PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA “Método de detecção interferométrica de fase, com baixa profundidade de modulação, aplicado à medição de deslocamentos nanométricos em atuadores e mini- manipuladores piezoelétricos” FRANCISCO DE ASSIS ANDRADE BARBOSA Orientador: Prof. Dr. Cláudio Kitano Ilha Solteira – SP Novembro/2009 PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA “Método de detecção interferométrica de fase, com baixa profundidade de modulação, aplicado à medição de deslocamentos nanométricos em atuadores e mini- manipuladores piezoelétricos” FRANCISCO DE ASSIS ANDRADE BARBOSA Orientador: Prof. Dr. Cláudio Kitano Dissertação apresentada à Faculdade de Engenharia - UNESP – Campus de Ilha Solteira, para obtenção do título de Mestre em Engenharia Elétrica. Área de Conhecimento: Automação. Ilha Solteira – SP Novembro/2009 _______________________________________________________________________________________________ FICHA CATALOGRÁFICA Elaborada pela Seção Técnica de Aquisição e Tratamento da Informação Serviço Técnico de Biblioteca e Documentação da UNESP - Ilha Solteira. Barbosa, Francisco de Assis Andrade. B238m Método de detecção interferométrica de fase, com baixa profundidade de modulação, aplicado à medição de deslocamentos nanométricos em atuadores e mini-manipuladores piezoelétricos / Francisco de Assis Andrade Barbosa. -- Ilha Solteira : [s.n.], 2009. 158 f. : il. Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira. Área de Conhecimento: Automação, 2009 Orientador: Cláudio Kitano Bibliografia: p. 126-131 l. Interferometria. 2. Medição de deslocamentos. 3. Modulação de fase. 4. Piezoeletricidade. _______________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________ AGRADECIMENTOSAGRADECIMENTOSAGRADECIMENTOSAGRADECIMENTOS Espero não cometer nenhum tipo de injustiça se algum nome importante não estiver nesta folha. Certamente estará gravado para sempre no meu coração. Gostaria de agradecer a Deus pela vida, pelo amor que tem por mim, pelos enormes presentes que me deu e me dá, pela força nos momentos difíceis, pelos milagres nos momentos onde minha capacidade não mais era suficiente e pela certeza da vitória num final que sempre se aproxima. Agradeço muito à minha querida família: mãezinha querida, tios, tias, primos, sobrinhos que tanto confiam em mim e tanto torcem e vibram com cada vitória que eu tenho, mas que também me auxiliam em cada momento complicado com muita força e amor. Agradecimento especial deve ser dado à Patrícia Viviane, pela força que me deu, amor, orações e palavras de incentivo, mesmo quando a desistência era uma idéia próxima em mim. Gostaria de agradecer aos meus amigos de mestrado pela companhia, conversas divertidas, ajudas nas disciplinas e consolo nas horas complicadas: João Paulo, Augusto, João Filipe, Thiago, Ericsson, Wesley, Perin, Soneca, Emerson, Sanches, Élcio e Aline. Não poderia deixar de oferecer um agradecimento a todos da ETEC de Araçatuba: direção, professores, funcionários e alunos. Agradecimento especial deve ser dado ao Professor Tokio pelas valiosas dicas sempre que precisei e perguntei e pelo compartilhamento do laboratório de ultra-som. Não poderia esquecer de agradecer ao Professor Vital por ter me incentivado e me ajudado a fazer e concluir este mestrado. Agradecimentos aos técnicos do laboratório de ensino: Everaldo L. Moraes, Adilson A. Palombo, Valdemir Chaves e José Aderson Anhussi. Gostaria de agradecer à CAPES – Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior por me financiar através de uma bolsa de mestrado. E, por fim, mas não menos importante, gostaria de agradecer ao meu orientador, Professor Cláudio Kitano. Agradecer pelas dicas, correções, orientações, palavras duras, palavras divertidas, enfim, por durante a realização dos dois Estudos Especiais, no trabalho de qualificação e desta dissertação de mestrado. No fundo, tenho mesmo é que agradecer pela paciência que o Professor Kitano teve durante todo esse tempo. Sei que não foi trivial, mas no fim tudo sempre acaba bem. _______________________________________________________________________________________________ "Sabemos que a tribulação produz perseverança; a perseverança, um caráter aprovado; e o caráter aprovado, esperança. E a esperança não nos decepciona, porque Deus derramou seu amor em nossos corações, por meio do Espírito Santo que ele nos concedeu" (Romanos 5.3b-5). Dedico a Deus este trabalho. Assim como todo o meu louvor e minha adoração. A lembrança, o carinho e o amor que sinto pelo meu vôzinho Jose Galdino de Andrade, minha vózinha Maria Alveny Nery de Andrade, assim como pelo meu querido tio Orlando José de Andrade e pela minha querida prima Fabiana de Jesus Andrade se faz aqui registrado. _______________________________________________________________________________________________ RESUMORESUMORESUMORESUMO Atuadores piezelétricos flextensionais consistem de uma estrutura metálica flexível acoplada a uma piezocerâmica. A estrutura flexível deve amplificar os pequenos deslocamentos e/ou forças da piezocerâmica, e gerar grandes deslocamentos e/ou forças em diferentes pontos específicos de sua estrutura. Esses dispositivos constituem um mecanismo a estado sólido, sem partes móveis (como pinos ou juntas), sendo que seus deslocamentos/forças estão associados à flexibilidade/rigidez mecânica da estrutura metálica conectada à piezocerâmica. Outra classe de atuadores, mais geral, são os manipuladores multi-atuados, que constituem de uma estrutura multi-flexível acoplada a duas ou mais piezocerâmicas. Novamente, a estrutura multi-flexível atua como um transformador mecânico, amplificando e mudando a direção dos deslocamentos das piezocerâmicas. Tais dispositivos podem apresentar dois ou mais graus de liberdade, como o nano-posicionador XY (com dois graus de liberdade), a micro-garra (quatro graus de liberdade) e outros. Os atuadores piezoelétricos flextensionais e os manipuladores multi-atuados podem ser utilizados em manipulação celular, na manufatura de CIs, em micro-cirurgias, e em muitas outras aplicações. Atualmente, ambos os tipos de atuadores são projetados pela moderna técnica de otimização tipológica, um método computacional que combina algoritmos de otimização com o método de elementos finitos. A interferometria laser constitui uma técnica adequada para caracterizar ambos os tipos de atuadores, permitindo-se a medição de deslocamentos na faixa de poucos nanômetros à vários micrometros. Neste trabalho, utiliza-se um interferômetro de Michelson de baixo custo para medir o fator de calibração e a amplificação de deslocamentos de atuadores piezoelétricos flextensionais, bem como, a relação entre o deslocamento direto e cruzado nos manipuladores multi-atuados. Um novo método, de grande sensibilidade e adequado para operar sob baixa profundidade de modulação de fase óptica, é apresentado. Neste método, os atuadores são alimentados por uma forma de onda triangular, a qual permite executar um procedimento de auto- calibração do interferômetro de forma simples e eficiente. Previsões teóricas, baseadas no ruído shot, estimam que deslocamentos na ordem de 0,2 nm podem ser detectados. A eficiência do método é validada através de testes realizados com dois tipos de atuadores piezoelétricos flextensionais, cujas características de linearidade e resposta em freqüência são bem conhecidas. A seguir, o método é aplicado para avaliar um novo tipo de manipulador multi-atuado com dois graus de liberdade e projetado pelo método de otimização topológica. _______________________________________________________________________________________________ ABSTRACTABSTRACTABSTRACTABSTRACT Piezoelectric flextensional actuators consist of a flexible metal frame attached to a piezoceramic. The flexible frames must amplify the small displacements and/or forces at different specific points of their structures. These are solid state type devices, without moving parts (such as pins or joints) and their displacements/forces are associated to the mechanical flexibility/stiffness of the metal structure connected to the piezoceramic. A more generic class of actuators, are the multi-actuated manipulators, which are compose of a multi-flexible structure attached to two or more piezoceramics. Similarly, the multi-flexible structure acts as a mechanical transformer amplifying and changing the direction of the piezoceramic displacements. Such devices may have two or more degrees of freedom, as the XY nano-positioner (with two degrees of freedom), the micro-jaw (four degrees of freedom) and others. Piezoelectric flextensional actuators and multi-actuated manipulators can be used in cell manipulation, manufacture of CIs, micro-surgery and many other applications. Currently, both types of actuators are designed by the modern topology optimization technique, a computational method that combines optimization algorithms with the finite element method. The laser interferometry is a suitable technique to characterize both types of actuators, enabling the measurement of displacements ranging from few nanometers to several micrometers. In this work, it was used a low cost Michelson interferometer to measure the calibration factor and the displacement amplification of flextensional piezoelectric actuators, as well as the relationship between the direct and the coupled displacements in multi-actuated manipulators. A new interferometric method, highly sensitive and suitable to operate under optical narrow band phase modulation is presented. In this method, the actuators are drive by a triangular waveform, which allows to perform a procedure for self-calibration of the interferometer in a simple and efficient way. Theoretical predictions, based on the shot noise, estimate that displacements in the order of 0.2 nm can be detected. The efficiency of the method is validated through tests on two types of piezoelectric flextensional actuators, whose characteristics of linearity and frequency response are well known. Next, the method is applied to evaluate a new type of multi-actuated manipulator with two degrees of freedom and designed by the method of topology optimization. _______________________________________________________________________________________________ LISTA DE FIGURASLISTA DE FIGURASLISTA DE FIGURASLISTA DE FIGURAS Figura 2-1 Representação esquemática do experimento de Young. ............................................... 22 Figura 2-2 - Representação das franjas produzidas pelo experimento de Young. Observam-se raias claras quando há um máximo e raias escuras quando há um mínimo de intensidade óptica I. . 22 Figura 2-3 - Interferômetro de Michelson..................................................................................... 23 Figura 2-4 - Interferômetro de Michelson tendo o divisor de feixes em destaque (LEÃO, 2004). . 24 Figura 2-5 – Experimento de Young equivalente formado através de um interferômetro de Michelson. ............................................................................................................................ 25 Figura 2-6 - Experimento de Young equivalente, com I1 e I2 e com os espelhos ortogonais. ......... 26 Figura 2-7 – Experimento de Young equivalente, com I1 e I2 e com o espelho M1 levemente desalinhado. .......................................................................................................................... 27 Figura 2-8 – Interferômetro desalinhado. Verifica-se a presença de faixas paralelas no anteparo. . 