilizar e fomentar inicialmente a produção de argumentos empírico-visuais. Estes argumentos por sua vez evoluíram para argumentos conceituais muito em função do apoio fornecido pelo professor (solicitando generalizações) durante a sua participação na argumentação coletiva como também através do roteiro de colaboração inserido na atividade. Este resultado, reforça também, a necessidade de os cursos de formação de professores, investirem em pesquisa e planejamento de práticas metodológicas semelhantes a que foi apresentada, uma vez que estas são capazes de viabilizar a complexa passagem/transição do argumento empírico para o argumento conceitual. 2-Como alunos ingressantes na licenciatura em matemática argumentam para validar conceitos e ideias matemáticas em um contexto de argumentação coletiva e investigação? No que tange a produção e avaliação do argumento de prova inserido no problema 3 da atividade, os resultados revelaram ainda que os alunos do grupo 1 produziram dois tipos prova empírica (prova pragmática) para validar o problema. Ambos os tipos de prova foram considerados não probatórios, contudo, ao menos o segundo tipo de prova produzida representou um avanço no aprendizado de prova para os alunos do grupo uma vez que eles transitaram de nível inferior de “empirismo ingênuo” no primeiro modo de prova pragmática para um nível superior “exemplo genérico” no segundo modo de prova pragmática. Por sua vez o grupo 2, obteve melhor êxito, na medida em que conseguiu produzir um tipo de prova 273 conceitual em um nível de experiência mental. O raciocínio do grupo partiu de um caso particular de referência, se desprendeu da contextualização em torno do objeto durante a descrição da garantia, apresentando por fim um argumento de validação com uma descrição genérica, explicativa, probatória e expressa por meio da linguagem informal. Por fim o grupo 3, apresentou três modos de prova que no decorrer do processo foram evoluindo. Do primeiro modo de prova para o segundo modo, o grupo transitou de uma prova pragmática no nível de “empirismo ingênuo” para uma prova pragmática no nível “experimento crucial”. E na sequência, no terceiro modo de prova, apresentaram por fim uma prova conceitual no nível de “experiência” mental. A evolução no modo de prova, se deu muito por conta do apoio fornecido pelo professor aos grupos, principalmente quando este avaliava as provas produzidas pelos alunos e incentivava os mesmos a melhorarem a explicação promovendo generalizações. Apenas os grupos 2 e 3 conseguiram produzir uma prova sólida de qualidade, ou seja, um argumento de prova forte e bem elaborado. Com relação a produção e avaliação do argumento de prova inserido no problema 5 da atividade, os resultados revelaram que apenas os grupos 2 e 3 foram capazes de apresentar provas na tentativa de validar o problema proposto. Em particular o grupo 2 produziu uma prova conceitual no nível de “experiencia mental”. A prova atingiu satisfatoriamente a função de “provar e explicar” dentro de um contexto de etno-argumentação em sala de aula. Durante a sua produção pelo grupo, a generalização evoluiu da linguagem corrente (informal) para a linguagem matemática. Já o grupo 3 produziu uma prova empírica (pragmática) no nível de “empirismo ingênuo” para validar o processo de conversão. A prova foi recusada pelo professor uma vez que a considerou não probatória. Ele incentivou o grupo a produzir uma outra prova mais genérica para explicar o processo de conversão, no entanto, o grupo não avançou na discussão, talvez por terem se sentido convencidos com a prova produzida. Apenas o grupo 2 conseguiu produzir uma prova sólida e de qualidade, ou seja, um argumento de prova forte e bem elaborado. De modo geral apenas o grupo 2 foi capaz de obter êxito nos dois problemas de prova, mantendo a qualidade (solidez) do argumento de prova como forte e bem elaborado. O grupo 1 não foi capaz de produzir uma prova probatória em nenhum momento. Já o grupo 3 evoluiu na qualidade da prova produzida (argumento fraco e pouco elaborado para argumento forte e bem elaborado) para o problema 3, no entanto, não foi capaz de produzir uma prova probatória para o problema 