28 Figura 2-9 - Interferômetro de Michelson com lentes expansoras para que auxilie na visualização de vários anéis. ...................................................................................................................... 28 Figura 2-10 - Visualização espacial do processo de formação de franjas de interferência. Em (a) ocorre alinhamento das fontes, em (b) desalinhamento parcial (verifica-se pequena curvatura das franjas) e em (c) percebe-se a presença de linhas verticais igualmente espaçadas............. 30 Figura 2-11- Visualização espacial da configuração do caso geral de formação das franjas de interferência. ......................................................................................................................... 31 Figura 2-12 - Representação dos vetores de posição no plano x-y. ................................................ 31 Figura 2-13 – Simulação em MATLAB® dos três tipos de franjas que um interferômetro de Michelson pode produzir: a) franjas circulares: a = 0 µm e ∆z = 0,5 µm, b) franjas intermediárias: a = 30 µm e ∆z = 50 µm c) franjas retas e paralelas: a = 30 µm e ∆z = 0 m.... 34 Figura 3-1 - Franjas paralelas e área do fotodiodo. ....................................................................... 39 Figura 3-2 - Função visibilidade de corrente normalizada, υ/GµBSD versus b/Λ. ......................... 42 Figura 3-3 - Gráfico de υ/GµBSD versus Λ para um fotodiodo com b=1mm. .............................. 43 Figura 3-4 - Ângulo de desalinhamento (2α) entre os feixes dos interferômetros. ......................... 43 Figura 3-5 - Curva de transferência óptica de um interferômetro de Michelson (LEÃO, 2004)..... 47 Figura 3-6 - Sinais interferométricos simulados em MATLAB®. A linha, cujo sinal possui intensidade máxima unitária, representa o sinal de excitação enquanto que a linha cujo sinal _______________________________________________________________________________________________ possui intensidade menor representa o sinal recuperado. Em (a) 0 2 π φ = , em (b) 0φ π= , em (c) 0 3 2 π φ = e em (d) 0 2φ π= . .................................................................................................... 50 Figura 3-7 - Sinal adquirido, distorcido pela ação do desvanecimento. ......................................... 53 Figura 3-8 – Sinal fotodetectado quando o interferômetro está operando na condição de quadratura de fase. .................................................................................................................................. 53 Figura 3-9 – Sinais interferométricos simulados em MATLAB®. Em (a) 0 2 π φ = , em (b) 0φ π= , em (c) 0 3 2 π φ = e em (d) 0 2φ π= ................................................................................................ 55 Figura 4-1 – O processo de detecção de fase óptica utilizando o método de baixa profundidade de modulação............................................................................................................................. 56 Figura 4-2 - Procedimento de calibração para a utilização do método de baixa profundidade de modulação. A tensão de excitação produz um deslocamento de fase igual a . 2 )( radt pico π φ =∆ .............................................................................................................................................. 60 Figura 4-3 - Representação simulada da reentrância produzida pela aplicação de uma tensão de excitação que gera um deslocamento de fase . 2 )( radt pico π φ >∆ ............................................ 61 Figura 4-4 - Comportamento da Função F(φ0). ............................................................................. 66 Figura 5-1 – Atuador piezoelétrico do tipo bender. ....................................................................... 68 Figura 5-2 - Atuador do tipo bender em operação......................................................................... 68 Figura 5-3 - Tweeter piezoelétrico. (a) Cone instalado ao PZT. (b) modo de vibração fundamental. (c) modo de vibração com freqüência tripla. (c) modo de vibração com freqüência quíntupla (LEÃO, 2004). ...................................................................................................................... 69 Figura 5-4 – Piezoatuadores flextensionais clássicos. (a) Tipo moonies (b) Tipo cymbals (LEÃO, 2004)..................................................................................................................................... 70 Figura 5-5 - Atuador flextensional agindo em uma pastilha de PZT (NADER, 2002). .................. 70 Figura 5-6 - Projeto de um atuador flextensional utilizando a técnica de otimização topológica. (a) Domínio inicial. (b) Domínio discretizado. (c) Topologia obtida. (d) Interpretação. (e) Verificação (f) Modelo para a produção (CARBONARI, 2003). ............................................ 72 Figura 5-7 - Exemplos de atuadores flextensionais projetados pelo método de otimização topológica (NADER, 2002). .................................................................................................. 73 _______________________________________________________________________________________________ Figura 5-8 - Projeto de multi-manipuladores flextensionais. (a) Nano-posicionador com dois graus de liberdade (XY). (b) Garra com quatro graus de liberdade (CARBONARI, 2008). ............. 74 Figura 5-9 - Projeto de um manipulador flextensional utilizando a técnica de otimização topológica. (a) Domínio inicial. (b) Domínio discretizado. (c) Topologia obtida. (d) Interpretação. (e) Verificação (f) Modelo para a produção (CARBONARI, 2008).................. 75 Figura 5-10 - Exemplos de manipuladores flextensionais projetados pelo método de otimização topológica. ............................................................................................................................ 75 Figura 5-11 - Esquema da Piezocerâmica PZT - 5A. .................................................................... 76 Figura 5-12 - Deslocamentos ∆L3 (relacionado à d33) e ∆L1 (relacionado à d31), obtidos em análise quase- estática efetuada experimentalmente usando o sensor MTI-2000 e por simulação usando o ANSYS: � ∆L1 experimental, --- ∆L1 simulado, • ∆L3 experimental e --- ∆L3 simulado (MARÇAL et al., 2007)......................................................................................................... 76 Figura 5-13 - Tweeter piezoelétrico utilizado nos experimentos.................................................... 77 Figura 5-14 - Esquema do atuador flextensional AFX – 01 com a Piezocerâmica PZT - 5A instalada. ............................................................................................................................... 78 Figura 5-15 - Atuador piezoelétrico flextensional AFX - 01 conectado a uma Piezocerâmica PZT - 5A. (a) Vista lateral. (b) Vista lateral oposta. (c) Vista superior, com espelho acoplado no ponto de medição. (d) Outra vista lateral. ........................................................................................ 78 Figura 5-16 - Atuador piezoelétrico flextensional AFX - 02 conectado a uma Piezocerâmica PZT - 5A. (a) Vista lateral. (b) Vista lateral oposta. (c) Vista superior, com espelho acoplado no ponto de medição. (d) Outra vista lateral (MENEZES, 2009). ......................................................... 79 Figura 5-17 – Estrutura metálica do multi-atuador MFX-01. ........................................................ 80 Figura 5-18 - Domínio de projeto inicial do manipulador MFX – 01 (CARBONARI, 2008). ....... 80 Figura 5-19 - Projeto do manipulador flextensional MFX – 01 utilizando a técnica de otimização topológica. (a) Domínio inicial. (b) Domínio discretizado. (c) Topologia obtida. (d) Interpretação. (e) Verificação (f) Modelo para a produção...................................................... 81 Figura 5-20 - Manipulador piezoelétrico flextensional MFX-01. Percebe-se a presença das pastilhas de PZT responsáveis pelo acoplamento direto e cruzado........................................................ 81 Figura 6-1 - Foto do interferômetro utilizado para a medição dos deslocamentos com o atuador do tipo bender. ........................................................................................................................... 83 Figura 6-2 - Espelho colado ao tweeter piezelétrico. .................................................................... 84 Figura 6-3 - Foto do interferômetro utilizado nos experimentos. .................................................. 84 Figura 6-4 - Espelho móvel colado a um atuador piezelétrico flextensional.................................. 85 _______________________________________________________________________________________________ Figura 6-5 – Piezoatuadores fixados ao suporte. (a) Ilustração dos engastes. (b) Vista frontal do AFX – 01 fixo ao suporte. (c) Vista lateral do AFX – 01 preso ao suporte. (d) Vista frontal do AFX – 02 fixado ao suporte. (d) Vista lateral do AFX – 02 fixado ao suporte. ....................... 86 Figura 6-6 - Foto do interferômetro utilizado nos experimentos com o MFX – 01. ....................... 87 Figura 6-7 – (a) Fita reflexiva colada ao mini-manipulador piezelétrico flextensional. (b) Mini- manipulador fixado ao suporte............................................................................................... 88 Figura 6-8 - Interferômetro levemente desalinhado. ..................................................................... 89 Figura 6-9 – Estágios de movimentação do espelho fixo. ............................................................. 89 Figura 6-10 – Franjas de interferência geradas por um interferômetro de Michelson projetadas em um anteparo. (a) Mostra o caso da formação de franjas circulares, (b) Franjas intermediárias (c) Franjas retas e paralelas. ........................................................................................................ 90 Figura 6-11 - Franja de ordem zero. ............................................................................................. 91 Figura 6-12 - Foto da instrumentação eletrônica utilizada. Nela, podem ser visualizados o osciloscópio digital, o gerador de funções e os computadores usados na aquisição dos dados. 92 Figura 6-13 - Freqüêncimetro utilizado para a contagem automática das franjas de interferência.. 93 Figura 6-14 – Exemplo do Sinal Fotodetectado. ........................................................................... 94 Figura 6-15 - Formas de onda mostrando as franjas de interferência e o sinal de excitação senoidal com freqüência de 800 Hz. As tensões de pico são iguais à: (a) 7,8 V, (b) 15,0 V, (c) 22,2 V, (d) 29,6 V, (e) 36,8 V, (f) 44,4 V, (g) 51,6 V, (h) 58,8 V e (i) 66,4 V. ............................................ 96 Figura 6-16 - Relação de linearidade aproximada entre a tensão de excitação e o número de franjas do primeiro conjunto de dados............................................................................................... 98 Figura 6-17 - Gráfico dos deslocamentos obtidos através da excitação de um transdutor bilaminar e utilizando o método de contagem de franjas. ......................................................................... 98 Figura 6-18 - Sinais fotodetectados utilizados para a calibração do sistema. (a) Reentrâncias. (b) Sinal aproximadamente senoidal. (c) FFT do sinal que representa Vmax. ............................... 101 Figura 6-19 - Forma de ondas adquiridas nas medições dos deslocamentos gerados pelo AFX – 01 em conjunto com a cerâmica PZT 5-A. Este conjunto de dados foi adquirido na freqüência de 125 Hz e as tensões de excitação são as seguintes: (a) 30,4 Vp. (b) 24,8 Vp. (c) 18,4 Vp. (d) 16,4 Vp. (e) 12,8 Vp. (f) 8,8 Vp. (g) 5,4 Vp.(h) 3,6 Vp. .................................................................. 104 Figura 6-20 - Gráfico dos deslocamentos obtidos através da excitação da piezocerâmica conectada ao atuador flextensional AFX – 01, utilizando o método de baixo índice de modulação. ...... 105 Figura 6-21 - Relação entre a tensão de excitação e a variação de fase acoplada ao atuador AFX – 01 com sinal de excitação triangular em 125 Hz. ................................................................. 106 _______________________________________________________________________________________________ Figura 6-22 - Forma de ondas adquiridas nas medições dos deslocamentos gerados pelo AFX – 02 em conjunto com a cerâmica PZT 5-A. Este conjunto de dados foi adquirido na freqüência de 400 Hz e as tensões de excitação são as seguintes: (a) 18,4 Vp. (b) 14,8 Vp. (c) 11,2 Vp. (d) 7,4 Vp. (e) 3,6 Vp. (f) 1,08 Vp. ................................................................................................... 108 Figura 6-23 – Gráfico da tensão de excitação versus deslocamento do atuador AFX – 02, para a freqüência de 400 Hz........................................................................................................... 109 Figura 6-24 – Comportamento da fase em relação à tensão de excitação do AFX – 02 para a freqüência de 400 Hz............................................................................................................110 Figura 6-25 – Simulação do comportamento do MFX – 01 no ANSYS. (a) Excitação da cerâmica vertical em 2 Hz. (b) Excitação da cerâmica horizontal em 1,4 KHz .....................................111 Figura 6-26 - Simulação no ANSYS da deformação sofrida pelo MFX – 01 na freqüência de 100 Hz. .......................................................................................................................................113 Figura 6-27 – Simulação dos deslocamentos relacionados com a deformação do mini-manipulador operando em 100 Hz. (a) excitando-se a cerâmica vertical. (b) excitando-se a cerâmica horizontal. ............................................................................................................................113 Figura 6-28 - Sinais fotodetectados utilizados para a calibração do sistema. (a) Reentrâncias. (b) Sinal aproximadamente senoidal. (c) FFT do sinal associado ao fator de calibração Vmax......115 Figura 6-29 - Forma de ondas das medições do acoplamento direto gerados pelo MFX-01. ........116 Figura 6-30 - Gráfico dos deslocamentos obtidos devido à excitação da piezocerâmica presente no MFX-01. Valores que correspondem ao deslocamento direto. ...............................................117 Figura 6-31 - Demonstração do erro de trajetória presente quando o acoplamento cruzado foi medido na freqüência de 100 Hz...........................................................................................117 Figura 6-32 - Erro de trajetória presente no sinal fotodetectado mesmo com baixa amplitude do sinal modulador. ...................................................................................................................118 Figura 6-33 - Gráfico dos deslocamentos obtidos devido à excitação da piezocerâmica presente no MFX-01. Valores que correspondem ao deslocamento acoplado. ..........................................119 Figura 7-1 - Comparação de forma de onda (freqüência igual a 100 Hz) e espectros de sinais. (a) Excitação com amplitude elevada com erro de trajetória (b) Excitação com baixa amplitude e sem erro de trajetória. .......................................................................................................... 124 Figura A-1 - Vista lateral de um feixe laser................................................................................. 135 Figura A-2 - Variação da amplitude do campo em função da posição radial................................ 144 Figura A-3 - Perfil lateral de um feixe gaussiano........................................................................ 145 Figura A-4 - Representação espacial do campo elétrico na forma esférica. ................................. 145 Figura A-5 - Feixe gaussiano com várias frentes de onda representadas. .................................... 147 _______________________________________________________________________________________________ Figura A-6 - Cone assintótico com ângulo de raio angular θ....................................................... 147 Figura A-7 - Perfil de intensidade óptica de um feixe laser. ........................................................ 150 Figura B-1 – Modos de expansão de uma cerâmica que exibe o efeito piezoelétrico. (a) modo de expansão em espessura. (b) modo transversal à espessura. (c) modo transversal à face (LEÃO, 2004)................................................................................................................................... 152 Figura B-2 - Componentes de deformação longitudinal (a) e de cisalhamento (b) (LEÃO, 2004). ............................................................................................................................................ 153 Figura B-3 – Representação das forças e efeitos inerentes à presença de uma tensão mecânica. . 155 Figura B-4 - Campo elétrico aplicado na direção 3 de uma pastilha de PZT................................ 157 _______________________________________________________________________________________________ LISTA DE TABELASLISTA DE TABELASLISTA DE TABELASLISTA DE TABELAS Tabela 6-1 - Resultados obtidos com o primeiro conjunto de dados analisados. ............................ 97 Tabela 6-2 - Resultados obtidos com o primeiro atuador piezelétrico AFX – 01 analisado.......... 105 Tabela 6-3 - Resultados obtidos com o piezoatuador AFX – 02 .................................................. 109 Tabela 6-4 - Resultados obtidos para os deslocamentos com acoplamento direto gerados pelo manipulador MFX-01...........................................................................................................116 Tabela 6-5 - Resultados obtidos para os deslocamentos com acoplamento direto gerados pelo manipulador MFX-01...........................................................................................................118 Tabela 7-1 - Comparação dos resultados obtidos para o coeficiente angular da reta que descreve a linearidade do atuador piezelétrico flextensional AFX – 01. ................................................ 121 Tabela 7-2 - Caracterização da piezocerâmica PZT – 5A utilizando o sensor óptico MTI – 2000 (MARÇAL et al., 2007)....................................................................................................... 122 Tabela 7-3 - Valores de amplificação obtidos devido ao acoplamento da estrutura metálica à piezocerâmica 5 - A............................................................................................................. 122 Tabela 7-4 - Comparação dos resultados obtidos para o coeficiente angular da reta que descreve a linearidade do atuador piezelétrico flextensional AFX – 02. ................................................ 123 _______________________________________________________________________________________________ LISTA DE LISTA DE LISTA DE LISTA DE ABREVIATURASABREVIATURASABREVIATURASABREVIATURAS AFX – 01 – Atuador Piezelétrico Flextensional 01 AFX – 02 – Atuador Piezelétrico Flextensional 02 ANSYS – Software computacional BaTiO3 – Titanato de Bário EPUSP – Escola Politécnica da Universidade de São Paulo FEIS – Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira He-Ne – Hélio - Neônio MEMS – Sistemas Microeletricomecânicos (Micro-Electro-Mechanical Systems) MFX-01 – Manipulador Piezelétrico Flextensional NBPM – “Narrow Band Phase Modulation”. PbTiO2 – Titanato de chumbo PbZrO3 – Zirconato de Chumbo PIN – Fotodiodo PIN (Positive-Intrinsic-Negative) PPGEE – Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica PZT - Titanato de chumbo RMS – Valor eficaz (Root Mean Squared) SI – Sistema Internacional de Unidades SNR – Relação Sinal-Ruído (Singal-Noise Ratio) UNESP – Universidade Estadual de São Paulo USP – Universidade de São Paulo _______________________________________________________________________________________________ LISTA DE LISTA DE LISTA DE LISTA DE SÍMSÍMSÍMSÍMBOLOSBOLOSBOLOSBOLOS L∆ - Amplitude de deslocamento sφ - Índice de modulação de fase de um sinal senoidal )(tφ∆ - Diferença de fase dinâmica entre o ramo sensor e o ramo de referência sω - Freqüência angular do sinal senoidal E ijkls - Matriz das constantes elásticas de flexibilidade (campo elétrico constante ou nulo) kijd - Matriz de Constante de deformação (Campo elétrico variável) klT - Tensor tensão mecânica ijS - Tensor deformação mecânica picoV - Valor de pico da tensão de excitação n∆ - Variação do índice de refração )(tI∆ - Variação temporal da intensidade óptica 0φ - Variação de fase estática u r - Vetor deslocamento de um meio material λ - Comprimento de onda da fonte laser. Φ(t) – Diferença de fase global acumulada entre os ramos de um interferômetro de Michelson ∆Aj – Elemento de área de um meio material E0 – Valor RMS do campo elétrico na saída de um laser F – Força de deformação I(t) – Intensidade óptica I0 – O dobro da intensidade óptica do laser I1 e I2 – Intensidade óptica dos feixes ópticos do ramo 1 e ramo 2, respectivamente de um interferômetro de Michelson j – Unidade imaginária l - Deslocamento n – Índice de modulação Q1 – Ponto de polarização quiescente V – Visibilidade das franjas de um interferômetro de Michelson _______________________________________________________________________________________________ v(t) – Tensão elétrica fotodetectada, Vmax – Tensão de calibração X,Y,Z – Coordenadas espaciais Z0 – Impedância intrínseca do meio ω – Freqüência angular µ – Permissividade do meio b, h – Dimensões do fotodiodo A, B – Constantes da expressão de I(x,t) T – Período temporal G – Responsividade de corrente do fotodiodo i – Corrente elétrica no fotodiodo SD – Área do Fotodiodo υ - Visibilidade da corrente detectada α - Alinhamento angular dos feixes do interferômetro Λ - Período espacial das franjas de interferência ∆Φ(t) – Variação de fase global entre os ramos do interferômetro Nf – Número de franjas de interferência contadas utilizando o método de contagem de franjas Φ(t) – Variação de fase global entre os ramos do interferômetro ∆LPico – Máximo valor de deslocamento medido nos atuadores e manipuladores 2 Qi - Valor quadrático médio da corrente do ruído shot )(ti - Valor médio da corrente do fotodetector B – Largura de banda do fotodetector RI – Responsividade de correte do fotodiodo 2 Si - Potência média do sinal fotodetectado K – Constante de fase do meio m – coeficiente angular dos gráficos de linearidade dos atuadores ∆Z – Distância de separação vertical entre fontes ópticas a – Distância de separação horizontal entre as fontes ópticas w0 – Mínimo Spot size w(z) – Spot size R(z) – Função variação do raio de curvatura da frente de onda. φ1, φ2 – Fases iniciais _______________________________________________________________________________________________ Z0 – Impedância intrínseca de um meio ilimitado E1, E2 – Campos elétricos irradiados pelas fontes ópticas µ - Fator que leva em consideração as não idealidades do interferômetro de Michelson M – Parâmetro relacionado com o período espacial das franjas de interferência δ(t) – Função Delta de Dirac ∆n – Variação do índice de refração do meio ∆l – Variação de comprimento do braço óptico do interferômetro νBIAS – Componente de polarização c.c do sinal interferométrico fotodetectado Vac – Componente de polarização c.c do sinal interferométrico fotodetectado i(t) – Corrente elétrica fotodetectada η - Eficiência quântica do fotodiodo q – carga do elétron h – Constante de Planck ν - Freqüência da radiação óptica e r - Campo elétrico b r - Indução magnética d r - Deslocamento elétrico j r - Densidade de corrente elétrica h r - Campo magnético t - tempo ρ - Densidade de carga elétrica ε - Permissividade do meio σ - Condutividade do meio ε0 – Permissividade do vácuo µ0 – Permeabilidade do Vácuo c – Velocidade da luz E – Campo elétrico escalar R – Vetor posição P(z), q(z) – Funções complexas a, b – Constantes arbitrárias q0 – Constante complexa arbitrária _______________________________________________________________________________________________ SUMÁRIOSUMÁRIOSUMÁRIOSUMÁRIO CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO ................................................................................................ 