5. O apoio docente foi importante para a evolução do argumento de prova. No contexto da formação de professores, o estudo mostrou a importância do professor de matemática conhecer os vários tipos de prova em matemática e as suas diferentes 274 possibilidades de etnoargumentação no contexto de sala de aula. Os resultados mostraram o quanto é importante em um primeiro momento o professor identificar o nível de prova dos alunos com base no primeiro modo de prova elaborado por eles durante o trabalho em grupo. Posteriormente, tomando como ponto de partida este primeiro modo de prova elaborado pelo grupo, o estudo mostrou a importância da intervenção do professor junto ao grupo, participando ativamente da argumentação coletiva, promovendo reflexões e incentivando os alunos a realizarem raciocínios generalizadores de modo a produzirem colaborativamente provas conceituais em diferentes níveis de etnoargumentação. A participação ativa do professor durante a argumentação coletiva, avaliando e reavaliando os argumentos de validação, considerando o que é probatório e não probatório, bem como solicitando generalizações junto ao grupo, constituiu por meio deste estudo uma estratégia interessante e eficaz para minimizar a tensão envonvendo a complexa passagem/transição da prova empírica para a prova conceitual/formal. A estrutura de avaliação do argumento de prova proposto por Rodrigues e Monteiro (2021) foi testada pela primeira vez neste estudo. Diante dos resultados obtidos ela se mostrou útil para avaliar a qualidade (solidez) do argumento de prova produzido a partir da classificação dos componentes do argumento de prova. Em particular no contexto deste estudo, não houve nenhum tipo de dado que pudesse ser classificado como bibliográfico, no entanto, os resultados apontaram para a necessidade de a estrutura incorporar uma terceira classificação para os tipos de dados, ou seja, “o dado genérico”. Em nenhum momento da análise foi reportado dados que fizesse referência a qualificadores modais durante a produção dos argumentos de prova. No contexto da formação de professores, o modelo de avaliação do argumento de prova proposto por Rodrigues e Monteiro (2021), em decorrência dos resultados encontrados neste estudo, se apresenta, portanto, como uma ferrametne útil para ser explorada e utilizada pelo professor de matemática para avaliar a qualidade do argumento de prova para fins de validação na Educação Básica. O modelo desenvolvido pelo autor pode ser utilizado como um instrumento eficaz para avaliar o nível de competência e habilidade do (s) aluno (s) da Educação Básica no que tange a proficiência da prática argumentativa para fins de prova. 3) Como os alunos investigados autoavaliam o seu desempenho na prática de argumentação coletiva? De modo geral, a autoavaliação do processo argumentativo pelos grupos corroborou para um exercício de prática reflexiva por meio do qual os alunos destacaram estar diante de uma abordagem nova e desconhecida por eles. No entanto, em meio as dificuldades (conteúdo e metodologia), eles conseguiram colaborativamente atingir um aprendizado conceitual e 275 desenvolver competências e habilidades relacionadas a proficiência da prática de argumentação e prova em sala de aula. De modo particular o grupo 1 ressaltou a importância de a atividade de investigação conter problemas abertos com diferentes possibilidades de resolução como forma de fomentar a investigação e argumentação em sala de aula. Para eles o conhecimento prévio do assunto é fundamental para que se possa sustentar uma argumentação durante o debate. O grupo 2, por sua vez ressaltou o uso do material concreto utilizado na atividade para viabilizar a argumentação bem como a aprendizagem por meio do concreto e visual. Por fim, o grupo 3 também destacou o uso do material concreto na atividade para estimular o raciocínio e fomentar a argumentação. Para além disso o grupo também ressaltou o apoio do professor para que os alunos pudessem construir argumentos de melhor qualidade. 4) Com base na autoavaliação dos alunos, que competências e habilidades argumentativas são explicitadas como importantes para a formação do professor que en