16 1.1 Demodulação de Fase Óptica Através do Método de Baixa Profundidade de Modulação.... 18 1.2 Apresentação da Dissertação .............................................................................................. 19 CAPÍTULO 2 - INTERFEROMETRIA ÓPTICA E FORMAÇÃO DE FRANJAS DE INTERFERÊNCIA..................................................................................................................... 21 2.1 Experimento de Young ....................................................................................................... 21 2.2 Interferômetro de Michelson .............................................................................................. 22 2.3 Formação de Franjas no Interferômetro de Michelson ........................................................ 23 2.3.1 Formação de Franjas Circulares ................................................................................... 26 2.3.2 Formação de Franjas Intermediárias............................................................................. 26 2.3.3 Formação de Franjas Paralelas ..................................................................................... 27 2.4 Análise Matemática da Formação das Franjas de Interferência ........................................... 28 2.5 O Método de Contagem de Franjas .................................................................................... 35 CAPÍTULO 3 - ANÁLISE DO SINAL INTERFEROMÉTRICO FOTODETECTADO ........ 37 3.1 Fotodetecção do Sinal Interferométrico .............................................................................. 37 3.2 Fotodetecção das Franjas de Interferência Paralelas ........................................................... 38 3.3 Relação Entre a Corrente Produzida por um Fotodiodo e a Área de Fotodetecção .............. 41 3.3.1 O Amostrador Ideal...................................................................................................... 44 3.4 Análise Temporal do Sinal Fotodetectado........................................................................... 45 3.4.1 Característica de Transferência do Interferômetro ........................................................ 47 3.4.2 Efeito da Variação de 0φ sobre o Sinal Interferométrico Fotodetectado ........................ 51 3.5 Medição de Grandes Deslocamentos – O Método de Contagem de Franjas ........................ 53 _______________________________________________________________________________________________ CAPÍTULO 4 – O MÉTODO DE BAIXA PROFUNDIDADE DE MODULAÇÃO PARA A DETECÇÃO DE SINAIS INTERFEROMÉTRICOS .............................................................. 56 4.1 Análise Matemática do Método de Baixa Profundidade de Modulação............................... 57 4.2 Procedimento de Autocalibração do Interferômetro............................................................ 59 4.3 Sensibilidade do Interferômetro Homódino........................................................................ 63 CAPÍTULO 5 - ATUADORES E MANIPULADORES PIEZOELÉTRICOS FLEXTENSIONAIS ................................................................................................................... 67 5.1 Atuadores Piezoéletricos do Tipo Bender ........................................................................... 67 5.2 Atuadores Piezoelétricos Flextensionais ............................................................................. 69 5.3 Manipuladores Piezoelétricos Flextensionais ..................................................................... 73 5.4 Descrição da Piezocerâmica, dos Atuadores e do Manipulador Piezoelétrico Flextensional Utilizados ................................................................................................................................ 75 5.4.1 Cerâmica PZT – 5A ..................................................................................................... 75 5.4.2 Atuador Piezoelétrico do Tipo Bender: Tweeter Piezoelétrico....................................... 77 5.4.3 Atuador Piezoelétrico Flextencional – AFX - 01 .......................................................... 77 5.4.4 Atuador Piezoelétrico Flextencional – AFX - 02 .......................................................... 78 5.4.5 Manipulador Piezoelétrico Flextencional – MFX - 01 .................................................. 79 CAPÍTULO 6 - EXPERIMENTOS REALIZADOS E RESULTADOS OBTIDOS................. 82 6.1 Descrições dos Interferômetros Montados.......................................................................... 82 6.1.1 Interferômetro Montado para a Caracterização do Atuador do Tipo Bender.................. 83 6.1.2 Interferômetro Montado Para a Caracterização dos Atuadores Piezelétricos Flextensionais AFX – 01 E AFX 02...................................................................................... 84 6.1.3 Interferômetro Montado para a Caracterização do Mini-Manipulador MFX – 01 ......... 86 6.2 Processo de Alinhamento do Interferômetro ....................................................................... 88 6.4 Franjas de Interferência...................................................................................................... 90 6.4 A Franja de Ordem Zero..................................................................................................... 91 6.5 Instrumentação Eletrônica Utilizada................................................................................... 92 6.6 Procedimento de Medição Interferométrica ........................................................................ 93 6.6.1 Medição de Deslocamentos Utilizando o Atuador Pizelétrico do Tipo Bender: Tweeter Piezelétrico........................................................................................................................... 94 _______________________________________________________________________________________________ 6.6.2 Medição De Deslocamentos Utilizando o Atuador Piezolétrico Flextensional AFX – 01 . 99 6.6.3 Medição De Deslocamentos Utilizando o Atuador Pizelétrico Flextensional AFX – 02 ..106 6.6.4 Medição De Deslocamentos Utilizando o Mini-Manipulador Pizelétrico Flextensional MFX – 01 ...............................................................................................................................110 CAPÍTULO 7 - CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS ........... 120 7.1 Conclusões........................................................................................................................120 7.2 Sugestões para Trabalhos Futuros .....................................................................................125 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS..................................................................................... 126 APÊNDICE A – TEORIA DOS FEIXES GAUSSIANOS ....................................................... 132 A.1 Equação de Onda Vetorial ................................................................................................132 A.2 Propagação de Feixes Lasers............................................................................................134 A.3 Interpretação dos Parâmetros da Solução do Feixe Gaussiano ..........................................143 A.4 Intensidade Óptica do Feixe Gaussiano ............................................................................149 APÊNDICE B – PIEZOELETRICIDADE .............................................................................. 151 B.1 Equações Constitutivas dos Materiais Piezoelétricos ........................................................152 1. Introdução 16 CAPÍTULO 1CAPÍTULO 1CAPÍTULO 1CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO A troca de informações é de grande importância para o desenvolvimento da ciência. Quando institutos de pesquisas, universidades e centros técnicos interagem entre si, promovendo a passagem do conhecimento, invariavelmente, todos os envolvidos acabam se beneficiando. Esta dissertação de mestrado é realizada em parceria com o Grupo de Sensores e Atuadores de EPUSP e tem como objetivo fazer a caracterização, em relação aos deslocamentos absolutos, de atuadores piezoelétricos flextensionais e de um novo mini-manipulador piezoelétrico flextensional projetados e construídos por este grupo. Esses mini-manipuladores são também chamados de multi-atuadores, pois são formados por mais de uma cerâmica de PZT e, com isso, a deformação pode ser alocada em mais de um modo (CARBONARI, 2008). Os atuadores e o mini-manipulador piezoelétrico flextensional foram desenvolvidos com técnicas que representam a vanguarda no projeto e execução dessas estruturas flexíveis. Com essas técnicas é possível, de acordo com as características de projeto, proporcionar a máxima conversão entre a de deformação da cerâmica piezoelétrica em deslocamentos absolutos. Para tanto, usa-se o método da otimização topológica em conjunto com a técnica de elementos finitos (SILVA; KIKUCHI, 1999). Com a otimização topológica, o projeto dessas estruturas, que antes era extremamente complexo por ser realizado analiticamente, pode ser realizado de forma sistemática, através de algoritmos computacionais. Através da introdução das variáveis de projeto, como por exemplo, máxima rigidez, máximo coeficiente de penalidade, máximo deslocamento acoplado proporcionado, dentre outras, é capaz de se projetar estruturas flexíveis, sem dobradiças, que obedecam aos objetivos de projeto. Levando em consideração que a otimização topológica baseia- se na presença ou ausência de material no domínio de projeto, utiliza-se o método de elementos finitos para a verificação e simulação desses projetos. Para a fabricação destes atuadores e mini-manipuladores, utiliza-se a tecnologia de MEMS (Sistemas Microeletromecânicos) que representam a nova geração destes dispositivos. Estima-se que em 2009, seja disponibilizado mais de oito mil modelos de dispositivos MEMS, e, que em 2011, o lucro de empresas que trabalham com MEMS seja de mais de 10 bilhões de dólares 1. Introdução 17 (CARBONARI, 2008). Essas informações justificam o desenvolvimento de pesquisas e a produção de novos materiais que utilizam esta técnica. Os atuadores e mini-manipuladores são empregados em diversas áreas onde a precisão do movimento e o tamanho diminuto são imprescindíveis. Movimentação de ponteiras e lentes de microscópios ópticos e de varredura, leitores de discos rígidos e CDs, além do posicionamento de estruturas e organelas celulares fazem parte do rol das utilizações desses atuadores. Com o rápido desenvolvimento da nanotecnologia os dispositivos capazes de proporcionar deslocamentos nesta ordem de grandeza terão papel de destaque. Os atuadores e mini-manipuladores são formados pela associação de uma cerâmica piezoelétrica com uma estrutura de alumínio. Essa estrutura é fixada à cerâmica fazendo com que sempre que houver excitação elétrica na cerâmica, esta sofra deformação mecânica e, conseqüentemente, a estrutura também se deforme provocando os deslocamentos a serem medidos. Existem várias formas de se caracterizar um material: linearidade, freqüências de ressonâncias mecânicas, composição física e química, dentre outras. Com isso, utilizando a técnica interferométrica, será realizado neste trabalho o estudo da linearidade do manipulador em relação à tensão de excitação e o deslocamento produzido. Para a realização das medições, utilizou-se a interferometria óptica e o método de baixo índice de modulação. A interferometria óptica é um ramo da ciência que começou a se desenvolver de forma acelerada no começo do século XX e ganhou impressionante impulso com o desenvolvimento do laser, haja vista que as limitações existentes antes dessa época sempre se relacionavam com o baixo grau de coerência das fontes de luz utilizadas. O instrumento de trabalho da interferometria é o interferômetro, que pode ser montado em várias configurações. As de Michelson, Mach-Zehnder, Fizeau, Sagnac e Fabry-Perot são as mais consolidadas na literatura. Neste trabalho, usou-se apenas a configuração de Michelson, as outras, não foram tratadas nesta dissertação. Um dos maiores trunfos da interferometria é o seu alto grau de sensibilidade. Devido ao comprimento de onda do laser ser muito pequeno (da ordem de 1µm), variações na fase óptica podem ser mensuradas, mesmo sendo muito pequenas. Atualmente, com a instrumentação eletrônica disponível, se consegue facilmente detectar 1º de modulação angular. Ora, na freqüência óptica é necessário um deslocamento da ordem de 1 nm para que haja a variação de 1º na fase óptica. Com isso, os interferômetros surgem como importantes sensores de deslocamento ou de vibração, micro e sub-micrométrico (LEÃO, 2004). 1. Introdução 18 Entretanto, essa vantagem pode se tornar uma grande dificuldade no sentido de que quando a modulação em fase a ser demodulada é aplicada sobre o dispositivo em estudo uma segunda fase, chamada de fase estática se mostra presente. Também chamada de φ0, essa fase estática sofre variação de forma não previsível, de modo que o sinal de interesse pode se perder e não fornecer qualquer informação relevante. Esse fenômeno é chamado de desvanecimento do sinal interferométrico. A fim de evitar a ação do φ0 o local de medição deve ser condicionado para que vibrações externas, ruídos mecânicos e elétricos e interferências não estejam presentes no laboratório de medição. 1.1 DEMODULAÇÃO DE F1.1 DEMODULAÇÃO DE F1.1 DEMODULAÇÃO DE F1.1 DEMODULAÇÃO DE FASE ÓPTICA ATRAVÉS DASE ÓPTICA ATRAVÉS DASE ÓPTICA ATRAVÉS DASE ÓPTICA ATRAVÉS DO MÉTODO DE BAIXA PRO MÉTODO DE BAIXA PRO MÉTODO DE BAIXA PRO MÉTODO DE BAIXA PROFUNDIDADE OFUNDIDADE OFUNDIDADE OFUNDIDADE DE MODULAÇÃODE MODULAÇÃODE MODULAÇÃODE MODULAÇÃO A literatura fornece diversos métodos de demodulação de fase óptica. Dentre os mais estudados pelo grupo de pesquisa em optoeletrônica da UNESP – Campus de Ilha Solteira estão os métodos espectrais que utilizam as funções de Bessel (MARÇAL, 2008; MENEZES, 2009). Entretanto, vários desses métodos são utilizados quando se deseja fazer a demodulação de sinais que possuam altos índices de modulação, ou ainda, que produzam deslocamentos superiores a 600Å. A aplicação da técnica de detecção de fase óptica com baixo índice de modulação é uma das técnicas mais simples e antigas, porém, bastante sensível e precisa. Em 1969, Sizgoric e Gundjian a empregaram para medir amplitudes de vibrações ultrasônicas na faixa de sub- ängrstrons. No trabalho, utilizou-se sinais senoidais na faixa de alguns kHz para excitar transdutores de quartzo, chegando-se a medir deslocamentos de 10-2 Å. A demodulação do sinal fotodetectado foi obtido aplicando-se a técnica de detecção síncrona, com o auxílio de um amplificador lock-in. De acordo com Mezrich et. al. (1976) aplicou-se este método para medição e visualização de ondas ultrasônicas operando até 10 MHz, através de interferometria de varredura. Empregando- se um interferômetro de Michelson, o sistema permitia medir amplitudes de deslocamentos entre 0,07 até 100Å, com resolução lateral de 1 mm. Bucaro et. al.(1977) utilizou esta técnica de detecção a um interferômetro Mach-Zehnder em fibra óptica para fins de medir pressões acústicas em fluídos. Operando com freqüências entre 40 a 400 kHz, obteve-se a mesma sensibilidade dos melhores hidrofones acústicos da época. Drake & Leiner (1984) aplicaram o método de baixo índice de modulação a um interferômetro de Fizeau em fibra óptica para medir vibrações na faixa de sub-ängstron. Os autores 1. Introdução 19 empregaram esquemas de detecção de pico no processamento do sinal. O instrumento foi usado para medir deslocamentos em membranas de tímpanos de insetos. Greabes & Curzon (1988) utilizaram um analisador de espectros para extrair a componente fundamental do sinal fotodetectado, e daí, medir amplitudes de deslocamentos nanométricos utilizando um interferômetro de Michelson. Clubley et. al.(2001) utilizou um interferômetro de Fabry-Perot e o método de baixo índice de modulação para caracterizar o ruído presente na modulação de uma célula eletroóptica. Assim, o principal objetivo desta pesquisa consiste em utilizar a interferometria óptica e o método de baixa profundidade de modulação, para detectar deslocamentos no modelo de atuadores piezelétricos flextensionais, chamados de AFX – 01 e AFX – 02, e, em um novo mini-manipulador, aqui chamado de MFX-01. Os resultados experimentais a serem apresentados neste relatório evidenciarão a grande sensibilidade da interferometria óptica e a eficiência do método de baixa profundidade de modulação, haja vista que deslocamentos de aproximadamente 35Å são medidos no mini-manipulador piezelétrico flextensional. 1.2 APRESENTA1.2 APRESENTA1.2 APRESENTA1.2 APRESENTAÇÃO DA DISSERTAÇÃOÇÃO DA DISSERTAÇÃOÇÃO DA DISSERTAÇÃOÇÃO DA DISSERTAÇÃO São abordados nesta dissertação conceitos gerais da interferometria óptica. A descrição do o método de contagem de franjas e também o método de baixa profundidade de modulação, bem como a sua sensibilidade, são apresentados. É mostrado também, conceitos sobre piezeletricidade, atuadores do tipo bender, além dos atuadores e manipuladores piezelétricos flextensionais. E, por fim, apresenta os resultados que levam a concluir que o AFX – 01, AFX – 02 e o MFX-01, modelos utilizados neste trabalho, têm comportamento linear, quando se compara o deslocamento produzido em relação à tensão de excitação. Desta forma, descreve-se no Capítulo 2 a interferometria óptica de forma mais completa, mostrando o interferômetro de Michelson pormenorizadamente, a teoria acerca das franjas de interferência e o processo de formação dessas figuras, que são o resultado da interferência de dois feixes, visualizadas em um anteparo. Apresenta-se ainda neste capítulo o método de contagem de franjas de interferência. No Capítulo 3, é deduzida, a característica de transferência do interferômetro, baseado em grandezas, inicialmente, dependentes da sua localização no espaço e, posteriormente, com grandezas puramente temporais (a distribuição espacial das franjas não é relevante), adotando-se o fotodiodo como um amostrador ideal. Também é investigado o efeito da variação espúria do termo 1. Introdução 20 de fase associado à diferença de caminho óptico entre os braços do interferômetro, conhecido como desvanecimento. É apresentado no Capítulo 4 o método de baixa profundidade de modulação para demodular sinais interferométricos. Será explicada também a forma correta de utilizar o método, devido ao procedimento de calibração que deve ser realizado para que o método tenha a sua precisão maximizada, bem como, a sensibilidade deste método No Capítulo 5 é abordada a teoria dos atuadores piezelétricos, explicando a piezeletricidade, o efeito piezelétrico, as relações entre deformação e tensão mecânicas e, no final, descreve os atuadores do tipo bender, os atuadores e os manipuladores piezelétricos flextensionais. Dedica-se o Capítulo 6 aos experimentos realizados e registro dos resultados obtidos, sendo as conclusões e discussões apresentadas no Capítulo 7. 2. Interferometria Óptica e Formação de Franjas de Interferência 21 CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2 ---- INTERFEROMETRIAINTERFEROMETRIAINTERFEROMETRIAINTERFEROMETRIA ÓPTICAÓPTICAÓPTICAÓPTICA EEEE FORMAÇÃOFORMAÇÃOFORMAÇÃOFORMAÇÃO DEDEDEDE FRANJFRANJFRANJFRANJASASASAS DEDEDEDE INTERFERÊNCIAINTERFERÊNCIAINTERFERÊNCIAINTERFERÊNCIA O início do desenvolvimento da interferometria óptica é atribuído às pesquisas independentes de Robert Boyle e Robert Hooke no século XVIII (BORN; WOLF, 1999). Quase três séculos depois, a interferometria ainda desperta grande interesse sendo alvo de inúmeras pesquisas e publicações. A interferência entre dois feixes é o fenômeno causado pelas superposições de feixes que podem ser originados de uma ou mais fontes de luz e se caracteriza por regiões onde a intensidade da luz é máxima ou mínima. A sua utilização é de sumária importância quando se deseja medir grandezas com elevadíssimo grau de sensibilidade e exatidão. Os principais instrumentos utilizados na interferometria óptica são os interferômetros sendo o modelo montado por Michelson o primeiro a ser construído. Entretanto, não se pode deixar de mencionar a importante contribuição de Thomas Young no desenvolvimento da teoria acerca da interferometria óptica. Assim, são citados neste capítulo o experimento de Young, o interferômetro de Michelson, o processo de formação das franjas de interferência além do método de contagem de franjas. 2222.1 .1 .1 .1 EXPERIMENTO EXPERIMENTO EXPERIMENTO EXPERIMENTO DE YOUNGDE YOUNGDE YOUNGDE YOUNG O experimento descrito a seguir foi proposto por Thomas Young, em 1801, quando este cientista publicou seus estudos sobre a natureza ondulatória da luz e lançou as bases da interferometria óptica (BORN; WOLF, 1999; HARIHARAN, 1985; MOLLON, 2002). A análise desse experimento é realizada sob o pressuposto de que as ondas eletromagnéticas se propagam em um meio ilimitado e a região de observação é suficientemente afastada da fonte, também chamada de região de campo distante. Young irradiou duas pequenas e estreitas fendas paralelas com a mesma fonte luminosa gerando assim duas fontes pontuais de luz S1 e S2, como mostra a Figura 2-1, sendo β o plano que contém as fontes, α o plano ao qual as fontes são projetadas, D a distância entre os planos, “a” a distância entre as fontes e X a localização do ponto de observação P. 2. Interferometria Óptica e Formação de Franjas de Interferência 22 Figura 2-1 Representação esquemática do experimento de Young. Mediante uma investigação que será desenvolvida nas próximas seções, pode-se concluir que a superposição dos feixes sob um ponto P, contido no plano α a uma distância D do plano β das fontes, é caracterizada pelo aparecimento das franjas de interferência. Neste tipo de montagem, as franjas são raias paralelas e eqüidistantes claras, quando há interferência construtiva (um máximo), ou escuras quando é destrutiva (um mínimo), como apresentado na Figura 2-2: Figura 2-2 - Representação das franjas produzidas pelo experimento de Young. Observam-se raias claras quando há um máximo e raias escuras quando há um mínimo de intensidade óptica I. 2.2.2.2.2 INTERFERÔMETRO DE 2 INTERFERÔMETRO DE 2 INTERFERÔMETRO DE 2 INTERFERÔMETRO DE MICHELSONMICHELSONMICHELSONMICHELSON Essa configuração, proposta por Albert Abraham Michelson no final do século XIX, é uma das mais utilizadas na interferometria óptica. Michelson utilizou essa montagem para investigar a existência do “éter”, meio no qual, como acreditavam os pensadores da época, a radiação eletromagnética se propagava. Entretanto, após os resultados obtidos por essa montagem, 2. Interferometria Óptica e Formação de Franjas de Interferência 23 Michelson pode rejeitar a existência deste meio e, em virtude destes resultados, se tornou o primeiro cidadão americano a ganhar o Prêmio Nobel (MICHELSON; MORLEY, 1887). A Figura 2-3 apresenta uma versão a laser do interferômetro de Michelson proposto para os experimentos realizados nesta dissertação de mestrado. A montagem foi feita usando um espelho móvel M1, um fixo M2, ambos de reflexão total, e, um divisor de feixes com relação 50:50. Observa-se também, a presença da fonte laser, de uma lente expansora e de um anteparo onde as figuras de interferência são projetadas. Figura 2-3 - Interferômetro de Michelson. Para um tratamento eletrônico do sinal de saída do interferômetro, sugere-se a substituição do anteparo por um fotodetector, ao qual pode ser conectado a um osciloscópio digital, e, os dados assim adquiridos são armazenados para um futuro processamento. Através da inspeção da Figura 2-3, percebe-se que o feixe laser após ser dividido sofre reflexão nos espelhos M1 e M2. Devido à reflexão, os feixes retornam ao divisor onde são recombinados e direcionados ao anteparo, percorrendo cada ramo (ou braço) do interferômetro duas vezes. Isso faz com que a sensibilidade desta configuração seja duplicada. O ramo do feixe 1 é chamado de sensor, pois será nele onde acontecerão as mudanças nas grandezas a serem mensuradas, sejam elas deslocamento, pressão, índice de refração do meio, dentre outras. O ramo do feixe 2 é chamado de referência. 2.2.2.2.3 FORMAÇÃO DE FRANJA3 FORMAÇÃO DE FRANJA3 FORMAÇÃO DE FRANJA3 FORMAÇÃO DE FRANJAS NO INTERFERÔMETRO S NO INTERFERÔMETRO S NO INTERFERÔMETRO S NO INTERFERÔMETRO DE MICHELSONDE MICHELSONDE MICHELSONDE MICHELSON Um recurso que simplifica a análise do interferômetro de Michelson consiste em transformá-lo em um arranjo de Young equivalente. Isso é possível, pois a saída do divisor de feixes 2. Interferometria Óptica e Formação de Franjas de Interferência 24 do Michelson se comporta como as fontes de um Young (MUNIQUE, 1997). Esse fato pode ser observado através da Figura 2-4. Figura 2-4 - Interferômetro de Michelson tendo o divisor de feixes em destaque (LEÃO, 2004). Observa-se que os pontos F1 e F2, mostrados em detalhe na Figura 2-4, atuam como as fontes (S1 e S2 na Figura 2-1) do experimento de Young, haja vista que possuem as mesmas características, pois são oriundos de uma mesma fonte óptica. No campo distante, na existência de um anteparo, as figuras de interferência podem ser observadas. Na realidade, como os planos dos espelhos M1 e M2 podem estar angularmente deslocados por um ângulo diferente de 90°, esta configuração é mais geral, sendo a montagem realizada por Young apenas uma de suas possibilidades (ou seja, um caso particular). Utilizando inicialmente conceitos da óptica geométrica, e com o auxílio da Figura 2-5, os seguintes passos devem ser realizados para a transformação supracitada: 1. Em relação ao espelho M2, a fonte óptica O terá uma imagem I2 situada atrás deste espelho. A imagem estará situada numa distância L2 que é igual ao dobro da soma das distâncias da fonte até o divisor de feixes e do divisor até o espelho M2. 2. Em relação ao espelho M1, a fonte O terá uma imagem I1 ’ situada atrás deste espelho. A imagem estará situada numa distância L1 ’ do espelho M1, igual à distância L1 da fonte O até o espelho M1. 3. Em relação ao divisor de feixes, o espelho M1 terá uma imagem virtual M1 ’. Esta imagem estará situada numa distância igual à distância do divisor de feixes ao espelho M1, acima do divisor. LASER Fotodetector Vibração Fontes do experimento de Young M2 Divisor de Feixes M1 F1 F2 2. Interferometria Óptica e Formação de Franjas de Interferência 25 4. Em relação ao divisor de feixes, a fonte I1 ’ terá uma imagem virtual I1. Essa imagem estará situada acima do divisor, a uma distância 2L1 que é igual ao dobro da distância da fonte O até o espelho M1. Figura 2-5 – Experimento de Young equivalente formado através de um interferômetro de Michelson. Como pode ser percebida, a projeção da imagem de M1 sobre o eixo do espelho M2, faz com que a imagem da fonte O, em relação a M1 também seja projetada sobre o eixo do segundo espelho. Com isso criaram-se duas fontes, I1 e I2 como as formadas no experimento de Young, através de um interferômetro de Michelson. Isto ocorre, pois há a existência de duas fontes de mesma origem sendo projetadas sobre o mesmo ponto (anteparo ou fotodiodo). z∆ é a distância entre as fontes virtuais I1 e I2. Em resumo, a análise do interferômetro de Michelson ficou reduzida a investigar a interferência da luz causada por duas fontes virtuais I1 e I2 separadas por uma distância z∆ e que irradiam colinearmente. A rigor, como citado anteriormente, isto não constitui exatamente uma montagem como a realizada por Young, representado na Figura 2-1, na qual F1 e F2 irradiam luz na direção ortogonal ao eixo do alinhamento das fontes I1 e I2. Porém, em casos práticos, os espelhos M1 e M2 podem não estar exatamente a 90° entre si, ou seja, o interferômetro pode estar desalinhado. Neste caso, a montagem realizada por Young pode constituir um caso particular. Nos próximos parágrafos, apresentam-se os resultados, que podem ser obtidos para três diferentes situações. 2. Interferometria Óptica e Formação de Franjas de Interferência 26 2.3.1 FORMAÇÃO DE FRANJAS CIRCULARES2.3.1 FORMAÇÃO DE FRANJAS CIRCULARES2.3.1 FORMAÇÃO DE FRANJAS CIRCULARES2.3.1 FORMAÇÃO DE FRANJAS CIRCULARES O perfeito alinhamento do interferômetro acontece quando os espelhos M1 e M2 estão ortogonais entre si, como ilustrado na Figura 2-6. Ocorrendo a ortogonalidade, a imagem I1 ’ estará, então, paralela e na direção do plano do espelho M2. Como as fontes I1 ’ e I2 estão em eixos perpendiculares às faces dos espelhos M1 e M2, respectivamente, conclui-se então que I1 e I2 estão num mesmo eixo, separados por ∆z, e emitem feixes que estão sobrepostos, caracterizando o perfeito alinhamento do interferômetro de Michelson. No anteparo, franjas de interferência perfeitamente circulares e concêntricas irão aparecer. Figura 2-6 - Experimento de Young equivalente, com I1 e I2 e com os espelhos ortogonais. Nesta disposição as franjas movimentam-se concentricamente, entrando (como se fosse um sorvedouro) ou saindo (como um sumidouro) de um ponto central, conforme a direção de deslocamento do espelho móvel. 2.3.2 FORMAÇÃO DE FRANJAS INTERMEDIÁRIAS2.3.2 FORMAÇÃO DE FRANJAS INTERMEDIÁRIAS2.3.2 FORMAÇÃO DE FRANJAS INTERMEDIÁRIAS2.3.2 FORMAÇÃO DE FRANJAS INTERMEDIÁRIAS Uma análise similar é realizada quando se investiga a não ortogonalidade entre os espelhos: quando M1 está inclinado em relação a M2, sua imagem não mais estará paralela ao espelho fixo. Ilustra-se na Figura 2-7 esse fato. Com isso, as fontes não estarão mais no mesmo eixo transversal e, conseqüentemente, os feixes não serão mais perfeitamente sobrepostos. As fontes I1 e I2 estão deslocadas verticalmente por ∆z e horizontalmente por a. No anteparo aparecerão faixas finas e curvas, que são o padrão presente quando o interferômetro não está perfeitamente alinhado e a distância dos espelhos até o divisor de feixes é diferente. 2. Interferometria Óptica e Formação de Franjas de Interferência 27 Figura 2-7 – Experimento de Young equivalente, com I1 e I2 e com o espelho M1 levemente desalinhado. Nesta situação, porém, o movimento dessas franjas acontece para a direita ou para a esquerda sobre o anteparo, de acordo com a direção de deslocamento do espelho móvel. 2.3.3 FORMAÇÃO DE FRANJAS PARALELAS2.3.3 FORMAÇÃO DE FRANJAS PARALELAS2.3.3 FORMAÇÃO DE FRANJAS PARALELAS2.3.3 FORMAÇÃO DE FRANJAS PARALELAS À medida que o desalinhamento entre espelhos aumenta, as franjas deixam de ser curvas e se tornam faixas paralelas, como as obtidas no experimento de Young e mostrado na Figura 2-8. Ao contrário da Figura 2-7, neste caso, ambos os espelhos encontram-se levemente desalinhados. Observa-se, também, que as franjas na Figura 2-7 correspondem a uma situação intermediária entre as franjas circulares e paralelas. Neste terceiro caso, a distância entre os espelhos e o divisor de feixes é igual, e, o efeito disso pode ser percebido nas imagens virtuais da fonte O. Como apresentado na Figura 2-8, I1 e I2 estão no mesmo eixo horizontal e espaçados pela distância a caracterizando a não diferença de trajeto percorrido pela luz quando esta atravessa o divisor de feixes, encontra os espelhos de reflexão total e retorna ao divisor. Portanto, este caso constitui exatamente o modelo de Young, como apresentado na Figura 2-1, porém, com as fontes S1 e S2 substituídas por I1 e I2. 2. Interferometria Óptica e Formação de Franjas de Interferência 28 Figura 2-8 – Interferômetro desalinhado. Verifica-se a presença de faixas paralelas no anteparo. Na prática, para que o padrão de franjas seja melhor visualizado sobre o anteparo, é necessário que haja a colocação de uma lente objetiva na saída da ampola de laser, como esquematizado na Figura 2-9, bem como, de uma lente expansora na saída do interferômetro. Figura 2-9 - Interferômetro de Michelson com lentes expansoras para que auxilie na visualização de vários anéis. 2.42.42.42.4 ANÁLISE MAANÁLISE MAANÁLISE MAANÁLISE MATEMÁTICA DA FORMAÇÃOTEMÁTICA DA FORMAÇÃOTEMÁTICA DA FORMAÇÃOTEMÁTICA DA FORMAÇÃO DAS FRANJAS DE INTE DAS FRANJAS DE INTE DAS FRANJAS DE INTE DAS FRANJAS DE INTERFERÊNCIARFERÊNCIARFERÊNCIARFERÊNCIA Nesta seção far-se-á uma reunião das informações discutidas na seção 2.3, onde a transformação do interferômetro de Michelson num arranjo de Young foi apresentada, e no Apêndice A, onde os feixes gaussianos são definidos. O objetivo é obter as expressões que regem 2. Interferometria Óptica e Formação de Franjas de Interferência 29 matematicamente o processo de formação dos três tipos de franjas de interferência no interferômetro de Michelson. Na Figura 2-10 apresenta-se um resumo das três condições de alinhamento do experimento de Young equivalente, apresentadas na Figura 2-6, na Figura 2-7 e na Figura 2-8. Na Figura 2-10, pode ser visto que quando as imagens das fontes estão em um mesmo eixo longitudinal, como no caso (a), caracterizando-se a ortogonalidade dos espelhos, a imagem formada no anteparo é a de franjas circulares. Observa-se também que, quando os espelhos estão levemente desalinhados, as franjas circulares se movimentam para fora do anteparo e raias paralelas começam a aparecer, como no caso (b). Nessa situação já pode ser percebido o efeito do desalinhamento. Por fim, o caso (c), refere-se a uma situação onde ambos os espelhos estão desalinhados, embora, com um desvio angular muito pequeno, da ordem de 1 rad/1000, e tem as fontes I1 e I2 deslocadas. Porém, elas estão a uma mesma distância do divisor de feixes, de forma que as franjas tornam-se paralelas. Conforme estabelecido na Figura 2-5, I1 e I2 são imagens virtuais da fonte O, sob o ponto de vista do conjunto M1-divisor de feixes-M2. As fontes I1 e I2 irradiam raios gaussianos que sofrem interferência sobre o anteparo. A rigor, como I1 e I2 são provenientes da mesma fonte O, deveriam irradiar luz em fase. Entretanto, como estão separadas espacialmente, os feixes irradiados atingirão o anteparo com desvios de fase devido aos diferentes caminhos ópticos percorridos, ou então, a algum movimento vibratório de um dos espelhos. A construção geométrica mostrada na Figura 2-11 utiliza um sistema de coordenadas retangulares (x, y, z), adequado para programação em MATLAB®. Por simplicidade, as fontes I1 e I2, separadas transversalmente por uma distância a, estão dispostas simetricamente em relação à coordenada x, em . 2 a x ±= Ambas as fontes encontram-se sobre o plano x-z, porém, separadas longitudinalmente pela distância ∆z. Associado à fonte I1 tem-se um sistema de coordenadas auxiliar (x1, y, z), enquanto à fonte I2, tem-se (x2, y, z). A distância entre I1 e o anteparo é z1 A distância entre I2 e o anteparo é .12 zzz ∆−= 2. Interferometria Óptica e Formação de Franjas de Interferência 30 (a) (b) (c) Figura 2-10 - Visualização espacial do processo de formação de franjas de interferência. Em (a) ocorre alinhamento das fontes, em (b) desalinhamento parcial (verifica-se pequena curvatura das franjas) e em (c) percebe-se a presença de linhas verticais igualmente espaçadas. Com estas providências, tal construção geométrica permite analisar as três situações ilustradas na Figura 2-10 simultaneamente. 2. Interferometria Óptica e Formação de Franjas de Interferência 31 Figura 2-11- Visualização espacial da configuração do caso geral de formação das franjas de interferência. Sejam E1 e E2 os campos elétricos irradiados por I1 e I2, os quais devem obedecer à (A.48)(ver Apêndice A), ou seja: , )( 11 2 1 111 2 2 1 )(2)()( 1 00 1 φη jzR Kr j jKzzjzw r eeeee zw wE E − − − − = (2.1a) . )( 22 2 2 222 2 2 2 )(2)()( 2 00 2 φη jzR Kr j jKzzjzw r eeeee zw wE E − − − − = (2.1b) onde 1φ e 2φ são fases iniciais. As coordenadas radiais r1 e r2 encontram-se identificadas na Figura 2-12. Considerando-se que ambas as fontes I1 e I2 possuem mesmas amplitudes de campo E0. Figura 2-12 - Representação dos vetores de posição no plano x-y. Se o anteparo estiver distante, então, z >> z0 dado por (A.40)(ver Apêndice A). Com isso, é possível realizar algumas aproximações simplificadoras em (A.39), (A.41) e (A.44): ,1)( 0 0 2 0 2 0 z z w z z wzw ≅+= (2.2a) 2. Interferometria Óptica e Formação de Franjas de Interferência 32 ,1)( 2 2 0 z z z zzR ≅      += (2.2b) . 2 )( 1 0 1 radtg z z tgz π η =∞≅= −− (2.2c) Com isso, (2.1a) e (2.1b) são simplificadas: ,1 22 1 11 22 1 2 10 0 )( 22 )( 1 00 1 φ π j yx z K j jKz jyx zw z eeeee z zE E − +− − +      − = (2.3a) ,2 22 2 22 22 2 2 20 0 )( 22 )( 2 00 2 φ π j yx z K j jKz jyx zw z eeeee z zE E − +− − +      − = (2.3b) onde substituiu 22 1 2 1 yxr += e 22 2 2 2 yxr += . No sistema x-y mostrado na Figura 2-12, tem-se que ),( YXr = r é o vetor posição associado a um dado ponto P. Sob o ponto de vista dos sistemas x1-y e x2-y, o ponto P está associado aos vetores posição: ),, 2 (1 Y a Xr += r (2.4a) )., 2 (2 Y a Xr −= r (2.4b) os quais permitem converter (2.3a) e (2.3b), do sistema x1-y ou x2-y, para o sistema x-y. Representando-se ),,(1 zyxE e ),,(2 zyxE no sistema ),,( zyx , obtém-se: ,1 2 2 11 2 22 10 0 2222 1 00 1 φ π j Y a X z K j jKz j Y a X zw z eeeee z zE E −        +      +− −        +      +      − = (2.5a) .2 2 2 22 2 22 20 0 2222 2 00 2 φ π j Y a X z K j jKz j Y a X zw z eeeee z zE E −        +      −− −        +      −      − = (2.5b) O próximo passo é, utilizando E1 e E2, calcular a intensidade óptica irradiada no ponto P, conforme estabelecido por (A.63) do Apêndice A, quando as polarizações dos campos são paralelas. 2. Interferometria Óptica e Formação de Franjas de Interferência 33 . 22 )()( 212122112121 EEEEEEEEEEEE I ∗∗∗∗∗ +++ = +⋅+ = (2.6) Os produtos dos campos em (2.6) são calculados a partir de (2.5a) e (2.5b), e são apresentados abaixo: ( ) , 2 2 22 10 0 2 2 2 1 2 00 11         +      +      − ∗ = Y a X zw z e z zE EE (2.7a) ( ) , 2 2 22 20 0 2 2 2 2 2 00 22         +      −        − ∗ = Y a X zw z e z zE EE (2.7b) ( ) , 2 )( 22 2 )( 22 21 2 00* 21 21 2 2 2 1 2 2 21 2 2 2 2 2 1 2 2 2 0 0 φφ −−              +      − − +      + − −−              +      − + +      +       − = j z Y a X z Y a X K j zzjK z Y a X z Y a X w z eeee zz zE EE (2.7c) ( ) . 2 )( 22 2 )( 22 21 2 00 2 * 1 21 2 2 2 1 2 2 21 2 2 2 2 2 1 2 2 2 0 0 φφ −−              +      − − +      + + −              +      − + +      +       − = j z Y a X z Y a X K j zzjK z Y a X z Y a X w z eeee zz zE EE (2.7d) Finalmente, substituindo (2.7a-d) em (2.6), obtém-se: ( ) ( ) , 22 2 1 cos2 222 ),( 0 2 2 2 1 2 2 21 21 22 2 2 2 2 2 1 2 2 2 00 2 2 2 2 2 1 2 2 2 0 0 2 2 2 2 2 0 0 2 1 2 2 2 0 0               +                             +      − − +      + +−⋅ ++=               +      − + +      +       −               +      −       −               +      +       − φ z Y a X z Y a X zzK zz e z e z e zE YXI z Y a X z Y a X w z z Y a X w z z Y a X w z (2.8) onde 210 φφφ −= , o que caracteriza o caso geral da análise matemática do processo de formação das franjas de interferência em um interferômetro de Michelson. 2. Interferometria Óptica e Formação de Franjas de Interferência 34 A Figura 2-13 apresenta os resultados de uma simulação realizada utilizando o programa MATLAB®, para as três situações consideradas. Em um interferômetro de Michelson foram considerados pequenos valores de desalinhamento: a = 0 ou a = 30 µm, e, ∆z = 0 ou ∆z = 5 µm. (a) (b) (c) Figura 2-13 – Simulação em MATLAB® dos três tipos de franjas que um interferômetro de Michelson pode produzir: a) franjas circulares: a = 0 µµµµm e ∆∆∆∆z = 0,5 µµµµm, b) franjas intermediárias: a = 30 µµµµm e ∆∆∆∆z = 50 µµµµm c) franjas retas e paralelas: a = 30 µµµµm e ∆∆∆∆z = 0 m. 2. Interferometria Óptica e Formação de Franjas de Interferência 35 Neste trabalho, operou-se conforme o terceiro caso apresentado, com um leve desalinhamento do interferômetro e com uma distribuição de franjas paralelas. Este pequeno desalinhamento angular é interessante, pois se evita o retorno dos feixes refletidos pelos espelhos M1 e M2 na Figura 2-4 de volta para a ampola do laser, o que normalmente introduz oscilações na intensidade da luz de saída desta fonte. Contudo, o desalinhamento não pode ser acentuado, pois isto prejudica a distância de separação entre franjas (o período espacial das franjas, Λ), tornando-o muito pequeno e comprometendo o nível do sinal elétrico fotodetectado (como será discutido no próximo capítulo). 2.2.2.2.5555 O O O O MÉTODO DE CONTAGEM DMÉTODO DE CONTAGEM DMÉTODO DE CONTAGEM DMÉTODO DE CONTAGEM DE FRANJASE FRANJASE FRANJASE FRANJAS Se o espelho do ramo sensor, M1, se movimentar progressivamente, as franjas circulares (por exemplo), se movimentam concentricamente, como as ondas geradas na superfície de um lago quando nele se atira uma pedra. Será mostrado adiante que, quando uma franja se desloca de um período espacial completo (a separação entre franjas), o espelho se desloca metade do comprimento de onda da fonte óptica (λ/2), aproximadamente 0,31 µm no caso do laser de Hélio – Neônio. Com isso, contando-se (visualmente) o deslocamento de franjas, pode-se estimar o deslocamento do espelho em níveis microscópicos. O uso de fotodiodos pode automatizar este processo de contagem de franjas, melhorando sua eficiência. Além disso, é capaz de operar em regime de deslocamento em sub-franjas (com movimentos de frações de franjas), com radiação infravermelha (invisível ao olho humano) e sob elevada velocidade (faixa de kHz). Este método é conhecido como Método de Contagem de Franjas. A idéia básica por traz do método de contagem de franjas é exatamente esta: se o deslocamento do espelho M1 do interferômetro da Figura 2-9 for grande, a fase relativa a essa excitação, sφ , também será grande e, assim, várias franjas atravessam o fotodiodo e vários picos estarão presentes no sinal de saída (relativamente ao período sω π2 , onde ωs é a freqüência da excitação para uma variação harmônica). Além disso, se o número de picos for essencialmente grande (maior que 50, por exemplo), um pico a mais ou a menos que apareça devido à variação aleatória da fase estática 0φ (chamado fenômeno de desvanecimento, que será discutido no Capítulo 3) introduzirá somente um pequeno erro sistemático no processo de medição global. 2. Interferometria Óptica e Formação de Franjas de Interferência 36 A título de ilustração, cita-se que em 1895, A. A. Michelson usou este princípio para realizar a primeira comparação direta entre o comprimento de onda de uma radiação óptica com o metro padrão. Nesta época, Michelson realizava a contagem de franjas por inspeção visual. Para se ter uma noção da dificuldade desta tarefa, observa-se que na Conferência Internacional de Pesos e Medidas de 1960 foi estabelecido que o metro padrão no SI corresponde ao comprimento igual a 1.650.763,73 comprimentos de onda (λ) no vácuo da radiação associada à transição entre os níveis 2p10 e 5d5 do átomo de Criptônio 86 (KOVALEVSKY; QUINN, 2004). Hoje em dia, este tipo de procedimento é realizado eletronicamente com o auxílio de fotodiodos. No Capítulo 3 será estudado como o feixe óptico advindo de um interferômetro de Michelson deve ser corretamente fotodetectado. Com isso, as informações contidas na fase óptica desse feixe podem ser perfeitamente demoduladas através do método de contagem de franjas ou do método de baixa profundidade de modulação (que será apresentado no Capítulo 4). 3. Detecção e Análise de Sinal Interferométrico Fotodetectado 37 CAPÍTULO 3CAPÍTULO 3CAPÍTULO 3CAPÍTULO 3 ---- ANÁLISEANÁLISEANÁLISEANÁLISE DODODODO SINALSINALSINALSINAL INTERFEROMÉTRICOINTERFEROMÉTRICOINTERFEROMÉTRICOINTERFEROMÉTRICO FOTODETECTADOFOTODETECTADOFOTODETECTADOFOTODETECTADO Como já citado, pode-se substituir o anteparo na saída do interferômetro por um fotodiodo (do tipo PIN) para a detecção das franjas de uma forma optoeletrônica. Para um melhor resultado, sugere-se a expansão do feixe através do uso de uma lente expansora colocada na saída do interferômetro, antes do fotodetector. Deve-se privilegiar a franja de ordem zero, fazendo com que ela seja projetada no centro da abertura do fotodetector. Um cuidado especial deve ser dado à distância entre a lente posicionada na saída da montagem e o fotodetector. Se o detector estiver muito próximo à lente, ele logo saturará e não fornecerá qualquer resultado satisfatório. Se ele estiver muito distante, a resolução do sinal será afetada negativamente. Um fotodiodo é um dispositivo semicondutor capaz de converter a intensidade óptica (I) da luz que incide em sua janela de detecção, num sinal de corrente elétrica diretamente proporcional. Neste capítulo, considera-se que a área receptora do fotodiodo seja muito pequena relativamente ao período espacial das franjas, aproximando-se de um amostrador ideal. Além disso, considera-se que o fotodiodo seja fixado numa posição (0,0) do plano de observação. Com isso, o sinal elétrico de saída do fotodiodo pode ser deduzido utilizando-se somente a dependência temporal dos campos elétricos associados aos feixes ópticos que sofrem interferência; a dependência espacial (X,Y), da distribuição de intensidade óptica no plano de observação passa a ser irrelevante. Usando-se conversores eletrônicos de corrente-tensão, pode-se extrair um sinal de tensão elétrica de saída diretamente proporcional a I. Neste texto, a intensidade óptica, a corrente e a tensão elétricas fotodetectadas serão tratadas como sinônimos, uma vez que diferem apenas por uma constante de proporcionalidade (a responsividade). 3.1 FOTODETECÇÃO DO SINAL INTERFEROMÉTRICO3.1 FOTODETECÇÃO DO SINAL INTERFEROMÉTRICO3.1 FOTODETECÇÃO DO SINAL INTERFEROMÉTRICO3.1 FOTODETECÇÃO DO SINAL INTERFEROMÉTRICO No Capítulo 2, deduziu-se que a distribuição espacial de intensidade óptica (W/m2), gerada pela superposição de dois raios gaussianos com mesma amplitude de campo no plano de observação (X,Y), é dada por (2.8), repetido abaixo 3. Detecção e Análise de Sinal Interferométrico Fotodetectado 38 ( ) ( ) , 22 2 1 cos2 222 ),( 0 2 2 2 1 2 2 21 21 22 2 2 2 2 2 1 2 2 2 00 2 2 2 2 2 1 2 2 2 0 0 2 2 2 2 2 0 0 2 1 2 2 2 0 0               +                             +      − − +      + +−⋅ ++=               +      − + +      +       −               +      −       −               +      +       − φ z Y a X z Y a X zzK zz e z e z e zE YXI z Y a X z Y a X w z z Y a X w z z Y a X w z (3.1) na qual E0 está associado à magnitude do laser nos centros dos feixes gaussianos, 2w0 é a cintura do feixe e 0φ é uma diferença de fase estática entre os dois raios. A grandeza K é a constante de fase do meio ( λ πn K 2 = , onde n é o índice de refração do meio e λ é o comprimento de onda da radiação óptica no vácuo), enquanto λ π n z w 2 0 0 = é uma constante de ajuste [ver (A.40) no Apêndice A]. As distâncias z1 e z2 são as coordenadas longitudinais das fontes I1 e I2 na Figura 2-11, até o anteparo. 3.2 FOTODETECÇÃO DAS3.2 FOTODETECÇÃO DAS3.2 FOTODETECÇÃO DAS3.2 FOTODETECÇÃO DAS FRANJAS DE INTERFER FRANJAS DE INTERFER FRANJAS DE INTERFER FRANJAS DE INTERFERÊNCIAÊNCIAÊNCIAÊNCIA PARALELAS PARALELAS PARALELAS PARALELAS No caso particular de franjas paralelas, como as utilizadas neste trabalho, impõe-se que 021 =−=∆ zzz e a ≠ 0, conforme ilustrado na Figura 2-10(c). Aplicando-se a aproximação simplificadora 21 zz ≅ em (3.1), resulta: ( ) . 222 1 cos 2 2 ),( 0 22 1 22 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 00 22 2 1 2 0 0 2 2 1 2 0 0 2 2 1 2 0 02 1 2 0 0                               +               −−      + ++ =               −+      +      −      −      −      +      −             − φ a X a X z K eee z e zE YXI a X a X zw za X zw za X zw z z Y w z (3.2) Fatorando-se (3.2), obtém-se, após algumas manipulações algébricas: 3. Detecção e Análise de Sinal Interferométrico Fotodetectado 39 ( ) .cos 2 cosh 1),( 0 1 2 0 0 2 1 2 2 2 1 2 00 2 22 2 0 0 2 1               +      +               =               ++     − φ z aX KaX w z z e zzE YXI a YX w z z (3.3) Como a distância entre as fontes I1 e I2 na Figura 2-10 é muito pequena, quando o interferômetro está apenas levemente desalinhado, então, aplicando-se a << 1 em (3.3), conclui-se que o 1)cosh( ≅• e, portanto: ( ) ( ) .cos1 1),( 0 1 2 2 2 2 1 2 00 22 2 0 0 2 1 22 0 0 2 1               +      +                     = +     −            − φ z aX Kee zzE YXI YX w z z a w z z (3.4) O primeiro fator do lado direito de (3.4) revela que a intensidade óptica decai exponencialmente com a distância entre as fontes I1 e I2, de acordo com a2, e, ao plano de observação, de acordo com 2 1 1 z . O segundo fator informa que a distribuição transversal no plano de observação (X,Y) é gaussiana. O terceiro fator indica que, superposto a um valor constante, existe um padrão de franjas cossenoidal em relação à X, mas que é independente de Y, como esquematizado na Figura 3-1. Conclui-se, assim, que as franjas são paralelas, como mostrado na Figura 2-10(c), e esboçado na Figura 3-1: Figura 3-1 - Franjas paralelas e área do fotodiodo. Na Figura 3-1, considerou-se que as dimensões transversais do fotodiodo, hb ⋅ , sejam pequenas relativamente à seção transversal do feixe gaussiano projetado sobre o plano de 3. Detecção e Análise de Sinal Interferométrico Fotodetectado 40 observação (X,Y). Além disso, o fotodiodo foi posicionado em torno da origem (0,0). Nesta aproximação, pode-se desconsiderar o efeito do decaimento exponencial da intensidade óptica à medida que se afasta do centro da gaussiana pelo plano (X,Y), bem como, quaisquer dependência das franjas com a coordenada Y. Com isso, (3.4) pode ser escrita genericamente como: )],(cos[),( tMXBAtXI Φ++= µ (3.5) onde A e B são constantes, assim como µ, um fator entre 0 e 1, que leva em conta as não idealidades do interferômetro. Este fator (o qual não deve ser confundido com a permeabilidade magnética µ) está relacionado com a visibilidade das franjas do interferômetro (V), grandeza essa que será estudada nas próximas seções. Na fase )(tΦ está inserida qualquer variação temporal entre os ramos do interferômetro de Michelson. A fase relativa )(tΦ foi inserida em (3.5) “a posteriori”, a fim de prever qualquer movimento das franjas, sempre que alguma perturbação externa for aplicada ao ramo sensor do interferômetro. Obviamente, )(tΦ também engloba diferenças de fase estáticas, devido a assimetrias nos comprimentos dos ramos do interferômetro, como 0φ . Finalmente, o parâmetro M em (3.5) é dado por: , 2 11 z a z a KM λ π == (3.6) o qual pode ser relacionado com o período espacial das franjas, Λ (mostrado na Figura 3-1). De fato, em analogia com T π ω 2 = no caso do período temporal T, tem-se: . 2 Λ = π M (3.7) A partir de (3.6) e (3.7), obtém-se que: ,1 a z λ =Λ (3.8) 3. Detecção e Análise de Sinal Interferométrico Fotodetectado 41 e assim, quanto melhor alinhado o interferômetro (menor valor de a), maior será o período espacial das franjas. 3.3.3.3.3333 RELAÇÃO ENTRE A COR RELAÇÃO ENTRE A COR RELAÇÃO ENTRE A COR RELAÇÃO ENTRE A CORRENTE RENTE RENTE RENTE PRODUZIDA POR UM PRODUZIDA POR UM PRODUZIDA POR UM PRODUZIDA POR UM FOTOFOTOFOTOFOTODIODO DIODO DIODO DIODO E A E A E A E A ÁREA DE ÁREA DE ÁREA DE ÁREA DE FOTODETECÇÃOFOTODETECÇÃOFOTODETECÇÃOFOTODETECÇÃO A corrente elétrica gerada pelo fotodiodo depende da quantidade de luz que incide em sua área ativa, e é dada por (KEISER, 1991): ,),( 2 2 2 2 dYdXtXIGi h h b b ∫ ∫ − −           = (3.9) sendo G a responsividade da corrente do dispositivo [em unidade de A/(W/m2)]. Substituindo-se (3.5) em (3.9) e executando a integração, obtém-se: ),(cos 2 2 t Mb Mb sen BSGGASi DD Φ+= µ (3.10) onde SD = bh é a área do fotodiodo. A partir de (3.7), conclui-se que Λ = bMb π 2 . Além disso, usando-se )( )(sin x xsen xc π π = , pode- se escrever (3.10) como: )(cossin t b cBSGGASi DD Φ      Λ += µ (3.11) Define-se a função “visibilidade da corrente detectada” como υ , tal que:       Λ = b cBSG D sinµυ (3.12) e, portanto, 3. Detecção e Análise de Sinal Interferométrico Fotodetectado 42 )(cos tGASi D Φ+= υ (3.13) A parcela c.c. no lado direito de (3.13) só depende da área do fotodiodo (SD), como esperado. Porém, a parcela a.c depende, além de SD, das propriedades do laser (µ) e está relacionado com o grau de alinhamento do interferômetro. O comportamento da função υ , normalizada em relação à DBSGµ , está esboçado na Figura 3-2. Figura 3-2 - Função visibilidade de corrente normalizada, υυυυ/GµµµµBSD versus b/ΛΛΛΛ. Conforme se observa, nos valores ...2,1 ±±= Λ b , a função       Λ b csin se anula, e a parcela a.c de (3.13) torna-se igual a zero, resultando apenas ,DGASi = ou seja, somente a parcela relativa à soma das duas intensidades ópticas dos raios individuais que incide sobre o fotodiodo. O termo de interferência, que contém a informação )(tΦ , desaparece. Portanto, quando a separação das franjas Λ for tal que Λ±=b (b = largura do fotodiodo), por exemplo, o interferômetro torna-se ineficiente. Um fotodiodo típico possui b ≈ 1 mm, então, verificando-se o período das franjas, Λ, através do grau do alinhamento do interferômetro, obtém-se o gráfico mostrado na Figura 3-3. Verifica-se, assim, que se Λ < b = 1 mm, a eficiência do processo de detecção interferometria é reduzida. Quando Λ = b, esta eficiência é nula. Portanto, é adequado ajustar o interferômetro tal que Λ >> b. 3. Detecção e Análise de Sinal Interferométrico Fotodetectado 43 Figura 3-3 - Gráfico de υυυυ/GµµµµBSD versus ΛΛΛΛ para um fotodiodo com b=1mm. Na prática, ao se operar com franjas paralelas, procura-se expandir a secção transversal do padrão de franjas (com o auxílio de lentes), ou então, melhorar o alinhamento a fim de aumentar Λ; a melhor opção é isolar a franja de ordem zero (ver Figura 2-2), conforme será discutido no Capítulo 6. No primeiro caso, no entanto, reduz-se as amplitudes da intensidade óptica, reduzindo-se a relação sinal-ruído; no segundo, aumenta-se a influência do desvanecimento do sinal detectado, conforme será discutido nas próximas seções. A fim de se ter uma idéia do grau de alinhamento do interferômetro (e, consequentemente, da dificuldade de operação do mesmo), necessário para se obter um valor 6,0= Λ b [quando sinc(b/Λ) assume valores próximos à unidade], considere-se a construção geométrica mostrada na Figura 3-4. Figura 3-4 - Ângulo de desalinhamento (2α) entre os feixes dos interferômetros. 3. Detecção e Análise de Sinal Interferométrico Fotodetectado 44 Por inspeção da Figura 3-4, observa-se que 12z a tg =α . Como a << z1, então, se 6,0< Λ b , aplicando-se (3.8), deduz-se que bz a λ6,0 1 < . Com isso, obtém-se b λ α 6,0 2 < . Adotando-se b = 1 mm, conclui-se que rad4108,32 −×<α , para λ=0,6328 µm (He-Ne). Ou seja, a fim de se obter um bom alinhamento, o desvio angular entre os dois feixes deve ser inferior a 0,021°! Isto exige grande habilidade do operador do interferômetro ao se manipulador os estágios micrométricos de translação e rotação onde são acoplados os componentes ópticos. 3.33.33.33.3.1 O AMOSTRADOR IDEAL.1 O AMOSTRADOR IDEAL.1 O AMOSTRADOR IDEAL.1 O AMOSTRADOR IDEAL Conforme visto na seção anterior, a corrente fotodetectada é dada por (3.9), aqui repetida: ,),(∫∫= DS dXdYYXIGi (3.14) onde a integração é realizada sobra a área do fotodiodo (SD). Observou-se também, que a largura do fotodiodo (b) deve ser pequena (b << 0,6Λ). Aparentemente, o processo independe da dimensão h do fotodiodo, porém, (3.12) informa que a área SD não pode ser muito pequena, senão, a relação sinal-ruído da corrente pode ficar reduzida. Na prática, fotodiodos com área SD = bh = 1mm2 são usuais. Assim, se a franja de ordem – 0 (a ser discutida no Capítulo 6) for isolada, obtém-se b << Λ. Neste caso, o fotodiodo se comporta aproximadamente como uma sonda pontual. Recorrendo-se a propriedade da amostragem da distribuição delta de Dirac, )(xδ , sabe-se que (CARLSON; CRILLY; RUTLEDGE, 2002): ),()()()()( 000 0 0 xfdxxfxxdxxfxx x x =−=− ∫∫ + − ∞ ∞− ε ε δδ (3.15) onde x0 é constante, ε << x0 e f(x) é uma função arbitrária. Generalizando-se, para o caso bidimensional, tem-se: ∫∫= DS dXdYYXIGi ),( 3. Detecção e Análise de Sinal Interferométrico Fotodetectado 45 ,),()()( 00 0 0 0 0 dXdYYXIyYxXG x x y y −−= ∫ ∫ + − + − δδ ε ε ε ε ).,( oo yxGI= (3.16) Assim, se o fotodiodo for posicionado em (x0, y0) = (0,0), por exemplo, será gerada a corrente ),0,0(GIi = (3.17) a qual informa que a corrente detectada depende apenas do valor da intensidade óptica no ponto (0,0). Este fotodiodo é denominado amostrador ideal. Portanto, basta calcular o valor da intensidade óptica obtida quando se superpõe os dois feixes do interferômetro num ponto do plano de ob